title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: Wij stellen hp%q den afstand van het eerste hoofdpunt van de ;;e lens tot het eerste hoofdbrandpunt van het stelsel, be- staande uit de ;;e, p -f- le . . . q6 lens. Door toepassing van formule (1) vindt men nu: , SP2«-1 qp2«-l ‘hi — 1.« — SP» — 1 ’ s — ' S P» — 1 j-. On — SP«— 1 — Cpn Uji K-%.r> — — SP« -2 — SP2«- 2 ^«— i — 9>»— 2 4“ i.« — <fn-2 qp2«-2 Dn— 1 ' sp2«-i Dn ( 334 ) hn — 3 .n — 9b — 3 Sn— 2 — 9b— 3 + K— 2.* <P2fi-3 Dn — 2 ~ 92> i—2 Dn— i *jP"w — 1 Dn hm.n 9»i <P2 m 1 9^4-1 ßm+2 9W2 Dm+3 <P2n- 1 Stellen wy nu : Dn 9» — 1 0. • ... 0 o 9«— 1 Dn— i 9«— 2 • ... 0  . 0 0 9m +1 ^/B-f 1 — 9«<+l dan zien wij, dat 92 m R m+2.n hm.n — 9m — 9m m-rl.» ß', M-f l.B (6) 5. Wij zullen nu <pm , <]p„ en als onbekenden be- scbouwen en uit de vergelykingen (4), (5) en (6) oplossen. Merken wij op dat R"m+\.a implicite q>m bevat (namelijk in Dm+l = ^m+] — 9m+l — 9m) en dat evenzoo in R'"m+ nog 9« , in ß^+l.n zoowel cpm als <]p„ voorkomen, dan ont- staat de belioefte voor deze uitdrukkingen vormen te vinden, waarin de onbekenden explicite optreden. Men beeft: ( 335 ) JDH -L*' dn — <fn—l 9»— l 0. ... 0 0 9n- 1 Dn- 1 9«— 2 • ...  . 0 0 9m+-l Dm+\ 5n— qp„_] 9«- l 0 .. . 0 0 9«-l D„— i 9»- 2 • . .. . 0 0 0  .. o o 9m+l — 9m -f 1 <Pm -ß m+2.« Door beurtelings de rijen en de kolommen bij elkander op te teilen, gaat de eerste term van bet laatste lid over in den vorm : .... -\~^n ^w + l'b <^m+2 9«— 1 1 dm^_2“l-dm^.3...-|- dm+l-)r ] 0 9n— 2 ^»j+2+dOT^.3... +5«— 2 ^m+l’\-^m+2‘-~\~^n— 2 ^m- (-l.n= 0 0...0 (pm+2 öm+2 3«+l + *»+2 0 0 ... 0 0 qtm+ 1 <5«+i zoodat men vindt: D »i + l. k — R>n + 1.« — 9m ^ m-t2.n («) Evenzoo is : VERSL. EN MEDED. AED. NATUUBK. 2de RF.EK9. DEEL XVIII. 28 ( 336 ) 20+ 1.0 ß» 9^—1 0 0 0 9« — 1 Dn— l 9«-2 • • • • 0  ^*02+1 — 9m + l of 5n— 9*_1 9« — l 0. 0 9«— 1 ß»—  . 0 o 902+1 ^ in + 1 9';« + 1 9«ß m+l.n — 1 ß 02+1.» — ß>Ä + l,n <j \>n ß 1 0») ß 01+1.» Dn 9«—l 0 . .. . 0 0 90—1 ß»— 1 90-2 • 0 0  0 0 9»2+l ß»2+ 1 9« — 1 90-1 0 .. . 0 0 90-1 ß»— l 9»  0 .. . 0 0 902 + 1 ß»2+l 90 ß 02+ 1 .0 — 1 — ß/«+1.0 9»< R 02+2.» cp,, (R"'m+\.n—l <Pm ß'm -* 2.0— l) of ( 337 ) R m-{-l.n — Rm-\-\.n ~~~ R m-f-2.fi QP n R — 1 “t" "j” tymtyn R m+2.n — 1 • • " 00 Wij deelen nu (4) en (6) door (5) ; in de verkregen ver- gelijkingen substitueeren wij de waarden van R"m+ l.n en R'"m+\.n uit (a) en (ß) en daarna lossen wij cpm en uit de vergelijkingen op. Men heeft dan: R (pm — »i+l.« $m.nR m-f-2.n~\~{ 1) n m ^m.n *]P»i+l ^P/n-f-2 • • • tyn — 1 ••(7) <f>n 4*;».: R/n+\ .n fym.nR m+l.ra— 1 ( 1 )s m ^»i.n(jP»i+l<Jl»i+ 2** %(fn — 1 ..(8) 6. De grootheden q>m en q>n zijn nu uitgedrukt in <^m,n en het komt er sleclits op aan te vinden. Substitueert men in (5) eerst de waarde van B!m+x.n uit (y) en daarna de waarden van cpm en cpn uit (7) en (8), dan vindt men : 4> {Rm+\ n R m+2.« - 1 R rn+2.nR m+\.n — l) — — ( — 1)K m Qm.n Rm+i.n 9/n+l 9W+2 • • • 1 (jP^iK+2 • • • <P^n — 1 — 0. In de uitdrukking Rm+l.tt R m+2.n — 1 R m+2.« R m+1.» — 1 substitueeren wij R ?«+2.» — R »i+2.n "j“ <]P n R m+2.n — 1 R’"m+l.n — 1 •— ^ »i+l.# — 1 ~t“ (PmRm+2.n — 1 R/n-f-l.n==R m-\-\.n~\~*PmR tn-f-2.n~\~(fnR »i+l.« — 1 tynfipnR m+2.n — 1= = R'm+\.n 9»i-ß »i+2.n-f-9«72'M+i.„_i-l- (pm(pn R'm+2.n— 1 • Men vindt dan: n R ot+2.« — 1 R m-\-2.n R m+1.« — * — — Rm-\-i.n R »i+2.n — 1 — R m- j-2.« R »i+l.n — 1 23* (*) Vertier is: R m + 1 . n — Dm+\ R in -+■ 2 . n — <)P2to+1 R m + 3 . n -^«+1.« — 1 — Dm-\- 1 Rm+'^.n — 1 — 9)~w+ 1 R m + 3.n — 1 waaruit volgt : R m-\- 1 n R m-\-2.n — 1 R m+2.n R — 1 := — (P2/«-t-l ( R 111+2.11 R 7»+3.v— 1 R w-f-3.» R m+2.n — 1)‘ Stellen wij nu: — i — R’ R /«-f 2.n — 1 R m-\-2.n R — 1> dan heeft men : ^ m+-\.n — 1 <p2»i+l ^;;i+2.n — 1 ^ m-\-2n — 1 == <P tn-i f-2 ^«+3 n — 1 . ^?n-f-3.» — 1 == <jP^»z+ 3 ^ — 1 — 3 .n — 1 <j P2n — 3 — 2 .n — 1 K—2.n—l = — <Ftt-2 qp2n-l *)• Hieruit wordt onmiddellyk afgeleid: R m-\-\.n R tn-\-2.n — 1 R m -1-2 n R m+l.n-- 1 — = — qp2OT+i 93m+ 2 • • • qp2»-l (*) Door invoering van de betrekkingen (5) en (#) gaat nu bovenstaande vergelijking over in den vorm: $27K.n d“ ( — 1 ja—™ „ j- h.n.nkm.n = 0. . . (9) (fm+lCpm+2-- (Pa- 1 7. De vergelijkingen (7), (8) en (9) kunnen nog een meer elegante gedaante aannemen. *) Deze vergelijking wordt gevonden door de waarde te berekenen van: 2.n 1 — 721«— 2.» R'n—\.n — 1 — l&n — 1.» R'n — 2.ii — J. ( 339 ) Men keeft namelijk : 7 £ 1 (jp/1-1 0 0 0 (fn — 1 Dn— 1 (fn —  de kolommen van dezen deter- minant bij elkander op, dan vindt men : R" j»+2.m — dn ^n— • • d~ 1 (fn— 1 — 1 ^m+2 d~ ^i/i+ 3 • • d“ ] 1 0 (fn-2 5«+2d-^»»+3 • • +<5„— 2 1 0 0 ... 0 <pm+2 d„l+2 1 0 0...0 0 <pM+l 1 Evenzoo is: 1 0 0 .. 0 0 (fn— 1 D„-\ (fn—2  • 0 0 (jpOT + i Ö/n+l — (jP/rt+1 11 1 1 9»— 1 1 ^m+2~^r^m+3— d-^/n-f-2”*'d_^ra 0 (fn— 2 ^/n+2 d" ^/rt+3*” d-^« — 2 |-^m+2**d~^» 0 0 ... 0 (pm+-2 ^//i-(-2 ^«41 -f i-2 0 0 ... 0 0 Cpm+l Öm+l ( 340 ) Stellen wij nu: ^ r "I” ^r+1 -f- 8S ~ 2 8 , r dan gaan de bovenstaande uitdrukkingen over in : t * m+ 2.» R m+1.» — 1 — terwijl men beeft : (— l)n~m Cpm+1 cpm+2 dRm+l.n 4- d Rm 4_l. n d Rm+l.n m+1 m+2 n d2 8 d 2 8 d 2 8 m+1 m+1 m+1 d Rm+ l.n 4- d Rm+ l.n ... 4* d Rm+l.n n • n n ’ d2 8 dZ 8 d2 8 n n—l m+1 <Pn- 1 = — d Rm+l.n dis m+1 De vergelijkingen (7), (8) en (9) kunnen nu gescbreven worden : R/n -4-1.* — dR, t^-l.n , dRm+\mn dRm+lM\ n ' m+ 2 * * * n — 1 d28 d28 m+1 m+1 R. <f n — 4>m n d 2 8 m+1 m+l.n _L (g, JR>n+l.n T \<Pra*n Km.nJ 7 n d2 8 m+ 1 .(10) dRm+l.n dR)fi+\,n dRm^_ | + 7“^” + d2 8 d 2 8 d 2 8 n — 1 m+1 j 4" (4>w.n 4“ fim.n) dR, m+1 .n .(11) d2 8 m+1 $2« Sm.n^T^ 4- hmM km.n = 0. dR 'm+l.n (12) d2 8 m+ 1 De vergelijkingen (10), (11) en (12) geven drie betrek- ( 341 ) kingen tusschen de 2 (n — m -f- 1) elementen <fm, cpm+l • • • 9»» dOT_|_i , d/,1-1-2 • • • d^, ^m.n > kin.n i Qrti.n • -Men kan dus een lenzenstelsel nog aan 2{n — m ) -(- 1 voorwaarden laten yoldoen. 8. Passen wij de gevonden formules toe op een stelsel yan b. v. 4 lenzen, dan is : R = ^4 ^3 + d4 VS ^3 0 <p2 ^2 + ^3 + S4 ^2 + ^3 d* dR 2 <12 8 — d3 d4 — (dg 4" d4) <p g , dR , — T~ = — d4 qp2 , i^d 9 dR 4 V2V3 1 d 2 5 d_R_ d 2 d d^ d3 — (d2 + dg) qp2 , 4 — — d2 <jp3 , d 2 8 3 zoodat de vergelijkingen (10), (11) en (12) overgaan in: ^2^3^‘t — (^2 + d'3)d4qp2 — d2(dg -J- d4)<p3 -f (d2-j- dg -b d4)qp2qp3 (I) | — (J> - 4» { d3d4— (d3 + d4) qp3 — d4 cp2 } -f- (<p — k ) (f2cp 3 d2d3d4 — (d2 -f- d3)d4.qp2 — d2(d3 -f- d4)qp3 -f (d2-f d34- d‘j)cP2(V3 4» {d2d3 — (d2-{- d3) <f2 — d2(pj) -b(4>~M) V2V3 2_ d2d3d4— (d2-f-d3)d4qp2— d2(d3-f-d4)qp3— (d2 -f d3 -f d4)qp2qp3 ^ ^ ^ * <P24>3 ~~ Uit de formules van Ferraris kunnen deze drie vergely- kingen 00k worden afgeleid. Maar wanneer men dit tracbt te doen volgens de gewone methoden, dan stuit men op ( 342 ) zulke lange berekeningen, dat zij bijna onuitvoerbaar zijn. Ferraris zelf beeft zieh dan ook tot de bebandeling van een stelsel van drie lenzen bepaald. De toepassing van de vergelijkingen (10), (11) en (12) levert daarentegen, zelfs voor stelsels van een veel grooter aantal lenzen, geen be- zwaren op. Breda , Augustus 1882, ALGEMEENE STELLINGEN BETREFFENDE DE STATIONAIRE BEWEGING EENER ONSAMEN- DRUKBARE, WRIJYENDE YLOEISTOF. DOOR D. J. KOETEWEG. 1. Het is bekend, dat de studie der vloeistofbeweging, die ontstaat, wanneer een licbaam van gegeven vorm zieh met eenparige snelheid door eene naar alle richtingen onbegrensde, met vloeistof gevnlde, ruimte heenbeweegt, kan worden terug- gebracht tot die eener stationaire vloeistofbeweging. Bezit de vloeistof inwendige wrijving, dan kan de weerstand, dien de vloeistof aan de voortbeweging van het lichaam biedt, berekend worden uit den per eenheid van tijd bij die stationaire bewe- ging in de vloeistof verbruikten wrijvingsarbeid ot uit de aan de oppervlakte van het lichaam werkzame krachten. Door Stokes is die berekening voor het eerst, in de onderstelling dat de vloeistof aan het lichaam vastkleeft, voor den bol , door Oberbeck voor de ellipsoide uitgevoerd, beiden evenwel met verwaarloozing van alle machten der stroomsnelheden, die de eerste te boven gaan, dus alleen geldig voor geringe snelheden. ( 344 ) Het was door de nadere bescliouwing van de uitdrukking voor den wrijvingsarbeid, dat ik tot eenige algemeene theo- rema’s omtrent de stationaire beweging eener onsamendruk- bare wrijvende vloeistof geraakte, welke ik hier wensch te outwikkelen. 2. Yoor onsamendrukbare, wrijvende vloeistoffen gelden de algemeene bewegingsvergelijkingen : du du 8u du d(VQ ±p) + r dt d x dy dz o x Q d v d v dt d x d v dy d v + Q”>ir d z — f.i A3 v Sy d w d w d vj d w T" + Qw~r — w- f dt d x d y dz d(F~o-f p) d z d u dv dy d w + T~ = 0 d z alwaar u, v, w de outbondenen der snelbeid in de richting der drie coördinaten-assen, V de potentiaal der van buiten op de vloeistofdeeltjes inwerkende krackten, p de vloeistof- druk, q de soortelijke massa der vloeistof, /li haar wrijvings- coefficient voorstellen. Voor stationaire beweging gaan deze vergelijkingen over in du du du ö ( P7" p -f- //) qu [- — — juA2u-\ r — — = 0 d x d v dy d x d v dv ^(Yo-kn) Qu~ + ^7" + Q w T /< A2 v + * = 0 oi/ dz d y dx d io dx dtv d io d w ^(Yo-j-ü) - Qu + Qv J- + Qiv-z- — /u£?w + — =0 * ~ dy dz dz du d v d w — 4- 4- 0 dx Sy dz k(n> ( 345 ) Zijn behalve deze vergelijkingen, voor een omgrensd met vloeistof gevuld gedeelte der rnimte, alle snelheden aan liet begrenzend oppervlak naar ricbting en grootte bekend, dan is daardoor de vloeistofbeweging bepaald en bet komt sleclits aan op liet integreeren der partieele differentiaal- verg. (II) en bet invoeren der grenscondities. Verwaarloost men de ttveede en boogere machten der snel- heid, dan vereenvoudigen zieh de vergelijkingen tot: fi A2 11 — /u A2 v Z= 8(Vq + p) S x 8 ( V Q + P) fL A2 w — Ö y ^ ( Vq + p) (in) d z S n , 8 v S vj T~ + ; h T~ = 0 o x a y o z Alvorens nu verder te gaan willen wij opmerken, dat bet zoo vereenvoudigde stel formules, dat voor physische vloei- stoffen slechts voor oneindig kleine, of bij benadering voor geringe stroomsnelkeden geldt, voor vloeistoffen, die een ein- digen wrijvingscoefficient bij oneindig kleine dichtbeid bezit- ten, geldig blijft ook bij de grootste stroomsnelbeden. Daar tusschen de soortelijke massa eener vloeistof en haar wrij- vingscoefficient geen noodzakelijk verband bestaat, zijn der- gelijke vloeistoffen zonder traagheid allezins denkbaar. Wil men daarbij van bet invoeren van van buiten inwerkende krachten geen afstand doen, dan kan men zieh voorstellen, dat met het afnemen van q gepaard gaat eene toeneming van V en in de formules (III) onder V q de limiet van dit pro- dukt verstaan. Uit deze omstandigheid blykt, dat het in aanmerking ne- men uitsluitend van de eerste macht der in de vloeistof op- tredende snelheden neerkomt op het verwaarloozen van de ( 346 ) traagheid der vloeistof. Inderdaad wijzen de vergelijkingen (III) aan, dat er voor ieder vloeistofdeeltje voor elk punt zijner baan emenwicht bestaat tusschen wrij vingskrachten eu vloeistofdrukkingen plus de vau buiten in werkende krachten. Denken wij ons bij zulk eene vloeistof zonder traagheid alle grenssnelheden, met behoud hunner richting in dezelfde reden k vergroot, dan zal men aan de vergelijkingen (III) kunnen blijven voldoen door ook in het inwendige der vloei- stof alle snelheden k maal te vergrooten en tevens de druk- kingsverschillen zoodanig te wijzigen, dat alle verscliillen in de waarde der functie : {lim. V q) -f- J> ook k maal grooter worden. De stroomlijnen, die bij stationaire beweging met de bauen der vloeistofdeeltjes samenvallen, zullen daarbij vol- komen denzelfden loop behouden. De verbruikte wrijvings- arbeid zäl k 3 maal grooter worden. Beweegt zieh een lichaam met eenparige snelheid door de naar alle kanten oneindig ver uitgestrekte vloeistof heen. dan zal de ondervonden weer- stand evenredig met de snelheid veränderen. 3. Keert men daarentegen terug tot het meer algemeene geval, dat ook: de tweede en hoogere machten der snelheden in rekening gebracht, dat dus aan de vloeistof traagheid wordt toegekend, dan bestaat, bij evenredige aangroeijing van alle grenssnelheden, geene zoodanige eenvoudige wet voor de toeneming van den wrijvingsarbeid. Men zal zieh dan, zooals blijkt uit de verg. (II), van den nieuwen bewegingstoestand geen rekenschap kunnen geven, door ook alle inwendige snelheden in dezelfde reden te vergrooten. Integendeel, er zal eene andere snelheidsverdeeling intreden en de vloeistof- deeltjes zullen andere stroombanen gaan doorloopen. Voor zoover mij bekend is, is het wel somtijds gebleken dat de oplossing uit de verg. (III) verkregen, dus voor eene vloeistof zonder traagheid geldende, bleek door te blijven gaan ook voor het meer algemeene geval dat aan de vloei- stof traagheid wordt toegekend, zooals in ’t geval van een oneindig langen cylinder, wentelende in eene concentrische uitholling, maar werd tot heden nooit eene oplossing der verg. (II) aangegeven, die niet reeds in de verg. (EU) opge- sloten lag. Daarentegen werden enkele malen de verg. (III) ( 347 ) voor gegeven grenscondities opgelost, waar eene ook voor trage vloeistof geldige oplossing eene zeer ingewikkelde gedaante zoude moeten aannemen. De Stellingen, die wij in het volgende ontwikkelen zullen, hebben meerendeeis betrekking op stationaire bewegingstoe- standen, die aan de verg. (III) beantwoorden, dus voorkomen bij vloeistoffen zonder traagheid of bij benadering bi) physi- sche vloeistoffen, die zieh langzaam bewegen. Een punt van onderzoek heeft het daarbij uitgemaakt of de bewegingsvergelijkingen, verkregen door alle machten der stroomsnelheid boven de eerste te verwaarloozen, ook tot labiele bewegingstoestanden kunnen voeren. De mogelijkheid daarvan is somtijds vermoed. Dat zulke labiele bewegings- toestanden bij physische vloeistoffen inderdaad intreden kun- nen, wordt mijns inziens in hooge mate waarschijnlijk ge- maakt door het bestaan, der in snelstroomende vloeistoffen zoo vaak voorkomende eigenaardige wervelbewegingen (draai- kolkjes, Engelsch : eddies ). Indien bijv. water stroomt uit eene sluisopening, die zieh plotseling verwijdt, dan neemt op de meeste plaatsen de stroomsnelheid eene standvastige grootte en richting aan, maar in een bepaald gedeelte der met vloeistof gevulde ruimte en wel in de nabijheid der beide meer of minder scherpe ribben, waar de verwijding aanvangt. vormen zieh telkens opnieuw wervelkringen, die dan met den stroom afdrijven. Naar ’t mij voorkomt, bewijst dit, dat de bewegingstoestand daar labiel is ; zonder dat toch zoude een beginnende wervelbeweging worden vernietigd, zooals dat later gebeurt, nadat zij de plaatsen bereikt heeft, waar de bewegingstoestand stabiel is. In stede daarvan ziet men de beginnende wervelbeweging aangroeijen, tot eene zeer merkbare depressie der wateroppervlakte, enz., optreedt. Zoolang die aangroeijing plaats heeft, moet de bewegings- toestand der watermassa, waarin men de wervelbeweging waarneemt, naar ’t mij voorkomt, labiel zijn. Het scheen mij nu, als gezegd, de moeite waard te on- derzoeken of de verg. (III) reeds tot zulke labiele bewegings- toestanden voeren, als dus bij physische vloeistoffen, bij aan- wezigheid van een vrij oppervlak, en waarschijnlijk ook zon- ( 348 ) der die aanwezigheid, zullen kunnen optreden. Neemt men als hypothese aan, dat er bij gegeven grenscondities, altbans een stabiele stationaire bewegingstoestand mogelijk is, dan is bet ontbreken van labiele bewegingstoestanden voor de verg. (III), altbans bij afwezigbeid van een vrij oppervlak, reeds met Stelling III aangetoond. Het kwam mij echter voor, dat, waar het mogelijk is, buiten die hypothese om, een streng wiskundig betoog te leveren, dit verre de voorkeur verdient, vooral daar, als rnijne beschouwingen omtrent waarneem- bare labiele bewegingstoestanden bij physische vloeistoffen juist zijn, de hypothese zelve niet van bedenking vxij is. 4. Stelling I. Stelt A de op de eenheid van tijd herleide hoeveelheid wrijvingsarbeid voor , die in een omgrensd gedeelte eener met onsamendrukbare vloeistof gevulde ruimte bij gegeven willekeurige snelheidsverdeeling verbruikt wordt, en A() de hoe- veelheid die per eenheid van tijd verbruikt zoude worden , indien dezelfde ruimte met behoud , naar richting en grootte , van dezelfde stroomsnelheden aan de omgrenzing , gevuld wäre met vloeistof gehoorzamende aan de bewegingsverg. (III) voor de stationaire beweging van vloeistoffen zonder traagheid , dan is: a = a0 + a/u [(ny.di . . , . . . (vi) waarin dl een volume-element der ruimte en n' de rotatie- snelheid voorstelt , die daar heerschen zoude voor den bewegings- toestand., die gelijk is aan het verschil tusschen de omschreven bewegingstoestanden. Bewijs. Blijkens eene bekende formule *) mag, als u, v, w de ontbondenen voorstellen der snelheden, die bij den eerst omschreven bewegingstoestand voorkomen, voor den in den tijd dt verbruikten wrijvingsarbeid geschreven worden: *) Lamb, a treatise on the math. theory of the motion of fluids, Cam- bridge. University Press., 1879, p. 220. ( 349 ) Wijzen wij voorts met u0 , v0, wQ de ontbondenen der snelbeden bij den tweeden bewegingstoestand, met u\ v\ w' , die behoorende bij bet verscbil van beide bewegingstoestan- den aan, dan is: u — u0 -f- v! ; v = i;0 v' 5 w — -f w' . . . (2) waarbij dus n\ v 10' de snelbeden voorstellen, die overblij- ven, als men de bij den eersten willekeurigen bewegingstoe- stand behoorende snelbeden samenstelt met de tegengestelden der snelbeden, die optreden zouden als de vloeistof haar inertie verloor met behoud derzelfde snelbeden aan de om- grenzing en na intreding van den stationairen toestand. Aan de grenzen beeft men : u' — 0, v1 = 0, io — 0 (3) Stelt men nu : dan zullen wij eerst aantoonen dat: A Aß -A!. ( 350 ) Ten duidelijkste is: A=A0 + A'+ 2 '/[■ 8 8 1l' 8 Vn 8 v' u«/n . „ , — — +TJ?-^+T--V- + <5 Wn 8 W 8 x 8 x 8 y 8 y 8 z 8 z , ^o| ^ . j^a , <t»o j*«* 8w'\ l dy d 2 | 8 // dz) (8z 8x j d z d a; ( jdrg d«o | 8 z 8 y ' V1 8 u' I -| r;+ä7lJ dl (5) Wij zullen dus slechts aan te toonen hebben dat de derde term van het tweede lid noodzakelijk wegvalt. Daarbij mögen wij, blijkens (I1T), wat uQ , v0 , w0 betreft, gebruik maken van de betrekking : i“ A*«0 = ( = » (p„ + lim. rg)l Sy A 9 8 (Po + üm- v q) i“A8w0 = TZ (6) alwaar ;;0 voorstelt de druk, die heersclien zoude, als de vloeistof bare traagbeid verloor. Voorts is: ^ , !io , H _ o 8 x 8 y 8 z en dus : A2 (p0 + &*• V ?) = 0 i terwijl eindelijk 8 n' 8 o 8 io' h h ~ — = 0. Sx 8y 8 z (7) (8) (9) Wij beginnen dezen derden term te brengen onder den vorm : ( 351 ) 4 LL dt/.n du 8un du' ^jSu0 du' I | <5/>0 dv' dv0 dv'^dv0 dv dx dx^dy d y~^~ d z dx y d y dz dz + , d iv n d w 1 d x d x ^ d y d vc w0 d w' ly + dz dwQ d w d x v ( dv0) dw' dv' M dy **) h~ dz © t<w du' h \ d x ~h I-1 d 2 i du, i_ j uax> i I dz dx ^ II. du' dz du / 'Tz + + (10) Op de eerste der beide integralen, waarin de uitdrukking gesplitst werd, passen wij nu ket theorema van Geeen toe. Denken wij daarbij aan de grenscondities (3), dan vallen de beide oppervlakte-integralen weg en onder toepassing van (6) gaat die eerste integraal over in: -Ul*' d (p0 + hm. V q) ( td(p o -f- hm. V q) ( -r v * -r 4- w dx , d (/>0 + Um. V q) | d z d /, (11) maar deze integraal reduceert zieh onder toepassing der be- kende formule f d v fdx r du }u^äI=-jrrur‘ls-)rjj‘11-^ waarin U en V willekeurige functies der coördinaten, v de normaal op, d S een element van liet omgrenzend oppervlak voorstellen, tot : 4- hm. V o) (W \dx + dj dy dl . . (13) dus blijkens (9) tot nul. Wat de tweede integraal betreft, die in de uitdrukking (10) voorkomt, wij kunnen de vermenigvuldigingen uitvoeren en op ieder der termen, waarin de uitdrukking binnen het integraalteeken dan gesplitst wordt, de formule (12) of eene VtRSL. za UZU Uj. AID. NATLUKE. 2<ie U.ZIZ&. DfcfcL Will. 2i ( 352 ) der beide anderen, die daaruit door verwisseling van x met y of z ontstaan, toepassen. Men vindt dan: ,/ 32 vQ 82wQ _ 8\ 5 z2 8y2j \8ySx 8/yöz 8 x2 82io Q _ 82 ?#0\ -| + 8,/ 8x2jy + . . (14) Denkt men nu echter aan de betrekking (7), dan ziet men in, dat hiervoor gescbreven worden kan: — j [V A2 «o + v' A2 vo + w' A2 w0] dl,.. (15) maar deze uitdrukking gaat, onder toepassing der betrek- kingen (6), wederom over in (11) en is dus nul. Men heeft dus inderdaad: A=A0 + A' (16) en wij beboeven nog slechts aan te toonen dat: A1 — 4 Ten einde daartoe te geräken, schrijven wij Ä onder den vorm: Vervolgens kan men weder op de eerste integraal bet tbeorema van Green toepassen. Men vindt dan daarvoor — J (»' A2 w' + v' A2 v' + w' A2 io') dl. .... (18) ( 353 ) Verder vindt men door ontwikkeling der Vierkanten, toe- passing van liet tkeorema (12), onder inaclitneniing der vcorwaarde ' (9j en van de grenscondities (3), alles zooals bij bet afleiden der formule (14) is gescbied: maar dan is bet duidelijk, dat Ä naar willekeur gebracht kan worden onder eene der beide vormen : A’= — ,u / («' A2 «' + v' A2 v' + w A2 w) dl . . (20) 5. Stelling II. In elk willekeurig omgrensd gedeelte eener den stationairen bewegingstoestand bereifet hebbende onsamendrukbare vloeistof zonder traagheid, is de verbruikte tcrijvingsarbeid mi- nimaal, d. w. z. zij is geringer dan bij iederen anderen bewe- gingstoestand, waarbij dezelfde stielheden aan de omgrenzing , wat richting en grootte betreff , be/iouden blijven. Deze Stelling is een onmiddellijk gevolg der voorgaande. Immers A' blijkt steeds positief te zijn, das Wij behoeven er wel niet op te wijzen, dat ook van die oplossingen der algemeene bewegingsvergelijkingen (II), welke onafhankelijk zijn van de traagbeid der vloeistof, en dus, zooals bij bet in § o besproken voorbeeld, geldig blijvep j" (u1 A2 -f- v' A2 v' -|- to' A2 w') di,.... (19) of : Ä>A0. ( 354 ) ook voor eene vloeistof zonder traagheid, de verbruikte wrij- vingsarbeid minimaal is. Indien men zieh dus bij de wenteling van een oneindig langen cylinder in een concentriscb omhulsel, in de tusschen- gelegen vloeistof wervelbewegingen aanwezig denkt, dan zal die aanwezigbeid slechts vermeerdering van den wrijvingsar- beid tengevolge kunnen bebben. Naar bet mij voorkomt, kon dit moeilijk a priori worden ingezien, daar, indien de wervelbeweging plaats heeft in den zin, waarin de cylinder wentelt, plaatselijk de wrijvingsarbeid bier en daar ongetwij- feld aanzienlijk zoude verminderen. Een ander gevolg van de gevonden wet is, dat wanneer in een of andere door vaste wanden begrensde ruimte op de eene plaats, bijv. door eene pijp, vloeistof in-, op eene andere uitstroomt, de invloed der wrijvingskracbten — waarin zij door de inertie der vloeistof kunnen worden tegengewerkt — daarbeen strekken zal, de riebting van den boofdstroom, waarin de grootste snelbeden optreden, zoo te wijzigen, dat deze van de wanden zooveel mogelijk verwijderd blijft. 6. Stelling III. Bij in richting en grootte gegeven grenssnel- lieden bestaat er slechts 66n enkele bewegingstoestand , die aan de vergelijkingen voor wrijvende vloeistoffen zonder traagheid voldoet. Stel, er waren twee bewegingstoestanden mogelijk, dan zoude bij beiden gelijke wrijvingsarbeid moeten worden ver- bruikt, daar die arbeid voor beiden de kleinste met de ge- gevene grenssnelkeden bestaanbare moet zijn. Men zoude dus overal moeten bebben LI' = 0, d. w. z. bet verscbil tusseben beide bewegingstoestanden zoude moeten zijn eene beweging met snelheidspotentiaal. Wij weten echter dat zulk eene beweging onmogelijk is, wanneer, zooals bier, längs de gansche omgrenzing de snel- heden gelijk nul moeten zijn. 7. Stelling IV. Wanneer eene onsamendrukbare wrijvende ( 355 ) vloeistof aanvankelijk eene beweging bezit, welke niet met den stationairen bewegingstoestand , zooals die onder verwaarloozing der Vierkanten en hoogere machten der snelheden gevonden wordt, strookt , dan zal — altijd met verwaarloozing dier machten — de verandering, die in den bewegingstoestand plaats heeft , als de grenssnelheden onveranderd gehouden worden , van dien aard bevonden worden, dat op elk oogenblik de op de eenlieid van tijd herleide wrijvingsarbeid afneemt. Wij spreken hier opzettelijk niet van eene vloeistof zon- der traagheid, omdat de stelling dan geen zin hebben zoude, dewijl de vloeistof dan onmiddellijk den blijvenden toestand aanneemt. Behandelt men daarentegen eene physische vloei- stof, evenwel onder verwaarloozing van alle machten der snel- heid boven de eerste, dan is dit niet het geval en men kan ook vergelijkingen opstellen voor de periode, die aan den stationairen toestand voorafgaat, al zijn het dan ook slechts benaderingsvergelijkingen. Wij zullen nu te bewijzen hebben, dat de uitdrukking: d_A dl voor iedere, van den stationairen toestand afwykenden bewegingstoestand noodzakelijk negatief is. Daartoe zullen wij gebruik mögen maken van de betrekkingen : 3 u o utSu-k- 3 t 8 ( V Q + P) __ 0\ hx ,o .9(Vq + p) q — — [x v -f- : = 0 dt Üy 810 .0 , 8 (V Q + P) n. n — — u t\L w 4- = 01 (U r 3 z (V) 3 u 3 v 3 w — + — + — = 0 3x 3y 3z Men heeft: ( 356 1 8 A 8 t 4 fr t, — 2 ** ) 0 I8w 8 v \dy+32 8 n 82 u Sv 82v 8w82w 2 +2: 4- 2 8 x das 8 t 8 y 8y 8 t 8z 8 z 8 t 82 w 62, + 8v Su 8 x 8 y Su d2 : 8y8t 8z 8 t 82v 8 z 8x 8 1 8u 82u 4- d2 u \ -i + ' / 82 u 82w\ ^ 8 x 8 1 ) + + dl 8x 8x8t 8y Sy 8t 8y8t j-1 Su 82u) (Sv 82v 8v 82v f + i — - — + + 1 8x 8x8 1 8y Sy 8t + Sv 82v ) idw ö2 w 8 vj 82w Sw dz dzd^j^jd# 8x8t~^~ 8y 8y 8t~^~ 8 z 8z 8t fr\8w 8v (82io <5 ^ J L J 8y 82 1 8y8t 8, du) 82v 82 u |-i 8 y\ Sx 8 1 d ?/ d / j 4 + i 8 v 8 x +j~ ( 8 z 8w Sx dl. 8 z 8 1 j -I 82 u d2 w ) Szdt 8x8t |j (22) Op de eerste integraal passen wij wederom toe het tlieo- rema van Green. Bedenken wij, dat aan de omgrenzing de snellieden onveranderlijk gedacht worden en dat dus aan die omgrenzing overal: 8 u 8 v 8t _ 8t (23) dan vallen de oppervlakte-integralen weg, en de «erste term van de bovenstaande uitdrukking gaat oyer in: i rSu „ d i; 8 w - 4'‘j[rtA’,+j;Av+t 24> of als wij toepassen de betrekkingen (Y) in: -4? ^1 + 8 t ,*r \ 8 t + dl — . f [8u 3(7?+/) . 8v d(F?+;.) Sw 8( F?-|-,,)\ .(25) ( 357 ) Het eerste lid laten wij hier onveranderd. Het tweede gaat onder toepassing van (12) over in: en is dus nul. 8 A Wat de tweede term van de uitdrukking voor — betreft, 8 1 wij behandelen de daarin voorkomende integraal op geheel overeenkomstige wijze als met de integraal in den tweeden term van (10) is geschied. Die term wordt daardoor om- gezet in den vorm: + 2/< f[7tA*u + rtA*v + ^iiA!‘!°]d1’ ■ • (27) zoodat men ten slotte verkrijgt: 8A 8t = -2 Q dl (VI) welke uitdrukking ten duidelijkste voortdurend eene nega- tieve waarde blijft bezitten en alleen voor den stationairen toestand nul wordt. Na iedere verstoring van den stationairen toestand, die noodzakelijk met eene vermeerdering der wrijvingsarbeid ge- paard gaat, is dus een streven aanwezig dien toestand te hersteilen. Van oplossingen der bewegingsvergelijkingen, die zouden voeren tot onstabiele bewegingstoestanden, op de mo- gelijkheid van wier bestaan Stokes *) zinspeelt, kan geen *) Trans, of the Camb. phil. Soc. Vol. IX, 1849, p. 56, reg. 5 — 9 v. o. Overigens stem ik geheel in met de beschouwingen van Stokes omtrent de beweging van een oneindig langen cylinder in eene wrijvende vloeistof. Maar de door hem bedoelde beweging kan nooit labiel zijn, want is de wrijvingsarbeid eenmaal beneden eene zekere waarde gedaald, dan kan geen nieuwe bewegingstoestand ontstaan, waarbij zij weder grooter wor- den zoude. ( 358 ) sprake zijn, zoolang de tweede en hoogere machten der snel- heid huiten rekening gelaten worden , en geene vrije oppervlakte aanwezig is. 8. Volledigbeidsbalve voegen wij hier nog toe eene laatste algemeene Stelling omtrent de beweging van vloeistoffen zonder traagheid, die wij nergens uitdrukkelijk uitgesproken vonden, maar wier bewijs slecbts eene berbaling beboeft te zijn van eene door Kirchhof *) bij eene soortgelijke gelegenheid ge- bruikte bewijsvoering. 9. Stelling V. Bij de stationaire heweging eener vloeistof zonder traagheid , kan de rotatiesnelheid £2 hinnen de vloeistof nergens eene maximum-waarde bezitten. Stellen wij met: de ontbondenen der rotatiesnelheid voor, dan wordt met be- hulp der verg. (III) gemakkelijk gevonden: A2£ = 0, A2? = 0, A2C = 0 (29) Daaruit volgt dan dat noch noch tj, noch C binnen de vloeistof ooit eene maximum of minimum-waarde kunnen bereiken. Bedenkt men dat de coördinaten-assen willekeu- rig gekozen kunnen worden, dan zal derhalve de projec- tie der rotatiesnelheid (op de rotatie-as uitgezet) op iedere willekeurig gerichte lijn noch maximum, noch minimum kun- nen worden. Maar dan kan de rotatiessnelbeid zelve nimmer maximum zijn, want dan zoude bare projectie op eene aan de rotatie-as evenwijdige lijn evenzeer maximum moeten zijn. Alleen aan de omgrenzing kan zij eene maximum waarde bereiken. Hetzelfde geldt voor de projectie p/£2 rf1 der rotatiesnelheid op een willekeurig vlak, of van die op een willekeurige lijn. *) Kirchhof, Vorlesungen über math. Physik. Mechanik, p. 18G en 187. ( 359 ) Hiermede“ schijnt mij het bewijs geleverd te zijn, dat het ontstaan van wervelkringen bij vloeistofbewegingen, die tot den stationairen bewegingstoestand kunnen worden terugge- bracbt, zooals wanneer een lichaam zieh door wrijvende vloeistof lieen beweegt, slechts verklaard kan worden of door de aanwezigheid van een vrij oppervlak, of door de hoogere machten der snelheden. dus de traagheid der vloei- stof, in rekening te brengen, zooals dan ook wel te ver- wachten was. Amsterdam , 16 November 1882. B IJ D R A G E TOT DE FLORA MYCOLOGICA VAN NEDERLAND. IX *) DOOB c. A. J. A. OTJDEMANS. I. SPORIFERA. A. Hymenomycetes. AGARICINT. 1. Ag. Amanita virosüs Fr. ( Epicr . II, 18). In naaldbos- schen te Driebergen. Äug. 1882. Oudemans. — Aanvankelijk volkomen wit en daardoor spoedig in bet oog loopend, ver- ändert de kleur van dezen kloeken fungus spoedig eenigszins van aard, en ziet men eerst den top des lioeds en later een grooter gedeelte zijner oppervlakte licbtgrijs worden. Ge- noemde lioed is eerst kegelvormig, docli wordt spoedig vlak- ker (flauw-convex) en onderscbeidt zieh dan door een zekeren glans, die wellicht aan gedroogd slijm is toe te schrijven. Zijn rand is volkomen glad, maar onregelmatig van omtrek en gelobd of gegolfd. Steel onder den kooggezeten, slap neer- bangenden, breeden, aan de bovenzijde gestreepten, vergan- *) De eerste 8 bijdiagen liebben in bet Ned. Kruidk. Archief, 2e Beeks, bet bebt geben. In aansluiting nnn dit acbttal, bleef de verdeebng der Fungi naar Cooke’s Handbook gebandbaafd. ( 361 ) kelijken ring in opstaande scliubben uiteengescheurd, rolrond, doch aan zijn voefc knolvormig-gezwollen, inwendig gevuld. Beurs in dikke sponzige stukken verbrokkeld en daardoor vergankelijk, geene aanhangselen op den hoed achterlatend. Lamellen vrij, smal-lancetvormig, met vlokkige randen. Ag. virosus behoort tot de groote soorten, met een boed van llfz decim. middellijn. Op de plaats waar de fungus naar buiten komt, vindt men dan ook eene vrij ruime holte in den grond. Opmerkelijk mag bet beeten, dat de meeste exern- plaren er asymmetrisch uitzien, doordien de steel excentrisch of de boed wanstaltig ontwikkeld is. De fungus verspreidt een flauw walgelijken geur. Bebalve in Nederland, groeit A. virosus ook in Engeland, Zweden, Finland, Frankrijk, Oostenrijk, Zwitserland. Van andere landen stonden mij geene opgaven ten dienste. Eene goede afbeelding dezer soort leverde Cooke in zijne Illustrations of British Fungi , tab. I. 2. Ag. Lepiota Meleagris Sow. (Fr. Epicr. II, 31) behoort, afgaande op de afbeelding van Cooke’s Illustrations of British Fungi (t. 26), de plaats in te nemen van Ag. L. clypeolarius, vroeger door mij bekend gemaakt en op run in warme plan- tenkassen te Amsterdam gevonden. Plaat 1214 der Flora Batava , verkeerdelijk Ag. cepaestipes gebeeten, houd ik voor denzelfden Champignon. 3. Ao. Lepiota straminellus Bagl. (Fr. Epicr. II, 35). Op run in eene der plantenkassen van den kruidtuin te Amster- dam. Oct. 1881. Oudemans. — Een bnitengewoon fraaie, hooggele, kleine fungus, bij eene oppervlakkige beschouwing niet ongelijk aan gele exemplaren van Ag. L. cepaestipes. Hoed ongeveer 2x/2 centim. breed, vliezig, in ’t midden een weinig vleeziger, eerst klokvormig, later bijna vlak, gesleufd, met ragfijne draden en scbubbetjes bezet, die aan de vingers of andere voorwerpen blijven kleven. Steel stroogeel, even- eens vlokkig bepoederd, naar beneden bolvormig gezwollen, inwendig bol. Ring, dicht bij den top des steels, uit op- staande draden gevormd. doch zoo weinig ontwikkeld, dat hi] afwezig schijnt te zijn Lamellen dicht opeen, vrij, bij den steel tot een ring vereenigd, buikig, geel. Volgens Fries ( 362 ) werd deze soort door Baglietto het eerst, en wel in den kruidtuin te Genua, gevonden en beschreven. Behalve in de Epicrisis , vond ik er elders geen gewag van gemaakt. 4. Ag. Tricholoma lüridus Schaeff. ( Ic . Fung., t. LXIX ; Fr. Epicr. II, 54). Hoed vleezig, eerst bol, later vlak, tot 1 deciru. in middellijn, golvend van omtrek, zeer lichtbruin of ook wel geelacbtig of geelachtiggroen, in bet midden een weinig donkerder, soms ook wel lichtbruin met een geel- achtigen gordel aan den rand. Oppervlakte droog, glanzig, met fibrillen bezet, die later in zeer fijne schubbetjes losla- ten. Oudere hoeden meest radiaal ingescheurd. Steel rolrond, naar beneden ietwat dikker, gevuld, wit, met zeer fijne vlok- jes bezet. Lamellen gedrongen, wit, zonder vlekken en zon- der donkerder rand. (Cooke Illustr. t. 214). 5. Ag. Tricholoma gambosus Fr. {Epicr. II, 66). St. Pie- tersberg bij Maastricht, Mei 1882; le luitenant Clumper. — Hoed vleezig, vast, droog, eerst bol, later vlak, hier en daar even ingedrukt, meest onregelmatig van vorm en met een golfswijs op- en neergaanden, naar binnen gekrulden rand. Kleur van onze exemplaren zeer-bleekgeel. Middellijn tot 8 centim. Steel kort en dik of langer en rolrond, inwendig vast, aan den top fijnvlokkig, wit. Lamellen bros, wit, bij den steel buikig, vrij dicht op elkaär ; velen aanzienlijk kor- ter dan de overigen. Grootste breedte 8 — 10 millim. Bij de vele af beeldingen, van dezen zeer smakelijken fungus door Fries vermeld, voegen wij die van Cooke Illustrations , t. 63. Onze exemplaren, welke daarmede, wat den habitus en de kleur betreft, zeer goed overeenkwamen, hadden ech- ter veel breedere lamellen. 6. Ag. Tricholoma panaeolus Fr. {Epicr. n, 73). St. Pie- tersberg bij Maastricht, 5 Oct. 1882; le luit. Clumper. — Hoed glad, vlak of in het midden een weinig ingedeukt, tot 7 cent. in middellijn, centrisch of excentrisch gesteeld, mid- delmatig-vleezig, met vocht doortrokken, hoewel niet door- zichtig, eenigszins golvend gebogen en met den rand naar binnen gekruld. Op de vuil aschgele (onder het drogen ver- bleekende) oppervlakte vindt men bij vele (hoewel niet bij alle) exemplaren zeer duidelijke, volkomen cirkelronde, als ( 363 ) door het vallen van een druppel veroorzaakte bruine vlek- ken, en aan den rand dicht op elkander geplaatste en den loop der lamellen volgende strepen. — Steel vast, circa 3 cent. lioog, vezelig gestreept, vuilgrijs. Lamellen dicht op elkander, vuilgrijs, circa 5 mill. breed. Sporen op wit pa- pier zeer licht rozerood, onder den mikroskoop kleurloos, breed-ovaal of eirond, 5 X 21/& (=5 //lang, 2Y3 // breed). Deze soort vindt men afgebeeld in de Icon. sei. van Fries (t. 36 f. 2) en in de Illustrations van Cooee (t. 97). Onze exemplaren hielden tusschen beide afbeeldingen het midden. 7. Ag. Clitocybe inornatus Sow. {Engl. bot. t. 342 ; Fries, Epicr. II, 80). Hartekamp bij Bennenbroek, Oct. 1879; F. W. VAN Eeden ( Flora Batava, t. 1250). 8. Ag. Collybia aquosus Bull. ( Ch . de Fr ., t. 12 ; Fr. Epicr. II, 122; Icon. sei. Fung. t. 66, f. 2); Onder eene spar te Hilversum; Juli 1882. Oudemans. 9. Ag. Mycena rosellus Fr. {Epicr. II, 132). Bij Hilver- sum (’s Gravelandsche weg), op heigrond, tusschen gras, on- der Berken. 20 Aug. 1879. Oudemans. Afgebeeld in de Flora Danica t. 2025, f. 2 ; bij Gonner- mann et Rabenhorst, Mycologia Europaea t. 7, f. 11 ; bij Persoon Myc. Eur. , t. 5, f. 3 en bij Cooke Illustr. t. 131. 10. Ag. Pleurotus Staringii Oüd. {Hedw. 1881, p. 183). Excentricus, velo nullo, lamellis decurrentibus, pileo laterali, postice in stipitem brevem obliquum producto. Pileo sub- orbiculari vel subreniformi, carnoso, valde compacto, parum elastico, convexo-plano, postice depresso, glaberrimo, nitidulo, margine involuto ; stipite curto, crasso ; lamellis subdistanti- bus, albis, postice anastomosantibus, integerrimis. Pilei ma- jores (lati 4 cent., longi 21/a cent.) cum minoribus caespi- tosi, partim imbricati, fuligineo-fusci, centro dilutiores. Stipes niveus, subtomentosus. Lamellae siccando sordidescentes. Accedit ad Ag. Pl. revolutum Kx. {Fl. crypt. des Flandres II, 158; Fr. Epicr. 174', sed ab eo differt margine plus quam incurvo, imo involuto et lamellis integerrimis. Legit ad truncum Whist ariae Chinensis, prope Lochern Neerlandiae, domina Joh Staring, in cujus memoriam spe- ciem dixi. ( 364 ) 11. Ag. Pleürotus ambiguus Oud. (Fl. Batava, t. 1295). Excentricus, velo nullo, lamellis longe decurrentibus, pileo postice in basin stipitiformem obliquam brevem producto. Lamellis sporisque dilute lilacinis ab Ag. ostreato cui affinis videtur distinctus. Absentia odoris Artemisiae Dracunculi tempusque autumnale — neque vernale — quo viget, vetant quominus exempla nostra, in trunco decorticato Populi Ita- licae Horti bot. Amstelaed. crescentia, cum Ag. euosmo Berk. confundamus. Pilei imbricati sessiles vel breviter pedunculati, camosi, molles, utplurimum pulvinati, nitidi, recentes tactu adiposi, nigricantes vel saturate violacei, obsoleti fuscescescentes, mar- gine incurvo, stipite firmo elastico, sursum incrassato, basi strigoso; lamellis eglandulosis, postice anastomosantibus. Legi exempla m. Dec. a° 1881. 12. Ag. Leptonia solstitialis Fr. ( Epicr . II, 202). Bij Hilversum, 20 Aug. 1879, tusschen gras längs Avegen. 13. Ag. Hypholoma dispersus Fr. Epicr. H, 292;. Tusscben Polytricka en Dicrana in Beukenbosscken na veelvuldige re- gens; 22 Aug. 1882. Driebergen. Oudemaxs. Deze soort is uiterst goed te herkennen. Zij keeft ket voorkomen en de kleur van Ag. fascicularis, doch de indi- viduen zijn kleiner en staan altijd afzonderlijk. Hoe kooger ket mos is, waartusscken zij voorkomen, des te langer wor- den hunne stelen. Zeer lange stelen werden afgebeeld door Saunders en Smith ( Mijcological Illustrations , t. 24, f. 1,2, 3). Onze exemplaren kadden hoeden van ll/2 — 2 centim. breed en stelen van 7 — 9 centim. lang. Na regen, waren gene duidelijk kleverig en lickt rosaclitig-geelbruin, met lichter gekleurden eenigszins glanzigen rand, waaraan met ket ver- grootglas zeer fijne, glanzige, liggende hären waren waar te nemen. De stelen vond ik vast en taai, glanzig en gol- vend van oppervlakte, naar boven voor 3/4 geel-, naar onder voor 1/4, bruinacktig, overal eenigszins vezelig. Lamellen aan- gewassen, dickt opeen, zeer-lichtgeel, dock door de sporen kleikleurig. De kleur der hoeden is bij Satoders en Smith veel donkerder dan wij ze ooit zagen. 14. Ag. Psathyrella subtilis Fr, (Epicr. H, 316). Op koe- ( 365 ) niest, Mei 1882. Oudemans. Het uiterlijk is goed weergege- ven door Persoon ( Mt/cologia ; Europaea III, t. 26, f. 1). 15. Cortixarius (Ixoloma) bolaris Fr. ( Epicr . II, 364). Tusschen afoevallen bladeren onder Eikenkakhout. Drieber- O gen, Aug. 1882. — Een der fraaist gekleurde Cortinarii, doch meest niet anders dan in verwrongen toestand te vinden, d. i. met kronkelenden of gebogen (brozen) steel en asym- metrisehen, golfswijs verbogen, rand des hoeds. Hoed en steel beiden met saffraanroode, kleine, aangedrukte scbubbetjes be- zet, later ietwat verbleekend Lamellen liclit-kaneelbruin, aan den steel afloopend, vrij dickt opeen. De af beelding van Persoon ( Icones pictae , t. XIV, f. 1) geeft een zeer sleckt denkbeeid van deze soort. Veel beter is die van Cooke in Grevillea V, t. 79. 16. Cortixarius (Dermocybe) croceoconus Fr. [Epicr. II, 371). Gezellig in Dennenbosschen ; Aug. 1882, Driebergen. Eene door Fries niet vermelde afbeelding dezer soort vindt men bij Cooke, in Grevillea VII, t. FH, f. 3. 17. Cortenarius (Dermocybe) eucatophyllijs Lasch. (Fr. Epicr. II, 372). In Dennenbosschen; Hilversum, Juli, 1879. Zeer kennelijk aan de citroengele, scharlakenrood gevlekte, fijn getande lamellen. 18. Lact arics helvus Fr. [Epicr. II, 433). In Dennenbos- schen. Driebergen ; Aug. 1882. — Zeer veel gelijkend op L. ru- fus, doch lichter van kleur, minder duidelijk umbonaat en onder het drogen een Melilotusgeur verspreidend. Volwassen hoed 3% centim. breed, fraai, roodbruin, fraai cirkelrond, in het midden ingedrukt, met een kleinen umbo, aan den rand naar binnen gekromd en geplooid (dit laatste vooral duidelijk bij jonge exemplaren) en fijn-donzig beliaard. Lamellen dicht op elkander, rosachtig vleeschkleurig, later bruinachtig, een weinig afloopend. Steel rolrond, een weinig bleeker dan de hoed, naar boven fijn-donzig behaard. De oppervlakte des hoeds is korrelig-ruw en splijt onder het drogen in schub- vormige facetjes. 