Duale ruimte
In de lineaire algebra en de functionaalanalyse, beide deelgebieden van de wiskunde, heeft elke vectorruimte  een overeenkomstige duale ruimte (of langer duale vectorruimte) die uit alle eenvormen (lineaire functionalen) op  bestaat, dat wil zeggen de lineaire afbeeldingen naar het lichaam (Ned) / veld (Be) van de vectorruimte.

Duale vectorruimten gedefinieerd op eindigdimensionale vectorruimten, kunnen worden gebruikt voor het definiëren van tensoren, die bestudeerd worden in de tensoralgebra. Wanneer toegepast op vectorruimten van functies (die typisch oneindigdimensionaal zijn), worden duale ruimten gebruikt voor het definiëren en bestuderen van concepten als maten, distributies en Hilbertruimten. Bijgevolg is de duale ruimte een belangrijk begrip in de studie van de functionaalanalyse.

Voor iedere vectorruimte is de duale ruimte gedefinieerd, die in dit verband wel de algebraïsche duale ruimte genoemd wordt. Is de vectorruimte een topologische vectorruimte, dan is er een deelruimte van deze (algebraïsche) duale ruimte, de zogeheten topologische duale ruimte die gevormd wordt door de continue lineaire functionalen.

Definitie
Zij  een vectorruimte over een lichaam (Ned) / veld (Be) . Noem  de verzameling van eenvormen op , dat wil zeggen de lineaire afbeeldingen van  naar .

De elementen van  kunnen puntsgewijs bij elkaar worden opgeteld en puntsgewijs worden vermenigvuldigd met een constante uit . Op deze manier ontstaat een optelling en een scalaire vermenigvuldiging waarmee  eveneens een vectorruimte wordt over . Deze vectorruimte heet de duale vectorruimte (ook het duaal of de duale) van .

Bijbehorende bilineaire afbeelding
Voor iedere vectorruimte  is er de bilineaire afbeelding , met . Soms wordt de notatie  gebruikt.

Duale basisvectoren
Bij een gegeven basis kan voor elke basisvector  een duale basisvector  worden gedefinieerd als de lineaire afbeelding van  naar  die een vector  uit  afbeeldt op de coëfficiënt van  in de lineaire combinatie waarbij  wordt uitgedrukt in de basisvectoren. Als dus de basis bestaat uit de vectoren  en

dan is
 

De duale basisvectoren zijn lineair onafhankelijk in  De dimensie van  is dus minstens die van

Eindigdimensionale geval
Als  eindigdimensionaal is met dimensie , vormen de duale basisvectoren  van de basis  van  een basis van  die duale basis van  heet. De dimensie van  is dus ook . Er geldt:
,

met  de kroneckerdelta

Voor een willekeurig element , met coëfficiënten  t.o.v deze basis, dus:

geldt:

Algemene geval
In het geval van een oneindigdimensionale vectorruimte  kan in het algemeen niet op bovengenoemde wijze een duale basis geconstrueerd worden. Stel namelijk dat  een basis is van . Dan is de lineare afbeelding  gedefinieerd door  een element van de duale ruimete  Echter kan  niet uitgedrukt worden als (eindige!) lineaire combinatie van de duale basisvectoren  Stel immers dat

dan zou

Als  eindig is, is  aftelbaar, maar  overaftelbaar. Daaruit volgt dat iedere basis van  ook overaftelbaar is.

Topologisch duaal
Als  een topologische vectorruimte is, heeft het zin te kijken naar de verzameling continue lineaire afbeeldingen van  naar  Deze vormt op haar beurt een topologische vectorruimte met de topologie der puntsgewijze convergentie (de spoortopologie van de producttopologie op ).

Om onderscheid te maken, spreekt men van algebraïsch duaal respectievelijk topologisch duaal. De topologisch duale vectorruimte is in het algemeen een deelverzameling van de algebraïsch duale vectorruimte. In de meeste teksten over functionaalanalyse speelt de algebraïsch duale ruimte geen rol, en de term "duale ruimte" slaat op de duale topologische vectorruimte. Als er geen verwarring mogelijk is, wordt de ster-notatie  eveneens gebruikt voor de topologisch duale ruimte van

Inproduct
Als  een reële of complexe vectorruimte is met een inproduct (en dus met welgedefinieerde begrippen loodrechte stand en afstand), dan definieert de bewerking "rechts inproduct met een vaste gegeven vector" een continue lineaire afbeelding van  naar  De afbeelding die met de vaste gegeven vector de corresponderende lineaire afbeelding in verband brengt, is een injectieve continue lineaire afbeelding van  naar  (toegevoegd lineair of semilineair in het geval van een complexe inproductruimte).

Als de norm die door het inproduct wordt gedefinieerd, volledig is (m.a.w. als  een hilbertruimte is), dan is deze continue (semi)lineaire afbeelding van  naar  een bijectieve isometrie.

Duaal moduul
Als we het lichaam  vervangen door een ring  dan spreken we niet meer van vectorruimten maar van modulen. Bij de definitie van de duale ruimte hebben we geen gebruik gemaakt van de omkeerbaarheid van de elementen van  dus de definitie blijft geldig voor het duaal moduul  van een gegeven moduul  over een ring  Zoals altijd bij modulen, moet men voorzichtig zijn met beschouwingen over basissen en dimensies.

Abelse groepen kunnen worden opgevat als modulen over de ring der gehele getallen en omgekeerd. De duale abelse groep is dan het duale moduul in hogergenoemde zin.

Lineaire algebra
Functionaalanalyse
Wiskundige ruimte