title: Ad Benedicti de Spinoza opera quae supersunt omnia supplementum
creator: Benedict Spinoza
text: Beioffu^, De zelfstandigheeden , twee zijnde, zijn ?erscheiden; endies- halTen worden zy {volffens de tweede hmdigheid) onderscheiden ht da- delyk ht wijziglyk^ niet wijziglijk, want dan waaren de wijzen door haar natnar eerder als de zelfstandigheid , te^ens de eerste knndigheid: der- halven dan dadelyk. En dienvolgende kan {polgena de vierde kme&gheid) van den eenen niet gezegd worden , dat van den anderen word gezegd ; het Kelke te bewyzen wae, M. De eene zelfstandigheid kan geen oorzaak zijn van de weezendlykheid van een andere zelfstandigheid. Betoging. Zoodanig een oorzaak kan in zich niets hebben yan zolk een gewrogt {geUjk bUjkt wt de eerste vooratelUng); want het verscliil tnssclien hnn is dadelyk: en dieshalven kan {volgene de vijfde kundig» heid) den een den anderen niet voortbrengen. m. Alle zelfstandigheid , of derzelver eigensohappen , is door haar natuur oneindig^ en ten opperste volmaakt in haar geslagt, Betoging. Geen zelfstandigheid is veroorzaakt, van een ander {vol- gene de tioeede vooreteUit^): en by gevolg, zoo ze weezeudlyk is, zoo is ze ht een eigenschap van God, ht ze heefk bayten God geweest een oorzaak van zich zelfs. Indien het eerste, zoo is ze noodzakelyk on- 238 omnia sunt Dei attribntg. Si teeundum, etiam necessario talis ost, qnia (per Vlm axioma) se ipsa determinare non potait. IV. Ad substantiae essentiam existentia uatura tantopere per- tinet, ut impossibile sit in intelleotu infinito ideam es- sentiae alicujus substantiae ponere , quae non realiter in na- tura existat. Dem, Yera ideae objeeti essentia , aliqnid realiter ab ea idea di?enani est, et vel realiter existens (per Illm axioma) vel in alia re coMpre- hensam est qaae reiJiter existit, et a qaa non realiter sed modaUtK tautam distingoitnr; qaaks snnt omnia entia sive res qoas videmns aa* tea non in extensione, nec in ejas mota et qoiete oompreheosa foisae, et quando existnnt non realiter std modaliter tantam ab eztensione diB> tingai. Contradictioni vero se implicat, ens snbstantiale tali modo in alia re comprebensnm esse, qaippe quod ab ea non realiter distingae* retnr, contra prop. I, neo qnoque producta esse posset asabjecto qaod eam comprehendit, contra prop. II, nec deniqae natnra soa infinita et in genere sao somme perfecta esse posset, contra prop. lll; erffo, qoia essentia ejos in nulla alia re comprehensa est, res est per se ipsa existens. COBOLLARIUM. Natura per se ipsa et per nullam aliam rem cognoscitur. Infinitis constat attributis, quorum unumquodque ipsum infinitum et in genere suo perfeotum est, ad cujas essen- tiam existentia pertinet, ita ut extra illam nulla sit es- sentia sive esse, illaque accurate conveniat cum essentia solius augusti et benedicti Dei. 289 eindig, en ten hoogste volmaakt in haar geslagt, als hoedanig zijn alle de eigenschappen Gods. Indien het tweede, zoo is ze nootwendig ook Eoodanigj nadien ze zich {volgeHs de zesde kundi^heid) niet kan hebben bepaald. IV. Tot het weezen eener zelfstandigheid behoort van natuure weezendlyk te zijn: zoo zeer dat het onmogeiyk is^ in een oneindig verstand te konnen stelien , een denkbeeld van het weezen eener zelfstandigheid , welke in de natuur niet weezendlyk en zij. Betoging. Het waare weezen van het voorwerp eenes denkbeeld is lets dat van dit denkbeeld onderscheiden is: en dit iets ia {volgens de derde lundigheid) 5f dadelyk weezendlyk 6f begreepen in een andere saak, die dadelyk weezendlyk is, van de welke het niet dadelyk maar alleen wijziglyk onderscheiden word; hoedanig zijn alle de weezens of dingen die wy zien, dat te vooren in de nitgebreidheid noch derzelver bewe^^g of rnst begreepen waaren, en wanneer zy weezendlyk zijn, daarvan niet dadelyk maar alleen wijziglyk onderscheiden worden. Doch hat wikkelt zich in teegenstrijdigheid, dat een weezen van zelfstandig- heid op deeze wijze in een andere zaak begreepen zoude zijn, als waar- van hy dan niet dadelyk zon konnen onderscheiden worden, teegens de e^rate voorstelling ; als ook dat zy van een onderwerp *t geene haar begreep zoa worden voortgebragt, te^ens de tweede voorstelling; en eindelyk dat ze dan door haar nataur niet kon oneindig en ten opper- 8te volmaakt in haar geslagt zijn, teegen de derde voorstelling. Der- halven dan, dewijl haar weezen niet in eenig ander ding begreepen is, soo 18 ze dan een zaak die door zich zelve bestaat. TOEGIFT. De natuur word door zich zelfs en niet door eenig ander ding gekend. Zy bestaat uyt oneindige eigenschappen , waar van een iegelyk oneindig en volmaakt in haar geslagt is. Invoegen tot deszelfs weezen zoodanig de weezendlyk- heid behoort, dat buyten dezelve geeu weezen meer en is, noch zijn kan; en zy aldus bestiptelyk over een komt met het weezen van den alleen heeriyke en gezegende God. A-xyf 11. DE MENTE HUMANA. Homo cum sit res creata finita , etc. , neoesse est iilud, quod cogitationis habeat^ qaodque mentem vocamns, mo- dum illius esse attributi quod cogitationem vocamusy nec aliud quid nisi hanc modificationem ad ejus essentiam per- tinere; et hoc tantopere, ut, si modificatio illa destraituri mens etiam destruatur, etsi praecedens immutabile manet attributum. Eodem quoque modo illud quod mens ezten* sionis habet, quodque corpus vocamus, nihii aliud est nisi modificatio alius illius attributi, quod extensionem vocamus, quo destructo, nec corpus humanum amplius est, etsi extan- sionis attributum immutabile manet. Ut vero intelligatur qualis illa sit modificatio quam men- tem vocamus, et quomodo a corpore originem ducat muta- tioque ejus a solo pendeat corpore (quod apud me est unio corporis et mentis) notetur: 1. Modificationem immediatissimam attributi^ quod co- gitationem vocamus, in se habere objective essentiam fo^ malem omnium rerum; quadam enim re formali posita> cujns essentia objective non esset in attributo praedicto, omnino non infinita nec in genere suo perfecta esset, contra illnd quod tertia propositione jam demonstratum est. Atque onm natura sive Deus sit ens , de quo infinita dicuntur attribnta, quodque in se comprehendit omnia rerum creatarum essen- 241 II. VAN DE MENSCHELIJKE ZIEL. D mensch een geschapen eindige zaak enz. zijnde, is odzakelyk dat het geen hy van de denking heeft^ en Ike wy ziel noemen, zulks een wijziging van die ey- hap zij welke wy de naam van denking geeven, zon- dat tot zijn weezen eenig ander ding als deeze wijzi- behoort ; en dit zoodanig zelf , dat als deeze wijziging ete gaat de ziel dan ook vernietigd word^ of schoon )orgaande eygenschap onverandelyk de zelve blijft. En B zelve wijze is ook het geen hy van de aytgebreid- heeft, en 't welke wy lichaam noemen, niet anders len wijziging van de andere eygenschap, die wy de van uytgebreidheid geeven, zoodanig ook, dat ais wijziging vernietigd word dan 't menschelyk lichaam id te bestaan , ofschoon de eigenschap van uytgebreid- mee onveranderlyk dezelve blijft. 1 nu te verstaan wat deeze wijze die wy ziel noemen m hoe dezeive haar oorspronk van het lichaam heeft^ )ok hoedanig haare verandering alleenig afhangt van ichaam ('t welk by my de vereeniging van ziei en li- m is), zoo heeft men aan te merken: Dat de alderonmiddelykste wijziging van de eigen- ) , die wy denking noemen , voorwerpelyk in zich heeft ^ormeiyk weezen aller dingen: want indien men stel- senig vormelyk ding , welkers weezen in de voornoem- genschap niet voorwerpelyk en was, zoo waar dezelve niet oneyndig, noch ten hoogste volmaakt in haar gt, *t geen strijdig is teegen het geene in de derde ^telling is beweezen. En nadien de natuur, of God, weezen is, tot de welke oneindige eigenschappen be- in, waar in de weezens van alle de geschapen dingen I 242 tias; est necesse ejus in cogitatione produci infinitz quae objective in se habeat totam naturam, qua in se est. 2. Notetur, omnes reiiquas modificationes , uti cupiditatem, laetitiam, etc. originem ducere a immediata modificatione , ita ut , nisi ista praecedei cupiditas, laetitia, etc. esse non posset. Unde concluditur, amorem naturalem, qui in quaqu( suum corpus conservandi nullam aiiam origini posse^ nisi ideam sive essentiam objectivam, corporis in attributo cogitante est. Porro, quii tentiam ideae sive essentiae objectivae nihil al latur nisi attributum cogitans et objectum si\ formalis, certum est quod dicebamus, ideam s tiam objectivam attributi cogitantis immediatissin: modificationem. Quare in attributo cogitante nuU potest modificatio, quae pertineret ad essentiam juscunque rei, nisi sola illa idea, quae neces revera existentis rei in attributo cogitante esse d lis enim idea ceteras modificationes , amoris, ci laetitiae etc. secum trahit. Quia igitur idea p objecti existentia, objecto mutato vel destruct mutationis vel destructionis ratione ipsa quoque 1) Inmediatissimam attributi modificationem illam dic( ezistat, nalla alia modificatione in illo attribato opus habet 243 tjjn bevat; zoo is 't noodzakelyk dat daar van in de den- king word voortgebragt een oneindig denkbeeld , hetwelk in sich voorwerpelyk de geheele natuur bevat, zoodanig als die dadelyk in zich is. 8. Staat aan te merken, dat alie de overige wijzingen, ikliefde^ begeerte, blijdschap, enz. haare oorspronk van deese eerste en onmiddelyke wijzing hebben , zoodanig dat, - iidieii dezelve die niet voor ging, daar geen liefde , be- geerte noch blijdschap enz. zoude konnen zijn. Waar uyt Utftrelyk beslooten word, dat de natuurlyke liefden^ die n iedere zaak is, tot behoudinge zijnes lichaams, geen •ndere oorspronk hebben kan als van het denkbeeld of ▼oorverpelyk weezen, dat van zoodanig lichaam is in de dcnkende eigenschap. Verder, wijl tot het weezendlyk zijn 'M een denkbeeld of voorwerpelyk weezen , geenig ander ding als de denkende eigenschap , en het voorwerp of vor- oolyk weezen , word vereyscht , zoo is 't dan zeeker , het gwne wy gezes^d hebben , dat het denkbeeld of voorwerpe- *jk weezen, de *) alderonmiddelykste wijziging is van de ^fikende eigenschap. Dienvolgende kan er in deeze eigen- «ciiap geen andere wijziging gegeeven worden, welke zou behooren tot het weezen van de ziel eenes iegelyk*ii "'^, als alleen *t denkbeeld, 't welk noodzakelyk van '•'iken ding weezendlyk zijnde moet weezen in de den- kende eigenschap; want zulk *u denkbeeld sleept met zich ^ overige wijzingen, van liefde, begeerte, blijdschap enz. ^*demaal nu het denkbeeld voort komt van de weezeud- vkheid des voorwerps, zoo moet dan ook, het voorwerp ^®^anderende of vernietigende , na deszelfs hoedanigheid ^^ maat van verandering of vernietiging , ook dit haar ^) Ik noem de alderonmiddelykste wijziging vaa de eigenschap de ^Ue, die, om weezendlyk te zijn, niet noodig heeft eenige andere ^^itiging in deselve eigenschap. 16* 244 tari sive destrui debet^ quippe quae cum objecto unita sit. Ut igitur mentis essentiae adscribamus illud quo realiter existat vel sit, nihil aliud inveniri poterit nisi attribatam illud et objectum de quibus locuti sumus; quae tamen ad mentis essentiam non pertinent, quia cogitationis objectam nihil ejus habet, et ab eo realiter distinguitur. Etquodad attributum illud, jam demonstravimus illud ad essentiam praedictam pertinere . non posse , quod per illud quod deinde dicemus evidentius adhuc videbitur; attributum nempe tamquam, attributum cum objecto non unitum est, quia neque mutatur neque destruitur etsi objeotum mutatur vei de^truitur. Mentis igitur essentia in eo solo consistit , quod idea sive essentia objectiva in attributo sit cogitante^ ex essentia objecti originem ducens , quod in natura existit. Dioo objeoti quod realiter existit^ etc. sine alia particularitate , utcom- prehendam non solum extensionis modum sed et omnium in- finitorum attributorum , quae aeque uti extensio mentem ha- bent. Ut vero haecce definitio melius intelligatur , attendatury necesse est, ad illud quod jam dixi, de attributis loquens, ea non secundum eorum existentiam distingui, uti etiam essentiam omnium modificationum in nominatis attributis comprehensam esse, et denique omnina attributa entisjnfi- niti attributa esse. Quare etiam attributum cogitans, sive intellectum in re cogitante , in cap. IX partis prioris , filiam sive creaturam diximus Dei immediatam^ ab omni aeternitate 245 denkbeeld veranderen, of vernietigen, als zijnde dus ver^ eenigd met het voorwerp. Om dan aan 't weezen van de ziel 't geen toe te schrij- ven » waar door ze weezendlyk bestaat of is , men zal niets anders konnen vinden , als die eigenschap en 't voorwerp , van wien dat wj gesprooken bebben; welke nochtans niet behooren tot het weezen van de ziel , nadien het voorwerp vaft de denking daar van niets en beeft , maar van het zelve dadelyk is onderscheiden. En wat die eigenschap aangaat, wy hebben ook al-ree beweezen^ dat ze daar toe niet be- hooren kan ; dat , door het geen wy hier na zullen zeggen , noch klaarder zal gezien worden, alzoo de eigenschap niet is vereenigd met het voorwerp, wijl ze niet verandert noch vernietigt , schoon het voorwerp veranderd of vernie- tigd word. Derhalven dan zoo bestaat het weezen van de ziel al- leen in het zijn van een denkbeeld of voorwerpelyk wee- zen in de denkende eigenschap . ontstaande van het weezen eenes voorwerps, dat in de natuur dadelyk weezendlyk is. Ik zeg, van een voorwerp dat dadelyk weezendlyk is, enz. zonder eenige meerdere bizonderheid , om hier onder niet alleen te begrijpen de wijzinge van de uytgebreidheid , maar ook die van alle de oneindige eigenschappen > welke zoo wel als d' uytgebreidheid meede een ziel hebben. Doch om deeze beschrijving wat bizonderlyker te verstaan, dient acht geslagen op het geene ik al-reeds gezegd heb^ spree- kende van de eigenschappen , dat namendlyk dezelve niet na haar weezendlykheid worden onderscheiden , als meede dat het weezen aller wijzingen in de nu genoemde eigen- schappen zijn begreepen, en eindelyk dat alle de eigen- achappen zijn eigenschappen van een oneindig weezen. Waarom wy ook de denkende eigenschap, of het verstaan in de denkende zaak, in 't 9de hoofddeel van het eerste deel een zone, maakzel of onmiddelyk schepzel van God, van alle eeuwigheid van hem geschapen, hebben genoemd. 246 creatam , quia in fte objective babet essentiam formalem om- nium rerum, nec augetur aut diminuitur. Notandum enim, modificationes praedictas, etsi earum nulla reaiis sit , tameD aequaliter comprehensas esse in earum attributis; et qaia nec in attributis nec in eorum modificationibus inaequalitas est, neque in idea ullum esse potest particulare, quod in natura non esset. Ubi vero particularis ejus existentia affi- citur ab aiiqua modificatione quocunque modo distincta ib attributis ejus (quia particularis ejus existentia^ quam in attributo habet, ejus essentiae subjectum est), particulare quoddam se in modificationum ostendit essentiis , et perinde in essentiis objectivis^ quae necessario earum in attribato cogitante comprehenduntur. Quae causa est, cur in defini- tione verbis hisce usi simus , quod mens , idea sive essentii objectiva (guod mihi idem est) in attributo cogitante originea ducat ex essentia objecti in natura realiter existentis. Quibiu satis expiicatum habemus, quidnam mens generaliter sit, dicto non modo ideas intelligentes , quae ex corporeis orion- tur modificationibus , sed et illae quae oriuntur ab existentii cujuscunque modificationis ceterorum attributorum. Cum autem ceterorum attributorum non talem , qualem ex- tensionis^ cognitionem habeamus , videamus jam , num at- tendentes ad extensionis modificationem invenire possimos definitionem particulariorem magisque adaptatam ad meii- tium nostrarum essentiam exprimendam ; hoo enim revera nobis in proposito est. Supponimus itaque tanquam rem demonstratam , in ex- tensione nullam aliam esse modificationem nisi motum et quietem, et quamcumque rem corpoream partieolarem nihil 247 nadien zy in zich heeft het voorwerpelyk weezen aller dingen, zonder te neeraen of te geeven. Want staat aan te merken , dat de voorzeide wijzingen , schoon geen derzelve dadelyk is, noohtans gelijkmatig in hare eigenschappen sijn begreepen; en nadien er in de eigenschappen , noch derzelver wijzen geene ongelijkheid is, zoo en kan 'er in geenig denkbeeld eenige bizonderheid zijn, welke in de natuur niet zijn zou. Maar als haare bizondere weezeud- lykheid word aangedaan van eenige wijze, welk zich dus of Eoo onderscheid van haare eigenschap (dewijl als dan haare bizondere weezendlykheid , die zy in d' eigenschap heeft, het onderwerp van haar weezen is) als dan vertoont 'er zich een bizonderheid in de weezens van de wijzingen, en gevolglyk ook in de voorwerpelyke weezens , die van de zoodanige noodzaakelyk begreepen worden in de denkende elgenschap. En dit is de reeden, waarom wy in de be- schryving gebruykt hebben deeze woorden, dat de ziei, het denkbeeld , of voorwerpelyk weezen in de denkende eigenschap [dat by my t zelfde is] ontstaat van het wee- zen eens voorwerps dat in de natuur dadelyk weezendlyk is. Waar meede wy genoegzaam achten verklaard te heb- ben wat in het algemeen de ziel is: verstaande onder het gezeide niet alleen de denkbeelden, welke ontstaan uyt de weezendlykheid der iichamelyke wijzingen, maar ook die welke ontstaan uyt de weezendlykheid van een iegelyk 'n wijziging der overige eigenschappen. Maar nademaal wy van die overige eigenschappen niet zoodanig 'n kennis als van de uytgebreidheid hebben, zoo iaat ons zien of wy ten opzigte van de wijzinge der uyt- gebreidheid een bizonderder beschryving konnen uytvinden, die meer eigen is om 't weezen onzer zielen uyt te druk- ken, als 't welke ons eigendlyke voorneemen is. Wy vooronderstellen dan, als een beweeze zaak, dat 'er in de uytgebreidheid geene andere wijziging en is als be- weeging en rust, en dat 'n ieder bizonder lichamelyk ding aliud esse, nisl certam motus quietisque proportionem ; at- que hoc ea ratione, ut, nisi in extensione aliud non esset, quam sive motus sive quies sola, nuila in iila res parti- cularis ostendi vel esse posset; ita ut corpus humanum nil aliud sit nisi certa motus quietisque proportio. Essentiam objectivam vero quae hujus proportionis essen- tialis motus quietisque in attributo cogitante datur , dicimus mentem corporis; quando igitur una harum modificationun (sive sit motus sive quies) in plus vei in minus mutatur, eadem ratione et idea mutatur; uti e. gr. quando quies augmentatur motusque diminuitur , illo dolor vel tristitia illa causatur quam frigus nominamus. Si vero motus auge- tur, dolor oritur quem nominamus calorem. Quando autem motus quetisque gradus in omnibus cor- poris partibus non aequales sunt, sed nonnuiiae pius qaam aliae motus et quietis habent , inde differentia sensus ori- tur, qualem experimur, quando baculo in oculos vel ma- nus ferimur. £t quando fit ut causae externae inter se differant, uec omnes eandem habeant effectam , oritur inde differentia sen- sus in nna eademque parte, uti experimur ligno vei ferro in eadem manu icti. Et rursus si mutatio in quadam parte facta causa est. ut ad priorem proportionem redeat, oritur inde iaetitia, quam trauquillitatem , exercitationem jucundam, et hilari- tatem nominamus. Quia igitur explicavimus , quid sensus sit^ facile videre 249 niet anders als 'n zeekere maat deezer beweegiug en stilte is, 200 dat^ indien 'er in de uytgebreidheid niets anders als alieen beweeging of alleen rust was^ 'er in dezelve geen bizonder ding zou konnen zijn, of aangeweezen wor- den: invoegen faet menschelyk lichaam niet anders als 'n zeekere gelijkmatigheid deezer beweeging en stilte is. Het voorwerpelyk weezen nu 't welk van deeze weezend- lyke eevenreedigheid van beweeging en rust in de den- kende eigenschap Js, dat zeggen wy is de ziel van zuik *n lichaam. Waar uyt volgt, dat wanneer een van deeze twee wijzingen, het zy de beweeging of rust, in meer of min veranderd, dat na die maate als dan ook dit denk- beeld of de ziel veranderd. Want by voorbeeld y zoo 't ge- beort dat de stilte komt te vermeerderen , en de beweeging te verminderen, zoo word daar door als dan veroorzaakt die pijn of droefheid welk wy koude noemen. Maar wanneer in teegendeei de beweeging komt te ver- meerderen, zoo word daardoor veroorzaakt die pijne welke wy dan hitte noemen. Doch indien de trappen van beweeging en stilte in aile de deelen onzes lichaams niet gelijk, maar dat eenige der- zelve van meerdere beweeging of stilte als de andere voor- zien zijn, zoo ontstaat daar uyt 'n verscheidendheid van gevoel y zoo als wy onderzinden , wanneer wy met een stokje iu de oogen of op de handen worden geslagen. Daar by zoo de uytterlyke oorzaaken komen te verschii- len, en niet aiie de zelfde uytwerking en hebben, zoo spruyt daar uyt de verscheidendheid van 't gevoel, in een en het selfde deel: gelijk wy ondervinden, als met een hout of ijser op een zelve hand geslagen word. Maar als de verandering , welk in eenig deel geschied , een oorzaak is dat het zelve tot haar voorgaande eevenreedig- heid van beweeging en rust wederkeert, zoo zullen wy dit vermaakelyke oefiPening» en vrolykheid komen te noemen. Dewiji wy dus verklaard hebben, wat faet gevoelis, zoo 250 possnmns , quomodo inde procedat idea reoiprooa sive nostra ipsorum cognitio^ et quomodo ratiocinatio inde proveniata Ex quibns omnibus etiam , quia mens nostra cum Deo unita et pars infinitae cogitationis est a Deo immediate ortae, claro videnda est clarae cognitionis et animi immortalitatis origo. In praesentia vero dictum sufficiet. F I N I 8. ■ ii t t » 251 konnen wy na ligtelyk zien, hoe hier uyt een weerkeerig denkbeeld of de kennisse onzes zelfs ontstaat, en hoe hier uyt ook de redeneering voort komt. Gelijk ook uyt alle deeze, om dat onze ziel met God vereenigd, en een deel van het oneyndig denkbeeld, van 6od onmiddelyk ont- staande^ is, zeer duydelyk de oorspronk van de klaare kennis en onsterffelykheid der ziele word gezien. Doch voor teegenwoordig zal het gezegde ons genoeg zijn. E I N D E. * H I H » - LECTORI SALUS. Quamquam, Lector discrete, hacce computatione eruditis dis- plicere nolimu» , cortfidemus tamen, praecipuum publicatiom cujusdam esse debere consilium indoctos adjuvare. Qua in re, hisce in provinciis juvenibus docilibus bonum exemplum ha- bernus Domini Hudde Consulis Amstellodamensis , in Compa- rationum ejus Abbreviatione regulisque firmis et generalibm maximorum et minimorum; Domini Hnygens — dilecti illiuspro- fecto ab omnibus artes istas amantibus — in pluribus ingeniosu nec minus perfectis ejus operibus; et Domini De Witt, dum videbat Consiliarii-pensionarii Hollandae, in clara ejus seg- mentorum descriptione conorum et computatione redituum ad vi- tam contra reditus solventes, Tanto magis itaque ei, qui a quoquam, vel tantillum doctli, intelligi velit , a cognitis in- cipienti sensim sensimque licet adscendere , et de Iride tamquan a principiis initium /acere, Quodam ergo prioribus sex Euelidis libris operamdante, hae annotationes y quae , secundum Horatii AEN DEN LEZER. Alhoewel men, Bescheyde Lezer, met deze Iteeckeningh niet geerne de Geleerde zoude mishagen; zoo is eghter het vertrou- wen, dat het voornaemste oogmerck van iet aen den dagh te brengen behoorde te zijn, om de ongeleerde te hulp te komen. Hier van heeft men in deze landen voor de jonge lieden , die neerstigh mllen zijn, de goede voorbeelden van de Heer Hud- de, Burgemeester van Amsterdam, in zijne verkortinge der vergelijckingen , en vaste en algemeene Begels der grootste en der kleynste; van de Heer Huygens, voorwaer den Ooghappel van alle die geene, die deze Konsten beminnen, in verscheyde van zyne geestige en nogtans zeer doorwerkte schriften ; en van de Heer de Witt. in zijn leven Baedtpensionaris van Hol- landt, in zijne klare beschrijvinge der Kegelsneden, en waer- dye van Lijfrenten tegens Losrenten. Waerom het te meer voor die geene, die geerne van een ieder, een weynigh leer- gierig zijnde, zoude verstaen werden, geoorloft is, van het hekende een aenvang nemende allenskens op te klimmen, en met den Begenboogh als van den grondt te beginnen. By gelegent- heydt dan, dat iemandt bezigh was met zigh te oefenen in de zes eerste Boecken van Euclides, zo heeft men deze aanmerc- 256 praeeeptum, plus quam decem pressae jacuerufU annos (*), «pmJ^ - in lucem ediiae suni, ui adoleseenies uiiliiaiem usumque peh ' spieereni principiorum quae edocii esseni, ei eiiam qumtm ^ Algebrae cogniiione iis opus sii , qui subiilibus isiis penkQXk Dei insignes creaiuras, eisi pro parva iantum parte^ tni- iari siudeni, Quo . amaie Lecior , si exciieris , ui /amiliarem huncce coniemplaiionis modum, naiuralisque raiionis perqni' siiionem non rejieias , leve hocce specimen plus boni causaeerii, quam aucior sibi poUiceri ausus fuerii, Vale, (*) Ante qao6, uti cognitQm, philosophas mortnas erat. ■ IHI" 257 Hngen, die volgens de lesse van Horatius meer dan tienjaren » een hoeck hadden gelegen , alleen het light toevertrouwt met tef imight, op dat de aenkomelingen zouden kunnen zien de uiHghejfdt en het gebruyck der beginselen, die zy zouden \ogem hebben geleert, ende oOck, hoe zeer de kennisse der Stel- onei den geenen , die met deze fijne pincelen Godts heerlijcke ^kepselen maer voor een klet/n gedeelte zoecken natebootzen, OM noden is, Indien ghy hier door, beminde lezer, wert op- eteeckt , om deze gemeenzame wyze van betraghtinge en nae- orssinge der natuurlijke reden niet te verwerpen: zo zal deze sringe proeve meer goedts veroorzaeckt hebben , als men zigh mde hebben derven beloven. Vaert loel. ■ mt- 17 I R I D I S COMPUTATIO. -♦*»**- IUi qui modicam tantum cognitionem habent scientiaram, quae visui nostro, nobilissimo illi exteriorum sensuum, inserviunt, vel adjuvando illum vel delectando, non igno- rant, solis lucisque radios, ubi oblique incidunt in vitri aquae aliusve humoris superficiem, in superficiei ilhas principio non amplius recte, sive per lineam rectam, sed oblique sive abrumpte transire , eodem modo quo per ex- perientiam quotidianam baculum vel remum in aqua qaasi ruptum videmus, iiiamque radiorum ruptionem refroxivh nem vocari. Neque illis ignotum est, eorundem radioruiD repulsui, quando per folium sub vitro vel speculo rumpere nequeunt, nomen reflectionis dari. Cum igitur Iris, theologis illud augustum foederisinsignc, a physicis, secundum leges a Deo rebus creatis datas, cao* REECKENING VAN DEN REGENBOOG. B geene die een weynig kennisse hebben van de We> !happen^ dienende om het gezigt, het edeiste van onze lijke zinnen, behulpzaem te zijn, ofte om hetzeive te stigen y zijn niet onkundig , dat als de stralen van de ofte van het ligt scheefachtig vallen op een vlack glas, van water, ofte van eenige andere voghtigheyt, ve in 't begin van dat vlack niet meer recht, ofte ;ns een reghte linie, maer schuyns ofte afgeschampt ^aen, op dezelve wijze, gelijck men by dagelijxze on- indinge een stock ofte roeyriem in *t water, als ge- en ziet, en dat men dit breecken, ofte schampen der sn hunne refractie noemt. Hun is mede niet onbe- , dat men aen de weerstuyt van dezelve stralen, wan- ze door de foelie, die achter een glas of spiegel is, iet diergelijx, niet kunnen doorbreken, maer weder- 1, oock gewoon is te geven de naem van reflectie, om wy geen swarigheyt zullen maken zomtijts dierge- 3 woorden, beter verstaen werdende als de neder- ze , te gebruycken. swijle dan den Regenboogh, dat heerlijck teecken des )onts voor de Godtsgeleerde , by de natuurkundige vol- de grontwetten, door Godt de Heere de geschapene IT* \ 260 sari judicatur (*) per refractionem et reflectionem radioruiB solis, in innumerabilem incidentium multitudinem gutta- larum aquae , juvenibus Matbeseos amatoribus res admo- dum animadversione digna est^ magnum eorum anteoesso- rem. Cartesium, non soium demonstrare Iridem inferio- rem principalemque per duas videri refractiones unamque reflectionem , superiorem autem per duas refractiones et re- flectiones duas , eoque se priore vel principali minus lucidam exhibere; eumque praeterea computatione determinare et rationibus demonstrare, anguium maximum, quo inferior Iris observari potest, vel dimidium ejus diametri non mino- rem esse posse quam 41® 47', et angulum minimum^ qua superior Iris observari potest sive diametri ejus dimidium non. minorem quam 51° 37'. Ut vero pergamus , mejadice, pergrata inventio est, quam de rubro, flavo, viridi, caerale» sim. Iridis coloribus profert, qua praesertim ingeniosam sutm mentem manifestat, rationes afferens, cur rubrum conspi- ciatur a parte conveza sive exteriore Iridis inferioris, % parte vero concava sive interiore superioris; scilioet qaift in leges umbrae iucisque inquirens demonstrat centrum cn- jusque aquae guttulae, ubl maxima datur umbra sive den- sitas , supra refractionem radiorum yenire in Iride inferiore ad oculos nostros pervenientium , quapropter color fortissimu sc. ruber umbrae subest ideoque a parte convexa cernitor; in maximo autem Iridi cujusque guttulae ceutrum vemre sub refractione ad ocuios nostros perveniente, quapropter rubrum inveniatur supra umbram i. e. a parte conoava. (*) Nemo non in hacce Theologoram et Physieomm oppodtioM Spinosam (pato) recognosoet. 261 dingen medegedeelt , wert geoordeelt veroorzaeckt te wer- den door de refractie en reflexie van de stralen van de zon , yallende op een ontallijcke menighte van kleyne drop- pelen waters: zoo is het zeer aanmerkens weerdigh voor de jonge liefhebbers der Wiskonsten, dat haeren groten ▼oorganger de heer Descartes niet aiieen aenwijst, dat de onderste en voornaemste Begenboogh wert gezien door mid- del van twee refractien, en een reflexie, en de bovenste door twee refractien en twee reflexien , en daerom zigh flaeuwer vertoont , ais de eerste of voornaemste ; maer daer en boven, dat hy oock door reeckeningh bepaelt, ende met redenen aenwijst, dat den grootsten hoeck, waer in de kleynste E.egenboog kan gezien worden, of zijn halven middellijn niet groter kan zijn als 41 graden 47 minuten, en den aiderkleynsten hoeck, waer in de grootste Regen- boog kan gezien worden, of zyn halven middellyn niet klyuder kan zyn, als 51 graden, 37 minuten. Dog om wat verder te gaen , 't is mijns oordeels een aengename nytvindinge, die hy voortbrenght over het root, geel, groen^ blaeuw en diergeiijke couleuren van den Regen- boog^ maer byzondcr ziet men daer uyt een merckteecken van zynen aerdigen geest, als hy reden geeft> waerom de rode couleur wert gezien aen de bolie ofte de uytwendige zyde van den ondersten Regenboog, en aen de holle, ofte de inwendige zyde van de bovenste, te weten, om dat hy, onderzogt hebbende de wetten van de schaduwe en het light, betoont, dat het middelpunt van ieder droppel wa- ters, alwaer de grootste schaduwe of dickte is, komt bo- ^en de refractie der straien , die tot ons oogh komen in den onderste Kegenboogh, en dat daerom de krachtighste coleur te weten het root is onder de schaduwe, nament- lijck aen de bolle zyde, maer dat in de grootsten Begen- l)00g, het middelpunt van ieder droppel waters komt onder de refractie, die tot ons oogh komt, en dat daerom het Toot komt boven de schaduwe , te weten aan de holle zyde. 262 Cum vero algebrae amatoribns, nt solet, occaltnm te- neat, quomodo duas refractionum regulas invenerit, quibis tabulam suam computavit, eas solummodo describens, lire- viter eas hic algebraice demonstrabimus. Quare globom Ti* treum sive aquae guttam per circulum A F D G K B Z ex- & 263 r Termits hy voor de beminnaers der stelkonst, nae :ewoonte, verborgen hout, op wat wyze hy de twee der refractien, waer door hy zijn tafel heeft uytge- Qt, die hy blotelijck ter neder steit, heeft gevon- :oo zullen wy dezelve hier kortelijck stelkonstigh be- , dies wy een glaze bol ofte grote droppel waters en, met den cirkel A F D G K B Z, waerinne geno- 264 hibemns. in qno circalo, longitudine qnadam pro linea H F snmta , invenitur porro linea C I ideoque etiam ir« cus P 6 et P K , et denique anguli quoque O N F et X Q B sequenti modo : Posito, quod diversi radii e solis corpore proyenientes, quorum unus hic per lineam Y F repraesentatur , diametro A B paralieli sint, quodque diameter dimidia G D in 10000 partes divisa sit^ et quod dicta iinea Y F 9000 ha- rum partium , sive distantiam H E a dicto diametro A B distet : scire cupimus primum , quanta , linea H F data, linea erit C I , postea quanti arcus F 6 et F K , et denique quo- nam angulo eundem radium, post reflectionem in K et duas refractiones in F et N observare possemus in P , et etiam post duas refractiones in F et Q, et duas reflectiones in K et N, in R; i. e. scire cupimus amplitudinem anguli N P et anguli X Q R. Ut igitur primum inveniamus longitudinem lineae C I , oom sciam rationem refractionis aquae esse ut 250 ad 187, HF ad C I — quippe quae lineae sint refractionem dimetientes — eandem rationem habere debet. Dicoigitur, secundum regu- lam de tribus, 250 : 187 = 9000 (sive H F) : x, quo compu- tato pro C 1 inveniam 6732. Ut vero etiam demonstremus iineas H F et C I refraction^m aquae dimetiri, in figura 1) Vide imaginem pag. 262. 265 men zijnde zekere lengte voor de linie HF, verdersge- vonden werdt de linie C I, en bygevolg mede de bogen F G en E K, en eindelijk ook mede de hoeken N P en X Q B. op de volgende wijze : Onderstelt zijnde^ dat verscheyde stralen komende uyt het lighaem der Zonne , waer van hier een is afgebeeldt * , met de linie YF, evenwijdig zyn met de middellijn AB, en dat de halve middellijn C D zy gedeelt in 10000 delen, en dat de voorsz. Y F 9000 diergeiijcke deelen verre is van de voorsz. middellijn A B , ofte de wijte van H F : wy willen weten , hoe groot eerst , H F- gegeven zynde , zal zijn de linie C I , daer nae de grote van de bogen F G en F K , en eyndelijck in wat voor een hoeck wy dezelve strael, nae een reflexie in K en twee refractien in F en N zullen kunnen zien in P, en oock nae twee refractien in F en Q en twee reflexien in K en N zuUen kunnen zien in R; dat is: wy willen weten de grote van den hoeck O N P , en de grote van den hoeck X Q R. Om dan voor eerst te vinden de lenghte van de linie C I , dewyle ick wete , dat de reden van de refractie van het water is als 250 tegens 187, zoo moet H F tot C I — zijnde de twee linien, die de refractie afmeten — ook de- zelye reden hebben. Ick zegge mits dien, volgens den re- gel van dryen: 250, geeft 187, wat geeft9000, ofteHF? ende komt voor C I 6732. Dog om nu mede te bewijzen , dat de linien H F en C I de refractie van het water af- meeten, zo stelle ick voor de straei: in de nevensgaende (1 Ziet de groote figaar op biadz. 262. 268 Secundo: spectando rursus magnam imaginem , lineisHE et C I inventis , inveniuntur etiam facile arcus E 6 et F K. Quando enim quadratum lineae HP subtrahimus quadrato & diametri dimidii C F, quadratum obtinemus cujus radix sinus sive gonometrum est arcus F D , sive angulus P C D , quae radix est supra 4358. Quem numerum per Lans- 269 Ten tweeden, wederdm naegezien werdende de groote figuur, als deze linien HE en C I gevonden zijn, zoo vint men ook lightelijck de bogen F G en P K. Want als men het vierkant van H E aftrekt van het vierkant van den halven middellijn G F , zoo bekomt men een vierkant , wiens wortel is de sinus of den hoeckmaet van den boog F D, ofte den hoeck F C D, welcke wortel is ruym 4358. Dit getai over een brengende met de Tafelen van Lants- 270 bergii Schotenii vel alius cajuscunqae tabulascompatantes, pro P C D angulum invenimiis 25 graduum 50 min. , vel ut propius adhuc accedamus 25 o 50^', cujus duplex est arcus FG sive 51° 41'. Eadem ratione arcus FK etiam invenitur esse 95 ° 22 '. Quod tantummodo e trigonometria ostendere voluimus. Ut autem tertio perveniamus ad inveniendos angulos O N P et X Q R i. e. *) diametros dimidios sive altitudi- nem utriusque Iridis, uti facile imaginari nobis possumus*), proferentes lineas N F et Q R , et ex earum finibus F et R sive ex ocuiis spectatoris ducentes parallelas diametro A B: PRIOR REGULA est: quod, ad inveniendum angulum N P sive diametri dimi- dium i. e. altitudinem inferioris Iridis, arcus F Q addenda sit 180 gradibusy et deinde subtrahendus duplex arcus F K. ACTIO ET DEMONSTRATIO. Q,uam regulam, a Cartesio longo claroque sermone indictam, uti fieri debet , quando illis scribitur qui solo usu contenti sunt, quaraque tamen iis, qui fundamentum sive rationem omnium cognoscere amant, occultam tenuit; quam, dico, regulam ut ad terminos algebraicos reducamus sive in iis ponamus. a pono quadram sive anguium rectum sive arcum 90 gra- 1) Per 29m. prioris. 2) Yide imagiDem Iridis npud Cartesiam. 271 bergen , van Van Schoten , ofte van ymandt anders , zo be- vint men voor F C D een hoeck van 25 graden 50 minu- ten, ofte om nogh naeder te komen van 25 graden 50} minuten, waer van het dobbel is de boog E G, ofte 51 graden 41 minuten. Op dezelve wyze wert de boogh P K mede bevonden te zijn 95 graden 22 minuten. 't Welck wy alleen uyt de driehoexmeeting hebben willen aanwyzen. Maer om ten derden te komen tot het vinden \au de hoecken O N P en X Q, E, , dat is om te vinden ') , de halve middellijnen, ofte de hooghtens van beyde de Re- genbogen, gelijck men zigh lightelijck kan verbeelden*) door het verlengen van de linien N P en Q R , en uyt P en E, hare eynden , ofte bet oogh des aanschouwers, evenwydige te trecken , met de middellijn A B : zo is den EERSTEN REGEL Dat men om ie bekomen den hoeck N P ^ ofte den halven middellynn dat is, de hoogte van de kleinsten R^genboogh, den boogh F G moet optellen met 180 graden , en daer van aftrecken het dobbel van den boogh F K- WEKKING EN BEWIJS. Om dezen regel , die Descartes met lange en klare woor- den heeft bekleedt, gelijck men doen moet, als men schrijft voer de geene, die met het enkel gebruyck te vreden zijn. en die hy nogtans voor die geene, die geerne den grondt of de reden van alles weten, heeft verduystert, te bren- gen ofte te stellen in stelkonstige termen: zo neme ik a voor een winkelhaeck , of reghten hoeck , ofte een hoos; van 90 graden, b voor de boog P G, c voor de boogh 1) Door de 29ste van 't Eerste. 2) Ziet de Figaar van den Begeuboog in Descartes. 272 daam , b arcum F 6 , c arcam F K (qai arcas qaippe antoa inventi cogniti sant) , x angulum N P , et y angolom G F K , quem angulum dicimus refractionis et qui cum arca* bus datis continuo mutatur; secundum regulam propositaiB igitur angulus N F sive x = b + 2 a — 2c. Quod ut jara inyeniamus demonstremusque, x pro angulo NPetjr K 273 WK, (want deze twee bogen, te voren gevonden zijnde, zijn belent), 9 voor den hoek N P^ en y voor den hoek GlPSy die wy noemen den hoeck der refractie, en die Tolgens de gegevene bogen felkens verandert; zo is dan VQlgens den voorgestelden regel den hoeck N P ofte «= b + 2 a — 2 c, Om dit nn uyt te vinden ende te bewyzen , zo neme ik or voor den hoeck O N P , en y voor \% 274 pro F N M (quippe etiam refractionis) angulo positis, an- gulus N M = fl? + y. Jam absoluto etiam triangulo F L K, angulus F L K ') etiam =: x + y, Patet porro, angulum E KL etiam esse =c, uti imperitorum in usum infra demonstrabimus , et angulus L F K = ^; x igitar + 2^ + c = 2«*)5 ideoque x sive O N P = 2 fl — 2 y -h c. Jam arcus G K, tanquam arcuum P K et P 6 diflFerentia, scil. c — b, sive angulus G C K ad centrum i usque productus, duplo major ^) angulo G F K ad circuoi- I ferentiam producto ; G !P K itaque = — , sed G F K = y, itaque y = — et 2 y = c — b , et — 2 y = — c -h b, His igitur — c -h b, in comparatione supra dicta , loco — 2 y positis, N P sive a: = ^4-2tf — 2c, uti secundum regulam ponebatur et quod demonstrandum erat. Si porro aliquis dubitare vellet, num angulus F K L, utiet angulus Q, N M, aequalis sit arcui F K sive c, scil. angulo FCK, hujus demonstratio sic procedit: Anguli C F K et C K F cum inter se aequales sint *) propter triangulum aequicrurum C K F, sequitur illos simul aequales esse duplici cujusque sc. angulo F K N *); sed anguli C F K et CKr cum angulo F C K ^) sive c, 180 gradus sive duo angulos rectos efficit ; et F K N , iisdem rectis aequalis , cum F K L 1) Per 2001 prioris. 2) Per 32m. 8) Per 20in tertii. 4) Per 5in prioris. 5) Per reflectionis proprictatem. 0) Per 32in prioris. 275 den hoeck PNM, zijnde mede den'hoeck der refractie, £00 is dan den hoeck O N M = a? -+- y. Laet nu mede voltooyt werden den driehoeck F L K , zo zal dan den jboeck F L K ') mede zijn x + y, Het is nu verder open- %aer, dat den hoeck F K L mede is = c, gelijck wy ten dienste van de onervarene nader hier onder bewyzen , en den hoeck L P K = y: zo is *) dan a?-h 2y + c==2fl, en mitsdien w of ONP = 2« — 2^ — c. Nu den boogh GK, zijnde het verschil der bogen P K en F G, te weten c — b , ofte den hoeck G C K getrocken tot het middeipunt , is ^) eens zoo groot als den hoeck G P K ge- trocken tot den omtrek ; zo is dan G P K = -r- , maer c—h G F K was gestelt = y , zoo is dan y = -— , en 2 y = c — h en — 2^ = — c -h b, Deze — c + b dan in de boven- gemelde vergelijkingh gestelt zijnde in de plaets van — 2y, zo komt N P ofte a? = i + 2« — 2c, gelijck volgens den regel was gestelt , en 't welk wy moesten bewyzen. Indien nu verders iemant moghte twijflFelen, dat den hoek I" KL, als mede den hoek Q,NM even zo groot is, als den boogh PK, ofte c, te weten, als den hoeck PCK, daervan is het bewijs aldus: De hoecken C P K en C K P eJkander gelijk wezende *), om den ghelijckbeenigen drie- hoek CKP; zo volgt, dat zy tsamen even zoo groot zijn als van ieder het dobbel , te weten den hoek P K N '^) ; maer de hoeken C P K , en C K P maken met den hoek P C K») ofte c , 180 graden , of twee reghte ; en P K N , die 1) Door de 296te van 't eerste. 2) Door de 32ste van *t eerste. 3) Door de 20ste van *t derde. 4) Door de 5de van *t eerste. 5) Om d*eygenschap der Reflectie. 6) Door de 326te van *t Derste. 18* 276 etiam 180 efficit gradus sive duos rectos 0« unde seqni-* tur , de aequalibus hisce aequalibus abstractis , reliqoa F C K et F K L etiam inter se aequalia futura *) , utrumqae sc. =c, quod erat demonstrandum. Porro facile etiam demon- stratur Q N M aequalem esse F K L, quare hic etiam =« est REGULA POSTERIOR. Quod , ad inveniendnm angulum X Q R sive diametri dimidium i. e. superioris iridis altitudinem, angulus inventus N P abstrahendus sit ab arcu F K. ACTIO ET DEMONSTRATIO. Terminis algebraicis angulus X Q E, igitur = c — ar, ca- jus demonstratio sic procedit : angulus Q N M supra de- monstratus est = c , et 6 N M = a?H-y, quare Q N = c — ar— y, ideoque X Q, T etiam = c—x—y ^), Adde angu- lum refractionis T Q R sive y , quo pro angulo X Q B habebis c — x\ quod erat demonstrandum. D. Sluzius^ dum in vivis Ecclesiae cathedralis Leodiensis canonicus , et consiliarius Principis illius urbis secretus, seculi hujus doctissimis alacerrimisque in omnibus scientiis adnumerandus viris, postea demonstravit ^) omnes hasce ii- neas, arcus angulosque etiam mathematice posse inveniri; angulum scil. O N P semper aequalem esse duplici angulo 1) Per 13m prioris. 2) Per 3m ax. prioris. 3) Per 29m prioris. 4) Yide 12m Barrovi de optica lectionem. 277 dezelve twee boecken gelijck was, maeckt met E K L oock 180 graden ^) , ofte twee regbte ; zoo volgt dan , als men van deze gelijke dingen gelijcke dingen afneemt, dat *) hunne resten F C K en !F K L mede zullen gelijk zijn, te we- ten beyde gelijk c, *t welk stonde te bewijzen. Verders bewijst men zeer licbtelijk mede, dat Q, M M even zoo groot is als E K L, waeromme die mede is = c, TWEEDEN REGEL. Dat men , om te bekomen den hoeck X Q R o/ den halven mid' dellijn , dat is de hooghte van den grootsten Regenboog , den gevonden hoeck ONP moet aftrecken van den boogh F K» WEBKING £N BEWUS. 