Incidentiemeetkunde
In de wiskunde is een incidentiemeetkunde  een meetkunde die wordt gekenmerkt door een incidentierelatie.  Een incidentierelatie is in het algemeen een relatie tussen de elementen van twee verschillende, disjuncte verzamelingen, zoals een verzameling punten en een verzameling lijnen. Zo'n meetkunde wordt soms een punt-lijn-meetkunde genoemd.

Een incidentiemeetkunde geeft een axiomatische basis van een meetkunde, waarbij de vaak beschrijvende definities (die voortkomen uit waarneming) worden vervangen door definities op een abstract niveau met aanvankelijk alleen elementaire termen uit de verzamelingenleer. De elementen van de beide verzamelingen worden daarbij meestal niet nader gepreciseerd.

Formele definities

Structuur 
Een incidentiestructuur (of incidentiesysteem) is een geordend drietal  waarin  een verzameling ’punten’ is,  een verzameling ’lijnen’  en  een relatie met de naam incidentierelatie:

De elementen van  heten vlaggen. Is  een vlag, dan is  incident met ; notatie: .

Informeel kan  worden gelezen worden als " ligt op de lijn " of als " gaat door het punt ".

Meetkunde 
Een incidentiemeetkunde is een incidentiestructuur waarvoor geldt:
(A0) Bij ieder tweetal punten  en  is er precies één lijn  waarmee  en  incident zijn.
De met A0 aangegeven bewering is het axioma van de incidentiemeetkunde. Dit axioma luidt in "meetkundetaal":
- elk paar verschillende punten bepaalt precies één lijn, 
of:
- door elk paar verschillende punten gaat precies één lijn.

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Gegeven zijn de verzamelingen  en . Een incidentierelatie is vastgelegd door de verzameling vlaggen:

De hiermee vastgelegde incidentiestructuur is geen incidentiemeetkunde. Immers, de punten  en  zijn niet incident met eenzelfde lijn. Anders gezegd: er is geen lijn  die zowel incident is met  als met .

Met ,  en:

is  wél een incidentiemeetkunde;  is geïllustreerd in de hiernaast staande figuur.

Deze meetkunde kan ook met een incidentiematrix worden beschreven:

Een element  in zo'n matrix ( staat in een rij,  staat in een kolom) heeft  of  als waarde met de volgende betekenis:
 houdt in:  is een vlag in , of ook:  is incident met ;
 houdt in:  is geen vlag in , of ook:  is niet incident met .

Voorbeeld 2
Het euclidische platte vlak kan als volgt worden opgevat als een incidentiemeetkunde:
 is de verzameling van de (reële) punten in de tweedimensionale coördinatenruimte ;
 is de verzameling van alle affiene rechte lijnen in ;
met  en met  geldt:  (d.w.z.  ligt op ).

Voorbeeld 3
In de euclidische ruimte  vormen de lijnen uit de waaier door de oorsprong O de "punten" . Zij kunnen voorgesteld worden door de equivalentieklassen  van veelvouden van , of door de eenheidsvectoren. De waaier van vlakken door O zijn de "lijnen" , voorgesteld door normaalvectoren op de vlakken, bijvoorbeeld door de eenheidsvectoren loodrecht op een vlak. Een "punt"  is incident met een "lijn"  als , dus als

Bij twee "punten"  en  is er precies één "lijn"  die incident is met beide, namelijk het vlak waarvan de eenheidsnormaalvector loodrecht staat op de lijnen die  en  vertegenwoordigen. Er moet gelden

en

die met de eis dat

precies één oplossing hebben, namelijk het genormeerde kruisproduct van  en :

De gezochte lijn  is de genormeerde versie hiervan (of z'n equivalentieklasse).

En daarmee voldoet de incidentiestructuur  aan bovenvermeld axioma A0, zodat er sprake is van een incidentiemeetkunde.

Overigens kunnen de rollen van de "punten" en "lijnen' ook omgewisseld worden. De "lijnen" in de meetkunde zijn dan de lijnen uit de waaier door O. De "punten" zijn dan de vlakken in de waaier door O. Het "snijpunt" van twee lijnen is het vlak dat door de lijnen bepaald wordt en door twee "punten" gaat een lijn, de snijlijn van de twee vlakken.

Deelstructuren, dimensie 
Een verzameling  heet lineaire deelverzameling van  als bij elke lijn  die incident is met twee punten in , ook elk ander punt dat incident is met , tot  behoort – alle punten van de lijnen  zijn dus element van .

Een lineaire deelverzameling  van  is dus samen met de daarbij door  "aangewezen" lijnen een deelmeetkunde van .

De  verzameling , het lineair omhulsel van , is de doorsnede van alle lineaire deelverzamelingen die  bevatten. Daarmee is  de "kleinste" lineaire deelverzameling die  bevat.

Een deelverzameling  van  heet basis van , als  en er geen "kleinere" verzameling is die deze eigenschap heeft.
De dimensie van , en daarmee ook de dimensie van , wordt bepaald door de kardinaliteit van de verzameling :

Voorbeeld 

Gegeven is dat het tripel  een incidentiemeetkunde is, waarbij ; dus is  In de figuur hiernaast is  geïllustreerd. Daarbij zijn alleen die lijnen weergegeven die met drie of vier punten incident zijn.

De verzameling  is een basis van . Dus is:

Verder is  een lineaire deelverzameling van . De lijnen die op grond van  door de punten van  gaan (die lijnen vormen een deelverzameling  van , zijn samen met  een deelmeetkunde  van . Een basis van  is  zelf. Zodat:

En daaruit blijkt dat het mogelijk is, dat de dimensie van een meetkunde kleiner is dan de dimensie van een deelmeetkunde van die meetkunde.

Bijzondere incidentiemeetkundes 
Door het toevoegen van axioma's kunnen andere meetkundes worden gedefinieerd of bijzondere eigenschappen van een meetkunde expliciet worden gemaakt. Zo wordt vaak aan de definitie van een incidentiemeetkunde toegevoegd:
(A') Er bestaan ten minste twee verschillende lijnen.

Projectieve meetkunde 
De projectieve meetkunde wordt meestal gedefinieerd als een uitbreiding van de euclidische meetkunde. Maar een definitie als incidentiemeetkunde, door toevoeging van enkele axioma's, is eveneens mogelijk.

Een incidentiemeetkunde is een projectieve meetkunde indien:
(A1) Elk tweetal lijnen is incident met ten minste één punt.
(A2) Elke lijn is incident met ten minste drie punten.
(A3) Er zijn ten minste twee verschillende lijnen (zie axioma A' hierboven).

Axioma A1 houdt in dat twee lijnen (die in hetzelfde vlak liggen - en dat moet dan nog worden gedefinieerd) altijd een snijpunt hebben; het evenwijdig zijn van lijnen is in een dergelijke meetkunde dus uitgesloten.

Als in een meetkunde niet voldaan wordt aan axioma A3, dan wordt die meetkunde wel ontaarde projectieve meetkunde genoemd.

Affiene meetkunde 

Een incidentiemeetkunde is een affiene meetkunde indien wordt voldaan aan A2 en A3 en aan:
(A4) Er bestaat binnen de verzameling  een equivalentierelatie die, bij een gegeven punt , bij elke lijn  een eenduidig bepaalde lijn  vastlegt, waarbij  door  gaat. Notatie: , uitspraak:  is evenwijdig met  (evenwijdigheid).
(A5) Als  is en  is een punt dat niet incident is met  en als daarbij  lijnen zijn die door  gaan en die beide  snijden, dan snijden  ook  (trapeziumaxioma).

Als in zo'n meetkunde niet aan axioma A2 wordt voldaan, is er sprake van een ontaarde affiene meetkunde.

Het trapeziumaxioma (A5) betekent dat twee evenwijdige lijnen altijd in eenzelfde vlak (mits gedefinieerd) liggen.

De definitie van een equivalentierelatie houdt onder meer reflexiviteit in; met andere woorden, in een affiene meetkunde is een lijn evenwijdig met zichzelf.

Zie ook 
 Absolute meetkunde
 Hilberts axioma's van de euclidische meetkunde

Externe links 
 : Incidence geometry. Department of Mathematics, UNC, Charlotte, NC, USA. Via: Internet Archive
 Incidence geometry. Via: PlanetMath Ltd.

Projectieve meetkunde
Affiene meetkunde