title: Een korte geschiedenis van wiskundige populatiedynamica. , 164 p., 2022, 979-10-343-6356-8. &#x27E8;hal-03551687&#x27E9;
text: Lotka publiceerde ook een boek in het Frans, getiteld De Analytische Theorie van Biologische Associaties. Het eerste deel, dat meer filosofisch van aard was, verscheen in 1934. Het tweede, meer technische deel, verscheen in 1939 en bevatte een samenvatting van al zijn onderzoek op het gebied 60 van de menselijke demografie sinds 1907. In zijn boek presenteerde Lotka ook zijn bijdrage aan het probleem van het uitsterven van familienamen. Na de publicatie in 1930 van het eerste artikel van Steffensen over dit onderwerp (zie hoofdstuk 18), had hij de theorie toegepast op de gegevens van de volkstelling van 1920 van de blanke bevolking van de Verenigde Staten. Hij stelde vast dat de waargenomen verdeling (pk )k0 van het aantal zonen goed benaderd wordt door een afnemende meetkundige wet voor alle k 1: p0 = a, pk = b ck−1 (k 1), met a = 0,4825, b = 0,2126 en c = 1 − b/(1 − a). Op deze manier is ∑k0 pk = 1. De bijbehorende genererende functie is k−1 xk = a + b x. De twee oplossingen van de vergef (x) = a + b ∑+∞ k=1 c 1−c x lijking x = f (x) zijn x = 1 en x = a/c. De uitdovingskans x∞ is de kleinste van deze twee oplossingen (zie hoofdstuk 7). Met de numerieke waarden voor de Verenigde Staten vond hij x∞ ≈ 0,819, terwijl het gemiddeld aantal zonen R0 = f 0 (1) = (1 − a)2 /b ≈ 1,260 was. Ondanks een gemiddeld aantal kinderen (zonen en dochters inbegrepen) dat dicht bij 2,5 ligt, is de kans op uitsterven van de familienaam groter dan 80 %. Lotka werd in 1942 verkozen tot voorzitter van de American Statistical Association. Hij ging in 1947 met pensioen en overleed in 1949 in New Jersey. Een nieuwe editie van zijn boek uit 1925 verscheen in 1956 onder de iets andere titel Elementen van wiskundige biologie. Verdere lectuur 1.
  
  Crump, K.S., Mode, C.J.: A general age-dependent branching process. J. Math. Anal. Appl. 24, 494–508 (1968) 2. Dublin, L.I., Lotka, A.J.: On the true rate of natural increase. J. Amer. Stat. Assoc. 20, 305–339 (1925) 3. Feller, W.: On the integral equation of renewal theory. Ann. Math. Stat. 12, 243–267 (1941). projecteuclid.org 4. Fisher, R.A.: The actuarial treatment of official birth records. Eugen. Rev. 19, 103–108 (1927). digital.library.adelaide.edu.au 5. Gridgeman, N.T.: Lotka, Afred James. In Gillespie, C.C. (ed.) Dictionary of Scientific Biography, vol. 8, 512. Scribner, New York (1981) 6. Lotka, A.J.: Relation between birth rates and death rates. Science 26, 21–22 (1907) → Smith & Keyfitz (1977). 7. Lotka, A.J.: Théorie analytique des associations biologiques, 2e partie. Hermann, Paris (1939) gallica.bnf.fr 8. Sharpe, F.R., Lotka, A.J.: A problem in age-distribution. Philos. Mag. Ser. 6, 21, 435–438 (1911) → Smith & Keyfitz (1977). 9. Smith, D.P., Keyfitz, N.: Mathematical Demography. Springer, Berlin (1977) 10. Tanner, A.: Von Molekülen, Parasiten und Menschen – A. J. Lotka und die Mathematisierung des Lebens. ETH Zürich (2014) doi:10.3929/ethz-a-010209129
  
  Hoofdstuk 11 De wet van Hardy-Weinberg (1908)
  
  In 1908 ontdekten de Britse wiskundige Hardy en de Duitse arts Weinberg onafhankelijk van elkaar dat in een oneindig grote e die zich volgens de wetten van Mendel willekeurig voortplant, de frequenties van de genotypen verkregen uit twee allelen door de generaties heen constant blijven. Hun wiskundig model was een van de uitgangspunten van de populatiegenetica. Godfrey Harold Hardy werd in 1877 geboren in Surrey, Engeland. Zijn ouders waren onderwijzers. Hij studeerde vanaf 1896 wiskunde aan het Trinity College van de universiteit van Cambridge, werd fellow van zijn college in 1900 en docent wiskunde in 1906. Na een eerste boek over De integratie van functies van een enkele variabele (1905), publiceerde hij in 1908 Een cursus in zuivere wiskunde, die vele malen werd herdrukt en in vele talen werd vertaald. Figuur 11.1: Hardy (1877–1947)
  
  In die tijd had de herontdekking van het werk van Mendel enige twijfels doen rijzen. Sommige biologen vroegen zich af waarom de dominante eigenschappen niet frequenter werden van generatie op generatie. Reginald Punnett, die in 1905 een boek had geschreven getiteld Mendelisme, stelde de vraag aan Hardy, met wie hij cricket speelde in Cambridge. Hardy schreef zijn oplossing in een artikel over Mendeliaanse verhoudingen in een gemengde populatie, dat in 1908 werd gepubliceerd. Om de analyse te vereenvoudigen, 62 stelde hij zich de situatie voor van een grote populatie waarbij de keuze van de seksuele partner willekeurig zou zijn. Bovendien beperkte hij zijn aandacht tot slechts twee factoren (of „allelen”) A en a, waarbij A dominant is en a recessief. Laat voor generatie n pn de frequentie zijn van het „genotype” AA, 2 qn die van Aa en rn die van aa. Uiteraard is pn + 2 qn + rn = 1. Hardy veronderstelde ook dat geen van deze genotypes tot een overmatige sterfte of een daling van de vruchtbaarheid leidde in vergelijking met de twee andere genotypes. De frequenties in generatie n + 1 kunnen gemakkelijk berekend worden door op te merken dat één willekeurig gekozen individu in generatie n allel A overdraagt met een kans pn + qn : ofwel is het genotype AA en wordt allel A zeker overgedragen, ofwel is het genotype Aa en wordt allel A met 50 % kans overgedragen. Evenzo wordt allel a met een waarschijnlijkheid van qn + rn overgedragen. Men kan dus Tabel 11.1 op dezelfde manier samenstellen als Tabel 8.1.
  
  Tabel
  
  11.1: Berekening van de frequenties van de genotypes in generatie n + 1 uit de frequenties van de allelen van de ouders (rijen zijn voor de moeder, kolommen voor de vader). allel frequentie A pn + qn a qn + rn A pn + qn AA (pn + qn )2 Aa (pn + qn )(qn + rn ) a q n + rn Aa (pn + qn )(qn + rn ) aa (qn + rn )2
  
  De frequenties van de genotypes AA, Aa en aa in generatie n + 1 zijn respectievelijk pn+1, 2qn+1 en rn+1. Hardy vond dus dat pn+1 = (pn + qn )2, (11.1) 2qn+1 = 2(pn + qn )(qn + rn ), (11.2) 2 rn+1 = (qn + rn ). (11.3) Vervolgens onderzocht hij onder welke voorwaarden de frequenties van de genotypen over de generaties heen constant konden blijven, gelijk aan p, 2q en r. Aangezien per definitie p + 2q + r = 1, zien we dat vergelijkingen (11.1)-(11.3) allemaal dezelfde voorwaarde opleveren, namelijk q2 = pr. Bijvoorbeeld, de eerste vergelijking geeft p = (p + q)2 = p2 + 2pq + q2, wat gelijk is aan p(1 − p − 2q) = q2 en tenslotte aan p r = q2. Hoofdstuk Uitgaande van willekeurige beginvoorwaarden (p0, 2q0, r0 ) met p0 +2q0 + r0 = 1, merkte Hardy op dat q1 2 = (p0 + q0 )2 (q0 + r0 )2 = p1 r1. De toestand (p1, 2q1, r1 ) is dus al een evenwicht. Dus (pn, 2qn, rn ) blijft gelijk aan (p1, 2q1, r1 ) voor alle n 1. Als we x = p0 + q0 stellen voor de frequentie van allel A in generatie 0, dan is 1 − x = q0 + r0 de frequentie van allel a. Als we het systeem (11.1)–(11.3) nog eens gebruiken, krijgen we pn = x 2, 2 qn = 2 x (1 − x), rn = (1 − x)2 voor alle n 1 (figuur 11.2).
  
  1 aa AA Aa Figuur 11.2: Grafieken van de functies x2, 2 x (1 − x) en (1 − x)2 die overeenkomen met de evenwichtsfrequenties van de genotypen AA, Aa en aa. 0 1
  
  Samenvattend leiden de bovenstaande hypothesen tot een wet die dicteert dat de frequenties van de genotypes AA, Aa en aa onveranderd blijven doorheen de generaties. De theorie van Mendel leidt dus niet tot een progressieve toename van de frequentie van het dominante kenmerk zoals eerst werd gedacht. Enkele jaren later zou Fisher wijzen op een belangrijk uitvloeisel van deze wet: bij een eerste benadering (d.w.z. uitgaande van de veronderstelling dat de hypothesen van het model realistisch zijn) behoudt een populatie een constante genetische variatie. Deze constatering lost een van de problemen op die Darwins theorie van evolutie door natuurlijke selectie opriep. Darwin dacht namelijk, net als zijn tijdgenoten, dat bij elke generatie de fysiologische kenmerken van de kinderen een soort gemiddelde waren van de kenmerken van de twee ouders, waarbij elke ouder de helft bijdroeg. Dit idee werd later grondig bestudeerd met behulp van statistiek door Francis Galton en zijn opvolger in het biometrisch laboratorium, Karl Pearson. Als dit waar was, zou de 64 variantie van deze kenmerken in een populatie bij elke generatie moeten halveren en zou er spoedig een zodanige homogeniteit optreden dat natuurlijke selectie, de veronderstelde verklaring van evolutie, onmogelijk zou zijn. Er zouden echter verscheidene jaren nodig zijn om dit middelingsmechanisme te verwerpen, waarbij biometristen het standpunt van Darwin verdedigden en onwillig waren om toe te geven dat de wetten van Mendel onmisbaar zijn om evolutie te begrijpen. Na dit werk in 1908 keerde Hardy terug naar de zuivere wiskunde. In zijn autobiografie, Apologie van een wiskundige, beweerde hij zelfs met trots dat hij ontdekkingen van enig praktisch nut had vermeden. In 1910 werd hij gekozen tot lid van de Royal Society. In 1913 ontdekte hij het Indiase wonderkind Ramanujan en nodigde hem uit om in Cambridge te komen werken. Na de Eerste Wereldoorlog werd hij hoogleraar aan de universiteit van Oxford en zette hij de vruchtbare samenwerking met zijn landgenoot Littlewood voort. Tussen 1931 en 1942 was hij opnieuw hoogleraar in Cambridge. Hij publiceerde vele boeken, vaak in samenwerking: Orders van Oneindigheid (1910), De Algemene Theorie van Dirichlet’s Reeksen met Marcel Riesz (1915), De Ongelijkheden met Littlewood en Pólya (1934), Een Inleiding tot de theorie van Getallen met E. M. Wright (1938), De Ramanujan (1940), Fourierreeksen met Rogosinski (1944) en Divergente reeksen (1949). Hij overleed in Cambridge in 1947.
  
  Figu
  
  ur
  
  11.3:
  
  Weinberg (1862–1937) Enkele tientallen jaren later merkte men dat de wet van Hardy voor genfrequenties ook in datzelfde jaar 1908 was ontdekt door een Duitse arts, Wilhelm Weinberg. Weinberg werd in 1862 in Stuttgart geboren. Na studies in Tübingen en München tot aan zijn doctoraat in de geneeskunde, had hij verschillende jaren gewerkt in ziekenhuizen in Berlijn, Wenen en Frankfurt. Hij vestigde zich in 1889 in Stuttgart als huisarts en verloskundige. Ondanks Hoofdstuk 11 65 zijn drukke werkzaamheden had hij toch tijd gevonden om veel artikelen te schrijven in Duitse wetenschappelijke tijdschriften. In 1901 had hij vanuit statistisch oogpunt de frequentie van tweelingen van hetzelfde geslacht bestudeerd. Het artikel van 1908, waarin hij dezelfde wetmatigheid verklaarde als Hardy had gevonden, was gepubliceerd in een plaatselijk wetenschappelijk tijdschrift en was niet opgevallen. Maar in tegenstelling tot Hardy had hij deze studie de volgende jaren voortgezet, waarbij hij bijvoorbeeld de veralgemening had ontdekt voor het geval dat er meer dan twee allelen zijn. Hij had ook een bijdrage geleverd op het gebied van de medische statistiek. Weinberg overleed in 1937. Na de herontdekking van zijn artikel uit 1908 noemden genetici de wet van de stabiliteit van genotype frequenties de „wet van Hardy-Weinberg”. Tegenwoordig wordt deze wet vaak als volgt gebruikt. Als een zeldzaam recessief allel a geen invloed heeft op overleving of vruchtbaarheid en als we de frequentie x2 van het genotype aa kennen omdat aa een bepaald fenotype voortbrengt, dan kunnen we x berekenen en de frequentie 2x(1 − x) ≈ 2x van het genotype Aa schatten. Als voorbeeld, als de frequentie van aa 1/20.000 is, dan krijgen we x ≈ 1/140. Dus 2x ≈ 1/70 is de frequentie van het genotype Aa. Het recessieve allel a, dat bij inspectie van de fenotypes zeer zeldzaam lijkt, is in feite niet zo zeldzaam.
  
  Verdere lectu
  
  ur 1. Hardy, G.H.: Mendelian proportions in a mixed population. Science 28, 49–50 (1908). esp.org 2. Hardy, G.H.: A Mathematician’s Apology. Cambridge University Press (1940). archive.org 3. Punnett, R.C.: Mendelism, 2nd edn. Cambridge University Press (1907). archive.org 4. Stern, C.: The Hardy–Weinberg law. Science 97, 137–138 (1943) 5. Stern, C.: Wilhelm Weinberg 1862–1937. Genetics 47, 1–5 (1962) 6. Titchmarsh, E.C.: Godfrey Harold Hardy, 1877–1947. Obit. Not. Fellows R. Soc. 6, 446–461 (1949) 7. Weinberg, W.: Über den Nachweis der Vererbung beim Menschen. Jahresh. Wuertt. Ver. vaterl. Natkd. 64, 369–382 (1908). biodiversitylibrary.org
  
  Hoofdstuk 12 Ross en malaria (1911)
  
  In 1911 bestudeerde de Britse arts Ronald Ross, die onlangs in 1902 de Nobelprijs had gekregen voor zijn werk op het gebied van malaria, een stelsel differentiaalvergelijkingen dat de verspreiding van deze ziekte modelleert. Hij toonde aan dat malaria alleen kan blijven bestaan als het aantal muggen boven een bepaalde drempelwaarde ligt. Daarom is het niet nodig om alle mug te doden om malaria uit te roeien – het is voldoende om slechts een bepaalde fractie ervan te doden. Soortgelijke epidemische modellen werden later ontwikkeld door Kermack en McKendrick. Ronald Ross werd in 1857 geboren in het noorden van India, waar zijn vader officier was in het Britse leger. Hij studeerde geneeskunde in Londen, maar schreef liever gedichten en drama’s. Nadat hij één jaar als chirurg op een schip had gewerkt, slaagde hij erin om in 1881 in dienst te treden als legerarts in India. Zijn medisch werk in India liet hem veel vrije tijd, waarin hij literaire werken schreef en zelf wiskunde studeerde. Tijdens een verlof in Engeland in 1888 behaalde hij een diploma in volksgezondheid en studeerde hij bacteriologie, een nieuwe wetenschap die enkele jaren vroeger door Pasteur en Koch was gecreëerd. Bij zijn terugkeer in India begon Ross malaria te bestuderen. Tijdens een tweede verlof in 1894 ontmoette hij in Londen Patrick Manson, een specialist in tropische geneeskunde, die hem onder de microscoop liet zien wat de Franse militaire arts Alphonse Laveran in 1880 had opgemerkt: het bloed van malariapatiënten bevat parasieten. Manson suggereerde dat de parasieten afkomstig konden zijn van muggen omdat hij zelf in China de parasiet van een andere tropische ziekte (filariasis) in deze insecten had ontdekt. Ross geloofde echter dat de mens met de parasiet werd geïnfecteerd door het drinken van water dat door de muggen was besmet. Van 1895 tot 1898 zette hij zijn onderzoek in India voort en testte hij Manson’s idee uit. In 1897 ontdekte hij in de maag van een bepaalde muggensoort die hij nog niet had bestudeerd (anopheles) enkele parasieten die vergelijkbaar waren met de parasieten die door Laveran eerder werden waargenomen. Omdat zijn superieuren hem naar Calcutta stuurden tijdens een seizoen waarin malaria zelden voorkwam, besloot hij malaria bij kooivogels te bestuderen. Hij vond de parasiet in de speekselklieren van anophelesmuggen en slaagde Hoofdstuk 12 67 erin experimenteel gezonde vogels te infecteren. Om dit te doen liet hij de vogels door muggen bijten: dit toonde aan dat malaria door muggenbeten wordt overgebracht en niet door het drinken van besmet water. In 1899 verliet Ross de Indiase Medische Dienst om les te gaan geven aan de Liverpool School of Tropical Medicine, die een jaar eerder was opgericht. Hij werd in 1901 verkozen tot lid van de Royal Society en ontving in 1902 de Nobelprijs voor fysiologie of geneeskunde voor zijn werk op het gebied van malaria. Hij reisde naar Afrika, naar Mauritius en in het Middellandse-Zeegebied om er de strijd tegen de muggen te populariseren. De methode was succesvol in Egypte langs het Suezkanaal, langs het in aanbouw zijnde Panamakanaal, in Cuba en in Maleisië. In sommige andere gebieden was het succes minder groot. Ross publiceerde een Verslag over de preventie van malaria op Mauritius in 1908 en De preventie van malaria in 1910. Figuur 12.1: Ross (1857–1932)
  
  Ondanks het feit dat hij een bewijs leverde van de rol van bepaalde muggen bij de overdracht van malaria, werd Ross met scepsis ontvangen toen hij beweerde dat malaria uitgeroeid kon worden door eenvoudigweg het aantal muggen te verminderen. In de tweede editie van zijn boek De preventie van malaria, gepubliceerd in 1911, probeerde hij wiskundige modellen te bouwen van de overdracht van malaria om zijn bewering te staven. Één van zijn modellen bestond uit een stelsel van twee differentiaalvergelijkingen. Laten we de volgende notaties invoeren: • N: totale menselijke populatie in een bepaald gebied; • I(t): aantal met malaria besmette mensen op tijdstip t; • n: totale muggenpopulatie (constant verondersteld); 68 • i(t): aantal muggen besmet met malaria; • b: bijtfrequentie van muggen; • p (respectievelijk p0 ): kans op overdracht van malaria van mens op mug (respectievelijk van mug op mens) tijdens één beet; • a: snelheid waarmee mensen herstellen van malaria; • m: muggensterfte. Gedurende een klein tijdsinterval dt bijt elke besmette mug b dt mensen, waarvan een fractie gelijk aan N−I N nog niet besmet is. Rekening houdend met 0 de overdrachtskans p worden er b p0 i N−I N dt nieuwe mensen geïnfecteerd. In hetzelfde tijdsinterval is het aantal mensen dat herstelt a I dt. Dus, dI N −I = b p0 i − a I. dt N Op dezelfde manier bijt elke niet-geïnfecteerde mug b dt mensen, waarvan een fractie gelijk aan I/N al besmet is. Rekening houdend met de overdrachtskans p worden er b p (n − i) NI dt nieuwe muggen geïnfecteerd. Aangenomen dat de infectie geen invloed heeft op de sterf , is het aantal muggen dat sterft m i dt. Dus, di I = b p (n − i) − m i. dt N
  
  Aangezien malaria in de meeste besmette landen permanent bestaat, beschouwde Ross enkel de stationaire toestanden van zijn stelsel van twee vergelijkingen: het aantal besmette mensen I(t) en het aantal besmette muggen i(t) blijven constant doorheen de tijd (dI/dt = 0 en di/dt = 0). Ten eerste is er dus altijd de stationaire toestand met I = 0 en i = 0, die overeenkomt met een afwezigheid van malaria. En ten tweede zocht Ross naar een stationaire toestand waarbij I > 0 en i > 0 en vond dat I=N 1 − a m N/(b2 p p0 n), 1 + a N/(b p0 n) i=n 1 − a m N/(b2 p p0 n). 1 + m/(b p) (12.1) Door de stationaire vergelijkingen te delen door het product I × i, wordt het probleem een lineair stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden 1/I en 1/i, b p0 a b p 0 − =, I i N − m b pn b p + =.
  
  I Ni N
  
  Deze berekening kan gemakkelijk worden uitgevoerd. Men kan opmerken dat I > 0 en i > 0 als het aantal muggen boven een kritische drempel ligt: amN n > n∗ = 2 0. b pp In dit geval komt de stationaire toestand overeen met de situatie waarin de ziekte endemisch is, d.w.z. permanent aanwezig. Ross concludeerde dat als het aantal muggen n tot onder de kritische drempel n∗ wordt teruggebracht, de enige overblijvende stationaire toestand I = 0 en i = 0 is, zodat malaria zou moeten verdwijnen. Met name is het niet nodig alle muggen uit te roeien om malaria uit te roeien. Dit is precies het punt dat Ross met zijn model wilde benadrukken. Om zijn theorie te illustreren, zocht Ross naar redelijke numerieke waarden voor de parameters van zijn model. Hij nam aan dat: • de sterfte van muggen zodanig is dat na tien dagen nog slechts een derde in leven is; dus e−10 m = 13 en m = (log 3)/10 per dag; • de helft van de mensen na drie maanden nog besmet is; dus e−90 a = 1/2 en a = (log 2)/90 per dag; • één op de acht muggen elke dag bijt; dus e−b = 1−1/8 en b = log(8/7) per dag. • Besmette muggen zijn meestal niet besmettelijk gedurende de eerste tien dagen na hun besmetting omdat de parasieten verschillende stadia van transformatie moeten doorlopen. Aangezien een derde van de muggen tien dagen kan overleven, nam Ross aan dat ook ongeveer een derde van alle geïnfecteerde muggen besmettelijk is: p0 = 1/3; • p = 1/4. Ross kon dan met formule (12.1) de besmette fractie I/N in de menselijke populatie berekenen als functie van de verhouding n/N tussen de muggenen de mensenpopulatie. Zijn resultaten werden in een tabel weergegeven die gelijkwaardig is aan figuur (12.2). Uit de vorm van de curve blijkt dat de fractie besmette mensen al groter is dan 50 % als de verhouding n/N net iets boven de kritische waarde n∗ /N ligt. Maar deze fractie verandert niet veel wanneer de verhouding n/N verder toeneemt. Dit verklaart waarom de correlatie tussen het aantal muggen en de aanwezigheid van malaria nooit eerder was opgemerkt. Ross merkte echter op 70 I/N 1
  
  0.5 Figuur 12.2: Fractie I/N van besmette mensen als functie van de verhouding n/N tussen de muggen- en de mensenpopulatie. 0 n*/N n/N dat de numerieke waarde van de drempel n∗ /N zeer gevoelig was voor kleine veranderingen in de bijtfrequentie b, maar dat dit de algemene vorm van de curve in figuur 12.2 niet veranderde. Zijn kwalitatieve uitleg is belangrijker dan de kwantitatieve resultaten, die te lijden hebben onder de onzekerheid rond de numerieke waarden van de parameters. Om de door Ross ontdekte kritische drempel n∗ te interpreteren1, beschouwen we een besmette mens die in een malariavrije mensen- en muggenpopulatie wordt binnengebracht. Deze mens blijft gemiddeld geïnfecteerd gedurende een periode gelijk aan 1/a. Hij of zij krijgt b n/N beten per tijdseenheid, dus gemiddeld b n/(a N) beten in totaal gedurende de besmetting. Hij of zij infecteert dus gemiddeld b p n/(a N) muggen. Elk van deze besmette muggen leeft gemiddeld gedurende een periode gelijk aan 1/m, bijt b/m mensen en besmet b p0 /m mensen. In totaal, na de overdracht van de eerste besmette mens op de muggen en van deze muggen op andere mensen, is het gemiddelde aantal nieuw besmette mensen het product van de vorige twee resultaten, d.w.z. b2 p p0 n R0 =. (12.2) amN Dit is dus het aantal secundaire gevallen bij de mens ten gevolge van één primair geval bij de mens. Het besmettingsproces dat continu in de tijd verloopt, kan ook via opeenvolgende generaties worden beschouwd. Malaria kan de populatie alleen binnendringen als R0 > 1. Deze voorwaarde komt nauwkeurig overeen met n > n∗. Om af te sluiten pleitte Ross voor meer wiskundige modellering in de epidemiologie: 1 Deze interpretatie werd pas lang na Ross’s werk benadrukt. “In feite moet elke epidemiologie, die zich bezighoudt met de variatie van een ziekte in tijd en in plaats, mathematisch worden bekeken. Ongeacht hoeveel variabelen er ook bij betrokken zijn, zal ze helemaal wetenschappelijk kunnen worden bekeken. Zeggen dat een ziekte van bepaalde factoren afhangt, is niet veel zeggen, zolang men niet ook een schatting kan maken van de mate waarin elke factor invloed heeft op het gehele resultaat. Eigenlijk is de methode van wiskundige verwerking niets anders dan de toepassing van een zorgvuldige redenering op de problemen in kwestie.” Ross werd geadeld in 1911. Hij verhuisde naar Londen en werd adviseur voor het Britse leger tijdens de Eerste Wereldoorlog. In 1923 publiceerde hij zijn autobiografie, Memoires met een volledig verslag van het grote malariaprobleem en de oplossing ervan. In 1926 werd het Ross Instituut voor Tropische Ziekten opgericht (nu onderdeel van de London School of Hygiene and Tropical Medicine), waarvan hij directeur werd. Ross overleed in Londen in 1932. Verde
  
  re lectu
  
  ur 1. G.H.F.N.: Sir Ronald Ross, 1857-1932. Obit. Not. Fellows Roy. Soc. 1, 108–115 (1933) 2. Ross, R.: The Prevention of Malaria, 2nd edn. John Murray, London (1911) archive.org 3. Ross, R.: Memoirs with a Full Account of the Great Malaria Problem and its Solution. John Murray, London (1923) archive.org 4. Rowland, J.: The Mosquito Man, The Story of Sir Ronald Ross. Roy Publishers, New York (1958) Hoofdstuk 13
  
  Lotka, Volterra en het predator-prooi systeem (1920–1926)
  
  In 1920 bestudeerde Alfred Lotka een roofdier-prooi model en toonde aan dat de populaties permanent konden oscilleren. Hij werkte deze studie uit in zijn boek Elementen van de fysische biologie uit 1925. In 1926 raakte de Italiaanse wiskundige Vito Volterra toevallig geïnteresseerd in hetzelfde model om een vraag van de bioloog Umberto d’Ancona te beantwoorden: waarom werden er meer roofvissen gevangen door de vissers in de Adriatische Zee tijdens de Eerste Wereldoorlog, toen de visserij-inspanning er laag was? In 1920 publiceerde Lotka een artikel getiteld Analytische noot over bepaalde ritmische relaties in organische systemen. Hij was al enige jaren geïnteresseerd in enkele chemische reacties die in laboratoriumexperimenten vreemde voorbijgaande oscillaties vertoonden. Het doel van zijn artikel was te suggereren dat een systeem van twee biologische soorten zelfs permanent zou kunnen oscilleren. Het voorbeeld dat hij beschouwde was dat van een populatie planteneters die zich voeden met planten. Laat, naar analogie met de vergelijkingen die in de chemische kinetiek worden gebruikt, x(t) de totale massa van de planten zijn en y(t) de totale massa van de herbivoren op tijdstip t. Lotka gebruikte als model het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen
  
  dx = ax−bxy, dt dy = −c y + d x y, dt (13.1) (13
  
  .2) waarbij de parameters a, b, c en d alle positief zijn. Parameter a is de groeisnelheid van planten als er geen planteneters zijn, terwijl c de afnamesnelheid van de populatie planteneters is als er geen planten zijn. De termen −b x y en d x y drukken uit dat hoe meer dieren en planten er zijn, hoe groter de massatransfer van planten naar dieren is (de transfer omvat enig massaverlies, dus d b). Hij schreef ook zonder bewijs dat indien op tijdstip t = 0, (x(0), y(0)) niet een van deze twee stationaire toestanden is, de functies x(t) en y(t) periodiek oscilleren: er is een getal T > 0 zodanig dat x(t + T ) = x(t) en y(t + T ) = y(t) voor alle t > 0 (figuur 13.1)1. Als de planten bijvoorbeeld zeer overvloedig zijn, zal de populatie van herbivoren toenemen, waardoor de totale massa van de planten afneemt. Wanneer deze massa ontoereikend wordt om de planteneters te voeden, zullen sommige dieren van honger sterven en zal de totale plantenmassa weer beginnen te groeien tot zij een niveau bereikt dat gelijk is aan de oorspronkelijke waarde. Het fenomeen zal zich herhalen.
  
  x(t) Figuur 13.1: Oscillaties van de totale massa van planten x(t) en van de totale massa van herbivoren y(t) als functie van de tijd. y(t) 0 t
  
  Lotka bestudeerde het model iets verder in een tweede artikel dat in 1920 werd gepubliceerd onder de titel Ongedempte oscillaties afgeleid uit de wet van de massa-actie. Hij legde uit waarom het systeem op een periodieke manier kon oscilleren. Dit volgt uit het feit dat het punt (x(t), y(t)) op een gesloten baan moet blijven in het vlak met x op de horizontale as en y op de verticale as; om precies te zijn in het kwadrant waar x 0 en y 0 liggen (figuur 13.2). Als we vergelijking (13.1) delen door vergelijking (13.2), krijgen we na 1 De periode T hangt af van de beginvoorwaarden, maar Lotka besefte dit feit pas in 1925. 74 enige herschikking c dx a dy − +d = −b. x dt y
  
  dt
  
  Integratie geeft d x(t) − c log x(t) = a log y(t) − b y(t) + K, waarbij K een constante is die alleen afhangt van de begintoestand. Het punt (x(t), y(t)) blijft dus op de kromme d x − c log x = a log y − b y + K, die toevallig een gesloten kromme is (figuur 13.2).
  
  y Figuur 13.2: Diagram met de totale massa van de planten x(t) op de horizontale as en de totale massa van de herbivoren y(t) op de verticale as. De drie gesloten krommen rond de stationaire toestand corresponderen met verschillende beginvoorwaarden.
  
  t=0 0 x De baan van (x(t), y(t)) draait rond de stationaire toestand (c/d, a/b) tegen de wijzers van de klok in zoals gemakkelijk kan worden gezien door het teken van dx/dt en van dy/dt te bestuderen. In de buurt van de stationaire toestand √ vertoont het systeem kleine oscillaties met een periode gelijk aan 2π/ a c. Stel namelijk x = dc + x∗ en y = ab + y∗ waarbij |x∗ | dc en |y∗ | ab. Dan is c dx∗ bc = −b y∗ + x∗ ≈ − y∗, dt d d ad dy∗ ∗ a ∗ = dx +y ≈ x∗.
  
  dt b b
  
  Uit deze twee vergelijkingen verkrijgen we d 2 x∗ ≈ −a c x∗ dt 2 en d 2 y∗ ≈ −a c y∗. dt 2 Deze vergelijkingen zijn dezelfde als voor de trillingen van de eenvou√ dige slinger in de natuurkunde. De periode is 2π/ a c. Raymond Pearl, die het eerste artikel uit 1920 had doorgegeven aan de Proceedings of the National Academy of Sciences, hielp Lotka een tweejarige beurs te krijgen van de Universiteit Johns Hopkins om een boek te schrijven met de titel Elementen van de fysische biologie. Het boek werd gepubliceerd in 1925. In het hoofdstuk waarin het werk uit 1920 werd samengevat, werd ook vermeld dat systemen van twee soorten, een gastheer en een parasietensoort of een prooi en een roofdierensoort, door hetzelfde model konden worden beschreven (13.1)–(13.2). Helaas trok Lotka’s boek niet veel aandacht toen het werd gepubliceerd. De beroemde wiskundige Volterra herontdekte echter kort daarna onafhankelijk datzelfde model bij het bestuderen van een visserijprobleem. Vito Volterra werd geboren in het Joodse getto van Ancona in 1860, kort voor de eenwording van Italië, toen de stad nog tot de Pauselijke Staten behoorde. Hij was een alleenstaand kind. Zijn vader, een lakenhandelaar, stierf toen Vito twee jaar oud was en liet het gezin zonder geld achter. Volterra, een goede leerling op de middelbare school, slaagde erin ondanks de armoede verder te studeren, eerst aan de universiteit van Florence en later aan de Scuola Normale Superiore in Pisa. In 1882 promoveerde hij in de natuurkunde en het jaar daarop werd hij professor in de mechanica aan de universiteit van Pisa. In 1892 trad hij toe tot de universiteit van Turijn, waarna hij in 1900 een leerstoel in de mathematische fysica ging bekleden aan de universiteit La Sapienza in Rome. In 1905 werd hij senator. Veel van de lezingen die hij in Rome of aan buitenlandse universiteiten gaf, werden in boekvorm gepubliceerd: Drie lessen over enkele recente vorderingen in de mathematische fysica (Universiteit van Clark, 1909), Lessen over integrale en integro-differentiaalvergelijkingen (Rome, 1910), Lessen over lineaire functies (Parijs, 1912), De theorie van Permuteerbare Functies (Princeton, 1912). Hij diende als officier in het Italiaanse leger tijdens de Eerste Wereldoorlog en leidde het bureau voor oorlogsuitvindingen. Na de oorlog nam hij actief deel aan de oprichting van de Italiaanse Mathematische Unie (1922) en van de Italiaanse Nationale Onderzoeksraad (1923), waarvan hij de eerste voorzitter werd. Hij werd ook voorzitter van de Internationale Commissie voor de wetenschappelijke studie van de Middellandse Zee (1923) en voorzitter van de Accademia dei Lincei 76 (1924). Een andere monografie, geschreven in samenwerking met J. Pérès, Lessen over samenstelling en permuteerbare functies, werd gepubliceerd in 1924. Figu
  
  ur 13.3:
  
  Volterra (1860–1940) ontving een doctoraat honoris causa van de Universiteit
  
  van
  
  Cambridge
  
  in 1900. In 1925, op 65-jarige leeftijd, kreeg Volterra belangstelling voor een studie van de zoöloog Umberto D’Ancona, die later zijn schoonzoon zou worden, over het aandeel kraakbeenvissen (zoals haaien en roggen) die in de jaren 1905-1923 in drie havens van de Adriatische Zee bij de visserij werden aangevoerd: Triëst, Fiume2 en Venetië. D’Ancona had geconstateerd dat het aandeel van deze vissen was toegenomen tijdens de Eerste Wereldoorlog, toen de visserij-inspanning was verminderd (tabel 13.1).
  
  Tabel 13.1: Percentage kraakbeenvissen in de visserij in Triëst, Fiume en Venetië voor, tijdens en na de Eerste Wereldoorlog. jaar 1910 1911 1912 1913 1914 1915 1916 Triëst Fiume Venetië 5,7 21,8 8,8 - 9,5 - 15,7 - 14,6 11,9 - 7,6 21,4 - 16,2 22,1 - jaar 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 Triëst Fiume Venetië 15,4 21,2 - 36,4 - 19,9 27,3 30,9 15,8 16,0 25,3 13,3 15,9 25,9 10,7 14,8 25,8 10,2 10,7 26,6
  
  2 Nu Rijeka in Kroatië.
  
  Aangezien de meeste kraakbeenvissen roofdieren zijn van kleinere vissen, leek het erop dat een vermindering van de visserij-inspanning de roofdiersoorten bevoordeelde. Volterra, die niet op de hoogte was van het werk van Lotka, verklaarde deze waarneming aan de hand van hetzelfde model dx = ax−bxy, dt dy = −c y + d x y, dt waarbij x(t) staat voor het aantal prooien en y(t) voor het aantal roofdieren. Hij merkte, net als Lotka, dat dit systeem periodiek kan oscilleren met een periode T die afhangt van de begintoestand (x0, y0 ). Hij merkte ook op dat d log x = a − b y, dt d log y = −c + d dt
  
  Integrerend over één periode T (zodat x(0) = x(T ) en y(0) = y(T )), verkreeg hij Z Z 1 T a
  
  1
  
  T c
  
  
  
  y(t) d
  
  t
  
  
  
  =, x(t) dt =. T 0 b T 0 d
  
  Het gemiddelde over één periode van zowel het aantal prooien als het aantal predatoren is dus onafhankelijk van de beginvoorwaarden. Bovendien neemt, als de visserij-inspanning afneemt, de groeisnelheid a van de prooien toe, terwijl de uitsterfsnelheid c van de predatoren afneemt. Het gemiddelde van x(t) daalt dus en het gemiddelde van y(t) stijgt: het aandeel van de roofdieren neemt toe. Dit is precies wat is waargenomen voor de visserijstatistieken van de Adriatische Zee. Volterra publiceerde zijn artikel eerst in het Italiaans in 1926. Een Engelse samenvatting verscheen een paar maanden later in Nature. Lotka informeerde Volterra en andere wetenschappers over de prioriteit van zijn studie van predator-prooi systemen. Maar zijn artikel uit 1920 en zijn boek uit 1925 zouden niet altijd genoemd worden. Lotka werkte toen al voor een verzekeringsmaatschappij, zodat zijn werk zich concentreerde op menselijke demografie. Volterra bleef nog een decennium lang werken aan varianten van het predator–prey systeem. Hij gaf een reeks lezingen in 1928-1929 aan het juist opgerichte Instituut Henri Poincaré in Parijs. De aantekeningen van deze lezingen werden in 1931 gepubliceerd onder de titel Lessen over de Wiskundige Theorie van de Strijd om het Leven. In 1935 publiceerde Volterra in samenwerking met Umberto D’Ancona een ander boek over Biologische associaties vanuit wiskundig oogpunt. Hoewel het roofdier-prooimodel de visserijgegevens correct lijkt te verklaren, was het debat over het realisme van vereenvoudigde modellen in de ecologie nog maar net begonnen en is het nog steeds een onderwerp van 78 wetenschappelijke discussie. Tegenwoordig is het roofdier-prooimodel ook bekend als het Lotka-Volterra-model en is het een van de meest geciteerde modellen in de ecologie. In 1931 weigerde Volterra trouw te zweren aan Mussolini. Hij verloor zijn hoogleraarschap aan de universiteit van Rome en werd uitgesloten van de Italiaanse wetenschappelijke academies, waarvan hij een van de beroemdste leden was. Van toen af aan verbleef hij hoofdzakelijk buiten Italië, reisde door Europa en gaf lezingen. Hij publiceerde met J. Pérès het eerste deel van een Algemene theorie van de Functionalen (1936) en samen met B. Hostinský een boek over Oneindig kleine lineaire operaties (1938). Hij overleed in Rome in 1940. Verdere lectuur 1.
  
  Goodstein, J.R.: The Volterra Chronicles, The Life and Times of an Extraordinary Mathematician 1860-1940. American Mathematical Society (2007) 2. Guerraggio, A., Nastasi, P.: Italian Mathematics between the Two World Wars. Birkhäuser, Basel (2005) 3. Israel, G., Gasca, A.M.: The Biology of Numbers – The Correspondence of Vito Volterra on Mathematical Biology. Birkhäuser, Basel (2002) 4. Kingsland, S.E.: Modeling Nature, Episodes in the History of Population Ecology, 2nd edn. University of Chicago Press (1995) 5. Lotka, A.J.: Analytical note on certain rhythmic relations in organic systems. Proc. Natl. Acad. Sci. 6, 410–415 (1920) pnas.org 6. Lotka, A.J.: Undamped oscillations derived from the law of mass action. J. Amer. Chem. Soc. 42, 1595–1599 (1920) archive.org 7. Lotka, A.J.: Elements of Physical Biology. Williams & Wilkins, Baltimore (1925) archive.org 8. Volterra, V.: azioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi. Mem. Accad. Lincei 6, 31–113 (1926) → Opere matematiche, vol. 5, Accademia nazionale dei Lincei, Roma (1962) liberliber.it 9. Volterra, V.: Fluctuations in the abundance of a species considered mathematically. Nature 118, 558–560 (1926). → L.A. Real, J.H. Brown (eds.) Foundations of Ecology, 283–285. University of Chicago Press (1991) 10. Volterra, V.: Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie. GauthierVillars, Paris (1931) gallica.bnf.fr 11. Volterra, V., D’Ancona, U.: Les Associations biologiques au point de vue mathématique. Hermann, Paris (1935) 12. Whittaker, E.T.: Vito Volterra 1860–1940. Obit. Not. Fellows R. Soc. 3, 690–729 (1941)
  
  Hoofdstuk 14 Fisher en natuurlijke selectie (1922)
  
  In 1922 publiceerde de Britse wiskundige bioloog Ronald Fisher een zeer invloedrijk artikel over populatiegenetica. Dit hoofdstuk behandelt slechts een deel van het artikel, dat zich richt op een variant van het Hardy-Weinberg model inclusief natuurlijke selectie. Fisher toonde aan dat als de heterozygoot bevoordeeld wordt, beide allelen naast elkaar kunnen bestaan. Als één van de twee homozygoten wordt bevoordeeld, dan verdwijnt het andere allel. De vraag is waarom sommige genen meerdere allelen kunnen hebben. Ronald Aylmer Fisher werd in 1890 in Londen geboren als laatste van zes kinderen. Zijn vader was veilingmeester, maar verklaarde zich later failliet. Fisher studeerde tussen 1909 en 1913 wiskunde en natuurkunde aan het Gonville and Caius College van de universiteit van Cambridge. De genetica ontwikkelde zich in die tijd snel. Vanaf 1911 nam Fisher deel aan de bijeenkomsten van de Eugenics Society die door Galton was geïnitieerd. Hij begon zich te richten op statistische problemen die verband hielden met het werk van Galton en Mendel. Na zijn universitaire studies werkte hij een zomer op een boerderij in Canada en daarna voor de Mercantile and General Investment Company in Londen. Door extreme bijziendheid kon hij niet deelnemen aan de Eerste Wereldoorlog, hoewel hij zich er vrijwillig voor had aangemeld. Hij bracht deze jaren door als leraar op middelbare scholen. In zijn vrije tijd zorgde hij voor een boerderij en zette hij zijn onderzoek voort. Hij verkreeg belangrijke nieuwe resultaten die correlatiecoëfficiënten in verband brachten met de Mendeliaanse genetica. In 1919 begon hij als statisticus te werken bij het Experimentenstation Rothamsted, dat zich richtte op landbouw. In 1922 publiceerde Fisher een artikel getiteld Over de dominantieverhouding. Naast verschillende andere belangrijke nieuwe ideeën, beschouwde dit artikel een wiskundig model dat de wetten van Mendel combineerde met het idee van natuurlijke selectie waarop Darwin de nadruk legde voor de evolutietheorie. Fisher beschouwde dezelfde situatie als Hardy met twee allelen A en a en met de hypothese van willekeurige paring. Hij nam echter aan dat individuen met genotypes AA, Aa en aa een verschillende sterfte hebben voordat ze de volwassenheid bereiken, en zo natuurlijke selectie nabootsen. Stel pn, 2qn en rn voor als de frequenties van de drie genotypes bij volwassen 80 Figuur 14.1: Fisher (1890–1962) individuen in generatie n, dan zijn er respectievelijk (pn + qn )2, 2(pn + qn )(qn + rn ) en (qn + rn )2 pasgeborenen in generatie n + 1 met deze genotypes. Neem nu aan dat u, v en w de respectieve overlevingskansen van geboorte tot volwassenheid zijn. De frequenties van de genotypes bij volwassen individuen in generatie n + 1 zijn dan pn+1, 2qn+1 en rn+1 met u(pn + qn )2 dn v(pn + qn )(qn + rn ) qn+1 = dn w(qn + rn )2 rn+1 =, dn pn+1 = (14.1) (14.2) (14.3) waar we voor het gemak aannemen dat dn = u(pn
  
  + qn )2 + 2v(pn + qn )(qn + rn ) + w(qn + rn )2. Met pn + 2qn + rn = 1 in gedachten, zien we dat wanneer u = v = w (d.w.z. wanneer er geen natuurlijke selectie is), het systeem (14.1)-(14.3) herleidt tot het systeem (11.1)-(11.3) van Hardy. Stel xn = pn + qn is de frequentie van allel A bij volwassen individuen in generatie n. Dan is qn + rn = 1 − xn de frequentie van allel a. Als we (14.1) en (14.2) optellen, krijgen we xn+1 = u xn 2 + v xn (1 − xn ).
  
  u xn 2 + 2 v xn (1 − xn ) + w(1 − xn )2 Hoofdstuk 14 81
  
  Deze vergelijking kan worden herschreven in de vorm xn+1 − xn = xn (1 − xn ) (v − w)(1 − xn ) + (u − v)xn. u xn 2 + 2 v xn (1 − xn ) + w(1 − xn )2 (14.4) Er zijn altijd minstens twee stabiele toestanden waarbij de frequentie xn constant blijft tijdens de generaties: x = 0 (de populatie bestaat volledig uit homozygoot aa) en x = 1 (de populatie bestaat volledig uit homozygoot AA). Met behulp van vergelijking (14.4) kan men aantonen dat als de homozygoot AA een betere overlevingskans heeft dan de twee andere genotypen (u > v en u > w), het allel a geleidelijk uit de populatie zal verdwijnen. Dit geval zou in de natuur niet erg vaak mogen voorkomen als we weten dat beide allelen naast elkaar bestaan. Indien echter de heterozygoot Aa een selectief voordeel heeft ten opzichte van de homozygoten AA en aa (v > u en v > w), dan kunnen de drie genotypes naast elkaar in de populatie bestaan. Dit is het meest voorkomende geval en het kan een verklaring zijn voor de „groeikracht” van de hybriden die door de boeren wordt opgemerkt. De stationaire toestand x = 1 is stabiel wanneer u > v omdat xn+1 − xn ≈ (1 − xn ) (u − v)/u wanneer xn dicht bij 1 ligt. De populatie neigt naar deze stationaire toestand. De stationaire toestand x = 1 is onstabiel als u < v, in welk geval er een derde stationaire toestand is x∗ = v−w 2v−u−w met 0 < x∗ < 1. Bovendien kunnen we nagaan dat deze stabiel is. De stabiele toestand x∗ komt overeen met een mengsel van de drie genotypen. Door de wetten van Mendel eenvoudigweg te combineren met een hypothese van natuurlijke selectie (in dit geval verschillende overlevingskansen voor de drie genotypen), kunnen we de twee situaties van coëxistentie of verdwijning van genotypen verklaren. Na Fisher werd dit model ook ontwikkeld door J. B. S. Haldane (zie hoofdstuk 17) en door Sewall Wright (zie hoofdstuk 19). Vooruitlopend op hoofdstuk 20, merk op dat als A volledig dominant is en de homozygoot aa benadeeld is ten opzichte van de twee andere genotypes, waarbij de getallen u : v : w in een verhouding 1 : 1 : 1 − ε staan, dan wordt vergelijking (14.4) 82 xn+1 − xn = ε xn (1 − xn )2 ≈ ε xn (1 − xn )2 1 − ε(1 − xn )2 (14.5) voor ε 1. Als de overlevingskans van de heterozygoot Aa halverwege die van de twee homozygoten ligt, dan zijn de getallen u : v : w in een verhouding 1 : 1 − ε/2 : 1 − ε en xn+1 − xn = ε 2 xn (1 − xn ) 1 − ε(1 − xn ) ≈ ε xn (1 − xn ) 2 (14.6) als ε 1. Bij Rothamsted analyseerde Fisher langetermijngegevens over gewasopbrengsten en meteorologie. Hij leverde echter ook grote bijdragen aan de statistische methodologie. In 1925 publiceerde hij een boek getiteld Statistische methoden voor onderzoekers, dat veel succes had en vele malen herdrukt werd. In 1929 werd hij fellow van de Royal Society. In 1930 publiceerde Fisher een boek getiteld De genetische theorie van natuurlijke selectie, een mijlpaal in de geschiedenis van de populatiegenetica. In 1933 werd hij hoogleraar eugenetica van University College in Londen, als opvolger van Karl Pearson aan het Galton Laboratorium. In 1943 werd hij hoogleraar genetica aan de Universiteit van Cambridge, ditmaal als opvolger van R. C. Punnett (zie hoofdstuk 11). Hij publiceerde ook verschillende boeken: Het ontwerpen van experimenten (1935), De theorie van inteelt (1949) en Statistische methoden en wetenschappelijke gevolgtrekkingen (1956). Hij werd in 1952 geridderd, vestigde zich na zijn pensionering in 1959 in Australië en overleed in 1962 in Adelaide. Op een ander deel van zijn werk komen we in hoofdstuk 20 terug. Verdere lectuur
  
  1. Fisher Box, J.: R.A. Fisher, The Life of a Scientist. Wiley (1978) 2. Fisher, R.A.: On the dominance ratio. Proc. R. Soc. Edinb. 42, 321–341 (1922) library.adelaide.edu.au 3. Fisher, R.A.: The Genetical Theory of Natural Selection. Clarendon Press, Oxford (1930) archive.org 4. Yates, F., Mather, K.: Ronald Aylmer Fisher 1890–1962. Biog. Mem. Fellows R. Soc. 9, 91–120 (1963)
  
  Hoofdstuk 15 Yule en evolutie (1924)
  
  In 1924 bestudeerde de Britse statisticus Yule een evolutiemodel waarbij soorten nieuwe soorten kunnen voortbrengen door kleine mutaties en geslachten nieuwe geslachten kunnen voortbrengen door grote mutaties. Zijn doel was de verdeling van het aantal soorten binnen geslachten te verklaren, waarbij de meeste geslachten slechts één soort bevatten en een paar geslachten een groot aantal soorten. Het stochastische „geboorteproces” dat Yule in zijn model introduceerde is nog steeds een basisinstrument in de studie van fylogenetische bomen en vele andere gebieden.