Natuurkundig tijdschrift voor Nederlandsch?Indie / uitgegeven door de Koninklijke Natuurkundige Vereeniging in Nederl.?Indie.
Beschouwen we nu echter in plaats van de fout S— # de | | | : za? fout a =S? #2, dat is de fout in de bepaling Saa Hiervoor hebben we voor n even: (S? —e3) ẹ (S) dS= 1 “+ ` 8 t ë di | Ê ri P Są, isa EA zd: Kee 7 Ae a) ( > AJ hni 2 2 174 n—1 —f? p Liga —f# 2 EN 2hżn a ‘ De gemiddelde van een oneindig aantal fouten A = Pf is dus gelijk : ¿3 n —P = 0 dn ESA 2 Voor een oneindig aantal fouten A is dus de som der ps tieve fouten gelijk aan die der negatieve; niettegenstaande de verdeeling der positieve fouten geheel anders is dan die der negatieve , zooals we straks zagen. Laat ons nu met betrekking tot de fout A ppb zoogenaamde gemiddelde fout ma zoeken, dat is de © middelde van een oneindig aantal fouten, wanneer alle ab positief in aanmerking genomen worden. Voor de positieve fouten hebben we voor S de grenzen © en p, en voor! # CTT i , en hu vn = “> te nemen. Daar nu volgens t voorgaande de som der positieve gelijk aan die der negatieve is, zoo hebber we voor de gemiddelde fout m a> de uitdrukking: Door deze formule kunnen we dus de gemiddelde fout A | voor verschillende waarden van n bepalen. Laat ons eg de middelbare fout M, in de gl | S zoeken. Deze is S i | co gó! 2 Ma | (SL HS) ds. Substitueert men weder h Sven = t zoo verkrijgt men: | i 4 : 1 4 175 ka © puts PS an ENEN N,=C fe PRA Je dE, (14) Neemt men en aanmerking dat: Gel e AM | egen ze Ak di Ga apt 00 Wo | pa tn | — — „| Pte dt D o Zoo vindt men, na substitutie van =" 2 n+2 = SÉ M, ZĘ E Leier, —2+1 ) | ete dl. Ka Nu stelt echter el pg dt, volgens het voorgaande de jo waarschijnlijkheid voor, dat de een of andere fout 4 gemaakt wordt, welke waarschijnlijkheid, zooals we zagen gelijk de eenheid is. We vinden dus: 4 n+2 _ 2 nah ae n Dit is dezelfde waarde voor MA , die Gauss vindt volgens de methode, die wij in 't begin van dit opstel hebben aan- gegeven. () Laat ons nu bepalen de verhouding tusschen de gemiddelde fout m, en de middelbare font Ma. Deze is: beggen E €) Zie Benrnaw blz. 20 en Hemert biz. 24 en 25. Ra ES 3 = à TT si gy w je AT Voor een groote waarde van n verschilt deze verhouding, 3 3 volgens de formule van STmLiNc, zeer weinig van vn | = 0,79788. Dit laatste getal stelt juist de verhouding voor, die er tusschen de middelbare fout bestaat ten opzichte van är die de exponentieele wet volgen; voor kleinere waarden Tal 2 A | n zal deze verhouding meer en meer van y — afwijken. "= T n — 10, 20, 50.... is deze verhouding achtereenvolgens 0,78477, 0,79135, 0,79544 ,. Zooals we gezien hebben wordt de waarschijnlijkheid Y een waarde AN = y A aangegeven door de uitdrukking: INR EDE, am nie A (n) (5-1)! —1 en bereikt deze waarschijnlijkheid voor S= # y — az ximum, zoodat de meest waarschijnlijke ma van $ golik UE D y N vall AU — is. De meest waarschijnlijke waarde van ` dus niet zamen met S=.. Toch bepalen we in de praktijk D 5 = ] de middelbare fout » door middel van S = v +. «a door middel van S _” == Dit komt dar YE E esch daan, zooals we straks zien zullen, dat wanneer een engt reeks fouten gegeven is, en we beschouwen de waarschijnlijk heid a posteriori voor eene bepaalde waarde van #» de BE, ada: R RA GE EN 177 waarschijnlijke waarde van u toch gelijk S — py —— ei is. o we echter „ door middel van S = Su —— dan is n—1 de fout in deze bepaling A’ = S'—. Laat ons nagaan = o adm EE der fout A= S — u gemaakt. Door in form (17) te sub- bij de bepaling S' = BC stitueeren S = S VAL verkrijgt men voor de waarschijn- lijkheidsfunctie hr al uug hè (nl) S2 (20 di tech e St SE BE E en hierin Es Gh Nr n—1 substitueerende wordt 3 n—1 —f Ur 2277 G-A De verdeeling der fouten a’ zal dus eenigszins anders zijn dan die der fouten A. Laat ons ook de verschillende groothe- den voor deze fouten bepalen. Voor een positieve fout A’ zijn n—i Me des > (S)dS' = de grenzen voor t + © en hal n=1 = waarschijnlijkheid voor een willekeurige positieve fout ^” is dus, zie form (91),: S > I I sh 1 a Ca, EN We kunnen dus ook weder hier, evenals voor de fout 2, de Waarschijnlijkheid voor een willekeurige positieve fout en die voor een willekeurige negatieve fout voor verschillende waarden Van « bepalen. Men heeft dan voor deze fout 4” de volgende getallenwaarden: ran ij ma 178 t voor n — 10 W de Z , 0,6321 en dus wè, ¿50,460 (22) Aat nn 20 » e 0,5217 Ss, » = 0,4785 4 DU » =0,5135 » » » za 0,4865 Het blijkt dus, dat de waarschijnlijkheid W 223 om een willekeurige positieve fout te maken steeds grooter is, dan die voor een willekeurige negatieve fout; juist het omgekeerde als bij de fout A, waar de eerste waarschijnlijkheid steeds kleiner was dan de tweede (zie tabel 11). Door vergelijking der twee tabellen (11) en (22) blijkt dat de waarschijnlijkheden voor een willekeurige positieve en willekeurige negatieve fout, voor de fout A” veel spoediger tot 4, naderen, dan voor de fout 2, wanneer n grooter wordt. De gemiddelde der fout A’ — S’2—? voor een oneindig aantal fouten, de teekens in aanmerking genomen, is: „JĄ C g A e di Sau? DAS zem n+1 —y? pte e (SA man) edie 0 o 0 t ES. oo 00 Le =c] 1 De | à n í eer"? = EEE n— eem? h? (n—1) 2 ` 24% (n—1) | , je a} å n—1 Le u? = n—1 —P p? ELT e Web; e d'i #02 A n—1 =" 0 De gemiddelde van een oneindig aantal fouten A” is dus 2 ; e. met 0, zooals voor de fout A, maar gelijk + een | Denn der positieve fouten A’ is dus grooter dan die der negatieve E è Bepalen we nu de zoogenaamde gemiddelde fout m.» 0 gemiddelde van een oneindig aantal fouten /\’, wanneer Ok fout als positief in aanmerking genomen wordt. Deze P En klaarblijkelijk volgens het voorgaande : —_ (290 n Y | mol, Bt 3 1 DAME I | | Ih? (n-—1) 3 dia Kë h2 n—1) 2 <A Y 179 3 o _ 0 EE + Se C pte d+l ve dë n— n—1 n—i i "E =P | moż Nu is volgens het voorgaande À rte dt =w, n—i Lk Les, śr No së b en me ds Wir. °, zoodat we verkrijgen: n— e Pzd] n n—1 deg Eé ` A, a= mon E u pui y w (25) n—1 (2 —1)! n— 1 A7 ach BN AHH A zg De laatste factor W ua NY Gr volgens tabel DZ 0 Pr (22) voor n— 10, 20, Er 0,0643, 0,0434, 0,0270. De middelbare fout ze „in de bepaling S wordt gevonden, evenals volgens form (14): e go My di (St) SAS = (+5 Mën + pb pa er e KC e ele: | ma Er t zen æ —P 2n+ 1 =( n—1 ee uż (124 NOUS zj wan daar A Ces — 1 is, als zijnde de waarschijnlijkheid om ten willekeurige fout A” te maken. We kunnen nu ten slotte een vergelijking maken tusschen de ga e der middelbare fout z, door middel van 2 S= c ç yz — SÉ door middel van S = y Ges? Voor de eerste R E ga, heeft de negatieve fout 3 = # E e — | d 180 grootste waarschijnlijkheid; zoodat om deze fout het ber 2 aantal fouten is geconcentreerd. Voor de tweede bepaling S heeft de fout A4/=0 de grootste waarschijnlijkheid, ma F hiervoor bij de waarde o, de meeste fouten zijn gelegen. Ber graphische voorstelling van de waarschijnlijkheidsfunetie M de fout A’, verkrijgt men uit de waarschijnlijkheidskromme I von A, (Fig. 1), door elke abscis dezer kromme, in rede van! ES .. EI > r een tot v— te vergrooten, daar de waarschijnlijkheid voo n > D waarde Y — Sj * dezelfde is als die voor S. We verkrijg n—=ł dan de waarschijolijkheidskromme II voor de fout gas oorsprong der fouten. Bij kromme I wijken de waarschijnlijk | heden voor een even groote positieve als negatieve fout zZ van elkaar af dan bij kromme II. Zooals uit de form. (9) SM tabel (11) volgt is voor de fout A, de waarsehijnlijkheid VE | een willekeurige negatieve fout, grooter dan die, a een of andere positieve: terwijl voor de fout ô, = wil ech rige negatieve fout een kleinere waarschijnlijkheid ge | een willekeurige positieve. In beide gevallen naien twee ` waarschijnlijkheden tot 1, wanneer n toeneemt , o dit geschiedt voor de fout A’ veel spoediger dan voor p he De kromme II voor A’ is nagenoeg symetrisch ten ea ; van de ordinaat oe gaande door den oorsprong we wë terwijl dit voor kromme I niet zoo zeer het geval K- ordt naderen echter tot deze symetrie naarmate n grooter ME | Beschouwen we voor de twee gevallen de ce i dat een fout. gemaakt wordt, die gelegen is e Gef | gelijke grenzen — O'A en + UR Deze waarschijnlijkheid P> voor de font A voorgesteld door inhoud ABGH en ZZ : inhoud ABGH’. Daar de laatste inhoud grooter is dan gr, blijkt dat bedoelde waarschijnlijkheid voor de bepaling SES is dan voor de bepaling S. We kunnen dus hieruit afleiden, voor ’t geval n niet zeer stoot is: Ten eerste, dat de middelbare fouten voor de twee bepalingen S en S een slechte maatstaf van nauwkeurigheid tn, want de nauwkeurigste bepaling geeft de grootste middel- bare fout. En daar de waarschijnlijkheidsfunetie voor de fouten A=Sm — Kn, voor de waarden m=1. 5, 4 enz. Wel niet minder zal afwijken van die voor de toevallige fouten ią als dit het geval is, zooals we gezien hebben, voor aarde m=2, zoo zal het zeer gewaagd zijn de nauw- Keurigheiq van de bepalingen $„ naar de grootte der relatieve Middelbare fouten te beoordeelen, tenzij n zeer groot is, Ten bw 7 U eede beschouwende de fouten A = Sa— sten à = Sg 182 zoodanig, dat we S en S'a telkens uit andere reeksen vant ` fouten bepalen, zoo zullen bij de bepaling S'a = sv’ Klik | fouten A veelvuldiger voorkomen, dan bij de bepaling A zoodat de eerste bepaling als de nauwkeurigste moet genonel worden. | Beschouwen we nu de fout A= Sm — Km uit een anier oogpunt. S, wordt als een constante beschouwd, bepaald dat de gegevens reeks van » fouten, terwijl de waarschijnlijkheil | à postériori voor K,, afgeleid wordt uit deze gegevene reeks. De waarschijnlijkheid voor het samentreffen der » wi a Pur...) hns? e va? he é Urn ar O 2,2 e ż Ih + CH E m „b Nu, IS x. =?! z" e dz = An o : LT o m waarin Am een onbenoemd getal is. Substitueeren we fit de voorgaande vergelijking zoo wordt deze: | A Pe n Séien A Są? le) SEA Volgens het theorema van Baues is dus de waarschijali* heid voor een bepaalde waarde van TK, gelijk: m 8 A pa 1 Sa” Z v Gi e Ca WEE eh oa 4 Am (PK) Stellen we in den noemer ¿= a Sy UN 200 wordt de” A, 1 R n= BE —À 1771 + Au en dus em (Sar zaj, re de (Sa ny | E 185 À 2 Wa TA um E ot zijnde de waarschijnlijkheid a posteriori dat y K, een bepaalde s y2 waarde heeft. Hierin is dan S, = — een bepaalde waarde, n volgende uit de gegeven reeks fouten mu ©»....v,. Zet men K,, als abscissen en W, als ordinaten op een rechthoekig coordinaten stelsel af, dan verkrijgt men een kromme lijn waarvan het algemeen beloop overeenkomt met de krommen I en IL in Fig. 1). Zoeken we de waarde van FK, die W tot een Maximum maakt zoo verkrijgen we log Wa = o stellende: d K a An Sa Am Mikis PKE. Pk of Kn — An aN (27) Nu is, zooals uit vergelijking (25) blijkt, As juist "ee, | gelijk Ke =h v Ka en An =h T Kn zoodat (27) geschreven kan worden in den vorm: h km Kr ia o "eh 28 | Y DK Sa (28) Hieruit blijkt dus, dat de meest waarschijnlijke waarde voor eene willekeurige gemiddelde Y X, , die waarde is, welke volgens STWA > 5 Fei Vergelijking (28) bepaald wordt door middel van S= Y os We | verkrijgen dus een minder waarschijnlijke waarde Voor PK, indien we deze grootheid bepalen door middel van DECO AL y? K k=p <, De meest waarschijnlijke waarde van de mid- $ bare fout der waarneming # =% Ka is dus volgens (28) be Te voren beschouwden we ook de bepaling s fer 184 v=1 Ka. Van deze twee bepalingen kunnen we het volgenk z A .. .. zeggen: == geeft de meest waarschijnlijke waarde wr n ; Wel de middelbare fout » der waarneming , wanneer we beschou | de waarschijnlijkheid a posteriori voor een bepaalde waark n ar, > hts eene le van u. S av =Y == geeft voor v slec n—-1 H naderde waarde. Beschouwen we echter in A = Sa —# Zi eene veranderlijke door S' uit een groot aantal soortgelijk doch telkens andere reeksen van fouten zu... -Xn te ig en de daaruit voortvloeiende waarden voor A” te tema m zullen we vinden, dat bij dit foutensysteem A’, kleine e veelvuldiger en groote fouten minder veelvuldig We dan bij het op soortgelijke wijze verkregen foutensys ta g? uw D % É en na A =Są— u. Als zoodanig geeft dus S? = vV See keuriger waarde voor u. die de Vergelijken we de twee uitdrukkingen (7) en (26), Ge waarschijnlijkheden a priori en a posteriori voorstellen | de fout A=S,— Ka, zoo zien we, dat deze twee deieren hoewel denzelfden vorm hebbende, toch niet dezelfde Y d schijnlijkheid voor een zelfde fout A geven. Dit ae e de zeer toevallig geweest zijn, daar het twee verschillende 8 schijnlijkheden voor eene zelfde fout A zijn. Toch if gevallen waarbij deze twee waarschijnlijkheden Wéieen? zelfde zijn voor elke fout 4. We hebben hier GEN oog de overgebleven fout, in het resultaat bij dire‘ indirecte waarnemingen. de WÉI | We kunnen in ’t algemeen aantoonen dat, 200 4 | h hr? Ei er, T de ZE — Ti... a de exponentieele wel volgen, di geval is voor de fout >. ? „(3V X=a Tan ET Farin geleg! De waarschijnlijkheid voor het samentreffen van fouten E "` tusschen «yen x, + dx, za en za + dx, enz. is: 185 n 2 2 = Fe (HD qee. usa) dr dzą ... dr, m en dx, elimineerende tusschen deze vergelijking en ver- gelijking (50) en vervolgens integreerende, vindt men voor de waarschijnlijkheid dat de fout x gelegen is tusschen x en æ + dr, de uitdrukking: SE "E e E DË Es Hp W ..... E A 1 m d. O R Mi vr“ æ j— œ De grenzen van integratie zijn hier + ©, omdat elke waarde van za... Stellen we gemakshalve: — a ta —.....— an n = X; — da Ta Aa — da Ta — 05 T3 = X, — da wa — 45 25 —04 X, ONZ. 200 kunnen we voor den exponent van e in de vorige uit- drukking W schrijven: Ay — — (325 E we ech nr ac \/aÿ+ a | 43.8 A | | AN] EI a ai) | a” a Ya? + as D uitdrukking Aa 15 + y +....+ w? op dezelfde wijze Va, E de? : herleidende , en verder zoo voortgaande vindt men ten slotte vor den Exponent van e de uitdrukking : | 2+,..+ dp? ` 2 =: DIE \/ = ` — 6 |+ ¡dass + esse + a,? a+... +a_, gi? 24 ge idé 2 8 (e year wadi a 2 | Marin C, eene uitdrukking voorstelt, die alleen afhankelijk S van z, Toi... 2 De veelvoudige integraal W is dus gelijk 186 aan het product van n—1 integralen van den vorm (behouden de uitdrukking waarin de constante X voorkomt): ” A Tag" 1 ha ed J H d e de, == : Ser | Zoodat de uitdrukking W na herleiding gelijk wordt an: 2 ga ; h 1 en dX= H e HA dE WRC Wi Via ` Ra He j S zijnde de waarschijnlijkheid dat de fout X gelegen is tusschel Xen X + d X. ï Nemen we nu 't geval dat eene grootheid p n malen waargenomen als p; p,. ..p, met de gewichten gi ga." De meest waarschijnlijke arde van P. is dan. zooals bekent | is, het rekenkundig midden: D — HP + ga pak: - -H In Pr S ZIP ale E T Y +.. SCH? zg terwijl de gebleven fout X — PP gelijk is aan X Add. nf _ EEG Gio, E Ja zg ab Beschouwen we nu de ls fouten Xy V Y- ++ Ge zijnde van hetzelfde gewicht, zoo verkrijgen we ARE. vergelijk je der twee betrekkingen (30) en (55) volgens vergelijking OUT? de waarschijnlijkheid der overgebleven fout X in het res? kundig midden P’, de uitdrukking: hvzg, SIE H -My a wm me Ado errant: De waarschijnlijkheid a priori voor de overgeblev b het ern midden wordt dus door de exponentieele uitgedr ać we nu echter de waarschijnlijkheid a poster dat bij een gegeven aantal van n waarnemingen p1: e grootheid P gelijk P'—X is. Deze e chijnlpkbai r volgens het theorema van Bares voorgesteld door: E | en fout i 187 hr ange... Daar echter volgens vergelijking (52) > g(p—P") = 0 is 200 wordt de waarschijnlijkheid dat de grootheid P gelijk P —X is: C NY gu ga. +. qu ye KI Sé (Ra AY e Ce(X) NE 7 (À) + 00 Volgens het theorema van Bayes is a = | ọ(X)d X — Cp = — É e ne HE zoodat de waarschijn- lijkheid a Le dat P gelijk P—X is of dat de over- gebleven fout in het. arithmetisch midden P’ gelijk X is, voor- gesteld wordt door de uitdrukking (volgens form. 54) door: (sn nen je € ab RR De waarschijnlijkheden a priori en a posteriori voor de over- gebleven fout X in het rekenkundig midden P’ worden dus heide volgens de form. (51) en (55) door de bekende exponen- lieele functie uitgedrukt. Ditzelfde is ook het geval voor de overgebleven fout in het resultaat van indirecte waarnemingen. Een andere maatstaf voor de nauwkeurigheid eener waar- nemingsreeks, die ook Gauss volgens genoemde werken he- schouwt is de waarschijnlijke fout r. Dit is eene zoodanige fout, dat het even waarschijnlijk is eene kleinere als eene grootere M dan > te maken. 15% (x) weder de waarschijnlijkheid voor de waarnemingsfout x, zoo voldoet de waarschijnlijke but r aan de betrekking : +r 1 | 9 (x) dr = z — Y 188 Deze waarschijnlijke fout r kan bepaald worden uit een reeks fouten xj X2. . . . 12,44 door deze volgens de absolute grootte te rangschikken. De middelste fout m dezer reeks geeft du eene benaderde waarde voor r, en wel des te nauwkeurig naarmate het aantal fouten 2n+1, waaruit r bepaald wol) grooter is. Voor de volledigheid willen we ook voor dezen maatstaf van de nauwkeurigheid eener waarnemingsreeks de waarschijnlijk. heidsfunctie opgeven, waaraan de fout A = m—r in de le paling van r door middel van m voldoet. 1 De waarschijnlijkbeden, dat men n fouten kleiner dan um fout gelijk m en n fouten grooter dan m maakt zijn achtere ` volgens: (+ m n +m y ) ede Paz) || o (x) de — 29 (M) | Zoodat de waarschijnlijkheid. dat dit gelijktijdig er | of met andere woorden de waarschijnlijkheid , dat voor Sr fouten, de fout m in °t midden ligt (daarbij in acht SH i LS ac 1 d dat dit op Tes wijzen kan geschieden) ve wordt door (*): O IO e Wes 3 ca | (2) de U X X 9 (m)... | | e: D dx 2pm — HI +m wem Daar F -| ? (1) de een functie is van m =fr + A, k | sią deze dus volgens de opklimmende machten van e S wikkelen. Hiervoor heeft men dan: i | F (voor A | dt ag ?(2)dz — 4, CE (voor ao =2 ker SET" m ver Zoodat men na ontwikkeling voor W verkrijgt: mel | eh () Berliner Jahrbücher für Astronomie 1834. 189 + M waarloozing van 2 (mj tegen 1— À» (x) de: -m Wear de Air LED enz) (d- 2 A pr) Di re AN pór Aerer uh ug, er (57) er ) oi ) als zijnde de waarschijnlijkheid voor de fout „ =m — r. — h2 y2 Nemen we nu weder voor ọ (x) den vorm e HX aan zoo wordt Mg Sé si) mt: tet. nid yr r yr de (r) żę, 2 P Se e 2 5 nA dr à VT rv indien we À r = p = 0,47693 stellen, voldoende aan de be- trekking : EE E -P Na substitutie dezer waarden in form (37, wordt dus de waarschijnlijkheid voor de fout A=m—r voorgesteld door: W Gri)! 1 116 ED A? dei + em.) {x 1 R. dt = à. (nl gant "m xp (r-+ A) = 2 (m1)! 1 1—16 A € aro 2 ty Ę Te: (n! nt A mer 13 rr + p MN HAY (38) 2 me) SME WAS WNE LK LT Waarbij we de RS CH zoover kunnen voort- zeiten als dit noodig is. Is n echter zeer groot zoo kunnen we, voor kleine waarden van 4, ons ook van eene meer tenvoudige uitdrukking voor W bedienen. Volgens de formule van Stiarıng nadert de eerste gestallenvorm: (2n--1)! 1 tot. 2 2n+1 of ook tot 4 > a (n $ Dan yen 190 Voor 1-16 E ZER EE A enz.) j kunnen we bele TYT ) 2,2 Pe 40 ef ) A? e nr Verwaarloozen we daarenboven nog A tegen r 200 wordt m substitutie: derd schrijven : 2 a p H i $e pilka K (air e ya T , BE, W = e Fa Voor de waarschijnlijkheid van een fout 4. We g dus, indien » zeer groot is, voor kleine waarden van BI i de waarschijnlijkheidsfunetie dezer fout de exponentiele Y voor de toevallige fouten nemen. ; : Gauss geeft voor de waarschijnlijke foutr À de uitdruk 1 2o ‚ af te leiden (> beven op, zonder deze formule echter al tel n » . n zal dus (21) Is n groot dan zijn de grenzen der fout A klein € geld wo!" tusschen deze kleine grenzen voor a, als geldig mogen ges o DECH Mir | aançevél den, terwijl (27) dan tevens impliciet die grenzen zal aang i grande dat wil zeggen dat we in (55) A tusschen + œ mogen ve | ` Jan doof lijk stellen. Voor de waarschijnlijke fout verkrijgen we da al FE, ¿Pa? „a E te stellen 1 Le oe Ę P dt re. RE ARA TE w H ść 4 À t AŚ "e r T Dat is dezelfde uitdrukking die Gauss opgeeft. Een ER neti í wat P ER (XX) .X,) een grootheid zijn die a pr " van de grootheden X,....X,, waarvan de waarschijn” | waarden A.. A KÉ r m -An, op de een of andere wijze doo und er C) Zie Gauss-Benrnaxv blz. 152 en Zeitschrift für Astronomie wandte Wissenschaften, deel I blz. 185. ER TEEN 191 van eene reeks waarnemingen py Pa... Pm kunnen gevonden worden. Deze grootheden A zullen dan functies zijn der oorspronkelijke waarnemingen, zoodat men in 't algemeen heeft A=0+![pipi....Pm]. Veronderstellen we nu dat, door in deze laatste de pi pa... D te vervangen door hunne werkelijke waarden Py P3....P,, de grootheid A daardoor overgaat in zijne werkelijke waarde X zoodat men heeft Y => [Pi P2...P,„]. De fout, die men maakt bij de bepaling der functie F, door in plaats van X daarin de grootheden A te substitueeren is AF=F[A As UA] R (Xi Xa. Xn) = dF dF dF d F "rent X, + KACA e + ONE dX, A M dX, A Ks „un. dX, Kéi 12 enz dX waarin A X = > Ap, +). A p, une A Tr Pm 15: Maar men heeft ook: | Pa ak 4 Ren LAN À = (m P3. . -.Pm)— 9 (Ps Pa. Pm) St Wb d Ma A + den A Pm + R Verwaarloozen we de hoogere machten van ô p voorkomende : m R zoo heeft men dus: dF dE | h ES qa to > As bh zy: (An —Vu)---(40) ad IA Ia ax, Door beide leden in ’t vierkant te verheffen en daarna van elken term de gemiddelde te nemen verkrijgt men voor de gemiddelde van [A ER of voor de middelbare fout Mz in de bepaling van de functie P., de uitdrukking: May E e? A äi (41) Hierbij stelt My x de gemiddelde waarde voor van het iR ; ) foutenprodukt (A; — Xi) (Ar — Mx) terwijl men bij de sommatie ten kelk in * bijzonder alle waarden tusschen 1 en n moel laten aannemen. Zijn i en k aan elkaar gelijk zoo gaal xx, in een middelbare fout over. | 192 De form. (41) kunnen we toepassen op verschillende gevalle, hetzij de grootheden X door directe of indirecte meting gevonden worden, hetzij in °t geval dat deze gemeten groit heden, nog tevens aan voor waarde-vergelijkingen moeten voldoe. In al deze gevallen kan de form. (41) ons dienen om de midde bare fout in eene functie der grootheden X te vinden, wal aan de voorwaarde waarvan de geldigheid van form. (41) al. is daarbij voldaan, dat namelijk indien A= pọ (pi: NP X = p (Piro. Ph) iS. i Behandelen we nu het geval van direct gemeten groothedet Pi Pa... .Pn, die aan de voorwaarde-vergelijkingen: n= n Pit aa P+... 4 Pn ZZBP (42) { g=2b P gs = X'e P enz. i moeten voldoen, waarin P de werkelijke waarde vai DP Daar de door meting gevonden grootheden py. - : -Pr niet voie aan deze vergelijkingen (42) zoo moeten we aan deze correct %....æ, toevoegen, zoodanig, dat voldaan is aan de waarden q=2 (p+ x), qą = 2 b (p + x) enz. Opdat pa + tn ME de waarschijnlijkste waarde voor P, is, moeten volgens © waarschijnlijkheidsrekening de correcties 24. - - -a voldoen 7 de voorwaarde Ex? — minimum. Na uitwerking vindt eg dan, zooals bekend is, dat deze correcties © gevonden W uit de vergelijkingen : Po æ = 44 ką + by ką + cy his + enz. Tą = aa ką + ba ką + Ca ks + ENZ Pa = On lą + bn ha + Cn ks + ent. terwijl de grootheden / opgelost moeten worde gelijkingen: ` kę ż REIR hp Sac + enz. =H + 97 i — żap= — 3a. A Pe oi ky £ ab + ką 2 b? + kz ch +enz.=42— * yn —ibp=—3b,A p n uit de © 195 Hierbij is ap de fout in de waarneming p. Laat nu gevraagd worden de middelbare fout te bepalen in eene functie dezer voorwaardelijk gemeten grootheden P. Door in plaats van de _ Ware grootheden P de gecorrigeerde waarnemingen p+« te substitueeren vindt men voor de functie F de waarde == F (p + W , Pa H La... . Pn + Dn). De middelbare fout in F wordt nu gewoonlijk bepaald door F eerst als functie van p+x daarna p+ als functie van pen k en vervolgens k als functie der waarnemingen p te beschouwen. Op deze wijze worden de differentiaalquotienten van F ten opzichte van p,pa...p» gevonden, om dan ver- volgens M; te bepalen, door middel van de bekende betrekking: dF y M=2 dp M, ) waarin M, de middelbare fout in de waarneming p is. Veel eenvoudiger wordt het echter door F slechts als fanctie van p+r te beschouwen, om dan door middel van de door ons gegeven formule (41) Mp te bepalen. Zoo we in de vergelij- kingen (44) p door P vervangen, verkrijgen we kı = ka enz. =0 en dus volgens (45) äer, . 5 Ta = 0. Aan de voorwaarde is dus voldaan, dat, indien we in a += ?(Pipa....p,) de pi... -pa vervangen door Pi... Pa, pi +, in Zijne ware waarde P; overgaat. We mogen dus form. (41) toepassen en schrijven: A= gemiddelde van zi Æ PALA —P,) (pu + un — Pa) = gemiddelde van Z r se (A Pa + To) (Apat Ta) … (45) ‘tIs nu nog slechts K SS de gemiddelde waarde der uitdrukking (A Po + Es) (A pr + Lp) = (A Po A pn + Lo Lp HA Po Th + A p,7,) te bepalen. Daar de vergelijkingen (44) lineair ten opzichte van 7 zijn, 200 kunnen we schrijven: kh=—xa. Ap, ka=-— 28 Ap enz. en daar, zoo we gezien hebben, de ware Led van k gelijk o 194 is, (die men verkrijgt door p door P te vervangen) zoo vil | men evenals bij de indirecte waarnemingen de gemiddelde van le? = e? Qu, gem. van ką? = u? Qa enz. De grootheden Qi Qx worden dan op zelfde wijze uil de vergelijkingen (44) gevonden, als de soortgelijke groothede Q bij de indirecte waarnemingen uit de normaal vergelijkingen bepaald worden. We kunnen nu de gemiddelden der 4 terme! van het produkt (Ap, +7,) (Apr + ©,) successievelijk bepalen. We hebben : gem. van (x, 2,) = gem. van ( (a, ky + by ha + Cy ks) (an lu F bh + 0, ks) iss p? { a, an Ou +0, b, Q+ 6g On Ost (uhr aby) Ora + (ay c, + an c,) Qis + (b, on + bu Co) 07) =*N gem. van (Ap,x,) = gem. van Ap, (arkı + bu ka +04 hi) = Ri (a, a, + b, B, + Cn 8y) = — u an (ag Qu + D Qu? o, Dei + du (ay Que + by Qaa + cy (ss) + on (ay Qs FO F Co 05) 3 =— u? $ a, an Qu + dy bn Qaa + 0% 0st (a, br + a, b,) Qia + (a, c, + a, c,) Qis + (ba bah SCH uż Ten b De gemiddelde van Ap, x, verkrijgen we uit de voorgaande ule drukking door daarin de indices gen h te verwisselen, Wi" door de uitdrukking niet verandert. Zoodat we ef hebben: | gem. van Ap, T,= pa R. en dus ten rę Kr Sem. van (Apy+ xy) ( Ap, + 2) = gem. van Apy Ma R 2 u? R= gem. van Ap, Ap > js Volgens form. (41) is dus de middelbare fout , 200 we geil d halve => door + voorstellen ,: MĘ = : gem. van 7, on A p, A p, — p? ZP Ph Rz... E „3 0 solmmeeren moeten we nu de indices y €! e at sievelijk elk in + bijzonder de waarden 1,2....2 late” sl W a Ap, de indices g en h verschillend ai AT us gelijk o, en telkens wanneer de indices 195 zijn, is de gemiddelde gelijk #?. Dit gebeurt dus telkens als zz gelijk pi pr 292. +- Pa Pm wordt. Substitueeren we nu in (46) de waarde, die we gelijk R. gesteld hebben en nemen we hierbij in aanmerking dat: A 00=(za) en Z (a bn anb) =2 3 a. Eb is zoo vinden we bij sommatie van de uitdrukking (46): M, = „23 Zei — [ (Zap? Qu + (2b5)? On + (EC 5)? Oss + 2209 2b909+2 Zap. es 03 +22 b9.2 cp. Qas] }-(47) Hebben we nu inplaats van eene functie, twee functien F=#(X....X) en F'=g'(X,....X,), dan kan het in sommige gevallen noodig zijn, de gemiddelde waarde van het foutenprodukt AF’. AF" te kennen. In overeenstemming met form (41) is dan in ’t algemeen: d r gem. van AF", Am y E dr" Mx; x; dX; dX; of volgens de vergelijkingen (46) en (47) voor *t geval van voorwaardelijke waarnemingen : gem. van AP. aP = gem. van 3 E dE dP, dP; — 5 gem. van gy! 91" Ap, Apa =E? gy pw (Apo + To) (Ap, + za) Waarin R hetzelfde is, als in form. (46). Deze uitdrukking weder sommeerende, hierbij in achtnemende dat: Z (ag anos on’) =2 (ar). Z (a9") en Z (a, by > EP b,) ad op" 2g (os) H (bę”) 34-3 (os), 5 (bę') IS, 200 vindt men voor de gemiddelde waarde Mpr van het butenprodukt AF AF", de uitdrukking: Mp» = u? [2 prp" — d sap Z ap". Orr bę! $ bę" Os Z Cy'.. b , D "e Oss + (Zap. x bę! + 2 av" £ bę') Qta + (5 ay. 2 cy" +20? 20) Qis + (z bel 5 cp" +3 bp" 3 67”) Diet. sk 6 (48). De gemiddelde Has is noodig te kennen, wanneer we e iddelbare fout in eene grootheid R zoeken, die functie is 196 van de functies F en F". We hebben toch volgens de alge | meene formule (41), die natuurlijk ook geldt indien X funelis van voorwaardelijk gemeten grootheden zijn, voor de middel bare fout in R: ARE > „dh dR dR 4? M (p) "+. gp Mer + GP) Ook kan zich het geval voordoen, dat zonder dat R tunele is van E en F”, toch de fout A R functie is der fouten spa AF", waardoor My weder van Mp» afhankelijk kan zje Dit geval doet zieh o. a. voor bij de hoogte A van een LI schenpunt in een net van hoogtebepaling. Stel dat gevondet is na veret | | fening 100 AS Ve de. hoogt A h la B a en mmm "ep © Be Ae Nd A | x Ge GR en fa waarvoor de ware hoogte F, en Fa zijn. Voor de \ effende waarde r van de hoogte R van het tusschenpunt d neemt men dan aan: ERE fi + Piza. Mn R sil SR 4 D S en Wanneer p, en p,” de waargenomen hoogteverschillen rn AenC en CenB zijn, x, de aan te brengen correctie aan f hoogteverschil p, tusschen Aen B. De aan te brengen T reclies aan de hoogteverschillen pw en pa” worden dan gel | l Th z en T n a voorstellen. Verder noemen we de ware hoogteverschillen W“ schen A, B en C successievelijk P,, P,/ en P,", en de waarneming” ; ar fouten in deze hoogteverschillen aps ops, Api De n hoogte R van het punt C is: R Bij aftrekking van (49) en /50) vindt men voor | b L wanneer l ent, en £ de lengte AC, Blad =F,+P, Kd: e E - 2 o 197 gebleven fout A À in de vereffende hoogte r van het punt C de uitdrukking: AR=AF,+ spitz. In aanmerking genomen dat Ak A Fy= dy +0 Pa An + A pn + Apr" is, zoo heeft men: l l lą D E CR N: se 288 Be e ën = 51 WE , L È yA ) De fout AR is dus een lineaire functie van de fouten ô Fi, A Fa en van de waarnemings fouten A p, en A pn. Beide leden van vergelijking (51) in het vierkant verheffende, vindt men: 12 I? + lila a ‚ks ARi= 12? 2 AFA Pie te ( NW md ter do Zero ? F, ITa A Pa i 1? l k h z A Haps’ Ja Apr AF 2 A Pn Ba 1 Apa T at Pr e P L oi A Fa el — A pr. A Fa Kr A pn À Pr" ei, Nu is in een hoogtenet de overgebleven fout A F in de hoogte van een der knooppunten, een lineaire functie van de gecorrigeerde hoogteverschillen (py + 24)... - (Pa + £n) en daar we boven gezien hebben dat p- z7 een: lineaire functie der Waarnemingsfouten An... Ap, is, zoo zijn ook A F; en A Fs lineaire functie van Api... Ale: We kunnen dus A éi en A Fa voorstellen door de uitdruk- kingen Za; Ap, en y ër Apr, zoodat a " l = de gemiddelde van (A pr! A Fi a P Pach fe Da — gemiddelde van E À py Ea A pi + à Pa" E% A pa) is, daar de "aa van elken term. 2; 4 Pr’ À pr gelijk ois behalve die yan den term. an Al Be D Pn = an ap (A Pr +4 P) die gelijk z is aan gem. van a, À sw gu p'n, zoodat we hebben: 198 ¡A | la ENT li PO 2 lą y RE A, gem. van A „e An) a = Un CN lą et: Verder is in (52) de gemiddelde van 2 Apr Apr" Gei L daar Ap,' en Ap,” onafhankelijke waarnemingen zijn. KINOLOGISCHE STUDIÉN. DOOR P. VAN LEERSUM. I. Het goede voorbeeld volgende van mijnen hooggeachten vriend, den bekwamen kinoloog Dr J. E. pe Vru, zoo stel ik mij voor successievelijk in het Natuurkundig Tijdschrift voor Nederlandsch- Indië eenige kinologische studiën te plaatsen; ik spreek daarbij den wensch uit, dat zij in het tijdschrift welkom en voor de kinaplanters van eenig nut zullen zijn. En zoo begin ik dan met eene opgave der resultaten van de analyses van kinabasten, gedroogd bij verschillende tempe- raturen, ten einde niet alleen den invloed van een hoogere of lagere temperatuur op het alkaloid-gehalte te kunnen nagaan, maar ook om het maximum te bepalen, hetwelk niet mag overgeschreden, wil men zich voor groote schade vrijwaren. Alvorens daartoe echter over te gaan, teeken ik alleen nog aan, dat het door mij geconstateerde feit, (dat bij het enten van Cinchona Ledgeriana op C. Succirubra, de kinine (hoewel in geringe mate) van eerstgenoemde soort overgaat in den Succirubra-onderstam en de cinchonidine van den Succirubra- onderstam in de daarop geënte C. Ledgeriana) als algemeen bekend mag aangenomen worden; dewijl hiervan voldoende voorbeelden zijn gegeven in het Verslag van den Directeur der Gouvernements Kina-onderneming over het jaar 1886. () De navolgende cijfers toonen beter dan de wijdloopigste beschouwingen aan, hoe voorzichtig men bij het drogen van kinabasten moet zijn met het regelen en constant houden der temperatuur; en welk enorm verlies in alkaloid-gehalte eene betrekkelijk geringe rijzing kan te weeg brengen. TT e €) Natuurk. Tijdschr. voor N. 1. DI. XLVII bladz. 239. ATEN RE = Ss LSA Ss Kinine S = ee Totaal.) EZ = | 8 | SE Ss ö Ae er 5.86, 0.69 a 0.54| 7.09] 7.88 |Bast in de lucht gedroogd. 5.88) 0.66, — | 0.56| 7.10] 7.91 Dezelfde bast gedroogd bij W | 5.87] 0.58| — | 0.62| 7.07] 7.90 WW 6.83| 0.57| —! 0.631 7.05| 7.84| >» » „OB 8.81| 0.81] — | 0.70| 7.02) 7.82] > NO 6,79) 0.51] — |-0.74|-7:04] 7.79] aerer 5.68) 0.50) — 0.54 | 6.72] 7.64 » » » » 110% 4.800.361 "0.515.671 6.461 >» > >» IBU 2.951 0.12| — | 0.47| 5.53] 5.94 » 120% 7.181 0.40! —| 1.051 8.58| 9.62 Bast in de lucht gedroogd 7.04 ,0.50| — | 1.01| 8.55] 9.47 Dezelíde bast g | el vn droogd bij 100%.) ©" 7.04! 0.51} — | 0.98! 8:55| 9.47|Dezelfde bast ge er © droogd bij 105 6.10, 0:54} — | 1,48| 8.12| 8.21 Bast in de es gedrang 6.06; 0.50! —! 1.50 8.06| 8.15'Dezelíde hast ge- droogd bij 100° pue” 6.04| 0.50) — ; 1.48! 8.02] 8.12 Dezelfde bast BET den boom in | droogd bij 105%. a 5,92! 0,48| — 1.501 7.70] 7.96 Dezelfde bast oc droogd bij 11 5.28 1.15] —| 9:14 17.57 7,10, Bast in de lacht coro 5$:28/1.14| —| 1.12] 7.541 7.10 Dezelfde bast ge- : droogd bij 100 PE 5.21) 1.14] -—1 1.10 7,45 A trocki bast de A droogd bij 105?L4 gid © 3.83 0.61| | 1.02| 5.46] 5.15 Dezelfde Ve Be) gen want droogd bij 110702) groogse | 3.59 0.59! — 0.90] 5.08 be? 4.85 Dezeifde bast ge droogd bij 110% à. 120%. 201 Zooals blijkt kan men dus tof 95°C. of 200° F. zonder vrees voor verlies van alkäloid de basten drogen. | Wat nu de manier van. drogen aangaat, zij opgemerkt dat die op ijzeren platen tegenwoordig vrij wel verdrongen is door droging met behulp van de T Sımocco; welke, alhoewel een groote vooruitgang op dit gebied zijnde, toch nog niet het ideaal van eene drooginrichting is. i | | Enkele verbeteringen zijn wel reeds aangebracht , doch het laatste woord is ook hierbij zeker nog niet gesproken. In netheid en zindelijkheid overtreft zij verre de droging op platen; maar vooral is de grootere voortreffelijkheid daarin gelegen, dat men de temperatuur beter in zijn macht heeft, en deze dus naar willekeur kan regelen , waartoe buiten aan de T Sirocco een thermometer is aangebracht. Dit neemt niet weg, dat men ook hierbij door onoplettendheid en te hard stoken de maximum temperatuur kan overschrijden, doch door het aan- brengen van een verklikker kan gezorgd worden, dat men bij het bereiken der maximum temperatuur gewaarschuwd wordt. De vier volgende analyses (gedaan voor een kinaplanter in de Preanger, die beide soorten van drooginrichtingen gebruikt) toonen het verschil in alkaloid-gehalte aan eener zelfde partij bast gedeeltelijk gedroogd in de T Surocco en gedeeltelijk op platen. (Voor alle zekerheid zijn van elke partij twee analyses gedaan.) Kinine, | Cincho | Kini- T Zwavel | | me | | ee sl alcaloïd, En 0.55 2.55| 8.45 | 7.20| Gedroogd in T Syrocco. | 087 2.611 8.45| 720) » ss > ens 0.52 2.52| 7.44| 6.19 » op platen. | | 258) 744) 611] > > » Uit deze analyses blijkt nu duidelijk, dat men bij het drogen °P de platen een te hooge temperatuur heeft gebruikt. 