title: Invariants de classe pour algèbres galoisiennes modérément ramifiées
text: Dans la première partie de cette thèse nous donnons une preuve détaillée d’un résultat non publié de L. McCulloh qui montre que même dans le cas non abélien R(OK [G]) ⊆ St(OK [G]). Savoir si cette inclusion est une égalité, même dans le cas non abélien, est une question encore ouverte.
  
  Le noyau de R et le problème de la base normale d’entiers
  
  L’étude du noyau de l’application R est strictement liée au problème de la base normale d’entiers, que nous avons rappelé précédemment. En fait, dans le cas abélien et dans plusieurs cas non abéliens (p. ex. G diédral, G d’ordre impair,... ), une classe de Cl(OK [G]) est triviale si et seulement si son représentant est un OK [G]-module libre de rang 1. Dans cette thèse, en n’utilisant que la définition de St(OK [G]) et le Théorème classique de Stickelberger, nous montrons que, si G = Cp, un groupe cyclique d’ordre premier p, ou G = Dp, un groupe diédral d’ordre 2p, avec p premier impair, alors St(Z[G]) est trivial. Comme conséquence, en utilisant les résultats de McCulloh, nous obtenons, par une méthode différente, le résultat bien connu R(Z[G]) = 1 dans les cas ci-dessus, c.-à-d. l’anneau d’entiers d’une algèbre galoisienne sur Q, de groupe de Galois G (où G = Cp ou G = Dp ), modérément ramifié a une base normale d’entiers. Le comportement
  
  de St(OK [G]) par rapport au changement de corps de base
  
  Si on considère K contenu dans un autre corps L, la restriction de L à K induit naturellement le foncteur suivant : NL/K : Cl(OL [G]) − → Cl(OK [G]). Dans cette thése nous étudions le comportement du groupe St(OK [G]) par rapport à ce foncteur. 115
  
  En particulier nous montrons que, pour tout corps L et sous-corps K et pour tout groupe fini G, NL/K (St(OL [G])) ⊆ St(OK [G]). Ce résultat a des conséquences intéressantes : d’abord, si G est abélien, en utilisant les résultats de McCulloh, nous voyons que NL/K (R(OL [G])) ⊆ R(OK [G]), ensuite si K et G ont les deux propriétés suivantes: pour un OK [G]-module être stablement libre est équivalent a être libre et K est tel que St(OK [G]) = 1 (ce qui est le cas dans le paragraphe précédent), alors nous en déduisons que l’anneau d’entiers d’une algèbre galoisienne sur un corps de nombres L qui contient K, de groupe de Galois G, modérément ramifiée est libre en tant que OK [G]-module. Les 
  
  fibre
  
  s
  
  de R et la distribution des classes réalisables
  
  Une fois que l’on connait la structure de l’ensemble R(OK [G]), on peut se demander si le nombre d’algèbres galoisiennes modérément ramifiées qui réalisent une classe varie selon la classe. On peut considérer ce problème comme une étude des fibres de notre application R. Par rapport à cette question un travail de A. Agboola nous montre que, si on compte les extensions galoisiennes modérément ramifiées de K avec des fonctions qui satisfont certaines caractéristiques, alors dans le cas abélien le nombre asymptotique des extensions galoisiennes modérément ramifiées qui réalisent une classe ne dépend pas de la classe choisie, ou, dit d’une autre façon, les extensions galoisiennes modérément ramifiées sont équidistribuées par rapport à l’ensemble des classes réalisables. Dans la dernière partie de cette thèse, en nous restreignant au cas abélien, nous avons étudié un problème li à ce travail. D’abord nous avons décrit, en termes d’une version modifiée de St(OK [G]), l’ensemble des classes réalisables obtenues des extensions galoisiennes modérément ramifiées totalement décomposées en un idéal premier p ⊆ OK donné. Puis nous montrons qu’un analogue des résultats de A.Agboola peut être obtenu pour ce sous-ensemble de classes réalisables, c.-à-d. le nombre des extensions galoisiennes modérément ramifiées totalement décomposées en un idéal premier p, qui réalisent une classe c, asymptotiquement ne dépend pas de c. Enfin nous terminons en mettant en évidence des relations entre le travail d’Agboola déjà cité et un travail de M. M. Wood qui étudie les probabilités des différents types de décomposition d’un idéal premier fixé dans une extension galoisienne de K de groupe de Galois G.
  
  116
  
  Samenvatting Klasse-invarianten voor tamme Galoisalgebra’s
  
  Zij K een getallenlichaam met ring van gehelen OK en G een eindige groep. Een algebra N over K met een werking van G heet een Galoisalgebra met groep G als N étale is (d.w.z. N is een eindig product van lichaamsuitbreidingen van K) en als G op N werkt als een groep van automorfismen zodanig dat: [N : K] = |G|, N G = K. Galoisuitbreidingen van lichamen zijn speciale gevallen van Galoisalgebra’s. Een Galoisalgebra N over K met groep G wordt tam vertakt genoemd als voor alle maximale idealen p van OK, de vertakkingsindex van p copriem is met de karakteristiek van het restklassenlichaam van p (dit is equivalent met het bestaan van een element in de gehele afsluiting ON van OK in N met spoor 1). De Stelling van Noether
  
  De Stelling van de normale basis vertelt ons dat een Galoisalgebra N/K een vrij K[G]moduul van rang 1 is, d.w.z. er bestaat een element b ∈ N zodanig dat {s · b}s∈ G de baan van b onder de actie van G een basis vormt voor N over K. De vraag die ten grondslag ligt aan dit proefschrift is het verkrijgen van een analagon voor de ring van gehelen ON : zij N een Galoisalgebra over K met Galoisgroep G, wanneer bestaat er een voortbrenger van een normale basis van gehelen, d.w.z. een element a ∈ ON zondanig dat {s · a}s∈ G een basis vormt voor ON over OK? Of, equivalent, wanneer bestaat er een element a ∈ ON zondanig dat ON = OK [G] · a? Dit probleem wordt probleem van de normale basis van gehelen genoemd. Als G abels is en K = Q, dan is het probleem geheel opgelost door de Stelling van Hilbert-Speiser: een abelse Galoisalgebra N/Q heeft een normale basis van gehelen dan en slechts dan als N/Q tam vertakt is. Als K ongelijk aan Q is of G is niet abels, dan is het resultaat in het algemeen incorrect, maar dankzij E. Noether hebben we een resultaat dat net iets zwakker is. De Stelling van Noether zegt dat een Galoisalgebra N over K met Galoisgroep G tam vertakt is dan en slechts dan als ON een lokaal vrij OK [G]-moduul van rang 1 is. Het OK [G]-moduul ON is lokaal vrij van rang 1 als voor elk priemideaal p ⊆ OK de ring 117 ON,p := ON ⊗OK OK,p een vrij OK,p -moduul is van rang 1 (hierbij is OK,p de completering van OK bij de metriek geïnduceerd door p), d.w.z. als er voor elke p een voortbrenger ap ∈ ON,p van een normale basis van de ring van gehelen van ON,p over OK,p bestaat. Het is duidelijk dat een vrij moduul noodzakelijkerwijs lokaal vrij is, dus we zien dat tam vertakte Galoisalgebra’s het correcte framework zijn voor het bestuderen van het probleem van de normale basis van gehelen. Wanneer we ons beperken tot tam vertakte Galoisalgebra’s, dan is het probleem van de normale basis van gehelen dankzij de Stelling van Noether equivalent met het begrijpen wanneer een zeker lokaal vrij moduul vrij is. Met AtG (K) noteren we de verzameling van isomorfieklassen van tam vertakte Galoisalgebra’s over K met Galoisgroep G, en we bekijken Cl(OK [G]), de groep van klassen van OK [G]-modulen die lokaal vrij van rang 1 zijn, d.w.z. de groep gegeven door de stabiele isomorfieklassen van lokaal vrije OK [G]-modulen. Dankzij de Stelling van Noether hebben we een afbeelding R : AtG (K) −→ Cl(OK [G]) die aan elke klasse van AtG (K), gerepresenteerd door N, de klasse van de ring van gehelen ON in Cl(OK [G]) toekent. Dit proefschrift behandelt verschillende vragen die gerelateerd zijn aan de studie van deze afbeelding. Het beeld van R en de verzameling van realiseerbare klassen
  
  De eerste vraag die we behandelen is de studie van het beeld van de afbeelding R. Het beeld van deze afbeelding wordt genoteerd als R(OK [G]), en de elementen van R(OK [G]) heten realiseerbare klassen. Explicieter, de verzameling van realiseerbare klassen is de deelverzameling van Cl(OK [G]) bestaande uit de klassen van ringen van gehelen van tam vertakte Galoisalgebra’s over K met Galoisgroep G. De studie van de realiseerbare klassen wordt ook gemotiveerd door haar toepassingen in andere problemen in de getaltheorie. Zo zijn er connecties met de zoektocht naar een expliciete versie van zekere stellingen van het type Adams–Riemann–Roch verbonden aan Cl(OK [G]) en geeft deze studie belangrijke informatie bij het bestuderen van de deelverzameling van Cl(OK ) van Steinitz-klassen. Aangezien de afbeelding R slechts een afbeelding van verzamelingen is, kunnen we ons afvragen wanneer het beeld, d.w.z. de verzameling van realiseerbare klassen, een ondergroep van Cl(OK [G]) is. In 1986 heeft L. McCulloh, na het introduceren van St(OK [G]), een ondergroep van Cl(OK [G]) gedefinieerd in termen van zekere Stickelbergerelementen, bewezen dat R(OK [G]) = St(OK [G]), 118 als G abels is. Hieruit volgt een positief antwoord op de vraag of de verzameling van realiseerbare klassen een groep vormt in het geval dat G abels is, d.w.z. gegeven twee klassen c1, c2 ∈ R(OK [G]), bestaat er een Galoisalgebra N over K, met Galoisgroep G, tam vertakt, zodanig dat R([N ]) = c1 + c2, waarbij [N ] de isomorfieklasse van N aangeeft (een vergelijkbare opmerking is waar voor de inverse van een realiseerbare klasse). In het geval dat G niet abels is, is de vraag of de verzamling van realiseerbare klassen een ondergroep van Cl(OK [G]) vormt nog een open probleem. In het eerste deel van dit proefschrift geven wij een gedetailleerd bewijs van een ongepubliceerd resultaat van L. McCulloh dat ook in het niet abelse geval de inclusie R(OK [G]) ⊆ St(OK [G]) geldt. Of de bovenstaande inclusie een gelijkheid is in het niet-abelse geval is een open probleem.
  
  De kern van R en het probleem van de normale basis van gehelen
  
  De studie van de kern van de afbeelding R is sterk verbonden met het probleem van de normale basis dat we hiervoor besproken hebben. In het geval dat G abels is en in verschillende niet-abelse gevallen (bijvoorbeeld als G dihedraal is, de orde van G oneven is,...) is een klasse van Cl(OK [G]) triviaal dan en slechts dan als zijn representant een vrij OK [G]-moduul van rang 1 is. Alleen gebruikmakend van de definitie van St(OK [G]) en de Stelling van Stickelberger tonen we in dit proefschrift aan dat St(Z[G]) triviaal is als G = Cp, een cyclische groep van priemorde p, of G = Dp, een dihedrale groep van orde 2p, met p ≥ 3 priem. Met de resultaten van McCulloh geeft dit een nieuw bewijs voor het welbekende feit dat R(Z[G]) = 1 in de bovenstaande gevallen, d.w.z. dat de ring van gehelen van een tam vertakte Galoisalgebra over Q met groep G (waarbij G = Cp of G = Dp ) een normale basis van gehelen heeft. Het gedrag van St(OK [G]) onder basisuitbreiding Als K een deellichaam van L is, dan induceert de restrictie van L tot K de volgende natuurlijke functor: NL/K : Cl(OL [G]) −→ Cl(OK [G]). In dit proefschrift bestuderen wij het gedrag van de groep St(OK [G]) onder deze functor. In het bijzonder tonen we aan dat, voor alle lichamen L en deellichamen K en voor alle eindige groepen G geldt: NL/K (St(OL [G])) ⊆ St(OK [G]). 119 Dit heeft de volgende interessante gevolgen: als G abels is, volgt met de resultaten van McCulloh dat NL/K (R(OL [G])) ⊆ R(OK [G]), als elk stabiel vrij OK [G]-moduul vrij is, en St(OK [G]) = 1 (wat het geval is als K = Q en G = Cp of G = Dp voor een priemgetal p ≥ 3), dan leiden wij af dat de ring van gehelen van een tam vertakte Galoisalgebra met Galoisgroep G over een getallenlichaam L dat K bevat, vrij is als OK [G]-moduul.
  
  De vezels van R en de verdeling van realiseerbare klassen
  
  Als de structuur van R(OK [G]) bekend is, kan men zich afvragen of het aantal tam vertakte Galoisalgebra’s dat een bepaalde klasse realiseert, afhankelijk is van de gekozen klasse. We kunnen dit probleem opvatten als de studie van de vezels van onze afbeelding R. Het werk van A. Agboola laat ons zien dat, als we de tam vertakte Galoisuitbreidingen van K op een bepaalde manier tellen, in het abelse geval het asymptotische aantal van tam vertakte Galoisuitbreidingen die een klasse realiseren onafhankelijk van de gekozen klasse is, of anders gezegd, de tam vertakte Galoisuitbreidingen zijn gelijk verdeeld over de realiseerbare klassen. In het laatste deel van dit proefschrift beperken we ons tot het abelse geval en bestuderen we aan hieraan gerelateerde vragen. Eerst beschrijven wij, in termen van een aangepaste versie van St(OK [G]), de verzameling van realiseerbare klassen verkregen uit tam vertakte Galoisuitbreidingen waar een gegeven priem p ⊆ OK volledig splitst. Vervolgens bewijzen we dat een analogon van de resultaten van A. Agboola kan worden verkregen voor deze deelverzameling van realiseerbare klassen, d.w.z. het aantal tam vertakte Galoisuitbreidingen waar p volledig splitst, die een klasse c realiseren, is in de limiet niet afhankelijk van c; We eindigen met een vergelijking tussen het zojuist geciteerde werk van A. Agboola en het werk van M. M. Wood die de kansen van verschillende decompositietypes van een vast priemideaal in een Galoisuitbreiding van K met Galoisgroep G bestudeert. 120.