None
Bedenkt men uu dat de Pythagoreërs nog geen scherponderscheid maakten tusschen benoemde en onbenoemde en eenhedenen — zooals o. a. uit hunne eigenaardige vermenging van reken- en meetkunde voortvloeit — dan wordt het (3) duidelgk hoe zg in het onbegreusde en de grens de elementen konden zijn opgebouwd. Waarom zij het even getal met het ansiQov, het onevene met het üticaq gel^k stelden, is niet met zekerheid te zeggen. WaarschflnlÄk leidde hen hierbij de overwegging dat de even getallen het tweetal — naar hunne opvatting, die de spreker toelicht, eeu onbepaalde grootheid aó^iaroq (fvdg — als factor bevatten en daarom zelve als behept met onbepa (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36)  begrippen van onbegrensdheid en onbegrensdheid is van de oudste tgden der wijsbegeerte af zeer gewoon. De spreker verklaart zich bereid deze bigdrage voor de Verslagen en Mededeelingen af te staan. De heer Kern vertoont een getrouwe afdruk van de Sanskrit-inscriptie van het jaar 732 n. C, die door den heer Holle in het Museum van het Bataviaasch genootschap ontdekt is en waarop hij reeds vroeger de aandacht der Akademie heeft gevestigd. De inscriptie bevat 25 regels, in fraai en duidelijk schrift geschreven op eenen steen die 110 cm. hoog is bij eene breedte van 78 cm. Het aantal strofen bedraagt twaalf. Die typische der letters is näw yerwundet met die welke van de 6°°°° euw in zwang was in dat gedeelte van Dekkhan, waar tegenwoordig het Kanareesch-Teluguschrift gebrückt wordt. Nog  worden beförden worden. Indische dichters, die het spraakgebruik plönen naar de onverbiddelgke eischen der metriek. De stäl is ufterst gekunsteld en niet weinig hoogdravend, zooals gewonlgk in Indische officiêele poëzie het geval is. Wat den inhoud betreft, strekt de inscriptie in de eerste plaats ter yermelding van het gedenkwaardige feit dat de koning des lands, Srnjaya geheeten, op den 13<^<^° der eerste helft van de maand Earttika, yan het jaar 654 Çaka een Lingga liet oprichten. Nadat de dichter daarop in eenige strofen de goden Çiwa, Brahma en Wishçu verheerlgkt heeft, maakt hg gewag van de Yoorspoedige reeriag van koning Sanna, anders Sannaha genaamd, Srnjaya's vader en voor-ganger. Hg maakt van de gel^enheid gebruik om de voor-treffelgkheid van 't schoone eiland Java te roemen, en einigt met den lof van Srnjaya, die na den dood zgns vaders de teugels van het bewind voerde en onder wien het land eene groote mate van voorspoed en veiligheid genoot. Door den heer Kern wordt daarna eene verhandeling van den heer Brandes aangeboden ter uitgave in de Verslagen. De schräver handelt daarin over afdrukken van Javaansohe op steenen, vervaardigd door wglen Dr. Friedrich, en nu in fac-similés in gips te vinden in het Museum van oudheden te Leiden. Hg heeft daarbg gevoegd twee urslaande bladen, bevattende eene transscriptie in romeinsch schrift eener zeer uitvoerige inscriptie. Het stuk wordt in handen gesteld van de commissie van redactie. De heer Tiele vestigt de aandaclit op een belaugrgke ont-dekking, door den heer Theoph. G. Pinches, bewaarder der Assyrische oudheden in het Britsch Museum gedaan, en waarvan alleen in de bg ons weinig verspreide Proceedings of the Society of Biblical Archaeology verslag wordt gegeven. De Vondst bestaat in twee tafeltjes, waarvan het een, toen het nog in ongeschonden staat was, een volledige Igst der koningen van Babel bevatte, beginnende met de dynastie van Babel, en waarschgnlgk doorloopende tot in den Perzischen tgd; het andere een Babylonische Kroniek, van Nabonassar, wiens naam hier voor hot eerst in spgker-schrift wordt gevonden (Nabûnasêr), dus van 747 v. C. tot midden in de regeering VBn Saosduchinos (Öamaä-äum-ukin), waar het stuk afbreekt. De l'ist, die zich gemakkelke door reeds bekende data en fragmenten laat aanvullen, verspreidt een nieuw licht over de volgorde der babylonische dynastieën. Voorzoover zg met den zoogenaamden Canon van Ptolemaeus parallel loopt^ stemt z^ daarme e volkomen overeen, doch is vollediger, in zoover zg ook de namen der koningen die geen vol jaar regeeringen en die de Canon van Ptolemaeus daarom niet vermeldt, met de maanden hunner regeering, opgeeft. Den tekst der Igst heeft Pinches laten afdrukken. Van de kroniek geeft hij slechts een paraphrase. Doch daaruit reeds blgkt haar groot belang voor de historie. Eenden wghaar tot nog toe voor dezen tgd slechts van het assyrische standpunt, hier wordt zg van het babylonische uit beschreven. Soms zgn die babylonische mededeelingen met de assyrische berichten in Ignrechten strgd. Zoo wordt bgv. de slag bg Halulê, waar Sinachêrib de verbonden legers der Elamieten, Akkaders (Babyloniërs), Aramaeers van 't Zuiden en Oostelgke Arabieren tegenover zich had, en waarin hg, naar het verhaal van zgn Prisma, een schitterende overwinnings behaalde, als een zege der Elamieten en Babyloniërs voorgesteld. En dat de waarschgulgkheid hier aan de zgde van den babylonische van den babylonischen. Jolischen geschiedschrijver is, blüht zu de koningslängst, volgens welke nog geruimen tätig nog geruimen tätig. Indien het das een zeig der Assyriads was, dan was het zonder twgfel een Pyrrhus-overwinning. Maar een der voornaamste punten die door vergelgking dezer nieuwe bronnen worden uitgemaakt, is de vraag, die reeds zooveel hoofden bezighield en zooveel pennen in bewegning bracht, de vraag namelgk of Phul en Tiglatpilesar II verschillende personen, dan wel een en dezelfde zgn. Het eerste werd nog onlangs verdedigde door den Bomein-schen priester Gius: Massaroli, in een geschrift door hem ook de Akademie toegezonden. Hg bestrgdt daarin het gevoelen van de meeste Assyriologen, dat ook door de Civilta cattolica was aangenomen, als oubgbelsch; want zoowel in bet 2^ boek der Koningen als in de Chronieken worden Pbul en Tiglatpilesar, naar h^ meent, daidelgk onder-scheiden. &tet Pbul moet dan een veel onder Assyrisch koning bedoeld z^n. Deze meening wordt nn, althans wanneer de paraphrase van Pinches nauwkeurig is, door de nieuw gevonden bronnen weerlegd en de geheele kwestie daardoor uitgemaakt. Waar in de Igst Puin voorkomt, namel^k als de opvolger van Ukïnzêr (Chinziros), daar Staat in de kroniek Tukulti-pal-êsara, dat is dus Tiglatpilesar II. Dan volgt iu de lijst, evenals in den ptolemaeïschen Canon, Ululai (Elulaens), in de kroniek echter Salman-asarid, waarin men aanstonds Tiglatpilesar *s opvolger Salmanassar IV herkent. Aan de identiteit van Pbul en Tiglatpilesar II valt dus niet meer te twijfelen, en thans blgkt bovendien dat ook op volger op den Assyrischen troon evenzeer zijn beerschappy over Babel handhaafde, Pulu en Ululai, gebrücklichkelijke assyrische namen, zullen dus waarsch^nlgk de eigen oorspronkelyke namen der beide vorsten geweest zgn. Bg hun troonsbeklimming, aan wier wettigheid terecht wordt getwgfeld, zullen zg die door de bekende roemrgke koningsnamen Tukultipalesara en Salmanusur vervangen he Bben. Een party in Babel schgnt hen echter die eer niet wäardig gekeurd en met opzet hun burgerlgke namen gebezigte te hebbeu. Uit vergelgking der Ejroniek met Sina-chêrib's Prisma blijkt dat de assyrische koningen soms het zelfde deden ten opzichte van babylonische vorsten die zg als onwettig beschouwden. Opmerking verdient nog dat de 5 regeeringsjaren, door den Canon van Ptolemaeus gemeenschappelijk aan Ukïnzêr en Pulu, Chinziros en Poros, toegekend, zoowel in de Igst als in Kroniek aldus verdeeld worden: Ukïnzêr 3, Pulu (Tiglatpilesar) 2 jaren. Er zgu nog andere punten^ die door deze nieuwe bronnen worden opgehelderd, maar waarover de spreker nu niet kan uitweiden. De heer G. de Vries Azn. spreekt over de bedyking van den Diepsmeer en den Tjaarlingermeer in Geestmerambacht in 1594 en 1506, volgens bescheiden in het Ryksarchief gevonden. De geschiedenis dier bed^kingen leert ons eene bgzonderheid kennen uit het leven van Johan van Olden- barnevelt, namel^k zijne bemoeiingen met ondernemingen, die bevordering van landaanwinning en landbouw ten doel hadden, en levert eene bgdrage tot de geschiedenis der droog- making van de kleinere meren en plassen in het Noorder- kwartier. De spreker staat deze mededeeling af voor de Verslagen en Mededeelingen. Eindel^k deelt de heer Land het resultaat van zijn onder- zoek naar brieven en geschriften van Gonst. Huygens en diens zonen, in het Britsch Museum te vinden, mede, en vermeldt daaruit enkele byzonderheden. De secretaris uit na het gehoorde het vermoeden, dat de Akademie van alle lat^nsche brieven van Constantsa de minuten bezit en verwyst op zijne verhaudeling over dat onderwerp in deel VIII der Verhandelingen. Ook deze bydrage zal in de Verslagen en Mededeelingen worden opgenomen. Hierop wordt de vergadering gesloten. OVER DE BETEEKENIS DER WOORDEN ajtsicav EN jiéçaq IN PLATO'S PHILEBUS. PBOEYE TER OPHELDERING VAN EEN DUISTER PUNT IN DB PYTHAGORÏÎSCHE LEER. BNDKAGE VAN C. BELLAAR SFRVTT. Het laat zich betwägliche of er vele geleerden zu, die met YoIdoeniDg terugzien op den t^d en de moeite^ die zg aan de kennismaking met de Pythagoreische leer en de lezing yan den Philébus besteed hebben. Over het algemeen is wellicht de Grieksche wigsbegeerte voor de deren, die haar in hnn jongere jaren eenigermate leerden kennen, geen voor- werp van vurige geestdrift of zelfs van hartelflke belangstellt. De jeugd is in den regel spoedig gereed met haar oordeel en zg komt gemakkei ^k tot een veroordeelend vonnis. Op regper leeftijd begint men in den regel te ver- moeden dat die vonnissen grootendeelu zonder de noodige zaakkennis geveld zgn, doch de t:gd om ze rustig te herzien ontbreekt en men bl^ft in 't onzekere, in Hoe verre men ze vertrouwen kan. De bezwaren, welke zich bezwaren, de studie der Grieksche wägeeren voordoen, zu — dat laat zich niet ontkennen — talgk en gewichtig. De spaarzaamheid der bronnen en het enthält van een groot deel van den voorbereidenden arbeid der philologische critiek zgn niet eens de grootste. Het is zonder twgfel beoordeeling der Grieksche wgsgeeren noouig zich in den geesf hunner tflden te verplaatsen, en (ö) tnen mag betwgfelen of er wel iemand is, die bezwaarléke operatie ontsnapt aan de fout, welke volgens Goethe het noodzakelk gevolg is van een zoo titanisch streven. Intusschen, ondanks al die moeiläkheden, bestaat er voor- ugang ten aanzie van onze kennis der Grieksche wgs- begeerte. Wie de geschriften besteutet, waarin de slotsommen neergelegt zijn van den onvermöden arbeid aan dit onder-werp gewöhnen, zal toestemmen dat wäre de Grieksche denkers veel beter verständig van den völkommen van onze wagen, zal toestemmen dat wäre de Grieksche denkers veel beter verständig van den stellen. Toch blätter er nog ontzaglgk veel te doen over. De fröhliche Maulwürfe — men herinnert zich de vermakelär beeldspraak, waarmede Victor von Scheffel van de ouldheidkundigen gewaagt — de vroolijke mollen mögen den bodem der Grieksche geschriften in allerlei richtigen door-woeld hebben, op sommige plaatsen w. aren de bezwaren al te großen al te großen. Zoo schynt m^ bepaaldelijk de Pythagoreische leer een endererwerp, waarover in de leerboeken van de geschiedenis der wijsbegeerte en in de monographieën wel ontzagl^k veel woorden worden medegedeeld, maar woorden, waaraan zich in vele gevallen hoogst moeilgk een verstaanbare zin laat verbinden. Wanneer w^ alles wat wellicht nieuw-Pythagoreïsch zgn kan ter zijde laten om ons uitsluitend te houden aan de mededeelingen van Aristoteles en z^ne leerlingen, de met om zijde laten om ons uitsluitend te houden aan de melodenden van Philolaus, voor zoo verre hunne onechtheid niet bewezen is, dan vertoont zich als de hoofdstelling der oude Pythagoreërs eene leer, die, op zekere w^ze uitgelegd, verstaanbar en niet onbel. Angräck is. De getallen zijn het wezen der dingen; elk ding, elke hoedanigheid, elke betrekking blät, als men ze recht beschouwd, niets anders dan een getal te zyn. Deze leer kan opgevat worden als een eenigszins onbeholpen formuleering van de gewichtige stelling, die iu onze dagen het naturkundig onderzog beheerscht. Doel van de wetenschap der stoffelyke natur is voor ons de ont-dekking van zoogenaamde naturwetten; naturwetten zyn niets anders dan standvastige betrekkingen tusschen veranderlgke grootheden; die standvastige betrekking of naturwet is eerst dan met de verlangde nauwkeurigheid bekend, als zog door eene wiskuudige formule wordt uitgedrukt. Onze wetenschap zoekt naar het blyvende en standvastige in de waarneembare dingen, die zich aan de directe waarneming als veranderlyk en vergankelk vertoonen. Als dat blyvende vindt zy in alle gevallen, waar zy tot op Zekere hoogte slaagde, eene wiskundig uit te dräkken betrekking van af- hankelykheid tusschen twee of meer veranderlyke grootheden. De lichtstraat, die door een glazen prisma gebroken zijnen wäre vervolgt, doch zich aan onze waarneming voor als vergankelijk, evenals de lucht en het glas, waardoor hy zich beweegt. Maar de standvastige verhouding tusschen den hoek van inval en den brekiugshoek is niet vergankelijk. Als men maar eenmaal geleerd heeft de zeer gewone vergissing te vermeden, waartoe de naam natuurwetten aanleiding geeft, die van zelve de gedachte aanleiding geeft, die van zelve de gedachte aanleiding geeft, da blyken zijnen voor aan de standvastige betrekkingen tusschen de veranderlyke grootheden in de natuur, dan blyken zijnen voor aan de definitie, die Plato van de idee geeft. Zy — de Platonische idee — is evenals onze natnurwetten, datgene wat nooit ontstaat of vergaat, maar als is (of geldt) en wat niet door directe zinnelijke waar-neming maar door het denken gevat wordt. Ëlk die van Plato geleerd heeft de ware werkelykheid te zoeken in het blyvende en onveranderlyke, moet erkennen dat de Pythagoreers op den rechten weg waren, toen zy het wezen der dingen niet met de Joniers in iets veranderlyks, water, vuur of eene andere stof zochten, maar in de voorwerpen der eenvoudigste wiskundige begrippen. Wellicht gaat echter deze verklaring van de Pythagoreische leer mank aan de niet ongewone fout van al te moderne denkbeelden by de oude wysgeeren te zoeken. Daarenboven bepaalt zy zich zoozeer tot het algemeene dat zy weinig Licht geeft over de byzonderheden hunner wys- begeerte. Als wg kennen maken met de nadere toelichting der Pythagoreische hoofdstelling, zelfs bij een zoo bevoegd verslaggever als Aristoteles, dan stniten w^ op uitdrukkingen, die zich uit de zoo even geschetste zeer algemeene beschouwing niet goed laten verklaren. Ook z^ schguen — zegt Aristoteles — met hunième meeniag dat het getal een oorsprong is, te bedoelen dat het èn de materie is, waaruit de dingen zgn, èn de toe-standen en hoedanigheden der dingen. De elementen van het getal zgn nu, volgens hen, het evene en het onevene, waarvan het eene begrensd, het andere onbegrensd is. De eenheid zal nu uit die beide bestaan; want z^ is zoowel even als oneven. Het getal ontstaat uit de eenheid, en uit getallen bestaat, zooals gezegd is, de gansche hemel ^y\ Most men niet erkennen dat Aristoteles hier eene raadsel-achtige taal spreekt? Dat èn de materie der dingen èu hunne toestanden en hoedanigheden getallen zouden zgn, is niet geheel en al onbegrpelk. Het kan In onze sprekkere, beteekenen dat zich het wezen der dingen an ons ten slotte voordoet als wiskundige betrekkingen tusschen grootheden, die ons zelalen met betrekking tot elkander, d. w. z. in getallen verhouding, bekend zu Maar aangenomen dat deze opvatting der Pythagoreëirs het een het onevene de elementen der getallen zgn; a. dat volgens de Pythagoreëirs het even en het onevene de elementen der getallen zgn; b. dat daarvan hét een, en wel het onevene begrensd, het andere, en wel het evene, onbegrensd heet; c. dat de eenheid zoowel even als oneven zgn zal. OûtivovTXt ^è neu oSrot rbv àpi^fibv vofjtî^ovreç ipx^v elveti, icetl ûç vA*}y To7ç oZffii nal ùç yräBvi re xetl i^stç* rov ^è àpi^fAOv ff-ror %e7« TO Apriov K»t rh yrsptrrSv* tovtuv id t^ó fièv ireirspaffftévovj TÙ ie ciTretpov. t6 iè?v i^ àf^^orépùav elvxt to^tuv. ksu ykp lkpT$0¥ elvett Kût\ yreptrrSv' rdv i'àpAfihv èx rov êv6ç' àpîf>fjtoùç ièy icciB-dTep sIpfiTUh '^^v ^^^^ ovp*v6v» Met. A Cap. 5. Dat het evene als oftbe- grensd, het onevene als begrensd beschouwd werd, bl^'kt enkele regels verder en op vele andere plaatsen. ( Men kan wellicht meeneu dat misschien het woord element bg Aristoteles in een anderen dan den thans gebruikelgken zin wordt aangewend. Doch langs dien weg komt men niet tot de oplossing der zwarigheden. Dit woord isbg Aristoteles een technische term, dien hg in Metaph. A Cap. 3 opzettelijk bespreekt. Element, zegt hg, noemt men dat bestanddeel, dat zelf niet weder in soortelgk verschillende kan Terdeeld worden. Zoo is bgv., gelgk hg aanvoert, het water een element in vochtige stoffen, omdat het wel in kleinere waterdeeltjes verdeeld, maar naar zgne meeniug niet in soortelgk verschillende kan ontleed worden. In overdrachtelgken zin gebruikt men, zooals hg verder vermeldt, het woord element van de deelen Eener betoogende wetenschap, die zelle niet voor verdere afleiding vatbaar, in tal van redeneeringen gebruikt worden. Eindelgk kunnen de voorwerpen der meer algemeine begrippen — mei% denke begreifend, aan de eenheid, de veelheid — elementen genoemd worden, omdat zg, ieder voor zich niet voor ontleding vatbaar, in vele dingen zgn aan te treffen. Tot zoo vorre Aristoteles' beschouwingen over de besten van het woord element. Wat bedelde hg nu m het erste der bovengenoemde raadselen? Dat het evene en het onevene de stoffelgke bestanddeelen der getallen zgn, of dat zij beantwoorden aan de meest algemeene begrippen, waaronder men de getallen brengen kan? De laatste opvatting moge op den eersten aanblik aannemelgk schgnen; die schgn vervalt, wanneer men bedenkt dat het evene en onevene ook bestanddeelen der eenheid heeten en dat daarbg uitdrukkelgk gezegd wordt dat de eenheid uit beide bestaat. Iets bestaat uit elementen in den eersten, door Aristoteles gnoemden zin, niet uit elementen in den tweeden of derden zin. De commentators gegen ten aanzieren dez plaats al zeer weinig licht. In de Scholia bei de uitgaaf der Berlgnsche Académie vinden wij alleen de opmerking van Asclepius, dat Aristoteles met het evene »symbolisch" de »materie", met het onevene den »vorm" bedelde. Maar niemand denkt er thans meer aan deze Aristotelische onderscheiding bei eenheid uit het evene en onevene bestaat' op te merken » of liever het evene en onevene bestaat bei eenheden i). Deze wijziging zou zeker de plaats wel zoo begrypelgk maken, maar zg berust blykbaar alleen op de verlegenheid van den uitlegger. Blätter dus de oplossing der eerste vraag, in welken zin het evenen en het onevene bestanden der getallen kunnen beiden, na de rädpleging der Scholia even ondoenlg als vór dien tgd^ evenmin deelen de oude schrevers ons mede, v^aarom toch wel het evene onbegrensd, het onevene begrensd zou moeten wezen. Of liever hunne verklaring draagt den stempel der radeloosheid op het voorhoofd. Zij noemden — zegt Simplicius — «elk even getal onbegrensd, omdat, zooals de uitleggers zeggen^ elk even getal ten aanzien der deel-baarheid nog niet begrensd is*', m. a. w. door twee gedeeld kan worden ^). Men ziet dat de verstandige Simplicius niet zich zelf maar de exegeten in 't algemeen voor deze vernuftige vondst aansprakelgk. Stelt. Zg is de eenige, mg bekende poging tot oplossing van het tweede der bovenge- noemde Pythagoreische raadselen ^). ^) t. a. p. blz. 548a. rh ^1?y, Ç)^(riv% ^éXeyov i^ àfiçorépm elvxi TOijTUVi fAxXXov ^è àfA^àrspet èx rov Ivóc. Sylvius -P%«. f. 105r. ovrot ^è rl Ä^eipov rlv Hprioy &ptB" fi6v eXeyov $tx ro 7r»v fA^v eipriov^ SSç ^etffiv oi i^fiyniretî, etc ïv» it»ipe7effettt TO ^è eiq 'iaa ^ixipovfjtsvov uyrstpov ttxrot r^v Stxorofiïetv» In de werken van Aristoteles bevindt zich ééne plaats, waarom de Pythagoreërs het onbegrensde met het evene gelijk stelden. Ik heb die in den tekst niet vermeld, omdat mij de pogingen tot hare uitlegging niet bevredigen, en ik het er voor houd dat niemand haar ooit heeft begrepen. A. zegt in Phya. Hl 4: xeci 01 fjtèv — de Pythagoreërs — t^ &7r6tpoy shxi rh Üpriovi rotiro y'ètp evx^oXsifißstvefievov kcù vtto yreptrrov yrspatvSfievov Tretpé' Xetv To7ç oZvt r^y k^FstpiAv' v^fiet^y yeÏv»t toCtom rh ffVfAßxTvov syri Tuv xpiBfAuv' Treptri^efAévuv ykp ruv yvufASvtav ^sp) rb Iv xxl %«p» brè fièv xXXo àel yîyvevbxi rb sl^oç, brè $è h* Zeller erkent {Philosophie der Griechen I 4*« Auflage pag. 322) dat in het eerste gedeelte van deze plaats alleen gezegd wordt ndat het evene oorzaak (U) N<^ wel zoo vreemd is de uitlegging, die sommige schrg- vers geven van de Pythagoreische leer dat de eenheid zoowel der onbegrensdheid z\jn zal, maar niet waarom het dat z^n zal." ffEn N<^ wel zoo vreemd is de uitlegging, die sommige schrg- vers geven van de Pythagoreische leer dat de eenheid zoowel der onbegrensdheid z\jn zal, maar niet waarom het dat z^n zal." ffEn — zoo gaat hij voort — evenmin vernemen wij dat door de by-gevoegde opmerking ffvifieTov yehat enz." Die nadere toelichting wordt door Simplicius (in ArUtoUlia JPAys, Comment. 105r} aldus uitgelegd. Vermeerdert men de eenheid met het eerste oneven getal, dan ontstaat er weder een quadraatgetal, 1 -f 3 = 4; voegt men daarbij het tweede oneven getal dan is de som weder een quadraatgetal 1 -f- 3 -{- 6 = 9. In 't algemeen; de reeks des quadraatgetallen hdtctc 'itrot wordt ver- kregen door successievelijk de termen van de reeks der onevene getallen bij de eenheid te voegen. TvufJtovsç heeten, gel^k bekend is, de on- evene getallen bij de Griekçn, omdat de wiskundige figuur, waardoor zij voorgesteld worden, op een winkelhaak yvu/im gelijkt, zooals men ziet uit de hier bijgevoegde figuur, waarin als ad = 1 gesteld wordt k i aè cd de meetk. voorstelling is van 1* Ä * ƒ y // it ff tl u 2' a hik II II II II tl 3' terwijl gfehcd is de gnomon 3 kg/ehi „ „ „ 5 h Nu zochten de Pythagoreërs in die eigenaardigheid der onevene ge- tallen, dat zij de verschillen zijn van de reeks der quadraatgetallen, iets jyspecificeerends en begrenzends" {elioTrothv xxl Trepxrurntcv); de som van de eenheid met eenige oneven getallen geeft altijd dezelfde soort (f Wo«) van getal, nml. een quadraatgetal; terwijl daarentegen de evene getallen bij de eenheid en de quadraatgetallen gevoegd eene an- dere soort van getallen geven. Daarom zal het evene iets ,/matericels en onbegrends" {ùXikIv xxî à^rsipoeilé^) in zich hebben. ùl (Aèv ykp Trepiffcot Trpoffrt^éfASVot è^îjç ru rerpxymu àptB-fA^ çv Xdffffsvffiv àvrlv rsrpdytavov icetl h^xtç 'Uov xettk ^è ri yroffov fiSvov iv^yi/iéviVt 0 iè uprtoç Trpotrrtaéfievoç àsi ru TeTpetyuvuêvxXXd(r(ret rh sï^oç érspofjniKni zotuv^ âXXore kxt* xXXiiv zXevpxv 7Feip^v^y,iiéyQv. Deze teilichten van Simplicius, waarmede volgens Zeller ook Themistius en Philoponus geheel overnestemmen, is vooreerst met den Griekschen tekst moeilijk overeenstemmen, is vooreerst met den Griekschen tekst moeilijk overeenstemmen. Zeiler meant dan ook even als oneven zijn zal, een dat iccti x^P^^^ hier zooveel beteekenen zal als icxl TrepiriB-efAévùav ruv »p^bfiSv %«p«f TflSv yvufiSvdiv; zoodat dus tegenover elkander gesteld wordt de toevoeging van de achtereenvolgende oneven getallen bij de eenheid, die altijd dezelfde soort van getallen, Die altitudieren andere soort levert Forèle sev aXXo ne vyvevbat rh flicç, ôtI le i'v). En Simplicius zelf springt even vrijmoedig met den Aristotelischen tekst om, ten einde er zijne exegese uit te halen. Stel echter dat wij den tekst van Aristoteles in dier voege veranderen mochten, dat hij overeenstemt met de toelichting van Simplicius; baat dit ons iets om te verstaan, waarom het evene gezegd wordt i/in het onevene opgenomen en daardoor omsloten aan de dingen de on- begrensdheid te geven" (5VÄ?roA«A*ß«vo/x^vov %tù vtfù toZ tsp^ttov 7repcttv6fAevoy TFotpéxsiv to7ç ovfft tj)v àTrsiptdv)? Zeller zegt het niet en schijnt veeleer het tegendeel aan te nemen. Maar dan Weten wij ook door zijne toelichting niet waarop de gelijkstelling van het evene en het onbegrensde berust. Prantl geeft in zijnne uitgaaf van de Physica blz. 489 ter toelichting van deze duistere plaats vooreerst de verklaring van den naam y vft; voor de oneven getallen; voegt daarbij een figuurtje als het nevenstaaude, waaruit blijkt dat de eenheid, als quadraat voorgesteld, door de bijvoe-ging der achtereenvolgende gnomons weder in quadraten overgaat, eu vervolgt dan: f,So tind also die fonumUchen Zahlen die ungeraden, und so nun wird gesagt, dasa Je nachdem um das Quadrat Eins ein Gnomon herumgelegt wird oder nichts jenes Quadrat einerseits seine Form ändert und andrerseits durch jedes Sinzulegen eines Onomons doch wieder in das Quadrat sein. Substrat dient; darin nun scheint die Pythagoreische Zahlen, Symmholik die Unbegrenztheit der gegründen Zahl, d. h. allerdings nur jener geraden Zahl, welche im Potenz, Exponent 2 liegt, erblickt zu haben. De uitdrukking udie gerade Zahl, welche im Potenz, Exponent 2 liegt bijzonder duidelk. Tot in 't oneindige kan men bijzonder duidelk. Tot in 't oneindige kan men bijzonder duidelk. Wat besluiten de Pythagoreërs uit die waarheid? Dat de oneene getallen die men tot in 't onbegrensde kan toevoegen, iets onbegrends in hun wezen vertoonen? Ook dat niet; want 9 is 3' en toch als oneven getal begrensd. — De Fythagoreërs zullen uit die rekenkundige waarheid ndie Unbegrenztheit der geraden SMV hebben. (16) Schläger, die volgens Moritz Cantor als bron voor de ge-schiedenis der wiskunde zer braikhaar is, zegt dat volgens Aristoteles in zgne uiteenzetting der Pythagoreische leer de eenheid èn de natur van het onevene moet het onevene moet het oneven, en voegt  habet. De pogingen der oude schrijvers tot oplieldering van Aristoteles' mededeelingen over de Pythagoreische leer zijn zeker niet zeer gelukkig geslaagd. Intusschen zgn het auf pogingen ter verklaring, en haar beständig bewijst dat de schränkern hin Aristoteles trachten te begrüßen. Vele nieuwärte auteurs geven den vertaalden tekst van Aristoteles zonder eenige toelichting, als ware hin uit zielle helder genoeg. Zeiler laat bev. de Pythagoreërs opmerken dat elk afeeleid. Maar — zal men zeggen — bij de waarheid, die Prantl vermeldt, komt de gerade Zahl in 't geheel niet ter sprake? Zeker niet, tenzij Prantl ons mededeelt, wat het even getal is, welche im Foiem-Exponent liegt. En waarom dat onvindbare even getal de eigenschap der onbegrensdheid heb ben zou, blijft geheel raadselachtig. De toelichting van Prantl is inderdaad minstens even duister als de plaats zelve. Beter dan dergelijke commentaren schijnt mij de openhartige verklaring dat men deze woorden van Aristoteles volstrekt niet begrijpt. Zie M. Cantor, Vorlesujigen über Geschichte der Mathematik. Leipzig 1880, biz. 131, 132. Ap<o>TOT^Xî^ ^£ iv tS TTv^xyopiKu rb ev ^niatv àf^porépùcv fie» réxsiv TÎ?ç (pvffsùûç' àpriu fièv yàp ^rpcffre^ev yrepiTTOv 7roês7f7reptT' TU ^d »prtov^ 0 ovK eiv v.ivvxrot si fjtyî àfx^olv ex7v (pvs'sotv ia6T€7xsv» Zie Zeller, die Philosophie der Griechen I, 4de uitgave bl. 368. (17) Getal zich deels in even deels in oneven bestanddeelen laat verdeelen. Uit deze opmerking zullen zy afgeleid heben dass das Ungerade und das Gerade die allgemeinen Bestandtheilen der Zahlen und weiterhin der Dinge seien; und indem sie nun das Ungerade dem Begrenzten, das Gerade dem Unbegrenzten gleich setzten, weil nemlich jenes der Zweitheilung eine Grenze setzt, dieses nicht, so erhielten sie den Satz, alles bestehe aus dem Begrenzten und dem Unbegrenzten. Als bewisperte vor dem meermalen genoemde plaats van Aristoteles aan, die echter zooals men ziet de getallen niet onmiddellijk uit het evene en onevene doet ontstaan, maar uit eenheden, die elk het evene en onevene zullen bevatten. Zeiler geeft niet de minste opheldering aangaande de duistere taal van Aristoteles, en wg kunnen uit zgne woorden niet eens bemerken dat h^ haar duister vindt. Toch had Boeckh de zeker niet onjuiste opmerking gemaakt i^die geraden und ungeraden Zahlen seien vom Unbegrenzten und Begrenzten zu unterscheiden^ da sie alle als bestimmte — begrenzt seien hierop antwoordt Zeller met Pythagoreische duisterheid » doss das Gerade und Ungerade etwas anderes ist als die gerade und ungerade Zahl; diese ist nothwendig immer eine bestimmte, jene sind Bestandtheile aller Zahlen, sowohl der geraden, als der ungeraden, und sie stehen insofern dem Begrenzten und Unbegrenzten ganz gleich. Dat will zeggen: volgens Zeller is elk getal, even of one even, volkomen bepaald en Der halve begrensd. Deze bewering zal niemand tegenspreken. Maar het evenen en het onevene zyn volgens hem bestanden van alle getallen en in zoo verre geheel gelk aan het begrensde en het onbegrensde, die hij derhalve ook als bestandene van alle getallen moet denken. Wie aan deze woorden van Zeiler een verstaan baren zin kan hechten, die begrijpt ook de plaats van Aristoteles. Maar als men in het ongelukkig geval verkeert daarin slechts klanken zouder zin te vernemen, dan vraagt men nader opheldering en vermoedt dat de zaak niet ge- O Zeiler, t. a. p. blz. 322. Zeiler, t. a. p. blz. 324. Boeckh's F/iüolaus, blz. 52 m 53. Zeiler, t. a. p. blz. 324. Boeckh's F/iüolaus, blz. 52 m 53. KTTSUL. 3^® BKEK8. DEEL II. 3 (18) Makelek wezen kan, daar zelfs Zeiler op dit pont sboo totaal  voor zoo antieke denkers als de Pjthagoreërs waren; maar afgezien van zène theologische wending schgnt mg Boeckh in minder heldere taal zekere bruikbare vingerwgzingen tot een beter begrip van het onderwerp te geven. Schaarschmidt, die de door Boeckh uitgegeven en voor echt gehouden fragmenten van Philolaus aan eene scherpe criticik onderworpen heeft en tot het resultaat komt dat zg alle onecht zgn, schgnt mg aan het vraagstuk, dat ons thans bezig houdt, niet de noodige aandacht gewgd te hebben. Heg vindt in een Philoläus-fragment de uitdrukking; het eenste samengevoegde, wordt Hestia genaamd (ro bv, to fftçatov açiAOCf-d'êVf iaxia naXélrai). Die uitdrukking is in zgn oog zoo ongergmd, dat hg de onechtheid van het fragment reeds door die ongergmdheid uitgemaakt acht. Ook Schaar-schmidt toch schgnt, gelgk meer andere beoefenaars van de philologische critiek, uit te gaan van de stelling dat, als een plaats strgdt met andere, wier echtheid niet betwgfeld wordt, of als zg al te onbegrgpelg is, de een of andere falsaris de hand in het spel moet gehad hebben. Nu is het in zgne oogen het toppunt van onverstand te spreken over (19) het eene, dat het eerst samengevoegd is. Na eenige andere misslagen van den ongelukkigen auteur Tan het Philolans- fragment opgeteld te hebben, vervolgt 'hg: i^und damit die Sache voll werde, mues das Eine zusammengefügt werden* Wie der Fragmentist auf die letztere, völlig wahnschaffene Vorstellung geratken sei, würde man auch nicht einmal ver^ muthen können, wenn nicht eine Stelle der Aristotelischen Metaphysik die Aufklärung darüber an die Band gâbe^\ En dan citeert Schaarschmidt de reeds meermalen besproken plaats, waarin wg lezen »dat het eene uit die beiden be- staat, want dat het zoowel even als oneven is". T^AristO" teles will sagen — zoo luidt Schaarschmidt's exegese — dass die Pythagoreër das Eine als die gemeinschaftliche Potenz oder Quelle des Geraden und Ungeraden und damit der Zahl überhaupt ansahen — unser Fragmentist aber versteht das Wort to 6*iv eê âiigxnéçoiv rovra^v so, dass et* das ev zusammengefügt werden lässt! ^)". Mg dunkt: ieder, die leest wat er staat, moet met unsern Fragmentist zeggen dat het ééne hier als samengesteld, en wel uit twee bestanddeelen samengesteld, gedacht wordt. Waarom nu het denkbeeld van eene samengestelde eenheid wahnschaffen zou zgn, is Schaarschmidt's geheim gebleven. Maar wel bleek ons duide- lijk dat hg evenals de oude commentator Asclepius de plaats verstaanbaar tracht te maken door er juist het omgekeerde in te lezen van wat Aristoteles zegt. Ook deze uitlegger helpt ons dus niet aan eene oplossing van de bestaande moeilgkheden. Het komt möchte voor dat men te verklaring van de plaats van Aristoteles, wie te vergeefs bg Zeiler, Bockh en Schaarschmidt zochten, eenig licht kan putten uit eene beschouwing van Plato's Philebus, mits men die in verband brenge met eene gewichtige Pythagoreische ont-dekking op wiskundig gebied. Dat Plato in den Philebus zgnen Socrates veel meer Pythagoreische denkbelden laat voordragen dan in de meeste andere dialogen, wordt algebliche Schaarschmidt, das angebliche Schriftstellerei des Philolos, blz. 88, tueen erkend. Ik laat daarom de nadere toelichting van deze bewering, aan wier juistheid ik niet twgfel, achterwege. De wiskundige ontdekking die bedoel, is bet inzicht. Dat er onderling onmelde grootheden van dezelfde soort bestaan en ten gevolge daarvan de onderscheiding yan het irrationeele en rationeele in wiskundigen zin. De dia-gonaal en de z^de van het vierkant schgnen de eerste gelegen geweest te zijn, waarvan bewezen werd dat z^ onderling onmelde onmelde onmelde van Pythagoras, waaruit zg onmiddellgk voortvloeit. Wordt de zijde van 't vierkant door a vooigesteld, dan is de dia-gonaal a  de diagonaal 1 en < 2 M. ; drukt men de lengte derzelfde zgde uit door 10 dM, dan blgkt de diagonaal > 14 en < 15 dM te zgn; is de zgde 100 cM, dan is de diagonaal > 141 cM en < 142 cM. Hoe klein men ook de evenmatige deelen der zgde kieze, hoe talrgk men ook het aantal gelgke deelen neme, waarin zg verdeeld ge-dacht wordt, nooit zal de diagonaal een veelvoud van een dier deelen zgn. En omgekeerd ; geen nog zoo kleine lengte, die een geheel aantal malen in de diagonaal begrepen is, kan zonder overschot te laten op de zgde uitgezet worden . Terwgl dus byv. lengten van 3 M. en 5 M. een gemeene maat hebben, ai'^iiistcoif rationales zgn, zoo hebben diago* naai en zyde van het vierkant geen gemeene maat; zg zyn oöviAfiBrcoi^ irrationales* Evenals de Pythagoreërs volgens Philolaus en Aristoteles in het ^Tctpsv en de Tépz de elementen van alle dingen sden, doet dat ook de Phüehus, Deze dialoog wigst op de noodzakelijkheid om aan te geven, hoe veelheid en eenheid in de ideën vereenigd zijn (pag. 15 A) en toont daardoor, hoezeer Plato's geest reeds overhelt tot den laatsten vorm, dien zijne leer aannam; eindelijk schijnen de ascetische philosophen (/MC^io-if-x6t*ç T^y Tîfç é^övïf^ èvvxfjLtv, 44 C) die in den P^ T^tM op zoo waar-deerende wijze bestreden worden, Pythagoreseerende Platonisten te zijn, zooals Grote in zijn Plato betoogt. Zie t. a. p. Vol. II, blz. 609 vlg. Deze eigenschap van het quadraat wekte iu hooge mate de aandacht. Wg bemerken dat zeer duidelgk bg Aristolites^ die wel een dozgn malen de onderlinge onmeetbaarheid van zijde en diagonaal te pas weet te brengen, ofschoon hg geen enkel werk over wiskunde geschreven heeft. Verwunderligk — zegt hg bgv. in Metaph. A Cap. 2 — komt het eder voor, als een ding, dat niet tot de allerkleinste behoort, toch niet gemeten kan worden. Dat hg hiermede aan de bedoelde wiskundige eigenschap denkt, blgkt weinige regels Verder. Om te bewgzen dat de vermeerdering onzer kennis groote verandering moet brengen in de gelegenheden, waar-bg wg ons verwonderen, zegt hg daar: »Niets zou een wis-kunstenaar meer verwonderen dan dat de diagonaal meetbaar was*. Daaruit volgt dat de onmeetbaarheid van de diagonaal met betrekking tot de zgde een feit was, dat bg de leeken in de wiskunde groote verwondering placht te wekken. Ook Plato laat in den Theaetetus, duidelgk bemerken dat he bestaan van onderling onmeetbare lengten hem zer merkwaardig voorkomt. Socrates betuigt daar zgne groote tevreidenheid over de mededeeling van Theaetetus, dat i/3, j/5, i/7 en nog eenige andere grootheden irrationeel zgn, en prgst hem, omdat hg op grond daarvan komt tot de onder-scheiding der getallen in vierkante, die een meetbaren qua-draatwortel hebben, en rechthoekige, die zelweich een wortel niet hebben, en tot eenere verdeeling der Ignen in lengten fiijxi], die zelve meetbaar zgn met de lengte-eenheid, en machten dwäfieig, die zelweich door de lengte-eenheid niet gemeten worden, maar wier quadraten gemeten worden door de vierkante eenheid. De belangstelling, door Plato en Aristoteles aan deze Wis* kundige waarheid gewijd, is niet meer dan naturg. Weinig ontdekkingen zgn in de geschiedenis der wgsbegeerte belang- gker dan het formuleeren van de tegenstelling tusschen het irrationeele en het rationeele. Zg leidt toch onmiddel- Igk tot eene andere, und. die van de continue en de dis- continue of discrete grootheid. De moeilgkheden, die de O Plato's Theaetetus pag. 147 C— 148 E. (22) Continuement van lengte en tgd aan het menachelk denken aanbiedt, zgn een van de krachtigste prikkels voor de ont- wikkeling der philosophie geworden ; men denke slechts aan de zoogenaamde sophismen van den Eleatischen Zeno en aan den machtigen invloed der Eleatischen. Welnu, de bezwaren in het denkbeeld van het continue konden zich (23) Eerst vertoonen, toen dat begrip gevormd was, en het is gevormd naar aanleiding van het bérip van het irrationeele, en wel op de volgende w^ze. De Grieksche wiskundigen bepalen het getal als eenheden. De eenheid is dus voor hen geen getal, en evenmin de gebrokens. De getallen, zoo gedefinieerd, zgn discontinue of discrete grootheden. D. w. z. tusschen twee op elkaar volgende termen van de reeks der getallen, 2 en 3 begv., is een sprong; men kan zich daar tusschen geen enkel getal denken. Neemt men termen van de reeks, die niet onmiddellgk op elkaar volgen, begv. 7 eu 10, dan laten zich daar getallen tusschen in denkeu; maar niet onbepaald vele; in ons geval slechts twee, umi. 8 en 9. Dit is het karakter der discrete of afgebroken grootheid; zg is voor vermeerdering en vermindering vatbaar, maar alleen begren; tusschen elk paar Graden, waarin zg zich voordoet, laten zich slechts een bepaald aautal andere denken. De onderlingen onmehärde van diagonaal en zgde van t vierkant bewgst nu, dat de lengte niet is eene discrete grotheid, die zooals het getal slechts vermeerdering met een bepald quantum als minimum en altgd met hetzelfde quanum als minimum toelaat. Kan de diagonaal, zooals de Pythagoreërs bewegen hebben, met de zgde geen gemeene maat hebben, dan kan er tusschen 1 M. en 2 M. ook geen bepald aautal lengten liggen. Verdeelt men dien tweeden meter in tienduizend deeleu, dan kan de diagonaal niet gelegen aan den eersten meter plus een geheel aautal van die tienduizend deelen; want dan zou hg meetbaar zgn door ^/loooo ^' Dezelfde redeneering geldt, in hoeveel deelen men de zgde ook gedeeld denke. Hoe weinig verschil er der halve ook besta tusschen twee lengten, altgd laten zich onbepaald vele daartusschen gelegene denken. Met andere woorden: de lengte is eene grootheid, die niet, zooals at gelegene vermindert, maar eene zoo-danige, wier wieziging geen minimaalgrens heeft, m. a. w. eene continue grootheid. Onder de lofredenen op het onderwas in de wiskunde behoort ook, dat het ons voor autoritéitsgeloof bewaren zaL Ik betwöchfel of die lof wel zoozeer verdiend is, als men gewoonlk meent; zeker is het dat men van den beginuenden wiskunstenaar eene zekere mate van autoritéitsgeloof vordert. Zoo neemt men thans gewoonlk stilzwägend de continuät der lengte, hare deelbaarheid in 't oneindige, aan en verlangt dat de leerling het ook zal doen. Heeft häuen nie enen, den indruk gekregen dat die continuät eene van zelf sprekende waarheid is, dan is het voor hem naturlyk niet zoo gemakkelgk op te merken, hoe zy in den loop der tyden langzamerhand erkend wordt. Aan deze omstandigheid moet ik het  Simplicius en Themistius deelen ons mede dat Xenocrates haar verdedigde, en wel om de moeilijkheden in de grondbegrippen der naturwetenschap teontgaan, op wier bestaan Zeno's argumenten wezen. Zie Simplicius Phys. 