ouvresdethomas01stierich
17. Ik laat nu hier de door Gauss in art. 28 opgestelde opmer- kingen volgen. De priemmodulus p = ju zij van den vorm 4w+ 1, volgens de opmerking van het vorige artikel is het nu te doen om de bepaling van de waarde van het symbool m ^a -{- biJ waarin m een reëel priemgetal is ; de omstandigheid, dat voor // = 8 w -|- 5 a en 6 bij Gauss in teeken verschillen van de waarden in art. 14 heeft BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VJERDE-MACHTSRESTEN. 175 op de uitspraak der theorema's geen invloed Het priemgetal m zal met zulk een teeken genomen worden , dat het steeds r^ 1 (mod 4) is, dus negatief wanneer het positief genomen , van den vorm 4A; -f- 3 = Q is, terwijl een positief priemgetal van den vorm ik-\-l door P zal aangeduid worden. De opmerkingen van Gauss kunnen nu aldus uitgedrukt worden I. Is a:iiO (mod w) dan is ( ( ^^^~J) = ± 1 . en wel -f- 1 wan- neer m van den vorm 8r ± 1 , daarentegen — 1 wanneer m van den vorm 8r ± 3 is. II. Is a niet door m deelbaar, dan hangt de waarde van het symbool af alléén van het volkomen bepaalde getal x , dat voldoet aan de congruentie bTEEax (mod m). Voor m := P kan x hier de volgende waarden aannemen 0, 1, 2, 3, ..., P-1, met uitzondering van de beide waarden f en P — /", die voldoen aan yy^^E^ — 1 (modP). Deze kunnen blijkbaar niet voorkomen, want uit b^ay zou volgen 62=EE — a2 o{ a^-\-b^ = p-~0 (modP), d. w. z. p zou door P deelbaar zijn. Voor m == — Q daarentegen kan x aile waarden 0, 1, 2, 3, .... Q-1 aannemen. Deze waarden van x kunnen nu in 4 klassen a, p, 7, S verdeeld worden, zoodanig dat voor b^^aa (mod m) de waarde van het  dat in deze gevallen m respec- tievelijk tôt de klassen A, B, C, D behoort. Omtrent het aantal der getallen a, /5, y, ô geldt nu deze regel, dat drie dezer aantallen gelijk zijn, terwijl dan het vierde aantal één kleiner 1 76 BIJDR AGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. is; en wel is dit vierde aantal dat der a's , vvanneer voor a^=0 m tôt A behoort, en dat der y's, vvanneer voor a = 0 m tôt C behoort. De verdere opmerkingen van Gauss in art. 28 kiinnen voor het oogenblik daargelaten worden . daar hun bevvijs geen bezwaar onder- vindt, zoodra eenmaal het bovenstaande aangetoond is, waartoe ik nu overga. 18. Zij dan vooreerst m = — Q , volgens de reciprociteitswet is dan (L-^))-(m) en voor a ^= 0 (mod Q) (fâ))=((f))=0((l))=- want ((-^))=:1; immers men heeft {{^)]^b ' (modQ) en daar Q van den vorm 4r-|-3, en dus -—- — = (Q — 1) ^ •"- een veelvoud van Q — 1 is, zoo volgt uit het theorema van Fermât b Voor Q = 8w-|-3 volgt nu — O W = — 1 \a-}-b i voor Q = 8 n + 7 («.)) = + •• Voor m = P = {A-\-Bi){A — B i) daarentegen , waarin A -{- B i en A — Bi de primaire factoren van P zijn , volgt uit de reciprociteitswet [[cTfVill ^ vIa + bJ; IIâ^^^bt)) en voor a~TO (mod P) [L-hML-^w^) (L-^J=((^.)) m^ foi,))- BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 177 Nu is, zooals bekend, in 't algemeen dus of voor P = 8 ?^ + 1 ((^r))=^ en voor F = 8n-{- 5 Hiermede is dus het in het voorgaande art. onder I gezegde ge- heel bewezen. 19. Onderstellen wij dan nu, dat a niet door m deelbaar is , en beschouwen wij eerst het eenvoudigste geval m = — Q, dan is dus ii^DHn'^ en voor b — ax (mod Q) daar ^ „-j| = l is, zooals reeds in het voorgaand artikel bewezen werd. Uit de verkregen uitkomst tey)=((H^)) blijkt nu reeds, dat de waarde van het symbool links, alleen van het getal x afhangt, welk getal de Q waarden 0, 1, 2, 3, ..., Q — 1 kan aannemen. Wij hebben dus nu nog slechts deze vraag te beantwoorden : 12 178 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. wanneer de modulus Q een priemgetal van den vorm 4w + 3 is , hoeveel der getallen 1, l-\-i, l + 2^, l + 3i, ..., l + (Q-l)i behooren er dan respectievelijk tôt de klassen A, B, C, D? Ik merk hiertoe vooreerst op, dat als een volledig systeem niet door Q deelbare resten de getallen genomen kunnen worden , waarin a en ^ de waarden 0, 1, 2, 3, ..., Q-1 doorloopen, met uitzondering der combinatie a = 0, /? = 0; en ten tweede, dat de getallen 1, 2, 8, ..., g-1 aile tôt A behooren, zoodat wanneer a' + ^'i tôt eene zekere klasse behoort, ook 2(a'+ /5't), 8(a' + /5'i), ..., (g - 1) (a' + ^' i) tôt diezelfde klasse behooren , aile welke getallen door het weglaten van veelvouden van q weder tôt den vorm a-f-^i, waarin a en /S kleiner dan q zijn, teruggebracht kunnen worden. Nu zijn de resten van a', 2 a', 3 a', . . . , (g - 1) a', zoolang a' niet gelijk nul is , volgens den modulus q in zekere volg- orde met de getallen 1. 2, 3, ..., q-l congruent. In de groep der q — i getallen a'-}-^'^^ 2(a' + ^'i) (g-l)(a'-f-^'^), die aile tôt dezelfde klasse behooren, komt er dus één voor, con- gruent met een der getallen l-\-xi {x = 0, 1, 2, ..., g— 1). Nu is het aantal getallen van elke klasse een veelvoud van g — 1, en de q — 1 getallen zonder reëel gedeelte i, 2i, Si, ..., (q — l)i behooren voor q = Sn-\-7 tôt A , voor g = 8 w -f 8 tôt C. BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 179 Daar men nu aile getallen van elke klasse , waarvan het reëel ge- deelte niet gelijk nul is, op bovenstaande wijze in groepen van q — 1 getallen kan vereenigen, zoodanig dat er in elke groep één getal met het reëele gedeelte 1 voorkomt, zoo volgt, dat voor Q = 8n-|- 7 er in de klassen A, B, C, D respectievelijk g-3 g+J. q±l g + 1 4 ' 4' 4 ' 4 getallen l-\-xi voorkomen. Voor Q = 8 w + 3 zijn deze aantallen qj\^ g + l g-3 q + 1 4 ' 4 ' 4'"' 4 ' terwijl volgens art. 18 in het geval a==0 (mod Q) voor Q = 8 w -f- 7 ofQ=:8w-[-3, Q respectievelijk tôt de klassen A en C behoorde. Ailes wat op het geval m = — Q betrekking had, is dus hiermede afgehandeld. 20. Voor m = P^(A + B*)(A — Bi) vonden wij reeds Ha + 6"ï/) ^ UA + bJ) \\K — Bi\] en dus wanneer h^ax (mod P) , heeft men V\a'+^*))"'l(A + Bï)) ((a^==^B^)) ((aTBï)) ((â"-Bi)) of daar, volgens een reeds in art. 18 gemaakte opmerking, het pro- duct der beide laatste factoren rechts gelijk 1 is, via + h ù) -\-biJ/~ \\A + B ill \\A — BiJ waaruit reeds blijkt, dat de vvaarde van het symbool links alleen van het getal x afhangt, zoodat nog slechts de volgende vraag te beant- woorden blijft: voor hoeveel waarden van l-{-xi neemt (dtr.)) ((^1^)) ^A + B ^/ respectievelijk de waarden 1, i, —1, —i aan? Voor x heeft men hier de waarden 0, 1, 2, 3, ..., P_l te nemen, uitgezonderd de beide wortels van i/zzz—l (mod P). 180 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. Om deze vraag te beantwoorden beschouw ik een volledig systeem incongruente niet door den modulus A + B'i deelbare resten , en breng deze volgens hun biquadratisch karakter tôt 4 groepen A,B, C, D. Hierbij denk ik mij elke rest zoo gekozen , dat het reëele deel gelijk 1, en de factor van i kleiner dan P is. Men kan dit aldus voorstellen : (mod A + B i) , A"^ + B^ = P. Klasse A a = l -\- ai B yS = l + 6^ C y = 1-^ ci D ô = l-{-di. De getallen a, b, c, d in hun geheel stemmen overeen met 0, 1, 2, 3, ..,, (P-1), behalve dat de waarde f, die congruent i is ontbreekt, want 1 -f- /'^ ^ 0 (mod A + B i). Evenzoo met A — B^ handelende, ziet men gemakkelijk, dat de klassificatie deze zal zijn : (mod A — Bi), A^ + B^ = P. Klasse A 1 + (P — a) i B 1 + (P — d)* C l + (P-c)i D 1 + (P — 6) ^ want gelijktijdig heeft men (1 -i-xi) ^ ' — iP = {k-\-Bi){C-\-J)i), p-i (i — xi) ^' — i'^P = {A — Bi){C-Di). Heeft dus 1-]- xi volgens den modulus A -f B i het karakter q , dan heeft 1 — xi 'l -\- {F — x)i volgens den modulus A — Bihet karakter 3^- 21. Zal nu ((iî-îJ) ((i-±4^)) BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTF:N. 181 gelijk 1 vvorden dan moet, wanneer 1 -{-xi een der waardeii 1, i, —1, —i heeft, tegelijkertijd ,A — B ij) een der vvaarden 1, —i, —1, i aannemen, of op de beide verdee- lingen in klassen lettende: wanneer x respectievelijk tôt a, b, c, d behoort, dan moet tegelijkertijd ook p — x tôt de getallen a, b, c, d behooren. Men kan dus zeggen, dat het aantal der waarden van x waarvoor m^:i} ((is))=^ wordt, gelijk is aan de som van de aantallen oplossingen der con- gruenties c+c' = 0, d-^-d'-^O, ten opzichte van den modulus P, of wat op hetzelfde neerkomt, ten opzichte van den modulus A 4- B *. Men bedenke hierbij, dat wel de voor x uitgesloten waarde p — f onder a, &, c, d voorkomt, maar dat deze waarde toch in geen der bovenstaande congruenties kan optreden, omdat dit zoude vereischen, dat ook f voorkwam onder de getallen a,b,c, d, wat niet het geval is. Nu is a = l-\- ai, zoodat de voorgaande congruenties na verme- nigvuldiging met i, overgaan in a -{-a =2 ^t^'^'^l (modA + B*). ô-\-ô'^2. Behoort ^~^ tôt de klasse A, dan gaan de voorgaande congru- p — 1 enties door vermenigvuldiging met — ^ over ni 182 BIJDKAGE TOT DE THEORIE DER DEKDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. a-f a'4- IeeeO ^+(5'+1eeeO zoodat de soni van het aantal oplossingen dezer congruenties gelijk is aan het aantal waarden van x, die {(m:È ((^^.)) + gelijk 1 maken. Maar zooals men zich onmiddellijk overtuigt, blijft dit resultaat hetzelfde, ook wanneer ^^ tôt de klassen B, C, D behoort. Be- hoort bijv. „ ^^^ ^f ^^^ volgt uit a-[-a'^~2 door vermenigvul- diging met — g— en uit 1^ -]- fi' ^^ y -{- y' -^ ô -{- ô' lEE 2 respectievelijk Noemt men de aantallen der waarden van x, die respectievelijk \[x~.f^ij) ((â"::i^i)) g^^^y^ 1, i, — 1, — i maken, ^ w, z;, iv, dan is dus ^ de som van de aantallen oplossingen der congruenties (mod A + B i). a + a' +1 = 0 ^4-/?'+l = 0 ^+^'+l=.0. Geheel op dezelfde wijze vindt men, dat u de som is van de aantallen oplossingen der congruenties a + (5 4-lEEEO, ^ + a + l-0, d + y+1-0, BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 183 terwijl men voor v en i^ de congruenties a + 7+lEEEO, a + /5 + l=0, ^4.64.1=^0, ^^^ ^ + ^4-1eee0, y^a-\-l=0, 7 + 5+1-0, f5 + |5 + l-EO, 5 + a+lEEEO, te beschouwen heeft. Is dus P = 8 w + 1 , dan heeft men volgens art. 7 en 8 ^ =(0.0) + (l.l) + (2.2) + (3.3) = /î + ^ +k+j =2n-l, u = (0.3) + (1.0) + (2.1) + (3.2) = 1 -i-j + m + w = 2 w, V = (0.2) + (1.3) + (2.0) + (3.1) = k + m-\-k -{-m=z2n, wj^ (0.1) + (1.2) + (2.3) + (3.0) =i +m + w + ^ =2n, en voor P = 8 w + 5 volgens art. 13 < =(0.2) + (1.3) + (2.0) + (3.1) = Â;+i + /î + / =2w + l, u = (0.1) + (1.2) + (2.3) + (3.0) =j -\-l +w + m=2w + l, y = (0.0) + (1.1) + (2.2) + (3.3) = /î + w + /i +mr=2n, î^z=(0.3) + (1.0) + (2.1) + (3.2)r=Z +w+m+> =2n + l. 22. Al het voorgaande samenstellende, hebben dus de kenmerken om te onderscheiden of een reëel priemgetal tôt de klassen A, B, C, behoort , wanneer de modulus p van den vorm 4w + lena + 6i een primaire complexe priemfactor van p is, de volgende gedaante : Het priemgetal P == 8 w + 1 behoort tôt A voor a E5E 0 , 6 eee a a Aantal der a's = 2 w — 1 , B voor 6 =z a ^ ^^^^ P)^ „ „ ^'s = 2 w , C voor b ^~zay „ „ y's = 2 w , D voor b =^aô „ „ 5's == 2 n. Het priemgetal P = 8 w + 5 behoort tôt A voor b^aa Aantal der a's = 2 w + 1 , BvoorftEEEa^ (mod P). » » ^'sn=2w + l, C voor 6 EEE a y, a EEE 0 „ „ /'s = 2 w , D voor b -: aô „ „ ô's = 2 w + 1. Het priemgetal — Q = — (8 n + 3) behoort tôt A voor b^-aa Aantal der a's — 2w + l, B voor b -: a p (j^od Q). » " ^'s = 2 w + 1 , C voor b^ay, a = 0 „ „ y'8 = 2n, D voor b=.aô „ „ (5's = 2w + l. 184 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. Het priemgetal — Q = — (8 n -f- 7) behoort tôt A voor 6 Ez^ a a , a = 0 Aantal der as = 2 n -{- 1 , BvoorÔEEEa^ (mod Q). « » fi's = 2n-{-2, C voor b^2ay „ » J''s = 2n-\-2 , D voor b^ = aô „ „ ô's = 2n-\- 2. Ik voeg hierbij nog de volgende opmerkingen van Gauss (art. 28), waarvan het bewijs na al het voorgaande niet het minste bezwaar oplevert. 1. Het getal 0 behoort altijd tôt de as, en de getallen —a, — /9, — y, — ô behooren (mod m) respectievelijk tôt de a's, ô's, y's en ft's. 2. Voor P==8n-f-l, Q = 87i -\- 7 behooren de waarden van 1111,,, T' 6 ' — ' ô i^'^^^ ^) respectievelijk tôt de a's, (3's, y s, /?'s; en voor F^=8n-\-6, Q = 8n-|-3 behooren deze waarden respectievelijk tôt de j-'s, ^'s, a's, ^'s. DERDE -MACIITSRï:STEN. 23. Nu tôt de derde-machtsresten overgaande , is het noodig het cen en ander omirent de théorie der geheele getallen van den vorm a-\-bQ in herinnering te brengen ; q is hierin een complexe derde- machtswortel der eenheid, dus 1 -f o -|- jp- = 0. Zooals dan bekend is, gelden ook in deze théorie omtrent de deel- baarheid der getallen, hunne ontbinding in priemfactoren, het be- staan van primitieve wortels der priemgetallen enz. geheel analoge theorema's als die in de gewone théorie der reëele getallen, en verreweg het grootste gedeelte der onderzoekingen in de vier eerste sectiën der Disquisitiones arithmeticae kunnen bijna onveranderd ook voor de théorie der geheele getallen a-^-bg doorgevoerd worden. Het product van twee geconjugeerde getallen a -\- b g en a-\-b q\ {a -\- b q) {a -{- b q-) = a~ — ab -\-b^ heet de norm van het getal a -{- b q en zal steeds door ju aangeduid worden. Het getal 3 is in deze théorie geen priemgetal, want BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. 185 Als priemgetallen behalve 1 — ^, in deze théorie, doen zich voor: ten eerste de reëele priemgetallen van den vorm 3 w — 1 , de norm is dan gelijk (3 w — 1)-; ten tweede de complexe priemfactoren van de reëele priemgetallen van den vorm 3n-\-l. Dit reëele priemgetal is dan te gelijk de norm van den complexen priemfactor. Bijv. is 7 = (2 + 3 ^) (2 + 3 ^2) ^ (2 4- 3 ^) (— 1 - 8 o). De priemgetallen 2-|-3^, —1 — 3^ hebben beide 7 tôt norm. In beide gevallen is dus de norm van den vorm dk -\- 1. Verder is het voldoende alleen primaire priemgetallen te beschou- wen , waarbij ik mij van dit woord in den zin van Eisenstein (Crelle's Journal, 27, p. 301) zal bedienen , zoodat a -{- b q primair heet, wan- neer a-}-l en b beide door 3 deelbaar zijn. De reëele priemgetallen van den vorm Sn — 1 moeten dus positief genomen worden om pri- mair te zijn. Zij dan M een primair priemgetal, fi de norm van den vorm 3?2-[-l. Een volledig stelsel incongruente , niet door den modulus M deelbare resten bevat dan ju — l=zSn getallen. Deze getallen kunnen tôt 3 klassen, elk ju getallen bevattende, gebracht worden al naar dat /a l\<le hunne ( — ^^ j macht (mod M) congruent is met 1 , ^ of q-. Deze ver- deeling kan aldus voorgesteld worden: A a , a', a", . .. B /?, ^', r, ... waarin dus C y, y', y' f (mod M). Het cubisch karakter der getallen a, a', a", ... is 0, dat der ge- tallen /?, ^', . . . is 1, dat der getallen y, y', . . . is 2. Het zal intusschen ook gemakkelijk zijn, van het symbool van Eisenstein gebruik te maken , en dus te schrijven f]=^. fil-- \i]=^'- 186 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Het doel van de eerstvolgende beschouwingen is nu de bepaling van het cubisch karakter van 1 — q, of wel de bepaling van de waarde van het symbool ^ 24. Door bij aile getallen van A, B, C de eenheid op te tellen, ontstaan de 3 groepen van getallen A', B', C A' a-f 1, a' + l, a" + l, ... B' ^+1, ys'+'i, r + 1, ... C 7 + 1, r' + i, /'+1, ... en ik noem nu (0.0), (0.1), (0.2) de aantallen getallen van A', die res- pectievelijk congruent zijn met getallen van A, B, C; (1.0), (1.1), (1.2) de aantallen getallen van B', die respectievelijk congruent zijn met getallen van A, B, C; eindelijk (2.0), (2,1), (2.2) de aantallen getallen C, die respectievelijk congruent zijn met getallen van A, B, C. Al deze getallen kunnen in het schéma S vereenigd worden (0,0) (0.1) (0.2) (1.0) (1.1) (1.2) (2.0) (2.1) (2.2) en met de bepaling van deze getallen is ook onmiddellijk het cubisch karakter van 1 — ^ gevonden. Want uit de blijkbaar identieke con- gruenties {X — a){x — a') ix — a") ...=X ^ — 1 {x — ^){x—p'){x—^")... = x 3 —Q (modM) {X — y){x — y') {X — y") ... = x ^ — q^ volgt voor x = — 1 , daar ' — „ — even is (behalve voor M = 2 , welk geval uit te zonderen is) , (^ + i)(^' + i)(r + i)...^-=i-? ,.^, / I ix / ' I 1^ / // I ix 1 o (mod M), iy + 1) (r + 1) iy + 1) ... H. 1 — e" waaruit onmiddellijk volgt = ?1 —o (1.1) +2(1.2) ri —g] (-2.1) + 2 (2.2) BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 187 25. Het getal —1 behoort, als volkomen derde-macht tôt de klasse A , en de getallen a en — a, ^ en— fi, y en— y komen tege- lijkertijd in de klassen A, B, C voor. Met behulp van deze opmerking overtuigt men zich nu dadelijk, dat het teeken voorstelt het aantal oplossingen van (mod M) (0.0) a 4- a' + 1:0 (0.1) a + ^ +1=0 (0.2) aJrr +i = -0 (1.0) /5 + « +1-0 (1.1) ^ + /S' + 1::.0 (1.2) ^ + r +U.0 (2.0) y-i-a +1=^0 (2.1) y + fi +1^^0 (2.2) j.+ / + l^,0 ;oodat men heeft (0.1) = (1.0), i0.2)==(2.0), (12): (2.1). Is xy Tz 1 (mod M) en behoort x tôt A , dan behoort blijkbaar ook ?/ tôt A, behoort echter a; tôt B of C, dan behoort y respectievelijk tôt C of B, wat men kan uitdrukken door te schrijven a a' EEE 1 , ^ 7 == 1 (mod M). Uit Ha + ^ + l)=^-7' + l+7, ^(a + j. + l)-;?' + l+/5, besluit men nu tôt deze betrekkingen (0.1)^(2.2), (0.2)^(1.1), zoodat het schéma S dezen vorm heeft h j k j k l k l j. Daar — 1 tôt A, dus 0 tôt A' behoort, maar behalve dit getal 0 van A' overigens aile getallen van A', B', C elk met één getal van A, B of C congruent zijn, zoo volgt verder h-\-j -]rk = n — \ , j + A; + ^ =n. 188 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. De beschouwing van het aantal oplossingen der congruentie « + ^ + 7+1=0 (mod M) , waarin a, ^, y respectievelijk uit de klassen A, B, C te kiezen zijn , levert eindelijk nog eene betrekking tusschen h, j, k, l. Neemt men namelijk eerst voor a de getallen van A, dan verkrijgt men voor dit aantal hl-\-jj-^kk, Neemt men daarentegen achtereenvolgens voor /i aile getallen van B, dan vindt men voor ditzelfde aantal jk + kl + lj dus is 0 = hl 4- J7 -{-kk—jk — kl — lj. 26. Elimineert men uit deze laatste vergelijking h met behulp van h = l — 1 , dan is 0 = l{l-\)^jjJ^kk-jk-kl — lj, welke vergelijking met 4 vermenigvuldigd , wegens {jJ^kf^^{j-kf = ^{jjJrkk-jk) den vorm aanneemt 0==4r2-4Z + O- + Â:)2 + 3O"-Â;)2-4/(A;+i). Daar lz=n — {j-\- k) is , heeft men door met 9 te vermenigvuldigen 36 n = 36 Z2 + 9 (j 4- kf + 27 {j — kf — 36 1 {j -|- A;) + 36 {j + k) ; tegelijk is 24« = 24O- + â; + 0, dus vindt men door aftrekking 12w=:36r^+90'-f /i;)2 4-27 (j-A;)--36/0- + Â;)+ 120 + A-)-24^ of wel 12 w 4- 4 = 4 ^t r= (6 ^ — 3 j— 3 /c — 2)- 4- 27 {j — kf. Stellen wij nu A = 6^ — 3j — 3/i; — 2, B =3j — 3/(;, dan is dus 4 /i = A2 4- 3 B2 5IJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 189 en men kan verder li, j, k, l met behulp van A en B gemakkelijk aldus uitdrukken 9/i = 3w + A-7, 18.y =6w — A + SB — 2, 18Â; = 6?z — A — 3B — 2, 9;==3ri4-A + 2. Om nog A en B te bepalen zijn nu twee gevallen te onderscheiden. 27. Is vooreerst M reëel van den vorm 3 w — 1 , dus fx = M- , dan volgt uit 4 /i = 4 M'^ = A2 + 3 B2, dat A = + 2M, B:=0 is. Want was B niet gelijk nul, dan zou men een geheel getal x kunnen bepalen , zoô dat A e:^ B a; (mod M) , waaruit volgt A2 -=T-^ — 3 B2 = B2 x^ (mod M) dus x^~ — S (mod M), wat onmogelijk is, daar men weet, dat —3 niet-rest is van M. Stellig is dus B — 0, A = ±2M. Maar ook het teeken van A volgt onmiddellijk uit de opmerking, dat Ai^l (mod 3) , en M als primair priemgetal =—l (mod 3) is ; waaruit dus blijkt A = 2M en ten slotte 9/î = 3w + 2M— 7, 9i = 9A;==3w— M— 1, 9/=:3n + 2M-f2. 28. Is in de tweede plaats M. = a-\-b q een primaire complexe priemfactor van een reëel priemgetal p van den vorm 3 w -f 1, dan is 4 /^ r= (2 a — 6)2 + 3 62 = A2 + 3 B2 en daar a-\-bQ primair is , a -[- 1 :^ 6 eee 0 (mod 3). Nu is ook B door 3 deelbaar en daar, zooals gemakkelijk te be- wijzen valt, i ju slechts op één wijze voorgesteld kan worden als de som van een quadraat en het 27-voud van een tweede quadraat, zoo volgt A = 2a — 6, B = ±6. 190 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Het teeken van A wordt namelijk weder bepaald door A - 1 (mod 3). Om nog het teeken van B te bepalen, dient de volgende be- schoiiwing; doorloopt z aile getallen van A, B en C, dan vindt men , op geheel dezelfde wijze als in art. 12, 2(3-^ + 1) 3 =_2 = 3(/î+.y>4-/c^'-^) (mod M), of -2 = S[{h-k)-}-QU-k)] en nu h, j, k door A en B uitdrukkende , en voor A de waarde 2a — b schrij vende, verkrijgt men na eene kleine herleiding 0 = 2a — 6 + B + 2Be (mod U = a-\-bQ), waaruit blijkt, dat B == 6 is Nadat op deze wijze A en B gevonden zijn, heeft men 9h = Sn-\-2a— 6 — 7, 9j =Sn— a -f- 2 6 — 1, 9k = Sn — a — b — 1, 9^=3w + 2a— b-\-2. 29. Volgens art. 24 is nu het cubisch karakter van 1 — ^ volgens den modulus 3 congruent met (1.1)4-2(1.2)-^:-;, dat van 1 — q'^ congruent met (2.1) + 2(2.2)E=;-i, dus wanneer M reëel van den vorm Sn — 1 is, heeft men volgens art. 27 Karakter (l - ^) - — ^ti , of wel Karakter (1 — g^) =e + ^^i^ , o waaruit nog volgt 3 M'='- BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 191 Is daarentegen M. = a-]-bQ een primaire complexe factor van een reëel priemgetal van den vorm 3n-\- 1, dan is volorens de waarden in art. 28 gevonden _l_ 1 Karakter (1 — ^) T"- , a-b + l of Karakter (1 — r)^ o Deze resultaten verschillen niet wezenlijk van die door Eisenstein gegeven in het 28'*' deel van Crelle's Journal , p. 28 e. v. 30. Omtrent het geval, dat het priemgetal M een factor is van een reëel priemgetal p van den vorm 3 w + 1> moge nog het volgende opgemerkt worden Daar in ¥ = a-\-bQ, a en b geen gemeenen deeler hebben en der- halve ook 6 en a — b relatief priem zijn , zoo kan men altijd twee geheele getallen a en ^ vinden , zoodanig dat 6a + (a — &)/? = ! wordt, en dan is {a-\-bQ){a^^Q) = aa-b^-\-Q, dus QE^b ^ — aa (mod M^a-^-bg). Hieruit volgt onmiddellijk, dat elk geheel getal c -\- d q volgens den modulus a-{-b Q congruent is met een reëel getal , welk reëel getal kleiner dan de modulus iu=p aangenomen kan worden, zoodat de reëele getallen 0, 1, 2, 3, ..., fi-l een volledig restsysteem vormen. Verdeelt men nu deze reëele ge- tallen (met uitzondering van 0) volgens hun cubisch karakter in drie klassen A a, a, a'\ . .. B fi, ^', fi", . .. C 7, y\ y", ... 192 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. en noemen wij f het reëele getal , dat ^^q is (modM), dan is dus f*— 1 /«-i \^ — \ a 3 _lEE/9 3 —f^y 3 _/-2=3=o (modM = a + /)o), en daar reëele getallen zijn , zoo moeten zij niet alleen door a-\-h q maar ook door den modulus p = u=:=(a + 6^)(a + 6r) deelbaar zijn , of 7 3 :^_p Hieruit blijkt dus , dat de klassiiîcatie der getallen 1, 2, 3, ...,i?-l met behulp dezer drie laatste congruenties , samenvalt met die vol- gens hun cubisch karakter ten opzichte van den modulus a-]-bQ. Het resultaat \_a-\-hQ\ kan nu aldus uitgesproken worden: het getal 3 behoort tôt de klasse A , B of C , al naar dat — ^h van den vorm 3m, 3 w + 1 of 3w + 2 is. Ik laat hier eenige voorbeelden volgen. p.^7, a = 1, 6 = 3, f=^. A 1, 6. B 2, 5. C 3, 4. p = 13, a = — \, b = S, f = d. A 1, 5, 8, 12. B 4, 6, 7, 9. C 2, 3, 10, 11. Schéma S. hj k 0 1 0 j k l 1 0 1 k l j 0 1 1 0 2 1 2 1 1 1 1 2 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN, 193 p = 19, a = 5, 6 = 3, f=U. Schéma S. A 1, 7, 8, 11, 12, 18. 2 2 1 B 4, 6, 9, 10, 13, 15. 2 13 C 2, 3, 5, 14, 16, 17. 13 2 p = 31, a = 5, 6 = 6, f=25. A 1, 2, 4, 8, 15, 16, 23, 27, 29, 30. 3 4 2 B 3, 6, 7, 12, 14, 17, 19, 24, 25, 28. 4 2 4 C 5, 9, 10, 11, 13, 18, 20, 21, 22, 26. 2 4 4 p = 37, a = — 4, 6 = 3, /■=26. A 1, 6, 8, 10, 11, 14, 23, 26, 27, 29, 31, 36. 2 5 4 B 2, 9, 12, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 25, 28, 35. 5 4 3 C 3, 4, 5, 7, 13, 18, 19, 24, 30, 32, 33, 34. 4 3 5 p = 43, a = — 1, 6 = 6, /■=36. A 1, 2, 4, 8, 11, 16, 21, 22, 27, 32, 35, 39, 41, 42. 3 6 4 B 3, 5, 6, 10, 12, 19, 20, 23, 24, 31, 33, 37, 38, 40. 6 4 4 C 7, 9, 13, 14, 15, 17, 18, 25, 26, 28, 29, 30, 34, 36. 4 4 6 p = 61, a = 5, 6 = 9, /•=13. A 1, 3, 8, 9, 11, 20, 23, 24, 27, 28, 33, 34, 37, 6 8 5 38, 41, 50, 52, 53, 58, 60. 8 5 7 B 4, 10, 12, 14, 17, 19, 25, 26, 29, 30, 31, 32, 35, 5 7 8 36, 42, 44, 47, 49, 51, 57. C 2, 5, 6, 7, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 39, 40, 43, 45, 46, 48, 54, 55, 56, 59. Terwijl over het voorkomen van het getal 3 in de groepen A, B, C op bovenstaande wijze vooruit beslist is , kan men nu, met behulp van de reciprociteitswet , in de théorie der cubische resten gemak- kelijk de kenmerken opstellen , noodig om het voorkomen ook van andere getallen in deze klassen te onderkennen. Het is hierbij blijkbaar voldoende om alleen priemgetallen te beschouwen. Wat het priemgetal 2 betreft, kan men deze criteria, zonder hulp der reciprociteitswet, aldus afleiden. 31. Daar het getal p — 1 altijd tôt A behoort, zoo volgt onmid- dellijk, dat 2 tôt de klasse A, B of C zal behooren al naar gelang p-1 2 tôt de klasse A, C of B behoort. 13 194 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. De getallen h, /c, j zijn nu respectievelijk de aantallen oplossingen der congriienties a 4- a' 4- 1 £E^ 0 ^4-/S' + l-0 (modp), en daar men a met a', ^ met /5', y met 7' mag verwisselen, zijn deze p — 1 drie aantallen even , uitgezonderd het eerste, wanneer a=za' =z — ^ — p — l tôt A behoort , of uitgezonderd het tweede , wanneer ^ — ^' = — g— » — 1 tôt B behoort , of uitgezonderd het derde , wanneer y =:y' = — - — tôt C behoort. Hieruit blijkt dus, dat 2 tôt de klasse A, B of C behoort, al naar dat van de drie getallen h, j, k het eerste , tweede of derde oneven is. Daar p = 2>n-\-l {n even) en volgens art. 28 %h=z^n-\-2a— b — 7, 9j =Sn— «4-26 — 1, 9k = 3n— a— 6 — 1 is, zoo is h oneven, wanneer 6 even is, j oneven, wanneer a even is, eindelijk k oneven, wanneer a en 6 beide oneven zijn. Daar a en 6 geen gemeenen deeler hebben , zoo zijn geen andere gevallen mo- gelijk, dus 2 behoort tôt A, wanneer 6^^0 B, „ a EE 0 (mod 2). C, „ a = 6EEl 32. Wat het voorkomen van 5 belreft, volgens de cubische reci- prociteitswet is Ja 4- 6^1 [a4- bgi [ 5 want 5 is 00k in de théorie der geheele getallen a-\-bQ een priem- getal. Voor a EE^ 0 (mod 5) is dus [a -\- bgl [ 5 J [5 derhalve behoort 5 tôt C. ^1= Il =.«=.- BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTExV. 195 Is a niet door 5 deelbaar, dan kan men x bepalen uit b^£ax (mod 5) , en X kan de waarden 0, 1, 2, 3, 4 aannemen; men heeft alzoo 5 1 ^ \a{l±xg)} _ n_±XQ a + bg] [ 5 J l 5. a^bo\ en men vindt voor x = 0 x = l x=2 a-\-bQ\~^^ = 1 x^ x = 4 [a-{- bg\ Hieruit volgt, dat 5 behoort tôt A, wanneer b:^0, 6 — 2 a B, „ b^^a, b^4:a (mod 5). C, „ b^Sa, a^O. Om het voorkomen van 7 te beoordeelen, heeft men r 7 ] |2 4-3gl \l±sj [a-\-bQ\ [a-fbQl [a-^-bg en nu volgens de reciprociteitswet r_7_l^ra + M \ai-J^g [a + bQl [2 + 3^ [2 + 3^''^. Voor a ^: 0 (mod 7) volgt , daar in 't algemeen a-{-bQ\ [a-\-bQ^\ is, zoodat 7 tôt B behoort. Is a niet door 7 deelbaar , maar b^:i^ax (mod 7), 196 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. dan volgt r 7 1_[l+^g1 fl+^el [a + bQ\~[2-{-3Q\ l2 + 3eT en voor x kunnen de waarden 0, 1, 2, 4, 6 voorkomen, niet x = B en x = b, daar deze waarden p = a^-ab-\-b^^~aHi-x + x^) door 7 deelbaar zouden maken. Men vindt nu voor [a-\-bQ\ a-\-bQ\ " 7 a-{-bQ a-\-bQ zoodal 7 behoort tôt A, wanneer & = 0 , Z; eei 2 a B, „ b = 4:a, aEE^O (mod 7). C, „ ÔEEEa, 6:EE6rt Op gelijke vvijze, of door inductie, zal men vinden dat 11 behoort tôt A voor b".0, &£EE2a, 6="4a, &=5a B „ b-.-iSa, b--::6a, 6E£:9a, ar^O (mod 11), C „ b^-a, b = 7a, 6 E£E 8 a , 6 E= 10 a 13 behoort tôt A voor b=0, 6 E.E 2 a , 6 = 3a, 6 e.- 8a B „ b-:i=a, biE^6a, ÔEEilla, 6 = 12 a (mod 13), C „ 6EiE5a, b = 7a, 6EEE9a, a = 0 17 behoort tôt (mod 17) , A voor b^O, b^a, 6EEz2a, &EEE9a, 6EEEl6a, aEEEO B „ b^.Ba, b = 7a, , b = 8a, 6=12a, 6 = 13a, 6E^14a C „ 6 --4a, b-^ba, , &E£E6a, 6— 10 a, &=lla, &EEE 15 a BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. 197 19 behoort tôt (mod 19), A voor /)_z 0, 6 ==3 a, h^2a, b~\Oa, h:-ASa, a^^^O B „ 6 =-- 5 a , 6 r== 1 1 a , & :-: 13 a , 6 =- 14 a , 6 ^ 16 a , 6 __ 17 a C „ 6ï:^3a, 6=_-4a, 6-E6a, h -.la, b~^~9a, 6_-.15a 23 behoort tôt (mod 23), A voor 6e£eO, 6i^2a, 6:^5a, 6^6a, b-:^7a, b~8a, 6^-1 la, 6: 15a B „ 6: -a, 6r:r9a, &E:El3a, bEE^ldo, 6i 17a, 6E=.18a, 6-19», 6:-22a C „ 6=3a, b=ia, b.rAOa, b~l2a, ÔEZEléa, b~20a, 6^21a, a^^O. 33. De beschouwing van deze bijzondere theorema's geeft aan- leiding tôt de volgende opmerkingen. Voor het gemak zal ik in het volgende de reëele priemgetallen van den vorm Sn — 1, die ook in de complexe théorie priemgetallen blijven door Q, de priemgetallen van den vorm 3n-{-l door P aan- duiden. 1. Een priemgetal Q behoort, wanneer a=^0 (mod Q), tôt de klassen Q 4-1 A, B, C al naar dat — À — van den vorm S m, 3 m + 1, S m -{-2 is. 2. Een priemgetal P behoort , wanneer a = 0 (mod P), tôt de klassen P — 1 A, B, C al naar dat — ^ — van den vorm 3 m, 3 m -f 1, 3 m -f- 2 is. 3. In de gevallen 6 = 0, 6 = 2a behoort het priemgetal P of Q altijd tôt de klasse A. 4. Behoort het priemgetal tôt A voor a 0, dan behoort het ook tôt A voor 6=: a en voor 6= — a. Komt het priemgetal echter in de klasse B of C voor, wanneer a 0, dan komt het voor b=^a en voor b ---^ — a in de klasse C of B voor. 5. In het algemeen zijn de criteria van den navolgenden vorm : Is a 1:^0, dan behoort het priemgetal tôt eene bepaalde klasse. Is o niet =0, dan is 6 = aa:; en voor elke waarde van x behoort het priemgetal in eene bepaalde klasse , zoodat men de waarden van X in 3 groepen a, /?, y kan onderscheiden , zoodanig dat voor b^^^aa het priemgetal tôt A , à^^o,^ „ „ ;, B, b = ay „ „ „ C behoort. 198 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Hierbij komt dan noor het geval «zeO, dat ook met eene bepaalde klasse correspondeert. Het totale aantal der congruenties nu , die men op deze wijze voor elkderdrieklassen vindt, isevengrootengelijkaan^-Y- o^aan —^ — 6. Zijn X en y twee getallen , die voldoen aan de congruentie x-{-y — xy = 0, en behoort x tôt a, dan behoort ook y tôt a. Is echter x = (i o{x=y, dan behoort y respectievelijk tôt de y s of de ^'s. Is xy = l en behoort 1 tôt de as, dan is voor x:=a' y = a", voor x = ^' y = y', voor x = y' y^=P'' Is xy^zi en l=/5, dan is voor a; = a y = y, voor X =^p' ' y=zp'\ voor X =:y' ?y = a'. Is xy^l en l = y, dan is voor x = a y = fi, voor :c = ^ 2/ = «, voor x = y y'=y'- 34. Wat het bewijs van de bovenstaande opmerkingen betreft, alleen het onder 5 gezegde vereischt eenige nieuwe beschouwingen ; al het overige le vert na het voorafgaande geen moeielijkheden op. Ik ga er dan nu toe over het onder 5 opgemerkte algemeen aan te toonen. Hierbij zijn de gevallen, dat het priemgetal gelijk aan Q of aan P is, afzonderlijk te behandelen, en wel zal eerst het eerste geval (verreweg het eenvoudigste) beschouwd vvorden. 35. Isdan het priemgetal Q van den vorm 3w — 1, dus ook priem in de théorie der complexe getallen van den vorm a -\- b g , dan is volgens de wet van reciprociteit Q ]\a + bg a + àgl [ Q BIJDKAGE TOT DE THEORIE DEK DEKDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 199 Is vooreerst a n:^ 0 (mod Q) , dan heeft men verder Nu is ^X(Q-2) een veelvoud van 3 en ^L-i _ (Q + i)(Q-2) _ Q + i 3 3 ~~ 3 ' derhalve is voor a^^O (mod Q) waarmede de juistheid van het in art. 33 onder 1 gezegde aange- toond is. Is a niet door Q deelbaar, dan is x volkomen bepaald door bE^ax (mod Q) en men heeft r Q ]_\aa + XQ]_ni-XQ] [a + bQ\-[ Q \-[ Q J' waaruit reeds blijkt, dat de klasse, waartoe Q behoort, alleen van het getal X afhangt, terwijl voor x blijkbaar de getallen 0, 1, 2, 3, ..., Q-1 kunnen voorkomen. Wij hebben nu nog slechts deze vraag le beantwoorden : hoeveel der Q grootheden m {x=:0, 1, 2, 3, ..., Q-1) zijn gelijk aan 1, hoeveel gelijk aan q, hoeveel gelijk aan ^'-? Wij beschouwen een volledig systeem niet door den modulus deelbare getallen, voor hetwelk de getallen (^=0, 1, 2, 3, ..., Q-l] genomen kunnen worden, waarbij alleen de combinatie a = 0, |5 = 0 200 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. weg te laten is. Brengen wij deze Q^ — 1 getallen naar hun cubisch karakter tôt 3 groepen A, B, C, A «0 + /^o ^ » • • • C «, + ^,o,... dan bevat elk dezer groepen 5iz-J_(Q_i)xQ + i 3 ^^ ^'^^ 3 getallen, welk aantal dus een veelvoud van Q — 1 is; en de reëelc getallen 1, 2, 3, ..., Q-1, die met ^ = 0 correspondeeren, behooren aile tôt A, waaruit voort- vloeit , dat zoo n -\- (i q tôt zekere klasse behoort , ook de me't l(a + ^^), 2(a -f^^o), ..., (Q_l)(a + /?^o) congruente getallen tôt dezelfde klasse behooren. Is nu a niet gelijk nul, dan zijn a, 2a, 3a, ..., (Q - 1) a volgens den modulus Q in zekere volgorde congruent met 1, 2, 3, ..., Q-1. Men kan dus de getallen van een klasse, waarbij het reëele deel niet gelijk nul is, in groepen van Q — 1 getallen verdeelen , zoodat in elke groep één getal voorkomt van den vorm 1-\-xq. Hieruit blijkt dus, dat de aantallen der getallen 1-\-xq, die l^-^fc^^ gelijk aan 1, q of q^ maken, zijn Q-2 Q + 1 Q + l r^n -3- , ~^^ , -g- , wanneer [ ^ J = 1 , Q-fl Q-2 Q + l r^] -3- , -3- , -3- , wanneer [|^J = q , Q + l Q + l Q-2 r^i -3 ~ , -3— , ~y , wanneer |^-|-J = q is, en daar verder boven gevonden werd, dat voor a = 0 (mod Q) q tôt de klassen A, B of C behoort al naar dat [^jgelijkaanl, ^ of ç2 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 201 is, ZOO is hiermede het in art 33 onder 5 gezegde geheel bewezen voor het geval , dat het priemgetal van den vorm 3 w — 1 is. 36. îs het priemgetal , waarvan men het voorkomen in de klassen A, B, C wil onderzoeken, van den vorm P = 3n-j-l, dan komt het er dus op aan de waarde van P [a-\-b te bepalen; daar P geen priemgetal is in de complexe théorie, zoo is het in de eerste plaats noodig, vôôrdat de wet van reciprociteit toegepast kan worden , P in zijne primaire priemfactoren te ontbinden. Stel P = (A4-B^)(A + B.o-^), dan is volgens de reciprociteitswet P 1 \ a-{-bQ] \ a-{-b g [a -{-bel LA + B ^J [A + B q' Dus heeft men voor a^^O (mod P) p n r _ T r „ i 2 (P - 1) P-1 P [a-}-bQ\[A-\-BQ\[A-\- Bq'\ "^ —^1 voor ax^^b (mod P) r p I_[i + ^g1 [ i-h^g [aH-6pJ~U + B(.J [a+ B^'^J Uit de eerste uitkomst voor a^^Q blijkt de juistheid van de tweede bewering in art. 33. Daar P van den vorm 3 /i -{- 1 is , zoo heeft de congruentie :â :: 1 (mod P) drie verschillende wortels, i, f, g, waarbij f^g^. De beide waarden — f, — g kunnen nu niet gelijk aan x zijn in de congruentie want uit b — af zoude volgen à^ — ab-\- ¥ - - d^{\-\.f-\- p) 1, . 0 (mod P) , zoodat het priemgetal p = a^ — ab -\-b" door F deelbaar zou zijn. 202 BIJDKAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. De waarden, die x dus kan aannemen, zijn 0, 1, 2, 3, ..., P — 1 met weglating der beide getallen P— /" en P — g. Hun aantal is derhalve P — 2, en nu is te onderzoeken, voor hoeveel dezer P— 2 waarden van x de uitdrukking 1_+Xq] r l-\-XQ A + BqI [a+b^^ de waarden 1, ^ en ^^ aanneemt. Ik merk nog op, dat F-l - « 3 A+Be is en dat voor a^-0 (mod P) geldt P 2(P-1) Q Behoort dus q voor den modulus A + B^ tôt de klasse A, B of G, dan behoort gelijktijdig P voor den modulus a-\-b q (of wat hetzelfde is, voor den reëelen modulus p) tôt de klasse A, C of B. 37. Men kan steeds , wanneer een willekeurig getal a -\- ^ q ge- geven is, een daarmede volgens den modulus A + Bg» congruent getal vinden, waarvan het reëele deel gelijk aan 1 is. De verdeeling van een volledig systeem niet door den modulus deelbare getallen in drie klassen , volgens hun cubisch karakter, kan dus aldus voorgesteld worden (mod A + B ^) A a = l-f-ap, a' = l-\-a'Q, a" = l-{-a" Q, . .. B ^ = l^bQ, ^' = l-\-b'Q, ^" = l-\-b"Q, ... C y = l-{-CQ, y' = l-{-c'Q, y" = 1 -\- c" Q, . .. en daar uit volgt a + ag) 3 _p*==(A + B^)(C + D^) (l+a^2) s ._^2.=,(A4-B^2)(C4.D^2)^ BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 203 kan tegelijkertijd de klassificatie voor den modulus A -{- B q^ aldus voorgesteld worden (mod A + B e^) A l + «?^ l + a'Q^ ^-\-a"Q^. B l-\-cQ^ 1+c'q^ 14-c"^^. C l+bQ^ l + b'g\ l+b"Q^. 