LINEAIRE PROGRAMMERING, KOSTEN- EN KOSTPRIJSBEREKENING
LINEAIRE PROGRAMMERING,
KOSTEN- EN KOSTPRIJSBEREKENING
door Prof. Dr. A. Bosman
1.
Inleiding

De ontwikkeling van de bedrijfseconomie ondervindt de laatste twee decen­
nia een grote invloed van veranderingen die buiten het vak zelf plaats vinden.
Als zodanig kunnen worden genoemd: de toenemende belangstelling van de
gedragswetenschappen, in het bijzonder de sociologie en de psychologie,
voor het werkterrein van de bedrijfseconomie, de organisatie, en de opkomst
van een aantal, niet-kenobject-gebonden, wetenschappen als het operationeel
onderzoek, de cybernetica en de systeemtheorie. Naast de ontwikkeling in
andere wetenschappen moet in dit verband ook worden genoemd de op­
komst van de rekenautomaat. Ongetwijfeld hebben deze veranderingen in­
vloed uitgeoefend op de ontwikkeling van de bedrijfseconomie en ze zullen
dit in de komende jaren zeker ook blijven doen. Het min of meer hechte
bouwwerk dat door Limperg en de aanhangers van zijn theorie werd op­
gebouwd, vertoont op zijn minst tekenen van desintegratie. Bij velen komt
de bedrijfseconomie op dit moment over als een verzameling van hypothe­
sen. Voor zover deze niet zijn geverifieerd en dat geldt voor vele, beschouwt
de niet wetenschappelijk geschoolde waarnemer ze als kreten. We kunnen in
dit artikel niet ingaan op de oorzaken die tot deze situatie hebben geleid,
noch veel aandacht besteden aan mogelijke remedies.1) We zullen ons beper­
ken tot een bespreking van één van de gevolgen van de genoemde verande­
ringen en daarbij aangeven hoe deze in de bedrijfseconomie kan worden
ingepast. Door deze inpassing krijgt de theorie meer inhoud in die zin, dat
het empirisch gehalte ervan wordt verhoogd, terwijl tevens een toepassings­
mogelijkheid voor de rekenautomaat wordt geschapen.
 De bedrijfseconomie bestudeert de beslissingen in organisaties die betrek­
king hebben op het beschikken over schaarse, alternatief, aanwendbare mid­
delen. De door Limperg c.s. opgebouwde theorie beperkt zich daarbij voor­
namelijk tot de beslissingen die genomen worden in de top van de leiding­
gevende structuur. Het door ons zojuist bedoelde gevolg is dat in de bedrijfs­
economie meer en meer aandacht wordt besteed aan de beslissingen die in de
lagere leidinggevende structuur van de organisatie worden genomen. Een van
de redenen daarvoor is het feit dat we nu beschikken over technieken waar­
mee het mogelijk is deze beslissingen te programmeren.2 ) Het gevolg hiervan
is weer dat we in staat zijn een deel van de informele organisatie te formalise­
ren. De vraag of dat wel of niet moet gebeuren, zullen we in dit artikel niet
beantwoorden. Alvorens die vraag kan worden beantwoord, zal, naar onze
mening, eerst moeten worden aangegeven hoe de relaties moeten worden
*) Voor een bespreking van die oorzaken en de gevolgen voor de bedrijfseconomie zie A. Bosman:
„Het handelen in de economie, I t/m IV,” Maandblad voor Bedrijfsadministratie en -Organisatie, jrg.
76 (1972), nrs 905, 908 en 909, jrg. 77 (1973), nr. 910.
2)
Voor het begrip programmeerbaar, zie H. A. Simon: The New Science o f Management Decision,
New York 1960.
 m a b blz. 181

gelegd tussen de beslissingsregels in de formele structuur en de programmeer­
bare in de informele structuur. Het leggen van die relaties heeft gevolgen
voor de wijze waarop we de regels in de formele structuur definiëren, althans
men moet ervan uitgaan dat de regels in de formele structuur de mogelijk­
heid moeten bezitten om het leggen van die relaties mogelijk te maken. We
zullen in paragraaf 2 nader ingaan op de vraag welke veranderingen bij de
kosten- en kostprijsberekening ontstaan, indien we relaties willen aanbrengen
met de beslissingen in de informele structuur. In paragraaf 3 zullen we aan­
tonen dat het m.b.v. de techniek der lineaire programmering (l.p.) mogelijk is
deze veranderingen te bewerkstelligen. In paragraaf 4 zullen we de gevolgen
van de toepassing van l.p. voor de berekening van kosten en kostprijs behan­
delen.
2.
De sluier van de aggregatie - het begrip normaal

Indien we de programmeerbare beslissingen uit de informele organisatie in de
bedrijfseconomie gaan bestuderen, gaan we ons bezig houden met beslis­
singen die voornamelijk betrekking hebben op in realia gedefinieerde groot­
heden. Immers het gaat om beslissingen t.a.v. de grootte van voorraden in
hoeveelheden, de opeenvolging van activiteiten over produktiefactoren, de
grootte van het overwerk in uren etc. Op dit punt verschillen deze beslis­
singen van die, welke in de bedrijfseconomie gebruikelijk worden bestudeerd.
Deze hebben voornamelijk betrekking op in geld gedefiniëerde grootheden.
 Willen we nu de in de inleiding bedoelde relaties leggen, dan zullen we
derhalve zeker het probleem van de omschakeling van in realia gedefiniëerde
naar in geld gedefiniëerde grootheden ontmoeten. Dit is in de economie een
bekend probleem, dat veelal d.m.v. aggregatie wordt opgelost. Aggregatie
betekent het reduceren van een verzameling gegevens tot één o f enkele. Zo
kan men een reeks getallen door optellen in één getal, de som, samenvatten.
Optellen is dan ook één van de meest toegepaste vormen van aggregatie in de
economie. Door aggregatie gaat ongetwijfeld informatie verloren, omgekeerd
echter zijn we ook in staat m.b.v. aggregatie nieuwe informatie te verkrij­
gen.3 ) In de kosten- en kostprijsberekening in de bedrijfseconomie heeft men
het probleem van de vertaling van in realia gedefiniëerde naar in geld gedefi­
niëerde grootheden niet opgelost d.m.v. aggregatie, maar door gebruik te
maken van een zgn. ideaalconstructie. Bij de ideaalconstructie wordt het
beeld van de werkelijkheid niet gevormd door van metingen van grootheden
uit die werkelijkheid zelf uit te gaan, maar door die grootheden te definiëren
veelal aan de hand van een ideale constructie. In de bedrijfseconomie is het
vooral het begrip normaal dat dienst doet voor het construeren van deze
ideaalbeelden. Zo worden de voor de kostprijsberekening relevante kosten
gevonden door uit te gaan van de begrippen normale bedrijfsdrukte en meest
geëigende produktiemethode. Het loslaten van de aggregatie betekent in de
kostprijsterminologie dat men werkt met standaarden die niet zijn bepaald

3) Bekende voorbeelden daarvan geeft de statistische analyse.
 m a b hlz. 182

op basis van in het verleden opgeofferde hoeveelheden produktiefactoren.4 )
Dat betekent dat men in de bedrijfseconomie de parameters van de produktiefunkties wil bepalen d.m.v. een planningprocedure. Immers voor het geven
van een inhoud aan een kostenfunktie zal men de parameters van de achter­
liggende produktiefunkties moeten kennen. We kunnen aannemen dat deze
door de techniek worden bepaald en d.m.v. een analyse van de organisatie
kunnen worden vastgesteld. De planningprocedure is dan noodzakelijk om
aan te geven op welke wijze de produktiefunkties kunnen worden geaggre­
geerd tot kostenfunkties. Aan de inhoud van deze planningprocedures is in
de bedrijfseconomie in het kader van de kostenberekening bijzonder weinig
aandacht besteed. Alle kostprijsberekeningsmethoden gaan uit van een ge­
geven kostenfunktie. Afgezien van enkele beschouwingen over een mogelijke
toepassing van de isoquantenanalyse ontbreekt in de standaardleerboeken in
de bedrijfseconomie elke bespreking van methoden voor de bepaling van de
kostenfunktie. Met andere woorden het begrip meest geëigende produktiemethode wordt wel gedefinieerd c.q. genoemd, maar de wijze waarop het van
een inhoud zou moeten worden voorzien wordt niet besproken.5)
We hebben in de inleiding gesteld dat er relaties moeten worden gelegd
tussen de programmeerbare beslissingen in de informele organisatie en de
procedures voor het nemen van beslissingen in de formele organisatie.
Spitsen we deze vraagstelling toe op de kosten- en kostprijsberekening dan
zal een antwoord moeten worden gegeven op de vraag welke beslissingen
m.b.v. kosten en kostprijzen worden genomen. In de bedrijfseconomie wor­
den drie gebieden onderscheiden waarbij kosten en kostprijs voor het nemen
van beslissingen kunnen worden gehanteerd.
Deze drie gebieden zijn:
a. de bepaling van de verkoopprijs,
b. de produktieplanning,
c. de controle op de uitvoering.
 Voor de beslissingen die in deze drie gebieden moeten worden genomen
kan men niet volstaan met de informatie die de in de bedrijfseconomie
gebruikelijke kosten- en kostprijsberekening ter beschikking stelt. We zullen
dit nader aantonen voor het onderdeel b.6 )
In de produktieplanning gaat het in eerste instantie en vooral om het
nemen van beslissingen die betrekking hebben op in realia gespecificeerde
variabelen en op de specificatie van de uitvoering. We denken hier aan beslis­
singen t.a.v. de ordening van de uitvoering van activiteiten en de tijdsbepaling
daarvan. Deze detailproduktieplanning legt als het ware, rekening houdende
4) Ter voorkoming van misverstanden wijzen we erop dat ook in het geval van de ideaalconstructie
kosten worden gevormd door de som van hoeveelheden opgeofferde produktiefactoren per periode of
order maal hun respectieve prijzen. Uiteraard vindt er in dat geval ook aggregatie plaats. De aggregatie
is nu echter hulpmiddel voor het rekenen en geen uitgangspunt van de redenering.
5) Het begrip meest geëigende produktiemethode wordt gehanteerd door J. L. Mey: Leerboek der
bedrijfseconomie, dl. I, Den Haag 1960; anderen (bijv. Van der Schroeff) gebruiken in dit verband de
term gunstige, optimale of doelmatige kwantitatieve verhoudingen.
6) Voor een bespreking van de redenen waarom dit voor de andere twee gebieden niet kan, wordt
de lezer verwezen naar A. Bosman: „Voorwaarden voor het gebruik van de kostprijs bij het nemen van
beslissingen”, Marketing, handboek voor commerciële beleidsvraagstukken, red. B. G. Klein Wassink en
H. J. Kuhlmeijer, Deventer 1969.
 m a b blz. 183

met een aantal randvoorwaarden, de stap voor stap uitvoering van het produktieproces vast in een plan. Voor ons vooral van belang is de vraag wie en
hoe de randvoorwaarden noodzakelijk voor de opstelling van het detailplan
worden gespecificeerd. Deze randvoorwaarden worden, voor zover ze geen
exogene variabelen zijn, bepaald in het globale plan. Recente onderzoekingen
op het gebied van de produktieplanning hebben drie belangrijke zaken aan­
getoond.7)
a. Alhoewel het detail- en het globale plan als het ware twee zijden van
dezelfde medaille zijn, kunnen ze niet simultaan worden opgesteld.
b. Gegeven de noodzaak tot deze kunstmatige scheiding en de sterke samen­
hang die er bestaat tussen de variabelen in beide plannen is het onjuist om
te vooronderstellen, zoals meestal in de literatuur gebeurt, dat het globale
plan kan worden opgesteld los van het detailplan.
c. Bij de opstelling van het detailplan kan geen optimale oplossing worden
gevonden.
 Gezien de sterke samenhang tussen globaal- en detailplan betekent dit dat
aan de begrippen normale bedrijfsdrukte en meest kwantitatieve verhou­
dingen, die in de planningprocedure een inhoud krijgen, geen zodanige bete­
kenis kan worden toegekend dat ze een kostprijs zouden opleveren in de
vorm van een minimum minimorum.8 )
Dit betekent dat de basis voor het construeren van ideaalbeelden komt te
vervallen. De vraag rijst of dat ook betekent dat we voor de berekening van
kosten en kostprijzen moeten terugvallen op de normale aggregatiemethoden, d.w.z. het bepalen van standaards op basis van gemiddelden? We menen
de vraag ontkennend te moeten beantwoorden. Wel zijn we van mening dat
het idee van de ideaalconstructie moet worden losgelaten en dat het moet
worden vervangen door een constructie waarbij het mogelijk is om zowel de
wijze waarop het beeld van de werkelijkheid wordt gevormd en geanalyseerd
als de kwaliteit van het beeld zelf te toetsen. We zullen in dit artikel alleen
aan het eerste punt aandacht besteden en in de volgende paragraaf één van de
methoden voor de constructie en analyse van het beeld bespreken. We gaan
daarbij uit van de volgende uitgangspunten, die voor een belangrijk deel de
keuze van de wijze van benadering bepalen.
 We vooronderstellen dat de variabelen in het detailplan in realia zijn
gedefiniëerd. Een gevolg van dit feit, in samenhang met de zojuist genoemde
drie zaken, is:
1 dat het keuzeprobleem bij de opstelling van het detailplan niet wordt
opgelost d.m.v. een waardefunktie, maar door het hanteren van bepaalde
richtlijnen. Door middel van de relaties tussen de procedures voor het opstel­
len van het globale- en het detailplan moet worden aangegeven welke richt7) In het kader van dit artikel kunnen we het bewijs voor deze stellingen niet geven. De lezer wordt
daarvoor verwezen naar A. Bosman: Systemen, planning, netwerken, Leiden 1969, maar vooral naar J.
H. Mize, C. R. White en J. H. Brooks: Operations Planning and Control, Englewood Cliffs 1971, die op
deze punten uitvoerig ingaan.
8) Op dit punt bestaat er ook in de bestaande bedrijfseconomische literatuur verschil van mening,
J. L. Mey, t.a.p., gaat ervan uit dat de kostprijs een minimum minimorum is. Van der Schroeff gaat uit
van een minimum, maar gezien de randvoorwaarden die hij hanteert, zal dit veelal een locaal minimum
zijn.
 m a b blz. 184

lijnen onder welke omstandigheden het beste funktioneren. Daarvoor zal het
noodzakelijk zijn dat we bij de procedures voor de opstelling van het globale
plan wel kunnen beschikken over een waardefunktie;
2 dat de relaties tussen globaal- en detailplan zijn gespecificeerd in realia. Is
dat niet het geval dan zal het probleem van de sluier van de aggregatie
ontstaan, waardoor een goede afstemming niet kan worden gevonden, maar
het tevens niet mogelijk is via een tweetrapsproces bij de opstelling van het
detailplan gebruik te maken van de waardefunktie bij het globale plan;
3 dat de twee trappen in de planning en het ontbreken van een waarde­
funktie bij de opstelling van het detailplan het wenselijk maken dat de resul­
taten van het detailplan kunnen worden vertaald in geaggregeerde groothe­
den.910) Bij de kosten- en kostprijsberekening zullen dit veelal in geld gedefïniëerde grootheden zijn. We zullen in paragraaf 4 laten zien hoe dit, gegeven
het voorstel in paragraaf 3, kan worden uitgevoerd.
3.
Het globale plan, lineaire programmering

Het grote verschil tussen een globaal plan, gespecificeerd voor het oplossen
met l.p., en een detailplan is dat in het globale plan een aggregatie plaats
vindt van een groot aantal taken, die in het detailplan afzonderlijk zijn
gespecificeerd.15) Gezien de specificatie vereist voor l.p. zal die aggregatie
veelal plaats vinden naar de produktiefactoren. Het volgende voorbeeld licht
dit toe.
 Figuur 1

In figuur 1 is een netwerkspecificatie gegeven van de produktie van een
bepaald artikel. Bij elke activiteit (pijl) zijn twee getallen en één letter ver­
meld. De letters geven groepen produktiefactoren weer, bestaande uit een
9) Naar onze mening is dit niet alleen een zaak van wenselijkheid, maar een noodzakelijkheid. Aan
dit punt wordt merkwaardigerwijs in de literatuur, en met name in die over de zgn. management
informatiesystemen, weinig of geen aandacht besteed. Dit is daarom merkwaardig omdat juist in die
literatuur veel aandacht wordt geschonken aan de samenhang tussen beslissingsprocedures. Juist voor
een goede waardering van de procedures bij de detailplanning is het noodzakelijk dat men de resultaten
ervan in een groot verband, en dat zijn de totale kosten, kan plaatsen. Uitkomsten als reduktie van
wachttijden, verkorten van wachtrijen, het halen van de leveringsdatum zeggen, zonder bijbehorende
vertaling naar de kosten, weinig of niets. Een auteur die ook met nadruk op dit punt wijst is Boyd, zie
D. F. Boyd: „Enterprise Models: A New Management Technique”, Management o f production, ed. M.
K. Starr, Penguin modern management Reading 1970 en D. F. Boyd en H. J. Krasnow: „Economie
Evaluation of Management Information Systems”, Management information systems, ed. T. W.
McRae, Penguin modern management Readings 1971.
10) In de terminologie van de netwerkplanningtechnieken noemen we die taken activiteiten.
m a b blz. 185

combinatie van twee, terwijl de cijfers aangeven hoe lang de twee produktiefactoren per groep voor de uitvoering van de activiteit worden gebruikt. We
nemen aan dat het tijdbeslag in uren is gedefinieerd. Aggregatie zou volgens
tabel I, kunnen plaatsvinden.
 Tabel I
machinegroep11)

a

b
produktiefactor (beslag in uren)

activiteiten

i

2

1.2
1.3
2,4
3,5
4,6
5,6
5,7
6,8
7,8

i

2

2

8

totaal

8

1

2

3

4

7
1

3
4

1

2

5

5

1
3

5
1

9

11

2

11

12

11

11

We kunnen nu m.b.v. de totalen in tabel I een specificatie voor een l.p.
opstelling maken. Bij de opstelling van die specificatie moeten we ons realise­
ren welk doel we er mee willen realiseren. Dat doel is een zojuist mogelijke
toewijzing van de beschikbare produktiefactoren aan de verschillende eind­
produkten. Een kenmerk van de complexe situatie in produktieprocessen is
dat het grootste deel van de produktiefactoren niet rechtstreeks is gekoppeld
aan de fabricage van een eindprodukt, maar dat die koppeling indirect plaats
vindt via de fabricage van onderdelen of halffabrikaten. We zullen derhalve
twee soorten relaties moeten onderscheiden, nl. de relaties tussen de fabri­
cage van onderdelen, halffabrikaten, eindprodukten en de beschikbare
produktiefactoren, we zullen dat de produktiefactorenrelaties noemen, en de
relaties tussen onderdelen en halffabrikaten enerzijds en de eindprodukten
anderzijds, we noemen dat de produktspecificatierelaties. Ln ons voorbeeld
geven we die twee soorten relaties als volgt weer:
11 xa
produktiefactorenrelaties:
< bai
12 xa
< ba2
<bb,
11 xt,
< bb2
11 xb
9 xc
< bei
11 xc
< bc2
produktspecificatierelaties:

xa
1

xb

xc

1
1

y

-1 = 0
-1 = 0
-1 = 0

11) De term machinegroep wordt gebruikt i.p.v. de langere term van produktiefactoren. Ter voor­
koming van misverstand wijzen we erop dat het mogelijk is om elke combinatie van produktiefactoren
op deze wijze weer te geven.
 f

m a b blz. 186

waarin:
xa = de produktiesnelheid van machinegroep a,
x|j = de produktiesnelheid van machinegroep b,
xc = de produktiesnelheid van machinegroep c,
(de produktiesnelheden van de drie machinegroepen zijn gedefiniëerd in een
prestatieeenheid van de betrokken machinegroepen);
bai = de hoeveelheid eenheden beschikbaar van produktiefactor nr. 1
van machinegroep a,
bb2 = de hoeveelheid eenheden beschikbaar van produktiefactor nr. 2
van machinegroep b,
bc! = de hoeveelheid eenheden beschikbaar van produktiefactor nr. 1
van machinegroep c,
idem voor ba2, bbi en bc2 ,
y
= de produktiesnelheid van het eindprodukt, waarvan in figuur 1
de produktie-technische specificatie is gegeven in de vorm van
activiteit 8,9. Uit de bovenstaande produktspecificatie blijkt
dat van alle in figuur 1 vermelde activiteiten er één moet worden
geleverd voor de fabricage van één eindprodukt.
Uit de gegeven specificaties blijkt het volgende belangrijke verschil tussen
detail- en globaal plan. In het globale plan wordt geen specificatie van de
ordening der activiteiten gegeven en het is derhalve niet mogelijk de tijdbepaling vast te stellen. Dat betekent ondermeer dat men bij de berekening
m.b.v. r.p. van het globale plan niet mag uitgaan van de maximale hoeveel­
heden van de beschikbare produktiefactoren gedurende de planperiode. Zou
men dat wel doen dan zou men geen rekening houden met de ordeningsrelatie en met de uit het „naleven” van die relaties resulterende wacht­
tijden.12) In het besproken voorbeeld is de produktspecificatie van eenvou­
dige aard.
 In het volgende voorbeeld is die produktspecificatie complexer; zie figuur
2. Bovendien is in dit voorbeeld voor twee machinegroepen aangenomen dat
er een keuzemogelijkheid bestaat uit twee mogelijke wijzen van produce­
ren.13) We gebruiken de symbolen in dezelfde betekenis als in het reeds
behandelde voorbeeld, d.w.z. dat de symbolen xj prestatieeenheden weer­
geven die betrekking hebben op de fabricage van onderdelen en halffabrika­
ten (i = 1 , 2 , . . . , n). De symbolen yg worden gebruikt voor de produktie­
snelheden van eindprodukten (g= 1, 2, . . ., m).
12) Om vast te stellen met hoeveel procent de beschikbare hoeveelheden der produktiefactoren
moeten worden verlaagd om een voor het opstellen van het detailplan bruikbare oplossing te vinden,
zal vooral moeten worden gekeken naar de complexiteit van de produktspecificatie in het netwerk.
Deze complexiteit kan o.a. worden gemeten door de verhouding tussen knooppunten en pijlen in het
netwerk, zie A. Bosman: Systemen, planning, netwerk, Leiden 1969, hfst. 5.
13) Het aantal van twee werd gekozen om het voorbeeld hanteerbaar te houden. Het aantal kan in
praktische toepassingen bijna onbeperkt worden vergroot.
 m a b blz. 187

In het voorbeeld in figuur 2 is y2 een combinatie van de produktiesnelheden
van een halffabrikaat en een eindprodukt. Het produkt kan nl. als eindpro­
dukt worden verkocht of als halffabrikaat verder worden verwerkt tot het
eindprodukt nr. 3. We gaan er in dit voorbeeld van uit, zie tabel II, dat er
voor de produktie vier produktiefactoren worden gebruikt, waarvan er bij
één, de laatste in tabel II, uitbreiding van de capaciteit mogelijk is, bijv. door
overwerk. In al die gevallen waarin extra capaciteit kan worden geschapen
tegen hogere kosten en/of bepaalde produkten voor meerdere doeleinden
kunnen worden gebruikt, moeten al deze mogelijkheden afzonderlijk worden
onderscheiden. Beide situaties doen zich voor bij y2 , zodat we vier varianten
krijgen, y2 , , = halffabrikaat zonder overwerk, y2 , 2 = halffabrikaat met
overwerk, y2 2 1 = eindprodukt zonder overwerk, y2 2 2 = eindprodukt met
overwerk. Hetzelfde geldt voor de keuzemogelijkheid voor het op verschillen­
de wijze produceren, zoals die is opgenomen bij X]. In tabel II zijn tevens
zgn. assortimentsbeperkingen opgenomen. Deze zijn noodzakelijk om te
voorkomen dat in de optimale oplossing van het l.p.-probleem bepaalde
artikelen niet voorkomen. In de waardefunktie zijn per artikel opgenomen de
brutomarge, d.w.z. de verkoopprijs minus de directe variabele kosten in het
geval van de eindprodukten, en de directe variabele kosten in het geval van
de onderdelen of halffabrikaten.
 Tabel II

* ii
p r o d u k ti e f a c to r e n re la tie s

p ro d u k ts p e c if ic a tie re la tie s
a s s o r tim e n ts b e p e r k in g e n
w a a r d e f u n k tie

m a b blz. 188

i
0
0
35
0
1
0
0
0
0
-40

*2

yi

3*21 1 3*212

>"221

0
0
0
1,2
0
0
36
20
0
0
1
0
0
1
0
-1
0
0
0
0
-42
-10

0
0
0
0
0
-2
0
0
1
0
850

0
0
0
0
1
i,i
48,5
0
0
50
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
-50
-25

0
0
0
0
0
0
1
1,1
0
48,5
0
0
0
50
0
0
0
0
0
0
1,25
0
0
0
0
0
0
0
0
1
900 875 1600

*12

3*222

3*3

beschikbare hoe
veelheden produ k tiefac toren
< 2000
< 1000
< 2500
<250.000
< 50.000
=0
=0
=0
>500
>250
m a x im a a l

Met behulp van de wiskunde kan men een dergelijk probleem als volgt
beschrijven:
M
<b
(1)

(EE-F)

x
y

= o
y

> n

z = —pxx + pyy -*■ maximaal

waarin:

M = een matrix met technische coëfficiënten voor de beschrijving
van de produktiefactorenrelaties,
x = een vector met de produktiesnelheden van de halffabrikaten en
onderdelen,
y = een vector met de produktiesnelheden van eindprodukten,
(EE-F) = een matrix met een beschrijving van de produktspecificatierelaties,
b = een vector met de beschikbare hoeveelheden der produktiefactoren,
ö = een vector met nullen,
n = een vector met assortimentseisen,
px = een vector met directe variabele kosten,
Py = een vector met brutomarges.
 De optimale oplossing voor het onderhavige probleem m.b.v. l.p. is:
Xj i = 2000
yi = 1417
X! 2 = 833
y 2 1 i = 2078
x2 = 2462
y 2 2 2 = 384
z = 4.144.270
y 3 = 1969
De niet opgenomen variabelen hebben de waarde nul, de opgenomen getallen
zijn op de normale wijze afgerond op gehele getallen.14 )

4.
Kosten- en kostprijsberekening

De in paragraaf 3 besproken toepassing van l.p. loopt vooruit op het vinden
van een aansluiting van het gebruik van l.p. voor het berekenen van kosten en
kostprijzen. Dat vooruitlopen komt tot uitdrukking in het opnemen van
afzonderlijke vectoren voor de produktie van onderdelen en halffabrikaten
14)
Het toepasten van de normale afrondingsprocedure is in het geval van l.p. in principe onjuist,
omdat het mogelijk is dat men niet meer voldoet aan de beperkingen van de produktiefactorenrelaties.
Aangezien afronden naar beneden doorgaans geen optimale oplossing geeft, is dit probleem alleen
oplosbaar indien men gebruik maakt van de zgn. gehele getallen en/of gemengde programmering. In
het eerste geval moeten alle variabelen gehele getalswaarden aannemen, in het tweede geval geldt deze
eis alleen voor een beperkt aantal van de variabelen.
m a b blz. 189

en het daardoor noodzakelijk worden van het opnemen van de produktspecificatierelaties. Hadden we dit niet gedaan, dan had de l.p. formulering
van het probleem er uit gezien als in tabel III.
Tabel III

yi2
p ro d u k tie f a c to re n re la tie s

a ss o rtim e n ts b e p e rk in g
w a a r d e f u n k tie

2
0
0
70
0
1
0
770

> 12

0
2,4
0
72
0
1

0
766

y2l

y 23.
 >31

0
0
1
48,5
0
0
0
900

0
0
U
0
50
0
0
875

0
0
1,25
85,625
0
0
1
1556,25

beschikbare hoe­
veelheden

>32

0
0
1,375
0
87,5
0
1

1525

<2000
< 1000
<2500
< 250.000
< 50.000
<500
< 250
m a x im a a l

Wiskundig is de formulering dan, zie (1) en de daar gebruikte symbolen:
(2)

My < F
y > n
z = pyy -»■ maximaal

Het voordeel van deze specificatie is dat ze minder groot van omvang is. Het
nadeel is, dat het probleem minder overzichtelijk wordt weergegeven en er
geen directe aansluiting wordt gevonden met de specificatie van het detail­
plan en die noodzakelijk voor de kosten- en kostprijsberekening. Om dit
laatste te bereiken moet er aan twee voorwaarden worden voldaan.
1 De kosten- en kostprijsberekening moet aansluiten op de in realia gedefi­
nieerde grootheden van het globale plan (zie ook de punten 1 t/m 3 aan het
einde van paragraaf 2).
2 Het globale plan moet aansluiten bij het in kostprijsberekening gebruike­
lijke onderscheid tussen hulp- en hoofdkostenplaatsen. Zoals we in paragraaf
3 hebben aangetoond, is dat technisch eenvoudig uitvoerbaar. Bovendien is
deze aansluiting zeker ook gewenst om een relatie te kunnen leggen tussen
detailplan en globaal plan. Op dat punt ontstaan derhalve geen strijdigheden.
 Wat betreft de eerste voorwaarde moeten we ons realiseren en dat ook
accepteren dat het globale plan een inhoud geeft aan de begrippen normale
bedrijfsdrukte en meest gunstige kwantitatieve verhoudingen. Voor zover het
de normale bedrijfsdrukte betreft is dat de verzameling van produktiesnelheden in de optimale oplossing. Voor zover het de meest gunstige kwantita­
tieve verhoudingen betreft is het de verzameling van vectoren van technische
coëfficiënten in de optimale oplossing. Hiervan uitgaande kan men op een­
voudige wijze, zoals we aan de hand van het voorbeeld zullen aantonen, de
kosten- en kostprijsberekeningsmethode volgens de in de bedrijfseconomie
bekende produktiecentramethode uitvoeren.
Het berekenen van de kostprijs verloopt bij de produktiecentramethode in
twee stappen, nl. het opstellen van de kostenverdeelstaat en de kostenm a b bh. 190

verrekenstaat. De voor de uitvoering van deze twee stappen noodzakelijke
gegevens en relaties zijn in ons geval opgenomen in resp. de produktiefactorenrelaties en de produktspecificatierelaties. Voor het invullen van de kostenverdeelstaat moet de matrix M op twee punten worden gewijzigd.
a. Er zullen in vele gevallen rijen, d.w.z. produktiefactorenrelaties moeten
worden toegevoegd, omdat het voor het oplossen met l.p. van een probleem
geen zin heeft produktiefactoren, bijv. het merendeel van de diensten van
derden, op te nemen waarvan de beschikbare hoeveelheden niet aan een
bovengrens zijn gebonden. We hebben dit probleem in ons voorbeeld ,,omzeild” door de directe variabele kosten niet verder onder te verdelen naar
iroduktiefactoren, maar als één rij van coëfficiënten op te nemen (zie de
aatste rij in tabel IV). In feite klopt de dimensie van deze rij niet met die van
de andere rijen, die in realia zijn gedefiniëerd. Door in de prijzenvector pa
het betrokken element de waarde één te geven wordt dit dimensieprobleem
bij de berekening van de kostprijs opgeheven.
 b. Als er een keuzeprobleem bestaat en er wordt meer dan één vector ge­
kozen, dan zullen deze moeten worden samengevoegd tot één vector, omdat
we in de kostprijsberekening, overigens op basis van afspraak, slechts één
kostenplaats definiëren. Zo zal in ons voorbeeld, zie tabel II, één vector van
technische coëfficiënten voor y 2 worden vastgesteld en wel als volgt:

{

(3)

2078 , _
384
y2 = y2n ‘ 2462 y212 • 2462

Op deze wijze krijgen we een nieuwe matrix A van technische coëfficiënten
die in tabel IV is weergegeven.
Tabel IV
hulpkos tenplaatsen

l(xi)
de matrix A

hoofdkostenplaatsen

3(y2)

2 (x 2 )

0,71
0,35
0
35,3
0
40,59

0
0
0
20
0
10

0
0
0
0
0
25

H(y3)

i(yi)
0
0
0
0
0
50

0
0
1,02
40,9
7,8
28,88

We geven de normale bedrijfsdrukte weer door een vector d. In ons geval is:
(4)

d = 2833, 2462, 2462, 1417, 1969.
De elementen in de vector komen wat volgorde betreft uiteraard overeen met
die in de matrix A. 15) Gegeven A en d kan de kostenverdeelstaat als volgt
worden berekend.16 )
15) Zie voor een beschouwing over de regels van de matrixoperaties D. W. Feenstra: ,,Matrix-alge­
bra als hulpmiddel bij de kostenverbijzondering”, dit nummer.
16) We maken geen onderscheid tussen kolom- en rijvectoren. De lezer kan voor zich zelf wel
nagaan of er in een bepaalde situatie sprake is van een kolom- of een rijvector.
 m a b blz. 191

(5)
(6)
(7)
(8)

A.D = B
Paj$ = K,
A.d = H
ä'.Pa = ks

waarin:
D = diagonale matrix met produktiesnelheden,1 7)
B
= matrix met aanwendingssnelheden der produktiefactoren per kostenplaats,
H
- vector met het totale beslag op de produktiefactor,
Pa = diagonale matrix met de prijzen per eenheid van de produktiefacto­
ren,
= de kostenverdeelstaat,
kg = de kostensoorten.
De kostenverrekenstaat wordt evenals de kostenverdeelstaat berekend door
uit te gaan van technische coëfficiënten. Deze coëfficiënten zijn terug te
vinden in de produktspecificatierelaties. De „levering aan” zijn opgenomen
in een matrix F. Aangezien deze „levering aan” altijd zijn bepaald t.a.v. een
eenheid van de leverende kostenplaats, (zie tabel II), kan men de relaties
voor het berekenen van de kostenverrekenstaat als volgt schrijven:
(9)

(E-F)

waarin: E = een eenheidsmatrix.
In ons voorbeeld zou de (E-F) matrix er als volgt uitzien:
1
0
0
0
0

0
1
-1
0
0

0
0
1
0
0

-2
0
0
1
0

0
-1,25
0
0
1

Het kenmerk van een hoofdkostenplaats is dat de rij in de (E-F) matrix
slechts één element, nl. één, op de hoofddiagonaal bevat. De eenheidsmatrix
kan worden beschouwd als de wiskundige variant van het begrip kostendrager. De kostenverrekenstaat wordt dan gevonden door:
(11)

(E-F). D = C

waarin C de leveringen in fysieke hoeveelheden weergeeft. De leveringen in C
kunnen niet direct in geld worden gewaardeerd, omdat we daarvoor de tarie-

1 7) Een diagonale matrix is een matrix met alleen op de hoofddiagonaal waarden ongelijk nul. Deze
matrices worden gebruikt om de problemen die voortvloeien uit het feit dat matrix vermenigvuldigen
een niet commutatieve bewerking is op te heffen.
 m a b blz. 192

ven en kostprijzen moeten kennen. De berekening van deze twee grootheden
kan dan ook als volgt worden uitgevoerd:
(12)

p a .B = l p .C

(13)

_ kp = ( p a . B). C->

waarin: kp = een vector met kostprijzen en tarieven.
Stellen we in ons voorbeeld:
(14)
pa = 500, 500, 550, 2, 4, 1
dan wordt:
(15)

kp = 641, 753, 703, 130, 991

De door ons besproken methode voor het berekenen van kosten en kostprij­
zen wijkt op een aantal punten af van andere toepassingen van matrix­
rekening op de kostenverbijzondering.1 8 ) Het belangrijkste verschil ligt in
het feit dat het merendeel van deze methoden geen kostenberekening geven,
maar „alleen” een kostprijsberekening. Men gaat uit van gegeven kosten­
bedragen. Het voordeel van onze benadering wordt gevonden in een aantal
punten die we in het kader van dit artikel slechts summier kunnen behande­
len, maar die we de lezer, met name voor zijn oordeelsvorming, niet willen
onthouden.
1 In onze benadering wordt enerzijds de mogelijkheid geschapen om aan te
sluiten bij de procedures van de globale planning, waardoor voor de kostprijs­
berekening noodzakelijke begrippen als normale bedrijfsdrukte en meest
gunstige kwantitatieve verhoudingen van geval tot geval een concrete inhoud
kunnen krijgen d.m.v. een optimale oplossing garanderende procedure (l.p.).
 Anderzijds wordt de mogelijkheid geschapen om een aansluiting te vinden
tussen het globale en het detailplan en in het bijzonder om de gevolgen van
planwijzigingen op een eenduidiger wijze door te rekenen. Ten aanzien van
het optimum moet worden opgemerkt dat we te maken hebben met een
locaal optimum. Hierdoor ontstaat naar onze mening echter nog geen strij­
digheid met de opvatting van J. L. Mey. Zijn mimimum minimorum krijgt
een inhoud niet door de keuze van de technische coëfficiënten, maar door
veranderingen in de waardering van de betrokken produktiefactoren.
2 Het gebruik van l.p. maakt het mogelijk om aan de cirkelredenering van
de isoquantenanalyse te ontkomen. Immers in dat geval moeten de prijzen
van de produktiefactoren voor de uitvoering van de analyse bekend zijn. In
ons geval is dat alleen noodzakelijk voor het berekenen van de directe varia­
bele kosten. Gezien de aard van de achter deze kosten schuil gaande produk­
tiefactoren mag men aannemen dat dit geen bezwaren van principiële aard
zal ontmoeten. Voor zover er in pa elementen aanwezig zijn die zijn verbon­
den met vaste produktiefactoren, kan de prijs per eenheid ervan worden
bepaald door de geschatte vaste kosten te delen door het betrokken element
uit B.
18) Voor een bespreking van enkele van die methoden wordt men verwezen naar het artikel van
Feenstra, t.a.p.
m a b blz. 193

3 De wijze van berekening van de begrippen normale bedrijfsdrukte en
meest gunstige kwantitatieve verhoudingen is niet in strijd met wat de
bedrijfseconomie tot nu toe beweert. Het grote voordeel is zelfs dat beide
simultaan worden bepaald en dat tevens een, zij het nog lang geen bevredi­
gende, aansluiting wordt gevonden met de afzetkant. Dat laatste gebeurt via
de coëfficiënten in de waardefunktie en de assortimentsbeperkingen in de
l. p. specificatie.
 4 In de kosten- en kostprijsberekening kunnen terugleveringen zonder enig
bezwaar worden meegenomen.
5 Er behoeft geen tegenstelling meer te worden gezocht in de benadering
van het kostprijsprobleem uitgaande van de direct costing methode of de
integrale beschouwing. Immers men behoeft in pa alleen de prijzen van de
vaste produktiefactoren op nul te stellen om de direct costing methode te
kunnen toepassen. Het grote voordeel is dan dat men dezelfde berekenings­
methode kan gebruiken, terwijl men tevens aan de direct costing methode
een inhoud geeft die het nu in het merendeel der gevallen niet heeft. Immers
door ervan uit te gaan dat er homogeen lineaire relaties bestaan tussen hulp­
en hoofdkostenplaatsen stelt men dat de indirecte variabele kosten propor­
tioneel variëren met veranderingen in de produktiesnelheden van de eind­
produkten. De zin van het onderscheid tussen indirecte en directe variabele
kosten voor het bepalen van de brutomarge is daarmee komen te vervallen.
Bij toepassing van de geschetste methode levert het berekenen van de varia­
bele kosten per eindprodukt geen problemen meer op.
 6 Door gebruik te maken van de rekenautomaat kunnen omvangrijke
problemen in korte tijd worden opgelost. Daardoor is het mogelijk ook de
kostprijs te berekenen op basis van verschillende uitgangspunten en daarmee
de waarde van deze uitgangspunten in de vorm van mutaties in de kostprijs te
testen. Daarmee komen we op het probleem dat we in paragraaf 2 hebben
gesteld, nl. de vraag in hoeverre de kostprijs kan worden gebruikt voor het
nemen van beslissingen. Uit het voorgaande zal het duidelijk zijn dat dat
m. b.v. de kostprijs, voor zover het althans de beslissingen in de produktieplanning betreft, niet kan. De kosten en kostprijs zijn geaggregeerde groot­
heden die ontstaan door een veelheid van beslissingen die t.a.v. aanwendingssnelheden en produktiesnelheden worden genomen. De kostprijs oefent daar­
op geen invloed uit, zij is juist het resultaat ervan. Dat neemt niet weg dat dit
resultaat in vele gevallen zeer goed bruikbaar is voor het waarderen van regels
waarmee die beslissingen worden genomen.
m a b blz. 194.
