title: Dissertatio mathematica inauguralis de lemniscata Bernouillana
creator: Haan, D. Bierens de (David Bierens), 1822-1895
text: F. Callbt (door E. Boitabd &A. Ansart-Dbdbt), Tables. Paris. (F. Stbgmann), Tafel. Marburg. Digitized by Google 1 30 TWEBDB ONTWERP EENER NAAMLU8T VAN  7 5 6,4,5,3 11 7 7 7 6 6 6 6 Pomaat 80 12» fol. 80 8« 4« 8« 8° fol. 8' 16* 8° 40 8° 8» 80 8« 8<» 8» TIT BL. J. Feliu (door N. Tabtes), Tablaa. Toledo. Herdruk: 2« 1856, 8e 1864. J. DE Lalande (door J. Ddpdis), Tables. Paris. Herdruk: 1858, 1868, 1871. J. R. HiND, Versed Sines. London. R. Fasley, Vereed Sines. London. [F. Steqmann], Tafel, Zweiter Theil. Marburg. Keil, Logaiithmen. Eiaenberg. A. Steinhauser, Anhang. Wien. G. voN Vega (door C. Beemiker & W. S. Fischer), Tables. London. Delezbumb, Table. Lille. Logarithmen und Antilogaritbmen. Wien. G. voN Vega (door C. Bremieek), Tavole. Berlin. Herdruk: 2e 1864. J. Napier (door H. Filopowskt), Canon. Edinbwyh. G. voN Vega (door C. Bremiker), Tables (fransch). ''Berlin. •"•• P. Krom, Tafels. Jmsterdam. G. and £. Scheutz, Specimen. London. H. Raper R. N., Practice. 6* Ed. London. J. DB Lalande (door R. Pioabte), Tables. Pom. Handleiding. Alkmaar. J. Houbl, Tables. Baria. Herdruk: 2« 1864, 3e 1868, 4« 1871, 5« 1878. P. R. Mocnik, Tafeln. Wien. Herdruk: 2» 1872. Digitized by Google TWEEDE ONTWERP EENER NAAMLUST VAN L0GARITHMENTAFEL8. 31 JaartaL AaBtal de-  6 4 Fomuukt 8» 8« 16« 8» 8» 80 80 40 8« 8» 120 plano 80 80 120 8» 80 8» T 1 TBL. G. and E. Schedtz, Tables. Paria, Ntckei,, Tabeller. Stockholm. J. DupDis, Table. 2« Ed. Paria. A. BoucB^, Notice Th&rique. Bordeaux. E. Sang, Logarithms. London. Th. Wittstein, Tafeln. Hannover. Herdruk: 8e 1865, 4« 1870, 5« 1872. F. MiDT, Table. Paris. R. PicARTB, La division r^uite a une addition. Parii. L. ScHRON, Logarithmen. Bratmchweiff. Herdruk; 2e 1861, 3e 1862, 4fi 1863, 5e 1865, 6e 1866, 7e 1867, 8e 1867, 9e 1868, lOe 1869, lle 1871, 12e 1873. Th. Wittstein, Tafeln. Hannover. J. A. Gallbbaith & HooGHTON, Manual. London. (J. SiTTBNPELD), Logarithmen & Antilogarithmen. Berlin. J. Cafe, Tabellen. 3e Ed. London. C. Brbmiker, Tafeln. Berlin. Herdruk: 2e 1868, 8e 1872. F. Ldkas, Logarithmen. Wien. E. D. F. Meissel, Tafeln. leerhhn. J. ViNET, Petite Table. Paria. Herdruk: 8e 1869. L. ScHRON, Tabel (hongaarsch). Braunachweiff. Herdruk: 12« 1873. Digitized by Google 32 TWEEDB ONTWEPP EBNER NAAMLTJST VAN LOGARITHMENTAFEI^. JmtUI. Auitalde- Voimaat. T I T B L. 1861 18» J. Ddpois, Recueil. Paria. 1861 7 40 Fr. Matzek. Brunn, 1861 7 8° F. Callkt (door J. Dupuis), Tables. Pari». 1861 18» J. HuNTEE, Treatise. London. 1861 18» J. HuNTER, Key. London, 1861 3 plano A. DE MoRGAN, Logarithms. Lmdon. 1862 3.4 8» A. BoucH^, Notice. Paria. 1862 7 8» L. ScHRON (door D. Bierens db Haan), Gewone Logarithmen. Amaterdam. Herdruk: 2^ 1864. S» 1866, ¥ 1867. 1863 5 4» J. F. W. Gronatj, Tafeln. Banzig, 1863 4» A. FoRTX, Tavole. Pisa. 1864 6 8» Fr. Mocnik, Tavole. Wien. 1864 8» E. F. KoHLER, Manuale (italiaansch). Paria. Herdruk -. 2« 1866, 3« 1867. 1864 4 16» J. Zech, Tafeln. Tubingen. 1864 8» J. DB liALANDK (door N. Aeias), TaWas. Ma- drid. 1864 8° W. 11. RossBR, Tables. London. 1864 5 8» J. HouBL, Tafeln (Hoogduitsch). Paria. Herdruk: 1869. 1864 8» R. MoNEV, Table (English). Allahadad. 1864 5 16» V. Adam, Taschenbuch. Brunn. 1864 7 8» Logarithmen der Sekanten. {Grei/moald). 1865 12 8» P. Gray, Tables. London. 1865 15 8» A. Steinhaosbr, Kuwe Hilfetafel. JTien. 1865 4 plaDo WiLD, Logarithmen. ZuricL Digitized by Google TWEBDE  5 4, 3 5 7 7 4 IfonnMt 80 8» 160 80 8o 80 8o 80 80 160 16» 80 80 80 40 40 TITEL. NATUUBK. yUB. DBK J. Dupuis, Tables. 2« Ed. Paria. Herdruk: 1868, 5« 1878. C. Brbtmann, Tafeln. Wien. A. Oeeneth, Lc^arithinen. Wien. J. LuviNi, Tablas (spaansch). Parif. A. W. Nell, Lc^arithmen. Darmtadt, HerdTak: 1870. W. Obltze, Table antUogarithmique. Paris. L. ScHRON (door A. de Morgan), Logarithms. London. HerdrukP L. ScHBON (door J. Houbi.), Tables. 6« Ed. Paris. Herdruk: 1873. O. SoHLdMiLCH, Tafeb. Brauntckwe^. Herdruk: 2« 1869, 3e 1871, 4« 1872. H. ScHRODBR, Logarithmen. Stuttffardt. Herdruk: 1869. Ch. Mbnvqb, Petites Tables. Paris. G. LuviNi, Tavole. Turin. Herdruk: 1870. W. J. MACQroRN Rankinb, Useful Rules. Lon- don. Herdruk : 4« 1873. Th. Wittstein, Logarithmes de Gauss. Hannooer. F. FouB, Nouvelles Tables. Liege. O. Btrnb, Table. London. Th. Oppolzbe, Tafelen. Wien. 16 KONINKL. AKADBHIE. DBEL XV. Digitized by Google 34 TVrEEDK ONTWEBP BENER NAAMLUST VAN LOOARITHMENTAFELS. JaurtaL Formui. T I T B L. 1867  3 102, 20 5 5 4, 3 8" 8" 8» 12« 18« 8« 40 8° 8« 8«. 8« 8" 8« 16» plano. 8° 8« 8« 12° 12« 8° 40 A. J. D. Wachbiibarth, Tabellen. Vpsaia. Herdrak: 1869. O. TON Veoa (door C. Brbhiker en L. Cremora), Tarok. Berlin. T. Thomah, Tsble». Faris. Mathematical Tables. 2e Ed. London. 3. DB Lalandk (door Baixlbul), Tables. Paris. A. VAN Dam, Verklaring. Amaterdam. O. STiirvE, Tabulae auxiliares. PetropoU. O. Lbbmann, Logarithmen. Leipei^. O. voN Vboa (door C. Brbmikbr), Haandbog. BerltH. C. Bruhns, Handbuch. Leipzig. C. Bruhns, Manual. Londcm. C. Bbuhns, Mannal. Parii. C. Bruhns, Manuale (Italiaansch). Leipzig. A. FoRTi, Tavole. H Vol. Torino. F. O. Gaoss, Wandtafel. Berlin. Herdruk: 1873. F. G. Gaxjss, VoIIstandige Tafelen. Berlin. Herdruk: 1873. A. J. voN Pksch, Logarithmentafel. Leiden. C. Bremikbr, Tafel. Berlin. H. M. Parkhurst, Astronomical Tables. Neto-York. P. £. Bbrgstrand, Logarithmer. Stockholm. H. Hbrtzbr, Tafeln. Berlin. B. M. PiERCB, Table. Boaton. Digitized by Google TWEEDE ONTWERP BBNBR NAAMLIJ8T VAN LOGARITHMENTAFELS. 35 JaarteL Aantal de- Fonnaat T I T B L. 1871 7 8o E. Sang, New Table. London. 1871 10 80 S. PiNETO, Tables. St. Peiersburff. 1872 5 8o W. L1QOW8KT, Saramlung. Kiel. 1872 5 40 V. Venal, Tables. Paria. 1872 6 80 V. QuEiPO, Tables. Paria. 1872 9 80 E. Sang, Specimen-tables. Edinburgh. 1873 80 C. Albrich, Recheutafeln. Herrmannstadt. 1873 6 80 k. J. voN Pesch, Logarithmentafels. Leiden. P1873 12» J. Elliot, Elementary Logarithms. 4*** Ed. London. P1873 120 J. Elliot, Tables. 5»»» Ed. London. 1873 4 fol. F. G. Gauss, Wandtafel (decimaltheilung). Berlin. 1873 5 80 F. G. Gauss, VoUst. Tafel (decimaltheilung). Berlin. 1873 5 18' J. Dupuis, Tables. Paris. 1873 7 80 Hrazak, Tabellenwerk. JFien. 1874 4 8° C. Brbmikbr, Tafel vierstellig. Berlin. 1874 4 8» F. Paugger, Logarithmentafel. Triest. 1874 8° , Short Tables. London. Sedert het indienen van deze ontwerp-naamlijsty en het afdrukken der sta- tistieke opgaven op bladzijde I — 5^ zijn er nog onderscheidene tafels tus- schengevoegd; dientengevolge zouden de aldaar voorkomende opgaven eenigzins behooren gewijzigd te worden : dit kan echler door een ieder^ des verkiezende^ gemakkelijk zelf worden gedaan. Digitized by Google Digitized by Google ■f-iT^i OVER HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN NAAR DEN MODULUS OF EENE FUNCTIE DAARVAN. DOOR D. BIERENS DE HAAN. rilgegeTCB d«or de Koniiiklijke Akademie Tan Weleiuehappen (e Amsterdam, AM8TERUAM, C. G. TAir DER POST. 1878. Digitized by Google Digitized by Google OVER HET DIFFERENTIEEREN TAK EElilOE ELLIPTISCHE INTEGRALEN NAAR DEN MODULUB, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. DOOB D. BIERENS DE HAAN. 1. Wanneer men een onderzoek wil beginnen over de eigenschappen van eenige integraal, hetzij bepaalde, hetzij ook onbepaalde; of evenzeer, wanneer men in beide gevallen de bepaling der waarde op het oog heeft; altijd behoort tot de meest bruikbare methoden, die, waarbij de integraal wordt gedifferentieerd naar eene standvastige, die in de functie onder het integraalteeken voorkomt. Som- tijds is het mogelijk, daarbij eene uitdrukking te vinden voor eene herhaalde differentiatie, hetzij in rechtstreekschen, hetzij in wederkeerigen vorm ; en dan zijn de stellingen voor herhaald differentieeren van veel belang, die echter slechts voor enkele eenvoudige functien gelden. Voor de elliptische integralen waren zulke uitkomsten nog niet bekend; hetzij wat de eerste differentiatie, hetzij wat het herhaald differentieeren betreft naar den modulus, die daarin voorkomt. Een ander onderzoek voerde mij tot de behandeling van deze vraag voor de eenvou- dige integralen, waarin de [/l — p^slnFx voorkomt, en verder voor de overeen- komstige, die v/r+jpVnVr bevatten. 28 WATUUKK. VfiBH. DBB KONINKL. AKADBMIB. DBEL XVllI. Digitized by Google 2 OYEB HBT DIFFBBENTIEEREN ?AN EENIGB ELLIPTISCHE INTEGEALEN 2. Men vindt vooreerst <<(/>*)  elliptische integralen te herleiden, beschouwen wij de integraal / •'m*af (/./• Aip.^Y naar de gewone beteekenis A(p.«) = j/1— />"m'a?. Hierin moet vooreerst 6 on- even zijn, a.2A-[.i* anders toch heeft men te doen met rationeele goniometri- sche integralen, en met met elliptische integralen. Evenzeer moet a evon zijn *-2a; want voor a oneven, =2a-l-l, dan konde men in de integraal / cosx =^y stellen, zoodat er kwam / eene gewone irrationeele stelkundige integraal. Voor zulke a=2a, en b = 2b + 1 kan men nu aldus te werk gaan. Omdat hier de methode van het integreeren bij gedeelten niet gemakkelijk of rechtstreeks tot het doel voert, moet men eene zekere, geschikte functiegaan diflferentieeren, en wel naar het volgende algemeene beginsel, waarbij y en z beide functien van x zijn. Stel dat men voor de onbepaalde integraal /'— ^ eene herleidingsformule wil zoeken, en dat men daarbij niet slaagt met de toepassing van het integreeren 1 Digitize(d by Google NAAB DEN MODULUS, OF EENE PDNCTIE DAABVAN. 3 bg gedeelten; dan differentieere men de functie ^ ; en nu geeft de logarith- mische differentiatie Zoodra men nu er in slagen kan, om den yeelledigen factor in het tweede lid dezer formule te ontwikkelen naar opklimmende machten, hetzij yan y, hetzg van Zj waarbij dan ook y^ of 2;^ in den regel voorkomt, kan men deze methode toepassen. Want nu wordt door integratie naar x het eerste lid een gelntegreerde vorm, ~^zr • ^^ ^^ ^^* *^®^^ ^^ verkrggt men eene reeks van eenige integra- len derzelfde soort; men kan dus daaruit gemakkelijk eene herleidingsformule zamenstellen. In ons geval verknjgen wij langs dezen weg d pm^+^ X . €080!-^ m^+^ x.cosx r ^^cosx -sinx i^ — p^isinx.cosx'] a pm*«-r^ X . cosx-i m^T* x,cosx r cosx -stnx — p^xstnx.cosx-i dxl{i—p'sin'xy-U " (l-p*m«^)*-i L^ ^^^ sinx'^ cosx ~^*~*J \—fsin'x J" — M_ « • i^y+J{(^«+ l)^^»''^ — Wn'a>}(l— p'm*a;) + (2i-.l)p'«tn*a;.c<>»*a;]== siffi^ X en, als men in het tweede lid de veelledige grootheid tusschen de vierkante haakjea naar de machten van {\-^p^sin*x) rangschikt, d a? L( 1 -- p s%n* o?)*— U p* ( 1 — p' m x)^i ^^ • / \ r /1 + 2((a-p')(i-l)-(l-p»)a](l_p'mV)-(l-p'){afr-l)] (/9; of, wanneer men diezelfde veelledige grootheid rangschikt naar de machten van sin^x^ drsin^-^^x.cosx^ - sin^x ^, .0 • . , Digitized by Google 4 OVER HET DIPFEKENTIEEEEN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGEALEN waaruit blijkt, dat men zijn doel heeft bereikt. De eerste herleiding (J3) toch geeft, als men naar x tusschen de grenzen 0 en a? integreert, en de laatste int^raal in het tweede lid oplost, omdat de gedifferentieerde grootheid in het eerste lid voor (v — 0 verdwijnt, /■ tin^^xdx 1 r sin^+^ x .co8 x 1 r sin^+^ X .C08 X (I— p*m'ip)*+i ~ (1— p')(a^-l) L (i.-.p««V;r)*-§ "^ /' sin^xdx f* sin^^xdx -i ,i-.w.).-.^"°-"^»'/(i-;vW -m werkelijk eene herleidingsformule, waarin de veranderlgke parameter, hier de exponent in den noemer, telkens met de eenheid verminderd wordt. Evenzoo kan men de tweede herleiding (y) gebruiken. Omdat echter de in- tegraal, die de hoogste macht van sin^x bevat, hier tot factor onder het in- tegraalteeken zoude hebben 5m^^+*a?, moet men eerst de a door a — 2 vervan- gen; dan integreeren tusschen de grenzen 0 en j? van a?, waarbij wederdeterm in het eerste lid voor ir = 0 verdwijnt; en vervolgens de laatste integraal in het tweede lid oplossen. Langs dien weg verkrijgt men /* sin^xdx 1 r8%n^^-^x,C09x (1— pWar)*+i ~ (2a~2J— l)p* L(l— p*«V;F)*-i "*" 0 • ,> f* sin^^^-^xdx , r» $in^<^-^xdx -i +{a+!.')(«+i)-/^»)«| (.„■„•„.,)<■..-"-»'( (i-p.«..,).^J • • m wederom eene herleidingsformule, waarin nu echter de parameter, die telkens met twee afneemt, hier de exponent van den teller is. De eerste fonnule (I) heeft tot eindintegralen, voor 6=1, / p C' sin^xdx 8in^^xdx[/l—p*sin*x en 1 :. J yl—p^s%n*x Wilde men deze door de andere formule (II) bepalen, zoo heeft men als eind- integralen voor a = 1 en a = 0, j8in^xdx{l—p*sin*x)±i en I d x (l—p" sin* x)±l. Digitized by Google I NAAB DEN MODULOS, OP EENE PUNCTIE DAAEVAN. 5 En hiervan vindt mea dadelijk j'dx)/i^p*^n'x = Eip.x), (1) r—J^ = Fip.x), (2) 0 0 0 Ten einde nu nog de vierde te vinden, gebruike men de herleidingsformule {II) voor a = 2, en voere daarbij de waarde van de integraal (3) in ; zoo wordt * sin^xdx I .-. ^-^ = ^-r [p'9inx.co8x)/l^p-sin'xM^+f) F(p. x)—2 (1 +p') JS{p.x)l. (4) en daarmede wordt dan 1 — p^sin^x , / / 1— »*m d? — =z===m* xdx = y 1— p Sin X = —[—p^9inx.cosxi/i—p*sin^x + {l—p^)F{p.x) — {l—2p^)E{p.x)]. •. (6) Voor de eerste formulen aan het hoofd dezer paragraaf geeft nog de herlei- dingsformule (I) voor a = 1, 6 = 1 /* sin^xdx 1 r siffix.CMX ,. /** sin*xdx P. , , -i l/l-p'5W*ar l-pL yi^^sin^x J yi-p*sin*x J '^ J O ' 0 0 of, door middel der int^ralen (3) en (5), 3. Deze uitkomsten zijn nu voldoende, om de eerste formulen van de vo- Digitized by Google 6 OVEB HET DIFFEBENTIEEBEN VAN EENiaS ELLIFTISCHE INTEaSALBN rige paragraaf nader oit te rekenen; zg geven toch, door middel der int^pra- len (3) en (6) ^^£(p.x)=z^[B{f.^)-.P(f.»)l W of indien wg de symbolische notatie der achtereenvolgende bewerkingen invoe- ren, hetgeen hier zeer eenvoudig aangaat, [^-^P'^^^{P'') = P(P'»h («) P+*p'^)3^^^-'>=i-=p[^(^->-^7f^^p'---4 («« 4. Op dezelfde wijze kan men de integralen behandelen, die onder het int^^l- teeken de fiinctie |/l +p'9in^x bevat; dan beginne men hetonderzoek bij de twee eenvoudigste vormen d [* d [* dx Daartoe stelle men in de herleidingsformulen (I) en (II) — ^ in de plaats van ]^\ zoo worden deze *' sin^xdx 1 p sin^-^^^x.cosx (1 +p^$in^xf+\ ~ {^b—l){\+^) L"" (1 +p*«V^)*-4 ^ I 1 r sin^^—^x.cosx — (2« — 26^1)p» L~ (l+p«m»;r)*~l ~ /* sin^*^^xdx f* sin^^^^xdx T Digitized by Google NAAE DEN MODULUS, OP EENE PUNCTIE DAABVAN. Daarop geeft de herleidingsformule (III) voor a= 1 en b=l /* iirfixdx 1 r sin^x.cosx ^ f sirfixdx r^ ^ n — ==5= -\ — 2(1+P^) / — =H-8 / 8in^xdx\/l+t^sin^x l l/l+pW/ l+p^L l/l-^pWx ^ ^7v/lH-pWar y Ki+r«»^J* 0 0 die weder door de invoering der pas gevonden integralen (9) en (11) overgaat in sin^xdx 1 r 1 + {l + p^) sin^ x p^sinx.cosx l/l . p^sin^x^~p^]/r+^^'^ l/l +p^sin^x ' i^T+^ 5. Deze uitkomsten kunnen nu strekken tot het vinden der gezochte differen- tiaalformulen voor de integralen, die hier met de elliptische integralen overeenkomen, Men verkrijgt toch naar de uitkomsten (7) en (8), wanneer men naderhandvan de integralen (9) en (12) gebruik maakt, 0 0 0 f* sin^xdx 1 rl +(1 +p^)»in*xp^nnx.cosx ~~~ j »/1 +;>»«««/ ~ 2p»\/T+^ L {/l+pinH*x [/{l+pi) "** +-fe)--fe-H-^(.7!^)+H7^-Hi-<^ Digitized by Google i NAAR DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. » i^aaruit men besluit tot den symbolischen vonn [^+^^j^J^z^lK^)-''!!:^-^-^)!]^ l+paL^^^-TPI \|/l+p8J \l/l+p8 2 yj^|/l+p«««»ar '^ J^' waarbij eene zekere overeenkomst met de Yorige symboliscbe formulen (c) en (d) niet te miskennen is. Wanneer men echter ter bekorting stelt iMriv^-H='' '^ ^(7!^)-M^-H=^- '" en daarop de differentiaalquotienten in de eerste leden van de formulen (e) en (/), als die van een produkt uitwerkt, verkrijgt men achtereenvolgens derhalve '^r+F,-^^.=i7Pf^[^.-^0. «' 4^^.=,-^o^)l^.-''.l- • ('.) Evenzeer r+?d(p«) i"»" i^ Vl+P' 2pVl+?L v/1 +pa«»9^ V^I+? ^ ^i' derhalve 24 NATVUKK. VBRH. DBR KONINKI.. AKADEHIB. DKBI, XVIII. Digitized by Google 10 OVEB HET DIPFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTI8CHE INTEGBALEN of — F,z=z ^ — rl +(H2V^ a,,-„^. . cosx\/r+j^-i- (!+/>») Ei-fA . .{fi) </(p«)^ V(l+^*i^ 1/1+/'*»'»** K i-t-// TV -r/'/ ij En hieruit besluit men wederom tot den symbolischen vorm der formulen [l-2?<«(l+^«)j^]^, = i''i {?i) die schijnbaar eenvoudiger zijn dan de vorige symbolische differentiaalformulen (g) en (A), en mede eenige overeenkomst vertoonen met de formulen (c) en (rf) van § 3. 6. De bewerking [^—^/^^77x1 ^P ^^ elliptische integraal der tweede soort toegepast, levert eene integraal der eerste; en de bewerking [l + ^f^^^J toegepast op de integraal der eerste soort, levert wederom eene integraal der tweede, afgezien van een factor - ^ en een goniometrischen term; dit volgt uit de symbolischen formulen (c) en {d) van § 3. Het ligt nu al dadelijk voor de hand om op de elliptische integraal van iedere soort zoodanige bewerking toe te passen, dat er wederom eene elliptische integraal van dezelfde soort ont- staat- hierin slaagt men op de volgende wijze, wanneer men de symbolische bewerkingen (c) en (d) van § 3 achtereenvolgens toepast, = E:p.x)—8inx.eosx |— (1— p')!/!— p^^m^a; + |/j 2«;^a^r ^^ wauneer men hierbij acht geeft op het ontstaan van den goniometrischen term in de formule {d\ dat is op de integraal (6) in § 2. Zoodra men toch eenige wet wil opsporen, is het meestal nuttig van de latere herleidingen af te zien, en op te klimmen tot den oorspronkelijken vorm; en ook hier zal blijken, dat deze oor- Digitized by Google KAAK DEN MODULUS, OP EENE FONCTIE DAAKVAN. 11 spronkelijke Torm voor de volgende bewerkingen het meest geschikt is. Uit deze (t) volgt nu verder = F{p . ;r)— ««z. cwa- _2pVi-;>Wj- + w/'*'. .. — ... \..3 1 ; . (ti) ( Vl—p»nu*x y\ — jfisiH^x ) en 'wederom i^aarbi| nu de bewerkingen op de elliptische integraal der tweede soort toege- past, hetzij eene integraal van: dezelfde, hetzij eene der eerste soort voortbrengen, afgezien van den goniometriftchen vorm, dier hier ttBlkens bestaat uit eenen factor p^rinx.conx^ en eenen anderen, die functie is van i/l - p^^d^le. Hetzelfde kan men even zoo goed bewerkstelligen ten opzichte van de ellip- tische integraal der eerste -soort, en verkrijgt alsdan achtereenvolgens — E(p.x) — ^aa.eo4X 1 — {l—p^)l/l^p^siu^x + ; ^"T~|> (^) l y 1 — p^ ^p^aiffix^ 1 l+i.;>2_,i,/* (3+y>»i(l-»* I— ;>« / 24* Digitized by Google 12 OVEE HET DIFFERENTIEEREN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN Het is niet moeielijk, uit deze verkregen formulen tot meer algemeene uit- komsten te geraken. Noem daartoe de bewerkingen [i _p.][n.»^jA-]=i>, . . . ,a, «, ^i_,^-^^^Q, ,„ en zij in het algemeen i{x) eene rationeele functie van de wortelgrootheid [/ l—p^$in^x ; dan volgt rechtstreeks uit de formulen (i), (ii) en (ig), (i), (k) en (4i), IQ.P.Q . . . Q.P.Q;\E{p.x)z=:F{p.x) + 8iMx.cosx.i{x), (/3) [P.Q.P . . . QP.Q]E{p.x)=:E(p.a;) + 8ittx.co8X.^{x), (/4) [P.Q.P . . . P.Q.P]F{p.x) = E{p.x) + $mx.cosx,i{x), (*,) [Q.P.Q . . . P,Q.P]F(p.x)=F{p.x) + »inx.co8x.i(x) (*s) Haar langs dezen weg ziet men niet in, wat de algemeene vorm van de functie i{x) worden zal, en de vergelijking dier functien zoo als zg in de formulen (ii), (tj), {k% {ki) voorkomen, geeft hier geen licht; ook niet, wanneer bg het uit- werken der bewerkingen, de gelijknamige termen niet bij elkander telt, zoo als hier boven is geschied, maar ze gescheiden houdt, onder gedurige toepassing der duidelijke herleidingsformule p^sin^x l-{l—j^sin^x) 1 1 ,^. yi — p*stn*x y\ — p^stn^x yi—p^s%n^x k 1 — p^sin^x ten einde de grootheid tusschen de vierkante haakjes, in het tweede lid, telkens tot functie van alleen y/l—p^sin^x te herleiden. Zoodra men echter later overgaat tot compleete elliptische integralen, dustus- schen de grenzen 0 en J»r genomen; dan wordt dit bezwaar geheel opgeheven, omdat alsdan de « {x) in het geheel niet meer voorkomt. Zij zelve kan toch nimmer oneindig groot worden, en de factor sinx.cosx wordt geUjk aan nul, zoowel voor a; = 0, als voor jc= iw; vandaar dat die laatste term in de vorige formulen ge- heel verdwgnt. 7. Wanneer men nu dezelfde beschouwingen wil toepassen op de difierentiaal- fonnulen, die in § 5 voorkomen, stelle men eerst ter bekorting Digitized by Google NAAB DEN M0DULU8, OP EENB PDNCTIE DAAEVAN. 13 <dan yerkrggen de formulen (g) en {h) den vorm ['-*''i^]^=''' --"^ 1 * s ^ Vl+p*9tirx^ waar de W {x) uitdrukt eene rationeele functie van de wortelgrootheid [/l+p^sitfiw. Past men deze bewerkingen, vice versa, nog eenmaal toe, zoo verkr^gt men il+P^][l+2p^^^[l-2p»j^^^ (/) Wanneer men toch de aangewezene bewerkingen ten uitvoer brengt^ en overal^ waar noodig^ de herleidingsformule p'm'a? {l+p^Hffix)—l _ ^ „ ._ ^ (X) j/1 +p»«ii»;p"*+^ ~ i/l+i^^iin^x^'^^ ~ y/T+^Ji;?^' ]/fW^^' ' toepast^ dan verknjgt men telkens in het tweede lid een goniometrischen term, die sinx.cosx tot &tctor heeft en waarvan de andere fEu^tor een rationeele vorm van i/1 +j^sin^xy dat is eene W{x) is, Maar nu kan men ook doorgaan met de achtereenvolgende toepassing der vo- rige bewerkingen ; voeren wij daarbij gemakshalve wederom symbolen in, dan kan men de Q uit (i?) behouden, maar moet de P uit (J) vervangen worden door Cl+f^][l + 2f^J^] = Px (^) «Op die wijze verkrijgt men dan hier [Pi.Q.Pi • . . Q.Pi.Q]E^=:E^ + Binx.cosxVi^x), {l{) Digitized by Google 14 OVEB HET DIVFSBENTISEl^ VAN EENIGB ELUPTISCHE INTEORALEN IQ.Pi.Q . . . Q.Pi.Q']EiZ=F^ + twa.eo»^V{»), (/,) [Q.Pi.Q . . . Pi.QJ*{]Pi=zF^ + ting.eo»xV(w), (wj) [P1.Q.P1 . . . Pi.Q.P{iFz=Ei + »i»x.e,»»Vfa>) K) Ook de formulen (gi) en (h{) geven gereede aanleiding voor eene overeenkom- stige behandeling; maar daarbij heeft men dan andere bewerkingssymbolen noo- dig. Noem deze hier [i-va+f')j^^=«. w [rp?]^'^'''"*'''^^]^* ® dan heefb men vooreerst [iJ] ^i = F, {fiY wanneer men onder V' {x\ even als boven, wederom eene rationeele fanctie van V\+p^sin^(v verstaat. Bij de herhaalde toepassing dezer bewerkingen, over en weder, komt er daarop vooreerst [S.K]E^ — Ei^»ina:,coaxV{it), (n) [i2./S]Fi=i^i +ma?.co«.y(:r); {o) en vervolgens, geheel algemeen, IS.R.S . . . R.S.II:] Fi = Ei + sinx.co9xV{x) («i) [R.S.R . . . R.S.R]Ei = Fi + sinx.coiAV{x), (n^) [R.S.R . . • S.R.S] Fi = F^ + idMx.co8xV{x), {(?i) [S.R.S . . . S.R.S] Fi = Ei + 9inx.eosxV{x: {o^) Een groot bezwaar van al de formulen in deze paragraaf, is, dat zij allen eene zekere functie y(ir) van \/l ^p^siji^.v bevatten, waarvan de wet vooralenc^ Digitized by Google NAAB DEN MODULUS, OF EENE PUNCTIE DAABVAN. 15 onbekend is. Zoodra men echter later tot de grenzen 0 en ^71 overgaat, zoodat de elliptische integralen compleete worden met den modulus ( . \ wordt dit bezwaar weggenomen, omdat dan die functign van onbekende zamenstelling niet meer voorkomen wegens den factor sinx . cosx^ die evenzeer voor a? = 0, als voor «2? = i w verdwgnt. 8. Men kan echter tot geheel andere, niet minder belangrijke, uitkomsten ge- raken, door de vergelijking (a) nog eens naar p^ te diflterentieeren ; en daarbij gebruik te maken van de reeds gevonden eerste differentialen naar de formulen (a) en (J). Aldus verkrijgt men =^^E(,.xyfipx)].^-^E{p.Ml-l)I^-^)-^^^ -2p*^^'')- 4,M1- P») ^''"^^ »/1=^^. 4f«(W>)' • • • ^^ en verder, door middel van de formule (o), ten einde de overgebleven^(2).iP) te elimineeren, r d» 1 J -1 i 1 i—pn ) 1^-fl — p^)nn^x 8/nx,co8x ^ ■*" y/i—f,Zsin^ 4p3il_p3)" — p^ 14"(1 — p^)8hfix 8inX,C08X = 4,p*{l-p») ^>-*)+ ^/i^j,i,irfix' 4,pHl-p»)'' en hieruit volgt ten slotte \[/i—p^8in^x + [/ i—p^sin^xUi»^' cosx\ (p^) waarbij met voordacht is afgezien van de nadere herleiding van den goniometri- sehen term, zooals die in de formule (i) is toegepast. Want nu kan men ge- makkelijk n — 2 maal diflFerentieeren, het eerste lid volgens het theorema van LEIBNITZ, en het tweede lid naar de bekende formulen (zie 0. a. mijn Overzicht der Differ. Rekening, bladz. 33, 34). Digitize(d by Google 16 OVEB HET DIFFEBENTIEEfiEN VAN EENIGE ELLIPTI8CHE INTEaBALEN + 4(1-/,*) iHp»)' -+(n_2)4(_l) = 9inx .cosx\ atrfix [• dn-i + l E{pa)z rf(p»)— Vl — p*«(i»« ^ rf(p»)» r <*■-> 1 d»-« 1 1_ of wel, na herleiding, J.-I <*•- « [*^MW«)j^+M('-lM2--8)p«}^^^+{l-4(n-«)»}^^p(p..) = 1 __ .(—!)—' l»-'/»(— m»ar)»-8 (— 1)»-«1— M (_,/»» ^)«-8j ^ntfix.cotx^ 2-8(1— p8«n9;r)—V. * 2— 8(l-p»«n«;r)— V. am jr.co. 1 ^ri_(2^_5^ 2),,v»»^} (^) (1— .fa«n»a?)»-% 2«-2 ^ ^ ^^' ^ ^^^ Ten einde voorts de vergelijking {b) op dezelfde wijze te behandelen, schrijve men haar kortheidshalve ^J'(p..)=:2e-^-i^F(p..) + ^-^^^ Eip.x) (*)- waar dus 22 = 1 + (1 — f^) «"«' ^" "n x.eoix V/J — /,««».2ar 2(1— P*) genomen werd; dan verkrijgt men, door nog eens naar />* te differentieeren, ^-^/(p..) = ^^+^i^p..)-^l=^ 2p*(l— p«) 2p8 diZ 1 (_1_ 1 _ 1 ( i_ 1— 2p8 1_ — rf(p«)"2p« "^ ^''M^p*^* 4p*(i-p2)r ^""'rip^ii-p^y^^ipKi-i P«) 4^*(l-p*) 2— 3p« •rf(pa) 2p2 4p*(l— p8) P(p.xr l-2p» 2p*(l- p«)« fi(p.*), ('> \ Digitize(d by Google NAAE DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAAEVAN. 17 . 2—8»« „ 1— 2p« + r^];^/^'''^-T^^^^^<p-^) (^i) Gebruikt men nu de formule (b) weder, om uit (r) de E(p.a.^ te elimineeren, zoo verknjgt men r-^xilz5£i_L.l»Y w*'^ i>i 1 .1—2?*) I 8~8p« 1— 2i/« j Up«)« V(i-P») rf(p«)r^-*>-d(p8)+*| 2p«^»(i-^) I +^(p *) i i;i(i:7)-^^i(i::^) | = _ dS 1— 8p» p« ~rf(p») "^ 2p«(l_;,«)^ + 4^*(l-t«)^^P-''^' waaruit wederom wordt afgeleid ainx.cotx -jTr^^^sC*»»**- (1 -P*^'»*^)^»^!-?»"»»»^)»] (rs) Bg deze herleidingen is in de laatste vergelijking (r^), even als bij (ri), gebruik gemaakt van de volgende uitkomst **W^^ (1—^)1/1— p»m2a:ll+(l-p«J«««a: l—p^ h—jJ»»inM~ =z~i«nx.cosz 1+(1-P'l;^!f_ 8 4-(l-3p«).m«;r + (l-p«)«m*;r (1— P*)l/l--p««n«a:»(l —?«)(! — p««i««ar) { 1 + (1— p9)m8ar} — — nnx.cosx ~ V(l— p«)Vr:^^^^^^ -P*'-(2— 8p*-P*)(l-P«««»^)+(l-p«)«(l-p»«m»^)8}. En nu kan men er toe overgaan, om de vergelijking (r») n— 2 maal te differen- tieeren met behulp van het theorema van leibnitz bij het eerste lid, en der boven aangehaalde formulen bij het tweede lid; deze bewerking levert ons dan het volgende HATUTOK. VEEH. DBK KONIKKI,. AKADKMIE. DEEL XVIII. Digitized by Google 18 OYEB HET DIFFEBENTIEEBEN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGBALEN * ^' (' - P'> ^ + («-2)*(1- V) ^^ + *(— ») («-3)4(-8)^-^ ^-2 = <tft 2? . C0« ;{7 d(p»)-f d»-« 1 «n»* 1 . „ , ) rf(|B«)»-« 1 1/1 _p8««»/ v/ 1 —^rin^x waaruit men na herleiding yerknjgt ^+4(«-l)(l-5ip»)j(p,j._, .-V- -,.^ --.rf(p«> [*''*^^-P')j^+*<«-')^'-'^\-^-t*("-'>^--*>+'U-^ —HnX,C08X i (-l)>t-ll>i-l/2(-jyiii»i?)>^l (-l)»-gl»-a^(-m»a?)*-^ . ^ (-iy»-8l>-3/lg(-nngar)«-3| r£»-l (1 — p»m»a?)«-i ""»»-2(1 ..-p»«a»ip)«-»/j"**^ ^ 2«-«(l-j)««n2a?)»-V, P '-9inx.cosxUifflxY-^^\*~'^ ^ . « ^^ « /^ ^v , v *^ •••..«., « . « .« = a. a// ^ 2 ^A {-«n»^(2n-S)(2n-6)+ (£n-5) (l-p»«n'*)+^l-/^*«'»*-»^)^) = «•*j|i*''""^/i? C08X 1 *»*"*'/■' — [(2n— 3)+{(2n— 8)(i»— 5)— (a«— l)p8}m8»-{-8p*m*a!]. . (•) (l-p«««*a!)*^ 2»-*' 9. Laat ons trachten, dergeLyke algemeene differentiaalformulen af te leidea voor de oyereenkomstige int^ralen van § 5; beginnen wg daartoe met den laatsten vorm der uitkomsten (ci) en (fi). Differentieeren wi| de vergelijking («i) nog eens naar p*, zoo komt er d» l + 2p' l ( d d I l + 2p* d(p¥"^'-~2p*(l+p¥ ^"^'"^'^ ■*"^PM+P*)( ^^'"rf{p*)^' I '^"2p*(l+p«)*^^'"^''"'" Daar nu de F^ uit den tweeden tenn van het tweede lid verdwenen is, en al- leen voorkomt in den eersten term aldaar; en daar die eerste term naar de vergelijking (e^) zelve juist Digitized by Google NAAE DEN MODULOS. OP EENE PUNCTIE DAARVAN. tot waarde heeft, zoo geeft het oyerbrengen daarvan in het eerste lid 19 d> „ l+ap« d „ 1 r„ 14-(l+iD8)«»«i: , . ..r— sT »■2^1 + . »■ T EyZ=. — — :; rrl -Ei + — _ ■r^nnx.eotxi/TA.f» 1; rf(p»)« * ' p«(l+p»)<i(p« waaruit dadd^k volgt [4p»(l+p¥^ + 4(l+P«)(l + »P«)^j+l]£x = = — «fia?.(?Ma?l/l 4-«2 1 , + Kl+p«m»a?]; (^i) eene uitkomst, die men nu weder gereedelijk n — 2 maal naar _p* kan differen- tieeren; bij welke bewerking eenerzijds het theorema van leebnitz, anderzgds de boven aangehaalde formulen voor herhaald differentieeren te gebruiken zijn. Langs dien weg komt men tot deze uitkomst +i(„-2)(«.8)(„-4)4.6.^, 4(l+8/>8H.2p*);j;-5^+ («-2) 4(8+4^> 'd(p«> + i(«-2)(ff-8) 4.4 d(p«) 1^-2 als P het tweede lid van de vergelijking (ti) voorstelt, dus sm^x '^strfi x\ F={^smx.cosx){\/i +p») } , - + .|/l+pg6f f K 1 -i^jrsin^x Ten einde van deze uitdrukking het n — 2 differentiaalquotient ten opzichte van jj^ te bepalen, is men gedwongen, zijn toevlucht te nemen tot het theorema van LEIBNITZ; en daartoe vindt men achtereenvolgens 28* Digitize(d by Google 20 OVEB HET DIPFEEENTIEEEEN VAN EENIQE ELLIPTISCHE INTEGBALEN ^_d*_ »%n^x ^ dt-l . •""''•^ _^j^.^ r(-l )*!*/'' («/«»0;)* (-l)^Il*-l/2(^,Va:)^-g-[ <i(py|/l-ft?W* </(?*)*-•*'' |/l+pWjr ■"'"^■U*(l+/»w»a:)*-t-l'^^2*-2il -|-p8«i«8;r/t-}r (-l)*«n2*a; l*"'/»/ , . (-1*-I«n2*ar l*-l« =(i-,w.)*-Hi ir{(^^--i)''"'-^i^'-'-) 1=2-1^1;^?-^ ci«-*~2 ^«— *-;>. 1 ^ — 1)1»— it— 8l«--*-Si>^2 zoodat nu algemeen is t^O ' \ i I i— 2(l+p«;— *-2i (l+p2»w«x)*-(-i ' en hierdoor ■wordt de vergelijking (u) na eenige herleiding [*p^(i+p')'j^+^(\+?'M»(i+v)-(i4-4^')}^|;^+ + (1 4-4(»-2)[«(2-h3pO-(34- 5p'j]) ^^^+4(n-2)'(«_3)^^lj^^ = = [^?'(l+/)'j^-»-4(l+;''){(2«-3)/ + («.-l)(l4-p')f^^ + + (l+4(«-2 [,.-2:,A+(2.-3)(i+p')]}^-^^+4(«-2;.(„-_8)-^J^^^ _*^2^ /«— 2\ i*-i/2 i»-*-8/a^;na*+i x.eosx l + (i— g^ + paj^j^a^ ~*J~ \ A ) g—^d+pV-i-ai (l-i-p*««V)*-Ht ' • • • («i) waarin de tweede vorming van het eerste lid geschied is met het oog op de straks af te leiden algemeene diflferentiaalformule (wi) voor de andere functie J\: op die wijze toch wordt eerst het verband tusschen beide formulen zichtbaar. Ten einde nu de overeenkomstige vergelijking (fy) op dezelfde wijze te kannen behandelen, schrijve men haar eerst in den volgenden vorm d siiix.eosx r- .iiu*x . _. 1 ] ^)^^ = J7fT7L|/l ^pUin^x'^^' +P'^'*'-'J + 27'^^""2p*(l+p/^' • ^^^^ Digitize(d by Google NAAE DEN MODULXJS, OP EENE PUNCTIE DAAEVAN. 21 dan komt er, wanneer men, even als boven, nog eens ten opzichte van ^® dif- ferentieert, d} -8inx.co8x\ sin* x | sinx.eoax\ , sin^x dipY"^ g.^i/riy^li/i-epw^ '^^''''Tit[/Tiyl vi^p'sinV Vi+pWo? 1 1 -f- 2p^ i d 1 ^ jp 41/1 +/1^ ^^Vl +/«»'/ '^v/l+^Si«';r "^ ^^ I "rinx.cosxc sin^ X r-r-o- ) __J__ r» ^ =47;;!^!^ t/i^^"^'-^^;^^?^-^^ ^^^!-^*^^" 4p*a+p')' ^^- • ^•'^ Ten einde hieruit nog de overgebleven E^ te elimineeren, telle men naar de formule (/\) bij \ d sinx.coix^ sin^x ] 1 %{l+p^)^ dan komt er, na herleiding, rf* 1 d -sinx,co8xi ^ ain^x sin^x i 1 waaruit verder dadelijk volgt r *iw*a? Mn*d? j t l/1+p'm^F l/1+p^tn'a? ) Hierbij valt reeds dadelijk op te merken, dat de symbolische bewerking van het eerste lid overgaat in die bij de vergelijking (ti) wanneer men in (vi) de p* en 1+p* onderling verwisselt; men ziet dadelijk dat eene dergelijke verwisseling, dat is van p^ en 1 — p", bij de vorige overeenkomstige vergelijkingen (pi) en(ri) niet opgaat. Wil men nu uit deze diflferentiaalformule van de tweede orde eene Digitized by Google 22 OVER HET DIFFEBENTIEEREN YAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEaBALEN algeoieeite diffieresitiaalformule afleiden, dan moet men eerst het tweede iid der vorige vergelijking (vi), wat betreft den factor tusschen de haakjes, in een an- deren vorm brengen, meer geschikt voor het algemeene differentieeren naar f\ men vindt alzoo achtereenvolgens ain^x \/{i +p'sin'rf ■d+P') sin^x |/i + p»m'a? ==— i/r+ym^= fatVa? Bivfx \ sin^x I 1 . _ \ ^ _. " y , -TT^ y. \ r y— T-^+^"T= 1 . « -Vl-hp' sin^sph\/l^p^M'x= k^l+p^mV j/(H-p*m«ar)/ j/l+p'«Var yi+p^^sin^x '^ ^ j ^ v sin^x :jznTZ^'^ i V/l+p'«V/ [/l + p*sin'x Differentieer nu n — 2 maal naar (/>*), zoo wordt  *^^-^n^-^ +J(«-2)(n-3) .-l.a. + d»-» djt^y-^ "rf(p»)« ri=:i^«"W waarbij Q het tweede lid der vergelgking (t?i) voorstelt, en wel zoo, dat de tweede factor tusschen de haakjes den vorm (v^) heeft verkregen. Menheeftdus Ten einde deze door middel van het theorema van leibnitz te bepalen, heeft men eerst (-lU-2 lit-2/2 (-.n*— 2l*-2/2 Digitize(d by Google NAAR DEN M0DULU8, OP EENE PUNCTIE DAABVAN. 23 "^ ««-*-!( l+p««»aar)«-^i "^ a«-*-«(i-f-pa«n2ar)»-*-Vi "^^ ^ £»-*-»(! +p» m« a?)«-*-*/i " "?i=55(H^^ f-l V»-*-2 1 »-*-3/2f «V^^«-*"2 g^-*-«(l+p«rii»a;r)>-M [(■^n-2t-8)-[(ei»-g^-8X2i»-2^-5)+(an.aA-l)p^}rii,g;r-hgpWi.3; zoodat eindelijk wordt X [^2n— 2/t— 8)— {(2n— -2*— 8) (2n— 2*— 5)+(2n - 2*— l)p«}«n«ar+ 2p* ««*«]; en hiermede verkrijgen wij ten elotte voor onze differentiaalformule (w) *P*^^+^)^ + *^("(* + V)-(3 + 8p«)}^^,+ ^+[l+4(«-.2){«(l + 3p«)-(2+7p«)|]^-^, + 4(n-2)(n-3;«^-^ d* (?• — 1 +[l+4(«-2){(«-2)(l+p»)+(2«-6)p»}]-— -3+4(n-2)(«-8)»-— ^1 = P^ = — {(2»— 2A-8)(2ii— a* 5)-f.(2n— «4-5)p2}m2af + 2p*m*ar]; (»i) waarbij wederom het eerste lid door eene kleine herleiding zoo veranderd is, dat de straks vermelde overeenkomst met de formule (t^i) gemakkel^ker in het oog springt. 10. De schijnbaar meer zamengestelde vergelijkingen (e) en (/) kan men op dezeKde wijze behandelen; zoo als men zien zal, geven zij tot meer eenvoudige uitkomaten aanleiding. Schrgven wij ze daartoe in den volgenden Torm Digitize(d by Google 24 OVER HET DIFPERENTIElilREN VAN EESnaE ELLIPTISCHE INTEGRALEN d{p^: * 2//* waarbg nu de vormen E^ en JP'^ van de formulen {{) en (fc) zijn ingevoerd; zoodat die beide vergelijkingen in dezen vonn met de andere vergelijkingen (c) en (d) tamelijk wel overeenkomen. DifiFerentieert men nu deze vergelijkingen nog eenmaal naar p^y en voert men daarna dezelfde vergelijkingen wederom in, zoo komt er achtereenvolgens voor de eerste 4¥^'"' "^^^'~^*' ^ «"^(^^*""^^') "~^*^^'^~^*^ ^ omdat nu bij den term tuBschen de vierkante haakjes in het tweede lid, de term r— 5 F^ geheel verdwijnt, behoeft de F^ alleen uit den eersten term van dat tweede lid te worden geelimineerd. Dit geschiedt zeer eenvoudig door middel van de vergelijking {e)\ telt men toch bij zoo komt er of, na eene aangewezen herleiding, 1- rf* ^ n / 9iffix \ Digitized by Googk NAAE DEN MODULDS, OF EENE FUNCTIE DAARVAN. 25 waaruit verder, wanneer men deze vergelijking n — 2 maal naar p^ differentieert, de algemeene differentiaalformule volgt 4p2(l+P») d(p^)n («-2)4(1 + 2/>»)^^^i + 4(«-2)(«-8).4..a. J^;ij;=2 d(p«^ 4.1. <#•- « rf(p«)»-2l d(p»)»-' ^« = = -—nnx.eotx lm*af (fr-2 rf»— 8 ain^x rfO»«)»-«|/l +p»»i«*ar rf(p*)»-* V^l +/)«m2ar dat is ^-2 ( (—1)"-« l»-2/8(«n';r)»-g . , (—1)»-» i"-^ («n» a;)»-» | _ = -«n3;r.««;rj ^.-«(i ^^„„8^)«_./, +* a»-«(l +pW;r)«-S j (— l)»«n2»-lar.c<Marl»-8/*-, ,„ , ax • 2 1 M - (l+p2«iia;r)»-V, 2»-2^ ^ ^' '. Ten einde verder op dezelfde wijze de functie F^ te behandelen, noeme men kortheidshalve den eereten term in het tweede lid van de vei^elijking {f) nn 2 inx.eo»x{ sin^x \ ainx.eosx 1 + (1 + p )m^ ll/l+p' en differentieere vervolgens die vei^elijking (f') nog eenmaal naar (p^), zoo ver- krygt men 5^^»=^^-^27^-^i[i7^^-^ Daar nu echter in den eersten term van het tweede lid is d „ . . l+(|+p8),M,8a. , sin^x 1 d l + ('+p')*w''^ \ «"^ ^ 1 "" * / ^^= ^"^'•^'""(l+p')t/i +p»m^;| 1 +(l+P«)3»-«'^- l+P* «l+pW-j = ^^, ^~f;,:!!!l=3 {2 + (1 + 3p«)m». + (1 + ?«)««•«*.} = 4(l+p*)*l/l+p»«n»ar ^ ((l+paj—^a+.Spa—p^Kl+p^wnM+vl+P^v^l+P*""*^)*]» -ftn^r.cosa; V(l +?*) Vi+p*««V >«ATir0SK. VEBH. DB» KONINKL, AKADJBUIB. DBBL XVIII. 26 Digitized by Google 26 OYEB HET DIFFEBENTIEEBEN VAN EENiaB ELLIPTISCiiE INTEOBALEN en du8, na substitutie in de vorige vei^el^king, d(p»)» * ^(2p*^\p* 4p*(l4.p»)( \ZpHl+/^)^ 4p*(l+p*)"^4;,*(l •■p»)j sin X . cos X Daar in de co€ffici€nt van E^ de beide laatste termen elkander ophefFen, moet slechtfl de eerste term worden verdreven, om de Ei geheel te elimineeren. Tot dat einde telle men bij de vorige vergelgking {z) p2(l+p»)d(?8) *-2p*(l+p«)8 * 2p*(l + p») *"^P*(1+P«) ' zoodat men verknjgt _d«_ l + gpi» d / 1 ^J_ 1 l-\-%p^ \ d^) *"^P*(1+P*)rf(f^) **" *Up* 4P*~4P*(1+P») 2P*(1+P»)/ f d /1 l+2p2\l p» /_^B l + 8p8 \ +te^+^l-27^+^(riv)/ r "v(M^^^^ en hieruit leidt men verder af [VC-P^),-^. + *(i + 2p«)^+i]n = «/n x.cotx y(l+P*)l/l+p8m2a:' =3 {-(1 +P*) + (1-P*)(1 +pW^)+(l +p2)8p*(l+p«.»»«*)«) = mnx.cosx pVl + p*««*^' ^S {- 1 + (1 - P^) (1 + P*««*^) + 2 P» (1 + P* «•«»*)»} = sin X ,cosx _ -j%[sirfix—(\ ^p^sin^x)-\^i{\+p^9iH^x)^} {z%) \^\ +p^sin^x Thans kan men overgaan, om deze dififerentiaalformule n — 2 maal te diflferen- tieeren, waarbij men weder gebruik heeft te maken van het theorema van lbib- NiTZ, en van de reeds vroeger aangehaalde formulen voor herhaald differentieeren. Langs dien weg komt men dan tot de volgende uitkomst Digitize(d by Google ■A ^ > ^ > *pH\+P») NAAB DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAABVAN. ^n + (--^^*^' + '^^)-i^l+i(--^)(--^)*'^- 27 d>—i~ *^' + '^)^^^+ ("-^) 4.2. •=z9inxx08X \ —2- H d»— i d»-2 F,.= waaruit verder na herleiding volgt (_])<i-lln-l/2(OT-»8a!)«^I (-l)»-gl»-^(»fB9a,)«-g ^ (-l)«-8l«-a/2(,/»8a,)»-8 ( (-1)" •1-2—7 \ 2«-l (««8a.)»-8| in»ar)»-%J ~ — **'^"'^*|"^2"-"(l-|-A>*««»«)»-»~2» 8(1 4-p8«„8a,)»-»/,+**'' '^2»-8(l-f-;,8,/„8a,), f«l\»— l*ii|2»— 8a?.co«a: 1«— 8/2 11. Laat ons ter toepassing van enkele der vorige formulen, nog het derde differentiaalquotient ten opzichte van p^ afleiden van de beide elliptische integra- len der eerste en tweede soort. Zij daartoe in de vergelijking {q) w = 3, zoo is Daarbij volgt uit de vergelijkingen (p) en (o), overeenkomstig, yi^siffix 4p»(l— p3) I ' Wanneer men deze bij de eerste optelt, en dan door 4p^ (1 — p^) deelt, verkrijgt men — — E(p . x) = : — E(p,x) : -r F(p . x) — d(p^^ ^^ ' 8p4(l— p55)2 VA' ; 8p4(i_^2^ ^^ ' ainx.cosx \ coB^x 7 + f^ — 58in^x 7.C09X j i-P»)M 8 p4 (1— p8)8 (i/i_/,4„„4/ j/ l_p8„V.»a; f5(a— p8)t/l_.p2„„8a, (a6) 26* Digitized by Google 28 OVER HET DIFFEBENTIEEKEN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGRALEN Vervolgens neme men n = S in de vergelijking (s), dan is «»*• X , CO» X -5 ^ {_3««*dr + (1— p««W«Jr) + 2(1— />2.««««jr)«}. l/l-/' S .»«'«2 /'»m*a? Evenzeer volgt nu uit de vergelijkingen (r) en {b) achtereenvolgens — 8(1- 2y^)— r^^(?^-^) = — 8(1— gp*)! . . n ^(P ^)— ^.f^P'^~ 'jo^)^(^-^)=2-^5(i3;5:I-^^-^'^'^^^^^+^(''-^^^ Door middel van deze vergelijkingen verdwgnen de twee laatste termen uit het eerste lid; wanneer men daarop door 4j)*(l — ^^*) deelt, komt er J(^s^(/-)- 8;,«(1- ;^)8 ^^''•*^-8p«(l-p«)«^'' "^"«TO^ 17!=^ + 12. Wat betreft de elliptische integralen van de derde soort, bedenke men, dat zij slechts van die der eerpte soort verschillen door denfactor (1 — nsin^x)'-^ onder het integraalteeken ; daar deze factor geene p bevat, hebben de bewerkin- gen van de vorige paragrafen daarop geen invloed ; en is men derhalve voor deze integralen der derde soort teruggevoerd tot de vergelijkingen voor de functie F{p.x). Vervolgens kunnen wij nog het integreeren ten opzichte van de standvastige p^ beproeven, maar dan verkrijgen wij, door verwisseling in de orde van het integreeren, hetgeen hier geoorloofd is, 'stn^x . ft f stn^x ld{p^)L[p.x)=rdxid(jfi^^ l-p2m2/=--/ l/J^ 0 i> 0 fd{p^)F{fKx)= ^dx id{p\ \.'-= rda~)/^^pWx=-^ /Vl-p^m» .dx 8%n^x Digitized by Google NAAB DEN MODULUS, OF EENE FUNCTIE DAAEVAN. 29 Beide uitkomsten zijn ondoorloopende integralen, omdat de fimctie onder het integraalteeken voor de benedenste grens n = 0 een eindigen teller bezit, terwijl daarentegen de xioemer, sm^Xj nul wordt. Langs dezen weg kan men dus niet tot bruikbare uitkomsten geraken. 13. Veel eenvoudiger worden de vorige uitkomsten, wanneer men de integralen tusschen de grenzen 0 en J ^r neemt, waardoor zij tot bepaalde integralen worden. In dat geval toch worden de vergelijkingen (a) en (6), (c) en (d) ^^) = J:i[^(p)-^(p)} (^) 5^^(P) = 27^?^ (^> [^-'^^i^)]'>)=ri?^(^> ^^> Bg de vergelijkingen {e) en (/), (g) en (k) wordt 0 0 zoodat zij leveren p+'^.-s^]fe't^)! = •■'^^(^)' <«> Digitized by Google 30 07EE HET DIFPERENTIEEEEN VAN EENIGE ELLIPTISCHE INTEGBALEN terwijl verder uit de volgende yergelijkingen (ci) en (fi)y (gi) en (Ai) wordt afgeleid ' •<PlT?)=WT?il<^+'''^(i7TT?)-'(.^)i' ■■''•> d d(p') ['-»^('+^)7^,]^(i:i^)=n-./TT^) '"'' [« + *^(i+^i^]^(pi%p) = (»+^)^(7!^) («.) Behouden wij de notatien voor de bewerkingen dan geven de vei^lijkingen (»3) en (i^), (k^) en (ki) IQ.P.Q. Q.P.Q] E(p) = F(p), (Is) IP.Q.P. Q.P.Q] E{p) = E(p) (IJ IP.Q.P. P.Q.P] F(p) = E(p), (K,) iQ.P.Q. P.Q.p-\ F(p)=F(p); (Ks) terw^l b^ het behoud der notatie [l+p»][l + 2;^^^] = P, (^) de vergelgkingen (Ji) en (/g), (mi) en {m^) geven, omdat hier wordt, E,=^iT?^[^:j, ('i) f, = y-^F{--^l (xi) + p« \l/l + p2/ lP,Q.p,. Q.i'i-Q][j/rTP^(p7j^;j] = i^M^«^(j7|^).. (Lx) Digitized by Google NAAB DEK MODULUS, OP EENE FUNCTIE DAAB7AN. 31 CQ.i>,.Q. «,P,Q] [^i+^^^-^]] = ^,(-^). ,„ CQ.P.Q. i-..Q^>][^ P (^)]=^^(p^). 0.,, IP,.QJ>,. /.,.<^,j[-^^(_^)] = ,/T+?^(p^). (M,) En eindelijk, indien men de bewerkingsnotatien d [1-Wl + P»)— ] = i?. (.) [r^][i+w+P«)^]=5 is) behoudt, leidt men uit de vergelijkingen (wi) en (ng), (oi) en (og) af i3.1U. ASjq^(^) = r(p^) ,N.) IB.S.B. R.S.Bi B [^^=f\-^ ,N,, ,R.S.B. s^.j^(_^)=^(_|^) ,„., ,S.R.S. ..^.^^(-^) =^(_^) ,oj Verder leveren de vei^ehjkingen (p) en (pi), (r) en (n) ,-^^(A') = 4y.^^:i^j{Ml-f^)i'(P)-(2-P*)£^^^ a>) [V(l~p')~-^ + 4(I-p»)^j + l]^(p) = 0 (PO ^^«^^''J^I^iTrr^i^*-^?*).^^?)-^^!-^?»)^^?)}.. •. (B) [*^*^'-p'^^ + *^^- «p*>4^-i]^<p) = 0 ^ ) Digitize(d by Google 32 OVEB HET DIFFEBENTIEEBEN VAN EEN(OE ELLIPTISCHE INTEaBALEN en de meer algemeene differentiaalformulen (q) en (s) [V(1V)^«+M("-1) - (««-^0/«} j^-h {l-4(«-2)»}^-^J^(^) = 0,. (Q) W^^-f"^ J^ + * («-^^ ^'-^ f^^J^-i* («-l)(«-2)+ l}j^y(P) = 0. (8) Vervolgens genaderd tot de vergelijkingen (t) en (^i), (v) en (t;i), komt er naar de fonnulen (^i) en (ei) J$7K^)=W+7)t'(.7TT^)-''+'"^fe)l' • • • '^ [♦-^c +'^^. + *>"" +»".1?) + ''^^(v^) = "' "^' en naar de meer algemeene differentiaalformulen (u) en (tc) [4p«(l+p8)a^, + 4(l+p«;{(e«-3)p« + r«-l)(l+P»)};^^^ + + {1 + 4(«- a)[(«-2)p* + (:J« - 3) (1 + p2)] } ^^^J J^^p^^j = 0,. 27 NATUrniK. VfiBH. DBE &0N1NKL. AKADEHIE. DBEL XVTII. Digitized by Google ^ \, Digitized by Google .^ ® /X/J' EEN AANHANGSEL TOT DB TAFEL8 VAN ONBEPAALDE INTEGRALBN. DOOB 1 /'i r^ ' - D. BIEBENS DE HAAN. 1. Bij eeu ander onderzoek kwam ik tot onbepaalde integralen, waarin de fanctie onder het integraalteeken eene elliptische integraal bevatte. Het kwam mij niet zonder gewicht voor, zulke integralen ook te onderzoeken, wanneer het don gewonen, kanonischen vorm van elliptische integralen gold. Ten einde dit onderzoek echter uit een meer algemeen standpunt te kunnen be- handelen, was het noodig, algemeene herleidingsformulen te bezitten voor integralen van den vorm lip{x)Adx en J9{x) — dx] waar de A = J^l — k^sin^ x is, zoo- als zij in de elliptische integralen der eerste en tweede soort voorkomt, en waar ip{x) eene eenvoudige goniometrische functie voorstelt. Wel is daaromtrent iets geleverd door Yebdam in twee stukjes, voorkomende in Deel II van het Tijd- schrift „het Tnstituut", — en zijn door mij in het XVI^® Deel der Verslagen en Mededeelingen die herleidingsformulen werkelijk' gegeven, doch alleen voor het geval dat de integralen tusschen de grenzen 0 en i ^r werden genomen, en dus natuurlijk die herleidingsformulen veel eenvoudiger worden : maar het gewenschte stel ontbrak toch. Het viel echter niet moeilijk, de gewenschte herleidingsformulen af te leiden Bl KATXnTRX. VBKH. DEB KONINKL. AKAJDEHIE. DEBL XXII. /ffJ. Digitized by Google 2 EEN AANHANGSEL TOT DE TAFELS VAN ONBEPAALDE INTEGEALEN. 