Minimale polynoom (galoistheorie)
In de galoistheorie, een deelgebied van de wiskunde, is bij een gegeven getal  de minimale polynoom de irreducibele polynoom van de laagste graad, waarvan  een nulpunt is. Als is gegeven dat  een algebraïsch getal is, is de minimale polynoom van  uniek bepaald. Getallen die geen algebraïsch getal zijn, die geen nulpunt zijn van een polynoom, hebben dus ook geen minimale polynoom. De coëfficiënt voor de hoogste macht van de variabele van de minimale polynoom is 1, of anders: de hoogste macht van de variabele van de minimale polynoom heeft geen coëfficiënt.

Bestaan 
Veronderstel dat  de galois-uitbreiding is van een lichaam/veld  en stel . Als  algebraïsch is over , is de verzameling van alle polynomen

een niet-nul ideaal in . Hieruit volgt dat deze verzameling wordt voortgebracht door een unieke monische polynoom , dus met de coëfficiënt van de hoogste macht van  gelijk aan 1. Deze polynoom wordt de minimale polynoom van  over  genoemd en genoteerd met  of met .

Dit is erop gebaseerd, dat de polynoom van  over  de enige monische irreducibele polynoom in  is, waarvan  een nulpunt is.

Voorbeeld 
Zij  met . Beschouw . Deze polynoom is irreducibel want hij heeft, wegens de keuze van , geen nulpunten in . Hieruit volgt dat  de minimale polynoom is van  over . In het bijzonder geldt dat  een lichaam/veld is.

Referenties

Veelterm
Galoistheorie