Een maandelijks patroon in aandelenrendementen: een reactie
BELEGGING

• V O O RS P E L L ING S M ET H O D EN

Een maandelijks patroon
in aandelenrendementen:
een reactie
Prof. Dr. P.S.H. Leeflang en Prof. Dr. E. Sterken

Inleiding

LU

Cd
LU

O

<
LU

Cd

in
cd
LU

N
LU

Bouman en Jacobsen bestuderen één van de
beroemde anomalieën in de financiële economie:
het maandelijkse patroon in aandelenrendemen­
ten. Dit patroon houdt in dat rendementen de
laatste handelsdag van de ene maand en de eerste
acht handelsdagen van de volgende maand
significant hoger zijn dan op de overige dagen.
Een variant hierop, die bekend staat als het turnof-the-month effect, gaat uit van de anomalie dat
de rendementen op de laatste handelsdag van de
maand en op de eerste drie dagen van de maand
significant hoger zijn dan op andere dagen.
Tevens besteden de auteurs aandacht aan anoma­
lieën zoals het januari-effect en het dag-van-de­
week effect. In navolging van buitenlandse
studies schatten de auteurs differentievergelijkin­
gen, waarin dummy-variabelen zijn opgenomen
om de kalender-effecten te meten. De steekproefperiode beslaat 1973-1993 op maandbasis. Er
worden twee modellen geschat voor 13 landen.
Zowel het maandpatroon als het zogenaamde
maandomslag-effect wordt in de analyse betrok­
ken. Volgens de auteurs laten de schattingsresultaten zien dat de hypothese van het bestaan van
een significant maandpatroon niet verworpen kan
worden. Dit heeft grote gevolgen voor het
beleggingsbeleid: met deze informatie kunnen
beleggers op zeer eenvoudige wijze waarschijn­
lijke winsten behalen door aandelen juist voor
het einde van de maand te kopen en ze aan het
begin van de tweede week te verkopen.
 Naar onze mening is het optimisme aangaande
de mogelijke beleggingswinsten, dat door de
auteurs opgewekt wordt, op zijn minst ten dele
ongefundeerd. Er zijn twee hoofdgroepen van
kritiek te geven. Ten eerste biedt de financiële
theorie handvatten voor commentaar. Ten tweede
hebben de auteurs met een aantal empirisch­
technische aspecten onvoldoende rekening gehou­
den. In deze reactie worden beide aspecten belicht.
Theorie
Hel artikel bestudeert de kloof tussen de semi­
stringente vorm van de efficiënte markt hypothese
en een vermeend systematisch patroon in aande­
lenrendementen. Deze hypothese stelt dat alle
publiekelijk beschikbare informatie in de aande­
lenkoersen verwerkt is. Louterde beschikbaarheid
van particuliere informatie kan tot koerswinsten
leiden. Dit laatste geldt zeker niet voor de zoge­
naamde kalenderanomalieën: het verschijnsel dat
op een bepaalde dag van het jaar, maand of week
het in de koers geïmpliceerde rendement hoger of
lager is dan op de overige dagen. Deze informatie
is publiekelijk beschikbaar en kan aldus tot
winstgevende speculatie leiden. Als financiële
markten in evenwicht zijn en geen handelsbelem­
meringen ondervinden zal arbitrage aldus tot het
opheffen van de anomalieën moeten leiden. Het
feit dat dit (nog) niet gebeurt dient derhalve op
haar oorzaken onderzocht te worden. Niet zozeer
het optreden van de kalenderpatronen op zich is
interessant, doch veeleer de verklaring van het
waarom dient in het brandpunt van de belangstel­
ling te staan.
Prof. Dr. P.S.H. Leeflang en Prof. Dr. E. Sterken zijn beiden
verbonden aan de Vakgroep Bedrijfseconomie, Faculteit der
Economische Wetenschappen, Rijksuniversiteit Groningen.
 538

Het probleem, waar ook de auteurs door het
gehele artikel heen mee worstelen, is allereerst de

O K T O B E R 1996

E JA B

verklaring welke kalenderanomalie nu eigenlijk
relevant is. Is het het dag-van-de-week effect, het
maandeffect of het januari-effect? Hoe dienen
deze effecten uit elkaar gehouden te worden en
hoe worden de regressie-experimenten voor deze
effecten geconditioneerd? Vlak voor de conclusie
beweren de auteurs dat het weekeffect en het
maandeffect interacteren. Ook in de modelspecificatie komt dit punt terug. In het regressiemodel (2)
is de eerste vrijdag van de maand januari met drie
maal een dummy-waarde 1 opgezadeld. Het is dan
de vraag of de maandeffecten zuiver gemeten
worden.
Een tweede probleem is de verklaring van het
optreden van de kalendereffecten. De auteurs
geven een aantal mogelijke verklaringen achteraf.
Het ware netter geweest een aantal van deze
verklaringen in het model op te nemen. Zo kan
men bijvoorbeeld de datum waarop de overheid
lonen uitbetaalt in het model meenemen. Ook had
naar het aflopen van optiecontracten of naar
perioden met politieke instabiliteit (Italië) gekeken
kunnen worden. Men kan dan ook de hoogte van
de betalingen en de omvang van de afgelopen
contracten meenemen en aldus een hogere verkla­
rende variantie van het rendement realiseren. Nu
moeten de dummy-variabelen de te verklaren
variantie voor hun rekening nemen. Bovendien
geeft het opnemen van de dummy-variabelen
alleen inzicht in de vraag of er sprake is van een
maandeffect en niet de vraag waarom.
 Een derde theoretisch probleem is de statis­
tische aard van de tijdreeksen van aandelenrende­
menten. Zoals bekend leiden hoogfrequente
financiële gegevens aan dikstaartigheid van de
steekproefverdeling. Dit leidt onherroepelijk tot
theoretische vragen. Blijkbaar voldoen financiële
gegevens niet aan de eigenschappen van een
normale verdeling en is de kans op padafhanke­
lijkheid groot. Dit zou dan een verwerping van de
Markov-eigenschap van de prijzen van financiële
titels impliceren. Omdat financiële markten
efficiënt zijn. bevatten prijzen alle relevante
informatie en doen prijzen uit vorige perioden er
niet meer toe. De toestand van de financiële markt
op dit moment is onafhankelijk van de toestand in
de vorige periode. Vooreen studie als deze dienen
de eigenschappen van de verdeling van de aande­
lenrendementen dus eerst onderzocht te worden.
Zie hierover ook het commentaar op de empirie.
O K T O B E R 1996

E ! ab

Een vierde punt van aandacht zou moeten zijn
in hoeverre de 13 genoemde aandelenbeurzen met
elkaar verbonden zijn. Het is goed voorstelbaar
dat er sprake is van een maandeffect op de ene
markt, hetgeen via arbitrage naar de overige
markten overgebracht wordt. Zo kan het in theorie
voorkomen, dat slechts één markt het maandpatroon kent en de overige 12 markten volgers zijn.
Empirie
De belangrijkste vraag met betrekking tot de
doelstelling van dit onderzoek is of er significante
verschillen zijn tussen aandelenrendementen aan
het eind en begin van de maand en aandelenrende­
menten op de andere dagen van de maand. Men
kan zich in dit licht afvragen of regressie-analyse
het meest geëigende instrument van analyse is.
 Zou een analyse aan de hand van eenvoudige
steekproefgemiddelden en -varianties niet afdoen­
de zijn? Met behulp van een eenvoudige /-toets op
het verschil tussen steekproefgemiddelden zijn
zowel enkelzijdige als dubbelzijdige hypothesen te
toetsen. Eventueel kan een meer ingewikkelde
toets gehanteerd worden als het vermoeden bestaat
dal de verdelingen niet normaal zijn. Gegeven het
feit dat de auteurs een andere methode gekozen
hebben (het schatten van een model met behulp
van regressie-analyse) zullen we ons in het
navolgende concentreren op deze modellen. Op de
specificatie van de modellen (1) en (2) is de
volgende kritiek te leveren:
1 De afhankelijke variabele (rendement) is
stochastisch doch wordt verklaard uit louter
deterministische variabelen (dummy variabe­
len).
2 Het vermoeden bestaat dat de reeks van
waarden die de afhankelijke variabele aan­
neemt niet stationair is. Ondanks het feit dat de
auteurs een rendementsvariabele (het eerste
verschil in de natuurlijke logaritmen van
opeenvolgende slotkoersen) hanteren, kan men
zich afvragen of er niet sprake van een versnel­
ling in de beursindices in genoemde periode
geweest is. Hierdoor zou het nodig zijn om
twee maal een eerste verschil van de beursin­
dex te nemen ten einde een stationaire reeks te
genereren. De vraag is dan gewettigd of de
parameters in het door de auteurs gehanteerde
model al dan niet tijdsafhankelijk zijn. Een
specificatie en calibratie van een model dat
rekening houdt met parameters die in de tijd

539

variëren ligt dan meer voor de hand. Bedenk
dat Bouman en Jacobsen gegevens gebruiken
die op een periode van 21 jaar betrekking
hebben.
3 Zoals hiervoor uiteengezet is het waarschijnlijk
dat de residuen niet-normaal verdeeld zijn. In
deze studie wordt bij de bepaling van de
significantie van de parameters uitgegaan van
de veronderstelling dat de storingen wel
normaal verdeeld zijn.
 4 Sommige dummy-variabelen in model (2) zijn
per definitie onderling afhankelijk.
dat het om gemiddeld 21 handelsdagen per maand
gaat. In model (1) wordt voor 9 van de 21 dagen
een dummy variabele met de waarde 1 opgeno­
men; in model (2) gaat het om slechts 4 dagen met
een dummy variabele met waarde 1. De intercept
/I werkt aldus 2 1 maal per maand in het rende­
ment door, terwijl de dummy variabelen respectie­
velijk een gewicht 9 en 4 in de modellen (1) en (2)
krijgen. Voor model ( I ) ziet het lange-termijn
rendement er dan als volgt uit:
9d, + 21 Cl

R f = — ,---------- x
1

Deze problemen gevoegd bij de bovenstaande
bedenkingen doen het vermoeden ontstaan dat
regressie-analyse niet het meest geschikte instru­
ment is om het maandpatroon aandelenrendemen­
ten op te sporen.
Indien men tijdreeksonderzoek bedrijft is het
voorts altijd verstandig zowel de korte- als de
lange-termijn resultaten te interpreteren. Beziet
men eerst de korte-termijn resultaten (de tabellen
(1) en (2)), dan valt het volgende op:
1 Naast de vertraagde endogene (variabele r ,)
en de krach-dummy zijn de determinanten
nauwelijks van significante invloed in de
verklaring van de patronen.
2 Er is nauwelijks sprake van validatie van het
model. De auteurs geven geen inzicht in de
verklaring van de variantie van de te verklaren
variabele.
3 Evenzeer ontbreekt inzicht in de eigenschap­
pen van geschatte residuen. Dit is merkwaar­
dig, omdat juist het vermoeden bestaat dat er
wel eens sprake kan zijn van niet-normaliteit.
 4 Hoewel de auteurs met een groeivoet van de
beursindex werken en dus de opname van een
dummy variabele met louter een 1 op de dag
van de krach aannemelijk lijkt, kan men zich
afvragen of die specificatie deugdelijk is. Naar
alle waarschijnlijkheid keert een statistisch
proces na een schok na enige tijd terug naar
een vermeend evenwichtsniveau en is het effect
van de krach langer merkbaar in hogere
groeivoeten direct na de krach.
Beide modellen staan toe de impliciete langetermijn rendementsontwikkeling uit te rekenen. Op
de lange termijn zijn alle aanpassingen uitgewerkt.
Dit betekent dat de variabelen tijdsonafhankelijk
geïnterpreteerd kunnen worden. Uit Figuur 1 uil
het artikel van Bouman en Jacobsen is af te lezen

540

—

y

-

en voor model (2):
RJ =

4 qT| + 21 pi

, - 1- y

waarbij /?'het lange-termijn rendement
volgens het intra-month-model in land / enR] het­
zelfde rendement voor het turn-of-the-month
model voorstellen.
 Omdat de auteurs voor beide modellen dezelf­
de afhankelijke gebruikt hebben, dienen de
waarden niet veel uit elkaar te lopen. Tabel 1 in
onze reactie geeft de aan de hand van Tabellen 1
en 2 van Bouman en Jacobsen berekende waarden
van R\ en R],
Tabel 1: Lange-termijn aandelenrendementen

L an d

R‘

RT
,

A u s tr a lië

0 ,7 3 8

0 ,6 6 6

B e lg ië

0 ,4 9 2

0 ,4 7 8

C anada

0 ,5 6 1

0 ,5 3 4

D u its la n d

0 ,5 5 5

0 ,5 5 3

F r a n k r ijk

0 ,7 2 4

0 ,7 4 0

H ongK ong

0 .9 1 8

0 .8 8 5

Ita lië

0 ,4 5 2

0 ,7 7 0

Jap an

0 ,4 5 1

0 ,4 7 9

N e d e r la n d

0 ,6 4 0

0 ,6 1 2

S in g a p o re

0 ,6 1 1

0 ,5 6 6

UK

0 ,7 8 9

0 ,7 9 8

US

0 ,5 8 1

0 ,5 7 9

Z w its e r la n d

0 ,4 4 6

0 ,4 1 9

Onze tabel laat zien dat de lange-termijn
gemiddelden die bij de beide modellen behoren
redelijk met elkaar sporen, met uitzondering van
het lange-termijn gemiddelde van de rendementsontwikkeiing van de Italiaanse beurs. De schattin-

O K T O B E R 1996

IfflAB

gen voor Italië zijn dan ook als onbetrouwbaar te
bestempelen hetgeen de auteurs zelf eveneens
constateren. Het is waarschijnlijk dat in Italië
andere factoren, zoals politieke stabiliteit, een
belangrijkere rol vervullen in de verklaring van de
rendementsontwikkeling dan de kalenderanomalieën. Een belangrijker punt is evenwel dat onze
Tabel 1 laat zien dat het steekproefgemiddelde van
de rendementen aan de hand van de drie geschatte
parameters y, &,en /2gereproduceerd kunnen
worden. Dit betekent dat deze drie geschatte
parameters een onderlinge relatie moeten vertonen
en dat een hoge waarde van de ene parameter
aldus gevolgen heeft voor de waarde van de
overige twee parameters. Het vermoeden bestaat
dat in de Tabel 1 van het artikel van Bouman en
Jacobsen de interactie tussen enerzijds de constan­
te /xen de cruciale parameter sterk is.  O K T O B E R 1996

IfflAB

Men kan zich ten slotte afvragen of, in lijn met
de theorie, het niet netter geweest was om de
beursontwikkeling in de verschillende landen
gezamenlijk te verklaren, zodat eventuele over­
loop-effecten zouden kunnen meespelen. SUR­
schattingen van het aldus ontstane stelsel vergelij­
kingen zouden deze overloopeffecten kunnen
identificeren.
Besluit
Bouman en Jacobsen presenteren een studie
naar vermeende maandpatronen in aandelenrende­
menten. Naar onze smaak richten de auteurs zich
te veel op de vraag of er een maandpatroon bestaat
en te weinig op de econometrische verklaring van
het waarom. De manier waarop de hypothese van
het optreden van een maandpatroon in aandelen­
rendementen getoetst en geïnterpreteerd wordt, is
in deze reactie bekritiseerd.
541.
