title: Dissertatio mathematica inauguralis de lemniscata Bernouillana
creator: Haan, D. Bierens de (David Bierens), 1822-1895
text: Circulos describasy quorum centra in perpendiculo 0 X^ e centro in axin erectOi sita sint, per focos transeuntes ; radium ad focum ducas^ in quem e centro perpendiculnm dimittas^ quod in illo radio inde a foco partem determinat 2y aequalem, cujusigiturdimidio in 0 X ab utraque parte centri curTac collocato, ex extremitatibus axi parallelas ducas, quarum cum circulo, e ccntro curTac cum radlo illius clrculi primi aequall ducto, intcrseciiones quatuor Lemniscatae puncta dabunt. (Tid. Fig. 4). 134. CONSTRUCTIO XIII. Quae e Theoremate XLI sequitur. In tnngentibus centralibus inde a centro partes sumas, quarum rectangulus 4 e^ aequalis cst; si in lineam, harum paiilum extremitates conjungentem, e centro perpendiculum dimittas, Iiujus pes crit punctum quaesitum. (cf. Nieuwe "VVisk. Voorst. Tan Een onvertnoeide, ens., Tomo II, pag. 31G. (Tid. Fig. 2.). 13li. CONSTRUCTIO XIV. Ex Theoremate LXXII, form. (165), deducta. Si pro quoque /2, radio Tectore Uyperbolae aequilaterae, r construas tertiam proportiona- lem ad R ct a, hanc in R inde a centro abscindendo, extremitas erit Lemniscatae punctum. 136. CONSTRUCTIO XV. FacUiorem Tcro se profert, secundum Theorema LXXIlTel LXXVIII, ex iis, quae Tir clar. G. J. Verdam, in opere Opmerkingen orer zekere soort Tan kromme lijncn, etc, Apr. 1848., pag 88, exposuit. Digitized by Google -99 -- Uyperbolam aeqQilateram cum illa, quae ad Lemniscatam pertinet, concentricam, sed hujus focos Tertices habentem^ construas. Radium vectorem primiliTae Ilyperbolae quemcumque in tan- gentem centralem transducas, e cujus extremitate alteri tangenti centrali ducas parallelam, in qua Hyperbola auiiliari inde a tangenti centrali pars abscindetur, quae crit Lemniscatae radius vector correspondens radio vectori Hyperbolae primitivae. 157. CONSTRDCTIO XVI. Ex Theoremate XC profluit. Si e Tcrtice cum eicentricate circulum ducas, et ex centro curvae secantes ducas, in qua- rum quavis inde a centro partes sumas, chordis in circulo determinatis aequales, Lemniscatae punctum habebis. 158. CONSTRUCTIO XVII. Quam doct. Haedenkamp in Diario Grunert^s Archiv, TomoIII, pag. 400, proponit, (cf. Theorema XCII), et w^cAa/iicam nuncupat, quaequederi- vatar e constnictione generali pro illis curTis Lemniscatis ordinis superioris, quae in machina, ope aquae vaporis mota, puncto c^rto bilancis partim describuntur. £ fods cum radio, semi-axi aequali, circulos duos describas et chordam, iis communem, cujus longitudo est 2 e, sic moveas, ut extremitates circulorum circonferentias mn deserant, tunc hujns chordae medium Lemniscatam gignet. (Tid. Fig. 7}. 139. CONSTRUCTIO XVIII. Quae generaliter a Vechtmann, in Diss. laud., pag. 17, pro Cassinoidihus proponitur. Radios Tectores e centro, duobusque focis ad idem Lemniscatae punctum diTcrgentes per r , p y et ff denotemus, angulumque polarem radium Tcctorem r inter et axin per q, erunt ex Figura 1, p^ = e^ + r^ — ier Cosq) ^ fT^ == e* + r^ + ier Coscp , unde sed ergo ande p» + a» = 2 (e^ +r^) ; 2^(T = 2e* , (cf. Theorema II) {p + ^Y = 2{2e^»+r») = 2(a»+r^) , {p — rf^ = ir^ y }=i/°-4^— i (194) ex qua formula pro quocunque r ralores p tcI 9 comtrui licet. Hanc vero constructionem minus expeditam esse con^icuum est. 15" Digitized by Google 140. CONSTRUGTIO XIX, In semi-axin circulum constraas, ex cujus puncto quovis Q perpendiculum QR in axin demittas. Sumas Porro est unde ergo OQ* = /r* +y^ «= al^ {x^—y^)y ex form. (A). OQ» = ORXOA = a.OR; OR* = x^ — y^ , 2a;a = 0Q»+0R^ , 2y» =0Q« — 0R>=- QR» .... (195) In Q R igitur semi-circulum ducamus, cujus cum radio axi parallelo intersectionis S ad R distantiam in RQ transponamus, ex extremitate T axi parallelam ducamus, quae circulum, e curyae centro cum radio 0 Q aequali ductum, in puncto quaesito intersecabit, cujus ordinata est R S = R T , et igitur abscissa est OT = i/(OR^ +RT^) = i^^ya + o?»— y*) = x. (vid. Fig. 20). Uaec constructid eo casu aliquid praestare potest, quo pro valore dato radii vectoris, abscissam rel ordinatam puncti quaeramus. 141. Denique monendum restat de iis generationis modis, qui, quamquam non ad de- lineationem apti, tamen una cum praecedentium nonnuUis diversitatem generationis ostendunt, de qua in introitu mentionem fecimus. £x formula (E) conspicitur aequationem Lemniscatae in tangentibus centralibus coincidere cum aequatione Ilyperbolae aequilaterae cum' variabili potentia (r* ; 2(?). £x Theoremate XIII sequitur, Lemniscatam locum esse geometricum verticis P trian- guli, cujus vertex F constanter in foco manet, lateraque FQ et PQ excentricitati et semi-axi aequalia sunt, dummodo verticis P motus infinite parvus locum habeat secundum circuii huic triangulo circumscripti radium CP. (vid. Fig. 6). £x Theoremate LXXI Lemniscata gignitur ex alterius Lemniscatae centri osculaUonis projectione in radium vectorem, quo casu ratio axes inter erit ut 5 ad 3. Digitized by Google Theorema LXXXVIU docet, Lemniscatam esse involucrum circulorum, qui ex Hyper- bolae aequilaterae medio radio vectore cum hoc dimidio radio yectore ducuntur. Ei Theoremate XCI patet, Iriangulus FPQ, cujus yertex F est fiius, latera FQ et PQ excentricitati et semi-aii sunt aequalia, quibus oppositi anguli per a ei /3 denotentur^ si tali modo rarietur, ut, angulo latus PF inter el aiin quemdam fiium OF per qp denotato, constans sit relatio Cos(p = Cos{a — %/3) , puncti P locum geometricum esse Lemniscatam, cujus aiis est OF, et focus punctum illud fixum F. (Tid. Fig. 6). 1 42. Ponas ic^ + y^ = v , x"^ — y^ = ii? ; unde fit aequatio (A) i,»=a* w ; (196) quae est aequatio Parabolae, cujus parameter valorem a^ habet numericum, et e cujus coordi* natarum t; et «c^ yaloribus ralores ^ et y Lemniscatae construi possunt. Porro ponamus / = V^(r» - tr») = 2a;y , . . . . , (197) unde ''1 = il^(» + 0 ± il/ («? — /) ; (198) quae etiam ad coordinatarum rr et y e faloribus v eX i constructionem ducunt. £i praecedentibns vidimus Lemniscatam oriri, si pro ordinata et abscissa Parabolae Apollonicae aequationes Circuli et Hyperbolae aequilaterae respectiye substituamus. (cf. clar. G. J. Yerdam, in op. laud. Opmerkingen over zekere soort van kromme lijnen, etc. pag. 71). Porro sequitur, si pro quocunque Lemniscatae radio vectore r, Uyperbolam aequilateram construas, cujus potentia sit r^ : 2 e , vel semi-aiis rationalis r^ : a , hujus cum circulo con- centrico, radio r descripto, intersectiones quatuor puncta esse Lemniscatae. Quae generatio deduci potest et ex aequatione Lemniscatae in tangentibus centralibus .ry = (r^ :2e)^ (E) et ei aequatione (H) .r^ — y^ = (r^ : aY. Digitized by Google lOS ~ 143. Postremo loco monendum est de modo generationis, quem promotor spectatissimus, Tir clar. G. J. Terdam, ez theoria sua generali linearum Lemniscatarum primae ordinis deiiniiiy mihique communicare Toluit. Gonstruas Parabolam, cujus parameter sit a , porro Hyperbolas aequilateras, quarum centra in Parabolae Tertice sita sint, et semi-aies p cum Parabolae axi coincidant ; ei quarum singu- larum vertice perpendiculi in aiin ducti^ et usque ad Parabolam sumti, Talor erit y = \/np , cum quo e centro Uyperbolae circulum ducas, cujus cum posteriori curTa quatuor intersectio- nes, puncta erunt Lemniscatae ; pro quibus autem Talet tum aequatio Ujperbolae aequilaterae rr^ — y^ =p> , (199) tum circuli a:^ +y^=ap , (200) unde eliminatione quantitatis p {x^J^y^y =^ a^p^ = o^(.r^ — y») . (4) ►^••i<i^^ Digitized by Google CORRIGENDA. Pig. Re<j. loco • legatur r 2 3 connectio connexio 6 25 earnniqae eorumque 9 17 unum alteram 30 unumque alteramque 31 harum horum 15 12 ^ 3...>-y.» y. •/ 18 S' ** 15 7 polares centrales 19 2 contenti , contentae , 16 eriges , erigas, 27 3 ^, d* S ra«(/ T = JL L-. X ^, _ 3(y»-^») da; 5a?* — y» y ' 3 a?» — y» ' y ' 28 16 (2p + l) = . . . . (5p+l) = 19 Tero enimrero 29 !S r,=e^/'. ri=ei/i. 9 quarti tertii 21 in normalem demitteDdo >y osque ad normalem erigendo, 50 12 n'. 115 n'. 114 23 f> +»»)» = (f» +«»)* = 25 ystemate systemate 32 7 ^u' 214« 1/5 d>» 62i/2 ' du' _21A«i/5 d? 62i/2 ' 10 ita ut, imaginariorum ; nisi quod cuspide primae speciei, a tro arersa, gaudeat; 14 demittamus iii erigamus ad Digitized by Google I04 Fap. Reg, loco ' 38 4 constructum 59 44 9 4 + 8e>r»)-(5» 45 55 17 8 + »»/ 65 67 5 20 pe inferior 69 8 14 18 -V/(v/2-l) — 2v/ (1/2-1) 1— r 72 4 T 75 5 12 = .S, V/ 2 , 75 20 »* = 94 9 = ^- <^i^a(ui'.' constructus + 8*»)r» — (3r* +12(?»r» — = d V • + dy») = + r.V ope inferiori + V/(v/2-l) + 2i/(v 2-1) 1— r» fT \yt = Vr J , ».* = 1 (dr»+r*^^»)= .... 5e*) NB. iSt qui sinfy qui loco adjectivi Bemoaillana, legere mnlinl Bernouilliana, ila legant. Digitized by Google I M » £ X. Introitus Pag. 1. De Lemniscata Bebnouillaka n 5. § 1. N"*. 1 — 15. De Aequatione „ — § 2. „ 16 — 38. De Tangentey Normaliy Subtangente ac Subnormali . „ 11. § 3, „ 39—49. De Radio Curvaturae et Evoluta „27. § 4. „ 50 — 62. De Quadratura et Areae Multiplicatione ac Divisione . „ 33. §«5. „ 63 — 96. De Bectificatione nec non Arcus Multiplicatione et Divbione. ,, 43. § 6. „ 97 — 121. Observationes diversae „71. § 7. „ 122 — 143. De Constructione wre Delineatione et de Generatione . „ 96. COBBIGENDA „ 103- ■^nm 14 Digitized by Google Digitized by Google T H i: ii i: s. Circa theorias, recentiori tempore de motu maasarum glacieiy quae Germanis GleUcher dicuntur, propositas, sententia doct. W. Whewell probanda: ,, The cause of the motion is gravity ; the cause of the steadiness of ihe motion is the ,, melting of the lower sur&ce ; the cause of the glacier character of the motion is the „ plasticity.*" (Vid. Philos. Magaz., Tom. XXVI, pag. 220.). II. Non facio cum clar. J. W. Dbafer, ex experimentis quibusdam (vid. Philos. Magaz., Tom. XXVI, pag. 185) concludente: capillaritatem esse phenomenon electricum. 14* Digitized by Google — lOS - ni. Theoria celeb. C. Darwin, de InsiUis Madreporis admittenda. IV. Scientiae prodest, theoriam, cujus generalia exactitudo non dubitatur, quamquam non ela- boratam, publici juris fieri. V. Ad undvlationes Jixas explicandas non opus est ut eas cum cel. N. Satabt ex parietis vibratione petamus: imo ex undulationum directarum et reflexarum interferentia explicentur. VI. Actio fermenti in sacchari fermentatione mechanica est. VII. Theoria, quae dicitur ThSorie des CoupUs^ in Mechanica maximi est momenti. Ingeniose ill. A. voN Humboldt in opere Kosmos, Tom. I, pag. 198, „Die prachtvoUe ErsobeiHimg dea ferbigen Polarlichtes ist der Act der Entladung, „das Ende eines magnetisehen Unffeuntiers.'*'' Digitized by Google — 109 IX. Incrementura crassitifi plantarum ex genimarum evolutione peti (lc»bt*t. X. Causae antiquitus efiicaces in alterandam telluris superficiei pai-ttMn, quae vulgo cruHta dicitur, recentiori tempore eaedem agunt. XI. Effectus contactus in Electricitate Galvanica negari nequit. HLMl. Recte celeb. G. B. Aiby indicat (vid. Philos. Magaz., Tom. XXIX, pag. 537.) „ The importance in doabtAil cases, of using any received theor}% as far as it vfill 7} go> even if that theory can claim no higher raerit than that of being plansible." xm, Oculi objecta magis propinqua, ut et distantiora, distincte perspiciendi facultas, qiiae dici- tur Aceommodationisy ex lentis crystallinae locomotione explicanda. Digitized by Google ^ a Digitized by aQle Godlgl Digitized by >?.' r<f</m>msrcl JTtfu^. Google Digitized by Google (3 ^ OVEK EENIGE GEVALLEN THE ORIE VAK 0NSTADI6E (DISGONTINUE) FUNCTIEN. €aJ .* WAAR IJEN TE ONDERSCHEIDEN HEEFT, OF HET ONEINDIGE vtk EEN' EYEN' OP ONEVEN', EEN GEHEELE OP GEBROKEN VORM ZIJ. DOOK D. BIEREHS DE HAAS. DilCegeTen door de KoBuklijke Akadenie van WeleaMka|fea. AMSTEBDAM, C. G. T A N D E R. P 0 S T. 1858. Digitized by Google Digitized by Google I OVER EENIGE GEYALLEN VU DB THEOEIE TAir ONSTADIGE (DISCONTINUE) FUNCTIEN. WAAR MEN TE ONDEBSCHEIDEN HEEPT, OF HET ONEINDIGE YAN EEN' EVEN' OP ONEVEN', EEF GEHEELEN OF GEBEOKEN YORM ZIJ. B: BIEREIfS DE HJAB. 1. Onder de moeijelijkheden in de theorie der bepaalde integralen behoort voorzeker de overgang van het eindige tot het oneindige^ en talrijk zijn dan ook de dwalingen^ die ontstaan zijn uit hel niet behoorlijk letten op de voorzigtigheidsmaatregelen^ die hierbij zijn in acht te nemen. Deze overgang kan van tweederlei aard zijn: dfhetkan gebeuren^ dat eene der beide grenzen van de bepaalde integraal het oneindige tot limiet heeft^ 6f dit kan het geval zijn met eene standvastige, voorkomende in de functie, die te integreren is. Van elk dezer bcide gevallen is het mijn voornemen thans eenige bijzondere voorbeelden te bebandelen^ en wel zulke^ die eensdeels van vecl gewigt zijn in de theorie zelve, en ten anderen tot zeer verschillende verklaring en behandeling hebben aanleiding gegeven; deze kunnen niet allen den toets van eene meer bijzQndere, strenge overweging doorstaan, en hebben daarom ook tot niet altijd zuivere uitkomsten geleid. Het geldt hier namelijk^ hoe vreemd zulks ook in het eerst klinken moge^ het onderscheid^ dat er somtijds gemaakt ' moet worden tusschen even en oneven^ tusschen geheel en gebroken oneindig 1 1FIS- E.X nATUCRK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIB. DEEL YII. Digitized by Google 2 OYER EEHI6E GEVALLEN BIJ BE THEORIE VAN ONSTADIGE FDNCTIEN. groot; een onderscheid dat meermalen verkeerdelijk over het boofd werd gezien. Wanneer men toch eene bepaalde integraal-formule gevonden heefl voor zekere waarden van eene standvastige grootbeid h, namelijk 2k, 2ft + l^ ak, pk, (waar a een geheel getal en p een gebroken moet voorstellen) kan het dikwerf voorkomen^ dat de gan|; der redenering juist steunt op dezen bijzonderen overeenkomstigen vorm der standvastige^ bjjv. het even of oneven zijn^ het geheei of gebroken zijn daarvan: is dit het geval, en laat men h tot oneindig aangroeijen^ dan gelden de uitkomsten^ die alsdan ontslaan^ niet algemeen voor A*« oo^ niaar respectivelijk slechts voorA=2A,=2A+l,*=a&,=p*, met de voorwaarde k= oo. Uit dit oogpunt nu zullen hier vooreerst te behandelen zijn de integralen van den vorm: I Sxn.kx.f{x)dx of I Cos,kx.f(x)dx. (Lim.i « oo ) a a Hel eerst^ ongeveer een vierde eeuw geleden^ zjjn zulke intcgralen beschouwd door LEJEUNE-BiRiCHLET cu wcl iu CRELLE^s Jourml fUf reifie und angewandle Mathematik, Bd. A, S. 157: sur la convergence des series Irigonometriqucs qui servent k repr^senter une fonction arbitraire entre des limites donn^es. Hjj ondcrscheidde echter teregt^ waar het hier juist op aankwam^ namelijk het geval, dat h den vorm 2ife + l bezat en dus oneven was, ook voor A=oo. Zijne opvolgers echter zagen dit bij soortgelijke bespiegelingen dikwerf over het hoofd en geraakten daardoor somtijds tot valsche uitkomsten. Dit onderzoek zal^ naar ik meen^ tot eenige belangrjjke gevolgtrekkingen aanleiding geven. Vervolgens zullen de Integralen van den vorm /■ (ff (Stn. a x^ Cos, § x),f {x) d x worden nagegaan. Deze integralen zijn van oudere herkomst^ en zijn zoowel de aanleiding tot^ als het gevolg van zeer verschillende en uiteenloopende^ ja zelfs tegenstrjjdige^ beschouwingen geweest: in lateren tijd heefl vooral RAABE zich veel daarmede bezig gehouden; mijns inziens zijn evenwel som- tijds deze uitkomsten^ behalve om andere redenen^ ook nog daarom niet gel- dig^ omdat de integraal alsdan eigenlijk slechts bestaat onder dezen of der- gelijken vorm Digitized by Google OYER EENI6E GEYilLlEN BIJ DE THEORIE VAR OKSTABIGE FUNGTIElf . ^ j (p {Sin. a X, Cos. /J x).f{x) dx. (Lim. i = oo ) "b zoodat hier de bofenste grens oo van den bjjzonderen vorm ^nk bijv. zijn moet. De aldus yerkregen uitkomsten zuUen op die wijze somtijds van de gewone, als waar aangenomene, moeten verschillen. Ik geioof^ dat deze beide punten van genoeg belang zijn, dat de opzette- lijke behandeling daarvan niet ongeschikt of onnut wezen zal. 1. OVER DE iNTEaRALEIf I Sin.kx./{x) dx, I C6S.kx.f{x)dx.{Lim.k= oo) * a a 2. Men kan bij deze beschouwing van versehillende integralen uitgaan^ wanneer men voor f{x) bijv. schrWd - f{x),— — f{a) enz. Het meest gc- schikt schijnt daaronder evenwel de afleiding te zijn uit de bepaalde Inte- gralen '"'Sin.kx^^ ^^ ^. , -f{x)dw^ Lim.ib=a: od; r niet aiieen^ omdat men bi] de FOuiiiER^sche Integralen regtstreeks tot deze formulen wordt gebragt^ maar ook en vooral omdat zich langs dien weg op de meest leerrijke manier telkens de verschillende gevailen opdoen, die bij enkele bjjzondere omstandigheden moeten ondersclieiden worden. Ten einde deze integraal na te gaan^ kan men gevoegelijk^ naar den aard der functie Sin.kx, drie bijzondere gevallen onderscheiden tcn opzigte van a, dat is a = in, 0<a<i^^ i^ <a<i oo; en heeft men dus ten eerste : * Men kan de vroegere beschouwingen, — die echter niet alle met de hier outwikkelde over- eenstemmen, — vooral vinden in de volgende verhandelingen: Lejeonb-dirichlet, Journal von Crelle^ Bd. 4. S. 157. — Dezelfde, Reperiorium der Phy$ik. von Dove und Moser, Bd. 1. S. 1B2. — Dezelfde, Journal von Crelle, Bd. 17. S. 57. — Dezelfde, AbhandU Akad. Berlin 1835. dcHLoMiLGH, GrunerCs Archiv ^ Bd. 1. S. 417. — Dezelfde, BeUrage zur Theorie besUtnnUer Integrale, Jena, Frommann, 1843. VII F. 103 S. 4". Abth. I. — Dezelfde, Analytische Studien,2^ Abth. Leipzig, Engelmann, 1848. 198 S. 8\ MfeiJER, Joumal von Crelle^ Bd. 43. S. 60. ' BoNNET, Joumal de Liouville, T. 14. p. 240. 1* Digitized by Google 4 OV£R EENI6E GEYALLEll BI J SE THEORIE TAN OHSTAIHGE FDlfCTIElf. f{x)dm. (Lim. ifcaa oc) Stel hierin kx — y met de greDzen 0 en ift^ voor y, zoo wordt Dezen grensafstand 0 tot i ft ^ kan men nu in k deelen verdeelen^ die elk 4 1 i^ bevatten^ nameljjk 0 tot i^r, i^r tot ^, n tot |«, .... — -— ?rtotift«; en dan de integraal zelve door eene som van k andere vervangen^ die de ge- noemde deelen tot grensafstanden hebben^ zoodat men verkrijgt: "(0 4« « fe— II» +1 — /(»)'"'••••+/_ -r'(») d]f. (Lim.k = c») (a) Deze k integralen zi)n ten opzigte der grenzen van tweederlei vorm^ naar- mate de integratie van de grens (c — i)^ tot c^ of van c tot {c + i)n moet plaats hebben. Men kan nu al deze integralen tot andere terug brengen^ die 0 en i^r tot grenzen hebben; daartoe stelle men in het algemeen^ als degren- zen van y zijn (c — \)n en cn: y =s cn — w^dy =s —^dx^ met \n en 0 als grenzen van jt. ( . . (i) cn en (c+i)'r: y « C9r-|-^»dy = ^^i met 0 en \n als grenzen van arj en dan verkrijgt men voor de beide  Door de toepassing dezer herleidingsformulen worden nu alle integralen^ die in het tweede lid der vergelijking (a) voorkomen^ tot andere terug gebragt^ Digitized by Google OVER EENIGE 6EVALLEH BIJ BE THEORIE YAH OHSTIDIGK FDNCTIBN. 5 die 0 en i^ tot grenzen hebben; men kan dus al deze integralen onder i6n integraalteeken yereenigen^ dat is: /i* iSin. X ^ fx\ Sin.x ^ tn — »\ Sin,x , fnA-mK Sin. x ^fi n — x\. ^' - l l— •^U) +—/[—1 '^s^[—) -^^i— ) + • • • . . ,.. Sin.x ^fkn^x\l , ^. , Nu kan men tot den limiet yan A; = oo overgaan; vooreerst is alsdan de reeks onder het integraalteeken eene oneindige; voorts wordt voor elke wCJl±f]_/(«-^)_/(0) w wanneer althans de functie f (x) tusschen de grenzen der integratie 0 en i ^r stadig is *. Men kan dus deze f{0) even als Sin.x, als gemeenschappelijke factoren onder het inlegraalteeken afzonderen^ waardoor 0 1 1 ix wordt: maar inhet algemeen is ; — — "r—: «dus wederom den ^ en — X CJr4-« c^w*— d?* standvastigen factor /'(0) buiten het integraalteeken brengende^ fi^ rl ix 2x 2x * J 1« • w*~a?* ^n^^x^ 9«* — x^ J 0 Nu weet men dat voor x^i^, (en dit is hier het geval^ daar i ^ de bo- venste grens van x is) de reeks onder bet integraalteeken convergeert en Cosec. X tot waarde heeft; daardoor wordt eindeljjk I, =/(0)| Sin.xdx.Cosec.x =/{0) f "" dx :^ {n/{0), 0 ^o dat is: ri^ /Stn ix ' — /{x)dx = ^n/{0). {Um.k = oo) (I) * Het woord tiadig wordt hier gebraikt ter TervaDging ?an 'het fransche eontinuiy evep als oniiadig ? oor diiConHnue staat. / Digitized by Google n 6 om BBII6B 6BTALLEII BIJ OE THEOUB TAR 0I8T1DI6E FDN(inElf. VerTolgens zij I, = I — ' — f{x)dx , 0<a<|»r, (Lim.i -« oo) zoo heeft men wederom^ eyen als boven hx — y stellende^ [^Sin.kx ,, , , [^Sin.y Jy\ , ,^ . , I, = j — ^/ (x) dx = / -^f \M dy. (Lim.i = oo ) Stel nn dat het grootste veelvoud van i^, dat in ak begrepen is^ m.i^ zij, en f (die dus kleiner dan i ^ is) de rest, zoodat ak—m.i^^ + f is, — dan zai hierbij m, hoezeer kleiner dan k, (daar a kleiner dan i ^r is ondersteld) toch met k moeten aangroeijen en daarmede oo tot limiet hebben. Yerdeelt men nu den grensafsland o tot a ft in twee andere 0 tot i m n en i m ^ tot i m :nr + /, zoo wordt fi^^Sin.y (y\ , [i^-^fSin.y ly\ Ij = I •^ll ^"'"/ ^/l| rfy.(LTm.* = 00 ,Lim.7n=x) 0 {mn De eersle integraal in het tweede lid dezer vergelijking heefl, cven als bij de formule (I) i'^ f (0) tot waarde : de tweede inlegraal kan men tot eenen meer geschikten vorm terug brengen door de onderstelling y — imn ^ x; alsdan wordt dy = dx en de grenzen voor de nieuwe veranderlijke x worden 0 en f; daardoor wordt dus die integraal ri«»^+/5in.y /y\ [fSin.{imn + a) Jk^n+x\ ^ en derhalve * /./..x . [fSin.(lmn + a) ^/lmn + x\ ^ Ii=i''/(0) + / —T 7^^—^fr r-^Uj^.(Lim*=^ 00 ,Lim.m = oo) J -imn + X \ k / 0 Maar in de laatste integraal is Sin. {imn + x) ook voor m = oo sleeds klei- ner dan de eenheid; M^^"^ ) "^^^^^fl^^] =/*(a);denoemerim^ + a; wordt oneindig, en daarmede vervalt de geheele functie onder het integraal- teeken^ zoodat die integraal zelve nul wordt. Men heefl dus ook hier I, = 1^/(0), Digitized by Google OVEK lEIIIGE GETiUEH IIJ BE THEORIB TAH 0K8TA0I6K FimcnER. 7 dat is /o Sin.kje /(«)rf« mm ijr/(0) , 0<a<iw. (Lim.i =00) (II) o ' Eindeljjk zij 13=1 — ^ — /(«)d« , i7r<a<Q0 , (Liiii.ib 8» 9o) 0 zoo wordt f^V(|).,. I. "0 als men hier wederom y==kx slelt. Deze vorm is volkomen dezelfde als die voor Ij verkregen: slechts is hier a grooter dan in, en wordt dus bij herhaling der vorige redenering m grooter dan k; maar dit is dan ook het cenige verschil en de slotsom blijft dezelfde, dat is /'Sin.k» ,, —^/iT)d»^\nf{0) , «jr<a<«. (Lim.* = 00) (HI) 0 • Wanneer men nu, hetgeen in de vergelijkingen (I), (II) en (III) gevonden is, te zamentrekt, komt men tot de algemeene uitkomst: I /{x)d» = |,r/(0) , 0 <a< 00. (Lim.* =-00) (IV) i ' Op dezelfde wijze is evenzeer rb Sin kx I — ^— /(«)rf« — ij»/(0) , 0<6<oo , (Lim.i= 00) / ■'0 en derhalve, wanneer men de laatste integraal van de integraal (IV) aftrekt, f^Sin.k3s I /(*)d« = 0 , 0<i<a<oo. (Lim.*= 00) (V) Hierbij wordt telkens ondersteld dat de functie / {x) stadig zij tusschen de grenzen der integratie. Bij deze integralen ziet men dat de standvastige k, die het onemdige tot limiet heeft, geheel willekeurig in vorm is, zoodat hier de vroeger gemaakte aanmerking niet te pas komt. Digitized by Google 8 OVER EENIGS GEVALLEN BIJ DE THEORIE TAH OHSTADIGE FHirCTlEN. 3. Voor de bepaalde integraal C08.ka [ X f{x)da (Lim. i => oo) moet men evenzeer als bij de vorige de drie gevallen onderscheiden^ dat a— =iw, 0<a<iw en iff<a<oois. Is a = i^^y dan stelle men weder kx ^ y, met 0 en i A «r als grenzen voor y, en dan wordt: I, =j ——f^^ux^j -yfi^jdy. (Lim.*.= «) Dezen grensafstand 0 tot ikn verdeele men in k deelen^ zoodat men eene dergelijke vergelijking (a) verkrijgt als in N^ 2, waarin slechts Cos.y voor Sin.y komt te staan: men gebruike dezelfde substitutien {b),y ^ cndzXfdm verkrijgt men hier, — daar CoB.{o7idb x) «aB Coi.cn.Co8.cx^iSin.cn.Sxn.x = Cos.cn.Cos.x is, — wanneer men nog alle infegralen^ die nu dezelfde grenzen 0 en i ^r lieb- ben verkregen, onder betzelfde integraalteeken vereenigt: [i'^ mCos.x Jx\ Cos.x ^fn — x\ Cos.x ln + x\ , Coa.x J2n — x\. 0 -^j^J[-ir)-'-'-'^^-^^j^J[-ir]\''- (^-"•*==-) Stel hierin x = - — iy, waardoor de grenzen van y wordcn ^ en 0, terwjjl <Jy = — dx is, zoo wordt; *^l -'\^y^[~rl^y^~T-)-u^Ty^[-^ Hierin tqt de limiet 90 van k overgaande, wordt dadelijk de reeks eene oneindige en tevens Digitized by Google OVER fXHIGE GEVALLElf BIJ DE THEORIE VAN OHSTADIGE FDNCTIEN. » /(^I±l?) =/{i^) =/(0). (/) Derhalve wordt f (0) wederom een standvaslige factor, die nu buiten het integraalteeken kan vallen; evenzoo wordt Sin.iy een factor, die echter on-  — y Sn + y &n — y M — /(0) rSin.lydy\ ^^ — — ^ — + ^ — : — .•••1» {Um.k^ oo), 0 wanneer men in de reeks onder het integraalteeken elke twee opvolgende termen optelt^ die Cn^y tot noemers hebben. Nu heeft, tusschen de hier geldende grenzen^ de laatst verkregen reeks onder het integraalteeken - Sec. i y 9 tot waarde; van daar is I, =/(0) r5tn.iydy-5€c4y = 7r/(0) f ^^^?^^^^ , {Lim. i = x ) , 0 0 of a; = i y stellende^ waardoor de grenzen van x worden 0 en i tt, h-n/mfi^^^^^ . (Lia,.* = oo). 0 Maar het is gemakkelijk in te zien^ dat deze integr&al eene oneindige waarde heeft; want wanneer men ze^ volgens de oorspronkelijke bepaling eener bepaalde integraal^ als eene oneindige som van oneindig kleine pro- ducten beschouwt^ zoo wordt voor de bovenste grens i^r de geintegreerde fiinctie — — hier ^''f' _~ en heeft dus oneindig tot limiet : het product , T<^nff.{in-d) ^^^^^ 1 9 ^ _1 1 in—d ^fn — dCot.{^n — d) ^n — d — Cosee.^ {i n — d) = : z = - — = , niet meer onemdig klem: zoodat de be- \n — o {n n^ o / doelde integraal oneindig groot wordt. Daardoor heeft men I4 = oo.ot/(0) , (Lim. i = »). Deze waarde is in het algemeen oneindig^ zoo lang f{x) stadig bljjft tus- 2 WIS- Eff ffATDDRK. YERH. DER KO.MIfKL. ARADEMIE. DBEL VII. I Digitized by Google iO OV£R EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FURGTIEN. schen de grenzen van het integreren. Wordt f{0) m\, dan wordt de waarde van I4 onbepaald^ en kan op deze wijze niet nader worden ^evonden. Yerder is het duidelijk^ in verband met hetgeen in N''. 2 werd aangemerkt^ dat ook voor andere waarden van de bovenste grens der integratie a, namelijk voor 0<a<i« en i^<a< 00, de integraal dezelfde waarde behoudt; men mag dus tot de algemeene formule besluiten ^''^'''—f(x)dx = oo.ir/(0); (Lim. * = 00) (VI) f en hierin is de waarde onbepaald of oneindig^ naarmate f (0) nul is of niet. Ook hier wordt de functie stadig ondersteld tusschen de grenzen der inte- gratie. 4. Men kan nu overgaan om voor f{x) bijzondere waarden in de plaats te stellen^ die nu aan de gegevene voorwaarde moeten yoldoen. Het eerst doet zich de ondersCelling voor f {x) = xF {x) : dan geven de algemeene vergelijkingen (IV) en (VI) bij stadigheid der funclie F(4?): ( f ''stn.kx.Y(x)dx -^[^F(:c)]^^^ =^0./(0) (Lim.i = 00). . . (S') C08. kx.'F (x) dx = 00. n[a¥ (^)]^^ = ». ^- 0./(0) I 0 Deze laatste nu is onbepaald; ten einde daaromtrent^ zoowel als ten op- zigte der eersle, eenige meerdere bijzondeijieden te leeren kennen, beschouwe men ze op zich zelve^ bijv. de laatste^ en stelle deze daartoe onder den vorm I5 = I Cos.kx.^E^x^dx . (Lim.A: = x) b Hierin zij nu kx^y, waardoor hk en aft de grenzen van y worden; men zoeke het laagste veelvoud van '^, stel jf^, grooter dan hk, en evenzoo het hoogste veelvoud van »r, stel q^^, kleiner dan a^; en noeme de beide resten r en s, (die dus beide kleiner dan ^ moeten zijn)^ dat is: bk = pn — r , ^<f, aA: = j7r-|-« , «<7r. Alsdan verdeele men dcn grensafstand 6^ tot a^ in drie deelen^ nameljjk van p TT — r tot p »r, van p^ ioi q ^, van g 7^ tot g « + «, waardoor alzoo f^ fp^l lx\ /?^i ix\ r«3H-»i /^\ 15 = 1 Co8,kx.'E{a)dx= j ■;Co8jt.Y\^-\dx+ j -0)5.0?.^ -)da?+ I jCo8.x.l{-r]dx,(Lim.k^ oo).(t) Digitized by Google h OYER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN 0NSTADI6E FUNCTIEH. ii Stel in de eerste der integralen, die in het laatste lid dezer vergelijking voorkomen^ x = p ^ — y, zoodat Cos. x = Co$. p ^. Cos. y + Sin. p ^. Sin. y = Cos.pn.Co$.y,dx= — dy is, terwijl r en 0 de grenzen van y worden. Even- zoo moet men in de laatste dier integralen x^qn^y stellen^ zoodal dx=^dy en Cos.x^Cos.qn.Cos.y wordt, met de grenzen 0 en s voor y. Op de onder- stelling pn = hk^r,qn :^ak — s lettende, heefl men alzoo r pw 0 CoB.fn. r>^(7o5y.r|^*'^.^''~^jdy+ P''iaw.«.Ff « W+Co*.jir. nC(».y.p[^''^W (Lim^« ^m Is nu f{x) tusschen de grenzen a en 6 stadig, zoo blijkt reeds uit de vorige vergelijking (t), zoowel als uit de laatste, dat iedere integraal in het tweede lid op zich zelve nul wordt, uithoofde van den factor t\ zoodat dan ook: I5 = rCo8.kx.'E(x)dx = 0 . (Lim.* — x) (VII) b Maar de vergelijking (k) leert ons meer. Wantindien slechtsLim, *F(6 + i) nul is (voor Lim. d = 0), waarbij toch F (6 + ^) zelve oneindig kan zijn en er dus sladigheid bjj de grens 6 kan plaals hebben, zoo is voor S — — j^ : dus Lim. -¥ ( '^T'] =^ ^» (^^"^ i = 00) , daar 1 — als grens der overeenkomstige eerste integraal in het tweede lid van (k) — grooter dan y en toch kleiner dan n zijnde^ (zie verg. (h)) r — y een positief eindig getal is; die integraal wordt dus ook in dit geval nul. Indien ook evenzeer Lim. ^f(a — d) = 0 is (voor Lim. 3 = 0), waarbij ook F (a — *) wederom op zich zelve oneindig kan zijn, wanneer de onstadig- heid voor de bovenste grens a plaats grjjpt, zoo is voor 3 = — — : Lin,.«F(«-a) = Li«,.'-=^r(a_'-y??] = Lim.i=^^F (-^nr^) ^ ' ' 2 Digitized by Google i2 OYER EERIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FDNCTIEN. dus. daar bij de laatste integraal in de formule (k) s als grens der y grooter dan elke y is en toch kleiner dan ^ moet blijven (zie verg. {h)), zoodat «— y een eindig positief getal is. — De integraal zelve is dus ook nul en in plaats van (VII) wordt hier meer algemeen volgens (k): I, «s f Co9.ka.Y{x)da!m^l -Cos.a.m^da, . - , (Lim.ifc— oo) .(/) als Lim.dF(6+<) = 0, lAm.3¥{a—S)^Q en Lim.d = 0i8. Nu verdeele men zoo als vroeger den grensafstand van pn tot qn in p — q andere^ die telkens n groot zijn^ dan wordt bij de onderstellingen^ waaronder (I) bestaat^ en die wij gemakshalve niet telkens zullen over- schrijven : h PT (p+l)3r / «^l fa\ -rCM..r.FUjd« (m) '(g-i)^ Stel nu in eene integraal^ die c» en {c+l)^ tot grenzen heeft, ^ = c^+y, dan wordt Cos. x = Cos. c n. Cos. y, dx = dy, en de grenzen van y worden 0 en n; zoodat die algemeene integraal wordt : / '"^ '1 Co».«.F W dx = Cos.cn. r^CoB.y.-p i~^] dy. CT 0 Bij alle integralen^ die in het tweede lid der vergeljjking (m) voorkomen^ deze substilutie aanwendende^ verkrijgt men voor alle integralen dezelfde gren- zen 0 en n^ zoodat men ze allen onder een integraalteeken vereenigen kan; daarenboven is T^M.y een factor^ die aan alle integralen gemeen is. Derhalve i.-r.w,4F(?^»)-F((^'')+_+c^((,-i„)..(tite)l . (», 0 Is nu F {x) tusschen de grenzen 0 en ^ eene afdalende functie^ zoo is de Digitized by Google Oy£R EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FDNCTIEN. 13 reeks onder het integraalteeken convergent en begrepen tusschen nul en den eersten term dier reeks^ dat is^ voor pn hare waarde bk + r in de plaats stellende^ 0<..<J"i<7«.,.,p(^i±f±-') (0) llaar wegens Lim. iF(H-») -0 is ooli Lim. ^F (» + ^) - 0, 1 / r 4- rp\ en dus ook, daar a? < r < ^ is, Lim. ]^ F (* + "^~) ^ 0; derhalve 0 < I5 < 0, dat is I5 ■* 0. Was F {x) daarentegen tusschen de grenzen 0 en nr eene opklimmende functie^ zoo is de reeks onder faet integraalteeken nog convergent^ mits men haar in omgekeerde orde neme; hare waarde is alsdan begrepen tusschen nul en den laatsten term dier reeks^ zoo als zij in de vergelijking (n) geordend is; dus voorg^r hare waarde ak — s stellende^ wordt 0<l.<f{co..,i,tl^"--' + ') W 0 Nu is Lim. 9f{a—9) = 0 ondersteld, dus ook Lim. ^^±|^ F (a-^^±p^] = 0; maar y < 5 < ^r, dus 0 < ^ + s — y < 2 ^en daarom Lim. -7 F {^—^l~^') "^ ®» derhalve ook in dit geval 0 < I, < 0, dat is U = 0. Was F (x) verder eene functie, die dan eens opklimmend dan eens afda- lend werd^ zoude men de integratie van elk maximum tot elk volgend mini- mum afzonderlijk moeten uitvoeren^ en zoude van elke zulke integraal dus het boven gezegde gelden. Werd F {x) voor eenige dier grensafstandcn nega- tief, zoo behoefde men slechts eene nieuwe functie Fi (^) = — F (^) in tc voeren^ om weder de vorige redenering te doen gelden. Men heeft dus altijd fCos.ka.'E{a)dx = 0 , 1 ^ >(Lim.ife« 00) ... . (VIII) als Lim.«F(6 + «) = 0, Lim.dF(a— a) = 0 en Lim.« = Ois.) wanneer de functie F (^) tusschen de grenzen (uitgesloten) stadig is. Maar ook wanneer zij voor eenige waarde van ^ bijv. h (zoodanig dat 6 < fc < fl is) onstadig werd, is het gemakkelijk te bepalen^ welken invloed dit zal uitoefenen. Men moet alsdan volgens de voorschriften van de theorie Digitized by Google 44 OVER EENIGE 6EVALLEN BIJ DE THEOME TAN 0N8TA9I6E FDNCnEN. der bepaalde integralen de^ naar caucht aldus genoemde^ singuliere integraal B Lim. I CoB. hx.Y{x)dx , (Lim. c — 0) , van de vroegere waarde aftrekken. Stel ook hier kx = y, zoo wordt die correctie /kh-{-k l [y\ -Co*.y.P(|| dy , (Lim.« = 0 , Lim.i = »). Is A f = 00 . 0, zoo wordt van zelf A — 0; is dit produkt echter niet nul, zoo heeft men hier eene dergelijke formule als in vergelijking (VIII), cn a zal dus nul zijn, mits Lim. a F (A d= ^) zelve nul is. Daardoor wordt de ver- gehjking (VIII) eindelijk / a Cos.ha.Y^x) da = 0. (Lim.i = oo) Wordt F (x) voor 6, o, of A (a > A > 6) onstadig, zoo moet nog res- ^' ^^^ pectiveLim.«F(6 + ») = 0,Lim.«F(a— «) = 0,Lim.»F(A±»)=0 zijn voor Lim. *=«0; hierbij kan 6 ook nul wezen. 5. Men heeft dus bepaald^ wat er van de onbepaalde uitkomst was^ die in de laatste der vergelijkingen (g) gevonden werd. Op dezelfde wijze rede- nerende ten opzigte van de eerste der integralen (g) zal men die uilkomst nog eenigzins kunnen uitbreiden. En dit zal niet moejjelijk zijn^ wanneer men nagaat welke verandering in de formule van het vorige N^ plaats grijpt, wanneer men Sin.kx voor Cos.kx schrjjft en evenzeer Sin.y voor Cos.y. In vergelijking (k) zal de eerste integraal negatief worden^ maar daardoor zal (VII) niet veranderen, evenmin als (/) tot (p); de vergeljjkingen (VIII) en (IX) blijven dus bestaan (altijd bij het veranderen van Cos. in Sin.); dat is i: Sin.ha.'E {a)dss = 0. (Lim.A = oc) Wordt F (x) voor 6, a of A (a > A > 6) onsladig, zoo moet nog respec- ^ ' ^ ^ tive Lim. « F (6 + 3) = 0, Lim. «F (a— «) = 0, Lim.3F(A ± «) = 0 zijn, voor Lim. * « 0. Uierin kan ook 6 =* 0 zijn. ) In deze vergeljjkingen (I) tot (X) is de vorm van k nog geheel onbepaald. Digitized by Google OTER UNIGE GEVALLEir BIJ D£ THEORIE VAN OSSTADIGE FDKCTIEN. 15 6. Men kan in de algemeene vergelijkingen (IV) en (VI) Toor f{ai) ook nog andere onderstellingen invoeren^ zoodat de noemer ^ vervangen worde bjjv. door Sin.^ of Cos.a^; en dit zal tot vier verschillende fortnulen leiden. Zij vooreerst in (IV) fa — -; — F(jf), dan wordt zij lP{x)dx^\n\- Y{x)\ . (Lim.jfc = «)) X 0 f J Sxn.x ^ ' ' ^Sin.x •■a:=o 0 Voor ^ = 0 wordt wel is waar ^— = -- en schijnt dus onbepaald, doch uit de leer der limieten weel men dat Lim. -^, — = l voor Lim. w = 0. oin.x Maar de bovenstaande vergeljjking geldt slechts, wanneer /* (a?), datis e;^ — F(4f), sladig is tusschen de grenzen 0 en a; wanneer dit zelfde nu ook met F(^) het geval moet zijn, zoo dient noodzakeljjk^-r: — mede stadig te wezen; deze breuk wordt onstadig voor ^ »= n ; derhalve geldt de bovenstaande vergelij- king vooreerst slechts voor a kleiner dan ny dat is: I, . / — f — F{x)da, = -P(0). o<7r. (Lim.* = 00) (XI) J Sin. X 2 0 Er is dus eene nieuwe onderzoeking noodig^ wanneer a gelijk of grooter dan n is; daartoe onderscheide men hier drie gevallen a=n^ a = bn^ a=6ff + c, (waar c<w zij), zoodat wij ons eerstens hebben bezig te houden met de integraal ly— / — Y(a)dx . (Lim.i — oo) 0 Men ontbinde den grensalstand 0 tot ^ in twee andere 0 tot i tt en in tot n; dat is fi^Sin.kx^ , , , . nSin.kx^, , , ^^ . , 17=1 — ^{x^dx-^l — P(«)da? . (Lim.A = 00) ^ / otn.x J Sin.x Verder stelle men in de laatste integraal ^ = w — y, dus da?=« — dy^ Sin.^^Sin.y, Sin.hof^ — Cos.k^. Sin.ky = Cos. {{k — l)n:).Sin.ky, terwijl de grenzen van y worden i^r en 0; alsdan wordt: Digitized by Google 16 OYER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FITNCTIEN. r(7r — x)da . (Lim.i =s oo) >'=/ ^r(.)i.+c».{(j-iw.j ^. •o 0 Ten opzigte Tan beide deze integralen kan men nu de formule (XI) aan- wenden^ waardoor 0 wordt. Men ziet hieruit^ dat de uitkomst in zoo verre van k afhangt, dat de factor {Cos.{k — 1)^} voor k even^of oneven gelijk wordt aan de negatieve en positieve eenheid. Zoodra men dus weet^ dat k de limiet is van eene evene of onevene grootheid^ heeft men ( / -^— r(«)d* = - {F(0)-p(«)} »«n.((2ife-l)*) n ;.(Lin..i-oo)... (XIII) ^» r(»)d^-.|{F(0)+F(n)}. / Is daarentegen de oorsprong van k niet bekend^ zoodat men niet geregtigd is^ om k even of oneven aan te nemen^ zoo heeft men^ naarmate F (n) altjjd nul is of niet^ uit de vergeljjking (XII) '^Sin,kx n \ F(;r)dar = jF(0), als F(7r) - 0 ia; ^**-* * j,(Liai.A- (x).(XIV) ■as onbepaald, als F(9r) niet cb 0 is.y Yervolgens beschouwe men het geval dat a = 6^ is^ dat is de integraal • = / ■^aii^^''^ ' (Lim.*= 00) 0 hier verdeele men den grensafstand 0 tot 6»: in 6 deelen^ die elke eenen afstand ^ bevatten^ dan is •F(«)<l» , (Lim.* — 09) {q) ! Sin,x (6-1)» Digitize(d by Google OVER EENIGE GEVALLEN BIJ D£ THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. 17 Stel in eenige dier integralen^ wier grenzen in het algemeen CTren {c+1)7t mogen zijn, ^ — Cn + y, das^dy, met de grenzen 0 en w voor y, dan is Sin.^ = Co8.cn.Sin,y , Sin.hx sas Sin.{Jcen -^-ky) = Cos.kcn.Sin.ky = Cos. {(/c --1) c n^ .Cos.cn. Sin.ky , Substitueert men telkens deze uitkomsten in de vergelijking {q), zoo heeft men eerst in het algemeen: -^^{x)dx^Cos.[{k^i)cn}.j -^^C^^^^+y^dy c» 0 en dus wordt {q) » - r^^^ai)dx+Cos.{{k^l)n}.r^^^n+x)dx+Co8.{{^^^ T^^^^^''"*"*^'^'*'* C^^Sin.ka + Coi. {(*— 1) (6-1) jr}. / — ^F{(6— l)w+ar}d*, (Lim. A = a>) of, daarC^o». {(*— l)2cw} -»1, (7os.{(*— i)(2c— l)ir} = (7os.{(A;— 4)»^} is, waoneer men tevens de uitkomst van vergelijking (XII) gebruikt: I. =|[F(»)+««.{(A-1)t}./(^)]+^C«. {(*-l)«}.[F(«) + C(«. {(*-!)«} J>(2«)]+ + ^ Co». {(*— 1) 2 ff} . [P (2 jr) + Cb«. {(A— 1) »} .F (3 «)] w + ....+-Cb..{(6-l)(A-l)«}.[F{(6-l)7r}+ft,*.{(*-l),r}.F(6«)]; ofdaar Cos.{/(A;— l)»r}.Co«.{(ft— i)«} «= Co«.{(/— l)(ft— 1)«} is, _fi»SmJcx, F(<r)d»=5[F(o)+2C(M.{(A— l)7r}.F(7r)+2F(27r)4-2Cos.{(A— l)7r}.F(3jr)+ + .... + 2 Co». {(J— 1) (Jfc — l)7r}.F ((6—1)«} + C^o». {6(Jfe— 1) Tr^.F (bn)] = ^[{^W+2^(2'') + «F(4,r) + ....} + 2Co..{(A-l)7r}.{F(7r) + F(3 «) + ....} + + Co».{i(A— l)7r}.F(6»r)]. Lim.* = « (XV) Hier komt weder het onderscheid tusschen k even en oneven te pas; want de factor Cos. {{k — i)»} hangt daarvanaf; is/s even, zoo is diefactor — i, terwijl hij + i wordt voor k oneven. Daarenboven wordt voor k even 3 WIS- E!f HATUDBK. TERH. DER EOM.^RL. AKADEHIE. DEEL VII. Digitized by Google 18 OTER EENIGE GEVALLER BIJ DE THEORIE TAN ONSTADIGE FUNCTrtN. Cos. {b\k — \)it) gelijk ± 1 naarmate 6 even of oneven is, omdat daarmede tevens h{h — i) even of oneven is; was k daarentegen oneven zoo is 6 {k — 1) altijd even^ en dus in dat geval Cos. {h[k — l)''} gelijk + 1. Ditte zamen- vattende komt men tot de drie volgende uitkomsten: ''''^^f^F(x)d« = ^[r(o)-2F(:r)+2F(2«)~..>--aF{(26-l)ir}4.P(2J,r)],('^^''°"*°"°'^ 0 *"•* ( . . . (XVI) / -^r-;7F(«)d« = -[F(o)— 2F(«)+2F(2«)— ....+2F(2ft«)— F{(26+l)jr}]. / Sin, X 2 ■ Weet men daarentegen niet of k even, dan wel oneven zij^ zoo wordt de uitkomst van vergelijking (XV) eene onbepaalde, tenzij altijd F {(2 A + 1) ^} — 0 is (voor 2 fe + 1 < 6) ; men mpet dan nog onderscheiden of h even zij of niet wegens den laatsten term van (XV) namelijk Cos. {h[k — i)n).Y [hn). Is h toch even, zoo wordt Cos. {h[k — 1) ^} = 1 ; is 6 oneven, zoo wordt die factor wel onbepaald (dat is ± i), maar F(57r) verdwijnt alsdan. Daardoor is: I -;§^^(^)'^*=2p('')+2F(2'')+--+2i"{(a*-2)'»}+F(aH]. fi^b+i)^ Sin kx n I j ^^F(«)dar = -[F(o) + 2F(27r) +....+ 2F(26n)], ' (LimJfe= x) 0 , / als F{(2A + l)7r} =. 0 , 7i<6; anders isl* * " ^^^^^ b^ Sin Jcx ^(a?) da? = onbepaalcl, als niet altijd r{(2A 4-1)71} =s:0 is.(2A+l<J). j Sin.x 0 / Eindelijk blijft er nog het geval over, dat a = 67r-f c is (c<w); alsdan kan men den grensafsland 0 tot h^^ + c gevoegelijk in twee deelen verdeelen^ namelijt van 0 lot 6?^ en van h'^ tot 6^ + c, dat is: -'•=i ■^^^(^)''^^/ -^^^^^^^^^ + f ^F(-)'^-(Li«n.*==c) Stel in de laatste integraal dezer vergelijking ^ — 6 'f + y, dan worden Digitize(d by Google OVER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE YAN ONSTADIOE FDNCTIEN. 19 0 en c de grenzen van y; verder is d^=dy, Sin.kx Sin. [kbn^ky] CoBjcbn.Sin.ky Sin. X ^Sin. (bn + y) Co$. b n. Sin. y Ca$.kbn.Sin.kjf.Cai.bn ^ Cos. {(k—l) bn) . Sin. ky Co8. ^bn. Sin. y Sin. y C^^Sin.kx ; dit alles subslituerende konil er : ^Sin.kx. T^= i^ '^^^Y{x)dx + CoB.Uk—\)bn\.i' 'r*-r(i7r+j?)da? . (Liin.A=oo) j Sxn.x * J Sin.x 0 0 En nu zijn de beide integralen tot eenen vorm terug gebragt^ waarin zij reeds vroeger bepaald zijn, namelijk de eerste door de formulen (XV), (XVI), (XVIl) en de tweede door de formule (XI); raen moel dus ook hier een onderscheid maken tusschen de verschillende gevallen, die in de vergelijkin* gen (XVI) en (XVII) voorkomen, en heeft alzoo: ■o — — F(;r)d*--[F(o)-2PH + 2F(2«)-....+ 2F(2J«)] f (26+ 1 )jr+c Sin 2kx n V{x)dx= -[F(o)-2F(7r)+2F(27r)~....-2F {(26+ l)7r) ] J Sin.x -^F(*)d«=^[F(o) + 2F(27r) + .... + 2F(2ft«)]. ib+l)lt+cSiu.kx TTr F(;r)d*=--[F(o) + 2F(27r)+.... + 2F(26«)], ,(Lim.i=oc) (XVIII) De beide laatste integralen gelden, wanneer altijd F {(2 A -J- 1) ttJ =0 is,| voor A<^6; anders is: / '^^'^<^Sin.kx ¥{x) dx = onbepaald, indien niet altijd F {(2 A+ l)7r) =*= 0 is. (2A+1<6). 