Toegevoegde operator
De operatorentheorie, een tak van het wiskundige studiegebied der functionaalanalyse, associeert met iedere continue lineaire operator tussen twee topologische vectorruimten een toegevoegde operator, ook wel geadjungeerde operator genoemd.

Definitie
Laat  en  topologische vectorruimten zijn en

een continue lineaire afbeelding.

Noteer  voor de duale topologische vectorruimte van  met de zwak-*-topologie. De elementen van  zijn de continue lineaire afbeeldingen van  naar zijn scalairenlichaam  (de reële of de complexe getallen). Zij  de duale van 

De toegevoegde operator  wordt gedefinieerd via de rechtse samenstelling met de transformatie 

Met andere woorden, voor een gegeven continue lineaire afbeelding

is de afbeelding  gedefinieerd door het functievoorschrift
.

Uit dit voorschrift volgen onmiddellijk de continuïteit en de lineariteit van
 Men kan ook aantonen dat de aldus gedefinieerde toegevoegde operator  een continue lineaire afbeelding is.

Genormeerde vectorruimte
Als  en  genormeerde vectorruimten zijn, dan kunnen de duale vectorruimten  en  ook worden opgevat als genormeerde vectorruimten. De hierboven gedefinieerde toegevoegde operator  is eveneens continu ten opzichte van deze normen, en

Geconjugeerde getransponeerde matrix
Als  en  eindigdimensionaal zijn, met dimensies respectievelijk  en  en voor beide wordt een vaste basis gekozen, dan is elke lineaire afbeelding van  in  continu en wordt deze uniek bepaald door een -matrix.

Ten opzichte van de canonieke duale bases van de duale ruimten wordt een lineaire afbeelding bepaald door de matrix  de geconjugeerde getransponeerde van de matrix  ten opzichte van de oorspronkelijke bases.

Hilbertruimten
Als  en  (pre-)hilbertruimten zijn, dan zijn ze beide uitgerust met een inproduct. Het inproduct zorgt voor een natuurlijke identificatie van de ruimte met haar duale:

In complexe hilbertruimten () geldt de bijkomende complicatie dat het inproduct niet symmetrisch, maar Hermitisch is, zie ook hierboven.

Zelftoegevoegde continue operator
Als  een continue lineaire transformatie is van een hilbertruimte (), dan kunnen  en  met elkaar vergeleken worden. In het eindigdimensionale geval komt dit overeen met vierkante matrices.

Men noemt  zelftoegevoegd als

Onbegrensde operatoren in een hilbertruimte
De kwantummechanica maakt vaak gebruik van lineaire transformaties van een deelverzameling van de hilbertruimte die niet kunnen worden uitgebreid tot continue lineaire transformaties van de gehele hilbertruimte. Bekende voorbeelden zijn de Laplace-operator  in  en algemener de meeste Schrödinger-operatoren.

Als

een (niet noodzakelijk continue) lineaire afbeelding is van een deelvectorruimte  van de hilbertruimte naar diezelfde hilbertruimte, en het domein  van  is topologisch dicht in  dan kan men nog steeds de toegevoegde operator  definiëren met het voorschrift

Het domein van  bestaat uit de vectoren  waarvoor het linkerlid een continue lineaire functionaal in  oplevert.

Men kan aantonen dat  een gesloten operator is, dat wil zeggen dat zijn grafiek

een gesloten deelverzameling is van .

Als  zelf een gesloten, dicht gedefinieerde operator is, dan is  eveneens dicht gedefinieerd:
,
en in dat geval is de toegevoegde van  opnieuw  zelf:
.

Symmetrische onbegrensde operator
 heet symmetrisch als
 en .

Zelftoegevoegde onbegrensde operator
 heet zelftoegevoegd als
 en .

Functionaalanalyse
Lineaire algebra