De optietheorie, een toepassing
Financiering
Vermogen
Investerings­
beslissing

Dr. A. C. C. Herst, Drs. A. G. Z. Kemna*

De optietheorie, een toepassing

1. Inleiding
Voor velen vormt een optie een nogal ondoorzichtig (beleggings-)instrument. Mogelijk kan dit worden verklaard uit het karakter van de modellen
die de laatste jaren zijn ontwikkeld ter bepaling van de waarde van een
optie. Deze modellen kenmerken zich veelal door ondoorgrondelijke aflei­
dingen en formules. Het kopen en verkopen van opties is echter geen
verschijnsel van de laatste tijd. Reeds lang geleden werd gebruik gemaakt
van opties. Gastineau geeft hiervan een interessant voorbeeld. Aan een
publikatie van Aristoteles ontleent hij de uit de Griekse oudheid stam­
mende geschiedenis van Thaies van Mylete, die in de sterren heeft gelezen
dat de olijvenoogst volgend jaar zeer overvloedig zal zijn. In verband hier­
mede weet hij, omdat anderen niet over deze voorkennis beschikken, tegen
lage prijzen opties op alle olijvenpersen uit de omgeving te verkrijgen.
Wanneer de oogst dan inderdaad overvloedig blijkt te zijn, verhuurt hij de
ineens bijzonder populaire persen tegen hoge tarieven en is op slag een rijk
man (Gastineau (1979) p. 16). In dit artikel willen wij noch ingaan op de
met veel formules gelardeerde waardebepaling van opties, noch op hun
historische achtergronden. De bedoeling van dit artikel is de lezer inzicht
te verschaffen in een actuele toepassingsmogelijkheid van de optietheorie,
namelijk het refunding-vraagstuk.
 Onder ‘refunding’ verstaan wij de vervroegde oplossing van een lening
gefinancierd door het uitgeven van een nieuwe lening. Deze mogelijkheid
tot vervroegde aflossing behoort gewoonlijk tot de voorwaarden van een
lening. Een reden voor refunding is een daling van het interestpercentage
waardoor de onderneming, die de lening indertijd heeft uitgegeven, een
nieuwe lening tegen een lager percentage kan afsluiten. In wezen komt de
refunding-operatie neer op het nemen van een vervangingsbeslissing: het
vervangen van een uitstaande lening door een nieuw uit te geven lening.
Het probleem dat de betrokken onderneming moet zien op te lossen is of
deze vervangingsinvestering al dan niet voldoende winstgevend is. In de
traditionele literatuur pleegt het refunding-probleem te worden opgelost
met behulp van de netto-contante-waardemethode (Weston en Brigham
* Prof. Dr. M. A. van Hoepen RA danken wij voor zijn kritische opmerkingen bij een
voorgaande versie van dit artikel. Uiteraard berust de verantwoording voor de inhoud van het
artikel geheel bij ons.
1-3

(1981) pp. 835-844, Herst (1984) pp. 121-130). Een benaderingswijze van
geheel andere aard wordt gevormd door toepassing van de optietheorie.
Immers, het recht tot vervroegde aflossing van de oorspronkelijke lening is
vergelijkbaar met het recht tot het voortijdig uitoefenen van een optie (Van
Home (1983) pp. 556-557, Kemna en Van Vliet (1984) pp. 158-159).
Teneinde het refunding-vraagstuk duidelijk te schetsen starten wij bij de
meer bekende netto-contante-waardemethode (par. 2). In par. 3 gaan wij
vervolgens in op de nog niet algemeen toegepaste optiebenadering. Een
analyse van de overeenkomsten en verschillen van de beide methodieken
komt in par. 4 aan de orde, waarbij wij tevens kort aandacht besteden aan
de problematiek rond het optimale moment van refunding. Onze conclusies
en aanbevelingen voor verder onderzoek zijn verwoord in par. 5.
 2 . Netto contante waarde
Uit praktijkonderzoek is gebleken dat er een voorkeur bestaat voor de
interne-rentevoet (i.r.v.)methode boven netto-contante-waarde (n.c.w.)berekeningen (zie onder andere Petty en Scott (1981) p. 13 en 19). Uit
theoretisch oogpunt dient berekening van de n.c.w. echter te worden gepre­
fereerd. Uitgaande van maximalisatie van de marktwaarde van de onder­
neming als centrale doelstelling kan de mate waarin een investering hieraan
bijdraagt rechtstreeks worden afgemeten aan haar n.c.w. Anders dan de
i.r.v. luidt de n.c.w. namelijk in dezelfde termen als de ondernemingsdoelstelling: absolute bedragen.
Het baseren van de refunding-beslissing op de n.c.w.-benadering laat zich
toelichten aan de hand van het volgende voorbeeld, waarin wordt afgezien
van belastingen en transactiekosten. Als uitgangspunt kiezen wij een on­
derneming met een huidige marktwaarde V, die is gefinancierd met een
combinatie van eigen en vreemd vermogen, een obligatielening. Deze lening,
met een hoofdsom ter grootte van B, heeft een interestpercentage van r en
is vervroegd aflosbaar. Het aflossingsschema is Kt, bestaande uit B ver­
meerderd met een tijdsafhankelijke boete voor vervroegde aflossing. De
resterende looptijd, na afloop waarvan de lening in één bedrag wordt
afgelost, is n jaar. Opgemerkt zij dat Kn = B. Op dit moment kan de
onderneming lenen tegen r', waarbij geldt r > r'. De vraag die de onder­
nemingsleiding zich stelt is of op dit tijdstip moet worden overgegaan tot
refunding of niet.
Voor disconteringsdoeleinden zullen wij gebruik maken van r', het huidige
interestpercentage. Dit percentage weerspiegelt de risicovrije voet rf plus
een opslag voor wanbetalingsrisico. Andersoortige risico’s, zoals het inflatieen het valutarisico laten wij buiten beschouwing. Dit geldt eveneens voor
het specifieke risico dat verschaffers van eigen vermogen lopen: het risico
dat hun vergoeding in beginsel afhankelijk is gesteld van het ondernemingsresultaat.
 De bedragen die worden gedisconteerd zijn de jaarlijkse verschillen tussen
de interestbetalingen op de oude lening en die op de nieuwe lening:
rB - r'B = (r - r')B. De contante waarde van deze n jaarlijkse verschillen
1-4

berekend tegen r' bedraagt:
£ (r - r' )B (1 + r' )_t
t=i

Vergelijking van dit contant gemaakte voordeel van de daling van het
interestpercentage met de boete bij vervroegde aflossing van Kj - B leidt
tot een n.c.w. van:
£ (r-r')B (1 + r'b t - (K, - B)

tc1

Refunding op dit moment is voldoende winstgevend als n.c.w. ^ 0. Dit
houdt overigens niet in dat nu ook daadwerkelijk tot omzetting van de oude
in de nieuwe lening moet worden overgegaan. Bij een voortgezette daling
van de interestpercentages zou refunding op een toekomstig tijdstip na­
melijk nog winstgevender kunnen zijn (in par. 4 komen wij op deze kwestie
terug).
3. Optietheorie
Diverse oorzaken kunnen leiden tot verandering van het interestpercentage
waartegen een onderneming kan lenen. Tot die oorzaken behoren een
wijziging van de marktinterestvoet en een kwaliteitsverandering van de
onderneming waardoor haar obligatiehouders een hoger dan wel lager wanbetalingsrisico (denken te) lopen. Ook voor de optiebenadering, die in deze
paragraaf aan de orde komt, gaan wij er van uit dat alleen dit risico van
belang is1.
De onderneming uit de vorige paragraaf bleek te zijn gefinancierd met een
combinatie van eigen en vreemd vermogen. De marktwaarde van het eigen
vermogen is E en die van het vreemd vermogen, de lening, bedraagt D.
 Derhalve geldt V = E + D. Voorlopig nemen we aan dat gedurende de
looptijd van deze lening dividenduitkeringen noch interestbetalingen wor­
den gedaan. De vergoeding voor de overdracht van het eigen vermogen
moeten de aandeelhouders zien te realiseren via koerswinsten. De obliga­
tiehouders hebben aan het einde van de looptijd van de lening recht op
terugbetaling van de hoofdsom B en op de gecumuleerde interest I. Indien
op deze datum V groter dan of gelijk is aan B + I ontvangen de obligatie­
houders dit totale bedrag en komt een eventueel restant toe aan de aan­
deelhouders. Is V evenwel kleiner dan B + I dan volgt een faillissement,
hetgeen in feite betekent dat de onderneming overgaat in handen van de
obligatiehouders. Het oorspronkelijke eigen vermogen is nu niets meer
waard. Aan het einde van de looptijd van de lening is de marktwaarde van
het eigen vermogen gelijk aan het maximum van nul en V - (B + I).
 Hierdoor is dit vermogen te vergelijken met een Europese calloptie op de
1-5

waarde van de onderneming. Een dergelijke optie geeft de bezitter ervan
het recht tot koop van een aantal aandelen tegen een vooraf overeengeko­
men uitoefenprijs. Van dit recht kan uitsluitend gebruik worden gemaakt
aan het einde van de looptijd van het optiecontract. De uitoefenprijs van
deze optie is gelijk aan B + I.2 Daar V bekend is en E kan worden gewaar­
deerd als een Europese calloptie, kunnen wij de marktwaarde van de lening
afleiden met behulp van de reeds bekende vergelijking V = E + D. Zoals
de waarde van een ter beurze verhandelde optie afhangt van de onzekerheid
omtrent de koersontwikkeling van het bijbehorende fonds, zo hangen de
marktwaarden van het eigen en vreemd vermogen af van de onzekere
ontwikkeling van V. Blijkens het voorafgaande is V een gewichtige variabele
bij de kwantificering van het wanbetalingsrisico. Voor het waarderen van
opties is het voldoende de variantie van de marktwaarde van V te schatten
(zie Black en Scholes (1973), die in hun artikel een waarderingsformule
voor Europese opties hebben afgeleid waarin deze grootheid een belangrijke
rol speelt).
 Indien de onderneming daarentegen periodieke interestbetalingen rB ver­
richt, verloopt het waarderen van het eigen vermogen parallel aan het
bepalen van de waarde van een Europese calloptie op een aandeel waarop
periodiek dividend ter grootte van rB wordt uitgekeerd. Als wij bovendien
de mogelijkheid tot het vervroegd aflossen van de lening tegen Kt introdu­
ceren dan is het eigen vermogen te waarderen als een Amerikaanse calloptie
met een uitoefenschema gelijk aan Kt. Een Amerikaanse calloptie geeft het
recht tot koop gedurende de gehele looptijd van het contract. Concluderend
kunnen wij stellen, dat de waarde van de mogelijkheid tot vervroegd aflossen
precies het verschil is tussen de marktwaarde van een Amerikaanse call met
een tijdsafhankelijk uitoefenschema Kt en de marktwaarde van een Euro­
pese call, beide geschreven op een aandeel met dividenduitkeringen rB.
Het recht tot vervroegde aflossing heeft waarde voor de aandeelhouder en
is nadelig voor de obligatiehouder. Immers, de marktwaarde van een ver­
vroegd aflosbare lening op enig moment zal nooit stijgen boven het bedrag
dat volgens het aflossingsschema voor dat moment geldt. Dit wordt veroor­
zaakt door het feit dat de onderneming geneigd is tot vervroegd aflossen eh
afsluiten van een nieuwe lening zodra de marktwaarde van een dergelijke
lening stijgt tot het bedoelde bedrag (Brennan en Schwartz (1980) p. 910).
Geen belegger zal dus meer voor de lening willen betalen dan dit bedrag.
 Bovendien geldt dat een hoger aflossingsschema leidt tot een verminderde
waarde van het recht tot vervroegd aflossen voor de aandeelhouders. Op
enig tijdstip t heeft dit recht in het geheel geen waarde als de uitgaven
samenhangend met de interestbetalingen kleiner zijn dan de opbrengsten
die ontstaan door een daling van de boete voor vervroegd aflossen, Kt - Kt+1,
vermeerderd met de risicovrije interestopbrengsten gekweekt door het ge­
durende de eerstvolgende periode uitstellen van vervroegde aflossing, rfKt
(zie ook Mason (1980) p. 6). Immers, het risicovrij aanwenden van het
bedrag dat met vervroegde aflossing zou zijn gemoeid levert rfKt op. In
formulevorm komt dit neer op: niet vervroegd aflossen indien rB < Kt Kt+1 + rrK,. Indien het aflossingsschema precies gelijk is aan de waarde van
1-6

een risicovrije lening met dezelfde interestbetalingen als de riskante lening,
heeft het recht tot vervroegde aflossing geen waarde voor de aandeelhouder.
 4. Netto contante waarde of optietheorie?
Uit de afleiding van par. 2 volgde de n.c.w. van de refunding-operatie. Bij
een n.c.w. ^ 0 is refunding op dit moment voldoende winstgevend, maar
dit is nog geen garantie dat het optimaal is juist nu over te gaan tot
refunding. Hantering van de n.c.w. als beslissingscriterium komt overeen
met het vergelijken van de marktwaarde van de oude lening D en het bedrag
dat nu moet worden betaald volgens het aflossingsschema Per definitie
is de n.c.w. namelijk het saldo van de contante waarde van ontvangsten en
uitgaven, in dit geval D-K^
Bij de optiebenadering uit par. 3 is onderzocht wanneer het recht tot
vervroegd aflossen geen waarde had. Dat is het geval als de marktwaarde
van de oude lening, nu echter berekend met behulp van optiewaardering,
niet boven het aflossingsschema uitkomt. Het criterium op grond waarvan
niet tot refunding moet worden overgegaan is dus op hetzelfde principe
gebaseerd als de n.c.w.-methode. Een verschilpunt is de verwerking van het
wanbetalingsrisico. Bij de n.c.w. wordt dit risico verwerkt tot een risicoopslag in de disconteringsvoet. Bij de optiebenadering daarentegen wordt
contant gemaakt tegen de risicovrije voet en belichaamt de variantie van
de marktwaarde van de onderneming het wanbetalingsrisico, dat zich uit in
de marktwaarde van de lening.
Op de vraag of op een bepaald moment vóór het einde van de looptijd van
de lening refunding al dan niet winstgevend is geven beide benaderingen
een antwoord dat gebaseerd is op hetzelfde principe. Daarmee is echter nog
geen uitspraak gedaan over de vraag wanneer het optimaal is over te gaan
tot refunding. De beide methoden verschillen daarin van aanpak. Wij zullen
hier kort op ingaan; een wiskundige uitwerking valt buiten het bestek van
dit artikel.
 Toepassing van de n.c.w.-methode ter oplossing van deze kwestie verloopt
parallel aan de hantering van deze methode in het kader van de ‘abandon­
ment decision’, de beslissing omtrent de eventuele beëindiging van de
exploitatie van een duurzaam produktiemiddel. Onder andere indien het
optimale ‘abandonment’-tijdstip wordt berekend moeten de n.c.w.’s van alle
relevante exploitatieduren onderling worden vergeleken. Op de exploitatieduur waarbij de n.c.w. maximaal is volgt dan automatisch het optimale
‘abandonment’-tijdstip. Zo ook bij de oplossing van het refunding-vraagstuk: het optimale tijdstip voor refunding wordt gevonden door, uitgaande
van alle relevante perioden, de n.c.w. van refunding te becijferen. Een
procedure, waarbij in de tijd wordt teruggerekend startend bij de oorspron­
kelijke aflossingsdatum van de lening, kan hierbij goede diensten bewijzen.
Het rekenwerk blijft echter omvangrijk (zie bijvoorbeeld Elton en Gruber
(1975) pp. 2-48). Aan het einde van de periode waarbij de n.c.w. maximaal
is vindt men dan het optimale refunding-tijdstip. Het spreekt voor zich dat
deze werkwijze een uitspraak vereist omtrent het verwachte verloop van de
1-7

toekomstige interestvoeten gedurende de (resterende) looptijd van de oor­
spronkelijke lening. Een dergelijke uitspraak was niet nodig voor de calcu­
laties die wij in par. 2 uitvoerden. De aldaar becijferde n.c.w. vergde slechts
de veronderstelling dat de interestvoet zich op het nieuwe niveau r' zou
handhaven. Een negatieve n.c.w. houdt in dat refunding moet worden
afgeraden. Wederom dringt zich een parallel met het ‘abandonment’-probleem op; ‘abandonment’ dient namelijk te worden afgeraden indien er
tenminste één exploitatieduur wordt gevonden waarvoor geldt dat de hierbij
behorende indirecte opbrengstwaarde groter is dan de huidige directe
opbrengstwaarde.
 Uit optie-oogpunt is de optimale strategie voor vervroegd aflossen (en
daarmee refunding) er een die de marktwaarde van de lening op elk moment
in de tijd minimaliseert, waardoor de marktwaarde van het eigen vermogen
wordt gemaximaliseerd. Minimalisatie van de marktwaarde van de lening
wordt bereikt door vervroegd af te lossen zodra die marktwaarde gelijk is
aan het aflossingsschema. De marktwaarde van de lening is weer afhankelijk
van de marktwaarde van de onderneming. Hoe hoger V hoe lager het
wanbetalingsrisico en dus hoe groter de waarde van D. Er bestaat op elk
moment in de tijd een kritieke waarde van V waarboven de lening vervroegd
moet worden afgelost. De kritieke waarde van V wordt namelijk gedefinieerd
als die waarde van V waarvoor geldt dat D = Kt. De optimale strategie voor
het vervroegd aflossen is afhankelijk van de waarde van D, maar die is weer
afhankelijk van het aflossingsschema. De simultaniteit van het berekenen
van D en de kritieke waarde van V op elk moment in de tijd leidt ertoe dat
de lening een voorwaardelijke aanspraak is die niet eenvoudig met de door
Black en Scholes ontwikkelde optieformule gewaardeerd kan worden. Be­
naderingen van deze formule leveren weliswaar meer rekenwerk op, maar
staan niet in verhouding met de hoeveelheid rekenwerk die moet worden
verricht bij de n.c.w.-methode. Het resultaat van de benaderingsprocedure
is dat de marktwaarde van de lening op dit moment is berekend inclusief
de waarde van het vervroegde aflossen. Een vergelijking van deze waarde
met de waarde van een niet-vervroegd aflosbare lening levert de waarde •
van het recht tot vervroegde aflossing op. Daarnaast zijn de kritieke waarden
van V op elk moment in de tijd bekend. Dat betekent dat als de markt­
waarde van de onderneming zich op enig moment in de tijd boven de
kritieke waarde bevindt het optimaal is op dat moment af te lossen. Dat
het dan niet nog winstgevender is om te wachten ligt aan het feit dat,
doordat de procedure van achteren naar voren rekent, daarmee reeds
rekening is gehouden.
 Naast het verschil in rekenwerk blijft het verschil in risicoverwerking
bestaan tussen de n.c.w.- en de optiebenadering. Bij de eerste wordt het
wanbetalingsrisico verwerkt in de disconteringsvoet, waardoor inzicht is
vereist in het toekomstige verloop van de interestvoeten. Bij de optiebe­
nadering daarentegen wordt het risico gemeten door de variantie van V
(waarvan kan worden verondersteld dat die constant in de tijd is).
1-8

5. Slotbeschouwingen
De optiegedachte kan op diverse terreinen toepassing vinden, bijvoorbeeld
bij de waardebepaling van converteerbare leningen en leningen met war­
rants. Op andere terreinen zien wij een ontwikkeling van n.c.w- naar
optiebenadering. Voorbeelden hiervan zijn de waardering van de operatio­
nele lease, de refunding-beslissing en de al eerder aangestipte ‘abandon­
ment decision’. Om de gedachten te bepalen kozen wij hier voor toepassing
van de optietheorie op de refunding-kwestie.
 Na een korte omschrijving van het begrip refunding te hebben gegeven zijn
wij in het vorengaande ingegaan op een tweetal benaderingen ter bepaling
van de winstgevendheid van een refunding-beslissing. Als eerste aanzet tot
oplossing van deze kwestie is de analyse gebaseerd op een wereld zonder
belastingen en transactiekosten. Vanwege zijn, zeker in bedrijfseconomische
kringen, algemene bekendheid behoefde de uiteenzetting over het wezen
en de werking van de n.c.w.-methode niet al te uitgebreid te zijn. Dit was
wel het geval bij de toepassing van de optietheorie, de tweede benaderings­
wijze in de refunding-problematiek. Een conclusie die hierbij werd getrok­
ken is dat het recht tot vervroegd aflossen, dat pleegt te behoren bij de
voorwaarden van een lening en dat de mogelijkheid opent tot refunding,
kan worden gezien als het verschil in marktwaarde van een Amerikaanse
en een Europese calloptie. Bij de op de afzonderlijke beschrijvingen vol­
gende confrontatie van de beide benaderingen bleken er zowel overeenkom­
sten als verschillen te bestaan. Een overeenkomst vormt het uitgangspunt
voor de beantwoording van de vraag of refunding al dan niet winstgevend
is. Verschillen bestaan ten aanzien van de verwerking van het wanbetalingsrisico en de berekeningen nodig om te komen tot het optimale refundingtijdstip.
Als aanbeveling voor voortgezet onderzoek op het terrein van refunding
zouden wij willen pleiten voor het opnemen van belastingen en transactie­
kosten in de beschouwingen.
Noten
1 Men zou kunnen beweren dat het recht tot vervroegd aflossen de meeste waarde ontleent
aan de onzekerheid omtrent de marktinterestvoet. Brennan en Schwartz (1980) pag. 926
laten evenwel zien dat het opnemen van onzekere veranderingen van de marktinterestvoet,
naast het wanbetalingsrisico, weinig verklaringskracht toevoegt.
 2 Het wanbetalingsrisico dat de obligatiehouders lopen laat zich eveneens in optietermen
vertolken. Indien V lager is dan B + I kunnen de aandeelhouders gebruik maken van hun
recht de onderneming failliet te laten gaan. Hiermede kunnen zij zich ontslagen achten van
hun verplichting tot betaling van de hoofdsom plus de gecumuleerde interest van de lening.
Dit staat gelijk aan een Europese putoptie verkocht door de obligatiehouders aan de aan­
deelhouders.
1-9

Literatuur

Black, F. en M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political
Economy 81, 1973, pag. 637-659.
Brennan, M. en E. Schwartz, Analyzing convertible bonds, Journal of Financial and Quanti­
tative Analysis 15, 1980, pag. 907-932.
Elton, E. en M. Gruber, Finance as a dynamic process, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey, 1975.
Gastineau, G. L., The stock options manual, McGraw-Hill, New York, 1979.
Herst, A. C. C., Refunding, onzekerheid en disconteringsvoet, in Vermogen in onzekerheid,
opstellen aangeboden aan Prof. Dr. A. I. Diepenhorst, Kluwer, Deventer, 1984, pag. 121­
130.
Kemna, A. G. Z. en J. K. van Vliet, Onzekerheid en flexibiliteit: ‘als' heeft nu ook een prijs, in
Vermogen in onzekerheid, opstellen aangeboden aan Prof. Dr. A. I. Diepenhorst, Kluwer,
Deventer, 1984, pag. 153-164.
Mason, S. P., Call provisions and protection against redemption and refunding, Workingpaper
HBS 80-26, 1980.
Petty, J. W. en D. F. Scott, Capital budgeting practice in large U.S. firms: a retrospective
analysis and update, in F. Derkinderen en R. Crum, Readings in strategy for corporate
investment, Pitman, Boston, 1981, pag. 9-28.
Van Horne, J. C., Financial management and policy, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey, 1983.
Weston, J. F. en E. F. Brigham, Managerial finance, Dryden, Hinsdale (Illinois), 1981.
1-10.
