BEDRIJFSECONOMISCHE OPSTELLEN AANGEBODEN AAN PROF. LIMPERG
---------------■—------------------------------------------------------ Ik zal deze punten achtereenvolgens bespreken al zal de
B E D R IJF S E C O N O M IS C H E O P S T E L L E N
lezer mij ten goede houden, dat ik het derde punt slechts
A A N G E B O D E N A A N P R O F . L IM P E R G
summier zal behandelen.
Bij de bespreking van bovengenoem d werk in het O ctobernummer is zeer tot het leedwezen van ondergeteekende geen
gewag gem aakt van de bijdrage van den heer E . ]. Flipse over
„Kostenvergelijkingen in den detailhandel” . Ik zou dit ver­
zuim thans willen herstellen door alsnog op deze studie uit­
drukkelijk de aandacht te vestigen. H et is immers zoo, dat
kostenvergelijkingen momenteel snel en over een veel grooter
gebied dan den detailhandel in zwang komen. Terw ijl de heer
Flipse meer speciaal de bedrijfseconomische gebruiksm oge­
lijkheden naar voren brengt, w orden bedrijfsvergelijkingen en
daarop steunende calculatieschem a's nu in toenem ende mate
gebezigd voor bedrijfs- en prijscontrole van overheidswege,
dus voor een uitgesproken economisch-politiek doel.
 Juist de snelle verbreiding van kostenvergelijkingen onder
de huidige abnorm ale om standigheden m aakt het wenschelijk
acht te slaan op zekere onnauw keurigheden en andere bezw a­
ren, welke deze m ethode aankleven. Zij heeft daardoor als
norm gevend criterium bij de beoordeeling van individueele
bedrijfsprestaties een m inder volstrekte w aarde dan velen ge­
neigd zijn aan te nemen. D e verdienste van den heer Flipse
is, dat hij zoowel op m ogelijkheden wijst, welke bij voorzich­
tige kanteering bereikbaar zijn, als op het gevaar van het
trekken van onw etenschappelijke conclusies ten deze. Z o o ­
doende is zijn bijdrage stim uleerend tot verder bedrijfsecono­
misch onderzoek, dat zich naar mijn meening vooral zal moe­
ten toespitsen op de analyse en de interpretatie van bij be­
drijfs- en kostenvergelijkingen aan het licht tredende afwij­
kingen. W a n n eer hierin vorderingen w orden gem aakt zal men
vanzelf op de grenzen stuiten, welke de toepassing van dit
m oderne studie- en controlem iddel limiteeren en welke ten
deele niet kunnen w orden overwonnen.
P. P. V A N B E R K U M

TO E- EN A FN EM EN D E M EERO PBREN G STEN
(A ntw oord aan den H eer R oelink.)
H et naschrift van den H eer R oetink naar aanleiding van
mijn artikel, getiteld ,,Eenige beschouwingen over de w etten
van toe- en afnem ende m eeropbrengsten” in het M .A.B. van
Februari en M aart 1940, bestaat uit drie deelen en wel de
volgende:
I. Een verw eer van den H eer R oetink als zou hij uit zijn
wiskundige afleidingen de w et van de afnem ende meer­
opbrengst niet ,.bew ezen” hebben geacht.
 II. Een verdediging van zijn definitie van de w et van de
/ Arn
Arn
toenem ende m eeropbrengst
en een

VAKn "

AKn + ,

afwijzing van mijn definitie van dezelfde wet
/A P
^ AK
i „
<T.
of E < 1 zie pag. 29, le kolom boven
V
\ rP
K
M .A.B. Febr. 1940).
III.
Een serie insinuaties en verw arring stichtende vaaghe­
den ten aanzien van mijn logica, fantasie, ,,gezag” op
het gebied der w iskunde enz.
m a b blz. 210

Komen wij tot het eerste punt. In het M .A.B. Nov. 1939
pag. 178, le kolom e.v. vinden wij een serie ongelijkheden
door den H eer R oetink in wiskundige symbolen voorgesteld.
V rijw el onmiddellijk hierop volgt dan gecursiveerd:
„T h an s is het dus duidelijk gew orden, d at toenmende, ge­
lijk b lijv en d e en afnem ende productiviteit niet gelijkwaardige
„uitdrukkingen zijn met resp. toenemende, gelijkblijvende en
„afnem ende m eeropbrengsten:
„dat deze uitdrukkingen in de literatuur onvoldoend exact
„w orden gebruikt:
„dat alleen de w et van de a/nem ende m eeropbrengsten
geldt;
„d at deze w et steeds geldt voor elk productiemiddel;
„dat hierbij toenem ende productiviteit zeer wel mogelijk is,
en bij aanvankelijk voldoend kleine toevoegingen stellig zal
optreden;
„dat men met evenveel recht kan spreken van „w et der
„toenem ende m inderopbrengsten” ;
„dat een zgn. „w et der toenem ende m eeropbrengsten” niet
geldt”.
 H ieruit heb ik geconcludeerd dat de H eer R oetink de wet
van de atnem ende m eeropbrengst uit zijn wiskundige be­
schouw ingen bew ezen acht. Als hij zegt ,, T hans is het dui­
d e lijk gew orden (onderstreept door S. K .) dat deze uitdruk­
k in g e n in de literatuur onvoldoende exact w orden gebruikt",
dan kan dit alleen uit zijn voorafgaande beschouwingen zijn
afgeleid. En als dan onmiddellijk hieronder volgt
„d at alleen de w et van de afnem ende m eeropbrengsten
„geldt enz.”
dan kan dit alleen op dezelfde m anier w orden verstaan.
Als de H eer R oetink nu achteraf (M .A .B . M aart 1940,
pag. 51, le kolom boven) zegt „ W a t in de daarop volgende
„alinea staat in cursieve letter is een sam envatting van het
„gehele artikel. Alle gem aakte onderstellingen zijn vooraf u it­
d ru k k e lijk vermeld •—- mij valt in dezen niets te verw ijten”
dan moet ik verklaren, dat de bedoeling bij herhaalde lezing
en na de toelichting van den H eer R oelink nog niet duidelijk
w ordt. Als de H eer R oetink in de gem em oreerde alinea’s be­
doeld heeft zijn praemissen en conclusies gelijkelijk af te druk­
ken dan had hij op deze plaats duidelijk moeten laten zien
wat praem isse en w at conclusie is, afgezien van het feit dat
het dooreenm engen van praem issen en conclusies altijd fout is.
H et is dan ook niet w aar dat „ T h a n s" is duidelijk gew orden
dat de w et van de afnem ende m eeropbrengst altijd geldt, zooals de H eer R oetink blijkens bovenstaand citaat uitdrukkelijk
schrijft.
 W a t wel w aar is, is, dat van den aanvang af (dit is iets
anders dan thans) vast staat dat wij op niet-w iskundige gron­
den moeten uitgaan van de w et van de afnem ende meer­
opbrengst.
Interpreteeren wij dit alles nu eens op de voor den H eer
R oetink meest gunstige wijze. D e H eer R oetink schrijft slor­
dig en duister (de lezer kan dit zelf controleeren) en heeft
dit punt inderdaad beter bedoeld dan hij het heeft opgeschre­
ven. D it kan tenslotte een ieder gebeuren en als de H eer
R oetink mij zou hebben verzekerd, dat de zaak zoo in elkaar
zat, zou ik het graag hebben geloofd en zijn overgegaan tot
de orde van den dag. M aar nu vraag ik: waarom m aakt de
H eer R oetink zich toch zoo druk? W aaro m gebruikt hij zulke
groote w oorden en w erkt hij met kopjes, die aan oorlogs-

bulletins doen denken? Zoo voert men toch geen w etenschap­
pelijk debat. Ik neig dan ook sterk tot de conclusie: „qui se
fâche a to rt".
AP
P

^
^

AK
K

en zegt dan dat deze definitie niet strijdig is

A rn
A rn
+ 1 welke laatste formuAKn + 1
AKn <
leering betrekking heeft op toenem ende m eeropbrengsten. Als
toelichting vinden wij hiervoor eigenlijk niet meer dan de
woorden: „Bewijs voor den lezer”. V erd er bewijst het zin­
netje: „D eze consequentie is blijkbaar bij velen onbekend” nog
duidelijk dat de H eer R oetink de literatuur over het onder­
werp niet kent. Z ooals wij reeds opm erkten, nog nader zullen
uitwerken is de zaak al meer dan 40 jaar geleden aan de orde
geweest.
 Mij dunkt, dat de H eer R oetink hier wel bijzonder te kort
schiet. H ier had bewijs noch toelichting noch nadere analyse
aan den lezer mogen w orden overgelaten om dat dit nu juist
het punt is w aar het op aankom t. D e H eer R oetink had min­
der onzakelijke groote w oorden moeten gebruiken en hier be­
wijs en analyse moeten geven. Hierm ede zou hij de basis voor
een verder vruchtbaar debat hebben gelegd.
met een betrekking
H et tweede verschilpunt loopt over de definitie van het be­
grip afnem ende m eeropbrengst.
Ik heb dat gedefinieerd als het geval w aarin
AP
P
K
P
waarbij dan

p

of
AP
AK

<

1.
 (voorgesteld door E ) een elasticiteits-

coëfficient werd genoemd. De H eer R oetink stelt hiertegenA rn
A I*n + 1
(M .A .B . M aart 1940
over zijn definitie
AKn >
^ AKn + 1
pag. 51, 2e kolom) en schijnt dit als iets nieuws te beschou­
wen. Hij schrijft tenm inste t.a.p.:
„N a het verschijnen van mijn artikel w erd ik van
..méér dan één zijde opmerkzaam gem aakt op het proef­
s c h r if t van D r O. B akker ,,De w etten der toe- en af,.nemende m eeropbrengsten” . D e hierin voorkomende
„w iskunde is in volkomen overeenstemming met die
„welke ik heb uiteengezet en aan mijn beschouwingen
„heb ten grondslag gelegd.”
Z iehier dus: een beroep op literatuur, die de schrijver na
de publicatie van zijn artikel heeft in handen gekregen met
de uitdrukkelijke mededeeling van de volgorde: dit is dus de
pretentie van originaliteit. T o t mijn spijt moet ik den H eer
R oetink —■ hoezeer ik zijn goede trouw hier w aarlijk niet in
twijfel trek •— de illusie ontnemen, dat hij hier iets nieuws
heeft gebracht. Integendeel heeft hij klaarblijkelijk door on­
bekendheid met de m aterie een oude controverse opgerakeld,
w aarvan ik meende dat zij allang als afgedaan kon worden
beschouwd. In artikelen in het Economie Journal" van de
jaren 1897 en 1911 w ordt de definitie van de w et der dimi­
nishing returns door niemand minder dan E dgew orth zeer
grondig en critisch b eh a n d eld .1)
E dgew orth geeft de volgende definitie:
„In other w ords the law of increasing cost or dimi..nishing returns holds good w hen the ratio of the last
„increm ent of cost to the last increm ent of produce is
„greater than the ratio of the penultim ate (voorlaatste.
 „S. K .) increment of cost to the penultim ate increment
„of produce.”
Dit is in w oorden dezelfde definitie als die de H eer R o e­
tink geeft en w aarvan ik dus op nader te ontwikkelen gronden
afwijk.
Ik moet nu opmerken, dat de H eer R oetink op de zaak bij
lange na niet zoo diep ingaat als dit tientallen jaren geleden
door Edgew orth is gedaan. Hij verwijt mij op pag. 51, 2°
kolom M .A.B. M aart 1940 voor de definitie van de
„diminishing retu rn s” uit de gaan van de betrekking

Intusschen wil ik van de zonderlinge m ethode van mijn
opponent geen gebruik maken om het debat hier af te bre­
ken. M aar dan is het ook noodig, dat ik doe, hetgeen de H eer
R oetink had moeten doen, dat is het bewijs en de analyse van
zijn stelling leveren. P as hierna zal het mogelijk zijn dat ik
van mijn afwijkend standpunt gemotiveerd doe blijken.
Ik geef dus als definitie van de w et van de afnem ende
m eeropbrengst
AP
. AK
, „
- ^ < - i r o f E =

AP
AK

^
<

,
1

K
AK
...... ( 1 )
P ' AP
Stellen wij eens dat tusschen K en P de volgende betrekking
bestaat
M en kan natuurlijk E ook schrijven als

1

K

P-’ + P

Is dan b.v. P =

( 2)

5
. 102 +

10 dan is K

10 4- 5 = 65.
 Is P t = O dan is K = 5. W ij merken reeds nu op dat het
getal 5 iets voorstelt dat men in de Engelsche literatuur ge­
wend is „overhead costs” te noemen. H et zijn de kosten, die
men in ieder geval, ook als er niets w ordt geproduceerd, heeft
te dragen.
Z\K
De vraag, die wij nu stellen, is: hoe kan men ^Ap berekenen? Laten wij P eens met
wij A P =
K + A K=

1
1000
'

P toenemen m.a.w. stellen

P. W ij krijgen dan
,

1
2

1000

1

1 1000

P)2 + P +

En om dat volgens (2) K = ]/i P 2
ak

B Voor den lezer die zich voor het onderwerp meer in het bijzonder
interesseert, merken wij op dat de artikelen zijn afgedrukt in „Papers re­
lating to Political Economy by F. Y. Edgeworth, Volume I.
Macmillan London 1925”.
 K
p

=

1000

+ p

P2 +

1
1000000

1
1000

P + 5

•O )

P + 5 is
p

!) +

1
P + 5 —
1ÜÖ0

P — 5

m a b blz. 211

1

AK = A P2

1000

1

P2 +

2000000I

1
P + 5
1000

p
AK =

—

1000

P2 +

1 -

2000000

AK
= P
1 y
1000

AP

1000

O)

dK
dP

( 2)

(3)

B)

P is nu
1

w aarloozen. V o o r dit geval schrijven wij

3

'4 4

4

Ak

1

jqqq

de uitdrukking

P

4

17

5

5

22­

(5)

hierboven hebben gezien 65. D an is ^
P

2

dP

10 te stellen:

vinden

7

36,

8

45

9

K
dK
P ' dP

62 _
11 ~

13
22'

2

'À

10

65

1.04

At =

0 .8 5

1

4
1

17

3
= 0.75
4

5

29
= 0.69
42

7

6
.3

8

73

112

45
=
72

9

=4

4

15

=

20

4

29

dK
dP

11. D an is

E =

12 =

P v er"

W ij m erken op, dat wij den lezer hier op populaire wijze
een differentiaal quotiënt hebben doen b erek en e n .2 ) W ij
kunnen nu de elasticiteitscoëfficient voor iedere w illekeurige
productie berekenen. Is b.v. P = 10 dan is K zooals wij

1=

6

( )

3 . = 3.25
4

teeken

dK
en krijgen
dP

10

Vergelijking
der meer­
opbrengsten

(5)

(4 )

P rechts van het =

wij door in de vergelijking (5) P =

dK
dP

1

en als A P dus zeer dicht tot 0 nadert, m ogen wij

dK
=
dP

K

E =

3

W ij zien duidelijk dat als A P steeds kleiner w ordt, dit
2000

K
P

2

1

1
P +
2000

eveneens het geval is m et

K
2 F

1
P
1000

P2 +

O m dat wij stelden A P =
ak

TABEL I

P2 -

10

18
.1

4
1

0 65

1

0.63

4
1

j0 9
= 0.61
180
13
22

11

1

0 59

iol

D e lezer is nu gem akkelijk in staat om de onderstaande
tabel na te rekenen.
 2) Voor sommige lezers wellicht iets lastiger, maar strenger is de vol­
gende afleiding.
Laat P veranderen met A P- Wij krijgen dan

1

K + A K

A K =

[P2 + 2 P A P + (A P ) 21 + P + A P + 5

1
2 P2 + P

1

(AP)2

= y P 2+ P A P + ■

=

P A P +

(AP)2

P + ~ 2—
z

a

(AD2

2

+ A

P + A P + 5 ~ K =

P + A P + 5 ~ -L P 2 -

P -

5=

p

AK
1
A P = P + T A P + 1 ................................................. (a)
Laat men nu A P steeds dichter tot 0 naderen, dan wordt de bijdrage
van h A p in het rechterlid van (a) steeds onbelangrijker, om ten slotte
in het grensgeval A P — 0 geheel te verdwijnen. Men heeft de gedK
AK
woonte om in dit grensgeval — ■ te schrijven in plaats van . Dus:

Als wij uitgaan van de definitie van den H eer R oetink dan
.. A r n
A r„ + 1.
A Pn
; in onze notatie —*----- en
vergelijken wij A ,, en
AKn
AK„
AKn+ 1
A P„
Passen wij deze formules toe op de getallen uit
AKn + 1
onze tabel, dan zien wij het volgende:
APn
G aat P over van 1 naar 2 dan is
L ( a k - 9 - 6 2M.
AK„
22
G aat P over van 2 naar 3 dan is
AP" -

AK„ ~

J_

1

(A K

+‘

'4

9 ).
32
Dit vinden wij in kolom (6) van de tabel.
 Kolom (6) geeft de definitie van afnem ende m eeropbrengst
volgens den H eer R oetink. Inderdaad w ordt de reeks —-, —,
2
3

2

2

enz. steeds kleiner: wij vinden hier dus afnem ende meerop-

m a b blz, 212

brengsten. Kolom (5) geeft mijn definitie: er is afnem ende
K
1. W ij zien echter dat
m eeropbrengst als E =
P
voor de w aarden van P = l , P = 2 e n P = 3 voor E ge­
vonden w ordt resp. 3.25, 1.5 en 1.04 dus toenem ende meer­
opbrengsten. Dit is w at de H eer R oetink bedoelt als hij zegt
dat mijn definitie van afnem ende m eeropbrengst ook nog toe­
nem ende m eeropbrengst toelaat.
 D it is de toelichting, die de H eer R oetink zeer ten onrechte
achterw ege heeft gelaten des te meer ten onrechte om dat de
H eer R oetink zich hierdoor onttrokken heeft aan de plicht van
verdere analyse, welke analyse resultaten oplevert die zich
tegen hem keeren en wel op de volgende gronden:
W ij hebben gezien, dat in den vorm K =

~ P2 + P + 5

het getal 5 de overhead costs voorstelt. D it is een kostencomplex, dat met de vragen van de onvolkomen verbindingen,
w aar het bij de wet van de afnem ende m eeropbrengst om gaat,
volstrekt niets te maken heeft. W ij onderzoeken w anneer wij
over de opbrengstw etten spreken immers de resultaten van
zeer kleine toevoegingen van willekeurig deelbare kostenele­
T A B E L II
p

K

K
P

dK
dP

_
K
dK
E = P ! dP

Vergeiijking
der meer­
opbrengsten

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

1

4

2

4

2

2

~ = 0.750
4

3

1 = 0.667

1

4
3

4

5

6

7­
2

12

4

4

3

5

l7\ 4

6

24

7

4

i

1 = 0 625
| = 0.600
5

f2=

0 583

4
i

4
i

4
y = 0 571

i

4
7

8

3l\ 4

8

40

9

5

i
r e = 0 563

1 = 0 556

4
i

4
9

10

49­
2

4

10

60

6

11

li 0550
=

TT = 0 5 3 5

i

4

menten; d.i. het tegenovergestelde van overhead costs om deze
overhead costs te elimineeren stellen wij deze in (2) gelijk 0.
O nze functie w ordt dan K =

— P 2 + P.
 Gemakkelijk valt in te zien, dat in dit geval

dK
dP

door de-

dK
= P + 1 w ordt voorgesteld; men
dP
heeft n.1. in de bovenstaande afleiding voor 5 slechts 0 te
substitueeren om geheel dezelfde uitkomst te verkrijgen. Be­
schouwen wij nu eens onderstaande tabel II, die de bew erkin­
1
gen van tabel I, toegepast op de kostenfunctie K =
P 2 + P,
2
bevat.
U it kolom (5) blijkt dat nu ook mijn waarde voor E steeds
kleiner is dan 1 en dat dus ook in over het geheele verloop
afnem ende m eeropbrengst vind.
Bij wijze van kantteekening merken wij op, dat de lezer die
bekend is met de beginselen der analytische m eetkunde ver­
standig doet met een en ander nog eens in teekening te bren­
gen. H ierdoor wint het vraagstuk veel aan overzichtelijkheid
en zoodoende w orden resultaten verkregen, die overeenstem ­
men met de opmerkingen, die Edgew orth indertijd over deze
questie gem aakt heeft.
zelfde vergelijking

V ervolgen wij nu het debat. De afwijking tusschen de beide
definities ontstaat klaarblijkelijk als er overhead costs o p tre­
den. Dit is het critische punt, dat de H eer R o etink had behooren te vermelden en w aarvan hij zich met de opmerking: „be­
wijs voor den lezer” heeft afgem aakt.
 O p welke problemen slaat nu de theorie van de ,.afnem ende
meeropbrengst"? Zij onderzoekt de resultaten die de toevoe­
ging van één bepaald en als oneindig deelbaar verondersteld
productiemiddel heeft op het eindproduct. De recente an a­
logieën met de natuurw etenschappen (w et van G uldberg en
W aage e.d.) hebben dit zeer scherp doen uitkomen. In deze
oorspronkelijke theorie spelen ook de prijzen geen rol. 3). In
dit geval (oneindig deelbare toevoegingen ontbreken van prij­
zen) kunnen dus geen overhead costs in de theorie w orden
betrokken. Immers, overhead costs zijn per sé niet oneindig
deelbaar, ja zelfs tegenover een groote hoeveelheid product
principieel ondeelbaar. Bovendien bestaan deze overhead costs
zonder uitzondering of bijna zonder uitzondering uit elemen­
ten die ongelijksoortig zijn met het toegevoegde productie­
middel en is het dus om ze samen te brengen in een formule
noodig den prijs in te lasschen 4 ).
En ten slotte; de verdeeling van idle overhead over een­
heden product is een vraagstuk, dat ten eenenmale niet mag
w orden geïdentificeerd met de vraagstukken van de onvol­
komen verbindingen, die door de opbrengstw etten aan de orde
w orden gesteld.
 A nders gezegd: als wij onderzoeken w at de resultaten van
toevoeging van eenheden arbeid op een stuk grond zijn en wij
komen te spreken over de vragen van afnem ende of toenem en­
de m eeropbrengst, dan vergelijken wij de m utaties in de hoe­
veelheid arbeid alleen met de m utaties van de hoeveelheid
product en niet de m utaties in hoeveelheid arbeid plus hoeveel­
heid grond (dit laatste is dan overhead cost) met de m utaties
in de hoeveelheid product. In dit eerste geval geeft, zooals *l
3) Dit belet natuurlijk niet, dat men bij voortgezet onderzoek den in­
vloed van de prijzen wel degelijk zal dienen te analyseeren.
l ) M.a.w. indien in de formule K —

P2 -j- P -f- 5 de overhead

costs 5 de kosten van den grond voorstelt aan welken grond arbeid is
toegevoegd, dan heeft de onderhavige formule alleen zin als de eenheden
arbeid en grond door omrekening tegen prijzen bij elkaar kunnen worden
opgeteld.
mab

blz. 213

wij gezien hebben, de form ule waarmede ik het begrip afnenem ende m eeropbrengst definieer volkom en juiste resultaten.
 K
dK
Om onder toepassing van mijn formule E
tot
P : dP
onjuiste resultaten te komen, moet de H eer R oetink de een­
heden productiem iddelen in geld herleiden, en de overhead
costs bij het veranderende kostenelem ent optellen en dus ■
—
om de optelling mogelijk te maken — alle productie,m iddelen
omrekenen in geld. In dit geval echter is de theorie van de
opbrengstw etten (onderdeel van de leer van de organisatie)
geheel verlaten en praten wij over een vraagstuk van den
kostprijs! D it niet te hebben vermeld en vermoedelijk ook niet
te hebben gezien, mag den H eer R oetink zw aar w orden a a n ­
gerekend.
 E r komen nu twee vragen naar voren:
1. Als het bezw aar tegen mijn definitie aldus teruggewezen
kan worden, zijn er dan positieve argum enten, die ten
gunste van deze definitie kunnen w orden aangevoerd?
2. H oe moet het geval, dat in een kostprijsformule
(K =

-

P 2 + P + 5 inclusief 5 overhead costs en her­

leid in geld) dubbelzinnigheden kunnen ontstaan, worden
behandeld?
O m trent de eerste vraag merken wij het volgende op. H et
voordeel, dat ik in deze definitie zie, is de groote uniform iteit
die zij schept: dus een doelm atigheidsvoordeel, een zeer be­
langrijk criterium voor het beoordeelen van definities. Deze
definitie geeft ons n.1. de mogelijkheid de elasticiteitscoëfficient
ook op de opbrengstw etten toe te passen. O orspronkelijk ken­
nen wij het begrip elasticiteit van de vraag. Later ontstaat het
begrip ,,elasticit- of supply” en nu w ordt dit begrip en de
adequate formules ook toepasbaar in de leer van de o rg a­
nisatie, V ooral w anneer men bedenkt dat deze theorie (o p ­
brengstw etten) later in de theorie van den kostprijs w orden
toegepast, biedt deze uniform iteit zeer groote voordeelen. D it
is w at ik met de onderzoekingen in mijn oorspronkelijk artikel
o.a. heb willen dem onstreeren, ofschoon dit den H eer R oetink
geheel schijnt te zijn ontgaan. Ik heb hierm ede de geheele ma­
them atische economische literatuur na E dgew orth vrijwel zon­
der uitzondering aan mijn zijde. Bijna alle schrijvers definieeren de opbrengstw etten met behulp van elasticiteitscoëffienten. E n dit is ook zeer wel te begrijpen om dat hiermede de
laatste groote fout, van de definitie R oetink die ik noemen wil,
vermeden w ordt. D e definitie R oetink zondigt n.1, tegen een
grondbeginsel van de m athem atische voorstellingen en wel
tegen het voorschrift, dat de gekozen voorstelling onafhan­
kelijk van de gekozen eenheden moet zijn.
 A rn
In de voorstelling R oetink beteekent de breuk
de
AKn
verhouding van de toename van de eenheden product tot de
toenam e van de eenheden productiem iddelen. D rukt men b.v.
het product uit in kilogrammen en het productiem iddel in
liters en neemt het product toe met ~ kg als men 1 liter pro1
_2_
_ 1
Ar
ductiemiddel toevoegt, dan is
Behalve
1
2
AKn
A r"
dat de b re u k — ,, gebruikt w ordt om door \< teekens te
>
AKn
w orden vergeleken met

de w aarde van de breuk

Ar

en dus ook de curve w aar
AKn
de breuk betrekking op heeft m.a.w. gevallen die op verschil­
lende eenheden betrekking hebben zijn met behulp van de
voorstelling niet vergelijkbaar.
Dit bezw aar vervalt bij de door mij gevoegde m ethode van
het gebruik van de elasticiteitscoëfficient en deze verdient
hiervoor als algemeene voorstellingswijze verre de voorkeur.
Ik heb hierop, in ander verband, in een paar vorige publi­
caties reeds g ew eze n 5) en ik wil bovendien nog vermelden,
dat het laatste verschenen grote compilatiewerk over de w is­
kundige analyse in de economie van R. G. D. A llen ,,M athematical analensis for economists” geheel de door mij voorge­
stane voorstelling g e b ru ik t0) (een voorstelling die trouw ens
algemeen toegepast w ordt) en de m ethode R oetink niet noemt.
T en aanzien van de tweede vraag valt het volgende op te
merken.
T abel I toont ons, dat wij ten aanzien van de kostencurve
drie begrippen moeten onderscheiden en wel de gemiddelde
K
dK
kosten (kolom (3) —), en grenskosten (kolom (4)
~) en
de elasticiteitscoëfficient van de kostencurve (kolom (5) n.1.
 gem iddelde kosten _ ^ __ K
dK
grenskosten
P
dP
H et begrip m eeropbrengst is hier niet alleen onvoldoende,
m aar tevens ontoelaatbaar. P ast men het toch toe dan gaat
men weer over tot het dooreenm engen van hoeveelheden en
prijzen zooals de literatuur tot en met M arshall heeft gedaan
en welke fout E dgew orth in de boven geciteerde artikelen
ook maakt. W ij mogen dit den pioniers vergeven in erken­
telijkheid voor het baanbrekende werk, dat zij hebben ver­
richt; dat de H eer R oetink nu w eer in deze fout vervalt en
dit bovendien nog als een trouvaille beschouwt, bewijst alleen
dat het noodzakelijk is de literatuur en de literatuurcritiek
m.a.w. de dogm a-geschiedenis) van een vak te kennen voor
men er over gaat schrijven.
T en slotte nog twee opm erkingen over dit punt teneinde
verw arring te voorkomen. Ik heb steeds de formule
K = Z P 2 + P of K = Yi P 2 "b P + 5 gebruikt. K laar­
blijkelijk is dit een kostprijsform ule. C onsequent had ik bij
kostprijsgevallen de formule K = J ^ P 2 + P + 5 moeten ge­
bruiken m aar bij bespreking van gevallen van m eeropbreng­
sten de formule K = Y2 P 2 + P moeten gebruiken in den
vorm P = V (2 K + 1 ) — 1 w aarin het product als functie
van het kostenelem ent is uitgedrukt.
D it zou de behandeling ongetwijfeld strenger maar voor
lezers van dit m aandblad zeker veel minder leesbaar hebben
gem aakt en aan de resultaten zou niets zijn veranderd. O ok
op eenige andere punten hebben wij wetenschappelijke stren g ­
heid opgeofferd aan de leesbaarheid.
 De tweede opm erking is de volgende. W ij hebben gecon­
cludeerd dat opbrengstvragen en kostprijsvragen niet mogen
w orden verw ard en dat bij het formuleeren van de w et van
de afnem ende m eeropbrengst prijzen niet met hoeveelheden
mogen w orden verw ard. Dit beteekent dat men bij het form u­
leeren van de wet van de afnem ende m eeropbrengst geen prij­
zen mag gebruiken; in een later stadium, b.v. bij de toepassing
van deze wet in vragen van kostprijs e.d. moeten deze prij­
zen natuurlijk in rekening w orden gesteld. H oe dit kan ge­
schieden, is eveneens uit mijn oorspronkelijk artikel gebleken.
Ar

geeft zij tevens de helling
AKn + 1
van de kosten — c.q. opbrengst curve -— in het onderzochte
interval; in bovenstaand getallenvoorbeeld is de helling b.v. 1

m a b blz. 214

op 2. G aat men nu over op andere eenheden dan verandert

5) „Over het gebruik van de wiskunde in de economie" pag. 43 en
„Eenige beschouwingen over het vraagstuk van de eenheden bij de quantitatieve analyse in de economie '.
°) t.a.p. pag. 260. Cap. 10 § 8.
 T en slotte kom ik tot een summiere behandeling van het
derde punt. D e H eer R oetink heeft voor de principieele v ra­
gen weiniq ruimte in beslag genomen (eigenlijk nog niet eens
een geheele kolom) m aar wel heeft hij ongeveer drie kolom­
men gevuld met onzakelijke em otionaliteiten. W a a r ik de
ruimte van mijn artikel beschikbaar heb gesteld om zelf te
vertellen hetgeen de H eer R oetink voor de verediging van
zijn standpunt ten onrechte niet heeft vermeld, reken ik mij
ontslagen van de plicht om op de emotioneele kolommen nader
in te gaan. Ik twijfel er niet aan dat de lezer deze kolommen
ook op grond van mijn zakelijke uiteenzettingen n aar hun
juiste w aarde zal w eten te beoordeelen.
Am sterdam, A pril 1 9 4 0 ,
S. K L E E R E K O P E R
Slotw oord.
H ieronder laat ik enkele zeer beknopt gehouden slotop­
m erkingen volgen.
1. „ T h a n s” en de logica.
De H eer D r Kleerekoper deelt mede, dat het van den aan­
vang af vast staat, dat men mag uitgaan van de wet der a f­
nemende m eeropbrengsten.
Deze bewering acht ik onjuist. Immers, in het M .A.B. van
Novem ber 1938 heb ik eerst een (w el-is-w aar korte) bespre­
king gegeven en daarna ben ik tot de conclusie gekomen:
„H ieruit kan men dus concluderen, dat alleen de w et der
afnem ende m eeropbrengsten geldt; en wel steeds voor elk
technisch productiem iddel."
Bovendien blijkt hieruit, dat dit een conclusie is, gevon­
den zonder gebruik te maken van wiskundige vormen.
 O p welke goede gronden men tot conclusies komt ten aa n ­
zien van het door mij aan de orde gestelde probleem, is voor
dat probleem op zich zelf onverschillig.
In mijn toelichtingen in het M .A.B. van M aart 1940 zei
ik reeds, dat met de door D r K. gew raakte alinea een sam en­
vatting van mijn geheel artikel is gegeven en dat in de daar­
aan voorafgaande alinea enige met behulp van wiskundige
vormen gevonden conclusies zijn weergegeven.
H et is dus onjuist, indien men van de door niets gerecht­
vaardigde praemissie uitgaat, dat het slechts geoorloofd zou
zijn, uitsluitend met behulp van wiskundige vormen gevon­
den conclusies in mijn sam envatting van het geheel te ver­
wachten.
De door mij gegeven sam envatting bevat louter conclusies!
2. V erb an d met wiskunde.
V oorts dient te w orden aangestipt, dat, w aar de H eer D r
K leerekoper boven spreekt van: „dat wij op niet w iskundige
gronden moeten uitgaan van de w et van de afnem ende meer­
o pbrengst” , hij door deze m anier van uitdrukken de lezers
hier tegenstrijdigheden in de bew oordingen biedt. Immers,
beide term en „afnem ende” en „m eeropbrengst” geven ondub­
belzinnige wiskundige kwalificaties weer.
„M eeropbrengst” duidt erop, dat de rij der opbrengsten,
in de rangschikking van de successievelijke toevoegingen, be­
staat uit toenem ende opbrengsten. O f anders gezegd: de rij
der eerste verschillen van de rij der opbrengsten bestaat
slechts uit positieve termen.
„A fnem end” wil in dit verband zeggen, dat, in geval van
telkens onderling gelijke toevoegingen, de rij der tw eede ver­
schillen slechts uit negatieve term en bestaat.
Een willekeurig getallenvoorbeeld moge dat toelichten.
 100

150
50

190
40

—1 0

221
31

—9

—8

244
260
2 7 0 (rij der opbrengsten)
23
16
10
(rij der eerste verschillen)
—7
--6
(rij der tw eede verschillen)

De rij der opbrengsten vertoont dus in het gegeven ge­
deelte afnem ende m eeropbrengsten, in geval van steeds ge­
lijkblijvende toevoegingen aan eenzelfde productiemiddel.
3. D efinities „afnem ende m eeropbrengsten” ,
a. In de eerste plaats wens ik aan te tonen (zie blz. 177
van genoemd N ovem bernum m er), dat uit
A r n > A r n + i ............................... (a')
(bij steeds gelijke toevoegingen k = A k„ voor elke n; n =
O en n positief geheel)
steeds voor toevoegingen van willekeurige grootte (practisch binnen een zeker eindig gebied) volgt:
A r„ ^ A r n + ]
(a ).
Ak„ ^ Akn
—■ O p blz. 77 Nov. '38 is om gekeerd (a ') afgeleid uit
(a .). —
In het thans te bewijzen geval zij A k„ = kn + i — kn =
p.k en A kn + ] : kn + 2 — kn + i = q.k, w aarin p en q wille­
keurige positieve getallen zijn, groter dan 1 (w aartoe men
dus k klein genoeg kan kiezen). Indien de verhouding p : q
zelfs irrationaal is, dan is die irrationale verhouding steeds te
vinden als de limiet van een rationaal getal en dat is steeds te
herleiden tot de verhouding van twee gehele getallen. Dus
men mag zonder bezw aar p en q bovendien geheel nemen.
Zij kn = k j, dan is dus k„ + i = k ■
) + p en k n + 2 = kf + p + q.
 V oorts is nu r„ = rj, r n + 1 = rf + p en rn + 2 = rj + p + q.
(O p overeenkom stige wijze als voor p en q mag men zon­
der bezw aar voor j een zeker natuurlijk getal ^ n nemen, ter­
wijl voor n = O tevens j = O .)
Nu volgt uit ( a '):
A r n > p .A rj + p —1 en A r n + 1 < q .A rj + p_i
en dus ook:
Ar i + P—1
Ar„ +j
Ar„
>
> A kn + i
k
Ak„
of ten slotte (a ) (Q .E .D .).
D e door mij gebezigde w iskundige uitdrukking voor de wet
der afnem ende meeropbrengsten is dus éénéénduidig in o ver­
eenstem m ing met de letterlijke betekenis dier termen. (D e één­
duidigheid bestaat in beide richtingen.)
E lke andere w iskundige formulering, die niet volkom en g e­
lijkwaardig is met (a ), deugt niet.
O f anders gezegd: alsdan gebruikt men de term en „afne­
m ende m eeropbrengsten” in een oneigenlijke betekenis. M en
dient alsdan dus andere (goede) bew oordingen te gebruiken,
bv. „afnem ende productiviteit”.
•—- M et (a) is bijv. wel gelijkwaardig
Arn „ 1
.—T n 4.1.
Ar„
‘
Akn
De geboden w iskunde kan in verband met het reeds boven
gegeven getallenvoorbeeld als volgt w orden toegelicht.
Kent men r! = 100, r2 = 190 en r3 = 270, dan is r 7 = r*.
r 2 = r3 en r 3 = r 7. D e rij der eerste verschillen is nu: 90 ...
 80. Deze getallen moet men respectievelijk delen door 2 en 4,
w at resp. geeft 45 en 20. H ieruit eerst volgt de gelding van de
wet der afnem ende m eeropbrengsten. (M en kon hier vol­
staan met 80 te delen door 2, enz.), (k = 1 is gem akshalve
aangenom en.)
b. In de tweede plaats wens ik aan te tonen, dat een de­
finitie van de wet der afnem ende m eeropbrengsten
kn
At n .„.
En
rn ‘ 7 \ k 7 ^
niet gelijkwaardig is met de als juist gebleken definitie (a ).
Om dat aan te tonen, is het voldoende om te laten zien, dat
de definitie met E„ in strijd kan komen met (a) dan wel met
(a ').
m a b blz. 215

Zij r 10 = 80, r 13 = 91 en r , ö = 108, dan heeft men in
de letterlijke zin der w oorden te maken met toenem ende meer­
opbrengsten en afnem ende productiviteit van het productie­
middel. D e m eeropbrengsten zijn resp. 11 en 17 en de produc­
tiviteit van het productiem iddel is achtereenvolgens 8, 7 en
6 % (m aal

V o o r E n vindt men dan resp.
_

E |0 —

11 ^

c

17

2 4 ^ ^ en E >3 — 2 1

^

Dus ondanks toenem ende m eeropbrengsten toch E„ < 1.
H ierm ede is reeds genoegzaam aangetoond, dat genoemde
definitie met E„ een onvoldoend criterium stelt.
 c. In de derde plaats w ens ik aan te tonen, dat een even­
tuele definitie van de w et der afnem ende m eeropbrengsten
P / _ K + k„
A rn
" ” '
rn ' • A k ; c 1
evenmin gelijkwaardig is met (a ) of met (a ').
•— Z oals de lezer zich zal herinneren, betekent K de som van
de productiem iddelen, die in het beschouwde sam enstel onver­
anderd blijven. —
Zij r3 = 80, re = 91, r<3 = 108 en K = 7.k (k„ = n.k),
11
17
dan vindt men E 3 = —^ < 1 en E '6 = — < 1, niettegen­
staande de toeneming van de m eeropbrengst.
Hierm ede is reeds genoegzaam aangetoond, dat evenbedoelde definitie met E'„ eveneens een onvoldoend criterium
geeft.
■
—- D at de, definities onder b en c niet gelijkwaardig zijn,
is evident, —
d. O n d er b en c had ik de getallen ook zo kunnen kiezen,
dat men te m aken had met afnem ende m eeropbrengsten en
toch E„ > 1, E'„ > 1.
 V oorbeeld. r 50 = 45, r 51 = 47, r52 — 48 en K = 50 . k;
alsdan zijn E 50 = 2-79, E 51 = 14/47, E ' 50 = 44/o e n E 's i =
27/47. — O ok is mogelijk E „ < 1 en E'„ > 1. —
e. Zijn slechts minimale toevoegingen van eindige grootte
mogelijk, dan zijn de getallen p. q en j steeds geheel te kiezen
(zie onder a ). Zow el voor dit geval als voor het geval, dat men
de toevoegingen op continue wijze zo klein kan kiezen als men
zelf wenst, geldt de door mij geform uleerde definitie.
Deze blijft vanzelfsprekend eveneens gelden, indien r een
continue functie of zelfs een differentieerbare functie van k is,
m aar niets van dat alles w ordt door mij vooropgezet. N og min­
der ga ik op deze plaats daar verder op in, aangezien ik mij
slechts behoef te houden aan de zeer geringe dosis elementair
w iskundige kennis, welke ik bekend heb verondersteld. H ier­
op behoef ik geen inbreuk te maken. ■
—■ D aarentegen brengt
de H eer Dr. K leerekoper eerst in zijn bovenstaand artikel
de differentieerbaarheid ter sprake, jazelfs stelt hij daarin de
differentiëerbaarheid voorop. Een dergelijke handelwijze is
onlogisch en tevens is de toepasselijkheid van zijn criterium
daardoor zeer beperkt.
 f. K ortheidshalve verwijs ik n aar blz. 177 (2de kolom) van
m eerbedoeld Novembernum m er. In verband met het boven­
staande blijkt dus, dat de H eer D r. K leerekoper in zijn B e­
drijfseconomie, bij zijn getallenvoorbeelden, er niet één, m aar
twee begrippen „afnem ende m eeropbrengst" op nahield, die
niet gelijkwaardig zijn. (Z ie boven onder b en c). M aa r in
zijn van blz. 35 geciteerde bew oordingen sluit hij aan bij het
juiste begrip. (Z ie boven onder a ). D us bij Dr. K. in totaal
drie verschillende, ongeiijkw aardige formuleringen voor „a f­
nem ende m eeropbrengst".
m a b blz. 216

G evolgeigenschappen.
a.
(voor elke n; n =

Uit

A r^ ^

A r n+ ,

(a)

Akn
Akn + i
0 of positief geheel) volgt:

t>

).
c

4.
A rn
(d )

A kn

(voor elke n positief geheel).
M en kan even goed zeggen: U it (a ) volgt:
k„
A r„
< 1
En
(d')
rn
Ak„
(voor elke natuurlijke n ).
H et bewijs van deze gevolgeigenschap kan als volgt luiden
i = A r 0.
A r0 + A r* + ................. + A rn.
kn = A ko + A kj +
A k n - i ; k x = A k0.
 Ar„_ i
Ar
AAr nl ^\
Ar,
A k n_ i > A k „ ‘
A ki. 0 A ” Ak,
H ieruit volgt in de eerste plaats
r, ^ A r
• L > ____1 en vervolgens
k, ^ Ak,
A fj + 2
Ar,- + A r j + i
A fj + i ^
Ak i + 2
Akj -j- A kj + i > A k i + i
(j = O, 1................ n - 2).
W a n t A k, + i . (Ar; + A r, + ,) > A fj + , . (Akj + A k f + ,).
d aar Akj + i . A r, > A fj + t . Ak, ,
Ar
A: i + i
immers
>
Akj
Akj + 1 ‘
In het biezonder voor j = 0 geldt:
A r 0 + Ar, _ r2.
Ar,
Ar
>
A k 0 + Ak,
k2
k, ^ Ak
Ak,, ^ A k 2
D e te bewijzen stelling is dus reeds bewezen voor n = 1
en n = 2.
Stel, dat de stelling reeds is bewezen voor zekere index n,
dan zullen w e nu bewijzen, dat ze dan tevens geldt voor de
index n + 1.
