Tau-getal
In de getaltheorie is een -getal (uitgesproken als "tau-getal"; Eng. refactorable number) een natuurlijk getal dat deelbaar is door het aantal delers van dat getal (inclusief 1 en het getal zelf).

De functie  wordt meestal gebruikt om het aantal delers van een getal aan te geven. De definitie kan dan daarmee geformuleerd worden als:
 Een natuurlijk getal  is een -getal, als  (waarin het teken “” staat voor “is deelbaar op”).

Voorbeelden
 De delers van het getal  zijn: . Het aantal delers is , en  is deelbaar op . Dus is  een -getal.
 Het getal  heeft de volgende delers: . Dus: , en . Daarmee is  een -getal.
 De delers van  zijn: . Dus , en  is niet deelbaar op . Het getal  is daarmee geen -getal.

De eerste drieëndertig getallen in de rij met -getallen zijn:

Opmerking. In de wiskundige literatuur komt ook  (Eng. divisor sigma 0) voor als functie die het aantal delers van een getal geeft. Dus: .

Eigenschap van de functie  
 De functie  is een multiplicatieve functie, dat wil zeggen dat voor ieder tweetal natuurlijke getallen  die relatief priem zijn, geldt:
 = .
Is namelijk  (met  priem), dan is direct duidelijk dat  (de delers zijn: ). Is daarbij  (met  priem), dan is het aantal delers van  gelijk aan ; met andere woorden:

Voor een getal  dat is ontbonden in priemfactoren, , is dan:

Enkele eigenschappen van -getallen 
 Als de -getallen  relatief priem zijn, dan is  ook een -getal.
Bewijs. Dit volgt direct uit het feit dat de functie  een multiplicatieve functie is.
 Alle oneven -getallen zijn kwadraatgetallen (zoals de -getallen  en ).
Bewijs. Is  een oneven -getal, dan is voor iedere  het getal  een deler van . Dus is  oneven. Met andere woorden voor iedere  is  even. Met  is dan:
 
 Er zijn geen vier opeenvolgende -getallen.
 Het aantal paren -getallen  is (wellicht) oneindig groot:
 
 De natuurlijke dichtheid van de -getallen is gelijk aan .
 De vergelijking  heeft oplossingen.

Geschiedenis 
Cooper en Kennedy definieerden de -getallen in 1990 en toonden aan dat deze getallen een natuurlijke dichtheid nul hebben. In 1999 werden de getallen herontdekt door Colton met behulp van een computerprogramma dat hij had gemaakt om definities in de getaltheorie en de grafentheorie te beoordelen. Hij noemde de getallen “refactorable”. Hoewel computerprogramma’s al eerder bewijzen hadden opgeleverd, was dit een van de eerste keren dat een computerprogramma een nieuw concept ontdekte. Colton bewees onder andere dat er oneindig veel -getallen zijn.

Externe link 
 E.W. Weisstein: Divisor function. Op: MathWorld—A Wolfram Web Resource.

Bronnen 
 
  Over getallen gesproken. Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e, herziene druk (2016); pag. 344.

Noten 

Getaltheorie
Rij van gehele getallen