title: Evers, Ernst: Over de Kracht die een vloeistofstroom in sommige gevallen loodrecht op zijne richting op een medegesleept lichaam uitoefent
creator: None
text: r 41 r' dr = r dr is. Men verkrijgt derhalve •»R r~‘6 d t = 2 7r /r11 r™ pB—h ze -v> z*r~6dr=2v I z* d z l r-* d r + I z* d z r~5 d r + I z* d z l r^dr \_J -B J R Jr J z J _B_h J = 2t[IB’Xï^-‘4 l(D-i-/8) + l(P + *_Ji)]_2»gB-|jï], en op dezelfde wijze ƒ z6 r~8 d t — 2 9T D — | Substitueert men dit in (31), dan komt er ten slotte Nu is Dus wordt: 11 z0 = T*(3rWP[^n 13 2 h Q D2 ’ 7 12--14 Q z>2' 7 25 * W nl Q 7 R5 Zo— n h p Q — Snhp—Q1, of, daar we den tweeden terui als zeer klein ten opzichte van den eersten beschouwen: 7 25 7 Ri H2 zo = - g- *■h p pi Q2- § 25. We vinden derhalve, dat de kracht, die de bol in de richting der ^r-as ondervindt, gericht is van het midden van den stroom af. Werkt deze kracht alleen, dan zal de bol naar den wand bewogen worden en daartegen gedrukt blijven. Alleen juist in het midden tusschen de beide platen zal de bol in evenwicht kunnen zijn, doch dit evenwicht is dan nog slechts labiel. Nemen we thans aan dat de zwaartekracht werkt, en dat de platen, waartusschen de vloei­ stof stroomt, horizontaal geplaatst zijn. Op den bol zal nu een tweede kracht werken eveneens volgens de z-as gericht en waarvan de grootte wordt uitgedrukt door het product van het volume van den bol en het verschil tusschen zijn specifiek gewicht en dat van de omgevende vloeistof. Deze kracht, die wij Z zullen noemen is evenredig met R3, terwijl Z0 evenredig is met R4. Wanneer alzoo R afneemt, neemt de verhouding tusschen Z en Z0 ten voordeele van Z toe. Ook nu be­ staat voor den bol tusschen de platen slechts de mogelijkheid van labiel evenwicht. De meet­ kundige plaats der punten, waarin het middelpunt van den bol geplaatst moet zijn, opdat hij in evenwicht (labiel) zij, is steeds een vlak evenwijdig aan de platen. Hoe grooter Z in verhouding tot Z0 wordt, des te hooger komt het evenwichtsvlak boven het centraalvlak der ruimte tusschen de evenwijdige platen. Bevindt het middelpunt van den bol zich boven het centraalvlak, dan is de resultante der beide krachten gericht naar de bovenste plaat; bevindt daarentegen dit middelpunt zich beneden het centraalvlak, dan is de resultante naar beneden gericht. Wordt Z al te groot, dan is voor den bol geen evenwicht mogelijk tusschen de beide platen en zinkt hij steeds op de benedenste plaat. Om eene enkele toepassing te maken van de voor ZQ gevonden uitdrukking, stellen wij ons 6 ; - * 7 u = b 3 x2 _5 1 „7 xy xy * = 3 bj-c^-, n , X Z X z w=Bb~^ — c —ï-, r5 r-3’ p = At C 9 Aan den bol moet «V 36 iü3 ViZ2 ~C)_^(i + C)==S_ zijn, wanneer nl. de straal van den bol R is. Hieruit volgt 3 b „ b dus R? J~°> Rs— R b = 4 -R3 (* — s) > c = — i? (<* — s). 4 A2. Voor dit geval hebben wij waarden m, d en w zoo te bepalen, dat zij weer voldoen aan de vergelijkingen voor eene stationaire vloeistofbeweging d p. ?p d y ö p 3 z = a* £ v, g. Atv, d u d v ?w_ cl# dy d z (4) (5) op oneindigen afstand verdwijnen en op het boloppervlak met den straal R de waarden u = — (3z, v = 0, w = 0 aannemen. Men kan deze vinden naar eene dergelijke methode als Kiechhofi' ge­ bruikt om de zooeven besproken oplossing te vinden. Uit de drie eerste der bovenstaande vergelijkingen volgt door differentiatie naar x, y, z en optelling Ap = 0, waaraan wij kunnen voldoen door h2 (- g eene constante zijnde. 8 Wij bepalen nu verder eene hulpfunctie F door de vergelijking P A y = p\. klaarblijkelijk voldoen dan aan de voorwaarden (4) de waarden (5') BF bf 5 F . M=—, V = —, u> = —. B ® B y B z Daar deze echter niet aan (5) voldoen, stellen wij BF . , BF BF . , U=--V = — -\-V, W = --h») B x B y B z waardoor wij uit (4) en (5) de volgende voorwaarden voor u', v', w afleiden: A w' = 0, A«' = 0, Aw'=0, ^+^ + sj£=_af=-£_-2 o x o y o z ft Het is hiermede in overeenstemming, wanneer wij stellen >(-:), }) B x B z u' — — e ——, v' = 0, w' = (e — 2 q)-: B z v ~bx waarin e eene nieuwe constante is. Wat F betreft merken wij op, dat blijkens (5') AF=2 g Ki) B« B z 2. moet zijn. Daar nu Ar = - is, mag men dus aannemen T B2 r B.z Bz’ V=g maar eveneens, met toevoeging van een term die aan de vergelijking van Laplace voldoet, en op dergelijke wijze als de bovenstaande van x en z afhangt, B2 v=f G B x'd z + 9 B2' ~èx B< Alles samengenomen verkrijgen we dus F B3 u=f v=f w=f r/ , B3 r + 9 B G) B3 (- T. + 9 B x1 B z B z ’ B3 r B xd y~d z J x~b y~b z' 9'(v) BA72 + 5rB^B72 + (e_2^ ü) B .z ’ p = 2g p B xd z (6) 30 deze integraal voor het spiegelbeeld werkelijk een ander teeken aanneemt, volgt daaruit, dat aan den bol u = üi z, v = 0, w— — a x is, en, bij overgang tot het spiegelbeeld, ai van teeken verandert. In de tweede plaats moeten deze twee integralen genomen worden over de platte vlakken. De eerste integraal verdwijnt, omdat aan de platen m'= «/= 10'= 0. De tweede integraal krijgt voor de platte vlakken den vorm: — s ƒ X. d a. De vloeistof toch, die aan de platen vastkleeft, deelt met deze in de snelheid (—s, 0, 0). Daar nu s bij overgang tot het spiegelbeeld van teeken wisselt, kan ook deze integraal worden weggelaten. Het derde oppervlak, waarover nog geïntegreerd moet worden, is de cylindermantel. Daar ’t gebleken is, dat men de snelheidscomponenten der vloeistofbeweging kan voorstellen door een som van termen van de eerste orde en van termen der tweede orde, kunnen wij bij de integralen over den cylindermantel onderscheiden een deel van de eerste orde en een deel van de tweede orde. Wat bet deel der eerste orde van de integraal j (u X', + v Tn + w Z„) d a betreft, zoo is ’t dadelijk in te zien, dat dit bij den overgang tot bet spiegelbeeld van teeken wisselt. Immers de termen in (w, v, w), die van de eerste orde zijn, krijgen voor een zelfde punt (x, y, z) bij den overgang tot het spiegelbeeld een tegengesteld teeken. Dit deel verdwijnt dus uit onze vergelijking. Om dezelfde reden zal ook bet deel van de eerste orde der integraal J (u' Xn -\-v Yn + w Z,) da.(22) wegvallen, voorzoover dit nl. van de differentiaalquotienten van (m, v, w) afhangt. Deze integraal echter omvat ook een term der eerste orde van den vorm: u' cos x -j- v' cos (3 -\- w cos y) d a, (23) waarin («, (3, y) aanduiden de boeken, die de normaal in eenig element d <r van den cylinder­ mantel met de coördinatenassen maakt; p wordt hierin verondersteld geheel van de eerste orde te zijn. Is nu de waarde van p in een punt xl, y,, zt, dan is de waarde van p in ditzelfde punt bij het spiegelbeeld der beweging C — pt , C eene additieve constante zijnde. De laatste integraal kan nu voor het spiegelbeeld aldus geschreven worden: — C ƒ (w' cos x + v cos (3 w' cos y) da j p (w' cos x-j- v' cos (3 -j- w' cos y) da De eerste term stelt de met C vermenigvuldigde vloeistofvermeerdering binnen den cylinder in de eenheid van tijd voor, en is dus, wegens de ousamendrukbaarheid der vloeistof, 0. 35 en bijgevolg van de drie groepen, waarin de termen van uJ, uv, enz. gerangschikt kunnen worden, alleen de groep met /31 te behouden. Hieruit volgt weer, dat men in de formules voor de werkelijke beweging geen andere termen behoeft te nemen dan fi z en de termen van A2 en A4. Het is nu van belaDg op te merken dat men, zich tot deze termen bepalend, voor » en t oneven functiën van z verkrijgt en voor w eene even functie. Dientengevolge vindt men, met behulp van de formules (19), voor <2, en Q2 even functiën van z en voor Q3 eene oneven functie. Eindelijk komt dan in de uitdrukking, die in (24) onder bet integraalteeken staat, z alleen in oneven machten voor. Daaruit volgt echter dat de deelen der integraal die van de naaste omge­ ving van den bol afkomstig zijn, elkander opheffen, zoodat er geen van de onderste grens af­ hankelijk deel met R4 verkregen wordt. Deelen met R3 echter behoeven wij toch niet te behou­ den, daar, zooals verder zal blijken, het deel der uitkomst dat van de bovenste grens afhangt, wel termen met R* bevat. § 19. In het bizondere geval, dat bf = 2 is, wordt de onbepaalde integraal, zooals we gezien hebben, van den vorm: Ra + * log r. Voor de door ons aangenomen iutegratiegrenzeu zal dus de bepaalde integraal worden: De bijdrage der onderste grens is alzoo Ra + e log R, of liever iets als Deze bijdrage komt niet in rekening, zoodra a-j-e = 5 is. Dan is zij immers in vergelijking met de termen met R4 van de orde : R , R Dl°9D' R en dit verdwijnt, wanneer -p- tot nul nadert. Wij kunnen ons dus bepalen tot het geval, dat a-j-e*' 5 is. Nu is derhalve Daar nu a. = b -f- c + 3 [ , en e = ƒ + g, 4) a + e = b -)- c -f-ƒ + g + S 4 b + ƒ— 2 moet zyn, en c en g niet negatief kunnen worden, kan a + e alleen de waarde 4 aannemen, en dit is slechts mogelijk, wanneer c = 0, g = 0, a = i + c+2 INLEIDING. Onder de mededeelingen van Poiseuille in de »Comptes Rendus” van 1835, omtrent de beweging van het bloed in de capillaire vaten, komt o. a. voor, dat de roode bloedlichaampjes zich alleen in het midden van den stroom bevinden, terwijl de witte bloedlichaampjes in de doorzich­ tige laag nabij den buiswand worden aangetroffen (Ruimte van Poiseuille). Later heeft Schklarewsky aangaande dit verschijnsel waarnemingen gedaan en beschreven in »Pflüger’s Archiv für Physiologie” (1868). Behalve bloed liet hij ook andere vloeistoffen, waarin zich onoplosbare korreltjes van verschillende stoffen bevonden, door enge buizen stroomen. Hierbij bleek, dat eene ontmenging van het mengsel plaats vond, evenals bij den bloedstroom. De grootere korreltjes speelden bij deze proeven de rol van de roode, en de kleinere die van de witte bloedlichaampjes. In zijne verhandeling »Zur Theorie der stationaren Ströme in reibenden Flüssigkeiten” brengt von IIelmholtz enkele verdere proeven omtrent het verschijnsel ter sprake, ’t Bleek, dat niet slechts in capillaire buisjes mikroskopisch kleine lichaampjes zich naar het midden van den stroom bewo­ gen, maar dat iets dergelijks ook plaats vond met grootere lichaampjes bij veel wijdere buizen van 1 tot 5 cM. middellijn. Bij een bolletje van was, weinig zwaarder dan water, vallende in eene verticale met water gevulde buis, werd afstooting van de wanden naar het midden waarge­ nomen ; daarentegen bleek, dat bij zwaardere bolletjes, b. v. van lood, die sneller vallen, be­ weging van het midden naar den wand toe plaats had. De omstandigheden zijn evenwel hier anders dan bij de bloedlichaampjes, die door den stroom medegesleept worden; immers, bij de bedoelde proeven van von Helmholtz vielen de bolletjes door eene eerst stilstaande vloeistofmassa. Naar deze verschijnselen heeft von Helmholtz in de genoemde verhandeling een theoretisch onderzoek ingesteld, maar hierbij slechts de eerste machten der snelheden in rekening gebracht. Hoewel nu dit onderzoek niet zonder resultaat was, zoo zijn de verschijnselen daardoor toch nog niet verklaard. Integendeel was von Helmholtz zelf er van overtuigd, dat hiertoe ook de tweede machten der snelheden in rekening gebracht moesten worden. Nu is in het Zittingsverslag van 31 October 1896 der Wis- en Natuurkundige Afdeeling I 16 Wat du verder de beweging betreft, die door de terugkaatsing van A3 ontstaat, hebben wij alleen met de termen te doen, die c' bevatten; de andere termen bevatten nl. hoogere mach­ ten van R. Dus is de teruggekaatste beweging van de orde B u Aan het boloppervlak zijn de waarden vau — enz. van de orde a x R2 D en de resulteerende kracht zal dus zijn van de orde ^^7).tfl)- Men vindt nu gemakkelijk dat de waarde van (7), voor zoover zij van A, af hangt, van de orde fi (x — s) R en, voor zoover zij van As afhangt, van de orde fz y R3 is. In vergelijking hiermede mogen wij dus, krachtens de omtrent gemaakte onderstelling, (10) en (11) verwaarloozen. Tot dergelijke beschouwingen geeft het koppel aanleiding, en zoo komt men tot het besluit, dat men bij de behandeling der vergelijkingen (7) en (8) geheel van de teruggekaatste beweging kan afzien. § 6. De berekening van « en u zullen wij nu gaan uitvoeren. Veel gemak levert de voorafgaande berekening der volgende integralen, te nemen over het boloppervlak met den straal R. ƒx2 d a = j"y2 da = j" z2 da = ^ ar R4, j’x4 da — I y* da = j" z4 d a = -^ it Re, j"x2 y2 d a = j’x2 z2 d a = j'y2 z2 d a = ~ t iü6, j" x6 d a = I y* da — j' zv d a = ~ at Ra, I x* z2 d a = ƒ". x1 z4 da — enz. = — ar Rs, fx2y2z2da = ^7t R«. De berekening der integraal (7) kan in drie deelen gesplitst worden. Men kan nl. afzon­ derlijk berekenen, wat door A0, At en A, geleverd wordt. De samenvoeging der drie uit­ komsten geeft dan de waarde der integraal. BOEKDRUKKKRIJ VOOrheen E. J. BRILL. — LEIDEN. HOOFDSTUK III. § 4. Bepaling van de snelheid s, waarmede de bol wordt medegesleept, en van de hoek- snelheid u. Wij hebben hiervoor twee condities: 1° de resulteerende kracht, op den bol in de richting der .z-as werkende, moet 0 zijn. 2° het resulteerende koppel eveneens. Dus xxx- + xyy~+ xr- r r r d <r = 0 en ƒ( j[z(xA + X,’L + X.Ï)-,(z.M- + Z,!L+Z.l)\d' = 0, . . .. (7) (8) wanneer de integralen over het boloppervlak uitgestrekt worden. Men moet in deze vergelijkingen de waarden van Xx, enz. substitueeren, die behooren bij den totalen bewegingstoestand, de teruggekaatste beweging er onder begrepen; deze waarden worden berekend door de formules • -y | o du Y /du ?V\ XX--p+2ft—, Xy = ft -f- —J , enz. Voor wij nu met deze berekeningen beginnen, moet ter bekorting het een en ander wor­ den opgemerkt: a. Wordt eene even functie van x naar x gedifferentieerd, dan ontstaat eene oneven functie, en omgekeerd. Differentieeren naar y en z brengt geene verandering in het even of oneven karak­ ter eener functie met betrekking tot x. b. Een differentiaalquotient van r of waarbij naar x een even (of oneven) aantal malen r gedifferentieerd wordt — onverschillig hoe dikwijls naar y of z gedifferentieerd is —, is dus eene even (of onevene) functie van x. c. In de integraal behoeft men in Xx alleen termen te behouden, oneven naar x, even naar y en z. ’t Is mij aangenaam, hier een woord van dank te kunnen richten tot U, Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde, voor de welwillendheid bij verschillende gelegenheden van U ondervonden. Zeer bizondere verplichtingen heb ik aan U, Hooggeleerde Lorentz , Hooggeschatte Promotor! voor Uwe bemoeienissen met mijne studie, en voor den steun mij in ruime mate verleend bij de vervaardiging van dit proefschrift, zal ik U steeds dankbaar blijven. Aan mijne vrienden van vroegeren en lateren tijd, breng ik met de toezending dezer dissertatie een afscheidsgroet bij mijn vertrek naar Zuid-Afrika. BlftLiOTHEGif IiliUIA MONACENSIS BOEKDRUKKERIJ VOOl'heen E. J. BRILL, LEIDEN. 47 X. Van de uitdrukking zeer omzichtig gebruik te middelpuntvliedende kracht” behoort men bij het onderwijs slechts een maken. XI. Het zou geen aanbeveling verdienen, het aantal lesuren in de wiskunde voor de leerlingen van de afdeeling A der twee hoogste klassen van het gymnasium te verminderen. XII. Het is wenschelijk, dat bij het eindexamen der gymnasia met de vorderingen der leerlingen in de physica rekening worde gehouden. 2 van de Akademie van Wetenschappen te Amsterdam eene verhandeling van Prof. Lorentz mede­ gedeeld, getiteld: »Eene algemeene stelling omtrent de beweging eener vloeistof met wrijving en eenige daaruit afgeleide gevolgen”, waardoor de bepaling van den bewegingstoestand met inacht­ neming der tweede machten kan ontgaan worden, en men de bij eene stationaire vloeistofbeweging op een lichaam werkende kracht nauwkeurig tot op grootheden van de tweede orde kan bere­ kenen, zonder dat het noodig is, de snelheden zelve met dien graad van nauwkeurigheid te bepalen. Hierdoor ben ik in staat gesteld, onder eenvoudig gekozen omstandigheden de kracht te berekenen, die op een lichaam, dat door een vloeistofstroom wordt medegesleept, in eene richting loodrecht op dien stroom werkt. 15 d. In de integraal (8) behoeft men in Xx alleen termen te behouden, oneven naar x, on­ even naar z en even naar y. Aan deze opmerkingen kunnen natuurlijk dergelijke, die op de y- en 0-as betrekking heb­ ben , worden toegevoegd. Eindelijk is het duidelijk, dat men bij de berekening van het koppel de termen —p in Xx en Zz mag weglaten. Door nu na te gaan, welke termen in Xx, Xy, enz., die uit A0 — A4 voortvloeien, met be­ trekking tot x, y of z even of oneven zijn, kan men zien, welke deelen van den bewegingstoe- stand A iets voor de integraal (7), en welke iets voor de integraal (8) opleveren. Zoo blijkt het, dat alleen Aü, At en A3 iets voor de integraal (7), en alleen A2 en Ai iets voor (8) geven. Evenzeer overtuigt men zich gemakkelijk er van, dat onder de teruggekaatste bewegingen ook alleen de bij At en A3 behoorende iets voor (7), en alleen de bij A2 en A4 behoorende iets voor (8) opleveren (verg. boven § 3, a en b). § 5. Voor wij nu verder gaan is het wenschelijk te onderzoeken, van welke orde de bijdragen voor (7) en (8) zijn, die uit deze teruggekaatste bewegingen voortvloeien. Wij onderstellen den straal R van den bol zeer klein in vergelijking met den halven afstand D der platen, en behouden, wanneer twee grootheden bij elkander opgeteld worden, die verschillende machten van R bevatten, alleen die met de laagste macht. Is er dus van de be­ weging sprake, die A} aan den wand geeft en dus ook (verg. § 3, c) van de daarbij behoorende teruggekaatste beweging, dan behoeft men alleen op de termen te letten, die R (x — s) bevatten. De uit Al ontstaande teruggekaatste beweging — zij moge A\ heeten — is van de orde R (* — «) 7) 5.(9) en van dezelfde orde van grootte zijn ook de snelheden, die bij deze beweging in de onmiddellijke nabijheid van den bol voorkomen, dus ook de snelheden daar ter plaatse bij de beweging A'\, die uit A\ door terugkaatsing aan den bol ontstaat. De snelheidscomponenten nu van deze beweging A'\ , die zich van af het boloppervlak in de ruimte verspreidt, nemen minstens zoo 1 du snel af als dus zullen bij A," de waarden van -— enz. aan het boloppervlak van de orde r d x (* —•) -j) d U zijn. Daarentegen zijn klaarblijkelijk de waarden van — enz. bij de beweging A\ van de orde R{* — s) jyï De spanningscomponenten worden bijgevolg van de orde **(* — •) -J) en de daaruit voortvloeiende resulteerende kracht, voorgesteld door de integraal (7), wordt van de orde x R2 1“ — s) (10). De proef op de som leert dat de waarden (6) werkelijk aan de bewegingsvergelijkingen vol­ doen. Bovendien wordt op oneindigen afstand u = v — w = 0. Het komt er nu nog op aan te beproeven, of voor de constanten ƒ, g en e zoodanige waar­ den te vinden zijn, dat de voorwaarden aan het boloppervlak vervuld worden. Voeren wij de differentiaties uit, dan krijgen wij u = ƒ (3 z r~° — 15 x2 z r~7) -(- g (— z r-S -(-8 x2 z r~'a) -\- e z r-s, v = — 15 f xy z 7 -j- 8 g x y z r~6, w — f (3 x r~6 — 15 x z2 r~7) -)- g (— x r~s -f- 3 x z2 r~5) -j- (2 g — e) x r~3. Alzoo moet zijn. Dus waaruit A3. Hier moet aan het oppervlak van den bol u = — y z , v = w = 0 zijn. Evenals in het vorige geval, nemen wij voor den druk eene waarde aan, die voldoet aan Ajo = 0, kiezen vervolgens eene functie V zoo dat tz A V — p is, en stellen 3F . , ÖF J>F , , u = -—kM> v==<—w = -— ïy óz met de voorwaarden Aw' = 0, /\«' = 0, A «f = 0, 19 Hieruit volgt: 9 V ~è zl 9 x + + + ir~) u' + r \ 7) x 1 a 7i y‘ 3 ?/ I /t4 / 3it' . 9 F 9 io' + ?(a,^ + !'sI + 25T Nu is 9 F 9 x 9 :/i + <7 93' u = • d «272 () £ 1 ^ d x2 d z’ (7) >(?) , F = 0, «/ = («- 2flF) W d £ () ,27 '•ƒ■ De beschouwde integraal krijgt den vorm 1 -8/- . <-) . 1 93r l 3 \r — 40r r^r-. + 2«r 92 (- .27 \f* 92(- r ~d x2 7) z 3«23j 1 ""f 9 z ~ r ü x7i z De waarde van deze integraal, door 4 ar g. R2 gedeeld, is gelijk aan (*-2 9)- r Ti x2 d ar. -e + -59)R-* = -3(3R. Hierbij komt nog de bijdrage van A4 voor (13). Voor deze bijdrage, gedeeld door 4 ar g R2, wordt gevonden: — u R. De integraal (13), gedeeld door 4 ar g R2, is dus gelijk aan: ')• ' • EA (14). Yoor zoover het tweede deel van het koppel afhangt van A2, vindt men op geheel overeen­ komstige wijze als boven de integraal •"/'D x Ti2 V y7)2V z 92 V r 9x 9z' r7)y 9 z' r 7) z2 ,/x 9 w' y Ti w' z 9 wA x 9 u' z 9 w'“l ' \r 7 x' r 9 y ' r 7> z /' r ~d z ' r Ti z J ’ of, weer met toepassing van de bekende eigenschap der homogene functies, -4x 8/ 1 n’r 1 ()3 r ±9zé^7>-2ie-29) i»(?) Ai) 92 x e — r 9x iïz2 i'r 3x9«2 v ' r 9 x r 9 z2 De waarde dezer integraal, door 4 tt <ct R2 gedeeld, is gelijk aan + (e-2 g) £ r ?x?z da-. 6 Ah- e+ 5 9jR Hierbij komt het aandeel van Ai, dat, door 4 ar g R2 gedeeld, — u R bedraagt. 5 u' — {s — x) — (3 z — y z1 -f- cc z, \ «' = 0, .(3) w' == CC X. ) Om nu u\v,w' zoo te bepalen, dat aan (2) en (3) voldaan is, kunnen wij aldus te werk gaan. Wij stellen ons eerst voor, dat de vloeistof zich rondom den bol tot in ’t oneindige uit­ strekt en bepalen w', v', w' zoo, dat voldaan is aan de voorwaarden (3) en op oneindigen afstand u = v = w — 0. Laat deze waarden beeten u\, v\, w\. Dan is echter niet aan de voorwaarden (2) voldaan. Wij moeten daarom eene verbetering aanbrengen; stel dus dat in werkelijkheid m' = u\ + u\ , v' = v\ -f- v\, w’ = vo\ -f- w'2. De functies u2, v2, w\ moeten aan de bewegingsvergelijkingen voldoen; zorgt men bovendien, dat aan de platen u'2, v'2, w: de reeds bekende waarden — u\ , — v\ , — w\ hebben, dan vol­ doen de totale waarden M'l + I v\ + t/2 , w\ -\- w\ aan de voorwaarden (2). Bij de bepaling van u'2, u\, w'2 handele men, alsof de bol er niet was. Denkt men dien dan vervolgens op zijn plaats gebracht, dan is weer niet aan (3) voldaan. Om dit nu weer in ’t reine te brengen, kan men wederom nieuwe termen w'3, v'3, w'3 toevoegen, die aan den bol (3) doen uitkomen, en op oneindigen afstand verdwijnen, en zoo kan men voortgaan. Men kan dit in ’t kort uitdrukken door te zeggen, dat uit de beweging (u\ , v\ , w\) door »terugkaatsing” tegen de wanden de beweging (u\, v2, m/2) ontstaat, hieruit weer door terugkaatsing aan den bol de beweging (w'3, v'3, w'3), enz. Wanneer nu de middellijn van den bol klein is in vergelijking met den afstand der platen, worden deze bewegingen hoe langer hoe zwakker; men zal dan met (u'2, v'2, w'2) kunnen eindigen. Eene methode ter bepaling van u'2, v'2, w'2, wanneer eerst u\, w\ bekend zijn, ligt opgesloten in hetgeen Prof. Lorentz in de genoemde verhandeling aangeeft om te bepalen, hoe een gegeven bewegingstoestand door een vlakken vasten wand, waarlangs de vloeistof niet kan glijden, »teruggekaatst” wordt. Evenwel moeten hier de herhaalde terug­ kaatsingen aan de twee wanden in aanmerking genomen worden, en dit voert tot groote moeilijk­ heden. Wij zullen dan ook de werkelijke berekening der teruggekaatste beweging achterwege laten; gelukkig kan men ook zonder dat onder vereenvoudigende onderstellingen het teeken en de orde van grootte der gezochte kracht aangeven. STELLINGEN. i. De door von Helmholtz (Abhandlungen I, p. 223) aangehaalde proeven over het vallen van kogels door met water gevulde buizen, geven geen licht over de verschijnselen die Poiseuille bij de bloedlichaampjes heeft waargenomen. II. Schklarewsky’s meening, dat het vergrooten van het specifiek gewicht van het bloed bij opeenhooping der bloedlichaampjes veroorzaakt wordt door de vorming van zoogenaamde hydro- spheren (Pflüger’s Archiv 1868, pp. 671, 672) is onjuist. III. Terecht zegt Rayleigh, (Theory of Sound I, p. 59) dat bij de verklaring der werking van een electromagneet, die een stemvork onafgebroken doet trillen, eene vertraging van den stroom in aanmerking moet worden genomen. IV. Eene algemeen geldende dispersie-formule bestaat niet. OVER DE KRACHT DIE EEN VLOEISTOFSTROOM IN SOMMIGE GEVALLEN LOODRECHT OP ZIJNE RICHTING OP EEN MEDEGESLEEPT LICHAAM UITOEFENT. PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE LEIDEN, OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS D\ A. C. YREEDE, Hoogleeraai in de Faculteit der Letteren en "Wijsbegeerte, VOOR DE FACULTEIT TE VERDEDIGEN op Dinsdag den 18den Mei 1807, des namiddags te 4 uren, DOOR EVERT JAN EVERS, Geboren te Ellecom. LEIDEN BOEKHANDEL EN DRUKKERIJ VOORHEEN E. J. BELLE. 1897. 12 Wij beschouwen het punt P, met de coördinaten x, y, z en het punt P2 met de coördinaten — x,y,z. De waarden, die bij den toestand I behooren, zullen wij in P, door ux, vv wx, p4, en in P2 door u2, v2, w2, p2 aanduiden; eveneens de bjj II voorkomende waarden in P, door u\ , v\ , w\ , p\ en in P2 door u'2, v'2, io'2, p2. Nu hebben wij, krachtens de eigenschappen der spiegelbeelden, u\ = — u2, v\ — v2, w\ = w2, = - Uy , ü'2 = Vy , w\ = Wy. De bewegingstoestand (II) wordt echter ook weer verkregen door omkeering van de snel­ heid Q. Wanneer dit met Q geschiedt, verkrijgen ook alle andere snelheden juist de tegengestelde richting met behoud der grootte, indien althans de tweede machten der snelheden verwaarloosd kunnen worden. Alzoo hebben wij w'j = M, , 'ü\ — Vy , W y — Wy, u\ = — W2, v\ = — v2, w\ = — «V Hieruit volgt in verband met bovenstaande vergelijkingen u\ = M2 ) = — «2) wi = ~ wi > d. w. z. m is eene evene functie van x, terwijl de waarden van v en w onevene functiën van x zijD. De boven onder At — A4 neergeschreven waarden hebben alle deze eigenschappen, de snelheidscom- ponenten der teruggekaatste beweging moeten die eveneens vertoonen. b. Men beschouwe op dezelfde wijze het spiegelbeeld der beweging ten opzichte van een vlak, door ’t middelpunt van den bol loodrecht op de y-as gebracht. Daar hierbij Q niet verandert, moet de aldus verkregen beweging geheel met de oorspronkelijke overeenkomen. Daaruit volgt, dat in de teruggekaatste beweging, even goed als in de boven onderzochte, u en w even func­ tiën van y moeten zijn, terwijl v eene oneven functie van y is. c. Wanneer de beweging, die uit de boven onderzochte deelen At —A4 bestaat (en die ik kortheidshalve de beweging A zal noemen; het deel A0 wordt natuurlijk niet teruggekaatst), in verschillende deelen gesplitst wordt, die ieder op zich zelf aan de bewegingsvergelijkingen vol­ doen, beantwoordt aan elk daarvan ook een gedeelte van de teruggekaatste beweging. Eene splitsing van A in vier stukken Ay, A2, A3, A4 hadden wij reeds boven; men kan echter de splitsing nog verder drijven. Men kan b.v. in Ay termen met den factor B3 (dus met b) schei­ den van die met den factor R (dus met c). Eveneens kan men _d2 splitsen in tweeën (met P° en i?3), ^43 in drieën (met P7, P5 en R3). d. Men kan, zonder de teruggekaatste beweging geheel te berekenen, aangeven van welke orde van grootte de daarbij voorkomende snelheden zijn. Zij D de halve afstand der beide platen en denken wij ons twee vlakken aangebracht loodrecht op de «-as, op afstanden rechts en links van het middelpunt van den bol, die b. v. eenige malen D zijn, en op dezelfde manier twee HOOFDSTUK I. § 1. In plaats van door eene buis denken wij dat de vloeistof stroomt tusschen twee evenwijdige platen, wat het vraagstuk veel eenvoudiger maakt. Laat deze platen evenwijdig zijn aan bet xy- vlak en laat de vloeistofstroom de richting der .r-as hebben. De vlakken A en B zijn in rust en de vloeistof kan daarlangs niet glijden. Wanneer wij nu in de bewegingsvergelijkingen voor onsa­ mendrukbare vloeistoffen met wrijving -1) du d u , ö u ö u. + m — -f-n--j=X — dy d z/ dt d v dt dw d X i d v dv drj + “sï + ,’^ + ”-) = r- d Z. d w * dw dw -h»r- + W ^ (H ' cl £ ^ dy ' d Z )- cl p d X d p dy d p + A* + + A* d2 u Te d2 v d2u h2 u dx2 + Jf + ^ d2 V h2 v Jl2 + df + dz2 d2 w dl2 d2 w d2 w Jf + T? (i) du d v . d w dx dy + = ’ d z o T> v = 0 en w — 0 nemen, dan volgt uit de tweede, derde en vierde dezer vergelijkingen —C = 0, dy r - = 0, — = 0, wanneer nl. op de vloeistof de zwaartekracht niet werkt. De eerste der verge- O Z o OG lijkingen wordt dan voor een stationairen stroom cl p d x , . i) p en daar nu p onafhankelijk van y en z is, en u niet van x afhangt, volgt hieruit = constante en dus O OG /d2 u d2 u\ = Xd^ + TT2)’ A* (d2u ü2w\ W + dz2) — const. Aan de evenwijdige platen, waarvan de oppervlakken door z = A en z= — B mogen voor­ gesteld worden, moet w = 0 zijn, en aan de voorgaande vergelijkingen kan nu voldaan worden door eene quadratische functie van z, b. v. u = x-\-(3z-\-yz2. De constanten x, (3 en y zijn bepaald door de voorwaarden 1) Hierin beteekenen volgens gewoonte u, v, w de snelheidscomponenten, p den druk, f de dichtheid, ft den wrijvingS' coëfficiënt, X, Y en Z de componenten der uitwendige krachten per volume-eenheid. 29 sommige termen kan men dit inzien door het spiegelbeeld te beschouwen van den bewegings- toestand ten opzichte van een vlak, door het middelpunt van den bol loodrecht op de «-as ge­ bracht. Op den oorspronkelijken bewegingstoestand alsmede op zijn spiegelbeeld kan men dan de vergelijking (I) toepassen en daarbij voor u', v, w' in de beide gevallen dezelfde waarden nemen. De twee vergelijkingen, die er dan verkregen worden, zullen wij door I en I' aanduiden. Sommige termen zullen in I en 1' hetzelfde, andere daarentegen verschillend teeken hebben; terwijl de grootte van eiken term in I en I' dezelfde is. Noemen wij de som der termen, die in beide vergelijkingen hetzelfde teeken hebben, A, en de som der termen, wier teeken verandert, B, dan is de vergelijking I: A + B=* 0, en de vergelijking I' A — B= 0. De samentelling dezer twee vergelijkingen geeft ^ = 0. Bij de toepassing van (I) kan men dus alle termen weglaten, die in het spiegelbeeld een ander teeken aannemen. § 13. Denken we ons thans, dat een gedeelte der vloeistofmassa begrensd wordt door de twee platen en door een omwentelingscylinder C, waarvan de as met O Z samenvalt. Op deze vloeistofmassa gaan we de vergelijking (I) toe­ passen. Stellen we ons dan verder voor, dat de straal van den omwentelingscylinder steeds grooter wordt, dan kunnen we nagaan, wat er van de vergelijking (I) wordt bij overgang tot de limiet. De oppervlakte-integralen in (I) voorkomende moeten genomen worden over het op­ pervlak van den bol, over de oppervlakte der platen en over den cylindermantel van C. De integraal f («' X, + v' Y, + w' Zm) d er, «y genomen over het boloppervlak, gaat wegens (21) over in c J Zndir. Noemen wij de gezochte kracht, die de bol in de richting der «-as van de vloeistof onder­ vindt, Z0, dan is deze integraal dus gelijk aan ■cZ0. De tweede integraal f (u X'. + v T. + wZm)d<r, insgelijks over het boloppervlak genomen, behoort tot de termen, die bij overgang tot het spie­ gelbeeld van teeken wisselen. Volgens het boven gezegde kan deze dus worden weggelaten. Dat 11 u — ot, — s (3 z y z2, v = 0, w - O, waarbij behoort p = 2 y p x. § 3. Om het vraagstuk volledig op te lossen, zou men de terugkaatsing van de bewegingen -A1 — -Ai door de vaste wanden moeten berekenen. Dit vordert echter, zooals wij reeds gezegd hebben, zeer ingewikkelde becijferingen. Daarom zullen wij ons tevreden stellen met datgene, wat zonder deze berekening kan worden gevonden. Eenige eigenschappen van den bewegingstoestand, die ontstaat door al de herhaalde terug­ kaatsingen, kunnen nu gemakkelijk worden ingezien. Ook aangaande de snelheid waarmede de bol wordt medegesleept, aangaande de hoeksnelheid waarmede hij wentelt, en aangaande de kracht die hij ondervindt, dient nog wat te worden opgemerkt. Stellen wij ons daartoe dan weer voor: de beide evenwijdige platen i en B, waartusschen de vloeistof stroomt met de snelheid Q in de richting der pijl, verder het bolletje m in dezen stroom geplaatst en medegesleept met eene snelheid s, terwijl het wentelt met de hoeksnelheid «. De kracht, die het bolletje verhindert, zich in zijdelingsche richting te verplaatsen, zullen wij voorloopig K noemen. <2-> A ó->* m V A' TA’' s' <-Q m' <- <2’ B B' Wanneer nu de afmetingen gegeven zijn, moet alles bepaald zijn door de snelheid Q, die de vloeistof op grooten afstand van den bol in het midden tusschen de evenwijdige platen heeft. Is Q zeer klein, dan behouden wij alleen de eerste macht. Is Q wat grooter, maar toch nog tamelijk klein, dan kunnen wij alles ontwikkelen in reeksen naar de opklimmende machten van Q. Wij kunnen nu van alles het spiegelbeeld nemen, ten opzichte van een vlak V loodrecht op de richting van Q. Dan verkrijgen wij een nieuwen bewegingstoestand, zooals in de figuur rechts geteekend is. Hierbij is K' = K, s' = — s, u' = — co. Deze nieuwe bewegingstoestand ontstaat echter ook, wanneer men in het oorspronkelijke geval de richting van Q omkeert. Daar nu K' = K moet worden, kan K alleen termen met even machten van Q bevatten. De eerste zal die met Q2 zijn. Daarentegen moeten in de uitdrukkingen voor s en u> alleen termen met oneven machten van Q voorkomen, en hier zal de eerste die met Q zijn. a. Denken wij ons thans, dat het vlak V door het middelpunt van den bol is gebracht; voor het nu volgende is dit gemakkelijker. Wij zullen den oorspronkelijken bewegingstoestand door (1) aanduiden, zijn spiegelbeeld ten opzichte van het vlak V daarentegen door (II). 