KWANTITATIEF DENKEN
KWANTITATIEF DENKEN
door Prof. Dr. J. P. M. Geurts
Waar de beoefenaar van een empirische wetenschap steeds meer inzicht
tracht te verkrijgen in de verbanden tussen de dingen die hem omgeven en in
de structuren van de gebeurtenissen waarmee hij geconfronteerd wordt, ligt
het voor de hand dat hij naast de kwalitatieve beschrijving van deze verban­
den en structuren ook een kwantitatieve uitdrukking daarvan nastreeft. Hoe­
wel beide, d.i. zowel de kwalitatieve als de kwantitatieve uitdrukking van het
onderzochte fenomeen, het voortschrijdend onderzoek markeren, lijkt niet­
temin het kwantitatieve taalgebruik een steeds ruimere plaats voor zich op te
eisen. Het is zelfs aan geen twijfel onderhevig dat juist de kwantitatieve
aanpak van de problemen een snelle ontwikkeling van de empirische weten­
schappen bevorderd heeft. Ten aanzien van de ekonomische wetenschap valt
daarnaast overigens ook aan de betekenis van toenemende datavergaring te
denken.
 Met opzet spreek ik hier van een kwalitatieve en kwantitatieve aanpak of
van een kwalitatief en kwantitatief taalgebruik. Het gaat immers niet om
dingen of gebeurtenissen die als zodanig kwalitatief of kwantitatief zouden
zijn, maar over een kennende benadering, die met gebruikmaking van kwali­
tatieve en kwantitatieve begrippen, deze dingen en gebeurtenissen zo verant­
woord mogelijk tot uitdrukking tracht te brengen. Men kan van objecten
zeggen dat ze zwaar of licht zijn, met kan ook zeggen dat sommige zwaarder
zijn dan andere, en men kan wellicht zeggen dat bepaalde objecten twee of
drie maal zo zwaar zijn als andere. We hebben hier met verschillende uitspra­
ken te doen die ieder op correcte wijze een stand van zaken uitdrukken,
maar die op grond van anderssoortige ervaring tot stand gekomen zijn. Het is
bovendien duidelijk dat i.h.a. uitspraken van de laatste soort meer informatie
bieden dan uitspraken van de eerste en tweede soort en dat zulks ten
nauwste samenhangt met de experimentele situatie waarin de betreffende
ervaring werd opgedaan. In alle drie de gevallen verkregen we een begrip van
zaken door objecten met elkaar te vergelijken, maar terwijl we in het eerste
geval de objecten slechts groepeerden als lichte en zware objecten, brachten
we in het tweede geval een ordening aan, waarbij we gebruik maakten van de
ervaring dat enerzijds een aantal objecten even zwaar was en dat anderzijds
een aantal objecten zwaarder was dan de overige; in het derde geval verkre­
gen we tenslotte een nadere precisering door een operatie uit te voeren,
waardoor deze relaties ook getalmatig tot uitdrukking gebracht konden wor­
den. Niet het object is kwalitatief en kwantitatief van aard, maar onze begrippelijke entree tot dat object verloopt kwalitatief of kwantitatief. In de
eerste twee gevallen beschreven we onze ervaring met kwalitatieve begrippen
i.c. klassificerende en comparatieve begrippen, in het derde geval maakten we
van kwantitatieve begrippen gebruik.
 Na deze globale schets waarin we een onderscheid tussen klassificerende,
comparatieve en kwantitatieve begrippen aanbrachten, is het niet moeilijk
om aan te geven wat we onder een van de fundamentele operaties in het
m a b blz. 142

empirisch onderzoek verstaan t.w. de meting. Met „meting” bedoelen we een
handeling of een reeks handelingen waarin we objecten in deze zin met
elkaar vergelijken dat we, gebruik makend van de ervaring dat zij bijv. „even
zwaar zijn als” en „zwaarder zijn dan”, deze onderbrengen in een systeem
waarvoor we regels hebben opgesteld, die het enerzijds tot een comparatief
systeem maken en die dit anderzijds op zulk een wijze doen, dat de in de
experimentele situatie als equivalentie- en comparatieve relaties beschouwde
verbanden als soortgelijke relaties in het systeem zijn terug te vinden, en dat
de resultaten van zulk een vergelijking, op grond van een willekeurig gekozen
basissituatie als eenheid, getalmatig kunnen worden uitgedrukt. Een analyse
van de wijze waarop we klassificerende, comparatieve en kwantificerende
begrippen invoeren; moge deze omschrijving verduidelijken.
 De meest eenvoudige wijze waarop wij dingen vergelijkend tot een eerste
begrip van zaken komen, is door de objecten of gebeurtenissen waarop ons
onderzoek gericht is, en waarvan we in het vervolg zullen zeggen dat ze tot
het domein van onderzoek behoren, in een aantal onderscheiden klassen
onder te brengen. Een verdeling van gekleurde objecten over klassen van
rode, blauwe, oranje, groene, violette en gele dingen is een voorbeeld van
zo’n klassificatie. Hoewel een dergelijke klassificatie op het eerste gezicht een
louter willekeurig of zo men wil een conventionele aangelegenheid schijnt te
zijn, is zij in zoverre toch ook empirisch medebepaald, dat ze allereerst
gebonden is aan de klassificatiemogelijkheden die de objecten bieden marktwaarden van goederen kan men niet naar kleur rangschikken -, en dat
zij vervolgens om adequaat hanteerbaar te zijn, zal moeten voldoen aan de
eis, dat elk object uit het domein van onderzoek deel uitmaakt van tenminste
één klasse en hooguit één klasse. De indeling in klassen moet uitputtend zijn
en de klassen zelf moeten disjunct zijn.
 Het spreekt vanzelf dat lang niet iedere klassificatie aan deze eis van
uitputtendheid en disjunctie van klassen voldoet. Een object dat turquoise
van kleur is, kan ofwel niet ondergebracht worden in het boven aangegeven
kleurenscala, ofwel behoort zowel tot de klasse van de groene als tot de
klasse van de blauwe dingen. Een van de eerste opgaven waarvoor een onder­
zoeker die een klassificatie wil aanbrengen zich in dit verband dan ook
gesteld ziet, is om deze zo uit te voeren, dat aan de zojuist genoemde bruikbaarheidseisen zo veel mogelijk voldaan wordt. Definitorisch kan dat in de
meest absolute zin, door de objecten uit het domein van onderzoek over
twee klassen te verdelen, en wel zo dat alle objecten met een bepaalde
eigenschap tot de éne en alle andere objecten tot de andere klasse behoren.
Er zijn dan in het geheel twee klassen van objecten: die met de eigenschap a
en die met de eigenschap ü (niet-a). Zo berustte eertijds het onderscheid
tussen organische en anorganische verbindingen op een dergelijke logische
klassificatie; onder organische stoffen verstond men dan verbindingen die
slechts door levende wezens tot stand gebracht konden worden, alle andere
verbindingen werden anorganisch genoemd.
 Veel moeilijker is aan deze eis van uitputtendheid en disjunctie van klassen
te voldoen, als de klassificatie wordt uitgevoerd aan de hand van eigenschap­
pen die onafhankelijk van elkaar bepaald zijn. Men moet dan in zekere zin
m a b blz. 143

maar afwachten of ook de facto aan deze eis voldaan wordt. De uitspraak dat
alle chemische verbindingen ofwel organisch ofwel anorganisch van aard zijn,
is dan geen analytische uitspraak meer, maar een uitspraak die hoewel wel­
licht waar, principieel falsifieerbaar is. Daar staat echter tegenover dat zulk
een empirische klassificatie, door de positieve begripsbepalingen die eraan
ten grondslag liggen, veel meer informatie biedt dan de zojuist genoemde
logische klassificatie.
Het is met name van deze empirische klassificatie, dat zowel in het weten­
schappelijk onderzoek als in het dagelijkse leven gebruik gemaakt wordt.
Men zou in dit verband kunnen denken aan de meest eenvoudige inventarisa­
tie waarmee het onderzoek begint: de econoom wil weten welke goederen
tot de eerste levensbehoeften van de mens gerekend worden of hoe in een
bepaalde regio de beroepsbevolking is samengesteld, de fysicus stelt een lijst
van elementaire deeltjes op, de anorganisch-chemicus brengt een verdeling in
zouten, zuren en basen aan, en de bioloog houdt zich o.a. met een planten­
systematiek bezig. In vele gevallen biedt zo’n klassificatie de onderzoeker
niet alleen de mogelijkheid om een groot aantal gegevens in meerdere of
mindere mate samen te vatten, maar brengt ze hem ook op het spoor van
regelmatigheden, die hem in staat stellen om bepaalde wetmatige uitspraken
te formuleren. Dat deze klassificatie overigens, evenals trouwens de nog te
bespreken comparatieve en kwantitatieve ordening,1) juist vanwege zijn em­
pirisch-pragmatisch karakter, bij voortduring voor wijziging open staat, be­
hoeft geen nader betoog. Binnen het kader van een empirische wetenschap
kan dat echter nauwelijks als inconvenient worden aangemerkt.
 Hoewel we er in het voorgaande de nadruk op hebben gelegd, dat in de
klassificatie van objecten en gebeurtenissen reeds een eerste begrip van zaken
tot uitdrukking kwam, is dit begrip van zaken toch nog vrij oppervlakkig.
Het rangschikken van objecten als zware, lichte en middelzware objecten is
zeker met betrekking tot het wetenschappelijk onderzoek onbevredigend,
omdat de klassen niet alleen begripsinhoudelijk te groot zijn om gedetailleerd
onderzoek mogelijk te maken, maar zij ook onvoldoende met elkaar in ver­
band gebracht worden, om een onderzoek naar de onderlinge samenhang der
dingen niet al te zeer te beperken. Aan althans het eerste bezwaar zou men
niettemin tegemoet kunnen komen door het domein in een veel groter aantal
klassen op te delen. Om tot een acceptabele, d.i. tot een ten behoeve van het
onderzoek gewenste begripsdifferentiatie te komen, zou dit aantal in veel
gevallen echter zo groot worden dat de beoogde overzichtelijkheid weer
geheel verloren zou gaan. Een veel aantrekkelijkere en doelmatigere wijze om
tot deze nadere differentiatie te komen, is gelegen in de invoering van zgn.
comparatieve begrippen, die een ordening op basis van „groter dan”- of
„zwaarder dan”-relaties tot stand brengt. De objecten worden dan niet alleen
over een veel groter aantal klassen verdeeld, maar de klassen worden boven­
dien ook in een bepaalde volgorde-relatie gebracht. Of een bepaalde klassificatierij ook de facto in een comparatieve ordeningsrij kan worden overge­
voerd, is overigens afhankelijk van de mogelijkheid om voor deze comparatie1) Hoewel men van ordening pas spreekt als een klassificatie ook comparatief is, zullen we om
redenen van duidelijkheid steeds over een comparatieve ordening blijven spreken.
 m a b blz. 144

ve relaties een empirisch analogon te vinden. Er moet dan kunnen worden
vastgesteld of twee objecten empirisch equivalent zijn - en zij dus net als in
het geval van de loutere klassificatie tot eenzelfde klasse behoren - en vervol­
gens moet kunnen worden vastgesteld of er tussen de klassen een empirische
volgorde-relatie bestaat. We zullen nu aangeven aan welke voorwaarden een
empirisch systeem moet voldoen om comparatief genoemd te kunnen wor­
den. De equivalentie-relatie zullen we als E schrijven, de volgorde-relatie
zullen we als V noteren.
Van een equivalentie-relatie zal men dan eisen dat zij reflexief, symme­
trisch en transitief is. In termen van relatie-logica formuleert men deze voor­
waarden als volgt:
1 Voor iedere x geldt xEx. Elk object uit ons domein is, voor zover het dit
domein betreft, gelijk aan zich zelf. Deze voorwaarde wordt op logische
gronden gesteld.
2 Voor iedere x en y geldt dat als xEy ook yEx. Als x equivalent is aan y,
dan is y ook equivalent aan x. Of aan deze voorwaarde voldaan is, zal
experimenteel moeten worden uitgemaakt.
3 Voor iedere x, y en z geldt als xEy en yEz ook xEz. Als x equivalent is
aan y en y is equivalent aan z, dan is ook x equivalent aan z. Ook ten
aanzien van deze voorwaarde geldt dat de wijze waarop we de equivalen­
tie empirisch bepalen, maakt of hieraan voldaan wordt: de ruilwaarde
van een object moet zodanig bepaald zijn, dat als ze voor x en y, resp. y
en z gelijk is, ze ook voor x en z gelijk is.
 Ten aanzien van de volgorde-relatie worden de voorwaarden geformuleerd:
4 a. Voor iedere x geldt dat als xEx dan xVx, of nog royaler:
b. Voor iedere x en y geldt dat als xEy dan xVy. Aan deze voorwaarde
van irreflexiviteit is altijd voldaan krachtens een eis van logische consis­
tentie, die aan het systeem in deze zin gesteld wordt, dat men er van
uitgaat dat als twee objecten even zwaar zijn, de een niet zwaarder is dan
de ander. De uitdrukking 4a behoeft eigenlijk niet expliciet vermeld te
worden, daar ze met behulp van xEx uit 4b is af te leiden.
5 a. De volgorde-relatie is asymmetrisch: voor iedere x en y geldt dat als
xVy dan yVx. Als x zwaarder is dan y, dan is y niet zwaarder dan x.
Deze asymmetrie kan nog nader bepaald worden als een transitiviteit:
b. Voojr iedere x, y en z geldt dat als xVy en yVz ook xVz. Ook in dit
geval behoefde de uitdrukking sub a niet vermeld te worden, daar deze
middels 4a uit 5b afleidbaar is.
Een systeem dat aan de voorwaarden 1 t/m 5 voldoet, noemt men partieel
geordend. De ordening is niet volledig, omdat nog niet geëist is dat voor elk
paar objecten de equivalentie- dan wel de volgorde-relatie geldt. We voegen
daarom als voorwaarde toe:
6 Voor iedere x en y geldt (xEy) v (xVy) v (yVx). x is ofwel gelijk aan y,
ofwel gaat vooraf aan y, ofwel volgt op y.
 Als ook aan deze laatste voorwaarde voldaan is houdt het systeem een
volledige comparatieve ordening in, in de anglo-saksische literatuur ook wel
quasi-serial ordering genoemd. De objecten uit ons domein van onderzoek
zijn dan alle in klassen ondergebracht en tussen deze klassen bestaat een
m a b blz. 145

geregelde volgorde. Op veel effectievere wijze dan binnen het kader van een
loutere klassificatie, zijn we nu in staat om objecten met elkaar te vergelij­
ken en ons begrip van zaken tot uitdrukking te brengen. Zelfs waar klassifica­
tie de facto een verdeling van objecten over een even groot aantal klassen te
zien zou geven als door comparatieve ordening verkregen kan worden, het­
geen overigens meestal niet het geval is, biedt deze laatste door de mogelijk­
heid om ook van een volgorde-relatie gebruik te maken, naast het voordeel
van de eenvoudigere operatie voor het bepalen van de klasse waarin het
object thuis hoort, ook het voordeel van de onderlinge positiebepaling van de
klassen. We behoeven in dit verband slechts te wijzen op de mogelijkheid om
met een balans een veelheid van objecten naar opklimmend gewicht te rang­
schikken. Op overeenkomstige wijze kan men met behulp van een thermo­
meter objecten naar toenemende warmtegraad ordenen en kan men met
behulp van een krasproef mineralen op hun hardheid met elkaar vergelijken.
Tenslotte blijkt de comparatieve ordening in veel gevallen ook een vrucht­
baar uitgangspunt van voortgezet onderzoek te zijn. Op de bijdrage voor het
kwantitatieve onderzoek zullen we nog uitvoerig ingaan. Het voorbeeld van
het periodiek systeem van de elementen in de scheikunde moge herinneren
aan de, in verband met deze systematisering, nieuw verworven inzichten met
betrekking tot de eigenschappen van chemische verbindingen en de regelma­
tigheden die zich daarbij blijken voor te doen.
 Hoewel we, zoals in het voorbeeld van de hardheidsgraden van mineralen,
er niet altijd in slagen om een comparatieve ordening in een kwantificerende
over te voeren, doen comparatieve begrippen zich toch als eerste aanleg van
kwantitatieve begrippen voor, en biedt de comparatieve ordening in veel
gevallen een adequaat uitgangspunt voor de constructie van een kwantitatief
systeem. Onder kwantificatie kunnen we dan ook een operatie verstaan,
waardoor aan objecten die door een equivalentie- en volgorde-relatie compa­
ratief geordend zijn, door middel van een bepaalde functie f getallen worden
toegevoegd, die deze comparatieve verbanden enerzijds handhaven en ander­
zijds nader specificeren. De equivalentie relatie xEy gaat daarbij over in twee
gelijke getallen, de volgorde relatie xVy levert de getallen f(x) < f(y) op.
Deze kwantificerende operatie houdt een objectivering van de comparatieve
relaties in en bewerkstelligt een isomorfie tussen het getalbereik en de klas­
sen van de comparatieve ordeningsrij. De voorwaarden waaraan f ter interpre­
tatie van de equivalentie- en volgorde-relatie moet voldoen, zijn dan ook:
7 De functie f moet aan iedere x uit ons domein een reëel getal f(x)
toevoegen.
8 a. Voor iedere x en y geldt dat als xEy dan ook f(x) = f(y).
9 a. Voor iedere x en y geldt dat als xVy dan ook f(x) < f(y).
Op grond van de voorwaarden 1 t/m 5 die de equivalentie- en volgorde-relatie
nader bepalen, geldt dan eveneens:
8 b. Voor iedere x en y geldt dat als f(x) = f(y) dan ook xEy.
9 b. Voor iedere x en y geldt dat als f(x) < f(y) dan ook xVy.
 Door de functie f aan deze voorwaarden te binden, zijn we in staat om aan
de objecten die deel uitmaken van een comparatieve ordeningsrij op eendui­
dige wijze getallen toe te voegen, waarbij de empirische equivalentie- en
m a b blz. 146

volgorde-relaties in „gelijk als” en „kleiner dan” relaties voor getallen over­
gaan. De getallen die op deze wijze aan de objecten uit ons domein van
onderzoek worden toegevoegd, geven een bepaalde rangorde aan en vormen
een zgn. ordinale schaal. Deze schaal is uiteraard invariant voor monotone
transformaties.
Veeleer dan ranggetallen beoogt de kwantisering van een comparatieve
ordeningsrij echter maatgetallen op te leveren. We zijn niet zozeer in de
toekenning van getallen als oplopende nummering van comparatieve klassen
geïnteresseerd, als wel in de mogelijkheid om gebruik te maken van de opera­
ties, die met het getalmatig karakter van de toegevoegde grootheden samen­
hangen. Om dit te bereiken zal met name voorwaarde 9 nader gespecificeerd
moeten worden. Hiervan hangt dan tevens af of we in feite zgn. extensieve
grootheden, dan wel intensieve grootheden invoeren. Op beide mogelijkhe­
den om een ordeningsrij te kwantiseren zullen we nu nader ingaan.
 Wat dan de kwantisatie met behulp van extensieve grootheden betreft,
;aat
om een ordening, waarin aan objecten bijvoorbeeld een bepaalde
fengtehetuitgedrukt
in meters, een bepaald gewicht in grammen, of een bepaal­
de prijs in guldens wordt toegekend. Om tot een dergelijke ordening te
komen, zullen we allereerst een eenheidswaarde voor de betreffende groot­
heid moeten invoeren. Dit houdt over het algemeen de keuze van een object
of gebeurtenis in, welke gemakkelijk te reproduceren is en waaraan een
standaardwaarde, bijv. 1, wordt toegekend. De keuze van zo’n eenheid komt
binnen een empirische kontekst tot stand, en is in deze zin dan ook geen
louter formele aangelegenheid. Dat komt nauwelijks tot uiting in de keuze
van de kilo als gewichtseenheid naar het prototype dat in Parijs bewaard
wordt, ofschoon ook deze keuze door allerlei empirische randvoorwaarden
omringd is. Duidelijker komt dat tot uitdrukking in de keuze van de meter
als lengte-eenheid: volgens artikel 1 van de ijkwet van 1937 is de meter „de
lengte gelijk aan 1650763,73 golflengten, in het luchtledige, van de straling,
overeenkomend met de overgang tussen de toestanden 2 p! 0 en 5 d5 van het
atoom krypton 86”.
 Behalve de vaststelling van een standaardwaarde, veronderstelt de invoe­
ring van een extensieve grootheid ook de mogelijkheid, om met behulp van
een empirische operatie de objecten van onderzoek te combineren op een
wijze die vergeleken kan worden met de wiskundige additie-operatie. De
invoering van extensieve grootheden houdt dan ook slechts een adequate
kwantisering in, als de objecten uit een comparatieve ordeningsrij op een
zodanige wijze empirisch gecombineerd kunnen worden, dat het door de
functie f aan deze combinatie toegevoegd getal, gelijk is aan de som van de
getallen die door deze functie aan ieder van de afzonderlijke objecten werd
toegevoegd. Men formuleert dit meestal als: voor iedere x en y uit ons
domein geldt dan f(xoy) = f(x) + f(y), waarbij het teken o voor een empi­
rische combinatie staat, zoals het naast elkaar plaatsen van gewichten, het bij
elkaar voegen van vloeistoffen, het achter elkaar leggen van maatlatten of het
gezamenlijk aanbieden van goederen. De getallen f(xj) zijn nu maatgetallen
geworden en kunnen op een zgn. verhoudingsschaal ondergebracht worden.
De maateenheden kunnen daarbij verschillend gekozen worden: men kan
m a b blz. 14 7

gebruik maken van een centimeterschaal, maar men kan ook meten met een
duimstok. De schaal is voor de keuze van de eenheid invariant.
 Door op deze wijze, geheel in overeenstemming met de voorwaarden 7, 8
en 9, een comparatieve ordeningsrij extensief te kwantiseren, heeft men dus
een verband aangebracht tussen enerzijds de empirische relaties E en V en de
empirische operatie o, en anderzijds de rekenkundige relaties = en < en de
rekenkundige operatie +. Het ligt dan ook voor de hand dat aan de op deze
laatste relaties en operatie betrekking hebbende geldige rekenkundige uit­
spraken, empirische uitspraken op basis van de E en V relaties en de operatie
o beantwoorden. Bij wijze van voorbeeld zullen we enige daarvan geven en de
laatste daarvan, eveneens bij wijze van voorbeeld, nader toelichten.
a. Voor iedere x en y geldt (xoy) E (yox). In een extensief gekwantiseerd
systeem maakt het niet uit of we x bij y voegen, dan wel y bij x voegen. De
operatie o is commutatief.
b. Voor iedere x, y en z geldt x o (yoz) E (xoy) o z. De operatie o is
associatief.
c. Voor iedere w, x, y en z geldt dat als wEx en yEz dan ook (woy) E (xoz).
d. Voor iedere w, x, y, en z geldt dat als wEx en yVz dan ook (woy) V
(xoz). Immers, als wEx en yVz dan geldt volgens 8a en 9a: f(w) = f(x) en
f(y) < f(z). Op rekenkundige gronden volgt dan f(w) + f(y) < f(x) + f(z).
Volgens 9b geldt dan echter ook (woy) V (xoz), wat we bewijzen moesten.
 Hoe gestroomlijnd dit alles er ook uitziet, men moet zich overigens toch
realiseren, dat het zonder meer van de objecten, waarmee men bezig is,
afhangt, of een dergelijke kwantisering mogelijk is. Men zal bijvoorbeeld ten
aanzien van de sub a geformuleerde uitdrukking maar moeten afwachten of
de prijs van een aantal goederen niet afhankelijk is van de volgorde waarin ze
aangeboden worden. En hoewel men in een adequaat gekwantiseerd systeem
mag stellen, dat f(x!Ox2o . . . o xn) = f (x!) + f(x2) + . . . + f(xn), is het niet
aan te nemen, dat voor een bepaald goed de markt zo inelastisch is, dat de
prijzen ook bij sterke vergroting van het aanbod onveranderd blijven. Gold in
de klassieke mechanica dat snelheden additieve grootheden waren, in de zin
dat als een object a zich ten opzichte van een object b met een snelheid V!
voortbeweegt en het object b zich in dezelfde richting ten opzichte van een
object c met een snelheid v2 voortbeweegt, de snelheid v3 waarmee object a
zich ten opzichte van object c voortbeweegt, uitgedrukt kon worden als v3 =
vi + v2, thans weet men dat het hier niet om additieve grootheden kan gaan
Vl +V2
_
_
_
en dat geldt v3 = + viV2 waarin c de lichtsnelheid voorstelt. Op overeen­
komstige wijze zijn hoeken die lijnstukken met elkaar maken additieve groot­
heden, maar zijn de sinusfuncties van deze hoeken dat niet: sin ot + sin (3
sin (a + P). Men wordt in al deze gevallen dan ook voor de keuze gesteld om
van een extensieve kwantisering af te zien dan wel om de E en V relaties
alsook de combinatie-operatie o zodanig te wijzigen of empirisch te conditio­
neren, dat extensieve kwantisering mogelijk wordt. Dat deze laatste oplossing
in het kader van het onderzoek niet altijd de meest wenselijke is, moge aan
de hand van de gegeven voorbeelden duidelijk zijn. Daar staat tegenover dat
m a b blz. 148

de combinatie-operatie veelal ook weer niet zo beperkt empirisch bepaald is,
dat extrapolaties in deze als ongeoorloofd beschouwd worden. Ook waar
objecten te groot zijn om op de schalen van een balans geplaatst te worden,
acht men naar analogie van de additieve eigenschap der reële getallen het
gewicht van meerdere van deze objecten gelijk aan de som van de gewichten
der afzonderlijke objecten.
 Tot slot merken wij in dit verband nog op, dat de waarde van een bepaalde
grootheid dikwijls op verschillende wijze d.i. volgens verschillende o-operaties bepaald wordt. Men kan de afstand tussen twee objecten bepalen door
deze met behulp van een duimstok op te meten of door een driehoeksmeting
te verrichten. Het is slechts op grond van praktische overwegingen, die met
name betrekking hebben op de uitvoerbaarheid van de meetoperatie, dat
men aan de ene werkwijze de voorkeur geeft boven de andere. De afstand
tussen een vliegtuig en een zeker punt op aarde meet men met behulp van
radar-echo-bepalingen, de afstand tussen twee atomen in een kristal stelt men
met behulp van een röntgen-analyse vast. De empirische operaties die aan een
dergelijke afstandsmeting ten grondslag liggen zijn verschillend, de grootheid
die gemeten wordt is echter steeds dezelfde. Slechts weinig auteurs stellen
zich op het standpunt dat dientengevolge ook over verschillende grootheden
gesproken zou moeten worden. Wel wordt afhankelijk van deze empirische
operaties, en evenzeer uit praktische overwegingen, een grootheid soms in
verschillende eenheden uitgedrukt - hoeken in graden en radialen, afstanden
in lichtjaren, kilometers en golflengten -, maar deze zijn, zoals we in het
voorbeeld, dat we aan de ijkwet ontleenden, zagen, steeds tot elkaar herleid­
baar.
 Hoewel de specificatie van bovengenoemde voorwaarde 9 die tot de invoe­
ring van extensieve grootheden leidde, in vele gevallen een bruikbare kwantisering van een comparatieve ordeningsrij mogelijk maakt, is deze ten aanzien
van comparatief geordende objecten waarvoor, zoals met betrekking tot de
relatieve snelheid van een object of de rentabiliteit van een kapitaal, de
rekenkundige additie geen analogon voor een empirische combinatie-operatie
biedt, inadequaat. Het is ter bepaling van de gedachte misschien nog het
gemakkelijkste om bij wijze van voorbeeld te bedenken, dat als twee vloei­
stoffen bij elkaar gevoegd worden, de temperatuur van de bij elkaar gevoegde
vloeistoffen niet gelijk is aan de som van de temperaturen van de oorspronke­
lijke vloeistoffen. Toch gaat het om objecten, die met betrekking tot hun
warmtegraad comparatief geordend kunnen worden en wier ordening getalmatig zo kan worden vastgelegd, dat de empirische equivalentie- en volgorde-relaties behouden blijven en dat aan de voorwaarden 7, 8 en 9 voldaan
is. De vraag is dan ook op welke wijze voorwaarde 9 nader bepaald moet
worden om ook in dit soort gevallen een kwantisering te verkrijgen, die ons
toestaat met maatgetallen te werken en in aansluiting daarop van een me­
trische schaal gebruik te maken. Allereerst doet zich dan weer het probleem
van de keuze van een waarde-eenheid voor. Ook hier wordt daarvoor een
beroep gedaan op een empirisch gemakkelijk reproduceerbare situatie en,
omdat een empirische combinatie die vergeleken zou kunnen worden met
m a b blz. 149

een rekenkundige additie niet voorhanden is, in dit geval zelfs op twee van
zulke situaties, waaraan dan de waarden 0 en 1 of 0 en 10 of een tweetal
andere verschillende vaste waarden als aftelpunt geassigneerd worden. Met
betrekking tot een temperatuurbepaling zou men daar bijvoorbeeld smel­
tend ijs en kokend water voor kunnen kiezen en er de waarden 0 en 1 aan
toevoegen. De eenheidswaarde van de grootheid is daardoor in principe vast­
gelegd. Maakt men bij zijn waarneming nu gebruik van een kwikthermome­
ter, dan refereert men in deze aan het verschil in lengte van de kwikkolom
dat optreedt als men de thermometer in smeltend ijs en vervolgens in kokend
water houdt. Om praktische redenen kan men natuurlijk ook een fractie van
deze waarde bijv. 1/100 deel als eenheid aanhouden.
 In het hier gekozen voorbeeld, waarin voorwerpen naar warmtegraad
(comparatief) geordend worden, gaan we ten behoeve van deze ordening uit
van een basis-experiment, n.1. het inbrengen van een kwikthermometer, waar­
bij aan de equivalentie-relatie voldaan wordt in alle gevallen waarin de kwik­
kolom van de thermometer tot eenzelfde hoogte stijgt, en aan de volgorderelatie wanneer de kwikkolom in het ene geval hoger stijgt dan in het andere.
 Verder hebben we de beschikking over een grootheid f die ons in staat stelt
om aan de objecten uit ons domein ranggetallen toe te voegen, en hebben we
de eenheid van deze vastgelegd door f aan twee gekozen situaties twee zeer
bepaalde waarden te doen toevoegen. De functie f is daardoor echter nog
niet voldoende gepreciseerd om aan ieder object of aan iedere situatie die tot
ons domein behoort op eenduidige wijze een getal toe te voegen. De wijze
waarop dit nu ten aanzien van intensieve grootheden geschiedt, is, dat men
aan f de voorwaarde oplegt om aan equivalent geachte verschillen in empiri­
sche situaties, gelijke getalwaarde-verschillen toe te voegen. Wanneer de si­
tuaties w en x met betrekking tot het basis-experiment onderling op dezelfde
wijze van elkaar verschillen als de empirische situaties y en z, wordt van f een
getalmatig gelijke waardering van deze verschillen verwacht. Stelt men het
verschil in empirische situatie door het symbool ~ voor, dan zou men deze
eis met gebruikmaking van de reeds bekende symbolen als volgt kunnen
formuleren: als geldt (w ~ x) E (y ~ z) dan geldt ook f(w) — f(x) = f(y) —
f(z). Met betrekking tot ons voorbeeld betekent dit, dat als bij een warmtegraadmeting van w en x het verschil in lengte van de kwikkolom even groot is
als het verschil dat optreedt bij zo’n meting van y en z, dan ook het temperatuurwaardeverschil tussen w en x getalmatig even groot is als dat tussen y en
z. De grootheid f is dan zodanig bepaald dat zij aanleiding geeft tot de
invoering van een metrische schaal, i.c. een zgn. interval-schaal en dat zij aan
de objecten uit ons domein dus maatgetallen toevoegt. Deze schaal is in­
variant voor lineaire transformaties, d.w.z. transformaties van de vorm x1 =
ax + b waarbij zowel a als b ongelijk 0 zijn: men kan de temperatuur meten
in graden Celsius maar ook in graden Fahrenheit.
 Ook ten aanzien van intensieve grootheden moet men er overigens op
bedacht zijn dat de invoering ervan gebonden is aan een empirische opera­
tie, die zodanig gekozen is dat aan de bovengestelde voorwaarden voldaan
wordt, en dat het niet vanzelfsprekend is dat zo’n empirische operatie de
facto ook altijd gevonden wordt. Evenals met betrekking tot extensieve
m a b blz. 150

grootheden gaat het bovendien om de best mogelijke keuze van zulk een
operatie en wordt er een beroep gedaan op empirische wetmatigheden; ook
hier is men in laatste instantie dus van ervaringsgegevens afhankelijk. Dat
verklaart waarom er ook ten aanzien van de invoering van intensieve groot­
heden soms meerdere basis-operaties ter beschikking staan; ik denk daarbij
aan de temperatuurbepaling met behulp van een kwikthermometer, ge­
baseerd op de vrij regelmatige uitzetting van kwik bij verwarming (dat deze
uitzetting „vrij regelmatig” is wordt overigens vastgesteld door vergelijking
met een gasthermometer die berust op het limietgedrag van zeer verdunde
gassen), en de meting met behulp van een thermo-element waarbij een be­
roep gedaan wordt op het feit dat de contactpotentiaal tussen twee metalen
bij verwarming toeneemt. Het verklaart ook, dat we in veel gevallen door
onvoldoende inzicht in de voorhanden materie niet tot adequate kwantisering kunnen komen, zoals in het geval van de beoordeling van iemands
muzikaliteit, zijn vermogen om zich te concentreren, zijn vermogen om lei­
ding te geven e.d. We ondernemen op dit vlak wel schuchtere pogingen denk aan de vaststelling van iemands intelligentie-quotiënt, de meting van
iemands prestatie-motivatie e.a. - maar we zijn er ons tegelijkertijd van
bewust hoe beperkt de operationele waarde van deze kwantisering is. Het
lijdt echter geen twijfel, dat naarmate het onderzoek voortschrijdt en de
onderzoekers er beter in slagen om hun domein van onderzoek te structure­
ren, naast een kwalitatieve aanpak van de problemen de mogelijkheden voor
een kwantitatieve aanpak groeien.
 Een dergelijke aanpak ware ook te wensen in verband met de grotere
begripsdifferentiatie die door kwantisering tot stand komt. We hebben er op
gewezen dat men door kwantitatieve relaties aan te brengen niet alleen de
beschikking krijgt over een fijnere klassificatie in de zin waarin ook wiskun­
digen over een fijnere verdeling spreken, maar dat er ook een gemetriseerde
ordeningsrelatie wordt aangebracht, waardoor men operaties kan voltrekken
die op een louter kwalitatief stramien niet uitvoerbaar waren. Het gevolg
hiervan is dat men niet alleen tot eenvoudigere en praktisch hanteerbaardere
uitdrukkingen komt - men zou in dit verband bijv. aan de grafisch verwerkte
resultaten van onderzoek kunnen denken - maar dat mede door de mogelijk­
heid om afgeleide grootheden in te voeren, in veel gevallen ook kwantitatieve
inzichten verworven worden die in niet geringe mate verantwoordelijk zijn
voor de explicatieve en predictieve kracht van een wetenschappelijke theorie.
Door hun empirisch gemetriseerd karakter zijn kwantitatieve uitspraken bo­
vendien optimaal toegankelijk voor derden, zodat tenslotte ook aan de me­
thodologische wensen van intersubjectieve duidelijkheid en experimentele
verifikatie-mogelijkheid verder tegemoet gekomen wordt. Wat dit laatste be­
treft zal men echter ook hier niet tot het uiterste kunnen gaan als men bijv.
bedenkt dat de ekonoom de kostprijs van een produkt enerzijds als kontinue
grootheid zal willen opvatten om wiskundige bewerkingen als differentiatie
en integratie uit te kunnen voeren, maar hij anderzijds de wiskundige niet zal
willen volgen waar deze aan de kontinuïteit van zijn verzameling van getallen
ook een dichte verdeling verbindt.
 In dit overzicht is slechts de meest rudimentaire struktuur aangegeven
m a b blz. 151

volgens welke ons kwantitatief denken blijkt te verlopen, en zulks nog op
zeer onvolledige wijze. We hebben daarbij gebruik gemaakt van de standaard-uiteenzetting met betrekking tot dit onderwerp door C. G. Hempel,
gepubliceerd met als titel Fundamentals o f Concept Formation in Empirical
Science, Chicago, 1952. Voor een gedetailleerder inzicht is men aangewezen
op een uitgebreidere analyse met betrekking tot een bepaald vakgebied en zal
men ook een uitvoeriger beroep moeten doen op de wiskundige getallenleen

<r

m a b blz. 152.
