Passieve en actieve rotatie
Rotaties in de driedimensionale ruimte worden onderscheiden in actieve rotaties en passieve rotaties. Een object dat een actieve rotatie ondergaat, wordt daadwerkelijk gedraaid en neemt een nieuwe positie in de ruimte in. Een actieve rotatie wordt daarom ook alibitransformatie genoemd (alibi, elders). Ondergaat een object daarentegen een passieve rotatie, dan blijft het object zelf op z'n plaats in de ruimte, maar wordt zijn positie bepaald ten opzichte van een nieuw assenstelsel dat door de tegengestelde rotatie uit het oude assenstelsel is ontstaan. Een passieve rotatie heet daarom ook aliastransformatie (alias, andere naam).

In het nevenstaande plaatje worden de begrippen nog eens aanschouwelijk voorgesteld in een tweedimensionaal voorbeeld.

In de linkerfiguur wordt het punt P actief met de wijzers van de klok mee gedraaid over een hoek  naar het punt P'. Het punt P' heeft nieuwe coördinaten.

In de rechterfiguur blijft het punt P op z'n plaats, maar ondergaat een passieve rotatie doordat het assenstelsel tegen de wijzers van de klok in gedraaid wordt over een hoek  Als gevolg hiervan krijgt P ten opzichte van dit gedraaide assenstelsel ook nieuwe coördinaten.

Door in dit voorbeeld de passieve rotatie tegengesteld aan de actieve te kiezen zijn de nieuwe coördinaten in beide gevallen dezelfde.

Actieve rotatie
In de euclidische ruimte  vormen de eenheidsvectoren  het rechtshandige assenstelsel xyz.

De rotatie  wordt bepaald door de beelden van de eenheidsvectoren in het xyz-stelsel:

Een vector  wordt door de rotatie  actief afgebeeld op de vector 
,

waarin  de bij  behorende matrix is.

De coördinaten van het beeld kunnen berekend worden als:
,

d.w.z. als het matrixproduct van de matrix van de rotatie  met de vector .

Passieve rotatie
Bij een passieve rotatie  wordt een tweede rechtshandig assenstelsel, het XYZ-stelsel, gevormd uit het stelsel xyz door de actieve rotatie  in tegengestelde richting. De eenheidsvectoren in dit XYZ-stelsel zijn de geroteerde eenheidsvectoren van het xyz-stelsel:

De vector  in het xyz-stelsel heeft in het XYZ-stelsel de coördinaten , d.w.z.

Dus

of anders geschreven in matrixvorm

De nieuwe coördinaten zijn dus het matrixproduct van de matrix  van de rotatie  met de vector . Men zegt dat de vector  een passieve rotatie  heeft ondergaan.

Samenvatting
Bij een actieve rotatie  worden de objecten gedraaid; het beeld van een vector  is de vector . Bij een passieve rotatie  wordt het assenstelsel in tegengestelde richting gedraaid met de rotatie ; nu stelt  de coördinaten van een vector  ten opzichte van het gedraaide assenstelsel voor.

Noemt men het beeld van het punt P de nieuwe P, dan kan men kort zeggen: bij een actieve rotatie berekent men de coördinaten van de nieuwe P in het oude stelsel, en bij een passieve rotatie de coördinaten van de oude P in het nieuwe stelsel.

Verband
Het matrixproduct  van de matrix van de rotatie  met de vector  kan opgevat worden als een actieve rotatie en dan stelt dit product de geroteerde vector voor, of als een passieve rotatie en dan stelt dit product de coördiaten van  voor ten opzichte van het in tegengestelde richting geroteerde assenstelsel. 

Kiest men bij een passieve rotatie  de rotatie van het assenstelsel tegengesteld aan de rotatie bij een actieve rotatie , dan zijn de nieuwe coördinaten bij de actieve rotatie gelijk aan de nieuwe coördinaten bij de passieve rotatie. Dan is namelijk

en dus 

Let op het verschil tussen , de oude coördinaten van de "nieuwe" , en , de nieuwe coördinaten van (de oude) .

Voorbeeld
De onderstaande matrix  beschrijft een rotatie om de draaiingsas  over een hoek van 90°.

De vector  wordt actief gedraaid naar de vector . 

Bij een passieve rotatie met de draaiing  wordt het assenstelsel gedraaid met de tegengestelde rotatie :

en worden de nieuwe eenheidsvectoren gegeven door de kolommen van deze matrix.

De coördinaten van  ten opzichte van dit nieuwe stelsel worden gegeven door:
,

wat dezelfde getallen zijn als de coördinaten van  bij de actieve rotatie, maar met een andere betekenis. Bij de actieve rotatie betekent , dat 

,
terwijl bij de passieve rotatie de coördinaten de betekenis hebben:

Toepassing
Vooral in de robotica wordt de beweging van een object vaak beschreven aan de hand van een assenstelsel dat met het object verbonden is, een zogeheten lichaamseigen stelsel. Een verplaatsing van het object betekent dan, afgezien van een translatie, een passieve rotatie. Het assenstelsel waarin het object beweegt, bijvoorbeeld een aardgebonden assenstelsel, ondergaat dan een rotatie met betrekking tot het lichaamseigen stelsel. Bij meerdere objecten kunnen al die verschillende lichaamseigen stelsels snel  onoverzichtelijk worden. Het zal dan eenvoudiger zijn één vast aardgebonden stelsel te kiezen en de beweging van de objecten, weer afgezien van translaties, als actieve rotaties te beschrijven.

Literatuur
 Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, blz. 84, Addison-Wesley.

Externe links
Wheeler: ClassicalMechanics
Weisstein, Eric W. Mathworld: "Alibi transformatie of actieve transformatie"
Weisstein, Eric W. Mathworld: "Alias Transformatie of passieve transformatie"

 
Meetkunde