Topologische groep
In de wiskunde zijn de topologische groepen tegelijkertijd groepen en topologische ruimten zodanig dat de groepsstructuur en de topologische structuur compatibel zijn. Concreet betekent dit voor een groep  dat de vermenigvuldiging en de inversie continu zijn.

In deze definitie wordt de vermenigvuldiging opgevat als een afbeelding van het Cartesisch product , uitgerust met de producttopologie, naar  zelf.

Veel auteurs eisen dat  als topologische ruimte een Hausdorff-ruimte is.

De continuïteit van zowel vermenigvuldiging als inversie kan worden samengevat in de eis dat de afbeelding

continu is.

Voorbeelden 

 De reële rechte voorzien van de optelling is een abelse groep. Hierbij is de inversie gewoon de tekenwisseling, of nog, de vermenigvuldiging met min een. Deze twee bewerkingen zijn continu voor de standaardtopologie op de reële rechte. In het bijzonder hebben we een abelse topologische groep. Op een geheel analoge manier vormen de complexe getallen een abelse topologische groep voor de optelling.

 Beschouw de abelse groep  de vermenigvuldiging van reële getallen verschillend van 0. De bewerkingen (de vermenigvuldiging en de multiplicatieve inversie) zijn continu voor de standaardtopologie. In het bijzonder hebben we te maken met een topologische groep. Op een geheel analoge manier kunnen we  het complexe vlak zonder de oorsprong voorzien van de vermenigvuldiging en de standaardtopologie, bekijken als een topologische groep.

 De vorige twee voorbeelden zijn allebei Liegroepen. Elke Liegroep is vanzelf een topologische groep.

 Een afbeelding tussen discrete topologische ruimten is altijd continu, dus een discrete groep is een topologische groep.

 De triviale topologie  maakt van de groepsbewerking en de inversie continue afbeeldingen, maar voldoet niet aan de Hausdorff-eigenschap als  meer dan 1 element heeft.

 Een topologische vectorruimte is een topologische groep voor de optelling van vectoren. De meeste auteurs nemen de Hausdorff-eigenschap op als onderdeel van de definitie van een topologische vectorruimte. Aangezien de studie van topologische vectorruimten meestal over oneindigdimensionale reële of complexe vectorruimten gaat, zijn dit geen Liegroepen in de traditionele zin.

Constructies 

Merk op dat eenzelfde groep verschillende topologische structuren kan dragen en dus in principe aanleiding kan geven tot veel verschillende topologische groepen. Veronderstel bijvoorbeeld dat de groep  de reële rechte van hierboven, is. Dan is dit zoals vermeld een topologische groep voor de standaardtopologie. Indien we echter de discrete topologie op  leggen, verkrijgen we zoals net vermeld werd, ook een topologische groep. Deze objecten worden niet als equivalente topologische groepen beschouwd hoewel de onderliggende groepen duidelijk gelijk zijn. Voor de definitie van equivalentie, zie hieronder. Tenzij het duidelijk is welke topologie er op de groep  ligt, is het aangeraden ook de topologie  in de notatie te vermelden: 

 Veronderstel dat  een topologische groep is en dat  een deelgroep is van  Indien  voorzien wordt van de deelruimtetopologie  dan is  een topologische groep. Zo vormt de optelling van rationale getallen  een topologische deelgroep van  die niet discreet is en ook geen Liegroep.

 Veronderstel dat  een topologische groep is en dat  een normale deelgroep van  is. Indien de quotiëntgroep  van  door  voorzien wordt van de quotiënttopologie  dan is dit een topologische groep in de zin dat de groepsbewerking en de inversie continue afbeeldingen zijn. De Hausdorff-eigenschap voor de quotiëntruimte is gelijkwaardig met de eis dat de normale deelgroep ook gesloten is in de topologie van 

 Het direct product van twee topologische groepen, gedefinieerd als de directe som van de groepen uitgerust met de producttopologie, is opnieuw een topologische groep.

Morfismen 

 Een morfisme van een topologische groep (G,TG,*) naar een topologische groep (H,TH,.) is een morfisme van groepen van G naar H dat continu is voor de gegeven topologieen.

 Een isomorfisme van een topologische groep (G,TG,*) met een topologische groep (H,TH,.) is een morfisme van topologische groepen zodanig dat er een invers morfisme van topologische groepen bestaat. Concreet betekent dit: een isomorfisme van groepen dat tegelijkertijd een homeomorfisme van topologische ruimten is.

Beschouw nogmaals de twee voorbeelden van hierboven: (R,+) en (R0,*), met de evidente topologie. De exponentiële afbeelding van de eerste topologische groep naar de tweede, is een continu morfisme van groepen. De logaritmische afbeelding van de tweede naar de eerste, is ook een continu morfisme van groepen. Bovendien zijn deze exponentiële en  logaritmische afbeeldingen elkaars inverse. In het bijzonder hebben we te maken met isomorfismen van topologische groepen.

Eigenschappen 

In een topologische groep zijn de topologische en de algebraïsche structuren compatibel. Het is dus te verwachten dat ze elkaar gaan beïnvloeden, en dit is ook zo. Beschouw bijvoorbeeld de volgende elementaire eigenschappen van topologische groepen:

 De samenhangende component die het neutrale element bevat, is een normale deelgroep die zelfs gesloten is.

 Topologische groepen zien er in elk punt hetzelfde uit: elke translatie geeft een homeomorfisme van de groep. (Indien de groep niet abels is, hoeven de linker en de rechter translaties niet overeen te komen.) Ook de inversie geeft een homeomorfisme van de groep met zichzelf.

 Voor topologische groepen is de fundamentaalgroep altijd abels.

Noodzaak van de Hausdorff-eigenschap
De eis dat  een Hausdorff-ruimte () is, kan zonder beperking worden verzwakt tot de Kolmogorov-eis ; er geldt zelfs:

Zij  een groep met continue bewerkingen die aan het Kolmogorov-axioma  voldoet. Dan is  ook volledig regulier () en dus zeker Hausdorff.

Zij  een lokaal compacte groep die aan het Kolmogorov-axioma  voldoet. Dan is  paracompact en dus ook normaal ().

Er bestaan topologische groepen die niet normaal zijn.

Zie ook 

 Topologie en topologische ruimte.
 Groepen en groepentheorie.
 Compacte groepen en lokaal compacte groepen, topologische groepen met enkele interessante topologische eigenschappen.
 Liegroepen, groepen die niet alleen een topologie, maar zelfs een differentiaalstructuur toelaten.
 Topologische vectorruimten hebben een continue (en zelfs abelse) groepsbewerking, de optelling van vectoren.
 Morfismen, isomorfismen en homeomorfismen.

Topologie
Groepentheorie