text: STOCHASTISCH DENKEN
  door Prof. Dr. J. Koerts
  1
  
  Determinisme en stochastiek
  
  De vraag, welke methodologie men bij het economisch onderzoek dient toe
  te passen, is nog steeds niet volledig beantwoord! Typerend voor deze situa­
  tie is wellicht de opmerking die T. C. Koopmans maakt in zijn bekende
  tweede essay:1) „After more than a century of intensive activity in scientific
  economics, two economists who have made outstanding contributions to
  our Science (Lionel Robbins en Milton Friedman), seek the ultimate basis of
  economie knowledge in considerations which (a) contradict each other and
  (b) are subject to strong objections. One is led to the conclusion that eco­
  nomics as a scientific discipline is somewhat hanging in the air.”
  Met name de vraag hoe men uit empirisch materiaal moet leren, vooral
  indien men maar over beperkt cijfermateriaal beschikt, is nog steeds niet
  afdoende beantwoord. Al is het dus nog niet geheel duidelijk hoe een eco­
  nomist tot de constructie van zijn theorieën moet komen, over enkele be­
  langrijke uitgangspunten heeft men overeenstemming bereikt. Deze luiden:
  1 Al de veronderstellingen (postulaten) die men gebruikt moeten expliciet
  worden geformuleerd. Alle conclusies waartoe een theorie aanleiding
  geeft moeten uit de postulaten kunnen worden afgeleid.
  2 Een theorie moet logisch-consistent zijn. Dat wil zeggen: het moet niet
  mogelijk zijn tegenstrijdige conclusies uit eenzelfde verzameling postula­
  ten af te leiden.
  3 Theorieën dienen aan de hand van cijfermateriaal te kunnen worden
  getoetst.2) Anders geformuleerd: de mogelijkheid tot verwerping van de
  theorie dient aanwezig te zijn. Theorieën die in strijd blijken te zijn met
  de feiten, dienen te worden herzien.
   Vooral het gestelde onder punt 3, waarover overigens veel strijd is gevoerd,
  heeft grote invloed gehad op de formulering van economische theorieën. In
  feite is het dit empirische uitgangspunt geweest dat de economisten genoopt
  heeft het waarschijnlijkheidsbegrip en daarmee de gehele waarschijnlijkheids­
  rekening in de economische analyse te introduceren. Om dit in te zien moet
  men zich realiseren, dat economisten altijd op zoek zijn geweest naar wet­
  matigheden in het economische leven. Om het wat nauwkeuriger te stellen:
  het is altijd een basishypothese van economisten geweest dat er exacte rela­
  ties tussen economische variabelen zouden bestaan. Deze gedachte komt
  wellicht voort uit een deterministische wereldvisie. Echter, zodra naar de
  feiten wordt overgestapt doemt er voor de economist de volgende moeilijk­
  heid op. De theorieën die hij wil toetsen gaan uit van exacte relaties, doch de
  feiten zullen iedere exacte a priori uitspraak die uit een theorie wordt verkre­
  gen tegenspreken. Anders geformuleerd: exacte theorieën zijn altijd in strijd
  1) Koopmans, T. C. (1957), Three Essays on the State of Economie Science, New York.
  2) We gaan hier niet in op de vraag „wat dan wel moet worden getoetst”. Zie hiervoor J. Koerts en
  A. P. J. Abrahamse „On the Theory and Application of the General Linear Model", Rotterdam
  University Press (1969).
   m ab blz. 159
  
  met de feiten, hetgeen impliceert dat iedere theorie in het licht van de cijfers
  moet worden verworpen. Beschouw bijvoorbeeld een gedragsrelatie in de
  vorm van een eenvoudige vraagcurve, die de verbruikte hoeveelheid van een
  goed (q) afhankelijk stelt van zijn prijs (p). In de praktijk van het econo­
  misch onderzoek blijkt nu, dat men er niet in slaagt q exact te verklaren uit
  p. Dit betekent, dat de berekende waarde van q volgens de door de econo­
  mist gespecificeerde relatie, afwijkt van de werkelijk waargenomen waarde
  van q. Dit verschijnsel treedt op onafhankelijk van de gekozen functionele
  relatie en blijft ook bestaan indien men nog andere variabelen in de analyse
  introduceert.
   Men kan zich afvragen of alleen economisten door dit verschijnsel worden
  geplaagd. Deze vraag moet stellig ontkennend worden beantwoord. In geen
  enkele wetenschap heeft men het bestaan van exacte functionele verbanden
  kunnen aantonen. H. Jeffreys wijst hier in zijn bekende boek Theory of
  Probability (1961) nog eens expliciet op als hij stelt: A physical law, for
  practical use, cannot be merely a statement of exact prediction, if it was it
  would invariably be wrong and would be rejected at the next trial! Quanti­
  tative prediction must always be prediction within a margin of
  uncertainty.3)
  Bovengenoemde stand van zaken had een tweetal gevolgen. In de eerste
  plaats werden de economisten gedwongen na te denken over de vraag waar
  de afwijkingen vandaan kwamen en in de tweede plaats, wilden zij hun
  theorieën aan de hand van cijfermateriaal kunnen toetsen dan moesten deze
  op zodanige wijze worden uitgebreid, dat met de mogelijkheid van afwij­
  kingen rekening kon worden gehouden. Met andere woorden: theorieën moe­
  ten het bestaan van afwijkingen toelaten of zoals Haavelmoo het eens heeft
  geformuleerd: „we need theories that, without involving us in direct logical
  contradictions, state that observations will as a rule cluster in a limited
  subset of the set of all conceivably observations, while it is consistent with
  the theory that an observation falls outside this subset „now and then”.
  In de loop der tijden zijn verschillende argumenten naar voren gebracht
  die een verklaring voor het ontstaan van afwijkingen beogen te geven:4 )
  1 De onderzoeker maakt meetfouten.
  2 Niet alle relevante variabelen zijn in de analyse betrokken, (verwaarloos­
  de factoren)
  3 Overige specificatiefouten.
   Ad 1. Dit argument is wel het meest voor de hand liggende. Het betekent,
  dat de onderzoeker fouten maakt zodra hij de numerieke waarde van een
  economische variabele vaststelt. Het behoeft geen betoog dat econometristen
  meetfouten maken, het is haast ondoenlijk ze te vermijden. Dit argument is
  dan ook zeer acceptabel en kan zeer goed als verklaring voor niet te grote
  afwijkingen dienen. Vooral in de natuurwetenschappen heeft het verschijnsel
  3) De eerlijkheid gebiedt echter te zeggen dat de afwijkingen in sommige gevallen bijzonder klein
  zijn. De onderzoeker handelt dan alsof hij te maken heeft met een exact functioneel verband.
  4) Het onderscheid tussen 1, 2 en 3 is niet erg principieel. Men kan (1) en (2) ook als specificatiefouten behandelen. Wij sluiten hier gemakshalve maar aan bij deze gebruikelijke indeling.
  m a b blz. 160
  
  „meetfouten” de aandacht getrokken en is daar onderwerp van nauwkeurige
  studie geworden. We komen hierop nog terug.
  Ad 2. Het spreekt vanzelf dat verwaarloosde factoren aanleiding geven tot
  afwijkingen doch men kan zich afvragen waarom de economist niet alle
  variabelen in zijn analyse betrekt. Een aantal redenen zijn hiervoor aan te
  geven:
  a. De economist weet dat een zeer groot aantal factoren - die ieder een
  geringe invloed op de te verklaren variabele bezitten - een rol spelen. Het is
  echter bij de huidige stand van de wetenschap ondenkbaar dat ieder van deze
  „kleine” factoren afzonderlijk in de analyse kunnen worden opgenomen. De
  economist beperkt zich dan tot enkele „grote” factoren en laat noodge­
  dwongen de „kleinere” factoren buiten beschouwing.
  b. De economist beschikt niet over de juiste gegevens met betrekking tot een
  bepaalde variabele. Helaas komt het in de economie nog veelvuldig voor dat
  men niet over het juiste cijfermateriaal beschikt.
   c. Het is helaas niet altijd mogelijk een relevante variabele te kwantificeren,
  d. w.z. zijn waarde in een getal vast te leggen. Het kwantificeren van begrip­
  pen is een geheel aparte kunst. Lang niet altijd is het duidelijk of men wel
  een bevredigend kwantitatief explicatum voor een bepaald begrip zal weten
  te vinden. Een voorbeeld van een begrip dat nog steeds niet bevredigend is
  gekwantificeerd lijkt mij het begrip „nut” zoals dat wordt gehanteerd in de
  theorie van het consumentengedrag.5)
  d. Men vermoedt wel dat er nog verscheidene andere variabelen in het spel
  zijn doch weet niet precies welke.
  Ad 3. Onder overige specificatiefouten zullen wij verstaan alle afwijkingen
  van het model t.o.v. de werkelijkheid die ontstaan tengevolge van ontbreken­
  de verbanden, de introductie van verkeerde functionele relaties, wiskundige
  benaderingen, het introduceren van variabelen die niet in de analyse thuis
  horen en substituut variabelen. Bij dit laatste begrip moet men denken aan
  het feit dat men bij gebrek aan cijfers, niet de „juiste” variabele in de analyse
  heeft opgenomen doch een substituut variabele waarvan men hoopt dat deze
  de invloed van de „juiste” variabele gedeeltelijk zal weergeven.
  Voor wij verder gaan is het van belang op te merken dat in het voorafgaande
  verklaringen voor het ontstaan van afwijkingen zijn gegeven zonder dat het
  hierbij nodig was de hypothese van exact functionele verbanden te verwer­
  pen. Wij blijven dus voorlopig nog uitgaan van een deterministische visie.
   Laten we nu ingaan op de vraag hoe men de economische theorieën kan
  formuleren zodat confrontatie met cijfermateriaal mogelijk wordt. Bij de
  oplossing van dit probleem hebben de economisten gebruik gemaakt van de
  ervaring die onderzoekers in andere takken van wetenschap al hadden opge­
  daan met een bepaald type verschijnsel, een zogenaamd „ kansverschijnsel
  Definitie 1: Een kansverschijnsel is een verschijnsel, dat indien het zich
  s) Recente pogingen om dit begrip te meten zijn ondernomen door Van Praag.
  m ab blz. 161
  
  onder zoveel mogelijk gelijkblijvende omstandigheden afspeelt niet steeds
  leidt tot eenzelfde uitkomst, doch tot verschillende uitkomsten, echter zo­
  danig dat er stabiliteit optreedt in de relatieve frequentie waarmee de moge­
  lijke uitkomsten worden waargenomen indien het kansverschijnsel zich een
  groot aantal malen afspeelt.
   Als voorbeeld van een kansverschijnsel kunnen wij het werpen met een
  munt nemen. Dit is, ik geef het toe, een zeer eenvoudig „experiment” maar
  wij kunnen er de definitie goed mee illustreren. In de eerste plaats heeft het
  experiment twee mogelijke uitkomsten, het is dus geen deterministisch ex­
  periment, de uitkomst is onzeker. In de tweede plaats mag het waar zijn, dat
  de uitkomst onzeker is, toch hebben wij allen het vermoeden dat, indien de
  munt vaak wordt opgegooid, de beide uitkomsten ongeveer even vaak zullen
  voorkomen. Dit vermoeden wordt bevestigd indien men een groot aantal
  malen gaat werpen. Met andere woorden: de relatieve frequentie van het
  aantal malen dat kruis boven komt wordt stabiel en is ongeveer gelijk aan
  0.5. Deze merkwaardige eigenschap - het stabiel worden van de relatieve
  frequentie bij een toenemend aantal waarnemingen - vindt men op talrijke
  gebieden. Om een enkel voorbeeld te geven: de relatieve frequentie van het
  aantal jongensgeboorten is ongeveer stabiel en schommelt dicht rond de
  waarde 0.51. Deze empirisch gevonden regelmaat is van groot belang; zij
  geeft de mogelijkheid tot een bepaalde interpretatie van het begrip waar­
  schijnlijkheid en geeft ons bovendien de mogelijkheid het gedrag van de
  munt op een geheel nieuwe wijze te beschrijven, n.1. met behulp van een
  waarschijnlijkheidsverdeling!
  Als wij stabiele frequenties waarnemen, dan ligt het voor de hand om het
  bestaan van een getal p te postuleren, dan kan worden gezien als de wiskun­
  dige idealisering van een stabiele frequentie. De waargenomen relatieve fre­
  quentie is dan te beschouwen als een afspiegeling van dit onbekende getal.
   Het getal p noemt men per definitie de waarschijnlijkheid van de desbetref­
  fende gebeurtenis. Merk op, dat het begrip waarschijnlijkheid op deze manier
  gebruikt, via de stabiele frequentie gekoppeld is aan het begrip kansverschijn­
  sel. Men spreekt in dit verband wel van objectieve waarschijnlijkheid omdat
  deze afhangt van de objectieve omstandigheden waaronder het experiment
  zich afspeelt en niet van de persoon, die het kansverschijnsel waarneemt of
  doet afspelen. We zijn nu in staat het begrip „waarschijnlijkheidsverdeling”
  vast te leggen.
  Definitie 2: Een waarschijnlijkheidsfunctie(verdeling) is de specificatie van
  een rij van mogelijke uitkomsten waartoe een kansverschijnsel aanleiding
  geeft tezamen met de bijbehorende kansen waarmee een aantal mogelijke
  uitkomsten zich zullen voordoen.6 )
  Veronderstel, dat wij voor het probleem worden geplaatst het experiment
  te beschrijven dat bestaat uit het werpen van een munt. We zouden dan
  kunnen trachten de uitkomst van dit experiment te voorspellen aan de hand
  van de volgende variabelen: de snelheid waarmee de munt wordt opgegooid,
  het gewicht van de munt, de luchtweerstand, de conditie van het tafelblad
  6) Om redenen van eenvoud bezien we hier alleen discrete verdelingen.
  m ab blz. 162
  
  waarop de munt valt, etc. Bij een dergelijke aanpak treden echter direct de
  volgende bezwaren naar voren:
  1 Het aantal factoren dat van beslissende invloed is op de uitslag van het
  experiment blijkt reeds bij enig nadenken bijzonder groot.
  2 We zijn er niet eens zeker van dat wij alle factoren die de uitslag van het
  experiment bepalen ook inderdaad kennen.
  3 Bij de huidige stand van onze kennis ziet de structuur van ons experi­
  ment (kansverschijnsel) er zo gecompliceerd uit dat individuele voorspel­
  baarheid op praktische gronden onmogelijk lijkt.
   Wij komen aldus tot de conclusie, dat ofschoon het denkbaar is dat in de
  verre toekomst een theorie wordt ontworpen die al de relevante variabelen
  incorporeert en die dan ook tot exacte voorspelling aanleiding geeft, wij
  heden ten dage een stap terug moeten doen en een andere oplossing zullen
  moeten gaan zoeken.
  Een oplossing van ons probleem wordt gevonden in de beschrijving van het
  experiment met behulp van een waarschijnlijkheidsverdeling. Dat betekent,
  dat wij de exacte voorspelling van een individuele worp opgeven en erkennen
  dat wij niet weten wanneer er kruis boven zal komen. Wij stellen slechts vast
  dat de kans op de uitkomst kruis gelijk is aan 0.5, hetgeen impliceert dat wij
  wel weten hoe vaak er ongeveer kruis boven zal komen indien wij een groot
  aantal malen met de munt werpen. Deze aanpak is natuurlijk een stapje terug
  doch het is veel beter dan „niets”.
   De economist past nu, om uit zijn problemen te komen, een analoge rede­
  nering toe. Ook hij wordt regelmatig geconfronteerd met situaties zoals
  aangegeven onder 1, 2 en 3 in de voorgaande alinea en daarom doet ook hij
  een stapje terug en tracht gebruik te maken van waarschijnlijkheidsverdelingen in zijn analyse. Wij zullen nu een tweetal methoden (modellen) kort
  bespreken. Het eerste model is volkomen te vergelijken met de situatie „het
  opgooien van een munt”. Dat wil zeggen: de economist bestudeert een ver­
  schijnsel zoals bijvoorbeeld: het aantal auto’s dat in een bepaald uur van de
  dag een tunnelingang passeert, de lengte van interlokale telefoongesprekken,
  de tijd die verstrijkt tussen twee achtereenvolgende aankomsten van binnen­
  komende vliegtuigen op Schiphol, etc. In al deze gevallen wijst hij, net als bij
  de munt, niet eens meer de factoren (variabelen) aan die voor het verschijnsel
  in kwestie van belang zijn. Hij beschrijft het verschijnsel met een eenvoudige
  waarschijnlijkheidsverdeling! Exacte uitspraken zijn dus niet meer mogelijk,
  alleen de kans op bepaalde gebeurtenissen wordt aangegeven.
  Het tweede en in feite zeer veel gebruikte model is van een gemengd type.
  Hier wijst de economist wel degelijk een aantal variabelen aan die hij van
  groot belang acht (de z.g. „grote” factoren). Daarnaast onderkent hij nog het
  bestaan van een veelheid van „kleine” factoren die hij niet meer afzonderlijk
  specificeert, hun invloed beschrijft hij met behulp van een waarschijnlijk­
  heidsverdeling. De gang van zaken valt als volgt in symbolen uit te drukken.
   Volgens de economist wordt bijvoorbeeld de variabele y: stel de uitgave aan
  biefstuk per maand van een bepaald gezin,bepaald door een groot aantal
  variabelen X!, . . ., xn, zoals de prijs per kg van biefstuk, de prijzen van
  m ab blz. 163
  
  andere vleessoorten, de prijzen van verschillende vissoorten, de gezinssamen­
  stelling, etc. In formule
  (a) y = f(x ,, . . Xn)
  Daar het technisch onmogelijk is om alle variabelen in de analyse te betrek­
  ken beperkt hij zich tot de naar zijn mening belangrijkste twee, bijvoorbeeld
  het gezinsinkomen (x!) en de prijs/kg van biefstuk (x2). De invloed van de
  overige „kleine” variabelen wordt nu beschreven met behulp van een waarschijnlijkheidsverdeling. De specificatie zoals hierboven onder (a) aangegeven
  wordt nu als volgt omgezet:
  (b) y = g(Xl , x2 ) + u
  waarin u een kansvariabele voorstelt die de invloed van de „kleine” factoren
  moet weergeven. Ook in dit model zijn exacte uitspraken niet langer meer
  mogelijk. Stel, dat het gezinsinkomen x, ƒ 2.000,— per maand bedraagt en
  dat de prijs van biefstuk x2, fx/ons is, dan stelt het model ons alleen maar in
  staat tot waarschijnlijkheidsuitspraken over de uitgave aan biefstuk. Wat de
  uitgave in een specifiek geval zal zijn kunnen wij niet aangeven, de specifica­
  tie onder (b) verschaft ons alleen een rij van mogelijke uitkomsten, ieder met
  zijn bijbehorende waarschijnlijkheid.
   Wat zijn nu de voordelen van een dergelijke „stochastische” specificatie?
  In de eerste plaats bereikt de economist een logisch gesloten probleemstel­
  ling,7) zodat toetsing van zijn theorie nu op een niet triviale wijze kan
  plaatsvinden. Zijn theorie voldoet nu aan de eis zoals die werd geformuleerd
  door Haavelmoo en die wij in het voorafgaande hebben geciteerd. In de
  tweede plaats komt nu het gehele arsenaal van methodieken zoals die in de
  wiskundige statistiek is ontwikkeld, tot zijn beschikking. Met name de be­
  grippen zoals het „schatten van onbekende parameters” en het op statisti­
  sche wijze toetsen van bepaalde hypothesen krijgen nu een helder gedefi­
  nieerde inhoud. Door deze werkwijze is een economische wet niet langer een
  exacte voorspelling maar een uitspraak over de kansen waarmee verschillende
  uitkomsten zich zullen voordoen.
  2
  
  Het verlaten van een deterministische wereldvisie
  
  In het voorafgaande ontstond de noodzaak tot stochastische formuleringen
  uit menselijke tekortkomingen die, zo werd betoogd, wellicht in de toekomst
  te vermijden zouden zijn. Men kan zich afvragen of dit uitgangspunt wel
  houdbaar is. Met name de vraag of meetfouten wel te vermijden zijn heeft in
  de natuurkunde veel aandacht gekregen. Tegenwoordig wordt deze vraag
  door de moderne natuurkundigen ontkennend beantwoord. Wil men de baan
  van een deeltje, bijvoorbeeld van een elektron voorspellen, dan moet men op
  een zeker ogenblik zijn plaats q en impuls p (snelheid maal massa) kennen.
  Echter, zodra men de plaats nauwkeurig wil vastellen dan moet men een
  lichtstraal van korte golflengte op het deeltje afsturen, doch door de botsing
  
  7) Hiertoe moet hij wel voldoende veronderstellingen omtrent de waarschijnlijkheidsverdeling op­
  nemen.
   m a b blz. 164
  
  met het deeltje wijzigt zich de impuls. Met andere woorden: hoe nauwkeuri­
  ger de plaats wordt bepaald (hoe groter het lichtkwantum dat men naar het
  deeltje stuurt) des te onnauwkeuriger de impuls gemeten kan worden! Dit
  effect, dat men door meting het milieu verstoort waarin gemeten moet wor­
  den is theoretisch gefundeerd in de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Deze
  zegt, dat bij elke waarneming de fout Aq op de plaats en de fout Ap op de
  impuls als volgt verbonden zijn
  Ap.Aq 'v k/27r
  waarin k het werkingskwantum. Met andere woorden: volgens de moderne
  theorie is het principieel onmogelijk de baan van het deeltje exact te voor­
  spellen omdat wij nooit de plaats q en de impuls p exact zullen kennen. Anders
  gezegd, wij zullen nooit over de noodzakelijke gegevens kunnen beschikken
  vanwege de meetfouten. Daardoor zijn alleen waarschijnlijkheidsuitspraken
  mogelijk.
  In deze gedachtengang wordt de waarschijnlijkheidsrekening dus een es­
  sentieel hulpmiddel van natuurbeschrijving. Wellicht is het interessant nog te
  vermelden, dat men alleen door volledige verwerping van de bestaande theo­
  rie onder de relatie van Heisenberg uit kan. Oppoetsen van de oude theorie
  zodanig dat de relatie niet meer logisch volgt is uitgesloten.
   Met overplanten van ideeën die in andere takken van wetenschap zijn
  ontwikkeld moet men voorzichtig zijn. Misschien verstoort de economist
  eveneens door meting het milieu waarin gemeten moet worden. Wellicht zijn
  daardoor ook in de economie meetfouten essentieel onvermijdelijk. Men zou
  zich kunnen indenken dat op micro-niveau een dergelijk effect bestaat. Dit
  probleem is echter onvoldoende onderzocht; er bestaat dan ook geen analo­
  gon voor de onzekerheidsrelatie in de economie. Toch leeft ook bij econo­
  misten de gedachte dat het idee van volledig determinisme verlaten moet
  worden, hetgeen wel blijkt uit een uitspraak van T. C. Koopmans als hij stelt:
  „In dynamic economics, the phenomenon itself is either essentially a
  stochastic process or needs to be treated as such because of the great number
  of factors at work. Hence the analysis and interpretation of economie data
  call for the application of the method of statistical inference.”
  Of in de economie het nieuwe „stochastische” wereldbeeld inderdaad vol­
  ledig de plaats van het vertrouwde determinisme zal gaan innemen kan alleen
  de toekomst ons leren, het heeft er wel alle schijn van, doch om beter zicht
  op deze vraag te krijgen zal nog veel economisch onderzoek nodig zijn. Voor
  de praktisch ingestelde economist is deze vraag gelukkig niet van groot be­
  lang want determinisme of niet, hij zal in beide gevallen een stochastisch
  model dienen te gebruiken. Alleen een dergelijk model verschaft ons heden
  ten dage een logisch-consistent systeem waarin wij onze ideeën kunnen for­
  maliseren in niet-strijdige veronderstellingen en het dwingt ons om alle accep­
  tatie criteria die wij aanleggen expliciet te formuleren.
  m ab blz. 165.
  