title: Commentatio ad quaestionem astronomicam ; a nobilissimo disciplinarum mathematicarum et physicarum ordine Academie Gandavensis propositam, anno M. DCC. XXII. "Data duurum locorum differentia latudinis et linea loxodro mica, invenire differenentiam longitudinis eorum dem." Quae praemium reportavit die VII Octobris M. DCCC. XXIII.
creator: Verdam, Gideon Jan, 1802-1866
text: '~(1/M- R~ [VCR«-0-VC«-0] + Ul/M+^)[-.^.(^^)) (^V^)] - v^[„* (^v^---<^^v^)]> 59. Nuineris igitur absolvamus banc formulam: est R = 60.*; a = S9rT- a i M = _. „ _ .j.Qofo^ . <f 9 ,. 4_j,o5cS.«r; = ; hinc mvenitur: 00.5 VO^* — O = 4,03881.«; t/( R " — «*) = 7/8115.0; cr g° s t/(R« — «») — t/(R« - «*J = — 3»64«34.«» utdc innotescit: i r,/M - l/ »') [|/(R, _. a a)_<|/rRtf-tf ? )] = -0,059 1075.*.. «CE) 1/rR * " *V - 8,8300809 = tang.Q-^——-^ ); crgo */■_■. = 3»5a'6",6i; h':c arcus mensura ipsius radii eipressus aequivalet ( = ) 0,0675186. (, /f v _ __ a z n -J = 1,4415363; ex quo habemus: (j_±i_ , a „ s q_£=_ y an . _ H .Q__£=_y^ = _ I( . C3 mt _ w sic ctiatn obtincmus : //m f /V(R-.— «M\ . /V( &______ *M\\ VMm^arc. tattg [j-—^ +V~) - *rc. tang. (^- V~ )) = — 1,0:60947./» (K) habemus igitur: ' = (PB^S). « E > + C> - t->) = £^ • (- o, JW ) = — 348885" = 40-*. + c* + 53' + 45". Signum negativum inde oritur, quod coOrdinatarum origo opposita sit origini tercporis, *u cum tcmpus cresctt, ccordinata r diminuitur, ideoque alterum ratione alterius ne- gativum cst. CL RESPONSIO ad QUAESTIOXEM ASTRONOMiCAM. »5 Cl. P o isson invenit t — i\ diebus; diffcrentia igitur est unius diei et dimidit; sed attendendura est , nos adsumsisse spatium, a corpore prima temporis particula percur* sum , =r 1900 metris, cum vero Ille posuerit 5300 raetra. 30, Patuit igitur ex nostro calculo : corpus , c luna projectum , tanta vi , ut primo temporis secundo percurrat 1900 metra, indigere 4 diebus, ad pervenicndum e luna in telluxem, dummodo indirectione de luna ad tellurem projiciatur, neque in suo cursu ex hac directione depellatur , nequc aliquam patiatur resistentiam , velud aeris atmospherici resistentiain , quam , aeque atque poisson, prorsus omisimus. Atque haec babui de problemate proposito , quac solvere poiui ; quae ut ita a viais cla&issjmis postulentur summopere opto; tum enim nil mihi restat in praesend, nisi ut eorum in judicando indulgenriae , etiam atque ctiam commendem hanc scriptiunculam , quam sentio essc levissimara ct nulla laude dignara , si falso opina- tus sim , decalculo Cl. poisson, et si generalis illa solutio, quam instituere tentavi, absolvere autem non potui , imprimis postularetur. 1 i i 1 ■ SYUBOLUM. Dtfui in magnis , ncc tamcn lafar (Ufuit ncc cura. D ' 0 NIEUWE VERHANDELWGEN DER EERSTE KLASSE VAH KOIVINKLIJK-NEDERLANDSCH-INSTITUUT. VERHANDELING OYEI» DE 111 l>l KltOMSCIIE PARADOLOIDE, B 0 0 B C. y. V E R D J u TE AMSTERDAH, BIJ C «. 8 BLPR 1843. Digitized byGoogle B U D R A G t TOT Dl MEETKUNDIGE BESCHOUWIING HYPERBOLISCHE PABABOLOIDE. O00B G. J. FERDAM. $1 f^onra faaandc herinnerinae-n 1. Do kyperboliacke Paraboloide u een opperrlak ran deo (w«- den graad, hetwelk , op meer dan eiae wijie, kao beschreTen of tootI- gcbragt worden, door de beweging eener regte lijn , of door do bewegiDg eener Parabota , of ook door die eeoer Bypcrbola. 2. Laat COD (Jig. 1) eene parabola wexen, bebbendo eeo parameter = p; AO sij de Toorname as, en 0 dc top. Het Tlak deter parabola ■g eco koriwmlaal vlak. Laat COD' eeno tweede parabola weteo , met een paramcter = p' getrokken of geconstroeerd in eeo verticaal vlak, betwelk terens door de aa OAJ Tan de ecrtle parabola gaat, soodanig dat beide de parabolen hetzelfde loppoDt O gcraeen bebbeo, en derxelrer U&STK KLASSK, HIKtJWK TEHH. X DKKL. A *•* 2 C. J. VIRDaM, BUDR46I TOt M MBKTKCftDIGE BKSCUODWIH* assen, hoezecr legcn gejteid gerigt, nogtans op dezelfdo reglo lijn B X gefegen tijn. Wanncer nu <ene dexer parabolen , evenwijdig aan baar oorspronke- lijk vlak, verplaalst Wordt, en dat toortduretid hare as blijve in hel tlak der tweede parabola, en hare top slceds in den omtrek van deze twccde parabola , alsdan zal er, door den omtrek der eersle parabola , een gebo- gen , onbepaald en open opporvlak beschreven worden , en dit oppervlak zal de hyperbolische parabohide wezen. De paraboia, door welke het oppervlak bescbrevcn wordt, hcct beschrijvende lijn; de parabola, laDgs welker orotrek de beweging ran de beschrijvende parabola plaata vindt, heet riglltjn. Hoetecr de parameters dezer parabolen verscbillen , soo ontilaat cr nogUns geene parabololde van eene andere afmeting, wanneer de rigtlijn genomen wordt als beschrijvende lijn, en de beschrijvende lijn als rigtlijn. Ook worden de vlakken der beido parabolen, alleenlijk tot gemak der bcscbouwing, cn tot bepaling der denkbcclden , horison- taal en verticaal voorondersteld ; hct beschreven oppervlak toch kan , noch in afmeting , noch in vorm , veranderen , wanneer de voistrekte stand van beidc die vlakken verandert, indicn slecbts de beirekkelijke stand dezelfde blijft. 3. Dit oppervlak beeft geen middelpunt; hetzelve is open, doch ona/gebroken , en heeft de figuur van twee regthoekig tegen elkander gerigle keclcn of holle oppcrvlakken , bij 0 tegen elkander slnitende en umenloopende. BOA is de voorname as ; 0 de top. De bovengenoemde vlakken der beide parabolen zijn dc twcc voorname middenvtakken. INeemt men dezelve, benevens een derde vlak, gaande door den top O, en iood- rcgt op de beide cerste staande, als codrdinaten-vlakken ; verder XOX', YO Y' en 1 O V als assen van de coordinaten x, y en « , soo ia de ver- gelijking van de byperboliscbe paraboloide P* 1 — f»V + VV* = °» uit welke vergehjking de navolgende bekende eigenschflppet) kunnon af- geleid worden- 4. 4. Elkplatvlak, evenwgdig aan do as O X gerigt, mita nict oven- wgdig aan de atraka nader le bepalen vlakken , — welke de riglvlakken der parabololde gcnoemd worclen , — sal bet opperflak anyden volgcns eene parabola. De rajjdingen, evenwgdig aan de vlakken X O Y eo XOl, sijn , waar ook geaomen , paraboien , niet Terscbillende Tan dc parabolen COD en COD, gelrjk dit ook uit de wording van bet opper- ▼lak voertvloeit (art 2). 6. De doorsnijdingeo , evenwijdig aan bet vlak, YOZ, dat ia lood- rcgt op do Toorname aa BOA, suilen gelijkvormige hypcrboien weieo, bebbende de dubbelde ordinalen der paraboleo COD en C OD' tot ware Toorname asaen. Br ontaUan, op deie wijae, twee atelaels van byperbo- liaebe anijdingen; het eerate atelael ligt aan dese sijde, en het tweede stclsol ligt aan gene sijde van bel vlak YOZ; de rigUngen der lakkcn, en der waro en denkbceldige asaen ran de bypcrfaolen deser beidc stelseJ» xullen tpgcngesleld wczen, of lierer regle bocken makeo , eveo soo als dc bcido parabolcn COD en COD'. G. Hct vlak YOZ ia een vlak , gaande door de lijnen OY cn OZ, welko de raakhjocn xijn der toppeo van de voonmme parabolische uiij- dingeo COD en COD'; hetselve ia alteo bet raakvlak van den lop der parabolotde. Maar betselfde vlak is tevens eea snijvlak; waat het opper- vlak wordt, hv de rigtiog van dit vlak, geaneden volgeos eene byper- bwfa, welker araeo = 0 sijo, dat ia volgens twec rcgte Itjoen MOm, ROn, aan woderaijdcn van dc assen OY eo OZ gelcgcn , en met de- aeJre gefrjke koeken mukendc. Daar nu alle do boveugenoemde hyper- bobscftc snijdingen gehjkvormig tijn , cn dicnsrolgons gclijke hoeken tus- scben derselver assen en asymptoten bebben, soo is bet gemakkelyk om m te «en, dat d*e hoekeo oiet koomm Torschilleo raa de hoeken MOY =r «OY eo HOZ = i»OZ. Daarom sollen de bjnen MO» eo «0« de projttticn wesen, op het vlak Y 0 Z, van de asymplolen der htjper- bonsche doorsnijdingoo, welke aao YOZ evenvrijdig loopen. A 2 De L 4 6. J. VCRDAM, BIJDRA6I TOT OB «UBTBMDIGK BKSCHOOVIBG De vergeljjkingen van die projectien i5n*=r + y/^5_en* = — y ffZ.. V P 7. Denkt mon, door dece Ijjneu en door de Toornamo a» B 0 A, twee vlakkco, alsdan zullen dexo vlakken, ali loodregt slaande op hct vlak YOZ, de projecterende vlakken fan alle de gcuoenido asymptoteo wexen. Zij xullen alle die eveimijdige asymptoten bcvattco, en buiten de Ignen MOm en NOn geenc puntcn met de hyperboliscbe paraboloido gemeen hebben. Dexo vlakkeu worden , in het vervolg , door de benaming vau asympiotische vlakken, onderscheiden. 8. Gelijk het vlak YOZ, — xijnde het raakvlak, dat door den top O gaat , — de parabololde sngdt volgens een stelscl van twee tegengesteld gerigte regte Ijjnen, even coo cal de doorsnijding vau elk ander vlak, rakendo do paraboloide in cenig ander punt van de voorname snijdingen COD en COD' (en dcrhalve loodregt op de vlakken dexer parabolen staande), nit ecn stelsel van twee tegcngcslcld gerigte reglo lijnen be- tiaau. De projectien dexer lgnen, op de vlakken XOY en X 0 Z, xul- loo raakltjnen wexcn tot do parabolen GOD en COD', on dcrcelver projecticn op het vlak YOZ cullen evenwijdig loopen aan do snijdingeo HOm oo NOn der asymptolische vlakkcn, tcrwijl do snijpunten van elke twee dier projectico op de as OY xullen gelegen wecen. 9. Die lijnen celve , dat is alle die regllynige doorsnijdingen cullen daarom, hoexoer in verschillende vlakken gelcgen, evenwijdig loopen aan dc asyinptotUche vlakken. Waaruit'dan voortvloeit, dat de hyperboliiche paraboloide gedacht kan worden ie besiaan uit een stelsel van aanslui- tende regte Itjnen , welke aan een der asymptoiieche vlahkcn evcnwijdig 10. Door elk punt van dit oppervlak kuoneo dan altijd twee regtc lijuen getrokken wordeo, in hel oppervlak xelve gelegen sijnde; de oeno cal evenwijdig loopen aan het eene der nsymptotischo vlakkcn, de twecdo Ijju eveowgdig aan bet tweede asymptotisch vlak. Alle die lgnen maken TAX DE HY PfiRBOLlbCHE I\4HABOLOiOE. 5 stetsels Tan lijnen uil ; meu kan dezclvc ovcreenstemmcnde stelsels , of liever wederkeerige sieiscis noomeu. 11. Uil de vergelijking der paraboloide, verccuigd met die der bo- vengenoemdo snijdende raakvlakken , kan men opmaken, dat gecne twee lijnen van een %elfde slelsel elkander sntjden , dat is niel in hetzclfdc vlak ziju gelegcn , oiaar dat daarlegen atle de lijnen .van een zelfdc stelsel, door elke lijn van ket wederkcet ige stclscl zullen gesneden worden; met andere woorden : Iwee lijnen, de eersle lol het cersto, de tvtecde tot het twecdo slelsel behoorendo, en waar ook genomen, liggcn altijd in een zelfdo vlak , dat nogtans wcderom tal Tcrschillcn Tan het vlak, gaando door twee andere lijnen dcr beide stclscls. 12. ilieruil Tlocit Toort, hocdanig ccne hypcrbolische paraboloido, door de bcweging ccncr regte liju , op twcedcrlei wijze, kan bcschrcvcn wordeu, De staud eencr reglo lijn is namelijk bepaald, wanneer zij twec andere lijnen, niet in een zelfde vlak gclegen zijnde , moct snijden, cn teTens aan eenig gcgercn vlak cvcnwijdig zijn. Men denke nu twec vlakken P en Q, en twco oubepaalde regto lijncn, tn en m\ niet in hetzelfdo Tlak gelegen zijndc, maar beido eveuwijdig aan ccn der Tlakken P of Q, b. t. aan hct Tlak Q; indien dan eene derdo regle liju n oTer do twee eerste m en m' zoodanig bewogen wordt, dat zij voorldurend evenwijdig blijve aan het andere Tlak P, zal er een gebogen oppervlak ontstaan. Neemt men twee der lijnen, — hoedanige de Ijjn n eene is, — vvelke ovenwijdig aan hct vlak P zijn gelrokken of geconslrueerd , en beweegt men, over dezelve, eene dcr lijuun m of m , zoodat zg Toort- durend eTenwijdig blijvo aan het vlak Q, alsdan onUlaat er eveneens een gebogen oppervlak. Beide deze oppervlakken zullen uiet van elkander onderscheiden wezeu ; op eeoe der Toormelde wijien wordl dan het telfde opperTlak geboren , en dit oppervlak zal eene kyperboliseke paraboloide ziin , wclker asiimlotisr/te vlakken evenwiitlii? loovcn aan de vlakken P en Q. Deze vlakken dragen den naam van rigtviakken , en zij knnnen A 3 we- 6 0. J. VMDAM, DUDtUGE TOT I)K BEETtU\DfGE MSCH0CWI50 wedcrom door do benaming van wederheerigc rigtvlakhen onderschoiden worden. De bewegende lijn, welko roortdurend aan een deier rJakkeo erenwgdig blijft, heet besckrijvende lijn; de bcide bjnen, otw welke sij bewogen wordt , tijn rigtlijntn. 13. Men tegt, dat eene byperboliscbe paraboloide bepaald u, wan- neer twet rigtlijnen en 4en rigtvlak gcgevcn rijn; want do beschrijveade lrjneu , OTer deze rigtlijnen gclrokken, toodat uj alle ercnwijdig zijn aaa het riglvlak, xnllen geen ander opporvlak dao het pas genoemdc kannen foraieren. Twee zoodanige beschrijvende lijnen als rigttijnen aangcnomen tijnde, en het vlak , aan hetwelk de beide oorsprookelijke rigtJijnen evcnvrijdig loopen, als rigtviak, too ontstaat, met deie gcgeveni, het- zelfde oppcrvlak. Beido dcte wederkeerige stetseh van bescbrijvende lijnen , tijn klaarblijkelijk de slelsels, welke in arl. 10 beteckend lijn. 14. Maar in plaats van twee rigllijnon te ncmen en een rigtvlak, kan men zich ook bepalcn tot drie rigttijnen , mits deze aan een wet/de vlak (dat in het eerste goval het rigtvlak tou weten) evenwijdig loopen. Want vermils eenige beschrijvende lijn van een der slclscls alle do lijncn van het wcderkeerige slclsel moct snijden (II), toe tullen drie Irjncn van dit stelsel moeten gesneden worden door alio de beschrijvende lijnen van het eerste sldsel. Dete drio lijncn no loopeo erenwijdig aan eeo der asymploliscbe rlakken , derhalve evcnwijdig aan een telfde vlak ; en tct- mita de stand eener lijn , welkc drie andere lijncn (io Terscfaillendc vlak- ken gelegcn) swjdt, ten vollen bepaald is; too moeten «Ilo de lijnen, door de dric pasgenocmdo gaando, ovcrccnkomcn mct dc beschrijrendo Irjnen cener parabolotdc , zondcr dat de overweging van een rigtvlak in aanracrking bchoeft te komen. 15. Uit bet eene en andero besluit men ook , dat kyperbolische Parabotoide beboort tot do iiegelvlakken , en wel tot de tekeele Hegel- viakken , gebjk ijj daarom meermalen een sckeet vlak genocmd nordt ; ook wel Conoide van den tweeden graad. De eltiptiscke of (men tou knnnen seggen) ienvtakkige ffyperMoide i» mede eeo regelrlak, doch gee- i VAS D* BTPKfl BOLISCllf PARABOiOiDK. 1 geena Conotde; bettelte is eeo scheet rhk met drie willekeurige rigtlynen ; de Paraboloide u een «cAeW «fe* wrf rigUijmn eo een rigtvlah; beide deze opperrlakken hebbcn ovcreenkomst , en het ecrsic gaat orer in bet tweede, zoodra de rigiiijnen niet meer willekeu- rig gclcgen tijn, maar alle aan een zclfdc tlak etenwijdig loopen. 16. De Paraboloide, bier bedoeld , heeft dan eok, oIm scheei re— gelvlak, de eigenschap, dat elk rlak , gaande door eenige beschrijtende fijn , hct oppertlak nog zal sngden tolgens eene twcede regte Ujn. Dexe ul eene otcrccnkomstigc of wederkeerige beschrijtende lijn zyn ; beide zollen elkander in 6en pont sbijden , en dit punt zal bet punt zijn , in hetwelk de parabololde aangeraakt wordl door bet platte snijdende rlak. Het opnoemen van de oterige eigenscbappen en tan andere bjjzon- derheden, belrekkelijk de hyperbolitche Paraboloide, Ijgt builen het doel deier herinneringcn , welke de sleller gemcend hecf t , to moeten lalen tooraf gaan, om teohnldigo aanbalingcn, of terwijzingen tot gescbrifteo orer de Onlbindende en Beschrijvende A/eetAunsl , te vermijden. $ 2. Gewone construciie der Hyperbolitche Paraboioide. 1. Op de boten vermeldo eigenscbappen en bcginselen berusteo, in de beschrijrende Hfeetkunst, de constructie der hyperboiitche Para- boiotde, de oplossingen der preWeraata belrekkelrjk dil scheeie regeiviah, en ook het onderzoek tan deszelfs oterige cigonscbappen. Laten A D en C D [Jig. 2) twoe regte Ijgoeo zyn , in tersctiillendc tlakken gelegen, en lalen itj wmen de rigtlijncn concr hyperbolische Pa- 8 ©. J. VBRJUV, BIJDRiCB TOT OE ME£TKOVDICB BBaCHOUWI.VC Paraboloide, Ovcr detelvo moet ceno derde Ign AC toodanig bcwogen wordcn, dat dete voortdurend evenwijdjg blijve aan teker gegeren vlak. Hoedanig de stand van dit rlok aij, men denke, evenwijdig aan heUelvo, twee rlakkcn, gaande door twce willekeurigo punlcn A en B van dc lijn AB. Laten G on D dc doorsnijdingen sijn van dcte rlakken met de andero lijn C D. Vcrcenigendo alsdan do puntcn A en C, B en D, too sijn AC on BD twco beschrijvcndc lijncn ron de gcdachto paraboloide, en ABDC *al een toogcnoamdo sckcele vierkoek wctcn, wclks aongren- tende tijdcn , twee aan twee , in ccn telfde rlak, doch wclka ovcrstaande tijden in rcrscbillende vlakken tjjn gclegcn. 2. Hct rlak ran hot papicr tij hct rlak dcr lijncn AB, BD. In dil rlak trckke mcn AE cn Dfi ercnwijdig aan BD cn AB; daarna de Ign CE; alsdan is CAE cen rlak, oan hctwclk BD crcnwijdig loopt, cn dit rlak zal dcrbalvo crcnwijdig loopcn aan hct rigtvlak dcr parabololde, of ook selvc als rigtvlak kunncn aangemcrkt wordcn. 3. Ncmcndo in de rigtlijn AB ergcna een punt F , — trekkende , in bet vlak ABDE, ecne lijn FG erenwijdig aan BD, — verdcr nit G, in hct vlak CED, dc lijn GH ercnwtjdig aan CE, cn rerccnigende F mct H, zoo is FH ccne anderc bcschrijvcndo lijn dcr paraboloide, rermita het vlak FHG cvenwijdig is aan hct vlak CEA. Op dcrelfdo wijto conslruccrt mcn toorcle beschrij vcndo lijnen als noodig is, om hct beloop der schcelc oppcrvlakto voor te atellcn , cn hct tclfdo beginscl dient ook voor het gcval , als mcn tich van twce rcglhockigo projcclic-vlakkcn bedient. 4. Oradat alle paren van lijncn, welke, in do ruimto, getrokken sijn, door cvcnwijdigo vlakkcn gesnedcn wordcn in evcnrcdigo doelen, tol men hcbben A B : B F = CD : nD, of AF : BF = CH : DH. Dcrhalvo zullen de rigtlijnen eoncr hypcrbolischo paraboloido , door de opvo/gende besckrtjvcnde lijnen , stecds in evenrcdige stukken of deelen verdeeld worden. Omgekcerd tal cr, wannccr men op tweo Iijticn AB en C D , welke niet in een telfdo vlak gelegcn tijn , punten neomt , welke TAS DE HIPERBOLISCHg PARlBOLOiDE. 9 deze lijoen in onderliag evenredige deelen verdeelen, en dat men, door de overeenstemmende puoleo, lijnen trekt, door deze laalste een scheel vlak gevormd wordeu, en dit regelflak zal eene Hyperbolische Parabo- loidc wezen. De gcwone, roeer geschikle, conitruclie der byperbolische paraboloide vrordt bieruit afgeleid. 5. De pasgenoemde lrjnen Tormen ccn siclsel Tan bcschrijTende ljj- nen. Neemt men Iwee Tan dczelve , b. t. AC en BD, laat men, door eenig -pnnt I, een vlak ILK gaan, evcnwijdig aan bet Tlak GED, aan hetwelk ook AB evenwijdig loopt, en vereenigt men 1 met bet punt K , in hetwelk genoemd Tlak door de lijn BD geaneden wordt, alsdnn bcwtjst rnen gemakkelijk , dat de snijding PM der Tlakken IKL en FGH eTen- wijdig zal lijn aan do snijding CB der vlakken CBD en ACE, en dat de lijnen FH en IK eJkander in een punt P zollen snijden. Ook hier worden, AC en BD, in de ponten I en K evenrcdtglijk gedeeld, zoodal, als A C en B D aangemerkt worden als rigllijnen , I K eene beschrijvende tijn der ht/perbolische paraboloide zal wezen , en deze , volgens hclgeen in S 1 " oolwikkeld, niet onderscheid en sijnde Tan de paraboloide, welke A B en C D tot rigtljjoeD beeft , zoo moet I K &ne der wederkeerige beschrijvende lijnen zijn. 6. De hyperbolische parabololde wot%t derhalve §evormd door een der stelsels van regte lijnen , welke twee overstaonde %ijden eens scbec- len vierhoeks in evenredige deelen vtrdeeien. Do vier punlen F, K, H, L in welke de vier sgden van dezen vierboek door eenige hjn van het eerste stelsel, en door eene andere Tan hel tweede slelsel, gesneden wor- den, Jiggen altijd in een zelfde vlak , cn die lijnen telve nioelen clkan- der in een pnnt P snijdeo. EERsTg KLAS8B , fllEUwR VERH. X DEEL. B $3. 10 G. J. VKRIU3I, BUDJUGE TOT DB MHTEtXOlGB Ii£SCIIOC.V.K<; S 3. Conttructie der hype rbol ische paraboloide by eene meer algemecne br- 1. Gewoonlijk verbecldl rucn tich dcn schcelcn vierhoek soo als in fig. 2 is voorgesteld. Doch men kan de taak algemeener beschouwen, en uit die beschouwing cenigo gevolgcn aflcidan, wclke tot dasverre niet schijncn opgemerkt te sijn. Want indien men een «cheelen vicrhoek be- paalt, als te beslaan nit vier lijoen, elkander, twee aan twee, snjjdende, ^en vercenigende vier pnntcn , welke niet in hetselfde vlak gelegen xb> , alsdan is de orde deter «ereeniging gcheel willekenrig. De rier pnnten o, b, c, d sjjnde, tal men , op de gewone vrijte, a met 6, 6 met e, c met d , d met a vercenigen ; doch men kan ook a met 6 vereenigen , 6 met d, d met c, c met a, of a met c, c met b, b met d, d met a ; in alles heeft men aladan 4 (4—1): 2 = 2-3 = 6 lijnen, welke, in de projectie op ccnig vlak , overeemtemmen met de vier tijdcn en dc twce diagonalen van een vlakken vierhoek , of met dc prqjectien der 6 ribben van eene driehoekige pyramide, welker 4 boekpnnten met de 4 gegevene ponten iustemmen. 2. Op eene der pasgenoemde vrijsen wordt nn de schecle rierboek Toorgesteld door ABDG [fig. 8), soodat, rergelcken met den vierhoek vau fig. 2 , de tijden AC on BD hicr tijn, hetgeen, bg de gewone toor- stelling, diagonalcn schijnen. In bet wesen der saak toch heeft een scheele vicrhoek geene diagmalen; wil men echter dezo bcnanoing niet Terwerpcn, aladan sollen, bij de Toorstelling fig. 3, de lijnenADen BC diagonalen moelen heelen , welke in fig. 2 als ztjden beachoowd worden. 3. ■ TA«f DE nYPEnBOLIsOHE I'AIU1H)LUIDE. 11 3. Om na eTenwel, door de cvenrcdigo verdeeling van Iwee over- slaande rijden , de paraboloTde te construercn , moelen de deelpunten van AB en CD in tegengestelde rigtingen gerekend wordon. Want AB en CD de rigllijnen tijndc, mllen A C en BD twee beschrijvende lijnen zijn, en opdat de besclirijvcnde lijn AC, nit den stand AC kome in dcn stand BD, moet hare beweging klaarblijkelijk zoodanig plaaU hebben , dat, terwijl het bovendecl of borcneinde A Toorlgaat Tan A uaar B, Tan de linker- naar de regler-zijde , hct bcnedcn-dcel of benedcn cinde C terug gaat Tan C naar D, Tan de regter- naar dc linker-iijde. 4. Men vcrdccle b.v. A B en DC (Jig. 4), elk in 10 geltjke deelen, dooh in tegengeslelde rigtingen, en rcreenige de overeenkomstige deel- panten, ioo verkrijgt raen de voorstelling der paraboloide. En wanneer AB en CD, op het vlak Tan het papier, de projcclico der rigilijncn yoorstellen, zullcn do bcschrijvende lijncn , mcdc in projcclio voorgcslcld, raaklijncn tgn ecncr parabola B XYC, de projcctio ignde Tan eenc der corvtx-concave itjden der ktfperboiische paraboloidc. Deze conslroctie der parabola B XYC, wclke een ootniddelijk gevolg is van de constructie dcr hyperbolisclie paraboloiilo , is otcrigcns van elders bckcnd. 5. Men kan ook de voorgestelde wording en constroctie der para- bololde volgen als de meest gcschikle, om zich van bcl ware beloopde- ser oppcrTlakte ecn jaist denkbceld te vormen , helzrj door mjddel van gcspannen draden , hcttij door niiddel van eene horitontale en verlicale projectie op twce projcclie-vlakken. Men denko, tot dat einde, door elkc rigtlijn eon der projeclicvlak- kcn , of neine detelve willekcurig , zoodat de ecroto A B (J!g. 5) liggo in hel verlicale rlak, de twcede CD in bct horiiontale vlak. Ncemt men bovendien den stand on de leogte dctcr lijnen iti dier vocge, dat de projectic-a» OX door de bcidc cindpunton A en C ga (waardoor bet gedeelte AC deter as eene diagonaallijn en ecne bcschrgvcnde lijn van den scbeclen vicrhock ABDC wordl), cn dat dc perpendicalairen , oit A en C op OX getrokken, door dc etndpuntcn D en B loopon, alsdan B 2 is 12 Q. J. VBRDAM, BIJDftAGfi TOT OB MEETKCBDIQE BESCHOUWUG i* de coostruclie der paraboloide allerecnroudigst. Want meo terdeele AC, en daardoor ook AB en CD, in een seker aantal gelijke deolen, neme detelre op DC en CA, op BA en AC, in eeno omgckcerde ordo, en rereenige <io gelijknamige deelpuntcn Tan DC en CA, cn van BA en AC, door Ignen. Deie lgnen zullen de projectien weten der be- schrijvende Iijuen van de paraboioide t en wanneer men de figuur getee- kend liadde op twee regthoekige vlakken , alsdan zou men slechta de gelijknamige deelpunten van AB en CD, door gcspannen draden, be- hoeven te vereenigen, om die beschrijvende lijnen zelve voor te atellen, en met detelve levens de juiste configuratie van het scheele vlak , welks beide tegengcslclde convtx-concave zijden , door de beido projectign (fig. 5) volkomen ziglbaar aijn. Bij het volgen der constructie, verklaard iu § 2 (fig. 2), is aulks allijd het geval niet, omdat men, door dezelve, veeltijds slechts een klein gedeelle van het oppervlak eener paraboloide van grootcre afmeling kan Toorstellcn; ten minsten lal dit gcdeelle dik- wgls klein rijn tn vergelgking van dat, tot betwelk de nu verklaarde conslructie kan uitgestrekt worden. 6. Ora de beschrijvendc lijncn van hel wcdcrkeerige tlelsel te con- strneren {fig, 3) , moet men twee der beechrijvende lgnen van het eerste stclsel nemen als rigtltjnen (§ 1, art. 12), b. v. de zgdcn AC en BD van den scheelen vierhock. Maar nu moel men do evenrcdigo dcclcn op dete lgnen wederom in detelfde rigtiog nemen , dat is van A naar C en ran B naar D, omdat AB en CD telve beschrijvendo lijnen van dit tweede stelsel tgn. 7. Alle de lgnen van een der beide stelsels moeten evenwgdig loo- pen aan een zelfde vlak ($ 1, art. 12), het rigtvtak der parabolotde tgode. Voor de Ignen van het eerste atelte), hebbende AB en CD tot rigtltjnen , tal het rigtvlak b. v. een vlak tijo , gaande door B D , « evenwijdig loopende aan A C. Nn ligt A C in het vlak der lijnen A B en BC; trekkende altoo in dit vlak (dat gedacht kan vfordcn het vlak des papiers te zijn, boven hetwelk dan de lijnon AD, BD, CD tich oit- strek- VAM DK UrPEBBOUSCflB PitUEOLOlDI. 13 strekken) , door bot punt B, de hjn XBY, evenwijdig aan AG, eoo i» hot vlak XY...DB evenwijdig aan het rigtvlak , en kan ook self als rigtvlak aangemerkt worden. XY sal de doorsngding Tan dit rigtvlak ruet het vlak des papiers weien. 8. Het rigtvlak der beschrgvende lgnen van het tweede stelsel raoet een vlak weien, evenwgdig loopende aan AB en CD. Trekkende daar- om, in het vlak ABG, door het punt C, eene lijn ZCY, evenwijdig aan AB, alsdan sal het vlak der lijnen CD...ZY evenwijdig loopen aan bet begeerde rigtvlak, of dat rigtvlak selve syn. ZY sal de snijdtng van dit vlak met dat van hct papicr wesen ; dese snyding heeft, met de snijding XY van bet eersle of wederkeerige riglvlak, het punt Y gemcen, bovendien snyden BD en CD elkander in D; derfaalve sgo Y en D tweo punten, tot elk der vlakken behooreode; daarom sal DY de Toorstelling wesen van de sngding der beide rigtvlakken, en aan dese hjn DY moet do voornarao as dcr par&bololde evenwgdig loopen ($ 1, art. 7 en 12). 9. Door deze constructio , welker uitvocring op twee projectie-vlak- ken zeer eenvoudig i$ , lecrt roen dan de stelling der rigtvlakkcn, en do eventoijdige riqtinq dcr voorname as van do hypcrbolischo paraboloide kennen , wauuoer daartoo twee rigllgnen cn twco beschrijvende lijnen, dat is tweo bescbrijvonde lijnen van elk der stelsels, gegeven sijn. (In fig. 2 is CE de pas goooerade rigtina.) Constt uctie van ket toppunt , van de voorname a$, en van de eener hyperbolitcke paraboloide. 1. Volgens het ontwikkelde io $ 3 kan men de rigtvlakken B 3 hy 14 €. J. YEBDAM, BUDIIAGB TOT DB MEETECKDIGE I1ESCH00WIW6 hjperbolische paraboloide construeren, wauneer twee iler beschrijrende lijnen van do beide slehels van beschrjjrende lijnen gogeren zijo, of wef, indien men een der scheele rierhoeken kent , welke , in het oppcrrlak der parabololde , door de rereeniging ran twee beschrijvende lijnen met dorzelrcr wedcrkeerige ontstaan. Daar nu het raakvlak ran den top der paraboloide loodregt staat op de voornamo as ($ 1, art. 6), en deze laatste erenwijdig loopt aan de snijding der beide rigtrlakken, tal elk rlak, loodregt door deze snrjding gaande, evenwijdig aan genocmd raakvlak loopen. Dit raakrlak berat do snijdingen der asy mptolische vlakken (ibid, art. 6 en 7) , en deze snijdingen moeten daarom erenwij- dig loopen aan de «nijdingen der beide rigtrlakken met het soo eren gcnoemde loodregte vlak. Kan mcn nu de beschrijvende Hjnen constru- cren, welke erenwijdig aan deze snijdingen loopen, abdan zullen deze noodwendig orereenstemmen met de snijdingen ran de asymplotischc vlakken en ran hel raakvlak , gaando door den top. Het vlak dier bo- achrgrende lynen zal derbalre van dit raakvlak niet ooderscheiden we- zen; derzelrer doorsnrjdingspunt tal bet toppunt der paraboloTde zijn, en de roorname as is de lijn, door dit toppunt, evcnwijdig aan do gomeen- scbappelijke doorsnijdiug der beide rigtvlakken getrokken. 2. De constructie ran cen rlak, loodregt door eene lijn gaande, is niterst gemakkelijk, Hen denke zoodanig vlak , gaande b. v. door bet punl B (Jig. 3) en loodrogt slaande op do gemeene doorsnede DY vao de beide rigtvlakken. Lalcn BIH en M N de snijdingon ran dit perpen- diculaire rlak met do beido riglvlakken zijn , alsdan zyn deze de Hjncn, aan welke de beschrijvende lijnen , gaande door den top der paraboloide, erenwijdig moeton loopen. 3. Om deselvo te conslruercn, zoo bodenke men, dat, ten opzigte van het rigtvlak XY...BD, de rigllijnen ran do paraboloide syo A*B en GD, en dat tnen BD en AC als rigllynen moet aanmerken f indien men het vlak Z Y . . . C D als rigtvlak beschouwt. Om dan de beschrij vende lijn te comtrueren , gaande over A B en C D , en cvenwijdig loo- YAS DK nrPUOVUSCOK PARABOLOIDE. 15 peudc aon BM, zoo denke mcn, door A B en BH, eea vlak; bclielve «al de rigllgn CD in een pont P snijden , en PQ, in hel vlak ABMP, evenwgdig aan B M gctrokken , sal do boschrijvende lijn zgn , welke cveowijdig aan BM loopt. Omdat ZY evenwijdig is aan AB, sal de Ign MP, volgens welke bet rigtvlak DYCZ gesneden wordt door bet vlak ABMP, evenwijdig loopen aan ZY en AB; hierdoor wordt de bepaling van bet pout P seer gemakkelijk. Trekkende vervolgens, door C, eene lyn Cm, evcnwijdig aan de snijding NM (en alsoo gelegen in hot vlak DYCZ), daarna, in bet rigtvlak DBY, de lijn mR ovenwgdig aan B Y , en door bet snijpunt R dexer lijn met de rigtlijn B D , eene lgu RS, in bet vlak ACwR, en evenwgdig aao MN of Cm, alsdan is R 8 die beschrijvende lijn van het wederkcerige slelsel , welke erennijdig aan de snijding MN loopt. De lijnen PQ en RS liggen nu in het raakvlak van den top der paraboFoTde; >ij sntjden elkander in het pont T; dit punt xat hel toppunt der paraboloide weten; TU, ovenwgdig aan DY, door bet punt T getrokkeo, tal de voomame a* lijn. Het sal , in § 7, blijken, dat do rigting TU, on gevolgelijk ook de snijding derriglvlak- ken , erenvrijdig loopt aan de regle lijn , welko het nridden yan A D met bet midden vau B C rereeoigt. (1) 4. (I) Men iou kunnen vragen of de lijnen P Q en RS niet jultt Invlelen met de korute •Mtenden van de OTentaende rigtHjnen AB, CDenAC.BD. Dit ken elleenlQk den pltaU hebben, wenneer de rigtvlekken toereliig of voorweaxdnujk evenwydig ean die kortete afttanden loopeo. Dit i» b.T. bet ge?al , winneer een der rigulakken loodregt op eeoe der rigtlijnen tuai ; altdan ttaat het wederkeerige rigUlek ook loodregl op het eertte, en da paraboloidc ttl weieo eeoe toogcnaamdo rtgtt tonoidt van den tvcttdtn graad ; de beide parameteri p en p' Tan toodanige paraboloide tijn eren grool of gelijk , en de atjmptoti- tche Tlekken meken, met de voorname middenTlakken , hoeken van 44°. Oetielfde heeti nog pltau , en er wordt eveaeem eene rtgtt conold* gevermd , wenneer men twt« rigt- neemt *«* g.lijkt Itngt*, mtt dtrsthw middm rtgtkotkig mr tikindtr Kg- gtndt. 16 0. J. VERDAM, KUDHAfll TOT DE MEETKU.NDIGE BESOflOrj Wrilfl 4, Er blgft nog OTerig om de parameters , dat is de afmetiog der parabololde, te COOJtrueren. Vermits de lgnea PQ ea RS, door dc conatructie Tan het loppant ea der Toorname as rerkregen , OTereenstemmen mct de lijnen ; wclkc, in fig. 1, tijn aangewczcn door HOm en NOn, ioo ii het duidelijl dat, constraereode een riak, gaande door TU, en deelende den hoek QTR (het aupplement Tao don hock BMN der riglflakken) midden door, dit Tlak een der Toornamo middeoTlakkeo der parebolofde sal moelen tjjn. Het tweede Toorname middenTlak deelt den boek RTP of QT8 midden door, of wordt verkregen, door op het eerslo vlak een •perpcndiculair Tlak te atelien, dat teven* door TU gaaL De constructie dezer middcnTlakken , door do bulpmiddelcn dcr beschrijvcnde Meotkunsl , houdt gceno moeite in. Daar nu , in het Tlak der Ignen P Q en R S , de Tergelijking Tan detelve , teo opzigte der regthoekige assea, welke dertelTer hoeken midden door deelea, is . = 9 r t p ($ 1, art. 6), — eo de coemcient Tan y teTens moet OTereeokomeo met de trigoncmetrische tamjens van den hoek , tusschen do as van y cn de onder en boTen detelve liggende lijnen, — en verder nog die hoek gebjk is aan de heift des bocks, wclko genoemdo lijncn maken, dat is = ^ hoek QTR, zoo heeft men de gelijkheid Tang I QTR =r f £. P 5. Hen construere derbalve den hoek BMN, welke de beide rigt- Tlakken met elkander maken, en neme de helft van deatelfs sopplement. Zij BAC {fy. 6) dat halve supplement;- — neem AB willekeurig, BC loodregt op AB, en BD loodregt AC, too is de Terhoodiog tosscben de segmeoteo CD eo AD gelrjk aan de verboudiog, toascben BC en AB*. • * dat is gelijk aao Tang* BAC = tang> | QTR (io fig. Z) = t = de V rer- * TAM DB BTPBRBOLISCHE PARABOLOtDE. 17 verhouding tutschen de parameters van de paraboloide. Men vindl, soodoende, de betrekkelijke afmeting van do paraboloide. 6. Om de ToUtrekte afmeting te weten , bepale men de doorsnijding tan een der in art. 4 geconstracerde midden?lakken met eene der bc- schrijvcndo lijnen , b. v. (fig, 8) de dooranijding Tan AG niet het mid- denviak, dat den hoek QTR midden door deelt. Men rabattere dit mid- denvlak op het horitontale projeclie-vlak. In hetsclve heeft men nn de as TU, den top T, cn een pont (namelijk het bepaalde doorsmjdingspunt met AC) der OTereenkomttige Toorname paraboliacbe snijding; weshalvo de parameler p Tan dese parabola onmiddelgk sal kunnen gecoostrueerd worden. De parameter p wordt door de Terhouding AD : CD (fig. 6)" bekend, of door eeno herhaling van dcielfde constructie op het midden- vfck, betwelk den hoek Q TS (fig. 3) midden door deelt. — — . mm— Beschouwint? der twee varaho/oiden tuelke onts/aan door de onafuo* brokene beweging eener regte lijn over de vier xijden van 1. Bebalve den scheelen Tierhock ABDCA (_fig> 3), welks zijden sijn de lijnen AB, CD, AC en BD, kan men nog in aaomerking nemcn de beide vierboeken ADBCA en ABCD, hebbende tot sgden de lijnen AD, BC, AC, BD en AB, BC, CD, DA. Men TMtige hier de aan- dacht op den corsten deter vierboeken, dat is op den vierhoek ADBCA. Neemt roen aan, dat dc orerstaande sgden AD cn BC rigtlgnen eener hyperbolische paraboloide sollen wesen, soo moet AC of BD, b.v. BD, de beachrijvende lijn sijn, en deie rooct van B noar C en van D naar A bcwogen worden. Yan de paraboloido, op dete wrjte beschreven, tullen ekrsts klasse, mrcwk verh. X DKBL. C dan 18 G. J. VJJRDAM, BIJDRAGE TOT DK UUTKUIfDIGE BESCHOUWIHG dan AC cn BD tweo beschrijvende lijnen sijn; maar de parabololde , hebbende AB en CD tot rigtlijnen (en welke in de voorgaando §§ bc- schoowd 1*8) becft ook diezelfde lynen AC en BD tot bescbrijvende lijnen ; derhalve zulu i deze parabolotden elkander vofgcns de twee tijnen AC cn BD snijden. Hct vlak, aan hetwelk de beschrijvende lijnen AC en BD evenwijdig loopen, sal hel gemeenschappelijke rigtviak der beide paraboloidcn sijn. 2. Maar dete oppervlakken sullen clkandcr nog volgena eene derde regte lijn angden , en deze sal wezen de lijn , welhe het middcn van AC tnet het midden van BD vereenigt. Want van de parabololde, beb- 'bende AD en BC tot rigtlijnen, worden de wcderkeerige beschrijvende lijoen geconstraeerd , door AC en BD als rigllijuen aan (c nemen, en lot rigtvlak het vlak , aan hetnelk A D en BC evenvrgdig loopen. De 0Tcnrc<lige declen op dese rigtlijnen moelen gcnomen wordcn van A uaar C en van D naar B, of van B naar D en van C naar A. Van de^ cerst beschouwde paraboloide werden de wederkeerige beschrijvende Ijjnen ge- conalrneerd, door deielfde Ignen AC en BD als rigtlgnen aan te nemen, en tot rigtvlak hel vlak , aan betwelk A B en C D evenwjjdig loopcn , tervrijl de overeenkomsuge deelpunten genomen werden van A naar C cn van B naar D. De beide paraboloiden bebben derbalve, volgens de eerste wijse van wordiog (art. 1), vertchillende rigtlijnen AB, CD en AD, BC, en een zelfde rigtviaA, doch , volgena de wederkccrige be* schrijving, vtrschillende rigtvtakhen en dexelfde rigttijnen AC, BD. Hen sou dezelve overeenslemmende , %amengevoegde paraboloiden kunncn noemen. Verdeelt men nu AC en BD elke in n gelijkc deelen (n even en scer groot sijnde), soo is het duidclijk, dat wanneer men AB als bescbrijvende Ijjn laat voorlgaan orer de rigtlijnen AC en BD, en verder ook BC, als beschrijvende lijn, ovcr desclfde rigllijnen, elke dexe lynen A B en BC wel een verschillend oppervlak sullen beschrjjven, maar toch ergens in den stand sullen moeten komen , ju welken sij deselfde over- eenkomstige deelpunten ran A C en B D vereenigen. Die overcenkomshgc deel- VA«f OE iniMSKBOLISCHB PARAliOLOiUE. 19 deelpuuten kaonea geeae andero wezen dao de |n« deelpunten, wclke tevens de middoopanten van AC en BD sgn. De lijn derhalve, welke het midden van AC vereenigt met bet middeo van BD is eene beschrij- veode Iijn , zoowe) van de eerste als Yan de tweedc paraboloide, en alsoo eene derde itjn, volgens welke die beide paraboloiden elkander sntjden. 3. Meo kan het ontwikkelde io art. I en 2 op de navolgcnde wjjze oildrukkeo. Laat ABGD (fig. 3) eou scbeelo vjcrbock zgn. Over des- zelfs overstaaode zijden AB eo CD late men eene regle Ijjn AC, vao A oaar B, en vao C oaar D, zoodaoig bewegea, dat zg vao AB eo CD evenredige deeleo afsnijdt. Waooeer nu de bewegiog dczer lijn, oadat sg in den staod BD gekomcn is t op dezelfdo wgze voorlduurt over de legcnoverstaandc zijden AD eo BC, totdat zij gekomcn is io den staod CA, overeenkomende met den oorspronkelgkeo staod AC, alsdan worden er twee verscbillendo byperbobache paraboloidcn gevormd of voortgebragt, welke een gemeenschajipelijk rigtvlak zollen hebben, of, ten aanzien ?an denelver wederkeerige beschrgveode lgneo, twee gemeensehappelijke rigUijnen ; eo deze paraboloideo tulleo elkander volgens drie regte lijoeo snijden. Twee dezer lijnen %ullen beschrijvende Igoeo van het eerste stehel wezen en ievens diagonaleo van den scheelen vierkoek ; de derde lijn %al tot het tweede stelsel moelen behooren , en nij %al de lijn we- %en, welke door het roidden der diagonaleo van den vierhoek gqat. 4. Besehouwt meo de beide oppervlakken als begrcnsd (usscbeo de vier ztjden vao den scheelen vicrhoek en tusschen de beide auylijnen AC eo BD, alsdao kan meo dezelve (ingevolge de ooafgcbrokeoe bewc- ging der bescbrijvende lgo AG) aaomerken als deelen van een eokel oppervlak, volgens de lijoen AC, D D, eveo als volgcns twce keerlijnen, aan eo tegeo elkander sluitende. 5. Do uitgedrukte cigenschap is niet beperkt tot het geval der be- schouwing van een bepaalden scheeleo vierboek ; sy is algemeen. En rnen kan in de daad gemakkelrjk intien, dat iwee hy perboliscbe para- C 2 bo- 20 6. 1. TKRDAH, BIJDRAGE TOT DE HUTKUNDI6E BK8CH0CWIffG bololden, welke dcielfde rigttijnen maar onderscheidene rigtvlakken bebben , clkander , behalve vofgens die rigllijnen , ook nog volgens eene derda lijn zullrn mocten snijden, en de wederkeorige bcscbrijrcndc Jijnen deier paraboloiMen zullen ccn gemeenschappelijk rigtvlak bobbon. 6. Ecne paraboloidc , hcbbendo twec rogto lijnen a en b tot rigt- Ignen en een plat vlak P tot rigtvlak, tal derhalve met eene andere paraboloide, hebbende mede a en 6 tot rigtlijnen, maar een andere vlak F' tot rigtvlak, eeoe beschrijTende Ign gemeen moeten hebben. Eeoe derde paraboloido, hebbende een riglvlak P ", maar wederom dezelfde rigtlgnen a en A, zal ook met de eerste paraboloide ecno bescbrijvende lijn gemeen hebben, en dexo beschrijvende lijn tal noodwendig moeten verschillen van die, welke aan de beide eerste paraboloiden gemeen is. Zoo roort rcdencrende komt mcn tot do gcvolgtrckking , dat clke bcscbrij- vende Ign van de eerste parabololde tal konnen aangemerkt worden als eene der bcschrijrende lijnen eener andere paraboloide, welke met de cerste deselfde rigtlguen gemeen heeft. Derhalve tallen ook de oaeindig vele paraboloiden , welke door twee regte Ignen gaan, met iem van dezelve eene beschrgvende lijn gcmecn hebben; nogtans merke men die iene paraboloide niet aan als de enveloppe of het omwikkclend oppervlak van allo de ovcrige, wanl er heeft geene aanraking , maar wel snjdtng van oppervlakken plaats. 7. »Er is geene beschrjjvende lijn van de paraboloule, hebbende AB en GD tot rigtlijnen, welke niet gesneden wordt door eenige be- schrgvendo Ign van de paraboloide, hebbende 1D en BC lot rigtlgnen. Want beide de parabololden hebbeo de wederkeerigc bcscbrijvende lijn , gaande door het midden van AC en BD. Door elk punt deter lijn kan, in elke paraboloide, eene beschrgvende lijn van het eerste stelsel ge- trokkon worden. GoToIgelijk snijden die twee betchrijrende Ignen elkan- der in gcnocmd punt , en de gemeenschappelijke toeder kccrige beschrij- vende lijn is derhalve de plaats Tan do smjpuntcn der beschrijvende lijnen van het eerste stelsel der eersle paraboloide, ntet eenige overeen- kom- VA.S OK HTPKRBOUSCUB PA&4BOLoiD£. 21 komslige beschnjvende lijn van het eerste stelsel der twecJe parabolokle- 8. De vraag is nu , welke, of waar ziju die overecnkomstige be- schrijvende lijnen van die cersto siclseLs der beide parabololdcn ? Het aotwoord is begrepen in de oploating van bot problema , om, wanneer xooilanigo bcscbqjvende lijn vau eene der paraboloiden gegeveo is, alsdan de overeeokomstigc boschrijTcnde bjo van de tweede paraboloide te con stroeren? Deie nu viodt men, wanneer men eerst bepaalt het puot der gemeenschappelijko wedcrkcorige beschrijvende lijn, in welke dete, door de gegevone bescbrijveude lijn van dc cerstc paraboloide, gesneden wordt, cn alsdan, door dit geTondene punt, de bcsclirijvende lijn van de tweodc paraboloido, volgens ceno bckcndo constructie, constroeert. 9. Haar het antwoord kan meer bcpaald gegeven worden. Die twee beschrijvende lijnen nsmclijk , welke dc overccnkomsttge evenredige deelen der rigtlijnen van de beide paraboloiden vereenigen, vullen de overecnkomstige beschrijvende lijnen %ijn , welke elkaoder in hetielfde punt der gemeonschappelgke, wederkecrigo beschrijvende Ign sullen door- anijden. 