title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: i Spannen 46.5 19.3 14.1 192.3 78.45 87 .4 39.9 2 Ontspannen 44.9 19.7 13.8 189.8 78.0 3 Spannen 45.2 19.1 13.4 190.95 78.25 4 Ontspannen 44.8 19.8 13.5 191.15 78.1 87.0 39.9 5 Spannen 45.7 19.1 13.7 191.2 78.2 6 Ontspannen 44.6 19.7 13.5 190.95 78.0 7 Spannen 46.0 19.5 13.7 193.2 79.1 87.9 40.6 8 Ontspannen 44.8 19.8 13.8 192.65 78.9 88.4 40.45 9 Spannen 45.5 18.6 13.2 194.1 79.3 10 Ontsßannen 45.2 19.9 13.7 192.9 78.8 h — 0.0088 log n = 9.14834 e-„T\ — 0.4092 e— n Tt — 0.1675 m T— 6J.35 log m = 9.42254 e-hTi — 0.9458 ) e~ hT-2 — 0.8945 / voor N°. 1 / tot N0., 6 e~hT 3 = 0.84601 waaruit : Nommer, ( 230 ) TABEL 10. c log -. m X> —X, eu | afstand van X tot. x,. Xj — X| en afstand van X tot Xi. p — XehT. Weer- stand r. E 1 . 4841 17.6 12.5 10.95 12.9 35.75 0.826 0.1453 1.4930 17.95 12.75 10.6 12 75 34.0 0.846 0.1416 1.4795 17.4 12.35 10.3 12.35 34.75 0.836 0.1429 1.4952 18.05 12.8 10.25 12.5 34.0 0.836 0.1398 1.4795 17.4 12.35 10.6 12.6 35.15 0.836 0.1446 1.4930 17.95 12.75 10.3 12.5 33.85 0.836 0.1392 1.4898 17.8 12.65 10.6 12.7 35.1 0.838 0.1447 1 . 4965 18.1 12.85 10.6 12.8 33.65 0.838 0.1387 1.4693 17.0 12.05 10.25 12.25 35.1 0.828 0.1431 1.4987 18.2 12.9 10.55 12.75 34.1 0.838 0.1406 Gern. 0.1421 Het Platinadraadje werd verschoven. TABEL II. 15 Sept. 1881. Tempekatuur 16°.0. <V B B o S5 Aard der proef. Eerste uitslag. x.—x1. X3—Xi. a. »■ 1 Siemens ingevoegd. a. b. i Spannen 46.7 19.1 13.9 196.5 80.3 88.75 40.7 2 Ontspannen 45.55 19.95 13.85 155.55 80.3 3 Spannen 45.45 18.45 13.45 195.0 80.1 4 Ontspannen 45.15 19.65 13.25 195.1 80.0 88.6 40.85 ( 231 ) T = 6J.35 0.94781 ook voor 0.8983 [N®. 7 — N°. 10 0.8513 1 14 Sept. TABEL 12. h O S 5 in 'li en afstand van X tot xx. X3 — Xi en afstand van X tot xt. p — X eh 'e. Weer- stand r. E i 1.4808 17.45 12.4 10.9 12.8 35.95 0.819 0.1423 2 1.4998 18.25 12.95 10.7 12.9 34.35 0.829 0.1377 3 1.4658 16.85 11.95 10.55 12.45 34.45 0.829 0.1382 4 1.4932 17.95 12.75 10.15 12.4 34.3 0.829 0.1375 Gern. 0.1389 Samenstellende vindt men dus voor de temperatuursver- andering uit de proeven van 14 Sept. 0.1421 15 Sept. 0.1389 Gemiddeld 0- — 0.1405 Met denzelfden nieuwzilverdraad is nog onderzocht of de temperatuursverandering evenredig is met het spannend ge- wicht. Op 3 verschillende dagen zijn deze proeven genomen ; de verandering in gevoeligheid werd in rekening gebracht en verkregen: 15, 16 en 17 Juni 1881. Spannend gewicht. $ gemiddeld uit 8 proeven. 3 per Kilo. 13.05 Kilo 0.1063 0.00814 21.30 » 0.1725 0.00812 log n log m e e 2 hn loq m l e-aTl) e~” *■>) h — 0.00845 e~hTi = = 14 Sept. e~ hT* — — A T% — = 0.009 ■m hiermede : ( 232 ) Daar de uitzettingscoefficient voor- deze beide spanningen dezelfde bleek (zie later), is de evenredigheid van & met P bewezen. Tevens kan deze overeenstemming als bewijs dienen dat de draad gerekend kan worden steeds in een toestand van even- wiclat te verkeeren, betgeen reeds waarschijnlijk was, daar de tijd, gedurende welken de toestandsverandering plaats greep, zeer groot is teil opzichte van den tyd, dat eene trilling zieh door den draad voortplant. Door de kleine waarde van h kan de afwijking van eene volkomen adiabatische veran- dering als onmerkbaar beschouwd worden, zoodat de Thom- soN’sche formule, voor adiabatische, omkeerbare processen geldig, mag toegepast worden. Door afzonderlijke proeven is voorts bewezen, dat bij de gebruikte contactplaatsen : staal-nieuwzilver, staal-platina, nieuwzilver-platina, evenredigheid bestaat tusschen de ther- moelectromotorische kracht en de temperatuur binnen de gebruikte grenzen : ijs — water van de temperatuur der omgeving — aetherdamp — stoom. Ook werd geen ver- schil gevonden tusschen de waarde van E , wanneer de hoofd- draad gespannen was of niet, evenmin als, na het losmaken der contactplaatsen, de draden sterk verwarmd en opnieuw gesoldeerd werden, zoodat noch tegen de wijze waarop E bepaald, noch waarop ze in rekening is gebracht, beden- kinscen gemaakt kunnen worden. O O II. UlTZETTlNGSCOEFFICIENTEN DER DRADEN IN GESPANNEN TOESTAND. In denzelfden toestel als bij de bepaling der temperatuurs- veranderingen, werden de draden gespannen. Om den draad op twee verschillende constante tempera- turen te kunnen brengen, bevond hij zieh in den as van eene koperen buis, die door eene wijdere omgeven was; de tus- schenruimte kon of door stroomend water uit de waterlei- ( 233 ) ding, of door stoom doorspoeld worden, waardoor de lucht in de binnenste buis en de draad de temperatuur van bet water of van den stoom aannamen; de uiteinden der binnen- ste buis waren gesloten door kurkjes, die over den draad ge- makkelijk verschoven konden worden ; de buitenste buis was nog omgeven door eene dikke kurklaag, om warmteverlies door uitstraling te voorkomen. Op 5 c.M. van de beide uiteinden waren op de binnenste buis een paar zijbuisjes ge- soldeerd, die door een paar plaatjes Spiegelglas gesloten wa- ren en waardoor de draad te zien was. Op den draad wer- den nu, met eene uiterst fijne naald, streepjes getrokken en op deze werden twee microscopen gericbt, met micrometer- schroef voorzien. Ten einde uit de gemeten verplaatsing der streepjes tot den uitzettingscoefficient te besluiten, moesten de microscopen zoo opgesteld worden dat bun afstand niet veranderde of deze verandering in rekening te brengen was. Bij de bepaling van « van staaldraad, werden de micro- scopen op bouten blokken bevestigd, die op eene stevige steenen tafel waren vastgegipstj; door watten en bout was de tafel bescbut tegen temperatuursverandering. Bij nieuw- zilverclraad werden de bouten blokken op een koperen buis, die op koperen voeten steunde, gestoken en in een grooten bak met water geplaatst, zoodat alleen de microscopen er boven uitkwamen ; de grootste verandering in temperatuur van het water tusscben 2 proeven was 0°.l. Beide metboden bleken zeer voldoende. Als spanning werd de gemiddelde genomen tusscben die bij gespannen en die bij ongespannen toestand. In December 1880 werd bepaald de Uitzettingscobjjicient van staaldraad. Spanning = 19 kilo. Afstand der beide streepjes op den draad: 330.7 m.M. 1287 verdeelingen van den scbroefkoptrommel gaven eene verplaatsing van 1 m.M. ( 234 ) Temperatuurs- verschil. Verlenging ia schroefkopdeelen. Uitzettings-coeffi- cient. 86°. 8 428.4 0.00001159 86°. 4 425.0 1156 86°. 65 425.5 1154 a = 0.00001156 In October 1881 werd bepaald : Uitzettingscoeßicient van nieuwzilverdraad Spanning = 16 kilo Afstand der beide streepjes op den draad 324 m.M. By bet eene microscoop 10 schroefgangen = 0.9293 m.M. » » andere » » = 0.9689 » (de trommel was in 100 deelen verdeeld) a — 0.00001739 1725 1731 1741 « = 0.00001734 Dezelfde waarde werd gevonden bij spanningen van 12 en 20 kilo. *) III. SOORTELIJKE WÄRMTE. Ter bepaling der soortelijke wärmte kon de mengingsme- thode gebruikt worden, daar de draden in zeer kleine stukjes verdeeld werden, waardoor de calorimeter binnen \ minuut *) c. f. Joule, Proceedings, R. Soc. VIII, pg. 564, Rühlmann, pg. 526. ( 235 ; de maximumtemperatuur aannam, hetgeen correctie-termen onnoodig maakte. *) De calorimeter van uiterst dun koperblik was op 3 kur- ken wiggen binnen een wijder bakje geplaatst ; de roertoe- stel was een stuk kopergaas aan 2 dünne koperdraden be- vestigd. Ten einde vrij te zijn van de nadeelen, aan het gebruik van een thermometer bij calorimetrische proeven verbonden (warmteeapaciteit, traagbeid van aanwijzing, bet bezwaar eene goede plaats te geven in den calorimeter), werd van eene thermonaald gebruik gemaakt, uit een dun nieuwzilver- en platina-draadje gevormd, wier soldeerplaats vlak onder den roerder geplaatst werd en met dezen op en neer ging. De beide andere uiteinden der draadjes waren aan de geleid- draden naar den galvanometer van Thomson gesoldeerd en deze soldeerplaatsen bevonden zieh in een groot glas met water, dat voortdurend rondgeroerd werd. De galvanometer werd zoo gesteld dat de slingertijd ongeveer 2 seconden be- droeg; toch gaf eene temperatuursverandering van 1° C. bij de soldeerplaats nieuwzilver — platina, eene afwijking van ongeveer 14 scbaaldeelen, zoodat graad af te lezen was. Om dit aantal juist te bepalen werd, direkt na de calori- metrische proef, de soldeerplaats in smeltend ijs geplaatst; de afwijkingen vielen nog binnen de sebaal, zoodat men den weerstand niet beboefde te kennen. Uit afzonderlijke proeven bleek dat de tbermoelectromo- torisebe kracht niet gebeel evenredig was met bet tempe- ratuursverschil, maar een weinig sterker toenam dan bet temperatuursverscbil. Dit is in rekening gebracht. Als verwarmingstoestel der stukjes draad werd dezelfde toestel gebruikt als bij de bepalingen der uitzettingscoeflfi- cienten ; een zeer dun reageerbuisje werd in de binnenste buis gestoken en, nadat de stoom minstens 20 minuten ge- circuleerd bad, werden de stukjes in den calorimeter gewor- pen, terwijl de stoom steeds bleef doorstroomen. ') c. f. Mülles-P fauxdler, II, 2, pg. 297, ( 236 ) Als voorbeeld diene de volgende proef met staaldraad 28 Maart 1881. Calorimeter met water 95.979 Gram Calorimeter 16.101 » 79.878 Gram Correctie op luchtledig 85 » Waterwaarde calorimeter 2.057 » Waterwaarde 82.020 Gram. 12.462 Gram staal van 100°. 2 in den calorimeter, welks temperatuur 1 1°.55 was, veroorzaakten eene afwijking van 21.3 schaaldeel. Een temperatuursverschil van 1° veroorzaakte eene afwij- king van 13.96 schaaldeel: 21.3 , hierdoor ^ ■ de temperatuursverhooging en c = 0.1133. Op nog 3 andere dagen werd gevonden : c = 0.1139 [£ gewicht] 0.1131 0.1120 c = 0.1130 staaldraad. Voor nieuwzilver werd gevonden: c = 0.09611 09624 09625 09621 c = 0.0962 nieuwzilverdraad. ( 237 ) IV. Berekening van het mechanisch aequivalent DER WÄRMTE. Gin na te gaan in hoever de mechanische warmtetheorie rekenschap geeft van de gevonden temperatuursveranderingen, zullen we door middel van de formale van Thomson het mechanisch aequivalent berekenen. & = _ (273 + r). «. P A. w. c a. Uit de proeven met staaldraad. & = 0°.1047 C. t = 17°.0 a = 0.00001156 P = 21.715 Kilo 300 m.M. wogen 4.2159 gram dus: w = 0.014053 kilo c = 0.1130 waaruit A =r 437.8 b. Uit de proeven met nieuwzilverdraad. 9 = 0°.1405 C t = 160.2 C a = 0.00001734 P = 17.134 kilo 263.25 m.M. wogen 3.909 gram dus: w — 0.014849 kilo c - 0.0962 waaruit A = 428.1 ( 238 ) Daar Edlund door zijne proeven heeft aangetoond dat de verliouding der temperatuursveranderingen, bij verschillende metaaldraden, door de formule van Thomson werd weerge- geven, was het voldoende voor slechts een metaal te onder- zoeken of de absolute waarde zelve volgens die formule kon worden berekend. Uit bovenstaande proeven, zoowel met staaldraad als met nieuwzilverdraad, geloof ik dat zulks bet geval is en dus tot de gevolgtrekking gerechtigd te zijn : De mechanische warmtetheorie geeft volkomen reken- schap van de temperatuursveranderingen, ontstaande door het spannen en ontspannen van metaaldraden. Het is mij een aangename plicht hier mijn dank te betuigen aan Prof. Bosscha, directeur der Polytechnische School, zoowel voor de groote bereidwilligheid, waarmee mij de toegang tot het physisch kabinet verleend werd, als voor de belangstelling bij dit onderzoek betoond — en aan Prof. van de Sande Bakhuyzen, directeur der Leidsche Sterren- wacht, voor het ten gebruike afstaan der beide aflezings- microscopen ter bepaling der uitzettingscoefficienten. Delft , October 1881. II. HAGA. Temperatuursverftnderimjm van metaaldraden. II.ILUtA. Temperatuui’svepanderinqen van nietaaldraden. Fii] itzt .1 laqneet inductor Vcrsl X Mcded Afd. Natuurk. DJ: XVII. OVER LAGRANGE’S INTERPOLATIE-FORMULE. DOOR T. J. S T I E L T J E S Jr. 1. De gewoonlijk aldus genoemde formule leert de ge- heele rationale functie van x, van den n — lsten graad boog- stens, die voor de n bijzondere waarden x — x1 , x = x2 , .. x — xn met een willekeurige functie f {x) in waarde overeen- komt, onder den volgenden vorm kennen: P=n q: hr) — T v ’ f (x ) P=l (x — xp) cp' (xp) ' P waarin : qp (;r) = (x — «j) (a: — x2) . . (x — x„) en cp' (®) als gewoonlijk, de afgeleide functie van cp (x) voorstelt. Is de functie f(x) zelf geheel rationaal, van niet hoogeren dan de n — lste graad dan is identisch : P=* a (x) f(x) — v 1-^J. f( p- 1 (x — XP) cp\xp) J In het algemeen echter moet deze formule aangevuld wor- o o den door een rest , evenals dit by het theorema van Taylor het geval is. In het 84ste deel van het Journal für die reine und an- gewandte Mathematik, heeft Hermite (pag. 70 e. v. v.) den ( 240 ) volledigen analytischen vorm van deze rest als een bepaald integraal gegeven en wel onder twee verscbillende gedaanten; als grensgevallen ligt in deze formulen ook de rest van de reeks van Taylor opgesloten. Evenals men onmiddellyk uit het bepaalde integraal, dat de volledige rest van de reeks van Taylor voorstelt. den LAGRAisrGE'scben *) restvorm kan afleiden, kan men ook een analogen restvorm voor de interpolatie-formule van Lagrange uit bet veelvoudige integraal afleiden, waaronder Hermite de rest voorstelt. Maar, evenals men veeltijds deze vereenvou- digde rest bij de reeks van Taylor afleidt zonder van de bulpmiddelen der integraal-rekening gebruik te maken, kan men lietzelfde ook voor den analogen restvorm van de in- terpolatie-formule verlangen. Eene zoodanige ontwikkeling wordt in het volgende gegeven. Ik bemerk nog dat, boewel de liier verkregen restvorm gemakkelijk uit Hermite ’s formule afgeleid kan worden, deze toch niet dezen vereenvoudigden restvorm gegeven heeft. Het is biertoe noodig een elementaire eigenscbap van bepaalde enkelvoudige integralen tot veelvoudige integralen uit te brei- den, wat echter geen bezwaar ontmoet. De te bewijzen formule kan aldus gesckreven worden : f(*) = 2 p~n V. =1 (* — *p) <?'(*?) f(Xp) 1 . 2 9 (?) 3. 7W 00- ••*(!) waarin £ eene waarde heeft, gelegen tusschen bet grootste en kleinste der getallen x, aq, x2 . . xn. Hierby moet ondersteld worden dat de functie f (z) evenals f'(z) f" (z) . . /"' *(■?) eindig en continue zyn voor alle waarden, van z, gelegen tusschen x, xv x2 . . xn en dat voor deze zelfde waarden van 2 1 (•?) een eindig en bepaald differentiaalquotient fn (z) heeft. De formule ( 1 ) neemt een meer eleganten vorm aan wan- neer men er fn (;) uit afzondert 5 men overtuigt zieh gemak- kelyk dat ze alsdan deze gedaante aanneemt: *) Theorie des functions analytiques. In de lsle editie van 1797 pag. 49. ( 241 ) • /CO , f{* 1) , /(^a) , , /(*») 9>'CO + «/(/l) + * 9'(**) 1 l72.3..w /•(*>■. (2) waarin : qp (z) = (z— .r) («— aq) (z aq) . . (2— x„). Men herkent hierin een uitbreiding van de voor n = 1 f (x) — f (x i) ontstaande elementaire formule •=/(£), x — aq 2. Het bewijs van de formule (1) berust nu op de vol- gende hulpstelling : » Waimeer de functie G (z) voor de n -f 1 verschallende waarden z — x, z = x1 . . z — x,t de waarde nul aanneemt, dan neemt het nJe differentiaal-quotient Gn (2) de waarde nul aan voor een waarde z = £ gelegen tusschen het grootste en kleinste der getallen .r, aq . . x„.” Ondersteld wordt hierbij dat G (z), G\z) . . Gn ~l (z eindig en continue zijn voor alle waarden van z gelegen tusschen x, aq . . xn, en dat voor dezelfde waarden van z, G,l~] (z) een eindig en bepaald differentiaal quotient G" (z) heeft. Voor n = 1 is dit een bekend theorema, waaromtrent het voldoende is te verwijzen naar Dini, Fondamenti per lu teorica delle funzioni di variabili reali, pag. 70. Het bewijs van dit theorema, evenals dat van eenige nauw venvante, zooals het in de nog meest gangbare leerboeken voorkomt, bijv. Serret, Cours de calcul differential , bevat een leemte die eerst aangevuld werd door eenige onderzoekino-en van Weierstrass, men zie Dini, pag. 43, 51. Weierstrass zelf schijnt van dezc onderzoekingen omtrent de grondslagen der functieleer, niets gepubliceerd te hebben. Het is vooral noodig op te merken dat in dit eenvoudigste geval n = 1 de grootheid £ tusschen x en aq ligt, en ver- schillend zoowel van x als van aq aangenomen mag worden. Het bewijs van de hulpstelling in het algemeene geval \EBSL. tu UEDED. Ai'D. NATUUBK. 2<le BEEKS. DEEL XVII. 10 ( 242 ) volgt nu onmiddellijk uit de waarheid in het eenvoudigste geval n— 1. Is nam. n — 2 dus : G (x) = 0 G (xj = 0 G (x2) = 0 dan kan men o nder stellen : X<x1<x2 en men heeft dan: G\ !i) = 0 * < ^ < xx G'(%%) = 0 a?i < < x2 en hieruit dan nog eens het theorema voor n = 1 toe te passen : <?"($) = 0 f ! < | < |2. Men kan op deze wyze voortgaan, en het blijkt dan te- vens dat, in het algemeene geval, | ondersteld mag worden niet gelijk te zijn : noch aan het grootste, noch aan het kleinste der getallen x xl . . xn. De voorwaarden van con- tiuniteit en differentieerbaarheid, die men aan de functie G (z) en de afgeleide functies moet stellen, volgen zonder moeite uit die welke voor het geval n — 1 gesteld moeten worden. 3. Het bewijs van de formule (1) kan nu aldus gevoerd worden. Ter bekorting möge het interpolatie-polynomium van La- grange door F {x) aangeduid worden: p-t, F(x) = 2 cp (x) p—\(x Xpj <P (Xp) f(xp). . (3) Onder de waarden x^ x2 . . xn körnen geen twee gelijke voor, en daar de functien F (x) en f(x) voor # = ay, x = x2 . . x =. x2, dezelfde waarden aannemen, en het ons te doen is om in het algemeen een beknopten vorm van het ( 243 ) verschil f{x) — .F(:r) te vinden, zoo kunnen wij hierbij zon- der nadeel de onderstelling maken dat de waarde x niet sa- menvalt met een der waarden x1 x2 . . x„. Dit aangenomen, zij : / (*) = F{x) + (* — *i) (x — x2) . .{x — xn) R . . . (4) De waarde van R is dan hierdoor volkomen bepaald. Terwijl nu verder, voor een oogenblik, x x1 x2 . . xn als con- stanten gedacht worden en ^ een nieuwe veranderlijke is, beschouwen wij de functie : G[z) = —f{z) + F[z) + (z — j?i) (z — x2)..(z — xn) R..[ 5) waarin dus R de door (4) volkomen bepaalde, van z onaf- hankelijke waarde heeft. Blijkbaar is nu, niet alleen: G ( x ) = 0 maar ook : G {xx) = 0 G (x2) = 0 . . G (*„) = 0 waaruit dus volgens de hulpstelling van Art. 2 volgt: G * (|) = 0 (6) waarin | een waarde heeft gelegen tusschen het grootste en kleinste der getallen x x± . . x„. Maar daar F(z) hoogstens van den n — lsten graad in z is, zoo valt bij de n-voudige differentiatie van (5) F[z) weg, en is: G n (z) = — f* {z) + 1 . 2 . 3 . . n . R wegens (6) volgt nu : 1 R = 1.2.3 .m /*(*) en dit in (4) gesubstitueerd : 16* ( 244 ) / (»} ” F (.x) + (x Xff (x J?2) . . (x Xn) 1.2.3..« /*(« waarmede het bewijs van de formule (1) geleverd is. 4. Wanneer men, in de nu ook bewezen formule (2), de steeds ongelijke gefallen x, xx, xz . . xn allen tot eenzelfde limiet X laat convergeeren, dan volgt : Lim. 1^+^ l(f(x) qp'^x) 1_ 1.2..« /* (*) • • (7) Behalve de onderstellingen die voor de geldigbeid der for- mulen (1) en (2) gemaakt moeten worden, moet bij deze laatste formule bovendien nog Jn (x) voor x = X continue zyn, daar men anders niet kan besluiten dat fn (|) bij con- vergentie van § tot X , tot de limiet /” (X) convergeert. Deze formule (7) die dus in bet geval dat /" (x) voor ,r — X continue is, een directe algemeene definitie van bet «dli differentiaal-quotient van een functie / (x geeft, scbijnt nog niet in de hier gegeven algemeenheid bewezen te zijn Wel komt zij voor in het uitstekende werk van Lipschitsch > Differential- und Integralrechnung ”, pag. 204 Form. 20, maar bij bet daar voorkomende bewijs moet men onderstel- len dat x xx x2 . . x„ bij hunne convergentie tot de limiet X, behalve dat zij steeds ongelijk blijven. nog aan andere con- dities moeten voldoen, die hier overbodig blijken. Zie t. a. p. pag. 203 regel 6 v. o . En verder is daar bet bestaan van een eindig en continue « -j- lste diöerentiaal-quotient aangenomen. Ook deze conditie ligt stellig in bet gebeel niet in den aard der zaak, en nadat Weierstiiass continue functies heeft leeren kennen die niet differentieerbaar zijn, zou niets gemakkelijk zijn dan functien op te stellen, voor welke de formule (7) geldig is, maar waarbij van geen « -f lste differentiaal-quotient sprake kan zijn. *) *) Men zie het Journ. für Mothem. Bd. 79, pag. 29 en vv., ook Bd 90 pag. 221. ( 245 ) 5. De overeenkomst van de formule (1) met ket tlieo- rema van Taylor valt nog meer in het oog, wanneer men ket polynomium F ( x ) niet voorstelt onder de elegante en symmetrieke gedaante, door Lagrange gegeven, maar onder den vorm dien Newton in ket 3de Boek der Principia bij gelegenkeid van zijne bekandeling van ket kometen-probleem geef't. De formule (1) neemt dan namenlijk deze gedaante aan : f(x) = Al -1- A2 (* — a-j) -f- A3 (a — xx) (.r — **) + • • + An (x — (x — x2) . (.r — jt„ !) + (x — xx) x — J2) ..(&• — xn) 1.2.3 ,.n W («) .... (8) Hierin is : Ao f{ ^l) /(-Tg) *1 — ^2 x2~ x\ en algemeen : i _ i) , /(*a) , , /rV \ lp — . , .■ "r , , . T" • • “r • , x f <fplx l) <Pp(*2) Vp(xp) | (9) <Pp (xr) = (z — xx) (z — xj . . (z — xp) ' Newton geeft niet explicite deze algemeene uitdrukking voor Ap, maar wel de volgende rekenvoorscliriften om ackter- eenvolgens A2 . . te berekenen : B,—Ax Ax — f{x{) A2 — x2 — xx r> s p i — -^i Bx — / {x2) x>2 — i2?s — «r 2 Ci — /(*s) C3 — Dl- Cx x4 — x3 «2*^ ~ «Tj ( 246 ) Stelt men deze grootheden zooals zij achtereenvolgens ge- vonden worden, aldus te zamen : A 2 Bi Az B2 Ci C* A dan komt deze berekening geheel overeen met die van de gewone interpolatie in het geval dat s,1 x2 xs . . een reken- kunstige reeks vormen, met deze geringe wijziging dat de Iste, 2de, 3de . . rijen van verscbillen hier respectieve door de factoren 1 . [x2 — 1,2. (ä2 — tfj)2, 1.2.3. (x2 — .a^)3 .. gedeeld voorkomen. Volgens de formule (2) is: ^=1.8.8.1.(P-l)^<W waarin tv een waarde heeft gelegen tusschen bet grootste en kleinste der getallen xxx2 . . xp. Laat men dus in de for- mule (8) xix2 . . xn tot eenzelfde limiet convergeeren, dan ontstaat onmiddellijk de formule van Taylor met den rest- vorm van Lagrange. 6. De NEWTON’scbe vorm van het interpolatie-polyno» mium : F (x) — Ai + A2(x — Xi -f- A% (x — iCj) (j? — x2) . . -f- -}■ -^n 0® — ^l) (* *^2) • • (*® ~ ~ xn — l) heeft boven dien van Lagrange 00k nog dit voordeel, dat hij onmiddellijk doet zien welken vorm F (#) aanneemt wan- neer er onder de grootheden : ( 247 ) meerdere tot eenzelfde limiet convergeeren of gelijk gesteld worden. Convergeeren namenlijk x2 . . xp tot de limiet X dan is volgens (9) en (7) : lim. Ap 1 1 . . 2 (p — 1) /(r-i> (X) (11) en daar alle in liet tableau (10) voorkomende grootheden op dezelfde wijze als Ap . . samengesteld zijn, zoo kan men ook onmiddellyk in dit geval liet gekeele tableau (10) vor- men. Men ziet namenlijk gemakkelijk dat men hierbij, om onbepaalde uitdrukkingen — te ontgaan, slecbts die groot- heden xx x2 . . x„ die ten slotte gelijk gesteld worden, onmid- dellijk op elkaar behoeft te laten volgen. Men heeft dan verder de formule (11) en Newton’s voorschriften te volgen om het geheele tableau te verkrijgen. Werden dus bijv. XiX.2 . . xp allen = X, dan moet men in dit geval bekend onderstellen : /(X),/'(X).. f-HX). Hierin schijnt dan ook de meest gesckikte methode te be- staan, om het polynomium van den laagst mogelijken graad B (x) te vormen, dat aan deze voorwaarden voldoet: i)=q/(*i), J5P(*1)=/(«i)..^-1 (*! )=/*«-! (*i)j 5(*2)=/(*3), £T(*a) = (^)=/x.-i (xj > — (12) B (xn)=f(xn), H’(x„) Z=f(xn)..HX»—1 (x„)—f*n— 1 (x„)} welk polymonium H (x) hoogstens van den k — lsten graad is: ^ — “i + a2 4" • • 4* an- Men verkrijgt op de boven beschreven wijze dit polyno- mium B (*) onder dezen vorm: ( 248 ) H{x)— M+H(.r-r]J+C(;r--.r1)s..-|-Z(.r-a?1),r -\-M{x-x{)x (,z-r2)-h. + • • R (•» — *i)a! (* — x*)*- • • (« — (x — x„)un— 1 waarin de constanten A. B, C . . R onmiddellijk aan het tableau (10) ontleend kunnen worden. 7. Yoor het versehil f(x) — H (x) bestaat weder een eenvou- dige uitdrukking, en daar hierin een verdere uitbreiding ligt van de formule 1), zoo möge de hierop betrekking hebbende ontwikkeling nog in ’t kort geschetst worden. Het zal, na het voorgaande, overbodig zijn de condities, waaraan men f{x) te onderwerpen heeft, hierbij in extenso te vermelden. In de eerste plaats dan is het noodig de hulpstelling van Art. 2 aldus uit te breiden : Yoldoet eene fuctie G(z) aan de condities G (x) = 0 G1 (x) = 0 G " (a?) ~ 0 . . Gx i (#) zzz 0 G(y) = 0 G'(y) = 0 . . Gß-i (y) = 0 G{z) = 0 G'(z) = 0 . . G‘/-l(z) = 0 waarvan het aantal « + ß + y • = « bedraagt, dan is G"-1 (?) = 0 waarin ? gelegen is tusschen de grootste en kleinste der on- gelijke waarden .r , y , z . .. Na hetgeen in Art. 2 gezegd is, schijnt het niet noodig, bij het bewijs hiervan lang stil te staan. Men kan eerst het geval dat het grootste der getallen u , ß , / . . . twee is, be- schouwen, en vervolgens voor dit grootste onder die getal- len 3 , 4 , 5 . . . aannemen. 8. Zij nu H(xj het polynomium van den k — lsten graad hoogstens dat aan de condities (12) voldoet, en ( 249 ) f{x) = II{jc) -f- (x— .rj)*! [x— x2)x* . . (.r — xn)*"R. . . . (13) dan is, x verschillend van , x2 . . xn ondersteld, de waardö van R hierdoor volkomen bepaald. Beschouwt men nu ver- der de functie G(z) = — f\z) -f H{z\ + [z—xx)* (z—xf i . . (z — x„ )*» R dan is blijkbaar niet alleen maar ook G(x) — 0 G(xx) — 0 G1 fo) = 0 .. 6r*i-1 (xx) = 0 Ö = 0 G' (x2) = 0 .. o II r— < L 53 G (*.) = 0 G' (xH) = 0 o II SS T—* [ ^5 en derhalve Gk (|) =: 0 maar, daar H(z) hoogstens van den k — l8ten graad is Gk(z) = —fk{z) + 1 . 2. 3.. k. R en ten slotte R = /*($) f(x)=H(x) + 1.2.3 .. k (x—x^)*i{x—x£ai.. (x—xn)y* • (14) 1.2.3 .. k /*(«) Hierin ligt | tusscben het grootste en kleinste der getal- len x , a-j , x2 . . xn. In deze formule liggen zoowel de reeks van Taylor als de formule van Lagrange, door een restterm aangevuld, als bijzondere gevallen opgesloten. In de aangehaalde verhandeling stelt Hermite ook voor dit geval bet verschil f (.r) — H (a?) met bebulp van bepaalde integralen voor. ( 250 ) 9. Het algemeenste resultaat dat door de, in het voor- gaande ontwikkelde, methode verkregen kan worden, schijnt het volgende te zijn. Laten f (x) en H(x) dezelfde beteekenis behouden als in Art. 6 — 8, verder (x) een nieuwe functie van x zijn en H1 (x) die rationale functie van x van den k — lsten graad hoogstens, die aan de condities (12) voldoet, wanneer men daarin de functie / (x) door f\ {x) vervangt. Zij nu /« = -HW + R (AM — Hi W) (15) Zal de waarde van R hierdoor op ondubbelzinnige wijze bepaald zijn, dan moet x niet alleen van x-^x^ . . xn ver- scbillen, maar bovendien mag niet fY (#) — S\ (x) = 0 worden. Dit nu onderstellende, zij : G (z) =f(z) — H (z) — R{f\ (*) - H, (z) ) dan is niet alleen: G (x) = 0 maar ook : G (#1) ps 0 G'(xi ) = 0 1 (#1) = 0 G (xn) = 0 G'(xn) = 0 G**-1 (xn) = 0 en dus, volgens Art. 7 : G* (?) = 0 maar daar Hk (z) en (2) identisch nul zijn : e*W=/»W — iü/!*W en derbalve: R = /*(?) of wel: ( 251 ) /<*) = B (*) + f/i (») - H \ W)^| (16) Deze algemeene formule gaat onmiddellijk in de formule (14) over, wanneer men aanneemt: fl (*) = **• Dan is namenlijk: fxk (*) = 1 . 2 . 3 . . k en zooals dadelijk te zien : f\ (a?) — Hx (x) = (« — a^) 2i (x— . (x — xn)Xn Leiden , October 1881. NASCHRIF T. Dat er altijd eene en niet meer dan eene functie II (#) bestaat die aan de condities (1 2) voldoet en hoogstens van den k — ls,en graad in x is, kan onmiddellijk aldus aange- toond worden. Zij: H(x) — a0 -f- ax x + a2 + a*_ 1 x dan heeffc men ter bepaling van de k onbekenden a0, ax, a2 .. at—i de volgende k lineaire vergelijkingen: “0 + a;lal+‘j:l2a2+” 4" xxk~^ajc—\ —f («iJX la1+2a?1a2 + .. + (£ — 1 )xxk-2ak-\=f (xx) 1 1.2.«»+.. +{k-l)(k-2)x1*-*ai-i=/(x1)l (ax-l) !««,— i + .. + (A-l) (Ä-2)..(A-a1+l)*1*-*tq*_i=>* • ’A =f*‘~l(x i)l a0 + ar2ax + ar22a2+ .. + xik~lak-\=f (ar2) 1 l.a1+2a;2a2+.. + (& — \)x%k~2ak-\~f (x2) ) .... / ( 252 ) De te bewijzen stelling bestaat nu daarin, dat aan dit stelsel vergelijkingen steeds door een en door niet meer dan een stelsel van waarden voor a0 a-^ . . voldaan kan worden. Vooreerst is nu te bemerken dat het systeem [A ) nooit meer dan eene oplossing kan toelaten, want waren er bijv. twee oplossingen, dan zoude men dus twee verscbillende func- ties G (^) en H (x) hebben die beide aan de voorwaarden, in (12) uitgedrukt, voldoen en die beide van den k — lsten graad hoogstens zijn. Dit nu is onmogelijk, want uit die vergelijkingen (12) zou volgen dat het versckil: G(x) - H{x) algebraisch deelbaar is door de uitdrukking van den &den graad : (x — a,1)ai(rr — xc)*i..{x— xnyn. In de tweede plaats is het evident dat aan ( A ) door de waarden : a0 = 0 dl rrr 0 a3 — 0 . . ai-—\ = 0 voldaan wordt zoodra de tweede leden der vergelijkingen ge- lijk nul gesteld worden, en na het bovenstaande is dit ook de eenige oplossing in dat geval. Uit de theorie der lineaire vergelijkingen volgt nu onrnid- dellijk dat de determinante van het stelsel vergelijkingen (^4) niet = nul is, want uit die theorie is bekend dat zoodra deze determinante = nul is, aan de vergelijkingen (yl), nadat daarin voor de tweede leden overal de waarde nul genomen is, voldaan kan worden door een stelsel waarden a0 . . dk—\ die niet allen gelijk nul zijn, wat in strijd zoude zijn met het boven bewezene. Uit het niet gelijk nul zijn van de determinante van het stelsel vergelijkingen (^1), volgt nu onmiddellijk dat aan dit stelsel, bij willekeurige waarden der tweede leden, steeds door een enkel stelsel van waarden a0 . . a^_i voldaan kan worden. ( 253 ) Men kan overigens de waarde van die determinante gemak- kelijk aangeven. Door namelijk van deze bekende formule uit te gaan: 1 a a2 . . ak~ 1 1 b b2 . . bk~ l (b — a) (c — a) ( d — a) . . (q — a) X {c— b) (d—b) . . (q— b) X (d—c) . . {q—c) X (q—p) waarin ten slotte de «! eerste der grootheden a, b , c . . p, q tot de limiet .rj , de «3 volgende tot de limiet x2 enz. zul- len convergeeren ; de horizontale rijen op passende wijze te transformeeren, waarbij men te deelen heeft door de fac-toren die ten slotte gelijk nul worden, en bij den grensovergang van de formule (7) gebruik te maken, verkrijgt men de navolgende waarde voor determinante van bet stelsel verge- lijkingen (.4): 0 ! 1 ! 2!. («j — l)!(.r<j — x^i** (.f3 — 0 ! 1 ! 2 ! . . («2— 1) ! (r3— /2)vs’3. a-2)a,a» 0! 1 ! 2! («3-1)! 1 c er . . ck~ 1 1 pp2 pk~^ 1 q q2 qk~ 1 0! 1 ! 2! («„—!)! (x„—X„ i)*—1«» De geheele bewerking blijkt genoegzaam uit liet volgende bijzondere geval k - 5 , n = 2 , «1 = 3 , «2 = 2. 1 a a2, a3 a4 1 b b2 b3 i4 1 c c2 c3 c-4 1 d cP- d3 d4 1 e e2 e3 e4 ( 254 ) 1 a a2 a3 a4 ^0 h h ^3 «4 — Uq «l m2 «3 m4 X ( b — a) (c — a) (c — b ) (e— 1 d d2 d3 d4 v0 v\ v3 u4 waarin a r br tr ~ a- -b b — a nT &>■ cr «i (a b)(a c) T (6- ~d)(b — c) ' (c — a)(c — b) dr rr + ' r = 0 , 1 , 2, 3 , d - —e e — c7 Derlialve 1 a a2 a3 a4 *0 h h ^3 <4 u0 Ml u2 ?t3 m4 = (d — a) (d — b) {d — c) 1 d d? rf3 d4 X (e- a) {e—b) (e— c) «0 vi v2 v3 V4 en voor: lim. a = fo'm. J I — lim. c — .?! lim. e =z lim. d — x2 volgt nu met behulp van de formule (7) : 1 x1 a^2 a^3 a^4 0 1 2 a-x 3 x i2 4 a^3 0 0 2 2.3 x-y 3.4 a?]2 1 a?2 a?32 .r23 tf24 0 1 2 a?2 3 a,22 4 a?33 = 2 (#2 ^i)6 VEESLAG OVER DE INRICHTING VAN BLIKSEMAFLEIDERS OP RIJKSGEBOUWEN TE MEDEMBLIK. DOOR J. BOSSCHA, J. D. VAN DER WAALS, C. H. C. GRINWIS. De ondergeteekenden ontvingen bij missive van 10 De- cember 11., N°. 87, van het bestuur der Natuurkundige Af- deeling de opdracbt, in de vergadering van beden advies uit te brengen over een ontwerp van den aanleg van blik- semafleiders op de Rijksgebouwen te Medemblik, welke tot een krankzinnigengesticbt worden verbouwd. Het advies moet strekken ter beantwoording van eene vraag van den Minister van Binnenlandscbe Zaken, die bij zijnen brief van 7 December 11., N°. 2826 Afdeeling Künsten en Wetenschappen, aan de Koninklijke Akademie toezond het bestek der verbouwingen met de daarbij behoorende tee- keningen, een brief van den heer A. Fünckler te Haarlem, het door eene teekening toegelichte plan van aanleg der bliksemafleiders inhoudende, en een advies van den architect A. F. va>t Wijngaarde, hetwelk den Minister van Binnen- landsche Zaken den aanleg volgens het voorsted van den heer Fünckler aanbeveelt. Uit den brief van den heer Fünckler blijkt, dat zieh thans op de gemelde gebouwen nog eenige afleiders van oude constructie bevinden. Volgens den heer Fünckler zijn zij meerendeeis defect en is hunne samenstelling af te keuren. ( 256 ) Zij bestaan namelijk uit smalle dünne looden reepen. Of- scboon de ondergeteekenden niet in de gelegenbeid waren deze afleiders te bezichtigen, is hetgeen de beer Fünckler daaromtrent mededeelt voldoende oin ze onvoorwaardelijk af te kenren. De heer Fünckler stelt voor, de oude afleiders allen op te mimen en te vervangen door 20 nieuwe, elk bestaande uit eene roodkoperen opvangstäng met platina punt, eene ijzeren stang en eene geleiding naar den grond van rood- kopertouw van 36 in elkander gedraaide draden. In den grond zou elke afleider eindigen in een vierkante roodkope- ren plaat, die in het water wordt geleid, ’t zij in eene aan- wezige gracht, wel of sloot, ’t zij in daarvoor gegraven kleine putten. De kosten van aanleg zouden bedragen / 1638. -. Neemt men in aanmerking dat de bestemming van het ge- bouw eene afdoende bescherming tegen bliksemgevaar nood- zakelijk maakt, dan is het voorstel van den heer Fünckler geenszins overdreven te noemen. De lengte toch der geza- menlijke gebouwen bedraagt bijna 400 meter. Zij beslaan eene oppervlakte van meer dan 0.7 hectare. Het plan van aanleg kan ook, wanneer elk der afleiders goed vervaardigd is, als waarschijnlijk voldoende aangemerkt worden. Eindelijk zijn de kosten laag te noemen. Zij zullen ongeveer 25 cents per M2 bechagen, wat ongeveer overeenstemt met de laagste opgaven, welke Prof. F. Neesen in zijn artikel over de Electrische Tentoonstelling te Parijs (Electrotechnische Zeitschrift, November-Heft van 1881 bladz. 462) mededeelt. Toch achten de ondergeteekenden een doelmatiger inrich- ting, welke waarschijnlijk in onkosten niet veel van die van den heer Fünckler verschillen zal, wensclielijk. Zeer veel grootere veiligheid dan door enkele afleiders te bereiken is. verkrijgt men wanneer door ijzeren stangen van niet minder dan 12 millimeter middellijn, die over de nokken der daken loopen, het geheele gebouw als door een net- of raamwerk van goede, met de aarde verbondene, geleiders is ingesloten. Men verkrijgt zoodanig stelsel wanneer men de afleiders, door den heer Fünckler ontworpen, onderling verbindt, wat ( 257 ) nog om eene andere reden verkieslijk is Bij het inslaan namelijk van den bliksem in eene der vangstangen, vindt door deze verbinding de electriciteit ineer dan een weg om zieh door afleider en grondplaat in de aarde te ontladen. Eene toepassing van dit stelsel op de Rijksgebouwen te Medemblik zou evenwel nog eenige andere wijzigingen me- debrengen. Blijkens de doorsnede der gebouwen, voorgesteld op de plaat N°. 5, behoorende bij het bestek, zijn het hoofdgebouw, de beide frontgebouwen en de beide vleugelgebouwen allen van dubbele daken voorzien. De heer Füxckler schijnt de afleiders alleen te willen plaatsen op de nokken der buitenste daken. Het zal noodig zijn de ijzeren geleiders, die de afleiders verbinden, over al de nokken te plaatsen en die van het buitenste en binnenste dak aan de einden door stangen, evenwijdig aan de diepte van het gebouw, onderling te verbinden. Het doelmatigst zal zijn, voor elk der vijf groote ge- bouwen en voor de twee kleine hoekgebouwen aan het einde van het oostelijk en westelijk frontgebouw, op die wijze een afzonderlijk stelsel van ijzeren geleiders met vangstangen en grondleiding aan te brengen. Op het hoofdgebouw moet de nokgeleiding over de volle lengte doorloopen, aan de uiteinden moeten de — waar- schijnlijk ijzeren — versieringen der schoorsteenen daarmede in goed verband gebracht worden; twee afleiders: een aan de west-, een aan de oostzijde, moeten over de hoekkepers en längs de hoeken der buitenmuren naar de grondleiding gaan. Een derde afleider met grondleiding moet in het midden van het hoofdgebouw worden aangebracht. De vangstangen op het hoofdgebouw kunnen zieh bepa- len tot drie, op de plaatsen door den heer Fü>'ckler aan- gewezen. Wegens het opnemen der schoorsteenversieringen in het geleidend verband, zouden de beide buitenste vangstangeu ongeveer vier meter meer naar het midden van het gebouw kunnen geplaatst worden. De oostelijke en westelijke frontgebouwen moeten even- VERSL. EN MEDED. AED. NATUURK. '2^6 ItEEKS. DEEL XVII, 17 ( 258 ) eens door een raam van ijzeren stangen over de nokken gedekt zijn. Drie afleiders op elk dier gebouwen kunnen hier volstaan, te weten : twee aan de uiteinden der gebouwen over de hoekkepers en längs de hoeken der rnuren aan de buitenzijde, en den in het midden van het gebouw, aanslui- tende aan de ijzeren stangen van den binnensten nok en aan de achterzijde van bet gebouw naar de grondleiding voerende. Vangstangen rnoeten geplaatst worden däär, waar de eigenlijke afleider zieh aansluit aan het geleidende raam dat het dak bedekt, derhalve aan de uiteinden van de ge- bouwen op het buitenste dak, en in het midden van het gebouw op het binnenste dak. De twee kleinere hoekgebouwen aan de uiteinden der oos- telijke en westelijke frontgebouwen kunnen van eene vang- stang en van eenen afleider voorzien worden. De vangstang kan geplaatst worden volgens de aanwijzing van den lieer Füncklek,, de afleiders rnoeten daarentegen längs de buiten- hoeken van het gebouw naar beneden gaan. Een raamwerlc van stangen over het dak mag hier niet gemist worden. De beide vleugelgebouwen rnoeten op dezelfde wijze be- schermd worden als de oostelijke en westelijke frontgebouwen. Zij verkrijgen elk drie afleiders, met daarboven geplaatste vangstangen, op dezelfde wijze geplaatst als bij de frontge- bouwen. Wegens de lagere ligging van den nok der vleugelge- bouwen en de onmiddellijke nabijheid der hoogere hoekge- bouwen, kunnen de vangstangen op de buitendaken, aan de zijden dier hoekgebouwen, geplaatst worden zooals door den beer Fünckleu werd aangeduid, op eenigen afstand van den nok. De afleiders aan dit gedeelte rnoeten evenwel over de hoekkepers naar beneden worden gevoerd. Volgens ons voorstel zouden derhalve noodig zijn 17 af- leiders en 17 vangstangen. Het schjjnt ons niet noodig de afleiders uit kostbaar ko- perdraad te doen bestaan. Kabels van gegalvaniseerd ijzer kunnen voldoende geacht worden. De ijzerdoorsnede dezer kabels moet minstens een c.M2 inhoud hebben. Daarentegen ( 259 ) dient bijzondere zorg besteed te worden aan de grondleiding. Er moet bepaald worden dat elke grondplaat minstens 1 M2 groot moet zijn en uit roodkoper moet bestaan. Zooveel mogelijk moeten de grondplaten, in het water der omrin- gende grachten, beboorlijk tegen aanvaring of diefstal be- schermd, uitkomen. Het schijnt ons nuttig dat aan het koperen uiteinde van elke vangstang een 3 millimeter dikke koperdraad blijvend worde bevestigd. De koperdraad moet om de stang in eene winding rondloopen en beneden om de staug door rondbui- ging worden vastgemaakt. Hij is bestemd dienst te doen bij de beproeving der blik- semafleiders. Delft , Amsterdam , Utrecht, 24 December 1881. RAPPORT OVER DE VERHANDELING VAN DEN HEER Dr. M. W. BEYERINCK, GEXITELD : „BEOBACHTUNGEN UEBER HIE ERSTEN ENTWICKELUNGS- PHASEN EINIGER CYNIPIDENGALLEN”. Uitgebrackt in de Vergadering der Afdeeling Natuurkunde der Kon. Akad. v. "Wet. van 24 December 1881. De verhandeling van den Heer Beyerinck, getiteld : » Beo- l)aclitungen über die ersten Entwickelungspliasen einiger Cyni- pidengallen”, aan de Koninklijke Akademie van Wetenschap- pen ter opneming in bare werken aangeboden, en waaromtrent de ondergeteekenden in de vorige vergadering zijn uitgenoodigd advies te geven, is een uitgebreid, in bet Hoogduitscli ge- schreven stuk van meer dan 300 folio bladzijden tekst, met een 35tal gedeeltelijk gekleurde platen voorzien. Zij behan- delt de onder den naam van galnoten of galten bekende uitwassen en misvormingen, door galwespen te weeg gebracht, welke bij eiken en andere planten voorkomen, en waarvan de nauwkeurige kennis alleen te verkrijgen is door zelf- standige studie en wetenschappelijk onderzoek, zoowel van de levenswijze en den licbaamsbouw van bet insect, dat de galnoot heeft veroorzaakt, als van de ontwikkeling en struc- tuur van bet vervormde plantendeel. Het onderwerp beboort alzoo, wanneer beide gedeelten der vraag tot bun recht komen, zoowel tot bet gebied der ento- mologie als tot dat der botanie. Zoodanige gelrjktijdige studie nu van twee verschillende, ieder zeer uitgebreide, weten- ischappen wordt, tenzy daartoe, gelijk in casu, eene byzon- ( 261 ) dere aanleiding bestaat, bij denzelfden natuuronderzoeker slecbts zelden aangetr offen. Voor liet zuiver entomologische gedeelte der verhandeling acht de eerste ondergeteekende zieh dan ook geen bevoegd beoordeelaar, en op zijn verzoek heeft de tweede ondergeteekende, die voor zieh dit bezwaar niet maakte, de redactie van dit onderdeel van ons Rapport op zieh genomen. 