Stelling van Herbrand-Ribet
In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Herbrand-Ribet een resultaat voor het klassegetal van bepaalde getallenlichamen. Het is een versterking van de stelling van Ernst Kummer in de zin dat het priemgetal  het klassegetal van het cyclotomisch veld van de -e eenheidswortel dan en slechts dan deelt, als  de teller van het -e Bernoulli-getal  deelt voor enige . De stelling van Herbrand-Ribet geeft in het bijzonder aan wat het betekent als  een deler is van zo'n .

De galoisgroep  van het cyclotomisch lichaam  van de -e eenheidswortels voor een oneven priemgetal  met  bestaat uit de  groepselementen , waar .

Als een gevolg van de kleine stelling van Fermat zijn er in de ring van -adische gehele getallen   eenheidswortels, die elk modulo  congruent zijn aan een van de getallen 1 tot en met . Wij kunnen daarom een Dirichlet-karakter  definiëren; (het Teichmüller-karakter) met waarden in  door te eisen dat voor  relatief priem met ,  modulo  congruent is met . Het -e deel van de klassegroep is een -module (aangezien het -primair is), dus een module over de groepsring . We definiëren voor elke  idempotente elementen van de groepsring, als

Het is relatief eenvoudig in te zien dat  en , waarin  de Kronecker-delta is. Dit stelt ons in staat de  gedeelten van de ideale klassegroep  van  op te breken door gebruik te maken van idempotente elementen; als  de ideale klasgroep is en :, hebben wij 

De stelling van Herbrand-Ribet stelt dat  dan en slechts dan niet-triviaal is als  deler is van het Bernoulli-getal  Het deel dat zegt dat  deelt op  als  niet triviaal is, is te danken aan Jacques Herbrand. Het omgekeerde, dat als  deler is van , dat dan  niet-triviaal is, is te danken aan Kenneth Ribet, en is aanzienlijk moeilijker.
 
Vanwege de klasseveldtheorie kan dit alleen maar waar zijn, als er een onvertakte uitbreiding van het veld  van -e eenheidswortels bestaat door een cyclisch uitbreiding van de graad , dat zich op de aangegeven wijze gedraagt onder de actie van Σ. Ribet bewijst dit door daadwerkelijk een dergelijke uitbreiding te construeren met behulp van methoden uit de theorie van de modulaire vormen. Een meer elementair bewijs van Ribets omkering van de stelling van Herbrand, een gevolg van de theorie van de Euler-systemen, kan worden gevonden in het boek van Washington
 
Ribets methoden werden verder ontwikkeld door Barry Mazur en Andrew Wiles, dit met het oog op het bewijs van het hoofdvermoeden van de Iwasawa-theorie, waarvan een corollarium een versterking van de stelling van Herbrand-Ribet betekent: de macht van de  die  deelt is precies gelijk aan de macht van  die de orde van  deelt.

Zie ook
Iwasawa-theorie

Voetnoten

Algebraïsche getaltheorie
Herbrand-Ribet