Nieuw archief voor wiskunde
Er is dan een maximum of minimum voor (A) V = na of voor 2air — !!f (B) A sin a + B cos ö = e » • nv De laatste vergelijking geeft twee waarden voor v, de eene kleiner dan na , de andere grooter dan na, mits A sin er + B cos /3 positief is en kleiner dan de grootste waarde , welke het tweede lid kan aannemen, d. i. —^ — n^ae Is v = na, dan bedraagt de maximum- (of minimum-) waarde der energie E«=iMn2(A2 + B«)-— (Asina+Bcos^ + ^^' ae n^a^e^ en voor de waarden van v volgende uit vergelijking B is E« = 4Mn\A^ + B^) — iMn^A»ina + BcoB/3)», Digitized by Google 56 Het deeltje kan nu in de Yolgende gevallen tot rust komen: Uw P. als v = na , a = ^ir , j3 = O , A = B = — — is ; firae , 2*^. als flf = 4ir , /3 = O, A = B is voor de beide waarden vaa \ V, die voldoen aan , air -ül? A = — e » • nv Wij kunnen nu de volgende gevallen onderscheiden: P. A sin a + B cos /3 negatief, maximumwaarde voor v = na, 2^. A sin a + B cos positief < -r — , minimum — maximum rrae (voor V = na) — minimum. De maximumwaarde is grooter dan de oorspronkelijke waarde. 3". A sin a + B cos > --— en < --— , mmimum — maxi- n^ae n^ae mum (voor v = na) — minimum. De maximumwaarde is kleiner dan de oorspronkelijke waarde. 4". A sm a + B cos > -r— , mmimumwaarde voor v = na. n^ae Hf — 1 = 8. Mflfir» _« ü? E = i Mw3(Aa ^- B2) - — -— (na A sin a + (v+ na) B cosi3)e » + Mir^a^ tr» + 2Mat7 + 2wV «^ _j I? » • 8 t? V De maximum- of minimumvoorwaarde luidt 2n^a^v\2v — wa) A sin a + 2na^ff^{v^ + nav — w V) B cos /3 — — 7ra(t?8 4- 2wat?2 + 2n Ve? — 2w V) e" ^ = 0. De discussie van deze vérgeljjkiDg kan alleen in bijzondere gevallen geleverd worden. De eerste term wordt nul voor v = l^na , de tweede voor 1? = 0.618 wa, de derde voor t; = 0.574 wa. Voor V = 0.574 na zouden wij een maximum hebben, als A en B=:0 waren. Hieruit blijkt, dat dit maximum j^lechts weinig zal worden verschoven , tenzij A en B betrekkelijk groote waar- den mochten hebben. Overigens zal ook in dit geval bij bepaalde waarden der gegevens eeue opeenvolging van minimum-maxlmum-minimum mogelijk zijn. Digitized by Google Vla, D6b DE ENKEIVOUDIGE PERIODICITEIT VAN DE FIJNCTIEN ^, Sra «, cos a; ') G. SCHOUTEN. (Delft.) 1. De oneindig voortloopende machtreeks P(,)^l + _ + _ + ___ + .... convergeert gelijkmatig en bestendig. Immers de volstrekte waarde van iederen term is voor elke eindige waarde van x eindig. Als gelijkmatig convergente reeks is hare grenswaarde onaf- hankelijk van de volgorde der termen; en omdat ze bestendig convergeert, stelt ze niet enkel een «fem^w/ eener functie voor, maar een functie geheel. De reeks moet beschouwd wórden als de ontwikkeling dier functie in de omgeving nul. Wil men de ontwikkeling der functie in de omgeving van a-o, dan vervange men x door a-o-f (ic — x^^ ontwikkele eiken term volgens het binomium en rangschikke de uitkomst van de ontwikkeling naar de klimmende machten van (a; — a*o), wat. tengevolge van de gelijkmatige convergentie del» re^ks geen verandering in de grenswaarde zal brengen en dus ge- oorloofd is. De uitkomst zal zijn : P{iro + (aj-rro)} = P(a:o)P(rc-a:o). . . . (1) ') In hoofdzaak voorgedragen in de vergadering van Februari Op de reeks V(a) ben ik gekomen bij mijn poging tot het vinden van den meest algemeenen vorm van de getallen, die de associatieve, de commutatieve, eo de distributatieve eigenschap bezitten, waarvan ik op de Algemeene Verga- dering* "van 1898 een overzicht heb gegeven. Digitized by Google 58 Hieruit volgt: 1». P(0) = P(xo - Xo) = P(to) P(— a-o). of oot, omdat P(0)=1 is: P(-ro)=l:P(ro) (2) 2^. De functie P(x) wordt voor geen enkele eindige waarde van X gelijk nul; want ware P(iro) = 0, dan zou volgens (1) P(a?) voor elke waarde van x gelijk nul zijn. 3°. Elke waarde x^^ van x^ die F(x) gelijk één maakt, is een periode van de functie ; want dan is P(x) = P(a; — Xq) vol- gens (1). We sluiten nul als oneigenlijke periode uit. 2. Onderzoek naar het bestaan van perioden. Uit de identiteit X CIj Ou P(,)_,^_+_+__+.... volgt in de eerste plaats, dat P(x) voor geen enkele positieve waarde van x gelijk één is ; P(a?) — 1 toch verandert met x van O tot 00. Dan zal ook -^ of 1 — P(— a:) volgens (2) voor geen enkele positieve waarde van x nul of negatief zijn, m. a. w. P(ip) — 1 zal voor geen enkele bestaanbare waarde van x gelgk nul worden. Voor positieve waarden van x is P(a?) >> 1 , voor negatieve 0< P(a:)< 1. Ingeval P(a:) dus een periode mocht hebben , moet die nood- zakelijk complex wezen. Onderstellen we, dat a-f-bi een periode, dus P(a+60 = 1 is. Uit P(a + bi)^P(a)F(bt), of "•■'Il ~'l.2.3'^1.2.3.4.5" )\ volgt dan, dat Digitized by Google 59 moet wezen. Maar dan is ook P(a — W) = l. Uit P(a + bi) = P(a)P(6i) = 1 en P(a — Ji) = P(a) : P(6i) = 1 Yolgt dan yerder, dat {P(a)P=l en {P(60P=1 moet wezen; dus is P(a) = ihl , P(6i) = ihl. Boven is gevonden, dat ¥{x) alleen voor a; = de waarde één verkrijgt; bijgevolg zal de periode van V{x)j zoo die be- staat, zuiver imaginair moeten zijn. Onderstellen we dan , dat bi een periode van V{x) kon zijn, dat das P(6i) = 1 was. Uit Yolgt dan, dat b^ 6* ^ b ft' i» zal moeten wezen. 3. De functiën Pa(a;) en V^{x). We zijn gekomen tot twee nieuwe functiën P,(ar)= 1- 1.2 1.2.3.4 X x^ x^ 1 1.2.3 1.2.3.4.5 waarvan we moeten onderzoeken , of er een bestaanbare waarde b voor X bestaat, die de eerste gelgk 1, de tweede gelijk nul maakt. ledere zoodanige waarde b geeft een periode bi van V{x). Digitized by Google 60 De functiën P2(a:) en P,(a:) cgn evenals F{x) gelijkmatig en bestendig convergent, en de reeksontwikkelingen stellen die functiën voor in de omgeving nul. De ontwikkeling van P2(ir) in de omgeving Xq geeft in de eerste plaats P2(*o +{^- *o)) = 2. P,(-)(a:o) . ^^~'''^' O 1 . i2 • o • . . . n Omdat P2(i)(:ro)= - V,{xo\ P2(*X^o) = -P^C^o), P^^'H^o) = Pi(4 P2^^^(^o) = P2(^o) ÏBj zullen we de ontwikkeling als volgt mogen schrijven : p.K+(»-«j)=p«j._^'+^^_....|- _p,,.,j'_^._(i^,... Evenzoo vindt men voor de ontwikkeling, van V^{x) in de omgeving van Xq Pi(^o + (^ — ^o)) = Pi(^o)P2(^ - ^o) 4- P2(aro)Pi(^ - ^o) • .. (4) De functie V2{x) bezit dus, evenals P,(ic), een optellings- theorema f d. w. z. dat er tusechen de functiewaarden P2(ic -f-y), P2(a?), PaCy) een algebraische vergel jjking bestaat, waarvan de coëfficiënten onafhankelijk van de veranderlijken ir en y zgn; of ook, wat op hetzelfde neerkomt, dat P2(aj + y) als algebrai- sche functie van p2(ip), PaCy) en de eerste afgeleiden PgX^) en Pg'Cy) kan voorgesteld worden. De betrekkingen (3) en (4) toch kunnen als volgt geschreven worden : dV^ix) dV^iy) P2(2: + y)-P2(^)P2(y) dx dy 4. Betrekkingen tusschen P(ir), Pi(a?) en V^ix). Terwijl P(ic) met Pi(rr) en PaCa?) volgens definitie verbonden is door de identiteit P(te) = P2(a:) + fP,(a:), ..... (5) Digitized by Google 61 bestaan er tusèchen Pi(a;) en 1?2{^) betrekkingen, die onmid-> dellijk Tolgen nit de beide identiteiten 2P,(:r) = P(«;) + P(- ix) , 2iP,(a;) = P(fe) - P(- ix) , nl. {P,(ar){»+{P,(«)P=1 (6) \?2{T)l^-\V^ix)l^ = F2(2x) 2P,(x)P,(^) = P,(2a;) . 5. P(a:) , Vi{x) en PjCa:) . zijn enkelvoudig-periodieke functiën. AaDgezien de beide fuoctiën V^(x) en p2(^) voor bestaanbare waarden van x slechts bestaanbare waarden kunnen aannemen , blgkt uït (6)', ^at zij 4- 1 tot bovengrens, — 1 tot beneden- grens hebben. Omdat eindelijk die functiën eindig en door^ loopend zijn, zullen volgens een bekende functietheoretische stelling ') die boven- en die benedengrens ook werkelijk bereikt worden ; m. a. w. + 1 is een maximum' , — 1 een minimum- waarde zoowel van P2(^) als van Pi(a:). Groeit nu x van nul vloeiend aan , dan zal P^C^r) vloeiend beginnen af te nemen van de waarde 1 af en P](a;) toenemen van O af. PjCa;) zal dus voor zekere waarde w van x nul on Fi{x) voor diezelfde waarde één geworden zijn; dus F^M = O , VM = 1 (7) Bljjft X aangroeien , dan zal voor zekere waarde m + m, van X ?2{^) go'lj'^ — 1 en P,(a:) = geworden zijn. Maar volgens het optellingstheorema is of - 1 = - P,(o>,) , zoodat volgens (7) ü>, =bi blijkt te zijn. Dus P2(2a>) = — 1 , P,(2iü) = (8) Bij voortgezette aangroeiing van x zal Fii^) Q^ S^^^ toene- men en Pi(a?) dus gaan afnemen , zoodat Pa(x) weer voor zekere waarde 2w + ci>2 van x gelijk nul en Pi{x) gelijk — 1 zal wor- ') Zie O. BiBBMAKN, Theorie der analytiscAen Funetionen, p. 82. Digitized by Google den; dus ?^(2w + «j) = O en P,(2« + wj ^ — 1. Volgen» het optellingstheorema is echter P,(2lU + üla) = Pi(2o)P2(<.'2) + P2(2«)Pi W , of volgens (8) ~1 = -P,K), zoodat ook hier Wj = w is , en PjCSw) = O , P3(3w) = — 1 is. Eindelijk zal, wanneer x met een bedrag 3oi + w^ is toege- nomen, PaCic) weer gelgk -4- 1 en P,(a:) gelijk O geworden zgn, dus PaCSw + wj) s= 1 en P,(3cii -f wg) = 0. Maar uit het optel- lingstheorema Toor PaC^) volgt weer, dat «113 = 11» is, zoodat P,(4c.) = l , P,(4<.i) = (9) is. Hieruit blijkt, dat 4(ü de getalwaarde b is, die we zoch- ten , en 9 afgezien yan positieve en negatieve veelvouden, de eenige is. 'P{x) heeft dus de eenige periode 4u)i. Tevens is gebleken , dat 4(ü een periode is zoowel van F^Kx) als van P,(ic). Omdat F^{x) en P,(a?) volgens (6) slechts ge- meenschappelijke perioden kunnen hebben, en volgens (5) die gemeenschappelijke periode ook gemeen moet wezen aan P(ix)^ zoo blijkt, dat ook PjC^p) ©n Fi{x) evenals V(x) enkelvoudig- periodiek zgn '). 6. Voor bestaanbare waarden van X is Pj(ic) ^ cos a? , Pj (x) ^ sio x. Dit moet meetkundig bewezen worden. Wordt 1?2{^) ftls abscis OA en P,(a;) als ordinaat kB uitgezet op een rechthoekig assenstelsel , dan zal volgens (6) het punt B langs een cirkelomtrek bewegen, die den oorsprong O tot middelpunt en de eenheid tot straal heeft , wanneer ^) Bij mijn voordracht heb ik, om de periodiciteit te bewijzen, gpesteund op de theorie van de maximum* en minimumwaarden eener functie, wat bij een^ elementaire behandeling als deze minder op zijn plaats is. Ik redeneerde daarbij als volgt: P»^^) heeft tot afgeleide — Pi(^); als a? van O af vloeiend gaat toenemen , zal P,(^) van 1 gaan afnemen en Pj(d;) van O gaan toenemen. Pit afnemen van 'P%{a) zal niet kunnen eindigen, tenzij Vi{x) weer gelijk nul geworden is , dus wanneer Ps(^) de waarde — 1 heeft verkregen ; enz. Digitized by Google 63 X vloeiend verandert. Voor ar = O is B in O; groeit x van O aan, dan beweegt het punt B zich van C uit langs den cirkel- omtrek in een richting, die tegengesteld is aan die van de wijzers eener klok. De daarbij doorloopen boog CB is dus een functie van x. We zullen aantoonen , dat boog CB = o; is , waarmede dan het gestelde bewezen is. Als X met Arr aangroeit, dan zal VJ^x) met B\i—VJix^'^x)'-Y^{x) en Pi(a:) met DB' = ?x{x + Aa?) ~ ï\{x) veranderen. Na is dus -f2 \Ylx + ^x) - P,(rr)P + \?,{x + Aa:) - ?,{x)\^ = BD> DB = = (koorde BB7, of na deeling door Aa; : / P,(a; + Aa?)-P^(a:) \« ^ / P,(a? + Aa?) - P,(a:) \^ ^ / koorde BB' \2 Gaat men tot de limiet over, dan wordt het eerste lid (P,'fa?))»+ (P/(a?))S waarvoor {?x{x)f -^ {V^{x))\ dus volgens (6) één geschreven kan worden ; bijgevolg is limiet koorde BB' = = limiet Aa;, of als boog BC = 9 gesteld wordt: ds = dx. Omdat zoowel x als s met O beginnen, blijkt, dat BC^a; en bijgevolg PaCa?) ^cosar, P,(a;)^8ina: is. De periode 4w is bijgevolg 27r, en die van P(a;) dus 2wi. Het optellingstheorema voor T^ix) en dat voor Pi(x) gaat nu voor bestaanbare waarden van x over in cos (o? + y) s= cos a? cos y — sin a: sin y , sin (a; + y) = sin x cos y -f* cos a; sin y , de bekende grondiormulen uit de trigonometrie. Niets staat nu in den weg, om de functie Pa(a;) de cosinusfunctie, Pi{x) de dnusfunctie te noemen, aangezien de grondformulen voor elke complexe waarde van de veranderlijke doorgaan. Evenzoo mogen we P(a?) vervangen door e*. Immers uit het optellingstheorema P(a:)P(y) = P(a? + y) volgt voora? = y=l: P2(1) = P(2), voora;=l, y = 2: P'(1) = P(3), Digitized by Google 64 ea zoo in 't algemeen yoor geheele getal waarde x^a n P»(l) = P(n). Wordt nu gesteld, dan is P(n) = e»; en nu mogen we voor elke waarde van x P(ic) = e' definieeren , omdat P(:i;) alle grondregelen van de machten , nl. ?{x) . P(y) = ?{x + y) , P(- x) = l: ?{x) , P(0) = 1 , volgt. De identiteit (5) gaat nu over in 6»* ^ cos ic + i sin a? , welke , door het verheffen van beide leden tot een willekeurige macht fc, het theorema van de Moivbe geeft, nl. (e^^Y ^ (cos x + i sin x^ ^ cos fiX + i sin fix. 7. De getalwaarden ^ die e*, sino; ^ co8.t kunnen aannemen. o), e^. Wanneer de complexe veranderlijke 2 = x + iy met 27ri verandert , zal e* dezelfde waarde behouden. Alle waarden, die e' kan aannemen , zullen dus gevonden worden , door x alle bestaanbare waarden van — oo tot +• oo en y alle bestaanbare waarden van O tot 2n- te laten doorloopen. Meetkundig beteekent dit, dat e^ alle getal waarden , die ze kan aannemen, zal verkrggen, als de complexe z de strook doo^ loopt, begrepen tusschen de as OX en de parallel aan OX op X öen afstand 27r, waarbij de as OX in het veld van beweging wordt opgenomen. Het is gemakkelijk in te zien, dat e' elke waarde en deze alechts eenmaal zal aannemen, als z zich over deze strook beweegt. Beweegt z zich langs de as OX, dan doorloopt e* alle posi- tieve waarden. 2ir Digitized by Google 6^ Bejf ee^ z zich Iftii^s de parallel y = ir ^ zoodat z van den vorm a? -h ir* en é« = e* + *"' = — e* is, dan yerkrggt e* alle fe^atieve waarden. De bewej^ing lanjgs de parallel y = ^iri en de parallel y = |r» doet e« alle zuiver imaginaire waarden doorloopeo. Yoor alle oyerige plaatsen van de strook zal €• elke complexe 4n^rde a^bi anPiSiaimii. Wfint, wat a en 6 ook mogen wexen , a h tttSd u} ^ 4<M)r cos y , , door Bin y kannen rer- Tangen worden, waar y tusschen O en 2ir is gelegen, en on- dubbelrinmg is bepaald. Stel nn Ka^+i6^ = e', waar x zeker bestaat en reëel is; verder cosy +.i sin y = 0^y, waar y zeker bestaat en tusschen O en 2ir Hgt. Dan is a + bi = K^T^ { , ^ +*' ^ ] = = e* (cos y + i sin y) = «» + •' ; dus bij elke complexe waarde a-i'bi behoort één bepaalde exponent x -hiy van e*. Elk getal kan ^w Toqrgesteld worden door e'+*<', waarx en ,f bestaanbaar zijn , en 2r > 9 ^ O ; of ook , omdat e* elk reëel positief getal kan voorstellen , door pe^. Dan heet p , zooals be- kend is, de modulusj B de amplitudo van het getal. b. cos z. Op dezelfde wijze blgkt , dat cos z elke waarde K aleehts eenmaal aanneemt in de strook , begrepen tusschen de as OY en de lijn y = ir, hierbij alleen de positieve as OY en het negatieve deel van de lijn y = ir in het veld van beweging opnemende. fmixiiext z van .0 tot ir , dan cos z van 1 over O tot — 1; » ^ 9 O 9 «00 , 9 CO8 9 1 tot 00, a z ^ ir , ir— too, ^ C0S2f , — 1 tot — oo, zoodat cos z bg deze bewegingen alle bestaanbare waarden heeft I •i-/r ./ 4.100 tReaadart 2? vaa -^ tot — -h » «> , dan cos z van O tot — 1 00 , Digitized by Google 66 Koodat nu cos z alle zuiver imaginaire getalwaarden heeft yer- kregen. Yoor elke andere plaats yan z binnen genoemde strook is de getalwaarde van cos 2; yan den vorm a + hi^ waar a en 6 elke bestaanbare waarde kunnen hebben. Is 2f = a? + »y, dus ir >a? >ü en verschillend van — , ter- wijl y elke waarde kan hebben, dan moeten we aantoonen, dat bg elke a en 6 een bepaalde x en y behoort. Uit a + W = cos {x + iy) = cos x cos iy — sin x sin iy , 1 , X ./ y «^^*y=^Yi^^~^^"^*\T'^ volgt: cos X cos ly = a ] cos ty = 1.2.3 cos o; sin X sin ty = b%] sm ly = -, — i ' 8in a? dus ook: cosa? = a costy sin 0; = b -. — r-i sin %y ft» =1, (10) cos» X sin» a; cos» ly sin» iy of 2aa 26» _ 2a» 2fc» __ l + co8 2aj 1 — cos22; l + cos2»y 1 — cos2iy Worden de breuken verdreven en de cosinussen opgelost, dan vindt men zoowel voor cos 2a; als voor cos2»y de uitdrukking a» + i» ±1 K (a» + i» — 1)» + 4i» , of, wat hetzelfde is, a» -h 6» ±1 K(a» + 6»+ 1)» - 4a». Kiest men nu voor cos2;r het onderste^ voor cos2Jy het b(h venste van het dubbele teeken, dan is cos 2a? — 1 < O , cos 2a? + 1 > O , cos 2iy — 1 > O , Digitized by Google 67 waaniit volgt, dat Toor x en Toor y altijd bestaanbare waarden kunnen gekozen worden, welke voldoen aan co8(aj + iy) = a + W, wat ook a en & mogen wezen , en waarbij O < 2a; < 2ir is. Dat er eindelijk slechts één keuze voor o; en y is, blgkt als Tolgt: sin o: moet positief zijn, dus moet volgens (10) het tee- ken van ff gelgk aan dat van b gekozen worden. Verder moet volgens (10) cos o; het teeken van a hebben. Hierdoor zgn o; en y ondubbelzinnig bepaald. c. sin 2;. Op soortgeiyke wgze blijkt, dat sin 2r elke waarde dechts eenmaal aanneemt in de strook, die men verkrggt, door de strook bg cos z beschouwd een weg — in de richting yan de as OX te verschuiven. 8. Voor z = oo neemt elk der functiën e*^ sin 2?, cos 2? elke getalwaarde aan. Is a + bi een willekeurig getal, dan is boven bewezen, dat altijd een waarde van z =^x + iy kan gevonden worden , zoo- danig dat e^ = a + bi is. Wordt nu z op zoodanige wijze tot 00 gebracht , dat bij y een onbepaald aantal 2ir wordt opgeteld, dan behoudt e* dezelfde waarde a + bi, die ze dus ook zal hebben voor z^=co. Laat men evenzoo in cos z = cos {x + iy) = a + bi de com- plexe z oneindig groot worden, door x met een onbepaald aantal getal waarden 2n- te vermeerderen ofte verminderen, dan zal cos z steeds dezelfde waarde a + bi behouden en dus ook bezitten voor z = cx>. Hetzelfde geldt voor sin 2;. 9. De functiën e*, sin Zy cosz zijn geheele transcendente functiën. zy onderscheiden zich, zooals we gezien hebben, hierin van de geheele functiën van eindigen graad , dat ze voor 2^ = 00 elke getalwaarde aannemen , terwijl deze voor 2; = 00 er slechts een hebben, nl. 00. Zooals bekend is , heet het punt z = co voor onze functiën een wezenlijk bijzonder punt (point critique) , terwijl het voor I den geheelen n^ graadsvorm een onwezenlijk bijzonder punt (pool) genoemd wordt. Het punt z = co stempelt onze functiën tot transcendente, die, omdat ze voor eindige waarden van z ein- dig zgn y geheele transcendente functiën genoemd worden. Digitized by Google LM7d EENIGiE OPMERKINGEN JiAAJt AANLEÜHBÖ YiLN ÜML WEÏl'S E. DE V(RI(ES. (Haarlem.) § 1. In liet Toor de ontwikkeling der nieuwere jneetknnde zoo belangrgke werkje van Emil Wetr, getiteld Beitrage^ur Curvenlehre (Wien, Alfred Hölder^^ 1880), komt opp^g. .28.Bqg. een bewijs voor van de stellingen van Pongelet omtrent ,ge- l^ktydig om- en ii^eschreven veelhoeken dat onjuist is, aan- gezien de schrijver als gemeenschappelgke raakliJBen van twee 'kegélsneden 4 rechte lijnen vindt, waarvan ^emakkeljjk is aan te toonen dat geen van haar de beide kegélsneden Aanraakt , en dan , hierop voortbouwend , als bewezen aanneemt dat 'beide krommen samenvallen zoodra zg nog één vierdere kaaklijn gemeen hebben. Wij zullen nu in de volgende bladzijden in de eerste plaats beproeven Schrijvers bewgs van deze onjuistheid te ontdoen. De stellingen in kwestie zgn deze : Wanneer een vetanderlgke enkelvoudige n%oek (met n zgden dus) in een kegelsnee beschreven is , en alle zijden op één na aan een tweede kegélsnee raken, dan zal de laatste zgde steeds een derde kegehnee aanraken, die door de sngpunten Tan de beide eerste gaat. En verder: Wanneer een veranderlgke enkelvoudige n-hoek om een 'kegelsnee beschreven is, en alle 'hoékpunt^i op één na een «tweede kegëlsnee doorioopen, dan zal bet laatste hoekpunt ^en derde kegélsnee doorloopen, die de vier gemeenschappelgke Taaklgnen der beide eerdte aanraakt. Het spreekt van ^If dat élechts één ran deze :]>eit3e n^é- Digitized by Google bigmi bewes^B bekoeft ie worden , daar de tweede «it de eerale ksB worden afgeleid met belmlp vai» het begiesel van duaKteit. Uit beide stelKogen Tolgt iK>g deze derde: Zoodra er éèn ff-hoek bestaat, die tegelijkertijd m de eerate en 0m de tweede kegelsnee bescbreven fe, bestaan er oneindig ▼ele; de koekpnnten Tan aï deze ii-koeken bepalen op de ke- ^hnee, waarop ztj liggen, een involulie van den «*" graad eo den eersten rang, I'», terw§l de zjden aan de tweede kegeï- raee een in?olntoriseh raaklijnenstelse} bepalen, eveneens van den n*^ graad en den rang 1. § 2. Zijn twee kegelsneden gegeven, h en F^, dan kan men nit een wülekenrig punt Xj van ia twee raakignen trekken aan k'^; noemen wij de tweede snijpunten dezer raak- Igsen met Jr^ ^2 ^^ ar^a, ^an kan men nu uit elk van deze twee punten aan k\ nog slechts één raaklijn trekken, en uit de tweede sn^punten van deze met h^, x^ en x'g, weer deehts één, enz. Zet men deze constructie voort tot aan de punten a?», a?\, dan ziet men dat op deze wijze aan ieder punt x^ van k^ twee punten, a?«, a?',, worden toegevoegd. Gaat men omgekeerd van het zooeven gevonden punt a?« uit, dan kan men weer aan V^ twee raaklijnen trekken, waarvan de eene reeds getrokken is en naar bet punt Xn^\ heenvoert, terwgl de andere k^ voor de tweede maal zal snijden in een punt a?'»_i. Van de beide punten Xn^i en ap'»-i kan men nu weer slechts één raaklijn trekken aan k\, en van deze beide is er één , nl. a?»_i a?«-3 , reeds getrokken , enz. Zet men deze constructie voort tot aan de punten x^ , x\ , dan ziet men dat a?j samenvalt met het punt van waar uit wg de constructie zgn begonnen, terwgl x\ nieuw is, en dat dus bg ieder punt Xy Yan *2 twee punten ar», x'n behooren, terwgi ook omgekeerd aan ieder punt ar, twee punten a?, , x\ , zijn toegevoegd. Maar terder volgt uit deze constructie ook, dat bg ieder punt van ta steeds dezelfde twee punten behooren , onverschillig of wij het punt van uitgang x^ of x» noemen; de punten ar, en Xn vormen dus op k^ een zoogenaamd „symmetrisch puntenstelsel van den tweeden graad" '). Yerbinden wij ieder punt x^ van k^ met de beide toegevoegde «) B, Wbtb, Bntr&ge, p* a Digitized by Google 70 punten o*», x\^ dan zullen al deze oneindig vele yerbindings- lijnen een kegelsnee omhullen, omdat er uit ieder punt van A's twee raaklijnen aan deze kromme getrokken kunnen worden ; zij wordt door Emil Weye ^Directionscurve" ') ge- noemd, en dient er toe de aan een willekeurig punt x^ van A's toegevoegde punten x», x\ rechtstreeks te vinden, zonder dat het noodig is een, voor het geval dat n een groot getal is, langen omweg te maken langs de kegelsnee k\. Denken wij de raaklynen geconstrueerd, die de zooeven be- schreven „richtkromme" i^ met Ic^ gemeen heeft, dan zien wij, dat in de raakpunten van deze raaklynen met )c^ telkens twee toegevoegde punten Xy^ en Xn samenvallen , terwijl x\ het tweede sngpunt is met )c^ van de tweede raaklijn, die men van uit elk der vier genoemde punten 0^1,1, nog aan h\ kan trekken. Deze 4 punten o?,,» zijn de 4 „dubbelpunten van de eerste soort'* van het symmetrische puntenstelsel op Xts. Er bestaan nl. ook nog 4 „dubbelpunten van de tweede soort''. Wanneer wij nl. het punt r, eens plaatsen in één van de 4 snijpunten van A's en c/s, dan kan men van uit dit punt slechts één raaklgn trekken aan de richtkromme d^\ in het tweede snijpunt dezer raaklijn met Ic^ liggen dan de beide punten ^m, x\ vereenigd, en zulke punten heeten dubbelpunten van de tweede soort, doemen wij dus de 4 snijpunten t7|, r^, f3, f4 van ]c^ en d^ vertakkingspunten van het symmetrische puntenstelsel, dan kunnen wij zeggen dat wij de 4 dubbelpunten van de tweede soort i;^, i?^«, t?^, v^n verkrjjgen, door in de 4 vertakkings- punten van het stelsel de raaklijnen te trekken aan d^. Nu moet het echter ook mogelijk zgn de zooeven gevonden 4 punten i?^«, tr^», »'«, vK te vinden met behulp van de kegel- snee k\^ en men ziet onmiddellijk in dat men hierin slaagt wanneer men slechts het uitgangspunt x^ in een van de 4 snijpunten van A's en k\ aanneemt; immers dan kan men van uit dit punt slechts één raaklijn trekken aan k\^ zoodat de beide punten a?2, x\^ en dus ook ^3, o^'a . • . • , en eindelgk ook Xn^ x'n sameuvallon. Nu bezit ons puntenstelsel slechts 4 dubbelpunten van de 2* soort, nl. t?^, t;^», t;\, vK\ elk dezer punten bevat twee samenvallende punten ^r», x\^ en aan elk zoodanig puntenpaar is slechts één punt x^ toegevoegd, zoodat ») 1. c. p. 6. Digitized by Google 71 er op 2*2 slechts 4 punten x^ mogelijk zgn , die aanleiding geven tot twee samenvallende punten a;«, x'n] wij hebben er echter 8 gevonden, nl. de snijpunten van k^ met d^, en die van Ar, met 4^2, dus moeten de drie Jcegelsneden Ar^, i'^» ^a ^^^ dezelfde vier punten t?, , fj , ^3 , t?^ gaan. § 3. Wg hebben dus in de voorgaande paragraaf aangetoond^ dat wanneer de eerste n — 1 zijden van een in een kegelsnee ir, beschreven n-hoek steeds een zelfde kegelsnee A;'^ aanraken , dan ook de laatste zijde XnX^ een zekere kegelsnee d^ moet aanraken, die door de snijpuuten der beide eerste heengaat; •en hiermede is de eerste der in § 1 genoemde stellingen, en dus implicite ook de tweede, bewezen. In Fig. 1 is de constructie uitgevoerd voor het geval n = 7 en in de bizondere onderstelling, dat k^ en k'^ beide cirkels zijn. Dit heeft ten gevolge, dat ook (/j een cirkel wordt, om- dat deze de 4 sngpunten van j-2 en k'2j en dus ook de beide absolute punten in het oneindige, moet bevatten; overigens echter blgven zoowel de constructie als het bewijs onveranderd. Digitized by Google 72 ^rekt inen in de beide op eindigen afsfand gelegen TertakKingé- pun^en r, , V2 , voor zoover zij bestaanbaar zgn , de raaklijnen aan d^y dan vindt men de beide dubbelpunten van de tweede soort v\^ t^7; om de beide andere te verkrijgen zou men in de beide onbestaanbare cirkelpunten in het oheihdige de raak- lijnen moeten trekken aan d2 en deze voor de tweede maal met Atj moeten snijden, wat wel is waar op zeer eenvoudige wgze mogelgk is, maar natuurlijk aanleiding geeft tot twee toegevoegd onbestaanbare punten f^^^ en t^f ')• •Nu is er natuurlijk geen enkele reden, waarom de raakl^nen in de punten v\ , t^^ , v% , v^^ (of algemeen t\ . . . . f^») wa k^ de beide kegelsneden k'2 en d^ zouden moeten aanraken, aangezien k'2 slechts wordt aangeraakt door die reehten, die twee op elkaar volgende hoekpunten van een zelfden ii-hoek verbinden, (behalve de Ignen x^Xi), (^2 slechts door de lijnen x»Xi , en de raaklijnen in &\ . • . . v\ aan A^a ^^ S®^° ^^^ deze beide groepen behooren; de onjuistheid van het bewgs van Wetr ligt nu hierin, dat hg uitdrukkelijk isègtj dat deze raaklgnen aan A*2 tevens (^^ moeten aanraken, en er later stil- zwggend gebruik van maakt dat zij ook k'^ aanraken, en dan als bewezen aanneemt dat c/j en k'2 samenvallen, zoodra zij nog bovendien één andere raaklijn gemeen hebben. De vraag, die wij ons te stellen hebben, is dus nu deze : wat is dan wel de beteekenis der vier gemeenschappelijke raaklgnen van (^2 en k'2 f Om deze vraag te kunnen beantwoorden moeten wg onderscheid maken tusschen de beide gevallen n-oneven en n-even ; daarom hebben wg in Fig. 2 ook nog het geval tt = 6 geconstrueerd, en zullen wg ons iiu in het vervolg bepalen ^) Trekt men in de beide cyclische punten d0 raflklijoen aan d^, dün snijden deze elkaar in het middelpunt M^ van d» ; men beeft dos slef hts dit punt met de beide cyclische punten I, en !« te verbinden en deze verbindingslijnen voor de tweede maal in I'j en I'« met kt te snijden. Nu vormen de 4 punten Ii I» I'i I'i een volledigen vierhoek, die in ^«beschreven is en veaarvan het punt M^ = (^J'v V-**^ het eene diagonaalpunt is, terwijl de beide overif^e diagonaalpunten P= (Iil't, IsI'i) ^en Q = (III,, 1\V») de poollijn FQ = m van Mj^ ten opzichte van l« bepalen. pe lijn I'lls, de verbindicg-slijn der beide gezochte punten, is dos de aan de lijn IiT$ toegevoegde 4* barmoniscbe straal ten opzichte van het stralenpaar PQ = « en QM^^ . Maar do lijn IJ» verbindt de beide cyclische pünteli en lii?t ddè op onëindigen afstand; de lijn I'J's loopt dus evenwijdig aan dé {>oollijn m ian M^ ten opzichte van kt, en wel juist in bet midden tusschen hn punt M^ en de lijn m. De punten I'i , I's zelf eindelijk zijn de dubbelpunten der elliptidche poolinvoluiie , die is op dëze ïijri bepaalt. Digitized by Google 78 tot ië béide gevallen 7 én 6 , daaf de overgang van deze tot de atgemeéne geva:Ilèn zonder eenïge moeite kan geschieden. WiiAmeer w^' een inrillekeurig punt van A-2 beschonwen als Itét boekpimf 2*2 van eén n-hoek vafi Ï^oncelet , dan gaan van uit dit punt in het algeiiieen twee raaklgnen aan k'2; hiervan snijdt de eene kj voor de tweede maal in Xi , de andere in x. 3J en daürbrj is het onverschillig, welk van de beide punten men Xi en welk x^ noemt. Beschouwt men een dergelijk willekeurig punt als x^j dan levert één van de beide raaklijnen aan k'2 het punt ^2, de andere het punt 0^4, enz. Nu willen wij in het bizonder in Fig. 1 één van de vier gemeenschappelijke raaklgnen van /r, en k'2 beschouwen , en het raakpunt met Ar, y, (dus al- gemeen j/m-i) noemen; dan valt dus één van de twee punten y2i Va — ^^ ^^J nemen hiervoor y^ — triet y^ samen, zoodat w^ dit punt ook ^3,4 kunnen noemen. Nu gaat verder van ^3 aan k'2 ^e tweede raaklijn y^yzy van y^ de tweede raaklijn ^4^5 j ^^^é raaklijnen valleh echter sainen , hun tweede snijpunt is dus ^29 5 9 ^^ ^^ tweede raaklgn tan uit ^it ptint aan k'2 Digitized by Google 74 voert naar het punt y, , e- De tweede raaklijn uit y^ aan V^ levert het punt y, op; maar nu is de lijn y^^ identisch met de Ign y^y, , die volgens het voorgaande de kegelsnee (/a ^^^^ aanraken ; van uit het punt y, , ^ kan men du8 een gemeenschap- pelijke raaklijn trekken aan k\ en d^. En hiermede is dus de volgende stelling bewezen: Voor n-oneven stellen de gemeenschappelijke raaklijnen van i'g en d^ de beide samenvallende zijden y«_iyii, y„yi van die bijzondere n hoeken voor, voor welke de zijde yn—iffn+i samenvalt met één der 4 gemeenschappelijke rcuiklijnen van k^ en k\ , zoodat de ge- noemde hoekpunten zelf samenvallen in het raakpunt met k^. Wij hebben dus hier tegelgkertijd aangetoond, dat iedere gemeenschappelijke raaklijn van k^ en k\ is toegevoegd aan een bepaalde gemeenschappelijke raaklijn van k\ en d^, door- dien zij beide behooren tot eenzelfden, hoewel ontaarden , veel- hoek van PONCELET. Met het oog op het zoo straks te onderzoeken geval ti-even is het noodzakelijk ook de beteekenis der gemeenschappelijke raaklijnen van k^ en d^ aan te geven. Beschouwen wg te dien einde het vertakkingspunt t?, als een hoekpunt 2^4, dus algemeen ZnJfiy dan kan in dit punt slechts één raaklijn aan k\ getrok- ■. "T" ken worden, wat ten gevolge heeft, dat achtereenvolgens de punten 2^3, ^5, dan z^^ z^ en eindelgk 0], z^ samenvallea. De verbindingslgn Zx , Zi wordt dus nu een raaklijn aan k^ , moet echter tevens d^ aanraken, en is dus een gemeenschappelgke raaklgn van beide. Voor het geval n-oneven is dus aan ieder vertakkingspunt v een gemeenschappelijke raaklijn van k^ en d^op ondubbelzinnige wijze toegevoegd. § 4. Wanneer n een even getal is vindt men eenigszins andere uitkomsten. Wanneer wij in Fig. 2 eveneens een ge- meenschappelijke raaklgn van k^ en k'2 beschouwen en het raakpunt met kz ya, 4 noemen, dan vindt men door het herhaald trekken van raaklijnen aan k'2 achtereenvolgens de punten yj» 5 en y, , ©. De raaklijn nu in dit laatste punt aan ^2 ni<>ö^ tevens een raaklgn zijn aan d^] voor het gepal n-even dus zijn de ge- f»eenschappelijke rgMijnen van k^ en k' 2 één aan één toegevoegd Digitized by Google 75 aan die van k^ en d^^ en dus Diet, zooals in de vorige para- graaf, aan die van k'2 en c/s* Deze laatste staan hier in ver- baod met de vertakkingspunten ; beschouwen wij nl. het punt f, als het hoekpunt z^ (algemeen Zn) van een zekeren w-hoek van PoNCELET, dan geeft het tweede snijpunt van de raaklijn in dit punt aan k'2 i^et A*2 een punt 2*2,4, de raaklijn van dit punt aan t'ahet punt 2?, ,g, en de raaklijn van Zj^ aan k^z^. De Ign ^j^^ valt dan echter samen met z^z^ en moet dus tevens d^ aanraken. Voor n-even is dvs aan ieder vertakkingspunt één van de vier gemeenschappelijke raaklijnen van k\ en d^ op ondubbelzinnige wijze toegevoegd. In beide gevallen hebben wij dus aangetoond , dat de gemeen- schappelijke raaklijnen van d^ en k\ een bepaalde beteekenis hebben, die gevonden kan worden door zekere bizondere, nl. gedegenereerde, veelhoeken te beschouwen. Zoodra er dus één algemeene veelhoek bestaat, die de eigenschap bezit, dat niet alleen de n — 1 eerste zijden, doch ook de laatste, XnX^, die in het algemeen d^ aanraakt, k'^ aanraakt, dan hebben k'^ ®D ^2 ^Ü^ raaklijnen gemeen en moeten zij dus samenvallen. Dan neemt ft'g de eigenschappen van d^ over, en moeten dus van lederen n-hoek alle zgden zonder uitzondering k'^ aanraken, waarmede de 3' stelling van § 1 bewezen is. Hoewel ook in dit geval bij ieder punt Xi nog steeds twee verschillende punten Xn behooren, zal toch ieder punt van ij een hoekpunt zijn van slechts één n-hoek van Poncblet ; want aangezien de zijde XitXi nu ook de kegelsnee k'2 moet aanraken , en er van uit Xi slechts twee raaklgnen mogelijk zijn, moét de eene de zijde ^10:2, de andere x^x^ voorstellen; en hoewel het nu onverschillig is , welke van de twee men x^x^ en welke x^Xn wil noemen , zoo spreekt het toch van zelf dat men in beide gevallen denzelfden veelhoek vindt , dien men eenvou- dig in twee verschillende richtingen doorloopt. Maar verder is het duidelijk dat men, in tegenstelling met het vroegere geval , steeds denzelfden veelhoek zal vinden, van welk van de n hoekpunten men ook moge uitgaan, of dat m. a. w. de n hoekpunten een op zich zelf staande, afgesloten groep van n punten vormen, die bepaald is, zoodra één van deze punten, onverschillig welk , willekeurig is aangenomen. Alle hoekpunten van alle mogelijke veelhoeken tezamen vormen dus op k^ een involutie van den n^ graad en den eersten rang ^ IV Digitized by Google 76 WftiMieet men de n punt «iv Tm een ^iHelreurig^ groep eeser I^» op fttle BM>gelgk6 manieren met elkaar ▼erbrndt, dan mSem. de — -"— — verbindingslijnen van alle groepen een zekere kromme van de klasse n — 1 en den graad (n — 1) (n — 2) om- hullen, de zoogenaamde ^Involutionscurve" ') t,_i, die de eigen- schap bezit, dat de 2(n — 1) raaklijnen, die zij met A's, den drager der involutie, gemeen heeft, deze laatste kromme aan- raken in de 2(w— -1) dubbelpunten van I\] dat haar 2(n— 1)(«— 2) snijpunten met Atj de vertakkingspunten zijn van I'», en dat de raaklijnen in deze punten aan »»^i in groepen van telkens n — 2 door de bovengenoemde 2(n — 1) dubbelpunten gaan , nl. telkens door dat dubbelpunt , dat met de n — 2 vertakkings- punten een volledige groep van Vn vormt, aangezien bg de involutie het onderscheid tusschen dubbelpunten van de eerste en van de tweede soort wegvalt, en ieder dubbelpunt van de eerste soort voor n — 2 samenvallende van de tweede soort geldt. Wij zullen nu in de volgende § nog onderzoeken, hoe deze involutiekromme u—i er in ons geval uitziet, waardoor w0 dan tevens gelegenheid vinden de stellingen, die Schrgver op pag. 30 en 31 behandelt, langs eenigszins anderen weg te bewijzen en in enkele opzichten aan te vullen. § 5. Het is gemakkelijk in te zien, dat voor het geval der gelijktydig in- en omgeschreven veelhoeken van Poncelet de kromme »»_i uit verschillende afzonderlijke krommen moet bestaan. De kegelsnee k'2 zelf is bijv. één van die afzonder- lijke deelen , daar zij wordt aangeraakt door al de verbindings- lijnen van punten van eenzelfde groep, die twee op elkaar volgende hoekpunten van een n-hoek met elkaar verbinden; de raakpunten op Atj van de vier gemeenschappelijke raaklgnen van A-2 en k'2 zgn dus vier van de 2(n — 1) dubbelpunten van I*», en de tweede snijpunten met l^ van de raaklijnen in de vier punten t?, . . . . t?4 aan k\ zijn 4 andere; inderdaad valt in elk der vier eerste punten een punt re, met het punt x^ van een- zelfde groep samen, in de laatste bijv. een punt z^ met jsr, (fig. 1) of 2^2 met 2J4 (fig. 2). Beschouwen wg nu verder de beide diagonalen x^x^ en x^Xn—i ') E. WHTB, 1. c. p. 18. Digitized by Google 'TO ((daar jam jn tmm f emi iojbr «JOobwraig hookimiit itm mm* «elfitan ^fi4ioQk a;, ism noeme», jsondar daftpdiK^r^e^ttttr i;^ loo- ft» in «eeo {«adfirea vedfaoek te kpoien , atellen ^dese ^i»m alk oQgel^ke diagoDtiw ]raB iiUe «logdgke lüeeLhooben wowtj <£a — 4e 4i»go«ftlQa i^. — 4;elkeiia .één hodq^nt o^erBif^mr fan). £)j ieder vwiAkdceaiig punt a;, tvao 4*2 be^oron iva J^wee fwken ^3 jeo ;r,^i,, ^loodat de paatc» a;, , a;,, a;..!, pp mk M)f flNMohttv^, teek ^wecr een aymmotoa^k .pwtenatolael van deu 2^ graad op k^ bepalen, met een wekere Ke^^nee Jc^^ .tofc jgioiiikrevitte, die .wordt .aaii||eraakt «leor f^ YQcbinduigslonen SiX^y fl^ittV-af en dus «esLeneans deel «utmaakt yan ^4e iavpli^tie^ JsroiBiiie 4'»^i. De raakpunten op k^ van de gemeanaohafkpel^e ^raakl^nw can iA;i «en ^/ iign die rdufajbel^unten iran I^»^ in tw^lke ibwee fuÉen 0^1 0n ^Tq teener .selfde gfo^ 4ianieovaiUen, ^n nyt is *ff^ makkelij in te zien , doi dene nvsts nmders syn dan die meeA» ierhaalddifk heschwwde iwetde anifpunten met k^ van de radk- iij0un in -r, •,.««• v^ aan k\. flet tteet toidi lOiQgeljgk zijn die punten van ^29 w.aarin x^ en ^3 eamenwUen^ ook te yinden met bebulp Tan de ke^c^nee a ^9 •door ^L Tan Jiit Xy^ aan k\ ecuii jraaklga XyX^^ en dan Y«n Jut x^ ide iraaklgn o;^, 4;e trekken. ZuUen nu eehter a?i , «^ jumeniaUen y dan :moeten ook deze twee raakljjnen aamenval- ien, wat alecbbi mogelijk is, wanneer x^ met :een ^er punten je, . . . .. v^ aamenvali; ; Jiiermede is due bet bp^enataande aan- .gotomid. Wij >suUen deze vier bijsondere .punten^i^g^,, injg.:!, 02,4 in fig. .2) .gemakshalve alle vier 81 noemen. Yerdar Jean worden aangetoond, dat k^' oq}^ wener dppr jlp xiier punten Vx ... . . v^ heen moet gaan, en dus, waaneer Ar, en fk^2 beide oidceki zijn , zelf ook weer een oirkel k, ^behogrende tot den bimdel, die door de beide eerste bepaald wprdt. De tweede sngpunten nl. met k^ van de raaklgnen in de snijpunten van k2 en L/' aan A;, sjjn die bgzondere punten, in welke x^ en flf-i (samenvallen, en van deze punten zijn er slechts vier, daar,3ij •de dubbelpunten van de 2** soort van een symmetrisch elemen- tenatelsel van den 2^ graad vormen 9 en ook van de bg deze [punten beboorende punten ^, zijn er slechts vier, omdat deze laatste de • vertakkingspanten van dat stelsel zijn. Nu is bet ttehter dadelgk in te zien dat ook de ipunten r, .... t?^ ,. als punten Xi opgevat, aanleiding geven tot twee coïncideerende Digitized by Google 78 punten x^^ x^r-i. De raaklgnen in deze punten aan A;'^ sngden nl. k^ Toor de tweede maal in de vier punten S^ , die dus twee samenvallende punten x^^ x» roorstellen, en de tweede raak- Ignen van uit deze punten aan k'^ zullen dus k^ voor de tweede maal snijden in vier punten 83 , waarvan elk twee samenvallende punten x^^ Xn^i voorstelt. En aangezien er nu volgens het bovenstaande niet meer dan vier zulke bizondere punten x^ moge- lijk zijn , moeten de snijpunten van Atj en k'\ samenvallen met de punten Vj . . . . r^. Dus gaai k^' door de punten v^ .... v^ en heeft ze met k^ vier raaklijnen gemeen^ die deze kromme aanraken in de vier punten 8^ , terwijl haar eigen raaklijnen w t7j . . . . 04 door de vier punten 83 heengaan. Men zou nu kunnen meenen dat de nu volgende kegel- snee k^'\ de omhullende van alle diagonalen die twee hoek- punten overspringen {x^x^^ XiXn-i)y en die eveneens door f?i . . . • t74 moet gaan , met k^ vier raaklijnen gemeen had , die deze kromme zouden aanraken in de vier punten 82, terwgl haar eigen raaklijnen in v^ . . . . v^ k^ voor de tweede maal zouden ontmoeten in de vier punten 83. Het laatste is ook juist ; daarentegen zgn de punten S^ niet de raakpunten van de ge- meenschappelijke raaklijnen van k^ en k^"^; in een punt 8^ nl. 