title: Commentatio ad quaestionem astronomicam ; a nobilissimo disciplinarum mathematicarum et physicarum ordine Academie Gandavensis propositam, anno M. DCC. XXII. "Data duurum locorum differentia latudinis et linea loxodro mica, invenire differenentiam longitudinis eorum dem." Quae praemium reportavit die VII Octobris M. DCCC. XXIII.
creator: Verdam, Gideon Jan, 1802-1866
text: Zg begint in den oorsprong, ~ heeft aldaar een xoogenaamd sluit- of slandpuut, — gaat van x = 0 lot m =■ 1 door cen buigpnnt neerwaarts tot in het ondndige, — bij x = 1 wordt de conlinulteit afgcbroken, en voorbij m — s 1 bestaat, ojmaarls, eene soort tau hypcrbolischen tak, welke de as x lot eene asymptoot heeft De logarilhmica gaat door beide dete Ukken, surjdt detelve in twee punten, weiker abscissen tot 24 G. J. VSRD4S, omiRRlNGCIf OVER gctailenwaarden hebben, die der basis e en van de woderkeerige basii i ran bet neperiaansche logaritbmen-slelsel. v. De omgokecrdo kromme Ujoen wordeo gemakkelgk gecooslrueerd, wanneer de oorspronkelijkc getrokken tijn. Want too y en y de over~ ecnkomstige ordioalen van de oorspronkelijke en van de omgekeerde kromme tgo, heeft men y : 1 = 1 : y. De ordiuaten y worden dcr- halve gevonden door eene derde evenredige te constroeren, hetgeen, op tekero uitgestrektheid, door een tamenslel van linialen, dat is door regel- beweging, ton kunnen geschicden, als bediende roen ticb van eene soort »an pantographe. Doch siorlijker constraclie kan roen voorscbrijven door hel gebruik eener gelykiijdige byperbola. Want yj — 1 tijnde, eti eene gelijktijdige hyperbola geconstrueerd hebbende, welker polentia = 1 is, ioo behoeft men slechts cvenwijdige lgnen te trekken, snijdende van de hvpcrbola en van de oorspronkelijko kromme gelijke ordinaten af. alsdan tullen de abscissen van de respectieve punten dcr hyperbola, de omgekecrdo ordinaten zijn van de overcenkomstige puoten der oorspron- kelijkc kromme lijn; en dete abscissen, door cirkelbogen, overbrengende op de ordinatenlijnen van laatslgenoemde puntcn, too verkrijgt men die der omgekeerde kromroe. VI. Onder do gevolgen, die uit de betrekkiog tuaschen de ordioalen der oorspronkelgke eo der omgekeerde kromme Igoen voortvloeijen, kan men ook deie lellen. De " UKERE S00M TAK KROMIIB LIJNKN, EMZ. 25 De punteo, welke, in beide kromme lijnen, tot eren graote «bscissen behooreo, bebben ook even grooto tubiangentcn, maar dertelver rigtingen zijn tegcngcstcld, toodat de constructie der Ungenten no deomgokeerde oomiddcllijk Tcrkrcgcn wordt door die dcr langenten Tan de oorspronke- lijke, cn wcl op ecnc wijte, die, op den tegeugesleldeo tin na, detelfde ia als de manier om, met behulp der roaklijnen »an een cirkel, do raak- lijnen tot eene ellipt te trekken ; want een cirkel om of in eene ellipa bcacbretcn zijnde. too bebben de otereenkomstigo paolen van beide dete kromme lijnen (dat ia de punten tot detelfde abacis bebooreode), detelfde aublangens. De hoekeo, tuaacheo de abscissen-as en de OTereensteromcnde raak- lyucn der bcide krommc lijncn, hcbben eene bepaaldo betrekking tot elkandcr, toodanig dat de verbooding der Irigonometriache tangcnten van dete boekcn (tooder op poaitieTcn of negatieren toestand te letten) de- telfde is als de Terhouding der Tierkanlen Tan twee ordinaten, Tan welke de eene ia de ordinaat I, gcmeen Toor beide kromme lijnen, too zij cl- kaoder sntjden, terwijl de andere ia de ordinaat ran het raakpunt dcr omgekeerdo kromme met de raaklijn, wclke men beachouwt. Mcn kan dc Terhouding ook omkoeren, en teggen : de tangcna Tan den hoek, tas- schen de abscissen-as cn de raaklrjn Tan ecn puntder omgckccrdo kromme, Terboudt tkh tot do langens ran den hock, tusschcn de abscisaen-as en de raaklijn Tan het OTereeokomstige punl der oorspronkelijke kromme lyn, gclyk het vierkaol der ordinaat Tan het raakpunt der oorsprookelijke kromme, lol het Tierkant der eenhcid Tan de toaat der ordinalen. Sujjden de krommo lijneu elkander niet, too gaat nioltemin deze eTenredigbeid, gclijk ook de eerslgenoemde, door. Uilboofde ran deze bepaaldc rigting der raaklgnen van de overeen- komstige punten der oorsprookelijke en der omgckeerde krommo lijnen, hestaat cr ook zeker rerband tusscben de poollijoco Tan beidc. Echler is dit Terbaud, in het algemeon, rerandcrljjk ran de eene kromme tot de aodcre. Van sommige kromme lijneo, die, roor zeker punt ala pool, eene D reg- 26 G. J. VF.TtDi», OPMER KINGF.N OVEIt regte lijn (ot poollijn hebben, kan de poollijn van het overeenkomstige punt der omgekecrde kromme mede eene regle lijn vreien ; doch mcer algcmeen is sij eene byperbolische lijn van hoogere ordc. Er beslaat ook eenc betrckking lnsscben de subnormalen, wclke voor alle overeenkomslige punten der oorspronkelijke en omgekeerdo krommo hjnen dezelfde is. Deso betrekking is die der vierkanten van de trigouo- melrische tangenten der boeken tnsscben de abscissen-as en de raaklijnen, dat is die der vicrde magten van do getallenvraarden der bovengenoemde ordinaten, te welen der ordinaat 1, en der ordinaat van het punt der omgckecrde kromme, welks subnormaal gedacht of gezocbt wordl, of ook der ordinaat van het overeenkomslige punt der oorspronkelijke kromme, en der ordinaat 1. Dit alles geldt voor orthogonale codrdinalen. Voor polaire codrdinaten verhoudt zich do sublangens der oorspronkeltjke tot de sublangens der omgckeerde kromme, als de eenheid tot het vierkanl van den voerstraal van het overeenkomslige punt der omgekeerde kromme, eo dexc is ook tevens de betrekking tusscben de sobnormalen, welke, even als do sub- tangenten, gedacht worden op de lijn, gaande door de pool, cn loodregt op den voerstraal gerigt zijndc. Do belrekking tusseheu de Jcngten van bogcn voor dcielfdc gronien van abscisseo, en de betrekking tusschen dc kromteslralen van overeen- komstige ponten, kan ook in algemeene formulen worden nitgedrukt, maar zij zgn niet eenvoudig, en doen geen merkwaardig vcrband kcnnen. De algeraeene uitdrukkingen voor de inhouden tusschen bepaalde grensen van abscissen, zijn klaarblijkelijk gelgkvormig aan de uitdruk- kingen der ordinalen. Voor de eene krommo is alsoo de inhoud gelgk aan de integraal oit de wederkeerige fonctie, welke voor den inhoud der andere krommo lijn moet gemlcgrecrd wordcn. Doch hicrby bepaalt zich dan ook hel algemeen vcrband tcn aanzion der inbooden. Allecnlijk sou men kunnen opmerken, dat, soo de inhood eeuer kromme Ign, tus- «chen bcpaalde grenzen van abscissen genomcn, niet bepaald wordt door in- ZEKERE SOORT TAH KBOIUI 1UIIK, IHI. 27 integratie, maar door de approxiraatie-manier, die men de methode der quadraiuren noemt, de omgekeerde kromme lijoen eene graphische op- lossiDg geven van hel problema, om, gegeven zijnde eene reeks van ge- tallen, die elkander, met geringe verschilleu, volgens eene bepaalde wet, cn sonder afbreking, oprolgcn, en aannemende dat de som van de ter- men dier reeks bokend tij, alsdan de som der wederkeerige waarden van die termeo te vinden of meotkundig voor te stellcn. De beschouwing der ontgekccrde kromme lijnen of der omgekeerde oppervlakken kan somtyds als middel tot verklaring en verdoidelijk.ing van aodere beschouwingen, en ook als bulpmiddel van onderioek, van eeoo weienllijke nuttigheid tjjn. Zoo kan men, raet bebulp eeoer omgekeerde kromme, op eeoe aeer eenvoudige wijie aantoonen, het vcrbaod, dat bcstaat tusschen de beide hoofdeigenfchappen der elliptische functicen van de eersto en tweedc soort, namelgk: dat voor de eerito, met bchulp eener eenvoudige verge- lijking, kan gevonden worden eene functic, gelijk aan de som of aati het verschil van twee gelijksoortige funclicSn, maar dal zulks voor de tweedc (en evenmin voor eene zoogenaamde funclie van de derde soort), roet dozelfdo elementeo of arguroenteo, niet doorgaat. Zoo dient, by de beschouwiog der vrocger genoemde transcendentale functie, die men integraal-logarithmus noemt, de construclie der omge- keerde logarithmica, om een mcer volkomen deukbeeld te goven van de bijzondere waardijen, welke dete functie achlervolgeos verkrggt of kan verkrijgen, bg aangroegiog der integraal-grens, of wel zij dient om de D 2 be- G. i. VKRDAM, OPMIRKINGKK OTKR beteekenis dier waarden, too als men te in eene berekende lafel opge- geten xiet, te verklaren. En 100 too ook het eene en andere, dat in dete hoofdrakelijke op- merkingen is aangeslijil, somlijds kunnen aangewend worden ala hnlp- middel »an oodortoek, om, — inzooderhcid wanoeer het den loop cn de eigenschappon vao kromme Igoen en gebogene oppervlakken geldt, — beschouwingen te verecn?oudigen. Van de onMtaodigbeid b. v. dat om- gekoerde kromme lijneo en gebogcne opperitakken van eene lagere orde kunnen tijn dan de oorspronkelijke, kan gehruik gcmaakt vrorden, om, door de kennis van den loop of der wording eener lijn of oppervlakte van lagere orde, die eeoer andere van boogere orde gemakkelijk na te gaan. De vcrgelijkingen, boven (aob II) bijgcbragt, kunnen tot voorbeelden biervan verstrekken. De eerste dier vergelijkingen wat: *y* -+- «y — bx — c = 0 ; bij verwtateling der coordioalen heeft men : yx* + ax — by — c = 0, en detc behoort tot eene kromme ran de derdo ordc, van welke de om- gekeerde een graad lager, namelijk eene kegelanede it, door welke der- halve de loop der oorspronkclijko kromme gcmakkclijk kan wordeo na- gcgaan. Met de tweede der genoemde vcrgelijkingcn is dit cveneens bct geral; tg is die ecner kromme Ign, welker omgekeerde eene gewone parabola is. Dit lager worden van den graad der omgekeerde krommc vindt intonderbeid plaala bg bet ontbreken van lermen, dat is bij bet onvolledig tijn der vergeljjkingen van gcgeveoe kromme Ignen, en men iou dnt somtijds, door geachikte transformatie van codrdinaten. uit do vergelgking eener kromme Ign toodanige termeo kannen doen wcgvallen, door welke de tequatie der orogekeerde kromme van een lager graad werde. Ten aantien van oppervlakken geldt bettelfde. Ware b. v. voorge- tleld het ondorzoek dea beloops eener gebogene oppervlakle van den Digitized by Googl lEKERE SOORT TAX KROSBK LtJKKN, KNZ. 29 derden graad, hebbeode lot aequalie xy% = a, dan tou men zich daar- loe van de omgebogenc oppervlakte kunnen bedienen; want noemende £ de wederkeerige gelallenwaarde der ordinaal *, dan zou de vcrgclijking dier oppervlakte wezen at ~ xy. Deze is de vergeljjking eencr hjper- bolische [>uraboloide ; daarom kan bot gevraagdc beloop aangemerkt wor- deo ooriprong te nemeo uit dat van een regelvlak, tullende in helzelve alle die snijdingen hvperbolisch wezen, welke in het regelvlak regllijnig tijn, enz. Leiden, April 1845. B IJ D R A G E ToT l)f. TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, OVF.REENKOMSTIG DK RRKENWIJZE VAN L AGRANGE, DOOR ♦y. j. r E R 1) J M. l'ilgf£we» door .1« Koninllijke Akademie vin Wetenscliappen le AMSTERDAM, V. G. TAN DER POST. 1804. B IJDRAGE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, OVKBKKNKOMSTIi; DK REKEN WIJZE VAN LAGRANGE, UOOIt ,' ^ <<■ '• G. J. r E R J) J M. l'it{«tcffD do«r d, KoBinklijfce Akademie na WettaiciJffH le Amslerdim. AMSTKRDAM, C. C. VI* DER POST. 1804. BIJDRAGE tOT DB TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, OVRRSRliKOMSTlO O» REKEN WIJZE VAN LAGRANGE. DOOR G. J. r E R D A M. De belangrijke leerstelling der Dynamica, bekend onder de benaming van het grondbeginsel van d'Alembert of het algemeen beginsel van d'Alembert, in verband gebragt met en uitgedrukt door het beginsel der virtuele snelheden, geeft eene belrekking, uit wclke, naar een onveranderlijken rcgel, kunnen afgeleid worden de noodige vergelijkingen, ter ontbinding van elk voorstel aangaande de beweging, en de omstandigheden der beweging hetzij van een enkel sloffelijk punt, hetzij van eene groep van sloflelijke punten, die op eenige wijze verbonden zijn of gezamenlijk eenig geheel, — derhalve ook eene massa van zamenhangende stofdeelen, een ligchaam, of vereenigde lig- chamen, — uitmaken. En zulks voor elk geval, in elke vooronderstelling, zoowel bij het vrijelijk kunnen bewogen worden van dat punt of van deze groep vereenigde punlen, als indien do beweging niet gehecl vrij is, maai dat verandering van plaats slechts op bepaalde wijze, slecbts voorwaar- delijk kan geschieden. Klaarblijkelijk moeten daartoe gegeven zijn en deze voorwaardcn en de krachten, die op de punten werken en de beweging ver- oorzaken of ook wijzigen, terwijl, in het geval eener groep van voreenigde 29 NATWDEK. VKBH. DUK KONINKL. AKADEMIC. DEEX X. 2 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGIN8EL VAN D'ALEMBERT, punlen, de bepaalde wijze van onveranderlijk of veranderlijk verbonden zijn tot de voorwaarden behoort. Lagrarge leerde ons het meer uitgestrekt gebruik van het beginsel der virtuelc snelheden. Ook hel toepassen der leerslelling van d'Alembert dooi iniddel van dit beginsel is men aan hem vcrschuldigd. Hij gaf een eenvou- dig voorschrilt, een otiveraiidcrlijkcn regel, of liever eene wijze van doen of tc wcik gaan, cene mcthode, bcstaande in eene eenvormige rekenwijze om, uil ccne algemeene vergelijking of formule, op het beginsel der virluele snel- beden gegrond, en van het wezen van dit beginscl de analytische uildrukking zijnde, alles af tc leiden wal doel van eenig onderzoek of van eenige be- schouwing in dc Stalica kan zijn. Maar dat voorschrift kan dan ook onver- audcrd gevolgd worden bij hel zamenuemen of verbinden van dil beginsel met dat van d'Alembert, ten eindc dit laatstc loe te pnssen ter ontbinding van eenig voorstcl <ler Dynamica. De rekenwijze voert alsdan niet alleenlijk regtstreeks tot de dilTereutiaal-vergelijkingen der beweging, maar zij doet bovendien bekend worden alle omstandigheden, die van de wcrking der krach- len en van de beweging, zoo als dcze plaats heeft, een gevolg zijn. Derhalve lccrt zij de bijzondeiheden, die men zou knnnen voilangen lc weten, of die mcn in ecnig geval zou inoeten nagaan, len aanzicn van drukking, spanning, wedeistand, lcgenwerking, als anderzins, uitgeocfend, veroorzaakt of leweeg- geliragl door do vyerkende krachten, door de traagheid der stof, door beiem- meringeu of beletsels, door voorwaardelijk verband, door gedwongene verplaat- sing, enz. En dan geeft zij ook het juiste oordeel ovcr krachten, welke in de plaals van die wederslanden en voorwaarden zouden kunnen gedachl. worden, ten einde, zoo zij mel de gegevenc krachten zamenwrrklcn op de groep van punten, deze te kunnen bcschouwen als eene groep van geheel vrije punten zonder ccnig verband. Ue eenvoudige en eenvormige wijze, waarop dit alles iu eene zelfde berekening of ontwikkcling kan bcpaald worden, werd door Lagraivge zelven aangeiuerkl als bij uitncmendheid aan zijne methode eigen te zijn, gelijk een bijzonder voordccl, verbonden aan haar gebruik. l)e weg, dien men volgt bij hct te werk gaan naar dit voorschrift, is ze- ker, doet niet falen. Alhoewel gemakkclijk en uiet lang, is hij evenwel niel allijd de koilsle. .Men kan dan ook, hij het toepassen van het beginsel van d Alembert, wel afwijken van den regel van Lagrange, wel nalaten 6m zijne rekenwijze in eenig opzigt te volgen, waar zij rnindor gepast of minder korl mogt zijn of mogl schijnen. Maar het afwijken heeft dikwijls geen vol- Digitized by Goo OVEREGNKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE» 3 docnden grond; het gedeeltelijk volgen kan doen twijfelen omtrent het alge- raeen zijn van de methode; het kan de raeening doen ontstaan, dat hetgeen raen zoekt, naar hct loutere voorschrift niet regtstreeks of niet in allen deele zou kunnen gcvonden wordcn. In de werken van voornaine wiskundigen, in geschriften, beslemd om als leiddraad voor de ordelijke heoefeniug der llynamica te verstrekken, trof mij mcermalen eene onrcgclmntigheid, onbestendigheid of onvollcdigheid in dat opzigl of in dien zin. Zelfs hij de hehandeling van eenvoudige voorstellen wordt de rekenwijze van Lagkahge niel altijd vollediglijk toegepast, cn van haar gehruik, ter oplossing van rainder eenvoudige viaagslukken, wordt niet gewaagd, alsof zij daartoe niet zou kunnen althans niel zou moeten gevolgd worden. Hel niet moeten kon grond hehhen m het somtijds minder korte. Het niet kunnen mogl niet worden voorondersteld, of zou slechts schijn we- zen. Het niel gewagen kon te eerder bevreentden, oradat het nuttige en leer- zamo, dat het volgen der rekenwijze van Lagrarge aanbicdt, niet in twijfel getrokkcn zal worden. De opmerking van dit ecn en ander gaf mij eene stof ler ontwikkeling, namelijk het overeenkomslig ik melhode van Lagkange toepassen van het beginsel van 0'Alembert, ter onlbinding van de twce in de Dynamica zecr gewigtige voorstellen, aangaande de beweging van een vasl ligchaam hetzij om eene vaste as, hetzij om een vast punt, in de vooronderstelling dat het ligchaam op onveranderlijke wijze met die as of met dit punt is ver- bonden. Met toepassen ter ontbinding wnrdt hier hedoeld het dpor dic toepassing verkrijgen of vormen van de dilTerenliual-vergelijkingcn dcr bcweging, en het bepalen der functien, die het oordeel geven over den wederstand, welken de as of het vaste punl moet kunnen bicden aan hetgeen door de bewegende krachlen wordt uitgewerkt en door de beweging wordt vcroorzaakt, Mocr geeft de toepassing van het beginsel van oAlehbert niel, en meer kan het niet geven. In de wijze van toepassen echter, in het middel om van het heginsel te komen tot die vergelijkingcn cn functien, kan ondcrscheid be- staan; daarin kunnen de oplossingen der genoemde voorstellen ook verschil- len. In geene der mij bekende oplossingen is daartoc ecniglijk en doorgaand gebruik gemaakt van de rckemvijze van Lagka>ge. Intusschen is de oplos- sing naar deze methode niet onbelangrijk. Welligt kan zij, met belrckking tot kortheid, geen voorrang hebbcn. Maar Lagrange gaf zijne methode ook 29* l l 4 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET I3EGLNSEL VAN D'ALEMBERT, niet als een regel ter bekorling van de berekeningen. Moge zij dan geene kortere zijn, zij zal noglhans in andere opzigten vergelijking kunnen door- staan. § i- BEWEOINO VAN EEN VA8T LIGCHAAM OM EEN VASTE AS. 1. Zij eene vaste massa van bepaalde grootte en gedaanle. Men kenne de plaats van hare punten of elementen door hunne coordinaten x, y, z of af- standen tot drie reglhoekig op elkander gerigte en onbewegelijke coordinaten- vlakken. Is m de grootte der massa, dan za! dm aanduiden de grootte van elk harer elementcn of differentiaal-deelen. Is verder, voor de eenheid der massa, P de grootte ecner beweegkracht, dan zal, voor de massa m, de overeenkomstige beweegkracht zijn Pm, en zij zal, voor het element dm, Pdm wezen. Onderscheidcnc zoodanige krachten kunnen op een zelfde element dm werkcn. Deze krachten kunnen ook andere grootte hebben voor andere en andere elementen, en men kan in het algemeen aannemen, dal P afhangt van eene functie dcr codrdinaten van het element waarop de kracht Pdm werkt. Bij het gegeven zijn der krachten kent men zoowel rigting als grootte. Elke dor krachten op een zelfde element kan gedacht worden ontbonden te zijn evenwijdiglijk aan de codrdinaten-assen. In de plaats van al de bij ontbinding verkregen krachten, welker rigtingen aan eene zelfde codrdi- naten-as cvenwijdig zijn, kan, bij zamenstelling, eene enkele kracht gesteld worden, het geval namelijk uitsluitende dat deze zamenstelling een koppel zou opleveren. Op deze wijze zullen dan de krachteu, op eenig element dm werkende, hcrleid zijn tot drie krachten, evenwijdig aan de codrdinaten-as- sen gerigt, en ten aanzien van groolte aangeduid kunuende worden door Xdm, Ydrn, Zdm. Tot elk element behooren dergelijke krachten. Zijn nu de elementen niet vrij, dan zal er, volgens hct beginsel van dAlembert, door het gegeven verband der elementen, en door de voorwaardelijke wijze van Digitized OVEREENKOMSTHi PE REKENWIJZK VAN LAGRANtiE. 5 Amimic verplaatsing of betoeging, evenwigl bestaan tusschen al deze beweeg- krachten en andere, gelijk en regtstreeks tcgcnovefgesteld aan de boweeg- kracbten, die op de elementen zouden moeten werken, om aan deze, zoo zij geheel vrij waren, dezelfde beweging te geven die zij, bij het vereenigd zijn en aan voorwaarden van verplaatsing onderworpen, werkelijk bebben of ontvan- gen. Dienvolgens moet, door het beginsel der virluele snelheden, ^{ X ^ m -^^} 9* + 2 {Ydm- ^fd"»} + 2 {Zdm- ^dn»} '* = 0 zijn. Bijaldien do elomenlen onmiddellijk en overal onafgebroken aan elkan- der sluilen, zoodat het gcheel of vereenigde als een massa, — deze moge vast zijn of niet, — kan aangetnerkt worden, dan gaan de uitgedrukte som- men over in integralen, betrekking hebbende tot de geheele massa, dat is uitgestrekt over de geheele massa, en mcn zal moeten hebben: /{ X * m "d^H ax + / { Y ^-^fdm}^ + f [z3m-^m}fc = 0, of /{[X dm - d «.] + [Y d m - dm] 9,j + |[Z d m - ^fdm] **} = 0 . (I) ln deze vergelijking, — welke is dc onbepaalde vcrgelijking der virtuele momenten, — zijn ix, ty, H de variatien der codrdinaten van de elementen der massa, — zij zijn symbolen der virtuele snelheden of der virtuele ver- plaalsingen van de elementen, — en de vergelijking is ddn alleenlijk waar, indien men hct verband of de betrekkingeu in aanmerking neemt, tusschen deze variatien moetende bestaan als de elemenlen niet volkomen vrij zijn, dat is zoo zij zijn verbonden en in wijze van beweging, als anderzins, duor voorwaarden bepaald. 2. De behandeling der vergelijkingen (1) komt derhalve hierop neder, dat men vergelijkingen of functien van de onbepaalde codrdinaten x, y, % (onbepaald namelijk in het gevai eener massa, welker elementen overal op dezelfde wijze aan elkander sluiten of zamenhangen, en dat er geene bijzon- dere of bepaalde punten zijn, waarop andere of bijzondere krachten werken, of ten opzigte van welke punten bijzondere voorwaarden moelen worden ver- J5 BIJDRAGE TOT PE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN 0'ALEMBERT, vuld) vorme, dic de uitdrukkingen zijn van al de le vervullen voorwaar- den, — deze voorwaardes-vergelijkingen variere, — en met deze geva- rieerde voorwaardes-vergelijkingen, of voorwaardes-vergelijkingen der vari- atien van de coordinaten, uit de vergelijking (I) zoo vele varialien eliminere als er voorwaardes-vergelijkingen zijn gegeven, kunnende liet aantal van deze laatste nimmcr overtreffcn dat der onbepaaldc of dat der onbcpaalde en der bepaalde codrdinalen. Op deze wijze komt men tot eene vergelijking, onafhankelijk van eenigc voorwaardc; zij is de vergelijking der virtuele mo- menten bij welke al de voorwaardcn zijn in rekening gobragt; derhalve de bepaalde, ofscboon vervormde, vcrgelijking der virtucle momenten. Zijn al de variatifin gefilimineerd, dau is dcze verkregene vcrgelijking (zoo noodig, berleid zijnde) de ecnige maar ook slecbts dc eene noodzakclijkc vergelijking der beweging. Zijn al de variaticn nict gceliinincerd, dan zijn de nog be- slaandc of overgeblcvene onderling onafhankclijk en gebeel onbepaald. Cn aangezien nu aan de vergelijking voldaan moet worden, onafhankelijk van elke varialie der coordinaten, zal dc som van nllc tcrmen, die eene zclfde variatie tol factor hebben, ann nul gelijk gesteld moelen worden. Er komen op deze wijze zoovelc nfzondcrlijke vergelijkingen als er variatien, in de bepaalde vergelijking der virtuele momenten, waren overgebleven, en deze zullen zijn of, bij herleiding, opleveren dc vergelijkingen der beweging. 3. Hel regtstreeksch climincren der variaticn dx, dy, dz ... uit de vergelij- king (f) kan ingewikkclde berekeningon vercischcn en moeijelijkheid ver- oorzaken. In de plaats biervan stelde Lagkanoe eene rekenwijze, door hem genocmd melftode des mnltiplicatcurs. Gelijk bekend is bestnat zij hicrin, dat elkc voorwairdes-vergelijking der vaiiatien, den vorm 3L = 0 hcbbcnde, mct cen onderscheiden doch onbepaalden factor X vermenigvuldigd, gevoegd worde (door oplelling) bij dc onbepaaldc vergelijking der virtucle momenten, en dat daarna de sommen der tennen, die ecne zelfde variatie tot factor hobben, aan nul gelijk worden gesteld. Alsdan uit de komende vergclijkingen de onbepaalde laclorcn l wederom verdrijvende, zal incn de focgeerde diffe- renliaal-vcrgelijkiugen der bcwcging verkrijgen. Heeft de vergclijking der virtucle moinenlcn betrekking tot dc elementen eener massa, bestaal zij dcrbalvc uil sommen van uitdrukkingen of uit eene som van integralen, of is zij eene integraal, en zijn bovendien de ver- gelijkingen iL = o onbepaalde voorwaardes-vergelijkingen, dan moeten bij de vergelijking (I) niet gevocgd worden termen van den vorm X3L = 0, OV K.KEKN KOMSTIG DK KKKKNWIJZE VAN LAGRANGE. 7 maar soinmen of inlegralcn van soorlgeiijke tormen, hetgeen nederkomt op het bijvoegcn van termen XSL onder het inlegraal-teeken. Ilet aao nn/ge- iijk stellen van sommen van termen, die met eene zeifde variatie worden vermenigvuldigd, heeft derhalve betrekking tot termen onder het integraal- teeken. Waren sommigc vergelijkingen <* L — o hcpaald, hadden zij tot een enkel bepaald punl of lot enkele bijzondere punten der massa betrekking, dan zouden de overeenkomslige termen X d L inoelen worden hijgevoegd bui- len het integraal-ieeken. Zoodanigc termen huiten het integraal-teeken kun- nen ook uit onbepaaldc voorwaardes-vergelijkingen onlstaan, indien deze namelijk gecn betrekkingen zijn tusschen variatifin van coordinaten, maar van differentialcn der coorditiaten. Want in dit gcval moeten de termen X&L, onder het inlegraal-leeken aanwezig, worden ontwikkeld, dat is, door het inlegreren bij gedeellen, afhankelijk worden gemaakt van loulere variaticn der coordinalen, zoodat er dan ook termen, vermenigvuldigd mct variatiSn en mel differentialen van varialien, buiten het integraal-teeken zullen tre- den. f)c rcgel van het aan mtl gelijkstellcn van de somincn der termen, die eenc zelfde vjiriatic tot factor liebben, zal dan eveneeus moeten toege- past woiden op de termen huiten het integraal-leeken. De vergelijkingen, welke hierdoor worden verkregen, moelcn eensdeels dicnen ter bcpaling van de grenswaarden der ingevoerdc onbcpaaldc vcrmenigvuldigers X, anderdeels ter bepaling van standvastige groothedcn, dewijl hel kan gebeuren dat, voor het bovengenoemd elimineren dezei factoren X, liet inlegreren van vergelij- kingen moet voorgaan. 4. De ditFerentiaal-vergelijkingen der beweging zijn gevormd uit vergclij- kingen, die van de faclorcu X ;tfh;ingeii. Ileeft inen de ditferentiaal-verge- lijkingen kunnen oplossen, dan zal nien ook de uildrukkingen van waarde der ingevoerde factoren X kunnen vinden Deze geven, naar de beschou- wingen van Lagrange, het middel oin de grootte van uilgeoefende druk- kingcn, van gebodene wedcrstandcii, als anderzins, le leeren kemien. Zijn b. v. x ti y x ,z x de coflrdinateii van cen element of van een stoffelijk punt, dat bewogen wordl, of waarop zekere krachten verniogen uitoefenen, of dat we- derstand biedt, — moel tcn opzigte van dit punt ecnc vooiwaarde, uitge- drukt door eene funclic L, =0 der coordinaten x,, y„ z,, worden vervuld, — en is door dc zoo even aangeduide vergelijkingen bevonden, dal X t is de waarde van don factor, waarniede 3L,=o was vermenigvuldigd, dan zal de grootte der drukkiug, botsing, spanning enz., geleden op of ter plaalse van 8 BIJDRAGE TOT DE TOEPAS9ING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, dat punt, en voor zoo verre dit een gevolg is vau of onmiddellijk in ver- band staat met de voorwaarde L, = 0, bepaald worden door de uitdrukking moetende het onderste teeken genomen worden, als de gevondene waarde of uitdrukking der waardel, is negatief. Zijn andere voorwaardes-vergelijkingen L, =0, L, = 0 cnz. mede van dezelfde codrdinaten £,,y,,z,, gelijk van andere, afhankelijk, dan moeten ook met deze, doch alleenlijk met betrek- king tot helzelfde genoemde punt, de overeenkomstige uitdrukkingen A, U„ X, XJ,. worden opgemaakt, en deze zullen eveneens de grootte leeren van de drukking, op dit punt uitgeoefend, of van de belemmering, ter plaatse van het punt bestaande, ten gevolge van het voldaan zijn aan de voor- waarden L, = 0, L, = o, enz. En kent men zoo de onderscheidene druk- kingen of wederslanden voor een zelfde punt, bf de vele dergelijke uitwer- kingen voor verschillende punten van eene lijn, van oen oppervlak enz., dan blijft nog overig het hcrleiden van deze alle tot e6n enkele of tot een kleinst aantal, om tot hel juiste oordeel te komen over hetgeen eigenlijk wordt uit- gewerkt of teweeggebragt. Maar voor deze herleiding is bet noodig, dat mcn de rigting kenne, in welke drukking geledcn of wederstand geboden wordt. Daartoe zij opgemcrkt, dat de producten Xdh, in de vergelijking der virluele momenlen opgenomen, zelve den vorm hebben van een virtueel moment. Zij moetcn er ook de voor- stelling van zijn, opdat deze vergelijking den zin behoude, dien zij uitslui- lend en eeniglijk moet hebben. Aangezien nu is, blijkt hieruit, dat X8h inderdaad koml in de plaats van de som der za- menstellendc virtuele momenten eener kracht of eener uitwerking (iU), uit- dL dL dL = (*U)^ + (*U)^ + (XU)^ Digitized by Googl OVEttF.ENKOM.SllG DE KEKKNWUZK VAN LAfJRANGE. 0 geoefend op het punt, welks coordinaten zijn x, y, z, cn daar ter plaatse in eene rigting, norraaal tegen een oppervlak, hebbende L = f(x, y,z) = 0 tot vergelijking. Dit oppervlak kan gcdacht worden do voorwaarde L = 0 te vervangen. llet bepaalt de gcdwongene beweging van het punt. De baan, door het punt bcschrcven, of waarin het punt wordt bewogen, moet op dit oppervlak zijn. Door het teeken van U kcnt mcn de streek der normale rig- ting, waarin het gedachte oppervlak of de baan van het punt (als ware zij eene sloflelijke baan) wederstaud biedt, en de reglstreeks tegenovergesteldc streek bepaalt de rigting, waarin de drukkiug, als andorzins, op het punt wordt uitgeoefeud. De horinneiing aun de hoofdpunlcn der rckenwijze van Lagrawge is hier voorgegaan, len einde le venuijdeii dat, bij het ontbinden der voorstellen over de beweging van een ligchaam om eene as of oin een punt, de rede- neringen of berekeningcn hier en daar zouden moeten worden algcbroken, om de te volgen of toe le passen deelen der rekenwijze le noemen en meer of minder in cenfge bijzonderhcden le verklaren. 5. ()m de vergclijking der virtuele momonten te doen dienen, ter bepaling van de beweging en van de omstandigheden der beweging van een vast ligchaam om eene as, welke in de ruimle niet van plaats verandert en ook met hct ligchaam onverandcrlijk verccnigd is, merke men op, dat voor elk element der vaste massa drie voorwaarden moeten worden vervuld. Vooreerst heeft de bewoging van elk element om de as in ecn cirkcl plaats; elk element heeft derhalve of behoudt voortdurend een onveranderlijken afsland tot de as. Tcn Iweeden blijft elk clement in een vlak, — het vlak van zijne cirkelvormige baan, — dat loodregt op do as is gerigt, of liever, indien door eenig punt van de as een vlak gedacht wordt, loodregt op de as gerigt, dan behoudt elk elemenl ook voortdurend een onveranderlijken afstand tot dit vlak. Ten derden is de massa of he! ligchaam vast, dat is de elementen slui- ten niet alleen onafgebrokcn aan elkander, zij hangcn niet alleenlijk zamen, maar zij kunnen ook nict gerekl, ingedrukl noch om clkander gebogen wor- den; zij moeten derhalve onderling onveranderlijk van plaats zijn; zij moe- ten ten opzigte van elkander dezelfde afstanden behouden. De elementen van een volkomeu hard ligchaam verkeeren dienvolgens in dit geval. Nietlemin is de beschouwing ook loepasselijk op ecn weck of veerkrachtig ligchaam, zoo lang of zoo dikwijls, helzij door de werking der krachten, hetzij ten XATUUKK. VKKH. PKK KONISKL. AKADEMIK. DEF.L X. iO BIJDRAGE TOT DE TOEPA3S1NG VAN HET BEG1N8EL VAN D'ALEMBERT, gevolge der beweging, geen de minste verandering in de onderlinge afstan- den der clementen wordt veroorzaakt. Dit onveranderlijk zijn der afstanden tusschen de elementen is voor een gedeelte reeds in de Iwee eerste voor- waarden ; hetgeen nog aan het volstieklelijk onveranderlijk zijn ontbreekt, is dat clk element, in het vlak zijner beweging om de as, dezelfde plaals behoudt len opziglc van de overige in dit zelfde vlak gelegene elementen *. Eenig punt der as van omwenteling worde als oorsprong der codrdinaten van de clementen der massa aangenomon." De as zelve zij die der ordinaten z, waardoor dan tevens de slclling van het vlak der cofirdinaten x en y be- paald is. Is nu de afsland van eenig element tot de as van omwenleling = r, en de afstand van hetzelfde element tot het coordinaten-vlak xy, — C, dan zullen, volgens de twee cerstgenoemde voorwaarden, r en C voor een zelfde element standvastig moeten zijn gedurendc de beweging. De voorwaardes- vergelijkingen, door welke dit wordt uitgedrukt, zulien dienvolgens zijn: • Deze Bijdrage, nan de Koninklijkc Akndcmic van Wctcoschappcn aangcbodcn, was door Haar geateld in handeo van de Hecren Lobatto en Stajikart, Leden der Akademie, ten einde ovcr den inhoud verslag en oordeel uit te brengen. De veralagen dezer Heeren beoordeelaara bebelsden ook eeuige opmcrkingfii, wclkc aan den schryver zijn medegedecld geworden, opdat h|j daarvan zoodanig gebruik zou kunnen makcu ats hem gepast zou voorkomen. Voor zoo ver dit nict geschied ia om voorstelling, beachouwing of bchandcling van enkele punten, in dc Bijdra^e ecnigzins te wijzigen, oordeclde dc schryver het voeguuim van dc voornaamstc der aanmcrkiugen cn opraerkingen mrlding tc inakcn, ter plaaUe waar bct belioort of waartoc zij betrekking hebbcn. Ten upziylc vuh de hicr in den tckst gcuorutdc voorwaarden is door den Hecr StaMKAKT anngcraerkl, »dat dc dcrdc voorwnarde, door voelke zou worden uitgedrvkt dat elk element, in het » vlak tijner leweging out de a», detelfde plaat» bekoudt ten opsigte van de overige » in dit zelfde vlak gelegene eleinenten, niet geheel voldoende schcen te zijn, want zoudeu »daarbij dv vcrechillendc vlakken inet hunne elementeu uict nog afxonderlrjk om de as kun- » nen draaijcn P" Indien mcn zieli die vlnkkcn afzoudcrlijk, op of tegen elkander geplaaUt, wilde voorstellcn, ea er eene oneindig klcinc tot nut naderende dikte aan toekennen, zouden toch de elementen in eenig vlak inct die van het, aun dc ccnc of anderc zijde, daar tegen aansluilende in aaurakiug zijn. De in aanraking zijude dcelen of puntcn der eletuentcn in het eenc vlak cn in lict andere. zonden dezelfde ordinaten 2 hcbbcu. De verRclijkinjr, welke hct ouveran.lerlijk geplaatst ziju dezer declen in bet eenc vlak uildrukt, zul dan ook gclden voor dc overeenkomstige aanstuitcndc deelfii der elementcn in het uudcre. Dicnvolgeus moeteu deze deelen in hct tweedc vlak, cn dan ook de elemrntcn in dit vlnk, ondcrling dcxelfde plaatsen behoudcn als dc overccnkorastige declen cn clcmcnten in het ecrste vlak, cn dczclfdc vergelrjking, welke dit voor het cenc der vlakkcn nit- drukt, sluit op dezc wijze hct onderling winienhangen dcr beide vlakken in. Geen nieuwe voor- waardea-vcrgelijking is noodig; zij zou ovcrtollig wezen en onbepaaldheid docn ontelaau. OVEREENKOMSTfO OE REKKNWIJZE VAN LAGRANGE. 1 1 L, = x» + </ J — r» =0, (8) L, = z - C = 0 (4) Hieruit de voorwaardes-vergelijkingen dcr varialicn van de coordinaten 9L, = 2x9x + Zydt, = 0, 15) 3L, = ** = 0 * («) De derde voorwaarde zal daardoor kunncn worden uitgcdrukt, dat, terwijl de diiTcrentiaal-afstand A« van clke twcc onmiddcllijk aan elkander grcnzendc elementen, hebbende x, y, z en x + d#, y + s tot coordinaten, standvastig blijft, de afstand van lict twcedc dezer clemcnten tot de as, evcn zoo als die van het eersle, geen verandering ondcrgaat of kan ondergaan. Derhalve moet de variatie van (* + W + (y + */)' nul zijn, dat is 2 (* + )x) [9x + 9*x) + 2 (, + 0y) (9y + = 0. Hieruit, na ontwikkcling, cn op flD-r = d9x, &<ty = lettendc, 2 (x 9x + y 9y) + 2d (x 9x + y 9y) + 2 (»>* d 9x + t) fy) = 0. Maar ***+,yfy, volgens (5), =0 zijnde, is ook %(xdx + y9y) = 0 ; derhalve komt dczc derdc voorwaardes-vergclijking der variatien van de coordinaten 9 L, = 2 *xl>9x + 2 dydfy = 0, (7) welke ook onmiddellijk zou hebben kunnen zijn afgclcid gcworden uit d*» = A«» + + — slandvaslig, in aanmerking nemcndc, dat t standvas- tig of 9z — o is *. De voorstc leden der vergelijkingcn (5), (6), (7), elk met een onder- scheiden doch onbepaalden factor A, vermenigvuldigd, en de produc- lcn over de gchcele massa genomen zijnde, moeten de vergelijkingen, daaruit onlstaan, opgeteld worden bij de onbepaalde vergelijking der virluele mo- menten. De bij tc vocgen vergelijkingen zijn derhalve: ^21, (*9x + 1,9;,) — 0, jl t dz = 0, jiX 3 (dxtfx + dytf,,) = 0 Maar de laatste worde cer.sl, door integreren bij gedeelten, herlcid, zoodat • Zie dfi aanleekenin», aan het eincle <kter Bijdraye. 30* 12 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEUINSEL VAN D'ALEMBERT, de termcn onder het integraal-teeken eeniglijk van loutere variatien der codr- dinaten afhangen. Daartoe aannemcnde, dat X'\, X' t , zijn de waarden van X t , d*, D,y, 8*, 8y aan de twee grenzen (einde en begin) der inlegraal, zal die laatste vergelijking overgaan in 0=— ji9xb{X t i>x)— ^^«)(^^V) + ~(^3' , ^ , ')^ , ' + 2(i ,, 1 dy'')V'— 2(V,d*')<>*'- 2(1', Ofscboon het standvastig zijn der ordinaat z van eenig elemenl, cn het daarom nul zijn van bare variatie, vrijheid gecft om den derden lerm in het voorste lid der algemeene vergelijking (1) van de virlueie momenten te doen wegvallen, indien het allcenlijk tc doen is om de differentiaal-vergelij- king der draaijende lieweging van de massa le liebben, zal die derde term nog behouden worden, omdat hij later, ter bepaling van eene der uitgcoe- fende drukkingen, dienen moet. Nogtans kan, zonder dat de algemcenheid der berekening worde vermindcrd, het tweede gedeelte van genoemden term, dat is worden opgeheven; want de zamcnstellendc snclheid r^, cvenwijdig aan do as, is klaarblijkelijk nul, cn daarom ook de versnelling — = 0. Uet optcllen van de drie nu verkregene vergelijkingen bij de on- bepaalde vergelijking (I) der virtucle momenten, zal, na de termen, diemet cene zclfdc variatie vermenigvuldigd worden, te hcbben vereenigd, deze be- paalde vergelijking der virtucle momentcn (ceniglijk nu op het geval der beweging cener vaste massa om eene vaste as toepasselijk zijudc) gcven: /|( X — d^) d '" + 2X,X ~ 2 <Ml,d*)}te + J {[* - ~] «*» + 21, , - 2D(1, dy)} 8, + j jz d m + 1,} 8» + 2(r s ,V)fe" + 2(r ld /)V- *(i\d*')9x-ni',tf)h' = o • • • (») In deze vergelijking zijn gecn limieten van integralen aangeduid; zij moeten niettemin als bepaalde intcgralcn worden beschouwd, als integralen over de geheelc massa uilgcstrekt, dat is tusschen de grenzen der massa genomen. De uitgedrukle variatifin, zoowel die in de termen buiten als die in de termcn onder de integraalteekcns, zijn thans als ondcrling onafhanke- lijke variatien aan te mcrken. Derhalve wordl, overeenkomstig den regel, aan de vergelijking (8) voldaan door te stcllen Digitized by Googhj OV EREEN K.OM3T1G UE RKKENWIJZE VAN LAGRANGE. 15 ( X ~d^) dm + 2 *' *~ 2d(Aj ** ] ~- °» [ (9) Y dm + 2 X, y -2d(l, fe) = 0, (10) Zdm + i^O, (11) x\ 3*" = o, r , c y - o, y, &*• = o, *', dy = o (i 2) De onbepaalde factor X x komt alleenlijk voor in de vergelijkingen (9) en (10), en in geen van beide is de onbepaalde faetor Daarom is de vergelij- king (H), waarin deze laatste vermenigvuldiger de eenigc is, onnoodig ter behandeling van dc twee eerstgenoemde, uit welkc cene differenliaal-ver- gclijking moet kunnen afgeleid worden, die bevrijd zal zijn van*. en*,ora de differenliaal-vergelijking der beweging te kunnen wezen. Yooreerst den factor X, regtstreeks eliminerende, komt: ( x -^) , ^~(* T ~0)*^ + 8 ^ (1, ^ , " J ' i(1 »^ ,) ~-°' van welke vergelijking de onbepaaldc intcgraal is / { (^ ~~'w) dOT ~ ( * Y * m ~ * X + 2 X> {X ^ ~ 9 dx) = ° (o) Uit de vergelijkingen (12) volgt, dat de waarde van X t aan de limielen der inlegraal nul is. Neemt men wijders de gewone vooronderstelling aan, dat aan de eene dcr limieten de integraal verdwijnt, dan wordt C = 0, en de voorgaande vergelijking, uitgestrekt zijnde ovcr de geheelc massa, zal dcze bepaalde uitkomst geven: /(*^~'^) dw ~ (13) Deze is de bekende vergelijking der draaijende beweging eener vastc massa om eene onbewegelijke as, indien op de elementen dczer massa voortdurend krachtcn werken die, ontbonden zijnde in drie regthockige rigtingen, van welke eene is evenwijdig aan de as, Xim en YD»> lot sommen van zamen- stellende elementaire krachlen, evenwijdig aan de beide andere rigtingen (met de as regle hoeken makende), zullen opleveren. 6. Daar de hoeksnelheid der draaijende beweging eene voorname grootheid is, wclke men op eenig oogenblik der beweging moet kunnen weten, wordt I \A BIJDRAOE TOT DE TOEPA8S1NG VAN HET HKGINSEI. VAN D'ALKMBKRT, het eerste lid der vergelijking (13) gemeenlijk tot een anderen vorra her- leid, zoodat hel de hoek versnelling leert kennen, en dan verder, na het ten tweeden male integreren, de hoeksnelheid zelve. Deze herleiding kan op meer dan £&i wijze gcschieden. Is b. v. « de hoeksnelhcid op eenig oogenblik, dan heeft een clcment der massa, op dcn afstand r (r 1 = x* -j- $•*) van de as geplaatst of gelegen, dc snelheid ra> in zijne cirkelvormige baan, waaruit, door ontbinding, de zamenstellendc snelhedcn, evenwijdig aan de assen der codrdinaten « en y, en dan -■=.-¥■ xai, — — — - jr w, x-- — y — = [x 1 4- y 1 )» = r*a>. Gevolgelijk, wegens het, voor een zelfde element. standvastig zijn van r, waarmede het voorste lid der vergelijking (13) overgaat in omdat de inlegraal belrckking hceft tol al de clcmcnten der massa, die, als onveranderlijk zamenhangende, ook alle op een zelfde oogenblik dezelfde hoekversnelling ^ heliben. Dienvolgens komt de formulc (xYdm-yXdm) (14) zijnde de bekcnde vergelijking, door welke de hoekvcrsnelling ^ wordt bc- paald, waarmede dan verder de hoeksnelhcid « in functie van t zal kunnen gcvonden wordcn. 7. Klaarblijkelijk moet de vergelijking dcr beweging ook verkregen wor- den, door het regtstreeksch elimineren van zoo vele variatign uit de vergelijking der virtuele momenten, als er voorwnardcs-vergelijkingen der variali&n van dc coOrdinalen gcgcven zijn. Beschouwt men * als standvastig, 9t = 0, en den derden term uit de vergelijking der virtuelc momenten afwezig, zoodat zij eenvoudiglijk is QVEREBN KOMS11G I)E REKENKUZE VAN LAliRANGE. 15 f\(x im - £>) u + (tj- - j.) *} = 0. dan zijn er twee voorwaardes-vergelijkingen, • s8x + y8y = 0 en d«d&e + dty = 0, derhalve zoo vele vergelijkingen als variatifin. Van deze de uitdrukkingen der waarden uit de voorwaardes-vergelijkingen bepalende, en alsdan, na subslilutie dezer waarden van 8x en in de vergelijking der virtuele mo- nienten, de uildrukking ondcr het inlegraal-teeken aan nul gelijk stellende, zal dc differentiaal-vcrgelijking der beweging moeten komen, of liever, men zal, ceniglijk door die substitutie, de uitgedruktc integraal van deze verge- lijking hebben. Om 8x en dy uit de twee voorwaardes-vergelijkingen op te lossen, diffe- rentiere men de ecrste dezer vergelijkingen, en eliminere daarna 8x en %8» door middel van de beide voorwaardes-vergelijkingen, dan komt 8y ^ dy (*dy — y*x) — — (*ty — yd*) - •-= 0, X 0X dal is ^8y $x 8y x ' Bijgevolg 8y = Cx, en dan <3.r — - - Jy = — r y. x Hiermede gaat de vergelijking der virluele momenlen ovor in J{— [x&n - *-*dmJ Cy + ^Ydm - d»^C*j = 0, weike, deu standvastigen factor C opheffende, na eenvoudige verschikking van termeu juist de boven gevondene vergelijking (13) zal opleveren. 8. Zoo er geen krachten onafgebroken op de elementen der massa wer- ken, maar dat bet ligcbaam is in bewcging gebragt door de onherhaalde botsing eener kracht, of ook door een koppel van krachten, dat slechts een enkel oogenblik heefl gewerkt, zal, gelijk bekend is, de draaijende beweging i I 16 BIJDKAGE TOT DE TOEPA^SING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, ■ eenparig zijn. De vergelijking (14) leerrdit ook; want Xdm en Idm nul zijnde, wordt deze vcrgelijking aan welke alleeniijk kan worden voldaan door — = 0 tc stellen, waardoor m slandvastig wordt. Nog zou inen lot deze zelfde uilkomst zijn gekomen, door het voorstel voor hct thans geslelde bijzondere geval evcnzoo op te lossen als voor het geval der meer algemeene vooronderstelling. Daartoe raoet men dan deze vergelijking der virtuele moraenten behandelen Zij zal voeren, bij het cveneens te wcrk gaan als boven, tot dit stel van vergelijkingcn d'y, , o w , v v _ A (15) \ = o. En dcze geven, door gelijkvormige berekening als in art. 5, of Alhoewel deze zelfde uilkomst, als wclke de vergclijking (14) onmiddellijk gcefl, te voorzien was, en daartoc dan ook het aanduiden der vergelijking van de virtucle momenten voor dit bijzonder geval, zoo mede dat der ver- gelijkingen, die cr uit verkregen worden, geenszins noodig was, is dit nog- tans niet nagelalen, omdal in een der volgende artikels op de vergelijkingen (15) wordt teruggekomen. Leert evenwel deze berekcning, even zoo als de algemccnc vergelijking (14), dat a standvastig is indien er gecn krachten staande dc heweging werkzaam blijven, zij lcerl ook niets meer. Noch zij, noch dc vergelijking (14), Digitized by Googj OVEREENKOMSTIG DE KEKENWIJZE VAN LAGKANGF. 17 doen de grootte van deze onveranderlijke hoeksnelheid kennen. Zij is die, welke bij den aanvang der bcweging op eens of plotseling is medcgedoeld door eene kracht, die slechts een oogenblik gcwerkt heeft. Door deze andere voorondcrstelling is de aard van het voorstel gewijzigd, en om het onbe- kende te vinden, moet worden uitgegaan van ecne vergelijking der virtuele momenten, uitsluitend op deze bijzondere vooronderstelling gegrond. Hoedanig ook de beweging aan de massa zij medegedeeld, hetzij door de werking eener enkele kracht of van een enkel koppel, hetzij door gelijk- tijdige werking van mecr krachten of koppels, hetzij door aanbotsing als anderzins, altijd zal de uitwerking kunnen worden teruggebragt tot die, welke plaats heeft in het geval cener medcdeeling van de bcweging door eene enkele kracht. Zij P de grootle van zoodanige kracht, welke door botsing, schok of stoot, of door eene ontwikkelde hoeveelheid beweging, veroorzaakt heeft, dat de massa m om de vaste as draait. Klaarblijkelijk moet daartoe de rigting der kracht niet door de as gaan, er moet afstand zijn tusschen de rigtingen der as en der beweegkracht. Zij ook aangenomen, dat de kracht hebbe gewerkt op of tegen ecn bepaald en bekend punt der massa (of al- thans in eene rigting, gaande door zoodanig puut), alsmede dat hct vlak, gaande door dit punt loodregt op de as, zij het vlak der coordinaten *, y van de elemenlen der massa. De geheele massa, dat is al de elcmenten frn gc- zamenlijk, door de kracht P in beweging gebragt zijnde, kan men, alhoewel deze kracht slechts op of tegen een enkel punt van het ligchaam haar ver- mogen hecft uitgeoefend, aannemen, dat dezc werking over al de elementen verdeeld was. De krachl P bijv. ontbonden zijndc in hare drie zamenstel- lende X, Y, Z, evenwijdig gerigt aan de coordinaten-assen, kan elke dezcr, in evenwijdige rigtingen, gedacht worden gelijkelijk verdeeld of ontbonden te zijn over allc elementen der massa, zoodat dan op elk element, en even- wijdig aan de coordinatcn-assen, dric krachten werken, die door dX, i>Y, dZ kunnen worden aangeduid. 