Symmetrische groep
In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is de symmetrische groep  van een eindige verzameling  met  elementen de groep van alle permutaties van . De groepsoperatie is de samenstelling van afbeeldingen. In plaats van  wordt de symmetrische groep van  ook wel genoteerd als . Aangezien er  permutaties zijn van  verschillende elementen, is de orde, het aantal elementen van de symmetrische groep  gelijk aan .

Iedere permutatiegroep van een verzameling met  elementen is een ondergroep van .

Voorbeeld 
De symmetrische groep  van alle permutaties van een verzameling met drie elementen, voor het gemak de verzameling {1,2,3}, bestaat uit de volgende zes permutaties:
 123, 132, 213, 231, 312, 321
In cykelnotatie zijn dat:
 (1)(2)(3), (1)(23), (12)(3), (123), (132) en (13)(2)  (de eerste is de identiteit)

Het product van 213 en 312 verkrijgt men door de beide permutaties achter elkaar uit te voeren: 213 o 312 = 321. In cykelnotatie: (12)(132) = (13).

Symmetrische groep versus symmetriegroep 
Het begrip 'symmetrische groep' moet wel worden onderscheiden van het begrip 'symmetriegroep'. Zo is bijvoorbeeld , met 24 elementen, de symmetrische groep van de verzameling hoekpunten van een vierkant, en de dihedrale groep , met 8 elementen, de symmetriegroep van die verzameling. De overige 16 permutaties zijn geen isometrieën.

O is algebraïsch de symmetrische groep , waarbij de elementen 1-op-1 overeenkomen met de permutaties van de lichaamsdiagonalen van de kubus.

Groepentheorie
Symmetrie