Nieuw archief voor wiskunde
7. Wg hebben dus de volgende formules die c, p, m enA; in de gegevens van het vraagstuk uitdrukken: . • (3) a a ff» =r ir ,.(»-f k- '^ (a- 6)U Omgekeerd: a = cir; a = mn 6 = cir(l-p-); ü- 1 ■ (4) Bij de hier volgende beschouwingen maak ik in den regel gebruik van de grootheden c^ p, m en k. 8. Wij kunnen nu nog uit (1) en (2) de hulpgrootheid t elimineeren en vinden dan waardoor het verband is vastgesteld tusschen potentiaal en stroomfunctie in een willekeurig punt van het kanaal en de coördinaten van dat punt. Hieruit volgt: dw _ l le'^ + ly _ 1 /^ + IV" dz "" ck \e^ + p) "' ck \t + pi dw Deze 3— geeft de snelheid van een vloeistofdeeltje in rich- az ting en grootte aan , met dien verstande dat wij om de juiste richting te vinden van het imaginaire deel het teeken moeten omkeeren , of wel aan den modulus van — - (die de juiste grootte dz dz van de snelheid aangeeft) de richting van — moeten toekennen. Digitized by Google 217 9. In de tot nu toe gegeven formules liggen alle eigen- schappen der te behandelen vloeistofbeweging in beginsel opgesloten. In het nu volgende stel ik mij voor: 1^. de eigenschappen van stroomlijneu , potentiaallijnen enz. na te gaan op grond yan de meetkundige verwantschap van de z- en de ^figuur ; 2^ formules te geven betreffende potentiaal en stroomfunctie; 3°. Lamb's formule voor het geval w = ^ te controleeren, II. Stroomlijnen, potentiaallijnen enz. 10. Reeds werd opgemerkt , dat de stroomlijnen in het ^vlak rechte lynen zijn van A uitgaande. Een van hen , de Ign AD3 , die door A loodrecht op D1D2 kan worden getrokken, zal in de hier volgende beschouwingen meermalen genoemd moeten worden ; ik zal haar den naam van middenstroomlijn geven. Zij heeft de eigenschap dat de totale strooming aan weerszgden er van gelijk is. Hieruit volgt, in aanmerking nemende dat de snelheid in het kanaal aan beide zijden in het oneindige gelgkmatig is , dat de middenstroomlijn A3D3 in het 2;-vlak naar links asymptotisch loopt aan de rechte lijn evenwgdig aan AjB en A2D2 midden tusschen beide in getrok- ken , en evenzoo naar rechts asymptotisch aan een evenwijdige Ign midden tussschen A2D2 en GDj. 11. De snelheid van een vloeistofdeeltje in het kanaal wordt in richting en grootte bepaald door —j- I j , zie § 8. Hierin stellen ^ + 1 en ^ + p de afstanden van het verwante punt in het ^vlak tot Ot en B^ voor , beide als complexe groot- heden opgevat. Hieruit volgt : P. dat de grootte van de snelheid in elk punt de m^^ macht is van de verhouding der afstanden van het verwante punt tot G< en B^ vermenigvuldigd met de con- stante —7- d. i. met de eindsnelheid (zij is dus O in G en 00 CfC in B); 2^ dat de helling der baan in elk punt gelijk is aan m-maal den hoek waaronder het stuk BtCt van uit het verwante punt gezien wordt. Daar voorts van de lijnen die het verwante punt met B< en 0/ verbinden de eerste altijd met de wijzers van het uurwerk Digitized by Google 218 moet worden gedraaid om met de laatste samen te Tallen, zien wij , dat de helling der stroomlijnen in de beschouwde helft van het kanaal overal denzelfden zin heeft en wel positiel is (zie § 8). In de andere helft van het kanaal is z^ natuurlijk negatief. De gezichtshoek waaronder BC in het ^vlak gezien wordt ^ kan niet grooter zijn dan ir. De helling der stroomlijnen in het ^•vlak kan dus niet grooter zijn dan mw = cc ] dit is de helling van de Ijjn BC. 12. Twee merkwaardige stelsels van krommen worden one door deze beschouwingen aan de hand gedaan , nl. : 1°. krommen van gelijke snelheid (snelheidskrommen). Vol- gens een bekende planimetrische eigenschap zijn dit in het ^vlak cirkels die alle hun middelpunt op D1D2 hebben en het stuk BC harmonisch verdeelen ; de rechte lijn die BC loodrecht middendoor deelt inbegrepen. Te zamen vormen zij een cirkel- bundel, die B en C tot verdwgnpunten heeft. 2^. krommen van gelijke helling of bewegingsrichting (hel- lingskrommen). In het ^vlak zijn dit cirkelbogen die B mei C verbinden. Te zamen vormen zij een cirkelbundel met B en C tot basispunten. Beide stelsels van cirkels snijden elkaar in elk punt van het ^vlak loodrecht en daar by de transformatie van de /- tot de 9-figuur alle hoeken onveranderd bigven (behalve alleen in de punten A, B, C en D), volgt hieruit, dat ook in de 2!-figuur de snelheids- en hellingskrommen elkaar in alle punten lood- recht zullen snijden ^). 13. De snelheidskrommen gaan alle van een punt van de Ign BC uit, en zijn in drie afdeelingen te splitsen naar gelang zg hun eindpunt hebben op BA (in het 2?- vlak BA,), ADj (^-vlak AJ)^) of D,C. Die van de eerste afdeeling behooren bij snel- heden grooter dan de beginsnelheid , nl. tusschen 00 (het punt B) en — — = U; die van de tweede ardeeling bij snelheden ckp^ ^) Dit is een algemeene eigenschap der Tloeistof beweging zonder werveling (dw\ in twee afmetingen. Wij zien dit in , indien wij bedenken , dat yan l \-rJ het bestaanbare gedeelte uitsluitend van de snelheid , het onbestaanbare gedeelte van de bewegingsrichting afhangt (zie i 8). Digitized by Google 219 kleiner dan de begin- doch grooter dan de eindsnelheid , nl. tusschen — — = U en —r- = U ; die van de laatste ckp"^ ck a eindelijk bij snelheden kleiner dan de eindsnelheid , nl. tusschen — en O (het punt C). Die van de middelste afdeeling snij- CK den de middenstroomljjn ADg (^f-vlak A3D3), de overige snijden deze niet. De overgangen tusschen deze drie afdeelingen worden in het ^vlak gevormd door den cirkel IKA en de rechte JL. De overeenkomstige krommen in het ^-vlak, IA3 en JD3, loopen asymptotisch aan de middenstroomlijn. 14. Trekken wij in het ^vlak de cirkels die A tot middel- punt hebben en door B en G gaan (poten tiaallijnen), zoo snij- den deze den cirkel lEA en de rechte JL in de punten E en L, waarvan wjj planimetrisch gemakkelijk aantoonen, dat ze met A in één rechte liggen. De verwante punten K en L in het 2f-vlak, waarin de snel- heidskromme IA3 en JD3 de potentiaallijnen BE en CF snijden, Uggen dus op dezelfde stroomlijn A4D4. 15. De hellingskrommen zgn in het ^vlak cirkelbogen die van B naar G loopen; zij zullen dus ook in het e-vlak hun uiteinden in B en G hebben. Die welke bij de grootste helling, mir, behoort, is de lijn BG zelf; bg afnemende helling ver- wijdert zich de kromme meer en meer van BG; nadert de helling tot O, zoo legt zich ten slotte de hellingskromme tegen de rechte lijnen BAi, A2D2 en D^G aan; voor de helling O bestaat de kromme uit deze drie rechte lijnen , waarvan men zich aan de eene zijde in het oneindige de uiteinden Aj en A2 en aan de andere zijde Dj en D2 verbonden kan denken. 16- Denken wij ons in het f- vlak een willekeurige stroom- lijn, b.v. AD5, en gaan wij van A uitgaande het beloop van den hoek na, waaronder van een punt dier Ijjn uit het stuk BC gezien wordt, dan blijkt het, dat deze hoek in A van O uitgaat, daarna grooter wordt, een maximum bereikt in een punt Q waar de lijn raakt aan een door B en G gaanden cir- kelboog , vervolgens weder afneemt en in het oneindige O wordt. Dit overbrengende op de 2:-jSguur vinden wg , dat elke Digitized by Google 220 stroomlgn met toenemeDde helling begint (holle zijde naar de pier gekeerd), daarna één buigpunt heeft en yeryolgens met afnemende helling (tegengestelde kromming) voortgaat. De limiethelling is aan beide zijden 0. 17. Wat de plaats van het punt Q betreft, hebben wg in het f-vlak : AQ» = AB . AC en dus AQ = Vp. De meetkundige plaats van het punt Q^ is dus een cirkel die Ai tot middelpunt heeft , en dus een potentiaallijn. Wij zien echter gemakkelijk in, dat deze cirkel tevens het stuk BC harmonisch verdeelt en dus snelheidskromme is. ^ De meetkundige plaats van het buigpunt Q (2:-vlak) der stroomlgnen is dus een kromme GH die tegelijkertgd poten- tiaallijn en snelheidskromme is. De bij deze kromme behoorende snelheid is gemakkelijk te berekenen. Wij vinden nl. voor de verhouding QB : QC (^-vlak) Vp. Hieruit volgt, dat de snelheid middenevenredig is tus- schen de begin- en de eindsnelheid of wel gelijk is aan en daar deze snelheid overal loodrecht op de kromme OH gericht is , weten wij ook , dat de lengte dezer kromme midden- evenredig is tusschen de begin- en de eindbreedte van het halve kanaal, of wel: lengte GaH« = cwp^'^ = Vaia — b). 18. Gaan wjj thans na welk beloop de snelheid heeft, indien wij een bepaalde stroomlijn volgen. Wij hebben ons daartoe in het <-vlak het stelsel der snelheidscirkels voor te stellen en te zien welke dier cirkels door de stroomlijn achtereenvolgens worden gesneden of geraakt. Hierbij doet zich een belangrijk verschil voor, naarmate de stroomlijn aan de eene of aan de andere zijde van de midden- stroomlijn gelegen is. Ligt de stroomlijn tusschen AD2 en AD3 (^vlak), b.v. ADe, zoo raakt zij geen enkelen snelheidscirkel. De verhouding der Digitized by Google 221 a&tanden tot C en B is yoortdurend afnemende van — af tot P 1 toe. Dit laatste geldt ook voor de lijn AD3 zelf. Dit overbrengende in de 2i-figuar zien wij, dat, indien een vloeistofdeeltje een stroomlijn A^D^ volgt, buiten de midden- stroomlijn gelegen (of wel zich langs deze zelf beweegt) , de snelheid voortdurend afneemt van de beginsnelheid af tot de eindsnelheid toe. Ligt de stroomlijn aan de andere zijde van de middenstroom- lijn, b.v. AD5 (^vlak), zoo zijn er twee snelheidscirkels die er aan raken in de punten N en S. De verhouding der afstanden tot C en B is toenemende van A tot N , afnemende van N tot S en daarna weer toenemende van S tot in het oneindige. Overgaande tot de 2r-figuur vinden wij het volgende. Indien een vloeistofdeeltje een stroomlgn A^^D^^ volgt binnen de midden- stroomlgn gelegen, zoo is de snelheid eerst toenemende, be- reikt een maximum in een punt S , neemt daarna af tot zij in een punt S een minimumwaarde bereikt, kleiner dan de eind- snelheid, waarna zij verder weder toenemende tot de eind- snelheid nadert. 19. Planimetrisch is gemakkelijk aan te toonen, dat de raakpunten N en S (^vlak) de snijpunten zijn van AD5 met een cirkel die zgn middelpunt R op AD^ heeft en door B en C gaat. Deze cirkel is hellingskromme. Hieruit volgt (e-vlak), dat elke stroomlijn in haar punten van maximum en minimum- snelheid evenwijdige raaklijnen heeft. 20. De meetkundige plaats van N^ is een kromme die van B naar A loopt, geheel binnen den cirkel IRA ligt en in B en A raaklijnen heeft loodrecht op AD^. Die van S^ is een kromme die van G uitgaat, geheel aan denzelfden kant van JL ligt en een asymptoot heeft evenwijdig aan AD3 '). De overeenkomstige meetkundige plaatsen BA3 en CD3 in het 2r-vlak loopen beide asymptotisch aan de middenstroomlijn. *) Stellen wij ^ = ^ -)- ii| , dan is de vergelijking dezer beide meetkundige plaatsen: di« van de aaymptoot : 5 = -{!+;.). Digitized by Google 222 21. De helling van een stroomlijn in een punt van h^ z-ylak ten opzichte van de x-blb is tevens die van de potential lijn ten opzichte yan de y-sê. De hellingskrommen die w| gebruikt hebben om de eigenschappen der stroomlijnen na t gaan, kunnen dus tevens dienen om te onderzoeken boe è helling der potentiaallijnen is en of deze buigpunten hebbén. Wij hebben daartoe na te gaan welke der hellingscirkels 1 het ^vlak door de potentiaallijnen, d. i. door de cirkels die 1 tot middelpunt hebben , worden gesneden of geraakt. Wij kun nen deze potentiaalcirkels in drie afdeelingen splitsen, nl. 1^ die waarvan de straal kleiner is dan p (of A6) , 2^. die waar van de straal tusschen p en 1 (of AC) ligt, 3^. die waarvai de straal grooter dan 1 is. Die van de middelste afdeeling raken aan geen enkelen hellinga cirkel en snijden alle hellingscirkels. De overeenkomstige z-l^nm hebben dus geen buigpunt. Zg loopen van punten van de liji BC naar punten van een stuk EF van de Ign A2D2 en ont moeten deze beide lijnen loodrecht. De overige potentiaalcirkels in het ^vlak raken alle aan éei der hellingscirkels, terwijl aan beide zijden van dit raakpunt de hellingsverandering tegengesteld is. De overeenkomstig! e-krommen hebben dus alle één buigpunt. 22. Op planimetrische gronden zien wg gemakkelgk in , dal in alle punten in het ^vlak waarin een potentiaalign aan eei hellingscirkel raakt, tevens een stroomlijn aan een snelheids cirkel raakt. In elk buigpunt eener potentiaallijn in het e-vlai is dus tevens de snelheid langs de stroomlijn die daardoor gaal maximum of minimum >). ^) Dit is weder een a1g«meene eigenschap der vloeistof beweging zonder wer- veling in twee afmetingen, welke is af te leiden uit de algemeene eigenschap , vermeld bij § 12. Daar immers de snelheids- en hellingskrommen elkaar in elk punt van het vlak loodrecht snijden , weten wij dat de snelheidskrommen en de stroom ijnen elkaar raken in alle punten waarin een potentiaal lijn aan een hellings- kromme raakt en dat dus in die punten de snelheid langs de stroomlijn mazimun of minimum , of althans stationair is. Als bijzonder geval zou het kunnen gebeu- ren , dat in alle punten van een stroomlijn de daardoor gaande potentiaallijnen buigpunten hebben ; in dat geval moet de stroomlijn tevens snelheidskromme en dus de snelheid daar'angs constant zijn. Omgekeerd «ien wij op dezelfde wijze in, dat in het a^gemoen de snelheid maximum of minimum is in die punten der potentiaallijnen waarin de stroomlijoeo Digitized by Google 223 De reeds yermelde krommen BA3 en CD3 (§ 20) Tormen dus de meetkundige plaats van de buigpunten der potentiaallijnen. 23. Het beloop der snelheid langs de potentiaallgnen blijft nog te onderzoeken oyer. Het blijkt, dat de potentiaalcirkels in het ^ylak behaWe in punten yan de Ign D1D2 de snelheidscirkels niet aanraken. Yoor die welke binnen den cirkel OMH liggen , blijkt de snel- heid afnemende te zijn yan het uiteinde der potentiaallijn op AG gelegen tot dat op AH toe. Voor de oyerige is de snelheid toenemende yan af het uiteinde der potentiaalljjn op GD, gelegen tot dat op HD2 toe. Dit oyerbrengende op de 2r-figuur zien wg, dat op alle po- tentiaallijnen links yan GH gelegen de snelheid aan den midden- kant yan het kanaal het grootst is en afneemt naar den buiten- kant, terwijl dit rechts yan GH juist andersom is. Den oyer- gang tusschén beide geyallen yormt de lijn GH waar de snel- heid in alle punten eyen groot is. 24. Ik yoer nu een nieuwe hulpgrootheid u in bepaald door de yergelijking < +P waaruit yolgt: u " p Deze u staat yolgens § 8 in eenyoudig yerband tot de snel- heid en de bewegingsrichting. Is nl. o* de snelheid en d de hoek die de raakljjn aan de stroomlijn met de x-as in het z^ ylak maakt, dan is w"» = (ci(T)~ ^ e^' en dus u = (cktr) ^^ e^* =e "» ^"^ ''^ ^ m\ . (9). buigpunten hebben, terwijl, indien zich het bijzondere geval voordoet dat alle puuten eener potentlaaliijn tevens buigpunten van stroomlijnen zijn , deze poten- tiaallijn tevens snelheidskromnie is. Dit laatste bijzondere geval doet zich voor bij de potentiaallijn GH. Digitized by Google 224 Deze grootheid u had ik even goed als t kuanen gebruiken om de eigeasohappen yan de stroomlijnen enz. ua te. gaan. 25. Beelden wij het kanaal in een ti-vlak (Fig. 3) af, dan Fig. 3 (M-vlak). yinden wij uit de formules (7) en (8) gemakkelgk: P. yoor de snelheidskrommen concentrische cirkels met het punt 6« (den oorsprong) tot middelpunt; 2^. voor de hellingskrommen rechte lijnen die door B« gaan; 3^. voor de stroomlijnen cirkelbogen die de punten A(u=p) en D (m = 1) verbinden ; 4^. voor de potentiaallijnen cirkels die AD harmonisch ver- deden. 26. Slaan wij nu het w-vlak om de lijn BC2 (de ordinatenas) om, en leggen wjj het daarna op het ^vlak, dan zien wg, dat het mogelijk is de potentiaallijnen, stroomlijnen , snelheids- en hellingskrommen van het t/-vlak te doen samenvallen met de snelheidskrommen , hellingskrommen , potentiaallijnen en stroomlijnen van het ^vlak, zoo dat telkens met toenemende potentiaal afnemende snelheid en met toenemende stroomfunctie afnemende helling overeenkomt. Hieruit volgt , dat er volledige overeenkomst moet bestaan tusschen de eigenschappen van potentiaal en stroomfunctie Digitized by Google 225 eeoerzijds en die van snelheid en helling anderzijds, zoodat wij uit eigenschappen Tan de eene onmiddellgk eigenschappen van de andere kunnen aflezen. Zoo volgt b.Y. uit het beredeneerde in § 18 , dat er eyenals een middenstroomlgn ook een j^middenhellingskromme" moet bestaan , waardoor de hellingskrommen in twee groepen ver- deeld worden , die verschillende eigenschappen bezitten , indien wg het beloop van de potentiaal daarlangs nagaan. En evenzoo geven ons §§ 21 — 23 eigenschappen van de snelheidskrommen betrekking hebbende op de verandering van de stroomfunctie en de potentiaal daarlangs. 27. Onafhankelijk van deze meetkundige beschouwingen hadden wij dit kunnen afleiden uit de formules (7) , (0) en (2). Hieruit toch blijkt , dat bij elk punt van het kanaal steeds een ander punt te vinden is , zoo dat de grootheden ^, xp^ o , d in beide punten door de volgende betrekkingen aan elkaar verbonden zgn: k^' = — ff» k^ = - -^-Hcka'), ff» = ir - -H, ff» = ir • -H'. (10) Deze betrekkingen stellen een tegengesteld-conforme afbeel- ding van het kanaal in zichzelf vast, waarbij telkens twee punten wederkeerig in elkaar overgaan, terwijl verder poten- tiaallgnen en snelheidskrommen , stroomlijnen en hellingskrom- men verwisseld worden. De meetkundige plaats der punten die in zichzelf worden a%ebeeld is in het ^vlak een cirkel die C tot middelpunt heeft enVl—p tot straal, in het w-vlak een cirkel die D tot middelpunt heeft en V\ — p tot straal. In het 2?- vlak is het een kromme die van een punt van 0D| naar een punt 15 Digitized by Google 226 van BA^ loopt. Zij bevat de punten E en L en snijdt de middenstroomlgn niet. De krommen CD, en fiA3 (§ 20) worden afgebeeld lange zichzelf. III. Snelheidspotentiaal en stroomfunctie. 28. Alvorens formules te geven waardoor de grootheid w (en dus ook ^ en ^) in z (en dus in x en y) wordt uitgedrukt, ga ik eerst w en z beide in een daartoe geschikte hulpgroot- heid uitdrukken. Hiertoe biedt zich de grootheid u aan (§ 24), bepaald door „=i±^=f!i±^ t + 1 e*" + 1 ^ ' Wij vinden hieruit onmiddellgk -H-B-:\ <'^>- Ter bepaling van z als functie van u hebben wij in (1) te substitueeren p — u t = 1 — M Tevens is het nu wenscheljjk een bepaalden coördinatenoor- sprong aan te nemen. Ik kies daartoe het punt waar u = O is, d. i. het punt B. Wij hebben dan: ] < 1<+V j il-u)(p-u) f' Wdu r* 1 T^~l p — u o o o o Hierdoor is z uitgedrukt in het verschil van twee integralen van denzelfden vorm. Digitized by Google 227 29. Is Toor m de een of andere meetbare breuk gegeven, zoo kunnen bovenstaande integralen worden uitgewerkt. Ten einde echter het algemeene geval te blijven omvatten, is het ƒ** u^du nader te behandelen. o Ontwikkelen wn naar de opklimmende pf afdalende 1 — u machten van u , dan vinden wij door rechtstreeksche integratie /u^du > waarvan de eene geldig is voor punten in het u-vlak binnen den convergentiecirkel mod. m = 1 , de tweede voor punten buiten dien cirkel. Yoor deze beide reeksontwikkelingen kunnen wij schrijven w«K, (tt) en m«K2(m), waarin door Kj (w) en KgCw) — of meer volledig geschreven K, (m , w) en BLj (w , m) — worden voor- gesteld de reeksen en Ka(t*) = + •- 7- +77: r-ï + (15) Deze beide functies Kt en E^ zijn één waardig, en bestaanbaar voor bestaanbare waarden van k. Voor punten van den con- vergentiecirkel mod. t/ = 1 zijn beide reeksen convergent behalve alleen voor het punt u^ \. Het is duideiyk, dat m*»Kj(w) nul wordt voor m = 0. Wij hebben dus voor mod. u < 1 r u^ du ■ - = u«K,(u), (16) en moeten nu nog een constante C zóó bepalen , dat voor alle punten buiten den convergentiecirkel - = C + w«Ka(M) ƒ■ i wordt. Hiertoe substitueeren wij de waarde van u voor een 15* Digitized by Google 228 punt van den convergentiecirkel (waarvoor beide reeksen moeten doorgaan) , en stellen dos u = «'». Wg moeten dan hebben «"•«• K, (eN*) = C + «"•« « Ka («•'") , en dus K, (^*«) — Ka(€^) = Cér-"»«" Volbrengen wg de substitutie u = «•» in de reeksen (14) en (15), dan vinden wij K,(g«-^) — Ka(g«a>) = — — ^^J^^^ COSoi — ^ J"^^ COS2ül...+ 2,1 . . 2.2 ^ . J 2,1 . , 2.2 . „ ^ ) Wetende dat dit tot den vorm Ce "**" moet kunnen worden herleid, herkennen wg in deze reeksen gemakkelgk de ont- ff wikkeling volgens Fourier van -; cos m(ir — w) en van sm ifiir ir sm mir sin ff» (ir — uf) en vinden wij dul sm ffiir waaruit volgt ^ TT sm ffiir Wij hebben dus ten slotte voor mod. u > 1 '' vF'du ir ƒ 1 — u sin ffiir ejmirt + t|«Ka(«) (17) 30. Substitueeren wij in (13) voor de integralen de daarvoor in (16) en (17) gevonden waarden, zoo hebben wg z vooralle gevallen volgens de machten van u ontwikkeld. Daarbg zgn drie gevallen te onderscheiden: 1°. mod. M < p , gebied A3KIBA, (^-vlak) : ^ = ci4«JK,(u)-K,(-^)j; (18) Digitized by Google 229 2« p < mod. w < 1 , gebied AaD^DaLJIKAa ^''^"* ^«T* + ^^« |k, (u) _ K, (— ) j , . . (19). sin mir ( \p Letten wij op de beteekenis der letters c^ p en m , dan zien wg, dat de eerste term hiervan in richting en grootte de lijn BT aangeeft, die den oorsprong B verbindt met het sngpunt van A2D2 en het verlengde van BC. 3°. mod. M > 1, gebied D1CJLD3: cir (1 — p"») sin mir ^--•-hcw« JK,(w)-K,(^jj., (20). De eerste term hiervan stelt in richting en grootte de lijn BC voor. Wij kunnen met behulp van deze formules de plaats van alle merkwaardige punten in het 2;-vlak bepalen. 31. Ik ga thans de waarde van z 'm u uitgedrukt nog in een anderen vorm brengen meer geschikt tot videre verwer- king en voer daartoe ter bekorting der formules de schrijfwijze S (tl) of meer volledig \3i{m,u) in voor de bepaalde integraal Y^r^^d" (21) O Ter berekening van S (u) hebben wij: 1®. voor het geval mod. ti < 1 : S(w) = - /(l — w)~««K|(M), 2®. voor het geval mod. u > 1 : S (tt) = — / (1 — m) r^ — ««»• — «« K2 (tt) sm fnir of S (w) =r — i (m — 1) - TT cot mv — w"» Kj (m). Deze reeksontwikkelingen zijn echter niet zeer geschikt voor waarden van u die dicht bij 1 liggen en bovendien niet van toepassing op het geval m = 1 , waarvoor S (w) niet 00 wordt. Yoor deze gevallen is de volgende reeks bruikbaar volgens de machten van u — 1 : Digitized by Google 230 w (1 - m) (2 — m) (u— 1)^ __ ■^ 1.2.3 ' 3 geldig voor het geval mod. (m — 1)^1. Hierin moet nog de beginterm B (1) bekend zijn. De voor- waarde !S (0) = O geeft ons hiervoor de waarde m w(l-m) 1 m(l--w)(2 — m) 1 ®^^^=r+ 1.2 •!" + TTïTs •-3-+-- van welke reeks de convergentie gemakkelijk bewijsbaar is '). Bovenstaande reeks voor !S (u) kan worden opgevat als een ontwikkeling volgens Taylor en geeft dus tevens de waarden der opeenvolgende afgeleiden voor u =r l, 32. De voor z gevonden formule (13) is nu te herleiden tot z = - ci(l — w)-hcp«z(l - — ) - ca («) + cp«e(— ) .(22). Het 00 worden van z voor m = 1 en voor u = p wordt hierin uitsluitend veroorzaakt door een der beide logarithmische termen. ^) Iets sneller wordt de waarde van ^ (1) benaderd door de volgende reeks, waarvan ik het bewijs ter bekorting weglaat: ^ ^^^ ~ *" { l (l + ffi) ■*■ 2(2 + 1») + 3 (3 + m) + r Nemen wij van dese reeks n termen , zoo kan van den restterm B. bewesen worden : < ^^ «+ 1 " ) «n+l + m («+l)(n+2) Door dus bij n termen van de reeks — :— - als slotterm toe te voegen wordt « + 1 de overblijvende fout nog aanzienlijk verkleind. Tên slotte kan aangaande ;&; (l) nog worden opgemerkt, dat deze grootheid niets anders is dan r'{m+l) waarin C = 0,577 . . . . , en dat hieruit ook bovenstaande reeksontwikkeling is ai te leiden. Zie b.v. Serret, Cours de calcul differentie! et integral, t. 2, p. 180. Digitized by Google 231 33. Het gelukte mij in het algemeen aan te geven hoe de snelheidspotentiaal in reeksen ontwikkelbaar is voor twee kanaalvakken, nl. : I. voor dat deel van het kanaal dat gelegen is links van de y-as, d. i. van de loodlijn uit B op A2D2 neergelaten (zonder echter voor het geval m > ^ het driehoekige stuk mee te rekenen, dat dan bij C links van die lijn komt te liggen); II. voor dat deel van het kanaal dat gelegen is rechts van de loodlijn uit C op A2D2 neergelaten, of, voor het geval m > ^ rechts van de y-as. Voor het geval m == ^ vormen deze beide vakken te zamen het geheele kanaal. Voor m < ^ blijft nog een trapezium- vormig , voor m > ^ een driehoekig stuk over. 34. Ik begin met vak I. Het is duidelijk, dat wij ons aan dit kanaalstuk aan weers- zyden, nl. aan A16 en aan A2E een even breed kanaal kunnen denken aan te sluiten , waarin de beweging symmetrisch is aan die in het beschouwde kanaalstuk. Dit zoo voortzettende krijgen wij een voorstelling van een vloeistof beweging in het geheele gebied links van de ordinatenas gelegen. Wij komen tot deze zelfde voorstelling uit formule (1) door bij de integratie het passeeren van de abscissenas in het ^vlak rechts van het punt B en daarmede het rondloopen om den oorsprong naar willekeur toe te laten. Letten wg op geen andere waarde van u dan bij de aldus beschreven beweging behoort en beperken wij ons tot waarden van z behoorende bij punten links van de ordinatenas gelegen , dan kunnen wij nu u als een periodieke functie van z be- schouwen met de periode 2cwp'^L De functie SS s^e^ (28) heeft deze zelfde periode, waaruit blijkt, dat u als éénwaardige functie van s kan worden opgevat. Formule (23) stelt een transformatie voor, v^aarbg het be- schouwde kanaalvak vervormd wordt tot de helft van een cirkel (in een ^-vlak) met het punt $ = O tot middelpunt en een straal 1. Een daarmede symmetrisch stuk vloeistofoppervlakte in het ^-vlak wordt vervormd tot de andere helft van den cirkel. Digitized by Google 232 35. De grootheid u yoldoet du aan alle eischen om binnen desen cirkel naar de opklimmende machten yan s te kunnen worden ontwikkeld. Dat dit daarbuiten niet kan , komt doordat B (s =: 1) een kritisch punt is. Uit (22) vinden wij = .^ = (i_^)(i_„)-V^«^"^+'«(i), (24) Bij de ontwikkeling van u wordt de bekende term de waarde van u voor s = O , dus p. Stellen wg verder g 2e u =ip + a^e^ + aaö^" + • • • • dan hebben wg volgens de formule van Bürmann (25) 1 d«-i — r lim n! «e|,dw*-^ {u—pY n" r^ (1 — w) e »W —(f) of of a- = ('-7)" n\ '&{u) u^p {- \Yp n! — Tl (1— P«^) « dl?' »=i . . . (26) Wg hebben nu voor het beschouwde kanaalvak u in ^ uit- gedrukt in een convergente reeks, waarvan wij de coëfficiënten zoover wij dit verlangen berekenen kunnen '). Deze coëfficiën- 1) De berekening der coëfficiënten kan ook ali Yolgt geschieden. Vooreent is a^ = lim. *" en dus Yolgens (24) : •l = — p(l— l») • VerTolgens hebben wij Tolgens (23) en (13) de difFerentiaalyergelijking Hierin substitueerende » = p 4- «i « -(- as «> + vinden wij de identiteit (1 --I»)p-"('i« •|-2<i,«* + 3ii.«»+ ) = = -|i(;i + «i.+ ....)-«+a+,i)(,i + ax, + ...) — +l-. (/, + *,•+. ..)—+». De coëfficiënten Tan het eerste en die yan het tweede lid aan elkaar gelijkstel* lende vinden wij a%, at ens. nitgedrakt in m, p en ^. Sen dergelijk methode is natnnrlijk ook te Yolgen Toor kanaalvak II § 38. Digitized by Google 233 ten zijn bestaanbare grootheden. Substitutie der geyonden waarde van u in (12) zou een middel zijn tot berekening van ^ en xj/. 36. Wenschen wij tv rechtstreeks in s, en dus in Zj uit te drukken, dan stuiten wij op het bezwaar, dat voor s = O, w= — 00 wordt , zoodat de ontwikkeling van w naar de op- klimmende machten van $ niet mogelijk is. Wij heffen dit bezwaar op door vooraf van «?, waarvoor wij volgens (12) hebben zooveel maal de in den vorm (22) gebrachte waarde van z af te trekken, dat de termen met lil 1, waardoor in het punt 8 = het oneindig worden zoowel van w als van z ver- oorzaakt wordt, tegen elkaar wegvallen. Wij vinden dan = T(^-')'*'-"> + i^aw-|«(y)- Mechanisch komt deze bewerking hierop neer, dat wij aan de gegeven vloeistofbeweging een beweging van de geheele vloeistofmassa in de a;-richting van rechts naar links hebben toegevoegd van zoodanige snelheid, dat beide bewegingen elkaar in het oneindige opheffen. Wij kunnen nu de verkregen functie van u naar de opklim- mende machten van s volgens de reeks van Bürmann ontwik- kelen. Stellen wij ^ = O en dus u =:= p^ dan verkrijgt de functie de waarde Wg hebben dus : (27) w = +imp) + ^n + i(~-i)i(i-p) + Google Digitized by ^ 234 z it k (28) waarin wij yoor de coëfficiënten vinden : 1 rf«-i — r lim. = *:(! i - f-r 1 (^ _ ?*!^\ JL U/ of 6» = (-!)• hnl , = 1 rf»» i[r-i^'-\5?i-<'-< pv -- Z{pr) — nSlt) (29). Ik laat hierin het woord lim. staan om aan te wijzen, dat 1 - r» wij bg de substitutie v = 1 aan onbepaalde vormen als de zoogenaamde ,ware^' waarde moeten toekennen (d. i. hier m). 1 — p* Wy kunnen ook voor als afgeleide der S- functie den 1 — p vorm S' (v) schrijven en bij de substitutie r = 1 de afgeleiden der £7- functie bepalen op de wijze aangegeven in §81, laatste alinea. 37. Ten slotte kunnen wij nog in beide leden van (28) het bestaanbare en het onbestaanbare scheiden , en vinden dan voor de snelheidspoientiaal : ckp w 2m b^e^ cos — =^ + .(30) Digitized by Google 236 en Yoor de stroomfunctie: a 2x ^=-^ + -f- + fci«^Mn--^4-M''^«n— + -(31). ^ ckp"^ k ^ cp» ^ cp"^ 38. Ik kom nu tot vak II van het kauaal (§ 33) en onder stel dus X positief en grooter dan Cïr(l — /)"*) cot wir. Evenals in § 34 beschreven werd, vormen wij ons de voor- stelling van een vloeistofbeweging die het geheele aan rechts gelegen deel van het 2- vlak omvat. Bij de integratie (1) in het ^vlak wordt dan het overschrijden van de abscissen-as toe- gelaten zoowel rechts van A als links van C. De grootheid u is nu als periodieke functie van z op te vatten met de periode 2ciri en dus in periode overeenkomende met e''. Wg zouden verder de redeneering van §§ 34 en 35 geheel kunnen volgen en u ontwikkelen naar de opklimmende machten van e ^ qu evenzoo w na voorafgaande aftrekking van z — • Doen wg dit echter, dan stuiten wg op de moeielgkheid dat de ooëfBciënten der verkregen reeksen gebroken machten van een negatieve grootheid bevatten, hetgeen de splitsing van u? in ^ en \pi bezwaarlijk maakt. Wij voorkomen dit bezwaar door te gaan ontwikkelen volgens 8'= e ' 0. Formule (22) geeft ons «'=(«-i)(JL_ip,«<»)-^-«(i-). 1] Dit komt op hetzelfde neer als yerplaatsing van den oorsprong naar het ijpunt Tan CDi met de y-as; $ ^ wi maar minder in analogie met het Toorafgaande. snijpunt Tan CDi met de y-as; ^ was even goed bruikbaar geweest Digitized by Google 286 De waarde yan u yoor s' = O , d. i. in het oneindige aan rechts is « s= 1. Wij vinden dus: -J+ir(l-p«)t -^ + 2,r(l-/H-)» w = 1 + a\e ' + aV +...., (32) waarin ; a'n= — r nl d»-i j/ti W- -•»W + i.p-sQjl 39. Ter berekening yan w yolgen wg § 33. Slechts heb- ben wg te sorgen, dat uit w niet de term met nl 1 maar die met l(i — u) wegyalt. Wij yinden dan: Voor M = l wordt dit "-4^'(t--)-I=<')-^«(t) Wij hebben dus: z 1 «"• 1 — ü*/l \1 1/) waarin: - - - - _ i^**' -p) \p 40. Bij splitsing yan (34) in een bestaanbaar en een onbe- staanbaar gedeelte yinden wij yoor de snelheidspotenticuxl: Digitized by Google 237 + 6',e~^co8J— ^+»Kl-p")[+6'a«~^C08J- -^H-2>r(l-iP»)U.. (36) en Toor de stroomfunctie: + 6'a «- V Bin } - ^ + 2ir(l — p") j + (37) IV^ Het geval m = — > 41. Formule (13) wordt yoor dit geval Z =: C O M ƒ Vu. du .y^\ ^VT.dv en dus Zbs cll of P waardoor de reeksontwikkelingen (18), (19) en (20) overbodig zgn. Verder hebben wij: 1 -Vü g(w)=r ' ^" dti = f— ^ = 2Km - 2l{l+Vu) (39) J 1-u j l+VÜ Digitized by Google 238 42. Beachouweo wg nu eerst het linksche kanaalvak, dan vinden wij hiervoor volgens (30): -JL -ÈL + |-K2) + V'^'co8^-^ + V"^'cobA+.., (40) en volgens (31): ^= cl/f. 2»^ ci/p ckVp f-T- + 6,é sin ^ -fftg^ sin 2y + .., (41) k ^ cyp ' cYp waarin wg ons gesubstitaeerd moeten denken volgens (29): (-!)• r j"-i kn\ d"\lp(l-Vv) 1 \.,^^^| Men zal vinden; j _ 2 (l-Vp V', *» - i(l - p) Il + VpJ 43. Voor het andere kanaalgddeelte hebben wij volgens (36) : a; . 1 , / s . 1 — ^'p , / 1 . \ + ^^ ^ (^ + 1/7) - I ^(2) + 6'. r'. co.{- | + ,(1-KF)}4 + 6'a «-Tcosj— ^+2«-(l -K^)l + (43) en volgens (37): + b\ «""^ sin j— -^ + ir (1 - V7) j + *=l - ' ''^- + b\ e' T  yolgeDs (35) du' den: : enz. 44. De formule door Lamb voor dit geval gegeven (door dezen aan C. Niyen ontleend) wordt opgegeven geldig te z{jn alleen voor dit laatste gedeelte van het kanaal. Wij hebben I dus haar juistheid te toetsen aan formule (43). Daarbij hebben wij Dog te bedenkeo , dat voor Lamb's formule een andere oor* sprong werd gekozen, nl. het punt C, en een ander nulpunt van potentiaal. Dit laatste is nl. zoo gekozen, dat de gemid- delde potentiaal in de y-as O is. Deze zelfde bijzonderheden in formule (43) inyoerende , gaat zg over in: X . 2 /l-VJ\^'-^ y ^ ók i \H- Vpl e + ïTn U 77^1 « 008 — + ... «(1 — P)\l + Kp/ c (voor b^' en b^' voer ik hier hun vaarden in). Drukken wg nu in La.mb'b formule a , i en ü in c , A: en p uit , zoo gaat deze over in : ' ^ 8in{2T(l-K]^)|r"'co8^+... MiwVp c Het i8 echter duidelijk, dat de ontwikkeling van ^ volgens _2f nv termen met e «cos — (overeenkomende met de ontwikkeling c van w Y naar de opklimmende machten van e c) niet op /Google Digitized by VjUUVLC ^ | 240 meer dan één wgze kan geschieden, zoodat uit het niet over- eenkomen der eerste coëfficiënten de onjuistheid yan een der beide formules yoldoende blgkt. 45. Ik zal echter nog nader doen zien , dat Lamb's formule niet juist kan zijn, en daarbij tevens den foutieven grondslag aanwgzen waarop zij yermoedelijk berust. Ik bereken daartoe de stroomfunctie die bij de door Lamb gegeven snelheidspotentiaal behoort. Daarvoor zal men vinden: a — 6 TT 2aU v^ 1 • wir6 T . niru n^ a a "^ a ^ w'^ -w «a Wjj zien nu, dat de Ignen CDj en TDj ook bij deze vloei- stofbeweging naar behooren stroomlijnen zijn , terwijl ook de beweging in het oneindige tot een gelijkmatige beweging met sneldheid ü nadert. a Stellen wg rr = O om te onderzoeken wat de stroomfunctie wordt in punten der Ijjn TC ^), dan vinden wij : , a — 6 -- 2aU v^ 1 . nrrb . nwy xL =5 . XJy -z- > — s sm sm — ^ • ^ a ^ ir* ^ n^ a a Hierin blijkt de tweede term de ontwikkeling volgens een sinusreeks van Fourier voor te stellen van een periodieke functie met periode 2a , die van — a tot — 6 wordt voor- gesteld door: F(y) = Au(a + y), van — b tot + b door : van b tot a door: F(y) = -.^— iuy, F(y)=-4u(a-y). ^) Ik blijf hier O als oorsprong, CDi als x-slb gebruiken. De onderstelling a = 90** maakt dat CT het negatieve deel der y-as wordt. Door letters met accenten, B', T' enz., zal ik de met 6, T enz. oTereenkomstige punten in de andere kanaalhelft aanwijzen (hun symmetrische punten ten opzichte Tan CDi). Digitized by Google 241 Wij hebben das voor de stroomfunctie: van — a tot — è, d.i. Tan T tot B: ^ = (y+&)U, Tan — 6 tot + 6 , d. 1. van B tot B' : ^ = 0, van t tot a, d. i. van B' tot T' : ;/, = (y - 6)U. 46. Hieruit zien wij, dat de stroomfunctie gelijkmatig toe- neemt van T tot B , en van B tot C (naar behooren) constant blijft. De onderstelling bij het opstellen der formule moet dus ge- weest zijn , dat alle elementen van de lijnen TB en T'B' even- redig aan hun lengte vloeistof zenden in het kanaalvak DgTT'Dg'. Dat deze onderstelling foutief is , is uit het beloop der stroom- lijnen links van BT onmiddellijk duidelgk. Uit den zin waarin deze gekromd zgn (§ 16) blijkt nl. , dat de stroomfunctie in de nabijheid van T minder sterk zal toenemen dan dichter bij B, en dat dus b.v. de middenstroomlijn de Ijjn BT niet midden tusschen B en T maar dichter bij B zal snijden. Slechts als wij aannemen, dat de beweging aan links niet alleen in het oneindige gelijkmatig is , maar ook tot aan de lijn BT toe gelgkmatig blijft, zou de stroomfunctie in de lijn BT de eigenschappen verkrijgen die wij haar volgens Lamb's formule moeten toekennen. De opmerking in het vraagstuk voorkomende „the bridge^) being so broad that under it the fluid moves uniformly with velocity U" zou er misschien op wijzen , dat de opsteller daar- van werkelijk van deze zonderlinge onderstelling is uitgegaan. *) De pier AiBB'A^' wordt hier n.l. opgevat als een pijler waarop een brug rust. 16 Google Digitized by Rle DE VERGELIJKINGEN VOOR DE INDEELLNG DER STANGENVIERHOEKEN, F. J. VAES. (Botterdam.) 1. Bij de door Schrijver gegeven iodeeÜDg van de stangei vierhoeken (Jaarverslag XXXVIII van 22 Maart 1899 van ( Yereeniging van Werktuig- en Scheepsbouwkundigen en Jaa verslag III van de Vakafdeeling voor W. en S. van het Koi Inst. V. Ing.) werden de volgende bgzondere betrekkingc aangegeven tusschen de steunpuntenlijn d , de krukken E en en de koppelstang l: i = R + d + r(l), d = Z + R4-r(2), R = rf + r + Z(3), r = i + R + d (4) ; Z4.R = d + r(5), M-r = R + d(6)\ Z + d = R + r (7); l = d (8), d = R (9), R = i (10); Z = r(ll), d = r(12), R = r (13). , Deze vergelijkingen werden opgesteld door waarneming, j 2. In het volgende zal blgken , dat zij af te leiden zgn \ een meer eenvoudig waarnemingsresultaat, namelijk dat i r, R en Z hoeken O, ^ en xp maken met d: Z cos ;/» + R cos + r cos ö = d , en Z sin )// + R sin =: r sin , de bekende vergelijkingen voor het gesloten zijn van den vierho Noemt men cos i^ = o?, cos ^ = y, cos = e, dan wordt eerste vergelijking: lx + B>y + rz =i dy een plat vlak , dat van de drie positieve assen stukken afsQ Digitized by Google 243 omgekeerd evenredig met 2, B en r, en de tweede vergelijking dus een oppervlak, dat door het platte vlak gesneden wordt volgens een kromme lijn, waarvan elk punt overeenkomt met een stand van den stangenvierhoek. 3. Yoor verschillende verhoudingen der stangen verkrijgt men verschillende krommen , die echter niet op eenzelfde opper- vlak liggen. Buiten den kubus, begrensd door de vlakken x=±h y = =t:l, ^=dbl, kunnen geen reêele punten aanwezig zijn, en dus zal bij een bestaanbaren stangenvierhoek het overeenkomstige platte vlak dien kubus moeten snijden. Het spreekt vanzelf dat een vlak, dat den kubus snijdt, slechts dan een bestaanbaren stangenvierhoek kan geven, als het de drie positieve assen snijdt. 4. Doet men de stangen 2, E en r van een stangenvierhoek evenredig toe- of afnemen, dan zal telkens als het vlak door een der hoekpunten van den kubus gaat, een bijzondere be- trekking tusschen de vier stangen bestaan. Yoor een vlak gaande door het hoekpunt van den kubus waarvoor : X y z heeft men de betrekking: 1 d = i + R + r (2) — 1 i =R4-d + r (1) -1 R=d + / + r (3) 1 r = H- R + d (4) — 1 d — Z = R — rofi4-R = d + r(5) 1 i — d = R — rof«4-r = d + R(6) 1 l + d = R + r (7) — 1 d + l + R + r=^0(n) De laatste dezer betrekkingen vereischt, dat alle stangen een lengte nul hebben , terwijl de andere de eerste zeven in den aanvang genoemde vergelijkingen zijn. 16* Digitized by Google 244 5. Schrijft men bij de hoekpunten van den kubus (fig. 1) de nummers van de betrekkingen waartoe zij aanleiding geven, dan blijkt dat van de groepen 1, 2, 3, 4 en 5, 6, 7, n twee op eenzelfde ribbe liggen. De eerste groep geeft betrek- kingen , waarbij de stangenvierhoek onbewegelijk is , de tweede groep die, waarbij de vierhoek is samengevouwen. 6. Yoor een vlak gaande door het punt waarvoor: X y z heeft men de betrekking: 1 O O l = d (8) O 1 O R = d (9) O O 1 r = d (12) Deze betrekkingen behooren bij de middelpunten der drie zg- ylakken van den kubus, welke in het hoekpunt 2 samenkomen. Yoor een vlak loodrecht op het vlak: is: x = y E = Z (10) x = z Z = r(ll) y = z r = R (13) 7. Alle eigenschappen van de stangenvierhoeken de beweging betreffende, zijn met behulp van den kubus af te leiden. Bijvoorbeeld: Als een vlak den kubus snijdt, zoodanig dat het punt 2 aan de eene zijde van het vlak ligt, en de zeven Digitized by Google 245 andere hoekpunten aan de andere zijde, dan kunnen x,if enz wel + 1 worden, maar niet — 1. Dus E en r kunnen wel komen op d, maar niet in het verlengde van d, terwijl l slechts evenwgdig kan zijn met d in dezelfde richting. R en r oscilleeren dus aan de binnenzijde. Gemakshalve zou men kunnen zeggen, dat door zulk een ylak het hoekpunt 2 wordt afgesneden. Een vlak dat de punten 2 en 7 afsnijdt, geeft; een stangen- vierhoek, waarbij l geheel ronddraait, terwijl R en r oscilleeren aan de binnenzijde. 8. Verschillende gevallen die zich voordoen, zijn in de vol- gende tabel opgenomen. Zij komen geheel overeen met de in de Jaarverslagen aangegevene. Sommigen geven dezelfde me- chanismen; er is dan dit onderscheid, dat bij het eene geval de mechanismen hun mogeljjke beweging geheel volbrengen, terwijl zij in het andere geval op hun doode punten terugkeeren. Als l volgens den stand van het snijdende vlak ten opzichte Tan den kubus evenwijdig met d kan zijn, zoowel in dezelfde als in tegengestelde richting, dan kan dit beteekenen, dat l zoowel boven als onder de steunpuntenlijn evenwijdig met deze kan komen, óf wel dat l geheel ronddraait. In de laatste kolom is dit aangegeven. Afgesn. hoekpunt. R r oscilleert binnen. 2 en 5 9 9 2 en 7 » J) 2, 5 en 7 » » 2, 5, 7 en 3 osc. over een boog aan de binnenzijde. 2, 5 en 6 roteert. 2, 5, 6 en 1 » 2, 5, 6 en 7 osc. bn. 2, 5, 6, 7 en 3 osc. over een boog aan de buitenzijde. 2, 5, 6, 7 en 1 roteert. 2,5,6,7, lenS osc. bg. bt. r l osc. bn. wordt // met d gelijk gericht, roteert, evenw. gel. ger. osc. bn. // gel. en tegen- gesteld ger. ; kan roteeren. roteert. // gel. en teg. ger. „ //gel. en teg. ger. „ evenw. gel. ger, „ niet evenw. „ roteert. „ //gel. en teg. ger. „ evenw. teg. ger. „ evenw. teg. ger. Digitized by Google 246 2, 4, 5, 6, 7 en 3 obc. buiten obc. bt. // gel. en teg. ger. 2, 4, 5, 6, 7, 3 en 1 „ „ evenw. teg. ger. Bierbij is ondersteld, dat R >r is, zoodat 6 niet kan worden afgesneden zonder 5, of 4 zonder 3. 9. Als de grootste der krukken oneindig lang wordt gedacht, dan is ook een der aangrenzende stangen oneindig lang, en men heeft dus R = oo en d = oo, ofR = cx) en l = cc . (Zie het genoemde Jaarverslag, Tabel III, en Fig. 12, Bijlage I). 