title: Opera quae supersunt omnia
creator: Spinoza, Benedictus de, 1632-1677
text: Maar nadat we van die overige eigenschappen niet zoodanig een kennis als van de uitgebreidheid hebben. Zo zien we ons dan of we ten opzichte van de wijzigingen der uitgebreidheid een bijzonderder beschrijving kunnen vinden, die meer eigen is om het wezen van onze zielen uit te drukken, als het welke ons eigendommijke voorneemen is. We vooronderstellen dan, als een bewezen zaak, dat er in de uitgebreidheid geen andere wijziging en is als beweging en rust, en dat een ieder bijzonder lichamelijke ding 248 aliud esse, nisi certam motus quietisque proportionem; atque hoc ea ratione, ut, nisi in extensione aliud non esset, quam sive motus sive quies sola, nulla in illa res particularis ostendi vel esse posset; ita ut corpus humanum nihil aliud sit nisi certa motus quietisque proportio. Essentiam objectivam vero quae hujus proportionis essentialis motus quietisque in attributo cogitante datur, dicimus mentem corporis; quando igitur una harum modificationum (sive sit motus sive quies) in plus vel in minus mutatur, eadem ratione et idea mutatur; uti e.g. quando quies augmentatur motusque diminuitur, illo dolor vel tristitia illa causatur quam frigus nominamus. Si vero motus augmentatur, dolor oritur quem nominamus calorem. Quando autem motus quietisque gradus in omnibus corporis partibus non aequales sunt, sed nonullae plus quam aliae motus et quietis habent, inde differentia sensus ortur, qualem experimur, quando baculo in oculos vel manus ferimur. Et quando fit ut causae externae inter se differant, vel omnes eandem habeant effectam, ortur inde differentia sensus in una eademque parte, uti experimur lignum vel ferro in eadem mano icti. Et iterum si mutatio in quadam parte facta causa est, ut ad priorem proportionem redeat, oritur inde laeilitia, quam tranquillitatem, exercitationem jucundam, et hilaritatem nominamus. Quia igitur explicavimus, quid sensus sit, facile videre audemus, als in zeekere maat deezer beweeging en stilte is, zodat, indien er in de uitgebreidheid niets anders als alleen beweging of alleen rust was, er in dezelve geen bijzonder ding zou kunnen zijn, of aangewezen worden: invoegend het menschelijke lichaam niet anders als 'n zeekere gelijkmatigheid deezer beweging en stilte is. Het voorwerpsbekken, wezen nu 't wein van deeze wezendlijke evenredigheid van beweging en rust in de denkende eigenschap is, dat zeggen wij is de ziel van zulk 'n lichaam. Waar uit volgt, dat wanneer een van deze twee wijzingen, het zij de beweging of rust, in meer of minder veranderd, dat na die maat als dan ook dit denkbeeld of de ziel veranderd. Want bij voorbeeld, zo 't gebeurt dat de stilte komt te vermeerderen, en de beweging te verminderen, zo wordt daar door als dan veroorzaakt die pijn of droefheid welke wij koude noemen. Maar wanneer in tegengedeelde de beweging komt te verminderen, zo wordt daardoor veroorzaakt die pijn welke wij dan hitte noemen. Doch indien de trappen van beweging en stilte in alle deelen onzes lichaams niet gelijk, maar dat eenige derzelfde van meerdere beweging of stilte als de andere voorzien zijn, zo ontstaat daar uit 'n verscheidendheid van gevoel, zo als wij onderzinden, wanneer wij met een steeltje in de ogen of op de handen worden geslagen. Daar, bij zo de uiterlijke oorzaken, komen te verschilpen, even niet alle de zekerde uitwerking en hebben, zo spruit daar uit de verscheidendheid van gevoel, in een en hetzelfde deel; gelijk wij ondervinden, als met een hout of ijzer op eenzelfde hand geslagen wordt. Mijn, als de verandering, welke in eenig deel geschiedt, eeuw oorzaak is dat hetzelfde tot haar vroegere evenredigheid van beweging en rust weerkeert, zo zullen wij dit vermakelijke oefening, en vrolijkheid komen te noemen. Dus, wij hebben verklaard wat het gevoel is, zo goed en wel. OFSHAW, quomodo inductio procedat idea reciproca sive nostra ipsorum cognitio, et quomodo ratiocinatio inde proveniat. Ex quibus omnibus etiam, quia mens nostra cum Deo unita et pars infinitae cogitationis est a Deo creatura ortae,clare videnda est clarae cognitionis et animi immortality origo. In praesentia vero dictum satis est. FINIS. Kunnen wij nu ligtelijk zien, hoe hier uit een weerkeerig denkbeeld of de kennis onzes zelfs ontstaat, en hoe hier uit ook de redenering voortkomt. Gelijk ook uit alle deze, om dat onze ziel met God vereenigd, en een deel van het oneindig denkbeeld, van God onmiddelijk ontstaande, is, zeer duidelijk de oorsprong van de klaare kennis en onsterfelijkheid van de ziel wordt gezien. Doch voor tegenwoordig zal het gezegde ons genoeg zijn. ET NINDO. H-3Mh IRIDIS COPIA ALGEBRAECA, AD MAJOREM PHYSICAE ET MATHESEOSQUE CONNECTIONEM. Iq summo apud illos honore Geometria fuit, itaque nihil Mathematicis illustris. At nos metiendi ratio et utilitate hujus artis terminavimus modus. Cicero, Tusculanarum Questionum Libellus I, in prim. HAGAE COMITUM, Apud LEVINUM VAN DYCK. M. DC. LXXXVII. STEKKONSTIGE EECKENING VAN DEN REEGENBOOG, DIENENDE TOT NAEDERE SAMENKNOPIING DER NATUURKUNDE MET DE WISKONSTEN. By ihaer (te weten) by de Grieken is de Meetkunde in zeer groot aanziend geweest. Zo dat niet uitenmender was als de Wiskundigen; maar wij (namelijk de Gemeinen) hebben de raad van deze kunst bepaald met de nuttigheid van meeten en van tellen. {Cicero, Tusc. Q. I.} IN 'S GRAVENHAGE , Ter Drukkerij van LEVYN VAN DYCK. M. DC. LXXXVII. LECTORI SALUS. Quamquam, Lector discrete, hacce computatione erunditis dis- plicere nolimus , coniudemus tamen , praecipuum publicationis cupisdam esse debere consilium indoctos adjuvare. Qua in re. hisce in provinciis juvenibus docilibus bonum exemplum habere- nus Domini Hudde Consulis Amstellodamensis , in Comparatio- num ejus Abbreviatione regulisque firmis et generalibus maximorum et minimorum; Bonini Huygens — dilecti illius pro- fecto ab omnibus artes istas amantibus -■ in pluribus ingeniosis nec minus perfectis ejus operibus; et Domini De Witt ^ dum videbat Consiliarii-pensionarii Hollandae , in clara ejus segmentorum descriptione conorum et computatione redituum ad vitam contra reditus solventes. Tanto magis itaque ei, qui a quoquam , vel tantillum docili, intelligi velit , a cognitis incipienti sensim sensique licet adscendere , et de Iride tamquam a principiis initium facere. Quodam ergo prioribus sex Euclidis libris operande, haec annotationes , quae , secundum Horatii AEN DEN LEZER. Allievel men, Bescheyde Lezer , met deze Rekenkunde niet geerne de Geleerde zoude mishagen; zoo is echter het vertrou- wen , dat het voornaemste oogmerk van iet aan den dag te brengen behoorde te zijn, om de ongeleerde te hulp te komen. Hier van heeft men in deze landen voor de jonge lieden, die neerstigh willen zijn, de goede voorbeelden van de Heer Hudde, Burgemeester van Amsterdam, in zijn verkortingen der vergelijkingen, en vaste en algemene Regels der grootste en der kleinste; van de Heer Huygens, voorwaar den Oogappel van alle die geene, die deze Kunsten beminnen, in verschillende van zijn geestige en nog altijd zeer doorwerkte schriften; en van de Heer de Witt. in zijn leven Raadspensionaris van Holland, in zijn klare beschrijving van de Kegelsneden, en waarde van Lijfrenten tegen Losrenten. Waarom het te meer voor die geene, die geernet van een ieder, een weinig leergierig zijnde, zoude verstaan worden, geoorloopt is, van het bekende een aanvang nemende alleskens op te klimmen, en met den Regenboog als van den grond te beginnen. Bij gelegenheid dan, dat iemand bezig was met zighet te oefenen in de zes eerste Boeken van Euclides, zo heeft men deze aanmerking, plus quam decem praesae jacuerunt annon, eo solo in lucem editae sunt, ut adolescentes utilitatem usumque spiecerent principiorum quae edocti essent, et etiam quantum Algebrae cognitione iis opus sit, qui subtiliuss istis penicillis Dei insignes creaturas, etsi pro parva tantum parte, imitari student. Quo, amate Lector, si exciteris, usi familiarim huncce contemplationis modum, naturalisque rationis perquisitionem non rejicias, leve hocce specimen plus boni causaverit, quam auctor sibi polliceri ausus fuerit. Vale. ■**4I-H- 257 kingen , die volgens de lesse van Horatitis meer dan tien jaren in een hoeck hadden gelegen , alleen het light toevertrouwt met dit inzight , op dat de aenkomelingen zoiiden kunnen zien de nuttigheydt en het gebruyck der heginselen, die zy zouden mogen hebben geleert , ende oock , hoe zeer de kennisse der Stel- konst den geenen , die met deze Jijne pincelen Godts heerlijcke schepselen maer voor een kleyn gedeelte zoecken natebootzen , van noden is. Indien ghy hier door, beminde lezer , wert op- geweckt , om deze gemeenzame wyze van betraghtinge en nae- vorssinge der natuurlijke reden niet te verwerpcn: zo zal deze geringe proeve meer goedts veroorzaeckt hebhen , als men zigh zoude hebben derven heloven. Vaert wel. ^H-»- 17 1 R 1 D 1 S COMPUTATIO. Uli qui modicam tantum cognitionem habent scientiarum, quae visui nostro, nobilissimo illi exteriorum sensuum , inserviunt, vel adjuvando illum vel delectando , non igno- rant, solis lucisque radios , ubi oblique incidunt in vitri aquae aliusve humoris superficiem , in superficiei iUius principio non amplius recte, sive per lineam rectam, sed oblique sive abrumpte transire, eodem modo quo per ex- perientiam quotidianam baculum vel remum m aqua quasi ruptum videmus, iUamque radiorum ruptionem refracUo- nem vocari. Neque illis ignotum est, eorundem radiorum repulsui, quando per foiium sub vitro vel speculo rumpere nequeunt, nomen refleGtionis dari. Cum idturlris, theologis illud augustum foederis insigne , a physicis, secundum leges a Deo rebus creatis datas , cau- REECKENING VAN DEN R E G E N B 0 O G. — -*£-§:- Die geene die een weynig kennisse hebben van de We. tenschten, dienende om het gezicht, het edelste van onze uiterlijke zinnen, behulpzaam te zijn, ofte om hetzelfde te verlustigen, zijn niet ongebruikelijk, dat als de stralen van de zon, ofte van het licht scheefvalt op een vlak van glas, van water, ofte van eenige andere vochtigheid, dezelfde in 't begin van dat vlak niet meer recht, ofte volgens een rechte lijn, maar schuin ofte afgeschoten doorgaan, op dezelfde wijze, gelijk men bij dagelijksche onderliggende een stok ofte roerijem- in 't water, als gezien ziet, en dat men dit breeken, ofte schampen der stralen de hoek van reflectie noemerat. Hun is raad niet onbekend, dat men aan de weerstand van dezelfde stralen, wanneer ze door de focale, die achter een glas of spiegel is, ofte iets diergelijks, niet kunnen doorbreken, maar weerkeren, ook gewoon is te geven de vorm van reflectie, waarom wij geen onzin zullen maken vandaag todat dergelijke woorden, beter verstaan werdende als de Nederlandse, te gebruiken. Deweile dan de regenboogh, dat heerlijk teken des verbonds voor de Godsgelarden, volgens de natuurwetten, door God de Heer de geschapen. Per refractionem et reflectionem radiorum solis, in innumerable incidentium multitudinem guttularum aquae, juvencus Mattheos amatoribus res admus animadversione digna est, magnum eorum antecessorem, Cartesium, non solum demonstrare Iridem inferiorem principalemque per duas visibili refractiones unicaque reflectionem, superiorem autem per duas refractiones et reflections duas, eoque se priore vel principali minus lucidam exhibere; eumque praeterea computatione determinare et rationibus demonstrare. Angulum maximum, quo inferior Iris observari potest, vel dimidium ejus diametri non minorem esse posse quam 41° 47', et angulum minimum, quo superior Iris observari potest sive diametri eius dimidium non minorem quam 51° 37'. Ut vero pergamus, me judice, pergrata inventio est, quam de rubro, flavo, viridi, caeruleo etc. Iridis coloribus profert, qua praesertim ingeniosam suam mentem manifestat, rationes alijerens, cur rubrum conspiciatur a parte convexa sive exteriore Iridis inferioris, a parte vero concava sive interiore superioris; scilicet quia in leges umbrae lucisque inquirens demonstrat centrum cuique aquae guttulae, ubi maxima datur umbra sive densitas, supra reflectionem radiorum venire in Iride inferiore ad oculos nostros pervenientium, quapropter color fortissimus sc. ruber umbrae subest ideoque a parte convexa cernitur; in maximo autem Iridis cuique guttulae centrum venire sub reflectione ad oculos nostros perveniente, quapropter rubrum inveniatur supra umbram sc. a parte concava. Nemo non in hac de Theologorum et Physicorum oppositione Spinosam (puto) recognoscet. 261 dingen medegedeeld, waardig geoordeeld veroorzaakt te worden door de reflectie en reflexie van de stralen van de zon, vallend op een ontalleke menigte van kleine druppels waters: zoo is het zeer aardig te weten, voor de jonge liefhebbers der wiskunde, dat hun grootste voorbeeld, de heer Descartes, niet alleen aantikt, dat de onderste en voornaamste Regenboog wordt gezien door middel van twee reflecties, en een reflectie, en de bovenste door twee reflecties en twee reflecties, en daarom veel faler vertoont, als de eerste of voornaamste; maar daar en boven, dat hij ook door rekenkundig bepaald, en met redenen aangeeft, dat de grootste hoek, waarin de kleinste Regenboog kan gezien worden, of zijn halve middellijn niet groter kan zijn als 41 graden 47 minuten, en de kleinste hoek, waarin de grootste Regenboog kan gezien worden, of zijn halve middellijn niet kleiner kan zijn, als 51 graden, 37 minuten. Dog om wat verder te gaan, 't is mijns inziens een aardige uitwijding, die hij voortbracht over het rood, geel, groen, blauw en diergelijke kleuren van de Regenboog, maar bijzonder ziet men daar uit een merksteken van zijn aardige geest, als hij reden geeft, waarom de rode kleur wordt gezien aan de bolle ofte de uitwendige zijde van de onderste Regenboog, en aan de holle, ofte de inwendige zijde van de bovenste, te weten, om dat hij, ouderzeggend hebben de wetten van de schaduw en het licht, betoont, dat het middelpunt van iedere druppel waters, alwaar de grootste schaduw of dikte is, komt boven de reflectie der stralen, die tot ons oog komen in de onderste Regenboog, en dat daarom de krachtigste kleur, te weten het rood, is onder de schaduw, namentlijk aan de bolle zijde, maar dat in de grootste Regenboog, het middelpunt van iedere druppel waters komt onder de reflectie, die tot ons oog komt, en dat daarom het rood komt boven de schaduw, te weten aan de holle zijde. Cum vero algebra amatoribus, ut solet, occulti tonemet, quomodo duas regulas reflectionis invenerit, quibus tabulam suam computavit, eas solummodo describens, breviter eas hic algebraice demonstrabimus. Quaeret globum vitreum sive aquae guttam per circulum AFDGKBZ exit. Mar vermits hy voor de beminnenaers der stelkonst, na zijn gewoonte, verborgen hout, op wat wijze hy de twee regels der reflectie, waar door hy zijn tafel heeft uitgerechnet, die hij botelijck ter neer zet, heeft gevonden; zoo zullen wij dezelfde hier korteJijck stelkonstig bewijzen, dies wij een glazen bol ofte grote druppel waters tonen, met den cirkel AFDGKBZ, waarinnen geno- bibemus. In quo circulo, longitudinem fl uidani pro inclusa HF sumta, invencitur porro linea CI, ideoque etiam arcus FG et FK, et denique hoock anguli quoque ONP et XQ, R sequenti modo: Posito, quod diversi radii e solis corpore provenientes, quorum unus hic per lineam YF representatur, diametro AB paralleli sint, quodque diameter dimidia CD in 10000 partes divisa sit, et quod dicta linea YF, 9000 harum partium, sive distantiam HF a dicto diametro AB distet; scire cupimus primum, quantus linea HF data, linea erit CI, postea quanti arcus FG et FK, et denique quonum angulo eundem radium, post reflectionem in K et duas refractiones in F et N observare possemus in P, et etiam post duas refractiones in F et Q, et duas reflectiones in K et N, in R; scire cupimus amplitudinem anguli ONP et augurium XQR. Ut igitur primum inveniamus longitudinalem lineae CI, cum sciam rationem refractionis aequae esse ut 250 ad 187, HF ad CI – quippe quae lineae sint refractionem dimetientes – eandem rationem habere debet. Dico igitur, secundum regulam de tribus, 250 : 187 = 9000 (sive HF) : x, quo computato pro CI inveniemus 6732. Ut vero etiam demonstremus lineas HF et CI refractionem aequae dimetiri, in figura men zijnde zekere lengte voor de lijn HF, verders gevonden wordt de lijn CI, en bijgevolg mede de boog EG en FK, en eindelijk ook mede de hoeken 0 NP en XQ, R op de volgende wijze: Onderstelt zijnde, dat verschillende stralen komende uit het lichaam der Zon, waarvan hier een is afgebeeld met de lijn YF, evenwijdig zyn met de middellijn AB, en dat de halve middellijn CD zy gedeeld in 10000 delen, en dat de voorz. YF 9000 diergelijkke delen verre is van de voorz. middellijn AB, ofte de wijde van HE: wij willen weten, hoe groot eerst, HF gegeven zijnde, zal zijn de lijn CI, daar na de grootte van de boog EG en EK, en eindelijk in wat voor een hoek wij dezelve straal, na een reflectie in K en twee refracties in F en N zullen kunnen zien in P, en ook na twee refracties in Y en Q en twee reflecties in K en N zullen kunnen zien in R; dat is: wij willen weten de grootte van den hoek 0 NP; en de grootte van den hoek XQE. Om dan voor eerst te vinden de lengte van de linie, die ik wete, dat de reden van de refractie van het water is als 250 tegen 187, zóó moet HP tot CI, zijnde de twee linien, die de refractie afmeten, ook dezelfde reden hebben. Ik zeg hiermee, dat, volgens den regel van drieden: 250, geeft 187, wat geeft 750, ofte HP? en komt voor CI 6732. Dog om nu ook te bewijzen, dat de linien HE en CI de refractie van het water afmeten, stel ik voor de straal: in de nevensgaande figuur. Ik stel voor de straal: in de nevensgaande figuur. B'^ adjecta, radium exhibeo OF, et per punctum F, unde refractie ad K procedit, duco lineam tangentem ad circulum AFB in F; at quia, secundum Cartesii doctrina in secundo tractatus de Telescopis capite, liene O P et RL refractie illam dimetiuntur, liene HE et CI refractie illam etiam dimetientur, cum liene HF liene OP, et liene CI liene RL aequales sit; nam quia trianguli P OR et HF latera OE et PC aequalia sunt, quippe duorum aequalium circulorum diametrorum dimidia, et quia rectangulus OPF etiam aequalis est rectangulo PHC, angulusque externus OPP interno HCP; sequituri lineas OP et PH inter se aequales etiam esse. Eadem ratione demonstratur lineas RL et CI inter se esse aequales. Quia vero liene OP et EL refractie metiunt, etiam liene PH et CI ipsam dimetientur, quod erat demonstrandum. Per 26m. prioris. Figuur 0 F, en in het punt E, van waar de refractie gaat naar K, trek ik een rechthoeklijn, rechendende de cirkel ABC in r; dewijl nu volgens de leer van Descartes in zijn tweede Hoofdstuk van de Verhandelingen der Verrekijkers, OP en RL deze refractie afmeten: zo zullen HE en CI mede deze refractie afmeten, om dat HF is even groot als OP, en CI even groot als RL; want dewijl van de driehoeken POE en HFC de zijden OP en FC gelijk zijn, ofte even groot, te weten halve diameter van twee gelijke cirkels, den rechte hoek OPF mede gelijk aan den rechte hoek HCF, en den uitwendigen hoek OPF mede gelijk aan den inwendigen hoek HCF; zo volgt, dat de lijnen OP en FH mede elkander gelijk zijn. Op gelijke wijze wordt mede getoond, dat de lijnen II en CL elkander gelijk zijn. Vermits nu de lijnen OP en RL de refractie afmeten, zo zullen dan mede de lijnen FH en CI de refractie afmeten. Het welke stond te bewijzen. Secundo: spectando rursus magnam imaginem, lineis LI en CI inventis, inveniuntur etiam facile arcus EG en EK. Quando enim quadratum lineae HF subtrahimus a quadrato diametri dimidii CE, quadratum obtinemus, cujus radix sinus sive gonometrum est arcus ED, sive angulus ECD, cuius radix est supra 4358. Quem numerum per Langrenus in Tabula Sinuum computavit, quem numerum per Lantensis Tabulas computantes, pro FCD angulum invenumus 25 graduum 50 min., vel ut suprascimus adjungendus accedamus 25 graduum 50 min., cuius duplex est arcus FG sive 51° 41'. Eadem ratione arcus YK invenitur esse 95° 22'. Quod tantummodo ex trigonometria ostendere voluimus. Ut autem tertio perveniamus ad inveniendos angulos ONP et XQ, diametros dimidios sive altitudinem utriusque Iridis, uti facile imaginari nobis possumus, proferentes lineas N P et Q, R, et ex earum finibus P et K sive ex oculis spectatoris ducentes parallelas diametro AB. PRIOR FIGULA est: quod, ad inveniendum angulum ONP sive diametri dimidium, i.e. altitudinem inferiorem Iridis, arcus FG addenda sit 180 gradibus, et deinde subtrahendus duplex arcus FK. ACTION ET DEMONSTRATIO. Quam regulam, a Cartesio lugo claroque sermone indicatum, uti fieri debet, quando his scribitur qui soli usu contenti sunt, quamque tamen his, qui fundamentum sive rationem omnium cognoscere amant, occultam tenuit; quam, dico, regulam ut ad terminos algebraicos reducatur sive in his ponamus. a pono quadram sive augulum rectum sive arcum 90 graden. Van Schoten, van Imandt anders, zo bevind meester voor PCD een hoek van 25 graden 50 minuten, ofte om nog naar beneden te komen van 25 graden 50 minuten, waarvan het dobbel is de boog FG, ofte 51 graden 41 minuten. Op dezelfde wijze werd de boog PK raad bevonden te zijn 95 graden 22 minuten. 't Welke wij alleen uit de driehoeksmeting hebben willen aanwijzen. Maar om tot derde te komen tot het vinden van de hoeken ONP en XQK, dat is om te vinden de twee middellijnen, ofte de hoogtes van beide de eigenbogen, gelijk men zich lichtelijk kan verbeelden door het verlengen van de lijnen NP en QR, en uit P en R hun einden, ofte het oog des aanschouwers, evenwijdig te trekken, met de middellijn AB: zo is dan den EERSTE REGELE Dat men om te bekomen de hoek ONP, ofte de halve middellijn, dat is, de hoogte van de kleinsten Regenboog, den boog FG moet optellen met 180 graden, en daarvan aftrekken het dobbel van den boog FK. Om deze regel, die Descartes met lange en klare woorden heeft bekleedt, gelijk men doen moet, als hij schrijft voor de geenen die met het enkel gebruk te vreden zijn, en die hij nogtans voor die geenen, die graag den grond of de reden van alles weten, heeft verduisterd, te brengen of te stellen in stelkonstige termen: zo neem ik a voor een winkelhaak, of rechten hoek, ofte een boog van 90 graden, b voor de boog F G, c voor de boog. Door het 29ste van 't Eerste. Ziet de Piguur van den ilegeuboog in Descartes. Lum, arcum FG, c arcum FK (qui arcus quippe antea inventi cogniti sunt), x angulum ONP, et y angulum GPK, quem angulum dicimus refractionis et qui cum arcubus datis continuo mutatur; secundum regulam propositam igitur angulus OJP sive ar = ^ + 2^ — 2c. Quod ut jam inveniamus demonstremusque, x pro angulo ONP et y voor den hoek GK (want deze twee bogen, te voren gevonden zijnde, zijn bekend), x voor den hoek ONP, en y voor den hoek GK, die wy noemen den hoek der refractie, en die volgens de gegevene bogen felkens verandert; zo is dan volgens den voorgestelden regel den hoek ONP ofte x = b ^ 2 a — 2 c. Om dit nu uit te vinden en te bewijzen, zo neem ik x voor den hoek ONP, en y voor pro PNM (quippie etiam refracties) hoek positus, argumentum OL = x + y. Jam absolute en triangulo ELK, hoek ELK = x + y. Patet porro, hoek ELK etiam = c, uti imperitorum in usum inter demonstrabimus, et hoek L EK = y; x igitur + 2 y + c = 2a^ + 2 y icleoqut; x sive ONP = 2 a — 2 y + c. Jam arcus GK, tanquam arcuum FK et FG differenta, scil. c — b, sive hoek GCK ad centrum usque productus, duplo major quam hoek GFK ad circumference producto; GFK itaque = y, sed GFK = y, itaque y = -^;^ et 2 y = c — b, et 2 y = c + 5', in comparatione supra dicta, loco 2 y positus, ONP sive x = b -\- 2 a — 2c, uti secundum regulam posebatur et quod demonstrandum erat. Si porro aliquis dubitaret, num angulus FKL, uti et angulus QNM, aequalis sit arcui PK sive c, scil. amplior PCK, hujus demonstratio sic procedit: Anguli CEF et CKF cum inter se aequales sit, propter triangulum aequicrurum CKF, sequitur illos simul aequales esse duplex cuiusque sc. angulo EKN; sed anguli CPK et CKF cum angulo FCK ^ sive c, 180 gradus sive duo angulos rectos efficit; et FKN, iisdem rectis aequalis, cum FKL. 275 deii hoeck PN M, zijnde mede den hoeck der refractie, zoo is daii den hoeck O N M = a; + y. Laet nu mede voltooyt werden den driehoeck i^ L K , zo zal dan den hoeck F L K *) mede zijn x -\- y, Het is nu verder open- baer, dat den hoeck FKL mede is = c, gelijck wy ten dienste van de onervarene nader hier onder bewyzen , en den hoeck L F K = y: zo is ^) dan x -^- 2 y ■+■ c — 2 a, en mitsdien x of ONP = 2« — 2y — c. Nu den boogh GK, zijnde het verschil der bogen F K en E G, le weten c — b , ofte den hoeck G C K getrocken tot het middelpunt , is ^) eens zoo groot als den hoeck G F K ge- trocken tot deu omtrek; zo is dan GPK =— -, maer c—b G P K was gestelt = y , zoo is dan y = —— , en 2 y = c — h en — 2 y = — c + h. Deze — c -k- h dan in de boven- gemelde vergelijkingh gestelt zijnde in de plaets van — 2y, zo komt O N P ofte x z=. h -\- 2 a — 2c, gelijck volgens den regel was gestelt , en 't welk wy moesten bewyzen. Indien nu verder iemand twijfelde, dat de hoek PKL, alsof de hoek QNM even zo groot is, als de boog FK, ofte c, te weten, als de hoek PCK, daarvan is het bewijs aldus: De hoeken CPK en CKF elkander gelijk zijnde, om de gelijkbenige drie-hoek CKF; zo volgt, dat zij samen even zo groot zijn als van ieder het dobbel, te weten den hoek FKJ; maar de hoek CFK, en CKF maken met de hoek FCK, ofte c, 180 graden, of te weten twee rechte; en FKJ, die. Ook 180 graden effekt, gradus sive duos rectos; unde sequitur, do aequalibus hisce aequalibus abstractis, reliqua FCK et FKJ etiam inter se aequale futura, utrumque sc. =c, quod erat demonstrandum. Porro facile etiam demonstratur QNM aequalem esse FKJ, quare hic etiam =c est. REGULA POSTERIOR. Quod, ad inveniendum angulum XQR sive diametri dimidium i.e. superioris iridis altitudinem, angulus inventus ONP abstrahendus si ab arcu FK. ACTIO ET DEMONSTRATIO. Terminis algebraicis angulus X Q, R igitur = c - x, cuius demonstratio sic procedit : angulus Q, N M supra demonstratus est = c, et O N M = x + y, quare Q N O = c - X - y, ideoque X Q T etiam = c - x - y. Adde angulum refractionis T Q E, sive y, quo pro angulo X Q R habebis c - x, quod erat demonstrandum. D. Suius, dum in vivis Ecclesiae cathedralis Leodiensis canonicus, et consiliarius Principis illius urbis secretus, seculi hujus doctissimis alacerrimisque in omnis scientias adnumerandus vir, postea demonstravit omnes has lineas, arcus angulosque etiam mathematices posse inveniri, angulum scil. O N P semper aequalem esse duplici angulo. Per 13m prioris, per 3m ax. prioris, per 29m prioris. Vide Tha Barrovi de optica lectionem. 277 De tweede twee hoecken gelijk was, maakte met F KL ook 180 graden, ofte twee recht. Zoo volgt dan, als men van deze gelijke diagen gelijke diagen afzette, dat hunne resten ECK en FKL mede zullen gelijk zijn, te weten beide gelijk c, 't welk stonde te bewijzen. Verder bewijst men zeer lichtelijk mede, dat Q. jM M evenzoo groot is als FKL, waarom die mede is = c. TWEDE REGEL. Bat men, om te berekenen den hoek X Q R of den halven middelijn, dat is de hoogte van den grootsten Regenboog, den gevonden hoek O NF moet aftrekken van den hoogte F K. WERKING EN BEWIJS. In stelkoustige termen is dan den hoek X QR = c - x, en het bewijs daarvan is aldus: Den hoek QNM is hierboven aangewezen te zijn = c, en ONM = a + fy, zodat QNO = c - x - iy, en bij gevolg XQT = c - X - y. Doet hier nu bij den hoek der Refractie TRQ of y, zodat komt voor den hoek XQR c - x; 't welk stond te bewijzen. Mijn Heer de Sluis, in zijn leven Canoniek van de Cathedrale Kerk tot Luyk, en geheime Raad van den Prince der voorsz. Stadt, zijnde geweest een van de gaeste en geleerste mannen van deze eeuw, in alle wetenschappen, heeft naderhand aangewezen, dat men alle deze lijnen, bogen, en hoeken ook meetkonstig kan vinden, te weten, dat den hoek ONP altijd is gelijk aan het dobbel vaal. Quod breviter ita demonstro : Ponamus angulum KCB sive arcum KB = ^r, nibisquee demonstrandura jam erit, quod 'iz = x. Jam NMSupra = x+y, itaque 'A'AVN et KWV etiam = a+y, angulus KVW = y, propter lineas paraliclas YL et AV, quare externus angulus TKN = a; -I- 2y. Porro angulus externus EKC = ^ + y-, sed PKN = duplex P KC; itaque PKN = 2^ + 2y; atqui PKN supra etiam = a; + 2y, quare 2^ + 2y = ^ + 2y. Subtrahendum ab utraque parte 2y, et erit 2^ = .r; quod erat demonstrandum. Vel sequenti etiam modo, uti a magno mihi demonstratum amator; Arcus KB sive ^^ = « + V-2 d—c. Nam BD = a, DP = V2 ^^; utroque substracto FK sive c, KB sive 2 erit = a + ^l^ b - 6. Quo ab utroque parte duplicato, 2^ erit = 2 « + (^ - 2c; sed secundum priorem Cartesii regulam x etiam = 2« + <^ - 2c; itaque 2^ etiam = X. Quod erat demonstrandum. Ante jam secundam per regulam demonstratus est angulus XQR = c - 2^, et ab arcu PK tantum subtrahendum erit arcus KZ. 1) Per 29m et 15m prioris. 2) Per 32m prioris. 3) Per 1m ax. prioris. 279 Den hoeck K C B . en dat men derhalve . om mede den hoeck X Q R te vinden, het voorsz. dobbel van K C B van de boog F K moet aftrekken. 't Welck ick kortelijk aldus bewijze : Laat den hoeck K C B, of de boog K B zijn = ^ , wy moeten dan betonen, dat 2 2 h = .v. 0 N M was hier voor = ar -h y , zo is dan A W N en K W V mede = ;?; +y, den hoeck K V W is = y , om de evenwijdige lijnen Y L en A V, zo is dan raitstens den uitzwendigen hoek F K N = X + 2 y. Verders zo is den uitzwendigen hoek 2 F K C = 2" + _y, maar E K N is het dobbel van F K C, zodan F K N = 2^H-2y; maar F K N was hier boven mede = s; \- 2 9/ , zo is dan bij gevolg 2 ^ + 2 y ook = X + 2 y. Neemt ten wederzijden wegh 2 y, zo komt 2 e = .r; 't welk stand te bewijzen. Oftentimes, well, thus, gleich, my door een groot liefhebber is getoond: Den boog KB ofte z is = ^ + V^ /^ — c. Want BD is = «:, DF = V.^; van beyde genomen FK ofte c, ^, zoo is KB ofte z = a + ^/^ b — c. Dit ten wiederzyn, verdubbelt, zo is 2 z = 2 a + b — 2c; maar volgens den eersten regel van Descartes was x met = 2 a + b — 2c, zo is 3) dan 2 z met = x. Welk wij moeten bewijzen. Nu hier voren is in den tweeden regel bewezen, dat den hoek X QR is gleich c — .r, zo is dan ook denzelfde hoek X Q, K gelijk c — 2 z, en bygevolgen moet men van den boog FK alleenlijk aftrekken den boog KZ. Cum itaque arcus KN ciatu arcui FK aequalis sive c sit, i. e. 95 gradus 22 min., secundum duas regulas praecedentes pro x, sive angulo ONP i. c. arcu KZ = ^ + fj — 2c, octo in 40 gradus 57 min., et pro XUK sive arcu ZN, i. e. c — 2^, 54° 25'. Et praecedentibus itaque sicare cernitur arcus KN sive aequalis esse utrique Iridis, et arcu hoc in KN in duas aequales in L diviso partes, KL sive V2 aequalem esse. Den boog KN dan raede zijnde zo groot als den boogly K, ofte G, dat is 95 graden 22 minuten, zoo bekomt men volgens de twee voorgaande Regels, voor x of den hoek ONP, dat is den boog KZ = 22.40 - 2c, 40 graden 57 minuten; Ende voor X Q, R, ofte den boog ZN, dat is c - 2 2, 54 graden, 25 minuten. Men ziet dan klaarlijk uit het voorgaande, dat den boog KN ofte c zo groot is, als beyde de Regenbogen, en dat, als men dezelve boog KN in twee gelijke delen deelt in L, KL ofte V2 zo groot is als twee halve Regenbogen, ideta K B sive z ipsum dimidium esse Iridis inferioris sive anguli ONP; et BL. 1/2 c — z dimidium superioris Iridis sive anguli X Q R; unde procedit solutio duarum quaestionum delectabilium, de quibus initio iam dicebamus, scil. quomodo inveniamus maximam inferiorem Iridem, in amplitudine sua determinatam. M 283 genbogen, en dat mitsdiez K B ofte z net de helft is van den ondersten Regenboog, ofte den hoek 0 N P : en B L zijnde V G — z net de helft is van de bovenste Regenboog, ofte den hoek X Q R; waaruit dan vloog de oplossingen van twee vermakelijke Werkstucken, waarvan wij al in 't begin al hebben gesproken, te weten, hoe men den aldergrootsten ondersten Regenboog, die in zyne grote per umbram desuper procedernt, en de minimale superioren Iriden, in parvitate sua determinatam per umbram inferiorem. Tamquam refractionis ratio enim in quaestionibus includebatur et per Algebrae sagaciteit et Domini Hudde regel inveniebatur sinus arcus K B maximus et rursus arcus B L minimus, sive minimus maximusque sinus eorum arcuum; unde hujus arts studiosus arcus hos in charta determinans, inquirit quantam altitudinem coeli Iris maxima inferior superiorque minima se ostendant. At quia parvi nostri laboris illum fractum habuimus, ut hujus solutio nobis ab amica manu provenerit, neque tamen ab una parte novitios nimis gravare vellemus, ab altera parte lectorem peritum delectatione privare nolumus, hujus plurimque aliarum quaestionum, quas adjungere possemus, per tabulas trigonometricas earumque Logarithmos ipsos quarendi inveniendique. 285 bepaald is door de schaduw van boven, en den alderkleinsten bovensten Regenboog, die in zyne kleine bepaald is door de schaduw van onderen, zal kunnen vinden. Want, als de reden van de refractie in de Werkstücken ingesloten, en door de behendigheid der Stelkonst, en den Regeling van de Heer Hudde, werd gevonden den grootsten sinus van den boog KB en weerom den kleinsten sinus van den boog BL, ofte wegens den kleinsten en grootsten sinus van hunne schilboogen: zo ondersoekt de Officier van deze kunst, door het bepalen van deze bogen op liet papier, op welke hoogte zich den grootsten onderste Regenboog, en de kleinsten bovenste Regenboog aan de Hemel zal vertonen. Maar dewijle wij voor de kleine moeite, die wij hebben genomen, deze vrucht hebben genoten, dat de oplossingen hier van ons van goeden hand is toegekomen, en wij de nieuwelingen aan de ene zijdde niet genoeg te veel zouden beswaren, zo willen wij aan de andere zijdde den ervaren Lezer het vermaak niet benemen, van de ontbinding van deze en meer andere Vragen, die wij hier zouden kunnen byvoegen, door de Hoeckmaets Tafel en hare Logarithmen, zelfs te zoeken en te vinden. Auteursrecht Typothetica in Aenea Emenda. Pagina. Voorwoord. I. cogitatio. 4de aanmerking. ipse. 6de regel. ultiama. 7de aanmerking. habeat. 10de aanmerking. quasi. 16de regel. quantum. 18de regel. numerus. 20de regel. Antium. 22de regel. annuum. 30de regel. pro adhribus. 32de regel. sursum. 33de regel. dixi. 34de regel. 42 II 3 u producat II producit. 44 II 1 II quod II ut. 48 II 16 del. quod. 52 II 2 sursum. pro in Deo II Deus. 60 II 1 sursum. II ea II eo. 72 n 1 auu. » ■ as- as II -ae-ae. 76 II 4 sursum sursum II cognitioni 11 cognitionis. 90 II 7 ann. sursum / quam II ac. 96 II 9 II nanciscamur II nanciscimur. 97 in inscriptione II llefden II Mcten. 104 reg. . 1 sursum II praefert II praeferre. 118 r/ 10 et 11 II illa et ea II illo et eo. 122 // 2 II sint II sunt. 128 // 4 II conare dehemus II couari debeamus. 132 // 1 sursum II veram II verura 176 u 7 // II in II in quo. 194 II 3 ann. 2) II cordem II 00 r. 196 u 2 ann. 1) II aliud II alia. 300 II 3 II II experientae II esperientia. 212 II 10 sursum II renumeret II rernumeret. 216 II 5 II II fulgurem II fulgura. 218 II 9 a II natura II natura. 226 II 6 II II liberissima II liberrima. 246 II 11 II II illae II illas. 254 II 5 et 10 Habemus et videbat COLLECTION OF LETTERS TO SPINOZA AND FROM HIM, INCLUDING EPISTLES OF THE VITAL SPIRIT. IN THE FOLLOWING: EDICT BY WHICH SPINOZA IS EXCOMMUNICATED FROM THE JEWS. A LETTER TO SPINOZA, INTEGRAL, WITH A RESPONSE. SPINOZA'S LETTER TO BLYENBERGH, THE ULTIMATE BELGIAN. OLDENBURGH'S LETTERS, TWO UNEDITED. SPINOZA'S LETTER TO ANONYMUS (BRESSER?), UNEDITED. SCHALLER'S LETTERS TO SPINOZA, TWO, INTEGRAL AND UNEDITED. SPINOZA'S LETTER TO SCHALLER, UNEDITED. TSCHIRNHAUS'S AND CHRIST. HUGEN'S LETTERS, UNEDITED. COLLECTION OF LETTERS ABOUT SPINOZA'S LIFE AND EPISTLES. Praefatio Hollandica tractatus de Deo, versioni praefixae, brevis quaedam philosophiae vitae narratio inserta est, ipsi auctore ex Colera maxime excerpta, quamque igitur hic de novo edentes supervacaneum prorsus laborem faceremus. Annotemus tantum perpaucis quae hic illic addita invenimus, et primum quidem aedes philosophi natales fuisse ad canalem dictum Houtgracht, veteri Judaeorum et Portugalis ecclesiae proximas, quibusque anno 1743 novum datum est culmen, inscriptione 7 Oprechte Tapuchijs ornatum. Quod quidem culmen hodie non amplius existat, ipsis aedibus posteriore tempore in duas divisis minores. Ecclesia quam dicta, anno 1670 ad canalem Mudensem nova extructa, in domum privatarum transmutata est, cujus in loco postea Ecclesia Romano-Catholica, a vetere illarum aedibus quadam inscriptione Mosis et Aaronis dicta, aedificata est. S 2. Quod ad historiolam illam de Medici F. van den Ende filia attinet, notandum hancce, nomine suo Claram Mariam, anno demum 1671, aetatis 27, Didericus Kerckrinck, aetatis 32 annorum, matrimonio junctam fuisse. Difficile igitur Kerckrinckii rivalem Spinozam habere possumus, qui, puellam illam si unquam conjugem ducere cupierit, dudum ante aum hoc sibi proposuisse necesse est, quam cum Rhenoburgi vel Voorburgi Hagaeven Comitum degens de matrimonio iueundo cogitare omnino novum potuit. § 3. 