Nieuw archief voor wiskunde
*) Voor eenige jaren is door den heer Beghin een rekenliniaal in den^ handel gebracht, die eenigzins afwijkt van de meest gebruikte (van Mannbiim). De methode door den heer B. aangegeven om een vierkantsvergelijking o{> te t o won vereischt het telkens optellen van twee getallen van 3 of 4 cijfers. Men is daarbij spoedig geneigd die getallen telkens op te schrijven, waaidoot hal nut tan de rekenliniaal vrij wel verloren gaat, en de oplossing meer tijd vereischt dan de directe. Yerder dan de oplossing van derdemachtsvergdijkingen gaat de heer B. aiel. Digitized by Google K2d EEN NIEUWE CIRKEL IN DEN MODERNEN DRIEHOEK , DOOR H. A. W. SPECKMAN. (Arnhem.) § 1. Zij ABC de gronddriehoek , H het hoogtepunt, O het middelpant Tan den omgeschreyen cirkel, Hr het reciproke of isotomiBch toegevoegde punt aan H. Zooals bekend is, is Hr ook het punt A van Brocard, met het zwaartepunt Z en het ftjonmediaanpunt K van driehoek ABC op eene lijn gelegen ^ zoodat aZ = 2ZK is; het is dus anticomplementair met het symmediaanpunt. Zg N het punt van Tarry , R dat van Steiner van A ABC , N' het midden van HHr , O' het midden van Br^\ Zooals bekend is , loopt HrH // aan OE en is ^ 20E ; dos HrN' JL OK of aan den diameter van den Brocardcirkel. § 2. Zij A^B'C' een driehoek, omgekeerd gelijkvormig en perspectivisch met driehoek ABC , en tot perspectivisch middeU punt hebbende het zwaartepunt Z van driehoek ABC. De meet- kundige plaats der punten van A ABC , die met de gelijkstandige puiiten van a A'B'C' op ééne lijn zijn gelegen, gaande door Z, is eene gelgkzijdige hyperbool, gaande door Z, A, B en C. Evenzoo is de meetkundige plaats der punten van A A'fi'C', die niet gelijkstandige punten van A ABC op ééne lijn door Z liggen, eene gelijkzijdige hyperbool, gaande door A',B',C' en Z. De hoogtepunten H en H' der driehoeken ABC en A'B'C' «ijn gelgkstandfge punten. Ook liggen ze op de gelijkzijdige hyper- bolen ABCZ en A'B'C'Z , dus H, Z en H' liggen op ééne lijn. NoemeA we de orthologische middelpunten N en N' der drie- hoekeu ABC en A'B'C' normaêttpunten der driehoeken ABC en A'B'C', dan ligt, zooals bekend is, N op den omschreven cirkel Yan A ABC en W op dien van A A'B'C'. Volgens de stelling : De orthologische middelpunten of normaalpunten van twee omgekeerd gelijkvormige perspectivische driehoeken liggen op Digitized by Google 368 ééne lija met het perspectiyisch middelpuat , liggen dus K, Z en N' op ééae lijn. Daar N en N' gelijkstandige punten der AA ABC en A'o'C' zijn, liggen ze dus ook op de gelgkzijdige hyperbolen ABCZ en A'B'C'Z.1 De normaalpunten N en N' zijn dus de vierde snijpunten dier gelijkzijdige hyperbolen met de omgeschreven cirkels der AA ABC en A'B'C'. Deze gelijkzijdige hyperbolen zijn dus de Eieperische hyper- bolen r en r' en hunne assen zijn eyenredig aan een paar ge- lijkstandige zijden der driehoeken. § 3. Er bestaat een oneindig aantal driehoeken A'fi'C', omgekeerd gelijkvormig met A ABC en perspectivisch er mede in Z. Daar de punten H, Z en H' op ééne ]jjn steeds liggen, is de meetkundige plaats der hoogtepunten van de driehods:en A'B'C' de lijn HZ. JN'emen we nu als hoogtepunt H^ van A A'B'C' het middelpunt O van den omgeschreven cirkel van A ABC, dan is A A'B'C' daardoor volkomen bepaald. Stelling. Trekt men door O lijnen, evenwijdig aan NA , NB, NC (N is het punt van Tarry van A ABC), die de lijnen ZA, ZB en ZC respectievelijk snjjden in de punten A^ B' en C', dan is A A'B'C' omgekeerd gelijkvormig perspectivisch met A ABC, hebbende tot perspectivisch centrum het punt Z van A ABC, en tot hoogtepunt H' het punt O van A ABC. Bewijs. Het punt van Tarry N van A ABC is het nor- maalpunt van A ABC met de driehoeken, omgekeerd gelijk* vormig met A ABC en perspectivisch er mede in Z, daar N het vierde snijpunt is van de gelgkzjjdige hyperbool ABCZ en den omgeschreven cirkel van A ABC. De lijnen NA, NB en NC staan dus loodrecht op de zijden B'C', CA' en A'B' der der driehoeken A'B'C'. De hoogteljjnen van de driehoeken A'B'C' zgn dus evenwijdig aan NA, NB en NC, en daar H' = O het hoogtepunt van den aangenomen A A'B'C' was, zijn OA', OB' en OC' // aan NA, NB en NC. Gevolg. De driehoek A'B'C' is homothetisch met den eersten Brocard-driehoek van A ABC. § 4. Het normaalpunt N' van A A'B'C' ten opzichte van A ABC of het punt van Tarry N' van A A'B'C' is het midden der lijn HH^ van A ABC. Digitized by Google 360 Bo wij 8. Yolgens de stelling, dat bij twee omgekeerd gelijk- vormige perspectivisohe driehoeken de hoogtepunten en de orthologisohe middelpunten (normaalpunten) op een cirkel liggen, liggen bij den gronddriehoek ABC en den eersten driehoek van Brocard ccfiy van dien gronddriehoek, de punten N", O, H en het hoogtepunt H, yan den 1"*®° Brocard-driehoek a/Sy op één cirkel. Het hoogtepunt H, is echter, zooals bekend is, het midden van de lijn HHr, terwijl N, Z en H, op ééne lijn liggen. Bij den gronddriehoek ABC en den driehoek A'B'C' zijn de hoogtepunten H en O , de normaalpunten K en N'. Deze vier punten liggen ook op eenen cirkel, terwijl JN*, Z en N' ook op ééne lijn liggen. Het punt N' valt dus samen met het midden H, der Ign HH,. § 5. De omgeschreven cirkel yan driehoek A'B'C' is de cirkel , op de lijn HrN' als middellijn beschreven. Bewijs. Het middelpunt der Kiepertsche hyperbool H van A A.'B'C' is het midden M' der lijn ON^, daar dit het midden is der lijn die het hoogtepunt O van A A'B'C' met het 4^^ snijpunt N' van F' met den omgeschreven cirkel van A A'B'C' verbindt. Nu is, als Z' het zwaartepunt van A A'B'C' is, de lijn ZZ' ook middehjn van F', dus ZM' = WZ' , en OZ'N'Z is een parallelogram of OZ' // ZN' en OZ // Z'N'. Ook is OK // H,N', OZ : OH = 1 : 3 , dus Z'N' : OH « 1 : 3. Zij O' het snijpunt van OZ' met N'H , dan is O'Z' : O'O = Z'N' : OH = 1 : 3 , dus O' is het middelpunt van den omschreven cirkel van A A'B'C' en O'F = «A N'H, dus O' is het midden van de lijn H^N', Gevolg. Z' van A A'B'C' is het midden van ZH,. § 6. De loodlijnen , uit het midden N' van HHr op de zijden van A ABC neergelaten, snijden den cirkel, op N'Hr als diameter beschreven, in punten A', B' en C', zoodat A A'B'C' omge- keerd gelijkvormig perspectivisch is met A ABC en met per- spectivisch centrum Z. Het bewijs volgt uit de vorige stelling. Stelling: De lijnen , uit Hr evenwijdig aan de zijden van A ABC getrokken, snijdea den cirkel, op H^N' als middellijn beschreven in punten A'B'C', zoodat A A'B'C' omgekeerd gelijkvormig perspectivisch is met A ABC en met perspectivisch centrum Z. 24 Digitized by Google B e w ij 8. Daar A', B' en C' gelegen zijn op een cirkel , met WHr tot diameter, is Z HrA'N' = 90°. Is dus HrA.'//BC, dan is N'A' ± op BC enz. Dus A A'B'C' is perspectivisch in Z met ABC. Gevolg. Hr is het Steinersche punt van A A'B'C'. § 7. Zij Kr isotomisch toegevoegd aan K in A ABC en Kr isotomisch toegevoegd aan K' in A A'B'C', dan vallen beide punten Kr en Kr samen in het snijpunt van NO en HHr. Bewijs. Het punt Kr van A ABC, isotomisch toegevoegd aan K, is, zooals bekend is, het perspectivisch centrum van den gronddriehoek en den eersten Brocarddriehoek. Het is het snijpunt van de lijn NO met HHr. Het punt K; van A A'B'C' ligt op de lijn N'O' of HHr. Verder is NO:OKr=rN'0':0'K;. Nu is 00' //NN', dus Kr en KJ vallen samen. Oevolg. De hyperbolen F en F' der driehoeken ABC en A'B'C' snijden elkaar in de punten Z en Kr. § 8. Het punt HJ van A A'B'C' ligt op de lijn NO, terwgl HrH; // OH is. Bewijs. Het punt H^ ligt op H'K^ of op OKr dus op NO. Ook is H iLf l KrHr ^== HKr l Krur* Dus is OKr : KrHr" - HKr : KrHr of HrH; // OH. Gevolg. Het punt K' van A A'B'C' ligt op de Ujn H^Z' zoodat H;:Z' = 2Z'K' is. § 9. Neemt men op de lijnen MA, M'B' en M'C' stukken Wa = M'A', M'/3 = M'B' en M'y = M'C', dan is a^y de eerste driehoek van Brocard van A ABC. Bewijs. A ccfiy is gelijk en gelijkvormig met A'B'C , dus omgekeerd gelijk en gelijkvormig met ABC. De middellga HrN' van den cirkel om A A'B'C' wordt ten opzichte van M' over- gespiegeld in de middellij a OK van den cirkel om A «j3y. Het punt Z' van A A'B'C' wordt Z van A ccfiy en vaa A ABC, dus a/Sy is de eerste Brocard-driehoek. Digitized by Google § 10. De as van perspectief L der driehoeken ABC en A'B'C' staat loodrecht op ISZ, B e w ij 8. De as van perspectief van twee omgekeerd gelijk- vormige perspectivische driehoeken staat altijd loodrecht op de hjn, die de orthologische middelpunten verbindt en deelt den afstand tusschen de diametraal tegenover de orthologische mid- delpunten gelegen punten middendoor. Dus de as van perspectief van ABC en A'B'C' staat ± op NN' of ± NZ en deelt den afstand H^R middendoor. § 11. Laat men uit de middens der zijden van A A'B'C' loodlijnen neer op de overeenkomstige zijden van A ABC, dan snijden deze elkaar op het midden der lijn H^O in een punt T^ Bewijs. Het punt Z' is het zwaartepunt van A A'B'C' en van A OH,N'. Zijn jwi, mi en »i^ de middens der zgden van A A'B'C', dan is A mamime de complementaire driehoek van A ABC. De loodlijnen, uit w«, mi en m^ op de zijden van A ABC neergelaten, zijn evenwijdig aan de lijnen N'A', N'B' en N'C'. T' is dus het complementaire punt van W. De punten N', Z' en T' liggen dus op ééne lijn, zoodat N'Z' = 2Z'T' is, en daar Z' het zwaartepunt is van A ON'Hr, is T' het midden van OHr. De lijn T'M' is een diameter van den negenpunt- cirkel van A A'B'C'. § 12. De loodlijnen, uit de middens der zijden van A ABC op de zijden van A A'B'C' neergelaten, snijden elkaar in een punt T, het midden der lijn RH. Bewijs. Zij T het midden der lijn RH, m^, wj en i»c de middens der zijden van A ABC. De driehoeken ABC en RHN hebben hetzelfde zwaartepunt Z. Nu is AZ : Zwa = 2 : 1 en NZ : ZT = 2 : 1 , dus w«T // AN of ift.T j. B'C^ É venzoo is WiT ± A'C' en m/F i. A'B'. Daar Z het zwaarte- punt van A NRH is, liggen N, Z en T dus op eene lijn, dus T, N' en Z liggen op eene lijn en H,R is // TN' of // ZN. De as van perspectief L der driehoeken ABC en A'B'C' staat dus ± op HrR, daar ze ± op NZ staat. Volgens § 10 wordt HrR middendoor gedeeld, dus L deelt HrR rechthoekig middendoor. 24* Digitized by Google 372 § 13. Yerbindt men het punt Hr met de^ hoekpaaten van A ABC, dan wordt de omgeschreven cirkel van A A'B'C' ge- sneden door de yerbindiogslgnen in de punten A^ , B^ en G,. Alsdan zijn de driehoeken A'B'C' en A^B^G^ perspectivisch. Evenzoo, verbindt men het pant van Steiner van A ABC met de hoekpunten van A A'B'C', dan snijden de verbindings- lijnen den omgeschreven cirkel van A ABC in de punten A2, B2 en C2. De driehoeken ABC en A2B2C2 zijn alsdan perspec- tivisch met centrum P. Bewijs. De algemeene stelling geldt: Zijn twee driehoeken PQR en pqr omgekeerd gelijkvormig en trekt men uit de hoekpunten yan driehoek PQR lijnen, evenwgdig aan de zgden van A pqr, dan snijden deze drie lijnen elkaar in één punt van Y van den omgeschreven cirkel van A ABC. Yerbindt men Y met de hoekpunten van A pqr^ dan snijden deze Ignen den omgeschreven cirkel van A PQR in drie punten P,Qj en R,, zoodat A PQR perspectivisch is met A P,QiR| *). Passen we deze stelling toe op de omgekeerd gelijkvormige driehoeken ABC en A'B'C'. De lijnen uit A', B', C' // aan de zijden van A ABC snijdea elkaar in Hr. De lijnen uit A, B en C // aan de zijden van A A'B'C' getrokken , snijden elkaar in het puot van Steiner R. Derhalve is A k'^'JCf^ perspectivisch met A'B'C' en A AjB^Cj perspectivisch met ABC. De perspectivische as van de driehoeken A'2B'2C2 on ABC is de pooUijn yan het centrum van perspectief ten opzichte van den omgeschreven cirkel dier driehoeken. Evenzoo is de as van perspectief van de driehoeken A2B2C2 en ABC de pooüija van het centrum van perspectief ten opzichte van den omge- schreven cirkel van A ABC. 1) Zgn de driehoeken PQR en pqr omgekeerd gelgkvormig, dan ver- andert het punt y op den omgeschreven cirkel van A PQR niet, als men de zgden van tipqr evenwydig aan zich zelf verplaatst. Verplaatst men nu alleen de zyde pq e ven wy dig aan zichzelf, dan ontstaan op de beenen rp en rq van ^ prq twee projectivische puntreeksen, /?i en q\ (ï = 1 , 2 , 3 , n , 00). Het punt V , met de punten pi en qi verbonden , geeft twee projectivische stralenbundels (Vpi) en V^j)» waarvan delgn, uit Y e ven wg dig aan pq getrokken , dus de lyn YBi een dubbelstraal ia. Digitized by Google 373 ËveDzoo is de Ijjii Vr of VR,, een dubbelstraal. Tot de bundel (Vpi) behoort de straal, uit V evenwjdig aan rp getrokken, dus VQ. Tot de tweede bundel (Vgi) behoort de straal , uit V evenwgdig aan rq getrokken , dus VP. Van de projectivische stralenbundels V(R, Rp P,, Q) en V(R , R, , Q^ P) vormen echter de dubbe^stralen met elk stelsel van de stralenparen (VP,, VP) en(VQ, VQO eene involutie, zoodat de twee stralenstelsels (VR, VP, VR) en (VR,, VP, en VQJ in involutie z^n. Als echter door het gemeenschappeljk toppunt V van twee stralen- bundels in involutie een willekeurige cirkel wordt gebracht, sngdentwee overeenkomende stralen den cirkel steeds in 2 punten, zoodat de ver- bindingslijnen dier twee punten steeds door éénzelfde punt gaan. Der- halve gaan de lynen RR,, PP, en QQ, steeds door één punt en zgn de driehoeken PQR en P]Q|R| perspectivisch. Gevolg 1. De gronddriehoek ABC is omgekeerd perspectivisch met den eersten Brocard-driehoek afiy. De Ignen, uit de hoekpunten van afiYf evenwgdig getrokken aan de overeenkomstige zyden van den drie- hoek ABC, sneden den Brocard-cirkel in het punt K (symmediaanpunt). De l^nen, die het punt E verbinden met de hoekpunten van A ABC, sngden den Brocard-cirkel in de punten a'j, /^j» 72' ^^ driehoek «2» ^2i Yn ^e tweede Brocard-driehoek, is dus perspectivisch met den eersten Brocard-driehoek afiy. Gevolg 2. Trekt men uit het punt van Steiner R van driehoek ABC Ignen naar de hoekpunten a, fi en y van den 1'^" Brocard-driehoek, dan sngden deze den omgeschreven cirkel van den A ABC in punten aj, /?2, yj, zoodat A 02^2^2 perspectivisch in Q is met A ABC. Deze drie- hoek a^P'jY2 Ï8 6en derde Brocard-driehoek, die in eenzelfde verband tot den gronddriehoek staat , als de tweede Brocard-driehoek tot den eersten. De as van perspectief J der driehoeken ABC en a^P^y^ is de poollgn van Q ten opzichte van den omgeschreven cirkel van ABC. De l^n OQ is das ± op de Ign J. Digitized by Google R 8 a, 9ba OVER DE VEKAHDERING , DIE DE LEVENDE KRACHT VAN EEN ZICH VRIJ BEWEGEND LICH/AM VAN ONVERANDERLIJKE GEDAANTE DOOR HET PLOTSELING IN RUST BRENGEN VAN EEN PUNT DAARVAN ONDERGAAT, me7k. a. g. kerkhoven— WYTHOFF. (Haatlem.) (Oplossiog van prgsvraag N^. 10 voor het jaar 1901.) De opgaaf luidde aldus: Yan een zich vrij bewegend lichaam van onveranderlijke gedaante wordt plotseling een zijner punten P iu rust gebracht door eene in dit punt aangrjjpende impulsie. Wat is de meet- kundige plaats der punten P zóó gelegen dat de nieuwe levende kracht eene gegeven fractie k zij der oude. Deze meetkundige plaats voor het algemeene of voor een of meer belangrijke bijzondere gevallen nader te bestudeeren. I. Vergelijking van de meetkundige plaats. Wij maken gebruik van de eigenschap , (Routh , Elementary Rigid Dynamics, § 295), dat bij het in rust brengen van een punt, het moment der hoeveelheid van beweging om elke lijn door dat punt onveranderd blijft. Stel de oorspronkelijke be- weging is gegeven, voor het zwaartepunt als basispunt, door de translatiesnelheden u^ v en w qvl de hoeksnelheden 6*x, wy en wzy waarbij de hoofdtraagheidsasson tot coördinaatassen zijn genomen. Ma^, Mt^ en Mc^ zijn de traagheidsmomenten om die assen. Wij bepalen het punt P door zijne rechthoekige coördinaten o:, y en c en noemen de traagheidsmomenten en producten van het lichaam, t. o. van evenwjjdige assen door P, Ma^^ Mt'^ Mc'2, Mrf'2, Mc'^ en M/'% waarbij d\ e' en f ook imaginair kunnen zijn. De hoeksnelheden van de gewij- Digitized by Google 375 tigde beweging om de laatstgenoemde assen noemen wij O,, Qy en 0«. Door op te schrijven , dat de momenten der hoe- yeelheden van beweging om de nieuwe assen vóór en na het aanbrengen van de impulsie, die hot punt P in rust brengt, gelijk zijn, verkrijgen wij het volgende stel vergeljjkingen : h^Vy+wx—uz^^-f^ü^ + V^ay^d^Q,, (1) c^i»3 + «y — rar - — e^Qx — d'^O, + c'^O, , ) waarin : a'2 = a2 + ya + z^ , d'^^yZj b'^==b^ + x^ + z^, «'2 = xz , c'^^c' + x' + y^ P^xy, Als de nieuwe levende kracht gelijk is aan k maal de oor- spronkelijke , die wij MT zullen noemen, dan is de arbeid, die de impulsie verricht = (1 — A;) MT. Dit geeft ons de vergelijking : (1 - A:)2T = (1 - h) {a\f,'' 4- 6^^ + c^ai,^ + «2 4. ^a 4. u)2) ^ = 2(m — 0.y -f Oy«) (u - cü^y + wy«) (2) Door de eliminatie van de Cs tusschen het stelsel (1) en verg. (2) verkrijgen wij de vergelijking van de gezochte meet- kundige plaats in dezen vorm : (l — k) 2T\'S.a'x^7^ + S6V(y2 + z") + a^6V| = = 'S^^x\'S.uxf + 26V [(y2 + z^) {u>yZ — w,y + uf + 4 \cy + i€z + x (w,y — WyZ)\^'\ + a^6V2(ü>ye - w,y + uY . . (3) De meetkundige plaats is derhalve een oppervlak van den ^deii graad ^ jn ^e vergelgking waarvan de verhouding k der beide levende krachten lineair optreedt. Hieruit volgt , dat de verschillende oppervlakken , die men voor varieerende waarden van k verkrijgt, een bundel vierdegraadsoppervlakken vormen , die uit den aard van het vraagstuk een geheel en al onbe- staanbare basiskromme moeten bezitten, terwijl zij de bestaan* bare ruimte enkelvoudig vullen. Daar het in het algemeene geval niet mogelijk is bij het vastleggen van een punt de levende kracht onveranderd te laten en evenmin het lichaam door het vastleggen geheel tot rust te brengen , zal er een Digitized by Google 376 maximaalwaardc zijn voor k^ kleiner dan één, waarboven geen bestaanbare oppervlakken mogelijk zijn en eveneens een mini- maalwaarde, grooter dan nul, waaronder de oppervlakken onbestaanbaar worden. II. 1*'* bijzonder geval : de maximaalwaarde voor k is gelijk aan de éénheid. Het 2'^' lid van verg. (3) is voor die waarde van k gelijk nul en dit kan (voor a, 6 en c van nul verschillend) alleen geschieden voor: W = Wgi/ — WyZ , en M? = WyX — toxy* Dit wil zeggen: het punt, dat wij vasthouden, had bij de oorspronkelijke beweging geen snelheid. Deze beweging was dus een zuivere rotatie en het oppervlak wordt dan voor X; = 1 gereduceerd tot een rechte : de rotatie-as. III. 2^^' bijzonder geval : de minimaalwaarde voor k is ge- Igk nul. Als het mogelijk is de impulsie zóó aan te brengen, dat het lichaam geheel tot rust komt, moet het stelsel (1) een oplos- sing toelaten als alle O's nul worden gesteld , dus moet kunnen worden voldaan aan : a^wx + vz — wy = O j b^iüy + iTj; — «2? = O , en c^we + «y — vx ^= 0. Deze vergelijkingen zijn strijdig tenzij 'S.a^wxU = O , in woor- den: tenzij de snelheid van het zwaartepunt ligt in het vlak, dat t. o. van een traaghcidsellipsoïde toegevoegd is aan de richting van de tijdelijke schroefas. Ee drie vlakken , waarvan de vergelijkingen dan afhankelijk zijn, snijden elkaar dan volgens een lijn, die in dat zelfde aan de richting (&»« , w,, ai«) toegevoegde vlak ligt. Deze lijn is evenwijdig aan de snelheid van het zwaartepunt, zij is voor k= O hier de gezochte meet- kundige plaats. Dit alles had men ook door mechanische beschouwingen kunnen vinden nl. door op te merken, dat een beweging, die Digitized by Google 377 door een impulsie TerDÏetigd kan worden , zoodanig is , dat zij door een ztiiTeie impulsie kan worden vcM>rtgebraeIit. lY. S^ bijzonder geval: geljjke traagheidsmomenten^ Wij stellen a = o = c. De lijn door het zwaartepunt even* wgdig aan de Bchroefas nemen wij aan tot Z-as , dan is cd« = O en wy = 0. Tot T-as nemen wij de richting loodrecht op de translatie van het zwaartepunt en op de schroefas^ m. a. w. wij laten het YZ-vlak door de schroefas gaan , dan is r = O ; u? is dan de translatie volgens de schroe&s. Wij kunnen steeds de assen zoo aannemen , dat u en Wg positieve grootheden zijn , voor U7> O is de schroeibeweging dan linksdraaiend. Wij stel- len w« = üi en kunnen in dit bijzondere geval beide leden van verg. (3) deelen door den steeds positieven factor a?^ + y* + ^s^ + c^. Na rangschikking wordt dan de vergelyking : x^(w^ — K) + y^ (m^ + w^—K)-\-z^ (u^ + cV - K) - 2 uwxz + -f 2 c'uwy + c V - c*K = O (4) waarin 2kT = K is gesteld. De bundel 4**' graadsoppervlakken bestaat nu uit een onbe- staanbaar 2^* graadsoppervlak en uit een bundel 2^^ graadsop- pei vlakken. Wij zullen nu onderzoeken voor welke waarden van x, y en z de nieuwe levende kracht en dus K maximaal is. Daartoe differentieeren wij verg. (4) achtereenvolgens naar de 3 veran- derlgken, waarbij wij de differentiaal-quotiënten van E nul stellen. Dit geeft : («?* — K) :r — ttM?2f = O , (5) (t<2+ M?2_K)y+ c2wüi = 0, (6) en («» + c^co^ - K) ^ - uwx = (7) Combinatie van deze vergelijkingen met verg. (4) geeft : wwy + (T^o.^ - K = O (8) X Eliminatie van — tusschen de verg. (5) en (7) en van y z tuBSchen de verg. (6) en (8) leidt tot dezelfde vierkantsverge- lijking in K, nl. K» - (li» + ijo^ + c^cü«) K + c2cü»m;» = o .... (9) Digitized by Google 378 De wortels van deze vergelijking , die steeds positief ea be- staanbaar zijn , geven ons de maximum- en de minimumwaarde van K, die wij K, en K3 zullen noemen. Zoowel met Ki als met K3 correspondeert niet een enkel punt P , maar een reeks punten , die een rechte lijn vormen. Zoowel voor K = K, als voor E = K3 reduceert zich derhalve het oppervlak tot een rechte. Als verg. (9) gelijke wortels heeft, wat zal geschieden voor w = O, tu* == c*to>* gaat de verg. van het oppervlak over in: k . 2m?« (x^ + y8 4- 2« + c«) = w^{a^ + y^ + z^ + c»). Welk punt van het lichaam wij ook vasthouden , altijd wordt de levende kracht daardoor tot op de helft teruggebracht. De voorwaarde hiervoor is in woorden : de schroefas moet gaan door het zwaartepunt en de levende kracht van de translatie moet gelijk zijn aan die van de rotatie. De verg. (5)--(7) zijn tevens de vergelgkingen , die ons voor een bepaalde waarde van E de coördinaten van het middelpunt van het 2^' graadsoppervlak geven en verg. (8) is de voor- waarde , dat dit middelpunt op het oppervlak zelf ligt. Yoor E = E] en E = E3 is er een oneindig aantal middelpunten op het oppervlak, die een rechte lijn vormen , waartoe het oppervlak zich reduceert: het oppervlak bestaat dan uit twee onbestaanbare vlakken , die elkaar volgens een bestaanbare rechte snijden. Hieruit volgt, dat de basiskromme van den 1)UDdel bestaat uit een scheeven vierhoek met toegevoegd onbestaan- bare zijden. In het algemeen is de meetkundige plaats van de middelpunten van een bundel 2"** graadsoppervlakken een ruimtekromme van den 3<^" graad. De beide gevonden rechten moeten daarvan een deel uitmaken, derhalve bestaat zg hier uit 3 rechten De derde lijn is de lijn, die wij tot Y-as heb- ben aangenomen, want, als het oppervlak een middelpunt heeft , zijn daarvan de coördinaten : x = 0, y = — — = ,2 = 0. M* + M?^ — K De beide met E, en E3 overeenkomende rechten kruisen elkaar rechthoekig. Zij zijn beide evenwijdig aan het XZvlak en de vergelijkingen van hun projecties daarop zijn (u;* — K^)x = uw2 uw uw en (w^ — E3) a? = uwz. S<ellen wg nu —z — ■—- X —7: — = ? *^ M?* — El M?' — K3 Digitized by Google 379 of 3 {m?* — (K, + Kg) w^ + KjKgJ = m>m;«, dan volgt uit verg. (9) dat de coëfficiënt van q gelijk is aan •— u^w^^ das g = — 1 , waarmede het gestelde bewezen is. Voor het geval K = w* + u^ ligt het middelpunt oneindig ver. Wij stellen die waarde van E gelijk K2 en kunnen dan aaotoonen : ^1 > ^2 > ^3' Als er een middelpunt is, kunnen wij de assen daarheen verplaatsen. Om daarna de vergelijking op de hoofdassen te verkrijgen , moeten wij de reeds evenwijdig verplaatste X- en Z-assen draaiend om een hoek a : 2 uw tg 2 a = — — — , onafhankelijk van K. «?* — M* — C*ül* De Y-as is in zijn oorspronkeljjken stand reeds hoofdas. Als wij nu de assen steeds een positieven hoek kleiner dan 90^ willen draaien , neemt de getransformeerde vergelijking twee verschillende vormen aan , naarmate w positief of negatief is. Yoor een gemakkeiijk overzicht zullen wij dit dus niet doen, de getransformeerde vergelijking is dan : (K3-Ky»+(g2-g)y"+(K.-Ky»+c' ^^'~^j^^^~^ ^=o..(io) Yoor w<iO zijn de assen nu niet den kleinst mogelijken hoek gedraaid; was dit het geval dan waren de coêfSciênten van x'^ en z'^ verwisseld. Yoor verschillende waarden van K neemt het oppervlak nu ook verschillende vormen aan : V' geval : K < K3. Er is geen bestaanbare meetkundige plaats , want de coëf- ficiënten van de kwadraten x^^ y'*, z'^ en c* in verg. (10) zijn alle positief. 2"^' geval: K = Kg. Uit verg, (10) volgt dan y' = O, z' = of de nieuwe X-as. 3^* geval: K2 > K >K3. De coëfficiënt van x'^ en de bekende term zijn negatief. Het Het oppervlak is een hyperboloïde met één blad. De keel- ellips is in het nieuwe YZ-vlak. Het middelpunt ligt op de negatieve Y-as en wel verder naarmate K grooter is. Digitized by Google 880 ¥' geval: K = K2. , ! Het middelpvnt ligt oneindig Ter op de T-as. Verg. (4) gaat over in: Het oppervlak is een paraboloïde en wel een hyperbolische paraboloïde, want het XZ-vIak wordt yolgens een hyperbool gesneden. b^' geval : K, > K > Ka- De coëfficiënt van z'^ en de bekende term in verg. (10) heb- ben het tegengestelde teeken van de coëfficiënten van a;'* en y'*. De vergelijking stelt een hyperboloïde met één blad voor, maar nu met de keelellips in het nieuwe XY-vlak, dus lood- recht op die van het 3*** geval. Het middelpunt ligt nu aan den positieven kant van de Y-as en wel minder ver naarmate E grooter is. 6''* geval: K = K,. De meetkundige plaats is de nieuwe Z-as. V' geval: K>K,. Er is geen bestaanbaar oppervlak. Om de grootte van d^ assen in het 3"** en S'** geval te onderzoeken, schrijven wij de vergelijking aldus: -— 4- ^— 4- — - 4-1=0. , K,-K + (K,-K)(K3~K) ^ K3-K^ "" K, - K (Ka - Kf Ka - K In het 3**' geval nemen de drie assen toe met E en in het 5**' geval af. Wg hebben dus het volgende : Als de beweging van een lichaam met gelijke traagheids- momenten gegeven is, is voor de meetkundige plaats ook de richting van de hoofdassen gegeven , maar niet de plaats van het middelpunt op de T-as of de grootte der assen. Nu is er een kleinste waarde voor k , waaronder het vraagstuk geen oplossing toelaat. Welk punt van het lichaam wij vasthouden, altijd is de nieuwe levende kracht grooter dan een bepaalde minimumwaarde. Yoor die minimumwaarde is de meetkundige plaats een Ign , loodrecht op de Y-as aan den negatieven kant. Nemen we k grooter, dan gaat die lijn over in een Digitized by Google 381 hyperboloïde roet één blad , waaraan het middelpunt met groo- ter wordende k steeds verder naar den negatieven kant van de T-as schuift en waarvan de assen steeds grooter worden. Eindelijk wordt het oppervlak een hyperbolische paraboloïde , als het middelpunt oneindig ver op de negatieve zijde van de Y-as is gekomen. Deze paraboloïde heeft loodrecht op het flak van de parabool, die haar opening naar de negatieve zijde van de Y-as heeft , een andere parabool met haar opening naar de positieve zijde en denzelfden top. Als k nu verder aangroeit, komt het middelpunt van deze laatste parabool naderbg op de positieve Y-as en het oppervlak wordt dus weer een hyperboloïde met ééu blad, maar nu met het mid- delpunt op de positieve Y-as en de onbestaanbare as loodreeht op die van de vorige hyperboloïden. Naarmate k toeneemt nemen de assen af en komt het middelpunt naderbij , tot de hyperboloïde overgaat in een lijn, de onbestaanbare as, die de 1"^ lijn loodrecht kruist, k heeft dan haar maximumwaarde. Welk punt wij ook vasthouden , nooit heeft k grooter waarde. Het oppervlak is altijd een regelvlak. V. 4^* bijzonder geval : a = bj c = 0. Hierbij is de massa in een enkele lijn geconcentreerd , die wij tot Z-as aannemen. Wij stellen ons echter voor , dat een puot daarbuiten, tot het lichaam behoorend, kan worden vastgelegd. Omdat de momenten om alle lijnen in het XY- ylak gelijk zjjn , mogen wij de loodlijn op de projectie van de schroefas op dat vlak tot Y-as aannemen, waardoor wy nul wordt. De richting van dé X*as kunnen wij zóó aannemen , dat u positief is. Door in verg. (8) te substitueeren : c = O , w^ = 0, (l. — k)2T=sp^^ gaat zij over in een vergeljjking , die wij aldus kunnen schrijven : (a;8 + yi + z^-\- a^)\w^ ^p^) {x^ + y») + {ux + vyY X a^i»}xyH = =^Mx^ + y^)~z{ux + vy)^a^iü,j,l^ . . . . (U) of PQ = R8. wz komt in deze vergelijking niet voor en kan dus willekeu- rig worden genomen, bij?. =0, dan is de schroefas e\renwij- dig aan de X-as en u is de translatie, oi^ > O geeft een links- draaiende schroef; de schroefas snijdt het YZ-vlak in het punt I Digitized by Google 382 — w t> \ O, , — ). Meo kan ook aan wg een zoodanige waarde geven , dat de resulteerende rotatie loodrecht op de translatie van het zwaartepunt komt te staan ; de beweging is dan een zuivere rotatie om een bepaalde as ; w« moet dan yol- doen aan SmcéIx = O , hier mw, -f Wia}^ = 0. Als men een punt van de rotatie-as yasthoudt , verandert de levende kracht niet, derhalve is er geen van de éénheid verschillende hoogste grens Toor k\ p =^Q geeft een bestaanbare meetkundige plaats: de rotatie-as. Uit den Torm van de vergelijking volgt , dat de Z-as, dus de zware Ijjn zelf, dubbcllijn is voor alle waarden Tan p. Alle doorsneden door de Z-as worden dus gevormd door de.Z-as zelf en een kegelsnede. Daar de Zas voor alle waarden van k voldoet , is de levende kracht onbepaald als wij een punt van de zware lijn zelf vasthouden. Het onderzoek naar dubbellijnen op het oppervlak loopt parallel met dat naar maximum- en minimumwaarden van f* Verg. (Il) naar a:, y en gedifferentieerd, waarbij de diff. quotiënten van p^ nul zijn gesteld , en combinatie van de aldus yerkregen vergelgkingen met yerg. (11) geeft: 2a:Q + P^ = 2R^ (12) dx dx 2^ + p| = 2e| ,«) 2Q == — (wa; + ry) R (14) en Q = — yw,R (15^ Uit (14) en (16) volgt: zwxyl^ = (ux + ry)R (16) Hieraan kan worden voldaan o. a. door te stellen R =0, dQ dQ waaruit dan volgt : Q = O , ^r- = O en -v" == 0. d* dy Wij hebben dan : w{x'^ -\-y^) — z {ux + vy) — a^i»}xy = O of R = O , (1^2 _ p2) (a.2 _|_ y2^ + (^^ _[. ^yY ^ a\^xY = O of Q = O , (1^2 — y aj ^ ^ j^ ^j^^ + t?y) + O , (tc^ — /)*) y + f? {ux + vy) + a^t^x^y = O , waarvan de laatste drie onderling afhankelijk zgn. Digitized by Google 383 X — tusschen de laatste twee vergelijkiagen geëlimineerd geeft : (m« 4- fr« - p^) (a»ü),» + e?« + w^ — p^) - m8(?« = 0. een vierkantsvergelijkiDg in p^ waarvan wij de wortels, die steeds bestaanbaar zijn, Pj* en p^ zullen noemen, (pj* >p^). Voor beide waarden yan p* stelt Q = O voor: twee samen- vallende vlakken door de Z-as. De uit Q = O verkregen waarde van — in K = O gesubstitueerd , geeft de verg. van y een vlak, dat de Z-as snijdt en de Z-as zelf. Metp' =/7,^en en met p* = p^^ correspondeert als meetkundige plaats de Z-as en een lijn , die de Z-as snijdt. Deze lijnen zijn dubbellij nen. Of py^ en p^^ ook maxima of minima van p^ zijn zal uit het volgende blijken : Aan verg. (16) wordt ook voldaan door ux-\-vy=z yzws. Dit geeft ons nog de oplossing : p« = 0, yiox == — w ^ ux + vy -{- wz = of de rotatie-as. p* = O is de minimumwaarde van p^. Uit verg. (11) blijkt, dat PQ steeds positief is en daar P positief is, kan Q niet negatief worden genomen. Q = O is in het algemeen de vergelijking van twee vlakken X door de Z-as , het is een vierkantsvergelijking in ~. De voor- waarde voor gelijke wortels is de vierkantsvergelijking in p^ , waarvan wij de wortels pi^ en pg^ hebben genoemd. Is p*>Pi^, dan kan Q niet van teeken veranderen, dit X teeken is negatief voor alle waarden van — . Voor p* > Pi* y is er dus geen bestaanbare meetkundige plaats en p,^ is de maximumwaarde van p*. Voor Pi*>p^>P2* zijn er twee X waarden van — , waartusschen Q positief is; het oppervlak is dus begrepen tusschen twee vlakken door de Z-as. Voor p* < P2* heeft Q altjjd hetzelfde teeken , maar dit is positief. De waarde p^ is dus geen minimumwaarde voor p. Digitized by Google 884 Id het algemeen geeft de combinatie van Q = O en R r= O 008 twee lijnen , die de Z-as in 2 verschillende punten snijden en die wij /, en l^ zullen > noemen en de Z-as zelf. De Ignen /, en 1^ kunnen ook onbestaanbaar worden; het zijn lijnen op het oppervlak, maar in het algemeen geen dubbelignen. Als wij in verg. (tl) x door p cos^ en y door psin ^ ver- vangen , door p^ deelen en daarna aan ^ verschillende constante waarden geven, verkrijgen wij de vergelijkingen van doorsne- den door de Z as met p en e als loopende coördinaten : p^l {u cos ^ + f? sin ^y + o^,^ sin^ ^ -jp^ } + 2f>zw{u cos ^ + d sin ^) + + z^l w^ + a'w,2 sin» ^ —p^l+ 2a^p(OgW sin ^ — — 2a^fOg sin ^z(ucos^^v sin ^) f a^{ u?* f (u cos ^ + 1? sin ^Y —p^ | =0(1 7) Als de kegelsnede een middelpunt heeft, zgn de coördinaten daarvan : a^wxio sin ^ a^ws sin ^ (u cos ^ '\-v sin ^) Z := • ^ aV^sin»^— 2?a' aVsin^^— ^a Voor a^tii^ sin^ ^ — p* = O , is de kegelsnede een parabool. Voor p2 <; o2^^2 of A;(a2^,2 ^ 1^2 -fl ^a ^ j^^a) > |<2 4. ^2 ^ ^^ ^gn er twee vlakken , die parabolische doorsneden geven. In woor- den is de voorwaarde voor parabolische doorsneden deze: de nieuwe levende kracht moet grooter zijn dan de levende kracht van de massa, geconcentreerd in het zwaartepunt en zich be- wegend als het zwaartepunt vóór de impnisie werd aangebracht Als de oorspronkeiyke beweging een rotatie was om een as door het zwaartepunt, zijn er dus altijd parabolische doorsneden. Als bij een gegeven oorspronkelijke beweging enkele oppcr- vfakken van den bundel geen parabolische doorsnede hebben, 2ijn die te vinden bij de kleine waarden van k. Als de oor- spronkelijke beweging een translatie was, zijn er geen parabo- lische doorsneden. De vergelijking, die ons de waarde van p geeft voor het middelpunt, kan aldus worden geschreven: Het is de projectie op het XY-vlak van de meetkundige plaats van de middelpunten. De vergelijking stelt voor: een Digitized by Google 385 kegelsnede door den oorsprong , de top. Het middelpunt ligt op de Y-as m y = — -. Deze kegelsnede is een parabool voor p^ = a^wj^, dus juist voor het geval , dat één van de doorsneden door de Z-as para- bolisch is. De kegelsnede is een hyperbool voor jo^ <^ ^2j^^2 ^ dus als er twee parabolische doorsneden zijn. Yoor de coördi- naten van het middelpunt geldt ook nog de betrekking p{u cos + «^ sin <!,) + zw = of ux + vy + wz = 0. Dit is de vergelijking van een vlak door den oorsprong, loodrecht op de snelheid van het zwaartepunt. De meetkundige plaats van de middelpunten is de doorsnede van dit ylak met een 2de graads- cilinder, waarvan de beschrijvende lijnen evenwijdig zijn aan de Z-as : het is dus een kegelsnede. W jj kunnen aantoonen , dat zij de lijnen /, en I^ snijdt. Stellen wij den hoek, dien een der hoofdassen van een door- snede door de Z-as met het XY-vlak maakt gelijk a, dan is: 2 uw cos dus onafhankelijk van p^ of van k: als wij de doorsneden be- schouwen van den geheelen bundel oppervlakken met een bepaald vlak door de Z-as, dan verandert daarin de richting van de hoofdassen niet. Verg. (17) wordt na assenverplaatsing en assen draaiing: r>'2 ft'2 2«2 "■^a*;>2Kwcos0-Ht?8in0)«-f-a2(„^«8in«04-w?^— i>^} * Wij kunnen nu nagaan hoe de opeenvolgende doorsneden ?ijn, Toor verschillende waarden van pK 1ste geval: p^ > pi^ Er is geen bestaanbare meetkundige plaats. 2de geval: p^ = p^^. De meetkundige plaats is een lijn, nK de samengevallen lijnen /, en Z^* 3de geval: pi^ >jp* >P2^. Het geheele oppervlak is begrepen tusschen de twee vlakken Toorgesteld door de verg. Q = O , die het oppervlak raken yolgens de lijnen /, en ?a- A-ls p^ weinig kleiner is dan jo,^ 25 Digitized by Google 386 blijft de noemer van z"^ in verg. (18) altijd klein en positief voor de weinige waarden van ^, die een bestaanbare door- snede geven, a'iü^'sin^^ — p^ is altijd negatief. Al die door- sneden zijn dus hyperbolen met een zeer kleine bestaanbare as. De onbestaanbare as wijkt in stand weinig af van die vaa de lijnen lx en h , die zelf onderling weinig in stand verschillen. Het geheele oppervlak heeft iets van een hyperboloïde met één blad, die men zou hebben vervormd door haar bij de keel- ellips tot één lijn (de Z-as) samen te drukken. Alle hyperbolen toch gaan door de Z-as. Wij moeten voor |>* > p^ nog onder- scheiden : a) jP' is tevens > a^w,^. De doorsneden zijn in de opeenvolgende vlakken : de lijn {,, hyperbolen met grooter wordende bestaanbare assen , met klei- ner wordende bestaanbare assen en de lijn /s- h) p^ = a^ws\ Op de hyperbolen met grooter wordende bestaanbare assen volgt een parabool , voor sin^ ^ := 1 , dan volgen weer de hyperbolen met afnemende bestaanbare assen. c) p^< oV. Tusschen de hyperbolen met toenemende en die met afne- mende bestaanbare assen hebben wij een parabool, ellipsen en weer een parabool. 4de geval: l>*=i?2*- De lijnen /] en I2 zijn nu samengevallen , doordat zij een ge- strekten hoek vormen. Alle doorsneden door de Z*as geven nu bestaanbare krommen. De twee raakvlakken, die nu samengevallen zijn , raken het oppervlak volgens een dubbellgn. Wij moeten nu weer onderscheiden : a) p* > a*«x*. Alle doorsneden hyperbolen. b. jo* = a*w,*. Eén doorsnede is een parabool. c) p^ < a*iw,». Er zijn twee parabolen en daartusschen ellipsen. De hyperbolen gaan nu nog niet in elkaar over, zij beginnen en eindigen met dezelfde lijn /, « Z^. 5de geval: p* < p2*. De doorsneden zijn weer, al naarmate jd' grooter dan , gelgk aan of kleiner dan a^ws* is, alleen hyperbolen, hyperbolen en Digitized by Google 387 eöB parabool of hypéi^bolen; een parabool, ellipsea , een para* bool en weer hyperbolea , die nu overgaan in de eerstgenoenlde hyperbolen, zónder lijn er tusschen^ Dë lijnen l^ én ^2 ^9^ imaginair. Naarmate p^ kleiner wordt, wordt hot deel van de doorsnede, dat ellipsen geeft, grooter. 6de geval: j?*=?. 0. Elk vlak door de Z-as snijdt het oppervlak in een punt, dat te beschouwenjs als een ellips met oneindig kleine assen. Het oppervlak is nu gereduceerd tot een lijn : ux f i?y + w^2? = O w -f üi,y = 0. Deze lijn, de rotatie is nu ook de meetkundige plaats van de middelpunten der doorsneden. Wij zullen nu in verg. (17) 2; als constant beschouwen , dan stelt de vergelijking de doorsnede van het oppervlak met een horizontaal vlak voor. Elke doorsnede heeft, als de lijnen /i en I2 bestaanbaar zijn, de projecties van deze lijnen tot raaklijnen en is geheel tusschen die lijnen gelegen in een van de hooken , die zij vormen of in twee overstaande hoekeu. Daar verg. (17) door ^^ is gedeeld, is de bekende term eigenlijk de coëfficiënt van p^ en de oorsprong is een dubbelpunt. De bekende term of ^^(m?* -H ö*io,* sin — p^) -^"2 a^wx sin 0? (e< cos ^ fi? sin ^) + -|- a* \w^ 4- (wcos <p -{- V sin ^)* — p^} beslist over den aard van het dubbelpunt. Heeft dez3 vorm gelijk nul gesteld en als functie van tg <i> beschouwd bestaanbare wortels, dan zijn de raaklijnen aan het dubbelpunt bestaanbaar. Dit geschiedt voor: De vorm tusschen de accoladen is positief voor alle waarden van z als p* kleiner is dan j?2^« Voor ^,* >;?* >;?2* teeft de vorm bestaanbare wortels en is dus positief voor z tusschen twee grenzen. Nemen wij nu in aenmerking dat p^^ altijd grooter is dan fT^, dan hebben wij het volgende: Is p' > P2* dan is voor z boven een bepaalde greus de oor- sprong een geïsoleerd punt in de doorsnede. Wordt z kleiner daa verkrijgt men eerst een doorsnede , waar de oorsprong een keerpunt is, dan doorsneden waar de oorsprong een crunode 25* Digitized by Google _ 38d is f YerTolgeiiB weer een keerpunt en Terder een geïsoleerd punt bg alle volgende dooreneden. Is P2^>p^>^^ dan hebben alle dooraneden in den oo> •prong een crunode. Yoor p^ = tr* hebben alle dooraneden in den ooraprong een keerpunt. Yoor p^ < ir' is de oorsprong yoor alle doorsneden een geïsoleerd punt. ' Wg kunnen dus zeggen , dat voor p* < tr' de zware Ign het oppervlak geheel loslaat. 