Oeuvres complètes. Publiées par les soins de la Société mathématique d'Amsterdam
Je termine en faisant encore quelques remarques au sujet de la fonction tp {x, p). Lorsque x est positif, tp (x, p) peut être exprimée par une intégrale définie 1 /"<» / 1 tf — (a;— 1)M\ (12) . . . W.,P) = j^^/ (l-i-_)a-«„.-.«, 0 d'où l'on peut tirer entre autres les développements suivants (13) . .^(.,p) = v-(l,p) + ^/l^^'(logJ:)^-'du, 6 (i4)v.(...)=^:-^-i-^-^/"(-f^-i-l).-«"«-..». 0 En effet, lorsque x est positif, on peut réduire la formule (7) en écrivant — , -Lup' ^^^' ^^"^ forme d'intégrales définies: on sait que uP-^du. On a de même pour le premier terme n^-P — 1 1 roog-M — g-nu l-p -T{p)j û 0 Cette dernière formule se tire de l'avant-dernière, lorsqu'on multi- plie celle-ci par da et qu'on intègre entre les limites a = 1 eta = *î. On trouve ainsi, après quelques réductions, la formule (12), d'où (13) et (14) suivent aisément. La formule (14), d'où l'on peut conclure immédiatement à la for- mule (10) , donne aussi une série semi-convergente pour ^) {x, p), série que d'ailleurs on pourrait également tirer de (7) en appliquant une formule connue de Maclaurin. III. (J. Math., Berlin, 89, 1880, 343—344.) Notiz uber einen elementaren Algorithmus. Es seien a^, «2- - • -y cik réelle Zahlen , M^ ihr arithmetisches Mittel , Mg das arithmetische Mittel aller Producte aus je zwei verschiedenen dieser Zahlen , Mg das arithmetische Mittel aller Producte aus je drei verschiedenen dieser Zahlen u. s. w. Die letzte der auf dièse Weise zu bildenden Grôssen ist M^^ = a^ ag . . . au- Es soll ferner festgesetzt werden Mq = 1 • Im Allgemeinen ist dann M^-Mp-iMp + i (p=i,2,...,;c — 1) positiv; genauer gefasst: dieser Ausdruck wird nie negativ und nur dann gleich Null , wenn entweder sâmmtliche Zahlen a^, Og, . . ., a^t ein- ander gleich sind, oder wenn mindestens k — p -{- \ dieser Zahlen gleich Null sind. Im letzteren Falle ist offenbar Mp = Mp-i-i = 0. Sind jetzt die Zahlen a^, a^. •••? (^k sâmmtlich positiv und setzt man ""^^ Mp_i ' (P=:l,2, ...,/fc) so ist nach obigem Satz wobei der Fall , in welchem die Zahlen a^^a^, . . .,ak sâmmtlich einander gleich sind, ausgeschlossen werden mag. Weiter ist a, Oo . . . Or = a, Oo . . . flAi 32 NOTIZ UEBER EINEN ELEMENTAREN ALGORITHMUS. und wenn von den Zahlen a^, a^, . . .,«* keine yo^ und keine <,ak ist, ^~ k = k ' k cik = -^ -, — ,- > Qk, ±^±-^,,,^± «1 tta ' ' Ok folglich : 0 < ai — flfc < — V-- (»! — Ok). Durch wiederholte Anwendung der Opération, durch welche die Zahlen a[, a^, . . .,alf aus ai,a2, ...,«& hergeleitet wurden , erhalt man also Gruppen von k Zahlen , deren Product unverândert bleibt , wahrend sie sich unbegrenzt einander nahern Die Zahlen einer Gruppe convergiren also sâmmtlich gegen die Grenze (a^ a^ . . . ca:)^. Bezeichnet man die Zahlen der n^^n abgeleiteten Gruppe mit (p=l,2,...,A;) so werden die Differenzen rt (w) ^ (n) {p = l,2,...,k—l) welche sich beliebig der Null nâhern , immer mehr einander gleich, sodass das Verhaltniss von je zwei dieser Differenzen (fur dasselbe n) fur n = 00 die Einheit zur Grenze hat. IV. (Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet. , i* sect , sér. 2, 17, 1882, 239—254.) Over Lagrange^s Interpolatieformule. 1. De gewoonlijk aldus genoemde formule leert de geheele rationale functie van x , van den n — 1^**" graad hoogstens , die voor de n bijzondere waarden x = x^, x = X2, . . ., x=:Xn met eene willekeurige functie f{x) in waarde overeenkomt, onder den volgenden vorm kennen (p(x) ^,{X-X,)cp'{x,)^^^^' waarin q, (x) = {X — X^) {x — X2) . . .{x — Xn) en ç>' {x) als gewoonlijk, de afgeleide functie van q){x) voorstelt. Is de functie f{x) zelf geheel rationaal, van niet hoogeren dan den n — 1*'^° graad , dan is identiek In het algemeen echter moet deze formule aangevuld worden door eene rest, evenals dit bij het theorema van Taylor het geval is. In het 84"*^ deel van het Journal fur die reine und angewandte Mathematik, heeft Hermite (p. 70 e. v.) den volledigen analytischen vorm van deze rest als eene bepaalde integraal gegeven en vvel onder twee verschillende gedaanten ; als grensgeval ligt in deze for- mulen ook de rest van de reeks van Taylor opgesloten. Evenals men onmiddellijk uit de bepaalde integraal , die de vol- 3 34 OVER lagrange's interpolatieformule. ledige rest van de reeks van Taylor voorsteit, den restvorm van Lagrange^) kan afleiden, kan men ook een analogen restvorm voor de interpolatieformule van Lagrange uit de veelvoudige integraal af- leiden, waaronder Hermite de rest voorsteit Maar, evenals men veeltijds deze vereenvoudigde rest bij de reeks van Taylor afleidt zonder van de hulpmiddelen der integraalrekening gebruik te maken, kan men hetzelfde ook voor den analogen restvorm van de inter- polatieformule verlangen. Eene zoodanige ontwikkeling wordt in het volgende gegeven. Ik merk nog op dat, hoewel de hier verkregen restvorm gemakkelijk uit Hermite's formule afgeleid kan worden , deze toch niet dezen vereenvoudigden restvorm gegeven heeft. Het is hiertoe noodig eene élémentaire eigenschap van bepaalde enkelvoudige integralen tôt veel- voudige integralen uit te breiden , wat echter geen bezwaar ontmoet. De te bewijzen formule kan aldus geschreven worden waarin ^ eene waarde heeft, gelegen tusschen het grootste en het kleinste der getallen x, ooi, . . ., ocn. Hierbij moet ondersteld worden , dat de functie f{x) evenals /■'(2), f"{z), . . ., f^~'^{z) eindig en continu zijn voor aile waarden van z, gelegen tusschen x, x^, . . ., Xn en dat voor dezelfde waardei) van z de functie /"" - ^ {z) een eindig en bepaald differentiaalquotiënt f^ {z) heeft. De formule (1) neemt een meer eleganten vorm aan, wanneer men er /""(l) uit afzondert; men overtuigt zich gemakkelijk, dat ze alsdan deze gedaante aanneemt (o^ /•(x) f{x,) f{Xo} I fM _ 1 .^^,. ^^^ ' ' ' w'{xyw'{x^Vw'{x2V"'^W'{Xn) 1.2. 3. ..m' ^^^' waarin ^) {z) ^={Z — X){Z — X^) {z — Xo}...{z — Xn). Men herkent hierin eene uitbreiding van de voor w = 1 ontstane élémentaire formule f{x) — f{x^) _ , ^^. ') Théorie des fonctions analytiques. Eerste editie (1797) p. 49, OVER LAGRANGE'S INTERPOL ATIEFORMULE . 85 2. Het bewijs van de formule (1) berust nu op de volgende hulp- stelling : „ Wanneer de functie Gr (z) voor de n -f- 1 verschillende waarden z = x, z = X]^, . . ., z =zxn de waarde nul aanneemt, dan neemt het n^* difîferentiaalquotiënt G" (z) de waarde nul aan voor eene waarde z = ^, gelegen tusschen het grootste en het kleinste der getallen x, x^, . . ., Xn-" Ondersteld wordt hierbij , dat G (s), G'(2), . . ., G'»-^^) eindig en continu zijn voor aile waarden van z gelegen tusschen x^x^, ...,^n, en dat voor dezelfde waarden wan z de functie Q^-^{z) een eindig en bepaald differentiaalquotiënt Q»{z) heeft. Voor w = 1 is dit een bekend theorema , waaromtrent het voldoende is te verwijzen naar Dini , Fondamenti per la teoria délie funzioni di variabili reali, p. 70. Het bewijs van dit theorema, evenals dat van eenige nauw ver- wante, zooals het in de nog meest gangbare leerboeken voorkomt, bijv, Serret, Cours de calcul différentiel et intégral , bevat eene leemte, die eerst aangevuld werd door eenige onderzoekingen van Weierstrass; men zie Dini, p. 43 — 51. Weierstrass zelfschijnt van deze onderzoe- kingen omirent de grondslagen der functieleer niets gepubliceerd te hebben. Het is vooral noodig op te merken , dat in het eenvoudigste geval n = l de grootheid | tusschen x en x^^ ligt , en verschillend zoowel van x als van x^ aangenomen mag worden. Het bewijs van de hulpstelling in het algemeene geval volgt nu onmiddellijk uit de waarheid in het eenvoudigste geval w:=l. Is namelijk n = 2, dus (}{x) = 0, G{xi) = 0, G{Xo) = 0, dan kan men onderstellen X<Xi< x^ en men heeft dan G'(fi)==0, x<^^<x^ G'(|,) = 0, x^<^.^<x, en hieruit door nog eens het theorema voor n = i toe te passen G"(|) = 0. ^i<l<^2 Men kan op deze wijze voortgaan , en het blijkt dan tevens, dat 36 OVER lagrange's interpolatieformule. in het algemeene geval | ondersteld mag worden niet gelijk te zijn noch aan het grootste, noch aan het kleinste der getallen x,Xi, ...,0Cn. De voorvvaarden van continuiteit en differentieerbaarheid , die men aan de functie G {z) en de afgeleide functies moet stellen , volgen zonder moeite uit die, welke voor het geval n=i gesteld moeten worden. 3. Het bewijs van de formule (1) kan nu aldus gevoerd worden. Ter bekorting moge het interpolatiepolynomium van Lagrangedoor F (x) aangeduid worden , zoodat (3) F{x)=y^-, -^^-vfM- p = \ Onder de waarden x^, x^, . . .^Xn komen geen twee gelijke voor, en daar de functiën Y {x) en f{x) voor ic ^ rc^, rc = a;,, . . .., x^=Xn dezelfde waarden aannemen, en het ons te doen is om in het algemeen een be- knopten vorm van het verschil f{x) — F {x) te vinden , zoo kunnen wij hierbij zonder nadeel de onderstelling maken, dat de waarde a; niet samenvalt met een der waarden x^, rrg, . . ., Xn- Dit aangenomen, zij (4) . . . . f{x) = Y{x)-\-{x — x^){x — x^).,.{x — Xn)'^. De waarde van R is dan hierdoor volkomen bepaald. Terwijl nu verder, voor een oogenblik, x,x^, . . ., ^„ als constanten gedacht wor- den en z eene nieuwe veranderlijke is, beschouwen wij de functie (5) . . Ç^{z) = —f{z)-\-¥{z)-\-{z — x,){z-x,y..{z — Xn)B., waarin dus R de door (4) volkomen bepaalde, van ^ onafhankelijke waarde heeft. Blijkbaar is nu, niet alleen a(a;) = 0, maar ook ■G(:ri)^0, G(:C2) = 0, ..., G(a;„) = 0, waaruit dus volgens de hulpstelling van art. 2 volgt (6) G«(|) = 0, waarin | eene waarde heeft gelegen tusschen het grootste en het kleinste der getallen x, x^^, . . ., Xn- Maar daar F{z) hoogstens van den n — 1'^'=" OVER lagrange's interpolatieformule. 87 graad in -s is , valt bij de w-voudige differentiatie van (5) F (z) weg , en is G" (2r) = — /^" (2) + 1 . 2 . 3 . . . w . R. Wegens (6) volgt nu en dit in (4) gesubstitueerd geeft waarmede het bewijs van de formule (1) geleverd is. 4. Wanneer men in de nu 00k bewezen formule (2) de steeds ongelijke getallen x, x^, ..., Xn allen tôt eenzelfde limiet X laat con- vergeeren , dan volgt ^ ' \rp {X) ^ W {x^) ' w {^)\ \.2...n' ^ ' Behalve de onderstellingen die voor de geldigheid der formulen (l) en (2) gemaakt moeten worden , moet bij deze laatste formule boven- dien nog f^{x) voor a; = X continu zijn, daar men anders niet kan besluiten, dat /*"(!) bij convergentie van | tôt X, tôt de limiet /""(X) convergeert. Deze formule (7). die dus in het geval, dat f^{x) voor a; = X continu is, eene directe algemeene definitie van het n^" differentiaalquotiênt van eene functie f{x) geeft , schijnt nog niet in de hier gegeven alge- meenheid bewezen te zijn Wel komt zij voor in het uitstekende werk van Lipschitsch , Differential- und Integralrechnung, p. 204 , Form. 20, maar bij het daar voorkomende bewijs moet men onder- stellen, dat x^x-^, . . ., Xn bij hunne convergentie tôt de limiet X, behalve dat zij steeds ongelijk blijven, nog aan andere condities moeten vol- doen, die hier overbodig blijken. Zie t. a. p. p. 203, regel 6 v. o. En verder is daar het bestaan van een eindig en continu n + 1*'* differentiaalquotiënt aangenomen. Ook deze conditie ligt stellig in het geheel niet in den aard der zaak, en nadat Weierstrass continue functies heeft leeren kennen, die niet differentieerbaar zijn , zou niets 38 OVER lagrange's interpolatieformule. gemakkelijker zijn dan functiën op te stellen , voor welke de formule (7) geldig is , maar waarbij van geen n + 1"** differentiaalquotiënt sprake kan zijn^) 5. De overeenkomst van de formule (1) met het theorema van Taylor valt nog meer in het oog, wanneer men het polynomium Y{x) niet voorstelt onder de élégante en symmetrieke gedaante door Lagrange gegeven , maar onder den vorm, dien Newton in het 3** Boek der Principia bij gelegenheid van zijne behandeling van het kometen- probleem geeft. De formule (1) neemt dan namelijk deze gedaante aan (8) . . . f{x) = A^-j-A2{x — x^)-i-As{x — x{){x — X2)-{-.. -{- An{X — X^) {X — X2)...{x — Xn-l)-{- . {X — Xi) {X — X2) . . .{X — Xn) Hierin is en algemeen 1.2.3...« ^'"'(«• i / V 1/ ' Û /y. /y% I /y, ^y. Jyi^ ■"" U/2 *A^2 *^1 (9) \ ^ "P'p M "P'p (^2) ç^'p M' I (pp (z) ^{Z — X^) {Z — X2) . . .{Z — Xp). Newton geeft niet explicite deze algemeene uitdrukking voor Ap, maar wel de volgende rekenvoorschriften om achtereenvolgens A^, Ag, ... te berekenen : Ai-A(^i), A.-^^-^^ X2 x^ A Bo — Ap , Ao= — = -, A.=: ' % - ^1 ' * B3 — A3 x^ — x^' B,=r{x2), B. ^^-^^ XS-X2' 13 _ Cg — Bg X4 Xg Ci=A^3), P _ Di - Cl ... T)i=nx,), ... 1} Men zie J. Math , Berlin, 79, p. 29 e. v., 00k 90, p. 221. OVER LAGRANGES INTERPOLATIEFORMULE. 89 Stelt men deze grootheden , zooals zij achtereenvolgens gevonden worden , aldus te zamen Al A2 Bi A3 (10) ( B, A,, Cl Bq G dan komt deze berekening geheel overeen met die van de gewone interpolatie in het geval, dat rr^, ccg, . . ,rcneenerekenkunstigereeksvor- men, met deze geringe wijziging, dat de 1»'*, 2''% 3''%... rijen van verschillen hier respectieve door de factoren l.(x2 — x^), 1.2.{x2—Xif, 1 . 2 . 3 . (xg — Xif . . . gedeeld voorkomen. Volgens de formule (2) is ^-=1.2.8..'.(p-l)^'-'(^^)' waarin fp eene waarde heeftgelegen tusschen hetgrootsteen het kleinste der getallen Xi, X2, . . ., Xp. Laat men dus in de formule (8) x^, x^, - - .,Xn tôt eenzelfde limiet convergeeren , dan ontstaat onmiddellijk de for- mule van Taylor met den restvorm van Lagrange. 6. De Newton'sche vorm van het interpolatiepolynomium F {x) = Al + A2 (a; — x^ + A3 {x—x^) {x — x^-\-'-' -\- kn{x — ^i) {X — X<,)...{x — Xn- l) heeft boven dien van Lagrange 00k nog dit voordeel , dat hij onmid- dellijk doet zien welken vorm F (a;) aanneemt, wanneer er onder de grootheden x^^ x^^ - . . ^ Xn sommige tôt eenzelfde limiet convergeeren of gelijk gesteld worden. Convergeeren namelijk x^^ x^^ . . ., rcp tôt de limiet X, dan is volgens (9) en (7) en daar aile in het tableau (10) voorkomende grootheden op dezelfde wijze als A^ samengesteld zijn , zoo kan men 00k onmiddellijk in 40 OVER lagrange's interpolatieformule. dit geval het geheele tableau (10) vormen. Men ziet namelijk gemak- kelijk, dat men hierbij , om onbepaalde uitdrukkingen — te ontgaan, slechts die grootheden x^y x^, . . ., a-» , welke ten slotte gelijk gesteld worden, onmiddellijk op elkaar behoeft te laten volgen. Men heeft dan verder de formule (11) en Newton's voorschriften te volgen om het geheele tableau te verkrijgen. Werden dus bijv. x^, x^, . . ., xp allen gelijk X, dan moet men in dit geval bekend onderstellen AX),r(x), ...,rp-Hx). Hierin schijnt dan ook de meest geschikte méthode te bestaan , om het polynomium van den laagst mogelijken graad H (a;) te vormen, dat aan deze voorwaarden voldoet (12) H{x,)=r{x,), U'{x,) = f'{x,), ,H''.-i(^i) = r'-M^i). H {x,)=r{x,), H' {x,)=r{x,), , H"«- 1 {x,)=r'-' {x,). E{Xn)=nXn), R'iXn)=r{Xn), , H"- M^«) = T" " M^n), welk polynomium R{x) hoogstens is van den graad k — 1 voor A; = a^ -|- «2 + • • • «"• Men verkrijgt op de boven beschreven wijze dit polynomium H (x) onder dezen vorm l{{x) = A-\-Bix—x^)-^C{x-x^f-\-.. .-\-L{x — x^Y^ + M{x—x^r^{x—X2)-\-.. . . .-{-R{x — rr^)"' {x — X2)''* . . . {x — Xn-i)""-^ {x — Xn) "» " ^ waarin de constanten A, B, C, . . ., R onmiddellijk aan het tableau (10) ontleend kunnen worden. 7. Voor het verschil f{x) — H (x) bestaat weder eene eenvoudige uit- drukking, en daar hierin eene verdere uitbreiding ligt van de formule (1), zoo moge de hierop betrekking hebbende ontwikkeling nog in 't kort geschetst worden. Hetzal, na het voorgaande, overbodig zijn de condities, waaraan men f(x) te onderwerpen heeft, hierbij in extenso te vermelden. In de eerste plaats dan is het noodig de hulpstelling van art. 2 aldus uit te breiden ; OVER LAGRANGE'S INTERPOL ATIEFOR MULE. 41 Voldoet eene functie G (z) aan de condities Q(x) = 0, Gc'{x) = 0, ..., G°-i(^) = 0, G(y) = 0, G'{y) = 0, . . ., Gl^-Uy) = 0, G{z)=0, G'{z)=0, ..., Gr-i(s)=0, a-\- ^ -{-y ... = n waarvan het aantal bedraagt , dan is waarin | gelegen is tusschen de grootste en de kleinste der ongelijke waarden x, y, z, . ,. Na hetgeen in art. 2 gezegd is, schijnt het niet noodig, bij het bewijs hiervan lang stil te staan. Men kan eerst het geval, dat het grootste der getallen a, /5, ^, . . . twee is, beschouwen, en vervolgens voor dit grootste onder die getallen 3,4,5,... aannemen. 8. Zij nu H (x) het polynomium van den k — l'*"" graad hoogstens, dat aan de condities (12) voldoet, en (13) . . . f{x) = Rix)-{-{x — x,r^ix — X2V>..Ax — Xn)"''R dan is, x verschillend van x^, x^, . , ., Xn ondersteld, de waarde van R hierdoor volkomen bepaald. Beschouwt men nu verder de functie G{z) = — fi2)-\-iî iz) -\-{z — a^i)"' {z — x^r* ...{z — Xn^'B,, dan is blijkbaar niet alleen G ix) = 0, maar ook G(a;i) = 0, G'{x^) = 0, . . ., G«'-i(a:i) = 0 , G(a;2) = 0, G'(X2) = 0, ..., G''>-Hx2) = 0, G{Xn)=0, G'{Xn)=0, ..., G'"'-HXn) = 0, en derhalve G*(|) = 0, maar, daar H (z) hoogstens van den k — !•*" graad is , heeft men G * (s) = — /"M^) 4- 1 . 2 . 3 . . . A . R 42 OVER lagrange's interpolatieformule. en ten slotte (14) Hierin ligt I tusschen het grootste en het kleinste der getallen X j iCj, . . .) OCh' In deze formule Hggen zoowel de reeks van Taylor als de formule van Lagrange , door een restterm aangevuld , als bijzondere gevallen opgesloten. In de aangehaalde verhandeling stelt Hermite ook voor dit geval het verschil f{x) — H {x) met behulp van bepaalde integralen voor. 9. Het algemeenste resultaat, dat door de in het voorgaande ont- wikkelde méthode verkregen kan worden, schijnt het volgende te zijn. Laten f{x) en H(a;) dezelfde beteekenis behouden als in art. 6—8, verder fy^{x) eene nieuwe functie van x zijn en 'H.^{x) die rationale functie van X van den k — 1»^^" graad hoogstens, die aan de condities (12) vol- doet, wanneer men daarin de functie /"(rc) door fi{x) vervangt. Zij nu (15) f{x) = R{x)-\-U{f,{x)-^,{x)). Zal de waarde van R hierdoor op ondubbelzinnige wijze bepaald zijn, dan moet x niet alleen van x^^ X2, . . ., Xn verschillen, maar bovendien mag niet /i(x) — B^{x) = 0 worden. Dit nu onderstellende , zij G {z) =f{,)-}îiz)-R if, (0) - E, (z)) , dan is niet alleen G{X)=:0, maar ook G(a;i)=0, G'{x{)=0, ..., G".-i(^i)=0, en dus volgens art. 7 maar daar R^{z) en Hi*(2) identiek nul zijn, zal Q>^{z)=fHz)-Rr,H2) OVER lagrange's interpolatiéformule. 43 worden en derhalve heeft men of wel (16) nx)=E(x)-{.{r,ix)-iî,{x))^. Deze algemeene formule gaat onmiddellijk in de formule (14) over, wanneer men aanneemt A(^) = ^. Dan wordt namelijk /•* (a;) = 1 . 2 . 3 . . . A en zooals dadelijk te zien is /; (X) - Hi (X) = {X — X^)''^{X — X^y* ...{X — Xn)"'. NASCHRIFT. Dat er altijd één en niet meer dan één functie H (x) bestaat , die aan de condities (12) voldoet, en hoogstens van den A — P'" graad in X is, kan onmiddellijk aldus aangetoond worden. H{x) = aQ-\-aiX-{- a^x^ -j" ••• + «*- 1^* ~ S dan heeft men ter bepaling van de k onbekenden ao, a^, . . ., Ok-i de volgende k linéaire vergelijkingen aQ-\-x^a^-\-x^a^-\- -]- x\-^ak-i=f (x^) lai + 2a;ia24- -\-{k—\)x\-''ak-i=r(x{) 1.2. «2 + . . . . -{-{k—\)(k-2)x\-^ak-i=f"{x^) (ai— l)!a„,_i+.. 4-(A-l)(A — 2)...(A — ai + l)a;*-'''flA_i = =r^-Hx^) OoH-^2«i4-^2''^a2 + -\-x\-^aic-\=f {x^) l.ai4-2a;2«2 + ■\-{k---\)xl-^aic-i = f'{x^) De te bewijzen stelling bestaat nu daarin , dat aan dit stelsel ver- gelijkingen steeds door één en door niet meer dan één stelsel van waarden voor Oq, a^, . . ., a*- 1 voldaan kan worden. 44 OVER LAGRANGE S INTERPOLATIEFORMULE. Vooreerst is nu op te merken, dat het systeem (A) nooit meer dan één oplossing kan toelaten , want waren er bijv. twee oplossingen , dan zoude men dus twee verschillende functies G (x) en H (x) hebben, die beide aan de voorwaarden , in (12) uitgedrukt , voldoen en die beide van den k — P'«" graad hoogstens zijn. Dit nu is onmogelijk, want uit die vergeîijkingen (12) zou volgen , dat het verschil Gix) — E.{x) algebraïsch deelbaar is door de uitdrukking van den A;''*" graad {x — X^Y' {x — X2)"* ...{x — Xn)"". In de tweede plaats is het évident, dat aan (A) door de waarden ao = 0, ai = 0, 02 = 0, . . ., ak-i=^0 voldaan wordt zoodra de tweede leden der vergeîijkingen gelijk nul gesteld worden, en na het bovenstaande is dit 00k de eenige oplossing in dit geval Uit de théorie der linéaire vergeîijkingen volgt nu onmiddellijk, dat de déterminant van het stelsel vergeîijkingen (A) niet gelijk nul is, want uit die théorie is bekend, dat zoodra deze déterminant gelijk nul is, aan de vergeîijkingen (A), nadat daarin voor de tweede leden overal de waarde nul genomen is, voldaan kan worden door een stelsel waarden a^, ai, . . ., ttk-i, die niet allen gelijk nul zijn, wat in strijd zoude zijn met het boven bewezene. Uit het niet gelijk nul zijn van den déterminant van het stelsel ver- geîijkingen (A), volgt nu onmiddellijk, dat aan dit stelsel , bij wille- keurige waarden der tweede leden, steeds door een enkel stelsel van waarden Œq, ai, . . ., a^-i voldaan kan worden. Men kan overigens de waarde van dien déterminant gemakkelijk aangeven. Wanneer men namelijk in onderstaande bekende identiteit 1 a I b le 6*- = {b — a){c — a) {d — a) {c — b){d — b) id — c) iq — a) iq-b) iq — c) iq—p) OVER LAGRANGE'S INTERPOLATIEFORMULE. 45 de a^ eerste der grootheden a, b, c, . . .,p, q tôt de limiet Xi, de Og volgende tôt de limiet X2 enz. laat convergeeren , de horizontale rijen op passende wijze transformeert , waarbij men te deelen heeft door de factoren die ten slotte gelijk nul worden, en voorts bij den grens- overgang van de formule (7) gebruik maakt, verkrijgt men de navolgende waarde voor den déterminant van het stelsel verge- lijkingen (A) 0 ! 1 ! 2 ! ... (ai — 1) ! (0:2 — Xi)"'"» (a^g — x^y^"» . . . (a:„ — Xi)"'"» 0!l!2!...(a2— 1)! (^ — x^)"'"» . . . {Xn — x^y*"^ 0Il!2!...(a„— 1)1 {Xn— Xn-l) De geheele bewerking blijkt genoegzaam uit het volgende bij- zondere geval k = b, M = 2, a^ = 3, 00 = 2. Hier heeft men 1 a a^ a^ a* 1 6 62 63 54 l c c^ c^ c^ l d cP d^ d^ 1 e e2 63 ^4 1 a a^ a^ a* ^0 ^1 h '3 h Uq Ml U2 W3 u^ \ d d^ d^ d^ Vo Vi Vo Vo V. X (6-a)(c — a)(c — 6)(e — rf) waarin a»- 6»" a — 6 ' 6 — a a»" + (a — 6)(a — c) ' (6 — a)(6 — c)^(c — a)(c — 6)' (r = 0, 1, 2, 3, 4) 46 OVER LAGRANGE S INTERPOLATIEFORMULE. Derhalve is 1 a a2 a^ a* to h h h ^4 Wo Ml W2 W3 W4 =:(d — a)(rf- -6)(d — c) 1 d d^ d^ d^ (e — a) (e- -6) (e — c) ^'o Vi V2 ^3 V4 en voor lim a = lim 6 = lira c = oJi , lim e = lim d = 3^2 , volgt nu met behulp van de formule (7) 1 Xi x^ x^ x^ 0 1 2rci "^x^ Ax^ 0 0 2 2.3 0^1  ^1 / • IV. (Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet. , i* sect. , sér. 2,17, 1882, 239—254.) (traduction) A propos de la formule d'interpolation de Lagrange. 1. La formule qu'on désigne ordinairement par ce nom fait connaître la fonction entière et rationnelle de x, du degré (n— 1) tout au plus, qui pour n valeurs particulières /y» ■— ■ /Y* /y* ^^^ /y» /v» ■ 1 ■■ /y» %A/ — — U/-[ I tAy — ^ vl/o f • • • • tA/ ■ vvfi prend la même valeur qu'une fonction arbitraire /"(a;); cette fonction rationelle a la forme suivante où (p{x) = {x — Xi){x — X2)...{x — 0Cn), et où (p' (x) désigne , comme d'ordinaire , la dérivée de <p {x). Si la fonction f{x) elle-même est rationnelle et du degré (« — 1) tout au plus, on a identiquement (p{x) Mais dans le cas général cette expression doit être augmentée d'un reste, exactement comme la formule de Taylor. Dans le 84'^™® tome du Journal fur die reine und angewandte Mathe- matik , Hermite (p. 70 et suîv.) a donné la forme analytique complète de ce reste; il lui donne la forme d'une intégrale définie, et cela de 48 A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. deux manières différentes. Ces formules contiennent aussi, comme cas limites, le reste de la série de Taylor. De même que de l'intégrale définie qui représente complètement le reste de la série de Taylor on peut immédiatement déduire la formule du reste de Lagrange^), de même aussi l'on peut dans le cas de la formule d'interpolation de Lagrange déduire de l'intégrale multiple, par lequel Hermite représente le reste, une forme analogue de ce reste. Mais aussi bien que dans le cas de la série de Taylor on déduit souvent la formule simplifiée de ce reste sans le secours du calcul intégral , peut-on désirer la même chose pour la forme analogue du reste dans la formule d'interpolation. Nous développerons ici une méthode qui conduit à ce but Je remarque que Hermite n'a pas donné la formule simplifiée pour le reste que nous obtiendrons ici, quoique cette formule puisse aisément être déduite de la sienne. A cet effet il est nécessaire d'étendre à des intégrales multiples une propriété élémentaire des intégrales définies simples, ce qui n'offre aucune difficulté. La formule qu'il s'agit de démontrer peut être écrite comme suit oîi I a une valeur intermédiaire entre le plus grand et le plus petit des nombres x, x^, . . ., x». Il faut supposer que la fonction /■(0), aussi bien que f{z),f" (z), . . .,/""" ^ (z), soit finie et continue pour toutes les valeurs de z situées entre X, Xi, . . .,Xn et que pour ces mêmes valeurs de ^ la fonction f^~^{z) ait une dérivée f^^Hz) finie et déterminée La formule (1) prend une forme plus élégante lorsqu'on écarte la fonction /"(^) (|) ; on se convaint aisément qu'elle prend alors la forme suivante (o\ iM _j_ ZM _L /M I I fM _ 1 .,^, ,. où xp {z) = {Z — X){Z — X^) {z — Xo}...{z— Xn). i) Théorie des fonctions analytiques. Première édition (1797), p. 49. A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 49 On reconnaît dans cette équation un cas plus général de la formule élémentaire X — X ^r(^), qui s'en déduit lorsqu'on pose n=l. 2. La démonstration de la formule (1) repose sur le lemme suivant: „ Lorsque la fonction G {z) prend la valeur zéro pour les w -f- 1 valeurs différentes zz=x, z=^x^, ..., z = Xn, la w^^™® dérivée G("^(s) devient nulle pour une valeur z = ^ intermédiaire entre le plus grand et le plus petit des nombres x, x^, . . ., rc„." Il faut supposer que les fonctions (}{z), G' (z), . . ., G^^~^'>(z) soient finies et continues pour toutes les valeurs de z intermédiaires entre X, x^, . . ., Xn, et que, pour les mêmes valeurs de s, G*" -^'(2) ait une dérivée Gn(z) finie et déterminée. Ce théorème est connu pour w = l; il suffit de renvoyer à Dini, Fondamenti per la teorica délie funzioni di variabili reali, p. 70. La preuve de ce théorème, aussi bien que de quelques théorèmes qui s'y rattachent telle qu'elle se trouve dans les livres d'étude les plus employés encore aujourd'hui, p. e dans Serret, Cours de calcul différentiel et intégral, contient une lacune qui n'a été comblée que par quelques recherches de Weierstrass ; on peut consulter Dini , p. 43 — 51. Weierstrass lui-même n'a rien publié à ce qu'il paraît de ces recherches sur les bases de la théorie des fonctions. Il faut surtout remarquer que dans le cas le plus simple de tous, celui oïl w = 1 , la grandeur ^ est située entre x et x^ et qu'on peut lui donner une valeur qui diffère tant de x que de x^ La preuve du lemme dans le cas général se déduit immédiatement de ce même lemme reconnu comme vrai dans le cas le plus simple, celui où n=l. En effet, lorsque w = 2, et par conséquent G(a;) = 0, G(a:i) = 0, G(a;o) = 0, on peut supposer X <CX^ <iX2 et l'on a alors G'(li) = 0, x<è,<x, G'(l2) = 0, X,<l2<X2 4 60 A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. et en appliquant encore une fois le théorème pour n = 1 , On peut continuer ainsi et l'on voit en même temps que dans le cas général la grandeur ^ peut être supposée différente et du plus grand et du plus petit des nombres x, x^, . . ., Xn. Les conditions qu'on doit imposer à la fonction G {z) et à ses dérivées , celles d'être continues et dérivables, se déduisent aisément de celles qui se rapportent au cas où n= 1. 3. La preuve de la formule (1) peut maintenant être donnée. C'est la suivante- Pour simplifier, je désigne par F (x) le polynôme d'interpolation de Lagrange; donc Parmi les valeurs x^, x^y . . ., Xn il n'y en a pas deux qui sont égales et comme les fonctions F {x) et f{x) prennent les mêmes valeurs pour x = X]^, x = X2, . . ., x = Xn et que nous nous proposons de trouver une formule générale et simple qui exprime la différence f{x) — F{x), nous pouvons, sans qu'il en resuite aucun inconvénient, supposer que la valeur de x ne coïncide pas avec une des valeurs x^, X2, . . ., Xn- Ceci posé, soit (4) . . . . f{x) — F{x)-\-{x — x{){x — X2)...{x — Xn)Fl. La valeur de B. est complètement déterminée par cette équation. Figurons-nous pour un instant que les grandeurs x, Xi, . . ., Xn sont constantes, tandis que z représente une nouvelle variable, et considérons la fonction (5) . . G{z) = -f{z) + F{z)-{-{z-x,){z — X2)...iz-Xn)n, dans laquelle R, a la valeur donnée par (4), indépendante de z. Il est évident alors qu'on n'a pas seulement Gc{x) = 0, mais aussi G(a;i) = 0, G{X2) = 0, , Gc{xn) = 0, d'où l'on tire à l'aide du lemme énoncé au n*^ 2 (6) G(«)(|) = 0, A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 51 OÙ f a une valeur intermédiaire entre le plus grand et le plus petit des nombres x , a^. . . . , Xn- Mais comme F (z) est en z du degré (w — 1) tout au plus, cette fonction donne zéro lorsqu'on dififérentie n fois de suite l'équation (5) On trouve donc QW (z) = —fin) (s) -I- 1 . 2 . 3 . . . w . R. L'équation (0) donne maintenant et en substituant cette valeur dans l'équation (4) on obtient f{x) = Y {X) + '^-^-Ifa - ^> ; ■ -^-^ - ^'■' fm (^) ; nous avons donc trouvé la démonstration de la formule (1). 4. Lorsque , dans la formule (2) qui maintenant a été démontrée elle-aussi , on laisse tendre vers une même limite X tous les nombres x,x^, . ., Xn, toujours différents entre eux, il s'ensuit que n^) , fi'-^i) , , fM \ _ 1 Outre les hypothèses qui doivent être faites pour que les formules (1) et (2) soient valables , il faut encore que dans cette dernière for- mule f^^^{x) soit continue pour a; = X, attendu qu'il est impossible autrement de conclure que /("^ (|) tend vers la limite f^^ (X) lorsque | tend vers X. Cette formule (7) qui donne donc dans le cas où la fonction f(v> [x) est continue pour x^=X. une définition directe et générale de la ^ième dérivée d'une fonction f{x), n'a pas encore, paraît-il, été démontrée aussi généralement que nous l'avons fait ici. Elle se trouve, il est vrai, dans l'excellent ouvrage de Lipschitsch, Differential und Inte- gralrechnung , p. 204, Form. 20, mais d'après la démonstration qu'en donne l'auteur il faut supposer que les grandeurs x, Xi^ . . ., Xn ne restent pas seulement inégales entre elles en tendant vers la limite X, mais qu'elles satisfont encore à d'autre conditions qui ici se mon- trent superflues. Consultez l'ouvrage cité p. 203, ligne 6 de- dessous. En outre l'auteur a supposé qu'il existe une dérivée n -\- 1''^'"' finie et continue. C'est là encore une condition qui n'est certainement pas 52 A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. exigée par la nature des choses, et après que Weierstrass a fait connaître des fonctions continues qui n'ont pas de dérivées, rien ne serait plus facile que de trouver des fonctions pour lesquelles la for- mule (7) est valable, sans qu'il puisse être question d'une dérivée n -\- 1'®™® de ces fonctions, i) 5. L'analogie entre la formule (1) et le théorème de Taylor devient plus évidente encore lorsqu'on ne donne pas au polynôme Y {x) la forme élégante et symétrique que lui donne Lagrange, mais celle qui se trouve chez Newton dans le troisième Livre des Principia à l'occasion de la discussion du problème des comètes. La formule (1) prend alors la forme (8) . . . f{x) = K^-\- A2{^ — x^)-\- k^{x — x^){x — x^)^... -\- An{x — X^) {x — Xc^ . . . (x ~ Xn-l) -\- 1 (^ — X^) [x rCg) • • ■ (^ ^») f(n)(t\ "^ 1 . 2 . 3 . . . w ' ^^'' tÂy-t «^o •X'p Jb Dans cette équation on a et généralement (9) l ^ fp'p{xô~^ (p'p{x^)'^"''^<p'p(Xpy I cpp (Z) = {Z — X^) {Z—X2)...{Z — Xp). Newton ne donne pas explicitement cette formule générale pour Ap, mais il fait connaître les procédés nécessaires pour calculer succès- A, = ^ sivement A^, Ag, . . . etc. Ce sont les suivants Ai = /-(Xi), ^ _ Bi-Ai ^ _ B^-Ao ^ Xo — X-i^'^^ Xg— X^ ' Bi^Z-C^r^), r> Cl — Bi ^ Cg — Bg Gi=f{x,)> P _ Di - Cl ^4 ^3 ^, = fM, 1) Voir J. Math., Berlin, 79, p. 29 e.s., et 90, p. 221. A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 53 Si l'on fait le tableau suivant de ces grandeurs dans l'ordre où on les trouve A2 Bi A3 (10) / B2 A^, Cl Bq a Bi ce calcul s'accorde entièrement avec celui de l'interpolation ordinaire dans le cas où x^, X2, . • ., Xn forment une progression arithmétique, avec cette légère différence que la première, la deuxième, la troi- sième . . série des différences sont ici divisées respectivement par les facteurs l .{x^ — Xi), 1 . 2 . (rrg — xj^, l . 2 . 3 . (ajg — Xif . . . etc. On a d'après la formule (2) ^^ = T72.3..'.(p-l)^"-"(^^)' où ^p a une valeur intermédiaire entre le plus grand et le plus petit des nombres Xiy x^, • . -, Xp. Si dans la formule (8) on laisse tendre Xi, 0C2, . . ., Xn vers une même limite, on obtient donc immédiatement la formule de Taylor avec la formule du reste de Lagrange. 6. La forme newtonienne du polynôme d'interpolation F {x) = Al -f A2 (:zJ — x^) -f A3 (a; — x^) [x — x^)-}-.. -\- An{x — X^) {X — X2) . . . {X — Xn-l) a encore sur celle de Lagrange l'avantage de faire voir immédiate- ment quelle est la forme que prend F {x) lorsque plusieurs des gran- deurs x^, X2, . ■ -, Xn tendent vers une même limite ou sont prises égales entre elles. En effet, lorsque x^, X2, . . ., Xp tendent vers la limite X, on a d'après les équations (9) et (7) (") "°'^^=1.2.3.^(p-l)^'^""<^) et comme toutes les grandeurs du tableau (10) sont composées de la même manière que Ap , on peut dans ce cas former immédiatement 54 A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. tout le tableau (10). En effet, on voit aisément qu'il suffit, pour éviter les expressions indéterminées de la forme—-, de faire suivre l'une par l'autre sans intervalle celles des grandeurs x^, Xo, • . , Xn, qui à la fin seront supposées égales. Pour obtenir le tableau entier, il faut ensuite se servir de la formule (11) et des préceptes de Newton. Lorsque p. e. les grandeurs x^, X2, . . ., Xp deviennent toutes égales à X, il faut supposer connues les quantités ^(X),^'(X), ...,/(^-^)(X). Il semble bien que c'est là la meilleure méthode pour former le polynôme H {x) du degré le moins élevé qui satisfait aux conditions suivantes (12) l H (:r„) = /• (Xn) , H' (Xn) =f'{Xn), , H^» " '^ (Xn) = f^""^ " '> {Xn), ce polynôme E.{x) est du degré k — 1 tout au plus, où ^ = «1 + «2 + • • • «M- On obtient, en suivant la méthode décrite plus haut, la forme suivante du polynôme B.{x) H {x) = A+B (x—x^) +C [x—Xif + . . . + L {x—x^p + M {x—x^)"^ (x— x,)-{-. ...-{-R{X — Xi)"» (X — Xo)"* .. .{x — rCn-l)"»- • {x — Xn)""-'^ où A, B, C, . . ., R sont des constantes qu'on peut déduire immédiate- ment du tableau (10). 7. Il existe encore une expression simple pour la différence f(x) — B.{x), et comme ceci nous conduit à une généralisation delà formule (1) , nous voulons esquisser rapidement le développement de ce calcul. Après ce qui précède il sera inutile de mentionner tout au long les conditions auxquelles f{x) doit satisfaire. Il faut en premier lieu généraliser le lemme du n^ 2 et cela de la manière suivante : A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 55 Lorsqu'une fonction G (z) satisfait aux conditions G(a;)=::0, G'(a:)=:0, . . ., G <" - 1) (a;) = 0, G(2/) = 0, G'{y) = 0, ..., G^^-i)(y) = 0, G iz) = 0, G' (z) =0, . . ., G<y - 1) (2) = 0, dont le nombre est « + /5 + / on a G("-i)(|) = 0, où I est une grandeur inférieure à la plus grande et supérieure à la plus petite des grandeurs différentes x, y, z, . .. Après ce qui a été dit au n^ 2 , il paraît superflu de s'arrêter long- temps à la démonstration de ce théorème. On peut considérer d'abord le cas où le plus grand des nombres a, /5, /, . . . est égal à 2, et prendre ensuite 3,4,5,... pour le plus grand de ces nombres. 8. Soit maintenant R(x) le polynôme du degré k — 1 tout au plus, qui satisfait aux conditions (12) et soit (13) . . . f{x) = E(x)-\-ix — x^Y^ ix — X2Y- ...{X — XnY" R. Alors, si l'on suppose la grandeur x différente de x^, x^, ..., Xn la constante R est complètement déterminée par cette équation. Si l'on considère ensuite la fonction G {z) = -riz) 4- H(^) + (2r - x,r^ (z-x^r* ... (0 - Xn)"" R il est évident qu'on n'a pas seulement G(:i;)=:0, mais aussi G(a:i)=:0, G'{x{) = 0, ..., (3t("^-'^\x{) = 0, G(X2) = 0, G'ix^) = 0, ..., G("-ï>(a;2) = 0, G(^„)=:0, G'(:r„)==0, . . ., G^'--^^Xn) = 0, et par conséquent GW(|)=:0. Mais comme H (z) est du degré k — 1 tout au plus , on a G* (^) = — /•('^) (s) + 1 . 2 . 3 . . . A; . R 56 A PROPOS DE LA FORMULE d'INTERPOLATION DE LAGRANGE. et enfin (14) R = - fik) (t) 1.2. 3... A;' ^^^' Dans ces équations la grandeur ^ a une valeur intermédiaire entre celle du plus grand et du plus petit des nombres x, x^, . . ., Xr,. Cette formule comprend comme cas particuliers la série de Taylor aussi bien que la formule de Lagrange, y compris les termes qui expriment les restes. Dans l'article cité Hermite représente pour ce cas aussi la différence f{x)— R{x) à l'aide d'intégrales définies. 9. Le résultat le plus général qui peut être obtenu par la méthode que nous avons développée dans ce qui précède , me paraît être le suivant. Supposons que les expressions /"(rr) et H {x) conservent la signification qu'elles avaient aux n^^ 6 — 8. Soit en outre f^ [x) une nouvelle fonction de X et Hi {x) la fonction rationnelle de x du degré k — 1 tout au plus, qui satisfait aux conditions (12), lorsqu'on y remplace la fonction f{x) par f-^ {x). Soit maintenant (15) /(a;) = H(a;) + R(A(:r)-H,(x)). Pour que la valeur de R soit déterminée sans ambiguïté par cette équation , il faut non seulement que x diffère de o^i, o^g, . . .., Xn, mais en outre que f^ {x) — H^ {x) ne s'annule pas. Faisons ces hypothèses et soit G(^) = ^(2)-H(.)-R(A(s)-Hi(^0- Alors on a non seulement G(a;) = 0, mais aussi G(rr,)=0, G'(a;i)=0, .., G('"-i)(rrO =0, G(a:n) = 0, Q,'{xn)=^Ç), .... G("«-^U^«) = 0, et par conséquent , d'après le n^ 7 , G^'^) (I) = 0. Mais comme les expressions H^'^^(0)et H/'^'(2)sont identiquement nulles, on a A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 57 et par conséquent ou bien (16) .. r{x) = R{x) + (f,{x)-U,{x)) Cette formule générale se transforme immédiatement dans la for- mule (14) lorsqu'on prend Mx) = a^. En effet , on a alors f^l^ {x)=l.2.'S...k et , comme on peut le voir immédiatement , A (X) - Hi (X) = {X — X^y^{x — X^y* ...{X — Xn)"'. POSTSCRIPTUM. On peut démontrer immédiatement de la façon suivante qu'il existe toujours une et une seule fonction H {x) qui satisfait aux conditions (12) et qui est en x du degré k — 1 tout au plus. Soit H (x) ^ «Q -J- «1 -'^ + 0^2^^ -{- . . .-\-ak-iX^-^. Pour déterminer les k grandeurs inconnues Qq, a^, . . ., ak-i on a alors les k équations linéaires suivantes |Oo + ^iai + ^i^«2 +  = /•(">- ^M^à) «0 + ^2 «1 + ^2''^ «2 + -\-x^-^ak-i=f {Xz) l.ai + 2a;202 + -\-{k—l)x^^-^ak-i=r'ix^ Le théorème qu'il s'agit de démontrer consiste dans ceci, il est toujours possible de satisfaire à ce système d'équations par un seul système de valeurs Qq, a^, . . ., ak-v 58 A PROPOS DE LA FORMULE D INTERPOLATION DE LAGRANGE. On peut remarquer d'abord que le système (A) n'admet jamais plus d'une seule solution, car s'il pouvait y avoir p. e. deux solutions on aurait deux fonctions différentes G (x) et H (x) satisfaisant l'une et l'autre aux conditions (12) et qui seraient l'une et l'autre du degré k — 1 tout au plus. Or, cela est impossible, car de ces équations (12) il résulterait que la différence G{x) — B. (x) est algébriquement divisible par l'expression du degré k (x — X{}"' {x — X2)"* . . .{x — XnY"- Il est évident en second lieu que les valeurs «0 = 0, ai = 0, 02 = 0, . . ., ak-i = 0 satisfont aux équations (A), aussitôt que les seconds membres de ces équations sont égalés à zéro; et d'après ce qui précède c'est là l'unique solution en ce cas. La théorie des équations linéaires nous conduit immédiatement à cette conclusion , que le déterminant du système d'équations (A) n'est pas nul. En effet, d'après cette théorie on peut, aussitôt que ce déterminant est nul , satisfaire aux équations (A) , après avoir remplacé partout les seconds membres par zéro, par un système de valeurs ao, %, ...,«*-!, qui ne sont pas toutes nulles ce qui serait contraire à ce que nous avons démontré plus haut Et de ce que le déterminant du système d'équations (A) n'est pas nul , il résulte immédiatement qu'on peut toujours , lorsque les seconds membres ont de valeurs arbitraires, satisfaire à ce système d'équations par un seul système de valeurs Œq, a^, . . ., ak-i. D'ailleurs on peut aisément indiquer la valeur de ce déterminant. A cet effet on peut partir de la formule connue (6 — a) (c — a) (d — a) . . .{q — a) ic — b){d — b),..iq—b) {d— c)...{q— c) 1 a a2. . a'^-i 1 h 62. . 6*-i 1 c C2. . c^-i 1 P P'. . . p'^-i 1 q q'. . s*-^ iq—p) A PROPOS DE LA FORMULE D'INTERPOLATION DE LAGRANGE. 59 OÙ les oj premières des grandeurs a, 6, c, . .., ^9, q tendront à la fin vers la limite x^, les Og grandeurs qui suivent vers la limite iCg, etc. Il faut transformer convenablement les lignes de ce déterminant, en les divisant par les facteurs qui s'annulent à la fin et en appliquant à la limite la formule (7). On obtient ainsi pour le déterminant du système d'équations (A) la valeur suivante Ô ! 1 ! 2 ! ... (a^ — 1) ! (0:3 — x^)"^"* {x^ — x^)"^"^ ...{xn — rCi)"»"» 0 ! 1 ! 2 ! ... (ag— 1) ! (^^3 — rrg) ««"» . . . {xn — x,y*''n 0! l!2!...(a„— 1)! La suite des opérations est suffisamment évidente d'après la con- sidération d'un cas particulier, celui où Ici on trouve A;=:5, w = 2, a^ = 3, 02 = 2. 