title: Commentatio ad quaestionem astronomicam ; a nobilissimo disciplinarum mathematicarum et physicarum ordine Academie Gandavensis propositam, anno M. DCC. XXII. "Data duurum locorum differentia latudinis et linea loxodro mica, invenire differenentiam longitudinis eorum dem." Quae praemium reportavit die VII Octobris M. DCCC. XXIII.
creator: Verdam, Gideon Jan, 1802-1866
text: 59 en L', M', N' in plaats van L, M, N. Want dan zullen ook de hoekversnel- lingen d ~, niet ondorseheiden wezen van de geboren wordende of aanvankelijke hoeksnelheden p\ q', r\ De drukkingen, uitgcocfend op het vaste punt in de rigting der coordi- naten-assen op het oogenhlik van de mededeeling der beweging, zullen der- halvc bekend worden door de fortnulen (57) ais inen stelt p, g, r nul, of door de formulcn (58) als » nul gesteld wordt, mits ook in deze of in gene formulen X\ Y, Z substituorende in plaats van jxdm, j^dm, jzdm, p', q', r' voor d ~, Er komt dan en D',= X' + 1*1^,-9'«,), D' y ^Y' + mO>'*,-r*,), D' I = Z' + m( y ',, -/>>,). (59) Is dc plaats van hct vasle punt levens die van het zwaartcpunt der inassa, dan zijn de zamcnstellcndc drukkingen eeniglijk X', Y , Z, en de enkele ol zamengestelde drukking is juist gelijk aan dic, welke de beweegkracht P' zou hehhen mtgeoefend, indien zij, evenwijdig aan hare oorspronkolijke rig- ting, onmiJdellijk op het vaste punt gewcrkt hadde. De koppcls van drukkingen mocten, gelijk onder de beweging, zoo ook bij dcn aanvang der beweging, nul zijn. Noemt men a, b, c de coordinaten van het punt, waarop de kracht P' onmiddellijk hecft gcwcrkt (alswan- necr L'=Z'6 - Y'c, M' = X'c — Z'a, N'=Y'a — X'b zal zijn), en neemt men, na in de vergclijking (56) dc uitdrukkingcn voor de tweede diflerentiaal-verhou- dingen (55) tc holihcn gesubslituccrd, dc inlegralen van de tweede leden dier vergelijkingen mel bclrekking tot dcn aanvang dcr boweging, — ter- wijl de eerste leden nul zijn, — dan zal er koiucn, zoo als behoort, 0 = L'-V; 0 = M'-B?'; 0 = N'-Cr'. 0. !s het zwaartepunt niet in het vaste punt, en, werken er gecn krach- ten op de elcmenten der massa, dan kan dc bowcging cene zoodanige we- zen, dat is medegedeeld door eene kracht, in zoodanige streck en op een zoodanig gelegen punt gewerkl hebbende, dat het vaste punt niet gedrukt noch gebotst is geworden, zoodat dan ook, als dit punt niet vast maar 36* 60 BIJDRAGE TOT PE TOEPASSINO VAN HET BEGINSEL VAN TVALEMBERT, vrij ware, de aanvankelijke draaijende beweging van het ligchaam geen andere zou wezen dan dic er werkelijk geboren wordt terwijl het punl vast is. Derhalve mocten, als dit plaats heeft of plaats zal hebbcn, de tweede leden der vergelijkingen (59) gelijk nul zijn, waaruit dezc voorwaarden ▼olgen : X' = m( 9 *,--r>,),. Y' = m(r*. -p'z,), (60) Z' ^ *.(,>,-**,). ) Hieruit worden terstond deze vergelijkingen afgeleid: X'*, + Y'y, + Z*. =0, xy + Yy + zv = o, | (61) door welkc blijkt, dat de rigting der kracht F moet zijn en loodregt op de rigting van den voerstraal q des zwaartepunts van hcl ligchaam, en loodregt op de rigting dcr as om welke de beweging aanvangt, en daarom loodregt op het vlak, gaande door hel zwaartepunt en de rigling dcr aanvankelijkc omwcntclings-as. Gevolgelijk moet deze as eene vrije as van omwentcling zijn, en inderdaad, als in de tweede dcr vergelijkingen (01) de waarden L' M' N' - , - der hoeksnelhedeu p, </, r worden gcsubstitueerd, komt er XX* YM' Z'N' ■a- + "T + -c = 0, zijnde dc betrekking door welke de dric vergelijkingen (60) zamenhangcn, maar tevens ook de uitdrukking der bekende voorwaarde voor het beslaan eener zoogenaainde vrijwillige omwentelings-as. De vergelijkingen (60) zijn vcrgelijkingen eener regte lijn, hehbendc *i> y t , *x, tot doorloopcnde codrdinaten van hare punten. Zij is de meelkun- dige plaats der punten, in welke of alwaar het zwaartepunt des ligchaams kan zijn, opdat hct middelpunt van beweging (het vaste punt) geen druk- king noch schok lijde. En dc lijn, evenwijdig aan de genoemde door hel vaste punt gerigt, zal dan ook zijn de plaats der punten, die aangenomen kunnen worden als middelpunten van bewcging, waarop, bij de mededeeling der beweging, geen drukking noch schok zal uitgeoefend worden. Deze lijn kan derhalve geen andere wezen dan de lijn of as, om welke de 0VEREENK0M8T1G DE REKENWUZE VAN LAGRANGE. 1)1 beweging aanvangt. De vergelijkingen dezer aanvankelijke as zijn klaar- blijkelijk <jt -r'y — 0, r'x — v'z - 0, p'y - q'x ~ 0, (62) en zij zijn hier de vergelijkingen eencr as, gaande door een middelpunt van beweging, dat niet vast behoeft te zijn. Maar zoo dit middelpunt gedrukt werd, en daarom niet vrij kon wezen, zoudcn deze vergelijkingen nieltemin zijn de vergelijkingcn dcr rigting vnn dc omwcntelings-as voor eenigoogen- blik. En werkelijk zijn ook dc vcrgelijkingcn dcr onbeslcndigc assen van omwenteling, bij de beweging van een vast ligchaain om een vast punt, onder de vorenstaande vormen bckend. 10. Opdat dan hct vastc punt nict gedrukt of gebotst worde, of opdat de aanvankelijkc omwcntelings-as geen drukking lijde, moet de rigting der kracht loodregt zijn op het vlak, gaandc door dczo aanvankelijke as eu bct zwaartepunt des ligchaams. Maar hiermede is noch de rigting dcr as be- kend, noch de rigting dcr kracht genoegzaam bepnald. Beide deze riglingen moeten evenwcl ecn rcgten hock makcn, cn mcn kan stellen dat dc rigling der kracbt inoet gelegen zijn in cen vlak, loodregl op de rigling dcr as, dat is in hct vlak, waarin ook gelegeu is het element der haan, in hct cer- ste oogenblik gevolgd door het punt, dat den iodruk der kracht P' onmid- dellijk onlvangt. Daar vcrder gecn der punlen van de as wordt gedrukt, zal zij, als vrije of vrijwillige as, noodwendiglijk eene hoofdas moeten zijn. Zij kan echtcr geen hoofdas wezen met belrekking tot het vasle punt, tcnzij harc rigling mogl invallcn mct die van eenc dcr aangenomenc codr- dinalen-asscn, hetgeen nict wordt voorondersleld, gelijk ook voor als nog wordt uitgesloten dc bijzondere vooronderstelling dat het zwaartepunt zou kunnen zijn, helzij in hct vaste punt, hetzij op eenc der codrdinalen-assen van de massa. Maar ingevolge hetgcen voor het gcval edter vaste as, welke, bij den aanvang der beweging, door ecne bolsende kracht niet gcdrukt of geschokt zal worden, besloten is in art. 10 van § I, zal men ook mogen stellen, dat in het onderwerpelijk geval van beschouwing, de ongedrukte as ecnc hoofdas zal moeten zijn inel betrekking tol hct punt van doorsnijding met het vlak, waarin de rigting der kracht is gelegen. De vrnag is dcr- balve alleenlijk: kan er eene lijn aangewezen worden, getrokken door hct vaste punt, en ondcrscbeiden van elke der dric hoofdasscn voor dit punt, welko ecno hoofdas zal wezen mct betrekking lot een van hare punten? 62 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN MET BEGINSEL VAN D'ALEMBEBT, Uit de theorie der hoofdassen van ligchamen kan men besluiten, dat de be- geerde lijn niet zal kunnen gaan door het zwaarlepunt. Maar uit deze zelfde theorie is ook bekend, dal elke lijn evenwijdig gcrigl aan eene der hoofd- asscn gaande door liet zwaartepunt (voorname hoofdassen), ccne hoofdas zal zijn voor het punt, waariu zij het vlak der bcide andere voorname hoofdas- sen snijdt, zoodat dan ook in dit vlak de heidc andcre hoofdassen voor dat punt zullen gelegen zijn *. Dc rigtingen der voorname hoofdassen kunnen • Dc hicr uitgcdrukte stelling is onbeperkt waar. Wordi crgens in ccn der vlakkcn van de drie paren voorname hoofdaseeti (en, in het algemeen, niet in eene dezer assen zelve) een punt gedncht of gegeven, en wordt gevraagd, hoc de hoofdasscn, tot dit punt behoorende, zullen gerigt z\jn, dan 19 het altijd waar, dat ccne lijn, door het punt cvenwijdig aan de derde hoofdas getrokkcn, de rig- ting eincr hoofdas voor het gegeven punt zal wezcn, en dat daarom de rigtingen der beide andere hoofdassen zollen zijn in het voornatne hoofdvluk, waarin het punt iigt. Niettemin is hel juister of mei-r nlgcmeen te stellen, dat eerstgenoemde lyn de rigting eeuer hoofdas voor het gegeven punt zaJ kunnen teezen, of als dc rigling van cenc dcr dric hoofdasscn voor hct punt kan aan- genomen wordcn. Want alhocuel met zuodanige lijn aan den ciscli wordt voldaan, kan hct ook gebeuren, dat andere lynen, in andere rigtingen door hct punt gaande, eveneens voldoen. Met andere woorden, de genocmde loodregtc rigting voldoet aan den eisch, doch is niet altijd de nood- zakelijke rigting voor eeue der drie begeerde hoofdassen. Is het vlak, waarin het punt is geno- mcn, dat der voorname hoofdassen van het kleinste en middclbare traagheidsmoweut, dan liggen in dit vlak altijd tteee dcr hoofdassen voor hct gegeven punt, cn dc dcrdc hoofdaa is noodzakclijk evcnwrjdig nan de derdc voornamc hoofdas. Maar zoo het punt ligt in een der twee andcre voor- name hoofdvlakken (te weten, of in dat der assen van het grootste en middelbarc traagheidsmo- ment, of in dat der assen van het grootstc en kleinste traagheidsmoment, — deze momeuten der- halve, in hel algemeen, onderling ongelijk vooronderstelleude), kan hct onderschcidene bepaalde plaatsen hcbben, voor welke slechts 66n der drie begeerde hoofdasscn in dit vlak zal mocten lig- gen. De beide andcre assen zullen dan assen van even groote traagheidsmomcntcn zijn, en aihoe- wel zij rcgthockig op elkandcr moeten wezen, zal hare volstrekte stelliog in het vlak, dat lood- rejft op dic bcdocldc ccrste of e^ne hoofdas is, ganschelyk onbepaald zyn. Wcl is er, onder de oneindig vele parcu van asscn, dic alsdan tweede en derde hoofdassen kunnen zijn, 660 paar van hctwelk 66a der asscn gcrigt is in hct vlak, waariu de ecrste der dric hoofdassen ligt, — zoodat dan ook de tweede as van dit ccnig pnar is loodregt* op dat vlak of evenwrjdig aan de derde vooruame hoofdas, — maar dit is dan ook slcchts een paar, dat kan, en niet een paar dat moet aangenometi worden. Wy weten dit uit de nasporingen van BlNET {Mdmoire tur ia thtorie det axes conjuguet et des momeni» oVinertie det corpt ; Journai de Vicole polytechnique , Cahicr XVI) en van Amperf. (Memoire tur quelquet nouvettet proprUtet det arct permanents de ro~ tation des corpt; Mcmoiret de VIn*titut, Tome V). Men kan ook raadplegen Gaschkau, Re- marques *ur la theorie geomttriquc dcs axes permanents de rotation (Journal de Mathhnatiquet, par Ijouvillf, lc Scrie, Tome VI). Doch het uelangrijkste hieromtrent i» op de tneest volledige wijze onderzocht en gegeven door dcn Ilecr Badon Ghybkn iu het 111«*® Deel van de Verhandelin- gen der Koninklijke Akademie t»an Wetenschappen. 63 worden bepaald, en daarom als hekond aangemcrkt, zoodra de plaats van het zwaartepunt, door de codrdinaten j»,, bekend of gegeven is. Ge- volgelijk zal elke der dric lijnen, die door het vaste punt evenwijdig aan de drie voorname hoofdassen, of loodregl door de drie vlakken der paren van voorname hoofdassen, kunnen getrokken worden, eene lijn zijn welke aan het begeerde kan voldoen. Elke dezcr lijnen zal namelijk eene hoofdas wezen met betrckking tol het punt, waarin zij het overeenkomstig vlak van twec der voorname boofdassen (het vlak waarop zij loodregt is) snijdt. Het vlak, gebragt door de rigling der kracht en loodregt op de rigting der on- gedruktc as, zal derhalve van pasgenoemd vlak dier twee voorname hoofd- asscn niet bndeischeiden wczen, of ook, opdat eenige der drie lijnen door het vasle punt loodregt op de vlakken der paren van voorname hoofdassen getrokken, de rigling eencr aanvankebjkc en ongedrukte as zij, moet de botscnde kracbt hare rigting hebben in hetzelfde vlak der twee Yoorriame hoofdassen, waarop de rigting der omwentelings-as loodregt is. Daar wij- ders de rigting dcr kracht loodregl moet zijn op het vlak, gaande door de aanvankelijke as en het zwaartepunl, zal zij ook loodregt moeten zijtt op de lijn, volgens welkc dit vlak cn dat der bedoelde twce voorname lioofdassen clkander snijden. Ei blijlt dan slecbts nog overig lc bepalen de plaats van het punt, in holwelk deze lijn gesneden wordt door de rigting der kracht, en deze plaals zal bekend zijn door den afsland, welken de rigling der kracht moct hebben van de aanvankclijke en ongedrukte omwentelings-as. 11. Hel bepalcn van dien afstand is nict moeijelijk. Uit de formulen (60) raerkt men ligtelijk op, dat X', ¥', Z', waarden hebben, gelijk uan de zamen- stellendo aanvankelijke hoeveelheden beweging der geheele inassa, verecnigd gcdacht in haar zwaartepunt. Want naar aanlciding van de formulen (5'2) zijn de tweede leden dcr formulcn (60) de producten van de massa m en der zamenstcllende volstrckte snelbeden (bij het begin der beweging) van het zwaarlepunt. Daarom zal ook F gelijk zijn aan de aanvankelijke boe- veelbeid bewcging der massa, vereenigd gedacht in haar zwaartepunt, dat is in het zwaartepunt des ligchaams. De afstand van dit zwaartepunt tot tingen der hoofdasaen, niet gelet te worden ; telfs kan dit, in het nlgcuicen, in geen uanmcrking komen ; maar het scheen niet ongepast hier, in eene nool. van dic bijzonderheilen ract een enkel woord te gewagen. Men kan le ook in het breedc ontwikkeld vinden in eene laterc Vcrhnndeling van <lm schrrjver dezer Bijdragen (zic Deel XIV van de Vertlagen en Mededeelingen der Ko- ninklijke Akademie van Wttenechappen). I 64 BIJPRAGE TOT I>E TOEPASSING YAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, de aanvankelijke as zij = d. Deze afstand is op de lijn van doorsnijding dcr twec vlakken, die beidc door het zwaartepunt gaan, het eerste door de on- gedrukle as, hct tweede loodrogt op deze as. De afstand van den oorsprong dei coordinaten (het vaste punt) tot het laatstgenoemd vlak, — derhalve hot godeolte der aanvankolijke as, begrepen tusschen het vaste punt en het punl voor hotwelk doze as is eonc hoofdas, — zij = i, dan zal, vermits e is de voerstraal van het zwaartepunt, d l = e,* — <P zijn. Is nu w de hoeksnelheid om de aanvankelijke en ongedruktc as, dan zal w'd zijn de aan- vankclijke volslrekte snelheid van het zwaartepunt, en daarom m (a'd) de aan- vankelijke hoeveelheid heweging der geheele massa, zoo deze, als een en- kel punt, in het zwaartepunt geplaatst ware. Gevolgelijk zal V —m (tod) (63) moeten zijn. De formulen (GO) geven ook deze uilkomst. Let men namelijk daarop, dat de som der projectifin van de coordinaten des zwaartc- punts op de ongediukte as gelijk moet zijn aan 9, en dat men derhalve zal hebben P' <i' r' = *' 7,- + ^ + *» ~" Ul (O OJ dan geven de formulen (60) P" = X'» + Y'* + Z'* = m» {(?'«,-✓*,)» + (r'* t -p'*,) 1 + (p'y, -?'*,)'} ^m^^+r/^+r-^Kx^+y^+^^-m^^.+vV.+r'..,)» Opdat nu de beweegkracht P' het ligchaam mot cene aanvankelijke hoek- snelhoid w' doc draaijen om de aanvankclijke as, zal altijd, hetzij deze as gedrukt worde hetzij niet, hot moment der beweegkracht P' gelrjk mocten zijn aan het product van hocksnelheid en moment van traagheid der massa ton opzigte van de aanvankelijke as. Weshalve, zoo « is de grootte van dit traagheidsmoment en l de afstand tusschen de rigting der kracht en dic der aanvankelijke as, F.l = a,'u moot zijn. Maar opdat de as niet gedrukt of gebotst worde, zal de betrek- king (65) P' ~ m *'* in rekening moeten worden gebragt, en dan zal daaruit volgen (61) OVEHEEN K0M3TIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. G5 zijnde, gelijk te verwachten was, de bekende forroulc tcr bepaling dcr plaals van hct zoogenaamd middelpunt van bolsing, zoowel bij dc beweging eener niet zware massa om eene vrijwillige as als om eenc vasle as (§ I, art. 10). Alleenlijk is het, in deze gevallen ccner geheel vrije of cencr vaste as, in het algemeen niel noodzakelijk, dat de rigting der kracht gelegcn zij in ecn vlak van voorname hoofdassen, maar hierop wordt in art. 13 nadcr teruggekomen. 12. Hct moment F/ der beweegkrachl kan ook begrepen worden in dcn zin van grootte of moment van een koppcl, welks as is de aanvankclijke as. Maar indien L', M',N' zijn, als hiervoren, de momentcn der koppcls, loodrcgt op dc coOrdinaten-asscn, ingcvoerd door hct ontbindcn dcr kracht P, bij het overbrengen der zamcnslcllcndc krachtcn X.Y.Z' op het vasle punt, geven dcze ecn zamengesleld koppel looilregt op de aanvankelijkc as, cn welks moment bcpaald is door dc uildrukking U < + M' t + N -,■ O) W M I)c uilwerking van dil koppel moct klaarblijkclijk aan dic dcr bcwcegkracht gclijk zijn, cn daarom zal mcn hcbben: Up' + M\/' + NV = Xp' 1 + B V '» + Cr*' -P7 U '= W = ro*»a/» = m [ho')* , . (85) zijndc namclijk k dc grootle van den arm van hcl traaghcidsinomcnt >*. Dezc uilkomst »eeft de grootte van dc som der levendige krachlen van al do elc- mcnten dcr massa, in beweging gebragt door cene kracht, welke daarna heeft opgehouden te workcn, en het is bckend dat dcze som is onveranderlijk oudcr de bewcging. Zij zal dcrhalvc gcdurcndc de howcging dozclfde groottc heb- ben als bij den aanvang der bewcging. Gevolgelijk zal of m(io>)» ecne standvastige hoegrootheid zijn, dat is, op hct cenvoudigst, hct pi-oduct kw 1 zal voorldurend ccnc zclfde grootle of waarde behouden. Dc beleekenis hicr- van is deze. Op elk oogenblik der bewcging, en welke ook do rigling der onbcslcndige as moge wczcn, zijn cr punten der massa, die ecne zelfde vol- strekle snelhcid hcbben als andere puntcn van hct ligobaam op andcrc oogcn- blikken, en deze punten zijn gclcgcn op lijnen, evenwijdig aan dc rigling dcr onbcstcndigc as voor het gedacht oogenblik, cn hebbcnde, in de eerste plaals, afstandcn van dc onbcstcndigc as, gelijk aan dc grnoltc van dcn arm van het traagheidsinoment dcr massa ten opzigtc van dcze zclfde onbcslcndige 37 NATtCRK. VEKH. DER KONINKL. AKAUEMIE DEEL X. CC RIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, as. Dicnvolgcns zijn hct al dc puntcn van hct regte cn cirkelvorraige cy- lindervlak, licbbcnde dc onbestendigc as tot mcetkundigc as, en den genoem- den arm k van lict Iraagheidsmoment lot slraal van dc rcgte doorsnede. Maar, in de tweede plaals, hebben dan ook, op ecnig oogenblik der bcwcging, ai dic punlcn van bct ligchaam cene zelfde volstrekte snelheid als andere puntcn op ecnig andcr oogcnblik, welke, evcn zoo als dezc andere punten, gclegcn zijn in rcgtc cirkclvormigo cylindcrvlakken, binnen of builcn dc eerst- gcnocmde (die k lt k st k s ... tol slr.ilcn van regte doorsneden hcbben) beschre- ven, met dezc dezelfdc as hebbendc, cn allc cvenvecl, in meer of in minder, van dczc verwijdcrd zijnde, zoodat de slralen dcr ovcreenkomstige cylindcr- vlakkcn zullen moeten zijn 6f alle = *, + t, k s + i, k s + i, . . . 6f alle = — ^'i — 'i k s — j, . .. lict standvastig zijn van het producl Aw gcdtircnde de beweging van het ligchaam (cn altijd in de vooronderslclling dat er geen vcrsncllendc krach- tcn werkzaam zijn, noch ook dut hcl ligchaam, na in beweging te zijn go- bragt, op cenig oogenhlik wordt belemmcrd of op nieuw gcbotst, cnz.) lccrt ook, dat dc hocksnclheden ora de opvolgendc onhcstendigc asscn in de om- gekecrde rcdon zijn van dc armcn der traagheidsmomcntcn van dc massa mel bctrekking lot doze asscn. Wordt dcrhalvc door hel vaslc punl, in eenigc rigling, ccne lijn gedacht of getrokken, cn kan mcn het traagheids- nioment der massu mct betrckking lol dcze lijn bcpalen of weten, dan zal men, kenncnde dc groolte van k en w voor ccnig oogenblik, of kennende slechls de groolte van het product *», ook terstond welen hoc groot de hoek- snclhcid dcr beweging zal zijn op het oogcnblik dat dc gedachte of gcgovenc lijii onbestendige as is of zou kunncn wczen. Kn zoo kunncn daaruil nog andcre, alhoewel minder belangrijke, gevolgcn worden afgeleid. llet zal ook naauwclijks hcrinnerd behocven le worden, dal hct een en ander, in ditar- tikel opgemeikt of beslotcn, onafhankclijk is van het al of niet gebotstwor- den van de aanvankelijkc omwcnlelingsas, zoodat het dan ook niet uitslui- lend zamcnhangt mct hetgccn in hct voorgaande artikel is behandeld. 13. Bij de algcmcene bcschouwingen in art. 8 — II werd voorondcrsteld, dat de aanvankelijkc as was geen der drie hoofdassen, gaande door hct vaste punt, — dat de plaals van het zwaartcpunt niet was die van het vaste punt, — dal het ook niet gelegen was op ceno dicr genoemde hooldassen (coflrdina- ten-asscn der massa), noch ook in de rigting van ecnc dcr lijncn, gaande door hcl vaste punt en loodrcgt op cen der vlakkcn van twec voorname. OVERKEN KOMSTIG PE REKENVVIJZE VAN LAGRANGE. G7 hoofdassen. Aangaande deze bijzondere gevallen moelcn nog kortolijk eenigc opmerkingen worden gemaakt. Indien liet zwaartepunt gelegen is op eene der loodlijnen, gclrokken uil hct vaste punt op dc vlakkon dcr paren van voornamc hoofdasson, dan valt dezc loodlijn klaarblijkelijk in mct dc rigling van de derde voorname hoofdas. De rigting van eene der voorname hoofdassen gaal derhalve door het vastc punt. Op grond van de bijzondere eigenschap, dic aan de voorname hoofd- assen toekoml, zal dan ook de bcdoeldo voornamc hoofdas ecne hoofdas zijn voor hct vastc punt, hctgeen allecnlijk kan indien het zwaarlcpunt, — niel in het vastc punt zijndc, — gelcgen is op eene dcr hoofdassen van hct vastc punt, dat is op ecnc der coordinaten-asscn. Er schijnen nogtans twce gc- vallen van uilzondering te bestaan, inrlien namclijk dc traagheidsmomenlcn A, B, C 6f alle gelijk zijn 6f althans twee dezcr momenlcn cene gelijkc groottc hcbbon. Zijn namelijk A, B, C ovcn groot, dan ligl hct vasle punl noodwendiglijk op cenc der voornamc hoofdassen, en hel zwaarlepunt ligl dan wel op eene loodlijn, gelrokken uil het vasle punt op ecn der drie vlak- ken van twcc voornamc hoofdassen, maar dc rigting van dczc loodlijn hc- hoeft niel in lc vallcn met eenc dcr drie hoofdassen voor hct vaslc punt, die men, uit dc oncindig vclc alsdun bcstaande drieparen van hoofdassen, als coflrdinaten-assen zou hcbben aangenomcn. . Ilctzclfde heeft, ofschoon op mccr bcpcrktc wijze, plaals, indien voor twcc der*hoofdasscn dc traagheids- momentcn golijk zijn, cn dat ecnc der voorname hoofdasscn gelegen is in hct vlak dczcr twcc assen van even groote traagheidsmomenlen; want ook in dit gcval moet die voorname hoofdas door hel vastc punt gaan. Maar hct is niet mocijclijk om in te zicn, dat dczc gcvallen van uilzondering als zoo- danige slechts schijnbaar zijn, cn dat hunnc beschouwing liglelijk terugge- bragt wordt tot die van hct gcval, waarin hct zwaarlepunt gclegcn is op eene der coordinaten-assen, lcrwijl deze zijn hoofdassen van ongelijkc traag- heidsmouienlen. Zij b.v. het zwaarlepunl gelegcn op de as der ordinalen *; ilcze is alsdan cenc voorname hoofdas, cn do codrdinatcn van hct zwaarlc- punt zijn *, = 0, y, = 0, ?, = C. Zul deze as cono aanvankelijke omwente- lingsas wezen, dan moetcn, bij den aanvang der bcweging, p' en q' nul zijn. Maar dc vergelijkingen (GO) geven dan, voor de onderstclling eener ongc- drukle as, X' = 0, Y'=0, Z' = 0; gevolgclijk P'=0. Is nu de beweging medcgcdeeld door een schok, of licvcr door eene plotscling gcwcrkl hcbbcnde kracht, dan moct dczo wcl gcrigt zijn gcwecst in cen vlak> loodre 0 't op dc 08 BUnRAOE TOT DE TOEPASSJXG VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBKIiT, as en daarom zal V werkelijk nul zijn, niaar X< en Y' kunncn niet nul wezen. De as zal dienvolgens ook geen ongedrukle as zijn, gelijk dit van elders bckend is cn ook door de vcrgelijkingcn (59) wordt bevcsligd. De drukking, wclko dc as z lijdl, wordt uilgeoefend op hct punt van doorsnij- ding dezer as mct hct loodregt vlak, waarin de kracht P' = \/ (X' 1 + Y' 1 ) werkt. Ware dc as gccn voornamc hoofdas, ook gecn hoofdas voor het vaslc punt, dan zou dit loodrcgl vlak door hct zwaartcpunt moelen gaan, bijaldicn de as eene ongcdrukle kon wezen. Nu de as z ecnc voornamc lioofdas is, ccnc hoofdas voor al hare punten, is de plaats van genoemd loodregt vlak in zekcr opzigt willckeurig. Dcnkt men dnt het ga door het vaste punt of in to vallcn mel het vlak der coordinaten * en y, dan is dc rigling dor kracht P' in dit coOrdinalcn-vlak, cn de drukking P zal legen hct vaslc punl wordcn uitgcoefcnd. Dc as z zal dcrhalve nog wcl gedrukt worden, inaar dezc drukking kan niet mecr uilwcrkcn dat dc rigling dcr as bij dc draaijcndc beweging wordt vcranderd. Zij zal eenc beslendigc as van omwcnteling zijn, vooral indicn zij is dc as van het grootste of van het kleinstc dcr drie traaghcidsmomenlen A, B, C. Hct nul inoclen zijn van P', bijaldien de as s eene ongedrukte as kon wezen, wordt ook gelocrd door dc vcrgelijking (65); want d is nul zoo hel zwaartepunt op de aanvankelijkc as zclvc ligt. Nietlemin zijn de uitkomsten der formulen (00) cn (05) juist, zoo lang cr gcen bepaling is gesteld, dat de beweging door de plolselinge werking ecner enkele kracht P' zij mcdegedeeld. 69 rigting der kraclit loodregt zijn, maar ook het vlak, waarin deze rigling be- hoort gcdacht tc worden; levcns moet dil vlak gaan door het punl der as y, voor hetwelk deze as is hoofdas; dit punt is het vaste punt; en hieruit volgt dan dat dc rigting der kracht moet zijn in hel vlak xt en loodregt tc- gen de as *, of evcnwijdig aan de as *. Dit laatste leeren ook de formulen (60). Zal namelijk de coordinaten-as y eene aanvankclijke ongedruktc as wezcn of kunnen wczcn, dan moeten p> en f nul zijn, en dewijl «, cn y, nul zijn, worden de vergclijkingen (GO), X' = mq'l, V = o, Z' = 0, eu daarom P' = X' = mq' C, welke waarde ook verkrcgen wordt door de for- mule (65), vermits »' en d hier zijn q' en C. Dc afstand van de rigting der kracht P' tot de as y of wel tot het vaste punt, zal, voor het doen plaals hebben von dc hegcerdc of uitgcdrukte omstandigheid, bepaald moeten wor- B dcn door dc formulc (64), welke geeft l = • tn (, Evencens zal de as *, bij dezelfde voorwaarden en voorondcrstellingcn, cene aanvankelijke as van beweging kunnen wezen, die nergcns eenige druk- king, door het mcdcdcclcn der bcweging, ondervindt. Maar de bcweging aan- gevangen zijnde, helzij om deze a.s, hetzij om de as y, zal om haar voorldu- ren, vcrmits zij is cene hoofdas voor het vasle punl; dit zal allhans moe- ten gcbeuren, zoo hel traagheidsmoment dcr massa len opzigle van deze coor- dinalen-as niel is het middclbare der drie traaglieidsmomcnlcn A, B, C. Ligt het zwaartepunt niet op eenc der coordinatcn-assen, maar in een der vlakken van twec coOrdinatcn-assen, dan kan de derde coordinalen-as, lood- regt op dil vlak, ongcdrukte aanvankelijke as van omwcnteling wczen. Daar- too moet dan de rigting der botsendc kracht mode in hetzclfde codrdinaten- vlak zijn; maar het is niet noodzakelijk, dat eene der voorname hoofdassen zij loodregt op dit codrdinaten-vlak of evcnwijdig aan de derde coordinaten-as. Ligt hel zwaartepunt in ecn der twee andcrc coordinalcn-vlakken, dan kan dezolfde pas bedocldo derde co6rdinaten-as nog ecne aanvankelijke ongedruktc as van beweging zijn, maar dan is hct noodzakelijk dat geen dcr voorname hoofdassen zij evenwijdig aan deze co6rdinaten-as. De bewegende kracht moel hare rigling hebben in het coordinatcn-vlak, waarop de genoemde derde co6rdinaten-as loodregl is, en die rigting moet tcvcns loodregt zijn op het codrdinaten-vlak, waarin hct zwaartcpunl ligt. In dit gcval zal derhalve het vlak van de rigling der kracht niel gaan door het zwaartepunt, gelijk in dc andere gevallen, tot hiertoe overwogen, bleek noodzakelijk te zijn. Kn zoo- 70 BIJDHAGE TOT DE TOF.PASSING VAN HET BEGINSEL VAN D*ALEMBEBT, danig geval van uitzondcring bestaat ook, als bel zwaartepunt heeft cene plaaU naar welgevallen buiten dc co6rdinalen-vIakkcn, mits de voorname hoofdassen niet zijn loodrcgt op de coordinalcn-vlakken, hetgeen ook, zelfs roor cenc enkele dczer hoofdassen, niet mogelijk is, bij cene gehcel willckeurige stel- ling van hct zwaarlepunl. En zoo dan dil punl ergens buitcn dc codrdinalen- vlakkcn is, zal clke dcr coordinalen-asscn eene aanvankclijke en nergens gedruktc as van omwenteling kunnen wezcn, indien dc rigting der bcwegcnde kracht is in hct vlak der beide andcrc coordinatcn-assen, loodrcgt op de lijn, getrokken door het vasle punt cn door de projectic (op dat co6rdinaten-vlak) van het zwaarlepunt, en op dcn afstand van het vastc punt, welken de formule (64) zal doen kennen; — b. v., voor de coOrdinalen-as j./sCrmi/^+y,»). Indien, cindclijk, hct zwaartcpunt is in het vaste punt, en dat de voor- uamc traaghcidsmomcnten ondcrling ongelijk zijn, zullen dc co6rdinaten-asscn invallcn incl dc voornamc hoofdassen. De formulen (60) gevcn voor dil ge- val X' =r 0, Y' = 0, Z' = 0, en daarom F =» 0, hetgecn allecnlijk kan, zoo de beweging op ccns is mcdcgedeeld door een koppel, wclks as is 6f ccnc der coordinalcn-assen, 6f cvcnwijdig aan ccnc dcr codrdinalen-assen. Deze as ral dan ongedrukle en bestendigc as van beweging zijn. Is P ecne botscndc kracht, hebbendc hare rigting in het vlak van twee dcr voornamc hoofd- assen, dan zal cr wel bcweging aanvangcn cn voortdurcn om dc derdc hoofdas, maar de botsing zal, bij het begin der bcwcging, door hct puul dcr as, dat tcvcns het vaste punt is, moeten geleden wonlen. 14. Alhoewcl, voor helgeen in arl. 10 is beslolen, tocreikendc gronden zijn aangcvocrd, zal cenc bevesliging door middel van eerst vcrkrcgene uil- komslcn, en als warc hct bij toets door berckcning, niel overbodig mogen geacht worden. Zal er ecnc ongedruklc as wezen, om welkc, bij of door hct gewerkl heb- ben eener botscndc krachl P', dc beweging van het ligchaam aanvangl, — voorondeislcllcnde de plaats van het zwaartcpunt willekeurig, en de rigting van dc as der beweging in het algemeen ondcrscliciden van dic eencr hoofdas. gaande door hcl vasle punt, — dan is in art. 9 bewezcn, dat daarloe dc rig- ting dcr krachl ccn reglon hoek moet raukcn met dc rigting dcr as van omwcnleling, dat ooU dczc rigling moct zijn in cen vlak loodregl op dc as, maar bovendicn, dal dezclfdc rigting loodregt tnoet zijn op hct vlak, gaande door de as en door hct zwaartepunt, helwelk vooronderslcld moet worden btiilcn OVERHKXKOMSTIG I)E "REKF.NWUZE VAN LAGRANGE. 71 de as gelegen te zijn. Wijders is hct buiten twijfel, dat aan den cisch al- lcenlijk zal kunncn worden voldaan door ecne as, wclke is eene hoofdas voor een van hare punten, onderscheidcn van het vaslc punt. En nog mag, even zoo als in art. 10, en op grond van hetgeen in § I is gebleken, aangeno- men worden, dat het vlak van de rigting der kracht, terwijl het loodregtis op de rigting der as, tevcns ook de as snijdo in hct punt, voor helwelk zij hoofdas is. Is dc plaats van dit punt, door zijn afstand van dcn oorsprong der codrdinalen, bckend of bekend geworden, dan is daarmcdo ook de plaats van hct vlak van de rigting dcr kracht govondcn, cn betgeen dan nog te be- palen ovcrig blijfl, zal mede gevondcn kunnen wordon. Maar in stede van rcglstrceks de plaats van genoemd punt tc zoekcn op de lijn, dic de rigting der begeerde as zal wezen, kan men eenige lijn, gaande door het vaste punt, als rigting dcr begcerdc as aannemen, en onderzockcn of een vlak, loodregt op dcze lijn, en hebbendc ecnige bepaaldo of bijzondere plaals, aan den cisch voldoet, le wclen, dat het de lijn snijdt in een punt, voor helwelk de lijn, beschouwd als as, eene hoofdas zal zijn. Wordt dit waar of mogelijk be- vondcn, dan zal, op grond van do waarheid, dat oenigc willekeurig door het vaste punt gerigtc lijn, zoo zij de rigling cener hoofdas kan wezcn, slechls voor een cnkel van hare punten hoofdas zal zijn, aan den hoofdoisch vol- daan zijn, cn daarmcde kan worden overgegaan oni het overige, dat men nog meer bepaald zou moclcn welen, to vinden. Het is dczc twccde weg, welke nu, in de eersle plaats, zal worden ingeslagen. Het vlak, waarin de rigting der kracht moet gelegen zijn, en waaromlrent moet onderzocht worden of het aan den uitgedruklen cisch zal voldoen, hebbe die bijzondere of betrckkelijk bepaalde stelling, dat het ga door het zwaarte- punt des ligchaams. Dc vergelijkingen (62) zijn de vcrgclijkingen der aanvankelijke ongcdrukte as van omwenleling. Wordt dc voerslraal ?, van hct zwaarlepunt op deze as geprojecteerd, dan zal de groottc 9 dezer projcctie uitgedrukt worden door d=z l ,{p' Xl + r'z t ) (a) w l)e grootte dezer projeclie is tevens dic van den afstand van het vaste punt lot het vlak, gaande door het zwaarlepunt loodregt op de aanvankelijke as. Derhalve zal do vergelijking van dit vlak zijn w i 72 BIJDRAGf; TOT DE TOEPAS9INQ VAN HET BEGIN8EL VAN D'ALEMBERT, dat is p'(x-* 1 ) + 7'(j/-y l ) + r'(.-~r l ) = 0 (V) Men denke door hel zwaarlepunt eeno lijn, loodregt op dit vlak (V), dat is evenwijdig aan de rigting der aanvankelijke as. Zoo dezc lijn eene hoofdas is, zal zij cenc voorname hoofdas wezcn, en dan zullen de twee andere voor- name hoofdassen in dit vlak (V) moctcn gelegen zijn. Maar dan zal ook de aanvankclijke as cene hoofdas wezcn, en wel voor het punt, waarin zij het vlak (V) snijdt. Hel vlak (V) zal dienvolgens hel begecrdc vlak zijn, het vlak door hetwelk de* eisch vcrvuld wordt. Om tc onderzockcn of dc gedaehte loodlijn eene hoofdas mct belrckking tot het zwaartepunt is, moct de oorsprong der cooidinaten in het zwaarlepunt verplaalsl gedacht worden. Verder moelen, in het vlak (V), twee Iijnen, elkan- dcr regthoekig in het zwaartepunt snijdende, als assen dcr nieuwc ofandere coordinalen x* en y worden aangcnomen. Is daarbij de pas gcnocmde loodlijn de as der nicuwc of andere ordinaten z: dan zal, zoo dezc werkelijk is eene hoofdas, de waarheid moeten blijken van deze twee vergelijkingen j *VJ>m = 0, jyztm-Q; en dit blijk zal gegcven zijn, indien aan deze vcrgelijkingen voldaan wordt mct of als zij werkelijk idcntisch 0 = 0 worden door de tiitkomsten, in art. 8 en 9 vcrkrcgcn. Dc assen dcr coordinalcn *■ en y zijn in hct vlak (V). Hcl is hier on- vcrschillig hoc, in dit vlak, de as a>' zij gcrigt. Zonder hierop le letlcn, nemc men aan dat «, «" beleekenen de cosinusscn der hoeken, welkc dc as der abscissen x maakt niet de oorspronkelijkc coordinalcn-assen r, y, z der massa. Kveneens beteckcnen de cosinussen der hocken, tusschen de as der ordinatcn y' on dc eerstc cotirdinaten-assen x, y, z, en door /, r\ r" worden p' <]' r' aangeduid de cosinussen -„ — . — , der hoeken, tusschen dezelfde oorspronke- U (1) O) lijke assen *, y, z en de as der ordinaten Tusschen deze ncgcn cositiussen bcstaan bckcnde betrekkingen. Van dczo worden hier allocnlijk gobruikt deze twee: «/ -h «'/ -f- «"/' = o, | Digitized 0 V EREEN K OMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANf.E. 7S De formulen, door wclke de codrdinatcn x, y', z bepaald wordcn uit dc oorspronkelijke r, y, r, terwijl, met bctrckking tot bet vasle punt, 1,,^,;, zijn de cofrdinaten van den nieuwen oorsprong, zijn *' = «(x-*,) + «'(y-y.) + «"(« - ,,). = • l ) + f(»-jr I ) + P' (*-*.), ,' = ,(,-*,) + /(y-y 1 )+/(e-< 1 ). Hicrmede, voor het product »Vdm, x'z'^m = «/*' Jm + aV^dm + »'/ i>m — 2a/«, «Jlm — 2«'/y, yOm — 2a" y'z t t^m + («/*,' +«Vy 1 1 + «"/'*, l )^ + (a/ + a'y)xyM + (a/' + a"y)xe^m + («'/" + «"/) — (a/ + a'y) {y, *dm + x, y^m) + (a/ + «»*, y, d»» — («/' + a"/) {*i «d" 1 4- x t t^m) + («/ ' + «"/) x, r, jtm — («'/" + a"/) {*, ydm + y, *dm} + («'/" + a"/)y, *, d«» . . . . (</) Van de lermcn dcs tweodcn lids moeten nu de inlcgralcn, uitgcstrckt ovcr dc geheele massa, genomen worden, ten einde dc juiste uitdrukking dcr waardc van de integraal des eerslen lids, dat is van j «Vdw, te verkrijgen. Daarbij worde gelct op het navolgende: 1°. «,^,,3, zijn, even zoo als a, a' r'»r", slandvastig. '2*. j x^m—x x m, j y j)m = y, m, j «^m = *, m en j ^m = m. o\ j *ydm=0, j xzM — 0, j y«dm = o, vermits de coordinalcn-assen dcr massa zijn hoofdassen. 4°. Als A, B, C aanduidcn de groollcn dcr niomentcn van traagheid mot belrekking tol de oorspronkelijkc coordinalen-asscn of hoofdassen voor het vaste punt, kan de som der integralen van de drie cerste tcrmcii uitgedrukt wortlen door — kay — B«/ — Cu /'. Want «y j x**m = ay j (*' + y* + *»)dm- «/ j (y 1 +*>),>* = ay f (*» + y» + *')dm— a/A; > ATVUKK. VERH DEK KQMNKJ,. AKAUfcMIR. 1)£EL X. en u 74 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSINQ VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, cveneens « y j y^m = a' r ' j (*' + + *»)dm — a/B, 'y"f t* d m = a"y"j (*>+y*+*')dm-«VC, \va;irdoor dan, ingcvolge de eerstc <ler betrekkingen (c), dc gestelde uitdrukking voor de som der inlegralen van de genoemde drie eerstc termen der vergelijking (d) zal komen. I)e vcrgelijking (d) dan geinlegreerd wordende zal geven: j x't'dm = —\ar — lla'/—Ca"r' — arx l 1 m—a'y'y, , m — a' , r' , z t i m — («/' + «'/)*, y, m — («/' + a"y)x t z t m — (W r " + a"/)y, nt = -(A« y + B«y + C«V)-m(«x 1 +a«y,+«" Sl )(^,+ / 'y 1 + /'*.). Maar (zie («)) , + /y, + /•*, = + ^y, + r -*, = i; weshalve (0 CU (0 - | x'z'dm = A«/ + B«V' + C«:V' + «,(«* 1 + «',,, + «'*,)3 = (a£ + d) « + (b£ + my, * J « + (c £ + m *. «". Op dezclfdc wijze zal gcvonden worden - J y V dm = ( A 7 ~ + m*. ^ <i + [B ^ + rny , 9 J |* + (c^ + m*. dj fi"- Zullen nu deze integralen nul zijn, dan moet, op grond der gevondene uit- komslen of bctrekkingen, die bestaan als de aanvankelijkc as van beweging geen drukking of bolsing lijdl, de waarheid blijken van deze vergclijkingen : (\p' + w'mx t d)a + (Qq' + w'my t 3)«' + (Cr* + »'«•*, 9)a" = 0, x {•••(«) (\p' + Wtn*, «)(} + (B ? ' + w'my, »)§' + (Cr' + «'mx, «) jJ" = 0. ) Zijn a, i, c de coordinaten (mct betrekking tot de coflrdinaten-assen dcr massa) van bcl punt in het vlak (V), dat gcdacht kan wordeji den indruk der kracht F, gerigt in het vlak (V), onmiddellijk le ontvangen, dan volgt uit het behandelde en verkregene in art. 8 en 9, Digitized OVEBEENKOMSTIG DE EEKENWIJZE VAN LAGRANGE. 75 L' Z'6-Y'c m , P = A = — = ^t&py, — &?'*,— «r /, + c P 'z l ), , M' X'c— Z'a m t , q - B = — 5 — = y,— + ««'*,), N' Y'a — X'6 m r' = - = ^-(ar^.-ap'*,-^?'*, +6r'y,). Maar a, fe, c zijn codrdinaten van ecn punt in hct vlak (V); daarom raocten x = a, y = 6, t=o voldoen aan de vcrgclijking (b), dat is mcn moct fiebben p'a + q'b + r'c= to'8, waaruit volgt 6 9 ' + cr' = w'o'-a;>', on hiermede wordt de vorenstaande uitdrukking voor />', P'=1{(ht + cz i )p'-(»'d-ap')x i } ~j{(ax t + b 9i + e*,)p»-«'«r I }. Eveneens koml 9'= ^{( a *i +°Jf, + «*,)?' — r ' = ^{fa«, + &y, + Ci,)r' — a/Jr,}. Uit clke dezer uildrukkingcn kunnen wel waardcn voor p', q, r', door oplos- sing wordcn verkregen, maar het doel is hier ceniglijk ccnc voegzame vcr- vorming dcr vcrgclijkingen (e), en deze heeft men door de verkregene uit- drukkingen terstond. Want zij gcven Ap' + io'm8x l = m. (ax, + 6y, + ct t )p' , = ma'(ax t + b 9i +cz,)y, B^ + ^wdy, =«,«,'(0*, + b 9i + cz,)y', Cr' + «'mii, =»,»'(0*, +b 9i +ez l )r" i zoodat hicrmcdc de vergelijkingen (e) overgaan in dezc: roa/(a*, +b 9i + cz x )(ay + a'y' + a"y") = 0, ma,'(a* ( +by, + c*J + ft'/ + jT /') = 0, en op grond van de bctrekkingen (c) zijn zij idenlisch 0 = 0, dat is zij zijn waar. Dil alleen moest bewezen worden. 38* 70 BIJDRAfiE TOT PE TOEPASSING VAN HET BEGIN8EL VAN D'ALEMBEJIT 15. Men zou ook, in de tweede plaats, den weg knnnen volgcn, welke eerslelijk in art. 14 wcrd aangcwezcn. Hij scliijnt meer rcglstreeks tot hel iloel lc vocrcn, maar is, allcs wel ovcrwogen cn lc zanien gcnomen, minder kort. Dc rigling der aanvankelijke as makc, als boven, bockcn met de coflrdi- nutcn-asscn der massa, welkcr cosinussen zijn y, y', /'• Zal zij ongedrukte as wezen, dan moel zij hoofdns zijn voor oen van harc punlen, maar dan moel ook dc kracht gewerkt hcbben of werken in een vlak, loodregt op de ;is cn gaande door dil punt, of ook de kracbt moet daarloe harc rigting hebben in hel vlak der beidc andcrc hoofdassen. Alles zal derhalve bepaald zijn of gemakkelijk bepaald kunnen worden, zoodra de plaats van het be- doeldc punt der aanvankelijkc as zal gevonden zijn. Zij A de afsland van hct vaslc punt lot het bcgecrdc punt — derhalvc een afstand, gerekend langs de aanvankelijkc as — en laat dit begeerde punt worden aangeduid door O. Ilel vlak, gaandc door o en loodregt zijnde op de aanvankelijkc as, heeft tot vergelijking Wordt de oorsprong der coflrdinatcn verplaalst in O — wordt de rigting der aanvankelijke as van omwentcling aangcnomen als die van de as der ordinalen *" — worden dc assen der codrdinaten *" en y" gedacht in het vlak (W), en maken zij mct do coOrdinaten-assen dcr massa hoeken, wclker cosinussen zijn «, «', «', p, ,*', fT (waarbij nogtans niet gedacht worde aan de liocken, welker cosinussen in art. 14 mede door <*,....£" zijn aangeduid), dan zijn de funclien voor de nicuwe coordinatcn: Zal de aanvankelijke as cenc hoofdas voor hct punt £, n, C, kunncn we- zen, dan zal voldaan moeten wordcn aan do vergelijkingen p'* + 9'y + r't = <o'L, of /* + /y + /'* = A , en de coflrdinaten van O zullen zijn S = rL, n = r'L, C = y"_. (W) *" = « (» - 5) + «' (y _ ,) + «" (, - C) , »■• = ?(—*) + <!' (y-») + lH«-C), OVEREENKOMSTIG DE KEKENWIJZE VAN LAGllANGE. 77 Volgende nu hier denzelfden gang van rekenen als in arl. 14, dan zal ge- vonden worden: + 2m(«yf*, +«V,y, +«V > C«,)-«»(«/* i + «'/V + «"/'C J ) + m(«/ + «'/)**, + m(«/ + «7)Sy, + m(«/' + «VC*, +«»(«/' + «"/)!*, + m(«'/' + «"/)Cy, +■»(«•/• + «"/)*/*, - m(«/ + «V)S« — m(«/' + a" r )H~m {<*'/' + «" /) V C = + A«/ + B«'/ + C«"/' + (r* + /9 + /'0(«*, +«'y. +«"*.)«• + («f + «' 7 + «"0(y«, +/y, + /'*,)"» — («$ + «' 9 + «"C)(/? + /7 + /'t)m. Maar (y* t +/y, + /'*,) is de uitdrukking der grootte 9 van de projectie des voerstraals e, van het zwaartepunt des ligchaaras op de rigting dcr aan- vankelijke as, en (r£ + /»/ + /'0 — A; derhalve = (Ar + m A*,)« + (B/ + m Ay,)«' + (C/' + m A*,)«" + m(«{ + «'7 + «"0(* — A). Eveneens — fy'*''dm = (A, + mA* l )P + (B/ + mAy l )/*' + (C/' + mA*,)(J" + m(/Ji + iJ', + rC)('3-A). worden aan de vergclijkingen (\p' + a>'mA*,)« + (B?' + «'mAy,)»' + (Cr- + «'mA*,)»" + »'m(a5 + «'7 + «"C)(* — A) = 0, ( (\p' + a/mA*,)!* + (B?' + »'» Ay,)|*' + (Cr* + a>'mA«.) ?" I + <»'m(/J| + iJ', + iJ"0(«-A) = 0. ] + A«/ + B«V + c«v* + m A*, « + "»Ay, «' + m A*, «" + m(«5 + «'t 7 + «"C)('J-A) Dicnvolgens zal in plaats van y, /, /' slellende, voldaan moeten 78 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGIN8EL VAN D^ALEMBERT, Wederom te werk gaande als in arl. 14, mils hier a, b, c beteekenen de eodrdinaten van een punt in het vlak (W), en wel van ecnig punt der rig- ting van de kracht P', zal gevondcn wordcn Ap' + o>'mA/ l = m(a*. + + c*,)a,'/; \ Hq' + a>'fw£y, = m(a*, + bxj t + c«,)a>'/'; \ (g) Cr' + »mA* l = m(a*. + &y, + c*,)a>7". ) De Iwce voorgaandc vergclijkingen zullen dan, na. door «>'m tc zijn gedeeld, worden : («*, + h, + c*,)(a / + «'/' + «"/'') + («5 + «'? + «"t)(3 — A) = 0, («*, + % , + c t , ) (i? / + p/ + |J" /") + <p £ + p n + p" o (d - L) = 0. Van dezc vcrgelijkingen zijn de eerste termen nul, dewijl («/ + a>' + «"/") eti (^/ + ,s>' + p>") nul zijn. Derhalve moctcn ook de twecde termen nul zijn, waaraan voldnan wordt met zoodat de plaats van het begeerdc punt O zal zijn hct voetpunt der normaal, uit hct zwaartepunt op de rigting der aanvankelijke as van omwcntcling gctrokkcn, en het vlak (W) zal door hel zwaartepunt gaan. 