ouvresdethomas01stierich
De la formule (7) qui définit la fonction xp {x, p), on tire immédiatement tf {x -i- 1, p) = ip {x, p) -\- — , et plus généralement (9) y^{x-\-k,p)=fp{x, p) + ^7 + (^^^1^4- . . ■ + ^^_^k-Jy>' Cette dernière formule fait voir qu'au lieu de (7) on peut également écrire Iyi^-p 1 \ y [x, p) = lim -^j y (^ + w, i?) + 1/^ {x, p) , ou In^-p 1 A 0 = lim -ï — v^ (rc + n, p). Cette dernière équation peut être remplacée par 0 = lim (^^-±^^-^^ -^-^{x^n, p)\ En effet, la différence {x-\-nY-'^ — l n^-P — 1 \—p \—p converge vers zéro pour w = oo. On le voit immédiatement pour j9 > 1 et pour p = 1 ; lorsque p est entre 0 et 1 , la vérité de cette proposition ressort du calcul suivant: r::7p~ ï^^f ~j '~u^ J up ~j îip ~ (n + ex)p' ^ 0 0 n (0 < 0 < 1) En remplaçant encore n-^x par x, on en tire (10) limf^"-^^^ w{x,p)] = 0. En divisant ensuite (8) par h, on obtient -i[v.(:r,p) + V^ (a;+ i,p) + . . . + V (^ + ^^p)] = 80 REMARQUES SUR UNE INTEGRALE DÉFINIE. Si l'on suppose x positif et 0<p^l, il s'ensuit pour A; =00, eu égard à la formule (10) , (11) [ y^{x + u,p)du=^^~ ' 0 (x>0, 0<pgl) La formule (11) est valable aussi pour x = 0; pour le démontrer, il faut poser x = j~, et ensuite k = oo dans la formule, de laquelle nous venons de dériver la formule (11) en passant à la limite. Or, pour p = l, la formule (11) se transforme en la formule (6). Je termine en faisant encore quelques remarques au sujet de la fonction rp {x, p). Lorsque x est positif, rp (x, p) peut être exprimée par une intégrale définie (12) . . . y,(x,p) = ^-^-^^j ^____)e-"«.-.rf«, 0 d'oii l'on peut tirer entre autres les développements suivants 1 AI ^x — l, 1\P-1 (13) . .^p{x,p) = xp{l,p)-{-j^^j ^_^ (^^g^j ^^' ô 'rl-P 1 1 1 roo/ 1 1 1 \ \ /t\iij 1—p 2xP r{p)j \1 — e-" u 2) 0 En effet, lorsque x est positif, on peut réduire la formule (7) en écrivant — , -, — , ^,^, etc. sous forme d'intég^rales définies: on sait que xP' {x-\-l)P ^ ^ aP r{p) 0 On a de même pour le premier terme 1—p r{p)j u 0 Cette dernière formule se tire de l'avant-dernière, lorsqu'on multi- plie celle-ci par da et qu'on intègre entre les limites a = 1 et a^n. On trouve ainsi, après quelques réductions, la formule (12), d'où (13) et (14) suivent aisément. La formule (14), d'où l'on peut conclure immédiatement à la for- mule (10) , donne aussi une série semi-convergente pour ip (x, p), série que d'ailleurs on pourrait également tirer de (7) en appliquant une formule connue de Maclaurin. III. (J. Math., Berlin, 89, 1880, 343—344-) Notiz ûber einen elementaren Algorithmus. Es seien %, ag, . . . , «^ réelle Zahlen , M^ ihr arithmetisches Mittel , M2 das arithmetische Mittel aller Producte aus je zwei verschiedenen dieser Zahlen, Mg das arithmetische Mittel aller Producte aus je drei verschiedenen dieser Zahlen u. s. w. Die letzte der auf dièse Weise zu bildenden Grôssen ist M^ = 0^02-.. Qk. Es soll ferner festgesetzt werden Mq = 1 • Im Allgemeinen ist dann M^-Mp_iMp + i (p=l, 2, ...,A:— 1) positiv ; genauer gefasst : dieser Ausdruck wird nie negativ und nur dann gleich Null , wenn entweder sâmmtliche Zahlen a^, a^, ■ • .,ak ein- ander gleich sind, oder wenn mindestens k — p-\-l dieser Zahlen gleich Null sind. Im letzteren Falle ist offenbar Mp = Mp 4-1 = 0. Sind jetzt die Zahlen a^ Oo. ..., au sâmmtlich positiv und setzt man Mp (p=l, 2, ...,k) so ist nach obigem Satz a[> a'^y . ^ •> a'k^ wobei der Fall , in welchem die Zahlen a^.a^, . . ., «a sâmmtlich einander gleich sind, ausgeschlossen werden mag. Weiter ist a^ 02 . . • a^ = tti ttg . . . a/c, 32 NOTIZ UEBER EINEN ELEMENTAREN ALGORITHMUS. und wenn von den Zahlen a^, a., ...,ak keine >a^ iind keine <a^. ist, , _ ai + ^2 + • • • + Qfc < (^— l)ai4-a;c folglich : «A = -1 , ;- > a&, «1 «2 Ok 0<ai — ak< —j^- (a^ — Ok). k—l k Durch wiederholte Anwendung der Opération, durch welche die Zahlen a[, ai , a^ ans a^,a.^, .. .,ak hergeleitet wurden , erhâlt man also Gruppen von k Zahlen , deren Product unverândert bleibt , wahrend sic sich unbegrenzt einander nâhern Die Zahlen einer Gruppe convergiren also sammtlich gegen die Grenze (a^ a^ ■ • . akf. Bezeichnet man die Zahlen der n^^ abgeleiteten Gruppe mit >*p > (p=l,2, ..,A;) so werden die Differenzen « (w) f. (n) (p=l, 2, ...,A;— I) welche sich beliebig der Null nâhern , immer mehr einander gleich, sodass das Verhaltniss von je zwei dieser Differenzen (far dasselbe n) far n = 00 die Einheit zur Grenze hat. IV. (Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet. , i* sect., sér, 2, 17, 1882, 239 — 254.) Over Lagrange's Interpolatieformule. 1. De gewoonlijk aldus genoemde formule leert de geheele rationale functie van x , van den n — 1^^*=" graad hoogstens , die voor de n bijzondere waarden x := i\, x = iro, . . ., x = Xn met eene willekeurige functie f{x) in waarde overeenkomt , onder den volgenden vorm kennen waarin 95 {x) = (x — X^) {x — X.^ . . .{x — Xn) en (p' {x) aïs gewoonlijk, de afgeleide functie van (p{x) voorstelt. Is de functie f{x) zelf geheel rationaal, van niet hoogeren dan den fi — pten graad , dan is identiek In het algemeen echter moet deze formule aangevuld worden door eene rest, evenals dit bij het theorema van Taylor het geval is. In het 84''" deel van het Journal far die reine und angevvandte Mathematik, heeft Hermite (p. 70 e. v.) den volledigen analytischen vorm van deze rest als eene bepaaide integraal gegeven en wel onder twee verschillende gedaanten ; als grensgeval ligt in deze for- mulen 00k de rest van de reeks van Taylor opgesloten, Evenals men onmiddellijk uit de bepaaide integraal , die de vol- 3 34: OVER lagrange's interpolatieformule. ledige rest van de reeks van Taylor voorstelt, den restvorm van Lagrange^) kan afleiden, kan men ook een analogen restvorm voor de interpolatieformule van Lagrange uit de veelvoudige integraal af- leiden, waaronder Hermite de rest voorstelt Maar, evenals men veeltijds deze vereenvoudigde rest bij de reeks van Taylor afleidt zonder van de hulpmiddelen der integraalrekening gebruik te maken, kan men hetzelfde ook voor den analogen restvorm van de inter- polatieformule verlangen. Eene zoodanige ontwikkeling wordt in het volgende gegeven. Ik merk nog op dat, hoewel de hier verkregen restvorm gemakkelijk uit Hermite's formule afgeleid kan worden , deze toch niet dezen vereenvoudigden restvorm gegeven heeft. Het is hiertoe noodig eene élémentaire eigenschap van bepaalde enkelvoudige integralen tôt veel- voudige integralen uit te breiden , wat echter geen bezvvaar ontmoet. De te bewijzen formule kan aldus geschreven worden waarin | eene waarde heeft, gelegen tusschen het grootste en het kleinste der getallen x, x-^, . . .,Xn. Hierbij moet ondersteld worden , dat de functie f{x) evenals f'{z), f"{z), . . ., /"""M^) eindig en continu zijn voor aile waarden van 0, gelegen tusschen x, x^, . . . , Xn e:ïï dat voor dezelfde waarden van z de functie /"" " ^ {z) een eindig en bepaald differentiaalquotiënt p {z) heeft. De formule (1) neemt een meer eleganten vorm aan, wanneer men er f''[^) uit afzondert; men overtuigt zich gemakkelijk, dat ze alsdan deze gedaante aanneemt waarin xp {z) — (0 — rc) (s — x^) {z — x^}...{z — Xn\ Men herkent hierin eene uitbreiding van de voor n = 1 ontstane élémentaire formule x — x. ») Théorie des fonctions analytiques. Eerste editie (1797) p. OVER LAGRANGE'S INTERPOL ATIEFORMULE. 85 2. Het bewijs van de formule (1) berust nu op de volgende hulp- stelling : „ Wanneer de functie G (0) voor de w -{- 1 verschillende waarden z^^x,zr=zxy, . . .^z^^Xn de waarde nul aanneemt, dan neemt het w''" differentiaalquotiënt G" (2) de waarde nul aan voor eene waarde 2; = I, gelegen tusschen het grootste en het kleinste der getallen x, x^, . . ., rcn." Ondersteld wordt hierbij , dat G{z), G'(e), . . ., G"-^ (s) eindig en continu zijn voor aile waarden van z gelegen tusschen x, x^, . . .,Xn, en dat voor dezelfde waarden vans de functie G"~^(2) een eindig en bepaald differentiaalquotiënt G" (s) heeft. Voor w = 1 is dit een bekend theorema , waaromtrent het voldoende is te verwijzen naar Dini , Fondamenti per la teoria délie funzioni di variabili reali, p. 70. Het bewijs van dit theorema, evenals dat van eenige nauw ver- wante, zooals het in de nog meest gangbare leerboeken voorkomt, bijv, vSerret, Cours de calcul différentiel et intégral , bevat eene leemte, die eerst aangevuld werd door eenige onderzoekingen van Weierstrass; men zie Dini, p. 43 — 51. Weierstrass zelfschijnt van deze onderzoe- kingen omtrent de grondslagen der functieleer niets gepubliceerd te hebben. Het is vooral noodig op te merken , dat in het eenvoudigste geval w = l de grootheid ^ tusschen x en rc^ ligt , en verschillend zoowel van X als van x^ aangenomen mag worden. Het bewijs van de hulpstelling in het algemeene geval volgt nu onmiddellijk uit de waarheid in het eenvoudigste geval n=l. Is namelijk n = 2, dus G(a;) = 0, G(a;i) = 0, G(:v.,) = 0, dan kan men onderstellen ^ < .'^1 < ^2 en men heeft dan G'(li) = 0, x<$,<x, Q'{i;) = 0, x,<l,<x, en hieruit door nog eens het theorema voor n = 1 toe te passen G"(|)=zO. li<^<lo Men kan op deze wijze voortgaan, en het blijkt dan tevens, dat 86 OVER lagrange's interpolatieformule. in het algemeene geval | ondersteld mag worden niet gelijk te zijn noch aan het grootste, noch aan het kleinste der getallen x, x^, ...,Xn. De voorvvaarden van continuiteit en differentieerbaarheid , die men aan de functie G [z) en de afgeleide fiincties moet stellen , volgen zonder moeite iiit die, welke voor het geval n= l gesteld moeten worden. 3. Het bewijs van de formule (1) kan nu aldus gevoerd worden. Ter bekorting moge het interpolatiepolynomiuni van Lagrangedoor F (x) aangeduid worden , zoodat (3) F(:c)=V^ '^T~>7-Tfi'^p)- Onder de waarden x^, a^g, . . ., x» komen geen twee gelijke voor, en daar de functiën F {x) en f{x) voor x=:x^, x = X2, . ■ ., x^= Xn dezelfde waarden aannemen, en het ons te doen is om in het algemeen een be- knopten vorm van het verschil f{x) — F {x) te vinden , zoo kunnen wij hierbij zonder nadeel de onderstelling maken, dat de waarde ri; niet samenvalt met een der waarden x^, x^, . . ., Xn. Dit aangenomen, zij (4) . . . . f{x) = F{x)-}-{x — x^){x — x^)...{x — Xn)R. De waarde van R is dan hierdoor voikomen bepaald. Terwijl nu verder, voor een oogenblik, x, x^, . . ., x» als constanten gedacht wor- den en z eene nieuwe veranderlijke is, beschouwen wij de functie (5) . . Giz) = — f{2)-{-F{z)-\-{z — x,)(z-x^)...{z — Xn)R, waarin dus R de door (4) voikomen bepaalde, van ^ onafhankelijke waarde heeft. Blijkbaar is nu, niet alleen G (a;) = 0 , maar ook Q{x,)z=0, a{x.2) = 0, ..., G{Xn) = 0, waaruit dus volgens de hulpstelling van art. 2 volgt (6) G"(|)=:0, waarin ^ eene waarde heeft gelegentusschenhetgrootsteen het kleinste der getallen x, x^, . . ., Xn- Maar daar F{z) hoogstens van den n — l"'*"* OVER lagrange's interpolatieformule. 87 graad in z is , valt bij de n-voudige differentiatie van (5) Y [z] weg, en is G " (^) = — /" (3) + 1 . 2 . 3 . . . w . R. Wegens (6) volgt nu l^ = 1727^7» ^"(« en dit in (4) gesubstitueerd geeft waarmede het bewijs van de formule (1) geleverd is. 4. Wanneer men in de nu ook bewezen formule (2) de steeds ongelijke getallen x, x^, ...,Xn allen tôt eenzelfde limiet X laat con- vergeeren , dan volgt Behalve de onderstellingen die voor de geldigheid der formulen (1) en (2) gemaakt moeten worden , moet bij deze laatste formule boven- dien nog p {x) voor rr=:X continu zijn , daar men anders niet kan besluiten, dat /" (|) bij convergentie van | tôt X, tôt de limiet /""(X) convergeert. Deze formule (7). die dus in het geval, dat f" {x) voor a; = X continu is, eene directe algemeene definitie van het n'''' differentiaalquotiënt van eene functie f{x) geeft, schijnt nog niet in de hier gegeven alge- meenheid bewezen te zijn Wel komt zij voor in het uitstekende werk van Lipschitsch , Differential- und Integralrechnung, p. 204 , Form. 20, maar bij het daar voorkomende bewijs moet men onder- stellen, dat x, x^, . . .^ Xn bij hunne convergentie tôt de limiet X, behalve dat zij steeds ongelijk blijven, nog aan andere condities moeten vol- doen, die hier overbodig blijken. Zie t. a. p. p. 203, regel 6 v. o. En verder is daar het bestaan van een eindig en continu n + 1"** differentiaalquotiënt aangenomen. Ook deze conditie ligt stellig in het geheei niet in den aard der zaak, en nadat Weierstrass continue functies heeft leeren kennen, die niet differentieerbaar zijn , zou niets 38 OVER lagrange's interpolatieformule, gemakkelijker zijn dan functiën op te stellen , voor welke de formule (7) geldig is , maar waarbij van geen n + 1"" differentiaalquotiënt sprake kan zijn ^) 5. De overeenkomst van de formule (1) met het theorema van Taylor valt nog meer in het oog, wanneer men het polynomium F {x) niet voorstelt onder de élégante en symmetrieke gedaante door Lagrange gegeven , maar onder den vorm, dien Newton in het 3^^ Boek der Principia bij gelegenheid van zijne behandeling van het kometen- probleem geeft. De formule (1) neemt dan namelijk deze gedaante aan (8) . . . f{x) = A^-{-A2{x — x^)-\-AQ{x — x^){x — X2)-{-.. + A„ (rc — Xi) {X — X2)...{x — Xn-i)-\- I (^ ^i) {oc X2) . . .{X Xn) ~^^•^ ,^s "^ 1.2.3...W ' ^^^* Hierin is en algemeen Al = f{x,) , A, = -^^""i^- 4- -f^-'^- tA/i tAjç) U/n ^Âj-x (9) " V'p{x^V q>'p{x,)'^--^ <p'j,{x^y \ cpj, (z) = {z — x^) {z — x^}...{z — Xp). Newton geeft niet explicite deze algemeene uitdrukking voor Ap, maar wel de volgende rekenvoorschriften om achtereenvolgens A^, Ag, ... te berekenen: T>,=rix,\ ... ^2 — X, ' _ Cl ■Bi ^3 X, _ I>1 — Cl B, -A2 ^3 — 0^1 ' c. -B2 1} Men zie J. Math , Berlin, 79, p. 29 e. v., 00k 90, p. 221, OVER lagrange's interpolatieformule. 89 Steit men deze grootheden , zooals zij achtereenvolgrens gevonden worden , aldus te zamen Bi A3 (10) B, A,, Cl B, dan komt deze berekening geheel overeen met die van de gewone interpolatie in het geval, dat rr^, X2, . . , rrneenerekenkunstigereeks vor- men, met deze geringe vvijziging, dat de P'", 2'*% 3''%... rijen van verschillen hier respectieve door de factoren 1.(0:2 — x^), 1.2.{x2 — ^ifi 1.2.3. {X2 — Xif . . . gedeeld voorkomen. Volgens de formule (2) is ^^ ^ 1.2.3...(p-l) ^''"' ^^^^' waarin fp eene waardeheeftgelegen tusschen hetgrootsteen het kleinste der getallen x^, 0^2, • • ., Xp. Laat men dus in de formule (8) x^, X2, ■ . ., Xn tôt eenzelfde limiet convergeeren , dan ontstaat onmiddellijk de for- mule van Taylor met den restvorm van Lagrange. 6. De Newton'sche vorm van het interpolatiepolynomium F (x) = Al + A2 (rc — x{} + A3 {x—x^) {x — x.^-\-... ■}- Anix — X^) {X — X2)...(X — Xn - l) heeft boven dien van Lagrange 00k nog dit voordeel , dat hij onmid- dellijk doet zien welken vorm F (x) aanneemt, wanneer er onder de grootheden x^, x^, . . ., Xn sommige tôt eenzelfde limiet convergeeren of gelijk gesteld worden. Convergeeren namelijk x^, X2, . . ., Xp tôt de limiet X, dan is volgens (9) en (7) (") '""^'^ 1.2.3.'. (pirr)^'"-"(^) en daar aile in het tableau (10) voorkomende grootheden op dezelfde wijze als Ap samengesteld zijn , zoo kan men 00k onmiddellijk in 40 OVER lagrange's interpolatieformule. dit geval het geheele tableau (10) vormen. Men ziet namelijk gemak- kelijk, dat men hierbij , om onbepaalde uitdriikkingen — te ontgaan, slechts die grootheden x^, x^, . . .lOCn, welke ten slotte gelijk gesteld worden, onmiddellijk op elkaar behoeft te laten volgen. Men heeft dan verder de formule (11) en Newton's voorschriften te volgen om het geheele tableau te verkrijgen. Werden dus bijv. x^, X2, . . ., xp allen gelijk X, dan moet men in dit geval bekend onderstellen fiX), f'ix), ...,/-p-MX). Hierin schijnt dan 00k de meest geschikte méthode te bestaan , om het polynomium van den laagst mogelijken graad R{x) te vormen, dat aan deze voorwaarden voldoet (12). H{x,) = f{x,), B'{x,) = rM, ,H''.-M^i) = r'-M^i), H (x^) = f{x^) , H' (x,) = r (x,) , . . . . , H". - 1 (rr.) = /-"'-' {^2)^ ' H (Xn) = fiXn) , H' (.T„) = f {Xn) , , H"» " ^ [Xn] = f"" ' ^ (Xn), welk polynomium R{x) hoogstens is van den graad k — 1 voor k^a^-\- a^-}- . . .an. Men verkrijgt op de boven beschreven wijze dit polynomium H (x) onder dezen vorm U{x) = A-]-B(x—x^)-}-C{x-x^f-\-.. . -}-L{x — x^)"^-\-M{x—x^Y^{x—x^)-^.. . . . -\-R{x — X^)"^ (x — XoY^ . . . (x — Xn- l)""- » {x — Xn) "" " ^ waarin de constanten A, B, C, . . ., R onmiddellijk aan het tableau (10) ontleend kunnen worden. 7. Voor het verschil f{x) — H (x) bestaat weder eeneeenvoudigeuit- drukking, en daar hierin eene verdere uitbreiding ligt van de formule (1), zoo moge de hierop betrekking hebbende ontwikkeling nog in 't kort geschetst worden. Het zal , na het voorgaande, overbodig zijn de condities, waaraan men f{x) te onderwerpen heeft, hierbij in extenso te vermelden. In de eerste plaats dan is het noodig de hulpstelling van art. 2 aldus uit te breiden : OVER lagrange's interpolatieformule. 41 Voldoet eene functie G (z) aan de condities G(:r) = 0, G'(.T) = 0, . . ., G"-Hx) = 0, G(y) = 0, G'{y) = 0, . . ., G^^-Uy) = 0, G(2)=0, G'{z) = 0, ..., Gy-H^)=o, a + ^ i-Y ... = n waarvan het aantal bedraagt, dan is G"-MI)^o, waarin i gelegen is tusschen de grootste en de kleinste der ongelijke waarden x, y, z, ... Na hetgeen in art. 2 gezegd is, schijnt het niet noodig, bij het bewijs hiervan lang stil te staan. Men kan eerst het geval, dat het grootste der getallen a, /?, y^ ... twee is, beschouwen, en vervolgens voor dit grootste onder die getallen 3,4,5,... aannemen. 8. Zij nu H (a;) het polynomium van den k— P''=° graad hoogstens, dat aan de condities (12) voldoet, en (13) . . . fix) = H (x) -\-{x — x^r^ (X — X2)"' . ■ .{X — Xn) "" R dan is, x verschillend van x^, x^, . . -^ Xn ondersteld, de waarde van E, hierdoor volkomen bepaald. Beschouwt men nu verder de functie Giz) = — f{z)-{-U iz) 4- (2 — x,)"^ {z — Xo)"^ ...{z — Xnr''B., dan is blijkbaar niet alleen G (x) = 0, maar 00k G(iCi) = 0, a'(x^) = 0, ..., G"^-Ux^) = 0, G(a;2) = 0, G'(a;2) = 0, . ., G''*~Hx.^ = 0, GiXn)=0, G'{Xn) = 0, ..., G""-HXn) = 0, en derhalve G*(|)=:=0, maar, daar H {z) hoogstens van den k — P"^° graad is , heeft men GHz) = — f" {z) + l • 2 . S . . . k .R 42 OVER lagrange's interpolatieformule. en ten slotte (14) ^= 1-72737:7.- ^^(^)' Hierin ligt î tusschen het grootste en het kleinste der getallen In deze formule Hggen zoowel de reeks van Taylor als de formule van Lagrange , door een restterm aangevuld , als bijzondere gevallen opgesloten. In de aangehaalde verhandeling stelt Hermite ook voor dit geval het verschil f{x) — H {x) met behulp van bepaalde integralen voor. 9. Het algemeenste resultaat, dat door de in het voorgaande ont- wikkelde méthode verkregen kan worden, schijnt het volgende te zijn. Laten f{x) en H(rz;) dezelfde beteekenis behouden als in art. 6—8, verder f^{x) eene nieuwe functie van x zijn en lA.^{x) die rationale functie van x van den k — l'^^"* graad hoogstens, die aan de condities (12) vol- doet, wanneer men daarin de functie /(.x) door f^^{x) vervangt. Zij nu (15) /(a;) = H(:r) + R(AN-Hi(:c)). Zal de waarde van R hierdoor op ondubbelzinnige wijze bepaald zijn, dan moet x niet alleen van x^, x^, . . ., Xn verschillen , maar bovendien mag niet f^{x) — B^{x) = 0 worden. Dit nu onderstellende, zij G{z)=r (z) - H (0) - R (A {z) - Hi (0)) , dan is niet alleen ' G (a;) = 0 , maar ook G(a;i)=0, G'(V;=0, ..., G".-i(^i)=0, en dus volgens art. 7 GMI) = o, maar daar R^{z) en H^^^iz) identiek nul zijn, zal G^z)=fHz)-Rr,Hz) OVER LAGRANGE S INTERPOLATIEFORMULE. 43 worden en derhalve heeft men R = ra) of wel (16) nx) = ll(x)-\-if,{x)-ïi,{x))^^^^ Deze algemeene formule gaat onmiddellijk in de formule (U) over, wanneer men aanneemt f^ {x) = x'^. Dan wordt namelijk en zooals dadelijk te zien is /; {x) — Hi {x) = {x — x^Y^{x — x^Y* ...{x — Xnf. NASCHRIFT. Dat er altijd één en niet meer dan één functie H {x) bestaat , die aan de condities (12) voldoet, en hoogstens van den k— I'^'" graad in X is, kan onmiddellijk aldus aangetoond worden Zij B.{x)=^0(^-\-a^x-\- a^x- + • • • + «* - 1^* ~ S dan heeft men ter bepaling van de k onbekenden ao, «i, . . -, a^-i de volgende k linéaire vergelijkingen lai4- 2^102 + + (^ 1.2.a2 + . . . . -\-{k—\){k- '1 ,A;-2 \)X'{ "ttk 2)x'[-^ak. ■ i=r{x,) i=f"{x,) (ai— l)!aa,-i+.. -\- {k— l) {k — 2) . . . (k — a^ -{- l)x'[-'''ak -1 = = /■">-! (^i) ao4-^2«i 4-^2''^«2 + -\-x^~^ak-i = f ixo) 1.^1 + 2X202+ -}-(k—l)X^2~^(^k-l=f'{X2) De te bewijzen stelling bestaat nu daarin , dat aan dit stelsel ver- gelijkingen steeds door één en door niet meer dan één stelsel van waarden voor cr^, a^, . . .,aic-i voldaan kan worden. 44 OVER LAGRANGE S INTERPOLATIEFORMULE, Vooreerst is nu op te merken, dat het systeem (A) nooit meer dan één oplossing kan toelaten , want waren er bijv. twee oplossingen , dan zoude men dus twee verschillende functies G (x) en H (x) hebben, die beide aan de voorwaarden , in (12) uitgedrukt , voldoen en die beide van den k — P'*° graad hoogstens zijn. Dit nu is onmogelijk , want uit die vergelijkingen (12) zou volgen , dat het verschil G{x) — îi {x) algebraïsch deelbaar is door de uitdrukking van den A;'''" graad (x — x^Y' {x — x^)"'- . ..{x — XnY". In de tweede plaats is het évident, dat aan (A) door de waarden 0, a^ = 0, a^ = 0, ak-i = 0 voldaan wordt zoodra de tweede leden der vergelijkingen gelijk nul gesteld worden , en na het bovenstaande is dit ook de eenige oplossing in dit geval Uit de théorie der linéaire vergelijkingen volgt nu onmiddellijk, dat de déterminant van het stelsel vergelijkingen (A) niet gelijk nul is, want uit die théorie is bekend, dat zoodra deze déterminant gelijk nul is, aan de vergelijkingen (A), nadat daarin voor de tweede leden overal de waarde nul genomen is, voldaan kan worden door een stelsel waarden Œq, ai, . . ., aic-i, die niet allen gelijk nul zijn, wat in strijd zoude zijn met het boven bewezene Uit het niet gelijk nul zijn van den déterminant van het stelsel ver- gelijkingen (A), volgt nu onmiddellijk, dat aan dit stelsel , bij wille- keurige waarden der tweede leden, steeds door een enkel stelsel van waarden a^, a-^^, . . ., Ok-i voldaan kan worden. Men kan overigens de waarde van dien déterminant gemakkelijk aangeven. Wanneer men namelijk in onderstaande bekende identiteit 1 a (j?. . a^-'^ 1 h 62. . 6*-i 1 c c2. .. c^-i = {b — a){c — a) (d — a). (c — b){d — b]. .(q — a) .(q—b) 1 P p2. .. p'^-i (d—c). . iq - c) l Q ^2. . ç^-i. iq—p) OVER LAGRANGE'S INTERPOLATIEFORMULE. 45 de a^ eerste der grootheden a, b , c, . . ., p, q tôt de limiet Xi, de a^ volgende tôt de limiet x^ enz. laat convergeeren, de horizontale rijen op passende wijze transformeert , waarbij men te deelen heeft door de factoren die ten slotte gelijk nul worden, en voorts bij den grens- overgang van de formule (7) gebruik maakt , verkrijgt men de navolgende waarde voor den déterminant van het stelsel verge- lijkingen (A) 0 ! 1 ! 2 ! ... (a^ — 1) ! (a:2 — .^i)"'"' {x^ — x^)"^'^ ...{Xn — x^)"^"" 0 ! 1 ! 2 ! ... (a, — 1) ! (% — a;,)"»"' ...{Xn — x^)"^"" 0! 1 !2!...(a„— 1)! (Xn— Xn^^i) "-' "• De geheele bewerking blijkt genoegzaam uit het volgende bij- zondere geval k = b, M = 2 , a^=:3, a., = 2. Hier heeft men 1 a a^ a^ a* 1 6 6^ 63 b^ ê c^ 1 d (f d^ a* 1 a a-' a"" Uq Wi Uc) M3 W4 \ d d^ d^ d* 1^0 Vi V2 t'3 ^4. X (6 — a) (c — a) (c — 6) (e — d) waarin " a — b^b — a' + + ia — b){a — c) ' ib — a){b — c) ' ic — a)ic — b) '"'-d-e'^c-'d' {r = 0, 1, 2, 3, 4) 46 OVER lagrange's interpolatieformule. Derhalve is 1 a a2 a^ a* ^0 ^ ^2 ^8 ^4 «0 Ml «2 w.s u, 1 d d2 d3 d^ î'o Vi ^2 ^3 ^A en voor = id — a)id — b) (d — c) {e — a) {e — b) (e — c) lim a = ][m b = \im c = x^. lira e^limrf = 0^2, volgt nu met behulp van de formule (7) 1 Xi x-^ 0 1 2rci 0 0 2 1 x^ 0 x^ x^ 3 x-^ 4 x-^ 2.3 a;i 3.4 r^i^ i. Cl Xs^ ô Xi) iXc)^ = 2{x. — x,f. IV. (Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet. , i^ sect. , sér. 2.17 1882", 239—254.) (traduction) A propos de la formule d'interpolation de Lagrange. 1. La formule qu'on désigne ordinairement par ce nom fait connaître la fonction entière et rationnelle dex, du degré {n — 1) tout au plus , qui pour n valeurs particulières prend la même valeur qu'une fonction arbitraire /"(x); cette fonction rationelle a la forme suivante p- Sr^-rr«Wf^«/^^*'^' y(^) ^^{x — Xp)(p'{Xp)' où (p{x) = {x — Xj){x — X2)...{x — Xn), et où (p' {x) désigne , comme d'ordinaire , la dérivée de 99 {x). Si la fonction f{x) elle-même est rationnelle et du degré (w— 1) tout au plus, on a identiquement nx)=y[j — ^-^-.A^p)- Mais dans le cas général cette expression doit être augmentée d'un reste, exactement comme la formule de Taylor. Dans le 84'^"'® tome du Journal fur die reine und angewandte Mathe- matik , Hermite (p. 70 et suiv.) a donné la forme analytique complète de ce reste; il lui donne la forme d'une intégrale définie, et cela de 48 A PROPOS DE LA FORMULE D INTERPOLATION DE LAGRANGE. deux manières différentes Ces formules contiennent aussi, comme cas limites, le reste de la série de Taylor. De même que de l'intégrale définie qui représente complètement le reste de la série de Taylor on peut immédiatement déduire la formule du reste de Lagrange ^) , de même aussi l'on peut dans le cas de la formule d'interpolation de Lagrange déduire de l'intégrale multiple, par lequel Hermite représente le reste, une forme analogue de ce reste. Mais aussi bien que dans le cas de la série de Taylor on déduit souvent la formule simplifiée de ce reste sans le secours du calcul intégral , peut-on désirer la même chose pour la forme analogue du reste dans la formule d'interpolation. Nous développerons ici une méthode qui conduit à ce but Je remarque que Hermite n'a pas donné la formule simplifiée pour le reste que nous obtiendrons ici, quoique cette formule puisse aisément être déduite de la sienne. A cet effet il est nécessaire d'étendre à des intégrales multiples une propriété élémentaire des intégrales définies simples, ce qui n'offre aucune difficulté. La formule qu'il s'agit de démontrer peut être écrite comme suit où I a une valeur intermédiaire entre le plus grand et le plus petit des nombres x, x^, . . ., Xn- Il faut supposer que la fonction f{z), aussi bien que/"' (z), f" (z), . . ., /''*-i (0), soit finie et continue pour toutes les valeurs de z situées entre X, x-^^, . . .,Xn et que pour ces mêmes valeurs de ;s la fonction p'-^{z) ait une dérivée f^'''^{z) finie et déterminée La formule (1) prend une forme plus élégante lorsqu'on écarte la fonction /"^^^ {^) ; on se convaint aisément qu'elle prend alors la forme suivante (o\ /i^ 1 ZM 1 Zfe). I I f{^n) _ 1 .,^, ,. ^^ ••• w' {xy w' {x^)'^ xp' {x;}~^ ' - ■ '^ y,' {Xn) 1.2.3...n^ ^^' où y) {z) = {z — x){z — x^) {z — x^} ... (2 — Xn). 1) Théorie des fonctions analytiques. Première édition (1797), p. 49. A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAC RANGE. 49 On reconnaît dans cette équation un cas plus général de la formule élémentaire qui s'en déduit lorsqu'on pose n=l. 2. La démonstration de la formule (1) repose sur le lemme suivant: „Lorsque la fonction G {z) prend la valeur zéro pour les w + 1 valeurs différentes z^=x, z = x^, ..., 2 = .Tn, la n'*^™® dérivée G(")(2) devient nulle pour une valeur 2; = | intermédiaire entre le plus grand et le plus petit des nombres x, x^, . . ., Xn." Il faut supposer que les fonctions G (s), G'fe), . . ., Gi^''-'^){z) soient finies et continues pour toutes les valeurs de z intermédiaires entre X, x^, . . .,Xn, et que, pour les mêmes valeurs de z, (j^'^-^^{z) ait une dérivée Oniz) finie et déterminée. Ce théorème est connu pour n =: 1 ; il suffit de renvoyer à Dini, Fondamenti per la teorica délie funzioni di variabili reali, p. 70. La preuve de ce théorème, aussi bien que de quelques théorèmes qui s'y rattachent telle qu'elle se trouve dans les livres d'étude les plus employés encore aujourd'hui, p. e dans Serret, Cours de calcul différentiel et intégral, contient une lacune qui n'a été comblée que par quelques recherches de Weierstrass ; on peut consulter Dini , p. 43 — 51. Weierstrass lui-même n'a rien publié à ce qu'il paraît de ces recherches sur les bases de la théorie des fonctions. Il faut surtout remarquer que dans le cas le plus simple de tous, celui où w = 1 , la grandeur | est située entre x et x^ et qu'on peut lui donner une valeur qui diffère tant de x que de x^. La preuve du lemme dans le cas généra! se déduit immédiatement de ce même lemme reconnu comme vrai dans le cas le plus simple, celui où w=L En effet, lorsque w = 2, et par conséquent G(:ï) = 0, G(a;i)==0, G(:c2) = 0, on peut supposer ^ < ^"i < ^2 et l'on a alors G'(^i) = 0, x<^,<x^ G'(|2)=:0, X^<l,<X2. 4 50 A PROPOS DE LA FORMULE D INTERPOLATION DE LAGRANGE. et en appliquant encore une fois le théorème pour w=l, G" (I) ^0. ^1 < f < I2 On peut continuer ainsi et l'on voit en même temps que dans le cas général la grandeur | peut être supposée différente et du plus grand et du plus petit des nombres x, x^, . . ., Xn- Les conditions qu'on doit imposer à la fonction G {z) et à ses dérivées , celles d'être continues et dérivables, se déduisent aisément de celles qui se rapportent au cas où n=\. 3. La preuve de la formule (1) peut maintenant être donnée. C'est la suivante. Pour simplifier, je désigne par F (x) le polynôme d'interpolation de Lagrange; donc Parmi les valeurs x^, x^, . . ., Xn il n'y en a pas deux qui sont égales et comme les fonctions ¥ {x) et f{x) prennent les mêmes valeurs pour x^=x^, x=^X2, ..., x^Xn et que nous nous proposons de trouver une formule générale et simple qui exprime la différence f{x) — Y{x), nous pouvons, sans qu'il en resuite aucun inconvénient, supposer que la valeur de x ne coïncide pas avec une des valeurs x^, x^, . • ., Xn- Ceci posé, soit (4) . . . . f{x)^Y{x)-{-[x — x^){x — x^...{x — Xn)^. La valeur de E, est complètement déterminée par cette équation. Figurons-nous pour un instant que les grandeurs x, o^i, . . ., a;„ sont constantes, tandis que z représente une nouvelle variable, et considérons la fonction (5) . . Q{z) = —f{z)-]-Y{z)-ir{z-x;){z — x^)...{z — Xn)^, dans laquelle R a la valeur donnée par (4). indépendante de z. Il est évident alors qu'on n'a pas seulement G(a;) = 0, mais aussi G(:ci) = 0, G(X2) = 0, , G(a;n) = 0, d'où l'on tire à l'aide du lemme énoncé au n^ 2 (6) GW(f) = 0, A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 51 OÙ I a une valeur intermédiaire entre le plus grand et le plus petit des nombres x, x^, . . ., Xn- Mais comme F (z) est en z du degré (w — 1) tout au plus, cette fonction donne zéro lorsqu'on difterentie n fois de suite l'équation (5) On trouve donc G(") (0) = —/(") (s) -f 1 . 2 . 3 . . . w . R. L'équation (0) donne maintenant et en substituant cette valeur dans l'équation (4) on obtient nous avons donc trouvé la démonstration de la formule (1), 4. Lorsque , dans la formule (2) qui maintenant a été démontrée elle-aussi , on laisse tendre vers une même limite X tous les nombres X, x^, . ■ ., Xn, toujours différents entre eux, il s'ensuit que m Tim! ^^^) M ^^^1^ 4- -U ^^^"^ I — ^ fin)(Y\ (7) . . Limj-^^^ + ^^,^-^^ + ...+^,^^^ Outre les hypothèses qui doivent être faites pour que les formules (1) et (2) soient valables , il faut encore que dans cette dernière for- mule f^^^{x) soit continue pour x = X, attendu qu'il est impossible autrement de conclure que /"*") (i) tend vers la limite f"^^ (X) lorsque | tend vers X. Cette formule (7) qui donne donc dans le cas où la fonction firO (x) est continue pour x = X une définition directe et générale de la ^ième dérivée d'une fonction f{x), n'a pas encore, paraît-il, été démontrée aussi généralement que nous l'avons fait ici. Elle se trouve, il est vrai , dans l'excellent ouvrage de Lipschitsch, Differential und Inte- gralrechnung , p. 204, Form. 20, mais d'après la démonstration qu'en donne l'auteur il faut supposer que les grandeurs a;, a;i, ..., ajn ne restent pas seulement inégales entre elles en tendant vers la limite X, mais qu'elles satisfont encore à d'autre conditions qui ici se mon- trent superflues. Consultez l'ouvrage cité p. 203, ligne 6 de-dessous. En outre l'auteur a supposé qu'il existe une dérivée n -\- 1'^""* finie et continue. C'est là encore une condition qui n'est certainement pas 52 A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. exigée par la nature des choses, et après que Weierstrass a fait connaître des fonctions continues qui n'ont pas de dérivées, rien ne serait plus facile que de trouver des fonctions pour lesquelles la for- mule (7) est valable, sans qu'il puisse être question d'une dérivée n -j- V^"^^ de ces fonctions, i) 5. L'analogie entre la formule (1) et le théorème de Taylor devient plus évidente encore lorsqu'on ne donne pas au polynôme F {x) la forme élégante et symétrique que lui donne Lagrange, mais celle qui se trouve chez Newton dans le troisième Livre des Principia à l'occasion de la discussion du problème des comètes. La formule (1) prend alors la forme (8) . . . f{x)=^K^-\- k2{x — x^)-\- k^{x — x^{x — x^-\-... + A„(^ — x^) {x — x^ . . Ax — Xn-i)-\- I (^ ^i) [x X2) . • . (x Xn) f(n)(t\ "^ 1.2.8...» ' ^''^ JU-t mL'il} tA^O «A/- Dans cette équation on a et généralement (9) l ^ (p'p (^1) (p'p {X2) (p'p (Xp)' I (pp (z) = {Z — X^) {Z — X2)...{2 — ^p)- Newton ne donne pas explicitement cette formule générale pour Ap, mais il fait connaître les procédés nécessaires pour calculer succes- sivement A^, Ag, . . . etc. Ce sont les suivants Cl Bj Cg Bg B, = r{x2), B2 = -^ -^, B3 c,=nx,), C2 j)^=nx,), .. _ Di - Cl 1) Voir J. Math., Berlin, 79, p. 29 e.s., et 90, p. 221. A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE, 53 Si l'on fait le tableau suivant de ces grandeurs dans l'ordre où on les trouve ^1 Ag Bi B, A3 Cl Cg B3 Di (10) / B2 A, ce calcul s'accorde entièrement avec celui de l'interpolation ordinaire dans le cas oii x^^, X2, . . ., Xn forment une progression arithmétique, avec cette légère différence que la première, la deuxième, la troi- sième . . série des différences sont ici divisées respectivement par les facteurs 1 . (0:2 — Xi), 1 . 2 . (xg — xj^, 1 . 2 . 3 . (2:2 — Xif . . . etc. On a d'après la formule (2) 1 1 . 2 . 3 . . . (i? — 1) r^'-'^i^p), où Ip a une valeur intermédiaire entre le plus grand et le plus petit des nombres x^, X2, ■ • -, Xp. Si dans la formule (8) on laisse tendre Xi, X2, ■ ■ -, ocn vers une même limite, on obtient donc immédiatement la formule de Taylor avec la formule du reste de Lagrange. 6. La forme newtonienne du polynôme d'interpolation F{x) = A^-\-A2{x — x^)-\-A-^{x — Xi){x — X2)-\-.. + An{x — X^) {X — X2) . . . {X — Xn-l) a encore sur celle de Lagrange l'avantage de faire voir immédiate- ment quelle est la forme que prend F {x) lorsque plusieurs des gran- deurs Xi, X2, • ■ -, Xn tendent vers une même limite ou sont prises égales entre elles. En effet, lorsque x^, X2j . • ., Xp tendent vers la limite X, on a d'après les équations (9) et (7) (!•) ""'^^=1.2.3.'.(^-1)^'^""'^> et comme toutes les grandeurs du tableau (10) sont composées de la même manière que Ap , on peut dans ce cas former immédiatement 54 A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. tout le tableau (10). En effet, on voit aisément qu'il suffit, pour éviter les expressions indéterminées de la forme — , de faire suivre ^ 0 ' l'une par l'autre sans intervalle celles des grandeurs x^, x^, . . ., Xn, qui à la fin seront supposées égales. Pour obtenir le tableau entier, il faut ensuite se servir de la formule (11) et des préceptes de Newton. Lorsque p. e. les grandeurs x^, X2, . . ., Xp deviennent toutes égales à X, il faut supposer connues les quantités Il semble bien que c'est là la meilleure méthode pour former le polynôme H (x) du degré le moins élevé qui satisfait aux conditions suivantes (12) H ix,)=r{x,), u'{x,)=r{x,), , H(".-^) {x,)=r("^-^^x,), H (x,) = f {x^) , H' (x.) = r (^2) , , H^-. - 1) {X,} =/("»- •) {X,} , lH(:rn) = /-(rr„), R' {Xn) = f ' {Xn) , , H^""-!) (:rn) = ^^«'•-^>(rCn), ce polynôme H (a;) est du degré k — 1 tout au plus, où ^ = «1 + «2 + • • • «n- On obtient, en suivant la méthode décrite plus haut, la forme suivante du polynôme H (a;) H {x) = A+B {x—x^) +C {x—x;)'^ + • . . + L {x—x^f^ + M [x—x^f^ {x— x,) +. . . . -\-R{x — .-rj"' (x — Xo)"» . . .{x — rTn-i)"»- 1 {x — Xn)""^'^ où A, B, C, . . ., R sont des constantes qu'on peut déduire immédiate- ment du tableau (10). 7. Il existe encore une expression simple pour la différence fix) — ïi{x), et comme ceci nous conduit à une généralisation delà formule (1) , nous voulons esquisser rapidement le développement de ce calcul. Après ce qui précède il sera inutile de mentionner tout au long les conditions auxquelles f{x) doit satisfaire. Il faut en premier lieu généraliser le lemme du n'^ 2 et cela de la manière suivante : A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 55 Lorsqu'une fonction G (s) satisfait aux conditions G(:c) = 0, G'{x) = 0, ..., G^"-^Hx) = 0, G{y) = 0, G'iy) = 0, . . ., G(^-'Hy) = 0, G{z)=0, G'{z) = 0, ..., G^>-i)(s)=0, dont le nombre est a + ^+ 7 ••• =W, Q(n-l)(|)^0, OÙ i est une grandeur inférieure à la plus grande et supérieure à la plus petite des grandeurs différentes x, y, z, . .. Après ce qui a été dit au n^ 2 , il paraît superflu de s'arrêter long- temps à la démonstration de ce théorème. On peut considérer d'abord le cas où le plus grand des nombres a,/?,^, ... est égal à 2, et prendre ensuite 3,4,5,... pour le plus grand de ces nombres. 8. Soit maintenant H (x) le polynôme du degré k — 1 tout au plus, qui satisfait aux conditions (12) et soit (13) . . . fix) = U(x)-\-{x — x^)"^ {x — x.^"' ...(x — XnY" R. Alors, si l'on suppose la grandeur x différente de x^, x^, ..., Xn la constante R est complètement déterminée par cette équation. Si l'on considère ensuite la fonction G {z) = - A^) -h H(^) + (s — rci,". iz — x^^^ ... (2; — XnY^ R il est évident qu'on n'a pas seulement G(x)^0, mais aussi G(a;i) = 0, G'(xi)=rO, ..., G<"^-^\x^ = Çi, G(rr2) = 0, G'(a;2) = 0, . . ., G('"-^)(^2) = 0» G(rcn) = 0, G'(a:„)=:0, . . ., G^^—i^^n) = 0, et par conséquent G(^)(^) = 0. Mais comme H {z) est du degré k — 1 tout au plus , on a G^{z) = — /-W («) + 1 . 2 . 3 . . . /c . R 56 A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. et enfin (14) Dans ces équations la crrandeur | a une valeur intermédiaire entre celle du plus grand et du plus petit des nombres x, %, . . .^Xn. Cette formule comprend comme cas particuliers la série de Taylor aussi bien que la formule de Lagrange , y compris les termes qui expriment les restes. Dans l'article cité Hermite représente pour ce cas aussi la différence f{x) — H (a;) à l'aide d'intégrales définies. 9. Le résultat le plus général qui peut être obtenu par la méthode que nous avons développée dans ce qui précède , me paraît être le suivant. Supposons que les expressions /"(x) et H {x) conservent la signification qu'elles avaient aux n°s 6 — 8. Soit en outre f^ {x) une nouvelle fonction de X et Hi {x) la fonction rationnelle de x du degré k — 1 tout au plus, qui satisfait aux conditions (12), lorsqu'on y remplace la fonction f{x) par /i {x). Soit maintenant (15) /(rr)==H(a:) + R(A(:^)-H,(:r)). Pour que la valeur de R soit déterminée sans ambiguité par cette équation , il faut non seulement que x diffère à^ x^, x^^ . . ., Xn, mais en outre que f^ (x) — H^ (x) ne s'annule pas. Faisons ces hypothèses et soit G{z) = f [z) - H (^) - R (A [z) - Hi {z^ Alors on a non seulement G (a;) = 0 , mais aussi G{xn) = 0, G'{xn) = 0, .... G("»-^H^«) = 0, et par conséquent , d'après le n^ 7 , G<*) (I) = 0. Mais comme les expressions H'''^(5!)et H/'^'(2;)sont identiquement nulles, on a Q(;c)(2)==/(fc)(2)_R/-^(fc)(2) A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. et par conséquent 57 r'H^) ou bien Cette formule générale se transforme immédiatement dans la for- générale mule (14) lorsqu'on prend rAx) = xK En effet , on a alors /^(^' ix)= i.2.3...k et, comme on peut le voir immédiatement, /i (X) — Hi (X) = {X — X^y^ {X — X2)"*. ..{X — Xn)"". POSTSCRIPTUM. On peut démontrer immédiatement de la façon suivante qu'il existe toujours une et une seule fonction H {x) qui satisfait aux conditions (12) et qui est en x du degré k — 1 tout au plus. Soit H (x) = «0 -\-a^x-\- «2^" -{-... -\-ak-ix''-'^. Pour déterminer les k grandeurs inconnues Qq, a^, . . ., ak-i on a. alors les k équations linéaires suivantes 1 «0 + ^1 «1 + ^1^ «2 + -\-x^-'^ak-i=f {x{) la^-\-2x^a2-\- -]-{k—l)x'^-^ak-i=riXi) 1.2.a2 + . . . . +ik—l){k-2)x1-^ak-i=rix^) (A). ia^-l)\aa,-i-\-...-\-ik-l){k — 2)...{k — a,-{-l)x^,-''^ak-i = = /•(-. -^)(a;i) aQ-\rX2a^-\-X2^ao-^ -{- x!',-'^ah-i=f (x^) I.ai + 2x2a2 + -\-{k — l)x2~'"ak~i=f'{Xo) Le théorème qu'il s'agit de démontrer consiste dans ceci, il est toujours possible de satisfaire à ce système d'équations par un seul système de valeurs a^, a^, . . . , a&_i. 58 A PROPOS DE LA FORMULE D INTERPOLATION DE LAGRANGE. On peut remarquer d'abord que le système (A) n'admet jamais plus d'une seule solution, car s'il pouvait y avoir p. e. deux solutions on aurait deux fonctions différentes G{x) et H (x) satisfaisant l'une et l'autre aux conditions (12) et qui seraient l'une et l'autre du degré k — 1 tout au plus. Or, cela est impossible, car de ces équations (12) il résulterait que la différence G (rc) — H {x) est algébriquement divisible par l'expression du degré k (x — X^Y' {x — X2)"' . ..{x — XnY". Il est évident en second lieu que les valeurs aQ=:0, «1 = 0, a2^=0, . . ., afc-i = 0 satisfont aux équations (A), aussitôt que les seconds membres de ces équations sont égalés à zéro ; et d'après ce qui précède c'est là l'unique solution en ce cas. 