title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: § 2. Stelt in fig. 1 A B C den aansluitingsdriehoek voor en heeft men de aansluiting aan de zijde A B bewerkstel- ligd, dan zullen de coördinaten xc yc van het punt C in het net van lagere orde nog niet overeenstemmen met de coördinaten Xc Yc van die punten in het net van hoogere orde ; daaraan zal men nog zekere correctien moeten aan- ( 300 ) brengen, namelijk A«=IC — xc en t\yC—Yc — yc- Het punt C zal zieh das over een afstand s in eene richting, die een lioek o met de y-as maakt, moeten verplaatsen ; waarbij de afstand s en de lioek o worden gevonden uit de formules : Lx c = s sin (j Ay c — s cos G Volgens de methode Glehns wordt nu elk punt verplaatst in dezelfde richting als het punt C en over een afstand even- redig met den afstand van dat punt tot aan de lijn A B ; waaruit onmiddellijk volgt, dat de aan de x en y van een willekeurig punt aan te brengen correctien ook evenredig zijn met den afstand tot aan de lijn A B. Daar bij deze methode alle punten volgens evenwijdige lijnen versclioven worden, zoo zullen wij haar voortaan bestempelen met den naam van de methode der parallelle verschuiving. Teekent men de triangulatie-kaart met behulp van de voor- loopige coördinaten, dan kan men daaruit door eene eenvou- dige constructie onmiddellijk de gevraagde correctien vinden. Trekt men namelijk uit het punt C twee lijnen naar de lijn AB en verdeelt deze in even veel gelijke deelen als Bxc en By c centimeters bevatten, dan heeft men sleclits uit ieder hoekpunt van het net eene lijn te trekken, evenwijdig met A B, om op de aldus verkregen schalen de twee correctien in centimeters af te lezen. Door aan die twee lijnen een zoodanige lengte te geven dat het aantal millimeters, die zij bevatten, in een eenvoudig verband staan tot het aantal centimeters van en kan men de vereischte verdeeling daarop onmiddellijk met behulp van een dubbelen decimeter afzetten. Bij het voor- beeld van fig. 1, dat later uitvoerig behandeld wordt, is Bxc — Hb en Bye = 97 centimeter. De lengten der twee lijnen zijn nu, in millimeters genomen, anderhalf *) maal 115 *) De verliouding anderhalf was de eenvoudigste, die men hier kon toe- passen. Bij toeval valt daarbij de lijn voor de correctien Ax samen met de zijde A C van den aansluitingsdriehoek. ( SOI ) resp. 97 ; zooclat iedere verdeeling juist anderhalven millime- ter is. Trekt men nu b. v. uit bet punt L eene lijn even- wijdig aan A B, dan leest men onmiddellijk op die twee schalen af : Ar = 16,8 en Ay = 14,2 centimeter. Eene eenvoudigere bepaling van de correctien voor de coördinaten is zeker niet mogelijk. § 3. Tengevolge van de veranderingen, die het net onder- gaat door de aansluiting aan liet derde punt, ondergaat iedere lijn van het net eene tweeledige verandering : eene vergrooting en eene verdraaiing ; de laatste verandering heeft op bare beurt eene wijziging van de hoeken tengevolge. Yoor eene juiste beoordeeling van de methode is het van belang deze veranderingen te leeren kennen. Om deze veranderingen na te gaan, is het noodig de cor- rectien Ar en Ay van de coördinaten uit te drukken in de coördinaten van het punt zelf. Kiezen wij daartoe den oor- sprong van het rechthoekige coördinatenstelsel in een punt van de lijn A B en drukken wij den hoek, die deze lijn met de y- as maakt, door de letter cp uit, dan wordt de afstand van een punt, waarvan de coördinaten zijn x en t/, uitge- drukt door: (x cos cp — y sin cp) en de correctien van de coör- dinaten dus door: Ar Are . S , — — (.r cos cp — y sin <p) = - sm G (x cos cp — y sin cp) * A // c , .. Ay = —j~{xcoscp — ysmcp) ■ cos g(x cos cp— y sin cp) waarin Zi de lengte van de loodlijn, uit het punt C op A B neergelaten, voorstelt. Ondergaan nu de coördinaten en x2yo van de uitein- den eener lijn A1A2 hg. 3 de correctien Ar, A en Ar2 Ay„, dan ondergaat de lijn daardoor de betrekkelijke vergrooting: sm w cos w ( 302 en de draaiing: ^ , . cos </' , . „ sm W D — ( A/j A*,) — (Ay4 Ayt) - ... (4) in de richting van de positieve ^-as naar de positieve ar-as, als l en t p voorstellen respectievelijk de lengte van de lijn en den hoek, dien zij met de y- as maakt. Substitueeren wij in deze uitdrukkingen voor Ar, Ay, A.rä en hunne waarden volgens bovenstaande formu- les (2), uitgedrukt in de coördinaten xx , , x2 en y 2 , en nemen wij in aanmerking dat : x2 — X\ — l sin ip yi—y\ — 1 cos V (5) is, dan vinden wij, na eene kleine vervorming, voor de be- trekkelyke vergrooting: V — — sin (ip — cp) cos (ip — o) (6) h en voor de verdraaiing : s D — — ~sin (i p — cp) sin (ip — ff) (7) h welke formules ook als volgt kunnen gescbreven worden: V — — { sin (2 ip — (jp — g) 4- sin (ff — 9)) ... (8) 2 h en : D — — {cos (2 Lp — cp — g) — cos (<s — 9)} . . . (9) u ll Uit de formules (6) en (7) of (8) en (9) blijkt dat de veranderingen, die de lijnen ondergaan, gelieel onafhankelijk zijn van de plaats, die zij in liet net innemen, maar alleen ( 303 ) af hangen van hare richting. De vergrooting wordt nul voor de vier richtingen : i/i =.qp, ip = 90° -f- ff, (/i = 180°-)- cp en i p — 2700 -j- a ; door deze vier richtingen wordt de geheele omtrek in vier deelen verdeeld ; in twee daarvan worden de lijnen vergroot, in de twee anderen verkleind. De draaiinff is nul voor de vier richtingen : i/- = cp, t p = ff, i p = 180 qj en i/' — 180° 4" ; door deze vier richtingen wordt de omtrek eveneens in vier deelen verdeeld, in twee waarvan eene draaiing in positieven zin plaats heeft, terwijl de lijnen in de twee andere deelen in negatieven zin draaien. Om de veranderingen der hoeken na te gaan, nemen wij eene tweede lijn, van het eerste punt A^, fig. 4, uitgaande en waarvan het andere eindpunt Az tot coördinaten heeft cr3y3. Onderscheiden wij de hoeken der beide lijnen met de y-as door ip2 en </'3 , en de draaiingen die zij ondergaan door D.2 en Dz, dan is volgens formule (9) : g A = 24 ^C°S ^ V'2 — 9P — ö-) — cos {ff — <p)} g A = Yjl (tos (2 */'3 ~ v — °) — cos — <?)} » waaruit door aftrekking volgt voor de verandering, die den lioek tusschen beide lijnen ondergaat : s S = Z>3 — Z>3 = — (cos (2 t/»3—(jP— (?) — ro« (2 ip2— cp — ff)} = s = — (ip3 -f xp2 - cp — ff) sin (ip3 — xp2). . (10) Hieruit blijkt dat de verandering, die de hoek ondergaat, alleen afhangt van de richting der twee beeilen of, zoo men wil, van de grootte van den hoek en van de richting van de lijn, die den hoek midden doordeelt. ( 304 ) Daar sin (</>3 — 1/'2) altijd positief is (voor de lijn A3 nemen wij steeds de lijn, die de grootere lioek met de y-as maakt), zoo hangt liet teeken van 8 alleen af van den lioek V'3 + V'2 2 dien de lijn, die den lioek midden doordeelt, met de y-as maakt. Door de vier richtingen : O „ <P -f „ (V 4- fj „ qp 4- - , 90° + — — , 180° + en 270° -f- — — , wordt de omtrek in vier gelijke deelen verdeeld. Yaltdelijn, die den lioek midden doordeelt, tusschen de eerste en tweede of tussclien de derde en vierde van die richtingen, dan on- dergaat de lioek eene vermindering ; valt die lijn in een van de twee andere vakken, dan wordt de lioek grooter. § 4. De eenvoudigste wijze, waarop men den driehoek ABC fig. 10 in kleinere driehoeken kan verdeelen, is, dat men ieder van de drie zijden in n gelijke deelen deelt en door de deelpunten lijnen trekt, evenwijdig aan de twee andere zijden. Het drielioeksnet van lagere orde dat daardoor ontstaat, he- vat n3 gelijk en gelijkvorniige driehoeken. De overeenkom- stige zijden van die driehoeken zijn allen evenwijdig aan elkaar ; zij ondergaan dus allen dezelfde verdraaiing, waaruit volgt dat ook de overeenkomstige hoeken van alle driehoe- ken dezelfde verandering ondergaan, zoowel in de driehoeken, die gelijkstandig zijn met den driehoek ABC als in de anderen. De groote driehoek ABC in het net van lagere orde ondergaat bij de aansluiting ook eene wijziging, en aange- zien de zijden van dezen driehoek dezelfde richting hebben als de zijden van de kleine driehoeken, zoo ondergaan de hoeken juist dezelfde veranderingen als de overeenkomstige hoeken van de kleine driehoeken. Drukken wij nu de som van de Vierkanten der veranderingen, die de hoeken van den grooten driehoek ondergaan door S uit, dan is die som voor ieder van de kleine driehoeken ook S en dus voor de n 2 driehoeken van het net van lagere orde: n 2 S. ( 305 ) Hieruit blijkt dat, als men twee driehoeksnetten heeft, het eene met een klein en het tweede met een groot aantal driehoeken, en als daarbij de fout in de aansluiting van het derde punt dezelfde is, de som van de Vierkanten van de correctien der hoeken in rechte reden toeneemt met het aan- tal driehoeken. Deze toeneming is zeer ongunsticr, want het is toch duide- lijk dat, als het aantal driehoeken grooter wordt, men de slui- tingsfout over een grooter aantal hoeken te verdeelen heeft; waardoor de veranderingen van die hoeken kleiner kunnen worden en de som van de Vierkanten van die veranderingen dus in veel geringer mate zal behoeven toe te nemen. Het zal later blijken dat het mogelijk is, de aansluiting zoodanig te bewerkstelligen, dat genoemde som slechts het bedrag S bereikt, en dus met het grooter worden van het aantal drie- hoeken niet behoeft toe te nemen. § 5. Bij de berekening van het driehoeksnet heeft men de lengten der zijden of hare logarithmen, de hoeken met de y-as, de hoeken van de driehoeken en de log. sin. van deze hoeken noodig. Al deze grootheden ondergaan door de aansluiting zekere wijzigingen. Het is van belang deze wij- zigingen te leeren kennen, om daardoor de elementen van het definitieve net te verkrijgen. Men kan deze grootheden bepalen, door uit de definitieve coördinaten de lengten der lijnen en de hoeken met de y-as te berekenen en dan daaruit al de andere grootheden af te leiden. Deze weg is echter zeer omslaclitig, vooral omdat die be- rekening met groote nauwkeurigheid moet geschieden. Het is veel beter de kleine correctien, die deze grootheden onder- gaan, direct op te maken en dit kan door eene eenvoudige constructie. Trekt men uit een punt a fig. 2 een cirkel met een straal gelijk aan: 100000 ^ k eenlieden (b. v. millimeters zoo als in fig. 2 of by eene VERSL. EN MEDF.D. AFD. NATUURK. 2<äe REEKS. DEEL XVI. 20 ( 306 ) kaart op grootere scliaal: centimeters) eu cloor liet middel- punt eene lijn loodreclit op de aansluitingslijn /I B van fig. 1, dan zal, als men door liet snijpunt b van die lijn met den cirkel eene lijn bc trekt evenwijdig met de lijn, waarvan men de veranderingen wil onderzoeken (hier de lijn B N van fig. 1) en die wij onderstellen dat een hoek »/» met de y-as maakt, b c gelijk zijn aan : 200000 — sin (<p — cp). h Trekt men nu nog door het punt b eene lijn bei even- wijdig aan de richting, waarin het punt C moet verplaatst worden, dus onder een hoek o met de ^-as en de loodlijn b e daarop ; dan zal, als men uit *c de twee loodlijnen op die twee lijnen neerlaat, daarvan de stukken : b f = 200000 — sin (i p — cp) cos(ip — o) bg — 200000 — sin (</; — cp) sin (ip — o') worden afgesneden. Yergelijkt men de eerste van deze uitdrukkingen met for- mule (6), dan vindt men : bf = 200000 V = 2. 100000 V; bf stelt dus het dubbel van de betrekkelijke vergrooting voor, uitgedrukt in 100000ste deelen van de lengte. Brengt men dus op b d eene scliaalverdeeling in dubhele eenheden aan dan leest men daarop onmiddellijk de vergrooting in honderdduizenste deelen der lengte af. De verandering, die de logarithme van de zijde ondergaat, is gelijk aan M.D waarin M = 0,43429 de modulus van de logarithmen voorstelt. Trekt men nu eene lijn b k, die met b d een hoek maakt, waarvan de secans = — M =. — X 0,43429 2 2 = 1,085736 is (deze hoek is = 22°55'20 ” en heeft tot tangens 0,42288) en verlengt de lijn c f tot in dan is : ( 307 ) 5 bp = - M. 200000 D — 5 . 100000 MD , dat is 5 maal de correctie van de logaritlime in eenlieden van de vijfde decimaal. Brengt men op bk eene scliaalver- deeling aan met de vijfvoudige eenheid, dan leest men daarop onmiddellijk de correctie van de logaritlime in eenlieden van de 5Je decimaal af. Vergelijkt men de uitdrukking voor bg met formule (7), dan vindt men : bg — — 200000 D ; de verdraaiing is dus evenredig met bg. Wil men de verdraaiing in secunden kennen, dan moet men D met liet getal 206265 vermenigvuldigen. Trekt men nu eene lijn b q , die met de lijn 206265 bc een lioek maakt, waarvan de secans = o——— —1,03132 is (deze lioek is = 14°9'30” en lieeft tot tangens 0,25225) en verlengt de lijn cg tot in r, dan is: 206265 br = bq — — 206265 D , 200000 J dus gelijk aan liet aantal secunden, dat de lijn verdraaid is. Door dus op bg eene schaalverdeeling in enkele eenlieden aan te brengen, leest men daarop onmiddellijk de verdraaiing in secunden af. Ter bepaling van de verandering, die een boek onaergaat, bepaalt men op de aangegeven wijze de verdraaiingen van beide lijnen ; bet verscbil geeft de gevraagde correctie van den boek. Ter bepaling van de correctie, die de log. sin. van den boek ondergaat, merken wij op, dat de sinus van den boek Ai van een drielioek Ax A2 A3 kan uitgedrukt worden door de for- mule : • , 21 smA1 = (11) a2a3 ’ 20* ( 308 ) als a2 en a3 de twee aanliggende zijden eil I de inlioud van den driehoek voorstelt. Hieruit volgt : log sin A1 = log 2 -f- log I — log a2 — log a3 en dus: A log sin A1 =z A log I — A log cr2 — A log a3 . (12) Daar nu alle inhouden de betrekkelijke vergrooting: s — sin (<7 — g) h ondergaan, zoo is in eenkeden van de 5de decimaal: A log I — 100000 M — sin ( o — cp) . . . . (13) h Stellen wy nu deze constante door K voor, dan gaat (12) over in : A log sin Ai — K — A log a2 — A log . . (14) Om de correctie voor den log. sin. van een lioek te vinden, heeft men dus slecdits van de constante K de correctien voor de logaritlimen van de twee aangrenzeude zijden afte trekken. § G. In liet in fig. 1 voorgestelde voorbeeld is, zoo als reeds vroeger is opgegeven, A.rc = 1,15 en Aye = 0,97 me- ter, waaruit volgt met beliulp van form ule (1): s = 1,5045 en o — 49°51'. De loodlijn uit C op AB neergelaten is = 6725 meter, waaruit volgt : 100000 - = h 150450 6725 22,37. De lijn AB maakt met de y- as een boek van 19°15' en liieruit volgt voor de constante K de waarde : ( 309 ) K — 100000 M — sin (er — <j) = 4,95. h In ficr. 2 is nu met 22.37 mM. als straal een cirkel be- O sehreven en door het middelpunt a de lijn baV loodreebt op A B van fig. 1 getrokken ; en uit het snijpunt b van deze lijn met den cirkel is de lijn bei onder een hoek a =. 49°51' met de y- as getrokken. Verder zijn getrokken de loodlijn&e op deze lijn en de twee lijnen bk en bq onder de in de vorige paragraaf opgegeven hoeken. De lijnen b g, bd en bk zijn verdeeld respeetievelijk met 1, 2 en 5 mM. als een- heid en daardoor is de hnlpfiguur verkregen voor het be- palen van alle correctien. De lijn b c is getrokken evenwijdig met B N van fig. 1 , en uit het snijpunt c de twee loodlijnen cfp en cgr\ de- zelfde constructie is uitgevoerd voor de twee andere zijden BL en LN van driehoek X *). Door aflezing op de drie schalen verkrijgt men nu de volgende correctien, waarbij tevens gevoegd zijn de waarden, die daarvoor door directe berekening gevonden zijn : Volgens fig 2. Toor berekening. Betrekkelijke vergrootingen in 100000ste deelen : Correctien voor de logarithmen f L X" 3,30 -j- 3,34 in eenheden van de vijfde j5A7 -(- 6,60 -j- 6.60 decimaal : BL — 2,05 — 2,04 (LN + 2", 9 + 2", 8 Yerdraaiingen der lijnen: \BN — 32’’, 0 — 32 1 (BL —28", 7 —28", 6 LN + 7,7 4- 7,7 BN + 15,2 4-15,2 BL - 4,7 - 4,7 *) Snijdt een van de lijnenj door b getrokken, den cirkel onder een te scherpen hoek, zoodat het snijpunt niet met juistheid te onderkennen is, dan kan men uit het punt b' eene lijn trekken loodrecht op de bedoelde lijn van het net, zooals dat in fig. 2 gedaan is voor de lijn LX van fig. 1. ( 310 ) Uit deze aflezingen vindt men verder door berekening : Correctien voor de hoeken: B — 28", 7 + 32", 0 = -f 3", 3 + 3", 4 L + 2", 9 + 28”, 7 = + 31", 6 + 31", 5 N — 32", 0 — 2", 9 = -f- 34", 9 4 34", 9 Correctien voor de log. sin. der hoeken in 5de decimaal : eenheden van B 4,95 — 6,60 + 2,05 = 4-0,40 + 0,39 L 4,95 + 2,05 — 3,30 = + 3,70 + 3,64 N 4,95 — 3,30 — 6,60 =r —4,95 — 4,97 § 7. Bij de vorige ontwikkeling is ondersteld, dat bet net reeds aan twee punten, n.l. A en B , aangesloten was. Is dit niet het geval, moeten dus ook aan de coördinaten xa ya en xb yb van die punten de correctien: A.rai Ayai &xb en A »b aangebracbt worden, dan wordt de bepaling van de ver- schillende correctien iets moeilijker. Het is gemakkelijk in te zien, dat de formules voor de correctien van de coördinaten gebracht kunnen worden onder den vorm: A X = px — qy + r A y — v\x — 9l y + r\ waaruit blijkt, dat die twee correctien evenredig zijn met de afstanden tot twee verscliillende lijnen, die niet meer samen- vallen met eene van de zijden van den aansluitingsdriehoek. Die correctien kunnen op dergelijke wijze gevonden worden als in § 2 is uiteengezet, nadat men de twee bedoelde lijnen getrokken lieeft. De formules voor de vemrootingen en de verdraaiingen der zijden en voor de correctien van de logarithmen der zijden, van de hoeken en van de log. sin. der hoeken, kunnen uit bo- venstaande formules gemakkelijk worden opgemaakt. Eenige daarvan bevatten een constanten term meer en de daarin voor- komende hoeken hangen niet op zoo eenvoudige wijze Sa- men met den driehoek. Het gevolg daarvan is, eene kleine ( 311 ) wijziging iu de meetkunstige bepaling van de verschillende correctien. Wij zullen de ontwikkelingen voor dit meer algemeene geval hier niet voortzetten, omdat liet ons omtrent de waarde van de metkode niets verder kan leeren, rnaar hesluiten met liet vermelden van de waarden van de zes constanten, die iu bovenstaande formules voorkomen ; deze zijn : 1 r , p — — {A xa(yc—9b) + Lxjj{ya—yc) + Lxc{yb—ya)} q = -—^LxaiXc—Xb) + Lxb{?a— *c) + Lxc(x6—Xa)} r = — {Lraixcijb— Xb>/c) f Lxb{xayc — 2c]/ a) + Lxc{xb]a—Xayb)} Pl= A ya(yc—yb) + Lyb(ya-yc) + A ye{yb--ya)} qi~— ^^{A yaip-'c xb) "h A >jb{y'a 2'c) *}■ A tjciy'b rx = ^ { Ly a(xcyb—nyc ) + Ay b{?ayc—%cya) + A yc {nya - x*yi) j waarin : 2 I = xc Ijb—Xb ijc + xa JJc xc ya -j- x/j tja—xa Jb bet dubbel van den inboud van den aansluitingsdrieboek voorstelt. § 8. Wij zullen tbans eene nieuwe metbode ontwikkelen voor de aansluiting van een net van lagere orde aan een net van boogere orde, waarbij de boeken van bet net veel geringere wijzigingen ondergaan. Deze metbode, die zicb, zooals in § 1 reeds werd opgemerkt, grondt op de tbeorie van de conforme overbrenging en die wij daarom zullen be- stempelen met den naam van de methode der conforme over- brenging, berust op de volgende redeneering. Brengt men de verschillende punten vam eene figuur, die door de recbtboe- ( 312 ) kige coördinaten x y gegeven zijn, in een ander rechthoekig coördinatenstelsel X Y door middel van de formule: r + xi/=i=/(* + *i/zä) (15) over, dan bestaat er gelijkvormigheid in de kleinste deelen van beide figuren. De lioeken worden dus op deze wijze on- veranderd overgebraclit en daardoor hebben wij dus eene metbode voor de aansluiting, waarbij de lioeken in bet ge- heel niet veranderd worden. Bij deze overbrenging gaan echter de rechte lijnen A1 A2 en A1 A3 fig. 5 in de kromme lijnen A2 en A^A3 over. Het is de hoelc tusschen de raaklijnen aan beide kromme lijnen in het punt A^, die gelijk is aan hoek A2A1A3. Daar nu de zijden van de driehoeken na de aansluiting wederom rechte lijnen moeten zijn, zoo kunnen wij alleen de driehoekspunten, volgens bovenstaande formule, overbren- gen, en moeten deze dan door rechte lijnen vereenigen; in plaats van de kromme lijnen A^A2 en A^A3 moeten wij dus de koorden nemen. Hierdoor ondergaan de lioeken kleine veranderingen, en wel veranderingen gelijk aan het verschil van de lioeken tusschen de raaklijnen en de koorden van beide lijnen. Het is verder duidelijk dat, als wij de driehoeken kleiner nemen, bijvoorbeeld AlB2B3 in plaats van Ax A2 A3, de lioeken tusschen de raaklijnen en de koorden kleiner zullen worden en dus in het algemeen ook hunne verschillen. Daar deze lioeken bij de grens Ax B2 — 0, A1 B3 — 0, nul wor- den, zoo mögen wij verwachten dat, bij de toepassing van bovenstaande formule, de lioeken, vooral bij kleine driehoe- ken, sleclits geringe wijzigingen zullen ondergaan. Uit bovenstaande formule volgt nu gemakkelijk dat ook de uitdrukking: + Lr [/ — ! eene functie zal zijn van (y ar'j/ZTl) en het komt er nu slechts op aan voor die formule eene keuze te doen. Bij die keuze hebben wij er op te letten, dat voor de correctien L., en Ay eenvoudige for- mules gevonden moeten worden, wil men niet in ingewik- kelde berekeningen vervallen. Wij hebben daarom eene para- ( 313 ) bolische functie gekozen en aangezien wij aan drie punten willen aansluiten en dus aan zes voorwaarden moeten vol- doen, zoo moet die functie minstens zes constanten bevatten; waaruit volgt, dat die functie minstens van den tweeden graad moet zijn. Wij stellen dus: Ay-|- A.rl/-l:=(^2'i"^ll/-l)+(^2 ^lk/-l)(^4'a;l/-l) + + (^2+ 6j l/-l) {'Jjrx |/-1)3 (16) waaruit onmiddellijk door ontwikkeling volgt : A.r = ^i + Bzx -f Bxj -f Cx(yz— x'2) -1- 2 C2xy | L, = A, + B.2y - Bl x + C, O»-**) -2C1x1/] ' ' ( 7) waarin Ax , A.z , B± , B, , Cx en C2 de zes constanten voorstellen. Het zijn deze formales, die wij aan onze metliode ten grondslag leggen, en waarop onze verdere beschouwingen gegrond zijn. § 9. In de eerste plaats merken wij op, dat bovenstaande formales nog eene aanmerkelijke vereenvoudiging können on- dergaan door lief doen van eene geschikte keuze voor den oorsprong van liet coördinatenstelsel. Het is daardoör mo- gelijk de termen van de eerste macht te verdrijven. Stellen wij de coördinaten van den oorsprong van het nieuwe coördinatenstelsel door x0 y0 voor en de coördinaten ten opzichte van dit nieuwe stelsel door x. y , dan is x — x1 -f x0 , y — y' -f- yQ , waardoor bovenstaande formules overgaan in : A.r = Al + -f ä-q) -f B1(y'-\- y0) -f + ^o)2} + 2 C2(x'- f #0) (/ + y0) Aj, = A2 -f Bo (/ y0) — B1 (x' f x0) -J- + {(/ + «0 ) •— («' + rf,o)2} — 2 C1 {x -(- Xq) ( ,/ -f y0) of na ontwikkeling : ( 314 ) Ar — Al + 4~ BiVq + (:i/o~ — ^o2) + 2 C2x0y0 -f- + (^2 2 (7^’q 4 2 (72 <”0) x'+(B1 4 2 (7^0+2 Cg^o) / 4- + C1(^-^) + 2C^'yl A y = 4g -{- ^2^0 — ^1 a’o 4- Cz (y02 — 4)2) — 2 Cj .r0y0 4- + {B% — 2 (7^04-2 C2 //q)?/ — (Bx -)- 2 (7X j/0 4- 2 Czx 0)x' + 4C3(^-^)-2C1,V. Stellen wij nu hierin cle coefficienten van x' en y' gelijk nul, dan vinden wij door oplossing : Bi B,2 — C2 B , ^°“ 2(Ci* + C|») — B%B% — C1B] ■Jo~ 2 (Cf 4- Cf) Stellen wij nu 110g: A1 4- Bzxq 4- B1y0 4- C1(y02 — xf) 4- 2 C2x0yo= \ „ Bf — Bf % 2 B1 B.2 = Jl+ %(Cf-\- C'a2)_,’24(C,124-C22)~ 1 4 2 4- -^2 — -®i ,ro 4- ^2 (ih 2 — V) ^ ^1 ^0 ^0 — Bf -Bf 2_JgIjg , - ^2 °24 ( Cis+ c32) 1 4 ( Cf 4 Cf) 2 (18) (19) dan gaan de formules voor de correctien Lx en A;I over in: Ax = ^i'4- C^y *-*'*) 4 2 <VY f L,*=M + . . (20) Stelt men verder: en Cx = — C sin 2 / | C2 = + C cos 2 / | r= 4 - B sin ß j B2= — B cos ß | (21) (22) ( 315 ) dan gaan de formnies voor de berekening van sQ, yQ, A{ en A 3' over in: o yo B- 1 Ai' = Ai — — sin (2 / 2 ß) j B, (24) Jo' = Jo — — cos (2 y — 2 ß) \ die voor de berekening veel gemakkelijker zijn. § 10. Bescbouwen wij wederom bet geval dat bet drie- boeksnet aangesloten is aan de zijde A B fig. 6 en dat de coördinaten van C nog de correctien : £\xc = s sin o L yC = s cos o (25) = v~csin (2 / i5) | B — ^cog(2 ? ~ ß) (23) moeten ondergaan. Stellen wij de lengten van de dxie zijden van den aan- sluitingsdrieboek. in bet net van lagere orde, door o, b en c en de boeken door J, B en C voor: stellen wij verder den boek. dien de lijn AB met de -as niaakt. gelijk q en nernen wij den oorsprong van bet coördinatenstelsel y in bet punt M midden tusscben J en B aan, dan is voor A : z = — j c sin q . = — 5 c cos q en dus: — je - =z | c2 cos 2 q 2 z’ i c2sin2q. r/*2 ( 316 ) Voor B : x' = ^ c sin cp y — 5 c cos cp , en dus eveneens: y2 — x'2 ■=. | c2 cos 2 cp 2 x' y — j c2 sin 2 cp en voor C : a?' \ c sin qp -j- a sin {cp -f- 180° — -ß) = 5 c sin cp — asm {cp — B) y' =z 5 c cos <p -f- a cos (<p -(- 1 80° — B) -|- | c cos cp — a cos {cp — B) waaruit vol gt : y2 — x'2 = | c2 cos 2 cp — accos(2(p — B) -f- a2 cos {2 cp — 2 B) r= | c2 cos 2 cp — a\ccos{2cp — B) — a cos (2 cp — 2 i?)} 2 x' y — | c2 sin 2 cp — ac sin (2 cp — B) -\- a2 sin{2 cp — 2 B) — | c2 sin 2 cp — a[csin{2cp — B) — a sin (2 cp — 25)] of als wij de zijden a en c, die tusschen de haakjes { } voor- komen, uitdrukken in de zijde b, dan komt er na eene een- voudige kerleiding : y2 — x'2 — j c2 cos 2 cp — ab cos {2 cp — B - 1- A) 2 x1 y = % c2 sin 2 cp — a b sin {2 cp — B -j- A). ( 317 ) Substitueren wij na bovenstaande waarden voor de coördinaten van A en van B in de vergelijkingen (20) dan vinden wij : 0 = ^! — \B2cs'ncp — \ Bi c coscp -j- i a2 cos2cp-\- j C2czsin2cp 0 = Al -f" h B2c sincp-\-h Bi c coscp Cj c2cos2qp -f 4 C2c2 sin2q> Q — A2 — \ B%c cosy-\-\ BiCtiny-\- \ C2c2cos2cp — j Cj c2 sin2cp 0 = A2 i- h. B2ccoscp — 2 Bi c sincp -j- 4 C2 c2cos2cp — 5 Cjc2sm2qp. Door deze vergelijkingen twee aan twee van elkaar af te trekken vinden wij : B2 sin cp 4“ Bi cos cp = 0 B 2 cos cp — Bi sin cp =2 0 waaruit volgt : Bi = 0 en B2 r= 0. Hieruit blijkt das, dat bet in de vorige paragraaf bedoelde punt, waarvan de coördinaten zijn ;r0 en y0 , gelegen is in bet punt M midden tusscben A en B. De twee constanten Ai en A2 gaan daardoor over in de constanten A\ en A'2 van de formules (19) en liiervoor vinden wij uit de vorige vergelijkingen : A\ — — \ Ci c2 cos 2 cp — £ C2 c2 sin 2 cp A1 2 r=r — 1 C2 c2 sin 2 qp 4“ 1 Cj c3 2 cp of, als wij voor Cj en C2 de uitdrukkingen volgens formule (21) nemen, namelijk : Cj — C sin 2 y C2 2= + C cos 2 y , ( 318 ) dan gaan Ai en Az over in : Ai = — Cc2sm(2cp Az — — | Cc2cos(2<p Passen wij nu de formules (20) toe op het punt C en nemen voor A\,A'Z, en Cz bovenstaande waarden (26) en (21) dan vinden wij : Are = ssinff = — i Cc2s?n(2cp — 2 y) -f- j Cc2sin(2cp — 2/) — — Cal s>n( 2<p — B -\-A — 2/)— — C ab si»(2qp — B -\-A — 2/) Aye — scoso = — %Cc2cos(2cp — 2y) -j- 1 C c2 sin(2cp—2y) — - C ab cos(2cp — B-\-A — 2y)=z — C ab cos(2q> — B -J- A — 2y) 2/)) 2 r)\ (26) waaruit volgt: s = C ab en : 0 — 1800 + 2 cp — 2y — B + A zoodat wij dns ten slotte voor onze constanten vinden de volgende eenvoudige nitdrukkingen : (27) y = 90° + qp — 0 -f B — A (28) A\ = - sc“ l C c2 sin (2q> — 2 /) = - — - sin (0 -f B — A) , 4 ab 1 sc“ A' 2 = — j Cc2 cos (2qp— 2y) = - — 7 cos (0 -f- B — ^4) 4 ab (29) ( 310 ) § 11. Voor de berekening van de correctien voor de coördinaten liebben wij de formules (20) gevonden ; deze kunnen nog vereenvoudigd worden. Stellen wij namelijk de voer- straal M R van een willekeurig punt R fig. 8 door q en de lioek, dien zij met de y- as rnaakt, door 0 voor, dan is : x z=z q sin 0 y — q cos 0. Substitueeren wij deze waarden in (20) en vervangen 6j en Cz door lmnne waarden nit (21) dan vinden wij: Lx = Ai -f- C q2 sin 2 (0 — y) Ly = Az Cq2 cos 2(0 — y) Deze formules zijn zeer gescbikt voor de directe bereke- ning van de correctien, indien men eerst de waarden van q en 0 berekent nit : q sin 0 — x — x — ,r0 q COS 0 = y' = y — y0 waarin .r0 en y0 de gemiddelden zijn van de coördinaten van A en B. Die formules geven ook aanleiding tot eene eenvoudise O O O constructie van de correctien op eene triangulatie-kaart, ge- construeerd met de voorloopige coördinaten. Het meest doel- matige is echter, van uit de kaart enkele afstanden op te nieten en daaruit de correctien te berekenen. Door eene kleine vervorming kan men die formules namelijk onder zoo- danigen vorm brengen, dat die berekening zeer eenvoudig wordt. Voor die formules kunnen wij namelijk schrijven: Lx = -f C qhin (20—2y)=A / + C q2cos( 2 0—2 y— 90°) = = A j' -f- 62 q2 (cos2 (0 — / — 45°) — sin2(0 — y — 45°)} — =-A{ -j- C2 [p2 sin2 (0 — y-\-Ab°) — q2sin2(0 — y — 45°) j Ay = Az+ Cqhos(20-2y)=A2' -\- Cq2 (cos2(0-y)-sinz(0-y)} — = A.2'-\- C(q2sin2(0 — y — 90°) — q2 sin2 (0 — /) j. De in deze formules voorkomende grootlieden : psi»(ö-/-f 45°), ( 320 ) () sin ( 0 — y), Q sin ( 0 — / — 45°) en o sin ( 0 — y — 90°)zijnrespee- tievelijk gelijk aan de afstanden van liet punt 11 tot vier lijnen door M getrokken, die met de y- as de lioeken y — 45°, y, y -j- 45° en y -f- 90° maken. Trekken wij nu op de triangulatie-kaart, die geteekend is op de schaal 1 : m, de vier lijnen U1: V2 , V1 en U2 door het punt M onder de boven aangegeven lioeken en nieten wij de afstanden w1 , v2, *4 eu u2 van het punt 11 tot aan die lijnen, dan is (i sin ( 0 — y 45°) = m iq (i sin ( 0 — y — 45°) == m () sin (0 — / — 90°) = m u2 (j sin {0 — y) = m v2 waardoor de formales voor de correctien Aj- en A(/ over- gaan in : A* = + C m3 (j«!2 — v i2) ) (31) Ly = A 2 + C m3 (u22 — v22) j Voor de berekening volgens deze formales beeft men sleclits eene kleine qnadratentafel noodig. De vermenigvnldiging met 0 sr den factor Cmz= — — gesclnedt het eenvoadigst als men a b vooraf een klein tabelletje opmaakt van de veelvoaden van dien factor. In de volgende paragraaf wordt een voorbeeld van deze berekening gegeven, waardoor de eenvondigheid daarvan na- der blijkt. Men zoa des noods können volstaan met liet meten van twee afstanden, betzij U1 en V1: lietzij V2 en U2\ men kan namelijk gemakkelijk de volgende twee formales aantoonen: A^ = -f 2 Cm2 U2 V2, Ly~ AoJ + 2 Cm3 Ux V1 Deze zijn echter voor de berekening minder gescbikt, vooral omdat men daarbij de teekens van de afstanden U1 Fi enz. moet in aanmerking nemen, hetgeen bij de vorige formales niet noodig is. ( 321 ) § 12. In figuur 12 is hetzelfde voorbeeld genomen als in fig. 1. De triangulatie-kaart is geteekend op de schaal 1 a 50000 (dtL3 rn — 50000). De zijden en de hoeken van den aansluitingsdriehoek zijn : a — 6768 meter A = 51°15' b = 8623 > B — 830:32' ’ c = 6159 > C — 45013'. De zijde AB = c maakt met dey-as den hoek qp = 19°15. De correctien voor het punt C zijn Lze — 1*15 en Z-v« = 0,97 meter. waaruit volgt: * = 1,5045 o = 4905 1'. Hieruit volgt : <7 -f B — A = 490.51 + 83°32’ — 51015' = 8208' / = 900+9 — °+B—A _ 90°+19°15' — 4104' = 68011' en als wij den centimeter als eenheid nemen. hetgeen voor het meten op de kaart gemakkelijker is dan den meter : Ai = — sin (o B — Ä)— 24,22 4 ab o An — — — cos (a + B — A) = 3,35 4 ab . sm2 Cm 3 — = 0, 6444 V. ab V an deze laatste waarde maken wij het volgende tabelletje van veelvouden op: 1. 0,644 „ 2. 1,289 3. 1,933 4. 2,578 5. 3,222 6. 3,867 7. 4,511 8. 5.156 9. 5,800. VESSL. ES' MSDiD. AID. XATUVEÄ. 2-<= iXEü. BEEL XVL 21 ( 322 ) In figuur 12 zijn nu de vier bedoelde lijnen getrokken en door meting vinden wij daarin voor liet punt R: ^ = 7,3, — 3,8, u2 = 7,8, v2 = 2,5 en hiermede wordt de be- rekening van de correctien voor dat punt, uitgedrukt in centimeters, nu als volgt : 2 = 53 AjI = 24,2 V = 14 30 Cm 2 = 19,3 Yerschil = 39 9 Cm 2 = 5,8 49 = Ax 3,3 32,2 3,2 39 = Ay De figuur 12 op de scbaal van 1 a 50000 is ruimschoots voldoende voor de berekening van alle correctien tot in centi- meters nauwkeurig en dit is alles wat voor de praktijk noodig is. Teekent men de kaart op de scbaal van 1 a 10000, dan kan men de correctien gemakkelijk tot in millimeters vinden. Het teekenen van de lijnen Ul V1 U2 V2 kan gemakkelijk geschieden als men het stuk berekent, dat een van die lij- nen van de zijden A C of B C afsnijdt. Dit stuk is omnid- dellijk te vinden uit een driehoek, waarvan de basis (1/3 c.) en de twee aanliggende hoeken bekend zijn. § 13. Gaan wij thans over tot het onderzoek van de ver- vormingen, die het net ondergaat tengevolge van de aan- sluiting. Voor de vergrooting en de verdraaiing, die de lijn A j A2 fig. 7 ondergaat, vinden wij volgens de formules (3) en (4), als wij daarin de waarden van Ax, Ay, Axä A uit (20) overbrengen, en in aanmerking nemen dat : sin xp l sin w — x\ l - p ~ (*»'- + (y»'— yiY COS lf> l COS t/1 yz—y i' l p - fe'- ^i')2 + (y»'— y\) ui = 61 A2' = v2z = 6 50 Cm P — Yerschil = 55 5 Cm = ( 323 ) is: * — — ^1 (x2 + -ri) + <^2 {y-2 + y\) .... (32) en D — ( y-2 + Vi) + (xz *b x\)i (33 of als wij voor Cx eu C2 de waarden uit (21) invoeren en den voerstraal M B , gaande naar ket midden van Ax A0, door r en den koek, dien kij met de y'-as maakt, door co voor- stellen : V = 2 C r cos (co — 2 y) (34) D = 2 C r sin (co — 2 y) (35) Uit deze formules blijkt dat de yergrooting en de ver- draaiing, die een lijn ondergaat, onafkankelijk zijn van de rickting dier lijn, maar alleen afkangen van de plaats van het middelpunt dier lijn. Die twee grootkeden blijken ver- der evenredig te zijn met de afstanden tot twee lijnen door ket punt M, die respectievelijk met de y-as de koeken 2 y-\- 90° en 2 / maken. Trekken wij dns de lijnen M f en Mg respec- tievelijk onder de koeken y M f—2y en y'Mg= 2/-J-900 en laten uit B daarop de twee loodlijnen Bk en Bl neer, dan wordt de vergrooting van de lijn Ax A2 gemeten door M k en de verdraaiing door M l. Voor de verandering, die de koek A.2 Ax A3 fig. 8 onder- gaat, vinden wij op dezelfde wijze als in § 3 uit form. (33) : cf = Z>3 — -sO + . . (36) of, als wij de lengte van de lijn A2 A 3 door l en den koek. dien zij met de y-as maakt, door ip voorstellen en voor Cj en C2 de waarden (21) invoeren: 8 =. CI sin (ip — 2 y) — C l cos (y — 2 y — 90°). . . (37) Dat wil zeggen, dat de koek A2 Ax A3 van den driekoek Ax A.2 A3 eene verandering ondergaat, evenredig met de pro- jectie n2 n3 van de overstaande zijde A2 A3 op de lijn Mg, die een koek 2 y 90° met de y-as maakt. Doorloopen wij die overstaande zijde, van uit ket koekpunt gezien, in de 21* ( 324 ) richting van de positieve y- as naar de positieve .r-as en heeft die lijn eerie positieve projeetie op de lijn Mg, dan wordt de lxo ek grooter; heeft zij eene negatieve projeetie op de lijn Mg, dan wordt de hoek kleiner. Uit (37) blijkt verder dat, als men de zijden van den drie- koek kleiner neemt, de correctien van de hoeken ook kleiner worden, waardoor het in § 8 medegedeelde nader beves- tigd wordt. Hebben wij een centraal punt A1 fig. 9 waaromlieen eene reeks drieboeken liggen, die samen een convexen veelboek vorinen en trekken wij uit de uiterste punten loodlijnen op Mg, dus uit Az en Aö, dan wordt bet eene gedeelte der boeken om A1 grooter (n.l. de boeken 2, 3 en 4), terwijl bet andere gedeelte der boeken (5, 6, 7 en 8) kleiner wordt. § 14. Beschouwen wij bet regelmatige net in fig. 10 voor- gesteld, dan hebben de zijden van de kleine drieboeken, die denzelfden stand hebben, als de groote driekoek, eene n malen kleinere pi’ojectie dan de overeenkomstige zijden van den grooten drielioek ; de boeken daarvan ondergaan dus eene n malen kleinere verandering dan de overeenkomstige boeken van den aansluitingsdriehoek. Heeft dus de aansluitingsdrie- hoek voor de som van de Vierkanten van de correctien der boeken eene waarde S, dan is de som van de Vierkanten van S de correctien der hoeken voor een kleinen driehoek — . De rr drieboeken, die den omgekeerden stand van den driehoek A B C hebben, hebben voor de projecties der zijden dezelfde waarden, maar met het omgekeerde teeken ; de boeken van die driehoeken ondergaan dus dezelfde correctien, maar met omgekeerd teeken ; de som van de Vierkanten van de cor- 5 rectien van die hoeken is dus ook — en voor de som van n 3 de correctien van de boeken van alle drieboeken vinden wij dus: rfi . — — S dus onafhankelijk van bet aantal drieboeken. ( 325 ) Wij zien dus hieruit dat bij deze neth<:«le de aanshiiting van net driehoeksnet van hg. 1" verkreven worlt met e-re som van de Vierkanten van de eorreotien der hoeken. die n- malen kleiner is dan bg de vroeger besehreven methode van de parallelle versehuiviiig. Er is echter meer. Bg net eenvoniige net. ist n:-r >e- doeli wordt. wordt de aanslnitin^ verkregen I:or aan de hoeken zoo kleine wijzigimjen aan te brengen. tat de som van de Vierkanten van die wgzi^ringen een minim tun is. 