title: Een korte geschiedenis van wiskundige populatiedynamica. , 164 p., 2022, 979-10-343-6356-8. &#x27E8;hal-03551687&#x27E9;
text: In 1929 raakte Erlang geïnteresseerd in hetzelfde probleem van uitsterven dat Bienaymé, Galton en Watson vóór hem hadden bestudeerd voor familienamen en dat Fisher en Haldane hadden bestudeerd voor mutante genen. Zoals zijn voorgangers was hij niet op de hoogte van alle werken die reeds waren gepubliceerd. Opnieuw pk de waarschijnlijkheid noemend dat een individu k nakomelingen heeft, stelde hij vast dat de kans xn op uitsterven binnen n generaties voldoet aan xn = p0 + p1 xn−1 + p2 (xn−1 )2 + · · · = f (xn−1 ) met x0 = 0. Hij merkte ook op dat de totale uitsterfkans x∞, die de limiet is van xn als n → +∞, een oplossing is van de vergelijking x∞ = f (x∞ ). Hij besefte dat x = 1 altijd een oplossing was en dat er een andere oplossing bestond tussen 0 en 1 wanneer het gemiddeld aantal nakomelingen R0 = f 0 (1) groter is dan 1. Maar het lijkt erop dat hij niet kon achterhalen welke van deze twee oplos- 106 Figuur 18.1: Erlang (1878–1929) singen de juiste was. Net als Galton legde hij het probleem in 1929 voor in een Deens wiskundetijdschrift, Matematisk Tidsskrift: „Vraag 15. Als de kans dat een individu k kinderen heeft pk is, waarbij p0 + p1 + p2 + · · · = 1, bepaal dan de kans dat zijn gezin uitsterft.” Helaas overleed Erlang datzelfde jaar 1929 op 51-jarige leeftijd. Hij stierf overigens kinderloos1. Een hoogleraar actuariële wiskunde aan de Universiteit van Kopenhagen, Johan Frederik Steffensen, nam de vraag van Erlang over. Hij publiceerde in 1930 zijn oplossing in hetzelfde Deense tijdschrift: de uitsterfkans x∞ is altijd de kleinste wortel van de vergelijking x = f (x) in het gesloten interval [0, 1], zoals Bienaymé en Haldane reeds hadden opgemerkt. Het bewijs van Steffensen is het bewijs dat in moderne leerboeken te vinden is. We hebben immers gezien dat de uitsterfkans x∞ een oplossing is van x = f (x) in het gesloten interval [0, 1]. Laat x∗ de kleinste oplossing zijn. Per definitie is x∗ x∞. Steffensen merkte als eerste op dat x∗ = f (x∗ ) p0 = x1. Neem bij inductie aan dat x∗ xn. Dan geldt x∗ = f (x∗ ) f (xn ) = xn+1 omdat de functie f (x) stijgend is. Dus x∗ xn voor alle n. Als we de limiet nemen, dan is x∗ xn. Dus x∞ = x∗. Steffensen gaf ook een meer formele verklaring waarom x = 1 de enige wortel is van x = f (x) wanneer het gemiddeld aantal nakomelingen R0 = 1 Ter nagedachtenis aan hem besloot het Internationaal Raadgevend Comité van de Telefoon in 1946 om „erlang” de meeteenheid van de intensiteit van het telefoonverkeer te noemen. „Erlang” is ook de naam die het bedrijf Ericsson aan een programmeertaal heeft gegeven. Hoofdstuk 18 107 f 0 (1) kleiner of gelijk is aan 1 (figuur 18.2a) en waarom er slechts één andere wortel is dan x = 1 in het geval dat R0 > 1 (figuur 18.2b). Merk op dat R0 
  
  = f
  
  0
  
  (1)
  
  de
  
  helling is van de functie f (x) bij x = 1. Hij merkte op dat voor elke wortel van x = f (x), 1 − x = 1 − f (x) = +∞ k k 1 − p0 − ∑+∞ k=1 pk x = ∑k=1 pk (1 − x ). In de veronderstelling dat x 6= 1 en delend door 1 − x, krijgen we 1 = p1 +
  
  p2
  
  (1
  
  + x) + p3 1 + x + x2 + · · ·
  
  . (18.1) Als x toeneemt van 0 tot 1, neemt het rechterlid van vergelijking (18.1) toe van 1 − p0 tot R0 = f 0 (1). Als R0 < 1, dan heeft vergelijking (18.1) geen oplossing. Als R0 1 en als we het triviale geval van p1 = 1 uitsluiten, dan is het rechterlid van vergelijking (18.1) een strikt stijgende functie van x. Anders zou er geen k 2 zijn zodanig dat pk 6= 0 is, en zouden we dus R0 = p1 < 1 hebben. Tot besluit, (18.1) heeft één en slechts één oplossing in het interval [0, 1] als R0 1 is.
  
  1 1 0 1 0 x*
  
  1 Figuur 18.2: Grafiek van de functies y = x en y = f (x) in het voorbeeld van hoofdstuk 17, f (x) = eR0 (x−1), met R0 = 0,75 < 1 [links] of R0 = 1,5 > 1 [rechts]. Steffensen, die ook voorzitter was van het Deense Actuariële Genootschap en van het Deense Wiskundige Genootschap, werd in 1930 uitgenodigd aan de Universiteit van Londen. Zijn Britse collega W. P. Elderton vertelde hem over het werk van Galton en Watson. In 1933 publiceerde Steffensen een nieuw artikel in de annalen van het Instituut Henri Poincaré, waar hij in 1931 een conferentie had gegeven. Hij vatte de resultaten van zijn artikel in het Deens samen en vergeleek ze met die van Watson. Hij toonde ook aan dat de wiskundige verwachting van het aantal nakomelingen in generatie n gelijk is aan (R0 )n. 108 Laat pk,n de kans zijn dat er k nakomelingen zijn in generatie n, uitgaande van één individu in generatie 0. In zijn artikel uit 1930 had Steffensen net als zijn voorgangers opgemerkt dat voor de genererende k functie van generatie n, fn (x) = ∑+∞ k=0 pk,n x, geldt dat f 1 (x) = f (x) en fn (x) = f ( fn−1 (x)). (18.2) Zij Mn de verwachting van het aantal nakomelingen in generatie n. Dan 0 is Mn = ∑+∞ k=1 k pk,n = f n (1). Als we formule (18.2) afleiden, krijgen 0 0 0 (x). Dus M = f 0 (1) = f 0 ( f we fn (x) = f ( fn−1 (x))
  
  ×
  
  f
  
  n−1
  
  
  
  n
  
  
  
  n−1 (1)) × n 0 0 fn−1 (1) = f (1) × Mn−1
  
  
  
  = R0 × Mn−1
  
  . Daar M1 = f10 (1) = f 0 (1) = R0, volgt daaruit dat Mn = (R0 )n voor alle n. Het verwachte aantal nakomelingen stijgt of daalt dus geometrisch naargelang R0 groter of kleiner is dan 1. Het verwachte aantal nakomelingen gedraagt zich zoals in de deterministische modellen van bevolkingsgroei van Euler, Malthus enz. Echter, zelfs wanneer x∞ groter is dan 1, is er een positieve kans dat de familie uitsterft. Deze mogelijkheid doet zich niet voor in deterministische modellen. Het stochastisch proces dat door Steffensen en zijn voorgangers werd bestudeerd, is nog steeds het basiselement van vele meer realistische modellen van populatiedynamica. Wij zullen dit probleem nog een laatste keer aansnijden in hoofdstuk 20. Steffensen bleef hoogleraar aan de Universiteit van Kopenhagen tot 1943 en overleed in 1961. Verdere lectuur
  
  1. Brockmeyer, E., Halstrøm, H.L., Jensen, A.: The life and works of A.K. Erlang. Trans. Dan. Acad. Techn. Sci. 2 (1948) 2. Erlang, A.K.: Opgave Nr. 15. Mat. Tidsskr. B, 36 (1929) → Guttorp (1995) 3. Guttorp, P.: Three papers on the history of branching processes. Int. Stat. Rev. 63, 233–245 (1995) www.stat.washington.edu/research/reports/1992/tr242.pdf 4. Heyde, C.C.: Agner Krarup Erlang. In: Heyde, C.C., Seneta, E. (eds.) Statisticians of the Centuries, 328–330. Springer (2001) 5. Ogborn, M.E.: Johan Frederik Steffensen, 1873–1961. J. R. Stat. Soc. Ser. A 125, 672–673 (1962) 6. Steffensen, J.F.: Om Sandssynligheden for at Afkommet uddør. Mat. Tidsskr. B, 19–23 (1930) → Guttorp (1995) 7. Steffensen, J.F.: Deux problèmes du calcul des probabilités. Ann. Inst. Henri Poincaré 3, 319–344 (1933) archive.numdam.org
  
  Hoofdstuk 19 Wright en willekeurige genetische drift (1931)
  
  In 1931 ontwikkelde de Amerikaanse bioloog Sewall Wright het concept van een stochastisch model in de populatiegenetica, dat gebaseerd is op dezelfde veronderstellingen als in de wet van Hardy-Weinberg, behalve dat de populatie niet oneindig groot wordt verondersteld. De frequenties van de genotypen zijn niet langer constant. Een van de twee allelen zal in feite verdwijnen, maar misschien pas na een zeer lange tijd. De interpretatie van dit model bleef een twistpunt tussen Wright en Fisher, waarbij de laatste oordeelde dat natuurlijke selectie een belangrijkere rol speelt in de evolutie dan stochasticiteit. Sewall Wright werd in 1889 in Massachusetts geboren. Hij studeerde af aan een klein college in Illinois waar zijn vader economie doceerde. Na een master in de biologie aan de Universiteit van Illinois in Urbana en een zomercursus aan het Cold Spring Harbor Laboratorium, promoveerde Wright aan de Harvard Universiteit op de overerving van vachtkleur bij de cavia. Tussen 1915 en 1925 bleef hij werken aan inteeltexperimenten met cavia’s bij de Afdeling Dierhouderij van het Ministerie van Landbouw van de Verenigde Staten in Washington. Hij ontwikkelde de „methode van padcoëfficiënten” om deze experimenten te analyseren. Daarna ging hij werken bij de afdeling zoölogie van de Universiteit van Chicago. Figuur 19.1: Wright (1889–1988)
  
  Onder invloed van Fisher’s artikel uit 1922 over populatiegenetica (zie 110 hoofdstuk 14) schreef Wright in 1925 een lang artikel getiteld Evolutie in Mendeliaanse populaties, dat uiteindelijk in 1931 werd gepubliceerd. Hij bestudeerde in het bijzonder een wiskundig model dat ook impliciet voorkwam in Fisher’s boek uit 1930 De Genetische Theorie van Natuurlijke Selectie. Net als bij de wet van Hardy-Weinberg wordt in dit model het geval beschouwd waarin er slechts twee mogelijke allelen A en a voor één locus zijn, maar er wordt niet verondersteld dat de populatie oneindig groot is. De bedoeling is na te gaan of het weglaten van deze veronderstelling enige invloed heeft op de genetische samenstelling van de populatie. Laat N het totale aantal individuen zijn, waarvan wordt aangenomen dat het in alle generaties gelijk is. Elk individu heeft twee allelen, er zijn dus in totaal 2N allelen in de populatie in elke generatie. Het model gaat er ook van uit dat de paring willekeurig plaatsvindt. Als er in generatie n i allelen A en 2N − i allelen a zijn, dan zal een allel dat willekeurig wordt gekozen onder de individuen in generatie n + 1 A zijn i i met een kans 2N en a met een kans 1 − 2N. Het aantal A allelen in generatie n + 1 zal dus gelijk zijn aan j met een waarschijnlijkheid1 j 2N i i 2N− j pi, j = 1−, j 2N 2N (19.1) (2N)! waarbij 2Nj de binomiale coëfficiënt is die gelijk is aan j!(2N− j)!. Laat Xn het aantal A allelen in generatie n zijn: dit is een willekeurige variabele (fig. 19.2). 2N N Figuur 19.2: Twee simulaties die de variaties tonen van het aantal Xn van A allelen gedurende 30 generaties als N = 20 en X0 = 10. 0
  
  10 20
  
  30 Men kan aantonen dat de verwachting van Xn+1 wetende dat Xn = i gelijk 1 Wij danken deze formulering in de taal van Markov-ketens aan Malécot (1944). Hoofdstuk 19 111 is aan i: dit doet denken aan de wet van Hardy-Weinberg, waarbij de frequentie van allel A door de generaties heen constant blijft. Inderdaad,beschouw de genererende functie
  
  ix 2N i +, f (x) = ∑ pi, j x = 1 − 2N 2N j=0 2N j De verwachting van Xn+1 wetende dat Xn = i is dan 2N ∑ j pi, j = f 0 (1) = i. (19.2) j=0
  
  In dit model is het echter mogelijk dat, uitgaande van een beginvoorwaarde X0 = i met 0 < i < 2N, de gebeurtenis Xn = 0 zich na een bepaald aantal generaties bij toeval voordoet. In dat geval zouden alle allelen van het type a zijn en zou Xn in alle toekomstige generaties gelijk blijven aan 0. Dezelfde fixatie zou gebeuren met allel A als Xn = 2N na een bepaald aantal generaties. Samenvattend, wanneer de populatie oneindig groot wordt verondersteld zoals in het Hardy-Weinberg model, kunnen de twee allelen niet verdwijnen omdat hun frequenties constant blijven. Wanneer men rekening houdt met de eindige omvang van populaties, zoals in het Fisher-Wright model, fluctueren de frequenties van de twee allelen en kan (en zal) een van de allelen verdwijnen. Uitgaande van X0 = i kan men gemakkelijk de kans Qi berekenen dat de populatie gefixeerd wordt in toestand X = 0. Inderdaad, Qi moet voldoen aan de „grensvoorwaarden” Q0 = 1, Q2N = 0. (19.3) Qi = ∑ pi,
  
  
  
  j Q j, (19.4) Bovendien, 2N j=0 omdat pi, j Q j de kans is om gefixeerd te worden in toestand X = 0 uitgaande van X0 = i en door X1 = j te gaan. Aangezien 2N ∑ pi, j = 1, j=0 112 zien we met behulp van (19.2) dat Qi = 1 − i 2N de oplossing is van systeem (19.3)-(19.4). Vandaar dat de kans dat het systeem, uitgaande van i allelen van het type A in een populatie van grootte N, i evolueert naar een populatie die alleen het allel a bevat, gelijk is aan 1 − 2N. Evenzo is de kans dat het systeem evolueert naar een populatie die alleen het i. allel A bevat gelijk aan 2N Wright slaagde erin aan te tonen dat het aantal generaties dat verstrijkt vóór de fixatie in één van de twee extreme toestanden in de orde van 2N generaties ligt (fig. 19.3). Voor populaties van enkele miljoenen individuen zou deze tijd zo lang zijn dat de frequenties van de allelen als bijna constant kunnen worden beschouwd, zoals in de Hardy-Weinberg wet. Stel dat er i0 allelen van type A in de populatie van generatie 0 zijn. Laat (n) ui de kans zijn dat er in generatie n i allelen van type A in de populatie zijn. Dan is (n+1) uj 2N (n) = ∑ ui pi, j i=0 voor alle j = 0,..., 2N. We hebben al gezien dat wanneer n → +∞, (n) u0 → 1 − i0, 2N (n) u2N → i0, 2N (n) ui →0 (n) voor alle 0 < i < 2N. Wright merkte op dat als ui 1,..., 2N − 1, dan (n+1) uj =v = v voor alle i = 2N−1 j i i 2N− j 2N 1 − ∑ 2N j 2N i=1 (19.5) voor alle 1 < j < 2N omdat p0, j = p2N, j = 0. Wanneer N groot genoeg is, Z 1 1 2N−1 i j i 2
  
  N
  
  − j ≈ 
  
  x j (1 −
  
  
  
  x)2N− j dx ∑ 2N 1 − 2N 2N i=1 0 = j! (2N − j)!
  
  ,
  
  (2N + 1)!
  
  (19.6) Hoofdstuk
  
  19
  
  113 de waarde van de integraal wordt verkregen door opeenvolgende partiële integraties. Door (19.5) en (19.6) te combineren komen we uiteindelijk voor 0 < j < 2N op 1 2N (n) (n+1) v = 1− uj. 
  
  uj
  
  ≈ 2N + 1 2N + 1 (n) De kansen u j voor alle 0 < j < 2N nemen dus af met een snelheid van ongeveer 1/2N per generatie. Deze snelheid is zeer traag als N groot is. Er is bijna geen afname als bijvoorbeeld N in de orde van grootte van miljoenen ligt. 0.1 Figuur 19.3: Kans dat er i allelen A in de populatie zijn (i = 0,..., 2N op de horizontale as) na 30 generaties indien N = 20 en X0 = 10. 0 N 2N
  
  In 1922 had Fisher reeds getracht deze fixatiesnelheid (1/2N) te schatten, maar hij had een factor 2 over het hoofd gezien. In elk geval waren de twee wetenschappers het niet eens over de typische grootte N van fokpopulaties. Voor de evolutietheorie suggereerde het werk van Wright dat willekeurige genetische drift in een kleine populatie een mechanisme voor het ontstaan van soorten zou kunnen zijn. Biologen die werkten aan de classificatie van soorten hadden inderdaad opgemerkt dat verschillen tussen soorten of ondersoorten vaak geen duidelijke verklaring hadden in termen van natuurlijke selectie. Dit idee werd in de jaren veertig en vijftig sterk bestreden door Fisher en zijn collega E.B. Ford, die beiden van mening waren dat willekeurige genetische drift te verwaarlozen was in vergelijking met natuurlijke selectie. Zij verwezen in het bijzonder naar hun studie van de fluctuaties van genfrequenties in een kleine geïsoleerde populatie motten (Panaxia dominula) in de buurt van Oxford, waar de drie genotypen voor een bepaald gen (gewone homozygoot, 114 heterozygoot en zeldzame homozygoot) op het oog konden worden onderscheiden. Een andere beroemde controverse over de respectievelijke invloed van natuurlijke selectie en willekeurige genetische drift spitste zich toe op slakken van het genus Cepaea. Realistischer evolutiemodellen combineren nu willekeurige genetische drift, selectie, mutatie, migratie, niet-willekeurige paring enz. De rol van willekeurige genetische drift werd later opnieuw benadrukt door de Japanse wetenschapper Motoo Kimura met zijn „neutrale theorie van moleculaire evolutie”. Een andere uitvloeisel was de ontwikkeling van de coalescentietheorie (geïntroduceerd door John Kingman in 1982), die de afstamming van genen terug in de tijd traceert tot het punt waar zij één gemeenschappelijke voorouder hebben. Wright werd in 1934 lid van de Nationale Academie van Wetenschappen. Hij werkte vele jaren samen met Theodosius Dobzhansky aan de genetica van natuurlijke vliegenpopulaties (Drosophila pseudoobscura) in het Death Valley gebied. Hij ging in 1955 met pensioen aan de Universiteit van Chicago, maar bleef nog vijf jaar professor aan de Universiteit van Wisconsin-Madison. Tussen 1968 en 1978 publiceerde hij een vierdelige verhandeling die een samenvatting gaf van zijn werk over Evolutie en de Genetica van Populaties. Hij ontving de Balzan Prijs in 1984 en overleed in 1988 op 98 jarige leeftijd. Verdere lectuur
  
  1. Fisher, R.A.: The Genetical Theory of Natural Selection. Clarendon Press, Oxford (1930) archive.org 2. Hill, W. Fellows R. Soc. 36, 568–579 (1990) 3. Kimura, M.: The Neutral Theory of Molecular Evolution. Cambridge University Press (1983) 4. Malécot, G.: Sur un problème de probabilités en chaîne que pose la génétique. C. R. Acad. Sci. Paris 219, 379–381 (1944) 5. Provine, W.B.: Sewall Wright and Evolutionary Biology. University of Chicago Press (1989) 6. Wright, S.: Evolution in Mendelian populations. Genetics 16, 97–159 (1931) www.esp.org 7. Wright, S.: Evolution and the Genetics of Populations, Vol. 2. University of Chicago Press (1969)
  
  Hoofdstuk 20 De verspreiding van genen (1937)
  
  In 1937 bestudeerden Ronald Fisher en drie Russische wiskundigen, Kolmogorov, Petrovskij en Piskunov, onafhankelijk van elkaar een partiële differentiaalvergelijking voor de geografische verspreiding van een voordelig gen. Zij toonden aan dat de genfrequentie zich gedroeg als een golf met een goed gedefinieerde snelheid, afhankelijk van het voordeel van het gen en een verspreidingscoëfficiënt. Hun werk was het uitgangspunt van de theorie van reactie-diffusievergelijkingen. In 1937 werden twee artikelen gepubliceerd waarin een nieuwe benadering werd geïntroduceerd van de studie van ruimtelijke heterogeniteit in de populatiedynamiek. Fisher was de auteur van het eerste artikel, getiteld De golf van opmars van genen met voordeel, dat verscheen in Annals of Eugenics. Hij bestudeerde de ruimtelijke verspreiding van een gunstig gen in een populatie. Als vereenvoudiging beschouwde hij een ruimte met slechts één dimensie en noemde hij u(x,t) het deel van de populatie dat zich op tijdstip t in het punt x bevindt en het gunstige gen bezit. Dus 0 u(x,t) 1. Om natuurlijke selectie op te nemen, gebruikte hij vergelijking (14.6) met een continue tijdsvariabele ∂∂tu = a u (1 − u), waarbij a een positieve parameter is. Voor een gegeven waarde van x herkennen we de logistische vergelijking van Verhulst (zie hoofdstuk 6) met een oplossing u(x,t) die naar 1 neigt naarmate t → +∞. Bovendien nam Fisher aan dat de nakomelingen van een individu met het gunstige gen dat zich in het punt x bevinden, niet op hetzelfde punt blijven maar zich willekeurig verspreiden in de buurt van x. Naar analogie met de natuurkunde argumenteerde hij dat men een diffusieterm moet toevoegen aan de vergelijking voor u(x,t), wat leidt tot de partiële differentiaalvergelijking ∂ 2u ∂u = au 1−u +D 2. ∂t ∂x (20.1) Wanneer de selectiecoëfficiënt a nul is, herleidt dit tot de diffusievergelijking die door Fourier in zijn warmteleer werd geïntroduceerd en later door Fick voor de diffusie van fysische deeltjes werd gebruikt. In 1904 begon Ronald Ross te denken over willekeurige verspreiding in de populatiedynamica. Hij vroeg zich toen af hoe de dichtheid van muggen afneemt naarmate de afstand 116 tot een broedplaats groter wordt. Het probleem was onder de aandacht gekomen van Karl Pearson en Lord Rayleigh. Tegen 1937 was de wetenschappelijke literatuur over diffusievergelijkingen aanzienlijk gegroeid, met name na Einsteins werk over Brownse beweging. Fisher toonde aan dat er oplossingen bestaan van de vergelijking (20.1) van de vorm u(x,t) = U(x + vt) die voldoen aan de drie voorwaarden 0 u(x,t) 1, u(x,t) −→ 0, x→−∞ u(x,t) −→ 1, x→+∞ op voorwaarde dat v v∗ waarbij √ v∗ = 2 a D. Deze oplossingen verbinden de stationaire toestand u = 1 met het gunstige gen met de stationaire toestand u = 0 zonder dit gunstige gen. Zij stellen golven voor die zich met snelheid v voortplanten in de richting van afnemende waarden van x. Inderdaad, u(x − v T,t + T ) = u(x,t): het deel van de golf dat zich op tijdstip t in positie x bevond, beweegt zich naar positie x − v T op tijdstip t + T.
  
  Figuur 20.1: Voortplanting van rechts naar links van een gunstig gen met de snelheid v∗. De genfrequentie u(t, x) op t = 0 is een stapfunctie. Immers, door vast te stellen dat z = x + vt, merkte Fisher op dat als 2 u(x,t) = U(z), dan ∂∂tu = vU 0 (z), ∂∂ ux = U 0 (z), ∂∂ xu2 = U 00 (z). Als u een oplossing is van vergelijking (20.1), dan vU 0 (z) = aU(z) (1 −U(z)) + DU 00 (z). (20.2) Wanneer u dicht bij 0 ligt, d.w.z. wanneer z → −∞, verwachtte Fisher Hoofd 117 dat U(z) → 0 en U 0 (z) → 0. Als we k de limiet van U 0 (z)/U(z) noemen wanneer z → −∞, dan weten we volgens de regel van L’Hôpital dat U 00 (z)/U 0 (z) → k. Daarom, U 00 (z)/U(z) = [U 00 (z)/U 0 (z)]×[U 0 (z)/U(z)] → k2. Het delen van vergelijking (20.2) door U(z) en waarbij we z laten neigen naar −∞, leid dan tot de tweede-ordevergelijking D k2 − v k + a = 0. Maar k moet een reëel getal zijn. De discriminant van √ deze vergelijking mag dus niet-negatief zijn: v2 − 4 a D = 0, of v 2 a D = v∗. Vandaar dat v v∗ een noodzakelijke voorwaarde is voor het bestaan van een golf die zich voortplant met de snelheid v. Het is ook een voldoende voorwaarde, zoals hieronder wordt uitgelegd. Fisher merkte op dat alleen de golf die zich precies met de snelheid v∗ voortplant, gekozen wordt voor een grote klasse van beginvoorwaarden, b.v. voor de stapfunctie: u(x, 0) = 0 voor x < 0, u(x, 0) = 1 voor x 0.
  
  In figuur
  
  20.
  
  1
  
  is te zien hoe deze discontinue beginvoorwaarde geleidelijk overgaat in een vloeiende golf die zich voortplant in de richting van afnemende x met snelheid v∗. In datzelfde jaar 1937, en onafhankelijk van het werk van Fisher, bestudeerden Andrej Nikolaevich Kolmogorov, Ivan Georgievich Petrovskij en Nikolaj Semënovich Piskunov hetzelfde probleem van de voortplanting van een dominant gen. Kolmogorov werd in 1903 geboren in Tambov, Rusland. Tijdens zijn studie wiskunde aan de Staatsuniversiteit van Moskou verrichtte hij belangrijk werk op het gebied van goniometrische reeksen. Hij werd onderzoeker aan het Instituut voor Wiskunde en Mechanica in 1929 en universitair docent in 1931. Hij werkte aan stochastische processen en hun verband met differentiaalvergelijkingen en partiële differentiaalvergelijkingen. In 1933 publiceerde hij een verhandeling waarin hij de moderne grondslagen van de waarschijnlijkheidsrekening legde. Zijn onderzoeksinteresses omvatten topologie, approximatietheorie, Markovketens, Brownse beweging en ook toepassingen op biologische problemen. In 1935 publiceerde hij een artikel over genetica waarin hij de resultaten van Hardy, Fisher en Wright besprak. In 1936 publiceerde hij een artikel over een veralgemening van het Lotka-Volterra systeem. Petrovskij werd in 1901 geboren in Sevsk. Hij studeerde ook wiskunde aan de Staatsuniversiteit van Moskou, waar hij in 1933 hoogleraar werd. Hij werkte vooral aan de theorie van partiële differentiaalvergelijkingen en aan de topologie van reële algebraïsche krommen, maar schreef ook enkele artikelen over gewone differentiaalvergelijkingen en over de theorie van de waarschijnlijkheid. Piskunov, geboren in 1908, was een andere oud-student wiskunde aan de Staatsuniversiteit van Moskou. Figuur 20.2: Kolmogorov (1903–1987) en Petrovskij (1901–1973)
  
  In de jaren dertig had Kolmogorov contacten met A. S. Serebrovskij, een pionier op het gebied van de populatiegenetica in Moskou. Het werd toen steeds gevaarlijker om de Mendeliaanse genetica in de USSR te verdedigen door de opkomst van Lysenko, een landbouwkundige die erin geslaagd was Stalin ervan te overtuigen dat de Mendeliaanse genetica slechts een „bourgeois pseudowetenschap” was. Het Zevende Internationale Congres van de Genetica, oorspronkelijk gepland voor 1937 in Moskou, werd afgelast. Veel Sovjetgenetici werden geëxecuteerd of naar werkkampen gestuurd. In hun artikel uit 1937, getiteld Een studie van de diffusievergelijking met toename van de hoeveelheid stof en de toepassing ervan op een biologisch probleem, dat werd gepubliceerd in het Bulletin van de Moskouse Staatsuniversiteit, gebruikten Kolmogorov, Petrovskij en Piskunov niettemin een wiskundig model dat was gebaseerd op de Mendeliaanse genetica. Hun model was een partiële differentiaalvergelijking van de vorm ∂ 2u ∂u = f (u) + D 2 ∂t ∂x (20.3) waarbij u(x,t) weer de frequentie is van het gunstige gen op punt x en tijdstip t. De functie f (u) wordt verondersteld aan verschillende voorwaarden te voldoen: f (0) = f (1) = 0, f (u) > 0 als 0 < u < 1, f 0 (0) > 0 en f 0 (u) < f 0 (0) als 0 < u 1. De auteurs toonden een resultaat aan dat analoog is aan dat van Fisher, maar met een meer rigoureus bewijs: als de beginvoorwaarde zodanig is dat 0 u(x, 0) 1, u(x, 0) = 0 voor alle x < x1 en u(x, 0) =p1 voor alle x > x2 x1, dan plant het gen zich voort met de snelheid v∗ = 2 f
  
  0 (0) D. Het zoeken naar een oplossing u(x,t) = U(z) waarbij z = x + vt leidt tot de voor de hand liggende veralgemening van vergelijking (20.2): vU 0 (z) = f (U(z)) + DU 00 (z). Deze tweede-orde differentiaalvergelijking kan worden herschreven als een stelsel van eerste-orde differentiaalvergelijkingen dU = p, dz d p v p − f (U) =. dz D (20.4) Herinner u dat U(z) zo moet zijn dat U(z) → 0 gaat als z → −∞ gaat en U(z) → 1 als z → +∞ gaat. Nabij de stationaire toestand (U = 0, p = 0) van systeem (20.4) hebben we f (U) ≈ f 0 (0)U. Dus (20.4) kan benaderd worden door het lineaire systeem dU = p, dz d p v p − f 0 (0)U =. dz D (20.5)
  
  Het zoeken naar exponentiële oplossingen van de vorm U(z) = U0 ekz en p(z) = p0 ekz levert de karakteristieke vergelijking Dk2 − vk + f 0 (0) = 0 op, zoals in Fisher’s artikel. Ook hier moet k reëel zijn (anders zou u p gaan oscilleren en negatieve waarden aannemen). Dus v 2 f 0 (0)D = v∗. De twee wortels voor k zijn dan reëel en positief. Indien v > v∗, zijn de twee wortels verschillend en is de stationaire toestand (U = 0, p = 0) een onstabiel knooppunt. Indien v = v∗, zijn de twee wortels identiek en is (U = 0, p = 0) een onstabiel ontaard knooppunt zoals weergegeven in figuur 20.3. Op dezelfde manier leidt systeem (20.4) nabij de stationaire toestand (U = 1, p = 0) tot het lineaire systeem d(U − 1) = p, dz d p v p − f 0 (1)(U − 1) = dz D en tot de karakteristieke vergelijking Dk2 − vk + f 0 (1) = 0. De discriminant is v2 − 4D f 0 (1) 0 omdat f 0 (1) 0. Als f 0 (1) < 0, zijn er twee reële wortels met een tegengesteld teken en is (U = 1, p = 0) een zadelpunt. Als f 0 (1) = 0, is één wortel nul en de andere positief (zie fig. 20.3). p Een gedetailleerde analyse toont aan dat er in feite voor alle v 2 f 0 (0)D een unieke integraalkromme bestaat die de twee stationaire toestanden (U = 0, p = 0) en (U = 1, p = 0) verbindt, zoals in het speciale geval van figuur 20.3. 120 Kolmogorov, Petrovskij en Piskunov toonden vervolgens rigoureus aan dat • de partiële differentiaalvergelijking (20.3) een unieke oplossing u(x,t) heeft die voldoet aan de beginvoorwaarde, • Deze oplossing is zodat 0 < u(x,t) 1 voor alle x en t > 0, • en zodat u(x,t) een stijgende functie van x blijft als dat ook het geval is op t = 0 en • zodat u(x,t) convergeert naar een golfprofiel dat zich voortplant met de snelheid v∗. De bewijzen zijn te lang om hier samen te vatten. Merk op dat de door Fisher gebruikte functie f (u) = a u (1−u) aan al deze voorwaarden voldoet met f 0 (0) = a. Geïnspireerd door vergelijking (14.5) beschouwden Kolmogorov, Petrovskij en Piskunov de functie f (u) = a u (1 − u)2, die aan dezelfde voorwaarden voldoet en dezelfde voortplantingssnelheid geeft.
  
  Figuur 20.3: Diagram (U, p) met enkele integraalkrommen van het systeem (petrovskiisysteem) en in het bijzonder de unieke kromme die (U = 1, p = 0) verbindt met (U = 0, p = 0), en die de vorm geeft van de voortplantingsgolf. Hierbij is f (u) = au(1 − u)2, a = 1, D = 1 en v = v∗ = 2.
  
  De artikelen van Fisher en van Kolmogorov, Petrovskij en Piskunov vormden het uitgangspunt voor de constructie van veel wiskundige modellen met geografische verspreiding in de genetica, ecologie en epidemiologie. Deze modellen staan bekend als „reactie-diffusie systemen”. Kolmogorov bestudeerde vanaf 1938 ook het probleem van het uitsterven van familienamen van Bienaymé, Galton, Watson, Fisher, Haldane, Erlang en Steffensen: hij noemde het stochastische proces dat al deze werken gemeen Hoofdstuk 20 121 hebben het „takkenproces”. In 1939 werd hij lid van de USSR Academie van Wetenschappen. Later leverde hij belangrijke bijdragen aan het probleem van turbulentie in de vloeistofmechanica (1941), aan de theorie van dynamische systemen in verband met de hemelmechanica (1953) en aan de informatietheorie (vanaf 1956). Hij heeft ook bijgedragen aan het schrijven van een encyclopedie en van leerboeken voor middelbare scholen en universiteiten, heeft geholpen met het oprichten van een experimentele middelbare school en was redacteur van een populairwetenschappelijk tijdschrift. Hij ontving vele internationale prijzen (waaronder de Balzanprijs in 1963 en de Wolfprijs in 1980) en overleed in Moskou in 1987. Petrovskij werd decaan van de Mechanica en Wiskunde Faculteit van de Moskouse Staatsuniversiteit in 1940. Hij was rector van de universiteit van 1951 tot aan zijn dood in 1973. Hij was een volwaardig lid van de USSR Academie van Wetenschappen vanaf 1946 en voorzitter van het Internationale Congres van Wiskundigen dat in 1966 in Moskou werd gehouden. Hij schreef ook leerboeken over gewone differentiaalvergelijkingen, partiële differentiaalvergelijkingen en integraalvergelijkingen. Piskunov werd professor aan een militaire academie. Zijn leerboek over differentiaal- en integraalrekeningen werd door vele technische universiteiten gebruikt. Hij overleed in 1977. Verdere lectuur
  
  1. Fisher, R.A.: The wave of advance of advantageous genes. Ann. Eugen. 7, 355–369 (1937) digital.library.adelaide.edu.au 2. Kolmogorov, A.N., Petrovskii, I.G., Piskunov, N.S.: Étude de l’équation de la diffusion avec croissance de la quantité de matière et son application à un problème biologique. Bull. Univ. État Moscou Math. Mec 1, 1–26 (1937) → V.M. Tikhomirov (ed.) Selected Works of A. N. Kolmogorov, vol. 1, 242– 270. Kluwer (1991). 3. Oleinik, O.A.: I.G. Petrowsky and modern mathematics. In: I. G. Petrowsky Selected Works, Part I, 4–30. Gordon and Breach, Amsterdam (1996) 4. Pearson, K.: Mathematical Contributions to the Theory of Evolution, XV, A Mathematical Theory of Random Migration. Dulau, London (1906) archive.org 5. Rosenfeld, B.A.: Reminiscences of Soviet Mathematicians. In: Zdravkovska, S., Duren, P.L. (eds.) Golden Years of Moscow Mathematics, 2nd edn., 75–100. Am. Math. Soc. (2007) 6. Shiryaev, A.N.: Selected Works of A. N. Kolmogorov, vol. 2. Kluwer (1992) 7. Shiryaev, A.N.: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (April 25, 1903 to October 20, 1987). In: Kolmogorov in Perspective, 1–88. Am. Math. Soc. (2000) Hoofdstuk 21 De Leslie-matrix (1945)
  
  In 1945 analyseerde de Britse ecoloog P.H. Leslie een matrixmodel voor een leeftijdsgestructureerde populatie van knaagdieren, waarmee hij het werk van Lotka aanpaste aan een discreet-tijdskader. Hij benadrukte dat de groeisnelheid overeenkomt met een eigenwaarde en de stabiele leeftijdsstructuur met een eigenvector. Hij schatte ook numeriek de netto reproductiesnelheid R0 voor de bruine rat. Patrick Holt Leslie werd in 1900 geboren in de buurt van Edinburgh in Schotland. Hij studeerde aan het Christ Church College van de Universiteit van Oxford en behaalde in 1921 een bachelorgraad in de fysiologie. Maar hij kon zijn medische studies niet afmaken wegens gezondheidsproblemen. Na enkele jaren als assistent bacteriologie in de afdeling pathologie te hebben gewerkt, wendde hij zich tot de statistiek en trad in 1935 toe tot het Bureau of Animal Population, een nieuw onderzoekscentrum dat door Charles Elton was opgericht. Het doel van dit centrum was de schommelingen van de dierenpopulaties te bestuderen door middel van veldstudies en laboratoriumexperimenten. Het meeste onderzoek werd verricht op knaagdieren: analyse van de cycli van de haas en zijn predator de lynx aan de hand van de archieven van de Hudson’s Bay Company in Canada, follow-up van de territoriale expansie van de grijze eekhoorn ten koste van de rode eekhoorn in Engeland, gegevensverzameling over woelmuizen in de omgeving van Oxford enzovoort. Leslie paste op de gegevens over woelmuizen de door Lotka ontwikkelde methoden voor de menselijke demografie toe. Tijdens de Tweede Wereldoorlog was het onderzoek van het centrum gericht op methoden voor de bestrijding van ratten en muizen in silo’s. In 1945 publiceerde Leslie zijn beroemdste artikel in Biometrika, een tijdschrift dat in 1901 was opgericht door Galton, Pearson en Weldon. Het artikel was getiteld Over het gebruik van matrices in bepaalde bevolkingswiskunde. Leslie beschouwde een model voor de groei van het aantal wijfjes in een dierenpopulatie, b.v. een populatie ratten (maar het kunnen ook mensen zijn). De populatie wordt verdeeld in K + 1 leeftijdsgroepen: Pk,n is het aantal wijfjes van k leeftijd op tijdstip n (k = 0, 1,..., K; n = 0, 1,...). Noem fk de vruchtbaarheid op leeftijd k of nauwkeuriger gezegd het aantal dochters dat per Hoofdstuk 21 123
  
  Figuur 21.1: P. H. Leslie (1900–1972)
  
  vrouwtje geboren wordt tussen tijdstip n en tijdstip n + 1. Dan is K de maximumleeftijd met niet-nul vruchtbaarheid ( fK > 0). Noem sk de kans dat een dier met leeftijd k ten minste tot leeftijd k + 1 overleeft. De leeftijdsstructuur van de populatie wordt dan gegeven door de volgende reeks vergelijkingen:  P0,n
  
  +1
  
  
  
  = f0 P
  
  0,
  
  n + f1 P1
  
  ,
  
  n + · · · + fK PK,n    
  
  
  
  
  
  P1
  
  ,
  
  n
  
  +1
  
  
  
  =
  
  s0 P0,n P2,
  
  n+1
  
  
  
  = s1 P1,n ....  .   PK,n+1 = sK−1 PK−1,n. Alle getallen fk zijn nonnegatief, terwijl sk voldoet aan 0 < sk < 1.
  
  Op het einde van de negentiende en in het begin van de twintigste eeuw hadden de wiskundigen de gewoonte om dergelijke stelsels van vergelijkingen te schrijven in de verkorte vorm1 Pn+1 = M Pn, (21.1) waarin Pn de kolomvector (P0,n,..., PK,n ) is en M de vierkante matrix (d.w.z. de getallentabel met K + 1 rijen en K + 1 kolommen)   f0 f1 f2 ··· fK
  
   s0 0 0 ··· 0     0 s1 0 ··· 0  M= . ...... .... ..  0... 0 sK−1 0
  
  Om het gedrag van het systeem (21.1) als functie van de tijd te begrijpen, zocht Leslie naar een meetkundig toenemende of afnemende oplossing Pn = 1 wat betekent dat P k,n+1 = Mk,0 P0,n + Mk,1 P1,n + · · · + Mk,K PK,n voor alle k. 124 rn V. Het getal r en de vector V moeten voldoen aan M V = rV. (21.2) In dit geval wordt r een eigenwaarde en V een eigenvector van de matrix M genoemd. Met andere woorden, het probleem is de leeftijdsverdeling V te vinden die bij elke tijdstap vermenigvuldigd wordt met een constante r. Volgens de terminologie van Lotka worden dergelijke verdelingen stabiel genoemd. Om terug te keren naar de meer gebruikelijke notaties, kan vergelijking (21.2) herschreven worden als f0 V0 + f1 V1 + · · · + fK VK = rV0, s0 V0 = rV1, s1 V1 = r
  
  V2,..., sK−1 VK−1
  
  = rVK. Uit de laatste K vergelijkingen volgt dat
  
  V
  
  1 =
  
  s
  
  0
  
  V0
  
  ,
  
  r V
  
  2 = 
  
  s
  
  0
  
  s
  
  1
  
  V0, r2... VK = s0 s1 · · · sK−1 V0. rK
  
  Door dit in de eerste vergelijking te vervangen, te vereenvoudigen met V0 en te vermenigvuldigen met rK, verkrijgt Leslie de karakteristieke vergelijking 
  
  rK+1
  
  
  
  = f0 rK + s0 f1 rK−1 + s0 s1 f2 rK−2 + · · · + s0 s1 · · · sK−1 fK. (21.3)
  
  Dit is een veeltermvergelijking in r van graad K + 1. Er zijn dus K + 1 reele of complexe wortels r1,... , rK+1. Bovendien merkt Leslie (met behulp van Descartes’ tekenregel voor veeltermen) dat er slechts één reële positieve wortel is. Noem die r1. Leslie suggereerde ook dat, onder de meeste biologisch realistische voorwaarden (die nauwkeurig kunnen worden gemaakt met behulp van de theorie van Perron en Frobenius voor niet-negatieve matrices), de eigenwaarde r1 strikt groter is dan de modulus van alle andere reële of complexe eigenwaarden (noem ze r2,..., rK+1 ). Bovendien zijn alle wortels van (21.3) meestal verschillend. Voor elke eigenwaarde ri kan men een bijbehorende eigenvector vinden. Zij Q de vierkante matrix van grootte K +1 waarvan de kolommen K +1 de eigenvectoren bevatten die respectievelijk geassocieerd zijn met r1,..., rK+1, dan is M Q = Q D, waarbij D de diagonaalmatrix [r1,..., rK+1 ] is. Dus M = Q D Q−1 en Pn = M n P0 = Q Dn Q−1 P0. Merk op dat Dn de diagonaalmatrix [(r1 )n,..., (rK+1 )n ] is en dat Dn /r1n −→ D = [1, 0,..., 0] als n → +∞ omdat r1 > |ri | voor i 6= 1. Daarom convergeert Pn /(r1 )n Hoofdstuk 21 125 naar Q D Q−1 P0. Elke component van de leeftijdsstructuurvector Pn neemt toe of af als (r1 )n. Als r1 > 1, dan neemt de bevolking exponentieel toe. Als r1 < 1, dan neemt ze exponentieel af. Uit vergelijking (21.3) kan men gemakkelijk aantonen dat de voorwaarde r1 > 1 waar is als en slechts als de parameter R0, gedefinieerd door R0 = f0 + s0 f1 + s0 s1 f2 + · · · + s0 s1 · · · sK−1 fK, strikt groter is dan 1. Merk op dat s0 s1 · · · sk−1 de overlevingskans is tot minstens leeftijd k. De parameter R0 is dus het gemiddeld aantal dochters dat uit een vrouwtje geboren wordt gedurende haar leven en is analoog aan de formules (10.2), (12.2) en (16.9). Het huidige model is een soort discrete-tijd analogon van het werk van Lotka (zie hoofdstuk 10) en een veralgemening met leeftijdsafhankelijke vruchtbaarheid van het werk van Euler (zie hoofdstuk 3). Leslie illustreerde zijn methode aan de hand van door een Amerikaanse collega gepubliceerde gegevens over de vruchtbaarheids- en overlevingscoëfficiënten fk en sk voor de bruine rat. Na enkele statistische bewerkingen om de gegevens op een redelijke manier aan te vullen, verkreeg hij R0 ≈ 26. Leslie’s matrixformulering van problemen in de populatiedynamica wordt nu door veel biologen gebruikt. De berekeningen worden sterk vereenvoudigd door moderne computers en wetenschappelijke software die eigenwaarden en eigenvectoren van om het even welke matrix kunnen berekenen. Men kan gemakkelijk zowel de parameter R0 als de groeisnelheid r1 berekenen. Na de tweede wereldoorlog gebruikte Leslie zijn methode om de groeisnelheid van andere diersoorten te berekenen: vogels, kevers enz. Hij werkte ook aan stochastische modellen, aan modellen van concurrentie tussen soorten en aan de analyse van gegevens die zijn verzameld met de capturerecapture-methode. Hij ging in 1967 met pensioen. In datzelfde jaar, nadat Charles Elton ook met pensioen was gegaan, hield het Bureau of Animal Population op te bestaan als onafhankelijk onderzoekscentrum en werd het een onderdeel van het Departement Zoölogie van de Universiteit van Oxford. Leslie overleed in 1972. Verdere
  
  lectuur 1. Anonymous: Dr P. H. Leslie. Nature 239, 477–478 (1972) 2. Crowcroft, P.: Elton’s Ecologists, A History of the Bureau of Animal Population. University of Chicago Press (1991) 3. Leslie, P.H.: On the use of matrices in certain population mathematics. Biometrika 33, 213–245 (1945) Hoofdstuk 22
  
  Percolatie en epidemieën (1957)
  
  In 1957 onderzochten Hammersley en Broadbent de verspreiding van een „vloeistof” in een oneindig regelmatig vierkantsnetwerk, waarbij twee naburige knooppunten met een bepaalde kans met elkaar verbonden zijn. Als mogelijke voorbeelden noemden zij de verspreiding van een epidemie in een boomgaard. Zij toonden aan dat er een kritische kans is waaronder geen grote epidemie kan uitbreken en waarboven grote epidemieën met een positieve kans optreden. Hun artikel was de geboorte van de percolatietheorie. John Michael Hammersley werd in 1920 geboren in Schotland, waar zijn vader werkte voor een Amerikaans bedrijf dat staal exporteerde. Hij ging studeren aan het Emmanuel College van de Universiteit van Cambridge, maar moest in 1940 in het leger. Hij werkte aan de verbetering van berekeningen voor de artillerie. Na zijn studie werd hij in 1948 assistent aan de Universiteit van Oxford in de groep die zich bezighield met het ontwerpen en analyseren van experimenten. In 1955 trad hij in dienst bij de Atomic Energy Research Establishment in Harwell bij Oxford.
  
  Figuur 22.1: Hammersley (1920–2004)
  
  Simon Ralph Broadbent werd geboren in 1928. Hij studeerde technische wetenschappen in Cambridge, wiskunde aan het
  
  Magdalen
  
  College in
  
  Oxford (
  
  waar
  
  hij
  
  ook
  
  poëzie
  
  schre
  
  ef)
  
  en
  
  begon een doctor
  
  aat in de statistiek aan het Hoofdstuk
  
  22
  
  127 Imperial College in Londen met als vertaalde onderwerp enige tests voor afwijkingen van uniforme spreiding. Tijdens zijn promotie kreeg hij steun van de Britse Vereniging voor onderzoek naar het gebruik van steenkool, om statistische problemen te onderzoeken die in verband konden worden gebracht met de steenkoolproductie. In 1954 werd in de Royal Statistical Society in Londen een symposium gehouden over Monte Carlo methoden, gesponsord door de Atomic Energy Research Establishment. Bij deze methoden, die in de jaren 40 door John von Neumann, Stanisław Ulam en Nicholas Metropolis in het Los Alamos Laboratorium werden ontwikkeld, wordt gebruik gemaakt van stochastische computersimulaties om onbekende wiskundige grootheden te schatten. Hammersley presenteerde op het symposium in Londen een document dat hij had voorbereid in samenwerking met Morton, een collega uit Harwell. Het artikel werd ook gepubliceerd in het Journal of the Royal Statistical Society.