Nieuw archief voor wiskunde
Een yergelijking yan den vorm ax = b werd opgelost volgens de regula falsi simplicis positionis : men nam voor x willekeu- rig x' ; vond men ax' = b\ dan is b' : b =x' : x. En een vergelijking van den vorm ax + b = c werd opgelost volgens de regula falsi duplicis positionis: men nam voor x willekeu- rig x' en x" ; vond men ax' + b=z c' en ax" 4- 6 = c'% dan is a(/ — x) = c' — c en a {x" — x) = c" — • c, dus {c' — c) : {^'^c)^{x' — x)\{x" — x) en x^\x" {c! ^c) - x' (c" - c)\\ [c' - c") t een uitkomst, die men naar onderstaand schema berekende : c' - c = x" {c' — c) '^ c" — f = a?' {c" - c) afgetr. afgetr. c' —c" x'\c'—c) — x\c" — c) uitkomst : — ^^ ^ • c — c quod facile iudicabunt , qui illius problemata Geometrica attente perlegerint .... Deinde fuperficierum rectilinearum diuiilonem aggrediemur, infiftentes eiufdeni Steuinii veftigiis , nifi quando generalius rem oportebit demonftrare. Nihil autem de ratione Machometi , & Federici Commandini dicemus : . . .. Clavius , Opera Mathematica , Tomus Secundus , Mainz 1611 , p. 147. ^) Unger , Die Methodik der praktischen Arithmetik in historischer Entwicke- luDg vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart , Leipzig 1888 , p. 101. ^ Unger, t. a. p», p. 101. 5) Unger , t. a. p., pp. 103—104. 10* Digitized by Google 148 Een paar voorbeelden van de regula falsi ontleen ik aan Stevin's Arithmetique , p. 101 , en Pratique d'Arithmetique , pp. 122 -123. Reigle de faux. 1) D'vne faulfe pofition. „Explication du donné & requis. On veult fgauoir quel nombre auec fa moitie fera 18. Construction. On pofera quelque nombre ainfi qu'il auiendra, comme Til fuft Ie vrai nombre requis, foit 2: Ie mefme auec fa moitie qui eft 1, faict 3: Or ce n'eft pas 3 ce que nous voulons, mais 18; Done la pofition de 2 eftoit faulfe, parquoi a fin d'auoir Ie vrai requis, on dira 3 viennent de 2, d'ou viendront 18 P faict pour folution 12." 2) De deux faufles pofitions. „Exemple II. Trois aulnes de drap couflent 11 & ^), defquelles Ia feconde coufle Ie double de la premiere plus 2 ft, & la troifiefme aulne coufle Ie triple de la premiere moins 3 1^; Combien coufle chafcune aulne P Construction. On pofera pour la premiere aulne quelque quantité de liures è, plaifir, foit 1 &, doncques la feconde aulne felon la propofition, coufle 4 Ib, & la troifiefme O &; Gr ces trois fommes montent 5 Ib, & doibuent monter 11 9^; Doncques la premiere pofition de 1 vient trop peu ou moins que nous ne defirons 6 , ce qu'on notera en cefle forte : 1 moins 6. Puis on fera quelque autre pofition, foit de 4 ft, pour la premiere aulne, doncques felon la propofition la feconde coufle 10 ft, & la troiOefme 9 tb, lefquelles trois fommes montent 23 ft, & ne doibuent monter que 11 ft, doncques la feconde pofition eft trop, ou plus que nous ne defirons de 12 ft, lef- quelles on notera foubs la premiere pofition, & leur difpofi- tion fera alors telle: 1 moins 6 4 plus 12 Puis on multipliera par croix [t. w. 4 X 6 en 1 X 12], & la refle l'acheuera felon la doctrine du 17* probleme de TArith- «) 1 liure (ft) = 20 folz (ü) k 12 deniers ({^, zoowel in Vlaanderen, als in Venetië , Frankrijk , Engeland , enz., ofschoon van verschillende waarde, Digitized by Google 149 metique [waar men op p. 104 in verband met de teekens van c' — c en c" — c den regel vindt medegedeeld , dat „Semblables requierent foubftraction , Et difiemblablcs addition."] & viendra 2 ffi pour la premiere aulne, dont la difpoflrion de l'operation acheuée fera telle: 1 moins 6. 24 4 plus 12. 12 18. 36 quotient 2. Or eflant cognue la valeur de la premiere aulne, il eft manifefte que la feconde (felon la propofition) coufte 6 tb, & la troifiefme 3 ft." Hebben Gemma Prisius (1540), Stifel (1544) e. a. de regula falsi duplicis positionis bij de oplossing van vergelijkingen van hoogeren dan den 1^" graad toegepast en Cardano (1545), Biirgi (1592/03), Pitiscus *) (1612) e. a. zich van dezen regel bediend bij de benadering van de wortels van hoogere-machts- vergelijkingen , Stevin bracht de regula falsi simplicis positionis ?an het terrein der rekenkunde op dat der meetkunde over, na tot het inzicht te zijn gekomen, dat de betrekking van evenredige afhankelijkheid , waarin bij dezen regel de onbekende eo de bekende grootheden tot elkander staan, aan de even- redigheid van gelijkstandige Ignen in gelijkvormige figuren beantwoordt. Door middel van zijn regula &lsi continuBB quantitatis, ons beter bekend onder den naam van constructie-methode der gelgkvormige figuren, lost Stevin vier werkstukken op: 1) een gelijkzijdigen driehoek te construeeren , als het ver- schil tusschen de hoogtelijn en de som van de zijde en den straal van den ingeschreven cirkel gegeven is; 2) een vierkant te construeeren, als het verschil tusschen de zijde en de diagonaal gegeven is; 3) een regelmatigen vijf hoek te construeeren, als de ver- bindiDgslijn van een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde gegeven is; 4) een vijfhoek LMNKI gelijkvormig met een gegeven vijf- hoek BCDEP te construeeren , als NL — MN + IL gegeven is. *) Nieuw Archief voor Wiskunde, 2* Reeks, 3' Deel, Amsterdam 1898, p.265. Digitized by Gbogle 150 Bij het 1' werkstuk bv. construeert Stevin een willekeurigen gelijkzijdigen driehoek BCD, yermindert de zgde CD met een stuk CH = de hoogtelijn BE op CD , vermeerdert HD met een stuk Dl = de straal PG uit het middelpunt F van A BCD op de zijde BC neergelaten, en beschrijft eindelijk de zyde KL van den verlangden ALKM als 4® evenredige tot Hl, BC en het gegeven verschil A. Evenzoo worden de drie overige werkstukken opgelost. Het 3® boek van de Problemata Geometrica — o. i. het belangrijkste van de vijf — handelt hoofdzakelijk over half- regelmatige veelvlakken. Zooals bekend is, onderscheidt men: 1) halfregelmatige veelvlakken met regelmatige, incongruente zijvlakken en onregelmatige, congruente veelvlakshoeken ; 2) halfregelmatige veelvlakken met onregelmatige, congru- ente zijvlakken en regelmatige, incongruente veelvlakshoeken; die der eene soort kunnen als poolfiguren van die der andere soort worden aangemerkt. Om de convexe halfregelmatige veelvlakken van de 1^ soort te bepalen, bedenke men: 1) dat in ieder hoekpunt van het veel vlak niet meer dan vijf zijvlakken van niet meer dan drieërlei soort kunnen samen- komen , daar anders de som van de zijden der veelvlakshoeken niet beneden 360^ zou blijven; 2) dat, als er in ieder hoekpunt van het veel vlak a a-hoeken, /3&*hoeken, . . . samenkomen en bv. a oneven is, een van de aantallen a — 1 , /3, . . • minstens = 2 moet wezen, daar we- gens de congruentie der veelvlakshoeken de zijvlakken, die een zijvlak met een oneven aantal zijden begrenzen, alle even- veel zijden moeten tellen; 3) dat, als het veel vlak Z zijvlakken, H hoekpunten en B ribben telt en er in ieder hoekpunt a a-hoeken, /3 6-hoe- ken , . . . samenkomen : Z + H = R 4-2, 2R = (a + /3 + ...)H, = (t+ f +••■)«. Digitized by Google 151 dus: (^ + ^+.,.+ 2_._.p_...)H = 4 is 1). • Aan de voorwaarden, onder 1), 2) en 3) vermeld, voldoen vijftien veelviakkeu met Z regelmatige zijvlakken, waaronder Z« a-hoekige, Z* fc-hoekige , . . . , H(a, &,...) congruente v-zijdige veelvlakshoeken , waarvan de zijden tot een a-hoek , een i-hoek, . . . behooren, en R ribben: Convexe halfregelmatige veelvlakken van de V soort: a) met driezgdige veelvlakshoeken : 1)Z= 8:Z3= 4, Zo = 4; H(3, 6, 6)= 12; R= 18. 2)Z=14:Z3= 8, Zg = 6; H(3, 8, 8)= 24; R=: 36. 3)Z=32:Z3=:20, Z,o=12; H(3,10,10)= 60; R= 90. 4)Z = 14:Z4= 6, Ze = 8; H(4, 6, 6)= 24; R= 36. 5)Z = 32:Z5 = 12, Zg =20; H(5, 6, 6)= 60; R= 90. 6)Z = n + 2:Z— 2, Z4=n; H(w, 4, 4)= 2n; R=: 3». 7)Z = 26:Z4=12, Ze = 8, Zg ^ 6; H(4, 6, 8)= 48; R= 72. 8)Z=62:Z^=30, Zg =20, Z,o = 12; H(4, 6,10) = 120; R=180. b) met vierzijdige veelvlakshoeken: 9) Z = 26:Z3= 8, Z4=:18; H(3, 4, 4, 4)=24; R= 48. 10) Z = 2« + 2:Z«=2, Z3 = 2w; H(«, 3, 3, 3)=:2»; R=: 4w. 11) Z=14:Z3= 8, Z4= 6; H(3, 4, 3, 4)=12; R= 24. 12) Z = 32:Z3=20, Z5=:12; H(3, 5, 3, 5) = 30 ; R= 60. 13) Z = 62:Z3 = 20, Z4 = 30, Z5 = 12; H(3, 4, 5, 4) = 60; R = 120. c) met vijfzijdige veelvlakshoeken: 14)Z = 88: Z3 = 32, Z4= 6; H(3, 3, 3, 3, 4) = 24 ; R= 60. 15) Z=:92:Z3 = 80, Z5=12; H(3, 3, 3, 3, 5) = 60 ; R = 150. Aan deze veelvlakken beantwoorden vijftien veelvlakken met H regelmatige veelvlakshoeken, waaronder Ha a-zijdige, H/j /3-zijdige , . . - , Z(a , /3 , . . .) congruente «-hoekige zijvlakken , waarvan de hoeken tot een a-vlakshoek , een /3-vlakshoek , . .. behooren , en R ribben : ') Baltzer. Die Eleniente der Mathematik, 5*" Buch, §7,6, 2*" Band, 3»* Auflage, Leipzig 1870, pp. 217 — 220. Digitized by Google 152 CoDvexe halfregelmatige yeelvlakken yan de 2' soort: a) met driehoekige zijylakkoD: 1*) H = 8:H3 = 4, Ho=:4; Z(3, 6, 6) = 12; R= 18. b) met vierhoekige zijvlakken: 9*) H = 26:H3 = 8, H^rrlS; Z(3, 4, 4, 4) = 24; R = 48. c) met yijfhoekige zijvlakken: 14*) H = 38:H3 = 32, H^rrÖ; Z(3, 3, 3, 3, 4) = 24 ; R = 60. De ontdekking van de halfregelmatige yeelvlakken van de 1* soort wordt op gezag van Pappus ') aan Archimedes toege- schreven; die van de 2' soort vindt men, naar Baltzer ') mede- deelt, voor de 1* maal in J. H. T. Müller's Trigonometrie, 1852, p. 345, beschreven. De beschrijving dier yeelvlakken bij Pappus ») bepaalt zich tot een opgaaf van het aantal en de soort der zijvlakken en de berekening van het aantal der lichaamshoeken en der ribben bij dertien dier yeelvlakken: van onze lijst het 8-ylak Ko. 1, de 14- vlakken Nos. 2, 4 en 11, de 26- vlakken Nos. 9 en 7, de 32-vlakken Nos. 3, 5 en 12, het 38-ylak No. 14, de 62- vlakken Nos. 13 en 8, en het 92- vlak No. 15. De yeelvlakken Nos. 7 en 10, die begrensd worden door twee n-hoeken, waarvan de vlakken evenwijdig loopen, als- mede door n vierkanten bij No. 7 en 2w gelijkzijdige drie- hoeken bij No. 10, en die dus wegens de onbepaaldheid dier n-hoeken twee groepen van yeelvlakken vormen , Archimedische prisma's en antiprisma's geheeten, ontbreken bij Pappus. Evenzoo bij Kepler, die de „tredecim Archimedêa Corpora" in zijn Harmonices Mundi Libri V, Linz 1619, Lib. II, XXVIII Propos., pp. 61 — 65, onder toepassing van de voor- waarden 1) en 2) uit de zijvlakken samenstelt, afbeeldt en benoemt: van onze lijst No. 14, cubus simus, No. 11, cuboc- taëdron, en No. 9, rhombicuboctaëdron , uit drie- en vierhoe- ken; No. 15, dodecaëdron simum, en No. 12, icosidodecahe- ^) Pappi Alexandrini Mathematicae Collectiones , ed. Commandino, Bonn l66o, Lib. V, Propos. XVlll (inleiding), pp. 129— 130. 2} Baltzcr, t. a. p., p. 207 Noot. Digitized by Google 153 dron uit drie- en ygf hoeken ; No. 1 , tetraëdron trunoum , uit drie- en zeshoeken; No. 2, cubuB truncus, uit drie en acht- hoeken; No. 8, dodecaëdron truncum, uit drie- en tienhoeken ; No. 4, octaëdron trunoum, uit vier- en zeshoeken; No. 5, icosihedron truncum, uit vijf- en zeshoeken; No. 13, rhombi- cosidodecaêdron , uit drie- , vier- en vijf hoeken ; No. 7 , cuboc- taëdron truncum, uit vier-, zes- en achthoeken; No. 8, icosi- dodecaëdron truncum, uit vier-, zes- en tienhoeken. Buitendien vindt men bij Eepler, t. a. p., Lib. II, XXVII Propos., p. 61, twee halfregelmatige veelviakken van de 2* soort beschreven, Nos. 11* en 12* van onze lijst, resp. met twaalf en met dertig gelijkzijdige parallelogrammen (rhombi) tot zijvlakken >). De beroemde Duitsche schilder Albrccht Dürer, als schrijver Tan weinig minder beteekenis dan als kunstenaar, leert in het 4' boek van zijn Underweysung der meiTung mit dem zirckel vnd richtfcheyt, Neurenberg 1525, de netwerken construeeren van de vijf re,:^elmatige veelviakken en van de zeven halfregel- matige veelviakken Nos. 1,2, 11, 4, 9, 14 en 7 van onze Igst, alsmede die van twee veelviakken, waarvan het eenc door tweeëndertig driehoeken en zes twaalfhoeken en het andere door twaalf driehoeken en zes vierhoeken begrensd wordt *). Evenals de samenstelling van netwerken een vinding van Dürer zelf schgnt te wezen ') , evenzoo zijn de zeven half- ^) Wat de keuze der benamingen bij Kepler aangaat, zij opgemerkt: l". dat een cuboctaëdron wordt ingesloten door zes vierhoeken (evenals een kubus) en acht driehoeken (evenals een octaëder) , een rhombicuboctaêdron door twaalf vierhoeken (evenals een van de rhomboéders van propos. XXVII), nog zes vierhoeken (evenals een kubus) en acht driehoeken (evenals een octaëder), een icosidodecahedron door twintig driehoeken (evenals een icosaëder) en twaalf vijf hoeken (evenals een dodecaëder), enz.; 2". dat een cubus simus hem een „afgeplatte" kubus is en wordt ingesloten door zes vierhoeken (evenals een kubus) en overigens door driehoeken, enz. [„Et in hoc ordine siniorum", zegt Kepler, t. a. p., p. 62, „Icofaëdron po(Jet efie tertiura, quod eft quafi Tetraëdron fimum."]; 3**. dat een tetraëdron truncum hem een „afgeknot" tetraëder is en onder zijn zijvlakken veelhoeken met meer dan vijf zijden telt , enz. ') Van dit werk verscheen in 1532 een Latijnsche editie te Parijs. *) Cantor, t. a. p., II p. 428. Digitized by Google 154 regelmatige yeelvlakken , waaroyer hij handelt, waarschijnlijk zelfstandig door hem ontdekt ; want had hij uit Pappus* Ma^rijiaTixai Zvvaywyai geput — waarvan trouwens Comman- dino's Latijnsehe bewerking, Pisa 1588, de oudste editie vormt, die in druk verscheen — dan zou hij zich zeker niet tot de netwerken van zeven dier veel vlakken hebben bepaald, maar ook die van de zes overige hebben afgebeeld. Hoe dit zij, zeker is het, dat Stevin zijn kennis van de halfregelmatige veel vlakken aan Dürer ontleent. „Behalve de vijf regelmatige lichamen, waarvan de wiskunstenaars melding maken", zegt hij in de inleiding van zijn 3^ boek, „zijn er eenige andere, die, hoewel minder regelmatig, evenzeer uit- lokken tot wiskundige bespiegelingen en merkwaardige net- werken opleveren. Zes van deze lichamen vindt men in Dürer's Meetkunde vermeld ,..."') Het was Stevin evenwel niet genoeg de netwerken dier veelvlakken te kunnen ontwerpen en uit deze de veelvlakken zelf te kunnen samenstellen, hij verlangde hun oorsprong te kennen , dien het hem gelukte eindelijk te ontdekken : Dürer's lichamen bleken hem afgeknotte regelmatige veelvlakken te wezen, een afgeknot viervlak, drie afgeknotte kuben en een afgeknot achtvlak; van het 6% den afgeplatten kubus (cubus simus) van Kepler, kon Stevin den oorsprong niet met zeker- heid vaststellen; hij gist, dat dit veelvlak uit een afgeknotten kubus moet worden afgeleid ^), Nadat de bron was opgespoord, waaruit de halfregelmatige veelvlakken ontspringen, moet het Stevin niet moeilijk zijn ge- vallen, hun aantal met drie te vermeerderen, die aan de re- ') Praeter quinque corpora regularia quorum Mathematici meminerunt, anira- aduertimus alia quaedam corpora quae quamvis talem non haberent regulari- tatem vt in quinque illis regularibus requiritur (nam demonftratur quinque tan- tum talia corpora poÜe jnveniri) nihilominus Geometricarum fpeculationura effent plena, ac mirabilis difpofitionis correlatiuarura fuperficierum. Horura autem corporum sex meminit Albertus Durerus , in fua Geometria .... p. 46. ') .... vidimus tandem regularia corpora ipforum effe fcatebram, nam illorum vnum, erat tetraedrum truncatum , altera tria, truncati cubi , &quintum, truncatum octoedrum: Sexti verö corporis truncatio haec fcribentibus nobis erat ignota, quamvis ex truncate cube originem habere non dubitaraus. p. 46. Digitized by Google 155 gelmaiige twaalf- en twintigylakken hun oorsprong ontleenen *) , en waarvan hg zich de eer der ontdekking toeeigent, zoolang hem van geen voorganger blijkt *). Stevin spreekt van zes halfregelmatige veelvlakken, die in Dürer's Geometria zouden voorkomen; dit is een vergissing» die zich tot de inleiding bepaalt. Inderdaad vindt men bij Stevin de zeven halfregelmatige veelvlakken der Messung mit Zirckel und Biehtscheyt terug, vermeerderd met de drie, door hem zelf ontdekt. Yan dit tiental verwijst Stevin den cubus simus, waarvan hij de herkomst niet kan vaststellen, naar een Aanhangsel, zoodat er voor hem ,novem truncata corpora regularia" te behandelen overblijven. Omtrent de twee veel- Fy^. 13. re" voldoet ^). vlakken van Dürer, die resp. door tweeëndertig driehoeken en zes twaalf- hoeken worden ingesloten , merkt Stevin op, dat van het 1* het netwerk niet kan worden samengevouwen , omdat soms drie (lees: vier) vlakke hoeken samen- komen, waarvan de som = 360'* is, en dat het 2" niet aan zijn bepaling van „truncatum corpus regula- ^) Cum'que hac nobis eCent nota invenimus (nam tale quid faepe fit cum rerum causas cognofcimus) alia tria corpora non minoris elegantiae nempe ex truncatis Dodecaedro & Icofaedro. p. 46. *) Si forte ab alio ante nos funt inventa . . . fateniur hoc nos ignorare. Quare vt pro noftro invento talia edimus. p. 47. ') (funt quidem in eadem Alberti defcriptione & alia duo corpora quae ex complicatis planis componuntur quorum alterum non poteft plicari, ratio eft quia ad vnum angulum folidum conftruendum compofiti funt tres anguli plani aequales quatuor rectis, qui angulum folidum per 21. prop. lib. 11. Euclid, non conftituunt. Alterum ver6 corpus non continetur intra metas qua in fequenti 11. definit. funt pofita, quare illa duo corpora reliquimus). p. 46. Digitized by Google 156 Inderdaad bestaat het netwerk van het 1' veelvlak uit viei deelen als Fig. 13, zóó verbonden, dat de zijden a van het 2* 3* en 4* deel resp. samenvallen met de zjjden b van het V, 2* ei 3* deel , en uit twee twaalf hoeken , op ieder van de zijden c en c van het 2' deel één. Dit veelvlak zou dus vierentwintig drie zjjdige en vierentwintig vierzijdige veelvlakshoeken tellen : vai de vierzijdige, door een twaalf hoek en drie driehoeken ge- vormd, zou de som der zijden = 360*^ wezen. Maar ook al kon dit netwerk worden samengevouwen , dan nog zou er geen halfregelmatig veelvlak ontstaan, daar er onder de tweeëndertig driehoeken vierentwintig gevonden worden, die niet gelijk- zijdig zijn >). En het netwerk van het 2' veelvlak bestaat uit zes vierkan- ten, die een rechthoek vormen, zesmaal zoo lang als breed, met op de zijden in de lengte twaalf gelijkbeenige driehoeken, waarvan de hoogten even groot zijn als de bases 2): bij samen- vouwing ontstaat een regelmatig zeszijdig prisma met een regel- matige zeszijdige pyramide op ieder eiudvlak. Buiten Stevin schijnt niemand opgemerkt te hebben, dat Dürer's 8* veelvlak onbestaanbaar is en dat de driehoekige zijvlakken van zijn 9^ veelvlak niet gelijkzijdig zijn '). 1)- qui non habent omnia latera sequalia. Dürer, Geometria , Parijs 1532, p. 157» ') quorum quilibet tantam habeat altitudinem , quantum fuerit latiis quadrati. Dürer , t. a. p. , p. 1 57. ') Te verbeteren aanhalingen: Sechs Quadrate zwifchen zwo Parallelen an einander gezeichnet , und auf jede ihrer Seiten, welche in die Parallelen fallen, ein gleichfeitiges Dreyeck gelegt, giebt auch ein Netz zu einem Körper, ein Prifma , das auf jeder feiner fechs- feitigen Grundflachen eine Pyramide bat. Kastner, t. a. p., I p. 691. Ueberall sind die GrenzflSchen regelmassig gedacht, nur beim 8) Körper sind 24 unter den 32 Dreiecken nicht gleichseitig sondern nur gleichschenklig, oder wie Dfirer es ausspricht ,sie haben aber nit all gleych seyten". Cantor, t. a. p., II p. 428. Dörer zeichnet nun die zusammenhangenden Netze der Körper, und zwarder fönf reguleren und von acht Archimedeischen. Auf diese Netze weist Michael Stifel im zweiten Buche seiner Arithmetica integra , 1 544 bin und bringt im Druckfehlerverzeichniss am Ende des ganzen Bandes diese Netze selbst. [Stifel bepaalt zich tot de netwerken van de regelmatige veel vlakken en zwijgt over die van halfi-egelmatige,] Bruckner, Vielecke und Vielflache, Leipzig I900, p. 156. Digitized by Google 157 Stevin begint zijn beschouwing van de halfregelmatige veel- vlakken met een bepaling (def. 11) van een afgeknot regel- matig veel vlak, die woordelijk aldus luidt: Een lichaam, dat in een bol kan worden beschreven, — waar- van de lichaamshoeken alle gelijk en de zijvlakken niet alle gelgkvormig zijn, — waarvan elk zy vlak gelijkhoekig en gelijk- zgdig is en alle ribben even lang zijn, noemt men een afge- knot regelmatig lichaam. Dan volgen elf bepalingen (def. 12-22), waarin Stevin zijn negen afgeknotte regelmatige veelvlakken benoemt, en ver- klaart, hoe ze uit de vgf regelmatige veelvlakken ontstaan; in een opmerking wordt telkens het aantal en de soort der zgvlakken , alsmede het aantal der lichaamshoeken en der ribben opgegeven. Wegens den dubbelen oorsprong van twee der veelvlakken wordt hun aantal door dat der bepalingen met twee overtroffen. De „novem truncata corpora regularia" van Stevin heeten: 1) truncatum tetraedrum per laterura tertias (def. 12; No. 1 van onze lijst). 2) truncatus cubus per laterum media (def. 13; No. 11 van onze lijst). 3) truncatus cubus per laterum diuiilones in tres partes (def 14; No. 2 van onze lijst). 4) biftruncatus cubus primus (def. 15; No. 9 van onze lijst). 5) biftruncatus cubus fecundus (def. 16; No. 7 van onze lijst). 6) truncatum octaedrum per laterum media (def. 17; No. 11 van onze lijst). 7) truncatum octaedrum per laterum tertias (def. 18; No. 4 van onze lijst). 8) truncatum dodecaedrum per laterum media (def. 19; No. 12 van onze lijst). 9) truncatum dodecaedrum per laterum diuiilones in tres partes (def. 20; No. 3 van onze lijst). 10) truncatum icofaedrum per laterum media (def. 21 ; No. 12 van onze lijst). 11) truncatum icofaedrum per laterum tertias (def 22; No. 5 van onze lijst). Uit deze benamingen blijkt, dat van de afgeknotte regel- matige veelvlakken door Stevin één van het viervlak , vier van Digitized by Google 158 den kubus, twee van het achtylak, twee van het twaalfvlal en twee van het twintigvlak worden afgeleid ; de veelvlakken in def. 13 en def. 18 als truncatus cubus- en truncatun octaedrum per laterum media beschreven, zijn identisch (No. V van onze lijst); evenzoo die, in def. 19 en def. 21 als trun catum dodecaedrum- en truncatum icofaedrum per laterun media beschreven (No. 12 van onze lijst). Zondert men d< „biftruncati cubi" van def. 15 en def. 16 uit, dan ontstaai Stevin's afgeknotte regelmatige veelvlakken, door van de regel matige veelvlakken aan de hoekpunten congruente regeloiatige pyramiden af te snijden. Dit af knotten kan geschieden „pei laterum media", „per laterum tertias" en „per laterum diuifi- ones in tres partes" ; bij de 1' handelwijze moet men de ribben in twee even groote stukken verdeelen, bij de 2* in drie even groote stukken en bg de 3^ in drie stukken , waarvan het middelste tot ieder van de uiterste staat als de diagonaal van een zijvlak tot de zijde. De 1* handelwijze kan op elk regelmatig veel vlak worden toegepast. Telt het regelmatige veelvlak Z w-hoekige zijvlak- ken, H vzijdige veelvlakshoeken en R ribben, dan ontstaat er, mits n ^ v zij, een halfregelmatig veelvlak met Z n-hoekige en H v-hoekige, d. i. samen Z + H = R + 2, zijvlakken, R vierzijdige veelvlakshoeken en 2R ribben. Uit een vier- vlak ontstaat evenwel, daar n = v = 3 is, geen halfregelmatig veelvlak, maar een viervlak; een zes- en een achtvlak leveren een zelfde halfregelmatig veelvlak op, evenals een twaalf- en een twintigvlak, wat zijn grond vindt in de omstandigheid, dat zes- en achtvlak en twaalf- en twintigvlak elkanders pool- figuren zijn, zoodat Z en n bg het eene veelvlak dezelfde waarden hebben als H en v bij het andere. Door afknotting „per laterum media" ontstaan dus twee halfregelmatige veelvlakken, Nos. 11 en 12 van onze lijst. De 2' handelwijze kan slechts op een regelmatig veelvlak worden toegepast, waarvan de zijvlakken driehoeken zijn, dus op het vier-, acht- en twintigvlak, en de 3*" handelwijze slechts op een, waarvan de zijvlakken vier- of vijf hoeken zijn, dus op het zes- en twaalfvlak. Door afknotting „per laterum tertias" en „per laterum diui- fiones in tres partes" ontstaan dus vijf halfregelmatige veel- vlakken, Nos. 1, 4, 5, 2 en 3 van onze lijst, met Z 2n- Digitized by Google 159 hoekige en H v-hoekige, d. i. samen Z + H = R + 2, zijvlak- ken, 2R driezijdige veelvlakshoeken en 3R ribben. De „biftruQcati cubi" eindelijk ontstaan, zooals de naam reeds uitdrukt, door een kubus tweemaal af te knotten. Aldus: Verdeelt men van een kubus elke ribbe in drie stukken, waarvan het middelste tot ieder van de twee uiterste staat als de diagonaal van een vierkant tot de zijde, en snijdt men van den kubus bij elke ribbe een driezij dig prisma af door een vlak, dat door de vier doelpunten gaat, die het dichtst bg die ribbe liggen, dan houdt men een veelvlak over met 0. a. zes zijvlakken, dat vierkanten zijn, die van de zijvlakken van den kubus zijn overgebleven, en acht hoekpunten, die verder van het middelpunt van den kubus verwijderd zijn dan de overige hoekpunten; snijdt men van dit veelvlak bij ieder dier acht hoekpunten een driezijdige pyramide af door een vlak, dat van de hoekpunten dier zes zijvlakken de drie bevat, die het dichtst bij dat hoekpunt liggen , dan houdt men een halfregelmatig veelvlak over met acht driehoekige en achttien vierhoekige zijvlakken, vierentwintig hoekpunten en achtenveer- tig ribben, dat bij Stevin „biftruncatus cubus primus" heet. En verdeelt men van een kubus elke ribbe in vijf stukken, waarvan het middelste tot ieder van de vier uiterste staat als de diagonaal van een vierkant tot de zijde , en snijdt men van den kubus bij elke ribbe een driezijdig prisma af door een vlak, dat door de vier deelpunten gaat, die het dichtst bij die ribbe liggen, dan houdt men een veelvlak over met o. a. zes zijvlakken, dat vierkanten zijn, die van de zijvlakken van den kubus zijn overgebleven , en acht hoekpunten , die verder van het middelpunt van den kubus verwijderd zijn dan de overige hoekpunten ; verdeelt men van dit veelvlak ieder van de zijden dier zes zijvlakken in drie stukken , waarvan het middelste tot ieder van de twee uiterste staat als de diagonaal van een vierkant tot de zijde , en snijdt men van dit veelvlak bij ieder dier acht hoekpunten een veelvlak af door een vlak , dat van de deelpunten op de zijden dier zes zijvlakken de zes bevat, die het dichtst bij dit hoekpunt liggen, dan houdt men een halfregelmatig veelvlak over met twaalf vierhoekige, acht zeshoekige en zes achthoekige zijvlakken, achtenveertig hoek- punten en tweeënzeventig ribben, dat bij Stevin „biilruncatus cubus fecundus" heet. Digitized by Google 160 Dyenals door Stevin zijn door Kepler blgkens de bgvoegiog „truncus" sommige halfregelmatige lichamen als afgeknotte veel- vlakken opgevat. Waar evenwel Stevin de wijze van outstaan dier veelvlakken angstvallig naspeurt en van Dürer's lichamen zelfs een verwerpt, omdat hij er den oorsprong niet met zekerheid van kan vaststellen, laat Eepler zich bg de toe- kenning van het attribuut „truncus'* door den algemeenen indruk leiden, dien de halfregelmatige veelvlakken op hem maken. Zoo heet Stevin's „biftruncatus cubus fecundus" bij Kepler yCuboctaêdron truncum". Nu telt een cuboctaëdron — No. 11 van onze Igst — acht driehoekige en zes vierhoekige zijvlakken en twaalf vierzijdige veelvlakshoeken , en een cuboctaëdron truncum — No. 7 van onze lijst — twaalf vierhoekige, acht zeshoekige en zes achthoekige zg vlakken. Bij ieder van de twaalf hoekpunten van een cuboctaëdron zou men dus een vierzijdige pyramide moeten afsnijden, om een cuboctaëdron truncum over te houden ; van de acht driehoekige en de zes vierhoekige zijvlakken zouden dan tevens acht zeshoekige en zes achthoekige zijvlakken overblijven , zooals vereischt wordt. Maar al deze zijvlakken moeten regelmatige veelhoe- ken wezen : men zou de zijden der driehoeken dus in drie even groote stukken moeten verdeelen en die der vierhoeken in drie stukken, waarvan het middelste tot ieder van de uiterste staat als de diagonaal van een vierkant tot de zijde. Aan deze twee voorwaarden kan evenwel niet gelijktijdig wordeu voldaan, zoodat Stevin^s „billruncatus cubus fecundus" inderdaad niet als „cuboctaëdron truncum" kan worden opgevat. Evenmin is Kepler's „icofidodecaëdron truncum" — No. 8 van onze lijst — een afgeknot „icosidodecahedron" — No. 12 van onze lijst. Hebben, evenals Kepler na hem, vermoedelijk reeds meer- deren vóór Stevin in de Archimedische lichamen verminkte regelmatige veelvlakken herkend, zonder evenwel den aard dier verminking nauwkeurig te kunnen omschrijven , aan onzen Bcherpzinnigen stamgenoot komt de eer toe , den oorsprong van negen dier lichamen in bijzonderheden te hebben aangewezen, onder toepassing van handelwijzen, waardoor, zooals sedert gebleken is , ook de vier overige van regelmatige veelvlakken kunnen worden afgeleid, en die in het wegsnijden van hoek- punten en ribben bestaan. Digitized by Google 161 Zoo ontstaat van de Archimedisohe veel vlakken van onze Igst: a) door het wegsnijden van hoekpunten, JNTo. 1 uit een tetraëder, No. 2 uit een hexaëder, No. 3 uit een dodecaêder, No. 4 uit een oetaëder/ No. 5 uit een icosaëder, No. 11 'uit een hexaêder en eet^ octaëder, en No. 12 uit een dodecaëder en een icosaëder ; b) door het wegsngden van hoekpunten en van ribben door Tlakken^ evenwijdig aan die ribben, No. 4 uit een tetraëder, No, 7 uit een hexaêder en een octaëder, No. 8 uit een dode- caëder en een icosaëder, No. 9 uit een hexaêder en een octa- ëder, en No. 13 uit een dodecaëder en een icosaëder; ey door het wegsnijden van hoekpunten en van ribben door Tlakken, niet-evenwijdig aan die ribben, No. 14 uit een hexa- êder («ooals Stevin reeds vermoedde) en een octaëder, en No. 16 uit ccn dodecaëder en een icosaëder^). Het 3* boek van Stevin's Problemata Geometrica handelt evenwel niet alleen over de negen afgeknotte regelmatige veel- vlakken , maar ook over de vijf regelmatige veelvlakken zelf, alsmede over de vijf vermeerderde vèelvlakkea, die ontstaan, door op de zijvlakken der regelmatige veelvlakken als grond- vlakken pyramiden te construeeren, waarvan alle ribben even lang zijn. Om ieder van deze negentien veelvlakken kan een bol worden beschreven, die echter bij de vermeerderde regel- matige veelvlakken slechts door de toppen der pyramiden gaat. Op de «definitiones quinque corporum regularium, quinque auctorum corporum regularium & nouem truncatorum corporum regularium" laat Stevin volgen de constructie a). van de ribben , b) van de netwerken dier veelvlakken, als de straal van den omgeschreven bol gegeven is. De ribben van de vijf regelmatige veelvlakken construeert hg op nagenoeg dezelfde wijze als Euclides (Lib. XIII , Propos. 18 der Elementen) : in Fig. 14 is EA = EC = R, EF = ^ R, CH = 2R, enz., dus: AG = 3R1/6 = de ribbe van het regelmatige viervlak ; CG = f Rl/3 = de ribbe van het regelmatige achtvlak ; BC = Rl/2 = de ribbe van het regelmatige zesvlak ; 1) BrQckner, t.a.p., pp. 134 — 139. 11 Digitized by Google 162 CE c= iBKS . (K5 — 1) = het grootste stuk van de in oitèfste en middelste reden verdeelde ribbe CO van het regel- matige achtvlak = de ribbe van het regelmatige twaalf- ylak; GI = iRK& • K(10 — 2K5) = de zgde Tan den regelmatigen ygfhoek met IL = }B)/5 tot straal = de ribbe yao het regelmatige twintigvlak. ^ De stippellgn IL komt in StoTin's figuur niei Toor, evenmin als de overige stippellgnen^die de constructie van de ribbe CO van het regel- matige twintigvla^ b^ Euolides aangeven: CBr = ^R, MO=dezgde van den regelmatigen tienhoek met OM = §BK5 tot straal. Om de ribben a' vao de vgf vermeerderde en de negen afgeknotte regelmatige veelvlab ken te vinden, die in den bol met den straal B (E A in Fig. 14) beschreven kunnen wor< den , bepaalt Stevin de stralen R' van de omgeschreven bollen der veel vlakken, die uit de regelmatige veelvlakken met de ribben a (AG, CG, BC, CK en Cl in Fig. 14) door vermeer- dering en af knotting ontstaan en construeert o! als 4e even- redige tot R, R' en a; Stevin past dus, zonder dit evenwel uit- drukkelijk te vermelden, zijn ^regula&UicontinuaBquantitatis'^ toe Wat de constructie van de stralen R' aangaat, zal ik mg tot een paar voorbeelden bepalen. Om den straal R waarvan het dodecaëder met de ribbe CK de kern vormt sngdt Stevin dit dodecaëder en den omgeschreven bol door een plat vlak, dat door twee overstaande ribben, vier hoogtelgnex van zijvlakken en het middelpunt van het veel vlak gaat. Dl doorsnede bestaat uit een cirkel met den straal R (EA d Fig. 14) en een zeshoek zonder inspringende hoeken , waarvan te vinden van het „dodecaedrum auctum" Digitized by Google 163 de zgden twee aan twee evenwijdig loopen, Tier hoekpunten in den cirkelomtrek liggen en twee er binnen Tallen. Yan dezen zeshoek construeert StoTin in den haWen cirkel, die in Fig. 14 ontbreekt, de eene helft A 12 O zóó, dat A.1=0E een koorde en 12 = 02 = de loodlijn is, die in een regelmati- gen Tijfhoek met de zgde CE uit een hoekpunt op de OTer- staande zgde kan worden neergelaten. Eindelijk trekt hij E3 ± C2 en beschrgft uit C met CE als straal een cirkelboog, die E3 in 5 snijdt: E3 is dan de straal R' Tan den bol, die om het „dodecaedrum auctum" kan worden beschreyen, waiM^- Tan het dodecaêder met de ribbe CE de kern Tormt; want als C2 door E3 in (51) wordt gesneden, dan is E (51) de straal Tan den bol, die in het dodecaêder met de ribbe CE kan worden beschreyen, en (51) 5 de hoogte van de pyrami- den, waarmede dit ToeWlak Termeerderd is. En den straal B' Tan het „truncatum tetraedrum per later um tertias", dat aan het tetraeder met de ribbe AO zijn oorsprong ontleent, construeert StoTin, door AG in drie OTon groote stukken te Terdeelen en E met een Tan de doelpunten te Ter- binden. Wat eindelgk de netwerken Tan al deze lichamen aangaat, die Tan de regelmatige TeelTlakken hebben den tegenwoordigen Euclidischen Torm, die Tan de afgeknotte regelmatige Teel- Tlakken zgn , op die Tan de drie door StoTin zelf ontdekte na, aan Dürer ontleend, en die Tan de Termeerderde regelmatige TeelTlakken bepalen zich tot de zij opper Tlakken Tan de pyra- miden, die op de zgTlakken Tan de regelmatige TeelTlakken komen te staan. Terwijl Tan de „regula falii continuae quantitatis", die den inhoud Tan het 2e boek der Problemata Geometrica uitmaakt, in SteTin's Meetdaet geen spoor te ontdekken Talt , Tindt men Tan dien Tan dit 3e boek in de Meetdaet althans de meeste netwerken terug, zonder meer OTenwel : in het 18 Voorstel Tan het Derde Deel Des Eersten Bovcx Van Het Teyckenen Der Libhamen die Tan „de Tijf ghefchikte lichamen", t. w. het Tier-, fes-, acht-, twelf- en twintichgrondich lichaam , en in het 19 Voorstel die Tan „de ghefchickte ghefaeen lichamen", t. w. het gefneen Tiergrondich deur der fijden derdendeelen , de ghefneen teerlinck deur der fijden derdendeelen , de ghefneen teerlinck deur der fijden middel, de gefneen teerlinck op een 11* Digitized by Google 164 derde manier, de gefneen teerlinck op een vierde manier, de gefneen teerlinck op een vijfde manier, het ghefneen acht- grondich lichaem deur der fijden derdendeelen en het ghefneen ^welf- (twintioh-) grondich deur der fijden middel, juist de lieven halfregelmatige veelvlakken van Dürer en één van de drie van Stevin, van onze IgBt Nos. 1, 2, 11, 14, 9, 7, 4 en 12. Wg hebben gezien, dat Stevin de a%eknotte regelmatige veelvlakken bg Dürer heeft leeren kennen; thans willen wg nagaan, wat hem aanleiding gaf tot de beschouwing van de vermeerderde regelmatige veelvlakken. Yan de 5* eeuw v. Ohr. af tot op den huldigen dag toe hebben wetenschap en kunst zich de regelmaat van de vgt Platonische veelvlakken ten nutte zoeken te maken, bg wgs- geerige bespiegelingen en theoretische onderzoekingen zoowel als voor practische doeleinden. Zóó, waar de Pythagoreêr Timnus van Locri, Plato's leer- meester, van de vier elementen het vuur als viervlak laat optreden, de lucht uit achtvlakken, het water uit twintig- vlakken en de aarde uit zesvlakken laat bestaan , om met een twaalfvlak het heelal te omsluiten ^) ; — zóó , waar tegen het einde der 16' eeuw Johannes Eepler , toenmaals „Landschafts- Mathematicus von Steyermark", zgn met zoo schitterenden uitslag bekroonde pogingen , om de Wetten des Hemels te ont- cijferen, aanvangt met de ontsluiering „per quinque regularia corpora geometrica" van dit „mysterium cosmographicum de admirabili proportione orbium coelestium", dat de sferen van Satumus en Jupiter de om- en ingeschreven boloppervlakken vormen van een hexaëder, die van Jupiter en Mars van een tetraêder, die van Mars en de Aarde van een dodecaêder, die van de Aarde en Yenus van een icosaëder en die van Yenus en Mercurius eindelijk van een octaëder ^); — zóó, waar ,,die Theorie ï) Cantor, t. a. p. , I p. 148. ^) Terra est Circulus menfor omnium : Illi circumfcribe Dodecaetron : Circulus hoc comprehendens erit Mars. Marti circumfcribe Tetraedron: Circulus hoc comprehendens erit lupiter. loui circumfcribe Cubum : Circulus hunc comprehendens erit Saturnus. lam terrse infcribe Icofaedron : illi infcriptus Circulus erit Venus. Veneri infcribe Octaedron: Illi infcriptus Circulus erit Mercurius. Habes rationem numeri planetarum. Kepler, Prodromus Dissertationum Cosmographicarum , Frankfort 1621, p, 10 (verscheen oorspronkelijk in 1596 te Tubingen). Digitized by Google 165 des Ikosaeders in den letzten Jahren fur fast alle Geblete der modernen Analysis" van belang geworden is ^) ; — zóó , waar ^de ouden eertijts vande ghefchikte [lichamen] dobbelfteenen pleghen te maken , tVelek fommighe defes tgts noch navolghen , teyckenende oock Sonwijfers op yerfcheyden platten die tot den ▼oorgeftelden fichteinder connen befchenen worden", en velerlei afgeleide vormen o. a. in de bouwkunst ,tot cyraet ftrecken" ^). Met zulke vormen hebben zich vóór Stevin, behalve Archi- medes, Hermolaus Barbaras, Patriarch van Aquileja^, Pac- ciuolo*), De Poix-Candalla *) en Jamitzer*) bezig gehouden. Omtrent Barbaras* werk zijn mij geen bijzonderheden bekend. Pacciuolo behandelt in zgn Divina Proporzione , Venetië 1509, uitvoerig het afsnijden (abscindere) en verhoogen (elevare) van regelmatige en halfregelmatige veelvlakken ; De Foix-Candalk beschrgft in het 17* boek van zgn uitgaaf van Euclides' Ele- menten, Parijs 1566, de halfregelmatige veelvlakken Nos. 11 en 12 van onze lijst onder de namen „exoctaedron" en „icosi- dodecaedron", die evenals bij Eepler zijn samengesteld ^) ; in de Perspectiva Corporum Regularium, Neurenberg 1568, van den Neurenberger goudsmid Jamitzer eindelijk vindt men „ein schone Anleytung, wie auss denselbigen fünf Corpora one Endt, gar viel andere Cörper , mancherley Art und Oestalt , gemacht und gefunden werden mügen"®), waaronder twee worden aan- getroffen, die een oppervlakkige gelijkenis vertoonen met Poinsot's dodécaèdres réguliers de deuxième en de troisième espèce (twaalf hoekig stertwaalfvlak en twaalfvlakkige ster- twaalf hoek) % Invloed op Stevin's arbeid hebben de geschriften van Pac- ciuolo , Candalla en Jamitzer evenwel niet uitgeoefend : immers hg vermeldt ze niet als bronnen , citeert niet Candalla's , maar >) Klein, Vorlesucgen über das Ikosaeder, Leipzig 1884, p. III. 3) Meetdaet, p. 40. ^ Montucla-Strabbe. Historie der Wiskunde, 2« Deel, Amsterdam 1787. p. 100. ♦; Kastner. t. a. p., I pp. 417—449. «Ó KJstner. t. a. p.. I pp. 313--324. •) K3stncr, t. a. p., II pp. 19— -24 ^ Zie p. 153 Noot 1). «) Kastner, t. a. p., II p. 19. •) GQnther, Vennischte Untersuchungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften, Leipzig 1876, pp. 35—36. BrOckner, t,a.p.,- p.i76 Noot 4). Digitized by Google 166 Clavius' uitgaaf yan Euclides' Elementen en spreekt niet Tan „abscindere" en „elevare", maar van ^truncare" en ,augere". Hetzelfde kan niet van Dürer's Geometria gezegd worden: de spaarzame opmerkingen over af knotten en vermeerderen , die voorkomen in dit werk ^) , waarin overigens bij dit onderwerp niet wordt stilgestaan , zouden voor Stevin inderdaad een vinger- wgzing hebben kunnen wezen , om in die richting voort te gaan. Wat het denkbeeld der af knotting aangaat, acht ik dit zelfs niet onwaarschijnlijk, maar dat der vermeerdering werd hem, naar zgn eigen getuigenis, pas later door een vond van Frans Cophart, directeur der Leidsche muziekvereeniging, aan de hand gedaan ^. Cophart's vond bestond naar diens eigen meening in niets .^) Quando ab his corporibus per planas abfciüiones anguli amputantur, & deinde anguli renaanentes quoqg abfcinduntur , lic pnterunt fieri multiplicia ex bis corpora. Ex bis rebus varia fieri pofTunt, cu pai*s earu tranfponitur inter fe, id quod ad excifionem flatuarff & columnarum earum'q^ ornatu conducit. DOrer, t. a. p., p. 158. In his etiam corporibus fup fingulas fuperficies planas poteris (latuere puctum acutum , altum, aut deprelTum facere, tot quidem angulorum quot fuerint anguli in fuperficie fuper quara fteterit punctus. DOrer, t. a. p., p. 150. ^) Postea veró factum eft (recitamus hac quia aliquando non iniucundum eft inventionum occafiones non ignorare) vt Francifcus Cophart Archimuficus nostri Leidenfis Muficorum collegij . & Geometrise fingularis amator , vellet mihi perfuadere fe cafu quodam fextum corpus regulare vidifSe, cuiuiis confinictio talis erat : • • • . p. 47. Digitized by Google 167 minder dan de constructie yan een zesde regelmatig yeelvlak als overschot van een kubus , waarvan bij de ribben viervlakken zgn weggesneden, die de uiteinden dier ribben en de middel- punten van de in die ribben samenkomende zg vlakken tot hoekpunten hebben (Fig. 15). Stevin bestreed de bewering van zijn stadgenoot met de opmerking, dat diens „sextum corpus regulare" een der ken- merken van een regelmatig yeelvlak mist: de veertien hoek- punten liggen niet op een zelfde, maar in groepen van zes en acht op twee verschillende concentrische boloppervlakken. *) Bg nadere beschouwing bleek hem, dat Cophart's yeelvlak uit een regelmatig achtvlak bestaat met op ieder zgvlak als basis een regelmatig viervlak. En het was dit denkbeeld , dat hem tot de constructie van zgn vermeerderde regelmatige veelvlakken aanleiding gaf.^) Een niet zeer vruchtbaar denkbeeld voorzeker! Had Stevin daarentegen in verbinding der hoekpunten van een regelmatig zesvlak, in uitbreiding der zijvlakken van een regelmatig acht- vlak den oorsprong van Cophart's yeelvlak herkend, wellicht was hg er dan in geslaagd aan de regelmatige twaalf- en twintigvlakken de ontdekking van een paar andere regelmatige sterveelvlakken te ontleenen, zelfs al was hem de ware aard dier veelvlakken verborgen gebleven, evenals Cophart vermoe- delgk in zijn zesde regelmatig yeelvlak niet een regelmatig sterveel vlak met acht driehoekige zg vlakken en evenveel driezijdige drievlakshoeken, maar slechts een regelmatig veel- vlak, ingesloten door vierentwintig gelijkzgdige driehoeken, zal hebben gezien. Inderdaad evenwel opent Cophart's „sextum corpus regulare" als discontinu regelmatig achthoekig achtvlak de rg der regel- matige sterveelvlakken, waarvan aan Eepler en aan Poinsot de eer der ontdekking toekomt. 1) Igitur quia hoc corpus non habebat omnes proprietates qu» in regularibus corporibus requiruntur, concludebamus illud non eHe fextum corpus regulare. p.48. *) Postea veró vidimus tale corpus efie octoedrum cui appofita erant octo tetraedra» quorum baftfs erant octoedri octo fuperficies. Cum'que hoc animad- uerteremus vnh cüm elegantia ipfius, atque Geometricis rationibus in eo confistentibus y adplicauimus talem conilructionem ad cetera quatuor regularia corpora y qu» omnia regularia aucta vócauimus. p. 48. Digitized by Google 168 In zgn Ménioire sur les Polygones et les Polyèdres (Journal de l'Ecole Polytechnique , 10i*»« Cahier, Tome IV, Parijs 1810, pp. 85—36) laat Poinsot zich aldus uit: „Mais, si, en conservant toujours la definition générale des solides réguliers, on etend, comme on Ie doit, celle de la convex ité, on voit la possibilité de construire de nouveaux polyèdres réguliers , non-seulement avec les nou?eaux polygones que jai considérés, mais même avec les polygones réguliers ordinaires : et pour bien entendre ceci , il faut commencer par distinguer nettement dans un polyèdre, ses faces, ses aretes et ses sommets. Comme un même polyèdre peut paraitre également construit sous tels OU tels polygones, je prendrai pour les faces, les plans qui, en plus petit nombre, achèveot complètement ce méme polyèdre .... Pour les arétes, ce soot les cótés mémes qui terminent les faces du solide , et par lesquels ces faces se joignent deux k deux; de sorte que chaque arêle sert de cóté k deux faces adjacentes, et qu'ainsi Ie nombre des arétes est égal k la moitié du nombre des cótés de toutes les faces. C'est è* ces seules droites, comme fattes, que se trouvent les angles dièdres du solide , les autres angles que pourraient former les faces en se traversant, n'en font point partie: et de même, c'est aux seuls points oü se réuoissent les extrémités des arétes que sont les sommets et les angles solides du polyèdre. 