Cirkelbundel
Een cirkelbundel is een verzameling cirkels waarbij de symbolische vergelijking van zo’n cirkel voor een reële waarde van  geschreven kan worden als:

Hierin zijn  en  symbolische vergelijkingen van twee verschillende, niet-concentrische gegeven cirkels  en , de basiscirkels van de bundel. De bundel wordt voortgebracht door de cirkels  en ; de cirkels  en  zijn de voortbrengende cirkels van de bundel.

De middelpunten van de cirkels van een cirkelbundel zijn collineair. De lijn door de middelpunten heet de centraal (ook wel as) van de bundel.

Er zijn drie soorten cirkelbundels, namelijk bundels bestaande uit:
 cirkels met twee gemeenschappelijke snijpunten;
 elkaar rakende cirkels;
 niet-snijdende (disjuncte) cirkels.

De cirkels van een cirkelbundel hebben een gemeenschappelijke machtlijn, die opgevat kan worden als een ontaarde cirkel van de cirkelbundel.
Cirkelbundels van soort 3 bevatten daarnaast twee ontaarde cirkels met straal 0 die de limietpunten van de bundel worden genoemd. Het raakpunt van een bundel van soort 2 kan worden opgevat als een ontaarde cirkel met straal 0 en is daarmee dan ook een element van de bundel.

Machtlijn 
Voor  gaat de symbolische vergelijking van de bundel over in:

Voor  geeft dit:

Omdat in deze vergelijking de termen met  en  ontbreken, is dit in het algemeen een lineaire vergelijking in  en/of  en daarmee dus de vergelijking een rechte lijn.

De uitdrukking  is de symbolische vergelijking van de gemeenschappelijke machtlijn van de bundel: de machtlijn van elk tweetal cirkels uit de bundel valt samen met de machtlijn van de bundel.

Voorbeeld

Machtlijn, centraal 
Gegeven zijn de cirkels  met vergelijkingen in een cartesisch assenstelsel:

De vergelijking van de machtlijn van de bundel die wordt voortgebracht door , is:

of:

De vergelijking van een cirkel uit deze bundel is dan voor zekere :

of:

Het middelpunt van deze cirkel heeft dan de coördinaten , waaruit blijkt dat de x-as de centraal is van deze bundel.

Limietpunten 
Voor het kwadraat van de straal  van een cirkel uit de bundel geldt:

Als  is – de cirkel is dan ontaard in een puntcirkel – geldt:

En daaruit volgt dan voor de coördinaten van de (reële) limietpunten  van deze bundel:

Verwante cirkelbundels 

De cirkels die de cirkels van een bundel loodrecht snijden, vormen eveneens een cirkelbundel. Deze tweede cirkelbundel en de gegeven cirkelbundel heten elkaars verwante. De verwante van een cirkelbundel van soort 1 is een cirkelbundel van soort 3 (en omgekeerd); de gemeenschappelijke snijpunten van de ene bundel zijn dan de limietpunten van de andere (zie bovenstaande figuur).
De verwante van een cirkelbundel van soort 2 is een cirkelbundel van soort 2 (zie de figuur hiernaast).

De gemeenschappelijke machtlijn van een cirkelbundel is de lijn door de middelpunten van zijn verwante cirkelbundel.

Constructie van een bundelexemplaar

Soort 1 en 2 
Zijn van een bundel van een van deze soorten één cirkel  (met middelpunt ) en de machtlijn  gegeven, dan is de constructie van een tweede bundelexemplaar  triviaal. Immers, de machtlijn bepaalt de twee gemeenschappelijke punten  en  c.q. het gemeenschappelijke raakpunt  van alle cirkels in zo'n bundel.

Constructiestappen
{|style="background-color:#FFEEEE;" valign="top"
|-
|1. Loodlijn(M, m) = c // dit is de centraal
|-
|2. PuntOp(c) = N // willekeurig
|-
|3. Cirkel(N, A) = K2
|}

De cirkel  is dan een exemplaar van de bundel die bepaald wordt door  en .

Soort 3 
In dit geval is de constructie iets ingewikkelder. Er wordt bij deze constructie gebruik gemaakt van de eigenschap van de machtlijn: alle punten van de machtlijn hebben gelijke raaklijnstukken aan de bundelexemplaren. Een bijzonder punt hierbij is het snijpunt  van de machtlijn en de centraal.

Constructiestappen
{|style="background-color:#FFEEEE;" valign="top"
|1. Loodlijn(M, m) = c
|
|7. PuntOp(Pc) = R2 // willekeurig
|-
|2. Snijpunt(m, c) = P
|
|8. Lijnstuk(P, R2) = p
|-
|3. Midden(P, M) = Q
|
|9. Loodlijn(R2, p) = n
|-
|4. Cirkel(Q, P) = H
|
|10. Snijpunt(n, c) = N
|-
|5. Snijpunt(en)(H, K1) = R1
|
|11. Cirkel(N, R2) = K2
|-
|6. Cirkel(P, R1) = Pc
|
|
|}		
N.B. De lijnstukken  en  zijn gelijke raaklijnstukken, opvolgend aan de cirkels  en .

De cirkel  is dan een exemplaar van de cirkelbundel die bepaald wordt door  en . De snijpunten  van de cirkel  met de centraal  zijn de limietpunten van de bundel. De cirkel  is de zogeheten Poncelet-cirkel van deze bundel.

Bundel van concentrische cirkels 
Als de x-as van het cartesische assenstel wordt gekozen als centraal van een cirkelbundel, kan de vergelijking van elk bundelexemplaar  met reële getallen  geschreven worden als:

De coördinaten van het middelpunt van zo'n cirkel zijn dan .
De machtlijn van die bundel is voor :

Zijn de cirkels concentrisch, dan is . De vergelijking van de machtlijn krijgt daardoor met  de gedaante:

De betekenis van deze relatie kan als volgt worden onderzocht.

Bij de loodrecht op de  staande willekeurige rechte lijn met vergelijking:

heeft het lijnstuk tussen de oorsprong en het snijpunt van die lijn met de  de lengte 
. De waarde van  wordt groter naarmate  kleiner wordt. Er geldt:

De hierboven met  aangegeven relatie kan dan worden opgevat als de "vergelijking" van een rechte lijn die een oneindig groot stuk van de (positieve of negatieve)  afsnijdt. Omdat deze lijn ook evenwijdig is met de, heeft die lijn twee verschillende oneigenlijke punten en is daarmee de oneindig verre rechte van het vlak.

Algemeen geldt: als van twee cirkels, waarvan de een geheel binnen de andere ligt, de middelpunten elkaar naderen, zal hun machtlijn steeds verder weg komen te liggen en voor concentrische cirkels overgaan in de oneindig verre rechte van het vlak.

Meetkunde