Carlylecirkel
Een carlylecirkel is een cirkel in de vlakke meetkunde die, ten opzichte van een vastgelegd rechthoekig coördinatenstelsel, verbonden is met een vierkantsvergelijking. De cirkel gaat door het punt (0,1) en de wortels van de vergelijking. De cirkel is genoemd naar de Schotse schrijver, historicus en wiskundige Thomas Carlyle (1795–1881).

Definitie 

Bij de vergelijking  is de cirkel die in het beschouwde rechthoekige coördinatenstelsel het lijnstuk  met  en  als middellijn heeft, de carlylecirkel van die vergelijking.

Analyse 
In de figuur rechts (fig. 1) is de carlylecirkel  getekend van de vierkantsvergelijking , dus met middellijn , waarbij  en . De punten ,  zijn de snijpunten van  met de -as en  is het middelpunt van . De punten  en  zijn de loodrechte projecties van  op respectievelijk de - en de -as.  is de loodrechte projectie van  op de -as. Omdat  recht is, ligt  op de cirlkel. Volgens de machtstelling voor een cirkel is:

Voor de -coördinaten  en  van respectievelijk  en  geldt dus:

Omdat  het midden is van het lijnstuk , en daarmee ook van het lijnstuk  is:
,
dus

 en  zijn dus inderdaad de wortels van de vergelijking .

Constructie van een regelmatige vijfhoek 

Toepassing van een carlylecirkel
Het construeren van een regelmatige vijfhoek is equivalent met het tekenen van de oplossingen  van de vergelijking
 in het complexe vlak. Deze oplossingen liggen alle op de eenheidscirkel en hebben een argument dat een veelvoud is van  (zie fig. 2).

Omdat  een oplossing is van die vergelijking, voldoen de andere oplossingen aan de vergelijking:

Het paar , en ook het paar , ligt symmetrisch ten opzichte van de reële as. Daarom zijn  en  reële getallen.

Omdat  volgt direct dat . Verder is , waaruit volgt dat  en  oplossingen zijn van de vergelijking . Bij die vergelijking hoort de carlylecirkel waarvan het punt  een eindpunt van een middellijn is. Met  is dan
 het middelpunt van die cirkel.

De punten  zijn dan te construeren als snijpunten van de middelloodlijn van het lijnstuk  met de eenheidscirkel, en  als snijpunten van de middelloodlijn van het lijnstuk  met de eenheidscirkel.

Opmerkingen
 Alle noodzakelijke constructiestappen kunnen bij een gegeven cartesisch assenstelsel met passer en (ongemerkte) liniaal worden uitgevoerd.
 Carlylecirkels kunnen ook worden gebruikt bij de constructie van de regelmatige 17-hoek, 257-hoek en de 65537-hoek. In deze gevallen is er evenwel sprake van een serie na elkaar te construeren carlylecirkels, met (steeds) ingewikkelder vierkantsvergelijkingen.

Zie ook 
 Zeventienhoek
 Tweehonderdzevenenvijftighoek
 Vijfenzestigduizend vijfhonderdzevenendertighoek

Literatuur 
  The Book of Numbers. New York (USA): Springer Verlag Inc.; pp. 181–210.
  Euclid’s Elements, Book IV, Prop. 11 (To inscribe an equilateral and equiangular pentagon in a given circle). Worcester (MA, USA): Department of Mathematics and Computer Science, Clark University.
  Revisiting Thomas Carlyle and Mathematics.  In: Carlyle Studies Annual, vol. 24; pp. 67–75. JSTOr

Externe links 
  Constructie van een regelmatige vijfhoek. Op: Dav Data.
  Carlyle Circle. Op: MathWorld − A Wolfram Web Resource.

Noten 

Meetkunde
Vlakke meetkunde
Veelhoek
Wiskundige vergelijking
Algebra