Nieuw archief voor wiskunde
Digitized by Google lÈa OVER HET KLEINSTE ÖEMEENE VEELVOUD VAN MEER DAN TWEE GETALLEN, (üit een brief van den Heer N. L. W. A. GtRavelaar aan de Redactie.) De door deii Heer E. D. J. de Jongh Jr. behandelde eigen- schap van het K. G. V. van eenige getallen (Nieuw Archief, V, p. 262—267) komt reeds voor: 1^. met een direct bewijs zonder inductie , in: LeBesgue, Exercices d'ana) jse numérique , Paris, 1859, pp. 31-32, XXXI; 2^^. met hetzelfde bewijs als bij Le Besgue , in : Lucas, Theorie des nombres, Paris, 1891, pp. 369- 370, Ex. IV ; 3^ overgenomen uit Lucas, vermeerderd met de overeen- komstige eigenschap van den G^. Q. D. van eenige ge- tallen, medegedeeld zonder bewjjzen, maar onmiddellgk yoorafgegaan door de toe te passen hulpstelling over binomiaalcoëfficiënteu , in : Gravelaar, Opgaven ter toepassing van de theorie der rekenkunde, le stukje, Groningen, 1896, p. 67, nos. 719 en 720. V9, L»6b ERRATUM, In het levensbericht van J. W. Tesch, opgenomen in dit deel van het Nieuw Archief^ blz. 310—316, is in regel 6 en 7 Digitized by Google 390 van biz. 323 de uitbreiding der stelliog ran Joachimsthal aan DE L0NGGHA.MPS toegeschreven. Dit is onjuist. Zoo als o.a. uit de behandeling der bedoelde stelling in de Longohamps ^Oéoméêrie analytique h deux dimensions'^ blijkt, is de aange- wezen uitbreiding afkomstig van Eo. Laquerre, over wiens leven en werken men een opstel van E. Rouché in het 56"^ cahier van het , Journal de l'École poly technique" van 1887 raadplegen kan. P. H. SCHOUTE. Digitized by Google BIBLIOGEAPHIE. Géométrographie ou art des coostructioDs géo- métriqucB, par Emile Lemoine. Recueil „Scientia", série pli78.-math. fascicule n^. 18, 87 blz. Parijs, C. Kaud, 1902. De bewerkingen, die men verricht bij het construeeren van meetkundige figuren met behulp van passer en lineaal, brengt de schrijver terug tot de volgende : Bewerking B] : het brengen van de kant van de lineaal door een gegeven punt. Bewerking B2 : het trekken van eene rechte lijn langs de in bepaalden stand gebrachte lineaal. Bewerking C, : het plaatsen van de passerpunt in een gege- ven punt. Bewerking C2: het brengen van de passerpunt ergens op eene reeds getrokken rechte lijn. Bewerking C^: het beschrijven van een cirkel, nadat de eene passerpunt is geplaatst. Yan allerlei meetkundige constructies wordt nu nagegaan, boeveel elementaire bewerkingen zij vereischen. Zoo komt aan elke constructie een symbool toe van den vorm: (/iRi 4-/2Ba+ WiC, + W2C2 + WgCs). Het getal /, + /2+w, + W2+ W3 noemt de schrijver de ^^eenvoudigheidscoëfBciënt", het getal 't + Wi -f Wj heet de JuistheidscoëflBciënt " Met behulp van deze getallen worden velschillende constructies van dezelfde figuur met elkander vergeleken ten aanzien van hunne een- voudigheid en van hunne nauwkeurigheid. Het denkbeeld van eene dergelijke systematische vergelijking is men aan den schrijver verschuldigd, die reeds in 1888 onderzoekingen over dit onderwerp publiceerde. Hij heeft thans de uitkomsten zijner onderzoekingen verzameld, aangevuld en gerangschikt en op deze wijze de „Géométrographie'^ geschapen. Ongetwgfeld verdient deze leer de aandacht, omdat hare .beoefening kan leiden tot werkelijke, niet schijnbare, vereen- Digitized by Google 392 Youdiging van elemeDtaire coostnicties. Als een voorbeeld hiervan wgst de schrgver op de constructie van de gemeen- schappelijke raaklijnen van twee cirkels. In 1888 vond bij voor den ^eenvoudigheidscoëflBciënt" 78, er moesten 17 rechte lijnen en 20 cirkels worden getrokken. Thans wordt eene constructie medegedeeld met den coefficient 35; het trekkea van slechts 7 rechte lijnen van 6 cirkels is noodig. KI. C. A. Laisant et A. Buhl. Annuaire des mathéma- ticiens, 1901-1902. Ben deel klein 8^. XXII en 468 blz., Parijs, C. Naud, 1902. De heeren Laisant en Buhl hebben het de moeite waard geacht eene lijst te maken, waarin zijn opgenomen de namen, woonplaatsen en adressen van alle beoefenaars der wiskunde, voor zoover deze tot hen zijn doorgedrongen. De Igst telt meer dan 6000 namen. Zij zyn van meening, dat dit werk er toe kan bijdragen om den band tusschen de vakgenooten te versterken. In elk geval kan de raadpleging van zulk eene adreslijst groot gemak verschafFen. Menigeen is niet in staat, om zich in schriftelijke verbinding te stellen met een vakge- isoot, omdat diens woonplaats of zelfs diens adres hem onbe- kend is. Toegevoegd is eene necrologie, eene Igst van wetenschappelijke genootschappen , voor zoover zij met de studie der wiskunde iets te maken hebben en eene lijst van de tegen- woordig verschijnende tijdschriften. Ongetwijfeld is aan de samenstelling van dit werk veel zorg besteed, maar uit den aard der zaak is er onwillekeurig veel weggelaten en laat de homogeniteit nog veel te wenschen over. Het zou zeer onbillijk zijn , daarvan den samenstellers een verwijt te maken, evenals van de zonderlinge misvormingen, die sommige adressen hebben ondergaan. Indien de gebruikers van het boek slechts een weinig er toe medewerken, door Hunne correcties aan de samenstellers op te zenden, kan in volgende uitgaven veel worden verbeterd. Aan de lijsten gaat vooraf een levensbericht van Hermite door Emile Borel. Het werk wordt besloten met eenige weten- schappelijke mededeelingen van de heeren Appel , Petersen , Greenhill, Méray en Schoute. Vermelden wij hiervan alleen, dat Méray de voordeden van het Esperanto als wereldtaal uiteenzet, en dat Schoute op zijne mededeeling nog doet volgen Digitized by Google S9S êene korte scliets Tan het ontstaan der Revue Semesf rielle , en van de wgze, waarop dit tgdecbrift tracht nut te stichten in de wiskundige wereld. El. Legons sur les séries a termos positifs professées au College de Franco par [Éhile Borel , recueillies et rédigées par SoBERT d'Adhéhar. Een deel in 8^, 91 blz, Parijs, Oftttthier-Yillars , 1902. In allerlei gedeelten der functietheorie blijkt het noodzakelijk eénig inzicht te hebben in de verschillende wijzen, waarop eene of andere bestaanbare analytische functie van x onein- dig groot wordt voor oneindig groote waarden van x. Dat a;*, e*, e** voor groote waarden van x zich geheel verschillend gedriageA, volt onmiddellijk in het oog, de vraag is nu of aangaande de wgze , waarop eene of andere functie aangroeit algéineéne verschgnselen of regels zgn waar te nemen. Borel beantwoordt die vraag bevestigend; reeds in zijne vroegere geschriften heeft hg gewaagd van eene „theorie générale de Ta croissance", thans beoogt hij deze theorie volledig te schetsen. Tot goed begrip dier theorie acht hij het nuttig daaraan te laten voorafgaau eene studie van de reeksen met positieve termen, die met de leer van de aangroeiing der functiën in zulk een nauw verband staan. Het geheel vormt den inhoud van twintig door hem aan het College de Franco gegeven lessen, die hier door B. d'Adhéhar worden wedergegeven. Wij moeten volstaian met alleen op enkele merkwaardige uit- komsten te wijzen, waarvan in de gebruikelijke leerboeken geen gewag kan worden gemaakt. Nadat in het eerste hoofd- stuk de gewone kenmerken voor convergentie en divergentie vaif reeksen met positieve termen zijn besproken , wordt er opgemerkt, dat bij het gebruik van de logarithmische ken- merken van Bertrand zich twee verschillende uitzonderings- gevallen kunnen voordoen. Ten eerste kan het kenmerk zijn „inapplicable^', d. i. de gegeven reeks laat zich met geen enkele der reeksen van Bertrand vergelijken. Zoo men de te zoeken grenswaarde tracht te bepalen zijn „la plus grande" en „la plus petite des linlites" gescheiden door hét getal, waarbij de convergentie in diver- gentie overgaat. Ten tweede kan het kenmerk zijn „en défaut", d. i. er wordt eene bepaaldie grenswaarde gevonden , maiar het Digitized by Google 394 is juist die ncaarde,. die aaDgaandei de convergentie geen bediBsing geeft. Die beslissing is nu misschien te verkrijgeft, door de gegeven reeks te vergelijken met eene vojgende reeks van Bertrand van hoogere rangorde. Bertrand achtte het on- eindig weinig waarschijnlijk, dat in dit geyal nimmer eene^ be- slissing zou worden gevonden, hier laat Borel zien^ op bet voorbeeld van Paul du-Bois-Reymond , dat men reeksen kan construeeren , voor welke alle mogelijke kenmerken van Bertrand ,,en défaut" zijn. Hoe zwak toch ook eene reeks convergeert of diifergeert, er is altijd eene nieuwe, reeks uit af te leidep, die nog^zwakker convergeert of divergeert. Yan de reekseq gaat Borel over op de convergentie af .divergentie van integralen met oo tot bovenste grens ; zooals bij de reeksen kan men ook hier weder geen onder alle omstandigheden bruikbarj^ jegeleii;, ,y.c|Qr. de convergentie der integraal aangeven. Als een ^ensemble dénombrabie" van positieve functies gegeven is,- die steeds sneller en sneller aangroeien , is er toch nog altijd eene functie aan te wijzen, die- nog sneller met a;,.toeneeq[it,, Voor de wijze van aangroeiing der positieve functies is geen schaal te maken, waarvan de verdeelingen te nummeren zijn. Dergelijke beschouwingen dienen nu tot inleiding; van, ^^ theorie der aangroeiingen. De ^croissa^ce. irreguliere" wordt onderscheiden van de ^croissance reguliere, welke laatste met behulp van de orde van oneindiggrootheid van, eenvoudige functies wordt gedefinieerd. Daarna wordt de theorie der aan- grociing in verband gebracht met de machtreeksen .van een en van twee veranderlijken. Yoornameiij.k beeft het onderzoek ten doel het verband op te sporen tusschen.de wijze van .aangroeiing eener geheele functie en de orde van grootheid van de coëfficiënten, welke worden gevonden ,. als de^ functie in eene overal convergente machtreeks wordt ontwikkeld. Moge dit korte en onvolledige overzicht er toe kunnen strekken om belangstelling te wekken voor het laatst ver- schenen werk van Borel. KI. La Geometrie non Euclidienne, pa^ P.,.BA.RBAR]iH. Recueil ^Scientia",. gérie phys.-math. fascicule n^. 15^ 79 bk Parijs, C. Naud, 1902. Het werkje vangt aan met eenige. algenieen^e beschouwing^ Digitized by Google 895 ook van hiBtorischen aard. Gewezen wordt op de verschillende pogingen om het postulaat yan Euclides te bewijzen. Saccheri» Lambert en Taurinus worden genoemd als te zijn de eerste onderzoekers, die trachtten na te gaan, wat er yan de meet- kunde werd, indien men het postulaat liet yervallen. Daarna worden de verdiensten van Lobatschewsky , Bolyai en Riemann als stichters der algemeene meetkunde in het licht gesteld. In het tweede hoofdstuk geeft de schrijver eene nauwkeurige analyse van de definities en postulaten uit het eerste boek der Elementen , welke moet dienen om den lezer langs geleidelijken weg te overtuigen van de logische bestaanbaarheid van de drie stelsels.: de meetkunde van Riemann, van Euclides en van Lobatschewsky. Maar ook nog op andere wijze kan men tot dezelfde uitkomst geraken. Namelijk door het begrip „afstand van twee punten" als een fundamentaal begrip te beschouwen. Geeft men toe, dat tusschen de tien onderlinge afstanden van vijf punten in eene ruimte van diie afmetingen eene enkele betrekking moet besfaan, dat elk punt bepaald is door drie coördinaten Xy y^ z en iat ie afstand van twee punten is eene functie hunner coördinaten, dan volgt uit de onderzoekingen van de Tilly opnieuw, dat de meetkunde van Riemann, van Euclides en die van Lobatcbewsky de eenige mogelijke stel- sels zgo. Tbans volgt eene uitvoerige uiteenzetting van de algemeene méetkündo ,! waarbij zich aansluit de trigonometrie en het meten van oppervlakken en inhouden. In de twee laatste hoofd- stukken wórden de tegen werpin-^^en besproken, die men tegen de niet-euclidische meetkunde heeft ingebracht , en worden eenige beschouwingen gegeven naar aanleiding van de vraag, welke meetkunde in onze ruimte als de ware zou gelden. De slotsom van den schrijver is, dat theoretische overwegingen bier tot niets kunnen leiden en dat elke proefneming, hoewel in theorie niet onmogelijk, waarschijnlijk voor altijd zal afstuiten op de betrekkelgke onvolmaaktheid der metingen. Het werkje bevat de portretten van Lobatschewsky en van Riemann. KL P. I. Helwig. Over een algemeen gemiddelde en de integralen, die samenhangen met de fouten- rwet van het meetkundig gemiddelde^ Academisch Digitized by Google Ö96 proefschrift, in 4^, 79 biz. Amsterdam, Delsman en Nolthenlos, 1901. In de gebruikelijke foutentheorie treedt bet rekenkundig gemiddelde op den voorgrond. Aanleiding daartoe geeft de eenvoudige bepaling, maar ook het streven om te kunnen ge- raken tot de zoo eenvoudige foutenwet van Gauss. Intusschen hoe men ook getracht heeft de keuze van het rekenkundig gemiddelde te motiveeren, er bestaat geen theoretisch bezwaar tegen het bepalen van het gemiddelde langs anderen weg. Na uitvoerige beschouwingen over het gemiddelde in het algemeen , staat de schrijver stil bg het meetkundig gemiddelde en vraagt hij zich af, hoe de foutenwet moet veranderen, indien het meetkundig gemiddelde van een aantal waarnemingen ak de meest aannemelijke waarde wordt beschouwd. Dit leidt hem tot de discussie van de integraal f& dx ^ en tot die van allerlei andere integralen, die op de eene of andere wijze met de eerste samenhangen. KL Logons aur les séries di vergentes par EmileBorel. Een deel in 8«, 182 blz. Parijs, Qauthier-Villars, 1901. In dit derde deel van zgne lessen over de functietheorie komt de schrijver terug op het onderwerp, aan hetwelk zgne vroegere verhandeling „Mémoire sur les séries divergentes^', Ann. de TEcole normale, 1899, p. 113, was gewgd. Het geldt de groote vraag, in hoeverre men in de analyse het rekenen met divergente reeksen zou kunnen wettigen. De scfar^TW wijst er op , hoe Euler en zijn tijdgenooten zich om bet diver- geeren hunner reeksen weinig bekommerden en desniettegen- staande toch bijna nimmer tot onjuiste uitkomsten geraakten. Eerst door Cauchy werd, geheel in overeenstemming met de denkbeelden van Abel, aan zulk eene handelwijze een einde gemaakt. Tot op den tegenwoordigen tijd heeft men de diver- gente reeksen voor waardeloos gehouden, ook al werd eene uitzondering gemaakt voor de reeks van Stirling en eenige andere dergelijke halfconvergente reeksen. In het bgzohder hebben de sterrekundigen zich steeds met vrucht bediend van reeksen , wier divergentie eerst ainds korten tgd door Poincaré Digitized by Google 397 werd aangetoond. Thaos overweegt men het denkbeeld of het oordeel van Cauchy niet al te streng is geweest , en of men niet meer in den geest van Euler met de divergente reeksen zou kunnen rekenen. Onderscheid is te maken tusschen reeksen Yan functies en reeksen van getallen. Ton aanzien van deze laatste valt er na te gaan , in hoeverre het mogelijk is om aan de reeks een bepaald getal toe te voegen, van dien aard, dat de substitutie vim de reeks voor dit getal of omgekeerd in allerlei berekeningen juiste of ten minste bijna altgd juiste uitkomsten geeft. Het schijnt, dat tot op zekere hoogte die mogelijkheid bestaat, mits men de rangorde der termen in eene divergente getallenreeks ook als een bepalend element der reeks beschouwt. Evenals bij voorwaardelijk convergente reek- sen is bet niet alleen de waarde der termen, maar tevens hunne volgorde, die bg de divergente getallenreeks het getal bepaalt, dat men als de som der reeks beschouwt. Anders is het met eene reeks van functies. Onder deze kan men in de eerste plaats noemen de half convergente, of misschien beter gezegd asymptotische , machtreeksen. Hoewel zg voor alle waarden der veranderlijke divergeeren, kunnen zij veelal onder eenige beperkende voorwaarden als het equi- valent beschouwd worden van eene bepaalde functie. Allerlei analytische bewerkingen op de reeks uitgevoerd komen volko- men overeen met dezelfde bewerkingen , uitgevoerd op de functie. In zulke gevallen is dus de som der divergente aaymptotische reeks onmiddellijk gedefinieerd, en zelfs kan bij gegeven x de waarde dier som met meer of minder nauw- keurigheid rechtstreeks uit de begintermen der reeks worden afgeleid. Maar behalve de asymptotische reeksen zijn er andere overal divergente machtreeksen in x. Ook hier kan in veel gevallen nog van eene som sprake zijn. En wel omdat zulk eene reeks zich dikwijls voordoet als de formeele oplossing van eene bepaalde differentiaalvergelijking, zoodat de werkelgke oplossing als som der reeks kan worden beschouwd. Betreft het macht- reeksen, die naar gelang der waarde van x nu eens conver- geeren, dan w(er divergeeren, dan is eene bepaalde functie gegeven , en alle methoden van sommatie der divergente reeks hebben eigenlijk ten doel de analytische voortzetting dezer functie op te sporen. Inzonderheid op dit gebied bewegen Digitized by Google 898 zich de hoogst yerdienstelijke en zeer oorspronkelgke onder- zoekiDgen van den schrijver. Zijne uitkomsten sluiten zich hier aan bij die ?an Mittag-Leffier , en hij tracht te doen uitkomen, hoe zijne denkbeelden over de divergente reeksen het mogelijk maakten om aan de uitkomsten van Mittag-Leffler uitbreiding te geven. Het boek is verdeeld in vgf hoofdstukken. Het eerste bevat de theorie der asymptotische reeksen volgens de denkbeelden van Poincaré. Het tweede handelt over het verband y dat er tusschen zekere divergente reeksen en oneindige kettingbreuken bestaat. Hier komen op den voorgrond de onderzoekingen van onzen vroegeren landgenoot Stieltjes over de omzetting van eene divergente reeks in eene convergente kettingbreuk. In het derde hoofdstuk wordt gehandeld over verschillende sommatiemethoden, terwijl in de beide laatste hoofdstukken die sommatie in verband wordt gebracht met het opsporen der analytische voortzetting eener functie, en verder de theorie dezer voortzetting wordt ontwikkeld. Eene nauwgezette studie van dit belangrijke boek eisoht ongetwgfeld van den lezer groote inspanning , toch zal men zonder groote moeite bij eene eerste lezing al dadelijk eenig denkbeeld verkrijgen van een gewichtig en aantrekkelijk gedeelte van de hedendaagsche functietheorie. KI. Traite de cinématique par H. Sicard , avec des notes par A. Labrousse. Een deel in 8^, 179 blz, Parijs, Oauthier-Villars, 1902. Het werk is verdeeld in vijf boeken , waaraan voorafgaat eene inleiding, bevattende de eerste definities en eigenschap- pen ten aanzien van vectoren en van hunne momenten. Het eerste boek handelt over de beweging van een punt, over het begrip snelheid en over de raaklijnconstructies van Roberval. Tn bet tweede boek wordt overgegaan tot het definiêeren der versnelling, waarbij ook van versnellingen van hoogere orde wordt melding gemaakt. In de bekende eenvoudige gevallen wordt bij centrale versnelling uit de gegeven baan de versnel- ling zelve bepaald. De beweging van een lichaam wordt in het derde boek onderzocht, en wel wordt vooreerst van meetkundige beschou- wingen daarbij gebruik gemaakt. Eene analytische behandeling Digitized by Google 899 wordt in het vierde boek gegeven. Eerst wordt deze toege- past op de bewegiDg van eene vlakke figuur in haar vlak. Eenvoudige voorbeelden worden uitgewerkt. Daarna volgt het onderzoek over de beweging van een lichaam in de ruimte. Ten slotte wordt in het vijfde boek de samenstelling van translaties en draaiingen besproken. Vijf noten zgn toegevoegd. I. De formules van Olinde Rodrigues. IE De verplaatsing be- schouwd als homografie en als punten- transformatie. IIL Het lineaire complex. IV. Stelling van Schonemann en Mannheim. Y. Over stangenstelsels. El. L. BoLTZMANN. Logous sur la theorie des gaz. Tra- duites par A. Gallotti , avec une introduction et des notes de M. Brillouin. Première partie. Een deel in groot 8°, XIX, 202 blz. Parijs, Gauthier- Villars , 1902. In een zeer lezenswaardige, met overtuiging geschreven in- leiding voert Brillouin de bekende, io 1895 verschenen „Yor- lesungen über Gastheorie" van Boltzmann bij het Fransche Wetenschappelijk publiek in. Na enkele opmerkingen over de eischen, aan een goede hypothese te stellen, schetst hij hoe de voorstelling van de vrije beweging der gasmoleculen oomid- dellijk ontleend is aan de waarneming van de uitzetting der aan zichzelf overgelaten gassen en dampen. Reeds Bernouilli leidde hieruit het verband tusschen druk en temperatuur af. Een aanmerkelijke vooruitgang brengt Clausius io de theorie door de beschouwingen over de gemiddelde weglengte tusschen twee botsingen. Denkt men zich eerst deze botsingen als tus- schen elastische bollen, spoedig wordt ook deze voorstelling verlaten voor die van een wisselwerking van afstootende of aantrekkende krachten ; de formule van Van der Waals ') ver- klaart in algemeene trekken de kritische verschijnselen en de continuïteit van gas en vloeistoftoestand. Het eenige wat ont- breekt, om de vergelijking van theorie en waarneming in alle strengheid mogelijk te maken, is de Newton, die de wet der moleculaire aantrekking ontdekken zal! En tegenover de be- zwaren der Energetiek stelle men den grooten vooruitgang , dien de kinetische theorie in den laatsten tijd gebracht heeft in de theorie der electrische verschijnselen. ^) Met verbazing ziet men in de inleiding dezen naam hardnekkig met een V gespeld! Digitized by Google 400 Bij de yertalmg is de oorspronkelgke tekst zeer getrouw gevolgd. Boltzmaon zelf heeft slechts op één plaats, getolg gevende aan een opmerking o.a. van onzen landgenoot Wind, dien tekst gewgzigd. We meenen daarom met een korte in* hondsopgave te kunnen volstaan. De Inleiding verdedigt het goed recht der atomistische en mechanische theorien, en geeft een eerste afleiding van de uitdrukking voor den gasdruk. In overeenstemming met de zoo juist geschetste historische ontwikkeling wordt in Hoofd- stuk I aangenomen, dat de moleculen zich gedragen als elas- tische bollen, en worden voorloopig uitwendige krachten en stroomingen uitgesloten. Echter wordt dadelijk een mengsel van twee gassen in behandeling genomen ; er worden functies /en F opgesteld, aangevende de verdeeling en snelheden der beide molecuulsoorten, en de beschouwing van de veranderingen dezer functies tengevolge van de botsingen voert in verband met de voorwaarden voor een stationnairen toestand tot de wet van Maxwell. Het bewgs , dat deze wet de eenige mogelijke snel- heidsverdeeling weergeeft , voert tot de opstelling van de functie H, die bg de gegeven onderstellingen alleen kan afnemen en minimum is voor de verdeeling volgens Maxwell. De analogie met de entropie van het gas , die alleen toenemen kan , en de mathematische beteekenis der functie H, wier minimum blgkt overeen te komen met wat men de meest „waarsehgnlijke" snelheidsverdeeling kan noemen, voeren Bottzmann tot de slot- som , dat de tweede wet der thermodynamica een waarschynlgk- heidstheorema blijkt te zijn. ^ De aldus verkregen wet van Maxwell voert nu tot de problemen van gemiddelde weglengte en al wat daarmede in verband staat, als warmtegeleiding , wrijving van gassen, diffusie enz. Hoofdstuk II beschouwt de moleculen als krachtcentra, waarbij de wet der krachtwerking in 't midden wordt gelaten, en laat ook uitwendige krachten en stroomingen toe. Op analoge wijze worden nu hier het entropiebeginsel bewezen en de voorwaarden voor een stationnairen toestand opgesteld. De verkregen resultaten worden toegepast op vragen van aërostatica en hydrodynamica, beide voor stationnaire toestanden. Hoofdstuk III behandelt gevallen van niet-stationnaire toestan- den. Bg de beschouwing van den invloed der botsingen (of ont- moetingen) voor het geval dat de werking tusschen twee mole- Digitized by Google 401 ' K culen voorgesteld kan worden door -^^ stuit men dan al spoe- dig op integralen, die aanmerkelijk eenyoudiger in de behan- deling worden indien men n =s 4 stelt , das een werking om- gekeerd evenredig aan de vijfde macht van den afstand aanneemt. Met dese onderstelling , waarbij met Maxwell aan een afstooting gedacht wordt, behandelt Boltzmann dan o.a. warmtege)eiding, inwendige wrgving en diffusie. In de beide achteraan gedrukte noten ontwikkelt Brillouin enkele bedenkingen. De voornaamste betreffen de bewijsvoe- ring over de noodzakelijkheid van de wet van Maxwell en zijn gedeeltelgk reeds vroeger, o.a. door Loschmidt, geuit. Men bm zeggen , dat deze in 't algemeen in verband staan met de moeielijkheid om , uitgaande van bewegingen , die alle omkeer- baar zjjn, te komen tot de niet* omkeerbare veranderingen, die in de natuur worden waargenoiiien — een kwestie waarover voorloopig het laatste woord nog niet gesproken is. E. VAN EVERDINafiN Jr. Cryoscopie par F. M. Raocjlt. Becueil „Scientia", série phy8.-math., fascicule n^. 13, XIII, 106 biz. Parjjs, C. Naud, 1901. De naam Cryoscopie voor het bepalen van de vriespuntsver- laging in oplossingen is afkomstig van den het vorig jaar overleden schrgver van dit werkje, wiens onderzoekingen die bepaling tot een zeer belangrijk hulpmiddel bij het chemisch onderzoek gemaakt hebben. De geheele inrichting vaa het boek doet Raoult kennen in de eerste plaats als een man van de practjjk, zoo zelfs, dat men twijfelt of dit no. wel tot het ^mein der , physique mathématique'' behoort. Het eerste en tweede gedeelte, algemeene beginselen en waarnemingsmetho- den, omvatten samen 39 blz. ; men kan nagaan, dat hierin alle mogelijke fouten besproken , alle voorzorgen minutieus beschre- ven wordeo. Dan komt een derde gedeelte, de vriespunts- verlaging in niet-eleotrolyten , dus in niet gedissocieerde op- lossingen , met 42 blz. Een groot materiaal van waarnemingen leidt tot de eerste wet van Raoult: de moleculaire vriespunts- verlagiag in eenzelfde oplosmiddel is voor alle opgeloste stoffen dezelfde constante, — die dan nogmaals opzettelgk getoetst wordt nan andere waarnemingen. Een tweede wet, aangevende dat Digitized by Google m deze constante evenredig zou zijn aan het moleculair gewicht van het oplosmiddel, heeft tengevolge van nauwkeuriger on- derzoek moeten plaats maken voor de wet van Yan 't Hoff (1886), uit thermodynamische beschouwingen afgeleid en in alle op* zichten bevestigd. Nu hebben indertyd Baoult en Recoura een een empirische formule gegeven voor de dampspanningsverla- ging bij oplossingen. Baoult brengt deze in verband met een door hem in 1894 afgeleide ,, mathematische" betrekking en komt zoo tot de wet van Yan *t Hoff« Gaat men na, dat de „mathematische" betrekking evenals deze wet langs thermo- djnamischen weg moet verkregen ziju, dan leest men met eenige verbazing de conclusie: ,0n voit pai^ 1^ que cette formule, que son auteur a déduite d*uue hypothese, n'est, en réalité , quune forme particuliere de la loi expérimentale de Raoult et Recoura." Ook in de vierde afdeeling, de electrolyten , gedissocieerde oplossingen, geeft Raoult eerst een aantal empirische wetten, door hemzelf voor bijzondere gevallen gevonden , en eerst later den algemeenen regel, aan de theorie van Arrhenius ontleend. Dit gedeelte, practisch van minder, maar theoretisch van meer gewicht, omvat slechts 19 bladzijden. Een portret van Raoult en een korte biografie door R. Les- pieau gaan aan het werk vooraf. Franges d'interférence et leurs . applications métrologiques par J. Macé de Lépinay. Recueil ^Scientia", série phys-math., fascicule n^. 14, 101 blz. Parijs, C.Naud, 1902. „Un rayon de lumière, avec ses séries d'ondulations d*uiie tènuité extreme mais parfaitement régulières peut être considéré comme un micrometre naturel de la plus grande perfection, par- faitement propre è determiner des longueurs." Met deze woor- den van Fizeau schetst Macé de Lépinay het denkbeeld, tot welks ver wezenlg king hijzelf zooveel heeft bijgedragen. In de toekomst ziet hij reeds een volledig systeem van absolute een- heden : een golflengte , een daaruit afgeleide massa eenheid en een trillingstgd als tijdseenheid ; inderdaad zijn de verhoudingen van de beide eerste eenheden tot die van het metriek stelsel zoo goed als vastgesteld. In plaats van de niet direct waarneembare golflengten zelf Digitized by Google 403 treden bij de metingen steeds interferentiestrepen op bij wijze Tan deelstrepen. Het eerste gedeelte bevat dus algemeene beginselen voor het tot stand komen van interferentie; een van de beste hulpmiddelen hierbij zijn de door Perot en Fabry toegepaste luchtlagen begrensd door twee zwak verzilverde, evenwjjdige glasplaten, die bij terugkaatsing een groot aantal interfereerende bundels met gelijke phase-verschillen leveren, zoodat zeer smalle , heldere strepen ontstaan. Bij groote phase- verschillen wordt de al of niet zichtbaarheid van interferentie- strepen door de homogeniteit der lichtbron bepaald ; Michelson heeft hiervan een zeer handig gebruik gemaakt om de samen- stelling van allerlei bgna homogene stralingen te onderzoeken. Als zeer homogeen dienen tegenwoordig bijna uitsluitend kwik- en cadmium-stralingen. Een tweede gedeelte behandelt de methoden om ten behoeve der lengtemeting het aantal golflengten van het wegverschil der interfereerende stralen , de z.g.n. orde der interferentie , te bepa- len. Het breukdeel in dit ordegetal wordt eenvoudig gevonden door schatting van een deel van den afstand van twee strepen. Veel moeilgker is het bepalen van het geheele deel , daar aan tellen niet gedacht kan worden. Het doel wordt hier bereikt door het gelijktgdig of achtereenvolgens bezigen van verschil- lende lichtsoorten; naarmate deze veel of weinig verschillen, treden op kleinere of grootere afstanden coïncidenties op, welke als deelstrepen voor een collectieve eenheid kunnen dienen. Is dan, met behulp van een voorloopige ruwe meting, het ordegetal voor één lichtsoort op eenige tientallen na bepaald, dan beslissen de waargenomen breukdeelen bij de andere licht- soorten over de keuze van het juiste getal. Men dankt deze methode vooral aan Benoit en aan Pérot en Fabry. Van de derde afdeeling, de resultaten, vermelden we alleen een van de uitkomsten van de vergelijking der golflengten R, G, B van de roode, groene en blauwe cadmiumlijnen met den standaardmeter door Michelson en Benoit met hun uiterst nauwkeurigen interferometer : 1 M. = 1.553.163,5 R. nauwkeurig minstens op 1 millioenste. De nieuwere bepalingen van de massa van het standaard- kilogram uitgedrukt in de theoretische massa-eenheid met behulp der interferentie-methoden stemmen zeer goed overeen, maar Digitized by Google 404 toonen een systematisch verschil met de uitkomsten , verkregen met de methode van vergelijking door contact. Le phénomène de Èerr et les phénomènes électro-optiques par E. Néculcéa. Recueil „Scientia", série phys.-math., fascicule n^ 16, X, 91 blz. Parijs, C. Naud, 1901. Het hier bedoelde verschijnsel van Kerr is de dubbelbreking van het licht in dielectrica veroorzaakt door een electrisch veld — niet dus de draaiing van het polarisatievlak bij terug- kaatsing op een gemagnetiseerden ij^erspiegel, hier te lande o.a. door de onderzoekingen van Zeeman bekend. De waarnemingen, waarover het eerste gedeelte handelt, zijn hoofdzakelijk van Kerr zelf, Brongersma en Röntgeo. Terwijl in vaste stoffen de dubbelbrcking eerst langzaam ont- staat en nog langzamer verdwijnt, is in vloeistoffen het ver- schijnen momentaan ; volgens Abraham en Lemoine minder dan seconde na het opwekken van het electrisch veld. 4.10» ^ De theorieën van Pockels en Voigt vullen het tweede ge- deelte. De eerste gaat uit van de onderstelling, dat er een lineair verband is tusschen de- dielectrische constanten van het medium en de componenten der electrische kracht. Zijn resul- taat» dat zoowel de gewone als de buitengewpne straal een gewijzigde voortplantingssnelheid krijgen, de eerste bet minst, 18 misschien slechts schijnbaar in tegenspraak met de proeven, die alleen het laatste zeker aantoonen. — Vöigt behandelt het probleem door aan de algemeene bewegingsvergelijkingen der electriciteit van Hertz nieuwe termen toe te voegen, die den invloed van het electrisch veld beschrijven. We kunnen daar- over niet meer meedeelen dan dat de verklaring (beschrijvingP) niet alleen de waargenomen , maar ook eentge nieuwe mogelijke verschijnselen omvat. Op een van deze, een eleetrisch ana- logon van het verschijnsel van Zeeman, wordt nader de aan- dacht gevestigd in de derde afdeeling. Ongelukkigerwijze blgkt de te verwachten verplaatsing eener spectraallijn slechts Vjoau» van den afstand der natrium-ljjnen, zoodat er voorloopig niet veel kans  DATE STAMPED BELOW RENEWED BOOKS ARE SUBJECT TO IMMEDIATE RECALL Library, University of California, Davis Series 458A Digitized by Google. 