Nieuw archief voor wiskunde
vallen samen twee punten x^ en Xn^i , en tusschen deze liggen 3 andere hoekpunten, nl. x^, o;,, Xn] valt echter een punt x^ met x^ samen, dan liggen tusschen deze twee slechts twee punten, x^ en x^^ zoodat deze beide puntengroepen niet yan dezelfde soort zijn. Eerst de volgende kegelsnee k2'^'^ zal met k^ raaklijnen gemeen hebben , die in de punten 82 aanraken ; de raakpunten van de gemeenschappelijke raaklijnen van k2 en k2'' zal men vinden door van uit de vier raakpunten T, der gemeenschappelgke raaklijnen van ^2 ®^ ^'2 iVzi^ ^*^ ^g* 1) de tweede raaklijnen aan k'^ te trekken en deze in de vier pun- ten T2 voor de tweede maal met k^ te snijden. Liggen nl. in T| twee punten x^, x^ vereenigd, dan liggen in T^ twee pun- ten OTj, x^ vereenigd, zooals het moet zijn. En toch zijn, wan- neer n een oneven getal is, de vier reeksen van punten T,, T2, . . . * die men op deze wijze kan verkrijgen, niet verschillend van de vier reeksen der punten 8 ; alleen is Ti niet identisch met S, , maar met 8»-.i, in welk punt de beide punten x^^i , Xn+% (en dus evenals Xi , X2 twee opvolgende punten) samenvallen , terwijl Digitized by Google 79 eyenzoo T^, in welk punt Xi, x^ samenTallen , identisch is met S»-S 6I1Z. "T" Samenyattend kunnen wg das zeggen: Is n oneven, dan rangschikken zkh de 2(n — 1) dubbelpunten van Vn in pier reeksen II 2 van telkens — - — punten^ 8,, 8j, 83 • . . . 8«_,i, die men verkrijgt door uit de vier punten v^ . , . . v^ de raaklijnen ie trekken aan k'^y deze voor de tweede maal te snijden metk^, van uit de snijpunten weer de rcuMijnen te trekken aan if^j enz. II 2 De involutiekromme t««i bestemt uit — - — kegelsneden , Jkj', Asj", du Ic^" . . . . ; de eerste wordt aangeraakt door de zijden van al de n hoeken , ied^e volgende door al de diagonalen van Unzdfde soort (die aUe hetzelfde aantal hoekpunten overspringen). De raaklijnen in de vier punten v^ . . . . v^ aan deze kegelsneden gaan achtereenvolgens door de 4 groepen van punten 81, 8, . • • . 8ff_i, en wel zoodanig j dat bijv. de raaklijnen in v^ alle door die reeks gaan, die uit het punt «i is ontstaan. De raakpunten van de raaklijnen j die al deze kegelsneden met k^ gemeen heb* ben, worden gevormd door dezelfde vier stelsels van punten 8, maar nu zoodanig , dat bij k^ de vier punten S«_i , bij k^' de ~F" punten 8, , bij k^" de punten 8«^8 , bij k^'" de punten 8, be- T" hooren, enz. Is n een even getal, dan yerkrijgt men eenigszins andere resnltaten ; wij znllen , om niet al te uitvoerig te worden , deze eenvoudig mededeelen, zonder bewijs. Daar n — 1 nu niet door 2 deelbaar is, kan de involutiekromme tn-^i nu niet uit- sluitend uit kegelsneden bestaan; inderdaad is er nu ook on- der de symmetiische puntenstelsels op k^ één, dat niet van den 2^, maar slechts van den eersten graad is, en dus een gewone kwadratische involutie vormt, nl. het puntenstelsel fl;,a;.+s, dat gevormd wordt door de hoofddiagonalen der n-hoe- ken; al deze hoofddiagonalen gaan dus door een vast punt P. Het overblijvend gedeelte van f„_i bestaat nu uit 1 en , die weer alle door Vx * • . *v^ heengaan en soort- Digitized by VjOOQIC 90 ^elgke .eigensohapp^ii bezitten als boven. Maar de piintenstel- séls S en T zijn hier niet meer identisch; in plaats van yjer ge- broken Ignen , die uitgaan van de punten v^ . ...v^ en uitag^on- 4^ in 4e Ti^ puften T| , yerkrgg^ loea khr twee xxik^ Ignen ,tl^90^ telke;i9 iwee ie^ Tier pimten p^ r^, ,e& éez^ èe- yatten de punten S , en twee andere tusscheq tetkens twee der Tier punten Tj , en deze bevatten de punten T. Daarbg is het aantal der punten 8 in het geheel = 2 . f -^- Ij) en dat der punten T = 2 . — , en dus der punten S en T samen ==2 (-|- - l) + 2 . ^=2(« - 1) = het volledig aantal dub- 3belpufflton der involatie I^. De >ni|d&pi]^nien dm* «a^ijnen van uit P aan Ar^ beboores nu eens tot het uiteleei ^^r punten S, 4aii weer iot dat ^or pun- ten T; voor — even tot dat der punten 8, voor — oneven tot d$tt der punten T ; het is in ie^er bizonder geval gemakkelijk 4e?e raakpuntetn, en dus ook P, a priori te con^trueeren. jQe raakpunten der gemeenschappelijke raaklijnen van Ic^ ^et Jc'^j k^'\ . . . • zijn weer achtereenvolgens de punten T^,,8i, Tjj , Sj . .... Eindelijk ^oet nog worden opgemerkt dat men, in plaats ^«n onse £guur op te vatten als een ,n->hoek in k^ l^chreve^ haar eveneens kan beschouwen als een n-zijde om k'^ beschre- ven; de hoekpunten doorloopen dan de kegelsnee Atji en alle 4i^QP^J>)uxten van dezelfde 90(X]:t,zuUep,eveiieenskeg^s^eden doQrloQpen., die alle behooren tot de schaar (ik^ , ^'2) 9 r'^'^f^f^ il^ niet, zooals in het .eerste geval, cirkels worden, wanneer i^ an k'^ cirkels zgn. § 6. In deel LXXXFIII van de Sitzungsberichte der k. Akad. d. Wissemch. in Wim^ p. 424, heeft G. Kohn aangetoond , dat es een zeer eenvoudig verband bestaat tusschen de theorie der harmonische middelpunten , zooals die door Cremona ontwikkeld is in zijne Introduzione y en tusschen de theorie der involuti^s van hoogeren graad en hoogeren rang, die men vindt in Emil Weyr's meergenoemde Beitrage. Schrijver stelt a priori vo«r de harmonische middelpunten een definitie op, ontleend aan de Digitized by Google 81 theorie der inyolaties , en bewijst dan langs meetkandigen weg , dat de eigenschappen der zoo gedefinieerde pnntenstelsels in- derdaad samenvallen met die der harmonische middelpunten; daarentegen wordt het rechtstreeksche bewijs yoor de gelijkwaar- digheid der beide definities op analytische wgze gevoerd. Wg zullen nu in deze § in het kort aantoonen , dat ook langs syn- thetischen weg het verband tusschen de beide genoemde theo- rieën zeer gemakkelgk kan worden gevonden. Wanneer in een plat vlak a een kromme c" van den n^^ graad en een pool P gegeven zijn, dan kan men op de vol- gende wgze de eerste poolkromme p*-^ van P ten opzichte van c* construeeren ^)« Men trekke door P een willekeurige rechte, die niet in het vlak a ligt en neme daarop twee willekeurige punten T, , T2 aan, en van uit deze punten projecteere men de kromme <f. Dan ontstaan twee kegels van den n^'^ graad, die een bundel yan oppervlakken van den n^^ graad bepalen. Door ieder wil- lekenrig punt der ruimte gaat in het algemeen één oppervlak uit dien bundel; brengt men het willekeurige punt in het vlak a, dan zal het door dit punt bepaalde oppervlak ontaarden in hei vlak a zelf en een oppervlak 0«~i van den graad n — 1. Immers iedere Ign door dit punt in het vlak a moet van het gezochte oppervlak bevatten in de eerste plaats dit punt zelf en dan de n punten, volgens welke zg de kromme if snijdt, dus in het geheel n + 1 » en dus oneindig vele punten .... Door de Iga PT1T2 kan men een zeker aantal vlakken aanbrengen , die beide kegels tegelijkertgd aanraken, en wier doorgangen met het vlak a dus de raakignen zijn van uit P aan c**; en aange- zien de raakpunten dezer raakignen op beide kegels tegelijk liggen, moeten zij ook op 0^^^ liggen, en dus ook op de kromme p^\ volgens welke ^"""^ het vlak a snijdt. De raakpunten der raakignen van uit P aan c* getrokken , moeten dus liggen op een zekere kromme |>":'S de eerste poolkromme van P ; het aantal dezer raaklijnen bedraagt dus n{n — 1). Een willekeurige rechte g door P in a sngdt nu e" in n punten Ai, Aa, . . . . Am, p*"^ in « — 1 punten A', , A'a , . . . . A'«-.i , en deze laatste zgn volgens Cremoka de harmonische middelpunten van den graad n — 1 van P ten opzichte van Ai .... A». O Cf. C. RoDENBEBQ , Math, Ahh. 26. p. 557. Digitized by Google 82 Brengen wij door g en de Ign T,Ta een vlak /3 aan, dan zal dit de beide kegels sngden yolgens twee n-stralige bundels (li . A| I A2, .... A»), (I2 • A| , A2, .... Au), en 0**" volgens een kromme 0*"^^ die de lijn g snijdt in de pnnten A', , A'2, . . - • A^_i, en yerder door de niet op g gelegen sngpunten der zooeven genoemde stralenstelsels heengaat. Wij vatten nu de punten T, en T2 op als de dragers van twee projectieve straleninvoluties van den n^^ graad en den l«n r^Dg en nemen aan , dat voor beide de gemeenschappelijke straal een n-voudige straal is, en  voorstellen. Hierdoor zijn de beide in voluties bepaald; zij heb* ben dit bizondere, dat zij de Ign g snijden volgens één en dezelfde puntinvolutie P», want de beide pun tinvoluties, .die zij ieder afzonderlijk op g uitsnijden, hebben gemeen het n-vou- dige punt P en de groep Ai .... A., en zijn dus identisch. Om de beide straleninvoluties onderling projectief te maken is het dus het eenvoudigst, zulke stralengroepen aan elkaar toe te voegen, die door één en dezelfde groep der puntinvolutie op g heen gaan. Nu moeten deze beide straleninvoluties een vlakke kromme c'" voortbrengen , die in Ti en Tg een w-voudig punt heeft; van deze kromme zondert zich echter de Ign T1T2 n-maal af, omdat deze lijn voor beide bundels een n-voudige straal is en aan zich zelf is toegevoegd , en bovendien zondert zich de lijn ^ af ; er blijft dus over een kromme van den graad n — 1, en deze kan niets anders zgn dan de zooeven genoemde kromme c»-\ aangezien  dan volkomen bepaald is. Op de kromme o"~^ liggen dus de sngpunten van de stralen van alle aan elkaar toegevoegde groepen der beide projectieve straleninvoluties , of anders uitgedrukt : wanneer wij van twee tot eenzelfde groep behoorende punten der involutie 1^» op g het eene met Ti en het andere met. T2 verbinden, dan snijden deze stralen elkaar in een punt van c"~^; en wanneer wij om-! gekeerd een willekeurig punt van c»— ^ met Ti en Tg verbin- den, dan snijden deze stralen de lijn g in twee punten eener zelfde groep van I^. Hieruit volgt dan echter onmiddellijk, dat de sngpunten A'^ , k.\, . . . A'„_i van c»-^ met g , en dus de harmonische middelpunten van den graad n — 1 van P ten opzichte van het puntenstelsel Ai .... Am, dubbelpunten zgn Digitized by Google 88 Tan de inToloiie Vn op <7, waannede dus de yolgende stelling bewezen is: De harmonische middelpunten van den graad n — 1 van P ten opzichte van het puntenstehel A, . . . . A„, zijn de dubbel- punten der involutie Vn op g^ die bepaald is door de groep Al .... An en het punt P als n-voudig punt beschouwd. Wel is waar yinden wg op deze wijze slechts n — 1 dub- belpunten, terwgl hun aantal 2(n — 1) bedraagt; maar een w-Toudig punt absorbeert juist n — 1 dubbelpunten , zoodat de ontbrekende in P vereenigd liggen. § 7. De in de Yorige paragraaf bestudeerde figuur levert ons nu ook het eenvoudige middel de harmonische middel- punten Tan alle volgende graden te construeeren. Beschouwen wg n.l. nu de punten A', . . • . A^.i als fundamentaalpunten , en verbinden wg deze met T, en T, , dan zal door de niet op g liggende sngpunten dezer beide n — 1 stralige stelsels een ▼lakke kromme C*~* volkomen bepaald zijn, en de sngpunten A^, , A^'2 • • • • A/^n-9 dezer kromme met g zullen de har- monische middelpunten van den eersten rang van P ten op- zichte van het stelsel A', . . . . A'«^i , en dus van den tweeden rang, of van den graad n — 2, ten opzichte van Ai .... A» zgn. Het is duidelijk, dat men op deze wijze door kan gaan tot aan het harmonische middelpunt van den eersten graad , het ^Centre des moyennes harmoniques" van Pohcelet toe. Beschouwen wg nu nog eens de punten A''], .... A.''n^%j de harmonische middelpunten van den graad n — 2. Volgens de stelling der voorgaande paragraaf zgn deze punten n — 2 van de 2(n — 2) dubbelpunten eener involutie I^-i op g , die bepaald is door het n — 1 voudige punt P, en de groep A', , A'2 . . . . A'«-.i , terwgl de overige n — 2 dubbelpunten met P samenvallen Nu bezit echter deze involutie r»_i 00^ zulke groepen A', . . . . A^_i, die alle op uiterst eenvoudige wijze met be- hulp van de kromme (f^ geconstrueerd kunnen worden , zooals uit het voorgaande onmiddellijk is af te leiden, en die alle de eigenschap bezitten dat zij , als fundamentaalpunten opgevat , ten opzichte van de pool P dezelfde harmonische middelpunten A", .... A",-.8 van den graad n — 2 bezitten. Onder al deze groepen is één zeer bizondere, n.l. diegene voor welke 6* Digitized by Google 84 alle n — 1 punten met het punt P samenvallen ; in dit geyal worden, zooals uit de theorie der harmonische middelpunten bekend is, de harmonische middelpunten yan den graad n — 2 onbepaald , zoodat wjj aan mogen nemen dat zg met A'^i .... A.'^n-i samenyallen. ledere groep A', . . . . A^.i echter bestaat nu weer uit de niet met P samenyallende dubbelpunten eener inyolutie 1\ yan groepen Aj .... A», en elk yan deze inyoluties bezit ook weer oo' n = puntige groepen; er zgn dus in het geheel cc^ n = puntige groepen A| . . . . A» , die alle ten opzichte yan de pool P dezelfde harmonische middelpunten yan den graad n — 2 bezitten. En aangezien men , wanneer de pool en deze laatste punten gegeyen zgn, twee fundamen taalpunten wille- keurig moet aannemen om een geheele groep yan n punten te bepalen, vormen de oo^ groepen Ai .... A» een inyolutie I\ yan den graad n en den tweeden rang. Onder deze oo^ groepen A, • • . • A» komen ook diegene yoor, en wel ten getale van cd\ die worden afgeleid uit het n — 1 youdige punt P; nu is het echter bekend, dat. wanneer de n — 1 harmonische middelpunten yan den graad n — 1 met de pool samenvallen , ook n — 1 fundamentaalpunten met de pool samenvallen, terwgl het laatste onbepaald wordt, en dus naar willekeur gekozen kan worden. In onze involutie 1\ vormt dus het punt P , als n — 1 voudig punt opgevat , met ieder willekeurig punt van g een volledige groep van n punten; men kan dit punt dus tevens als een n-voudig punt opvatten, daar men het willekeurige fundamentaalpunt ook met P zelf kan laten samenvallen. Eindelijk is nog te bedenken, dat ieder punt A" een dub- belpunt is eener involutie I\.i, waarvan de punten A' enkel- voudige punten zgn , zoodat dus ieder punt A'^ voor twee punten A^ geldt. Maar ieder punt A' is zelf een dubbel- punt eener involutie I^», en geldt dus voor twee punten A, zoodat ten slotte ieder punt A'' een combinatie voorstelt van twee dubbelpunten der involutie P. en dus een drievoudig punt van I\ is. Yatten wg alles samen , dan vinden wij dus : De harmonische middelpunten van den graad w — 2 van de pool P ten opzichte van een stelsel van fundamentaalpunten Al .... A» zijn de niet met P samenvallende drievoudige Digitized by Google 85 punten van een zékere involutie P„, waarin de punters Aj . . . A» een groep vormen , terwijl de pool P, ah n — 1 voudig punt opgevat^ met ieder willekeurig punt van g, en dus ook met zich zdf\ eveneens een groep vormt. Door nu op deze wgze door te gaan vindt men natuur- lijk gemakkelgk dat de harmonische middelpunten yan den graad n — k de niet met P samenvallende (fe + 1) voudige punten eener I* zijn, voor welke de punten Aj . . . . A» een groep vormen , terwijl het punt P, ais (n — fe -(- 1) voudig punt opgevat , met A; — 1 willekeurige punten van g een groep Yormt, en dit is de door Schrgver op p. 426 van zijn mede- deeling vooropgestelde definitie. Digitized by Google Vla» R8a DE mFFEfiBNTIAALVERGELüKINGEN VOOR DE BEWEGING VAN EEN VAST LICHAAM, G. SCHOUTEN. (Delft.) Om de beweging van een stelsel lichamen te onderzoeken, waarbij de Terbin dingen yan dien aard zijn, dat de reactie- krachten bij een Tirtueele yerplaatsing geen arbeid verrichten, is de weg, door Lagrange aangewezen, zeker de meest ge- schikte. Evenwel heeft Dr. D. J. Eorteweg in zijn verhandeling Über eine ziemlich verbreitete unrichtige Behandlungsweise eines Pro- blemes der rollenden Bewegung aangetoond, hoe zelfs bg de toepassing van die Methode op het betrekkelijk eenvoudige geval van de rollende beweging van een omwentelingslichaam over een plat vlak, door verschillende schrijvers fouten begaan zijn, die wel is waar in 't vervolg niet meer zullen voorkomen, dank zij Dr. Korteweg's duidelijke aanwgzing van de juiste op- lossing, maar die dan toch het bewijs leveren, dat de toepas- sing van Lagrange's Methode met omzichtigheid gepaard moet gaan. Naast deze oplossing staat, althans waar het de beweging van een vast lichaam geldt, een andere, waarbg onderzocht wordt: 1^. de beweging van het zwaartepunt, 2^. de beweging om het zwaartepunt, dit daarbij als vast punt gedacht. Bij het eerste onderzoek past men de stelling van de bewe- ging van het zwaartepunt toe, bij het tweede do formules van EuLER of die van Lagrange. Omdat mij gebleken is, dat de laatste formules af te leiden zijn langs elementairen weg, d. w. z. door toepassing van de beginselen der Kinematica en van het theorema van d'Alem- Digitized by Google 87 BERT, dat trouwens den grondslag yormen zal Toor de studie van elk stelsel lichamen , geef ik hier die afleiding , niet omdat er eenige bijzondere yerdienste in die afleiding zou steken, maar alleen met het oog op de Methodologie. Met behulp van deze formules klBin men de beweging van een vast lichaam be- palen langs gemakkelijkeren weg dan met behulp van de EuLER^sche vergelgkingen en zonder kennis genomen te hebben Tan de Methode van Lagrange voor de behandeling van Stel- sels van Lichamen. Wg beginnen met de afleiding Tan de yergelgkingen TOor de beweging yan een yast lichaam om een Tast punt. De Kinematica leert omtrent deze beweging, dat ze ieder oogenblik bestaat in een wentelen om een as, welke door dit Taste punt gaat. Wg ontbinden de hoeksnelheid, waarmede die wenteling op zeker oogenblik geschiedt, Tolgens drie onderling rechthoekige assen OP, OQ, OR, die met het lichaam Tast Terbonden zijn, terwijl de oorsprong O in het Taste punt is genomen. Laten Pj iy r die ontbondenen zijn. In de Kinematica wordt dan Terder geleerd, dat de yolgens deze assen yallendc ontbondenen x\ y\ z' Tan de snelheid Tan een punt des lichaams, dat de massa m en de coördinaten Xy ffj z heeft, gegOTon worden door x'== qr y' rp zx z!^ n xy zoodat de ontbondenen x'\ y'\ z" Tan de Tersnelling Tan dat punt zullen gegeven worden door X = yz + qr ; y" = r'p' zx + rp ; «" = p'q' xy + pq x'y' Hieruit volgt : 1». Smx" = M qV yo'o + y'o«'o =s de geheele massa M van het lichaam , verme- nigvaldigd met de Tersnelling in de richting OP van het zwaar- tepunt (a'oyo^o) TAii ^^^ lichaam. Overeenkomstige uitdrukkin- gen vindt men voor ^my" en 2m«;". Digitized by Google 88 2". 2«.(j;'2-t-y'" + «'»)■ pq xy t qr t + rp zx = Sm = 2m{i>%2 + ;?2) + q\z'+x')W{x'W) — ^Pi^V — 2qryz—2rp2x] = Aj>2 + Bq^ + Cr* — 2pq^mxy — 2JrSwy^ — 2rpSm2?a; ; waar A het traagheidsmoment yan het lichaam ten opzichte van de as OP. B dat ten opzichte yan de as OQ en C dat ten opzichte yan de as OR yoorstellen. Worden de assen OP, OQ, OR yolgens de hoofdassen yan traagheid gekozen, dan is 2T = Sm(a:'2 ^ ^^2 ^ ^'ï) == A;)* + Bj» + Cr*. Volgens het theorema yan d'Alembert zijn de beweegkrach- ten ieder oogenblik aequiyalent met de krachten mx"^ ^y"y ^'i die men yoor ieder punt yan het lichaam kan opmaken. Noemen we dan L^ het moment yan de beweegkrachten ten opzichte yan de as OP, L^ dat ten opzichte yan OQ en ein- delijk Lr dat ten opzichte yan OR, dan is L, = ^mi}jz" - zy") = Sm y xy + y — z rp zx — z rp z'x' = 2 w { I?' (y2 4- z^) — q'xy — r'xz + p{yy' +zz')'-{qy-\-rz){qz-Ty)} = Ap' — q'^mxy — r"2mxz-\- ^m\py +pz pq xy — (?y+r2:) = kp' — q'^mxy — r'^mxz -\- pr^mxy — pq^mxz -f- + (r « — j*) Smy2r + (C — B) qr. Dergelijke uitdrukkingen yindt men yoor Lj en Lr. In de onderstelling, dat OP, OQ, OR de hoofdassen van traagheid yan het puot O zijn, gaan deze uitdrukkingen oyer in Ap'-(B-C)jr = Lp B?' — (O- A)rp = L, Cr'~(A — B)2?3 = Lr zgnde de bewegingsyergelgkingen yan Euler. Digitized by Google 89 Worden deze geintegreerd, wat niet mogelijk is tenzg L^, Lg, Lr in funcHên van ^, 9, r en ^ worden uitgedrukt, dan zullen deze integraalvergelgkingen j>, q, r als functiën yan den tijd leeren kennen. De stand yan het lichaam wordt daarna bepaald door het berekenen yan de hoeken O, i/> en ^1 die den stand yan het beweeglijk assenstelsel OP, OQ, OR bepalen ten opzichte yan een vast assenstelsel OX, OY, OZ. Het zijn de hoeken, die het stelsel OXYZ achtereenyolgens moet draaien, om met OPQR tot samenyalling gebracht te worden. Eerstens een hoek \f/ om de as OZ, waardoor OX gebracht wordt in de doorsnede 09 yan het ylak OXY en OPQ , daarna een hoek ^ om OR, waardoor OX op OP komt te liggen; eindelijk een hoek O om 06, waardoor OZ op OR komt. De ontbondenen p, 9, r yan de hoeksnelheid worden dan yeryangen door de ontbondenen \p yolgens OZ, ^ yolgens OR en O yolgens 09, en bepaald door de yolgende formules: p = sin 0sin ^.Tp + cos^.é q = sin 9cos^ . ^ — sin ^ • 9* r= Gos9.^-f^* Worden deze geïntegreerd, nadat Pj q^ r yeryangen zijn door de boyengenoemde functiën yan tj dan zullen deze inte- graalvergelijkingen 0, ^ en 1/1 als functiën yan den tgd leeren kennen en daarmede den stand van het lichaam op ieder oogenblik yan de beweging. Aangezien nu L^, L^, Lr in 't algemeen niet in p, qj r en t kunnen uitgedrukt worden , ligt het voor de hand , de bewe- gingsvergelgkingen van Euler zóó te herleiden, dat daarin p, ([y r vervangen zijn door 0, ^ en ^. Dit kan op de volgende wgze geschieden. Zooals gezegd is, moet de hoeksnelheid, tot nu toe ontbon- den volgens de beweeglijke assen, ontbonden worden in 9 yol- gens 09 , ijt yolgens OZ en ^ volgens OR. De momenten L^, L^ en Li ten opzichte yan die assen worden gegeyen door Digitized by Google 90 L^ =s Lp sin 9 sin ^ + L^ sin 9 cos ^ + Lr cos 9 Lg = Lp cos ^ — Lj sin ^ De bewegingsyergeljjkingen van Euler gaan hierdoor over in L^= 8in9Bin^(A/ — (B- C)jr) + sin9cos0(B5'- (C— A)rp) + + c089(O' — (A — B)p9) Lj = cos ^ {kp' — (B — G)qr) — sin ^ (Bj' — (C — A)rp) L^ = Cr' - (A - B)pj. Wij herleiden deze als volgt: L^ =r (Ap' sin 9 sin + By' sin 9 cos -(- Cr' cos 9) + + Ajp(r sin 9 cos ^ — j cos 9) -(- Bj(p cos 9 — r sin 9 sin ^) + -f Cr(9 sin 9 sin ^ — ^ sin 9 cos 0) = — (Ap sin 9 sin + By sin 9 cos ^ + Cr cos 9) — — A|> (sin ^ COS 9 . 9 + cos ^ sin 9 . 0) — By (cos ^ cos 9. 9 — — sin sin 9 . 0) + Cr sin 9 . 9 + Ap(r sin 9 cos ^ — y cos 9) + + By (p cos 9 — r sin 9 sin ^) + Cr(y sin 9 sin ^ — p sin 9 cos ^) d = 37 (Ap sin 9 sin ó + By sin 9 cos ^ + Cr cos 9) at _^/dT dp er ^ ^ ?!:\ d< \èp è^ dj è^ dr ö^j dt d • „ • L^ = — (Ap cos ^ — By sin 0) + Ap sin ^ . ^ -(- By cos ^ • ^ — — (B — C)yr cos ^ + (C — A)rp sin ^ = -3- (Ap cos ó — By sin ^) + Ap (sin ^ . ^ — r sin 0) + dt + By (cos . ^ — r cos 0) + Cr(p sin ^ + y cos ^) Digitized by Google 91 d = — (Ap cos ^ — B^ sin ^) — Ap sin ^ cos . ^ — at — Bq cos ^ C08 O . ^ + Cr sin 9 . ^ dt 50' ^ = ^Cr — (Al», j — Bg.i») = ~ dt ^ \èp d^ dj è^/ waardoor de yergelijkingen van Euler gebracht zijn onder den Yorm , dien Laoranoe aan de bewegingsvergelijkiogen gegeven heeft. Worden deze vergelijkingen geintegreerd , en daartoe is noodig dat L^, Li en Lg iu ^, ^ en 9 kunnen uitgedrukt worden, dan vindt men drie integraalvergelgkingen tusschen i/>, 0, ^, die, nogmaals geintegreerd , 9, ^ en ^ als Ainctiën van den tijd leeren kennen. Nu kunnen L^, L^ en L^ altijd in ^, ^ en 9 uitgedrukt worden. Aangezien toch Lg het moment voorstelt van de beweegkrachten ten opzichte van de as 06 , en X^r^ dO -\- + Y^dO + Z ^ dB den arbeid voorstelt, dien een kracht, welks ontbondenen volgens de vaste assen X, Y en Z zijn en da? dy ^z die aangrijpt in het punt a?, y, Zj verricht, zalXr^ + Y^-f Zr^ den arbeid van die kracht voorstellen, berekend voor de een- heid van wenteling, en deze arbeid is juist gelijk aan het Digitized by Google 92 moment yan de kracht ten opzichte van de as 06. BijgeTolg kunnen Lg , L^ en Li berekend worden volgens de uitdruk kingen da? _ èy . „ 02? Lj-s( ^^ + 'l+^w)- öz ^^''^ dz\ Mr waarin o;, y, 9, de coördinaten van het aangrijpingspunt van een beweegkracht, ten geyolge yan de bekende transformatie- formules in function yan 0, ^ en ^ kunnen uitgedrukt worden. Onderzoeken we nu het geval, dat het bewegend lichaam geen vastpunt heeft. Wg kiezen de hoofdassen van traagheid van een willekeurig punt O van het lichaam tot assen van het beweeglgk assen- stelsel OPQR en bepalen den stand van dit ten opzichte van een vast assenstelsel door de hoeken 9, ^ en ^. Zijn dan Uj v, tv Ae ontbondenen van de snelheid yan het punt O, genomen volgens de beweeglgke assen, dan zijn die van een punt met de massa m en de coördinaten x, y^ z of de beweeglijke assen: ar' = M + yz + rp zx i «y > lit Yolgt: Sw»" = S»i yi + 1» = M»' + M: «"o als M de massa van 't lichaam en x^^ ^q, z^^ de coördinaten van het zwaartepunt op het beweeglgk assenstelsel voorstellen. Volgens de stelling van d' Alembert is ^mx" = SX , zoodat Evenzoo is Mw' + MiTo" = SX Mf;' + Myo" = ST ^Lw' + M^o*" = SZ. Digitized by Google 93 Yerder is, insgelgks rolgens de stelling ran d'Albmbirt, '-hHÏ'Mil-h'h r-p' rp )l = M otr 'yo«o + Ap' - (B - Oqr. Voor het geval , dat de gekozen oorsprong O van het beweeg- lijk assenstelsel in het zwaartepunt ran het lichaam valt, gaan de gevonden betrekkingen over in Mm' = SX Mp' = ST Mtr'sSZ Ap' - (B — C)ir = Lp Bj' — (C-A)rp = L, Cr' - (A - B)pj = L^ De eerste drie bepalen de beweging van het zwaartepunt, terwijl bet laatste drietal de beweging om het zwaartepunt, dit als vaat punt aannemende, leeren kennen. Worden nu deze laatste drie vergelijkingen herleid, zooals boven is geschied , dan krggen we het volgende stelsel ver- gelgkiogen voor de beweging van een lichaam, waarvan bet zwaartepunt ten opzichte van het vaste stelsel S, i), Z tot coördinaten heeft: MÊ = SX , dé ÖT Mi = SY , Mf=SZ , \ dt d0 =^-(4-4-4) i^ dt d* * V ö^ d^ è^/ (A) Digitized by Google 94 en waarin T voorstelt de kinetische energie van het lichaam om het zwaartepunt en uitgedrukt moet wezen in 0, ^, en de afgeleiden 0^ \ff en ^. In het eerste lid van de voorlaatste vergelgking van (A) is symmetrieshalve de term — ^-- gebracht, waarvan de waarde gelgk nul is, omdat i?, J, r en dus ookT onafhankelijk van \p zyn. Wij zullen ten slotte een paar toepassingen behandelen. Voorbeeld. Een omwentelingslichaam j steunende op een glad horizontaal vlak , beweegt zich onder de werking van zijn ge- wicht (zie fig. 2 bl. 137 Deel IV van Dr. Korteweg's opstel). De bepaling van de beweging van het zwaartepunt wordt beheerscht door de vergelijkingen M£ = , Mn = , Mf = R — M^, waar R de normale druk in het steunpunt is, en ^ een functie van ö, stel $=/(ö), bepaald door den vorm van het omwen- telingslichaam. De vergelijkingen voor de beweging om het zwaartepunt worden gegeven door het laatste drietal van (A), door voor T te nemen de waarde gegeven door 2T = A {^ sin'-* + 0^) + C (i^ cos + ^)a, terwgl hier L^ = O , L^ = O en L^ = R . AD = — R . f {9) is. Ze zgn derhalve: d C (i^ cos + ^) = dt d \k^p sin^ + C cos (<^ cos + i)\ _ dt dkè — (Ai//2gin0cos0 — C(i//cos0 + ^)sin0) = — R./'(0). dt De beide eersten geïntegreerd geven: i/> cos + ^ = standvastig = n (1) A^ sin20 + Cn cos = standvastig = K. (2) De eerste drukt uit, dat de wenteling om de omwentelingsas van 't lichaam eenparig is, een noodzakelgk gevolg van de omstandigheid , dat de beweegkracbten die as snijden. De tweede leert, dat het moment van de hoeveelheid vao beweging ten opzichte van de verticaal van het zwaartepunt Digitized by Google 95 staadvastig is, een gevolg van de omstandigheid, dat de be- weegkrachten evenwijdig zijn aan die verticaal. Vervangt men in de derde bewegingsvergelijking R door M(5f + $) = M(y +/(e)/'(0)>+/(0).ë), dan gaat ze over in { A + TAf%9) l ë + M/(0)r(ö) . Ö^ + M^/'(0) = ^ sin {AJ, cos - Cn). Het dubbele van het eerste lid is gelijk aan dB Het dubbele van het tweede lid, als daarin \(t vervangen . . K - Cn cos wordt door ^ — 7-^ , gaat over m A sm^O (K — Cn cos 0) (K cos — Cn) Asin3 en is bijgevolg gelijk aan de afgeleide naar van den vorm (K — Cn cos 0)2 A8in2 of van — A\/^ sin* 0. De integraalvergelgking van de derde bewegingsvergelijking luidt dus (A + M/2(e))ea + 2M^/(0) + k^ sin« = standvastig = K (3) zgnde de uitdrukking voor de standvastigheid van de totale energie van 't lichaam. (3) is , als daarin 1^ door haar waarde in wordt vervangen , een differentiaalvergelijking, die geintegreerd als functie van t doet kennen. Die waarde voor in (2) overgebracht, geeft een differentiaalvergelijking, welke geintegreerd yp als functie van den tgd geeft; terwijl eindelijk (1) door substitutie van de en )// door hunne waarden een differentiaalvergelij- king geeft, die geintegreerd ^ als functie van t doet kennen. Voorbeeld. Een omwentelingslichaam^ met een scherpen dr- kelvormigen rand voorzien^ rolt met dien rand over een hori- zontaal vlak onder de werking van zijn gewicht. Het zwaarte- punt van het lichaam ligt in het middelpunt van den rand (zie dezelfde figuur). Is R de straal van den rand en zijn X, Y, Z de ontbonde- Digitized by Google _ 96 nen van den weerstand van het steunvlak, genomen volgens de vaste assen, dan gaan de bewegingsvergelijkingen (A) hier over in M$ = X, Mi'=T, Mf=Z — M^, -|f— ^=/i:e)(-X8in^+Tco8,^)-ZAe), waar T gegeven wordt door 2T = A(^2 sin» + 0») + C(i^ cos 9 + ^>. Hierbij moeten gevoegd worden de voorwaardenvergelijkin- gen (11) in Dr. EoRTEWEa's verhandeling voor de rollende beweging, en welke in ons geval, nl. /vö) = Rsinö, over- gaan in K = R(ö sin Ö sin \// — r cos i//), n = — R{9 sin Ocosxp }-r sin ip) waarin r = i// cos ö + ^ te stellen is. Hieruit volgt verder : 5 cos i// + IJ sin i// = R(öi// sin Ö — r) — $ sin i// + ij'cosi/; = — R(è*sin ö + ö=» cos Ö + np) De vergelijkingen voor de beweging om het zwaartepunt gaan hierdoor over in dCr -z-- = TAR\éxpBin9 -r) dt d(A^Bm^0 + Crcose) ^^^. . . . v. — ^ MR^Öt^ sin ö — r) cos O AÖ — ( A;/> sin ö cos ö — Cn^ sin 0) = — MR» sin e(è'8in ö-f-fl^ cos -j-n^) — MR cos Big + R(0 cos — é» sin 0)). Digitized by Google De derate herleii werSt (C + MR»)r = ULR^ÓiP sin 9 de formule (17) in Dr. Korteweg's verhandeling. De tweede , als volgt geschreven , !!^i^l^Crcose- CrÖsinÖ = MR2(ê;^8inÖ-- r)<50»fl pAï tengevolge van de zooeven gevonden betrekking over in dA^/^sin^e n • ^ ^ — ■^ = Cr sin ö . ö at de formule (18) van Dr. Korteweg. De derde eindelijk gerangschikt wordt (A + WR2) + M^R cos e + MR» sin . n/) + Cryf sin 9 - — A}^ sin cos = O ,' en kan bijgevolg als volgt geschreven worden : d\{k + MR»)0« + 2MyR sin 0{ d9 +i:'-0, waar Pr=2Cri^sin + 2MR*sin . n^ — 2Ai/i^ sin cos te stellen is. Deze vorm P kan met gebruikmaking van de gevonden be- trekkingen achtereenvolgens herleid worden als volgt: P0^2Cr0^ sin + 2MR« sin . r94, - 2A^*0 sin cos = 2^ ^^^""^^ + 2(C -f MR>r — 2A^20 sin cos = 2i/-(A^ sin» e + 2kp sin Ö cos Ö) + 2 (C + MRajrr — — 2 Ai/'*08in0co8d = 2A}J4 sin» e + 2A;/-»0 sin cos f 2 (C + MR»)rr (/(A;/.' gin» + (C + MR») r») Bggevolg is d(Ai^ sin» + (C + MRV) P = de Digitized by Google 98 Zoodat de derde vergelgking nu geinteg^eerd kan worden en geeft tot integraalyergelgking : de formule (16) van Dr. Eortbweg, en die dadelgk is op te Bchrgyen , als uitdrukkende de standvastigheid van de totale energie. De oplossing van het yraagstuk is dus teruggebracht tot de integratie Tan de drie gevonden yergelgkingen , welke ook als Tolgt kunnen geschreven worden: i'"%) = Qr sin O de t ' a ^ ^^ ^^^"^ =AQrfö (A + MR»)ê»+2MyRsin0 + Ai/>sina0-f (C + MRV = K waar C MR» ^■" A C + MR» te stellen is. De eerste geintegreerd geeft r als functie van B ; de tweede geeft dan i/) als functie van , waardoor de derde een diiferen- tiaalvergelgking wordt, die geintegreerd als functie van den tijd geeft , waarmede ook r en i// als functiën van t te bepalen zijn. De coördinaat 5 =.• /(ö) is dan tevens bekend , terwijl de voorwaardenvergeijjkingen ^ en /u als functiën van t geven en daarmede de ontbondenen X, Y, Z van deo weerstand van het steunvlak. Uit het oogpunt van de theoretische Mechanica is hiermede het vraagstuk opgelost. Digitized by Google BIBLIOGEAPHIE. L'enseignement mathématique, revue internationale paraissant tons les deux mois. Directeurs: C. A. Laisant et H. Fehr. Paris, Georges Carré et C. Naud. Yan deze revue , die blijkens de mededeeling op den omslag, gesteld is onder de hoede van een ,,comité de patronage", bestaande uit een aantal bekende geleerden van yerschillende nationaliteit , ontving het Nieuw Archief het nummer voor 15 Maart 1900. Dit nummer bevat (blz. 77-136) een vijftal lezenswaardige artikelen. Y. Sohlegel geeft een overzicht van de ontwikkeling der meetkunde van n afmetingen, vergezeld yan eene uitvoerige opgave der litteratuur ; J. Andrade behan- delt de beteekenis, die men bg het elementair meetkundig onderwgs aan het postulaat van Euclides moet toekennen; L. Ripert bespreekt het groote nut van het begrip „oneindig" in de elementaire meetkunde; 6. Fontoné wijst op de wen- schelijkheid om verandering te brengen in eenige meetkundige benamingen ; A. Poussart deelt een bewijs mede van de stellingen van Bezout en Euler ten aanzien vau de onderlinge deelbaarheid van twee veeltermen. Hierna volgen eene „Chroniquc' en eene afdeeling „Biblio- graphic", in welke laatste eenige nieuw verschenen boekwerken worden besproken. Ten slotte vindt men in ecu „Bulletin Bibliographique" titel- en gedeeltelgke inhoudsopgave van eenige tijdschriften. Wij bevelen deze revue gaarne in de belangstelling van de leden van het Genootschap aan. KI. Le Degré du Méridien terrestre mesure par la distance des parallèles de Bergen-op-Zoom et de Malines par WiLLEBRORD 8NELLIUS , publié par Hënri Bosmans de la Compagnie de Jésus. — Bruxelles, PoUeupis et Centerick, 1900. Snellius beeft, gelijk men weet, in zijn Eratosthenes Batavus (1617) uit den afstand van Alkmaar tot Bergen- op-Zo jm — bij 7* Digitized by Google 100 de onderstelde bolvormingheid der aarde — de lengte van den meridiaangraad afgeleid. In zijn werk ontdekte hij later ver- schillende fouten. Dit gaiP hem aanleiding om de meting yan alle hoeken te herhalen; tevens strekte hij zijne triangulatie uit van Bergen-op-Zoam tet Mechelen, om met des te meer zekerheid de lengte van den meridiaangraad te kunnen vast- stellen; ten slotte maakte hij nog van een strengen winter gebruik om op h^t [js a^n b^i^ nauwkeuriger i» bepiilep dan iNToeger mogelijk was gewast. *) Deze verbeteringen , ia «zoverre s$i) door SaelUup eige|ibenc|ig weveo opgeleekeod in een exemplaar van Erni^sthene$ ^ weiden gepubliceerd ten jare 1729 door Petrus Va^ Ifus^^heobraak in sga Dmeitic^tiOi de magnitudine Urra^; echter h^t Y^n Husechenbreek aangaaade do metingen tusa^hoq Bergeq-'Op^ZtOQm en Meohelea niets anders gevonden dap ^ne figuur dopr BneUlua geteekend, terwjjl hg de resuU^kteo verloren achtte. ^Doleeduip est" soo scbrjjft hg ^cum ulterius m^nctujap^ produ- zerat Geometra usque ad Machliaiam, ve\uti ia T^b. XVI l^p^eaeataturi eaa observationes periiase; aoo enim illa^ ip efl^eadationibui^ reperia, unde praeter meriini Scbeni^f^ ab ip9o Autore depictani, nihil exhibere potui." Toch was ook de uitkomst dezer metipgea door Snellius t^gevaegd aim een ander exemplaar vau Eratosthenes Batavus^ dat in de koniuklgke bibUotheek te Brussel bewaard wordt. ^) Bit onuitgegeven deel van Spellius' erbeid heeft P, Bqsn^^ps thans gepubliceerd, ook in de Annates de h Sq^iété sd^i^tifiqm de BtruxeUea; eea belangwekkeade historische iuleiding, en talrijke aanleekeniagen voegde hij er bii^ Terwijl het breedteversohil van Bergen-op*Zeom en Mechelen ^n werkelijkheid ruim 2T 55'" bedraagt, ueemt Snellias daar- voor slechts 24'; men zal dus licht begrijpen, dat de beo))f<^- ringen , die hier tot het resultaat voeren van 98545 Rijnlandfiche roeden voor de graadlengte, slechts historische beteekenis hebben, — evenals de toch reeds verbeterde berekeningen, die aaa SnelUus de waarde van 28513 Bijnlandsche roeden <^leverdea uit den a&tand van Alkmaar tot Bergen- op^ZoQm; 1) Zie P. van G-eer, Kotice sur la vie et lea travauz de Willebrord SoelHus, Arehhres Néerl., t XVIII, p. 463. *} SaetioD 4ai ACiw«8efit«» n«. 15403. Digitized by Google 101 mt liet TérseliU in po^klMogte d«fei«r tw«e {^lufttseft bam lig l"" ir,50, terwijl het nog niet ten ToUe 1^ 8' IV bedro«|;4.i) Toch biyft de hiBtorische beteekenis van elk fragment van SneHiiii' Werk ; en daarom sulloa iazoA^erbeid de Nederhlhbche wiskundigen P« Bosroana dank weten Yoor de moeite eb a^Mf, MA de uitgave en teelichting dezer metingen gewf^d. S« Esüesa S« J« Bekenkunde* Theorie ^ {^ct{jk ten dienete van Nov- maal- en Middelbaar Onderwijs, door P. Brassedr, leeraar aan eb Btdatsbortnafthchool tan Lier ^ (16 hoofdal. , 5S6 bla^ ; fr. 6* — ). 6«6t, Ad. Hoste, 1899» Dit leerboek bevat o.a. vele leerrijke aanteekenibgeti otêr taktelsels, over renterekening, met inbegrip vaa lijfrentM en annuïteiten , en over handelsrekenen* De takyke vraagstukken lyti naar typen gerangschikt* M^ fï Catalog mathematischer Modelle für den höhereo omtkeBmtisidhen Unterricht, veröffentlicbt durch die Yerlags- haftdlung von Martin Schilling in Halle a. S. Naehtrag , Halle a. S., 1900. Dese uitgave is een voortzetting van de bekende mödellen- retks van de firma L. Brill in Darmstadt ein staat onder de wetenschappelijke leiding van Prof. Dr. Fr. Schilling te Q<)t- tingen. M^. Geometria piana (394 blz.; L. 3. — ), Oeometria soli da (297 blz.), di F. Qiüdïob, Prof. di Matematica nel R. Institute T. V. E. Libero docente d' Algebra nella R. univer- sita di Geneva. Brescia, F. ApoUonis» 1897-1900, Behalve de stof, die men gewoonlijk in elementaire leer- boeken over meetkunde aantreft, bevat dit werkje ook eenige aanteekeningen over verwante onderwerpen^ als niet-euclidische meetkunde , zoogenaamde nieuwere meetkunde , meetkunde van *) Van Musschenbroek neemt voor de breedte van Bergen- op-Zoom 51* 2B' 4T, hetgeen nog* 13" meer afwijkt van de werkelijke waarde dan het dobr SbelHus •aageaomen cijfer 51^ 29*. Dé breedte van Alkmaar daarentegen Wordt doDr Van Musschenbroek, die hi<*r Cassini volgt, omtrent 40" te groot genomen. P. Bosmans geeft een ander voorbeeld , waarin Van Musschenbroek de vel'këerde ^pgmve Yhn Mn hdek bij Sti«lUu8 door ee& nog mmt foutieve vörvatogt. Digitized by Google 102 de ruimte met n afmetingen, meetkunde van den driehoek, punttransformaties , enz. M^ Nijverheids- en Handelsrekenen, ten gebruike van Nijverheid-, Beroep- en Adultenscholen (2 dln. in 1 band, 9 hoofdst., 260 blz.; fr. 2.—), door H. de Guchtenaere, leeraar aan de Kijverheidsschool te Gent. Gent, Ad. Hoste, 1900. Een uiterst practisch vrerkje met vele vraagstukken op allerlei gebied, o. a. ook op dat der textielindustrie. M^. Trattato di Algebra elementare, eon molti esercizi di G. M. Testi, (20 hoofdst., 710 blz.; L. 4.—). Livorno, R. Qiusti, 1900. Dit werkje onderscheidt zich vooral door een streven naar wetenschappelijke behandeling der stof. De onmeetbare getal- len worden ingevoerd door middel van de algemeene theorie der grootheden, zooals deze ontwikkeld is door R. Bettazzi (zie: „Teoria delle grandezze", Pisa, Spoerri, 1890), de com- plexe getallen door middel van meetkundige beschouwingen. M^ A Text-Book of Geometry, by G. A. Wentworth, A. M. Revised edition. Boston, U. S. A. Ginn & Company, 1899. Een heldere stijl, goedgekozen oefeningen, keurige druk en een fraai bandje maken deze uitgave tot een bij uitstek prac- tisch schoolboek. Wat al te practisch echter dunkt het ons, dat de schrijver alle moeilijkheden omtrent euclidische of niet- euclidische meetkunde afsnijdt, door het „parallellen-axioma" tot een gevolg te verklaren van de stelling, dat twee loodljjneo op een zelfde rechte evenwijdig loopen. M^ Traite de geometrie par E. Roüché et Ch. de Com- BEROUSSE. Septième edition , revue et augmentée par Eugèxe RoüCHÉ. I. Het platte vlak , fr. 7,50. II. De ruimte , fr. 9,50 Parijs, Gauthier-Villars, 1900. Deze zevende druk van het gunstig bekende leerboek, dat in stede van zich bij de in Frankrijk vigeerende ofBcieele programma's te bepalen een overzicht tracht te geven van alle methoden en hunnen ouderlingen samenhang, is werkelgk Digitized by Google 103 aaDzienlgk yermeerderd. De bladzgden-aantallen der beide deelen, die in den vierden druk yan 1879 nog slechts 362 en 549 bedroegen, zijn hier tot 548 en 664 geklommen. 