title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: Uit de gegeven beschrijving volgt, dat. die zoogenoemde leveraanhangsels bij Sepia eene soort van acineuse klieren vormen, die door een zeer rijk haarvatenstelsel worden om- sponnen. Vooral uitvoerig en nauwkeurig wordt het klier- epithelium beschreven. Door vergelijking der verschillende toestanden, waarin dit epithelium door den Schrijver werd aangetroffen, trekt hij het besluit dat, bij de secretie, de klier- cellen zelven, onder trapsgewijze veranderingen, teil slotte geheel te gronde gaan. Hoe het klierepitlielium zieh later weder opnieuw vormt, kon de Schrijver niet liagaan. ( 37 ) Uit diezelfde afdeeling der Dibranchiaten werden verder ook nog Rossia, Sepiola en Loligo onderzoclit en de Heer Vigelius is uit die onderzoekingen tot het besluit ge- komen, dal bij alle Dibranchiaten Decapoden het als Pan- creas bekende klierachtige weefsel zieh in meerdere of mindere mate in de gedaante van duidelyk zelfstandige klierachtige Organen vertoont. Dan gaat de Schrijver over tot de behandeling der tweede afdeeling der Dibranchiaten : de Octopoden. Hier treedt ons het pancreas niet meer als een eigen klieraclitig orgaan tegen, maar het vormt bij deze afdeeling een in bouw gewijzigd gedeelte van de lever zelve. Het nauwkeurigst werd het ge- slacht Eledone onderzocht en bij de Octopoden, evenals bij de Decapoden, kwam Schrijver tot de overtuiging dat de kliercellen bij hare secretie te gronde gaan. , In het feit, dat bij de Octopoden het pancreas een veel minder hoogen trap van ontwikkeling vertoont dan bij de Decapoden, ziet de Schrijver een nieuw bewijs, dat werkelijk de Dibranchiaten Decapoden — zooals reeds door andere waar- nemers längs andere wegen is aangetoond — een hoogeren trap van ontwikkeling vertoonen dan de Dibranchiaten Oc- topoden. Ten slotte zij nog vermeld, dat in het zuivere uitschei- dings-product der lever geen spoor van galstoffen is aan te toonen, wel daarentegen — en het duidelijkst bij Octopus — twee Enzyme, waarvan het eene in eene zure, het andere in eene alkalische oplossing in Staat is, fibrine te verteren. Een zeven-en-twintigtal, meerendeeis keurig uitgevoerde, teekeningen luisteren deze verhandeling op. De ondergeteekenden aarzelen dan ook niet om voor de opnem ng dezer verhandeling in de werken der Akademie te adviseeren. Leiden en Utrecht , Juni 1881. De Commissie voornoemd : C. K. HOFEMANN, Tu. W. ENGELMANN RAPPORT OVER EENE VERHANDELING VAN Dr. W. KAPTEIJN: »OVER DEN VORM VAN ZEKERE DIFFERENTIALEN, WIER INTEGRALEN ZUIVER ALGEBRAISCHE FUNCTIEN ZIJN, EN OVER HUNNE INTEGRALEN”. UITGEBRACHT DOOR D. BIERENS DE HAAN en F. J. VAN DEN BERG. Schrijver stelt zieh in de eerste plaats voor, de vraag te beantwoorden : wanneer is de integraal — waarin p een willekeurig gebroken voorstelt, welks noe- mer q is, — door zuiver stelkundige vormen voor te stellen ? Daarna past hi] het gevondene toe op de binomische integraal In § 1 gaat hij uit van eene stelling van Liouvjlle, dat, on- der de gestelde voorwaarde van zuiver stelkundige uitkomst, — als men y'i — F(x), rationeel, stelt, — ook \ y dx = y f(x) C en op de andere ( 89 ) is, dat wil zeggen, dat dan y als factor in de waarde van deze integraal optreedt. Daaruit leidt Sehr, af den eenig mo- r gelijken vorm vany, zoowel als dien van jydx, altijd onder J die voorwaarde van zuiver stelkundige vormen. Dit wordt in § 2 toegepast op de algemeene functie (x — a)"1 (ß -f- y x + • • • + ^ x")p > en daarbij worden er, na nauwkeurige discussie, en uitslui- ting van onmogelijke gevallen, twee voorwaarden (8) en (9) gevouden, bij ieder van welke afzonderlijk deze functie tot den vorm van § 1 kan worden teruggebracht. Daarna wordt dan tevens de vorm der integralen (10) en (11) bepaald, die daarbij behooren, zoodra er aan eene der genoemde voor- waarden is voldaan. In § 3 gaat hi) over tot den vorm xm (a + bxn)P, en maakt de voorwaarden (12) en (13) op, zooals zij hier uit (8) en (9) volgen. Ten opzichte van de voorwaarde (12) wordt bewezen, dat er eene noodzakelijke betrekking moet bestaan tusschen de exponenten m, n en p en een zeker getal i, dat met het aantal der gedeeltelijke breuken bij de ontwikkeling der in- tegraal zamenhangt. Die betrekking is (1 -{- p) n m + 1 = — i , en tevens i een positief veelvoud van n. Bij dit onderzoek blijkt, dat de tellers At van alle gedeelte- lijke breuken verdwijnen moeten, tenzij k — i — een veel- voud van n is. Ten aanzien van de andere voorwaarde (13) komt Sclirij- ver op eene dergelijke noodzakelijke betrekking tusschen m , n en i, maar thans zonder p, namelyk m — n -j- 1 — i en tevens i een positief veelvoud van n. Het eerste gedeelte bewijst hij door aan te toonen, dat de tegeuovergestelde onderstellingen, zoowel m > i n — 1 , als ( 90 ) m < i 4“ n — 1 , tot ongerijmdlieden voeren : het tweede ge- deelte wordt evenals boven bewezen (bij (12)). Merken wij op dat beide vermelde betrekkingen niet al- leen noodzakelijk, maar ook voldoende zijn tot het voorge- stelde doel. Daarna wordt nu tevens in beide gevallen de vorm der zuiver algebraische integraal zelve bepaald (15) en (17). Slaan wij nu voor het oogenblik § 4 en 5 over, dan vin- den wij in § 6 den vorm xm ( a -)- bxn -f cx^n)P naar dezelfde methode behandeld, alleen natuurlijk voor het geval, dat de discriminant 62 — 4 a c > 0 is, daar anders die vorm in het voorgaande zoude begrepen zijn. Schrijver begint weder met de voorwaarden (34) en (35) op te maken, zooals zij uit de vroegere (8) en (9) van § 2 hier voortvloeien. In het eerste geval (34) vindt hij weder de noodzakelijke, maar ook voldoende, betrekking tusschen de exponenten in, n en p en den index i (1 -\- p) 2 n -\- m -f- 1 = — i , en i een positief veelvoud van n ; waarbij die grootheden, in verband met de coefficienten a, b, c, nu nog eenen determinant A tot nul moeten maken, omdat het aantal verkregen vergelijkingen een meer is dan dat der tellers A, die daaruit bepaahl moeten worden. Wat daarentegen de vergelijking (35) betreft, is hier de noodzakelijke, maar evenzeer ook voldoende, betrekking tus- schen de bekende grootheden, dat zoowel 2 ii -\- i — ( m + 1), als i zelf een positief veelvoud van n moet zijn. Hier wordt de uitkomst van iets anderen aard dan in § 3 ; want wel is waar voert de onderstelling m 2n -f- i — 1 tot ongerijmdheid, maar zoowel aan die van m — 2n-\-i — 1 , als aan de andere m < 2 w + i — 1, kan hier wel voldaan worden. ( »1 ) Omdat er evenwel in het voorlaatste geval meer vergelij- kingen zijn dan het aantal te bepalen standvastige coeffi- cienten bedraagt, vindt men weder een determinant A\ die nul moet worden, opdat die vergelijkingeu niet met elkander in strijd zouden komen. In het laatste geval daarentegen komt die bizondere omstandigheid niet voor, en ontstaat er dus ook geen determinant. Hier, namelijk voor de functiexOT(a + bx* -f cx2n)P , zijn er dus drie verschillende gevallen van integreerbaarheid onder zuiver algebraischen vorm, en in die allen worden dan ook de integralen zelven aangegeven. Keeren wij nu tot § 4 en 5 terug, die eigenlijk niet vol- doen aan den titel dezer verhandeling, maar tot grootere vollediglieid zijn bijgevoegd, en die wij dan ook, zooals straks blijken zal, ongaarne zouden missen. Dan vinden wij eerst het bewijs van Tchebichef vermeld, umtrent de beide eenige voorwaarden, dat eene binomische integraal door stelkundige en logarithmische functien kan worden uitgedrukt. Daarmede volgt uit het voorgaande en uit een nader onderzoek in § 4, waimeer een integraal enkel door logarithmische functien wordt bepaald ; en ook hiervoor komen er twee verschillende voorwaarden te voorschijn. Zoodra dit onderwerp in § 4 is afgehandeld, gaat Schrijver eindelijk in § 5 over tot het onderzoek van de onderschei- dene substitutien en herleidingen, die er telkens noodig zijn om eene binomische integraal tot enkel stelkundige en loga- rithmische functien terug te breiigen ; hetgeen ook wel dus wordt uitgedrukt »om haar rationeel te maken”. Zulks toch is het einddoel van zulke substitutien, want bij rationeele vormen is de integratie altijd uit te voeren. De uitkomsten waartoe Schrijver geraakt, zijn tweeled en komen met de bekende overeen; hij vindt ze voor m -j- 1 «i -f 1 1 • p — geheel, en 2°. = geheel ; n n en wel afzonderlijk, =0, = positief en = negatief geheel: voor beide vormen evenzeer. ( 92 ) Het substitntien-stelsel bij binomische integralen is nu hetgeen Schrijver längs zijn weg bereikt heeft : het is bem bij deze integralen gelukt, maar nog niet bij die van den anderen vorm, in § 6 bebandeld. Evenwel is hij bij deze laatste integralen dit doel tocb voor een groot deel naderbij gekomen. Voor dit onderwerp derbalve zijn des Schrijvers onderzoe- kingen van veel belang, en wij aarzelen niet de Afdeeling aan te raden, die in hare werken op te nemen. OVER DEN VORM VAN ZEKERE DIFFERENTIALEN, VIER INTEGRALEN ZUIVER ALGEBRAISCHE FUNCTIEN ZIJN EN OVER HUNNE INTEGRALEN. waarin F(x) eene' rationele functie van x en q een geheel positief getal voorstelt, en wordt aangegeven de meest al- gemeene vorm dien F{x) kan bezitten zoo men aanneemt dat genoemde integraal zuiver algebraisch zp. In de tweede pa- ragraaf wordt een begin gemaakt met bet onderzoek van de gevallen waarin tot genoemden vorm kan herleid worden de functie (.r — a)m (ß -f- p x + . . . X xn)P waarin a, ß, ... X, m , n en p constanten zijn die zekere voorwaarden vervullen. Deze herleiding wordt in paragraaf 3 ten einde gebracht voor het bijzondere geval dat bovenstaande functie overgaat in xm (a -j- bxn)P en in paragraaf 6 voor het geval dat zij overgaat in xm (a -f- bx -|- cx2n)P . Tevens worden in deze Paragrafen de corresponderende integralen bepaald in alle gevallen waarin deze uit zuiver algebraische functien be- staun. Voorts worden in § 4 de gevallen onderzocht, waarin j xm (o + b x”Y d x zuiver logarithmisch is en in § 5 de DOOR Dr. W. K Ä P T E IJ N. ALGEMEEN OVERZICHT. In de eerste paragraaf wordt ( 94 ) algemeene reductieformules van j xm (a & xn)P d x ont- wikkeld. § 1. Zijn twee grootbeden x en y verbonden door eene vergelijking van den vorm : Vq = F{x) (1) waarin q een gelieel positief getal en F{x) eene rationele functie van x voorstelt ; zij verder gegeven dat jydx waarin y eene der worteis van vergelijking (1) beteekent, eene al- gebraische waarde bezit, dau is bekend dat : Jydx = yf(x) -f- constante (2) waarin f(x) eene rationele functie van x beduidt. Uitgaande van deze Stelling die liet eerst door Liouville bewezen werd en die gemakkelijk uit eene meer algemeene Stelling van Abel is af te leiden, kan de meest algemeene waarde van F (#), die voldoet aan de vergelijking (2), op de volgende wijze gevonden worden. Wanneer door eene functie F (x) de voorwaarde (2) ver- vuld is, dan bestaat er tusscben de functies F (x) en/(x) eene beti’ekking die men vindt door de vergelijkingen (1) en dy (2) te differentieren en daarna y en — tusschen deze nieuwe dx vergelijkingen en (1) te elimineren. Deze betrekking is:: df (*') dx /(*) of d F (a:) dx F{x) (3) -i- =bf .lg. {/(*)» f(#)} f(x) q dx Daar nu f(x) en F (x) rationele functies zijn, is ook ( 95 ) de functie f {x)9 . F (x) ratioueel. Noemt men x — ax , x — a3 , . . . x — ai de verscliillende eerste machtsfactoren dezer laatste functie en geeft door al , a2 . . . ai gelieele ge- talleu aan die positief nul of negatief zijn, dan kan men derlialve schrijven als algemeenste vorm dezer functie : / (#)? F (x) = B (x — «i)a* (•? — a2)Xi • • • — ai)*1 waarin B eene constante beteekent. Stelt men kortlieidshalve liet laatste product door het symbool i = l B II (x — at-)a; i=i en de som + x d^ x ■ dg + • • • + ai x — ai door het symbool i — l x — ai voor, zoo vindt men : i— i tJ- {/(*)» ^w} = ü x — ai Hiermede is, zoo men stelt — — Ai 9 i = l 1 £ Aj f{x) i = i x — ai waarin q Ai altijd gelijk een gelieel getal is. Deze algemeenste vorm van — — gesubstitueerd in de ver- ( 96 ) gelijking (3) geeft nu ouk den algemeensten vorm van f(a:). Immers, voor (3) schrijvende : d x l.F(x) 9 dx i — ix — ai zoo vindt men terstond : q i — l EL-.)- waarin Ol eene willekeurige constante is, die dezelfde waarde lieeft als B. Uit het voorgaande volgt dat, wanneer y met x Verbün- den door vergelijking (1), jydx alleen dan zuiver algebrai- sche integralen zal bezitten, wanneer y tot den vorm : i l i ~ l C £ TT (x - ai)Ai (4) i - lx — ai » = 1 waarin q Ai steeds een gebeel getal is, kan berleid worden. Kan y tot deze vorm berleid worden, dan is omgekeerd jydx steeds zuiver algebraisch en wel gelijk : F(x) = Ol ( Zmt Ai ■ i — i x — a i zoo men de constante der integratie buiten rekening laat. § 2. De voorgaande algemeene besckouwing wordt nu toegepast op de functie : y = ( x — u)m (fi -f- /x -f- . . . Xxn)P (6) waarin ondersteld wordt : 1°. dat de vergelijking (3 + Yx + . . . — 0 (7) alleen ongelijke worteis ax , az . . . an bezit; ( 97 ) 2°. dat « eene constante is die versckilt van deze worteis ; 3°. dat m en n geheele getallen zijn waarvan ket laatste steeds positief is; 4°. dat p een willekeurig gebroken beteekent, wiens noe- mer q is. De vraag is dus onder welke voorwaarden ket mogelijk is de functie (6) tot den vorm (4) te kerleiden. Van de grootkeden a, in (4) voorkomende is bekend dat zij allen versckillend zijn ; daaronder kunnen voorkomen de grootkeden öj , a2 . . . an die de worteis zijn van de verge- lijking (7) en bovendien andere a„ 4.1 , an+2 , • • a-i wier aantal onbepaald is. Onderzoekt men nu of ket mogelijk is dat de functie y in den vorm : kan gesckreven worden, dan valt al dadelijk in ket 00g dat zoo men de worteis al , a2 , . . an van (7) in de functie y permuteert deze functie onveranderd blijft ; bovenstaande uit- drukking moet dus 00k deze eigensckap bezitten, derkalve moet Daar nu ,4 - y x . ’K xn = X (x — <?!) (.£ — a2) . . (x — a„) zoo is x — a 1 x — a2 ‘ x — a„ ' x — aH+ 1 x — a/ A ^ — A 2 — ... -4 n. x — x — «2 1 1 waarmede dus de vorm (4) overgaat in : C \ ( / . . nix"— 1 ( AnJr\ ( Ai Ai (P + rx 4- • . *■*") ‘ (*' — 1+1 • • (a- — ai)A'. ■VEKS L. EN MEDED. AID. NATCVRK. 2<*e BEEKS. I)EE1 XVI 7 ( 98 ) Deze vorm kan niet identiek zijn met y tenzij AY = 1 - p. Om dit te bewijzen zal eerst worden aangetoond dat A1 niet gelijk nul kan zijn. Ware dit laatste toeh liet geval dan zouden de zoogenaamde kritieke punten (zie Briot en Bou- quet, Theorie des fonctions elliptiques) van dezen vorm niet orereenkomen met die van y. Liet men dan de verander- lijke x, uitgaande van een willekeurig punt, eenmaal een gesloten kromme doorloopen die een van de kritieke punten ax , a2 , . . a„ der functie y en geen der punten an+\ , . . ai in- sluit, dan zou deze functie, zoodra x in het punt van uit- gang teruggekeerd was, eene andere waarde verkregen liebben dan zij aanvankelijk bezat, terwijl de bovenstaande vorm tot hare oorspronkelijke waarde zou teruggekeerd zijn Hieruit volgt dat A 1 niet nul kan wezeu. Stelt men nu de functie y gelijk bovenstaande vorm en deelt beide leden dezer vergelijking door ((?-}- •/ x -f- . . lxn)P dan blijft in bet eerste lid eene functie over die rationeel is en die niet nul of' oneindig kan worden voor de waarden x — , x — a2 , . . . x = an of met andere woorden die de punten ax , a2 , ... an noch tot nullen, noch tot polen kan hebben. Hieruit volgt dat hetgeen na deeling in het tweede lid overblijft 00k eene rationele functie moet zijn wier nul- len en polen moeten verschillen van ax , a3 . . an . De orde dezer nullen of polen in het tweede lid moet dus nul wezen. Vereenigt men de breuken van het tweede lid tot eene en- kele dan blijkt terstond dat de orde van deze nullen of polen is A1 — p — 1 ; dus moet A\ — P + 1 • Het is hieruit tevens duidelijk dat de grootheid qAx waarin q de noemer van p voorstelt, een geheel getal is. De ver- gelijking waarvan sprake was, is derhalve : i \(l_L„\y+ _L An+l Al ( ':'r | 1 ' ß-t -yx-\- •• hxn x — an+ 1 * x—at j (ß + ?x + . . A x") (x - an+i)A“+l . . (x - a')A'. ( 99 ) Het eerste lid hiervan eeue rationele functie zijnde, vindt men terstoml dat alle coefficienten An+\ , . . Ai gelieele ge- tallen moeten zijn. In liet eerste is voorts a een nul of pool van de me orde, dus moet « ook een nnl of pool van dezelfde orde wezen van de functie in het tweede lid. On- derstelt men dus an+\ = « , dan is, indien An+\ niet gelijk nul is, u een nul of pool van de orde An+ 1 — 1 van het tweede lid, irnmers, zoo men de som der breuken sclirrjft als een hreuk, dan zal in den noeruer dezer breuken (# — a)1 voorkomen, terwijl de teller ondeelbaar is door x — «. In- dien evenwel An+ 1 = 0 dan is het wel omnogelyk dat in het tweede lid een pool «, maar niet dat er een nul « op- treedt, want, zoo men weer de overblijvende breuken ver- eenigt tot eene enkele, is het mogelijk dat de teller dezer breuk door (x — «)'" deelbaar is. Er blyft dus nog over te onderzoeken onder welke voorwaarden aan eene der verge- lijkingen Ci y 4- . . nXxn ~ 1 1 f m A „ 4- 2 A 1 ) 1 |(1+/>) 77 ■ T7 + - ^ — + /. ^ ( (i -j- yx -f- ..kxn x — u x — an+> x — ai) {ß + / J (j: — aj — u„+2)Jh+s . . (.<-• — a/)Jt , y 4- .. iilxn~ 1 (Hy)- An± 2 ß + rx 4- -Axn x—an+ 2 + •• (ß -\- yx x*) (x — an+?y (x — a/)A' Ai x — a/ in welke laatste m alleen positief is, kan voldaan worden. Daar nu de eerste leden dezer vergelijkingen gelieele func- tien zijn, die geene der punten an+ 2 , . . ai tot nullen hebben, zoo moet ook de orde van de nullen of polen .an+2 , . .. ai in de tweede leden nul wezen, waaruit volgt: A„+ 2 — 1 =...= Ai — 1 = 0. Natuurlijk kunnen eenige der coefficienten A„^2 , . . At ook de waarde nul bezitten ; dit geval kan men echter buiten beschouwing laten daar hierdoor het aantal termen dat ge- heel onbepaald is, slechts zou gereduceerd worden. ( 100 ) Stelt men de gevonden waarden van An+2 , . . Ai in de bovenstaande vergelijkingen en schrijft tevens (# — än+z) — aj) = x* -{- Al x*— 1 -f- . . Ai dan gaan zij over in deze : 1 _ _C_ j y-\- • .nlxn~l ^ 1+ot ^•i~1 + .. Aj_i ] ^ ß-\-yx -\-..Xxn ‘ x — u x'-j-AiX*—' 1 (ß + y x + . . I x») (x — u) (xi -}- Al x*~x -f- . . At) .... (8) (# — «)" (i ß C I y-f- . . nXxn~x = lxn -f- y x 4* • • ä #") (^‘t 1 xi — 1 tV-1 -f . .Aj-i I xi+A1xi~l + .. Ai) + • • A{) (9) Stelt men de vraag onder welke voorwaarden een poly- nomium xl + A i xi ~ 1 -f- . . Ai gevonden kan worden dat aan de vergelijkingen (8) of (9) voldoet, dan is deze alge- meener dan die welker oplossing gezockt wordt. Beide vra- gen körnen echter op hetzelfde neer als men dit polynomium onderwerpt aan de bepaling dat het -slechts enkelvoudige worteis mag bezitten die verscliillen van a1 , a2 , . . an en «. Aan vergelijking (8) kan evenwel geen polynomium xl -p Alxl~x -f- . . Ai voldoen dat gelijke worteis bezit, want dan zoude er eene waarde bestaan waarvoor dit en bet po- lynomium ix*— 1 -f ..Ai- \ gelijktijdig nul zouden zijn. Door invoering dezer waarde zoude dan het tweede lid van ver- gelijking (8) nul worden, terwijl het eerste lid de constante waarde 1 zoude beliouden, hetgeen ongerijmd is. Ook kan geen polynomium met enkelvoudigen wortel , a2 , • • an of « aan deze vergelijking voldoen omdat zoo men alsdan aan x deze waarde toekende weder het tweede lid de waarde nul zoude verkrijgen hetgeen strijdt tegen het bestaan der ver- gelijking (8). Aan vergelijking (9) kan geen polynomium x' -^A-^x*— 3 -\-..A 2- voldoen dat gelijke worteis bezit die verschillen van a, want zoo men de waarde van een dezer gelijke worteis voor x substitueerde zoude men op eene ongerijmdheid stuiten. Dit- ( 101 ) zelfde zoude ook plaats hebben wanneer onder de enkelvou- dige worteis van x' ff- Ax .r' - 1 ff- • -d; eene der grootheden alt a.2 , . . n„ voorkwam. In de laatste dezer vergelijkingen beeft m eene positieve waarde. Voor het geval dat m = — 1 is kan men onmid- dellijk besluiten dat bet onmogelijk is aan de vergelijking (8) te voldoen daar alsdan het tweede lid een nul u bezit die in bet eerste lid niet voorkomt. De vraag blijft dus nog onder welke voorwaarden aan ver- gelyking (8,, en onder welke voorwaarden aan vergelijking (9) kan voldaan worden, waarbij in bet oog gebouden dient te worden dat bij de laatste vergelijking alleen die voor- waarden in aanmerking komen onder welke bet polynomium ** + *'-1 + • • Ai geen enkel- of veelvoudigen wortel « bezit. Heeft men deze voorwaarden gevonden en tevens in die gevallen de waarden der grootheden i, A± , Az, . . Ai be- paald, dan kan men daarnit besluiten tot de integraal van de differentiaal y dx = (.r — a)m (j? ff- yx ff- . . lxn)P dx in alle gevallen waarin deze integraal algebraisch is. Is nl. aan (8) voldaan dan is volgens (5) deze integraal: C(a:-a1)1+/,(j-a2)1+/’- • (tf-a,,)1 4-/ff.r-a)i +m(xi A^i x’~ 1 4- --Ai) of jß^(ß + yx+ ..Xx'l)li-P(x— +..^1,) . . (10) terwijl zoo aan (9) voldaan is, de integraal de waarde C + yx + Ax»)'+P(xi ff- Ax Xi~l A ..At) . . . . (11) bezit. § 3. Beschouwt men de differentiaal y dx = xm (a [b x”)P dx, dan vindt men door in (8) en ^9) te stellen: « — 0 , [i — a , y = S = . . — 0 1 — b: _ | n hx»— 1 1 -fm ixl~] ff- . . A,_\ i C | ^ a-j- bxu x x* A1 x*~l -f . . Aij (a + i x”) x(xl + Ax x>—l ff- . . 4j) (12) ( 102 ) en b^P ) n h xv _l * x^~ 1 -f- • • A{ l — «. = ((i + P) (a -j- b xn) ( x i -f- A1 xl— 1 -f . . Ai) (13) In liet volgende zal verder onderzocht worden onder welke voorwaarden aan eene dezer vergelijkingen kan voldaan wor- den, daarbij aannemende dat a en b van nul verscliillende constanten zijn, m in (13) sleclits eene positieve waarde be- zit en Ai van nul verschilt. Immers Ai = 0 zoude, zooals reeds opgemerkt is, in vergelijking (12) tot eene ongerijmd- heid leiden, terwijl, wanneer men de hypothese Ai = 0 in vergelijking (13) uitsluit, daardoor voldaan is aan de voor- waarde dat bet polynomium xl -)- Al 1 -f • • Ai geene en- kel- of veelvoudige wortel x mag bezitten. Onderzoek van vergelijking (12). Aan deze vergelijking kan niet voldaan worden tenzij (1 -\- p) n -j-1 m i = ^ en i = r n ivaarin r voorstelt een geheel positief getal. Om dit aan te toonen schrijve men kortheidskalve (1 +P) n 1 4" m = f ; men vindt dan voor de coefficien- ten van de verscliillende machten van x in (12) de daar- achter geplaatste waarden : xi+n : (f -}- i) b xi + n— 1 : (f { — 1) b A x xl : (f -f- i — ?/) b An -j- («! -f 1 -f- i) a : (f -j- i — Ti — 1 ) b An -i-i -f- (m -f- 1 -j - i — 1 ) a A1 xi-n ; (f -j- i — 2 n) b Jzn -f- ( m -f- 1 + i — n ) a An xi—n -1 : (f ,j_ l — 2 n — 1) b //2a -h + (m -f- 1 — i — n — l)ö An+\ ( 103 ) j-*+1 : (f -f 1) h Ai-\ 1 -j-n-f 1)« //,_«_ i x* : f b Ji + (m -f- 1 + v) a Ai—n x*— 1 : (« -f- 1 -}- « — l)a Ai-n+ 1 x*~s : (>n + 1 -I- « — 2) a Ai -n+2 x1 : (>n + 1 + 1) o Ai- 1 /} +P rQ : (m -f 1 ) a Ai — Zal dus aan (12) voldaan worden, dan moeten al deze i 4- n -(- 1 coeffieienten afzonderlijk nul zijn Daar nu on- dersteld is dat a en i van nul versckillende konstanten zijn, zoo is een eerste vereisckte dat t -I- i = 0. Is liieraan vol- daan, kan kan geene der grootkeden f -f- i — 1, t -f- > — 2, . . t nul zijn. Dit in liet oog houdende rnoet verder -■/ 1 == -^2 == • • = *■!« — l ' 0 A„+l = An+i = . . = A2n-\ = 0 A-2n + l = A2n+ 2 = • • = ASn-\ = 0 Daar nu Ai niet mag verdwijnen, en dus geen der even aangekaalde coeffieienten A mag wezen, volgt kieruit dat i — r n moet zijn; kiermede is dus ket gestelde kewezen. Neemt men nu aan dat de exponenten m, n en p zooda- nig zijn, dat f -f- r n = 0, waarin r eene der waarden 0, 1, 2, .. kezit, zoo kan steeds en op geene andere wijze, aan (12) voldaan worden dan door een polynomium a* 4- Ax a:«'-1 + Ai = xrn + An x^-\)n . . jrn waarin de coeffieienten bepaald worden door de volgende ver- gelijkingen : 1 f + * — n b n An m \ i a m + 1 + r « « ( 104 ) A„ 2 77 b //g» m 4-1 J- (r — 1) n o A^n 3 n h A Tn. -j- 1 -f- ( r — 2 ) n, a eil 4(r—])n Am r n m 1 -f- n b a C _ 1 J_ 1A (m 1) a Arn Daar nu liet polynomium gevonden is dat aan (12) vol- doet, kan men ook de integraal van xm ( a -}- b xn)P d x vin- den indien de voorwaarde f -j- rn =0 vervuld is. Deze integraal is tocli volgens (10): C b'+P b xty +P «4+®* {x? A j a12 -1 -j- . . A>) of (1 m) & . ( a + bxnY +P. — xr-> 4- — a?(r— 1)« 4. . . . 1 j Arn Arn ) Het onderzoek van (12) leidt dus tot dit besluit: Wanneer in x"' (a 4~ bxn)P dx de exponenten m , 'n, p vol- doen aan de voorwaarde m 4-1 4- V — — 1 — r (*■ = 0, 1, 2 . . ). . . (14) dan is de integraal dezer differentiaal algebraisch en ge- lijfc aan : ( 105 ) >•1-4- »i (1 -j- m) u n (•( -f- bxn)}+t> 2 n If ■ ~ xnr 4- fn -\-rn m + 1 }- (r— 1)» m » 1 -\-n ar 2 n rn b ’— 1 _ <T „(r— I) _|_ m f 1 -)- (»*- 1 )n m 4- 1 4- « «r—1 + + + 1 . • • (15) Het is gemakkelijk in te zien dat zoo de voorwaarde (14) vervuld is, nooit eene der waarden m 4- 1 4 - rn, m 4-1 4 -fr — 1) n , . . m f 1 4- «, m -f- 1 , in de noemers der breuken voorkomende, nnl kan wezen Ter opheldering van bet voorgaande bet voorbeeld x (a 4- bx^)-1? dx nemende, vindt men, daar de voorwaarde (14) vervuld is, dat de integraal dezer differentiaal eene al- gebraische waarde zal bezitten. De waarde van r liier 3 zijnde, is voorts de integraal volgens (15): 2 / V ’ /II .8 .5 c*3 — -,.0 4- 6,95 9 b — X6 -j — X3 4" 1 5 a Uit het onderzoek van vergelijking (13) blijkt dat hier aan niet kan voldaan roorden tenzij in — n 4” 1 = i en i = r n waarin weer r een geheel positief getal voorstelt Om dit te bewijzen merke men vooreerst op dat aan (13) niet voldaan kan worden indien bet positieve getal m grooter is dan i -f n — 1. Dit behoeft geen betoog Indien in de tweede plaats m i (- n — 1 kan evenmin aan vergelijking (13) voldaan worden. Dit laatste wordt als volgt bewezen. Scbrijft men kortheidskalve (1 4 - p) n = ij dan vindt men voor de coefficienten van de verscliillende machten van x in het tweede lid der vergelijking (13) de daarachter geplaat- ste waarden : ( 106 ) %i+n— 1 • (jj _|_ ^ J xi-\-n—2 : { — 1) b A-± : (tj -}- i — n) b An -f- i a xl~2 : {v + i — n — 1) b An+\ -J- (i — 1 )aA1 xn : (jy + l)b Ai_\ -f (n -j~ 1) a A_n— l xn~ 1 : i) b Ai 4- na Ai—n xn~2 : (n — 1) aAi_n+\ ad : 2 a Ai— 2 x° : a A[—\. Wanneer uu m i -f- n — 1 of m — i -f- n — 1 — q , waarin q eene der waarden 1, 2, . . i -f- n — 1 bezit, dan is liet noodig, om aan (13) te voldoen, dat voldaan worde aan de vergelijkingen die ontstaan zoo men, in bovenstaande rij, de coefficient van xm of a?*+n— l- l)\+P ~v gelijk - • en alle overige 0 gelijk nul stelt. Uit de eerste dezer vergelijkingen volgt dan terstond dat ?; -(- i = 0 moet zijn. Is deze voorwaarde vervuld dan zijn de getallen 7/ -f- i — 1 , 1 1 i — 2 , . . 1/ van nul verscbil- lend. Yerder blijkt dat om aan de overige vergelijkingen te voldoen de waarden van Aq , Ag+n , Aq^ln , • . . • An , A%n , -<43» , . . .. van nul verscbillend, alle overige grootheden A gelijk nul moeten zijn. Is nu q <i i of een veelvoud van n, bijvoorbeeld q = rl n, en houdt men in bet 00g dat de waarde van Ai niet nul mag wezen en dat dus At een der termen van de twee zooeven vermelde reeksen van grootbeden A moet zijn, dan kan men i niet anders stellen dan een veelvoud van n, dus i = rn. Is daarentegen q i en geen veelvoud van n , dus ( 107 ) q = n -f- qx , waarin q j eene der waarden 1, 2, . . n — 1 bezit, dan kan men i niet anders stellen dan t = rw -J“ 9i of i — rn. De eerste onderstelling leidt echter terstond tot eene on- gerijmdheid. Immers als q en dus m — i -j-n — 1 — </^>h — 1 is, zoodat, in de boven voorkomende rij der coefficienten van x'+n~ 1 tot .r°, de n — 1 laatste, zijnde die van xn~^ tot .r°, niet bevatten den eenigen coefficient nl. dien van xm , welke van nul moet verschillen, en deze n — 1 coefficienten dus allen gelijk nul moeten wezen, dan worden ook Ai — n-f-l , Ai. n-\-2 i • • • '<4t— 2 t A /, — 1 of •^(r-ljw+yi+l 5 -4(r-l)n+9i+2 ? • • • -^4 (r-l)«4"7)+»-2 ? n-1 allen gelijk nul gevonden. Let men nu op de waarde van ql dan zal eene dezer laatste coefficienten ziju Arn . Yoor deze coefficient Arn zoude men dus eene waarde nul vinden en dit is in strijd met lietgeen reeds werd opgemerkt, nl. dat, om aan de vergelijkingen te voldoen, A„ , Ä2„ , A s„ . .. dus ook Arn , van nul verschillend moeten zijn. Welke waarde derhalve q heeft (1, 2, .. i n — 1), men kan aan de vergelijkingen niet voldoen tenzij i — rn. Maar ook deze hypotkese leidt tot eene ongerijmdheid, daar zij strijdt met de noodzakelijke voorwaarde q i ■=. 0. Immers in deze vergelijking schrijvende 7] = (1 p) n en i—rn volgt daaruit 1 p -f- r = 0 wat ongerijmd is daar p een breuk voorstelt en r een gekeel getal. Hiermede is dus bewezen dat m ook niet kleiner kan zijn dan i n — 1. Derhalve is eene noodzakelijke voorwaarde om aan de vergelijking (13) te voldoen: m — i n — 1. Indien nu m = i -f- n — 1, volgt uit de vergelijkingen, die de gelijkstelling der coefficienten van de verschillende machten van x en de beide leden van (13) oplevert dat aan deze vergelijking niet voldaan kan worden indien eene der ( 108 ) waarden tj -f- i , i] i — n , i] i — 2 n , . . nul is. Verder kan aan dit stel vergelijkingen niet voldaan worden tenzij : Ai- 1 = A — 2 = • • ■A i — n — 1 II T 8 1 N) II . = Ai—2n-\.\ = 0 1 <S 1 = Ai-2n-2 — • • • — Ai — 1 — ■ 0 De eenige coeffieienten A die dus kunnen blijven bestaan zijn : Ai , A[ — n , Ai — 2 n • • • • Omdat voorts Aa , A^n , . . van nul verschillend moeten zijn om aan de vergelijkingen te kunnen voldoen, blijkt dat men aan i geene andere waarde kan toekennen dan i = r n. Heeft i deze waarde dan merke men nog op dat de waar- den van 7j -j- i i t] 4~ i — n , t] + * — 2 n . . . nimmer *nul kunnen zijn Aan vergelijking (13) kan dus niet voldaan worden tenzij m — i Ar n — 1 en i — rn. Zijn deze voorwaarden voldaan zoo kan steeds en op geene andere wijze, aan (13) voldaan worden dan door bet poly- nomium x{ + A1 xi -j- . . . Ai- 1 = xrn + An x(r~ l)" 4- . . Arn waarin An r n 7] 4~ * — « b i) 4" (r — 1) w b (;• — 1 ) n a A2n — — “ — T . — . A tj 4- (r — 2) n b Ti a Arn — — — • 7 • A(r—l)u 7] 0 _C 1 en ( 109 ) Daar nu het pulynomium gevondeu is dat aan (13) vol- doet, kau men ook de integraal van xm {a b x”)p d x vin- den, indien de voorwaarde m -{- 1 = (r -(- 1) « vervuld is. Deze integraal is toch volgens (11) of -(- b ;r”)1-h/’ (.«.•* -f- x:~ 1 -f . . Ai) — (a -f b xn)1 +P (xrn 4- An + . . Ani). (r/ + rn)b Het onderzoek van (13) leidt dus tot dit besluit : Wanneer in xm (a -j- b xn)P d x de exponenten m n en p vol- doen aan de voorwaarde ^±_ = l + r(r = 0, 1, 2..), (16) n dan is de integraal dezer dijferentiaal algebraisch en ge- lijk aan : 1 «(1 P T) b (« + bxn)x+P \xr ” p -f- r b 1 2 (I - . x' r— lj« -j_ r ar \ + — — ■ x(r~2)n- .+(-l)r. p-\-r- 1 p-\-r b2 /y-J-1 p-\- 2 p-\-r br .(17) Ter opheldering van het voorgaande : het voorbeeld j8 (a -|- b x^)P il x nemende, vindt men dat de integraal de- zer differentiaal zuiver algebraisch is, omdat de voorwaarde (16) voldaan is. De waarde van r hier 2 zijnde, is voorts de integraal, volgens (17): 1 3 (/? -4- 3) b (// -f b #3) 1 +P | a.6 — 2 V + 2 n 1 2 a2 1 b p -j- 1 p \ 2 b2 j Yerder volgt nog uit het voorgaande dit: Wanneer de exponenten aan geene der voorwaarden (14) en (16) voldoen, is I xm (u -|- b x")P d x niet zuiver algebraisch. § 4. Uit de onderzoekingen van Tchebichef ( Journal de Liouville, Annee 1853) is bekend, dat de eenige gevallen waarin xm (a 4 b xn)P d x eene integraal bezit, die door alge- braische en logaritlnnische functien kan worden uitgedrukt zijn die, waarin aan de volgende twee voorwaarden voldaan is : 1 4- rn 4 - P — geheel 1 4" m — geheel. Zondert men hiervan af de gevallen waarin de integraal zuiver algebraisch is, nl. : 14® 4 -p — — 1» — 2,— 3, 14*® = 1, 2, 3, dan houdt inen voor de gevallen waarin de integraal zui- ver logarithmisch of gemengd algebraisch en logarithmisch is over: 1 -I- m + p = 0, l; 2, (18) n 1 4“ m — — = 0, -1,-2, (19) u Onderzoek van de gevallen waarin aan de voorwaarde (18) voldaan en de integraal zuiver logarithmisch is. Wanneer 1 4 m -j- n p — i n (i = 1, 2, 3 . .), kau de in- tegraal door herhaalde toepassing der formule: j xin—np~ \ Rl> d X — x{i-p—\)n //(/' •» — 1) f — : RP+ 1— — / «(*-• )n-np-l Rv du-, . . (20) bin bi J waarin kortheidshalve a 4- b x11 door R is vervangen, herleid worden tot algebraische functien en j x~nP~l RP dx. Daar nu in deze laatste integraal 1 4" m 4 n V — 0 is, zoo is het ( 111 ) duidelijk dat geene zuiver logarithmische integralen kunnen gevonden worden tenzij 1 -j- m -(- w ;; = 0. Omgekeerd, wanneer deze voorwaarde vervuld is, mag men echter niet besluiten dat de integraal zuiver logarithmisch is. f p Schrijl't men toeh p — r -f- — waarin r een geheel getal <1 q een geheel positief getal en p een geheel getal kleiner 1 dan u voorstelt, voorts x — - en b -I- a un = il dan is : u f f(b 4- aun)P / Rp dx = — / - n J IV — b Ontbindt men de breuk in de laatste integraal voorkomende, dan ziet men gemakkelijk in dat genoemde integraal, dus ook jx—"P~l Rp dx zuiver logarithmisch is als: — 2 <qr + p' + q — l<q of 9 + 1 <1 <r+ L en in deze gevallen alleen. Daar nu np = — 1 — m = geheel, zoo kan men q = n nemen, dus blijkt dat alleen wanneer 0 2 n n de integraal zuiver logarithmisch zal wezen. O O r*-l De waarde dezer integr raal f — j— dx (k = 1, 2, . . n — 1) J Rn bepaalt men door, als boven, de veranderlijke t in te voeren. Xi] wordt dan: -I (n—t 1 t“. d t ( 112 ) of ■^l ^U-i \ * — glÄl ^ ’ t — Qf-1 aJ ' 1 waarin Aj = Cy A en ^ een oorspronkelijke wortel van den vergelijking tn — 1 voorstelt terwijl (gi j bi)n-k~l n öl,n~i 1 n A/ rn(; = o, i, 2, Integreert men nu en laat de constante weg dan vindt men : n l>ik I O k o 1 l9 (( ~ £i) (* — gi öi) ■■■(' — gi"-1 Ai) ‘ of terugkeerende tot de oorspronkelijke veranderlijke : 1 1 -R'-o^b, x ,("-!)* I ..(22) Onderzoek can de gefallen waarin aan de voorwaarde (13) voldaan en de integraal zuiver logarithrnisch is. Wanneer 1 j- m — — in (i — 1 , 2, 3 . . .) kan de inte- graal door herhaalde toepassing van de formule : / X-m RP-rl o(p- kl-/) Rpdx — - + i n a - i-o i . , / arl*"1)«- a J 1 Rpdx. .(23) herleid worden tot algebraische functien en J x~ 1 Ri‘ d x. In deze laatste integraal is 1 m — 0, derhalve kun- nen de integralen niet zuiver logarithrnisch zijn tenzij 1 -f~ m =. 0. Is deze voorwaarde vervuld, dan is evemvel niet altijd de integraal zuiver logarithrnisch. ( 113 ) Schrijft men weer, als boven, p — r -j- — , dan is zoo V R = t'i : f q ft<lr+P+<l— 1 / * Rp d x = - I J n I tl — a d t. Deze integralen zullen alleen zuiver logaritkmiscili zijn wanneer : of — 2 < q r + // -f q — 1 < q 7+1 ^P' 1 <r + ~ < ~ 7 7 7 waaruit blijkt dat alleen wanneer p 7—1 7 — 2 1 r + ~=P = — . — - 7 7 7 7 (24) de integraal zuiver logaritlimiscb zal wezen. De waarde dezer integraal f dk aal / ~k = J x Ri = 1 , 2 , . . , $ — 1) be- paalt men door invoering der veranderlijke t. Zij wordt dan : q m-i-t n / M — a d t of 7 fl +o *JV-‘ A1 . Av-1 + 7~ + • • • a\ L — Q u\ Qp~l «l I i d t waarin ax=. \y u, q eene oorspronkelyke wortel van de ver- gelijking tl — 1 en Ai — — — = — Ai — 0. 1, 2, . . , q — 1). 7 7 ai* QkJ (qJ arf -i-* 1 1 Integreert men nu en laat de constante weg, dan vindt men n aiK pi (- - «i> (i- c «i f VERSL. EN MED ED. AED. NATUURK. ?de REEKS. BEEL XVII. ( 114 ) of terugkeerende tot de oorspronkelijke veranderlijke : n a-. — Ig (& a-f ... (25) § 5. De algemeene reductieformules van (a bx»)P dx, ingeval deze integraal uit algebraische en logarithmische o o o o functien of slecbts uit een van beide bestaat, kunnen uit bet voorgaande worden afgeleid. tu — [- 1 le Geval — -(- p = gebeel. 