title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: Dit is het twaalfde tydperk van het zonnejaar, het duurt 41 dagen, ongeveer van 11 Mei tot en met 20 Junij. Tegen het einde van dien mängsä is de padioogst op de vlakte zoo goed als afgeloopen. Men maakt de padi schoon, ze wordt gebost en in de schüren geborgen. Men beijvert zieh om de langdurende tweede gewassen, als indigo, katoen en djarak te planten. Ook wordt de kort staande kedele gezaaid, en wel tusschen de padi stronken in, zonder vooraf den grond te bewerken, terwijl hierna de grond wordt gereed gemaakt voor de teelt van djagoeng. De lintang woeloeh is ’s ochtends om 1/2 6 ure in zijn gelieel zichtbaar, 10° boven den horizon, kort daarna komt ook de lintang loekoe te voorschijn achter de lintang woe- loeh, doch de ploeg staat geheel onderste boven. ( 189 ) De zon komt eindelijk op den noordelijken keerkring en de schaduw van een menscli is 3 voet zuidwaarts. TJONDRO NEGORO. Koedoes 2 Februari 1880. Ik heb nu deze opgaven, voor zoover zij op sterrebeelden betrekking hebben, aan de berekening getoetst, en zal de resultaten dezer vergelyking hieronder mededeelen. Ik bere- kende dus, zoowel voor e Orionis als voor Alcyone, de uur- hoeken, overeenkomende, voor eene zuiderbreedte van 7°, met de opgegevene zenitbsafstanden, en vond het volgende : s Orionis. Alcyone. Zeniths- afstand. Uurhoek. Zeniths- afstand. Uurhoek. 200 19018' = lAL7m 40« 26014' = lu45m 25 24 28 = 1 38 45 33 40 = 2 15 65 65 0 = 4 20 80 75 48 = 5 3 74 74 4 = 4 56 85 81 22 = 5 25 ,5 Het resultaat myner vergelyking is nu in de volgende tabel begrepen. — Vooraf echter nog eene opmerking be- treffende de Pleiaden. Daar Alcyone 23°44' noorderdeclinatie heeft. culmineert deze ster op 30°44' afstand van het Zenith eener plaats die 7° zuiderbreedte heeft. Toch wordt er bij de tweede rnongso gezegd : de lintang woeloeh staat aan het Zenith, en bij de derde mongso, dat zij voor zonsopgang on- geveer op 70° aan den westelijken hemel staat, terwijl zij niet eens de hoogte van 60° bereikt. Hieruit volgt dus wel, dat die hoogten niet in den gewonen zin rnoeten aangeno- men worden, maar alleen verklaard moeten worden, als bo- gen gemeten längs de parallel der ster zoo, dat in den horizon de hoogte = 0, in den meridiaan = 90° gerekend wordt. Nu is de halve dagboog voor Alcyone voor eene plaats op 7° zuiderbreedte = 86°54' of nagenoeg 87°; om dus de op- gegevene hoogten in uurhoek te herleiden zal het best zyn, ze met 1IZ0 te verminderen en van de rest het complement te nemen. Op die wijze verkreeg ik nu de volgende vergelyking : ( 190 ) XII. Sädä. ( 191 ) Voor de 5e en 6e mongso wordt in plaats van hoogten zichtbaarheid des avonds te half zeven opgegeven, en wel Zondag legi, een der Pleiaden, \ 2« » avond, de 2e » » J 3e » » , » 3e » » f Selapan, 4e » » , » 4e » » l 35 dagen. 5e » » , » 5e » » 1 6e » legi , » 6e » » / Op dezen avond alle zes zichtbaar, niet duidelijk, laag aan den liorizon.  kolommen der bovenstaande tabel opgegeven, zijn er zes, die grooter zijn dan de balve duur der mongso, waartoe zij beliooren, zoodat de opgegevene boogte eigenlijk op een dag zon passen, die geheel en al buiten de mongso ligt. Zonderling zijn de opgaven betreffende de 5e mongso. De beteekenis van zondag kliwon, maandag legi, is deze, dat de Javanen gewoon zijn te gelijker tijd bij eene week van zeven en bij eene week van vijf dagen te teilen ; de namen der dagen der vijfdaagsche week zijn pabing, pon, wage, kliwon, legi. Malern senen beteekent woordelijk maandag avond, maar komt overeen met betgeen de Europeaan noemt zondag avond, daar bij de Javanen de dag met zonsonder- gang begint. Malern senen legi is dus de avond vöör een maandag, die te gelijk in de vijfdaagsche week legi is, een volgende maandag is dus twee dagen verder in de vijfdaag- sche week, en bet duurt vijf weken, d. i. 35 dagen, eer er weder een maandag legi is. Nu bevat de geheele 5c mongso slechts 27 dagen, bet zou dus wel kunnen gebeuren dat er in de gebeele mongso niet eens een maandag legi was. En zoo er al een is, dan zou die in bet eene jaar op den eersten dag der mongso, in bet andere jaar op den laatsten dag ( 192 ) kunnen vallen ; het spreekt echter van zelf, dat noch zeven- daagsche, noch vijfdaagsche weekdag in eenige betrekking tot de hoogte der sterren op een bepaald uur van den dag staan, en dat deze alleen met den dag van het tropische (of eigen- lijk van het siderale) jaar in verband staat. Letten wij niet op die bijvoeging van weekdagen, dan mer- ken wij op, dat telkens na 7 dagen op hetzelfde avonduur de Pleiaden 7 graden hooger staan ; uit de opgaaf zou men dus tot deze gevolgtrekking körnen, dat als bijv. : Alcyone, de helderste der Pleiaden, een half uur na zonsondergang zichtbaar wordt op 10° hoogte, de 2e in helderheid der Plei- aden zichtbaar wordt, op hetzelfde uur, dus bij even sterke schemering op 17 graden hoogte de 3e » 24 y> de 4e » 31 de 5e » 38 > de 6e » 45 » Het is de vraag of dit werkelijk zoo is. Er is hier geene sprake van heliaschen ondergang, maar van acronychische opkomst, de sterregroep staat dus in het oosten, terwijl de schemering in het westen is, onder die omstandigheden is het verschil in helderheid der lucht bij 17 en bij 45 graden niet zoo groot, dat het opgegevene verschil waarschijnlijk- lieid bezit. Het is dus te vermoeden, dat de berichtgever van den Regent hier öf zieh door plantasie heeft laten mee- slepen, of een volkspraatje heeft medegedeeld. Mijns inziens is het besluit, dat uit deze opgave te trek- ken is, dit, dat de sterrenmetliode, om het landbouwbedrijf naar te regelen, wanneer die met zulke onvolkomene liulp- middelen wordt aangewend, als bij de Javanen het geval schijnt te zijn, niet zeer nauwkeurig is, en zeer te recht door den kalender vervangen is. Ik moet hier nog opmerken dat, hoewel de regent van Koedoes deze berichten van eenen doekon in zijn re- gentschap ontvangen heeft, het niet zeker is, dat in andere residentes dan Japara dezelfde sterregroepen geraadpleegd ( 193 ) worden ; daaromtrent bezit ik nog geene gegevens ; mochten die mij later geworden, zal ik er, als zij de moeite waard zijn, wellicht later nog iets van mededeelen» Aanmerkiny. Het is zeker aan de gemakkelijkheid toe te schrijven, waarmede de Pleiaden te herkennen zijn, dat de- zelfde sterregroep door zooveel verschillende volken voor het besprokene doel zijn aangewend geworden, immers reeds he- siodus zegt in zijne: "Eyya y.ai r^utycu, vs. 383. Hlqiadcov Azlaytvicov eJiiTsXXo/uevacov, 3'A(j^eod'‘ cc/urjToO ccyöroio dt dvoo/uträcov hetgeen door d. j. van lennep aldus vertaald wordt: Als het zevental Pleiaden opwaarts klimt aan ’s hemels baan, Denk in tijds dan oin Uw sikkel ; om uw ploeg als ze ondergaan. De lengte der Pleiaden bedrängt thans 58°; ten tijde van iiesiodus bedroeg zij ongeveer 3(3° minder dan thans, en dus onge veer 22°. Hesioüius zeit zegt, dat de Pleiaden 40 da- gen onzichtbaar blijven, hij vervolgt namelijk: Ai d’ TfCOL VVXTCtg Tt y.ui ij/MZTU TtOOCCQOCXOVTa y.txyvqxxTou ; bij het onzichtbaar worden na zonsondergang, (heliaschen ob« dergang), had de zon das eene lengte van 2°, bij het zicht- baar worden vöör zonsopkomst (heliasche opkomst) van 42° , maar bij het regelen van het landbouwbedrijf werd ook gelet op het ondergaan vöör zonsopkomst, en het opkomen na zonsondergang. O O Geminus noemt deze vier verschijnselen : Dagen, waarop dit ver- schijnsel voor de Pleiaden plaats greep. heliasche ondergang y.yvipig iffneyta, 22 Maart heliasche opkomst eniroXrj ia&ivrj, 2 Mei opkomen na zonsondergang ejiiroAtj toneyici, 4 Nov. ondergaan voor zonsopkomst y.yuipi £ tcodcvrj, 25 Sept. VEUSL, EN J1EDED. AED. NATUUKK. 2de BEEKS. DEEL XVI, 13 ( 194 ) Hesiodus bedoelt nu inet IIhrg&dcov enireXhojuevacov blijkbaar de ent-ToXg eco&ivg, en met dvao/uevccav even- eens de xyvipig ecoOivg. Behalve dat koren niet in 40 da- gen (van 22 Maart tot 2 Mei) van zaaien tot rijpen ko men kan, blijkt liet ook daaruit, dat in vers 615, nadat de wijn- oogst besproken is, andermaal gezegd wordt: Avtcxq ercgv orj UXrjiadeg 6 ’ ‘YäSeg re rö re oOevog ’Siyicovog dvvcoffiv, rör ’ ineir’ ccqotov /ue/uvr]/ufvog tivcu (öoqcu'ov) . , Van le^nep verhaalt ook terecht: Zij u voorts nog dit, mijn broeder ! in ’t opmerkzaam brein gegrift, Dat gy als de regenstarren weer aan ’s bemels breede baan, Met Orion en Pleiaden, ’s morgens aan de kim vergaan, Dat gij dan uw ploeggereedschap met der haast weer voert in ’t licht. Dr. A. steitz {Die Werke und Tage des Hesiodus., nach ihrer Composition geprüft und erklärt , Leipzig 1869, p. 119) legt het ook zoo uit, en noemt ook Mitte Mai en Anfang November ; in plaats van Mitte Mai had liij wellickt beter Anfang Mai kunnen zeggen, altlians als het gezegde van hesodius waar is, dat de Pleiaden veertig dagen onzichtbaar blijven. Utrecht , 10 Augustus 1880. SUR UN THEOREME D’ABEL ET SUR LES FORMULES GONIOMETRIQUES QUI S’EN DEDUISENT, PAR G. F. W. B A E H R. Si l’on pose ou / x dx — — = F(x), A x Lx~\/ (1 — a?s) (1 — >5:2 x2) , on aura d’apres un theoreme d’Abel {Oeuvres complkes, tome 7, pag. 355) + F{x2) + • • • + F{xn) = C, . v . . . (1) pour toutes les valeurs de xx, x2, ... , dont les carres o-j2, x2 2. . . x J2 satisfont ä l’equation entiere paire, de degre 2/u, f(x)2 — qp (f x )2 ( A x)2 = 0 (2) oü, les polynömes entiers f(x) et cp(x) sont quelconques, mais l’un des deux pair l’autre impair, et leurs coefficients supposes variables; C etant une constante, qui ne depend pas des valeurs arbitraires attribuees ä ces coefficients. 13« ( 196 ) Si, en prenant tous ces coefficients egaux ä zero, l’equa- tion (2) prend la forme x~P ■=. 0 , c’est-a-dire, que toutes ses racines soient nulles, chacun des termes du premier membre de (1) devient zero, et par suite la constante C sera alors nulle. Abel a fait voir que l’on peut choisir les polynömes /(*) et et determiner leurs coefficients tellement, que /u — 1 quantites arbitraires aq, x2 . . . aj*_i soient racines de l’equation (2), laquelle donnera alors la racine xy en fonction algebrique des ces quantites arbitraires. D’apres la notation de Jacobi, posant F(x) — u, on a x =z sinam u , la formule (1) devient wi + % + • • • + up— l up — 9 , et l’equation (2) donnera donc sinam u^, ou ± sinam (u^ -f -{-... -f wu— i), en fonction algebrique de sinam sinam u2 . . . etc. Si le nombre /u est pair, ou /U — 2 n, il faudra poser f(x) = a0 -f- ax x2 -f a2 x* -f . . . -f- an—\ x2n~2 -f x2n , cp (a?) = x (&0+ bx x2-\- b2 X*+ bn- 2 Fln- 4) , qui contiennent 2 n — 1 coefficients indetermines, tandis que les quantites arbitraires aq, x.2 . . . a^—i devront satisfaire ä a0-\-alx2‘+...+an—ix2n-2-^a2''-b(b0x-\-b1x3+...+bn—ox,n—3)£x=0, un des deux facteurs dans lesquels on peut decomposer lequa- tion (2). On aura donc, entre les inconnues a0, . . . a„_i , b0, bi . . . bn 2 les 2 n — 1 equations lineaires, que no.us pouvons indiquer par aQ+aiX2...+an-\x2n-2+bQxLx+biX /: x...+.b„_ 2x2n~3/\x=-x x2n- 1 ( 197 ) le signe a la droite du second membre indiquant que l’on considere le groupe de 2 n — 1 equations obtenues en donnant ä x successivement les indices 1, 2, . . . , 2n — 1. II suffira d’en resoudre a0, parce que l’equation (2) ordon- nee a pour dernier terme a 2 , et donne ainsi pour le produit des racines d’oü 2 r2«— 1 2» 0’ X2n = ± x0.x1 X2n— 1 Employant pour les determinants une notation analogue ä celle par laquelle on a represente le groupe des 2 n — 1 equations, on tire de celles-ci ao - x2n . x2 . ar4. . x2n~ 2 . x Hx . xz Aa'. . x2n~ 3 £_x 1 . x2 . x*. . X2"—2 . X t \X . 3$ A#. . x2n~^ Aa1 xl x2n — 1 X1 ^271 1 donc, divisant les lignes successives du determinant au nu- merateur par aq, aq, . . . X2n—\, on obtient x2n = ± a’2n““1 , X . X3 . . . X2n — 3 . Hx . X2 /\x . . . x~n ~i£_x donne aq = ± X2. a-4.. ar2"“2 .x Aa\ x% £ x . .. to 1 r> le signe , on fera « = 2 et aq — 0 3 X 1 • *1 • Aaq 1. 2 *i. aq Aaq *3 2 • x2 • Aaq 1 2 X. 2 a'2 Aaq 0 0 1 1 0 0 *1 ?2n-l xi » *2n- 1 ou en developpant, 33 o o r4 = ± (aq aq— aq aq) : (aq aq A>q— aq aq L* i) ( 198 )- et, divisant les deux termes du quotient par xx x2, x4 = ± /y> 2 _____ />» 2 ^1 — ^2 aq A^2 — x2 ^X1 en sorte que par la formule connue pour sin am (uj -f- w2) on conclut qu’il faut prendre le signe +. Ainsi, transposant la colonne x2n_ x j entre les colonnes x2n 3 | et &x | , c’est ä dire, la faisant avancer de n — 1 pla- ces vers la droite, l’on aura a:2„=(-l)”-1 x.x3...x2n~3.x2n~l.^\x.x2^\x...x2n~‘i^x \.X2...X2n~^.X2n~2.x£iX.X3i\x,..X2n~3 £±X x2n—l X1 x2n — 1 ...(3) Si le nombre /n est impair, ou //r=2n-)-l, il faudra poser f{x) — x (a0 -f- oq x2 -J- a2 x* -j- . . . -f- an—\ x2n~' 2 -f- x2n ) qp(z) = b0 -f bx x2 + b2 X* -j- . . . -J- bn—\ x2n~2 , et les 2 ?i quantites arbitraires aq, x2 . . . X2n devront satis- faire a l’equation a0x+axx3... + an~\ x2n~l+x2n+x-\-{bQ+blx2...-\-b„_\x2li~2) C\x~ 0, en sorte que l’on aura entre les inconnues a0.. . a„_ i , b0 . . . bn—\ les 2 n equations aQx-]-alx3...-{-a„-{X2n~'[+bQCix+b}X2£\x...-»rbn-\x2n~2£\x=-x2n+\ d’oü il faudra resoudre 60, ce qui donne •n x2n — x .x3 . . . x2n~ 1 . x2n+^ . x2£\x . x^fcx .. . X2n— 2 Ax X1 x2n x . x3 . . . x2n~~ 1 . £ x . x2£x . x^&x .. x2n—2^x xx *2» ( 199 ) et, parce que l’equation (2) donne pour le produit des racines 2 2 22 ,2 W" *2**2»+! = b0 ’ on aura 1 . x 2 ... #2»—: % ,x~n. xAx.x^Ax... #2n— : 3A# x\ X2n X . #3 ... X2n~l. Ax.X^Ax. X^iAx ... Xin~~' 2 Ax X\ X-ln —(4) ayant egard que pour n = 1 on aurait xz = ± 1 . X, 1 * 1 . X„ X\ • A aq ^2 * A x2 OU 2 2 *2~*1 x\ A#2 — xz oü il faut prendre le signe —. Si l’on fait X2n — 0 dans (4), tous les elements de la 2niemc licrne du determinant au numerateur sont egaux ä O O zero. excepte le premier qui reste 1, et ce determinant se reduit alors a x2n 2 x^n . x Ax • .r3A^ • • • #2n~3 £\x Xy X‘2n — 1 pour le determinant au denominateur on peut ecrire d’abord (-1 Y t\x . x . a,*3 . . . x^n~ 1 . x^l\x . x^Ax a.2n— 2 Xy Xin parce qu’on a fait reculer de n places vers la gauche la colonne A^ | ? faisant x-i„ — 0 , tous les elements de la ( 200 ) 2/i^me ligne sont zero, excepte le premier, qui devient 1 ; ce determinant se reduit donc a (-!)»+' X . X 3 -j.2n— 1 # x2 # xi £ x t # # x2n~ 2 £\x %'2n — 1 chacun des determinants reduits est divisible par le produit aq . • • • x2n— 1 , et remarquant que pour x-2„ = 0 la formule (4) doit donner pour x^n+l la meme valeur que la fonnule (3) donne pour X2n , on voit que les deux fonnules s’accordent. Si maintenant, pour passer des fonctions elliptiques aux fonctions goniometriques, ou fait k — 0, ou aura / r dx C\ x — u — arc. sin x , donc x — sin u , A x — cos u , et les formules (3) et (4) donnent, ecrivant a aulieu de m, sin (uj + a2 + • • • + 02«— l) = (— )*-1 X i%rr /»ns n sina. sin^a...sin2n~^a. cosa. siri^a cos a...siri‘‘7l~‘*a cosa 01 a-2n-l 1 . sin2 a...sin2n~2a. sin a cos a.sin^a cos a...sin2n~^acos a sin (oq + «2 + • • • + ö2«) = — 1 . sin 2 a...sin2n~ 2 a . sin2n a . sin a cos a...sin2nJia cos a sin a . sin^a...sin2n~^a.cos a . sin2acosa...sin2n~2acos a al a2»-l (5) oq öj 02« ... (6) Si l’on change a en — n — a , le premier mernbre de (5) Z devient sin (aa -f a2... -f 02«-l)^j = sin ^p-1 7rcos(a1-f-a2...-|-ö2n-]) — (_ 1)*-1 cosfa -f o2 ... + a2«-i), ( 201 ) et cette formule se change alors en COS (öj -f- a? . . . -|- a2n— 1) — cos a .cos^a...cos2n~^a . sin a ,cos2a sin a...cos2n~*a sin a + 01 02«— 1. \.cos2a...cos2n~2a. cos a sin a . cos^sin a...cos2n 3o sin a al 02»— 1 quand dans le determinant au denominateur on change la colonne cos2 a | en 1 — sin 2 a | , ce determinant devient la difference des deux determinants j 1 . 1 . cos4 a . . . cos2n~ 2 a . cos a sin a . . . cos2”- 3 a sin a | et | 1. — sin2a . cos*a . . . cos2n~2a . cos a sin a . . . cos2”-3 o sin a | , dont le premier, ayant deux colonnes egales, est identique- ment nul ; donc le denominateur peut etre reduit d’abord au determinant — | 1 . sin2a . cos4 a . . . cos2”-2 a.cosa sin a. .. cos2n~3a sin a | ; ensuite, si dans celui-ci on change la colonne cos4o|en(l — sin2a)2\, ou 1 — 2 sin2a -j- sin* a | , on voit qu’il peut etre partage en trois determinants, dont les deux premiers sont identiquement zero, et continuant ainsi ä introduire le sinus au lieu du Cosinus, il sera reduit ä ± jl . sin2a . sin*a...sin2n~ 2 a.cosa sin a.cos3a sin a...cos2n—' ^asina\ ; si dans celui-ci on ecrit successivement cos asmo(l — sin 2 a), cos a sin a (1 — sin2 a)2, . . . etc. au lieu de cos3 o sin o, cos6 o sin a, , . . etc. ( 202 ) il sera enfin reduit ä rt 1 1 .sinPa.sirfia. . .sin2n~ 2a . sin a cos a.sin^a cos a...sin2n~2a cos a | qui est, au signe pres, le meine que le denominateur de (5)- Pour determiner ce signe, comparons deux ä deux les co- lonnes du determinant primitif ; on voit que s’il cliange de signe en reduisant certaine colonne cos2P a | il en cliange aussi par la reduction de la colonne cos2i'+l a sin ci ; le signe definitif sera donc celui qui est introduit par la reduction de la colonne cos2”-2 a | , avec laquelle ne correspond plus une colonne cos2n~} a sin a , et comme le dernier terme du develop- pement de cos2”- 2a = ( 1 — sm2a)”— 1 est ( — l)”- 1 sm2”- 1 a , on voit que ce signe sera (— 1)*— l. De la meine maniere le numerateur peut etre reduit ä ± | cos a . cos a sin2, a . . . cos a sin2n ~ 2a . sin a . sm3a . . . sin2n~2a | ; les colonnes, qui pendant la reduction font changer le signe, etant comparees deux ä deux, il reste celle designee par cos2n~la | , ce qui, comme dans le cas precedent, fait voir que le signe definitif sera ( — 1)”~ l. Ainsi, on aura d’abord cos (oq -J- a2 . . . + II 1 Cs» ö cos a sin2n~‘2a . sin a . sin 3 a ... sin2n 3 a a\ cos a . cosa sin2 a ... \ 02»— l. 1 sin2a j ... sin2n~ 2a . sin acosa. sirfia cos a. ..sin2n ~ 3a cos a 1 «1 ü2n—\ quand au numerateur on echange (n — 1) fois deux colonnes entre-elles, savoir les colonnes cosa | et sin a | , cos a sin2 a j et sm3 a | cos a sin2n~4, a et sin2”- 3a, le determinant devient: ( — 1)”— 1 x | sin a . sin^a...sin2n~2a . cos asin2”~2a.cosa.sin2acos a...sin2”~*acos a | , enfin, si dans celui-ci on porte la colonne cos a sin2,> ~ 2 a | a la derniere place, c’est-a-dire, si l’on fait avancer cette ( 203 ) colonne de n — 1 places vers la droite, il doit etre de nou- veau multiplie par ( — 1)*— : 1 , et il obtiendra donc le signe -f- , en sorte que l’on aura cos (aj + a2 . ■ ■ 4- «2«—]) sin a.sin3a. . ,sin'2n~3a . cos a . sin^a cos a. ..sin1" 2a cos a ai a2n— 1 l.sin2a...sin2n~^a.sin2‘n~~'2a.sinacosa...sin^n 3acosa al «2/1-1 •(7) On ne peut de cette maniere obtenir cos (oq -f- a2 . . . -j- 02«), le nombre des elements etant pair. Si l’on change dans ce cas a en - n — a, <L le premier membre de (6) devient sin (n n — (a1-j-a2-|- — + 02*)) — — cos nn sin(a1-\- a2-{- . . . + «2») = ( — 1)"— 1sm(a1-|-a2-l- .. .+a2n)> donc, en vertu de la formule (6), on aura aussi sin (<aq -f- «2 4“ • • • 4“ a2«) — l.cos2a...cos2”- 2« . cos^na . cos a sin a...cos‘2n~ 3asin a «1 a2n cos a.cos3a...cos^n~^a.sin a.cos^a sin a...cos~n~2a sin a al «2 n en effet, reduisant les determinants comme dans les cas pre- cedents, cette formule reprend sa forme primitive. Mais en faisant dans la formule (7) <*2«— 1 = 0, tous les elements de la (2 n — l)'®me ligne du determinant au numera- teur deviennent zero, excepte celui de la ni®rae colonne, qui est cos o2«— 1 et devient egal ä l’unite ; ce determinant devien- dra donc egal a celui que l’on obtient en efifafant cette ligne et cette colonne, multiplie par ( — l)2"- 2 X ( — 1)"— 1 = ( — 1)Ä— ■ Au denominateur tous les elements de la derniere ligne deviennent zero, excepte le premier; il sera donc egal au ( 204 ) determinant obtenu en rayant cette ligne et cette colonne, et aura le meine signe que le determinant primitif. De plus, les deux determinants reduits sont divisibles par le produit sin «j sin o2 . . . sin a2»_2 , en sorte que l’on aura cos (oj + a2 . . . + 02» — 2) = (— l)”“1 X 1 . sirfia .. sin^n-^a . sin a cos a. sin^a cos a .. . sin^-^cicos a Oj 02» — 2 siffin -Sa _ cos a . sin 3 0 cos a. Ö1 sin a. sin^a ... . sin^n~^acos a 02n— 2 ou, changeant n en n -}- 1, cos (oj -}- a2 ... + 02 ») = (—1)” x 1 .sirfia.. . sin^-^a . sin a cos a . sin^a cos a. .sin^n~^acosa ax 02» sin a. sin^a. ,sinrn~^a . ' cos a . sin?a cos a. .fti/tfin-^a cos a al 1 02» Delft , Octobre 1880. V EESL AG OVER EENE VERHANDELING DES HEEREN Dr. R. HORST, GETITELD: OVER BEVRUCHTING EN ONTWIKKELING VAN HERMELLA ALVEOLATA m. e. (Uitgebrackt in de Verg. der Afd. Nat. van 30 October 1880.) De ondergeteekenden, uitgenoodigd om der Afddeeling voor Wis- en Natuurkunde der Koninklijke Akademie van Weten- scliappen van advies te dienen ten opzichte van een opstel van den lieer R. Horst, over bevruchtino- en ontwikkeling van Hermella alveolata M. Edw., hebben de eer hierover bet volgende te berichten. De in het Hollandsch geschreven verhandeling is 8 folio pagina ’s groot en gaat vergezeld van een elftal af beeldingen ; zij is gewijd, zooals het opschrift reeds aanduidt, aan de bevruchting en ontwikkeling van het ei van Hermella. De schrijver behandelt eerst het bevruchtingsproces en deelt hierover het volgende mede : Bij aanraking van Spermatozoon en ei ontstaat er tusschen ei-inhoud en eivlies een ruimte, evenals dit waarschijnlijk bij alle bevruchte eieren het geval is. Tegenover de plaats, waar een Spermatozoon bezig is met zijn kopje den dooier- wand te doorboren, zag schrijver een protoplasma-uitlooper van den eidooier zieh verhelfen en het Spermatozoon te ge- moet gaan. Na het dooiervlies doorboord te hebben, dringt het spermatozoön in den protoplasma-uitlooper, die zieh daarna weder terugtrekt. ( 206 ) Oratrent het verder lot der spermatozoa kan de schrijver niets mededeelen, uithoofde de ei-inhoud zoo donker en kor- relig wordt, dat ten slotte ook van het kiemblaasje niets meer te zien is. Binnen een uur na het indringen der sper- matozoa treden de richtingsblaasjes uit. Het klievingsproces vertoont geheel het karakter der inae- quale splijting. Ongeveer 12 nur na de bevruchting is het embryo in een mesotroche larve overgegaan. Later wordt de primordiale lichaamsliolte zichtbaar en beginnen zieh de eerste sporen van het darmkanaal te vertoonen. Oudere larven bieden geen onbeteekenende verschillen aan met die van andere Kokerwormen. De mededeeling van den heer Horst bevat dus een niet onbelangrijke bijdrage tot de kennis van de ontogenie der Kokerwormen en Uwe commissie aarzelt dan ook niet voor de opneming daarvan in de Yerslagen en Mededeelingen te adviseeren. Leiden en Utrecht, October 1880. C. K. Hoffmann. Th. W. Engelmann. R. HORST, Bevr eu Ontw. v. Hermella alveolata. A J Wendel lith. VKRSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. R. 1)1 XVI. R. Horst fec. OVER BEVRUCHTING EN ONTWIKKELING VAN HERMELL A AL YE OL ATA Miln. Edw. DOOR Dr. R. H 0 R S T. Onze kennis omtrent de eerste ontwikkelingstoestanden en larvenvormen der Polycbaete Anneliden moet nog steeds vrij gebrekkig genoemd worden. Zij berust namelijk grootendeels op waarnemingen, gedaan aan broed dat uit zee gevisclit werd, zonder dat bet altijd mogelijk was de herkomst daarvan met zekerbeid te bepalen ; ook kon natuurlijk op deze wijze geene doorloopende reeks van op elkander volgende Stadien verkregen worden. Onder de eersten, die getracht hebben in deze leemte te voorzien en ab ovo de ontwikkeling eener An- nelide te volgen, bekoort Quatrefages, die in zijne »Memoire sur 1’ Embryogenie des Annelides” *) de ontwikke- ling der Hermella alveolata op uitvoerige wijze beschreven beeft. Twee jaren later beeft bij nogmaals zijne onderzoekin- gen over bet bevruclitingsproces en de voorwaarden van ont- wikkeling dezer Annelide in eene afzonderlijke verbandeling f ) nedergelegd. Met bet oog evenwel op bet groot aantal jaren, dat verloopen is sedert deze waarnemingen gedaan werden, kwam mij een bernieuwd onderzoek niet ongewenscht voor. Daartoe werd ik dezen zomer in de gelegenbeid gesteld, ge- durende een kort verblijf in bet Zoologisch Station te Wi- *) Ann. des Scienc. Natur. 3e Ser. Zoologie, D. X, 1848, bl. 153. f) Ann. des Scienc. Natur., D. XIII, bl. 126. ( 208 ) mereux, waar Prof. Giard met groote gastvrijheid eene plaats ter mijner beschikking stelde * * * §)). De Hermella alveolata vormt hier op körten afstand in zee uitgestrekte banken, niet ougelijk aan koraalbanken, die bij läge ebbe gemakkelijk te bereiken zijn. Gelijk bekend is, zijn de geslachten gescheiden en in geslachtsrijpen toestand de wijfjes door haar roseachtige kleur gemakkelijk van de melkwitte mannetjes te onderkemien. Bovendien bieden zij het groote voordeel aan, dat zij den ganschen zomer ter voort- planting geschikt zijn, Om de kunstmatige bevruchting, die ook reeds door Quatrefages gedaan is, tot stand te brengen, is het niet noodig de dieren vooraf uit liun harde kokers te bevrijden ; het is voldoende hen een weinig te verontrustcn en weldra ziet men uit het eene uiteinde van den koker een stroom respectievelijk hetzij van eieren of van sperma te voorschijn körnen. De eieren hebben een diameter van ongeveer 0.08 m.m. met een groot kiemblaasje en duidelijke kiemvlek. De sterk korrelige dooier ligt aanvankelijk dicht tegen het dooier- vlies aan, maar ter nauwernood zijn de spermatozo’iden met het ei in aanraking gekomen, of de dooier trekt zieh een weinig van den eiwand terug en tegelijk heeft er eene con- centratie van de deutoplasmakorreltjes plaats, zoodat eene laag van helder doorschijnend korrelvrij protoplasma aan den omtrek zieh ophoopt (couche enveloppante van Fol) f). Zeer waarschijnlijk berust de verwijdering tusschen den eiwand en den dooier niet alleen op zamentrekking van dezen laat- sten, maar treedt ook water längs osmotischen weg door het dooiervlies naar binnen gelijk Quatrefages meent en door Calberla §) voor de eieren van Petromyzon aangetoond is ; evenwel komt het mij dan eenigszins onverklaarbaar voor, dat het dooiervlies bij bijna alle bevruchte eieren terstond zöo *) Ik maak van deze gelegenheid gebruik om mijne vakgenooten op dit günstig gelegen en gemakkelijk te bereiken Kust-Laboratorium oprnerk- zaam te maken. f) Recherches sur la fecondation, etc. §) Zeitschr. f. Wissensch. Zoologie D. XXX, bl. 437. ( 209 ) sterk geplooid is (fig. 7 en 8). Hoewel er op die wijze tusschen den dooier en het dooiervlies eene mimte ontstaan is, zoo is liet verband tusschen beiden toch niet geheel opgeheven, want van uit de korrelvrije randzone van den dooier gaan talrijke fijne, nauw zichtbare, uitloopers naar den eiwand, die als stralen den dooier omgeven (fig. 1) ; een volkomen ge- lijk verschijnsel is door Calberla tijdens de bevruchting aan bet Petromyzon-e i waargenomen * * * §)). Ook Selenka heeft bij Toxopneustes variegatus f) zulke uitloopers van de buiten- ste dooierlaag den geleimantel van bet ei zien binnendrin- gen ; dit geschiedt evenwel tijdens de rijpwording van bet ei, en de uitloopers verdwijnen langen trjd vöor de bevruchting, waarom bij ben dan ook met de voeding van bet ei in verband brengt. Bij bet Hermella-ei staan zij evenwel zonder twijfel met de bevruchting in betrekking. Is op een zeker punt eene spermatozo'ide bezig met haar kopje den dooierwand te door- boren, dan ziet men hoe een dergelijke breede protoplasma- uitlooper, evenals de pseiulopodie van een amoebe, de sper- matozo'ide te gemoet gaat en zoolang blijft bestaan tot deze laatste door bet dooiervlies zieh een weg gebaand heeft (fig. 1). Na verloop van ongeveer 20 minuten dringt de spermatozo'ide het dooierverlengsel binnen en smelt daarmede zamen ; de proto- plasma-uitlooper wordt langzaam weder ingetrokken en zoö de spermatozo'ide l)innen de dooiermassa gevoerd §). De uitspraak van Quatreeages **) »Je crois inutile d’insister sur un point, savoir que jamais je n’ai vu un spermatozo'ide penetrer dans l’oeuf et s’y etaler”, reeds door Fon gewraakt, mag dus be- scbouwd worden als op onvolledige waarneming te berusten. De lengte der protoplasma-uitloopers hangt eenigszins af van bet snelle indringen der spermatozoiden, want, geschiedt dit spoedig, dan heeft de eiwand geene gelegenheid, zieh ver van *) loc. cit., bl. 4-58, pl. XXVII, fig. 7 en 8, pl. XXIX, fig. A en B. f) Zoologische Studien, 1. Befruchtung des Eies von Toxopneustes variegatus, bl. 2, pl. 1, fig. 2 en 3. §) Mijn vriend l)r R. Moniez had de goedheid zieh rnede van de juist- heid dezer waarneming te overtuigen. **) loc. cit., bl. 128. VEBSL. EN MEDED. ArD. NATUUKK. 2<le BEEKS. DE KL XVI. 14 ( 210 ) den dooier te verwijderen. Niet in alle uitloopers dringt natuurlijk eene spermatozoide binnen ; men ziet dikwijls een lnmner 11a körten tijd weder verdwijnen en op een ander punt van den dooieromtrek een nieuwe voor den dag komen. Tocb geloof ik dat wel meer dan eene spermatozoide het ei binnen dringt en meen ik het glinsterend bolletje in den eenen proto- plasmaheuvel op fig. 1 als het overblijfsel daarvan te mögen beschouwen. Volgens Fol heeft 00k de in het ei gedrongen spermatozoide van Toxopneustes lividns het voorkomen »d’un grain assez refringent” *). Omtrent het verdere lot der sper- matozoide kan ik niets mededeelen, uithoofde de ei-iuhoud zoo donker en korrelig wordt, dat ten slotte 00k van het kiemblaasje niets meer te zien is. Het is bekend dat de Zwitsersche natuuronderzoeker Fol het eerst aan de eieren van Asterias glacialis en Toxopneustes lividus heeft waar- genomen, dat de dooier, op het oogenblik dat eene sperma- tozoide hem nadert, haar een protoplasma-uitlooper — cone d'attraction gelijk liij het noemt — tegemoet zendt. Ter verklaring van deze raadselachtige werking op af- stand ontwikkelt Fol f) de onderstelling, dat er misschien dünne onziclitbare uitloopers als stralen van de oppervlakte van den dooier uitgaan. Door een dezer uitloopers zou de spermatozoide dan in verband met den dooier staan en zoo de werking op afstand slechts schijnbaar zijn. Inderdaad heeft dit vermoeden door de onderzoekingen aan het HermeHa-e i eene groote mate van waarschijnlykheid gekregen. Ruim een uur na het indringen der spermatozoide, heeft de dooier zijn ronden vorm verloren en is aan de eene pool sterk afgeplat (fig. 2). Op dit punt verzamelt zieh een laagje helder korrelvrij protoplasma, uit het midden waar- van nu het eerste poolblaasje voor den dag treedt als eene volkomen glasheldere papil, met eenige weinige sterk licht- brekende korreltjes, die zieh weldra afsnoert, om een kwar- tier later door eene tweede gevolgd te worden. De dooier herneemt hierop zijne vroegere gedaante en weldra neemt *) loc. cit., bl. 100. -j-; loc. cit., bl. 250. ( 211 ) de klieving een aanvang. Quatrefages meent dat de eerste klievingsgroef, die het ei in twee cmgelijke blastomeren verdeelt, op eene willekeurige plaats van het dooieroppervlak, nu eens liier, dan eens daar, zieh vertoont ; ik geloof evenwel dat znlks niet juist is, want steeds zag ik die klievings- groeve of het eerste klievingvlak liggen in de richting van het punt waar de poolblaasjes uitgetreden waren, evenals zulks door Hallez * * * §)) bi] Leptoplana tremellaris gezien is en ook door Selenka bij Toxopneustes variegatus in de meeste gevallen werd waargenomen. De uitspraak van Stossich f) »le vesichette direttrici non servono ad altro che a deter- minare il punto di partenza e la direzione della prima insol- catura” schijnt mij van alle hypothesen omtrent de betee- kenis der poolblaasjes door Semper, Selen ka, Rabl, Jhering, e. a. opgesteld, het meest in overeenstemming met onze tegenwoordige kennis omtrent dit punt. Zij verdienen dan terecht met hun ouden naam van » Richtungskörper” bestem- peld te worden. Hetgeen omtrent het verder verloop der klieving door Quatrefages wordt medegedeeld, laat veel te wenschen over ; volgens zijne waarnemingen geschiedt de klieving zoo onregel- matig, dat hij op duizenden eieren er geen twee gezien heeft waar dit proces op dezelfde wijze plaats had. Mijne onder- zoekingen hebben mij evenwel tot eene andere uitkomst ge- leid en ik geloof dat Fol §) terecht van deze verhandeling zegt »eene reeks verschijnselen zijn als normale beschreven, hoewel zij klaarblijkelijk pathologisch zijn, en het is zelfs moeilijk in de heschrijving te onderscheiden wat tot deze laatste groep van verschijnselen behoort.” Ik moet evenwel opmerken dat deze onnauwkeurigheden eenigszins te veront- schuldigen zijn, deels door de kleinheid der eieren, die maakt dat het klievingsproces niet gemakkelijk is te volgen, deels *) Contributions ä l’Hist. Natur, des Turbellaries. f) Trasformazione della vesica germiuativa ez. Estratto del Sollet, della Sc. natt. Ann. III, (1876). §) loc. eit., bl. 60. 14* ( 212 ) door de omstandigheid dat inderdaad vele eieren zieh abnor- maal klieven en niet tot volkomen ontwikkeling geräken. De klieving van bet ei der Hermella alveolata schijnt groote overeenkomst aan te bieden niet betzelfde proces van bet ei der Najaden, gelijk dit door Flemming is beschre- ven *) en van Mytilus edulis, volgens Theod. Barrois f). Het ei verdeelt zicli de eerste maal gewoonlijk in twee klii- vingsbollen, die ongelijk van grootte zijn, ofseboon ik geen verscliil in de hoeveellieid dentoplasma bij hen beb knnnen waarnemen (fig. 3). Evenwel doet zicb bet eigenaardig ver- scbijnsel voor, dat er, bij een groot aantal eieren, in plaats van twee blastomeren, terstond drie optreden. Men ziet dan op bet punt, juist tegenover de plaats waar de poolblaasjes zijn uit- getreden, de dooier papilvormig uitgroeien (fig. 4) ; dit gedeelte, dat armer aan deutoplasma en dien tengevolge doorschijnender is dan het overige van den dooier, wordt dan de onparige van de drie klievingsbollen, die nu gelijktijdig ontstaan (fig. 5). Tijdens de vorming dezer 3 blastomeren narn ik in de onderste helft van den dooier de hebende ampkiaster waar (fig. 5). Stossich §) heeft bij de ontwikkeling van Serpula-e iereu ook bet ontstaan van 3 blastomeren bij de eerste klieving nu en dan waargenomen, eveneens zonder nadeelige gevolgeu voor bet tot stand körnen van bet embryo. Waren er bij de eerste klieving slechts twee blastomeren ontstaan, dan snoert van de grootste van deze twee een kleinere bol zieh af, zoodat nu betzelfde Stadium van 3 längs anderen weg bereikt is. Hierop volgt een Stadium van 4 klievingsbollen teil gevolge der deeling van a (fig. 5), de kleinste der twee eerst’genoemde, zoodat het ei nu bestaat uit een grooten bol, overdekt door 3 kleinere (fig. 7). Deze deeling nerhaalt zicb in het volgende Stadium zoodanig, dat ook de groote klievingsbol b' nog daaraan deelneemt en een blastomeer afscheidt, die zicb naast de overige voegt en in voorkomen daarmede geheel overeensteint (fig. 8). Eerst van nu af *) Sitzungsher . Kaiser L Akad., Wien 3e Abth., Bd. LXXI, bl. 81. f) Bullet, scient. du Dep. du Nord. T. XI. 1879. §) Sitzungsher. Kaiserl. Akad., Wien le Abth., LXX VII Bd., bl. 533, ( 213 ) sshijnt de tegenstelling tusschen een vegetatief en een animaal gedeelte van den dooier voor goed op te treden. Door herhaalde klieving der animale blastomeren wordt nu het vegetatieve deel weldra omgroeid (fig. 9) en op die wijze ten slotte een amphiblastula gevormd. Yoor bet intreden van elke nieuwe klievino- versmelten O als bet wäre de oude blastomeren eerst weder met elkander en verdwijnen de groeven waardoor zij gescbeiden waren bijna gebeel ; dit verscbijnsel werd ook door Rabl *) bij de klieving van bet Planorbis-e i waargenomen en bescbreven, en schiint eveneens door Quatrefages opgemerkt te zijn : » la masse vitelline, apres etre arrivee a un certain degre de division. eprouve un mouvement contraire, un mouvement de concentration”. Ongeveer 12 uren na de bevruchting is bet enibryo in eene mesotrocbe larve overgegaan, die. bebalve den gordel van cilien om bet midden, nog een bun- del lange irilharen aan den koppool draagt. Wellicht zijn dit de lange tentakels, die Quatrefages aan het vooreinde der larven meent waargenomen te hebben. Zijne voorstel- ling, als zoude het gebeele licbaam der larven, uitgezonderd de beide uiteinden, met trilcilien bedekt zijn, evenals bij de Terebelliden , is dus onjuist ; blijkbaar verkeerde hij onder den indru der kort te voren door M. Edwards gepubliceerde onderzoekingen. Terwijl bet embryo bij zijne verdere ont- wikkeling zieh dicht tegen bet oorspronkelijke dooiervlies aanlegt, hebben de ectodermcellen bun embryonaal karakter verloren en zijn door bun helder voorkomen en sterk kor- religen inboud van de donkere geelachtige endoderm-bollen duidelijk ondersebeiden (fig. 10). Langzamerhand begint de larve bare verlengd rolronde gedaante te verliezen, uit- boofde het boven den trilzoom gelegen gedeelte zieh sterker beo-int te ontwikkelen en meer en meer bol wordt. De pri- mordiale licbaamsholte wordt ziebtbaar en de eerste sporen van bet darmkanaal beginnen zieh te vertoonen (fig. 11). Fig. 12 vertoont eene larve, vier dagen oud, van de buik- ') Morphologisches Jahrbuch, Bd. A , bl. £62, ( 214 ) zijde gezien. Het praeorale gedeelte lieeft nog meer de overhand gekregen en eene koepelvormige gedaante aange- nomen, zoodat de mondopening eenigszins benedenwaarts ge- keerd is en de zoom, waarop de trilharen geplaatst zijn, sterk naar buiten uitspringt en als een soort van mantel over bet postorale deel heenbuigt. De mond voert in een wijden oesophagus die met trilcilien bekleed en door eene ring- vormige insnoering van den peervormigen maagzak geschei- den is, welke met een terminaal geplaatste anus buitenwaarts mondt. Eene groeve, met trilcilien bekleed, voert längs de buikzijde naar de mondopening. Ter zijde van het darm- kanaal ligt links en rechts eene groep cellen, waaruit een viertal provisorische borstels ontspringen. Aan de rugzijde van het praeorale gedeelte zijn twee bruine oogvlekjes waar- neembaar. De larve, als zij 1 2 dagen oud is,verschilt van de afgebeelde alleen door haar meerdere grootte, wijl het postorale gedeelte zieh kegelvormig verlengd heeft ; bovendien is het aantal bor- stels toegenomen tot een twaalftal. De verdere metamorphose was ik tot mijn leedwezen niet in de gelegenheid langer te volgen ; ook is het mij niet gelukt in het water rondom de Ilermella-hnnken oudere stadien aan te treffen. Wellicht wäre anders daardoor eenig meerder licht verspreid over de ver- wantschap dezer merkwaardige worrnen met andere Anneliden- familien. Voor zooverre ik nu de larve heb leeren kennen, biedt zij geene onbeteekenende verschillen aan met de ons bekende larvenvormen van andere Kokerwormen ; alleen de larve van Terebellides Stroemii vertoont eenige overeen- komst *). Utrecht, 24 September 1880. *) Willemoes-Suhm, Biologische Beobachtungen über niedere Meeres- thiere. Zeitschr. für Wissensch. Zool. Bd. XXI. 