Oeuvres complètes. Publiées par les soins de la Société mathématique d'Amsterdam
QUELQUES THÉORÈMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES. 91 A l'aide des équations (7) et (8) on peut maintenant donner à f{x) la forme suivante: f{x) = P -f M [(1 - X)-'' - Q] - n{u)nt,,x^ + R + S, (9) . . ^ ^1 &= 00 Pour plus de brièveté on a appelé ici {u)p le coefficient de x^ dans le développement de (1 -x)~'*, c. à. d, on a pris ^^^^ - 1.2.3...P Attendu que les grandeurs e^ £2» • • • sont toutes en valeur absolue inférieures à e, la valeur absolue de R est inférieure à BU{1 -X)^{U-\- 1)„. n + ft-1 et de même la valeur absolue de S est inférieure à fc = 00 ±£(l-w) 2^(M}„ + ,_ia;" + *-i. A plus forte raison les expressions R et S sont donc, en valeur absolue, inférieures à A = 00 £M(1 -x) ^{u-\-\)kX^=:EU{l-x)-'' et k = x ±e{l -u) ^{u)kX' = ±e{l-u){i -X)-^ k=zO respectivement. Si l'on pose donc (10) ît-f-v.a. (1 — M)I=^ la valeur absolue de R -}- S sera inférieure à £^(1 -X)-". Par conséquent 92 QUELQUES THÉORÈMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES. OÙ y représente une fraction positive ou négative inférieure à l'unité L'équation (9) donne maintenant , après multiplication par (1 — rc)", (11) . (1 - xrf{x) = M-f|P-MQ-w (w)n£o^"l (1 - xr 4- eyt. La fonction P — MQ — w(w)n£o^" est rationnelle en x et prend néces- sairement une valeur finie pour rc = 1 , de sorte que l'expression lP-MQ-n(w)n£o^"!(l -xY, attendu que u a une valeur positive, tend certainement vers zéro, lorsque x se rapproche indéfiniment de l'unité en augmentant conti- nuellement. On peut donc toujours, quelque petite que soit une grandeur positive donnée ô , déterminer un nombre positif a de telle manière que pour toutes les valeurs de x satisfaisant àl-a^a;<l,Ia valeur de l'expression \V -M.q-n{u)ne^x''\{l-xy* devienne inférieure à (5 en valeur absolue. Or, on déduit aisément de l'équation (11) que l'expression (1 -x^fix), tend réellement vers la limite M , lorsque x se rapproche indéfiniment de l'unité, en d'autres termes qu'on peut toujours, quelque petite que soit une grandeur donnée /S , déterminer a de telle manière que pour toutes les valeurs de la variable satisfaisant à 1 -a-^x< i la différence entre la valeur de (1 — rc)"/(x) et M devient inférieure à /?. En effet, prenez deux nombres positifs ^ et e tels que Déterminez ensuite le nombre n de telle manière que dans l'équa- tion (6) les valeurs de eq, e^, e^, . . . deviennent toutes , en grandeur absolue, inférieures à celle de e. Le nombre n et partant P et Q étant ainsi connus , prenez un nombre a tel que si la différence entre X et l'unité n'est pas supérieure à a, l'expression IP - MQ - W (M)n£o^"l (1 - ^)". devient inférieure à ^ en valeur absolue. D'après l'équation (11) la fonction {l — xYf{x)^ pour ces valeurs-là de x, est alors située entre les limites M -|- <5 -f- i e et U-ô -te, c. à. d. entre M -j- /5 et M - /5. VII. (Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk., 9, 1882, m — 116.) Over de transformatie van de periodieke functie Aq -f- Al cos (p -\- Bi sin ç> -{-... -\- An cos ncp -\-Bn9mn cp. Het groote nut, dat men in veel gevallen kan trekken uit de ontbinding in factoren van eene uitdrukking van bovengenoemden vorm, schijnt mij de volgende eenvoudige ontwikkeling van hetgeen hierop betrekking heeft te wettigen. Voor het geval , dat w = 2 is , en de uitdrukking voor geen waarde van 99 gelijk aan 0 wordt, heeft men deze ontbinding in factoren bij de ontwikkeling der storingsfunctie sedert lang toegepast , en in art. 54 van de Auseinandersetzung einer zweckmâssigen Méthode zur Berechnung der absoluten Stôrungen der kleinen Planeten, erste Abhandlung, zegt Hansen in eene noot: Die allgemeine Théorie der Auflosung des Polynomen X = yQ-\-y^C08X-{-y2C092x-\- YqCOSSx-{- . .. 4" sin a; . {/?o + /^i cos rc -[- /^g cos 2 a; -f- • • • I in Factoren habe ich in meiner Pariser Preisschrift vollstandig ent- wickelt. Ik heb van de hier aangevoerde Mémoire, sur les pertur- bations qu'éprouvent les comètes , geen inzage kunnen nemen , en de vorm waarin Hansen de vraagsteit, zou misschien kunnen doen vermoeden , dat de daar gegeven behandeling eenigszins afwijkt van de volgende. Overigens wil het volgende niets anders zijn dan eene beknopte samenstelling van de formules, die voor de besproken herleiding noodig zijn. 94 DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE. Omirent de reëele coëfficiënten A^, B^, in de uitdrukking Aq + ^i cos (p -\- A2 cos 2 (p -\- . . . -|- An cos w 99 -4" -}- Bj sin 99 + B2 sin 2 99 -f- • • . + Bn sin w 99 zal alleen ondersteld worden , dat A„ en B„ niet beide gelijktijdig nul zijn, wat blijkbaar geen schade aan de algemeenheid doet. Ter bekorting zal bovenstaande uitdrukking door F (93) aangeduid worden; zij verder e'^^ = cos cp -\- i sïn (p = z , dus 6 "" ^ ' = cos 99 — isin(p = z-'^ , dan is 2 F ((^) = 2 Ao + Al iz + s-i) + A, (2^ + z -2) _f- . . . -f A„ (2" -f 2"") — — Bi i (0 — 0- 1) — B2 2 (02 — 2r -2) — . . . — B„ I (2" — 3 -") , of wel 2 0«F(9^) = GU), wanneer gesteld wordt G(z) = iAn-Bni)z'--}-{An-.i-Bn-iiy^^-' + ... + {A,-B,i)z^+'-{-2AoZ^-\- + (Al + Bi ^) s" - 1 + (A, 4- Bo 2) 2"-2 + . . . -f (An + Bn 2). De gebroken functie ^2;-«G(2) neemt dus voor z = e^\ d. w. z. voor waarden van z met den modulus 1, de waarde F (99) aan De geheele functie van den 2n'**" graad G (z) heeft nu blijkbaar deze eigenschap, dat s2nG(l toegevoegd is met G (2), en dit heeft eene bijzondere eigenschap van de wortels der vergelijking (}{z) = 0 ten gevolge. Zij namelijk G (2) = (An - Bn i) {z - p, e5>«) (z - p.2 65^0 ... (0 - po„e^^«''0, dan moet de uitdrukking rechts onveranderd blijven , wanneer men z door — vervangt, vervolgens met s^w vermenigvuldigt en eindelijk z i en —i verandert; dus heeft men G(2;) = (An4-Bnî)(l -pie-3.»s)(l - p2e-~9.i 2) , , , (i - p^^ e-^^"' z). Volgens de eerste ontbinding zijn de gezamenlijke wortels van de DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE. 96 vergelijking Q(z) = 0, elk dezer wortels zooveel maal neergeschreven als door den graad van veelvoudigheid wordt aangewezen , en volgens de tweede ontbinding Pi P2 P2n Daar nu deze beide groepen alleen in volgorde kunnen verschillen, zoo blijkt hieruit, dat wanneer jp^e^i» een r-voudige wortel is, ook — 6«> * een r-voudige wortel is. Pi ^ De gezamenlijke wortels van de vergelijking G(2) = 0 kunnen dus in twee groepen gesplitst worden. Vooreerst de wortels met een modulus verschillend van 1. Deze wortels kunnen voorgesteld worden door r^e"!', r2e"»S . . . , r^e"*', ri ' ra ' ' rk waarin r^ , r.,, . . ., r/, aile kleiner dan 1 zijn. Het geheele aantal dezer wortels is even en gelijk aan 2 k. Ten tweede de wortels met een modulus 1. Deze mogen zijn Hun aantal 2 l is evenzeer even , en men heeft k + l = n. Het is trouwens duidelijk, dat Vj, Vg, . . .,^21 de wortels zijn van F(9.) = 0, en daar F (99), bij vermeerdering van 99 met 2^1, dezelfde waarde aan- neemt, zoo valt hieruit reeds op te maken , dat het aantal dezer wortels even moet zijn. .Hierbij is nog op te merken, dat uit 2z''Fi(p) = G{z) in verband met dz~ '^ * door differentiatie naar z volgt s"-i [2w F («^) — 2 i F' M] = G' {z), « » - 2 [2 n (2 w — 1) F M — 2 (2 w — 1) i F' (</>) + 2 F" {<p)] = G" {z) , 96 DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTiE. waaruit blijkt, dat wanneer voor zekere waarde van z G(0), G'(«), G"(0), ...,G(^-i)(0), aile nul worden , en G(^^(0) niet nul is, voor de bijbehoorende waarde van 9? ook F(9.), F'(9>), F"(<^), ..., FC-DCç.), gelijk nul zijn, en Y^^^{<p) niet nul is; zoodat een r-voudige wortel van G (0) = 0 overeenkomt met een r-voudigen wortel van F (99) = 0. Wat M^, M2» • • -, Wfc, l'i, V2, ' . -,V2i betreft, wegens de periodiciteit der exponentiaalfunctie kan men elk dezer waarden met een willekeurig veelvoud van 2n vermeerderen of verminderen, en ze dus aile bijv. > 0 en < 2 tt onderstellen. Het is voor het volgende overigens geheel onverschillig, hoe de bepaling hierover getroffen wordt, wan- neer slechts aan de eenmaal aangenomen waarden vastgehouden wordt. Na dit ailes is dus G (2) = (A„ - B„ i) X T X U X V, T = (z - r^ e"'») ...(z-Tk e"*0 , U = (.-^eM)...(._i- .«.<). V = (0 - c"' 0 {z -€"<'')... (z - e"*' •) ; en dus voor z = e^^ F ((p) = ^ e-^î'* (An - Bn i) X T X U X V. Door nu de factoren van T, U, V respectievelijk aldus te herleiden eî'*-rit".« = e«'»X(c(^~"'^*" - r,) , eî''- — fc«.» = 6Î"xfl---e-^''-"'^l n \ n r en vervolgens gebruik te maken van de identiteiten komt er DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE 97 F (93) = C [1 — 2ri cos {cp — Ml) + r^^] x . • • X [1 — 2rA cos {(p — m^) + r'i] X X sin ^{(p — Vi) sin \ [cp — v^)... sin \{(p — v-zi), waarin Bepaalt men R en a zoodanig, dat An + Bni^Re"», dus An — Bni = Re-''» is, dan volgt voor het product van aile wortels der vergelijking G(^)=:0 de waarde e^"*, dus of wel 2 a -|- 2 m 71 = Vi + î^2 4- • • • + î'a i + 2 Ml + 2 Wg + • • • +2 W;t , waarin m een geheel getal is , waarvan de waarde door deze verge- lijking volkomen bepaald wordt , wanneer men eenmaal de waarden van Vi,r2, . . . , r2i, Mi, Wg, . . . , Wj^ en a op bepaalde wijze aangenomen heeft. De waarde van C wordt nu (_ l)n 22i-i E, g-^ig" +"»" (ri r2 . . . rit)-S of C = (— 1)»» + »* 22^-1 R (ri rg . . . r^)- 1. Hier volgt ten slotte de samenstelling van aile formules: F (99) = Ao + ^1 cos 9? + ^2 cos 2 9? + • • • + ^n cos w 93 -f- 4" Bi sin 9? -[- B2 sin 2 9? -j- • • . + Bn sin w 99 , + 2 Ao s»» + (Al 4- Bi i) 2« - 1 + (A2 + Bo i) 2»» - 2 -I- . . . + ( An + B„ 0- Wortels van G{z) = 0: rie">», roe^*\ . . . , rke"*"', n ^2 ^* e"'», e"*», . . . , e""*, rj, rg, . . . , r/c kunnen aile kleiner dan 1 genomen worden ; 98 DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE. 2 a + 2 m 71 = Vi + z?2 4- . . . + i;2i 4- 2 (Ml + M2 + • • • 4- Wi) , ¥{(p) = Cx'n[l — 2rpC0s((p — Up)-^rl] X^n 8mX((p — Vp). p=i '^ p=i ^ Om een enkel voorbeeld te geven , zij F (95) = 4 — 3 K2 sin <p — 2 1/2 cos^ (p. Men vindt , dat F (9?) , F' (95) , F" (9?) voor 9? = 45° nul worden , ter- wijl F'" (99) niet nul is, dus heeft men Een vierden wortel van F(9?) = 0 vindt men door benadering; er komt v^ = 106° 35' 45".4. Nadat aldus vier wortels van de zesdemachtsvefgelijking G(z) = 0 gevonden zijn, is het gemakkelijk de beide overige rg"* en — e"» te bepalen. Ik verkrijg ten slotte F (9?) = C [1 — 2 r cos (9? — m) + r^] sin^ | (<p — v-^) sin | (9? — V4) , i^log C = 1.268505 , ioiogr = 9.484070 — 16, M=239°12'7".3, ri = 45°, v^ = 106° 35' 45''.4. VII. (Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk. , 9, 1882, iri — 116) (traduction) De la transformation de la fonction périodique Aq + Al cos 99 + Bi sin 99 -|- • • ■ + An cos w 99 + B„ sin n 99. La grande utilité qu'on peut retirer dans bien des cas de la décom- position en facteurs d'une expression de la forme écrite ci- dessus me semble justifier les simples considérations suivantes sur ce sujet. Dans le cas où n = 2 et où cette expression ne devient nulle pour aucune valeur de 99 on a depuis longtemps appliqué cette décomposition en facteurs ; on s'en est servi dans le développement de la fonction perturbatrice , et dans le n^. 54 de son Auseinandersetzung einer zweck- mâssigen Méthode zur Berechnungder absoluten Stôrungen der kleinen Planeten, erste Abhandlung, Hansen dit dans une note: J'ai déve- loppé complètement dans mon ouvrage couronné à Paris la théorie générale de la décomposition en facteurs du polynôme X = 7o + ^1 cos a; + 72 cos 2 a; -f ^3 008 8 a; + . .. + sin a; . |/5o + /?i cos a; + /^g cos 2a; + . . .(. Je n'ai pas pu me procurer le Mémoire sur les perturbations qu'éprou- vent les comètes , auquel l'auteur fait allusion ; et la forme dans laquelle Hansen pose le problème pourrait nous amener à supposer que sa méthode diffère quelque peu de la nôtre Notre article n'a d'autre but que celui d'indiquer brièvement les formules nécessaires à cette décomposition. La seule hypothèse à faire concernant les coefficients réels A^, B*, dans l'expression Ao -^- Al cos 9? -f A2 cos 299 -f- . . . -f- A„ cos n99 + + Bi sin 9? -[- B2 sin 2 99 -|- . . -}- Bn sin n99 100 DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. est celle ci que An et Bn ne s'annulent pas en même temps, ce qui ne nuit pas à la généralité. Pour simplifier, l'expression ci-dessus sera indiquée par F (ç>). Posons en outre e?" = C03(p -\- i8[n(p = z, donc e~^' = cos9? — iam(p = z~^, nous avons alors 2F{cp) = 2Ao + A,{z-i-z-^) + A,{z^ + z-^)i-... + An{z- + z—)- — Bii{z — z-^) — B2i{z'^ — z-^) — ... — Bni{z'' — z-''), ou bien 2s" F (9?) = G (^), si l'on pose G(0) = (A„-BnO2'" + (A«_i-B„_iO22"-i-f... + (Ai-BiZ>" + i4-2Ao0" + 4-(Ai + BiOs'»-' + (A2 + B2ï)s"-2 + ... + (An4-Bna La fonction fractionnaire ^z-'^Gc{z) prend donc pour z=^e'^\ c.-à-d. pour des valeurs de z dont le module est égal à l'unité, la valeur F (99). La fonction entière G {z) du degré 2w jouit apparemment de la propriété suivante : l'expression est conjuguée avec G(z). Il en résulte une certaine propriété des racines de l'équation G {z) = 0. En effet , posons G(^) = (An — B«z)(0 — ^ieî'*)(^— P2e^'•)•••(^-P2ne*"•0• L'expression qui figure au second membre doit alors rester invariable, lorqu'on remplace z par — , qu'on multiplie ensuite par z'^^ et qu'on change enfin i en — i. Par conséquent G {z) = {An 4- Bni) (1 — Pi e-«'*' z) (1 —po e-^'^z) ...{i—p2n e-'i"'^z). D'après la première décomposition, les racines de l'équation G (z) = 0, sont oii chaque racine doit être écrite un nombre de fois égal au degré de DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. 101 multiplicité correspondant ; et d'après la seconde décomposition , elles sont — e^»*, — c*»*, .... — e«««*. Comme ces deux groupes ne peuvent différer que par l'ordre de leurs termes, il s'ensuit que lorsque p^ 6«'* est r fois racine, il en est de même pour — e*'*. Les racines de l'équation G (0) = 0 peuvent donc être divisées en deux groupes. On a d'abord les racines dont le module diffère de l'unité Ces racines peuvent être représentées par les expressions r^e"'*, r2e"'*, . . . , ne"**, — 6«'', — e"»», . . . , — e"*», où les grandeurs r^, r<i, . . .,rk sont toutes inférieures à l'unité. Le nombre total de ces racines est pair et égal à 2A;. En second lieu nous avons les racines avec un module 1. Sup- posons que ce soient les racines e"»», e"»», . . ., e""». Leur nombre 21 est pair également, et l'on a k-\-l = n. Il est d'ailleurs évident que v-^, v^, • • • , V2i sont les racines de F(9P) = 0 et comme F (9?), lorsque l'angle (p est augmenté de 27i, prend la même valeur, cette remarque suffit pour faire voir que le nombre de ces racines doit être pair. Nous pouvons encore observer à ce sujet que l'équation 2«"F(ç?) = G(^) donne, lorsqu'on la dérive par rapport à .s en tenant compte de la relation d<p 1 dz 0«-i [2 w F (9?) — 2 î F' {(p)] = G' {z), 0"-2 [2 w (2 w — 1) F (<p) — 2 (2 n — 1) î F' (9^) + 2 F" (9^)] = G" {z) , 102 DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. ce qui fait voir que lorsque pour une valeur déterminée de z les fonctions G(^), G'(^), G"f^), ..., QC-^C^) s'annulent toutes, tandis que G^*'^^) ne s'annule pas, les • fonctions F(9.), F'(9P), F"(9.), ..., F('-i)(ç.) s'annulent également pour la valeur correspondante de 9?, tandis que F('')(97) ne s'annule pas: d'où il résulte qu'un nombre qui est r fois racine de G (^) =: 0 correspond à un nombre qui est r fois racine de F((^) = 0. Quant à w^, 2/2, •••, w^, i\, ra, ..., v^u à cause de la périodicité de la fonction exponentielle , on peut augmenter ou diminuer chacune de ces grandeurs d'un multiple quelconque de 2n^ de sorte qu'on peut les supposer toutes p. e. > 0 et < 2n. Il est d'ailleurs absolu- ment indifférent pour la suite de savoir quelle choix de ces gran- deurs on a fait: il suffit qu'on s'en tienne aux valeurs une fois adoptées. Après tout ceci on a donc G (^) = (An — Bn V) X T X U X V , T = (5; — fi e^^'O ... (0 — r^ e"**) , U:= - z — 1 ^1 g M: \ • .(.- 1 gMA V = ^{z- 6^1' ';(0 — e' ^^'j.- .{z- -e« = .T* '): partant , pour z F (<p) = ^ e-"?»' (A„ - Bn î) X T X U X V. En réduisant alors les facteurs de T, de U et de V respectivement de la manière suivante ri V n /' g ? » g t), j __ g i (? + "1)» /g i (?> - fi)i g - i (? - u.) n et en faisant usage ensuite des identités (g(?-".)»_^^)(l_±g-(?-«:)A^_I_fl_2^^cos(<p-Mi) + r?], gi(9'-f,)i_g-4(y-r,)i_2^-gin|(ç,_^^)^ DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. 103 on obtient Fi<p) = C[l — 2r^ eus {(p — u^) + rl]X...X[l — 2rk cos (97 — u^) + ri] X X siii 1(9? — t\) sin l {(p — V2) . . .8m^{(p — V2i); où C =(— 1)" 22'- 1 (An — Bn 0 ei(^' + "^ + ••• + ''" + 2«. + 2m, +... +2M*)i (^^ ^^ , , ^ ^^)- 1. Si l'on détermine R et a de telle manière que donc Ân — Bni = Re-''\ on obtient pour le produit de toutes les racines de l'équation G (2)^0 la valeur e^"» et par conséquent g 2 O t -_ g (», + C, 4- . . . + C,^ + 2 Ui + 2m, + . . . + 2 M;s)t ou bien 2a-{-2mn = v-^-\-V2-\-...-\-V2i-\-2u^-{-2u2-{-...-\-2Uk; équation dans laquelle m représente un nombre entier, dont la va- leur est entièrement déterminée par cette équation, dès qu'on a adopté des valeurs déterminées de v^, v^^ . . .,V2i, de u-^, U2, .. .,Uk et de a. La valeur de C devient maintenant (_l)n22i-iRe-«te(« + "»'').(rir2...rjt)-S ou c = (— l)"» + « 22' - 1 R (ri 7-2 . . . n) - 1. Voici enfin une récapitulation de toutes les formules trouvées: F (9?) = Aq + Al cos 9? + A2 cos 2 99 + • • • + An cos w 9? -f- + Bi sin 97 -(- B2 sin 2 97 + • • • + Bn sin w 9? , + 2Ao^" + (Ai + BiO^«-i + (A2 + B20^"-2 + ...+(An + Bni). Les racines de G (^) ^ 0 sont rie">», r-je".',. .., r^kfc"*»; ±,., i-"- Tk e".', e"»»,. . . , e"«*. Les grandeurs r^, rg, . . . , r* peuvent toutes être prises inférieures à l'unité. 104 DE LA TRANSFORMATION d'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. An + Bnî^Re"*, 2a-^2m7i = v^-\-V2-j-...-}- V2i-\- 2 (Wi + t/2 + . . . + W/t), C = (— l)»» + "2 2«-iR(rir2...rfc)-i, p = k p=2l F{(p) = Cx n [1 — 2rpCos(9? — Wp) + râ X n sinACç? — Vp). p=i p=i Pour donner un seul exemple, soit F {(p) = 4 — SV2 sin cp — 2V2 cos ^ q,. On trouve que F (99), F' (99), F" (95) s'annulent pour 97 = 45°, tandis que F'" (9?) ne s'annule pas. Donc v^ = rg = Vs = 45°. Une quatrième racine de F (99) == 0 , trouvée par une méthode d'approximation, est v^ — 106° 35' 45".4. Après que quatre racines de l'équation du sixième degré G{z) = 0 ont été trouvées de cette manière, il est facile de déterminer les deux autres re"* et — e"*. J'obtiens enfin F (99) = C [1 — 2 r cos (99 — m) + ^'"^J sin^ | (9? — v^) sin -^ (99 — vj , loiog 0=1.268505, ioiogr = 9.484070— 16, w=:289°12'7".8, v^ = 106° 85' 45".4. VIII. (Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk., 9, 1882, 198— 211) Over een algorithmus voor het meetkundig midden. In het 89»*" deel van het Journal fur die reine und angewandte Mathematik p. 343 , heb ik eene rekenwijze aangegeven , waardoor het mogelijk is, wanneer k positieve getallen a^, a.2^,...^ak gegeven zijn , uit deze getallen op rationale wijze A; an dere getallen 6^, 69» 'm^a; af te leiden , zoodanig dat a^ ^2 • • • ^* = ^1 ^2 • • • ^* ^s, en de verschil- len tusschen de getallen h^.h^, . . .,hk onderling zoo klein kunnen zijn, als men verkiest. Ik stel mij voor in het volgende op dit onderwerp terug te ko- men , en de bewijzen mede te deelen van hetgeen in die korte noot is uitgesproken. 1. Zij dan , wanneer a^, a^, • . .^au willekeurige reëele getallen zijn, Ml hun rekenkundig midden, d. w z. hun som gedeeld door hun aantal k; M2 het rekenkundig midden van aile producten van twee verschillende der getallen a^, ^2, . . . , a&, d w. z. de som dezer pro- ducten gedeeld door hun aantal 0 ; evenzoo M3 het reken- kundig midden van aile producten van drie verschillende der ge- tallen «1 , «2, • . . , «jt enz ; eindelijk M;t = a^ a, . . . a^t. Omtrent de getallen a^, Oo^ . . . ,ak wordt verder niets ondersteld, zoodat het 00k gebeuren kan , dat eenige dezer getallen gelijk zijn. Het is nauwelijks noodig op te merken , dat daarom hierboven het woord verschillende niet betrekking heeft op de getallenwaarde van ai , ^2 , . . . , a^t , maar wel op de aan deze getallen toegekende individualiteit. 106 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. Voor de gelijkvormigheid stel ik nog vast, dat Mq=1 zal zijn. De uitdrukking M^-Mp_iMp + (p=l,2,3,...,A;-l) is nu in het algemeen positief, of scherper uitgedrukt, deze uitdruk- king is nooit negatief en alleen dan gelijk nul, wanneer 5f aile ge- tallen a^, ag, ..., Ok aan elkander gelijk zijn, ôf wanneer minstens k — p-j-l dezer getallen gelijk nul zijn, in welk geval blijkbaar Mp en Mp4-i afzonderlijk gelijk nul zijn. Deze eigenschap is in hoofdzaak sedert lang bekend, en voor eenige geschiedkundige opmerkingen hieromtrent kan ik volstaan met te verwijzen naar een opstel van Dr. D. Bierens de Haan, in het 8'^^ deel der Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Aka- demie van Wetenschappen , Afdeeling Natuurkunde , Amsterdam , 1858, p. 248—260. Men zie ook het opstel van Lobatto in het 9'^'' deel dier Verslagen, p. 92—106. Voor het gemak van den lezer , en ook om de grensgevallen , waarin de uitdrukking gelijk nul wordt, volledig te behandelen, laat ik hier echter het bewijs van het boven gezegde volgen. 2. Zij gegeven ( f(^) = {x — tti) ix — a2)...{x — ttk) , ^^^ f{x) = Mox'< — 4-'^iX''-'^+ ^^t"^^^ M^x^-^ — .■. + Mfe, \ 1 1 . ^ waar in het tweede lid het bovenste of onderste teeken te nemen is, al naar dat k even of oneven is. Volgens de onderstelling omtrenta^, «g? • • • > ^a: heeft dan de ver- gelijking f{x)^=0 slechts reëele wortels , en hetzelfde geldt dus van de vergelijkingen, die vorderen, dat de verschillende afgeleide functiën van f{x) de waarde nul aannemen. Daarom heeft ook de vergelijking (2) 0 = MoxP + ^—^^-i^M^x^i-^^^^M2xP-'^—...±^^Mp + Mp + i 1 1 . ^ 1 alleen reëele wortels, want deze vergelijking is niet wezenlijk ver- schillend van dx^^-p--^ OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 107 Ik onderscheid nu deze drie gevallen. 1°. Mp + i is niet gelijk nul. 2°. Mp-j-i=:0, maar Mp is niet gelijk nul. 3°. Mp + i = 0 en Mp = 0. In het eerste geval zijn ook aile wortels van de vergelijking reëel, en derhalve ook die van (4) 0=:Mp + ia:2 — 2Mp.T + Mp_i; want het tweede lid dezer laatste vergelijking onderscheidt zich alleen door een stand vastigen factor van de {p — ])'*^ afgeleide van de functie, die het tweede lid van (3) uitmaakt. Uit de realiteit der wortels van (4) volgt nu M^ — Mp_iMp^i^O; en wel is M^ — Mp_iMp + i alleen dan gelijk nul, wanneer de beide wortels van (4) gelijk zijn. Hiertoe is weder noodzakelijk en vol- doende, dat aile wortels van (3), dus ook aile wortels van (2), aan elkaar gelijk zijn , wat weder medebrengt dat aile wortels van f(x) = 0 gelijk zijn , of rr^ = «g = • • • = «'*:• IsdusMp + i niet gelijk nul, dan is M^ — Mp-iMp + i altijd positief, behalve wanneer a^ ^^g^ . =aA:, in welk geval de uitdrukking gelijk aan nul is. In het tweede geval is blijkbaar M^ — Mp-iMp + i positief. Eindelijk is in het derde geval deze uitdrukking gelijk aan nul, en heeft de vergelijking (2) minstens twee wortels gelijk nul, zoodat de vergelijking f{x)^0 minstens k — p-{-\ wortels gelijk nul heeft; of m. a w. in dit geval zijn minstens k — p-\-l der getallen a^ «g» •••»«* gelijk aan nul. Hiermede is het in art. 1 uitgesprokene volledig bewezen. 3. Van nu af onderstel ik , dat a,, «9» • • • j^* aile positief zijn , en stel /c\ I nr / Mo , Mo , Mifc M/ ^-^-M^' "-^-M,.!' 108 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. zoodat de getrofifen overeenkomst omtrent Mo veroorlooft te schrijven {p=:],2,S,...,k) waaruit volgt ctp — Op + l' Mp — Mp_iMp + i Mp_iM. dus a'p^a'p + i; en, wanneer ook de waarde nul voor a^, a2, . ■ . ^ak uitgesloten wordt, kan alleen dan a[=^afp^-^ worden, wanneer a^=:a2= ■ • • = Ok. Daar ook dit laatste geval geheel zonder belang is, kan het gevoegelijk buiten beschouwing blijven, en is derhalve (6) a'i > «2 > a's > «4 > . . . > oîfc ; terwiji uit (5) onmiddellijk volgt (7) tti «2 «3 . . . «A = al a2 a's . . . ajfc. Nu is blijkbaar , _ «1 + «2 + 0^3 + • • ' + «A O'k aj ttg ag ' ' Œk en, wanneer wij nu onderstellen dat geen der getallen ffi, %» • • • . o'fc. grooter dan % en kleiner dan ak is, zoo volgt «A: > «1 , derhalve aftrekkende ^ l (8) 0 < a'i — 4 < -j— («1 — ttk). Leidt men nu uit ai , a^. ■ ■ , a'k eene nieuwe groep van k getallen aï , a2 , . . . , a'k af op dezelfde wijze als a'i, a2 , . . . , a^ uit a^ , ag , . . . , a^ ; OVER EEN ALGORHHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 109 evenzoo uit ai', a2 , . . • , a'k de getallen ai", aï', . . . , a'k enz ; dan is dus Oi > a\ > a2 > .. .> a'k > Uk, a'i >a'{ > 0^' > ...> a'k > a'k, a'x > ai" > ar > . . . > a'i^' > a'^ , 0<a'i — a'k< j^^ {a^ — ak) , 0 < ai' — a^' < - "■- (ai — aJtX ( ""-) (ûTi — a^t) , 0 < ai" - a'i'< ^ (ai' - a'ji) < (^f (a^ - a*) , »! ag . . . ajt = ai a'2 . . . a^ = a" a2' . . . a* = ai" a2" . . . ajt' = • • . , en voor de n^^ afgeleide groep van getallen af^ , af\..., a^ heeft men ,(n-l) \ ^(n) \ ^(n) \ \ ^(n) -^ ^^("-1) A; — 1\" 0<ai«)-a^-)<(^-^)"(a,-a.), a,a^^...ak = a'('UfK..a^;^\ Daar nu ^A — IX" m bij onbepaald toenemende waarden van n, ten slotte zoo klein wordt als men verkiest, zoo volgt dat de getallen aj^^ af\ ..., a{*> aile voor M = 00 tôt eene gemeenschappelijke limiet convergeeren , die blijkbaar gelijk is aan het meetkundig midden van a^, a2, . . . ■, ak k l/"ai «2 . . . a*. 4. Voordat ik verder ga , zij het geoorloofd eenige getallenvoor beelden te geven. 110 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. Eerste voorbeeld. A; = 3. «1 =5, «2=5, «3 =4, 14 , 65 , 60 «3=^3, „ 7603 "' ~"1638' 35290 ^'-"767"3' 16380 ^^ - ^529 of ai' =4.64163 61416 36..., a^' = 4.64158 88465 08..., a^' = 4.64154 15131 77.... Men ziet, hoe snel de getallen van eene zelfde groep tôt elkaar naderen , immers al — a2 = 0.02380 95 ... , a^ — as = 0.02747 25 ... , al' — a'^ = 0.00004 72951 38 ... , a'^ — afi = 0.00004 73333 31 .... Het gemiddelde der waarden van de tweede afgeleide groep geeft al" = 4.64158 88337 74 .... Later zal blijken, dat het verschil al" — aé" ongeveer 3 eenheden in de lO*** decimaal bedraagt. De limiet is hier I^ÏÔÔ^ 4.64158 88336 12769 . .. Tweede voorbeeld. A; = 4. of «1=3, a2 =2, «3=2, a, =2, 9 20 , 11 a2=^, «3=y, n' 24 _ 17531 ""' - 7920 ' „ 116410 „ 128826 "'- 52593' ""'- 58205 ' 15840 "^ - 7157 ai'= 2.21351 010101..., a^'= 2.21341 24313 1..., as' = 2.21331 50073 0..., al' =2.21321 78287 0.... OVER EEN ALGORITHMUS VOOR IIET MEETKUNDIG MIDDEN. 111 en ai -«^=0.02777 78..., a2 —as=0 02222 22 ... , a's —ai =0.01118 18.. , al' — a^ = 0.00009 76697 0 . . . , al' — a'é = 0.00009 74240 1 . . . , 0^' — ai' = 0.00009 71786 0 . . .. Uit de waarden van al', 02, as, «4 volgt a'r = 2.2 1336 38420 8...; de limiet is hier 1^'24 = 2.21336 38394 007 .... 5. In de beide gegeven voorbeelden worden de verschillen der opvolgende getallen van eene zelfde groep ttl — «2 , O2 — «3 , • • • a'i — «2 , «2 — 03 , . .. niet alleen bij overgang tôt de volgende groepen, hoe langer hoe kleiner, maar de verschillen die tôt eene zelfde^groep behooren, wor- den hierbij onderling hoe langer hoe minder verschillend. Inderdaad kan men het volgende uitspreken. Het quotient van elke twee der k — l verschillen (i>=l,2, 3, ...â:-1) convergeert voor n = oo tôt de limiet 1. Van de verschillende bewijzen , die ik voor deze eigenschap vond , is het volgende verreweg het eenvoudigste. 6. Ik stel a^ = a — iCi , 02 = a — rcg , «3 = 0 — 0:3 , waarin a een willekeurig getal is , en neem verder aan Xi<X2<Xs<...<:Xk, zoodat ook geen twee der getallen a^ Og, . . ., Uk gelijk zijn. Verder zij 112 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. ( f{^)=={x — X^) {X — X2)... {X — Xk) , zoodat de getallen No, Nj, ...,Nfc op dezelfde wijze uit x^, X2,...,Xk ge- vortnd zijn als Mo, M^, . . . , M;t uit «i, «2» • • • , «a:. Het kaii tôt geen onduidelijkheid aanleiding geven, dat f(x) hier en in het vervolg eene andere beteekenis heeft dan in art. 2. Men overtuigt zich nu on- middellijk, dat de getallen Mq, M^, . . . , Mk, op de volgende wijze door middel van de functie f{x) en hare afgeleide functiën uitgedrukt kunnen worden M, =r{a), kMk-i = r{a), Â;(A; — l)...3.2Mi =/"(^-i)(a), ^k{k— 1)... S. 2. IMq =f^^^{a), waaruit dus volgt (p- 1,2, 3,..., A;) waarbij p{a)^=f{a) te nemen is. In plaats van (11) kan men 00k schrijven NoflP— -|- Ni aP-^-\- ^^^~^^ Ng aP-2 _ . ,. ^^^^ • ''^No^-^^^^^^^^h^^^ Ontwikkelt men deze vvaarde van a'p volgens de afdalende machten van a, dan vindt men voor de eerste termen dezer ontwikkeling ,,^, 'M (p-l)(NJ-NoN2) De p reëele ongelijke wortels der vergelijking van den p*^^" graad mogen genoemd worden y-^, y^, . . . , yp volgens hunne grootte gerang- schikt, dus y^<y2<"-<yp- OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 113 Evenzoo mogen z^<^Z2<i ■ - . < Zp-^ de reëele ongelijke wortels van de vergelijking /"*-p+i (a;) = 0 zijn , zoodat z-^^ tusschen y^ en ^g» % tusschen y^ en 2/3 ... , eindelijk Zp-i tusschen yp-i en yp ligt. Hierbij is dus p > 1 te onderstellen. Volgens (11) is dan a' = (g — yi)(a — y2)---(fl^ — yp) ^ (a — z^) {a — Z2)...{a — Zp-i) ' en wanneer men de deeling uitvoert en in gedeeltelijke breuken splitst, volgens (13) (14) «^=«-Ni+'z'^, waarin Q5) ^ ^^ i^k — Vi) {zk — y 2)"' {zk — yp) {Zk — Z^-"{Zk — Zk-\){Zk — ZkJrl)"'{Zk — Zp-i)' In den teller van deze uitdrukking voor A^r zijn de factoren {zk — Vi) {zk — 2/2) • • • (zk — yk) , aile positief; daarentegen de overige factoren, ten getale van p — A:, Zk — yk + i, Zk — yk+2) . . . , Zk — yp, aile negatief. De negatieve factoren in den noemer van A^ zijn Zk-— Zk-\-l, Zk Zfc + 2, '•', Zk Zp-i] hun aantal is p — k — 1. Het aantal negatieve factoren in den teller van Ak is dus één grooter dan het aantal negatieve j^ctoren in den noemer; derhalve zijn -^1 1 -^2 > -"3 I • • • > -^P — 1 > aile negatief, en daar de verschillen a — ^i>a — ^2>--->^ — Zk-i positief zijn , zoo volgt 4>a-N,+ Ai + A2 + --- + Ap-i^ ^^ ^ a-'Zp-i Nu is Al + A2 + . . -|- Ap.-i blijkbaar de coefficient van — in de Qi ontwikkeling van ap, volgens de afdalende machten van a; dus 8 114 OVER EEN ALGORITIIMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. volgens (13) gelijk aan — (p— 1) (N?— NoNg), verder is a — z^ kleiner dan a — x^ = a^, a — Zp-i grooter dan a — Xk = Ok, terwijl a — N^ blijkbaar gelijk aan ai is; zoodat nu volgt (P-1)(N;-NoN,) Up <^ «1 — , (16). «1 ,^ , (P-1)(N;-NoN2) ap> ai ttk Voor p^l heeft men blijkbaar de teekens > en < door het gelijkteeken te vervangen. 7. De afleiding der ongelijkheden (16) steunt wezenlijk op de om- standigheid dat A^, Ag, . . ., Ap_i aile negatief zijn. Men kan dit laatste ook nog aldus aantoonen. Zij g (x) = {x- 2/i) (rc — 2/2) . . . (o; — yp) , dan is blijkbaar , _ pg(a) en 9'{x)_ 1 _^_J__^ _^ 1 g{x) x — y^~x — y2~"'~x — yp' waaruit door differentiatie volgt g{x)g"{x)-g'{x)g'{x)^ 1 1__ _ 1 g{x)g{x) {x — y^f [x — y^f '" {x — ypf en men vindt •hierin x:=Zk stellende, daar g'{zk)=iQ is, g"{zk) ^ _ 1 _ 1 _ ^ „. 9 M {zk — yif {zk — y 2? '" \zk — ypf ' Nu is echter, zooals uit o'p^=-4j4 onmiddellijk volgt, . _ pgjzk) ^'-- g"{zk) dus o 1 1 1 Aifc {zk — yif {zk — y 2? '" {zk — ypf ' zoodat Kk is negatief. 8. Vervangt men in (16) p door p -}" ^ » ^^^ verkrijgt men door verbinding der verschillende ongelijkheden OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 115 »^-«Wi<'"+-P<"'-"*'(N?-NoN,), dus daar p hoogstens gelijk is aan A; — 1 en a^ — a* en Nf — NqNs positief zijn, zoo veel te meer (17) "l "A: ap—a'p + i>^ '^^ ^(N? — N0N2). "1 "A: In de uitdrukking rechts komt nu p niet meer voor. Al de voorgaande ontwikkelingen blijven onveranderd, wanneer men de getallen a^, a^, . . .^ak, door ûi"> , o^"\ . . . 0 J*^ en tegelijker- tijd a(, a^,...,ajj door af* + i>, 4" + i\ . . . , ajj' + i^ vervangt. Daar nu reeds bewezen is, dat af\ af\...,Q^p voor w = oo tôt eene zelfde positieve limiet naderen, zoo kan men blijkbaar n altijd z66 groot nemen, dat positief is, en dan volgt gemakkelijk af)-(;^-l)(af-a(")) <^^>-<^^^> a;') + (fe-l)(af)-4")) «*"^ + (A - 1) «' - a?^) 0? "^ '^ - <+V^ af ^ - (A: - 1) {o!-? - a^) Neemt men n groot genoeg. dan verschillen de beide waarden , waartusschen „(n + 1) fjin + 1) Op — «p + 1 „(n + 1) „(n + 1) Wg "3 + 1 ligt, ZOO vveinig als men verkiest van de eenheid. Hiermede is dus het in art 5 uitgesprokene bewezen. 9. Voor het gemak der schrijfwijze zal ik voor een oogenblik a^") door bpj a^"*"^^ door b^ aanduiden. Dan is dus Oi — bk— r j 7 -y- » 61 ^ 62 ^ • • ^ bk 116 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. Of e uitdrukking rechts is -^[b, + b, V-^ b,b, ' . . 4- 1 — A2. waar p en g de getallen 1, 2, 3, ..., k doorloopen, en j?>ç blijft. Deelt men nu beide îeden door {b^ — bkf en gaat men over tôt de limiet voor n = oo, dan volgt, daar volgens het voorgaande „="L(6i-6,)2 ~U-1; is , en ter bekorting de limiet van b^, &2> • • • » ^a genoemd wordt b , k^ ,. bi — b'k 1 ^. ,2 Nu is 2(^_5)2 = 12^ 22 + 32 + ... + (A;- 1)2 + + 12 + 22 + . .. + (A: — 2)2 + + l2 + ...+(A;-3)2 + + 1S waarvoor men na herleiding verkrijgt ^{p-qf = ^kHk'-\), dus bi-6^ _^/fe + lx 1 „:?«,(6i-6*)2 ~12U-lj^ 6' OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 117 10. Deze formule (19) geeft een duidelijk begrip van de snelheid, waarmede ten slotte de getallen tôt hunne gemeenschappelijke limiet * Va^ a2 ... ttfc convergeeren ; het blijkt dat af + ^^ — aj" ■*" ^^ eene eindige verhouding heeft tôt de tweede macht van a^^^—afK In het eerste voorbeeld van art. 4 was ai' — a'i = 0.00009 4628 . . . , en als benaderde waarde van al" — a's kan nu genomen worden en daar aï' , «2", «s" op zeer weinig na eene rekenkunstige reeks vormen, heeft men aan ai" = 4.64158 88337 74... de correctie — Tô -^^i^^^ = — 0.00000 00001 61 . .. toe te voegen, om de in 12 decimalen nauwkeurige waarde van i^ioo 4.64158 88336 13 . .. te verkrijgen. In het tweede voorbeeld heeft men aan ai" = 2.21336 38420 8 . .. de correctie — â ^"' T/'^'^' = — 0.00000 00026 8 . .. aan te brengen , om te verkrijgen 1^24 = 2.21336 38394 0.... 11. Met een enkel woord moge nog het geval , dat eenige der getallen a^, 02,..., ait gelijk nul zijn, besproken worden. Onderstellen wij «1 = «2 ^ û?3 ^ • • • ^ «A > 0 , h<k, en «/i + 1 = fl/i + 2 = • . . = a^ = 0 , 118 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. dan zijn blijkbaar Mo, Mj , M^, ...,M;j positief, niet gelijk nul, en M/j + i, . . . ,Mjk aile gelijk nul. Derhalve worden a'i, 02, . . . jûffe aile positief en niet gelijk nul, a/t.i = 0; terwijl o'h + 2, ■ • ■ lO'k geen bepaalde beteekenis hebben. Stelt men echter vast, dat in dit geval ^h + u • • -i^^ic aïlen gelijk nul zullen zijn , dan zijn er dus van de getallen «1, 02,.- -^a'k evenveel gelijk nul, als van de oorspronkelijke groep a,, 02,-.,0k Men ziet nu onmiddellijk, dat de verdere beschouwingen van art. 3 met hoogst geringe wijzigingen onveranderd doorgaan, en dat ook nu de getallen a[''\ a'2\ . . ■ , aP tôt eene zelfde limiet , die gelijk aan nul is, convergeeren. Daarentegen is de wijze, waarop deze convergentie hier plaats vindt, geheel anders, en men kan zeggen , dat deze convergentie veel langzamer is. Het blijkt namelijk , dat de verhouding van twee opvolgende getallen Clp , Op , Op , Qp , . . . , Clp ... ip=\,2,S,...,h) bij toenemende n tôt eene eindige, gemakkelijk te bepalen limiet convergeert , die voor de verschillende waarden van p dezelfde is ; terwijl de verhoudingen der getallen van eene zelfde groep «1 . «2 ; • • • jÛf'/i tôt eindige limieten convergeeren, die alleen van k en h afhangen, niet van de getallenwaarden van a^, 02,..., o/^, waarvan men is uit- gegaan. Daar het strenge bewijs van deze eigenschappen meer ruimte schijnt te vorderen , dan in eenige overeenstemming is met hun oogenblikkelijk belang, zoo vergenoeg ik mij met deze aanduidingen. 12. De toepassing op willekeurige complexe waarden levert groote moeielijkheden op. Wel is het gemakkelijk, in dit geval yoorwaarden op testellen, OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 119 die, ZOO zij door a^, a2,....,ak vervuld worden , voldoende zijn om te besluiten, dat de rekenwijze tôt eene bepaalde limiet voert, en dan 1 aan te geven , welke der k waarden van (a^ a^ ... a*)* deze limiet is; maar het schijnt uiterst bezwaarlijk om, zooa^, a2,...,afc wille- keurig gegeven zijn, uit te maken , of er al dan niet eene limiet is, en in het eerste geval deze limiet aan te geven. Alleen het geval k = 2 levert niet het minste bezwaar op, en het zal daarom voldoende zijn , de volgende uitkomsten eenvoudig mede te deelen. Men vindt dan , dat in dit geval er altijd eene limiet gelijk aan ± Va^ a2 is, behalve wanneer de verhouding a^ : a^ reëel negatief is. Stelt men en neemt r^ en r^ positief, a^ en 03 tusschen 0 en 27i (de eerste waarde in-, de tweede buitengesloten) , dan is de limiet gelijk aan wanneer de volstrekte waarde van a^ — a^ kleiner dan n is. Is echter a^ — a^ grooter dan tt, dan is de limiet gelijk aan Neemt men bijv. 1 z dan is de limiet gelijk aan +1 of — 1, al naar dat het reëele deel van z positief of negatief is. Daar Oi, ai, a", al"... hier aile rationale functiën van z zijn , zoo heeft men in b^-\-b2 + h + ..., waarin 6j = tti , 62 == ^i — ^1 » ^3 = ^i' — «1 > &4 = ûi" — ai' , . . . , eene oneindige reeks , waarvan de termen rationale functiën van 2; zijn , 120 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. convergeerend voor aile waarden van z, waarvan het reêele deel niet gelijk nul is, en waarvan de som gelijk aan -f- 1 of gelijk aan — 1 is , al naar dat het reëele deel van z positief of negatief is. Eene dergelijke reeks is door Weierstrass opgesteld in de hoogst belangrijke verhandeling zur Functionenlehre, voorkomende in de Monatsberichte der Kônigl. Preuss Akademie der Wissenschaften , 1880, p. 735. Kort daarna merkte Tannery op , dat men op zeer eenvoudige wijze dergelijke reeksen kan vormen. (Zie Monatsberichte , 1881, p. 228 e V.). Men zal gemakkelijk opmerken , dat de bovenstaande reeks als bij- zonder geval begrepen is onder degene , die Weierstrass t. a. p. , p. 230 aangeeft. (Men verbetere daar de drukfout; in plaats van x' = ' moet gelezen worden x' = r— j— - J. "^~ X JL —j~ X, Eene vertaling van het eerste opstel van Weierstrass en de latere mededeeling naar aanleiding van Tannery's opmerking, is te vinden in het Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, deuxième série, tome V, Avril 1881. VIII. 