Nieuw archief voor wiskunde
Elk van die beide gevallen kan behandeld worden zooals de gewone vierhoek in het voorgaande. 10. R = 00 en d = 00 . Wordt het eindige verschil van die stangen d' genoemd, dan worden vergelijkingen (2) en (3) van § 1 : d' = l + r (1), (5) en (7) „ ,: d'=l-r (2) of d'=r-l (3), (9) „ „:d' = 0(4). Verg. (11) blijft: l = r (b), terwijl verg. (1), (4), (6), (8), (10), (12) en (13) vervallen, en daartegen de betrekkingen l = d' (6) , en r = d' (7) optreden. De nieuwe vergelijkingen (1) tot (7) moeten kunnen worden afgeleid op analoge wijze als de vergelijkingen van § 1. Door projectie op d' vindt men: Z cos + r cos ö = d\ welke vergelijking voldoende is om den stand van het mecha- nisme te bepalen. Noemt men weer cos = x , cos ö = 2/ , dan is lx + ry = d' een rechte lijn, waarvan elk punt overeenkomt met een ^iani van het mechanisme, en die van de positieve assen stukken afsnijdt, omgekeerd evenredig met l en r. Voor verschillende verhoudingen van Z en r verkrijgt men verschillende rechten , waarvan echter de punten , die buiten het vierkant vallen , dat door de lijnen rr=±:l, y = zhl be- grensd wordt, geen bestaanbare standen geven. Elke lijn moet van de assen positieve stukken afsnijden om met een bestaanbaar mechanisme overeen te komen. Digitized by Google X y 1 1 1 - 1 -1 1 - 1 - 1 247 11. Doet men de stangen Z en r Yan een mechanisme even- redig toe of afnemen, dan zal telkens als de lijn door een der hoekpunten yan het vierkant gaat, een bijzondere betrekking tusschen l^ r en d' bestaan. Voor een lijn gaande door het hoekpunt heeft men de betrekking: d' = l + r (1) d' = i — r (2) d' = r— Z(3) rf' + r + i = O (n), (dus d'=0, ?=0, r=0). 12. Schrijft men bij de hoekpunten van het vierkant de nummers van de betrekkingen, waartoe zij aanleiding geven, dan blijkt, dat (1) en (;i) tegenover elkander liggen, en dus evenzoo (2) en (3). De eerstgenoemden geven de betrekkingen aan, vraarbij het mechanisme onbewegelijk is, de anderen die, waarbij Z, r en d' in éen lijn kunnen liggen (wat overeenkomt met het samengevouwen zijn van den vierhoek Z, R, r, d). 13. Yoor een lijn gaande door het punt: m y heeft men de betrekking: 1 O lz=:d' {(S), o 1 r = d'(7), en voor een Ijjn , loodrecht op de lijn x = y\ l^r (5). 14. Wordt een lijn zoo getrokken, dat ze alleen het hoek- punt (1) van het vierkant afsnijdt, dan kunnen x en y, d. w. z. cos^ en cosö, wel + 1 worden, maar niet — 1. Dus kan r wel op d' vallen, maar niet in het verlengde van d', en kan l wel evenwgdig met d' worden in dezelfde richting, maar niet in tegengestelde richting. Alzoo beweegt r over de steunpuntenlijn heen, en oscilleert aan de binnenzijde. Bovendien kan cos = O , of cos O = O , of kunnen beide tegelijk nul zijn (al naarmate de lijn binnen het vierkant een van beide, of beide assen snijdt), zoodat dan r ± d\ of l ± d' kan komen te staan , of wel achtereenvolgens beide ± d' kun- nen komen. Stang { is ± d', als l langs de leibaan valt. Digitized by Google 248 15. Een lijn die de punten 1 en 2 afsnijdt geeft een me- chanisme , waarbij cos de waarde +1 of — 1 niet kan berei- ken , terwijl cos O zoowel +1 als — 1 kan worden. Dus kaïl r geheel ronddraaien , terwijl / niet // d' kan worden. Een Ign, die de punten 1 en 3 afsnijdt geeft een mecha- nisme waarbij r over een boog oscilleert aan eene zijde vao de steunpuntenlijn gelegen, terwgl l evenwijdig aan d' kan zijn, zoowel in dezelfde als in tegengestelde richting. 16. Voor de mechanismen , waarbij R = co en 1 = qo gelden analoge beschouwingen. Noemt men het eindig verschil der stangen T, dan heeft men de vergelijkingen: r = d + r(l), r = d-r(2), r = r«d(3), r = 0(4); d = r (5), d = V (6) en r = V (7), welke ook uit de vergelijking: d cos + r cos ö = Vj of dx -^ ry = V, met behulp van een vierkant zijn af te leiden. 17. Hoe langer het stuk is van een lijn, dat binnen het vierkant valt, des te meer standen kan het mechanisme achter- eenvolgens innemen , en des te grooter is de bewegelijkheid van het stelsel. (Vergelijk het genoemde Jaarverslag.) Men zou dus kunnen zeggen, dat lijnen van dezelfde lengte binnen het vierkant behooren bij mechanismen met gelijke be- wegelijkheid. De lengte van het stuk zou als maat kunnen dienen voor de bewegelijkheid. Bij den vierhoek met eindige stangen zou men de omtrekken van de kromlijnige doorsneden binnen den kubus moeten bere- kenen om twee piechanismen met elkander te kunnen verge- lijken voor wat betreft den graad hunner bewegelijkheid. Digitized by Google D6e ONTWIKKELINGSCOÊFFICIËNTEN, DIE EENI6E OVEREEMOMST MET DE GETALLEN VAN BERNOULLI VERTOONEN, J. 0. KLUYVEE. (lieiden.) Wanneer de breuk e* — 1 naar opklimmende machten van x wordt ontwikkeld, is de coë£Bciënt van x^ de k^* functie van Bernoulli '*^'' (Jfc+l)! 2 ' ;k!'^2! '(ifc — 1)! Al'(k-Sy."' Dientengerolge is x^' = i + srt(0)x* e' - 1 1 en heeft men Toor Ö = a : 6 , x = hy ^ éy - 1 = 1 + f.T,(|),.= i + 5o.(|)|i. Voor a = , 6 = 1 gaan de in deze ontwikkeling voorko- mende getallencoëflSciënten C* Tan even rangnummer, wat hunne volstrekte waarde betreft, over in de getallen van Bernoulli; wij willen nu aantoonen dat men, wanneer a en 6 voorstellen onderling ondeelbare geheele getallen, het gebroken gedeelte der getallen C* op eenvoudige wijze kan bepalen; m. a. w., dat de stelling door Staudt en Clausen aangaande de getallen van Bernoulli bewezen, met eene kleine verandering voor de coëfficiënten Ck van kracht blijft. Digitized by Google 250 Uit de definitie van C*, volgt ^* (t) = - ^*-'> r?7, »«g [1 - (1 - «^>] = De reeks in het laatste lid herleidt zich blijkbaar tot de som der i + 1 eerste termen. Men heeft en Cl is yoorgesteld als de som van A; + 1 gebroken getallen met de noemers l,2,3,...i+l. In de eerste plaats kan men nu inzien, dat het getal -r^k geheel is, wanneer h deelbaar is. Stel A = A + /lc, dan is \ + fx<ih — 1 (uitgezonderd voor A = 4) en men heeft \^k = 4-Dy=o (1 - e'^Y X (1 — e^Y X {6«y(l — e^yy - ' - x -''}. h n Om de termen in de uitkomst der differentiatie te vinden, die niet nul worden , wanneer men y = O stelt, moeten de beide eerste factoren van het product elk minstens ééns gedifferen- tieerd geweest zijn , en deze bewerking levert onmiddellijk den factor A^, welke den noemer h doet wegvallen. Duidt men dus door A ^ B aan , dat het verschil A — B een geheel getal is, dan volgt hieruit —Ta = O {h deelbaar, > 4). h De termen ^T^ ^^ {^4 worden afzonderljjk onderzocht. Uit i% = iW-(a-tbyi volgt dadelijk Digitized by Google 251 Yoor h=: 4 heeft men ^T, = i fa* — 3(a + ft)* H- 3 (a + 26)* - (a + 36)*J = U«* + (« + *)* - (« + 26)* - (a + 3&)*J = - iJfci {a*-i + (a + 6)*-M. Derhalve is voor even a en oneven waarden van A: en van fc in alle andere gevallen is de term geheel. Het gezochte gebroken gedeelte van C* komt dus in hoofd- taak voort uit die termen , wier ranggetal h een priemgetal is. Wg stellen k = p{h—l) + a. {a<h—l). Naast A rt geldt ook blgkbaar = jD%oe">il-e'>y-\ zoodat men door aftrekking vindt i'r^= — [a<'\ar'^^-^^-ll-(h—l)iia + brUa + byi>'-'^^-il + + (h-l\ia + 26)« f(a + 2&)''(»-i) — 1} + . • • + + (a 4- h^rjb)" \(a + r=ni)P(»-" - 10- Aangezien men voor h ondeelbaar heeft kan men eindelijk schrijven Ita = - ra- JaP(*-i> - 1} + (a + 6)" {(a + by^'-'^ - IJ + A A Twee gevallen zijn du te onderscheiden. Ten eerste nemen wij aan, dat in *; = p(A - 1) + a de rest a niet nul is, wan- neer A — 1 op i wordt gedeeld. Thans is voor alle waarden van n Digitized by Google 252 door h deelbaar en er volgt ~Ta ^ o (h ondeelbaar > 2 , h — 1 niet deelbaar op k). h In de tweede plaats kan « = en A; = /o(A— 1) zijn. Als- dan kan nog |-Ta = l-[{aP(*-i) ~ U + \{a + hy^^-^) _ 1 J -j. . . . + geheel zijn, zoo slechts h is een deeler van h en dus geen deeler van een der getallen a, a-\-hy a + 2fc, .... Is echter h niet deelbaar op h , dan bevat één en niet meer dan één der getallen a, o + 6, « + 26, .... den factor h, In dat geval heeft men dus —Ta ^ — T' ^ ondeelbaar > 2, h — 1 deelbaar op i, h niet deelbaar op h). Alles te zamen nemende is er ten aanzien van de ontwikkeling bewezen : Wanneer a en h onderling ondeelbare geheele getallen voorstellen, zijn de coêfficiêoten van oneven rangnummer Csw + if— I geheel (m > 0). Het gebroken gedeelte van den coëfficiënt van even rangnummer Cgw I-t-I is gelijk aan 1 waarin h achtereenvolgens aangeeft de priemgetallen niet deelbaar op h en van dien aard , dat h — \ deelbaar is op 2m '). Eene uitzondering levert de eerste coëfficiënt. Men heeft Mt)- {h. ^) Voor oneTen 3 is 2 het eerste der bedoelde priemgetallen. Digitized by Google 253 De voorafgaande etelling ia blijkbaar eene aitl)reiding van de bekende eigenschap der getallen van Bernoulli , die door Staudt en door Clausen werd gevonden. Voor a = , 6 = 1 wordt C2«(0) = (- 1)— iB« en men vindt B. = (-!)- (1 + 4), waarbg de som nu betrekking heeft op alle priemgetallen > 2 , die voldoen aan de voorwaarde , dat A — 1 deelbaar is op 2m. Uit het voorafgaande zgn nog eenige verdere gevolgtrek- kingen te maken. De beide vergelgkingen geven na eenige herleiding ^TT^n- = ("-«'> + ? (ï+-i) Xïï' en daar volgens de bewezen stelling o.,.(|)^o.,.(^). besluit men, dat in de ontwikkeling de coëiBciënt ^^ na vermenigvuldiging met k -{- l een geheel getal moet opleveren. Ten aanzien dezer coëfficiënten gt is nog iets anders te vinden. Men heeft ^y _ e«iy . e«iy -f e(«i + i)y -}-... e(« - i)y ^* = *^^=«7i~T = ^^^=^1 + ey + .«y + . . . e(*-i)^ en daaruit volgt Ai waarin Ai^ een geheel getal beteekent. Digitized by Google 254 Op deze wgze is ten aanzien der ontwikkeling waarin a en ai elk voor zich ondeelbaar zijn met b , de volgend uitkomst yerkregen: De coëfficiënt gt is geheel, wanneer A; -|- 1 ondeelbaar i met J^. Voor de andere coëfficiënten bestaat het gebreke: gedeelte uit breuken, wier noemers gemeenschappelgk deelers zijn yan A; -f- 1 en yan b^. Yoor ai = O kan men weder invoeren de functie van Bemoull /il-T-j. Voor deze functie geldt dan 6* + i(A:41)!A(y) = en verder als 6 en A; -f- 1 onderling ondeelbaar zyn. Digitized by Google R7b, F2h, 8h DB CENTRALE BEWEGING EN DE PÜNCTIÊN VAN WEIERSTEASS, G. SCHOUTEN. (Delft.) De yersohillende geyallea van centrale beweging , die in deel XIII van dit tgdschrift behandeld zgn door middel yan de elliptische function yan Legendre en Jacobi, laten zich natuurlgk ook uitwerken in functiën yan Weierstrass. Daar deze in haar soort de eenyoudigste function zijn, is het te yoorzien, dat de toepassing er yan aanmerkelijke yoor- deelen zal opleyeren. Inderdaad springt dit reeds in 't oog uit het yoorbeeld, dat ik hier ga behandelen , en waarbij de beweegkracht standyastig wordt ondersteld, zoowel door den meer geleidelijken en daar- door meer gemakkelijken gang yan het onderzoek , als door de meerdere doorzichtigheid der formules. In deel XIII heb ik do differentiaalyergelijkingen yan de centrale beweging gebracht onder den yolgenden yorm: -=^==-\d K(2U + A)r^-C2 ~ " ±zdt = Xdu ) . . . . (A) du ±de = AC— r U stelt hierin yoor de krachtfunctie; ^C de sectorsnelheid; ih de totale energie yan het bewegend punt, welks massa gelgk één gesteld wordt; dO is de differentiaal yan den hoek, door den yoerstraal yan het punt beschreven en dt de diffe- rentiaal yan den tijd; r is de lengte yan den yoerstraal yan 't punt; u de nieuwe yeranderlijke , die in de plaats yan r treedt en A een nog te bepalen standvastige. Digitized by Google 256 Is de kracht, die op het bewegende punt werkt, a, daa is de krachtfunctie U = crr, en de differentiaalvergeljjkiogen (A) gaan orer in rfr V2ttr' + hr" — G^ ~ ^^'* ±.dt=\du } . . . . (B) du Om deze te integreeren, stellen we h dan gaat V2ar^ + '^^ — C^ oyer in dr du Kia(4p»«-i,j)«-y,) = p'«Kia, p^=^=p=| in ^, waarin zijn. De discriminant ^ = g^ — ilg^ gaat hier over in h 2(? Stellen we verder -— = pa, dan is p''^a =. Voor a>0 en A>0 is J3a>0, p'2^<0, bijgevolg ligt pa tusschen ei en ^2) de beide grootste wortels van h p'^u = 0. Derhalve moet in dit geval -— t= p (w + ia) ge- oa steld worden. Is a > O en A < O, dan is «grg > O, dus ook fej, de eenige bestaanbare wortel van p'^u = O , positief. Omdat p'^a negatief is, moet a in p(a) den vorm ib aannemen. Digitized by Google 25? We hebben dus de volgende differentiaalyergelijkingen t a >0, A >0. a > O, A < 0. r=pu — p(w + ia) \ r = pu-pia V{adt=(pu — p{w+ia))du ( .^ VJadt ^(pu — pia)du I pw — p (w + »a) ; pu — pia In 't geval (C) heeft r de minimum- waarde pw — p(iu + »a) of fi — — voor w == III ; dit is dus de perihelium-afstand. Worden ^ en d gerekend van het oogenblik , dat het punt het perihelium van de baan passeert , dan zijn de integraal- yergelijkingen van (C): a >0, A >0. r = pu —p{(M} + ia) V^tz= ?M — JJü> + (m — w) p(w + ia) n 1 <y(w + w+««) (T(—ia) tO = lg— 7 r^ . -7-7 TT — 2(m — üi)JJ(w + ta) (E) Yoor u = O worden r en ^ beiden oneindig groot , terwijl dan (T (i(i) O gegeven wordt door Oi = Ig + 2w ?^(ü> + fa) = = i l{2n + l)fl. _ 2ai| - 2cü?a + w -^^^) • \ ex + pal De baan heeft dus twee asymptoten , welke door het centrum — p'a gaan en een hoek 29 == 4a?j + 4iu2a — 2(ii — - insluiten. ^1 +i?a In 't geval (D) bereikt r de minimum-waarde pwg — pia of _A 6a het oogenblik, dat het punt hefc perihelium passeert , dan zijn de integraalvergelijkingen van (D): a >0, A < O r =zpu — pia V\a ^ = ?M — JJcij + (" — «^2) P^« 2 — -^ voor u = ciig' Worden ook hier ^ en O gerekend van .<'(«* + *«) <y (<^2 — *öi) ^ . . ^. f ö = ig ; ^ .; . )\^[ -2{u — w^i: %a (T (m — m) <T (wa + *a) (F) 17 Digitized by Google 258 Voor u = O worden rent beiden oneindig groot, terwgl dan O ge- vonden wordt uit ie = Ig - '^ i^^ Z'^\ + 2^2 Zia = ♦ ((2/1 + 1> - 2„,a - 2c.2fa). De baan heeft dus twee asymptoten , welke door het centrum gaan en een hoek 29 = 4ari2 + 4(i;2^a insluiten. Het bijzondere geval a > O , A = O, w «TM 1 / ir \' w* ^"=2a;''**2o,+¥y"' ^'" = "=12;;;' p« = ffu = e« v»"/ — 8in -— ; ir 2«tf p(. + ,-a) = -A = l(J^) = (^f 1 _ 1' 31' j sin* ^ (« + »«) duB Bin»^(w + to) = f ; 0082^(0» + fa) = — f Hierdoor gaan de integraalTergelijkingen (E) orer in 3 \ 2w 1/7- i w wM ir* , ir sin — (w 4- w + *öt) e0 = ]g — ^ 2(fi - w)-^ cot-^(w +w) ir , . . 2<o 2io sin-— (w — üi — ta) 2(11 Digitized by Google 259 K 3 C08 — — }- f sin — - K 3 cos t sin -— 201 2bi nu = f|(2« + l)ir--^ï^ + bgtg 1 +2C0B — De hoek tusschen de asymptoten is dus 2 - K ÏÏ K3 Deze uitkomst moet ook gevonden worden door rechtstreek- sche integratie van de diiFerentiaalvergelijkingen , welke in dit geval zjjn, omdat 2ar^ + hr^ r— 0^ hier overgaat in ^hm-i)- yT.{r + ±)]/r- dr = Xdu A 6a dt = Xrdu r Gaan we nu over tot de beschouwing van a < O, dus tot het geval , dat de kracht aantrekkend is. Is a < O , dan moet A > O en A > O zjjn. De differentiaalvergelijkingen (G) schrijven we nu als volgt: a< 0. h V—^ad9 =- C ' ~ A 6a 17« Digitized by Google 260 Hieruit volgt , dat u van den vorm iv + standvastige moet genomen ^r orden, en wel van den vorm iv -|- cd, omdat r positief moet blijven. Stellen we weer ^— = pa , dus p'^a = 6a a 1 dan is pa <C O en p'^a >0, bijgevolg zal p'x tusschen de kleinste wortels e^ en e^ van p'^u = O gelegen zijn en a van den vorm w' + a wezen. De differentiaalvergelijkingen gaan dan over in r = p{iu + w) — p (w' + a) V^^adt = {p(iu + w) ^ p(w' + a))du I jg^ -p'{iü' + a)du p (tl* + oi) - p (w' + a) r verkrijgt voor iu = O de maximum-waarde pw - p («' + a) = éJ, - — en voor iu = o/' de minimum-waarde p{(o + w') - p{io' + a) = e^ — —' De eerste is dus de aphelium-afstand , de tweede de perihelium- afstand. Worden ^ en gerekend van het oogenblik , dat een aphelium wordt gepasseerd, dan zgn de integraalvergelgkingen : a<0. r =p (il* + (o) — p(jü' + a) V'^^t = iZ(a, + iu)-\-up{a,'+a)-ifi=Zu+upiw'+a) + -=^^ % ff(üi + «M — w — a) ff(üi+cM+a) Voor iu = w' wordt het volgende perihelium bereikt; daartoe is noodig de tgd r, gegeven door | terwijl de voerstraal daarbg een hoek 9 heeft beschreven, welke gegeven wordt door Digitized by Google 261 $ «T (w — a) ff (w + w + fl) » i t \ 2 eo — l)al paf De baan is dus geregeld gegolfd , de afstand van 't perihelium w ^2 — " •^~' ï di® ^*^ t®^ aphelium «i •— -^- • 6a üa Het bgzondere geval A = 0. Dan is jTg = — < O, dus é»-» > O, bggevolg f^ = f, = - ^e^, a De perihelium- en de aphelium-afstanden worden onderling gelgk, de baan is dus een cirkel. Dit volgt ook uit de di£Ferentiaalvergelgkingen (B) , welke in dit geval overgaan in dr = \du ^^hëfl^ dt = \rdu du I dB = XC^ r Omdat toch r negatief is, kan aan de eerste vergelnking oo niet anders voldaan worden dan door r = — -;r- = standvastig. oa Digitized by Google I2a OVER HET KLEINSTE 6EMEESE VEELVOrD VAN MEER DAN TWEE GETALLEN, E. D. J. DE JONGH Jr. (Kampen.) 1. Bekend is de eigenschap, dat het K. O. Y. van 3 getallen gelijk is aan het gedurig product van die getallen, yermenig- Yuldigd met hun O. G. D. en gedeeld door het gedurig product van de grootste gemeene deelers dier getallen, 2 aan 2 geno- men. -— Deze eigenschap kan gemakkelgk bewezen worden. Ook is bekend de eigenschap, dat het E. G. Y. van 4 ge- tallen gelijk is aan het gedurig product dier getallen, verme- nigvuldigd met het gedurig product van de grootste gemeene deelers dier getallen, 3 aan 3 genomen en gedeeld door den G. G. D. dier getallen, vermenigvuldigd met het gedurig pro- duct van de grootste gemeene deelers dier getallen, 2 aan 2 genomen* — Het bewijs voor deze eigenschap is eenigszins ingewikkelder. 2. Nu doen deze eigenschappen de vraag rgzen, of men op soortgeiyke wijze voort kan gaan en het vermoeden is niet ongewettigd , dat op dergelijke manier ook het K. G. Y. bepaald kan worden van 5 en meer getallen. Het onderzoek hiernaar wordt echter — als men den gewonen elementairen weg inslaat, die voor 3 en 4 getallen gebruikelgk is — reeds voor 5 getallen al te ingewikkeld en voor meer getallen geheel onuitvoerbaar; het is daarom , dat ik getracht heb het bestaan van soortgelijke eigenschap algemeen aan te toonen, d. w. z. een algemeene formule te vinden om van n getallen het K. G. Y. te bepalen, waarvan de formules , die de bovengenoemde eigenschappen voor 3 en 4 getallen uitdrukken , slechts bijzondere gevallen zijn. Digitized by Google 263 Inderdaad is het mij mogen gelukken, de nayolgende eigen- Bcjiap te vinden en de waarheid daarvan aan te toonen: ^Het K. G. Y. van n getallen is gelijk aan het , gedurig product dezer getallen, maal het ge- „durig product van de grootste gemeene dee- ,lers van de getallen 3 aan 3, 5 aan 5 enz. ge- „nomen en gedeeld door het gedurig product „van de grootste gemeene deelers van de getal- „len 2 aan 2, 4 aan 4, 6 aan 6 enz." 3. Laat gegeven zijn de n getallen «i> ör2» ^3> • • • • ör„. Stellen we den G. G. D. van Oi en a* voor door giky verder het gedurig product van de grootste gemeene deelers van de getallen, k aan k genomen, door Gj, het K. G. V. van de eerste n — 1 getallen door K„ _ i en dat van alle n getallen door E„, dan wordt bovenstaande eigenschap uit- gedrukt door de formule ^ ^ (a.g,«,....a.)x(GXGl...vG:-^) g:q:o;....g: voor 't geval n even is en door (axa2^, ....an)x (QlQJQl ....01) voor 't geval n oneven is. GJGJGJ g; 4. Alvorens de waarheid van deze formules aan te toonen , zullen we eerst een hulpeigenschap bewijzen, nl. „De G. G. D. van het K. G. F. van een groep van „n — 1 getallen en een ander getal is gelijk aan het K. G. F. jfVan de grootste gemeene deelers van elk der n — 1 getallen jfVan de groep en het andere getaV^ Of, met inachtneming van de aangenomen notaties: „De G. G. D. van Kn^\ en a„ is gelijk aan het K. G. F, jfVan g\n^ gsny gZny • • • • S^C»-!)/!-" Digitized by Google 264 Bewijs. K».i is deelbaar door elk der getallen a^^ c^^ ^3 9 • • • Oii.i en is dus ook deelbaar door |7iji, guf ffznj • • • ff in — i)»* a» is ook deelbaar door guy g%ny g^ny . • .j'di-i)». En daar een gemeene deeler van twee getallen deelbaar is op hun G. G. D., is de G. G. D. yan E»_i en a» een gemeen veelvoud van guy g^ny g^u^ ... ffin-Dn- Blijft nog over te bewgzen , dat deze G. G. D. van E».i en a« het kleinste gemeene veelvoud is van gu, g^y gznj ... g(n^i)n. Stellen we daartoe: Oi = 5^1» X oi ; 0^2 = i's» X "2 ; • • • • ör«-i = gin^Dn X a«-i, dan kunnen we (omdat En.i en a» beide deelbaar zijn door giny g%n} gin - • • ' ffin-Dn) ZCggOn : K»«.i = (K. G. V. van guy g^n, g^H > • > » g(H^i)n) vermenigvuldigd met een zekeren factor (i en o„ = (K. G. V. van gu^ g^nj gzn - > > * 9in-i)n) vermenigvuldigd met een zekeren factor o». Of, als we het K. G. V. van g^y gz», g%n 9{n-\)n voor- stellen door E(M.i): E,«a = E(««i)X/3 en a„ =: E(» - 1) X o». Omdat nu E(»-i) alle factoren van gx^^ gu, g%n 9{n^\)n bevat maar geen andere, bevat )3 enkel factoren, die voor- komen in O], 02, 03 ... . o»_i en geen andere. o» daarentegen bezit geen enkelen factor, die voorkomt in ^\* O'i^ 02 . . . . a» — 1, want indien b.v. ok en on een factor gemeen hadden, zou de G. G. D. van a^ en a» niet gin zgn, maar gin vermenigvuldigd met dien factor. /3 en Oh zgn dus onderling ondeelbaar en hieruit volgt de waarheid van de hulpeigenschap: De G. G. D, van Kn^i en a^ is K(n-iy 5. Na deze uitweiding keeren wij terug tot onze eigenschap, in § 2 genoemd en in § 3 geformuleerd, en gaan nu aantoo- nen , dat als deze eigenschap waar is voor n — 1 getallen , zij ook doorgaat voor n getallen. Digitized by Google 265 Nemen we nu yoor een oogenblik aan , dat de waarheid van onze eigenschap bewezen is voor de getallen a, , aj, ög • . . . a,-!, dat dus bewezen is waarbij — zonder dat dit aan de algemeenheid te kort doet — n even ondersteld is, en waarbij voor nu en 't vervolg wel in 't oog gehouden moet worden, dat even als bij E»^i ook bij G|[.i de aanwijzer n — 1 niet ziet op w — 1 willekeurige getallen uit de gegevene , maar wel degelijk op de eerste n — 1 gor tallen — nemen we nu, zeg ik, deze formule als bewezen aan, dan krijgen we E» door het K. G. Y. te zoeken van Kn.i en a. en dit is ffelijk aan K«-i X a, gedeeld door den G. G. D. van K«-i en a». Volgens de hulpeigenschap van § 4 is echter deze G. G. D. aan E(«^i), zoodat we hebben: E„-i X an A(,-i) Indien de formule voor En-.i waar is, hebben we analoog (indien we door G^^Li voorstellen het gedurig product van de grootste gemeene deelers van guj guj i's» • • • • g^n^Dny k aan k genomen) (9in9ün9. (7(.-i)«) X (GlfLiGifLiGL'Li .... Q':il') X(«-i) = De formule K,_i X a„ K.= K,._ (•-1) gaat dan over in:. _ (q.g,a3 . . . fl.) X (GÜ- i GLiGLi • • • G'nZl) g:_,gi.,g1_,...g:=ï "" (Sugugu . . . i^(.-i).) X (G<'iiGi,'ii . . . GS.r?G<rrx'>y Digitized by VjOOQ IC 266 6. Laat ons trachten deze formule te herleiden. De G. G. D. van de m getallen or*, off, a* ... Oy en a« is dezelfde als de G. G. D. van de m — 1 getallen ghui !fU^ gkn • ' ' g^ny m. a. w. de G. G. D. Tan m getallen, waaronder a» yoorkomt, is dezelfde als de G. G. D. van m — 1 getallen, die — elk op zijn beurt — weer de grootste gemeene deelcrs zijd van Qn en elk der andere getallen. De grootste gemeene deelers yan de getallen ö^ii «a» ^3 • • • • ö»> 3 aan 3, 4 aan 4, 5 aan 5, .... m aan m genomen, krijgt men dus door bij de grootste gemeene deelers van Öfi, «2, «3 . . . . o««i, 3 aan 3, 4 aan 4, 5 aan 5, .... m aan m genomen, te voegen de grootste gemeene deelers van guy gitti gu • ' ' • j^c»— d», 2 aan 2 , 3 aan 3 , 4 aan 4 , .... m — 1 aan m — 1 geno- men, dus ook: Schrijven we nu de in § 6 voor E» gevonden formule als (g.g^e,, ...«,) X (G;_iGi'Li) X (OLiQ^ij X ... X (G-jGSTi") " (f^l-x^gmg ^(.-i),)x(GLxGi.''2i)x(G«_iGifii)x...x(G:i?G<ri'^)Gi passen we hierop de zooeven genoemde formule voor Qi^ toe en houden we tevens in het oog, dat dan krijgen we: (a,«r,flr,...a.)x(GfG:G^..Gr') K,= g2g:g: . . . g: En hiermede is bewezen , dat als onze eigenschap waar is voor n — 1 getallen, zij ook doorgaat voor n getallen. Ku weten we, dat ze geldt voor 3 getallen; door bet vorenstaande betoog is thans uitgemaakt, dat ze ook geldt Digitized by Google 267 Toor 4^ 5 ... .9 in één woord voor een willekeurig aantal getallen. Bovenstaande eigenschap uit de Bekenkunde, waarvan — voorzooyer ik weet — nergens melding wordt gemaakt en die dus vóór dezen niet bekend schjjnt geweest te zijn, is misschien belangrijk genoeg om haar niet der vergetelheid pr jjs te geven ; yandaar, dat ik mij veroorloof haar langs dezen weg in wijderen kring bekend te maken. Digitized by Google K14e, ea, g DE 0PVULIIN6 DER KIJIMTE DOOR REGELMATIGE EN HALF- REGELMATIGE LICHAMEN. P. J. VAES. (Kotterdam.) 1. Men denke de ruimte opgevuld door kuben van gelijke afmeting , welker zijvlakken elkander twee aan twee volkomen bedekken, en beschouwe acht van zulke kuben, die een hoek- punt gemeen hebben, en die dus een kubus vullen Tan de dubbele afmeting. Als naby het gemeenschappelijk hoekpunt elk van deze acht wordt afgeknot door een plat vlak, dat van de ribben even- groote stukken afsnijdt, dan sluiten de acht zijvlakken een regelmatig achtvlak in. Bij elk hoekpunt van elk der kuben kan men die afknotting volvoerd denken. Denkt men de afgesneden stukken van nul af grooter wordend, dan komt er een oogenblik, dat elk der kuben is overgegaan in het half-regelmatige lichaam ^ , 8 ^) , dat dus de ruimte op- vult met behulp van regelmatige achtvlakken. Daar van eiken kubus acht stukjes afgaan, die samen een achtvlak kunnen vormen, zijn er evenveel achtvlakken aan- wezig als lichamen ^, 8. 2. Groeien de afgesneden stukken aan tot de helfk der ribbe van den kubus , dan zijn andere half-regelmatige lichamen ont- ') Deze notatie is ingevoerd in de Congreslezing van April 1899. Zij betee- kent dat de kubus (6-vIak) wordt afgeknot door een regelmatig 8-vlak op — • der ribben , waarbij n niet gelijk 2 of 3 is , maar een onmeetbaar getal dat berekend moet worden. Digitized by Google 269 staan , namelijk f , f (waarvan de hoekpunten de middelpunten zgn van de zijvlakken van een ruiten twaalf vlak) , welke das eTeneens met behulp van een gelijk aantal achtvlakken de ruimte opvullen. Telkens twee achtvlakken hebben een hoek- punt gemeen, terwgl de hoofddiagonalen, door dat hoekpunt gaande,' in elkanders verlengde liggen. 3. Bij verder aangroeien van de afgesneden stukken, dringen twee zulke achtvlakken in elkander, zoodat elk ervan wordt afgeknot tot een veertien vlakkig lichaam, begrensd door vier- kanten en (niet-regelmatige) zeshoeken, terwijl ook elk der kuben overgaat in een veertienvlakkig lichaam, begrensd door vierkanten en (niet-regelmatige) zeshoeken. Een zijde van een op een afgeknot achtvlak gelegen vierkant is ook zijde van een op een afgeknotten kubus gelegen zeshoek, en omgekeerd, zoodat als de op een achtvlak gelegen vier- kanten , door aangroeiïng der van de ribben van den kubus af- gesneden stukken, evengroot zijn geworden als die van den kubus, de zeshoeken op de achtvlakken zoowel als die van de kuben gelijke zijden zullen hebben; en dus (wegens de sym- metrie) regelmatig zullen zijn. Blijkbaar zijn nu de veertienvlakkige lichamen 6, f aan- wezig, waarmede Lord Eelvin de ruimte opvulde {Nature^ April 1894), en waarvan het aantal dus gelijk is aan tweemaal het oorspronkelgk aantal kuben. Daaruit volgt onmiddellijk, dat de inhoud van zulk een lichaam de helft moet zijn^ van den kubus , waarin het geplaatst is *). 4. Door verdere aangroeiïng van de afgesneden stukken kan men elk der vierkanten op de kuben doen inkrimpen tot een punt, zoodat van eiken kubus alleen het ingeschreven achtvlak is overgebleven , doch dan zijn de veertienvlakkige lichamen , die uit de achtvlakken ontstaan waren, aangegroeid tot de halfregelmatige $, |. 5. Door nog verdere aangroeiïng ontstaan weer (kleinere) achtvlakken met de halfregelmatige lichamen — , 8, en als men >) Men zie de Verslagen der Kon. Acad. van Wet. 1894/95 deel III en Kieuw Archief, 2" reeks, 4* deel, Digitized by Google 270 de achtdakken tot eea punt Iaat afaemen , verkrijgt men weer een opvulling met kuben, zoodanig dat de hoekpunten vallen in de middelpunten der oorspronkelijke, en omgekeerd. Men heeft dus achtereenvolgens ruimte-opvulling door: I. p kuben. II. p lichamen ^, 8 + p achtvlakken. IIL p lichamen ji , f + j? achtvlakken. IV. 2/? lichamen 6, f. Y. p achtvlakken + p lichamen }, §. VI. p achtvlakken + p lichamen -^, 8. VII. p kuben. 6. Uit de in No. 2 aangegeven opvulling van achtvlakken met lichamen ^ , | is onmiddellijk een andere opvulling af te leiden. Als men namelijk de hoekpunten van een der laatstgenoemde lichamen met het middelpunt ervan verbindt, en door twee opeen- volgende verbindingslijnen vlakken brengt, dan verdeelen deze het lichaam in acht viervlakken en zes vierzijdige pyramiden, waarvan alle ribben even groot zijn (namelijk gelijk aan de halve oppervlak-diagonaal van den oorspronkelgken kubus), zoodat de viervlakken regelmatig zijn, en telkens twee vier- zijdige pyramiden van twee aan elkander sluitende lichamen |, f te samen een regelmatig achtvlak vormen. Blijkbaar is de ruimte dus op te vullen met achtvlakken en viervlakken. Daar eerst p lichamen \ , f aanwezig waren en p achtvlakken , en elk der eerstgenoemde lichamen acht vier- vlakken levert, en zes halve, dus drie geheele, achtvlakken, zullen er aanwezig zijn Ap achtvlakken en %p viervlakken. j 7. Ten einde de vooretelling te verduidelgken , denke men een plat vlak (gemakshalve horizontaal), opgevuld met vie^ kanten van dezelfde afmeting, zoodanig dat de ribben door- loopende lijnen vormen , en beschouwe de zijden dier vierkanten als ribben van regelmatige achtvlakken , dan hebben dus telkens vier van die achtvlakken één hoekpunt gemeen , terwijl telkens twee hoofddiagoualen in elkanders verlengde vallen. Digitized by Google 271 Men zal dan een vijfde en een zesde achtvlak zóó kunnen plaatsen , dat een hoekpunt samenvalt met het gemeenschappe- lijke hoekpunt der eerste vier, terwgl zij telkens een ribbe gemeen hebben met een van die vier. De voorstelling is misschien nog eenvoudiger, als men zich. een aantal achtvlakken naast elkander geplaatst denkt als aan- gegeven , dus zoodanig dat een plat vlak opgevuld wordt door yierkanten, gevormd door telkens vier der ribben van de achtvlakken, en nu een tweede dergelijk samenstel op het eerste legt, zoodanig dat de hoekpunten der achtvlakken, die zich onder het tweede horizontale vlak bevinden, samenvallen met de hoekpunten der vierkanten in het eerste viak , en omge- keerd de hoekpunten van de achtvlakken boven het eerste ?lak, komen in de hoekpunten der vierkanten van het tweede vlak. Het valt onmiddellijk in het oog, dat tusschen twee acht- vlakken van het eerste samenstel, en twee van het tweede, welke twee aan twee een ribbe gemeen hebben, een ruimte overblijft, begrensd door één zyvlak van elk der vier acht- vlakken; en dus blijkbaar van den vorm van een regelmatig viervlak. 8. De opvulling der ruimte door achtvlakken en viervlakken FigL blgkt ook uit een projectieteekening (fig. 1), waarin de ge- Digitized by Google 272 arceerde achtvlakken blijkbaar niet aansluiten tegen de andere , doch ruimten openlaten van den vorm van fig. 2. s Fig 2. 9. Denkt men elk viervlak verdeeld in vier driezgdige pyramiden, die het middelpunt van het viervlak als top en de zijvlakken als grondvlak hebben, dan blijkt, dat tegen elk achtvlak acht zulke vierdedeelen van een viervlak aansluiten, zoodat bij eik achtvlak twee vier vlakken behooren , zooals reeds in No. 6 op andere wijze was aangetoond. (In het algemeen als p-vlakkige lichamen met j-vlakkige licha- men de ruimte opvullen, zoodanig dat elk zijvlak van een p-vlak aansluit tegen een zijvlak van een ^-vlak, en omgekeerd, dan is de verhouding van het aantal j)-vlakken tot het aantal ^-vlakken ah p : q. Als van de p- vlakken telkens r zijvlakken aansluiten tegen andere i?- vlakken , en dus slechts (p — r) zgvlakken tegen ^-vlakken, dan is de bedoelde verhouding als {p — r) : q. Enz.) 10. Zoowel uit de laatstbesproken opvulling der ruimte door acht vlakken en viervlakken als uit de oorspronkelijke opvulling door kuben, is een andere ruimtevulling af te leiden, die (meetkundig) gesteld kan worden naast die van Lord Kelvin, namelijk door ruitentwaalf olakken. Want elk achtvlak vormt met de acht daaraan grenzende vierdedeelen der viervlakken eenrl2, zooals gemakkelijk blijkt als men het rl2 beschouwt als omhullende van het achtvlak '). 1) Men zie de vermelde Congreslezing en de brochure „Het onderling verband der regelmatige lichamen en twee der haJf-regelmatige.*' Leiden Sijthoff 1899 Digitized by Google 273 11. Daar liet rl2 ook te verkrggen is door omhuUing yan een kubus , zal men ook van een beschouwing van een ruimte- opyulling door kuben kunnen uitgaan. Denkt men tegen elk der zg vlakken van een kubus een even groeten kubus geplaatst, dan zgn de hoekpunten van den eersten en de middelpunten Yan de zes andere de hoekpunten van een rl2. Dergelgke aamenstellingen van zeven kuben denke men zoo geplaatst dat twee kuben van een der samenstellingen samenvallen met twee Tan eene andere. De middenkuben komen dan zoo te staan, dat telkens twee een ribbe gemeen hebben, en de diagonaal- Ylakken door de ribbe samenvallen. Om elk der zes aansluitende kuben van een samenstel liggen dus zes middenkuben. Denkt men zich de middenkuben in hun geheel, en de andere kuben verdeeld in zes regelmatige pjramiden, waarvan de zg vlakken grondvlakken zijn, dan blgkt daaruit de opvulling der ruimte door rl2. 12. Het voorgaande is korter te zeggen, wanneer men de benamingen invoert: aanliggende y omliggende en aangrenzende kuben voor de zesy twaalf en acht kuben, die in een ruimtevulling door kuben met een gegeven kubus een zijvlak j een enkele ribbe of een enkel hoekpunt gemeen hebben« Want dan kan men het in No. 11 vermelde als volgt in woorden brengen: Omhult men een der kuben van een ruimteopvulling, en de twaalf omliggende; daarna de omliggende van elk der laatst- genoemde twaalf, enzoo voort, dan wordt elk der aanliggende kuben in zes deelen verdeeld zonder eenig overschot. (De kuben, die hierbij als aanliggend beschouwd worden, zijn ten opzichte van elkander aangrenzend.) Duidelgk blijkt, dat in de middelpunten der aanliggende kuben zes rl2 samenkomen, terwijl in de hoekpunten der omliggende vier van lichamen aaneensluiten , doordien zulk een hoekpunt tot vier omliggende kuben behoort. 13. Op nog twee andere wijzen kan men de opvulling der ruimte door rl2 aantoonen. Vooreerst door op te merken, dat als men twee rl2 tegen elkander plaatst, zoodat twee 18 Digitized by Google ^ 214 zg vlakken samenvallen, op elke ribbe van die zg vlakken nog een hoek van 120^ overblgft (daar de standüoek vad het rl2 120^ is), waarin dus een derde rl2 kan geplaatst worden, zoodanig dat twee zijvlakken ervan samenvallen met een zgvlak van het eerste en een zgvlak van het tweede. Ten tweede kan men het rl2 zóo projecteeren op drieMdSsrHng loodrechte vlakken , dat de drie projecties vierkaülW zgn met de lijnen, die de middens der overstaande zgdett verbinden (fig. 3). Fig. 3. Plaatst men vier rl2 tegen elkander, zoodat elk ervan éen zgvlak gemeen heeft met twee andere en éen hoekpunt met een vierde 9 dan kunnen een vgfde en een zesde rl2 zoodanig ge- plaatst worden, dat éen hoekpunt in het eerstgenoemde hoekpunt valt , en de vier zg vlakken samenvallen met een zgvlak van elk der eerste vier rl2, zooals onmiddellgk blgkt uit de arceering. 14. Terwijl het rl2, en hefc lichaam 6, f de eenige half- regelmatige lichamen zgn, waarmede de ruimte kan worden opgevuld , en een vgftal ruimte vullingen met twee soorten licha- men besproken werden, kunnen nog andere opvullingen met drie soorten lichamen worden aangegeven. Bg de opvulling door achtvlakken en viervlakken komen in elk hoekpunt zes achtvlakken en acht viervlakken samen. Knot men deze af door vlakken, die van in éen punt samen* komende ribben gelijke stukken afsngden, dan sluiten deze vlakken het veertienvlakkige lichaam ^-, | in (daar elk acht- Digitized by Google 2^75 flak een vierkaat^ Mt elk yier?lak een driehoek als grensvlak Wordt de af knot ting bg elkr ktikfiunt uitgevoerd, en neemt men de a^esneden stukken gelgk aan «Mik derde van de ribben , dan gaat elk achtvlak over in het lichaam 6, f ^PwaLord Kelvin, en elk viervlak in het half-regelmatige lichaam |» 4ibe^rensd door yi^ driehoeken en vier zeshoeken). 15. Om na te gaan hoeveel lichamen van elke soort aan- wezig zgn, merke men op, dat bg de opvulling door achtvlakken en viervlakken het aantal hoekpunten gelgk moet zgn aan het aantal achtvlakken. Immers heeft elk achtvlak zes hoekpunten , en telkens zes hoekpunten komen samen, zoodat men van elk achtvlak éen hoekpunt kan beschouwen als een punt van het «amenslel , waarin vijf andere worden opgenomen zonder mede te tellen. Daar er p achtvlakken waren met 2p viervlakken, zullen er nu zijn: p lichamen $,.| + p lichamen 6, f + 2j> lichamen f, 4. 16. Als men bg de af knotting de deel vlakken door de mid- dens der ribben legt, dan gaan de achtvlakken over in de lichamen §, §, en de viervlakken in regelmatige achtvlakken , zoodat men de opvulling van No. 5 terugvindt, en wel: 2p lichamen $, f + 2|> regelmatige achtvlakken. 17. Wanneer men bg de opvulling door rl2 deze af knot tot de halfregelmatige lichamen rl2; f, 6 (begrensd door achttien vierkanten, welke drie onderling loodrechte gordels ieder van acht vierkanten vormen , en acht driehoeken) , dan ontstaan bg de punten, waar zes rl2 samenkomen, kuben, én bij de andere regelmatige viervlakken. In eerstgenoemde punten komen slechts scherpe hoeken van zijvlakken samen , in laatstgenoemde slechts stompe hoeken. Omdat elk rl2 zes hoekpunten heeft waar scherpe hoeken samenkomen en telkens zes van zulke punten samenvallen, zal in verband met het in No. 11 besprokene het aantal van die hoekpunten juist gelgk zijn aan het aantal rl2. Omdat elk rl2 acht hoekpunten heeft, waarin stompe hoeken samenkomen, en telkens slechts vier daarvan samenvallen, zal 18* Digitized by Google S7e het aantal Tan sulke hoekpunten het dubbele zgn yan het aantal rl2. Na de af knotting zal men dus hebben: p lichamen rlÜ; |, 6 + p kuben + 2p yiervlakken. 18. Wanneer men yan 6 in éen punt samenkomende rl2 twee oyerstaande laat aangroeien, zoodat ze in elkander drin- gen, en dus elkander af knotten, dan yerkrggt men eyeneens lichamen rl2; f, 6, die nu echter op andere wgze geplaatst zgn dan in het yoorgaande geyal. Om zich yoor te stellen, wat er yan de andere rl2 oyerblgft, is het gemakkelgker zich acht afgeknotte rl2 tegen elkander geplaatst te denken^ zoodanig dat telkens twee kubus-yierkanten tegen elkander sluiten '). Dan ziet men, dat tusschen telkens yier der lichamen een kubus geplaatst kan worden, waaryan yier der zgylakken aan- sluiten tegen rl2-yierkanten , die met de acht eerste lichamen samen een ruimte insluiten , waaraan elke kubus een yierkant, en elk der andere lichamen een driehoek als grensylak geeft, en welke dus een lichaam §, f kan beyatten. Omdat elk der acht eerste lichamen twaalf kuben draagt, en elke kubus slechts aansluit tegen yier yan de eerste lichamen, moet het aantal kuben een derde deel zgn yan het aantal der andere lichamen. Omdat elk der acht eerste lichamen acht driehoeken draagt, en elk lichaam f, | eyeneens, zullen er eyenyeel lichamen yan elke soort zgn. Men heeft dus p lichamen rl2, i, ^ + ^ p kuben + p lichamen |, f. ^) In elk zijvlak Tan een rl2 kan men een vierkant beschreven denken. 