ouvresdethomas01stierich
Het principe van deze méthode bestaat daarin , het priemgetal waarvan het karakter te bepalen is te vervangen door een congruent product van factoren Het karakter dezer factoren wordt dan bepaald door beschouwingen , geheel overeenkomstig aan die van Gauss in art. 15 — 20 van zijne eerste verhandeling over de théorie der vierde- machtsresten (Werke, II, p. 78—87). Gauss beschouwt in deze ver- handeling alleen reëele getallen , en het doel der verhandeling is de bepaling van het karakter van 2 in deze reëele théorie. Het bleek mij echter, dat al de beschouwingen van Gauss bijna onveranderd ook in de théorie der complexe getallen herhaald kunnen worden , en de bepaling van het biquadratisch karakter van 1 -\- i volgt dan onmiddellijk met behulp van eene eenvoudige beschouwing, volgens welke 1 4" ^ congruent is met een product , waarvan men het karakter der factoren kent, Met behulp van deze hoogst eenvoudige opmerkingen is dan ook, eenmaal de onderzoekingen der eerste verhandeling van Gauss ge- geven zijnde, de bepaling van het karakter van 1 -f" ^ ^^^ opzichte 148 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. van een priemgetal van den vorm a -\- b i (waarin b niet «"elijk nul is) om zoo te zeggen mede geheel volbracht; tervvijl eene geheel analoge méthode in het geval, dat de modulus een reëel priemgetal van d'en vorm 4w 4- 3 is. tôt hetzelfde doel gebezigd kan worden Hoewel dit laatste geval eene veel eenvoudiger behandeling toelaat (zie bijv. Gauss Werke, II, art 68) , heb ik toch gemeend het ook op de- zelfde wijze als de overige gevallen te moeten behandelen, omdat zoodoende blijkt, dat de gebezigde méthode in staat is om de volle- dige theorema's af te leiden. Nadat de bepaling van het biquadratisch karakter van 1 -\- i af- gehandeld is, heb ik met behulp van de voorafgaande ontvvikkelingen aile theorema's bevvezen, die Gauss door inductie gevonden , en in art. 28 der Theoria residuorum biquadraticorum commentatio secunda opgesteld heeft Voor zoover mij bekend, zijn deze theorema's hier voor het eerst bewezen ^) Dit bevvijs steunt geheel op de théorie der complexe getallen , vvelke théorie hier dus geheel als hulpmiddel dient, daar de theorema's zelf alleen betrekking hebben op reëele getallen. Behalve de reprociteitsvvet in de théorie der vicrde-machts- resten, waren voor het volledig bewijs nog de beschouwingen van art 19 en 20 noodzakelijk. Ik zal nu beginnen met de afleiding van het karakter van 2 in de théorie der QUADRAATRESTEN. 1. Zij p een oneven priemgetal, de getallen 1, 2, 3, . .., p — l zuUen dan in twee groepen verdeeld worden. Tôt de eerste groep A a, a', a'', . .. worden gerekend aile quadraatresten , tôt de tweede groep B /5, ^', r, • •. aile niet-resten van den modulus p. Elk der groepen A en B be- 1) In het 4de deel van het Journal de Liouville heeft Lebesgue deze theorema's voor een deel bewezen. Zie daar p. 51 en 52. Remarque 1°. BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN 149 staat uit "^ T - volgens den modulus p incongruente getallen , en men ziet gemakkelijk, dat de beide congruenties : [X — a){x — a') {x — a") ...-^ix^—l ^ ^ ^ p_, (moàp) identieke congruenties zijn , want zij zijn van lageren graad dan den P-~" ) en bezitten beide blijkbaar -^ wortels , namelijk de eerste de wortels x = a, x=a', x = a", ..., de tweede de wortels x = (i , X = ^', X = ^", . .. Door bij de getallen van A en B de eenheid op te tellen ontstaan de volgende beide groepen getallen: A' a + 1, a' + l, a" + l, ... B' ^ + 1, ^' + 1, r + 1, ••• De aantallen getallen van de groep A', die in A en B voorkomen, noem ik nu respectievelijk (0.0), (0.1), en de aantallen getallen van B', die in A en B voorkomen, respectievelijk (1.0), (1.1). Deze vier getallen kunnen in het volgende schéma S vereenigd worden : (0.0) (0.1) (1.0) (1.1) Daar de priemgetallen van de vormen p = 4n-{-l en p^='in-^S zich verschillend gedragen , moeten deze beide gevallen afzonderlijk behandeld worden. Ik begin met het eerste. 2. Voor p = 4n-{-l is — 1 quadraatrest , zoodat de getallen a en p — a tegelijkertijd in A voorkomen. Evenzoo komen de getallen /? en p — /5 gelijktijdig in fi voor. Nu is (0.0) blijkbaar gelijk aan het aantal oplossingen van de con- gruentie a -\-l^^a' (mod p) , waarin a en a' uit de groep A te kiezen zijn; en daar a' ^=p — a" is, zoo kan men ook zeggen , dat (0.0) het aantal oplossingen voorstelt van de congruentie a -j- a"-}- 1 = 0 (mod;;). 150 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. Op gelijke wijze omtrent de aantallen (0.0), (1.0), (1.1) redeneerende , blijkt, dat het teeken voorslelt het aantal oplossingen van (0.0) a-f-a'4-l--0 (0.1) a + ^+l-=.0 (1.0) ^ + a+lEEEO (1.1) ^_f.^'+l,,,0 Men ziet hieruit oamiddellijk, dat (0.1) = (1.0) is ; eene tweede betrekking tusschen de getallen van het schéma S le- vert de volgende beschouwing Bij elk getal /? van de groep B be- hoort één bepaald getal van die zelfde groep ^", zoodanig dat ^^" = 1 (mod p) en tevens is dan ^ ^" congruent met een getal a van de groep A. Door vermenigvuldiging van de congruentie ^ + /S' + 1 = 0 met ^" volgt dus 1+a+r^o en door deze laatste congruentie met ^ te vermenigvuldigen , ver- krijgt men de eerste terug. Hieruit valt onmiddellijk op te maken, dat (1.1) = (0.1) is, zoodat het schéma S dezen vorm heeft: hj J J Nu komt in de groep A het getal p — 1 dus in A' het getal p voor , welk laatste getal noch in A noch in B voorkomt. Aile overige ge- tallen van A' en B' echter komen , zooals évident is, 6f in A 5f in B voor. Hieruit volgt dus p — 5 . p — 1 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 151 De identieke congruentie {x-P){x-^'){x~p")....-^x ^ +1 (modp) geeft nu voor x-= — 1 , daar -^ — even is ()^ + l)(/^' + l)(r + l)...-2 (modp). Het aantal nietresten onder de getallen ^ô-f-l, /S' + 1> /5" + 1, ••• is nu (1.1)—^ — -^. Is dus j even of P=:8W4-1, dan is 2 quadraatrest van 2?. Is daarentegen j oneven of dan is 2 niet-rest van p. 3. Voor p = 4:n4-3 is — 1 niet-rest , en de groep B komt overeen met de groep getallen p — a, p — a', p — a", . .. Het teeken (0.0) stelt nu voor het aantal oplossingen van de con- gruentie a-\-l^a' {moAp), of 00k daar a'=p — /5 is, het aantal op- lossingen van a -f- /5 -f- 1 ^ 0. Op deze wijze blijkt, dat het teeken voorstelt het aantal oplossingen van (0.0) a + ^-\-l = 0 (0.1) a 4- a' + 1 — 0 (modp), (1.0) ^-]-^'4-l,:,0 (1.1) ^+a+lEE0 derhalve is (0.0) = (1.1). Is verder weder ^^".^1, ^' ^"~=^.a, dan volgt uit p -\- P' -{-1—^ door vermenigvuldiging met ^" 1+a + r^O, waaruit op soortgelijke wijze als boven volgt (1.0)=: (0.0). Het schéma S heeft dus voor ^ = 4 w -j- 3 dezen vorm : hj h h Daar het getal p — \ in de groep B, dus p in B' voorkomt, maar 1 52 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. overigens aile getallen van A' en B' 6f in A 6f in B voorkomen zoo volgt 7 1- jo — 1 2. = ^-^^-!, dus Uit de congruentie {X — a){x — a') {x — a") ...^ X~^ — 1 (mod p) volgt voor a; = — 1 daar o oneven is, (a 4- 1) (a' 4- 1) (a' + 1) . . . -= 2 (mod p) en het aantal niet-resten onder de getallen a -}- 1. «' + 1. «" + 1> • • • ^s dus (0.1)= j = ^^^. Is dus j even of p = 8w4-7, dan is 2 quadraatrest van p. Is daarentegen j oneven of p = 8w + 3, dan is 2 niet-rest van p. Nadat hiermede dus het karakter van 2 als quadraatrest of niet- rest ten opzichte van een willekeurig oneven priemgetal bepaald is, ga ik er toe over het overeenkomstige te ontwikkelen in de théorie der VIERDE- MACHTSRESTEN. 4. Het oneven (d. vv. z. niet door 1 + z deelbare) priemgetal m = a + 6i zal steeds primair, in den zin van Gauss, ondersteld worden, zoodat a — 1 en 6 volgens den modulus 4 of beide eee 0, of beide e=z 2 zijn. Zooals bekend is, bestaan de priemgetallen in de théorie der ge- heele complexe getallen van den vorm «4"^^- vooreerst uit de reëele priemgetallen q van den vorm 4 r + 3 ; deze getallen moeten negatief genomen worden om primair te zijn; BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 153 ten tweede uit de complexe priemfactoren van de reëele priem- getallen van den vorm 4n-f-l. Deze complexe priemgetallen zijn van den vorm a-\-bi, waarin b niet gelijk nul is, en worden door vermenigvuldiging met ééne bepaalde der vier eenheden 1, z, — 1, — i primair. Zij kunnen verder in twee soorten onderscheiden worden al naar gelang , wanneer a-}-bi primair is , a—l en b beide door 4 deelbaar, of beide het dubbel van een oneven getal zijn Ik onderscheid hierna deze drie klassen van primaire priemgetallen : I. De reëele priemgetallen q van den vorm 4 r -f 3 , negatief ge- nomen. II. De complexe priemgetallen van den vorm 4-r-{-l-\-4:Si. III. De complexe priemgetallen van den vorm 4 r + 3 + (4 s + 2) z. Het priemgetal (in de complexe théorie) zal steeds door M aan- geduid worden , de norm van M door jli. Verder zal steeds p een reëel (positief) priemgetal van den vorm i r -{- 1 , q een reëel (posi- tief) priemgetal van den vorm 4 r + 3 voorstellen. De priemgetallen van de eerste soort zijn dus M = — ^, u = q^, voor de tweede en derde soort is ,a = p. Ik merk nog op, dat voor de beide soorten I en II de norm ^ van den vorm Sr-j-l, en voor III van den vorm 8r-\-b is. Deze omstandigheid maakt , dat de beide eerste soorten van priemgetallen tôt op zekere hoogte gemeenschappelijk behandeld kunnen worden. De beschouwingen van het volgende art. 5 gelden nog gelijkelijk voor de drie klassen van priemgetallen. 5. Zij dan M het priemgetal, jn de norm. Een volledig systeem van incongruente , en niet door den modulas M deelbare getallen, bestaat uit /n — l getallen, welke volgens hun biquadratisch karakter ten opzichte van M, tôt vier klassen, elk '- — - getallen bevattende, gebracht kunnen worden : A a, a', «", . .. B fi, /?', />'", ... C /, y\ .y", . •. D ô, ô', à'\ ... 154 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERUE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Tôt de eerste klasse A worden gebracht aile getallen a, a', a", met het biquadratisch karakter 0, tôt de groepen B, C, D de getallen met het biquadratisch karakter 1, 2, 3. Ten overvloede zij gezegd, dat hier het biquadratische karakter in den zin van Gauss genomen wordt, zoodat de getallen der vier klassen gekarakteriseerd zijn door de congruenties: /< — 1 M — 1 A» — 1 ^-1 a 4 =1, ^ ^ ^i^ y ^ = — 1, ô~^E^ — i (modM). Ik zal mij echter, voor hetgemak, eveneens van het door Jacobi ingevoerde symbool bedienen , en dus kunnen schrijven fâ)=M(i))=M(i))=-.fâ)=-^-- Eindelijk zij eens vooral opgemerkt , dat in het vervolg aile con- gruenties betrekking zullen hebben op den priemmodulus M, zoolang niet uitdrukkelijk een andere modulus is aangegeven. Ik laat hier een voorbeeld volgen van de verdeeling der resten (mod M), met uitzondering van de rest 0, in de vier klassen A, B, C, D voor elk der drie soorten van priemgetallen , die in art. 4 onder- scheiden werden. M = — 7, A 1, -2, -3, 3 e, i, —2i, B l-2i, — 2 — 3 i, — 3 — z, — l + 3i, 2+ i, 3 — 2 e, C — 3 + 3i, — 1-f i, 2 — 2i, — 2 — 2î, — 3 — 3z, —1— i, D S + 2i, l + 3z, -2-f i, l + 2i, -2 + 3t, -3+ i, U = — S — 8i, 1, —Si,—l — 3i, A 3 + 2 e, 14-2î, — 2, _ 1 _ 4 î, _ 4, _ 3 _|_ 4 ^; 1 — 27, 5 + 22, 1 — 4 2, B —1 — 2, — 3-f-32, — 24-42, 2 4-3 2, 1 — 32, 24-22, fx = i9. -1, 2, 3, -32, — 2, 2 2. -1 + 22, 1-32, 2 + 32, — 2 - 2, 3+ 2, — 3 + 22. 3 — 32, 2 + 22, 1- i, 3 + 32, -2 + 22, 1+ i. — 3 — 2 2, — 1+22, — 1 — 3 2, 2 — 32, 2- 2, 3—2. ju = 73. -1, — 3 — 2 2, 1 + 4 2, 3 2, -1 — 22, 4, 1+32, 2, 3-42. -1 + 22, - 1+ i, — 2 — Si, - -5 — 22, 3 — 32, -1+32, -1 + 42, 2 — 42, — 2 — 2 2. BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 155 Ai, 4 -f 3 e, 4 — i, — 4 i, -f î, i, 3, 3 — 7, 2z, — 2 + 3z, —2+ 7, —2i, — 3^, —4+ z, — i, 2 — 3 i -3, 2 — 3— z, 2 — 2z, — 34-2z, — 4— 7, 2+ i, —2 + 57, 4 4-2 2, 1 — i, — 3 — 3 2, M = - 5 -f 6 «, B 1, -4, — 1 — 4 I, 1- î-, 1—27, 1 + 27, - 1 - 3 7, 3+ 7, 3, 1+ i, 2+ 7, 2 — 37, 2, 3— 7, 5, 2 — 27, -3 + 27, 3+ 7, —2 + 2/, 4+ 7, -2— 7, 4 — 27, — 1 + 7, 2+ 7, 1 + 37, 3 + 27, —3— 7, 2 7, — 5, 1 + 37, 5 7, 2 + 27, — 4- -1, 4, — 2 — 3 7, 1 — 47, — i, 1 + 47, 3, — 1— 7, 3 — 27, 2 — 57, 3 + 37. -2 + 27, 3 — 27, 4+ i. 4 7, -4+ 7, 3i. — 2- 2— i — 3 — 2 7 D — 2 — 2 7, 2 + 37, -1 + 47, -47, 4— 7, — 3 7, —1—2 7, —3+ 7 -1+ 7, —2 + 37, 1 — 3 7 -1 + 27, —2, —57 Evenals in art. 1 overtuigt men zich onmiddellijk, dat de nu vol gende congruenties identiek zijn : {x — a){x — a') {x — a") . .. {x-^){x-n{^-p")-" X * -1 ^-1 X {x — y){x — y') [x — y") . • • {x — ô){x — ô'){x — ô")... — 7 + 1 (mod M) , waaruit voor x = — 1 volgt , de gevallen i u = 8n-\- onderscheidende : f^ = 8n-\-l (^ + !)(;§' + i)(r + i). . . 1 — i (;' + i)(7' + i)(7" + i). . - 2 {Ô + 1){Ô' + 1){Ô"-{.1). .1 + 7 lu = 8n-\-b (a + l)(a' + l)(a" + l). ..2 (/^ + l)(/3' + l)(/?' + l). • 1+^ (^ + 1)((5' + 1)(<5" + 1). . .1-7 8n + (mod M). 156 BIJDRAGE TOT DE TPIEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 6. Laten wij nu verder de nieuwe groepen van getallen A', B', C en D' beschouwen, die ontstaan door bij de getallen van A, B, C en D de eenheid op te tellen : A' a + 1, a' + l, a"4-l, ... B' ^-f 1, ^'4-1, ^' + 1,... C Yi-h y' + h 7" + l,-.- D' (5 + 1, ^' + 1, ^" + 1, ... en noemen wij nu de aantallen getallen van A', die congruent zijn met getallen van A, B, C, D, respectievelijk (0.0), (0.1), (0.2), (0.3); de aantallen getallen van B', die congruent zijn met getallen van A, B, C, D, respectievelijk (1.0), (1.1), (1.2), (1.3). Evenzoo hebben de getallen (2.0), (2.1), (2.2), (2.3) betrekking op de groep C en de getallen (3.0), (3.1), (3.2), (3.3) op de groep D'. Men kan al deze 16 getallen (0.0), (0.1), enz. vereenigen in het volgende quadratische schéma S: (0.0) (0.1) (0.2) (0.3) (1.0) (1.1) (1.2) (1.3) (2.0) (2.1) (2.2) (2.3) (3.0) (3.1) (3.2) (3.3) en voor de voorbeelden in art. 5 gegeven , verkrijg ik M = — 7,/i = 49. M = — S — 8i,ju = 7S. M = — 5 + 6i, /^ = 61. 5222 5642 4326 g" 2244 62 5 5 8366 2424 4545 4343 2442 2556 3633 Volgens de congruenties van het voorgaande artikel is voor ^ = 8 n + 1 en voor ^t = 8 w -}- 5 (^ + l)(^' + l)(r + l)...^-l + i Daar nu de aantallen getallen van (5 + 1, a' + l, 6" + l,..., BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 157 die respectievelijk tôt de kîassen A, B, C, D behooren , bedragen (3 0), (3.1), (3.2), (3.3), zoo volgt onmiddellijk, dat voor /x = 8w-|- 1 het biquadratisch karakter van 1 + i volgens den modulus 4 congruent zal zijn met (3.1) + 2 (3.2) + 3 (3.3) en evenzoo voor het geval // = 8 w -|- 5 met (l.l)4-2(1.2) + 3(1.3). Zoodra dus de getallen (0.0), (0.1), enz bepaald zijn, is hiermede ook onmiddellijk het biquadratisch karakter van l -\- i bekend. Het komt er dus nu op aan , de getallen van het schéma S on- middellijk uit het gegeven primaire priemgetal M = a -f- 6 i af te leiden. De hiertoe noodige beschouwingen zijn wezenlijk dezelfde als die van Gauss in art. 16—20 der Theoria residuorum biquadraticorum commentatio prima Gauss handelt daar over de théorie der reëele getallen , maar het blijkt gemakkeiijk, dat het daar gegevene in zeer nauw verband staat met het vraagstuk, dat ons hier bezig houdt. Om de geheele ontwikkeling voor oogen te hebben , zal het noodig zijn hier de argumentatie van Gauss met de geringe noodige wij- zigingen te laten volgen. Hierbij valt ook nog op te merken dat, voor een priemgetal M = — q tôt de eerste klasse van art 4 behoorende , er in de reëele théorie van Gauss nicts analoogs bestaat , met wat hier in de théorie der geheele complexe getallen ontwikkeld zal worden. Voor de verdere beschouwingen is het in de eerste plaats noodig, de beide gevallen, dat de norm /^ van den vorm 8 n + 1 of van den vorm 8 n -j- 5 is , afzonderlijk te behandelen. Ik zal met het eerst- genoemde geval , vvaarin dus het priemgetal M tôt een der beide eerste klassen van art. 4 behoort, beginnen. 7. Voor // = 8 w + 1 , is (— 1) * = 1 , zoodat — 1 biquadratische rest van M is en in de klasse A voorkomt , of eigenlijk met een getal van A volgens den modulus M congruent is. Maar het is bij deze beschouwingen geoorloofd om congruente getallen , daar zij 158 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. elkander vervangen kunnen, als gelijk te beschouwen en ik zal voor het gemak van deze zienswijze gebruik maken , zonder dat daardoor eenige onduidelijkheid zal kunnen ontstaan Daar dus het biquadratisch karakter van — 1 gelijk nul is, zoo volgt, dat wanneer a, ^, y, ô respectievelijk tôt de klassen A, B, C, D behooren, ook —a, — jS, —y, —ô in deze zelfde klassen voorkomen, en wel — a in A, — /? in B, — y in C en — (5 in D. Nu is blijkbaar het getal (0.0) gelijk aan het aantal oplossingen van de congruentie a-^li a' (modM), waarbij a en a' op willekeurige wijze uit de groep A te nemen zijn, maar daar bij elk getal a' een getal a"=p — a' behoort, zoo is dit aantal oplossingen hetzelfde als dat van de congruentie a + a" + 1 = 0 (modM), waarin vveder a en a" uit A te nemen zijn. Geheel op dezelfde wijze omtrent de getallen (0.1), (0.2), enz. rede- neerende, overtuigt men zich dat het teeken voorstelt het aantal oplos (0.0) a + a' + l. eeO (0.1) a + ^ 4-lL -0 (0.2) a + y 4-lE eeO (0.3) a-\-ô +1: ~-0 (1.0) /5 + a +1 0 (M) /? + /5'+l 0 (1.2) fi + y +1^ -0 (1.3) ^-\-ô +1. -.0 (2.0) yi-a +1 0 (2.1) r + /« + i 0 (2.2) 3' + / + 1 ^ 0 (2.3) 7 + Ô -\-l. --;0 (3.0) ô + a +1, -0 (3.1) ô + ^ +1 -iO (3.2) ô-^y +1 = =:0 (3.3) (5 + 5'+lE = 0 (mod M). BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 159 Hieruit volgen dus onmiddellijk deze zes betrekkingen: (0.1) ==(1.0), (0.2) ==(2.0), (0.3) = (3.0), (1.2) = (2.1), (1.8) = (3.1), (2.3) = (3.2). Vijf nieuwe betrekkingen tusschen de getallen (0.0), (0.1), enz. ver- krijgt men door de volgende beschouwing. Zijn a, /5, y getallen van A, B, C en bepaalt men x, y, z zoodanig dat ax^^l, ^y'EEil, y z^l (modM) is, dan behoort blijkbaar x tôt de klasse A, y tôt D, z tôt C, zoodat men kan schrijven aa'^1, pà' = 1, yy' ^:£\. Vermenigvuldigt men nu , terwijl men eene bepaalde oplossing van a -f-/5-|-l=0 beschouwt, deze congruentie met 5 dan volgt ô' -\-\-\-d ::0^ waarin ô' ^=^aô tôt D behoort. Ongekeerd volgt mt à' -\-l -{■ à ^:0 door vermenigvuldiging met ^ weder a-\- ^ -\-l z^Q. Hieruit blijkt dus, dat het aantal oplossingen van de beide congruenties a -I- ;5 4- 1 ~:i 0 en (5 + ^' + 1 EE 0 evengroot is, zoodat men heeft (0.1) = (8.3). Geheel op dezelfde wijze heeft men /(a + ,. + l) = y" + l+r. ^(a + 5 + l) = /5'+l+^, à {^ + y-\-l)~l +/5' + «5, /(/5 + >' + l)^^ +1+/, waaruit men op dezelfde wijze besluit tôt (0.2) = (2.2), (0.3) = (1.1) , (1.2) = (1.3) = (2.3). Hiermede zijn dus elf betrekkingen tusschen de zestien getallen van het schéma S gevonden , en deze getallen worden hierdoor teruggebracht tôt vijf verschillende , die door /i, j, k, l, m aangeduid zullen worden Het schéma S neemt nu deze gedaante aan: h j k l j l m m k m k m l m m j 160 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 8. Het getal — 1 komt in A voor, waarmede dus het getal 0 van A' correspondeert. Dit g-etal 0 van A' komt in geen der klassen A, B, C, D voor, maar elk ander getal van A' komt blijkbaar in één der groepen A, B, C of D voor. Daar ^ = 8^4-1, a~ = 2 n is , zoo volgt dus (0.0) + (0.1) + (0.2) 4- (0.3) = 2n — L Aile getallen van B', C, D' komen in één der klassen A, B, C, D voor, zoodat men heeft (1.0) + (1.1)4-(1.2) + (1.3) = 27Z, (2.0) + (2.1) + (2.2) 4- (2.3) = 2 w, (8.0) + (8.1)4- (3.2) + (3.3) = 2 ^L Deze vier vergelijkingen herleiden zich tôt de volgende drie he- trekkingen tusschen h, ), k, l en m h+j-{-h^l = 2n-l, 7 + ^ + 2 i/i = 2 n , k-\- m=^ n. 9. Eindelijk wordt nog eene verdere , niet linéaire, betrekking tusschen h, j, k, l, m verkregen door de beschouwing van het aantal oplossingen der congruentie a + ^ + ^ + 1 ^. 0 (mod M) , waarin a, ^, y op aile mogelijke wijzen uit de klassen A, B, C te kiezen zijn. Neemt men nu vooreerst voor a achtereenvolgens aile getallen van A, dan gebeurt het respectievelijk /?, ;', k, l malen , dat a+ l tôt A, B, C, D behoort en de enkele maal dat a + li = 0 wordt, kan buiten beschouwing blijven . daar de congruentie /? + 7 0 g^en enkele oplossing toelaat. Voor elke bepaalde der h waarden, die a + l::zaQ maken , zijn dan nog verder ^ en y zôô te kiezen , dat «o + /^ + 7--0 wordt. Het aantal oplossingen dezer congruentie (voor een gegeven waarde van Oq) is gelijk?^, zooals onmiddellijk blijkt door vermenig- vuldiging met a^ , wanneer a^ a|J ^ 1 (mod M) is, waardoor zij overgaat in i4-^-h/ = o. BIJDRAGE TOT DE THIîORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 161 Daar deze redeneering toepasselijk is voor elke der h waarden , die maken, dat a-\-l weder tôt A behoort, zoo verkrijgt men op deze wijze hm oplossingen van de congruentie 14-a+/5 + 7^0. Het gebeurt verder ; malen , dat a -}- 1 tôt B behoort , en voor elke bepaalde waarde a -f 1 „ /^^ heeft de congruentie /^u + y^ + j'-o hetzelfde aantal oplossingen als de congruentie 14-a + /5- 0, dus is dit aantal gelijk j. Het gezegde blijkt onmiddellijk uit wanneer fi^yô^^—l. Deze waarden van a, die a -f 1 tôt B doen behooren, geven dus in het geheel jj oplossingen van de beschouwde congruentie. Voor a-f l3 ;/o, wat k malen gebeurt, heeft de congruentie 70 + ^4-r-O l oplossingen, want yo(7o + ^ + r)- 1+^ + a. De waarden van a, die a -f- 1 tôt C doen behooren, leveren dus in het geheel kl oplossingen. Is eindelijk a-f-l=(5o, wat l malen gebeurt, dan heeft de con- gruentie wegens m oplossingen, en deze waarden van a geven dus Im oplossingen. Het totale aantal oplossingen van de congruentie « + /^ + J' + 1 ^"^ 0 (mod M) is derhalve gelijk aan hm-\-jj -\-kl-\-lm. Maar men kan dit aantal nog op andere wijze berekenen. Neemt men namelijk voor ^ achtereenvolgens aile getallen van B, dan ge- beurt het j, l, w, m malen, dat ^ -}- 1 behoort tôt de groepeu A, B, C, D. 11 162 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. En voor elk dezer vier gevallen vindt men , dat er respectievelijk Â;, m, k, m oplossingen van de gegeven congruentie zijn , zoodat het totale aantal oplossingen bedraagt jk-^lm-\-mk-\-mm. 10. De gelijkstelling van deze beide uitdrukkingen voor het aantal oplossingen van a -\- ^ -\- y -\-\^^Ç) geeft 0^=hm-]-jj-\-kl — j k — km — mm, en h elimineerende met behulp van h=^1m — k — 1, welke waarde gemakkelijk uit de in art. 8 verkregen vergelijkingen tusschen A, j, k, l, m volgt, komt er 0 = {k — mf-^jj-\-kl—jk — kk — m. Volgens de relaties in art. 8 is en deze waarde in jj -\-kl — jk — kk overbrengende , wordt deze uit drukking gelijk aan \{l—jf, zoodat de voorgaande vergelijking, na vermenigvuldiging met 4, overgaat in 0 = 4 (A — m)2 + (/ —jf — 4 m, maar men heeft 4:m = 2{k-\-m) — 2{k — m)=:2n — 2{k — m), dus is 2n = 4ik — mf + 2{k — m)-{-{l—jf, of wel f, = Sn-j-l = [i{k-m)-\-i]^-\-4il-j)% en stellende 4(A; — m) + l = A, 2il — j)=:B, vindt men Hierin is A=il (mod 4), en B even. Men kan nu met behulp van A en B gemakkelijk h, j, k, l, m uit- drukken en verkrijgt zoodoende 8h = 4w — 3 A — 5, 8i=4w + A — 2B — 1, 8k =4w + A — 1, 81 =4w + A + 2B — 1, 8m= 4 w — A4- !• BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERUE-MACHTSRESTEN. 163 Tôt hiertoe onderstelden wij alleen, dat de norm fx den vorm 8w-}-l had; voor de verdere bepaling van A en B is het evenwel nu noodig, de g-evallen I en II van art. 4 afzonderlijk te behandelen. 11. Zij dan vooreerst M = — g == — (4 r 4- 3). In dit geval is j^i z=z W^ = q^ en dus q een priemgetal van den vorm 4 r -}- 3 zijnde, weet men dat q- op geen andere wijze als som van twee quadraten voorgesteld kan worden, dan door voor de basis van het eene (oneven) quadraat ztq, voor die van het andere quadraat 0 te nemen; inderdaad was geen der getallen A en B gelijk 0 of door q deelbaar, dan zou men een van 0 verschillend getal x kunnen bepalen , zoodat AxE^B (raod q). Nu volgt uit ^2 — A.2_f B2 A^EEE — B2 (modg) en daar men heeft ^2^2-^B-2 (mod q), zou er volgen X'^E^ — 1 (mod ^). Deze laatste congruentie nu is onmogelijk, omdat — 1 quadratische niet-rest van q is. Uit q'^ = A'^ -\- B'^ volgt dus noodzakelijk A = ±q, B = 0 en daar Arf=l (mod 4), zoo wordt hierdoor nog het teeken van A vol- komen bepaald en is A = — q = M.. Nadat op deze wijze A en B gevonden zijn, heeft men nu 8h =4w— 3M — 5, 8j =in-{- M — 1, 8^ =4n+ M — 1, 81 =r4n+ M — 1, 8m = in— M-fl, waarin 8 w + 1 = M^. 164 bijukage tôt de tfikorik der derde- en vîerde-macïitsresten. Door deze formules wordt dus de afhankelijkheid der getallen van het schéma S van het priemgetal M op de eenvoudigste wijze uitgedrukt, voor het geval dat M tôt de eerste klasse van art. 4 behoort. 12. Is in de tweede plaats ¥.^=a -\-bi, waarin a— 1 e^ 6 = 0 (mod 4), en de norm ju = d^ -\- b'~ een reëel priemgetal , dan is dus /i = a2 4- 62 = A2 + B2. Nu kan een priemgetal van den vorm 4: k -\- 1 slechts op één wijze voorgesteld worden door de som van twee quadraten , en daar a en A beide eee 1 (mod 4) zijn , zoo volgt A = a, B = ± 6. Het teeken van B wordt door de volgende beschouwing bepaald , waarbij het noodig is deze hulpstelling vooraf te bewijzen : „Doorloopt z een volledig restsysteem (mod M) met uitzondering van den door M deelbaren term , dan is ^z'^- — l of 5=7-0 (mod M), al naardat t door ju — 1 deelbaar is of niet." Het eerste gedeelte is duidelijk, want is t door jli — 1 deelbaar, dan is s'e^I, dus ^z^s^n — 1 ::= — 1 (mod M). Om ook het tweede gedeelte aan te toonen, zij g een primitieve wortel voor het priemgetal M, zoodat de waarden, die z doorloopt, congruent zijn met Hieruit volgt dus S^E=5l-f^* 4-^2t_|_..._^^(M-2)i (mod M), of (1— p'j2 2« --1 — ^'^''"^^' = 0 (mod M). Is nu i niet door /* — 1 deelbaar, dan is 1— p' niet door M deel- baar en dus 20' eteO, w. t. b. w Deze hulpstelling geldt blijkbaar voor een willekeurig priemgetal M. Volgens de binominaalontwikkeling is nu BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 165 en hieruit volgt dus, wanneer het teeken E op dezelfde waarden van z betrekking- heeft als zooeven , /'- 1 ^{z'+l) ^ ~^—l (modM). Maar aan den anderen kant vormen de getallen z^ in hun geheel blijkbaar aile getallen van de groepen A en C te zamen , elk dezer getallen tweemaal genomen Van de getallen z" + i behooren er dus 2 ^0.0) + 2 (2.0) tôt A , 2 (0.1) + 2 (2.1) tôt B, 2(0.2)4-2(2.2) tôt C, 2(0.3)4-2(2.3) totD, en daar de ( ^ j machten der getallen van A, B, C, D respectievelijk congruent zijn met 1, i, —1, — i, zoo volgt dus 2 iz' + 1)^^ . - 2 [(0.0) -f (2.0) - (0.2) - (2.2)] 4- 4- 2^(0.1) 4- (2.1) -(0.3) -(2.3)] - 2 {h-k)-}-2i{j-l), of de waarden van art. 10 invoerende , daar A = a is , (i — 1 1: {z^ 4- 1)~4~EEE — a -1—Bi. Uit de vergelijking met het eerste resultaat fi - 1 £(224-1) 4 =—1 volgt nu a-\-Bi ::- 0 (mod U — a-{-bi), dus B = b. Hierdoor gaan dan ten slotte de waarden van h, j, k, l, m van art. 10 over in 8h =4:n — 3a — 5, 8j =4w4-a — 26 — 1, 8k =én-\-a —1 , 8/ =4w4-a 4-26-1, 8m^4w — a -\-l, waarin dus 8n-{- l=z a- -\- b- de norm is van het priemgetal M. 166 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 13. Nadat hiermede de beide gevallen , vvaarin iu=z8n -{- 1 is, af- gehandeld zijn, moet nu het geval ju=:8n-{-d beschouwd worden. Daar dan — j — oneven is , zoo behoort — 1 tôt de groep C , en zooals gemakkelijk te zien is, behooren de getallen p — a, p — a', p — a'\... aile tôt C, en de getallen P-^, p-^',p-^",... aile tôt D. Met behulp van deze opmerkingen volgt nu zonder moeite, dat het teeken voorstelt het aantal oplossingen van (0.0) a-j-y +1=0 (0.1) a-f (5 -f IeeO (0.2) a 4- a' +1=0 (0.3) a+/5+l=0 (1.0) ^ + ^+1^0 (1.1) ^ + 6+1^0 (1.2) ^ + a+l:zO (1.3) ^ + ^'+i-:^0 (2.0) ^ + /+i--o (2.1) ^ + ^+l--o (2.2) y-j-a +1eeO (2.3) j. + ^+i=o (3.0) â + j; +1=0 (3.1) ^ + ^'+1=0 (3.2) (5 + a +1 = 0 (3.3) ^ + ^+1=0, waaruit dan zes betrekkingen voortvloeien (0.0) = (2.2), (0.1) =: (3.2), (0.3) = (1.2), (1.0) = (2.3), (1.1) -(3.3), (2.1) = (3.0). Daar evenals vroeger aa' = ^ô~yy'EEl, zoo heeft men /(«4-7 + 1) /' + 1 +7', ^(a4_5 + l),.^' +1 +^, ô (a + ^ + l)EE5' +1 +c5, à (/5 + 7 + l)E=l +/5' + ^ y'(P + y + ^)^à +1 +/. (modM), BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 167 waaruit men besluit tôt (0.0) = (2.0) , (0.1) = 1.3) , (0.3) = (3.1) , (1.0) = (1.1) ==(2.1). Ten gevolge van deze elf betrekkingen neemt het schéma S dezen vorm aan h i k l m m l J h m h m m l ) m. Daar —1 in de groep C, dus 0 in C voorkomt, zoo volgt geheel op dezelfde wijze als in art. 8 2m-\-l-\-j= 2w + l, h -{-7)1= n. De beschouwing van het aantal oplossingen der congruentie a + l^ + J' + l-O levert eindelijk nog eene vergelijking tusschen hj, k, l, m op. Neemt men eerst voor a aile waarden, die tôt A behooren , dan gebeurt het respectievelijk h, j, k, l malen, dat a + 1 tôt de groepen A, B, C, D behoort. En verder vindt men op dezelfde wijze als in art. 9, dat voor elk dezer gevallen de congruentie respectievelijk m, ?, ;, m op- lossingen heeft , waaruit dus voor het totale aantal oplossingen volgt hm-^jl-\-kj-\-lm. Neemt men daarentegen eerst voor /S aile waarden van B, dan gebeurt het respectievelijk m, m, IJ malen, dat ^5 -f 1 tôt de groepen A,B,C,D behoort. En verder vindt men, dat voor elk dezer ge- vallen de congruentie respectievelijk h, m, h, m oplossingen heeft, zoodat het totale aantal oplossingen ook bedraagt mh-\- mm -\-lh -\-jm. 14. De gelijkstelling van de beide uitdrukkingen voor het aantal oplossingen der congruentie a-|-^-|-j/-j-l=0 (raod M) 168 BIJDRAGE TOT DE THFIORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. g-eeft 0 = m^-f lh-\-jm —jl — kj — lm, of daar k = 27n — h is, zooals uit de linéaire betrekkingen tusschen h, j, k, l, m in art. 13 dadelijk volgt, 0=:m- -{- lh-\- hj—jl—jm — Im, Drukt men nu met behulp van j -{-1 = 1 -\-1h, j ^n l beide uit door hun verschil 2j=i + 2;î + o"-o, 2^=1 + 2/^ 4-0--/), dan gaat de voorgaande verge! ijking door invoering van deze waar- den over in 0=r4w2-4w — 1 + 4/^2 _8;î^_|_ {j—lf^ of daar 4 m = 2 (/î + w) — 2 (/i — m) = 2 w — 2 (/î — m) , komt er 0 = 4 (/i — m)2 — 2« 4- 2 (/î — wî) — 1 + [j—ïf en eindelijk /, = 8 w + 5 ^ [4 (/î - m) + If -\-AU- If, dus voor K = A{h — m)-[-l, B = 2j—2l, heeft men Met behulp van A en B kan " men nu gemakkelijk /i, j, k, /, m uitdrukken , als volgt Sh =4w+ A — 1, 8; =4n + A + 2B — 3, 8Â;=4w — 3A + 3, 8^ =:4w + A — 2B4-3, 8wî=:4w — A + 1. Er blijft nog over A en B te bepalen. Nu is fx als reëel priem- getal van den vorm 4w-|- 1 slechts op één wijze voor te stellen door een som van twee tweedemachten , en daar M = a -f & î" is, heeft men ;" = a^ + h-, waarin a^ — l, 6 — 2 (mod 4). BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 169 Hieruit volgt dus A = — a en B=±&. Om het teeken van B te bepalen dient eene beschouwing analoog aan die in art. 12. Men vindt gemakkelijk 2(^2 _}_ ly 4 =_ 1 .^2{li — k)-\- 2i{j — l) (mod M). Nu is 2{h-k) = A — l, 2(j — Z)=:B, dus heeft men — IeeeA — 1 + Bi, 0~A + Bi (modM = a + 6i). Daar nu reeds gevonden werd A = — a, zoo volgt B = — b en ten slotte is dus 8h =4:n — a — 1, 8; =4w — a — 26 + 3, 8k =4M4-3a + 3, 8/ =4w — a + 26 + 3, Sm = 4:n-{-a-\- 1. 15. De verkregen resultaten samenstellende, is dus voor jii^=Sn-\-l het schéma S van den vorm h j k l j l m m k m k m l m m j waarin : 8h =4n — 3M — 5, voor M = — g 8j = 8k = 8l =4n + M — 1, 8m = 4w — M + 1. 8h =4n — 3a — 5, 8j =4w-}-a - 26 — 1, voor M=:a-f-6i 8k =^^n-\- a — 1^ 81 =in-\-a-\-2b — l, 8m = 4n — a-fl- 170 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Voor ju=z8n-\- b, M. = a-\-bi is het schéma S van den vorm h j k l m m l j h m h m m l j m waarin Sh ^=in — a — 1, 8j =4w — a — 26 + 3, 8A; =4w4-3a + 3, m =4w — a + 26 + 3, 8m = 4w 4-« + 1- Zooals uit deze formules blijkt, correspondeert de verandering van 6 in — b met eene verwisseling van j en l, zoowel in het geval /^ = 8 w -J- 1 » ^Is wanneer /^ = 8 w -f- 5 is Volgens de congruenties van art. 5 is nu voor /i = 8w4-l het karakter van 1 -f- i naar den mod 4 congruent met (3. 1) + 2 (3. 2) + 3 (3. 3) = 3 m + 3 j = — m — i en dat van 1 — i congruent met (l.l)4-2(1.2)-h3(1.3) = ;4-5m = Z4-m • en dus vindt men voor M = — g Karakter (l-|-z) = — n = — _ q^-1 8 Karakter (\ — i)^ n= ^—^ o Nu zijn ^—y— en ^—t — geheele , op elkaar volgende getallen , dus is hun product even , en „ — door 4 deelbaar, zoodat men heeft 8 " 8 8 4 Hieruit voigt M-l en daar — 1 biquadratische rest is , BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 1 7 1 terwijl uit 2 = {1 —i){l-{-i) nog volgt ((1))=(W))=^- Voor M. = a-\-bi daarentegen , is — m—j= — n-]-^b, l-{-m=: n-\-'lb en 1VT • 11-iu a — la + 3 , (a — l)(a + 3), ^,, Nu is blijkbaar ~j~ • ~T~ even, dus "^ — door4aeel- baar, waaruit volgt g^ — 1__— ft + 1 8 "" 4 (mode), door 8 deelbaar, derhalve g — door 4 deelbaar en en b door 4 deelbaar zijnde, is dus één der getallen door 6, &±4 halve g — dooi Èi = _^ _ ^(^ + ^) 8 ~ 8 8 n = i(— a + l±2&) (mod4) 8-8 8 --^^> zoodat en ten slotte (m)=((=^'))='' 2- a+l-b Is eindelijk /n = 8n-\-ô, 'M. = a-\-bi, dan vindt men Karakter (1 + i) -' (1 • 1) + 2 (1. 2) + 3 (1. Hierin is, aile congruenties betrekking hebbende op den modulus 4, 1 72 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. m4-2/ + 3;==3w + i(— 2a — 6 + 8), ^ + 2;'+3m = 3n + i(— 6 + 6)=. — w + -l(— 6 + 6), a — S a+l .. 1 • (a — 3)(a + l) , , j ,, V • — — even ziinde, is i — — door 4 deelbaar, evenzoo 4 4 -^ ' 8 , (6-2)(6 + 2) , ,. ook ^ ~ , dus heett men o a2_|_ô2_5 (a-3)(a + l) if^ - i _ n -^ g g g- - 4 (« + 1), zoodat er ten slotte komt 7W + 2^ + 3j = i(a — 6 + ll)-^(a — 6 — 5), ^ + 2j+3mEEzi(— a — 6 + 5) en hiermede Het karakter van — 1 gelijk twee zijnde , vindt men verder a-6 + 3 //_1_LA\ niL-zlrS 4 aYhil}~ ' vU + 6i en _ h^ . f "2 a + 61/ Hiermede is het quadratisch karakter van 1 + ^ als ook dat van 1 — z, — 1 — z, — 1 + z ten opzichte van een primair priemgetal in elk geval bepaald. De uitkomsten stemmen geheel overeen met die door Gauss in art. 63 en 64 van de Theoria residuorum biquadrati- corum commentatio secunda gegeven, en daar in art. 68—76 op ge- heel verschillende wijze bewezen. 16. Met betrekking tôt de analogie van een groot gedeelte der voorafgaande beschouwingen met die van Gauss in art. 8 e. v. van zijne eerste verhandeling over de théorie der vierde machtsresten , valt het volgende op te merken. Gauss beschouwt reëele getallen, en de priemmodulus j? is van den vorm 4w + 1, terwijl de beide gevallen ^ = 8^, + 1, p = 8w + 5 onder BIJDRAGE TOT DE THKORTR DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. 173 scheiden moeten worden ; /; heeft dus dezelfde heteekenis als de iiorm /i in de gevallen II en III van art. 4. De getallen 1, 2, 3, ..., p — 1 worden nu bij Gauss in 4 klassen A, B, C, D verdeeld. De getallen dezer klassen door a^ ^, y, ô aan- duidende is deze klassificatie gegrond op de congruenties a * EE=1 ,.-1 {mod fi=p), Y ' ^-1 waarin f^zii — 1 (modp), en voor iui = o?-\-b'^ «eeeI (mode), a-\-hfz-0 (modp). Voor p=r/i = 8w-|- 1 hebben a en h dezelfde beteekenis als in het bovenstaande , voor p = ^n-{-b verschillen a en 6 bij Gauss alleen in teeken met de waarden, die zij in het voorgaande hebben, waar M = a-|-6i een primair complex priemgetal is Laat men nu echter ook complexe getallen toe , dan is het dui- delijk, dat de bovenstaande congruenties , die betrekking hebben op den modulus p = iu, blijven gelden voor den modulus a-\-bi, zoodat ooka-\-bfzzzO (mod a -f 62) is, waaruit blijkt /"^z (moda + 6i), en dus M-i /*-! /^-i /^-t a* =l,/5* ^î, 7* EEi— 1,^4 = — i {mod a + bi). De klassificatie van Gauss valt derhalve samen met die volgens het biquadratisch karakter 0, 1, 2, 3 met betrekking tôt den modulus a -\- bi. Inderdaad, de reëele getallen 1, 2, 3, ...,jp— 1 vormen voor den modulus a-{-bi een volledig systeem incongruente, niet door den modulus deelbare resten, Vervangt men dan ook in de beide laatste voorbeelden van art. 5 de complexe resten door de congruente reëele getallen , wat met be- hulp van 2 = 27 (mod — 3 — 8i) en z = IJ (mod — 5 -f- 6 i) zonder moeite kan geschieden, dan verkrijgt men 174 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. (mod — 3 — 8z), ;a = 73, A 1, 2, 8, 9, 16, 18, 32, 36, 37, 41, 55, 57, 64, 65, 69, 71, 72. B 5, 7, 10, 14, 17, 20, 28, 33, 34, 39, 40, 45, 53, 56, 59, 63, 66, 68. C 3, 6, 12, 19, 23, 24, 25, 27, 35, 38, 46, 48, 49, 50, 54, 61, 67, 70. D 11, 13, 15, 21, 22, 26, 29, 30, 31, 42, 43, 44, 47, 51, 52, 58, 60, 62. (mod — 5 + 6i), iu = 6[, A 1, 9, 12, 13, 15, 16, 20, 22, 25, 34, 42, 47, 56, 57, 58. B 2, 7, 18, 23, 24, 26, 30, 32, 33, 40, 44, 50, 51, 53, 55. C 3, 4, 5, 14, 19, 27, 36, 39, 41, 45, 46, 48, 49, 52, 60. D 6, 8, 10, 11, 17, 21, 28, 29, 31, 35, 37, 38, 43, 54, 59. volmaakt overeenkomende met de voorbeelden door Gauss gegeven in art. 11 der eerste verhandeling. Alleen voor het geval I van art. 4 , bestaat in de reëele théorie van Gauss niets analoogs, wat daarmede samenhangt, dat men in dit geval uit reëele getallen geen volledig restsysteem kan vormen De opmerking, dat de verdeeling in klassen A, B, C, D van Gauss in zijne eerste verhandeling identiek is met die volgens het biquadra- tisch karakter ten opzichte van den modulus a-{- bi, levert ook terstond het middel op, cm al die theorema's te bewijzen , die door Gauss in zijne tweede verhandeling, art. 28, opgesteld zijn, en welke door inductie ontdekt werden , maar die tôt nog toe , voor zoover ik zie , niet werden bewezen. Deze theorema's hebben betrekking op het voorkomen van een reëel priemgetal m in de vier klassen A, B, C, D, of na het voorgaande , op het biquadratisch karakter van m ten opzichte van a-\-bi als modulus. 