title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: De vorming van N H3 en N H3 . C H3 bij inwerking van waterstof in statu nascenti op cyanamid, laat zicli even goed verklären door beide formules. Deze reactie kon even- wel in zooverre pleiten voor de formule HN = C = NH, (een afgeleide van 0 = C = N H) als is aangetoond, dat waterstof in statu nascenti , isocyaanzuur 0 = C = NH omzet in: H — CO — NH2 (formamid), dat betrekkelijk ge- makkelijk aldus wordt ontleed: H — CO — NH2 = H20 -\- NeC — H, hoeveel te eerder zal dan H N = C = N H kunnen vormen N C H. Het ontstaan van N C H bij oxydatie van cyanamid, is te verklären, uitgaande van de formule H N = C = N H, door bet aannemen eener versehuiving van een atoom water- stof van N naar C. Waterstof nu verbuist zeer gemakke- lijk, terwijl daarenboven uit de vorming van gewone nitri- len en carbylaminen door cyaniden, genoegzaam blijkt, dat cyaanwaterstof (aangenomen, dat bet is NeC — H, zooals uit vele addities scbijnt te blijken) al zeer gemakkelijk kan overgaan in = C = N H, en dus ook omgekeerd HN = C=;NH zal kunnen geven N E C — H. Maar, kan men zeggen (en nu komt het lioofdargument voor de formule NeC - N H2) bij inwerking van C3 H5 1 op zilvercyanamid zou ontstaan een diaethylcyamid, dat met zoutzuur zou geven : N H3, C 02 en NH3.C3H5. Waren er geen feiten bekend, die ons leer- den, boe gemakkelijk bierbij versehuiving van een C3 H5 kan ( 239 ) intreden, dan was de zaak uitgemaakt ; thans is dit niet het geval, zooals tevens kan blijken uit liet volgende. Alle scheikundigen beschouwen te recht cyaankalium als N = C — K ; zoo geeft dit laatste bij v. met C H2 CI . C 0 . 0 H een C H2. C N . C 0 . 0 H en dit bij verzeeping : HO.CO.CH2.CO.OH. Maar wordt cyaankalium beschouwd als NeC — K, dan is aan cyaanammonium wel moeilijk anders dan de volgende formule te geven : N E C — N H4. Geeft men derhalve aan zoogenaamd cyanamid de formule : N e C— N H2, dan heeft men tusschen ; slechts een verschil van 2 H , en overigens een overeenkom- stige structuur ; in cyaanammonium treedt de stikstof op met al hare valenties, daarentegen in cyanamid als trivalent. Nu heb ik vroeger aangetoond, dat cyaanammonium door chloor niet overgaat in cyanamid, onder omstandigheden, waardoor gevormd cyanamid door chloor niet wordt aange- tast (maar dat er ontstaan gekleurde condensatieprodukten). Hoe geheel anders verhoudt zieh 1). v. chloor tegenover Ten slotte pleit wellicht voor de formule HNr:C=NH, dat het mij niet is mögen gelukken het ruwe product (versch) der inwerking van broomeyaan en C2 H5 . 0 Na , waarin toch waarschijnlijk aethylnormaalcyanaat : N E C — 0 C2 H5 voor- komt, na oplossen in aether (watervrij) met ammoniakgas om te zetten in cyanamid of een lichaam daarmede poly- meer. In ’t algemeen schijnen dan ook de eigenschappen van isocyaanzuur te staan tot die van cyanamid, als b, v. die van ureum tot guanidine : cyaanammonium : N E C - N H4 cyaanamid : N e C - N H2 CI— nh4. 0=C=NH H2N — c — nh2 HN = C = NH H2N — C — NH2 II II 0 NH. f 240 ) Zoo kan b. v. isocyaanzuur door ammoniak overgaan in cyanamid (zie vroeger), en guanidine door verlies van NH3 (onder opname van H2 0) worden omgezet in ureum, terwijl er veel overeenkomst bestaat in de wrjze, waarop isocyaan- zuur en cyanamid polymeriseeren. Utrecht , 24 December 1880. RAPPORT OP DE VERHANDELING VAN Dr. H. KAMERLINGH ONNES, GETITELD r „ ALGEMEER E THEORIE DER VLOEISTOFFEN”. AAN DE AKADEMIE AAN GEBODEN IN HARE VERGADERING VAN 24 DECEMBER 1880. Deze verhandeling is geschreven met liet doel om aan te toonen, dat de algemeene vloeistofwet, welke aan de Aka- demie is medegedeeld in liare vergaderingen van Sept. en Nov. j. 1., afgeleid kan worden uit de onderstelling, dat de molekulen der verschillende stoffen gelijkvormige elastische licliamen van niet merkbaar veranderende afmetingen zijn. De verhandeling bevat vier paragrafen, waarvan wij den inhoud kort zullen mededeelen. In de eerste paragraaf wordt de vergelijking der isotherme afgeleid. Om tot deze vergelijking te geräken, is het noodig in aanmerking te nemen, dat de molekulen aantrekkende krachten op elkander uitoefenen en dat zij uitgehreidheid hebben. De invloed der laatste omstandigheid kan op twee- erlei wijze in rekening gebracht worden : of door na te gaan, in hoever, ten gevolge dezer uitgehreidheid, het aantal botsingen vergroot wordt, öf door naast het aantrekkende viriaal ook dat der afstootende krachten bij de botsing te beschouwen. De schrijver volgt de eerste wijze van bereke- ning en komt daardoor tot de invoering in de vergelijking der isotherme van een functie van het volume der molekulen VEBSL. EN MEDED. APD. NAIÜUKK. 2^0 BEEKS. DEEL XVI. 16 ( 242 ) en van de door het aggregaat ingenomen ruimte, welke funetie liij botsingsfunctie noemt. Van deze functie wordt bewezen, dat zij slechts kan afhangen van de verhouding tusschen de twee in haar voorkomende grootheden, en dat zij slechts door grootheden van de tweede of hoogere orde van de eenheid verschillen kan. Verwaarloost men deze grootheden van de tweede of hoogere orde, dan wordt de isotherme volkomen gelijk aan die, welke door van der Waals is gegeven als slechts geldende voor volumes, welke grooter zijn dan 8-maal het volume der molekulen. Deze botsings- functie wordt ook door den schrijver niet nader bepaald, maar moet, ten minste by gelijkvormige molekulen, voor alle stoffen als gelijk worden aangemerkt. In de tweede paragraaf, inhoudende : » Opmerkingen over den algemeenen vorm der isotherme,” handelt de schrijver o. a. over de keus der verscliillende eenheden voor de in aanmerking körnende grootheden, en over de gewichtshoe- veelheid stof, welke in het volume aanwezig zal worden gedacht. Voor deze laatste hoeveelheid kiest hij de gewichts- eenheid maal het molekulair-gewicht. Deze keus verdient navolging. Dan toch worden voor de verscliillende stoffen evenveel molekulen in beschouwing genomen. Reeds de wet van Avogadro is een vingerwijzing, dat dan de eenvoudigste wetten voor de grootte van het volume zullen te wachten zijn — en inderdaad heeft de besproken vloeistofwet geleerd, dat, in overeenstemmende omstandigheden van temperatuur en druk, de voluum-grootte dan evenredig is aan de molekuul- grootte; terwijl volgens de wet van Avogadro, onder gelijke omstandigheden van temperatuur en druk, het volume dan ten minste by benadering even groot is. In de derde paragraaf worden uit den aangenomen vorm der isotherme de kritische grootheden bepaald, door het ken- merk toe te passen, dat voor de kritische isotherme in het nul moet zyn; dp d2 p kritisch punt zoowel — als — - gelyk d v d vz en door invoering van de waarde dezer grootheden in de vergelijking der isotherme wordt de algemeene vloeistofwet verkregen. ( 243 ) Eindelijk wordt in de vierde paragraaf op vernuftige wijze gebruik gemaakt van het beginsel van de gelijkvorniiglieid in de beweging om een nieuw bewijs voor deze vloeistofwet te leveren. Wij meenen dus de Akademie te mögen adviseeren, deze verbandeling op te nemen in bare werken. Enkele opmer- kingen omtrent ondergescbikte punten, van te geringe be- teekenis om in dit verslag te worden vermeld, kunnen door de Commissie ter kennis gebracht worden van den selirijver, wien de vrijheid kan worden gelaten, daarvan al dan niet gebruik te maken. o Be Commissie: Januari 1881. J. D. V. d. Waals. J. Bosscha. C. H. C. Gei>-\vis. 16* DE OVERGANG DER ENERGIE BIJ DE BOTSING VAN LICHAMEN DOOR C. H. C. GBINWIS. De verschijnselen der botsing van vaste lichamen, die steeds aanleiding gaven tot gewichtige onderzoekingen van verschil- lende wis- en natuurknndigen, en niet weinig tot de kennis van de grondbeginselen der mechanica hebben bijgedragen, schijnen het meest geschikte uitgangspunt voor eene studie van de leer der energie. Het blijkt, dat die verschijnselen, uit dat oogpunt beschouwd, eveneens tot meer theoretische onderzoekingen aanleiding geven. Wij stellen ons voor. dit onderwerp thans gedeeltelijk te behandelen, en zullen in het volgende vooreerst de uitdruk- kingen voor snelheid en energie afleiden, en kortelijk haar gebruik met het oog op ons onderwerp bespreken. Daarna willen wij nagaan, hoe zieh de kinetische energie bij de bot- sing verdeelt, om dan meer opzettelijk bij den overgang van energie, die gedurende de botsing van het eene lichaam op het andere plaats heeft, stil te staan. A. AfLEIDING DER UITDRUKKINGEN VOOR SNELHEID EN ENERGIE. 1. In het volgende zal voornamelijk gehandeld worden over de rechte botsing van vaste lichamen; dit eenvoudig hoofdgeval laat tocli eene meer heldere uiteenzetting van het ( 245 ) samengestelde proces der botsingverscliijnselen toe. Yoor het geval der scheeve botsing volgt eene afzonderlijke behande- ling, ten einde de resultaten, waartoe wij geräken, in meer algemeenen vorm te kunnen aangeven. De vorm der botsende massa’s wordt niet vastgesteld ; men kan dezen bij het volgende willekeurig aannemen, mits de lichamen zieh zoo bewegen, dat aan de voorwaarden der rechte botsing wordt voldaan, waarbij een normale stoot plaats vindt volgens de lijn, die de zwaartepunten der beide massa’s verbindt. Eenvoudigheidshalve onderstellen wij, dat de lichamen aan- vankelijk slechts eene voortgaande beweging bezitten, en slui- ten dus eene draaiende beweging voör de botsing uit. De massa’s hebben aanvankelyk gegevene snelheden, met hetzelfde teeken, zoo zij in dezelfde richting zijn. • Aantrekkende of afstootende krachten, tusschen beide licha- men werkzaam, laten wij, als gewoonlijk, buiten rekening, daar gedurende den körten tijd der botsing haar invloed uiterst gering is. Nemen wij verder aan, dat de stoot niet zoo hevig is, dat daardoor een merkbaar blijvenden indruk in een der lichamen wordt voortgebraclit, zoo kunnen wij de door Newton gevondene wet vooropstellen, volgens welke de betrekkelijke snelheid, waarmede de beide lichamen na de botsing uiteengaan, zieh tot die, waarmede zij voor de bot- sing elkander naderen, in eene voor dezelfde lichamen stand- o vastige verhouding Staat. Behalve door Newton zelven, is die wet door Hodgkinson *) in eene groote reeks van waarnemingen onderzocht en juist bevonden. Die verhouding is echter niet altijd constant ; zij vermindert bij groote snelheden. Wij zullen deze verhou- ding door e voorstellen. Zij werd, naar aanleiding van New- ton’s woorden, minder juist »elasticiteits-coefficient” geheeten. Zooais thans gebruikelijk wordt, willen wij haar »restitutie- coefficient” noemen. Voor volkomen veerkrachtige lichamen is zij de eenheid, ) Report of the British Association for 1834-. ( 246 ) voor geheel onveerkrachtige nul ; die coefficient is dus in het algemeen een gebroken, dat voor meerdere lichamen bepaald is en lioewel de coefficient met de veerkracht in verband scbijnt, drukt zij thans voor ons slecbts bet eigenaardig ge- drag der lichamen gedurende de botsing uit. Duiden wij dan door v , v' en V, V de snelheden der lichamen voor en na de botsing aan, zoo behoeven wij slechts twee vergelijkingen ter bepaling der laatste grootheden : 1° de vergelijking, die uitdrukt, dat de som der bewegings- momenten constant blijft, 2° de wet van Newton. Derhalve m V -f- m' V ■= m v -f- ml v' (1) V — V — e (v — v') (2) Noemen wij de verhouding der massa’s p, die der snelheden vöör de botsing q , zoodat m — pm , v' = qv; stellen wij ter bekorting, 1 pq — d en l — q = f , zoo worden bovenstaande vergelijkingen, V -j- p V — dv V — V = efv, S — epf waaruit, V — — ; v. 1 +p V =. 1 +p (3) (4). Merken wij als bijzondere gevallen op : io. Als de massa’s gelijk zijn, /> = 1 , d=l-|-9 = d' S' + ef ^ — v dus \r V1 = d' v = (1 + q) v =: v -j- v\ wat ook e zjj. ( 247 ) 2°. Als het tweede lichaam aanvankelijk in rust is, derhalve q = 0, <5=1, / = 1 , rr 1— ' <>P \ — v 1 +P V = 1 + « 1 + P v. 3°. Als beide voorwaarden gelijktijdig vervuld zijn, p = 1 en q = 0 , V = — - — v , V — v zoodat V -f- V = v, wat ook e. 4°. Als liet tweede lichaam zieh in teorengestelden zin be- weegt, wordt q negatief, gelijk — qx, 5 = 1 — _p<7i?/=l-f-<7i- Deze laatste opmerkingen, hoe allereenvoudigst ook, meen- den wy, daar zij algemeen zijn, niet acliterwege te moeten laten. Andere gevolgen zullen wij te gelijk met twee vraagstuk- ken omtrent energie bespreken, wanneer de formales voor de kinetische energien der beide lichamen na de botsing gege- ven zijn. 2. De door Xewton proefondervindelijk gevondene wet geeft, bij invoering der snelheid u van het zwaartepunt der beide massa’s, eene belangrijke betrekking tusschen de snel- heden voör en na de botsing. Daar u en dus mv -}- ?n v 1 pq — = — — v m -{- w 1 -{ - p (1 -f- p) u = 3 v 3 1 4- p volgt uit (1) en (2) V -{-plr = 3 v = (1-j-p)« V — V = efv dus (1 _}_ p) V = (1 + p) u — epfv . ... (5) (1 + P) v ' — (!+;>)» + «/» (6). (5) geeft epfv pv—pqv (1 d-/))i — (l+jo^w u — v — = a = c — 1+p 1 +p 1+P e (»—«)» ( 248 ) evenzoo volgt uit (G) , F' — efv v — v1 1 f P 6 1 +P v-\-pv V — pv e = e (u — v ) 1 TP dus u — V — e(v — u) (7) V — u = e(u — v') (8). Na de botsing zijn derhalve de betrekkelijke snelheden der beide lichamen ten opzichte van het zwaartepunt in richting omgekeerd en in reden van 1 : e verminderd ; dus daar e = of < 1, in het algemeen kleiner geworden. Voor e = 0 verdwijnt de betrekkelyke snellieid ten op- zichte vaa het zwaartepunt na de botsing en wordt V — u — V. 3. Uit de waarden (3) en (4) voor V en V, volgt ter- stond, als a = en cc- rn V2 , m ß — en ß — ' v'2 de energien der beide massa’s voor en na de botsing aan- duiden, ß = ß' = ?l)'a. \ 1+p 1 f 8 4- ef \2 ( 1 ±P lPa • (9) (10). De energien der beide lichamen zyn dus door rniddel der aanvankelijke energie « van het eerst aangenomen lichaam uitgedrukt. a Zoo noodig kan in (10) « door worden vervangen; ß' gaat dan over in ß' = *-/ (10,). De zeer eenvoudige uitdrukkingen (9) en (10) zullen wij steeds, als de meest doelmatige, gebruiken. Zij geven eene regelma- tige en spoedige oplossing van de vraagstukken der botsing, ( 249 ) daar ook, blijkens het vorige, de factoren van « en pa de jn V’z waarden — — en — — voorstellen. v 2 v 1 4. Enkele vraagstukken mögen de bruikbaarheid der be- doelde formules toelicbten. le. De voorivaarde , dat het eerste lichaam na hotsing tot rust komt. Form. (9) geeft 8 = epf of . 1 -J- pq = ep(l — q)- Als bijzondere gevallen merken wij op : a. Zoo het tweede lichaam aanvankelijk in rust is, dus 1 m q = 0 , zal e = — — — , moeten zijn. P „ m 1 — e b. Bij gelijke massa s p = 1 , moet q — — , of bij 1 e volkomen veerkrachtige lichamen q = 0. c. Bij gelijke, doch tegengestelde snelheden of q = — 1, moet v — of bij volkomen veerkrachtige licha- 1 1 + 2e J ° men v — — d. i. in = — m. 1 3 3 d. Zijn de bewegingsmomenten tegengesteld gelijk, of S = 0 zoo moet e r= 0 ; de massa’s onveerkrachtig. De onderstelling q — — 1 maakt V =. 0 (het tweede lichaam na botsing in [rust) of 8 -}- ef = 0 als p — 1 -j- 2e ; bij volkomen veerkrachtige lichamen p — 3, d. i. w! — 3 m. 2e. De voorwaarde , dat twee hotsende lichamen van snelheid wisselen. 8 — epf— q( 1 + p) 1 — ePf= 9 ePf— f V z=. v eischt ep = 1, Voor wisseling der snelheden S + ef = 1 + P , + = ef = Pf i V — v vordert e — p. is dus noodig: e — p — 1 , d. i. de lichamen moeten gelijke massa’s hebben en volko-* men veerkrachtig zijn. ( 250 ) 3e. Het verlies aan kinetische energie van voortgaande hewe- ging hij de hotsing. Noemen wij de som der kinetische energien vöor de bot- sing W en daarna w , zoo is W =. (1 -1 - pq2)a w = ß + ß' = d3 _|_ e2p/2 1 +P zoodat het verlies U aan kinetische energie bij de hotsing uitgedrukt wordt door de vergelijking U— W — w = (1 — e2) CC. 1 +P Dit verlies verdwijnt dus bij volmaakt veerkrachtige licha- men, wanneer e = 1 ; het is het grootst bij onveerkrachtige, waar e — 0 ; dan zal Un=z pfz 1 +P P*f*+Pf* (1+p— ' 5)2+p(d— <?(l+/>))2 (1 +pf z=-m(v—u)2 + “ m'(u- (1 +P)2 -v'Y d. i. het verlies is gelijk de som van de halve levende krach- ten der verlorene en gewonnen snelheden. Het bekende be- ginsel van Carnot. 4e. De voorwaarde , dat de totale kinetische energie na hotsing 1 — der aanvankelijke energie zij. W=n,„ „f (1 = \ 1 + P I « S‘2 + e2 n p/2 = (1 + p) (1 + p q 2) e2 __ (! + p — ”) + (? — 2n)pq + (1 — n)p2(f np{\ — q )2 ical n= 1, dus geen verlies plaats hebben, zoo moet e = 1. ( 251 ) Is het tweede lichaam aanvankelijk in rust, zoo wordt q = 0 en 1 -j - p — n vi m — nm o “ • np n m als bovendien de niassa’s gelijk zijn, dus p — 1, wordt 2 — n ,-w zoodat steeds n <, 2 ; dat is, wanneer eene willekeurige massa tegen eene even groote stilstaande massa botst, gaat nooit meer dan de helft der aanvankelijke kinetische energie der voortgaande beweging in anderen energievorm over. B. VERDEELING DER KINETISCHE ENERGIE BIJ DE BOTSING. 5. Met het oog op de te geven ontwikkeling, möge nog eene tweede afleiding der formules (9) en (10) volgen. Als weder u de snelheid van het zwaartepunt der botsende massa’s aanduidt, v, v', V, V de snelheden vöor en na de botsing voorstellen, heeft men v of «-(•(« — u ) en v1 of u — ( u — v' ) V » M + (F— m) » V * u — (u — V) ; zoodat, daar volgens Newton (Vergeh N°. 2) V — u — e(u — v) en u — V = e(v' — u) , de snelheden na botsing worden u — e(v — u ) u -J- e (u — v') , Derhalve zullen de aanvankelijke energien (« + (»— U))Z ^ (u — (u — V '))2 J ( 252 ) Blijkbaar verschilt deze afleiding daardoor van de vorige, dat bij de eerste bepaling de onveranderlijkheid der hoeveel- heden van beweging voor en na de botsing werd gebezigd, bij deze de snelheid van het zwaartepunt der botsende licba- men is ingevoerd. 6. Wanneer wij de uitdrukkingen a, «' en ß, ß' ontwik- kelen en ons eenvondig tot de tellers bepaleu, zien wij, dat bij de botsing de vormen, (I) J» + 2 pf>+ p*ß pi1- 2 p/i + p/i (!') overgaan in (II) d2 — 2 epfd e2/>2/2 pd2 -J- 2 epfü -p e2pf 2 (II') In elk dezer vormen beboort, blijkens liet in N°. 5 ont- wikkelde, de laatste term tot de betrekkelijke energie ten op- zicbte van het zwaartepunt ; de beide eerste termen bebooren tot, wat men zou kunnen noemen, de energie van bet zwaax-- tepunt ; dat is, de kinetische energie der beide massa’s, in bet zwaartepunt vereenigd gedacht. Die energie van het zwaartepunt is, volgens bovenstaande formules dezelfde vöör en na de botsing, zooals de eenparige beweging van het zwaartepunt medebrengt en wel is dit ge- deelte der energie: d2 «. 1 + p Wy körnen later op deze uitdrukking en de verdeeling ( 253 ) dier energie over de beide lichamen voor en na de botsing meer uitvoerig terug. Wat de betrekkelijke energie betreft, zij heeft voor en na de botsing de totale waarden : vöör : P2f2 4" pf2 pf 2 -fp)2 1 + p na : gZpZfZ _[_ e2p/2 e2p f 2 (1 +p)2 U ~ 1 + p (13) zij is dus gedurende de botsing, blijkbaar ten gevolge van de zamendrukking der botsende lichamen, verminderd met de hoeveelheid U = (1 — e2) Pf2, 1 +P (14). Hoe uit deze vergelijking het bekende begingsel van Carnot volgt, zagen wij boven (N°. 4, 3e vraagstuk). Het verlies bedraagt voor elk der lichamen afzonderlijk genomen, T = pV8 (i + pf a r = (1 — e2) pp (1 +p)2 (15) (16). Wij moeten ons dus voorstellen, dat gedurende het eerste gedeelte der botsing de betrekkelijke energien en -*C-% (1 + pf (1 + pf (17) als kinetische energie van de voortgaande beweging der bot- sende lichamen verdwijnt. In het tweede gedeelte der botsing treden de hoeveelheden P~P en _PP. _ (1 +Pf . . (18) (1 +P )2 ( 254 ) derhalve een gedeelte der hoeveelheden (17) weder als kine- tische energie der betrekkelijke beweging op. Bij volkomen veerkrachtige lichamen heeft die terugkeer tot den kinetischen vorm volledig plaats, doch een verdwijnen en daarna weder optreden der kinetische energie geschiedt altijd, in verband met de tijdelijke, zij liet ook geringe vormverandering der onveerkrachtige lichamen. Bij onveerkrachtige lichamen blijft de terugkeer tot den kinetischen vorm geheel achterwege. In het algemeen wordt een, dikwijls aanmerkelijk , deel door de grootte van den coefficient e2 aangewezen, tot kinetische energie, tot voort- gaaude beweging (wel te onderscheiden van inwendige tril- ling) teruggebracht. .5.8 15 Voor ijzer (staal) is e = - , voor ivoor — , voor glas — , 9 9 X 6 dus zal voor ijzer 0,31 , ivoor 0,78 , glas 0,88 der aanvankelijke energie na de botsing in denzelfden kine- tischen vorm aanwezig zijn en gaat derhalve bij ijzer 0,69 , ivoor 0,22 , glas 0,12 tot anderen energievorm over, welken wij echter in dit op- stel niet nader zullen onderzoeken. Het niet teruggekeerde gedeelte der betrekkelijke kineti- sche energie door (14) geheel, door (15) en (16) gedeeltelijk aangegeven, wordt gewoonlijk minder juist verloren energie genoemd. 7. Wij merkten boven op, dat de zoogenaamde kineti- sche energie van het zwaartepunt, die voor en na de botsing eene standvastige waarde behoudt, door de uitdrukking (13) wordt aangeduid. Het blijkt echter uit de in N°. 6 gege- vene vormen, dat die energie voor en na de botsing anders over de beide lichamen verdeeld wordt, en wel bevatten de lichamen, ieder afzonderlijk beschouwd, de volgende hoeveel- heden dier energie : ( 255 ) voor : d2 -j- 2 p f 8 p 82 — 2 p f 8 — « en — — a. (i + Pf (i +  + rf (i + pf dus is in het eerste lichaam die kinetische energie vermin- deret met 2 (1 + e) -Pf> - « 1 '(1 +Pf in het tweede lichaam is zij evenveel vermeerderd. Blijkbaar hebben wij hier met eenen overgang , een trans- port der energie van het eerste lichaam naar het tweede te doen, waarbij de grootte der overgedragene energie C = 2 (1 + e) pf:> a 0 +Pf of voor p, f, 8 , u hunne waarden schrijvende, m rn (m v + w' v') ( v — v) • (21) C=(l + e) (m -f- m) >\2 . . . (22) C. De overgang van energie bij de botsing. 8. Op geheel andere wijze laat zieh de overgang der ener- gie van het eene lichaam op het andere bepalen, waarbij dit verschijnsel tevens eigenaardig wordt toegelicht. Verdeelen wij, als gewoonlijk, het geheele verloop der bot- sing in twee deelen, zoo zal op het einde van het eerste deel, wanneer de betrekkelijke kinetische energie ten opzichte van het zwaartepunt als zoodanig verdwenen is, eene totale a2 1 + V kinetische energie, vergeh form. (11), u overblijven. ( 256 ) Deze is (N°. 6 I en I') als volgt over beide lichamen ver- deeld: d2 + 2 pfS (1 + Pf en p d2 — 2 p f 5 (1 + P? ■ . (23) De beide lichamen vormen op het einde van het eerste deel eene vereenigde massa, die met de snelheid u voortgaat ; de beide zamenstellende deelen dier massa, m en m' of m en p to, verhouden zieh als 1 : p. Het laat zieh verwachten, dat ö2 de aanwezige kinetische energie a zieh in die zelfde 1 + P verhouding over de beide massa’s verdeelen zal, zoodat de beide lichamen afzonderlijk bezitten d2 p82 r cc en (i +pf (i +pf (24) Vergelijken wrj deze waarden met die, in (23) gegeven, zoo blijkt, dat voor die gelijkmatige verdeeling der energie gevorderd wordt, dat van het eerste lichaam de hoeveelheid energie Ci = (i + p Y naar het tweede overgaat. Werkelijk stemt dit met de in (21) voor C gevonden waarde overeen ; immers, zoo wrj daarin e = 0 stellen, dus hetgedeelte nemen, dat tot het eerste deel der botsing behoort en waartoe zieh het transport van energie bij onveerkrachtige lichamen bepaalt, vinden wij juist de boven gegevene waarde . Zoo wordt dan het eene gedeelte van dit energietransport toege- licht en blijkt, dat de kinetische energie zieh zoodanig over de beide vereenigde massa ’s verdeelt, dat de (volume) dichtheid der energie in beide massa’s dezelfde is. Het aanwezig zijn der energie onder anderen vorm, afkomstig van de vroeger aan- wezige betrekkelijke beweging, heeft dus blijkbaar op deze verdeeling geea invloed, wat zeker merkwaardig is. ( 257 ) Gedurende liet tweede deel treden in de beide lichamen de betrekkelijke energien e3»2/2 (1 + pY~ en e2pf2 ^ (1 +p)2<* weder op en worden dus, ook wegens den overgang C1, de energien der beide lichamen, (vergeh form. (24)), 53 -j- e3 o3 /2 (1 +P? en /o53-|-e3^/2 (i +7? . . . (25) correspondeerende met de snelheden: 1/ 3® + e2p2 f 2 1/ <S3 + ß2 /2 en — - — v .... (26) 1 4 -p 1 +P Zal de beweging van het zwaartepunt met dezelfde eenparige snelheid mv -\- rri v 1 + pq m m' 1 p 1 4 .P behouden als vöor de botsing, zoo moet dus v . . (27) [/d 3 + e2«3/3 . [/& + e3/2 J V 4 P r * — V 14 P 1 + P 1 + P 14 P of l/ 52 4 e3/>2/3 4 P ^2 + e2/2 — (1 +/>)d , wat, zooals terstond bij de ontwikkeling der wortelvormen blijkt, niet het geval is. Een tweede energietransport kan echter de verhouding der energien zoodanig regelen, dat aan (27) voldaan wordt. ,2 Zij daartoe pxA ■u , waarm x2 een nog onbekende fac- (1 4 pY tor, de van het eerste lichaam naar het tweede overgevoerde VEESL. EN MEDED, AED. NATUUBK. 2 de BEEKS. DEEL XVI. 17 ( 258 ) energie, gedurende het tweede deel der botsing ; voor de uit- drukkingen (25) volgt dan, d2 _|_ e2p2y2 — px 2 (i+ris “ en d2 + e2y2 + x2 (1 +P)2 pot ; de snelheden worden 52 -J— e2»2/2 — px 2 1- — v en 1 + P j / ä2 + e2/2 + ^2 1 V 1 +p De vergelijking (27) geeffc dan als voorwaarde: V d2 e2p2/2 — pa;2 -j- p j/ d2 + e2/2 -f X<1 — (1 + p) d , waaruit volgt, of zoodat 2 dl/ d2 -f- e2 jt)2/ 2 — px^ ~ 2 d2 — jt? a;2 a:2 = 2 e fd , px W+pf 2 ep yd (M-p)2 «1 zijnde juist het nog ontbrekende deel van £ (vergeh form. 21). Dit gedeelte, dat dus door zijn overgang van het eerste lichaam op het tweede het zwaartepunt van het stelsel met dezelfde eenparige snelheid als voor de botsing doet voort- gaan, vormt als het wäre de reactie tot het weder optre- den der vroeger aanwezige betrekkelijke energie. Het energietransport C is dus in zijne beide deelen een direct gevolg van de, wegens het plotseling samentreffen der lichamen tijdelijke, misschien 00k gedeeltelijk blijvende ver- vorming. Hierbij verdwijnt de betrekkelijke energie, t. 0. van het zwaartepunt, doch wordt weder ten deele hersteld ; de overgang van energie is dus van dit verdwijnen en optreden een onmiddellijk en noodwendig gevolg. Het transport Cx correspondeert met de samendrukking der ( 259 ) meer of min veerkrachtige lichamen, de overgang Cz = e Cx met liet gedeeltelijk terugkeeren tot den vorigen vorm. Het dus verkregen resultaat, waarbij een beginsel der dy- namica dien overgang der energie noodwendig maakt, drin- gend vordert, geeft, al laat deze uiteenzetting in algemeen- lieid nog te wenschen over, aan de theorie der energie, zoo- als die tbans behandeld is, een steun, die niet gering te achten is. Het doet tevens de mogelijkkeid doorzien en waarschijnlijk worden, de leer der energie tot de hoofdbe- ginselen der meclianica terug te voeren en daardoor wellicht voor het onderling verband dier beginselen nieuwe uitzichten te openen. 9. Het dus verkregen energietransport laat zieh onder verschillende vormen brengen. Wij vonden vooreerst en V fd c=J(1 + 4ä^' = ^ + m mm' (mv -4- m' v') C = (1 + e) / - ^ \v-v *), . . . (H) (m -J- m y waaruit blijkt, dat C steeds voor volkomen veerkrachtige lichamen tweemaal grooter is dan voor geheel onveerkrachtige. Ten einde deze laatste uitdrukking doelmatig te herleiden, kunnen wij de (impulsieve) krachten Rx en Rz invoeren, die gedurende de beide deelen der botsing op ieder lichaam in tegengestelde richting werken, Rx en — Rx in het eerste, Rz en — Rz in het tweede deel der botsing. Op het einde van het eerste deel zyn de snelheden der beide lichamen gelijk, waardoor de betrekking mv — Rx m! v' ~\~ Rx m zoodat m _ mm Ri = : (v — v ). m m 17* ( 260 ) Aan het einde van het tweede deel, wanneer de lichamen uiteengaan, is V = mv — ( R\ -f- R%) V =z m! v -f (Rx + R%) m m terwpl nu V — V = e(v — v') en Ri boven gevonden werd, volgt spoedig Rz — e Ri , zoo- als te voorzien was. Dientengevolge gaat (II) over in C = (Rl + R2) mv -\- m! v m m! C = (R1 R%)u , . .. Cj — R ^ u , Cc j — R2 u Wanneer wij opmerken, dat of zoodat (m) (m.) vzm 1 4* py ~2~ ’ 1 +P — V = U en Pi1 — q) 1 +p — (1 +pq) 1 + P 14 ~ P V — V — u laat zieh voor den vorm (I) schrijven C — (1 4" e)m(v — u)u, (IV) waardoor Ci — m (v — u) u en C2 = em (v — u) u . . . (IVa). De Vergeltungen (III,,) leiden tot een belangrijk gevolg. Er blijkt toch, dat de overgang van energie bepaald wordt door het product der impulsieve krachten met de snelheid u, waarmede de massa zieh tijdens den overgang beweegt. Deze zeer eenvoudige wet stemt volkomen overeen met ( 261 ) wat längs geheel anderen weg voor de beweging der energie in vaste lichamen gevonden is door Umow *). — Deze Rus- sische geleerde, die zieh echter niet opzettelijk met de bot- sing bezig hield, hiervan zelfs met geen enkel woord gewaagt, onderzocht de beweging der kinetische energie, bij de onder- stelling, dat die energie als eene samendrukbare, veerkrach- tige vloeistof beschouwd wordt. Hij vond, dat de energie, die in een bepaalden tijd door de vlakteeenheid van een vast lichaam in de richting der drukkende kracht (Spannkraft) gaat, wordt uitgedrukt door het product dier kracht met de composante volgens de krachtrichting van de snelheid van het zwaartepunt der massa. In het geval der rechte botsing, dat wij thans behandelen, blijkt uit (IIIß), dat men werkelijk met een bijzonder geval dier wet te doen heeft en dat dit deel der kinetische energie zieh bij de rechte botsing inderdaad als eene samendrukbare, veerkrachtige vloeistof gedraagt, zieh althans volgens dezelfde regels beweegt, die bij zoodanige onderstelling gelden. Zulks was zeker niet te voorzien en vorderde een onafhankelijk be- toog. De overeenkomst, die onze uitdrukking voor het ener- gietransport in dit geval vertoont, schijnt ons om die reden, ook al zijn wij nog volstrekt niet geneigd de energie als eene vloeistof te beschouwen, een resultaat van beteekenis. Merken wij ten slotte nog op, dat door ons de kinetische energie berekend is ten opzichte der als stilstaand beschouwde omgeving. De snelheid van het zwaartepunt is, volgens de gewone begrippen der mechanica, bij het afwezig zijn van uitwendige krachten, een direct gevolg van de aangenomene snelheden der beide lichamen en van hunne bekende massa ’s. Wil men ook de beweging der omgeving, bijvoorbeeld die der aarde of van beslotene ruimten, die zieh op haar opper- vlak bewegen en waarbinnen die botsing plaats vindt, in re- kening brengen, zoo moet ook de aanvankelijke energie der massa’s daarnaar gewijzigd worden. *) Ableitung der Bewegungsgleichungen der Energie in continuirlichen Körpern, von Nicolaus Umow, Docent an der Universität Odessa. Zeit • schrift Jur Mathematik und Physik XIX. S. 418. ( 262 ) Ter verklaring van de verschijnselen der botsing, kan eene nadere behandeling van dit vraagstuk, dat eigenaardige moei- lijkheden heeft, achterwege blijven. Trouwens, zooals bekend, is de bepaling der absolute energie, die eenig lichaam bevat, onmogelijk en wordt voor bet aangegeven geval allereerst bekendheid met de rol, die de omgeving als drager der energie vervult, en waarschijnlijk meer dan dat, gevorderd. Men moet zieh dus, en dit heeft voor de botsing vermoedelijk geen be- zwaar, met de kennis der (betrekkelijke) kinetische energie ten opzichte van eene eenmaal aangenomene beweging te- vreden stellen. 10. De vormen (I) en (IV) voor C geven terstond aan, dat C verdwijnt, le Als q— 1 of v — u. Dit geval komt echter niet in aanmerking, daar alsdan geene botsing plaats heeft; de beide massa’s bewegen zieh in dit geval met gelijke snel- heid in dezelfde richting en ontmoeten elkander niet. 2e Als \ -\- j) <1 — 0 of u — 0, dat is als het zwaartepunt in rust is of mv — — m v, zoodat de beide lichamen voor de botsing gelijke doch tegengestelde bewegingsmomenten be- zitten. In dit merkwaardige geval verdwijnt Cx (zie N°. 8), daar 5 = 0; de lichamen bevatten, daar op het einde van het eerste deel de vereenigde massa in rust is, geene kinetische energie. Eveneens vervalt Cg, daar, bij den stilstand van het zwaartepunt, de noodzakelijklieid voor energietransport, blij- kens M°. 8, niet bestaat. Ondanks dit eigenaardig verdwijnen van vindt toch, als gewoonlijk, wat ook e, de transformatie der betrekkelijke energie ten opzichte van het zwaartepunt plaats en wel is, daar ex C— (1 + e) m (v — u) u , Pf a « = — q ex = —. 1 +p V — dus P — 1 en «' = p q2. ( 263 ) en volgens vergelijkingen (15) en (16) T= (1 — e2) a T' = (1 — e2) - = (1 — e2) «' ; P alle kinetische energie is hier betrekkelijke energie en bij onveerkrachtige lichamen gaat alle bewegingsenergie in an- deren vorm over. De maximum-waarde van C volgt onmiddellijk uit (IV). Bij gegeven aanvankelijke snelheid v wordt toch het tweede lid het grootst als of 1 + 2 pq—p (28) aan welke voorwaarde dus onemdig vele bijzondere gevallen voldoen; onder anderen voor gelijke massa’s als q = 0, dat is, bij gelijke massa’s heeft het grootste energietransport plaats als de tweede massa in rust is. In het algemeen volgt de maximum-waarde, die C ver- krijgt, terstond uit (IV), die voor u — 2 « geeft m v * C=(l + e)— = l + e terwijl in dit geval Bij volmaakt veerkrachtige lichamen gaat alle kinetische energie van het eerste lichaam naar het tweede over, bij onveerkrachtige lichamen, wanneer C = -a de helft dier U energie. Verder blykt, dat de zoogenaamde verlorene kineti- sche energien T en T\ wat ook e, een vierde gedeelte zijn van hun bedrag in geval geen energietransport plaats vindt. ( 264 ) Merken wij eindelijk naar aanleiding van het boven be- sproken verdwijnen van C op, dat voor 1 C ne- gatief wordt; wanneer derbalve de licbamen zieh voor de botsing in tegengestelden zin bewegen en m! v m v, gaat energie van het tweede op het eerste lichaam over. Met an- dere woorden, bij tegengestelde bewegingsrichting voor de botsing, gaat steeds energie van het lichaam met het groot- ste bewegingsmoment op dat met het kleinste over. Bij ge- lijke bewegingsrichting gaat het energietransport altijd van het lichaam uit, dat de grootste snelheid heeft en dat ge- woonlijk als het botsende lichaam wordt aangeduid. 11. Bespreken wij thans kortelijk de scheeve botsing, zon- der wrijving, dus tusschen gladde oppervlakken. Bepalen wij ons in dit geval tot twee hollen en nemen wij aan dat de bewegingsrichtingen voor de botsing hoeken 0 en Ö\ daarna hoeken <p en cp met de lijn, die de middenpunten verbindt, maken. Daar geene bewegende kracht op de lichamen werkt in eene richting loodrecht op deze lijn, blijven de snelheden volgens die loodlijn onveranderd, zoodat V sin cp — v sin 6 \ VI sin cp' = v1 sin 61 ) Volgende denzelfden weg als in N°. 1, zoo zal, (29) V cos cp = V cos cp' — Stellen wp v cos 6 1 ( mvcos6-\-m'v'cos 6') — em'{y cos 6 — v'cos 6') m + m' (m vcosd-{- m' v'cos 6') -}- e m (u cos 6 — v'cos 6') ►..(30) m m! v cos d zoo volgt uit (30) (i +pi') — q\ 1 p 9 — ^ 9' — /’ (1 4-po1) — ep( 1 — q') /& — epf'\ n V COS Q fl — — — V COS O — l — — ' I v cos 0 1 +p \ 1 +p 1 ( 265 ) en daar (29) geeft V sin (f> = v sin 6 , zal of V2 = S\ + —)2 cos + sin2 6 v 2 i? = j (V;;-y)2 co&‘2^ + s^2 6 j «> * • • (3i) daar i + p — 1 + pq' + p — v q'— & + p/ » wordt a = { cos2 d + sm2 6 [ a . . . . (32) I \ 1 +P 1 ) (31) en (32) vergelijkende, volgt (zie N°. 7) C=2(l + e) = 2 (1 + e) = (1+«) p/ (1+P)2 p (* — ?') C1 + p g') (1 + p )2 p (v cos (9 — u' cos ö1) (u cos6-\-p v'cos 6') 1 + P cos2 0. a, (V) cos2 a, (Vß) m. . (Vi) 1 + P De overdracht der energie is dus gelijk aan de bij de botsing werkzame kracht, vermenigvuldigd met de compo- sante der snelheid van het zwaartepunt, volgens die kraclit- richting. Waardoor de regel van Umow (N°. 9) ook bij de scheeve botsing bevestigd wordt. Ten slotte zij opgemerkt, dat voor dit meer algemeen ge- val de zoogenaamde verlorene energie (zie N°. 6, form. 14, ( 266 ) 15, 16), zoowel voor het geheele stelsel als voor de massa’s afzonderlijk, wordt, U — (1 — e2) — cos 2 Q. a 1 +P (1 — e2) m rri (v cos 6 — v' cos 6')2 2 m - w! en voor ieder der massa’s afzonderlijk v2 f'2 (1_e)0+^CM P f’2 T’= {\-e2)-f±-cos2d.* (1 + pf of 1 — e2 m m 2 T z=. • — (v cos 6 — v cos 6 )2 2 ( m -j- m y , 1 — e2 m2 m T — — ; ; — ( v cos & — v cos 6 )2 2 (ni -j* m y (33) > • • • • (34) 12. Ingevolge het thans behandelde, laten zieh de uit- drukkingen voor de kinetische energie der beide lichamen na de botsing dus schrijven: ß — oc—C— T, ß' = a' -}- C— T . <35) vervangt men T, T en C door banne waarden (15), (16) en (I) van N°. 9 en merkt men op, dat «' = p q2 a, zoo volgen natuurlijk de waarden onder (9) en (10) verkregen. Is bet tweede liebaam aanvankelijk zonder beweging, zoo bedraagt de kinetische energie dier massa na botsing, ß'=C- T'i in dit geval zal, daar q — 0, C = 2 (1 +e) (i + p? en r = (l—e2) (1 + P)% a. ( 267 ) Van de overgedragene energie blijft derhalve C— T = (1 + ef (1 + pf (36) in energie der voortgaande beweging bestaan; bet oyerige r==(1-‘P)<i + tf‘ (36‘> gaat in anderen energievorm over. De verbouding dier beide deelen C—T' _ 1 + e T' ~ 1 — e bangt alleen van e af, is zoowel onafbankelijk van de ver- bouding der massa’s als van de aanvankelijke energie van bet botsende licbaam. Voor onveerkracbtige licbamen is C= 2 T\ (38) C verdeelt zicb dus in dit geval in twee gelijke deelen. Bij willekeurige licbamen zullen de waarden (36) en (3 6«), als « gegeven is, bet grootst worden, wanneer p — 1, dat is als de massa’s gelijk zijn. Hieruit verklaart zicb, dat men, bij vele toepassingen der botsingverscbijnselen, in geval de tweede massa groot is, de botsende massa ook groot neemt. Daar wij tbans niet op een nader onderzoek der zoo- genaamde verloren energie kunnen ingaan, moeten wij ons tot deze opmerking bepalen. Dus zal in bet algemeen, als e, p en q willekeurig zijn, zicb de energie na de botsing zoodanig verdeelen, dat de massa’s ieder in bet bijzonder de boeveelbeden ß — C— T = ß = «' + C - T = 18— epf \ 1 + P 18+ ef \1 +P< en • • • • (39) ( 268 ) kinetische energie van voortgaande beweging , en de hoeveelkeden T= (1— e2)- PP_ (!+P)S a en T' — (1 — e2) Pp (i +p)2 (40) energie onder anderen vorm bezitten. 13. Bescliouwen wij ten slotte, in verband met het be- bandelde transport van energie , het geval dat meerdere lickamen acktervolgens aan reckte botsing onderworpen wor- den. — Wij nemen die lichamen eenvoudigheidskalve volko- men veerkrachtig aan, dus e — 1. Onderstellen wij, dat bet iichaam L ket stilstaande lichaam P niet ontmoet, dock tegen een tusscken geplaatst stilstaand lichaam R botst, dat de zoo verkregene energie daarna weder door botsing gedeeltelijk aan P mededeelt. Zijn dan de massa’s der drie lichamen L, R en P, m , rm , p m , a de aanvankelijke energie van L en hunne kinetische ener- gien na de botsing 0. OW'a), r- Is ket lichaam R niet aanwezig, zoo volgen na onmid- dellijke botsing tusscken L en P , daar q — 0, de ener- gien de snelheid van het lichaam P wordt dus, V = 1 + P (42) wanneer v de aanvankelijke snelheid van L. Bij tusschenplaatsing van het lichaam R krijgt deze massa eene snelheid ( 269 ) (V) = 1 -j- r terwijl dan de suelheid van P na de botsing wordt, V" 1+- r (V) = (1 +r) 1 r Deze uitdrukking wordt bet grootst, voor verscbillende waar- den van r, als de noemer bet kleinst is, dat is als 1 — =0 of r — \/ p r2 derbalve, wanneer de massa R meetkundig middenevenredig is tusscben L en P. Dan wordt V" 4 (i +t /~Pfv (43) Vergelijken wij deze waarde met die zonder bet tusscben- licbaam i2, zoo blijkt, dat V' 2(1 +P) _ (l + \/p)2 2 1 + 21 /p 1 + P (44) en daar, zooals bekend, in bet algemeen < 1 zal dus V" > V, 1 + P zoodat bet licliaam R de eindsnelbeid van P vermeerdert. Wanneer p — 1, dus L, R en P gelijke massa ’s hebben, zal V" = V, heeft dus bet tusscbenlicbaam geen iuvloed. Bescbouwen wij, in plaats van de snelbeden, de energien der drie licbamen na de botsingen, zoo vinden wij voor die van : ( 270 ) r , 1-2 p+p> (1 -pf ’ l(i+^4 G — 4 V p (1 Wvf Ri ß 2 — 4[/ p - 8p-|-4pl/p {\~V/p'fA\/p (1 Wpf (1+^)4 C' = P, p = a 1 (1+^)4 16p (1+1 /r)4 G en C" duiden de lioeveelheden energie aan, door L aan R en door R aan P overgedragen. Steeds zal dus CT u of ( C,f=C"cc. Voor p — 1). gelijke massa’s, volgt ß — ß’2 = 0, ß" z = «, C" = « , G" — OL. Alle kinetische energie wordt dus naar het derde lichaam overgevoerd. Is p = — , zoo vindt men . 9 8 i 81 ’ 1 2 81 ’ r, 72 8 81 9 „ 64 Ä" = — « ‘ 81 c = *. \ 81 (46) Yergelyken wij de energien van P brj de botsing van drie lichamen P, P, P door (45) gegeven met die van twee licha- men, L en P, door (41) aangeduid, zoo vinden wij voor hare verhouding, overeenkomstig het in (44) gevondene, jT _ 4(1 +y)g j 2 OS") (i + Vf>)‘ , , zt/P ' \1 + TT7, ( 271 ) welke verhouding steeds kleiner dan een is, tenzij de massa’s gelijk zijn. Yoor p = — blijkt uit (41) dat, terwijl voor twee licha- 4 men de energie van P was = 0,64 ct de tusschenplaatsing van eene massa, meetkimdig midden- evenredig tusschen beiden, de energie van P brengt tot (zie 46), 64 81 « 0,97 a. 