Clebsch-Gordan-coëfficienten
In de natuurkunde zijn de Clebsch-Gordan-coëfficienten, of CG-coëfficiënten, verzamelingen van getallen, die onder de wetten van de kwantummechanica tevoorschijn komen bij het koppelen van twee impulsmomenten.

CG-coëfficienten worden in de representatietheorie gebruikt, vooral met compacte Lie-groepen. De CG-coëfficienten geven de expliciete directe som decompositie van het tensorproduct van twee onherleidbare representaties (irreps) van de rotatiegroep in gevallen, waarin de getallen en typen onherleidbare representaties op abstract niveau al bekend zijn. De CG-coëfficienten danken hun naam aan de Duitse wiskundigen Alfred Clebsch (1833-1872) en Paul Gordan (1837-1912) die in de negentiende eeuw met een soortgelijk probleem in de invariantentheorie werden geconfronteerd.

In termen van de klassieke wiskunde kunnen CG-coëfficiënten, of althans degenen, die  gekoppeld zijn aan de groep SO(3), directer worden gedefinieerd door middel van formules voor het vermenigvuldigen van sferische harmonischen. De toevoeging van spins in kwantummechanische termen kan rechtstreeks worden afgelezen uit deze aanpak. De onderstaande formules maken gebruik van de bra-ketnotatie van de Britse natuurkundige Paul Dirac.

Er zijn tabellen met de numerieke waarden van de Clebsch-Gordan-coëfficienten.

Clebsch-Gordan-coëfficienten 
Clebsch-Gordan-coëfficienten zijn de expansiecoëfficienten van de eigentoestanden van het totale impulsmoment in een ongekoppelde tensorproductbasis.

Hieronder worden deze CG-coëfficienten precies gedefinieerd door de definitie van impulsmomentoperatoren, impulsmomenteigentoestanden en het tensorproduct van deze impulseigentoestanden.

Uit deze formele definitie van het impulsmoment kunnen recursierelaties voor de CG-coëfficienten worden gevonden. Om numerieke waarden voor de CG-coëfficienten te vinden moet er een faseconventie worden gekozen. In de rest van dit artikel wordt de faseconventie van Condon en Shortley gebruikt.

Impulsmomentoperatoren 
Impulsmomentoperatoren zijn Hermitische operatoren , ,
en  die voldoen aan de commutatierelaties

Met  de antisymmetrische tensor. Samen vormen deze drie operatoren een vectoroperator:

Zo kan men het inproduct van  met zichzelf definiëren:

En definiëren we de ladder operatoren:

Eigentoestanden van impulsmomentoperatoren 
Uit bovenstaande definities volgt dat  commuteert met , 
en 

Hieruit volgt dat  en  een simultane set eigenfuncties hebben.
Uit de definities volgt dat de enige mogelijke eigenwaarden worden gegeven door

De ladder operatoren verhogen en verlagen de waarde van 

met

De factor  ligt op een fasefactor na vast.
De keuze die hier aangehouden wordt is in overeenstemming met faseconventie van Condon en Shortley.
De eigentoestanden zijn orthogonaal en kunnen genormeerd worden gekozen:

Tensorproductruimte 
Zij  de  dimensionale vectorruimte opgespannen door

en  de  dimensionale vectorruimte opgespannen door

Het tensorproduct van de ruimten, ,
heeft een  dimensionale ongekoppelde basis

Impulsmomentoperatoren werkend op  zijn gedefinieerd door

en

De totaal impulsmomentoperator is gedefinieerd door

De componenten van de totaal impulsmoment operator voeldoen aan de commutatierelaties

Hieruit volgt dus dat de totaal impulsmoment operator daadwerkelijk een impulsmoment operator is,
en dat zijn mogelijke eigenwaarden en eigentoestanden gegeven worden door

Het aantal van totaal impulsmomenteigentoestanden is gelijk aan de dimensie
van 

De totaal impulsmomenttoestanden vormen een orthonormale basis van

Formele definitie van Clebsch-Gordan-coëfficienten 
De totale impulsmomenttoestanden kunnen worden geëxpandeerd door gebruik te maken van de volledigheidsrelatie in de ongekoppelde basis

De expansiecoëfficienten  worden Clebsch-Gordan-coëfficienten genoemd.

Door het toepassen van de operator

aan beide kanten van de vergelijking kan men laten zien
dat de Clebsch-Gordan-coëfficienten kunnen alleen ongelijk aan nul zijn als

Aangezien de maximale projectie gegeven wordt door  volgt uit de kwantisatie van impulsmoment dat .
Naast alle  toestanden met  kan men dit argument herhalen voor . Dit gaat echter niet eeuwig door, en met een beetje boekhouden vinden we dat moet gelden

Dit zijn de zogenaamde driehoeks relaties.

Recursierelaties 
De recursierelaties werden ontdekt door de natuurkundige Giulio Racah. Toepassen van de totale impulsmomentladderoperatoren

aan de linker kant van de vergelijking levert

Als men dezelfde operatoren aan de rechterkant toepast levert dit

op, waarbij

Combinieert men deze resultaten met elkaar, levert dit de recursierelaties op voor de Clebsch-Gordan-coëfficienten

Neemt men de  en  krijgt men

In de Condon en Shortley faseconventie is de coëfficient
 reëel en positief. Door gebruikmaken van de laatste vergelijking kan men alle andere CGC 
bepalen. De normalizatie is bepaald door de eis dat de som van de kwadraten, die met de norm van de toestand correspondeert
state , gelijk aan een moet zijn.

De andere coëfficient () in de recursierelatie kan worden gebruikt om alle CGC te vinden met . Door iteratief gebruik van deze vergelijking kan men alle coëfficienten bepalen.

Deze manier om de CGC te vinden, wijst erop dat ze allemaal reëel zijn, in de Condon en Shortley conventie.

Orthogonaliteit 
Door de faseconventie van Condon en Shortley zijn de CGC reëel en dus

Dan vinden we, met de resolutie van de identiteit , de relaties

en

Dit heeft tot gevolg dat de relatie

kan worden geïnverteerd. Dit geeft

Speciale gevallen 
Voor  worden de CGC gegeven door

Voor  en  hebben we

Voor  en  hebben we

Voor  hebben we

Symmetrie-eigenschappen

Relatie met 3-jm-symbolen 
CGC zijn uit te drukken in 3-jm-symbolen

en de inverse relatie

De 3-jm-symbolen hebben een hogere symmetrie.

Relatie met Wigner-D-matrices

Andere eigenschappen

Zie ook 
 Sferische harmonische
 Geassocieerde Legendrepolynoom
 Legendre-polynomen
 Impulsmoment
 Magnetisch kwantumgetal

Externe links 
 PDF tabel met Clebsch–Gordan Coefficienten, Spherische Harmonischen, en d-functies
 Clebsch–Gordan, 3-jm and 6-j coefficienten web calculator
 Downloadable Clebsch–Gordan Coefficient Calculator voor Mac en Windows
 Web interface voor tabulating SU(N) Clebsch–Gordan coefficienten

Literatuur 
  Quantum mechanics, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum’s Easy Oulines Crash Course, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN (10-)007-145533-7 ISBN (13-)978-007-145533-6
  Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2nd Edition), R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-873730
  Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addision Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 9780131461000
  Physics of Atoms and Molecules, B.H. Bransden, C.J.Joachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2
  The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
  Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
  McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3

Bron 
 

Kwantummechanica