Dynamische modellen in de bedrijfseconomie
D y n a m isch e
m odellen
E conom etrie
B eslisk u n d e

Drs. G. J. C. Th. van Schijndel

D yn am isch e m odellen in de
b ed rijfsecon om ie 1

1. Inleidin g
Een belangrijk aspect van de economie is de tijdsfactor. Beslissingen wor­
den genomen op basis van tijdsafhankelijke gegevens en hebben bovendien
in vele gevallen ook in de toekomst gevolgen voor de situatie waarin een
bedrijf zich bevindt en het te voeren beleid door het management. In de
praktijk zien we ondernemingen groeien, stilstaan en/of inkrimpen en
hebben bepaalde maatregelen eerst na verloop van tijd hun beoogde uit­
werking. De economie is derhalve altijd in beweging.
In tegenstelling tot de algemene economie, waar het expliciete gebruik van
de tijdsfactor in structuur- en conjunctuurmodellen een gemeengoed is,
heeft de aanwending van dynamische modellen binnen de bedrijfseconomie
eerst in de laatste jaren een grote vlucht genomen. Deze snelle ontwikkeling
is onder andere een gevolg van de introductie van het zogenaamde ‘maxi­
mum principe van Pontryagin’ binnen de theorie van de onderneming. Met
behulp van deze wiskundige techniek is het mogelijk om van een dynamisch
probleem de optimale oplossing op een analytische wijze te bepalen.
In dit artikel zullen we trachten een beeld te geven van de huidige stand
van zaken op het gebied van beschikbare typen dynamische modellen voor
bedrijfseconomische problemen. Na een terreinafbakening in paragraaf 2
zullen we een aantal oplossingsconcepten in beschrijvende vorm de revue
laten passeren en een en ander met bedrijfseconomische voorbeelden ver­
duidelijken (par. 3). Daarna zullen we in de paragrafen 4 en 5 stilstaan bij
studies die thans grote belangstelling genieten binnen de bedrijfsecono­
mische theorievorming, zoals toepassingen van ‘optimal control’ en de
theorie der differentiaalspelen.
 2. O ptim ale besturingstheorie
In de bedrijfseconomische theorie is op verschillende wijzen getracht het
tijdsaspect in de beschouwingen op te nemen. Een bekende methode is het
gebruik van exponentiële groeimodellen door te veronderstellen dat alle
variabelen met een constante voet g zullen groeien.
De waarde van zo’n variabele X wordt op tijdstip T dan vastgelegd door:
(1)

X(T) = X0 (l+g)T

discreet

( 2)

X(T) = X0egT

continu
9-395

Een klassiek voorbeeld kan worden gevonden in het groeimodel van Gordon.
voorbeeld 1: model van Gordon
Gordon heeft dit model ontwikkeld om de optimale verhouding te kunnen
bepalen tussen winstinhoudingen en dividenduitkeringen. Aanwending van
ingehouden winst ter financiering van uitbreidingsinvesteringen leidt ener­
zijds tot een verlaging van de huidige dividend mogelijkheden, maar ander­
zijds tot een mogelijke verhoging van toekomstige dividenduitkeringen. We
kunnen voor dit probleem het volgende model opstellen:
definitie
W
= waarde van de onderneming
K(T) = waarde van de kapitaalgoederenvoorraad op T
CF(T) = netto kasstroom op T
D(T) = dividenduitkeringen op T
r
= interne rentabiliteit
i
= tijdsvoorkeurvoet van de aandeelhouders
z
= planhorizon
b
= fractie ingehouden winst
model
(3)

D(T) = (l-b )-C F (T ) = (1 —b) • CF0-erbT

(4)

CF(T) = rK(T)

(5)

W = j D(T)e iTdt = f (1-b) • CF0 ■erbTe-iTdT
T, 0

T, 0

toelichting
(3) Een fractie b van de netto kasstroom wordt ingehouden, zodat (1-b)
aan de aandeelhouders toekomt.
(4) De kapitaalgoederenvoorraad kent een constante rentabiliteit.
(5) De waarde van de onderneming is gelijk aan de contante waarde van
de toekomstige dividenden. Als disconteringsvoet wordt gebruikt de
bekend veronderstelde tijdsvoorkeurvoet i. De onderneming kent geen
externe financiering.
oplossing
De onderneming wil de marktwaarde W maximaliseren door een optimale
inhoudingsvoet b vast te stellen.
 - als de rentabiliteit van de onderneming groter is dan de tijdsvoorkeur­
voet (r > i) is dit mogelijk door de disconteringsfactor en de interne
groeivoet aan elkaar gelijk te stellen: i = rb
- als r = i is de waarde W onafhankelijk van b en is iedere b-waarde
optimaal
- als r < i wordt de totale kasstroom uitgekeerd, omdat de rentabiliteit
van de onderneming in de beoordeling van de aandeelhouders te laag
is.
9-396

Een andere methode om het tijdsaspect te introduceren vinden we in het
investeringsselectieprobleem van Lorie & Savage.
voorbeeld 2: investeringsprobleem van Lorie & Savage
De onderneming dient een keuze te maken tussen een aantal investerings­
projecten met bekende opbrengstmogelijkheden onder de voorwaarde dat
de uitgaven, die de investeringen jaarlijks oproepen, de jaarbudgetten niet
overschrijden.
definitie
CWj

= contante waarde van de opbrengst van project j

Cj(T)

= uitgaven van project j in periode T

W(T)

= beschikbaar budget in periode T

Fj

= indicator van al dan niet opname van project
Fj = {0,1}.
model
(6)

max IFjCWj

F,
(7)

J

odv I Cj(T)Fj ^ W(T)
j

Zowel het model van Gordon als dat van Lorie & Savage kunnen eenvoudig
worden opgelost door gebruik te maken van de klassieke methode van
optimaliseren respectievelijk lineaire programmering (zie par. 3).
De oplossingen van beide voorbeelden zijn tijdsonafhankelijk: op het start tijdstip wordt de optimale waarde van de beslissingsvariabele bepaald en
deze blijft gedurende de periode hetzelfde. Het is evenwel mogelijk de
beslissingsvariabele tijds- en toestandsafhankelijk te veronderstellen, zoals
uit het volgende voorbeeld blijkt.
 voorbeeld 3: dynamische variant van Gordon
In het behandelde model van Gordon kent de te optimaliseren inhoudingsfractie slechts één waarde en is de rentabiliteit zowel in de tijd als naar
omvang van de kapitaalgoederenvoorraad constant verondersteld. Verheyen
(1976) komt gedeeltelijk aan deze bezwaren tegemoet door in voorbeeld 1
de vergelijkingen (3) en (4) te vervangen door
(8)
D(T) = (l-b(T))CF(T)
(9)

CF(T) = f(K(T))

waarin de fractie ingehouden winst b(T) kan variëren in de tijd en de
kasstroom een functie is van de kapitaalgoederenvoorraad, waarbij afne­
mende meeropbrengsten worden verondersteld.
In deze dynamische variant van het Gordon-model dient de onderneming
voor ieder tijdstip de optimale waarde van de inhoudingsfractie te bepalen.
Deze inhouding leidt tot een toename van de kapitaalgoederenvoorraad
9-397

met als gevolg een dalende gemiddelde rentabiliteit, hetgeen consequenties
kan hebben voor toekomstige beslissingen. De onderneming dient derhalve
in een tijdsbestek een aantal beslissingen te nemen, die elkaar sterk beïn­
vloeden. We hebben te maken met een optimaal besturingsprobleem, dat
besliskundig gezien thuishoort in de klasse van zogenaamde meerstapsbeslissingsproblemen: een beslisser dient een aantal opeenvolgende beslissin­
gen te nemen, waarbij de toestand waarin het systeem ten gevolge van een
beslissing overgaat, van invloed is op die beslissing. Ter illustratie geven we
het volgende voorbeeld uit de bedrijfseconomie.
voorbeeld 4: een produktie-voorraad probleem
Een onderneming is contractueel verplicht aan het einde van elke week een
gegeven aantal van een bepaald produkt te leveren. Zij kan daartoe in de
loop van elke week dit aantal produceren of in een tijdsbestek van een week
meer eenheden produceren en de overblijvende eenheden op voorraad
leggen, waardoor de mogelijkheid ontstaat de produktie tijdelijk stil te
leggen. Zowel de produktiecapaciteit als de voorraadruimte zijn beperkt.
De onderneming wil per kwartaal een produktieplan opstellen, zodanig dat
de totale kosten minimaal zijn.
 definitie
C(T)
Y(T)
V(T)
a
b
c
x

= totale kosten per week
= produktie per week
= voorraad aan het einde van de week
= vaste produktiekosten
= produktiekosten per eenheid produkt
= voorraadkosten per produkt
= contractuele afzet per week

model
13

(10)

min E C(T)
Y

(11)

T=1

met C(T) = a+bY(T) + cV(T) als
cV(T) als

(12)

odv V(T) - V (T -l) = Y(T) - X

(13)

0 ^ Y(T) ^ Ymax

(14)

0 ^ V(T) ^ Vmax

(15)

V(0) = V0

>0

= o

toelichting
(10)
doelstellingsfunctie: het minimaliseren van de totale kosten ge­
durende het kwartaal met als beslissing/stuurvariabele de produktiehoeveelheid per week
(11)
specificatie van de kosten: produceren brengt vaste en variabele
kosten met zich mee, voorraadvorming alleen variabele kosten
9-398

(12)

Bewegingsvergelijking die de ontwikkeling aangeeft van de voor­
raad: toename door de produktie en afname overeenkomstig de
afzet. De voorraad fungeert in wiskundige zin als toestandsvariabele.
(13) -(14) Randvoorwaarden, die beperkingen opleggen aan zowel toestand
als sturing
(15)
Startwaarde, die de uitgangspositie van de onderneming aan­
geeft.
Dit voorbeeld toont duidelijk de afhankelijkheid van de opeenvolgende
beslissingen/besturingen. De bewegingsvergelijking (12) geeft aan dat de
huidige voorraad niet alleen afhankelijk is van de huidige produktie en
afzet, maar ook van produktie-overschotten of -tekorten in het verleden.
Heeft de onderneming besloten om in voorgaande perioden op maximale
capaciteit te produceren, dan is het denkbaar dat een dergelijke beslissing
tijdens de huidige periode niet mogelijk is, gezien de beperkte voorraadcapaciteit.
In dit artikel gaat onze aandacht uit naar deze laatste klasse van dynami­
sche modellen: de optimale besturingstheorie.
3. O plossingsconcepten voor dynam ische problemen
Afhankelijk van de modelformulering kunnen meerstapsbeslissingsproblemen met behulp van een aantal optimaliseringstechnieken worden opgelost,
zoals wiskundige programmering, dynamische programmering, variatiere­
kening en ‘optimal control’.
 wiskundige programmering
De wiskundige programmering is bij de lezer naar alle waarschijnlijkheid
het best bekend, daar hiertoe ook lineaire en convexe programmering
behoren. Wiskundig gezien is de wiskundige programmering een zeer ge­
schikte oplosmethode voor éénstapsbeslissingsproblemen, waarbij, al dan
niet onder randvoorwaarden, de optimale waarden kunnen worden bepaald.
Indien het model geen randvoorwaarden kent is het optimum te bepalen
met behulp van de klassieke methode, waarbij de partiële afgeleiden naar
de stuur/beslissingsvariabelen gelijk worden gesteld aan nul.
In een model met randvoorwaarden zijn de waarden van de variabelen
beperkt tot een toegelaten gebied. Voor dergelijke problemen kunnen een
drietal oplossingsmethoden bruikbaar zijn:
- multiplicatorenmethode van Lagrange
- lineaire programmering
- convexe/kwadratische programmering.
Bij deze methoden kunnen zogenaamde schaduwprijzen worden bepaald.
In de optimale oplossing geeft zo’n schaduwprijs de waardeverandering van
de doelfunctie weer, indien de grens van een actieve randvoorwaarde met
één eenheid kan worden verschoven.
De wiskundige programmering kent tal van praktische toepassingsmogelijk­
heden. Bekend is het klassieke handelsreizigerprobleem, terwijl ook het
9-399

investeringsprobleem van Lorie & Savage uit voorbeeld 2 op een eenvoudige
manier met behulp van lineaire programmering op te lossen is.
Ook kan wiskundige programmering worden gebruikt voor het oplossen van
meerstapsbeslissingsproblemen door het te beschouwen als één groot eenstapsbeslissingsprobleem. Als voorbeeld dient het volgende investerings­
probleem:
voorbeeld 5: een investeringsprobleem
definitie
U
= nutsfunctie
0(1) = concave opbrengstfunctie
I(T) = investering in periode T
r
= marktrente
W0 = beschikbaar vermogen
model
(16)

i
max U(I(0), 1(1)) = I 0(I(T ))/(l+ i)T
I

(17)

T .0

o.d.v. Wo-I(O) - I(l)/(l+ r) = O

toelichting
(16) De onderneming maximaliseert het nut van de achtereenvolgende
investeringen, te schrijven als de contante waarde van de opbreng­
sten.
 (17) Budgetvergelijking met als uiterste mogelijkheden het gehele ver­
mogen in periode T=0 te investeren of het met de marktrente
aangegroeide vermogen volledig in periode T=1 aan te wenden.
oplossing
Gezien de aard van het probleem kan gebruik worden gemaakt van de
multiplicatorenmethode van Lagrange. De te optimaliseren Lagrange-functie wordt:
(18)

L = U(I(0), 1(1)) + *[W0-I(0) - I(l)/(l + r)]

Uit de noodzakelijke voorwaarden kan worden afgeleid dat de optimale
oplossing moet voldoen aan:
(19)

8U
8U
81(0) 81(1)

(1 + r) en X

8U
51(0)

De investeringen moeten zo worden gekozen dat de verhouding tussen de
marginale bijdragen wordt vastgelegd door de marktrente. De waarde van
de Lagrange parameter X geeft de stijging van de doelstelling weer, indien
één eenheid vermogen extra ter beschikking zou staan.
9-400

dynamische programmering
Indien in een tijdsbestek meer dan één beslissing moet worden genomen
en als deze beslissingen elkaar sterk beïnvloeden, zoals in meerstapsbeslissingsproblemen, dan is het niet mogelijk om het probleem voor te stellen
als een veelvoud van onderling niet samenhangende éénstapsbelissingsproblemen. In dergelijke gevallen is het gebruik van dynamische programme­
ring efficiënter dan wiskundige programmering. Deze door Bellman (1957)
ontwikkelde methode is geschikt voor beslissingsproblemen, die kunnen
worden geformuleerd in een model dat kan worden gesplitst in een aantal
sequentieel van elkaar afhankelijke deelmodellen. De oplossing wordt niet
gegeven in de vorm van een beslissing, zoals bij wiskundige programmering,
maar in de vorm van een beslissingsfunctie.
Zeer kenmerkend voor de dynamische programmering is de oplossingsmethodiek, die is gebaseerd op het volgende optimaliteitsprincipe:
een rij optimale belissingen heeft de eigenschap dat welke de eerste beslis­
sing ook is de overige beslissingen optimaal moeten zijn in relatie tot de uit
de eerste beslissing resulterende toestand.
 Dit optimaliteitsprincipe heeft tot gevolg dat in eerste instantie de als
laatste te nemen beslissing wordt geoptimaliseerd met behulp van een
éénstapsbeslissingsmodel. De optimale laatste beslissing kan worden uit­
gedrukt als een functie van de toestand waarin het systeem verkeert op het
moment dat die beslissing moet worden genomen. Volgens dit principe gaan
we terug in de tijd en leiden ook voor alle voorafgaande beslissingen
dergelijke voorschriften af, die gegeven de toestand van het systeem aan­
geven welke beslissing optimaal is. Dit gaat door totdat de eerste beslissing
moet worden bepaald als functie van een gegeven uitgangspunt, waarna de
volledige optimale oplossing kan worden vastgelegd.
Besliskundig gezien impliceert het oplossen van een z-stapsbeslissingsprobleem het ontbinden ervan in z van elkaar afhankelijke beslissingsproble­
men die recursief worden opgelost als functie van een willekeurige toestand
van het systeem, Wiskundig gezien worden z functionaalvergelijkingen
recursief opgelost:
definitie
X(T)

= toestand van het systeem op moment dat beslissing
T moet worden genomen

U(T)

= optimale beslissing T

gT ( )

= opbrengst beslissing T

= optimale opbrengst vanaf beslissing T
fT()
We kunnen nu voor alle T de optimale beslissing U(T) bepalen met behulp
van
fT(X(T))

= max gT(X(T), U(T)) + fT+1(X(T+l)).
Bij de laatste beslissing z vervalt de uitdrukking fz+1f(X(z+1)) terwijl bij de
eerste beslissing op T=0, de toestandsvariabele is gegeven: (X(O) = X0).
9-401

Dynamische programmering wordt vooral gebruikt voor het oplossen van
discrete besturingsproblemen.
 variatierekening en optimal control
Zoals we in voorbeeld 3 hebben gezien is het mogelijk een optimaal bestu­
ringsprobleem weer te geven in een continu model. Hoewel de dynamische
programmering geschikt is te maken voor het oplossen van continue pro­
blemen, wordt in dergelijke gevallen toch de voorkeur gegeven aan andere
methoden, zoals de variatierekening en ‘optimal control’. In sommige ge­
vallen kunnen dan niet alleen numerieke, maar ook analytische oplossingen
worden gevonden. Bovendien kunnen randvoorwaarden worden opgeno­
men.
Reeds in de twintiger jaren werd de variatierekening toegepast op econo­
mische problemen. De gebruiksmogelijkheden waren in die jaren echter
beperkt door het ontbreken van mogelijkheden om voorwaarden op te leggen
op de toestand- en stuurvariabelen. Een oplossing voor dit probleem werd
in het midden van de vijftiger jaren gevonden door de russische wiskundige
Pontryagin. In 1962 presenteerde hij het bekende ‘maximum principe’, dat
op de dag van vandaag nog steeds een belangrijke bouwsteen vormt van de
‘optimal control theory’. De variatierekening en ‘optimal control’ zijn in
essentie eenzelfde methode en het is daarom niet verwonderlijk dat men in
staat is geweest de variatierekening zodanig uit te breiden, dat deze thans
ook geschikt is voor toepassing op modellen met randvoorwaarden. Ondanks
deze uitbreiding geniet ‘optimal control’ toch de voorkeur bij vele bedrijfs­
economische toepassingen.
Het oplossingsconcept van optimal control bevat een aantal kenmerken die
we ook al bij wiskundige en dynamische programmering zijn tegengekomen.
Zo maakt het maximum principe gebruik van de zogenaamde Hamiltoniaan
functie. De noodzakelijke voorwaarden die aan deze functie worden opge­
legd vertonen veel overeenkomst met de Kuhn-Tucker-voorwaarden van
de convexe programmering. Nevenvoorwaarden worden opgenomen met
behulp van de multiplicatorenmethode van Lagrange, terwijl het maximum
principe kan worden afgeleid met behulp van het optimaliteitsbeginsel van
Bellman.
 Het basisidee van dynamisch programmeren vinden we ook terug bij de
oplossingsmethode van Van Loon (1983) om de optimale bewegingspatronen
van de stuur- en toestandvariabelen gedurende de gehele planperiode af te
leiden. Uitgaande van de algemene voorwaarden voor een optimale oplos­
sing onderscheidt hij actieve en niet-actieve randvoorwaarden. Iedere com­
binatie karakteriseert een bepaald ontwikkelingspad. Afhankelijk van de
actieve randvoorwaarden wordt het systeem gestuurd. Na verloop van tijd
is een randvoorwaarde niet meer beperkend en ontstaat er een andere
beperking en daarmee een ander pad. Deze paden kunnen nu worden
gekoppeld tot één ontwikkelingspatroon. Van Loon gaat hierbij allereerst
op zoek naar paden, die op het einde van de planperiode toegelaten zijn om
vervolgens mogelijke voorafgaande paden op te sporen. Dit teruguitwerkend
proces herhaalt zich totdat geen enkel voorafgaand pad kan worden gevon­
den. Tenslotte wordt gecontroleerd of het laatst gevonden pad kan voldoen
9-402

aan de startwaarden van het systeem: het gehele ontwikkelingspatroon is
nu een feit.
Zeer illustratieve voorbeelden kunnen worden gevonden in de financieringsen groeitheorie [zie Van Loon & Verheyen (1984)]. We geven hier als voor­
beeld de oplossing van de dynamische variant van het model van Gordon.
voorbeeld 3 (vervolg): dynamische variant van Gordon

toelichting
In het begin van de ontwikkeling is de marginale rentabiliteit hoog, zodat
het verstandig is alle winst in te houden en te gebruiken ter financiering
van nieuwe investeringen, zodat de dividenduitkeringen in de toekomst
hoger zullen uitvallen. De inhoudingsfractie is maximaal: b(T) = l. Door de
aanname van afnemende meeropbrengsten zal het rendement bij uitbrei­
ding van de kapitaalgoederenvoorraad dalen. Dit groeiproces gaat derhalve
door totdat de marginale opbrengst van een uitbreidingsinvestering gelijk
is aan de tijdsvoorkeurvoet van de aandeelhouders. Vanaf dat moment
vinden er alleen vervangingsinvesteringen plaats en wordt alle overige winst
uitgekeerd: de inhoudingsfractie is minimaal.
 Aan het slot van deze paragraaf nog enige literatuurverwijzingen naar
theoretische inleidingen. Tapiero (1978) vergelijkt de oplossingsconcepten
dynamische programmering, variatierekening en optimal control, zowel voor
discrete als continue modellen. Uitvoerige inleidingen en toepassingsmo­
gelijkheden kunnen worden gevonden in Kamien & Schwartz (1981) en
Sethi & Thompson (1981), terwijl Seierstad & Sydsaeter (1977) voldoende
voorwaarden analyseren om tot optimale oplossingen te komen. Intriligator
(1971) tenslotte geeft een overzicht van optimaliseringstechnieken.
4. D ynam ische m odellen binnen de bedrijfseconom ische
theorie
Vele aspecten van het gedrag van/binnen de onderneming zijn reeds of
9-403

worden thans in een dynamisch theoretisch kader bestudeerd. Bij de oplos­
sing van de modellen wordt veelal gebruik gemaakt van ‘optimal control’ technieken.
In dit artikel hebben wij al enkele eenvoudige voorbeelden gegeven. Zo kan
het dynamische model van Gordon worden beschouwd als voorloper van de
financierings- en groeimodellen, die thans veel belangstelling genieten. De
doelfunctie van deze modellen luidt veelal in termen van maximalisatie van
de winstuitkeringen aan huidige aandeelhouders. Het resultaat is een fasengewijze groei, waarbij de verhoudingen tussen marginale rentabiliteit,
rente en tijdsvoorkeurvoet een belangrijke rol spelen. De optimale politiek
houdt een continu proces in tussen eigen en vreemd vermogen, dividend
en winstinhouding, groei en consolidatie. Een overzicht van dit soort mo­
dellen wordt gegeven door Van Loon & Verheyen (1984).
De mutaties in produktie en/of produktiecapaciteit brengen ook verande­
ringen met zich mee in de personele bezetting, welke op hun beurt gepaard
gaan met aanpassingskosten. De factor arbeid is derhalve niet vrij en
kostenloos inzetbaar. Om deze reden bepalen Lesourne & Leban (1980)
met behulp van ‘optimal control’ simultaan het optimale investerings- en
personeelsbezettingsgedrag van een winstmaximaliserende onderneming.
Latere studies betrekken bovendien de loonvorming in deze analyse of gaan
de gevolgen na in een model van arbeiderszelfbestuur.
 Een van de bekendste toepassingen binnen de bedrijfseconomie wordt
gevonden in de marketing. De rol van het tijdsaspect met betrekking tot
huidige advertentie-uitgaven en mogelijke additionele verkopen in de toe­
komst komt in deze modellen goed tot uitdrukking. In het algemeen kunnen
we twee groepen van marketingmodellen onderscheiden: ‘advertising Capital
models’ en ‘sales advertising response models’. Eerstgenoemde modellen
zijn van het Nerlow-Arrow type en vatten marketing-uitgaven op als inves­
teringen, die een accumulerende goodwill veroorzaken. In andere modellen
worden de marketing-uitgaven direct verbonden met verkoopmogelijkheden
aan potentiële nieuwe klanten. Sethi (1977) heeft een goed overzichtsartikel
geschreven, waarin beide modellen aan bod komen.
Voorbeeld 4 in dit artikel behoort tot de produktie-voorraad-theorie. Doel
is een zodanige planning van produktie en voorraad dat gegeven een vraagfunctie de kosten van voorraad en neen-verkopen minimaal zijn over de in
ogenschouw genomen planperiode. In recente artikelen wordt ook de ver­
koopprijs als stuurvariabele van de vraag/afzetfunctie meegenomen en
worden voorraadkosten niet homogeen lineair verondersteld [Feichtinger &
Hartl (1983)].
Naast deze aandachtsgebieden wordt dynamische optimalisering nog op tal
van andere economische problemen toegepast. Volledigheidshalve noemen
we de onderhoud- en vervangingsmodellen van duurzame produktiemiddelen, transportmodellen, aanwending van hulpstoffen zoals delfstoffen, en
‘last but not least’ kasvoorraadmodellen. De geïnteresseerde lezer vindt in
Feichtinger (1982a) een uitgebreid overzicht.
9-404

5. D ifferentiaalspelen
De aangegeven optimale besturingsproblemen veronderstellen één beslis­
ser. Binnen de economie bestaan vele situaties, waarbij de toestand van het
systeem wordt beïnvloed door sturingen van meerdere beslissers. We kun­
nen hierbij denken aan de concurrentie tussen verschillende ondernemin­
gen, welke op één markt opereren.
 Een methode om dit soort problemen het hoofd te bieden is de theorie der
differentiaalspelen. Deze theorie kan worden beschouwd als een kind van
de ouders optimale besturingstheorie en speltheorie en heeft daarvan dan
ook vele karaktertrekken overgenomen. In onderstaande figuur is de plaats
van de differentiaalspelen aangegeven.
één beslisser

meer beslissers

statisch

eindige dimensionele
optimalisatietheorie

speltheorie

dynamisch

optimale
besturingstheorie

theorie der
differentiaalspelen

De plaats van de theorie der differentiaalspelen [ontleend aan Olsder (1977)].
De theorie der differentiaalspelen is vrijwel gelijktijdig met, doch onafhan­
kelijk van, de optimale besturingstheorie ontwikkeld door Isaacs (1965).
De doorbraak binnen de bedrijfseconomische theorie is er echter een van
de laatste jaren. De oorzaak hiervan is naar alle waarschijnlijkheid gelegen
in de moeilijkheidsgraad en complexiteit van de oplossingsprocedures.
Binnen de theorie kunnen we onderscheid maken tussen twee-persoonsspelen en meer-persoons-spelen. Deze categorieën kunnen weer worden
onderscheiden in nulsomspelen en niet-nulsomspelen. Voor nulsomspelen
geldt dat de som van de criteria van de verschillende spelers onder alle
omstandigheden een constante is, dat wil zeggen onafhankelijk is van de
gebruikte besturingen.
Een differentiaalspel kent verschillende informatiestructuren. In het alge­
meen zal een speler alle ter beschikking staande informatie willen gebruiken
om tot een zo goed mogelijke keuze van zijn sturing te komen. Heeft hij
alleen de tijd als informatie, dan spreekt men van een ‘open-loop’-besturing;
kent hij bovendien de tegenwoordige toestand van het systeem, dan spreekt
men van een ‘closed-loop’-besturing.
 Tenslotte kan het spel op verschillende manieren worden gespeeld. Indien
de belangen van de spelers gelijk gericht zijn, is er sprake van een coöperatief
spel en kan het Pareto-oplossingsconcept worden toegepast. Bij tegenstrij­
dige belangen hebben we te maken met een non-coöperatief spel en komt
in eerste instantie het Nash-concept in aanmerking. Indien de spelers
echter niet over dezelfde informatie of stuurmogelijkheden beschikken, kan
het Stackelberg-concept van toepassing zijn. Dergelijke gevallen worden
ook wel aangeduid als ‘leider-volger’ problemen.
De toepassingen van differentiaalspelen op bedrijfseconomische problemen
komen grotendeels overeen met die van de optimale besturingstheorie. De
9-405

marketing neemt ook hier een belangrijke plaats in, getuige het overzichts­
artikel op dit gebied door Jorgensen (1982). Ook duopoliemodellen van
onder andere Thépot (1983) genieten veel belangstelling. Hierbij trachten
twee ondernemingen middels sturing van prijs, investeringen en advertentie-uitgaven de verkoop van hun produkten, gegeven een conjuncturele
ontwikkeling te maximaliseren. Het moge duidelijk zijn dat de afzet van
een onderneming ook afhankelijk is van de politiek van de concurrentie.
Een overzicht van vele toepassingsmogelijkheden van de theorie der diffe­
rentiaalspelen binnen de bedrijfseconomie wordt gegeven door Feichtinger
& Jorgensen (1983). Een zeer leesbare theoretische inleiding is geschreven
door Olsder (1977), terwijl in Basar & Olsder (1982) een goed handboek
wordt gevonden.
6. Slotbeschouw ing
We hebben gepoogd een indruk te geven van de mogelijkheden om bedrijfs­
economische problemen in een dynamische context te bestuderen. Meer
pretenderen we niet, daar het aantal varianten en toepassingsmogelijkheden
schier onuitputtelijk lijkt. Zo hebben we volledig afgezien van de stochasti­
sche besturingsmodellen. Het zal geenszins verwondering wekken dat ook
binnen de dynamische modellenbouw de belangstelling voor modellen on­
der onzekerheid groot is. Deze stochastische varianten zijn echter verre van
eenvoudig en de kinderschoenen nog niet volledig ontgroeid. Een goede
inleiding wordt gegeven door Tapiero (1977).
 Teneinde door de bomen het bos nog enigszins te kunnen zien, hebben we
de literatuurverwijzing beperkt tot handboeken en (overzicht)artikelen, die
op hun beurt verwijzen naar een zeer groot aantal eerdere publicaties. We
kunnen hieraan nog toevoegen twee verzamelbundels van Bensoussan,
Kleindorfer & Tapiero (1978) en Feichtinger (1982b), waarin verscheidene
economische toepassingen worden gepresenteerd. Binnenkort zal een tweede
bundel onder redactie van Feichtinger verschijnen, waarin opgenomen de
proceedings van de ‘second Viennese workshop on economie applications
of control theory’ te Wenen.
Hoewel de praktische waarde van optimal control en aanverwante technie­
ken moet nog worden bewezen, is de ontwikkeling vanuit theoretisch oog­
punt zeer interessant. De bedrijfseconomie is in beweging.
Noten
1 Dit artikel is tot stand gekomen dankzij financiële steun van het Samenwerkingsorgaan
Katholieke Hogeschool Tilburg en Technische Hogeschool Eindhoven.
De auteur is veel dank verschuldigd aan Prof. dr. P. A. Verheyen en Prof. dr. P. J. J. M. van
Loon voor hun waardevol commentaar op eerdere versies.
9-406

Literatuur
BASAR T. & G. J. OLSDER, 1982, Dynamic Noncooperative Game Theory (Academic Press,
New York).
BELLMAN R., 1957, Dynamic Programming (Princeton University Press, Princeton).
BENSOUSSAN A., P. R. KLEINDORFER & Ch. S. TAPIERO, 1978, Applied Optimal Control
(North Holland, Amsterdam).
FEICHTINGER G., 1982a, Anwendungen des Maximum-Prinzips im Operations Reserach,
Teil 1 und 2, OR Spektrum 4, pp. 171-190 en 195-212.
FEICHTINGER G., 1982b, Optimal Control Theory and Economic Applications (North
Holland, Amsterdam).
FEICHTINGER G. & R. HARTL, 1983, Optimal pricing and production in an inventory
model, paper workshop on the dynamics of the firm (ELASM, Brussel).
FEICHTINGER G. & S. JORGENSEN, 1983, Differential games models in management
science, European Journal of Operational Research 14, pp. 137-155.
INTRILIGATOR M.D., 1971, Mathematical Optimization and Economic Theory, (Prentice
Hall, Englewood Cliffs).
ISAACS R., 1965, Differential games (Wiley, New York).
 JORGENSEN S., 1982, A survey of some differential games in advertising, Journal of Economic
Dynamics and Control 4, pp. 341-370.
KAMIEN M. I. & N. L. SCHWARTZ, 1981, Dynamic Optimization, the Calculus of Variations
and Optimal Control in Economics and Management (North Holland, New York).
LESOURNE J. & R. LEBAN, 1980, The firm’s investment and employment policy through a
business cycle, European Economic Review 13, pp. 43-80.
LOON P. J. J. M. VAN, 1983, A Dynamic Theory of the Firm: Production, Finance and
Investment (Springer, Berlijn).
LOON P. J. J. M. VAN & P. A. VERHEYEN, 1984, Groeifasen in bedrijven, Maandblad voor
Accountancy en bedrijfshuishoudkunde.
OLSDER G.J. 1977, De theorie der differentiaalspelen en haar toepassingen (Mathematisch
Centrum, Amsterdam).
PONTRYAGIN L., 1962, The Mathematical Theory of Optimal Processes (Wiley, New York).
SEIERSTAD A. & K. SYDSAETER, 1977, Sufficiency conditions in optimal control theory,
International Economic Review 18, pp. 367-391.
SETHI S.P., 1977, Dynamic optimal control models in advertising: a survey, Siam Review 19,
pp. 685-725.
SETHI S. P. & G. L. THOMPSON, 1981, Optimal Control Theory (Martinus Nijhoff, Boston).
TAPIERO CH.S., 1977, Managerial Planning: an Optimal and Stochastic Control Approach,
2 vol, (Gordon and Breach, New York).
TAPIERO CH.S., 1978, Time, dynamics and the process of management modelling, TIMS
studies in Management Science 9, pp. 7-31.
THEPOT J., 1983, Marketing and investment policies of duopolists in a growing industry,
Journal of Economic Dynamics and Control 5.
VERHEYEN P.A., 1976, Een dynamische versie van het model van Gordon, in: Geld en
onderneming, opstellen aangeboden aan Prof. dr. C. F. Scheffer (Stenfert Kroese, Leiden),
pp. 329-340.
9-407.
