title: Dissertatio mathematica inauguralis de lemniscata Bernouillana
creator: Haan, D. Bierens de (David Bierens), 1822-1895
text: En hiermede is de integraal voor alle gevallen overwogen, waarbij gebleken is^ welken invloed het even of oneven zijn van k uitoefent, en hoe daarbij Dog de toestand der grenzen in aanmerking moet genomen worden. Om te zien of het geval van a = oo zich uit het vorige laat afleiden^ dient men zich tot de vergelijkingen (XVIII) te wenden, waar a den vorm 65^ + 0 heeft; 3* Digitized by Google 20 OVER EENIGE GEVALIEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. meii moet dan daarin 6 tot oneindig laten aangroeijen; men kan alsdan geen onderscheid meer maken tusschen 6 even of oneven^ en dit behoeft hier ook niet, daar de tweede en derde^ evenzoo de vierde en vijfde der vergelijkin- gen (XVIII) telkens tot dezelfde uitkomsten leiden^ als 6 oneindig wordt; men heeft dus eindelijk: 0 */Stn.2ifc^ I. — P(a:)diP — -[F(o) 4-2 F(27r) + 2 F(47r) + ....]; wanneersteeds F{(2A + l)7r| =Ois,(0<A< c»), anders is die integraal^ s= 00. Bij alle de vergelijkingen (XI) tot (XIX) wordt ondersteld, dat F (x) stadig is tusschen de grenzen der integratie. 7. Verder in de algemeene vergelijking (VI) /* (x) = ~^ F (a?) stellende^ heeft men dc integraal j ^C^^^''^'^^' (Lim.*= cx) 0 te beschouwon. Deze kan men geschiktelijk afleiden uit de integraal in het vorige numraer behandeld; en wel door het stellen van a? = - + y; dan is 7r 7r dx = dyy met — - en a — ■- als grenzen van y; verder is Cos.x=^ — Sin.y, Cos.hx^Cos.^ikT^-Yky). En hierin zullen de uitkomsten geheel verschil- lende vormen verkrijgen, naarmatc k is van den vorm4&', 4ft'+l, ^k'^% 4 &' + 3 respeclievelijk, want voor r A=4i',isCM.(iA7r+A:y) =Co5. {2i'7F+ 4.A'y) ^CosAh^y ,\ 2' i = 4A'+l, =Cm. {2i'7F+j7r + (4Jfc' + l)y} =-r&n.{(4ifc'+l)y},/ 8' i = 4A' + 2, =(7(». {(2A'+l)7r+(4A' + 2)y} — CM.{(4ifc'-i-2)y},r''^ 4^ A = 4i' + 3 = 4i' — 1 =Cw. {2i'7r — i7r + (4Jfc'~l)y} =iSin. {(4Jfc'~l)y}J Bij de tweede en vierde onderstelling wordt de integraal van denzelfden Digitized by Google OVER EENIGE GEYALLER BIJ DE THEORIE VAN ORSTADIGE FDNCTIEN. 2i vorm^ als in N^. 6 behandeld is: bij de eerste en derde onderstelling daar- entegen komt er eene Cosinus in den teller; men zal dus beide soort van vormen afzonderlijk moeten nagaan^ en daartoe met de tweede en vierde der onderstellingen (r) moeten aanvangen. Alsdan is '.. =/"^^^t^"-)-r=^s±^''(i+v) dy' -r-^HH^'+/^^^^(i+')^H I.,= =/ Co».3> F(*)d». ■/: -2Sin.{{i,k-l)y)^[n — Sin.y (i-') ^,(LioLisB oo) dy\ t-'[Sin.{{^h-l)y-) In i Sin.y -Jir ^ Slelt men in de laatsle integralen dczer beide vergelijkingen^ y » — rr, <iif — —dif, met i TT en 0 als grenzen van ^, zoo worden zij: xo ' ■/ <-~Sin.\{^k+l)w]jn Sin, X (i+-)i«+/ l'5i..{(*i+l)»),/» Sin.x V* / /,(LiiDufc= <£i^' 0 0 en nu kan men beide laatste integralen uitdrukken door p ^ ( » j volgens de '^vaarde in vergelijking (XI) gevonden. Wat de eerste integralen betreft, moet vooreerst a — - positief zijn; ten einde vervolgens tot de verschillende ge- vallen van het vorige nummer te komen^ stelle men: n Stt Stt 2^ ^ 2 2 ' 26+1 26 + 1 TT , a = — 2 — ^ + c , a = 00 ; 2 ' 2 '^pvaiit dan wordl de bovenste grens der integratie respective: 0<o— -<«, o — - = «, a—- = bit, o— -=a6Ji + «, a — g=^x ; Digitized by Google 22 OYER EENIGE GEYALLEN BIJ DE THEORIE YAN ONSTADIGE FUNCTIEN. en men heeft dus naar de vergelijkingen (Xl)^ (XIII^ ^), (XVI^ 1)^ (XVIII^ 1)^ (XIX^ i), die hier alleen gebruikt kunnen worden omdat Ak + i en Ak — 1 oneven zijn^ — wanneer men de beide integralen I|o en Ii, onder e^nen vorm met het teekeii =t= vereenigt: 0 f^==^^<')--H(i)+HT)l-iHi)=-il"(i)+K?)li 26+1 'L. 'w=^jF(-)H.»r (Y)+i«F(v) +-+2P(— .). +r(?»±lJl ^ :p(«\| \ 2 il 8 W , (Li».i-«) - -=^il-(i)+-(")+^H")+-^"(^')+H^'')l( ™ 26-H , f ^^W^l^i)+.ff)+^f)+.+»(^»)Hp(i) — [.(i)+.(VV^(^)+...+^(^»)l. /f-^«e^^'-)--i[Ki)+-(T)+-(TV-i-iKi) — b(i]+KT)+^(T) + -l- Er blijft nog een geval over^ wanneer namelijka=^i»ris; alsdan a — iw=0, en verdwijnen dus de eerste integralen in de vergelijkingen (s)^ zoodat / Co... ^^(^)^^ = -^a^.(i) • (!--•*= «) (XXI) Wat de beide andere onderstellingen aanbelangt^ deze voeren tot integralen van den vorm /" Co8. k X -;^„— FWd» . (Lin..A= a) Digitized by Google OYER EENI6S GEVALlElf BIJ DE THEORIE TAN ONSTADIGE FUNCTIEN. 23 die eerst naderhand zullen worden behandeld; men moet hier dus anders te werk gaan. Uit de goniometrische vergelijkingen CM.4i# = Cos.[4ik + l)x].Cc8.a + Sin.{{4ik+l)x}.Sin.x, Ca8.{{*k + 2)x}=Cos.{{4,k+l)x].Co8.x — Sin.{{4,k + l)a}.Sin.a, volgt vooreerst /« Co8.4ikx t^ I.. = / -^^^W''*-/ C««.{(4t + l)*}.F(*)d* + 0 0 \ ,(Lim.£as oo) I., - r^?LM±MF(.),,= rco..{(4*+i).}.r(x)d,-i (^^ / C08,X J -/ 0 <^Sin.{{ik+l)x} ^. ^, ^ , ^^ ^ ^ ' Sin. X. F {x) d x. 0 De eerste integraal in het tweede lid dezer vergelijkingen is nul^ volgens de formule (VIII) van W. 4: de tweede integraal moet men uit de formu- len in N\ 5 en 6 afleidcn door aldaar respective F {x) = Tang. x. P {x) en _ ^. Sin.x^^ ^ Sin.^x^, , l^{x)=^Sin.x- — T{x)=- V{x) aan te nemen. C08^ X i/08. X De integraal rSin kx f^ ~ — Sin.x.¥{x)dx^ j Sin.kx.Tang.x.T{x)dx wordt onstadig voor « — — w~^} ^^ ^^^ °^^®* ^^^ ^®^^' ^^^ theorema (X) raadplegen^ in hoeverre hier aan de vergelijking Lim. * F (A =b ') voldaan wordt. Deze toch wordt hier 'S«n.(— ?^«=fc3) ,01.11 x Sin.(-^n].Co8.8 ,^,,-. 9 /26 + 1 \ 9 fib+1 \ «=Lim.-— iF — -=— TTabd er^iLim.- r.Lim.F — 7— Trdb^ . (Lim.«s=0) Digitized by Google 24 OVER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN 0NSTADI6E FDNCTIEN. Om aan deze voorwaardensvergelijking te voldoen, waarin Lim. = — r = l is, moet Lim.F( — - — «d=ij = 0 zijn, dat is F ( — r—^] —0; derhalve I,^ « r Sin.kx.Tang.w.f{x) cifl? = 0,alsr [ J^ n\ — 0 is. (Lim.ifc^») . . (XXII) Wanneer daarentegen F ( — - — n\ niet allijd nul is, zoo leert onsdever- gelijking (X) niets meer^ en men moet tot N\ 6 overgaan. Yooreerst volgt uit (XI), daar voor a kleiner dan i^ de functie-pr — F(aj)stadigblijft, endie vergelijking alzoo hier geldig is: /^ n Sifu^ o Sin.kx.Tang.x.'P{a)dw:^'-- F(o) = 0 , a<^^n . (Lim.t— oo) , . (XXIII) Yoor alle volgende vergelijkingen is F (6 „) als F (x) stadig is, en worden dus de waarden der integralen allen nul ; maar H: 2 Stn. Cos. en daaruit volgt : 9 h J. 1 voor alle waarden van * — — - — «r wordt dezelfde F («) /« /26 + 1 \ Sin. k a. Tang. x. F {%) dx = oo, als Pl = — n J niet altijd nul is. (Lim. i = oo) . (XXIV) 0 Volgens deze vergelijkingen (XXII) tot (XXIV) gaan nu de vergelijkingen {t) over in de volgende: Digitized by Google OTER EElflGE 6EVALLEN BIJ DE THEORIE VAN 0NSTADI6E FDNCTI£N. 25 f<'Cot.4ik j Coi.* ■ie(x)da = 0 , a<|jr; = 0, l.y«<a< w, 00. „ /26 + 1 \l nurm«te F ( — ^«] I (Lim. jfc = « ) / altijd of niet altijd nul is. 'Co;^^ ....(XXV) -'F(«)<lp= 0 , Cot.» — — oe, «0 ,a<^»r; Dit verschil tusschen de stelsels vergelijkingen (XX) en (XXV) doet ge- noegzaam den invloed van den vorm van k op de waarde der hier behandelde integraal kennen, waarbij altijd F {x) stadig is ondersteld tusschen de grenzen der integratie. 8. Stellen wjj nu in de integraal (IV) / (*) ■« - — . P («), dan wordt deze T{a)dx^ 0 , 0<a<J7r; (Lim.A — «)..... (XXVI) r J COB.X 0 niaar dit alleen zoo lang f(A) stadig is tusschen de grenzen der integratie; daar nu voor x^i^,Cos.x nul en dus de functie oneindig wordt^ moetin de vorige vergeljjking a kleiner dan i ^ blijven. Voor a grooter dan^ of ge- Ijjk aan in is dus eene nieuwe onderzoeking noodig; daartoe gebruike men de goniometrische formule Sin.kx = Sin.{{k^\)a}.Co8,x + Ca8.[{k^l)w}.Sin.if] dan is: I,, = rSin.{{k—l)x}.V{w)dw+r^^*^^^^^''^ Stnjc.r(4?) d*. (Lim.i— oo) . (u) 0 "0 De algemeene vergelijking (X) leert ons^ dat de eerste integraal nul is^ zoo lang F (x) stadig blijft tusschen de grenzen van het integreren^ en dit zal men toch bij de tweede integraal moeteu onderstellen^ want deze is een bijzonder geval van de formujen van het vorige nummer: men moet dair slechts voor F (^) stellen Sin. af. F (^). Zij dus vooreerst in (u) A' — 4 A =t 4, dan wordt V — 1 =4ft of 4fc— 2, en derhalve volgens de vergelijkingen (XXV) : 4 WIS- W NATUURK. TBRH. DER KONIffKL. AKAPElllB; DEBL YIL Digitized by Google 26 OVER SENIGE GETALLEII BiJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FDNCTiEN. /'-''";::. ""-g(^)^^-o> 0 , i,(Lim.i= Qo) ■ . . (XXVII) Zij vervolgens &' — 4 fc of =^ 4 /i? + 2, zoo wordt k — l=4Afqpl en dus naar de vergelijkingen (XXI) en (XX), daar F| — ~7-^) hier a= iTT 1« » 71 3 TT , Co:x ^ ' 0 — (i) -il-(i)-KT)l -H»'(i)-^(^)+--<^^-K'T-")+ -'lHi)-(T) + -+---(-f'')l--"^^ -'Ki)-HT)+- 1 8« 2 ' ,(Lim.<:s=» x) • (XXVITl) -JT-l-c; ,as « j F (^) zij steeds stadig tusschen de grenzen der integralie. 9. Eindelijk moet men nog in het theorema (VI) -^ — Y{x) voor f{x) aan- nemen om de integraal Ii. -i « Co8. h X Sin.a r(4?)dar , (Lim.i = qo ) Digitized by Google OVER EENIGE GEVAILEN BIJ M THEORIE VAN ONSTADIGE FHNCTlfiN. 27 te verkrjjgen, waarover reeds in N\ 7 gesproken werd. Ten einde hare waarde uit hel vorige af te leiden, gebraike men de goniometrischo formule Cos.kx =» Co8, {{k + 1) 4?} . Co8.a! + SitL {{k + 1) a?} . Sin. ar , zoodat J Sm, X J 0 0 wordt. Zoolang F (a:) tusschen de grenzen 0 en a stadig bljjrt^ en bij deze onderstelling zjjn wij toch gedwongen ons te bepaleti^ t^ordt de waarde der laatsle integraal nul volgens formule (X). Wat de eerste integraal in het tweede lid der vergelijking {.tv) belreft, namelijk I^^ = T-^^— '-^^ r Co8. {(k+l)x]!Cot.x.V{x)dx J Sin^x J i <^Co8.{{k+l)x} C08.^X^^ ^ ^ ^^^ — - — —-^ . F (x) dx , Co8. X Sin. X 0 hierin biijkt vooreerst dat voor x^h^ lelkens de geintregeerde funclie on- stadig wordt; het theorema (IX) zal ons dus moeten leeren^ van welken invloed dit op de waarde der integraal zrj. De voorwaarden«-grensvergeIijking Lim. JF (A rfc J) = 0, wordt  i.L\m.T(bn±d) . {lAm.ti = 0) Tang. 0 Nu is (even als vroeger N\ 7) Lim. ^; ^ = 1, dusmoet Lim.F(57r±3) = 0, dat is F(6*)=:0 zijn^ om aan de vergelijking (IX) te kunn«n toldoen; maar alsdan wordt ook: f Co8.ka.Cot.x.'E(x)dx = 0, als ie{bn) altijd 0 is. (JAm.k= cx) (XXIX) Wanneer daarentegen niet altijd F (6 n) nul wofdtf tnoeten wij dns wenden tot N^ 7. Aldaar is dan in het algemeen 4* Digitized by Google 28 OVER EEIflGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN 0N8TAD1GE FDNCTIEN. /26+1 \ ^ \ t '')„/26 + l \ 0 „/2J+l \ maar dezelfdc functie wordt reeds onstadig voor Xwmn, en verder voor alle x = hn; want dan is : Is dan F (6 n^ niet aitijd nul , zoo wordt ] CoB.kx.Cotx.Viw^dx mmO , a <^*r; / l . . . (XXX) ae 00 , ?r < a < 00, indien F (6 n) nict altijd nul i«. / Deze uitkomsten (XXIX) en (XXX) in [w) overbrengende^ komt er eindelijk f<'Co8.ka^, ^^ ^ ^ ^ / /,(Liai.i— oo) /Sin. :p 0 Bs 0 \ l fXXXI^ L 3r <^ a ^ 00 , naarmate F (6 ir) altijd nul ia of niet. | Ook hier wordt F (^) ondersteld stadig te blijven tusschen de grenzen van de integratie. Het is opmerkelijk^ dat deze integraal^ die zooveel overeenkomst heeft met die van het vorige nummer^ tot geheel andere uitkomsten leidt^ in zoo verre hier de vorm van k niet in aanmerking kwam^ hetgeen daar wel het geval was: overigens bestaat in dit opzigt een groot verschil tusschen de vier ge- lijkvormige integralen van N*. 6, 7, 8 en 9. 10. Het aangevoerde moge genoegzaam zijn^ om te staven wat in den aan- vang beweerd is omtrent de oplettendheid^ die men moet wijden aan den toestand van de grootheid k, of deze van den vorm Ak, Ak+ 1, Ak+% Ak + o zij; men heeft gezien^ hoe zeer in sommige gevallen deze vorm invloed had op de waarde, en in andere gevallen de waarde voor alle k dezelfde bljjft. Men mag hierbij niet over het hoofd zien^ dat k altijd als een geheel getai werd beschouwd^ zoodra daarbij bijzondere vormen werden aangenomen^ ter- wijl anders k geheel willekeurig is. Uit de gegevene theorie van de algemeene integralen Digitized by Google OVIR EEKIGE GETALLEN BIJ 1» TREDRIE VAN ONSTADIGE FUNCTI^Jf. 29 ■«„ /«„ da [aSiin.ka „ , ^ [<»Sm.hx /*«, , ,. . , /*«. , ,/ v«« /■"'Sm.**,, ^ , f»Si».kx ,, , , j Sin.kx.f{x)d», j Sin.kx.f{x)— , j ^^/W^^* , j 'c^^^"^^'' ' 0 0 0 0 /*>, , .. V , t^ ^ . ^. .^« f^Cos.hx ^, , , [<^Co8.kx ^, , f Co9.kx.f{x)dxy I Co9.fcx.f{x) — , / -r f{a)dx^ I — f{x)dx, •'o "^O 0 ''o waarbij zich nog voordeden de beide bijzondere vormen I Sin.kx.Tang.9:.f{x)dx en I Co8.kx.Cot.w.f{x)dx^ 0 0 (waar overal Lim. & = oo ), kunnen nu voor elk bijzonder geval de verande- ring der integraien worden afgeieid. Men konde zich nog de vraag voorstellen^ of niet in plaats van de functie Sin.hx of Cos.kx eenige andere goniometrische functie Tang.ko?^ Cot.kcv, Sec.kx of Cosec.k(v in te voeren ware: men ziet echter gemakkeiijk in^ dat aisdan de uitkomst oneindig zoude worden. Want daar deze iaatste functien ofvoorAa7 = n of voor kx^b^ oneindig worden, zoo zal er voor eike X hoe kiein deze ook worde aangenomen^ k zoo groot kunnen genomen worden, dat kx eene van bovengenoemde waarden verkrjjgt, en dus de in- tegraai oneindig wordt. Dit bezwaar zoude vervaiien zoodra de bovenste grens van de integratie oneindig kiein ware^ maar dan worden de. integraien tot eenc bijzondere soort teruggebragt, die door caucht Integrales definies «tn- gulieres genoemd zijn^ en hier niet verder zullen worden nagegaan. Omdat te geiijk met iedere integraai waarin de factor Sin. k x voorkomt^ eene andere geijjksoortige gevondcn is^ die siechts daarin verschilt dat de factor Cos. k x den vorigen vervangt, zoo is wegens de formule ^dzkxi — Cos.kx ± iSin.kx ook fa ra ta I e^^^^f{x)dx= \ Co8.kx.f{x)dx-±zi\ Sin.kx.f{x)dx. 0 0 0 Daardoor geven de theorema's (IX) en (X); ed=Ar«P(,)rf-j. «= 0. (Lim.* = oo). f Wordt ¥{x) voor 5, a, of h (a>A>fe) onstadig, zoo moetH^^^^^) nog respective Lim. 3 F (6 + *) = 0, Lim. * F (a — *) = 0, 1 Lim. * F (A ± *) — 0 wezen voor Lim. * = 0; h kan ook nul zijn. Digitized by Google SO (IVER EERIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIF. VAN (MVSTADIGE Timcni». Evenzoo (IV) en (VI); /"'"' x//(;r)'/ = ao . „y(o) . (Liin.A = « ) (XXXIII) Verder uit do tlieorpma's (XI), (XII), (XV), (XVIII) en (XIX) verbonden raet (XXXI): J iyin.x a f,(LiiD.ifc=oo) = ± i»tr(0),) , „<a< 00 , naarmateF(ijr>altijd of\ • (XXXIV) __ ^ l niet altijd nol is. '(ijr>altijdofi ■ Eindelijk geven (XX), (XXI) en (XXV) verbonden met (XXVI,) (XXVII) en (XXVIIl): re±to- Y fj.\ ^"^ = 0 )♦ (^'™* = *)' ^^" < *' ^ ^"•'^ naarmate F Y'^~n\ altijd nul is of niet. (^XXV) IIol is opmerkelijk, dat hier alle onderscheid lusschon de verschillende vormen van h ten eenenmale wegvalt, hetgeen dan eens aan de integralen met Cos.kXy dan weder aan die met Sin.kx te wijlen is. 11. Hoew^el in het voorgaande reeds onderscheidene toepassingen voorko- men van de hoofdvergelijkingen zelve, zal het raisschien niet ondienstig zjjn eene regtstreeksche toepassing aan te voeren, die meermalen voorkomt^ maar dikwerf met uitkomsten^ die van de hier gegevene verschillen. Zij daartoe: Sin, X Co8. X F, (j?) « f(x) of F, M =« ;; -flt. '^ ^ l — 2pCo8.x+p^'^^ ^ '^^ }—ZpCo8.x+p^'' Opdat deze functie stadig blijve tusschen de grenzen der integratie zal raen moeten nagaan : wanneer de noemer 1 — 2 p Cos. ^ + p^ nul kan worden; stelt men daarin Cos.v^l — ^Sin.^i^r^ zoo koml er {l — pY + ApSinMo^, dus de som van twee vierkanten; derhalve moet elk vierkant op zich zelf nul worden: met den Iweeden term ApSin.^ivls dit steeds hel geval, zoodra x = ^b^, dus Sin.^ix^Sin.^b-rr is; met den eersten term daarentegen slechts dan, wanneer p « 1 is. Om de onstadigheid derhalve te voorkomen, heefl men slechts het geval van p = + i uil te sluiten, dus de voorwaarde te stellen — oo<p<4.|, + \ <p<oo . Hierbjj is natuurljjk ondersteld, dat f{x) weder sladig Wjjve tussohen de grenzen van het integreren. DigitizecTby Google 31 f. f. OVER EEHIGE GEVALLEN BIJ DE TBEORIE YAN ONflTADlGE FUNCTiEN. Nu heeft men: ^ ,«x «^ /E X A-ffl /2*+l \ *"A 2 ",' /aj+1 \ ft7».6« /26+1 \ F.(0) = 0.F.(H=0,F.(-f^.) = -i3^/( 2--) = l4->^(-r ^- ^-^^-yi/(0),F,(2..) = -^-i^/(...). FacaJ+i)''}»^!^^)*^^^^^^!)-).^,!^-.)»^.' En daaruit volgl, naar de vergeljjkingen (FV^), (IX), (X): , O^Ca^Cx , {hm.k = x). F.(0) '** Sin.kx.Sin,x ,, dx — f(x) = 0 '** Sin.kx.Sin.x ^, dx n 1 1 — 2|>(7o*aj + ;>'  ' f onsladig, r Wordt /■ (a:) voor b,a,ofh{a>h> b) zoo inoet nog respcctive (1) (2) (3) \Um.Sf{b+S)==0, L\m.lff{a—8)=(}, ""*'**'""*'* ^f(»)dx = 0,1 Lim. d /"(Aab «) = 0 zijn, voor Lim. 3 = 0; (5) p 08.x-\-p ^^ 1^^^ ^^j^ ^^^j ^jj^ (Lim. /; = oo). («) Sin.kx.Co8.x ^, ^ , Oo vergeljjkingen (5) en (6) zoowel als (4) en (5), door optelling enaf- '^^^^king te zamen verbonden, geven, wanneer men voor k — 1 of A + 1 ^^^^er eenvoudiger k scbrjjft: p SifLk^ f(x)dx:^o] ^or^lf{x)yoorb,a,oih{a>h>b)on' ^^^ -\ ^ — 2>pro8.x+p^ / sladig, zoo moet nog respective ^^^ ^^ \ Lim. df{b + S)^0, Lim. df{a—9) - 0, — ----*^ - ^f{x) Jx = 0 i Lim. df{h±9) = 0 zijn, voor Lim. « « 0. (8) p 08.X + P i^ j^^^ ^^^ ^^^j ^.j^ (Lim. A =» oo). Vergelijking (XI) voor a<7i^ (XIV^ I) voor a = n, (XVII, I) voora = 2fe7r, VXVll,2) voor a = (2 6 + 1)71, (XVlfl, 4) voor a = 2 6 ^r + c, (X VIII, 5) voor / Digitize(d by Google S2 OYER EENIGE GEYALLEII BIJ BE THEORIE VAN ONSTADIGE FITNCTIEl». a = (25-}.l)w + c cn (XIX, 3) voor a =« oo , geven voor de onderstelling Fi (x) nul tot waarde^ en dit is reeds in (7) gevonden. Bij de onderstelling F.{x) daarentegen geven de vergelijkingen (XI), (XIII), (XVI), (XVIII, 1—3) (XIX, 1,2) het volgende, waarbij somtijds nog het even  Q + (r+;Trl*A«) + 2A8'')+.-. + 2/{(2*-l)»}+/'{(2*+l)''}]}. (18) i-»pCb...+f. ^W'"-?{(T^tA«)+'f(».) + -+'A»W]- II -(^^^[A'')+A8'') + ... + ^{(2ft-l)'r}]}, . (1«) Digitize(d by Google OVER EENIGE GEyALLEN BIJ DE IHEORIE YAS QNSTADIGE rUNCTI^. 35 0 0 + (7:p^[r('') + /'(3«)+-. + /'{(2A--l)»r}]}, . .(18) r(U+\)x+e Sin.iktii.Cot.» , , -^ ( l c, . -m 0 +j^^,U^'')+n^'')+"+n(^^+^)^)]}^ • -(19) /•• Sin.{(2k — l)»}.Coi.x . , « f 1 r / -T^»,cJ.+y. «""• -i {(-n:;jr[««)+«rt«")+-] - / rri; c,^,-. n-) ".- 5 jjY3^[«»)+v(8.) +...] + 0 ovcral is Lira. k ^ oo. Vcrdcr voert bij dc vergelijkingcn (XX), (XXI) en (XXV, 1,2,4, G) de ondcrsleiiing F, (j) steeds tot eene waardc nui, zoo als reeds in verg. (8) gcvonden Averd. Daarcntcgcn gceft de andcrc onderstclling F, (x) nieuwe uil- komslen. Onidal r,l — ^^ — « = — — ^/"1 — „ '') is, nioet men somtijds on- dcrscheid malien tussciicn: _ /46+1 \ 1 J46 + 1 \ ^ /U-J \ -1 /46-1 \ m dan vcrkrijgt men door de vergeljjkingen (XX), (XXf) en (XXV); I il L^ ^ f(x\dx = d: /1- f22) 'o 5 W/S- E!f IfATUURK. VERH. DER E0I«1?(KL. AKADEMIE. DEEL VIT. Digitized by Google 34 OYER EEIII&E fiEYAIXER BIJ DE THEORIE VAN OASIADIGE FORCTlEir. 0 0 °+^V')+/(^')}-(/(¥)+/(^)+-M^)}l'-> r^Tl^l^^/^-^-nq^F^KilMT)^-^^^')}- r~'^'^^^^^s^/<"— T^i{/(i)MT)+-+/(^')}- -{^(t)Mt)+--4^')}1--'"' / ' "^''^riT^!:T^-M'--iT^{/(i)Mv)+r^/(^')}- -{/(V>/(t)+-+/(^)'}1.-<-> /'T^^S^^«"--^iT?[Ki)M?)^-}-K?)MT>-}K-' 0 /« Co8,^kx.Tang.x ^^ , 1 ^; — ^r-r; 7-^/(^)^4; = o, a<i7r; 0 ^ n \ 46+1. -tr+c (30) 0, \ Jii* + 1 \(31) , I TT -< a < 00, naarmate f (^')' ] iUX:+p' A-)^--o> (8*) 0. fl<J« (-^3) alwaar overal Lim. A = oo. Digitized by Google OVER EENIGE GEVALLEII BIJ DE THEORIE TAN ONSTADIGE FDNCTIEN. 35 Wanneer raen F, (x) in de vergelijkingen (XXVI), (XXVII) en (XXVIII) invoert, wordt men wederom tot de integraal (7) gevoerdj maar de onder- slelling Fi (x) geeft integendeel bjj die zelfde vergelijkingen : /*« Sin.kx.Tang.m , ,„,, /i-»pC>../+p.^W'"°'' • »«■<!-••. (") 0 / l-%pcLUJ Ax)^x = 0. .i«<a<«.na.nnate/-^-^.) altyd *^ I iiul is of niet (35) |i^^-«. [i^,k+l^X)x).T.ng.. 2^ n_J^ln\ 0 i'Sin.{(i:k-\-\±l)x).Tang.x , , n fit\ n ^3« 0 0 /"'""•^r::;c:.i';'r^'/'''^--ir^[»^(i)^^4vv-- 0 / /•"5t«.{(4A+l±l)«).7'ana.a;. « r InK Jiit\ , 0 Hier is ook overal Lim. ft = oo. Eindeljjk gebruike men de formule (XXXI). Bij de onderslelling F, [x) ^ komt men wederom terug tot de integraal (8) j bij de andere F^ (^) daaren- tegen hier tot dc uitkomsten r* Cos.kx.Cota / l-2pCos.^p^^'''''-' ' a<.,(Li«.i-oo) (42) *™^'( i«<Ca<Coo, naarmate /*(& 77) steeds nid is of niet. _ ^ ,(Liin.A = «) (*3) 6* 0 Digitized by Google 36 OVER EENIGE GETALLEI» BIJ DE THEORIE VAN OHSTAMGE FDNCTIER. Nog kunnen de hulpformnlen (XXII) lot (XXIV) cn (XXIX), (XXX) liier woi*den toegepast. Het eerste stel leidt voor F^ (^) tot de integraal (5); het Iweede voor de onderstelling Fi (o?) tot de integraal (4); wanneer men daar- onlegen in de eerste formulen F| (x) en in de laatste F^ (^) invoert, zoo is [^Sin.kx.Sw.x.Tang.x ^^ ^ . . ^, .. / l-^pCo.x^i^-f^'^^'-' • a<i.,(L,m.*»oo) (..) = 0 ,f , i7f<.a<. oc,naarinate/'( n\ altijd of niet = «.) altijd nul is. (Lim.l; = oo) - (45) fCoB. h X. Co8. X. Cot. « ,, , ,^ . , -,^-^-^—^f^,)d,^^ . a<.. (L.a,.i«x) (46) — ^ 'I ,7r<a< 30 , naarmate f(bn) altijd of nict altijd ^ ^ I nul is. (Lim. i = oo) , (47) Daar Sin.^x l — Co$.^x 1 Sm.x. lang.x ■=» — ; ■« — = Cob.x , COB.X C08.X C08.X Co8.^x \—&n.^x 1 en Co8.x. CoL x — — = = — Sin. x Sin,x Sxn.x Sin.x is^ zoo volgt uit 4^ verbinding van de integralen (6) met (44) en (45)^ en van (3) met (46) en (47): ri-y^tvv^'"^'-'' • «<i- ('•'"•'— ' w *=■ ^ f{t^'^K.^<^^j naarmate /*( - n J altijd of niet = 00.) altijd nul is. (Lim.i = m ) (49) r« C08.kx.C08€C.X ,^ , , ^ ^ .^ . , * /..rv. I 1 — 2pCe)*.j?+p' — ^») ,5r<a<oo, naarmate / (6 ir) altijd of niet altijd Bs 00 ( ""^ ^'' (Lira. i = oo) (51) Bij al deze formulen is even als vroeger steeds /*(-») stadig ondersteld lusschen de grenzen der integratie, uitgezonderd bij die, waar het tegendeei uitdrukkelijk wordt opgegeven; ook is p gebonden door de ongelijkheden - 00 < p < + l^ + 1 < p < 00, dat is p ongelijk aan + i. Digitized by Google OVER EEMGE GEVALLEx^ BU DE THEOHTE VAN OxNSTADIGE FUxNCTIEN. o7 Meii heeft hter levcns eene wederzijdsche bevesliging; van sonimige der ^evondene theoremata, in de omstandigheid dut de formulen (IX)^ (X), (Xi)^ (XIV), aVIf), (XVFII), (XIX), (XXVI), (XXVII), (XXVIll), hoezeer zij ook mogoR verschillen, bij geschikte ondersteliingen allen tot dezelfde integraal (7) voeren; evenzoo de formnles (IX), (X), (XX), (XXI), (XXV), (XXXI) lol do integraal (8), de formulcn (X), (XXII) tot (XXIV) tot de integraal (5) en dc formulen (IXj, (XXIX), (XXX) lot de inlegraal (4). Van de hicr bepaalde integralen komen^ als /*(a:') = l wordt genomen, N^ 8 en 55 voor op Table 84 N\ II en 12 mijner Tables d' Integrales Definies *. • Wilde men hnv. de inteffraal I « | ^jf— naffaan, (iie Tables dlntegrales Def, J I — ^pCon.x -\'P* T. 85. N'. 4, 5, «00 kao men daartoe de bekende ontirikktling van Secrn in eenen reeks ge-* bruiken : S.C.X — 8V(-.i)"a>..}(«»_i)x)-'''^^^i:?(-i)*- Dan wordt 1 =- — 2*^^ V* (- 1)" rCo^'{^n^l)xdx _ (_ i V* r Cos.2kx dx 7 ^ ^ J l — ipCos.x-i-p^ ' J l-^ZpCos.x+p^ Cos.tt 0 0 Ten einde dit uit te werken late men k oneindig worden. Alsdan is naar Tables d*lnl. D4f. T. 84. ;i de eer»te term van het eerste lid = -^M-i)i^P __^(_.)^ «__,__r=,._£_^,. Yoor den tweeden ierm wende men zich tot de hiervoor gevonden formulen en wel tot 30 — 33. Ste]Iendc aldaar /(«)» Cosse.x = p =? wordt, daar asBir bier grooter dan J ir is, voor aiie evene k rCos.%kx dx , ,Jb , ^/2* + l \ n /^* + l ^ -t- I X-tpCos.x+p^Cos.x'^'^^^ oo.da«r/(-1l-.j«<W(^-^^J = d=l, 0 niel nul is. Dientengevolge is de waarde van onze integraal oneindig groot. en niet . ~^» zoo als *■ P SCHL5MILCH vindt. Evenaeer geven ons de gevondene theoremata o. a. dat b. v. de bekende integralen, Tables elc^ T. 206. N\ 18, 16, T. 17. N». 10, 1: f^Tang.pxdx f^Cot.pxdx ("^Sec.pxdx i"^ xCosec.pxdx J ?• + «» ' i ?*+^* ' j q'+x^ ' j 9» + x» 0 0 0 0 alle oneindig moeten Bfjn.. Digitized by Google 38 OVER EENIG£ GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. En hicrmede mogen wij de theorie van de bepaalde integralen I Sin.kx.f{x)dx en I CoB.kx.f{x)dx ^ (Liin.A: = oo ) , a a als afgehandeld beschouwen^ daar men in ieder bijzonder gevai zich lol de gevondene theoremata kan wenden^ en daaruit de overeenkomstige uilkomst afleiden. Voor hel beweren, dat men dikwerf op dcn bijzonderen vorm van k (c letlen heeft^ hebben de bewijzen niel ontbroken: dAAr, waar zulks te pas kwam, is gewezen op het verschil, dat «r in dit opzigt dikwijls bestaat tus- schen integralen, die oogenschijnlijk tot uitkomsten vaa denzelfden aard moes- (en aanleiding gcven^ maaf waarbij dan eens k geheel algemeen bleeO ^^^ weder in twee of vier afzonderlijke vormen werd gesplitst; ja, men heeft ge- zien, dat ook bij de grenzen der inlegratie dikwerf bijzondere vormen moes- ten onderscheiden worden. Wij moeten nu nagaan, welken invloed de bij- zondere vormen van het oneindige uitoefenen, wanneer zij als grenzen der integratie zich voordoen. II. OvER DE IntEGR^AL / qt {Sin. u a, Cos. ^ x) d x. u 12. Over deze soort van bepaa!de in(egralen zljn zeer vcrschillendc moc- ningen geopperd^ en deze hebben tol zeer verschillende uitkomsten gelcid; vele dier meeningen berusten echter op verkecrde gronden en valsclie voor- stellingen van het wezen ecner bcpaalde integraal. Zoo werd bjjv. in eene bepaaUle integraal I f{ax)Y{h\x)dx = H'{a,b), {x) waar dc functie van dien aard was, dat /*(0) — 1 werd, a = 0 gesteld, en daaruit afgeleid / Y{b,x)dx = xp{0,b); {y) 0 tenvijl men daarbij vergat^ dat de vergelijking (<r) bepaaldelijk was ontwik- keld onder dc voorwaarde^ dat a grooter dan 0 moest blijven. De afleiding van de jntegraal [y) uit (;i;) op die wijzc was dus ongeoorloofd^ al konde het Digitized by Google OVER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. 39 soms gebeuren, dat zij tot eene ware uitkomst vocrde ten gevolge van bij- zondere eigenschappen der integraal {x); maar het waren juist deze^ somlijds met anders verkregene overeenstemmende, uitdrukkingen, die tot het aan- wenden der bovengemelde^ niet sleek houdende^ methode verleid hebben. Later lieert raabe gedeeltelijk in navolgtng van poisso?r * in het Jounial fur reine und angewandle Mathemalik von Crelky Bd. 15. S. 355, uher die Siimmation periodischer Reihen f zich meer bepaaldelijk met deze soort van integralen bezig gehouden^ maar is daarbij van niet geldige gronden uitge- gaan. Ilij beschouwde eene reeks y==aj +^2^ +<*3^^ + ... + ^A^ •^''"~* + a^'jrP + aj «P+* + a^ xH-^ +...-).«/, x^P-^ + a^x^P + a^ai^p-^^ + ... die uit perioden bestaat, elke van p lermen, waarbij zich dezclfde coeflicien- ten Oi, a^. . .aj, telkens in dezelfde orde herhalen, zoodat tj==^{l+aP + a^P + ..,){a,+a,x + a,x^+.,. + apxP-^) is. VVordt ^^=1, zoo stelt hij i + xp + xn^+...=^Y^',. {z) zoodat ^ g, +a^x + a^!r^ +... + a^^P-> * "* l—a^ wordl: bij de onderstelling «I +«i + «3 +... + a^ — 0, waardoor de teller der vorige breuk door 1 — ^ deeibaar wordt.^ verkrijgt hij voor ^ = 1 : (p — 1) g, 4- (p — 2) g^ 4, (p _ 3) g^ + . . . + 3 a^_3 + 2 a^,-2 + a/i-i P Deze uilkomst echter geldt niet, daar (z) slechts voor x kleiner dan de eenheid geldig is en niet meer voor x gelijk een, en het daarop gebouwde resultaat : * Zie diens beschoawingen over de Sommalion des Series de QuantUes pcriodiqiiesj Yoorkoraende in hel Joumal de PEcole Polylechnique^ Cabier 19, p. 404. N". 45 — 56. t Zie nog zijne verhandeling tiber die Summalion der ohne Ende fortlaufenden harmomsch" periodischen Reihen, in het Journal von Crelle, Bd. 23. S. 105 en Bd. 25. S. 160. Digitized by Google 40 OV£R EENIGE GEVALLEH BIJ DE TBEORIE YAN OXSTADIGE FOaCTUJV. I q(Sin,ttx,Cos.px)da ^ —— j q.{Sin.akx,Coi.^kx)xdx,\ 0 0 f 0 ' vervalt daarmede reeds^ behalve wegens helgeen nog op de verdere redene- riiig aan te merken is. In den grond der zaak verschilt dan ook oigenlijk deze methode weinig van de straks afgekeurde. Op de volgende wijze ontgaat men daarenlegen het gebruik van divergenle reeksen^ en derhalve het onware^ allhans onzekere^ van de daarop gebouwde redeneringen ; men komt echter daarbij niet tot zulke algemeene uilkomslen^ wat de grens oneindig betreft; of liever^ men ziet, weike beteekenis men in hel vorige aan die grens te hechten had. 15. Het is bekend^ dat de deOnitie van eene bepaalde inlegraai door de lormule / / Vwd* = Liin.3{/W+/(*+W(*+2«)+...+/(?-«i},(9 = n3MLim^ wordt uitgedrukt. Neemt men hiorin d voor de ondersle grens *, zoo is rf{x)dx^L\m.d{/[8)+f{Zd)+f{Sd)-\^...+f[{n-l)S]} (A,) d Wanneer men nu hicrin fx^r^tp [Sm. a x, Co8.fi x) aanneemt, — het zal laler blijken, waarom hier de exponentiele faclor bij de gonioinelrisebe functie is gevoegd, — zoo wordt dil: fq ? i r^ if {Sin. a jr, Cos. (5 x) d .r = Lim. S [r j {Sin. a S, Cos. fiS) + r^ i} {Sin. 2aS, Cos. ^fiS) + + r^ il.{Sin.3 a S,Cos.f^ fi S) + ... + r'-^ (f (Sm [(n - })aS],Cos {{n — \)pS)]. Nu kan men de bovensle grens q = nS nader gaan bepalen; daarloe zij n = 2a^6 + l, dus q = ^la^hS + S; daar n* een eindig getal was ondersteld^ moest n oneindig zijn^ en men kan aannemen, dat dit bij de nadere bepaling van n door den factor 6 onlstaat, die dan oneindig is, ter- wijl de faclor ^an eindig blijft. Neemt men dus bS wederom = c, dan kan deze eene eindige grootheid wezen (even als vroeger 7), hoezeer hel oneindig zijn van c in het algemeen niet uitgesloten wordt. Men heeft derhalve Digitized by Google OVER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN OSSTADIGE FUNCTIEN. 41 en de integraal wordt dus: I ri(f, {Sin. a a?, Cos. ^»)dx = Lim. dr [(^ {Sin.adyCo8. ^8) + r(p (Sin.2 adyCos. 2f?d) + '^ +r*(p(5in.3a5,r(?«.3iJ«) + ...+r2a*'r-lg)(5in,2a67raa,fo».2a67r|53)^ Hierin is a nog geheel willekeurig: men neme deze grootheid zoodanig aan dal aa en a^ beide geheele getallen worden; en dit is altijd mogelijk^ zoo lang a en ^ slechts rationele grootheden zijn^ want dan behoeft men voor a h. V. slechts het kleinste gemeene veelvoud van de noemers te nemen, die in de waarden van « en iJ voorkomen; het is echler duidelijk, dat a evcn goed elk veelvoud van dit gemeene veelvoud kan zijn. Bij deze onderstelling wordt, wanneer e eenig gedeelte van 5 voorstelt, zoodanig dat e3 i, % 3 tot c wordt : Sin. {(2 « 6 a +/) « 4} = Sin. {In.aa.ei +/a i) =« Sin.fa d , Co8.{{2nea^fjp8} = Co8.{in.a^.ei ^f^S) = Cos.f^d; en derhalve ook: (p [Sin. {(2 TT e a +/) a a} , (7o*. {(2 TT e a +/) I? «} ] = (j. {Sin.fa 3, Cos.f^ S). Hierdoor verkrijgt de integraal den volgenden vorm: f r^q>{Sin.aXy Cos.^x) dx = Lim.ir. ^ [(f{Sin.ad,Co8.^8)+rq>{Sin.2ad,Cos.Zp8)+...+r^^-^(p{Sin.2anad,Cos.2a7r§8) +r^a^(p{Sin. a8,Cos. (?3) +r2aT+i ^ ^Sin. Za8, Cos. ip8) +...+r^^-i (p {Sin. 2ana8, Cos. Zan^8) +r*^'^(l{Sin.a8,Cos.§8)+r^^^+^(p{Sin.2a8,Cos.2p8)+...+r^'^-^(p{Sin.2ana8,Cos.2a^ + ^ +r(c-02aTqp(&>j,a8,(7o5.(J3)+r(^O2aT+ig)(fiSfn.2a4,Coa.2(J«)+...+r2^^ = Lim. 3 r ( l + r^» + r*^» + . . . + r(c-i)2«»). [(p{Sin.a8,Co8.p8)+rq{Sin.2a8,Co8.i§8)+...+v^o'^-^(f{Sin.2ana8,Cos.2anp8)^ 1 f»2ca7F = Lim.ir- — X l — r^aT ^ [(p{Sin.a8,Cos.p8)+r(p{Sin.ia8,Cos.2§8)+...+f^^^-^(p{Sin.iana8,Co8.Zanp8)]^ Om hier van de vergelijking (B) tot de volgende (G) te kunnen beslui- ten^ heeft men evenwel nog enkele voorwaarden noodig^ die men niet<6ver 6 WIS- EN NATOURK. TERH. DER KONiriEL. AKADEMIB. DEEL YIL Digitizectby VjOOQIC 4'i OYER ££NIGE G£VALL£N BIJ D£ TH£ORI£ VAN ONSTADIGE FDNCTIEN. het hoofd mag zien, zoo als onder anderen door raa.be in het slraks aan- gehaalde sliik is gedaan. Ilier toch wordt eene reeks in eene geslotene uil- drukking getransformeerd, en het komt er dus op aan^ om te weten of de reeks oneindig^ en in dat geval^ of zjj convergent zjj: immers^ als de reeks oneindig en divergent tevens is^ zoo wordt gezegde transformatie volstrekt onwettig; is de reeks daarentegen eindig, zoo mag men alljjd daartoe over- gaan. In het onderhavige geval heeft men dus daarop te ietten, of r kleiner dan de eenheid zij; want alsdan is de reeks altjjd convergent^ en de ge- volgtrekking is dus geoorloofd. Maar is r geljjk of grooter dan een, zoo geldt dit besluit niet langer, tenzij de reeks eindig zij^ dat is c eene eindige waarde hebbe; want was daarbjj c oneindig, en dus de reeks eene oneindige^ zoo was zjj divergent, althans niet meer convergerende. Het geval van r — l en c cindig willen wjj dus het eerst beschouwen. X Ten eersle is alsdan onder het integraalteeken de factor r^ na te gaan: X deze wordt l^ dus 1. Vervolgens heeft men in het tweede lid den faclor , w~j- en deze wordt - voor r = 1 ; men moet dus teller en noemer len opzigte van r differentieren^ en daarna wederom r = i stellen: deze bewer- king geeft hier: 1 _ r2caT _ 2 c a TT r^cair^x . r^aTT 2 a TT r^a^—i cr(c— l)2ajr -- c. Men hceft derhalve, — daar de grenzen voor de limiet nul van 3 worden : 0 en 2a7rc^ en r geljjk een is ondersteld — : r2aTC 1 (f[Sin,asr,Cos.px)dx = Lim.J.c^g: {Sin,ccd,Co8.p3) + (p[Sin.2ccd,6o8.i p8) -j-... ^ . +(p{Sin.2a7ta9,Co8.2a7r^8)] ^cL\m.S[(f{Sin.ad,Co8.pd)+cp{Sin.2a8,Co8.2^8)+...+q^(Sin.2anad,Co8.Zan^8)] of wanneer men hel tweede lid dezer vergeljjking volgens de grondformule (Ai) tol eene bepaalde integraal herleidt^ waarbij dan even goed de grenzen 0 en 2a?r kunnen worden gesteld in plaats van 8 en 2a^ + ^ — en dit is werkeljjk geoorloofd^ wanneer ten minste <p {Sin.ccx, Cos.fi x) voor de grens nul niet oneindig wordt^ welke voorwaarde reeds in de integraal van het eerste lid ligt opgesloten — ook de vergel ijking : Digitized by Google i OVER EENIGE GEVALLEN BU DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. 43 /2a»c r2a^ I (p{Sin.ccz^Cos.§a)dx = c I (p{Sin.ax^Co8.pa)day{ceix\i\g) (XXXVI) •b 0 Men kan ook in dezelfde vergelijking (C)^ altijd bij de onderslelling dat c eindig blijft^ 1 — f!t als waarde voor r aannemen; alsdan verkrijgt de factor r^ onder het integraalteeken eene andere waarde voor Lim. 3 = 0 namelijk Lim.r* = Lim.(l —fdf^Lim. [{1-/8)^^ =[Lim.(] —fd/^l = (^-i)A = e-/^, zoo als uit de theorie der limieten genoegzaam bekend is. Tevens wordt alsdan: f 2can Zcan 2can—l 1 l-r^a^ 1 — (1 ^/3)2caT ^~|^~ 1 ^^+ 1 '^2 /^ — " j l_r2aT ~ l_(i_/^3)2aT = ^ _ ( _ 2 aTT 2 aTT 2 aTT — 1 1 " 2canr Zcan 2can — 1 ~1 i 2 ^^ +••• Zean 2a7r ZanZcan — 1 ian ' -1 — r^~i~-^'+- zoodat hier dezelfde uilkomst verschijnt^ als straks door het diiTerentieren van teller en noemer. Hierdoor wordt de vergelijking (G): e-f'(f{Sin.ax,Cos.px)da=Um.9c[{} '-f8)q{Sin.a8,Co8.^d)+{l^f8) ^q{Sin.2a8,Co8.2p8)+... " +{l—f8)^<^^(p{Sin.2ana8,Co8.2an^8)] of^ als men de derde of hoogere magten van 8 verwaarloost : I e-/'(p{Sin.ax,Go8.^x)dx = c{lAm.8\(p{Sin.a8,Co8.p8)'\-cp{Sin.2a8,Co8.2p 8) '■{'... ^ + (p^Siti.iana^.Cos.Zan^^)] — /Lim.«[*qp(5m.a«, Cos.p8) + 28(p{Sin.2a8, Co8.2p8)+.. .+ 2an8(p{Sin.2ana8, Co8.2anp8)]}. Voert men hier wederom naar de grondvergeljjking (Ai) bepaalde inle- gralen in^ zoo blijkt^ dat de beide termen van het laatste lid dezer yerge- lijking^ die elk door de limiet van eene reeks worden gevormd^ kunnen worden voorgesteld door de bepaalde integralen (p{8in.ax^Co8.^x)dw en I q>{Sin.aa,Co8.§x)xda; Digitized by Google 44 OVER E£NIGE GEVALLEN BIJ DE THEOUE VAN ONSTADIGE FUNGTIEN. zoodat de vorige vergeljjking wordt: e-'f'qf{Sin,axyCo8.^x)dx==cj q{SinM»fio8.§a)da— cf I (p{Sin.aXyCo8.^x)xdx] ' » (.(XXXVII, = 0 1 9(5m.a«,C<M.(f«)(l — /x)dx,{eja.iet oo). Bij de theoremata XXXVI en XXXVII moeten aa en a^ steeds geheele ge- tallen zijn. 14. Vi^anneer c ook oneindig zjjn kan^ mag men de vergeljjking (C) niet meer gebruiken^ maar moet men zich dadelijk tot de vergeljjking (B) wen- den. Het tweede Jid daarvan bevat onder anderen twee factoren^ die beide reeksen zijn: de eerste daarvan y c= 14.r2«'^ + r*«»4.,.. + r(«-i)««'r (oi) wordt met c oneindig, en derhalve ook divergent^ zoodra r gelijk of grooter dan een is. Opdat dus de waarde der integraal niet oneindig worde^ dat is^ opdat de integraal zelve bestaan kunne^ is het vooreerst noodzakelijk^ dat de tweede reeks z ::=:Ld[(p{Sin.ad,Co8.^d)'\-rq*{Sin.iad,Co8.2§8) + r^(p{Sin.Sad,Co8.S^3)^... ^ r^aTF-^i qp {Sin. ia7ra8,Cos.Zan^8)']....{ac) nul worde. Aan deze voorwaarde wordt voldaan door de volgende onder- stelling : Um.d[q>{Sin.ad,Co8.^8)+(p{Sin.2,aS,Co8.ip8)+...'\'q>{Sin.2ana8,Co3.%an§8)] = 0; . (D) dat is, wanneer men deze reeks volgens de grondformule (Ai) in eene be- paalde integraal overbrengt: / '2atr q>{Sin.ax,Co8.^x)da = 0 (E) Dat deze onderstelling wezenlijk de gewenschte uitwerking heeft^ althans voor het geval dat r juist ^^n is^ of de eenheid tot limiet heeft^ hetgeen hier slechts te pas komt^ blijkt op de volgende wijze. Wanneer men toch de formule (D) van (ac) aftrekt^ zoo komt er: Digitized by Google OVER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. 45 « = _«[(l_r)9(5m.2a«,(?<>«.2iJ «) + (!— r^)(p(5m.8a«,Co«.3|J «) + ... = _ (1 _r) « f9(Sfn.2a«,Co*.2iJ«) + -=^9 (5ik3«3,C(w. 8iJ3) + + — -'<p{Sin.2ana8,Co8.ian^8)\. 1 — r J Ten einde de waarde van z onder meer symmetrischen vorm te brengen^ telle men daarbjj den getallenvorm (D), waarvan de waarde nul is; dan wordt Z=—{l^)9^(f{Sin.a8,Co8.^8)J^2q{Sin.2ad,Co8.2^9)'\^^ l l_r2flir-i\ -, + 11 + ~—^ U{Sin.%ana9,Co8.%an^8)\ (od) Substitueert men deze waarde in de vergelijking (B) en bedenkt men^ dat het produkt van den factor (1 — r) uit de waarde van z met de reeks y vermenigvuldigd, nu ook voor r = 4 convergent moet zijn^ en dat men dus nu ook hier stellen mag^ dat (1 — T^^) (1 + r2«3r + r^» + . . . + r(c-0«afl^) = 1 _ r"^^ is^ zoo heeft men eindelijk voor de formule (B): /*2ir< «^+^ ^ 1 — r r« 9 {Sin, a d?, Co8. ^x)dx = — Lim. 9 r (1 — r^^can) f9(&n.aa,Ct>i.jja)+2(p(Sw.2aa,(7o*.2iJ«)+(l+^j^ / i-^r2«K— 1\ _ + (IH r-;^^ \(p{Sin.iana^,Co8.%an^9)\, (ae) en deze vergelijking geldt nu in het algemeen, hetzij c oneindig zij of niet^ hetzij r *6n zij of niet, wanneer slechts de onderstelling (D) of (E) als waar- heid kan worden aangenomen. 1 — r 0 Wordt hierin vooreerst r = l, zoo is i ^ = -Xf dus teller en noemer 1 — r®^ 0 ten opzigte van r differentierende — ^ ~ , — r = - — : 1 — H^^^wordl 1 — 1=0. — 2ajrr8«^— 1 2air^ ^ X zoo lang c eindig is althans; eindelijk is, even als vroeger Lim. rS =» 1. De Digitized by Google 46 OVER EENIGE GEVA.LLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEir. vergeljjking wordt dus^ wanneer men bij de grenzen ook Lini*a=0 neemt: i^^irac l r I cp(Sin.aa:,Co8.^a) dx = — 1. .O.Lim, ilf (5in.aa,Ca«.jJ3) +... + (1+ ^ \(9{SifL%anai^Cos.^an^9>l = 0 (c eindig) (XXXVIII) en dit komt^ bij de onderstelling (E)^ die hier is aangenomen^ gebeel met het theorema (XXXVI) overeen. Wordt daarentegen r — 1 , zoo is, zoo lang c eindig blijft, c X volgens eene bekende stelling uit de theorie der limieten. Yervolgens a T- 1—^ T- \ el ^, c Lim. — =a Lim 1 = ^^"- ^an %an2an-\i ^Tn' " ' ^^^^ 1 "" 1 2 7"'"- en Lira. ; «= Lim. r = --, (Lim i = 0) , 0 o 0 (wanneer men de waarde c — hS substitueert) en dit wel voor elke eindige waarde van r. Men moet dus hier ten opzigte van ^ den teller en den noe- mer differentieren, en verkrijgt dan: \—t1bayt^ — T^ffon^^hanlr. Lim. = Lim. = Lim.(— 2awWn r^^»^ = Lim.(— 2a nblr. t^% wanneer men in den laatsten factor c = 5a substitueert. Nu is: Lim.fcZr = Lim.-Z 1 1 ) = Lim,c~^ — r — ^ = r; i \ cj 8 0 dus wederom teller en noemer ten aanzien van 9 differentierende : Digitize(d by Google OVER EENIGE 6ETALLEN BIJ DE THEORIE YAN ONSTADIGE FUNCTIEN. 47 c — 1 lAm.bir s-BLim.cr 1 1 = Lim.jA 1 = — 1 , en (}f\2can 1 — =1; waaruit eindelijk volgt 1 — r^cair Lim. ^r =_2a7r.(— l).(l) = +2a7r ••(<»*) 0 Wanneer men nu deze uitkomsten (af), (ag) en {ah) in de vergelijking {ae) overbrengt, en daarbij bedenkt^ dat voor r =^l naar de formule (ag) c l + ^-^^^^l + is^l^^s is^ zoo heeft men ten laatste: e c (p{SinMafio8.pa!}dx=:~UmA—.{2an^^ 2an ■- o + 'i(p{Sin.3€(9,Co8.Spd) + ... + Za7t(p{Sin.ianai,Coi.Zan§8)] = — h\m.d[i(p{Sin.ad,Co8.§8)+Z8(p{Sin.Za8,Co8.2p8)+S3q^{Sin.Sa8,Co8.Sfid) + + 2an8q){Sin.2ana8,Co8.2,an^8)y^ of, wanneer men de laatste reeks naar de algemeene grondformule tot eene bepaalde inlegraal herleidt: r2ifae _1^ f^ j e c q,{Sin.ax,Co8.^x)dx = — j (p{Sin.ax,Co8.^x) xdx. (c eindig) . (XXXIX) 0 0 En dil koml wederom overeen met de formule (XXXVII)^ als mendaar^=- neeml, waardoor cf=\ wordt, en men tevens bedenkt dat hier, volgens de voorwaardevergelijking (E) de eerste integraal in het tweede lid dier ver- gelijking (XXXVII) verdwijnt. Wanneer eindelijk c oneindig wordt, zoo verandert de vorige redenering X niet, dan ten opzigte van den factor r^ onder het integraalteeken. Reedsda- Digitized by Google 48 OVER EENIGE GEVAILEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIElf. -Ix delijk konde men wel is waar in dat geval voor e~ aannemen e^^ dal is i^ maar tol dezelfde uitkomst kan men ook op eene meer zekere wijze aldus geraken. In aanmerking nemende^ dat men^ zoo c oneindig is^ ook daarvoor r- stellen kan, heeft men r = 1 =i — *% en vervolgens : X X XX \ 1 Lim.r^ = Lim. (1 - 3»)"^ = Lim. (1 + 5)^(1 — i)^ = [Lim, (1 + ify [Lim.(l — ify — [«* y [«^^]* = «'. e -' = 1. In plaats van de vergelijking XXXIX komt hier dus, als men k voor c schrijfl : 1 ff{Sin.ua^CoB.^x)dx= — f q{Sin.aXyCo8.^x)adx, (A = oo ) (XL) Bjj de Iheorcmata (XXXVIII), (XXXIX) en (XL) moet men niet vergeten, dal steeds de formules (D) of (E) ab voorwaarde zijn aangenomen, en tevens even als vroeger a<^ en ap geheele getallen moeten zijn. 