title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: De laatste vergelijkingen daarentegen zijn begrepen in de algemene en dus { (y’') + 2 } { (4 - y‘)’ + 2 } - 84 = 0.- j=0,.(11) (60) yn-2 _ 1) 4. („_3)(„_4) 1 . 2 (w, — 4) (n — 5) (n — 6) yn-6 _ 2.3 yn—8 + enz. = 0. (14) Merken wij thans op, dat deze uit (11) verkregen wordt door differentiatie ten aanzien van y, en vervolgens te delen door y. Moest men echter in de vergelijking (11) vooraf voor ?t een even waarde substitueren, dan zou de hier aangewezen tweeledige bewerking niet te verkiezen zijn boven een regstreeksche substitutie in verg. (14). Doch die eerste bewerking kan aldus vermeden worden. Naardemaal 2{Cos.(7i — 1)j?-1-Cos.(«+l)/3} = 4<Cos.nß Cos.ß = 2yCos.nß en dus 2 Cos. nß = ~ { Cos. (n — 1) + Cos. (n 1) } , y heeft men, om de waarde van 2 Cos. nß te verkrijgen, slechts de som te nemen van de vergelijkingen in y, welke reeds voor twee op elkander volgende veelhoeken van het oneven aantal zijden n — 1 en m - 1 bekend zijn. Stel dat men de vergelijking voor den 12-hoek verlangt te vormen, dan gebruikt men hiertoe die van den 11-hoek en van den 13-hoek, waarvan de som, volgens het gevonden in n”, is y > 2 - 1 2y ' 0 + 54y 8 — 1 1 2y 6 + 1 0 5y * — 3 6y 4- 2 = 0. Deze vergelijking differentierende, en de uitkomst door 12 y delende, vindt men voor den 12-hoek j/io _ i0y8 -|-36ye — 56y^’ + 35y8 — 6 = 0 even als vroeger verkregen is. Zie hier nog een tweede handelwijze waarbij geen differentiatie vereist wordt. Uit de formule Cos. [n - 1] /? - Cos. (n 1) = 2 Sin. n ß Sin. ß, volgt Sin. n ß = 2 (Cos. (n - 1) - Cos. (n 1) Sin. ß Nu is het voorste lid der verg. (14) niets anders dan de Sin. 71 ß ontwikkeling van - raet Averglijking van den factor y. Sin. ß Hieruit besluit men alzoo, dat men om de vergel. in y voor het eveneens gelijk n te verkrijgen, die voor het getal n - 1 zal hebben af te trekken van die voor het getal n - (7 1, en het verschil te deelen door den factor y^ - 4. Aldus heeft men om die voor den 12-hoek te vormen: Voor den 13-hoek f/’2_i3yio^65j/8— 156j/6+182?/^— 91j/-!+13-=0 11 // T/'*“— llf/®-t- 44t/®— 77t/4+ 55f/2— 11=0 Verschil y'- — 14t/'®-}-7 — 20üy®-|-259t/^ — 146y-+24=0 De deeling door den factor y'^ - 4 vorder! de navolgende bewerking 1 — 14 + 76 — 200 + 259 — 146 + 24 4-4 —40 + 144 — 224 + 140 — 24 — 10 + 36 — 56 + 35 — 0 De vergelijking voor den 12-hoek is mitsdien yio_ iOt/8 + 36y« — 56^« + 35 t/" — 6 = 0 overeenstemmende met het hiervoren gevondene. Eenvoudiger is echter de bewerking om wederkeerig uit de vergelijking voor n even, die voor n oneven af te leiden. Immers uit de formule Sin. (n - 1) - Sin. (n - 1) = 2 Sin. ß Cos. n ß volgt 2 Cos. n ß = Sin. ß waaruit onmiddellijk blijkt, dat de vergelijking voor het oneven aantal zijden n verkregen wordt door slechts de vergelijkingen voor de veelhoeken van n - 1 - 1 en n — 1 zijden van elkaar af te trekken. Bijvoorbeeld, er is gevonden: voor de 12-hoek, — 6 = 0, en // 10 // — 8y^+2ly^ — 20y^+5 = 0. Hiervan is het verschil y10 _ y8 44^6 _ 77^4 = 55^2_ 11 = 0, zijnde de vergelijking voor de 11-hoek. Het zal dus verkieselijk zijn de berekening aan te vangen met de vergelijkingen voor een even aantal zijden, en hieruit vervolgens door aftrekkingen die van een oneven aantal zijden af te leiden. Het mag hierbij niet onopgemerkt blijven, dat er een nauw verband bestaat tusschen de coefficienten voor de eerste genoemde vergelijkingen, en de gewone binomiaal-coefficiënten. Het loopt namelijk in het oog, dat die coefficienten (van den tweeden term af gerekend) respectievelijk overeenstemmen met den 1e binominaal-coefficient van de {n — 2); den tweede van de (n — 3); den derde van de (n — 4); den vierde van de (n — 5); magt enz. Heeft men dus het navolgende tafeltje der binominaal-coefficiënten van de opvolgende magten gevormd, 1 1 12 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 dan ziet men terstond, dat de coefficienten voor den 14-dek zullen zijn 12 55 120 126 56 7 en dus de vergelijking voor den veelhoek y' * — 12y' + 55y/8 — 120y + 126y — 56y − 7 = 0, Zij moet tot factor hebben die voor den 7-dek, welke, naar aanleiding der voorgaande regels aldus gevonden wordt : voor den 8-dek, 1 — 6 + 10 — 4 verschil 1 — 7 + 14 — 7, coefficienten voor den 7-dek. De voorgaande vergelijking is derhalve aldus voor te stellen : (2y^− 7y^ + 14y + 6y = −1) = 0. OVER EENE WIJZE VAN WORDING DER KROMTELIJNEN OP DE OPPERVLAKTE VAN DE ELLIPSOIDE MET DRIE ONGELIJKE ASSEN, EN OVER DE VERWANTSCHAP DEZER LIJNEN MET CONFOCALE SPHERISCHE ELLIPSEN. DOOE G. J. VERDA IH. De definitie van kromtelijnen of krommingslijnen, door MONGE gegeven, is algemeen. Volgens haar is de wording van kromtelijnen voor alle gebogen oppervlakken dezelfde. Voor eenig bepaald oppervlak, en ook als men die lijnen aanmerkt als meetkundige plaatsen van punten, kunnen zij op andere wijze ontstaan. Het kan lovaal blijken, doch eerder zal zoodanige andere wijze uit opgemerkte hoedanigheden worden afgeleid, of zij zal een gevolg zijn van enig onderzoek in ander opzicht. Zoo is men b.v. geleid geworden tot het weten, dat de kromtelijnen der ellipsoide met drie ongelijke assen niet onderscheiden zijn van de doorsnijdingen dezer oppervlakte met confocale hyperboloiden. In meetkundigen zin is dit een constructie, en deze constructie geeft een wording van de kromtelijnen op de oppervlakte der ellipsoide. Zoo heeft men, uit andere beschouwingen, geleerd, dat de kromtelijnen, op de gebogen oppervlakte der ellipsoide, beschreven zouden kunnen worden, zoo als ellipsen, op een plat vlak, om twee brandpunten. Verder zou in aanmerking kunnen komen de constructie van diezelfde lijnen door de snijding met projecterende cilindervlakken; maar deze is een algemene constructie voor elke kromme lijn op enig oppervlak. Er is een andere, misschien niet bekende, wijze van wording der kromtelijnen op de oppervlakte der ellipsoide met drie ongelijke assen. Over deze, en over hetgeen er verband houdt, zal het een en ander in deze Bijdrage ontwikkeld worden. 1. Zij Zij is een eene vlakke hyperboloïde, concentrisch en focale met de ellipsoïde (1), zodat de beide zogenaamde onbeslaanbareassen 2a, en 2c, gericht zijn langs de as 2c van de ellipsoïde. Zijn 2b, de bestaanbare as van deze hyperboloïde, dan is zij focale met de ellipsoïde, als a, b = a - J. en a, b = a - c, en dan ook c - c is. Zijn de brandpuntsafstanden of excentriciteiten der hoofdsnijdingen (ab) en (ac) der ellipsoïde, dan volgt uit deze berekening, dat a, altijd > e maar f is; te eerder ook a, a. Stel daarom a, = a - dan worden b, b = b - c, b - c, en de vergelijking der hyperboloïde zal zijn : — h h — = 1. In deze vergelijking is h een parameter, die groter dan c en kleiner dan b moet zijn. Wordt hij veranderlijk gedacht, dan kan zijn grootte elk zijn tusschen deze grenzen c en b. Om het gedurig gebruik van andere letters, of van accenten en indices te vermijden, zijn de veranderlijke of doorloopende coördinaten der punten van de hyperboloïde, door dezelfde letters x, y, z als die der punten van de ellipsoïde aangeduid, maar zij als van elkander onderscheiden gedacht worden. Zijn zij niet onderscheiden, dan behooren zij tot punten van de kromme lijnen, volgens welke de beide oppervlakken elkander snijden. Deze doorsnijdingen zijn twee gelijke en gelijkvormige, maar tegenovergestelde, niet vlakke kromme lijnen, de een aan de ene zijde, de andere aan de andere zijde van het hoofd-middenvlak (a b) der ellipsoïde. Zij zijn twee der oneindig veel krommanteilijnen der ellipsoïde. De afmeting van deze lijnen hangt af van de grootte, die men aan den parameter h, beeld toegekend. Geeft men aan h elkere grootte van c af tot b toe, dan ontstaat er een groep van opvolgende hyperboloïden, alle confocaal met de ellipsoïde, en deze volgens krommanteilijnen snijdende, die gezamenlijk een groep van overeenkomstige krommanteilijnen, een eerste stelsel van krommanteilijnen, uitraeken. De projecties van deze krommanteilijnen op de coördinatenvlakken xy en xz zijn ellipsen, en die op het vlak yz zijn hyperbolen. De vergelijkingen van deze projecties zijn : 1. xy = 1, . . (3). 2. xz = 1, . . (4). Eene tweede groep, een tweede stelsel van krommerlijnen, onstaat door de snijding van de ellipsoide met confocale tweevlakke hyperbolen, hebbende geen bare bestaanbareassen 2a^ langs de as 2a der ellipsoide. Derbij moet de voorwaarde hier zijn, a., - + ^2^ “2^ - j- ~ — 62^ — b‘‘- — c^. Aan deze wereld voldaan door te stellen waaruit volgen zal 6^^ == k'‘ — — k’^ — c*, zodat deze hyperbolen tot vergelijking zijn: 1. . (6). De Parameter k moet a en ^ 6 zijn; bij zijn deze en a tot lijnen van grootte, dat is kan van de grootte b tot de grootte a vloeien. Bij dusdanige vergroeiing onstaat een tweede groep van confocale hyperbolen, van welke elke een de ellipsoide snijdt volgens twee gelijke en gelijkvormige niet vlakke kromme lijnen, de eene gelegen aan de eene zijde van het coördinaatvlak y z, de andere aan de andere zijde. Zij zijn ten opzichte van dit vlak yz tegenovergesteld, dat is symmetrisch, gelegen. Zij zijn krommerlijnen, en alle de dergelijke, eveneens geconstrueerde, maken gezamenlijk het tweede stelsel van krommerlijnen der ellipsoide uit. Alle de krommerlijnen van een der twee groepen worden door elke krommerlijn van de andere groep rechthoekig gesneden, gelijk ook de ellipsoide en de hyperbolen van beide de groepen elkander onderling rechthoekig snijden. Van de krommerlijnen dieser tweede groep zijn de projecties op het coördinatenvlak xy hyperbolen, maar op de beide andere coördinatenvlakken zijn het ellipsen, gelijk blijkt uit de navolgende vergelijkingen dezer projecties. a* — c* , ^2^ 6^ — C2 = . (7). Onbepaalde parameters h en k zijn, voor een gegeven of bepaalde ellipsoide, niet onderscheiden van de elliptische coördinaten der punten van de ellipsoide; zij vervangen althans de parameters, die men meermalen elliptische coördinaten noemt, wanneer de vergelijkingen der ellipsoide en der hyperboloiden niet bepaald zijn door de drie assen 2 a, 2 b, 2 c enz., maar door de eerste assen 2a, 2b, 2c en door de excentriciteiten e en f der ellipsoide. Geeft men aan h en k willekeurige waarden (mits binnen de noodzakelijke grenzen van grootte), dan kent men de vergelijkingen van de projecties van de overeenkomstige kromteilen. Stelt men vervolgens in die vergelijkingen de gelijknamige coördinaten aan elkaar gelijk, en duidt men deze aan door x, y, z, dat is neemt men aan x^=x, y^=y, z^=z, dan hebben de vergelijkingen alleenlijk betrekking tot hetgeen aan de gelijknamige projecties der kromteilen gemeen is, derhalve tot bare punten van doorsnijding, en diensvolgens ook tot de doorsnijdingspunten der overeenkomstige kromteilen op de oppervlakte der ellipsoide. Bij gevolg zal de oplossing van x', y', z' uit de paren van vergelijkingen (3), (7) en (4), (8) of (5), (9), de coördinaten van punten der ellipsoide doen bepalen worden. In functie van de elliptische coördinaten van die punten, en zij zullen behoren tot de acht doorsnijdingspunten der twee paren van kromtelijnen, die h en k tot parameters hebben. De oplossing zal geven: = a' a* — Ä® a* — Ä* a® — ' 5® — h'^ ^ — 6® 6® — c* a® — ft® ' A® — c® ^ ifc® — c® 6® — c® a® — c® 2. Na, door het voorgaande, aan enige behendigheid waarheidsgetrouwheid en uitkomsten herinnerd te hebben, is het niet moeilijk om te doen blijken, op welke andere wijze de kromtelijnen op de oppervlakte der ellipsoide kunnen ontstaan. Tot elke hyperboloïde, hetzij enkelvlakige, hetzij tweevlakige, behoort een recht elliptisch kegelvlak, een meetkundige plaats zijnde van de asymptoten der hyperbolen, volgens welke die hyperboloïden gesneden worden door platte vlakken, gaande hetzij door de as 2cj van de eerstgenoemde, hetzij door de as 2aj van de andere hyperboloïde. Van de beide vormen van hyperboloïden zijn deze kegelvlakken de asymptotische kegelvlakken. Diensvolgens behoren er twee groepen dergelijke kegelvlakken tot de twee groepen van hyperboloïden, die de ellipsoide volgens kromtelijnen snijden, en hunne vergelijkingen zijn begrepen in deze twee: a® a® — Ä® 0, . . (11). o* — k^ A® — 6’ A® — c® = 0. . . (12). S. (70) Latent deze twee groepen van kegelvlakken, koekjes in de plaats van de groepen der hyperbolen, tot welke zij behoren, en zij ook een bol, concentrisch met de ellipsoide (1), en dan ook met de concentrische kegelvlakken (11) en (12). De middellijn van deze bol kan gelijk aan een derassen 2a, 25, 2c van de ellipsoide zijn, b. V. = 2a, zodat dan 4 + 2 = a2 (13). zijn vergelijking is. De kegelvlakken zullen deze bol snijden volgens sferische ellipsen. De projecties dezer ellipsen op de coördinatenvlakken zullen zijn van ellipsen, bogen van ellipsen van hyperbolen. Op het coördinatenvlak xij b. V. zullen de projecties der sferische ellipsen van de eerste groep mede ellipsen zijn, en die van de tweede groep hebben hyperbolen of bogen van hyperbolen tot projecties, dewijl de vergelijkingen van deze projecties bevonden worden begrepen te zijn in , + 6, b² - h² w* • ~ = 1. (14). — c² w* 65 (15). Scharnier: "Voila une aventure de la tradition orale, qui, de génération en génération, transmet une science ou une technique par des traditions anonymes et partielles, comme si l'écrivain avait horreur de réexaminer soigneusement les données essentielles de son art." Gelijk men weet, worden die punten van concentrische cirkels of bollen, of van concentrische eveneens geplaatste of eveneens gerichte ellipsen, hyperbolen, ellipsoiden, hyperboloiden, enz. genoemd corresponderende punten, welker gelijknamige coördinaten tot elkander in dezelfde reden zijn, als die assen of balven assen der gelijkmiddelpuntige kromme lijnen of oppervlakken, längs welke zij worden gemeten, of aan welke zij evenwijdig lopen. Zijn derhalve X, y, z coördinaten van een punt der oppervlakte van den bol, welks balven assen zijn a, a, a, en x^, y,, z coördinaten van een punt der oppervlakte van de ellipsoide, die a, h, c tot halve assen heeft, dan zullen deze twee punten corresponderende punten, Indien a; X = 0, y = 0, z = 0, b, z = 2, = a : c is, Bepaalt men, naar deze verhoudingen, de punten der oppervlakte van de ellipsoide, welke zijn de corresponderende punten van die eener kromme lijn, op den bol gegeven, dan verkrijgt men op de ellipsoide de punten eener kromme lijn, die, met betrekking tot de spherische lijn, de corresponderende kromme lijn zal zijn. Elke kromme op den bol heeft daarom corresponderende kromme lijn op de ellipsoide, en wederom. Klaarblijkelijk zijn van zodanige kromme lijnen de projecties op een zelfde coördinatenvlak insgelijks corresponderende lijnen. Vervangt men derhalve, in de vergelijkingen en , x met en a, X y y i y met -y^, of - met — en - met , dan zullen de komende vergelijkingen zijn de vergelijkingen der projecties op xy van die kromme lijnen op de ellipsoide, welke zijn de corresponderende kromme lijnen van de bovengenoemde ellipsen op den bol. Die komende vergelijkingen zijn echter niet verschillend van de vergelijkingen en . Evenement zou men, uit de vergelijkingen der projecties van de spherische ellipsen op de coördinatenvlakken xz en yz, verkrijgen de vergelijkingen (4) en (8), (5) en (9). En dewijl deze alle zijn de vergelijkingen der projecties van de kromtelijnen der ellipsoide, volgt hieruit, dat de kromtelijnen op de oppervlakte der ellipsoide zijn de corresponderende lijnen der op voorafgemelde wijze geconstrueerde sferische ellipsen. Denkt men aan deze laatste gevormd of gegeven op den bol (13), dan kunnen, op de verklaarde wijze, de kromtelijnen op de ellipsoide worden verkregen, en daarin bestaat de bedoelde, andere wijze van wording van deze lijnen. Van de ellipsoide (1) is de bol (13), die de grootste as 2 a tot middellijn heeft, de omgeschreven of uitwendig aanrakende bol. Men kan ook gebruik maken van den ingeschreven of inwendig aanrakenden bol, welks middellijn is de kleinste as 2 c, — of van den uitwendig en inwendig aanrakenden maar tevens snijdenden bol, die de middelbare as 2 b tot middellijn heeft. In het algemeen komt men tot dezelfde uitkomsten met elken concentratieve bol, op welken de sferische ellipsen gedacht worden, mis, als r is de straal van die bol, de corresponderende punten bepaald worden door de verhoudingen of evenredigheden — r/a, t/:y, = r/c. Wel zullen de overeenkomstige sferische ellipsen, op bollen van verschillende grootte, andere volstrekte afmetingen hebben, maar zij zullen altijd gelijkvormig zijn. 3. Men zou kunnen aanmerken, dat deze constructie, alhoewel gegrond op een niet onbelangrijke, en wellicht nog niet opgemerkte, verwantschap, echter als constructie achterstaat, — niet rechtstreeks is, — dewijl zij niet onmiddellijk de krommelijnen in haar geheel vormt, zoals dit bij de doorsnijding der ellipsoide met confocale hyperboloiden het geval is. Gemakkelijk evenwel geeft zij het middel tot dergelijke vorming. Want stellende, in de plaats van de twee groepen asymptotische kegelvlakken, twee andere, concentrisch met deze, en van welke de kegelvlakken zijn de corresponderende van de asymptotische kegelvlakken, dan zullen deze andere kegelvlakken de ellipsoide juist volgens haar krommelijnen suijden. De vergelijkingen toch van deze corresponderende kegelvlakken heeft men uit de vergelijkingen (61) en (62), door x, y, z te vervangen met x^, y^, en daarna, waarbij dwz, waardoor zij zullen zijn: 6 c (73) 1 .-gl" 1 !/i^ 02_/j2 J 1 Vi ^ a^ — a'^ k^ — b"^ b^ En wanneer men nu deze vergelijkingen verbindt met de vergelijking der ellipsoide, voorzover aangaat de punten, welke aan de ellipsoide en aan de kegelvlakken van deze twee groepen gemeen zijn, en daaruit bepaalt de vergelijkingen der projectie van de kromme lijnen van doorsnijding, dan vormen juist de vergelijkingen (3) — (5), (7) — (9), ten bewijze dat die doorsnijdingen werkelijk de krommelijnen zijn. Gelijk derhalve door middel van de hyperboloiden (2) en (6), worden ook eveneens, door middel van de kegelvlakken (16) en (17), de krommerijnen rechtstreeks veroorzaakt of geconstrueerd. Het vormen deze lijnen, door het construeren van corresponderende punten, vervalt, en ook de tussenkommend van een bol en van de asymptotische kegelvlakken wordt onnodig. Deze oppervlakken zijn als waren het vervangen door hun corresponderende oppervlakken, namelijk de ellipsoide zelf (corresponderend oppervlak van den bol) en de kegelvlakken (16) en (17). Deze laatste heeft men ook zonder op de asymptotische kegelvlakken te letten. Want stellende in (16) z = c, en in (17) = rt, dan vormen er vergelijkingen van ellipsen, welke zijn de doorsnijdingen van de kegelvlakken (16) en (17) met de platte vlakken, die de ellipsoide aanraken in een der toppen van de as 2c en in een der toppen van de as 2a van de ellipsoide. Denkt men, voor alle mogelijke waarden van h en k, alle die ellipsen in deze platte vlakken geconstrueerd, dan zijn daardoor ook de kegelvlakken (16) en (17) volkomen bepaald. En dewijl, zowel de voorstelling als de constructie van die twee groepen ellipsen, eenvoudiger en gemakkelijker zijn, dan die van de hyperboloiden (2) en (6), zou aan het gebruik der kegelvlakken (16) en (17), indien het op een eigenlijk construeren aankwam, inderdaad voorkeur kunnen toekomen. Aangezien de doorsnijdingen van de ellipsoide en de hyperboloiden niet onderscheiden zijn van die met de kegelvlakken, zullen ook de doorsnijdingen van de hyperboloiden met deze kegelvlakken korrelijnen van de ellipsoide zijn. Hieruit kan tot een bijzondere wording van de ellipsoide worden besloten. Want als men in de vergelijkingen van de para-meter h, van h - c tot h = b afgebroken of vloeijend laat veranderen, heeft men ook een voorstelling van de groepen aaneengeschakeld opvolgende hyperbolen en kegelvlakken. De eveneens aaneengeschakeld opvolgende doorsnijdingen deze oppervlakken vormen men een meetkundige plaats, en deze is geen andere dan het oppervlak der ellipsoide. Kent men en aan h en aan k enige bepaalde waarde toe, dan zijn de vergelijkingen van de projecties op het coördinatenvlak xy van twee ellipsen op den bol, de eerste tot de eerste groep, de tweede tot de tweede groep van ellipsen behorende. Ligtelijk heeft men van dezezelfde ellipsen de vergelijkingen van de projecties op een der twee andere coördinatenvlakken, b.v. op het vlak xz. Zijn nu x, y, de coördinaten van een gegeven punt der eerste spherische ellips, en eveneens a, b, de coördinaten van een bepaald punt der tweede ellips, dan vindt men gemakkelijk de vergelijkingen van twee lijnen, die in deze punten de genoemde ellipsen zullen aanraken. Het is evenwel niet noodig deze vergelijkingen in haar geheel of volledig te bepalen. Het is voornamelijk te doen om haar volstrekte en haar relatieve richtingen te kennen. En dan is het genoeg de vergelijkingen te hebben van twee lijnen, gaande door den oorsprong, en aan de gezegde of bedoelde raaklijnen evenwijdig lopende. De vergelijkingen van de projectie van de evenwijdige aan de raaklijn tot de eerste ellips in het punt \(x, y\) zullen worden bevonden te zijn \[ \frac{1}{2} (x - y)^2 \] Desgelijks de vergelijkingen van de projectie van de evenwijdige aan de lijn rakende de tweede ellips in het punt \(x, y\) \[ (x - a)(y - b) \] Zijn, voor dezelfde waarden van \(h\) en \(k\), \(a\), \(\beta\), \(y\), de coördinaten van een punt van de ellipsoide, behorende tot een kromme lijn van de eerste groep of van het eerste stelsel, en \(y\), de coördinaten van een punt van een kromme lijn van het tweede stelsel, dan zal, door middel van de vergelijkingen \( (3) - (5) , (7) - (9) \), worden gevonden dat \[ (g - G)(b - h) = b \] \[ (b - c)(a - P) = g \] \[ (g - G)(a - P) = P \] \[ (b - c)(a - P) = y \] Zijn de vergelijkingen van twee lijnen, gaande door den oorsprong der coördinaten, en evenwijdig loopende aan de lijn die de beide gedachte kromme lijnen in de genoemde punten aanraken. Is het punt \(\beta, y\), van de kromme lijn het corresponderend punt van het punt \((a, \beta)\), van de eerste van de boven gedachte spherische ellipsen, dan zal \(a = a'\). In een -Tijdschrift zijn twee vergelijkingen een - zijn. Substitueert men dit in de twee vergelijkingen, en stelt men ook in plaats van de corresponderende coördinaten, dan gaan deze vergelijkingen over in de vergelijkingen. Door het overeenkomstige op de vergelijkingen toe te passen, verkrijgt men de vergelijkingen. Vandaar dat de lijn, corresponderend met een rode lijn van een sferische ellips, rode lijn zal zijn van de corresponderende kromme lijn, en wel van of voor het punt van deze kromme lijn, hetwelk is het corresponderend punt van het raakpunt van de ellips. Kortom, voor twee corresponderende punten en van enkele sferische ellips, en van de corresponderende kromme lijn, zijn de raaklijnen tot deze kromme lijnen ingelijks corresponderend. Voor twee rechte lijnen, en desgelijks enkele punten (met elkaar niet samenhangende), behoren tot figuren of voorstellingen, waarin men assen kan opmerken, hebben zij ook corresponderende lijnen en corresponderende punten, naar de bepaling, die in art. 2 van corresponderende punten en van corresponderende figuren gegeven is. Wordt evenwel enige lijn, of enige meetkundige voorstelling, tot welke geen assen van figuur behoren, op zichzelf beschouwd, dan moet de definitie van corresponderende punten, lijnen enz., algemeener zijn. Punten zullen dan corresponderend zijn, indien de gelijknamige of eveneens gerichte coördinaten doorgaand eenzelfde reden tot elkaar hebben, en deze reden is, in het algemeen, een andere voor coördinaten van verschillende richting. Om misverstand in het begrip van corresponderende lijnen voor te komen, werd deze aanmerking hier niet overbodig geacht. Worden de coefficienten van in de vergelijkingen aangeduid door A en B, en vervangt men, in de vergelijkingen, met ÿ' y met - (1j,/) met a C. Dan gaan die vergelijkingen over in de vergelijkingen der richtingen van twee corresponderende raaklijnen, en door hun meer beknopte vorm ziet men gereedelijk in, dat de goniometrische tangenten van de hoeken, die de projecties van corresponderende raaklijnen, op eenzelfde coördinatenvlak, met eenzelfde coördinaten-as raken, tot elkaar in dezelfde verhouding staan als de ordinaten van in dat coördinatenvlak corresponderende punten, bv. van de projecties der raakpunten. Men zou deze tangenten corresponderende tangenten kunnen noemen, Hetgeen hier door de vergelijkingen (18) en (20) is besloten, zou ook door (19) en (21) hebben kunnen blijken. Het corresponderend zijn der raaklijnen voor twee corresponderende punten eener sferische ellips en der overeenkomstige kromte lijn, had ook meer onmiddellijk kunnen opgenomen worden, uit de eenvoudige beschouwing van twee corresponderende differentiaal-elementen dier kromme lijnen. Alleenlijk werd van de vergelijkingen (18) — (21) gebruik gemaakt, dewijl zij, voor een ander punt van onderzoek noodig zijnde, toch raaksten gesteld worden. (78) Uit het kenmerk, tot algemene bepaling van kromlijnen aangenomen, wordt afgeleid, dat door elk punt van een gebogen oppervlak twee kromlijnen gaan of kunnen geconstrueerd worden, en dat de richtingen van deze lijnen in het gedachte punt loodrecht op elkaar zullen zijn. Er zijn nogtans twee uitzonderingen. Vooreerst, indien het gebogen oppervlak is het oppervlak van een bol, een bolvormig oppervlak. Ten andere, indien het oppervlak punten heeft, die men umbilici noemt. Want alle lijnen, op een bolvormig oppervlak getrokken, zijn kromlijnen van dit oppervlak, zodat er door eenzelfde punt geen twee maar oneindig veel kunnen gaan, en daarom ook oneindig veel loodrecht op elkaar gerichte paren. En ofschoon alle lijnen, op eenig gebogen oppervlak door een umbilicus getrokken, geen kromlijnen zijn, kunnen er toch, door zoodanig punt, in alle richtingen kromlijnen gaan, derhalve ook oneindig veel paren van loodrecht op elkaar gerichte kromlijnen. Het kan althans in deze zin begrepen worden, maar op deze tweede uitzondering, omtrent welke verschil in mening bestaat, behoeft hier niet gelet te worden. Op de ellipsoide zijn de paren van kromlijnen, tot elk punt (de vier umbilici uitzonderende) behorend, loodrecht op elkaar gericht. De een van deze lijnen is een lijn van het eerste, de andere een lijn van het tweede stelsel van kromlijnen. Gevolgelijk worden alle de kromlijnen van het een stelsel rechthoekig gesneden door alle de lijnen van het tweede stelsel. Deze Stelling, als gevolg der algemene theorie, eist hier geen bewijs, doch het zou uit de vergelijkingen (20) en (21) kunnen gegeven worden. Om deze reden kunnen we zeggen dat de krommetijnen van een elispoide rechthoekig snijden met elk andere lijn, een bewijs dat loodrecht op elkaar staan. Alhoewel het rechthoekig op elkander gericht zijn van twee kromme lijnen, door enige punt van een sferisch vlak op dit vlak getrokken, geen noodzakelijkheid is, kunnen nog steeds volgens een wijze van wording van sferische lijnen, die elkander snijden, zoodanige zijn, dat hare richtingen in de punten van doorsnijding noodwendig loodrecht zijn. En dit noodzakelijke bestaat voor de sferische ellipsen, die de kromme lijnen der ellipsoide tot corresponderende lijnen hebben. Want als twee sferische ellipsen, de ene tot de ene groep, de tweede tot een andere groep van sferische ellipsen behorende, elkander rechthoekig snijden, moeten ook de richtingen der twee rechte lijnen, door welke zij in enige der doorsnijdingspunten geraakt worden, rechthoekig zijn, en dit moet dan door de vergelijkingen tot eenzelfde punt van de beide sferische lijnen, dat is tot een punt, aan beide gemeen, betrekking hebben. Laten x, y de coördinaten van dit gemeenschappelijk punt, — een doorsnijdingspunt, — zijn, dan moeten in en in a = a = b, y = y = b worden, Daarna moet bevonden worden, dat de onafhankelijkheid, opgeteld bij de producten der coefficients van en in de overeenkomstige vergelijkingen, een som geeft = nul. Derhalve moet men hebben: (a^ - c^)(b^ - A^)(Ä: - h"^) (b^ - c^)(a^ - A^)(a^ - b*) (bi - ^ (b2_c2)(b2 - A2)(a2 - Ä:) Maar x, y hangen samen door de vergelijkingen der projecties van de sferische ellipsen op twee der drie coördinatenvlakken, of door de twee vergelijkingen van de projecties op twee der coördinatenvlakken, — bijvoorbeeld door de vergelijkingen en, en door de vergelijking van den bol. Vervangt men derhalve, in deze vergelijkingen I/z, 1/2 met a^, ß^, y^, en lost men deze laatste op, dan verkrijgt men voor x^, y^, z^ uitdrukkingen van waarde of grootte, die men ook heeft door de tweede leden van de vergelijkingen. Indien de eerste of op zichzelf staande factoren a^, b^, c^, verwisseld worden, raakt a^, a^, a^. De onderling recht hoekige doorsnijding, zowel van de sferische ellipsen van de twee groepen ellipsen, als van de kromtekammen der beide stelsels kromtekammen, is derhalve een nieuw punt van overeenkomst of van verwantschap van deze kromme lijnen, zodat men kan stellen, dat de kromtekammen op de ellipsoide zijn, hetgeen de met haar verwante sferische ellipsen zijn, op den bol. Die kromtekammen zouden daarom ook genoemd kunnen worden ellipsoidische ellipsen. Onder de rakende vlakken van de spherische ellipsen en der kromte lijnen, en dan voorzover zij betrekking hebben tot corresponderende punten, zijn er twee als voorzien op te merken. Vooroverst die, welke tevens zijn raakvlakken van den bol en van de ellipsoide. In elk van deze vlakken ligt een element van de overeenkomstige kromme lijn, en men zal bevinden dat beide altijd zijn corresponderend, dat is, een vlak, rakend met den bol in enig punt van een spherische ellips, zal tot corresponderend vlak hebben dat, hetwelk de ellipsoide aanraakt in het corresponderend punt van de overeenkomstige kromte lijn. Uit de vergelijkingen van den bol en der ellipsoide heeft men onmiddellijk die der rakende vlakken voor twee onbepaalde punten. Laat men het punt, dat tot het spherisch vlak behoort, onbepaald, maar stelt men het tweede te zijn het correspondentie punt van de oppervlakte der ellipsoide, dan blijkt het uitgedrukt terstond. Ten tweede, die rakende vlakken, welke met de beide kromme lijnen, dat is het eene raakvlak met de eene, het ander met de corresponderende kromme lijn, twee elementen gemeen hebben, of liever door drie oneindig dicht op elkaar volgende punten van de kromme lijnen gaan. Deze aanrakende vlakken zijn de kromte vlakken der corresponderende punten van de spherische ellipsen en der kromte lijnen. Maar zij zijn geen corresponderende vlakken, en zoo lang de lijnen op den bol zijn eigenlijke ellipsen en geen groote cirkels, kunnen zij niet correspondent zijn. Zonder enige hoge berekening blijkt de waarheid hiervan, door op te merken, dat de kromte vlakken van de spherische ellipsen door het middelpunt van den bol gaan (zij zijn ook niet onderscheiden van de raakvlakken van de asymptotische kegelvlakken). Alle corresponderende vlakken moeten dan insgelijks door dit middelpunt gaan, dewijl het tevens is middelpunt van de ellipsoide en oorsprong der coördinaten. Maar de kromte vlakken van de kromte lijnen op de ellipsoide gaan niet door haar middelpunt; bij gevolg kunnen zij van de kromte vlakken van de spherische ellipsen geen corresponderende vlakken zijn. Met de normale van de ellipsen en der krommelijnen is het eveneens gelegen. Noch die normalen, welke tevens zijn normalen van den bol en normalen van de ellipsoide, noch de voormaande normalen, in de kromtevlakken der kromme lijnen gelegen, kunnen, om dezelfde reden, corresponderende normalen zijn. Niettemin bestaat er tussen de richtingen der eerstgenoemde normalen, zo de normaalpunten zijn corresponderende punten, een gegeven verband, dat tot corresponderend zijn betrekking heeft. Zij zijn namelijk x, y, coördinaten van een punt der oppervlakte van den bol, derhalve ook van een punt eener spherische ellips, dan zijn ß y y^~x,z^~a, de vergelijkingen der normale voor dit punt, zowel van de voormaande normale of hoofdnormale der spherische ellips, als van die, welke normaal van de kromme zijnde, tevens normaal van den bol is, en hier moet zij uitsluitend in dezen laatsten zin gedacht worden. Een lijn, door den oorsprong der coördinaten gaande, en evenwijdig zijnde aan eenige normaal van de ellipsoide, zal met deze een gelijke richting hebben, en Indien x, y, z zijn coördinaten van het normaalpunt op de ellipsoide, zullen de vergelijkingen van genoemde parallele lijn (nu ook een normaal van den bol) zijn = ri — a; (22). Bij een a, ß, γ, zu (5, φ, z) corresponderende punten, daalt de verhouding tussen de afstand en de straal zo, dat deze vergelijkingen aldus kunnen worden gesteld: a' = a - ß, ß' = - ß, γ' = - γ, zoodat deze vergelijkingen aldus kunnen worden gesteld: a' ß' + γ' Vergelijkt men ze nu met de vergelijkingen van de normale der sferische ellips, en let men tevens op hetgeen is besloten ten aanzien van de richtingen van corresponderende raaklijnen, dan blijkt, dat de richtingen van normale, tot corresponderende punten van den bol en van de ellipsoide behorend, zoodanig zijn, dat de goniometrische tangenten der hoeken, die elkaar projecties op eenzelfde coördinatenvlak met eenzelfde coördinaten-as inaken, zijn omgekeerd corresponderend, derhalve zijn de cotangenten van die boeken corresponderend cotangenten. Denkende door alle punten van enige kromme lijnen, die normaal zijn op de ellipsoide, vervolgens ook lijnen door den oorsprong, evenwijdig aan deze normale lijnen, dan wordt er een elliptisch kegelvlak gevormd, dat van bet asymptotisch kegelvlak bet omgekeerd corresponderend kegelvlak zal zijn. Hierdoor kan besloten worden uit hetgeen zo pas ten aanzien van de richtingen der normale lijnen werd opgemerkt, maar bet afleiden uit de vergelijkingen geeft helderder inzicht. De vergelijkingen (22) zijn die van een beschrijvende lijn van dit kegelvlak. De vergelijking van dit laatste moet onafhankelijk zijn van de coördinaten a, b, y, deze moeten ook voldoen aan twee der vergelijkingen (3) — (5), b.v. aan (3) en (4). Vervangende dan in (3) en (4), met x, y, en eliminerende deze coördinaten uit (3), (4) en (22), dan moet de vergelijking van bet kegelvlak der richtingen van de genoemde normale lijnen komen. Men verkrijgt haar ook door de eliminatie van a, ß, y uit (23) en uit de vergelijkingen van twee projecties van een sferisch lijn (hoedanige (14) is), nadat in deze twee vergelijkingen x, y, z, voor x, y, z gesubstitueerd zijn. De begeerde vergelijking zal zijn; y^2 = b^2 - x^2 Beschouwt men dit kegelvlak als een oorspronkelijk of gegeven kegelvlak, of als een even kegelvlak, dat betrekking heeft tot den meergenoemden bol, en bepaalt men het kegelvlak, dat er het corresponderend van is, dan moet in (24) door gesubstitueerd worden x voor x, - y voor y en - z voor z. Door deze substitutie komt (niet op de accenten leidende) juist de vergelijking van een der asymptotische kegelvlakken, en eveneens komt de vergelijking van het andere asymptotische kegelvlak, als men uitgaat van het beschouwen van de richtingen van de normalen een kromte lijn van de andere groep der kromte lijnen van de ellipsoide. De asymptotische kegelvlakken zijn derhalve de corresponderende van die der richtingen van de normalen der kromte lijnen en tevens van de ellipsoide; of deze laatste genoemde kegelvlakken zouden gehouden kunnen worden te zijn de omgekeerde corresponderende kegelvlakken van de asymptotische. Ofschoon dan die normalen der kromte lijnen, welke tevens normalen zijn der ellipsoide, niet zijn de corresponderende van de normalen des bols, behorende tot corresponderende punten van de overeenkomstige sferische ellipsen, bestaat er niettemin tussen de richtingen van deze normalen dit verband, dat, als de normalen der kromte lijnen evenwijdiglijk in den oorsprong der coördinaten verplaatst gedacht worden, de richting of van haar corresponderende normalen zullen zijn die van den bol, gaande door de corresponderende punten van de overeenkomstige sferische ellipsen. Het kegelvlak (24) heeft tot corresponderend kegelvlak een asymptotisch kegelvlak, en van dit is het kegelvlak (16) het corresponderend kegelvlak. Deze drie kegelvlakken, of groepen van kegelvlakken, omvatten elkander, invloed dat het eerstgenoemde (24) is de kern, omvatten verder door het asymptotisch kegelvlak, en dit wederom door zijn corresponderend kegelvlak (16). Men zou zo kunnen gaan in het bepalen der corresponderende kegelvlakken van de verkregene, die insgelijks van voorgaande kegelvlakken de corresponderende waren. Naar de in art. 2 aangenomen verhoudingen, - M^orden, bij gelijke abscissen, de ordinaten van corresponderende punten kleiner en kleiner, als men een reeks van punten bepaalt, van welke de volgende telkens zijn de corresponderende der voorgaande (hunne ordinaten geven derhalve een rekenkundige voorstelling van de termen van een afdalende meetkundige reeks). Daarom worden ook van opvolgende corresponderende kegelvlakken, — die concentrisch zijn, en de ordinaten-as z tot gemeenschappelijke gelijknamige hoofdas hebben, — de ordinaten en 2 der corresponderende punten kleiner en kleiner. Daarom maken de corresponderende beschrijvende lijnen kleinere en kleinere hoeken met bet vlak xy. Daarom worden de kegelvlakken zelf meer en meer uitgespreid; de volgende omvatten in dezen zin de voorgaande, en naderen meer en meer tot bet platte vlak. Voor een sferische ellips zijn de aspen en de middellijnen bogen van krochten van de bol. Lijnen a en b zijn de halve aspen. Is de straal van de bol gelijk aan de eenheid, dan zijn sin. a en sin. b de projecties van deze halve aspen op het coordinatenvlak xy. Heeft de bol een radius a, dan zullen a sin. a en a sin. b de grootten van deze projecties worden. Maar dezezelfde projecties zijn ook de halve aspen der ellipsen, wesharve cos. a = cos. b = 1/2. Hieruit cos. a = cos. b = 1/2. Sferische ellipsen hebben, even zo als vlakke ellipsen, twee brandpunten, op de sferische grote aspen gelegen. De sferische afstanden van deze punten tot de toppen van de kleine sferische as Sb, zijn altijd gelijk aan de sferische halve as a, met overeenkomstig de bekende eigenschap van vlakke ellipsen. Eveneens is de som van twee, naar eenzelfde punt des elliptischen orduktes gerichte, focale sferische voerstralen, constante gelijk aan een boog van 2a, dat is gelijk aan de sferische grote as (zie boven, voor de afleiding of het bewijs van deze waarheden, GUDERMANN, Grundriss der analytischen Sphärik. Köln, 1830). Zijn van een vlakke ellips a, b, c de halve aspen en de excentriciteit, dan is de rechte lijnige driehoek, met de lijnen a, b, c geconstrueerd, rechthoekig, en men heeft 1 - b^. Zijn a, b, c de sferische halve aspen en de sferische excentriciteit van een sferische ellips, dan is de sferische driehoek, met de bogen a, b, c geconstrueerd, eveneens rechthoekig, en men heeft, voor de radius = 1, cos. a + cos. b cos. c. Derhalve cos. c = cos. a : cos. b, dat is (zie boven) b^ + c^ cos. c = , - en b^ + c^ a^ cos. c = , -. Aantallen van de afmetingen van de hier gedachte spherische ellipsen, tot de eerste van de twee groepen ellipsen behorende, hangen af van den parameter h, en de excentriciteit e blijkt onafhankelijk te zijn van h. Daarom hebben alle de ellipsen van deze groep eenzelfde excentriciteit; daarom zijn zij confocaal. Eveneens komt, voor de excentriciteit e' eenere ellips van de tweede groep, -- b"-- a2. cos.2 e' = ; (87) derhalve onafhankelijk van den parameter k, door welken de spherische ellipsen der tweede groep van elkaar in grootte verschillen, zodat ook alle de ellipsen van deze tweede groep confocaal zijn. 