title: Commentatio ad quaestionem astronomicam ; a nobilissimo disciplinarum mathematicarum et physicarum ordine Academie Gandavensis propositam, anno M. DCC. XXII. "Data duurum locorum differentia latudinis et linea loxodro mica, invenire differenentiam longitudinis eorum dem." Quae praemium reportavit die VII Octobris M. DCCC. XXIII.
creator: Verdam, Gideon Jan, 1802-1866
text: [ndicn m gcbrokcn is, verkrjjgt men, door de inhouden dcr quadran- len van de kromme lijneri, moctkundige voorstellingcn van de eigeulijke functie r. Het geval van i» = J moel echtcr uitgetonderd worden ; want de inhoud der kromme, hcbbende * r = =b a V cos. p lot vergelijking, is voistrektelijk bepaald of meetbaar, zjjode Verder sal men hebben Ai-5.».a-V* . E2jsl; A!-c>.a-f . E^i- ; J... w As=7.».a-S. £!Ss> ; Ax-8.».a^. £!<«., 7 itf) * r(|) Nu is r(T) = V / «'. en r(|) viodt men uit r(|) door de bekende 80 G. J. TEBDAM, BIJDBACE TOI 1)1 BESCHOCWIXG DBR LEMSISCATEJf. wanl r (|) beeft men onmiddellijk rat A^ , wgl door deselfde betrekking A| herleid wordt tot r(-f) beeft men uit Aj , en daarmedo dan ook r (-{-). Door m = J cn = ^ te stcllcn, Tcrkrijgt men twee Tcrgeljjkiogen, in welke sullen Toorkomen rfo), r(\) en r(U). r(«); dere hangen dus af »an r(} 0 ) cn r(i), welke bcide derhaho uit de herleide rergelgkin. gcn sullen kunnen opgelost wordcn. Het r(i) bceft mcn r(i) oit A, , Termits ait de bekendo belrekking 2^'.r(^).r(i> + {) = n».r(2p) geTondcn wordt eene waarde Tan r(* 0 ) = r( r +j) in fnnctie Tan r(») en r (V)- r(|) wordt bekend uit r( ro ) = r(| 0 + i) • r(f) beeft met uit A ; , door eerst r(J) op te lossen. En soo kan men Toortgaan met bet aannemen ran verachillende po- sitieTC gcbrokeno vraardcn roor m, om, Toor regelmatig oprolgcnde vrortels, meetkundige Toorstellingen Tan r aan te wijzen, Met goed gerolg raaakt men daarloo ook gebruik Tan negalieve gcbrokcne waarden Toor m , mits de algcmeene formule Toor den itihoud aldus scbrijvcnde A " _a 2 ' r(2m+l) * Men kan ook, in de oorspronkelijke formule, r — aco*. m <p,m gehcel en negatief stellen. Do kromme lijnen worden alsdan do omgekcerdo van die, in welkcr vergebjkingcn m als positieTO exponent Toorkomt, cn xijn derhalve opene krommo lijnen. Voor ro — + 1 wordt dekromme een cirkcl, hebbende o tot middeUgn; m = — l sijndc, soo beboort depolaira aequatie tot eeneregte Ign, 0. i. Vl.RDASJ, BMDHASt IOT DB BKSCHOtWIKS DZR LIMBWATE*. »1 lijn, rakende genoemdco cirkel middellrjnig tegcnoTcr depool. In hbl pelair* stelsel is dus de omgckecrde Tan ecn' cirkcl dc regtelijo, roits de oorsprong in den omlrek gcnomeo zij, tcrwijl ile omgekeerdo ccn cirkel zou wezen, indieo dc oorjprong in hel cenlrum gelcgen ware. Voor »i = 2 is de kromme gcTormd uil twco tcgen elkandcr sluilcode eironden, waarran de corutruetie gemakkeljjk is, en cenigerroatc zamcnlpngt met die der lcmniscata, in $ I sab C bcsehouwd. Is m =- - 2 , zeo heeft mcn de hyperbolische krorome met paraboliscbe asjmplolcn, t«d welke roede in $ I snb C (in do ecrsle noot, welko in dat arlikel Toorkomt) gc- waagd is.' Zoo kan mcn ook m Ton dcn gcbroken Torm ± £ nemen, maar dit 1 gCTal wordt onmiddellijk lol cen der voorgaande gebragt; de uitkomsten ijjn mode nicl onbclangrijk. Gecfl de quadrotuur dcr krommc lijncn, welker TergclijkingCD begre- peo 190 in de acqualie r «» a . eoa. m 9 , belftogrijke resaUaten, sooTerdienen dezelfde kromme lijoco ook opmcrking tco aaozicn der reclificalie, orodat, zoo als de quadratuur io TeJe gevallcn ceoe mcclkundigo Toorstelliog op- loTert dcr funclieen r, eTcnccns door do reclificatio roeerendecls Toor- .atelliugen tod gcwone cn Tao ollra-clliptiscbe fonotien wordeo Terkregen. De rectificatie-forroole wordt namclijk: is = a. 2kF.c«. p ~ l 9 \/[\ (m* — I) #tn.» 9). Deze formulo is integreerbaar, bijaldien m is ecn gcbecl positief o| negaticf evtn getal. Is m gchecl, posilief of ocgalief, maar onevtn, zoo hangt de rectificalio af tod elliplischo funcliceo dcr cersle co tweede soorl, gelijk Iiglclijk wordt mgczicn. Is m eco positief of ncgatief gebroken, b. t. ceo posilief gebrokeo. Tao den vorm i. , dal is, hccfl men n eos. tp , L zoo 82 0. J. TKBDAV, BIJDBA6K TOT Dl BRSCBOlTWIIfG DER LEM.NISCATM. d* « a . e«.~' 9 |/ {1— (l — L ^ «n. 1 .j } ; zijnde, als bet ware, eene combinalie ccner p met ccne elliplische functic der twcede soort. Maar indien mcn in dczo formule sitt. <p — x stelt, eu Tan cene der bekende bcrleidings-formulen bjj het inlegrcren van irralionale uitdrukkiUgen gebruik maakt, zal men befinden, dal de integralio afhangt ran Eoogenaamdo AMiaanache /unctieen, hebbende dcn nicl onbelang- rjjke. l {p + Vr+r!,*') ' welke Toor » = 2 cn n— =4 nog lot gewono clliplische fuuclieii kan gc- bragt worden. Korler of spoediger nadert rocn cvennel hel docl, door de rectificatie-formulo afhankelijk te maken Tan dcn Tocrstraat r , tot dit cindo a a 1 — r ) rende, waardoor men komcn tal lot 0 a = -a^ (a»+K-l)r*')or _ V(« a — r^Ha^+ln 1 — l)r») a ■ [a J + («* — l)r*"]dr v /{a«+(»»— ^Ja^r 1 "— (n J — l)r*"} * * " (64) / Dit de aequalie dcr caasinoldeo Tan hoogcrc orde is SEBRKT lot cene gc- noegzaam gelijkTormige uitkomit gckomen (Journal de JUath. par Liot- < tille, Tom. VIII, page 501). ! ! ■ / 4~ OPMERKINGEN OVKIt SIKIRt SOORT YAX K R 0 M M E L IJ N E R, WELKE MEN OMGEKEERDE OF TEGENOVERGESTELDE KROMME LUNEN ZOU KUNNEN NOEMEN. G. J. FERDJM OPMERKINGEN OVin ZKKKRS SOOBT TAS KROHME LIJNEN, WELKE MEN OMGEKEERDE OF TEGEffOVERGESTELDE KROMME UJNEN ZOU KONNEN NOEMEN. y FERDJM De algemecDslo Torm der lengle-oitgebreidbeid is de kromme, krom- lijnige of gcbogene. Op zich *ebe beschonwd, oiet als Torm, maar ala geslachl, kan men de gebogeno loogle-uilgebroidheid Terdeolen in eenige Tormen, bij welke ecne groote hoeveelheid t«d neven-vormen, en eenc oneiodige verscbcidenheid Tan mindere Tormen of onder-Torroen bebooren; ook de regto lijn beeft onder dete eene plaata. Tutschcn bepaalde groe- pen Tan kromme Irjoen bestaat tiaaaw Tcrband, kennclijk uit de stelkon- digo of transccodenlalc vcrgcltjkingen, door welke bet beloop ofdefiguur Tan dezelve wordt belcekend en Toor den geest gesteld, 166 dat dowor- ding of formalic Tan den eenen Torm uit den anderen, de overgang vao de ceoe kromme lijn lot de andere, de verwanlschap Tan het ecne beloop A 2 tot 4 G. i. VEntUJJ, orVKRKIlfGIK 01 ER lot bct antlere, uit die vergelijkingen kan afgeleid en onder bcpaalde voorwaarden kan vastgestcld en opgemaakt worden. Dit verband iseveu- vrcl niel bcperkl tol, niet ingeslolcn door de bi-paalde groep of orde van kromme lijnen, wclke raen raogt op hct oog hebbcn ; — heUelve strekt xich verder uil, brcngt de eene groep tol de andere, knoopt zo tamen, cn maakt vau de schijtibaar outamenbangende deelcn cen onafgcbrokcn gebeel. lu een logischcn zin kan hieromtrent viel gecn twijfcl gcvoctl worden, want de bepaling van krorome lijn drukt een zolfde kenmerk voor allcn uil ; maar deze zin wordt liicr niet bcdocld ; ondcrscheidene kenmcrken rooclcu overccnsk-mmeii of bepaald verband lu«schen clkander hebbcn. Is dil in een mcelkundigen tiu wcl too gemakkelijk om aan te loonen, uiet op eene ol^ernecne vtijte, maar in clk bijzondcr gcval bc- pahlelijk en zoodcr willckcur? Mct andcre woordco, kunnen de figuren cn dc vergelijkingen van kromme lijnen, die in verscbillcnde groepen vorschillcnde plaatscn hcbbcn, «cl zoo gcmakkclijk cn ongedwongen de eene uil de andere worden afgeleid, zoodat men de ecne kromme lijn op cene naluurlijke wgze uit de andero ziel geborcn worden ? Onlkennend moel dcze vraag beanlwoord wordeu. Eerder tou men slagen om dc wording uil of door eene regle lijn le verklaren. Men kan namelijk eene onbepaalde regle lijn omgcbogen denken, gedraaid, gewrongen en zoo- danig gelcidclijk gckromd, dat uit dcze vormverandering allo denkbare kromrue lynen van verschillend beioop, van verschillcndo rigling in ccn plat vlak, of naar do roeest onderscheidene slrcken dcr ruimto, onistaan. De regle lijn is op deze wijze de toogcnaamde omwikkeldc Icnglc-rigliug van alle kromme lijoen, en dete tijn wederkeerig omwikkelingen vnn <le , rcgle liju in de opvolgende riglingcn, welke zij, bij dc draaijing of hui- ging, moet hebben. Hieruit is duidelijk dal, oro uit de vcrgclijkiog dcr regle lyn die van eenige kromme lijn af te leidcn, lot wclker beloop tij is omgcbogeo, dat is van wclke tij, in alle mogelijke slanden, raaktijo is, iie parameters of slandvastigc lermcn cn cocflicienlen, in de vcrgclijking ■ler regle lijn voorkomende, slcchls op cene voegzamc wijte vcranderlijk ge- 2EKKBE SOOBT T*S KBOMVB LIJSKJf, E«Z. 5 gcileld cn ofhankclijk geraaakl moeleo wordeo vao de doorgaaode of loo- pcnde codrdioatco. beboorende lol de soijpunlen dcr opvolgende rigtingen, in welko de regle lijo, bij haro ombuiging, acblervolgcnt koml. De vergdijking der regte lijn bevat, in faet algemccn, Iwce paratne- ters. Stclt men deze veraoderlijk cn gelijk aau ickcro funclie van coordi- uulcti, eo neeml meo daarvoor alle denkbare stelkundige of transcenden- lale uildrukkingen, 100 komt mco lot eene oneindigo verscbeidenheid van vorgclrjkingen, wclkc tot evon zoovele verschillendc of verschillend gelegeno kronimo lijncn xullen bebooren. Maar 100 het al niet mocijc- lijk ware, om daardoor de verschillende groepen der kromme lijncn van nnvolgende ordo, en ook dio van vcrschillenden aard, le doen uilkomen, ioii iloie wijie van afleiding of formaiio ecnigiins gedwongcn lijn. Voor de ecnvoudigsio vlakko krommc lijnen, voor die van dc Ineede nrdo namelijk, is bct teer gemakkclijk in te lien, hoe dertolrer eenvou- digsle vergelgkiogen in verband alaan met dio eeoer regte lijo, welke niet door den oonsproog der regthoekigc codrdinalen gaal. Want van toodanig geriglc lijn is de acqualie * y a o lcrwijl dc raiddclpunts-aequalieen van den cirkel, van dc cllips envande hypetbula, wel ecn graad hooger lijn, maar niet verscbillend iti vorm. Nemcude uu a cn 6 veranderlijk, cn wcl volgcns toodanige wet, dat a besleudigltjk omgekecrd cvcnredig is aan x, en 6 omgckccrd cvcnredig aan y, of dat sleeds de reglhocken onder a cn z, b en y, onvcraudcrlijke inhoudcn bebbcn, ioo komt mcti, uaar gclaug dte itihouden gehjk of on- gelijk tijn, lot do middclpunls-vorgclijkitigen van dcn cirkcl cu van de gelijkiijdige hyperbola, of tot dio vati de ellips cn tlcr hyperbula. Neemt men b omgckeerd evcnrcdig aan x, a omgckccrd cven- redig aan y, cn do redons, in hel algemeon, vcrschillend, too ont- slaal de vcrgelijking der hyperbola met bolrckking lot harc asymptolcn. A. 3 0« 6 (i. J. VERDAM, OPSBBKJSGBtf OVEE Om de vergelijkiog dcr parabolu le vcrkrijgen, moet meo a = *, eo 6 cvcnredig uan de vcrhouding - stollen. En onder elke der gcstelde wet- y ten of betrekkingen zal de oorspronkelijke regle lijn, io bare TerschiU lendo sUndcn, in de daad eene raaklijo of zoogenaamdo omgewikkelde lijo (enveloppte) van alle de genoemde kromme Itjoen wezeo. Dczelfde wijze van beschoowen is toepasseljjk op bet plattc vlak, nit welks vcrgolijking de vcrgelijkiogcn der oppervlakkeo vao deo tweedeo graad, door gehjkvormige veraoderingen der parameters, zulleo voortvloei- jcn, zoodat dcze de orawikkelingen (enveloppes) vao bet omgebogcoc of omgcwikkclde platte vlak zullen zyn. K.011 men op eenc slclselmaligo wijzc dc vergclijkingcn vanallekromme lijncn uit die dcr regtc lijn afleiden, zonder die kromme lijncn vooruf tc kennen, dan zou bel ook meest naluurlyk zijn, ilaurtoe aan le wenden de vcrgchjking der regte lyo, welke niet door deo oorsprong gaat, omdat de regle lijo alsdao kon bcscbouwd wordeo als, in bare vcrschilleode slan • den, omwikkeld door eene kromme ljjn, en deze als oit de omboigiog cener regtc lijn te ontstaan. Maar zondcr hierop te letlen, kan het voor- geslelde docl ook bcreikt worden door middcl der vcrgelijkiog van de rcgte lijn, wclke door dcn oorsprong der cofirdioatcn gaat. Men beeft b. v. oumiddelijk uit y — ax de vorgelijking dcr Apollonitcke en der Aei/scke of Heuraetschc parabola door a -- - ca a = ^ tc slellcn. y r Ook dic der orcrige krommc lijncn van clcn tweedcn graad en dio van andere kromiuo lijnen, wclke meu vooraf hckend slell, volgen er gemak- kelijk uil ; maar de verschillende slandcn der regte lijn hobbcn hicr ecno anderc belcekeni?, cn de regclmanl van afleiding ontbreekt evcnzcer als bij ilc ccislgcnocmde wijze van heschouwen. ln pluals van ccn stclselmatig verband lusschcn het mecreudcel van bckcmle kroinme lijncn, of van bepaalde grocpen derzelre, te willcn op- sporcn, kan mcn zich lot punt van onderxoek voorstellco, het bclonp of dcn llllRK SOORT 1AM UOUI LIJXES, EKZ. 7 den aard na te gaan van kromme lijnen en gebogene oppervlskken, wel- ker vergclijkingen ontsUan, door de vergelijkmgen ?an lekerc gcgutene kromme Ijjnen of oppervlakken, of door sommige termcn vau dexelve, enkcle clemenlen cn paramelers, volgcns ecne bcpaalde wel le verformen, of te doen vcrandereo. Voor het meerendeel der kromme Ijjnen toch kan men enkele terraen, enkele leden, eokele factoren van huone ver- gclijkingen aanmerkea ala gedeelten der vergelijkingen van andere kromme lijnen. Dc vergelijkingen der eerste kunnen dan gedacht worden te ont- staaa, door, van vergeljjkingen dier andere, eeoig lid, beide ledeo, eeni- gen torm, meer termen, eenig element, beide elementen euz. te beschou- wen als sekere functie der codrdinaten van de eersle krorome Ijjneo, en door die functieeu bestaat dan het verband tutschen geheel verscbillendc kromme Ijjnen, en kan men, door de cigenschappcn van deie, dikwjjls die vao geoe nagaao., Stelt men b. v. in de middelpuuts-vergcljjking van een cirkel de abacisjen onafhankclijk veranderlijk, maar de ordinaten y afhankelijk van andere ordinaten y', soodat deze hebben eene sUndvastige reden van r tot r ', zoo wordt de getransformeerde vergelgking die eener ellips. Heemt men io de vergeljjking der apoUonisch* parabola, y* = ps, de cofirdinaten x en y beide functielu van twco andere coordinatcn v en w, en vvcl zoodanig, dat y 2 aan de som en x 2 aan bet verschil van v* en w x gclijk worde, dan sal de eerste funclie voorstellcn de vergelijking van ecn veranderlijken cirkel, en de tweede functie die eener veranderlijke gelijk- lijdige hyperbola. Waoneer nu deso funclieen door de aequatie y* — qx verbonden worden, ontstaat er tuascben de drie genoemde kromme lijnen seker verband, en de kromme Ijjn, welke dit verband verlegenwoordigt, i* 8 C. i. TBADia, OPBEBKMGKf OTIB x de ia onderscbeidene optigten soo merkwaardige Lemniseata of slrik- Tormige kromme Tan Jacob Bxsiioou.Lf. Dcze Toorbeelden kannen mct nng teer Teie Termeerdcrd wordcn. mur eene bepaaldc, eene regelmatigc, eene algemeene beschouwing heeft men door deielre niet. Dete kan alleenlijk bepaald tijn en tot uitkomsten Tan eenig belang Toeren, wanncer men de Tergelijkingcn Tan krommo lijnen rolgeus detelfde wet Terandert of transformeert. Nataurljjk kan dit op oneindig Tele wijten geachieden. Men bepale lich b. t. tot de Tlakkc kromme lijnen ; derielrcr Tergcljjkingen houden twee elementen x en y in. Neemt men aan, dat y oreral Tcrwisseld wordt mel detelfde gege?ene functie Tan een ander element y, en x met eene telfde functie eener andcre x, too ontitaan andero Tergelijkingcn, lot andere kromme lijnen betrekking hebbende, doch welke na geacht kunnen worden tot eene telfde bepaalde soort Tan kromme lijnen le behooren, omdat tij uit of door aodere kromme lijnen, Tolgens deielfde wijte Tan rerandering, Toortkomen. Onder de eeoToudigste wijten, op wclke men de betrckkingcn lus-r schen de abscissen en ordinaten Tan kromme lijnen regelmalig kan Ter- anderen, door eene onTerandcrlijke wijte Tan Tervorming der Tergelijkin- gen, is er 66ao, in bescbouwing en gobruik niet ten ecne malc Tan belang ontbloot, en op welke geenc aandacht schijnt gcvestigd le tijn. Eenige Tlugtigo opmerkingen deswegens, en de ontwikkeling, in boofd- trckken, ran eenige bijzonderheden, wclke genocmd onderwerp Tan be- schouwing raken, mogen hier Tolgen. Wanneer men uit de Tergelijking eener Tlakke kromme hjn (doch met Tereischte wijtiging is hettelfde toepasselijk op kromme lijnen Tan Tclerlei kromming en op gcbogene opperrlakken) het element y oplost, en in ecno functic ran het onafhankelijk Teranderlijk element * uilgedrukt denkt. Digitized by Googl ZIEERI SOOBT TiJI KROMME UWM, BKX. 9 ■ deokt, ontataat er eene betrekking van den vorm y = +• / (r). Mcn knn yan deze belrekking xeggen: xij is xoodanig, dat de som of bel ver- tchil van y en f(x) gelijk ««/ is, of, algcmeen, eene ooveraoderljjke naarde beefl. Nog kan moo teggeo : do betrekking is xoodanig, dat het quotitnt van y en f(x) staodvaslig is. En no valt vao xelvo de vraag, welkc is de beteekcois eener bclrckkiog, io wclke oiet de som of bet verscbil ooch het quolient, maar bet product eeoe staodvastige vraarde sou heb- ben, eene waarde, ter eeovoodigste bepaling dcr begrippen, gelijk aan de Mnheid? Zoo dao y. f(x) = 1 is, xal y = -py—. xijo. Uet eersle lid der oorsprookelijke vcrgehjking is derbalve geblcveo, soo als hetxelve was, maar het tweede lid is omgekeerd geworden ; of ook het ecrtlc lid y is omgekeerd, en het tweedo lid is gebleven. Hierdoor is du ver- klaring der beteekenis vao de nieuwe of getraosformeerde fuoclie tusschen de abscissen en ordinaten zeer gemakkelijk ; want xjj behoort lot eeoo kromme lijo, mot do eerstgedacble deselfde abscisseo hebbeode, maar vao welke de gelalleowaardeo der ordioateo sjjn de wederkcerige of ouigekeerde getallenwaaardcn der ordinateo van do oorspronkelyk ge- dacbte kromme lijn. Wanneer de oorsproukelijkc fuoctie isttclkundig cn ingewikkeld, zoo- dat tij, oa bet wegmakeo vao irrationalo vormeo, eeoe oobepaalde hoo- gere magts-vorgelijking is met twee onbekende clcmeoteo, behoeft men y niet opgelost to deokeo io eeoo fuoctie van x. Dit werd *oo oven aan- genomen tot bclere uitdrukking der meening, maar soodanige oplossing (al ware zy op cene algemeene wijse mogelijk) behoeft nict io het werk gciticld le worden. Want slellendo overal - in plaals van y, zoo heeft y men eeoo nieuwe squalic, welke, len opziglo van y, xal wexen de ver- gelijkiog lot de omgckeerdo wortels, behooreode tot ecne kromme lijo, welker ordinateo zijo de, in getallenwaarde, omgekecrde ordioateo van de oorspronkelijke kromme Hjo. Eo hieruit volgt van zelve, dat het ge- B stelde 10 O. J. TEBDAM, ODfEHKlNGEH OTER slelde ereozeer toepasselgk ii op kromme ljjoeD, bebbeode eeoe transceo- rientale iogewikkclde Tcrgclijkiog. Eiodelgk nog, dat dieselfde traosfor- matie ook geldt, waoneer de coflrdioateo niet sijo regllijnig, maar polair of kromlgnig in hel algemeeo; eeoTOodigheidshalTe wordt echler bier mcerendcels op het rcgtlijnig eo regthoekig coGrdinaten-stelsel gelel. De kromme lijnen, op Toorsegde wijze geformeerd, souden, len op- zigte der oorsprookelijk gestelde kromme lijnen, eigeoaardigst wcderkee- rige kromme Itjnen kunneo geooemd wordeo. E»enwcl wordl dese be- naming mcermaleo, schooo dan ook in een aodereo sio, bg de beschou- wiog Tao poollijnen gebcsigd, en om in gceoe omschrijTing te Terrallen, xoo als die Tao kromme Iijnen met ordinaten van omgekeerde getalten- waarde, moge men de benaming Tao omgekeerde of Xegenovergettelde kromme lijnen aannenjco, mils daarbij dese kromme lijnen niet op sicb zel»e dcDkcodc, maar in Terbaod mct de krommo Ignco, welke tot hare wording diendcu, cn wclke men dan als oorspronkehjke kromme lijnen moet aanmerken. De bescbouwing der omgekeerde kromme lijnen, in Terband mel dic, uit welko xy oorsprong nemen, gceft aaolciding tot de oarolgendc hoofd- sakelijko opmerkiogeo. I. Daar de omgekccrde kromme lijnen dezelfde abscisseo cd dcselfde greosen Tan abscissco bebben als de oorspronkclgke, maar ordioaleo Tan omgckcerde gelalleowaardcD, zoo stemmen, io het algemeco (want er beslaan uilzonderiDgcn), grootu ordinateo mct klcine, kleioe met groo- tere orereeo, nul met oneindig cn oneiodig met nul, maxima mct minima cn omgekcerd, regt mct krom, parabolisch met byperboliscb, regls gebo- gen ZKKERI MORT ?A» KISOMME LLfNfN, ISZ. 11 gen roet links gebogen, nccrwaarls gcbogen of bol met opwaarls gebogen of bol en wederkeerig, continuiteit mct diiconlinulieit, gesloten beloop met open beloop, enz. enz., even aliof do oorspronkclijke kromme gebeel ware omgebogen of omgckeerd, en gescheiden, zoo ztj gesloten warc. II Do graail der equatie oener omgekeerdo krommo met opzigt (ot dio der oorspronkclijke (gestcld deze is algebraiscb, cn dus ook de om- gekecrde) kan zccr vcrscbillend wezen. Mcermalcn is de omgckeerde van eeno hoogcre ordc dan de oospronkclijke ; maar het legendcel kan cvcn- zecr plaats vinden, cn beido kromme Ijjnen kunnen wezen van denzelfdeu graad en tevcns van dczelfde soort, zijnde dit Iaatste mogelijk voor kromme lijnen met asymptoten. Wanneer de vcrgelijking van de oorspronkelijke kromme niet is inge- mkkeld, en dat zij derhalve kan gcbragt worden tot den vorm y = f{x) of (y 4" a)" = f (*), soo moot men onderscbeiden de gevallcn of f{x) is ecne gcheele rationale, of eone irrationale, of eene gebrokene funclie, welker teller, of noemer, of beide, wederom rationaal of irrationaal kunnen zjjn. Is f{x) geheel en rationaat en van den graad m, 100 is fle graad der vergelgking van de tcgenovergestelde kromme altjjd booger dan die der oorspronkelyke kromme lya, eo wel n of m graden hooger, naar gelang n < m of ws < « is. Komen er worlel-uitdrukkingen in f {x) voor, 100 kan de graad der vcrgclijkiog tot den omgekeerdon wortcl y hooger wezca dan, tnaar ook gclijk aan dien dcr scquatie van do oorsprookclijkc kromme. Is f (*) eene gebrokene functie, zoo is ligtelgk in te zien, dat, oaar B 2 ge- 12 C. J. TEHDAlf, OPMEFlkl.NG EN' OYER gelang x in ileu tcller, lol eene hoogere, lot eene gclijke, of tot eene lagere magl dan in den noemer voorkoml, de Tergclijkiog der omgekeerde kromme een graad zal hebben, booger dan, gelijk aan, of lagcr dan dc graad dcr oorspronkeiijke krommc. Het ts overigens duidelijk, dat, too cene logenovcrgeslelde of omgekecrde kromme van hoogere orde is, dan de oorspronkclijke, bet tegendeel evenzcer kan plaaU vinden. Want de omgekoerde als oorspronkelgke, en de oorspronkelijko als omgekeerde kromme beschouwende, »00 is deze v«n lager graad als de eerste van hoogerc orde is. Oe ingewikkelde functicen geven derbalvc lot dozeJfde verscheiden- heid van gevallen aanleiding. Zoo bebooren b. v. de vergeljjkingen xy 1 + ay = 6* + e, X y* + ay = b, tot krommc lijnen van de derde ordc, aangewezco door Newton in zijne Enumeratio linearum Urlii ordinis. Van de eerste heeft de omgckccrde een gelijken graad, van de tweede is zij cdn graad lagcr. Dc vergelijking y 1 + axy - p « 0 bohoort lot eeoe hyperbola, welker beide takkcn de as van y, boven en onder den oorsprong, snrjden, en welkcr middelpunt in den oorsprong ligl. De omgekeerde kromme is evcneens van den tweeden graad, en wcl 00L eene hvperbola, mede de as Tan y snijdende en het cenlrum in deo oor- sprong hebbende, maar de ligging dcr kromme lijn is legenoTcrgesleld.f) zoodat de reglsche tak linksche en de iioksche regtscbe is gcworden. Hct is nict mocijclijk in te zien, wanneer de pas vcrmelde omslan- digheid bij ingewikkeldc functieen zai plaats vinden, en hoe men de voor- waarden tot bel hoogcr of lager of golyk zijn van den graad der axpaatie, bij omkeering dcr ordinaten, naauwer kan begrenzen. III UKBRK SOORT TAN KflOMME LUXM, EM. 13 111. De oorspronkelijke cn haro orogckecrdc kromme kunnen snijpunten of raakpunlen gemeen hebben. Wclke ook de abscissen deicr doorsnij- dingspuntcn of raakpunlcn mogen wezcn, de ordinatcn y zijn bcslcndig- lijk = + 1. Do gelallenwaarde 1 toch ii de eenige, wclko aau hare nedcrkeerige waarde gelijk ii. Maar de vergelijkiogen gcvcn allijd + 1, en dus minslens twee snijpunlen. Want denkende de vcrgelijkiog der oorspronkcUjkc kromme (gesteld tij is algebraiscb) opgclost ten aantien van y, soo is en die der omgekeerde 1 nu is, voor de gemeenscbappclijke punlen, y = y; eliminerende altoo f (x), xoo komt y» = 1 en y = + 1. Deie uilkomst is, als gevolg der eliminalie, alltjd waar. Hel kan noglans wezen, dat allecnlijk j = + 1 of y s= - 1 voor de kromroo lijnen geldt, of ook dat gcene dcier waarden toepasselijk is. Met andere woorden, het kan gcbeuren, dat de krommo liju door hare omgekeerde gesneden of gcraakt wordl boven en beneden de abscisscn-as, of alleenlijk boven, of alleenlyk onder die as, en het kan ook sijn, dat er gecne snij- of raakpunten bcstaan. Dit wordt uitgeweten door de vergelykingen y =/ (x) of y = Yfant subslilucrende in doxelve y = y = -f- 1 of = — 1, en los- sende de komende sequaliecn in x op, soo bestaan er eren too velesnrj B 3 u C. i. TEBDAJJ, OrMERKISGEf OVRft punlen of raakpunlcn beneden de ai Tan x of boTcn dezelve, als x ver- schillende of gelijkc beslaanbarc waarden erlaogt (en wel uit elkc ver- gclijking natuurlijk dczclfde waarden); terwrjl alle die snjj- of raakpunleo, boTen of bcneden de as Tan x, gelegen zullen weten in regle lynen, op dcn afsland van eeue denheid evemvijdig aan dc as Tan x tonpcndc. Hocft x goeno bestaanbaro waardcn, roo bcstaan cr ook gcene snij- of raakpuntcn, hctgecn dus allconlijk kan gebeuren, als de graad der equa- lio CTcn is. Men leidl bicruit ook af, dal, zoo dc vergelijkingen dcr kromme lijoen ingewikkeld zijn, cn mcn uit dezclre x elimineert, de eindrerge- lijking in y allijd dcclbaar zal wczcn door y J — 1. Die cindvergelijking kan dus eene cvcne binouiial-vcrgelijking zijn, — of ccno evene wcder- kecrige vergelijking, in wclko do middelste tcrm onlbrcckt, cn van welko de lcekens der lermen afvvissclen, — of ecnc evcnc wcderkcerigc cn vol- ledigo vergeljjking, van welko de tcrrncn, dio e»cn vcr van het middcn afstaan, gclyko tcckons cu coefficienlcn hcbbcn, en wcl zoodanig, dat de sommen dcr coeflicicnlcn van do CTcne cn oncreue mogten Tan y, afzon- dcrlijk genomen, gelijk nul zijn. Bchalvo de worlcls y = 1 cn y = — 1 Tan de cindvergciijking zullen geene andcre aan dc oorspronkclijko Tcr- golijking voldocn, eoo dat de waarden van * beslaanbaar worden. Do ovono wederkeerigo en de evene biuomial-vergclijkingen zouden derbalve aangemerkl kunnen worden, als te onlstaan door het Tcrband tusicheu twee boogero vcrgelijkingeu met twce onbckenden, cene Tan welkc, in de ecne vergelijkiog, waarden heeft, die bet omgekcerde zija Tan de waarden, aao dezo onbekcndo in de twcede Tergelijking loe- komende, lerwijl Tan do andere onbekcnde do waarden in beidc do tct- geltjkingcn dczelfdo zijn (I). IV (I) D« eebrijver oWlde de opmeikio«en, welke bet ooderwerp deter terhandeling uii- mikeo, md de Eeme KIomo van bet Ioetituat mede, ooi deerdoor te voldoan aaa sQoe verpligtiog lot het vervullen eeoer ipreekbeort. Oq tcbtie detelte oiet toa die aaeerdtre IEKEI18 SOOBT TA!T KBOUHR LM.US, KSI. IV. Niet geheel onbelangrijk is bcl, de figuur en tle feranderingen van gedaante en beloop der omgekeerdo kromme lijnen, in eenige bepaaldo gevallen, na te gaan. Daarlue dieneo de natolgende voorbecldeu. 1. Dc omgekeerde, welke behoort lot cene reglo Jijn y = oar, gerigt door dco oorsprong der coordinaten, is eene gelijkzijdigc bypcrbola, heb- welenichippelijke vtarde, det sij eerder id de Terhendeliogen dan wel in het Tijdsobrifi T«n bel Ioititutil souden mogeo wordeo opeobiar gemctbi, bijaldieo »lj Toor deo druk t»n eeaig belang werdeo geacht. De klaise Tereerde ham mei de meeoiag T«n het eeriie, en •teldc, tot bepaaide iolicbting hleromtrent (ea Tolgeo» deo regei), tijo opstel in banden ecaer Commistie. Die Commlisie adTiieerde tot het opnemen t«d de enderwerpclljke be- •ehouwingen in de werkeo der klaise, doeh maakte, bij btar Tenbg, eeae atnmcrking, welke bet al of oiet snijdeo der oorsprookelijke kromme lijoeo en der omgekeerde bclior. De icluijTcr crkeot gaaroe da jnistbeid t»d die a»nmcrking, eo oordeelt het gepatt, deselee, tooder Teranderiog tsd den tin dea tekili, in hsir gehect bler bij le Toegen. »Hen im- • meent namelijk, d«t het al of niet anijdeQ cener Teorgeitelde kromme door hare otnge- • keerde eeniglijk efhaogt »«n de keuie der eeoheid, welke bij de heiehouwlog der om- »r;eleerde kromme lijoen «Itijd moet atogenomen worden. Eene der TergelijkingeD, heliij »t»o de oociproakelijke, hetiij tio de omgekeerde kromme, i» toeh «Itljd oagelykalaebtig, » en kan alioo niet gecoourueerd wordeo, isodcr hel aannemeo ccoer bepaalde lijo al» • eeebeid. Ii die lenbeid grootcr din de.grootste ordinaat der oorjpronkelyke, dan kan er • geeoe inijdiog plutt Tioden, en io het legengeileld gCTal heeft dit, in het algcmeen, altijd »pla«ti. Dieruit Tolgi le.eoi, dai elke oonpronkelijke kromme, wier Tergelijliog gelijk- • tlachtlg ii, reoe ooeiodige Terieheidenheid T»n omgekeerde heefl, dewijl meo, eoor clkc •cangeoomeoc eenbeid, aodere Tormen T«n omgekeerde Terkrijgt, die Toor detelfde «b- »*eiueo «ndere ordinatee hebben. Zijo de beide Tergelijkingen, der oorrpronkelijke en der • omgckeerde, oogclijkilachlig, d«n moet Toor bcide detclfde cenbeid getdeo, cn ahdan • bceft elkc krorome ook ilechti, bij ooTertnderde codrdlo.teo-«i»en, eenc enkele om- tgeleerde." ; 16 G. J. TtHDAH, OPXBHKISGKN OVIR bebbende deo oorsprong lot middclpunt, eo de cofirdiDalen-aueo lol asymp- loleo. De polenlia is — i, en de halve assen xiju — |/ -. De posi- a a tieTe cn ncgatieve abscissen der beide pauten Tan doorsmjding der hy- perbola cn dcr'rcgle lijn, tijn aan de poleulia gelijk. 2. Het omgekeerde opperrlak, behoorende lot een plat vlak, e — ax -f- iy» gorigt door dco oorsprong der codrdinaten, tal een byper- bolische cylinder wetcn, welks beschrijvende lijn evcDwgdig loopt aan het Tlak xy. Diltelfde coSrdinaten-vlak is een der asymplotische Tlakken. Het andere asymptotisch Tlak staat loodregt op hct cerslc, en snijdt hct- telTe, Tolgcus de lijn, gemeen aan bet oorspronkelijke Tlak en genoemd cofirdinaten-vlak. De snijdingen Tan het platte Tlak en Tan het cylindcr- Tlak tijn bcschrijvende lijnen ran bet laalsle, en liggen op eene eenheid afslands van bet cobrdinalen-vlak xy. 3. Onder de kromme lijncn, wclker vergclijkingen afhangen Tan cirkelvormigc obscisscn en regllijnige conrergcrende ordinalen, orlbogonaal gcrigt door do abscisscn, is de spiraal van Arcbimkdes die, welker rer- gclijking, bij die soort Tan coordinalen, demclfden rorm beefl als dc vcrgelijking der rcgle lijn Toor rcgtlijnigc orlhogonale cotirdinaten. Diczclfde overccnkomst beslaat dan ook l>y dc omgckecrdc krommc lij- ncu ; ZEKERE SOORT VAN kBOMHE LIJSE.t, EJfZ. 17 r.eo ; inderdaad, de omgekeerde archimedische (of lineaire) spiraal is eene gelijkzijdig byperbolische apiraal. 4. Evenzoo is het gelegen met de kromme lijnen ?an velerlei krom- uiing, die de namen dragen van cylindrische en conische tpiraien. De cersto ia de tchroeJUjn, op een regten cirkclvormigen cylinder getrokken ; de twcede is de schroefijn, gelrokken op een regt cirkelvormig kegclvlak. De eerste snijdt alle de beschrijvende lijnen onder een slandvastigen hoek, en de afstanden der snijpunten tot den omtrok der basis, tijn erenredig aan de bogen des omtreks van de basis, begrepeo tusschen deu oorsprong of het begin der schroeflijn, en de voetpunten der lijnen, op welkc ge- zegde afstanden worden gemeten. Onder de eerste voorwaarde kan ook dc kegelvormige schroeflijn beslaan, maar hare aeqoatio is alsdan expo- nentiaal, en zij is eerder eene kegelvormige logarithmische spiraal. Uet is meer bcpaaldelijk ondcr do tweede voorwaarde, dat de kromroe lijn op denkcgelis, hclgecn is de spiraal van Archimrdes op ccn plat vlak. Op het cylindrisch en conisch oppervlak hebben de vergelijkingen dier spira- len denzclfden vorm als die dcr regte lijn en der archimedische spiraal, namelijk i = a<r> of z — aq> + 6, in welke <p de cirkelvormige ab- scis, gerekend langs den omtrek der basis, cn % de rcgtlijuigo ordinaat, gerekend op de beschrijrendo lijnen, uitdrukt. Gevolgelijk zullen de om- gekeerde kromme lijnen hier wezen byperbolische lijnen van velerlei kromraing, welke men cylindrische en conische hyperbolitche spira/en De regte iijn heeft eene geljjkigdige hyperbola tot omgekecrde. Beide op cen reglhuekig stuk papier geconstrueerd lijnde, en dit om een cy- linder gewoudeo, tal de regte hjn io een gedeelle eener schroeflijn, de hyperbola in een gedeelle eener cyUodrische byperbolischc spiraal over- gaan. De kegelvormige spiraal wordt, in het ontrolde oppervluk ran den kegcl, eene archimedische spiraaJ, of een gedeelle er van. Men verkrggt C du 18 0. J. VERDAJI, 0r"P.RKI\GEX OUR du< de kegeltormige hyperbolucrie tpiraal op bet kegelvlak, door, ia bet ontrolde oppervlak, de hyperboligcbe spiraal als omgckecrde der archime- discbe lc conslruercn, en daaroa den kegel nederom met het onlrolde flak omwikkeld to denkeo (2). 5. Zij ecncirkcJ, bebbende r tot radins en het centrum in den oor- «proDg (2) Bij dete opmerkiogen kan geroegelijk eeoe andere plaau Tinden, «el ia geeo regtttrcekicb Terbaod ttaande met het onderwerp too beschouwing, oiaar rakende de krom- me Ujo, welke it de projecAie eeoer gewone ketis of orlindritche tchrceflljn, tid welka in den lekti i< gewaagd. Die projeelie, genomen op een pUl Tlek, OTenwijdig ean de at tao den regten eirkelronnigen cjlinder gerigt, U eeoe regelmatig Toortloopende tUngror- mige lijo, hebbende eene traoieeadentile o^uaiie; tommigen noemen htar «snuteiaV. Xeeml men nn den hoek, ooder weiken de betchrijTende lijnen Ttn deo erlinder door den ketix getneden wordeo, geiijk aao 4S*, dal it neemt meo de grootte tm deo epoed der tchroeflijo gelijk aan den omtrek der bwii Tan den cTiinder, too gaat de projeotle der tcbroeflun OTer in de krorotne lijo, aao weike men den oum gegeren heeft Tao vtrttltttr ier eyehide eo daer de ootrolde heltx it eeoe regte Hjn, blykt hieruit ook de wordingder genoemde terteUter door de regle Irjn. Detelfde projeotie der ichxoeflijo, welker tpoed aan den omtrek der cirkelTormlge ba- ait Ttn den crllnder gelyk it, it ook eeoe /i> der Hnutien, dtt it, Teitchilt niet tao dete tranteendenttle kromme, ingeral hare abtcitten gelijk genomen worden no de bogen, welker liouiten de ordlotten aijn. In het aigemeenite geral toch bettttt dete gelijkbeid niet ToUtrektelijk maar betrekkelrjk , toodat de reden luttehen de •btrjiueo en bopen ittndTattig i«. Nog U er eeoe bekende kromme lijn, welke, io een bijtonder gerai, niet Tcrtchilt Tan de projectie cener kelix. Deie kromme lijn onttUat wtoneer meo eeo regten cirkel- Tormigen eylioder torjdt door een pltt Tlak, niet «TOnwfldig aan de batit gerigt, en daarne het opperTUk Ttn den geknotteo cylinder op een pUt TUk ootwikkelt ; de elliptiMhe ing- ding gtnt, bij die ontwikkeling, orer in eene lUngrormige kromme, welke it de sooj?e- naamde getrant/trmeerde der op hei ootwikkelbare opperrlak beaUande ellipt. Waonoer nn de elliplitche •nijding gemiakt U door een Tltk, hellende onder een hoek tio 48» op het rlak der buit Tan deo crltnder, too tal de galrantforraeerde, or de ontrolde ellipliiobe doortnede, mede nlet Tertcbillen rao de projeetke eener twlix, gelrokteti op deotelfden cj- ltoder, en hebbeode, elt boreo, eeo tpoed, gelijk eto deo omtrek der betit. Digitized by Go mSB* SOOBT VAX KROXHE LUNKK, KKZ. 19 sprong dcr codrdinaten. Deze beeft ccno omgokecrdo krommo, beslaande uit twee geiijke en gehjkvormige takken, ongcveer den vorro ceuer qua- dratrix of van een tak dcr secnnten-lijn hebbcndo, en, aan wcderzijdc van de abscisscu-as, tich tot in bet oueimiigc op- en necrwaarts uitstrck- kende. Dezc krommo is cene hypcrboltscho kromme; hare asyroplolcn tjju de onbcpaaldo raaklijncn dcs cirkels, gaaudo door do uitcinden der mid- delljjo, wclke op dc abscissen-as ligt. Bijaldicn r is > 1 tal de cirkcl, mct zijnc tegeuovergesleldc krommc, twee paren Tan tegenovcrgestclde snijpunten hcbben. Tfaar male r groo- ter is, naderen de toppen dor beide takken roecr lot de as van x, maar de boglen der kromme, bij die toppen, wordcn plattcr, cn naderen mecr het rcgllijnig bcloop. Is r — 1, zoo vallcn do bcide snijpunlen van elk paar zamcn in do uitcindcn dcr middcllijn, wclko op do as y ligl, aldaar bcvindcn zich dan ook de loppcn dcr bcido takkcn, cn cr hccft aanra- king van den cirkcl co der omgckccrde krommo plaats. Is r < 1, zoo beslaan er gecne snijpunlcn. Voor r tccr klein, liggcn dc bcidcloppcn, en dus ook de takken, op zeer grootcu afsland van dcn oorsprong; dc kromming dcr boglen wordl klciocr cn klcincr, cn = 0 als r = 0 is ; maar alsdan gaat do cirkel ovcr in een punt, cn do omgckcerdo krommo in een paar van tcgenovergcslelde punlen, op oneindigen afsland van het centrale pont gelegcn. 6. Wanncer do slandvastige groothcdcn, in do vergelijking eeucr kroinme lijn voorkomcode, niet veraiideren, of tot elkandcr dezelfde re- den behouden, verandert ook do figuur of het bcloop dcr kromme lyn niel, al is bet dat de rigtiog en plaals der coSrdinaten-asscn veraoderd wordt. Eene omgekcerde kromme, op zich zclve beschoawd, vcrandcrt dus ook niet van gedaante, wanncer haro ponicn tot andero of vcrandcrde cofydinaten-asson gerckcnd worden. Docb beschouwt meo dc omgekeerdo kromme met betrekking tot do oorspronkelijke kromme hjn, too is hel, len aanzien van baar beloop, piet om hct evcn, tot welke asseo de pun- C 2 len 20 C. J. TlttDAM, 0FMUKIHGKH OTER ■ ten dcr oorspronkelijke kromme Jijn gerekcnd worden. Want eene ?au die assen is de grondlijn ter bepaling Tan de waarde der ordinaten Tao de omgekeerde krotnmc, en het is gecnssins onTerschillig hoe zij is gerigt. Voor eene regto lijn Tcrandert, met eeue andcre stelling dcr coGrdinaten- assen (mits geene derzelre eTenwydig aan de rcgte lijn sij), wel de af- meting, rooar nict de soort der omgekeerde kromme. Voor een cirkel Teranderen noch groolle noch soort der omgckeerde kromme, hoedanig ook de reglhoekige assen mogen gerigt sijn, mits de oorsprong in bet centrom ligge. Doch men denke eeno ellips ; neemt men eene der hoofd- middcllijnen als abscisscn-as, zoo Tcrkrijgt de omgekeerde krorome een symmelrisch beloop ten opzigte Tan de ordinalen-as ; necmt men ecbter eenigo willekeurige middellijn dcr cllips als abscisscn-as, soo verkrijgl de omgekeerdo kromme ecn gehccl onsymmctriscb bcloop. Oij andere kromme lijnen heeft bet merkbaar cn zclfs groot Terschil van figuur reeds plaals bij de Tcrwisseling der coordinaten-assen. De lem- niscata van Bbrsocilu geeft er een Toorbeeld Tan; neemt men als asvan x de Ign, gaande door de beide deelen van ilen strik, en wel door dc zoogcnaamde brandpunten Tan de lemniscata, zoo beslaat do omgekeerdc kromtoe uit twee parcn Tan tegenoTergestelde takken ; elk dezcr lakken is open maar onsymmetrisch ten opzigte cener lijn, gaando door den top en eTenwydig aan de as van y. Neemt roen daarenlegen de as vati y als as der omgekeerde kromme, soo beslaat deze uil tweo tegenoTerge- stelde gealoten deeleo, welke, op eeo oneindigen afstand, in eeo punt eindigen, en den Torm Tan zeer spitse eironden hcbben, symmelrisch sijnde tcn opzigte der as van de lemniscata. Nog een ander merkwaardig Toorbeeld der verandering vao 6guur eener omgckecrde kromme, door gelijklijdige verandering van de codrdi- naten en ran een der paramelers, heeft men bij den cirkcl. BoTen is reeds opgemerkt, dat de bedoeldo Cguor niet veranderl, soo lang de oor- sproug der codrdinateu in het ccnlrum Tan den cirkel blijfl. Docb men plaaise dit roiddelpunt op de as van y, boven den oorsprong en a cen- ZEKKIiE SOOHT VAN KBOMHK LLIXEX, E2IZ. heiien van denzelren vorwgderd, zoo is de xqualie van den cirkel 21 (y - «)« + x * = r». De omgekeerde kromme ii van de vierde orde even ati wannecr het middelpunt in den oonprong ligt, maar hare fcrgelijking is nu 1_ 1 ~~ a + \f (r 1 — **) ' Naar gelaug mcn a < = of > r neemt, zal de cirkel door de as van x gesneden, geraakt of niet geanedon worden. Zoo a is <^ r, zullen de beido takkon der omgekeerde kromme niet gclijk en gclijkvormig wezen ; hct zal kunnen gebeuren, dat do cirkel wel door den bovenslen maar niel door dcn onderslcn tak gesnedcn, of ook door dezen slcchls geraakt wordt. Hetzelfde zal ook met den bovcnsten tak kunnen plaaU vinden. Deze zal, in het algemeen, zoodanig beloop verkrijgen, dat hij, na, in twee punten, van buiging te zijn veranderd, tot asjmptotcn hecft de loodlynen op do as van w, gclrokken door de soijpunten dezer as met den cirkel, en tot raaklijnen de evenwijdige raak- lynen van dcn cirkcl, mede loodregt door do as van w gaande. De asymp- lolen van den onderslen lak zjju de verlengdc asymptolen van den boven- slen, maar dio ondcrsle tak ligt geheel en al tusschen de asvmptoten. Zoo a is = r, vervalt de ondersle tak. De as van y is nu de en- kele asymploot der beide oneindig ver oploopendc beenen van den bo- vensten tak ; deze tak tal twee bnigpuntcn bebben, en, even als in an- dere gevallen, den cirkel kunncn snijden, raken of niet. Zoo a is *> r, bestaat de omgekecrde kromme ook slechts uit een deel, maar aaogezion nu y ncrgens gelijk nul u, slrekt de omgekeerde kromme zich nu niet meer tot in het oneindige uit. Zij tal cenu gesio- tene krommo lijn weien, eivormig van gedaaute, en van zoodanig onaf- gebroken beloop, dat er geen singulier punt bestaat; tjj zal twee toppen C 3 heb- 22 G. S. VEMUi», OrJIERKMCHI OVM hebbcn, van wclko do raaklijncn evenwijdi^ aandeas vati s zullcn loopen. En too kan mcn, tcn aanzien dcr otugckcerde kromiue lijncn van dcn cirkcl, bij andcrc plaalstng van dcn coordinalen-oorsprong, — cn in grootcrc vcrschcidcuhcid nog tcn aaniicn dcr omgekcerde van andcrc kromtne lijncn, — zeer vele andero wijtigingen cn ovcrgangcn tan figurcn optnerkcn, welko racn ccnigzins bij dc anamorpAosen in dc uptica of perspccticf zou kuunen vcrgelijkcn of met dcze in vcrband brcngen. 7. De omgekccrdc dcr Appollonische parabola xal ecnc cubiscbe bypcrbola wezcn, en zulks in bcide gcvallcti, hctzij men de as dcr para- bola aannecmt als abicissen-as, belzij men daarloe kicst de raaklijn aan dcn top dcr parabola. In bet ecrsto gcval zullen bct posilieve decl dezer as, en de gebcclc onbcpaaldc a» der ordinatcn, asjraptolen der hyperbola zjjn. In bet twccdc gcval is do geheelo as van x ccno asymptoot, en het posilievo dccl dcr as van y de tweedo asymploot. Even zoo wordt dc omgekeerde cener govvone hyperbola eene hyper- bolische kromme van de vierde orde, uit twee parcn van bvperboiischc takkcn ( bc»laande, welke de as van x tot gcmcenscbappclijke asymploot zullen bebben. 8. Bchalvo do voorbccldcn der omgekecrdo van transcendcntale kroinmo lijnen, boven rccds bijgcbragt, zouden ook in aanmerking kun- ncn komen die dcr kromme lijucn, wclke zijti do lijncn der sinussen, dcr cosinusscn cn dcr tangentcn, bcbbende tot omgekcerde de mcde bekcnde krommo lijncn van de cosccantcn, sccauten cn cotangcnlcn. Ecn andcr voorbccld hceft mcu bij de cllipltsche functieen van de ccrslc cn tweede soort. Neemt men gccne polaire, maar regthockige coor- dinaten, — gccft men aan x atlo waardcn, van af nul tot {n, — en construeert mcn (c cen gctal < 1 zijnde) de kromme Itjnen, wetkcr or- dinatcn, voor dezelfdo waardc van x, tot uitdrukking hcbbcn zoo IKKERE SOOBT VaK KnoilMF. LUSM, 181. 23 > «oo tullen de getaltenwaarden dor ilakle-roimten, begrentd door deze kromme lijnen, door de assen ran x en y, en door eenige ordinaal, welke tol de abscis se behoort, de getallenwaarden tijn der elliptiscbc functieSn tan de beide eersle soorten, lusscben de grenzcn x en 0. De eerslc dezcr kronime lijnen zal opwaarts, de tweede neerwaarls gebogen zijn; lij bebben in de as y eeu pont gemeen, ecne cenheid Tan dcn oorsprong afstaande ; — tij kunnen ook, roor grootere waarden van x dau £ t, gedacbt worden tich rcrder uit le strckken, en oit cene aan- eenschakeling ran cindigo lakkcn to bcsUau, op afstanden = door keerpunten of uilspringende puntcn verceuigd, toodanig dal, voor elke kromme in hel bijtonder, dcte takkcn gelyk cn gelijkrormig ziju, roaar beurtelings tegenoTcrgcsteld. Eiudelijk rcrdient nog opmerking hel roorbecld dcr logarilbmische lijn. Hen kan bare acquatie voorslellen door y = Log. x; die dcr om- keerdo logaritbmica tal wezen 1 7 ~ L^Tx Zjj behoort tot eene kromme lijo, welke, eren als de beide pas aan- gewczene, merkwaardig is door de transcendentaJe inlegraal-funclie, tot welkc xy betrekkiog heeft. Die funotie is namclijk de toogenaamde inte- eraal-loearithmus, even aN de rllintiscbc funclieeu. eeno biizondere transcendenle uitmakende. De kromme ljjn bestaat uit twee takken van teer rerscbillend beloop. 