title: Commentatio ad quaestionem astronomicam ; a nobilissimo disciplinarum mathematicarum et physicarum ordine Academie Gandavensis propositam, anno M. DCC. XXII. "Data duurum locorum differentia latudinis et linea loxodro mica, invenire differenentiam longitudinis eorum dem." Quae praemium reportavit die VII Octobris M. DCCC. XXIII.
creator: Verdam, Gideon Jan, 1802-1866
text: Bij de beweging van een ligchaam om eenc as, — hoe kort ook de duur der bewegmg zij, of hoe klein het boogje, door eenig punt van dit ligchaam beschreven, — bestaat hoeksnelhcid van bcweging om de as, of hoeksnclheid met belrckking tot de as. Oezc snelheid kan ontbondcn gedacht worden; en zoo dan de rigting der onbestcndige as bckend ware ten op- zigte van de co6rdinalen-assen dcr massa, zou de hoeksnelheid met betrek- king tol de onbeslendige as ook gedacht kunncn wordcn vervangen te zijn, door bctrekkelijke hoeksnelheden, dut is door die van zamenstellende bcwc- gingen oni dc coordinaten-asscn dcr massa, even zoo als dit tcn opzigtc van dc onbewegclijke coordinaten-asscn kan worden begrepen. Wederkccrig, zoo uien, voor eenig oogenblik der heweging, kcnde de zamcnstellende hoek- snclheden, hctzij mel betrckking lot de vaste coordinalen-assen, helzij ten aaiizien van de coordinatcn-assen der inassa, zou uit deze besloten kunncn worden en lol de groolte van de hoeksnelhcid dcr w;ire beweging om de onbeslendigc as, en le gelijk tot de rigting dezer as. Zoo cenige lijn, door het vaste punt getrokkcn, en zckere bepaalde slelling ten opzigte van de elementcn dcr massa hehbende, voor een oogenblik as von beweging kan zijn, kan dit ook op elke der coordinalen-assen van de massa loegcpast wonlcn. En zoo dan elke dezer asscn op hare heurt onhcslendige as ware, zou er werkelijk heweging om dezc as en hocksnciheid ten opzigle van eenc coordinatcn-as der massa be<taan. Maar het is duidelijk dat dc hoeksnclhe- den mel betrckking lot de coordinaten-assen der massa niet iu dczen bij- zonderen zin moelen gedachl wordcn, al warc het ook mogchjk dat eene dezer lijnen, onder de heweging, onbestendige as wierd. Van ccn andcren kanl evcnwcl heefl de massa inderdaad bewegin^' inet belrekking tot hare coordinaten-assen. Dcze assen toch worden met de massa bewogen, cn als men de heweging nagaat gcdurende den tijd dt, dan stelt men zich voor tc ondcrzockeu, welke lit;g'"g of welken sland de a.ssen der mass:i hcbben op hel cinde van den tijd o< mct betrekking tot dien, welken zij haddcn bij den aanvang van dil oucindig klein tijdsdccl. 39 op een volgcndcn stand mct betrekking tot ecn onmiddellijk voorgaandeo. Het is derhalve geoorloofd snellieid van beweging der elementen, verande- ring van snclheid of versnelling, verandering van de cotirdinaten der ele- menlen of differentialen dezer coordinaten, te stellen of te rekenen met be- trekking tot de codrdinatcn-assen dcr massa. Maar bij hel ondcrzoek der beweging van deze assen zelve moeten klaarblijkelijk de vaste assen der coordinaten als rigtingen ter vergelijking worden aangenomen. De differentiaal-bcwcging van de massa met betrekking tot harc coordi- naten-assen, en de differentiaalbeweging dczer assen met hetrekking lot de vastc coordinaten-assen, zijn bewegingen die gelijktijdig plaats hcbben; zij zijn in ecne zelfde bewoging begropen. Zij hangcn echter in dier voege zamcn, dat de laatsle bepaald is door de eerste, van welke dan ouk de om- standighcdeu als die onafhankelijke beweging kunnen worden onder- zocht en gekend. Men zal uaiiielijk de stelling van de coordinaten-assen der massa kunnen vinden op eenig oogenblik der beweging, zoodra bekend zijn gcworden de functien of uitdrukkiiigcn, dic, voOr zoodanig oogcnblik, de groottc geven van de hocksnclheden der bnweging van de massa met hetrekking tot hare coordinatcn-assen. Dezc functien worden verkrcgen uit de differentiaal-ver- gehjkingen der bewegirig van de massa met betrckking tot harc coordina- ten-assen. Het bepalen dezer differeiitiaal-vergelijkingen is een voornaamst gedeelle der oplossing van hel voorstel der beweging van een vast ligchaam • om een vast punt, en tot dcze bepaling, door middel van het beginsel van d'Alembert, wordt nu iri de eerste plaats overgegaan. 2. Aannemcnde, dat op al dc elementen der massa krachlcn werken, — dat deze onlbonden zijn in rigtingen evenwijdig aaii <le codrdinaten-assen der inassa, — en dat, zoo doende, gclijk iu art. I van § I, de krachtcn op elk element vervangen zijn door drie krachten XJm, Y <)'«, r A d>n, dan moct hier ook wederom worden uilgegaan van dc algemf-ene vcrgelijking (I) der virtuele moinenten. Oin liaar toe te passen, niocten de voorwaarden <!er variatien van de onbepaalde codrdinalen der elementen in rekening worden gebragt. Dcre voor^vearden zijn die der gedwongene beweging van het lig- chaain om hel vasle puut, — door wclke elk elcment dcnzelfden afstand e tot het vaste punt (tot den oorsprong der codrdinalen) behoudt, — en die van den onveranderlijkcn zamenhang der elcmenten van de massa, door 40 BIJDIIAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBEHT, wclk verband de onderlinge oneindig kleine afstandcn tusschen opvolgende elementen dezelfde blijven. De eerste dezer voorwaarden wordt uitgedrukt door de vergelijking: L, — *' + jf» + *» — Q * = 0 (40) gevende deze eerste voorwaardes-vergelijking der variatifin van de codrdinaten : 9 L, = 2 x9x + ifin + 2 z9z = 0 (41) Aangezien er slechts drie onhepaalde coordinaten x, y, z zijn, kan bet aan- tal der voorwaardes-vergelijkingen niet meer dan drie bedragen. Moest alleenlijk dc voorwaarde van zamenhang en onafgcbrokene onveranderlijke op- volging of aansluiting der elementen in aanmerking komen, dan zouden daar- toe drie vergelijkingen kunnen wordcn gesteld, uitdrukkende dat dc variatien dcr drie afslanden tusschen vier, in eenige kromlijnige of veranderlijke rig- ting, onmiddellijk opvolgende punten ntil zijn. Twce zoodanige vergelijkin- gen reiken hier echter toe, vermits reeds eene (41) van de drie noodige bcstaat. Deze twee kunnen naar den gcnocmden grond gevormd worden, doch mcn kan ze ouk vinden uil dezelfde voorwaarde, door welko de ver- gclijking (41) is verkrcgen. Ziju toch de afstanden van drie oniniddellijk op elkander volgende clementen onvcranderlijk, dan zullen ook de variatien der afstanden van het tweedc en derde dezer elcmenten lol hel vaste punt, evcn zoo als de variatie van dcn afstand des eersten elements tot dit punt,. nul zijn. Van diie opvolgende elementen of punten der massa zijn de codr- dinateil x, y ,z ; x + ix, v + ty, z + dz, t + 20x + d**, y + 2ty + z + 2,>* + d 1 *, en gelijk dan dc vergelijking (41) is verkrcgen uit ao* + y » +*») = o, zullen de twec andere voorwaardes-vergelijkingen der variatien van de coordinaten moelcn voortkomen uit of ontwikkclingen en vervormingen inoe- ten zijn van dcze twee vergelijkingen : a {(«+**)' + + w + (* + *)»} =o. 3 {(*-rtd* + d>xy + (y + tdy + Vy)* + (z + 2dz + d 1 *) 1 } = 0. De eerstc ontwikkcld zijnde gelijk de overeenkomslige, uit welke de ver- gclijking (7) in arl. 5 § 1 is afgeleid, zal geven: , 0VEREENK0M8TIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANOE. 41 «L, = 2d«d«J! + 2dyd«y + &d*d** = 0 (42) De tweede vergelijking wordt, bij ontwikkeling, 0 = 2(* + 2d* + d 1 *) {Sx + 2^* + d» te) + 2 (y + 2dy + ^yWy + 2^y + «y) + 2 (« + 2<)z + J> , «) («* + 2*3« + iV3*) = (2* dx + 2y 3y + 2« 8z) + 2 (2d* 3* + 2 #Sds + 2 3y + 2 yd 3y + 2 d*** + 2 *d*t) + 2 (2dc d 3* + 2dy d 3y + 2d* d 3«) + 2(4^ix+2^^x+2*d , «H-4dy%+2^ , ^y+2yd , *y+4d*^*+2d'*«*+2*d l i*) + 2(2^3*+ 2d*d , 3jr+ 2^3 3y +2dyd , dy + 2d , *d3r + 2d*d , 3*) + 2(0 , *d , 3* + d , y;) , 3y + t> , *d , 3z) = 3L, + 2i»aL, + 2«L, +2d l iL, + 2d3L, + 2d'«d*A* + 2d*yd»*y + 2d»*d»3«. Aangezien nu 3L, =0, 3L 4 — 0 zijn, cn daarom ook de differentialen de- zer variatifin gclijk nul, komt, als derde voorwaardes-vergelijking der varia- tien van y, z, * 3L, = 2d»*d»ajr + 8d*yd l «y + 2d , *d , 3« = 0 (43) Om de bepaalde vergelijking der virluele momenlen te hebtcn, moet de onbepaalde vergelijking (1) {% I, art. 1) zamengenomen worden met deze drie vergelijkingen j Jt.aL, = J 21, (*A« + y*y + ***) = <>, J x,aL 1= J ^^(djfdajf + dyday + d e da*) = o, j ML, = j 2?.,(d , *d , 3.«, + d»yd , 3y + d , *d , 3z) = 0. Vooraf echter kunncn de twee laatste, door het integreren bij gedeelten, worden hcrleid, zoodat dc termen ondcr de integraal-teekens geen difleren- tialen van dc variatien maar eeniglijk deze variatien zelve tot factoren heb- ben. Daartoe, als vrocgcr, aannerfiendc of stellende, dat 1',, l'\ X", X' it d*" ty" d/, d*" b:' enz. zijn de waardcn van X it X it &r, 3y, d* enz. aan de grenzen der integralen, zal de tweede der voorgaande vergelijkingen moe- ten vervangen worden door deze andere: * Zie de aunteckrningr, a«n bet <inde dezer Bijdrage. NATCURK. VKKH. DES KONINKL. AKADBMIE. DKKL X. 84 42 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, — j[2 dx * (X , d*) + 2 h (X , fy) + 2 9z d (X , d*)] + 2 {(X" , &r") «*" - f X' , «*'} + 2 {(*" , V) V - (*'• V) V} + 2 {(*". *'") **" ~ (*', ao **'} = o- De laatste of derde van die vergelijkingen zal overgaan in : 0 = I {Etod^XjdM+^fyd^X.dty+aa^fX,^^ -2 {ty'd(r,dV) -¥*(*', i>V)} -2 {a^d(r,dV)-a«'d(r I d»«')> + 2 {(r.dvjw-p.avjdW} + 2 {(r,dV)dV- (*', *W V) + a{(r,d»«"»d««"-(A,d»Od«*'}- En hiermede komt dan deze bepaalde vergelijking der virtuele momenten: 0 - |J[X dm - ^d* + 2 X, x - 2d (X, &») + «d» (X, d 1 *)] 3* + [Y *m- p dm + 2 X, y - 2d (X, + td» (1, d 1 j)] *, + [Zdro-^dr» + 2X, i-^dlX^^J + t^fX,* 1 *)]** } + 2 {X",d*"_ d(X",d V)}**"— 2 {X',d*'— d(X'.,d V)} Sx'+-2(X" i W)W—2(X' i yx'ftS*' + l{X\W-Z(X' , i W')}dy , '-2{X'Jy , -Z(X' l d , y'fi + 2{X\te' , -t(X\y:'')}az"-Z{X' i dz'-d(X' j y De integraal, in deze vergelijking voorkomende, wordt gedacht over de geheele massa uitgestrekt te zijn; zij is derhalve, alhocwe! zonder bepaalde aanduiding, eene bepaaltle integraal. Maar in deze zelfde vergelijking zijn nu al de varialien, zoowei de bepaalde (builen de integraal) als de onbepaalde (in de inlegraal) onderling oiiafhankelijk. Daarom wordt aan de vergelijking voidaan door den coeflicient van elke der variatien gelijk nul te stellen. Derhalve zal men dc navolgende vergelijkingen hebben: Xd»-~dm + 2X I *-2d(X,fc) + 2&»(M»*) = 0; (45) V^-^trn + il^y-iM^W + Wil** 1 *)^"-, ( 46 ) Z _ + -2X , z — 2 2> (X, d«) + 2 d» (X, d l *) = 0 (47) 0VEKEENK0M8TIG DE BEKENWIJZE VAN LAOKANGE. 43 d(l",dV) = 0 ; r>' — &(V s dV) = 0; X",^*" = 0; l',d»*' = 0. \ iW-WW^ 0 ; -d(i',d»/) = o ; r,av = o ; i',oy = o. j* <48) r a d*" — d(r,aV) = o ; i^d*' — o(r,dV) = o ; i",dV" = o ; i-,dV = o. J Wanneer uit do vergelijkingen (45), (46), (47), twee aan twec geno- men, de onbepaalde factor 1, wordt geeliminoerd, zullen de onbcpaaldc in- tegralen der komende vergelijkingen, na herleiding door middel van het in- tegreren bij gedeellen, bcvonden worden te zijn: / {('aF * Ydm) ! - 2 <*> + 2 (1, d* - iM*5 0' *)} y — 2 *» d»y — *y e 1 *) - C t ; /{(•~-*~)>«-(»X^-*Zd«)}~2{l»d.-d(l i d»«)}« ^ + 2{l,d«— 0(1, 0»*)} * — 2l,(d*d»« — 0*0»*) = C,; /{(*~- y 3« - («YJm - ,««)} - 2 {1, dx- d (l, d » x)} y + 2 {*,dy — d(M , *0}« — *l,(dyd**— d*d J W = u,. De tweede leden C,, C„ C, dezer vergelijkingcn zijn nul, vcrmits de in- tegralen, in de eersle leden aanwezig, aan de cerste van hare limieten verdwijnen, terwijl ook de overige termen van die eerste leden aan dezclfde cerste limiet nul zijn, op grond van de vergelijkingen (48). Deze termen vallen insgelijks weg aan de tweedc limict der inlegialen. Wordcn derhalve de vergelijkingen (6) uilgestrekt over de geheele massa, dan blijvcn in de ecrstc lcdcn alleenlijk de inlegraal-uitdrukkingen met bctrekking tot de ge- heele massa, en er komen alzoo deze drie vergelijkingcn, welke zijn deoor- spronkelijke of onherlcide vergelijkingen der beweging van een vast ligchaam om een vast punt: /('£-»^)WK-' r 4) /('*£- = y(.xa-— za-.) : ' (4») 5. De vergelijkingcn der beweging kunnen ook verkregen worden door 84* > 44 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGIN8EL VAN D'ALEMBERT, eerst de vergelijkingen (45), (46), (47) le integreren, alsdan uit de onbe- paalde integralen te elimineren, en daarna, nogmaals integrerende, de integralen over de geheele massa te nemen; de factor zal daarbij weg- vallen. Uit de onbepaalde integralen van de vergelijkingen (45), (46), (47) zal volgen 2{*,^-d(*,&»y)} = |{Ydm-^Jd« + 8l, y}, > (50) 2{l s de-d(* > d'*)} = J[za»-^*dm + «A, Aan de eerste limiet zijn de integralen nul, en volgens de vergelijkingen (48) zijn, Yoor deze limiet, ook de eerste leden dezer vergelijkingen nul; daarom bchoeven geen standvastige terraen of grootheden bijgevoegd te worden, of liever deze zijn nul. Strekt men de vergelijkingen (50) over de geheele massa uit, daarbij wederom op de vergclijkingon (48) lettende, dan heeft men deze andere vergelijkingcn: j^m-^tm + iX,^ = 0, \ (51) J(z &»--*-£&» + 8 4,,) = 0. } Elimineert men nu X 2 uit de vcrgelijkingcn (50), twee aan twee geno- mcn, dan zullen cr drie vergelijkingcn komen, die men wederom zal kunnen integrercn, en neemt men, op dc drie zoo ovcn verkregene vergelijkingen lellende, deze integralen over de geheele massa, dan zullen daaruit do ver- gelijkingen der beweging onlstaan. Het zij genoeg dit yoor e^n dezer ver- gelijkingen aan te toonen. Men eliminere X t b. v. uil de tweede en derde der vergclijkingen (50); dit zal geven j (Zd»n-^ ^m+ 2 X , z j —lzj\^m - + 2* , y j + 2d*dl*,d 4 «)— «MA.dV)^ 0 » en, bij gedeelten intcgrercnde, 0VEKEENK0M9TIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 45 + jz ^-0^ + 2*, yj + iX t (toVz-teV 9 ) = 0. Het tweede lid is nt*/, omdat aan dc eerste limiet der integralen het gc- heele eerste lid nul is; de integralcn loch, in dit ecrstc lid aanwczig, zijn, bij die limiet, nul, en de 5% 4«, 7«, 8% H c en 12 e der vergelijkingen (48) leeren, dat i s zoowel aan de tweedc als aan de eerste limiet nul is. Wordt nu de verkregene vergelijking met betrekking tot de gchcelo massa geno- men, dan vallen, op grond van de vergelijkingen (51), de twee eerste der inlegralen in het voorste lid weg; ook vervalt de term, die tot coefficient heeft, en er blijft, na omkeering der teckens, j^yZdm — y^'dm + 81, y^— j(zYdm — *^f«>m + U, y*J = 0 , Of j^yZ^m — zl^m^-y^^m + * ~ im j — 0, waaruit dan, door afscheiding enz., de eerstc der vergelijkingen (49) voort- komt, en dat de beido andere op gelijkvormige wijze verkregen worden, zal wel geen verklaring behoeven. 4. Worden alleenlijk de vergelijkingcn (49) der beweging gevraagd cn niet meer, dan kunnen deze ook, zonder tusseheiikomst van onbepaalde ver- menigvuldigers, verkiegen worden op de wijze, gevolgd in art. 7 van § I. Daartoe moeteo, door middcl van de voorwaardes-vergelijkingen der variatien van de onbepaalde coordinaten, de algemecne waarden van «ty, wordcn bepaald. Deze waarden gesubstilueerd zijnde in de vergelijking (I), zal de noodzakelijke betrekking, welke tusschen de onbepaalde varialien inoet be- staan, in rekening zijn gebragl, en de vergclijkingen der bewcging zullen dan onmiddellijk moeten verkregen wordcn. Hel aantal dezer vergelijkingen is drie; de vraag rijsl derhalvc, hoe deze drie uit de enkelc vergclijking (I) ontstaan? Men merke op dat, om Hx, 9t/, Sz te vinden, de vergelijkingen (42) en (43), in verband met (41), zullen moeten worden geinlegrecrd. Hierdoor worden er willekeurige slandvaslige grootheden ingevoerd, die, van dezelfde orde moetende zijn als de le bepalen elcmenten Sx, &y, &z, als varia- tien, en wel als willekeurige en daarom onderling onafhankelijke varialien, 46 BIJTWAGK TOT 1>E TOEPASSING VAN HET BEGINSKL VAN D'ALEMBEBT, willen mogen en moeten beschouwd worden. Het aantal dier willekeurige standvaslige grootheden zal hlijken drie te zijn. De vergelijking (1) zal dien- volgens, door de substilutie der waarden van 9x, fy, 9t, herleid worden tot eene andere vergelijking, niet meer van onderling zamenhangende, maar van willekeurige variatien afhangpnde. Al dc termen van die berlcide vcrge- lijking (I) znllen eene znodanige variatie tot factor hebben. Het vereenigen der termeu, door eene zclfilc willckeurigc variatie vermenigvuldigd, zal drie sommen van tcrmen oplevcren. En de herleide vergelijking gelijk nul moc- tendc zijn, onafhankclijk van elke waarde aan de willekeurige variatien toe te kennen, zal cr allecnlijk, met betrekking tot hetgeen men zoekt, voldaan kunnen worden door elkc dcr drie soinmen van termcn gelijk nul testellen; daaruit komen dan de drie vergelijkingen der beweging. Laat, tot mecrdere ecnvoudigheid en duidelijkheid, 9x, 9y, 9z aangeduid en vervangen wordcn door m, v, «% dan zijn de vergelijkingen (44), (42)," (45), ler bepaling van u, v, w, deze: xn + yv + tie = 0 , (a) d*d« + dy + ^to = 0, (jj) yx^u + dW» + Wu> = 0 (y) De clcmenten, in deze vergelijkingon voorkomende, hcbben alleenlijk be- trekking tol codrdiiiaten van puntcn der massa. l)o differenliaal van den tijd, welke in de differentiaal-vergelijkmgon der beweging hct onafhankelijk ver- anderlijk element is, komt hier in gccn aanmerking. Daarom zou, voor het meer gemakkelijk intcgreren, eene der eerste diflerenlialen, b. v. dx, als standvastig mogen aangenomen wordcn. Dit worde evenwel nictgedaan, zoo- dat d;m ook dc vcrgelijkingen {«), (fl. (r) den meer algemeenen vorm blijven bchoiidcn, onder welken zij ten opzigte van al hunne elementon r, y , «, «. ». w, bs, dy — volkomen symmetrisch zijn. De differentiaal van de vergelijking ia) is mdu + n dx + y)v + »d» + *d» + »d« = 0 (9) Wederom differenlierende, en op dc bctrekking (f) lcttende, komt: *d»u + tid'* + yd 1 tr + t>;) i y + zd , u» + »d' 1 * =0 («) lit («, (f), (9) w en eliminerende, zal verkregen worden: (*d* — zd*)(*d« — u*z) + (y$z — *iy)(z&> — t>d«) — 0 (») Eveneens, door eliminatie van u> en d 1 » uit (*), (r), ('), OVEREENKOMSTIG DE REKENWUZE VAN LAORANGE. 47 (*d** — *d J jr)(*«) , « — u^z) + (yd 1 «—*d , y)(^d , P- »d*r) — 0. ... (C) Klaarblijkelijk hebben deze twee vergelijkingen (*) en (£) den vorm P.Q + R.8 = o <•) 0P.dQ + dR.dS - 0 {«) Zij hcbben derhalve, ten opzigte van vier functien, denzelfden vorm als de vergelijkingen (<*), (,5), ten opzigte van zes elementen, zoodat van de drie symmclrischo vergelijkingen («), (/?), (y) mct zes veranderlijke groolheden als ware het is afgedaald tot twee symmetrische vcrgelijkingen met vier veran- derlijke functien, en uit dcze twee komt mcn nu evenecns tot enkele ver- gclijkingen mct twee van die veranderlijke funclien. Want uit de differenti- aal van (<), dat is uit PdQ + QdP + RdS + 8dB = 0, en uit (») cn (x), S en dS eliminerende, komt R(P0R - R<)P) dQ - Q(PdR - RdP)i>R = 0 , dat is Dienvolgens of en dan ook (PdR — RdP) (RdQ — QdR) = 0. tf> dQ <)R P ~ Q " _ R * xlb** — *d l * yd l * — ^cVy «tVu — ud l z *d* — i^t vi* — «dy ~~ zdu — ufc - - — •-- = enz., welke vcrgelijkingen oniniddellijk kunnen worden genitegreerd. Men heeft dQ dR b. v., uil -- = R > Q = aE ' dat is *du — u«)« = — a(*dy — y«>), en van deze is de integraal - = — a- + 6; of u — — ay + &*, x « zijnde a en 6 de willekeurige standvastige grootheden, door het integreren bijgekomen. 48 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSINO VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT. Men zou nu wel eveneens verkrijgen p= — c* + d«, maar de willekeurige slandvaslige grootheden kunnen niet alle onderscheiden wezen, want er moet aan de vergelijkingen («) en ($ worden voldaan. Dil blijkt dan ook, van ceo andercn kant, door de gevondene eerste integraal (s^u— «<d*) = — afcdjr— yd*)i dewijl, ingevolge deze, de vergelijking («) overgaat in z d*> — v — — a (xdz — * &r) , van welkc de intcgraal is v = ax + a , zijnde c eene derde willekeurige standvastige grootheid, voor welke het ge- oorloofd is le stellcn — c, opdat de vorm der uitdrukking van waarde voor * aan die voor « gelijk zij, helgeen, op grond der symmetrie, in de gegevene vergelijkingcn ten opzigte van al de elementen bestaandc, gepast is. Met u= — ay + bg, en v—ax — ee geeft dc vergelijking (<*),» — — bx + cq. De bcgcerde uitkomst zal derhalve zijn (indion o, 6, c gcsteld worden onder den vorm van variatign, b. v. 8/, 8g, 8h,) f 8x — — y 8/ + zty , 8y = *8f ' —■ z 8K , 8z = — x8g-{-y8h, en met deze waarden zal dan de bepaalde vergelijking der virtuele momen- ten zijn: + [+ zX^rn — zj^dm— xZM + x~ t dmj8g + \-zY*m+ *0dm + j,Zdm-y^dmjM} = 0. ln plaats van de cnkcle integraal van hct geheele voorste lid dezer ver- gelijking, kan ecne som van dric integralen van de drie termen, waaruit dat voorste lid onder het intcgraal-teeken bestaat, gesteld worden. Daar ver- dcr 8/, 8g, 8h standvuslig zijn en voor al de elementen der massa dezelfde waarde gcacht mogen worden te hebbcn, zal het ook geoorloofd wezen deze grootheden v66r of buitcn de integraal-uitdrukkingen te plaatscn. Alsdan zal aan de vervormde of gewijzigde vergelijking worden voldaan door de coeffi- cientcn van 8/, 8g, 8h. dat is elkc der drie bedoelde integralen, aan nul ge- lijk le stellen, en daaruit verkrijgt men dan terstond de drie begeerde ver- gelijkingen (49) der beweging. OVEREENKOMSTIG DR RKKENWIJZE VAN LAGRANGE. 49 5. De eersle leden der vergelijkingen (49) kunnen worden vervormd en herleid, zoodul zij afhangen van de hoeksnelheden of differentiale hoekbe- wegingen der massa oni hare coordinaten-asscn. De integralen zullen daarbij meer ontwikkeld kunnen worden, en indion dan, als coordinuten-assen der massa, de hoofdassen der massa tnel betrekking tot het vaste pnnt worden genomen, zullen de vergclijkingen (41») tot den eenvoudigslen vorm zijn ge- bragt, en als eerste differenliaal-vergelijkingen dcr beweging van het lig- chaam oin hcl vaste punl kunnen aangcmerkt worden. Laten p, q, r in rangorde aanduiden de grooltcn der hoeksnelheden van beweging der massa om of mct betrckking tot de assen der coordinaten *, y, z. Ecnig elemcnt hebbe lot de as der abscissen x cen afstand », zijnde *=l/fy* + * 1 )- Daar de hoeksnclheid met bctrekking tot de as x is p, zal de volstrekte snelheid der draaijende beweging van het gedacht elemcnt ten opzigle van dezelfde as * zijn p». De beweging van het element door een oneindig klcin boogje van den cirkel, hebbendc * tot «traal, kan gedacht worden onlbonrlen te zijn in twee andere differontiaal-bewegingen, evenwij- dig aan de assen der coArdinaten y en *. Deze zaincnstellende bewegingen zullen in grootte zijn: evcnwijdig aan de as van y , = — p».-^ = — pz, evenwijdig aan de as van z,— + P»>^= + py- Hierbij is aangenomen dat de rigting der draaijende beweging is opwaarts in het octant der positieve coordinaten x. y, z, zoodat de ordinaat y kleiner, maar z grooler wordt, en de beweging geschiedt als ware het van dc posi- tieve zijde der as y (ot of naar de positieve rigting van de as z. Eveneens z;il eene draaijendc diflercntiaal-beweging g» om de coordina- ten-as y, en gerigl van de posilieve rigting der as z naar de positieve zijde der as van de abscissen onlbonden gedachl kunnen worden in twee regt- lijnige diflerenli;uil-hewegingcn, cvcnwijdig aan de assen der coordinateo * en z, en van deze bewegingcn zullen dc grootten zijn: evenwijdig aan de as van *,-= + qz, evenwijdig aan de as van — — jx. En dc ciikelvormigc differenlia«*»l-beweging r«" van hetzelfde element met betrekking lot de as der ordinalen z, en gerigl van de positieve streek der 35 NATUUKK. VEBH. DER KONIKKL. AKADEMTE- DEEL X. 50 BIJDRAGK TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, as van * naar dc positieve zijde van de as der ordinaten y, zal insgelijks twec zamenstellende regllijnige differentiaal-bewegingen oplevcren, te weten: de eene, evemvijdig aan de as van *,= — ry, de andere, evenwijdig aan de as van j,= + r*. Denkt men derlialve de draaijende differenliaal-beweging van eenig element der massa om de onbestendige as ontbonden in drie dergelijke bewegingen om de codrdinaten-assen der massa, en elke dezer wederom in regtlijnige diflerentiaal-bcwegingen evcnwijdig aan de coordinaten-assen, dan zullen de totale zamenstellcnde regtlijnige bewegingen zijn: evenwijdig aan de as der abscissen x, = q z — r y, evenwijdig aan de as der ordinaten j, = rx — pg, evenwijdig aan de as der ordinaten %, — p y - </ Maar dezo zijn nu niel onderschciden van de snellioden der beweging van het element met bclrckking tot de genoemde assen, zoodat men mag slellen |jj = qz — ry; ^ — rx — V z; ^ — py — qx. (52) Hicruit zal volgen, dewijl al de bestanddeelen dezer vergelijkingen ver- anderlijk zijn, dV» = X J^ ~ z f t ^ r ^- r 'j)-piPy-9'U > (53) Deze uitdrukkingcn moeten nu gosubslitueerd worden in de eerste leden der vergelijkingen (49). Laal dit b. v. geschiedeu in <le eerste vandie.ver- gelijkingen, dan wordt zij / {^ 1 +* , ) d * — ft*'*™ -^*^ B, + V r (y , -**)0m-( 7 »~ r»)j«0« + prxydm — pqxz^m^ — J(y7,Z)m — zY bm). De hoeksnelheden en liare veranderingen, dat is de hoekversnellingen, OVERRRNKOMSTIG DE BKKKNWIJZE VAN LAGRANGE. 51 zijn voor al de elementen der massa dezelfde. Derhalve moeten zij, bij het nemen der inlegraal of wel der integralen vau de termen des eersten lids over dc geheelc mnssa, als standvaslig worden aangcmcrkt. Neeml men tevens die lijnen als coordinalen-assen der massa, welke zijn de hoofdassen der massa voor of mct betrekking lot hel vastc punt, dan woiden de inte- gralen der lerinen, die van de produclen x y d m, xz d m, y s d m afliangen, nu/, en de vergelijkin^ gaat over in De groolte der momenten van traagheid der massa mct botrekking tot de opgcnoemde hoofdassen mag, even zoo als de plaats of ligging dczer hoofd- assen, als bekend of gegeven worden aangemcrkt. Zijn A, B, C de grootten dezer momenten, genomen in de orde der coordinatcn jr.y.r, dan is |(j,»+*»)am = A, J^+^dm-B, j(*> + y»)dm = C ; derhalve ook — t/^dm^B — C). Het tweede lid dcr onderworpelijke vergelijking van de beweging der i drukt klaarblijkelijk uit het mouiont van oen koppel van draaijende beweging om de as der abscissen j, namelijk van een koppel gelijk aan de som van al de koppels, loodregt op de as van *, en ontstaan uit de wcrkingen der krach- ten X d m, Yjm, Zdw op de elementen dcr massa. Wordt de grootte of het momeiit van dil totale koppel aangeduid door L, dan zal do herleidc ecrste vergclijking der draaijende beweging van het vast ligchaain zijn A-^-(B-Cj,r=L. De beide andere vergelijkingen kunnen op gelijkvormigc wijze hcrleid wor- deo, en wanneer M en N beleekcnen de momenlen der koppels, welke eene draaijendc beweging aan bet ligchaam om dc codrdinalcn-assen >j en z zou- den kunnen mededeelen, gelijk aan die welke al de op dc clementen wer- kende krachleu gezamcnlijk pogen te doen ontstaan, — of ook, en juisler, gelijk aan die, welke men zal nioetcn verkrijgen door het ontbinden dereigen- lijke koppels van beweging des ligchaams om de onbestendige as, — zullen 85» 52 BIJDRAGE TOT I>E TOEPASSINQ VAN HBT BEGINSEL VAN D'ALRMBERT, in plaats van de drie vcrgelijkingen (49) deze drie andere herleide en meer eenvoudige vergelijkingen komen: i A^ = (B-C) 9 r + L, j B^ = (C-A)pr+M, j (54) C^ = (A-B)p 9 + N. j Zij zijn de bekende vergelijkingen der beweging van een vast Iigchaam om een vast punt; zij hebbcu den vorm van differentiaal-vergelijkingen van de eerste orde, die gclijktijdig bestaan, en zij zijn daarom eerste differen- tiaal-vergelijkingen der beweging van het ligchaam. Door het integreren wor- den p, q, r in functie van den tijd bekend, en drie andere vergelijkingen, welker afleiding of vorming niet tot het onderwerp dezer Bijdrage behoort, dienen daarna om, met de waarden van p, q, r voor eenig oogenblik, de slel- ling der hoofdassen, gaande door het vaste punt, met belrekking lot de vaste codrdinalen-assen te vindcn. Daarmede zal hel voorstel, voor zoo verdebe- weging aangaat, opgelost zijn. 6. Ter bepaling van de hoegroolheid der drukkmg, door de werking der krachten en tcn gevolge der beweging op het vasle punt uitgeoefend, heeft men vooreerst uit de vergelijkingen (45), (46), (47), l t = - j£ {Xdm — ^d«n — 2d [*,&* — d;*,d , *)j| = - ^ {Y |£ dm - 2d [x, dy- y(i, *',)]} = _ 1 { Z Jm - ^ *m - 8d [i, - d [K d» .)]}. Ten anderen is, door de vergelijking (40), Derhalve komt voor de drukking Jt,U, of A P , uitgeoefend op het element d*n in de normale rigting op de baan, door dit element om hel vaste punt 0VEREENK0M8TIG DE REKENWIJZK VAN LAGRANGB. 53 beschreven, en dan ook uilgcoefend op het vaste punl zclve in de rigting van den voerstraal q> d,=| |xdm-^at«-2^[l 1 d-r-d(X,d , x)]J = J {Ydm - ^ dm - 20 [X, dy - 0 (1, »»•)]} = t {Zdm — ~ 0m - 20 [i, 0* - d (*, d 1 *)]}- Hieruit onmiddellijk d, = X dm - 0m - 20 [a a - 0 (*, 0 1 *)], j d, = Y dm - 0m - 2d [i, Ojr - d t *, 0*j<)] » } ( 58 ) d, - Z dm - |£ 0m - 20 [*, 0* - 0(A, 0»z)] , De drukking d p bestaat oorspronkclijk op het clcment 0 m; vermits hare rigting is die van dcn voerstraal q, kan zij ook gedacht worden als uitge- oefend tegen het vasle punt, en dan zijn d x , d y , d, de drukkingen (inet bc- trekking tot een enkel element, verbonden mct de onmiddellijk aansluitende), uitgeoefend tegen het vaste punt in de rigling der codrdinaten-assen. Men kan evenwel de drukking d p op eenig element eerst, ter plaatse van dit ele- ment, onlbonden denken in de drukkingen d„ d,, d, evenwijdig aan decodr- dinaten-assen, en ze alsdan overbrengen op of langs deze assen, raaar dan ontstaan er tevens drie koppcls k z , k y , k„ loodregt op de codrdinalen-assen. De uitdrukkingen der momenlen van deze koppels zijn: k, = y d 4 - *d y = [g Z 0m - z Y 0m) - [y - z ^f) 0m - * -2y0 {K d* — d(M'«)} + **d {^, dy - d(i, d* y)}, k y = zi x - *d, = («X 0m - xZ0«) - [z ^f- ^ 1 -') 0«- — 2*o{*,o«- ' d i*, d» *)} + «* d {a« d* — d (4» *)}. k t = *d y — yd, = (« Y 0m — y XOm) — ^r|^ - y *-^) 0m - — «^{Mj-dfM^fl + ^MM* — d(M'*)}- / (56) 54 BIJORAGK TOT DE TOEPA83ING VAN HET BEGINSEL VAN IVALEMRERT, Deze koppels, voor al de elementen te zamen genomen, zouden zijn kop- pels van drukkingen, indien de beweging der massa om de codrdinaten-assen niet kon plaats grijpcn. Maar terwijl een zelfde punt der massa voorwaarde- lijk in het vasto pnnt blijft of van plaats niet verandert, is de beweging der massa om elke van liare coordinaten-assen onbeleminerd of niet meer belemmerd. Daaroin zijn de geiioeiude tolale koppels van drukkingen nul, on do integr;ilen (over de gcheele massa genomen) der tweede leden van de vergelijkingen (5(>) moetcn dienvolgens, aan nul gelijk gesteld zijnde,' we- derom de vorgolijkingen (49) der bcweging opleveren. llet zal voldoende ziju dit voor een der vergelijkingen (56) aan le toonen, b. v. voor de eerste dezer vergelijkingen. Bestonden in deze vergelijking de derde en vierde termen niet, dan zou de integraal, over de geheele massa uitgestrekl, en het eciste lid van de vergelijking gelijk nul gesteld, inderdaad van de eersle der vergclijkingen (49) niet onderscheiden zijn, Derhalve moet slechls blijken, dat de integraal der som van die derde en vierde termen nul is, als zij over de geheele massa wordt genomen. De onbepaalde integraal is |2yd{M*-d(M 5 *)}-j2*MMi/-MM 1 y)} =2y{^^-d(X,d^)}. -2z{X^y~^{X s yy)) +2 j {dyd(*, d*z) -^d(A, d»y)}. Tusschen de limieten der massa genomen zijnde, zal de waarde van het eersle lid gelijk zijn aan den deiden term van het tweede lid, lusschen de- zclfde grenzen gennmen ; want volgcns de vergelijkingcn (48) zullen, aan deze grcnzen, de cerstc en de twoede termen van hel Iwcede lid nul wor- dcn. De onlwikkeling van den dcrdcn term geeft, zonder nog op de limie- len le lotten, 2j{>0(M , *)-d*d(M , !0} -titW-teVy). en vermits aan de limieten l t gelijk nul is, (of eigenlijk =0 en A, d'* = o, volgens (48)), zal de bepaalde inlegraal insgelijks nul zijn \ Worden de tweode leden van de vergelijkingen (55) ovcr de gcheclc massa * Op hci hier ontwikkclde is door den Hcer Stamkabt ccnf aanmerking ge.maakl in denzelfden tin bU op het behondehle in § I, art. 9, en inet aanduiding eeuer soortgelijkc bekorting iu de berrkeuing. OVKRKENKOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 55 genomen (te welen door integreren), dan zullen, op grond v;in de vergelij- kingen (48), de integralen van de derdc termen dier lcden wegvallen, en voor de tolale zamenstellende drukkingen tegen het vaste punt verkrijgt men d, = |io» -/0*", j M »•=/»--/-£»-) bebbende de integralen, alhoewel zonder bepaalde aanduiding, bctrekking tot de geheele massa. Integrcert men nu in dezen zin de tweede leden van de vergelijkingen (55), en substitueert men de uilkorasten in de tweede leden van de pas verkregene vergelijkingen, dan zal er, als y,, *, zijn de coor- dinaten van het zwaartepunt der massa, komen: Xdm + (9 a +r , )mj ?1 —pgmy^ — prmc, + — my, — "mz, ; »<=/ D, = J Ydm + (p» +r»)m yi - jpmi, - m + ^m:,-~ D, = J Zdm + ^+^jm*, -rpm», -r^my, + £»*,— (57) my,. Bijaldien derhalve geen krachlen op dc elcmenlen van liel ligchaa n blij- ven werken, en dal het zwaarlepunt is het vaste punl, zal dit punt gedu- rende de bewegiug niet gedrukt worden. Zijn twee der hocksnclheden nu/, b. v. p en >t, dan beslaat er slechts draaijende beweging om de as der ordinaten evcn alsof deze eene vastc as van oinwenteling ware, en de vorgelijkingen (57) znllen, gelijk behoort, overgaan in de vroeger verkregenc vergelijkingen (34) en (50). 7. De vergelijkingen (57) kunnen tot ccn anderen vorm worden herleid, overeenkomeude inet dien vau de vergelijkingon (34), cn onder welken de terracn der tweede leden eene raeer bepaalde bcteekcnis hobben. Zij b. v. de eerstc der vergclijkingen (57). Het vereenigde van de tweede, derde en vierde termen van het tweede lid kau aldus worden voorgesleld: (9»+r»)m*, — pqmy, —prmz, — (p 1 + 7 > + r 1 ) m*, — p {px, + 9 y, + r*,)»«. 56 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, p, q, r zijn de hoeksnelheden der draaijendc beweging met betrekking tot de coordinalen-assen der massa. Wordt de hoeksnelheid der werkelijke be- weging om de onbeslendige as aangeduid door. w, dan zal, gelijk bekend is, of helgeen als bekend niag aangcnomen worden (zoo noodig, zou het ook door middel van de vergelijkingen (52) ligtelijk blijken),^ 1 + q 7 + r* =»> zijn. Ook zullen -, ? , - wezen de uildrukkingen van grootte der cosinussen 0} W W van de hoeken tusschen de rigtingcn van de onbcstcndige as en der coor- dinaten-assen van de massa. Daarom zal dan de projectie van den voer- straal e, des zwaarlepunts op de onbcstendigc as eene grootte hebbcn = + ^»y, + j. En deze projcctie nu projecterende op dc as der abscissen komt voor dc abscis £, van het voetpunt der loodlijn, uit het zwaaitepnnt op de onbeslendige as nedergelaten, P [P ,9 (■> \w w zoodat dan (P* + 7* + r, ) w » jr j — PiP*\ + ?y, + r^Jm^w^mx, —a> , «t|, =»*»»(*, —{,) zal zijn. Eveneens zal, indien y t en C, zijn de twce andere coOrdinaten het voetpunt dcr pasgenoemde loodlijn, gevonden wordcn, (P 1 + ^Jmy, — qpmx, — qrmz x = w* m(y, — »/,), (p* + q^jmz, — rpmx x — rqmy , — w* m(z t — t,). De vcrgelijkingen (57) zullen dienvolgens overgaan in deze: /fdr %q \ \ X dm + w* m(x t —IJ + ml — y, — s, \, , r \ (58) D.=|zjm + •»«.(», -Cj + t^*,-^.). ] Deze vergelijkingen hebben denzelfden vorm als de vergelijkingen (34), en de overeenkoruslige tennen der tweede leden hebbcn eene gelijke beteckenis. Elke terni is de uitdrukking der groolte van een zeker gedeelle der uitge- oefende zamensiellemle drukkingen. Dc eersle termen geven de aandeelen der drukkingen, ic weeg gcbragt door al de versnellende krachten. Door de Digitizec) by Google OVEBEENKOMSTIG DE EEKENWIJZE VAN LAGRANGE. 57 draaijende beweging van het ligchaam ontstaan raiddelpuntsvliedende krach- ten, dio onophoudelijk in grootte vcranderen; deze drukken de onbestendige as en veroorzaken hare gedurige zwenking; inaar zij oefenen dan ook druk- king tegen het vasle punt uit; en vau de grootte der hieruit afgoleidc za- mcnstellende drukkingcn zijn de tweede termen de uildrukkingen. En de derde termen hebben betrekking tot de zamensteliende drukkingcn, voortko- mende uil de veriindering of aangroeijing der hoeveelhcden beweging van de elementen der massa. Niet ongepast is hct, hier ler plaatse op te nierken of te herinnercn, dat de termen van de diflcrentiaal-vergelijkingcn (54) der bewcging, of die der uildrukkingen van de aan nul gelijk gestelde totale koppels van drukkingcn (uit de vergelijkingen (56) af te leiden), cene gelijkvormige bcteckenis heb- ben. Terstond blijkt loch, dat dc ecrste leden, of de enkele termen die de eerste leden der vergelijkingen (54) zijn, als uitdrukkendc productcn van traagheidsmomenten en hoekversnellingen, gehouden kunnen wordcn te zijn rekcnkundige voorslellingen van zamenslellende hoeveelheden versnellende beweging om de coordinaten-assen der massa; zij zij : dan ook litdrukkin- gen der momciiten van koppels van versnellende kr.ichten, de zamenslellcnde zijndc van die, welke aan de elementen der massa, indicn zij vrij warcn, dczelfde differentiaal-bcweging om de onbeslcndige as zouden mededeelen als die zij werkelijk hebben. Eveneens duiden de laatste termen der tweede ieden de gioolten of momenten aan van de zamenstellende koppels der wer- kende of versnellende krnchten. En de zame.nslcllcnde koppcls dcr ontwik- kelde middelpunlsvliedende krachten hebbcn cene groottc, van welke de eerste termen der twecde leden de uildrukkingen zijn. Dit laatste blijkt wel uiet bij een bloolelijk inzien van de vergelijkingen (54), maar dc berekcning, die tot deze uilkomst vocrt, is niot ingewikkeld. Men denkc namelijk uit eenig element eene loodlijn l op dc onbestendige as, en noeme de coOr- dinaten van het voetpuut dezcr loodlijn 5, y, C- De drukking tegen de onbe- stendige as, veroorzaukt door de raiddelpuntsvliedendo kracht van d», zal = $m Iw 1 zijn. I, i) en t zijn bekcnd door uitdrukkingen, gelijkvormig aan die, welke hicr boven voor )?,, f,, zijn gevonden of aangewezcn. {y-v)j (-—0 zijn derhalve mede bekend, en men vindt dan ook dc uildruk- king voor /, van welke (*— I), (<j—y), {*—£) de projcctien zijn. Ilierdoor komt men lot de uitdrukkingen voor de zamenstellendo drukkingen, evenwij- dig aan de coOrdinaten-assen der massa. Verder tot die der koppels lood- 36 NATUURK. TU8. DE» KOM^KL. AKADBMIE. DBKL X. 58 BIJDRAOE TOT PE TOEPASSING VAN HET BEGIN8EL VAN ©'ALEMBERT, regt op deze assen. En deze koppcls alsdan over de geheele massa nemende, tevens daarop lettendo, dat de coOrdinalen-assen zijn hoofdassen, zullen de grootten der totale zamenstellende hier bedoelde koppcls blijken te zijn : (B— C) qr, (C— A) pr en (A— B) pq. Men kan ook vergclijken: Poihsot, Nouvelle Theorie de la rotation des corps, 2 e partie, art. 73 — 70; en Briot, These sur le tnouvement dun corps solide autour <fim point fixe (Journal de mathematiques pures et appliquees, par Liouvillb, Toine VII, p. 74). De vergelijkingen (58) gaan wederom over in (31) als p en q nul zijn; want de hoofdas z alsdan omwcntelmgs-as zijnde, worden I, en nul, en daar C, alsdan = *, is, wordt ook (*,■—£,) = 0. De enkele of eamcngesteldc drukking D p op hel vasle punt zal nu, zoo in rigling als in grootte, uit de zamenstellende drukkingen D,, D,, D s bckend zijn. I)e algcmcene uitdrukking of formule, welke dc waardc van D p geeft, is cchler niet eenvoudig, en zij leert ook niets belangrijks. 8. Werken geen kracbten onafgebroken op de elemcnten der massa, maar is het ligchaam in beweging gebragl door eene cnkcle kracht P', wclke daarna hecft opgehouden te werken, dan kunnen grootte en rigting der diukking, hierbij op liet vaste ptint uitgeoefend, mede door de gevondene formulen worden bepaald. Want de bcwecgkracht P' in groolte, rigting en plaats van wcrking bekend zijnde, kent men ook de krachten X , Y', Z', waarin P', even- wijdig aan dc codrdinalen-assen der massa, is ontbonden, alsmcde de kop- pels L', M', N', loodrcgt op deze asscn, en bij dc krachten X', T', Z' moetende komen, als deze gedacht worden in of langs de coordinaten-assen op het vaste punt te zijn overgebragt. Bij het begin der beweging zijn p, q, r nul, maar er worden hoeksnelbedcn geboren, er zijn aanvankelijke hoeksnelheden p\ q, r\ en deze zijn bepaald door do formulen , L' . M' . N' P = A' ? =¥' ' = c* Dit volgt nict allcenlijk uit het toepassen van den regel, welke de hoeksnel- heid der draaijende beweging eener massa leerl vinden, als haar moment van traagheid ten opzigte van de omwentelings-as, gclijk ook het moment der bewegendc kracht, of dat van het koppel bewegende krachten, met betrek- king tot dezelfde as, gegeven zijn, maar het volgt ook uit de diflerentiaal- vergelijkingen (54) der bcweging, indien namelijk p, q, r nul worden gesteld, j O V EREENKOMSTIG T>E REKENWIJZE VAN LAGBANGE. 