title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: § 7. Voor de verschillende waarden van x, als zijden en diagonalen van den hoek, is volgens altijd is nu even, dan stelt volgens de laatste uitdrukking de waarden van m voor ten aanzien van den hoek. Hieruit volgt dat men, na voor den hoek de vergelijking opgemaakt hebben, in die vergelijking slechts 77J® — 5m*-(-677i — 1=0;. (A,) ^6 7 a.4 | 14 ^2 _ 7 ^ 0 ; . . . (V,) ( 306 ) m — 2 — zal behoeven te substitueren, om de vergelijking in x voor den hoek te bekomen. Hierbij valt echter op te merken, dat, als ook m even is, onder de waarden van m — 2 — x", er een zal voorkomen die null is, en dat dus, zodanig de vergelijking (A) door m gedeeld is geworden, de verkregen vergelijking in x weer met 2 — x" of met x" — 2 zal moeten vermenigvuldigd worden. Voorts zal men, als m even is, blijkens hetgeen wij aan het slot van § 3 aanvoerden, in plaats van de vergelijking in m, de vergelijking in x kunnen gebruiken, zodat dan de vergelijking voor den hoek zal ontstaan, als men in die voor den hoek x door 2 — vervangt, en daarna de vergelijking met x" — 2 vermenigvuldigt. Tot de substitutie van m = 2 — x², of tot de vervanging van x door 2 — kan weer de algorithmus van HOKNER gebruikt worden, maar men zal dan onder de rij der coefficienten de nullen moeten opnemen, die tot de ontbrekende onevenen machten van m of x behoren. Nemen wij bij voorbeeld de vergelijking voor de 4-hoek, welke is -2 = 0, (VJ dan vinden wij, x door 2 vervangende, en met x^ - 2 vermenigvuldigende, {(2 - a)^ - 2} (a^ - 2) = 0, dat is na ontwikkeling 6a^ + 4 - 10a^2 - 4 = 0, (Vg) hetgeen de vergelijking voor de 8-hoek is. Vervangen wij hierin weer a door 2 - a^ en vermenigvuldigen wij daarna met x^ - 2, dan vinden wij 6(2_a)^4 - 10(2~a^)^ - 4}(a^2 - 2) = 0 of na herleiding ( 307 ) a^4 + 4in + 2-1-7 8a^2 + 2 0^2 + 3 3 O^2 - 5 2a^4 + 8a^2 - 8 = 0,.( V,6) hetgeen de vergelijking voor de 16-hoek is. § 8. Hetgeen wij in de voorgaande § aanvoerden is tot het bekomen der vergelijkingen van geen uit, omdat die vergelijkingen even gemakkelijk, en zelfs als n wat groot is nog veel gemakkelijker, uit onze oorspronkelijke algemene vergelijking (A) voortvloeien. Maar het aangevoerde kan dienen om a priori den factor te bepalen, die er overblijft, als de vergelijking van de yW-hoek in die van den n-hoek gedeeld wordt, ook wanneer even is. Zoo vonden wij, beschreven reeds in § 5, dat de vergelijking voor den 14-hoek kan geschreven worden in de gedaante -- -- = 0; . (V1) van barre factoren is Äï -- 7«^ +14a:» -- 7 = 0 (V1) de vergelijking voor den 7-hoek, terwijl de andere factor voortkwam, door dat wij m met x verwisselden hebben in de vergelijking TO® -- 5 TO^ 6 -- 1 0 (A7) Substitueert men nu in (A7), to = 2 - x'^' , dan ontstaat de vergelijking voor den 14-hoek; vervangt men in (V14) X door 2 - x"^ , en vermenigvuldigt men de gekomen vergelijking met ar* - 2, dan wordt zij de vergelijking voor den 28-hoek. Wordt dus de vergelijking voor den 28-hoek door die voor den 14-hoek gedeeld, blijft er behalve de factor - 2 nog als factor over de uitdrukking waarin het voorste lid van (V^) overgaat, als men x door % ~ x^ vervangt. Ten einde in (V^) de vervanging van x door 2 - x"^, dat is de vervanging van x - 2 door - x^ te bewerkstellen, verminderen wij de waarden van x met 2, waartoe de volgende bewerking dient: ( 308 ) 1 0--7 0 14, 0--7 2 4, -- 6 -- 12 4, 8 2 - 3 2 4 ~ 1 2 8 10 8 20 4 5 4 10 24 2 12 34 76 6 17 38 82 2 16 66 8 33 100 2 20 1 5 2 12 zodat door de bedoelde vervanging (V^) overgaat in a,12_12a:" +53a:"8-- 104a:" +86a:"^-- 24a:" + 1 = 0, en dus is 12a:" + 53a:" - 104a:" + 86a:" - 24a:" - 1) de factor die er overblijft, als de vergelijking voor den 28-hoek door die voor den 14-hoek gedeeld wordt. Door de vergelijking met die factor te verminderen, zal men dan ook voor de 28-hoek dezelfde vergelijking vinden, die men verkrijgt door in de formule te substitueren m = 28 en tevens x in plaats van m te schrijven; te weten: a2c_262;2«-l-300A-22_2024«2O4.g855.r'«- 26334a?'« +*54,264a;' 77520a: ' ^ 4-75582a?‘ «—48620a;8 + 19448X«— 43682?^ +455a:2 — 14 = 0. . . . (Vj,) Om de laatstgevonden factor a priori te kunnen bepalen, moest de ontbinding van de vergelijking bekend zijn, die volgens § 6 gevonden zou worden omdat 14 het dubbel valt een oneven getal was. Wil men dus de ontbinding, zoals die voor de 28-hoek aanwezig, verrichten voor een veelhoek wiens aantal hoeken door een hogere macht van het getal 2 deelbaar is, dan zal men bij herhaling tot veelhoek en van het halve aantal hoeken moeten teruggaan, waardoor men ten laatste zeker op een w-hoek zal nederkomen, waarin n het dubbel van een oneven getal is, en waarop dus de leerwijze van § 6 kan toegepast worden. Om b.v. den factor te vinden die er overblijft, als de vergelijking voor den 24-hoek door die van den 12-hoek gedeeld wordt, dient men den factor te kennen, die voortvloeit uit de deeling van de vergelijking voor den 12-hoek door die voor den 6-hoek; en om deze te vinden, heeft men het verband tusschen den 6-hoek en den 3-hoek nog dat volgens § 6 kan gevonden worden. Zoo hebben wij bij voorbaat voor den 3-hoek = 0, en hieruit vinden wij volgens § 6 voor den 6-hoek (a;k - 3)(a;k - 1) = 4ar' - 3 0; . Wij nu in deze vergelijking, door 2— a;k vervangen, zal, omdat n = 6 het dubbel van een oneven getal is, de factor, die het voorste lid van is, een nieuwen factor opleveren, die nog met x - 2 vermenigvuldigd moet worden, terwijl de andere factor - 1 in het voorste lid van zal overgaan. Die vervanging geeft voor den 12-hoek, na vermenigvuldiging met x^ - 2, (x^ - 4x^ - 1 - 3) (a;k - 4x^ + 1) (x^ - 2) = (x^ - 4x^ - 3) (x^ - 6x^ - 9) (x^ - 2) = x^ - 10x^ - 36x^ - 56x^ - 35x^ - 6 = 0; . Zoo vinden wij in de laatste vergelijking weer x door 2— a;k vervangen, zal, omdat nu w = 12 het dubbel van een even getal is, de factor die het voorste lid van is, een uitdrukking opleveren, die met x^ - 2 vermenigvuldigd het voorste lid van is, terwijl de geheele vergelijking in de vergelijking voor den 24-hoek zal overgaan, altijd echter weer na vermenigvuldiging met X - 2. Hieruit volgt, dat de vervanging van x door 2 - x^ den factor a;k^ - 6a;k^ + 9a;k^ - 2 zal doen overgaan in den factor, die met (V,j) moet vermenigvuldigd worden, of de vergelijking voor den 24 hoek te bekomen. Alzoo vinden wij voor den factor 12a;k^ - 54a;k^ + 12a,k^ - 36a,k^ - 2. Men kan nu hiermee, vermenigvuldigen, of ook in de algemene vergelijking, n = 24 substitueren, om voor de vergelijking die tot de 24-hoek behoort te vinden: 22a; = + 210 + 388—1140a; + 3876 + 8568 a; + 1 23 7 6 a; - 1 1 440 a + 643 5 a; - 2 0 0 2 a; + 286a; - 12 = 0 Wanneer het getal n een deeler van n heeft, bestaat er natuurlijk tusschen de vergelijkingen die tot de 7i-hoek en de 7'-hoek behooren, een zoodanig verband, dat de laatste in de eerste als factor begrepen is. Indien bij deze uit zichzelf blijkende waarheid, de voorgaande beschouwingen gevoegd worden, zal wel alles gezegd zijn wat dienen kan, om de bedoelde vergelijkingen zooveel mogelijk in factoren, met geheele getallen als coefficienten, te ontbinden. Onze beschouwingen, die in §5 en volgende voorkomen, dienen alleen om enige licht te verspreiden over de mogelijke deelers van de gevormde vergelijkingen. Naar beter vormen die vergelijken op zichzelf, geschiedt altijd door de in §2 opgegeven hoogste enkelvoudige methode, die, zoals betoogd in §3, vervat evenzeer wiskundig rein als eenvoudig is. Gedachtig aan de spreuk van BOERHAVE, Simplex sigillum veri, kan ik dan ook aan den Heer, als een ballot, niet toegeven, dat een door hem gevolgde methode van verdubbeling de wiskundig reinste zou zijn. Ik zou eerder geneigd zijn te vragen of die methode wel bruikbaar is. Volgens haar heeft de Heer B. B., om de vergelijking voor den 17 hoek te bekomen, eerst een vergelijking aan te maken: ® -32 -4-64a; -255 = 0 opgemaakt; daarin zijn de factoren x^ -3 en X* -5a; + 5 (maar ook geen andere) kunnen ontdekt worden door hetgeen voorafging; na de vergelijking door deze factoren gedeeld te hebben, blijft er een vergelijking x^* -24 a^ -252 a;- = 0 over; en van deze is nu het voorste lid in twee factoren, een van den 8®*®" en een van den 16*^®" graad, moeten ontkozen worden. Om te doen blijken, dat de methode bruikbaar is, zou er moeten aangewezen zijn, hoe de laatst-genomen ontbinding verkregen is. Is zij verkregen door dat men op enige andere wijze, hetzij de vergelijking voor den 17 hoek, hetzij den anderen factor heeft gevonden, of doordat men naar een van beide gegist heeft, dan wordt hierdoor reeds van zelf een veroordeelend vonnis over de methode uitgesproken. Alzoo moet de ontbinding van den vorm x'^ * -24- x'^^ -{-Zbi x'^ - enz. -f-17 geschieden, zonder dat men opensi de te verkrijgen factoren eenig licht had, en een zoodanige ontbinding gaat zóó gemakkelijk niet. Ten aanzien van de wiskundige reinheid kon men bevestigen, dat zij, evenals de volmaaktheid, geen comparativus of superlatief toelaat. De Heer buys ballot zijnde methode van verdubbeling van wiskundige reinste, ordal zij den Stempel der noodzakelijkheid draagt, terwijl zij tevens de eerste was die hem inviel. Die laatste bijvoeglijk doet zeker niets ter zake, maar wat betekent die Stempel der noodzakelijkheid? Wordt er met bedoeld, dat tot het voorienen der begeerde vergelijkingen die methode niet kan ontbeerd worden? Andere methoden leveren die vergelijkingen ook op, eer ze veel vlugger. Is de meening, dat de uitkomsten der verdubbelingsmethode noodzakelijk goed zijn? Dit heeft zij dan slechts met andere methoden gemeen. Of is eindelijk de bedoeling, dat de verdubbelingsmethode noodzakelijk tot het beoogde doel moet voeren? Hierin kan slechts toegestemd worden onder beding, dat ontbindingen, zoals de straks besprokene, geen onoverkomelijke zwartigheden opleveren; en zou een toestemming, onder dat beding, niet nagenoeg met een ontkenning gelijk staan? Het zal wel ongekomen zijn, hierover verder uit te wissen, daar de in § 2 opgegevene manier, in ieder bijzonder geval, kort en goed de vergelijking oplevert, die de uit een hoekpunt getrokkene zijden en diagonalen eens regelmatische n-hoek tot waarheids heeft. De Heer buys ballot noemt die vergelijking een vergelijking tussen de zijden en diagonalen des n-hoeks, in welke benaming echter een onverklaarbare afwijking van het gewone spraakgebruik opgesloten ligt. Volgens dat spraakgebruik toch verstaat men, door een vergelijking tussen eenige grootheden, een vergelijking waaruit een dier grootheden kan berekend worden, als al de andere gegeven zijn; een hogereemsvergelijking is dus geen vergelijking tussen haar waarde. Indien bijv. uit de zijde, v en w de in grootte verschillende diagonalen van den 7-hoek zijn, hebben wij, volgens de vergelijking, M = 7, en V - w = 7 ; elk deze drie vergelijkingen is nu een vergelijking tussen de zijden en diagonalen van den 7-hoek, maar de vergelijking is dat niet. Verbindingen wijzen uit tussen de eerste en tweede, alsof tussen de eerste en derde vergelijking, dan verkrijgen wij y = 14, w = (7 - w) = 7, en elk deze beide vergelijkingen, is nu een vergelijking tussen de twee in grootte verschillende diagonalen. De zestien aanzichten zijn zij het in en echter vergrootend te doen opmerken, dat er tien vergelijkingen noodig zijn, om de zijden en diagonalen van den regelmatigen hoek te kennen; want, zoodra het getal n genoemd is, kent men niet alleen de zijde maar ook al de diagonalen; men behoeft de getallenwaarden der lijnen slechts uit een sinus tabel op te zoeken. De vraag is dus niet, onbekende wortels uit vergelijkingen op te sporen, maar uit bekende wortels vergelijkingen zamaar te stellen, zoodat het behandeld onderwerp eigenlijk een gedeeltelijke oplossing behelst van de vraag: Vergelijkingen met coefficienten in geheele getallen te vinden, wier onmeetbare wortels, als functies metrische functies, in eindige vorm kunnen uitgedrukt worden. Zoo leert b. v. het in § 5 gevonden, dat de vergelijkingen: — k^ (f^) (t^) = 0, [x-k{l^Ti)]{x — k{^n)][x-k{\n)} =0, [x — k (|7r)] [x ^(|^7t)| ^x — k{\ Tr)] = 0, respectievelijk dezelfde zijn als: — b x^ -f- 6 — 1 = 0, — 2 a; — 1 =0, en x^ — a;^ — 2 a; -f- 1 =0. De beschrijfbaarheid eist echter, dat de genoemde onvatbaarheid zich ten uit de onmeetbaarheid van vierkantswortels mag voortvloeien. Zoo heeft men bij voorbeeld voor de 15-hoek de vergelijking 15^2 = 90 - 275.1 = 4*50 + a; - 77Sx^, waar het eerste lid ontbindbaar is in de vier factoren a;^ 3, 5^2, 4, 5, a;^-^ (7-1/5) a; + i(3 - 1/5) en (7 + p/5) 3; - 1 - (3 + 1/5); zodat men, na elk van deze factoren gelijk nul gesteld te hebben, al de wortel der vergelijking (15) door het trekken van een aantal vierkantswortels zal kunnen berekenen. Daar volgens Gaspari de 17-hoek onder de beschrijfbare veelhoeken behoort, voelde ik mij gedrongen eene dergelijke ontbinding der vroeger opgegevene vergelijking (V17) te beproeven. Hoezeer niet dan na vrij wat overleg en raadzete, gelukte het mij in die ontbinding te slagen, waarvan ik hier alleen als einduitkomst wil opgeven, dat de acht waarden van a; , die aan de vergelijking (V17) voldoen, de volgende zijn : ( a16 ) , 1 7-1/17 - (34-V17) - 21/'(17n - 5|17) - 17-^^(170+381/17) 8 17-1/17 + 1/(34-21/17) + 2|/(17 + 3|17 + i/(170+381/17)) 8 17+1/17 - 1/ (34+2|17) + 2|/(17 - 3|17 + / (170-381/17)) 8 17-1/17 - /34-2|17) + 2|/(17 + 3|17 + / (170-381/17)) 8 17+1/17 + / (34+2|17) + 2/(17 - 3|17 + / (170-381/17)) 8 17+1/17 - / (34+2|17) + 2|/(17 - 3|17 + / (170-381/17)) 8 2 - 17+1/17 + / (34+2|17) + 2/(17 - 3|17 + / (170-381/17)) 8 17-1/17 + / (34-2|17) + 2/(17 + 3|17 + / (170+381/17)) de bovenstaande acht waarden zijn naarbare opklimmende grootten gerangschikt, zodat de eerste het vierkant van de zijde, de laatste het vierkant van de grootste diagonaal des 17 hoeks is. Ik zou vreezen de beschuldiging van langwijligheid op mij te laden, Indien ik hier nog de beschouwiugen wilde bijvoegen, die mij tot deze einduitkomst geleid hebben, maar die ik gaarne in eene nadere bijdrage zal ontwikke- len, indien mij mögt blijken dat er eenig belang in werd gesteld. 29 Julij 1865. OVER VULKANISCHE ASCH VAN JAVA, UITGEBKAGT IN DE VERGADERING VAN 24 JUNIJ 1865, DOOR \. II. VAX DRR ROOX MEKCII. Door den Heer Dr. J. a. van dissel, 2*^®" Stadsgenees- lieer te Samarang, is bij raissive van 17 October 1.1. aan de Akademie toegezonden eene kleine hoeveelheid vulka- nische asch van den Javaauschen Vulkaan de Kloet of Keloet. Deze asch is buitengewoon fijn, grijsachtig wit en met behulp van het mikroskoop heb ik daarin kleine deel- tjes feldspaath en zecr weinig zwarte kristallijne deeltjes, waarschijnlijk augit, gevonden. Geon spoor van eenig inagneetijzcr, een gewoon bestanddeel van vulkanische asch- soorten, en geen leuzit, mica, lava of bimstein heb ik daarin kunnen opsporen. Het spec. gew. bedroeg 2,44«77, en zij was zameugesteld uit kiezelzuur, boriuinzuur, aluin- aarde, ijzeroxyde, een spoor van raanganiumoxydule, kalk, magnesia, kali, natron, water en een spoor chloor-ammo- nium. Merkwaardig is het, dat de asch van den Kloet bo- riumzuur bevat, daar dit zuur, zoo ver mij bekend is, nimmer in eenige vulkanische asch ontdekt is, en nie( ( S18 ) onder de bestanddeeleii van 20 ontlede aschsoorleu van onderscheiden vulkaneii in eu buiten Europa voorkorat. Het kiezelzuurgehalte bedroeg 59,682 pct , waardoor deze asch de trachytische zamenstelling naderl. Het voorkomend van boriumzuur in vulkanische asch kan, dunkt mij, geen bevreemding wekken, daar dit zuur wel niet voorkomt in de verschillende gesteenten, waaruit die asch uit de vulkanische rotssoorten is samengesteld, in de dusgenoemde fumarolen dikwijks gevonden wordt, daar de heete waterdamp, uit de diepte voortgestuwd, soms boriumzuur en verschillende gassen, hetzij opgelost, hetzij in zeer fijn verdeelde toestand ingeraemd, bevatten. Het voorkomen van boriumzuur in de fumarolen en sommige solfatarischen is daardoor te kunnen verklaren, dat zwavel-borium door water ontleedt, dit zuur en zwavelwaterstofgas levert, uit borax, boraziet en datolith door de werking van chloor-ammonium het bedoelde zuur vrij wordt, en uit de boriumzuur bevattende mineralen door waterdamp reeds dit zuur afgeleid wordt. Deze asch is daarenboven belangrijk, omdat zij afkomstig is van den merkwaardigen en zoo zeer gevreesden Javafse vulkaan de Kloet. Hetgeen wij van deze vulkaan weten, zijn wij verschuldigd aan F. Junghuhn, die in September 1844 deze berg heeft beklommen, en daarvan een breedvoerige beschrijving, door afbeeldingen verhelderd, gegeven heeft in zijn werk; Java, Deel III, blz. 643 — 702. De hoogte, het verbazende uiterlijk aan te zien, het daarop voorkomend van syeniet, trachiet, lava, bomsteen, asch en zand, de zandlagen, het meer in den kraterkolk, in middengrijn 2000 voeten, en door een muur van asch en zand omringd, de steile rotswanden en diepe afgronden enz. zijn door Junghuhn naar eigen aanschouwing beschreven, en daardoor worden de grote verwoestingen, die de Kloet door het uitwerpen van water, zand en asch nu een dag heeft aangericht, verduidelijkt, en de oorsprong van het water op den tijdelijk gesloten bodem van den krater opgehelderd. De uitbarstingen, die bekend zijn, dagteken van het 1000e jaar van onze tijdrekening. Deze eerste is volgens een Javaansche kroniek door raffles beschreven. De volgende hadden plaats op 5 Juni 1811, op 11 - 14 October 1826, in 1835, op 16 Mei 1848 en op 4 Januari 1864. Van andere uitbarstingen is geen aantekening gehouden. In den Catalog der geologische Sammlung van Java, ontdubbeld en geordend in het Reichs-Museum voor Naturgeschiedenis te Leiden, van Fr. Junghuhn, ’s-Gravenhage 1854, komen onder N. 224 - 238, rotssoorten, lava en zand voor van de Kloet, doch daaronder heb ik geen asch gevonden. Leiden, Juni 1865. OVER DEN INVLOED VAN LUCHTDRUKKING EN CAPILLAIRE VERKING BIJ DE VERVAARDING EN HET OBRUKKEN VAN AREOMETERS. TESTBANK DOOR VLOEISTOF PROEFNEMING VAN DE HOEVEELHEID VLOEISTOF WELKE BUITEN AAN EENE BUIS DOOK DE CAPILLAIRE VERKING OPGEHOOLD WOUDT. DOOR F. J. MULDER KAKT Laat ABCD een vat of glas zijn waarin water of enige andere vloeistof zich bevindt, en stellen wij dat in die vloeistof een areometer drijft. Het ondergedompelde gedeelte des areometers tot een verdeling naar de buis, zij V, en het geheele volume des areometers V, daaronder is het bovenste het horizontale oppervlak der vloeistof uitstekende deel des areometers V - V, Zij de vloeiheid vloeistof, die door de capillaire werking aan den steel van den areometer opgetrokken is z, en de vloeiheid vloeistof, die tegen den wand van het vat is opgetrokken. Zij de dichtheid der vloeistof. I) Het gewicht van den areometer in het luchtledige. G, en zij deze nog verzwaard met een gewicht aan kwik. x. Bij de voorwaarden van evenwicht te vinden, stellen wij ons voor, dat nevens het vat ABCD nog een ander vat NOHL volkoren gelijk vat geplaatst zij, en dat beide vaten door een buis DHFG gemeenschap hebben; voorts denken wij, dat beide vaten naar boven verlengd zijn, tot de uiterste grens van den dampkring. De capillaire werking bij den omtrek PQ is dan volkomen gelijk aan de capillaire werking bij den omtrek ML. Overigens moeten de gewichten van de inassas, die in beide cylinders boven een horizontaal vlak FEGK slaan, geheel gelijk zijn. Eindelijk zij de dichtheid van de lucht, de barometerhoogte B en de doorsnedes of grondvlakken der beide vaten S. Het volume van de vloeistof, dat, buitendelen het volume V, in beide vaten onder Z en Z', aanwezig is, zij V'. De geheele hoogte des dampkrings zij h, en het reëel gewicht van kwik k. Dan is: De lucht bevat in ABPQ = AS - (V - V') - 2 - 2'. Deze weegt ABS - (V - V' - 2) + A' - 2'. De vloeistof V' weegt (V - s) D. De barometer weegt G Derhalve weegt in het vat ABCD (buiten z) = ABS + G + (V' + V'D) + 5(D - 5) - (V - V')2 - 2'2. In het andere vat NOHL is: Lucht ls - 2'; deze weegt kBS - 2'S; vloeistof (buiten z) = V + V', deze weegt (V' + V') D. Bijgevolg gewicht in het vat NOHL (buiten z') = ABS + V' D + V' D - 2'2. Wij hebben dus, in beide vaten, een weg nemende kracht G + ^ 3 (D - V'D weg-nemende; G + ^ 3 (D - V'D = V'D, of G - Vd = (Vd - z) (D - z), (1) G - Vd is het gewicht van den areometer in de lucht. Stel dat in de andere schaal van een balans het gewicht G', hiermee evenwicht maakt, en laat het soortelijk gewicht van de gewichtstukken zijn, dan is de drukking van G' in de andere schaal = G' 1; dus is G - Yö. De drukking x is voorts = x (l), als namelijk x gewichtstukjes in de lucht evenwicht met x maken; dus komt er G x - Yö = {G'} (323). Laat in de straal van een al fijner en fijner gedachte haar-buisje zijn, en q de overeenstemmende hoogte waartoe de vloeistof hierin opklimt, dan is de limiet van Iq een standvastige grootheid voor dezelfde vloeistof, dezelfde temperatuur en dezelfde soort van glas. Zij 2 deze constante voor de vloeistof die in de vaten is; en laat c den omtrek van de buis van den areometer zijn, dan heeft men, volgens de Hydrostatica Cijefa van Laplace (Liv. X, Supplem.): Indien V het volume bij 15° temperatuur is, en dit Volume bij 15° - veranderd in (1 -), dan zoude deze laatste waarde voor V, moeten genomen worden, en, streng genomen, zoude G' ook niet meer dezelfde waarde hebben, zoowel wegens de andere temperatuur als wegens een anderen barometerstand. Bij verandering van temperatuur veranderd ook iets, omdat q evenredig is aan de dichtheid der vloeistof (voor zo ver deze van dezelfde natuur blijft) enz.: alle deze kleine veranderingen geven onmerkbare kleine veranderingen in de te vinden correctie, en kunnen dus gerust verwaarloosd worden, en evenzo het product van a en 5, Om dus in (2) rekenschap van de uitzetting van het glas van den areometer te houden, schrijven wij alleen z - 1q.c - m'^.c. Bijgevolg is: D' = (1 +) en (laat is (G' - x') - = (V - c) (D' - ÖJ). Laat de aarometer, onbelast in een vloeistof van de dichtheid = 1, bij een temperatuur van 15°, inzinken tot het punt 0 der schaal, en laat voor deze vloeistof in ^ d.e bijzondere waarde in ^ hebben, dan is de voordeel ar' = 0, - 0, D' = 1; bijgevolg; G' X (^1 - ^ ) = (V„ - e) (1 - ÄJ. Hieruit volgt, deelende in (2), I + G'. NB. Moegt de Aarometer niet drijven, maar aan een arm van een balans hangen, welke door een gewicht x' in de andere schaal in evenwicht gehouden wordt, dan is in deze uitdrukking x' slechts negatief te nemen. De vergelijking van het evenwicht is nu: Indien men schrijft V. , ‘ * + r’öo ’ v; = dan verkrijgt (3) de volgende gedaante: D — ö 1 — S - D", (I (i + ^) “ (i^ + Hieruit laten zie je de drie volgende vergelijkingen afleiden: 1. om het gewicht x' te vinden, als n en D" gegeven zijn, 2. om n te vinden, wanneer x en D" bekend zijn, 3. om D" te vinden, wanneer x en n gegeven zijn. Indien de Areometer in water van 10 tot 20° warmte drijft en de dichtheid des waters bij 15° voor eenheid genomen is, dan is D, D' en D ' zeer nabij = 1, en =m'- ; dus is dan om het gewicht x te vinden, overeenkomend met de verdeeling n, volgens (4): « 1^” G' 100 1 — pm:^- ” dat is, genoegzaam ^ — (D" + pm-^ D") — (1 — D") G' 100 ^ = x?o'^" + iTo Alzoo r' = — • D" G' + — • p G' D" m'’^ — (1 — D") G'. 100 100 ^ Indelijk hebben P = dus c V A G- = f ... * 0 Indien wij G' in milligrammen uitdrukken en in kubische millimeters, dan is zeer nabij G' = en dus V = c. Daar voorts 0" nabij = 1 is, zoo is ook G' D" = c. Alzoo D.G. — (1 — D”) G.'.(7) 100 100 c X is de Correctie die aan de gewichten x' bij liet verdeelen der schaal moet toegebracht worden, wegens de capillaire opklimming van het water tegen den Staven. — De Correctie voor de luchtdrukkinne en de uitzetting van het glas zijn begrepen in d' = D(1 - ccQ — d) 1 — d = (D + a^D — d')(1 + 5). Dat is, daar D in dit geval zeer weinig van 1 verschilt, D" = D + a - (1 — D) d. Volgens de waarnemingen van den Heer M. E. van der, over de capillaireiteit, te vinden in de Memoires Couronnés et Mem. des Savants étrangers, publ. par l'Académie Royale des Sciences de Belgique, Tome XXX, 1858 — 1861, pag. 158, is voor gedistilleerd water: = 14.8:2 = 7.4. Dit is een middengetal voor verschillende buizen, alle beneden de streep inwendige middellijn; gaande van X 10.9 tot X 15.37 of van 5.45 tot 7.69. Volgens mijne eigen waarnemingen of wegingen van heet water dat inwendig aan glazen buizen kleeft, maar niet gewoon regenwater, heb ik gemiddeld gevonden: = 5.33. Het kan dus weinig van de waarheid afwijken, zodat wij (327) als benaderingen in een rond getal m'= 6 aanvaarden; hetgeen nu beduidt, dat voor elken millimeter van den uittrek van den steel des Ameters 6 milligrammen aanhangende water kan gerekend worden. Daar komt cm'= 6. n. d = 18,8. d, als d de middellijn of dikte van den steel is. Voor den Ameter van 0 tot 8 is d = 4.8 à 5 mm. Voor de verificatie van de capillariteit van 8 tot 30° is d = 6.7 mm. Dus komt voor de eerste Areometer: Correctie x' voor de Capillariteit = 4* 0.94 X en voor de tweede Areometer, Correctie x' voor de Capillariteit = X mgr* Het is, in de eerste opslag, opvallend, dat, niettegenstaande het aanhangende water de Areometer dieper zinken doet, dan zonder dit het geval zou zijn, toch nog aan de gewichten x' iets toegevoerd moet worden. — De reden hiervan is, dat tot eenheid van volumes (V2) een grootheid genomen is grooter dan zonder de Capillair werking het geval zou zijn. De graden der schaal moeten dus ook iets groter zijn, dan zonder de Capillariteit. De formule (5) kan toegepast worden bij het onderzoek van eenen Areometer, nadat hij gemaakt is, indien men hem daartoe met gewichten x' bezwaart, en de inzinking in een vloeistof van bekende dichtheid waarneemt. — Indien de verzwarende gewichten onder de vloeistof dompen, dan moet, zoo als van zelf spreekt, de vermindering in gewicht in aanmerking genomen worden. Gesteld dat de Verificatie in zuiver water van nabij 15° temperatuur geschiedt, dan is nogmaals 1 - D" een klein getal, en voorts dus is: 100 /or- \ = = p. (1-pm") 4 - l_D"j, 22* of, verwaarloosende het product van pm'^ (1 — 1)', 100 ic " = • - 100 D' G' 1-D" 100 ly' G' 7 -p« Stel men in den derden term, van het tweede lid der vergelijking, u voor " • — in de plaats, en voor pm'^ D G' G' komt: 100 x' 1— D" 7t. m'^d n = ~1~ 100* — n D' G' 100 x' 18.85 d. — + 100 genoegzaam. De correctie voor de capillariteit tt m'^ is kleiner naar gelang G' in betrekking tot d grooter is. Voor nauwkeurige proeven is het dus ook uit deze hoofde Beter, bij dezelfde middellijn d van den steel, het Volumen Vj,, of, hetgeen op hetzelfde neder komt, het gewicht G', eerder grooter dan kleiner te kiezen. Zoo wij voor d 5 mm. onderstellen voor den eersten areometer, die van 0 tot 8° gaat, en 7 mm. voor den tweeden areometer, van 8 tot 30°, en voor G' 37 en 40 gram aannemen, dan beloopt de correctie wegens de capillariteit voor den eersten areometer 0 tot ongeveer — 0‘*,02 en voor den tweeden // — 0®,03 tot — 0®,10. De areometer vervaardigd en in water geverifieerd zijnde, zal elk een van de schaalen de verhouding aanwijzen van het volumen V,, dat onder de verdeelstreep gelegen is, tot het Volumen V,, dat onder het punt 0 der schaal ligt, door de evenredigheid : Vj : Vj = 100 -{- n : 100. Terwijl de betekenis heeft van het ondergedomde gedeelte wanneer de areometer drijft in zuiver water van 15° temperatuur. De dichtheid van eenige andere vloeistoffen waarin men het werktuig heeft laten drijven, en het punt van inzakking heeft waargenomen, wordt door de formule, waarin x' = 0 genomen wordt; aldus komt men : 1 - p m'^ 100 1 - p m'^ 100 -1- n 1 100 100 Zij Ä = , de benaderde waarde van D", dan is • 100 -1- 2 1 - p m'^ D" = Ä 2 - A (1 - p m'^ + p m'^) 1 - A p m'^ genoegzaam, = Ä + p ( m'^ - A m^) A. Maar D" = dus i = (1.5) D" + d = D" -h (1 - D")^, 1 - 5 of genoegzaam : U' = ü" 4- (1 - Ä) 5. Eindelijk : D = D': (1 + a t) - D' (1 - al) = D + « .<. A genoegzaam. Dus D = A - — f/i A) A + ( I - A) 5 + « . i . A . . (0 ) Het getal p dat in deze uitdrukking voorkomt, kan uit de lengte van een graad der verdeeling en de dikte van den Steel, op een eenvoudige wijze gevonden worden, want uit de vergelijking volgt Vn+1 - Vn = vn. Zij Z = de lengte in millimeters van een graad der Verdeeling, welke lengte, met een voldoende nauwkeurigheid, gevonden wordt, door de lengte van eenige graden der verdeeling te meten, en door het aantal te delen; dan heeft men: vn+1 - Vn = = Verder komt: Alzoo C — TT d, P = 25 . TT d2 1 25 d L D = A m' — 7m' A 25 d1 A (1 — A . (10) Om de corr. voor de capillariteit te kunnen toepassen, moet men, behalven ook te kennen. Volgens de hierboven aangehaalde verhandeling van den Heer Beuke (pag. 159 en volg.) heeft men, gemiddeld uit waarnemingen met haarbuizen waarvan de inwendige middellijnen kleiner dan 1 mm., waren: Temp. Gewone Alkohol D = 0,8422 7°, 3.15 n 1/ 13°, 7 = 3.07 Absolute D 0,8275 14° = 2.88 Ether D = 0,7430 15°, 8 = 2.74 Liqueur des Hollandais 16°,2 = 2.61 Met jenever, zoo als zij in den kleinhandel voorkomt, waarvan bij 20° Temp. D = 0,94106 beloop, heb ik met twee areometerbuizen, de dikkere en de dünnere, gevonden = 3.84, dus iets nader aan water kornende, wellicht een gevolg van het meerder watergehalte. Stellen wij gemiddeld, als voor alkohol, m* = 3, terwijl als boven voor water = 6, blijft aangenomen, dan wordt de corr. voor de capillariteit 6 — 3A 6 n 4- 300 A = — 4 • 2ib.d.l (100 + n)^ . rf Van eenen areometer, gaande van 0 tot 9°, heb ik de lengte van deze 9° gevonden = 197 mm., dus l = 21,9 en de dikte van den steel d = 4,8 Van eenen anderen, gaande van 8 tot 30°, heb ik de lengte van de 22° gevonden = 213 mm., dus l = 9,7 en de dikte van den steel d = 7,2 Ik dus Id = 69,8. Ik dus Id = 105,1. q = opstijgend van lijkt vocht in een buis; l = lengte in millimeters. Alzoo heeft men; Areometer Corr. D. voor de Capill. = — 0,0011.4 n = 5 // fr ff ft = — 0,0011.4 n = 10 ft ff ft ft = — 0,0011.3 n = 15 ft ff ft ft = — 0,0017.0 n = 20 ft ff ft ft = — 0,0016.9 n = 25 ft ff ft ft = — 0,0016.5 n = 30 ft ft ft ft V = — 0,0016.3 De corr. voor de capillariteit is, voor denzelfden areometer dus bijna standvastig tussen de grenzen van de waarneming. De corr. voor de luchtdrukking is van een tegengesteld teken; zij vermindert dus het bedrag van de correcties, met het volgend beloop Corr. voor de Luchtdrukking. 0. 0 5. • • + 0,000.06 10. • . + 0,000.12 15. . . + 0,000.17 20. . . + 0,000.22 25. . . + 0,000.26 30. . 0,000.30 De beide correcties te zamen voor de capillariteit en luchtdrukking voor den in water geverifieerden, en in alcohol of vloeistoffen van water en alcohol gehuikten areometer is dus Eerste Areometer. Tweede Areometer. n= 0 Corr. D. 0,00.... M=10 Corr. D = n= .5 H //. .— 0,00108 1 w=15 ff = — 0,00152 w=10 // //. .— 0,00102 ff = — 0,00145 w=25 ff = — 0,00139 w=30 ff = — 0,00133 De geheele corr. blijkt dus ongeveer van graden te bedragen voor den nieuwen Nederlandschen Vochtweger. De bovenstaande getallen zijn in zoverre slechts middelwaarden, als wij voor m en geinmiddelden hebben gemaakt. In waarheid kan de corr. dus iets groter of kleiner zijn, waarom een beslissing hierover, kan in elk bijzonder geval niet geschieden, dan alleen door een opzettelijke proefneming met den te gebruiken vochtweger, hoe groot voor deze m en m zijn, en het is ligt na te gaan uit de opgegeven waarden van m en hoe groot de afwijkingen waarschijnlijk zijn kunnen. Ik geloof niet dat de gevonden gemiddelde corr. meer dan 15 hoogstens 20 procent te groot of te klein in enig bijzonder geval zal zijn. Een punt alleen is nog onzeker, namelijk de waarde der corr. tusschen 0 en 5' voor slappe mengsel. Het is toch duidelijk dat voor water, niet terstond voor alcohol, worden kan, bij de minste toevoeging van deze laatste vloeistof. Daar ik evenwel reeds voor n = 6° nagenoeg k = 3,69 tot 4,08 alzoo merkbaar minder dan voor water gevonden heb, heb, zoo is het waarschijnlijk, dat reeds door weinig toegevoegde alcohol bij water, de meniscus merkbaar gewijzigd wordt, en dat dus de correctie, die nul moet zijn voor n = 0, zeer spoedig opklommen tot nagenoeg = 0,001. Onderzoeken wij nog wat het geval zal wezen, Indien men bij de vervaardiging van de schaal eens anareometers, naar aanleiding van formule (7), de correctie voor de capillaireteit niet had in het oog gehouden. Men zou dan op hetzelfde punt der buis, blijkens formule (8), niet het getal Tijd in plaats van het getal -j- , m², n = n-\-n.pni' hebben. Anders gezegd: door bij de vervaardiging der schaal, de gewichten r' alleen uit den eerder term van (7) af te leiden, en ze dus lichter te maken, dan wanneer ook den tweeden term mede gerekend wordt, zal het werktuig iets minder inzakken, en dus de getallen n iets lager te staan kómen, en bijgevolg voor bepaalde punten der buis, iets groter zijn. Wanneer men nu de dichtheid volgens een waarneming van n zal berekenen, dan vindt men in plaats van - = - , werkelijk -1 . 1 = -n+np«'». Daarom = 1 +(1 — 1);9m'^ = -j" = -A .pm'^ -j" = A. Maar volgens (9) is A = -pm'^ - 4" “}" (1 - A) 5 — «JA. Dus is D = A - ,pm' - 4" “}" (1 - A) 5 - «JA. Maar A is volgens de laatste onderstelde samenstelling van de 100 schaal = — 7 = Ap, alzoo 100 + n'. D = A - p{m^ - wi^}A^-j“(1 - A)d - oe.t.A . (11) = A - (1 - (1 - A)A - a<A. Deze formule geeft de correctie, iets kleiner dan formule (10); en in de praktische toepassingen, bij het vervaardigen van de schalen, is het ook iets gemakkelijker, op een correctie minder te behoeven te letten. - Wanneer men dus niet aanhecht, dat zo streng mogelijk, bij elke verdeeling de verhouding V : V = 100 : 100 + n plaatsvindt, schijnt de laatste wijze nog de voorkeur te verdienen. Door toepassing van dezelfde getallen als hier boven zijn aangenomen voor d en l vindt men nu: Voor den eerste areometer n = 0 Corr. D = - 0,00. M - 5 - 0,00098 n = 10 - 0,00082 Voor den tweede areometer n = 10 - 0,00130 n = 15 - 0,00113 n = 20 - 0,00097 n = 25 - 0,00084 n = 30 - 0,00072 BEPALING VAN DE HOEVEELHEID VLOEISTOF WEGE BUITEN AAN EENE BUIS DOOR DE CAPILLAIRE VLEKING OPGEHOUDEN WOEDT. De capillaire opklaring van vloeistoffen is tot heden voornamelijk waargenomen in nauwe glazen buizen, haar-buizen genoemd: lietgeen buiten aan de buis bangt, of in het algemeen tegen een staand vlak opklimt — of nedergedrukt wordt — is, zoo veel ik weet, nog niet rechtstreeks door eenige proef gevonden. Hierboven hebben wij de aanhangende hoeveelheid afgeleid uit de opstijging in buisjes, en m' = y genome, — Nu (1865) ongeveer 3 jaren geleden, deelde de Heer Dr. gunning, toen te Utrecht, thans Hoogleeraar te Amsterdam, mij eene proef mee, waardoor het verschil der volumes water en alcohol, dat aan dezelfde buis bij gedeeltelijke indompeling in die vloeistoffen, opgetrokken wordt, kan gevonden worden. — De proef was de volgende: Aan een buis zijn twee bollen, of holle glazen lichaamen A en B geblazen, verenigd door de buis a terwijl het eind b der buis, dat volkomen dezelfde middellijn als a moet hebben, boven uitsteekt. Na de gewichtsafname van het geheel, in de lucht, wordt eene gewichtsafname gedaan terwijl het lichaam A tot aan o in een vloeistof, — b. v. water dompelt; daarna geschiedt de indompeling tot aan 6, en de gewichtsafname wordt herhaald. Dezelfde gewichtsafnamen, met indompeling tot aan a en b, worden herhaald in alcohol of enige andere vloeistoffen. Het verlies aan gewigt, bij de weging in a geeft het Volumen van A, verminderd met het Volumen der bij a aanhangende vloeistof; want deze aanhaugende vloeistof moet opgewogen worden door zijn gewigt in de andere schaal der balans. Het verlies aan gewigt dat men verkrijgt, is dus te klein. Het verlies aan gewigt bij de w'eging in b, geeft het volumen van A -|- B, ook verminderd met het Volumen der bij b aanhangende vloeistof. — Het verschil der wegingen bij a en bij b, geeft zuiver het volumen B. De wegingen in alcohol herhaald zijnde heeft men eene zuivere densiteitsbepaling, door de wegingen bij a en h. 