Nieuw archief voor wiskunde
Cela posé, je dis que Ton peut construire de nouveaux polyèdres parfaitement réguliers . • . : ils ont tons leurs faces égales et régulières, égalemeot inclinées deux k deux, et assemblees en mème nombre auteur de chaque sommet. Ils peuvent étre inscrits et circonscrits è* la sphere .... La diffé- ronc0 essentielle de ces solides aux polyèdres ordinaires, est que, dans ceux-ci, les faces étant projetées par des rayons sur la sphere inscrite ou circonscrite , les polygones correspondans recouvrent une seule fois la sphere ; au lieu que dans les autres, ces polygones la recouvrent exactement ou deux fois, ou trois fois, &c. ; et cela d'une maniere uniforme, en sorte que la surface est par-tout ou doublée , ou triplée , &c." *) ') UH Kepler's beschrijving van zijn twaalfhoekig en twintighoekig ster- twaalfvlak (Poinsot's dodécaèdres réguliers de deuxième et de quat^ème espèce) Digitized by Google 169 Yan elk zoodanig sterveelylak eindelgk yallen de hoekpunten met de hoekpunten en de zijvlakken met de zijvlakken van een convex regelmatig veelvlak samen. ^) blijkt ondubbelzinnig, dat diens opvatting van een regelmatig sterveelvlak reeds dezelfde was als die van Poinsot: «Claudunt enim pentagonic» folidas figuras aculeatas undiq^: quarum una fit duodecim angulorum quinquelinearium , altera viginti angulorum trilincarium: üla trinis angulis infiftit, haec quinis fimul; il la pulchrius fuper angulum erigitur ; hseo rectius fedet, incumbens in quinos. In his etfi forinfecus non apparet regulare planum, fed ejus loco Triangulum «quicrurum Pentagonicum; quina tarnen hujusmodi femper in unum idemq^ planum competentia, occultum fub foliditate quinquangulum , veluti cor fuum circumflant; faciuntq^ cum eo dictam ilellam pentagonicam , feu Germanico Idiomate, pedem Truttae, Theophrafto Paracelfo iignum fanitatis. Idea corporis quodammodo eademeft, qusfuiPlani; Nam vt in hoc, fc. in ilella. quinquangula, binorum femper triangulorum latera in unam rectam competunt, quae parte fui interiore üt bafis uni exteriori triangulo , latus veró intimo quinquangulo : lic in folido, femper quinorum folidorum angulorum Triangula fingula aequicrura, competunt in unam planitiem, quorum quinqg triangulorum feu ilellae intima medulla & cor, quinquangulum. fit baiis in un4 fuperllantis anguli folidi : vel in alterd, fupftantium quin43 folidorum. Eft autem tanta cognatio figurarum harum , unius cum Dodecaëdro , alterius cum Icofaëdro: vt videantur hae, prsefertim Dodecaëdron, trunca quodammodo & mutila, ii cum illis aculeatis comparentur." Kepler, Harmonices Mundi Libri V, Lintz 1Ö19, Lib. II, XXVI. Propos. , p. 60. *) Un polyèdre régulier, de quelque espèce qu'il soit, a nécessairement les mêmes sommets qu'un polyèdre régulier convexe. Bertrand , Note sur Ia lliéorie des Polyèdres Réguliers (Comptes Rendus de TAcadémie des Sciences, Tome XLVI, Parijs 4858, p. 80). Je dis de plus, que la régularité du polyèdre d* espèce supérieure entraine nécessairement la régularité du polyèdre de première espèce qui lui eert de noyau. Cauchy, Recherches sur les Polyèdres (Journal de l'Ecole Poly technique , 16ième Cahier, Tome IX, Parijs 1813, p. 70). Bij Poinsot's sterveelvlakken : 1) het dodécaèdre étpilé de seconde espèce (twaalf hoekig stertwaalfvlak van de 3e soort) ; 2) het dodécaèdre de troisième espèce (twaalfvlakkige stertwaalfhoek van de 3e soort) ; 3) het dodécaèdre étoilé de quatrième espèce (twintighoekig stertwaalfvlak van de 7e soort) ; 4) het icosaèdre de septième espèce (twintigvlakkige stertwaalfhoek van de 7e soort); vallen de hoekpunten van Nos. 1, 2 en 4 met die van een convex regelmatig twintigvlak samen en de hoekpunten van No. 3 met die van een convex regel- matig twaalfvlak, en sluiten de zijvlakken van Nos. 1, 2 en 3 een convex regelmatig twaalfvlak in en de zijvlakken van No. 4 een convex regelmatig twintigvlak. > - Digitized by Google 170 Cophart's yeelvlak bezit al de opgesomde kenmerken: zp zijvlakken zijn congruente regelmatige driehoeken, zijn yeel- ylakshoeken congruente regelmatige drievlakshoeken ; zp hoekpunten vallen samen met die van een regelmatig zesvlak, zijn zijvlakken sluiten een regelmatig achtvlak in; met dit zesvlak heeft het den omgeschreven, met dit achtvlak den ingeschreven bol gemeen; zijn middelpuntsprojectie op het omgeschreven boloppervlak bedekt dit 2-maal; — doordat het uit twee congruente regelmatige veelvlakken is samengesteld, waarvan de ribben elkander twee aan twee rechthoekig midden- door deelen, onderscheidt het zich evenwel van Poinsot^s vier regelmatige sterveel vlakken door de omstandigheid, dat niet elke twee hoekpunten door een heele-ribbentrek verbonden zgn : Cophart's achthoekig achtvlak vormt dus een discontinu regel- matig sterveelvlak van de 2* soort. ^) Niet bij Jamitzer alzoo, in diens Perspectiva Corporum Begularium, Neurenberg 1668, ontmoet men in de geschiedenis der wiskundige wetenschappen het 1* regelmatige sterveelvlak^), maar in Stevin's Problemata Geometrica, Antwerpen 1583, en dit 6* regelmatige veelrlak was een vond van den Leidschen muziek-directeur, liefhebber der wiskunst, Frans Cophart Het 4* boek van de Problemata Qeometrica handelt over de constructie van een meetkundig lichaam, gelijkvormig met een yan twee gegeven meetkundige lichamen en even groot als het andere. 1} Naast de vijf convexe regelmatige veelvlakken bestaan er zeven regel- matige sterveelvlakken : de vier continue sterveelvlakken van Poinsot en drie discontinue sterveelvlakken van de 2e, de 5e en de 10e soort: 1) het achthoekig achtvlak van Cophart; 2) een twintighoekig twintigvlak; 3) een twintighoekig veertigvlak. No. 1 bestaat uit twee, No, 2 uit vijf en No. 3 uit tien concentrische congruente regelmatige viervlakken ; van No. 1 vallen de hoekpunten samen met die van een regelmatig zesvlak, van Nos. 2 en 3 met die van een regelmatig twaalfvlak : van No. 1 sluiten de zijvlakken een regelmatig achtvlak in , van Nos. 2 en 3 een regelmatig twintigvlak. Het twintighoekige veertigvlak is uit twee symmetrische twintighoekige twintigvlakken samengesteld, waarvan de hoekpunten en de zijvlakken samenvallen. (Verg. Bruckner, t« a. p., pp. 167 — ^169.) ») Günther, t. a. p.. p. 36. Digitized by Google 171 In de inleiding merkt Steyin op, dat dit werkstuk beantwoordt aan de constructie van een veelhoek , gelgkyormig met een van twee gegeven veelhoeken en even groot als de andere, door Eaclides in zgn Elementen, Lib. YI, Propos. 25, beschreven, en dat het voor bolsegmenten reeds werd opgelost door Archi- medes in zijn werk Over den Bol en den Cylinder, Lib. II, Propos. 6. Aan het einde van zijn beschouwingen vat Stevin de kern van zijn handel wgze samen in éen „theorema" van dezen inhoud: Stelling: Zgn Dj en D, de middellijnen der grondvlakken en Hl = H2 de hoogten van de kegels E| en E^^ en con- strueert men: a) P als 3* evenredige tot Di en D,: Dl :D2 = D2:P; ... (1) b) D en Q als middelevenredigen tusschen Dj en P: Di:D = D:Q = Q:P; ...(2) c) H als 4' evenredige tot D,, H, en D: D, :H, =D:H; ... (8) dan is de kegel E met D als middellgn van het grondvlak en H als hoogte c\> Ei en = E,. Bewijs: Uit (3) volgt onmiddellgk, dat de kegels Ej en E gelgkvormig zgn. Verder volgt uit (1), dat de verhouding van Di en P naar de zegswijze van Stevin ^) 2-maal zoo groot is als die van Di en D2; ook is de verhouding van de grondvlakken der kegels El en E2 2-maal zoo groot als die van hun middellgnen Di en D2: de grondvlakken der even hooge kegels Ei en E,, dus ook bun inhouden , verhouden zich derhalve als Di en P. Eindelijk volgt uit (2), dat de verhouding van D^ en P 3-maal zoo groot is als die van Di en D ; ook is de verhouding van de inhouden der gelijkvormige kegels E, en E 3-maal zoo groot als die van de middellgnen D, en D van hun grond- vlakken: de inhouden der kegels E, en E verhouden zich derhalve als D, en P. i> Zie p. 131. Digitized by Google 172 Eveozoo verhouden zich de inhoaden der kegels E| en Ej: de kegels E, en E zgn dus even groot. Steyin's constructie laat zich eenigszins bekorten, als men opmerkt, dat uit de voorwaarden van het werkstuk, t.w.: D:H = D,:H,, H, = Ha , volgt, dat D = -p^D,D2^ dus de 2* van de beide middeleven- redigen tusschen D| en D2 is: de constructie van de 8* even- redige tot Dl en D2 komt dan te vervallen. Na deze voorbereiding gaan we tot het algemeene werkstuk over : Een lichaam L te beschrijven cn> L| en = L2. De constructie luidt bij Stevin aldus: a) Verander ^ in een kegel Ei en L, in een kegel E^; b) verander E2 in een kegel E' van dezelfde hoogte als E| ; c) construeer de middellijn van het grondvlak van een kegel E~E, en =E'; d) construeer L ^ Li en = E'. Bij ieder van de vier onderdeélen van de constructie moeten we even stilstaan. Elk meetkundig lichaam kan volgens Stevin in een kegel veranderd worden , zooals hg in zijn Geometria nader zal uiteen- zetten. ^) Inderdaad vindt men in de Meetdaet (6 Bovck, 31— 34 Yoorstel) de «verkeering'^ in een kegel behandeld van een keghelfche, een corte keghel, een clootfche en een cloot, een coordfne en een middellijnfne van een clootfche en een cloot. In de Problemata Geometrica bepaalt hij zich, in aansluiting bij Archimedes, tot de verandering van een bolsegment in een kegel met hetzelfde grondvlak: Is de hoogte van het segment = H en de straal van den bol , waarvan het deel uitmaakt = B , dan is de hoogte van den kegel = H(3R — H)/(2R — H), d. i. de 4' evenredige tot 2R — H, (2R— H) + R en H. Op even eenvoudige wijze laat zich een kegel in een kegel ^) ... omni corpori Geometrico . . . apqualis conus poteft defcribi (quarum defcriptionum Problemata in nostra Geometria ordine coUocahinitt^ . • w> • pw 100. Digitized by Google 17» fail gegeyen hoogte veianderen , mét name K, in eeü kegel E' Tan deselfde hoogte als E| : Is Tan E, de hoogte :;= Hj en de middellgn van het grondvlaksD^ en ran Ei de hoogte=:Hi , dan 18 de middellgn ran het grondylak van E'sDaKHiH^/Hi, di. de 4* evenredige tot v^H|H2i H| en D2. De middellgn van het grondylak Taü den kegel E <v E| en = E^ wordt yerrolgenB geyonden door uitroering yan de beide eerste constructies, in Steyin's hoofdstelling yermeld. Bedenkt men eindelgk, dat de kegels, waarin men, bg toepassing yao een zelfde handelwijze, gelijkyormige lichamen kan veranderen , eveneens gelgkvormig zgn, dan levert de constructie van het lichaam L c\> L, en s E' geen moeilijkheden meer op , daar men van de gelgkvormige kegels E' = L en K] = Li een paar gelijkstandige Ignen , de middellgnen van 'de grondvlakken, kent. Stevin past zgn algemeene constructie toe op kegels, op cylinders , op bolsegmenten en , door berekening, op regelmatige vierzgdige pyramiden; de cylinders en pyramiden behoeven blijkbaar niet in kegels veranderd te worden. Bg de bol- segmenten stelt hg naast zgn eigen handelwgze die van Archi- medes, waarvan de zijne niet wezenlgk verschilt.^) Immers, na, evenals Stevin, de bolsegmenten in de kegels Ei en E2 met de grondvlakken dier segmenten als grondvlakken veranderd te hebben, construeert Archimedes: a) P als 4* evenredige tot Hj, D^ en H^; b) D en Q als middelevenredigen tusschen D2 en P; waarmede de middellgn D van het grondvlak van den kegel E <N9 El en = E2 gevonden is. De verandering van E2 in een kegel E' van dezelfde hoogte als El bg Stevin was tegenover Archimedes' constructie zeker geen vereenvoudiging. 2i0owel door Stevin als door Archimedes moeten twee middelevenredigen tusschen twee gegeven rechte lijnen gecon- strueerd worden. Dit werkstuk verlangt eenige toelichting. 1) Nota. Non importune videtur huic Problemati applicari modus oonflructionis Archi- medis eiufdem Problematis, ex propofitione 5. lib. 2. de fphcra & cylindro fumptus, vt cuivb concordantia particularis defcriptionis problematis Archimedis, cum vniverfali hac noftra conflructione fit manifefta. p. 96. Digitized by Google 174 Zooals bekend is, werd het Delisohe vraagBtok der verdubbeling van den kubus, in de 5* eeuw t. Chr. door bet orakel te DelpM opgeworpen , ioor Hippocrates van Chios ^) teruggebracht tot de bepaling Tan twee middeloYenredigen tusschen twee gegeyen rechte Ignen, de ribbe yan deni kubus en haar 2-youd, éen werkstuk, waarvan een meetkundige constructie met passeren liniaal niet mogelgk is, maar dat langs andere wegen o.a. door Archytas, Plato, Eudoxus, Menechmus, ApoUonius, Eratosthenes, Hero , Philo van Byzantium , Nicomedes , Diodes en Pappus is opgelost. Steyin beschrgft Hero's constructie: Meet, als de middelevenredigen tusschen AB en CD gevonden moeten worden, op de beenen van den rechten hoek FEO (Fig. 16) de stukken EH = AB en EK = CD af, voltooi den rechthoek EKIH en beschrgf uit het sngpunt L der diago- nalen als middelpunt een cirkel, die EG in M en EF in N snijdt, zóó, dat de punten M, I en N in één rechte lijn komen te liggen, welk doel men door probeeren moet zien te bereiken: EM en HN zgn dan de gezochte middelevenredigen. Voor het bewijs verwijst Stevin naar Eutocius' (6* eeuw n. Chr.) commentaar op het 2' boek van Archimedes' Bol en Cylinder, en voor de constructie van middelevenredigen door andere 1) Niet te verwarren met diens naamgenoot, den beroemden geneesheer Hippocrates van Cos. Digitized by Google 176 instrumentale halpmiddelen dan passer en liniaal naar sijn eerlang uit te geven Geometria. ^) Evenals in de Problemata Geometrica vindt men de constructie in de Meetdaet (4 Bovck, 4 Voorstel, p. 123) echter slechts ^na de vondt van Hero" uitgevoerd, met de bgvoeging: «Maer om tuffchen twee ghegheven linien meetconftelick te vinden twee of meer middeleveredenighe , foo veel aUTer begheert worden daer toe dient den tuych van Eratosthenes deur den voornoemden Eutochius befchrevén". Den wezenlgken inhoud van het 4« boek der Problemata Geometrica vindt men in de Meetdaet terug, alwaar het 28 Voorstel van het Derde Deel Des Sesten Bovcx Van T* Verkeeren Der Lichamen de constructie verlangt van een veel vlak V<\> V, en s= Vj. V, en V, worden veranderd in rechte prisma's met een zelfde, maar overigens willekeurig grondvlak. 2) Zgn H, en H, de hoogten dier prisma's en is R| een ribbe van V|9 dan construeert Stevin: a) P als 4* evenredige tot H| , H, en R| ; b) R én Q als middelevenredigen tusschen B, en P; en eindelgk V cx) V, op R als gelgkstandige ribbe van R|. Tot lichamen met gebogen vlakken breidt Stevin het werkstuk in de Meetdaet niet uit: vermoedelijk zal hij dit overbodig gerekend hebben na alles wat hg over de verandering dier lichamen in cylinders en kegels mededeelt (6 Bovck, 29 — 84 Voorstel). Het 5' boek van de Problemata Geometrica eindelijk handelt over de constructie van een meetkundig lichaam, gelgkvormig O Nota. Etfi hoc Problema (quamvis non Geometricè) per diuerfa inftrumenta multi- fariam h veteribus iit inventum, dabitur tarnen hic tantum vnicum exemplum per lineas, fecundam modum Heronis. Reliquos modos qui per inftrumenta expediuntur, in nostra Geometria fuis inftrumentis accommodatis breuiter fperamus nos edituros. p. 85. ^) Door het construeeren van 4e evenredigen kan men een driehoek, dus ook een willekeurigen veelhoek , in een rechthoek van gegeven lengte veranderen ; evenzoo een pyramide, dus ook een willekeurig veelvlak, in een recht prisma met gegeven grondvlak (men beginne met de grondvlakken van pyramide en prisma in rechthoeken van dezelfde lengte te veranderen). Digitized by Google 176 met twee gegeren gelgkyonnige meetkundige lichamen en even groot als hun som (yerschil), een werkstuk, dat een uitbreiding vormt ran dat der yerdubbeling van den kubus en door Stevin nergens vermeld was gevonden. *) Eenige mededeelingen over den door hem bij de oploaaing ingeslagen weg knoopt Stevin vast aan de constructie van een vlak, gelgkvormig met twee gelgkvormige vlakken en even groot als hun som. Om A XT <\> A AB cv A CD en = A AB + A CD met X, A en C als gelgkstandige zgden te construeeren , gaat Stevin op drie manieren te werk: 1) Hij verandert A AB en A CD in rechthoeken van dezelfde hoogte , A AB in rh. EF en A CD in rh. GH , en construeert A XT cv A AB en = rh. EP + rh. GH d.i. rh. EH. 2) Hij construeert X als schuine zgde van een rechthoekigen driehoek met A en C als rechthoekszijden. 3) Hij construeert P als 3' evenredige tot A en C, en X als middelevenredige tusschen A en A + P. De 2" en de 3' handelwijze komen neer op de constructie van X = K(A* + C*) en , in anderen vorm , = KA(A + (?/A); Stevin beroept zich evenwel bg 2) op de stelling: Als men op de zgden van een rechthoekigea driehoek als. gelgkstandige lijnen gelijkvormige vlakken beschrgft, dan zgn de vlakken op de rechthoekszijden samen even groot als dat op de schuine zgde (EucL, Lib. VI, Propos. 81), en merkt bg 3) op, dat A AB en A CD zich verhouden als A en P , dus A AB en A XT = A AB + A CD als A en A + P, enz. Om een lichaan XT cn> AB cn> CD en = AB di CD met X , A en C als gelgkstandige lijnen te construeeren, kan men, zegt Stevin, de 1' constructie toepassen en, op de in het 4' boek der Problemata Geometrica verklaarde wgze, XT<^AB en = AB ±L CD construeeren. Maar de 2^ en de 3* constructie verdienen de voorkeur, omdat ze zonder vormverandering van figuren „per folas lineas" uitgevoerd kunnen worden; de 2* constructie, die bijzonder fraai en eenvoudig is, laat zich evenwel 1) . . ., fciendum eft fimile generale Problema hocufque in folidis non iuiCe editum (dixi generale, quoniam Problema illud de daplicatione cubi fpeciale io ea re eft) hoc tarnen k nobis e (Se inventum . . . . p. 104. Digitized by Google I 177 niet uitbreiden tot lichamen ; vandaar, dat Steyin de 3^ constructie Toor dit doel geschikt maakt ^ ; aldus : Hij construeert: a) P als 3* evenredige tot A en C; b) Q als 4* evenredige tot A, C en P; c) X en X' als middelevenredigen tusschen A en A ±: Q ; en eindelgk XT cv AB op X als geljjkstandig met A ; een handelwijze, die neerkomt op de constructie Van X =|^(A^ ±: C^), herleid tot den vorm: X = i^A^A It C/ A . CV A). 2) Stevin^s bewijs luidt evenwel anders: Uit a) en b) volgt: A:C=:C:P = P:Q; de verhouding van A en Q is dus 3-maal zoo groot als die yan A en C; ook is de verhouding van de gelgkvormige lichamen A en C 3-maal zoo groot als die van de gelijkstandige lijnen A en C : AB en CD verhouden zich dus als A en Q , en AB en AB ± CD als A en A =b Q. Uit c) volgt: A:X = X:X' = X':(AihQ); de verhouding van A en A ± Q is dus 3-maal zoo groot als die van A en X; ook is de verhouding van de gelijkvormige lichamen AB en XT 3-maal zoo groot als die van de gelijk- standige lijnen A en X : AB en XT verhouden zich dus als A en A ± Q. Evenzoo verhouden zich AB en AB ± CD : derhalve is XT = AB ih CD. De hoofdzaken der constructies vat Stevin weer in „theorema's'' samen. Eindelijk zij opgemerkt, dat men de beide werkstukken van dit 5' boek der Problemata Qeometrica, op dezelfde wgze opgelost, in de Meetdaet terugvindt: Problema II (over de ') Cura vero hunc teitium modum invenifferaus in planis, patefacta nobis eft via fimilis inventionis in foHdis, nam quicquid in iimilibus planis factum ell per duplicatam rationem, id fiet in folidis per triplicatam rationèm, nequealiud (fi quis rectè animaduertat) invenietur difcrimen. p. 108. 1) Zie p. 117—118. 12 Digitized by Google 17S optelling yan gelgkyormige lichamen) als 9 Voorstel en Prb- blema III (over de aftrekking van gelgkTormige lichamen) ah 10 Voorstel in het Derde Deel Des Derden Bovcx Vande viei afcomften als vergaring, aftrecking, menichvulding, en deeling der lichamen ; Problema I (over de optelling van gelijkvormige vlakken) komt voor als 5 Voorstel en het overeenkomstige werkstuk over de aftrekking van gelijkvormige vlakken, dat men in de Problemata Geometrica niet aantreft , als 6 Voorstel in het Tweede Deel Des Derden Bovcx Vande vier afcomflen als vergaring, aftrecking, menichvulding, en deeling der vlacken. Stevin's Problemata Qeometrica (1583), hebben we gezien, vormen een zelfstandig werk, verschillend van diens Meetdaet (1605, 2' Stuck der Wisconstige Gedachtenissen) = Praxis Geometriee (1605, Tomus II der Hypomnemata Mathematica, de door Snellius bezorgde Latijnsche vertaling van de Wisconstige Gedachtenissen) = Practique de Geometrie (1634, Volume III van Girard's Fransche uitgaaf van de Oeuvres Mathématiques de Stevin). Hun inhoud vindt men grootendeels in de Meetdaet terug: dien van Lib. I in Bk. 5 (en 4) , van Lib. IV in Bk. 6 (en 4) en van Lib. V in Bk. 3 ; de netwerken van Lib. Ill eindelijk in Bk. 1; alleen de „regula fald continu» quantitatis" van Lib. II treft men in de Meetdaet niet aan; — daarentegen komt alles, wat Stevin in Lib. I over verhoudingen en evenredigheden mededeelt, bijna onveranderd voor in diens Arithmétique (1585). Vandaar, dat de Latijnsche Problemata Geometrica in de Nederlanden door de Neerduytsche Meetdaet verdrongen werden en door Girard niet, naast dit werk, onder de „Oeuvres Mathématiques" van Stevin zijn opgenomen, een omstandigheid, waardoor diens merkwaardig, maar zeldzaam geschrift in het buitenland nagenoeg onbekend is gebleven. Aangenaam was mij de taak een poging aan te wenden, om den voorlooper der Meetdaet voor algeheele vergetelheid te helpen bewaren, aangenaam en — leerrijk; want niet vergeefs meestal , o Mirza SchaiFy, zoekt , „in alter Bücher Staub vertieft", wie vinden wil, naar „Weisheit und Erfehrung'^: There are more things in heaven and earth, Than are dreamt of in your philosophy. Hamlet. Digitized by Google 179 AANTEEKENINGEN. Problematvni / Geometricorvm / In gratiam D. Maximiliani , Domini A/ Crvningen &c. editorum, Libri V./ Auctore/Simone Stevinio Brvgense./ Vignet met randschrift: In Dies Arte Ac Portvna/ Antverpiae,/ Apud loannem Bellerum ad inflgne/ AquilsB aareiB. / 4^ 19i X 15 cM. Al\ p. 1, TiteL Al», p. 2, Verzen: In Gtomeirica Probkmaia Simonis Sievinii^ Luc<b Beller i /. F, Car- men, y 27 regels; In Eivsdem Geometrüa Problemata Henricus Vuitkemius.y 12 regels. A2, pp. 3 — 4: Illvsirissimo Heroi ^ D, Maximilians^ Domino Crvningae ^ Crevecvevr ^ Heenvlieiy Haser- vmfde, Stcenkercken y Vicecomiti Zelandiae ór*c, Svpremo Machi- narvm Bellicarvm Inferioris Germaniae Praefecto, Simon Stevi- nivs. S. .P A3* — E3S pp. 5—37: Ziber Primvs In Qvo Demon- strabitvr Qvomodo è dato puncto in latere cuiufcunque rectilinei^ recta linea Geometricè ducenda fit ver f us partem petitam , qu(B re- cülineum diuidat fecundum rationem datam. Item Qvomodo In Qvocvnqve Rectilineo ducenda erit linea recta èf paralUla cum latere ipjius qucefitOy quce rectilineum diuidat ver f us partem petitam fecundum rationem datam. E3^ — F3S pp. 38-45: Liber Secvndvs De Continvae Qvantitatis regula Falfi. F3*— L2S pp. 46—83: Liber Tertivs De Qvinqve Pegvlarivm , Qvinque auctorum Regu- \ larium &» nouem Truncatorum regularium corporum eidem fpharce infcriptibilium defcriptione, L2^ — N3S pp. 84—101: Liber Qvartvs , In Qi*o Demonstrabitvr Qvomodo dat is duobus corporibus Geome tricis ^ ! tertium corpus defcribi pote/t , alter i datorum fimile , alter i vero (tqmle. N3^— P3*, pp. 102—118: Liber Qvintvs In Qvo De- monstrabitvr Qvomodo dat is qnibufcunque duorum fi milium Geo- metricorum corporum homologis lineis y tertium corpus con/trui pote/t datis duobus cequaUy ér* alter i datorum fimile. Item quomodo datis quibu/cunque duobus fim ilium &* inctqualium Geometricorum corporunL homologis lineis y tertium corpus conftrui poteft tanto minus dato maiore^ quantum eft datum minus y &* alter i datorum fimile, P4\ Epilogus. en Errata, 16 regels, P4^, wit. [Een exemplaar van dit werk bezitten de Bibliotheek der Digitized by VjOOQ IC 180 Rgkaaniveraiteit te Leiden , de Stadsbibliotheek te Antwerpen de Bibliothèque Royale de Belgique te Brussel en de Bibliothee van de üniversité Catholique te Leuven.] LIBER PRIMYS. 24 DefinitionesO; 8 Problemata^; 30 figuren^. tPofitiua defi. 2. r Transformata defi. 8. Mutata I ' Inverfa defi. 9. Irregularis, vt perturbata defi. 10. iPofitiua. defi. 12. [Regularis i Transformata defi. 19. Proportione | ( Mutata | Inverfa defi. 20. qus est j ( Alterna defi. 21. ( Irregularis , vt perturbata defi. 22. Def initio 1. Terminus efl vna finita magnitudo. Definitie 2. Ratio magnitudinum efl diuerforum tenninonin eiufdem generis magnitudinis mutua quaedam fecundum quantitaten habitude. Definitio 3. Ratio in duobus terminis paucifsimis confiflit. Definitie 4. Binaria ratio efl, quae in duobus terminis confiflit Temaria vero ratio quae in tribus terminis: Et fic pari ordini fecundum multitudinem terminorum vocabitur ratio. Definitio 5. iEquales rationes funt, quarum termini funt multi tudine pares, & vt vnius rationis primi termini quantitas, ad fecund termini quantitatem: fic alterius rationis primi termini quantitas ad fecundi termini quantitatem. Si vero rationes effent temariae tune vt vnius rationis primi termini quantitas, ad fecundi, & fecund ad tertii: fic alterius rationis primi termini quantitas, ad fecundi & fecundi ad tertii: & fic deinceps pari ordine in omnibus ratio nibus fecundum multitudinem terminorum. Definitio 6. Explicabilis ratio efl quae expUcabüi numero expli cari potefl. 1) Bij Definitiones : dikwijls Explicatie, niet zelden Nota(aB). 2} Bij Problemata: Explicatio dati, Explicatio quaePiti, Conllructio (soms met Diftinctiones) , soms Praeparatio demonstrationis , Deroonflratio (soms met Diflinctiones) , Conclufio en soms Nota(ae). *) Houtsneden, tusschen den tekst. Digitized by Google 181 Ratio j'Eqiaïis eft aut I , ,. I Inxquaiis Maioris inaequalitatis Simplex tSuperparticularis Superpartiens [ Quae per integros nuraeros tantum explicatur vt multiplex. Compoiita / Simplex Minoris initqualitatis \ Compoiita \ Quae per inte- gros &fi-actos numeros ex- plicatur vt Multiplex fuperparti- culaiis Multiplex fuperpar- tiens I Subfuperparticularis ( Subfuperpartiens [ Qu« per integros numeros tantu ex- plicatur, vt fubmultiplex. ISubmultipIex fuper- particularis Submultiplex fuper- partiens. Def initio 7. Inexplicabilis ratio ell, quae explicabili numero explicari non potell. Def initio 8. Transformata ratio efl, in qua per refumptionem fit termini vel terminorum transfiguratio. Definitio 9. Inverfa ratio efl fumptio confequentis termini ad antecedentem. Definitio 10. Perturbata ratio efl, comparatio fecundi termini ad tertium, & primi ad fecundum: fi vero plurium terminorum fuerit ratio, tum fecundi ad tertium, & tertij ad quartum, & fic- deinceps quamdiu ratio extiterit: tandemque primi ad fecundum. Definitio 11. Perturbata ratio in tribus terminis paucifsimis confiilit. Definitio 12. Proportio magnitudinum efl duarum sequalium rationum fimilitudo. Definitio 13. Binaria proportio efl quae ex duabus sequalibus binarijs rationibus confiflit. Ternaria vero proportio quee ex duabus aequalibus temarijs rationibus confiflit, & fic pari ordine fecundum fpecies rationum vocabitur proportio. Definitio 14. Continua proportio efl, cum quifque intermedius terminus Vice antecedentis & confequentis fumitur. Digitized by Google 182 Def initio 15. Continua proportie in tribus terminis paucifsiixiia confiftit. Def initio 16. Difcontinua proportio ell cum quifque interme<iiui terminus vice antecedentis & confequentis fumi non potell. De f initio 17. Difcontinua proportio in quatuor terminis paucif- simis confiftit. Definitie 18. Proportionis Homologi termini dicuntur, primus primse rationis, cüm primo fecundffi rationis. Similiter dicuntui Homologi termini fecundus primas rationis, cum fecundo fecund^ rationis, & fic pari ordine in reliquis fecundum multitudinem terminorum. Def initio 19. Transformata proportio eft quae ex duabus sequalib us transformatis rationibus confiftit. Definitio 20. Inverfa proportio eft quae ex duabus aequalibus inverfis rationibus confiftit. Definitio 21. Alterna proportio eft fimilis fumptio homologorum terminorum ad homologos terminos. Definitio 22. Perturbata proportio eft fimililudo duarum sequaliuni rationum quarum altera eft perturbata. Definitio 23. Perturbata proportio in fex terminis paudfsimis confiftit. Definitio 24. Cum tres termini proportionales fuerint: Primus ad tertium duplicatam rationem habere dicitur eius, quam habet ad fecundum. At cum quatuor termini continue proportionales fuerint, primus ad quartum triplicatam rationem habere dicitur eius, quam habet ad fecundum: Et femper deinceps vno amplius quamdiu proportio extiterit. Problem A I. Datis rectilinei triangulis: Rectas lineas in venire inter fe in ea ratione ac ordine vt funt trianguli. ' Problema II. A quouis angulo trianguli rectam lineam ducere, quae diuidat triangulum verfus partem petitam fecundum rationem datam. Problema III. A dato puncto in latere trianguli , rectam lineam ducere quae diuidat triangulum verfus partem petitam fecundum rationem datam. Sequentia quinque Problemata funt ea quae ante hac nunquam defcripta putamus. Problema IIII. A quovis angulo quadranguli, rectam lineam ducere , quae diuidat quadrangulum verfus partem petitam fecundum rationem datam. Problema V. A dato puncto in latere cuiufcunque rectilinei, Digitized by Google 1.83 rectam lineam ducere quae diuidat rectilineum verfus partem petitam fecundum rationem datam. Problema VI. In dato triangulo rectam lineam ducere parallelam cum latere trianguli qusefito, quae triangulum diuidat verfus partem quaefitam fecundum rationem datam. Problema VII In dato trapezio ^) rectam lineam ducere paral- lelam cum latere Irapezij quaefito quae trapezium diuidat verfus partera quaefitam fecundum rationem datam. Modus primus. Vbi linea diuidens trapezium cadit in duo latera eundem angulum continentia. Modus fecundus. Vbi linea diuidens trapezium cadit in duo latera trapezij oppofita. Problema VIII. In dato quocunque rectilineo rectam lineam ducere parallelam cüm latere rectilinei quaefito, quae rectilineum diuidat verfus partem quaefitam fecundum rationem datam. LiBER Secvndvb. 1 Problema; 4 figuren. Quid Jit regula Falfi, Qvoniam geometriam (quam breuiter fperamus nos edituros) in Methodum Arithmeticae methodo fimilem digefómus (quod naturalis ordo videtur requirere propter magnam convenientiam continuse & difcontinuae quantitatis vbi quodcunque genus magnitudinis , vt funt linea , fuperficies , corpus , per quatuor fpecies , vt Additionem , Subtractionem , Multiplicationem & Diuifi onem, praeterea per regulas, vt proportionum &c. tractabimus) offerebat fe quoque ex crdine Problema quoddam, vbi per falfam pofitionem veram folutionem petitam Geometricè inveniremus : Quare vt continuae & difcontinuae quantitatum correfpondentiam tantó manifeilius redderemus (nam vulgaris quoedam regula in Arithmetica habetur quae regula Falfi dicitur) Regulam Falfi continuae quantitatis nominauimus, non quod falfum docet, fed quia per felfam pofitionem pervenitur ad cognitionem veri. Vtilitas huius regulae inter alia haec efl , Quod eam quafi quoddam generale Problema citare pofómus, quoties alicuius occullae magni- *) Evenals Euclides vat Stevin onder den naam „trapezium" alle vierhoeken samen , die geen parallelogrammen zijn. In zijn tegenwoordige beteekenis kwam de term pas omstreeks het midden van de 18^ eeuw algemeen in gebruik. (Chasles, Aperqu Historique sur l'Origine et Ie Développement des Methodes en Geometrie, 2ième Edition, Parijs 1875, p. 422 Noot.) Digitized by Google 184 tudinis quantitatem & fonnam openepretium erit invenire, id enira inbebitur tantum per regulam Falfi expediri. Itaque faepe non opus erit in Problematum constructionibus quarundam occultarum magni< tudinum inventionem copiofius defcribere. Problema. Ex datse linee explicata tantum qualitate , fuperficiem defcribere aequalem & fimilem fuperficiei in qua ipfa linea exiflit. Exemplum primum. Sit data recta A, linea cuiufdam occulti aequilateri trianguli , talis vt fi linea sequalis perpendiculari ab angulo in medium oppofiti lateris fecetur è. latere, & reliquo addatur recta sequalis rectse k centro trianguli in medium lateris. Summa Addi- tion is fit ipfa A. Oporleat ex huiufmodi lineae A explicata qualitate, aequilaterum triangulum defcribere , aequalem aequilatero occulto in quo exiflit A. Exemplum fecundum. Sit data recta A, linea cuiufdam occulti quadrati talis, vt fi linea aequalis lateri ipfius quadrati fecetur ^ diagonali, reliquum fit ipfa A. Oporteat ex huiufmodi lineae A explicata qualitate, quadratum defcribere, aequale quadrato occulto in quo A exiflit. Exemplum terlium. Sit data recta A linea perpendicularis cuiufdam occulti pentagoni aequilateri & aequianguli, ab angulo in medium ipfius oppofiti lateris. Oporteat ex eiufmodi lineae A explicata qualitate pentagonum defcribere, aequale efl fimile pentagono occulto in quo A exiflit. Exemplum quartum. Sit data recta A, linea cuiufdam occulti rectilinij fimilis rectilineo BCDEF, ita vt linea aequalis occulti rectilinei homologae lineae cum BC, fecta ab occulti rectilinei homologa linea cum FC , & reliquo addita oculti rectilinei homologa linea cum F£, fit in directum vnius lineae ipfa data linea A. Oporteat ex huiufmodi lineae A explicata qualitate rectilineum defcribere, aequale & fimile fimiliter'que pofitum rectilineo occulto in quo A èxistit. LiBBR TeRTIYS. 22 Definitiones ; 2 Problemata; 21 figuren. Praeter quinque corpora regularia quorum Mathematici meminerunt, animaduertimus alia quaedam corpora quae quamvis talem non haberent regularitatem vt in quinque illis regularibus requiritur (nam demonflratur quinque tantum talia corpora poffe inveniri) nihilominus Geometricarum fpeculationum effent plena, ac mirabilis difpofitionis correlatiuarum fuperficierum. Horum autem corporum Digitized by Google 185 fex meminit Albertus Durenis, in fua Geometria (funt quidem in eadem Alberti defcriptione & alia duo corpora quae ex complicatis planis componuntur quorum alterum non potefl plicari, ratio efl quia ad vnum angulum folidum conflniendum compofiti funt tres anguli plani aequales quatuor rectis, qui angulum folidum per 21. prop. lib. 11. Euclid, non conflituunt. Alterum veró corpus non continetur intra metas quse in fequenti 11. definit. funt pofitae, quare illa duo corpora reliquimus) fed cum talium corporum originem vel nomina apud neminem inveniremus tamen exiflimaremus non fioe aliquo certo fundamento confiflere, vidimus tandem regularia corpora ipforum effe fcatebram , nam illorum vnum , erat letraedrum truncatum , altera tria, truncati cubi^ & quintum , truncatum octaedrum : Sexti veró corporis truncatio haec fcribenlibus nobis erat ignota, quamvis ex truncato cubo originem habere non dubitamus. Cum'que haec nobis efknt nota invenimus (nam tale quid faepe fit cum rerum caufas cognofcimus) alia tria corpora non minoris eleganlise nempe ex truncatis Dodecaedro & Icofaedro. Quorum definitiones funt fequentes defi. 20. 21. 22. Et ipforum planorum difpofitiones in fequenli fecundo Problemate diflinct. 17. 18. 19. invenientur. Si forte ab alio ante nos funt inventa (de quo fere non dubitarem propter magnam diligentiam veterum in formarum inquifitione) fatemur hoc nos ignorare. Quare vt pro noflro invenlo talia edimus. Postea veró factum eft (recilamus haec quia aliquando non iniucundum eft inventionum occafiones non ignorare) vt Francifcus Cophart Archimuficus nostri Leidenfis M uficorum coUegij , & Geome- triae fmgularis amator, vellet mihi perfuadere fe cafu quodam fextum corpus regulare vidifie, cuius conftructio talis erat: Ducantur omnes Diagonales lineae omnium quadratorum cubi, ducantur deinde plana ab omnibus angulis folidis cubi per duas diagonales lineas vfque ad ipfarum diagonalium medietates, exfcin- dantur'que hoc modo omnia fuperficierum cubi latera , cum fubiecta folida parte ipfius cubi inter duo fecantia plana comprehenfa. Erunt itaque cubo (quoniam duodecim habet latera) duodecim crense infcifae: relinquetur'que elegans corpus in viginti & quatuor aequalibus trianguUs aequilateris contentum, Quare ille argumentabatur hoc modo: Corpora fphserse infcriptibilia quorum fuperficies funt omnes asquales & fimiles, funt corpora regularia: Corpus hoc eft corpus fphaerae infcriptibile , cuius fuperficies funt omnes aequales & fimiles: Ergo est corpus regulare, & per confequens fextum. Digitized by Google 186 Sed negabamus partem antecedentem afiumptionis, quoniam tale corpus non est corpus fph^rae ita infcriptibile , vt in regularium corporum infcribilitate requiritur, nam fenfus ibi efl omnes angulos folidos corporum debere existere in fuperficie fphaerae circumfcriptae, huius veró corporis duse funt fpecies folidorum angulorum, nam alterius fpeciei anguli funt externi, aUerius intemi. Verum quidem efl omnes angulos extemos eidem fphaerae efie infcriptibiles: Similiter & omnes angulos internos eidem fphaerae infcriptibiles : Sed non omnes eidem, nam alia efl fphaera externorum angulorum alia internorum. Igitur quia hoc corpus non habebat omnes proprietates quae in regularibus corporibus requiruntur, concludebamus illud non efte fextum corpus regulare. Postea veró vidimus tale corpus e(5e octoednim cui appofita erant octo tetraedra, quorum bafes erant octoedri octo fuperficies. Cum'que hoc animaduerteremus vnit cüm elegantia ipfius, atque Geometricis rationibus in eo confistentibus , adplicauimus talem conflructionem ad cetera quatuor regularia corpora, quae omnia regularia aucta vocauimus , quorum conflrucdo & eidem fphaerae infcriptio vni cum ceteris , est materia de qua nunc agetur. Definitioiies quinque corporum regularium. Definitio 1. Tetraedrum efl corpus fub quatuor triangulis aequalibus & aequilateris contentum. Definitio 2. Cubus efl corpus fub fex quadratis aequalibus contentum. Definitio 3. Ocloedrum efl corpus fub octo triangulis aequalibus & aequilateris contentum. Definitio 4. Dodecaedrum efl corpus fub duodecim pentagonis aequalibus & aequilateris & aequiangulis contentum. Definitio 5. Icofaedrum efl corpus fub viginti triangulis aequalibus & aequilateris contentum. Definitiones quinque auctorum corporum regularium. Definitio 6. Si cuicunque fuperiiciei tetraedri apponatur tetraedrum habens fuperficiem illam pro bafi: Corpus ex illis compofitum duodecim triangulis aequalibus & aequilateris contentum vx>catur tetraedrum auctum. Definitio 7. Si cuicunque fuperficiei hexaedri apponatur pyramis habens fuperüciem illam pro bafi ^ & reliquas fuperücies triangula aequilatera: Corpus ex illis compofitum vigintiquatuor triangulis aequalibus & aequilateris contentum, vocatur Hexaedrum auctum. Digitized by Google 187 Definiiio 8. Si cuicunque fupérficiei octoedri apponatur tetraedrum habens fuperficiem illam pro bafi: Corpus ex illis compofitum viginti & quatuor triangulis sequalibus & sequilateris contentum, vocatur octoedrum auctum. Definiiio 9. Si cuicunque fui:)erficiei dodecaedri apponalur pyramis habens fuperficiem illam pro bafi, & reliquas fuperiicies triangula aequilatera : Corpus ex illis compofitum fexaginta triangulis sequalibus & aequilateris contentum , vocatur dodecaedrum auctum. Def initio 10. Si cuicunque fupérficiei icofaedri apponatur tetrae- drum habens fuperficiem ipfam pro bafi : Corpus ex illis compositum fexaginta triangulis aequalibus & aequilateris contentum, vocatur icoiaedrum auctum. Definitiones nouem truncatorum corporum regularium. Def initio 1 1 . Solidum fphserse infcriptibile cuius anguli folidi funt omnes sequales, & cuius plana non funt omnia fimilia, & quodcunque planum efl aequiangulum & sequilaterum , & omnium planorum latera funt inter fe sequalia: vocatur truncatum corpus regulare. Definiiio 12. Si omnia latera tetraedri diuidalur in tres partes aequas, & plano fingulus angulus folidus tetraedri abfcindatur, per trium laterum diuifiones ipfi angulo proximas; Reliquum folidum vocatur truncatum tetraedrum per laterum tertias. Definiiio 13. Si omnia latera cubi diuidantur in duas partes aequas, & plano finguli anguli folidi cubi abfcindantur, per trium laterum diuifiones ipfi angulo proximas: Reliquum folidum vocatur Truncatus Cubus per laterum media. 'Soia. Hoc corpus fimile efl truncato octoedro per laterum media fequentis 17. Definitionis. Definiiio 14. Si omnia latera cubi diuidantur in tres partes, hoc modo vt fingulae mediae partes fe habeat ad vtramque alteram partem ipfius lateris vt diagonalis quadrati ad fuum latus, & plano finguli anguli folidi ipfius cubi abfcindantur per trium laterum diuifiones ipfi angulo proximas : Reliquum folidum vocatur truncatus cubus per laterum diuifiones in tres partes. Definiiio 15. Si omnia latera cubi diuidantur in tres partes, hoc modo vt fingulae mediae partes se habeat ad vtramque alteram partem ipfius lateris, vt diagonalis quadrati ad fuum latus, & plano üngula latera abfcindatur per quatuor laterum diuifiones in ipfis abfcindendis lateribus, non exiftentibus & ipfis lateribus proximas, Digitized by Google 188 relinquetur corpus habens fex quadrata, & octo angulos folidos in sequidiflantia è. centro cubi, & ab eodem centro remotiores qukm reliqui anguli folidi: Si deinde finguli anguli illorum octo, plano abfcindatur per tres proximos angulos planos trium quadratorum ipfis folidis angulis proximorum: Reliquum folidum vocatur biflrun- catus cubus primus. Definitio 16. Si omnia latera cubi diuidantur in quinque partes, hoc modo vt mediae partes fe habeant ad quamcunque partem reliquarum quatuor partium ipfius lateris, vt diagonalis quadrati ad fuum latus, & plano üngula latera abfcindantur, per quatuor laterum diuifiones in vnoquoque abfcindendo latere non exiftentes, & ipfi lateri proximas, relinquatur'que hoc modo corpus habens fex quadrata & octo angulos folidos in aequidiflantia k centro , de ab eodè centro remotiores qudm reliqui anguli folidi : Si deinde omnia latera illorum fex quadratorum diuidantur in tres partes, hoc modo vt fmgulae mediae partes fe habeant ad vtramque alteram partem ipfius lateris , vt diagonalis quadrati ad fuum latus, & plano finguli anguli folidi illorum octo angulorum abfcindantur , per fex diuifiones illorum laterum quadratorum ipfis angulis folidis proximas : Reliquum foUdum vocatur biflruncatus cubus fecundus. Definitio 17. Si omnia latera octoedri diuidantur in duas partes sequas , & plano finguli anguli folidi octoedri abfcindantur per quatuor laterum diuifiones ipfis angulis proximas : Reliquum folidum vocatur truncatum octoedrum per laterum media. Nota, Hoc corpus fimile eft truncato cubo per laterum media 13. definitionis. Definitio 18. Si omnia latera octoedri diuidantur in tres partes aequas, & plano finguli anguli folidi octoedri abfcindantur, per quatuor laterum diuifiones ipfis angulis proximas : Reliquum folidum vocatur octoedrum truncatum per laterum tertias. Definitio 19. Si omnia latera dodecaedri diuidantur in duas partes aequas, & plano finguli anguli folidi abfcindantur per trium laterum diuifiones ipfis angulis proximas : Reliquum folidum vocatur truncatum dodecaedrum per laterum media. Nota, Hoc corpus fimile eft truncato Icofaedro per laterum media fequentis 21. definitionis. Definitio 20. Si omnia latera dodecaedri diuidantur in tres partes, hoc modo vt fingulae mediae partes ad vtramque alteram partem ipfius lateris fe habeant vt chorda arcus duarum quintarum peri- pheriae circuli ad chordam arcus vnius quintae eiufdem peripheriae & plano finguli anguli folidi dodecaedri abfcindantur per trium Digitized by Google 189 laterum diuifiones ipfis angulis proximas : Reliquum folidum vocatur truncatum dodecaedrum per laterum diuifiones in tres partes. Def initio 21. Si omnia latera Icofaedri diuidantur in duas partes aequas, & plano ünguli anguli folidi icofaedri abfcindantur per quinque laterum diuifiones ipfis angulis proximas : Reliquum folidum vocatur truncatum icofaedrum per laterum media. Nota, Hoc corpus fimile efl truncato dodecaedro per laterum media praecedentis 19. definitionis. Def initio 22. Si omnia latera icofaedri diuidantur in tres partes aequas, & plano finguli anguli folidi icofaedri abfcindantur per quinque laterum diuifiones ipfis angulis proximas : Reliquum folidum vocatur icofaedrum truncatum per laterum tertias. Problema I. Dato maximo circulo fphaerae: latera quinque regularium corporum , quinque auctorum corporum , & nouem truncatorum corporum regularium , ipfi fphserse infcriptibilium ^ invenire. Problema II. Datis lateribus quinque corporum regularium, & quinque auctorum regularium corporum, & nouem truncatorü regu- larium corporum, eidem fphasrse infcriptibilium, plana conflruere ac difponere, quae fi rilè complicentur efficiant ipfa corpora. Appendix, Planorum veró difpofilio corporis truncati (cuius eft facta mentio in principio huius 3. lib.) cuius truncandi modus hsec fcribentem me latebat talis eft: Difponantur, vt infra [Fig. 17], fex quadrata & 32. trianguli. h>. A A y Fi^jT / V V 4 Sed propter ipfius truncationis , feu verae originis ignorantiam non potuimus hoc Geometricè anledictae fphaerae infcriptibile cum ceteris conftruere. Digitized by Google 190 LlBKR QVARTVS. 4 Problemata; 1 Theorema'); 9 figuren. Problema I. Datis duabus rectis lineis duas medias proportio- nales invenire. Nota» Etfi hoc Problema (quamvis non Geometricè) per diuerla inflrumenta multifariam k veteribus fit inventum, dabitur tamen hic tantum vnicum exemplum per lineas, fecundum modum Heronis. Reliquos modos qui per inflrumenta expediuntur, in nostra Geometria fuis inflrumentis accommodatis breuiter fperamus nos edituros. Problema II. Dato cono aequalem conum fub data altitudine defcribere. Problema III. Dato chordae fegmento fphaerali , sequalem conum defcribere^ habentum bafm cum chordae fegmento eandem. Problema IIII. ac quaefitum huius Quarti libri : Datis* quibuf- cunque duobus corporibus Geometricis, tertium corpus defcribere, alteri datorum fimile, alteri vero sequale. Exemplum primum. Sint duo corpora qusecunque, nempe duo coni ABC, & DEF, fit'que coni DEF altitudo, recta DG, & bafis diameter EF. Oporteat tertium conum conflruere, cono DEF fimilem & cono ABC aequalem. Exemplum fecundum. Antedicta conorum conflructio ac demon- flratio applicari poteft ad fubfcriptos cylindros : — Exemplum tertium. Sint duo chordae fegmenta fphaeralia ABCD, & EFGH, fifque chordae fegmenti EFGH, altitudo HF, & bafis diameter EG. Oporteat tertium chordae fegmentum fphaerale conflruere , fegmento EFGH fimile, & fegmento ABCD aequale. [Exemplum guar turn ^ Sit pyramis ABC, cuius bafis fit quadratum, & latus BC eiufdem quadrati 2 pedum, altitudo vero pyramidis AD fit 12 pedum, quare ipfius pyramidis magnitudo 16 pedum: Sit deinde pyramis EFG, cuius bafis fit quadratum, & latus FG eiufdem quadrati 8 pedum, altitudo vero ipfius pyramidis EH 3 pedum. Oporteat per numeros eo ordine, vt fupra per lineas factum efl, tertiam pyramidem defcribere, pyramidi EFG fimilem & pyramidi, ABC aequalem. 1) Bij Theoremata: soms Explicatio datis, Demonftratio en Conclufio. Digitized by Google 191 Theorema. Si fuerit diametronira bafium tertia linea proportionalis, duorum rectorum conorum sequalis altitudinis , fuerit^que prima linea media proportionalis , duarum mediarum proportionalium , inter primam diametrum & tertiam^ fuerit'que quaedam recta linea in ea ratione ad illam primam mediam, vt primi coni altitudo ad fuam diametrum bafis : Conus rectus cuius diameter bafis fuerit illa prima media, altitudo vero illa recta linea, fimilis erit primo cono, ^equalis vero alteri cono. LiBER QVINTYS. 3 Problemata; 3 Theoremata; 12 figuren. Problema I. Datis duobus planis fimilibus: tertium planum defcribere datis duobus aequale & alteri datorum fimile. Theorema. Si tertia linea proportionalis duarum homologarum linearum exiflentium in fimilibus planis, addatur primae lineae: Media linea proportionalis inter primam & illam compofitam , e(l potentialiter homologa linea, cum illis homologis lineis, cuiufdam plani quod fimile est alteri datorum, & aequale ambobus. Problema II. Datis quibufcunque duorum fimilium Geometricorum corporum homologis lineis, tertium corpus conilruere datis duobus aequale, & alteri datorum fimile. Theorema. Si quarta linea proportionalis duarum homologarum Unearam exiflentium in fimilibus corporibus, addatur primse lineae: Antecedens linea duarum mediarum proportionalium inter primam & illaiü compofitatn , efl potentialiter homologa linea cum illis homologis lineis, cuiufdam corporis quod fimile efl alteri datorum, & aequale ambobus. Problema III. Datis quibufcunque duorum fimilium & inaequalium Geometricorum corporum homologis lineis , tertium corpus conflruere, tanto minus dato maiore, quantum efl datum minus, & alteri datorum fimile. Theorema. Si èi quarta linea proportionali duarum homologarum linearum exiflentium in fimilibus inaequalibus corporibus, auferatur minor homologarum : Antecedens linea duarum mediarum proportio- nalium , inter minorem homologam lineam , & illius lineae reliquum , efl potentialiter homologa linea cum illis homologis, cuiufdam corporis quod fimile efl alteri datorum corporum, & tanto minus dato maiore, quantum efl datum minus. Digitized by Google C2h, E5 8UR LA TRANSFORMATION D'ÜNE INTEGRALE DÉPINIE, W. KAPTEYN. (Utrecht) Dans cette note je me propose de démontrer Tidentité saivante / ^ ^ ^ =1 tg A are tg -^ rfö j k^cos^ f» — cos^ fi sin2 6 j " cos 6 ^ de deux intégmles déBnies de forme bieu diiférente. Pour y paryenir je me servirai de la formule /b pb /•b /*8 dp I zds =: ds I zdp de Lejeune-Dirichlet , dont les deux membres expriment Ie même Tolume compris entre la surface z = f(p^ 5), /(p, s) désig- nant une fonction quelconque qui reste iinie entre les limites des integrations, et les quatre plans z = Oj 8 = py p = (^j 8 = b. 