Nieuw archief voor wiskunde
Overzicht der door den heer A. N. Godefroy nagelaten handschriften en leekeningen over kromme lijnen en gebogen oppervlakken, aanwezig op de Universiteits- Bibliotheek te Amsterdam 1 P 4b, 02 e. P. H. SCHOUTE. De prijsvraag van Godefroy . 33 H 9 h. W. kAPTEYN. Sur la solution la plus générale de deux equations aux dérivées partielles 41 R 7. A. J. SWART. Een vfaagstuk der dynamica 44 V I a , t) 6 d. G. SCHOUTEN. De enkelvoudige periodiciteit van dè functiën ^*, sin jr, cós;r 57 L 17 d. M. DE VRICS. Kcnige opmerkingen naar aanleiding van Emil Weyr's „Beilrage zur CurVenlehre" 68 V 1 a, R 8 a. 6. SCHOUTEN. De differentiaalvergelijkingen voor de beweging van een vast lichaam 86 V 6, 7. N. L. W. A. 6RAVELAAR. Stevin's Problemata Geometrica 106 C2h, £5. W. KAPTEYfl. Sur la trartsformiation d'une inte- grale définie 192 S 3 b a. W. A. WYTHOFf . Een geval van vloeistof beweging zonder werveling in twee afmetingen 212 Ik te, f. J. VAES. De vergelijking voor de indeeling det staln- genvierhöfeken 2451 Ö Ö c £. J. é. KLÜYVER. Ontwikkelingscoefficiëhten, die eenige övereenkötnst met de getallen van Bernoulli vertóonen 249 It?b,F2h,8h. 8. SCHOUTEN. De centrale beweging en de function van Weierstrass 255 1 ■ «i. £. O. J. DE JONGH Jr. Over het kleinste gemeene veel- voud van rtieer dan twee getalten 26Ö K 14 c , c a , g. F. J. VAES. De opvulling der ruimte door Regelmatige en half-regelmatige lichamen 268 fe S c y. F. SCHUH. Ueber die Gestalt eines schwei*en Cylin- ders, der, auf einei- horizontalen Ébehe rollend, tau- tochron schwingt 277 L* 18 a. JAN OE VRIfcft. Ueber die SimultaninVarianten tweier Kegelschttilte . . . • , , . , 298 Digitized by Google Biz. R7b,F2h, 8h. G. SCHOUTEN. De centrale beweging en de funclien van Weierstrass 301 Vg. P. H. SCHOÜTE. JohannWendelTesch (1840-^1901) met portrait 310 £ie. L. U. H. C. WERNDLY. Demonstration directe de la formule de Stirling 325 M^ 6 b a. H. DE VRIES. Ueber eine einfache Eizeugungsweise der gewöhnlichen Lemniscate 329 Ryf, F2h, 8h. G. SCHOUTEN. De mathematische slinger en de functien van Weierstrass 338 R8b, Fah, Sh^'. G. SCHOUTEN. De wenteling van een lichaam en de functien van Weierstrass . . . - . 346 K 9 a. C. A. CIKOT. Iets over het bepalen van het middel- punt van evenwijdige krachten, die aangrijpen op de zijden van eenige bepaalde veelhoeken, zonder ana- lytische meetkunde 357 X 7. F. J. VAES. Enkele berekeningen met de rekenlineaal . 362 K 2 d. H. A. W. SPECKMAN. Een nieuwe cirkel in den mo- dernen driehoek 367 R8a,9ba. Mevr. A. G. KERKHOVEN-WYTHOFF. Over de verandering, die de levende kracht van een zich vrij bewegend lichaam van onveranderlijke gedaante door het plotseling in rust brengen van een punt daarvan ondergaat. 374 12 a. N. L W. A. GRAVELAAR. Over het kleinste gemeene veelvoud van meer dan twee getallen 389 V9,Li5b. P. H. SCHOUTE. Erratum 389 Bibliographie. Via. C. A. Laisant et H. Fehr. L'enseignement mathéma- tique. Paris, Georges Carré et C. Naud 99 Uiob, V7. W. Snellius. Le Degré du Méridien terrestre mesure, publié par Henri Bosmans. Bruxelles, Pol- leunes et Ceuterick 99 II. P. Brasseur. Rekenkunde. Gent, Ad. Hoste .... 101 X8. Catalog mathematischer Modelle. Halle a. S., 1900 . 101 K, Q. F. GiUDiCE. Geometria piana, Geometria solida. Brescia, F. Apollonis, 1897—1900 101 1 1. H. DE GucHTENAERE. Nijverheids- en Handelsrekenen. Gent, Ad. Hoste, 1900 102 Ai. G. M. Tresti. Trattato di Algebra elementare. Livomo, R. Giusti, 1900 102 K. G. A. Wentworth. A. Text- Book of Geometry. Boston, U. S. A. Ginn & Company, 1899 102 K , Q I. E. RoucHÉ et Ch. de Combêrousse. Traite de geo- metrie. Paris, Gauthier-Villars ,1900 102 K , L , M', M'^. F. Michel. Recueil de problèmes de geo- metrie analytique. Paris, Gauthier-Villars , 1900 . . 103 Digitized by Google Biz. K 32 a, J. Badon Ghyben. Gronden der beschrijvende meet- kunde. Breda, 1900 ............ 104 1 1. J. S. Mackay. Arithmetic theoretical and practical. Lon- don & Edinburgh, Chambers, 1899 104 1 1. F. Amodeo. Arithmetica particulare e generale. N^les, L. Pierro, 1900 105 K. G. Veronese e P. Cazzaniga. Eiementi di geometria. Verona e Padova, Fratelü Drucker, 1900. ... 105 K 30 e. A. J. Pressland and Ch. Tweedie. Elementary tri- gonometry. Edinburgh , Oliver & Boyd , 1900. 105 V 7, K 20. H. BOSMANS. Le traite des sinus de Michel Coignet. Bruxelles, Polleunis et Ceuterick, 1901. 194 K7, L'. P. VAN Geer. Grondslagen der synthetische meet- kunde. Leiden, A. W. Sythoflf, 1901 196 K32, 33. A. VON Oettingen. Eiemente des geometrisch- perspektivischen Zeichnens. Leipzig, Wilhelm Engel- mann, 1901. 197 B 13 h. S. Pincherle e U. Amaldi. Le operaziorii distribu- tive et le loro applicazioni all* analisi. Bologna, Ditta Nicola Zanichelli, 1901 198 Cl. L. Kiepert. Grundriss der Differential- und Integral- Rechnung. Hannover, Helwingsche Verlagsbuchhand- lung, 1901 .. 200 V 9 , T. Ch.-Ed. Guillaume et L. Poincaré. Rapports pré- sentés au Congres International de Physique. Paris, Gauthier-Vilars, 1901 201 V8, 9. G. Bigourdan. Le système métrique des poids et mesures. Paris, Gauthier-Villars , 1901 209 S 3 c. H. BENARD. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide propageant de la chaleur par convection, en régfime permanent. Paris, Gauthier-Villars , 1901. 210 Cl, 3. C. ArzeÜi. Lezioni di Calcolo Infinitesimale. Florence, Successor! Le Monnier, 1901 317 R. J. VAN DER Breggen. Leerboek der Mechanica. Gro- ningen, P. Noordhoff, 1901 318 K6, L*, L2. Oplossing van Vraagstukken uit de Ana- lytische Meetkunde van het platte vlak en der ruimte , voorkomende in „Briot et Bouquet. Lecons de geo- metrie analytique" , benevens een gelijk aantal vraag- stukken ter oefening door D. J. Korteweg, hoog- leeraar te Amsterdam. Derde druk, vermeerderd en j bewerkt door Dr. W. A. Wythoff. 's-Hertogenbosch , W. C. van Heusden, 1901 318 j I, Q4ba. E. Fourrey. Recreations arithmétiques. Paris, Nony en Co., 1899 319 I ü, V6. Tychonis Brahe Dani die XXIV octobri s a.d. MDCIdefuncti operum primitias de nova « Stella summi ei vis memor denuo edidit regia socie- tatis scientiarum Danica. Copenhague, 1901 ... 319 Digitized by Google Biz Uio,Xa. £, Hammeiu Der HammerrFeimel^sGtie Tatcky- meter-Theodolit und die TachymeteriMppregel zur un'^ miuelbarea Latteii^ble^mig v4>n HofiicHilaklisuiiis und Hohenunterschied. Sluttg^, K. Wittw^, 1981' • • 320 Q I. G. Hambl. Ueber die Geometrieea , in donen die Gia- den die Kürz^st^n sii^d. Qdttingen, Dietrich, i9Ql. 320 K7. H. DB Vm^. Da projectieve meetkunde enh^^gyoiHi- ieggers. Amstec^niy H. G* van Durasen, i901. 320 E I, V, 8 , 9. M. GoöBFRQV. h% Fonclion Gamma. Paris, Gauthier-ViUars, 1901 • . 396 Ri. H. SlCARi>. Traite de cinématique théorique. Paris, Gauthier-ViUara, 1902 398 S 4 b. L. BoLTZMANN. Le9ons sur la theorie des gaz. Tra- duites par A.GaUQtti, etc. Paria, Gauthier^Villars, 1902 399 T4e„ F. M. Raoult. Cryoscopie. Paris, C. Naud, 19.)l . 401 Tab. J. Macé DB LÉPWAY. Franges d'interférence et leur» applications métrologiques» Paris, C. Naud, 1902 . 402 T3C, 7. E. NÉc^JLCÉA* Le phénomène de Kerr et les phé- nomènes électro-optiques. Paris, C. Naud, 1902 . . 404 Digitized by Google V9, PI, 4, 6, M^5— 7, Mg8a,h/3, L^6a. OYEBZICHT DER DOOR DEN HEER A. N. &ODEPROY NAGELATEN HANDSCHRIFTEN EN TEEKENIN&EN OVER KROMME LIJNEN EN GEBOGEN OPPERVLAKKEN, AANWEZIG OP DE UNI- VER8ITEITS-BIBLI0THEEK TE AMSTERDAM, D. J. KORTEWEG. (Amsterdam.) Bg zijne, voor ons Genootschap zoo gunstige, laatste be- schikkingen, gaf de heer Godefroy den wensch te kennen, dat in de werken Tan ons Genootschap een overzicht zoude yerschijnen van de door hem aan ons nagelaten „aanteeken- boekjes en geschreven opstellen over- en teekeningen van kromme Ignen en gebogen oppervlakken." Als bibliothecaris van ons Genootschap meende ik, dat op mij in de eerste plaats de taak rustte, dezen wensch te ver- vullen. Daarbij bleek het mij spoedig, dat het verlangde over- zicht 5f vrij uitvoerig moest worden, óf anders van geene beteekenis zoude zgn. Zoowel de gevoelens van erkentelijkheid jegens den overle- dene, alsook de overtuiging, dat zgne onvermoeide nasporin- gen , vooral op het gebied der transformaties van kromme lijnen, waarvan er meerdere zeer eenvoudige door hem zijn uitgedacht en toegepast y eene nadere kennisname verdienen, maakten de keuze niet twijfelachtig. Wat voor Godefrot's onderzoekin- gen over de MACLA.(TRix'sche transformatie reeds is verricht door Dr. P. H. Schoüte in zgne verhandeling „Over de con- structie van unicursale krommen door punten en raaklgnen" {Nieuw Archief^ XII, p. 1—37), zal ook voor andere zgner onderzoekingen, wier inhoud in ons overzicht der ^aanteeken- boekjes" wordt toegelicht , allicht met vrucht kunnen geschieden. Deze aan teekenboekjes en de dikwijls zeer uitvoerige en met talent bewerkte teekeningen zgn, evenals de overige hand- 1 Digitized by Google schriften , op de uniyersiteits-bibliotheek yoorhanden en zoodanig gecatalogiseerd en gemerkt, dat zij met behulp Her hier aan- gegeven nummers gemakkelgk zullen worden teruggevonden. Het heeft ons ondertusschen gewenscht toegeschenen aan het overzicht der aanteekenboekjes en der verdere handschriften te doen voorafgaan de korte verslagen, door Godëfroy zelven opgesteld, van de beide eerste voordrachten door hem op 5 Nov. en 24 Dec. 1873 in ons Genootschap gehouden. Deze korte verslagen waren voor het toenmalige tgdschrift van het Genootschap, het ,, Archief* bestemd, maar zgn daarin nimmer opgenomen. Dit verzuim wenschen wij thans te herstellen , te eer omdat deze verslagen, vooral wanneer men de daarbij be- hoerende teekeningen raadpleegt, een duidelijk denkbeeld geven van het karakter der tairgke mondelinge voordrachten, door GoDEFROY op ons Gonootschap gehouden, ons tevens de wijze doen kennen, waarop Godëfroy tot zgne belangrgkste naspo- ringen gekomen is en bovendien gelegenheid geven reeds da- delijk van een vrg groot gedeelte der voorhanden teekeningen de beteekenis te verklaren, beter dan dit op andere wijze zoude kunnen geschieden. A. Kort verslag der voordracht van 6 Nov. 1873. Als spreker had zich bereid verklaard op te treden de architect A. N. Godëfroy, in den loop van het genootschaps- jaar als lid aangenomen, en die tot onderwerp had gekozen het bepalen van den omtrek der kegelsneden in het algemeen , door punten ontstaande door stelsels snijlijnen om 2 vaste pun- ten draagende , alsmede de bepaling van de raaklgn in ieder punt van den omtrek. Uit de inleiding bleek, dat het denkbeeld tot deze beschou- wing was ontstaan door eene figuur , voorkomende in een bouw- kundig werk van Joost Yermaarsch , mr. metselaar te Leiden , leerling van den landmeter Abraham Wurtz, in 1678 te Amsterdam uitgegeven') en waarin wordt verklaard, hoedanig ^) In een der manuscripten van Godbfbot, gedateerd 25 Januari 1875, waarin de in de voordrachten van 5 Nov. en 24 Dec. 1873 behandelde stof eeniger- mate uitvoeriger is uitgewerkt, wordt melding gemaakt van eene vroegere uitgave van dit zelfde werk, getiteld: Serste deel der Bouwkunst ofte grondige befoijs- redenen over den Sin en de Fraetyck van den autheur Vincent Scamozzi Digitized by Google 3 men den omtrek van eene parabool zal kunnen vinden, wan- neer drie punten Tan dien omtrek gegeven zgn^). Spreker wees er op, dat men eene parabool kan beschouwen als de perspectief of centrale projectie van een cirkel , en leidde daaruit eene hoogsteenvoudige methode af om ook ellipsen en hyperbolen door middel yan zulke stelsels snglgnen te bepalen. Hieruit bleek o.a., hoedanig men bg parabolen en hyperbolen het beginsel van voortdurendheid (principe de continuité) be- vestigd vond, en het onderscheid tusschen de lineaire eigen- schappen in tegenstelling met de beschrijvende of descriptive eigenschappen; een en ander naar aanleiding van de denk- beelden door J. Y. PoKCELBT ontwikkeld in zijn ^Traite der propriétés projectives des figures", al hetwelk met in het groot geteekende figuren^), door kleuren verduidelijkt , werd toegelicht en mondeling verklaard. door Joost Ybbmaabsoh , meester metselaar tot Leyden .... Oedruekt hij Abraham Vbbhoeff 1664. Op de Amsterdftmsche Univereiteitsbibliotheek is aanwezig de Amsterdamsche editie van 1678. De bedoelde figuur komt aldaar voor op de eerste plaat aan het einde der inleiding als figuur D. Zij dient tot toeliclkting van het werkstuk "^Soe men een Parabole om een gegeven triangel kan beschrijven" Zij bevat slechts de constructie punt voor punt; de raaklijn-constructie , die GoDEFROY gediend beeft tot gprondslag van de meeste zijner latere raaklijn- eonstructies, is dus van Godbfbot*s eigen vinding. *) De constructie van Vbbmaabscb wordt, voor zoover de ééae helft der parabool betreft, weergegeven door nevensgaande figuur. Het is niet moeilijk daarin eene MACLAusm'sche transformatie der rechte D£ te herkennen , zooats die door P. H. Schoute omschreven is in het Nieuw Archief, deel XII, p. 20—22 (1885). Daarbij is dan DF de richt- lijn /, het eerste straalpunt A is het punt in 't oneindige der lijnen BQ, het tfceede is het punt B , het derde G het punt in 't oneindige der lijnen QQ'. Men vergelijke slechts de voorstelling der MACLAUBiN'sche transformatie hier gegeven in fig. 2. Inderdaad voert de eontruetie van Ybbmaabsoh, door perspectiveering, onmiddellijk tot den meest algemeenen vorm der MACLAüBiN'sche transformatie. ') De bedoelde figuren vindt men vereenigd op eene teekening gemerkt I^. De bovenste bevat de constructie der parabool volgens Ybbmaabsch met deze bijzonderheid dat BB loodrecht stiat op de richtlijn DF, welke tevens de as is der parabool en waaraan de lijnen QQ' evenmjdig loopen. Door vervolgens het straalpunt C niet in het oneindige, maar op eindigen afbtand ergens op de richtlijn te kiezen , ontstaan ellipsen of hyperbolen , waarvan er van elk soort éóne wordt voorgesteld in de beide onderste figuren. Digitized by Google Daarna behandelde de spreker uit hetzelfde oogpunt de kegel- sneden door 5 gegeven punten, waarvan de algemeene verge- lijking werd opgemaakt, en ook daarbg werd aangetoond op welke hoogsteenvoudige wijze alle overige punten door het trekken van drie lijnen kunnen worden gevonden, terwgl de raaklijn in dat punt door het trekken van slechts ééne Ign dadelgk bepaald wordt ^). *) Gestoken in het kleed der MACLAURiN*8che transformatie, zooals deze door SoHOUTE (zie noot (2)) beschreyen werd, komt de constructie neer op de hier in fig. 2 aangegeyene. De yijf punten door welke zich Godbfboy de kegelsnede bepaald denkt en welke dan op hunne beurt de straalpunten A , B , O , de richts- lijn ƒ en de te transformeeren rechte QD gemakkelijk bepalen, zijn de Tolgende: -vooreerst de drie punten B , O en D der figuur , ten tweede het snijpunt van A6 en QD dat wij E zullen noemen, en ten derde een willekeurig door deMACLAUBiN' sche constructie bepaald punt Q'. De raaklijn in eenig punt Q' wordt nu eenTOudig gevonden door het snijpunt H te bepalen van CQ met BA , daarna te trekken de lijn BH , haar snijpunt U met QD te bepalen en dit te vereenigen met Q'. Inderdaad vloeit deze constructie onmiddellijk voort uit den zeshoek van Pabcal, indien men, opmerkende dat C, Q', B, E en D allen op de kegelsnede gelegen iij&, CQ' als de 1% de raaklijn in Q' als de 2% Q'B als de 3% BE als de 4% ED als de 5* en DO als de 6« zijde beschouwt» waarbij dan BHU als de Pascal *sche lijn optreedt. De afleiding der constructie door Godefrot is evenwel eene andere. Zij is te vinden in zijn opstel van 25 Januari 1875, vermeld bij de ^^erige handschriften" (onder 2>) als N^. 2 en komt ongeveer hierop neer, dat de juistheid der overeenkomstige raaklijn- constructie bij de parabool van Ybbmaabsch langs analytisch-metrischen weg bewezen wordt. Daarna wordt dan perspectiveering toegepast. Ten slotte merken wij nog op , dat één der drie aspunten of straalpunten , het punt A namelijk, door Godbfbot steeds het vergaarpunt genoemd wordt, O be- schouwd hij als het eerste^ B als het tweede aspunt. Digitized by Google Hg wees daarbij aan , dat die oplossing ten eenemaal ver- schillend is van die door Prof. Jacob de Gelder gegeven in zijne ^Handleiding tot het meetkundig teekenen", in 1829 ver- schenen, en gaf alsnog eene meer algemeene beschouwing en oplossing te dien aanzien , waarvan de handelwijze van Prof. De Gelder als een bijzonder geval kan worden aangemerkt ; een en ander werd wederom met figuren in het groot toegelicht^). Na aldus de kegelsneden in het algemeen te hebben behan- deld, ging spreker over tot de toepassing op de drkelomtrek- ken^ en wees daarna weder met geteekende figuren^) aan, door welke onderscheidene en hoogsteenvoudige stelsels van snijlgnen de geheele omtrek, punt voor punt, kan worden be- paald, wanneer drie punten van den omtrek gegeven zijn, en tevens de raaklijn in elk punt kan gevonden worden. Hierbij werd gewezen op de praktische toepassingen bij het uitbakenen van groote cirkelbogen op het veld, waarvan drie punten gegeven zijn, zoodat men alleen door bakens en zicht- Ignen de punten van den cirkelomtrek kan bepalen. Hij her- innerde hierbij aan de „simpele werkstukken" in het 2* boek der „Mathematische oefeningen" van Prof. Fr. van Schootbn , te Amsterdam in 1660 uitgegeven, aangehaald bij Pokcelet m het bovengenoemde werk en aldaar aangeprezen als toepas- singen van de „Geometrie de la Bègle" in tegenstelling van de „Geometrie du Compas". Daarna vervolgde spreker zgne beschouwingen door de ver- klaring van een ander stelsel snglijnen, door twee vaste punten draaijende of pivoteerende, in verband met reeksen punten op gegeven lijnen , bepaald door onderling evenwijdige Ignen, en deed uitkomen, welke toepassingen hiervan bij de perspectief van cirkelomtrekken ^) gemaakt kunnen worden , waarbij werd ^) Deze figuren vindt men op de met I^ gemerkte teekening, waarop tevens voorkomt eene contructie van den cirkel volgens de gewijzigde methode van YsBMAiiRSCH, beschreven in noot (3). *) Een .groot aantal van zulke constructies, daaronder ook die van Pohlkb, welke zoo straks ter sprake komt, vindt men vereenigd op de met I^ en I'^ ge- merkte teekeningen. Nadere bijzonderheden over deze en andere der hier besproken oonstrocties zijn te vinden in het reeds geciteerde opstel van 25 Januari 18*75. Dewijl zij echter de hoofdzaak van G-odefbot's arbeid niet raken, meenen wij ze hier achterwege te moeten laten. '') Teekening I'' bevat constructies betrekking hebbende op het in perspectief htengen van een cirkel. Digitized by Google 6 herinnerd, hoedanig dit onderwerp was behandeld bg Ybbgnaud en Thibaült in hunne werken over de perspectief. Hier vond spreker aanleiding tot mededeeling van de door Prof. PoHLRE voor weinige jaren bekend gemaakte hoogsteen- Toudige manier tot bepaling der raaklgnen aan den cirkel- omfcrek, waaryan het omgeschreyen vierkant gegeven is, en die door projecteeren evenzeer op alle kegelsneden kan worden toegepast; maar deed opmerken, dat Pohlee niet aangeeft waar de raakpunten gelegen zijn; hetgeen door spreker op hoogsteenvoudige wgze werd aangetoond en eveneens met ge- teekende figuren toegelicht. Toorts werd nog aangetoond, op welke wijze de oplossing van PoHiiKE kan toegepast worden op het beschrijven van den cirkel, die de drie zijden van den driehoek inwendig aanraakt^). Daarbij wees spreker aan, op welke wgze de raakpunten ge- vonden worden op de zgden van den gegeven driehoek, door alleen gebruik te maken van de lengten der zijden; die raak- punten onderling met rechte Ignen vereenigd, gaven onmid- delhjk, in verband met de hoekpunten van den driehoek, al het noodige om den gevraagden cirkelomtrek door middel van raaklijnen te bepalen en aan te wijzen wddr het raakpunt op iedere raaklgn gelegen is. Toorts trad spreker in eene beschouwing, hoe men door het- zelfde beginsel als door hem op de kegelsneden was toegepast , kon geraken tot stelsels kromme Ignen van den S*** en van den 4^^ graad en het bijzonder geval , waarin deze Ignen over- gaan in eene parabool. Hij gaf de toezegging omtrent dit onderwerp op eene der volgende vergaderingen in nadere ont- wikkeling te treden, en wees nog kortelijk voorloopig aan, op welke wijze men door stelsels snjjlgnen mét een gegeven cirkel wederom de 3 soorten kegelsneden door punten kan bepalen en de raaklijnen in die punten vinden. Het laatst gesprokene werd zooveel doenlijk toegelicht met figuren uit de hand op het bord met krijt geschetst, doch die spreker zich voorstelt eveneens met iu het groot geteekende figuren, door kleuren verduidelijkt, later te verklaren. Op voorstel van den heer L. Janbe werd de spreker uitge- noodigd tot het mededeelen der gehouden voordracht met de ^) De daarbij behooreode teekening is gemerkt 1^. Digitized by Google Doodige figuren in het Archief yan het Genootsohap en ver- klaarde hij zich daartoe bereid. Amsterdam, 6 Nov. 1873, aldus opgemaakt door A. N. Gopefroy. B, Kort verslag der voordracht van 24 Dec. 1873. Als spreker had zich bereid verklaard het lid A. N. Godefroy, die, naar aanleiding van het besprokene op de eerste Bijeen- komst (5 Nov. 1.1.), in behandeling nam de kromme lijnen van den vierden graad, die ontstaan door de snijding van twee stelsels rechte lijnen in gegeven aspunten ronddraag ende. Aanvangende met de onderstelling, dat die aspunten gelegen zijn op den omtrek van een gegeven cirkel en dat de eene straal zich beweegt op den omtrek, en de daarbg behoorende op de middellgn en door het voetpunt van de loodliju, die uit den omtrek op die middellgn is neergelaten^), werd de verge- lijking van de dus ontstaande kromme lijn opgemaakt. •) Tot toelichting van de hier aang-egevene constructie dient in het ,,kort verslag" nevensgaande figuur, waarbij door ons letters zijn geplaatbt die onmid- dellijk het verband met de algemeenere contructie (zie noot (4)) met drie in het eindige gelegen straalpunten en de daarbij beschrevene raaklijn*c(m8tructie doen zien. In die figuur ligt het straalpunt A, het DergaarpuiU van G-o- DBPBOT, in het oneindige. De ligging van het straalpunt G op den cirkel, die getnoBformeerd wordt, heeft voorta ten gevolge dat de vierdegraadskromme , die in het algemeene geval zoude optreden, degenereert in de rechte BC en in eene derdegraadskromme , die in C een keerpunt vertoont. Men vindt deze kromme afgebeeld op de I^ gemerkte teekening ^ waarover nader in de volgende noot. "Wat de raaklijn- constructie betreft, daartoe wordt de cirkel vervangen door Digitized by Google YervolgenB werden andere en zeer uiteenloopende plaatsingen Yoor de aspunten in beschouwing genomen en de verschillende gedaanten der daaruit ontstaande kromme lijnen aangewezen, met teekeningen toegelicht '^) , en de vorm der vergelgkingen aangetoond, waartoe die analytisch aanleiding geven — zijnde in het algemeen van den vierden graad. Daarbg werd eene zeer eenvoudige handelwijze aangegeven voor het trekken der raaklijnen, die evenwel eene bijzondere wijziging ondergaat voor het geval, dat het aspunt niet op de middellijn is gelegen ^i). Voorts werd het aspunt van den stralenbundel, die langs den cirkelomtrek loopt, verplaatst in het middelpunt, en daardoor bleek alsnu de parabool te ontstaan, hebbende tot parameter de middellijn van den cirkel en tot brandpunt het centrum ^^). Door verplaatsing van het tweede aspunt buiten of binnen den cirkelomtrek ontstond op gelijke wijze eene ellips of eene hyperbool, waarbij altgd de middellijn van den cirkel gelijk is aan den parameter, en het middelpunt een der brandpunten. Ook de asymptoten werden bepaald. hare raaklijn in het te transformeeren punt Q. Die raaklijn transformeert zich dan in eene kegelsnede, welke de uit den cirkel ontstaande kromme in het punt Q' raakt, en wier raaklijn kan gevonden worden door de in noot (4) der vorige voordracht heschrevene constructie , welke hier ter plaatse werkelijk is uitgevoerd, loj De met 1^ gemerkte teekening hevat drie krommen van den derden graad respectievelijk met keerpunt, dubhelpunt en geïsoleerd punt verkregen door het puat G achtereenvolgens te plaatsen in C , C' en O" (zie fig. 3) eo eene unicursale kromme van den vierden graad met dubbelpunten in B en C" verkregen door C te verplaatsen naar C". Daarbij is C"' een dubbeltellend dubbelpunt, gevormd door twee elkander rakende takken der vierdegraadskromme. Daarentegen bevat de met I^ gemerkte teekening (achterzijde van I^), op ééne uitzondering na, uitsluitend krommen van den vierden graad verkregen door de straalpunten buiten den cirkel te kiezen. Bij de ééne uitzondering ligt het straal- punt O weder op den cirkel, en treedt daarbij op als geïsoleerd punt eener unicursale derdegraadskromme met drie bestaanbare asymptoten. *') Inderdaad wordt de constructie der raaklijn bij de MACLAURiN*sche trans- formatie eenigszins ingewikkelder zoodra het straalpuot G buiten de richtlijn / valt. Zie daaromtrent de reeds in noot (2) aangehaalde verhandeling van Schoute, aldaar p. 22. '^) Deze constructie en de vulgende , waardoor ellipsen en hyperbolen ontstaan, is voorgesteld op teekening V en op grootere schaal op de teekeningen I*^, I^ jM en I^. Voor meerdere bijzonderheden, deze teekeningen betreffende, moet weder verwezen worden naar het opstel van 25 Januari 1875. Bij al deze figuren gaat de MxcLAURiN^sche transformatie in eene homographische over, omdat de drie straalpunten in ééne rechte gelegen zijn (zie de verhandeling van Schoute, p. 22). Digitized by Google Bg deze constructie bleek verder, dat de lijn getrokken door het tweede aspunt^ evenwijdig aan de middellijn waarop ge- projecteerd wordt, niets anders is dan de richtlijn. Voorts werd aangewezen, dat die middellijn tevens is eene gemeenschappeiyke koorde van den cirkel en de kegelsnede, zoodanig dat de raaklijnen aan de overeenkomstige punten getrokken 9 elkander op die koorde ontmoeten. Na nog andere eigenschappen te hebben aangetoond, wees spreker aan, dat bg de ellips en hyperbool nog eene tweede gelijkvormige lijn bestaat, waarvan het cirkelcentru.m almede een brandpunt is, en verklaarde dit door de gevonden kegel- sneden te beschouwen als de projectiên van de doorsneden van twee gelijke rechte cirkelvormige kegelvlakken , waarvan de assen onderling rechthoekig zijn. Bij scherpe tophoeken ont- staan twee ellipsen. Bij rechte tophoeken eene parabool en e^ne rechte lijn. Bij stompe hoeken twee hyperbolen ^^). De vorm der lijnen werd nog onderzocht voor het geval dat de aspunten bezijden het middelpunt waren geplaatst en ook bij scheefhoekige ordinaten ; in het algemeen bleek de kromme Ign steeds te behooren tot de kegelsneden ^^), en bleek dadelijk, welke soort er ontstond uit de verhouding van den afstand der aspunten tot den straal. Bg gelijkheid: parabool; grooter: ellips; kleiner: hyperbool. Bg de behandeling van de lijnen van den 4*"» graad deed spreker nog uitkomen , dat de beschouwde constructiên kunnen beschouwd worden als bijzondere gevallen eener algemeene constructie, waarbij de cirkel en eene rechte naar willekeur wordeo aangenomen, benevens drie punten mede naar welge- vallen , waarop als aspunten zich drie stelsels van stralen of rechte Ignen bewegen, en die door hunne onderlinge snijding ") Dit wordt nader door figuren toegelicht op de vier in de vorige noot aan- gehaalde teekeningen. Met de tweede gelijkvormige lijn is bedoeld de tweede kegeUnede , welke naast de eerste als doorsnede optreedt , zoodat beiden te zamen de gedegenereerde vierdeg^aadsruimtekromme vormen, welke bij willekeurige plaatsing der kegels hunne doorsnede aangeeft. ^*) Natuurlijk omdat bij de keuze der aspunten steeds werd zorg gedragen de punten U en G met het vergaarpunt A in het oneindige in ééne rechte te houden. Figuren hierop betrekkelijk vindt men op eene met I^ gemerkte tee- kening. Digitized by Google 10 aanleiding geran tot eene kromme Ign van den tweeden, vierden of hoogeren graad **). Bij een der behandelde bjjzondere gevallen, waarbg een der aspunten op eindigen en de beide anderen op oneindigen af- stand werden ondersteld, wees de spreker aan, dat de ont- slaande kromme kon worden beschouwd als de projectie der doorsnede van een recht cirkelvormig kegelvlak met een para- bolischen cylinder, hebbende tot parameter den afstand van het eindige aspunt tot het cirkelcentrum. De horizontale projectiën dezer doorsneden bleken te zijn epicycloiden (gewone , verlengde of verkorte) , naar gelang van de plaatsing van het aspunt in , binnen of buiten den cirkelomtrek i^). Al het besprokene werd toegelicht met figuren uit de hand ift) De bedoelde constructie stemt overeen met de algemeene MACLAURiN'sche transformatie, zooals blijkt uit de 6guur, waarvan het bovenstaande vergezeld is, en die wij hier reproduceeren , de letters weder plaatsende in overeenstemming met de veibandeting van Schüute. Waatschijnlijk is het de bedoeling, dat de B^.4 < A \ y \ \ y V ^! ?*' « /^ ^rx / \ \ » j --#--A?: \ / N l '. V y \ \ ^*^ — ^ \ 1 \\ f ^\M 1 t 1 1 • B krommen van hoogeren graad dan den vierden optreden kunnen door herhaling der transformatie. Zooals men weet, kunnen echter daarbij steeds slechts »«»c»r- sale krommen ontstaan. w) Zulke overgangen tot mimtebeschouwingen waren zeer kenmerkend in de voordrachten van Godbfbot. De hier besprokene wordt toegelicht door eene fraaie teekening gemerkt P. Digitized by Google 11 of op het bord met krgt geschetst en boyendien met acht stuks uitvoerige teekeniagen "). met kleuren verduidelijkt, waarbij ten slotte nog werd opgemerkt, hoe men door voortzetting yan projecteeren der gevonden punten tot nieuwe stelsels kromme lijnen kan geraken, waarbg zoowel het aspunt als de lijn, waarop geprojecteerd wordt, kunnen worden verplaatst ^^). C. Overzicht der aanteekeningboekjes door A. "N*. GoDEFROY bij zijne voordrachten gebruikt en der bijbehoorende teekeningen. N^. 1. Dit boekje heeft gediend bij de voordrachten van 24 Dec. 1873 en 28 Januari 1874. Voor de eerste dezer voordrachten verwijzen wij naar het kort verslag, dat hier vooraf is gegaan. Bij de tweede werd, naar aanleiding der in de eerstgenoemde voordracht besprokene transformatie van den cirkel in eene kegelsnede, waarvan een der brandpunten met het middelpunt van den Toortbrengeoden cirkel samenvalt, o.a. de pool vergelijking der kegelsneden opgemaakt, een drietal constructies voor de raaklijn en eene voor den kromtestraal afgeleid. Ten slotte werd eene benaderde constructie voor de ellips uit cirkelbogen aangegeven, welke men kan terugvinden op teekening N^ P. Een kort verslag ook van deze voor- dracht bevindt zich onder de manuscripten. N». 2. Voordracht van 28 Oct. 1874. Bepaling der kromtestralen van kegelsneden in verband met hunne constructie door stelsels snijlgnen of stra- lenbundels. In deze Toordracht zgn blijkbaar een groot ^) In werkelijkheid zijn er negen verschillende teekeningen gevonden , thans gemerkt I©, IH JJ, IK, il, im, in, io en IP, welke aUe op deae voordracht be- trekking hebben of althans gemakkelijk er mede in verband kunnen worden gebracht. 1*] Aan eene andere bewerking van het kort verslag van deze voordracht ont- leenen wij nog de volgende , voor den spreker zeer kenmerkende zinsnede : ,^a wOog tal van andere vormen dier lijnen te hebben aangetoond in uitgewerkte ^guren, besprak hij het bepalen der raaklijnen, en verder de wijze waarop bij tfTOortzetting van de gevolgde handelwijze geheele reeksen van kromme lijnen ^▼an hoogere orde kunnen geacht worden te ontstaan met keerpunten , buigpunten ^xfin knoopen Enkele dezer lijnen herinnerden aan bouwkunstige vormen, om- strekken van vazen, wrongen van schepen, enz.". Deze laatste zinsnede betreft waanchynlyk vooral de vierdegraadskrommen op I". Digitized by Google 12 aantal constructiefl dezer kromtestralen beschreven en met elkander in verband gebracht. Dit blijkt nog nader uit een bundeltje teekeningen met toelichting , aanwezig iu eene kleine portefeuille (opgenomen in de groote)., welke wij met II heb- ben gemerkt. Op een tiental afzonderlijke bladen zijn ongeveer even zoovele verschillende constructies uitgevoerd. De drie laatsten zijn naar Schlömilch, Bresse en TERQUEtf genoemd. NO. 3. Voordracht van 27 Oct. 1875. Vervorming van kegelsneden tot kromme lijnen van 3^ en hoogere graden door middel van stralenbundels, en bepa- ling der raaklijnen. De vervormingen geschieden met de MACLAURiK'sche transformatie (zie noot 4 en 15), welke hier meestal op den cirkel of de parabool wordt toegepast. Op die wijze ziet men o,a. ontstaan de semioubische parabool en door herhaling de parabolen van hoogere orde, de cissoïde van DiooLES , de kromme van Agnesi en het folium van Descartes. (Yergelijk de verhandeling van Schoütb, aldaar p. 31.) Bij deze voordracht behooren drie teekeningen, gemerkt III^, III> en III<^, voorstellende de cissoïde, de kromme van Aokesi en het folium van Descartes. NO. 4. Voordracht van 6 Febr. 1876, Vervolg van het voorafgaande, uitbreiding der MACLAURiK'sche transformatie*'^). In deze voordracht is vooreerst bespro- ken eene toepassing der MACLAURiN'nche transformatie ter ver- leniging der cissoïde, strophoïde en conchoïde, waarbij de richt- lijn ƒ naar het oneindige is verplaatst (verg. Schoqte, p. 24 en p. 32). Ten tweede wordt eene uitbreiding der Maclau- RiK'sohe transformatie aangegeven, die door nevensgaande figuur wordt voorgesteld, welke men vergelgke met fig. 2 yan noot 4. Men zal dan bespeuren, dat de uitbreiding hierop neerkomt, dat het straalpunt A vervangen is door eene kromme AA, zoodat de vroeger door het vaste punt A gaande stralen AQ, welke op de richtlijn het punt R aanwijzen, thans raak- 1») Deze en de overige met een sterretje voorziene titels zijn niet van Godbfroy, die tiouwens in 1876 zijne transformatie niet als de MACLAURiN'sche zoude hebben aangeduid. De niet met een sterretje voorziene zijn aan de aanteeken- boekjes zelve of aan de opgave voor het Kieuw-Archief ontleend. Digitized by Google 13 lijnen geworden zgn aan de gegeven kromme AA. Daarbij is de rechte QD de te veryormen Ign. Kiest men voor AA een cirkel of in het algemeen eene kegelsnede , dan beschrijft Q' in 't algemeen een kromme van den vierden graad , die echter afdaalt tot den derden, wanneer de bedoelde cirkel of kegelsnede raakt aan de richtlijn /• Dit geval wordt voorge- steld op de teekeningen lY^ en lY'. De raaklijn aan de ge- transformeerde kromme kan daarbij gemakkelgk gevonden worden door het raakpunt a, dat bij de constructie van het punt Q' gediend heeft, te beschouwen als een vast straalpunt De getransformeerde van QD wordt daardoor eene kegelsnede, de getransformeerde kromme rakende in Q% en wier raaklgn daar ter plaatse gemakkelgk kan worden geconstrueerd. Spreker merkt daarbg nog op, dat ook de straalpunten B en C en evenzeer de rechten RD en QD door gegeven krom- men vervangen kunnen worden. Daardoor ontstaat een ruim veld van nieuwe transformaties, bg alle welke tevens de raaklijn- constructie gemakkelgk kan worden verricht, door namelijk de krommen , welke voor de vaste straalpunten opgetreden zgn , door de oogenblikkelijke raakpunten, en daarentegen de krom- men QD en BS door hunne raaklgnen te vervangen. Ten derde begeeft spreker zich in eene beschouwing van verschillende voetpuntslgnen (podaires) (zie ScHOüM, 1. c. p. 26). Behalve de reeds besproken teekeningen , behoort ook bg Digitized by Google u deze voordracht een gedeelte ran Wp , aangeyende de con- structie der strophoïde, conchoïde en eene andere constructie der cissoïde, dan op III^ voorkomt. Alles natuurlijk met bij- behoorende raaklyn-constructies. N». 5. Voordracht van 31 Jan. 1877. Vervolg der toe- passingen van de Macla URiK'sche transformatie. Eene gewijzigde MAOLAURiN'sche transformatie*'^). Vooraf gaat eene nadere beschouwing der MACLAüRiN'sche transformatie ter verkrjjging der sirophoïde en conchoïde uit den cirkel, waarbij in het bgzonder gelet wordt op de meet- kundige plaats van het snijpunt der raaklgnen in de overeen- komstige punten van den cirkel en van de verkregen kromme. Die meetkunstige plaats vindt men op teekeiiing V^ voor de strophoïde (waar zij met den limagon van Pascal overeen- komt), en op V' voor de conchoïde voorgesteld. Het sn^punt bij ScHOUTE, evenals in onze figuur 8, steeds door de letter U aangeduid , speelt inderdaad bg de constructie der raaklgn aan de getransformeerde kromme eene gewichtige rol. Daarna volgt de beschrijving van eene transformatie , die met de MACLAURiK'sche in verband kan worden gebracht door het straalpunt A ongewijzigd te laten bestaan, de Ign in het onein- dige tot richtlijn ƒ te kiezen, maar de beide straalpunten B en C op de bij de vorige voordracht beschrevene wijze door parabolen te vervangen. Zy wordt in plaat V^ toegepast op de raaklijn aan den top van de parabool CC en levert zoo eene derdegraadskromme. Op eene andere teekening V°, waar- schijnlijk evenzeer bij deze voordracht behoord hebbende, is daarentegen het straalpunt 6 onveranderd blijven bestaan. Eindeljjk volgden beschouwingen over den kromtestraal van het folium van Dëscartes en van de parabolen van hoogere orde^ hunne ontwondenen en vervormingen. N^ 6. Voordracht van 31 Oct. 1877. Kromtestraal- constructie door hulpfiguur. Uit de analytische uit- drukking voor den kromtestraal wordt eene constructie afge- leid, die een eenvoudig karakter aanneemt zoo vaak de uit- drukking y • -7^' \~T~] ®®^® constante 18 of althans onder een eenvoudigen vorm kan gebracht worden. Toepassing op Digitized by Google 15 de krommen y=a*^ x^*" =^« + «, a»ar« + J«y« = j?«:+ « ; meer in het bijzonder op de kegelsneden. Geene hierbij behoorende teekeningen zijn gevonden. N^. 7. Voordracht van 1878. Bepaling der normaal aan onderscheidene soorten van podaires of yoet- puntslguen met daaruit afgeleide krommen. Eene eenvoudige constructie punt voor punt wordt voor de voot- puntslijnen der parabool aangegeven en daarna voor deze krommen eene raaklijn-constnictie afgeleid, berustende op de welbekende voor de voetpuutslgnen van den cirkel. Daaruit volgt dau weer de raaklijjot-construetie aan eene kromme, wier elementen telkens geacht kunnen worden samen te vallen met die van de voetpuntslijnen eener parabool, waaruit dan op hare beurt wordt verkregen de raaklijn-constructie aan de op plaat V' (zie voordracht N^. 5) geconstrueerde kromme , welke vervolgens nog eenigermate wordt gegeneraliseerd. Evenzeer wordt besprokeii de overeenkonistige meetkundige plaats bij het folium van Desoartës en een paar transformaties van de rechte lijn, bij welke de raaklijn-constructie gelukt door terugvoering tot de gegeneraliseerde MACLAURiN^scbe transfor- matie by voordracht !N^ 4 nader aangeduid. Eindelijk vindt men als eene ontwerp-prgsvraag het algemeene vraagstuk gesteld , om bij toepassing der MAOLAURiN^sche trans- formatie de kromtestraal der getransformeerde kromme te vin- den, als die van de te transformeeren kromme gegeven is ^). Ongetwgfeld in verband daarmede wordt de constructie van den kromtestraal voor de cissoïde en strophoïde geschetst. De prijsvraag is werkelgk gesteld voor 1880—1884. Bij deze voordracht zijn geene teekeningen gevonden, maar in het aanteekenboekje zelve , zooals in vele anderen , zijn vf ij uitvoerige, gekleurde schetsen aangebracht. N^. 8. Voordracht van 26 Febr. 1881. Kromme lijnen van den derden graad uit parabool en cirkels afgeleid. Spreker heeft opgemerkt, dat bepaalde krommen van den derden graad , in het bijzonder die welke een gesloten tak vertoonen^ door zijne transformatie niet uit den cirkel, noch ^ Zie daaromtrent aan opstel van Dr. P. H. Sohoute in deze zel^e aflevering. Digitized by Google 16 uit de parabool kunnen yerkregen worden. (Inderdaad levert de MACLAURiK'sche transformatie, op kegelsneden toegepast, slechts unicursale derde- en vierdegraadskrommen.) Hg zoekt daarom naar eene andere transformatie, waarmede dit doel wèl te bereiken yalt, en geraakt nu langs analytischen weg tot de volgende in het bovenste gedeelte van fig. 6 voorgestelde. Daarbij is Q een punt der te transformeeren kromme, O een vast punt, PQS een geljjkbeenigen rechthoekigen driehoek, OQ'S een cirkelop OS als middellijn beschreven, Q' éénpunt der getransformeerde kromme. Beschrgft Q eene rechte BC, zooals in onze figuur is aange- geven , dan levert Q^ eene kegelsnede; welke gemakkelgk blgkt Fi^. ö. te kunnen worden opgevat als de verticale projectie van de doorsnede van een verticaal plat vlak, welks horizontale door- snede door aa wordt voorgesteld, met een scheeven cirkelvor- migen kegel, welke het punt T in het horizontale vlak tot top heeft en den verticalen cirkel, op bb der grondlijn beschre- ven, als richtlijn. Deze ruimtebeschouwing voert dan onmiddellgk tot de con- structie der raaklijn UQ', welke constructie wij in onze figuur door de dunne getrokken lijnen hebben aangegeven. Daaruit Tolgt dan weder de raaklgn-constructie bij de trans- Digitized by Google 17 formatie eeoer willekeurige kromme, welke immers tot dat doel in het te transformeeren punt Q door hare raaklgn BQ kan yervaogen worden. Soortgelijke ruimtebeschouwingen doen de uit parabolen en cirkels ontstaande derdegraadskrommen kennen als doorsneden yao oppervlakken 9 die op eenvoudige wijze door cirkels be- schreven kunnen worden. Deze opmerking voerde spreker voor het eerst op het gebied der derde- en vierdegraadsoppervlak- ken, waarover vele der latere voordrachten handelen. Bij deze voordracht behoort een blad, gemerkt YIII, met meer dan dertig teekeningen van uit den cirkel afgeleide vier- degraadskrommen , allen zich zelven rakende in het punt O en in het algemeen van het geslacht één. Derdegraadskrommen yan dit geslacht worden verkregen door de constructie toe te passen op kegelsneden met eene asymptotenrichting loodrecht op OP. Daarvan zgn echter geene teekeningen voorhanden. F. 9. Voordrachten van 14 Dec. 1881 en 14 ]i/aart 1883. Kromme lijnen door stralenbundels bepaald en be- schouwd als projectiên van kromme lijnen in de raimte. Verschillende der vroeger besproken lijnen, nam. de in noot 16 aangehaalde, de conchoïde, de strophoïde, de cissoïde en in een toevoegsel van 23 Dec. 1881 ook het folium yan Descartes, worden hier beschouwd als projectiên yan raimtekrommen , verkregen door de doorsnijding van tweede- graadskegels en cylinders in bijzondere standen geplaatst, van welke ruimtekrommen daarna ook andere projection worden geconstrueerd. Twee dèr platen, gemerkt IX^ en IX' hebben betrekking op dit toevoegsel, hetwelk is voorgedragen op 14 Maart 1883. (Zie bg N^. 12.) F. 10. Voordrachten van 21 Febr. 1883 en 26 November 1884. Doorsngding van cirkels en hoeken, die in hetzelfde vlak gelegen zgn, in verband met de wgze waarop deze verondersteld worden te ont- staan. Eerste gedeelte. De cirkel of hoek als stra- I lenbündel, ontstaan door draaijing van eene regte lijn om een vast punt. Ontdaan yan de eenigermate zon- derlinge inkleeding, waarbg bijv. twee elkaar doordringende ylakke figuren geacht worden elkander te sneden volgens eené 2 Digitized by Google 18 bepaalde Ign, welke niets anders is dan de meetkunstige plaatB der sngpunten van de krommen of rechten, door wier Toori- beweging de vlakke figuren worden ondersteld te zijn ont- staan, houdt deze voordracht zich hoofdzakelijk bezig met de krommen 9 wier bipolaire-poolhoekenverg. voorgesteld worden kan door q>2^nq)^. Een naschrift van 20 April 1884, voor- gedragen 26 Nov. '84, bevat eene nadere beschouwing der hyperbool q}^^ 2q>^ en der trisectrix q>2 == 180° — 3^|. Bg deze voordracht behooren twee teekeningen, gemerkt X^ en X>, waarop verschillende kromme Ignen zgn voorgesteld met lineaire bipolaire-poolhoeken vergelijkingen. Daarbg wordt ook het geval beschouwd, dat een der polen naar het oneindige gaat, wat aanleiding geeft tot het ontstaan der quadratrix. N®. 11. Voordracht van 21 Febr. 1883. Tweede gededU. Het cirkelvlak ontstaan uit concentrische omtrek- ken, wier aantal evenredig is aan den straal, onaf- hankelgk van eenigen bepaalden hoek. Overeenkom- stige beschouwing van den cirkel r^^^nri als de doordringing van twee cirkels , elk voor zich door concentrische cirkels voort- gebracht. Toepassing yan hetzelfde beginsel op ruimtefiguren. Aanvang der later voortgezette beschouwingen over derdegraads- oppervlakken. Bg deze voordracht behooren drie teekeningen, XP, XP en XI^, voorstellende verschillende zoogenaamde doordringingen van cylinder- en bol«- en van kegel- en bol- ruimten. NO. 12. Voordrachten van 14 Maart 1883 en 26 Nov. 1884. De kromme Ign van de derde macht, waardoor een hoek in drie gelgke deelen wordt gedeeld; aflei- ding van deze kromme uit den cirkel, enz. De tri- sectrix wordt hier beschouwd op de door Sohoute L c. p. 24 besprokene wgze. In verband daarmede wordt in herinnering gebracht de soortgelgke constructie (door de MACLAUBiN'sche transformatie) van strophoïde, cissoïde en conchoïde. Zie voorts over deze voordracht het onder N^. 9 vennelde. Dit aantee- kenboekje heeft tevens gediend voor eene voordracht, gehouden 26 Nov. 1884, over de driedeeling van den hoek , de trisectrix, en eene daartoe dienstige voetpuntslijn van den cirkel , en over eene benaderde rectificatie van cirkelbogen door Lambert. Digitized by Google 19 NO. 18 en 14. Voordracht van 21 Nov. 1888. Construc- tiën van oppervlakken van den derden graad door kegelsneden van veranderlgken parameter, in ver- band met onveranderlgke kegelsneden en eene rechte Ign. Aanvankelgk, blgkens den ütel van het laatste gedeelte der voordracht van 14 Maart 1883, vermeld in het Nieuw Archief j deel XI, p. 47, letter c, met het doel om de yerschillende soorten van derdegraadskrommen te doen optreden als doorsneden van éénzelfde oppervlak, heeft Oodbfroy ver- schillende ontstaanswgzen van cubische oppervlakken bedacht, welke uit een constructief oogpunt zoo eenvoudig mogelgk ge- kozen zgn geworden. Dewgl het onderzoek van de zoo ver- kregen oppervlakken Oodbfroy geruimen tgd bezig gehouden heeft, zullen wij hier omtrent die ontsfcaanswgzen in eenige meerdere bgzonderheden treden, daarbg in hoofdzaak Oodb- froy's aanteekeningen ten grondslag leggende. Zg kunnen tot een drietal worden teruggebracht. Bg de eerste worden aanvankelgk als richtlijnen gekozen eene willekeurige kegel- snede S en eene rechte Fi^.2 Ign a loodrecht op de as dezer kegelsnede , beiden in het vlak van teekening. Als beschrgvende Ignen doen daarbg dienst ellip- ^'sen of hyperbolen, gelegen in vlakken loodrecht op het vlak van teekening, allen onderling geUjIevor» mig^ terwgl een hunner assen telkens begrensd wordt door de sngpunten P en Q van een door den top O der kegelsnede S getrokken straal met de kegelsnede S en met de rechte a. (Zie nader fig. 7 waar de helft van eene der beschrgvende kegelsneden op het vlak van teekening is neergeslagen). Stelt men nu voor de vergelgking der kegelsnede S: Aa:« + Bya + 2Cx = O 2* Digitized by Google 20 dan wordt ■ gemakkelgk voor de vei^^elgkiDg van het opperrlak yerkregen : kxzH.Ax' -\- By^) + (x^ + ff^)(x — a)iAx^ + By^ + 2Cx) = alwaar k de onderlinge Terhouding aanwgst der yierkanten der assen van de bewegende kegelsnede. Deze vergelgking is yan den vgfden graad. Kiest men eehter voor de kegelsnede S een cirkel a^ + y* — 2r« = O dan gaat zg orer in de derdegraadsrei^elgking : kxz^ + {x — a){x^ + tf^^ 2rx) = 0. Voor GoDEFROY zgn nu bgzonder belangrgk die oppervlakkelt, waarbij ook de beschrgyende kegelsneden door cirkels of des- noods door gelgkzgdige hyperbolen worden geyormd. Derhalve de gevallen i = 1 en — 1. Laten wg er bg voegen, dat de verkregen oppervlakken allen vier knooppunten bezitten en dus in het algemeen projectief zgn met SchlSfli's „species XVI 1, 2 of 3", d. w, z. met de oppervlakken met vier reeêle, twee reeêle en twee imaginaire, of met vier imaginaire knooppunten. {PhiL Trans. 1863. Vol. 153, p. 193.) Die knooppunten bestaan namelijk 1* uit de snijpunten der kegelsnede S met de rechte er, 2' uit twee punten op de Z-as op afstanden 1/ — - — aan weerskanten van het vlak van tee- kening gelegen , welke laatste bgzonderheid gemakkelgk uit de beschouwing der doorsneden met vlakken y = mx af te leiden is, welke doorsneden allen door deze punten heengaan. Het oppervlak met vier reeêle knooppunten kan overigens natuurlijk slechts met behulp van hyperbolen verkregen worden. Anders is het echter met de beide andere soorten van oppervlakken , ScHLaFLi's XVI 2 en 3. Deze kunnen met behulp van cirkels alleen verkregen worden. 