ouvresdethomas01stierich
On peut appliquer une méthode identique aux séries composées de la même manière que la série hypergéométrique, mais dans lesquelles le coefficient de x^ contient un plus grand nombre d'élé- ments dans le numérateur aussi bien que dans le dénominateur. Si l'on appelle F (x) la série infinie dont le premier terme est égal à 1 et dont on obtient le (w -f- 1)^^™^ terme en multipliant le n^^^^ par QUFXQUES TIIKORÈM?:S CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES. 89 (g -|- w - 1) (ai -|- n - 1) . . . (a;c 4- n - 1) w{/Sj4-n-l)...(A + w-l) ^^' on trouve pour 2< =r a -I- a, -f- a^ -f- . . . 4- afc - /?j - ^,, - . . . - ^;^ > 0 limd-:.) F(a;)-j^^^-^jj^^^_ - 1) iJ (a,- 1) . .. n (a, - 1) ' et pour « + «1 + «2 + • • • 4- «/c - ^1 - ^2 - • • • - /^A = 0 . = 1 log f- J— ) " ^" - ^^ " («1 - 1) • • • " («* ~ ï)' 4. Si dans le théorème du n" 2 on donne à ip {x) la forme spéciale rp {x) = j--- = 1 4- a; 4- a;2 + . . . , de sorte que ffo = flfi = «2 = . . . = a n = 1 , il s'ensuit que \im{l - x)\8o-\-s^x-}-S2X^ -\- . .. i=M, x = l lim Sn = M. M ^ 00 Le théorème énoncé au n'^ 1 est évidemment plus général, car pour lim5n = M on peut en tirer, comme cela se voit aisément, n = 00 n = o= n tandis qu'il n'est pas possible de tirer réciproquement de cette der- nière équation la formule lim Sn = M. M =00 Cette circonstance m'induisit à examiner si d'autres hypothèses encore concernant la fonction yj (x) permettent de remplacer dans le théorème du n'^ 2 l'équation lims„=M par l'équation plus générale n =œ n = oo W Je découvris qu'il en est réellement ainsi : on peut prendre 90 QUELQUES THÉORÈMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES. (w>0) et Je ne donnerai la démonstration que pour \p{x)^^{'\- — x)-"* attendu que la démonstration pour 1 xp{x)=\0g^^_^ n'offre ensuite aucune difficulté. De l'hypothèse on déduit qu'il est toujours possible, quelque petit que soit un nombre positif donné £, de prendre un nombre entier positif n tel que pour (6) ^o_+fLd— i^±-J = M + .., (A: = 0, 1, 2, 3, ..) les nombres «q, g^, £9. • • • deviennent tous inférieurs à e en valeur absolue. Posons ensuite (7) 0 _ 1 4_ 1* 1 îi(!i+l) ^2 4. , M (M + 1) . . . (w + w-2) „_i. (w - 1) je puis rappeler qu'on a L'équation (6) donne pour Sn-^k la valeur (8) . . . . Sn+k = ^-\-{n-\-k-\-l)Ek-{-\-{n-{-k)Eu, (/(; = 0, 1, 2, 3, ...) d'où l'on conclut aisément que la série f{x) converge lorsque 0< a;< 1. QUELQUES THÉORÈMES CONCERNANT LES SI':R1ES INFINIES, 91 A l'aide des équations (7) et (8) on peut maintenant donner à f{x) la forme suivante: j/-(.r) = P -f M [(1 - X)-'' - Q] - w(M)„to^" + R + S, R=M(1- :c) V(z<+ 1)„ j^k-\f^kX n-\-k-\ (9) . . < t^ fc= 1 Pour plus de brièveté on a appelé ici {u)p le coefficient de x^ dans le développement de (1 -x)-'\ c. à. d, on a pris M(M + 1).. . (M+p - 1) ^""^^ 1.2.8...P Attendu que les grandeurs £p £3» • • • sont toutes en valeur absolue inférieures à £, la valeur absolue de R est inférieure à 6M(1 -:^) ^{U-\-l)n+k-\X^ + ''-\ k~\ et de même la valeur absolue de S est inférieure à k = l A plus forte raison les expressions R et S sont donc, en valeur absolue, inférieures à A; = 00 su{{ -x) ^{u-^l)kxf' = Eu{l -x)-'' k=0 et k = 00 ±e{l -îi) ^{u)kX'' = ±e{l -w)(l -x)-" k — O respectivement. Si l'on pose donc (10) 21 + v. a. (1— w) = ^ la valeur absolue de R -f- S sera inférieure à £«(l-a;)-". Par conséquent 92 QUELQUES THEOREMES CONCERNANT LES SÉRIES INFINIES. OÙ y représente une fraction positive ou négative inférieure à l'unité L'équation (9) donne maintenant , après multiplication par (1 - a;)", (11) . (1 - xrf{x) = M -I- IP - MQ - w (M)„6o^"l (1 - xr + Eyt. La fonction P — MQ —n{u)n£QX^ est rationnelle en x et prend néces- sairement une valeur finie pour rc = 1 , de sorte que l'expression lP-MQ-n(M)„£o^"((l -^)", attendu que u a une valeur positive, tend certainement vers zéro, lorsque x se rapproche indéfiniment de l'unité en augmentant conti- nuellement. On peut donc toujours, quelque petite que soit une grandeur positive donnée d , déterminer un nombre positif a de telle manière que pour toutes les valeurs de x satisfaisant à 1 — a ^ a; < 1 , la valeur de l'expression \F -Mq-n{u)neQ x^\ (1 - xr devienne inférieure à <5 en valeur absolue. Or, on déduit aisément de l'équation (11) que l'expression (1 -xy^f{x), tend réellement vers la limite M , lorsque x se rapproche indéfiniment de l'unité, en d'autres termes qu'on peut toujours, quelque petite que soit une grandeur donnée p, déterminer a de telle manière que pour toutes les valeurs de la variable satisfaisant à l - a^x< i la différence entre la valeur de (1 - xYf{x) et M devient inférieure à fi. En effet, prenez deux nombres positifs (5 et £ tels que Déterminez ensuite le nombre n de telle manière que dans l'équa- tion (6) les valeurs de «o, «i, £-2» • • • deviennent toutes , en grandeur absolue, inférieures à celle de e. Le nombre n et partant P et Q étant ainsi connus , prenez un nombre a tel que si la différence entre X et l'unité n'est pas supérieure à a, l'expression \?-Kq-n{u)ne(,x''\a-xr, devient inférieure à ô en valeur absolue. D'après l'équation (11) la fonction {l — xj' f {x) ^ pour ces valeurs-là de x, est alors située entre les limites M -f- (5 -f ^ e et M.-Ô -te, c. à. d. entre M -f /5 et M - ^. VII. (Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk., 9, 1882, m — 116.) Over de transformatie van de periodieke functie Aq + Al cos ç) + Bi sin 99 -j- . . . + An cos w 99 + B^ sin n cp. Het groote nut, dat men in veel gevallen kan trekken iiit de ontbinding in factoren van eene uitdrukking van bovengenoemden vorm, schijnt mij de volgende eenvoudige ontwikkeling van hetgeen hierop betrekking heeft te wettigen. Voor het geval , dat n = 2 is , en de uitdrukking voor geen waarde van fp gelijk aan 0 wordt, heeft men deze ontbinding in factoren bij de ontwikkeling der storingsfunctie sedert lang toegepast , en in art. 54 van de Auseinandersetzung einer zweckmassigen Méthode zur Berechnung der absoluten Stôrungen der kleinen Planeten, erste Abhandlung, zegt Hansen in eene noot: Die allgemeine Théorie der Auflôsung des Polynomen X = Xo + 7i cos :r -f ^2 cos 2 rc -|- 73 cos 3 ^ -f • • • + sin rz; . 1^0 + /^i cos a; + /^2 cos 2 rc -f . . . I in Factoren habe ich in meiner Pariser Preisschrift vollstandig ent- wickelt. Ik heb van de hier aangevoerde Mémoire, sur les pertur- bations qu'éprouvent les comètes, geen inzage kunnen nemen , en de vorm waarin Hansen de vraagstelt, zou misschien kunnen doen vermoeden , dat de daar gegeven behandeling eenigszins afwijkt van de volgende. Overigens wil het volgende niets anders zijn dan eene beknopte samenstelling van de formules, die voor de besproken herleiding noodig zijn. 94 DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE. Omtrent de reëele coëfficiënten Ak, Bk, in de uitdrukking Aq -}- A^ COS 95 -j- A2 COS 2 99 -|" • • • + ^n GOSfKp -{- -f- B^ sin 99 -|- Bo sin 2 99 -f- • • • + Bn sin n 9? zal alleen ondersteld worden , dat A„ en Bn niet beide gelijktijdig nul zijn, wat blijkbaar geen schade aan de algemeenheid doet. Ter bekorting zal bovenstaande uitdrukking door F (9?) aangeduid worden; zij verder e î** = cos 99 -}- i sin 99 = 2; , dus e ~" ^ ' = cos 99 — i sin g) = z -'^ ^ dan is 2 F (9^) = 2 Ao + Al (3 + s -1) -f Ao (22 4- 2 -2) 4- ... 4- An (2« 4- 2-") — — BiUs — 2-1) — Boi(2;2 — 2;-2)_. . ._ B,,i(2" — 2 «j, of wel 2£«F(9.) = GU), wanneer gesteld wordt G(2')=r(An-Bn2:)-^''"+(An-l-Bn_i7>2«-14-...4-(Ai-Biî)2«+14-2AoS^'4- 4- (Al 4- Bj 0 ^" ^ + (Ao -f B, 0 2'^-- + • . -f (An + Bn i). De gebroken functie ^0-"G(s) neemt dus voor z^t^\ d. w. z. voor waarden van z met den modulus 1, de waarde F(ç?) aan De geheele functie van den 2w''^" graad G (2) heeft nu blijkbaar deze eigenschap, dat toegevoegd is met G (s), en dit heeft eene bijzondere eigenschap van de wortels der vergelijking G (s) = 0 ten gevolge. Zij namelijk G [z) = (An - Bn i) {z - p, e?'») (z - p, e^»») . . . {z - ponf^-''), dan moet de uitdrukking rechts onveranderd blijven, wanneer men z door — vervangt, vervolgens met s^" vermenigvuldigt en eindelijk z z en —i verandert ; dus heeft men G(2) = (A„4-B„i)(l -p^e-'hi2){\ -p-2e-i^^z)...{l - p2n e-'^*"' z). Volgens de eerste ontbinding zijn de gezamenlijke wortels van de DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE. 96 vergelijking G{z) = 0, elk dezer wortels zooveel maal neergeschreven als door den graad van veelvoudigheid wordt aangewezen, en volgens de tweede ontbinding Daar nu deze beide groepen alleen in volgorde kiinnen verschillen, zoo blijkt hieruit, dat wanneer p-^^e'^^' een r-voudîge wortel is, ook — 6«i* een r-voudio-e wortel is. Pi De gezamenlijke wortels van de vergelijking G (s) = 0 kunnen dus in twee groepen gesplitst worden. Vooreerst de wortels met een modulus verschillend van 1. Deze wortels kunnen voorgesteld worden door ri ' ra ' r^ waarin r^ , r^, . . ., r^ aile kleiner dan 1 zijn. Het geheele aantal dezer wortels is even en gelijk aan 2 k. Ten tweede de wortels met een modulus 1. Deze mogen zijn Hun aantal 2 l is evenzeer even, en men heeft k-\-l = n. Het is trouwens duidelijk , dat v^, V2, . . .,V2i de wortels zijn van FM = 0, en daar F (99), bij vermeerdering van 99 met 2ji, dezelfde waarde aan- neemt, zoo valt hieruit reeds op te maken , dat het aantal dezer wortels even moet zijn. Hierbij is nog op te merken, dat uit 2z"F{(p) = G{z) in verband met dz door differentiatie naar s volgt z''-'^[2nF((p) — 2iF'((p)] = Q'iz), s" -2 [2 w (2 w — 1) F {(p) — 2 (2 w — 1) i F' (cp) + 2 F" (<^)] = G" (0), 96 DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE. waaruit blijkt, dat wanneer voor zekere waarde van z G(0), G' (2), Q^"{z), ...,G('-i)(^), aile nul worden , en G'^)(0) niet nul is, voor de bijbehoorende waarde van cp ook F (9.), F'(ç)), F"(<^), ..., F^'-DCç.), gelijk nul zijn, en Y^^'^icp) niet nul is ; zoodat een r-voudige wortel van G (2) = 0 overeenkomt met een r-voudigen wortel van F (ç?) = 0. Wat Ml, Mg, • • -, Wa;, l'i, ^2» " -,V2i betreft, wegens de periodiciteit der exponentiaalfunctie kan men elk dezer waarden met een willekeurig veelvoud van 2n vermeerderen of verminderen, en ze dus aile bijv. >0 en < 2?! onderstellen. Het is voor het volgende overigens geheel onverschillig, hoe de bepaling hierover getroffen wordt, wan- neer slechts aan de eenmaal aangenomen waarden vastgehouden wordt. Na dit ailes is dus G (2) = (A^ - B„ I) X T X U X V, T = (0- -rie".').. . (2 -rte •<»'■), u=(.- -i-.,.). V= (s - e"!») {z - e"^») ...{z - e"»' •) ; en dus voor z = e^^ F {(p) = ^ e-"?' (An ~ Bn f) X T X U X V. Door nu de factoren van T, U, V respectievelijk aldus te herleiden e?' - 1 fc«,i :=,?'• X fl - J-e - ^î*- "'^' (Jfi _ ^.v, i _ ^i (9+vù ^gi (y -v,)i _ ^_ 4 (y _ v,)i^ en vervolgens gebruik te maken van de identiteiten (e(? -".)*■_ ^^)(l 1 ^-(î'-"')»)^:. _ -L [1 _ 2 r^ cos (9. - u,) 4- r^s], komt er DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE 97 F (9?) = C [1 — 2ri cos {cp — Ml) + r^-] x . • X [1 — 2rjt cos {<p — Uk) + r'i] x X sin I (93 — Vi) sin J (9? — ^2) • • • sin l (93 — r2i), waarin C = (— If 22 '- 1(A„ — Bn i) 6^ '"'+"'+••• + "'' +2m. +2u, + ... + 2u,)i (^^ ^^ __ ^^>)- 1^ Bepaalt men R en a zoodanig, dat dus An — Bni^Re-"* is, dan voigt voor het product van aile wortels der vergelijking G(^) = 0 de waarde e^"', dus of wel 2 a + 2 m ^ = 17^ + ^2 + • • • + ^2 i + 2 Wi + 2 W2 -f- • • • +2 u^ , waarin m een geheel getal is , waarvan de waarde door deze verge- lijking volkomen bepaald wordt, wanneer men eenmaal de waarden van v^,r2j ' . . ,V2i, u^^u^, . . . ,Uk en a op bepaalde wijze aangenomen heeft. De waarde van C wordt nu (_l)n 22^-1 Re-"»e« + »»'' (ri r.,.. .rk)-\ of C = (— 1)»» + ^^ 22^-1 R (ri r, ... r^-i. Hier volgt ten slotte de samenstelling van aile formules: F (9?) = Ao + Al cos 93 + Ag cos 2 9? 4- • • • + An cos w 9? + + Bi sin 93 -j- B2 sin 2 93 -[- • • • + B„ sin w 9? , G (z) =^ (A„ — Bn î) s^" + (A„_i — B„._ 1 i) 22n-i _^ . . _[_ (A^ — Bi z) 2" + 1 4- + 2 Ao2" + (Al -h Bi i)z--^-\- (A2 + B., z)2--2 4- ... 4- (A„ 4- B„ i). Wortels van G{z) = 0: ri e "i » , ro e"« ',..., r^; e "* * , ri,r2,...,rfc kunnen aile kleiner dan 1 genomen worden ; 7 98 DE TRANSFORMATIE VAN EENE PERIODIEKE FUNCTIE. 2 a -f 2 m 71 =r Vi + ^2 + • . + t'2i + 2 (Ml 4- «2 + . . . + M*) , C = (— 1)»»+" 2 2' -1 R (r-i r2 . . . r*)-! , p = k p = 2I F (9?) = C X n [1 — 2 rp cos {(p — Up) + r^] x n sin ^ (9^ — î^p). p=i p=i Om een enkel voorbeeld te geven , zij F ((p) = 4 — 3 K2 sin 9? — 2 1/2 cos^ 95. Men vindt , dat F (9?) , F' (9?) , F" (9?) voor 9? = 45° nul worden , ter- wijl F'" (9?) niet nul is, dus heeft men î;^ = t;2 = V3 = 45°. Een vierden wortel van F(9') — 0 vindt men door benadering; er komt v^ = 106° 35' 45".4. Nadat aldus vier wortels van de zesdemachtsvergelijking G(z) = 0 gevonden zijn, is het gemakkelijk de beide overige re"» en — e'^» te bepalen. Ik verkrijg ten slotte F (9)) = C [1 — 2 r cos (9^ — M) + r^] sin^ | (<P — ^i) sin | (9^ — v^), ioiogC = 1.268505, ioiogrr= 9.484070 — 16, M = 239°12'7".3, Vi = 45°, v^ = 106° 35' 45''.4. VII. (Amsterdam, Nieuw Arch. Wisk. , 9, 1882, m — 116) (traduction) De la transformation de la fonction périodique Aq -f- Al cos 99 -f- Bi sin 99 -f~ • • • + ^n cosrKp -\- B„ sin n 9?. La grande utilité qu'on peut retirer dans bien des cas de la décom- position en facteurs d'une expression de la forme écrite ci- dessus me semble justifier les simples considérations suivantes sur ce sujet. Dans le cas où n = 2 et où cette expression ne devient nulle pour aucune valeur de 9? on a depuis longtemps appliqué cette décomposition en facteurs ; on s'en est servi dans le développement de la fonction perturbatrice , et dans le n^. 54 de son Auseinandersetzung einer zweck- mâssigen Méthode zur Berechnungder absoluten Stôrungen der kleinen Planeten, erste Abhandlung, Hansen dit dans une note: J'ai déve- loppé complètement dans mon ouvrage couronné à Paris la théorie générale de la décomposition en facteurs du polynôme ^ = ïo -\- Yi coa X -\- y 2 cos 2 a; + 73 cos 3 a; + • • • -f sin rc . \^(j -f /^i cos a; -f /5o cos 2 a; + . . .|. Je n'ai pas pu me procurer le Mémoire sur les perturbations qu'éprou- vent les comètes , auquel l'auteur fait allusion ; et la forme dans laquelle Hansen pose le problème pourrait nous amener à supposer que sa méthode diffère quelque peu de la nôtre Notre article n'a d'autre but que celui d'indiquer brièvement les formules nécessaires à cette décomposition. La seule hypothèse à faire concernant les coefficients réels A^, B^, dans l'expression Aq -{- Al cos 99 + Ag cos 2 99 -f- •• • -f- A„ cos n 95 -f -f Bi sin 99 -f B2 sin 2 99 -f . . + B„ sin W99 100 DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. est celle ci que An et B» ne s'annulent pas en même temps , ce qui ne nuit pas à la généralité. Pour simplifier, l'expression ci-dessus sera indiquée par F {(p). Posons en outre e?" = C03 (p -{- i sin (p = z , donc e~^* = cos 93 — z sin 9? = 5? ~ ^ , nous avons alors 2F{<p) = 2 Ao + A,{z + z-')-i- A^{z^ -\- 2~^) -{-... -\- ^n{2^ -{- z—)- — B^ i (s — 2- 1) — B2 z (^2 — 2-2) _ . . . _ B„ z (2*» — 2-") , ou bien 2z-F{<p) = Gciz), si l'on pose G{z) = {An-Bni)z^» + {An-i-Bn-ii)z^^-'-i-... + (A,-B,i)z^ + '-\-2AoZ^^ + + {Ai + Bi2)2«-'+(A2+B2 2)2"-2+...+(An + Bn2). La fonction fractionnaire ^z~^G{z) prend donc pour z = e'^\ c.-à-d. pour des valeurs de z dont le module est égal à l'unité, la valeur F (9?). La fonction entière G {z) du degré 2w jouit apparemment de la propriété suivante : l'expression est conjuguée avec G (s). Il en résulte une certaine propriété des racines de l'équation G {z) = 0. En effet , posons G {z) = (An — Bni) {z — Pi e^'*) (^ — P2 «^'') • • • (^ — ;?2ne«"'0- L'expression qui figure au second membre doit alors rester invariable, lorqu'on remplace z par — , qu'on multiplie ensuite par ^^^ et qu'on change enfin i en — i. Par conséquent G(^) = (An+Bn^)(l— Pie-3'»^)(1— p,e-«'»2;)...(l— i?2ne-«-'0). D'après la première décomposition, les racines de l'équation G (z) = 0, sont OÙ chaque racine doit être écrite un nombre de fois égal au degré de DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. 101 multiplicité correspondant ; et d'après la seconde décomposition , elles sont — eî>», — e^'\ . . . , — • e^'"»'. Pi P2 P2« Comme ces deux groupes ne peuvent différer que par l'ordre de leurs termes, il s'ensuit que lorsque p^ t'?'* est r fois racine, il en est de même pour — e«'*. Les racines de l'équation G (^) = 0 peuvent donc être divisées en deux groupes. On a d'abord les racines dont le module diffère de l'unité Ces racines peuvent être représentées par les expressions r^e"'*, roe"»*, . . . , r/ce"*% où les grandeurs r^, r2, ..., ^a sont toutes inférieures à l'unité. Le nombre total de ces racines est pair et égal à 2 A;. En second lieu nous avons les racines avec un module 1. Sup- posons que ce soient les racines 6"!% e*»», . . . , e"^'». Leur nombre 21 est pair également, et l'on a k-\-l^=n. Il est d'ailleurs évident que v^, Vo, ■ - ■,V2i sont les racines de F{cp) = 0 et comme F (93), lorsque l'angle 99 est augmenté de 2ti, prend la même valeur, cette remarque suffit pour faire voir que le nombre de ces racines doit être pair. Nous pouvons encore observer à ce sujet que l'équation 2«"FM=rG(0) donne, lorsqu'on la dérive par rapport k 2 en tenant compte de la relation dcp , dz 0"-^ [2 w F (9^) — 2 i F' {(p)] = G' (0), ;3"-2 [2 n (2 w — 1) F (9^) — 2 (2 w — 1) 2 F' {<p) + 2 F" (cp)] = G" (z) , 102 DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. ce qui fait voir que lorsque pour une valeur déterminée de z les fonctions G(^), G'(^), G"f^), ..., G('--^)(2) s'annulent toutes, tandis que G(»')(^) ne s'annule pas, les fonctions F(<p), F' M, F" (9.), ..., F^'-DC*^) s'annulent également pour la valeur correspondante de ç?, tandis que F(*')(9?) ne s'annule pas: d'où il résulte qu'un nombre qui est r fois racine de G (2;) = 0 correspond à un nombre qui est r fois racine de F(<^)==0. Quant à 1/^, W2, • • . , Wa;, î'i, ?-2, . . • , V2J, à cause de la périodicité de la fonction exponentielle , on peut augmenter ou diminuer chacune de ces grandeurs d'un multiple quelconque de 2n^ de sorte qu'on peut les supposer toutes p. e. > 0 et < 2n. Il est d'ailleurs absolu- ment indifférent pour la suite de savoir quelle choix de ces gran- deurs on a fait: il suffit qu'on s'en tienne aux valeurs une fois adoptées. Après tout ceci on a donc G(^) = (A„-B„7)XTXUX V, T = (2: — rj e"'»j . . . (^ — Yk e"*0 , u = =h ] - e'^. ••)■ ..(.- _ J_ Tk gMA v = --{z- e"' M^ — e"»') .. ,.(^- - e^ :e^' partant , pour F M = ^ e-"?' (An - Bn 0 X T X U X V. En réduisant alors les facteurs de T, de U et de V respectivement de la manière suivante M, t — c U, i \y u(f—^i)i n ^^gM.._gM,i ^ (g(î'-«i)»_^^)^ et en faisant usage ensuite des identités g-i(?-r,)t_2^-gin|^^ DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. 103 on obtient F((p) = C[l — 2r^ cos (ç' — Wi) + nJ X . . . X [1 — 2rjfc cos {(p — u^) + r^] X X sin l (99 — ri) sin ^- (99 — vo) . . . sin i- (9? — V2 i ) ; où C = (— 1)" 22^- 1 (An — B„ Z) e i («' + «^^ + • • • + ''^' + 2m. + 2m, + . .. + 2M,)i (^^ ^^ _ _ ^^)- 1^ Si l'on détermine R et a de telle manière que An-\-Bni = Re"\ donc An — Bni^Re-"', on obtient pour le produit de toutes les racines de l'équation G(0) = O la valeur e^"» et par conséquent g 2 a i :::^ g (Wi + r, + . . . + D,^ + 2 Ui + 2 Mj + . . . + 2 u*)t ou bien 2a-\-2mn = v^-{.V2+...-{-V2i +2u^i-2u.-,-\-...-\-2Uk; équation dans laquelle w représente un nombre entier, dont la va- leur est entièrement déterminée par cette équation, dès qu'on a adopté des valeurs déterminées de v^,V2, . . .,V2i, de u^.îl^, . . .,Uk et de a. La valeur de C devient maintenant OU c == (— l)»» + " 22' - 1 R (r^ r2 . . . rn) " K Voici enfin une récapitulation de toutes les formules trouvées: F (99) = Aq + Al cos 9? + Ag cos 2 ç? + . . . + An cos w ç? + + Bi sin 99 -f B2 sin 2 9^ -|- . . . -|- B„ sin ncp, + 2AoZ^-\-{A,-^B,i)z--^-{-{A.,-\-B.,i)z--^-\-...-{-{An-\-Bni). Les racines de i3i(z) = 0 sont r^eu,i^ T'oe'^^S .. -, r^tfc"** ±gM, i-.- ■•^,-- e^-.', e"»», .. . , e^-'i' Les grandeurs r^, ro, ..., r^t peuvent toutes être prises inférieures à l'unité. 104 DE LA TRANSFORMATION D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE. 2a-j-2m7i = v^-{-V2-i-...i- V21+ 2 (Wi + Wo + . . . + M^fc), C = (— 1) ^ + "22^-1 R (ri r2...rfc)-i, P = k p = 2l Fi(p) = CX n [1 — 2rp cos (99 — Vp) + r|] X H sin ^ {rp — Vp). Pour donner un seul exemple, soit F (7.) = 4 — 3 V2 sin ç) — 2 1/2 cos ^ ç,. On trouve que F (99), F' (99) , F" (97) s'annulent pour 9^ = 45°, tandis que F'" (99) ne s'annule pas. Donc i'i =z V2 = v^ = 45°. Une quatrième racine de Y{ç)) = 0, trouvée par une méthode d'approximation, est v^= 106°35'45".4. Après que quatre racines de l'équation du sixième degré G(^) = 0 ont été trouvées de cette manière, il est facile de déterminer les deux autres re"» et — e"*. J'obtiens enfin F (99) = C [1 — 2 r cos (95 — ?<) + 7''] sin3 1- {(p — r^) sin 1(99 — rj , ioiogC = 1.268505, ioiogr=: 9.484070— 16, ?<=:239°12'7".3, Vi = 45° , V4 = 106°35'45".4. VIII. (Amsterdam, Nieiiw Arch. Wisk., 9, 1882, 198— 211) Over een algorithmus voor het meetkundig midden. In het 89"*" deel van het Journal fur die reine und angewandte Mathematik p. 343, heb ik eene rekenwijze aangegeven, waardoor het mogelijk is, wanneer k positieve getallen a^, aa, •■■,ff& gegeven zijn, uit deze getailen op rationale wijze /c andere getallen 6^, èo, -M^fc af te leiden , zoodanig dat a^ o^. ■ -Ok^b^h^ . • • hk '^^, en de verschil- len tusschen de getailen ôj , 62, . . ., &/c onderling zoo klein kunnen zijn, als men verkiest. Ik stel mij voor in het volgende op dit onderwerp terug te ko- men , en de bewijzen mede te deelen van hetgeen in die korte noot is uitgesproken. 1. Zij dan , wanneer a^, Oo, . . .,0k willekeurige reëele getailen zijn, Ml hun rekenkundig midden, d. w z. hun som gedeeld door hun aantal k\ M2 het rekenkundig midden van aile producten van twee verschillende der getailen aj, a2, . . . , a&, d w. z. de som dezer pro- ducten gedeeld door hun aantal o ; evenzoo M3 het reken- kundig midden van aile producten van drie verschillende der ge- tailen «1 , «2, ■ ' ■ , dk enz ; eindelijk M^ = a^ a, . . . Qk- Omtrent de getailen a, ,ao, . . • , ak wordt verder niets ondersteld , zoodat het 00k gebeuren kan , dat eenige dezer getailen gelijk zijn. Het is nauwelijks noodig op te merken, dat daarom hierboven het woord verschillende niet betrekking heeft op de getallenwaarde van ai, a.,, . . . , ak , maar wel op de aan deze getailen toegekende individualiteit. 106 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. Voor de gelijkvormigheid stel ik nog vast, dat Mo=l zal zijn. De uitdrukking Mj — Mp_iMp + ] {p=i,2,3,...,k-l) is nu in het algemeen positief, of scherper uitgedrukt, deze uitdruk- king is nooit negatief en alleen dan gelijk nul , wanneer 6f aile ge- tallen a^, a^, ..., Ok aan elkander gelijk zijn, of wanneer minstens k — p+1 dezer getallen gelijk nul zijn, in welk geval blijkbaar Mp en Mp4-i afzonderlijk gelijk nul zijn. Deze eigenschap is in hoofdzaak sedert lang bekend, en voor eenige geschiedkundige opmerkingen hieromtrent kan ik volstaan met te verwijzen naar een opstel van Dr. D. Bierens de Haan , in het 8''^ deel der Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Aka- demie van Wetenschappen , Afdeeling Natuurkunde , Amsterdam , 1858, p. 248—260. Men zie ook het opstel van Lobatto in het Q"»" deel dier Verslagen, p. 92—106. Voor het gemak van den lezer , en ook om de grensgevallen , waarin de uitdrukking gelijk nul wordt, volledig te behandelen , laat ik hier echter het bewijs van het boven gezegde volgen. 2. Zij gegeven !f{x) = {x — tti) (a; — %)••• (^ — «/t) , fix) = Moa;^ — ^ Ml x^-i + ^^^~^^ Mg^^-^ - . . . ± M;t , waar in het tweede lid het bovenste of onderste teeken te nemen is, al naar dat k even of oneven is. Volgens de onderstelling omtrenta^, «g» • • • > ^^ heeft dan de ver- gel ijking /"(.x) =0 slechts reëele wortels , en hetzelfde geldt dus van de vergelijkingen, die vorderen, dat de verschillende afgeleide functiën van f{x) de waarde nul aannemen. Daarom heeft ook de vergelijking p + i 1 1 . J 1 alleen reëele wortels, want deze vergelijking is niet wezenlijk ver- schillend van d^-^^{x) dx'^-p-^"' OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 107 Ik onderscheid nu deze drie gevallen. 1°. Mp + i is niet gelijk nul. 2°. Mp-|-i = 0, maar Mp is niet gelijk nul. 3°. Mp + i = 0 en Mp = 0. In het eerste geval zijn ook aile vvortels van de vergelijking reëel , en derhalve ook die van (4) 0 = Mp + ix'- — 2}ilpX-\-Mp-i; want het tweede lid dezer laatste vergelijking onderscheidt zich alleen door een stand vastigen factor van de (p— l)''" afgeleide van de functie, die het tweede lid van (3) uitmaakt. Uit de realiteit der wortels van (4) volgt nu en wel is M| — Mp_iMp + i alleen dan gelijk nul, wanneer de beide wortels van (4) gelijk zijn. Hiertoe is weder noodzakelijk en vol- doende, dat aile wortels van (3), dus ook aile wortels van (2), aan elkaar gelijk zijn , wat weder medebrengt dat aile wortels van f{x) = 0 gelijk zijn , of a^ = a2 = ■ ■ ■ = Ok- IsdusMp + i niet gelijk nul, dan is M^ — Mp-iMp-j-i altijd positief, behalve wanneer a^ = a2= ==oa:, in welk geval de uitdrukking gelijk aan nul is. In het tweede geval is blijkbaar M^ — Mp_iMp + i positief. Eindelijk is in het derde geval deze uitdrukking gelijk aan nul, en heeft de vergelijking (2) minstens twee wortels gelijk nul, zoodat de vergelijking f{x)=^0 minstens k — V -\- ^ wortels gelijk nul heeft; of m. a. w. in dit geval zijn minstens k — p -{- 1 '^^^ getallen a^, a.,, • . -, a^ gelijk aan nul. Hiermede is het in art. 1 uitgesprokene volledig bewezen. 3. Van nu af onderstel ik , dat a^, a^^.-.^ak aile positief zijn , en stel /e\ /Tir , M9 , Mo ■ Mfc (5) . . . a,=M,, a,=^-, a,=^, '■^ = m,Zl' 108 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN, zoodat de getroffen overeenkomst omtrent Mo veroorlooft te schrijven waaruit volgt dus _ Mp — Mp-iMp + i a'p^o'p + i; en, wanneer ook de waarde nul voor a^, a^, • . , ak uitgesloten wordt, kan alleen dan «{ = 0/^^ worden , wanneer a^ = a2= . . . = a^t. Daar ook dit laatste geval geheel zonder belang is, kan het gevoegelijk buiten beschouwing blijven, en is derhalve (6) rt'i > «2 > «3 > «4 > • . • > »îk ; terwijl uit (5) onmiddellijk volgt (7) a^ 02 «3 . . . Ojt = «1 «2 «3 . . • «/t. Nu is blijkbaar _ «1 + 0^2 + «3 + • • • + «fe k tti «o tto ' ak en, wanneer wij nu onderstellen dat geen der getallen a^, a^-, ■ ■ ■ , Ok, grooter dan a^ en kleiner dan ak is , zoo volgt (A:— l)ai4- ak oi ^ ^ < aj , «/t > «1 > derhalve aftrekkende j^ l (8) . 0 < a'i — ajt < —^ («1 — cik). Leidt men nu uit al, a2"-,ak eene nieuwe groep van k getallen tti' , a2 , . . . , a/t af op dezelfde wijze als al , ao , . . ■ , oa: uit a^ , ag , . . . , a;t ; OVER EEN ALGORIl'HMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 109 evenzoo uit a'{ , aH , . . ■ , al de getallen ai", a'i\ . . . , a^ enz ; dan is dus 0^ > a'] > a2 >...>«'* > dk, «î > oî' > «2' > . . • > 0'*' > 4 , aï' > a'i" > «2" > • • • > fl'fc" > «/:' , 0 < ai — ajt < - ^- (^1 — a*) , 0 < a'i-al < ^ ~ ^^ (al - a),) < (^^ ^ J (a^ - a,) , 0 < oH' — ar < — ^ (a'i' — o!k) < (^^ j («i — «*) » «1 ag . . . a;t = ai 02 . . . a^ = ai' a2' • . • ajt = ai" a2" . . . ajt' = . . . , en voor de w'^" afgeleide groep van getallen af ^ , a^''^ . . . , ajj*^ heeft men ai"-^) > ai") > af > . . . > a?) > at"-^\ 0<ai'*)-ar<(^--~^fK-a,), Daar nu /c — 1\» A; bij onbepaald toenemende waarden van w, ten slotte zoo klein wordt als men verkiest, zoo volgt dat de getallen a^**' , a|'^ ..., aj*) aile voor n = 00 tôt eene gemeenschappelijke limiet convergeeren , die blijkbaar gelijk is aan het meetkundig midden van «i, ao, . . . ^ au k l/'ai a^.-.Ok. 4. Voordat ik verder ga , zij het geoorloofd eenige getallenvoor- beelden te geven. 110 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. Eerste voorbeeld. k = 3. «1 =5, «2 = 5 , «3=4, 14 65 60 , 7603 "'~1638' 35290 "^=7673' „ 16380 "' ~ 3529 ' of a'i' = 4.64163 61416 36..., a^'= 4.64158 88465 08..., a^' = 4.64154 15131 77.... Men ziet, hoe snel de getallen van eene zelfde groep tôt elkaar naderen , immers a[ —a2= 0.02380 95 ... , a2—a3= 0.02747 25 ... , ai' — a'^ = 0.00004 72951 38 ... , a^' — a^' = 0.00004 73333 31 .... Het gemiddelde der waarden van de tweede afgeleide groep geeft ai" r= 4.64158 88337 74.... Later zal blijken, dat het verschil ai" — a"' ongeveer 3 eenheden in de 10'^* decimaal bedraagt. De limiet is hier "^100=: 4.64158 88336 12769 . .. Tweede voorbeeld. A; = 4. «1=3, «2=2, «3=2, «4=2, n' -^ n' 20 ,11 ,24 ai-^, «2=^, ««^y "*=ÏÏ' of ,, _ 17531 „ _ 116410 „ _ 128826 „ _ 15840 ^' ~ 7920 ' ""' - 52593' ' "'' ~ ^8205" ' ""' - TÏ57 «{'= 2.21351 010101..., «^'=2.2134124313 1..., «3' = 2.21331 50073 0..., al' =2.21321 78287 0.... OVER EEN ALGORITHMUS VOOR IIET MEETKUNDIG MIDDEN. 111 en al -a^ =0.02777 78..., a2—a^^ =0 02222 22..., a^ —a\ =0.01118 18..., ai' — a2 = 0.00009 76697 0 . . . , aï' — a^' = 0.00009 74240 1 . . . , 0^' — a'I = 0.00009 71786 0 .... Uit de waarden van ai', «2, «s, «4 volgt ai" = 2.2 1336 38420 8...; de limiet is hier 1^'"24 = 2.21336 38394 007 .... 5. In de beide gegeven voorbeelden worden de verschillen der opvolgende getallen van eene zelfde groep ai — «2, 02 — as, . .. ai' — 02 , a2 — 0.3 , . . • niet alleen bij overgang tôt de volgende groepen , hoe langer hoe kleiner, maar de verschillen die tôt eene zelfde groep behooren, wor- den hierbij onderling hoe langer hoe minder verschillend. Inderdaad kan men het volgende uitspreken. Het quotient van elke twee der k — 1 verschillen (p=l,2,8,.../c-l) convergeert voor m=:oo tôt de limiet 1. Van de verschillende bewijzen , die ik voor deze eigenschap vond , is het volgende verreweg het eenvoudigste. 6. Ik stel «1 = a — x^, «2 = a — Xo, 3 ' '" ^ ^^ 1 ak = a — Xk, waarin a een willekeurig getal is , en neem verder aan X^<X2<Xq< . .. <Xk, zoodat ook geen twee der getallen «1,02» • • •> ^a g^^ij^ zijn. Verder zij 112 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. i f{x) = {x — X^) {X — X^^ ...{X — Xk), zoodat de getalleii No, N^, ..,Na: op dezelfde vvijze uit x^, X2,...,Xk ge- vormd zijn als Mo, M^, . . . , M^ uit a^, «2» • • • > «*• Het kan tôt geen onduidelijkheid aanleiding geven, dat f{x) hier en in het vervolg eene andere beteekenis heeft dan in art. 2. Men overtuigt zich nu on- middellijk, dat de getallen Mq, M^, . . . , M/t, op de volgende wijze door middel van de functie f{x) en hare afgeleide functiën uitgedrukt kunnen worden M, =r{a), kMk-i = f'{a), (10) . ... . ( k{k-l)U,^,=r"(a), k{k — l)...S.2-M., =/-(^-i)(a), Â;(A;— 1)...3.2. IMo =f(''^{a), waaruit dus volgt (pr=l,2,3,...,/c) waarbij p{a)^=f{a) te nemen is. In plaats van (11) kan men ook schrijven Ontwikkelt men deze waarde van Op volgens de afdalende machten van a, dan vindt men voor de eerste termen dezer ontwikkeling (13) Op=a — N^ •• Qi De p reëele ongelijke wortels der vergelijking van den p*'^" graad mogen genoemd worden y^, y^, . . . , y^ volgens hunne grootte gerang- schikt, dus - ?/i < 2/2 < . • . < 2/p. OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 113 Evenzoo mogen z^<C.Z2<i . . . K Zp-i de reëele ongelijke wortels van de vergelijking /^*-p + i (:r) = 0 zijn , zoodat z^ tusschen y^ en y^, z^^ tusschen 2/2 en 2/3 ... , eindelijk Zp-\ tusschen ?/p-i en y^ ligt. Hierbij is dus p > 1 te onderstellen. Volgens (11) is dan ^/ ^ (t» — ?/i) (g — 2/2) . • • (q^ — yp) ^ (a — 0i) (a — ^2) ••■(« — ^P - 1) ' en wanneer men de deeling uitvoert en in gedeeltelijke breuken splitst, volgens (13) (14) «^=«-Ni+ z'^V.' waarin (^A — 2/1) (^A — î/2) . . • (2;* — ?/p) * (0^ — «l) . . . (Sjfc — 0* _ 1) (2jfc — ^;fc + 1) . . . (^;fc — % - 1) In den teller van deze uitdrukking voor A/t zijn de factoren {^k — 2/1) (^A: — 2/2) . . • (^A: — ^fc) , aile positief; daarentegen de overige factoren, ten getalevanp — A;, Zk — yk-^\, Zk — yk + 2, ..., 2k — yp, aile negatief. De negatieve factoren in den noemer van Aa: zijn 2k— ^k + l, Zk .Sa + 2, .-., Zk — Zp-i\ hun aantal is ^ — k—l. Het aantal negatieve factoren in den teller van Aa: is dus één grooter dan het aantal negatieve factoren in den noemer; derhalve zijn -^1» -^2? -^3» •••> Ap_i, aile negatief, en daar de verschillen a — z^'y a — z^^ . ' .^ a — Zk-i positief zijn , zoo volgt < < a - Ni + A±jk±_i^: +J^ril ap>a N,+ a-zp^r Nu is Aj -f AgH- . . . 4" Ap-i blijkbaar de coefficient van — in de cil ontwikkeling van a^, volgens de afdalende machten van a; dus 8 114 OVER EEN ALGORITIIMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. volgens (13) gelijk aan — (p— 1) (N?— NoN,), verder is a — z, kleiner dan a — x^ = a^, a — z^-i grooter dan a — Xk = Ok, terwijl a — N^ blijkbaar gelijk aan a'i is ; zoodat nu volgt (16) .... "i n'->n' (i^-l)(N?~NoN,) f Clp ^ Q\ -^ • Voor p = l heeft men blijkbaar de teekens > en < door het gelijkteeken te vervangen. 7. De afleiding der ongelijkheden (16) steunt wezenlijk op de om- standigheid dat A^, Ag, . . ., Ap_i aile negatief zijn. Men kan dit laatste ook nog aldus aantoonen. Zij g {x) = {x — 2/i) {x~y^)...{x — yp) , dan is blijkbaar ^, _pg{a) 9 («) en 9{x) x — y^^x — y<^^"'~^x — yp' waaruit door differentiatie volgt g (x) g" (x) - g' (x) g' {x)__ 1 1_^ _ 1 gix)g{x) {x — y^f {x — y^f '" {x — y^f en men vindt, hierin x==Zk stellende, daar g'{zk)^0 is, g" {zk) ^ _ 1 1 _ _ 1 gizk) {zk~y,f {Zk-y2f '" i^k-ypf' Nu is echter, zooals uit Op = ^^j^ onmiddellijk volgt, A — pg(^k) ^'-Y'Jzk)- dus 1 ^fc i^k-yj' {zk-y^f '" {zk-ypf zoodat kk is negatief. 8. Vervangt men in (16) p door p + 1, dan verkrijgt men door verbinding der verschillende ongelijkheden OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 115 ap-a'p + i<--^-^ ^(N? — N0N2), 1*1 "A: a^-a;,.>"'--^<"--''*->-(N;-NoN3), dus daar p hoogstens gelijk is aan k—1 en a^ — Uk^n N^ — Nq Ng positief zijn, zoo veel te meer (17) .. Op — ap + i< (JNi — JNo iN2) »^-«^,.>"--<^-^><''^-'">(N!-N„N,). In de uitdrukking rechts komt nu p niet meer voor. Al de voorg-aande ontwikkelingen blijven onveranderd , wanneer men de getallen a^, ag» •••?%» door ^f , o^"\ . . . o^ en tegelijker- tijd a.; , ttj , . . . , ft;^ door af + ^\ 4" + ^^ . . . , 4" "^ ^^ vervangt. Daar nu reeds bewezen is, dat a^^ af\...,aP voor w = 00 tôt eene zelfde positieve limiet naderen, zoo kan men blijkbaar w altijd zôô groot nemen, dat aS"^— (A;— 1)« — O positief is, en dan volgt gemakkelijk .... af)-(/c-l)(ar-ar) ag- + ^^-<^^^^ a£'^ + (^-l)«-4"^) ^ ^ a;r* + (A; - 1) {af - aP) ^ af + '^ - af^,'^ ^ a? -{k-1) (af - ai">) Neemt men n groot genoeg, dan verschillen de beide waarden , waartusschen ,(n + 1) „(n + 1) *p "p-f-1 .(n + 1) „(M + 1) <^g ^5 + 1 ligt, zoo weinig als men verkiest van de eenheid. Hiermede is dus het in art 5 uitgesprokene bewezen. 9. Voor het gemak der schrijfwijze zal ik voor een oogenblik a^ door 6p, a^' + ^^ door b^ aanduiden. Dan is dus 116 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. Of + t+t+è+-+^-*- De uitdrukking rechts is bp i bq o\ _ V i^P — bqf = ^,^ + ^.__2| = 2 waar p en g de getallen 1, 2, 3, ..., k doorloopen, en j9>g blijft. Deelt men nu beide leden door (6^ — hkf en gaat men over tôt de limiet voor w = oo, dan volgt, daar volgens het voorgaande Nu is n = oo(6i — W U — 1/ rting de limiet van h^, h^, . . . , hk genoen î)2. ■ (p_g)2::= 12 + 22 + 32+. .. +(A:- + l2_|_2'2+... + (A:_ + l''^ + .-. + (A- -1)2+ -2f + -8)2 + + 1S waarvoor men na herleiding verkrijgt dus ^{p-qf = ~k^k'^-\), ,(n + l)_^(w + l) 1 ,7. I IN 1 (^«) • • •■l'?.V^-=r^(*^)<"^ "-■•"**" * OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 117 10. Deze formule (19) greeft een duidelijk begrip van de snelheid, waarmede ten slotte de getallen tôt hunne gemeenschappelijke limiet * Va^ a2 . . . ttk converg-eeren ; het blijkt dat af "^ ^^ — a^ ■*" ^^ eene eindige verhouding heeft tôt de tweede macht van a^^^—a'^K In het eerste voorbeeld van art. 4 was a'{ — a'i = 0.00009 4628 . . . , en als benaderde waarde van a'{' — a^' kan nu genomen worden 1 {a'i- «^ en daar ai" , a'i' , a's op zeer weinig na eene rekenkunstige reeks vormen, heeft men aan ai" = 4.64158 88337 74... de correctie — Tô ^^^ ~n^— = — 0.00000 00001 61 . .. toe te voegen, om de in 12 decimalen nauwkeurige waarde van I^ÏÔÔ 4.64158 88336 13 . .. te verkrijgen. In het tweede voorbeeld heeft men aan ai" = 2.21336 38420 8 . .. de correctie — 4 ^^^ ~;/^^ = — 0.00000 00026 8 . .. aan te brengen , om te verkrijgen 1^24 = 2.21336 38394 0 . . .. 11. Met een enkel woord moge nog het geval , dat eenige der getallen a^, a2,.--,ak gelijk nul zijn, besproken worden. Onderstellen wij a^ ^ aa ^ ag ^ . . . ^ a/t > 0 , h < k^ en , 118 OVER EEN ALGORITHMUS VOOR HET MEETKUNDIG MIDDEN. 