title: Commentatio ad quaestionem astronomicam ; a nobilissimo disciplinarum mathematicarum et physicarum ordine Academie Gandavensis propositam, anno M. DCC. XXII. "Data duurum locorum differentia latudinis et linea loxodro mica, invenire differenentiam longitudinis eorum dem." Quae praemium reportavit die VII Octobris M. DCCC. XXIII.
creator: Verdam, Gideon Jan, 1802-1866
text: Er zijn nu gcen versnellende krachten; er worden hoeveelheden bcweging medegedeeld, en deze moeten derlialve uitgedrukl worden door producten van massa cn snclheid. De snelheid ~van beweging van eenig eloment, heb- bendc x, y, z tot codrdinaten, evenwijdig aan de coordinatcn-assen ontbonden zijnde, zullen de zamenstellende snelheden worden uitgedrukt door » dx dy d< bt' d? d<* 31 KATTTOBK. YERH. T>ER KONtVKt. AKADSMII. DEEL X. 18 BIJDRAGE TOT PK TOEPASSING VAN HET BEGIN9EL VAN D'ALEMBEBT, Daarom zal nu de vergelijking der virtuele moraenten deze moeten zijn: /i(> x - *• ■ *) " + ( 5 1 " *• th + ( J 1 - * • %) " 1 = °- Verbindende met deze, op dezelfde wijze als welke in art. 5 geyolgd is, de voorwaardes-vergelijkingen der variatien van de coordinaten 2**« + ly&y = 0 en 2d*d** + 2dyd*y = 0, dan komt men tot deze vergelijkingen dX -^dm + 2i,*-2d(i,d*) = 0, j I dY-^d» + 2X iy -2d(l,dy) = 0, l a6) dZ + i, = 0. / En hieruit, even zoo als de vergelijking (13) is verkregen, Is « de hoeksnelheid, in het enkel oogenblik der werking van de kracht P aan de massa medegedeeld, dan zal altijd &p ^y ^ ( = -«y, en dl = + ~ zijn, en de integraal in het eerste lid der voorgaande vergelijking alleenlijk betrekking hebbende tot de massa, zal dezc vcrgelijking overgaan in « jr^m = J(*dY — ydX) = j x*Y — jy*X. De intcgralen in hel laatstc lid zijn eigenlijk sommen van momenten, die, naar de anngenomnnc vooronderstelling, gelijk moeten zijn aan de momenten der onverdeelde zamcnstellende krachten X en Y. Zoo derhalve, in het cocrdinaten-vlak *y, a en * zijn de coordinaten van hct punt, waaropde kracht P heeft gewerkt, zal j xdY = aY en j ydX = bX zijn, en daarom cb Jr> dm = Ya — Xb (17) ln dezc vergelijking is het tweede lid een verschil van twee momenten. Digitized by Googl O VEREEN K.OMSTIG DE REK.ENW IJ233 VAN LAGRANGE. 19 In de plaats van dit verschil kan gesteld worden het moment der kracht Q = i/(X» + Y'). Is derhalve p de lengte der loodlijn, uit den oorsprong der cooidinaten op de rigting der kracht Q getrokken (weike iengte p niet on- derscheiden is van den afstand tusschen de rigtingen van de vaste as en der kracht P), dan is Qp de grootte van hel momcnt der kracht Q; het is ook het moment der krachl P, voor zoo veel zij draaijende beweging mededeelt of kan mededeelen. En hiermede wordt de laatstc vergelijking vervangen door » jr**m = <Zp (18) Deze is de vergelijking der beweging van een vast ligchaam om eene vaste as, bijaldien geen krachten op dit ligchaam werken of blijvcn werken, nadat het op een oogenblik is in beweging gebragt door ecne kracht, hcb- bende een vermogen Q, of door welko eene hoeveelheid beweging, aangeduid door Q, kan worden ontwikkeld of medegedeeld. De . vergelijking geeft de bekende uitdrukking voor de grootte der medegedeelde hoeksnelheid », waar- mede het ligchaam zal blijven draaijen, zoo lang de beweging niet wordt belemmerd, hetzij door vreenide krachlen, hetzij door oenigen wcderstand. 9. Laat nu worden overgegaan tot het bepalen der grootle van de druk- kingen, zoo bij de beweging, als ten gevolge van de werking der krachlen, uitgeoefend op de elementen der massa, en dan ook geleden wordende door de as, die aan deze uitwerking wederstand moet bieden. Ofschoon, naar de orde van het tot hicrtoe beriandelde, eerst zou moeten gelet worden op hel algemeen geval der veranderlijke beweging, teweeg- gebragt door een voortdurend werken van krachten op de clementen der massa, worde nogtans eerstelijk en afzonderlijk ovcrwogen hetgeen er, ten aanzien van drukking of schok, wordt uitgewerkt, zoowel bij of onder de eenparige draaijende beweging eener massa, als op het oogenblik dat deze beweging door ecnige kracht aan haar wordl medegedeeld. Bij de eenparige beweging der trage massa wordt, ten gevolge der bewe- ging zelve, drukking of spanning uitgeoefend op de elementen, en van deze op de as. Deze drukking moet bepaald worden door den factor A, uit de vergelijkingen (15), welke geven 81» 20 BIJDRAGE TOT 1>E TOEPAS8ING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, Haar (zie boven) derhalve en dan -=-« y en - = + ". — = — w — — «'« cn -— • = » — — — to - v , X, = — {w 1 xtm - 2d(A,d*)} = — {«'ydm- 2d(*'dy)}. Deze waarde van X, heefl slechts betrekking tot een enkel element bm, dat met onmiddellijk aangrenzendc elementen zamenhangt. Met betrekking tot zoodanig element zal de uilgeoefende of gcledene drukking, naar aanleiding van de algemeene formule (2), bekend worden door dat is, uithoofdc van L, = * l +y» — r» = o (3), en verder lettende op het teekcn van U, ovcreenkomstig het teeken der uitdrukking voor X lt X,V, {(2,)>+ (2y)'} = A lr /4(*» + y») = r — {»» xfrn— 2d(i, d*)} = = {»> ydi» — 2^(X, dy)}. Deze drukking wordt uit^eoefend in eene normale rigting tegen de baan, door het element dm in de beweging gevolgd. En vermits deze baan is een cirkel, loodregt op de as van omwenteling gerigt en in dezc as ziju raiddel- punt hebbendc, zal de drukking uitgcocfcnd worden op liet element in de rigling van den straal, van de as af naar het element. In deze zelfde rig- ting wordt dan de as gedrukt of getrokken, en in de tegenovergestelde rig- ting moet zij wederstand bieden. Duidt men deze elementaire drukking, lood- regt tegcn de as uilgeoefend, door <L aan, dan is: d r = - {«» xdm - 2d (X s kc) = H {»> y *m _ 2d (X, dy)}. x y Denkt nien deze drukking, in de rigting van den straal r uitgcoefend wor- dendc, ontbonden in twee drukkingen, evenwijdig aan de assen der coordi- naten x en y, dan blijkt dat de twee uitdrukkingen voor d r juist die zijn, welke de zamengestelde drukking d r zouden geven door middel der uitdruk- L OVEREEN KOMSTIO DE RKKENWUZE VAN LAGRANGE. l 2i kingen voor de zamenstellende drukkingen d z en d y . Maar dan volgt daaruit wederom dat op eenig. element, hebbende *, y, * (z onbepaald maar stand- vastig zijnde onder de beweging) tot codrdinaten, drukkingen worden uitge- oefend evenwijdig aan dc assen der coOrdinaten * en y, in grootte bepaald door De integralcn van deze vergelijkingcn, uitgostrekt over de geheele raassa, zullen de totale zamenstellende drukkingen gevcn, en elke dezer zal ook ge- lijk zijn aan de zamengestclde of enkelc drukking loodregt tegen de as uit- geoefend, de ecrste in het coordinatcnvlak xz> dc tweede in het coordinaten- vlak yz. Zoo dan dcze drukkingen aangeduid worden dodr D* en D y , en dat 1„ x en y aan de limieten der integralen zijn l" t , X' Jt x", », y" en y', zal indien namelijk y t zijn dc codrdinaten der projectie op het vlak xy van hcl zwaartepunl dcr bewogcne raassa, en betrekking hebbende hetzij tot ecne bepaalde belickkelijko stelling van het ligchaam (eene stelling bijv. mot be- trckking tot die bij hct begin der beweging), hetzij tot een bepaald oogen- blik des tijds eener geheele omwenteling der massa. De drukkingen d,,d y wordcn oorspronkelijk uitgcoefend tegen of op het element dm. Denkt men ze overgebragt tegen de as in de co6rdinaten-vlak- ken xt en yz, dan ontstaan er tevens twee elemcntaire koppels, loodregt op de as van omwenteling (de as der ordinaten s), wclke te zamen het enkel koppel k t — xd 9 — yd x geven. Er is derhalve ook een zamengesteld of totaal koppel K, loodregl op de as van omwenteling, maar de beweging om dc as d, = «'idm- 2d (X s dx), A 9 =^y^m~2d(^^y). (19) zijn. Maar (zie boven de vergelijkingcn (1^)) de waarden van A, aan de grenzen der inlegralen zijn nul; gevolgelijk 22 BIJDRAGK TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT. onbelemmerd kunnende geschieden, zal dit zamengestelde koppel van drukkin- gen klaarblijkelijk nul zijn. De berekening leert dit ook. Want K,= J(*d y — yd,) = »»J(xydm — y*&m)— 2 J (* d(X,dy) — yd(*,d*)) = 21", (y' V - *"dy") — 2 X' , (y'd*' - *'dy') + 2 j*,*y - 2 J*, dy = 21", (y"d*" — *"dy") — 2 *',(y'd*' - *'dy'), dat is = nt«{ omdat X", en nul zijn *. Maar de elementaire drukkingen d» en d y tegen de as in de vlakken *z en y* overgebragt zijnde, werken op de vcrschillende punten der as, en wel elk paar op den afstand « van den oorsprong der cotirdinaten, indien « is de afstand van het element dm, waartoe deze drukkingen bebooren, tot het codr- dinaten-vlak *y. Door elke dezer drukkingen bestaat derhalve eene poging om de as van omwenteling le draaijen om de twee andere codrdinaten-assen, en het vermogen daartoe is evenredig aan het moment van die drukking ten opzigte van den oorsprong der coordinaten. De sommen dezer momenten moe- ten gelijk wezen aan de overeenkomstige momenten der totale zamenstellende drukkingen, en hieruit worden dan bekend de twee punten der as, waarop ♦ Met betrekking tot het hier bcschouwde koppel van drukkingen K, of k, merkte de Heer Stamkabt aan, dat „danr d r eene drakking vooratelt in de rigting van dcn straal r, daaruit gcen „koppel kan geboren wordcn." Hiermede zal waarschijnlyk bedoeld zijn, dat het koppel K, of k, uit den aard der zaak nul is, of wtl dat tot dit nvl zyn terstond mogt worden beslotcn; dat dienvolgcns het gevcn van bcwjjs, door opzettelyke berekeuing, overbodig was. Inderdaad zou ook in dezen zin zijn bealoten, indien alleenlijk ware geredencerd over de normale drukkingen tegen de elcmenten der massa, en dat deze drukkingen langs de normale rigtingen of stralcn r waren ovcrgebragt tegcn de as, vcrvolgens ont- bonden gcdacht, enz. Dc schryver stelde zich evenwel voor om het bcwijs ook te geven uit de beschouwing der zamenstellcndc drukkingen op de elementen, voornamelijk om aan te toonen dat, overnenkouistig de strekking zijuer Bijdrage, de naar de rekenwijze van Lagrange vcrkregcno for- raulen, by het gebruik maken van onbepaaldc vermcnigvuldigers, eveneens tot het bcsluit der waar- heid moeten voeren. Verder is door den Heer Stamkakt de juiste opmcrking gemaakt, dat tot K, = 0 korter kan worden beslotcn, ouafnankelijk van de grenswaarden van a,. Want uit de boven gevondene twee uhdrukkiugen voord, volgt onmiddellijk 2y <XA,d*) = 2*D(>,dy) of 2 (*d(*,dy)— yd(l,d*)} = 0. Dienvolgens is clke der twee termen in bet derde lid der vergelyking K, = J(*d,— yd x ) = < aan nul gelijk, cn daarom K, = 0. Het integreren bij gedeelten en het letten op de grenswsar- den van 1, wordt daarby onnoodig. I OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 23 deze totale drukkingen worden uitgeoefend. Zijn *' en t" de afstanden dezer punten tot den oorsprong der codrdinaten, dan zal men hebben (*d x (zd, _ * ji { De uitdrukkingen voor D,, D y en K, zijn uit die voor d, en d, gevonden, zonder dat hel noodig was de algemeene waarde van te kennen. Alloen- lijk moesten de bijzondere waarden van 1, aan de limicten der integralen bekend zijn, en men bad A\ = 0 en V t = 0. Dit is evenwel ontoereikend ter bepaling van f «d, en J zd y . Men vindt bijv. jtd,=»*fxz*tn-2fti> (A,d*) = »» jxzbm - 2 — *V&0 + ij l t fc> d*, dat is f *d x = w* f xt^m + 2 f wcsbalve bekend moet wezen ter bepaling van f ?d„ gelijk dit eveneens gevorderd wordt voor de bepaalde uitdrukkingen der waarden van dc druk- kingen d x , d^ De factor A, wordt bepaald door de twee eerste vergelijkingen (15). Maar terstond heefl men uit de vergelijking (a), waaruit (15) is verkregen, door XJm, Yjm en C nu( te stellen, Zoo lang de integraal onbepaald is, heeft 1, geen betrekking tot elementen, aan de limieten geplaatst of gelegen, maar tot eenig element der massa. Tot welk element echter de integraal ook uilgestrekt mogt zijn, altijd zal zij nul wezen, vermits C nul zijndc (zie art. 5, na de vergelijking (a)), de uitdrukking onder het integraal-teeken steeds nul is. Immers = — »* * en = — w 1 y, en daarom Het tweede lid der eerstvoorgaande vergelijking dan nul zijnde, moet elke 24 BIJDRAGK TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL YAN D'ALEMBERT, l t nul zijn, gelijk te verwachten was, dewijl i, betrekking heeft tot de voorwaarde van het onderling verband der elementen, en deze zamenhang kan hier, even zoo bij de beweging der massa, als wanneer zij is in rust, niets toebrengen tot het meer of mindcr zijn van de drukking tegen de as. Dcze dan onafhankclijk van 1, zijnde, komen vooreerst in de plaats der uit- drukkingen (19) deze twee anderc gehecl hepaaldc CL = <o- x^rn eil (^^«'ydm, (21) welke zijn dc bekende formulcn of uitdrukkingen voor de grootte der zamen- stellende drukkingcn op eenig element, verbonden of niet verbondcn met, maar sluitende aan de omringende elementen. In de tweede plaats heeft men nu ook, hetzij hjermede, hetzij rcgtstreeks door de uitdrukking voor ^U,, bo- ven verkregen, de bekende uitdrukking voor de grootte dcr drukking op het element in de rigting van den overccnkomsligen straal d r — oo- rdm, (22) tcvens zijnde de uitdrukking van de middelpuntsvliedende kracht, door de heweging van geboren en de genoemde drukking veroorzakende. En in de derde plaats zullcn nu ook de momcnlcn sd t cn sd 9 volkomen bcpaald zijn, cn dan ook de punten der as van omwcnteling, die dc totale zamen- stellende drukkingen D„ D y lijden, of ter plaatsc van wclke de as in twee loodregte rigtingen gedrukt wordt (ten gevolge van de werking der ontwik- kelde middelpuntsvliedende krachten). Want de plaatsen dezer punlen heeft men nu door deze twee insgelijks bekende formulcn: Wordt e" = t' bevonden, dan wordt de as ook op een enkel punt gedrukt. Gelijk blijkt uit de formule (20), zal dan de enkele of zamengcstelde druk- king D r gerigt zijn in het vlak, gaande door dc as en door het zwaartepunt, terwijl hare grootte zal bepaald worden door de formule D r = »* roj/ (a-, 1 + y, 1 ) = mr, (24) Dc as wordt bijv. slechls op cen enkel punt gedrukt, indien het ligchaam is eene stofTelijke schijf van zcer gerioge dikte, zoodat zij als een stoflelijk plat vlak zou kunnen aangcmerkt worden, en onder voorwaarde dat de aszij loodregt op dit vlak. Want alsdan hebben de ordinaten * van al de OVEREKNKOMSTIG T)E KEKENWUZIi VAN LAGltANGK. 25 elementen d«* zoer nabij eenc zelfde grootte C, en de formulen (23) geven s"=zz' = t, zoodat de enkele drukking «'mr, ook uitgeocfend wordt in de rigling der lijn r,, uit liet zwaartepunt der schijf loodrcgt op de as ge- trokken. Is de as van omwenteling eene der drie hoofdassen van het ligchaam met belrekking lot den aangenomcn oorsprong dcr coordinaten, — is derhalve het vlak der codrdinaten * cn .</ hct viak der bcide andere hoofdassen, gaande door den oorsprong, dan worden :' en *" nul, en dc as wordl dan ook slechls in een enkel punt, ter plaal.sc namelijk van den oorsprong der coordinaton, gedrukt. Ligt bovendien hel zwaarlcpunt op de as (zoo deze is eene hoofdas), dan zal de draaijende beweging dcr massa geen drukking op deze hoofdas ver- oorzaken, omdat en y, nul zijn, cn bijgevolg ook r, r= 0. Is de as geen hoofdas, maar ligt hel zwaartepunt ergens in de as, dan kunnen de voorgaande formulen niet regtstreeks worden toegepast. De coor- dinatcn x, en y, nu nul zijnde, worden de zamenstellende drukkingen T) x en V 9 (formulen (20)) nul. Dit nul zijn komt alsdan voort uit hct bestaan van twee paren van golijke en tegenovergesleldc drukkin^en, het eerste paar in het codidinalen-vlak xj, het tweede in het codrdinaten-vlak yr, maar do dmkkingen van elk paar worden tegen verschillende punten van de as uit- geoelend. Met andere woorden, er zijn alsdan twee koppcls van drukkingen, die, tut een zcllden arm herleid, ook tot cen cnkel koppel kunnen zamen- gesteld wordcn. llcl vlak vau dil enkol koppcl g.iat door de as en maakt eon hock met dc codrdinatcn-vlakken xz en ijz, lcrwijl dc puntcn dcr as, in welke zij door de twee krnchlen van hct koppcl worden gcdrukt, clkc twee vorschillende punten der as kunnon zijn. De afstand toch dozer punlon is de arm van het koppel, en van dezen kan de grootte willekeurig zijn, zoo slcchts de groolte van het koppel, dat is het moment van het koppcl, niel veran- deid wordt. Dc grootte derhalve zoowel als de plaats van een der tweo gelijke diukkingen is volstrektclijk onbcpaald, on hol hepaalde, dat men zou kunnon verlangen le welen, hangt eeniglijk af van den vorm des ligchaams, van de betrekkelijke rigling der as waarop hot zwaartepunt ligt, en van bij- zondere gestelde voorwaardon. De dcrde vergelijking (15), — namelijk X, = 0, — waarop nog niet is gelel, leert dat, onder de beweging cn door de beweging, dc elcmenten dei massa, — en dan ook de massa zelve, — in de rigting evenwijdig aan do as goen drukking of spanning lijden. Derhalve wordt ook, bij tlo eenparige 32 NATULHK. verh. dbb koninkl. akawemie deei. X. 26 BIJDRAGE TOT DE TOLPAS3ING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, draaijende beweging der massa, de as in hare rigting niet gedrukt, gespan- nen of getrokken, zoo als uit den aard der zaak onmiddellijk kan worden opgemerkt. 10. De as wordt ook gcdrukt of geschokl door de werking der kracht P, die de massa in beweging brengt, en door de tegenwerking der massa bij het ontvangen van den schok of stoot. Deze uilwcrking heeft echter alleen- lijk plaats bij het begin der beweging; zij duurt niet voort. Ter bepaling van harc giootle moelen de vergcltjkingcn (16) dienen, en wel, in de eerste plaats, dc twee cerste dezer vergelijkingen. Zij geven: K = -~ jdX - f ( dm - 2?(1, *r)| = - X - {c>Y - Jdm- «d(l, djr)}. Ilierin — »y in plaats van ^ en «* voor ^ slcliende en daarua met U,= — £r vermenigvuldigende, komt l , U , = - {dX -f- wy - 2d (i, **)} = - {dY - «x dm - 2* (*, fr)}. x y Ilier zou nu wederom dezelfde gang van rekenen als in art. 9 kunnen ge- volgd worden, ter verkrijging van de uitdrukkingen voor de grootte der zamenstellendc totalc drukkingen en dcr koppels van drukkingen, maar om de plaats dcr punten van de as, in wclkc deze gedrukt wordt, te vinden, is de bepaling van A, noodig, en het is korler dal deze bepaling vooraf geschiede. Op de wijze, in art. 5 gevolgd om de vergelijking (a) te verkrijgen uit de vergelijkingen (9) cn (10), zal ook uit de twee eerste der vergelijkin- gcn (16), — en leltende op ^ = — «y, ^ = + »*, »* + y* = — ge- vonden worden 2l s (y&r-* t \v) — j{wr'}>m — (xdY-ydX)}. De factor X, heeft hicr belrckking tot eenig element %m, en de integraal in het tweede lid dezer vcrgelijking is onhepaald. Zij kan gedacht worden uit- gestrekl te mocten worden tot dat element ^m, waar ook binnen de roassa gelegen, en dan is dc intcgraal zoowcl nul voor hel gedeelte als voor de gcheele massa. Moesl zij wordcn aangemerkt alleenlijk betrekking te bebben lot eenig eleinent, tot ecn enkcl element, ook dan zou zij nul zijn, omdat de uitilrukking ondcr het inlcgraalteeken nui zou wezen. Immers OV EREEN KOMSTIG PE RKKENWIJZE VAN LAGRANGE. 27 u>r» = xdY — ydX is de vergelijking der draaijendo beweging van een enkel vrij element. Daarom dan «r 1 dm — (*W — y dX) = 0, en zoo dan, in elke vooronderstel- ling, — 0, Men zou kunnen aanmerken, dat dit nul zijn van had kun- nen aangenomen worden uit het hieromtrent reeds ontwikkelde in art. 9. Het kwam evenwel niet geheel ovcrhodig voor, zulks ook af tc lcidcn uit de vergelijkingen (16), welke in hct ondcrwerpclijk geval van beschouwing moes- ten worden behandcld. Meer bcpaaldelijk is derhalve *,U, = = r {dY-«*dm} (25) x x Deze uildrukking gecfl de grooltc dcr drukking d,, op eenig element frn uit- geoefend in hel vlak der beweging van dit elemcnt en in de rigting van den voerstraal r. Mcn heeft hieruit, of door soortgelijke overwegingen als in arl. 9, d, = dX + «y %m, d 9 = dY — mxdm (26) En dan, zoo x t en y, zijn de afstanden van het zwaartepunt des ligchaams tot dc vlakken der coflrdinatcn y, z en *, z, D x = jdX+a j !fdm=.X + (amy t , D, — j dY — * j x*m = Y — (27) Indien inen elke normalc drukking d,, tegen de as uilgcoefend, ontbonden denkt in twee drukkingon d z cn d y , dan zijn de rigtingen van deze zamen- stellende drukkingen in de coordinalenvlakken ** cn y: gelegen, en dan zijn I>x en Dy ook de totale zamenstcllondc drukkingen tegen dc as. De punten der as, waarop zij worden uitgeoefend, zijn dan nog onbekend. Om de plaats dezer punlen evenwel op de meest algemeene wijze te bcpalcn, is het noo- dig cersl nog te letlen op de drukkingen, welke evenwijdig aan de as op de clcmenten zouden wordcn uitgeoefend, indien mcn algemeen stelt dat de rigting der kracht P niet is cvenwijdig aan hct codrdinalen-vlak xy , en dat deze kracht dienvolgens is onlbonden geworden iu drie zamenstellende krach- ten X, X, Z. De dcrde der vergelijkingen geeft K = - 28 BIJDKAGE TOT DK TOKIWSSINU VAN HKT BKGINSKL VAN D'ALKMBKRT, De voorwaardcs-vergelijking, waarloe A, bctrekking heclt, is • J i ~ z — C = 0 ; derlialve Elk elcinenl ondervindl dimvolgens in de rigting, evenwijdig aan de as, ecne drukking f |. = i 1 U l =dZ, <*«) en de tolale drukking ovenwijdig aan de as is l)e gewone wijze van herleiden en zamcnslcllcn nu volgende, kunnen de drie drukkingen op clk elemenl vervangen worden door drie dcrgelijke drukkin- gen langs de ovcreenkomslige cotirdinaten-assen, en door drie koppels van drukkingen loodrcgt op deze assen. Dc soin van alle drukkingcn langs cene zelfde as zal de zameugeslclde of tolale drukking in de rigling van deze as geven. Voor een enkel element dm zouden de diie koppels van drukkingen k*, k y . k x zijn k* = yd, — *d,, k, — td t — xd g , k, = xd y — yd*, dat is, door de formulen (20) en (28), k*rrydZ — * 0 Y -J- ai * z £m , j k, ~ *AX — xdZ + tayzdm, | . . (30) k s — x$X — tox 1 frn — ij - coy 1 = A-dY — g dX — «or l d*»- De 4jitdi ukkingcii voor de grootte der zamcngestelde koppcls K,, K y , K z zul- len zijn jle iiilegraleu der tweede lcden van deze dric vcrgelijkingeu (50). Let men nu, l»ij hel nemen dcr inlegialen over de gi'heele massa, op hel- geen is aangemcrkt in ait. 8 bij het vormen der vergelijking (17), te we- ten dat j *d Y = a Y, j y d X = bX is, en slelt men bovendien, mcer alge- meen dun iu dat artikel, dat het werkpunt- der kracht P niet gelcgen zij in het coordinateii-vlak xy, maar op ecnc verwijdcring c van dit vlak, zoodat J*i)X=cX en j j^Y = cY zij, dan komt K X = Z6— Yc + u, j xzdm, &y = Xc — Za + a» j y z Om K, — Xa-Xb-a j r»0« (31) De uitdrukking voor K z , aan nul gelijk gestcld, geeft de vergelijking (17) der draaijende bewegiug, en met dc uitdrukkingcn voor K y en K, zal men nu hebben: K Xc Za + w j yz dm t * — , I - D, X + o>«y, f K Zb — Yc + « J xzdv \ D« Y — co m x , 50 BUPRAGE TOT HE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN IVALEMBERT, Bij hel mededeelen der beweging, dat is bij hel bogin der beweging, als de massa met oene hooksnelheid o» zal aanvangen te draaijen, worden er dan, in het algcmeen, drie drnkkingen geleden. Eene, D,, in de rigting der as, en twee andere loodregt tegen de as, te weten D r in hel eoordinaten- vlak xz op een afstand z' van den oorsprong, en I», in het coordinaten-vlak yz op een afstand s" van den oorsprong der eoordinaten. Onder de bcweging zelve beslaan dezo drukkingcn niet. Echter kan het geval plaats hehben, dat het ligchaam, op eonig oogenblik der beweging, door cene kiacht P' gebotst wordt en op nieuw in de eene of andere rigling een stoot ontvangt, zoodat de hoeksnelheid » posilievelijk of negalievelijk zou veranderen. De drukkin- gen, hieruit ontslaandc en op dat oogenblik komendc bij die, welke de middelpuntvliedende krachteu overeenkomstig de nog onveranderde hoeksnel- heid w hebben te weeg gebragt (formulen (20)), wordcn eveneens door de voorgaande formulen bepanld, mits u> dan zij de positievo of negatieve aan- groeijing der bestaaiule boeksnelheid. Indicn de afstanden z en bevonden worden gelijk te zijn, zullen de twee drukkingen r> r on D, tot eenc enkele drukking zamengcsteld kunnen worden. Dit zal bijv. het geval zijn indien de vaste as is eene der drie hoofdassen van het ligchaam met betrekking tot dr>n aangenomen oorsprong der codrdinaten, en dat de kracht P is gerigl geweest in het vlak (ry) der beide andcrc hoofdassen. Want alsdan zijn de tellers der gebrokene uitdruk- kingen (32) nul, en daarom ook z - 0 en *" 0. De enkele drukking zal worden geleden tegen het punt der as, dal als oorsprong dor coordinaten is aangenomen. Gaat de vasle as tevens door hel zwaarlepunt, dan is D, _^ X en Pjr = Y, en de gmotlc dor eukcle zamengeslelde drukking zal — P zijn, gelijk ook de rigling, waarin zij wordt uitgeoefend, evenwijdig zal wezen aan dc rigling, waarin do kracht P lieeft gewcrkl. Eveneens zullen z en z" gelijk worden on de twee drukkingen D, en D f tol eene enkelc drukkiny hcrlcidbaar zijn, bijaldien de vaste as is eenc der drie hoofdasscn, wclke tot hot zwaartepunt behooren, derhalve eene der drie voorname hoofdassen, en dat de kracht P heeft gewerkt in eenig vlak, lood- Digitized by Goog OVEREENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. .11 regt op de as gcrigt. Want zoodanige as is, gelijk mon weet, hoofdas met belrekking tot elk van bare punten, en men behoeft daarom het aangeno- mcn coordinaten-vlak *y slecht evenwijdiglijk verplaatst te denken, zoodat het ga door hel punt der as, alwaar dcze door het pas genoemd loodregt vlak wordt gesneden, — of liever, zoodat het invalle met het vlak der kracht P, — om dit geval tot hct voorgaande lerug te brengen. Is de rigting der kracht in een vlak, loodregt op de as van omwenteling, cn is deze as eene boofdas van het ligchaain mct betrekking tot hel punt, waariu zij genoemd vlak snijdt, dan worden dc beide drukkingcn op dit zelfde enkele punl uitgeoefend en kunnen tot een drukking worden zamen- gesteld. Deze enkcle drukking grooter en kleiner kunnende zijn, zou ook nul kunnen wezen. Maar dan zijn ook D» en D, nu/, en men heefl (27) X — — to m j/ , , Y = -f* ; weshalve X y, ***** Hieruit volgt, dal dc rigling der kracht loodregt moet zijn op dic der lijn r, , veieenigende den oorsprong der coordinaten mct de projectie van het zwaartepunt op hel vlak *y (en gelijk zijnde aan den afstand van het zwaarte- punt tot de as), waarin de kracht P heeft gewerkt. Derhalvc moet de rig- ting der krachl loodregt zijn op het vlak, gaande door de as en hct zwaarte- punt der massa. Bovendien zal uit ♦ l/(X l + Y') = P = «mr, en (18) l>p = v j r*l>m volgen fr>dm P = — , voor den afsland tusschen de rigting der kracht en dc as, opdat deze, cn als dc kracht de gcnoenide loodregte rigting heeft, bij het plotselijk mede- gedeeld worden der beweying, maar dan ook allcenlijk op dit oogenblik, noch gedrukt noch gehotst worde. De vcrkregene uitkomst is dc bekende, ler bepaling van het zoogenaamd middelpunt van botsing. Indien, eindelijk, de bewcging niet is medegedeeld door cene enkele kracht 1', maar door een koppel, welks as is de vaste as, of evenwijdig aan 52 BUDKAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D^ALF.MBERT, de vaste as, dan zijn X en Y nu/, en de vasle as zal niet gedrukt worden als zij slcclits door het zwaarlepunt gaat. II. Dezeirde gang van rekenen moet gevolgd worden, ter hepaling van de groolte en de plaats van de drukkingen, welke tcgcn de vaste as wor- den uitgeocfend bij cene verandeilijke beweging der massa. De fonnulen (9) en (10) geven *• - "S |( x -^) *— *»f».«| = - £ {(*-&)»— «»<Mr>|. U, is, als boven, = — 2r , en daarom *' u ' =; I( x -J'.') »— »»<»H = ; |( Y »■ - «»<*.*>|- Vermils ^ = - wy en ^ = + we, zal, daar « veranderlijk is, o» v' — = — »t — » — — — y — — » l *, en ^ , = + x ■— — a 1 ^ zijn ; weshalve l ( U l =^ | Xd«n+c. l *dm+,dm^- -.j[Y v m+«^dm_*&m^--2 v (!,&)}. Ilieruit blijkt, dat, veimils dc drukking 1, U, uitgeoefend wordt in ecne rigling, normaal zijnde voor hcl overeeukomstig punt der baan, door het elemeut d« beschreveu, dat is in dc rigtiii!» dcs voerstraals r van dc as naar het elemenl, de zamenstellende drukkingcn, cvenwijdig aan de assen der coordiiiaten * en y zullen ziju d, — X om + »'4». + - vdm ' d 7 — 2t> t A » - / > i ••»*> <L Y + w 1 ^ v»' — Om - — .' Integrerendc ovcr de gclicele massa, dan komt, naar dezelfde gronden, waarop in art. 9 de formulen (20) uit (19) zijn vcrkregen, D x - I Xdm + to 1 mf, + mjf, U y = J v« Ydm + w' my, — m*,. (S4) ^ OVEItEENKOMSTIG DE BEKENWIJZE VAN LAGRANGE. 53 En daar uit de vergelijking (II), art. 5, volgt X t = — Zdm, zal, vermits U, = - 1 is, zijn. Deze laatste drukking is standvastig gedurende de beweging, indien, gelijk voorondersteld is, dezelfde krachlen op dezelfde clementen blijven werken. Maar de drukkingen D x en D y vcranderen van oogenblik tot oogen- blik. Zijn derhalve, voor eenig gesteld of gegeven oogenblik der beweging, de hoekversnelling en de hoeksnelheid door de formule (14) bepaald, dan zullcn dc formulen (54) de zamcnstellende totale drukkingen voor dat oogen- blik doen bekend worden. Bij den aanvang dcr bcwcging kan de hoekver- snelling - aangemerkt worden te zijn de aanvankelijkc hoeksnelheid; mid- delpuntvliedende krachten zijn er nog niet ontstaan, z^odat dc lermen »* en w 1 mjr, alsdan nict in rekening komen, en de formulcn (34) zttllen dan ook mct dc in art. 10 verkregene lormulen (27) overeenstemmen. Is de beweging eenparig, zijn X , Y en ^ nnl, dan gaan de formiilcn (34) ovcr in de formulen (20). Om de puntcn dcr vaste as, ter plaatse van welkc dczc gedrukt wordt, te vinden, rooeten wederom, als boven, de drukkingen op de elemcnlcn over- gebragl worden in de rigtingen der coordinaten-nssen door middel of met tusschcnkomst van koppels, loodrogt op deze assen. Daartoc moeten de druk- kingen d* en d, op de elementen nadei worden bepaald, zoodat zij niet racer van afhangen. Op de wijze als in art. 10, zal uit de vergclijking (a), art. 5 (en van welke vergelijking het tweede lid nul moet zijn), afgeleid worden dat X, , betrckking hebbendc tot een enkcl element, zamenhangende mcl de onmiddellijk aangrcnzcnde elementen, nul is, zoodat dan dc laatste termcn der twcede leden van de vergelijkingen (33) wegvallen. Men kan nu de drukkingen d r , d y , d ; van het element, waarop zij worden uitgeoefend, overgebragl denken op dcn oorsprong der coOrdinalen en gerigt langs de assen der corirdinaten x, y, z, mits alsdan bijkomcn drie koppels k x ,k f ,k £ , loodregt op deze assen en in groottc bepaald door 83 NATBURK. VEKH. DKK KOMNKL AKADKMm DKEL X. 34 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGIN8EL VAN WALEMBERT, (38) k, = yd t — giff = y Z£im — t Y dm — w * yz dm + — xz dm , k, = td x — xd t = :X $m — x Z &m + w 1 xt + — yz &m , [ • • • • (37) k, — xiy — ydz — xY $m — 7 X t W — — (*> + y>). Deze koppels, genomen over de gehcele massa, gevcn de drie totale zatnen- stellende koppels: K x = j (y Z — ; Y) iytn — o* j yz $m + ^ j xzdm, ^ K * = j (* X — J»Z)dm + «' y « dm -|- ~ J > Het laatste dezer koppels is, als koppel van drukkingcn, nul, en de uil- drukking zijner grootte aan nul gelijk gesteld zijnde, geeft de vroeger reeds gevondene vergelijking (14) voor de draaijcnde beweging van het vaste lig- chaam om dc vaste as. De drukking T), is, door het overgebragl zijn der drukkingen <l t in dc rigling van de as der ordinatcn «, de tolale drukking langs de vaste as; zij ondeigaat geene verandering. De drukkingen D, en T) v evenwel, nu langs de coordinaten-assen x en y uitgeoefcnd, kunneu met de koppels van drukkingen K y en K,, loodregt op de assen der codrdinaten, y en x of in de coordinatcn-vlakkcn xz en y; werkende, zamcngesteld wor- den, en daar noch de grootle d«zer drukkingen, noch ook harc loodregte riglingen tegen de as, verandering kunnen ondergaan, zal de plaals, waar zij worden geledcn, veranderd worden. Zijn namelijk *' en «" de afstanden van dcn oorsprong der coordinaten tol de twee punlen der vastc as, ter plaalse van welke zij de drukkingen i) T en D, moet ophouden, of alwaar zij cigcnlijk gedrukt wordt, dan wordt de plaals van elk dezer puntcn bc- kend door de formuien : ^ j{z\ - xL) J,« + w » j xz *m + ^ j yz $m. j X d>n + w' m*, + ^ mif t K* J CvZ - *Y} dm — ^j yz i>m + ^jxz*m 0 VEREEN KOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 35 Wanneer het oogenblik, voor hetwelk de uitgeoefende of geleden wordende drukkingen zullen bepaald worden, is dat van den aanvang der beweging, worden de termen, die »* tot coeflicient hebben, nul, en daar, voor dit eciste oogenblik, - aangeroerkt moet worden als aanvankelijke hoeksnel- heid, zullen de formulen (30) voor dit geval overeenstemmen met of den- zelfden vorm hebben als de formulen (32), in art. 10 gevonden. Is de vaste as eene der drie hoofdassen met bctrekking tot den oorsprong der codrdinaten, en zijn wijders de werkende krachten zoodanig gerigt en verdeeld, of is de massa van zoodanigen vorm en zoodanig door de co6r- dinateii-vlakken gedeeld, dat de sommen der momentcn zX^m cn xZ^m, yZdm en jYdm golijk zijn op eenig oogenblik, of ook dat elke dezer som- men nul ware, dan worden en z" nul. De vaste as zai dan alleenlijk gedrukt worden ter plaatse van den oorsprong der codrdinaten, en de twee ilrukkingen D* cn D y zullen tot eene enkelc drukking kunnen worden za- mengesteld. Ligt bet zwaartepunt in den oorsprong of ook slechts ergens o[> de vaste as, en gebeurl het, door wijze van verdeeld zijn der krachten en door deu vorm van het ligchaam, dat de sommen of integralen jx^m en j Y dm re- kenkuudig nul zijn, dan vinden de formulen (39) gecn loepassing, dewijl dit nul zijn iu liet algeineen tot grond zul hebben het bestaan van twee koppels, die dan ook lol cen enkel koppel zullen kunnen worden zamengesteld. Zijn evenwel deze sommcn of integralcn niel nul, cn is derhalve, in hel algc- meen, D* — J X d»>, D y = j Y bm, even zoo als in elk geval D, = j Z dm is, dan blijkt dat het bewogen worden der massa niets loebrengt tot het groo- ter of kleiner zijn der drukkingen tegen de vaste as. Dcze zal in de rig- tingen, evenwijdig aan de assen der coordinaten x en y, bij de beweging evenveel gedrukt woiden als wanneer er geen beweging plaats vond, maar dat nieltemin dezelfde krachten op de elementen der massa werkzaam wa- ren. Maar de punlen der as, op welke de drukkingen worden uilgeoefend, zullen in het eene geval niet dezelfde wezen als in het andere, tenzij de vaste as tevens eeue hoofdas is. Wanl de termen, welke alsdan uit de tel- lers der gebrokene uitdrukkingen (5t)) zullen wegvallen, zijn de termen, die moeten ontbreken ter bepaling van * cn :" als de massa niet draait of niet 33* 36 BUDRAGE TOT DE TOEPA8S1NG VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, zou kunnen draaijen, hetzij b. v. indien zij tegen de as zoo sterk ware aangeklemd, dat de werkende krachlcn niet zouden vermogen haar te bewe- gen, hotzij dat er, op andere wijzc, eenig ander beletsel bestond. § II. BEWEGING VAN EEN VA8T LIGCHAAM OM EEN VAST PUNT. i 1. Indien cen vast ligchaam verbonden is met een vasl punt, 0111 hetwelk beweging van het ligchaam mogelijk is, kan men zich voorstellen de om- slandigheden dezer beweging te bepalen, in de vooronderstelling dat zij plaals heeft ten gevolge eener onaf^ebrokene werking van kraehten op de elenienten van hcl ligchaam of der vaste massa, zoodat deze telkens, in ver- schillcnde rigtingen, nieuwe indrukkcn ontvangl, en genoodzaakl wordt snel- ler en mindcr snel, en meer of minder op- of neerwaurls geneigd, om het vaste ptint te draaijen. Elel vnorstel ter bepaling van deze draaijende beweging zal opgelost zijn, indien men voor elk oogenblik wcct of kan aanwijzen de slelling der massa met betrekking tot «Irie onderling reglhoekig gerigte coordinaten-vlakken of coordinaten-assen, welke door het Viisle punl gaan en in de ruimte nict van streek veramlcren. Het zou dan genoeg zijn op elk oogenblik de stcl- ling te kennen van twee bepaalde punten der massa, die met het vasle punt niet in dezelfde regte lijn gelcgen zijn. Hct vlak, gaande door deze twoe punten en dooi het vastc punt, is als ware het een coordinaten-vlak voor de puntcn der massa, en eene der twee lijnen, uil het vaste punt naar de twee gcdachle punten getrokken, kan als eenc coordinaten-as wor- den aangemerkt. Kcnt men nu den stand, zoowel van deze lijn als van dat vlak, ten opzigte van do onveranderlijke coCrdinaten-vlakken, dan is hier- door de slelling van het bewogen ligchaam ganschelijk bepaald. Maar het is ccnvoudiger dric ondcrling regthockig gerigte lijnen te denken, gaande OVERF.ENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 57 door bet vaste punt en binnen de massa, of ten opzigte van de elementen der massa, onveranderlijk gelegen zijnde. De viakken dor drie paren van dcze lijuen kunnen als codrdinatcn-vlakken, en de lijnen zelve als de coor- dinaten-assen van de elcinenten der massu aangenomen vvorden. Zij hebben met de bovcngcnoemde onbewegelijko coordinalcn-assen hel vaste punt, als oorsprong der cocii dinaten, gcincen, maar zij deelen in de beweging van het ligchaam en zullen hier heeten de coordinaten-assen der massa. Terwijl de elementen der massa onveranderlijk zamenhangen, bchoudt clk element, bij de beweging van het ligchaam om het vaste punt, een onver- anderlijken afstand van dil punl. De baan derhalve, door eenig element ge- volgd of heschreven wordende, is voortdurend in het oppervlak van een zelf- den bol, wiens middelpunt is het vaste punt. Bij de voorwaarde van het onveranderlijk zamcnhangen der elementcn bestaat hierin de voorwaarde hun- ner gedwongene beweging. De beweging der massa kan alleenlijk eene draaijende beweging zijn. Daarum moel er eene lijn wczcn, gaande door liet vaste punt, om welke, als om eene as, deze beweging geschiedt. Maar is deze as eene lijn, door eenig element dcr massa en door hcl vaste punt gaande, dan is het wel mogelijk dal de dniaijendc beweging om haar voortduurt, als oin eene vaste as; doch het geval, wuarin dit kan plaats hebben, een zeer bijzonder geval zijnde, moel men in het algemcen stellcn, dat deec as niet alleenlijk gedu- rig eene andere slelling ten opzigte van de vaste coordinaten-assen zal hcb- bcn, maar ook dat hare rigting len aanzien van de codrdinaleii-assen der massa vcranderlijk zal zijn. Is derhalvc dc lijn, door eenig clemcnt en het vasle punt getrokken, de as om welke, op zeker uogenhlik, de niiissa eciie draaijende beweging heeft, dan zullen, iu de volgende oogenblikkcn, andere dergelijke lijrien, gerigt naar andere elementen, dic opvolgcud niet gelegeu zijn in de rigting van een zellden voerslraal, eveneens assen van omwenle- ling zijh of kunnen zijn. (ievolgelijk is de as van oinwenleling niet sleclils eenc lijn, welke met de massa om het vasle punt bewogen wordl, maar ook harc plaats of rigting ten opzigle van dc eleincnlen der massa is niet bc- stendig. De beweging der massa is wel eene wenlelende beweging om eene as, maar dit slechts, voor eene zelfde as, gedurende een diflerentiaal-oogen- blik. In een volgend dergelijk oogenblik draail het ligchaam om eene an- dere as, nneindig digt nevens de eerstc gerigt. De draaijende beweging gaat als ware hct onophoudelijk van de eene as op eene onmiddellijk vol- 38 BIJDRAOK TOT DE TOKPASSINU VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, gende over; de as van omwenteling is eene onbestendige as, eene as voor een ondeelbaar oogenblik. 