title: Dissertatio mathematica inauguralis de lemniscata Bernouillana
creator: Haan, D. Bierens de (David Bierens), 1822-1895
text: 15. Tot nog toe behandclden wij slechts de integralen die 0 ch ^nac, eenig veelvoud van ^n, lot grenzcn hadden; thans kunnen wij evenwel de beschouwing verder uitstrekken, en aan dezelfde integralen de grenzen 0 en ^nac + b toekennen, waar dan 6 natuurlijk kleiner dan 2^ moet zijn. In de theoremata XXXVI tot XL komen twec vormcn van integralen voor, die dan hier worden: f2yac+6 f2nae /2Tac-t6 /2yac+6 r27[ae /2Tac-f6 ^ ^ ■, (p{Sin.ax,Cos.px)dx=^j (^{Sin,aXyCo8.^x)dx + 1 q {Sin.a x, Cos. ^ x) d ^, 0 0 2Tac r2ffac-f6 rSToc r2Tac-h6 i e''A(f{Sin.ax,Co8.px)dx:== 1 €r:ftq;{Sin.ax,Co8.^x)dx+ I e-f'q(Sin.ax,Cos.§x)dx, 0 0 ^oe wanneer men den grcnsafstand 0 tot 2 ?r a c + 5 in twee andere verdeelt, eenen van 0 tot ^^tac en den anderen van 27rac tot 2?rac + 5. De beide eerslc integralen in het tweede lid dezer vergelijkingen zijn nu dezelfde als in de genoemde tlieoremata worden bepaald; de beide laalsten laten zich ge- makkelijk vereenvoudigen, en wel door ^^ac + y voor x te nemen. Daar- door wordt dx = dyy terwijl men 0 en 5 als grenzen voor y verkrijgt: ver- der is: Digitized by Google OVER EEHIGE 6EVALLEN BIJ DE THEORIE VAN ONSTADIGE FUNCTIEN. 49 q{Sin.aj!,Co8.pa) = qp (5/n. {cc(2.nac + y)] , Cos. {H^^^^^ + H))) = q> {Sin. {27rcaa + ay},Co*. {2 7rca|J + |9y}) daar volgens de onderstelling a», en a p beide geheele getallen moeten blij- ven. Verder is en dus worden de boven bebandelde integralen : rac+6 r2irac /6 \ q>{Sin.ccx^Co8.^x)dx = j q> {Sin.a XyCos.^ a) da -|- I q^{Sin.aXyCo8.px)dx^] 0 0 0 f (^£J frac+6 rairiic fb ( e-f'q^{Sin.axfio8.^ai)dx^ I e-f'qiSin,aT,Co8 |Jj?)djp+e-2irac/ J e-ft^{Sin,ax,Co8.^x)da: \ In deze transrormatie-formulen (ai) voor de eerste integralen van het tweede lid de verschillende uitkomsten substituerende^ die in de theoremata (XXXVI) tot (XL) verkregen zijn, koml er achtervolgens : /2airc+6 rSair rb q>{Sin,axfio8.ps)dx=cj ^ q^Sin.axfios.px^dx-^ j q{Sin,aXyCo8.px)dx[c emiig).{XLl) 0 -0 -b e—f'q {Sin.ax^Co8.^x)dx =cj qt {Sin. a x^ Co8. ^ x) d a — cf j (p{Sin.ax^ Co8.px)xdx J^er-^acfi e-f^q>{Sin.aXyCo8.^x)ix, (ceindig). (XLII) 0 r^oKc-^b fb 1 (f{Sin.ax^Co8.^Qr)dx= j q>{Sin.ax^Co8.^ x)dx (ceindig) (XLIII) 0. 0 fairc+6 — .'x t^on e * q>{Sin.aXt(lo8.px)dx = — 1 q>{Sin.aa,Co8.p x)xdx + 0 { + r-2«^ I e^c' ^ {Sin. a x, Co8. ^x)dx (c eindig). Digitized by Google 50 OVER EENIGE GEVALLEIf BIJ DE THEORIE VAN ONSTAUIGE FUNCTIEN. 2°. aa en a^ geheele getallen. 3°. De drie laatste vergelijkingen bestaan slechts onder de voorwaarde r (p(Sin.ixxyCos.px)dx = 0 (E) De ondeilinge vergeljjking der beide theoremata (XL) en (XLV) leert nu, dat de integraal f cf) (Siti, cc j?, Cos. ^x)dx verschillende waarden verkrijgt, naarmate oo van den vorm ^ank of 2a7r& + 6 is, voor k = oo, en hiermede is hetgeen in N. 1 is aangevoerd genoegzaam bewezen, Het behoeft naauweljjks te worden opgemerkt^ dat de vergeljj- kingen (XXXVII) en (XLII) respeclive in (XXXVI) en (XLI) overgaan, zoodra f gelijk nul wordt gesteld. 16. Neemt men als toepassing zoo is respective px px (jp (5in. a X, Co8. fix) = Sin. — en = Cos. — j 2 <? a=?,(? = 0 en a = 0,/9==-; 9 9 m om derhalve de produkten a» en fli^ tot geheele getallen le maken, behoeft men, als p en q geheele getallen voorstellen, slechts a = q le nemen. In deze gevallen is zoowcl bjj de eene als bjj de andere onderstelling: r^/Sin. ^ dx^q r Sin.pydy=—i r""-^^-^^ ^*'^— ?(1— 1)=0, J 9 J Pj dy P^ 0 P i 0 0 0 . f / 9 j ' pj dy p ' 0 p 0 0 0 — wanneer men eerst x = qy stelt^ en vervolgens verder herleidt. — Aan de voorwaardenvergelijking (E) wordt dus hier voldaan, en dien ten gevolge geven de theoremata (XXXVIII) en (XL): Digitized by Google ~l OVER EENIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE VAJJ ONSTADIGE FUNCTIEN. 51 Sin. —4^ = 0, (52) Co5. ^ rfir = 0 , (53) 0 I Oo8.—dx^ — j Co8f--adx = —^-j Co«.y.y(iy=0,(V.T.255.NM),(Jfc= oc),(54) 0 0 0 Sin. ^—dx = — I Sin, — xdx — r/ Sin,y, J/ dy , (i = * ). ? J 9 P"" J In de beidc laatste is x = -y genomen. Om de laatste bepaalde integraal le vinden^ zal men den grensafstand 0 tot 2pn in p andere moeten verdeelen^ die elk 2^ bedragen, namelijk van 0 tot 2^, van 2^ tot ^Ti^enz, vanc.27r tot (c — 1). 2 7r en van {p — 1). 2^^ tot p. 2^. Verder in eenige intcgraal, van c. 2 TT tot (c + 1 ). 2 ^r genomen, moet men y = 2c^ + x stellen^ dan wor- den de grenzen van rc: 0 en 2?!; met dx=^dy, Sin.x = Sin.y; daar verder voor de factor y onder het integraalteeken ^c^^ + x komt^ kan men zoodanige integraal in twee andere ontbinden, eenc met ^c^ als factor, (die als con- stant buiten het integraalteeken te brengen is)^ en eene andcre^ waar x als factor onder het integraalteeken blijft staan^ dat is I Sin.y,ydy = %cn l Sin,xdx-\- / Sin.x.xdx. c.27r •'o ''o De integralen der eerste soort zijn alle van denzelfden vorm als de eerste der integralen {ak) en verdwijnen dus. Die der tweede soort zijn daarentegen alie gelijk^ en hebben volgens mijne Tafels T. 250, N^ 1 tot waarde — 2^1; eulke zijn er p en dus is: rapTT 1 Sin.x.xdx = — 2pn\ v ............ . (55) 0 en derhalve Sin.^dx = -^ , (ife = 00) (56) q p 0 Vervolgens geven de theoremata (XLIII) en (XLV), met behulp der reeds gevonden uitkomsten: 7* Digitized by Google 52 OVER EEJVIGE GEVALLEN BIJ DE THEORIE YAN ONSTADIGE FUNCTIEN. I S!.n/ dx == \Sinf dx = ^[\ —Cosf- (57) ; <i j q p\ ?/ 0 0 1 Cos d.v = 1 Cos/ dx = ^Sin,^ , (58) ; Q j '] p 9 0 0. ; 7 p ,f Q p p\ q J I 0 0 f fir.yi + A nj. C^ PX Q pb i Cos/ dx == / Cos.^ dx ==-- ^Sin.— . \ (60) Q J 9 P 9 0 0. / Iliernit ziot men^ dat de gewoonlijk gebruikte uitkomsten f Sm.xdx =3 1 en I Cos,xdx = 0 , 0 0 zie Tahles etc, T. 96^ N°. % Z, niet geldende kunnen zijn. Digitized by Google c3_ © '/6-^4 OVER EENIGE NIEUWE HERLEIDHVGSFORMIILEN BIJ DE THEORIE DER BEPAALDE INTEGRALEN. DilfegeTCD door de KoDioklijke Akademie v«d Welenichappeo. AMSTEBDAM, C. 6. TAIf DER POST. 1870. Digitized by Google Digitized by Google OVER EENIGE IVIEUWE HERLEIDINGSFORinJLElV m DB THEORE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. DOOR D. BIERENS D£ HAAN. Ooder de zoo verschillende methoden ter herleiding van bepaalde integralen, bekleedt die eene voomame plaats^ waar de integratie mogelijk wordt door het ontwikkelen van eenen factor der fiinctie onder het int^raalteeken in eene eindige of in eene oneindige reeks. Beeds meer dan eenmaal is door mij over deze belangrijke en vrachtbare beschouwingen gehandeld; daarbij kwa- men van zelf enkele punten van gewicht ter sprake, ten opzichte van de voorzichtigheids-uriaat- regelen, waarom het hicr vooral te doen is; ook zijn er door hare bemiddeliug geheele reeksen van niettwe nitkomsten voor den dag gekomen. Aan den anderen kant mag het bekend worden ondersteldi hoe de theorie der bepaalde inte- gralen omgekeerd een krachtig hulpmiddel aanbiedt voor de leer der reeksen, en alles wat daar- mede in verbinding staat. Yandaar dan ook dat er tusschen beide hoofddeelen der Analysis zulk een nauw^ wederkeerig verband bestaat, dat het soms niet met juistheid is nit te makeu, of eenig opstel eerder tot de theorie der bepaalde integralen, dan wel tot die der reeksen behoort. Daarom is het ook gansch niet zeldzaam, in eene of andere^ doode of levende taal, aan het hoofd van zulk opstel te lezen; //over bepaalde integralen en over reeksen^^ Bij dit alles heeft men echter v66r alles te letten op de convergentie der reeksen, die gebruikt^ verkregen of behandeld moeten worden; en het is- voorzeker te recht een vaste regel| zulke reeksen geheel uit te sluiten, die tussclien de grenswaarden van zekere argumenten, waarover de 1 HATUVBK. VEBH. BES KONINKL. AKADSHIS. DEEL XII. Digitized by Google — 2 OVER EBNIGB NIEUWE HEBLEIDING8F0RMULEN behandeling loopt^ divergent worden. En dit natuurlijk^ omdat men alechts in het geval van convergente reeksen te doen krijgt met doorloopende integralen; terwijl daarentegen in den regel ondoorloopende integralen, die zich dientengevolge aan alle redeneering outtrekken, zamenhangen met divergente reekaen, en evenzoo ook omgekeerd. Yreemd moge het dus wel geacht worden, wanneer men bij dergelijke onderzoekingen eene soort van ondoorloopende reeksen invoert; en men zoude allicht geneigd zijn, reeds vooruit aan de aldus verkregen uitkomsten alle wetenschappelijke waarde te ontzeggen. En toch meen ik, dat deze wijze van doen soms geoorloofd is^ mits men daarbij natnurlijk die noodzakelijke maalregelen van voorzorg niet verwaarloost, die door de methode zelve als onmisbaar, maar dan ook als genoegzaam^ worden aangegeven. Het doel nu van deze verhandeling is daarvan eenige voorbeelden bij te brengen en wel eerst in den vorm van eenige algemeene stellingen, die dan later zoUen worden toegepast bij het onderzoek van eenige nieuwe bepaalde integralen. ^ 1. VOORLOOPIGE BE8CH0UWINQEN. I. Eene funotie, die zich naar de sinussen of cosinussen van opvolgende veelvouden der veranderlijke x of liever van het piodukt bx laat ontwikkelen, kan men algemeen aldus voor- stellen, indien men ten opzichte van het ord^tal n sommeert, /, (a?) = SknSinnM, . . . (a) /,(«) — B^ + -3?B„ Cwfwa?; .... (6) alwaar de Bo niet onder het sommatieteeken is opgenomen, omdat somtijds die Bo of de inte- gralen die later daarvan afhangen mogten, niet gehoorzaamt aan de algemeene wet der B,|. Stelt vervolgens q^(x) eene geheel willekeurige functie van x voor, zoo heeft men voor willekeurige grenzen p m q van «, /q a fq {a^SmnaxdjB, (A) fq [q « [q j <»'(*)/a (';<'* = Bo I (i>(x)dx + JSBn I (i{x)CoBnMidx (B; P p p Hierbij is ondersteld, vooreerst dat de int^ralen, die als factoren der coefficienten A en B voor- komen, op zichzelve doorloopeud zijn, en vervolgens dat, indien de reeksen ouder de sommatie- teekens oneindige worden, — dat is voor a = oo , — die reeksen convergent zijn, alles tusschen de grenzen p en q van x, Zijn toch de integralen ondoorloopend, dan kan er wel geene sprake van zijn om ze te sommeeren. Zijn de integralen wel doorloopend, maar leveren zij eene divergeute reeks, zoo kan er tusschen liet eerste en tweede lid van ieder der bovenstaande vergelijkingen geen teeken van gelijkheid stoan: die divergente reeksen toch kunnen uiet als de voorstelling van eenige bepaalde of gegevene functie worden beschonwd. Digitized by Google BIJ DE THEORIE VAN BEPAALDB INTBGEALBN. 3 Is eenmaal aan die voorwaarden voldaan» dan komt alles hier neder op bet bepalen der integralen / (p{a)da,. . . (c) 1 (p{a)Sinuada, . . . (d) / (p{x) Cosuadx. . . . {e) P P p Zoodra evenwel deze integralen bekend zijn^ — en met het oog daarop zal men de functie ip (jr) en de grenzen van het integreeren p en q moeten kiezen, — dan kan men deze methode nog verder uitbreiden. 2. Zij toch eene andere functie, die kan worden voorgesteld door eene reeks vau sinussen of cosinussen der opvolgende veelvouden van het produkt ta , dan kan men m voor het orde- getal aannemen ten opzichte waarvan men sommeert, en zoo wordt dan die functie e e f^{x) = SG„^Sinmtx,. (/) f^{x) = Dq + SDmCoamtx. (^) En nu heeft men in de algemeene stellingen (A) en (B) de <p (o?) slechts te vervangen door qp {a)f^ {a) of door qp (a)f^ (^), om tot de uitbreiding der methode te geraken» die men op het oog had. Want de produkten der sinussen en cosinussen^ die hierbij ontstaan, en oogenschijnlijk tot andere eindintegralen zouden aanleiding geven dan de (o), {d) en {e)^ kunnen gemakkolijk worden herleid, zoodanig dat er juist de vermelde sommen weder te voorschijn komen. Daartoc heeft men slechts noodig de bekende goniometrische formulen Sinaa.Sinbx=^--[Cos.\{a—b)x}—Cd8{{a + b)af}], (A) 6\na*.Ciwft« = -[Sm{(a+fc)a?}+Sm{(a— i)«}]=-[5in{(a+^^. (t) Coeax.Cosbx =^ -[Cos {{a + b) x} + Cos {{a—b)x}] (A) Dientengevolge leveren toch de vergelijkingen (A) en (B) de vier volgende /q a e rq 9 (^)/i (^) /3 (*^') dx ^ S knSCfn I qi{x) Sin nsx. Sin nUx dx = l A J p p = --2A„-2C« jq>{x)dx[Cos{{ns—mt)x}—Cos[{ns + mt)x}],. (C) ^ 1 1 J p /q o r^ o c /9 <p{^)fi{x)f^{x)dx=^DoSAnj qf{x)Sinnsxdx + 2AnSI>M 1 (p{x)Sinn^x.Cosmtxdx^ P p p a iq ] ^ ^ f9 = Do-SAn/ q{a)Sinnsxdx + --SAn-SD»/ (p{a)dx[Stn{{ns+mt)x\+Sin{{ns—mt)x}],{D) p P 1* Digitized by Google 4 OVER EENIGB NIEUWE HERLBIDINGSFORMULEN /q c fq a c fq ^'(^^/iC^j/sC^l^p^Bo-SC»/ (p{x)Sinmlxdu: + SBnSCm j cp {x) Cos n8x. Sin rntc djp = p P P e fq 1 a c rq = Bo-2:C„i <p{x)SinmtJ!dx + --TBwJI^C»,/ ii.iu;)dx[Sin{{ns+rtU)x}—Sin{{n9—mt)s)],{E) P P /q f9 c fq <i fq 'f(^)/aH/4(^)^ = BoDoUW(ir + 30-20« / (i,{x)Co8mlxdx+J)QSBnj ip{x)Coen8xdx + P P P p a c fq + JSBn^JiMl q>{x)Co8n8a. Deze stellingen geven al dadelijk aanleiding tot eenige opmerkingen. 3. Zoodra de functie g) {x) van dien aard is» dat de integraal (c) een bijzonder geval wordt van de andere (e), wanneer men daarin u =» 0 stelt; en wanneer bovendien de coefScienten Bo en Do uit de waarde van Bn eu D^ voortvloeijen, zoodra men daariu het ordegetal n of m gelijk nul neemt; — dan kunnen onze vier stellingon iets eenvoudiger worden voorgesteld, wanueer men den lossen term onder de overeenkomstige sommatie opneemt: en zulks geschiedt dan zeer eenvoudig, door die overeenkomstige sommatie bij n = 0 of bij m = 0 te beginnen. Dikwerf gebeurt het in zulk geval, dat de waarde der integraal {d) voor u = 0 verdwijnt, dat is nog Toor die waarde blijft gelden: alsdan kan men ook, ter wille van de symmetrie, de sommatie dier integralen bij n s= 0 of bij m = 0 doen aanvangen. Maar nog van eenen anderen kant brcngt vermelde eigeiischap van g>(:r) eene niet onbe- langrijke vereenvoudiging aan: bij de integralen uamelijk in de herleide tweede leden van de vergelijkingen (C), (D), (E) en (F), waar men te maken heeft met de goniometrische functien van $ts — mt, — zoodra dit verschil juist nul wordt. In dit geval immers kan men die termen onder cle algemeene sommatie behandelen: en dit geldt evenzeer, wanneer n« — m/ negatief wordt: zoodra de hulpiutegralen (d) en (c) ook Yoor negatieve u blijven gelden. Indieu integendeel de waarde dier integralen {d) en {e) afhangt van het teeken van u, eu ook wanneer de int^raal {c), voor na — mt = 0 geldende, niet meer voortvloeit uit («), verkrijgt de formule een geheel ander aanzien. Men moet dan bij die intcgraleu, die een factor Sin{{n9 — mi)x} of Co8{{n8 — mi)x} bevatten, zeer voorzichtig zijn: cn de integralen onder het sommatieteeken in twee groepen scheiden, al naarmate ns — mt positief of negatief, of wel nul is. In het algemeen 2LJn 8a en ta eenvoudige veelvouden van de veranderlijke w, en bestaat er derhalve eene eenvoudige Digitized by Google BIJ DE THEORIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. ^ betrekking tnsscben 8 en t\ zoodra men deze gesubstitueerd heeft, zal het teeken van (n« — fnt).r afhangen van eene even eenvoudige betrekking tusschen n en m, waarop dan te letten is, met -het oog op de grenzen 1 en a, of 1 en c bij de sommatien naar de grootheden n en m. Maar ook zelfs in dat geval zal de verdeeling van de dubbelreeksen, die ontstaan door de vermenig- vuldiging van de onderscheidene reeksen / onderling, niet zonder bezwaar zijn. Is vooreerst de dubbelreeks eindig (dus ook de grenzen a eu c), zoo wordt zij in twee helfben gescheiden door eene reeks van diagonaaltermen, die dan over het algemeen tot andere waarden voor de overeenkomstige integralen aauleiding geven : de eeuo helft der rceks bevat dan de termeu voor eene positieve waarde van het verschil ns — mt; terwijl de andere helft is zamengesteld uit de termen, die overeenkomen met eene negatieve waarde van dat verschil. Maar, bovendien nog, deze diagonaaltermen komen cr niet in alle horizoutale of vertikale reien der dubbelreeks voor, zoodra uiet juist s = i is. De sommatie zal dus hier met veel behoedzaamheid moeten ge- schieden en hare uitkomst in het algemeen niet door eeue algemeene formule zijn uit tc druk- ken. En hetgeen hier van eene eindige dubbelreeks gezegd is, geldt nog des te meer, wanneer die dubbelreeks in eene of twee richtingen oueindig wordt, voor a = oo (of voor c = « ), of ook voor a = 00 en c = ao. Deze dubbelreeks verkeert derhalve iu eeu dergelijken toestand als eeue dubbele integraal^ waar de functie onder het integraalteeken ondoorloopend wordt voor waarden van de beide ver- auderlijken, die tusschen haro grenzeu zijn gelegen; men weet, dat het iu zulk geval ongeoor- loofd is, de orde vau het integreeren om te keereu, of ook, dat deze herleiding eeue verbetering teu gevolge heeft, die in den regel niet verdwijut eu zelfs oneindig of oubepaald kau worden, inaar ook zeer wel eene eiudige bepaaide waarde kau verkrijgen. Hier outmoet men dus eeu geval, dat met het vermelde eenige overeenkomst heeft; de dubbelreeks wordt ondoorloopendi en de voorgeschreveu voorzichtigheidsmaatregelen zijn derhalve geenszius overbodig te achten. 4. Maar wanneer men tot de toepassing wii overgaan voor bijzoudere vormen vau eeue der functieu /, dan stuit men op groote moeijelijkheid bij het zoekeu uaar eenen algemeenen vorm voor de uitkomst; en men zal in den regel veel beter doen alsdan de toepassing dezei leerwijze in hare twee achtereeuvolgeude bewerkingeu te splitsen. De maatregelen, die meu uood- zakelijk te nemen heeft, om zich voor misslageu te vrijwareu, blijven, wel is waar, ook hier dezelfde, maar zij lateu zich uu gemakkelijker op eeue algemeene wijze invoeren. Langs deuzelfdeu wcg, als in N"*. 2 de vergelijkingeu (C) tot (P) werdeu afgeleid, verkrijgt men ook de volgende. qp {x) Sinux.f^ {x)djc = JSAnj qf(a)Sinm.Sinns.Tdj^ == y p ^--SAnl <pia)dx[Co8\{HS — u)x}—Cos[{ns + u)x}], (G) I *p {x) Cosux.f^ {x)dx = 2!An I <^{x)Cosux,Sinnsxdx = -SAr, 1 qt{m)dx Sin. {('*« + m)^} +*Si/i. [{ns — m)^}J» • • • • (H) ' 1 y 2 Digitized by Google 0 OVER EENIGE NIEUVVE HERLEIDING8F0RMULBN rq rq a rq f q, {x) Sin Uiv.f^ {x)dx = Bo j (p{a)Sinuxdt -{- SB^ I q){x)Sinux,Co8n$xda = P P p [1 1 ^ f9 = Bq I (p{a)Sinuxdx'{"'SBn I (p{x)dx[Sin {{n8 + u)x) —Sin {{n8—u)x]\, . (I) p P /q rq <^ [9 (p{x)Cosux,f^(x)dx sa Bo I (y'{x)Co9uxdx -{r SBn I (if{x)Co9ux.Co8n»xdx =■ p p p = Bo [%{x)Co8uxdx + l2:Bnj(p{x)do[Co8{{n8 + u)x}+Co8{{n8—u)x}] . (K) p P flierbij hangen wederom alle integraleu in het tweede lid af van de integralen {c), {d), {e): werkt men de sommen uit, dau zullen de termen dier reeksen in het algemeen andere waarden verkrijgeni naarmate het verschil n8 — u een ander teeken verkrijgt. Deze vier vergelijkingen kan men gebruiken ter vervanging van de vorige (A) en (B). Hier is een factor Sinux of Cosux ingevoerd^ opdat men naderhaud, bij het bezigen van den factor /^(^) of /4 (^)^ slechts die Sinvx of Co8ux te sommeeren hebbe, om tot stellingen te geraken, die met de (C) tot (F) overeenkomen. Het spreekt vau zelf^ dat men zulk een fBctot Sin ux of C08 ux niet behoeft in te voeren, als misschien reeds de 9 {x) zulk een factor be- vatte^ want dau was daardoor immers hetzelfde doel bereikt; mits althans die standvastige groot* heid tt alleen in dien £Gtctor voorkomt, en ook op geenerlei wijze met andere standvastige groot- heden zamenhangt, die in den ^Etctor q {x) mogten aangetroffen worden. In zolk een geval blijven de stellingen (A) en (B) voldoende; eu hare eerste leden verkrijgen dan den vorm der eerste leden van de vergelijkingen (O) tot (K). Het komt er nu op aan, voor eenen bepaalden vorm van q'{x), vooreerst deze vier formulen op te stellen, de integralen in het tweede lid te berekenen en, zoo mogelijk, de sommation uit te voeren Op die wijze verkrijgt men even zoo vele bepaalde integralen, die voor ons verder doel geschikt zijn gemaakt. Schrijfb men nu daarin mt voor u, vermenigvuldigt de vergelijkingen respectieve met 0« en met Dmf — waarbij men ook op den lossen term Dq te letten heeft, — en sommeert men ten opzichte van m , dan geven de eerste leden, zoo als reeds werd aangemerkt, die van de formulen (G) tot (K) terug; maar de herleidingen in de tweede leden zijn nu gesplitst in twee achtereen- volgende bewerkingen. En dit stelden wij ons juist ten doel. ^ 2. ALO£M££N£ H£RL£ID1N68F0RMUL£N. 6. Ten einde nu naar deze methode algemeene herleidingsformulen af te leiden, hebben wij allereerst eene keuze der q>{x) te doen, zoodat tusschen gegevene grenzen p en 9 de ver- Digitized by Google BIJ DE THEORIE VAN BEPAALDB INTEGRALEN. 7 schillende hulpintegralen reeds bekend zijn en gemakkelijk voor onze sommatien gebraikt kunnen worden. Hier kiezen wij q^ {a) zoo, dat tusschen de grenzen p bb 0 en q ms oc ^ behalve een bctor iinus of casinns^ nog een andere factor -— r of kome. Alsdan lieeft men 9* — x^ j* — «» /** gda ^ ,. f* qCoBn&x . n «. . ['^ aSinnsx , n ^ I ^TZI^^^^^-^^n y::^dx~^S,nngs,.(m) j -7— T ^ :^Co8ngs,.{n) 0 •X) b ra Cos nsx — dx ^ Cosnqs.Ci{ngs)'\' Sinnqs.Si{ngB)^ (0) g^—x'' 0 rg Sin nsx — -—dx = Sinngs.Ci{nqs) — Cosngs.Si{ngs)\ {p) 9 — « rCosx fy Sinx dx en Si(y) — 1 dx de bekende Integraalcosinus en Int^raalsinus voorstelt. Yoor de afleiding dezer integralen zij verwezen naar de Nouoelles Tables d^IniSgriUes BSfinies^ Leiden, P. Engbls, 1867; alwaar zij voorkomen in Table 17, N' l, Table 161, N*. 5, 4, 6 en 3. Gebruikt men hier verder de goniometrische herleidingsformulen {h) tot (A), zoo leidt men daamit de volgende af / Sinpx. Sinnsx —^ r = — - Cospg. Sinngs lp>ns], J 9»—«* 2 ) 0 n n -s Sinpq. Cosnqs [p < w»], = Sin 2pq [p = ««] ; ... (q) 2 4 /** xdx n I Sinpx. Cosnsx ■- = Cospq.Cosnqsl^p^^wi], J q^ — x^ 2 0 = -Sinpq, Siunqitlp <Cns], = — ^ Cof<2pq [p =- //'»]; . . . (r) 2 'Jp I Cospje. Sinnsx » - Sinpq, Sinnqsl^p < w^]. xdx n <;•- — ^ "" 2 7t TT - Cospq. C08 ngs [p < m'], = Cos 2pg [p = us] ; ...(«) Cospx. Cosnsx ~ ^- == -Sinpq. Cosnqs[p<^ns], ■=» -Cospq.Sinnqslp^insli,^ - Sin2pq[p =^ n^]\ . . • . (<) 2 4 Digitized by Google 8 OVER EENIGE NIEUWE HEBLEIDINGSFORMULEN \ Sinpa. Sinnsx = J tf'— ^» Sinpq, [Sin nqs. {C![(n#+/))y] + Oi[{ns — p.q']} — Cosnqs. {5»[(n*+p)9] +5i[(n»— ;>)9]} ] — / 2 2 — -^Co8pq\Ccsn(i8.{Ci[{ns+p)q']—Cil{ns—p)q'\}+Sinnq$.[^^ ], (ii) ' qda Sinpa, Cosnsa -^ = / = ~Sinpq.[Sinnqi.{Si[{n»-i-p)q']+Sil{nt—p)q']} +Co»nj».{Cj[(n»+;>)j]+a[(«*— p)}]}] + + i Cospq.[—Co» nq».{Si[{ns-\-p)q]—Sil{nt—p)q-] ] +Sinnq».{a[{n,.{.p)q-]-Oi[_{m~p)q]]], (») Cospx. Sinnsx — q^—w^ f ^-^Sinpq.[Sinnq».{Si[{n».\-p)q]—Si[{na—p)q]}+Oo»nq,.{Cil{n,.\-p)q].^Cii{n^p)q]]].\- -\--Co,pq.[—Co»nq».[Si{{n»+p)q].\-Si{{n^)q]]-^Si»inq,.{ai{n,+p)q]—CiUn»—p)q]]l{w) xdx Cos pa. Cos nsaf — = '^ q^—a* = -Sinpq.[Sinnqs.{Cil{ns+p)q']-' Cil{ns—p)q']}—Cosnqs.{Si[{ns+p]q']—Sil{n9—p)q]]] + + -Co8pq.[Cosnqs.{Ci[{ns+p)q]+Ci[{ns—p)q]}+Sinnqs.{Sil{ns+p)q]+Si[{n^ Men ziet, dat het er bij de waarde van de vier laatste integnden (ti) tot {x) in het alge- meen niet op aankomt, welk teeken de grootheid ns — p verkrijgt, terwijl de invloed hiervan op de vier eerste integralen {q) tot {i) zeer groot is; de reden hiervan is, dat bij deze gemak- kelijke herleidingen konden plaats hebben, die tot zulke eenvoudige uitkomsten voerden, terwijl deze herleidingen bij gene mislokten, ten deele ook omdat de theorie van de integraalsinoa en integraalcosinus daartoe nog niet genoeg ontwikkeld is. Wat meer in het bijzonder den invloed van het positief, negatief of nul zijn van ns — p op de vier vergelijkingen (ti) tot {a) betreft, zij het volgende opgemerkt. Bij de integraalsinus heeft dit volstrekt geen bezwaar, omdat de theorie dier functie ons leert dat Si (0) = 0 is. Bij de integraalcosinus komt wel eene zwarigheid voorj omdat bij haar de theorie ons aanwijst, dat de Oi (0) niet meer doorloopend is; ten einde nu die integraalcosinua te vermijden, behoeft men slechts aan te nemen, dat ns — p nimmer nul kan worden; en hieraan voldoet men door de voor-^ Digitized by Google BIJ D^ THEOBIE VAN BEPAALDE INTEGBALEN. 9 waarde^ dat — niet een geheel getal kau zijn. In de volgende redeneringen toch wordt n altijd als een geheel getal beschouwd^ en zoo is dan altijd voldaan aan de vereischte voorwaarde. Bij het volgende zal das altijd deze onderstelling geldeu. De vier integralen {q) tot {t) vindt men in de Nouvelles Tables (Tlnt^frales DSfinies in Table 166 onder No. 1, 2 en 3. 6. Door middel van {jp\ van (m) en (Qj van {n) en van (o) geven ons de vergelijkingen (A) en (B) rqdx <^ ^ /i W ""I 7 = -SA^I/Smnoi.Ct^nga) — CoBnqa.Si{nqs)\^ (1) 9* — a"^ 1 0 ff^ (^^^r^= i4 ^^''''^' - i/» (9)' ^) 0 /"* xdx TT * n /«(-);n:7*-" ^^) 0 fxdoff 0 rxda 1 j* -^ s= Z(9* — ^')> = — 00 is. Het is evenwel mogelijk, ook hier eene 0 0 eindige uitkomst te verkrijgen^ wanneer men namelijk f^{x)^SBnCosnsx... . . vy) a invoertjin plaats van de/j {x) uit (6): daartoe zoude bijv. kunnen dienen/j (:f) — Bo — JSBnCosnsa:. 1 Alsdan vervalt toch de oorzaak der ondoorloopendbeid van de integralen in (IV), en men verkrijgt rxdx ^ /iM"! = 2Bn[Co8nq8.Ci{nq8) — Sinnqs.Si{nq8)] (IVa) q^ — x^ 1 *• 0 Maar met deiizelfden vorm van (p {x) kan men ook de stellingen (G) tot (K) gebruiken, waarbij 2 KATUUBX. VERU. D£R KONIKKL. AKADEMIE. BEEL XII. Digitize(d by Google iO OVER EENIGE NIEUWE HERLEIDINGSFORMULEN de u door p vervangen wordej bij de herleidingen komen nu alleen de hulpintegralen (m) tot {x) voor, niet meer de (/), zoodat hier geene der integralen ondoorloopend worden. Hier komt «venwel het teeken van na — p ter sprake, en wel bij het gebruik der integralen (5) tot (t), niet meer bij dat der integralen (v) tot {x)* Zoo lang p^^us blijft, is altijd, tot voor de grootste waarde van n^ n = a^ de coefficient p — ns positief, en heeft men dan slechts de eerste waar- den der integralen (q) tot (t) noodig. Wordt juist p ss as^ zoo geldt het vorige voor de geheele sommatie van n — 1 totn=aa — 1, maar voor den laatsten term der sommatie, die voor n = a^ wordt p — ns gelijk nul ; en men behoort dus voor dien term, de derde waarden van genoemde integraien te gebruiken. Is eindelijk p ^as ^ dan zal voor eene zekere waarde van «, n = d, (die tusschen 1 en a gelegen is, 1 <^rf-<a), nog p — da^O, maar voor de op- volgende waarde van w, n = d+1, integendeel p — (<i-f-l}«<.0 wezen: en nu behoort men voor » = 1 tot n = d, bij de sommatie de eerste waarden der hulpintegralen te gebruiken voor n = d+l tot n = a integendeel de tweede waarden dier zelfde integralen. En hierbij kan nog eene uitzondering plaats hebben, wanneer namelijk juist p = ds is. Dan moet men de sommatie in drie afzonderlijke gedeelten splitsen ; de eerste loopt van n = l tot n = d — 1, met de eerste waarden der overeenkomstige integralen; daarop volgt een losse term voor n = d, waarvoor de laatste waarden dier integralen gelden; eindelijk volgt nu hetgeen er van de som- matie nog overbUjft, namelijk voor n = d + 1 tot n = a^ en hierbij moet men de tweede waarden der hulpintegralen invoeren. In deze beide laatste gevallen is onze d juist het grootste geheele getal, dat begrepen is in -; men schrijve dus naar gewoonte d = (^— ; maar het onder- S 8 scheid tusschen beide toestanden ligt daarin, dat - zelf of eene breuk, of een geheel getal is. s Iii plaats van dp<C«<C(d+ l)p ^"^ J^sn dus de notatie gebruiken d = ^—fhreuky en in plaats van dp = s^{dJ^\)p de volgende d = ^—^geheel\ waarbij men er op dieut te letten, dat p de woorden breuk en geheel niet op d slaan, maar op de grootheid —. s Op deze wijze is het nu mogelijk geworden, om bij de eerste soort van algemeene verge- lijkingen, die uit de formulen (G) tot (K) zullen moeten afgeleid worden, tot zekere, ware uit- komsten te geraken, en die uitkomsten ook op eenvoudige, licht te begrijpen, wijze voor te stellen. En hierin Hgt, men zal het later kunnen opmerken, het eigenaardige karakter van deze splitsing der opvolgende herleidingen, waarover vroeger werd gesproken. Wanneer toch eenmaal de hier bedoelde bewerking en herleiding is afgeloopen, dan verkrijgt men wel onderscheidene waarden voor dezelfde integraal, naarmate van de betrekkelijke waarden van verschillende stand- vastigen; maar dan is daarentegen ook de weg gebaand tot de volgende bewerking, de invoering namelijk van /3 {x) of van f^ {x). 7. Gebruikt men de formule (7) met /, {x) en (r) met /j (ir), zoo komt er Digitized by Google BIJ DB THEORIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. i i /■* gda! n ^ n j /i {a)Sinp3B-—-^:=:^—-Co8pq.S^AnSinnq€ = — -Coapq.f, {q), [p>a«], .(Va) 0 = — jCospf/.^AnSinnqs — -Sin pq.S knCosnqs, \ fV^^ o „ a \ p<a$7\ TT ** n = — - Coapq. 2 kn Sin nqs + - J^ A„ Sin { {ns — p)q] •. = — I <?<«P9./. {q) + 1 i^ A„ Sin {{m — p)q}. ) | ^ "^"p | ,. (V,) n « n ^ =■ — -; Sin pq. 2 A» Co« nqs JS A» 5m Uns^p) q) : 2 1 2 1 n n ^ \ ^ —-Sinpq.{f^(q) — Ao} — -2 AnSin {{ns—p)q];l ^y^^ j /i («) ^''»P^ TkZ^^ " — ~Bo<7o5pj~Co«pj.-S B„Co« wya = ~Cospq.f^{q), [p>a«],.(VI«) 0 w JT jr «— 1 1 = — ^BoCo«;?g — -BaCM2/?y— ~CMpy.:S'Bn(7o«ngto \ (VI^) 1 n ^ n — — gBoCo^pj + -Ba~-Cospq.2BnCosng8 = > [p = a«], = -^A(v) + ^B,, ] (yj^j — -BoCospq~-Co8pq.:2:BnCof<nqs-\'Sinpq.:SBnSinnq8,\ (Vlrf) ^ ^ 1 2 rf^i > — .BoCo8pq—^Cospq.:SBnCosnq8-\'^2BnCo8{(ns—p]q]===^i •p>a«, "—'^Cospq.f^{q)+'^2BnCos{(ns—p)q], \\ d=^^, |..(VI,) — -BoCospq+-~Sinpq.2:BnSinnq8 2BnCos{{n^—p)q] — — ^ Bo Co»p<i + ^ Sinpg.f, (?) — ^ ^ B„ Cos {{nt—p) g}, j. (VI/) 2* pP>a», -| L breuk J Digitized by Google 12 OVER EENIGE NIEUWE HERLEIDINGSFORMULEN \ If^ ( j?)Stnp«-Y — ^ ■= — ^BoCoapq — ^ Coa pq.JSBn Cob nq$ — ^ Bd Cos 2,pq + 0 „ n 1 + -TSinpq.2BnSinnq8, l /yL) 71 it n ^ Tt ^ ■ — = — -^oCotpq-^-^d — ~Co»pq^^KCo»nqt-\--S^nCo»[{nt—p)q}=BJ j p<.<u, ~\ ^ * 2d+i U_gehedJ n n n ^ n^""^ \ — — - BqCo^ pq — - Brf+ r:Sinpq.:2BnSin nq^—- 2^nCo%{{n^p)q \ = 1 2 4 2 1 2i ^«'-'»1 Voor dat men verder gaat, mogen hier een paar opmerkingen hare plaats vinden, Vooreerst is de derde waarde van (j) voor p ^ m begrepen in de beide vorige als grenswaarde, omdat dan n n n , Sinnqs.Coanqs = Sin2nq8 = Sin 2pq is; vandaar, dat in de formulen (Va) tot (V^) 2 4 4 / \ / geen onderscheid behoefde gemaakt te worden tusschen p ^ a^ en p = as, of tusschen ^ breuk 8 of geheel. Dit was daarentegen bij de volgende integraal wel degelijk noodzakelijk, omdat in (r) de derde waarde niet uit eene der beide eerste volgt; vandaar dan ook het onderscheid tus* schen (Vla) en (VI^), tusschen (VI^) tot (Vly) en (VI^) tot (VIa). Evenzoo geven de vergelijkingen (m) met /, {x) en (t?) met /j {a) de volgende stellingen, waarbij nu geene bijzondere gevallen ter sprake kunnen komen, tengevolge van het algemecne karakter der hulpintegralen (u) r^dx f,{x)8%npx'-- 1 = u 1 a =-Sinpq.2kn\Sinnq8.[Ci\Xn$-\'p)(i] + Ci[^n& — /?)g]} — Cosnqs. {Si[{ns+p)q]-{-Sil{ns — p)q] ) 1 — 2 1 "* 1 " Cospq.2An[Cosnqs.{a[{ns+p)q]'^Ci[{nS'-^)q]}+Sinnqs.[Si[{ns+p)q]—Sil(n8—^^ 2 i / /,(«)5mp»-j? = BQ[Sinpq.Ci{pq) — Cotpq.Si{pq)\ + J 9 — * -\-lsinpq.kBn[Sinnqt. {5.[(n»+p)s] +Si[jins—p)q]} +Cotnq».{Cilint-\-p)q-\+ai{n»—p)g}}] — 2 l —^Co8pq.2Bn[Co8nq8.{Si[{n8+p)q]-Si[{n8-p)q]]^Sinnq8.[Ci[{n8+p)q Digitized by Google BIJ DE THEORIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. 13 In de vergelijkingen (VI) en (Vlll) werden de integralen, die Bq tot coefficieut hebben, bepaald door de formulen (n) en {p). Even als de vorige herleidingsformulen, die alle den factor Sinpx bezitten, kan men er ook dergelijke afieiden met de factor Cospx. Daartoe moet men de vergelijkingen {a) met /, {x) en {i) met /j {x) jgebruiken ; terwijl in dit laatste geval de Bq tot coefficient verkrijgt de integraal (m). Hier gelden wederom dergelijke opmerkingen als er straks ten opzichte der formulen (V) en (VI) werden gemaakt. Bij de hulpintegralen {t) is voor p =zn$ de waarde slechts een bij- zonder geval van elke der beide waarden voor p^ns en voor p-^C^nai dit maakt de be* schouwing veel eenvoudiger en van dergelijken aard als bij de vergelijkingen (V). Ditzelfde heeft echter geene plaats bij de derde waarde van de integraal («), die zich niet laat terugbrengen tot eene der beide eerste waarden; dit heeft dus ook hier ten gevolge, dat er meer afzonderlijke gevallen te beschouwen zijn, even als bij de formulen (VI). Wanneer men op dit alles let, ver- knjgt men achtervolgens / ^ xdx n ^ 7v /, {x)Cospx—^ = -Sinpq.2 AnSinnqs =^ ^Sinpq, f^ (j), q "~- x" 4t X At [»aa],. (IXa) TT TT ^ * — I ka Co8 %pq -| — Sin pq, JS A» Sin nqa. (IXi) ''*—-Aa+~Sinpq.SAnSinnq9=—-Aa+-Sinpq.ft{q)\ (IXc) 4 Z 1 4 2 >[!>' — Sinpq,2 An Sin nqa Coapq, 2 An Coa nqa^ ^ 1 2 d+l - Sinpq, 2 kn Sin nqa S kn Coa [{na — p)q} —i % 1 2flf-|-i ^5mp9./,(g)- (IXd) n « '^2knCoa{{na — p)q}, )&c/4-l = — -Coapq,2knCoanqa + '-2knCoa[{na — p)q} ■ = — ^ <^»P9- {/» (9) — Ao} + ^ .2" A„ Coi {(ns —p)q}, 71 ^ — 1 n n ^ \ - Sin pq.2 kn Sin nqa kd Coa 2pq Coapq.SknCoa nqa^ \ 2 1 4 2 d-i-i p<aa, breuk (IXe) n n ^ n ^ jkd + - Sinpq.2knSinnqa — -JSknCoa l{na — p)q} 2 = _-.Arf + -Sinpq./^{q) — ''SknCoa {{na—p)q}, 4 n ra-1 -kd — '-Co3pq,2knCoanq8-^"'2knCaa {{na — p)q}^] 4 li l 2 1 ^^d — jCo8pq,{/^{q)—ko} + ^2knCo8{{n8—p)q}; (IX/) (IX,) [p<a8r\ _ geheel Jj (IX,) Digitized by Google 44 OVER EENIGE NIEUWE HERLEIDINGSEOEMULEN f f^{a) Cospx—^ «-- BoSmp9 + -S%nfq.S^nCoBnqs^—Sinpq.f^ (9), [>>aa], (Xa) j* — a?* 2 »1 2 — «-BoSmp9-| — 5mpj.-2BiiC<Mn^«+— Co*/)9.-2B„C7o^ii9«, \ (X^) = -BoSinpj -) — ^StVi;?^. JSB„(?o«n9«+--SB„ Sin {[n9 — p]q\ = = -Bo5in;t?9+~(7<wpj. 8. Volgens de voorschriften van N». 4, zal men nu bij de toepassing van deze twaalf algemeene herleidingsintegralen, die de eerste schrede van onze methode uitmaakt, er allereerst op te letten hebben, dat de coefiScienten A„ en B„ geschikt zijn voor ons doel; dat er namelijk in de tweede leden eenvoudige uitdrukkingen voorkomen. En hiertoe wordt vereischt, dat de sommatie van (/+1 tot a, of althans die van I tot d gemakkelijk uit te drukken is, deze Digitized by Google BIJ DE THEORIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. <5 laatste is wel is waar eindig, maar bestaat uit een aantal van d termen; dit aantal kan groot genoeg zijn^ om naderhand veel last te veroorzaken. De functien, wier ontwikkeling liier wel het meeste gemak zal geven, zijn rSinsx « ,^. ^ 1 — y» «> /. (ar) =- — ; — - ^2r»Smn9jf , f (a?) = =1 + 2 Sr^ Cosnsx, ^»^^ l^2rCo8SX + r'' i ' ^iv; l — 2rCos8a + r^ ^ 1 (1 — r^)rCos8a « want hierbij behoort 1 — rCosqs « r{Cosqs — r) JSr^Cosngs^ , Sr^Cosnqs = ~ Q ^ \—%rCo8qs + r'^' 1 ^ \ — 2rCosqs + r ^ o. ^ 'SiVi qs—rf^ Sin kqs + r^+1 Sin { (k—l ) ^ ?) Sr^^Sinnqs = ^^ ^--^- ^^^ ^^-^, 1 ^ 1 — 2r(7o,9y5 + r* 1 ^ 1 — 2rCo*g* + r» ' 00 ^. .Sinkqs — rSin((A — l)qs} « ^ ,Co8kqs — rCo8({k — l}^*) Sr^Sinnqs^rf^ / ^ ^ . , > S r^ Cos nqs :== r^^ . . ^ T^ ; • - (««) i ^ 1 — 2rCo*yj + r^ k ^ l — 2rCo8q8 + r^ ' ^ ^ geldende voor — l<^r<^l. Daar a hier oneindig is, heeft men steeds p<Cw; zoodat de gevallen, dat p^cs of dat p = C8 is, hier niet kunnen voorkomen. Voert men nu de reeksontwikkeling /, bij de vergelijkingen I eu III in, de beide ontwik- kelingen f^ bij de vergelijking (11) , en de tweede der ontwikkelingen (aa) bij de {Vfa) , zoo komt er vooreerst / oinsx qdx ^ rr, ^ ^ t I l-2rCo,,* + r» ^^ ^ S^[Sinngs.Ciing,)-Cosnqs.Si(ng»)] 0 /00 (1) (2) / 1 — r^ q^ia » „. nrSinqs I r "^r r = n JSr^Sinnqs s= — ^ , .... / \ — lrC088X + r^q^—x^ 1 ^ i — 2r(7o«y5 + r» 0 /^ (1 — r^)r(7o5*^ qdx n °S « ^ (1 + r*)r/Si«(75 / , ^^ ; — =-(l+rM-2:r"5mw^« =--^— ^- — ^ ^—, . (8) 0 /*"* r Si7i .90? fl?rf^ TT » nr Cos qs — r j \ — 'lrCossx + r^ q^^—x^^ 2 / o^nys — — ^ 1 _2r<7My# + r» ' (4) X — A,/wjoa/-j-/ y * *. 1 i& j — jtTK^osqs -x- r- 0 /*** r[Cos8X — r) xdx *^ r 0 Voor de volgende integralen zal het hier in de bijzondere gevallen verkieselijk zijn, de niet herleide vormen te gebruiken, omdat in de herleidingsformulen {aa) alle sommatien gegeven Digitized by Google 16 OVER EENIGE NIEUWE HEKLEIDINGSFORMULEN ziju, die daarbij voorkomeii. Op deze wijze leveren de stellingen (V^), (Vlrf) en (VI^), (VII) en (Vni), waar de beide laatate onafliankelijk zijn van het teeken van p — d*, rrSinsx.Sinpa qda n ^ Jl «. '^ o- ^ » /^ ^ = CospQ.JSr^^Smngs Sinpq.^r^ Cosnqs~ 0 n ^ rSinqs-r-rd^^Sini [d+ X^qs^+rd-^^Sin qs n ^, . ^Cos^id-^-Vjqs^—rCosdqs = Cospq ^ ^-^ ^^-H Smpq.r^^^ 1;^ — ;; ; — ;; — 2 ^^ l — 2rCosqs-^r' 2 ^' l—2rCosqs + r^ n —rSinqs.Cospq+rd+lSin{(ds+s—p)q) +rd'h^Sin{{ds—p)q] L_rP breukl (6) '~2 l — 2rCosqs + r^ '1 ^/ J' • M ^ ^r^^Vigg "^ go^c/^ [d- <^^,«eheel]; . . . (6«) 2 1 — 2rCosas + r^ ^ ^s J f ' Cosqs + (1 — r^)Sinpa xdx n n J, ^ '^ .^. « & o- :; --^^ ^ ~ ^ Cosp^ Cospq. 2JSr« Co«n^« 4- -6mp^.2-2r«67n nqs 1— 2rCo««4?+r^ q^—x^ Z ^^ 2, ^^ l ^ ^ 2 ^^ d+l n rCosqs =— Cos pq-nCos pq — r*~r^+^Cos{(d+l)q>)-i-r'i+iCo$dg» . „. ,.SinUd+Vqt}-rSind{$ :«_i ^ ^ .|d = ^P.breuk|, . (7) 1 — 2rCosqs+r^ l ^ $ * n ^ n ^— I "f , ^ " <S rt. — — -rCospq Cospq.^Sr^Cosnqs rdCos2pq + -Stnpq.^Sr^Stnnqs^ n ^ . ^ rCosqs — r* — r^Cosdqs+rd-^-^Cos {{d — 1)^») ^ j^ « , = Cospq + n Cospq ^-^- i^ '-^ r^ Cos %pq+ 2 ^^^ ^^ \ — %rCosqR + r^ 2 ^^ ' o- .^,Sin{(d+l)qs}—rSindqs n (l — r^){r^—Cospq)r pP ,1 ,* v + nSmpq.r^-^^ V^ — —i- " =^- ^^- ^;|d= A^»geheell.(7a) ^ ^^ l—2rCosqs+r^ 2 1— 2r Co«?« + r> 1 ^s^ J^ ' V ( 1 — r * ) Cos sa. Sin px xdx l — 2rCossx + r^ q''—^'' ^ 0 n n ^ n « = — -r* Cospq Co8pq.(l+r^)2:r^ Cosnqf^ + — Sinpq.{l+r^) JSr^Sinnqs = w ,^ n^ ^^ ^ ^rCosqs—r^—rd+lCos{{d+l)qs}+rd^^Cosdq8 ^ ^ r^i ^ t^^\ r j i^2.rCo8gs + r^ n ^ ^ Sin((d+l)qs] — rSindqs ^2 ^'^ ^ ^ ^ \^%rCosqs + r^ TT— (l-r^ )rCospq. Cos qs+{l 4-r^ ^r^+^ Cog[ (dg+a^p)g }^(1 ^-r > ) r<^+2gQg( (A-p)y ) p y.p — 1 '2 \—2rCosqs + r^ 1 "^? 1(8} L breuk J / Digitized by Google BTJ DE THEORIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. ^? 1 — 2rCM*r + r» q^ — r^ "^ 0 =—^^CoBpq'-^'CoBpq\\'\'r'^)2r^Co87iqa--^{\'\'r^)rdCos%pq'\-'-S 2 2 X ^ * d-\-\ +^(1+^ P»npj.r- i_2^c^,j,^^i i^l^-^ ) \—%rCoBq8^r^ 'Lgeheel J rr Sin 8x. Sinpa xdx 1 — 2rCo««4f + r> q^—x^ ~ g 1 «0 «- Sin ;?9. -Sr^fSiii nj*. {^/[(n^+p)^] + C7f [(n«— p) j]} — Oo* nj«. {Si[(nfi+p)2] + Si[(n«— p)}] } 1— 2 1 1 flo -^Co8pq.Sr^\Co8nqs.{Ci[[n8+p)qy^Ci[{na—p)q'\}'\^Sm^^ . . (9) * 1 f(l — r^)Sinpx qdx _,. ^.^ , ^ «.,. l-2r Co,«r + r^ ^73^ = &npq.C^{pq)-Co8pq.S.{pq) + Q + 5inp9. ^'^\Sin nqs. { S?I(««+p)?] +&I(n«--p)j] } + C08 nqs. { Ci[{n8 +p)?] + Ci[{n8—p)q']} ]— ~ Cojjpy. S r^[Co8nq8. {S/[(n«+p)5]_A[(n^— p)y]}— &n n?«. { C?[(n«+p)y]— «[(n^— p)?] } ] ; . . (10) /•(1 — r^)rCo8 8a.Sinpx qdx _^. ^. , . ^ ... ^i. 0 1 00 + -(l+r»)&np?.^r»lSinny«{5;[(n«+p)j]+5»[(n«-p)j]}+Co»n?4CtX(n«+p)j]H«[(n«-p)?]}^^ * 1 1 00 , (l+T*)Co«py.-Sr*[(:o«n^*.{&[(n«+p)y]-Si[(n« p)9]}-Smn^«.{ft[^^^^ . . (11) 2 1 Bij de beide herleidingsintegralen (VI) en (VIII) zijn hier de beide vormen van /j {x) gebraikt. De integraal (6a) is bier bijgevoegd, ter wille van de overeenkomst met de inte- gralen (7a) en (8^) : zij is echter uit (6) afgeleid, die voor - geheel zoowel als breuk geldt, door p = (ia te stellen. 3 VATmrRK. VSBH. DE& KONINKL. AKADSinS. DBSL XII. Digitized by Google - t9 OYEB El^IGE NIEUWE HERLEIDINGSFOBMULEN Wat betreft de volgende herleidingsformnlen (IX) tot (XII), zal men evensoo moeten te werk gaan als bij de vorige. Men zal daarvan, waar zolks te pas komt, liefiBt de niet herleide vormen gebmiken^ omdat de sommatien in (aa) ons alsdan de noodige diensten bewijzen; men heeft dos hier toe te pasaen (IX^) en (IX^), (X^), (XI) en (XII): vervolgens zallen ook hier beide waarden voor /i(«) knnnen gelden voor de herleidingsformulen (X) en (XII): eindelijk kan men ook, even als boven, alleen ter wille van de overeenkomst bij de int^ralen^ die uit toepassing van (X^) volgen, de bijzondere waarden bepalen voor het geval dat d ^^ - geheel, du8 p ass d» is. Aldus verkrijgt men dan achtervolgens /• rSinsa.Cospa ada n S, « ^ ^ ^ n rSin g#— r<<-H5in{(J+ l)g5} +i^+giStn dqa n ^ Coa{ (d+ i )gg] — rCoa dg$ = g^*np? l_2rCoiqs+r^ — CMpj.r^-^ l_2rCb,j^+r» ~ n rSinpq. Stn^a— r^H-l Cos{{ds+s—p)q) +r^-H Cos{{ds—p)q] [ ^p i ^i l-2rCosqs + r^ ^ . 1^ = ^^, breukj,. . (12) n ^, «'■-J ^, n . ^ n su-^Sinpq.Sr^Sinnqs r^Cosftpq Oospq.Sr^Cosn^BSi * 1 4 2 d-^i Cot^-\-r* 4 '^^ 2 *^' 1 — irCoiqa+t ^rSinpq.Sinq$—-r^{l+r*) , „. 5 |d = C-,* gebeelj, . . . (18») f 2 1 — 2rCosqs + r^ (l— r*)CMpiF odje n ^, n ^, i n • ^ T^ -^ ^- ^ , :==- -Sinpq + -Sinpq.2Sr^Cosnqs + ^Cospq.2Sr^Sinnqs 1 — 2rCo#w?+r» 9» — a?» 2 '^^ ' 2 '^^ i ^ ^2 d+i «^r, «. rCowj-r^-r^i+lC^rf^d+noaj+r^^-H^Co^j^., ^&n (d-hljo^j-rSind^* — Sinpa-f-ir&npo-— ^ *^^ ^-^^ '- +7r(7Mpo.r<'+« — ^ r^- — ^ rr- FH i^2rCosqs+r^ ^ ^^ \—2rCosqs+r^ l^l—r^^Sinpq+rd-^^Sini^ds+s-p^q^—r^^^Sini^ds-p^ql l — irCosqs + r^ 'l ^ J' ^ ^ - (l-^»)Siw d9«+rrf+l &*n 9« Digitized by Google BIJ DE THEOBIE YAN BEPAALDE INTEGBALBN. 19 r(l — r*) r Co9Bx. Coapx qd» 1 — 2rCai« + r~ q^—m^ ** ^ »r .. 22. « r^'*wp9+ - (1 +r*)SiVip9.-2r«C5wn^«H — (1 -^- r^) Co$pq.S f^ Sinnq$ ^ 8 » 1 2 j^i ff (l-r»)rCo»9».&»npg+(l+r«)[r<<+15,t»(((fa+»-p)9)-r<'+gSttif(d<-p)y}] r_. ^p| " a l-2rC7(«9* + r» 'l^ -Cr^^ - (^4,) »(l_r»)rC?o»^.&H(/y + (l + r»)rd+lgJ>.^ - ^p | rrSinsx.Cospx qdx 1 — 2r(7o««J? + r» 9^—«» "* 0 3. -S»np?.:fr»[&Mii9«.{S?[(fw+p)j]— /Si[(n«— p)?]} +G)«n^.{Ct[(na+p)9] + Ct[(»M— p)^]}]— • 1 1 » — r-«<^P9.-2»^[Co*n9«.{ft[(n#+p)9]+Si[(n#— p)?]}— Smn5*.{Ci[(n«+p)9]— C^^^^^ . (15) r(l — T^)Co8px xdx ^ ^ ^ l--2rci. + r»,»-.»-^"P^-^^P^)+^"P^-^^»^) + o + Sin pq. 2 r^[Sin nqs. [Cil^ns-^-p^q] — Ci[{n9 — p^q"] } — Cos nqa. {Si[{n8+p)q] — Si{Jji8 — p)q]] ] + +CoMpqJ:f^[Co8nq8. {C/[(n*+p),]+«[(nj— p)?]} +5«n nqs. {Sil{n8+p)q]+Sii{n8—p)q]} ); (16) f(l — r^)rCo8 8x,Co8px xdx ^^^ ^ . ^. «.. i. 