None
The first of these is the skew hyperboloid of revolution X^+Y^+ (Z^ + t) cot^ ft) = 0, (radius of gorge = t cot &); and the second of them is the helicoid (radius of cylinder = TC0t&), the generating lines of which are the tangents perpendicular to the axis of the cylinder; these are, in fact, surfaces found by Bonnet in his memoir above referred to. We may imagine the surface passing from the first form, in which the semi-aperture of the asymptotic cone is w, through the series of forms belonging to the general formulse involving S, to the second form, in which the semi-aperture is = 90°, i.e. in which the asymptotic cone is replaced by a plane. SUE LA SURFACE DES ONDES. From the Annali di Matematica, Ser. II., t. xx. (1892), pp. 1 — 18.] 1. 11 y a, dans les Annali di Matematica, torn. ii. (1859), deux Notes tres intéressantes sur cette surface : Combescure, "Sur les lignes de courbure de la surface des ondes," pp. 278 — 285, et Brioschi, "Osservazioni sulla medesima quistième," pp. 285 — 287. Je me propose de réproduire et développer cette theorie, en changeant les notations et rarrangement des recherches de la maniere qui me parait convenable. 2. Je prends a, b, c pour les carr^s des semiaxes {a>b> c), et j'dcris A, B, C = a + b + c, ab + ac + bc, abc ; a, ^, y = b — c, c — a, a — b, (a + /S + 7 = 0, et ainsi, « = +, 7 = + et y8, =—0—7, =— , et en magnitude absolue plus grand que a ou 7): f= a^+ f+ z'; 7]= aa?+ by'+ cz-, ^=a(b + c)a:f + b(c + a)f- + cia + b)z\ et de la r^ciproquement ffyx' = ^— at] — bc^, yay'=^-br)-ca^, 0/9^2 = f — cf? — ab^. 3. L'equation de la surface est ^— f +a6c = 0, et de la, en ^crivant ^=^ — ahc, on obtient pour un point de la surface ^ya? = (f - a) (17 - be), yay^ = (f - 6) (1; - ca), a^z- = (f - c) (97 - ah). 930] SUR LA SURFACE DES ONDES. 289 Equations qui donnent les valeurs des coordonnees {x, y, z) du point en termes de deux parametres f, 17. Je remarque que ces equations donnent = 1, V z^ 1 — - — =0- 7] — be ■t) — ca ij — ab la premiere equation, en y consid^rant f comme ddnotant ofi + y' + z-, et la seconde Equation, en y considerant i) comme ddnotant ax^ + by^ + cz^, sont equivalentes Tune et I'autre a I'equation fi; — ? + abc = 0 de la surface. 4. Je prends \, fi, v pour les cosinus des inclinations de la normale (ou, ce qui est la meme chose, de la perpendiculaire par le centre sur le plan tangent) aux trois axes, et v pour le carre de la longueur de ce perpendiculaire, v = (Xa; + ny + vzf ; on a \ = ^{a^ + v-a{b + c)}, l*=^{b^+V-b(c+a)}, v = ^{c^ +V-c(a+ b)}, et de 1^, par I'equation X' + /i,^ + 1/' = 1, on a a/37J>= a (^-a)(r}- bc){a^+v-aib+ c)]' + 0i^-b)(v-ca){b^+V-b{c+a)Y + y(^-c)(v- ab) {cf + 17 - c (a + 6))», Equation laquelle (en r^duisant a moyen des relations a + /3 + 7 = 0, tta + 6^ + C7 = 0, a=a + 6'/3 + c'7 = - a/37, «fec.) devient ayS7i)» = ay87 (?i; - 0) (^ - r + ^? - -B) ; et ron a ainsi 5. Ou trouve de meme manifere \x + ny+vz= rj > aXx + bfty + CVZ = '^{V - ^ + -^^ - B), bc\x + ca^iy + abpz = ^{-{^V-G)iv-B)-Cir,-^ + A^-B)]; ou, en y substituant la valeur de D, 240 8UR LA SURFACE DES ONDES. La premifere de ces Equations donne [930 v = ^,-C V-^ + A^-B' et de Ik r^ciproquement aXx 4- Ofiy + cvz = v i\/ Pn-G ' bc\x + cany + abvz = - (i; - 5) ^ ^_^ + a^-B ~ ^ V ^ f^^^C ' b(^-A^ + B)-G _ t. _ ^ t , 5 . g-a.g-6.g-c On a ainsi les formules \x+ fiy + vz= Vv, a\x + bfiy + cvz= -^, \v - C bcKx + cafiy + abvz = — ■?; Vv + 5 Vv — ■=; et de la aussi a(6 + c)Xa;+6(c + a)/iy + c(a + 6)i/2= 'i}'Jv + 6. On pent introduire dans les formules v au lieu de t) ; les deux parametres seront ainsi : g, carr6 de la distance au centre ; v, carr^ de la perpeudiculaire sur le plan tangent. On a d'abord i7-6c = g'-(a + 6 + c)g + a(6 + c) + g — g.g — 6.g — c t;-g = (g_a)|g_6_ _g-a c + g-/>.g-c l;-g V — g {6c-(6 + c)w + i;g}; }• et ainsi et de meme ^ya^ = ^^{bc-(b+c)v + v^}. yay* = ^^^^ {ca-{c +a)v + v^}, o/3z= = ^1^ {a6 - (a + 6) v + t)g}, lesquelles sont les expressions des coordonn^es g, i], f en termes des parametres g, v. 930] SUR LA SUKFACE DES ONDES. 241 7. On a et de la j.^,(g-a-^-^-f-c et de mSme v — ^ On a aussi \ V — ^J V — ^ et de la _« v — a.^—b.^ — c D J^ ' ce qui donne „ (v-by, . . ^, <^^'^ = ^^^^{ab-ia + b)v + v^}, lesquelles sont les expressions de X,  la surface comme enveloppée de ce plan tangent. On a ainsi v comme I'une des racines de l'equation quadrique, en d'un d'une des racines de l'equation quadrique, on a done de l'autre racine, on a done de l'autre racine, on a done de l'autre capricle, C. XIII. 31 Sue la surface des ondes. [930] Une de 1'autre ces Equations peut aussi s'écrire sous la forme A -u- v= a\^+ bft' + cir', Une la seconde sous la forme B-uv = a (6 + c) V + 6 (c -f tt) /i^ + c (a + b) v'. 11. J'observé que, v sont les cosinus des inclinations de la perpendiculaire par le centre sur le plan tangent au point x, y, z, la longueur de cette perpendiculaire étant Vti; il y a un plan tangent parallfele qui corresponde aux mêmes valeurs de X, n, V, et evidemment on a alors Vm pour la longueur de la perpendiculaire sur ce plan tangent parallfele; autrement dit, les vations de deux plans tangents sont X + nY + vZ - vZ - vu = 0. II convient de remarquer qu'on a pris («, y, z) pour les coordonnees du point de la surface qui est le point de contact du premier de ces deux plans, et qu'ainsi les deux quantités v et u n'entrent pas symetriquement dans les formules. 12. En substituant dans l'expression de u + Vouvu, ou ce qui est plus simple dans celle de A — u—v, les valeurs de X^ /, v' en termes de v, ^, on obtient a^y{A—u- v)= -—7..aa{v — ay {be -(b + c)v + v^} + 0b (v - by {ca - (c + a)v + t)f } + yc (v— cy {ab — {a+ b)v + v^}, equation laquelle (en r^uisant comme auparavant) devient A — u — v = A—2v-\ z.{v~a.v — b.v-c\, w.t; — f' ' c'est-i-dire / f\/ v — a.v — b.v — c {v-^)(v-ii) =, equation qui donne dans des formes tres simples, f en termes de v, u, et aussi u en termes de v, f. On a comme auparavant = V-^ + A^-B' je cherche I'expression de u en termes de f, ij. En ecrivant pour abrêger V-^' + A^-B = M, 930] nous trouvons SUR LA SURFACE DES OÇES. 24^ ■"-a = -^(^-a)(a^ + 'r,-a(b + c)}, v-b = ^{^-b)[b^ + V-b(c+a)]. '"- ^ = M^^~ ''H'^^ + V-C (a + b)], et de la _ _ v-a.v-b.v-c _ [a^^-rj — « Q> + c)} 1^^ + ^? - ^ (c + a)} {c| + t? - c (a + b)\ ^ '^- On peut introduire dans les formules u au lieu de f, et ainsi exprimer les cooi-donnes, &c., en termes des deux parametres v, u. On a pour cela v — a.v — b.v — c De  x, y, z en termes des deux parametres v, u. 31—2 UR LA SURFACE DES ONDES. [930 15. De la valeur ci-dessus donné pour rj — bc on ddduit celle de rj; en effet, on trouve tj{v— u) = bc(v — a) + (u -a)(—b + c)v + uv] = v {u - (a + b + c)u + ab + ac + be} — abc, c'est-k-dbe v—u v—u ainsi i; est la même fonction de v, n et de v, f. 16. De plus /97X' = {!L-^ (^,c _ (6 + c) « + vf ). "Est-à-dire et de raSme" v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v.v. (v — cf  + cvdz)=-^^p^^^d^+^V^.i:ldr„ a\dw + b/j.di/ + cvdz = — | Vwdf + i "f. et de la en dififerentiant l'équation on deduite. Vt; dXx + hfjLij + cvz = ~, vv asdX + hydjx + czdv = ^ 'Jvd^ + i -^ — i ^7= ■ V y v« 18. Nous avons de plus 2^'^xda; = (v- be) d^+(^- a) d-q, done et de mSme J^r^-bpi^ri^-a)d^ ^ — a.t) — be 4^,rfy. = \{v-ca)d^ + {^-b)dvY ^ " ^-b.v-ca 4,^^,, ^ \(v-ab)d^ + (^-e)dnY ^— e.rj—ao et de Ik, aprfes les reductions nécessaires, 4( d^+ df^ d.-)=/~^/V;' ^^^ + —. f — a.f-o.f — c T] — be.r) — ca.r] — ab dv', 4 (atZ dv', 4 (atZ) 4 (atZ) 5 (atZ) 6 (atZ) 7 (atZ) 8 (atZ) 9 (atZ) 10 (atZ) 11 (atZ) 12 (atZ) 13 (atZ) 14 (atZ) 15 (atZ) 16 (atZ) 17 (atZ) 19 (atZ) 20 (atZ) 21 (atZ) 22 (atZ) 23 (atZ) 24 (atZ) 25 (atZ) 26 (atZ) 27 (atZ) 28 (atZ) 29 (atZ) 30 (atZ) 31 (atZ) 32 (atZ) 33 (atZ) 34 (atZ) 35 (atZ) 36 (atZ) 37 (atZ) 38 (atZ) 39 (atZ) 41 (atZ) 42 (atZ) 43 (atZ) 47 (atZ) 47 (atZ) 48 (atZ) 49 (at ar' + 6rfy + cda') = - c-h ^^X^'l^lfZ'i.C^r,^ ^—a.^—b.^ — c i) — bc.r} — ea.r) — ab en ^crivant la premiere de ces equations sous la forme d^ = EdP + 2Fd^dv + Gdi\ on a E = i F=0, G = i 245 ^ — a. ^ — b.^ — c''ij — be.r) — ea.r) — ab' 19. De plus, de l'^uation \ + fi^ + v' = l, et des valeurs de u + v et uv, on deduit \<iX + fidfi + vdv = 0, aXd\+ bfidfi + evdi' = ^{du+ dv), bcXdX + caidfi + abvdv = \ {vdu + udv). 246 SUR LA SURFACE DES ONDE8. [903 20. Equation diff^rentielle des courbes de courbure de la surface. En partant de r«^quation dk, dfi, dv =0, dx, dy, dz \ , fi, V ou plus simplement des Equations dK : dfj, : dp = dx : dy : dz, ^quivalentes a cette premifere ^uation, on d^duit (xdX + ydfj. + zdv) (aXdx + h^dy + cvdz) - {xdx + ydy + zdz) {aXdX + bfidfi + cvdv) = 0, c'est-a-dire ^ (- ^vd^ + ^) + d^ {du + dv) = 0, Vt; \ vi;/ ou enfiu dvdt) +vdud^ = 0, laquelle eat la forme la plus simple de I'^quation dont il s'agit. 21. On a ici bi^--A^ + B)-C v-a.v-b.v-c et il s'agit de substituer ces valeurs dans I'equation diffdrentielle. J'ecris- pour un moment H U 1) u = oil Ton a H^v{^-A^ + B)-C, U=-v^ + Av-B + -; I'equation devient - (v - ?) {dHdv + vd^dU} + (dv - d^) (Hdv + vud^) = 0, et Ton trouve dH=(^'-A^ + B)dv + {2^-A)vdl dU^U^ + A-^'^dv- vdl et en substituant ces valeurs, on obtient [i^{v-^)-vU]d^-{(v-^)(^^-^'^-vU+H\dvd^ + [-{v-i){'^'-A^ + B) + H]d^ = Q. Le coefficient de d^ est if - Aii^ + Bv — C, c'est-a-dire v— a.v-h .v-c\ de mSme, 930] SUE LA SURFACE DES OXDES. 247 le coefficient de dv- est f ^ - .4 f + 5^ - C, c'est-k-dire ^-a.^-b.^-c. Le coefficient de — dvd^ est (^^-C-^v + ^) + (v^^-Av' + Bv-C)-\-iv^-'-Av^ + Bv-C), = f (2v'-Av + ^)- Av' + 2Bv - SC ; I'e'quation differentielle est done (v^-Av' + Bv-C)d^-- If (2v' -Av + ^)- Av' + 2Bv - 3cl dvd^ 22. Mais on a identiquement ^-a.v-b.v — c + ^ — b.v — c.v — a + ^ — c.v — a.v-b 1 / C\ -f .-.v-a. y-6.M-c = f f2w^-yly+ j -^«- + 2i?u - 3C, done en divisant par I'dquation devient v^ — Av- + Bv — C, =v — a.v— b.v — c, \v — a V —0 V — c vj V — a.v — b.v — c 23. De mime, en substituant dans I'equation dvdr) + vdud^ — 0 les valeurs viii^-Au+B) ^ V —a. v — b. v—c V = : — 7. . ^ = v-~ on obtient 0 — u v — u (v>-Av"- + Bv - 0)dM»- |m ^20=' - ^d + -) - ^«- + 25y - Sol dvdu + (M» - ^M^ + JSit - 0) dv^ = 0, ou, ce qui est la merae chose, In — a u — b u — c du' , J /u — a u — b u — c u\ ,„ u — a.u-b.tt-c — dudv 1 r H ] + dv' . ; = 0 \v — a v—b v—c V I V— a.v— b.v— c les (Equations diffdrentielles entre f, v et entre u, v respectivement sont ainsi precis*?- ment de la meme forme : on pent verifier sans beaucoup de peine qu'en introduisant dans la premiere equation a au lieu de f par la substitution V — a.v — b.v — 0 ^=v , * V— a on obtient la seconde Equation : c'est 1^ un th^orfeme d'analyse assez remarquable. 24. L'equation differentielle en vu est changee en entrechangeant ces deux variables : cela doit etre ainsi, car autrement les deux courbes de courbure par le point de contact du plan tangent X + fiY + vZ - "Jv^O, et les deux courbes de courbure par le point de contact du plan tangent parallé X + fiY + vZ - "Jv^O, et les deux courbes de courbure par le point de contact du plan tangent parallé X + fiY + vZ - "Jv^O" seraient parallées les unes aux autres, ce qui n'est pas en general vrai. Pour que les deux courbes soient identiques, on doit avoir J (v —a V —b V —c v\ u — a u — b u—c ul c'est-i,-dire w(2i;»-4»+ -) - Av" + tBv - 3C=t; ('2«2 -^m + -) - Au^ + 'i.Bu - 3C, ou enfin (m - 1») {2uV - il (u + 1>) MV + 25ut; - C (m + u)! = 0; « = r donne le plan à l'infinité, qui coupe la surface selon les deux coniques imaginaires '''* + y' + •2" = 0 et ojc' + iy" + «' = 0, et aussi les plans tangents singuliers qui touchent la surface chacun selon un cercle réel ou imaginaire; je n'ai pas considéré la courbe sur la surface que Ton obtient en dégalant a zdro l'autre facteur. 25. Rayons de courbure. Les Equations de la normale au point (a;, y, z) sont X = x-BX, Y = y-Rti, Z = z-Rv, et, en supposant que les coordonnes X, Y, Z se rapportent à un centre de courbure, on a dx = RdX, dy = Rdv, et de Ik xdx + ydy + zdz = R (xd\ + ydfi + zdv), c'est-k-dire d^ = —pr; done R = '\/v -^, =6 Vv, en posant 6 = -^: 6 est done d^terminé, en fonction de f, v, par l'équation V — a V — 0 V — c vJ v — a.v— b.v — c et les deux rayons de courbure sont alors donnas par la formule R = 6 Vt. 26. Surface des centres de courbure. En écrivant pour R sa valeur, = 0 ^v, nous avons X = x-xe^v, Y = y-iJv, Z^z-vd'Jv, oil X, Y, Z d^notent les coordonnees d'un point de la surface cherché; et si nous formons les expressions 3, H, Z analogues à f, t;, f, savoir 5= Z»+ F»+ Z\ H= aJf»+ 6F»+ cZ", Z = a(6 + c)X= + 6(c + a) T' + c (a. + 6) Z», 930] SUR LA SURFACE DES ONDES. 249 on obtient sans peine, à moyen des valours trouvés pour \a; + fj,y + pz, a\x + bfiy + cvz, aX' + b/ju' + cvz, &c., E = ^-20v + eh), H = 77-2^7; + Eu, z = ^ + G-2e(riv + C) + 0H}(B-uv); o comme auparavant vv — a v—o v—c vj  la surface des ondes sont des courbes de courbure de cette surface; en particulier, pour fixer les idees, la section par le plan z = 0, savoir le cercle f = 0, et l'ellipse rj = 0 sont des courbes de courbure. Pour l'une ou l'autre de ces courbes, il y a une suite des courbes de courbure de l'autre espéce qui coupent le cercle ou l'ellipse à angle droit, et qui sont symetriques aux deux cotes du plan z = 0. En considérant par exemple l'ellipse, les normales à la surface aux points successifs de cette courbe sont situdes dans le plan de xy et se coupent selon une courbe dans ce plan, la développée de l'ellipse, laquelle est une courbe sur la surface des centres; l'ordre de cette développée est = 6. Mais, de plus, chaque nonnale de la surface à un point de l'ellipse est rencontré par les normales de la surface aux points au-dessus et au-dessus et au-dessous du point de l'ellipse : les points d'intersection ferment une courbe dans le plan de l'ellipse : laquelle est aussi une courbe sur la surface des centres, et de plus elle est une courbe cuspidale sur cette surface : nous aliens voir que l'ordre de cette courbe est = 6. De même pour le cercle, la developpée du cercle est le point x = 0, y = 0, lequel à ce que je crois doit etre considéré comme célème infiniment petit (ou deux droites imaginaires) x- + y'' = 0; le cercle donne lieu aussi a une courbe qui est une courbe cuspidale sur la surface des centres, et nous allons voir que l'ordre de cette courbe est =4. La section de la surface des centres par le plan xy est donc comme suit : developpée de l'ellipse, ordre 6 courbe cuspidale, ordre 6, trois fois, 18 développée du cécle, ordre 4, trois fois, 12 c. XIII. 32 sur la surface des ondes. [930 et il paratt ainsi que l'ordre de la surface des centres de la surface des ondes doit Stre =38. 28. Je m'arrete pour un moment pour consid^rer la mSme theorie par rapport k rellipsoide — + t^ + - = 1. La section par le plan z = 0 est ici I'ellipse — + "^ = 1; et pour la surface des centres on a dans le plan de xy, la d^velopp^e d'ellipse, courbe d'ordre 6, et aussi une courbe cuspidale laquelle est une ellipse. En effet, pour trouver I'^uation de cette courbe, on a pour les coordonnees X, Y du point oil la normale au point (x, y, z) rencontre le plan ^ = 0, les Equations x = X -^ - z, y=Y+-z; c'est-^ire X=x(l j, F=y(l— t]- Dans ces equations x, y ae Sp" 1/" rapportent a un point de I'ellipse — h r- = 1 ; en ^liminant entre les trois equations X, y, on obtient -. -r, + tl ^ = 1> ou ce qui est la meme chose —5- -\ :r = l. " {a — cfifi — cf ^ ce La section principale de la surface des centres est done compos^e de cette ellipse trois fois, et de la d^velopp^e de I'ellipse — h j- = 1 ; I'ordre de la section, et ainsi I'ordre de la surface des centres, est done 6 + 3.2, =12, comme cela doit ^tre. 29. De m^me pour la surface des ondes on a x = X + - z, y=Y+- z, c'est-k-dire Y_ _ x\a^ + r)-a(b + c)} c^ + V-c(a + b) ' •^ c^ + n-cia + b) ' ou pour 2 = 0 on a (f — c) (j? — ab) = 0, equation qui donne : 1", le cercle | — c = 0 ; 2°, I'ellipse 97-06 = 0. 1°. Pour le cercle f = c, en ecrivant xf = cd, y- = c (1 — 6), nous avons V=ac6 + bc(l-e), =c(b + ye) et de 1^ a^+V-a{b + c) = b^ + cyd, b^ + i]-b{c+a) = b0 + cy6, c? + 17 - c (a + 6) = c (/3 + 7^), valeurs qui donnent I c{fi + yd)] 'Jcfi + ye F=vavrr-^li--M±Ml ^_a^viZ!; I cO + 7^)J Vc/3 + 7^ 930] done SUR LA SURFACE BES ONDES. X"'+Y': a'0' 1 c i^ + yOr' et de la courbe de l'ordre 4, cuspidale sur la surface des centres. 2°. Pour l'ellipse r) = ah, en ecrivant x SUR LA SURFACE BES ONDES. X"'+Y': a'0' 1 c i^ + yOr' et de la courbe de l'ordre 4, cuspidale sur la surface des centres. 2°. Pour l'ellipse r) = ah, en ecrivant x SUR LA SURFACE BES ONDES. X"'+Y': a'0' 1 c i^ + yOr' et de la courbe de l'ordre 4, cuspidale sur la surface des centres. 2°. Pour l'ellipse r) = ah, en ecrivant x SUR LA SURFACE BES ONDES. X"'+Y': a'0' 1 c i^ + yOr' et de la courbe de l'ordre 4, cuspidale sur la surface des centres. 2°. Pour l'ellipse r) = ah, en ecrivant x SUR LA SURFACE BES ONDES. X"'+Y': a'0' 1 c i^ + yOr' et de la courbe de l'ordre 4, cuspidale - = 60, j/^ = a (1 - 6), et de la f=60 + a(l-0), = a-ye. on obtient valeurs qui donnent a^ + V-aib + c) = -a{0 + yO), b^+V-b{c+a} = -bi0 + yd), c| + j; - c (a + 6) = - 6/3 - oyd. Z.V5V5 j,.?.^-^)} = _V6^, done b0''^aa-~'^'(b0 + cyey' */ 0(1-0) b0 + cyey' 0\/i-0 '"^bfi+cy0' y^_, 0'(i-0f 6/S^"aa»~'^ (6/3 + c^*' et de la 251 (X^) Y^\fX^_Yy_, x^ r= courbe de l'ordre 6, cuspidale sur la surface des centres. 30. On aurait pu d'velopper la theorie des courbes et rayons de courbure à moyen de la formule ci-dessus donnée, d^ = Ed^+2Fd^di} + 0drf (F=Q), mais pour eela il faudrait trouver plusieurs expressions qui ne sent pas encore ealculdes, savoir les coefficients des formules d^x = ad^ + 2a'd^ d/rj + a"*/", d^ = 0d^ + 2/3'df dr, + 0"d7,-. d^z = yd^ + 2y'd^ dr) + y'drf, 32—2 252 et puis SUB LA SURFACE D£S ONDES. E, F', G' = \a + fi0+vy, Xa' + /t^' + py', Xa" + fi^" + vy". [930 En prenant comme auparavant R pour le rayon de courbure on aurait alors, (Salmon, Geometry of three dimenswns, Ed. 4 (1882), p. 347), et R, Ed^, Gdt) EG. E'd^ + F'dri, F'd^+G'dr, dv, RE'-E'G, RF -di, RF', RG'-EG' = 0, = 0, formules pour les courbes et rayons de courbure: en particulier, I'^quation difiP^rentielle des courbes de courbure peut s'^crire sous la foi-me drf, -d^dv, d^- ;=0. E, 0, G E, F', G' Au reste, cette ^uation en d^, dt) se dMuirait plus simplement de I'^quation dvdr)+v du d^ = 0, en y introduisant les expressions de v, u en termes de f , ij. 31. Courbes géodésiques sur la surface. L'equation différentielle du second ordre des courbes géodésiques depend seulement des coefficients E, F, G, savoir en supposant  dont il s'agit les expressions de E, G sont écoutés par leur économie. Ton obtiendrait de la sans peine les expressions des coefficients de la fonction cubique (—EE),...)(df, dtjY qui entre dans l'equation différentielle. ON SOME FORMULA OF CODAZZI AND WEINGARTEN IN RELATION TO THE APPLICATION OF SURFACES TO EACH OTHER. [From the Proceedings of the London Mathematical Society, vol. xxiv. (1893), pp. 210—223.] An extremely elegant theory of the application of surfaces one upon another is developed in the memoir, Codazzi, "Mdmoire relatif a l'application des surfaces les nues sur les autres," Mem. pres. d V Acaddmie des Sciences, t. xxvii. (1883), No. 6, pp. 1 — 47; but the notation is not presented in a form which is easily comparable with that of The Gaussian notation in the theory of surfaces. I propose to reproduce the theory in the Gaussian notation. Codazzi considers on a given surface two systems of curves depending on the parameters t, T respectively ; the curves are in the memoir taken to be orthogonal to each other, but this restriction is removed in the general formula given p. 44, Addition au chapitre p-emier. For a curve of either system, he considers the tangent, the principal normal, or normal in the osculating plane, and the binormal, or line at right angles to the osculating plane (say these are tan, prn and bin). For a curve of the one system, that in which t is variable or say a t-curve, he denotes the cosine- inclinations of these lines to the axes by the letters a, b, c, thus: 254 ON THE APPLICATION OF SURFACES TO EACH OTHER. [931 and he writes also I for the inclination of the principal normal to the normal of the surface, ,- dt for the angle of contingence, or inclination of the tangent at the point (t, T) to the tangent at the point (t + dt, T), and , dt for the angle of torsion, or inclination of the osculating plane at the point («, T) to that at the point (t + dt, T), or, what is the same thing, the inclination of the binormals at these points respectively. And he gives as known formulae da _, dm db _ dm dn <^ _i <^" dt dt ' dt dt dt ' dt dt ' where a, b, c denote (a«, b^, c-e), (ay, by, Cy), or (a^, 6^, Cz). He uses the capital letters Ax, Ay, At, Bx, By, Bi, Cx, Cy, Cz, L, ^ dT, j= dT with the like significations in regard to the curve for which T is variable, or say the T-curve ; for greater clearness I give the accompanying figure. Codazzi writes further dm , dm . , dn dl W^"^' ="• -dt'"^^ ="• di-dt^""' dM J. j-r dM . r Tr dN dL TU- ^yCosi=[7, jySmZ=F, -^-^=W; also, if s, S are the arcs of the two curves respectively, ds _ f^'S' _ p and he obtains a system of six formula?, which in the Addition, p. 44, are presented in the following form — only I use therein 0, instead of his b, to denote the inclination of the two curves to each other: 931] ON THE APPLICATION OF SURFACES TO EACH OTHER. (v - ^ ) + (m sin ^ - w cos 8) (v- ^^ 255 du dU a ,dW .. _=_cos^+^sm5 + «; dU du . dtv . ^ ,„ __ = „ cos^ + ^sin^+F df)' dv . dV\ d-'d \dT , + sin e{uU- wTf) - cos 6 (uW+wU) = 0, dT dtjdt dT R{ucos 6 + w sra 6) = r {U cos, 6 + TTsin 6), J, ■ a( de\ dR ^ dr iJsm^f. -^^J + ^-^-cos0 = ^y, dR ■ a fir »t^\ «>• a dR In the Gaussian notation, taking p, q for the parameters, we have, with the slight variations presently referred to, • dx = adp + a'dq + Jarfp^ + a^dpdq + a"dq-, dy = bdp + b'dq + ^^dp- + ^'dpdq + ^"dq\ dz = cdp + c'dq + ^"ydp^ + y'dpdq + y"dq\ A, B, C=bc' — b'c, ca' — da, ah' — a'b, E, F, G = a^ + b'-\-c"; aa' + bb' + cc', a"' + b'' + c'- ; and therefore dic' + dy^ + dz'' = Edp- + 2Fdp dq + Gdq^ ; E', F', G' = Aa + Bfi + Cy, Aa + £0' + Cy', Aa" + B^' + Cy" ; and I take fui-ther o), ft)', ft)" = ao + 6/8 +cy , aa + 6/3' + cy' , aa" + 6/9" + cy" , tsr, w', tsr" = a'a + 6'/9 + c'y , a'a' + 6'/3' + c'7', a'a" + 6'/8" + c'7", X, V, \" = a= +^ +rf , a'- +/S'-' +7'=, a"2 + /S"'' +7"', M, /i', m" = a'a" + y8'/3" + 77". «"« + /3"/3 + 7"7. ««' + /3/8' + 77' , .£;\-a)^=A, G\"-'sr"^=A", where it is to be noticed that ¥'■', E, F', G', are written instead of Gauss's A, J), D', D", and (o, ft)', ft)", or, or', or" instead of his m, m', m", n, n', n" : and that he gives for the last-mentioned quantities the values m = ,dE , ,dE „ dF , dG ^Ip' "^=*rf^' '"^ =dq-^d^' dG dF ,dE , , , dG dq' or, say <o=^Ei, w' = \E„, w' = Fi — ^Gi, ^ = Fr-\E,, r^' = kGu ^" = ^G„ where the subscripts (1) and (2) denote differentiation in regard to p and q respectively. ON THE APPLICATION OF SURFACES TO EACH OTHER. Observing that the cosine-inclinations of the tangent to the curve are as a, b, e, and those of the binormal or perpendicular to the osculating plane are as by - cfi, ca — ay, a/3 - 6a, we easily find ax, Oy, a/3 - 6a, we easily find ax, Oy, a/3  A(by-c§) + 5 (CO- 07) + C(a^-ba.) E(a^-a<o) + B(E^-bm)+G(Ey-co)) or, since Aa + Bb + Cc=0, this is E(a^-a<o) + B(E^-bm)+G(Ey-co)) or, since Aa +  this is (a? + 6' + c') (a a + 6'/3 + c') (a' + bb' + c') (aa' + bb' + c') (aa' + c') (aa' + c') (aa' + c') + (a' = + 6'' + c') (a' + b' + c') (aa' + c') The right-hand side is here = (By - C^y + (Ca -Ay + (BaY; the left-hand consists of three parts, the first whereof is (a' + 6'/9 + c') - a' (aa' + bff + 07)} = (By + C/3) 931] ON THE APPLICATION OF SURFACES TO EACH OTHER. and similarly the other two parts are i-Ca + Ay - and {-A0 + Baf; the equation is thus verified. dm di dn di We require Codazzi's "^" and ^, or say ^ and ^; these are to be obtained from the equations dm dp dn d^' d a _Ea — am dm d by — c^ _ Ea — aco dn dp \IE V^A dp ' dp VA VA'A dp ' vEA dp dp V^ and the values obtained should satisfy d Ea — aco a dm, by — c0 dn dp \/EE. ~~> I find dp VA'A dm n/A dn >JE dp E ' dp >i/E dp \/A dp a , b , c ^ ,a, P, y a,, A, 7, where Hi, /S,, 7, are the derivatives of a, j3, 7 in regard to p; and the equation to be verified thus is a , b , c d Ea — am _ a>/A (by- c/3) V-^ dp^'EK ~~ E^E AVA a, /3 , 7 «!, A, 7i dm First, for -r : the derivatives of a, E are a and 2 (aa + b^ + cy), = 2a) ; we thus have which is viz. we have da _ a aco _ Ea — aco dp^' ~1JE~E1JE~ E^E ' _ Ea — aco dm ~^'JeK 'dp' dm _ VA dp~ W' dn Next, for -7- : using a subscript d) to denote derivation in regard to p, we have A = Ex. — at', and thence A, = ^iX + EXt - 2a)<B, = 2wX, + E.2 (aa, + /3/3i + 77,) - 2&) (\ + aa, + 6/3, + C7,), = 2 [Eiaa, + /3^, + 77,) - co {aa, + 6A + 07,)), = 2(a,Z+/3,7 + 7,.?), C. XIIL 33 258 ON THE APPLICATION OF SURFACES TO EACH OTHER. if, for a moment, „ X, Y, Z=Ea-ato, E^-b<o, Ey-ca,; these values give identically aX + ^Y+yZ=A, and aX + bY + cZ = 0. [931 Hence we have which must be we thus have dp' -J^ \/^ ^VA X (in, ~ vTA dp ' (H - cA) A - (67 - cyS) {a,X + ^,Y+y,Z)= -^-^ ^ ; or, putting the left-hand side in the form -(by -c/9)(a,Z + /3,F + 7,^) -(/87a-A7)(«^+ bY+cZ), this is and we thus find = -X dn _ ,/E dp~ A a , b , c a, /3 , 7 Hi. /?!. 7l a , b , c a, /3 , 7 «!. /3,, 7, we have a , b , c a, ^ > 7 For the verification of the equation d_Ea — aw__ a^JA (by - cfi) V-g dp^EA E^/E Av/A a,, yS,. 7i (J?a — ao)), = Ea^ — a (aa, + ftySj + C71) + aw — a\, (EA\ = 2^" (aa, + /3^, + 77,) - 2Ea (aa, + 6/S, + C7,) + 2Aa), and hence the equation is {E' (aai + 00, + 77i) — Ew (auj + bBi + C71) + u>] (Eg — am) Ea,— a (fiWi + b0j + 07,) + aio-a\ EA V£A "*" Vl^ aVA (by-c0)^/E E^JE AVA a , 6 , c a > 0 , y «i, A, 7i Oonsidering first the terms without a,, 0„ y,, these give - o) (Z?a - aw) + £■ (ow - a\) = -a(E\.- a-) 931] ON THE APPLICATION OF SURFACES TO EACH OTHER. 259 which is identically true; and then the remaining terms with Oi, /Sj, 71 give - [E (aoi 4- /3/Si + 77i) - « (««! + 6/3i + C7,)} (^a - aa) + {Ea^ - a (aa, + 6;S, + 07,)} (£'\ - «") \ a , b , c = (67-0/8)^1 a, /9, 7 i «!. A, 7i On the left-hand side, the whole coefficient of a, is = -(Ea- awf + {¥ + c-) {E\ - w% which is = - -EW + 200^© - a»a)= + (6^ + c") ^\ - (&= + &) <o\ = E{- Ea? + 2aao) + {Jf + c-) \ - w^] ; and, substituting for E, w, and \ their values, this is found to be = £ {(6= + C) O + 7=) - (6/3 + C7)=} . =E(by- c^f. Similarly the whole coefficients of /8, and 71 are found to be = E{by-c^){ca-ay), and £ (67 - c/3) (a/3 - 6a), respectively; and thus the left-hand side becomes a , b , c ^iby-c^E as it should do. We have where Oi, /3i, 7, tan I = Q' = aa -f- b/3 + 07 , suppose, Q = Ev-F(o = {cB- bC) a + (aC -cA)^ + (bA - aB) 7, = a'a + b'/3 + c'7, suppose, P=-I-(?=F»A, and we have hence to find -^. Using, as before, a subscript d) to denote derivation in regard to p, we have * dl _QP^-PQ, dp F' + Q' ' the numerator is = (a'a + b'/3 + c'7) (a Oi + b /S, + c 7, 4- a; a + b, ^ -I- Ci 7) -(aa + b/3 + C7) (a'a, -I- b'/S, + c'7, + a/a + b//3 4- c,'7) = - [(be' - b'c) (;S7, - /8,7) 4- (ca' - c'a) (7:-, - 7,3) 4- (ab' - a'b) (a^. - a,/3)] 4- Q (a,a 4- b^ 4- c.7) - P (a/a 4- b//3 4- c.'7). 33—2 260 ON THE APPLICATION OF SURFACES TO EACH OTHER. 