title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: De proeven werden ingerickt als volgt. Met behulp van bovengenoemde buret werden de cilinders juist tot 2/3 ge- vuld ; ik plaatste ze daarna in groote cilinderglazen, waarin op een afstaud van ongeveer 12 c.M. van den bovenwand twee glazen staven, die aan kun uiteinden door kurken Ver- bünden waren, korizontaal waren geplaatst. De kurken drukken stevig tegen den glaswand aan en vormen zoodoende met de twee staven een stevige onderlaag, waarop de cilin- ders konden worden geplaatst; bovendien kan deze brug ge- makkelijk worden versckoven en telkens er voor worden gezorgd, dat de cilinders verticaal körnen te staan ; bet volumen van de groote cilinderglazen was ongeveer 3V2 liter ; de gebruikte oplossing diffundeerde dus in ongeveer de 40-voudige koeveelkeid water; de cilinderglazen werden ge- plaatst in groote kouten kisten, die om ken zooveel mogelijk tegen temperatuurwisselingen te besckermen, over de bin- nenwanden met een dikke laag kooi en stroo waren bekleed, en in een kelder waren geplaatst. Daarop werden de cilin- derglazen voor een groot gedeelte met water gevuld, liet voor 2/3 gevulde cilindertje daarin geplaatst, en 11a een paar uren, wanneer ik kon aannemen, dat de inkoud van ket cilinderglaasje de keldertemperatuur kad aangenomen met ket vullen daarvan begonnen. Ik liet daartoe op de oplossing in ket cilindertje een vocktig kurksckijfje drijven, waarin loodreckt een dun glazen staafje was bevestigd, liet daarop uit een reageerbuisje, waarvan de bodem tot een lange dünne 21 * ( 318 ) capillair was uitgetrokken, langzaam water längs het staafje bijdruppelen, nadat ket buisje zelf in een statief was vast- geklemd en bet uiteinde van zijn capillair tegen het staafje was geplaatst. Men bereikt aldus een volkomen spiegelend oppervlak. Was dan na ongeveer een half nur het cilin- dertje gevuld, dan werd het groote cilinderglas tot byna aan het niveau van het cilinderglaasje met zuiver water (dat in een groote fleseh in den kelder werd bewaard) aangevuld, en daarna met behulp van een pipet langzaam en voor- zichtig zooveel water toegevoegd, dat dit ongeveer 1/2 c.M. boven den rand van het cilinderglaasje kwam te staan. Wanneer de diffusie zou worden gestaakt, werd snel het cilindertje met behulp van een glazen plaatje gesloten, daarop uit het water genomen en, nadat het uitwendig ge- heel met water was afgespoeld, in een schaaltje geledigd en daarop tot 250 c.M3 verdund. De duur der proeven strekte zieh over een tijdsverloop van 1 — 20 dagen uit; de daarbij opgegeven temperatuur geeft het gemiddelde van de gedurende den duur der diffusie waargenomen temperaturen; de grootste afwisselingen, die aan de thermometers, die bo- ven de leisten waren geplaatst, werden waargenomen, be- droegen 2 — 3°. Van de voor de diffusie gebruikte oplossingen werden in den regel eveneens 50 c.M3 tot 250 verdund ; de vloeistoffen körnen onder deze omstandigheden voor en na de diffusie vrij wel in sterkte overeen, en fouten in de quantitatieve bepaling worden daardoor zooveel mogelijk verwijderd. Bij de titratie van zuren gebruikte ik als indicator phenolphta- lein, waarvan ik volgens het behende voorschrift 1 deel in 30 dln. alcoliol opioste en voor elke 100 c.M3 der te ti- treeren vloeistof 1 of 2 druppels bezigde ; met behulp van 1 druppel 1/10 normaal natronloog is de overgang van de zure in de alkalische reactie der vloeistof alsdan gernak- kelijk waar te nemen. Nadat de bruikbaarheid der methode voor het zoutzuur was gebleken, heb ik voor eenige ver- bindingen de grootte van de diffusieconstante getracht te bepalen ; de verkregen resultaten zijn in de volgende tabel- len vervat. ( 319 ) .. MJOHOO^^OOf'OOCOt'OHH« 5 § lO Ol © G5 i— 100005'^ — O © O Ol lO © "3 g oi  > « 3 u o 1-3-3 O CO © 00 00 i-O CO CO (O H O) Tf ifl c<) CM 05 ^ 00 00 03 O 00 CO o o o © o © © o T-iTt«ioo3C:>OT)< Ol CM © © CO 00 00 CM O IO O T)| CO 00 ©xOOO-^-^CO©© o’oöooöoö O CO O 1-1 05 CO © © © © o « CO (M CO CM «5 IO Ifl H 05 (M Ol CM CM CM I i-1 i-i CM COCOxOOOOOCMCO-it'OCii— IrlOO ec S O O c3 fr j__ co ^ ^oo-#o COCU-hhiCiOOOOlOD-C-C-OCO CO(M005C^xO-^OOi— li-HOOOOr— IO „2 3 Ol Ol CM CM CM »-1 i-i i-1 i-i Ol  3 ~C 2 tu w o c3 fr .2 N 1 a H 1.0 © io lO IO  CO Ol OO CI 00 Ol CO Ol Ol -^oioioioii-ioii— ccMoioioiio’i-ioioicM ©ceooooiflcoooooooLcoo l .S *"• f Deze werden niet tot 250 maar tot 500 c.M8 verdund. ( 320 ) Bij de eerste zes cilinders liad de gebezigde zoutzuur- oplossing ongeveer 1.04 s. g; bij N°. 7, 8, 9, 11, 12 eil 13 was ze iets sterker; bij N°. 10 ongeveer 1.10; bij 1 4 en 15 ongeveer 1.05 en bij 16 en 17 weer onge- veer 1.04. Vergelijken we de waarden voor den diffusiecoeefficient in de bovenstaande proeven verkregen, dan komt liet mij wen- schelijk voor de proeven zoo lang voort te zetten tot min- stens ongeveer 10 pCt. is gediffundeerd. Bij dezelfde fout in de quantitatieve bepaling wordt dan ook de invloed daar- van op de grootte van den coefficient zooals die uit de waarde kT — wordt berekend, kleiner naar mate meer is gediffundeerd; /t2 6 maar 10 pCt. scbijnt mij voldoende toe om tot zekere re- sultaten te geräken. Zuringzuur. Het berbaalde malen uit water omgekristalliseerde zuur liet na verbitten op een platinablikje niets terug. in ’t diff. glaasje 60 c.M3 zuur tot inh. diff. glaasje terugge- Cilin- 260 vevdund is tot 250 verdund bleven diff. der. gevuldmet lc.M3= islcM3:= duur diff. deel. temp. const. G. 65.2c. M3 0.616c.M:iKOH 0.658c.M3KOH 12* 21>/4“ 0.8191 7‘/in 0.72 A. 59.3 // 0.956 // // 0.976 » » 10 23-'3 0.8608 7V*# 0.686 O. 62.8 * 0.642 // // 0.713 // // 8 23 0.8842 7V2# 0.70 De oplossing van bet zuur in A was ongeveer van 6 pCt., in G en O ongeveer van 4 pCt. sterkte. Azijnzuur. Uit een groote boeveelbeid ijsazijn werd zuivere azijn door gefractioneerde destillatie afgescbeiden en dit in water op- gelost tot de sterkte van de oplossing ongeveer 8 pCt. bedroeg. ( 321 ) Cilin- der. gevuld met 50 c.M:1 zuur ver- dund tot 250, is 1 c.M 1 = inh. diff. glaasje tot 250 verdund, is 1 c.M3 — duur diO. in ’t diff. glaasje terugge- bleven deel. temp. diff. const. K. 61 c.M* 1.77c.M* KOH 1.87 c.M1 KOH lld 0.8659 8° 0.64 F. 62.8 » 2.05 » » 2.22 > • 11 0 8622 8° 0.66 D. 62.2 v 1 .97 // n 21 „ 11 0.8569 8" 0.68 F. 62.8 * +0. * Na OH 0.835 » Na OH 12 21V,u 0 7978 14'4n0.79 G. 65.2 , f0.5 * * 0.847 * * 12 21Vä 0.7794 14V/0.80 N. 64.6 » fO.5 * » 0.873 // * 12 2I1/* 0.8109 147/0.77 f Hier werden 30 c.M3 van de gebruikte azijnzuuroplos- sing tot 250 verdund. Citroenzuur. Gewoon citroenzuur werd herhaalde malen uit water omgekristalliseerd, daarop tussclien filtreerpapier droog ge- perst en oplossingen bereid van ongeveer 5 en 9 pCt. Na 12 dagen werd de diffusie gestaakt om door intredende scbimmelvorming geen onzekerheid in de resultaten te ver- fangen. in ’t diff. glaasje 50 c.M1 zuur ver- inh. diff. cilinder terugge- Cilin- dund tot 250, iä tot 250 verdund, bleven diff’. der. gevuld met 1 c.M1 = is 1 C.M-1 — duur diff'. deel temp. const. G. 65.2c. M3 0.629c.M!KOH 0.74c.M<KOH 12d223/isu 0.9022 9" 0.44 A. 59.3 * 0.629 f « 0.68 u * 12 22'Vjä 0.9115 9° 0 41 F. 62.8 v fl. 118 * * 1.287 // „ 12 23'/i* 0.9130 9P 0.40 f is verdund tot 251 c.M3. Wijnsteenzuur. Het zum- uit den handel werd eveneens herhaalde malen omgekristalliseerd, tusschen filtreerpapier gedroogd en dan oplossingen bereid van ongeveer 4 en 7 pCt. ( 322 ) Cilin der. gevuld met 50c.M3 zuur tot ■ 250 verdund, is 1 c.M3 — inh. diff. glaasje tot 250 verdund, is 1 c.M ■ = in *t diff. glaasje terugge- bleven duur diff. deel. temp. diff const. D. 62.2c.M3 0.845 c.M ‘KOH 0.806 c.M ‘KO H. 26d23«/4u 0.7668 9» 0.43 H. 62.2 // 0.845 // // 0.776 // n 26 37/(2 0.7382 9° 0.48 O. 62.8 // 0.498 » « 0.4965 // // 22 33 V» a 0.7938 9° 045 K. 61 0.498 // h 0.482 // m 22 3V„ 0.7934 9° 0.46 Barnsteenzuur. Ook dit zuur werd kerkaaldelijk omgekristalliseerd ; de gekruikte oplossing bevatte ongeveer 5 pCt. in ’t diff- glaasje 50 c.M'* tot 250 inh. diff. glaasje terugge- Cilin- verdund, is 1 c.M* tot 250 verdund, bleven diff. der. gevuldmet zuur = is 1 c.M3 ~ duur diff. deel. temp. const. K. 61 c.M:‘ 0.393c.M3KOH 0.382fc.M3KOH 18d */lsu 0.7999 15" 0.55 D. 62.2 » 0.393 » » 0.395 » « 17 237* 0.8080 15° 0.54 A. 59.3 0.393 // ,, 0.377 * v 18 V4 0.8089 15° 0.55 f is verdund tot 251 c.M3. Manniet. Manniet uit de fabriek van kahlbaum afkomstig werd nog eens uit alcokol omgekristalliseerd, daarop gedroogd en in water opgelost. De koeveellieid opgeloste manniet werd bepaald door indampen van een afgemeten volumen der oplossing in een platinasckaal op ket waterbad en drogen tot constant gewicht by 100°. in ’t diff. de in ’t di0. cilin- glaasje 60 c.M i der ge- dertje nog voor- terugge- Cilin der. gevuld met bruikte opl. bevatten banden hoe- veelh. bedroeg duur diff bleven deel. temp. diff'. cons A. 59.3 c.M3 2.2113 gr. 2.184Ö gr. 23d 2’/3u 0.8328 10“ 0.38 F. 62.8 " 2.2113 „ 2.2033 // 27 3s/i s 0.7933 10° 0.38 G. 65.2 » 2.2113 // 2.4054 „ 21 23 V,, 0.8342 10° 0.39 ( 323 ) Natriumacetaat. Het zout werd herhaaldelijk ongekristalliseerd en daarna oplossingen van verschillende sterkte bereid. De koeveelkeid zout werd bepaald door indampen van een afgemeten Vo- lumen der oplossing met een overmaat van zoutzuur, gloeien en wegen. inh. diff. glaasje tot 250 verdund, leveren duur diff. 20c.M:,0.2081gr. 23d217',0u 20 // 0.2145 Cilin- der. gevuld met A. 59.3 » F. 62.8 * K. 61 G. 65.2 * N. 64.6 * \ H. 62.2 * van 50 c.M> der opl. die tot 350 werden ver- dund, leveren 20 * 0.2480 * 50 * 0.4734 * 50 * 0.1962 * 50 * 0.3725 » 50 * 0.9294* 50 * 0.3521 * 50 * 0.3869, 50 * 0.1590 * 50 * 0.3186 * 50 * 0.8351 * 50 * 0.2614* * 19 228/is 24 22 23 22i7/B0 24 217/l2 24 21 V6 26 22 in ’t diff. glaasje terugge - bleven diff. deel. temp. const. 0.6745 14" 0.68 0.7293 14° 0.69 0.6507 15“ 0.71 0.6643 14° 0.70 0.6559 15° 0.70 0.6954 15° 0.63 0.5968 14“ 0.75 D. 62.2c.Ma 20c.M<0.2480gr. in AenD waren dus voorhanden in lÖOc.M1 zoutoplossing8.68gr. C2H3O., Na u F was ff ff H ff H a 6.63 ff ff M K ff ff 1/ ff H n ff 2.75 ff ff ff G u ff ff ff n a it 5.21 ff ff ff N » it u u ff h ff 13.01 ff ff ff H ff n 1* ff ff 11 it 4.93 ff ff Chloraalhydraat. Van chloraalhydraat, dat eenige malen uit zwavelkoolstof was omgekristalliseerd. werden 2 oplossingen bereid, de eene van ongeveer 5 pCt. de andere van ongeveer 8 pCt. Het op- geloste chloraalhydraat werd quantitatief bepaald naar de methode van Victor meyer *) door ontleding door een be- kende hoeveelheid normaalnatronloog en titreeren van de ') Ber. d. deutsch, chem. Gesellsch. Bd. 6. S 600. ( 324 ) overmaat der gebruikte base door zuringzuuroplossing. 50 c.M3 van de gebruikte oplossingen werden evenals de inlioud der diffusiecilindertjes tot 250 c.M3 verdund en daarop 100 of 150 c.M3 dezer oplossingen voor de ontleding door nor- maalnatronlooff ffebezigd. O o O A 100 c M3 de totaal 100 c.M 3 gediff. de totaal verdwe- gebruikte opl. -+- 60 in A cor- in B cor verdwe- nenhoev. opl. + 60 c M-1 resp. de resp.de nenhoev. Na OH in ’t diff. C.M3 Na OH nog voor- nog voor- Na OH corresp. in ’t dif- cilin- Na OH in tot 250 handen handen corr. in dertje ge- tot250ver- • verdund : hoev. hoev. gebruik- fusie ci- terugge- Cilin • vuld dund, is is 1 Na Oh Na OH te opl. linder- bleven der met 1 C.M3 — c.Mi - aan tf aan : f f aan : tje  121.75 lldigVeu 0.8793 O. 62.8 0.8437 0.730f 210.925 182.50 111.31 121.58 13 19 0.8697 D. 62.2 0.8634f 0.903 215.85 225.75 66.0 74.25 9 23 0.9044 K. 61. 0 8634f 0.9105 215 85 227.625 66.0 69.56 12 23U/IS . 0.8639 diff. temp. const 9° 0.54 9° 0.50 9° 0.55 9° 0.55 f liier werden 150 c.M3 ckloraalhydraatopl. met 60 c.M3 uatronloog tot 250 c.M3 verdund ff Werden de 60 c.M3 natronloogoplossing tot 250 c.M3 verdund, dan was 1 c.M3 uatronloog — 1.0218 c.M3 zuur. Chloorammonium. Het gebruikte zout was vooraf eenige malen uit warm o o water omgekristalliseerd. De sterkte der oplossing bedroeg 4.66 pCt. van 50 cM3 opl. inhoud diff. verdund tot 250, glaasje tot 250 leveren 50 c M « verdund, leveren na indamnen en 50 c.M3 na indara- Cilin- drogen tot const pen en drogen tot der gevuldmet gew. bij 1001 const gew. bij 100° F. 62.8 c.M:* 0.4659 gram 0.2733 gram in ’tdiff. glaasje terug- duur gebleven diff. diff. deel temp. const 22d 235/6u 0.4670 17VS° 1.296 G. 65.2 // N. 64.6 » 0.4659 // 0.3228 , 18 21 Vi* 0.5313 17»/*° 1.34 0.4659 // 0.2868 „ 23 0.4764 17VS® 1.307 Mögen ook sommige resultaten onderling vrij sterke af- Wykingen soms vertoonen, tocli geloof ik uit de medege- ( 325 ) deelde proeven te mögen afleiden, dat de methode, zooals die in het bovenstaande is meegedeeld tot bruikbare resul- taten leidt. Dat afwijkingen in de proeven onderling moeten voorkomen is inet het oog op het tal van waarnemings- fouten, die bij den gang der proeven kunnen insluipen, te voorzien; stroomingen ten gevolge van temperatuurwisselin- gen, die gedurende een tydsverloop van 20 dagen wel niet te vermijden zijn ; geringe storingen bij het over elkaar gieten der vloeistoffen in het cilinderglaasje, ook al vindt dit met de grootste omzichtigheid plaats, laten moeilijk al- tijd een volledige overeenstemming in de voor k verkregen waarden toe. De proeven worden voortgezet in den boven aangegeven zin alleen met korter cilinders dan de gebezigde, in de hoop daardoor de fouten, die aan stroomingen ten gevolge van intredende temperatnurwisselingen te wijten zijn, door korter duur der proeven te verkleinen. In de aan dit verslag toegevoegde tabel II zijn de resul- taten van de boven meegedeelde proeven en die van de proeven van graham *), zooals Stefan f) die onlangs bere- kend heeft, samengesteld. Onderzoekingen over de diffusiesnelheid van zouten zijn in den laatsten tijd medegedeeld door schuhmeister §) en long * * §) **). Een vergelijking tusschen de door andere onderzoekers en de door mij gevonden waarden voor den diffusiecoefficient is bij het voorhanden materiaal alleen mogelijk voor chloor- ammonium en zoutzuur. schuhmeister vond k = 1.33 voor een chloorammonium- oplossing van 12 °/0 sterkte bij de temperatuur 20£°; ik vond k = 1.32 voor een chloorammoniuraoplossing van 4.66°/0 sterkte bij de temp. 17^°. graham vond voor de diffusieconstante van zoutzuur bij *) Ann. d. Chem. u. Pharm. Bd. 121. f) Wiener Akad. Ber. Bd. 79. §) Wiener Akad. Ber. Bd. 79. S 603. **) Zijn proefschrift. On the diffuaion of liquids, 1879. Tübingen H. Laupp. ( 326 ) de temp 5° k — 1.742; als het gemiddelde van 13 waar- nemingen bij de gemiddelde temp 8°, en van 2 waarnemin- gen bij de temperatunr 15|°, bereken ik kg = 2.07 en &15.5 — 2.57. Om een vergelijking mogelijk te malten, neem ik aan, dat binnen de grenzen 5° — 15.5° de diffusiesnelheid met de temperatuur toeneemt volgens de formule kt = k0 (1-f •«<). Bereken ik dan uit mijn proeven : 2.07 r= k0 (l-|-8ß) en 2.57 = Jcq (1-f- 15 |a), ä;0 = 1.35 en a — 0.066, dan volgt daaruit voor k5 = 1.77, lietgeen met de door geaham bij die temperatuur gevonden waarde overeenstemt. Ik begon myn onderzoek met bet doel een poging in bet werk te stellen voor bet nagaan van den invloed van bet moleculair gewicbt en moleculair volumen en misscbien ook van de structuur der verbiuding op baar diffusiesnelbeid; daarom beb ik als stoffen gekozen, waarover bet voortgezet onderzoek zieh vooreerst zal uitstrekken, eenige homologe verbindingen als natriumzouten van vetzuren en aromatische zuren, eenige phenolen en sulfozuren. Ook voor eenige »physische” isomeren als rechts en links wynsteenzuur, druivezuur zullen onder gelijke omstan- digbeden de diffusieconstanten worden bepaald. Breda, November 1881. ( 327 ) T A B E L I. Qo-Q *t Qo ^ 1.00 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94 0.93 0.92 0.91 0.90 0.89 0.88 0.87 0.86 0.85 0.84 0.83 0.82 0.81 0.80 0.79 0.78 0.77 0.76 0.75 0.74 0.73 0.72 0.71 0.70 0.69 0.00000 0.01865 0.02495' 0 03033" 0.03533' 0.04012' 0.04480' 0.04943' 0.05402' 0.05862' 0.06323' 0.06784' 0.U7249 0.07718' 0.08191" 0.08668" 0.09150' 0.09637" 0.10130" 0.10628_ 0.11132_ 0.11643 0.12161 0.12684_ 0.13214_ 0.13751_ 0.14295_ 0.14846_ 0 15405_ 0.15972“ 0.16547_ 0.17130 -630 -538 -500 -479 -468 -463 -459 -460 -461 -461 -465 -469 -473 -477 -482 -487 -493 -498 -504 511 -518 -523 -530 537 544 -551 -559 -567 -575 -583 -592 Qo^Q Qo kT h2 — D. 0.68 0.67 0.66 0.65 0.64 0.63 0.62 0.61 0.60 0.59 0.58 0.57 0.56 0.55 0.54 0.53 0.52 0.51 0.50 0.49 0.48 0.47 0.46 0.45 0.44 0.43 0.42 0.41 0.40 0.39 0.38 0.17722 0.18323' 0.18932' 0 19550' 0.20178' 0 20817' 0.21466' 0.22125 0.22795' 0.23476' 0.24168' 0.24873' 0.25590' 0.26320' 0.27064' 0.27821' 0.28595" 0.29382 0.30184" 0.31002' 0.31838" 0.32692" 0.33563_ 0.34454" 0.35365' 0.36296 0.37250 0.38227_ 0.39228_ 0.40254 0.41306“ - 592 - 601 - 609 - 618 - 628 - 639 - 649 - 659 - 670 - 681 - 692 - 705 - 717 - 730 - 744 - 757 - 774 - 787 - 802 - 818 - 836 - 854 - 871 - 891 - 911 931 - 954 - 977 -1001 -1026 -1052 ( 328 ) TAB K L II. Formule. Mol. gew. Mol. vol. Diff. const. temp. Zoutzuur HCl 36.5 1.742 5° Graham 1. u 1/ II 2.07 8° Scheffeb 1/ 1/ II 2.56 15>/,o „ 2. Clilooramraonium NH4C1 53.5 35.2' 1.31 17‘A° Chloornatrium .. Na CI 58.5 26.2 0.76 5" Graham ö. II // II II 0.91 10» „ Azijnzuur CHA 60 0.66 8° Scheffeb 4. 1/ // II 0.78 14-/,“ „ 5. Barnsteenzuur. .. CAO* 118 75.3* 0.55 15» 6. Zuringzuur .... Cj04H; 2aq 126 76.4i 0.71 7%° 7. Azijnzuurnatrium C H30.,Na 3 aq 136 97.2i 0.69 15“ 8. Wijnsteenzuur .. CiHA 150 85. 71 0.45 9» ,/ 9. Ckloraalkydraat. CoClsOH. aq 165.5 91.0i 0.55 9» „ 10. Manniet CdHiiOo 182 122.51 0.38 10" „ 11. Citroenzuur. . .. c„hso7 192 135.22 3 0.41 9» „ 12. Magnesiumsulfaat MgS04 7a q 246 0.354 10» Graham 13. Kietsuiker Ci2H220ii 342 215.4i 0.312 97,» // 14. Arab. gom .... (CüHil,Oä> 162.# 0.13 10» „ 15. Looizuur — — 0.101 io- 16. Caramel — — 0.047 10>/2« „ 17. Albumine — — 0.063 13» „ i Ontleend aan de opgaven van Schröder. Ber. d. deutsch. Chem. Ges. Bd. 10. S. 851 en Bd. 12. S. 120, 562. 3 Berekend naar Buignet’s opgave van ’t s. g. 1.553 voor CJLOt, ILO. ( 329 ) NASCHRIF T. De Heeren van Bemmelen en Dibbits voeren in hun ver- slag over mijn verbände] ing als bezwaar tegen de door mij gevolgde methode van experimenteeren aan de geringe lioogte van liet water boven de cilinders en vreezen, dat dit belem- merend op de diffusie gewerkt moet liebben. Ik stelde daarom nog de volgende proeven in het werk om na te gaan, in hoeverre bet meer of minder diep geplaatst zijn van den ci- linder onder het water-niveau al of niet invloed keeft op de voor k verkregen waarden. Ik plaatste daartoe op den bodem van een bekerglas een cilindertje, dat voor een deel met een indigo-oplossing was gevuld, vulde daarop als boven besckre- ven het cilindertje met water aan, en daarna ook de ruimte tusschen bekerglas en cilinder tot het ongeveer 3 cM. bo- ven het oppervlak van den cylinder kwam te staan. Het blijkt mij nu, dat de donkerblauwe vloeistof in aabb langzaam overgaat in het water; dat aacc zeer licht blaauw wordt gekleurd, terwijl in het boven cc aanwezige water geen blauwkleuring is waar te nemen, maar wel in het water eeff , en wel toenemende, naar mate men een laag dichter bij den bodem van het bekerglas waarneemt. Eerst na ge- ruimen tijd, wanneer het water in eeff, sterk blauw is geworden, verlieft zieh de blauwe kleur- stof ook boven de lijn ecce. Bij de drie volgende proeven met zoutzuur, waarbij de cilinders op verschillende diepte onder den waterspiegel wa- rf c c a a f b b f ( 330 ) ren geplaatst, gebruikte ik ciiinders van de volgende afine- tingen. lntr 2 V k2 h li- r 1. 55.41 c.M3. 6.08 c.M3. 4.65 21.62 1.94 6. 48.95 » 5.86 » 4.54 20.61 1.85 ri 7. 53.12 » 6.03 » 4.68 21 90 1.90 De resultaten van de proeven, die op gelijke wijze als de boven bescbrevcn werden uitgevoerd,- zijn in bet volgende tabelletje vervat. Cilin- der gevuld met 32 c.MS gebruikt zuur tot 125 c.M3 verdund is 1 c M3 zuur — rest dif- fusieci- linder tot 125 c Ml verdund is 1 c.M’ zuur — diepte cilinder onder water- spiegel duur diff. in diff. glaasje teruggeble- ven deel terap. diff. const. 1. c.MJ zuur c.M^NaOHc.M-^NaOH 3G.9 1.222 0.650 211/sm.M. 3d22>/4U 0.4613 61° 1.842 6. 32.6 1.222 0.549 573 n 3 21 >4 0.4410 6£° 1.866 7. 35.4 1.222 0.618 12 // 3 22V« 0.4572 61° 1.887 Het komt mij voor dat deze proeven, zoowel als de indigo- proef, de door de Heeren van Bemmelen en Dibbits geop- perde bedenking tegen de juistbeid van de door mij bepaalde waarden van de diffusieconstanten der onderzocbte stolFen, weerleggen en aantoonen dat de waterboogte van ongeveer | c M boven de cilinders voldoende is geweest om tot juiste waarden te geräken. Veen dam , Januari ’82. .RAPPORT OVER EENE VERHANDELING VAN DEN 11EER T. J. STIELTJES Jr.: «BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER DERDE- EN VIERDE- MACHTSRESTEN». Uitgebraeht in de Vergadering van 28 Januari 1882. Uwe commissie, aan wie de beoordeeling der Verhande- ling »Bijdrage tot de tlieorie der derde- en vierde maclits- resten van T. J. Stieltjes Jr.” in de laatste vergadering opgedragen was, heeft hierbij de eer zieh van hare taak te kwijten. De schrijver stelt zieh daarin voor, längs eene zieh gelijk- blijvende of geheel gelijksoortige methode het karakter in de getallenleer van 1 -j- 1 = 2, 1 -(- 1 = 1 — q , 1 -}- 1 = 1 -f- i af te leiden, en wel met behulp van de theorie der complexe getallen ; hierbij steunende op eene verhandeling van C. F. Gauss »De residuornm biquadratico- rum Commentatio prima,” door hem op 5 April 1825 bij de Kon. Societiit der Wissenschaften te Göttingen ingediend, en waarop later wel de tweede, maar nimmer de derde ver- handeling is gevolgd. Hoezeer het bij dit afgetrokken onderwerp uit de getallen- leer niet zonder bezwaren is, willen wij tocli trachten u een denkbeeid te geven van het verband en de opeenvolging der redenerirgen. Bij de theorie der quadratische resten verdeelt schrijver de getallen 1 tot ( p — 1), waar p een priemgetal voorstelt, in twee groepen, die het quadratisch karakter 0 of 1 heb- ben, en vormt dan daarmeue twee congruentien van ^ (p — 1) VERSL. EN HEDED. A ID. NATUUKK. 2<*e REEKS. DEEL XVII. 22 ( 332 ) faktoren. Daarbij gedragen zicli de vormen 4 n -f- 1 en 4 n 4- 3 zeer verschillend. Bij de biquadratische resten verdeelt hij de getallen 1 tot fx — 1, waar fx de norm (of modulus) is van bet priemge- tal M, (hier in bet algemeen complex, = a -f b i), in vier groepen, die nu bet biquadratiscb karakter 0, 1, 2, 3 bebben ; met behulp waarvan dan vier congruentien worden gevormd, elk van { ( /u — 1) factoren. Hier gedragen zicb de vormen 8 k 1 en 8 n -)- 5 weder gebeel anders. In beide tbeorien telt hij nu bij de getallen van iederen groep de eenbeid op: en hierbij komt bet aan op die ge- tallen, welke aan de oude en de nieuwe groepen gemeen zyn. Het aantal telkens dezer gemeenschappelijke waarden worde voorgesteld door eene afzonderlijke notatie (a, b ), waar a voorstelt het nummer der groep, beboorende tot de laatste soort, en b evenzeer dat der groep van de eerste soort. Yoor de beide tbeorien heeft men dus de volgende Schemata, gesebreven in den vorm eener determinante, (0.0) (0.1) (1.0) (1.1), en (0.0) (0.1) (0.2) (0.3) (1.0) (1.1) (1.2) (1.3) (2.0) (2.1) (2.2) (2.3) (3.0) (3.1) (3.2) (8.3). Het komt er nu op aan, om te bewijzen, welke dezer aantallen ( a.b ) onderling gelijk .zyn. Bij de quadratische resten, van den vorm 4 n -j- 1 in de eerste plaats, bewyst bij eerst, dat (0.1) = (1.0), later dat (1.1) = (0.1) is. Dit heeft tengevolge, dat bet bovenver- melde Schema veel eenvoudiger wordt, en wel h j j i; en hieruit leidt bij verder af 4 h — p — 5, Aj — p — 1. ( 333 ) Heeft hier het priemgetal p echter den anderen vorm 4 zi -f- 3, dan bewijst hij evenzoo, eerst dat (0.0) = (1.1), vervolgens dat (1.0) = (0.0) is; zoodat hier het Schema den meer eenvoudigen vorm aanneemt h 3 h h; waaruit hij verder afleidt 4 li = p — 3, Aj = p -f- 1. Bij de biquadratische resten behandelt sehr, eerst den vorm 8 n 1, en daaromtrent bewijst hij eerst de gelijk- heden (0.1) = (1.0), (0.2) = (2.0), (0.3) = (3.0), (1.2) = (2.1), (1.3) = (3.1), (2.3) = (3.2); en daarna weder de volgende (0.1) = (3.3), (0.2) = (2.2), (0.3) = (1.1), (1.2) = (1.3)=(2.3). Voert men deze gelijkheden alle in het Schema voor de biquadratische resten in, dan wordt dit veel vereenvoudigd, en luidt aldus h j k l j l m m k in k m l mm j ; en nu is hij in staat met behulp van dit vereenvoudigd Schema vijf vergelijkingen tusschen de letters h tot m te vinden, ten einde daaruit hare waarden op te lossen. Sh =4 n — 3a — 5, 8 j 4 n 4- a — 2 b — 1, 8 k 4 7i -j- a — 1, 8 l 4 Ti a "I" 2 b — 1, 8 m = 4 n — a -}- 1. 22» ( 334 ) Hierbij lieeft liet getal den vorm a 4- bi: zoodat, ingeval het bestaanbaar wordt, b — 0 is. ln dit laatste geval ver- klagen dus j en l dezelfde waarde, terwijl zij anders slechts in het teeken van b verscliillen. Vervolemns overgaande tot den tweeden algemeenen vorm 8^4-5) bewijst sehr, wederom eerst, dat (0.0) = (2.2), (0.1) = (3.2), (0.3) = (1.2), (1.0) = (2.3), (1.1) = (3.3), (2.1) -=(3.0) is, en daarna, dat ook (0.0) = (2.0), (0.1)=(1.3), (0.3)=(3.1), (1.0)=(1.1)=(2.1) moet zijn. Door invoering van al deze gelijkheden in het Schema voor de biquadratische resten, verkrijgt men den volgenden, veel eenvoudiger vorm h j k l m m l j h m h m m l j m. Längs dergelijken weg als vroeger tracht hi) nu weder vijf vergelijkingen optemaken tusschen de grootheden, die hier door de letters li tot m worden voorgesteld, en geraakt alzoo tot de volgende uitkomsten 8 h — 4 n — a — 1, 8 j — 4 n — a — 2 6 3, 8 k — 4n-|-3a-j-3, 8 l — 4 n — a-f-26-}-3, 8to = 4 n -f- a -f- 1. Ook hier bedenke men, dat het priemgetal den vorm a-f bi heeft, zoodat b verdwijnt, wanneer het bestaanbaar wordt; ook hier is in dit laatste geval de geli)kheid van j en l duidelijk; evenzeer. dat zi) anders slechts onderscheiden zijn in het teeken van b. Zoodra sehr, nu eenmaal alle waarden (a,6) in het Schema ( 335 ) heeft bepaald, leidt hij verder daaruit de gevallen af, wan- neer 2 al of niet quadratische rest is van het priemgetal/?; evenzoo, wanneer 1 -f-z (en tegelijkertijd ook 1 — j, — 1 — i, — 1 -f-z) al of niet biquadratische rest is van n. Daarna wordt het gevondene in toepassing gebracht, en o. a. worden de kenmerken opgezocht in de theorie der bi- quadratische resten, wanneer een bestaanbaar priemgetal tot een der vier vroeger genoemde groepen moet worden gebracht. En thans gaat sehr, over tot eene gelijkvormige ontwik- keling in de theorie der kubische resten. Hier zijn a -f- b (? en a -j- b (J2 ((J is zoo als gewoonlijk de complexe derde- machtswortel uit de eenheid) toegevoegde complexen, zoodat hun produkt (a -f- b(j) (a -f- b (j2) = a2 — ab -f- b2 de norm wordt. In deze theorie is 3 = — (j2, (1 — ^)3 geen priemgetal. Men heeft hier twee soorten van priemgetallen. Vooreerst de bestaanbare: deze zijn van den vorm 3« — 1, met den norm (3 m — l)2 = 3 (3 n2 — 2 n) -f- 1 ; en vervolgens de complexe priemfactoren van de reelle priemgetallen 3 n -f 1, welke laatste dan tegelijk de norm dier factoren zijn. De norm is dus altijd van den vorm 3n -f- 1. Gaan wij nu verder op het voetspoor der vorige beschou- wingen, dan ontmoeten wij vooreerst drie groepen met het kubische karakter 0, 1 en 2. Bij al de getallen in die groepen telt sehr, wederom de eenheid bij, voert ook hier de oude notatie ( a,b ) in, en verkrijgt dan, overeenkomstig het vroeger behandelde, hier het Schema (0.0) (0.1) (0.2) (1.0) (1.1) (1.2) (2.0) (2.1) (2.2); waaruit hij reeds dadelijk het kubisch karakter van 1 — (>, en tevens dat van 1 — q 2, afleidt. Verder bewijst hij eerst, dat hier (0.1)=(0.0), (0.2)=(2.0), (1.2) = (2.1) is, en later dat ook (0.1)=(2.2), (0.2)=(1.1) is. Door de invoering van deze vergelijkingen wordt het ( 336 ) scliema wederom veel eenvoudiger, en verkrijgt hier de ge- daante h j k j k l k Ij. Nadat hij er in geslaagd is om vier vergelijkingen opte- sporen, die deze letters h tot l bevatten, verkrijgt hij door eene tamelijk zamengestelde oplossing 9 h — Sn A — 7, 1 8 j = 6 n — A-\- SB — 2, IS k = 6n — A — SB — 2, 9 l — Sn — A + 2. Deze hulpgrootheden A en B hebben eene verschillende waarde hij de vroeger onderscheiden beide soorten van priem- getallen in deze theorie. Bij de eerste soort, de bestaanbare van den vorm 3 n — 1, is A — 2M en B — 0, zoodat men heeft 9/j — Sn + 2 M — 7, 9 j =^3 n — M — 1 —9 k, 9 l — Sn + 2 M + 2. Bij de tweede soort van priemgetallen daarentegen wordt A = 2a — b en B = b, waarin a en i gegeven zijn in den vorm a -f- b (j van bet priemgetal zeit; en dan wordt 9 h 3 n 2 a — b — 7 , 9 j = 3n — a Ar — 1, 9 & = 3 n — a — b — 1, 9 l—Sn A-Sa — 6 + 2. En thans bepaalt hij daaruit telkens bet kubisch karakter van 1 — Q zoowel als van 1 — ( ) 2. Tot zoover loopt de ontwikkeling bij deze theorie der kubische resten evenwijdig aan die bij de beide vorige the- orien der quadratische en biquadratische resten. ( 337 ) Maar nu dringt sehr, verder in de theorie der kubische resten. Na invoering der bestaanbare getallen, f en g, die congruent zijn met q en q2 (Mod. M). behandelt hij nog eens de priemgetallen der tweede soort. Hij zoekt de plaats de plaats te bepalen van het getal 3 in eene der drie bo- vengenoemde groepen, voor bepaalde gevallen. Op dergelijke wijze doet hij dit ook voor het getal 2 ; maar gebmikt ver- volgens de reciprociteitswet, om zulks te bewerkstelligen voor de getallen 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Uit de verschijnselen, bij deze bijzondere gevallen waar- genomen, leidt sehr, nu een zestal algemeene Stellingen af, waarvan hij alleen de vijfde, als de rneest algemeene, maar ook de meest ingewikkelde, gaat bewijzen ; waarna hij nog over de zesde eenige opmerkingen geeft. Misschien is het gelukt, om omtrent dit zoo afgetrokken onderwerp bij eenigen uwer de overtuiging te vestigen van het methodische in den gang van het onderzoek. Wanneer wij daarbij voegen, dat de discussie en de bewijsvoering blijk geeft van scherp wiskundig vernuft ; dan zal het u niet be- vreemden, dat wij u voorstellen, het stuk, als der Akademie ten volle waardig, in hare werken op te nemen. Jcinuari, 1882. D. BIERENS DE HAAN, C. H. C. GRINWIS. BIJDRAGE TOT DE THEORIE DEK DERDE- EN VIERDE-MACHTSRESTEN. DOOB. T. J. STIELT JES J r. Het lioofd-theorema in de tlieorie der quadraat-resten, de zoogenaamde wet van reciprociteit, beeft betrekking op de wederkeerige verhouding van twee oneven priemgetallen, en in eene volledige tlieorie moet daarom liet karakter van bet getal 2 als quadraat-rest of niet-rest van een ander oneven priemgetal, afzonderlijk bepaald worden. Het getal 2 blijkt hierdoor eene bijzondere plaats onder alle priemgetallen in te nemen. De theorema’s waardoor bet karakter van 2 bepaald wordt, zijn bet eerst door Fermat nitgesproken *) en door Lagrange -j-) bewezen. Hierbij moet echter vermeld worden, dat bet be- wies, door Lagrange gegeven, op gebeel analoge beschouwin- gen berust, als die, waardoor Euler §) reeds vroeger de tbeorema’s bewezen had die bet karakter van 3 als quadraat- rest of niet-rest bepalen, en welke insgelijks reeds door Fermat waren uitgesproken. Het is daarom des te meer *) Op. Mathem. p. 168. f) Nouv. Mtm. de tAc. de Berlin 1775. Oeuvres Tome IU. p. 759. §) Comment. noo. Pelrop. T. VIII. p. 105. ( 339 ) opmerkelijk. dat Euler steeds te vergeefs getracht heeft, de theorerua’s omtrent liet karakter van 2 te bewijzen (Yergel. Disq. Arithm. Art. 120). Een geheel analoog verscliijnsel doet zieh voor in de theo- rie der vierde-machtsresten. Ook hier heeft de algemeene recipi'ociteits-wet hetrekking op twee oneven, d. w. z. niet door 1 -f- * deelbare, priemgetallen en het karakter van dit bijzondere priemgetal 1 -(- i moet afzonderlijk bepaald wotden. In de verhandeling van Gauss : Theoria residuorum bi- quadraticorum commentatio secunda, waarin voor het eerst de geheele complexe getallen van den vorm a -f- bi in de getallen-theorie ingevoerd werden, is het biquadratisch ka- rakter van 1 -f- i volledig bepaald. Het daar voorkomende bewijs is zuiver arithmetisch gevoerd en steunt wezenlijk op het theorema van Art. 71, dat geheel overeenkomt met de hulpstelling die de grondslag uitmaakt, zoowel van het derde als van het vijfde Gaussische bewijs van de reciprociteits- wet in de theorie der quadi’aat-resten. (Theorematis arith- metici demonstratio nova, Werke n pag. 1 en Theorema- tis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demon- strationes et ampliationes novae, Werke H pag. 47). Zooais bekend is, heeft Gauss zijn voornemen, in eene derde verhandeling de theorie der vierde-machtsresten tot een zeker einde te brengen door het bewijs te leveren van de algemeene reciprociteits-wet, die reeds in de tweede ver- handeling over deze theorie uitgesproken is, niet ten uitvoer gebracht. De eerste gepubliceerde bewijzen van dit fundamenteele theorema zijn de beide van Eisenstein in het 28stc deel van Crelle’s Journal für Mathematik pag. 53 en 223. In het eerste stuk : »Lois de reciprocite” wordt het karakter van 1 -f ■ i niet behandeld, wel in het tweede stuk: Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste. Bij de daar voorkomende afleiding van het karakter van 1 -j- i wordt echter gebruik gemaakt van de vooraf bewezen algemeene reciprociteits-wet, wat ruij in elk geval minder schoon voorkomt, daar de overgang van het meer eenvoudige tot het samengestelde toch stellig ver- ( 340 ) langt het karakter 1 + i geheel onafliankelijk van het fun- damentaal-theorema af te leiden. Hetzelfde geldt in meerdere of mindere mate van alle an- dere metlioden, die later bekend gemaakt zijn om de theorie der vierde-machtsresten te behandelen, en voorzoover ik zie, kan alleen van de Gaussische afleiding van liet karakter van 1 -f i gezegd worden, dat zij zuiver aritbmetiscb is, en geheel onafliankelijk van de algemeene wet van reciproci- teit, zoodat zij liierdoor voldeed aan de eiscken die men aan een geleidelijke ontwikkeling van de gelieele theorie der vierde-machtsresten zal rnoeten stellen. Geheel analoge bemerkingen zijn te maken omtrent de theorie der derde-machtsresten. Het eerste gepubliceerde bewijs van de door Jacobi uitgesproken wet van reciproci- teit in deze theorie, is dat van Eisenstein in Bd. 27 van Crelle’s Journal für Mathematik pag. 289. Het afzonderlijk te bepalen karakter van 1 — q (waarin q een complese derde-machtswortel der eenheid) is eerst later gegeven door Eisenstein in Bd. 28 pag. 28 en vv. van hetzelfde tijdschrift. Bij deze afleiding wordt weder gehruik gemaakt van de alge- meene wet van reciprociteit, en ik zie niet dat tot dus ver eene afleiding van het cubisch karakter van 1 — g gegeven is waarvan dit niet gezegd kan worden. Daar het nu toch wenschelijk voorkomt, eene afleiding te bezitten voor het karakter van 1 -j- i en 1 — g, geheel afgesclieiden van de algemeene reciprociteits-wetten, zoo is het misschien niet geheel van belang ontbloot, dat al deze theorema’s, betrekking hebbende op de priemgetallen 2, 1 + 1 ~ 9 en die tot aanvulling der reciprociteits-wetten noodzakelijk zijn, volgens eene gelijk blijvende methode be- wezen kunnen worden. Het principe van deze methode bestaat daarin, het prieru- getal waarvan het karakter te bepalen is, te vervangen door een congruent product van factoren. Het karakter dezer factoren wordt dan bepaald door beschouwingen, geheel over- eenkomstig aan die van Gauss in Art. 15 — 20 van zijne eerste verhandeling over de theorie der vierde-machts-resten 1 Werke II pag. 78 — 87). Gauss beschouwt in deze verhau- ( 341 ) deling alleeu reele getallen, en het doel der verhandeling is de bepaling vau het karakter van 2 in deze reele theo- rie. Het bleek mij echter dat al de beschouwingen van Gauss bijna onveranderd ook in de tlieorie der complexe getallen herhaald kunnen worden, en de bepaling van het biquadra- tisch karakter van 1 i volgt dan onmiddellijk met behulp van eene eenvoudige beschouwing volgens welke 1 -f- * con- gruent is met een product, waarvan men het karakter der factoren kent. Met behulp van deze hoogst eenvoudige bemerkingen is dan ook, eenmaal de onderzoekingen der eerste verhandeling van Gauss gegeven zijnde, de bepaling van het karakter van 1 -{- i ten opzichte van een priemgetal van den vorm a + bi (waarin b niet gelijk nul) om zoo te zeggen mede geheel volbracht; terwijl een geheel analoge methode in het geval dat de modulus een reeel priemgetal van den vorm 4 n -(- 3 tot hetzelfde doel gebezigd kan worden. Hoewel dit laatste geval een veel eenvoudiger behandeling toelaat (zie bijv. G. H Art. 68), heb ik toch gemeend het ook op dezelfde wijze als de overige gevallen te moeten behandelen, omdat zoo- doende blijkt dat de gebezigde methode in Staat is om de volledige theorema’s af te leiden. Nadat de bepaling van het biquadratisch karakter van 1 -f- i afgehandeld is, heb ik met behulp van de vooraf- gaande ontwikkelingen alle theorema’s bewezen die Gauss door inductie gevonden, en in Art. 28 der Theoria residuorum biquadraticorum commentatio secunda, opgesteld heeft. Voor zoover mij bekend zijn deze theorema’s hier voor het eerst bewezen *). Dit bewijs steunt geheel op de theorie der com- plexe getallen, welke theorie hier dus geheel als hulpmid- del dient, daar de theorema’s zelf alleen betrekking hebben op reele getallen. Behalve de reprociteits-wet in de theorie der vierde-machtsresten, waren voor het volledig bewijs nog de beschouwingen van Art. 19, 20 noodzakelijk. . *) ln het 4<le deel van het Journal de Liouville heeft Lebesqüe deze theorema’s voor een deel bewezen. Zie daar pag. 51, 52. Remarque 1°, ( 342 ) Ik zal nu beginnen met de afleiding van het karakter van 2 in de theorie der qUADRAAT-RESTEN. 1. Zij p een oneven priemgetal, de getallen 1, 2, 3, , . . p — - 1 zullen dan in twee groepen verdeeld worden. Tot de eerste groep A cc «' a" worden gerekend alle quadraat-resten, tot de tweede groep B ß ß' ß" alle niet-resten, voor den modulus p. Elk der groepen p — 1 A en B bestaat uit volgens den modulus p incon- 2 gruente getallen, en men ziet gemakkelijk dat de beide con- gruenties : p— 1 (x — a) ( x — «') (x — a") . . = x 2 — 1 mod. p. Pz 1 (® - (?) (* - n (* - n •■ = * 2 + 1 identieke congruenties zijn ; want zij zijn van lageren graad p — l^e . p — 1 dan de — en bezitten beide blykbaar — - — worteis, u u namenlijk de eerste de worteis x r= a , x =z «' , « = de tweede de worteis x = ß , x = ß' , x = ß" . .. Door bij de getallen van A en B de eenbeid op te tei- len ontstaan de volgende beide groepen getallen : A' u + 1 , «' + 1 , u" + 1 . .. B' ß + 1 , ß' + 1 , ß" + 1 . .. De aantallen getallen van de groep A' die in A en B Yoorkomen, noem ik nu respectievelijk (0.0) , (0.1) , en de ( 343 ) aantallen metallen van B' die in A en B voorkoraen res- peetivelijk (1.0) , (1.1). Deze vier getallen kunnen in het volgende sekema S ver- ein igd worden : (0.0) (0.1) (1.0) (1.1). Daar de priemgetallen van de vormen p — 4 n 4- 1 en jd=4n -f 3 zieh verscbillend gedragen, moeten deze beide gevallen afzonderlijk bebandeld worden. Ik begin met het eerste. 2. Voor /> =: 4 ra + 1 is — 1 quadraat-rest, zoodat de getallen a en p — « tegelijkertijd in A voorkomen. Even- zoo komen de getallen ß en p — ß gelijktijdig in B voor. Nu is (0.0) blijkbaar gelyk aan bet aantal oplossingen van de congruentie a 1 £Er a1 mod. p , waarin « en «' uit de groep A te kiezen zijn; en daar a ~ p — u" zoo kan men ook zeggen, dat (0.0) bet aantal oplossingen voorstelt van de congruentie: a -(- u" 1 ZE 0 mod. p. , Op gelijke wijze omtrent de aantallen (0.0), (1.0), (1.1) redeneerende, blijkt dat bet teeken voorstelt het aantal oplossingen van (0.0) « + «'+1 = 0 (0.1) « + ß + 1 =0 (1.0) ß + « + 1 =0 (1.1) + ß' +1=0 alles mod. p Men ziet bieruit onmiddellijk dat (0.1) = (1.0) is; ( 344 ) een tweede betrekking tusschen de getallen van het Schema S levert de volgende beschouwing. By elk getal ß van de groep B belioort een bepaald getal van die zelfde groep ß" zoodanig dat ß ß" = 1 mod. p. eu tevens is dan ß' ß" congruent met een getal « van de groep A. Door vermenigvuldiging van de congruentie ß + ß1 + 1 = 0 met ß" volgt dus 1 + « 4- ß" = 0 en door deze laatste congruentie met ß te vermenigvuldi- gen, verkrijgt men de eerste terug. Hieruit valt onmiddel- lijk op te maken dat (1.1) = (0.1) is, zoodat het Schema 5 dezen vorm heeft : h 3 3 3 Nu komt in den groep A het getal p — 1 dus in A' het getal p voor, welk laatste getal noch in A noch in B voor- komt. Alle overige getallen van A1 en B' echter körnen, zooals evident is, öf in A bi in B voor. Hieruit volgt dus 2 j = V — 1 2 De identieke congruentie (•-« . x 2 -}• 1 m°d- P ( 345 ) P 1 geeft nu voor x = — 1 , daar — - — even is : (ß + 1) (?' + 1) (0" + 1) • • = 2 mod. p. Het aantal niet-resten onder de getallen 1 , -f- 1 , r + 1 .. is nu (1.1) =j = P-f^- Is dus j even of p = 8 n -f- 1 dan is 2 quadraat-rest van p. Is daarentegen j oneven, of p = 8 n -f- 5 dan is 2 niet-rest van p. 3. Voor p = 4?i-f"3 is — 1 niet-rest, en de groep B komt overeen met de groep getallen p — a, p — p — Het teeken (0.0) stelt nu voor het aantal oplossingen van de congruentie u -f- 1 = «' mod. p of ook daar u'—p-ß is, het aantal oplossingen van u -f- ß -f 1 = 0. Op deze wijze blijkt dat het teeken voorstelt ket aantal oplossingen van (0.0) «4- ß + l = 0 (0.1) « 4- «' 4- 1 = 0 (1.0) ß + ß'+l=0 (1.1) ß 1 = 0 mod. p derhalve (0.0) = (1.1). Is verder weder ßß" = 1, ß' ß" = u dan volgt uit (l4"^,+ l=-0 door vermenigvuldiging met ß" i 4. « 4- ß" = o waaruit op soortgelijke wijze als boven, deze betrekking volgt (1.0)=(0.0). Het Schema S heeft dus voor p—An-\-3 dezen vorm hj h h ( 346 ) Daar het getal p — 1 in de groep B, dus p in B' voor- komt, maar overigens alle getallen van £ en ß1 öf in A 7 O © of in B voorkomen, zoo volgt h — 1 dus 3 = V + 1 4 Uit de identieke congruentie P— 1 2 ( x — a) (;t- — a') ( x — a") . . ~ x — 1 mod. p v — i volgt voor x — — 1 daar — - — oneven is, u (a -}- 1) (a< + 1) («” + 1) . . = 2 mod. p en het aantal nietresten onder de getallen ce -j- 1 , a' 1 , «" 1 .. p -i- 1 is =(0.1 )=j=P±-, Is dus j even of p — 8 n -f 7 dan is 2 quadraat-rest p. Is daarentegen j oneven of p = 8 n -j- 3 , dan is 2 niet-rest van p. Nadat kiermede dus het karakter van 2 als quadraat-rest of niet-rest ten opzichte van een willekeurig oneven priem- getal bepaald is, ga ik er toe over het overeenkomstige te ontwikkelen in de theorie der VIERDE-MACHTS- RESTEN. 