title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: Tevens zal door een voorbeeld worden aangetoond, boe men de bedoelde correctien längs den eenvoudigsten weg kan be- rekenen, § 2. Om aan te toonen, dat het sluitend gemaakte drie- hoeksnet, door bet aanbrengen van correctien aan de hoeken, een sluitend geheel blijft vormen, moet men bewijzen: 1°. dat de som van de correctien van de drie hoeken in iederen drieboek gelijk nul is; 2°. dat de som van de correctien van de hoeken om een centraalpunt nul is ; en 3°. dat bij een dergelijk punt de som van de correctien van de log sin der links gelegen basisboeken gelijk is aan de som van de log sin van de rechts gelegen basishoeken ; of, wat op betzelfde neerkomt, dat de som van de correctien van de log sin van de rechts gelegen basisboeken verminderd met die som voor de links gelegen basisboeken nul is. Dat door bet aanbrengen aan de hoeken van correctien, die evenredig zijn met de projectien van de overstaande zij- den, geprojecteerd volgens eene bepaalde richting, aan de eerste voorwaarde voldaan wordt, is onmiddellijk in te zien, als men opmerkt, dat de som van de correctien van de drie lioeken A}, A2 en A^ in fig. 1 gelijk is aan de som van de projectien B2B6, B(- B1 en Bl B2 van de drie zijden A%A&, Aq A-[ en A1A2 van den drieboek, dat is gelijk aan de projectie van den omtrek van eene gesloten figuur, welke projectie uit den aard der zaak nul is. Ook aan de tweede voorwaarde wordt voldaan door de genoemde correctien, want de correctien der vijf hoeken om ( 305 ) Aß , fig. 3, zijn respectievelijk gelijk aan de projectien B1 B2, B2 B3, B3 B 4, B± Bh en B-0 B1 van de zijden A1 A2, A2 A3 , i3 i4, 14 45 en Ab Al; kun som is dus ook de projectie van den omtrek van eene gesloten fignur en dus nul. Alvorens ket bewijs te leveren, dat ook aan de derde voor- waarde voldaan wordt, moeten wij nagaan de verandering, die de log sin van een lioek ondergaat. De correctie van koek Ay fig. 2 is evenredig met de projectie B2 Bß van de over- staande zijde A2 Aß. Stellen wij de lengte dier zijde gelijk aan a en den koek F A2 A6, die zij met de rickting van projectie maakt, door cp voor, dan kunnen wij die correctie A A1 gelijk stellen aan K a sin cp waarin K eene constante voorstelt. De correctie, die de log sin van een koek ondergaat, is gelijk aan de correctie van den koek vermenigvuldigd met den cotangens van dien koek ; dus : A log sin A1 = ctg Ay A A1 = Ku ctg A1 sin <p. Trekken wij nu in fig. 2 de drie loodlijnen uit de drie hoekpunten op de overstaande zijden, dan snijden deze elkaar in een punt D. In den driehoek A1 D A6 is nu /^DAßA-y — 90 — Ay en Ay D A6 = 180 — A2\ liier- uit volgt dus voor den afstand Ay D van ket koekpunt tot dat gemeensckappelijk snijpunt, welken afstand wij door b zullen voorstellen, sin (90 — AA cos Ay b — Ay Aß — T- 7~ = Ay Aß sm (180 — A2) sin A2 De zijde Ay Aß is ecliter gelijk aan: sin A2 a ~ ~Ä » sm Ay waardoor b overgaat in sin A2 cos Ay b -=. a — — — * — — — = a ctg Ay sm Ay sm A2 en dus de correctie van de logsin van Ay in: A log sin Ay = K b sin cp. 21* ( 306 ) Trekken wij nu door Ax en D twee lijnen G Ax Cj en DE loodrecht op de richting van projectie A2B2, dan is G Ax D = F A,2 Aö = <p, en dus K b sin q eveni'edig met de projectie Cj E van de lijn Al D. Hieruit volgt dus dat de verandering, die de log sin van een lioek ondergaat, evenredig is met de projectie van den afstand van het lioekpunt tot aan liet gemeenschappelijk snijpunt der drie hoogten, geprojecteerd volgens eene ricli- ting loodrecht op die, volgens welke de zijden moeten ge- projecteerd worden om de correctien der lioeken te vinden *). Trekken wij nu in fig. 3 in ieder der vijf driehoeken de twee loodlijnen uit de lioekpunten aan den omtrek op de overstaande driehoekszijden en noeinen wij de snijpunten van beide loodlijnen in de vijf driehoeken Dx D2 Dz D± en D-a , dan is de som van de correctien van de log sin van de rechts gelegen basishoeken evenredig met de som van de projectien Cj Ex, C2 E2, Cj E3, Cj Ex en Cj E-0 van de lij- nen AxDt, A2 D2, A3 D3, A4 Dx en A-aD-a. De som van de correctien van de log sin van de links gelegen basishoe- ken is gelijk aan de som van de projectien C2 Ex, Cj E2, Cj E3, C5 Ex en Cj E-0 van de lijnen A2 Dx, A3 D2 , A± D3, A5 Zj, en Ax _D5; trekken wp deze af, dan veränderen daar- door de richtingen der lijnen en wij krijgen dus de som van de projectien Ex Cj, E2 C3, E:i Cj, Zj C-0 en Eb Cx van de lijnen Dx A2, D2A3 , D3 A^ D± A-a en D- Ax. Voegen wij deze som bij de eerste, dan vinden wij voor de som van de correctien van de log s n der rechts gelegen basishoeken ver- minderd met die som voor de links gelegen basishoeken, de som van de projectien Cx £j, Ex C2, C2 E2, E2 C3, C3 E?J, E3 Cj, Cx Zj, Zj C5, C-a E-a en E-a Cx, dat is de projectie van de gesloten figuur Ax Dx A2D2 As D3 Ax, Z>4 A-a D-aAx, welke projectie gelijk nul is. Wij zien dus dat aan alle drie de voorwaarden voldaan *) Deze Stelling is in de boven aaugebaalde vcrhandeling, voorkomende in de Ferslagen en Mededeelingen, Deel XVI, op bk. 33 -2 op meer omslack- tige wijze aangetoond, uitgaande van de correctien, die de coördinaten der lioekpunten ondergaau, ( 307 ) wordt. en liet secundaire net, dus door liet aanbrengen van de bedoelde correctien aan de boeken, een sluitend geheel blijft vormen. § 3. Indien men het secundaire net, waarvan de boeken de noodige correctien ondergaan bebben, aan twee punten van bet primaire net aansluit, zal bet derde punt ook aan- sluiten, indien slecbts de aansluitingsdrieboek in bet secun- daire net gelijkvormig geworden is aan dienzelfden drieboek in bet primaire net. Hiertoe is bet voldoende, dat twee van de boeken van dien drieboek gelijk geworden zijn aan de overeenkomstige boeken in bet primaire net. Men moet bier- toe dus over twee parameters naar willekeur kunnen be- scbikken, en deze parameters zijn werkelijk aanwezig; de eene wordt gevonden in den boek waardoor de richting be- paald wordt, waarin de zijden van den driehoek geprojecteerd worden, en de tweede in den factor waarmede de projectien vermenigvuldigd moeten worden (de factor K in de vorige paragraaf). Hierdoor is dus aangetoond, dat door de genoemde cor- rectien de aansluiting werkelijk verkregen en bet beoogde doel dus bereikt wordt. § 4. Voor de berekening van de correctien van de boe- ken kan men de eenvoudige formule: K l sin cp toepassen, waarin K eene constante, l de lengte van de overstaande zijde en cp den boek voorstelt, welke die zijde met de ricbting van projectie maakt. De lengten der zijden vindt men in bet secundaire net berekend, bet is daarbij onverschillig in welke eenbeid zij zijn uitgedrukt; men kan bij die berekening uitgaan van eene benaderde lengte van eene zijde, als er eene rechtstreeks gemeten is, of ook een- voudig een van de zijden willekeurig als eenheid aanne- men *). De hoeken cp vindt men uit de boeken der drie- ') Tn de praklijk zal men meestal den eersten weg volgen, omdat men ( 308 ) noeken zoodra sleckts van eene zijde bekend is den hoek, dien zij met de richting van projectie maakt. Hiertoe worden in het secundaire net de coördinaten van de driekoekspunten van den aansluitingsdriehoek berekend ten opzichte van een coördinaten stelsel, waarvan de oor- sprong samenvalt met een boekpunt en een der assen sa- menvalt met de richting van een der zijden. Uit die coördi- naten worden nu berekend de boeken, die de drie zijden van den aansluitingsdriehoek met een der assen maken. Uit deze ricktingslioeken vinden wij de boeken van den aansluitings- drieboek en deze afgetrokken van de bekende boeken van dien driehoek in bet primaire net geven de correctien, die de eerst berekende hoeken moeten ondergaan. Uit deze cor- rectien zijn nu de twee bovengenoemde grootbeden gemak- kelijk te vinden. Ten einde de gedachten beter te bepalen, beschouwen wij bet drieboeksnet in fig. 4 voorgesteld ; de punten A , B en C zijn de aansluitingspunten aan bet primaire net. Uit de lij- nen PN en N A , P 0 en 0 B en P Q en Q C kan men de coördinaten van A, B en C berekenen ten opzichte van de lijnen P 0 als ?/-as en eene loodlijn daarop door P als a;-as. Uit deze coördinaten berekend men verder de boeken, die de zijden B C — a, C A = b en A B — c met de ^-as maken; zijn deze boeken qpa, qpÄ en <jpc, dan vindt men de boeken A, B en C van den aansluitingsdriehoek uit: A = (fb — (pc 180° B — q>c — <f>„ db 180° C = Cpa — <pb ± 180°. Zijn deze hoeken in het primaire net nu gelijk aan A1, B1 en C\ dan zijn bij het berekenen van bet secundaire net, soms eene benaderde waarde van eukele zijden noodig heeft, namelijk als er boeken gecentreerd moe- ten worden; bij bet bier volgend voorbeeld hebben wij den laatsten weg gekozen, om daardoor duidelijker te doen uitkomen, dat bet geheel on- verscbillig is in welke eenbeden de zijden van bet secundaire net zijn uitgedrukt. ( 309 ) SA—A' — A 8 B = B’ — B 8 C = C' — C de correctien, die de hoeken A, Be n C moeten onder- gaan. Stellen wij nu den hoek, dien de zijde P 0, dat is onze ^-as, met de richting van projectie vormt door k voor, dan zijn deze hoeken voor de zijden <?, b en c respectievelijk : k -p (jpa, k -f- q>i en k -f- <j>c en hieruit volgt dus: 8 A = K a sin (k 4- q>a) — K sin k a cos <pa K cos k a sin cf>a 8 B = K b sin (k cpb ) = K sin k b cos cp(, 4- K cos k b sin cpb 8 C = K c sin (k -J- q>c) = K sin k c cos cpc + K cos k c sin cpc of als wij de coördinaten van de hoekpunten A, B en C invoeren : 8 A = K sin k ( ye — yi) + K cos k (ycc — x j) 8 B — K sin k (t/a — yc) + K cos k [xa — xc) 8 C — K sin k ( yb — ya) + K cos k (xb — xa). Vermenigvuldigen wij deze vergelijkingen respectievelijk met a’a, xb en xc , dan vinden wij door samentelling: xa8A-\-xb8B-\- xc8 C = Ksin k [xa ( ijc-yb ) (ya -#c) + xci]/b-ya)] en als wij hetzelfde doen na vermenigvuldiging met ja, yb en ye: ya8A 4 -yb8 B-\-yc8C=Kcosk \ya [xc-xb) 4 -yb {Xa-Xc) +yc {xb-xa)\ Aangezien nu de uitdrukkingen tusschen de vierkante haak- jes respectievelijk gelijk zijn aan 4- en — tweemaal den inhoud van den aansluitingsdriehoek in het secundaire net, zoo vinden wij : ( 310 ) SA SB SC **,*= + •. — + « j-j + xc — SA SB Kcosk — — ya—j — Vb —Ve s_c 2 ./ waaruit K en k onmiddelijk gevonden •worden. Als men in aanmerking neemt dat is, dan kan men door een der drie correctien in de twee andere uit te drukkeu de gevonden formules nog als volgt schrijven : SA SB K sm k = (xa — Xc) —— + (Xk — xc ) — — S A SB K cos k = (yc — Sa) + [yc — Sb) — K sin k — {xa — Xb) -f (xc — #«) ~j S A S C K ms k — (t/b — Sa) — + (jb—yc) 2 / SB K sin k =. {xi — Xa) —— K COS k — ( IJa — yb ) S B 2 J + {xc xa) 2J- s c + (üa-fc) Welk van deze drie stel formules men toepast, is onver- sc’hillio>; zij zijn niet zoo symetrisch als de eerst afgeleide, maar voor de berekening zijn zij eenvoudiger, omdat men de logarithmen van de verschillen der coördinaten reeds vroe- ger gebruikt beeft en dus niet meer behoeft op te zoeken. Heeft men uit een stel dezer formules de twee grootheden K en k berekend, dan volgen uit de hoeken van bet drie- boeksnet gemakkelijk de boeken cp, die de verschillende zij- den van het net met de riebt, ing van projectie maken en ( 311 ) met behulp daarvan vindt men dan de correctien door middel van de formule K l sin cp. Daarna heeft eindelijk de aansluiting aan twee punten van lief primaire net op de bekende wijze plaats; de aansluiting aan bet derde punt volgt dan van zelf. § 5. Ter nadere toelichting volgt hier achter een uitge- werkt voorbeeld, al de berekeningen, die betrekking hebben op de gevraagde correctien worden hier volledig medegedeeld. In het primaire net zijn de drie punten A, B en C fig. 4 gegeven door de volgende coördinaten: X Y. A 1027,329 983,268 B 1570,636 4819,698 C 6148,394 3105,058 waaruit de onderstaande elementen van den aansluitingsdrie- hoek volgen : Hoek- Azimuthen der Hoeken. Log. overst. punten. overstaande zijden. zijden. A 110°32' 1",99 59°26' 2", 41 3,6891613 B 247°29'40'',22 77°31'35,',82 3,7437622 C 8° 3'37",81 43° 2'21",77 3,5882392. De elementen van het sluitend gemaakte secundaire net, dat in fig. 4 is voorgesteld, zijn bevat in de vijf eerste ko- lommen van den hier achter gevoegden staat. De twee laatste kolornmen worden later berekend en ingevuld. De inrichting der tabel is op zieh zelf duidelijk; alleen wijzen wij er op, dat de waarden onder de streepen in de kolom log sin de logarithmen van de moduli der driehoeken voorstellen, waar- door de berekening der overstaande zijden in de tabel zelve gemakkelijk plaats heeft. Bij de berekening der zijden is uitgegaan van de lengte der zijde OP in driehoek 1 , welke zijde als eenheid is aangenomen. ( 312 ) De volgorde, waarin de driekoeken en de hoekpunten der driekoeken in den staat voorkomen, is voor ket gemak der berekening niet on . ersckillig. De driekoeken zijn gerang- sckikt volgens de centrale punten, waaromkeen zij gelegen zijn en bij ieder dier punten zijn de driekoeken genomen in de volgorde, waarin zij op elkaar volgen, als men ze door- loopt in de rickting, waarin de wijzer van liet uurwerk be- wegen. Bij de opvolging van de koekpunten der driekoeken is die zelf volgorde in aanmerking genomen, en is steeds begonnen met ket centrale punt waaromkeen de driekoeken liggen. Yerder zijn in de tabel de verschillende driekoeken, die om ketzelfde centrale punt liggen, door eene dubbele lijn afgesckeiden. Deze volgorde maakt de berekening zoowel van de log. der overstaande zijden als van de koeken in kolom 6 en van de correctien zeer eenvoudig, zooals straks voor de twee laatsten zal blijken. Tkans vangt de berekening voor de bepaling van de cor- rectien voor de aansluiting eerst aan, al wat vooraf gaat is noodig bij iedere metkode van aansluiting, welke men ook volgen wil. § 6. Voor de berekening van de coordinaten van A , B en C in ket secundaire net nemen wij de lijn P 0 als ^-as en eene lijn loodreckt daarop door P als o;-as. De koek, die de lijn P 0 met de y-as maakt, is dus 0°0'0" en voor de lijn 0 B vinden wij : 0° 0' 0",00 = PO Oß = 64°24'19",37 On = 50°33'42",35 01S = 70°53' 2", 78 ± 180° 5054' 4", 50 = OB en kierurt volgt voor de projectien van OB op de x- en op de j/-as: ( 313 ) log 0 B — 0,0277416 log sin (0 B) = 9,0083709 log cos (OB) = 9,9977314 9,0361125 0,0254730 OB sin (OB) = 0,1086707 OB cos (OB) = 1,0604080 waaruit meu voor de coördinaten van B vindt: x/, = 0,0000000 4- 0,1086707 = 0,1086707, yi = 1,0000000 + 1,0604080 = 2,0604080. Voor de hoeken van PQ e n QC met de jf-as vindt men : 00 0’ 0",00 = (P 0) Pj = 69041' 7", 00 P2 = 51°12'33'',67 120053 40", 67 = (P Q) Q2 = 61018' 9", 70 Q15 = 58011' 1",91. Qu= 60050' 2", 59 ± 180° 121°12'54",87 = (Q C). Voor de projectien van P Q en Q C op de x- en ^-as vindt men nu: logPQ = 9,9664008 log sin (P Q) = 9,9335445 log cos (P Q) = 9,7105073« 9,8999453 9,6769081« log Q C = 9,8676524 log sin (Q C) — 9,9320811 log cos (Q C) = 9,7145431« 9,7997335 9,5821955« P Q sin (P Q) = 0,7942282 QCsin(QC)= 0,6305703 PQcos(P Q) = — 0,4752347 Q Ccos(Q C)=— 0,3821162 waamit vour de coördinaten van C voigt: ( 314 ) xc = 0,7942282 + 0,6305703 = 1,1247985 ye — — 0,4752347 — 0,3821162 = — 0,8573509. Op gelijke wijze vindt men de coördinaten van A uit de volgende berekening : 120°53'40",67 (P Q) P3 = 61°19'48",33 , P4 = 67°46'49",00 P5 = 56°54' 1",67 306°54'19'',67 = (PN) Nb = 530 9'51",70 iV7 = 47°26'27'',07 A’8= 38°59'23'',07 ± 180° 266030' 1",51 = (N A) Log PN = 0,0072162 log NA = 0,0466427 log sin (P N) = 9,9028876* log sin (N A) = 9,9991893« log cos (P N) = 9,7785105 log cos (N A) = 8,7856233* PNsin{PN)= — 0,8130248 NAsm(MA)z== — 1,1113017 PNcos(PN)= 0,6105577 NAco8(NA) = - 0,0679620 xa = — 0,8130248 — 1,1113017 = — 1,9243265 ya — 0,6105577 — 0,0679620 = 0,5425957 § 7. Voor de berekening van de lengten en de ricbtings- hoeken der zijden van den aansluitingsdriehoek in bet secun- daire net liebben wij nu: xc —xb — 1,3161.278 yc —yb = — 2,9177589 9,9101038, 9,7857267 0,0458320* 8,8322660* xc = 1,4247985 xb = 0,1086707 yc = — 0,8573509 yh = 2,0604080 log ( xc — xb) = 0,1192980 log Uc — Uh) = 0,4650494, log tg cfja = 9,6542486, ( 315 ) <pa = 155°43'15",82 log (xc — xj)r= 0,1192980 log{yc — yi> ) — 0,4650494» log sin qp„ = 9,6140312 log cos cpa — 9,9597827» log a = 0,5052668 log o = 0,5052667 xa = — 1,9243265 ya = 0,5425957 xc = 1,4247985 tjc = — *0, 8573509 xa — xe = — 3,3491250 ya—>Jc= 1,3999466 log {xa — xc) = 0,5249314» log {ya - sc) = 0,1461115 log tg <fb = 0,3788199» q>b = 292°41'6",39 log (xa — xc) = 0,5249314» log (ya — yc) = 0,1461115 log sin qp* — 9,9650315» log cos qp$ = 9,5862116 log b = 0,5598999 log b = 0,5598999 x 6 = 0,1086707 }b = 2,0604080 xa — — 1,9243265 ya — 0,5425957 xb — xa = 2,0329972 xb — xa = 1,5178123 log (x* — xa ) = 0,3081368 log (?/b — y «) — 0,1812180 log tg cf/c — 0,1269188 q Pc = 53°15'19'',48 log {xh — xa) =: 0,3081368 log (yt — ya) = 0,1812180 log sin q>c = 9,9038008 log cos cpc = 9,7768819 log c = 0,4043360 log c = 0,4043361 Hieruit vindt raeu het volgende tabeltje- van de elementen van den aansluitingsdrielioek in het secundaire net. ( 316 ) Hoeken. Hoeken der overstaande zijden met de y-as. A 155°43'15",82 59°25'46",91 B 292°41' 6”, 39 77°32' 3", 66 C 53°15'19",48 43° 2' 9", 43 log. sin. 9,9350061 9,9896391 9,8340754 Log. over- staande zijden. 0,5052668 0,5598998 0,4043361 0,5702607 In bovenstaande berekening zijn ook opgenomen de lengten der zijden en de log sin der hoeken, eensdeels voor de con- trole op de berekening, anderdeels orndat men ze noodig heeft voor de berekening van den inkoud van den driehoek. De logarithme van het dubbel van dien inhoud vindt men door samen te teilen de logaritlimen van twee zijden en die van den sinus van den ingesloten lioek, dus log a — 0,5052668 lg b — 0,5598998 log sin C — 9,8340754 log 2 J — 0,8992420 § 8. Door nn de hoeken van den aansluitingsdriehoek in het secundaire net (§ 7) af te trekken van die in ket pri- maire (§ 5), vinden wij voor de correctien dier hoeken: 8 A 59°26' 2", 41 — 59°25'46",91 = + 15", 50 8B= 77°31'35",82 — 77°32' 3", 66 = — 27", 84 8 (7=43° 2'21",77 — 43° 2' 9”, 43 = + 12'', 34 Voor de berekening van K en k passen wij de formules: SA 8 C K sin k = (xa — x/j) — - -f- (xc — x/j) —— -J tj — J 8 A 8 C K cos k = (yt — ya) ~ t ( fb — 'Ja ^ toe en vinden met behulp daarvan : ( 317 ) log 8 A t=L 1,19033 log 8 C = 1,09132 log 2 .7= 0,89924 log 2 <7= 0,89924 log (. log (#6 — //a) = 0,18122 0,59923* 0,47231 8 A a — xb) ' j — — 3,9740 {yb — y«Y^j— + 2>9669 0,19208 log{xc — xb)= 0,11930 l°9(yb — yc)= 0,46505 ~ 0,31138 0,65713 , 5 C \xc xb) — -p 2,0482 u J 8 C (!/b </c) g jz— + 4,5408 0,29109 — xb ) = 0,30814* Ksin /c=z — 3,9740 4- 2,0482 = — 1,9258 Kcosk^z + 2,9669 + 4,5408 = + 7,5077 log K sin fc = 0,28461* log K cos k = 0,87551 log tg k— 9,40910* k — 345°36'48" log K sin k =. 0,28461* log K cos k = 0,87551 log sin k = 9,39526* log cos k = 9,98616 log K — 0,88935 log K = 0,88935. § 9. De berekening van de hoeken, die de zijden van de driehoeken met de richting van projectie vormen, gescbiedt nu het gemakkelijkst in den staat van de secundaire drie- hoeken. De boven gevonden waarde van k = 345°37' be- hoorende bij de lijn P O wordt gescbreven in kolom 6 op den regel G van drieboek 1 . Om de ricbtingsboeken voor de overige zijden te vinden, heeft men nu slechts telkens op te teilen den boek, die een regel lager staat, en deze som ± 180° een regel hooger te schrijven. Overgaande tot den volgenden drieboek heeft men slechts den riehtingshoek, die op den middelsten regel staat, vermeerderd of verminderd met 180° over te schrijven op den ondersten regel van den vol- gendeu driehoek, en dan hierin weer dezelfde berekening uit ( 318 ) te voeren. Dit gaat zoo voort tot men de geheele groep met ket centrale punt P keeft kerekend. Bij ket slot daar- van keeft men de controle dat de ricktingskoek op den twee- den regel van den laatsten driekoek vermeerderd of vermin- derd met 180° gelijk moet zijn aan die op den derden regel van den eersten driekoek. Zooais uit de takel blijkt, versckilt dit 1'; welk versckil blijkbaar voortspruit uit ket verwaar- lozen der secunden. Gaat men nu over tot de tweede groep, dan zoekt men in de eerste groep de ricktingskoek, die op den derden regel van den eersten driekoek moet staan. De daarbij bekoorende zijde N L komt ook voor in driekoek 5. De ricktingskoek op den eersten regel van driekoek 5 keeft men dus vermeer- derd of verminderd met 180° op den derden regel van drie- koek 7 over te sclirijven en kan dan de berekening voor de drielioeken om ket punt N op dezelfde wijze als boven voort- zetten. Op ket einde van deze berekening moet de ricktings- koek op den tweeden regel van 1 1 vermeerderd of verminderd met 180° met die op regel 1 van driekoek 6 overeenstem- men, kier ook met een versckil van een minuut. Regel 3 van driekoek 12 wordt verder afgeleid uit regel 1 van drie- koek 11, terwijl regel 2 van driekoek 14 gecontroleerd wordt door regel 1 van driekoek 1. Eindelijk wordt regel 3 van driekoek 15 afgeleid uit regel 1 van driekoek 2 en ten slotte wordt regel 2 van driekoek 1 8 gecontroleerd door regel 1 van driekoek 3, kier ook weer met een versckil van een minuut. Zooais men ziet wordt de berekening bijna gekeel maclii- naal in den Staat van ket secundaire net uitgevoerd. Alleen, wanneer men tot eene andere groep driekoeken overgaat, moet men een ricktingskoek uit een der vorige groepen over- nemen; namelyk de ricktingskoek van de zijde waarmede beide groepen aan elkaar sluiten. § 10. Voor de berekening van de eigenlijke correctien, keeft men nu sleckts onder elkaar op te sckrijven de logaritkine van K, de logaritkme der zijde uit den staat en de log sin van den daarbij bekoorenden ricktingskoek uit kolom (5 ; door samentelling vindt men dan de logaritkme van de correctie. ( 319 ) Bij voorbeeld voor hoek P uit driehoek 1: log K= 0,88935 log l — 0,03263 log sin q> — 9,95458 0,87656 Cor. = 7", 5 3. Hefc is echter niet noodig dit voor alle hoeken te doen ; omdat de twee hoeken, die tegenover dezelfde zijde staan, dezelfde correctie met omgekeerd teeken verkrijgen. Het is daarom voldoende om van iederen driehoek de correctien van de twee eerste hoeken te berekenen, die van den derden hoek vindt men dan altijd in een der andere driehoeken. Deze berekening volgt  9,32437 9,98170 9,84151 9,32319 0,87656 0,74821 0,10633 0,83745 0,72131 0,20796 7", 53 5", 60 1",28  9,39270 9,96551 9,88447 9,39467 0,85472 0,74373 0,23956 0,86208 0,72878 0,28402 7", 16 5”, 54 1",74 7",  9,91105 9,97849 9,14714 9,94560 0,74216 0,57818 0,64617 0,91448 9,96687 0,86249 5", 52 3", 79 4", 43 8", 21 0",93 7", 29 VKESL. EM MEDED. AED. NATUUBS. 2<le BEEES. DEEL XV111. 22 ( 320 ) 40. 0,88935 0,88935 0,00349 9,84565 9,99150 8,83996 0,88434 9,57496 7", 66 0",38 41. 0,88935 0,88935 9,81521 9,95496 9,99255 9,88436 0,69711 0,72867 4", 98 5", 35 12. 0,88935 0,88935 0,02208 0,02774 9,66295 9,17139 0,57438 ' 0,08848 3", 75 1J,,23 13. 0,88935 0,88935 0,06143 9,90967 9,89223 9,95988 0,84301 0,75890 6", 97 5", 74 44. 0,88935 0,88935 9,92136 0,03263 9,44122 9,95458 0,25193 0,87656 1",79 7", 53 15. 0,88935 0,88935 9,88589 9,90318 9,98359 9,85693 0,75883 0,64946 5", 74 4", 46 46. 0,88935 0,88935 9,89226 9,86765 9,22211 9,98098 0,00372 0,73798 1",01 5", 47 17. 0,88935 0,88935 0,01357 0,01821 9,77795 8,92110 0,68087 *9,82866 4”, 80 0”,67 48. 0,88935 0,88935 9,92223 9,99045 9,96201 9,84138 0,77359 0,72118 5”, 94 5", 26 De hier gevonden correctien worden nu in kolom 7 van den Staat van het seenndaire drielioeksnet op de twee boven- ste regels van iederen driehoek ingevuld en dan ook de cor- rectie voor den derden lioek bijgesclireven. Deze correctie vindt men, met uitzondering van die van den eersten drie- hoek van elke groep, op den tweeden regel van den vooraf- gaanden driehoek. Die voor den eersten driehoek van elke groep wordt opgezocht door niiddel van de overstaande zijde, die ook in een der andere driehoeken voorkomt. Ten slotte worden de teekens, die bij bovenstaande bere- kening zijn weggelaten, ingevuld. Dit teeken is plus zoo- lang de richtingshoek in kolom 6 kleiner dan 180° en min. als die hoek grooter dan 180° is, § 11. De berekening der correctien is hiermede geheel afgeloopen, de verdere berekening van de coördinaten der ( 321 ) hoekpunten is dezelfde als bij iedere metliode voor de aan- sluiting moet worden uitgevoerd. In liet kort geven wij hier het resultaat dier berekening. Na de correctien (kolom 7) aan de hoeken (koloni 3) te hebben aangebrackt en de logarithmen sinussen te hebben opgezocht, berekent men, bijvoorbeeld uitgaande van de zijde AN als eenheid, de lengten van de zijden NO en OB en tevens de hoeken van deze zijden met MiV. Met beliulp hiervan, worden dan de projectien berekend op AN en op eene loodlijn daarop. Hieruit vinden wij dan voor de projectie van AN OB op AN de waarde 1,9059236 en op de loodlijn daarop 1,2492869. Uit deze getallen vinden wij voor den hoek BAN : 33° 14' 37", 95 en voor de log. van AB: 0,3577202. Uit het primaire net heeft men nu log AB — 3,5882392 (§ 5). Hieruit volgt dus voor de lengte van AN: log AN — 3,5882392 — 0.3577202 = 3,2305190. Uitgaande van deze waarde worden nu alle zijden -van het secundaire net berekend. In het primaire net hebben wij verder voor het azimuth van AB : 8° 3’ 37", 81, en dus voor het azimuth van H/V: 80 3' 37", 81 -f 33° 14' 37", 95 = 41° 18 15", 76, met behulp waarvan de azimnthen van de andere zijden be- rekend kunnen worden. Uit de zijden en azimuthen berekent men eindelijk de coördinatenverscbillen en hieruit, uitgaande van A en B , de coördinaten van alle punten. Op deze wijze vonden wij van A uitgaande längs de pun- ten D en E en längs de punten N en O voor de coördi- naten van B : 1570,6361 4819,6971 en 1570,6365 4519,6979 22* ( 322 ) in plaats van 1570,636 4819,698. Vertier uitgaande van J längs de punten M, L, K en .7 en längs de punten N, P en Q en uitgaande van B längs 0, P en Q en längs F, G en H voor de coördinaten van liet derde aansluitingspunt C de volgende vier waarden: 6148,3920 6148,3927 6148,3924 6148,3930 in plaats van 3105,0564 3105,0562 3105,0560 3105,0564 6148,394 en 3105,058. Zoo als blijkt is de aansluiting in liet punt C verkregen op een klein verscbil na van minder dan 2 millimeters, voortspruitende uit de verwaarloosde decimalen. Ten slotte zij hier nog opgemerkt, dat bij bovenstaande berekening meer decimalen gebruikt zijn, dan noodig is. Wij hebben dit gedaan om duidelijk te laten zien, dat de aan- sluiting werkelijk volkomen verkregen wordt. In de praktijk zal men meestal kunnen volstaan met de berekening uit te voeren met 5 decimalen voor de logarithmen en met enkele secunden voor de hoeken. Bij de berekening der correctien in § 10 zal men dan kunnen volstaan met logarithmen met 3 decimalen. De aansluiting zal alsdan, bij niet al te groote drieboeken, tot op enkele centimeters verkregen worden, betgeen voor de praktijk ruimschoots voldoende is. Delft , Sept. 1882. ( h AI. SfHOLS. Aansluitiiuj aan rtrie punteri. ( 323 ) STAAT VAN DE SECUNDAIRE DRIEHOEKEN. Nummers der drielioeken. Hoekpunten. Hoeken. Log. Sin. LOG. OYEB-- STAANDE ZIJDEN. Hoeken met de richting van projectie Correctien voor de aansluiting. 1 P 69°41' 7",00 9,9721102 0,0326269 115°45' + 7'', 53 O 49°51'51",96 9,8833897 9,9439064 235° 18' — 5'',60 G 60°27' l'',04 9,9394833 0,0000000 345°37' — 1",92 0,0603 1G7 + 0",01 2 P 51°12'33'',67 9,8917828 9,8926061 167°49' + 1",28 G 67°29'16'',63 9,9633775 9,9564008 286°31' — 6",88 Q 61°18' 9",70 9,9430831 9,9439064 55° 18' + 5",60 0,0008233 0'',00 3 p 61°19'48'',33 9,9431968 9,9904545 223°58' — 5",26 Q 62°33'30",30 9,9481591 9,9954168 347°51' — l'',61 K 56° 6'41»,37 9,9191431 9,9664008 106°31' ■f 6'' 88 0,0172577 -f 0'',01 4 p 67°46'49'',00 9,9664892 0,0169770 297°23' — 7», 16 K 50°28' 4",96 9,8872063 9,9376941 55°38' + 5", 54 L 61°45' 6", 04 9,9449290 9,9954168 167°51' 4- 1 ”,61 0,0304878 — 0'',01 5 P 56°54’ 1 '',67 9,9231005 9,9575100 345°42' — 1",74 L 69°36' 6'',63 9,9728067 0,0072162 112°32' + 7», 28 N 33° 9'51'',70 9,9032816 9,9376941 235°38' — 5",54 0,0314095 0",00 G P 33° 5'40",33 9,9028876 9,95195: 3 50° 2' •f 5", 36 N 62°30' 0",30 9,9479292 9,9999999 165°3S' + 1",92 o 64°21'19'',37 9,9551455 0,0072162 292°32' — 7",28 0,0520707 0",00 ( 324 ) STAAT VAN DE SECUNDAIRE DRIEHOEKEN. Nummers der drielioeken. Hoekpunten. Hoeken. Log. Sin. LOG. OVER- STAANDE ZIJDEN. Hoeken met de rickting van projectie. Correctien voor de aansluiting. 7 N 47°26'27",07 9,8672196 9,8599638 280°22 1 — 5",52 L 65°19'40",58 9,9584262 9,9511704 33° 8' + 3",79 M 67°13’52",35 9,9647658 9,9575100 165°42' + 1",74 9,9927442 + 0",01 8 N 38°59'23",07 9,7987758 9,8457719 305°26' — 4”,43 M 87°41'19",58 9,9996466 0,0466427 72° 7' + 8", 21 A 53°19'17",35 9,9041743 9,9511704 213° 8' — 3",79 0,0469961 — 0",01 9 N 45°57'57",40 9,8566847 9,9303825 8° 4' + 0",93 A 64° 2'55",92 9,9538406 0,0275384 118° 5' + 7",29 D 69°59' 6”, 68 9,9729449 0,0466427 252° 7' — 8'',21 0,0736978 + 0",01 10 N 65o52'57'',40 9,9603329 0,0034870 78°42' + 7",66 D 39°23'24",92 9,8024995 9,8456536 183°58' — 0",38 E 74°43'37'',68 9,9843843 0,0275384 298® 5' — 7",29 0,0431541 — 0",01 11 N 46° 3'23'',06 9,8573466 9,8152086 100°35' + 4", 98 E 83°22'54'',59 9,9970963 9,9549583 230° 1' — 5», 35 O 50°33'42'',35 9,8877916 9,8456536 3°58f + 0'',38 9,9578620 + 0'',01 12 O 70°53' 2",78 9,9753666 0,0220844 27°24' + 3", 75 E 73°U' 8", 08 9,9810238 0,0277416 171 °28' + 1",23 E 35°55'49",14 9,7684908 9,8152086 280°35' - 4'',98 0,0467178 0",00 ( 325 ) STAAT VAN DE SECUNDAIRE DRIEHOEKEN. Nummera der driehoeken. Hockpunten. Hoeken. Log. Sin. Log. oyer- STAARDE ZIJDEN. Hoeken met de richting van projectie. Correctien voor de aansluiting. 13 O 74° 17' 6",77 9,9834557 0,0614301 128°43' + 6", 97 B 42°44'39",09 9,8316947 9,9096691 245°45' — 5",74 F 62358'14'',14 9,9497672 0,0277416 351°28' — 1",23 0,0779744 0",00 14 O 49°59'56",77 9,8842483 9,9213574 163°58' + 1",79 F 81°46’56'',09 9,9955177 0,0326268 295°45' - 7",53 G 48° 13' 7",14 9,8725600 9,9096691 65°45' 4- 5",74 0,0371091 0",00 15 Q 58°11' 1",91 9,9292882 9,8858869 105°39' + 5",74 G 62° 9'42",14 9,9465848 9,9031835 226° 0' — 4'', 46 H 59°39'15",65 9,9360074 9,8926061 347°49' — 1”,28 9,9565987 0",00 16 Q 60°50' 2", 59 9,9411197 9,8922612 170°24' + 1",01 H 55°35'58'',10 9,9165109 9,8676521 286°50’ — 5”, 47 C 63°33'59",31 9,9520420 9,9031835 46° 0' + 4'',46 9,9511415 0",00 17 Q 68°22'i6'’,59 9,9683173 0,0135718 216°51' — V, 80 c 69°59’16'',10 9,9729522 0,0182067 355° 13' — 0”,67 J 41°37'57",31 9,8223979 9,8676524 106*50’ + ä'',47 0,0152545 0,',00 18 Q 48°41'28'',91 9,8760679 9,9222287 293°37' — 5”, 94 J 61°35'46",44 9,9142938 9,9904546 43°57' + 5", 26 K 69°39'44'',65 9,9720459 0,0182067 175°13’ + 0'',67 0,0461608 — 0",01 RAPPORT OVER DE VERH AN DELIN G VAN DEN HEER J. BUENO DE MESQDITA , GETITELD : ALGEMEENE YERGELIJKINGEN YOOR EEN GECENTREERD STELSEL YAN LENZEN. In de Handelingen der Turijnsche Akademie van Weten- schappen van November 1880 verscheen eene verbandeling van Ferraris, waarin formules ter bepaling van de ligging der cardinale punten van een gecentreerd lenzenstelsel. gel- dig voor een onbepaald aantal lenzen, werden medegedeeld. Daarbij werden de onderlinge afstanden der afzonderlijke lenzen en bunne brandpuntsafstanden als gegeven beschouwd, en in die gegevens uitgedrukt: 1°. de afstand van bet eerste brandpunt van bet stelsel tot bet eerste hoofdpunt van de eerste lens, 2°. de afstand van bet tweede brandpunt van het stelsel tot bet tweede boofdpunt van de laatste lens, 3°. de brandpuntsafstand van bet stelsel. Zijn nu van een lenzenstelsel de enkele lenzen en bare onderlinge plaatsing eenmaal bekend, dan laten de door fraaien vorm uitmuntende formules van Ferraris wel niets meer te wenscben over. Iets anders is bet echter, wanneer bet de vraag is optische stelseis te verkrijgen, die aan be- paalde vooraf gestelde eiseben moeten voldoen. Het zijn dan niet de genoemde drie grootbeden, die men als onbekenden zal hebben op te lossen, maar dikwijls andere in de formu- les van Ferraris ingesloten grootheden, bijv. de brandpunts- ( 327 ) afstanden van een of meer cler samenstellende lenzen. Daar- toe zijn dan lierleidingen noodig die met het aantal lenzen snel in omslachtigheid toenemen. Dit bracht er den Heer Mesquita toe, bi] het uitwerken van een door hem niet nader omschreven praktisch vraag- stuk, nog andere algemeene betrekkingen tusschen de opti- sche grootheden der enkele lenzen en van het resulteerend stelsel op te sporen. In de vier eerste paragrafen zijner verhandeling herhaalt de schrijver in hoofdzaak de door Ferraris van diens for- mules gegevene afleiding. Met het oog op de minder alge- meene toegankelijkheid der in de Italiaansche taal geschre- vene verhandeling van Ferraris, is dit, meenen wij, niet af te kenren. Bij § 5 begint des schrijvers voornaamste zelfstandige arbeid, waarbij hij zieh ten doel stelt als onbekenden op te lossen, en in de overige grootheden met inbegrip van die welke op het resulteerende optisch stelsel betrekking hebben, uit te drukken, de brandpuntsafstanden der eerste en laatste lens, benevens den brandpuntsafstand van het stelsel. Het vol- brengen van die taak was niet zonder moeilijkheid en de wijze waarop de schrijver daarbij te werk gaat, getuigt van zijne bekwaamheid in het hanteeren der tamelijk ingewikkekle determinanten-vormen. Als uitkomst wordt in § 5 en § 6 een drietal formules verkregen, dat in § 7 tot eene nog overzichtelijkere gedaante wordt gebracht en in § 8 op het geval van vier lenzen wordt toegepast. Dewijl nu dergelijke algemeene formules, daar hare prak- tische toepassing uit den aard der zaak tot gevallen van een gering aantal lenzen beperkt blijft, niet volstrekt on- misbaar kunnen worden genoemd. zal hunne waarde voor- namelijk afhankelijk zijn van hun sierlijken en overzichte- lijken vorm. Daarin nu staat het drietal door Mesquita gevonden formules niet achter bij die van Ferraris, en dat het die op welkome wijze aanvult, kan o. a. daaruit blij- ken, dat Ferraris, wanneer hij tot de toepassing zijner algemeene formules op stelseis van twee en drie lenzen, die aan bepaalde eischen moeten voldoen, wil overgaan, vooraf ( 328 ) zijne betrekkingen voor dit bepaalde aantal lenzen, omzet in die, waarvoor door den Heer Mesquita de algemeene vor- men gevonden zijn. Stelt men namelijk in de formules (7), (8) en (9) van Mesquita n = 3, dan verkrijgt men de for- mules (21), (22) en (23) van Ferraris, welke deze (blz. 64 zijner verbandeling) ten grondslag legt aan zijne praktische toepassingen. Wij bevelen der Akademie de opneming van de verban- deling van den Heer Mesquita in bare werken aan. D. J. KORTEWEG. J. A. C. OÜDEMANS. ALGEMEENE VERGELIJKINGEN VOOE EEN GECENTREERD LENZENSTELSEL. DOOE J. BTJENO DE MESaUITA. 1. Door Ferraris *) zijn zeer elegante formules tot be- paling van de cardinale punten van een lenzenstelsel af- geleid. In deze formules zijn de afstand h van het eerste hoofd- punt van de eerste lens tot het eerste hoofdbrandpunt van het stelsel, de afstand k van het tweede hoofdpunt van de laatste lens tot het tweede hoofdbrandpunt van het stelsel en de hoofdbrandpuntsafstand $ van het stelsel uitgedrukt in de hoofdbrandpuntsafstanden 9 der samenstellende lenzen en de afstanden d , waarop deze lenzen zieh van elkander bevinden. Is het lenzenstelsel gegeven, dan kunnen de cardinale pun- ten op hoogst eenvoudige wijze, met behulp van de verge- lijkingen, worden gevonden. Zoekt men daarentegen naar een optisch stelsel, dat aan gegeven voorwaarden voldoet, dan zal het meestal verkieslijk zijn 92, <fn en $ als onbekenden te beschouwen en uit de vergelijkingen op te lossen. Tot toelichting belioef ik slechts te verwijzen naar de *j Atti della R. Aceademia delle Scienza di Torino. Vol. XVI. Nov. — ; Die. 1880, p. 45. Pogg., Ann. Beibl. 1881. Bd. V, S. 500. ( 330 ) toepassingen, die Ferraris zelf van zijne vergelijkingen heef't gemaakt. De oplossing van cpn en $ uit de formules van Fer- raris gaat echter met zeer omslaclitige en tijdroovende be- rekeningen gepaard, vooral wanneer liet stelsel uit meer dan drie lenzen bestaat. Om dit bezwaar te ontgaan, heb ik, bij het uitwerken van een practisch vraagstuk, voor deze oplossingen algemeene vormen trachten te vinden, die in deze verhandeling zullen worden ontwikkeld. 2. In de eerste plaats beschouwen wij een stelsel van twee gecentreerde lenzen. Wij noemen Fl en resp. het eerste en het tweede hoofdbrandpunt, IIj en H{ resp. het eerste en het tweede hoofdpunt van de eerste lens; Fz en F2 de hoofdbrandpunten, H2 en Il2 de hoofdpunten van de tweede lens ; verder F, F\ II. 11' de hoofdbrandpunten en hoofd- punten van het resulteerend stelsel. De richting van het invallende licht nernen wij steeds als positief aan, terwijl telkens, wanneer een afstand door twee letters wordt aangeduid, de volgorde der letters tevens de richting aangeeft, waarin de afstand gemeten wordt. O o 1 o Bepalen wij ons tot het bijzondere geval, dat de eerste en laatste middenstoffen aan elkander gelijk zijn, en stellen wij F\ H\ = 9>i F2 H2 — qp3 H.'H, = d2, dan is: H1F = -cPl (fi (fü — CPl (1) n + (2) ff] (f2 ^2 VH (Pl F U — (3) ( 331 ) 3. Yan een gecentreerd lenzenstelsel besehouwen wij nu het stelsel, bestaande uit de m -f- le . . . ne lens. Wij berekenen eerst den afstand van bet tweede hoofd- punt van de ne lens tot bet tweede boofdbrandpunt van het resulteerend stelsel, alsmede den eersten hoofdbrandpuntsaf- stand van dit stelsel. Hiertoe moeten wij de formales (2) en (3) eerst toepassen op de me en m + le lens, daarna op het gevonden stelsel en de m -f- 2e lens en zoo voortgaan, totdat wij al de lenzen bebben gebad. Zij q>m, (pm+i . . . (fn. de eerste boofdbrandpuntsafstanden der lenzen *). Wij stellen <5^+2 • . . den afstand van bet tweede hoofdpunt van de m e lens tot bet eerste hoofd- punt van de m -{■ le lens, den afstand van bet tweede hoofd- punt van de m -f- le lens tot het eerste hoofdpunt van de m-\-2e lens, enz. en noemen D/n+i, DinJr2 . . . Dn den afstand van bet tweede boofdbrandpunt van de me lens tot bet eerste boofdbrandpunt van de m + lc lens, den afstand van bet tweede boofdbrandpunt van de m le lens tot bet eerste boofdbrandpunt van de m 2e lens, enz. Stellen wij nu kp . q den afstand van bet tweede hoofd- punt van de < f lens tot bet tweede boofdbrandpunt van bet stelsel, bestaande uit de /,e, P + le ... qe lens, en $p.9 den eersten boofdbrandpuntsafstand van dit stelsel, dan vinden wij, met bebulp van de formules (2) en (3), aclitereenvolgens: — (Vm + 1 = <?«+! + ty2m + 1 1 — <jP'«+l — <P*m+ 1 D W+l .. , <?2>n+2 2 — <Pm+2 "T v. u»i+2 9«-)- 2 — "Vn.»2-t-l . <P2m+2 „ — 2 T" t~\ 9 M+l +2 — — Ulll+\ *) De tweede boofdbrandpuntsafstand beeft een teeken, tegengesteld aan dat van den eersten boofdbrandpuntsafstand. ( 332 ) km.m+ 3 — Vm-i- 3 “f" — <P»j+3 + <P2m+ 3 ^m-t-3 Vm- )-8 ^m.m+2 qp3w+3 <jP2m+2 Dm-\- 2 ■ y8«+l Dm+\ enz. en , 9»* T’/a+l s ^m-f- 1 •jPm+l *jPw -öm+1 $ot.?ä+2 — ^/n-|-2 — 9^+2 — ^m.OT+1 <Pm <fm + l <]Pm+2 D, OT + l K-sS) $/«.»2+3 — $;n.m-t-2 <P?«-i-3 ^ot+3 — (fm+'ä km.m+2 tym ^Pot+1 (Pm-{-2 <3P»!-f-3 ^ / T, 7>Wl\ Jj/n + l ( J-'m+2’ Dm- 1-1/ Dm-\- 3 <jP2OT+2 -0/«+2 — m+lj enz. Stellen wij verder: Z>» (fn-i 0 • . .. 0 0 qPre — 1 Dn-\ (fn—2 • • • 5 0 0 R >n+l . n  .. 0 0 tym+l en ( 333 ) Ön—<Pn- -1 SP«— 1 0. • • . . 0 0 SP»- 1 Dn—\ (pn — 2 • • • . . 0 0  . 0 0 SP»H-1 Dm- (-i dan heeft men voor het stelsel der me, m + 1 e -..«e lenzen : n. n — SP» “f~ q>«2R'. R\ m+ 1 . n— -1 R m+\.n toi m-t-l.n , . . . (4) = (— 1)»- SP m SP/n+l SP« R! (5) 4. Om den afstand te vinden van het eerste hoofdpunt van de m. e lens tot het eerste hoofdbrandpunt van het re- sulteerend stelsel, passen wij de formule fl) toe, eerst op de n e en n — le lens, daama op het verkregen stelsel en de n — 2e lens en gaan op dezelfde wijze voort, totdat wij al de lenzen in onze beschouwing hebben opgenomen. 