WISKUNDIGE MARKETINGMODELLEN
WISKUNDIGE MARKETINGMODELLEN
(deel I: Een plaatsbepaling)
door Dr. P. S. H. Leeflang
Zowel marktaspecten van de bedrijfseconomie als kwantitatieve methoden
hebben in de afgelopen twee jaar bijzondere aandacht in dit maandblad
gekregen. In dit blad is echter sporadisch aandacht geschonken aan een
onderwerp dat op het kruispunt van de genoemde onderwerpen ligt, t.w. het
terrein van de wiskundige marketingmodellen.
Alhoewel in het bijzondere marketingnummer van het M.A.B. door
Verdoom (1972), Aeyelts Averink (1972) en Leeflang (1972) voorbeelden
van wiskundige marketingmodellen gegeven werden en Bosman (1972) in het
genoemde nummer aandacht heeft besteed aan wiskundige voorraadmodel­
len, die verwant kunnen zijn met wiskundige marketingmodellen, leek het
ons een goede gedachte om de lezer van dit blad een vollediger beeld te geven
van de bouw van wiskundige marketingmodellen. De uitvoerige lijst van
referenties moge daarbij tevens behulpzaam zijn. Het spreekt evenwel vanzelf
dat het beeld dat wij geven beknopt is. Voor een uitvoeriger overzicht verwij­
zen wij naar Leeflang (1974, hoofdstuk 3 t/m 6).
Aangezien wij met dit artikel ook de aandacht van de wat minder wiskun­
dig en statistisch geschoolde lezers van dit blad voor wiskundige marketing­
modellen zouden willen trekken hebben wij gemeend die gedeelten van het
artikel die een beroep doen op aanzienlijke kennis van wiskundige en statis­
tische methoden tussen sterretjes (*) te moeten plaatsen.
1

Inleiding

Kwantitatieve methoden en technieken vervullen al geruime tijd een belang­
rijke ondersteunende rol bij het analyseren van marketingvraagstukken.
Reeds enkele tientallen jaren wordt in het marktonderzoek gebruik gemaakt
van statistische technieken en methoden, terwijl men de laatste decennia
aandacht heeft besteed aan het probleem op welke wijze men marketing­
vraagstukken met behulp van wiskundige modellen kan benaderen. Daarnaast
hanteert men kwantitatieve methoden en technieken in de zgn. marketinginformatiesystemen; een onderwerp dat meer en meer in de belangstelling
komt te staan.
 Marketing-informatiesystemen hebben de taak om met behulp van ge­
schikte primaire en secundaire data én met geschikte methoden en procedu­
res die informatie te leveren die nodig is om marketingbeslissingen voor te
bereiden. (Vgl. bijv. de definitie van een marketing-informatiesysteem van
Cox en Good, 1967.) Onder die geschikte „methoden” worden ook vaak de
wiskundige marketingmodellen gerangschikt. Zo ruimen Montgomery en
Urban (1969, p. 18) in hun schema van een marketing-informatiesysteem een
plaats in voor een „modelbank” als onmisbaar ingrediënt van dit systeem,
terwijl Bosman (1971), op een andere wijze weliswaar, plaatsen voor model­
len reserveert in een schema van een zgn. „commercieel informatiesysteem”.
m ab blz. 535

Op allerlei fronten en in allerlei bronnen tracht men de relaties tussen
marktonderzoek (leverancier van een belangrijk deel der primaire data),
marketingmodellen en informatiesystemen expliciet te maken, alsmede de
schotten tussen de drie hiervoor genoemde onderwerpen te slechten. Zo stelt
Kotler (1967, p. 221) dat marktonderzoek en marketingmodellenbouw niet
als stringent gescheiden aktiviteiten moeten worden opgevat. Naast de func­
ties die men marktonderzoek van oudsher toedicht als zorgdragen voor „data
collection” en „data interpretation” zal met behulp van een model nagegaan
kunnen worden hoe data, die betrekking hebben op diverse variabelen, met
elkaar samenhangen en langs welke lijnen men een onderzoek kan gaan op­
zetten. Daardoor zal men zich beter bewust worden van gegevens die men
werkelijk nodig heeft en zich tevens kunnen wapenen tegen een - wat men
nog veel ziet - bombardement van gegevens. Het lijkt wellicht overbodig om
het bovenstaande op deze wijze te stellen, doch het blijkt in de praktijk
herhaaldelijk dat men investeringen doet in het verkrijgen van data die op
zich heel interessant kunnen zijn („factfinding”), doch die in het besluit­
vormingsproces nauwelijks enige rol vervullen.
 Tenslotte willen wij in dit verband vermelden dat de relaties tussen infor­
matiestromen, modellen en bronnen die voor informatie zorg moeten dragen
binnen de zgn. marketing audit (zie: Ferber en Verdoom, 1962) aandacht
hebben gekregen.
Voordat wij in dit artikel nader op een aantal wiskundige marketingmodellen
ingaan, willen wij eerst stilstaan bij de vraag op welke wijze wiskundige
modellen bij het oplossen en analyseren van marketingvraagstukken gehan­
teerd kunnen worden. Gezien hetgeen wij bij de aanvang van deze paragraaf
daarover schreven, zal het de lezer niet verwonderen wanneer wij stellen dat
wij menen dat niet alle marketingvraagstukken met behulp van een wiskun­
dig model benaderd kunnen worden. Steeds zal degene die een dergelijk
probleem tot een oplossing dient te brengen, genoodzaakt zijn om na te gaan
of, en zo ja in welke mate, een probleem met behulp van een wiskundig
model benaderd kan worden. Evenals een vector in de mechanica twee facet­
ten bezit (richting en grootte), bezit een marketingprobleem twee facetten
die we kunnen omschrijven als kwantitatief en kwalitatief. In een aantal
problemen zal het kwalitatieve facet de boventoon voeren, terwijl het kwan­
titatieve facet bij een ander type probleem bijzonder relevant zal kunnen
blijken te zijn. Wij zijn nu van mening dat de richting waarin men moet
denken, om een probleem te benaderen, vaak gevonden kan worden door een
kwalitatieve benadering van het probleem. De „optimal solution” (grootte)
kan zo mogelijk met behulp van een kwantitatieve aanpak, m.b.v. een
wiskundig model, gevonden worden. Zo kan een marketingvraagstuk in prin­
cipe door een combinatie van beide methoden benaderd worden.
 Aeyelts Averink (1972) hanteert ook deze tweedeling en spreekt in dit ver­
band over keuzebeslissingen (de kwalitatieve beslissingen) en intensiteitsbeslissingen (de kwantitatieve beslissingen). Hij gaat evenwel verder, wanneer
hij stelt, dat een tweedeling te maken is in kwalitatieve en kwantitatieve
m a b blz. 536

instrumenten van de verkooppolitiek waarbij hij de produkteigenschappen en
de distributiekanalen rekent tot de kwalitatieve marketinginstrumenten. Dit
is naar onze mening niet geheel juist omdat de laatstgenoemde instrumenten
duidelijk wel facetten vertonen die zich lenen voor een kwantitatieve
analyse. Vergelijk bijv. in deze het in paragraaf 4 te bespreken model van
Hartung en Fisher (1965) waarbij het effect van het aantal distributiepunten
(availability-functie van het distributiekanaal) op marktaandelen gemeten
werd. Na deze meting werd door Hartung en Fisher het optimale aantal
distributiepunten bepaald.
Voorbeelden van marketingvraagstukken waarin de hierboven genoemde
facetten duidelijk te herkennen zijn kunnen wij veelvuldig ontmoeten in
vraagstukken die zich bezig houden met het zo doelgericht mogelijk over­
brengen van een boodschap met betrekking tot één of meer eigenschappen
van een produkt. Produkt-manager en reklamemaker zullen zich bezig hou­
den met de inhoud van de boodschap terwijl met behulp van een wiskundig
model de media bepaald kunnen worden die deze boodschap, gegeven een
budget, zo doelgericht mogelijk kunnen overbrengen.
Een ander voorbeeld waarin kwantitatieve en kwalitatieve facetten dui­
delijk herkenbaar zijn, is het vraagstuk van de vertegenwoordigerskeuze.
 Door informatie van de markt kan een idee („richting”) verkregen worden
over de capaciteiten van vertegenwoordigers (ordergetters? , ordertakers? ,
missionary salesmen? etc.). Daarnaast kan met behulp van een wiskundig
model de grootte van het vertegenwoordigerscorps, het aantal potentiële
klanten en het aantal „vaste” klanten dat per maand bezocht moet worden,
ja zelfs de uren die per maand aan een bepaald type klant besteed moeten
worden, worden bepaald (vergelijk bijv.: Brown, Hulswit en Kettelle, 1956).
 In het licht van de discussie tussen degenen, die beweren dat een wiskundig
model een oplossing biedt bij elk marketingprobleem en degenen die bewe­
ren dat een modelbenadering bij een dergelijk ongestructureerd probleem
nutteloos is, zal het de lezer dan ook niet verwonderen dat wij in deze
kunnen aansluiten bij Herniter en Howard (1964, p. 38), die stellen dat:
„. any approach to the marketing problem should be judged only on its
usefulness. .”
Een wiskundig model moet in feite dus worden gezien als een mogelijk
hulpmiddel. Ook in dit opzicht zijn wij het met de hierboven geciteerde
schrijvers eens, wanneer zij zeggen:. „if a mystic with alleged precognitive powers should appear in the
executive suite and if his predictions of sales response to e.g. advertising were
accurate, then he would be in no danger of unemployment and, in fact,
could probably earn a fortune. Even if he occasionally made a mistake in
prediction his value would still be high - it would remain high as long as he
was able to do significantly better than any other approach to this marketing
problem. We feel that a model of the market should be judged as the mystic
is judged: on superiority to other methods of prediction. .”
m a b biz. 537

De hantering van wiskundige marketingmodellen in de praktijk is (zeker in
Nederland) nog gering te noemen. Bedrijven als bijv. Philips, Unilever en
Niemeyer construeren wel wiskundige marketingmodellen, doch de ontwik­
keling van deze modellen staat vaak nog in de kinderschoenen. In het bestek
van dit artikel willen wij niet al te veel ingaan op de redenen die hieraan ten
grondslag liggen en verwijzen naar hetgeen anderen (Montgomery, Urban,
1969, p. 5; Portes, 1970) en wijzelf (Leeflang, Koerts, 1970) daarover reeds
zeiden. Wel willen wij aan de in de hiervoor genoemde bronnen vermelde
redenen nog toevoegen, dat het in de praktijk vaak bijzonder moeilijk blijkt
te zijn om de juiste en bovenal op consistente wijze verkregen en op con­
sistente wijze gemeten informatie te vergaren. Zoals wij echter hiervoor al
min of meer stelden zal de constructie van wiskundige modellen tot een meer
gerichte informatievoorziening kunnen leiden waardoor op zijn beurt de
praktische toepassing van wiskundige modellen in marketing groter kan wor­
den.  In dit artikel willen wij na deze „plaatsbepaling” van marketingmodellen,
nader op de inhoud van dit begrip in gaan. Daartoe zullen wij in paragraaf 2
enkele classificaties van modellen beschrijven en met behulp van deze classi­
ficaties de wiskundige marketingmodellen rubriceren. Teneinde tot een beeld
te komen van de modellen die zoal ontwikkeld zijn zullen wij in paragraaf 2
eveneens een classificatie van wiskundige marketingmodellen in zgn. „be­
schrijvende, respons- en optimerings-modellen” geven. Van deze verzame­
lingen modellen zullen wij respectievelijk in de paragrafen 3, 4 en 5 enige
voorbeelden geven. Daarbij zullen wij ons beperken tot de modellen die in
principe met behulp van analytische methoden „opgelost” kunnen worden.
Op modellen die ontwikkeld zijn teneinde de respons op de hantering van
marketinginstrumenten met behulp van simulatie te onderzoeken - de zgn.
marketingsimulatiemodellen - zullen wij om praktische redenen in dit artikel
niet ingaan. Deze zgn. simulatiemodellen vereisen nl. een zodanig gedetail­
leerde beschrijving van een model dat in het kader van dit artikel een over
zicht van deze modellen moeilijk te geven is. Tenslotte zullen wij na de
kennismaking met de „analytische” modellen, in paragraaf 6 de modellen die
onderwerp van dit artikel zijn evalueren.
2

Het modelbegrip en enige classificaties van modellen

Het begrip model kunnen wij als volgt definiëren:

Definitie 1

Model: Een model is een gestileerde weergave van ideeën die wij omtrent de
werkelijkheid bezitten.
Deze weergave kan op verschillende manieren plaats vinden en wij kunnen
Deze weergave kan op verschillende manieren plaats vinden en wij kunnen de
diverse wijzen waarop een model weergegeven wordt als classificatiecriterium
m a b blz. 538

hanteren. Alvorens dit te doen dienen wij wel op te merken, dat weergave
d.m.v. maquettes c.q. „afbeeldingen” voor de verschijnselen die wij
bestuderen, niet relevant is en daarom buiten beschouwing gelaten wordt.
 Wij zullen ons beperken tot afbeeldingen/weergaven d.m.v. woorden, symbo­
len etc. Wanneer men dit doet, kan men de ideeën die men omtrent de
werkelijkheid bezit bijv. eenvoudig in woorden beschrijven. Wij zullen in dit
geval van een verbaal model spreken. Een aantal bekende economen, zoals
Marx, Ricardo, Smith, construeerden in het verleden verbale economische
modellen. Als men een model op deze manier weergeeft, loopt men het
gevaar de consistentie uit het oog te verliezen, terwijl bijv. tevens premisse en
conclusie door elkaar gehaald kunnen worden. Daarom is het gewenst het
model in een wat meer overzichtelijke vorm te gieten, dat wil zeggen dat men
tracht te komen tot het opschrijven van functionele relaties, echter zonder
dat noodzakelijk een nadere kwantificering van de verbanden wordt aange­
geven. Het werk van Schouten en dat van Walras zijn voorbeelden van deze
werkwijze, waarbij men dus aangeeft welke te verklaren variabelen samen­
hangen met verklarende variabelen. Wij zullen dit soort modellen aanduiden
als geformaliseerde modellen. Een laatste stap naar kwantificeren is de
numerieke specificatie van de functionele relaties alsmede de mogelijke intro­
ductie van onzekerheid (stochastiek). Wij zullen deze modellen numeriek
gespecificeerde modellen noemen. Geformaliseerde modellen en gespecifi­
ceerde modellen zullen wij samen wiskundige modellen noemen, omdat in
beide typen modellen wiskundige symbolen gehanteerd worden.
Behalve dat men modellen kan classificeren naar de wijze waarop dit
model weergegeven is, kan men modellen classificeren naar hun „ervaringsobject”, het object dat men (in dit geval m.b.v. een model) wil bestuderen.
 Zo kan men modellen in de sociale wetenschappen, de psychologie (van het
consumentengedrag bijv., denk aan Howard, Sheth; Nicosia etc.), de chemie
(atoommodel van Bohr), de economie etc. onderscheiden en definiëren. Aan­
gezien economische modellen in het vervolg van ons betoog relevant zullen
blijken te zijn, zullen wij deze modellen in navolging van Tinbergen (1956)
als volgt definiëren:
Definitie 2

Economie Model: A system of relations describing in an approximate way
the adaptation process of an economy is called an economie model.
Marketingproblemen kunnen gezien worden als een bepaalde verzameling
van economische problemen. Alhoewel andere „disciplines” die een ander
ervaringsobject bezitten restricties t.a.v. marketingproblemen kunnen formu­
leren (vgl. „het recht”, „de techniek”) en informatie die voor de oplossing
van deze problemen relevant geacht kan worden, kunnen „toeleveren” (vgl.
de psychologie van het consumentengedrag), zullen beslissingen op het
terrein van marketing veelal op basis van economische maatstaven plaatsvin­
den. Daarom kunnen marketingmodellen ook als een bijzonder type van
economische modellen gekarakteriseerd worden. Zij kunnen als volgt worden
gedefinieerd:
m a b blz. 53 9

Definitie 3

Marketing Model: Een marketingmodel is een gestileerde weergave van:
- de causale relaties tussen marketing doelstellingsmaatstaven en marketing­
instrumenten en/of van:
- de relaties die beschrijven hoe consumenten/afnemers hun aankopen ver­
richten.
Deze definitie is gebaseerd op een definitie van een marketingmodel zoals
door Aeyelts Averink (1970) geformuleerd werd1 ). Hij is uitgebreid in die
zin dat modellen waarin geen marketingdoelstellingen en marketinginstru­
menten voorkomen en die opgezet zijn om het gedrag van consumenten door
middel van relaties weer te geven (de zgn. beschrijvende modellen, zie para­
graaf 3), ook onder definitie 3 vallen.
 Onder marketing doelstellingsmaatstaven worden maatstaven verstaan die ge­
hanteerd worden om marketingdoelstellingen te expliciteren zoals: markt­
aandeel, verkopen, verspreiding, bereik (vgl. bijv. het in paragraaf 4 te presen­
teren media-allocatiemodel) etc.
Het zal weinig toelichting behoeven dat met behulp van de twee hierboven
gegeven classificaties naar weergave/verschijningsvorm en ervaringsobject,
wiskundige marketingmodellen kunnen worden gedefinieerd. Marketing­
modellen kunnen als volgt worden geclassificeerd:
1 Modellen die het consumentengedrag beschrijven (Beschrijvende model­
len)2)
2 Responsmodellen
3 Optimeringsmodellen
De indeling van marketingmodellen in beschrijvende, respons- en optimerings-modellen is gebaseerd op de verschillende doeleinden, die leiden tot de
constructie van een model. Zo trachten de beschrijvende modellen het
mechanisme van het koopproces van individuele consumenten of groepen
consumenten te beschrijven. Deze modellen bevatten meestal een of meer
relaties die gebaseerd zijn op resultaten die door bestudering van het gedrag
van consumenten verkregen zijn. In deze modellen zullen geen marketing­
instrumenten voorkomen.
Wil men de invloed van de hantering van marketinginstrumenten op het
consumentengedrag specificeren, dan kan dit in principe worden gedaan met
behulp van de constructie van een responsmodel. Responsmodellen hebben
nl. tot doel om te specificeren hoe consumenten reageren op de hantering
van de verschillende marketinginstrumenten door de onderneming. De infor­
matie die voortkomt uit de hantering van deze modellen, zal gebruikt kun­
nen worden om de optimale „waarden” -van de verschillende instrumenten te
bepalen, teneinde de in het model gespecificeerde doelstellingen (geformu­
leerd in een objectfunctie) zo goed mogelijk te verwezenlijken. De modellen
1) ,,A marketing model is the representation of the causal relationship between marketing per­
formance and marketing offers and/or efforts.”
2) Alhoewel responsmodellen en optimeringsmodellen de werkelijkheid die object van studie is in
marketingvraagstukken ook op een gestileerde wijze beschrijven zullen wij in het navolgende met
beschrijvende modellen uitsluitend die modellen bedoelen, die het consumentengedrag beschrijven.
 m a b blz. 540

die tot deze bepaling komen, zullen optimeringsmodellen genoemd worden.
Het optimeren zal veelal neerkomen op het maximeren van de winstfunctie.
Bij een deelverzameling van deze optimeringsmodellen, nl. bij de zogenaamde
allocatiemodellen, zoals die onder meer gehanteerd worden bij de bepaling
van de optimale mediamix, worden evenwel begrippen als „awareness” of
„reach” in plaats van winst (veelal onder diverse randvoorwaarden) gemaxi­
meerd. Daarnaast is in een aantal modellen sprake van het bereiken van zgn.
„satisficing” oplossingen i.p.v. optimale oplossingen. De optimeringsmodel­
len zijn altijd gebaseerd op responsmodellen. Er zijn echter ook een aantal
responsmodellen bekend, die geen deel uitmaken van een optimeringsmodel.
In de meeste optimeringsmodellen worden slechts één of twee marketing­
instrumenten bepaald. Modellen waarin men alle relevante marketinginstru­
menten bepaalt, worden marketing-mix modellen genoemd.
De bovenstaande classificatie van wiskundige marketingmodellen is (zoals
iedere classificatie) subjectief, doch komt ons als logisch voor3). Men zou
namelijk de drie typen modellen kunnen zien als de drie fasen die doorlopen
moeten worden om tot de specificatie van een optimeringsmodel te komen.
De eerste fase is die waarin men het „endogene” gedrag van consumenten op
markten beschrijft d.m.v. een beschrijvend model. Een aantal parameters die
dit gedrag bepalen, kunnen dan vervolgens met behulp van een responsmodel
gerelateerd worden aan marketinginstrumenten. Dit zou de tweede fase ge­
noemd kunnen worden. Nadat men deze relaties gespecificeerd heeft, dient
men a.h.w. de „dosering” van de marketinginstrumenten te bepalen. Dit
betekent, dat niet alleen het effect van de hantering van bepaalde marketing­
instrumenten op „doelstellingsmaatstaven” (verkopen, marktaandelen, etc.),
doch ook de kosten die aan deze hantering verbonden zijn, beschouwd moe­
ten worden. De bepaling van deze dosering vindt plaats in de „derde fase”
met behulp van optimeringsmodellen.
 Wij willen deze paragraaf besluiten met een overzicht van de classificaties van
modellen die in deze paragraaf besproken zijn:
Figuur 1 Overzicht Modellen
*~ervaringsobject

weergave

—Beschrijvende
modellen
—Responsmodellen
—Optimeringsmode

<r- Economische modellen -►
3) Voor een vergelijking van deze classificatie met andere in de literatuur voorkomende classifica­
ties verwijzen wij naar Leeflang en Koerts (1973^).
m a b blz. 541.
