Lebesgue-integraal
In de wiskundige analyse geeft de integraal van een positieve functie een nauwkeurige betekenis aan het begrip "oppervlakte onder de kromme". Het eenvoudigste integraalbegrip is gebaseerd op de formulering van Bernhard Riemann en wordt daarom soms riemann-integraal genoemd. De lebesgue-integraal, genoemd naar zijn bedenker Henri Lebesgue, is een constructie waarmee meer functies integreerbaar maakt en kan bovendien worden gebruikt over andere domeinen dan de reële getallen.

Stellingen die over limieten van integralen gaan, zijn vaak eenvoudiger te formuleren en te bewijzen in termen van de lebesgue-integraal dan met de riemann-integraal.

Constructie van de lebesgue-integraal 
Een overzichtelijke opbouw van de lebesgue-integraal gebeurt in de volgende stappen:
 invoering van meetbare verzamelingen
 definitie van de maat van meetbare verzamelingen, maattheorie
 invoering van meetbare functies
 definitie van de integraal van niet-negatieve meetbare functie
 de integraal van (sommige) andere meetbare functies

Meetbare verzamelingen 
Aan de basis van meetbaarheid liggen intervallen. Een interval kan eenvoudig worden gemeten en heeft zowel lengte als maat. Ook combinaties van intervallen zijn meetbaar. De maattheorie laat zien dat zulke combinaties te vinden zijn in een sigma-algebra of stam. De borelstam van de reële getallen is de kleinste -algebra die alle intervallen bevat en deze bevat dus zeker meetbare verzamelingen.

Lebesgue-maat 

De borelstam wordt uitgerust met een maat, de borelmaat, die uniek vastligt door aan ieder eindig interval als maat zijn lengte toe te kennen en een bepaald soort continuïteit te eisen, namelijk dat voor een dalende rij verzamelingen de limiet van de maten van de rij verzamelingen gelijk is aan de maat van de limiet van de rij. De zo ontstane maatruimte is niet volledig, wat inhoudt dat niet elke deelverzameling van een nulverzameling meetbaar is. De borelstam wordt nu tot de lebesguestam uitgebreid, de kleinste σ-algebra die de borelstam én alle deelverzamelingen van borel-nulverzamelingen omvat. De borelmaat kan op eenduidige wijze worden uitgebreid tot de hele lebesguestam en heet dan lebesgue-maat.

Meetbare functie 
Een functie  heet (lebesgue-)meetbaar als  de lebesgue-stam respecteert, wat wil zeggen dat het inverse beeld van een meetbare verzameling steeds meetbaar is.

Men kan het bestaan aantonen van verzamelingen en functies die niet lebesgue-meetbaar zijn. De meeste reële functies die in alledaagse toepassingen opduiken, zijn evenwel meetbaar.

Integraal van een meetbare functie 
De (lebesgue)integraal van een meetbare functie wordt achtereenvolgens gedefinieerd voor:
 indicatorfuncties
 enkelvoudige functies
 niet-negatieve meetbare functies
 (sommige) algemene meetbare functies

De indicatorfunctie van een meetbare verzameling , genoteerd , neemt de waarde 1 aan op alle elementen van  en 0 overal elders.

De integraal van  is per definitie gelijk aan de maat van : 

De maat van , dus ook de integraal van , kan eventueel oneindig zijn.

Een enkelvoudige functie is een eindige lineaire combinatie van indicatorfuncties met positieve coëfficiënten :
 

Zonder verlies van algemeenheid kan verondersteld worden dat de deelverzamelingen  paarsgewijs disjunct zijn. De coëfficiënten  zijn dan de mogelijke functiewaarden van .

De integraal van een enkelvoudige functie wordt gedefinieerd als de overeenkomstige lineaire combinatie van de integralen van de betrokken indicatorfuncties (lineariteit):
 

Voor een willekeurige niet-negatieve meetbare functie  wordt de integraal gedefinieerd door een benadering met integralen van enkelvoudige functies:
 

Ten slotte kan elke reële functie worden geschreven als het verschil van twee niet-negatieve functies:
 

waar  en .

De functie  heet integreerbaar als  en  beide een eindige integraal hebben. In dat geval wordt de integraal van  gedefinieerd door

Riemannintegraal 
Alle riemann-integreerbare functies zijn lebesgue-integreerbaar en de waarden van de twee integralen stemmen overeen.

Notatie 
In plaats van  schrijft men ook wel , hoewel de soms gebruikte notatie  een betere keuze is. Aangezien , wordt dit ook

Bijna overal 
Definitie: een eigenschap van reële getallen, of in het algemeen, van de elementen van de drager van een maatruimte, geldt bijna overal als de verzameling waar die eigenschap niet geldt een nulverzameling (een verzameling waarvan de Lebesgue-maat gelijk is aan 0) is.

Zo zeggen we dat twee reële functies  en  bijna overal gelijk zijn, als
 

De hoofdstelling van de integraalrekening geldt voor de lebesgue-integraal in de volgende vorm:

Als  een lebesgue-integreerbare functie is, en  een willekeurig reëel getal, dan is de primitieve functie
 
bijna overal differentieerbaar en haar afgeleide is bijna overal gelijk aan .

Integraal van een limietfunctie 
In het algemeen mogen limieten en integralen, en in het bijzonder reekssommen en integralen, niet zonder meer worden verwisseld.

Tegenvoorbeeld 
Voor  zijn de functies  gegeven door:
 
dan is voor elk getal  afzonderlijk,  voor voldoende grote . De limietfunctie is dus niet alleen bijna overal, maar zelfs overal 0. De afzonderlijke integralen zijn echter constant en verschillend van 0:
 

De stelling van de gedomineerde convergentie en de stelling van de monotone convergentie geven voldoende voorwaarden opdat de integraal van een limiet gelijk is aan de limiet van de integralen.

Integraalrekening
Maattheorie