title: Annales academici
creator: Rijksuniversiteit te Leiden, Rijksuniversiteit te Utrecht, Rijksuniversiteit te Groningen, Amsterdam (Netherlands) Athenaeum, Deventer (Netherlands). Athenaeum, Athenaeum te Franeker (Netherlands), Amsterdam (Netherlands) Seminarium theologicum augustinae confessionis
text: Ordo Medicum et Quaestionem propostam de jure in strumento solvendis questibus physiologics a saquinis et in voto motorio pertinente, una, acceptipit commentationam patriam aemone conscriptam, et praeterea notatam Terentiam Ciceronem; Sunt illic et simultim inventum et peflum. Cuius quidem commentationi avulvixi optime preparatus ad laborem suum accessit, verum hoc etiam lite absolvendae officiis sua est. Heuperime dicta quid tam aliter quam a semet ipso instituta, accurate descripsit et additis figuris illustravit, tum etiam ratiocinatus et prudenter interpretatus est. Aliquot quidem experimenta, quae ad explicandum universam questionis argumentum utiliter institui potuerunt sent, ea aeta sunt, quem tamen defectum non eivis vulgari esse convenit Ordo, qui descriptionis auctorem praemio utique dignum esse iudicaret. Scriptorem se esse professus est GUILIELMUS BLYS, Medicinae et Philosophiae Naturalis Candidatus et Medicinae Sindhias in Academia Renensis Trajectina. JUDICIUM ORDINIS JURECONSULTORUM. Ordo Ictorum ad quaestionem de jure hodie propositam: Custodine est praestare ea, quae potissimis publicis ministris in suo quisque interim centrale decet gessisse, nullum accipit responsum. Ad afferam de aere Maladitanum et Solpensanum duabus acceptis commentationes utramque latine conscriptam. Prior, cuius symbolum est, verba Ciceronis: Haec studia adolescentiam alunt, senectutem delectant etc. Praeterquam apta partium distributione nihil habet quo se commendet. Auctor quippe, qui quarundam recentiorum opiniones seu commentarios compilaere, omnia qua huc pertinent fontes rite investigavit, neque in ipso summo, tabellarium interpretatione, ubi semel aut bis aliquid de suo adjecerit, feliciter versatus est. Praeterea, multas et graves inquisitiones, quae cum proposito argumento arcte cohaerent, aut omnino non attigisse, aut certe non nisi leviter adumbravit. Sertsis dentique maluere non tam ponderi, Boni poro voluisse elegi Bati, sed hic itique vix latino. Et quibus hic inimicis pateat, juventem quamvit, diligentem, in se suscipere nullo quod ferre non possent humeri, responsum satis laude ornandum esse censuit Ordo. Longe haec proequal altera commentatio cuius symbolum: "Hesitare" adem prodire tenus, si nimium datur ultra. Quotidem in te quidque quae reprehendantur. Primatis enim auctori disputationum tabularum summittorium rationem sua in discrepanda materie sua non eo, quo oportuerat, ordine est procedisse, ita et in pithi operi parte explicuerit quae ad calcem responsorii, in posteriores quae statim ab initio enarranda fuissent. Deinde hoc est inprimis vitium, quod saepius quam par est, sive ad stabiliendam suam ipsius, sive ad impugnandam aliorum sententiam, non ad auctores classics vel ad vetera iuris monumenta provocare solet, sed maxime recentiorum testimoniiis usu rivulos consectari quam ex fontibus haurire maluit. Oratio denique, cum universa nullo nitore, nulla elegantia conspicua, tum in posteriores potissimum opusculi parte nimiae festinationis speciem praebere videtur. At vero haec vitia aliquatenus compensantur variis dotibus, quarum praecipua haec est, quod auctor ex multis iisque difficilibus quaestionibus quae subinde moventur, nullam fere memorare omisit, inque is tractandis ita ehboravit, ut suis ipsius viribus, suo ipsius iudicio subnixus, neque temere acquiesceret in is quae ab alis tradita accepisset, neque unquam apud em sine ratione valeret auctoritas. Hic illic quoque bonita et vulgaria sed nova de suo depromsit, quae, si non semper verum asseverant tamen tam bene sunt excogitata, tam probabiliter disputata, ut prodant mentis solertiam et critices facultatem haud utique contemnendam. Quae, cum ita sese haberebant, Lectores Ordini non quidem aureum, atamen proximos qui accedunt honores, argenteum praemium, commendationis auctori, si nomen suum palam praeterea vellet, assignandum esse decrevit. Rite ac solemniter vocatus auctorem se professus est: PETRUS JOHANNES VAN SWINDEN, Ordinarius Theologiae. Ordinarius Theologorum cum commentationes, vernaculo sermone onscriptas, quibus, pro quaestionis propositae consilio, inquiritur in utrique Pauli ad Thessalonicenses epistolas authentiam. Harum commentationum utraque habet, quibus se commendet, neutra ab omni parte placuit; nec tamen dubium esse poterat, utra utri orbi preferenda. Namque auctor alterius, verbis Paulinis: "nayra SolificiaerBf t6 xaXbr M€CT€xere" (1 Thess. V. 21) insignitus, de priore quidem epistola, quam Paulo indicare studet, probabiliter agit, sive argumentorum quae dicuntur, externorum rationem habeas, sive eorum, quae, recentiori scriptionis aetate, ex ipsa epistola contra eius authentiam petita sunt. Quemadmodum vero hac de quaestione scriptores alios negligit, in alios, viros etiam doctissimos, acriter invehitur, in nonnullis rebus diiudicandis labitur et oratione utitur minus concinna et eleganti quam par est, ita epistolam posteriorem leviter admodum ac ieiune tractat, ad /Inem, ut videtur, properans. Quaproster si vel prior commemorationis pars nihil prorsus desiderandum reliquisset, praemium famen aureum ipsi tribui non potest. At publice laudari meretur laboris industria partisque illius prioris non spernenda bonitas. Altera commentatio, quae verba Hilgenfeldii in fronte gerit: "Das merkbare Brief-Paar verdient auf alle Fälle immer noch eine genauere Untersuchung," und candem laudem commemorisse censetur, et vero maiorem etiam. Nonnulla sane in ea reprehendenda sunt. Argumenta exteriora vix aut ne vix quidem attingit auctor, internis unice rem confendam esse ratus. Porro eorum, quae Baurii aliciorumque dubiis opponi possunt, debita rationem non habet. In haud paucis etiam locis explicandis traditionis exegeticae vim expertus est. At laudandae videntur disputandi methodus, et iudicandi in multis solertia, et stil bonitas, et supersubtilis litteraria, quam congessit, copia, et animi erga dissentientes modestia et ingenium ad artem criticam sicuter exercendam compositum. Nec de posteriori epistola minus accurate egit quam de priori. Re persepense, minus ad disputationis eventum ac finem quam ad laboris ingeniique iuventutis praestantiam attendens, Ordo auctorem proposito praemio omnia decrevit. Aperta schedula, nomen prodiit: ABBANHAM BALTHAZAR YAN DER JNS, lochslose Camaldulensis in Academia Luffinghaus. Alter in commentationis auctorem se professus est: GUTLIELMUS GUSTAVUS YAN MANEN. ordo disciplinarum mathematicarum et physicarum ad quasestiones propositas nullam accepit responsum. OVER DE MAGI IN DE WIESEUNDE. REDEVOERING TER AANTAAARDI6 YAN HET AMRT TAN RUITENGEWOON HOOLEERAAR AAN DE HOOGESCHOOL TE LEIDEN, DEN TISI EN TWINTIGSTE SEPTEMBER 1866 UITSPOKENDI INXIB D. D. BIERENS DE HAAN. EDBLGBOOTACHTBARE HEERBN. CURATOKEN DEE LEID8CHB HOOGESCHOOL; WELCOMDELGESTBENGE HEEE, SECRETARIS VAN HET COLLEGIUM VAN CURATOREN HOOGGELEERDE HEER, RECTOR MAGNIFICUS; HOOGGELEERDE HEEREN, HOOGGERARDE IN DE VERSCHILLENDE VAKKEN VAN WETENSCHAP, ZEBR OEMACHT AMBT- GEBNOOTEN; WELBELOOBTABLE HEBREN, DEBIETEN IN VBRSCHILLENDE VAKKEN VAN WETENSCHAP EDBLGBOOTCABARE HEERBN, AAN WIEN HET BBSTUUR DEZE STAD EN DE HANDHAVING DES REGTS IS TOEGETRUWD ; WELBEWAARDE HEEREN, LEERAARSDB DE GODSDIENST; WELBELOOBTABLE HEEREN, DOCTOREN IN DE VERSCHILLENDE WETENSCHAPPEN WELDELE HBEREN STUDENTEN, KWEKELINGEN VAN DEZE HOOGESCHOOL; GIJ ALLEN VOORTS, DIE DEZE PLEGTIGHEID MET UW TEGENWOORDIGHEID WILT VEREEREN; ZEER GEEBRDE TOEHOORDERS! Wanneer wij van de tegenwoordige hoogte, waarop de wiskunde staat, teruggaan op haar toestand voor ettelijke eeuwen, in de laatste verloopen, ja slechts een menschengeslacht vroeger; dan kunnen wij niet nalaten met dankbaarheid op te merken, welke vorderingen zij gemaakt heeft, welke zij nog voortdurend maakt: maar dan erkennen wij ook, — de toekomst zal hierin onze verwachting zeker overtreffen, — welk een groot veld er nog ter beoefening open ligt. De geschiedenis der wetenschappen leert ons dat de vooruitgang, niet altijd geleidelijk geschiedt, maar dikwijks eenvoudig als bij stoten en scheuren. Sommelijke tijdperken, dat enkele uitstekende geesten een baan breken door de nog onbekende velden der wetenschap, en daarbij hunnen tijd vooruit snellen; zodat zij door hunne tijdgenoten vreemd kunnen zijn gevolgd worden niet alleen, maar zelfs dat deze hen niet meer verstaan. Eerst aan latere geslachten is het dan voorbehouden, in hunne schriften het edele koren van het meer vlugtige kaf te scheiden, en de kracht van den werkelijk wetenschappelijk gevormden geest te bewonderen, die op deze of gelijke omstandigheden eenzelfde gegevens tot eenzelfde inziens zich konde verheffen. Voor de beoefenaar der wiskunde kan dus de kennis juist die zwarigheden zelf, — de wijze, waarop zij zijn te boven gekomen, — der uitbreiding, die zij der wetenschap hebben doen toekomen, een groot en veelzijdig nut hebben; hij kan daaruit leeren, hoe hij te handelen, wat hij te beproeven, waarvoor hij feit te varden hebben. Een uitgebreide uiteenzetting, M. H., van dit onderwerp zoude ongevoelig tot een geschiedenis der wiskunde voeren; een enkel punt daaruit mag het onderwerp mijner rede in deze uren zijn: de macht van het zoogenaamd onbestaanbare in de wiskunde. Laat ons na, gaan, wat wij in de geschiedenis der wetenschap daaromtrent kunnen opsporen; verleent mij daarbij, bid ik U, een welwillend gehoor, en staat mij toe, wanneer zulks voor het juiste begrip en gewenschte korte uitbeelding onvermijdelijk zal zijn, ook een eene of andere oitheemsche zegswijze te bezigen. Ik mag het wel bij u als bekend onderstellen, M. H., wat thans onder de uitdrukking: een onbestaanbare grootheid in de wiskunde peegt verstaan te willen. Wanneer wij ons echter in vroegere tijden verplaatsen, verkrijgt dit begrip een meer ruime uitbreiding. Wat toch is wel de eigenlijke, de werkelijke betekenis, die aan deze uitdrukking moet gehecht worden? Een onbestaanbare grootheid, in andere talen ook wel denkbeeldige, een imaginaire genoemd, is zulk een, die niet volgend aan de bewust of onbewust, rechtstreeks of indirect, gedachte of uitgesproken kenmerken, die wij aan grootheden van dezelfde soort toegekomen. Uit daaruit vloeit al vanzelf de waarheid voort van de vroegere bewering, dat juist het ontmoeten van zulke schijnbaar onoverkomelijke waarigheden dikwijls de aanleiding konde worden tot een onverwachte uitbreiding der wetenschap; en wel inzonderheid op die wijze, dat daarbij een verruiming van begrippen noodzakelijk werd voorbereid, niet alleen, maar ook werd tot stand gebracht. Gaan wij voor enige oogenblikken tot vroegere tijdperken terug, dan zal ons dit spoedig duidelijk worden. Wat toch is de oorsprong van de wiskunde anders dan de behoefte aan tellen en meten; deze heeft in alle tijden en in alle landen zich doen gevoelen; zij klom met de vermeerderende beschaving. Ja, in den aanvang van de geschiedenis der volksbeschaving zijn het wel de voorzieningen in de wiskunde, die als maat van die beschaving, als maatstaf van vergelijking kunnen strekken: daar waar de kunst van tellen en meten weinig ontwikkeld is, kan men wel bijna zeker zijn nog weinig beschaving te zullen ontmoeten. Reeds in die oorspronkelijke toestand kwamen er al spoedig grootheden voor, die als denkbeeldig schenen. Getal toch dacht men zich zeer beperkt, zo ver als het ware men het nog kon overzien; wat daarbuiten lag, was even goed alsof het niet bestond: het ging alle begrip te boven. Totdat men op het denkbeeld kwam van een getalstelsel; — niet zo als wij dit kennen, o neen! Men gebruikte slechts tekens of letters, om veelvouden uit te drukken en plaatste die naast elkaar: zoo deden de Toscaanse, de Romeinen; de Grieken, de Semitische volkeren, de Mexicanen, de Cingalezen. Maar sommigen daaronder gingen reeds verder, en duidden hogere of lagere waarden door een bijgevoegd teeken uit; zoo als de Grieken door het aanbrengen van een streepje beneden aan een getal hetzelfde met duizend vermenigvuldigden; en door het plaatsen van zulk een streepje boven aan het getal een breuk uitdrukten, waarbij dit getal de noemer voorstelde. De geheel verschillende gedachte, die beide uitdrukkingen beheerschte, was wel de oorzaak, dat de Grieken niet tot de grote vooruitgang kwamen, die men in het Arabische stolschrift, de Grootboek, en ook in het scholium van den Griekse monnik Neophytos, de δίοξολος ιδιόλος, aantreft: het regelmatige gebruik van coëfficienten of vermenigvuldigers, waarbij dan bovengestelde rangletters de veelvouden van de daaronder staande getalletters aanduidden. Doch eerst toen de plaatswaarde werd ingevoerd, verkreeg het stelsel allengs die volkomenheid, waarin wij het thans zo gewoon zijn te gebruiken, dat ons die eigenschap niet meer in het oog springt; en toch — daartoe werd nog vereist het teken, om een ontbrekende plaats aan te duiden: het nulteken. Bij de eenvoudigste rekenkundige bewerkingen stiet men verder al die delijk op schijnbare onmogelijkheden: bij de deeling, wanneer bet deeltal niet een volkomen veelvoud van den deeler was. Hieruit ontstond het begrip van breuken, doch werd tevens het algemeenere begrip van verhouding eerst mogelijk, verder dat van evenredigheid. Hoe eenvoudig ons deze begrippen thans schijnen, zij waren niettemin evenzeer onbestaanbaar voor er breuken waren, een begrip geheel onderscheiden van dat der gewone getallenrij. En dan weer de tiendeelige breuken, voor ons zoo duidelijk als een logische voortzetting van het talstelsel; hoeveel bezwaren moesten er overwonnen, hoeveel moeilijke berekeningen moesten er doorgeworsteld worden, voor dat Simon Stevin op het denkbeeld kwam, zijn "Thiende" te schrijven; een denkbeeld, dat ons, pas een halve eeuw geleden, in het bezit van het tientallige stelsel van maten en gewigten bracht. Wordt dit bezit door onze burgerij nu op prijs gesteld, de grote voordeelen, daaraan verknocht, staan toch aan gene zijde van het kanaal op het punt eene geheele hervorming te weeg te brengen in het zoo samenstelde Engelse stelsel: een hervorming, die daar aan eene volksbeweging haar bestaan zal te danken hebben. En is dit alles het gevolg van de omgekeerde vermenigvuldiging, de omgekeerde macht verheffing gaf wederom aanleiding tot een geheel ander soort van onbestaanbare grootheden. Wel wist men een volkomen vierkant daar te stellen door twee gelijke getallen te vermenigvuldigen, en dus ook omgekeerd uit dit product tot de vermenigvuldiger, de wortel, op te klimmen; maar voor een onvolkomen vierkant bestond er zulk een getal niet. Ja, men kon wel is waar hoe langer hoe dichter tot die waarde naderen; maar ze bereiken, dit was onmogelijk, hoe lang het ooit ook zou duren. 4S D. BIERENS DE HAAN Doktor Bierens de Haan componeert van zodanig getal, hoe dan ook, willen we het bevestigen. Vandaar dat de component der wortelgrootheden in die weer een onderdeel van de onmeetbare uitmaken, welke een rol spelen in de geheele getalensleer. Wie had vroeger ooit kunnen voorzien, dat het met behulp der kettingbreuken mogelijk zou worden, over de al of niet meetbaarheid van enige grootheid een volkomen, onfeilbaar oordeel te vellen? Wie, dat juist deze onmeetbare aanleiding zouden geven tot het uitvinden en leeren gebruiken van die fijne werktuigen in de leer der oneindige reeksen, die het mogelijk gemaakt hebben, om met betrekkelijk weinig moeite het grondgetal der natuurlijke logarithmen tot op honderd en vijf tiendeelen, de genoeg bekende verhouding tussen omtrek en inhoud des cirkels tot op vijfhonderd en dertig tiendeelen met volkomen juistheid te bepalen? Eene geheele omkeering bracht Renatus Descartes te weeg, toen hij de waarheden der meetkunde in stelkundige taal leerde overbrengen, de grootheden der stelkunde meetkundig leerde voorstellen in stambare analytische meetkunde; toen hij de leer der negatieve grootheden deed ontstaan, die zich, als een noodzakelijk gevolg daarvan, bij hem moesten opdringen. Hoeveel grootheden vroeger onbestaanbaar, denkbeeldig, verkrijgen nu een duidelijk, geheel gewettigd, volkomen verklaard bestaan? Hoebeit deze geschiedde dit niet. Dat men weet, wat het is, wanneer een vraagstuk een negatieve winst, een negatieve ontvangst, een negatief tijdverloop sinds een vast tijdspunt, tot uitkomst oplevert, maar denkt niet, M. H., dat deze begrippen, ons zoo helder, onze voorvader ook zoo duidelijk voor den geest stonden. Neen, daartoe was een lang tijdsverloop, een veelzijdige beschouwing noodig, maar deze droeg ook rijke vruchten voor de wetenschap. Deze leer van negatieve grootheden was vooral van grooten invloed op de theorie der vergelijkingen : immers voor die tijd waren er al eens positieve wortels bekend, werden zelfs de negatieve niet eens vermoed; later zelfs werden zij nog geruimen tijd veelal als vijzige wortels onderscheiden. Met behulp van deze theorie onderging echter de leer der vergelijkingen een gehele verandering; thans eenvoudigste kon men tot het besluit komen, dat het aantal wortels door den graad der vergelijking werd bepaald, en daarop de leer der vergelijkingen gronden, die sedert Newton zoo weinig verwachte vooruitgangen gemaakt heeft; thans eenvoudigste vond men, dat vergelijkingen, waaraan tot dusverre niemand door enige waarde had kunnen voldoen, en die dus onmogelijk, onbestaansbaar moesten worden geacht, — toch, hoewel dan ook slechts negatieve wortels hadden, en dientengevolg geheel van karakter veranderden. Ook thans eenvoudigste kon de theorie der negatieve magten ontstaan; van bovengenoemen invloed van deze op de leer der logarithmen moest zijn, behoeft hier wel nauwelijks op te merken te worden aangestipt. Dezelfde leer der vergelijkingen leidde de opmerking op een andere soort van grootheden, die alle terug te brengen zijn tot den tweede-machtswortel uit de negatieve eenheid: een grootheid, die meer bijzonder met de naam van onbestaanbaar plaats bestempeld te worden. Dan, wij zagen het immers, voor deze waren er reeds onderscheiden andere onbestaanbare, die eerst bestaanbaar werden door de verbreiding van begrippen, waartoe zij, als met de onweerstaanbare kracht der wetenschap dringende, aanleiding gaven. Op dezelfde wijze is ook de behandeling van deze grootheden geheel van aard veranderd. Reeds is waar werd reeds vroeger door Wallis en later door Kuhn over de betekenis der onbestaanbare grootheden gehandeld, maar toch waren Blee en Moyer onder de eersten, die het kenmerkende dezer grootheden achtten in een draaiing rondom het nulpunt. Kan men — zoo redeneerden zij — den overgang uit den positieven tot den negatieve toestand voorstellen door een draaiing van 180° rondom het nulpunt, zoodat de lijn, die de grootheid voorstelt, juist een gestreken hoek beschreven heeft; zo kan evenzo goed de onbestaanbare grootheid, als middenevenredige tussenschinst, tussen het positieve en negatieve, door de halve draaiing, die van 90° worden voorgesteld. Daaruit volgt dan eenvoudig, dat de wortel uit de negatieve eenheid met de loodlijn overeenstemt; ten andere, dat al de verschillende machtswortels uit eenig getal moeten worden voorgesteld door even zoveel lijnen, uit het nulpunt uitgaande, die alle onderling gelijke hoeken maken ter grootte van 360° gedeeld door de aanwijzer der macht, zoo als bijvoorbeeld de windstreken op een kompas; — waaruit noodzakelijk voortvloeit, dat, wanneer deze lijnen, ieder voor zich, de beweging van uit de positieve as evenzo veel maal herhalen, als de aanwijzer der macht zelf bedraagt, zij alle weer met die as moeten samenvallen. Gauss daarentegen bezag deze grootheden uit een meer verheven standpunt, en zocht dadelijk de betekenis van zulk een complexe grootheid, dat is van zulk een, die tweeledig is en waarvan het eerste lid wel, het tweede niet bestaanbaar is. Hij vond daarvoor de hypothenuse van een regthoekigen driehoek, die beide leden, niet lettend op den factor van onbestaanbaarheid, tot regthoekszijden zoude hebben: en hierin lag de grond van een ruimer begrip van optelling dat weer bij de theorie der getallen in den modulus van Cauchy wordt terug gevonden. Het is inzonderlijk een gevolg van die beschouwingen, dat aan deze grootheden een zoo gewichtige rol schijnt voorbehouden. Vooreerst wel om als middel te dienen tot de uitbreiding van de onderlinge betrekking tussen de analyse en de meetkunde, ja zelfs met de theorie der getallen; maar niet alleen dit: want zij hebben reeds gediend, om te komen tot een veel algemener opgevat begrip van de hoofdregels der rekenkunde. Hoezeer men zich nog niet ten volle bewust schijnt, welke gevolgen deze nieuwe begrippen zullen na zich slepen, is het toch ontegenzeggelijk, dat men ze veelomvattend mag onderstellen. Wie had vermoed, dat die onbestaanbare grootheden op zulk een wijze een bestaan zouden erlangen; al mag het nog enigen tijd aanhollen, voor men zulkte ten volle leert inzien, en al mogen alsdan daarmede ook nog enige wijzigingen van de grondgedachte gepaard gaan. Immers zodanige wijzigingen ontbreken reeds nu niet: zij ontstonden uit een eenigzins andere opvatting der bepaling. Men weet toch, dat in de analyse het woord functie gebruikt wordt om een grootheid voor te stellen, die volgens zekere, hoe dan ook gedachte wet met een andere grootheid te zamen hangt. Dienovereenkomstig kan men zich den tweede-machtswortel uit de negatieve eenheid, die men door de letter i pleegt voor te stellen, zodanig als een functieteeken denken, dat een herhaling daarvan, dat is: i maal i, de negatieve eenheid tot uitkomst heeft; en dit stemt ook geheel met de vorige beschouwingen overeen. Dit denkbeeld nu is door Sir William Rowan Hamilton, de Royal Astronomer van Ierland, zeer geleidelijk dus uitgebreid, dat hij drie functieteekens aannam: i, J en k, die meetkundig konden voorgesteld worden door drie onderling loodregte assen; zodanig dat zij, ieder voor zich verdubbeld of herhaald wordende, de negatieve eenheid telkens voortbrachten; maar dat de verbinding of het product van twee hunner, of in dezelfde, of in tegengestelde orde genomen, de derde of het negatieve daarvan zouden voortbrengen. Hij noemde dit het stelsel der Quaternions. Wel mag het bij de eerste beschouwing vreemd schijnen, dat een product van teken verandert bij omkeering in de orde der factoren; bedenken wij echter, hoe veel van het hier gesprokene de oude als volstrekte onwaarheid zou hebben in de oren geklonken, zou hebben aangedruist tegen alle beginselen van wiskundige strengheid, hadden zij die gekend zoo als wij: bedenken wij, hoe misschien onze nazaten over ons zullen oordelen, wanneer zij zien, dat de logische doorzetting van een bepaald begrip tot deze aanneming moest voeren: en schorsen wij iever ons oordeel op, dan voorbarig af te keuren, wat misschien van groot gewicht en voordeel in de wiskunde kan worden. Immers, het stelsel der quaternions, dat weer is uitgebreid en gewijzigd, heeft reeds op zichzelf beschouwd tot verrassende uitkomsten aanleiding gegeven. Het zoude ons te ver voeren, indien wij de verschillende uitbreiding en vermindering van dezelfde gedachte, zo ook die inzonderheid in Engeland een aanloop vemoftige en scherpendenkende analisten bezig hield, in hare bijzonderheden wijden nagaan: het is genoeg hier slechts te wijzen op de theorie der algebraische koppels van John T. Graves, de symbolische algebra van George Peacock, de twee- en drievoudige algebra van Augustus de Morgan, de triplets van John T. en Charles Graves, de octaves of octonomials van John T. Graves en Arthur Cayley, de tessarines van James Cockle, de biquaternions van Sir W. Rowan Hamilton, de quaternions van T. P. Kirkman, de klefs algébriekjes van Cauchy; alle berustende op soms vooruit aangenomen stellingen of met bepaalde bedoelingen opgestelde voorwaardenvergelijkingen, en als logische gevolgtrekking daaruit voortvloeiende; op dergelijke wijze, als dit voor de quaternions is aangegeven. Wij plegen ze samen wel eens onder den naam van hyper-algebraïsche grootheden te worden begrepen. Keren wij terug tot de gewone stelkunde, dan vinden wij dadelijk een merkwaardig verband tussen de zogenaamd onbestaanbare grootheden en de bestaanbare. Voorereest blijkt het, dat zij zich aan dezelfde regeleiding bij de gewone grondbewerkingen onderwerpen, en daarbij weer tweeledige, complexe grootheden tot uitkomst opleveren. Slechts in enkele gevallen wordt de complexe grootheid tot een bestaanbare. Het product bijvoorbeeld van de som en het verschil van twee grootheden, waarvan dezelfde de factor i bevat, is bestaanbaar; evenzo de derde macht van de wortel uit minus drie, vermeerderd of verminderd met de eenheid. Men zou dus het even goed den onbestaanbare als den bestaanbare vorm kunnen gebruiken, wanneer deze grootheden in enige rekening voorkwamen; en deze overeenstemming breidt zich nog verder uit. Men weet immers, dat de trigonometrische functies van een onbestaanbaar argument, die ook wel hyperbolische functies plegen genoemd te worden, dich bij middel van exponentiële functies van het overeenkomstige bestaanbare argument laten uitdrukken, en ook omgekeerd; — dat er tussen de cyclometrische functies en de logarithmen een dergelijk verband bestaat, zodat enige cyclometrische functie van enige onbestaanbare grootte voldoende gelijk is aan een zekere bestaanbare logarithmische functie, en omgekeerd: dat bij een zekere grens van het argument, waaronder een zekere voorwaarde geldt, de meervoudige waarden van de gegeven functie ontstaan. Ja, zelfs de geheele leer der meervoudige waarden heeft haar ontstaan te danken aan de zogenaamd onbestaanbare grootheden, die dan ook daarbij een groote rol spelen: herinneren wij daarbij althans aan de rijke vruchten van den beroemden twist tusschen Leibniz en d'Alembert over de logarithmen van negatieve en onbestaanbare grootheden. Het was een causaal nodig, om aan dezen twist op zulk een eenvoudige te maken. Maar toch rijst de vraag, of het onbeperkt geoorloofd is, in de analytische bewerkingen zulke onbestaanbare grootheden in te voeren; op deze grootheden de verachillende bewerkingen der analysis toe te passen, ook waar het oneindige reeksen bijv. betreft; of de einduitkomsten daarbij altijd alle vertrouwen verdienen, zonder telkens een nieuw, onafhankelijk bewijs harer geldigheid te behoeven? Deze vraag zal straks weer ter sprake komen. Maar ook na nog blijven er voor ons onbestaanbare grootheden op dit veld over, en wel bij de rechtstreeksche, algemene stelkundige oplossing van de hogere-machtvergelijkingen. Voor die van de eerste macht is zij van vroegere tijden reeds bekend, evenzeer als voor die van de tweede macht. Voor die van de derde en vierde macht hebben wij voor de eerste oplossingmethoden al eens terug te gaan tot de dagen, waarin Italie vooral de bakkerij was van de wiskunde, mannen als Nicolo Tartaglia, Hieronymus Cardanus en Ludovico Ferrari zijn genoeg bekend. Maar ook in latere tijden is men veel gevorderd, niet alleen wat de bereikingen betreft, maar evenzeer wat de methoden betreft, om die af te stellen zonder onverwachte resultaten. Doch hier achten zich ook voor het menselijk vernuft, voor het menselijk verstand een onzichtbare muur te verheven, die alle bestorming en bovennatuurlijke overrompeling weerstaat. Ja, men begon te vermoeden, dat hier een einde aan onwetendheid was, en twee grote wiskundigen, de Italiaan Ruffini en de Zweed Abel wilden zelfs bewijzen, dat de algemene oplossing van de vijfde en hogere machtvergelijkingen onmogelijk zoude zijn. Later heeft men zich met dit onderwerp in Engeland lang bezig gehouden en zich in vernuftige hevigheid hieromtrent verdiept; ten slotte heeft Jerhard volgdevolvingen, dat die oplossing niet onmogelijk is, mits men tot een nieuwe soort van functie zijne toevlucht neroog. Besluit is dit pleit nog niet, maar wij schijnen ons toch ook hier weer aan de grens te bevinden, waar het schijnbaar onmogelijke wordt weggenomen door uitbreiding van begrippen. Niet ten eenenmale vreemd aan deze laatste beschouwingen zijn de onbestaanbare of onmogelijke vergelijkingen, waaronder de congenerechte vergelijkingen met wortelgrootheden een voorname plaats bekleeden: zij worden geacht te behooren tot dezulke, waaraan geen waarde hoegenaamd de onbekende voldoet, die dus geen wortel hebben. Ook deze zijn voornamelijk overwogen door engelse wiskundigen, die in den regel zeer verstandig en zeer gelukkig zijn in het behandelen van dergelijke, ietwat louter uit bespiegeling voortgesproten onderwerpen. Een geheel nieuw soort van onbestaanbare 'denkbeeldige grootheden' zijn de oneindig kleinen; grootheden, kleiner dan enige grootheid, die men zich kan voorstellen. Zij komen reeds bij Michel Stifel voor, maar werden eerst door Johan Kepler, Bonaventura Cavalieri en John Wallis in toepassing gebracht bij de inhoudsbepaling van kromme lijnen. Doch het was Leibnitz vooral, die dit begrip gebruikte en uitbreidde, toen hij de differentiealrekening grondde. Sinds die dagen is er aanhoudend over haar bestaan getwist, is ten voordele gestreden en haar verwerping geëist; en ook thans nog staan de kampvechters in beide gelederen pal naast elkaar. Laat ons kortelijk nagaan waaraan zij, hoe onbestaand dan ook, dat langdurige bestaan te danken hebben. Het denkbeeld om de veranderingen van een functie met die van haar argument te meten, om bijvoorbeeld aan te gaan hoe de vergrooting van een vierkant afhangt van het groter worden van een zijde daarvan, voerde tot deze oneindig kleine, ongeacht vorm en onder welken naam ook ingevoerd. Stel, om bij het genoemde voorbeeld te blijven, dat de zijde des vierkants met een oneindig klein vermeerdert, dan moet dit zoowel in de lengte als in de breedte plaats hebben; het verschil tussen het nu ontstaande en het oorspronkelijke vierkant is vooreerst twee lijnen, volgens de lengte en volgens de breedte, ieder even groot als de oorspronkelijke zijde, en vervolgens het punt, waar die lijnen elkander snijden. Het eerste deel der aangroeiing, ten bedrag van de dubbele zijde, is nu de differentiaal van het vierkant; het tweede deel, het snijpunt, is een oneindig klein der tweede orde, hier de tweede differentiaal. In het algemeen is bij een vlak de eerste differentiaal een lijn, dat is een vlak met oneindig kleine breedte: de tweede differentiaal een punt, dat is een lijn met oneindig kleine lengte. En zoo kwam men tot het begrip van oneindig kleine van hogere orden: dat is van zulke grootheden, die in verhouding tot de voorgaande oneindig kleine zelf weer oneindig klein werden. Op zichzelf bekeken, bleven zij slechts denkbeeldige grootheden, en konden en moesten zij verwaarloosd worden; alleen hun verhouding tot de oneindig kleine aangroeiing van de grootte, waarvan zij afhangen, konde in aanmerking komen. Van daar, dat bij de aangroeiing van het vierkant het bovengenoemde snijpunt buiten rekening moest blijven. Deze aanschouwelijke wijze van voorstellen had veel innemend, en er behoeft hier wel niet opzettelijk gewezen te worden, M. In tochts hoe was dit alles vroeger iets onmogelijks, iets denkbeeldigs. Ja, onze Huyghens, hoezeer ook zoo innig met de methode der oude vertrouwd, dat hij bijna kon gezegd worden, de nieuwe methode te kunnen ontberen voor zijn fijne nasporingen en voor zijn diepgaand onderzoek; — Huyghens erkende wel reeds den aanstaanden invloed van de theorie der fluctueringen; maar daarentegen voor anderen, zijner tijd en landgenoten, die toch ook niet misverstonden waren van wiskundige kennis, zoals voor onzen Bernard Nieuwentijt, bleef zij iets onmogelijks, iets onwaars. Thans mogen wij ons verwonderen, dat Nieuwentijt de kracht der waarheid aldus kon miskennen; maar stellen wij ons, zoo mogelijk, op zijn plaats, in de heerschende denkbeelden van zijn tijd, en er- M.D. BIERENS DE HAN kunnen wij, dankbaar, opmerken hoe ver de vooruitgang der wetenschap is gekomen sinds de tijd dat Kathodis schreef: hoeveel wij dankbaar zijn boven hem aan te vooren, maar die theorie der oneindig kleine langzamerhand toe de theorie der grenzen, eigelijk zij echts eene verwaarlozing van de axiomatisch methode der oudere wiskundigen, voerde; ja zelfs daar uit menig ondergaand denkbeeld opnam. Het bleek daarbij al snel dat deze veranderde opvatting alleen op de grondbevindingen zelf invloed uitoefende; maar dat de regels der differentiaalrekening, haar toepassing op de overige delen der wiskunde, onveranderd bleven gelden: dat het hier eerder de meer of minder duidelijke voorstelling van het wezen der differentielen betrof, dan wel de maakbaarheid voor ieder bijzonder geval. Er werden zele wiskundigen gevonden, die deze overgang van het begrip naar oneindig kleine tot dat der grenzen uiterlijk door het aanbrengen van een verbeteringsmethode wilden bewerkstelligen; die daarop zulk een wijze aan het onbestaanbare een bestaan wilden versieren. Waar voor Nieuwentijt hield bevestiging der tweede differentiaal reeds een bewijs van ongegrondheid, de onberekenbaarheid der differentiaal-rekoning, wat zou dat wel gemeend hebben van iemand, die over differentiaal met negatieve, met gebroken, ja met geheel gewilde kenmerken gesproken had. Dit zou voorzeker, als een denkbeeldige toestand van een op zichzelf reeds denkbeeldige grootheid, hem te meer onmogelijk, onberekenbaar toegeschoven zijn. Tot nu toe, deze worden steeds immer voor even geldig erkend, voor even berekenbaar aangenomen, dat vroeger de eerdere differentiaal tenbare tegenwerping vonden. Hierbij speelt een grote rol, wat wij in onze taal de bewerkingsleer zouden kunnen noemen, omdat bij deze de tekens der bewerkingen zelf, de aanwijzers, die daarbij een herhaling of eenen zekeren graad of orde aanwazen in al onze stappen in de rekening worden opgenomen en weer aan zekere bewerkingen worden toegeschreven. Deze leert ons meermalen van het geval, waarbij het aantal van zekere bewerkingen onopgerecht, als uit den aard der zaak door een geheel aanwijzer wordt aangeduid, gaat over tot het meer algemene geval, waarbij die aanwijzer negatief, gebroken, onberekenbaar, ja zelfs geheel gewild wordt. Zulk een functie teekent met geheel gewilde aanwijzer mag voorzeker wel andere die begrippen gevonden worden, welke, hoewel ze al eens bij een of luidere denker waren opgekomen, steeds in de regel tot de onberekenbare, denkbeeldige zouden geschenkend zijn. Vele tenijderwijl daarentegen ook weer niet, dat dezelfde onmogelijkheid bij de leer der magtessel reeds zodanig burgerlijk had verkregen, dat wij ons daar nu alleen meer bewust zijn van het bijzondere aan haar eigen; dat wij nu dan moeilijk kunnen voorstellen hoe in vrogeren tijd een negatieve, ja zelfs een gebroken Magt aanvankelijk tot de onberekenbare grootheden zou behoord hebben: een staat, die als geheel strijdig is met het oorspronkelijk begrip van Magt als korte voorstelling van een product van enige gelijke factoren, maar zelfs als afzonderlijk aan de overeenkomstige begrip geheel vreemd. Tevens mochten wij gaarne bijgewonigen van een dergelijke uitbreiding van begrippen bij de theorie der analytische functies, dat is produkten van een zeker aantal, telkens met een gelijk verschil optellende faculteiten. De overgang van die grootheden tot die functie Gamma, of tot de Besselische Integralen der tweede soort, bestaat eenvoudig daarin, dat de aanwijzer, die bij de eersten het aantal factoren aanduidt en derhalve een geheel getal is, hier een geheel willekeurige grootheid wordt. Denkt men zich beide grootte in den vorm van integralen, zo is de overgang van genoemde standaard-ontwaartigen uit den vorm van geheele getallen tot willekeurige waarden zeer geleidelijk en levert iets onnatuurlijks op; het onnatuurlijke, het oneindige schijnt zich eerst te vertonen, wanneer men zich voorstelt als de uitgedrukte waarden die integralen. Tegenover het oneindig kleine staat het oneindig grote op gelijke wijze. Wie is er, die ontkent, dat dit eigenlijk iets onmogelijks, iets denkbeeldigs voorstelt. En toch, men is gewoon, daarmee om te gaan; meestal onbewust, wanneer men niet daarop aandacht geeft, dat het in elke redenering ingewikkeld voorkomt; als bewust, wanneer men het alzo daar invoert; men pleegt het te gebruiken en te misbruiken, tot dat men eens bij ondervinding leert, hoe hier inderdaad de valstrikken ons op dwaalsporen voeren kan. Wie telde de droge redeneringen, stelde de deel op een verifieerd gebruik van het oneindig groot? Wie de valsche uitkomsten, die zelden gevoetewiskunde vaak verkregen door niet genoegzaam op het oneindig groot te letten? Vanwaar toch komt dit? Vanwaar, dat wij ons over het werkelijk onbestaanbare van dit begrip niet bekommeren, terwijl anderen het schijnbare onbestaanbare ons dikwijks doet terugdeinsen? Het is, om dat wij geneigd zijn te vergeten, dat het oneindig groot geen grootheid meer is in den eigenlijke, in den ware zin des woords; dat wij daarom ook als zoodanig in onze rekeningen niet meer mogen beschouwen of invoeren. Zelfs de eenvoudigste grondwaarheden falen hier; het vermenigvuldigen van gelijke grootheden met gelijke grootheden geeft geen gelijke sommen of verscheidenheden is hier onwaar; alle vergelijking tussen die geheel ongelijksoortige grootheden, de eindige en de oneindige, houdt op, omdat de maatstaf van vergelijking ten eenenmale ontbreekt. Deze eenvoudige waarheid is evenwel nog niet overal geldig. Het is nog zo lang niet geleden, — zoude het thans nimmer voorkomen? — dat de grootste wiskundigen haar niet gedacht; dat zij slechts voortgingen met hunne redeneringen, zonder zich aan haar te storen. Dan, de uitkomsten deden ten slotte iets onbestaanbaars, iets onwaars in die redeneringen ondersteunen; men ging terug, om dat op te zoeken; en zie daar, onder de meesterhand van eenen Cauchy ontstond de theorie van de convergentie en de divergentie der reeksen, de leer, die dienen moest om te bepalen, wanneer een in het oneindig voortloopende reeks door een gegeven uitdrukking konde worden voorgesteld, konde geacht worden een vastbepaalde waarde te bezitten; wanneer daarentegen zulk een gevolgde uitkloeting ongeoorloofd was. Deelt men bijvoorbeeld de eenheid door een meer dan een zekere grootheid, dan is het quotient een reeks van termen, die de opvolgende magten dier grootheid tot waarde hebben, en met een telkens afwisselend teeken voorzien zijn. Verwaarloost men de rest, dan wordt die reeks een oneindige; en nu ontstaat de vraag: wanneer mag men die oneindige reeks voor de breuk in de plaats schrijven? of ook: wanneer zal de rest als verdwijnend kunnen worden beschouwd en dus gerusteljk kunnen worden verwaarloosd? Dit nu lijkt geoorloofd te zijn, wanneer die grootheid kleiner is dan de eenheid: de reeks is dan convergent, nadert al meer en meer tot de waarheid; — het is ongeoorloofd wanneer die grootheid grooter dan de eenheid is: dan is de reeks divergent, verwijdert zich hoe langer hoe meer van de waarde der breuk. Men kan evenwel diezelfde breuk ook ontwikkelen in een reeks, waarvan de termen, die eveneens telkens van teeken verwisselen, voorgesteld worden door de opeenvolgende negatieve magten van die gegeven grootheid. Bij deze geldt nu de omgekeerde redenering van daar straks: is de grootheid kleiner dan de eenheid, zoo worden hier de termen telkens grooter en de oneindige reeks wordt divergent; is die grootheid daarentegen grooter dan 1, zoo worden de termen steeds kleiner, en de reeks is convergent. Ledere der beide reeksen geldt dus telkens slechts voor die waarheden der grootheid, welke bij de andere juist uitgesloten zijn. Thanks worden door vele wiskundigen alle niet convergente reeksen als onbestaanbaar verworpen en geheel uit de beschouwingen en berekeningen verbannen: het is echter niet onmogelijk, niet onwaarschijnlijk zelfs, dat naderhand ook deze, al zij het dan altijd met de noodige voorzichtigheids-maatregelen, weer in de leer der functies zullen worden toegelaten; of liever, dat men bij het bezigen van reeksen niet eerst omtrent hare al of niet convergentie een dikwijks moeilijk onderzoek zal behoeven in te stellen, maar eerst aan het slot der redenering een verbetering zal behooren aan te brengen, ter opheffing van de eerst verwaarloosde fouten. Vooralsnog echter moeten wij ons scharen onder hen die zich wachten voor het gebruik van divergente reeksen, als werkelijk onbestaanbaar zijnde en tot valsche uitkomsten aanleiding gevende. In nauw verband met deze leer staat die van de continuent en discontinuentie der functies, in zooverre deze namelijk in het eerste met convergente, in het laatste met divergente reeksen samenhangen. Continu functies toch zijn zulke, die met haar argument geregeld, onafgebroken van waarde veranderen; discontinu zulke, waar zodanige verandering plotseling plaats grijpt, waar zij afgebroken worden, of waar de functie soms voor eenige waarde van het argument oneindig groot wordt. Delen wij bijvoorbeeld de eenheid door de eenheid verminderd met de tweede macht van een seker grootheid, dan wordt die breuk, — hetswij wij die grootheid van nul of hetzij wij die bijvoorbeeld van twee gestadig tot de eenheid doen naderen, — in getallenwaarde hoe langer zoo grooter. Op het oogenblik, dat die grootheid werkelijk de eenheid bereikt, wordt de nummer nul, en de breuk zelf wordt oneindig groot: de breuk is voor die waarde discontinu, daar zij van het positief oneindige tot het negatief oneindige overspringt; buiten die waarde is zij continu. Stel nu, dat wij de breuk voor alle mogelijke waarden van die grootheid, welke tussen twee standvaste getallen gelegen zijn, moeten sommeren, dat is, dat in de waarde van een bepaald integraal moet zoeken, tussen twee gegeven grenzen van de differentiaal van w, gedeeld door (s en min het kwadraat van s), zo vinden wij aan welke waarde een zekere logarithmus. Zijn de grenzen beide grooter of beide kleiner dan de eenheid, dan blijft de breuk steeds continu, en heeft het gevraagde geen bezwaar; ligt echter de eenheid tussen beide grenzen van het integreren, dan wordt de breuk tussen de grenzen discontinu; en ontstaat de vraag, wat er nu van die waarde wordt? Is zij al dan niet onbestaanbaar? Die toestand, deze vraag en dergelijke vragen meer, die bij discontinu functies kunnen voorkomen, werden vroeger over het hoofd gezien; en eerst nadat het geboken was, dat zulks tot misslagen aanleiding gaf, kwam men erop terug, en maakte die vraag een punt van gezette overwegingen uit. Het was weer Cauchy, die in deze theorie der continuïteit belangrijke onderzoekingen aan het licht bracht, in het genoemde geval van een bepaald integraal voornamelijk door zijn theorie van singuliere integralen en de rekening der residuen. Bij deze methode, ook als bij het onderzoek omtrent meer dan een der vroeger aangegeven punten, is de analytische meetkunde van Descartes, ook wel de moderne meetkunde, in het algemeen de theorie van lijnen en oppervlakken, van veelzijdig nut, ja veelal is zij geheel onmisbaar tot het vinden van zuivere begrippen. En ook op dit gebied ontbreekt zelf het zoogenaamd onbestaanbaar niet, en is evenmin de verklaring daarvan onvruchtbaar achterwege gebleven: integendeel heeft zij ook hier tot grootere verruiming van begrippen aanleiding gegeven, en dat gebeurt dan ook veelal in heel andere richting dan in het vorige gedeelte werd. Herinneren wij ons de meetkundige voorstelling van de oplossing der hoogere-magstvergelijkingen; hoe voor een evenwijdige verplaatsing der as, dat is door de verandering van den standvaste term in een vergelijking, twee wortels eerst tot gelijkheid kunnen worden gebracht, wanneer die as van snijden tot raaklijn overgaat; hoe die wortels later onbestaanbaar worden, of liever gezegd verdwijnen, wanneer die as buiten de kromme lijn liggt; dan bleef hier de vraag, wat er met die beide wortelen eigenlijk geschiedde. Deze vraag is thans voldoende beantwoord door het aanwijzen van andere, nieuwe takken der kromme lijn, die met de voorstelling der bewuste vergelijking behooren; takken, die in een loodrechte vlak gelegen zijn, en de oorspronkelijke kromme in het oorspronkelijke vlak begrepen, aanraken in zekere punten, overeenkomend met een paar gelijke wortelen: ieder van zulke takken, wat dus minstens een paar onbestaanbare wortelen aan, waarvan het bestaanbare deel gelijk moet zijn. Deze beschouwing komt geheel overeen met de vroeger veronderstelde voorstelling van de zoogenaamd onbestaanbare grootheden in de loodlijn namelijk, het loodrecht vlak; aan heeft reeds tot gewichtige uitkomsten geleid. Wij zullen thans nog moeten spreken over de onbestaanbare of denkbeeldige punten en stralen en raaklijnen, die in de nieuwere meetkunde zulk een voorname rol spelen, en tot zulke uitbreiding van begrippen aanleiding hebben gegeven: dan zou zulks zoude op deze plaats, zonder enige hulpmiddelen tot toelichting en ondersteuning van het geaproken woord, moeilijk zijn. Alleen mag hier als voorbeeld gewezen worden op de chordaal van twee cirkels. Snijden deze beide cirkels elkander, zoo staat de gemeenschappelijke chordaal loodrecht op het gemeenschappelijke stuk van de lijn, die de middelpunten vereenigt; en verdeelt dat segment in bepaalde reden. Liggen nu de cirkels buiten elkander, dan wordt dat gemeenschappelijke segment vervangen door den uitwendige afstand tussen de omtrekken; wordt ook deze in een door dezelfde wet bepaalde reden verdeeld, en uit dat punt een loodlijn opgericht. Alzoo heeft men de chordaal, die in eigenschappen met de gemeenschappelijke chordaal overeenkomt, — zij verdeelt bijvoorbeeld de raaklijnen, die beide cirkels gemeen hebben, tussen de raakpunten, in twee gelijke delen — en dus als een denkbeeldig geval daarvan kan worden opgevat. Zoo als reeds werd opgemerkt, heeft de beschouwing van dergelijke denkbeeldige toestanden een gewichtigen invloed op de nieuwere meetkunde uitgeoefd. Gij zaagt het, M. H., het onbestaanbare, het denkbeeldige is meermaals in de geschiedenis der wiskunde voorgekomen, hetzij men daarop stuitte, en den weg in die richting voor immer gesloten waande; hetzij men onbewust daarover was heengestapt, of het ter zijde had laten liggen, en men eerst door latere uitkomsten genoodzaakt werd, op den betreden weg terug te keeren, ten einde den oorsprong van de verkeerde uitkomsten op te sporen. Doch Gij zaagt tevens, hoe, zoowel in het een als in het ander geval, juist zulke onbestaanbare grootheden gereed aanleiding gaven tot de grootste ontdekkingen in de wiskunde, en hoe zij strekten tot uitbreiding der begrippen; hoe zij dienden om die wetenschap te zuiveren van verkeerde of onvaste grondstellingen, om haar allengs dat karakter van zekerheid te doen toekomen, dat haar bij uitnemendheid ten kenmerk strekt. Gij erkent daarin de macht van het onbestaanbare. Maar Gij zaagt eindelijk ook, hoe er nog, vooreerst althans werkelijk onbestaanbare voor ons overblijven, wachtende op den eenen of anderen meester, die ze zal komen oplossen. 