Hypergeometrische functie
In de wiskunde vormen de hypergeometrische functies een familie van speciale functies die de  oplossingen zijn van een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking en als generalisatie van de meetkundige reeks beschouwd kunnen worden.

Onder de hypergeometrische functies zijn als speciale gevallen veel belangrijke functies, zoals de exponentiële functie en de goniometrische functies.

Definitie 
De hypergeometrische functies vormen een familie, geparametriseerd door de getallen  en de reële getallen  en  , van functies die voor  gedefinieerd zijn door
.

Daarin is  de gammafunctie. 

Een andere schrijfwijze voor de functies is:

met

Met behulp van het (stijgende) pochhammersymbool , gedefinieerd als:

,

kan men voor de functies ook schrijven:

Voorbeelden

, waarin  de besselfunctie is.

, met  de gemodificeerde besselfunctie.

, waarin  de onvolledige gammafunctie voorstelt.

Geschiedenis
Tot ongeveer 1870 werd de naam hypergeometrische functie alleen gebruikt voor 2F1. Carl Friedrich Gauss beschreef voor het eerst een groot aantal eigenschappen van deze functies in zijn doctoraatsthesis in 1812, hoewel Leonhard Euler en Johann Friedrich Pfaff tevoren al merkwaardige eigenschappen hadden ontdekt.

Literatuur 
 Eduard Heine: Handbuch der Kugelfunctionen S. 91 Georg Reimer, Berlin, 1861.
 Felix Klein: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion Springer, Berlin.
 Ludwig Bieberbach: Theorie der Differentialgleichungen Springer, Berlin, 1930.

Weblinks 
 Hypergeometric Function in NIST Digital Library of Mathematical Functions

Wiskundige functie