Oeuvres complètes. Publiées par les soins de la Société mathématique d'Amsterdam
(Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk., 9, 1882, 198— 211.) (traduction) Sur un algorithme de la moyenne géométrique. Dans le 89^^™® tome du Journal fur die reine und angewandte Mathematik , p. 843, j'ai indiqué une méthode de calcul permettant, lorsque k nombres positifs a^, ag,..., ak sont donnés, d'en déduire rationnellement k autres nombres 6^, 63» • • • > ^* de telle manière qu'on ait «i «2 • • • ^fc = ^1 ^2 • • • ^f< ^t <1"^ ^^s différences des nombres 6^ 62, • • • > &* soient aussi petites qu'on veut. Je me propose de retourner sur ce sujet dans l'article présent et de faire connaître les preuves de ce qui a été avancé dans cette brève note. 1. Soient a^, ag» -•-i ^k des nombres réels arbitraires, M^ leur moyenne arithmétique, c à. d. leur somme divisée par leur nombre A; M2 la moyenne arithmétique de tous les produits différents des nombres a^, ag, ..., a* pris deux-à-deux, c à. d. la somme de ces produits divisée par leur nombre ^ — ; de même Mg la moyenne arithmétique de tous les produits différents des nombres ai,a2, ...,ak pris trois-à trois, etc. ; enfin Mk = a^ a^ . . ■ ak. On ne fait aucune autre supposition au sujet des nombres a^, «2» •••»«* ; il peut donc arriver que plusieurs de ces nombres sont égaux entre eux. Il est à peine nécessaire de faire remarquer qu'en employant plus haut le mot différent nous n'avons pas voulu indiquer que les valeurs numériques de tous les nombres a^, ag, ..., a* sont diffé- 122 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. rents ; nous avons simplement voulu attribuer à chaque nombre une individualité distincte Pour des raisons de symétrie je pose encore Mq = 1. L'expression M^ — Mp_iMp + i {p=l, 2, 3, ,.., k — 1) est généralement positive ou , plus précisément , cette expression n'est jamais négative et ne devient nulle que lorsque tous les nombres a^, «2» •••> ^* sont égaux entre eux ou qu'au moins k — p-\-l de ces nombres s'annulent auquel cas les expressions Mp et Mp + i s'an- nulent évidemment l'une et l'autre. Cette propriété générale est connue depuis longtemps ; en matière d'histoire il suffit de renvoyer le lecteur à un article du docteur D. Bierens de Haan publié dans le 8'®™® tome des Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen , Sec- tion de physique, Amsterdam 1858, p. 248—260. On peut consulter aussi l'article de Lobatto dans le 9'^"® tome des Verslagen , p. 92 — 106 Cependant pour épargner de la peine au lecteur et aussi pour traiter d'une façon générale les cas limites où l'expression considérée s'annule, je fais suivre ici la preuve du théorème énoncé. 2. Posons ( f{x) = ix — ai) {x~a^)...{x — ajc) , ^^^ I f{x) = U,x'^-\-W,x^-^-\. ^^^"^^ M^a^^-^-.-. + M,, où il faut prendre dans le second membre le signe supérieur ou le signe inférieur selon que le nombre k est pair ou impair. D'après l'hypothèse faite au sujet des nombres a^, a^^ . . . , au l'équa- tion f{x) = 0 n'a que des racines réelles et la même chose est donc vrai pour les équations exprimant que les dérivées successives de f{x) s'annulent. C'est pourquoi l'équation {2)0 = ll,xP + ^-^-^M,xP-i-^^j^M,xP~^~...±^'^-M, + M, + x n'a que des racines réelles , car cette équation ne diffère pas essen- tiellement de la suivante : d'^-p-^fjx) SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. 123 Je distingue les trois cas suivants. 1°. Mp + i diffère de zéro. 2°. Mp + i = 0, mais Mp diffère de zéro. 3°. Mp + i = 0 et Mp = 0. Dans le premier cas les racines de l'équation sont toutes réelles, et il en est donc de même de celles de l'équation (4) 0 = Mp + ia;2 — 2Mpa: + Mp_i; en effet , le second membre de cette dernière équation ne diffère que par un facteur constant de la {p — !)'*■"« dérivée de la fonction qui constitue le second membre de l'équation (8). De la réalité des ra- cines de (4) on conclut à l'inégalité ]^^-Mp-_iMp + i^O; l'expression ^1| — Mp_i Mp + i ne s'annule que lorsque les deux racines de l'équation (4) sont égales entre elles. A cet effet il faut et il suffît que toutes les racines de (3), donc aussi toutes celles de (2), soient égales entre elles, d'où l'on conclut que toutes les racines de l'équation /"(a;) = 0 sont égales entre elles, c à. d. que ai = a2 = --=^* Par conséquent lorsque Mp + i ne s'annule pas, l'expression M|-Mp_iMp + ] est toujours positive, excepté au cas ou a^=^a 2=.. =ak; car alors elle s'annule. Dans le deuxième cas l'expression M^ — Mp_iMp + i est évidem- ment positive. Enfin dans le troisième cas cette expression est nulle et l'équation (2) a au moins deux racines nulles, de sorte que l'équation /■(rc) = 0 a au moins k — p-{-l racines nulles ; en d'autres termes , dans ce cas au moins k — p -\- 1 des nombres a^, o^, • •■, «jt s'annulent. Nous venons de donner la démonstration complète du théorème du n^ 1. 3. Je suppose à partir de ce moment que les nombres ai,a2,. .,«* soient tous positifs, et je pose (5) . . . «i = Mi, 02=./, 08=,-/, ■••» «*= ni 124 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. ces équations jointes à l'hypothèse faite au sujet de la signification de Mo me permettent d'écrire Mp Mp_i (p=l, 2, 3, ..., k) Il s'ensuit que , , _M^-Mp_iMp+i donc ap^Op+i, et si l'on exclut aussi la valeur 0 des nombres a^, ag, . • • , a^, on ne peut avoir a[^=a'pj^i, à moins que a^ = ag = . . := «jt- Comme ce dernier cas n'a lui aussi aucune importance nous pouvons sans in- convénient l'écarter; nous avons donc (6) ai>a^>a^>ai>...>ajfc, tandis qu'on tire immédiatement des équations (5): (7) a^a^o^. . .ak=^a!\a2a'^-. .a'k. Or, on a évidemment ,_ ai -f- g^ + % + ...+ g^ ""- k ' k ak= L + ± + ± + ... + ± et si nous supposons qu'aucun des nombres a^, a^, . > • , ak ne soit supérieur à a^ ni inférieur à Uk, il s'ensuit que a'k >ai, donc, en retranchant ces deux inégalités l'une de l'autre, (8) 0<ai-a;,<^^(aj-a;t). Si des nombres ai, ag , . • . , a* nons déduisons un nouveau groupe de k nombres , savoir aï, a2 , . . . , Ok de la même manière que des SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. 125 nombres a^, a.,, . . . , a^ nous avons déduit les nombres ai, a2, . . . , aJk , et si des nombres ai', a^^ . . . , a'k nous déduisons de la même ma- nière les nombres ai", a'i\ . . . , a'k, etc. , nous avons donc «1 > ai > a2 > . . . > a^ > ajfc, ai >ai'>a.^' > . . .> a'i > a'k, ai'>ai">a^">...>ar>ai', ^ \ 0 < ai —a'k< —^ (ai — a/t) , 0<a'{ — a^' < —y- (<^i —«'*)< ("X") ("i~^*)' 0 < ai" - aT < ^ (ai' - a',') < (^ J (a^ - a,) , Cj^ ag . . . ffjt = <^i <^ • • • û* = <*1 02 • . . d'k = <*1 ' <ï2 ' . . . CLk ^ ' ' • ' Les équations correspondantes pour le w'*""* groupe de nombres déduits des groupes précédents , c. à. d. pour les nombres a}"^ af\..., ép , sont af-') yép >af >. . . >ai'») >a?-i\ 1\" 0<at'')-alr><(^^[(a,-a,), a^ a.,. Or, comme l'expression i^0L,...ak = ai^^ (!!^K..a^p r-^) lorsque w augmente indéfiniment , finit par devenir aussi petite qu'on le désire, il s'ensuit que les nombres af^ , a^"\ ..., ép convergent tous pour n = oo vers une limite commune évidemment égale à la moyenne géométrique des nombres a^, Og, ..., a^, c. à. d. à k 4. Qu'il me soit permis, avant que de continuer, de donner quelques exemples numériques. 126 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. Premier exemple. A; = 3. tti =5, «2 =5, «3 =4, , 65 , 60 «3=^3, „ 7603 '''""1638' „ 35290 '' = 7673 ' ,, 16380 '' ~ 3529 ou ai' =4.64163 61416 36..., a^'= 4.64158 88465 08..., aâ'= 4.64154 15131 77.... On voit avec quelle rapidité les nombres d'un même groupe de- viennent égaux les uns aux autres; en effet ai — aa = 0.02380 95 ... , 02 — as = 0.02747 25 ... , oi' — a^' = 0.00004 72951 38 . . , a^' — oli = 0.00004 73333 31 .... La moyenne des valeurs obtenues pour les nombres du deuxième groupe, déduits du premier, est ai" = 4.64158 88337 74.... Nous verrons plus tard que la différence ai" — a's est environ de 0.00000 00003. La limite est ici ■^ÏÔÔ = 4.64158 88336 12769 .... Deuxième exemple, k = i. ou «1 =3, 02=2, %=2, a^ =2, «i=|. 20 , 11 «2-^, «3= y, «' 24 _ 17531 ' ~ 7920 ' „ 116410 „ 128826 "^ - 52593 ' ""' ~ 58205 ' ai' =2.21351 OlOlO 1..., a^'= 2.21341 24313 1..., a^'= 2.21331 50073 0..., al' =2.21321 78287 0.... 15840 "*- 7157' SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. 127 et a\ - a^ = 0.02777 78 ... , ao — as = 0.02222 22 ... , o^_ al = 0.01118 18.. , ai' _ a!i = 0.00009 76697 0 . . . , a'{ - a!i = 0.00009 74240 1 . . . , a'i — a'I = 0.00009 71786 0 . . .. Des valeurs de aï , de ào , de as et de a'^ on tire aT = 2.21336 38420 8 . . .. La limite est ici 1^24 = 2.21336 38394 007 .... 5. Dans les deux exemples donnés on voit que non seulement les différences successives des nombres d'un même groupe telles que o'i — 02 , 02 — as , . .. ai — 02 , 02 — Os , . .. deviennent de plus en plus petites lorsqu'on passe aux groupes sui- vants , mais aussi que les différences appartenant à un même groupe tendent de plus en plus vers une même valeur. En effet, on peut énoncer le théorème suivant. Pour w = 00 le quotient de deux quelconques des {k — 1) différences Op — Op^i (p = l, 2, 3, ... k — 1) tend vers la limite 1. Parmi les différentes preuves de cette propriété que j'ai trouvées la suivante est de beaucoup la plus simple. 6. Je pose a^ = a — x-^, 02 = a — rcg, 03 = 0 — ^3, a^^ a — Xkj où a représente un nombre quelconque. Je suppose en outre que Xi<X2<X^<. ..<Xk, 128 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. de sorte qu'il est impossible que deux des nombres a^, a2, .., a^ aient la même valeur. Soit encore if {X) = (X — X-j) (X — X2) . . .(X — Xk), les nombres No, Nj, . . . , Na sont donc formés à l'aide des grandeurs x^, Xo, . . . , Xk de la même manière que les nombres Mq, M^, . . . , M& ont été formés à l'aide des grandeurs a^, Og, ..., Ok. Aucune am- biguïté ne peut résulter du fait que f(x) a ici dans la suite une autre signification que dans le n^ 2. On se convainc aisément que les nombres Mq, M^, . . ., Ma; peuvent être exprimés de la façon suivante à l'aide de la fonction fy,x) et de ses dérivées : M, =/-(a), Â; Ma- ! = /•'(«), kik — l)M.k-2 = f"{a), (10) Il s'ensuit que (11) A; (A; — 1) ... 3 . 2 . 1 Mo = ^^^ (a). "^— /•(*-p+i)(a)' (p = l, 2, 3, ..., k) oh il faut prendre f^{à) = f{a). Au lieu de l'équation (11) on peut écrire JL 1 . â En développant la formule du second membre suivant les puis- sances descendantes de a, on trouve pour les premiers termes de ce développement (13) <:=« — Ni +... Appelons 2/1, 2/2, • • • , Vp les p racines réelles et inégales de l'équa- tion du p^^^^ degré SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. 129 ces racines sont par hypothèse rangées suivant leur ordre de gran- deur, de sorte que Vi < 2/0 < . . . < î/p. Appelons de même z^, z.,, ■ ■ ■ , Zp-\, grandeurs qui satisfont aux inégalités 2-, < 2:0 < • • • < «^^t^- 1 , ^es racines réelles et inégales de l'équa- tion Z^'^-^+i) (.t) = 0; de sorte que z^ est située entre y^ et tj^-, z^ entre y^ et t/3... et enfin Zp^i entre yp-\ et y p. Il faut supposer p > 1. On a alors suivant l'équation (11) a' = (a~yi)(a — y2>...(<t — yp) ^ {a — Zi){a — Zo)...{a — Zp--i)' et, si l'on exécute la division et qu'on partage le quotient en frac- tions simples, on aura suivant l'équation (13) (14) ....... a^ = „_N,+ l:'<^^. OÙ {zk — ?/i) {zh. — yo) • • • i^k — yp) (Zk — Z'i) . . . [Zk — Zk-l){Zk — Zk + l) ' ' '{Zk — Zp-i) Dans le numérateur de cette fraction qui représente A* les facteurs i^k — yi) {sk — y^)'" i^k — Vk) sont tous positifs; les autres {p — k) facteurs au contraire, c. à. d. les facteurs Zk — y/c + 1 , Zk — yfc + 2 , • ■ • , Zk — yp sont tous négatifs. Les facteurs négatifs du dénominateur de l'expression A* sont Zk ^A; + 1 , Zk — Zk-\.2, . • • , Zk — Zp-i] leur nombre est de p — k — 1. Le nombre des facteurs négatifs du numérateur de la fraction kk surpasse donc d'une unité celui des facteurs négatifs du dénominateur. Par conséquent les expressions sont toutes négatives, et comme on a a — z^y a — z.2> . . .> a- Zk~\, toutes ces expressions étant positives, il s'ensuit que 9 18Ô SÛR tJN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. „^<«-N.+ ^- + ^^ + --- + ^^-' CL — Zi et que a' > a - Ni 4- A +^2 +^j^-Mp -i_ Or, l'expression Ai -|- Ag + . . . + Ap_i est évidemment le coefficient de — dans le développement de ap suivant les puissances descen- dantes de a; suivant (13) cette expression est donc égale à — (p— I)(Nf — N0N2) et l'on a a — z^ <ia — x^ = a^, a—Zp-i > a — Xk^=ak, tandis qu'on a aussi, comme cela se voit aisément a — Ni = ai. Il s'ensuit donc que (p-l)(N?-NoN2) (16) o'p <ai — u-l ,^, (p-l)(N?-NoN2) Op >«! ak Pour p = 1 il faut évidemment remplacer les signes > et < par le signe =. 7. Pour pouvoir déduire les inégalités (16) nous avons tenu compte — et c'était une base essentielle de notre raisonnement — du fait que les grandeurs A^ Ao, ..., Ap_i sont toutes négatives. Ce fait peut être démontré encore autrement. Soit g (x) = {x — y^){x — 2/2) ...{x — yp) , il s'ensuit évidemment que „/_PÔ'(«) et que g{x) x — y^'x — y^ x — yp On en tire en différentiant g (x) g" (x) — g' [x) g' (x) _ _ 1 _ 1 1^ g{x)g{x) {oc — y{f {x — y^f '" {x—ypf et si dans cette expression l'on pose x=:Zk, on trouve, puisque g'(zk) = 0, 9"M^ 1 !___ 1 9 [zk] {zk — yif {zk — yof '" {zk— ypf SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GEOMETRIQUE. 131 Or, de l'équation ap = ^, ,^ on peut tirer immédiatement ^ ^ " g' {a) ^ . _pg (zk) '- 9"{Zk) ' donc Ak (Zk — Vif {Zk — yii' '" (Zk— Vvf ' d'où il suit que A* est négatif. 8. Si l'on remplace p par p-\-l dans l'équation (16), on obtient en combinant les différentes inégalités n' —„' , , /- <J'k-{-p{0'i — a'k) .^j2 vr i^jx dp — Op + i < — — — ^INj — JN0JN2), donc à plus forte raison , attendu que p est tout au plus égal à A: — 1 , et que les expressions a^ — a^ et N? — Nq N.i sont positives , «;-o^+.<''*+'*-''<'''-''^>(n;-NoN.), (17) . . . { ' ' ai - <+, > «ar-_L'L-Jl(«L- «Jâ (Nf - No N,). "1 ^k Les seconds membres de ces équations ne contiennent plus le nombre p. Tous les développements antérieurs restent les mêmes, si l'on remplace les nombres a^, o^, . . . , akj par af\ 4"\ . . . , ap et en même temps les nombres af, a^, aj^ par af+^\ o^'^^\ •••, a?"^'^ Or , comme nous avons déjà prouvé que les nombres af\ af\ ..., a^ tendent tous pour w =: x vers une même limite positive, on peut apparemment toujours donner à n une grandeur telle que l'expression a(«)_(;^_l)(a(n)_aSr)) est positive , et dans ce cas on conclut aisément que ^ ' (,f4.(/fc_l)(aW_a2»0 <*'^ — <A'^ <~{A;— 1)(^^^^^ Lorsqu'on donne à n une valeur suffissamment grande, les deux 132 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. grandeurs entre lesquelles est située l'expression ^(n + l)_ (w + l) diffèrent de l'unité aussi peu qu'on le désire. Nous avons donc démontré ce qui a été avancé au n*^ 5. 9. Pour simplifier les formules, je remplacerai momentanément a^") par 6p et a^" + i> par &;. On a donc dans ce cas-là ou Ki+i-+i)(«-'«= ^+î+::+-+i7+ +1+ > +Ï+- Le second membre peut s'écrire ~-^\b,^b, v~ b^b, ' , . 4- 1 - Â;2. où p et ç acquièrent successivement toutes les valeurs 1 , 2, 3, . . ., â;, avec cette condition qu'on aura toujours p ^ q. Si l'on divise les deux membres par (b^ — bkf et qu'on passe à la limite pour w = oo, on trouve, attendu que d'après ce qui précède n=œ{b^—bky \k—ll k\. b\ — bk 1 ,., V. b n=oo{bi — bky {k — \fb' oh b représente la limite du produit &i, b^, . . ., bk- SUR UN ALGORITHME DE LA xMOYENNE GÉOMÉTRIQUE. 133 Or. 2 (p-qy=i^ 4. 2-^' + 3^ 4- ... + {k-iy- 4- ou, après réduction, 1 donc ou ^{p-qY^j^k^fc'-l) nTl{b,-hr "12^-11^ b a "+!) _ a^;^+^> 1 /k4-l\ - ^ 10. Cette formule (19) donne une idée nette de la rapidité avec laquelle les nombres convergent finalement vers leur limite commune k Va^a2...ak. Il paraît que le rapport de la dififérence af+*> — a? + ^> à la deuxième puissance de l'expression a^^"^— a}"^ est fini. Dans le premier exemple du n^ 4 nous avions a'{ — a^ = 0.00009 4628 ... ; nous pouvons prendre maintenant comme valeur approchée de la différence a'{' — ag" l'expression 6 o^' ' et comme les nombres ai", a^' et Og' forment à fort peu près une pro- gression arithmétique, il faut ajouter à o'i" = 4.64158 88337 74 . .. la correction — To -^- = — 0.00000 00001 61 . .. 12 0^' pour obtenir une valeur exacte en 12 décimales de I^ÎÔÔ ; cette va- leur est la suivante: 4.64168 88336 13 . .. 134 SUR UN ALGORITHMK DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. Dans le deuxième exemple il faut à ai" = 2.21336 38420 8... ajouter la correction _ 5 J(«irr_^ = _ 0.00000 00026 8 ... ; on obtient ainsi 1^24 = 2.21336 38394 0.... 11. Considérons encore brièvement le cas où quelques-uns des nombres a^, a-^, . . . , ak s'annulent. Supposons a^ ^ tto ^ «3 ^ . . . ^ «/, > 0 , h <Ck, et a/t + 1 = a/i ^ 2 = ■ • . = «A; = 0 ; alors les expressions Mo, M^, Mg, . . . , M/^ sont évidemment positives et non pas nulles, tandis que les nombres Mh + i, . . . , M* s'annulent tous. Par conséquent les nombres a'i, «2 , . . . , a'h deviennent tous positifs et non pas nuls; le nombre a'h + i s'annule; quant aux lettres ah+2, ■•-, «I-, elles n'ont pas de signification pré- cise. Mais si dans ce cas l'on attribue à tous les nombres a'k + u ...,ak également une valeur nulle, il s'ensuit que parmi les nombres O'i , 02 , . . . , Q'k il y en a autant qui s'annulent que parmi le groupe primitivement considéré a^, Og, . . . , Uk- On voit de suite que les raisonnements ultérieurs du no 3 sont applicables à ce cas avec quelques modifications peu importantes, et que les nombres af\ aP , . . . , a^^^' convergent de nouveau vers une même limite qui ici est nulle. Mais la manière dont ces nombres convergent vers leur limite est ici tout autre : on peut dire que la convergence est beaucoup plus lente. En effet, il paraît que le rapport de deux nombres successifs de la série Op , ttp , ttp , ttp , . . . j ttp . .. SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRI(,)UE. 135 tend vers une limite finie et aisée à déterminer; cette limite est la même pour les différentes valeurs de p\ tandis que les rapports des nombres d'un même groupe «1 j "2 , . . . , O;, tendent vers des limites finies qui ne dépendent que de A; et de ^ et non pas des valeurs numériques a^, ag, ..., a/, qu'on a choisies au commencement. Comme la démonstration rigoureuse de ces propriétés prendrait à mon avis plus de place que ne le comporte leur importance actu- elle, je me contente de les avoir indiquées. 12. L'application de notre théorie à des nombres complexes arbi- traires offre de grandes difficultés. Il est aisé sans doute d'indiquer dans ce cas les conditions qui , si elles sont remplies par les nombres a^, a-j, ..., ak, suffisent pour faire voir que la méthode du calcul conduit à une limite déterminée, et de dire ensuite quelle est parmi les k valeurs de l'expression 1 (a^ a-2 . . . akf celle qui correspond à cette limite ; mais il semble ex- trêmement difficile de déterminer, lorsqu'on donne arbitrairement les nombres a^, a^, ..., a*, s'il existe oui ou non une limite et d'in- diquer cette limite dans les cas où elle existe. Seul le cas oti à; = 2 n'offre aucune difficulté ; c'est pourquoi il suffira de donner les théorèmes suivants sans démonstrations. On trouve donc que dans ce cas il existe toujours une limite excepté lorsque le rapport a^ : 0-2 est réel et négatif. Si l'on pose «1 = ^16"'*, et qu'on attribue à r^ et à r? des valeurs positives, tandis que les grandeurs a^ et oo sont situées entre 0 et 2n (la première de ces va- leurs étant incluse et la seconde exclue) , la limite est si la valeur absolue de la différence a^ — a-i est inférieure à n; mais 136 SUR UN ALGORITHME DE LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE. si elle est supérieure à. n la. limite a la valeur -] Si l'on pose par exemple Vr^ n 1 la limite sera -|- 1> lorsque la partie réelle de z est positive, — 1 lors- que cette partie est négative. Comme les expressions sont toutes ici des fonctions rationnelles de 0, la somme h 4- à, + 63 + • . . , où b^=a^, h.y = tt] — «^ , 6y = a'( — aï, h^ = al" — a'{ , . . , est composée d'une infinité de termes qui sont tous des fonctions rationnelles de s. Cette somme tend vers une limite déterminée pour toutes les valeurs de z dont la partie réelle n'est pas nulle ; cette limite est -f- 1 lorsque la partie réelle de z est positive , — 1 si elle est négative. Une série de ce genre a été donnée par Weierstrass dans son article fort important Zur Functionenlehre, publié dans les Monats- berichte der Kônigl. Preuss. Akademie der Wissenschaften , 1880, p. 735. Peu après Tannery a remarqué qu'on peut former des séries ana- logues en suivant une méthode fort simple (Consultez les Monatsbe richte, 1881, p. 228 et suiv.). On apercevra aisément que notre série est comprise comme cas particulier dans celles que Weierstrass donne dans l'article cité à la p. 230. (Il faut y corriger une faute d'impression: au lieu de X =---—- il faut lire x' = ~-. — • l~x i -\-xj Une traduction du premier article de Weierstrass et une commu- nication plus récente de cet auteur à-propos de la remarque de Tannery, se trouvent dans le Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, deuxième série, tome V, Avril 1881. IX. (Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk., 9, 18^2, 193 — 195.) Over het quadratische rest-karakter van het getal 2. 1. Zij p een oneven priemgetal. De getallen kleiner dan p, met uitzondering van p — 1, 1. 2, 3, ..., p-2 kunnen in twee groepen verdeeld worden, al naar gelang ze qua- dratische resten of niet resten van p zijn. De eerste groep (A) a, a', a", . .. bevat dan al de resten , de tweede groep (B) 6, 6', b",... aile niet resten , die onder de getallen l, 2,S, . . .,p — 2 voorkomen. Is dus p — 1 of —1 quadratische rest, dan bevat de groep (A) aile resten van p behalve p — i, en de groep (B) bestaat uit de geza- menlijke niet-resten van p. Is daarentegen — 1 quadratische niet- rest, dan bestaat de groep (A) uit aile resten, de groep (B) uit aile niet-resten met uitzondering van p—\. In het eerste geval bevat dus de groep (A) „ , de groep (B) ^—^ — getallen , in het tweede geval bevat (A) ^-^- , (B) ^ "~ " getallen. Maar het is nu gemakkelijk te zien, dat de groep (B) steeds uit een even aantal getallen bestaat. Men kan namelijk de getallen van (B) in paren vereenigen , door twee getallen b en b' van (B) tôt een paar te rekenen, wanneer 6 6' = 1 (mod p) is. 138 OVER IIKT QUADRATISCHE REST-KARAKTER VAN HET GETAL 2. De getallen van een paar zijn altijd ongelijk; want uit 6 = 6' zou volgen b'^ = i, dus 6 = 1 of b = p — 1, maar het getal 1 komt als rest nooit in de groep (B) voor, terwijl p — 1 noch in (A), noch in (B) voorkomt. p — 1 Is dus het geheele aantal -^ der niet-resten even , dus p van den vorm 4n-{-i, dan bevat (B) aile niet-resten van p, en — 1 is dus rest van p. Is daarentegen ^ - oneven, p van den vorm in-\-S, dan is noodzakelijk — 1 niet-rest van p. Te gelijk volgt nu: voor p = én-\- l: (A) bevat aile resten behalve de rest p — 1; het aantal der getallen (A) is 2w — 1; (B) bevat aile niet-resten; hun aantal is 2n; en voor p = 4tn-{-S: (A) bevat aile resten; hun aantal Is 2 w-[- 1; (B) bevat aile niet-resten behalve de niet-rest p — 1; het aantal der getallen (B) is 2w. 2. Door bij aile getallen a, a', a", . .. ,byb', 6", ... de eenheid op te tellen, ontstaan de groepen van getallen (A') a-f 1, a +1, a" 4-1,... (B') 6 4- 1, 6' + l, 6" + l,..., die te zamen aile getallen 2, 3, 4,...,p-l î; — 1. vormen; zoodat in (A') en (B) te zamen voorkomen de — g— met- Q resten en nog ^ resten van p, namelijk aile resten behalve 1. Het aantal der getallen (B') is even , en onder de getallen van (B') komen evenveel resten als niet-resten van p voor. Want zijn 6 en b' twee getallen van (B) , die een paar vormen en derhalve voldoen aan 66' = 1 (raod. p), dan is 6 4- 1 = 6(6' 4-1) (mod.p), en daar 6 niet-rest is , zoo is één der getallen 6 4-1. ^'4-1 l'^st , het andere niet-rest. OVER HET QUADRATISCHE REST-KARAKTER VAN HET GETAL 2. 139 In verband met het voorgaande volgt, dat voor p = in -^ l de groep (B') bestaat uit » — 1 . w — 1 ^-^- = M resten en uit ~ ^~ =^ niet-resten, en derhalve de groep (A') uit »j ___ (^ Y) 1 -— r— = n — 1 resten en uit - t~ = w niet-resten. 4 4 Is ecliter p = 4 n -j- 3 , dan bevat de groep (B') p— 3 p—S ~i — = n resten en --; — = n niet-resten , 4 4 derhalve bevat de groep (A) « — 3 »+l , ,. . = w resten en — ^ — = n -f 1 niet-resten. 3. Het quadratische rest-karakter van 2 kan nu als volgt bepaald worden. De gevallen p = 4w-|- 1> p = 4w-|-2 moeten afzonderlijk behandeld worden. I. p = in-{-l. In dit geval bevat (B) aile niet-resten van p, dus heeft men (x — 6) (a; — 6') {x — 6") ... = :(; 2 -j- 1 (modp). Stelt men hierin rr = — 1 dan volgt (6 + 1) ib' -f- 1) (6" -f 1) . . . = 2 (moôp). Maar volgens n^ 2 komen w niet-resten voor onder de 2m getallen 6-|-l, 6'-fl,---. terwijl de overige resten zijn. Is dus w even of p = Sk-\-l, dan is 2 rest van p. Is w oneven of p = 8A; + 5, dan is 2 niet-rest van p. 140 OVER HET QUADRATISCHE REST-KARAKTER VAN HET GETAL 2. II. p = in-}-S. In dit geval bevat (A) aile resten van ^9, dus heeft men p- 1 (x — a){x — a') {x — a") . . . = x ^ — 1 (mod p). Stelt men hierin x = — l, dan volgt (a + 1) {a' 4- 1) (a" + 1) . . . = 2 (modp). Maar volgens n^ 2 komen n-\-l niet- resten voor onder de 2n-\-l getallen a -f 1, a' -\- i, . . . , terwijl de overige resten zijn. Is dus n even of dan is 2 niet-rest van p. Is n oneven of dan is 2 rest van p. p=:Sk-\-7. IX. (Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk. , 9, 1882, 193—195) (traduction) Le nombre 2 comme résidu quadratique. 1. Supposons que p représente un nombre premier impair. Les nombres inférieurs à p , à l'exception de p — 1 , c. à d. les nombres 1, 2, 3,..., p-2 peuvent être divisés en deux groupes, dont l'un est formé des résidus quadratiques de p, l'autre des non-résidus de ce nombre. Le premier groupe (A) a, a', a", . .. contient donc tous les résidus, le deuxième (B) 6, 6', 6",... tous les non résidus compris dans les nombres 1, 2, S,...,p — 2. Lorsque p — 1 ou — 1 est un résidu quadratique , le groupe (A) contient donc tous les résidus de p excepté p — 1 , et le groupe (B) tous les non-résidus de p. Mais lorsque — 1 est un non-résidu, le groupe (A) se compose de tous les résidus et le groupe B de tous les non-résidus à l'exception de p — 1. Dans le premier cas le groupe (A) contient donc — ^ — et le groupe (B) -— ^ — nombres , dans le deuxième cas le groupe (A) contient ^ et le groupe (B) — g— nombres. Or, il est aisé de voir que le groupe (B) comprend toujours un nombre pair de termes. En effet, on peut réunir en couples les nombres de (B) , en appellant couple deux nombres b et b' du groupe (B) qui satisfont à la relation bb' = l (moôp). 142 LE NOMBRE 2 COMME RESIDU QUADRATIQUE. Les nombres appartenant à un même couple sont toujours inégaux entre eux , en effet , de 6 ^ 6' on pourrait tirer 6^ = 1 , donc 6 = 1 ou b = p — 1 ; mais le nombre 1 qui est un résidu ne fait jamais partie du groupe (B), tandis que le nombre p — 1 ne fait partie ni du groupe (A) ni du groupe (B). p 1 Lorsque le nombre total — « — ^^^ non-résidus est pair, c. à d. lorsque p a la forme 4« -f 1 , le groupe (B) contient donc tous les non résidus de p et — 1 est un résidu de p. Mais lorsque le nombre --Q— est impair et que p a la forme 4w -j- 3 , le nombre — 1 est nécessairement un non- résidu de p. On arrive en même temps aux conclusions suivantes: a) lorsque p=:in-\-^: le groupe (A) contient tous les résidus excepté le résidu p — 1 ; le nombre des termes du groupe (A) est 2w — 1 ; le groupe (B) renferme tous les non résidus; leur nombre est 2n. b) lorsque p = 4n-|-3: le groupe (A) contient tous les résidus; leur nombre est 2n-}-l', le groupe (B) contient tous les non-résidus excepté le non-résidu p — 1 ; le nombre des termes du groupe (B) est 2n. 2. Lorsqu'on ajoute l'unité à tous les nombres a, a', a", . . .,b, b', b", . .. on obtient les groupes suivants de nombres (A') a-hl, a' + l, a" + l,... (B') 6 + 1, &' + l, &"+!,..., ces deux groupes ensemble contiennent tous les nombres 2, 3, 4, ...,p-l. Il s'ensuit que les groupes (A') et (B') ensemble contiennent les — h non-résidus et encore -g — résidus de p, c. à d. tous les résidus excepté l'unité. 'ti»? Le nombre des termes du groupe (B') est pair et parmi ces termes il y a autant de résidus que de non-résidus du nombre ^î- En effet, si b et b' sont deux nombres du groupe (B) qui forment un couple et qui satisfont par conséquent à la relation bb' = l (modp), il s'ensuit que b-\-\ =b{b'-\-l) (mod p), LE NOMBRE 2 COMME RESIDU QUADRATIQUE. U3 et comme b est un non-résidu, l'un des nombres b -\-l, b' -\-l est un résidu , l'autre un non-résidu. Eu égard à ce qui précède , on peut en déduire que pourp = 4w -j- 1 le groupe (B') se compose de . =: w résidus et de r~ = w non résidus , et le groupe (A') par conséquent de ^~-r—=n résidus et de — . — =n non-résidus. 4 4 Mais lorsque p^4n-\-d, le groupe (B') contient ^ __ ^ résidus et ^—, — = n noa-résidus , 4 4 et le groupe (A') par conséquent -—^ = M résidus et —y— = n -|- 1 non-résidus. 3. Le caractère du nombre 2 comme résidu ou non- résidu peut maintenant être déterminé de la manière suivante. Les cas p = 4n -f 1 et p = in-^S doivent être traités séparément. L p = 4w + L Dans ce cas le groupe (B) contient tous les non-résidus de p, on a donc (^x — b{x — b'){x — b")... = x 2 -1-1 (modp). En y substituant k x la. valeur — 1 , on trouve (6 4- 1 {b' + 1) (6" + 1) . . . = 2 (mod p). Mais suivant le n*^ 2 il y a w non-résidus parmi les 2n nombres b-\-l, 6'-[-l, . . ., tandis que les autres sont dq^s résidus. Par conséquent lorsque n est pair, c. à d. lorsque p = 8^ + l, le nombre 2 est résidu de p. 144 LE NOMBRE 2 COMME RESIDU QUADRATIQUE. Mais lorsque n est impair, c. à d. lorsque le nombre 2 est non- résidu de p. IL p = in-\'S. Dans ce cas le groupe (A) contient tous les résidus de p] on a donc {x — a) {x — a') (x — a") . . .=x ^ — 1 (mod p). En y substituant k x la. valeur — 1, on trouve (« + l)(a'+l)(a" + l)... = 2 (modp). Mais suivant le n^^ 2 il y a *i -j- 1^ non-résidus parmi les 2n-\-l nombres « + 1, a' -{-1, . . ., tandis que les autres sont des résidus. Par conséquent lorsque n est pair, c. à d. lorsque p = 8k-\-S, le nombre 2 est non- résidu de p. Mais lorque n est impair , c. à d. lorsque p = 8k-]-7, le nombre 2 est résidu du nombre p. X. (Amsterdam, Versl. K. Akad. Wet, iesect.,sér. 2, 17, 1882,338 — 417 Bijdrage tôt de théorie der derde- en vierde-machtsresten. Het hoofdtheorema in de théorie der quadraatresten , de zooge- naamde wet van reciprociteit , heeft betrekking op de wederkeerige verhouding van twee oneven priemgetallen , en in eene volledige théorie moet daarom het karakter van het getal 2 als quadraatrest of niet-rest van een ander oneven priemgetal, afzonderlijk bepaald worden Het getal 2 blijkt hierdoor eene bijzondere plaats onder aile priemgetallen in te nemen. De theorema's, waardoor het karakter van 2 bepaald wordt, zijn het eerst door Fermât uitgesproken ^) en door Lagrange ^) bewezen Hierbij moet echter vermeld worden dat het bewijs , door Lagrange gegeven , op geheel analoge beschouwingen berust , als die waardoor Euler^) reeds vroeger de theorema's bewezen had, die het karakter van 3 als quadraatrest of niet-rest bepalen, en welke insgelijks reeds door Fermât waren uitgesproken. Het is daarom des te meer op- merkelijk , dat Euler steeds te vergeefs getracht heeft , de theorema's omirent het karakter van 2 te bewijzen (Vergel. Disq. Arithm.,art. 120). Een geheel analoog verschijnsel doet zich voor in de théorie der vierde-machtsresten. Ook hier heeft de algemeene reciprociteitswet betrekking op twee oneven, d. w z. niet door 1 +*' deelbare, priem- getallen en het karakter van dit bijzondere priemgetal 1 -|- i moet afzonderlijk bepaald worden. In de verhandeling van Gauss: Theoria residuorum biquadratico- 1) Op. Mathem., p. 168. 2) Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin, 1775. Oeuvres, t. III, p. 759. 3) Comment, nov. Petrop., t. VIII. p. 105. 10 146 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. rum commentatio secunda , waarin voor het eerst de geheele com- plexe getallen van den vorni a-{-bi in de getallentheorie ingevoerd werden , is het biquadratisch karakter van 14"* volledig bepaald. Het daar voorkomende bewijs is zuiver arithmetisch gevoerd en steunt wezenlijk op het theorema van art. 71, dat geheel overeenkomt met de hulpstelling, die den grondslag uitmaakt, zoowel van het derde als van het vijfde Gaussische bewijs van de reciprociteitswet in de théorie der quadraatresten. (Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke, II, p. 1 en Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae, Werke, II, p. 47). Zooals bekend is, heeft Gauss zijn voornemen , in eene derde verhandeling de théorie der vierde-machtsresten tôt een zeker einde te brengen door het bewijs te leveren van de algemeene reciproci- teitswet, die reeds in de tweede verhandeling over deze théorie uitgesproken is, niet ten uitvoer gebracht. De eerste gepubliceerde bewijzen van dit fundamenteele theorema zijn de beide van Eisenstein in het 28^** deel van Crelle's Journal far Mathematik, p. 53 en 223, In het eerste stuk : Lois de réciprocité wordt het karakter van 1 -\-i niet behandeld, wel in het tweede stuk: Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems fur die biquadratischen Reste, Bij de daar voorkomende afleiding van het karakter van 1 -\- i wordt echter gebruik gemaakt van de vooraf bewezen algemeene reciprociteitswet, wat mij in elk geval minder schoon voorkomt, daar de overgang van het meer eenvoudige tôt het samengestelde toch stellig verlangt het karakter 1 -f- i geheel onafhankelijk van het fimdamentaaltheorema af te leiden. Hetzelfde geldt in meerdere of mindere mate van aile andere methoden , die later bekend gemaakt zijn om de théorie der vierde- machtsresten te behandelen , en voorzoover ik zie , kan alleen van de Gaussische afleiding van het karakter van 1 + * gezegd worden, dat zij zuiver arithmetisch is, en geheel onafhankelijk van de alge- meene wet van reciprociteit , zoodat zij hierdoor voldoet aan de eischen, die men aan eene geleidelijke ontwikkeling van de geheele théorie der vierde-machtsresten zal moeten stellen. BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 147 Geheel analoge opmerkingen zijn te maken omirent de théorie der derde-machtsresten. Het eerste gepiibliceerde bewijs van de door Jacobi uitgesproken wet van reciprociteit in deze théorie is dat van Eisenstein in deel 27 van Crelle's Journal far Mathematik, p. 289. Het afzonderlijk te bepalen karakter van 1 — q (waarin g een com- plexe derde-machtswortel der eenheid) is eerst later gegeven door Eisenstein in deel 28, p. 28 e. v. van hetzelfde tijdschrift. Bij deze afleiding wordt weder gebruik gemaakt van de algemeene wet van reciprociteit, en ik zie niet, dat tôt dusver eene afleiding van het cubisch karakter van 1 — ^ gegeven is, waarvan dit niet gezegd kan worden. Daar het nu toch wenschelijk voorkomt, eene afleiding te bezitten voor het karakter van 1 -{- i en 1—^, geheel afgescheiden van de algemeene reciprociteitswetten , zoo is het misschien niet geheel van belang ontbloot om aan te toonen, dat al deze theorema's, die betrekking hebben op de priemgetallen 2, l-fz, 1 — ^ en die tôt aanvulling der reciprociteitswetten noodzakelijk zijn, volgens eene gelijkblijvende méthode bewezen kunnen worden. Het principe van deze méthode bestaat daarin, het priemgetal waarvan het karakter te bepalen is te vervangen door een congruent product van factoren Het karakter dezer factoren wordt dan bepaald door beschouwingen , geheel overeenkomstig aan die van Gauss in art. 15 — 20 van zijne eerste verhandeling over de théorie der vierde- machtsresten (Werke, II, p. 78 — 87). Gauss beschouwt in deze ver- handeling alleen reëele getallen , en het doel der verhandeling is de bepaling van het karakter van 2 in deze reëele théorie. Het bleek mij echter, dat al de beschouwingen van Gauss bijna onveranderd ook in de théorie der complexe getallen herhaald kunnen worden , en de bepaling van het biquadratisch karakter van 1 + 1 volgt dan onmiddellijk met behulp van eene eenvoudige beschouwing, volgens welke 1 -\-i congruent is met een product , waarvan men het karakter der factoren kent. Met behulp van deze hoogst eenvoudige opmerkingen is dan ook, eenmaal de onderzoekingen der eerste verhandeling van Gauss ge- geven zijnde, de bepaling van het karakter van 1 -f- ^ ^^" opzichte 148 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. van een priemgetal van den vorm a-\-bi (waarin b niet gelijk nul is) om zoo te zeggen mede geheel volbracht; terwijl eene geheel analoge méthode in het geval, dat de modulus een reëel priemgetal van den vorm 4w -f- 3 is, tôt hetzelfde doel gebezigd kan worden Hoewel dit laatste geval eene veel eenvoudiger behandeling toelaat (zie bijv. Gauss Werke, II, art 68), heb ik toch gemeend het ook op de- zelfde wijze als de overige gevallen te moeten behandelen, omdat zoodoende blijkt, dat de gebezigde méthode in staat is om de volle- dige theorema's af te leiden. Nadat de bepaling van het biquadratisch karakter van 1 + i af- gehandeld is, heb ik met behulp van de voorafgaande ontwikkelingen aile theorema's bewezen, die Gauss door inductie gevonden , en in art. 28 der Theoria residuorum biquadraticorum commentatio secunda opgesteld heeft. Voor zoover mij bekend, zijn deze theorema's hier voor het eerst bewezen^). Dit bewijs steunt geheel op de théorie der complexe getallen , welke théorie hier dus geheel als hulpmiddel dient, daar de theorema's zelf alleen betrekking hebben op reëele getallen. Behalve de reprociteitswet in de théorie der vierde-machts- resten, waren voor het volledig bewijs nog de beschouwingen van art 19 en 20 noodzakelijk. Ik zal nu beginnen met de afleiding van het karakter van 2 in de théorie der QUADRAATRESTEN. 1. Zi'j p een oneven priemgetal, de getallen 1, 2, 3, ..., p — 1 zullen dan in twee groepen verdeeld worden. Tôt de eerste groep A a, a, a'', . .. worden gerekend aile quadraatresten , tôt de tweede groep B /5, ^', r, ... aile niet-resten van den modulus p. Elk der groepen A en B be- 1) In het 4de deel van het Journal de Liouville heeft Lebesgue deze theorema's voor een deel bewezen. Zie daar p. 51 en 52. Remarque 1". BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 149 p 1 staat uit -g— volgens den modulus p incongruente getallen , en men ziet gemakkelijk, dat de beide congruenties : [x — o){x — a') {x — a") . . . = a; 2 _ l p-i (modp) identieke congruenties zijn , want zij zijn van lageren graad dan den ( — g — ) ^^ bezitten beide blijkbaar^-^ — vvortels, namelijk de eerste de wortels a;=:a, x=^a', x = a", ..., de tweede de wortels x = ^, x = ^', x = ^",... Door bij de getallen van A en B de eenheid op te tellen ontstaan de volgende beide groepen getallen: A' a + 1, a'-f 1, a" + l, ... B' ^ + i,^' + l, ^" + 1, ... De aantallen getallen van de groep A', die in A en B voorkomen, noem ik nu respectievelijk (0.0), (0.1), en de aantallen getallen van B', die in A en B voorkomen, respectievelijk (1.0), (1.1). Deze vier getallen kunnen in het volgende schéma S vereenigd worden : (0.0) (0.1) (1.0) (1.1) Daar de priemgetallen van de vormen p=:4w-|-^ en^ — 4n-f-3 zich verschillend gedragen , moeten deze beide gevallen afzonderlijk behandeld worden. Ik begin met het eerste. 2. Voor p = 4w-|-l is — 1 quadraatrest , zoodat de getallen a en p — a tegelijkertijd in A voorkomen. Evenzoo komen de getallen /S en p — ^ gelijktijdig in ^ voor. 