title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: Overgaande tot de verdere ontwikkeling van ieder der in het tweede lid van (8'a) voorlcomende terinen, kan men zieh daartoe de boven als bijzonder geval n — 1 uit de algemeene betrekking (4) afgeleide formule (4j) volgens girard en New- ton ten nutte maken, waarin men voor eenig aantal willekeu- rige grootheden « en voor een willekeurigen coefficient A heeft aq ( — )q A ^r- “i en sq — «?. Neemt men na- melijk voor het tegenwoordige doel in die formule n grootheden u aan, in het algemeen bepaald door a/c — eix* — cosx]c -j- isinxk, en voert men daarbij de notatien Cq^^^^cos{xl-\-x,i-{-ei\z. ~\~x<i)i Sq^=^^sin{xi-\- enz. en Cg—^J^cosqxk , Sq — sinqxjc in, (deze laatste alzoo te onderscheiden van sq in (4j) zelf), dan heeft men, (4j) door A deelende, aldaar te vervangen — door A ( — — ( — )9^r{cos(a.,1-|- a-3-f- enz. -j- + i sin (^1 -j- ^3 + enz. -j- xg)] = ( — )q (Cq -j- i Sq) en sq door n n (cos q x/c -j- i sin q xk) — cq -f- isq, waardoor men na vermenigvuldiging met ( — 1 )f/ en vervanging van q door q — 1 de formule Q(Cq + iSq) = — ) (Cr *1" *8r) {Cq-r + i Sq -r) verkrijgt, die zieh alzoo splitst in de beide herleidingsformulen <i qCq = 'E (-)r-1 (cv Cq-.r - Sr Sq_r) .... (9„) en =E ,r— 1 q Sq ( — ) (cr Sq—r -f~ Sr Cq—r ), .... (9i) VJCBSI,. EN MEDED. AFD. NAIUUEE. 2de KEEES. DEKE XVI. 7 ( *8 ) zijnde hierin, blijkens C0 -f- i S0 = — = 1, te nemen C0 = 1 A en <S0 = 0. En door herliaalde toepassing van deze beide laatste formulen — die o. a. door n — 2 en q — 2 en daarna nog bovendien .r1 — .r3 te stellen, ook de grondfor- mulen der goniometrie voor cos (.-rj -|- ,r2) en sin {xY -f- a?3) in zieh bevatten — is men derhalve in staat de waarden van n — 1 Cq voor de opvolgende q — 1,2, enz., , dat zyn juist de 2 termen in het tweede lid van (8'„), uit te drukken uitslui- tend in de sommen cq en sq, die in het tegenwoordige geval met het oog op de ontwikkeling van (1') gemakkelijker te berekenen zijn : immers men heeft in dat geval, lettende dat n oneven is en dat de bogen x/c alsdan de boven opgegeven waarden hebben, n n — 1 Cq — £cos q .T/t — cos q (n -(- \/ x) + ^Ircos q cok[/x = n— l = — 2 cos q\/x-\- 'Leos q &)k[/x, voor q oneven ..(10.) £ cos q oyk |/a’, voor q even E n— i 1^1 / O' «—1 = — 2 sin q[/x -j- \ o ii—i sin q cok j/.r, voor q oneven ,.(10*) V. XmfSl sin q Oifty/x, voor q even waarin verder n—i n—i cos q or v*= EI; =5; (-r ■ E®» v o / n v ' (2 r) ! ) o (2r)! o OD E (~r (2 r) q2rn (2 rn)\ ( 99 ) is, omdat — sie«is gelP „ul, raaar alleeu wanneer r den vorm r n heeft, gelijk n wordt ; en evenzoo is »— 1 «-1 , 00 sin q cok[/ x — iLr I q2r+l ö*(2 r + 1) (-yg - ■■■■■"—» = 2; (_)>■_£ o (v ' (2r + 1)! (2r + 1)! 2r+1 0 »— 1 ,0 ,, (2r-fl)n / x “2~ y? , w ?(2r+i)” — 2 0 ((2 r -j- 1) n)\ Ofschoon nu hiermede de weg is aangewezen om liet voor eene willekeurige oneven waarde van n opgemaakte tweede lid van (8'a) en dan ook dat van (1') werkelijk volgens de opklimmende magten van x ontwikkeld te klagen, neemt dit niet weg dat reeds bi] betrekkelijk kleine n, bijv. bij n — 1 n — 7, als wanneer men in (9) tot q — = 3 zou moe- 2 ten gaan, de bewerkingen zeer langwijlig worden en de wet der coefficienten b niet zeer eenvondig. Daarom zullen dan ook in het volgende deze coefficienten alleen voor ieder der gevallen n — 1 tot en met 6 berekend worden, met dien verstände dat, uithoofde voor n = 1, 2 en 3 de ontwikke- ling van (1') bet gemakkelijkst regtstreeks schijnt te ge- schieden en uithoofde voor n — 4 en 6 de coefficienten b het geschiktst volgens de straks te vermelden formule (12) uit die voor n = 2 en 3 worden afgeleid, slechts voor n = 5 de zoo even omschreven algemeene methode werkelijk zal worden toegepast. Alvorens evenwel tot deze getalleubereke- ningen voor geheel bepaalde gevallen over te gaan, möge nog met een enkel woord melding worden gemaakt van de mogelijkheid om, wanneer reeds voor eenige door m aange- duide periode de getallencoefficie'nten b'm) op eene of andere wijze bekend zijn geworden, met behulp daarvan de coefficien- ten U”) voor eene andere willekeurige periode n door terug- 7’ ( 100 ) loopende betrekkingen te berekenen. ,(n) n n — 1 b{n) in — 1 3n T l.(n— 1)! 3(3«— 1)! -j- enz. , (m) m — 1 O , o ”1~1 X 1 (m — 1)! Am) m °m- 1 r 2 f ' l.(m — 1)! Am) m+\ bm+ 1 x 2 _ (m-}~ lj! Am) im USm~l x 2 3(3to — 1)! nederschrijven die blijkbaar, door in de kruisproducten de coefficienten der gelijknamige magten van x in beide leden gelijk te stellen, de bedoelde terugloopende betrekkingen tus- schen de reeks der Um) en die der Un) onderling zou ople- veren. Dat deze betrekkingen evenwel al spoedig, — niet alleen voor de algemeene combinatie (m, n), maar zelfs bijv. voor de meer bijzondere combinatien (1, n), (2, n) en (3, «), niettegenstaande alsdan de getallencoefficienten M1), M2) en 6(3) weldra zullen blijken zeer eenvoudig te zijn, en evenzeer bijv. voor de bijzondere combinatie ( n — 1, n), — niet gemakkelijk meer te overzien zullen zijn, noch wat de teekens noch wat de optredende binomiaal-coefficienten betreft, valt in het oog : reden waarom zij dan ook hier niet zullen worden uitge- schreven. Alleen möge, zoolang p kleiner dan of hoogstens gelijk aan het kleinste der beide getallen m — 1 en n — 1 ge- nomen wordt, de eenvoudige uit de gelijkstelling der coeffi- m 1 n »i + 2p— 1 cienten van . x 2 — xi . x 2 (of, wat hetzelfde ( 101 ) is, uit de eerste toepassing, namelijk die voor q — 0, van (4')) voortvloeijende betrekking dm) J m — 1 b[n) n+2p — 1 b{n\ 72— 1 b{m) m+2p — 1 (m— 1)! (« -f- 2 p — 1)! worden opgemerkt, waaruit, omdat 1 {n — 1)! (m-(-2p — 1)! hier in ieder lid de eerste factor reeds gelijk gebleken is, u (n) (w+2p— 1)! (W) b , , = b ' en dus bnv. voor m — n — 1 n-\-2p— 1 (m-\-2,p — 1)! m+%p — 1 als bijzonder geval: = (n+2p— 1) volgt. Van meer belang dan deze betrekkingen tusschen Um) en b(n) is de tkans op eeiiigzins gewijzigde manier te vinden algemeene formule, waardoor men in het geval van een even perioden-aanwijzer n de daarbij behoorende coefficienten b regtstreeks kan uitdrukken in de bij den, hetzij even of on- n even, perioden-aanwijzer — behoorende en door b' aan te dui- den coefficienten. Daartoe merke men op dat wel steeds, ook voor oneven n, het eerste lid van (1') is te beschouwen als ontstaan uit de vermenigvuldiging van het product van al zijne factoren van oneven rangorde met het product van al zijne factoren va» even rangorde, maar dat meer in het bij- zonder in het thans bedoelde geval van even n ieder dezer pro- — l l— l ai. ,-•! FT. i /{^(cox) ducten, namelijk cos X Lsm en X Xsi« , uit een zelfde aantal - factoren bestaat en, wat meer is, 2 n , door toepassing van (1') zelve en van (2') op - in plaats 2 van op n zieh onmiddellijk in de evenbedoelde coefficienten b 1 laat uitdrukken. Immers vooreerst is het eerstgenoemde product niet anders dan het eerste lid van (!') zelf, wanneer men daarin n vervangt door - en dus, gelet op (<u2)2 = 1, gelijk- 2 tijdig 0) nioet vervangen door or\ en kan men — wat voor liet tegenwoordige doel meer geschikt is — bij deze vervanging liet tweede lid van (1') ook zoodanig schrijven dat daarin aan den aanwijzer q, in plaats van alle geheele positieve waarden, acktervolgens sleckts alle even waarden 0, 2, 4, enz. tot oneindig gegeven worden, ( 102 ) kan geven, waarin wel te verstaan, omdat het tweede lid met een term in x moet beginnen, aan de veranderlijke ( 103 ) r alle geheele positieve waarden zijn toe te kennen die den exponent (4(?_2r+l)^+2p-l ~~l ^ maken, dat is alle 2 ~ 2 / P geheele positieve waarden r s> 2q -f- — •. En ten andere 2 n komt het tweede bovengenoemde product door in het eerste n lid van (2 ) toegepast op — de willekeurige veranderlyke x 2 te vervangen door cox, waardoor in het laatste lid de alge- l (2 9+I)« q 2 meene term ( — ) x overgaat in ( — ) \<n (2q+\)n 9+o (2g+l)n 21 dat is wegens co — 1 in -f -ix , zoodat men, den aanwyzer q hier vervangende door r, verkrijgt : ]7[. i/(«»)V) « V7 » ^ 2 2!\2 j V l(2r b\*r+ 1)|~1 (2r+l)f (2r+l)-j! Omdat nu zooals werd opgemerkt het eerste lid van (1') ge- lyk is aan het product der eerste leden van de beide laatste vergelijkingen, moet ook de coefficient van den algemeenen term 2 {2q-i-\)n+2p— l x 1 in het tweede lid van (!') gelijk zyn aan n maal de som der coefficienten van alle terrnen van den vorm { 2 [ - |—1 (4? -2H-l)3+2p-l, ' 2 2 t - -”-l (2r+l)|, die voor de verschillende toe te laten waarden van de ver- anderlyke r in de ontwikkeling van het product der tweede leden van deze beide laatste vergelykingen voorkomen. Gaan wrj na deze meer algemeene beschouwingen tbans zooals gezegd voor de zes allereerste waarden van den perio- den-aanwijzer n tot de uitgewerkte berekeningen over. Voor n = 1 , als wanneer alleen de waarde p — 0 in aan- merking komt, neemt de algemeene vergelijking (1') door het laatste lid voorop te stellen en het eerste lid te ontwikkelen den vorm: ou £ 2 £±{-)q-^L-xq ° (2 q)\ x'l v'* yr , x? = cos = ( — ) 2 oy> 22?.(2 q)\ aan, zoodat men dan onmiddellijk den coefficient _ 1 b-2q 22?+1 heeft. Ofschoon men op grond hiervan voor dit geval de be- trekking (4") bij vermenigvuldiging met 22?^1 onder den vorm 5 (%2 t 22' 52,-1 = ~ (2? + zou kunnen gebruiken, is het, juist omdat nu slechts de enkele door p = 0 aangeduide groep bestaat die nu de gezamenlijke Bemoulliaansche coefficienten omvat, meest eigenaardig de enkele groep van terugloopende betrekkingen onder de voor deze p — 0 opgemaakte vonnen (4'0) of (4"0) te schrijven. Bepaalt men zieh bijv. tot den tweeden van deze vormen, stelt men ook daarin n— 1 en voor b hunne evengevonden waarden, en vermenigvuldigt men tegelijkertijd met 229, dan geeft deze de betrekking ^ (— )T 1 ^ 1 j 22r~l B%r — l = q , (4"0 voor n = 1) die dan ook, als men ze niet uit ket algemeene geval van eene willekeurige n had willen te voorscliijn doen körnen, maar zieh van den beginne af tot het onderzoek voor n — 1 had willen bepalen, dadelijk zon gevonden zijn hetzij door in de ontwikkeling van de identiteit 1 1 ,. sm x . — cot x — — cos x , dat is 2 2 y 1-r g-r x21-2r-rl I ( 1 X?22r-lB2r-l 0 ( ’ (2q— 2r + l)!j (2x 1 (2 r)\ 1 2 CO de coefficienten van x2(l in beide leden onderling gelijk te stellen en de uitkomst met (— )? (2 q +1)! te vermenig- vuldigen, hetzij door — wat in wezenlijkkeid op hetzelfde nederkomt — in de formnle (4j) van girard en newton, bij vervanging van q -f- 1 door q gesclrreven onder den vorm ? Y7 , 1 L* a9— »• sr ■=. — q aq en toegepast op de grootkeden r= _ , 1 Tjä 1 1 ,. enz., te substitueren aq—r =. (2 nf (-1)^- (2<2 — 2^-j- 1) ! (3 7r)2 (blijkens de ontbinding van de functie sin x 22r“ 1 B%r 1 in haar oneindig aantal factoren) en s = en r (2 r) ! de uitkomst met ( — )q~l {2 q + 1)! te vermenigvuldigen. Hetzij door deze laatste substitutie tevens te verrigten in (5X) en daarna eene kleine kerleiding toe te passen, hetzij door het stelsel der q zoo even gevonden vergelijkiiigen (4"0 voor ( 107 ) n r= 1) voor q = 1, 2, enz. tot en met q regtstreeks op te lossen ten opzigte van ( — )?— 1 2 2?— 1 Boq—l welke oplossing weder zamenbangt met de vroeger ter gelegenbeid van (5 ) enz. besproken mogelijkheid van het invoeren der magten van eenigen factor ). bij b en B. (bier liefst /. = 2, ten einde alle bovendien verdubbelde coefficienten b tot de eenheid te brengen), komt men aanstonds tot de volgende determinan- tenformule van den </den graad: (2 r -j- 1) . 22?~ 1 B%q — i = . (50" voor n = 1) die alleen een klein verscbil in vorm vertoont met de door H. >'äGELSBACH, Zur independenten Darstellung der Bernoulli- scben Zahlen , in schlömilch's Zeitschrift für Mathematik etc.. 19er Jabrg., 1874. pag. 229. fomiule (42), gegeven oplossing van zijne op gebeel andere wijze verkregen formnle (34) (zie ook güA'theb, Determinanten- Theorie, pag. 127 — 130). Door de tweede kolom te verminderen met driemaal de eerste. vereen- voudigt zicb de vorenstaande fonnule wegens (2*+1\s1= \ 2 I = 22|^ i nog tot de volgende van den ( q — l)en graad. na- melijk : ( 108 ) maar verder kan men eene dergelijke bewerking niet berba- len zonder sommige elementen van den körnenden lageren determinant een minder eenvoudigen vorm te zien aannemen. Ofschoon niet regtstreeks uit de toepassing van de voor- gaande algemeene methode voortvloeijende möge, alvorens bet geval van n = 1 te vertaten, bij deze gelegenbeid nog in eenige uitweiding worden getreden. In de eerste plaats zij opgemerkt dat nog eene betrekking van nagenoeg den- zelfden vorm als (4"0 voor n — 1) komt door gelykstelling der coefficienten van 1 in de ontwikkelde identiteit (1 of 1 1 cos x -f- 1 — sirfi x 4- cos. - cot x = — 2 2 sin x 1 x 1 — cot — sm x 2 2 2 « {2 + 5"'<-rr x2g-2r (2q—2r)\ 1 x 00 2q — 1 (2q 1)! ’ de bedoelde betrekking namelijk, waarvoor men na eene kleine berleiding vindt is dezelfde die bij NäGELSBACH voorkomt op pag. 228 als formule (35). Maar van meer belang, in zooverre men dan terugloopende betrekkingen aantreft waarin ieder der opvol- gende Bernoulliaansche coefficienten is ontdaan van de in beide voorgaande betrekkingen telkens daarbij voorkomende gelijknamige magt van het getal 2, is de opmerking dat op dezelfde wijze als tbans (5"0) uit (4"0) is afgeleid, eene nog eenvoudiger determinantenformule van den <ydcn graad te vinden is uit de terugloopende betrekking die o. a. da- delijk te voorschijn komt door in de ontwikkelde identiteit 1 x 1 sin x. — cot — = —(14- cos of 2 2 2 V J j Tr' I ,t-r ' 0 1 ’ (2q — 2r+l)! CO CO de wederzijds gelijkgestelde coefficienten van x2l met ( — y (2q +1)! vermenigvuldigen, namelijk , ) — 1 / -f 1 ( — ) 9 I ^2r-l v 2r / Bvr— 1 2q — 1 (4*) Deze terugloopende betrekking — voorzeker wel eene der eenvoudigste onder degenen die alle opvolgende Bernoulliaan- sche coefficienten bevatten — is geene andere dan die men veelal (bijv. door g. s. klügel, Mathematisches Wörterbuch , le Abth., 1er Theil, 1803, pag. 253, en Supplemente , lc Abth., 1833, pag. 55 — 80; door s. f. lacroix, Calcul differentiel et calcul intdgral, 2e Ed., T. 3, 1819, pag. 84 ; door r. lobatto, Integraal-refcening, 1852, pag. 357, noot) opgegeven vindt als het eerst door a. de moivre, Miscellanea analytica, 1730, Sup- plem. pag. 6, te zijn opgemerkt ; maar komt mij vöör door jac. bernoulli zelf op pag. (fo+l)!)S>*_, — 1 (o) 0 0 0 = 6) (!) 0 0 0 2 (!) (!) 0 0. (1) (5) (!) 0 0 3 (S) (!) (!) 0 G) (?) (?) Cs0) 0 (?) (?) (?) ( 2? — 2 ) (V) (?) (?) ft) (2,-2) * en en en /2?+2\ V 2? — 2 / (V) m m ( 2ri /2j+2\ W~2/ zijnde de laatste of verlaagde determinant weder verkregen op grond van = , j- En trekt men ein- delijk van de terugloopende betrekking (4**) de voorgaande f , , p, / 2 *2 -f- 2 \ (2q-\-l\ (4*) ai, dan lieert men wegens \ ^ | ^ j = *V 1 \2 r — 1 ! 2'-‘^2 ’ dat is de eenvoudige door >ügelsbach op pag. 229 op ge- ( 112 ) keel andere wijze gevonden formule (41), die trouwens ook, onafhankelijk van (4*) en (4**), regtstreeks te voorscliijn komt door slechts de onderling gelijkgestelde coefficienten van x2,i in beide leden der ontwikkelde identiteit cos x). X X — cot - _2 2 dx x „ % 2 sin2 — U sin x -f- #)> I dat is ■r ( \Q-r x2<i-2r+2 1 [ft Bir— l _2r — l j _ 1 2+i x2q+l I (_) (29— 2r+ 2)'Jli(2r— 1)1* (2^ -j-1)! ’ met ( — ) (2 <2 1)1 te vermenigvuldigen. Deze formule nu geeft de oplossing IT (2r +!).(?!) 2 Ä*a_i = 1 (?) 0 0 = 2 1 (3) 0 0 0 1 © ffl 0 0 2 © © 0 0 1 © © © 0 3 (!) (!) (!) 0 , (Y1) (V) (25—3) <-» (V) fr1) (V) /2j — 1\ (25-3^ 1 (Yl) (Y1) (Y1) /2?+l\ \2i~s) ?_i (*+1) (3«+l) \2j — 3) waarvan de eerste vorm in wezenlijkheid niet onderscheiden is van NäGELSBACH’s formule (45) en zieh tot den tweeden vorm laat herleiden op grond van ^ ^ ^ — 3.1 = 2{q — 1). Zoo even is gebruik gemaakt van het differentiaal-quotient I x x\ van I — — cot — I ten opzigte van x. Gaat men nog op de- 1 *\ ,, - cot ~ J zelf, dan 2 2/ 2 2; zelfde wijze te werk met dat van heeft men: ( 113 ) - (1 — cosx). 7 I 1 X d\ cot - 2 2 dx 2 sin2 - 2 4 sin2 - dat is * W | [1 y(27-l)g^i I I 0 ' ' (2q — 2r-f-2)!l Le- i (2i-)! j 2’ gevende door voor q 1 den coefficient van x2(l gelyk nul te stellen: 5 (-r1 (a<— o i, eene uitkomst die, evenals de voorgaande gevonden werd door (4*) af te trekken van (4**), ook verkregen wordt door (2 q -|- 2) maal (4*) af te trekken van (2 q + 1) maal (4**). Nog kunnen, door dezelfde formulen (4*) en (4**) op ge- scliikte wrjze met elkander in verband te brengen, daaruit zonder veel moeite de opmerkelijke door m. a. stern, Beiträge zur Theorie der Bernoulli' sehen und Euler sehen Zahlen , in Ahhandl. der Kön. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göt- tingen, 23(T Band, 1878, pag. 7 — 8, medegedeelde betrekkin- o-en worden afgeleid, die zieh van alle overigen van dezelfde soort onderseheiden doordien zij ter berekening van eenigen Bernoulliaanschen coefficient niet terugloopen over alle voor- gaande, niaar slechts over een zeker aantal aan den bedoel- den onmiddellijk voorafgaande Bernoulliaansche coefficienten. Yervangt men namelijk in (4*) den aanwijzer q door q — l, dan gaat zij over in E (-* r— 1 \q— 21+ 1 2r 2 q — 2 l — 1 Bir — 1 — — , • • (±1*) VEESl., EN MEJJED. AFI). NATUURK. 2de EEEKS. DgKX, XVI. 8 ( 114 ) waarbij wel te verstaan q als bovengrens voor r bij liet 2- teeken zonder bezwaar onveranderd kon aanblijven omdat, al moet ook deze grens in werkelijkheid q — l worden, toch voor elken door r ^ q — l -j- 1 aangeduiden term de binomiaal- coefficient |2 q — 21 -f- 1 j wegens 2r^>2q — 2 l -f- 1 nul wordt en al dergelijke termen dns reeds daardoor van zelf verdwij- nen. Dezelfde vervanging toegepast op (4**) doet deze om dezelfde reden, bekoudens alleen dat nu voor r = q — / -j- 1 ’2q— 21+ 2' 2 r de binomiaal-coefficient gelijk 1 wordt, over- gaan in 2q — 2/+2 2 r f lB-2q-2l+\ = 2q—2l -..(4j**) Stelt men zicli nu voor dat, k een willekeurig oneven of even getal zynde, alle op deze wijze van l — 0 tot en met k i £ l — of - te verkrijgen k 1 betrekkingen in de na- 2 2 volgende orde naast elkander geplaatst worden, namelijk: (4**), (4:*), (4^*), (4^), (4a**), (4a*), (4S**). ..(4*di*)of(4***), 2 2 waarbij dus zoowel de boven-aanwijzers of zoogenaamde bases van de in de eerste leden bij een zelfden B-^—i voorkomende binomiaal-coefficienten alsook de tweede leden zelve eene ge- wone afdalende rekenkundige reeks vormen, en past men, evenals hierboven de formule (41) van nügelsbach reeds als bet verschil van de beide eerste dezer betrekkingen werd op- gemaakt, thans meer in liet algemeen op alle k -f- 1 betrek- kingen de bewerking toe waardoor men, bij berhaling iedere vollende van de voorgaande aftrekkende, den eersten term der rij van bare verscliillen van de &de orde verkrijgt, dan lieeft men volgens eene der boofdformulen uit de leer der reeksen de betrekking: ( 115 ) *-)' — 1 i tWlVVX)--- +(-) k (k\ (2 q — k 2 | Bir— \ + ( — )' I k B^n — 1 — U ) ^-3+ ( 6 ) #2?— 5— enz. -f i<-)8 \k~i)B2i~i+2i I *_i /M ^Of(-)2 (J B-2g~k+l ' =4 j 2q~ (i)^2?— 1^~i’ (2)^ 2) enz,-f"( }*(^)(2^ — | • Hierin komt, stellende A (2 ^2) = (2 ^ ?2t ^ = ^r/^V j, de coefficient van ( — f 1 Bir—\ in den eersten \ 2r* — 1/ term vöörals A‘(2}+2)=A*-'(^))=A^(2^2)= = enz. 2q-k-\-2 , terwijl ket tweede lid als &de ver- 2 r—k schil eener reeks van de eerste orde steeds gelijk nul, belialve alleen voor k — 1 gelijk — is, zoodat men de evengevonden U betrekking ook aldus kan schrijven : \ 2 r k / \-‘T/ ( (voor£> 1) 0 \ (waarin om dezelfde reden als boven weder q als bovengrens van den tweeden term kon worden toegelaten), ofbeknopter nog, indien men in den eersten ' term den veranderlijken aan- wijzer r door de notatie q — r -j- 1 vervangt, (-) r_l 1/2 q — k -f~ 2 k 2r Bi q-ir-r (voor £=1) ( — ) ( voor k > 1 ) 8* 9-1 1 0 ( 116 ) Gaat men tlians geheel dezelfde handelwijze nog eens ber- halen voor de reeks van k -f- 1 betrekkingen (4/*) en (4/**) die men verkrijgt door van de zoo even gebruikte reeks de allereerste betrekking, namelijk (4**), weg te laten, maar daarentegen aan het slot nog eene volgende betrekking j of 1 4^*j toe te voegen ; of — wat volgens de na- tu ur dezer reeksen en van de daarop toegepaste bewerking op hetzelfde moet nederkomen, maar voor de uitvoering veel gemakkelijker is — vermindert men de laatst gevonden uit- komst met degene waarin zij overgaat bij vervanging van k door k + 1 en voor wier tweede lid dus in allen gevalle nul moet worden genomen, dan verkrijgt men nog de nage- noeg gelijkvormige : B-r1 \/2g—k -j- 1\ \\ 2 r — 1 ) + B-2 g — 2r-f-l (voor£t=l)( — 1 . 1 (voor k > I) 0 J Dat de twee aldus gevonden betrekkingen werkelijk, uit- gaande van eenigen Bernoulliaansclien coefficient niet alle voorgaande coeflScienten bevatten en dat men ze dus zou kunnen noemen gedeeltelijk of onvolledig of afgebroken te- rugloopende betrekkingen, is duidelijk tengevolge van bet nul worden van eenige der daarin voorkomende binomiaal- coelficienten ; en dat zij overigens dezelfde zijn als de aan- gehaalde van stern, blijkt door slecbts in de eerste te ver- vangen 2 q — k -f- 2 en k door n en m, en in de tweede 2 q — k -f- 1 en k door n en m, en door te letten op liet onder- scheid in de notatie der Bernoulliaansche coefficienten zelve. Na nog in bet voorbijgaan de uit sin 2 x 1 x 1 fl + cos 2 x . —  2 ( 117 ) te bebben vermeld, kunnen ten slotte van deze op den perioden-aanwijzer n = 1 betrekking hebbende beschouwin- gen ook uit bepaalde verbindingen van de boven gevonden determinanten-vormen nog andere worden afgeleid. 0. a. verdie- nen de aandacbt de beiden van den gden graad die men verkrijgt door of bet viervoud, of bet dubbel van (5"0 voor n — 1) te verminderen met den eersten vorm van (5*), namelijk : t IT. (2r -j- 1) . 2 (22<j — 1) i?2?— i - 0 0 ( *) 2/ 0 0 ^ |5\ A 0 b) ,2/ U) U n / 0 bi 1 2 ) \4 J w • (2?: -n |8?-n I2q IN 1 1 i ) \ 4 j \ ö ). \2?-2j (2g + i\ 1 2q-\-\ \ 1 2q-\r 1 \ /2? m\ ; / 2? + 1 \ \ i 1 \ 2 M 4 / 1 6 j • \2q-2} en H ri(2r+ 1). 2(2°?_1 - 1) ß‘2q—\ — /3\ IS' » 0 0 loj \2 /5\ 0 0 W \2 W n\ l7' /7\ l7\ • 0 W \* b) l6) ; 2? 1\ /2q- -1) (V) ( 2q-l\ [ /2?-l\ o ) \ 2 6 1. \ 2q — 2/ t— 4 4- Cm <M / 2q -f- 1 \ / 2q -f 1 \ ; 2q+u ; f2? + l\ 0 i \ 2 M 4 ; v 6 j. i2?_2j H I ca ( US ) cosec x die evenwel geen van beiden, de eerste wegens 2?+l [2q + 1\ — I ^ ) = (2 q -f- 1) {q — 1) en de tweede wegens (2q+l\ - 3 I ^ J = (2 q -j- 3) ( q — 1), vatbaar zijn om 2q + l 2 op overeenkomstige wijze als boven tot eenvoudige determi- nanten van den (q — l)eD graad berleid te worden. Gelet op COS * COS X 2 x = cot - 'Xx 2 sin — cos — 2 2 >29 V (2?)! en . . o* cos * — (- sin i - 2 2 1 x 1 x cot- 4- -tq — x x 2 2T2 y2 2 sin ~ cos — 2 2 CO =E 2(22? 1 1) Big — 1 (2?)! ,1’2?- geeft de eerste dezer determinanten de tangenten-, de tweede de cosecanten-coefficienten (vergelijk hiermede ook liet aan het slot omtrent deze coe'fficienten aangevoerde). De tweede is dezelfde die onder meer andere dergelijke formulen voor- komt op pag. 12, N°. 4, bij j. hammond, On the relation between beknoulli’s numbers and the binomial coefficients, in Proceedings of the London mathematical society, Vol. 7, 1875 — 1876, pag. 9 — 14. In het geval van n~ 2 of m3 — 1 = 0, als wanneer oj = e5r* — cos n i sin ti — — 1 , dus j/ co — i te nemen is en alleen p = 0 en p = 1 in aanmerking komen, geeft de algemeene vergelijking (1'): ( 110 ) dB + [/ X cos sin 2 &49-4-l (4?+l)l* i[/x 1 ~iT~ 2i 4?-H 2 sm - bjg+7, (4? + 3) ! (1 +i)[/x sm - (1 — i)\/x 1 0 ,-_l 1 1 y: , (i+^+i-(i-^+i _ 2 o ' ’ 22r+1. (2/*-fl) ! oo 49+l ao , , 49+3 1 ct; c-)*» 2 .frt-r*8 i 2 ( o 22?(4<? 4-1)! "h o 229+i (4?+ 3)! j ’ waarin namelijk het laatste lid kon worden bijgeschreven om- dat, als men let op (1 ± z)2 = ± 2 * , de teller (1 -(- z)2r+] — — (1 — «yk-l-l — (1 -j- i) (2 i)r — (1 — i ) ( — 2z)'' in het voor- laatste lid, telkens wanneer r — 2q is, gelijk 2 z (2 i)2q — = (— )?2a*+lz blijkt te worden, daarentegen telkens wanneer r — 2'j -f- 1 is, gelijk 2 (2«)2r/+1 = ( — )9 2 2<?+2z. En de ge- lijkstelling van de overeenkomstige coefficienten in het eerste en het laatste lid der vorenstaande vergelijking doet alzoo onmiddellijk de voor n — 2 geldende waarden 1_ ^4g+l 2'9 + 1 ’ 1_ ^4? + 3 22v+2 kennen, wier substitutie voor p — 0 en voor p — 1 in (4") bij vermenigvuldiging met 22?+l en met 22/+J geeft de beide terugloopende betrekkingen : ii-rpz y*^=- 4<? + 2 2 4<? + 4. (4" voor n — 2) ( 120 ) die ook onder den enkelen vorm Oof 1 (-) 2 of 2 |2<? + 2 \ 2 r 2}‘ Jhr—\ = — 2<? 4- 2 zouden zijn zamen te vatten, mits dan hierin voor r alleen öf de opvolgende even öf de opvolgende oneven getallen ne- mende. Deze beide betrekkingen, en wel die voor Bir—\ onder den laatst geschreven vorm, kwamen, evenals versckillende der boven voor n — 1 bescbonwde, met eenige wijzigingen in de notatie reeds voor in eene door mij in de vergadering van 30 September 1876 van de Kon. Akademie van Wetenschap- pen ingezonden bijdrage, die evenwel niet werd nitgegeven, daar zij kort daarna teruggenomen werd ten einde zooals thans gescbiedt bet laatste en op de Bernoulliaanscbe coeffi- cienten betrekking bebbende gedeelte daarvan, waarin toen alleen de perioden n =z 1 en n — 2 waren onderzocbt, ook op perioden van hoogere orden uit te breiden. In die bijdrage werden op bet voetspoor van bet boven voor n = 1 verrigte o. a. buitendien nog voor n — 2 uit de herleiding van de identiteiten 1 x i ix 1 14 - cosx i(\ 4- cos ix) - cot — dz — cot  sin ( 1 + ^ — (1 =pi) sin (1 — i) x 2 (cos (1 — i) x — cos (1 -j- i) x j ( 121 ) de beide volgende eenigzins meer zamengestelde terugloopende betrekkingen tir (-)' 2 j 2-??-2'- Bir-\ = - (22? + ( - 1)?} o en 9 £(-/ (4, + 4 o v ; \4r + 2 2’2?-2^ 54r+i (229+l — (— l)9) tusscben dezelfde coefficienten B±r— \ en Z?4r_|_i van zoo even afgeleid, betrekkingen die in verband met de beide voorgaande, bijv. door optelling en door aftrekking, nog weder nieuwe opleveren ; terwijl er aldaar ten slotte op werd gewezen dat dezelfde bebandeling toegepast op de identiteiten 1 x i ix 1 I sin x i sin ix — COt - rfc — COt —  -f i) x— (1 q: i) sin (1 — i)x 2(2(1 — cos x — cos ix) -f- cos (1 -j- i ) x -f- cos (1 — i) .rj betrekkingen van nog meer zamengestelden vorm zou ople- veren. te werken met — - cot — m plaats van voor n — 2 met ( 122 ) 1 — cot 2 * 2 l/x cot — 2 — — — , dat wil zeggen door de identiteit 1 sin x ( 1 — cos ix) 2 (1 — cosa?)(l — cos ix) sin x — — [sin (1 -)- i) x -j- sin (1 — i)x) 1 — (cos x -}- cos ix) + 2 { cos (1 + i)x+ cos(l— i)x) op te stellen en verder te ontwikkelen; en, lettende op den vrij zamengestelden vorm van de laatst medegedeelde betrek- kingen in vergelijking van de beide betrekkingen (4" voor n — 2), heeft men vooral hier een sprekend bewijs van bet voordeel dat het gebruik der functie — in tegenstel- 4 \/x 1 x ling van — - cot — u Bepaalt men zieh dus tot de twee evengenoemde betrek- kingen (4" voor n — : 2) en past men evenals vroeger in het alffemeen thans ieder van deze weder achtervolgens toe voor q— r 0, 1, 2, enz. tot en met q , dan kan men uit dit eerste stelsel de onbekende ( — )q 2 2q i en uit  ook desverkiezende regtstreeks uit de algemeene oplos- sing (5") zou kunnen afschryven, daarbij denkende aan de aldaar besproken invoering der magten van een factor h bij & en 5, waarvoor dan in. dit geval te nemen ^ = j/ 2 , ten einde alle coefficienten b na voorafgaande vermenigvuldiging met j/ 2 tot de eenlieid te brengen. Hoe het zij, men ver- krijgt op deze wijze voor den algemeenen Bernoulliaanschen coefficient B^q-\ van even en van oneven rang de volgende onafhankelyke formulen: ( 123 ) 0 0 ei 0 0 = 2 1 (4) 0 0 0 3 © (1) 0 0 * (?) (?) 0 0 ^ (?) (» c8°) 0 3 ff) (?) G» 0 (V) (V) (V) /iq — 2\ (V) (V) (V) /iq — 2\ \4j— 4/ 2}+i (V) n*) cqr) /4?+2\ Vt-i) * Cf) Ct !) Cf) /4?+2\ \ii-i) H(4%+4).2^4s+1 = 1 (» 0 0 0 — 24 (i) (ß) 0 0 0 2 (S) G) 0 0 (?) (?) (?) 0 0 3 (?) (?) (io) 0 (?) (?) (iS) &)• 0 « (?) (?) (Ä) (A) (5) (?) (?) (S) (A) «+1 (4ä+4 ) m ( 4«+4\ 10 ) /4«+4\ \M-V ('t1 Cf) ( 4tt*) ( 4?+4\ 14 ) f4?+n Ui-2l clie ieder eerst als {q + l)e graads-, maar daarnaast als slechts q de graads-determinant zijn nedergeschreven, welk laatste mogelijk was, voor i lietzij door te letten op — (2 q -j- 1) = — 2 (9), lietzij door, wat op liet- zelfde nederkomt, regtstreeks van de boven voor n~ 2 uit (4"0) gevonden terugloopende betrekking gebruik te maken voor q— 1,2, enz. tot en met q ; en voor door te letten op 6fo + l) = 2* ft‘> Overgaande tot het geval van n — 3 of‘ ö3 — 1 = 0, waarvoor p — 0, 1 en 2 te nemen is, herleidt zieh de ver- ( 124 ) gelijking (1'), indien men let op y/co = — co2 en \/oo2 = co en op co2 -f- co -f- 1 — 0, acbtervolgens tot: oo s / \9 ). ^(‘>y+2 3j+l ^6iy-('4 39 t- 2 ^69-t-ß 'iq +-3 ) u ( (6?+ 2)!" (6 <? + 4) ! 1 ~ (6 q + Ü)! d‘ \ y/ x ,. p/«2# y/x. <y'3i/a:. a|/a: cos — - sin - sin — -  \/x — — cos ——. J cos — cos 2 2 I 2 2 M (1 + co — co2)y/x (1— 01 + co2) [/X ) - 1 — h cos — — — (1 cos y/x) - ( cos 4 1 II \7l co2'’ (co2)2r - { 1 -j -cosy/ x — cosooy/ x — coso)2y/xJ =- 1 1 -f- ZZ ^ ^ ( — x)r | ^ g 2 ( x ) ^ i 2 ( x) ^ ? ( x) ) 4| 0 (6? + 2)! ^ 0 (69 4-4)! 0 (6^4-6)! ) ’ waarin namelijk bet laatste lid verkregen is doordien de teller in bet voorlaatste lid, dat is 1 — 0/ — w2r, telkens zoo- wel voor r — 3 q -)- 1 als voor r = 3 q 4- 2 gelijk wordt aan 1 — co — co2 = 2, daarentegen telkens zoowel voor r = 0 als voor r = 3 q 4* 3 gelijk wordt aan 1 — 1 — 1 = — 1. De onderlinge vergelijking van liet eerste en liet laatste lid leert nu dat in dit geval de coefficienten b de zeer eenvoudige waarden ^69+2 = 1 , bßq 4 4 1 ) 1 bßq-\-ß — - bebben, op grond waarvan de algemeene terugloopende be- trekking (4") achtervolgens voor p = 0, p = 1, p — 2 geeft : ( 125 ) t b q -}- 3 \ Bfir — 1 6 q 4- 3 , 6 r j 3 ’6q + 5) \Qr + 2j B(,r+ 1 = 69 + 5 3 i i <-)’■ i 0 IQq-L 7\ \6 r -f 4/ i?6,.+3 = 1 0 q 4- 7 2 3 dat zijn de drie zelfde betrekkingen — van nog eenvoudi- ger vorm dan de boven op gelijke wijze voor n — 1 en n = 2 gevondene — die ik voor n = 3 voorloopig reeds zonder bewijs mededeelde in het proces-verbaal der vergade- rino- van 30 November 1878 van de afdeeling Natuurkunde der Kon. Akademie van Wetenschappen ; aldaar beeft men namelijk slecbts de notatien s door q en t door r te ver- vangen en, ten einde liever de thans gebezigde reeds door euler (de mirabilibus proprietatibus unciarum , etc. in Acta Petropolitana pro 1781, Pars I, pag. Eindelijk geeft oplossing volgens ieder der drie betrekkin- gen, in denzelfden geest als boven eerst in bet algemeen en later voor n = 1 en voor n =: 2 gescbied is, de volgende drie onafhankelijke formulen: 0 0 » 0 0 3 C) ß) 3 0 ‘ (?) (V) (11) 0 2,-i (V) (V) (V) (&3) *.+> ct> ct ) c\?) (SpJ) 1 ß) 0 0 0 2 (e5) (iS) 0 0 3 ft) (g) (g) 0 «-> (V) (V)(V) /öj— 3\ \6q — 6; < CT) (6*its) ('S*) ®Ü) ( 127 ) 13 19 6*2+1 6*2+7 en • -#69+3 = 0 ! 0 0 ' 0 /6<2 + l\ /69+l\ l 16 1 ■ \6l-2l waarvan de eerste eene lierleiding van den (q -j- l)engraads- tot den ^deD graads-determinant kon ondergaan op grond van j — (2<2 4“ 1) — — 2 (q) , terwijl daarentegen eene dergelijke lierleiding voor de tweede en de derde inet beboud van een eenvoudigen vorm niet mogelijk is. 6*2 + 3 . 0 Neemt men n = 4 of co4 — 1 = 0, zoodat dan u> = i is en de waarden p = 0, 1, 2 en 3 in aanmerking körnen, dan gaat de algemeene vergelijking (1') over in: oo 6s</+3 (8? + 3 )! 8(7 -t-3 x : (8*2 + 5) ! 87+5 2 x bsq-i-1 (8*2 + 7)! 89+7 2 x (8*2+9)! 89+9 2 x en levert (4") de vier volgende terugloopende betrekkingen op : ( 128 ) ? (_)r ( 8,r ) ßs'-' =■ ¥(-)r {iiti)h"-3r+3Bar+' = 8r-f3 — \r{Sq+10\i r V(_) \8,+ 6 )i>%-'i''+3 ä'+S 89 + 4 . 085-t-3 5 4 89 + 6 ^ 68<7+5 , 89 + 8 ^ »85 + 7 , 89 4-10 - 085+9 , waarvan de eerste volgens (4"0) 00k onder den vorm : ? 6s q — 8r4-3 r — 1 2 9 685 + 3 kan gebragt worden. Nadat vroeger de algemeene determi- nanten-oplossingen (5') en (5'') zijn medegedeeld, en nadat de toepassing van deze laatste op de gevallen n = 1, n = 2, n — 3 min of meer uitvoerig is besproken, scbijnt bet tbans minder noodig deze toepassing voor n = 4 of voor de nog volgende gevallen n — 5 en n — 6 weder te herbalen, zoo- dat voor deze drie gevallen de overeenkomstige determinan- ten-formulen kortheidsbalve niet zullen worden uitgeschreven. Wat overigens de berekening der getallenwaarden van de tegenwoordige coefficienten 6 betreft, is men, nu de bereke- ning voor n — 2 is voorafgegaan, tlians in de gelegenbeid de verdubbelingsformule (12) toe te passen, waarin men op grond van de bij n = 2 voor 645-1-1 en 645-1-3 gevonden waar- den slechts heeft te substitueren 6' , . » , = 6' , = . , en , betzii p even of oneven is, 6', „ ' » . = ’ J 1 ’ (45 — 2r-4-l) j- +2p-l , 1 = 6 85— i/-+2p-rl = 945-2r+y+i ? om dadelijk te vinden: ( 129 ) |Sg+2/>+3 =2t+! (p = 0 tot 2)+ ( P = 3) — 1 24?+jp £ (-> 9— ' + 2p-{-3\ 4r+2 / (12voor/ii=:4) Evenwel, naarmate q grooter wordt, gaat het gebruik van deze formule uithoofde van het toenemend aantal termen in het tweede lid met meer bezwaren gepaard, en het schijnt dus wel de moeite waard te trachten de formule met het oog hierop op geschikte wijze te vervormen. Ten einde eene dergelijke vervorming eens en vooral dienst- baar te kunnen maken voor al zoodanige gevallen waarin, zooals thans voor n — 4 plaats heeft en zooals welclra ook voor n — 6 zal blijken, in de f'ormule (12) het product der beide coefficienten V onafhankelijk is van den rangwijzer r en dus voor het ^-teeken kan worden gebragt, zal die ver- vorming thans voor willekeurige even ?i, daarbij ter bekor- ting de basis van den binomiaal-coef&cient in (12) tijdelijk voorstellende door s = (2q -j- 1) n -j- 2p — 1, verrigt worden <2 «+£- £n ten aanzien van ( — )' o (2r + l)ö Dit gelukt door in i-1 E 4Ä-4-1 s 1-1 St 1 -f- CO =?( 1 + e s , zijnde wegens 2a i (ü — e n eene identiteit, het eerste lid volgens het binomium, het tweede lid daarentegen goniometrisch te ontwikkelen. Het eerste lid wordt dan achtervolgens gelijk aan waarin namelijk deze laatste waarde gevonden werd doordien VKESL. EN 11EDED. A±D. NATUUKK. 2de KEEES. DEEL XVI. 9 to' s ( 130 ) 1 — wnt in de voorlaatste de breuk — wegens wn = 1 voor iedere 1 00 "l t gelijk nul is, behalve alleen wanneer 2t zelf een veelvoud van HX n is, als wanneer die breuk als som van — alsdan gelijke tennen u>ikt of 1 overgaat in — , terwijl men dan tegelijkertijd U = 2r = = 1). voor 2t | ! 2s heeft co2 ) / = (2r+l)n|— ä , = W /=(—)*• Voor het tweede lid der identiteit kan men schrijven: _-i (4A+l)jTi / (4£+l)?rt (4£+l )jri 2« 2?? , 2n e -J- e v_ / I-1 s (4&-(-l)S7r . . (4/c-)-l)s7r) / (4^-f- 1)7T cos 4- i sin } 2 cos o I 2 n 2n ( \ 2 n Stelt men nu voor het tegenwoordige doel de coefficienten van i in de voor ieder lid verkregen ontwikkelingf aan elkan- O o der gelijk, neemt men daarbij , s = (2q -f- 1) n + 2p-l weder substituerende, in aanmerking dat sin , (4Ä -f- 1 )«7T 2 n n (4&-}-l)(2p — 1 ) 7T = sin ^2k{2q f 1) n + (2q -f 1) - + — q (4/c-*-l)(2p — 1)tt. = ( — ) cos is, voert men ter bekorting de 2 n notatie „ „ (4*+l)» 0,-2 cos ^ 2 n in en vermenigvuldigt men tegelijkertijd met ( — 1)?, dan is hiermede bewezen dat ( 131 ) <;2?J-Z+n=? bn 2 n |E (2q + \)n+2p— 1 (2,+i)| ( U s-i V ( (4ä+1)(2/> l)7r\ = W • eos 1 o o \ 2n / (2y-(-l)»j+2/) — 1 * (13) / ö.\ (4*4-1)« is, waarin, omdat cos I n Boog cos _ J = cos ~ = 0 is, 2 Ol, , „ » \ niet anders zijn dan de worteis van de = 0, 1, 2, euz., j — 1 ) *)x\ ® 9 -j magtsvergelijking in 6~ die men verkrijgt door de be- kende uitdrukking voor den cosinus van bet (hier even) n-voud van een boog in functie der magten van den cosinus van den boog zeit gelijk nul te stellen, namelijk (zie ook de Aanteekening aan het slot) : 0 + n i l l— 1 (14) terwijl overigens bij het gebruik van (13) wel moet worden gelet op het onderscheid tusschen de in haar eerste lid voor- p n — 2 25-4-- — en de boven- 1 *» 2 n grens r ^ 2 q 4- ~ — die men in (12) werkelijk noodig heeft. y n Dit onderscheid namelijk heeft tengevolge dat, terwijl zoo- / n - lang 0 p <j — genomen wordt beide bovengrenzen in rr geheele getallen zamenvallen in 2 q, zij daarentegen voor n 4- 2 ^ n ' p <C ~ zpn 2 q 4" 1 en 2 q, zoodat dan de 2- van 4 9* ( 132 ) (13) gelijk is aan die met bovengrens r ^ 2 q -\ — 2 q hn aor r — 2 q -f- 1 , dat is met ( — Y * I ' 1 7 [ ii \ ’ en wederom dat, terwijl zoo- n / 3 m + 2. 