Oeuvres complètes. Publiées par les soins de la Société mathématique d'Amsterdam
wanneer de modulus Q een priemgetal van den vorm 4 w + 3 is , hoeveel der getallen 1, l + ^, l^-2^, l-fS*. ..., l-f-(Q — l)i behooren er dan respectievelijk tôt de klassen A, B, C, D? Ik merk hiertoe vooreerst op, dat als een volledig systeem niet door Q deelbare resten de getallen a + ^i genomen kunnen worden , waarin a en /9 de waarden 0, 1, 2, 3, ..., Q-1 doorloopen, met uitzondering der combinatie a = 0, /5 = 0; en ten tweede, dat de getallen 1, 2, 3, . . . , ç - 1 aile tôt A behooren, zoodat wanneer tôt eene zekere klasse behoort, ook 2(a'4-/3'i), 3(a' + /5'i), ..., (g - 1) (a' + ^' i) tôt diezelfde klasse behooren , aile welke getallen door het weglaten van veelvouden van q weder tôt den vorm a-\-^i, waarin a en ^ kleiner dan q zijn, teruggebracht kunnen worden. Nu zijn de resten van a', 2 a', 3 a', . .., (g — 1) a', zoolang a niet gelijk nul is , volgens den modulus q in zekere volg- orde met de getallen 1, 2, 3, ..., g-1 congruent. In de groep der q — 1 getallen a'-j-^'i. 2{a'-\-^'i), ..., (q - 1) {a' -\- ^' i) , die aile tôt dezelfde klasse behooren, komt er dus één voor, con- gruent met een der getallen l-j-ici {x = 0, 1, 2, ..., q—1). Nu is het aantal getallen van elke klasse een veelvoud van q — 1 , en de q — 1 getallen zonder reôel gedeelte i, 2i, Si, ..., {q-l)i behooren voor q = Sn-\-7 tôt A , voor ç = 8 w -f 8 tôt C. BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 179 Daar men nu aile getallen van elke klasse , waarvan het reôel ge- deelte niet gelijk nul is, op bovenstaande wijze in groepen van g — 1 getallen kan vereenigen, zoodanig dat er in elke groep één getal met het reëele gedeelte 1 voorkomt, zoo volgt, dat voor Q = 8w-|- 7 er in de klassen A, B, C, D respectievelijk g-3 5+1 g+1 g+1 4 ' 4 ' 4 ' 4 getallen l-{-xi voorkomen. Voor Q ^ S w + 3 zijn deze aantallen î + 1 î + 1 q-S Q + l 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' terwijl volgens art. 18 in het geval a = 0 (modQ) voor Q = 8w4-7 ofQ = 8w + 3, Q respectievelijk tôt de klassen A en C behoorde. Ailes wat op het geval m^ — Q betrekking had, is dus hiermede afgehandeld. 20. Voor m = P = ( A -j- B i) (A — B i) vonden vvij reeds [[cTfbill ^ (IâTbi)/ \\ A^^^^Bll) en dus wanneer bEF^ax (mod P) , heeft men 1(m^))"^((â:+bï)) ((x^^^)) (lA + Bi)) \\Â-Bri)) of daar, volgens een reeds in art. 18 gemaakte opmerking, het pro- duct der beide laatste factoren rechts gelijk 1 is, via + 6ljj ^ llAr-f Bï/j IvÂr^^^Bl/J ' waaruit reeds blijkt, dat de vvaarde van het symbool links alleen van het getal x afhangt, zoodat nog slechts de volgende vraag te beant- woorden blijft: voor hoeveel waarden van 1-j- ti neemt um ii^m respectievelijk de waarden 1, i, — 1, —i aan? Voor x heeft men hier de waarden 0, 1, 2, 3, ..., P-1 te nemen, uitgezonderd de beide wortels van y^z^—l (mod P). 180 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Om deze vraag te beantwoorden beschouw ik een volledig systeem incongruente niet door den modulus A -f- B * deelbare resten , en breng deze volgens hun biquadratisch karakter tôt 4 groepen A,B, C, D. Hierbij denk ik mij elke rest zoo gekozen , dat het reëele deel gelijk 1, en de factor van i kleiner dan P is. Men kan dit aldus voorstellen : (mod A 4- B i) , A2 -f B2 =: P. Klasse A a^=l-{-ai B ^=i-\-bi C 7 = 1 -f ci D ô = l-\-di. De getallen a, b, c, d in hun geheel stemmen overeen met 0, 1, 2, 3, ..., (P-l), behalve dat de waarde f, die congruent i is ontbreekt, want 1 -{- fi^jzO (mod A + B i). Evenzoo met A — B^ handelende, ziet men gemakkelijk, dat de klassificatie deze zal zijn: (mod A — B i) , A2 4- B2 == P. Klasse A B C D l+(P-a)i l + (P-d)i l-\-{F-c)i l + (P-6)i want gelijktijdig heeft men p-i (1 -\-xi) 4 —iP = = (A + Bi)(C + (i — xi) ' — i^P: = (A-Bi)(C - Di). Heeft dus l-{-xi volgens den modulus A + B t het karakter q , dan heeft l—xi-^l-^{? — x)i volgens den modulus A— Bi het karakter 3^- 21. Zal nu iiïm ((1^)) BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 181 gelijk 1 worden dan moet, wanneer een der waarden 1, i, — 1, — i heeft, tegelijkertijd een der waarden 1, —i, —1, i aannemen, of op de beide verdee- lingen in klassen lettende: wanneer x respectievelijk tôt a, b, c, d behoort, dan moet tegelijkertijd ook p — x tôt de getallen a, b, c, d behooren. Men kan dus zeggen, dat het aantal der waarden van x waarvoor m^ ((^È^.))=^ wordt, gelijk is aan de som van de aantallen oplossingen der con- gruenties 6+6' = 0, c +c' = 0, d + d' = 0, ten opzichte van den modulus P, of wat op hetzelfde neerkomt, ten opzichte van den modulus A-\-Bi. Men bedenke hierbij , dat wel de voor x uitgesloten waarde p — f onder a, b, c, d voorkomt, maar dat deze waarde toch in geen der bovenstaande congruenties kan optreden, omdat dit zoude vereischen, dat ook f voorkwam onder de getallen a,b,c,d, wat niet het geval is. Nu is a = l-\- ai, zoodat de voorgaande congruenties na verme- nigvuldiging met i, overgaan in a -\- a' 1^2 ^-^^'rl (modA + Bi). ô + ô' ^: 2. Behoort ^-^ tôt de klasse A, dan gaan de voorgaande congru- ___ 1 enties door vermenigvuldiging met —g— over in 182 BIJDRAGE TOT DP: THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. a-fa' + lEEEO ÎÎ/ÎÎÏÏO (-dA + Bi), zoodat de som van het aantal oplossingen dezer congruenties gelijk is aan het aantal waarden van x, die m-m ((^è^.)) + gelijk 1 maken. Maar zooals men zich onmiddellijk overtuigt, blijft dit resultaat p 1 hetzelfde, ook wanneer ^—^ — tôt de klassen B, C, D behoort. Be- hoort bijv. — ^—^ tôt B, dan volgt uit a-f-a'^^2 door vermenigvul- diging met^^-^- en uit (i-^^'~y-^y'EEEÔ-\-ô'i^2 respectievelijk r + ;^'4-l=0, ^ + ^'+1=0, a + a' + l = 0. Noemt men de aantallen der waarden van x, die respectievelijk \\A-]-Vij) ((âT^i)) ^^^y^^' *' —1' —^ maken, t,u,v,w, dan is dus t de som van de aantallen oplossingen der congruenties a + a' +1 = 0 (5+ (5' + 1 = 0. Geheel op dezelfde wijze vindt men, dat u de som is van de aantallen oplossingen der congruenties a + 5+l = 0, 7 + )S4-l=0, BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 183 terwijl men voor v en m? de congruenties a + /+l = 0, «4-^4-1=0, ^ + ô-\-l~.0, ^^ ^^-^ + 1^0, ^4.^4.1^0, a4-a4-i=o, te beschouwen heeft. Is dus P = 8 n 4" 1 » dan heeft men volgens art. 7 en 8 ^ =(0.0) 4- (1.1) 4- (2.2) 4- (3.3) = /î 4- ^ -\-k+j =2n-l, u = (0.3) 4- (1.0) 4- (2.1) + (3.2) = / 4-i +m-{-m = 2n, V = (0.2) 4- (1.3) + (2.0) 4- (3.1) = k-{-m-\-k -{-m = 2n, m;= (0.1) 4- (1.2) + (2.3) 4- (3.0) =j ^m-\-m-^l =2n, en voor P = 8 w 4- 5 volgens art. 13 ^ =(0.2) 4- (1.3) + (2.0) 4- (3.1) = A; 4- j 4-^+^ =2n4-l, u = (0.1) + (1.2) 4- (2.3) 4- (3.0) =j +1 4-w4-wî=2m4-1, V = (0.0) 4- (1.1) 4- (2.2) 4- (3.3) = yî 4- m 4- /i -\-m = 2n, w? = (0.3) 4- (1.0) 4- (2.1) 4- (3.2) = i +m4-m4-; =2w + l. 22. Al het voorgaande samenstellende, hebben dus de kenmerken om te onderscheiden of een reëel priemgetal tôt de klassen A, B, C, behoort , wanneer de modulus p van den vorm in-\-l en a-\-bi een primaire complexe priemfactor van p is, de volgende gedaante: Het priemgetal P = 8 w 4- 1 behoort tôt A voor aEEEO, b~aa Aantal der a's = 2 n — 1 , Bvoor6=a^ (mod P). « „ ^'8 = 2w, C voor b^ay „ „ y's = 2 w , D voor b^aô „ „ <5's = 2 n. Het priemgetal P = 8 w 4- 5 behoort tôt A voor 6 EEE a a Aantal der a's = 2 w 4" 1 » BvoorÔEEEa^ (mod P). » » ^'s = 2w4-l. C voor ÔEEEtt}', a = 0 „ „ >''s = 2w, D voor b = aô „ „ (5's = 2 n 4- 1. Het priemgetal — Q = — (8 n 4- 3) behoort tôt A voor b^aa Aantal der a's = 2w4-l, Bvoor6 = a/5 (mod Q). » » /^'s = 2n4-l, C voor b^ay, a^O „ „ y'8 = 2n, J) voor b~aô „ „ ^'s = 2n4-l. 184 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Het priemgetal — Q = — (8 w + 7) behoort tôt A voor 6 EiE a a , a = 0 Aantal der a's = 2 w -|- 1. B voor 6EEEa^ (mod Q). " » ^'s^2n4-2, C voor b^^ay » » r's = 2 w + 2 , D voor 6 EEE a ^ „ „ 5's =:• 2 w + 2. Ik voeg hierbij nog de volgende opmerkingen van Gauss (art. 28), waarvan het bewijs na al het voorgaande niet het minste bezwaar oplevert. 1. Het getal 0 behoort altijd tôt de as, en de getallen — a, — /5, — y, — ô behooren (mod w) respectievelijk tôt de a's, ô's, y's en ft's. 2. Voor P=:8n4-1, Q = 8)i -{- 7 behooren de waarden van — , ~a', — , V- (mod 7w) respectievelijk tôt de a's, ô's, y's, (i's; en voor P = 8w + 5, Q=:8n4-3 behooren deze waarden respectievelijk tôt de j-'s, /?'s, a's, ô's. DERDE-MACHTSRESTEN. 23. Nu tôt de derde-machtsresten overgaande , is het noodig het een en ander omtrent de théorie der geheele getallen van den vorm a-^ b Q in herinnering te brengen ; q is hierin een complexe derde- machtswortel der eenheid, dus 1 -\- q -\- q^ = 0. Zooals dan bekend is, gelden ook in deze théorie omtrent de deel- baarheid der getallen, hunne ontbinding in priemfactoren, het be- staan van primitieve wortels der priemgetallen enz. geheel analoge theorema's als die in de gewone théorie der reëele getallen , en verreweg het grootste gedeelte der onderzoekingen in de vier eerste sectiën der Disquisitiones arithmeticae kunnen bijna onveranderd ook voor de théorie der geheele getallen a-^-bg doorgevoerd worden. Het product van twee geconjugeerde getallen a -{- b g en a-{-bQ\ (a -f 6 e) (a -f 6 q^-) = a^ — ab-{- ô^ heet de norm van het getal a-\-bQ en zal steeds door ju aangeduid worden. Het getal 3 is in deze théorie geen priemgetal, want BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 185 Als priemgetallen behalve 1 — ^, in deze théorie, doen zich voor: ten eerste de reëele priemgetallen van den vorm 3 n — 1 , de norm is dan gelijk (3 w — l)^; ten tweede de complexe priemfactoren van de reëele priemgetallen van den vorm 3 n -f 1. Dit reëele priemgetal is dan te gelijk de norm van den complexen priemfactor. Bijv. is 7 = (2 + 3 ^) (2 + 3 ^2) ^ (2 + 3 ^) (— 1 — 3 o). De priemgetallen 2 + 3^, —1 — 3^ hebben beide 7 tôt norm. In beide gevallen is dus de norm van den vorm 3 A; -f- 1- Verder is het voldoende alleen primaire priemgetallen te beschou- wen , waarbij ik mij van dit woord in den zin van Eisenstein (Crelle's Journal, 27, p. 301) zal bedienen , zoodat a-^bg primair heet, wan- neer a -f- 1 en b beide door 3 deelbaar zijn. De reëele priemgetallen van den vorm 3 w — 1 moeten dus positief genomen worden om pri- mair te zijn. Zij dan M een primair priemgetal, /u de norm van den vorm Sn-\-l. Een volledig stelsel incongruente , niet door den modulus M deelbare resten bevat dan /u — 1 = 3 w getallen. Deze getallen kunnen tôt 3 klassen, elk ju getallen bevattende, gebracht worden al naar dat /il l\«le hunne I -ô" ) macht (mod M) congruent is met 1 , g oï q^. Deze ver- deeling kan aldus voorgesteld worden: A a, a', a", ... B fi, ^', r, ... C y, /, y", ... waarin dus fi '^ —.Q, y ^ ~r (mod M). Het cubisch karakter der getallen a, a', a", ... is 0, dat der ge- tallen /î, fi', ... is 1, dat der getallen ;', ^', . . . is 2. Het zal intusschen ook gemakkelijk zijn, van het symbool van Eisenstein gebruik te maken, en dus te schrijven 186 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Het doel van de eerstvolgende beschouwingen is nu de bepaling van het cubisch karakter van 1 — q, of wel de bepaling van de waarde van het symbool ^ • 24. Door bij aile getallen van A, B, C de eenheid op te tellen, ontstaan de 3 groepen van getallen A', B', C A' a + 1, a' + l, a" + l. ... B' ^+1, /5' + i, r + 1, ... C y+1, r' + l, /'+1, ... en ik noem nu (0.0), (0.1), (0.2) de aantallen getallen van A', die res- pectievelijk congruent zijn met getallen van A, B, C; (1.0), (1.1), (1.2) de aantallen getallen van B', die respectievelijk congruent zijn met getallen van A, B, C; eindelijk (2.0), (2,1), (2.2) de aantallen getallen C, die respectievelijk congruent zijn met getallen van A, B, C. Al deze getallen kunnen in het schéma S vereenigd worden (0.0) (0.1) (0.2) (1.0) (1.1) (1.2) (2.0) (2.1) (2.2) en met de bepaling van deze getallen is ook onmiddellijk het cubisch karakter van 1 — q gevonden. Want uit de blijkbaar identieke con- gruenties (X — a)ix — a'){x — a")...^EEX ^ — 1 {x — ^){x—^'){x—^")...~x 3 —Q (modM) {X — y)ix — /') ix — y") . . . = o; ^ ~ q^ volgt voor x = — 1, daar — ^ — even is (behalve voor M = 2, welk geval uit te zonderen is) , waaruit onmiddellijk volgt M i 4- 2 (2.2) M=^- BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 187 25. Het getal — 1 behoort, als volkomen derde-macht tôt de klasse A, en de getallen a en —a, /S en — /?, y ç,n —y komen tege- lijkertijd in de klassen A, B, C voor. Met behulp van deze opmerking overtuigt men zich nu dadelijk, dat het teeken voorstelt het aantal oplossingen van (0.0) a + a' + lHEO (0.1) a + ^+1-0 (0.2) a 4.^^4-1-0 (1.0) ^ + a+l:.-0 (1.1) ^_|_^'_|_i,-:,0 (modM), (1.2) ^4.^+l_-:,0 (2.0) y-\-a 4-1e£e0 (2.1) ^4-^4-1^0 (2.2) y^y'J^l^^^O zoodat men heeft (0.1) = (1.0), (0.2) = (2.0), (12) = (2.1). Is xyvzl (modM) en behoort :r tôt A, dan behoort blijkbaar ook y tôt A, behoort echter x tôt B of C, dan behoort y respectievelijk tôt C of B, wat men kan uitdrukken door te schrijven aa' = l, ^y-^1 (modM). Uit ^(a + ^ + l)_^^'-|-l+^, besluit men nu tôt deze betrekkingen (0.1) = (2.2), (0.2) = (1.1), zoodat het schéma S dezen vorm heeft h j k j k l k l j, Daar —1 tôt A, dus 0 tôt A' behoort, maar behalve dit getal 0 van A' overigens aile getallen van A', B', C elk met één getal van A, B of C congruent zijn , zoo volgt verder /i4-i+A: = w-l, j^k^l=n. 188 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. De beschouwing van het aantal oplossingen der congruentie a + ^ + y+l-^O (modM), waarin a, ^, y respectievelijk uit de klassen A, B, C te kiezen zijn , levert eindelijk nog eene betrekking tusschen h, j, k, l. Neemt men namelijk eerst voor a de getallen van A, dan verkrijgt men voor dit aantal hl-\-jj-\-kk. Neemt men daarentegen achtereenvolgens voor /? aile getallen van B, dan vindt men voor ditzelfde aantal jk-{-kl-\-lj dus is 0 = hl-]-jj-\-kk-jk-kl-lj. 26. Elimineert men uit deze laatste vergelijking h met behulp van h = l — 1 , dan is 0 = 1(1- l)-\-jj-{-kk—jk-kl~lj, welke vergelijking met 4 vermenigvuldigd , wegens {j^kr + SU-kf = 4:{jj + kk-jk) den vorm aanneemt o=ii'^-ii+ui-kf-{-s(j-kr^-ii{k-{-j). Daar l = n — {j-\- k) is , heeft men door met 9 te vermenigvuldigen Se7i = S6l^-{-9{j-\-kf-^27{j-kf-S6l{j-j-k)-\-36{Ji-k); tegelijk is 24 w == 24 ( j + Â; + 0 , dus vindt men door aftrekking 12 w = 36 /2 -f 9 (j + kf + 27 (j — kf — 36 / (j + A;) + 12 (j -\-k) — 2^ /, of wel 12 w + 4 = 4 /i = (6 i — 3 j— 3 A; — 2)2 -f 27 [j — kf. Stellen wij nu A = 6; — 3j — 3Â; — 2, B=:3j — 3A;, dan is dus 4 /i = A2 + 3 B2 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 189 en men kan verder h, .?, k, l met behulp van A en B gemakkelijk aldus uitdrukken 9/i = 3w + A- 7, 18j =6n — A + 3B — 2, 18A; = 6« — A — SB — 2, 9i=3n4-A + 2. Om nog A en B te bepalen zijn nu twee gevallen te onderscheiden. 27. Is vooreerst M reëel van den vorm 3 w — 1 , dus /^ = M'^ , dan volgt uit 4 /i = 4 M'-^ = A2 4- 3 B2, dat A = ±2M, B = 0 is. Want was B niet gelijk nul, dan zou men een geheel getal x kunnen bepalen, z6ô dat A = B a; (mod M) , waaruit volgt A^EEE — 8B2EEEB2a;2 (mod M) dus a?~ — ^ (mod M), wat onmogelijk is , daar men weet, dat — 3 niet-rest is van M. Stellig is dus B = 0, A = ±2M. Maar ook het teeken van A volgt onmiddellijk uit de opmerking, dat A^^l (mod 3) , en M als primair priemgetal = — 1 (mod 3) is ; waaruit dus blijkt A = 2M en ten slotte 9;î = 3m4-2M-7, 9i = 9A; = 3w— M— 1, 9/=8wH-2M + 2. 28. Is in de tweede plaats M = a + ^ ^ ^^^ primaire complexe priemfactor van een reëel priemgetal p van den vorm 3n-|- 1» <ian is 4 // = (2 a - 6)2 + 3 62 = A2 + 3 B2 en daar a-\-hQ primair is , a -f 1 -^ ^ ^^ 0 (mod 3). Nu is ook B door 3 deelbaar en daar, zooals gemakkelijk te be- wijzen valt, 4/^ slechts op één wijze voorgesteld kan worden als de som van een quadraat en het 27-voud van een tweede quadraat, zoo volgt A = 2a — 6, B = ±b. 190 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Het teeken van A wordt namelijk weder bepaald door A ^ 1 (mod 3). Om nog het teeken van B te bepalen, dient de volgende be- schouwing; doorloopt z aile getallen van A, B en C, dan vindt men, op geheel dezelfde wijze als in art. 12, M-l 2(s-' + l) 3 -^: — 2^2>(k-\-:iQ-\-ki) (mod M), of -2 = 3[(/i-/(;) + ^0-/c)] en nu /i, ./, k door A en B uitdrukkende, en voor A de waarde 2a — h schrij vende, verkrijgt men na eene kleine herleiding 0=:2a — 6-fB + 2Be (mod M = a + 6 e) , waaruit blijkt, dat B=;6 is Nadat op deze wijze A en B gevonden zijn, heeft men 9/< = 3w + 2a— 6 — 7, 9j=3w— a + 2 6 — 1, 9/t:=3w — a — h — 1, 9;=3w-f2a— 6-1-2. 29. Volgens art. 24 is nu het cubisch karakter van 1 — q volgens den modulus 3 congruent met (1.1)4-2(1.2)ee;A;-;, dat van 1 — ^ congruent met (2.1) 4- 2 (2.2) EE/-i, dus wanneer M reëel van den vorm 3w — 1 is, heeft men volgens art. 27 Karakter (1 — ^) -- — ^4^- , Karakter (1 — i)^^ ^^^ of wel waaruit nog volgt M \-^ • nrr^ M'=' BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 191 Is daarentegen M. = a -{-bg een primaire complexe factor van een reëel priemgetal van den vorm 3 w -|- 1 . dan is volgens de waarden in art. 28 gevonden Karakter {{ — q) -~ "J— , o Karaktei- {i—Q^)~ -~^^ , o + l rl 21 a — 6 + 1 ^ q -, _ b^ ■ « 3 1-M -T \k-£]-.-=V^ [_1 of a-hbQ\~^ ' ' [a-^bQ\~^ ' [a + bQ Deze resultaten verschillen niet wezenlijk van die door Eisenstein gegeven in het 28'^" deel van Crelle's Journal, p. 28 e. v. 30. Omirent het geval, dat het priemgetal M een factor is van een reëel priemgetal p van den vorm 3 w + 1| nioge nog het volgende opgemerkt worden Daar in ¥ = a-\-bg, a en b geen gemeenen deeler hebben en der- halve ook b en a — b relatief priem zijn , zoo kan men altijd twee geheele getallen a en /5 vinden , zoodanig dat ba-{-{a — b)^ = l wordt, en dan is {a + bQ){a-\-^Q) = aa — b^ + Q, dus QE^b^ — aa (mod M = a-{-bQ). Hieruit volgt onmiddellijk, dal elk geheel getal c-^-dg volgens den modulas a -\- b g congruent is met een reëel getal, welk reëel getal kleiner dan de modulus fi=:p aangenomen kan worden, zoodat de reëele getallen 0, 1, 2, 3, ..., /i-1 een volledig restsysteem vormen. Verdeelt men nu deze reëele ge- tallen (met uitzondering van 0) volgens hun cubisch karakter in drie klassen A a, a', a'\ . .. B /?, /»', ^", . .. C y, /, /', ... 192 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. en noemen wij f het reëele getal , dat :=: q is (raod M) , dan is dus a « — 1~^ '^ —f^y ^ —f^EEEO (modM=:a + /)^), en daar a « -1, yS 3 -A y ^ -r reëele getallen zijn , zoo moeten zij niet alleen door a -}- ^ ^ maar ook door den modulus deelbaar zijn, of a s =1 Hieruit blijkt dus , dat de klassifîcatie der getallen 1, 2, 3, ..., p-l met behulp dezer drie laatste congruenties , samenvalt met die vol- gens hun cubisch karakter ten opzichte van den modulus a -\- b q. Het resultaat kan nu aldus uitgesproken worden: het getal 3 behoort tôt de klasse A, B of C, al naar dat — ^b van den vorm 3m, 3m +1 of 3m + 2 is Ik laat hier eenige voorbeelden volgen. p = 7, a = 2, b = 2, f=4:. A 1, 6. B 2, 5. C 3, 4. p = 13, a = — l, 6 = 3, f=9. A 1, 5, 8, 12. B 4, 6, 7, 9. C 2, 3, 10, 11. Schéma S. hj k 0 1 0 j k l 1 0 1 h l j 0 1 1 0 2 1 2 1 1 1 1 2 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 193 p = 19, a = 5, 6 = 3, f=U. Schéma S. A 1, 7, 8, 11, 12, 18. 2 2 1 B 4, 6, 9, 10, 13, 15. 2 13 C 2, 3, 5, 14, 16, 17. 13 2 p = 31, a = 5, b = 6, f=25. A 1, 2, 4, 8, 15, 16, 23, 27, 29, 30. 3 4 2 B 3, 6, 7, 12, 14, 17, 19, 24, 25, 28. 4 2 4 C 5, 9, 10, 11, 13, 18, 20, 21, 22, 26. 2 4 4 p = 37, a = — 4, 6 = 3, /"= 26. A 1, 6, 8, 10, 11, 14, 23, 26, 27, 29, 31, 36. 2 5 4 B 2, 9, 12, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 25, 28, 35. 5 4 3 C 3, 4, 5, 7, 13, 18, 19, 24, 30, 32, 33, 34. 4 3 5 p = 43, a = — 1, 6 = 6, /'=36. A 1, 2, 4, 8, 11, 16, 21, 22, 27, 32, 35, 39, 41, 42. 3 6 4 B 3, 5, 6, 10, 12, 19, 20, 23, 24, 31, 33, 37, 38, 40. 6 4 4 C 7, 9, 13, 14, 15, 17, 18, 25, 26, 28, 29, 30. 34, 36. 4 4 6 p = 61, a = 5, 6 = 9, /•=13. A 1, 3, 8, 9, 11, 20, 23, 24, 27, 28, 33, 34, 37, 6 8 5 38, 41, 50, 52, 53, 58, 60. 8 5 7 B 4, 10, 12, 14, 17, 19, 25, 26, 29, 30, 31, 32, 35, 5 7 8 36, 42, 44, 47, 49, 51, 57. C 2, 5, 6, 7, 13, 15, 16, 18. 21, 22, 39, 40, 43, 45, 46, 48, 54, 55, 56, 59. Terwijl over het voorkomen van het getal 3 in de groepen A, B, C op bovenstaande wijze vooruit beslist is, kan men nu, met behulp van de reciprociteitswet , in de théorie der cubische resten gemak- kelijk de kenmerken opstellen, noodior om het voorkonien ook van andere getallen in deze klassen te onderkennen. Het is hierbij blijkbaar voldoende om alleen priemgetallen te beschouwen. Wat het priemgetal 2 betreft, kan men deze criteria, zonder hulp der reciprociteitswet, aldus afleiden. 31. Daar het getal p — 1 altijd tôt A behoort, zoo volgt onmid- dellijk, dat 2 tôt de klasse A, B of C zal behooren al naar gelang p — 1 — 2 ^^^ ^^ klasse A, C of B behoort. 13 194 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN, De getallen h, k, j zijn nu respectievelijk de aantallen oplossingen der congruenties a -fa' + 1 = 0 /5 + ^'4-l~0 (moùp), y+y' + l^O en daar men a met a', ^ met ^', y met y' mag verwisselen, zijn deze drie aantallen even, uitgezonderd het eerste, wanneer a=za' = ^--^ tôt A behoort, of uitgezonderd het tweede , wanneer p=z^' =i^~-—- tot B behoort , of uitgezonderd het derde , wanneer y=zy'^'^ 2 tôt C behoort. Hieruit blijkt dus, dat 2 tôt de klasse A, B of C behoort, al naar dat van de drie getallen h, j, k het eerste , tweede of derde oneven is. Daar p — 3 w + 1 {n even) en volgens art. 28 9/i = 3w + 2a— & — 7, 9;=3w— a-\-2b — l, 2Jc = Sn— a— b — 1 is, zoo is h oneven, wanneer b even is, j oneven, wanneer a even is, eindelijk k oneven, wanneer a en 6 beide oneven zijn. Daar a en 6 geen gemeenen deeler hebben , zoo zijn geen andere gevallen mo- gelijk, dus 2 behoort tôt A, wanneer & = 0 B, „ a EEE 0 (mod 2). C, „ a = b = l 32. Wat het voorkomen van 5 betreft, volgens de cubische reci- prociteitswet is ïa-{-bQ] [a-+- bg] [ 5 want 5 is ook in de théorie der geheele getallen a-\-bQ een priem- getal. Voor a = 0 (mod 5) is dus derhalve behoort 5 tôt C. BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. 195 Is a niet door 5 deelbaar, dan kan men x bepalen uit b^ax (mod 5) , en X kan de waarden 0, 1, 2, 3, 4 aannemen; men heeft alzoo r 5 ]_\a{i + xg)]_\\ +^Q La + 6oJ- + bQ\ [ 5 en men vindt voor x = 0 |~n^|=l. x = l .a-{-bQ 5 _ x = 2 1—^1 = 1 a + bgl ' a + bg] [a-\- bg\ Hieruit volgt, dat 5 behoort tôt A, wanneer b ~0^ & eee 2 a B, „ 6 = a, 6EEE4a (mod 5). C, „ 6:^ 3 a, a = 0. Om het voorkomen van 7 te beoordeelen, heeft men 2 + 3^1 12 + 3^ [a-\-bg\ \_a-\-bg\ [a-\-b g en nu volgens de reciprociteitswet r 7 \_\a-\-bg-\ [g + feg [a-\-bg\-[2 + '6g\ 12 + 3^2 Voor a 5=E 0 (mod 7) volgt , daar in 't algemeen o-f-^l \a_±lgl\_ a-\-bg\ [a-\-bg'\~ is, [a-^bg\ [2+3^.1 [2 -\- 'S g^\ VZ -\- ^ g^ zoodat 7 tôt B behoort. Is a niet door 7 deelbaar , maar b^Eax (mod 7), 196 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. dan volgt [ 7 ]_ri+^g1 [i + ^g] [a-^bQ\~[2i-'SQ\ [2 + 3^2]' en voor x kunnen de waarden 0, 1, 2, 4, 6 voorkomen, niet x = S en x:=b, daar deze waarden p = a^ — ab + b^ = aHl — X -{- x^) door 7 deelbaar zouden maken. Men vindt nu voor x = 0 — '--=1, [a + be\ x = l a + bg x = 2 1-3^1=1 a-{- bg 7 a + b Q 7 a-\-bQ x = ^ \-^^~TZ\=Q^' zoodat 7 behoort tôt A, wanneer 6 = 0 , 6 ^ 2 a B, „ bEE^a, a = 0 (mod 7). C, „ b^a, 6 = 6a Op gelijke wijze, of door inductie, zal men vinden dat 11 behoort tôt A voor 6 EE2 0 , 6 EEE 2 a , 6 = 4a, & = 5a B „ b=E.Sa, 6 = 6a, 6 = 9a, a = 0 (mod 11), C „ 6 = a, b = 7a, & E- 8 a , 6=10a 13 behoort tôt A voor 6 =E 0 , 6 ZiE 2 a , & = 3a, 6EE:-8a B „ b^a, 6EEE6a, 6=lla, 6 = 12 a (mod 13), C „ ÔEEEÔa, b = 7a, 6E^9a, a = 0 17 behoort tôt (mod 17) , A voor 6 = 0, bEEEa , 6~2a , 6eee9( », 6 = 16a, œeeO B „ 6 = 3a, b=7a, 6 = 8a , b=lî ia, 6=13a, b=Ua C „ 6 = 4a, 6 = 5a, &EfE6a , 6=10a, 6=lla, bEEElba (mod 19) , EEE2a, 65^ 10a, b^\8a, a = 0 in 13a, 6=-14a, 6- 16a, 6EZEl7a -6a, b .. 7 a , 6^ 9a, 6:~15a (mod 23), b~6a, 6:- 7a, 6e E8a, 6-- 11 a, ôi-15a BIJDKAGE TOT DE THEORIE DER DEKDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 197 19 behoort tôt A vGor /) =r 0 , 6 — a , b B „ 6--5a, 6=lla, 6; C „ 6 = 3a, 6E34a, 6 23 behoort tôt A voor 6eeeO, 6i^2a, 6HE5a, B „ 6;-a, 6--r9a, 6^:^130, 6=16», 6:- 17a, bE=A8a, 6-- 19a, b^22a C „ 6=3a, 6EEE4a, ô^^lOa, 6HEl2a, ftEZEHa, 6=20a, 6^21a, a=0. 33. De beschouwing van deze bijzondere theorema's geeft aan- leiding tôt de volgende opmerkingen. Voor het gemak zal ik in het volgende de reëele priemgetallen van den vorm Sn — 1, die ook in de complexe théorie priemgetallen blijven door Q, de priemgetallen van den vorm Sn-\-l door P aan- duiden. 1. Een priemgetal Q behoort, wanneer aEEzO (mod Q), tôt de klassen Q _|_ 1 A, B, C al naar dat — ^ — van den vorm 3 m, 3 m + 1, Sm-\-2 is. 2. Een priemgetal P behoort , wanneer a ^ 0 (mod P), tôt de klassen p 1 A, B, C al naar dat — ^ — van den vorm 3 w, Sm -{-1, S m-}- 2 is. 3. In de gevallen 6^0, b^^2a behoort het priemgetal P of Q altijd tôt de klasse A. 4. Behoort het priemgetal tôt A voor a= 0, dan behoort het ook tôt A voor b^ a en voor b sr — a. Komt het priemgetal echter in de klasse B of C voor, wanneer a^O, dan komt het voor b^E^a en voor b^i: — a in de klasse C of B voor. 5. In het algemeen zijn de criteria van den navolgenden vorm : Is o^O, dan behoort het priemgetal tôt eene bepaalde klasse. Is a niet eeO, dan is b^nax en voor elke waarde van x behoort het priemgetal in eene bepaalde klasse , zoodat men de waarden van x in 3 groepen a, /?, y kan onderscheiden , zoodanig dat voor b^aa het priemgetal tôt A, b = a^ ,j „ „ B, behoort. b = ay „ „ „ C 198 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. Hierbij komt dan nog het geval a:E::.0, dat ook met eene bepaalde klasse correspondeert. Het totale aantal der congruenties nu , die men op deze wijze voor elkder drie klassen vindt, is even groot en gelijk aan — « — of aan — h — 6. Zijn X en y twee getallen , die voldoen aan de congruentie x-\-y — xy = 0, en behoort ^ tôt a, dan behoort ook y tôt a. Is echter x^ji oîx^=y, dan behoort y respectievelijk tôt de y s of de /?'s. Is xy^l en behoort 1 tôt de as, dan is voor X^a' y = a", voor X = ^' y = y\ voor x = y' y = ^'- Is a;7/ = l en 1— /?, dan is voor x = a y = Y^ voor x = (i' y = r, voor x = y' ?/ — «'. Is xy = l en l = y, dan is voor X=^a y = ^ voor x = fi y = a, voor x = y y=-y'- 34. Wat het bewijs van de bovenstaande opmerkingen betreft, alleen het onder 5 gezegde vereischt eenige nieuwe beschouwingen ; al het overige levert na het voorafgaande geen moeielijkheden op. Ik ga er dan nu toe over het onder 5 opgemerkte algemeen aan te toonen. Hierbij zijn de gevallen, dat het priemgetal gelijk aan Q of aan P is, afzonderlijk te behandelen, en wel zal eerst het eerste geval (verreweg het eenvoudigste) beschouwd vvorden. 35. Is dan het priemgetal Q van den vorm 3w — 1, dus ook priem in de théorie der complexe getallen van den vorm a-\-b q ^ dan is volgens de wet van reciprociteit a-\-hQ BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 199 Is vooreerst asEO (modQ), dan heeft men verder Nu is ^4^X(Q-2) een veelvoud van 3 en Q'^-1 (Q-|-1)(Q-2)_Q4-1 3 3 ~ 3 ' derhalve is voor a^nO (modQ) Q + i = Q ' , [a + bQ] waarmede de juistheid van het in art. 33 onder 1 gezegde aange- toond is. Is a niet door Q deelbaar, dan is x volkomen bepaald door b^ax (mod Q) en men heeft [aa±XQ]_\l_±XQ] [a-\-bg\ L Q J L Q waaruit reeds blijkt, dat de klasse, waartoe Q behoort, alleen van het getal X afhangt, terwijl voor x blijkbaar de getallen 0, 1, 2, 3, ..., Q-1 kunnen voorkomen. Wij hebben nu nog slechts deze vraag te beantwoorden : hoeveel der Q grootheden a-\-xQ] {x = 0, 1, 2, 3, ..., Q-1) • zijn gelijk aan 1, hoeveel gelijk aan q, hoeveel gelijk aan q^? Wij beschouwen een volledig systeem niet door den modulus deelbare getallen, voor hetwelk de getallen (^=0, 1, 2, 3, ..., Q-l) genomen kunnen worden , waarbij alleen de combinatie a = 0, /? = 0 200 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACIITSRESTEN. weg te laten is. Brengen wij deze Q^ — 1 getallen naar hun cubisch karakter tôt 3 groepen A, B, C, A Oq -|- ^0 ^ > • • • B a,-\-^,Q,... C Og + ^2 e > • • • dan bevat elk dezer groepen getallen, welk aantal dus een veelvoud van Q — 1 is; en de reëele getallen 1, 2, 3, ..., Q-1, die met /?=:0 correspondeeren, behooren aile tôt A, waaruit voort- vloeit , dat zoo a -}- (i g tôt zekere klasse behoort , ook de met l{a-\-fiQ), 2{a-\-^Q), ..., (Q-l)(a + ^^) congruente getallen tôt dezelfde klasse behooren Is nu a niet gelijk nul, dan zijn a, 2a, 3a, ..., (Q — l)a volgens den modulus Q in zekere volgorde congruent met 1, 2, 3, ..., Q-1. Men kan dus de getallen van een klasse, waarbij het reëele deel niet gelijk nul is, in groepen van Q — 1 getallen verdeelen , zoodat in elke groep één getal voorkomt van den vorm 1-{-xq. Hieruit blijkt dus, dat de aantallen der getallen 1 -f-^^. die — ^^ — gelijk aan 1, q of q'^ maken, zijn Q-2 Q + 1 Q + 1 r^l ^ -^-, wanneer |^ =1, 3 ' 3 ' 3 + 1 Q-2 Q + 1 ___ \Q 3 , 3 ' 3 ' wanneer 1^^! = ^, Q + 1 Q + 1 Q-2 ___ \Q 3 , 3 , 3 , wanneer ^-^^ = q is , en daar verder boven gevonden werd, dat voor a EEE 0 (mod Q) Q tôt de klassen A, B of Ç behoort al naar dat -^gelijk aan 1, ^ of^^ BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 201 is, ZOO is hiermede het in art 33 onder 5 gezegde geheel bewezen voor het geval , dat het priemgetal van den vorm 3 w — 1 is. 36. îs het priemgetal , waarvan men het voorkomen in de klassen A, B, C wil onderzoeken, van den vorm P=:3w-|-1, dan komt het er dus op aan de waarde van te bepalen; daar P geen priemgetal is in de complexe théorie, zoo is het in de eerste plaats noodig, vôôrdat de wet van reciprociteit toegepast kan worden , P in zijne primaire priemfactoren te ontbinden. Stel P = (A + B^)(A + B^2)^ dan is volgens de reciprociteitswet \ _P]_\a±_bQ] \_a±b_Q_ [a + bQ\ [A + Bd U + Bq^. Dus heeft men voor a EEE 0 (mod P) P 1 r ^ U g ^ '^^-'^ = & [a + bQl LA + B d [A + B q^ voorax^E^b (modP) [ P 1 _ fl+^g] [ 1-f ^g [a + 6d~U+B(>J |a+ B^2j Uit de eerste uitkomst voor «eeeO blijkt de juistheid van de tweede bewering in art. 33. Daar P van den vorm S n-\- l is , zoo heeft de congruentie x^ E- 1 (mod P) drie verschillende wortels, l, f, g, waarbij f^g^. De beide waarden —f^ —g kunnen nu niet gelijk aan x zijn in de congruentie want uit 6 : — a/" zoude volgen d^ — ab-\-b'^^d^{\ -f /"-f /'2)^o (modP), zoodat het priemgetal p = a^ — ab -}-b^ door P deelbaar zou zijn. 202 BIJDKAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACTITSRESTEN. De waarden, die x dus kan aannemen, zijn 0, 1, 2, 3, ..., P — 1 met weglating der beide getallen P — /" en P — g. Hun aantal is derhalve P — 2 , en nu is te onderzoeken, voor hoeveel dezer P — 2 waarden van x de uitdrukking 1+^'g] [ 1 + ^ g A + Bd [a+B^' de waarden 1, ^ en ^^ aanneemt. Ik merk nog op, dat F-l = Q ' A + Be. is en dat voor «eeeO (modP) geldt P 2(P-1) = Q [a + bQl Behoort dus q voor den modulus A + B^ tôt de klasse A, BofC, dan behoort gelijktijdig P voor den modulus a-\-bQ (of wat hetzelfde is, voor den reëelen modulus p) tôt de klasse A, C of B. 37. Men kan steeds , wanneer een willekeurig getal a-^- ^ g ge- geven is, een daarmede volgens den modulus A + B^ congruent getal vinden , waarvan het reëele deel gelijk aan 1 is. De verdeeling van een volledig systeem niet door den modulus deelbare getallen in drie klassen, volgens hun cubisch karakter, kan dus aldus voorgesteld worden (mod A + B e) A a = 14- a g, a' = l-\-a'Q, a" =:l-\-a" Q, . .. B ^ = 14-6^, ^' = 1 + 6'^, ^" = l-\-b"e, ... C y = i-\-CQ, y' = i-^c'Q, y" = l-{.c"Q, ... en daar uit volgt {l + aç) s _^^EEE(A + B^)(C4-De) F-l BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. 203 kan tegelijkertijd de klassifîcatie voor den modulus A -j- B ^ aldus voorgesteld worden (mod A -f- B ^2) A l-\-aQ% 1 + a' ^2, 1 _[. a" q\ . .. C l + 6e^ ^ + h'Q\ l + 6>2^... De getallen a, 6, c, a', 6', c', a", 6", c", . . . vormen in hun geheel aile getallen van de groep 0, 1, 2, 3, ..., P-1, met uitzondering van het enkele getal , dat -^ — ^2 (mod A -f B ^) is, en dat (modP) congruent is met een der getallen — /; —g. De ge- vallen nu , dat [i + ^g] r i + xQ i_ Ia + b^J [K + hé\ is, zijn blijkbaar deze i±|^]=le„tege.ijkertijd[^+^,] =. Nu is L^T g =1 voor x~a, a', a", . . ., en zal nu te gelijker tijd ^-jp-g— 2 =1 zijn, dan moet dus l-\-aQ volgens den modulus A-j-B^^ congruent zijn met een der getallen i -|- a r. 1 + a'g^ . . . dus is te stellen l + ag 1 + a' Q^ (mod A -f- B q^). Omgekeerd , zoo aan deze congruentie voldaan is , heeft men l+«g1_i [l+«_^l_i A + BeJ-'' [A + Be'^J-^- Het aantal malen, dat dit geval zich dus voordoet, is gelijk aan het aantal oplossingen van bovenstaande congruentie. Op soortgelijke wijze voor de beide overige gevallen 204 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERUE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. en redeneerende , volgt dat het geheele aantal malen, dat de uitdrukking U + AqI U + Bq^ gelijk 1 is, voorgesteld wordt door de som van het aantal oplos- singen der drie congruenties l -\- a Q EiE l -\- a' Q'^ 1 4- 6 e = 1 + 6' ^2 (mod A -f B Q% Evenzoo blijkt, dat het aantal malen, dat bovenstaande uitdrukking gelijk aan q of aan g'^ wordt, uitgedrukt wordt, in het eerste geval door de som van het aantal oplossingen der congruenties l-{.CQE^l-\-bQ^ (modA + B^2)^ l-{-aQEE:l-\-CQ^ en in het tweede geval door de som van het aantal oplossingen der congruenties lî-aQ=l-{-bQ^ (modA + B^2), 1 + 6^^14-0^2 Om onmiddellijk de ontwikkelingen van art. 25—28 te kunnen toepassen, is het iets gemakkelijker alleen congruenties voor den modulus A -j- B e te beschouwen , zoodat wij , in de voorgaande for- mules overal q door q^ vervangende , zullen schrijven , wanneer t, u, v de aantallen malen zijn, dat A-\-Bq\^\a-\-Bq^. respectievelijk gelijk aan 1, q of q^ is: t = som aantal oplossingen van l4-a^2^1 + a'^ 1 4- 6 ^2 ^ 1 4- 6' g (mod A 4- B ^), BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSREftTEN. 205 u = som aantal oplossingen van l-{-CQ^^l-\-bQ (modA + B^), V = som aantal oplossingen van l-\-aQ^EE.l-{-bQ (mod A -f B g). 38. Hierbij dient nog het volgende opgemerkt te worden. Onder de getallen a, b, c, a', b', c\ ... komt één der getallen —f, —g niet voor. Laten wij onderstellen, dat — f niet voorkomt, zoodat — g wel voor- komt. Dan is het toch duidelijk, dat niettemin deze waarde — g nergens in een der bovenstaande congruenties kan voorkomen, want bijv. uit 1 -j- a ç2 ==r 1 _|_ a' g of ag^E^a'Q zou voor a=— g^volgen a'~aQ=^ — Q^E:^—f, want /"= q^ engEEEQ (mod A + B ^) en de waarde o' EEE — f komt niet voor. Daar nu onder de voor x te nemen waarden zoowel — /" als — g niet voorkwamen , zoo is hierdoor klaar, dat wer- kelijk de bovenstaande uitdrukkingen voor t, u en v juist zijn, wan- neer de in de congruenties voorkomende getallen a, a', 6, b', c, c' op aile mogelijke wijzen uit de groepen a, a', a", ...,b,b', b", . . . , c, c', c", . .. gekozen worden. Voeren wij nu in plaats van a, 6, enz. liever de getallen a = 1 -f a e, ^=l-\-bQ, enz in, dan gaat bijv. ag^^a'ç over in Q{a — l) = a' — l, of in a' — Q a = l — Q en, evenzoo met de overige congruenties handelende, vinden wij het volgende: t = som aantal oplossingen van a' — Qa^l — Q fi'^Qfi = l — Q (modA + Bg), y' — QY^l — Q 206 BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. u = som aantal oplossingen van a —Q^^l — Q ^-gyEBl — Q (mod A + B g) Y — Qa = l — Q V = som aantal oplossingen van a — Qy^£l — g ^ — Qa = l — g (mod A -f B ^) y-Q^=l—Q In het eerste lid dezer congruenties kan het teeken — overal door -f- vervangen worden , daar twee getallen A en — X steeds tôt dezelfde klasse behooren. Doen vvij dit, en vermenigvuldigen wij bovendien met het geheele getal P — 1 3w ,- „. dan volgt: t = som aantal oplossingen van a' + ^a-f-l^O )S' + ^i^ + l = 0 (modA + B^), î< = som aantal oplossingen van a + ^^+l-O i^-fe^' + l^O (modA-f-B^), 7 + ^a + l = 0 V ■= som aantal oplossingen van «4-^74-1 = 0 yS + ^a + lEEEO (mod A 4- B^), 7 + ^/34-1 = 0 en wel komt men tôt dit besluit in elk der drie onderstellingen, die men kan maken, namelijk dat n{l — Q^) tôt de klasse A, B of C be- hoort. Dit is blijkbaar daaraan toe te schrijven, dat de bovenstaande groepen van 3 congruenties zoodanig zijn , dat zij bij eene cyclische verwisseling van a, /5, y onveranderd blijven. Er zijn nu drie gevallen te onderscheiden. 