title: Dissertatio mathematica inauguralis de lemniscata Bernouillana
creator: Haan, D. Bierens de (David Bierens), 1822-1895
text: l-2rQ».. + r> ^TZ^ ->''[<^»P?>gMp?) + ft«P^.g.(p^)] + o 4-^(1 +r'')Sinpq.2i^Sinnq8. {Cxl{n8+p)q]+Cil{n8—p)q]) ^Cos nq8.[Si[{n8+p)q]-Sil{n8'-p)q]) + S^ 1 1 00 ^j{i+r^)C08pq.2r^[Co8nq8. {Ci[Xn8+p)q]+C% [{n8^p)q]) +Sinnq8. {St[(n«+p)9]+5t[(n«-p)9]} ] . ^iyj Onder de hier voorkomende integralen zijn er enkele, die men reeds vindt in de Nouvelles 3* Digitized by Google SO OVBB EENIGE NIEUWE UEBLEIDING8P0RMULEN Tables d^Intigfalea JMfiniea, en wel bepaaldelijk de int^ralen {2), {3), (4), (7) en (18)^ in Table 193, N^ 1, 6. 2, 4 en 8 en de integnden (6), (8), (12) en (14) in Table 197, N^ 2^ 6, 5 en 10. 9. Het meerendeel dezer int^ralen kan men na gebraiken, om een nieaw stel algemeene herleidingsformalen af te leiden. Daartoe moet men de ontwikkelingen van N^. 2 bezigen /, '«) = SCmSinmim, ....(/) fM ^- Do + -rD«G>«mte . . . • (j) Stelt men toch in de integralen (6), (7), (8), (9), (10), (11) p «= mt, dan verkrijgen zij alle onder het integraalteeken don factor Sinmta^ en kannen zij dns voor de ontwikkeling {/) die- nen; evenzoo hebben de volgende integralen (12), (13), (14), (15), (16), (17), voor dezelfde p s^ mty den factor Cosmtx, zoodat zij na geschikt zijn voor de ontwikkeling (g). Laat ons met het eerste stel b^nnen eu wel met het eerste drietal, dan moet men met Cn, vermenig- valdigen en ten opzichte van m sommeeren van m «■ 1 tot m :>= c: omdat echter bij deze integralen al de sommatien zijn aitgewerkt en er das geene n als ordegetal voorkomt, kan men bij deze bewerking gemakshalve m door n overal vervangen. Yerder heeft men hier op het volgende te letten. 1**. Zoolang de grootste waarde van p, dat is hier nataarlijk ct, kleiner dan s blijft, is ook d = 0, want d is volgens de onderstelling het grootste geheele getal, dat begrepen is in — ; men moet derhalve de waarden (7) en (8) gebruiken^ met uitslaiting van (7a) en (Sq). 2^. Wordt juist die grootste waarde van p, dat is £^, gelijk aan «, zoo geldt het vorige. voor de sommatie van nsal tot n ssa c — 1, maar voor n ma c verkrijgt men den overeen- komstigen term voor d = 1, en moet men dan ook, in tegenstelling met het vro^re, juist de integralen (7a) en (8a), niet de (7) en (8) daarbij gebruiken, om dien enkelen term, waarvan de coefficient Cc of Dc is, te vinden. 3^ Ligt verder ct tusschen « en 2«, dat is, heeft men s<:i€t<:^2s, zoo kunnen er twee gevallen plaats grijpen; s kan namelijk een veelvoud van t zijn, of niet. — Is vooreerst s ge* legen tnsschen twee opvolgende veelvouden van f, dat is i<>« <^(A4' !)*• zoo verkrijgt men eerst de sommatie van l^ van n = l tot n»£, waarbij dan (2=0 is ; daarop volgt eene tweede sommatie van n^k+1 tot n = 0, waarbij nu d = I is geworden ; bij beide sommatien behoort men de integralen (7) en (8) te gebruiken, niet de andere (7a) en (8«). — Is ten tweede « juist een veelvoud van <, dat is ss=zktf waarbij nu ^•^c, zoo heeft men eerst de sommatie van l^ te nemen, voor n = l tot n = k — 1, met d=0 en de integralen (7) en (8), dan den lossen term van 2^ voor n^k, met d=l en de int^alen (7a) en (8a), en vervolgens eene tweede sommatie voor nsj^k-^-l tot n = c^ even als boven^ waarbij nu d = l is, en wederom de inte- gralen (7) en (8) moeten gelden. 4*. Wordtc^ juist het dubbei van «, dat is ct «s 2«, dan moet men wederom onderscheid maken- tusschen de beide gevallen, dat s een veelvoud is van ^, of niet. — In het laatste geval ligge s tusschen twee opvolgende veelvouden van t in, Asiis kt ^s <^{k -^- 1)^ dan heeft men de sommatie- Digitized by Google BIJ DE THEORIE YAN BEPAALDE INTBGBALBN. %\ van l^ te nemen voor n = l tot n = k, vervolgens die van 8® voor n^k-^l tot n = d— 1; terwijl er dndelljk nog een losse term bij te voegen is, met den ooeffident Cc, waarvoor da^i iBy en de intqpralen (7a) en (8a) te gebmiken zijn. — Is daarent^n « juist een veelvoad van e, dat is « = fc, zoo moet men de sommatie van 1® nemen voor n = 1 tot n = k — 1, ver- volgens den term, die tot coefficient heeft Gky berekenen naar het voorschrift van 2^; dan weder eene tweede sommatie nemen, zooals in 8^, voor n^k-^-l tot n^^c — 1, en eindelijk dien lossen term» die Cc tot coefficient heeft, even ab boven bepalen. b^, Wanneer et grooter is dan het dabbel, en kleiner dan het drievoud van «, dat is 2«<lct<.S«, zijn er vier verschillende gevallen te onderscheiden. — Ten eerste zij «nietjaist een veelvoud van t, maar tusschen twee opvolgende veelvouden gelegen, dat is to<^« <^(A: + l)*» dan. kan ook nog 2 s al of niet een veelvoud van t zljn : 2 s moet natuurlijk liggen tusschen 2kt en ()tk-{-i)t. Onderstel das hier, dat zij gelegen is tusschen 2,ki en {Zk-^-l^t] dan is tegelijk **<«<, (i + !)'*> 2to<2«<;(2A+l)^, waarbij echter de eerste ongelijkheid reedsin de tweede begrepen is. Hier heeft men dns eerst eene sommatie^ zoo als in l^, voor n = 1 tot n = kf eene tweede sommatie^ zoo als in S^^ voor n = i + l tot n = 2il;, en eindelijk eene derde sommatie voor n = 2A-(-l tot « = c, waarbij d = 2 is geworden, en de integralen (7) en (8) zclve gdden. — In het tweede geval zij ook wel *«<<<(*+ 1)«, maar (2ifc+l)t<2#<2(fc+l)«, dan blijfk alles hetzelfde, behalve dat de tweede sommatie moet loopen van n = i 4* I ^^ n = ik-{-l, en de derde van n = 2ft-|-2 tot n = c. — Ten derde zij wel, even als tot nu toe i^<«<(A;-|- 1)<, maar tevens 2« juist een veelvoud van ^, dan kan dit veelvoud, omdat immers 2At<2«<(2£-|- 2)< moet zijn, niets anders zijn dan (2i-|- 1)^. In dit geval heeft men weder eene eerste sommatie, zoo als in lo, voor n = 1 tot n = ft^ en eene tweede sommatie, zoo als die in S^, voor n = A-{-l, tot n = 2i: daarop volgt dan voor n = 2^4-1 een losse term met de coefficient Caifc^-l , waarvoor rf = 2 is en de integralen (7a) en (8«) alleen kunnen gelden : dndelijk komt de derde sommatie van daar straks er bij, voor n»2ife-}-2totn = o. — In het vierde geval zij s juist een veelvoud van l bijv. 6®. Wanneer ct nog grooter wordt, is de weg nu genoegzaam van zelf aangewezen. Zij et = l8 -{- 8* , waar * < s, Alsdan moet men in den r^ei de sommatie verdeelen in Z + 1 andere, waarbij telkens achtereenvolgens d = 0, =1, =2,...=/ te nemen is, en die in het alge- meen loopen van het eene veelvond van k tot het volgeude veelvoud van k , dat is voor n = Xk tot n = (X+l)k: hierbij beteekent k het grootste geheele getal, dat in - begrepen is; zij wordt t dns bepaald door de ongelijkhdd *<<*<(*+l)<, of ook wel door de gebruikte notatie *=^-. Maar men moet er hier op letten, of voor eenige n = uk, ook t^kt gelijk wordt aan 8 of aan Digitized by Google 9S OYER B£NI6E NIEUWE HEBLEIDINGSFOEHULBN e^ y^lvoud daaryan. Zoodra toch zalka bet geval is, moet men dien term, die tot coefficieDt (teefl; Cf^i^^ afzonderlijk nemen met de waarde yan d, die bij de eerstvolgende sommatie behoorti en alsdan daarbij ook de integralen (7a) en (8a) gebroiken met aitalniting der (7) en (8), die voor de overige sommatien blijven gelden. 10. Fast men na onze methode toe op de integraal (6), met inachtneming van de voor« 9chriften, die wij in N\ 9 hebben opgespoord« zoo komt er achtervolgens = ^ ~^ [{Sinq8—Sinqs+r,0)SCnCo8ntq + {Co$q9—r)2CnSinfaqj — w ^ *^ «. « r — Co8g8 ^ , -. T = :; r-Tx (r—Cosqs) S C„5innto = - ;; — —^ — /, Iq) , \et < «1 , = ^""^ 7i r \i^ — ^^* V) ^ C» 'S"* ^^ + ^o ( — ^'^ V* Co8 j# + r Sin q8 — r *. 0)1 — 2 ( 1 — 2r Cc8 5« -^ r * ) L 1 -■ ==0^1 ^~;^ !^-— r-SCnSinnfj + CcSmjal --:; — ^-—rSCnSinntq^ 2 1 — %rCo8q8 + r^ L i ' ^ J 2 1 — 2rCMj# + r* i n r — Co8q8 -^Zl-irCcsqs + r*-^^^^^' [•" = ']' = — — ; ; — r-l (r — Co8q8)SCnS%nntq — {Sin q8—rSin^8+r*Sinq8)JSCnCoantq — 2(1 — 2r ooag* -[- r*) L i j^^i ^ -x n r ^ — r{Co8%q8 — rCo8q8)SCnSinniq = \{r — Co8q8)SCnSinntq-^ k^\ -I 2(1 — 2rC<w9« + r*) L^ ^ l ^ — .Vir49«.(i— 2rCb«9« + r*):SC„Co«n^ + Coaj«.(l — 2rCoaa« + r») SCnSinntq\ = k+\ ife+i J = 8(l-2rLg, + r») [('-^'«?') A <?) + d-^'^-?' + '•*)ic,&« {(«/-.)?}] = n r ""^ Co8 os ^ ~i '^ "2 [l-^rCo.J+r^'^' ^g^ +.f fi*^^'" t(^<-Og}J> [^<^^<2*> fc^<,<(i + l)0, n r ^^^ «= — j — — T~T\ I (** — Co8q8)SCnSinntq + C^fc^ — Sinqa.Co8q8+r Sinqa — r^.O) — — {Sinqa — rSinZqs + r* Sinqa^JSCnCoantq — r{Co8 2q8 — rCoaqa) SCnSinntq — TTT-T-T ~[{r'-C08q8)SCnSinntq+{l-2rCoaq8+r^)2CnSin[{nt--8)q} +Ck. Ol 2(1 — 2rCo»5*+r*jL i jk4-l ^ ' J =i[i=i^^/»(«)+^?-^-(('-— )^}]' [**=•<«'<«']' Digitized by Google BIJ DB THBOKIE YAN BEPAALDB INTBGBAlBN. 28 fSinsx qdx ^' ^"^ l_arCa»«r4-r» 9» — ** "" u = ;^ T [(»'— ^9«)-SC^Sin«^9 — (5in9«— rSm29*+r»SiM9«)-2'C„C<wn<9— —r{Co8^i—r(^q8)20nSinntq + GcSinqs{r^ — Caii(fi)^^ - -.,. r ~J[{r—Coiqi)SCnSinniq+{l—ftrCosqi+^^^ +Ce.o] »(1 — 2,rCoiqi+r^)^ l A+l -* ^ [ir—Coiq8)SCnSinntq—Sinqi.{l — 2rCoiqi + r^)SGn(hintq^ 2(1- 2fCw9« + r»)L' ^ 1 ^ ^ ib+i 84: c — r{Co82,q8 — rCo8q8)SCnSinntq — {Sinqs — r» Sin^8+r* Sifi2q8)2CnCo8ntq-^ l;+l 8^+1 — r»(C(w89#— rC<w29*)-rC,i5inne9l = (l-grLy + r>) [(r-^<l')^^nSinntq + (l-2r Co*,. + r^)i^C„Sin{(nt-*)9}— 2 e - (Sino*— r*Sm 3a«+r»5in9*)-rC« Co8ntq+{Co8 qs—r—r^Co8 Sja+r» CVwo*) -SCnSinntol»» W?+l 2*+l -* n r r—Co8Qs ^ H- T— — SCn[Sin{{nt—s)q)—rCo»nt<i+r^Sin[{S,-nt)q) +r*Sin{int—it)q}l[\*:m [i-ll^+,.^''"+ifi-^" «"'-"' +'4?"*" «"'-*"«)]• [2*<<;<<3«, 2to<«*<(»t + H«J, n S I Digitized by Google 24 OVER EENIQE NIEUWE HERLEIDINQ8P0RMULEN Sinsas qda — r{Cos 2qs — rCos qs) J£ 0« Sin ntq — (Sin qs — r^Sin Sqs+r^Sin Zqs) JS 0; Cos ntq — —r^iCosSqs — r Cos 2qs) S C« Sin ntql = (i • 2*4-8 J +^ic[«».((.^),)-^s»{(«^-«,),)] j] - 1 [,_;~^'^^,. /. (,) + +io.«» {(«-.),) +jio.s- {(n^^),)]. [„,+,';< ;'.^^;j+jj, n r ^ 2* =^ ^TT; — TTT; r^\ (r — Cosqs) 2 CnSinntq — Sinqs.{l — Zr Cosqs + r^) 2 CnCosntq^ 2 (1 — 2rCosqs+r^) L ^ ^^1 2iE: — r (Co« 2,q8 — r (7o« 0«) 2 C« iSm n<o -f- Cgifc^. 1 Sin 9«. (r * — Cos Zqs) — *+l c c — {Sinqs — r^ SinSqs + r^ Sin^qs) JS CnCosntq — r^{Cos3qs — rCostqs^JSCnSinntq = 2ifc+2 2*4-1 -* =* rr; TT r^. Ur— Co/?9/»)J^C„&nw/9+(l— 2rCo/»9« + r*):SCnStii{(n^— «)(; 2(1 — 2rtosqs + r^) L^ '1 ^^1 + C^jt.l.O + {l — 2rCosq8 + r^)2:0n iSin [{nt'-- s)q} +rSin {{nt — ^>.8)q} ]1 == 3& '-1 — »rOO«5«-f"** *+i 2*+ 2 ■• J _ I j^ — Q^g ^g\ 2; C„ Sin ntq + Ck (— Sin qs, Cos qs + r Sin qs — 0) — 2{l — 2rCo8qs + r^)l> ^^ i v t^ v y y "t y j 2/fc— 1 2ifc-l — (Sm {«— r ' Sin 29«4-r * Sinqs)JSCn Cos utq- r{ Cos Zqs-rCos qs^JSCnSin utq+C^kSin qs.{r ' — Gm ^s) + t+i *+! 0 c + {Sinqs — r^ Sin&qs + r* Sin2qs) -SCii Cosntq — r^ {Cos 3qs ~ r Cos 2qs) 2Cn Sinniq] 2k+i afc+1 J Digitized by Google / /,(*) BIJ BE THEORIE VAN BEPAALDE INTEGEALEiV. 25 Sin 8X qdx 1 — SLrCosax-^-r^ q^ — a^ " 2(1— 2r(Ly.+r^) [(•^^^?*)^ C„Smn<y+C^O+(l— 2r(7o.,*+r»)i^^^ + CsM..O + (l — 2r(7o«ys + r')-r 0«6m {(>//— 2^)g)"| = Tot goed verstaan der herleidingen, die hier achtereenvolgens op de verschillende formulen worden toegepast, merke men op, dat telkens eerst naar de voorschriften van N^. ifc-f-l En zoo gaat men voort tot aau het einde der formnle toe. Komen er wegens de grensvoorwaar* den, die voor £ en c gelden, oorspronkelijk losse termen voor, met de coefiScient C^, zoo moeten bij de voornoemde herleidingsformule deze termen natuurlijk ook afzonderlijk worden gehoudeu. Bij elk volgend bijzonder geval ten opzichte der betrekkingen tusschen s en t mogt al dadelijk worden gebruik gemaakt van de ultkomsten, die de vorige gevallen na de herleiding opleverden. en dat wel alleen ter bespoedigde vereenvoudiging. Bi] de hier naauwkeurig behandelde algemeene integraal zag men, dat de uitkomst voor *<^c<<2< dezelfde bleef, hetzij W<*<(A + 1)^, hetzij kt =^ s was; daarom behoefde er ook later voor grootere ct tusschen beide gevallen geeu onderscheid meer te worden gemaakt. Ver- gelijkt men nu al de verkregen uitkomsten, negen in getal, met elkander, zoo blijkt het, dat er slechts vier onderling verschillen, zoodat men ten slotte heeft, — wanneer men onderstelt A = ^ ^ , hetzij 9 juist een veelvoud is van t of uiet. 0 «p _. r *~*~~ CoS (JS ^ *n l^ATUUBK. VSRU. DEB KONINKL. AKADEMIE. DEEL XII. Digitized by Google 26 OVEK EENIGE NIEUWE HERLEIDINGSFOBMULEN Uit het zamenvallen der waarden voor meer dan een der yerschillende gevallen, blijkt het genoegzaam, dat onze herleidingsintegraal tot de zeer eenvoudige van deze soort behoort^ en toch worden reeds in de beide laatste gevallen (XIIIc) en (Xllld) do uitkomsten zeer zamengesteld ; men ziet daarenboven gemakkelijk in, dat voor grootere waarden van c/, er langzamerhand nog meer termen in het tweede lid der vergelijking zullen verschijnen. In het vervolg zuUen wij dus alleen de herleidingsformulen nagaan, zoolang ct <^ 2,s blijft. 11. Oaan wij over tot de integralen (7) en (7^)^ en letten wij op de voorschriften van N% 2, zoo verkrijgen wij. f 1 — r* xdx 1 — ZrCostai + r* q"» — x* 0 n r ^ 1 ^ 1 = -. :r-;^ r^ rSinga.SCnSinntg {l — 2,rCo8g8 + r^)SCnCosntg = l—2rCosg8+r^i. 1 2 1 -* TT - c 1 c 1 n ""[Tzi^^/*(?)-^{/*(?)-Co + rC.}. [ct = .], (XIV.) TT r 1 * * = 1 r~;, ; — : {l — 2rCo8g8 + r^)2CnCo8ntq4'rSing8.SCnSinntq'\' 1 — 2rCo8g8 + r^ ^ % 1 i 1 c C -| + {—-a—r^) + r^Co8 2gi—r^Co8q8}JSCnCo8ntq+r^{SinZq8—rSinq8)2CnSinntq\ = TT ,- 1 c c =;; :\ — (l-2r Cos q8-r^)SCnCo8 ntq+rSin qs.SCnSin ntq^ir Cos qs-ir^Cos^qs + 1— ^rCo^ga+r^L 2 11 c c _ + r» Co8q8)2CnCo8ntq + {r^ SinZqs — r^ Sin2qs—rSfnqs)SCnSinntq =- jfc+l 1 -■ Digitized by Google BIJ DE THEORIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. 27 0 n r l *-l ^-1 1 =r-T^ ir~i L~ i"^ l-2r(7o* y«+r » ) -SC«Co5 /i^gr+rStw gr,.^0„Sm ntq+-Ck{ l -r * }{r-(?o« qs) + + {—-('—»•') + ^* Co5-2v«— r3(?o57*}^C„Cojn<5rfr*(Sm25r« — rSinj^yJS^CnSmw/y = ° 1— >2rclyy^ + r^ [— 7(1 — g^g^^^g^ + r')ic,Co^nf?g + r Smy^.lc^Sfnn^g + i c + {— ^a + »'')^ + '-' ^0*9*} 0^ — ^(1 — 2rCos9^ + r»)^C„Co«{(n<—«)9}l« * ifc+1 -J r rSinqa. l^ ^ -, ^^"Ll-grCo.g. + r^'^^ (^^ -^{/.(?)-Co+rC,}-r^^^C«Co.{(«^_s;9}],[A^ = .<^^^ "" 1— 2r(?o^ga + r' L 2^^ ~ ^rCoaqs + r»)^C„ Co« niy + r &n j/». JS C„ Sin n<j + 1 c * I + {-r^l-r*)+r«Co«29a--r8Co«y*}-2C„Co5niy+r»(Sin2g«-rSm7.i)-2C„5mn<o+-.Cc(l-r2)(^^ ^ k-t\ jfc-1-1 2 ' ^ 'J = ; T";;; ; — 7 T— « (^ — ^^ ^^* J« + r») :S C„ Coa utq + r Sin qft. S C„ Sin n^o— 1 — 2rC/o«9* + r* L 2 1 ;i ' c 1 - _r(l — 2rCo»3a+r=)-SC«Co<{vnt— «)9} + -r»(l — 2rCo«9* + r»)Cc| = ifc-f-l 2 J [c< = a«,A<<,<(*4.i),],. (XIV.) « r l *~^ *^i 1 "l-arCoJOtf+r » L i^^ "^*'^'"^"^*' * ^-^^»^*" "'2 + rSinqs.2{inSin utq-\.-Gic (1 -r* )(r-<7o» q$)- ,1 c-l e_l - {— « (1 — ♦•') + »•* Co»29« — r»<7o»5»);SC„Co»n<y + r» (5in2y#_r5fnM)^C„5in«to + +2 Oc(l-r»)(r»-(7<« 25«)]=^-^^-^^— j--^[--(l _2r C^j.+r*) ic„ (7o*«<j+r5in y«ic,5tnn<- - 1 „ «1 — rCA(l+r»-2rCo«j«)— r(l-2r(7o«9«+r»)^C„Co»{(n<_8)y)— -r»Cc(l— 2r(7o«?»+r')]= r rSinqt , 1 , c "= "Ll-arCo.y^ + r»-^» ^^^~ 2 ^^* ^?)-Co + rC,+ r» Cc) — -^^O^Co» {(«*-.;,}], [rt = 2», */ =. »J. Overigens valt er omtrent de herleidingen, waaraan de eerst verkregen waardeu in elk geval telkens onderworpen worden, slechts te herinneren aan hetgeen te dien opzichte in N^ 10 is opgemerkt. 12. Lettende altijd op de voorschriften, in N^ 9 ontwikkeld, zullen wij door middel der integralen (8) en (8a) achtervolgens verkrijgen. r(l — r^)Cossa xdx 0 = ^ ;-[-r(l-2rCMy«+r«)^C»C<)«n/g+(l+r»)S/n9«3c„«nn«9+Cc(l-r«){-Cw»3»+-(l+r*j}]— = ^ -r-r(l-2r(7oio»+r»):lo„(7o»n«o+(l+r*)5i«9«.^C,«n«/}--Cc(l+r>)(l-2rC'o»v*+r>)l= 2(1— 2rC/o»9«+r')L i l 2 -• - 1 Ci -t2"X^^' '"- V. M-o.+^ c.)], [.-.j (XT., k t =s r— r(l — 2rCM0« + r*)SCnCo8tUq + {1 +r*)Siuqs.SC„Sinntq + 2(1 — 2r6'o»9« + r»)L ^ ' ' i 1 + [—(l—r*)Cotqi + {l+r^)(rCosZqt—r*Co*qa))SCnCotnlq + [l+r*)r[Siniq»—rSinq8)SC„Sinntq'j= c c ^ ^ [—r(l — 2rCosgs + T^)2CnCosntq + {l+r^)Sinqs.SCnSinntq— 2{l — irCosqs+T^)^ ^ ^ 1 1 — (l+T^)Cosqs.il — 2rCosqs + r^)2CnCosntq — {l — 2rCosq8 + T^){\+r^)Sinq8.2CnSinnigj = Digitized by Google BIJ DE THEOBIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. 29 (1 — r^)CosM xdx J ^^^^h — ZrCosas + r^q^—a^ 0 ib-1 *-l » (1 — 2r Cos ?» + r*) L 1 1 + Ck{l—r^)[—Co8^q8+-^{l+r^)} + {—{l-^^)Cosq8+{l+r^)(rCo82j8—4^^Co8q8)}SCnCo8ntq 7b •. « +(l+r»)5wiyr^C„Co»n«?--Ci(14T*)(l— 2rCM?«+r»)-{14^'»)(l-2rC()»j»+r*)-SC„C<M{(»<-»)j)]=- « r * * ss — r(l — 2r(7o»M + r»)^CiiC(wn<ff + (l+r»)SjnM.^C»5tnn<fl + 2(1 — 2rC4>»?« + r»)L ^ » t / ^ » J-rv t ; y ^ » » t c-I c-1 + {_(1 _r» ) Co» j»+ (1 +r » )(r Co» 2j#— r » Ctf» j»)) -ZC, (7o« nf j+(l +r ») r(5m 2j»--r /Sin jr»)^0,«Sin n/a+ *+l *+l + (1— r»)Cc{— Co»2g«.«i>»g«+^M+r*)}]-=^^^_g^^^^^^^^,^[-r(l— 2rCo»y«+r»)ic,Co»nfg+ C 1 +(l+r^)Sinq8.2CnSinntq^{l+r*){l-'2rCo8q8+r^)SCnCos{{nt^)q}—--rCc{^ 1 ifc+i * J [+r^)Sinq8 -ZrCosqs+r^ = ^^^ [—r(l — irCosqs+r^)^CnCo8ntq + {l + r^^Sinqs.^Z^CnSinntq + 2(J — 2rCo»?* + r*)L ' l i 1 c-1 + Cife(l— r»){— (?o*»?5+~(l+r»)} + (— (1— r»)Co«y*+(I+r>)(rCo«2y*--T*Co«y*)}.rC,Cb«^ e-1 1 ^ + (1 +r^)r{Sin2q8—rSinqs)2CnSinntq + {l—r^)Cc{—Co8^s.Co8qs—-r{l+r^)}\ = A+l * J -. c c « - r_r(l — 2r(7Mg« + r*).rCaCo«nf5' + (l+r*)5mj*..rC„5inn<j— 2(1 — ^rCo^jtf + r^) L l i 1 ^ 1 T — -Ck{l+r^)-{l-irCo8qs+r^)^{l+r^){l'2rCo8qs+r^):SCnCos{{nt''8)q}^^^^ -5^I^^^.(^)-»-t^«(5)-Co+4r^*+i(l+r*)CcH 2Ll-.2rCo«gr*+r* 2 jfc+i -« ■- J A— 1 *-l Digitize(d by Google 30 OVER BENIQE NIEUWE HERLEIDINGSPORMULEN Dat dit geval tot dezelfde verscheidenheid van uitkomsten aanleiding geven zoode, was wel tc vermoeden ; immers zoowel de integralen (8) en (8«), die hier gebruikt worden. Frtammen van de- zelfde herleidingsformule (VI) af als de integralen (7) en (7aS die in het vorige N*. 31 tot hefc- zelfde doel hebben gediend. Er valt das ook omtrent deze uitkomsten slechts hetzelfde op te merken, als omtrent die van N^ 11; terwijl de toegepaste herleidingsmethode dezelfde is als die, welke in N'*. 10 werd uiteengezet. 13. Geheel anders is het, wanneer men de integralen (9)^ (10) en (11) bezigt; immers hierbij was geeu sprake van verschil in hare waarden, naarmate van het teeken van ns — p, P — wanneer men slechts let op de gestelde voorwaarde («) dat — niet een geheel getal mag wezen : en dus ook blijfb de waarde van de algemeene integraal dezelfde^ en verandert niet met de be- trekkelijke waarde van et of eenig kleiner produkt kt ten opzichte van 8 of in het algemeen van l8. Men lette er op, dat deze integralen nog alie eene sommatie ten opzichte van n bevat- ten: en dat dus de nieuwe sommatie ten opzichte van i hier, zoo als oorspronkelljk werd aan- gegeven^ teii opzichte van m moet geschieden. Men verkrijgt alzoo dadelljk algemeen. f Sin8x x^lx 1 C ao — - 2 C« Sin mtq.2 r»- 1 [Sin nq8. {Ci[{n8^mt)q]+Ci[{n8 ^mt)q]}—Co8 nq8. [Si [{n8+mt)q]+Si [(«*— ml)^]}}- l e • r —^2GmCo8mtq.2rn-\[Cosnq8.\Ci[{n8+mt)q]-a[{n8^mt)q]]'-Sinnq8.^^^ 0 + SG„tSinmtq.2:r»[Sinnq8.{Si[{n8 + nU)</] + Si[{n8—mt)q]}-\-Co8nq8,[Ci[{n8+mt)q] + Ci[{n^^ — 2GmCo8mtq,2r'» [Cosnq8,[Si[{ns+mt)q2^Si[(n8-^mt}q]}+Sinnqs.[ C?[(n«-|-wii;9]— C/[(fi«— iiil)^])]; ,(XTII> r^ .X {l — r^)Co88X qdx i,^ ro ^ •^* ("^) V^Cossx + r- 73^ ^ r2Gn\Stnmtq.Ci{miq)^ Cos mtq. Si {m(q)\ + 0 1 <^ 00 +-{\+r^)2G^Sin mtq.2rn-^[Sin nqs,[Si[{n8+mt)q]+Si[{n8^mf)q'\ )+Co8 nqs. {Ci[[n8+nit)q]+Ci[{n9-^)q'\) ]— ^ X 1 1 C 00 — (l+r^)-2C,«Co«m/j..2r»-'l[CMwj«.{5t[(w#+mf)9]^^^^ £ 1 1 Digitized by Google BIJ DE THEORIE VAN BEPAALDB INTEGRALEN. 31 Zoo als gezegd is, behoefde men hier geen onderscheid te maken tusschen de verschillende betrekkingen tusschen ci en Sy wat hare waarden betreft; maar daar tegenover staat, dat men na bij de dubbele sommatie of blj het opmaken der dubbelreeks^ telkens de integraalsinus of de inte- graalcosinus, wanneer haar argument negatief wordt, tot eene dergelijke functie te herleiden heeft, waarbij het argument omgekeerd positief is geworden. Verdere herleiding der uitkomsten schijnt hier niet wel mogelijk, omdat er nog te weinig bekend is omtrent de theorie van deze beide transcendente fnnctien. 14. Thans zijn wij genaderd tot het tweede stelsel integralen (12) tot (17}> die bij de substitutie p ^ mt alle deu factor Co» mtx bezitten. Ook dit stelsel is in twee hoofdafdeelingeu te scheiden: de drie eerste (12), (18) en (14), en de drie laatste (15), (16) en (17). Bij het eerste drietal zijn wederom alle sommatien uitgewerkt, hetgeen bij het tweede drietal niet het geval is; derhalve komt bij het eerste drietal geen ordegetal n meer voor, en kan men gemaks- halve de tn, die hier bij de toepassing wordt ingevoerd, weder door n vervangen, en dan ten opzichte van die n sommeeren, van n = 1 tot aan n = c. Ten aanzien van hetgeen er gebeart^ als ct kleiner dan a is of daaraan gelijk wordt; wanneer ctj grooter dan s zijnde, al of niet tot 9,s klimt, en zoo vervolgens; waarbij dan, be- halve in de beide eerste gevallen, daarop te letten is, of *, en evenzoo 2*, en zoo voorts, juist een veelvoud van k is, of ook tusschen twee achtereenvolgende veelvouden van k gelegen is; — daaromtrent blijven hier de voorschriften, in N^ 9 gegeven, in hun geheel gelden. Het eenig onderscheid toch, dat er hier voorkomt, is het vervangen van Sin mtq door Cos mtq , en dit heeft op de redeneering van No. 9 geenerlei invloed. Maar bier vertooni zich eene geheel andere bijzonderheid, die zijn oorsprong heeft in het gebruik van de ontwikkeling /4 {x) : deze bevat toch onder het integraalteeken eene functie van deu vorm f^{a)Co8psn^ en nu bedenke men, dat telkens de Dq de coefficient wordt van eene afzonderlijke integraal 1 (fi{a)daf die buiteu het sommatie-teeken staat. Zij moet dns telkens 0 afzonderlijk worden bepaald, en daartoe behoort men bij ons drietal achtereeuvolgens zijn toc- vlucht te nemen tot de integralen (4), (2) en (3), in N"*. 8 afgeleid. De uitkomsten, op die wijze verkregen, vertoonen zich dus het eerst, afgescheiden van de sommatien, die daarop moeten ▼olgen; op haar oefenen natuurlijk in geen geval de verschillende betrekkingen, die er tusschen ct en s mogten ontstaan, eenigen invloed uit: deze losse, alleenstaande integraal behoudt dus bij iedere herleidingsformnle altijd dezeifde waarde. 15. Naar deze opmerkingen en de hier herinnerde voorschriftien van No. 9, verkrijgt men door de toepassing van de integralen (12) en (12a). rSin^a xdx ^* ^*^ 1 — 2rCMW + r» q^—a^ '^ o '^-^ — :r~;^ r^A^oir-Cos qs) + (Sinqs-Sln qs+0)SDn Sin ntq-^iCosos-^^Z BnCos nto | = 2(1 — 2r Go«^«4"r*)L 1 1 J Digitized by Google 32 OVER EENIGE NIEUWE HERLEIDING8F0RMULEN Sinsx wdx /«w 0 e— 1 "2(l-2rL9,+r') [Do(— C.>*9»)+(CM?*-r)yD,Ca.n(,+ Dc{&n»9*-i(l-r»)}] - °2(l-2rL,,+r»)D'-^"^'>^"'' + f^"^"''^^ + ?^-^'-^^^^' + *"^]" = i[l=i^ferA(,) + iB.]. [«.».J. (xrx.) 2(1— 2rCw9* + r*)L °^ D \ H i ^ n «yt + (&'«{« — T Sin%q8 -^ r^ Sin qs) SHnSinntq — r(Co8%q8 — rCo8q8)SJinCo8Htq 1 = ifc-hl ifc+1 -^ = ^^"^ \(r—Co8q8) (Do + -2 D„ 6\w«to) + 2(l_2r<7o«g»+r*) L^ Y M o t ^ n •y; "r c c -• ^ (l_2r CM<;*+r*)5m9«. -SD^Stnn^? + (1 — 2r (7o«9« +r*) Ow^a.JS D„ Co^n/j = ik+l ifc+l -■ °^ 2(l-2rgo.y+r») [Po(r-Coa7a)-(ga.^^r)^D„Q>an<g+D4S»n>y--(l-r^)) + + (Sino* — r/Si«2o« + r* Stn9«)^D„Stnn<9 — r((7(w2j« — r Co« o«) ^ D„ (7t>* nto"! = ifc+1 ifc-fl -J = -^ r(r— Co«^«;(Do + -rD„C?Mn<j) + 2(1 — 2rC05^« + r*) L^ ^ '^ ' X 1 ^ + -Da:(1— 2r(7o55« + r') + (l — 2rCo595 + r^)2D„ Co« { (/i^— «)o}"l = 2 ifc-fl -'J = i \.l-^Col7^ r^f^ ^^^ + ^D.+iD,C.H(n^-^1^}], [*e = .<ct<2.]. (XIX.) 71 r * ^^ ss- ; 1 Do vr— Co8 q8)^\ Co8 qs- r^^BnCos ntq-jriSin 7« -rSin 2 j»+r»Sin o«)-2D„Sin utq - 2(1— 2rCo«5*+r*) L 1 |.+1 c-l 1 — rt(7os29«— rCo59«)-2D„Co«n/9 + Cc {Stng^^.Stn^.? r(l -r»)) « ifc-t-l 2 c c = —;; — TTT; rT. [(r—Co8q8)(Do+2Dn Co8ntq)+{l—2rCo8q8+r^)2D„Cos{[nt^8)q} + 2(1 — 2rCo«^*+r*) L 1 ifc+l ' Digitize(d by Google /■/.<., BIJ DB THBORIE VAN BEPAALDB INTEGEALEN. 33 Sin Bx ada 1 — ^rCoasa + r'' q^ — a?* ifc— 1 n r «—1 1 ^ ^l—^rCosqs+r^) \P^i^—(^^9^)-iCo'<l^)^^nC<>sntq + T>k{Sin^ j^^(l_r')} + ©— 1 «-1 + {Sin qs — rSin Zqs + r^ Sin qs)2J)n Sin ntq — r* (Cos 2qs — rCosqs) 2 D„ CosnJtq + h^\ ifc+1 + 0,[Sin%qs.Sinqs-\r{l-.^)}^ = ^^^^ 1 ^ 1 T + -'Dk{^—^rCosqs+r^) + {\—%rCosqs+r'')SDnCos[(ni—s)q]+ -Dcr(l— 9,rCosqs+r^)\=^ Hier ziet men, dat er voor elke bijzoDdere betrekking tusschen ct qu s^ ook eene bijzon- dere waarde voor onze algemeene integraal wordt gevonden^ zoodat er hier geene zamentrekking yan meer uitkomsten tot eene kan plaats hebben. Ten opzichte der herleidingen valt hier niets nieuws op te merken: de formulen zijn bp dezelfde wijze behandeld, als reeds vroeger in N^ 10 uitvoerig geno^ werd aangegeven. 16. Bij het gebruiken van de volgende integraal (13) en (13a) blijft de bewerking wel hetzelfde: maar de uitkomsten veranderen dikwerf niet met de verschillende onderstellingen, zoodat zij ten slotte zich tot weinige laten zamentrekken. Zoo is: / ^^^''' \ — %rCossx + r^ q^—x^ 0 /.w — «^ ' /> — j^[Do»-'«n9«+{-(l-r*)-r<7o«7«+r*)^D„&nM<9+r(&B9*-r.O))^D„COTnt9]= ^ 1 — 2rclgs + r» [*• ^" ?'• (^^» + SHnCotntq) + i(l — 2r C0»qB + r*)2D^Sinntq'\ = NATUURK. VERU. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XIl. Digitize(d by Google 34 OVBB EBNIGE NIEUWE HERLBIDINGSPOIIMDLBN 0 _ p 1 c— 1 «—1 l—2rCosq»+r* L " ^* ' g^ 1 1 + T),{i(l-r^)Sinq» + r*Sinq»}'\^ ^_^^J^^^^_^^^[rSinq,.{Do+SJ)nCo»ntq)+ 1 ^ 1 (- rSinas 1 ~i r i _ _ 1 k t = iDorStMM + -(l—irCo»qi+r^)SI)nSinntq + rSinq».SDnCo»niq+ l — ir<:o»q»+r* L " ^ ' 2^ 1 i + /±(i_rJ)_r> Co»2M+r»Co»o»}^Dn5tnn<j + f»(An2g»— rSinj«)^D„C!(Mn^l = = [rSinq».{Do + SDnCo»ntq)+-(l—irCosq» + r*)SDnSinntq + l — 2rCo»q» + r^ L ' ^- 1 '2 1 + {l — ZrCo»qs + r*)rCoaq».SDnSinn(q—r8inq».(\—ZrCo»qt + r*)2DnCogntq\ «= =« rDor5ino» + -(l— 2rCo»o«+r»)-SD„Smnt?+r5in9».^D,ro»n«? + 1 — 2r(7o»3«+r» L " *^2^ '^ 1 i 1 1 ' + Di{-(1— r»j&n9« + r» &n9»} + {-(1 —r*) — r^- Coi2q» + r» Cosq»)S BnSinntq + + r» (Sin2?«— rStn9.)^D,(7o»n»fl] -^_.^^^"^ ^ [r5in9».{Do+^D„Co.«*^} + + l(i_2r(7o«tf»+r»);SD„«nn«9+DA.O+(l — 2rCo«j»+r»jr-SD„5in((n<-^)j}] = '2 1 *+• = "r, jy\ JA9)+-,/Ai) + r2nnSin[(nt-»)q}'\, [te = »<ct<2»]. Digitizeid by VnOOQlC BIJ DE THEORIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. 35 0 n ^ 1 * «. ; [D^rSinqi-^- -{l—iLrCosqs+r^)ST)nSinntq^rSinq8.SDn Cointq+ 1 — 2rCoaq$+r^ L 2 l i 2 c>— 1 c— 1 + (-(l—r») — r» (7M5Kj^+r» C059*} ^D„&'nnej + r» (Sm£9« — r«ng*)-SD„CM«^ + + MI (l -r»)5m29*+r» Sinqa]] = i_g^g^,y,^^» [rSin9«.{Do+ iD„a>«n<?} + + ^{l—irCHMqa + r^) 2T)nSinntq + (1 ^ZrCo8q9+r^)r 2 DnSinUnt—s)q} +J)e.O] « TT r 1 * ^ a> l\rSinq8 + '{\ — irCo8q8+r^)2I)nSinntq+rSinqs.S\)nCosntq+ 1 — 2r(/0*y«+r* L 2 1 1 + {-(1— r^) — r^Co8Zqs+r*Cosq8)2J)nSinntq + r^{Siniq8 — rSinq8)2T)nCo8ntq + 2 ifcH-l jfcH-1 1 ^ * T + (_(i_r«)— r» Cos^qs+r* Cos iqs) 2 BnSinntq+r^ {SinSqs--rSin2q8)2DnCosntq\= ^2 2JfcH-l WrH-l -" °1 — 2rC?I ^ , y2[^^^g^'(Po+-^PnCo^y*<g)+-(l — grCo5y + r»}^DnSinn<^ + +(l-2r<7o«9« f r>)r-rD„Sin {(n<-«)<^} +(r»(?o« 295-r »(7o« 9«-r>(7o« S^^+r* Cos iqs)2DnCo9 ntq- t-l-l 24+.1 c — (r» iStn 2<?« — r« Sinqs—r^ Sin iqs + r« Sin iqs) SDnCosniq'] = + (1 — 2rCo«9« + r») (r' Co«27«.-2D„5tnn<fl — r» Sm2fl*.-SD„Co«n<9}l = 5* Digitized by Google 36 OVEK EENIGE NIEUWE HEELEIDING8P0BMULEN 0 « ^ 1 * * 1— Zr6o5^*-f-r*L 36 1 1 1 2A+1 2Jb+l + {-(1 — r») — r» (?o«29« + r» (7cwq#} -SD«5mn<<? + r> [SiH^qB — r8inq8)SlinCoBnlq + 2 A+l jfcH-l 1 C C T + {r(l— ^*)— f*CMS9«+r* Coi^qB}21inSinniq+r^ (Sin 8o*— r Co» 2^«) -S D„ Co« nto | = w - c 1 « = , rrSino«.(Do+-SD„Co«nto) + - (1 — 2r Omo« + rn-S D.Smnto + 1 — IrCoBqB + r^ L ''voi^ ^''2 xiy^» y^ c c c +(U2rCo«y«+r«)r-2D„Sm{(n<-*)o)+(l-2rCo«o«+r«}(r«Co«2o*^D„&nn<o-r»^^ ifc+1 )W:+i air+i J w r 1 ^ * = , ■ ^ ; - Dor6ino« + -(1 — 2r Co«o«+r*)-2D„&7in<o + r Smo«.^D„ Co*n<o+ 1 — 2rCo»75+r» L '2 ^i i ^* 1 2ib 2ib + {-(1— r») — r» Co«29# + r» Co«<?«)}-2D„Smn<9+r» (Sm^?*— rSm9«)-SD„a>*n/9 + ^ ifc-l-l A+l 11 ^ + D2iH.i{-(l— r»)&n29«+r»Sm<^«}+{-(l— r*)— r»Co«395+r*Co«2(?5j^D„Sinn^ + « -, TT r- ^ + r»(&'n3^« — rSin29#)-SD„Cb«nt7|= \TSinq8.[\)ii^SJ>nCo^ntq) + 2^^4-2 -J 1 — 2rCo*^*+r L i + -.(1— 2rCo<05+r»)^D„Smfi<o+(l— 2rCo«o«+r^)r-rD„Stn{(n^-«)o}+Dw.+i.0+ 2 1 kvl e c + (1 — 2rCo*9« + r*) {r* Coj2o«.-ZD„Smn<o — r* Sm^^^.-ZD.Co^wto « 2ib48 &b+2 J "^"^ili^^fj^ («H? }H^:^nSn{(n*.2^)9}]J(2iH.l)te2*<d<84 Digitized by Google BIJ DE THBOEIE VAN BEPAALDE INTEGBALEN. Omdat hier Toor ct^ tasschen s en 2^ gelegen, de uitkomsten dezelfde bleven, hetzij il;(<«<(£ + l)t, hetzLJ b^s was, is bij het hoofdgeval, dat ct = 28 is, geen onderscheid gemaakt tusschen beide bijzondere gevallen. Yandaar ook dat hier het onderzoek werd voortgezet ▼oor et tusschen 2« en 3« gelegen. Men kan nu deze negen uitkomsten tot een viertal herlei- den, dat werkelijk onderling onderscheiden is: men heeft dan /• 1 — r* ada r- ^ — Sinqs 1 -, ^ 0 trSinos 1 * -i Digitized by Google 38 OYER EENIOE NIBUWE HEBLEIDINGSFOEMULEN 17. De Tolgende integiaal (14) en (14a) ge^ op diezelfde wijze aanleiding tot eene herleidingsformale, vaarbij de bewerking wederom dezeifde blijft. Alsdan is rf (1 — r*)g<»«* qdx J* ^*^l_2r(7OTM + r» y» — «» "" = 2(i_ar^g,+r»)["°^^+^')^"g'+ {(l-'*)««9^1+r»)((7o.j«+r»)) i D,5m«<?+ +(l+r»)(A-ng«— 0)iD, Cwntg] == g^^__^^p^^ ^^^ [(l+r*)&iig«.{Do+iD,aM«<g) + + (l-2rCwj. + r«)iD„&««tj]==^[^-^i±-£^^^/,(y) + r/,(j)], [c« < ,], =rrr-T-^ rvri^o(l4^)&no«+T(l-2rCo«9H-r*).rD„««nto+(l+r»)5mff«!^D«Cb«n<H- 2(1— »r(7o«9«+r*)L 1 i 2(1— ^rCo^j-a+r^jL « ^ ^ ^ ^ -x c c +{ ( l-r»)Co«^«- (l+r»)(r(7o« 2<^«-r»(7o*95) } -SDnSm nf^+^ 1 +r»)r(/Sm ^qa-^Sin qs)S DnCo8 ntql^ ^TTi — rr r-rNr(^+^*)^*^9*-(^o+-^D„Co«n<5)+r(l— 2rCo«9«+r»)^Dn5tnn^ + *(l-^3&r f o«^j5+r*)*- 1 i + (1 — 2r Co»9» + r')(l +r^){Coaqs.ST)nSinniq-{.Sinq».ST)nCotniQ)'\ == k+1 k+1 J ^l{Jl+in^^f^^^) + rf,{q)+{l+r^)SJ>n{Sin{nt~»)q\l\ '«^^^'^ 1 2'-l — 2rCo»9» + r»-'*^^'^ ■'*^^'^^ ^ V» '^**-' life<<»<(i+l)<J' k—\ •\-{\-\-r*)Sinq».S'DnCo»ntq-\'Tik[{\—r^)Sinq,.Coiqg-{-{\ -\- r*)rSinq»} + « c 4^(l-r»)Co»9»-(l+r»)(rCo»29»-r»Cb»9»)):SD,Smn<?+(l-|-r»)r(5in2o»-rSfno«)^D„C4)«n<o|=== t+l t+l -J = _^^ "^ ,+r») [(^^•"'^'^•««••Po+iDnftwn^^+ril— 2rCo»,»+r») jD„Si«n<? + + Dt.O + (l — 2rCo»9» + r»)(l+r»)(Co»9».:SD„5»nn<9— Si«5»..2'D,CiMn/9)l = = i [l-2t2y+'r'-^* ^'^ + "^' '^^ ■*" (^+''),i°-^'" {(»^)?}] ' \ki^»<ct<i»\ Digitize(d by Google BIJ DE THEORIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN, 39 r {l—r^)CoBss qdm _ I ^'^"^l — ZrCosaa + T^ q^—a^ '^ 0 ^77. TT 'r^Jj)o{l+r')SinqB + r(l — 2TCoBqi + r^)2J)nSinntg + 2(1 — 2rt08q8 + r^) i. i + {l+r^)Sinqs.2DnC08ntq+{{l—r^)Co8qa+{l+r^){TCos^s—T^Co8qs)}SJ)nSinniq + 1 k+l c-1 + {l+r^)r{Sin2q8—rSinqs)2DnCosniq+T)c{{l—r^)Cosq8.Sin2q8+{l+r^)r^Sinq8}\= — ^ ^_^^J^^ ,) [{l+r^)Sinqs.{Do+2J)nCo8ntq)+r{l—^rCosqs+r^)2T)nSinntq + + {l—^rCosq8 + r^){l + r^){Co8qs.SDnSinntq — Sinqs.2DnCo8ntq)+Dc.o\ = 2 1 — 2rC;o«^«+r*)L 1 1 2k %k + {{l^^)Cosq8+{l+r^){TCo82qs—r^Co8q8)}2DnSinnlq + {l+r^)T{Sin2,qs—rSinqs)2DnCo8niq+ + {(l-r»)(:o«9g--(l+r')(r»CM89#-r»Co»2^«)}-SDnSiwn^+(l+r»)f«(Stn39«--rSin29^^^ ik-l-l 2ik-|-l -" == ^T; r"7 7—r. + (J +r»)(l — 2r(7o»^5 + r»)(rC7o«2o«.-rD„Smn<o— rSjn27«.-rD„(7o»nf9) 1 = 2ife+2 a*+2 "■ Digitized by Google BIJ DE THEOBIB VAN BEPAALDE INTEGBALEN. 41 =11-^^^^^^^ ^ ff p- jfc-l k-^i ^ Z Vp^lJ^r^)Sinq$+r{l—%rCosqs+r^)2DnSinniq^ 2ir— 1 +J)j^{{l—r^)Sinqs.Co3qs+(l+r^)rSinqs)+[{l—r^)Cosq8+{l+r^){rCos2q8^^ 2fc— 1 + {l+r^)r{Sin2qs—rSinqs)2BnCosniq+B^[{l—r^)Co8q8.Sin2q8+r{l+r^)Sinqs]+[{l—r^)Cosq8— _(l-|.|.i)(r« CosSqs—r^CosZqs)] 2'DnSinniq + {l + r^)r^{SinSq8 — rS{n2qs)2J)nCosntq'\ = 24-1-1 2A+1 -* =. J -\{l+r*)Sinq8.{Do + :SDnCosniq) + r{l—%rCo8qs+r^)2DnSinniq+Dk.O + 2(1 — 2rCosqs+r^) y- 1 l + {l + r^){l—2rCo8qs + r^)2DnSin{{ni — s)q] + D2k^0 + + {l — ZrCo8q8 + r^){l+r^){r Cos Zqs. 2 Dn Sln nfq — rSin 2qs. 2 D^Cos niq)] =» 2X:-i-l 2i+l -^ De herleidingen yolgden hier wederom denzelfden gang als vroeger. Omdat hier voor de waarden van ct, grooter dan s maar kleiner dan 2«, de uitkomst niet onderscheiden was, hetzij s een veelvoud van t was of niet^ is er vooreerst bij het geval van ct «= 2« geen onderscheid gemaakt tnsschen die beide toestanden; vervolgens konde dan ook hier weder wordon voortgegaan met het onderzoek, wanneer cs grooter dau 28 werd^ maar toch kleiner dan Ss bleef. De negen verschil- lende uitkomsten, die op deze wijze werden verkregen, zijn echter niet alle onderscheideu, maar laten zich licht tot de volgende vier gevallen terugbrengen. 0 TTr- (^'i-r^)Sino8 * -| = i [l=i^S?+;:^^*^^^+**^'^^)+^^ + ''niD,si« {(,.-.),} + 6 19ATUXJBK* VSBH. DEB KONINKL. AKADEHIE. DEEL XII. Digitize(d by Google n 42 OVEE EBNIGE NIEUWB HEBLEIDINGSFORMULEN 18. Wauueer men nu de volgende integralen (15), (16) en (17) gebruikt^ worden de uit- komsten wederom veel eenvoudiger, in zoo verre namelijk hier al weder ieder onderscheid weg- valt tusschen de betrekkelijke waarden van ct en s. Daartegen staat evenwel over, dat de eerste sommatie ten opzicbte van n niet konde uitgevoerd worden, en dat derhalve deze tweede sommatie ten opzichte van m moet genomen worden. Wat vervolgens betreft den lossen term, die tot coefiScient heeft Dq en tot tweeden factor de integraal 1 q>(x)dx: deze wordt bij het gebruik van de formule (15) gegeven door de vroe- gere integraal (1); maar ten aanzien van de beide andere integralen (16) en (17) worden d» overeenkomstige integralen voor die losse termen niet gevonden: en dit ook terecht, want zij worden toch ieder op zichzelve oneindig groot, zoo als dit uit de integraal (5) reeds volgt, en nog duidelijker blijkt uit het theorema (IV), dat vervangen werd door (IVa), waaruit die inte- graal (5) kon voortspruiten. Men komt evenwel gemakkelijk aan dit bezwaar te gemoet, door c in plaats van /^ {a) te gebrniken de andere f^{x) — Dq = ^BmCosmta: daardoor toch vervalt de losse term, en daarmede het geheele bezwaar, dat zich hier voordoet. Men verkrijgt nu Sinsx qdx oo _ •^' ^^^ \~%tCosbx + t^ q^—x^ ^ Do-Sm-J [Sinnq8.a{nqs) — Co$fiqs.Si{nqs)\ -}- 0 \ ^ oo _ +-2Dn,Sinmtq.Sr^-'^\Sinnqs\Sil{nS'{'mi)qy-Sil^^^ 1 C 00 — --SD,^ Cos mtq.2r^-^\Cosnqs\Sil{nS'^mt)q'\-{~Sil{nS''mi)q'] )+5i» nqs.[ (?t'[(n« +«e)9]-a[(fw-m«)9] j] ;.(XXII) [/,(ar)-Do] ^ZI^^'~j^i ^rZI^r - S^^OmlCoimiq.Ciimtq) + Sinmtq.8i{mtq)\ + / 0 c -I- -2* T>niSin mtq.Sr^\Sin nqs. {«[(wd+m/)?]— a[(n«— m^)}]}— Co« njs.{St[(n«-f-mf)?]— Si[(n*— Jii<)3)]}]+ -^^SYimCos mtq.2:T^\Cos nqs{ Cil{nS'\'mi)q'\ + Cil{ns-mt)q'\ ^-^-Sin nqs. {5i[(n«-|-m/) j] +ft[(n«-.m^ j]}]; . (XXni; r, (] — T^)Cossx xdx c [/Jr)-DoJ ^_g^^j^^_^^^ ^^— ^== r^D^[C(»m(g.(?i(m<g) +Smtn<j.S.("'^g)] + 0 1 C OD +-(l+r»):SD„5tnm<5..2r»->[5iKnj4a[(n»+m09]-C'i[(n<-OTi)9])-Co4n^«.[S/[(n»+»iO?]-'S»[(n*-nU)9]}]-|- 1+f») 1 " 1 En hiermede zijn wij aan het einde gekomen van het stelsel algeraeene herleidingsformulen. '^-A\'{-r^)SDJ)osmtq.^f^^ dat wij wenschten af te leiden. Digitized by Google BIJ DB THEORIE VAN BEPAALDE INTEGEALEiV. 43 ^ 8. T0EPA8SIN6 BER YERKREGEN HEBJLEIDINGSFORMULEN. 19. Wil men dit stelsel herleidingsformulen gebraiken tot het afleiden van nieawe bepaalde int^ralen, zoo bepale men zich yooreerst tot de overeenkomstige ontwikkelingen 11« /a\ /, («) «a (2 €09- ixy. Sin -ata^ 2 l j Sin mtx , 1 1 « / a\ « / a\ f^{x) — {%Co9 -txy.CoB- atx^ 2 [ 1 Co9mtx «= 1 + -S ) Cosmtx, 2 2 0 \»»/ 1 y^i waann nn Cm— { ] «BB Dm de m - de binomiaal coefficient van den aanwijzer a voorstelt. Zonder de algemeenheid der formulen eenigzins te benadeelen, kan men willekeurig over / be- schikken, daar men immers altijd nadt)rhand door de onderstelling x = ty de standvastige t we- derom zoude kunnen invoeren. Deze opmerking kunnen wij hier nuttig gebruiken, door ^ « 2 te siellen, en alzoo het element —tx tot de geheele x terug te brengeui waardoor de gebroken vormen worden vermeden. Op die wijze leiden wij uit de algemeene vergelijkingen (XIII) tot (XXIV) achtereenvol- gens de volgende integralen af. /* _ Sinax.Sinsx gdx n r — Coaqa ^ « r -■ Co9«x. l , r-7-1^ 7 — x; 7-p; ^—rCos^q.Sinaq, r2a<*l, . . (18«) 1 — ZrCossX + r^ q^ — x^ 2 l — 2r Cosqs + r^ ^ ^'L ^J' ^ «^ 0 ^2A + 1)<.<2(A+1)' *=-<i^i('-l)J} (!»<') 6* Digitized by Google 1 44 OVER EBNIOE NIEUWE HEBLEIDINGSFORMULEN r_, (1 — r*)Sinax qdm Cotflx = 1 — 2rC<M»« + r» o» — «* 0 ° "[l- J^gl+r»^'^^-^^"^-? (^g-g<"«g-^)]' h=-i • • • • (19*) - " [l-/rtr« + r»^'^'°^- ^''•*«-I (^«- ^"^ - 5i|,(n) ^«((*— ')?>)] • QlliaO - [T=Sp^^'"^-^''^(^^'°^-^"'^eM'- (l)})-4i(n)^"f^'"-"^^>]' . . . (19d) (19.) » JT r —2 — : — - Co9*q.Sinaii — -(Cot^q.Cotaq \l — r' — i [«<2a<2«, "I I ii = <£,-«, breuk 1» 2"*+! \n. r(l — r*)iStn«».Co<«x «</« Cos^x —— — 1 — 2rCo*«« + r» ?»- «» 0 Digitize(d by Google BIJ DB THEOEIB VAN BEPAALDE INTEGRALEN. 45 I '''"^* i — irCoiM + r^ j»— «» ill — irCf8q»-{-r* ill — irCoiqs-i-r* * x ^ s » 2a ■ ^-^c —lir-,f,(J^- ((«—)'}]• [*=.£i.. gahaelJ.-(^«-) aLl_2r(?a#g*+r» » !/ ^ » ~^ ^a+lj o — Cm 117«. {5t [(iM + 2m) gr] + Si [(n«— 2m) ?]}] — -si ^\Coi2mq^f^^rCa$nq8{0i[^^ (21) /* fl — r^)Sinaa odx 1 « /a \ r- — -Zl ^ j5in %mq.2 ASin ii9«.(Si[(ii«+2m)7]+5i[(>i«-2m)5]]-h(7o« 115«. {(7i[(fw+2m)3]4-Ci[(n*-2m)7]}"|- o + Digitized by Google 0 2«+l 46 OVEB EENIGE NIEUWB HEBLEIDING8F0EMULEN ^\co82.mq3f^-^[Co8nqs.[Sil{ns-\'Zm) rCo8ax.Sin8m ada n r — Cosqa ^ ^ r« ^ 1 /«^ % Cos<^a r = ^; — Cos^q.Cosaq, |2a<«|,. (24a) l — 2rCo88a + r^q^—x^ 2 l — ZrCosqs + r^ ^ ^' l ^ J' ^ ' 0 = - r ^— ^^g* — -Co^ag.Cwao^ -rl, r2a-»«l, (24^) -=-r **"" *"g' — i(^t'q.Co9aq + — 2r]Co$[(2n—s)q\+-^'\,\, pl ' , |,.(24e) 2Li_2rCo»j. + r» * ^^2«a+i\«/ ^^ '^' ^ 2<»+l-l'l *==<^ -», brenk I' ^ *' ^nr r-Co,gs go.«g.C(»ag+-l-fr+W|+li (V'{(g"-^)3)1->L V^" "\ il-(24/) 2^1— 2r<7o»j«+r» "' " 2a+l l ^ \A/J ^2«i+i\«/ ^- ''"^J 1 *=<^^,geheel I' ^ ^ ■* /" fl— -r*)Co«aa? ada r riStno» 1 ^ ~\ w 1 J 1— 2rCo»«»+r» 9»—*» Ll— 2rCo»g»+r» ^ ' ' 2 ' ^J l ^^ J' ^ «' 0 o / \ r»<2a<2»r| Digitize(d by Google BIJ DE THEOEIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. ^7 \—lrCoB8X+r^q^—x^ U— 2r(7<M5»+r» ^ * ' » ^ ^^ 0 r (1 — r' ) gp» ax. Co» »m qda ^" l — irCos$x + r^ o>— «» " u -i[i=^S^'^'^"'+''''^'*°'+^Lf.C)*"«''"'«'t;fi(3'*'«'"'''^^ [2*<2a<8«, o 1 1 2ifc<_»<(2/f + l)' <-^ 2 *J ' ^^^«) rCosax.Simx qdx 1 S .r«. ^.. v ^., t C7o«<»a?:; r-;; ; — r "T : = --2rn-\\Sinnqs.C%[nqs)—Cosnqs.8%(nqs)\ + u + ■— • -^ ( ^ ) 5m Zmq. S r«-l [Sm nj*. {Si [(iw + 2m) 3] — Si [(113 — 2j») 9]) + + <7<w nj«. {« [(n* + 2m) 9] + Ci [(«*— 2«») 9]}] — — j-sf^ j (7o*2m9.^r«->[(7o<«9*. {5i[(n« + 3m)9] + 5i[(n* — ^»)^]} — — /Smn9f.{C7i[(n5 + 2m)7]— Ci[(n5— 2«)?]}1;. Digitize(d by Google BIJ DE THEORIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. 49 (l—r^)Co8{{s + a)x} xdx nr {l+r^)Sin{{s+a)g} rCotflx 1 — SI.TC08SX 0 + r^ q^—x^ 2L ^ l — ^rCosis + T^ "*" r(l— r»)Co<((« — a)a:} xdx ^* 1 — 2r(7o»*« + r* y»— «» 0 «r (l+r»)Sino* ^ ^ . 2r— (1 4-r»)Co»o» ^ „, n T ^ (l+r*)5in((« — a)fl} . 2f5jnao „ -\ w 1 ,«,. = ^X—Cofiq- 7 '^ v^ + — — Coifla\, f2a<»l, (81«) 2L * 1 — 2rCo»9» + r» ^ 1— 2r(7o»y,+r» *J'l =■■ ^ ' T ^ (l+^^^^^Sm^^» — a)o} 2r5»nao ^ . 1 £, /a\ „. ,,„ , ,t 2L * 1 — 2r(7o»5» + r* ^ 1— 2rCo» j»+r» 2«i+i\n/ ^^ '*'J [;<2a<2«, I (3l6) +'»iO"f'"-"">l]- i"</<ti+i.'-£^i <"'' - i [-'^" 1-2* 4.+-' + i-it.a.,.+r. ''■^' + ijlf,0{<'"-W+ +'i.(:)^t'"-"'''}]- i«+io°< /(*'+!)' '-.!:5<— )) <»'') Stelt men verder in (30^) en (31«) «— 2a, en evenzoo in (30^) en (Sl^) « = a, welke vei^lijkingen toch voor deze onderstellingen gelden, dan verkrijgt men de vier eenvondige aitkomsten. r(l_ra) CosZax gdx ^* ^J— 2rCcw2aj?H-r^ q^ —x^ ~ o nr^ l\ 4-r^)Sin'^aq r — 'StCosiaq ^ ^ n 2L ^l— 2rCo«2aj+ r> ^ 1 — 2r(7o«2a5+r> ^ ^y \ i NATI7URK. VZllH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL XII. Digitize(d by Google 50 OVER EENIGE NIEUWE HfcRLKlDlNGSFORMULEN /*/>^.i«^ (1 — r^)CosaiD qdx n^ ^ (l+r^J&na// IrSinaq 'Cosax (1-^^)^^^^ ^-^^T-Co^y (l+r^)&na7 2r.9m., •._ i—2rCoa2.aa+r'^ q^—a^ 2^ ^ 1— 2rCM2aj+r» ^ 1— 2r(7o«2aj+r« ^J n ^ (1 — r)* Sinag Cosaq — 5^ -/ ^; (83) 2 ^l— 2rCo»2a^+r» ^ ' f (1 — r^)Cos2aa qdx '^Vn ^ (l+r')Sin2a^ 1 — ZrCosax x.ax qax w r^ (1 -f- r*join*^ao — = - Cos<^Q + 4.r'9»— i?^ 2 L ^l — 2.rCosaq + r^ ^ r — 2CosaQ r^ ^ la\ ~\ w r^lT r ^ 1 — r* firdo? Cos^a — 1 — 2r(7oj»aa? + r* j* — «•' Wi- ^ (14-r*)5«nO irSinaq ^ r «/a\^ , n = n 1— ^^•''^ 9 . ' r + — 7, ^-r— : Cos<^q+^2;[ \Sin{(2,n—a)q] — 2L ^ i—ZrCosaq + r^^ l — 2rCosaq + r^ ^^2«it+i\«/ ^ ^-^ 21. Men kan hier ook de ontwikkelingsvergelijkingen c uSinU — uc+lSiVif(c+l)to)4-uc+2S,nci.r ^ „. /. (ar) = ^y^ ' '^ =2u^Sinmtx, c 1 — uCosta—uc-^lCosUc+DtA + u^-^^Cosctx J, ^ . ^ x, /. (a) = :; 1 { =2u^ Costnta «. 1 +SvF Cos mta, •^*^ ' l — 2uCostx + u^ 0 ^i bezigen, waarbij steeds u* <^1 moet zijn. Hier is 0« «= u'« = D», en tevens Do — 1. Bij de uitkomsten, afgeleid uit onze algemeene herleidingsformulen (XIII) tot (XVIII), (XXIII) en (XXIV), kan men reeds dadelijk door u deelen. e c Maar hier behoeven de sommatien 2GnSin[{nt — s)q} en JSGnCos [{nt — s)q} niet in dien A+l ife+l' vorm te blijven staan. Wanneer men toch de ontwikkelingen /, {q) en /^ {q) als functien van c beschouwt, en dus voor de eerste schrijft (pj (c), voor de tweede <p^ (c); zoo kan men vooreerst de sinus en de cosinus van {nt — s)q goniometrisch ontbinden, en verkrijgt dan telkens twee afzonderlijke sommatien: deze loopen van n = k+l tot n = c, en knnnen derhalve beschouwd worden als het verschil van twee andere sommatien, de eene van 1 tot c, de andere van 1 tot k loopende. Yoor beide waarden kan men nu die sommatien uitdrukken, de eerste Aaal door eene zekere functie q>^ of g)^ van c, de tweede maal door dezelfde functie van k» Alzoo heeft meii het volgende. Digitized by Google BIJ DE THEORIE VAN BEPAALDE INTEGRALEN. 51 c c c f ^ * I JSGnSinUni — 8)q] = Goa qs,JSCnSin ntq — Sin q8.2CnCos ntq =3 Cos qs. { JSCnSin niq^JSCnSin ntq \ — *-hI A+i k-^l l 1 1 j / c k I — Sinqii. ^SCnCosntq — SCnCoaniqS ^Co8q8. [if>^ (c) — qPsW} — Sinq8.{q>^(c) — 9^ (ft)}; c c e { ^ ^ \ 2CnCo8Unt—8)q] = Cosqs.SCnCosntq + Sinqft.SCnSinntq « CosqsASCnCosntq-JSCnCosntq) + A-hl Ar + l k^^ I 0 0 ) + Sin q8. 1 -S C„ Sin utq — -S C„ Si« ntq l = Co» y*. {(jp ^ (c) — <f 4 (^) } + Sin q8. {qp 3 (c) — 93 (fc)}. En hierbij doet zich nog verder eene belangrijke vereenvoudiging op: immers, de noemer 1 — 2uCo8tq -{- u^ hangt noch van i, noch van c af: de termen dus in den telier, die mede yan c ot k onafhankelijk zijn^ dat is uSiniq in qp, (c) en q>^{k), en 1 — uCostq in (p^ (c) en qp^ (ij moeten van zelve verdwijnen, zoodra men het verschil der bside sommatien neemt. Een en ander vindt dadelijke toopassing bij de herleiding van de volgende uitkomsten^ die men ver- krijgt door het gebruik van de algemeene herleidingsformulen (XITI) tot (XXIV) bij de onder- stelde vormen vau /3 {x) en /4 («). Sin ix — tt« Sin { (c -}- 1 ) ta;} + w<^"*"^ Sin ctx Sin 8x qdx 1 %uC08tx-^U^ 1 %rC088X + T''' q^ x'^ " n T — Cosqs^ Sin iq — tt^ Sin { (c -|- 1 ) iy } -f- 1«<^+^ Sin ctq ^ ^ ^l — lrCoVqV+T^ l — ^uCosiq-^u^ ' r<'J» (^^^) n r—Coaqs Sintq — u^Sin{(c+l)tq} + u^-^^Sinctq , 1, „ ^. . ^ . . -, = 2li-2TC08q8 + r^ l-\uCo8tq + u^ +^^^u«An{(ne-,)y}] = n r T — Vo8q8 Sin tq — u^ Sin {(c+ \)tq} + uc^l Sin ctq ^l^ll — ^rCosqs + r^ l — 2.uCo8t(j + u'' "*" u^ Sin[{i+ l)iq]— u*+l Sin ktq — u^ Sin {{c + 1) tq] + «c+l Sin ctq + C'08 Q8 _ ^ ^ ^ l — 2uCo8tq + u^ u* Co8[{k+ 1) ty }— w*+lCoa ifeif? — u« Co*{(c-}- 1 ) <?} + «*«+ ^ Co« cf^-, — ^in 08 ; = ^ l — 2uCostq + u^ J n r- r — 6(95 qs Sin tq — u^ Sin [{c+l)tq] + u<^+^ Sin ctq ~2ll — 2,TCo8q8 + r^ l — ZuCostq + u^ uk Sin[ (fa+/-g)9 )-u<^+I Sin{ {kt^s)q}-u<^ Sin{ {cl+t-s)q}+u<^ ^ ^ Sir»{ {ct-s)gU p«<c*<2«,"| l — 2uCosf.q + u^ J' k = r'. \M) f [Van nu af aan zal men deze herleiding dadelijk kunnen gebruiken, en nog daaruit afleiden 7* Digitized by Google 52 OVER EENIGE NIEUWE HERLEIDINGSFORMULEN e c de waarde JSti^Sin{(nt — 2*)o) en JSu*^Sin{(nt — 2*) 7}, door in de hier verkregen aitkomst 2A-M 2ifcH-2 &i-|- 1 of 2^ + 2 voor Ar + l, en 2* voor 8 in te voeren]. 