Nieuw archief voor wiskunde
Immers in de opdracht van zijn Bewysconst aan de „Neer- duytschen" laat hij zich (pp. 4-6) aldus uit: „ . . .nadien fommighe mijn feer ghemeene vrienden ende Landtf lieden, in ander Spraecken onervaren, nochtans der Conften uytnemende liefhebbers, verftaen hadden, dat wy yet der Mathematiken inden druck fouden doen afveerdighen , maer in vreemder talen, en hebben my (hoe wel mocht yemandt fegghen niet begheerene weert) niet flichtelick ghebeden fulcx inde onfe oock te doen, maer bycans met redenen willen overtuygen geen behoorlicke gheneghentheyt te draghen, tot onfen Vaderlande, diens voorderinghe nochtans, elck naer zijn uyterfte vermoghen, boven vrienden en maghen, ja voor fijn eyghen felfs, is fchuldich te beneerftighen ; dit foo beleydende ende voortdrin- gende, dat en hadde ick t'mijnder bate niet ghehadt, de ghemeene maniere van doen, ofte de Ghewoonte, die niet t'onrecht d'ander Natuere, ghefeyt wort, fwaerlick foude ick my ontfchuldicht hebben : Ten eynde hun niet alleene belovende naer mijn vermoghen in haerlieder begheeren te voldoen , maer my felfs door eenen yver daer toe verbonden achtende, hebbe my beneerfticht 'tfelve totter Daet te brenghen: Maer fiende dat fich daer in ontmoete Dialectike ftijl, Spreucken, ende Woorden , die fij Vocabula A rtium noemen , welcke (naer de maniere der gheenre diefe int Duytfch gebruycken) ghenoemt op fijn Latijnfche, den onervarenen dier Talen foo duyfter vallen, datfe de faecke niet grondelick verftaen en connen, oock mede dat int Neerduytfch hare beteeckeninghe onbekent blijft, overmidts de Dialectike daer in noch niet befchreven en is : 8oo vandt ick my bycans als bedwonghen , voor het uytgeven dies voorfeyt is, defe Duytfche Dialectike af te veerdighen". De Arithmetique en de Pratique d' Arithmetique waren evenwel, zoo stel ik mij de zaak voor, reeds te vergevorderd, Digitized by Google 125 dan dat aan den weasch Tan Stevin^s vrienden kon worden Yoldaan, maar de Geometria zon worden omgewerkt en dit werd de oorzaak, dat dit werk voorloopig bleef liggen: de zooveel belangrgker Weeghconst, Weeghdaet en Waterwicht namen al Stevin's tijd in beslag. Eerst omstreeks 1592, toen hij met Prins Maurits in aanraking kwam, werd het manuscript der Geometria weer door Stevin ter hand genomen , doordat hem „beieghent was een Meetdaet te befchrijven om fijn Yorstelicke Ohenade hem in te oeffenë" ^). Met de overige ,,onghedructe YVifconftige gedachteniflen" >) werd de Meetdaet door den Prins op al zijn tochten medege- nomen , ,,niet fonder perikel van te meughen verloren worden, te meer dat die reyfen de crijchfortuynen gemeenelick onder- worpen vvarë" *). Het was juist de vrees , dat „fulck ongheval daer over quaem" *) , die tot de uitgaaf deed besluiten , te beginnen met de Meetdaet, die Stevin „deur (ijn Yorstelicke Qhenade oock verbetert en vermeerdert vant" ^). De Problemata Geometrica worden door Stevin nergens aangehaald, zelfs niet in zgn Meetdaet, hoewel in dit werk, zooals nader zal blgken, de inhoud van de Problemata Geome- trica grootendeels, vermeerderd en verbeterd, teruggevonden wordt , waarom de vijf boeken Meetkundige Werkstukken door Girard dan ook niet in diens overigens volledige uitgaaf van de Oeuvres Mathematiques de Simon Stevin zijn opgenomen. Zonder twijfel hebben deze oorzaken met de zeldzaamheid der Problemata Geometrica samengewerkt, om Stevin's eerst- liagsarbeid over meetkunde in vergetelheid te doen geraken. De toenmalige bibliothecaris van de stad Brussel, Goethals, schijnt de eerste geschiedvorscher te zijn geweest, door wien er (in 1842) opnieuw de aandacht op gevestigd werd^); pas een halve eeuw later (in 1892) vindt men er voor de eerste maal — voor zoover ik heb kunnen nagaan — door een historiograaf buiten België en Nederland (Cantor) melding van gemaakt. Hoe evenwel Cantor, die o.a. Steichen en Quetelet *) Cortbegryp der Meetdaet. *) Voorreden der WiscoDstige Gedachtenissen. ') Cet ouvraRe . . . auratt échappé k notre attention, sans la mention qui e& est faite dans la brochure de M. Goethals. Steichen , t. a. p , p. 100. Digitized by Google 126 ak wgn broanen citeert , op grond Tan de omstandigbeid , jydasB in der lateinischen Ausgabe yon 1605 — 1608 [de Hypom- nemata Mathematica], welche ia manchen Dingen yon der französischen Ansgabe [Girard's Oeuvres Mathematiques dé Simon Stevin] sich unterscbeiden soil, und welche namentlich eine Abtheilung De miscellaneis besitzt, welche dort ganz fehlt, auch ein Yerzeichniss yon Schriften sich findet, welche batten abgedruckt werden BoUen , aber yom Herausgeber noch nicht druckfertig gestellt werden konnten und desshalb yorlaufig zurückgelegt warden"^); de mogelijkheid kan yeronderstellen, ^dass jene erste geometrische Schrift [de Problemata Oeometrica] für uns ganzlich yerloren gegangen ware" ^), dit moet ik yerklaren niet te begrijpen. Eyenmin ben ik te weten kunnen komen, op wiens gezag Cantor het jaar der uitgaaf yan de Problemata Geometrica op 1585 yaststelt^), waar alle bronnen, die ik heb kunnen raadplegen, yan Andreas (1623) af tot Yander Haeghen (1880 7- 1890) toe, eenstemmig als zoodanig 1583 opgeyen. De Problemata Oeometrica zelf yerschaffen omtrent dien datum nergens inlichtingen : de titel yermeldt wel Antwerpen als plaats yan uitgaaf, maar geen jaartal; evenmin zijn de opdracht en de narede gedateerd. Alleen blgkt uit een opmerking yan Stevin, dat het werk van ouder dagteekening is dan de Arithmetique yan 1585 (met Priyilegie yan 20 December 1584): yermoedelijk zal de datum 1583, door Andreas, een tijdgenoot yan Steyin, opgegeven, dus wel de juiste wezen. Bedoelde opmerking , die op p. 9 van de Problemata Oeometrica voorkomt , houdt in , dat Stevin de meening deelt van hen , die onmeetbare wortels getallen noemen , over welke queestie hij zegt breeder te zullen uitweiden in zijn Algebra^), waaronder de in 1585 verschenen Arithmetique moet worden yerstaan. Inderdaad vindt men in dit werk op pp. 33 — 37 de stelling verdedigd : „Qv'Il Ny A Avcvns Nombres Absvrdes, Irrationels , Irreguliers, ioexplicables, ou fourds". „Pinalement", zoo besluit Stevin dit pleidooi , „ce que nous n'auons fatiffaict en cefte ') Zie de aanhaling op pp. 99 — 100. 2) (fumus autem io fententia illorum qui radices inexplica biles numerum vocant, de quo alias in nollra Algebra latiüs dicetur). p. 9. Digitized by Google 127 matierepar les argumaiifl preeedeas, nous raceomplirotts contre tous aduerfaires , par la 4* thefe ^) de noz thefes Mathemati- ques", die, zeven in aantal, op pp. 202—203 yan de Pratique d'Arithmetiqae worden medegedeeld: „L'heure & lieu de leur expedition fe declairera k temps oportun" (p. 203). Steyin droeg zijn Problemata Geometrica op aan Maximiliaan van Cruiningen (1555 — 1612), burggraaf yan Zeeland en Oeneraal der Artillerie in Statendienst , een ambt, dat hij als katholiek onder Leicester's bewind moest neerleggen. ,,Zoo wij mochten yernemen , dat deze werkstukken U bevallen'', aldus Stevin in zgn narede tot den Heer yan Cruiningen , ,dan zullen wij eenige andere geheimen der wiskunde [yan Weegh- const en Waterwicht waarschijolijk] , door ons onthuld , eveneens onder bescherming van Uw naam bekend maken" ^), waarvan evenwel niet gekomen is. Stevin's Problematum Geometricorum Libri V , waarvan ik den inhoud thans boek voor boek ga beschrijven , beslaan 119 pp. klein-quarto en handelen : 1) over de verdeeling van veelhoeken in gegeven verhou- ding: a) door een rechte lijn uit een punt in den omtrek ; b) door een rechte lijn evenwijdig aan een der zijden; (33 pp.) 2) over de toepassing van de regula falsi bij de oplossing van meetkundige werkstukken ; (8 pp.) 3) over de vijf regelmatige veelvlakken, de vijf vermeer- derde regelmatige veelvlakken en de negen afgeknotte regel- matige veelvlakken, die in een bol beschreven kunnen wor- den; (38 pp.) 4) over de constructie van een meetkundig lichaam , gelijk-, vormig met een gegeven meetkundig lichaam en gelgk aan een ander gegeven meetkundig lichaam; (18 pp.) ^) Qu^il n y k aucuns nombres abfurds , irrationels , irreguliers , iDexp]icables , OU fourds. Pratique d'Arithmetique, p. 202. *) Epilogus. Hac funt Generofifi. D. quae tibi dicare deftinauimus , quae fi A. T. grata efle fentiemus, alia habemus Mathelium arcana fub tui Nominis aufpicijs proditura: Interim haec qualiacunque boni confules. Vale. Ego tibi me quam ofliciofiiJimè commendabo Lugduni Batauorum [alwaar Stevin van 1581— 1590 verblijf hield], p. 119. Digitized by Google 128 5) over de constructie yan een meetkundig lichaam , gelijk- Yormig met twee gegeven gel ij kvormige meetkundige lichamen en gelijk aan: a) hun som; b) hun yerschil. (17 pp.) Wat de toegepaste stellingen aangaat, wordt uitsluitend yerwezen naar Ëuclides' Elementen (ed. Clayius, Keulen 1574). Aan de behandeling van de werkstukken in het 1' boek laat Stevin een beknopt overzicht (18 pp.) over verhoudingen en evenredigheden voorafgaan, dat men, in hoofdzaak onveranderd, als „Troisiesme Partie Des Definitions De La Raison Et Pro- portion Arithmetique , & de leurs dependances" op pp. 55—70 van ziju Arithmetique terugvindt. Het behoeft nauwelijks gezegd te worden, dat dit overzicht naar het 5' boek van Ëuclides' Elementen bewerkt is , dat uit- sluitend over verhoudingen en evenredigheden handelt (met diens aanteekeningen 91 pp. in de ed. Glavius) en, wat zijn wezenlijken inhoud aangaat, van Eudoxus, een leerling van Plato, afkomstig schijnt te wezen. Er zijn verhoudingen (redens) van twee termen (rationes binari»), van drie termen (rationes ternariffi), enz. Verhou- dingen van twee termen kunnen meetbaar (explicabilis) en onmeetbaar (inexplicabilis) wezen. Meetbare verhoudingen van twee termen heeten verhoudingen van gelijkheid (rationes sequalitatis), als ze = 1 zijn, en verhoudingen van ongelijkheid (rationes iniequalitatis) , als ze ^ 1 zijn, in het bijzonder van grooter ongelijkheid (majoris insequalitatis) , als ze >1, en van kleiner ongelgkheid (minoris incBqualitatis), als ze < 1 zyn. Verhoudingen van grooter ongelijkheid noemt men enkelvou- dig (simplex) , als zij < 2 , en samengesteld (composita) , als zy ^ 2 zijn. Enkelvoudige verhoudingen heeten superparticu- laris, als de V term éénmaal den 2^'^ term en één onderdeel van den 2^^ term bevat, en superpartiens , als de T term één- maal den 2^^ term en eenige onderdeden van den 2** term bevat. En samengestelde verhoudingen heeten multiplex, als de r term eenige malen den 2'^'^ term bevat, multiplex super- particularis , als de V term eenige malen den 2^^ term en één onderdeel van den 2®^ term bevat, en multiplex superpartiens, als de V term eenige malen den 2^ term en eenige onder- deden van den 2^^ term bevat. Verbeelden A; , 2 en n > 2 aantallen , grooter dan één , dan Digitized by Google 129 kan men de yijf soorten van yerhoudingen van grooter onge- lijkheid aldus voorstellen ^) : {n+ \) : n . . . superparticularis , {n + l) : n . , . superpartiens , kn : n . , . multiplex , (kn + l) :n . . . multiplex superparticularis , {kn + 1) : n . . . multiplex superpartiens. 1) Ik bedien mij van de tegenwoordige notatie van verhoudingen en even- redigheden; in de Problemata Geometrica vindt men alleen de uitdrukkingen: ratio A ad B , ratio binaria AB , ratio ternaria ABC , proportio (binaria) ABCD [lees : ut A ad B sic C ad D] , proportio ternaria ABC , (ad) DEF , proportio continua ABC , enz. ; in de Arithmetique daarentegen noteert Stevin aldus: 6.3.-4.2., 5. 1 .4. 7. — 15.3.12. 21., en«. Oughtred (1631) bedient zich bij verhoudingen van de teekens !I , rr en •_•. voor =, >• en <C (overigens van =, C en "D); een gedurige evenredig- heid duidt hij met tt aan. Zoo schrijft hij : a .0 't c ,i/ voor a'.b^=e'.d, a , ó ,c .drr voor a: 6 = 0: c = c: d. Toen evenwel in de 17* en 18^ eeuw de stip meer algemeen als decimaal- en als maalteeken in gebruik werd genomen, verdween zij langzamerhand uit de verhoudingen. Niettemin bleef Oughtred*s notatie tot in het begin van de 19* eeuw hier en daar stand houden , hoewel men naast a ,d II c ,d reeds bij Wallis (1685) "T" = "T en bij Newton (1763) aióll r: ^aantreft. Volgens p d Van S winden (1790) zouden de schrijfwijzen a \ b -=. c \ d tn — -=— - van o d Leibniz afkomstig wezen. Bij Herigone (1634), die zich van de teekens n, 2|2, 3|2 en 2|3 bedient, om „staat tot'', =, > en <[ aan te duiden, vindt men a',b = c:d aldus voorgesteld : astb^'lcTtd', De la Hire (1710) noteert: a\b\\c\d, en Dilworth (1743) : a , . b y. e . , d. Bij reken- en meetkundige evenredigheden en reeksen blijven tot op den huidigen dag de schrijfwijzen : a . b : c ,d voor a — b^=.c — d ^ a\b\\c \d voor a: b = c\d , -ffl.(« + z.).(«-f2z;) \a-Y{n — \)v\ , -TT a: aq \ aq^ : . . . aq^"^ , die men bij buitenlandsche schrijvers niet zelden ontmoet , aan Oughtred herinneren. 9 Digitized by Google 130 De yerhoudingen van kleiner ongelijkheid kunnen als om- keeringen van die van grooter ongelijkheid worden aangemerkt; zg dragen dezelfde benamingen met voorvoegiag van „sub": n :(n + 1) . . . subsuperparticularis , n :(« + 1) . . . subsuperpartiens , n :kn . . . submultiplexy n :(Ar, » + l) . . . submultiplex superparticularis , n :{kn + l) . . . submultiplex superpartiens. In het bgzonder noemt men de verhoudingen : 1) 3: 2 .. . sesquialtera ,4:3... sesquitertia , enz. ; 2) 11 : 9 .. . Buperbipartiens nonas. 9: 5 .. . superquarpartiens quintas, eoz. 3) 2: 1 .. . dupla, 3:1... tripla, enz. 4) 9: 4 .. . dupla Bosquiquarta , 19: 6 .. . tripla sesquisexta, enz.; 5) 23: 6 .. . quadrupla supertripartiens quintas, 74: 11 .. . sextupla superoctopartiens undecimas, enz. Erenzoo : 1) 2: • «5 • •. • • Bubsesquialtera , 3:4... Bubsesquitertia^ enz.; Men kan een verhouding vervormen (transformare) , omkee- ren (invertere) en verstoren (perturbare). Een ratio transformata ontstaat , door vormen , die lineair uit de termen van een verhouding zijn samengesteld, te vergelij- ken, — een ratio inversa, door van een verhouding van twee termen de termen te verwisselen, — en een ratio perturbata, door van een verhouding van n, d. i. minstens drie termen den 2** term met den 3«", den 3«" term met den 4«, . .. den (n — ly^ term met den n«» en eindelijk den 1*" term met den 2"° te vergelgken. Men ontmoet dezelfde on derscheidingen , met één vermeer- derd , by de evenredigheden, d.z. gelijkheden van twee ver- houdingen van twee, drie, enz. termen (proportiones binari», ternariffi, etc.) : de V termen van de twee redens heeten over- eenkomstige termen (termini homologi); evenzoo de 2* ter- men, enz. Een proportie transformata ontstaat , door van een evenredig- heid de redens op dezelfde wijze te vervormen, — een pro- portie in versa, door de redens om te koeren, — en een pro- portie alterna, door de verhoudingen van twee paren overeen- Digitized by Google 181 komstige termen yan de redens aan elkander gelijk te stellen. Een proportie perturbata eindelijk levert pas evenredigheden op, als men een der redens verstoort; telt elke reden n, d. i. minstens drie termen , dan staan de 1*, 2% ... (n — 1)* term van de 1* reden tot elkander als de 2*, 3% . . . if term yan de 2' reden en de {n — 1)' en n* term yan de 1' reden als de 1' en 2* term yan de 2* reden. Van de eyenredigheid 9 : 6 = 15 : 10 bv. is (9 + 6) : 6 = = (15 + 10) : 10 een proportio transformata , 6:9=10:15 een proportio inyersa en9:15 = 6:10 een proportio alterna. En de yerhoudingen 12 : 8 : 4 : 2 en 6 : 3 : 2 : 1 by. yormen een proportio perturbata, omdat zoowel 12:8:4 en 6:3:2 als 4 : 2 en 6:3 een werkelgke eyenredigheid (proportio posi- tiva) uitmaken. De term proportio transformata werd door Steyin ingeyoerd , om een veertiental stellingen oyer eyenredigheden , die bij Euclides afzonderlijk yermeld worden, tot één enkele te kunnen samenyatten '). En de proportiones perturbatsB ontleenen haar beteekenis aan de omstandigheid, dat de uiterste termen yan de 1* reden eyen- redig zijn met die yan de 2' reden (Eucl. , Lib. V , Propos. 23). Immers , als a^ , a^ , ög , . . . a„-.i , a» en ft^ , ft^ , 63 , . . . 6«_i, 6» de redens yan een proportio perturbata yormen, dan is a, : a«_i = 63 : ft„ en a»-i : a» = 6j : 6^, waaruit door yermenig- Tuldiging yan de oyereenkomstige redens onmiddellijk yolgt, dat Oj : a» = 2»^ : hn is. Eyenals bg de meeste yan zijn tijdgenooten heet bij Steyin een meetkundige reeks een gedurige eyenredigheid (proportio continua), omdat yan zulk een reeks de 1' term staat tot den 2*" als de 2* term tot den 3"* als de 3* term tot den 4«" , enz. Bij een gedurige eyenredigheid wordt de yerhouding yan den 1^ term tot den ^^ 2-maal zoo groot genoemd als die yan den V^ term tot den 2«'» ; die yan den 1«*» term tot den 4"* 3-maal zoo groot, enz. Door uitbreiding yan dit begrip ontstaan de yier bewerkingen O Nota. Hac definitione transformaUe proportionis concefla, fuperflua videntur theoremata 1. 2. 3. 4. 5. 6. 12. 15. 47. 18. 19. 20. 22. & 24. lib.5. Euclid, quas omnia cum multis alijs fimilibus (cüm omnia fub hac vnica definitione comprehendantur) in vno theoremate poOent explicari. p. 16. 9* Digitized by Google 132 met yerhoudingen , de optelling, de aftrekking, de vermenig- vuldiging en de deeling, die in de muziekleer en de gezel- schapsrekening toepassing vinden. Stevin behandelt de ,,quatre computations des Baifons*' op pp. 14 — 27 van zijn Pratique d'Arithmetique. „Et par les precedens [verklaringen] fentendra", zegt hg, ,que Raifon f aiouflée k Raifon f, faict Raison f, c'eft k dire en fons, que la quinte auec la quarte, faict l'octaue, & ainfi des autres^' (p. 17) en „que de Raifon § foubftraict Raison ^, refte Raifon I, c'eft k dire en fons, que de la quinte foubftraict la quarte, refte la feconde, de laquelle les termes font en Raifon ^, & ainii des autres^' (p. 18), want „addition des Raifons ne requiert autre operation que la multiplication des rompuz" [breuken] (p. 17) en „foubftraction des Raifons ne requiert autre operation que diuifion des rompuz'' (p. 18). Evenzoo levert de verhouding ^ bij vermenigvuldiging met 4 als product de verhouding f^ op en de verhouding ^ NJ vermenigvuldiging met ^ de verhouding ^\. En de verhouding ^j geeft bij deeling door de verhouding § als quotiënt 3, de verhouding ^^ bij deeling door 4 de verhouding g, en de verhouding ^ bij deeling door ^ de verhouding -^j. Zooals men ziet, zijn de bewerkingen met verhoudingen inderdaad vermenigvuldigingen, deelingen, machtsverheffingen, worteltrekkingen en logarithmenemingen, met gebroken macht- en wortelexponenten zelfs. Trouwens , Stevin merkt reeds op, dat de meeningen omtrent den aard dier bewerkingen uiteen- loopen. „Il 7 a controuerfe entre les Autheurs Mathematiciens (& principalement entre les Comentateurs de la cincquiefme definition du 5 Uure d'Euclide) touchant les computations des Raifons: Car ce que les aucuns appellent Addition & Soubftra- ction des Raifons, les autres veuUentque ce soit Multiplication, & Diuifion , les autres difent que c'eft matiere obfcure & confufe. Mais comme il auint k plufleurs autres difciplines, efquelles Ton cognoit & entend la nature des principes plus parfaictement, quand on vient k la Pratique d'icelles: Ainfi nous deuiennent les proprietez des computations des Raifons plus notoires par leur vfage: Comme entre autres la Theorie de la Muflque (dont nous defcriprons alieurs vn traicté particulier *)). La reigle de *) Bedoeld wordt de in HS gebleven Spiegeling der Singconst. Digitized by Google 133 Compaigoie (que nous delareroQS ei apres) Quelqaes demoDflrations de Ptolemee en fa Grando Compofition »), &c." (p. 14) Naar aanleiding van Stevin's 24* bepaling , dat van drie even- redige termen de verhouding van den V^ tot den 3*" 2-maal zoo groot is als die van den P" tot den 2***, enz., heb ik mij deze uitweidingen meenen te mogen veroorloven , om te kunnen herinneren aan de beteekenis van de meetkundige reeksen voor de ontwikkeling van de wiskundige wetenschappen : zij vormen ca. de bron, waaraan de rekenkundige bewerkingen van de 3' orde, de mach ts verheffing en haar omkeeringen, de wortel- trekking en de logarithmeneming , met geheele, gebroken en negatieve, ja, zelfs met onmeetbare exponenten haar oorsprong ontleenen. Niet zonder grond mocht Stifel van de wonderbare eigenschappen der meetkundige reeksen gewagen '). Op de bepalingen van verhoudingen en evenredigheden volgen in het 1' boek der Problemata Geometrica acht werkstukken: 1) rechte lijnen te construeeren , die zich verhouden als eenige gegeven driehoeken; 2) uit een der hoekpunten van een driehoek een rechte lijn te trekken , waardoor de driehoek in twee deelen verdeeld wordt, die zich verhouden als twee gegeven rechte lijnen; 3) uit een punt in een der zijden van een driehoek een rechte lijn te trekken, waardoor enz.; 4) uit een der hoekpunten van een vierhoek een rechte lijn te trekken, waardoor enz.; 5) uit een punt in een der zijden van een veelhoek een rechte lijn te trekken, waardoor enz.; 6) evenwijdig aan een der zijden van een driehoek een rechte Ign te trekken, waardoor enz.; 7) evenwijdig aan een der zijden van een vierhoek een rechte lijn te trekken, waardoor enz.; 8) evenwijdig aan een der zijden van een veelhoek een rechte lijn te trekken, waardoor enz. ') Madrifiaxixv ^vvza^is , meer bekend onder den naam Almagest =z= het groote boek (van Arab, al = de en Gr. fxéyioxog = zeer groot). *) Poffet hic fere nouus liber integer fcribi de mirabilibus numerorum , fed oportet ut me hic fubduca , & claufis oculis abea. Stifel, Arilhmetica Integra, Neurenberg 1544, fol. 249 verso. Digitized by Google 134 De werkstukken 4—8 zijn van Stevin's eigen vinding '). Van het 1' werkstuk duidt Stevin twee constructies aan- Bij de 1* constructie, die door Euclides (Lib. I, Propos. 42—45) uitvoerig verklaard wordt, moet men beginnen met op de halve basis van eiken driehoek een parallelogram te beschrijven, dat even hoog en dus even groot is, en een hoek bevat, die voor alle driehoeken dezelfde is. Ieder van de parallelogrammen verandert men met behoud van de hoeken in een parallelogram met een zijde, die voor alle parallelogrammen dezelfde is, door toepassing van de stelling, dat er twee even groote parallelogrammen ontstaan, als men door een punt in een der diagonalen van een parallelogram rechte lijnen even- wijdig aan de zijden trekt. Yoor par. EBHI (Fig. 1) bv. luidt de constructie aldus : S' ^' met een stuk IP = de zijde, die de parallelo- grammen gemeen zullen hebben, trek door F een rechte lijn even- wydig aan BE en Hl, ^ ^ die BH inC ontmoet, vereenig C met I en trek door het punt A, waarin BE en Cl elkander ontmoeten , een rechte lijn evenwijdig aan BH en EI, die CF en Hl in D en Q ontmoet, dan voldoet par. GIFD aan de gestelde vooi^aarden. Zoodoende krijgt men in plaats van de driehoeken parallelo- grammen , die een zijde en de hoeken gemeen hebben , en zich dus verhouden als de andere zijden, enz. Stevin, die de verklaarde handelwijze meermalen toepast, kiest de parallelogrammen steeds rechthoekig. Bij de 2* constructie neemt Stevin aan , dat de driehoeken, waarvan de verhouding door die van rechte lijnen moet worden uitgedrukt, ontstaan zijn, door een punt in den omtrek van een veelhoek met de hoekpunten te verbinden. Elke twee driehoeken, die naast elkander liggen, hebben dan een zijde gemeen en ^) Sequentia quinque Prob]emata funt ea quae ante hac nunquam defcripta putamus, p. 25. Digitized by Google 135 verhouden zich als de hoogtelgnen op deze zijde. Zoo is (Fig. 2) : A ABC: AACD =BG:HD, AACD : AADE = Cl : KE, AADE : AAEF = DL : MP. Construeert men PQ als 4*' evenredige tot Cl, KE en OP = HD, en QR als 4* eyenredige tot DL, MP en PQ, dan zijn dus A ABC, AACD, AADE en AAEF evenredig met NO = BG, OP = HD, PQ en QR. Fiè' 2. IV o P Q R Op dit 1" werkstuk berust de oplossing yan Tijf yan de zeyen overige, t. w. yan Nos. 3, 4, 5, 7 en 8. Zooals reeds medegedeeld is, verlangen de werkstukken 2-5, die volgen, de verdeeling van een rechtlijnige figuur in twee deelen van gegeven verhouding door een rechte lijn, te trekken uit een punt in den omtrek, in Nos. 2 en 4 in het bijzonder uit een hoekpunt. Bij de oplossing van Nos. 3—5 past Stevin een methode toe, waaraan hij, omdat ze algemeen is, reeds bij No. 3 de voor- keur geeft boven onze hedendaagsche oplossing van dit werkstuk, die o.a. in de aanteekeningen van Clavius bij het 6* boek van Euclides' Elementen (p. 343 van den 3«» druk van 1591) voorkomt ^). J) Nota. Alius est modus construct ionis huius Problematis apud varios authores, cuius inter alios meniinit Chriftophorus Clauius in fine lib. 6. Euclid. Sed vt fequentia Prublemata e(Sent apertiora, fecuti fumus bic, nollram generalem ioveotionem omoium rectilineorum. p. 25. Digitized by Google 136 G // />:^-?- Om Stevin's methode te doen kennen, laten wi| dieni oplossing van No. 5 volgen: Uit een punt F (Pig. 3) in A zijde AB van den vijfhoeli ABODE een rechte lijn te trekken, die den veel hoek in twee deelen ver- deelt, waarvan dat aan den kant van B staat tol dat aan den kant van A als de rechte lijn G staat tot de rechte lijn H. t , . , ^_, Constructie : Vereenig f ^ ^ ^^ ^^ ^ het punt F met de hoek- punten C , D en E van veelhoek ABCDE . en construeer vier stukken IK, KL, LM en MN, die evenredig zjjnmet AFBC, AFCD, AFDE en aFEA; verdeel de som IN dier stukken in twee deelen 10 en ON, die tot elkander staan als G en H , en van A FDE , die beantwoordt aan het stuk LM , waarop het doelpunt O ligt, de zijde DE tegenover het punt F in twee deelen DP en PE, die zich verhouden als LO en OM; vereenig eindelijk F met P, dan is: veelhk. FPDCB : veelhk. FPEA = G : H. Bewijs : AFBC : IK = AFCD : KL = AFDE : LM = AFEA : MN , . (1) IO:G = ON:H, DP:LO = PE :0M, AFPD:DP = AFPE.PE. Uit (3) en (4) volgt: AFPD:L0 = AFPE:OM = (AFPD + AFDE) : (LO + OM) = AFDE : LM, uit (1) en (5): AFBC : IK = AFCD : KL = aFPD : LO = AFDE : OM = AFEA : MN, uit (6): dus ; (2) (3) (4) (5) (6) (AFBC + AFCD 4- AFPD) : (IK + KL + LO) = (AFDE + AFEA) : (OM + MN), veelhk. FPDCB : 10 = Teelhk. FPEA : ON , (7) Digitized by Google 137 en uit (2) en (7): veelhk. FPDCB : G = veelhk. FPEA : H, zooals bewezen moest worden. De werkstukken 6 — 8 verlangen de verdeeling van een rechtlijnige figuur in twee deelen van gegeven verhouding door een evenwijdige aan een der zijden. In No. 6 moet A ABC door een evenwijdige aan AC in reden van DE tot EF verdeeld worden. Stevin verdeelt BC in G in redeo van DE tot EF, construeert de middelevenredige BH tusschen BG en BC, en trekt Hl // AC. In No. 7 moet een vierhoek verdeeld worden; soms zal de deellijn twee zijden snijden, die op elkander volgen, soms twee zijden, die tegenover elkander staan. Snijdt de deellijn, evenwijdig aan BC (Fig. 4), die vierhoek ABCD in reden van EF tot FG moet verdeelen, de zijden AB en AD, dan construeert Stevin par. HIKL = vierhk. ABCD, verdeelt Hl in M in reden van EP tot PG , trekt MN // HL en DO // BC , en construeert A APQ = par. HN en <v A AOD (Eucl., Lib. VI, Propos. 25).. Snijdt de deellijn, evenwijdig aan AB (Pig. 5), die vierhoek Digitized by Google 138 ABCD in reden van EP tot FG moet verdeelen , de zgden AD en BC , dan verlengt Stevin deze zijden , tot zij elkander in H ontmoeten, construeert par. IKLM= AHCD en par. KNOL = vierhk. ABCD, verdeelt KN in P in reden van EF en FQ, trekt PQ // IM, en verdeelt eindelijk A AHB door RS // AB in reden van IP tot PN (werkst. 6). In No. 8 moet veelhk. ABCDEFG (Fig. 6) door een evenwijdige aan AB in reden van Hl tot IK verdeeld worden. Stevin verlengt de zijden FE en CD, die door de doellijn gesneden zullen wor- den, tot zij elkander in L ont- moeten, construeert par. MNOP = A LED en par. NQRO = veelhk. ABCDEFG, verdeelt NQ in S in reden van Hl en IK, trekt ST //MP en FV//AB, con- strueert A LXY = par« Mï en «vALFV, enz. Snijdt de doellijn een paar andere zijden, dan moet de constructie dienovereenkomstig gewijzigd worden. Van de acht werkstukken, door Stevin in het 1' boek van zijn ProblemataGeometrica behandeld, vindt men er zeven met eenige veranderingen , die meerendeels verbeteringen mogen heeten, in ^ ^ zijn Meetdaet terug: Problems I als 8 Voorstel in het Tweede Deel Dos Vierden Bovex Vande Everedenheyts Reghel Der Vlacken, Problema II, III, V, VI, Vil en VIII resp. als 5, 6, 7, 12, 13 en 14 Voorstel in het Tweede Deel Des Vyfde Bovcx Vande Everedelicke Snyding Der Vlacken; Problema IIII is komen te vervallen. Bij het 1* werkstuk is de oplossing van Euclides weggelaten en die van Stevin in zooverre gewijzigd, dat de driehoeken niet meer als doelen van een veelhoek, maar afzonderlijk voorkomen. Voor de 1* van de rechte lijnen , die zich moeten E F G — » Digitized by Google H r M N 139 yerhouden als de driehoeken, neemt Stevin thans een zijde YaQ den 1®° driehoek; de overige worden geconstrueerd als 4' evenredigen tot de hoogtelijn op de van den V^ driehoek geoomen zijde, de hoogteiijn op een zijde yan den betreffenden driehoek en deze zijde zelf. Van parallelogrammen wordt bij geen yan de constructies meer gebruik ge- maakt. Het 13 Voorstel wgkt eenigszins yanProblemaVII af: het is niet meer een wille- keurige vierhoek , die verdeeld moet worden door een eyenwijdige aan een der zijden , maar een trape- zium door een eyenwijdige aan de evenwijdige zijden; de deellijn snijdt dus twee overstaande zijden, de beenen van het trapezium. Ook de oplossing yerschilt van die in de Problemata Geometrica : wel yerlengt Stevin van trapezium ABCD (Fig. 7), dat door LM jj AB in reden van EG tot QF yerdeeld moet worden, de beenen DA en CB, tot zij elkander in H ontmoeten, maar hij bepaalt het stuk EE, dat zich tot EF moet verhouden als AHAB tot trapezium ABCD en dat dus aan het stuk IK io Fig. 5 beantwoordt, door berekening, zonder dit evenwel uitdrukkelijk te vermelden; aldus: trap. ABCD : a HAB = EF : KE , AHDC : AHAB = HD» : HA% Fi^.6. Digitized by Google 140 dus : dus: (HD* « HA») : HA» = EF : KE, (HD - HAV HD) : HA» / HD = EP : KE. Construeert mèii HI = HA»/HD, dus als 3* evenredige tot HD en HA, dan wordt HD — HA»/ HD = HD - Hl = Dl, dus de evenredigheid: DI:HI = EP:KE, zoodat men KE kan construeeren als 4*" evenredige tot Dl, Hl en EF. En nadat KE gevonden is, verdeelt Stevin aHDC volgens H m-r- •/ / \ aJ- / \^ JL p \m B^ A r ^c het 12 Voorstel door LM // AB in reden van KG tot GF. Eindelijk is het 14 Voorstel in de Meetdaet algemeener dan Problema VUI in de Problemata Geometrica: de deelljjn behoeft niet meer evenwijdig aan een der zijden van den veelhoek getrokken te worden , haar richting mag willekeurig worden aangenomen. Ook de oplossing is algemeener en fraaier. Stevin trekt door de hoekpunten van veelhoek ABCDEF (Fig. 8), die door Za // GH in reden van IL tot LK verdeeld moet worden, evenwijdigen aan GH, construeert QR, RS, ST, TV en VX evenredig met AAFM, trapezium AMEP, trapezium PEDO, trapezium ODNB en ABNC, verdeelt QX in Y in reden van IL tot LK, en eindelijk trapezium ODNB, dat beantwoordt aan het stuk TV, waarop het deelpunt Y ligt, volgens het 13 Voorstel door Za//GH in reden van TY tot YV. „De fnyding der rechtlinighe platten", zegt Stevin op pp. 138 — 139 van de Meetdaet, „ghefchiet deur rechte linien op driederley wijfe : D^eene met linien commende uyt een Digitized by Google 141 gheflelt punt iaden omtreck: d'ander claer buyten: de derde eveDwijdighe met eenighe getoonde lini." Met werkstukken over de „fnydingh der rechtlinighe platten met een lini commende uyt een gheftelt punt buyten den ^ ^ pmtreok" erkent Stevin ^ ^doende ghe weeft [te] hebben", maar, evenals zooveel anderen , vruchte- loos. Vandaar, dat „voor- ftellen defer ghedaente" niet in de Problemata Geometrica konden wor- den opgenomen, hoezeer Fi^, 8, de 8<^rg?«r overtuigd was, dctt „de fngding deur een punt foo wel ghegheven buyten den omtreck, als dfier binnen" in een „oir- dentlicke befchrijving vant fnyen der platten behooren, te meer dattet in deeling van lande fomwijlen dadelick vereyfcht wort". Twee jaren na de verschijning van Stevin's werk zag even- wel Benedetti's Diversarum Speculationum Mathematicarum et Physicarum Liber, Turijn 1585, het licht: uit dit werk zgn „de form der wercking en bewgfing defer voorftellen [in de Meetdaet] getrocken en veroirdent". Pas later bleek Stevin , dat Tartaglia, onder wiens leiding Benedetti de vier eerste boeken van Euclides' Elementen had doorgewerkt , reeds in zgn General Trattato dé Numeri e Misure, Venetië 1556—1560, dit onderwerp had behandeld O- Q R T y V X *) De vier voorftellen defer ghedaente feer fpitfvoudich fijnde , en merk ick niet by de Griecken bekent gheweeft te hebben , dan vermoedefe in eenighe overble- ven fchriften des wijfentijts weerom te voorfchijn gherocht te wefen , uyt welcke fy ghecommen meughen fijn onder anderen ter handt van loannes Baptista Benedictus (uyt wiens fchriften vertoochfe w^fe gheftelt » wy de form der wercking en bewijling defer voorftellen ghetrocken en veroirdent hebben :) Oock ter handt van Nicolas Tartaglia , die ick daer na bevonden heb dat daer af ghefchreven had in II libro della quarte parte: Mijn reden van fulck vermoeden is dufdanigh: Ymant die fich voorftelt oirdentlick te willen vervolghen de befchrijving vant fnyen der platten , hem comt int ghedacht daer in te behooren de fnijding deur een punt foo wel ghegheven buyten den omtreck, als daer Digitized by Google _ 142 De vier werkstukken, die Steyin in de Meetdaet oplost, luiden: 1) door een punt buiten een driehoek een rechte lijn te trekken , waardoor de driehoek in twee deelen verdeeld wordt, die zich verhouden als twee gegeven rechte lijnen (8 Voorstel) ; 2) door een punt binnen een driehoek (zoo mogelijk) een rechte lijn te trekken , waardoor enz. (9 Voorstel) ; 3) door een punt buiten (binnen) een vierhoek een rechte lijn te trekken , waardoor enz. (10 Voorstel) ; 4) door een punt buiten (binnen) een veelhoek een rechte Ign te trekken , waardoor enz. (1 1 Voorstel). Bij de oplossing van het 8 Vooratel wordt door Stevin ,,een meetconftighe wercking ghetrocken uyt een ftelreghelfche" ')> naar onze wijze van voorstellen aldus : Moet A ABC (Fig. 9) door een rechte lijn uit D verdeeld worden in reden van PG tot EG, dan beginne men met D beurtelings te verbinden met elk der hoekpunten van den drie- hoek , om de zgden te bepalen , die door de deellgn gesneden zullen worden. Zgn AB en AC de zijden , die door de deellijn in N en M gesneden worden , en trekt men uit D een even- wgdige aan BA , die AC in H ontmoet , dan is : A ANM: vierhk. MNBC = PG: EG, ... (1) A ANM: A ABC = AMXAN: ABXAC, ... (2) DH:AN = (AH + AM): AM. ... (3) Uit (1) en (2) volgt : AMXAN:ABXAC = PG:EF. ... (4) binuen , te meer dattet in deeling van lande fomwijlen dadelick vereyfcht wort : Maer fulcx foodaniger menfchen ghedachten te wefen , blijckt noch deur dien- der veel verfcheyden dit verfchil malcander voorgheftelt hebben, als den bove- fchreven Benedictus wiens fchrift een brief van antwoort was op fulcken vraghe. Ten anderen Cardanus met Ludovicus Ferrarus hebben fulcx voorghehouden aan Tartaglia, t'welck hij Tartaglia daer te vooren , foo hij felf fchrijft, in fijn openbaer redenftrijt voorgheftelt had. My fijnder oock ander bekent die daer me, eer defe voorftellen t'haerder handt ghecommen waren, doende gheweeft hebben , onder welcke ick een was. Maer t'ghene hier af de menfchen nu ter tijt ontmoet , derghelijcke ift billich tóe te laten ontmoet te hebben de Vinders der feltfame wetenfchappen daer af ons foo feecker teyckens ghebleven fijn , t'welck waren , foo inde bepaling van dies t'fijnder plaets verclaert is , de menfchen des wijfentij ts, daerom gevet groot vermoeden, datfe fulcken vermaert vindlick deel der Meetconft niet onghevonden ghelaten hebben. Meetdaet, p. 144. 1} Meetdaet, p. 147. Digitized by Google 143 In (3) en (4) zijn AM en AN onbekend ; substitueert men AN uit (3) in (4), dan krijgt men ter bepaling van AM de yierkants vergelijking : AM«~ FG X AB X AC XAM — PGXABXACXAH = 0. EP X DH EF X DH Construeert men met Stevin AI = FG X AB : EP , dus als 4* evenredige tot EP, FG en AB , AK = AI X AC : DH , dus als 4* evenredige tot DH, AI en AC, enAL=iAK, dan neemt de vierkantsvergelgking den vorm : AM* — 2AL X AM — 2AL X AH = aan, waaruit: AM = AL + >^ AL (AL + 2 AH) gevonden wordt. Men kan het punt M en daarmede de doellijn DM dus be- palen , door LM = J/ AL (AL + 2AH) , d. i. de middeleven- redige tusschen AL en AL + 2AH , te nemen. Ligt D binnen A ABC (9 Voorstel) , dan vindt men : AM = AL zh K AL (AL - 2AH). Wegens het teeken =b zijn er thans in het algemeen „tottet begheerde twee befluyten" ^), maar de verdeeling kan ook onmogelijk wezen : zoo kan men „deur een driehoucx fwaer- heyts middelpunt gheen lini trecken daer af een cleender deel (hyende dan in fulcken reden totten heelen driehouck , als van 4 tot 9 , ende gheen grooter dan als van 5 tot 9" '). ^) Meetdaet, p. 151. ^) Meetdaet , p. 150. Digitized by Google 144 Het 10 Yooratel verlangt yierhoek ABCD uit E te yerdeelel in reden van PG tot GH. Sngdt de deellgn twee zijden , die tegenover elkander staa^ « (Pig. 10), dan construe ^ / eert Stevin HK zóó, Fii 10 ^** vierhk. ABCD : ^ ^ ' /A BCI= PH: HK, en verdeelt A ADI volgens het 8 Voorstel uit E in reden van FG tot GK. Snijdt de deellgn ^ , , , twee zijden, die op ^ ^ ^ ^ elkander volgen (Pig. 11), dan construeert Stevin PI zóó , dat vierhk. ABCD : A ABD = PH : PI , en verdeelt A ABD eveneens volgens het 8 Voorstel uit E in reden van PG tot GI. Is in het bijzonder vierhoek ABCD een parallelogram en worden de zijden AB en CD gesneden , dan verbindt Stevin de middens I en K van AD en BC , verdeelt IK in L in reden van PG tot GH en trekt EL. Het 11 Voorstel eindelijk verlangt veelhoek ABCDEFGH (Pig. 12) uit I te verdeelen in reden van KL tot LM. Zgn BC en GH de zijden, die door de deellijn gesneden zullen worden, dan trekt Stevin BH en CG, verdeelt KM in stukken KN , NO en OM , die tot elkander staan als A ABH , vierhoek BCGH en vijfhoek CDEFG , en eindelijk vierhoek BCGH volgens het 10 Voorstel uit I in reden van NL tot LO. Hoewel Stevin zijn Problemata IIII — VIII nergens behan- deld had gevonden '), toch ontbrak het hem niet aan voor- gangers op dit terrein, Tartaglia is reeds genoemd. Maar zelfs Euclides (dz 300 v. Chr.) had zich reeds in zijn Boek over de Verdeeling van Piguren, waarvan Proclus (5' eeuw FJgM. F a II ^) Zie de noot op p. 134. Digitized by Google 145 n. Chr.) in zijn commentaar op het V boek der Elementen melding maakt , met opgaven van denzelfden aard bezigge- houden. Euclides' verzameling werkstukken bleef evenwel tot in de 2' helft van de 16' eeuw onbekend, toen, omstreeks j 1563, door John Dee jTj^ J2 ®®° Arabisch geschrift *^' over dit zelfde onder- B^^J^^ — T^^^^v. ^®rp werd ontdekt, dat weliswaar Moham- med Bagdadinus als schrgver vermeldt, maar niettemin door Dee op aannemelgke gronden aan Euclides ^ ^ werd toegeschreven, K N L O M een vermoeden, dat se- dert door Wöpcke's ontdekkingen (1851) tot zekerheid werd verheven : Dee's en Wöpcke's vondsten moeten als Arabische bewerkingen van fragmenten van Euclides' IleQl Aiaigéaecov Bi^Uov worden aangemerkt. In Dee's fragment vindt men 0. a. behandeld de verdeeling van drie- en vierhoeken in stukken van gegeven verhouding door een rechte lijn evenwijdig aan een gegeven rechte lijn, alsmede (hoewel minder algemeen) die van een vijfhoek door een rechte lijn a) uit een punt in een der zijden, b) evenwijdig aan een der zijden; in dat van Wöpcke buitendien o. a. de constructie van een rechte lijn, die a) een figuur, ingesloten door een cirkelboog en twee rechte lijnen, in even groote stukken verdeelt, b) van een ge- geven cirkel een stuk van bepaalde grootte afsnijdt. Dee bezorgde een Latijnsche vertaling van zijn Arabisch haDdschrift, die door Federigo Commandino, bekend door zijn Latijnsche uitgaven van werken van Grieksche wiskun- stenaars, van een aanhangsel werd voorzien, dat den inhoud yan dit HS beknopt weergeeft en de verdeeling van figuren algemeener behandelt dan door Mohammed geschiedt. Hun gemeenschappelgke arbeid verscheen in 1570 te Pisa onder den titel: De fuperficierum diuifionibus liber Machometo Bagdedino adfcriptus, nunc primum loannis Dee Londinenfis et Federici Command. Urb. Opera in lucem editus. Federici Command. 10 Digitized by Google 146 de eadem re libellus Pifauri ap. Hieronymum Concordiam 1570 0. Ook Leonardo yan Pisa (Fibonaci) 's Practica Geometriae, 1220, en Paciuolo (Lucas de Burgo) 's Summa de Arithmetica Qeometria Proportioni et Proportionalita , Venetië 1494, han- delen over de yerdeeling van figuren, waarbg door genen blijkbaar uit een Arabische bewerking van Euclides' gehjk- namigen arbeid is geput, terwijl door dezen Fibonaci's werk als zijn voornaamste bron wordt aangewezen *). Wg moeten aannemen, dat Stevin tijdens de samenstelling van zijn Problemata Qeometrica met geen dezer werken bekend is geweest, al vindt men nauwelijks twee jaren later Paciuolo's Summa door hem in zijn Arithmetique bij de oplossing van vergelijkingen vermeld '). Maar al was het tegendeel waar, Stevin's arbeid overtreft dien van zijn voorgangers. En het is niemand minder dan de geleerde, met de geschriften van Leonardus Pisanus, Frater Lucas Pacciolus, Nicolaus Tartalea , Machometus Bagdedinus en Federicus Commandinus volkomen vertrouwde Jezuïet Clavius, die onzen voortreffelijken stamgenoot dit lofFelijk getuigenis uitreikt, door in zijn Qeometria Practica , Rome 1604, „Mufter eines Lehrbegriffs der praktifchen Geometrie" *), de verdeeling der veelhoeken (Lib. VI) naar diens Problemata Geometrica te bewerken *). 1) Cantor, t. a. p., i^ter Band, Leipzig 1880, pp. 247— 248 ; II pp. 511-512. Kastner, Geschichte der Mathematik , Ister Band, Göttingen 1796, pp. 272-273; 2ter Band. Göttingen 1797, pp. 46—47. 2) Cantor, t. a. p., II p. 34 en p. 302. 3) Les deriuatifs de (g) egale a (l) @ [d. z. vergelijkingen . die tot vier- kantsvergelijkingen teruggebracht kunnen worden] , inuentez par Ie fufdict premier autheur incognu , font defcripts par Lucas Pacciolo. Arithmetique , p. 268. 4) Kastner, t. a. p., 3ter Band, Göttingen 1799, p. 287. 5) Edidit quidem Federicus Commandinus anno 1570. libellum de fuperfi- cierura diuilionibus Machometo cuidam Bagdedino Arabi adfcriptum : ipfeque eadem de re alium breuiorem , & magis vniuerfalem confcripfit : eftque fane libellus vterque acutiflimus , & eruditione refertiflimus. Idem vero poftea argumentum alia via agreflus e(l , & meo certe iudicio , faciliori , & magis generali , Simon Steuinius Brugenlis : sed in qua aliquid defiderari videatur , vt omnibus fuperficiebus rectilineis (quod ipfe veile videtur) conuenire poflit , Digitized by Google 147 Het 2* boek yan de Problemata Geometrica handelt oyer de ^regula falfi continu» quantitatis", die falsi heet, ,,non quod falfum docet, fed quia per falfum pofitionem pervenitur ad Gognitionem yeri", zooals Steyin (p. 38) Apianus nazegt *). De regula falsi (regula positionum, regula falsarum positio- oam) yormt in de rekenkunde een hulpmiddel yoor hen, „so in der Coss nicht gegründet sind" *), om, zonder kennis, yan algebra, yraagstukken op te lossen, die aanleiding geyen tot Yergelgkingen yan den l'"" graad. „Man erhebe die Falsi [echter] so hoch man wolle", zoo oordeelt Stifel (1545), „man bessere sie auch oder mehre sie soweit yn tiefF man ymmer köone , so bleibt sie doch gegen die Coss wie ein Punkt gegen einen Zirkel" »). 