BOEKBESPREKING
BOEKBESPREKING
29 A pril 1940 is te U trecht overleden de heer M . van
Overeem , Lid van het N ederlandsch Instituut van A ccoun­
tants. D e Redactie had van den overledene nog een door­
w rochte boekbespreking in portefeuille, die een indruk geeft
van de veelzijdigheid van den heer van Overeem . H et is der
Redactie een eer deze boekbespreking bij wijze van posthum e
hulde hier plaats te verleenen.
S. Kleerekoper. O ver het gebruik van de wiskunde
in de economie ( D iss.).
 H et proefschrift, w aarop de H eer Kleerekooper op 15
Decem ber 1938 1) aan de U niversiteit te A m sterdam den
graad van doctor in de economische w etenschappen verwierf,
draagt, vergeleken met de meeste andere dissertaties, een bij­
zonder karakter. V eelal toch zijn deze te kwalificeeren als
monografieën, zonder meer. De prom ovendus levert een min
of meer diepgaande studie van een bepaald onderw erp van be­
perkten om vang uit het vak van w etenschap, w aarvoor hij den
doctoralen graad w enscht te verw erven of deelt in zijn dissersatie de resultaten mede van een door hem ingesteld empi­
risch onderzoek, onder gelijktijdige uiteenzetting van de wijze,
w aarop hij bij dit onderzoek te w erk is gegaan. Een dergelijk
zuiver m onografisch karakter draagt het proefschrift van
Kleerekooper niet. Reeds op pag. 2 van hoofdstuk I (Inlei­
ding) w ordt dit door K. zelf ook reeds tot uitdrukking ge­
bracht. N a te hebben opgem erkt, dat vrijwel alle economen
het er over eens zijn, dat de economie met vrucht gebruik kan
maken van sommige hulpm iddelen en voorstellingen, die on t­
leend zijn aan de gewone rekenkunde, gaat hij n.1. als volgt
verder:
,,E r bestaat echter verschil van inzicht over de vraag naar
de toepasbaarheid en de doelm atigheid van het gebruik van
bepaalde hoofdstukken van de analytische meetkunde, van de
differentiaal- en integraalrekening, van de differentiaalverge­
lijkingen, van de determ inanten-theorie, van de kansrekening
en van eenige andere moeilijke hoofdstukken van de w iskunde
op economische vraagstukken. H et is het gebruik van enkele
van deze afdeelingen van de wiskunde, w aarm ede wij ons in
de volgende bladzijden zullen bezig houden.”
A an deze doelstelling, zooals zij in de laatste zinsnede van
dit citaat tot uitdrukking komt, heeft K. in het geheele proef­
schrift vastgehouden. H et is ingedeeld in negen hoofdstukken.
 H et vangt aan met een inleiding, w aarin hij een overzicht geeft
van de onderw erpen uit de economie, die hij in zijn dissertatie
onder toepassing van de w iskundige m ethode heeft behandeld,
of die door hem voor een dergelijke behandelingswijze w orden
v atbaar geacht. Zij betreffen zoowel problem en uit de theo­
retische en toegepaste sociale economie als uit de theoretische
en toegepaste bedrijfseconomie. U it het vervolg van deze be­
spreking zal dit nog nader blijken.
H oofdstuk II geeft een chrolonogisch overzicht van hetgeen
door diverse schrijvers in vroegere perioden w erd geprodu­
ceerd op het gebied van de toepassing van de w iskunde op
economische problemen. D it overzicht is in verschillende op­
zichten zeer lezenswaard, tot op zekere hoogte vrij volledig,
terwijl het bovendien system atisch is opgesteld. E erst be­
spreekt K. de litteratuur, die zich bepaalt tot incidenteele toe­
passingen van de wiskunde. In het tweede gedeelte komen de
schrijvers aan de orde, die getracht hebben een op w iskun­
1) D e hieronder volgende bespreking v a n het proefschrift verschijnt
door ziekte v a n den recensent veel later d a n oorspronkelijk in diens v o o r­
nem en lag.
 digen grondslag opgebouw de verhandeling te geven van ver
schillende economische problemen van een meer algemeen en
daardoor vèr strekkend karakter. O nze bespreking zou te
uitvoerig w orden voor een tijdschriftartikel, indien wij hier
een opsomming gaven van al de verhandelingen en werken,
die successievelijk door K. w orden vermeld en in het kort w or­
den besproken. W ie belang stelt in het onderw erp, w aarover
het proefschrift loopt, leze dit proefschrift zelf. N a ast de
litteratuuropgave brengt K. echter in hoofdstuk II twee punten
ter sprake van principieelen aard, w aarop wij hier nader willen
ingaan.
H et eerste dezer punten betreft het z.g. naturalism e, w aar­
aan K. bijzondere aandacht heeft gewijd (zie pag. 19 tot 26).
Daarbij verstaat K. onder naturalistische methode een door
enkele schrijvers (o.a. Jevons en Irving F isher) gevolgde
m athem atische behandeling van economische problemen, w a ar­
bij de terminologie, de methode en soms ook stellingen van
de natuurw etenschappen, uitsluitend of in hoofdzaak op grond
van analogie-redeneeringen w orden toegepast op de economie.
 Deze m ethode w ordt door K. volstrekt afgewezen. W ij achten
het wenschelijk er hier eenigszins uitvoerig bij stil te staan en
doen dit naar 'aanleiding van onderstaande aanhaling, betrek­
king hebbende op K.’s opm erkingen over het boek van Irving
Fisher, w aarvan de Fransche titel luidt: ,,Recherches m athé­
matiques sur la théorie de la valeur et des prix.” lrvin g Fisher
verdedigt de naturalistische m ethode op de volgende wijze:
,,I1 est rare que celui écrit sur l’économique m anque
d ’établir quelque com paraison entre l’économique et la m éca­
nique. L ’un parle d ’une „correspondance dans les grandes
lignes entre le jeu des forces économiques” et ,,l’équilibre
mécanique ” , U n autre compare l’uniformité de prix à l’unifor­
mité de niveau de la surface de l’eau. U n autre (Jevons)
compare ses lois de l’échange à celles de l’équilibre d ’un levier.
U n autre (E dgew orth) représente le „systèm e” économique
comme un système de lacs de niveaux différents. U n autre
compare la société à une masse plastique, telle qu’une „pression
excercée en une région se disperse dans toutes les directions ” ,
En fait l’économiste em prute à la mécanique une grande partie
des mots de son vocabulaire. En voici des exemples: équilibre,
stabilité, élasticité, expansion, extension, contraction, cours,
écoulement, force, pression, résistance, réaction, distribution,
(prix)niveau, mouvement, portem ent”.
 H ierop reageert K. als volgt:
„Inderdaad blijkt uit deze laatste opsomming, dat de econo­
mie een nog zoo onvolkomen wetenschap is, dat zij het nog
niet tot een eigen afgesloten systeem van terminologie en
definitie heeft kunnen brengen. M aa r het blijft mij toch zeer
de vraag of Fisher gelijk heeft met zijn suggestie, d at de
economen al de door hem genoemde w oorden rechtstreeks aan
de natuurw etenschappen hebben ontleend. V eel meer lijkt mij
het gewone dagelijksche spraakgebruik ■
—■ dat overigens wel
meer w oorden gemeen heeft met de natuurw etenschappelijke
terminologie -—■ de bron, w aaruit hier door de economen is
geput. D e economie heeft van deze w oordgem eenschap veel
meer nadeel gehad dan de natuurw etenschappen. V erm oede­
lijk vindt dit zijn oorzaak in het feit, dat de natuurw etenschap
door haar wiskundige m ethode zich in een later stadium van
analyse heeft kunnen losmaken van de vaagheden en inner­
lijke tegenstrijdigheden van het spraakgebruik. De economie
echter, die zich in terminologie, zoowel als in analyse van de
in-exacte taal heeft moeten bedienen, heeft hierm ede ook de
in-exactheden van het gewone spraakgebruik voor een groot
deel naar binnen gehaald.”
V oor een deel kunnen wij ons met K.’s standpunt vereenigen.
 O ok ons lijkt het toe, dat de economen bij hun terminologie
niet in de eerste plaats hebben geput uit de terminologie, die

ma b

blz, 127

in de natuurw etenschappen w ordt gevolgd, m aar daarbij in
vele gevallen gebruik hebben gem aakt van woorden, die ook
in het gewone spraakgebruik dagelijks voorkomen. W a t dat
betreft, gaat dus lrving F isher’s verdediging van de n atu ra­
listische methode inderdaad mank. M aar mag men nu de a f­
brekende critiek op deze verdediging aanvangen door als
praemisse te stellen, dat de economie een nog zoo onvolkomen
wetenschap is, dat zij het nog niet tot een eigen afgesloten
systeem van terminologie en definitie heeft kunnen brengen?
H et kwalificeeren van de economie in haar huidig stadium van
ontwikkeling als een zeer onvolkomen w etenschap blijve voor
rekening van den promovendus. W ij gelooven, dat een der­
gelijke kwalificatie heel w at economen, die de moeite hebben
genomen K’s dissertatie zorgvuldig door te lezen, niet al te
prettig zal hebben aangedaan. M aar dit terzijde latende, gaat
o.i. K in de aangehaalde zinsnede veel te ver, legt anderzijds
niet den vinger op de w onde plek, die inderdaad, w at betreft
den wetenschappelijken opzet van de behandeling van diverse
onderw erpen, in de economische litteratuur is aan te wijzen.
 U it K ’s uitlating zou men de conclusie kunnen trekken, dat
de graad van ontwikkeling of volkomenheid eener w etenschap
tot op groote hoogte parallel loopt met het aantal neologismen,
dat de beoefenaars dier w etenschap successievelijk zijn gaan
gebruiken en nu is het ons inziens volm aakt onjuist een derge­
lijk criterium te stellen. H et is ons natuurlijk niet bekend, w el­
ken graad van onvolkomenheid K. krachtens de door hem op­
gedane ervaringen bij zijn studie van de economie in de be­
staande litteratuur heeft ontdekt. Verm oedelijk zal hij het met
ons eens zijn, dat er ook geen eenheid bestaat, w aarin men
dezen graad van onvolkomenheid zou kunnen uitdrukken.
 M aar wel staat het vast, dat de wiskunde, die toch zeker een
veel hoogeren graad van ontwikkeling heeft bereikt dan de
economie, zich tot heden niet geroepen heeft gevoeld neolo­
gismen in te voeren voor in deze w etenschap sinds lang alge­
meen gebruikte termen, die ook in het dagelijksch leven w or­
den gebezigd en daarin een geheel andere betekenis hebben
dan in de wiskunde. W oordvorm ing en spraakgebruik zijn
inderdaad niet altijd betrouw bare gidsen bij het bepalen van
den zin, dien men in de w etenschap aan een of andere term
hecht. M eestal toch moet de beteekenis, die een woord in het
dagelijksche leven heeft, beperkt, somtijds uitgebreid, bijna
altijd meer of m inder gewijzigd w orden vóórdat het als w eten­
schappelijke term zonder dubbelzinnigheid te veroorzaken
dienst kan doen. O ok dagteekent een zoodanige term soms
uit een tijd, toen de betreffende w etenschap nog op een lageren
trap van ontwikkeling stond en men onmogelijk noemde, w at
naderhand bleek zeer goed mogelijk te zijn of de stof rang­
schikte op een wijze, w aartegen gegronde bezw aren bleken te
bestaan. In andere gevallen weer heeft men zich bij de keuze
van een uitdrukking laten leiden door een of ander in het oog
vallend kenmerk, dat echter met het wezen van de zaak weinig
te maken had. Als voorbeelden van een en ander noemen wij
de termen: hoek, deeling, oneindig klein, gelijkvormig, ima­
ginair, evenwijdig, ondeelbaar en onverkleinbare breuk. Al
deze w oorden hebben in de w iskunde een speciale scherp om­
lijnde beteekenis, die met de etymologische weinig of niets te
maken heeft.
 Leidt nu het gebruik van deze woorden, die zich in de hui­
dige literatuur hebben gehandhaafd, in de w iskunde tot mis­
verstanden, vaagheden of onduidelijkheden of is het vasthou­
den aan deze term en een aanwijzing voor een zekeren graad
van onvolkomenheid van ontwikkeling der w iskundige w eten­
schap? W ij meenen die vraag onvoorw aardelijk ontkennend te
moeten beantw oorden. W aaro m zou zich nu een dergelijk
verschijnsel wel in de economie moeten voordoen, zoolang
deze zich nog niet bedient van allerlei neologismen en niet in
de wiskunde? O.i. is de reden uitsluitend hierin gelegen, dat

mab

blz. 128

men zich in de economie lang niet altijd streng houdt aan de
methode, die in de w iskunde steeds zorgvuldig w ordt gevolgd
en die hierin bestaat, dat men bij het invoeren van een bepaal­
den term (onverschillig of dit een neologisme is of een in het
dagelijksch leven reeds in één of meer beteekenissen gebrui­
kelijk w oord) consequent vóór alles een scherpe omschrijving
geeft van de betekenis, die deze term in de betreffende ver­
handeling, het betreffende leerboek of handboek zal hebben.
Indien men, w at dit punt betreft, de economische wetenschap
op een hooger peil wil brengen en de studeerenden niet
periodiek voor onbegrijpelijkheden en vaagheden wil stellen,
laat men dan beginnen met althans in dit opzicht de w is­
kundige methode volledig over te nemen. D at kan door alle
economen geschieden, ook al maken zij niet eerst, zooals K.
blijkens zijn dissertatie heeft gedaan, een min of meer gron­
dige studie van verschillende o n derd ed en der H oogere W is ­
kunde.
 H ierm ede stappen wij van K.'s opm erkingen over de n atu ra­
listische m ethode af en gaan over tot een ander gedeelte van
hoofdstuk II zijner dissertatie. K. eindigt dit hoofdstuk met
eenige zinsneden, w aarin hij de reden aangeeft, w aarom hij
zich in zijn verhandeling niet heeft bepaald tot de toepassing
van de w iskunde op abstract theoretische problemen, m aar
ook aan de empirische een, zij het dan ook bescheiden, plaats
heeft ingeruimd. D eze zinsneden luiden als volgt: (zie pag.
29/30)
,,De sterke verw aarloozing van de w iskunde door de econo­
men heeft de w iskundige economische statistiek geheel van
de economie vervreemd. Iets dergelijke is in andere vakken
niet het geval. N a a r mijn w eten b.v. w ordt de biometrica door
de biologen beoefend.
D eze verw aarloozing door de economen heeft tengevolge
gehad dat de econometrica door niet-econom en (ingenieurs,
m athem atica en z.) van hen is overgenomen. D eze laatsten nu
zijn niet deskundig op het gebied van de eigenlijke economische
theorie.
In deze ontwikkeling schuilen ernstige gevaren, om dat hier­
door de theoretische analyse van op w iskundig empirische
wijze verzam elde gegevens vaak achterw ege zal blijven of,
hetgeen nog erger is, door niet-economen op onvoldoende
wijze zal w orden verricht.
H et is ook ter wille van de taak, die hier voor den vakeconoom is w eggelegd —- en welke hem verplicht de wis­
kundestudie ter hand te nemen — dat wij in dit w erk het w is­
kundig statistisch onderzoek toch in het kort zullen bespre­
ken ”.
 In het kort uitgedrukt komen de hier geciteerde bew eringen
van K. hierop neer, d at een in ieder opzicht bevredigende en
volledige behandeling van tal van onderw erpen uit de econo­
mie alleen kan w orden gegeven door dengene, die tegelijkertijd
wiskundige en econoom is. Indien K. er zich toe bepaald had
een dergelijke algem eene uitspraak te geven, zou er voor ons
geen reden geweest zijn, daarop nader in te gaan. N u zijn
eindconclusie hierop neerkomt, dat de vak-econoom terwille
van de theoretische analyse van op wiskundig empirische
wijze verzam elde gegevens verplicht is de w iskundestudie ter
hand te nemen, voelen wij ons gedrongen nog enkele opm er­
kingen te maken.
H et zou onjuist zijn, indien men beweerde, dat men het
volle profijt trekt van de studie der wiskunde, indien men
zich een voldoende of zelfs groote vaardigheid eigen m aakt
in het differentieeren, integreeren, het oplossen van differen­
tiaalvergelijkingen, het gebruik van determ inanten enz., enz.
 Die techniek is ongetwijfeld noodig voor het maken van toe­
passingen. M aa r daarm ede w ordt men nog geen wiskundige
in den juisten zin van het woord. D e groote beteekenis van
de studie der w iskunde voor den econoom zien wij in de eerste

plaats in de vorm ende w aarde dezer wetenschap, die met de
kunst van differentieeren, integreeren enz. weinig te maken
heeft. D e w iskunde ontleent haar vorm ende w aarde aan haar
m ethode van exacte definieering en exacte redeneering en be­
wijsvoering. W ie bij zijn w iskundige studie daarop in de eer­
ste plaats zijn volle aandacht vestigt (en van de studenten in
de w iskunde w ordt dit, speciaal in de laatste decennia in de
eerste plaats verlangd) m aakt zich een denkwijze eigen, die
hem er vanzelf toe brengt ook bij de beoefening van een
andere wetenschap dezelfde strenge eischen te stellen en hij
zal er zich dientengevolge voor w achten conclusies te trekken,
die door de motiveering niet volledig w orden gedekt. H et
doet ons genoegen te hebben kunnen constateeren, dat K.
 blijkens de kritiek, die hij op verschillende plaatsen in zijn
dissertatie uitoefent op de geestesproducten van enkele
,,groote” economen zijn studie in de w iskunde niet alleen
dienstbaar heeft gem aakt aan het verw erven van technische
vaardigheid in het afleiden van formules etc., die hij voor de
m athem atische behandeling van de door hem behandelde eco­
nomische problemen noodig had, m aar deze gelegenheid ook
heeft aangegrepen om zich vertrouw d te maken met de w is­
kundige denkwijze en de exacte wijze van definieering, rede­
neering en bewijsvoering, w aaraan de w iskunde haar vorm en­
de w aarde ontleent. H et is deze vorm ende w aarde, het zijn
niet de door de w iskunde opgeloste problemen van practischen
aard, op grond w aarvan gezegd mag worden: ,,M athem atica
disciplinanim magistra”.
W ij willen thans overgaan tot een bespreking van de
H oofdstukken III en IV van K .'s dissertatie. H oofdstuk III
handelt over de vraag of het algemeen karakter van het eco­
nomisch onderzoek m athem atische analyse mogelijk en nuttig
maakt. Deze vraag w ordt door K. bevestigend beantw oord.
In hoofdstuk IV w orden besproken de bezwaren, die verschil­
lende schrijvers tegen het gebruik van de w iskunde in de
economie aanvoeren. Om deze reden kunnen de hoofdstukken
III en IV tegelijk w orden behandeld.
 H et hoofdargum ent, dat den schrijver er toe brengt de in
hoofdstuk III behandelde vraag in bevestigenden zin te be­
antw oorden, komt hierop neer, dat in de economie talrijke
vraagstukken te berde w orden gebracht, waarbij functioneele
betrekkingen een min of meer belangrijke rol spelen. Als zoo­
danig beschouwt de schrijver onder meer de volgende pro­
blemen:
1. D e „v raag ” is de verzameling van de veranderende
biedprijzen bij veranderend quantum te verhandelen goederen.
2. H et „aanbod” is de verzameling van de veranderende
laatprijzen bij veranderd quantum te verhandelen goederen.
3. De eerste w et van Gossen. In haar oorspronkelijke kort­
ste formuleering luidt deze wet:
„D ie G rosse eines und desselben Genusses nimmt,
w enn w ir mit Bereitung des G enusses ununterbrochen
fortfahren, fortw ährend ab, bis zuletzt Sättigung ein­
tritt.
Deze wet definieert dus het in een bepa'ald tijdsinterval
genoten „ n u t” als een functie van het in dat tijdsinterval ge­
noten quantum.
4. V an de z.g. onlustfuncties kan hetzelfde gezegd worden.
5. D e beschouwingen over de besparingen van de p ro ­
ductie in het groot leeren ons, dat de kostprijs per eenheid
product verandert (d aalt) als de geproduceerde hoeveelheid
verandert (toeneem t), d.w.z. de kostprijs w ordt hier w aarge­
nomen als functie van het geproduceerde quantum.
6. D e z.g. „opslag voor indirecte kosten” definieert een
functioneel verband tusschen een bepaalde kostencategorie en
een andere bepaalde kostencategorie of een andere aange­
nomen veranderlijke, b.v. den tijd.
7. De theorie van de belastingen bestaat voor een groot
deel uit het onderzoek van allerlei functioneele betrekkingen.
 Bij wijze van voorbeeld wijzen wij op de theorie van de proportioneele en progressieve inkom stenbelasting. H ier gaat
het o.a. om het functioneele verband, dat er b estaat tusschen
het inkomen van den belastingschuldige en het offer, dat het
betalen van een bedrag aan den fiscus voor hem beteekent.
8. D e theorie van den sam enhang van de wisselkoersen,
zooals die het eerst is geform uleerd door C ournot, is niet
anders dan een theorie van functioneele verbondenheid van
een aantal grootheden.
9. Bij bedrijven met onregelm atigen afzet zal men zoodanig
op voorraad werken, dat de algebraïsche som van de kosten,
het houden van den voorraad en de indirecte productiekosten
een minimum wordt. M en bedenke hierbij, dat de indirecte
productiekosten zelf een functie van de productiegrootte kun­
nen zijn.
10. H et vraagstuk van de prijsvorming bij monopolie is
n aar zijn aard een maxim umvraagstuk. Immers de monopolist
zoekt het maximum van het product, d at on tstaat door ver­
menigvuldiging van omzet en winst per eenheid. Deze w inst
is zelf weer het verschil tusschen opbrengst en productiekosten,
welke laatste twee grootheden w eer functies van het gepro­
duceerde en afgezette quantum zijn.
 A angezien nu in de w iskunde het begrip „functie” in vrij­
wel alle o n derdeden van deze w etenschap doorloopend een
overw egende rol speelt, ligt het voor de hand in deze coïn­
cidentie een aanknoopingspunt te zoeken van de w iskunde met
de economie. Deze in den grond reeds 'aanwezige oorzaak
krijgt nog meer beteekenis, doordien het in de niet-m athem a­
tische economie reeds vele jaren de gew oonte is een of ander
betoog of redeneering te verduidelijken of te illustreeren met
een grafische voorstelling, w aarin gebogen lijnen (in de w is­
kunde aan geduid als „krom m en” ) optreden. A angezien men
nu in de differentiaalrekening een m ethode bezit om het ver­
loop van een kromme tot in bijzonderheden te onderzoeken,
ligt reeds hierin opgesloten, d at het toepassen van de wis­
kunde op economische problemen vermoedelijk de mogelijkheid
schept althans van dit onderdeel van de m athem atica een
vruchtbaar gebruik te maken. M et verschillende voorbeelden
w ordt nu door K. aangetoond, dat het inderdaad mogelijk is
om door de w iskunde te hulp te roepen, in tal van gevallen een
veel scherpere probleemstelling te geven. Als eerste voorbeeld
geeft K. enkele inleidende beschouwingen om trent het be­
kende probleem van de elasticiteit van de vraag, w aarop hij
later in hoofdstuk V nog zeer uitvoerig terugkom t. Daarbij
voert hij den term „elasticiteits-coëfficient” in, w aarvan met
behulp van m athem atisch teekenschrift een korte en afdoende
definitie is te geven.
T o t het invoeren van dit begrip is K. gekomen op grond
van de volgende redeneering.
 E en bepaalde prijsdaling bij een prijs a heeft een andere
beteekenis dan dezelfde prijsdaling bij een prijs b. M en is
er daarom in de economie toe overgegaan om te vragen of de
verhouding, die er bij een gegeven aanbod (hetw elk w eer den
prijs bepaalt) bestaat tusschen prijs en quantum , grooter of
kleiner is dan de verhouding, die er bestaat tusschen de ver­
m indering (negatieve verm eerdering) van den prijs, die cor­
respondeert met een bepaalde verm eerdering van de hoeveel­
heid en deze verm eerdering zelve. D e in de w iskunde gebrui­
kelijke symbolen vormen nu in de eerste plaats een middel,
om deze vraag op veel eenvoudiger wijze te formuleeren. Zij
het aangeboden quantum aanvankelijk q en de daarm ede correspondeerende prijs p. Stijgt dit aangeboden quantum met
een hoeveelheid, voorgesteld door A q en daalt daardoor de
prijs met een bedrag voorgesteld door — A p, dan komt de
hierboven gegeven vraagstelling hierop neer, dat men zich

mab

blz. 129

afvraagt of het quotiënt ^ kleiner dan, gelijk aan of grooter
q
dan.
Aq

^ is, of, indien men A q (en dus ook A p ) tot nul

laat naderen of
P <
q

>

_

dp
dq

w aarvoor ook geschreven kan w orden
_

P
dq <
q ' dp > '
O n d er de elasticiteits-coëfficient van de vraag verstaat K
nu den vorm
P
dq
q ' dp
welke hij verder aanduidt met de G rieksche letter i).
 Beteekent dit op zichzelf reeds een vooruitgang ten o p ­
zichte van de niet-m athem atische behandeling van het elasticiteitsprobleem, van nog veel meer beteekenis w ordt deze
methode doordien K. tegelijkertijd doet zien, dat het molijk is om aan het begrip elasticiteits-coëfficient een veel algemeenere beteekenis te geven en daardoor de oorspronkelijke
beperkte probleemstelling sterk te generaliseeren. De in een
formule uitgedrukte definitie van de elasticiteits-coëfficient
wijst onmiddelijk aan, dat voor ieder punt van onverschillig
welke curve van een elasticiteits-coëfficient in den aangegeven
zin kan w orden gesproken en dat er derhalve geen sprake van
is, dat alleen de „vraagcurve" voor een onderzoek met behulp
van deze grootheid vatbaar zou zijn. D aardoor is het mogelijk
om een aantal problemen van zeer uiteenloopenden aard, die
in de economie voorkomen, w at hun formeele oplossing betreft,
tot eenzelfde groep van vraagstukken te vereenigen. Als zoo­
danig noemt de schrijver o.m. (zie pag, 45A ). 123
1. Besparingen te verkrijgen door productie in het groot,
kunnen wij uitdrukken door de verhouding van de relatieve
toeneming van de productie en de correspondeerende relatieve
daling van den kostprijs per eenheid product.
2. W e tte n van de quantitatieve verhoudingen kunnen wij
uitdrukken door de verhouding van de relatieve toeneming
van een productiefactor uit een complex van productiefactoren
en de correspondeerende relatieve toeneming van het product.
3. D e problemen, die opgesloten zijn in de bedrijfsecono­
mische begrippen van progressieve en degressieve kosten.
 H et voordeel hiervan is in de eerste plaats, dat de enkele
erkenning van de formeele gelijkheid van de problemen het
inzicht meer algemeen maakt. T en tweede ligt hierin een aanknoopingspunt voor een (form eel) system atische indeeling van
de stof, E n ten derde duidt toch steeds een formeele gelijkheid
op een zekere materieele verw antschap. Deze m aterieele ver­
w antschap is uit het bovenstaande reeds gebleken en is juist
en alleen door het formeele w iskundig onderzoek aan het licht
gekomen.
Dit gedeelte van de dissertatie, hoewel beperkt van om ­
vang, achten wij een van de best geslaagde. H et is van groote
im portantie voor de w aardeering van het zeer uitgebreide
hoofdstuk V , w aarop wij hieronder nader zullen ingaan, en
w aarin K. verschillende van de meest uiteenloopende pro­
blemen zoowel uit de theoretische als uit de toegepaste econo­
mie aan de orde stelt. W ie verzuimen zou de bladzijden 42
t/m 45 met aandacht te lezen en zich bij lezing van het boek
dadelijk zou w erpen op de meer positieve en uitgebreidere
behandeling van diverse op zichzelf interessante vraagstukken,
die allicht bij een vluchtige inzage van het boek in de eerste
plaats de aandacht trekken, loopt gevaar hoofdstuk V te gaan
beschouwen als een soort mengelwerk, waarbij ieder verband

mab

blz. 130

ontbreekt en op grond van dezen indruk de conclusie te trek­
ken, dat de w iskunde in de economie alleen incidenteel toe­
passing kan vinden. D it gevaar verdwijnt, indien men eerst de
zooeven genoemde pagina’s zorgvuldig doorleest.
 H oofdstuk IV bevat een weerlegging van de bezwaren,
die tegen het gebruik van de w iskunde in de economie worden
aangevoerd. Een zeer bekend bezw aar is, dat, hoewel bij vele
problem en functioneele betrekkingen te onderkennen zijn,
geen nut van deze om standigheid kan w orden verw acht, om dat
deze fucties zonder meer niet in den gewonen m athem atischen
vorm zijn te gieten.
T egen dit bezw aar voert K. twee o.i. steekhoudende arg u ­
menten aan. H et eerste argum ent w ordt als volgt geform u­
leerd: (zie pag. 46, 47).
„Als het w aar is, dat de wiskundige economie met functies
w erkt en dat het een bezw aar is, dat de concrete gedaanten
van deze functies tot heden onbekend zijn, dan zal de con­
clusie niet mogen luiden, dat wij nu ook m aar de w iskunde
overboord moeten w erpen, m aar veeleer, dat wij voor de
groote taak staan om te trachten nu ook deze functies geheel
of in een bepaald interval — te definieeren. Inplaats van een
terugwijzen van de wiskunde, moet dit argum ent leiden tot
een betoog voor de noodzakelijkheid om na'ar de correlatierekening (de z.g. wiskundige statistiek) te grijpen, teneinde
ons m athem atisch onderzoek meer volkomen te maken. De
correlatierekening n.1. is een wiskundige toepassing in de
statistiek, die het ons mogelijk m aakt om uit een voldoend
groot aantal w aarnem ingen allerlei z.g. onbekende functies
met een groote mate van nauw keurigheid te benaderen. M .a.w.
het geopperd bezw aar moet leiden tot een perfectionneeren
van de wiskundige analyse, niet tot een terugwijzen ervan.
 Een tweede overweging is, tot welke conclusies men zou
komen 1) als het w iskundig onderzoek nu eens zou uitwijzen,
dat de theorie met functies w erkt, die ook van geval tot geval
op geen enkele m anier zouden zijn te bepalen? D an zou dit
ook niets tegen het wiskundig onderzoek als zoodanig be­
wijzen. Integendeel, de w iskunde zou dan immers aantoonen,
dat in de economie slechts van geheel incidenteele gevallen
sprake is en dat generaliseerende w etenschap of zelfs een
algemeene m ethode van onderzoek onmogelijk is. Bovendien
stellen wij vast, dat als het werkelijk w aar is, dat de w iskun­
dige analyse steriel is om dat onze functies onbepaalbaar zijn,
dan ditzelfde in precies dezelfde mate tegen de niet-w iskundige
analyse geldt, w ant ook zij w erkt dan met ondefinieerbare
functies. H et m erkw aardige is nu, dat men volhoudt d at de
w iskundige analyse steriel is op grond van de ondefinieerbaarheid van de functies, terwijl men tezelfder tijd met allerlei
w oordredeneeringen, die men over deze ondefinieerbare func­
ties opzet, denkt belangrijke resultaten te verkrijgen. D it moge
voldoende zijn om aan te toonen, hoe weinig doordacht de
critiek zich soms ten aanzien van de wiskundige m ethode ge­
draagt."
In het kort geresum eerd komt de kwestie dus hier op neer,
dat als het w aar zou zijn, dat de m athem atische economische
analyse uithoofde van de onbepaaldbaarheid van de functies
tot steriliteit is gedoemd, d at dan evenzoo geldt voor ieder
theoretisch economisch onderzoek, dat zich met dezelfde func­
tioneele betrekking bezig houdt, een conclusie, w aarm ede wij
ons volkomen kunnen vereenigen.
 G aan wij thans over tot een bespreking van de hoofdstuk­
ken V , V I en V II. H oofdstuk V bevat in hoofdzaak toe­
passingen van de differentiaal- en integraalrekening. H oofd­
stuk V I geeft een toepassing van de theorie der determ inanten,
J ) H ie r zijn door ons zes w oorden ingelascht, die bij K. ontbreken. H et
w oordje „ d a t” is door ons w eggelaten.
hoofdstuk V II laat zien, van welk belang de kansrekening is,
speciaal voor diverse problemen uit de bedrijfseconomie. H et
zou de grenzen van een boekbespreking verre overschrijden,
indien wij ten aanzien van elk der in deze drie hoofdstukken
ter sprake gebrachte problemen in een beschouwing zouden
treden van de wijze, w aarop deze onder toepassing van de
w iskunde door K. w orden behandeld. M et een relatief kort
overzicht, hier en d aar voorzien van enkele opmerkingen,
meenen wij te kunnen volstaan.
K. vangt zijn beschouwingen aan met een nadere behande­
ling van de reeds in hoofdstuk III ter sprake gebrachte vraagcurve en het daarbij ontwikkelde begrip van elasticiteitscoëfficient. Deze beschouwing knoopt hij vast aan C ournot’s
behandelingswijze van de vraag, w anneer het product van
prijs en kwantum, door Cournot voorgesteld door pq, waarbij
q = F ( p ) , een m axim umwaarde verkrijgt. D aarvoor is het
noodig, dat

F (p ) + pF' ( p) = 0
K. laat nu zien, dat deze voorw aarde identiek is met
_

P
dq
q ’ dp
zoodat C ournot’s conclusie feitelijk neerkom t op de stelling,
dat bedoeld maximum bereikt w ordt in het punt van de
q-kromme, w aarvoor de elasticiteitscoëfficient gelijk is aan 1.
 D aarn a gaat K. over tot een nadere behandeling van de vraagcurve in den vorm p = F ( q ) . In tegenstelling met de wijze,
w aarop K. in het verdere gedeelte van zijn boek verschillende
problemen behandelt en waarbij hij ook door zijn beknoptheid
meermalen zeer hooge eischen stelt aan het intellect van den
lezer, betracht hij in dit eerste gedeelte een buitengewone
uitvoerigheid, waarbij hij zelfs hier en daar in o.i. onnoodige
herhalingen treedt. Uiteindelijk moet hij zich (zie voorlaatste
alinea op pag. 55) om aan te toonen, dat op iedere normale
vraagcurve een punt ligt, w aarvoor de elasticiteitscoëfficient
gelijkt is aan 1, toch nog beroepen op de eenvoudige redeneering, w aarm ede C ournot aantoont, dat pq altijd ergens op
de kromme een maximum bezit (zie pag. 52 bovenaan).
T o t slot licht K. een en ander met een eenvoudig getallen­
voorbeeld toe.
D aarna m erkt hij op, dat het gebruik van de elasticiteits­
coëfficient een middel is om een stuk van de theorie der monopolieprijzen te behandelen op vrij w at exacter wijze dan dit
geschiedt zonder gebruik te maken van de wiskunde. V e r­
w aarloost namelijk de monopolist in zijn berekening den in­
vloed van de productiekosten dan stelt hij den prijs vast op
dat punt van de vraagcurve, w aar i] — l , 1) m.a.w. op het
punt, w aar de elasticiteitscoëfficient = 1.
 N a de m athem atische behandeling van de vraagcurve volgt
een uitvoerige kritiek van de wijze, w aarop von W ie se r (één
der auteurs, die in beginsel afwijzend staan tegenover de m a­
them atische analyse) in zijn ,.Theorie der gesellschaftlichen
W irtsc h a ft” en W o lfg a n g H eller in zijn ,.Theoretische V olks­
w irtschaftslehre” het probleem van de vraagcurve behandelen.
D e n aar het oordeel van K. in verschillende opzichten aa n ­
vechtbare conclusies, w aartoe deze auteurs komen, worden
door K. onder meer toegeschreven aan het ontbreken eener
wiskundige scholing bij deze auteurs. O ok uit anderen hoofde
oppert hij tegen hun beschouwingen verschillende bezwaren,
w aarop wij hier niet nader zullen ingaan. H et lijkt ons echter
toe, dat dit gedeelte van zijn dissertatie voor de opponenten,
die bij zijn promotie tegenw oordig zijn geweest, een zeer
l ) K. geeft nog een m eetkundige in terpretatie v a n deze stelling, w aarin
echter een zinstorende omissie is geslopen. In regel 3 v a n deze inter­
p retatie sta a t namelijk: „P rojectie v a n het ra a kp u n t", hetgeen m oet zijn
projectie v a n de abscis v a n het raakpunt. D e projectie v a n het raak p u n t
is uit den a ard der zaa k een p u n t en dus nul.
vruchtbaar terrein zal hebben gevormd voor het opperen van
bezwaren, ook al is K.’s kritiek o.i. in zekeren zin inderdaad
gemotiveerd.
 O p de behandeling van het probleem van de vraagcurve
volgt een korte beschouwing, w aarin K. tracht aan te toonen,
dat de techniek van het proces van de prijsvorming beter be­
schreven kan w orden met behulp van de w iskunde dan zonder
deze. V a n principieel belang is dit stukje van de dissertatie
niet. W ij willen slechts één opm erking m aken over het slot
van dit gedeelte (zie pag. 69), w aarin hij drie voordeelen
opsomt, die volgens hem de wiskundige methode heeft boven
de gebruikelijke. Deze opm erking betreft het door K, ge­
noemde derde voordeel, het vermijden van bewijzen uit het
ongerijmde, w aartoe de niet-w iskundige analyse, (zulks in
tegenstelling met de w iskundige m ethode) 1) vaak haar toe­
vlucht neemt.
W ij hopen, dat de eerbied, die K. vrijwel in zijn geheele
dissertatie aan den dag legt voor de mathem atica, er niet op
zal verminderen, indien wij hier stipuleeren, dat ook de w is­
kunde (en zelfs op zeer groote schaal) gebruik m aakt van
bewijzen uit het ongerijmde. W ij willen d aaraan toevoegen,
dat een bewijs uit het ongerijm de op zichzelf in strengheid
absoluut niet behoeft achter te staan bij een direct bewijs. Om
deze reden had de vermelding van dit ,,voordeel ’ o.i. beter
achterw ege kunnen blijven.
V ervolgens laat K. zien, dat de invoering van het begrip
elasticiteitscoëfficient ook de gelegenheid opent om het ver­
schil tusschen productie onder afnem ende en productie onder
toenemende kosten op eenvoudige wijze te formuleeren. Hij
doet dit als volgt:
,,A1 naar mate de elasticiteitscoëfficient van de totale kostencurve grooter of kleiner is dan 1, heeft men te doen met
productie onder afnem ende of toenem ende kosten”.
 W ij hebben ons afgevraagd of het niet beter w are geweest
hier niet van „totale” kostencurve te spreken, m aar over „een
interval” . H et kan zijn, dat wij aan deze formuleering een
andere betekenis hebben gehecht dan K. bedoelt, m aar in het
algemeen ziet men toch het verschijnsel, dat de productie in
een bepaald interval geschiedt met afnem ende kosten en ver­
der op in de curve, althans voorloopig, overgaat in een p ro ­
ductie met toenemende kosten (geval van overbezetting). Be­
ginnende met een productie 0 is de elasticiteitscoëfficient dan
eerst < 1, neemt in een bepaald punt de w aarde 1 aan en
w ordt bij verdere vergrooting van de productie > 1. Een
nadere toelichting en uitwerking w are hier o.i. op haar plaats
geweest.
O p pag. 72 en v.v. geeft K. een bewijs van de w et van
Pareto, waarbij hij op zeer geslaagde wijze gebruik m aakt van
het begrip elasticiteitscoëfficient. T o t opm erkingen geeft ons
dit gedeelte geen aanleiding.
 V ervolgens laat hij zien, dat de N ederlandsche m athem a­
ticus Daniël Bernouilti, in het jaar 1700 in G roningen geboren,
feitelijk reeds de eerste w et van Gossen heeft ontdekt. H et
m erkw aardigste daarbij is, dat Bernouilli hiertoe gekomen is,
toen hij zich zette aan een bestudeering van een geheel ander,
zuiver wiskundig probleem. Bernouilli onderzocht de juistheid
van de tot zijn tijd geldende berekening, volgens welke de
waarde van een kans op het winnen van geld gevonden zou
worden door ieder van de te winnen bedragen te verm enigvul­
digen met het aantal keeren, dat ieder bedrag gewonnen kan
w orden en deze som te deelen door het totaal van alle moge­
lijke winstgevallen. D it onderzoek leidde Bernouilli tot de
conclusie, dat de w aarde van een verworven som geld, behalve
van de absolute grootte van het gewonnen bedrag, ook afB De tusschen h aakjes geplaatste w oorden zijn door ons duidelijkheids­
halve ingelascht.
mab

blz. 131

hangt van de grootte van het reeds aanw ezige vermogen en
wel in dien zin, dat deze w aarde kleiner is naarm ate het reeds
aanwezige vermogen grooter was, een conclusie, die volkomen
parallel loopt met de eerste wet van Gossen. De verdere be­
schouwingen over het onderzoek van Bernouilli meenen wij
hier achterw ege te kunnen laten.
 D e pagina’s 80 tot en met 89 zijn gewijd aan het probleem,
dat wij kortheidshalve aanduiden met de uitdrukking „opslag
voor indirecte kosten” . H ierm ede betreedt K. het terrein van
de bedrijfseconomie. Uitvoerig w ordt aandacht gewijd aan de
indeeling, die Schm alenbach geeft in proportioneele, degres­
sieve en progressieve kosten. K. toont nu aan, dat de kostencalculatie van Schm alenbach niet leidt tot resultaten, die w or­
den bepaald door het werkelijke verloop van de kosten, m aar
door de toevallige wijze, w aarop men de calculatie opzet. V e r­
der laat hij zien, dat dezelfde fouten gem aakt zijn door
A . E . C. van Saarloos in zijn bew erkingen van het boek van
K. G. Sim on, Kostprijsberekening en A dm inistratieve
Fabrieksorganisatie. D it gedeelte van K.’s dissertatie is ook
voor accountants van groot belang.
 H oofdstuk V w ordt besloten met een uitvoerige bespreking
van het in 1889 verschenen proefschrift van A . J. Cohen
Stuart getiteld: „Bijdrage tot de theorie der progressieve in­
kom stenbelasting". K. heeft hier ons inziens een zeer geluk­
kige keuze gedaan, w at betreft de door hem in zijn dissertatie
behandelde onderw erpen, door den hoofdinhoud van Cohen
Stuart's boek daarin op te nemen. Indien iemand nog niet
mocht overtuigd zijn geweest van het nut, dat de toepassing
der w iskunde kan opleveren voor het oplossen van ecomonische problemen, dan is er inderdaad kans, dat hij na lezing
van dit gedeelte bekeerd zal zijn. Bijzonder trof ons ook het
citaat uit een artikel van Pierson over progressieve inkom sten­
belasting, voorkom ende in de G ids van F ebruari 1888, welk
citaat als volgt luidt:
„Gelijkheid van offers is in geen geval te verkrijgen, zelfs
dan niet, w anneer de belasting op niem and w ordt overge­
dragen. Doch men verkrijgt haar zeker niet door een gelijk
percentage: de progressieve w et van heffing is een middel om
haar meer nabij te komen.
Dit althans is tot dusver mijn overtuiging gebleven: een
overtuiging echter, ik mag het niet verheden, w aar gewichtige
bedenkingen tegenover staan en die ik niet anders durf voor­
dragen dan als een voorloopige uitkomst.
