Totale preorde
In de ordetheorie, een onderdeel van de wiskunde, heet een tweeplaatsige relatie  op een verzameling  een totale preorde als het een transitieve totale relatie is. Deze wordt vaak genoteerd met het symbool . De strikte totale preorde '<' van een totale preorde is het complement van de inverse ervan, en tevens de inverse van het complement, dus met  gedefinieerd als niet . De strikte totale preorde is een vorm van de strikte zwakke orde.

Een functie  met  een totaal geordende verzameling bepaalt een totale preorde op  door  te nemen als . Er geldt  als  en  als . Zoals de notatie suggereert geldt dus  dan en slechts dan als  of .
 Als deze  met een strikt stijgende functie  wordt gecombineerd, dan bepaalt de nieuwe functie  dezelfde totale preorde.
 Als  een injectieve functie is kan het teken  vervangen worden door een gelijkteken, is de totale preorde een totale orde en de strikte zwakke orde een strikte totale orde.

Gegeven een totale preorde  kunnen we de equivalentierelatie  definiëren, met  als  en . Deze equivalentierelatie betekent in termen van preferenties geen voorkeur bij de keuze tussen  en . De preorde  leidt tot een relatie op de equivalentieklassen ( als ) en deze relatie is een totale orde.

Voorbeelden 
 De complexe getallen vormen een verzameling met een totale preorde. Twee complexe getallen kunnen met elkaar worden vergeleken door hun absolute waarde met elkaar te vergelijken. Bijvoorbeeld: ,  en ook .

 De reflexief-transitieve afsluiting van de relatie , , , , ,  en  op de verzameling  met vijf elementen is een totale preorde. De elementen  en  zijn equivalent: , en van elk ander tweetal elementen is een van beide kleiner dan het andere.

 Een preferentierelatie van een goed geïnformeerde logisch denkende consument is een totale preorde. De strikte totale preorde in termen van preferenties komt overeen met 'wordt minder geapprecieerd dan'.

 Als bij sorteren een sorteersleutel wordt gebruikt die soms bij verschillende items gelijk is, wordt gesorteerd op basis van een totale preorde van de items, waarvan het resultaat in principe een rij equivalentieklassen is. In de praktijk is het resultaat van een sorteeralgoritme vaak één rij van items. De items binnen een equivalentieklasse worden dan in principe in een willekeurige volgorde geplaatst.

Aantal mogelijke totale preordes 

Het aantal mogelijke totale preordes van een verzameling  hangt van het aantal elementen  in  af. Dat aantal wordt in rij A000670 van de OEIS gegeven. Er zijn ook rijen voor het aantal andere soorten homogene tweeplaatsige relaties.

 Als  twee elementen heeft dan zijn er drie totale preordes. In termen van preferenties: liever het ene, liever het andere of geen voorkeur.

 Als  drie elementen heeft dan zijn er 13 totale preordes. In termen van preferenties: zes met drie verschillende appreciaties, zes met twee verschillende en een zonder enige voorkeur.

Ordetheorie