Nieuw archief voor wiskunde
Voor hen vooral kan Godefroy's ontstaanswgze inderdaad uit een constructief oogpunt als zeer eenvoudig en fraai worden aangemerkt en als bgzonder geschikt om, zelfs zonder model» eene duidelijke voorstelling omtrent hunne gedaante te geven. Digitized by Google 21 AJb overgangsgeyal , wanneer de cirkel 8 de rechte a raakt, treedt daarbij op ScHLaFLi's XVIII, 2. Qodefrot's constructie uitsluitend niet cirkels, welke een oppervlak levert, dat als projectieve afbeelding van alle overigen van deze soort dienst kan doen , is ook hier zeker niet minder fraai dan de door ScHLaFLi aangegevene met parabool en bewegelgken cirkel. Oebruikt n^n daarentegen in dit-overgangsgeval voor de bewe- gende krommen gelijkzijdige hyperbolen , dan zal ScHLaFLi's XVIII, 1 ontstaan. Hetzelfde oppervlak (XVIII , 2) verkrijgt men oyerigens door den cirkel S tot een enkel punt samen te trekken ^^). Trou- wens zulk eene dubbele ontstaanswgze uit cirkels is ook eigen aan het algemeene oppervlak in geval er van de knooppunten twee of Tier onbestaanbaar zijn^ zooals gemakkelijk is in te zien. Men beschouwe slechts de in het, op het vlak van teekening loodrechte, symmetrieylak gelegen cirkel als de yaste cirkel der nieuwe ontstaanswijze en de vroegere vaste cirkel als een der bewegelijke, waarbij dan de vroegere rechte a thans als wentelingsas der bewegelgke cirkels dienst doet. Een ander bijzonder geval doet zich yoor als de lijn a naar het oaeindige gebracht wordt. De vergelgking van het opper-* vlak gaat dan oyer in: kxz^ + ar* + y* — 2ra; = O , waarbg thans twee imaginaire knooppunten naar het oneindige W^ gegaan. De beide anderen kunnen reëel of imaginair zgn. De beschrijvende kegelsneden zgn daarbij parabolen geworden, wier toppen zich langs den cirkel bewegen , terwgl hunne para- meters omgekeerd evenredig zijn met OP of, als men wil, recht evenredig met OQ, alwaar thans de door Q beschrevene rechte eeoe willekeurige lijn is, loodrecht op OX. Als zoodanig vindt men deze ontstaanswgze bg Godefroy beschreven. Is boyendien r = O , dan treedt natuurlgk weder ScHLaFLi's XVIII, 2 op. '>) De oppervlakken stemmen , namelijk, bij beide ontstaanswijzen overeen. Denkt men zich echter de cirkels geyuld , dan is het eene Uohaam als het ware het negatief van het andere. Digitized by Google 22 Wg gaan thans orer tot Godbfbot'b tweede ontstaanswgse. Daarbg beschouwen wg (fig. 8) eene geheel willekeurige in hetylak yan teekening gekoasen + 2Dx + 2Ey + F = O en eene rechte a die wg tot X-as kiezen. De onderling gelijk- Yormige kegelsneden kiezen wij thans in evenwgdige ylakken , allen loodrecht op de X-as, terwgl hunne assen wederom be- paald worden door de snijpunten P en Q. De algemeene vergelijking van het zoo ontstaande oppervlak luidt als volgt: Aa^^ + 2Bxy(y^ + kz') + (Xy^ + kz'f + 2l)xy^ + 2^{y^ + kz') + + Fy* = 0. * Een cubisch oppervlak ontstaat derhalve als C = is, d.w.z. zoodra de Y-as evenwgdig loopt met eene der asymptoten- richtingen der kegelsnede S, of, indien deze eene parabool mocht voorstellen, met hare as. Ook dit oppervlak vertoont weder vier knooppunten, die twee aan twee bestaanbaar of onbestaanbaar zijn , terwgl er ook twee samenvallen kunnen. Deze knooppunten zijn l"" de sngpunten der kegelsnede met de rechte a, 2* de punten in het oneindige der beschrijvende kegelsneden. In het bijzondere geval dat S eene parabool, a de raaklgn in haar top voorstelt, verkrggt men de zoo straks aangeduide constructie van ScHLaFU voor een oppervlak XYIII, 2. üit een constructief oogpunt is het natuurlgk wenschelijk voor de bewegende kegelsneden cirkels te kiezen, voor de vaste kegelsnede S is dit echter niet mogelijk, daar zg be- staanbare asymptotenrichtingen bezitten moet. Wordt de lijn a naar het oneindige gebracht, dan gaan de beschrijvende Ignen weder over in parabolen, zooals in fig. 9 is aangewezen. Deze parabolen hebben thans echter een stand- vastigen parameter. Digitized by Google 23 Yoor de yei^. van het oppervlak wordt daarbg weder gemak- kelgk geyonden : JLr> + 2Rc(y + i^) + C(y + ]fc2?)»+2DaT + 2E(y + ib») + F=0, wederom afdalende tot den derden graad voor het geval C = O, Deze bijzondere ontstaanBwgze blijkt nu steedB te voeren tot Sghl&fli's ^species XIX", dat wil zeggen tot een oppervlak Tan de vierde klasse met een gewoon en een tweevlaksknoop- pant, beide echter in het oneindige gelegen^. Dit oppervlak is trouwens asymptotisch projectief met dat met vier reêele knooppunten. (Verg. Nieuw Archief y XX, 1892 , p. 93 — 95). **) Dit kan bijv. algebraïsch bewezen worden als Tolgi. Maken wij eerst de vergpelijking homogeen, dan luidt zij: A(D»\ + 2BayX + 2(B«; + BX)ib« + 2D«X« + 2EyX« + FX> = 0. Door de lineaire substitutie A^^ -|- 26y = u kan zQ , na eliminatie Tan y, gebracht worden in den Tonn: huwX + 2B(Ba + BX)i«> + (2BD — AE)a;X> + B»X' + BFX> = 0. De nieuwe substitutie Ba + 'RX =v Toert dan tot: BuvX + 2BUi«* + (2BD - AB)f»X«+ [B«P + AB« — 2BBD]X» = O en eindelijk de substitutie B» -|- (2BD — AB)X = iv tot den door Sghl&pli p. 238 aangegeven vorm, nam. hier: wpX + 2B»ii>*« + [B«P + AE« — 2BBD]X» = 0. Kiest men nu het tetraöder v = 0, w = 0, z = 0, X= O tot fundamentaaltetra«der, dan is het duidelijk , dat in het hoekpunt tegenoTer « = O een gewoon , in dat tegenover 49 = O een tweevlaksknooppunt aanwezig is. Dewijl voor beide knooppunten echter X = O is , moeten zij beiden oorspronkelijk in het oneindige gelegen zijn geweest. Digitized by Googfc 24 Drie dezer knooppunten zgn in het tweevlalcskiiooppant samen- gevallen, zooals ook meetkundig gemakkelgk is in te zien, als men nagaat , wat er van de. vier knooppunten van het alge- meenere oppervlak geworden is. Eindelgk beschouwen wg Godefrot's derde ontstaanswijze. Deze kan uit de bg fig. 9 behoorende door de volgende wgzi- gingen worden afgeleid : vooreerst plaatse men den top der be- schrijvende parabolen op de rechte OX, dus in Q in plaats van in P ; ^en tweede, late men hun parameter veranderen even- redig met QP. Voor de vergelgking van het oppervlak wordt dan verkregen: Acc^^ + 2Bkz*y + GIc^z^ + 2Dxy^ + 2mz^y + Fy^ = O , waaruit blgkt, dat voor C = weder een derdegraadsoppervlak ontstaat. Dit oppervlak is steeds eene XYIII, 1 of 2. De snijpunten der kromme met OX leveren namelijk de beide gewone knoop- punten, het aan alle bewegelgke parabolen gemeenschappelgke punt in het oneindige het tweevlakspunt. Overigens wordt het verband van deze derde ontstaanswgze met de vorige het gemakkelgkst Ingezien door de bewege- lijke parabolen te veralgemeenen tot onderling gelijkvormige kegelsneden met één der toppen steeds in Q, een der assen langs PQ en de parameter p der topvergelijking evenredig met PQ. In dit meer algemeene geval toch beschrijft de tweede top eene kegelsnede, zoodat de ontstaanswijze dan met de tweede van GoDEFROY samenvalt. Thans meer in bijzonderheden omtrent de aanteekenboekjes tredende, vermelden wg nog slechts, dat in N®. 13 behalve vele voorbeelden der verschillende ontstaanswijzen, eene be- schouwing over het kegelvlak z^x = y^ te vinden is. N^. 14 behandelt daarentegen vooral de bijzondere gevallen aan het slot der eerste ontstaanswijze besproken. Bekende derdegraads- krommen worden als doorsneden verkregen. Hoewel deze voordracht, blijkens Nieuu? Archief^ deel XI, p. 47 met vele teekeningen opgeluisterd werd, zijn de meesten van deze niet bewaard gebleven , maar waarschgnlgk vervai^gen Digitized by Google 25 door de lat^r bg N?. 21 te, Yerinel49n uitvoeriger teekeningen Tan cubi3che oppervlakken. Slechts twee teekeningea gemerkt XIV^ en .XIV» willen wg hie? aanvo^reo. Z§ stellen oppervlakken voor verkregen door de tweede ontstaanswijze miQt vaste parabool en bawegeljjken cirkel en eenig^ hunner vlakke, doorsneden^ W. 15. Voordracht van 21 Jan. 1885. Construptiën van kegelvlakken en van wigvormige ofsaheeve oppervlakken, waarbg enkele van den-, derden graad, en over de kromme Ignen, die door de snij- ding met platte vlakken ontstaan. Door middel van kegeloppervlakkeji worden de cubische krommen met middel- punt afgeleid uit die met eeme as van symmetrie. Dopr middel van conoïdale oppervlakken worden cubische krommen uit kegelsneden verkregen. N^ 16. Voordracht van 16 Dec, 1885. Doorsneden van de wig van Wallis met platte vlakken in het al- gemeen en in het bgzonder eenige, die door eene beschrijvende lijn van het oppervlak gaan. Deze laatste doorsneden zijn, daar de wig van Wallis van den vierden graad is, natuurlgk cubisch^ krommen van vele ver- schillende gedaanten. Vermelding verdient voorts eene trans- formatie (1, 2), in nevensgaande figuu^r afgebeeld , die als eene uitbreiding der bij N^. 8 Fi^. 10. besprokene kan worden ^ ^ ^ >^^ beschouwd en waardoor ^•^^^/ I ""x op eenvoudige wijze uit / "---.^^^ I \ gegeven rechte lijnen ƒ ^""""f^^^^^^ /" symmetrische derde- " 3t j f 7 graadskrommenmeteen ^^ i ^' asymptoot op eindigen ^x \ / a&tand verkregen wor* ^"^•^. >^// den. A en B zgn hier vaste punten, Q het te transfidnneeren punt, f eene vastQ Ig^, AR de middellgn vap. een veranderlgken cirkjBl , Q"^ en Q'^ de uit - Q ontstaande niinfflii- Digitized by Google 26 No. 17. Voordracht van 16 Maart 1887. Over con- choïden en de raaklgnen daaraan. Derdemaohts- lijnen en oppervlakken afgeleid uit kegelsneden. Transformatie door cirkels en bepaling der normaal uit de afgeleide. Eene door De Gelder aaugegevene trans- formatie van den cirkel wordt tot de MACLAUBiN'sche terugge- voerd. Raaklgnconstructies aan de conchoTde en yerwante krommen. Beschrijving eener nieuwe transformatie van die van fig. 10 daardoor verschillende dat 1* B naar het oneindige gaat, 2* R als middelpunt van den cirkel dienst doet, 3' de Ignen Q'Q^ met de as ƒ evenwijdig loopen. Derdegraadsopper- vlakken voornamelijk volgens de tweede, bij N^. 13, 14 be- schrevene, ontstaanswijze. Toepassing eener transformatie x'=x] y' = Vocy^ afgeleid uit die van figuur 10, door B in het oneindige en ^BRA = 45^ te nemen, welke transformatie dus geheel overeenstemt met de bij N^. 8 besprokene. No. 18. Voordracht van 14 Dec. 1887. Transformatiën van deli cirkel in vijfdemachtskrommen door raak-, lijnen. De grondslag van het onderzoek wordt gevormd door eene transformatie van den cirkel « die in de meest algemeene gedaante, waarin zij door Godefroy is gebracht, door fig. 11 wordt voorgesteld. Q is hier het te transformeeren punt, QR eene raaklijn aan den cirkel, terwijl A een vast centrum, ƒ eene vaste lijn is. De lijn AR bepaalt de punten S' en S" en daarna de punten Q' en Q^', die voor Q in de plaats treden. De door deze punten Q' en Q^ beschrevene kromme is in het algemeen aan den achtsten graad, en bezit o.a. de eigensdiap. Digitized by Google 27 van, waar zij den cirkel bereikt, dezen te raken, daarbg steeds blijvende aan hare buitenzgde. Yalt echter het vaste punt A op een der beide uiteinden Tsn de middellgn yan den cirkel, dan splitst zich de raaklijn ia dit punt driemaal yan de kromme af en daalt deze derhalve tot den vijfden graad. Opmerkelgk is ook het geval , dat de vaste Ign ƒ naar het oneindige is gegaan en het straalpunt A met het middelpunt Yan den cirkel samenvalt , dewijl in dat geval de kromme zich splitst in twee vierdegraadskrommen, waarvan de eene beschreven wordt door het punt Q', de andere door Q'^, tusschen welke beide punten alsdan onderscheid kan worden gemaakt. Yoor deze laatste nu wederom unicursale vierdegraadskrom- men, welke met zich zelve in het oneindige eene aanraking Tan de tweede orde hebben (zoodat dit aanrakingspunt voor drie dubbelpunten telt), wordt tevens eene hoogsteenvoudige raaklijn-constructie aangegeven. Men vindt hen afgebeeld op teekening XVIII^ ^) , waarop tevens twee achtstegraadskrom- men voorkomen, welke door excentrische plaatsing van het straalpunt A ontstaan; terwgl teekening XYIIP eenige der zooeven besproken vgfdegraadskrommen aangeeft. Toorts vindt men op XVIIP en XVIII" nog meerdere door deze zelfde transformatie ontstane krommen bij bijzondere plaatsingen van de vaste lijn /*, op de teekeningen poollgn genoemd, en vaii het straalpunt A , welke plaatsingen ten deele, bgv. als de vaste Ign ƒ eene raaklgn van den cirkel is, tot graadsverlaging voeren. Enkele dier krommen kunnen met voordeel beschouwd wor^ den als ontstaan door de ordinaten van eenvoudiger krommen te sommeeren. Dit geeft Godefroy aanleiding op teekening XYnp zulke som- en verschilkrommen voor de cissoïde, de strophoïde en de trisectrix met den cirkel, waaruit zij door de MACLAURiN'sche transformatie ontstaan zijn, af te beelden. (Zie in verband hiermede Schoute, t. a. p. p. 31.) Ten slotte wordt de transformatie ook op kegelsneden uit- gebreid en worden enkele vgfdegraadsoppervlakken besproken, verkregen volgens de eerste der bij de voordracht van 21 Nov. 1883 aangegeven ontstaanswgzen , waarbij echter ook wel de **) Deze en al de andere bij deze voordracht behoorende teekeningen vindt men op de achterzijde yan bij de eerste voordracht >gediend hebbende teekeningen. Digitized by Google 28 ia fig. 7 aaogegeven bewegende ooderliiig gelgkvormige .kegd^ sneden door parabolen veryangen worden, wier parameters met PQ9 en dus niet zooals daar met OQ^ evenredig zgn. Deze ontstaanswijze leyert namelijk Yijfdegraadsoppervlakken als de kegelsnede S in een cirkel overgaat. N^. 19. Voordracht van. 17 April 1889. De zoogenaamde d^rden^achtscirke.l en de daarmede in verband staande derdem^chtsoppervJakken. In d^ze voordracht worden drie verschillende constructies besproken van de kromme ii;5 + y®=ra', aan welke door E. Düheing den naam van derde- machtscirkel is gegeven. Elk van deze constructies kan wor*. den. opgevat als eene ruimteconstructie, opleverende de door- snede, van een plat vlak met een cubisch oppervlak. De eerste van de^e voert tot het cubiscb oppervlak z^ = {a — x) (a^ + ay + y*) of, op andere assen , «^ = — ar (y^ + f a*). Dit oppervlak is afgebeeld op teekening XIX^, ^aar ook nog eenige constructies van andere derdegraadskrommen , nanu van djd cubische hyperbool xy^ = a^ en de NEiL*sche parabool x^^ay^ aangegeven zgn« Als eene soort tegenstelling is daarenbovea op teekening XIX" de constructie uitgevoerd van het opper- vlak z^^x (a^ — y*). De tweede constructie voert tot de oppervlakken 8y;^^ =5 (a» + ay + 8a:y-2y2) (a — x) en iyz" ^(a^ + ay + 4y^ — Szy) (x — a), welke beiden, volgens de tweede, bij N^. 18 en 14 besprokene, ontstaanswijze, kunnen worden voortgebracht zooals men onmiddell^k inziet, indien, men sny vlakken y =5 constante aanbrengt, welke cirkels opleveren, en daarna het symmetrier vlak z^O onderzoekt. Beide deze oppervlakken zgn a%ebeeld op teekening XIXP. De derde cowtructie kunnen w^ij hier laten rusten. Daaren- tegen hebben wg nog. te vermelden eene teekening XIX^, voorstellende het oppervlak z^=^axy. W. 20. Voordracht van 30 Oct 1889. Over het ver- band tusschen den cirkel en de toegevoegde gelijk- zijdige hyperbool met dezelfde middellijn. Een vrij uitvoerig overzicht van deze voordracht vindt men in het Nieuw Archief, deel XVIII, p. 119-121. N^. 2L VoordjtachL va^. 21 Maart 1891. Over. eene Digitized by VjOOQ IC 29 bipodaire (of yoetp-untskroAime) van den zesden graad met 6 knooppunten, bepaling van de nor- maal. Toevoegsels: V Beknopt overzicht van eenige oppervlakken van den derden graad, 2" Transfor- matie van kromme lijnen door stralënbuudels en bepaling der raaklijnen van ieder geconstrueerd punt. Yan de voordracht zelf is een overzicht vorscheixen in het JVfeuu; Archief, deel XVIIT, p, 151-152. Omtrent het eerste toevoegsel valt op te merken , dat Qodéfroy hier behalve de bg N^. 13 en 14 besprokene ontstaanswijzen er nog eene meer algemeene behandelt, welke tot oppervlakken met twee knooppunten, dus in het algemeen tot SoHLaFLi's ^Species lY. 1, 2, 3, 4, 5, 6", en als overgang, indien de twee knooppunten samenvallen, tot zgne „Species Y. 1, 2, 3, 4" voert. Ook bij deze meer algemeene ontstaanswijze zgn de be- sehrgvende Ignen onderling gelijkvormige kegelsneden , waarvoor dus cirkels of gelgkzjjdige hyperbolen kunnen gekozen worden. 2ig kan uit de eerste bij N^. 13, 14 besprokene ontstaanswijze worden afgeleid door de aldaar optredende kegelsnede te ver- vangen door ééne, welke wel door O heengaat (zie fig. 12), maar overigens gansch willekeurig gekozen wordt. Stelt men voor de vergelgking dier kegelsnede: lar^ + 2Biry + Cy* + 2Da? + 2Ey = O, Digitized by Google 30 dan wordt Yoor de vergelgking van het oppervlak gevonden: + («* + y^) (Aa?a + 2Bxy 4- Cy» + 2Da; + 2Ey) (x —a) = O derhalve in het algemeen een oppervlak van den vgfden graad. Neemt men. evenwel voor de kegelsnede een cirkel : ar' + y^ + 2Da? + 2Ey = O dan ontstaat een cubisch oppervlak, dat tot vergelijking heeft: kxz^ + (ipa + y» + 2Da? + 2By) (a; — a) = 0. Als dubbelpunten treden daarbg op de snijpunten E| en E, der lijn a met den cirkel S. Een drietal uitvoerige teekeningen kunnen als bg dit toevoegsel behoorende worden beschouwd. Op de eerste, gemerkt XXI^, vindt men een oppervlak met vier bestaanbare knooppunten afgebeeld, verkregen volgens de eerste bg N^. 18, 14 bespro- ken ontstaanswijze. XXP bevat een evenzoo verkregen opper- vlak, waarbij echter twee der vier knooppunten tot een twee- vlakspunt zijn samengevallen en tevens een ander oppervlak, ver- kregen door de zoo even beschrevene meer algemeene ontstaans- wijze, met een voor twee knooppunten tellend tweevlakspunt XXP eindelijk vertoont een volgens deze algemeene ontstaans- wijze verkregen oppervlak met twee reeële knooppunten. Het tweede toevoegsel behelst eene beknopte uiteenzetting der MACLAURiN'sche transformatie met enkele toepassingen. N®. 22. Voordrachten van 20 Jan. 1892 en 31 Maart 1894. Over het afleiden van regelvlakken van den derden en vierden graad uit de transformatie van den cirkel. Een overzicht van den voomaamsten inhoud der eerste voordracht is te vinden in het Nieuw Archief y Deel XX, p. 108—111. Het laatste gedeelte van het boekje is met N^. 23 benuttigd bg de voordracht van 31 Maart 1894. Verder blgkt uit dit boekje en uit de teekeningen gemerkt XXIP, XXIP en XXIP, dat ook nog eenige zeer bgzondere transformaties besproken zgn. Op de eerste teekening wordt eene rechte in gelijkzijdige hyperbolen ,- op de tweedeeene hyperbool in eene derdegraadskrorame met dubbelpunt, op de derde een cirkel in vierdegraadskrommen met drievoudig punt omgezet. Digitized by Google 31 N^ 23. Voordracht van Ql Maart 1894. Al gem een e afleiding van derdemachtsregelylakkep. De^e voordracht is later omgewerkt tot eeae vrg uitvoerige verhaa- delingi te vinden Nieuw Archief ^ Tweede reeks, Deel I, p. 137—162. D. Overzicht der ove.rige handschriften en te^ekeningen van. A. N. Oodüfroy. > Na onze uitvoerige bespreking der aanteekenboekjes en bij- behoorende teekeningen, meenen wij omtrent het over big vende kort te kunnen zgn. Het bestaat uit enkele teekeningen^ waaronder die op de ovalen van Descartes, de cycliden en de lemniscaat betrekking hebben, die wij niet aan eene be- paalde voordracht hebben kunnen aansluiten, maar waarvan wg evenwel eene nadere beschrijving achterwege meenen te mogen laten; uit een zeker aantal manuscripten over onderwerpen van elementairen aard , oplossingen van vraagstukken enz. , welke wg niet meenen te moeten begrgpen onder de ^opstellen over kromme Ignen en 'gebogen oppervlakken", waarvan in Qode- fboy's testament sprake is, en voorts uit de volgende stukken, welke wèl daarop betrekking hebben en daarom met een enkel woord behooren te worden vermeld. 1*. De korte verslagen der voordrachten van 5 Nov. en 24 Dec. 1873 en van 28 Januari 1874, waarvan reeds vroeger melding is gemaakt. (Zie A, B en bij O N^ 1.) 2*. Een daaraan aansluitend opstel, gedateerd 25 Januarg 1875 en getiteld: „Bepaling der kegelsneden door stelsels snij- Ignen en raaklijnen, en vervorming van figuren in het algemeen." 3'. Twee dito met soortgelijken titel, ongedateerd. 4*. Een dito „Vervorming van kromme lijnen door stralen- bundels en bepaling der raaklijn" van 2 Febr. 1879. 5'. Een uitvoerig stuk, gedateerd 1884, handelende over de MACLAURiN'sche transformatie, de transformatie één op twee, in de voordracht van 26 Febr. 1881 (zie bij C N^. 8) bespro- ken en de ontstaanswijzen der derdegraadsvlakken. 6% Een opstel van vijftig bladzijden met sierlijke teeke- ningen voorzien, gedateerd 10 Oct. 1890 en getiteld: Trans- formatie van kegelsneden tot kromme lijnen van hoogere orden Digitized by Google S2 tolgèiis MaclaürIN , en bepaling der raakl^n in' eenig getrans- fonneerd punt der kromme. Deze manuscripten, welke allen in hoofdzaak op de trans- formatie van kromme lijnen betrekking hebben, zgn in eene eerste portefeuille bijeengebracht. Eene tweede portefeuille bevat opstellen over 3' graadsopper- vlakken , waaronder zeer uitvoerige met vele teekeningen voor- ziene. Zg zijn gedateerd van 1884^^1894. in hoofdzaak wor- den de bij de aanteekéiiboekjes besprokene denkbeelden hier nader uitgewerkt. Digitized by Google P4b, 02e DB PRÜSVEAAG VAN GODEPROY, F. H. SCHOUTE. (Groningen.) In verband met de vorige verhandeling van Dr. D. J. Eor- TBWEG laten we hier onveranderd een in October 1884 opge- stelde oplossing van de prijsvraag ,eene kromme lijn , waarvan de kromtestraal bekend is, wordt „vervormd door stralenbundels door drie vaste punten en eene 9 vaste lijn; men vraagt den kromtestraal van de vervormde „kromme te vinden door constructie" van QoDEFROY volgen ; ze sluit zich aan bij mijn in Korteweg's studie aangehaald opstel. 1. Daar de in het vraagstuk aangewezene MACLAüRiN'sche transformatie een zich tot de constructie van kromme lijnen uitstekend leenend bgzonder geval van de algemeene kwadra- tische overeenkomst tusschen twee vlakke stelsels 2 en 2' is , behandelen we het vraagstuk eerst met betrekking tot dit al- gemeene geval der geheel willekeurig aangenomene kwadratische verwantschap. Wijl in het algemeen met twee elkaar osculee- rende krommen van S twee elkaar eveneens osculeerende krommen van 2' overeenstemmen en de bepaling van punten en raaklijnen der kromme van 2', die met een gegeven kromme van 2 overeenkomt, in de aangehaalde verhandeling geheel is uitgewerkt, kunnen we hierbij echter geheel volstaan met de eenvoudige onderstelling, dat de bedoelde kromme van 2, waarvan in elk willekeurig punt P de kromtestraal bekend is , door haren kromtecirkel in dit punt is vervangen. Waardoor de oplossing van het tot het geval der algemeene kwadratische verwantschap in betrekking staande vraagstuk zich herleidt tot 3 Digitized by Google 34 de bepaling van den kromtestraal der kromme van S', die met een gegeven cirkel van S overeenstemt, en wel meer bepaald van den kromtestraal dier kromme in het punt P', dat met een gegeven punt P vao den cirkel overeenkomt. Zgn nu A, B, C de fundamentaalpunten van het vlakke stelsel S des gegeven cirkels en A', B', C' de overeenkomstige fundamentaalpunten van het met 2 kwadratisch verwante vlakke stelsel 2' der vervormde kromme, dan leidt de opmer- king, dat met een kegelsnee K door twee der drie punten A, B, C van S een kegelsnee K' door de twee overeenkom- stige fundamentaalpunten van S' overeenkomt, spoedig tot de verlangde oplossing. Want, neemt men voor K de kegelsnee door A en B, die de gegeven cirkel in P osculeert, dan zal K' de kegelsnee door A' en B' zgn, die in het overeenkom- stige punt P' drie op elkaar volgende punten met de vervormde kromme gemeen heeft, en de kromtestraal van K' in P' dus de verlangde kromtestraal der vervormde kromme wezen. Wijl het construeeren van punten en raaklijnen der vervormde kromme hier als bekend wordt aangenomen, splitst bovenstaande be- schouwing de oplossing van het gegeven vraagstuk in twee deelen. Wil men namelijk den overgang van de kegelsnee K , die door de punten A , B , P gaat en in P een gegeven cirkel tot kromtecirkel heeffc, tot de kegelsnee K' mogelijk maken, dan moet men in de eerste plaats van K nog een nieuw punt Q bepalen. Want dan kan men K door de punten A, B, P, Q en de raaklijn p in P bepaald denken , waardoor het overgaan tot K', van den kromtestraal van K in F onafhankelijk gemaakt, zoo eenvoudig mogelijk geworden is. En heeft men daarop van K' als bepalende grootheden de punten A', B', P', Q' en de raaklijn p' in P' bijeengezocht, dan moet in de tweede plaats van deze kegelsnee K^ de kromtestraal in het punt P' gecon- strueerd worden. 2. Wanneer twee collineaire vlakke stelsels S en S' in een zelfde vlak een perspectivische ligging hebben met het punt L tot centrum en de lijn l tot as van collineatie, dan komt met een kegelsnee K van S, die door L gaat en l in de punten M en N snijdt, een kegelsnee K' van S' overeen, die in L de aangenomen kegelsnee aanraakt en door M en N gaat. En ligt het centrum van collineatio L op de collineatieas, dan Digitized by Google 35 zullen E' en E elkaar in L driepuntig aanraken en verder op { nog een ander punt gemeen hebben >). Deze stelling geeft ons onmiddellijk een oplossing van de beide werkstukken aan de hand, waarin het vraagstuk zich heeft gesplitst. Eerste gedeelte. «^Yan een kegelsnee E door A , B en P is de kromtecirkel c in P gegeven ; het vierde snijpunt Q van dien cirkel met E te construeeren." Oplossing. Men verbindt A en B (fig. 1) met P en zoekt van de ver- bindingslijnen AP en BP de tweede sngpuntenA, en B, met den gegeven kromtecirkel c. Bepaalt men daarna het snijpunt S van de lijnen A,Bi en AB , dan zal P»S den cirkel c in het verlangde punt Q snijden. De verkla- ring hiervan is onmiddellijk gegeven , wanneer men de kegelsnee E en den cirkel c als perspectivisch collineair verwante krommen be* schouwt met P als centrum en PS als as van collineatie. Tweede gedeelte. is de raakliJD p in te construeeren ^). ,Van een kegelsnee E door A, B, P, Q P gegeven ; den kromtestraal van E in P Fj^.£. Oplossing. Men verbindt A en B met P (fig. 2) en zoekt de snij- punten A, en Bi van de verbindings- lijnen AP en BP met den cirkel c, door P en Q , die in P de lijn p aanraakt. Is nu S weer het snijpunt van AB met AjB, en PT de lijn uit P evenwijdig aan QS getrok- ken, dan zal het tweede snijpunt R van PT met E — en dit punt kan met behulp van de stelling van Pascal gevonden worden — een punt zijn van den ver- langden kromtecirkel, enz. *) Men raadplege Die Geometrie der Lage voa Th. Bbyb, %* Abtheilung', 8*«» Voitrag en Die Fundamentaltheorien der neueren Geometrie u. 8. w. von H. Sbbgbb , Seite 145. ') Ik laat hier de accenten weg. 8» Digitized by Google 36 Een tweede oplossing yan elk der beide deelen yan ons werkstuk yloeit onmiddellijk yoort uit de sierlijke constructie yan den kromtestraal der kegelsneden, die door P. Serret in zgn Oéométrie de direction ^) gegeven is. Daarbij leert het eerste gedeelte ons yinden niet juist het nog onbekende yierde snijpunt Q van E met c , maar het tweede snijpunt yan een willekeurige lijn door P met K. De yoUedige uitwerking dezer constructie mag aan den lezer worden oyergelaten. 3. Gaan we thans tot de bijzondere gevallen der algemeene kwadratische overeenkomst en dan wel in de eerste plaats tot de in het vraagstuk bedoelde MACLAURiN'sche transformatie over, dan gebruiken wij deze toepassing tot het doen kennen van een constructie voor den kromtestraal der eenvoudigste krommen, die men door middel van de MACLAURiN'sche transformatie uit den cirkel afleidt, cissoïde^ strophoïde en conchoïde. Is van de drie „straalpunten" A, B, C (fig. 3) het punt A op den cirkel c, dien men vervormt, B ergens op de door A gaande middellijn van dien cirkel en C in het oneindige in de richting loodrecht op die middellijn gelegen en is de „richtlijn" tevens in het oneindige verdwenen, dan is de vervormde kromme een cissoïde, als B met het diametraal tegenover A gelegen punt F, en een strophoïde, als B met het mid- delpunt M des cirkels samenvalt. Met het willekeurig gekozen punt P van c komt volgens den aard der transformatie het punt P' overeen , terwijl de raaklijn in P' aan de vervormde kromme de verbindingslijn is van het punt P^ met het snijpunt R van de raaklijn in P aan c en de lijn uit S evenwijdig aan AP getrokken^). Beschouwen we nu de kegelsnee K, die door A, C en P gaat en in P den cirkel c tot kromtecirkel heeft, dan is het duidelijk , dat we niet behoeven te zoeken naar het yierde snijpunt van de elkaar in P driepuntig swinrakende krom- men K en c , want dit vierde punt is A. Maar in verband met de bekende stelling, die zegt dat twee gemeenschappelgke koorden van een kegelsnee en een cirkel ten opzichte van de assen van die kegelsnee antiparallel zijn met elkaar en dit zelfde klaarblijkelijk van de asymptoten der kegelsnee beweerd kan 1) t. a. p., blz. 479. s) Men vergelijke mijn aangehaalde verhandeling. Digitized by Google 37 worden, moet het oneindig yer gelegen punt Q, waarvoor de hoeken APQ en CPR aan elkaar gelgk zijn, het tweede on- eindig ver verwijderde punt van de hyperbool K zpn. En daar de punten van de richtlijn der transformatie met zich zelf over- eenstemmen , is dit ook met het punt Q het geval , zoodat de kegelsnee E' door de punten B , C , P^ Q en de raakign />' in P' bepaald wordt. Van deze kegelsnee K' is nu de bepaling Tan den kromtestraal in P^ geheel naar de door Serret ge- Tondene constructie uitgevoerd. Nemen we verder aan , dat het straalpunt A het middelpunt ia Tan den te vervormen cirkel (fig. 4), dat B ergens op die kromme ligt en dat C in de richting loodrecht op AB op de oneindig ver gelegen richtlijn ligt, dan is de vervormde kromme een conchoïde. Beschouwen we nu de kegelsnee K, die door Digitized by Google 88 A en C gaat en den gegeven cirkel c in P driepuntig aanraakt, als perspectivisch collineair verwant met c, dan moet P het collineatiecentrum en tevens een pant der as van collineatie zijn; daarbij zijn dan Ai en Ci de met A en C overeenko- mende punten van c, is dus het snijpunt S van AiC, met AC een tweede punt der coUineatieas en Q het vierde punt, dat K en c gemeen hebben. Dus wordt de kegelsnee K' bepaald door de punten B , C , P', Q' en de raakljjn p' in P' en de kromtestraal dier kromme in P' als boven gevonden. 4. De constructies van den kromtestraal der cissoïde, stro- phoïde en conchoïde, die we juist ontwikkeld hebben, kunnen nog niet op eenvoudigheid bogen. Waarschijnliik zijn er dan ook uit cineroatische beschouwingen of uit analytische ontwik- kelingen wel eenvoudiger constructies af te leideu. Hier echter mag het opsporen dier meer eenvoudige constructies als buiten het kader van de vraag beschouwd en daarom achterwege ge- Digitized by Google 39 worden. We bespreken dus hier alleen nog een ander bijzonder geval der algemeene kwadratische transformatie, dat zich door de groote eenvoudigheid der kromtestraalconstructie kenmerkt, de overeenkomst door wederkeerige voerstralen. In deze algemeen bekende overeenkomst gaat de kromte- cirkel eener kromme in een punt P in den kromtecirkel der overeenkomstige kromme in het overeenkomstige punt P' over. Hierin is een middel vervat ter bepaling van den kromtestraal van elke voetpuntskromme van een kegelsnee, wijl deze voet- puntskromrae in een overeenkomst door wederkeerige voerstralen met een kegelsnee overeenstemt, wanneer men het in het ein- dige gelegen dubbelpunt der voetpuntskromme tot centrum van de voerstralen aanneemt *), We schetsen dus ten slotte met een enkelen trek , hoe langs dezen weg de kromtestraal bepaald kan worden van de cissoïde in een gegeven punt P der kromme in de onderstelling, dat deze kromme behalve door dit punt, door haar keerpunt C (fig. 5) met de keerraaklijn CD bepaald is. 2 Neemt men C tot centrum en CP tot macht der overeen- komst door wederkeerige voerstralen aan , dan komt met de gegeven cissoïde de parabool overeen , die C tot top , CD tot as en P tot een harer punten heeft. Van deze parabool is de *) Traite de geometrie aHalytique de H. Pioqubt , lome I , pag. 575. Digitized by Google 40 raakljjn in P bepaald door P in Q op CD te projeeteeren, RC = CQ te nemen en R met P te yerbinden. Daarna is het brandpunt F der parabool bepaald als het sngpunt yan de middelloodign van het segment PR met de as en yeryolgeDs de richtlijn GH. Is nu H het punt, waar de normaal der parabool de richtlijn snijdt en PM = 2HP genomen, dan is M het krommingsmiddelpunt der parabool in P ^). En wanneer yerder /. CP8 = Z. RPC gemaakt en in P een loodlgn op P8 opgericht wordt, dan is het sngpunt M| yan die loodlgn PM^ met MC het yerlangde krommingsmiddelpunt. Aan den lezer te onderzoeken, of deze constructie, ontdaan yan alles wat tot de uitlegging dienst deed,, korter of langer is dan die yan fig. 3 , waarbij dan natuurlijk het yerschil , dat er in de beide geyallen met betrekking tot de wijze yan bepaling der cissoïde yoorkomt, in rekening moet worden gebracht. Groningen, 6 October, 1884. *) Jacoh Steiiter's gesammeUe Werké'\ zweiter Band , Seite 342. Digitized by Google H9h SUE LA SOLUTION LA PLUS OÉNÉRALE DB DEUX EQUATIONS AUX DÉMVÉES PARTIELLES, W. KAPTEYN. (Utrecht) Soit X une fonction des trois Tariables indépenclaiites x, y et z; noQS nons proposons de determiner la solution Ia plus générale des deux equations difiFérentielles -/J»A d*A , ^ d»A , ^d«A\ /ÖA dA\ /èA . ^dA\ oü a et ( représentent des constantes. En posant TT/w ^^ I ^^ n/^^ ^^ i i ^^ les deux equations difiFérentielles prendront Ia forme 2AHH(A) + 2A»GG(A) = 3H«(A) 4- A»G»(A) , AGH(A) = AHG(A) = G(A)H(A) , on (2) 85ffl=HM=o. A A Digitized by Google 42 De la dernière equation on déduit G(A) ^, , H(X) ^, oü /i et ƒ2 représenten t des fonctions arbitraires. En introduisant ces yaleurs dans la première equation on aura T(z^ax, y) T et N étant des fonctions quelconques, que nous allons deter- miner k présent. Remarquons, pour j arriver, qu'on aura H(T) = , G(N)r=0 et par conséquent H(X)-x5a), o(„=x5S^, H(A) H»(X) _ 2NHH(N) - ffffl) ^""1 A^ 'W ' G(X).G!(A)^ 2TGG(T) - G'(T) AA» T» En introduisant ces valeurs dans l'équation (1) on obtient (3) 2TGG(T) — G»(T) = 2NHH(N) - H«(N) , dont Ie premier membre est une fonction de z — aa; =: m et de y, tandis que Ie second membre est une fonction de z ~ by = v et de X. Opérons maintenant sur oette equation d'abord a vee l'opératenr G , ensuite avec H ; alors on trouve respectivement (4) GGG(T) = O , (5) HHH(N) = O, dont l'intégration ne présente aucune difficulté. En efifet, en écrivant l'équation (4) sous la forme on Toit aisément que IMntégrale générale prend Ia forme GG(T) = 2P,p(z — ax — by) = 26»^ , Digitized by Google 43 ^ étant une fonction arbitraire. Cette equation étant éqni- yalente k donne ensuite G(T)=2fctt^ + 26i^, oü yff représente une nouvelle fonction de z — ax-^ly. En traitant de la méme maniere cette demière equation on obtient X étant encore une fonction arbitraire de z — ax --hy. Il est bien évident que la solution la plus générale de l'équa- tion différentiellë (5) se réduira k ^1 ^ ®^ Xi représentant encore trois fonctions arbitraires de z— ax — by. L'introduction des valeurs obtenues pour T et N dans Téqua- tion (3^ fait voir que les six fonctions arbitraires doivent satis- &ire k la seule relation (6) tV-«x) = «U»- ♦.X.)- La solution la plus générale des deux equations différentielles s'écrit done ^^ t<> + 2u^ + x ^^*x + ^Hx + Xi ' OU les fonctions arbitraires de 2; — ax — by sont liées par la relation (6). Digitized by Google R7 EEN VRAAGSTUK DER DYNAMICA A. J. SWART. (Zutphen.) Een stoffelijk punt (maesa M) kan om zgn eyenwichtsstand A kleine elastische trillingen uitvoeren (trillingstijd — |. Langs eene rechte Ign PQ beweegt zich met standvastige snelheid v, komende uit het oneindige, een ander punt, dat op M eene kracht uitoefent, welke eene fiinctie is van den afstand. De afstand van A tot PQ is a. De uitwijkingen van M uit den evenwichtsstand zgn klein ten opzichte van a. Welke is de trillende beweging van M , als het aantrekkende punt in het oneindige verdwenen isP Toor welke waarde van v zal de trillingsenergie, welke M ten slotte verkrijgt, eene maximale (of minimale) waarde hebbenP I. Het punt M is oorspronkelijk in rust. J^l ^ip. H Is a priori duidelijk, dat voor eene bepaalde waarde van Digitized by Google 45 V de trilliDgsenergie maximaal moet worden , want zoowol Yoor 17 s= O als voor f? = oo is zij nul. Wij nemen A als oorsprong en de o^-as evenwgdig aan PQ. Als ^ = O is , bevindt zich het aantrekkende punt in R. De bewegingsvergelijkingen luiden Mi* + Ka; = MX enMy+Ky = MY, waarin X=.~P(r) , T = --P(r) , r = (aa+r2^)V.. Wij stellen verder -zr^ = n\ M De algemeene oplossing van deze vergelgkingen luidt 1 n ix = ABin(nt + a)-\ ƒ Xr sin n(t — r)(3fr, (1).. L = B sin (w^ + 0) H / Tr sin n(t — r)dr. Daar het punt oorspronkelgk in rust is, zoo is A = B = 0. Derhalve is 1 /•' 1 /•' a? = — ƒ Xr sin n{t -— r)dT en y = — ƒ Tr sin n{t — r)rfT. n J n J — OD —-00 Yoor groote waarden van t kunnen we de elementen voor t = T en t = — T samenvoegen , waarbg X-r =: — Xr en T.r = Yr is. Wij vinden 2 r* . 2 . r* x= cos ntl X sin ntdt en y = — sin nt 1 Y cos ntdt. n J n J o o Tasschen deze beide integralen bestaat de volgende betrekking r V r I X sin ntdt = ƒ Y ^ sin ntdt = O O = — lY^cosn^ na Digitized by Google 46 . , .èY ÖY ƒ 00 X Bin ntdt =: - ot Cv ƒ Toosntó^ ^ ƒ Ycosntdt. na J na dv J Wij stellen ' • i Ycwnidt — a\J. De baan, welke ten slotte door het deeltje wordt gevolgd, wordt dus bepaald door 2v l dU\ 2a (2) . . . . a? = — - 1 ü + t> V 1 cos w/ en y = — U sin nf. n^ \ dv I n Noemen wg de energie, welke het deeltje verkrijgt, E, dan is 2M I / dU\« ) (3) E=-|.^(ü+.^)+nta^ü^|. De waarde van v, waarvoor E, by gegeven waarden van a en ft, hare maximale waarde bereikt, wordt bepaald door de vergelijking (4).(u + t>^)(u + 3.^) + ..^(ü+.^) + nVU^=C De door ons ingevoerde fiinctie U yoldoet aan de difFeren- tiaalvei^elgking <^) ^+''d^+"ö;r=^' waaruit volgt rU = /(nU). Overigens kunnen wij omtrent deze functie geene nadere bijzonderheden mededeelen, tenzij de krachten wet gegeven is. Digitized by Google 47 Stellen wij F(r) = — 3: A TT f^^^^^^J* dan 18 ü = — al dL I ^ dU fao èa J r' o = ma o at, öü rvficosnt^ —- = ma ƒ — — a^ waaruit volgt (6) a^ + v^ + m\J = 0. da dv In verband met (5) leiden wij hieruit af Verder is U= — a ƒ* cos n< r a sin wfl* amv^ /** f sin w^ o 00 U = De geïntegreerde term is nul; dus is amv^ t cos nt ^+» amv^ /*" cos nt aw(m4-2)r* T* <^ cosn^ _ O De geïntegreerde term is nul en derhalve am{m -\- 2)aH^ /""cos nt o ir of, daar _ am(m + 1)»^ /""cos nt am{m + 2)a2p2 /*" o o /*cos«^ , 1 du TT dtz=z -r- r*+* ma da en ® ^J r-+* ^~""w(m + 2)a da \ a èaj"" o _ 1 èu 1_ ^ (fe, m(m + 2)a» èo m(m + 2)a* do» Digitized by Google 48 is, zoo krggon wg de Tolgende yergelgking <«) '»è;^ + '"è^— ^'*^ = ^- Wij differentioeren (6) naar a en naar v en yinden Door eliminatie van ^- , -y";- en -^-^- uit (6) , (8) en deze da da^ dadv vergelijkingen vinden we de vergelijking / n^a^ _ du i)«U Lossen wg hieruit rr— op en substitueeren we deze waarde in (4), dan wordt de voorwaarde voor maximum-energie öü i?a / èU\« Wanneer het eerste lid nog den term f?* I^j bevatte, dan / dü\2 zouden wij door I ü 4- v ^1 kunnen deelen. Nu is het te ver- wachten ^ dat de beide deelen, waaruit de energie bestaat (zie (3)), nagenoeg voor dezelfde waarde van v hun maximum zullen bereiken, waaruit volgt, dat voor deze waarde van v de term v^ (^ j klein zal zijn ten opzichte van U^ Ais benaderde waarde van v^ waarvoor E hare maximale waarde bereikt, vinden wij dus: (11) t?inM.= K(m-l) Het zal in de onderzochte gevallen blijken , dat deze bena- dering eene zeer goede is. Digitized by Google 49 Stellen wij rnux. — Kna, dan i^ „ (^ C08 nidt a /•* cos zdz a jj^.a -1=-^/ i=-^^'('")' o o o o Sabstitueeren wg deze waarden in (3), dan vinden wg Derhalve: Is de kracht welke op het deeltje werkt , dan is de maximale energie, welke het deeltje kan verkrijgen, omgekeerd evenredig met n^ en met a^*~*. Door substitutie van (11) in (3) vinden wij als benaderings- waarde voor de maximale energie m — 1 \ V^(m — 1) ov m — \ \dvj / Hf — 1 = 1. Als men voor eene waarde van m de waarde van U heeft berekend, kent men ze ook voor rM + 2, m + 4 enz. , want Wij kunnen voor m = 2 de integratie uitvoeren. In plaats van O tot oo iategreeren we in het complexe vlak langs AOFEDCB. De functie is in het ingesloten gebied synektisch. ƒ" cos nt /** c**** — -— dt = reëel deel van ƒ — r— dz. o .0 Iniegreerend langs AGFEDCB is alleen de integratie om P reëel. 4 Digitized by Google 50 , a Wg stellen 2 = » \-r (cos f-\-i sin f) , dan is 1 2av I Cto t; ^^^. 3 I OP Yoor de yergelijkingen yan de baan van het deeltje vin- den wg Tra -!^ ^ ira _-?lf. a? = « » cos wr en y = e » sin n^ nv nv Yoor elke waarde van t> ontstaat dus in dit geval eene cirkelbeweging. De energie der trillende beweging bedraagt E = —e •. Hare maximale waarde E max. = ~~7, T = 1 .335 wordt bereikt voor v = na (in overeenstemming met formule (11)). m — 1 = 8. Volgens (13) leiden wg ü^ uit Uj af. -.- Tra «a + «^ -- * 4 oV Digitized by Google 51 De yergelgkingen der baan zgn ^ ~ ~" t: — :: ^ • cos nL va(iia + 1^) — -. ^- w^* '""«'• Yoor de energie yinden wjj E = -— — (2fi%» + 2/iap 4- v^)e"r. De voorwaarde voor maximamenergie luidt t?' + 2nav^ + 2n^aH — 2wV = O, waarait volgt «^«ax.= 0.574743 wa, terwgl uit de benaderingsformule (11) volgt na f? max.= -7^ = 0.577350 na. Yoor de maximale energie vinden wg E„.„.= 1.2122-—. n^a^ Yoor kleine waarden van v zijn de amplitudines in de beide coordinatenricbtingen, A, en Ay, nagenoeg gelijk, maar bij 't grooter worden van v groeit A, sterker aan dan kg. Yoor f? max. hebben wg A.y I A-x ^^ X .0 1 o • Yoor groote waarden van v heeft de trillende beweging bijna lutsloitend in de y-richting plaats. li» — 1 = 6. va 3«?2+3waf?+n*a» «üü ^^ = -Ï6 ^M ' " De vergelijking van de baan is irflf na 4- «^ - - x= — T-z- e » cos nt^ 8 ah^ wa 3p2 + 3iiar 4- n^nf^ ««f . ^ y = 7-1 e » sm «^ ^ 8 na^v^ 4* Digitized by VjOOQIC 5^ De waarde der trillingsenergie is ' ' . ' ■ , / .il De voorwaarde voor maximumenergie luidt 9^ + I8nav* + Hn^aV + ^n^ah^ — 2wVr - 2n^a^ = O , waaruit volgt t7max =0.445077 na, " \\ terwijl de benaderingsformule (11) geeft PmM. = 0.4472ia«a. Voor de maximale energie wordt gevonden Voor kleine waarden van v zijn A« en Ay gelgk, maar de verhouding Ay : As neemt toe , als i? grooter wordt. Voor t?max. vinden wg: . / Ay: As = 2.003. Bij groote waarden van v is de beweging nagenoeg in de y-richting. , '. w-l = 2. Wij gaan uit van de integraal U, = — a ƒ — -— = reëel deel v«n - al ^, ^ • ^ ^v ' o o Wij integreeren langs AGFEDGB. Integraal AG is zuiver imaginair, integraal GFE en DCB zijn nul, zoodat iategraal ED als reëel deel overblijft. Wij stellen . a na z= t — a enjp = — ; dan is ^—il e-P^da .^ Vi<^-1) Digitized by Google 5B Hieruit Tolgt Wg noemen ^ jV^KCaa— l)c/(F=P, 1 /•OD 1 ƒ er-fyia^ — 1)»»^» = R; 1 U3 = -P ,. -r-^=— -(3t;P — «aQ). dan is Daar formule (11) in dé behandelde gevallen gebleken is eene zeer goede benadering te zijn , zoo ligt het voor de hand te onderstellen, dat oqk in dit geval deze benadering goed zal zijn. Wg stellen tf^mta. = ^-~z- (1 — 8^) ^^ noemen de bijbehoorende waarden van P, Q, R hier P, , Q,, R, ; dan volgt uit (10) "dv -(-^") of „ 3pP, — naQ. 3P, — p,Q, , 2 „,. ^, is. Daar S^ klein is, mogen wij schrgven /•OO /«OD M P, = / e-r^'Via^ - l)rf<T= / «~"^'~i^"l/(ff» - l)rf«r = =^ / e-^' »/(«» - l)rfff - r?2 / "^^^ ^^"^ ~ *^*^* ~ / =P(K2)-^Q(K2). Digitized by Google 54 Evenzoo Q,=Q(K2)-^R(l/2). Substitueerende vinden wij (11 + 4g^) P(K2) -^ (2 + y) R(T^2) (8 -f 8««) P(K2) — 2R(|/2) Door mechanische kwadratuur wordt gevonden F(V2) = 0.22215 , R(K2) = 1.24728 , waaruit volgt bij eerste benadering 8 = 0.0710 en meer nauwkeurig S = 0.0739. Voor Vm»x. verkrijgen wg t? mix. = 0.705 na, terwijl de benaderingsformule (11) geeft t?m»x.= 0.707 w«. De waarde der maximale energie is Emar = 1.2464 2/1* n^a' IL Het punt M is oorspronkelijk niet in rust De oplossing der bewegingsvergelijkingen geeft nu 2v 1 dU\ a? = A sin (nf + a) + — I U + t? -t--\ cos ni , 2a y = B sin (w^ + 0) H XJ sin nU n ,^^:% Voor de energie vindt men dU\ E = iMw2(A2 + B2) + 2M j t? (u -h t; ^) A sin a + «aüBoos ^1 + Digitized by Google 55 Is a sa O of = TT en j3 =^ ^ir of = ^t, dan is de totale energie gelgk aan de som der energiên yen beide trillingen en kunnen wij de Tolledige oplo88ing van het vraagstuk gemakkelijk uit bovenstaande afleiden. Hf - 1 = 1. irflf ^ — rr = A sin (w^ + a) e » cos nt. nv vCC ^ — y = B sin («^ + j3) e » sin nt, nv \r-.2£y2 Sua Mir/xn ** E = — — «- -T — (A 8iD a + B cos fiy T4- iMn«(A»+B»). tr V Is A sin er + Boos /3 gelijk nul, dan is de totale energie gelijk aan de som der energiên van beide trillingen. De waarde van A sin a + B cos /3 beslist over het voorkomen van een of meer maxima of minima. De maximum- (of minimum-) voorwaarde luidt na (v — na) \nv{A sin a + B cos |3) — 2ane • } = 0. 