Nieuw archief voor wiskunde
Is eindelgk het punt bg 't begin der beweging op dien cirkel, dan beschrgft het dezen met eenparige beweging, omdat dan dr niet alleen ^, maar alle afgeleiden van r naar u gelijk nul zijn. Digitized by Google JOHANN WENDEL TESCH (1840-1901). Onder hen , die naar de mate hunner krachten tot den bloei van het Wiskundig Genootschap hebben bijgedragen, moet de naam van Tesgh in de eerste plaats genoemd worden. Daarom mag in de eerste aflevering van het Nieuw Archief y die na zgn overlgden verschijnt, een enkel waardeerend woord zijn plaats vinden. De uiterlijke levensomstandigheden van Tesch zijn spoedig vermeld. Den 26^^^ September 1840 in de residentie geboren, verbond hg zich reeds in 1860 als onderwijzer in wiskunde aan het bekende Instituut van Ylibt aldaar. In 1866 nam hg een be- noeming aan tot leeraar in wiskunde aan de nieuw opgerichte hoogere burgerschool te Zaandam. Hoewel zijn verblijf daar van korten duur was, had het toch een beslissenden invloed op zijn levenslot, wijl het hem kennis deed maken met Mej. C. Stoffel uit Deventer en deze kennismaking tot een geluk- kig huwelijk leidde. Van 1867 tot 1878 was hij leeraar in wiskunde aan de hoogere burgerschool te Amsterdam; toen keerde hij naar zijn geboorteplaats terug om er de leiding van het Instituut, waaraan hij als onderwijzer verbonden geweest was, over te nemen. Tot Maart 1901 mocht hij hieraan zgn beste krachten wijden. En veel heeft hij voor zijne school gedaan, die aan een lagere school een inrichting verbond, welke met een driejarige hoogere burgerschool gelijk te stellen was. Toen echter openbaarde zich de kwaal, die hem moest slopen, in die mate, dat hij zich genoodzaakt zag het dage- lijksch werk aan andere handen toe te vertrouwen. Een ver- blijf in de Scheveningsche boschjes mocht niet baten ; den 3^^ Juli ging hg kalm heen. Bij zijne begrafenis op den 6^^^^ Juli, Digitized by Google ,]. W. Tk.«h. Digitized by Google •:^' ii i:^ (ie »*••..'- ..•'". jiiir muj !'■: A- ••''" .Ir' - ' , •' !.j > j.'h :rti;^ Ui I^'iO 'lis ofn''^,> V. Ijzer in \. isLii!--- :•. -: »•' ".tP»! • ' i \ viu' \-vX V' uy;- .:««!, uu-, lü 1>^''I- r^'f- '"■ f 't f'.-.-;ii.;- ; .: ri»t 'tj-Taur -i» >.':r • '.i-it' aiTi de ni('i;v»' o ••. \:h; 1' 'iu v..i\\Y wï;?, haJ il l t^uh (-on l»o>;i>- ':\J- . :. OU /nn 't»' -.^nsi'^t , vvjl hot l^cr^i l."iiïh' der i iti.';»?:^. •«. O. Si'oi'ia. uit .1): V. i.t<*r ea d"/u k^vi^i^M-ji'vUiu^- .'■: t-- .. kij2^ bii\v(»li;k ]« 11 it^ Vaii V-^Jl toi 1^7cS ^^l^n lui : . ,. \\ 'm:j:»u!v'! H.n- do ii(;-,^r«U'0 biir;xC] ^m^i-.».! r^ A:n^.l•^ : •; }:ccv:U^ }.ij ii.'.ir ZiV' ::^!»OMti*j;uiitö U'.vu% 0!:i or do Jt . • - h''*-t; l;:v;;. ..:;•; j '* '. ir -.'ti; hij :i!a undrrsvil/.or \ ■^rooï.iiCi . 'v \^};y, ovc" tn ijor.'KMi. T')t Mvut V'l'l niO'-ht bij h--*.-. bi'sU' l -.M r.!^«ii wijvlen Kii vo'l hcoft Jiij voor ;•,:".»» • ;.v'i.,v5t , 1?^ ■:n o»ui l:-.gc. e' m liool een iarK.bi-J-;., v;- ■'M'-'- - n .'■ »' ^:: d:ic*;)jIt^o hoo:i"(Me bUi*ircr'-«'li^ol {:(d:;v * ■ < V ;i!?. '?.:0'i ^^•'i't'^r 0].c*nba:"|T-<:(- zicli 'ie ]:\v:ial, lUe ben? » .-bj'ü, in d'r muc-, dut hji zi<*l^ tr<'U(»')"i'/:<ak»- za-,^ b ? J- :. ^«'b \- ••.:;. -i-ir ^uidt-io buï'b»;- too In v-j trouWf-K 1'.' i-;:;!" .1 iio *> ^ ^'Oi.ln;sc!u} b'.M.bjwi Muudit iiiet b-iie.i; «n .. J-ii '^iv^z bij khh:. b'Cii, J>n Zijne begrafenis op «bn O" • Digitized by Google J, W. Tesch. Digitized by Google Digitized by Google 311 waar de voorzitter en aAdere leden van het Wiskundig Genoot- schap tanwezig waren, werd hem bg monde yan den eersten, Corn. L. Labdré, de laatste eer bewezen. In 1863 werd Tesch lid yan het wiskundig genootschap en in 1869 9 dus kort nadat hg inwoner van de hoofdstad gewor- den was, nam hij zitting in het bestuur. In het in 1874 ver- schenen deel der „Wiskunstige opgaven met hare ontbindingen*', dat over 1870—1874 loopt en waarvan de naamlijst behalve bestuurders nog „buitengewone leden van verdienste in het wetenschappelijke vak", „ buitengewone leden van verdienste in het huishoudelijke vak", „leden van verdienste eerste klasse", „leden van verdienste tweede klasse", „leden van de weten- schappelijke commissie", enz. onderscheidde, staat Tesch èn als „tweede secretaris" èn als „inspecteur der boekerg" ver- meld. Dit deel bevat waarschijnlgk zijne eerste penne vruchten op wiskundig gebied, een achttal vraagstukken, waarvan er o.a. een is opgelost door H. A. Lorektz. Doch aan het vol- gende deel der vraagstukken , dat onder den titel „Wiskundige opgaven met de oplossingen" een nieuwe reeks opende, zou Tesch een veel grooter aandeel hebben; in de naamlijst van dit in 1881 voltooide deel staat hij vermeld als „Redacteur der wiskundige opgaven". Dat deze betrekking toen allerminst een sinekuur was kan wel hieruit blgken, dat 64 van de 200 vraagstukken uit dit deel door Tesch zelven zijn opgegeven, van welke slechts 18 door hem aan andere tijdschriften waren ontleend. Gedurende de zes jaar, waarin dit deel in bewer- king was, vloeiden nieuwe vraagstukken slechts traag toe en ook het aantal belangstellende oplossers was zeer afgenomen. Geheel in het vergeetboek geraakt scheen de aanmaning tot de leden van het genootschap 'gericht o.a. in den beschrijvings- brief van de algemeene vergadering van 1865, waar het heette: „Eindelijk verzoek ik UEd. om het opgeven ek oplossen VAN Voorstellen in de gewone Stukjes steeds als eene der voornaamste werkzaamheden ter beoefening en uitbrei- ding van wiskundige kennis, te big ven beschouwen, te willen bevorderen en aan te moedigen: het Bestuur maakt UEd. daarom bg herhaling hierop in het Berigt van ieder Stukje opmerkzaam, noodigt UEd. dringend uit, om toch Digitized by Google 312 ▼ooral, zoo door het inzenden >aii Voorstellen, als door het oplossen van de opgegevene Nieuwe Vraagstukken j tot dit nut- tige doel mede te werken, en alzoo de belangrgkfaeid en do vermenigvuldigiDg der gewone Stukjes te helpen bevorderen". Doch de nieuwe redacteur liet zich niet ontmoedigen. Van zgne verschillende woonplaatsen, Amsterdam (Bloemgracht MM 38 en 72 , P. G. Hooftstraat 37) en 's-Gravenhage (Piet Heinstraat la en Molenstraat 53) bleef hg zgne ^Nieuwe Opgaven" aan de leden rondzenden. En ongetwgfeld is het alleen aan zgne volharding toe te schrijven, dat de nieuwe reeks, waarvan thans het achtste deel in bewerking is, niet in de geboorte is gebleven ; ongetwgfeld heeft zijne werkkracht toen het genoot- schap voor een ramp behoed. Het zou ons te ver voeren de 64 door Tesch opgegeven vraagstukken naar de wetenschappelgke waarde te beoordeelen; bovendien hebben we aanstonds te wgzen op verdienstelijker werk. We kunnen er echter niet van afstappen zonder de aandacht te vestigen op een kenmerkenden karaktertrek, die zich er in openbaart , n.I. dezen , dat de redacteur zich zelven nooit op den voorgrond brengt. Yan de 64 door hem opge- geven vraagstukken heeft hg bg slechts twee zgn eigen op- lossing gepubliceerd. Bijzonder eigenaardig komt deze beschei- denheid, die Tesch kenmerkte, in het door hem aan Steiner ontleende vraagstnkkendrietal 81 — 83 uit. Yan het eerste en tweede waren oplossingen ingekomen, van het derde niet. En hoewel Tesch nu een oplossing van dit derde gevonden had, publiceerde hij die niet, omdat ze hem wat omslachtig voor- kwam, en riep hg voor dit derde opnieuw de medewerking van de leden in met de toevoeging: „mocht er onverhoopt geen kortere oplossing inkomen, dan zal de redacteur de zijne geven aan het einde van dit deel"; werkelijk bevat het „aan- hangsel" een oplossing van een andere hand. Met het tweede ded der nieuwe reeks „Wiskundige Opga- ven", dat van 1882 tot 1886 in bewerking was, zag Tesch zijn volharding beloond; daarin kon het aantal der door hem zelven opgegeven vraagstukken tot 23 dalen. Onder deze zgn er twee , die we nader moeten bespreken ten opzichte van hunne wetenschappelijke waarde; zij toch bevatten oorspronkelijk werk van blijvende beteekenis. Zgn A, B, C, D de voetpunteu der normalen uit een wille- Digitized by Google 313 kenrig punt P in het Tlak yan eon. middelpuntskegelsnee t op deze kegelsnee neergelaten , is A' bet diametraal tegenover A gelegen pnnt en S het yoetpunt van de loodlijn uit het middel- pont van e op de raaklgn in A' aan s neergelaten , dan liggen de punten k'^ B, C, D, S op een cirkel. Dit is de bekende stelling van Joachimsthal , met het punt S aangevuld door de LoNGOHAVPS. Deze stelling is echter niet omkeerbaar in dien zin , dat bg eiken cirkel in het vlak van c een punt P van het vlak geyonden kan worden , waarvoor deze cirkel een der vier cirkels van Joachimsthal is ; immers het aantal punten P van het vlak en dus het aantal cirkels van Joachimsthal is tweevoudig onein- dig, terwijl het aantal cirkels in het vlak drievoudig oneindig is. En nu heeft Tesch aan het vraagstuk , dat reeds de aan- dacht van zooveel bekende wiskundigen getrokken had, een uitbreiding gegeven, waardoor de aangewezen leemte wordt aangevuld. Hij is namelgk op het gelukkige denkbeeld geko- men de werkelgke normalen te vervangen door lijnen, die in het punt der kegelsnee met de raaklijn aan die kromme in dat punt in bepaalden zin een van 90° verschillenden hoek a maken , door zoogenaamde a-normalen. Zoo vond hij , dat elke cirkel in het vlak der kegelsnee e deze kromme in vier punten snijdt , die bij vervanging van een van hen door het diametraal tegenover gelegen punt vier voetpunten van door een zelfde punt P gaande a-normalen opleveren en wel voor een bepaalde waarde van a, die gemakkelgk uit elk drietal der vier pun- ten is af te leiden. Bovendien toonde hij aan, dat de door DE LoNacHAMPS gegeven uitbreiding in den meer algemeenen vorm behouden blgft in de volgende stelling : Zgn A, B, C, D de voetpunten der cr-normalen — a nu gegeven gedacht — uit een punt P van het vlak van e op deze kromme neerge- laten , is A' het diametraal tegenoyer A gelegen punt en S het voetpunt van de in denzelfden zin genomen a-normaal uit het middelpunt van e op de raaklijn in A' aan c neergelaten, dan liggen de punten A', B, C, D, S op een cirkel. Yergelgkt men deze uitkomst met de boven gegeven stelling van Joachimsthal, dan springt de buitengewone eenvoudig- heid van de door Tesch gegeven uitbreiding in het oog. Het denkbeeld in het algemeen normalen door a-normalen te ver- vangen was niet nieuw; reeds onderscheidde men naast de gewone ontwondene eener kromme, d. i. de omhullende harer normalen, de a-ontwondene , de omhullende harera-normalen. Digitized by Google 314 Wat echter nieuw is en de hoofdyerdienste van Tesch uitmaakt, is de meesterlijke analytische toepassing van dit denkbeeld op de stelling van Joachimsthal , die mg indertijd dermate heeft bekoord, dat ik de yerleiding niet heb kannen weerstaan te trachten langs meetkundigen weg tot dezelfde uitkomst te ge- raken door in het oorspronkelgke geniale bewijs van Joachims- THAL overal loodlijn door cr-Ioodlijn te vervangen; bij de be- handeling der stelling van Joachimsthal is het mg dan ook altgd een genoegen op mgne lessen de schoone vondst van Tesch te vermelden en daarbij te verwijzen naar vraagstuk 160 van deel II der wiskundige opgaven. Eenmerkend is weer het bijschrift aan de oplossing toegevoegd: „Had de steller eerst het oog op de in deze vraag gestelde voorwaarde, langzamer- hand breidde de oplossing zich uit tot de hier meegedeelde beschouwing, die misschien eenige nog niet bekende eigen- schappen der ellips bevat, wat tot verschooning van de onge- wone lengte moge dienen." Kan het bescheidener? Een tweede vraagstuk, dat om zgne wetenschappelgke be- teekenis der vermelding waardig is , staat eveneens met a-nor- malen in verband en kan in een anderen zin als eene omkeering van de door Tesch uitgebreide stelling van JoACHrMSTHAL beschouwd worden. Gaat men van drie punten A, B, C van een middelpuntskegelsnee t uit , dan kan men altgd een hoek a vinden, waarvoor de drie a-normalen van A, 6, C door een- zelfde punt P gaan. Denkt men zich nu de punten A, B, G en een hoek a gegeven, doch e veranderlgk, dan heeft men den grondslag gevormd van vraagstuk 179. We kunnen daarbg vragen naar de meetkundige plaats van het sngpunt P dezer lijnen en die van het middelpunt M der kegelsnee , welke dan blijkeu kromme lijnen van den derden graad te zijn. Was Tesch eenmaal met een onderwerp bezig, dan kon hg het moeielgk weer loslaten. Zoo is hg voor een derde maal op het normalenvraagstuk teruggekomen in een voordracht op het Natuur- en geneeskundig congres te Amsterdam in 1806 ; daar sprak hij over meetkundige plaatsen van punten P in het vlak eener ellips « , voor welke de constructie der vier normalen met behulp van gemakkeljjk te construeeren kegelsneden kan geschieden. Verder bevat het Nieuw Archief voor Wiskunde twee opstellen van zijne hand en zgn verschillende kleine bgdragen van hem opgenomen in U intermediaire des mathé' maticiens. Eene aanhaling uit een aan den Heer Landré gericht schrg- ven moge hier een plaats vinden: „Hoe gaarne had ik u ge- sproken over een mgner oudste en beste leerlingen, dien ge denzelfden ochtend de laatste eer hebt helpen bewgzen. Ik bedoel J. W. Tesch* Ik spreek nu van een tgd toen ik nog veel deed aan hoogere wiskunde. Slechts eens in de week, in den winter 's morgens zeer vroeg nog bg lamplicht , gaf ik hem les, hoofdzakelijk in de hoogere algebra. Daar zgn leer- lingen van wie de onderwgzer zelf leert; tot dezen hoorde Tesch. Ik ondervond^ dat Tesch een scherpen doordringenden blik had en een geboren mathematicus was. Ik stelde zooveel belang in hem, dat ik zijn examen middelbaar onderwgs bij- woonde. Tesch had niet veel moed. Tegelgk met hem legde iemand examen af, die reeds naam had op wiskundig gebied. Ik sprak Tesch moed in en voorspelde, dat hg wel zou slagen en de ander niet. En mijn voorspelling werd bewaarheid." Als medewerker aan de ^Reuue semestrielle-^ stond Tesch de redactie trouw ter zijde. Van de oprichting af aan leverde hg de analyse van het tgdschrift y^Mathesis^^ en van eenige andere publicaties. Aan de samenstelling der eerste vgfjaarlijksche tabel had hij een werkzaam aandeel door de , table des auteurs" voor zgne rekening te nemen. Ook bg de samenstelling der achter iedere aflevering verschijnende naamlijst was hg tot kort voor zgn dood behulpzaam. Digitized by Google 316 In TesCH Terliest het Wiakundig Genpotschiip yan Amsterdam een volijverig, behulpzaam en bescheiden medelid en de Neder- landsche wetenschap een talentvol wiskundige , wiens naam met eere moet woeden genoemd. Zgn asch ruste in vrede. P. H. SCHOUTB. Digitized by Google BIBLIOÖEAPHIE. Lezioni di Oaloolo Infinitesimale. Lessen oyer differentiaal* en integraalrekening gegeven aan de Koninklgke Universiteit te Bologna door Dr. Cesare Arzbl^. Deel 1 , stuk 1. Een deel in 80, 433 blz. Florence, Successorl Le Monnier, 1901. De titels der hoofdstukken en paragraphen zgn: 1. Limieten (getal- of puntgroepen, halpstelling van Dar- Boux, enz.) 2. Fnneties (bepaalde integralen, eigenschappen van be- paalde integralen, doorloopendheid van functies, ondoorloopend- heid , integralen als functies harer veranderlgke bovenste grens, doorloopendheid van de som , het product, enz. van doorloopende functies, algemeene eigenschappen van over een gebeele tuesohenrüimte doorloopende functies, tweede stelling van het gemiddelde). 3. Oneindig kleinen (oneindigheden). 4. Afgeleiden en haar beteekenissen (maxima en minima, aangroeiende en afnemende functies, afgeleiden van een integraal, afgeleiden van elementaire functies, omgekeerde functies). 5. Differentialen. 6. Stelling der middenwaarde. 7. Onbepaalde integralen (berekening eener bepaalde inte- graal met behulp van de onbepaalde integraal, stellingen met betrekking tot de afgeleiden en de onbepaalde integralen van sommen, producten, quotiënten van functies. Integratie bjj gedeelte, functies van functies, integratie door substitutie). 8. Integratie van rationale functies (ontbinding van een rationale breuk in elementaire breuken, integral^e van irratio- neele differentialen, integratie van transcendente differentialen). 9. Integralen van functies met oneindigheidspunten. 10. Integralen over een oneindige tusschenruimte. 11. Lengte van bogen van krommen. 12. Opeenvolgende afgeleiden en diflSrentialen (de formule Yan Tatlor afgekort). Digitized by Google 318 13. TJitdrakkingen , die zich onSer mm^miÊêi^kalden joim voordoen. 14. Maxima en minima. 15. Reeksen van functies. G^Jgkmittigie convergentie. Door- loopendheid en integreerbaarheid eener reeks. Machtreeksen. 16. Reeksen van Taylor en van MacLaürin. Uit deze inhoudsopgaaf kan bigken , dat differentiaal- en iptegraalrekeping gezamenlijk behandeld worden in dit gedeelte, dat aan dé behandeling van functies met één veranderlijke is gewgd. Het tweede stuk van dit eerste deel zal op dezelfde wgs de theorie der functies met twee en meer veranderlgken ontwikkelen. Een tweede deel zal gewijd zijn aan de meet- kundige toepassingen en in verband hiermee aan de differentiaal- vergelgkingen en de variatie-rekening. S^ Leerboek der Mechanica met vele opgeloste vraag- stukken én opgaven door J. van der Bi^eggek , CÜviel-Ingenieur, Leeraar M/O. té Winterswgk. Een deel in 8^, 192 blz., 120 fig. Prijs /2,26. Groningen, P. Noordhoff, 1901. Dit leerboek is naar onaie meening een uitstekende hand- leiding bg hét onderwgs aan hoogere burgerscholen. Wat de theorie aangaat , bereikt het wat zonder behulp van differentiaal- en integraalrekening te beireiken is; bovendien bevat het een groote reeks van met zorg gekozen uitgewerkte vraagstukken. Het centimeter-gram-seconde-stelsel is er in opgenomen. Natuurlijk zijn er wel aanmerkingen te maken van onderge- schikt belang y die bij de verschgning van een tweeden druk van nut kunnen zgn. Zoo op de lijn MD van de titelfiguur, die loodrecht op BH behoort te staan, op de twee formules (50) zie blz. 176 en blz. 178, op de y van fig. 63 die a moet zgn, enz. Het is edhter onnoodig deze hier o^ te geven. Want als de schrijver zelf zgn leerboek gebruikt bQ zgn onderwgs , zal' het 'hem gemakkelijk vallen desnoods met behulp van zijn leerlingen deze drukfouten in zijn eigen exemplaar te verzamelen. De uitvoering is goed , de figuren zijn over het algemeen goed geteekend. Alleen is het niet duidelijk , waarom in fig. 35 niet gestippeld is, wat door het vlak Y van het eene koppel wordt bedekt. S'. Oplossing van Vraagstukken uit de Analytische Digitized by Google 319 Meetkunde yan het platte vlak en der ruimte, voorkomende in „Briot et Bouquet, Lecons de geometrie analytique", benevens een gelijk aantal vraagstukken ter oefening door D. J. Korte- weg, hoogleeraar te Amsterdam. Derde druk, vermeerderd en bewerkt door Dr. W, A. Wythofp. Een deel in 8*^, 192 blz. 's Hertogenbosch , W. C. van Heusden, 1901. Bij deze nieuwe bewerking van de bekende „Oplossingen''» waarvan de eerste druk in 1872, de tweede ia 1880 verscheen, is de zestiende door Appell bezorgde editie van Briot en Bouquet's handboek gevolgd , dat zich , dank zij zgne voor- treffelijke eigenschappen, in een telkens weer op de hoogte van zjjn tgd gebrachten vorm bigft handhaven. Voor de eerste maal strekt deze verzameling zich ook over ruimtevraagstukken uit. Teneinde echter omvang en prgs van het werkje niet te zeer te verhoogen heeft Dr. Wythofp zich daarbg beperkt tot de eerste reeks vraagstukken der aan de ruimte gewijde afdeeling en tot het eerste zestal van elk der beide daarop volgende reeksen. S% E. Fourrey. Bécréations arithmétiques. Een deel in b^ 261 blz. Parijs, Nony en Co., 1899. Dit werkje is verdeeld in drie deelen. Het eerste handelt over de abstrakte getallen (merkwaardige eigenschappen van getallen , rekenkundige eigenschappen van getallen , rekenkun- dige bewerkingen, reeksen, polygonaalgetallen , vierkanten, kuben , deelers , verschillende vraagstukken over getallen) , het tweede ontwikkelt de toepassingen {dagen der week , gedachte getallen te raden , oude vraagstukken, merkwaardige of luimige vraagstukken), het derde is geheel gewijd aan toovervier- kanten (vorming, verschillende vormen en vervorming). S% Tychonis Brahe Dani die XXIV octobris a. d. MDCI defuncti operum primitias de nova stella summi civis memor denuo edidit regia societatis scientiarum Danica. Insunt effigies et manus specimen Tychonis. Een met bijzon- der veel zorg bewerkt boekdeel in klein 4^, Xyi+ 138 blz., met een beeldtenis van Ttcho naar een penteekening , fijn van Ignen , die volgens sommigen aan den hoUandschen graveur GoLTZius, volgens anderen aan den Augsburger schilder Oem- PERLiN wordt toegeschreven , en een photografische afdruk van een handschrift van Tycho (n^. 10932 van de keizerlgke bibliotheek van Weenen). Kopenhagen, 24 October 1901. Digitized by Google 320 Behalve Bkahé's „de nova stella'*, waarvan het oorspronkelgke 1573 bij Laurentius Benedicti te Kopenhagen verscheen en in dezen vorm voorzoover bekend nog slechts vijf exemplaren bestaan, bevat dit pracht werk een Proc&mium behelzende de geschiedenis van het ontstaan der nieuwe uitgaaf , een bladzg corrigenda en een woord aan den deenschen lezer. S^ Der Hammer-FenneTsche T ac h y meter-T heodol it und die Tachymeterkippregel zur unmittelbaren Latten ab lesungYonHori zont al distanzundH öhen- unterschied. Beschreibung und Anleitung zum Gebrauch des Instruments und erster Genauigkeitsversuche von Dr. E. Hammbr, Professor an der E. technischen Hochschule in Stuttgart. Een brochure in 4^, 52 blz. , 2 pi. Stuttgart^ E. Wittwer, 1901. Deze instrumenten kunnen den landmeter en waterpasser goede diensten bewijzen. Volgens de door den schrijver uit- gewerkte voorbeelden wordt een afstand van 250 meter tot op omstreeks een halve meter en het hoogteverschil over dien afstand bg een helling van omstreeks 7^ tot op eenige centi- meters nauwkeurig bepaald. 8*. Ueber die Geometrieen, in denen die Graden die Eürzesten sind. Inaugural-Dissertation van Georg Hamel. Een brochure in 8^, 92 blz. Göttingen, Dietrich, 1901. De schrgver zoekt de ölgemeenste meetkunde, waarin rechte lijnen de kortste Ignen zijn ; deze omsluit, behalve de euclidische meetkunde , ook verschillende soorten der niet-euclidische meet- kunde, die door Elein , Hilbert en Miiïkowsei zgn behandeld. Dit algemeene vraagstuk is bovendien daarom belangrijk , dat het de oplossing gdeft van een bijzonder geval van het om- keeringsvraagstuk der variatierekening: gegeven een bepaalde differentiaalvergelijking ; gevraagd een probleem der variatie- rekening, waarvan deze vergelijking de vergelijking van Lagrange is. S*. De projectiev e meetkunde en hare grondleggers, door Dr. H. de Vries. Toespraak, gehouden den 9 October 1901 , bg de opening zgner lessen in de Projectieve Meet- kunde aan de Universiteit te Amsterdam. Een brochure in 8^, 30 blz. Amsterdam, H. G. van Dorssen, 1901. Digitized by Google 321 Korte , lezenswaardige geschiedenis van de ontwikkeling dèr meetkundige onderzoekingen van de oudste tgden tot op heden. La Fonction Gamma; Theorie, Histoire, Bibliographie, par Maurice Oodefrot. Een deel in 8^, 88 blz. Prijs 3 fr. 50. Pargs, Gauthier Yillars, 1901. De gammafunctie door Euler gedefinieerd als een integraal, werd door Gausb beschouwd als de limiet yan een product, dat later door Wrierstrass in een eenigszins anderen vorm werd gebracht. De schrgYer van het bovenstaand werkje neemt de definitie van Gaüss als uitgangspunt, ontwikkelt de bekende y maar vooral ook de minder bekende, eigenschappen van IXx) en geeft tot op zekere hoogte een zeer volledig over- zicht van alles, wat thans aangaande I\x) bekend is. De duidelgkheid en helderheid laat niet te wenschen over. Vooral zgn op prijs te stellen de talrijke bibliographische aan* wgzingen en de mededeelingen aangaande minder bekende onderzoekingen , die niet zoozeer de gammafunctie betreffen, maar waartoe toch de gammafunctie aanleiding heeft gegeven. Een alphabetisehe tafel aan het einde vergemakkelgkt het naslaan. El. J. BoüSSiNESQ. Theorie analytique de la chaleur mise en harmonie avec la thermodynamique et avec la theorie mécanique de la lumière. Tome I. Problèmes généraux. Een deel in groot 8^, XVI , 333 p. Parijs , Gauthier- Villars, 1901. Gelgk de titel uitdrukt en de schrijver in een uitvoerige inleiding nader uiteenzet, wordt in dit boek de analytische theorie der warmtegeleiding op een nieuwen grondslag gevestigd. De vooral door Fourier ontwikkelde behandelingswijze gaat uit van de destijds algemeen aangenomen voorstelling der warmte als een soort elastische vloeistof, wier drukverschillen door ons als temperatuurverschillen worden waargenomen. Thans weet men , dat de warmte een vorm van energie is , energie van onregelmatige bewegingen der moleculen of van trillingen in den ether. De temperatuur, aangevende de ge- middelde intensiteit der bewegingen , heeft alleen beteekenis voor een eindige ruimte, niet meer voor een enkel molecuul. Het is dus niet overbodig na te gaan , of de grondstellingen van Fourier en zgn opvolgers thans blijven bestaan. Dit is 21 Digitized by Google 322 evenwel deo schrgver niet Yoldoende; hg wensoht ook de stralende wannte en in het bijzonder den overgang daarvan in ponderabele lichamen, de absorptie of zooals hij het noemt, de condensatie der warmte mechanisch te verklaren; dit voert tot de opstelling van een atomistische ethertheorie. We zullen van deze denkbeelden een kort overzicht geven; als geheel verdienen ze zeker de aandacht der physici, al zullen velen tegen sommige punten bezwaar maken. Eerst wordt in hoofdstuk I het beginsel van het behoud van arbeidsvermogen voor de behandeling van de warmtepro- blemen geformuleerd, dan in hoofdstuk II de warmte-energie verdeeld in kinetische en potentieele. De warmtestroom door een oppervlak wordt gedefinieerd als de arbeid der moleculaire krachten tusschen moleculen aan weerszgden van het opper- vlak, en aangetoond, dat de stroomen naar beide zijden gelgk zgn en tegengesteld teeken hebben. Het volgende hoofdstuk brengt de ethertheorie, waaruit de golfbeweging zal worden afgeleid. Volgens de inleiding ziet de schrgver den voortgang der wetenschap in de geleidelgke vervanging van verkla- ringen uit eigenschappen of toestandsveranderingen door die uit vorm en beweging; hg ziet daarom tamelgk laag neer op de electromagnetische lichttheorie, die zich van dergelijke „mysterieuse*' toestands veranderingen bedient. Zijn ether be- staat dus uit kleine deeltjes „poussière atomique", waartusschen dezelfde krachten werken als tusschen de deeltjes die de ponderabele stof samenstellen. Van deze krachten, te weten physische aantrekking {geen gravitatie) en afstooting, en chemische aantrekking en afstooting , optredende bjj steeds kleiner afstan- den in de gegeven volgorde, houden de beide laatsten elkaar in evenwicht in de moleculen (uit zeer vele ^atomen" samen- gesteld); de tweede en derde daarentegen bewaren het even- wicht tusschen de atomen, die den ether vermen. Uit deze onderstellingen worden dan de karakteristieke eigenschappen van den ether (geringe weerstand tegen langzame bewegingen, groote elasticiteit bij transversale trillingen van zeer korte periode en ontbreken van elasticiteit voor longitudinale trillingen) afgeleid. De theorie der transversale trillingen, die nu volgt, is evenwel van de speciale onderstellingen vrgwel onafhankelgk. Het vierde hoofdstuk behandelt de voortplanting van golven in doorschijnende stoffen. Naar analogie van den weerstand, dien een vaste bol aan een trillende vloeistof biedt, wordt een Digitized by Google 828 weerstand yan de moleeiilea tegen de tritliDg van den ether ingevoerd evenredig met de versnelling der etherbeweging. Dit voert tot een bewegingsvergelijking welke zich alleen door de a van de vergelgking in den yrijen ether onderscheidt. Yoor doorschijnende stoffen kan a niet groot zjjn; volgens den schrgver eischt dic^ d^t de verhouding der intermoleculaire ruimte tot het volume der moleculen zeer (énorme) groot is. We merken op , dat dit met de uitkon^ftQu der kinetische gastheorie slecht overeen te brengen is. Yan de moeilgkheid uit Fresnel's theorie: een veranderde dicht- heid bil onveranderde elasticiteit te moeten aannemen, is men door het optreden der „schijnbare'' dichtheid p(l + a) berrgd. Wordt^ o gi^ot, of kunnen de moleculen door de werking der elastische krachten trillingen uitvoeren van dezelfde periode als die van de warmte-golven , dan gaat deze afleiding niet door. De behandeling van dit geval der athermane lichamen in het volgende hoofdstuk bepaalt zich tot het bewgs, dat dan evenmin ethergolven als golfbewegingen van trilliogen der ponderabele stof kunnen bestaan , het laatste o. a. omdat de golflengte daarbg veel kleiner zeu zijn dan de afstanden of zelfe de -afmetingen der moleculen. Toch krijgen de afzond^-- lijke moleculen amplituden vergelijkbaar met die van de ether- trilling; hun energie zal dus veel grooter zijn (per Volnme- eenheid) dan die van de ethertrillingen : de warmte is gecan- denseerdf maar wordt in onregelmatige bewegingep omgezet. In het zesde hoofdstuk wordt als maat van de intensiteit der warmtebeweging de uitzetting gekozen, die het gevolg is van een nieuw evenwicht tusschen de physische aantrekking , die toeneemt bg verwijdering, en de physische afstooting, die in Teel sterkere mate toeneemt bg nadering. De keuze van een Btandaard-liehaam voert tot het begrip temperatuur. Hiermede is de grondslag voor de behandeling der warmte- etrooming verkregen De drie volgende hoofdstukken behandelen de oontinuiteit der stroomingen en het verband met het tempe- ratuurverval , eerst algemeen, dan in isotrope of symmetrische stoffen. Door aan den ether aan het oppervlak van een lichaam de temperatuur toe te kennen van het lichaam, nadat even wicht bereikt is / kan men dezelfde vergelijkingen ook tot 21* Digitized by Google 324 de oppervlakken uitstrekkeo. Die temperataur yan den ether heeft evenwel alleen beteekenis, zoo de straling Tolkomen diffaus is. Achtereenvolgens worden afgeleid de verschillende ellip- soïden, aangevende bijv. de geleidbaarheid in de richting vaa het temperatuurverval of die in de richting van den warmte- stroom. In het tiende hoofdstak wordt dit toegepast op staaQes, plaatjes en kristallen. Tot hiertoe had alles betrekking op den toestand op een enkel oogenblik. De invoering van den tijd t als nieuwe ver- veranderlgke voert voor een ruimte <o met oppervhik a tot de vergelgking JC ^ doi = jF^dir+ Jtp dw , waar C voorstelt de soortelgke warmte, u de temperatuur, F« den normalen warmtestroom en q> de warmte in het inwen- dige uit den ether gabsorbeerd of uit andere energievormen ontstaan. Straling aan het oppervUk en convectie worden samengesteld tot uitwendige geleidbaarheid, die de grensvoor- waarden van het vraagstuk regelt. Het bewgs van het bestaan van een enkele bepaalde oplossing, in het bgzonder in de beide hoofdgevallen van afkoeling bg een ondoordringbaar oppervlak, en eindtoestand bg constante uit- en inwendige warmtetoevoer neemt het grootste deel van het twaalfde hoofdstuk in. In het vol- gende wordt aangetoond, hoe het algemeene probleem theore- tisch tot deze beide bgzondere terug te brengen is, indien men den aanvangstoestand en den lateren warmtetoevoer weet te ont- leden in .elementaire verwarmingen'*, welke elk op zich zelf een onafhankelgk aandeel tot den eindtoestund leveren. Be- trekkelgk eenvoudig wordt dit zoo de verwarming periodiek is ; in dat geval nadert de eindtoestand zelf tot een periodieke. De algemeene behandelingswijze is hiermede aangegeven. De nu volgende vgf hoofdstukken bevatten de toepassing, grootendeels overeenkomstig Fouribr , op de verwarming der aarde en de afkoeling bg ring, bol, kubus en cylinder. Een laatste hoofdstuk bevat o. a. nog een analogie van de wanntestroomen met de beweging van een vloeistof in een poreus medium ; aan de hand van de daaruit af te leiden theorie der warmte als vloeistof wordt nog eens gewezen op de moeilgkheden , die tegen deze opvatting pleiten. E* YAir EvjBRDiKaEN Jr.. Digitized by Google Ele DEMONSTRATION DIBECTB DE LA FORMULE DE STIRLING L. ü. H. C. WERNDLY. (Utrecht). On trouve dans Ie recueil d'exercices 8Qr Ie calcul infinite- simal de Frenet — voir Ie 439*^* problème: ir ^2' —-1,2 = 1 l .ün . X . dx^ o d'oü Ton tire, en appliqnant Ie théorème du produit infini du sinus: «r ir O o w «r O O Or, on évftlue focilement la première de oes intégrales par- tiellee : 'T, r2 / .7 . « . da: = ir (i/ . i - 4 + \l . ir). Les intégrales suiyantes, au nombre de n, s'évaluent selon la formule: -(*-T)4-f)-T-T'-'r"' Ja;-0 Digitized by Google 326 en y posant tout simplement A; = 1, 2, 3, n. Quant a la quantité R, on a ir w o Dans cette expression x est tout au plus de même ordre que ir; done, si on suppose n assez grande, pour qu'on puisse né- 1 / 1 \* gliger les puissances de — a partir de ( — I , on peut rem- w ^ tl I placer l'égalité précédente par: «• ir «r J (« + 1)V J (n + 2)V~j" (n-l-3)V •'•• ir j (n+mfw^ 1 1 (n + lf'^in + 2)« "^ (» + 3)» 1 + + 4- = -é-«- Il est évident, que Ia série infinie S est absolument conver- gente; done, si ses termes sont partagés réiterativement en trois autres (dont deux disparaissent chaque fois), elle se re- duit ainsi: S = 1 + 1 1 (n + 1)* "^ (« + 2)ï "^ (n + 3)» 1 1--^+ , '-+^- n + 1 ^ n + 1 n-f 2 "^ n+2 , . ad inf. . . ad inf. — -s, -8,; Digitized by Google 327 Sr _ I nin+lf ^ (« + 1)(« + 2)* ^ (n+2)(n + 3)» 1 1.1 . adin£ «(n-l-l) (n+l)(n + 2) (n+l)(n + 2) 1 — ....ad inf. et UDsi de suite ; oo troave è la fin : „11 1 1.2 » 2n(n + l) 3«(M+l)(n+2) 4«(n+l)(n+2X«4-8) Ml! (m + 2) n(w + l)(n + 2) (n + m+l \m = co\ 1 n J 1_ J_ _ 2»i» 2n» "*" 2rt* 2^ 4n* 3n' 8n* ^ Mttintenant on pourra ranger les termeB Buivant les puissances descendantes de n aassi loin qu'on voudra; toutefois nous ne prendroDs que les deux premiers termes, renongant aux autres, de crainte que Ie terme du troisiëme ordre ne soit modifiépar les termes sommes du quatrième ordre, que nous venons de négliger dans Ie développement du logarithme. Par suite 8 = -— :• n 2n^ Sttbstituant dans l'équation primitive toutes les valeurs, ainsi déduites , on trouve Ia relation : -w[l.l-f-l.2-\-l.3-\- +l.(n — l) + l.n\- ce qui, par quelques reductions simples, revient k: Ensuite on fait addition de = (n-j-i)Z.n — (« + i)i.», de sorte, qu'on trouve: ir . n — ir w 24n^48n^' Digitized by Google 328 i,(«!) = ii.(2».«) + nJ.n-n + (n + i)x \2n 8n»"^24n» *''*/ * 24n 48n» 1 O = il.(2n.n) + n.l.n — n+ jg^H- -^ + . . ,. C'est k dire: On pourrait aussi se baser sur l'équation: — — Z . 2 = ƒ / . cos . o; . (/;r , 1 au lieu de / / . sin . « . da;. 0*^ o mais alors , procédant d'une maniere parfaitement analogue aa calcul démontré ci-dessus , ou trouverait : 1.3.5.7....(2n-l)^2-».n".e-»(l-±+^-jL_4 et pour parvenir ainsi k Ia formule de Stirling, il faudraitre* courir au théorème de Wallis , en supposant que n crüt infi- niment. Digitized by Google H'6ba UEBER EINE EINFACHB ERZEÜGUN68WEISE DER GEWÖHNLICHEN LEMNISCATE, H. DB VRIES. (Haarlem.) J. Die Lehre von den Eegeldurchdringungen führt aaf einfache Weise zu der nachstehenden , rein planimetrischen Erzeugungsweise der gewöhnliehen Lemniscate aus Punkten und Tangenten: „Man beschreibe um einen beliebigen Punkt M als Mittel- ,pnnkt zwei ooncentrische Kreise mit den Radien r und rl/2, „wShle sodann auf dem kleineren der beiden Ereise einen be- „liebigen Punkt S (Fig. I) und bestimme auf der Gerade MS „den Punkt T' derart dass S die Mitte werde zwischen M „und T^ Nun ziehe man durch S eine beliebige Oerade s^ „welche den inneren Ereis ausser in S noch in einem zweiten yPunkte A, den ausseren aber in den beiden Punkten B, und „B2 treffen moge, lege sodann durch A eine Parallele zu der „Gerade MT' und verbinde Bj und B2 mit T'; dann ist der „Ort der Schnittpunkte P, Q der beiden Geraden T'B,, T'Ba „mit der genannten Parallele durch A eine gewöhnliche Lem- „niscate, welcbe den Punkt T' zum Doppelpunkte und den „Punkt M und seinen symmetrischen N in Bezug auf T' zu „Brennpunkten hat. Und die Tangente in irgend einem der „.coQstruirteii Punkte , etwa P , erhalt man als die Yerbindungs- „tinie dieses Punktes mit dem Schnittpunkte D der beiden „Kreistangenten in denjenigen Punkten A und B, aus denen „P hervorgegangen ist." Die Richtigkeit dieser Construction ergibt sich aus folgenden Betrachtungen : es ist die gewöhnliche Lemniscate vollstandig bestimmt durch die Eigenschaft eine biciroulare Curre vierter Digitized by Google 330 Ordnung zu sein mit zwei zu einander senkrecht stehenden Symmetrieachsen , wahrend der Schnittpunkt dieser Achaen für die Curve ein Doppelpunkt ist und die Tangenten in diesem Punkte unter sich rechte Winkel, und also zufolge der Sym* metrie mit den Achsen Winkel van 45^ einsehliessen ; und es ist nun leicht mit einem quadratischen Kegel und einem eben- solchen Cylinder eine solche Disposition zu treffen dass etwa die horizontale Projection ihrer Durchdringungecurve allen diesen Bedingungen genügt. Dazu gehen wir aue von einem quadra- tischen Cylinder mit kreisiörmiger , in der horizontalen Bilde- bene gelegener, Leitcurve (der innere Kreis der Fig. 1), und wahlen der Einfachheit halber die Erzeugenden dieses Cylinders Fi^.h ^ ^ ^^ \ 1 5, / ,, \ \\! / • !/x^ M ^^-^ ^^ ^"^^^^^^^^^^^-^ y -r^è^^\. 'A / N>^ J^ parallel der Aufris der Projectionsachse risse gegen diese Nun wird bekannt tischer Oberflacheri als eine ebene Cur Doppelpunkten, dei A sebene werde Achse lieh d von i ve vie •en st( , sodc n, wal kei n ei lie Dl rgend rter 3ts ree iss ihre Orundrisse parallel irend die Neigung ihrer Auf- lei Beschtankung unterliegt. irchdringung zweier quadra- einem Centrum aus projicirt rdnung mit zwei scheinbaren lie Yerbindungslinie als die Digitized by CjOOQ IC 881 Projection, (aas dem namlicheA Centrum) derjenigen Qerade des Raumes erscheint ia welcher die beiden Polarebenen des Centrums in Bezug auf beide Oberflachen sich schneiden ; das Projectionscentrum nun fur den Orundriss ist der Punkt Z^^; sollen also die beiden cyklischen Punkte der Orundrissebene fur die Projection unserer Durchdringung die beiden scheinbaren Doppelpunkte sein, so muss in erster Linie die Leitcurve des Kegels ebenfalls kreisförmig sein (der aussere Ereis der Fig. I), und überdies muss die Schnittlinie der Polarebenen des Cen- trums Z^ in Besrag auf den Cylinder und den Kegel unendlich entfernt sein , damit ihr Grundriss die beiden cyklischen Punkte der horizontalen Bildebene verbinde ; wir haben also dafür Sorge zu tragen dass diese beiden Polarebenen parallel werden. Dann aber muss der Kegel weiter so gewahlt werden dass seine Spitze T auf dem Mantel des Cylinders liegt, damit namlich dieser Punkt fur die Durchdringung selbst , und also sein Grund- riss T' fur den Grundriss derselben ein Doppelpunkt werde. Und endlicb mussen die Tangenten im Doppelpunkte T so besohaffen sein dass ihre Grundrisse am Punkte T' einen rech- ten Winkel einschliessen* Allen diesen Bedingungen wird nun dadurch genügt da9S man auf der Parallele durch M zur Projectionsaehse den einen Schnittpunkt S mit der Leitcurve des Cylinders fixirt, den Orundriss T' der Kegelspitze auf dieser Gerade derart wahlt dass S in der Mitte liegt zwischen M uod T', den zugehöri- gen Aufriss T'^ auf der untersten Erzeugende des Cylinders annimmt, und nun endlich als Leitcurve des Kegels den Kreis um M Yom Radius rl/2 eintragt, wenn r der Radius der Cylinderleitcurye ist. £s ist namlich die Polarebene des Punktes Z^ in Bezug auf den Cylinder die vertical projicirende Ebene C1C2 durch M; soil nun die Polarebene des namlichen Punktes in Bezug auf den Kegel mit der Ebene c^c^ parallel sein, so muss ihre verticale Spur ^^// c<^ sein, und also mit der verti- calen Projection der Cylindererzeugende durch T zusammen- fallen, wahrend ihre horizontale Spur Tc^//cx sein muss; diese horizontale Spur ist aber die Polare des Punktes T' in Bezug auf die Leitcurve des Kegels, diese letztere muss also so be- stimmt werden dass sie als Polare des Punktes T' die Gerade At] ergibt. AUein sie muss noch einer weiteren Bedingung genügen ; wenn man namlich die Berührungsebene des Cylinders Digitized by Google langs der durch T gehenden Erzeugehde, also die Ebene {'iJr,, mit dem Kegel Bchneidet, so erhalt man die beiden Tangenten im Doppelpunkte T der Durchdringung, deren Grundrisse wie wir vissen einen rechten Winkel einschliessen sollen; man erhalt diese Grundrisse indem man die Schnittpunkte Yon k^ mit der LeitcurTO des Kegels mit T' verbindet, also müsseo diese Schnittpunkte S, und 83 so gewahlt werden daas SS) = SS2 = ST' sei , und es muss die LeitcurTe des Kegels die beiden Geraden T'S, , T'Sj in S, und 83 berühren , was eben geschieht wenn sein Mittelpunkt in M liegt; und weil nun 88, = 883 = ST' = 8M = r, so ist der Radius dieses Kreises ri^2. 8chliesslioh erhellt noch dass die Ebene durch die Gerade MT' parallel der Aufrissebene fcLr die ganze Raum- figur eine Ebene orthogonaler Symmetrie , und also der Aufriss der Durchdringung ein Teil eines Kegelschnittes sein muss, der in T'^ die Gerade A-j berührt, w&hrend für den Grundriss die Gerade MT' eine Achse orthogonaler Symmetrie wird. Durch die bisherigen Anordnungen haben wir nun samt- lichen Bedingungen genügt bis auf einer; es fragt sich namlich ob der Grundriss unsrer Durchdringung nun auch symmetrisch ist in Bezug auf die durch T' senkrecht zur Gerade MT' ge- zogene Achse. Dies ist aber in der That der Fall, denn wenn wir nun dazu übergehen die Durchdringung wirklich zu con- struieren, so haben wir das Hülfeebenenbüschel zu betrachten dessen Scheitelkante die durch T gehende Erzeugende des Cylinders ist , welohe im Punkte S ihren ersten Durchstosspunki hat, und dessen Ebenen also die Grundrissebene in den Strahlen 8 des Strahlenbüschels um 8 schneiden. Trifft nun ein solcher Strahl die Cylinderleitcunre ausser in S noch in A , und diejenige des Kegels in B, und Bj , so hat man durch A den Grundriss der diesen Punkt enthaltenden Cylindererzeugende , also die Parallele durch A zu HT% zu legen, und diese zu schneiden mit den Geraden T'B, , T'fi^, womit dann die beiden Punkte P und Q des Grundrisses er- halten werden ; weil aber die Gerade 8,82 = Ar, die Polare des Punktes T' in Bezug auf den aussern Kreis, und also die Gerade durch T' senkrecht zu MT' die Polare des Punktes 8 ist, so ist (B,B281I) = — 1, und wenn man diese vier harmo- nischen Punkte aus T' auf die Parallele durch A zu MT' pro- jicirt, so erhftlt man P, Q, den unendlich femen Punkt, and Digitized by Google 838 deii Sóhnittpunkt dèr beiden GFeraden UT' üad PQ» der also in der Mitte liegea muss zwischea P und Q, woraus sich ergibt daas unsre Curve in der That auch in Bezag auf die Achse UT^ symmetriscli isL Auch aas dor Constniction der ▼erticalen Projection der Durchdringung ergibt sich die Sym- metrie des örundrisses in Bezag aaf die Achse UT' wie leicht SU sehen anmittelbar; wahrend schliesslich noch za bemerken ist daas der Grundriss jeder Cylindererzeugende die Curve aasser in den Punkten P uod Q noch in zwei anderen Punkten schneidet, deren Construction aus der Bemerkung hervorgeht dass die namliche Gerade auch den Grandriss der durch den Punkt A* gehenden Cylindererzeugende enthalt; lasst man also die Spur 8 der zur Construction erforderlichen Hülfsebene durch A* gehen , so erhalt man die beiden der Erzeugende durch A* entsprechenden Punkte der Durchdringung. Überhaupt kann man sich die ganze Lemniscate noch auf andere Weise ent- standen denken, namlich als das Erzeugniss zweier einander in bestimmter Weise zugeordneter Strahlsysteme , des Parallel- strahlenbüschels dessen Strahlen alle die Richtung von MT' haben , und des Strahlenbüschels am Scheitel T', dessen Strahlen T'B, y YB2 überdies noch eine symmetrische Involution mit den Doppelstrahlen T'M, T'U bilden. Jedem Strahle des Parailelstrahlenbüschels entsprechen, wie wir bereits wissen, 4 Strahlen durch T'; umgekehrt sind jedem Strahle durch T' zwei Strahlen des Parallelenbüschels zuge- ordnet, sodass zwischen beiden Büscheln eine (4,2) Verwandt- schaft besteht. Aber dem gemeinsamen Strahle MT' beider Büschel entsprechen, wenn man ihn zum Parailelenbüschel rechnet, der Strahl MT', doppelt gezahlt, und die beiden Strahlen T'S,, T'Sj, und wenn man ihn zum andern Büschel zahlt, wiederum der Strahl MT', doppelt gezahlt; an Stelle einer Curve 6»^ Ordnung, mit einem 4-fachen Punkte in T' und einem Doppelpunkte im unendlich entfernten Punkte von MT' erhalt man also die Gerade MT', doppelt gezahlt, und eine Curve 4®^ Ordnung mit einem Doppelpunkte in T'. Dass diese Curve bicircular ist erhellt wenn man die unend- lich ferne Gerade der Ebene auffasst als einen Strahl des Parallelenbüschels und nun die 4 entsprechenden aufsucht; dann hat man diese Gerade mit der Cylinderleitcurve zu schneiden, was in den cyklischen Punkten geschieht, diese Digitized by Google BS4 mit S zu verbinden , die 4 Schnittpunkte dieser beiden Oeradeo mit der Leitcurve des Kegels zu bestimmen , und diese endlioh mit T' zu verbinden. Ailein von diesen 4 Schnittpunkten sind zwei die oykiisohen Punkte selbst, sagen wir Ci und G^; und wenn nun CtS die Leitcurve des Kegels noch in S, , C2S die- selbe noch in S^ schneidet , so gehen , weil T' auf der Polare von 8 in Bezug auf diese Leitcurve liegt und die cyklischen Punkte in Bezug auf MT' symmetrisch liegen, die Geraden S1C2 und 82C, gerade durch T', d.h. die 4 der unendlich fernen Gerade entsprechenden Strahlen T'C, , TC^, T'S, , T'Sa fallen paarweise zusammen ; und hieraus ergibt sich sofort dass Ci und C2 Doppelpunkte des Ërzeugoisses sind. 