Gröbner-basis
In de computeralgebra, de computationele algebraïsche meetkunde en de computationele commutatieve algebra is een gröbner-basis in de ring  van veeltermen in  veranderlijken over een lichaam/veld  een bijzonder soort voortbrengende deelverzameling van een ideaal .  

Men kan het begrip gröbner-basis zien als een niet-lineaire generalisatie in meerdere veranderlijken van:

 het algoritme van Euclides voor de berekening van grootste gemene delers (van veeltermen in één veranderlijke),
 gauss-eliminatie voor lineaire systemen, en
 problemen uit de geheeltallige programmering.

De theorie van gröbner-bases voor veeltermringen werd in 1965 ontwikkeld door Bruno Buchberger. Buchberger noemde de gröbner-basis naar zijn promotiebegeleider Wolfgang Gröbner. De "Association for Computing Machinery" kende Buchberger in 2007 de "Paris Kanellakis Theory and Practice Award" toe voor dit werk.

Een analoog concept voor lokale ringen werd in 1964 onafhankelijk ontwikkeld door Heisuke Hironaka. Hironaka noemde zijn constructie standaardbasis. De analoge theorie voor vrije Lie-algebra's werd in 1962 ontwikkeld door A.I. Shirshov, maar diens werk  bleef buiten de Sovjet-Unie grotendeels onbekend.

Monomiale ordening 
In bronnen over computeralgebra wordt het woord eenterm meestal gebruikt voor een product van machten van veranderlijken met coëfficiënt 1, dus in de betekenis 'monische eenterm'. De constante 1 is dan de enige eenterm van de graad nul. Deze terminologie komt overeen met de alternatieve definitie van het Wikipedia-artikel eenterm.

De definitie van een gröbner-basis veronderstelt dat op voorhand een monomiale ordening ">" van  wordt gegeven. Dat is een welordening op de verzameling eentermen die verenigbaar is met de vermenigvuldiging van eentermen in de zin dat als  en  eentermen zijn en , dan ook .

Als een monomiale ordening gegeven is, heet de leidende term  van een veelterm  (die niet de nulveelterm is) de term van  waarvan de overeenkomstige eenterm (de term zonder zijn coëfficiënt) groter is dan alle andere eentermen van .

Voorbeeld van een monomiale ordening 
De lexicografische ordening rangschikt eentermen volgens dalende graad in de eerste veranderlijke. Als twee eentermen dezelfde graad hebben in , rangschikken we ze volgens dalende graad in de tweede veranderlijke, enzovoort. Als twee eentermen dezelfde graad hebben in alle veranderlijken afzonderlijk, zijn ze aan elkaar gelijk. Voorbeeld

Op een omkering van het <-teken na is dit het klassieke begrip lexicografische orde als we de verzameling eentermen in  veranderlijken identificeren met het cartesische product van  kopieën van de natuurlijke getallen, dus als we elke eenterm identificeren met de geordende rij van zijn exponenten.

Voorbeeld van een leidende term 
In de lexicografische ordening is de leidende term  van de veelterm

gelijk aan

Definitie 
Zij > een monomiale ordening van , en  een ideaal van die ring. Een eindige deelverzameling  van  heet gröbner-basis voor  ten opzichte van de ordening > als het ideaal voortgebracht door de leidende termen van de elementen van  ook al wordt voortgebracht door de leidende termen van de .

Anders gezegd: een gröbner-basis is een eindige verzameling  veeltermen van  zodat voor elke veelterm  van  (behalve 0),  deelbaar is door minstens een van de .

Voorbeeld en tegenvoorbeeld 

Zij  de ring der veeltermen in twee veranderlijken met rationale coëfficiënten, en beschouw het ideaal  voortgebracht door de veeltermen

Twee andere elementen van  zijn de veeltermen

Als we de lexicografische ordening met  hanteren, geldt

Het ideaal voortgebracht door  bevat alleen veeltermen die deelbaar zijn door  en
daar is  niet bij; daaruit volgt dat  geen gröbner-basis is voor .

Daarentegen kan men als volgt nagaan dat  wel degelijk een gröbner-basis is voor .

Merk daartoe op dat  en , en dus ook  en  en alle andere veeltermen in het ideaal , de volgende drie nulpunten in het -vlak gemeenschappelijk hebben, zoals aangegeven in de figuur: {(1,1),(-1,1),(0,0)}. Die drie punten liggen niet op één lijn, dus  bevat geen enkele veelterm van de eerste graad.

Ook kan  geen veeltermen bevatten van de bijzondere vorm

met  een rationaal getal verschillend van 0 en  een veelterm waarin alleen de veranderlijke  voorkomt; immers, een dergelijke veelterm  kan nooit twee verschillende nulpunten hebben met dezelfde waarde voor  (in dit geval de punten (1,1) en (-1,1)).

Uit dit alles volgt dat  behalve de nulveelterm alleen veeltermen bevat waarvan de leidende term minstens graad 2 heeft, en dus
is hun leidende term deelbaar door minstens een van het drietal

Dat betekent dat  een gröbner-basis is voor  ten opzichte van de lexicografische ordening met .

Eigenschappen 
De basisstelling van Hilbert zegt dat alle idealen in  eindig voortgebracht worden. Men kan aantonen dat voor een willekeurige gegeven monomiale ordening ieder niet-triviaal ideaal een gröbner-basis heeft. De naam gröbner-basis wordt verantwoord door de eigenschap dat iedere gröbner-basis een basis (d.w.z., een voortbrengende verzameling) is.

Externe links 
 , Groebner Bases: A Short Introduction for Systems Theorists in Proceedings of EUROCAST 2001.
  en  Gröbner Bases Bibliography.
 Online Gröbner Basis, Galway, Éire
 Java applet for computing Gröbner bases door Fabrizio
 Gröbner Basis Theory Leicester University
 Gröbner-basis op MathWorld

Algebraïsche meetkunde
Commutatieve algebra