title: Commentatio ad quaestionem astronomicam ; a nobilissimo disciplinarum mathematicarum et physicarum ordine Academie Gandavensis propositam, anno M. DCC. XXII. "Data duurum locorum differentia latudinis et linea loxodro mica, invenire differenentiam longitudinis eorum dem." Quae praemium reportavit die VII Octobris M. DCCC. XXIII.
creator: Verdam, Gideon Jan, 1802-1866
text: Mcn kan echter tcgcnwcrpen, dat ook de gcnoemde twccde lermen, onaf- hankelijk van L = 9 f nul zijn, omdat, b.v. allecnlijk op ccne der vergclij- kingen lettende, «| + «', + «"£ = («/ + «v + «r")L is. Deze mocijclijkheid, dit onbeslist blijven, schijnt alleenlijk op deze wijze opgeheven tc kunnen worden. Omdat, in clk geval, («$ + a' v + «"£) (d — &) nul is, zal het eerste lid der vergelijking (f) n° 1 worden (A/>' + ffl'mAi,)« + (iy + <a'mL J/i)«' + (Cr' + <o m Is nu werkelijk L = 9, dan zal dcze uitdrukking bevonden moeten worden nul le zijn, indien 9 in plaats van L wordt gesteld. Dit is wel waar, naar aanlciding van helgccn in art. 14 met betrekking tot de vergelijkingen (e) is aangeloond, maar iu plaats van naar cene ontwikkeling, in hct cerst gc- geven bcwijs voorkomende, te vcrwijzen, zou hct dan korler zijn op de vergclijkingen (g) terug te koinon, wclker twccde leden niel regtstreeks van L afhangen, en dcrhalve ook gelden als S komt in plaats van L, mits dan ook dc a, b, o in deze tweede lcden gedachl worden te zijn coGrdinaten van OVEIIEENKOMSTIG DE KEKKXWIJZE VAN LAGRANGE. 711 een punl in het vlak (W), gaande nu, overeenkomstig het stellen van A gelijk aan 9, door het zwaartepunt. Hceft men op deze wijze aangetoond dat A = ^ aan den eisch voldoet, dan blijft nog ovcrig tc bewijzen dat het vlak (W), het vlak van twee der hoofdassen voor het punt O, levens is een vlak van twee voornamc hoofdassen. Hierin is wel geen bezwaar, door een- voudige verplaatsing van den oorsprong der coordinaten, in hct vlak (W), van hct punt O in hct zwaarlcpunt, doch hel ccn cn het ander maakt dit mecr regtstrceks zoeken en bepalcn van hct bcgeerde omslagtiger dan het volgen van den weg, die in art. 14, naar eene vooraf gemaakle vooronder- stelling, cerst gekozen werd. AANTEEKENING. De vergelijkiugen (7), (42) en (43), verkregen ia § I, arU 5, eu in § II, art. 2, — « n die de uildrukkingen zijn der voorwaarde van het onveranderlijk zamenhangen der stof- deelen vau de massa, dat is van bct onvcranderlijk zijn der onmiddelltjke aansluiting en onderlinge betrekkelijkc plaatsing der eleiucnten van de massa, — kannen langs korter weg worden govondon. Omdat de afstand d* van een punt (der maasa), welks coordinalen zijn *, y, z, tot eenig ander der onmiddellijk rondom gelegene punten, hebbende x -f- ^x, y + dy, * + tot coordinaten, onveranderlijk is bij eenigo oneindig kleine variatie der coordinaten, zal nit d* 1 + fc» + fc» = d» 1 tcrstond volgen 2^x8^x + 2dy*ty + 2d*3d« = 0, of ZtebS* + 2dyddy + **z*9z = 0, zijnde de vergelijking (42), welke levens de vergelijking (7) insluit. Voor dcn afstand W van laatstgenoemd punt tot een ander, dat wederom volgt of ou- middellijk aansluit, en van hetwelk de coordinaten zijn, *+2d* + o ,, «, y + 2Jiy + ^y, * + 2 J)* + d l *, heeft men de vergelijking (bw + d»*) 1 + (dy + d*y) 1 + (6t + d 1 *)» = d*' 1. ttt deM en uit de eerste der voorgaande vergelijkingen volgt 80 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, 2dxd»* + (vVx)» + ityVy + (d'y)» + Sto*d»* + (d»«)» = d*'» — d*» , of (d , *) > + (d»y>» + tt»*) 1 + 2 = fc'» - d<». Omdat nu noch d*' «ocb d* veranderen bij oneindig kleine variatie der coordinaten, zal nten ook hebben 2d , *3d , ^+ Sd'y*d'y + 8d»*«& , « = 0, dat is 2d»xd»a* + 2d»yd» + 2d»*d»o* = 0, en deae is de vergelijking (43;. Gaat men zoo voort, dan blijkt ligtclijk dat, voor zoo velc opvolgende punten raen zou willen, ook in het algemeen +»-»)» + (&"*)» gecti variatic ondergaat bij het oncindig weinig varieren der coordiuaten, en dat daaruit zal voortvloeijen de algemecne voorwaardea-vergelijking der variatie van de eoordinaten 2d"xd»ox + 2& V V>»ij + = 0 * * De hier voorgedragcne kortere m&nicr, om de voorweardes-rergelijkingcn voor den onreranderiuken latuenhang der elementen van ccne vaate maasa te verkrijgen, ii gevolgd c»ar eene opmerking van den Heer I«Obatto. De neer Stakkabt evenwel kon sich noch met dese wjjie van aflciden, noch met die, weike in § I, art. 5, en in § II, art 2, de noodige vergeiykingen hecft opgeleverd, noch ook in elk opxigt met de wijte ran beschooweo en rekcnen van Laqkaxob vereenigen. Hetgeeu ZEd. over een en ander hecfl aangemerkr, i» eeoocgsaam woordeiijk het navolgcnde met „ aangehaalde. „De vergelflkingen (42) en (43), in welke ook (7) begrcpcn i», iijo govonden door aan to nemen, dat „de variatien vao de nitdrukkingen *»+*»+*» • (Ij. (* + »»)»+& + ?*)«+(* + **)» (II). (z + 2 dx + i* x)» + (y + 2 *y + *»*)» + (* + t.tz + *»*)« (III)' «gciyk nul moeten stfn. Naar bct m|j voorkomt knnnen de vergelijkingen (42) en (48j hieruit nut „ worden afgeleid. Wanneer toch de oltdrukkingen (II) en (III) icts anders anllen beteekenea dan (I), moeten „?r, dy, dr, d*x, d*!f, i*z als elndige grootbeden beschoowd worden, soo Uein men wil, maar „toch als grooihedtn, en niet ali ontindig kUintn. Want zon hier b. v. ?x oneindig klein stjn, dan i» „(x+t>z) nitts mttr o/mindtr dan x. dr hceft gecn beteekcois dan allecnlHk met bctrekking tot eene „andere dlffercntlaal." De aanmerking is op sich selve juist, maar de wijze waarop in deu tckst is te werk gcgaao, is geen ef- wijking van hetgeen in de toepassinjrcn der diflerentiaal-rckeoing mecrmalcn geschiedt cn als geoorloofd is aangenomon, to weten dat men, io ptaais van eerst op eindige veranderingen opiettellJk te letten, deze als difftrtnlirn uit te drokken, en daarna, by ovcrjjang tot de limicten, daarvoor in de plaats te «tellen hcigecn hehoort, onmiddelHjk besluite tot dit laatste, cn derhalve het eerete (het gebruik van eindige differentien) noJate, daarby slechte dcnkende hetgeen er hij gcdacht moet worden. Wll men rerder differentialen cemglijk met hetrckking tot andcre beschouwen, dan kan men de diffcrentieal van eenige andere onafhaiikelljk verar.- OVEREENKOMSTIG DE REKENWUZK VAN LAGUANGE. 81 Bij de oplossing der voorstellen ovcr de beweging van een vast ligchaam om eene vaste as en om een vast punt, heeft men slechts te letten op drie oubepaalde variatien ix, 8y , 9s. Daarom zijn er ook niet meer dan drie voorwaardes-vergelijkiugen van de variatien der dorHlko grootheid denkenj t\) bebocft niet genoemd of uitgednikt tc worden, golyk dit b. v. «omdjdi nagelaten in de variatie-rekening bij hct varieren van eene integraal. „In de plaat» van kooit dan Ar, voor komt A 1 *, cn»., xoodat men »al *»+*'+** VI). + ao, (s + ^As + A^+O + ^Ay + AW+^ + SA^ + A**)* ("I). n Van dcxe uitdrokklngen moeten de variatiSn nnl «Un. De eewte geeft 2x3x + 2y3y + *z3z = 0 (41) „ De tweede heeft tot variatic 2 [x + Ax)(3x + <7 A*) + 2(y + Ay)(<ty + <? Ay) + 2(* + Lz)(3z + ^:)=0, „dat is, op (41) leltende, 2{Aa<** + *<?Aa: + Ly3y + y<?Ay + A*o*f + :3&z} + 2{^xJAx + Ay<JA^ + A*<?A*} = 0 (A) „Worden nu Asr, &>/, A' stceds kleincr en klciner, dan worden de termen, die In dete verj;elgking „ols een tweede gcdcelte van het cerate lid aijn gonomon, en die van de dcrdc orde »<jn, stccd» kleincr „met bttrekking tot de terroen van de cer»te grocp, en die van de tweede ordc »yn, »oodat, tot do „liraieten overgaande, allecnljjk blfjfi 2 { dxoz + xdjx + dy3y + yd3x + iz3z + zi3z J — 0, „maar er volgt nltt dat 2 } i>xd3x + tyi3y + izd3z j — 0 zou zyn mct betrekkiug tot de grens- „waarde eener grootbeid van de derdo orde." Maar (?* 3x + xi 3x + iy 3y + yi 3y + i>z 3z + zi 3z) i» niet onder»cheiden van i(x3x + y3y + z3z), Dcrhalve toa de uiikonm nlleenlijk leeren , dat i>(x3x+y3y + z3z) = 0 Dit nul zijn echter bchoeft nict bewczen tc wordcn, daar het ecn gevolg is van hetgecn do vergelijking (41) uitdrnkt. Bovendicn zou dan door de ontwlkkelfttp, vau (II) niet mcer of nieti andor» gclecrd wordeo dao rcod» door (I) bckeud werd, terwljl er meer uit afgeleid moct kunnen worden Zou uiet liet bcgeerde verkrcgen worden ol» rocn vooraf opmcrkte , dat Lx3x + x3 &x + fcySy + y3 dy + &z3z + z3 &z aan de limiet zal wordcn = i(x3x + y 3'j + z 3:), cn daarom, op grond van (41), golijk »u/, zeodet dan, aan de limict, de vergclljkitig (A) zal overgaan in 2[ dxd3x + iyd3y+izi3z) =0? «Meoikondii: bcschouwd geeft bet *tordva»tii? tijn van de uitdrukkingen (I), (II), (III) slecbu to „kenncn, dat drie punten op do oppcrvlakken vau drie vcrtchillende bollen mooten »\jn. Ilct ai oi nici 39 NATUCRK, VERH. DER KOMNKL. AKADBMIB. DEEL X. 82 BIJDKAGE TOT PE TOEPASslNG VAN HET BKGINSEI. VAN D'ALEMBERT, cofirdinaten noodig, eu van deze hebben bt slechts Un hi twee betrekking tot de voor- onderstelling ?au het vast zijn der bewogen wordende maasa. Beschouwt of necmt men de voorwaarde van dit wut zijn afgeseheiden van andere voorwaarden, tot wijze van beweging -,by elkandcr geplaaut ityn dier punten wordt er niet door aangeweten. Twee dier punten kttnnen „b. v. een afatand hcbben =v r + r , r en r' de ttralen van twee dier bollen «tfn." Maar bottaan de oitdrukklngen (I). (II), (III) dan niet niuluiiend onder de doideiyk genoerado en her^ haaldeiyk genoemdo voorwaarde, dat aij alleenlijk betrekkicg hebben toi aan tlkander gremende of tot onmid- dtUijk oft tlkander volgendt elementeu der maeta? De coordtnaten der punten duideu dit reedi asn. De ondcr- linge plaauing en verwydering der pnnten op de drie tphcritehe vlakken ttfn derhalve gecntzin* willekeurig, voora) niet alt nen in aanmerking neemt, dat aan bepaalde teekens, hettij dan -+- hetiij — , vdo> de difleren- tialen van x, \j, t, tnoet gedacbt worden. „l)e vergelykingen (42) cn (43) kunnon alechu afgeleid worden nlt de overweging, dai de onderlinge „arttanden van cenig punl tol een ivreede, van bct eerete punt toi een derde, en van bet tweedc punt „tot het derde ttandvattfg mocten ay«, dat i* Al« + A.V* + A-* - etandvastig, (2 _> x + A 1 *)• + (2 + A »jf)« + (2 A z + /_«_)' = *Wr.. (^+^)' + (A_/ + + (A : + A'*) 1 = »W... „waarnit dan (A 1 *)» + (A'*)' +(A*--)* = indc, „en eit deac en de eerato dcr drie voorgeAndff vergeiykingen zal dan volgen 2 Ja*<7A-- + A.y*A}/ + AitfA*}^ 0, 2 {A t *«*A'* + A\y<?A , _< + A^A**} = °. „gcvcnde, brj overgang tot de limieten, de vcrgeiykingen (42) en (43)." Men wll de julttheid deier w"(jxe van betchouwen, om de voorwaarde van bet onveraaderiyk geplaaUt »yn der elcmcnten onlwyfelbaar uit le drukken, gaarne toegeven. It zy echter ntet in die van Laoraxor hcgrepcn? Er wordt hier bepaaldclij- gtwlcld of voorgo*cliroven, den afttand ean htt tweede tot hel derde punl mede i'<i rekeniug le brtngtn. Laohamo- deed dit niec, or vond gecnc redeu ora hct te nocraen. Hy had geene dric voorwaatdet-vergciykingen noodig. llij wildc cr vele geven. Hy wiMe xe alle goven voor alle -logelyko aftuvtden tustchcn paren ran elemcnten, niet alleenlijk dc afetanden van 1 tot 2. tot 3, lol 4, eni., maar. elk punt een eortle punt kunncndc »yn, dan ook de af.taudcn vun 2 tot 3, van 2 tot 4, enz. v*n 3 tot 4, eoi. enx. „Zclfi hcb ik bcdeuking legen de »yxe, waarop dexe vergeiykingen door Lao-.aig_ verkregen xgn. „H'0 ttelt (aie de vcrgciykiugen, in de Aantcekening der B.drage gemerkt (aa)) _|_jy + = -, ent. . . eox. „Volgcnt mijne wyxe van xien kunncn dcie diflerentialen, zoo lang zlj mct z, ij, l, door optelling, „of aftrekklog verbonden tiju, tlechta alt eiudige differentlen betchouwd worden. Men miot dcrhalve, „Laobahob volgcndc, slellen: (A*)' +(Ay)' +(A*)* =«. (A^+^V) 1 +(A'V ~p. - OVEREENKOMSTIG DE KEKENWIJZK VAN LAGKANGE. 85 al8 anderzins betrekking hebbende, — vraagt men derhalve alleenlijk voorwaardes-verge- lijkingen, die den onveranderlijken zamenhang der deelen van de raassa zullen uitdrnkken, dan moet het aantal dezer vergelijkingeu drie zijn, wel te verstaan met opzigt tol de elementen der raassa in het algemeen, dat is bij bet onbepaald blijven der plaats van de elementen in de uitgebreidheid der massa. Behalve de vergelijkingen 2dxd*x + ibydty + 2dsd^ = 0, behoeft men alsdan uog &n vergelijking, welke, zoo als de tweede is gevonden door raidde 1 van de eerste, verkregen kan worden mct de twecde en eerste vergelijkingen, en welke is id>x}) s dx + i^yVdy + 2d'*d*«« — 0. Men kan eene vierde, ecno vijfde dergelijke vcrgelijking vorinen, enz. Alle zullen begrepen jsijn in de hiervoren gcstelde algemeene, namelijk In het algemceu geval zijn er cchtcr slochts drie dezcr vcrgelijkingcn noodig, voor zoo verre zij zijn onderling onafhankelijk. Want cr zijn niet meer dan dric onbcpaaldc variatien, en zoo men dezc zou wiilen bepalen, dat is vindcn hoc, bij hct onbcpaald blijven dcr coor- dinnten, dc variatieu dcr coordinaten van do puntcn cencr vaste massa zanienhangcn met die coiirdinaten zelvc, dan zoudcn danrtoc dric zoodanige vcrgelijkingen toereiken. Al de overigo gelijkvormige vcrgelykingeu zullcn door dczelfde waardcn der variatien Si , fy, ds „Om nu te bcwU*cn dnt dt vnrmlit van 3 nsl i», moet rue» hebbcn : (2 A * + A**) 1 + (2 L>J + A V) 1 + (* A * + Zi*.-)' - jWewfty. „dat it 4{(^ 1 )+(Ay) , +(AO 1 )+4{ATA 1 x+A.VAr'/+A:A J -} + {(z i V)'+^\ V )>+(A^0 , }-^«rf.-..(R) „Maar ncmendc, Yolficn» dcn regol, de differentic van », dan komt, na met 2 vcrineniirvoldigd en met „ 4» vermeerdord to hcbhen, 4« + 2A«-4{(AJ-)*+(^)'+(AO'} ++ {A*A , *+A>»A , # + ArA.«*} + + *)* +{**!/)* +{*'*)*), „of 4a + 2 A«- {(A 1 *)» +(A';..)« +(a« *)*) - (B) ~ mndu., „dat it 4« + 2a« — /9 «««rfr., „waarvoor bij Lagranob komi *« + 2?« + /S. „De uitkomst blijft nogtuni dctolfde, iiaraclijk dcze: daar « «tandvastig ia met betrekkin;; tot de variatio „o*, ii ook A* in denxelfden ain nandvaatig; bij govolg ook 3, cn daaron. de variatle van-ggeHfk nul. „Eene gclQkioortigo opmcrkin;; geldt, nanr hct mU voorkomt, ook omtrcnt het bewjjs, in de Aantee- kcning gcgeven, en naar eene mcdcdceling van den Hcer Lodatto gevol«d." 39* 84 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, voldaan of identisch 0 = 0 woiden, door welke eenig drietal wordt voldaan, of die uit eenig drietal mogten zijn afgeleid, en waartoe dan klaarblijkelijk voorkeur wordt gegeven aan de drie eerste vergelijkingen, als, door lagere orde, de eenvoudigste. Mcn is deze algemccne voorwaardes-vergclijkingen van het onveranderlijk verband der elementen van een vaat Jigchaam verschuldigd aan Lagranob, die er gebruik van gemaakt heeft om, naar zijne methode, dc vergelijkingen tc vindeu voor het evenwigt van krachten, werkendc op de elcmcntcn zoo van een onrekbaren en onbuigbaren draad, of eener massieve roede, als op die van cen vast ligchaam (zie zijne M&anique Analytique, Premiere Partie. Seet. V, Chap. III, § IV, et Chap. IV, page 159-173, EdU. 1811). Lagbanoe dcnkt cene meuigte op elkander volgende punten, bepaald door de opvolgendc coiirdinaten x, y, s, x+o*, y+dy, s+d-f, *+2^«+d'*, y + Soy + d^y, «+2di'+d , «, enz. De uitdrukkingen voor de quadraten der afatanden van het eerstc punt tot elk der vol- gende worden ligtelijk gevonden. Zij zullen zijn «, 4« + 2d« + ?, 9« + 9 0 « + 9,i + a(d*«-afJ) + 3d|« + /, enz. enz. , indien nainelijk gesteld wordt 0^ + dy^+d* 1 =«, 1 (d 1 *)' + (W + (o 1 *) 1 = ?, { (d , -) , +» , *) , + (d , *) , =/. \ finz* > . • • « De genocmde afstanden onverandcrlijk moetende zijn, zulleu de variatien dcr tweede inagten van de uitdrukkingen, door welko zij zijn bepaald, nul wezen, cn daarom 9a = 0; 43« + 23d« + 3,$ = 0; 9 3« + 93o« + 3ty + liSyu + 33c\? + 3/ = 0; enz. En hieruit leidt meu gemakkelijk af, dat aan dc voorwaarde van het onveranderlijk aan- sluiteud zamcnhangen of volkomen vast ziju der deelen van het ligchaam voldaan zal worden door de vergelijkingen Su = 0, 8fi = 0, 3/ = 0, dat is door deze drie vcrgelijkingen d*d3* + oydfy + teidz = 0, j d^d'3* + d^yd^y + d 1 * 0^5 = 0, [ ( w ) d^rd^x + d^yi^fy + o^tfMj^rO. ; Werken er dcrhalve op de elementen van een vast ligchaam krachten, die, ontbonden zijnde ln ngtmgcn evenwijdig aan aangenomene coordinatcn -asscn, tot zainenstellende krachten hebben Xdw», Ydwi, Z 0 m, dan zal, bij de onbepaalde vcrgelijking der virtuele momenten 0 VEREEN KOMSTIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 85 voor het evenwigt dezer kraohten, gevoegd inocten worden de sotn der sommen (integralcn over de geheelc uitgebreidheid van het ligchaam) van de voorgaande vergelijkingcn (die elke slechts tot een enkel elemeut bctrekking hebben), elke vooraf met een onbcpaalden factor X, f», p vermenigvuldigd zijndc. De voorwaaTde van het vast zijn des ligchaams op deze wijze in rekening gebragt zijnde, hceft men de raeer bepaalde vergelijking der vir- tuele momenten. Zij zal dienvolgeus, ouherleid, deze zijn : 0 = /{(Xa* + YSy + Z3z)dm + XtfxtSx + dyZ*y + fcd**) + ^{ t Vj?d 1 3* + d , yO , «Jy + d , 5d l ^) + » , (») , *d s «Jx + d , yd , ^ + d 3 2d , ^j *. (oo) • De vergelljking (ce) xoq kunnon vcrvangen worden door eeae andere, geon onbepaalde faetoren ), i», » bevattende. Dcze andero komt, door, nit de vergeiykingen (46), de waarden der variatien a*, Sy, Sz te bopa- len (in functie van de onbepaalde coordinaten x, y, z en van willekenrige •temlvastige grootbeden, die selve als varlatifn igu aao te merken), en dese waarden alsdan in de onbcpaalde algemeene vergeljjkiDg der virtuele te subttliueren. Dit ia mede door Liorakob gedaan. Hty integreerde daartoe de vergelijkingen (61), et meer eenvondige der uitvoering nam hy aao dat ix standvattig x\j, en daarotn d*x = 0 en d'x = 0 (vergeiyk, biervoren, § II, an. 4). Laorakob vond (sie Mecan. Anai. p. Eolrr gaf in het jaar 1750 (Mimoirtt de tAcadtmit dt Berlin) ttfne belangrykc verhandeling, getlteld „Dicovitrtt dvn nouvtau principt de iftcaniqvt," ten doel hobbcnde om een oienweo en beteren weg aaa te wtyien, ter oploesing van het toen nog soo moeyeiyk en niet gcnoegsaam opgelost Problema der bowegiog van een vast ligchaam om een vast punt. En inderdaad heeft Eolbb iu deze verhandeling ook op het oog gebad om de voorwaarde van bet va»t sjjn des ligchaams op bjjsondere wyse in rekeuing te brengen. Ofiohom sich noch van do bewoording variatit noch van hct tcekcn J, t«r aanduiding ran eeuige variatie, bodicnende, kwam hij toch, bijkans volgeus bettelfde daaraan te hcchten begrip, tot do uitdrukkingen roor de vomnderinneu bij het verplaaut wordcn van eenig punt der matsa, dat met een oneindig nablj gclcgen punt op onvcrander. Igkc wtjse is verbonden. Hetgeen Laorakob kon noemen cahatie vrerd door Eolbii genoemd txtlhtid in dta tijd ?f. Ztju P, Q, R zoodauige sneiheden, in de rigtingen der coSrdinaten-assen, dan korot Edlbb tot dese betrekkingen Fx + Qy + Rj = 0, ?P r>* + t>Q + i»R iz = 0 , welke, als voorwaordes-vergeiykingen, volstrekteiyk deselfde tijn als de in dese Bydrage gevondene verge- lijkuigeti (41) en (42), soo tlecbts 2 <?jf , 2<*y, 2tz in plaau van P, Q, R worden gesteld. Eolbr vindt •venwel ilecbts deze twee vergelijkingen. Eene derde, hoedanige de vergelijkiug (43) is, goeft hrj nict, en dit is minder streng of minder volledig. Nogtant vindt hij, ofschooo niet regutreekj, maar door bytondere voor- 80 BIJDRAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMBERT, Herleidt men dcze vergelijking door integreren bij gedeelten, zoodat alle termen onder het integraalteekcu van loutere variatien (geen differeutialen van variatien) afhangen, — en oudcrscheidt men de bestanddcelen der termen, buiten het integraalteeken gekomen en alleenlijk tot de beide limieten der integraal bctrekking hebbende, door accenten (b. v. X'' en X', fi' en /«'.... x" en x, enz., naar gelang zij gelden voor de tweede grens of voor de cerste, en bij welkc eerste grena al de iutcgralen, die in de beschouwing voorkomen, verdwijnen of nul zijn), — dan komt dezc ontwikkelde en hcrlcide vergelijking: &(*.)*) + d , (.'«d'*) — d(iay) + D 1 C«a i f)-d , (»d , f)] «V >{r^ , -d(^ , 'd*0+d , (' ,, d^')}^''~{W^(«'d > ^+d l (/d 1 « f )}««' + {^''_dC«''dV')+d 1 (/;Vy'')}ay"-{W-X'«'d 1 j')+d 1 (/d s y')}3y' + {r v V'-d(M''d 1 / , ) + d 1 (/ , d 1 O}^' , -{i'^'-d(u'd 1 2 , )+d 1 (r'0 1 ^}3/ + [Wx''^(r"V* n )}tt*''+(irb**")& l 9*''-- {pW-W*'j}*M-W*ft*9x' + { ! ''d 1 y'-d(*''b'y , ')}W+(*''yyiy + {, t "d*z'—yyd V)} w +(/'d 1 6Y — {..i'd 1 *'— i(/d V)} ^av — (/d »*')d 1 «/ • (<**<*) Laorange behandelt deze vergelijking verder, gelijk inen, ter aangchaalde plaats, kan ua- gaan. Het is ouuoodig daarvan hier meer te ontleenen of te geven voor hetgeen thans, tot besluit, uog zal worden bijgebrogt als voorbceld van toepassing dezer vergelijking, om het voorstel dcr bcwegiug van een vast ligchnam om ecn vast punt op te lossen. Daartoe moeten vooreerst de oubcpaaldclijk aangeduide krachten Xd"», Y 0"», Zfttn, tusschen welke cvcnwigt zal bestaan, vcrvangen wordcn door die, welke, volgens het bcginsel van d\Alkm- l»(=*r) = + Aj + ]Jr; Q(^*»^ + C; — Ax; ll(=<?.-^_ B*-t>, in wclke A, B, C willckcurigc BUndvn»ligc grootlieden rijn (vcrgelijk <ie uitkorasten, door intagreren vor- krcgen in § II (art. 4) dexor Hijdrago). Het zSjn deze vcrgclijkingen, welko L,aorahor heeft knmion bedoelen als het eertt door Eulkk gcvouden. In vorm »yn zij nict onderscheidcn van de door J,aorakok gcgcvcne formulcn. Dcze ityn alguniccn, als geen bctrckking licf»0eti Je tot ectiig bi-paald gevnl van bcwcging ecner vaMe massa, lerwijl Eulkr zich hnd icn doel gwteld veraclijkinseu of formulen tu riuden, loepasjelyk op het bjzonder geval of bcpaald problcma der beweging v*n ccn vast ligcbaam om cou vast pnnt; aladan toch vcr- vallcu, bij het nict vrij *yn dcr uinssn, c/.ie van de i« willekcurige staiidvastiijc groothoden, die in de formulen van Laoba.so» nnnwczig »(Jn en njoegteti zijn. Euler gewangt ook van dc krnchten, onn weike men, bij het in rckcning brengcn der voonvnarde van dcn onvcranclertijkeu zaraonhang dcr elementcn van de massa, kan denkcn. Vati ccn bcpnlen dczcr krachten kon gecn »prakc *i)n, gclijk ook, hct voorschrift vati Laoha.voe volgcnde, jioortanigc bepaling, door het bepalea dcr waarden van do factotcu f* cu », uit dcn nard dcr Juvak tot niets zoo leiden. Kui.kr morkt hicromtrcnt ecn- votidiglyk op: „or il nl a remtirquer que Us /brcts iuttrnet st dttruiitul nmluetltmtnl" 1 OVEREENKOMSTIG DK REKENYYIJZE VAN LAGRANOE. 87 bbbt, evenwigt raocten raaken door middcl van de betrokkelijk gedwongene stelling van het te bewegeu ligchaam, dat is, in de plaats van de termen X %m, Y ^m, Z^m komen deze andere Ycrmits nu in de vergelijking (dd) al de variatien onder hct inlegraaltecken, of in de integraal-uitdrukking, als onderling onafliankelijk kunnen worden voorondersteld, en dc groolte van elke dezer variatien, alhoewcl ook oneindig klein, daardoor geheel onbepaald is en willekeurig, — daar verder aan de vergclijking, volgcns dcn bekenden rcgel, voldaan wordt door e*n de integraal uitdrukking, 6n dc som der tennon buiteu dc integraal, afzon- derlijk nul te stellen, — zal ook elke der drie integralen, die 8s, 8ij, 8t tot factoren hebben, nul zijn. Ilierdoor hceft men, daar ook dc iutcgraalteekens kunncu wcggelaten worden, in de eerste plaats, deze drie vergelijkingen : (xdm — d«) -d(»d*) + d»fj.d**)-d a (»a , *) = O f \ ^Ydm-^dmj-d(U,) + d J (.«d J y)- ^(^'y) = 0, \ («) ( Z dm ~ dm ) - 0 < lda ) + d> < M d '*) - (* *'*) = 0 » De voorwaarde vau het beperkt zijn der beweging hestaal in het verbonden zijn dcs ligrhaams inet een vast punt. Worden van dit punt af de coordinalen gerekend eu ook (ala beginpunt) de integralen, dan is, door deze laatste vooronderstelling, *' 0, y' = 0, *' = 0, en dan ook 8x' = 0, 8 y' = 0, 9z\ = 0. Hicrdoor vallen uit de vergelijking {dd) die termen weg, welke, buiten de integraal, met 8jc\ 8y, 8z' vermenigvuldigd worden, en de variatien aan de limicten der intcgraal nu verder aan gccne bijzoudere voorwaardcn ou- derworpen zijnde, kunnen de coefficienteu der onderscheidene variatii : n cn difTcrentialen van variatien, behoorendc tot do termcn buiten de integraal, alle gelijk uul worden gcsteld. Daardoor komeu, in de twccde plaats, deze tot de grenzen der integraal betrekkiug heb- bende vergelijkingen of voorwaardeu : — dyd 1 *") + d»(*"d**) = 0; X" V — d(.«"dV) + i» f/W*) = 0; x»$t» — ao*" a 1 *") + a 1 (/'a"*) = o. M"av— a(/'dV') = o ; f."av— d(r"dV) = o ; /•'■a»*"-a(F ,, d , *") = o i ' y • • (//) ^a 1 *' — a(vav) = o ; /«'av-e/ey) =o ; /o 1 *'— e(/dv) =o. »"0'*" = 0 ; r"d s y"=0; ,"dV' = 0; /eV = 0; r'oV=0; r'dV = 0; dal is v" = 0en»' = 0. 88 BIJDRAGE TOT PE TOEFASSJNfi VAN HET BEGINSEL VAN P'ALEMBERT De eerste integralen van de vergelijkingen (ee) zijn: = D, = E, = F. (09) Aan de eerste limiet zijn de integralen, dat is de eerste termen yan de voorste leden de2er vergelijkingen, nul; ook zijn, aan dezelfde limiet, de derde termen der voorste ledeu nul (zie (ff)); derhalve komt: — i\W=D, — A'V = E, - l' d*' = F (hh) Let men op dc tweede limiet, dan hebben de inlegralen betrekking tot de geheele massa, eu ingcvolge de drie cersle vergelijkingen (ff) zullcn de overige termen der voorste leden van dc vergelijkingen (gg), te zamen genomcn in elke vergelijking, nul zijn. Gevolgelijk zal mcn hcbben mct bctrekking tot de geheele inassa: j(xdm-^dm) =D, ^y 0 m-^fdmj = E, j[z])m- ^dm) = F. . (ii) Door eljminatic van X uit de vcrgclijkingen (gg), twee aan twee genomen, kan men drie andcre vergclijkingen vormen, die, wcdcrom gcmtcgreerd zijnde (en zulks, waar het noodig of gepast is, bij gcdeelten), dcze tweede intcgralcn zullen opleveren: y j (Xdm-X^ -x j (YOm-^mj- j {yXdm-*Y*m-y^,+*^om} + {.«d , .r— &t>u»*)}fc— {*yy-h(rVy)}*x+vWyd s x—yxyy)=V!-F*+G; + {«d**-d(^ , *}}d*--{.«d , *-d(»'d , *)}d«+i'(d>^ 1 *--d , *d , *)=D*-F*+H i - | f Y0m-|]{^ -y j(l Om- ^>«)~ 1 {*Ydm- ff Zdm-z^m+y ~ 0 m} + {«u'y-d(^ s y)}u*-{«V*^^ ' Aan de ccrstc limict der iiUcgraien zijn * = *' ~ 0, y=/ = 0, s = ; r .— 0, >- = i»' = 0. De oubcpaalde integrolen zijn mede nul, gelijk ook, ingevolge de vergelijkingen (ff), de coeffi- cienten van d*, ty, us in de termen buiten dc integralen. Kn hiermede worden de wille- keurige standvastige groothedcn G, H, I gelijk nul. Voor de tweede limiet zuilen de vergelijkingen (kk) betrekking hcbbcn tot dc geheele niassa ; desgelijks dc vcrgelijkingen (ii). ^ 0 VEREEN K0M8TIG DE REKENWIJZE VAN LAGRANGE. 89 Daarom zullen, b. v. van de eersle der vergelijkingen (kk), de twee oerete termen kantien vervangen worden door y" D — x" E ; maar zij worden dan opgeheven door de termen By — T.w" in het tweede lid< en dit tweede lid wordt hierdoor ntd. Daar verder ook v — p" = 0, cn eveneeus de coefficienten van $y en a&n do tweede limiet nul zijn (zie ( //))< Z£ d CT alleenlijk, met betrekking tot de geheele massa, de derde term van het voorete lid overig blijven. Op dezelfde wijze kotnt dergelijk besluit voor de twecde eu derde verge- lijkingen (kk). Zij worden derhalve herleid tot drie integralen, elke gelijk nttl, en deze geven dan terstond de drie vergelijkiugen der beweging, namelijk de vergolijkingcn (49), in art. 2 van § II gevonden. Om de formulen voor de drukkingcn tcgen het vastc punt tc vcrkrijgen, merke men op, dat de eerste der voorwaardes-vergelijkingen (66) voor de variatien der coordinaten (en van welkc al de tcrmen oigenlijk nog 2 tot factor zouden moeten hebben), voortgekomen is uit de cerste der vergelijkingcn (aa), zoodat hier do niet gcvarieerde of oorspronkelijke voorwaardes-vergclijking is zijude eene functie, niet van coordinaten, maar van difTerentialen van coordinaten. Zij is de uitdrukking voor den afstand van eenig eente punt der massa tot eenig onmiddellijk opvolgcnd ttceede punt. Hiertoc hceft dan ook betrekking dc onbepaalde factor X, met welkcn de ccrsto der gcvarii : ordc voorwaardes-vergclij kingen, dat is do ocrstc dcr vergclij- kingen (66), is vermcnigvuldigd gcworden. Het ccrsto punt, dat, tcr bepaling van X, als eerste punt voor de geheele massa in aanmerking komt, is klaarblijkelijk het puut aan do ecrste limiet der integralen, derhalve het vaste punt. De voorwaarde L = a — enz. zal dienvolgens betrekking hebben tot een punt, onmiddellijk grenzcnde aan het vaste punt, en X' zal dan betrckking tnoeten hebben tot eene drukking, uitgeoefend tegen het vaste punt in do rigting van cenig regtlijnig dinurentiaal-element d»'; d« hoegrootheid der druk- king zclve zal X'U' tot uitdrukking hcbbcn. Voor de waardc X' van X, tor plaaUe van het vaste punt, geven dc vergclijkingen (hlt), als in deze 2X' gestold wordl voor X', y — _ ^ J) _ ^ y ___ y 2d*' ~~ 2tV ~" 20*' Verder is U ' = * " i = * *"W+<«" = ±2 ^ weshalve de grootte der drukking, uitgeoefend tegen het vaste punt in eenigc willekeurige rigling, zal bcpaald ziju door nr = f..D = f..E = *U b>j Hieruit is blijkbaar dat D, E, F, kunncn aangemerkt vvordeu als zijude de grootten van 40 KAlliliRK, VEBH. UER KONINKI.. AKADLMIE. 1>KEL X. 00 RIJDKAGE TOT DE TOEPASSING VAN HET BEGINSEL VAN D'ALEMRERT, ENZ. drukkingen, uitgeocfond tegen het vaste punt in de rigting der coordinaten-assen van de massa. Derhalve zal men voor de zatnenstellende tutale drukkingen hebben (zie (tt)): D, = I Z )m - j d Deze uitdrukkingen zijn dezelfde als de uitdrukkingcn of formulen (c), in art. 6 van § II gevondcn, en uit welke, door het outwikkelen der intcgralen, verkregen zijn de for- mulen (57), die de nader bcpaalde waarden voor de zamenstellende drukkingen doen be- d worden. ke n Lkidbn, 1860. This book should be returned to the Library on or before the last date stamped below. A fine of five cents a day ia incurred by retaining it beyond the specified time. Please return promptly. 