title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: FOR THE PEOPLE FOR EDVCATION FOR SCIENCE LIBRARY OF THE AMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY VERSLAGEN EN MEDEDEELINGEN DKR KONINKLIJKE AKADEMIE VAX WETENSCHAPPEN. [Cj i^bi X\ X VERSLAGEN EN MEDEDEELINGEN DER S ^') Qu \ KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN. Afdeeling NATUUEZUNDE. TWEEDE REEKS. ACHTTIENDE DEEL. AMSTERDAM, J ü H AN INE S MÜLLER 1883. GEDRUKT Bl J DE ROEVER K HÖBER - BAK K1,S. I N H O U D VAN HET ACHTTIENDE DEEL TWEEDE REEKS. VERSLAGEN. Rapport over eene verhandeling van den Heer Dr. J. W. van WlJHE : „Ueber die Messodermsegmente und die Entwicke- lung der Nerven des Selachierkopfes”; uitgebracht in de vergadering van 25 Maart 1882 blz. 71. Rapport over eene verhandeling van den Heer P. L. Banker : „De schijf, ter vervanging van de kruk aan de as, ont- leend aan den ontwonden cirkel, in toepassing te brengeu op de werktuigen”; uitgebracht in de vergadering van 25 Februari 1882 „ 86. Brief van het lid der Koninklijke Akademie van YVetenschap- pen E. II. von Baumhauer aan de natuurkundige afdee- ling derzelfde Akademie; voorgelezeu in de vergadering van 28 April 1882 „ 89. Advies betreffende eene nieuwe geologische kaart van Europa, in antwoord op een schrijven van den Secretaris d.d. 24 April 1882; voorgedragen in de vergadering van 24 April 1882. „ 90. Rapport over eene verhandeling vau Dr. W. Kapteijn : wEenige opmerkiugen omtrent gevvone lineaire differeu- tiaalvergelijkingen” ; uitgebracht in de vergadering van 28 April 1882 blz. Nader rapport aangaande de verhandeling van Dr. .T. W. van Wijiie „ Rapport over eene verhandeling vau den Heer Dr. Max Weber : «Over coalescentia calcaneo-navicularis” ; uitgebracht in de vergadering van 28 April 1882 „ Rapport van de meei-derlieid der Commissie, in zake de lijkenverbranding, benoemd in de vergadering vau 28 Ja- nuari 1882 „ Rapport van de minderheid der Commissie, in zake de lijkenverbranding, benoemd in de vergadering van 28 Ja- nuari 1882 „ Rapport over de verhandeling des Heeren J. Bueno de Mesquita : »Algemeene vergelijkingen voor een gecentreerd stelsel van lenzen” n Rapport in zake de vaststelling van een eersten meridiaan. Voorgedragen in de vergadering van 24 Februari 1883. . „ Rapport der llijkscominissie voor Graadmeting en Waterpas- sing over het al of niet bestendigen der Akademische Commissie voor de daling van den bodem van Nederland. Voorgedragen in de vergadering van 24 Februari 1883. . „ Verslag omtrent de werkzaamheden der Commissie voor het onderzoek naar de daling van den bodem van Nederland. Aangeboden in de vergadering van 24 Februari 1883. . n Verslag over het antwoord, aan den Minister van Biunen- landsche Zaken te geven op vier vragen, betrekkelijk de Vivisectie. Uitgebracht in de vergadering van 24 Februari 1883 92. 94. 118. 208. 212. 326. 391. 394. 399. 415. ! K H O U B. VII M E I) £ D E E L 1 IN G E IN. Ch. M. Schols. Berekening van afstand en azimuth uit lengte en breedte. (Met 1 plaat) . blz. Dr. W. Kapteijn. Eenige opmerkingen omtrent gewone lineaire differentiaalvergelijkinsren « Dr. Max Weber. Over coalescentia calcaneo-navicularis. (Met 1 plaat) E. Mulder. Bijdrage tot de kennis van normaal cyaanzuur. Derde gedeelte E. Mulder en H. G. L. van der Meulen. Ozon tegen- over platinazwart // E. Mulder en H. G. L. van der Meilen. Bijdrage tot de thermo-chemisehe kennis van ozon. Aanhangsel tot ket tweede gedeelte . ' „ A. C. Ou dem ans Jr Over ket soortelijk draaiingsvermogen van apocinckonine en kydrockloorapocinckonine onder den invloed van zuren „ D. Bierens de Haan. Bouwstoffen voor de gesckiedenis der wis- en natunrkundige wetensckappen in de Neder- landen 218 en Ch. M. Schols. Over de aansluiting van een driekoeksnet van lagere orde aan drie punten van een net van koogere orde. (Met 1 plaat) J. Bueno de Mesquita. Algemeene vergelijkingen voor een gecentreerd lenzenstelsel (/ D. .1. Kortf/weg. Algemeene Stellingen betreffende de sta- tionaire beweging eener onsamendrukbare, wrijvende vloei- 1. 95. 121. 137. 170. 176, 178. 277. 303. 329. 343. VTTI I N H O ü D. C. A. J. A. Oudemans. Bijdrage tot de Flora Mycologica van Nederland. IX blz. 360 E. Mulder. Bijdrage tot de kennis van normaal cvaanzuur. Tweede Gedeelte , ... „ 424 ERRATA.. Blz. 401 regel 12 v.b. Staat : vorige, lees: overige n 406 n 1 n n in, lees: in de u 411 II 1 v.o. n worden, lees-, werden \l 414 // 4en 7 v.b. n macrograaf bladen, lees : mareograafbladen BEREKENING VAN AFSTAND EN AZIMUTH UIT LENGTE EN BREEDTE. DOOB Ch. M. S C H 0 L S. A. Opsojiming der formules. § 1. Tn het in 1880 versehenen werk van Prof. Hel- mert : Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie, wordt de wenschelijkheid besproken, om lief vereifenen van de fouten in een driehoeksnet uit te voeren volgens de methode der indirecte waarnemingen, met de geographische lengteu en breedten als onbekenden. Hierbij doet zieh telkens het vraagstnk voor : uit de breed- ten en het lengteverschil van twee punten hun afstand en de wederkeerige azirauthen te berekenen. Voor de bereke- ning daarvan verwijst liij (blz. 496) naar de oplossingen van dat vraagstuk op blz 157 en 313. De eerste daarvan heeft betrekking op astronomische azimuthen en op de koorde, de tweede op geodetische azimuthen en op de lengte van de geodetische lijn. Geen van beide stel formules bezit die eenvoudigheid welke voor de veelvuldige toepassingen, die voor het bovengenoemde doel daarvan gemaakt nioeten wor- den, noodzakelijk is. Ik heb daarin aanleiding gevonden, eene reeds vroeger begonnen studie over dat onderwerp wederom op te vatten, en wensch thans eenige van de zeer eenvoudige resultaten mede te deelen, waartoe ik gekomen ben. De gevonden VERSL. EN MEDED. APD. NATUL'RK. 2de REERS. DEEL X.VII1. 1 formules zijn van dien aard, dat de berekening daarmede voor alle meetbare driehoekszijden even eenvoudig is, alsof de punten op een bol gelegen waren. Ook bij grootere af- standen, waar die forxnnles niet meer toereikend zijn, is bet aanbrengen van de noodige correctien zoo eenvoudig, dat de daarvoor noodige berekening zoo goed als nul is. In het algemeen wil ik hier opmerken, dat de in bet ver- volg bedoelde azimuthen zoogenaamde astronomische azi- muthen zijn, de hoeken dus tusscken de verticale doorsneden en de meridiaanvlakken, lretgeen voor het bovengenoemde doel juister is dan bet gebruik van geodetiscbe azimuthen. In de eerste plaats wensch ik liier de formules te geven voor de berekening van de azimuthen en van de koorde en wel tot op afstanden gelijk aan het tiende gedeelte van den straal van den equator of 638 kilometer. Voor de daarop volgende formules, die betrekking liebben op de azimuthen en de directe berekening van de lengten der elliptische bo- gen, zal ik mij voorloopig tot körte afstanden moeten be- palen, maar die toch nog van dien aard zijn, dat daaronder alle meetbare driehoekszijden begrepen zijn. Voor grootere afstanden ben ik nog bezig met het onderzoek naar den besten vorm aan die formules te geven. § 2. Stellen wij ons in de eerste plaats voor, dat wij te doen hebben met een bolvormig aardoppervlak en dat wij daarop twee punten Ax en A% hebben, met de geographische breedten cp1 en <p2 en het lengteverschil A, daD worden de meridiaan-convergentie u , het gemiddeld azimuth A'm en de lengte van de koorde K' gegeven door de bekende for- mules : tg\a' — sin | X sin q>m sec \ 1 sec ^ ß (1) K’ sin A’m = 2 R' sin \lcos <pm (2) K1 cos A'm =2 tt' sin cos \ \ (3) waarin cpm = %(cp.2 -j- qpx) de gemiddelde breedte, ß = <j>2 — cpl het breedteverschil en R' den straal van den bol voorstellen. ( 3 ) Neemt men voor Az altijd het punt met de grootste breedte, dan is ß altijd positief, en voert men X ook altijd met bet positieve teeken in. dan bereikt men bet voordeel dat «' en A'm altijd positief en kleiner dan 90° zijn, zoo lang men op betzelfde balfrond blijft en vergissingen met bet teeken dus tot de onmogelijkheden bebooren ; alleen na afloop der berekening moet men op de teekens letten om de azimuthen uit A’m en ol af te leiden. Onderstellen wij om de gedachte te bepalen, dat de punten op het noordelijk balfrond liggen en dat men de azimuthen uit bet noorden door het oosten telt, dan heeft men: 1°. Als bet punt A2 met de c/rootste breedte bet meest oostelijke is (fig. 1): Azimuth Al A.2 = A'm — ^ (4) Azimuth A2AY = 180° -f Äm -}- ^ ol . . (5) 2°. Als bet punt A2 met de grootste breedte bet meest westelijke is (fig. 2) : Azimuth Ai A2 — 360° — A'm 4- . . . (6) Azimuth A2 Ai = 180° — A'm — ±a' . . . (7) § 3. Nemen wij thans de ellipso'id-vormige aarde en drukken de daarop betrekking bebbende grootheden door de- zelfde letters als boven uit, maar zonder accenien, dan kan men de meridiaan-convergentie altijd blijven berekenen volgens de formule (1) voor den bol; zelfs bij afstanden, overeenko- mende met een tiende van den straal van den equator of 638 kilometer, wordt de fout in u nog siech ts 0''.00015 (Regel van Dalby, zie Helmert blz. 150). Met bet gemiddeld azimuth en de koorde is het anders. Men kan echter tot op afstanden van 100.000 meter met dezelfde nauwkeurigheid als die, welke in bet algemeene bij de berekening met logarithmen met zeven decimalen bereikt wordt, de formules (2) en (3) met eene kleine wijziging toepassen; men heeft nanielijk in (2) den straal slecbts te verfangen door de nonnaal Am voor de ge- 1* middelde breedte en in (3) door den kromtestraal TtM van den meridiuan, ook voor de gemiddelde breedte ; dns : K sin Am = 2 Nm sin cos (8) K cos Am = 2 Rm sin l ß cos % X (9) Heeft men A,n en u berekend, dan worden de azimuthen wederom gevonden uit form. (4) en (5) of (G) en (7). Bovenstaande formnies (8) en (9) zijn benaderingsformules ; de juiste formules vindt men door ieder van die formules te vermenigvuldigen met een factor, die op grootheden van de vierde orde na gelijk zijn aan de eenlieid, waarbij de excen- triciteit als eene grootheid van de eerste orde besckouwd wordt *). Voor zooverre betreff de terrnen, die afhangen van lief vierkant van den afstand, zijn deze factoren: a 1 — 4 sin2 q>M + 2 e2 sin2 -f e2 sin* ,fm _ 5 (1 — e2 S1V2 (Pm)2, -{l2 ) C0s6 <f>m C0S 2 Am (1°) 1 + i^«2 1 — 2 sin 2 if,„ + 4 e2 sin2 cpm — 3 e2 s/’k4 cp,,, (1— e2 sin2 cp,,)2 — ö COS4 cpr, 1 — t * ! ; 2 e2 \2 \l—e2 COS6 cp m COS2 Am . (11) Let men op deze terrnen, dan vindt men voor de fout in Am berekend uit (8) en (9): *) In de recensie van bovengenoemd werk van Helmert, voorkomende in Heft 3, 1881 van lief Vierteljahrschrift der astronomischen Gesellschaft en overgenomen op blz. 359 van bet Zeitschrift für Vermessungswesen 1881, Staat bij vergissing dat Helmert als grootheid van de eerste orde beschouwt. In overeeustemming met Helmert neem ik e als grootheid van de eerste orde, hetgeen voor groote afstanden het mecst doelmatige is. sinAmcosA,n . . (12) ( 5 ) {ß2e2 l-l-e2-2e2sin2q)m. nn\m-\l2- — -cos*cpm (1 -e2 sin2 9m)2 1 -a2 of, als men 1 en ß uitdrukt door K, namelijk : K 1 cos ym =--sin Ar ■N m .(13) IX IX cos Am = — cos A , Rm Nm dan gaat de uitdrukking voor die fout over in: e2 K 2 r i (1_-,-2 |_(* + e2 — 2 e2 sin 2 q>m) sin2 <p,„ cos2 Am — — (1 — e2) cos2 cpm sin2 Am~^ sin Am cos Am (15) Deze uitdrukking wordt nul voor Am — 0, voor Am = 90° en voor Am ongeveer gelijk aan q>m; daartusscken liggen een positief en een negatief maximum. De allergrootste waar- den verkrijgt die uitdrukking voor cpm =0, A,a =60° en voor <j)m = 90°, Am = 30° en wel : 3 1/3 e2 K2 64 1 — e2 / en -j- 3/3 9 K2 64 u2 Nemen wij K — 100000 meter, dan worden deze maxi- mum-waarden respectievelijk : — 0",0277 en + 0",0275. Bij de berekening met logarithmen wordt Am gevonden uit de log tg ; eene fout daarin heeft op de juiste waarde van den hoek den grootsten invloed bij een hoek van 45° en wel komt daarbij eene fout van eene eenbeid van de zevende decimaal overeen met eene fout in den hoek van 0'',0237 , zoodat dus bovenstaande maximum-fout in den hoek volgens ( 6 ) form. (8) en (9) overeenkomt met eene fout, die iets groo- ter is dan eene eenheid van de zevende decimaal in de lo- garithme. Uit (10) en (11) volgt verder voor de fout in K : „2 > 2 K ^ l1 2 (—■" - j cos 6 cp,n cos 2 Am + \ l2 - — — cos* cp,n cos 2 A„ 1 — 4 sin2 cpm + 2 e 2 sin2 </m + e 2 sin*cpm. * i52 e2 77 — — ü (1 — qp»)2 2^m — l—2sin2cpm-\-4:e2sin2q)m — 3 e2sin*q>m -i — ^ e •“* J-J= 1 e2 Ks r — — - — - I (1 -f- 2 sin2 cpm) (1 ~e2) cos 2 Am — 8 (\—e2)2 NJ LV ^ } — (2 — e2 -j- 2 e2 sin2 qim — 3 e2 sin * <pm) cos * . . . (16) De afgeleide van deze uitdrukking ten opzichte van Am wordt nul voor Am = 0, Am— 90° en voor Am bepaald door de vergelijking : (1 + 2 sin2 q>m) (1 — e2) 2 (2 — e2 + 2 e2 sin2 qim — 3 e2 sin * qpw) ^ ^ Voor Am = 90° wordt de uitdrukking (16) altijd nul; voor Am = 0 wordt zij : 1 e2 Kz — ö Ti 2T2 ÄHt "~2 w'“8 9»* + 4 ß2 «*2 — 3 e2 qp,„) o (i — c ) jy ni en voor Am gegeven door formule (17): 1 0 (1 + 2 sin 2 cpm)2 32 Nm2 2 — e2 + 2 e2 sin2 q>„, - Be2 sin* <pm Deze twee uitdrukkingen verklagen bare uiterste waar- den voor cpm = 0 en cpM = 90°, namelijk : 1 e 2 ^ 8 (1 — e2)2 a2’ ( 7 ) 1 + 8* 2 K 3 1 e2 Z3 32 2— e2 T2 en _9 64 Z3 ^2 ; de laatste van deze uitdrukkingen is de grootste, zoodat dus de grootste fout in de koorde, berekend uit de formules (8) en (9), uitgedrukt wordt door: _9_ 64 Ä'3 welke waarde voor K— 100000 meter gelijk is aan 23 millimeter, juist overeenkomende met eene eenheid van de 7e decimaal der logarithme. Het blijkt dus dat de fouten in Am en in Z berekend uit de formules (8) en (9) tot op afstanden van honderd dui- zend meter, slecbts opklimmen tot een bedrag, dat ongeveer gelijk staat met de fout, die kan ontstaan bij het werken met logarithmen met 7 decimalen. Die fouten zijn ook van dien aard, dat zij nog belangrijk kleiner zijn dan de fouten, die bij de meting te vreezen zijn ; zoodat die for- mules voor alle meetbare driehoekszijden (met uitzondering van eenige buitengewoon lange zijden, die maar uiterst zel- den voorkomen) gerust kunnen worden toegepast. De hierboven ontwikkelde grootste waarden, die de fouten kunnen bereiken, hebben plaats bij de breedten (p„ = 0 of (pm — 90°, voor andere breedten kunnen die maximum-fouten nog veel kleiner zijn. Om daarvan een overzicht te geven volgt liieronder een lijstje van de maximum-waarden der fouten bij verschillende breedten van 5 tot 5 graden, be- rekend uit de formules (15) en (16) voor een afstand van 100000 meter. ( 8 ) Maximum-fout in 1 Pm ■Am K secunden. millimeters. 00 0,028 21 5° 0,027 20 100 0,026 19 150 0,025 18 20° 0,023 16 250 0,021 13 30° 0,019 10 35° 0,016 7 400 0,013 9 450 0,011 10 500 0,013 12 55° 0,016 14 60° 0,019 16 65° 0.021 18 70° 0,023 20 75° 0,025 21 800 0,026 22 850 0,027 23 90° 0,028 23 § 4. Wil men bij afstanden zooals de liiervoor bedoel- den eene grootere nauwkeurigbeid bereiken of de berekening ( 9 ) voor grootere afstanden uitvoeren, dan moet men de ver- waarloosde termen in rekening brengen. Dit gescbiedt bet gemakkelijkst door bij de berekening aan de logarithmen zekere correctien voor te brengen; men kan de formules dan als volgt schrijven : K sin Am = 2 Nnl sin 5 lcos<j)m . ql (18) K cos Am — 2 Rm sin % ß cos ^ X . q2 (19) waarin tot op grootheden van de 6,le orde na : log 71 = — [1 ] sin2 ^ ß sin2 qjm -f- j [1] sm2 | • • (20) logq2 = — [1] sin2h ^ cos^cpm 4- ^ [ 1 ] sin2 | ß cos 2 cpt„ . . (21) [1] = M 107 log [1] = 4,465 log \ [1] = 4,164. 1 — De hierin voorkomende constante [1J is zoodanig bepaald, dat de correctien worden gevonden in deelen van de zevende decimaal als eenheid. Is het alleen te doen om de azimuthen, niet om de lengte der koorde, dan kan men de twee termen met cos 2 weg- laten, die op het gemiddeld azimuth geen invloed hebben. Voor 110g grootere afstanden, tot afstanden gelijk aan een tiende van den straal des equators of 638 kilometer, kan men nog zeer gemakkelyk de termen van de zesde orde in rekening brengen. Het verdient alsdan aanbeveling de correctie-termen in twee groepen te verdeelen : eene, waarin de termen voor- komen die invloed hebben op het gemiddeld azimuth en eene tweede, die de termen bevat, welke alleen invloed hebben op de lengte der koorde. Deze laatste correctie-termen worden dan eerst aangebracht nadat het azimuth berekend is; dit is vooral 00k daarom noodzakelijk, omdat een van deze termen direct af hangt van het azimuth en dus moeielijk vooraf be- rekend kan worden. De formules zal men in dit geval het best als volgt schrrjven : ( 10 ) K0 sin Am — 2 N„, sin | X cos q> m . q1. , . . . (22) K0 cos Am — 2 Rm sin \ ß cos ± X . q2 . . . . (23) K= K0(is (24) waarin : logqi = — [1] sin2 1 ß sin2cpm — [1] sin2 1 ß sin2(ptll sin 2 ^ ß cos 2 1 X — — [1] sin 2 4 ß sin 2 cpm sin 2 4 ^ cos2 <jPw (25) = — [1] sin2 \ X cos*cpm — [1 ]si«2 b Xl os4q/m sin2 ^ Xcos2cpm + -J- [1] sin 2 | ß sin2 cpm sin 2 ± X cos2 cp/n (26) Rm logq3 — -f- i[l] —sirfi % ß cos 2cpm [Y\sin2±ßsin~cpM [2]c-os2qpm — ™ m — [1] sin2 i X cos 4 cpm [3] cos 2 q>m cos2 Am , . (27) Drukt men de correctien nit in deelen van de 10de deci- maal als eenheid, dan liebben de constanten de volgende waarden : e2 [1 ] = Jf- rlO10 ^[1] = 7,46510 %i[!]= 7,16407 1 — e~ 5 [2] = ~e2 log[ 2] = 8,222-10 2 e2 [3] = i- log [3] = 7,526-10 1 — e" De bij de laatste formules verwaarloosde termen van de 8ste orde zijn van dien aard, dat zij bij een afstand van 638 kilometer alleen invloed liebben op de llde decimaal van de logarithmen ; al die termen te samen genomen kunnen de 10dc decimaal wellicbt een of twee eenheden fout maken, zoodat men de azimutken bij genoemden grootsten afstand altijd nog tot in 4 decimalen van de secunde nauwkeurig vindt, terwijl in de lengte der koorde hoogstens eene fout van 2 millimeter kan optreden. ( 11 ) De correetie-termen (20) en (21) en (25) — (28) mögen eenigszins samengesteld voorkomen, voor de berekening zijn zij dit niet, als men in aanmerking neemt, dat men er vol- strekt niets anders voor behoeft op te‘ zoeken dan de log cos 2 ; al de vorige grootkeden zijn bij de koofdbere- kening, die gebeel met de spheriscbe berekening overeenkomt, reeds opgezocht. Het duidelijkst blijkt dit uit de hierackter volgende voor- beelden, waarin de grootkeden, die uit ket vroegere gedeelte der berekening worden overgenomen, door kleine letters zijn aangewezen. § 5. Als toepassing nemen wij de twee voorbeelden, die in ket werk van Helmekt voorkomen en in de eerste plaats ket tweede voorbeeld op blz. 164 — 166. De lengte der koorde is daarbij ongeveer 120000 meter zoodat de fouten bij de berekening volgens form. (8) en (9) grooter können zijn dan de kiervoor berekende en wel voor ket azimutk in reden van 1 tot 1,23 = 1,44 en voor de koorde in reden van 1 tot 1,23 = 1,728. Wij geven eerst de berekening volgens form. (7), (8) en (9), dus zonder eenige correctie, en rekenen met 8 decimalen, daar bij zeven decimalen de fouten van de formules door die van de logarithmen bedekt zouden worden. <f2 = 57° 9l = 56°13'49'\ 02186 l = 1°22'6", 03270 41'3", 01635 h ß = 23'5'', 48907 <*>,„ = 56°36'54", 51093 log sin ^ X log sin q>m log sec | A log sec | ß log tg t a = 8,0770318.4 = 9,9216830.0 = 7,9987556.0 309.6 98.0 34'16",678 ( 12 ) log 2 — 0,3010300.0 log Nm = 6,8056563.1 log sin 4 ^ = 8,0770318.4 log cos <jpm = 9,7405680.1 log K sin Am = 4,9242861.6 log sin Am = 9,8451112.1 log K = 5,0791749.5 log 2 = 0,3010300.0 log Rm = 6,8047736.4 log sin 4 (5 = 7,8271747.0 log cos | 4 = 9,9999690.4 log K cos Am = 4,9329473.8 log cos Am = 9,8537724.3 log K = 5,0791749.5 log K sin Am = 4,9242861.6 log K cos Am = 4,9329473.8 log lg Am = 9,9913387.8 dm = 44°25'43'',348 1 (jr 2 U = 3416", 678 180° — Am— i« = 134°59'59",974 360° — Am + 4« = 316° 8'33",330 Z = 119998,262 Helmert vindt voor dit voorbeeld, voor de azimuthen: 314°59'59'\988 136° 8'33'',344 eu voor de koorde: log K — 5,0791748.5 K— 119998,234 Meter. De formules (8) en (9) geven dus liier in de aziinutlien of: ( 13 ) eene fout van 0",014 en in cle kooi’de eene fout van eene eenheid van de zevende decimaal of 28 millimeter. Zie liier tlians ketzelfde voorbeeld met de termen van de vierde orde er bij : qp3 = 57° l = 1°22'6", 03270 q>x = 56°13'49", 02186 \l— 41'3", 01635 q>m — 56°36'54", 51093 i ß = 23'5", 48907 log sin f h = 8,0770318.4 log sin qm = 9,9216830.0 = a log sec 1- /. = 309.6 log sec ' ß = 98.0 log tg * a = 7,9987556.0 ;«= 34'16”, 678 log 2 = 0,3010300.0 log [1] = 4,465 log Nn = 6,8056563.1 2 d = 5,654 log sin ^ Ä = 8,0770318.4 =b 2 a = 9,843 log cos qjm = 9,7405680.1 = c log q = 9,962 — C1 = — 92 + c2 = —26 log K siu Am = 4,9242860.4 log \ [1] = 4,164 log sin Am = 9,8451111.8 2 d = 5,654 log K = 5,0791748.6 log cos 2 q>m = 9,596* log = 9,414* log 2 = 0,3010300.0 log Rm = 6,8047736.4 log sin ^ fi = 7,8271747.0 = d f off [1] = 4,465 log cos \ 1 = 9,9999690.4 2 b = 6,154 ' c3 = - 38 4 c = 8,962 + cz = — 26 log c3 = 9,581 log Kcos Am = 4,9329473.2 log cos A,n = 9,8537724.6 log K = 5.0791748.6 ( 14 ) log K sin Am = 4,9242860.4 log Ii cos Am = 4,9329473.2 log lg / lm = 9,9913387.2 Am = 44°25'43",333 i « = 34'16",678 180° — Am — = 134°59'59'',989 360° — -j- — 316° 8'33'',345 A'= 119998,237. De hier verkregen uitkomsten verschillen met die van Helmert slechts 0 " , 0 0 1 voor de azimuthen en 3 millimeter voor de koorde. Zij stemmen met die uitkomsten zoo goed overeen als met logaritkmen met acht decimalen mogelijk is ; wan t in de log K is slechts een verschil van eene een- heid van de 8ste decimaal en indien men de log tg Am in de achtste decimaal met eene eenheid vermeerdert, vindt men in de azimuthen eveneens eene afwijking van 0'',001, maar in tegengestelden zin. Nemen wij thans het eerste voorbeeld van Helmert (blz. 158 — 164) brengen wij de termen van de zesde orde in rekening en rekenen wij met 10 decimalen. Koningsbergen qp3 = 54° 42' 50 r,,6 Berlijn <px = 52° 30' 16", 7 cpm= 53° 36' 33", 65 l = 7° 6' 0" \l — 30 33' 0" iß — 1° 6' 16", 95 logsin 8,7918278131 log sin q>m — 9,9057908074 = a log sec i )* — 8341494 log sec i ß = 807294 log lg i a = 8,6985334993 i tt =2°51,34", 32410 ( 15 ) loysin \l = 8,7918278131 % [1] = 7,46510 log cos qpm = 9,7732652484 = 5 2 * = 6,57020 8,5650930615 = c 2 a = 9,81 158 log Nm = 6,8055846752 = d % c: = 3,84688 log 2 = 0,3010299957 2 /= 6,569 — e1 = —7028.8 2 c = 7,130 — c2 = — 2.6 log c3 = 0,416 — <?3 = — 9.5 log r3 = 0,977 logK0sin Am-~ 5 , 6717070283 log sin Am = 9,9475723000 log [1] = 7,46510 logK0 = 5,7241347283 2 c = 7,13019 2 5 = 9,54653 logsin \ß= 8,2850980893 = e log c4 =4,14182 log cos \ 1 — 9,9991658506 2 c =7,130 8,2842639399 =/ log C5 = 1,272 log Bm = 6,8045587386 = g log 2 = 0,3010299957 log i [1] = 7,16407 — = —13861.8 2 e = 6,57020 ■ cö —— -18.7 logcos2(fm= 9,47132, + c3 — +9.5 «7= —103 !ogK0cosJm=h, 3898512871 % c6 = 3,20456, log cos Am = 9,6657165588 = h log A0 = 5,7241347283 log [2] = 8,222 + c6 = —1601.6 log cx = 3,847 + Cij = +41.3 2 5=9,547 — ^8 — — 3.5 log er, = 1,616 log K = 5,7241345719 — ~ log [3] = 7,526 log K0 sin Am = 5,6717070283 log c4 =4,142 log K0cos Am = 5,389851 2871 2 5 = 9,547 logtgAm =0,2818557412 2 /< =9,331 log c8 =0,546 Am= 62°24'35'\ 25647 i«= 2°51'34'', 32410 Am — 4 « = 59033' 0",9324 180°+4/(-}-i«=24501G' 9", 5806 Azimuth Berl. Konino-sb Ö Azimuth Koningsb. Berl. ^ — 529827,593 Koorde Koningsb. Berlyn. ( 16 ) De hier gevonden resultaten stemmen volkomen overeen met die van de eerste berekening van Helmeet (blz. 158 — 162). Wel vertoont de logarihme van de koorde een verschil van 6 eenheden van de laatste decimaal (Helmeet vindt voor de drie laatste cijfers 725) maar dit verschil heeft alleen invloed op de onderdeelen van de millimeters. Tot in onder- deelen van millimeters uitgerekend, geeft onze berekening . . . . 592,54 millimeter; die van Helmeet .... 593,27 millimeter; dus een verschil van 0,73 millimeter. Waaraan dit verschil moet worden toegeschreven, aan liet verwaar- loozen van termen van hoogere orde of aan de fouten in de logarithmentafel van Vega : Thesaurus logarithmorum com- pletus (zie Beemikee’s Logarithmentafel van Vega met 7 decimalen, Vorwort, blz. VIII, en Helmeet’s noot op blz. 41) kan ik op dit oogenblik niet beslissen, maar is praktisch voor de hier bedoelde afstanden van weinig belang. Helmeet geeft nog eene tweede berekening van de azi- muthen, die van de eerste en dus ook van de onze 0",0001 afwijkt, daarbij zijn echter de termen van de zesde orde, die zieh toevallig compenseeren (blz. 162), verwaarloosd. Dat zieh toevallig compenseeren van de termen van de zesde orde heeft bij onze berekening ook plaats; zonder de termen van de zesde orde vinden wij voor de onderdeelen van de secunden van Am ",25650; waaruit volkomen dezelfde waarden voor de azimuthen volgen ; op deze compensatie valt echter niet altijd te rekenen. Voor de koorde geeft Helmeet nog twee andere bereke- ningen, die met de eerste twee eenheden van de tiende deci- maal verschöllen : de eene in positieven, de andere in nega- tieven zin ; met onze uitkomst verschillen zij dus 4 en 8 eenheden van de tiende decimaal of 0,48 en 0,97 millimeter. Bij de twee laatste berekeningen zijn afzonderlijk de termen van de zesde orde in rekening gebracht, waarvan de invloed nog 44 resp. 41 eenheden van de 1 ('de decimaal of 5,4 resp. 5,0 millimeter bedragen. Laten wij bij onze berekening de y termen van de zesde orde geheel weg, dan vinden wij in de ^ logarithme een verschil van 25 eenheden van de 10de deci- i maal overeenkomende met 3,0 millimeter. ( 17 ) Bij het vergelijken van de hier gegevene berekening met die van Helmert, dient men wel in het oog te kouden, dat Helmert niet de volledige berekening gegeven heeft, zooals wij hierboven gedaan hebben ; van vele termen, vooral van de correctie-termen van hoogere orde, waarvan de berekening soms omslagtig is, geeft bij alleen het resultaat. Om eene zuivere vergelijking te maken, moet men de berekening vol- ledig opschrijven en dan eerst zal men het verschil kunnen beoordeelen. Bij eene oppervlakkige beschouwing zal men echter reeds zien, dat de voorafgaande spherische berekening van Helmert, op de twee grootheden Nm en R,„ na, geheel overeenkomt met onze hoofdberekening, dat alle correctie- termen hier gemakkelijk gevonden worden en er volstrekt geene hulpgrootheden noodig zijn, zooals er bij Helmert zoo vele voorkomen, zelfs bij de kleine afstanden. § 6. Gaan wij thans over tot de berekening van de azimuthen en van den afstand van de punten längs het aard- oppervlak gemeten. De berekening van de halve meridiaan- convergentie kunnen wij hier achterwege laten, omdat die altijd volgens formule (1) kan geschieden. Onderstellen wij wederom een bolvormig aardoppervlak en stellen den afstand der punten in lengtemaat door S', in hoekmaat door s' voor, dan heeft men : sin 4 s1 sin A',„ = sin | ). cos (28) sin \ s' cos A',„ — sin ^ ß cos ^ X (29) S' =R's' (30) Voor de ellipsoide kan men nu voor alle meetbare drie- hoekszijden, met eene nauwkeurigheid overeenkomende met die, welke bij eene berekening met logarithmen met 7 deci- malen bereikbaar is, stellen: • i • a ^ m ■ i i sin i s sm Am — — sin j K cos (fim (31) VEKSL. EN HEDEN. AED. NATUURd. EEEKS. DEEL XVIII. 2 ( 18 ) S=Rs (33) Waarin R eene functie van <pm is, waarover men naar willekeur kan bescliikken en die men zoodanig zal kiezen, dat de berekening eenvoudig en de fout in S zoo klein mogelijk wordt. De twee vergelijkingen (28) en (29) geven door deeling dezelfde waarde voor tg Am als (8) en (9), zoodat de nauw- keurigbeid, waarmede Am gevonden wordt, dezelfde is als die, welke wij in § 3 liebben nagegaan. De fout in «S is afliankelijk van de waarde, die men aan R geeft. Die fout is, voor zooverre zij afhangt van de ter- men van de derde macht van den afstand: Daar de willekeurige functie R niet voorkomt in bet periodisch gedeelte der fout, zoo kan men door de keuze van die functie de maximum-waarde van de fout alleen terug- brengen tot de helft van de amplitude van bet veranderlijke o-edeelte. Deze waarde is voor 5 = 100000 meter, in kolom Ö 2 van de hier volgende tabel opgenomen, uitgedrukt in mil- limeters. i ?s 1 — 4 sin* 1 2 * q>m 4- 2 e2 sin 2 qp,„ + e2 sin4 cpm (1 — e2 sin2 q>m)2 1 — 2 sin2 cpm -f- 4 e2 sin2 cpm — 3 e2 sin4 cpm (1 — e2 sin2 <pm)2 m ( 19 ) De waarden voor R , die voor de berekening bet gemak- kelijkst zijn, zijn R = R,n en R = Nm ; de kolommen 3 en 4 bevatten de maximum-fouten, die alsdan in S voor een afstand van 100000 meter overblijven. Het blijkt daaruit dat voor breedten, kleiner dan 35° a 40°, de waarde R — Rm , voor grootere breedten de waarde R — Nm de meest voor- deelige is. Men zou ook de gemiddelde straal {/ Rn JSrm kun- nen bezigen, maar deze geeft alleen voor breedten van 35° a 40° een zeer klein voordeel boven de bovengenoemde waar- den. Een constante waarde voor R te nemen geeft alleen eenig voordeel bij groote breedten en dan is de waarde a 1 — e* aan te bevelen, zooals nit kol. 5 blijkt. Wilde men de maximum-fout overal tot bet minimum van kol. 2 terugbrengen, dan zou men voor R , voor iedere breedte, eene andere waarde moeten nemen of daarvoor eene ingewikkelde functie van cpm moeten kiezen, hetgeen niet aan te bevelen is; eensdeels omdat daardoor de maximum-fout maar weinig verminderd kan worden, anderdeels, omdat bet daardoor toch niet mogelijk is de nauwkeurigbeid van Am te verhoogen. Men doet dan veel beter met in de berekening eenvoudige correctie-termen op te nemen, waardoor de waarden van Am en <S gelijktijdig met eene veel grootere nauwkeu- rigbeid gevonden worden. Uit de cijfers, in onderstaande tabel vervat, blijkt echter, dat men voor de daarin opgenomen waarden van R , narne- a lijk : Rm , Nm en -, zelfs voor afstanden van 100000 1 — e 3 meter eene nauwkeurigbeid bereikt, die gelijkstaat met de nauwkeurigheid, die met logarithmen met 7 decimalen be- reikbaar is. 2* tym 00 50 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 450 500 55° 600 65° 70° 75° 80° 85° 90° § 7, ( 20 ) Halve am- Maximumfout voor plitude van de fout. R — Rm R—Nm R — a i—e* millimeters. 17 millimeters. 21 millimeters. 35 millimeters. 48 17 20 34 48 17 19 33 46 16 18 31 44 15 16 28 41 13 13 25 37 12 13 21 33 10 13 16 28 9 13 12 23 7 14 7 17 6 15 9 12 6 16 12 9 7 18 14 9 8 19 17 8 9 20 19 II 10 22 21 13 11 23 22 15 12 23 23 16 12 23 23 16 il men bij afstanden zooals de hiervoor bedoelden ?re nauwkeurigbeid bereiten of de berekening op standen toepassen, dan dient men de verwaarloosde ' *: ( 21 ) correctie-termen in rekening te brengen. De beste vorm, als- dan aan de vergelijkingen te geven, voor een later onderzoek overlatende, znllen wij ons liier er toe bepalen, die correc- tien onder een anderen vorm in rekening te brengen, die voor niet al te groote afstanden zeer doelmatig is. Bij de oplossing van dit vraagstuk, ook bij een bolvormig oppervlak, is bet, bij niet al te groote afstanden, dienstig de formules in reeksen te ontwikkelen, zoodat men niet de si- nussen van de kleine hoeken in rekening te brengen heeft, maar die hoeken zelven uitgedrukt in secunden. Bij een bolvormig aardoppervlak kan men alsdan schrijven : log a' = ?og (X sin qjm sec 2 ß) [1] X2 cos2cpm , .... (35) loff(SlnnA'm)=loff(R'bffl"hcoscp,„) — [2]la«»2qpm-j-[3]/32, . . (36) log{S'c08Ä'm) = log(R'bgV' ßcos^+l^X* cos2 <fm, .... (37) waarin «', ß en X in secunden uitgedrukt zijn en de con- stanten de volgende waarden hebben, als de correctien uit- gedrukt worden in deelen van de 7de decimaal als eenheid : [l\ — ~by2V %[1] = 4,92975—10 1 2 [2] = [3] = [4] = g bff2 1" % [2] = 4,62872—1 0. Past men deze zelfde ontwikkeling toe op de formules (31) — (33), dan heeft men in (36) en (37) alleen de R' te vervangen door Nm resp. Rm. Bij de berekening onder dezen vorm kan men echter de correctie-termen van de orde e2*2 gemakkelijk in rekening brengen, door in plaats van de con- stanten [3j en [4] waarden te bezigen, die langzaam met (pm veränderen en waarvan men gemakkelijk vooraf een tabelletje kan opmaken, en een kleinen correctie-term aan te brengen, die afhangt van cos 2 ym , dezelfde, die ook in de formules (20) en (21) voorkomt. Het eerste geeft dus geen meerderen arbeid dan bij de sphe- rische berekening, alleen de laatste correctie-term moet af- ( 22 ) zonderlijk berekend worden, maar daarvoor zijn logarithxnen met drie decimalen voldoende. Komt bet alleen aan op bet berekenen van het azimutb, niet op bet volkomen nauwkeu- rig berekenen van den afstand, dan kan die term zelfs acb- terwege blijven, daar bij geen invloed beeft op bet azimutb. De formules (36) en (37) kan men dan als volgt scbrijven: log S sin Am = log ( Nm hgl" X cos (pm) — [2] "k2 sin2 cpm + [3] ß2 -f- + [5] ßz cos 2 <pm (38) log S cos Am — log {Rm lg 1" ß cos ^ l) -j- [4] L2 cos2 <fm -\- + [5] ß2 cos 2 cpm, (39) waarin : [2] - 107 ljgZ\" log [2] rr: 4,62872 — 10 M f e2 \ [3] = - 107 ^21'^ 1-6— sin2(pmj M ( e2 \ C4]~24 107¥1''(1-6^I^cos2^) M e2 [5] = - 107- bg2 1" log [5] = 2,933-10 ö 1 — 6* De formule (35) kan om vroeger vermelde redenen (zie § 3) onveranderd blijven *). Voor de waarden van log [3] en log [4] volgt hieronder een tabelletje, zicb uitstrekkende van = 30° tot (pm = 60°, dat voor de berekening vol- doende is, daar bet eene gemakkelijke interpolatie toelaat, en logarithmen met 4 decimalen meestal voldoende zijn. *) Bij de berekening van de koorde is eene ontwikkeling, zooals hier ge- geven wordt, minder aan te bevelen, omdat men ten slotte tocli den sinus noodig beeft. Het in rekening breiigen der correctie-termen zou er ook niet gemakkelijker om worden, omdat men, zooals uit de formules (18) — (21) onmiddellijk valt op te maken, al die correctien afzonderlijk zou moeten berekenen; alleen voor de berekening van a zou men form. (35) met vruclit kunnen toepassen. Bij het hier behandelde vraagstuk, waarbij men ten slotte den boog en 1 ( 23 ) Cp m log [3] vers. log [4] vers. 30° 4,62432 27 4,61539 27 60° 31° 4,62405 27 4,61566 28 590 320 4,62378 28 4,61594 29 58° 330 4,62350 29 4,61623 29 570 340 4,62321 29 4,61652 29 560 350 4,62292 29 4,61681 30 550 360 4,62263 30 4,61711 30 540 370 4,62233 30 4,61741 30 530 380 4,62203 30 4,61771 31 520 390 4,62173 30 4,61802 30 510 o O 4,62143 31 4,61832 31 500 410 4,62112 31 4,61863 31 490 420 4,62081 31 4,61894 32 48° CO o 4,62050 31 4,61926 31 47° 440 4,62019 31 4,61957 31 46° 450 4,61988 4,61988 45° log [4] vers. J log [3] 1 vers. <Pm Als toepassing nemen wij het reeds vroeger behandelde vraagstuk met den afstand van 120000 meter. O niet den sinus noodig heeft, is de reeksontwikkeling beter op haar plaats. Het ontwikkelen van cos V» }. in form. (37) en (39) is niet wenschelijk ; omdat de berekening er niet door vereenvoudigd wordt en de nauw- keurigheid van de formule er belangrijk door vermindert. (De fout in Am wordt er bijv. 14 malen grooter door.) ( 24 ) X = 1022'6”, 03270 = 4926”, 03270 ß= 4610”, 97814 = 2770”, 97814 g>3 = 570 = 5601319”, 02186 qjm = 56036'54”, 51093 log X = 3,6924972.9 = a hg [1] = 4,9298 log sin cpm = 9,9216830.0 = b 2 a = 7,3850 log sec £ ß = 98.0 2 c = 9,4811 + «l = 62.5 hg c1 = 1,7959 log cc = 3,6141963.4 (X = 4113”, 356 log [2] = 4,6287 2 a = 7,3850 logNmbgl " = 1,4912311.7 2b = 9,8434 log X = 3,6924972.9 log c2 = 1,8571 log cos cpm = 9,7405680.1 — c — c2 = — 71.96 log [3] = 4,6163 + c3 = + 31.74 2 d = 6,8853 + c5 = — 26 log Cg = 1,5016 log S sin Am = 4,9242924.2 log sin Am = 9,8451111.8 log [5] = 2,933 log S = 5,0791812.4 2 d = 6,885 log cos 2 cpm = 9,596* logRm IgV' = 1,4903485.0 hgc5 Cf i-H oi* II log ß = 3,4426331.0 = d log cos £ X = 9,9999690.4 log [4] = 4,6234 + = 30.87 2 a = 7,3850 + c5 = — 26 2c = 9,4811 log S cos Am = 4,9329537.0 log = 1,4895 log cos Am = 9,8537724.6 log S = 5,0791812.4 log S sin Am = 4,9242924.2 log S cos Am = 4,9329537.0 log tg Am = 9,9913387.2 Am = 4402513", 333 £ « = 3416”, 678 1800 _ Am — £ « = 134°59'59”,989 360° — Am + £ « = 3160 8'33",345 S = 119999,997 ( 25 ) Voor de azimuthen vinden wij dezelfde waarden als vroe- ger ; yoor den afstand S vinden wij een verschil van 3 mil- limeter met 120000 meter: eene overeenstemming dus, die met acht decimalen niet beter te verkrijgen is. Bij de toe- passing van de formules (31) — (33) met R — Nm , dus zonder correctien, vindt men voor de azimuthen dezelfde waarden als in de eerste berekening van § 5, voor den afstand 120000,022, of 22 millimeter te veel. 