De ontdekking en verklaring van het Zeemaneffect
TERUG IN DE TIJD

De ontdekking en verklaring
van het Zeemaneffect - deel1
Van klassiek tot quantum

36 | Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde | November 2021

Auteur: Jos Engelen

TERUG IN DE TIJ D

In 1896 observeerde Pieter Zeeman de beïnvloeding van het spectrum van natrium
door een extern magneetveld. Er stond hem geen precies model voor ogen van
deze mogelijke beïnvloeding, maar eerdere, overigens onsuccesvolle, pogingen
van Faraday benadrukten voor hem het belang van dergelijk onderzoek. Met de
moderne spectroscopische middelen die hem ter beschikking stonden achtte hij het
van belang een hernieuwde poging te doen. De geobserveerde verbreding van twee
karakteristieke spectraallijnen van natrium trokken onmiddellijk internationaal de
aandacht en Lorentz verschafte een theoretisch kader voor de interpretatie, leidend
tot een eerste bepaling van de e/m-verhouding en in feite tot de ontdekking van het
elektron. Al spoedig bleken de experimentele resultaten een complexer en rijker
patroon te vertonen dan door het initiële model van Lorentz beschreven.
 I

n augustus 1896, 125 jaar geleden, observeerde Pieter
Zeeman, als assistent van Heike Kamerlingh Onnes
verbonden aan het Natuurkundig Laboratorium van
de Universiteit Leiden [1], een verbreding van de twee
karakteristieke spectraallijnen van natrium onder invloed
van een magneetveld. In een artikel voltooid in februari 1897
publiceerde hij de resultaten van een systematisch onderzoek aan het gevonden verschijnsel [2]. Daarin besprak hij
ook een door Lorentz voorgestelde verklaring. Opmerkelijk
is dat Zeeman met deze verklaring het geobserveerde effect
kwantitatief kon interpreteren, zonder dat de theorie van
Lorentz nog gebruik kon maken van het atoommodel van
Rutherford (1911) of van de ideeën van Bohr over (overgangen tussen) stationaire elektronbanen (1913, 1914) en ook
niet van de quantummechanica (Heisenberg in 1925 en
Schrödinger in 1926), noch van de rol van (baan-)impulsmoment en elektronspin (Goudsmit en Uhlenbeck in 1925). Het
Zeemaneffect bleek van centraal belang voor het ontwikkelen van het kwantitatieve begrip van de structuur der materie. De waarnemingen waren de theorie decennia vooruit
[3]. De geschiedenis van het Zeemaneffect valt daarmee in
twee delen uit elkaar. Het eerste deel bestrijkt de ontdekking
in 1896 en de daaropvolgende periode van ongeveer dertig
jaar van intensieve experimentele activiteiten waarin, in 1921,
de balans werd opgemaakt van 25 jaar Zeemaneffect. Het
tweede deel bestrijkt de periode vanaf 1926 waarin de rijkdom aan verschijnselen perfect bleek te passen in de nieuw
ontwikkelde quantumtheorie van de structuur der materie.
(± 5.881 lijnen per centimeter). Voor de metingen in het
magneetveld gebruikte hij een middelgrote Ruhmkorffelektromagneet (figuur 3) met typisch een afstand van
7 mm tussen de poolschoenen en een stroomsterkte van
27 A. (Zeeman schrijft de eenheid van stroomsterkte uit als
“amperes”. De magneetspoelen werden gevoed door accu’s,
de maximaal haalbare stroomsterkte was 35 A.) De magnetische inductie was 10.000 gauss.
 Zeeman vat zijn historische meting samen in weinig
woorden: “Although the means at my disposal did not enable me
to execute more than a preliminary approximate measurement, I yet
thought it of importance to determine approximately the value of the
magnetic change of the period. The widening of the sodium lines to
both sides amounted to about 1/40 of the distance between the said

De meting
Zeeman gebruikte de twee karakteristieke spectraallijnen, de
D1-lijn en de D2-lijn, van natrium voor zijn waarnemingen.
In het bovenste deel van figuur 2 zijn deze lijnen weergegeven zoals ze door een tralie zouden worden afgebeeld.
De afstand tussen de lijnen gebruikte Zeeman om er de
geobserveerde verbreding in het magneetveld (onderste helft
figuur 2) aan te “calibreren”. Als lichtbron gebruikte hij een
door een bunsenbrander tot gloeien gebracht stukje asbest
geïmpregneerd met keukenzout. Voor de spectraalanalyse
had hij de beschikking over een Rowlandtralie (figuur 1)
met een straal van 10 voet (3,05 m) en 14.938 lijnen per inch

Figuur 1. Hol tralie van Rowland. De horizontale strook in het midden van de spiegel is geheel voorzien van uiterst fijne verticale
groefjes op een onderlinge afstand van circa 1/600 mm.
Foto ontleend aan [15].
November 2021 | Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde | 37

TERUG IN DE TIJD

magneet uit
D2

magneet aan
10 kgauss

D1

0,5974 nm
588,9950 nm

589,5924 nm

~0,03 nm

~0,03 nm

Figuur 2. Natrium D-lijnen (links) met ‘splitsing’ (rechts) zoals door Zeeman waargenomen.
lines, the intensity of the magnetic field being about 104 C.G.S. units.
Hence follows a positive and negative magnetic change of 1/40,000
of the period.”
Een interessante terugblik op dit eerste experiment is opgenomen in het nummer van Physica gewijd aan de 25e verjaardag van het Zeemaneffect, in een bijdrage van Kamerlingh
Onnes [4].
 (uit elektrolyse), die voor het waterstofion – met andere
woorden het ging hier om een ‘nieuw’ bestanddeel van de
materie. (Zeeman is overigens heel voorzichtig in zijn formuleringen en houdt vooral een slag om de arm betreffende
de theorie: “Of course this result from theory is only to be considered
as a first approximation.”)

De meting – kwantitatieve uitwerking

Ten tijde van de ontdekking van het Zeemaneffect was de
structuur der materie en met name het atoommodel van
Rutherford-Bohr nog niet bekend, wel had Lorentz ideeën
over de samenstelling van materie in termen van ‘geëlektrificeerde’ deeltjes. Zijn inzichten, gebaseerd op de elektrodynamica (op de Maxwellvergelijkingen) had hij bij elkaar
gebracht in een in 1895 uitgegeven boek [6]. In het bijzonder
nam hij aan dat de moleculen ‘ionen’ (de nog onontdekte
elektronen [7]) bevatten die aan een evenwichtstoestand
gebonden waren. Trillingen rond deze evenwichtstoestand
veroorzaken lichtgolven. Zeeman presenteert in [2] een concreet en eenvoudig model van een trillend elektron, gebonden aan een evenwichtstoestand. Bij het aanleggen van een
~,
extern magneetveld veroorzaakt de Lorentzkracht – e~v ⇥ H
v is de snelheid van het elektron – een verandering van de
trillingstijd T die eenvoudig is te bepalen door het oplossen
van de bewegingsvergelijkingen. De trillingstijd T zelf is overigens niet te bepalen omdat de kracht waarmee het elektron
aan de evenwichtstoestand gebonden is niet kwantitatief
bekend is. Zeeman lost de bewegingsvergelijkingen op voor
een ‘harmonische kracht’ – een kracht evenredig met de
afstand tot het evenwichtspunt en daarheen gericht – (zie
kader Afleiding van de verschuiving van de spectraallijnen (Lorentz),
de bewegingsvergelijkingen zijn dan precies die van de slinger van Foucault) en vindt voor de fractionele verandering
∆T van de trillingstijd T (c.q. frequentieverandering ∆ν):

De resolutie die Zeeman met zijn opstelling kon bereiken
was nog onvoldoende om de opsplitsing van de spectraallijnen in de nu bekende multipletten te zien, aanvankelijk
zag hij slechts een verbreding ervan onder invloed van het
magnetische veld. De verbreding van de lijnen naar iedere
kant bedroeg ongeveer 1/40 van de afstand ertussen. De
afstand tussen de twee natriumlijnen bedraagt ∼ 0,6 nm
(figuur 2), dat komt in goede benadering overeen met 1/1000
van de golflengte en dus van de trillingstijd van het licht van
deze lijnen.
 Volgens de theorie van Lorentz (zie hieronder) bedraagt de
verandering van de trillingstijd T onder invloed van een magneetveld H een fractie ∆T/T = ±(e/m)HT/4π. De frequentie2
verandering is dan ∆ν = ∆T/T = ±(e/m)H/4π. Hier is e de
lading van de trillende ‘lichtionen’ (de nog niet ontdekte
elektronen) en m de massa ervan, en H de magnetische inductie van de elektromagneet. De betekenis van het plus- en
minteken zal later duidelijk worden, voor nu constateren we
dat de verschuiving van de bestudeerde spectraallijnen dus
een fractie ±(e/m)HT/4π van de trillingstijd bedraagt. Uit:
(e/m)HT/4π = 1/40.000

(1)

vinden we: e/m = (π/2) 107 ‘electromagnetic C.G.S. units’
zoals Zeeman de eenheid noemt. Hij geeft als resultaat
e/m ∼ 107 en benadrukt dat het slechts gaat om een eerste
ruwe meting. (In SI-eenheden komt dit resultaat overeen
met 1011 C/kg; de nu bekende waarde van e/m bedraagt
1,75 · 1011 C/kg.) Dit resultaat, daterend van vóór de ontdekking van het elektron door Thomson [5], was destijds heel
opmerkelijk, namelijk drie ordes groter dan de grootste
waarde voor een dergelijke verhouding tot dan toe bekend
38 | Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde | November 2021

De theorie van Lorentz

e H
e HT
T
oftewel ⌫ = ±.
=±
m 4⇡
T
m 4⇡

(2)

Zoals in het kader uitgelegd, neemt de frequentie toe voor
elektronen die, als gevolg van het magneetveld een omlooprichting tegen de as van het veld krijgen en vice versa.
Vergelijking 2 is een van de ‘klassiekers’ uit de natuurkunde

TERUG IN DE TIJ D

Figuur 3. Door Zeeman gebruikte elektromagneet van Ruhmkorff.
 Tussen de cilindervormige spoelen zijn ‘paraboloïde’ poolschoenen zichtbaar. Onder de poolschoenen werd een bunsenbrander geplaatst en in de vlam, precies tussen de poolschoenen,
werd een met keukenzout doordrenkt stukje asbest tot gloeien
gebracht. Via een spleet werd het licht op een tralie afgebeeld en
werden de spectraallijnen van het van het tralie terugkaatsende
licht met een loep opgemeten. Foto ontleend aan [15].
(en blijft geldig in de quantummechanica) en zou niet misstaan tussen de Leidse muurformules [8]!

Polarisatie: op zoek naar
doubletten en tripletten
In het kader van de denkbeelden van Lorentz was ook de polarisatie van de verschoven spectraallijnen te voorspellen. En
ook die werd door Zeeman gemeten, in overeenstemming
met de voorspellingen. We stellen ons, met Lorentz, een in
een magneetveld periodiek bewegend elektron voor. Er zijn
drie mogelijkheden: loodrecht op het magneetveld kan het
elektron een baan ‘linksom’ of ‘rechtsom’ doorlopen. In
de richting van het magneetveld trilt het elektron onverstoord. De rond bewegende elektronen zenden circulair
gepolariseerd licht uit in de richting van de draaias en lineair
gepolariseerd licht loodrecht op deze as. De in de richting
van het magneetveld trillende elektronen zenden lineair
gepolariseerd licht uit, loodrecht op hun bewegingsrichting.
 Al deze mogelijkheden zijn samengevat in figuur 4. Deze
voorspellingen van Lorentz werden door Zeeman al in de
eerste publicatie [2] bevestigd. De randen van de verbrede lijnen waren in de richting van het veld circulair gepolariseerd
en loodrecht daarop transversaal. (Voor de waarnemingen in
de richting van het veld moesten gaten in de poolschoenen
worden geboord.)
Het oplossend vermogen was echter onvoldoende om de
voorspelde ‘doublets’ en ‘triplets’ als afzonderlijke lijnen te
zien. Nog in hetzelfde jaar (1897) wijdt Zeeman, inmiddels
werkzaam in Amsterdam, een publicatie [9] aan pogingen
deze doubletten en tripletten waar te nemen. Het lukt hem
om de blauwe cadmiumlijn (480 nm) gesplitst te zien, met
de verwachte polarisatie-eigenschappen (figuur 4). Het
rechtshandig circulair gepolariseerde licht blijkt naar de lagere frequentie verschoven te zijn leidend tot de belangrijke
conclusie dat de ‘trillende’ deeltjes negatief geladen zijn.
In [2] vond Zeeman overigens het verkeerde resultaat [10],
nu dus rechtgezet in [9] [11].
Maar het lukte hem niet ook voor de natriumlijnen eenduidige ‘doublets’ en ‘triplets’ waar te nemen. Wel voerde hij
een verbeterde bepaling van e/m uit door een preciezere
meting van de verbreding van de natriumlijnen. Voor e/m

vond hij: e/m = 1,6 · 107 elektromagnetische c.g.s. eenheden,
een resultaat [12] binnen 10% van de nu bekende waarde (zie
echter de gedetailleerde bespreking van de natriumlijnen
in het tweede deel van dit artikel: ze splitsen niet op in de
standaard-tripletten waar Zeeman van uitging).
Zoals we nu weten vertonen de D1- en D2-lijnen van natrium een complexere Zeemansplitsing dan de eenvoudige
doubletten en tripletten waarnaar Zeeman op zoek was.
 Loodrecht op het veld splitst de D1-lijn op in een quadruplet
en de D2-lijn in een sextuplet. We komen hier later op terug:
een volledige verklaring van dit patroon is pas mogelijk met
behulp van de quantummechanica en door het intrinsieke
impulsmoment, de spin, van elektronen in rekening te
brengen.
Het is opmerkelijk hoe snel Zeemans internationale naam en
faam gevestigd werden. Zijn eerste publicatie [2], ingestuurd
in februari 1897, werd nog gepubliceerd op aanbeveling van
Oliver Lodge, net als deel 1 van [9], maar deel 2, ingestuurd
begin juli 1897 had geen aanbeveling meer nodig. Zijn werk
had toen al ruim internationaal de aandacht getrokken,
onder andere van Michelson.
Opmerkelijk is ook dat Zeeman vermeldt dat hem in
Amsterdam niet zo’n goed (‘helder’) Rowlandtralie ter
beschikking stond als in Leiden: ook toen was de beste
wetenschappelijke infrastructuur van belang voor het beste
onderzoek! Voor een deel van de metingen kon hij evenwel
gebruik maken van een in Groningen geleend tralie, dat
heldere lijnen produceerde.
 Het aanvankelijke enthousiasme over de doorbraak die het
Zeemaneffect betekende voor het begrip van de structuur
der materie in termen van rond evenwichtstoestanden
bewegende lichte, negatieve deeltjes – elektronen – werd
in latere jaren enigszins getemperd door waarnemingen
van complexere Zeemansplitsingen waar geen verklaring
voor bestond. We citeren Lorentz, die in 1921 zei [13]:
“Zeemans in 1913 verschenen samenvattend werk Researches
in magneto-optics geeft een levendigen indruk van de
toewijding en de nauwgezetheid waarmede hij, in latere
jaren door verdienstelijke leerlingen bijgestaan, voortging
de verschijnselen tot in de kleinste bijzonderheden te
bestudeeren, en het litteratuur-overzicht aan het slot
November 2021 | Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde | 39

TERUG IN DE TIJD

AFLEIDING VAN DE VERSCHUIVING VAN
DE SPECTRAALLIJNEN (LORENTZ)
Het magneetveld H wijst in de positieve z-richting, de
beweging van de elektronen vindt plaats in het xy-vlak. (In
de z-richting wordt de beweging door het veld niet beïnvloed.) De elektronen zijn via een harmonische kracht -kx
en -ky (k positief) aan de evenwichtstoestand (x,y)=(0,0)
gebonden. Voor snelheid ( ẋ, ẏ) volgt dan een magnetische
(‘Lorentz’) kracht (eHẏ, -eH ẋ) en volgen de bewegingsvergelijkingen:

mẍ =

kx + eH ẏ

mÿ =

ky

polarisatie L

eH ẋ

rotatie L

Voor H = 0 volgt een oplossing voor x(y) met een tijdsafhankelijkheid p
gekarakteriseerd door een frequentie
⌫0 = (1/2⇡) k/m. We kunnen voor x + iy ⌘ r de
bovenstaande differentiaalvergelijkingen, met H ‘ingeschakeld’ schrijven als:

r̈ + 4⇡ 2 ⌫02 r =

en met ‘Ansatz’ r = Re
Als eH/4πm « ν 0 volgt:

⌫0 = ±

polarisatie T

ν + ∆ν

polarisatie R

eH
ṙ
i
2⇡m
±2πiνt

⌫

magneetveld

rotatie R
volgt dan een oplossing voor ν.
 eH
4⇡m

ν - ∆ν

ν

oscillatie

De oscillatie van het elektron kan gezien worden als een
superpositie van twee tegengestelde cirkelbewegingen.
In het magneetveld worden de omloopfrequenties iets
verschillend. Het plus(min)teken komt overeen met een
draairichting van het elektron tegen (langs) de richting van
het magneetveld.
Figuur 4. Polarisatie van het licht uitgezonden loodrecht op
(transversaal) en in de richting van (longitudinaal) het magneetveld door oscillerende en op een cirkelbaan bewegende
elektronen. Transversaal: horizontaal en verticaal gepolariseerd
licht. Longitudinaal: linkshandig en rechtshandig circulair gepolariseerd licht.
van het boek toont tot hoe groote werkzaamheid de
ontdekking de natuurkundigen allerwege had geprikkeld.
Ongelukkigerwijze kon echter de theorie het experiment
niet in zijne vlucht volgen en was de vreugde over haar eerste
succes van korten duur geweest.”
We zullen in het tweede deel van dit artikel laten zien hoe in
de quantumtheorie van de structuur der materie uiteindelijk
alle gedetailleerde metingen een plaats vonden.
5 J.J. Thomson, XL. Cathode Rays, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical
Magazine and Journal of Science 44-269, 293 - 316 (1897).
6 H.A. Lorentz, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in
bewegten Körpern (1895).
7 Het woord ‘elektron’ of ‘electron’ komt in [6] nog niet voor, maar de ‘ionen’ van
Lorentz zijn precies de elektronen die door Zeeman (en Thomson, ook 1897)
aan het licht werden gebracht. Opmerkelijk genoeg verwijst Zeeman in een
voetnoot in [2] wel al naar de benaming ‘electron’ voor het eerst gebruikt door
Stoney, al in 1891, in een beschrijving van onderzoek aan het emissiespectrum
van natrium.
8 www.muurformules.nl.
9 P. Zeeman, VII. Doublets and triplets in the spectrum produced by external magnetic forces,
The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 44266, 55 - 60 (1897).
 P. Zeeman, XXXIII. Doublets and triplets in the spectrum produced by external magnetic
forces (II.), The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of
Science 44-268, 255 - 259 (1897).
10 lt may be deduced from the experiment of § 20 whether the positive or the negative ion
revolves. If the lines of force were running towards the grating, the right-handed circularlypolarized rays appeared to have the smaller period. Hence in connexion with § 18 it follows
that the positive ions revolve, or at least describe the greater orbit.
11 I must, however, correct my statement in § 24 of my former paper. I now see that if the lines
of force are running towards the grating, the right-handed circularly polarized rays appear
to have the greater period. Hence the radiation is due chiefly to the motion of a negativelycharged particle. Probably my mistake arose from a faulty indication of the axis of the
λ/4-plate used.
12 In [9] wordt als resultaat gegeven 1,6 · 10-10; we nemen aan dat het hier om een
drukfout gaat. De verschuiving was 1/17.800 van de trillingstijd bij een veld van
22.400 Gauss.
13 H.A. Lorentz, De theoretische beteekenis van het Zeeman-effect. Physica 1, 228 - 241
(1921).
14 Dirk van Delft, Heike Kamerlingh Onnes. Een biografie. De man van het absolute nulpunt
(2005).
15 C.J. Bakker en W. de Groot, Pieter Zeeman, Helden van de Nederlandse wetenschap,
95 - 123 (1946).
Jos Engelen is emeritus hoogleraar hoge-energiefysica aan de
UvA/Nikhef. Hij was betrokken bij het wetenschappelijke programma van CERN en DESY en bij de beginfase van Antares (astrodeeltjesfysica). Hij bekleedde onder andere het directoraat van Nikhef,
het wetenschappelijke directoraat van CERN en het voorzitterschap van NWO.
 REFERENTIES EN NOTEN
1 Een uitstekende beschrijving van het pionierswerk van Zeeman is opgenomen
in [14].
2 P. Zeeman, On the influence of magnetism on the nature of the light emitted by a substance, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science,
43-262, 226 - 239 (1897).
3 Bij de viering van de 25e verjaardag van het Zeemaneffect in 1921 zei Lorentz:
“ongelukkigerwijze kon echter de theorie het experiment niet in zijne vlucht
volgen” [13].
4 H. Kamerlingh Onnes, Zeeman’s ontdekking van het naar hem genoemde effect, Physica
1, 241 - 250 (1921).
40 | Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde | November 2021

TERUG IN DE TIJD

De ontdekking en verklaring
van het Zeemaneffect - deel2
Van klassiek tot quantum

Het Zeemaneffect werd ontdekt als een verbreding van spectraallijnen onder
invloed van een magneetveld. Lorentz voorspelde echter geen verbreding maar een
opsplitsing van spectraallijnen in dicht bij elkaar gelegen lijnen: met betere resolutie
werd een dergelijke opsplitsing inderdaad waargenomen. Het patroon bleek in het
algemeen echter veel complexer dan de eenvoudige tripletten en doubletten uit de
theorie van Lorentz en pas drie decennia na de ontdekking van het Zeemaneffect
was het quantumtheoretische model van de structuur der materie zo ver dat alle
precisiewaarnemingen er een plaats in vonden. Anders gezegd: het Zeemaneffect
vormde een belangrijke leidraad voor het ontwikkelen van ons moderne beeld van de
structuur der materie.
 44 | Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde | December 2021

TERUG IN DE TIJ D

Auteur: Jos Engelen

D

e verbreding van twee spectraallijnen van natrium
onder invloed van een extern magneetveld werd
door Pieter Zeeman in 1896 ontdekt. Het was een
ontdekking die, in het kader van theoretische
beschouwingen van Lorentz, leidde tot grensverleggende
inzichten in de structuur der materie en in het bijzonder
tot de ontdekking van het eerste elementaire deeltje, het
elektron. Al snel bleek dat het Zeemaneffect veel meer en
complexere verschijningsvormen kende dan de ‘eenvoudige’ splitsingen van spectraallijnen in tripletten, zoals
door Lorentz verklaard. De experimenten waren de theorie
ver vooruit. Een volledige verklaring van de geobserveerde
opsplitsingen van talloze spectraallijnen en de daarbij optredende polarisaties was pas mogelijk na de verankering
van het atoommodel van Bohr in de quantummechanica,
het in rekening brengen van baanimpulsmoment en de introductie van elektronspin. Dit wordt prachtig geïllustreerd
door een analyse van precisiemetingen aan de natriumlijnen die het onderwerp waren van Zeemans oorspronkelijke
ontdekking.
De theorie van Bohr
In [1] (1913) presenteert Bohr zijn atoommodel en in het
bijzonder een model van spectraallijnen in het licht van
Plancks theorie van zwarte straling en Rutherfords eerdere
atoommodel. In [2] past hij dit model toe op het Starkeffect en confronteert hij het ook met het Zeemaneffect.
De wezenlijke vernieuwingen die Bohr introduceert zijn
‘stationaire’ banen (van elektronen om de atoomkern) en
overgangen van de elektronen tussen deze banen, waarbij
licht wordt uitgezonden of geabsorbeerd met een frequentie overeenkomend met die van de spectraallijnen.
De energie van de uitgezonden straling is gelijk aan het
verschil van de elektronenergie in een hogere baan a en een
lagere baan b en heeft een frequentie zoals de zwarte straling van Planck: ν = (Ea - Eb)/h.
 Deze concepten verdragen zich niet met de klassieke elektrodynamica. In de eerste plaats verliest een elektron dat
beweegt op een cirkel- of ellipsbaan continu energie door
straling, vanwege de versnelling die het ondergaat, en zijn
er dus geen stationaire banen. En in de tweede plaats biedt
de klassieke elektrodynamica geen ‘voorschrift’ om de
overgangen tussen de stationaire banen te beschrijven.
Toch waren Bohrs ideeën in wezen correct, zoals in latere
jaren bleek bij de verdere ontwikkeling van de quantummechanica en de toepassing ervan op atoomstructuur.
Bovendien kon hij zich er met vrucht van bedienen voor
het verklaren van waargenomen lijnspectra en regelmatigheden daarin (zoals onder andere de Balmer- en Rydbergseries), ook de beïnvloeding van spectraallijnen door een
elektrisch veld was op deze wijze te begrijpen (Starkeffect
– voor het eerst waargenomen in 1913, kort voor Bohrs publicatie [2]). De stationaire banen zelf waren volgens Bohr
gewoon ellipsbanen zoals volgde uit de klassieke elektrodynamica. Voor het Starkeffect vindt hij een verschuiving
van de frequentie van de spectraallijnen (van waterstof ) die
de constante van Planck (h) bevat (∆ν ~ (h/em)F, met F de

elektrische veldsterkte van het aangelegde veld; e en m zijn
elektronlading en massa). Zoals Lorentz opmerkt in [3]:
het Starkeffect is dus een typisch quantumeffect zonder
klassiek analogon, anders dan het Zeemaneffect.
Met een verklaring van het Zeemaneffect had Bohr meer
moeite. Wat is de invloed van een extern magneetveld op de
stationaire banen? Volgens een vrij algemeen theorema van
Larmor [4] (zie kader De generalisatie van Larmor) is het effect
dat de ellipsbaan van een atomair elektron gaat roteren om
een as door een van de brandpunten, parallel aan het veld,
en wel met hoekfrequentie (e/2m)H ofwel νL = (e/4πm)H,
we vinden dus precies de vergelijking van Lorentz terug.
 Het resultaat dat Lorentz had gevonden voor trillende
elektronen is ook geldig voor elektronen die een ellipsbaan
doorlopen, zoals in Bohrs model.
Om het Zeemaneffect in te passen in zijn model van stationaire toestanden en overgangen daartussen moest Bohr
een nieuwe aanname toevoegen (anders dan bij de verklaring van het Starkeffect). Immers: elke stationaire toestand
krijgt dezelfde frequentieverandering en uit de overgangen
tussen stationaire toestanden valt deze dus weg. Voor het
inpassen van het Zeemaneffect in zijn theorie moest Bohr
daarom een ‘à-la-carte’-aanname maken: het magneetveld beïnvloedt het proces van de transitie tussen twee
toestanden, en wel zó dat de eerdere quantumvoorwaarde
Ea - Eb = hν wordt vervangen door Ea - Eb = h(ν ± νL).
Opmerkelijk is dat Bohrs theorie van ‘gequantiseerde’
stationaire banen en overgangen daartussen dus geen
verklaring geeft van het Zeemaneffect, maar dat hij aanneemt
dat niet de elektronbanen maar de overgangen ertussen
door het magneetveld beïnvloed worden, op de een of
andere manier. We weten nu dat deze aanname niet correct
was, maar het illustreert eens te meer hoe belangrijk het
Zeemaneffect was voor de ontwikkeling van het atoommodel en, inderdaad, de quantummechanica. De quantisatie
van het baanimpulsmoment van de elektronen bracht
uitkomst.
Impulsmoment
In [3] blikt Lorentz terug op 25 jaar Zeemaneffect en legt
de nadruk op de waarneming van de voorspelde ‘normale’
tripletten bij helium, cadmium, kwik, zink en magnesium.
Zoals we nu weten allemaal elementen met een gevulde,
buitenste s-schil zodat de totale spin van de elektronen nul
is. (Het begrip ‘spin’ werd pas vier jaar na de hierboven
aangehaalde terugblik van Lorentz geïntroduceerd door
Goudsmit en Uhlenbeck). De tripletten ontstaan dan door
elektronen die aangeslagen worden naar de erop volgende
p-baan en vervolgens terugvallen naar de s-baan.
 Door het impulsmoment van een elektron in een zekere
stationaire baan in rekening te brengen kon aannemelijk
worden gemaakt dat de energie van een dergelijk elektron
beïnvloed werd door een extern magnetisch veld, afhankelijk van de oriëntatie van de baan ten opzichte van het magneetveld. Als ook aan het impulsmoment quantumvoorwaarden werden opgelegd kon verder aannemelijk worden
gemaakt dat de energie E1 van een stationaire baan werd
December 2021 | Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde | 45

TERUG IN DE TIJD

DE GENERALISATIE VAN LARMOR
Larmor heeft laten zien [4] dat de frequentieverschuiving
zoals door Zeeman op basis van de theorie van Lorentz
bepaald, niet afhankelijk is van de specifieke aanname
dat het licht wordt uitgezonden door elektronen die aan
een evenwichtstoestand gebonden zijn via een harmonische kracht. Als deze kracht maar symmetrisch is onder
draaiing rond een as die dezelfde richting heeft als het
magneetveld, volgt voor elke kracht dezelfde Zeemansplitsing. Het argument gaat als volgt (bij keuze van de z-as als
de as waarlangs het magneetveld is gericht). De bewegingsvergelijkingen zijn:
(1)
(2)

mẍ eH ẏ = Fx
mÿ + eH ẋ = Fy

Beschouw nu een systeem onderhevig aan dezelfde
‘interne’ krachten, maar zonder magneetveld maar wel
ten opzichte van een assenstelsel dat met hoeksnelheid ωL
roteert om de z-as. Dan zijn de bewegingsvergelijkingen:

mẍ 2m!L ẏ
mÿ + 2m!L ẋ

2
m!L
x = Fx
2
m!L
y = Fy

(3)
(4)

De bewegingsvergelijkingen mét magneetveld H en zonder
veld zijn dus identiek als we eH/2m identificeren met ωL
én als we ω2Lx(y) verwaarlozen ten opzichte van 2!L ẏ(ẋ). Is
dit gerechtvaardigd? Het argument gaat als volgt. ẋ(ẏ) is
van de orde ωx(y) waar ω de hoekfrequentie van de elektronen (en in de klassieke theorie dus van het uitgezonden
licht) is en dus geldt ω » ωL. Omdat 2!L ẏ(ẋ) ⇠ !L ! y(x) en de
2
y(x) is deze derde term te waarlozen.
 derde term ⇠ !L
⌫L ⌘ !L /2⇡ is de zogeheten Larmorfrequentie, gelijk dus
aan de verschuiving die Lorentz gevonden had.
Wegens dit ‘theorema van Larmor’ stond de precieze
keuze door Lorentz van de kracht die de elektronen deed
trillen (een keuze niet in overeenstemming met de kracht
waarmee elektronen aan de kern gebonden zijn, zoals we
die nu kennen) het vinden van het correcte resultaat niet
in de weg.
opgesplitst in k componenten E1 + k ∆E en de energie E2
van een andere baan in E2 + l ∆E componenten, zodat de
bijbehorende spectraallijn componenten op afstand (k - l)
∆E kreeg (met ∆E = ~ ωL en ωL de Larmorfrequentie). Met
behulp van ad hoc-selectieregels (k - l=-1,0,1) kon zo het
oorspronkelijke triplet van Lorentz worden teruggevonden
en in principe ook hogere multipletten. Waarnemingen
van splitsingen die een (rationale) fractie van de standaardwaarde ⌫ = E/h = (e/4⇡m)H bedroegen konden
vooralsnog niet worden verklaard.
 Het jubileumartikel [3] van Lorentz werd weliswaar
geschreven 25 jaar na de ontdekking van het Zeemaneffect, maar ook op een moment dat de volle rijkdom – of
complexiteit
– van de vele waarnemingen nog niet op de juiste waarde
kon worden geschat: dat was pas mogelijk na de verankering van de stationaire banen van Bohr en de overgangen
daartussen in de quantummechanica en na de introductie
van de spin van het elektron. Het artikel straalt daarom een
zekere gereserveerdheid uit. Misschien wordt de gemoeds46 | Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde | December 2021

Figuur 1. Natrium D-lijnen (links) en zoals gesplitst door een
extern magneetveld (rechts). De vette pijlen corresponderen met
∆mj = ±1 overgangen die in de longitudinale richting fotonen in
zuivere heliciteitstoestanden opleveren, aanleiding gevend tot
circulair gepolariseerd licht en in de transversale richting tot
horizontaal gepolariseerd licht. De ∆mj = 0 overgangen geven
in de transversale richting verticaal gepolariseerd licht. ∆ is de
energieverschuiving in ‘eenheden’ (e~ /2m)H. De ‘breedte’ van de
D2-lijn wordt dus (10/3)∆; voor de D1-lijn vinden we (8/3)∆. (De
‘normale’ tripletten van Lorentz hebben een breedte 2∆.)

toestand van Lorentz, die erg de nadruk blijft leggen op
‘zijn’ tripletten, gereflecteerd in zijn opmerking: “In de
moderne theorie der spectra is niets overgebleven van de
vibratoren met quasi-elastische krachten, die men zich
vroeger voorstelde. Toch mag de vraag gesteld worden of
niet ook in die oude opvatting een kern van waarheid lag en
of niet de mogelijkheid bestaat dat zij nog eens, zij het in
vernieuwden vorm, haar plaats in het beeld der verschijnselen herneemt. In elk geval is er veel dat wij zonder die
vroegere denkbeelden moeilijk kunnen begrijpen.” Zo legt
hij ook de nadruk op het door Paschen en Back ontdekte
verschijnsel dat bij relatief zwakke magneetvelden geobserveerde complexe Zeemansplitsingen bij een sterk veld weer
‘convergeren’ naar de normale tripletten.
 Spin – het anomale Zeemaneffect
In [5] laten Goudsmit en Uhlenbeck zien dat bepaalde
spectroscopische metingen beter te begrijpen zijn als aan
de elektronen die aan de spectraallijnen ten grondslag
liggen, behalve een quantumgetal voor het baanimpulsmoment ook een quantumgetal voor een intrinsiek impulsmo~ wordt toegekend. Ook hierbij hoort een magnement S
~ , met g = 2 en de spin S
~ e = g(e/2m)S
tisch moment µ
gelijk aan ±1/2. (De factor g = 2 volgde later uit de hier niet
behandelde relativistische beschrijving van elektronen –
Dirac, 1928).
We weten nu dat de D-lijnen van natrium toe te schrijven
zijn aan overgangen van het ‘ongepaarde’ buitenste (elfde)

TERUG IN DE TIJ D

IMPULSMOMENT EN SPIN
Het magnetisch moment als gevolg van de baanbeweging
~ van een elektron is
met impulsmoment L
e ~
µ
~=
L
(5)
2m
~:
en de potentiële energie in een veld H
Ep =

~
µ
~ ·H

(6)

Is nu ook het impulsmoment gequantiseerd en gelijk aan
m~ dan kan m de waarden 1, 0 en -1 aannemen voor
impulsmoment l = 1 ~ . Voor een overgang l = 1 naar l = 0
kan de spectraallijn dus, als gevolg van een aangelegd
magneetveld, naar kleinere (grotere) golflengte opschuiven
overeenkomend met een frequentieverschuiving
e
(7)
H
4⇡m
precies het triplet van Lorentz.
 Wanneer een atoom ook een netto spin S heeft (als gevolg
van een ‘ongepaard’ buitenste elektron zoals bij natrium)
dan is er een extra bijdrage aan het magnetisch
moment zodat:
⌫ = Ep /h = ±

Figuur 2. Fotografische registratie van het transversale Zeemaneffect van de D1- en D2-lijnen van natrium, bij 36.000 Gauss,
in 1913 door H.R. Woltjer in het Laboratorium van Zeeman te
Amsterdam opgenomen. De oorspronkelijke foto [7] bevat ook de
ongesplitste lijnen, hier gedeeltelijk bedekt door de witte stippellijn. Op de verklaring van deze waarneming moest meer dan een
decennium gewacht worden, zie figuur 1. Merk op hoe mooi de
geobserveerde splitsingen passen bij de verklaring, inclusief de
polarisatie. Bijvoorbeeld: de afstand tussen de verticaal gepolariseerde D2-splitsing is half zo groot als de splitsing van de D1-lijn.
Ook is mooi te zien dat de splitsing van de D1-lijn 80% bedraagt
van die van de D2-lijn, aangegeven door de dubbele pijlen.
 elektron van natrium: tussen de aangeslagen toestand
l = 1 en de grondtoestand l = 0. Het elektron kan echter in
twee spintoestanden voorkomen: s = ±1/2 en zo wordt het
eenvoudige triplet l = 1 → l = 0 veel complexer. Indien de
elektronspin expliciet in rekening moet worden gebracht
spreken we van het anomale Zeemaneffect, voor natrium
zijn de overgangen die aanleiding geven tot opsplitsing van
de D-lijnen weergegeven in figuur 1. De stationaire banen
worden nu gekarakteriseerd door het baanimpulsmoment
s (l = 0) en p (l = 1) en door het totale impulsmoment: 1/2
voor de s-baan en 3/2 of 1/2 voor de p-banen. We zien dat
de D2-lijn in een sextuplet wordt gesplitst en de D1-lijn in
een quadruplet. In figuur 2 reproduceren we een prachtige
experimentele registratie van de opsplitsing van de D-lijnen
van natrium, daterend van ver voor de verklaring ervan. Zie
kader Impulsmoment en spin voor een overzicht ‘met de kennis van nu’. (Een volledige beschrijving van de schilstructuur van atomen vereist de introductie van het Pauli-principe waaraan we hier geen expliciete aandacht besteden).
Polarisatie – heliciteit
Was Lorentz’ voorspelling van de magnetische opsplitsing
van spectraallijnen in principe correct, maar kwantitatief
alleen correct in speciale gevallen, ook de voorspelling van
de polarisatie van het licht van de spectraallijnen houdt in
wezen stand.
 De fotonen, deeltjes met spin = 1, van het licht dat wordt
uitgezonden, kunnen de spin langs de bewegingsrichting

e ~
~
(L + 2S)
(8)
2m
~
~
~
De totale spin J = L + S kan nu waarden aannemen tussen mj = −j, +j zodat nu geldt:

µ
~=

⌫ = Ep /h = g

e
H mj
4⇡m

(9)

g is de zogenaamde Landéfactor
g = 1 + [j(j + 1) + s(s + 1) l(l + 1]/[2j(j + 1)], waar
~ et cetera. (Deze factor brengt in rekening dat µ
~ en
j ⌘ |J|
J~ niet dezelfde richting hebben).
hebben (heliciteit 1) of daartegen (heliciteit -1). Een bundel
fotonen met heliciteit 1 komt overeen met rechtshandig
circulair gepolariseerd licht en vice versa. Een bundel
fotonen met evenveel heliciteit +1 als -1 is transversaal gepolariseerd. Als we nu alle overgangen in figuur 1 nalopen
vinden we de mogelijke polarisatietoestanden terug, in
het bijzonder ook dat in de richting van het magneetveld
(‘longitudinaal Zeemaneffect’) alleen zuivere heliciteitstoestanden van de fotonen mogelijk zijn, overeenkomend met
de door Lorentz voorspelde circulaire polarisatie.
De ontdekking van het elektron
Hierboven is uitgelegd hoe het elektron zijn intrede deed
in de verklaring van het Zeemaneffect door Lorentz. De
ontdekking wordt in het algemeen toegeschreven aan J.J.
Thomson (1897) en zijn onderzoek aan kathodestralen. In
het kader van dit artikel gaan we op die meer rechtstreekse
ontdekking verder niet in. In elk geval versterkten de resultaten van Lorentz en Zeeman aan de ene kant en Thomson
aan de andere kant elkaar.
 December 2021 | Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde | 47

TERUG IN DE TIJD

Einstein en Ehrenfest op bezoek bij Zeeman in diens oude laboratorium in Amsterdam, in 1921. Ehrenfest was een regelmatige bezoeker. Goudsmit en Uhlenbeck zouden in 1929 bij Ehrenfest promoveren. Foto ontleend aan [7].
Conclusie
De ontdekking van het Zeemaneffect markeerde een belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling van ons begrip van
de structuur der materie. Bovendien viel de ontdekking
op vruchtbare bodem doordat Lorentz zijn ‘elektronentheorie’ onmiddellijk kon toepassen op de waargenomen
beïnvloeding van spectraallijnen door een magnetisch
veld. De verschijningsvormen van het Zeemaneffect
beperkten zich echter niet tot de ‘eenvoudige’ voorspellingen van Lorentz, maar bleken uiteindelijk naadloos
te passen in de quantumtheorie van de structuur der
materie.
Reeds in 1902 werd aan Lorentz en Zeeman de Nobelprijs
voor de Natuurkunde toegekend, een jaar na de instelling
van deze prijs. (Aan de andere ontdekker van het elektron,
J.J. Thomson, werd in 1906 de Nobelprijs toegekend.)

Toegevoegde verwijzing en dankwoord
Na voltooiing van dit artikel werd de uitstekende wetenschapshistorische referentie [6] onder mijn aandacht
gebracht.
Ik bedank Karel Gaemers voor het lezen en corrigeren van
48 | Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde | December 2021

eerdere versies van dit artikel, en voor een aantal discussies. Piet Peters en Henk Tiecke bedank ik voor hun commentaar en aanmoediging.
Jos Engelen is emeritus hoogleraar hoge-energiefysica aan
de UvA/Nikhef. Hij was betrokken bij het wetenschappelijke
programma van CERN en DESY en bij de beginfase van Antares
(astrodeeltjesfysica). Hij bekleedde onder andere het directoraat van Nikhef, het wetenschappelijke directoraat van CERN en
het voorzitterschap van NWO.
REFERENTIES EN NOTEN
1 N. Bohr, On the constitution of atoms and molecules. The London, Edinburgh, and
Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 26-155, 857 - 875 (1913).
 2 N. Bohr, On the effect of electric and magnetic fields on spectral lines, The London,
Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 27-159,
506 - 524 (1914).
3 H.A. Lorentz, De theoretische beteekenis van het Zeeman-effect, Physica 1, 228 - 241
(1921).
4 J. Larmor, Aether and Matter, Cambridge University Press, p. 341 (1900).
5 G.E. Uhlenbeck en S. Goudsmit, Naturwissenschaften, 47, 953 (1925).
6 A.J. Kox en W.P. Troelstra, Uit het Zeeman-archief: de ontdekking van het Zeemaneffect, Gewina 19, 153 - 166 (1996).
7 C.J. Bakker en W. de Groot, Pieter Zeeman, Helden van de Nederlandse wetenschap,
95 - 123 (1946).
