Nieuw archief voor wiskunde
Es wird nun nach dem Obigen wohl überflussig sein za bemerken dass die eiogangs gegebene Tangentenconstmction der Lemniscate nichts anderes ist als die allgemeine Construc- tion der Tangente in einem Punkte irgend einer Projection der Durohdringung zweier quadratischer Kegel. 2). Wir beweisen nun dass die Punkte M und N die Brennpunkte der Lemniscate sind indem wir auf elementar- planimetrischem Wege zeigen dass fur jedea Punkt P der Curve das Product PM.PN einen unveraaderlichen Wert hat, namlich T'M^ oder T'N^ oder 4r\ Zu diesem Zwecke wollen wir den Winkel a einführen den die Gerade s mit der Gerade MT' einschliesst , sowie die senkrechte Entfernung d des Punktes M von dieser Gerade. Es ist dann, weil die Badien der beiden Kreise r und rV2 sind: B,A = V2r^^~d~^ - V^^^^ , und BiS = K2^^^ + Vr^~^lP , und B, A : B,S = AP : ST' « AP : r , folglich : AP = r?l^=-!l B,S B,S2 ' denn B^A.BiS ist die Potenz des Punktes Bi in Bezug auf den inneren Kreis, und also gleich r\ Es ist nun der am Punkte M aniiegende Aussenwinkel des ASMA = 2a, somit auch der ZPAM = 2a, und folglich: MP2 = MA^ + AP2 - 2M A.AP. cos 2a , oder MP = r^ + r^-— -2-— .— ^- , oder Digitized by Google 335 MP»= -^^ (sr»— 2<P + 2 K(2r» - rf») (r* - cP) + 3/4 - 2^2 - - 2 1^(2»^ - (P) (r» - flP) + 4d> - 2r») oder endlich : AP : MP = MP : MN, Es iet nun aber in den beiden Dreiecken APM und PMN ^APM = ^PMN, wahrend soeben gezeigt wurde dass die diese Winkel einschliessenden Seiten proportional sind ; es sind also diese beiden Dreiecke ghnlich, und daraus ergibt sich: Z MPN = Z PAM = 2a. Schliesslich haben die beiden Dreiecke MAN und MPN gleichen Inhalt; der des erstern ist ^ MA. MN. sin 2a, und der des zweiten ^ PM.PN. sin 2a, also ist: PM.PN = MA.MN = 4r2 . q.e.d. 3). Es muss nun zunachst bemerkt werden dass die yon uns getroffene Anordnung der Figur allerdings die einfachste, aber nicht die einzig mögliche ist; es ist namlieh nicht nötig dem Punkte T' gerade die Entfernung r von S zu geben , sondern diese Entfernung ist im Oegenteil beliebig. Nimmt man T^ auf der Gerade MS anderswo an , womit dann natür- iieh auch die Punkte T'^, S, und S2 ihre Lage andern, so ist es immer noch möglich den Leitkreis des Kegels so zu be- stimmen dass er in den Punkten S| und 82 die Oeraden T'S^, T'82 berührt, nur wird er dann nicht mehr mit der Leitcurve des Cylinders concentrisch sein. Da aber trotzdem samtlichen Bedingungen der Aufgabe genügt wird, so wird auch jetzt wieder eine gewöhnliche Lemniscate entstehen , und es ist also die im Anfang gegebene Erzeugungsweise dieser Curve einer der jetzigen Disposition entsprechenden Yerallgemeinerung fahig, aber keiner der beiden nun getrennten Ereismittelpunkte wird jetzt noch ein Brennpunkt der Curve sein. Und schliesslich liegt die Frage nahe ob die jetzige Con- struction nicht auch die allgemeine Lemniscate hervorzubringen erlaubt; dem ist aber nicht so. Allerdings wird, wenn man dea Punkt T etwa auf der Verticale zur Grundrissebene hinauf- oder hinunterrücken lasst, die Polarebene des Punktes Z^ in 3ezug auf den Regel parallel sich selbst mit verschiebt, und Digitized by Google d36 die Leitcurve des Kegels wiederum so construirt dass die hori- zontale Spur ki der Polarebene die Polare des Puoktes T' in Bezug aaf diesen Ereis wird, was aan auf uaendlich yiele Arten möglich ist, weil der Kreis die Spar k^ aan nicht mehr in bestimmten Punkten zu schneiden braacht, der Grundriss der Durchdriogang ein mehr oder weniger lemniscatenahn- liches Aussehen erhalten, nfimlich in beiden F&llen aas zwei getrennten, jedes fiir sich in Bezag auf die horizontale Achae MT', und beide zusammen auch in Bezug auf ÜT' syaimetri- schen Ovalen bestehen, aber diese beiden Orale bilden zu- sammen keine Lemniscate. Man sieht dies am einfachsten wenn man (Pig. II) den Punkt T allmahlich so weit hinaaf' rücken lasst bis die Gerade Ar, mit der Polare von T' in Bezug auf den Leitkreis des Cylinders zusammenf&lit ; daiiQ Digitized by Google 337 namlich kaan man die Leitcurve des Kegels mit derjenigen des Cylinders zusammenfallen lassen, und besteht die ganze Durohdriügang aus diesem gemeiDsamen Kreise und einer Ellipse, deren Orundriss notwendig ein mit dem erstern in Bezag auf UT' symmetrischer Kreis sein muss. Das System zweier Kreise aber kann me einen Specialfall einer allgemeinen Lemniseate bilden. 22 Digitized by VjOOQ IC R7f,F2h,8h DE MATHEMATISCHE SLINGER EN DE PÜNCTIEN VAN WEIERSTRAS8, G. SCHOUTEN. (Delft.) De beweging, die een punt onder de werking van zijn ge- wicht uityoert, als het gedwongen is zonder wrgring over een bolopperylak te bewegen , m. a. w. de beweging van een mathe- matischen slinger, is door gebruikmaking van de function van Weierstrass in vergelijkingen te brengen , die door hare een- voudigheid en doorzichtigheid op verrassende wijze gunstig afsteken bij die , gevonden met gebruikmaking van de functien van Legendre (zie o a. Durège , Ellipt. Functionen). Beginnen we met den vlakken slinger, waarbg dus het punt zich over een vertikalen grooten cirkel van den bol beweegt Is / de lengte van den slinger en 9 de hoek, dien ze op zeker oogenblik t van de beweging met de vertikaal maakt, dan geeft het beginsel van arbeidsvermogen de volgende diife- rentiaal vergelijking van de slingerbeweging: lP{^J-9looB9==k waarbg de massa van 't punt als eenheid van massa wordt aangenomen, k stelt hierin de totale energie voor. Wordl de energie, beantwoordende aan de valhoogte l als eenheid k aangenomen , dan is — = A het aantal eenheden van de ener gie der slingerbeweging. Bovenstaande differentiaalvergelijking is dan onder den vol genden vorm te brengen: _- — ) = A 4- cos e. 2g\dt) ^ /Google Digitized by " sad Wordt hierin 008 = 1 — 2 sioH 8 = 1 —2 a? , dan gaat ze over in dx ±yidt= V4x»-2ih + S)3ê' + 2{h+l)x' De elliptische funotien van Weierstrasa worden nu ingevoerd door te stellen : A + 3 x = pu + -— waardoor de differentiaalvergelijking overgaat in ±i^Ê.dt = du met de invarianten A» + 3 h(h^ — 9) 92— 3 ' ?3 - 27 ' zoodat de discriminant A gegeven wordt door 16A = g\ - 2'lg\ = (/»» — 1)». Wordt nog A + 3 gesteld, dan blijkt p'^a = O te zijn , zoodat pa = pw' = ^3 = de kleinste wortel van p''^u=^ O moet genomen worden, omdat pa = r — onder alle om- 6 standigheden waaronder de beweging kan plaats hebben (A^ — 1) negatief is. De bewegingsvergelijkingen van de slingerbeweging zijn dus sin^ ^ Ö = pw — pw' 1 1/-^ = w + standv. Omdat echter sin^ ^ niet negatief en niet grooter dan 1 mag worden , moet p(w) door p(üi' + u) vervangen worden. Rekent men den ^ tgd van de beweging te beginnen met u =1 , dan zijn de bewegingsvergelgkingen : 22* Digitized by Google 840 (A). Discussie yan desse formules. Omdat is, zgn zoodat voor put en piu'' de waarden {h en — ■- — genomen 6 moeten worden. Is A > 1 , dan moet genomen worden , omdat ptü > pw'^ > pai'. Voor A < 1 is Bijgevolg : A > 1 , ptfj'' — pcü' = 1 , A<1, pü>''^pa,'=^-|-^<l. De bewegingsvergeiykingen (A) geven dus voor A > 1 aan, dat het punt volle wentelingen maakt , omdat voor m = O, = 0, voor u = iuy sin^ -- = pw" — po/ = 1 , dus O = 180® is. De duur T voor een volle wenteling bedraagt ^^^i Voor h < 1 geven ( A) te kennen , dat het punt slingeringen maakt, omdat voor u = O, 9 = O is, en voor ti i= oi, sin^ i O = pw' — pto' = — r — < 1 is. De slingertgd T is T = 2.]/I. Digitized by Google 841 BijzoDdere geyallen voor A = 0. De discriminant A is gelijk nul, zoowel voor A=+lalsA = -— 1. Voor h=^ 1 is pw' = — 7 , P<W = P^" = 7 , dus (O = üi" = 00. De vergelijkingen (A) geven T = oo en voor de eindwaarde van sin^ ^ de eenheid. Het punt beweegt zich naar het hoogste punt van de baan als asymptotisch punt. Voor h = — 1 is pcu' = plü" = — ^ , ptaf = f , dus w' = ü*'' = 00, Dus P« U („._.^ sin* Bijgevolg zoodat de slingertijd nadert tot als de amplitudo 9 nadert tot nuK Gaan we nu over tot de beschouwing van den spherischen slinger. Maakt weer op zeker oogenblik t van de beweging de slinger een hoek met de vertikaal, en is q? de hoek, dien dan het vlak , bepaald door den slinger en de verticaal , maakt met een vast verticaalvlak , dan levert het beginsel van energie de ver- gelgking terwijl dat van de sectoren geeft at h is weer de totale energie van den slinger, terwijl m de sectorsnelheid is (van de beweging geprojecteerd op een hori- zontaal vlak). Wordt weer als eenheid van energie genomen Digitized by Google 342 die, welke overeenkomst met de valhoogte l, en tot eenheid van sectorsnelheid, die welke het punt verkrijgt, als het uit den horizontalen groeten cirkel vallende , in bet laagste punt gekomen is, dan stelt in h de energie, C de sectorsnelheid voor. Bovenstaande differentiaalvergelijkingen kunnen nu als volgt worden geschreven: -y=A + cosö- — ^ = cl/^-i- dt f l sin^ö' Wordt in de eerste van deze cos e = 1 - 2 sin^ i ö = 1 — 2x gesteld, dan gaat ze over in r l K4a;«_2(A + 3)a;» + 2(A + l)a; — iC* Door hierin , h + 3 « = PW+— g— te stellen, gaat ze orer in ±*|/|=, du f l met de invarianten Wordt nog A4-3 6 = — pa , dus p''^a = — ^ C^ Digitized by Google 343 gesteld , dan komen de differentiaalvergelijkiDgeii onder d'en volgenden vorm: 8in2iÖ = pw — pa ]ll-dt = du ^_ du Bin^O of ook , als 1 ^ , ƒ 1 1 \ ^ , /_1 1 \ sin^ö ^\l— cosö "^^ 1 + 008 0/ '\pM-pa pu—(pa+l)l geschreven wordt, en pd +1 =pb= — — , du8 p'^b = - i C^ gesteld wordt: 8in2 ^0 = pu - pa ^\ ^dt= du ^ .jr— I du du \ dq> = {QV2 \ \pu — pa pu — phj Ter integratie yan deze Tergelijkingen zij opgemerkt , dat de discriminant A positief moet zijn. Ware A toch negatief, dan zouden onder de bestaanbare waarden van pu oneindig groote voorkomen , zoodat een beweging onder A < O niet kan plaats hebben. De discriminant moet dus positief zijn. In dit geval moet pu door p(m + ci/'), pa, die steeds negatief is , door pia, en p6 door p(w + **) vervangen worden. Omdat eindelijk p'Ha = p"^{w + ié; = — JO^ is, kan ^0^2 vervangen worden zoowel door ipia als door — ip\^ + «*)• De differentiaalvergelijkingen zijn dus Sin^ i© = p{u + w') — pia ^dt = du ip'ia ip'(to 4- ib) 2rf0 = P(m + w') — pia p(u + co') — p(cü + ib) Digitized by Google 344 sDe integraalTergelijkiDgen zgn derhalve Sin* ie = p(« + lü') — pia <|/y = « + 8tandT. <t(w + üi — ta) <r(w+ci>' — tb) Worden Yoor u=rO, ^=0 eo ^ = genomen, dan zijnde bewegingsvergelijkingen : 8in2i0 = p(M + o/)-pta ff=" <T(M+üi'+»flf) (t(w -i- w' + w 4- 16) (t(üi' — ta) <t(üi'— w—tJ) a{uia}'—ia) a(u + w' — iMt — ib) (r(w' + ia) a{w'+w+ib) — 2u{Zia + Z(u) + ib)). Uit deze vergelijkingen leert men: P. De uiterste amplitudines van den slinger worden gegeyen door sin* iö, = pw' — pia , sin^ 10^ = pw" — pia , welke beide uitdrukkingen positief en kleiner dan de eenheid zijn ; want pw'' < p{w + ib) = pia + 1 , dus pw'' — pia < 1 , doch grooter dan poi' — pia , die positief is. 0, is de kleinste, 02 ^^ grootste eloogatie van den slinger. 2^. De tgd, waarin de slinger van de elongatie 9, tot de elongatie 02 komt, of de helft van den slingertijd T, wordt gegeven door ^yf r 9 3°. Pe hoek 4», dien het vertikale vlak van den slinger ge- durende dien slingertijd gedraaid is, wordt gegeven door <r(ü}"-\- ia) <t(w"+ (O + tb) <r(w' — ta) ct(w' — w — ib) (T(a."— ia) a(w"—u,—U>) «{*,' + ia) «(w' + w + ii) - 2a,(Sia + 2:(a. + iJ)) , * = 2(a + 6)1, — 2w (-Ï- Zia + 4- (?(« + 16) - ?«)j. of herleid : Digitized by Google 345 Bgzonder geval A = 0. Is po;' = pia\ dan Tallen de beide waarden 0i en 02 samen, en hebben we met een conischen slinger te doen. Dan is Verder /ia + 3 p'w = j3 of 27p«ui = 27^3' = ?2' , P^cü = 8in2i0 = p(o' + 9 * .|- 3 A+3— l/AM-~3 dus 6 6 ^ V^A2 + 3 — A , 1 - 3 cos» cos = , h = — • 3 2 cos sin'0 4C2 = ^y (K(A» + 3f - A(A2 - 9)) 4 cos Omdat cos voor A «= -- 1 tot A == oo verandert van 1 tot O, zal alleen bg elke amplitude kleioer dan 90^ een conische be- weging mogelijk zijn. De omwentelingsigd T van den slinger werdt gevonden uit ^ 8in*fl y l r eootO ' dus .2.)/ï COS0 Digitized by Google R8b, F2h, Shy. DE WENTELING VAN EEN LICHAAM EN DE PÜNCTIEN VAN WEIEESTRASS, G. SCHOUTEN, (Delft.) Ook de wenteling ^an een yast lichaam oni zgn zwaartepunt is door gebruikmaking van de functien yan Weierstrass in yergelijkingen te brengen, die om hare eènvoadigheid en doorzichtigheid gunstig afsteken bij die, geyonden door toepas- sing yan de functien yon Leoevdre (zie o.a. Sur la rotation dun corps, par C. 6. J. Jacobi, Journal yon Crelle, Bd 39). Wordt het zwaartepunt van het lichaam gekozen tot oo^ sprong O van een assenstelsel, dat de hoofdtraagheidsassen OP 4 OQ, OR tot assen heeft, dan zgn de differentiaalvergelij- kingen van de beweging A|=(B-C)jr B^| = (C-A)rp ) (A). C| = (A-B)^j Hierin stellen A , B , C de traagheidsmomenten van het lichaam voor resp. om de assen OP, OQ, OR, en ;>, $, r de ontbon- denen volgens die assen van de hoeksnelheid w om de oogen- blikkeljjke as op het tijdstip t van de beweging. Uit (A) volgen onmiddellijk twee integraalvergelijkingen , nL Ap2 -h Bj» + Cr» = A (1) Ay + B«3» + CV» = ik« (2) Digitized by Google 847 waarin h het dubbel is tbd de energie en k het standvaBtig « moment yan de be- wegings-hoeveelhe- i^^L t7^ ^®^ ^®^ punten van het lichaam ton op- _& / zichte van O. Wordt de as van dat koppel van be- Qy wegings-hoeveelheid X tot OZ gekozen , en q.^ / \ \/*^ in het onverander- Igke vlak van dat ^ \ ^^' koppel de vaste as- Y/ >> V senOXenOY, dan wordt de stand van het lichaam ieder oogenblik bepaald door de Ëuler'sche hoeken Uit de figuur volgt: Ap =^ k sin O sin ^ Bj s= A; sin 9 cos ^ (3) Cr ^ k cos 0. Verder \P' sin » JE) sin ^ + 9 cos ^ , of, volgens (3): ;^'sine-T^+r-^, zoodat volgens (1) en de laatste van (3) *'-.4e^. <^)- Eindelgk volgt nog uit (3): «-♦-^ <^>- Pr Co8e=^ (6). Door de formules (4) , (5) , (6) worden de elementen t^, f, O, Digitized by Google 348 dio den atand van het lichaam bepalen , berekend uit de waa^ den Tan de bewegingselementen p, q, r. Berekening Tan p, q, r. Stelt i> de hoeksnelheid Toor om de oogenblikkelijke as, dan kunnen uit de rergelgkingen p»+ q*+ r» = i ,T.» (B). Ap»+ Bq*+ Cr* = h AY + B»?» + C«r« = i» de boeksnelheden p, q, r ia w worden uitgedrukt. Men vindt ,^ BCii« + t» — (B4-C)A P (A-B){A-C) ^ ~ (B - C) (B - A) \ (C). » _ AB^« + fe» — (A + B)* ** ~ (C-A)(C=^) Door de eerste van (B) naar t te differentieeren , vindt men .dw rfp rfj rfr welke volgens de vergelijkiDgen (A) ook als Yolgt kan geschre- Ten worden: Id^V (A-B)MB-C)^C-A)». \dt} A«B»C» ^* Worden hierin p*, q*, r* door hunne waarden in (C) ver vangen, en to)* = x gesteld, dan gaat ze over in Uda\* é\dt) ~ I (B + C)h-k* \l (C + A )h—k' \( (A + B)A— fc« \ ~r~. BC Ir CA iy'~ AB )' Digitized by Google 34d of, als (B + C) A - ft» BC — = a (C4-A)A- -k* CA — P (A + B)A- - k* AB gesteld wórden : dx ±dt = We Toeren nn do faction yan Weierstrass in , door hierin X^W^=:pU—pl ^ 3 te stellen, waardoor ze overgaat in dix ±:dt = V 4p^u — g2pu — g2 met Be discriminant g^^ — ^'^9^^ i<3 hier zeker positief, aangezien de wortels yan p'^u = 4p^u — g^pu — jTj = O , allen bestaanbaar zijn. We hebben dus gevonden ^^ =:: X = pu — pi ±dt =s diu. Hieruit bljjkt, dat u van den vorm iu + standvastige geno- men moet worden, en wel lu + oi, omdat w^ positief en eindig moet blgven gedurende de geheele beweging. Digitized by Google 850. De integraalvergelgking is dus iL>^ = p (iu + w) — p/ , als t met u tegeljjk nul wordt genomen. Yoor t« = O heeft dan «ö^ de maximum-waarde p<u-— p{, voor u^ —r de minimum- waarde pw*' — pi. Deze waarde yan ïj^ in (G) gesteld, geeft BC ^ = (A..B)(A-C) ^^*'" + ")-^^-^^ CA Worden hierin pJ + a = pa pi + /3 = p6 pi + 7 = P^ gesteld, dan blijken p'a^ p'b, p'c alle drie gelgk nul te zgn, zoodat ze de drie wortels put , pa»' , poi'^ ran p'^u = O Toorstellen. Om te weten, welke van p^, pb, pc met poi, welke met puf' en welke met po»'' oTereenkomt, berekenen wg ze. Men Tindt 3 ABCpa ^ - (A - B)(P - CA)-(A - C)(k^-Bh) 3 ABCp6 =r ^ (B « C) (ifc^ - AA) - (B - A) (i» — CA) 3 ABCpa = - (C - A) (A* — BA) ^ (C — B) (*» - AA). Uit deze waarden voor pa, pb en pc blijkt, dat, wanneer B als de middelste in waarde van de traagheidsmomenten wordt aangenomen , en A > B > C wordt genomen ingeval P — BA < O, doch A < B < C als jfc^ — BA > O is, dat dan pb=:pia pa = pw" pc =r p^' gesteld moeten werden. Digitized by Google 351 Derfaalre is (A-B) (A-O BC (B - O (B - A) CA (C-A)(C-B) 3' = p(*» + w)-p« /. . . (D) r' = p{iu + w) — pu>' AB waardoor de bewegiogselementen p, q, r in faactien van den tgd zgn uitgedrukt. Neemt men in aanmerking, dat ^ ^ „ (A-B)(t»-CA) , pw' —pl = y yw — pw ABC 1 ^l>cu' (C- -A)(P- -BA) ptü ABC rïM — . «}«.l (B- -C)(P- -AA) ABC is, dan volgt uit (D), dat op het oogenblik ^ = ti= O van de beweging p^ en r^ hunne maximum-waarden ^^'"ACA-C)* ''*'"* C(C-^A) hebben , terwijl 3^ = O is. Bij het begin der beweging is dus ondersteld , dat de oogen- blikkelijke as in het ylak POR ligt , en dan heeft de hoeksnel- heid (ó de maximumwaarde, gegeven door «=^. lil Op het oogenblik f=tic=-- is p^ =s 0^ bereikt q^ de maxi- mumwaarde en r^ de minimumwaarde , P - CA ^ i» - BA 3>^'=-B7E n^y ''-' = B(B-C)' " C(C-B) en (ö de minimumwaarde Digitized by Google d52 Op het oogenblik t = u = 2—r- hebben y>, g*, r^, w* weer 2w' dezelfde waarden als op 't oogenblik O , zoodat —r de periode van deze grootheden is. Alleen moet nu nog nagegaan worden, hoe de teekens van p, q, r moeten genomen worden, daarbij dat voor Cj zelf positief nemende. Nemen we aan, dat bg het begin der beweging t = u=0 p en r beiden positief zgn, zoodat beiden hunne maximam- dp dr waarde hebben, dan worden -^ en -rr beiden negatief, zoo- dt dl ö » dat Tolgens de differentaaWergelijkingen (A) van de beweging do -j- negatief wordt voor A > C , positief voor A < C. Derhalve is het verloop gedurende het eerste deel o tot -r van de periode het volgende: Voor A > B > C, dus *:« — BA < o : p verandert van pu. tot o, 3 » » ö , — gif. Voor A < B < C, dus P - BA > o : p verandert van pm tot o, ^ » » ril „ r«,, 3 » 1» ö , +g'i£, Gedurende het tweede deel -:- tot — — is —r* voor A > C % % dt positief, r positief, zoodat p < o is; voor A < C daarentegen . dq IS — negatief, r positief, dus ook p< o. Het verloop gedurende dat tweede deel der periode is das als volgt : Voor A > B > C , dus i2 — BA < o : p verandert van o tot — jpn, Digitized by Google 354 Voor A < B < C , dus *» - BA > O : p verandert van O tot — Pm> Deze uitkomsten kunnen we samenvatten in de volgende Btelling : Voor i2 — BA > O beschrijft de oogenblikkelijko as ö om de grootste as van de traagheidsellipsoide als as een kegelop- pervlak in denzelfden zin als waarin de wenteling om die as geschiedt ; voor k^ — BA < O echter beweegt de as Q om de kleinste as van de traagheidsellipsoide als as een kegel- oppervlak in tegengestelden zin als waarin de wenteling om deze as I Berekening van de elementen ypy 0, 0, die den stand van Hlichaam bepalen. Volgens (4) is ^ i«-CV cv fta_cV2,' Hierbij valt op te merken, dat ^' altijd positiefis, zoodat ^ voortdurend zal toenemen en dus niet periodiek zal veran- deren. Wordt hierin r^ vervangen door zgn waarde in (D), dan rindt men : (A~C ) ( B — C) ( fca ~ GA) C A;*(A-C)(B-C) ^ , ,., , AB(? Stelt men nu: k\k - C) (B - C) ABC» ka blijkt, dat = pv — pb}' p'«i; = 4 U'ik - C)» (B — O)» (P — Chf A»B»C« 23 Digitized by Google d54 is, terwgl P" - P«-''= ^^^(*' - CA), P>'-P<^ = ^^Q^ - CA) is, zoodat pi;>pw, dus p'i;<0 is, als v fcusschen O ea w gekozen wordt. We moeten dus stellen : Hierdoor gaat de uitdrukicing voor ^' over in ^ C ^^p(iu + ^) — pv of ook, met invoering van de ^-functie: Deze geïntegreerd geeft : ^ + standvastige =^- qr ?(.))« ±: -/ ^^^^P^-~^. Ter bepaling van de standvastige stellen we^ dat ijf voor f = O de waarde \po heeft , zoodat ^o + 8tandy. = ±:-L;4^ = :t 1 fo^,v^± ^. ^'^ 2» ir(w — v) 2» » Hierdoor viaden we: ^-^»=lc-^^t^2rl^. K»^+o,-.) "H' Voor ^ = tt = — r geeft ze : welke uitdrukking voorstelt den hoek, waarmede i/^ geregeld Digitized by Google 355 / «I»' ii>'\ gedurende elke halve periode I n—r tot (m + l)-r ) toeneemt. Volgens (5) is Ap Door deze te differentieeren , yiadt men, met ioachtneming TSD de differentiaalvet^elijkiogen (A) : waaruit blijkt , omdat r altijd positief is, dat ook 99' altijd het- zelfde teekea behoudt, en wel het positieye voor ^* — CA>0, d. i. Toor A > B > C , en het negatieve Toor k^ — CA < O, d.i. Yoor A < B < C. De hoek ^ zal dus Toortdurend toenemen , als A;^ — BA < O is, voortdurend afnemen, als A:^ — BA >0 is. Worden p en q in de uitdrukking voor tg ^ vervangen door hnoDe waarden in (D), dan vindt men: ^,^_ A(B-C)(p(i« + o,)-p,0 tg»^ = B(A — C) (p<« -p{iu + w)) Voor ^ = w = O IS tg* 0=00 ; voor ^ = w = — is tg* ^ = O ; t U) , Cl» zoodat de hoek ^ gedurende het tijdsverloop n—: tot (n + 1)—: I t van elke halve periode met een rechten hoek aangroeit of afneemt , naar gelang Jc^ — BA negatief of positief is. Eindelijk is volgens (6 Cr Cos0 = ^. k Omdat r niet van teeken verandert, zal dit ook het geval zijn met cos 0, zoodat periodiek zal veranderen; voor ^ = C ai' C is cos 00 = -T~^M » voor ^ = -7- is cos 0, = -t— r,«. De as OR k t k maakt in het vlak ROZ schommelingen met een amplitudo 0i — 00 ön met een duur — r~ • t 23* Digitized by Google 356 Wordt r in de uitdrukking Toor cos O yeryangen door zgn waarde ia (D) , dao gaat deze uitdrukking over in ABC* welke ook als Tolgt kan geschreven worden : p(iu + w) — pw' 008*0 = pv — pu>' waaruit op nieuw blijkt, dat cos O nimmer nul zal worden. Hiermede is de wenteling van een lichaam om zijn zwaarte- punt volledig bepaald. Bij dit onderzoek is ondersteld, dat A, B, C onderling on- gelijk zijn en k^ — Bhj6 0. IsA = B, dan isa=/3; is B = C, dan/3^7; is A:* — BA=0, dan a = -y = — - ; is dus A = B = C , dan is a = /3 = 7. In elk B van deze gevallen en alleen in deze gevallen , is de discrimi- nant gelijk nul en kunnen de bewegingsvergelijkingen zonder gebruikmaking van elliptische function opgemaakt worden. De uitkomsten in die gevallen vindt men in elk leerboek over de theoretische Mechanica. Digitized by Google K9a IETS OVER HET BEPALEN VAN HET MIDDELPUNT VAN EVEN- WIJDIGE KRACHTEN, DIE AANGRIJPEN OP DE ZIJDEN VAN EENIGE BEPAALDE VEELHOEKEN, ZONDER ANALYTISCHE MEETKUNDE , C. A. CIKOT. ('s* Hertogenboscb). In dit opstelletje worden de volgende eigenschappen als be- kend yerondersteld : r. Wanneer in de hoekpunten van een driehoek evenwijdige krachten in denzelfden zin werken , valt hun middelpunt samen met dat van den ingeschreven cirkel, als die krachten zich verhouden als de overstaande zijden. 2*. Wanneer in de hoekpunten van een driehoek ABC evenwgdige krachten werken die zich verhouden als de over- staande zijden, en de krachten in A en in B werken in een zin tegengesteld aan dien waarin de kracht in C werkt, dan valt het middelpunt van die krachten samen met dat van den cirkel, die aangeschreven iB ten opzichte van de zijde AB. Beide waarheden laten zich gemakkelijk bewijzen zonder dat men daarbij van coördinaat-assen gebruik maakt. Met behulp van de eerste kunnen we nu de volgende stelling bewijzen : Het middelpunt van drie evenwijdige krachten , die aangrijpen in de punten waarin de zijden van een driehoek geraakt worden door den ingeschreven cirkel, en dezelfde richting hebben, valt samen met dat van den cirkel , als die krachten zich verhouden als de zijden waarop ze aangrijpen. Bewijs. Daar de krachten zich verhouden als de zijden, kunnen wij die voorstellen door ap, bp en c/;. De kracht bp (zie fig. 1), die in het raakpunt E aangrijpt, splitsen we in twee daarmede evenwijdige krachten, die aangrijpen in A en Digitized by Google 358 in C ; daar AE = s — a en EC = s — c, vinden we Toor de ontbondene in C : (s — a)p ; splitsen we ap eveneens in twee daannede evenwijdige, die in B en in C aangrijpen, dan vinden we voor de ontbondene in C : (» — b)p^ dus totaal in C : {s-a)p + (8—b)p=cp] zoo vinden we voor de krachten in A en in B resp. ap en bp , waaruit blijkt, dat het oorsprou- kelijk stel evenwijdige krachten hetzelfde mid- delpunt heeft als een stel, in de hoekpunten werkende , en zich ve^ houdende als de over- staande zijden, m. a. w. het middelpunt van het oorspronkelijk stel valt samen met dat van den ingeschreven cirkel. Om nu deze eigen- schap uit te breiden tot een willekeurigen omgeschreven veel- hoek, bewijzen we eerst de volgende Hulpstelling. Als een cirkel de verlengden van de zijden CA en CB resp. in E en in D, en de zijde AB in F raakt, terwijl er in E en D evenwijdige krachten werken in richting tegengeeteld aan een kracht die in F werkt, dan valt het middelpunt van die evenwijdige krachten samen met dat van den cirkel, als die krachten evenredig zijn met de zijden waarop hun aangrijpings- punt ligt. (zie fig. 2.) Bewijs. De drie krachten stellen we voor door ap^ bp en cp ; ieder van die krachten splitsen we , als boven , in twee daarmede evenwijdige, die in de overeenstemmende hoekpunten aangrijpen ; we vinden dan dat ons stel evenwijdige krachten identisch is met het volgende: ap in A, bp in B en cp in C, waarbij cp tegengesteld is aan op en bp ; hieruit blijkt dus dat het bedoelde middelpunt samenvalt met dat van den cirkel. Nu kunnen wij, a la Bernouilli , laten zien dat: als in de punten waarin een omgeschreven veelhoek door den cirkel ge- Digitized by Google 359 laakt wordt, eyenwijdige en eender gerichte krachten werken, hm middelpunt samenvalt met dat van den cirkel, indien die krachten evenredig zijn met de zijden waarop hun aangrijpings- punt ligt. Laat dan ABODE enz. een omgeschreven veelhoek zijn , terwijl O , iN* enz. de raak- punten zijn 9 in welke raakpun- ten dus bovenbedoelde krachten werken, (zie fig. 3.) Om van dezen n-hoek een omgeschreven (n + l)-hoek te maken , heeft men slechts van den eersten een driehoek BPL af te snijden door middel van een faaklijn PL, en om nu te zorgen dat bij den nieuwen veelhoek een stel evenwijdige krachten be- hoort zcoals de stelling ver- eischt , moeten we in het raak- punt K een kracht aanbrengen evenwijdig met de krachten die bij den oorspronkelijken veelhoek behooren, en in grootte zóó dat aan de vereischte evenredigheid voldaan wordt, en verder in N en in O krach- ten (om de oorspronkelijk daar werkende te verkleinen, daar de zijden CB en BA korter geworden zijn) tegengesteld aan die in K, en in grootte (in verband met de vereischte betrekking tusschen krachten en zijden) evenredig met BL en met BP. Dit toegevoegd stel van drie krachten heeft, volgens de hulpstelling, zijn middelpunt in dat van den cirkel, en daar de krachten die bij den veelhoek ABODE enz. behooren , ook , krachtens de veronderstelling, hun middel- ppQt in Tfi hebben, zoo heeft het stel evenwijdige krachten, behoorende bij den (n + l)-hoek, ook zijn middelpunt in H. Digitized by Google 360 Naschrift. De theorie van het middelpunt van eyenwijdige krachten is een middel om langs eenvoudigen en elementairen weg, te bewijzen dat sommige rechte lijnen door één ptint i gaan , of dat twee of meer bepaalde punten identisch zijn. ; Zoo kan men hiermede bewijzen , dat in een yierhoek het snijpunt der lijnen die de middens van de overstaande zijden verbinden , identisch is met het midden der lijn die de middens van de diagonalen verbindt ; verder dat in een viervlak de medianen door één punt gaan, evenals de lijnen die de middena der overstaande ribben verbinden, en dat die twee snypunteo identisch zijn, en ten slotte ook de reden vinden waarin dat punt die lijnen verdeelt. Ook meer ingewikkelde eigenschappen kan ipen er mee bewyzen , b.v. deze stelling : De lijnen die de hoekpunten van een driehoek verbinden met de punten waarin de overstaande zijden geraakt worden door hun aangeschreven cirkels , gaan door één punt ; dit punt is hetzelfde als het middelpunt van den cirkel beschreven in den driehoek, die ontstaat , als men door de hoekpunten van den oorspronkelijken lijnen trekt evenwijdig met de overstaande zijden. Veronderstel, om dit te bewijzen, dat er in de hoekpunten A, B en C van eenen driehoek krachten in dezelfde richting werken , resp. groot : (s — a)p , (5 — ft)p en (s — c)p. Om het Digitized by Google 861 middelpunt yan die krachten te bepalen (zie fig. 4), kunnen we eerst (s — c)p en {s — b)p samenstellen; de resultante yan die twee krachten grijpt aan in E , zóó dat BE = s — c en CE = s — b is, m. a. w. E is het raakpunt van BC met haar aangeschreven cirkel ; de resultante in E moeten we nog samen- stellen met de kracht in A , dus moet het middelpunt der krachten op AE liggen; maar ook moet het liggen op de lijn die C met het raakpunt op AB verbindt, en eindelijk ook op de lyn die B met het raakpunt op AC verbindt, en daar er maar één middelpunt is , gaan de drie bedoelde Ijjnen door één punt. (Verder is gemakkelijk na te gaan hoe die lijnen elkaar verdeelen). We kunnen het middelpunt ook volgenderwijs bepalen : trekken we door de hoekpunten lijnen evenwijdig met de overstaande zijden, dan ontstaat er een driehoek A'B'C', waarin B het midden is van A'C', enz. Splitsen we nu de kracht (s— c)p, die in C aangrijpt , in twee daarmede evenwijdige die aangrijpen in A' en in B', dan krijgen we in A' een kracht : i (s — c)p Door splitsing van (s — b)p „ „ „ • i (^ — b)P Totaal in A' : i ap, en dus in B' : i bp en in C' : ^ rp ; deze krachten hebben hun middelpunt in dat van den ingeschreven cirkel van A'B'C', zoodat dit punt identisch blijkt te zijn met het bovengevonden snijpunt. Op analoge manier kan men, met behulp van de stelling op bl. 359 bewezen, laten zien dat het middelpunt van den ingeschreven cirkel bij een vierhoek in ééne rechte lijn ligt met de middens van de diagonalen, en verder dat genoemd punt den afstand tusschen de twee andere verdeelt in reden Tan de sommen der stukken aan het eerste en derde, en aan het tweede en vierde hoekpunt. Digitized by Google X7 ESKELE BEBEKEIilKGEK MET DE BEKENUÜUAL DOOB F. J. VAES. (Rotterdam). De rekeDliniaal , waarvan het gebruik voor berekeniDgeD in de praktijk meer en meer algemeen wordt, leent «ich zeer goed voor de bepaling van hoogere maehtawortels en de oplos- sing van enkele vergelijkingen. In het volgende wordt be- sproken : r. Een niet algemeen bekende bepaling van a^ en l^a. 2*. Een daarbij aansluitende bepaling van a', l^a, a', T^a, enz. 8'. Een oplossing van a sin j; + i cos o; = c. i\ Een oplossing van x*±ax±bss:0. 5% Een oplossing van a:* ±lx* ±:ax±:b^ 0. 2. De inrichting van de gewone rekenliniaal (van Mannheim) wordt bekend ondersteld. Op een liniaal /, is een logarlth- mische verdeeling aangebraeht, en op een schuif s^ een der- gelijke verdeeling, zoodat als men het beginpunt van ^i bjj bet punt a van /, plaatst, tegenover het punt b van s^ bet het produkt ab wordt afgelezen op /,. Op de liniaal is nog een tweede verdeeling t^ aangebraeht, waarvan de deelen half zoo groot zijn als die van /, ; deze verdeeling /j is zoodanig geplaatst, dat boven het punt a van /i , op I2 de waarde a^ wordt afgelezen. Voor die aflezing kan een looper gebruikt worden. Op de schuif is ook een tweede verdeeliug aangebracht gelgk aan die van /j, zoodanig dat de begin- en eindpunten van ^1 en s^ samenvallen, en dus de deelstrepen van ^2 juist staan tegenover die van /a, als men de verdeelingen van s^ geplaatst heeft tegenover die van /,. Digitized by Google 363 !• Bepaling van a^ en l^a, 3. De gewone wyze van werken ter berekening van a^ is, dat men op de schaal /, het getal a aanwijst door het beginpunt van de schuif, dan eveneens op 82 het punt a zoekt en afleest welk getal dit aanwijst op I2. Want daar de deelen op 81 en /] tweemaal zoo groot zgn als de overeenkomstige op ^2 en /2 telt men bij elkander log a en 2 log a. 1^ wordt gevonden door de schuif zoodanig te verplaatsen , dat het beginpunt van 8^ op /i hetzelfde getal aanwijst, als het gegeven getal, dat op I2 genomen is, aangeeft op ^a. Door beproeving is de uitkomst vrij spoedig te vinden. . 4. Er is echter een eenvoudiger methode , die o. a. op de beschrijving van de rekenliniaal van Mannheim is aangegeven , doeh die niet algemeen bekend scbgnt te zijn. Bepaling van a^i Draai de schuif om, zoodat ^2 naast /, , en 8^ naast /a staat. Neem op ^2 ^n ï^ het gegeven getal , en stel de punten tegenover elkander. Op I2 wordt dan a^ gevonden bij het eind- of beginpunt van 8x. Want men telt log a en 2 log a bij elkander op. Op 82 (en I2I komen twee punten voor, waarbij hetzelfde getal a geschreven is; het eene vertegenwoordigt een 1 O-maal grootere waarde dan het andere. Al naar gelang men het eene of het andere punt gebruikt a^ a^ vindt men a^ of — of — • 5. Bepaling van l^a . Uit het voorgaande volgt onmiddellijk : Plaats begin- of eindpunt van ^, bij het getal a (of bij — , of bij — - I op /] , en zoek op 82 en /] twee gelijke getallen , die juist tegenover elkander staan. Deze ge?<3n den wortel aan. Bepaling van a* en iJ'^a. 6. De gewone wijze van werken is: Voor a*. Eerst a* te zoeken en dit te vermenigvuldigen met a. Voor "P^tf. De logarithmenschaal te gebruiken, die aan de onderzijde van de schuif is aangebracht. Yoor alle hoogere machtswortels gebruikt men steeds de laatstgenoemde schaal. Digitized by Google 364 7. In verband met de bepaling van a' en l^a kan men echter den volgenden weg inslaan: Voor a^ Draai de schuif om , en stel het getal op 82 tegenover zijn kwadraat op /, ; men leest dan op /j de waarde a^ af, of ook a* o* — of -~— , al naar gelang de ligging van het punt a op s^. Voor ^a. Stel 5, bij a (of of — - j op /a en zoek op s^ het getal, dat tegenover zijn kwadraat staat op /j. Met behulp van den looper is dit spoedig uit te voeren. Bepaling van a^ en l^a, en hoogere machtswortels. 8. Voor a}. Bepaal a^ als boven en stel a op ^2 tegenover o^ op /,. Dan wordt op 1^ aangewezen a^ of — -, of —. Voor V^a- Stel het eind- of beginpunt van s^ bij a \ ui ^^ fön) ^P '2» ®^ ^^^^ ^P *2 een getal, dat tegenover zijn derdemacht op /, staat. Dit vereischt eenig heen en weer verplaatsen van de schuif, omdat men telkens van een aangenomen waarde den derdemachts- wortel moet zoeken. Hieraan is tegemoet te komen door die bepaling op een tweede rekenliniaal uit te voeren. De graad van nauwkeurigheid blijkt hieruit, dat voor if^20 gevonden werd 1,535, terwjjl eén logarithmentafel met 5 deci- malen geeft 1,534. 9. De bepaling van o**, l?^a, a^ l?^a, a^^ V^a enz. is terug te brengen tot verheffing tot lagere machten, of trekken van lagere wortels, a" is te vinden door a op ^2 te stellen tegen- over €^ op /, , en i?^a door op 8^ een getal te zoeken, dat tegenover zijn vijfdemacht op \ staat. Evenzoo zijn a", a" enz., t^a , "^'a enz. in verband te brengen met a^, a^ enz. Oplossing van a sin a:+ftco8a? = c. 10. Daar de rekenliniaal slechts sinussen en tangenten aan- geeft is het wenschelijk geen andere goniometrische functies te gebruiken. Men schrijve dus: a . , c T«inx-\- cosa:= v, Digitized by Google B65 stelle T = cot , en dus - = tg 0. Zoodat de vergelgking te schrijven is cos é sin o; c + cos a: = sm 6 of sin {x + ^) = —- sin ^. De behandeling is dus als volgt: Bepaal - en noteer de waarde. Bepaal - op /j, en houdt die waarde met den looper vast. Keer do schuif om en bepaal f, als staande op de met T gemerkte verdeeling tegenover de waarde -. Noteer de waarde van f. Plaats het beginpunt van de schuif tegenover de reeds bepaalde waarde t op /2) ^^ ^^^^ ^P ^^ ^^^ 3 gemerkte schaal de waarde ^. Daartegenover vindt men op l^ de waarde van het tweede lid T sin ^. Houdt die waarde met den looper vast. Stel de schuif zoodanig, dat begin- en eindpunt samenvallen met die van Zj en 22, en lees op S den hoek af door den looper aangegeven. Dit is x + ip. Heeft men twee rekenlinialen ter beschikking, dan bepale men v op de eerste , - en ^ op de tweede , t sin ^ en a; + ^ op de eerste. Oplossing van a;*±:aa?±: 6 = 0. 1 1. Men schrg ve a?* = a f a? qi - j of a?* = a ( x\en bepale eerst -. a Dan stelt men bet beginpunt van 8i bij a op 2i , geeft aan X een waarde , zoodanig dat ar qr - of x een rond getal is , Digitized by Google 366 bepaalt (op een tweede rekenliaiaal) o;", en Tergeljjkt dit met het af te lezen product a la? rp — j of a ( a?j. Onmiddellgk is te zien, of a; te groot dan wel te klein is genomen , en men yerandert nu a? io de juiste richting telkens met 0.1 , tot men Yoof o?" een waarde vindt, nabij het afgelezen product. Dan kan x met kleinere bedragen worden veranderd, en kan men met vrij groote nauwkeurigheid een der wortels bepalen. Yoor n = 2 kan men met een enkele rekenliniaal volstaan. Voor n > 2 is het gebruik van twee of meer linialen gewenscht. Van de vergelijking a;2 — 3 . 27a? + 1 . 642 = O werd als een der wortels gevonden: M^i = 2 . 65. De andere is dus : w^ — o ' rt^ (met de rekenliniaal bepaald). Blijkbaar is ir, + ti?2 = 3 . 27. *) Oplossing van x*^ ±iax* ±. bx±c = 0. 12. Men schrgve: ( xY ^ h c \VJ a a geve aan x een willekeurige waarde, en bepale de waarde p van het eerste lid. Dan zoekt men op een tweede liniaal (al of niet met behulp van een derde) een wortel van en vergelgkt de uitkomst met de eerst aangenomen waarde. Door X in de juiste richting met kleine bedragen te doen veranderen kan men een wortel vinden. 