Oeuvres complètes. Publiées par les soins de la Société mathématique d'Amsterdam
Nu is (0.0) blijkbaar gelijk aan het aantal oplossingen van de con- gruentie a-\-l^a' (mod p) , waarin a en a uit de groep A te kiezen zijn; en daara' = p — a" is, zoo kan men ook zeggen , dat (0.0) het aantal oplossingen voorstelt van de congruentie a -|- a" -)- 1 = 0 (mod p). 150 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Op gelijke wijze omtrent de aantallen (0.0), (1.0), (1.1) redeneerende , blijkt, dat het teeken voorstelt het aantal oplossingen van (0.0) a -f- a' -f 1 EEE 0 (0.1) a + /^+1^0 (1.0) ^ + a+lEEEO (1.1) ;5 + /5f'+l=0 Men ziet hieruit oatniddellijk, dat (0.1) = (1.0) is ; eene tweede betrekking tusschen de getallen van het schéma S le- vert de volgende beschouwing Bij elk getal /? van de groep B be- hoort één bepaald getal van die zelfde groep ^'\ zoodanig dat ^^" = 1 (modp) en tevens is dan p ^" congruent met een getal a van de groep A. Door vermenigvuldiging van de congruentie ^ + ^' + 1 = 0 met ^" volgt dus 1+a+r^o en door deze laatste congruentie met /S te vermenigvuldigen , ver- krijgt men de eerste terug. Hieruit valt onmiddellijk op te maken, dat (1.1) = (0.1) is, zoodat het schéma S dezen vorm heeft: hj j J Nu komt in de groep A het getal p — 1 dus in A' het getal p voor , welk laatste getal noch in A noch in B voorkomt. Aile overige ge- tallen van A' en B' echter komen , zooals évident is, ôf in A 6f in B voor. Hieruit volgt dus h = 2J = '-^' P — BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 151 De identieke congruentie {x~^){x-^'){x — ^")...=x^ +1 (modp) geeft nu voor ic = — 1 , daar — „ — even is (/5 + l)(^' + l)(r + l)... - 2 (modp). Het aantal niet-resten onder de getallen ^-\-l, /S' -|- 1, ^" + 1, ... » — 1 is nu (1.1)— j:=^ • Is dus ^' even of p = 8w + l, dan is 2 quadraatrest van 2?. Is daarentegen j oneven of dan is 2 niet-rest van p. 3. Voor p = 4m + 3 is —1 niet-rest , en de groep B komt overeen met de groep getallen p — a, p — a\ p — a", . .. Het' teeken (0.0) stelt nu voor het aantal oplossingen van de con- gruentie a 4- l = a' {modp), of 00k daar a' = p — ^is, het aantal op- lossingen van a 4" i^ + 1 = 0- Op deze wijze blijkt, dat het teeken voorstelt het aantal oplossingen van (0.0) a + ^+l=0 (0.1) a 4- a' + 1 = 0 (modp), (1.0) ^S-h^' + l-O (1.1) ^+a+l = 0 derhal ve is (0.0) = (1.1). Is verder weder ^^"-^1, ^' /S" = a, dan volgt uit /S + /8' + l = 0 door vermenigvuldiging met /tf" l-f-a + r = 0, waaruit op soortgelijke wijze als boven volgt (1.0) = (0.0). Het schéma S heeft dus voor p = 4 w 4- 3 dezen vorm : h h Daar het getal p — l in de groep B, dus p in B' voorkomt, maar 1 52 BIJDR AGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. overigens aile getallen van A' en B' 5f in A ôf in B voorkomen, zoo volgt dus 2/. = ^-!, Uit de congruentie {x — a){x — a') {x — a") . . .^^x ^ — 1 (mod p) volgt voor x = — 1 daar — g— oneven is, (a4.1)(a' + l)(a"4.1)...EE2 (mod p) en het aantal niet-resten onder de getallen a + 1, a' + 1. «" -f 1, . . . is dus (0.1)= j = ^^. Is dus j even of p = 8w + 7, dan is 2 quadraatrest van p. Is daarentegen j oneven of P = 8m4-3, dan is 2 niet-rest van p. Nadat hiermede dus het karakter van 2 als quadraatrest of niet- rest ten opzichte van een willekeurig oneven priemgetal bepaald is, ga ik er toe over het overeenkomstige te ontwikkelen in de théorie der VIERDE- MACHTSRESTEN. 4. Het oneven (d. w. z. niet door 1 -f- i deelbare) priemgetal m = a-\-bi zal steeds primair, in den zin van Gauss, ondersteld worden, zoodat a — 1 en & volgens den modulus 4 5f beide ^0, ôf beide =2 zijn. Zooals bekend is, bestaan de priemgetallen in de théorie der ge- heele complexe getallen van den vorm a-\-hi: vooreerst uit de reëele priemgetallen q van den vorm 4 r -j- 3 ; deze getallen moeten negatief genomen worden om primair te zijn ; BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 153 ten tweede uit de complexe priemfactoren van de reëele priem- getallen van den vorm éw+l- Deze complexe priemgetallen zijn van den vorm a-\-bi, waarin 6 niet gelijk nul is, en worden door vermenigvuldiging met ééne bepaalde der vier eenheden 1, i, — 1, — i primair. Zij kunnen verder in twee soorten onderscheiden worden al naar gelang , wanneer a-{-bi primair is , a — 1 en b beide door 4 deelbaar, of beide het dubbel van een oneven getal zijn. Ik onderscheid hierna deze drie klassen van primaire priemgetallen : I. De reëele priemgetallen q van den vorm 4 r -f- 3 , negatief ge- nomen. IL De complexe priemgetallen van den vorm 4r-J-l + 4sî. III. De complexe priemgetallen van den vorm 4 r + 3 + (4s -j- 2)z. Het priemgetal (in de complexe théorie) zal steeds door M aan- geduid worden, de norm van M door //. Verder zal steeds p een reêel (positief) priemgetal van den vorm 4 r -J- 1 » q een reëel (posi- tief) priemgetal van den vorm 4 ?' -f- 3 voorstellen. De priemgetallen van de eerste soort zijn dus M = — g, f^ = q^, voor de tweede en derde soort is ,u = p. Ik merk nog op, dat voor de beide soorten I en II de norm fi van den vorm 8r-[-l, en voor III van den vorm 8r-|-5 is. Deze omstandigheid maakt , dat de beide eerste soorten van priemgetallen tôt op zekere hoogte gemeenschappelijk behandeld kunnen worden. De beschouwingen van het volgende art. 5 gelden nog gelijkelijk voor de drie klassen van priemgetallen. 5. Zij dan M het priemgetal, fx de norm. Een volledig systeem van incongruente , en niet door den modulus M deelbare getallen, bestaat uit fx — 1 getallen , welke volgens hun biquadratisch karakter ten opzichte van M, tôt vier klassen, elk ^— ^ getallen bevattende, gebracht kunnen worden : A «, «', a",. B ^, ^\ ^", • C y. y\ /',. D à, ^\ à'\. 154 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Tôt de eerste klasse A worden gebracht aile getallen a, a', a", met het biquadratisch karakter 0, tôt de groepen B, C, D de getallen met het biquadratisch karakter 1 , 2 , 3. Ten overvloede zij gezegd, dat hier het biquadratische karakter in den zin van Gauss genomen wordt, zoodat de getallen der vier klassen gekarakteriseerd zijn door de congruenties : a 4 =1, ^ i =i^ y i ^ — 1, à 4 =^ — i (modM). Ik zal mij echter, voor hetgemak, eveneens van het door Jacobi ingevoerde symbool bedienen , en dus kunnen schrijven ((T))=M(a=M(i))=-.((a=-'- Eindelijk zij eens vooral opgemerkt , dat in het vervolg aile con- gruenties betrekking zullen hebben op den priemmodulus M, zoolang niet uitdrukkelijk een andere modulus is aangegeven. Ik laat hier een voorbeeld volgen van de verdeeling der resten (mod M) , met uitzondering van de rest 0 , in de vier klassen A, B, C, D voor elk der drie soorten van priemgetallen , die in art. 4 onder- scheiden werden. M = — 7, At = 49. 1, Si, -2. -3, -22, -1, -32, 2, - h 3, 2 2. l-2i, ~1 + Si, — 2 - 3 i, 24- i, -3- 2, 3 — 22, -1 + 22, 1-32, 2 + 32, -2- 2, 3+ 2, — 3 + 22. -3 + 32, — 2 — 2 î, -14- h — 3 - 3 2, 2 — 22, — 1— 2, 3 — 32, 2 + 22, 1- i, 3 + 32, -2 + 22, 1+ 2. 3 + 2z, 14-22, 1 + 32, -24-32, -2+ 2, -3+ 2, — 3 — 2 2, -1+22, — 1 — 3 2, 2-32, 2- 2, 3— 2. M = - -3 — 82, ju = 7S. 1, 3 4-2 2, -1-42, -32, 14-22, -4, -1-32, -2, -3 + 42, -1, — 3 — 22, l + 4^•, 3 2, -1-22, 4, 1 + 32, 2, 3 — 42. 1-27, -1-2, 24-32, 5 4-2 2, -3 + 32, 1-32, 1—42, -2 + 42, 2 + 22, -1 + 22, ■ 1+ h — 2 — 3 2, - -5 — 22, 3-32, -1 + 32, -1 + 42, 2-42, — 2 — 2 2. BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 155 A B 4», -3-j- i. 2i, - 4 + 8», 4— », —4», i, 3, 3- », -2 + 3», -2+ », -2», -4-3», — i, 2 — Si, -4+ », -3, 2— ». -3- i, — 4— i, 4 + 2 î, 2 — 2», —3 + 2», 3+ », 2+ », -2 + 5», 4+ », 1 _ t, —s — Si, —4 — 2», -2 + 2», -2- », -1+ i, 3-2», 2 — 5 », 3 + 3 ». - 1 — 4 », M=-5 + 6», /i = 61 -8, -2+ », 1+ », 3 + 2», - 2+ », 2», - 1 + 3», -3- », -5, -2 + 2», 3 — 2 », 4+ ». 1- i, 1-2», 1 + 2», 2 — 3 », — 1 + 3 », 2, 5», 8- », 2 + 2», -2 — 3», 1-4», — i, 4», -4+ », Si. -2z, - 1 - 8 », 8+ i, 5, —4- », 2-2», -1, -3 + 2», 4, 1 + 4», 3, -1- i, -2- », 2- r, -3-2». — 2 — 2 », 2 + 3», -1 + 4», i, -3», - -4», -1+ », - 4- », -1 + 2», - -1-2», -2 + 3», -2. -3+ », 1 — 3», — 5». Evenals in art. 1 overtuigt men zich onmiddellijk, dat de nu vol- gende congruenties identiek zijn : {X'-a){x — a'){x — a")... =x^~—l l»-l (mod M) , = x + 1 {x — ô){x — ô'){x — d")... =x * +» waaruit voor x = — 1 volgt, de gevallen ^ = 8w + l en /t = 8w + 5 onderscheidende : lu = Sn-\-l (/5 + 3)(^'-f i)(r + i) (y + 1)(/ + 1) (/' + !) (c5 + l)(<5' + l)(c5" + l) ;. = 8w + 5 (a + l)(a' + l)(a" + l) (^ + l)(^' + l)(/3' + l) (a + l)(cî' + l)(a" + l) 1 — t 2 1 + » 2 J+» 1— » (mod M). 156 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 6. Laten wij nu verder de nieuwe groepen van getallen A', B', C en D' beschouwen, die ontstaan door bij de getallen van A, B, C en D de eenheid op te tellen : A' a + 1, a' + l, «" + !,... B' ^ + 1,^' + 1,^"4-1,... J)' ô + l, ô'^l,ô"-\-l,... en noemen wij nu de aantallen getallen van A', die congruent zijn met getallen van A, B, C, D, respectievelijk (0.0), (0.1), (0.2), (0.3); de aantallen getallen van B', die congruent zijn met getallen van A, B, C, D, respectievelijk (1.0), (1.1), (1.2), (1.3). Evenzoo hebben de getallen (2.0), (2.1), (2.2), (2.3) betrekking op de groep C en de getallen (3.0), (3.1), (3.2), (3.3) op de groep D'. Men kan al deze 16 getallen (0.0), (0.1), enz. vereenigen in het volgende quadratische schéma S: (0.0) (0.1) (0.2) (0.3) (1.0) (1.1) (1.2) (1.3) (2.0) (2.1) (2.2) (2.3) (3.0) (3.1) (3.2) (3.3) en voor de voorbeelden in art. 5 gegeven , verkrijg ik ¥. = — 7, f^ = i9. U = — S — 8i,ju = 7S. U= - b + Qi, iu = 6\. 5222 5642 4326 g 2244 6255 8366 2424 4545 4343 2442 2556 3633 Volgens de congruenties van het voorgaande artikel is voor /i = 8 w 4" 1 (d + l)(d' + l)((5" + l)... = l-f z en voor ju = 8n-\-b (ys+i)(yS' + i)(r + i)...EEi + i Daar nu de aantallen getallen van 5 + 1, ô' + l, <5" + l,..., BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 157 die respectievelijk tôt de klassen A, B, C, D behooren , bedragen (30), (3.1), (3.2), (3.3), zoovolgtonmiddellijk, datvoor^ = 8w + l het biquadratisch karakter van 1 -|- i volgens den modulus 4 congruent zal zijn met (3.1)4-2(3.2)4-3(3.3) en evenzoo voor het geval /u = 8n-\- b met (1.1) + 2(1.2) + 3(1.3). Zoodra dus de getallen (0.0), (0.1), enz bepaald zijn, is hiermede ook onmiddellijk het biquadratisch karakter van 1 -}- i bekend. Het komt er dus nu op aan, de getallen van het schéma S on- middellijk uit het gegeven primaire priemgetal M = a 4- ^ ^ af te leiden. De hiertoe noodige beschouwingen zijn vvezenlijk dezelfde als die van Gauss in art. 16 — 20 der Theoria residuorum biquadraticorum commentatio prima Gauss handelt daar over de théorie der reëele getallen , maar het blijkt gemakkelijk, dat het daar gegevene in zeer nauw verband staat met het vraagstuk, dat ons hier bezig houdt. Om de geheele ontwikkeling voor oogen te hebben , zal het noodig zijn hier de argumentatie van Gauss met de geringe noodige wij- zigingen te laten volgen. Hierbij valt ook nog op te merken dat, voor een priemgetal M = — q tôt de eerste klasse van art 4 behoorende , er in de reôele théorie van Gauss niets analoogs bestaat , met wat hier in de théorie der geheele complexe getallen ontwikkeld zal worden. Voor de verdere beschouwingen is het in de eerste plaats noodig, de beide gevallen, dat de norm // van den vorm 8 w 4- 1 of van den vorm 8n4-5 is, afzonderlijk te behandelen. Ik zal met het eerst- genoemde geval , waarin dus het priemgetal M tôt een der beide eerste klassen van art. 4 behoort, beginnen. 7. Voor ju = 8n-\-l, is { — 1) * = 1 , zoodat — 1 biquadratische rest van M is en in de klasse A voorkomt, of eigenlijk met een getal van A volgens den modulus M congruent is. Maar het is bij deze beschouwingen geoorloofd om congruente getallen , daar zij 158 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. elkander vervangen kunnen, aïs gelijk te beschouwen en ik zal voor het gemak van deze zienswijze gebruik maken , zonder dat daardoor eenige onduidelijkheid zal kunnen ontstaan Daar dus het biquadratisch karakter van — 1 gelijk nul is, zoo volgt, dat wanneer a, ^, y, à respectievelijk tôt de klassen A, B, C, D behooren , ook — a, — /?, — y, — <5 in deze zelfde klassen voorkomen, en wel — a in A, — /? in B, — y in C en — (5 in D. Nu is blijkbaar het getal (0.0) gelijk aan het aantal oplossingen van de congruentie a + 1^ a' (modM), waarbij a en a' op willekeurige wijze uit de groep A te nemen zijn, maar daar bij elk getal a' een getal n"=:p — a' behoort, zoo is dit aantal oplossingen hetzelfde als dat van de congruentie « + a"-}-lEEO (modM), waarin weder a en a" uit A te nemen zijn. Geheel op dezelfde wijze omtrent de getallen (0.1), (0.2), enz. rede- neerende , overtuigt men zich dat het teeken voorstelt het aantal oplossingen van (0.0) a 4- a' + 1 EE 0 (0.1) a + ;5 4-U 0 (0.2) a + y+lEEEO (0.3) a-\-ô -\-l = 0 (1.0) ^-j-a+lETiO (1.1) ;? + ;?'+ 1-0 (1.2) ^^y^l^o (2.0) y -\- a -j- 1 n: 0 (2.1) y + ^ +1-0 (2.2) y ^ y' ^1^0 (2.3) y-\-d +1 = 0 (3.0) ô-\-a + 1 EE 0 (3.1) ^ + ^+1=0 (3.2) ô-i-y +1-0 (3.3) 'ô-\-ô' -\-1e^0 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 159 Hieruit volgen dus onmiddellijk deze zes betrekkingen : (0.1) = (1.0), (0.2) = (2.0), (0.3) = (3.0), (1.2) = (2.1), (1.8) = (3.1), (2.3) = (3.2). Vijf nieuwe betrekkingen tusschen de getallen (0.0), (0.1), enz. ver- krijgt men door de volgende beschouwing. Zijn a, /5, y getallen van A, B, C en bepaait men x, y, z zoodanig dat arzjsEl, ^2/=l, yz~l (mod M) is, dan behoort blijkbaar x tôt de klasse A, y tôt D, z tôt C, zoodat men kan schrijven aa'r^l, ^ô' = l, yy' ~~\. Vermenigvuldigt men nu , terwijl men eene bepaalde oplossing van a -f-^+1^0 beschouwt, deze congruentie met (5 dan volgt b' -\-\-\-b^^^ waarin à' ^ aà tôt D behoort. Ongekeerd volgt uit ^' -f- 1 -f ^ -^ 0 ^oo^ vermenigvuldiging met ^ weder a -j- ^^ -|- 1 ^ 0. Hieruit blijkt dus, dat het aantal oplossingen van de beide congruenties a -t- /S + 1 ^3 0 en 5 4- ($' -f- 1 — 0 evengroot is, zoodat men heeft (0.1)=: (3.3). Geheel op dezelfde wijze heeft men /(a + y4.1) = /' + 14-^. ^(« + ^4- 1)EEE/Î'+14-^, M/î + y + i) = i 4-/5' + ^ /(^-fy4.1) = (5 +l+y', waaruit men op dezelfde wijze besluit tôt (0.2) = (2.2) , (0.3) = (1.1) , (1.2) = (1.3) = (2.3). Hiermede zijn dus elf betrekkingen tusschen de zestien getallen van het schéma S gevonden , en deze getallen worden hierdoor teruggebracht tôt vijf verschillende , die door /i, j, A;, Z, m aangeduid zullen worden Het schéma S neemt nu deze gedaante aan: h j k l j l m m k m k m l m m j 160 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 8. Het getal — 1 komt in A voor, waarmede dus het getal 0 van A' correspondeert. Dit g-etal 0 van A' komt in geen der klassen A, B, C, D voor, maar elk ander getal van A' komt blijkbaar in één der groepen A, B, C of D voor. Daar fi = 8n-{-l, r~ = 2 w is , zoo volgt dus (0.0) + (0.1) + (0.2) -f (0.3) = 2 w — 1. Aile getallen van B', C, D' komen in één der klassen A, B, C, D voor, zoodat men heeft (1.0) + (1.1) + (1.2) + (1.3) = 2 72, (2.0) + (2.1) + (2.2) + (2.3) == 2 w, (3.0) + (3.1) + (3.2) + (3.3) = 2n. Deze vier vergelijkingen herleiden zich tôt de volgende drie be- trekkingen tusschen h, j, k, l en m h-{-j+k-{-l=2n — l, j-\-l-\-2m = 2n, k-\- m = n. 9. Eindelijk wordt nog eene verdere , niet linéaire, betrekking tusschen h, j, k, l, m verkregen door de beschouwing van het aantal oplossingen der congruentie ai-^-\-y-\-l~0 (mod M) , waarin a, /5, y op aile mogelijke wijzen uit de klassen A, B, C te kiezen zijn. Neemt men nu vooreerst voor a achtereenvolgens aile getallen van A, dan gebeurt het respectievelijk h, j, k, l malen, dat a+ 1 tôt A, B, C, D behoort en de enkele maal dat a + li^iîO wordt, kan buiten beschouwing blij ven . daar de congruentie fi -\- yr:^ 0 geen enkele oplossing toelaat. Voor elke bepaalde der h waarden, die a + Ii^Oq maken , zijn dan nog verder ^ en y zôô te kiezen , dat wordt. Het aantal oplossingen dezer congruentie (voor een gegeven waarde van Oq) isgelijkw, zooals onmiddellijk blij kt door vermenig- vuldiging met Oq, wanneer 0^0^= 1 (mod M) is, waardoorzij overgaatin l+^' + y'^O. BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 161 Daar deze redeneering toepasselijk is voor elke der h waarden , die maken, dat a-\-l weder tôt A behoort, zoo verkrijgt nien op deze wijze hm oplossingen van de congruentie Het gebeurt verder ; malen , dat a -f- 1 tôt B behoort , en voor elke bepaalde waarde a -f 1 Aj heeft de congruentie hetzelfde aantal oplossingen als de congruentie dus is dit aantal gelijk j. Het gezegde blijkt onmiddellijk uit wanneer PqÔq — I. Deze waarden van a , die a -}- 1 tôt B doen behooren , geven dus in het geheel jj oplossingen van de beschouwde congruentie. Voor a-f-1^ 7o> wat k malen gebeurt, heeft de congruentie yo + i^ + T'-O l oplossingen, want yo(}'o + i5 + y)-i + ^ + «. De waarden van a, die a-\-i tôt C doen behooren, leveren dus in het geheel kl oplossingen. Is eindelijk a-}-l=^o, wat l malen gebeurt, dan heeft de con- gruentie wegens m oplossingen , en deze waarden van a geven dus l m oplossingen. Het totale aantal oplossingen van de congruentie a + /î + r + 1^0 (raod M) is derhalve gelijk aan hm-\-jj -\-kl-{-lm. Maar men kan dit aantal nog op andere wijze berekenen. Neemt men namelijk voor ^ achtereenvolgens aile getallen van B, dan ge- beurt het j, /, m, m malen, dat /S + 1 behoort tôt de groepen A, B, C, D. 11 162 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. En voor elk dezer vier gevallen vindt men , dat er respectievelijk k, m, k, m oplossingen van de gegeven congruentie zijn , zoodat het totale aantal oplossingen bedraagt jk-\-lm-{-mk-\-mm. 10. De gelijkstelling van deze beide uitdrukkingen voor het aantal oplossingen van a -\- ^ -\- y -\-1e^0 geeft 0 = hm-{-jj-{-kl — j k — km — mm, en ?i elimineerende met behulp van h = 2 m — k — 1, welke waarde gemakkelijk uit de in art. 8 verkregen vergelijkingen tusschen h, j, k, l, m volgt, komt er 0 = (k — mf-{-jj-\-kl—jk — kk — m. Volgens de relaties in art. 8 is en deze waarde in jj-\-kl — jk — kk overbrengende , wordt deze uit drukking gelijk aan \{l—jf, zoodat de voorgaande vergelijking, na vermenigvuldiging met 4, overgaat in 0 = 4 (Â; — m)2 4- (^ — j)2 — 4 m , maar men heeft 4 m = 2 (A; 4- m) — 2 (A; — m) = 2 w — 2 (A; — w), dus is of wel en stellende vindt men 2 w = 4 (A; — m)2 4- 2 (A — m) 4- (Z —jf, ^ = 8w4-l = [4(A;-m)4-l]2 4-4(/-i)2, 4(/c — m)4-l = A, 2{l — j) = B, Hierin is AeeeI (mod 4), en B even. Men kan nu met behulp van A en B gemakkelijk h^ j, k, l, m uit- drukken en verkrijgt zoodoende 8/i = 4w — 3A — 5, 8j :=4w4- A — 2B— 1, 8A; =4w + A — 1, 8Z =4w4- A4-2B — 1, 8m=4w— A4-1. BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 163 Tôt hiertoe onderstelden wij alleen, dat de norm ju den vorm 8n-f-l had; voor de verdere bepaling van A en B is het evenwel nu noodig, de gevallen I en II van art. 4 afzonderlijk te behandelen. 11. Zij dan vooreerst M = — g = — (4 r -f 3). In dit geval is ^ = W^ = q^ en dus Ç2:=A2+B2; q een priemgetal van den vorm 4 r -f- 3 zijnde, weet men dat q^ op geen andere wijze als som van twee quadraten voorgesteld kan worden , dan door voor de basis van het eene (oneven) quadraat dzq, voor die van het andere quadraat 0 te nemen; inderdaad was geen der getallen A en B gelijk 0 oi door q deelbaar, dan zou men een van 0 verschillend getal x kunnen bepalen , zoodat A rr EEE B (mod q). Nu volgt uit g2 ^ A^ -h B2 A2:ee — B2 (mod g) en daar men heeft A2rc2:-B2 (mod g), zou er volgen x^EiE — 1 (mod q). Deze laatste congruentie nu is onmogelijk, omdat — 1 quadratische niet-rest van q is. Uit g2=:A2 4-B2 volgt dus noodzakelijk A = ±g, B = 0 en daar A if 1 (mod 4), zoo wordt hierdoor nog het teeken van A vol- komen bepaald en is A = — q = M.. Nadat op deze wijze A en B gevonden zijn, heeft men nu 8h =34w — 3M — 6, 8j =in-i- M — 1, 8*=4w-f M-1, 8/ =4n-f- M — 1, 8?w = 4n— M + 1, waarin 8n-\-l = W. 164 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Door deze formules wordt dus de afhankelijkheid der getallen van het schéma S van het priemgetal M op de eenvoudigste wijze uitgedrukt, voor het geval dat M tôt de eerste klasse van art. 4 behoort. 12. Is in de tweede plaats M = a -|- ^ ^ waarin a— 1 = 6 = 0 (mod 4), en de norm ^ = a^ -j- ^^ ^^^ reëel priemgetal , dan is dus // = a2 4- 62 = A2 + B2. Nu kan een priemgetal van den vorm 4 A; -f- 1 slechts op één wijze voorgesteld worden door de som van twee quadraten , en daar a en A beide eee 1 (mod 4) zijn , zoo volgt A==a, B = ± 6. Het teeken van B wordt door de volgende beschouwing bepaald , waarbij het noodig is deze hulpstelling vooraf te bewijzen: „Doorloopt z een volledig restsysteem (mod M) met uitzondering van den door M deelbaren term , dan is S 0^ — 1 of ^0 (mod M), al naardat t door /z — 1 deelbaar is of niet." Het eerste gedeelte is duidelijk, want is t door fn — 1 deelbaar, dan is z^^l, dus S<s'eee^ — 1 = — 1 (mod M). Om ook het tweede gedeelte aan te toonen, zij g een primitieve wortel voor het priemgetal M, zoodat de waarden, die z doorloopt, congruent zijn met 9\ 9\ 9\ g', .... p"-'. Hieruit volgt dus of (1— p0 2 2« = 1— ^^''-iXeeO (mod M). Is nu t niet door ju — 1 deelbaar, dan is 1 — g* niet door M deel- baar en dus I, z^ ^^0, w. t. b. w Deze hulpstelling geldt blijkbaar voor een willekeurig priemgetal M. Volgens de binominaalontwikkeling is nu ft-i f> — 1 {z^-{-l) 4 =Z 2 +...-f 1 BIJDK AGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VTERDE-MACHTSRESTEN. 1 65 en hieruit volgt dus, wanneer het teeken 2 op dezelfde waarden van z betrekking heeft aïs zooeven , >'- 1 2 (02 4-1) 4 5£5 — 1 (modM). Maar aan den anderen kant vormen de getallen z^ in hun geheel blijkbaar aile getallen van de groepen A en C te zamen , elk dezer getallen tweemaal genomen Van de getallen behooren er dus 2 (,0.0) + 2 (2.0) tôt A , 2(0.1)4-2(2.1) tôt B, 2(0.2)4-2(2.2) tôt C, 2 (0.3) 4- 2 (2.3) tôt D , en daar de y- y- ] machten der getallen van A, B, C, D respectievelijk congruent zijn met 1, i, —1, —i, zoo volgt dus S {z' 4- 1)^ - 2 [(0.0) + (2.0) - (0.2) - (2.2)] 4- 4- 2i [(0.1) 4- (2.1) -(0.3) -(2.3)] of de waarden van art. 10 invoerende , daar A^=a is , n — 1 l.{z^^\) * = — a - 1 — B i. Uit de vergelijking met het eerste resultaat 2(224-1) 4 =_1 volgt nu a 4- B i iH^ 0 (mod M = a + 6 1) , dus B = h. Hierdoor gaan dan ten slotte de waarden van h, j, k, l, m van art. 10 over in Sh =4n — 8a — 5, 8j =^n-\-a — 2b — l, Sk=in + a—l, SI =4w4-a + 26 -1, 8m = 4w — a -f- 1, waarin dus 8 n 4- 1 =:a2 4- 62 de norm is van het priemgetal M. 166 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 13. Nadat hiermede de beide gevallen , waarin ^ = 8w-{-l is, af- gehandeld zijn, moet nu het geval iu = 8n -{- b beschouwd worden. Daar dan — j — oneven is , zoo behoort — 1 tôt de groep C , en zooals gemakkelijk te zien is, behooren de getallen p — a, p~a\ p — a",... aile tôt C, en de getallen aile tôt D. Met behulp van deze opmerkingen volgt nu zonder moeite, dat het teeken voorstelt het aantal oplossingen van (0.0) a^y -fl=0 (0.1) a-{-ô +1^0 (0.2) a-fa'-f-lEEO (0.3) a + ^+1^0 (1.0) ^-\-y +IEEO (1.1) ^ + à +1EEE0 (1.2) ^ + a +1-0 (1.3) y9 + ^' 4-1^0 (2.0) r + / + i-o (2.1) ri-à +1eeO (2.2) y + a +1 = 0 (2.3) 7 + ^+1ee0 (3.0) ô + y +1eeO (3.1) ô-\-ô'-\-l = 0 (3.2) ô-^a +1 = 0 (3.3) 5 + /S+1^0, (mod M), waaruit dan zes betrekkingen voortvloeien (0.0) = (2.2), (0.1) = (3.2), (0.3) = (1.2), (1.0) = (2.3), (1.1) = (3.3), (2.1) = (3.0). Daar evenals vroeger aa' e:^^ ô^y y' ~~l, zoo heeft men 7'(« + 7 + l)^->'" + l -\-7', ^(a-\.ô-\-l)EE:^' +1 +^, ^«4-/3 + 1)-^' +1 +<5, M/5 + 7 + l)EEl +^' + ^ /(/« + 7 + l)~^ +1 +/, BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 167 waaruit men besluit tôt (0.0) = (2.0) , (0.1) = 1.3), (0.3) = (3.1) , (1.0) = (1.1) = (2.1). Ten gevolge van deze elf betrekkingen neemt het schéma S dezen vorm aan h j k l m m l j h m h m ml j m. Daar —1 in de groep C, dus 0 in C voorkomt, zoo volgt geheel op dezelfde wijze als in art. 8 2m4-i4-;= 2w-f 1, h-^-m^ n. De beschouwing van het aantal oplossingen der congruentie a + ^ + y + l_=--0 levert eindelijk nog eene vergelijking tusschen /î, j, A, /, m op. Neemt men eerst voor a aile waarden, die tôt A behooren, dan gebeurt het respectievelijk h^ j, k, l malen, dat a -f 3 tôt de groepen A, B, C, D behoort. En verder vindt men op dezelfde wijze als in art. 9, dat voor elk dezer gevallen de congruentie respectievelijk m, l, j, m op- lossingen heeft , waaruit dus voor het totale aantal oplossingen volgt hm-\-jl-^kj-{-lm. Neemt men daarentegen eerst voor /S aile waarden van B, dan gebeurt het respectievelijk m, m, IJ malen, dat ^-|- 1 tôt de groepen A,B,C,D behoort En verder vindt men, dat voor elk dezer ge- vallen de congruentie respectievelijk h, m, h, m oplossingen heeft, zoodat het totale aantal oplossingen ook bedraagt mh-{- m7n-\- lh-\-jm. 14. De gelijkstelling van de beide uitdrukkingen voor het aantal oplossingen der congruentie a-}-^ + y-f-l = 0 (modM) 168 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. geeft 0 = 1^1^ -\- lh-\-jm — jl — kj — Im, o{ daar k = 2m — h is, zooals uit de linéaire betrekkingen tusschen h, j, ky l, m in art. 13 dadelijk volgt, 0 = m2-f- lh-\-hj—jl—jm — Im. Drukt men nu met behulp van j -^1^1 -\-2h, j en l beide uit door hun verschil 2j=l-\-2h-^ij-l), dan gaat de voorgaande vergelijking door invoering van deze waar- den over in 0=4m2-4m — 14-4/î2_8/im4- {j—lf, of daar im = 2ih-^m) — 2{h — 7n) = 2n — 2{h — m), komt er 0=z^{}i — mf — 2n-\-2{h — m) — l-{- {j — lf en eindelijk f,:=:.Sn-^b = [i{h-m)^lf-\-^{j-lf, dus voor A = A{h — m)-\-l, B = 2i— 2^, heeft men /.= A2 4-B2. Met behulp van A en B kan men nu gemakkelijk h, j, k, l, m uitdrukken , als volgt Sh =4w+ A — 1, 8i =4w-f-A + 2B — 3, 8A;=4w — 3A + 3, 8Z =4« + A — 2B + 3, 8yw = 4w — A-fl. Er blijft nog over A en B te bepalen. Nu is fx als reëel priem- getal van den vorm 4w-|- 1 slechts op één wijze voor te stellen door een som van twee tweedemachten , en daar M = a-f~ ^^ is, heeft men waarm aEH — 1, 6 = 2 (mod 4). BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 169 Hieruit volgt dus A = — a en B = ±6. Om het teeken van B te bepalen dient eene beschouwing analoog aan die in art. 12. Men vindt gemakkelijk S(^3_|_i)4 =_i^2{li — k)-\-2i{j — l) (modM). Nu is 2{h-k) = A — l, 2(j-0 = B, dus heeft men — 1 = A — 1 + Bi, 0 = A + Bi (modM = a4-6i). Daar nu reeds gevonden werd A = — a , zoo volgt B = — b en ten slotte is dus 8h =in — a — 1, 8; =4w — a — 26 + 3, Sk =4n + 3a + 3, 81 =4w — a + 26-f3, 8m = 4:W + « 4" 1* 15. De verkregen resultaten samenstellende , is dus voor /* = 8 n -f 1 het schéma S van den vorm h j k l j l m m k m k m l m m j waarin : 8h =4w — 3M — 5, voor M = — g 8; = 8A; = 8; =4n-f-M — 1, 8w = 4n — M+1. 8;i =4n — Sa — 5, 8;- =4n4-a -26 — 1, voor M=:a-}-6i 8* =4n-f-a — 1, SI =4n4-a-|-26 — 1, 8m = 4M — a + 1. 170 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Voor ju = 8n-{-b, M = a-}-&î is het schéma S van den vorm h j k l m m l j h m h m m l j m waarin 8/î =4w — a — 1, 8j =4w — a — 2 6 + 3, 8Â; =4w + 3a + 8, U =4w — a + 26 + 3, Zooals uit deze formules blijkt, correspondeert de verandering van 6 in — b met eene vervvisseling van j en /, zoowel in het ge val /i = 8n4-l. als wanneer ix^=8n-\-b is Volgens de congruenties van art. 5 is nu voor /i = 8w + l het karakter van 1 -J- i naar den mod 4 congruent met (3. 1) + 2 (3. 2) + 3 (3. 3) = 3 m + 3 j = ~ m — j en dat van 1 — i congruent met (1. 1) 4- 2 (1. 2) -f 3 (1. 3) = ; 4- 5 m = i + m en dus vindt men voor M = — q g2_l Karakter (l-j-i) — — w = 8 Karakter (1 — 2)eee w=: ^-5 o Nu zijn ^~ en ^-r — geheele , op elkaar volgende getallen , dus is hun product even , en ^-^^ — door 4 deelbaar, zoodat men heeft g^-l_,g^-l (g + l)(g-3)^g4-l 8 ~ 8 8 4 Hieruit volgt en daar — 1 biquadratische rest is , BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 171 terwijl uit 2 = (1 — i) (1 + 0 nog volgt Voor M = a -|- & î daarentegen , is — m— j = — w-f-i6, i -|- m = n + 1 6 en n=-^^ xT • ur-iu ft--la + 3 , (a — l)(a-f-3), ., Nu is blijkbaar - -— , — ^ even, dus g ' — -'door4deel- baar, waaruit volgt «2 — 1 — a + 1 , ,,, —g— = ^ (mod 4), en b door 4 deelbaar zijnde, is dus één der getallen door 6, 6±4 door 8 deelbaar, derhalve g — door 4 deelbaar en zoodat en ten slotte -g- = -g- g -±io, n = ii—a-\-l±2b) (mod 4) 0-1-6 0+1-6 (m)=((=^'))-' Is eindelijk ^ = 8w + 5, M = a-|-6î, dan vindt men Karakter (1 + z) -; (1. 1) + 2 (1. 2) + 3 (1. Hierin is, aile congruenties betrekking hebbende op den modulus 4, I 72 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. m-\-2l-\-Sj=Sn-^i{—2a — b + 8), i + 2j-|-3w = 3n + i(— 6 + 6)=:-~w-t-i(— 6 + 6), n=-^ — ; ^—^^ Q^+ ^ •• j • (a — 3)(a + l) 4 . — even zijnde, is „ door 4 deelbaar, evenzoo (6 — 2)(6H-2) , ,. ook g , dus heeft men a2_^52_5 (a_3)(a + l) 62-4_ w:- g ——g ^g— - 4(a+ 1), zoodat er ten slotte komt wî-f2/ + 3JEEi(a — 6 + ll) = (a — 6 — 5), / + 2j + 3 w HE i(~- a — 6 -f- 5) en hiermede a4-6i7/ g — 6 — 5 //-■ ^. >^,^ —a — 6 + 5 -{-bi// ' Wa-f &i' Het karakter van — 1 gelijk twee zijnde, vindt men verder en a4-bi}l~ + Hiermede is het quadratisch karakter van l-\-i, als ook dat van 1 — i, — i — ^, — 1 + z ten opzichte van een primair priemgetal in elk geval bepaald. De uitkomsten stemmen geheel overeen met die door Gauss in art. 63 en 64 van de Theoria residuorum biquadrati- corum commentatio secunda gegeven , en daar in art. 68 — 76 op ge- heel verschillende wijze bewezen. 16. Met betrekking tôt de analogie van een groot gedeelte der voorafgaande beschouwingen met die van Gauss in art. 8 e. v. van zijne eerste verhandeling over de théorie der vierde machtsresten , valt het volgende op te merken. Gauss beschouwt reëele getallen, en de priemmodulus p is van den vorm 4w -j- 1 , terwijl de beide gevallen p = 8n-\-l, p = 8n-\-b onder BIJDR AGE TOT DE THEORIE DER DERUE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. 1 73 scheiden moeten worden ; p heeft dus dezelfde beteekenis als de norm ju in de gevallen II en III van art. 4. De getallen 1, 2, 3, ..., p — 1 worden nu bij Gauss in 4 klassen A, B. C, D verdeeld. De getallen dezer klassen door a, /î, y, <3 aan- duidende, is deze klassificatie gegrond op de congruenties a * =1 fi * ~r ^-1 (mod//=p), Y * =-1 ft-i ô * =-f waarin f^ — — 1 (mod p) , en voor ju = a^-\-b^ a=zl (mod 4), a + bfz^O (modp). Voor p = ju = Hn-\- 1 hebben a en 6 dezelfde beteekenis als in het bovenstaande , voor p = Sn-{-b verschillen a en 6 bij Gauss alleen in teeken met de waarden, die zij in het voorgaande hebben, waar M. = a-\-bi een primair complex priemgetal is Laat men nu echter ook complexe getallen toe, dan is het dui- delijk, dat de bovenstaande congruenties , die betrekking hebben op den modulus p = /i, blijven gelden voor den modulus a -j- 6i, zoodat ook a + 6/1^0 (moda-f-6i) is, waaruitblijkt/'Eni (mod a -[- 6 i) , en dus it-i /«-i fi-i f-t a * =l,/î* ~i, y ^ ^— 1,(5* ^ — i (mod a + 60- De klassificatie van Gauss valt derhalve samen met die volgens het biquadratisch karakter 0, 1, 2, 3 met betrekking tôt den modulus a -\- bi. Inderdaad , de reëele getallen 1, 2, 3, ...,;)— 1 vormen voor den modulus a-^bi een volledig systeem incongruente , niet door den modulus deelbare resten. Vervangt men dan ook in de beide laatste voorbeelden van art. 5 de complexe resten door de congruente reëele getallen, wat met be- hulp van i = 27 (mod — 3 — 8 1) en i = IJ (mod — 5 + 6 i) zonder moeite kan geschieden, dan verkrijgt men 174 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. (mod — 3 — Si), /i=73, A 1, 2, 8, 9, 16, 18, 32, 36, 37, 41, 55, 57, 64, 65, 69, 71, 72. B 5, 7, 10, 14, 17, 20, 28, 33, 34, 39, 40, 45, 53, 56, 59, 63, 66, 68. C 3,6, 12, 19, 23, 24, 25, 27, 35, 38, 46, 48, 49, 50, 54, 61, 67, 70. D 11, 13, 15, 21, 22, 26, 29, 30, 31, 42, 43, 44, 47, 51, 52, 58, 60, 62. (mod — 5 + 62;), ^ = 61, A 1, 9, 12, 13, 15, U, 20, 22, 25, 34, 42, 47, 56, 57, 58. B 2, 7, 18, 23, 24, 26, 30, 32, 33, 40, 44, 50, 51, 53, 55. C 3, 4, 5, 14, 19, 27, 36, 39, 41, 45, 46, 48, 49, 52, 60. D 6, 8, 10, 11, 17, 21, 28, 29, 31, 35, 37, 38, 43, 54, 59. volmaakt overeenkomende met de voorbeelden door Gauss gegeven in art. 11 der eerste verhandeling. Alleen voor het geval I van art. 4 , bestaat in de reëele théorie van Gauss niets analoogs, wat daarmede samenhangt, dat men in dit geval uit reëele getallen geen volledig restsysteem kan vormen De opmerking, dat de verdeeling in klassen A, B, C, D van Gauss in zijne eerste verhandeling identiek is met die volgens het biquadra- tisch karakter ten opzichte van den modulus a + bi, levert 00k terstond het middel op, cm al die theorema's te bewijzen , die door Gauss in zijne tweede verhandeling, art. 28, opgesteld zijn, en welke door inductie ontdekt werden , maar die tôt nog toe , voor zoover ik zie , niet werden bewezen. Deze theorema's hebben betrekking op het voorkomen van een reëel priemgetal m in de vier klassen A, B, C, D, of na het voorgaande , op het biquadratisch karakter van m ten opzichte van a-\-bi als modulus. 17. Ik laat nu hier de door Gauss in art. 28 opgestelde opmer- kingen volgen. De priemmodulus p = lu zij van den vorm 4n-|- 1, volgens de opmerking van het vorige artikel is het nu te doen om de bepaling van de waarde van het symbool \\a4-bill -f- waarin m een reëel priemgetal is ; de omstandigheid, dat voor /^ == 8 w -f- 5 a en 6 bij Gauss in teeken verschillen van de waarden in art. 14 heeft BIJDRAGE TOT DK THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 1 75 op de uitspraak der theorema's geen invloed Het priemgetal m zal met zulk een teeken genomen worden , dat het steeds ~ 1 (mod 4) is, dus negatief wanneer het positief genomen , van den vorm 4A; -j" 3 = Q is, terwiji een positief priemgetal van den vorm 4 A;-}- 1 door P zal aangeduid worden. De opmerkingen van Gauss kunnen nu aldus uitgedrukt worden I. Is aEEO (modw) dan is ( (^^ôi) ) = ± 1- 1 ^^ wel -|- 1 wan- neer m van den vorm 8r ± 1 , daarentegen — 1 wanneer m van den vorm 8r ± 3 is. II. Is a niet door m deelbaar, dan hangt de waarde van het symbool af alléén van het volkomen bepaalde getal x, dat voldoet aan de congruentie 6 = arr (mod m). Voor w = P kan x hier de volgende waarden aannemen 0, 1, 2, 3, ..., P— 1, met uitzondering van de beide waarden /"en P — /", die voldoen aan yy^^—\ (modP). Deze kunnen blijkbaar niet voorkomen, want uit b^^ay zou volgen 62 = — a2 o{ a^-\-b'^ = p = 0 (modP), d. w. z. p zou door P deelbaar zijn. Voor m = — Q daarentegen kan x aile waarden 0, 1, 2, 3, ..., Q-1 aannemen. Deze waarden van x kunnen nu in 4 klassen a, fi, y, à verdeeld worden, zoodanig dat voor b = aa (mod m) de  neerkomt, dat in deze gevallen m respec- tievelijk tôt de klassen A, B, C, D behoort. Omirent het aantal der getallen a, /5, y, (5 geldt nu deze regel, dat drie dezer aantallen gelijk zijn, terwiji dan het vierde aantal één kleiner 176 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. is; en wel is dif vierde aantal dat der as, wanneer voor ar=^0 m tôt A behoort, en dat der y s, wanneer voor a~£EO m tôt C behoort. De verdere opmerkingen van Gauss in art. 28 kiinnen voor het oogenblik daargelaten worden , daar hun bewijs geen bezwaar onder- vindt, zoodra eenmaal het bovenstaande aangetoond is , waartoe ik nu overga. 18. Zij dan vooreerst m = — Q , volgens de reciprociteitswet is dan (L-^))=(("-^)) en voor a = 0 (mod Q) (L^))=((?))=((i))((i))=""- want [['q)] = 1 ; immers men heeft n»_i b ^-))-6 * (modQ) Q2 J^ 0 4-1 en daar Q van den vorm ir-\-3, en dus ^ =(Q — 1) ~-f^- een veelvoud van Q — 1 is, zoo volgt uit het theorema van Fermât m= Voor Q=:8w4-3 volgt nu (L-^.))=-- voor Q = 8 M + 7 fâ)) = + '- Voor m = P = (A + B i) (A — Bi) daarentegen , waarin A -\-Bi en A — Bi de primaire factoren van P zijn , volgt uit de reciprociteitswet P \\_(( a + bi\\(( a-{-bi \a-\-bill \\k-{-Bi}}\\K — Bi en voor a = 0 (modP) BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE- MACHTSRESTEN. 177 Nu is, zooals bekend, in 't algemeen dus ((^))=((xïV.))=(-^)-. -{-bill \\A4- of voor P = 8 n -j- 1 en voor P — 8 n + 5 ((i^)]=-- + Hiermede is dus het in het voorgaande art. onder I gezegde ge- heel bewezen. 19. Onderstellen wij dan nu, dat a niet door m deelbaar is, en beschouwen wij eerst het eenvoudigste geval m = — q, dan is dus ((^i.))=((H-)) Q) -\-bill \\ Q en voor bzi^ax (mod Q) daar (l-^|| = l is, zooals reeds in het voorgaand artikel bewezen Q werd. Uit de verkregen uitkomst (U-!T))=((n^)) ■i-bill W Q blijkt nu reeds, dat de waarde van het symbool links, alleen van het getal x afhangt, welk getal de Q waarden 0, 1, 2, 3, ..., Q-1 kan aannemen. Wij hebben dus nu nog slechts deze vraag te beantwoorden : 12 178 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 