title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: Mr. Turczaninow dans sa diagnose du genre Leptonychia n'a fait aucune mention des staminodes en question, on peut en conclure, que ces Organes ne lui étaient pas connus alors. Cependant, l'espèce que nous avons étudiée, et qui ne s'éloigne pas du L. glabra (celle du genre, qui a été décrite la première) en présente réellement; de sorte que la phrase diagnostic, proposée par Mrs. Bentham et Hooker, mérite à ce titre d'être nommée plus exacte que celle de Mr. Turczaninow. N'ayant pas eu l'occasion d'étudier des fleurs épanouies du L. glabra, nous n'avons pas pu constater la manière dont s'ouvrent les anthères, chose d'ailleurs plus regrettable, que Mrs. Bentham et Hooker ne s'expliquent pas sur ce point, quoique cependant Mr. Turczaninow écrire des loges longitudinalement dehissantes. Nous aussi, nous avons observé deux solides latéraux, un pour chaque loge anthérale; mais quoique cette observation concorde avec celle de Mr. Turczaninow, l'absence de toute ouverture par où le pollen pourrait s'échapper dans nos.exemplaires, nous empêche de rien affirmer pour ou contre l'exactitude de la description de l'illustre auteur Russe. Enfin, il nous reste à dire quelques mots sur les fruits mûrs, que nous avons eu l’occasion d’observer. Ces fruits (Fig. 7 et 8) de 2 à 4 centimètres en diamètre et tous ouverts d’un seul côté, ne présentaient plus qu’une loge, et en apparence deux valves seulement écartées l’une de l’autre par devant, au contraire réunies pour la plus grande partie par derrière (Fig. 7). La présence d’un court cordon umbilical (Fig. 7 a) sur la ligne de dehiscence, nous fit déterminer cette-ci comme une dehiscence septicide. Vu par le dos, c'est à dire du côté fermé, outre les deux valves mentionnées et plus larges, le fruit portait trois autres beaucoup plus étroites (Fig. 8), soudees entre elles et appliquées à la partie dorsale des deux autres, de manière à cacher totalement la ligne de contact de ces dernières. De tout cela il résulte que le fruit du genre Leptonychia est une capsule (coriace) uniloculaire, septicide, à 5 valves, dont 2 seulement développées normalement et formant à elles seules la loge, et 3 autres plus ou moins avortées et sans contact avec la graine. Ajoutons que nous n’avons jamais rencontré plus d’une graine dans le même fruit; que cette graine (Fig. 10 et 11) était toujours pendante et appliquée à la suture dorsale, c’est-à-dire à celle regardant les valves abnormales; enfin, qu’elle unit en soi les caractères des graines semi-anatropes. Il ne nous paraît pas impossible que l'ovaire de genre cette question ne soit divisé au début en 5 fausses loges séparées par des cloisons imparfaites, comme cela a été observé dans d’autres genres de la même famille. Cependant, nous n'avons pas de certitude à cet égard, nos exemples ne se prêtant pas à cette sorte de recherches. Chez Mr. Turczaninow, l'ovaire est nommé quinquiloculaire et chez Mrs. Bentham et Hooker, triloculaire; aussi les derniers parlent-ils d'un stigmate trifide, tandis que Mr. Turczaninow décrit cet organe corainé simple et indivisible. Nous-mêmes, nous avons rencontré 5 dents au sommet du style (Fig. 6 a), ce qui prouverait en faveur de l'existence de 5 feuilles carpellaires contribuant à la formation du pistil. Nos recherches nous ont conduit aux conclusions suivantes : 1. Dans le genre Leptonychia, l'estivation du calice est une estivation valvaire (redupliée), celle de la corolle au contraire une estivation indupliquée; 2. Comme Font a démontré, Mrs. Bentham et Hooker, il y a en réalité deux sortes de staminodes dans les fleurs du même genre, savoir : des staminodes lineaires, longs, extrastaminaux et opposés aux pétales, simulant des fils prolongés en conduit, et d'autres, beaucoup plus petits, s'écartant de la forme linéaire, et alternant avec les phalanges d'étamines fertiles; 3. Le stigmate dans le même genre se présente avec 5 dents, d'où on peut déduire que le pistil sera vraisemblablement composé de 5 feuilles carpellaires; conclusion que l'inspection des fruits confirme pleinement. 40. Le fruit de Leptonychia s'écarte véritablement de celui de Tilia, et doit être rangé parmi les fruits uniloculaires à 5 valves, à dehiscence septicide; 50. La graine du même genre est une graine pendante semi-anatrope; 60. La place que désormais devra occuper le genre Leptonychia dans l'ordre des Tiliacées, ne sera plus à côte de Tilia. À notre avis, ce sera parmi les Heteroptèles qu'il faudra l'instruire, entre la tribu des Sclanthes et celle des Elaeocarpées, où, à côte des genres Dubouzetia et Tricuspis, il pourrait peut-être former une tribu particulière. Nous terminons en donnant la description détaillée du Leptonychia glabra, d'après les exemplaires recueillis par Junghuhn dans une de Sumatra et déposés dans l'Herede du Jardin botanique de Leiden. Ces exemplaires, ayant été insérés provisoirement dans le portefeuille des Violariès et n'ayant pas été examinés ultérieurement, je les trouvais indéterminés parmi les espèces du genre Alsodeia. Le Leptonychia glabra manque dans l'enumeration des plantes de Sumatra, donnée par Mr. Miquel dans sa Flore de cette île, et semble pouvoir être admis parmi les espèces connues comme acquisition nouvelle. Leptonychia glabra turcz. Arbor. Ramuli novelli cum ramulis hirtellis. Rami glabri, teretes, vigrofusci, fibrarum corticalium decursum optime moustrantes, lineis nemphe elevatis undulatim decurrentibus, in distantiis aequilongis confluentibus, tum iterum divergentibus et impressionibus lenticulturalis separatis, notati, ad petiolorum insertionem et stipularum lapsu anguste cicatrisati. Folia alterna, petiolata, primitus stipulata. Petiolus hirtellus, 0.006 — 0.008 m. longus, infra teres, supra superficialiter cavicaliculatus. Lamina elliptico-oblonga, antice nonnumquam dilatata, basi subattenuata, apice p. m. abrupte longe et acute acuminata, integerrima, pagina superiore glabra (in seco) fusco-viridi, opaca, inferiore pilis stellatis minutissimis sparsis tecta, in vegetalibus axillis rufo-barbata, pallidiore, lucidior — cum acume (0.0015 — 0.00015) ad 0.18 longa, 0.075 lata, pellicula. Nervi primarii utrinque vulgo 8, plurimum alternantes, 2 infimi tantum serie oppositi et ex apice petiolus progredientes, omnes in pagina inferiore prominentes, patuli, versus marginem arcuato-confluens; nervi secondarii p. in. paralleli. Stipulae valde caducae, lanceolato-acuminatae, rufo-hirtellae. Flores pedunculati, in foliorum axillis solitarii vel in cumulas breves dichotomas congesti, bracteolati, cum pedicellorum parte tertia superiore articulatim secedentes. Bracteae in quovis pedicello duae oppositae, lanceolatae, stellato-puberae, infra articulationem insertae. Calyx inferus, aequalis, praefloratione reduplicatus, sepalis 5 ellipticis, brevi obtusiusculis acuminatis, extus stellato-puberis. Petala 5 hypogyna, brevia, tenera, cum sepalis alternantia, aequalia, in alabastro profunde induplicata, marginibus antice convectibus cuculliformia, dorso floccoso-pilosa, ore in cilias minimas tenerissimas dissecta, basi valde contracta, singula stamina fertilia 2, sterilia 3 involventia. Staminula sterilia in quoque flore 15, per tria petalis opposita, ipsis petalis longiora, linearia vel lineis-subulata, basi inter se et cum staminibus fertilibus cohaerentia, glabra. Staminia fertilia 10 hypogyna, per paria petalis opposita, staminibus sterilibus primo aequilonga, postea his longiora; filamenta externe basi cum staminibus sterilibus cohaerentia, p. m. complanata, in alabastro antheris aequilonga; antherae oblongae, quadrangulares, basifixae, inaequilaterae, biloculares, sulcis duabus lateralibus longitudinale exaratae. Stamina 5 squamaeformia, parva, cum petalis staminibus alternantia, tenerrima, apice in cilias longas 2 vel 3 desinentia. Pistillum unicum superum. Ovarium sessile, primitus 5-loculare (?), villosum. Stylus brevis, conicus, glaber; Stigma 5-dentatum. Capsula magnitudine cerasi minoris, coriacea, basi nuda, subsphaerica, pedicello nudo 0.01 — 0.012“. longo, sulculta, superficie papillato rugosa, 1-locularis, primitus 2-valvis (valvis semel 3 imperfectis perfectis 2 extus arcte applicatis) uno latere septicide dehiscens. Semen unicum (an semper ?), pendulum, ad 0.01^“. longum, valvularum marginibus posterioribus non solutis affixum, ellipticum, laeve, glabratum, testa sub-nigricante sublucidus, hilo ab extremitatibus seminis remoto, raphis distincta, ideoque seminans anatropa. Hab. Sumatra in montium neraorosis ad altitud. 1 -3000'. Leg. JUNGHUHN (Herb. Horti Lugduno-Batavi). Explication des figures. A. Petit raraeau avec deux feuilles adultes vues de der- riere. B. Eameau fleuri. C. Eameau a deux fruits dans l’aisselle d’une feuille. 1. Bouton de fleur. — 2. Petale vu de derriere. — 3, Le meme vu de cote. — 4. Le meme, eucore plus grossi, avec ses 3 etamines steriles (a.a.) et ses 2 etamines fertiles. St. staminodes situes eii avant des phalanges d’etamines et alteruant avec eiles. — 5. Etamine fertile ä part en cohe- rence avec 3 etamines steriles. — 6. Pistil (a. stigmate 5-deutele). — 7. Capsule vue par devant (a. cordon om- bilical). — 8. La meine vue de cötA — 9. Staminode. — 10. Graine vue de cote. — 11. La meme vue en face (a. hile, b. rhaphe). «)nv MKUKl). n Al'U NA'nM'RK DKIU. 1. B IJ D R A G E TOT HET VORIMEN DER VERGELIJKINGEN WELKER WORTELS DE ZIJDEN EN DIAGONALEN DER REGELMATIGE VEELHOEKEN DOEN KENNEN. DOOK B. L O B A T T O. 1. Ons geacht raedelid Prof. c. h. d. buys ballot beeft in bet XVle deel (blz. 294) der Verslagen en Meledee- Hngen een belangrijken arbeid geleverd, ten opschrift heb- bende Over het vormen van de vergelijkingen tusschen de zijde en de diagonalen van eenen regelmatigen n-1ioek, en liare eigenschappen ; een onderwerp door bein reeds vroeger, doch op eene minder algemeene wijze bebandeld in een uitvoerig stuk, voorkomende in het 40® deel van het Ar- chief van geuneet. Ik heb mij voorgesteld hier een andere oplossingswijze van dat probleem aan te bieden. Zij is rechtsomweg gegrond op de theorie der gonioomterische functies, de enige weg welke, mijns inziens, behoort in te slaan om tot algemene uitkomsten te geraken, en tevens enige eigenschappen der vergelijkingen te kunnen ontdekken. Door hier van de betrekking tussen de koorde van de eenkelen en die van de dubbelen boog gebruik te maken. VERVALT men noodzakelijk tot vergelijkingen van zeer hoge magten, zoo als zulks den heer Buijs Balout in zijn eerste in gemeld tijdschrift geleverde oplossing ten volle gebleken is. Ook zuiver wiskundige beschouwingen op de eigenschappen van betrapezium of van de ingeschreven vierhoek volgens het theorema van Stoekjesus gegrond, leiden gemakkelijk tot betoogde doel. Genoemde wiskundige bestraffing zich dus later, door hierbij de theorie der gonioomterische functies te hulp te roepen, te recht buiten het gebied der elementaire wiskunde te begeven. Mijn oplossing onderscheidt zich van die later voorgedragen onder anderen hierin, dat de door mij verkregen compleete vergelijkingen, waaruit de zijde en de diagonalen van den n-boek kunnen berekend worden, tot geen boeken - 1 n . Gerechtigheid, tot de opperheerschappij op te klimmen, naar dat voorbeeld, even of oneven is, lenvijl die van de Heer buys bal tot de dubbele macht opklimmen, betekent hieruit ontstaat, dat mijne vergelijkingen eniglijk betrekking hebben op de zijde en de in groote werkelijk van elkander onderscheiden. De andere, zoo even bedoelde vergelijkingen kunnen, daar zij slechts de even magten van de wortel bevat, wel is waar, insgelijks tot die lagere macht terug gebracht worden; doch de zijde en elke der diagonalen kunnen daaruit twee malen voor, voor de eenheid als positieve en voor de andere helft als negatieve wortel van de vergelijking. Ik kan intussen niet ontwijken, dat het mij voor als nog niet duidelijk voorkomt, waarom diagonalen, die ondersteld worden alle uit hetzelfde hoekpunt des veelhoek getrokken te zijn, gedeeltelijk als positief en gedeeltelijk als negatief zoude behoren in rekening gebracht te worden. Ik zal in de eerste plaats een handelwijze verklaren, waardoor de complete vergelijking voor den rechten hoek, met behulp der reeds bekende voor den n - 2 hoek gezuiverd kan worden, en vervolgens een algemene formule doen kennen, welke de vergelijking voor elken veelhoek van n zijden, regtstreeks oplevert, en waarbij tevens de gelegenheid zal ontstaan eenige bijzonderheden betrekkelijk de volledigheid van deze vergelijkingen in het licht te stellen. Noemen wij den boog of den middelpuntshoek voor den 71-hoek, zodat de zijde des veelhoeks heeft tot waarde 2. Hing. en aangezien voor alle waarden van n, de diagonaal of koorde welke den boog 2(n - 1)a bespannt, wederom in lengte overeenkomt met de zijde zelf des veelhoeks, zo volgt hieruit de vergelijking, welke den grondslag van ons onderzoek uittrekt, namelijk Sin. (n - 1) cos n a ( 1 ). Om deze op te lossen passen wij hier een der bekende algemene formules toe, waardoor de Sinus van het veelvoud van een boog wordt uitgedrukt, te weten Sin. na = Sin.a 1 2"- 1 Cos.'- a - (n - 2) 2"- 3 Cos.'- a - (n - 3) 2"- 4 Cos.'- a - (n - 4) 2"- 5 Cos.'- a - etc 1.2 (n - 4) (n - 5) (n - 6) 1.2.3 7 Cos.'- a - etc. De schrijver zegt te deze aanzien: Buiten deze positieve wortels kunnen dezelfde waarden nog eens als negatieve wortels voorkomen, om dit men met evenveel recht links als rechts kan teilen. Het zij mij echter geoorloofd hierom te merken, dat uit die verschillende wijze van teilen, de negatieve toestand van enige der diagonalen bezwaarlijk te verklaren is, mits hierbij geen overgang door nul noch door het oneindige plaats vindt. In de wet volgens welke de coefficienten gevormd worden, in het oog loopt. Vervangt men hierin n door n - 1, en stelt men tevens voor bekorting 2 Cos. a - a, dan volgt uit vergelijking (1), na deeling door den factor Sin.a, (n - 3) - (n - 4) fn - 5) (n - 5) (n - 6) (n - 7) 1.2 (n - 5) (n - 6) (n - 7) -j- 6 = 1 ... (2) De gevallen waarin n of het aantal zijden oneven of even is, vereischen, zoals blijken zal, een afzonderlijke behandeling. Beschouwen wij dan eerstelijk het geval van n oneven. De voorgaande vergelijking klimt tot de onevene macht n - 2. Intussen zullen er van de n - 3 diagonalen, die uit hetzelfde hoekpunt kunnen getrokken worden, slechts 2 werkelijk in grootte van elkaar onderscheiden zijn, waarvan men zieh gemakkelijk overtuigen kan door op te merken, dat de diagonaal, welke het p-voud van den boog 2 a bespaat, in grootte niet verschilt van die, welke het ({n - p)-voud van die boog bespaat. Om dus een complete vergelijking te verkrijgen, welke waarheid alleen op de zijde n - 3 en de van elkaar onderscheiden diagonalen betrekking hebben, zal zoodanige vergelijking slechts tot de macht n - 3 n - 1. 1 -j- of moeten opklimmen. Wij zullen in de navolgende voorbeelden doen zien, hoe men uit de verg. (2) de factor kan afzonderen, welke tot geen hogere dan n - 1 macht opklimt. (37) 4. Zij n = 8, dan geeft de algemene vergelijking (2) in dit geval 0! = 1 of a = −1, zoals te verwachten was, dewijl in den driehoek geen diagonalen voorhanden zijn. Voor w = 5, komt er, in gevolge vergelijking (2), a^ − 2 a − 1 = 0. Nu volgt uit de grondvergelijking Sin. a, dat hieraan door twee verschillende stelsels waarden van a kan worden voldaan, afgeleid uit de vergelijkingen 4 a = (2 A − 1) π − a en 4 a = 2 A π − a, gevende respectievelijk a = 1 en A = 1, stelt men n 3 2 a = −1, en a = 0, a = −1. Grootere waarden van k zullen blijkbaar voor Cos. a of voor X geen van de voorgaande verschillende waarden kunnen opleveren. Behalve die zullen de waarden van a = 0, of a = eenig veelvoud van π buiten acht moeten blijven, uithoofde van de factor Sin. a verdreven is bij het opmaken der algemene vergelijking (2). Van de drie overig blijvende waarden van a zullen slechts de twee eerste op den vijfhoek betrekking hebben, terwijl de derde den vreemdeling factor x−1 oplevert. Men vindt dus de vergelijking voor den vijfhoek, wanneer men de vergelijking (3) door deze factor a; 4 − 1 deelt, waaruit voortvloeit de vergelijking v- − X − 1 = 0, (4) geven twee verschillende waarden voor x of voor Cos. a, welke dienen kunnen om daaruit die van Cos. a of van de zijde en van den diagonaal des vijfhoeks te berekenen. Zij n = 7, dan komt er voor den zevenhoek de vergelijking x^ - 4 A' -f- o jr - l = 0 (5) De beide stelseisen waarden van x, welke aan de vergelijking voldoen, en zich uit de formulieren afleiden, bepalen zich tot de navolgende TT 3tI 5 71 2 71 Nu merkt men op, dat de beide laatsten juist de Supplémenten zijn van de twee hiervoren reeds gevonden waarden voor den vijfhoek, dan is het duidelijk dat tot verkrijging van den hieruit voortvloeijenden vrije factor, niets anders te doen is dan in de functie op den vijfhok te toepassen, x te vervangen door -x. Deelende mitsdien de verg. (5) door den factor a:-f- o; + 1, bekomt men de navolgende jr 3 - ^2 - 2 A' 1 = 0. welker drie wortels de ziffen en de beide van elkander onderscheiden diagonalen des zevenhoeks zullen doen bepalen worden. (39) Zij 71—9, de verg. (2) geeft alsdan voor den negenhoek Sin. 8 a = Sin. a Uit de vergelijking volgt Sin. 8 a = Sin. a welke deze beide stelseisen waarden opleveren. Nu zijn deze laatste waarden Vederom de Supplementen van die, welke hiervoren voor den zevenhoek gevonden zijn. De vreemde factor in vergelijken zal dus voorgesteld worden door X—1, zoo als uit de voor den zevenhoek reeds verkregen uitkomst is af te leiden. De deel waarbij die factor geeft, alzoo voor den negenhoek, zal 4 g 2 X 1 = 0. Deze complete vergelijking heeft echter nog een andere factor X—1, en wel uit hoofde de tweede waarde aan n n a = — = - tevens tot den driehoek behoorende, is 9 3 ° X — 1, als een der waarde der voorgaande vergelijking. Men kan dus die vergelijking ook aldus schrijven: x^ - x^ - 3 - 2 - 1 + (r - 1) - (x - 1) = 0, waarin de tweede factor alleen de zijde en twee van elkander onderscheiden diagonalen des negenhoeks zal doen kennen, terwijl de derde diagonaal, zoo als te verwachten was, met de zijde des driehoeks overeenstemt. Zij a = 11, dan komt er voor den elfhoek J.9 + 21^5— 20a;^ + 5a;— 1 = 0 (7) Voor de negen waarden van a, welke aan de vergelijking Sin. 1 0 a = Sin. a behoren te voldoen, vindt men gemakkelijk 71 3n: 52 7n: 71 11 '. 1 waarvan de laatste de Supplementen zijn, te weten die welke op den negen hoek betrekking hebben. Door verandering van x in — X, vindt men, ingevolge de voorgaande uitkomst, voor den vreemden factor x^ - x^ - 3 a;^ - 2 a; - 1 en dus door deling, voor de complete vergelijking betrekkelijk den elfhoek, x^ - a;'^ - 4a;^ -3a;^ -3a; - 1 = 0. Zij n = 13, dan geeft onze algemene vergelijking a,i 1 _ 10a;9 -|- 36a; — 56 -f 35 a;^ — 6x — 1 = ü. (8) De vergelijking Sin.\2a — Sin.a levert de 11 verschillende waarden a = — , 13’ 2 71 4 71 6  die, welke, ingevolge het hiervoren gevulde op den elfhoek (41) betrekking hebben. Zij geven diensvolgens den vreemden factor ic® — 3 -}-3a;-}- 1; waaruit na deeling der voorgaande vergelijking door den factor, voor den dertienhoek voortvloeit de complete vergelijking X® — — 5 -}- 4 3 — 3x — 1 — 0. Voor n = 15, komt er op gelijke wijze X®— 120; 4-550!®— J 200!®4-126a!®— 56a:®4-70!— 1=0 . (9) Uit de vergelijking Sin. 14 a — Sin,a, volgen de dertien waarden 7t 3 71 5 71 13 71 15 271 4 71 6 71 13 13 13 13 waarvan de zes laatste de Supplementen zijnde van die, welke op den 13-hoek betrekking hebben, aanleiding geven tot den vreemden factor a® -|- — 40!® -|- 60!® -|- — 1. Onder de zeven eerste waarden bevinden zich echter ook - 3 7T 3 71 . En = -, waarvan de eerste tot den driehoek, en de beide overige tot den vijfhoek behoren. De vergelijking, zal dus daarenboven deelbaar moeten zijn door het product (x-1)(x^2 - 4)(x-1), waaruit dan voor den 15-hoek voortvloeit de incomplete vergelijking X^2 x^2 - 4 = 0, welke eeniglijk de zijde en de drie van elkander verschillende diagonalen, die niet tevens tot den driehoek en den vijfhoek behoren, zal doen kennen, zodat de complete vergelijking deze zal zijn (x-1)(x^2 - 4) = 0, welke, zoals behoort, tot de 7e macht opklimt. 5. Op gelijke wijze voortgaand, zal men door toepassing van dezelfde methode steeds in staat zijn de complete vergelijking voor den n-hoek af te leiden uit de reeds bekende voor den n - 2-hoek. De algemene vergelijking, zal altijd ontbindbaar zijn in twee factoren respectievelijk van de macht en, waarvan de eerste gevonden wordt door in de vergelijking voor den n - 2-hoek, x in te veranderen, uit hoofde van er onder het aantal n - 2 waarden van, welke aan de grondvergelijking Sin (n - 1) a = Sin « voldoen, zich steeds een aantal van zal bevinden, welke de Supplementen zijnde van die, welke op den n - 2-hoek betrekking hebben, den vreemden factor opleveren. Na dus de algemene vergelijking van den n - 2-grad door die factor te hebben gedeeld, verkrijgt men de complete vergelijking van den n - 1-grad voor den n-hoek. Deze laatste zal echter, zodra in een samengesteld getal is, op nieuw in een of meer factoren van lageren graad gekomen ontbonden worden, zodanig als zulks bij den 9-hoek en den 15-hoek gebleken is het geval te zijn. 6. Na de voorgaande afleidings-methode verklaard te hebben, gaan wij thans over een algemene methode te doen kennen, welke rechtstreeks voor elk aantal hoeken de vergelijking oplevert, tot waarheidshebbende de zijde zelf en alle de diagonalen des veelhoeks. Ten dien einde nemen wij tot grondslag de vergelijking, welke voor een willekeurig aantal zijden geldt, te weten 2n a=0, of ook Sin na=0, . . (10) waarin 2n steeds den boog aanduidt, door de zijde des veelhoeks bespannen. Stellen wij a en b, dan is Sin, na - Sin na= - b= ± Cos, na naar dat n van vorm 4p -1 of -1 is. Nu heeft men voor den Cosinus van het veelvoud eens boogs, de algemene formule Cos. na - Cos a - b = n. 2n-3 Cos a- b - n(n- 3) n.(n-4) (n-5) - -2n-5 Cos a- b = 2n-7 Cos a- b + etc.(|?) Zij y de zijde des veelhoeks, dan is 2Sin a = 2Cos b = y. Door nu de voorgaande uitdrukking, naar aanleiding van verg. (10), gelijk nul te stellen, bekomt men (y-3) (n-4)(n-5) 1 y = 2n-3 elc. j =0, . (11) waarin de factor y kan achterwege gelaten worden, als gevende een wortel = 0, welke niet in aanmerking komt. Stellende thans in die vergelijking achtervolgens n = 3, 5, 7, 9 enz., dan ontstaan hieruit de navolgende vergelijkingen : Voor den 3-hoek, 37° - 3 = 0. n n 5 n y3 - 5 y3 = 5 = 0. /, 7 // ^6 _7^4 _j_ 14,^2 _7 ^ 0. n " 9 // — 9y® — 27^* — 30y*-|-9 — 0, of wel (y® — "l“ ^ — 3) — 0, uit hoofde twee der diagonalen met de zijden des driehoeks overeenkomen. ( 44 ) Voor de 11 hoek, ?/‘® — i-4‘y^—77y*-{-55y^ — \l = 0. // /» 1 3 n » // 1 5 u of wel // // 1 7 // 2 _13yio_|_65^8_i56y6 ^182^* — 91 ^2 + 13 = 0. 4_15y J 2 + 90?yi o_275y8_^450^e — 378 I/* +140^2 — 15 = 0, 0/® — 7y® + 14>y* — 8j/2 |_ i;, (yi _ 5^2 5) (y2 _ 3) =3, 0, de wijl de diagonalen gedeeltelijk overeenkomen met de zijden en diagonalen van de vijfhoek en de driehoek. y'«-17^>« + 119^' 2-442y'« + 935i/8 — 11223/8 -1- 714^^—2 043/2 -f 17=0. Alle deze vergelijkingen stemmen volkomen overeen met die, welke door den Heer buys ballot längs een andere weg verkregen zijn. Zij klimmen alle tot een evenwicht, en hebben evenveel positieve als negatieve worteis, welke in getallenwaarden met elkander overeenkomen, en aan- n — 1 zien men voor elk veelhoek slechts van elkander 2 verschillende grootheden te bepalen heeft, schijnt de negatieve worteis hier geen meetkunstige betekenis te hebben, even als zulks reeds hiervoren (no. I) door ons is opgemerkt. In de vergelijkingen waartoe wij volgens onze eerste methode geraakt zijn, en waarvan de wortel x = 2 Cos. a is, kon.en insgelijks negatieve worteis voor; doch de waarden van a behooren steeds tot boogen tt, zoodat hieruit voor de diagonalen, die door 2 Sin.a uitgedrukt worden, steeds positieve uitkomsten afgeleid worden. 7. Blijkens het gestelde in n°. 6, laat zieh de koorde des boogs 2na uitdrukken door ± 2 Cos. nß. Hieruit volgt, dat indien men de voorste leden der aldaar gevonden vergelijken voor de verschillende veelhoeken, met -3/2 vermenigvuldigt, naar dat n van den vorm 4 / -1 of 4 p — 1 is, die producten alsdan de waarden kennen der koorden van elk oneven veelvoud des boogs 2 a, in functie van de koorde y des enkelen boogs. 8. De Heer Büys Ballot had reeds in zijn eerste arbeid de opmerking gemaakt, dat in de vergelijkingen voor den zeven- en den elfhoek de coefficienten, met uitzondering van den eersten die steeds de eenheid is, juist door de getallen 7 en 11 deelbaar zijn. Onze algemene vergelijking toont terstond aan, dat die eigenschap zieh niet bij deze twee veelhoeken bepaald, maar tevens plaats vindt bij die van 5, 13, 17, 19 zijden enz., en in het algemeen bij alle die, waarvan het oneven aantal zijden n de eigenschap heeft, dat de breuken n - 3 (n - 4) (n - 5) enz. geheele getallen opleveren. Hij heeft daarenboven juist opgemerkt, zou der evenwel het betoog daarvan te leveren, dat enkele deze vergelijkingen, met terzijdestelling van den eersten term, deelbaar zijn door y^ − 1. Ook deze eigenschap laat zich uit onze algemene vergelijking gemakkelijk afleiden. Ten dien einde schrijf men die vergelijking onder de vorm : 2.3 ^ 2.3.4 ^ Stellende thans β = - of y = 2 Cos. β = 1, dan wordt 3 nn hefvoorste lid = 2 Cos. - − 1. Derhalve, zodra zt van den vorm 6 p − 1 of 6 p 1 is, heeft men Cos. nn 3 1 en dus 2 Cos. — 3 — 1; waaruit volgt dat het tweede lid der voorgaande algemene vergelijking nul wordt voor /y2 ~ eil « dus tot factor heeft ß − 1. Die algemene eigenschap zal alzoo gelden voor den veelhoek van 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 zodanig zijden, en dus niet uitsluitend voor veelhoeken, welker aantal zijden een deelbaar is, en welke door genoemden wiskundige met den naam van priemgetallen bestandvold worden. Men kan ook regelstreeks een algemene complete vergelijking in x voor den veelhoek van een oneven aantal zijden n bekomen, welker waarde de n − 1 2 waarden van Cos. a opleveren, en waaruit vervolgens de zijde en de van elkander verschillende waarden 2 Sin. a der diagonalen kunnen worden berekend. Zie hier de methode welke daartoe leidt. Uit de grondvergelijking, volgt of wel Sin.(n − 1) a = Sin. a Sin. (n − 1) a − Sin. a = 0 (n − 2) ^ na Sin. a. Cos. a = 0. Elk van deze factoren, twee uit de volgende stammen, 2 TT gelijk null stellende, zelfs waarden voor «, 47T 6 7T n — 2 n — 2 3 71 5 TT n n verkrijgt men de te weten : (n — 3) TT n — 2 (n — 2) TT n Zie het aangehaalde tijdschrift pagina 158. De eerste tien getallen van { 47 ) — 3 2 zijn de Supplementen van die, welke tot den vreemden hoek van 1 — 2 zijden betrekking hebben, eindelijk leveren dus den vreemden factor op. Daarentegen zullen de laatste tien getallen van — een gelijk op den vreemden hoek toepasselijk zijn. Maken wij hier weer gebruik van de algemene formule {ß), welke ons reeds bij het vorige onderzoek ge- had heeft, en stellende kortom 2 Cos. — = z, dan 2 bekomen wij in de plaats van de vergelijking n Cos. — = 0, na weglating van den factor 2, («—3) — 3 «L yj* 5, 2 (n— 4)(?<— 5) „ ■71 ± n=;0 .112) 2.3 ^ ' Om hieruit de verhouding in x af te leiden, merkt men op, dat uit de betrekking 2 Cos. a = i Cos.^ — a — 2 voortvloeit X =: 2 En aangezien de exponent n — 1 een even getal is, zal men na 2'^ = z' gesteld te hebben, de wortel van deze vergelijking in 2' slechts met 2 hebben te verminderen om n — 1 die van de macht in x te verkrijgen. Deze bewerking kan, zoals bekend is, op een gemakkelijke wijze verricht worden met behulp van den algorithmus van HOENER. Wij hebben deze algorithmus verklaard in onze Lesse over de hooger Algebra, 2e druk. 1862. § 26. Wij zullen het een en ander door een enkel voorbeeld nader toelichten. Stellen wij ons voor de vergelijking in X voor de 13-hoek te vormen. De vergelijking (12) geeft dan e'2— 132'5-j-65'2— 156'2 + 1822' + 13 = 0. 1 -13 -|_ 65 -156 + 182 -91 +13 2 -22 + 86 -140 +84 -14 2 -18 + 50 - 40 +4 — 9 + 25 - 20 + 2 -3 2 -14 + 22 + 4 — 7 + 11 + 2 + 6 2 -10 + 2 — 5 + 2 2—6 — 3 - 5 — 1 Men bekomt aldus voor de vergelijking in y — 5 a2 + 4 a2 + 6 a2 -3 a + -1=0 zijnde dezelfde als de reeds gevondene in n°. 4. Men zal gemakkelijk inzien, dat de vergelijkingen in y ook rechtstreeks uit die in x kunnen worden afgeleid door de woorden deze laatste niet 2 te vermeerderen, en vervolgens r2 voor o2 + 2 te schrijven. Behalve doen wij thans het geval van n even en passen wij in de eerste plaats de afleidingsmethode toe, waarvan wij ons reeds in n°. 4 voor het geval van n oneven hebben bediend. Hieromtrent valt echter het naar volgende aan te merken. Aangezien we x^2, x^3 en x^4 voor de 13-hoek kiezen, zullen 3x^6 en 5x^12 ook wortel 13 hebben. Daarmee is de term o2 - 3 a + 1 afgeleid. De rest is herhaling. Uit de grondvergelijking Sin. (n — 1 ) a = Sin. a ( 49 ) volgen voor de n — 2 waarden vau a, 7T 3 TT 5 n (n — 1) • • • • n n n n 2 TT 4 71 6 7T (n — 4) w— 2 ’ n — 2 ’ n — 2 ■ n — 2 De laatste, ten setale vau 2, zullen als belioorende ö 2 tot den veelhoek van n — 2 zijden, den vreemden factor n van de magt - — 2 opleveren. n De eerste ten getale van — zullen twee aan twee elkan- • • • ders Supplementen zijn, waaronder zieh steeds eene = - zal bevinden, Indien n van den vorm 4p ± 2 is. Die M'aarden van a zullen echter eeniglijk betrekking hebben op de zijde en op de diagonalen, welke een oneven veel- voud des boogs bespannen, en tevens de middellijn bevatten n voor a = — , welke waarde alsdan den wortel x — 0 op- levert. De diagonalen, die evene veelvouden des boogs be- n spannen, zullen uit de vergelijking voor den - hoek af te 2 leiden zijn. Voor n = 4, geeft de algemeene vergeh (2) — 1=1 of x'^ — 2 = 0. De twee gelijke doch in teeken verschillende worteis dezer vergelijking, welke met a = - en zijn Supplement — 4 4 VBnSL. KN MEDED. AFD. NATUCRK. 2<le REBK8. DEEL I. 4 ( 50 ) overeenkomen, doen eeniglijk de zijde des vierhoeks kennen. Voor w — 6, heeft men de vergelijking — 3 a:- -}■ 1 = 1 of (a;^ — 3) — 0. De hiervoor behorende vier waarden van de zijde des zeshoekse en die diagonaal, welke tevens middellijn is, kunnen bepaald worden. Zij geven respectievelijk de zijde des zeshoekse en die diagonaal, welke tevens middellijn is, te kennen. Zij n = 8, dan krijgt men de vergelijking, waarin de zes waarden voor a zijn: 3, 5, 7, 8, 8, 8. De beide laatste, tot den driehoek behorende, geven den vreemden factor a^ - 1. Men heeft alzoo voor den achthoek de vergelijking waarin de tweede factor op de zijde en den diagonaal van den drievoudigen boog betrekking heeft. Voor n = 10, komt de vergelijking of a^2(a^ - 7a^ + 15 a^ - 10) = 0. De acht waarden van de zijde hier zijn: 5, 7, 9, 10, 10, 3, 4. Van de drie laatste behoorlijk twee tot den vierhoek, waaruit de vreemde factor - 2 ontstaat. De twee waarden hebben betrekking op den dubbelen wortel x = 0. Na delend door denzen laatsten factor, vindt men de vergelijking waaruit de zijde en de diagonaal van den drievoudigen boog kunnen bepaald worden. Voor n = 12, vindt men de vergelijking — 35a; 4- 15 a:^ — 2 = 0, waaraan voldaan wordt door x = 7, y = 3, z = 5, w = 7, u = 9, v = 11, s = 12. De vergelijking voor de vijfhoek, en voor de andere helft van de hoeken. Zij zullen dus, ingevolge het reeds vroeger gevonden voor de veelhoek, aanleiding geven tot de twee factoren x^ - x - 1, a;^ a; 1. Onder de zes eerste kernen, twee voor, te weten — en — welke als tot den vierhoek behorende, den factor — 2 opleveren. Na deeling door deze drie factoren, komt er voor de vergelijking betrekkelijk den 12-hoek X* — 4a;^ - 1 = 0, welker werthuis de zijde en den diagonaal van het vijfvoud des boogs zullen doen kennen. Zij nog n = 1 4<, dan komt er of [x' 11 a;8+45a;^— 84.j;^+70a;^— 21) = 0. De 12 waarden van zijn 71, 7, 9, 11,  laatste behoort de eerste en de vijfde tot den zeshoek; de tweede en de vierde tot den driehoek; de twee gelijke waarden, a geven x = 0. Men heeft dus de twee vereiste factoren x^ — 3 en x"^ — 1, waaruit, na deling, voor den 14-hoek ontstaat de vergelijking x^ — 7x^ + 1427 = 0, welker wortels de zijde en twee diagonalen des veelhoeks doen kennen. 12. Even als in nr. 9 zou men ook hier gebruik kunnen maken van de vergelijking ongeacht voor elke waarde van n rechtstreeks een vergelijking te verkrijgen, welke reeds van elken vreemden factor bevrijd is. Naderhand wijzen wij tot voorbeeld het geval van n=10, dan geeft de vefg. (ß) 50, 8, 3526 en met toepassing van den algorithmus van Horner, 1 _10 -+ 35 -+ 50 -+ 25 =2 onthult zich 2, 16, 38, 24, -2, -8, -19, -12, -1, 0, 2, -12, -14, -4, -6, 4, 2, -8, -2, 4, -2, 2, 0, + 2, -4, -2, 2, 4, -5, + 1, 0. Derhalve wordt de vergelijking voor den tienhoek, x^2 — 5x + 5 = 0 hetgeen met het hiervoren gevonden overeenkomt. 13. Passend wijzen wij de methode toe op het vormen der algemene vergelijking, welker n=2 wortels rechtstreeks de zijde en alle de diagonalen des veelhoeks opleveren. Tot die einden nemen wij wederom tot grondslag de vergelijking Sin n = 0. Stellen wij ook hier aan, waaruit volgt Sin. n ß = ± Sin. ß naar dat oneven of even is. Ingevolge de algemene vergelijking, heeft men, 2 Cos. ß - 2 Sin. a - y stellende, Sin. n a Sin. 71 f— NO { 54 ) 1 - (n - 2) - j- (n - 3) (n - 4) 1.2 n - 5. (n - 4) (n - 5) (n - 6) 1.2.3 etc. = 0 . . (13) Daar n even is, zal die vergelijking door y deelbaar zijn. Na afweging van den factor, heeft men voor de complete vergelijking van den n-hoek yn-2 _ _ 2) ^ ^ '-yn-B _ (n - 4) (n - 5) (n - 6) 1.2.3 -}- etc. = 0 . . (14) Zij n = 4, dan komt er voor den vierhoek — 2 = 0. Zij n = 6, de vergelijking (14) geeft dan J/^ - 4,/^ + 3 = 0, en aangezien twee der diagonalen tot den driehoek behoren, zal zij eenen factor - 3 hebben, en dus kunnen voorgesteld worden door (y^-3) (y^-1) = o. Voor n = 8, heeft men j/® - 6,/^ - 10,/^ - 4 = 0. Twee diagonalen behoren tot den vierhoek. De vergelijking kan derhalve vervangen worden door — +2) = 0. Voor n = 10, vindt men — 8,® - 21, - 20,/^ - 5 = 0. Van de zeven diagonalen behoren vier tot den vijfhoek, waarvoor de factor 5,® +5 betrekking heeft, zoodat de voorgaande vergelijking aldus kan geschreven worden {//^ - 5,® + 1) - 0. Voor n = 12, komt de vergelijking 0 _ 1 o_y8 3,ß^6 _ 50,^4 35,^^ _ 6 ,^0. De diagonalen behooren gedeeltelijk tot den zeshoek en gedeeltelijk tot den vierhoek. Die vergelijking heeft alzoo tot factoren — 3) en y'^ — 2, en laat zieh aldus voorsiellen „ 4y'^+l) = 0. Even ZOO bekomt men voor « = 16, y' ^-]4y> *+78y> O-220j^8_|_330^6_252j,4_|-84y^-8r=0 En aangezien de diagonalen tevens bevatten de zijde en de diagonalen van den achthoek, voor welke hiervoren gevon- deii is y® — %y’' -f- 10 — 4 = 0, komt er voor den 16-hoek, de vergelijking + 10y2-4)(3/8— 8^« +2) 0. Op die wijze voortgaande zal men de vergelijking voor een veelhoek van een willekeurig ema aantal zijden kunnen verkrijgen. 14. De ZOO even toegepaste algemeene formule (a) kan tevens dienen om de koorde van een even veelvoud eens boogs in functie der koorde van den enkelen boog uit te drukken, even als wij zulks reeds hiervoren (nh 7) ten aanzien van een oneven veelvoud gedaan hebben. Daartoe merke men slechts op, dat men heeft koorde 2n« ■= 2 Sin. na ~ zh 2Sin.nß naar dat n van den vorm ^ p 2 of 4 p is. Omdat nu y — 2 Coü. (5=2 Sin. a = koorde «, zoo geeft de aange- ( 56 ) haalde formule, wanneer men hierbij van de in n’. 13 voor verschillende waardcn van n reeds verkregen uitkomsten gebruik maakt, en tevens 2 Sin. ß door [/ (4s — vervangt, koorde 4 maal boog // 6 „ f, tt 12 n n // 8 „ u 10 // u n — enz. — — 2)|/ 4s— + —4sy^ 4- 3)l/(4— 3^^) = — I)j/ (4— — ® ^ + 1 0^’ — 4)l/(4— y ^ ) 4y*+2)v/(4— y(yi~~5y^^5)(y*—3y^-\rl) ^/i4s—y^). -yfy^-i)fy^-2)(y^-3) (y^-4sy^-\-l)[/(4s-y^). enz. 15, Men is den Heer verplicht nog de opmerking, dat de veelboeken, welker aantal zijden een veelvoud van 4 is (door hem genoemd didigones), de eigenschap bezitten dat zijbare vergelijkingen in symmetrische functie van y en 4s— y² kunnen uitgedrukt worden. Aldus vindt bij voor de vergelijkingen van den vierboek y² — (4 — 1/2) = 0. Het achttallboek + (4 — y²) — 12 = 0. Het twaalfboek (y² + 4) — y² — 14 = 0. Het zestienboek - 2j [(4 — y²) + 2] — 34 = 0. Zie hier boe men tot dergelijke symmetrische uitdrukkingen kan geraken. Zoo als reeds vroeger gebleken is, kan na de vergelijking Cos. — = 0 dienen om voor eenigen veelboek de vergelijking te verkrijgen, welke van vreemde factoren bevrijd is. Stellende tbans = 2 m, dan is m hier een even getal. Nu heeft men, zoo als bekend is, voor den Cosinus van het w-voiland een boogs de algemene formule 2 Cos. mu = Cos² a — (m) Cos² 2 « Sin. a « -f- 4 4 (m)Cos²—^ Sin. a, db (m) Cos.*ocSin²—‘* « 2 (»() Cos.^ a Sin²—^ a ± Sin² a (y) waarin (m) den ren binominaal-coefficient aanwijst. Het is terstond in te zien dat de vergelijking Cos. ma = 0 niet verandert, indien men daarin de grootheden Sin. a en Cos.a onderling verwisselt, en daar Cos.a = — |/ (4 — y²), volgt hieruit dat die Sin. a = — , 2 vergelijking in een kan vervormd worden, welke symmetrisch is ten aanzien van en 4 — y². Wij zullen hiervan enige toepassingen maken. Zij \( x = 4 \) of \( m = 2 \), dan komt er voor den vierhoek of Cos. \( a \) - Sin. \( a \) = 0, \( \sqrt{4} - (4 - 2 \cdot 0) \). Zij \( n = 8 \), of \( m = 4 \), dan volgt uit de algemene vergelijking Cos. \( a \) - 6 Cos. \( a \) Sin. \( a \) Sin. \( a \) = 0. Het voorste lid dezer vergelijking kan aldus in functie van Sin. \( a \) en Cos. \( a \) uitgedrukt worden. Op grond der vergelijking 1 = Cos. \( a \) = Sin. \( a \) - 2 Sin. \( a \) Cos. \( a \) Cos. \( a \), heeft men 2 Sin. \( a \) Cos. \( a \) = 1 - Sin. \( a \) - Cos. \( a \), door welke substitutie de bedoelde vergelijking overgaat in \( 4 \) Sin. \( a \) + 4 Cos. \( a \) - 3 = 0, of wel \( 16 a^2 + 16 Cos. \( a \) - 12 = 0, dus \( (y')^2 + (4 - y')^2 - 12 = 0 \). Zij \( x = 12 \), \( m = 6 \), dan heeft men de vergelijking Cos. \( a \) - 15 Cos. \( a \) Sin. \( a \) + 15 Sin. \( a \) Cos. \( a \) - Sin. \( a \) = 0, of Cos. \( a \) - 15 Sin. \( a \) Cos. \( a \) - 15 Cos. \( a \) Sin. \( a \) + Sin. \( a \) = 0. Deze vergelijking deelbaar zijnde door den factor Cos. \( a \) - Sin. \( a \), welke op den vierhoek betrekking heeft, zo verkrijgt men na deeling Cos. \( a \) - 14 Sin. \( a \) Cos. \( a \) = 0, of Cos. \( a \) Sin. \( a \) - 7 (1 - Sin. \( a \) - Cos. \( a \) ) = 0, 8 Sin. \( a \) Cos. \( a \) - 7 = 0, waaruit na vermenigvuldiging met 2 volgt \((y^2 + 4 y^2 + 4 z)^2\). Zij nog M = 1, m = 6, dan komt er Cos.² a - 28 Cos.® a Sin. a + 70 Cos.* a Sin. a - 28 Cos.² a + 5m.® a + 5iw.® a = 0, of wel Sin.² a + Cos.® a + 70 Sin.* a Cos. a - 28 Sin.* a Cos." a {Sin.* a Cos.* a} - 0. Schrijft men hierin voor Sin.* a Cos.* a, 1 - 2 Sin.* a Cos.* a en voor -Cos.² a, 1 + 2 Sin. a Cos. a, dan verkrijgt men, na een lichte herleiding 1 - 32 Sin. a Cos. a + 128 Sin. a Cos. a = 0, of wel 1 - 16(1 - Sin. a - Cos. a) + 128 Sin. a Cos. a = 0, 16 Sin. a + 16 Cos. a + 128 Sin. a Cos. a = 15 = 0, welke, na vermenigvuldiging met 2, ook onder deze vorm kan geschreven worden (16 Sin.² a + 2)(16 Cos.² a + 2) - 34 = 0, Het spreekt vanzelf dat de bewerking, om de vergelijking in y onder den eenvoudigsten symmetrischen vorm te bekomen, des te moeilijker wordt, naarmate het aan beide zijden naar neemt. 16. Wij achten het niet overbodig nog op het opmerkelijke verband te wijzen, hetwelk tusschen de vergelijkingen in y voor n oneven en voor n even bestaat, zodat wederkeerig het een stelsel uit het andere kan afleiden. Tonen wij in de eerste plaats aan, hoe men niet de vergelijkingen voor n oneven, die voor n even kan verkrijgen. Hiertoe leidt de navolgende beschouwing. De eerst bedoelde vergelijkingen zijn alle begrepen in de algemene met weglating van den factor y, zijnde het voorste lid de ontwikkeling van 2Cos.nß. 