title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: 3 ) 3 dat is ontwikkeld 00 co 00 -f )q~r 26v~ ' ' /,?-H — «T + £ Eßr+2 /r+2 (3 <] — 6r)! o (ßr)! o (Gr-f-2)! + ^ Ä?6r+4 j = ? j (_)? (~ 3)3? + 1 _ o (6 r -f- 4)! 3 o (6v)! y*f— )9 (— i 3)S,/+1 + 1 6* + 2 ( — 3)3?4*:? -f 1 6?+4| • ( ' .'.,1^: + » ( ' "l«9+4jr I om te komen tot de drie betrekkingen : 5(-)r( 0 vor- o ?-l +(-)'iEe( = 3“{<-3)3' +1) £ <">' C + 2) 2"?"5r ^+2 + <~>? i V* = {<-3)3,+‘ + 1) ¥ (-): r I 6 q -f- 4^ of,9_f,r 6r + 4 X + (- )? ~Ea '= - {(— 3)'S?+2 + 1}. 6r + 4 1 v 7 g fi?+4 ß ; 17 Ten opzigte zoowel van de cosecanten- als van de secan- ten-coefficienten znllen wij overigens met stilzwijgen voor- bijgaan de wijze waarop ook liier weder soortgelijke afge- broken terugloopende betrekkingen zouden kunnen worden opgemaakt als boven voor de Bernoulliaanscbe coefficienten gevonden werden. Evenmin zullen wij ons bezig liouden met de oplossing der coefficienten T, C en K in determinanten-vorm uit de voor deze coefficienten gevonden betrekkingen, op dezelfde wijze als dit almede vroeger voor de Bernoulliaanscbe coefficienten lieeft plaats gebad. ( 167 ) En evenmin eindelijk zullen wij, bij de uitbreiding die deze bijdrage reeds verkregen heeft, tlians nog treden in een nader onderzoek van de functie sec x -j- tg x , ten einde daar- uit, zooals o. a. door scherk, stern, schlömilch, catalan, in hunne straks aan te halen stukken geschied is, betrek- kingen af te leiden waardoor de secanten- en de tangenten- coefficienten, zoo even ieder afzonderlijk door middel van x sec x en van tq - 2 onderzocht, als het wäre aan elkander ge- koppeld worden. In den loop der voorgaande beschouwingen bestond reeds aanleiding om eenige op de Bernoulliaansche en verwante coefficienten betrekking liebbende werken of verliandelingen aan te halen. Hier möge thans nog eene opgave volgen van verschillende andere dergelijke stukken, eene opgave die evenwel in de verte geene aanspraak maakt op volledigheid ten aanzien der zoo uitgebreide litteratuur over dit onder- werp ; van enkele dezer na te noemen stukken ben ik niet in de gelegenheid geweest kennis te nemen. L. euler, in Novi Commentarii Academiae scientiarum Pe- tropolitanae, T. 14, pro anno 1759 (moet zijn 1769), Pars 1, pag. 129 — 167. de la place, in Mdmoires de V Acadimie royale des Sciences , Paris , Annee 1777, pag. 99 — 122. L. euler, Differenzial- Rechnung, übersetzt von J. a. c. mi- chelsen, 2er Theil, 1790, pag. 125 — 158,211—216,256—262. H. a. ROTHE, in c. F. HINDENBürg’s Sammlung cornbinato- risch-analytischer Abhandlungen , zweyte Sammlung 1800, pag. 306 — 340. c. kramp, EUmens d' arithmitique universelle , 1808, pag. 361—362. s. f. LACROix, Calcul differentiel et calcul integral, 2e Ed., T. 1, 1810, pag. 254—257; T. 3, 1819, pag. 81—85, 107 — 116, 126 noot, 137,145—146,148—151,443—445, 450, 732. ( 164 ) körnende betrekkingen in B nog meer zamengesteld zouden wezen. Overigens spreekt het van zell' dat door gebruik te ma- ken van het verband T =2(2“' — 1) i? de verschil- lende boven regtstreeks opgemaakte betrekkingen tusschen de coefficienten T op dezellde wijze uit die voor B kunnen wor- den afgeleid als thans voor de coefficienten C is aangewezen. Wat betreft de Euleriaansche coefficienten, de eenvoudig- O ste daartusschen bestaande terugloopende betrekking wordt onmiddellijk gevonden uit de identiteit cos x . sec x—1 of I h-r 0 r x 2 q — 2 r (2q — 2r)\ <30 en is dus: (voor q y 1) S (— )" #3r = °; zij werd reeds door euleii zelf op pag. 261 — 262 van zijne boven aangeliaalde Differenzial-Rechnung op deze wijze ont- wikkeld. Iets meer zamengesteld zijn de beide volgende betrekkin- gen, namelijk vooreerst uit: sin 2 x . sec x sm x 5— r (-y — r 2lq -2 r 2 q — 2 r -T-l j ( \ r ^j>r (2q — -2r -f- 1)! % j jo (2 r)l'1 0 v ; (2 <2+ 1;! 2o-fl Ir ® * de betrekking 2iq 2r E0 = 1 , zr ( 165 ) en ten andere uit : 1 -f- cos 2 . sec x — cos .i of H + lr |^4, |^| = £(-f ( i (2g — 2r)! | f o (2r)! I de betrekking Deze laatste is zeker wel de meest gesehikte om dadelijk alle eoeffieienten E als gelieele oneven getallen te doen kennen. Yoor periodieke terugloopende betrekkingen zullen wij ons ook hier weder bepalen tot de geyallen n = 2 en n = 3. In liet eerste geval viudt men uit de identiteit (cos x cos i x) sec a = cos ix of ^4r-+-2 *r 1 Yb'f— )g~r ^ ~t rj,?_4r) ' y^ a 4. 0 v (4'/ — 4r)! I 1 0 (4r)! ‘ o (4r+2)! OC CO = £ r-t?+2 (4ü)! " (4V H- 2)! de beide betrekkingen Y (-) q-r ^ \ o2q~'r E =1 ! 4r en \4r-f2/ 4r-a of. wil men liever. de enkele mits sleehts uitsluitend voor even of uitsluitend voor oneven r te gebruiken betrekking I2/) 2»-' 2^=1. Oufi \ 2 rj ~T ICO ( 166 ) ln het tweede geval, of voor co3 — 1 = 0, is te gebruiken de identiteit. 22 ii2 r 22 — COS X COS CO X COS CO* x sec X = — COS CO X cos CO 3 ) 3 r^x. dat is ontwikkeld + y^-r ?-r 26,/ /?-«') />r 4- T; a6r+2 + i ((3 «/ — Gr)! | j o (6?')! o (6r-p2)! oo oo l y^. ESr+\ ^ßr+4 1 _ 2 | \^ q (— 3),i? + 1 ß? _ + ^(6*- + 4)!‘ j 3 j V (6?)! co co __ y»/ v? (— 3)%+1 + 1 rr6?+2, y, (_ 3)3?+2 + l 6g+4) o{ ’ (67 + 2)! ‘ + o { ’ (67+4)! I I 0 5-1 £ 0 5-1 £ om te komen tot de drie betrekkingen : -)r ( 69 \2*9~*rE. ' ‘ ^?4 6 r I 6r + <~> j{(-3)S? +1). _)-(f'9 + 2\ i* = J* {(-3)S,+‘ + 1} \6 r + 2 / 6r + 2 ^ v ’ 3 6j+2 3U ; (~ r / 6 c; + 4\ fio — fir . . - 7 ■ - | 2-y « jg. (_ .)? -E - ((_3)3?+2 + 1} Ten opzigte zoowel van de cosecanten- als van de secan- ten-coefficienten zullen wij overigens met stilzwijgen voor- bijgaan de wijze waarop 00k bier weder soortgelijke afge- broken terugloopende betrekkingen zouden kunnen worden opgemaakt als boven voor de Bernoulliaanscbe coefficienten gevonden werden. Evenmin zullen wij ons bezig liouden met de oplossing der coefficienten T, C en E in determinanten-vorm uit de voor deze coefficienten gevonden betrekkingen, op dezelfde wijze als dit almede vroeger voor de Bernoulliaanscbe coefficienten beeft plaats gebad. ( 167 ) En evenmin eindelijk zullen wi), bij de uit breiding die deze bijdrage reeds verkregen heeft, thans nog treden in een nader onderzoek van de functie sec x -\ - tg x , ten einde daar- uit, zooals o. a. door scherk, stern, schlömilch, catalan, in hunne straks aan te halen stukken gescbied is, betrek- kingen af te leiden waardoor de secanten- en de tangenten- coefficienten, zoo even ieder afzonderlijk door middel van sec x en van tg — onderzocht, als het wäre aan elkander ge- koppeld worden. In den loop der voorgaande beschouwingen bestond reeds aanleiding om eenige op de Bernoulliaansche en verwante coefficienten betrekking bebbende werken of verliandelinsren aan te balen. Hier möge thans nog eene opgave volgen van verschillende andere dergelijke stukken, eene opgave die evenwel in de verte geene aanspraak maakt op vollediglieid ten aanzien der zoo uitgebreide litteratuur over dit onder- werp ; van enkele dezer na te noemen stukken ben ik niet in de gelegenheid geweest kennis te nemen. L. euler, in Novi Commentarii Academiae scientiarum Pe- tropolitanae, T. 14, pro anno 1759 (moet zijn 1769), Pars I, pag. 129—167. de la place, in Mdmoires de V Acaddmie royale des Sciences , Paris , Annee 1777, pag. 99 — 122. l. euler, Differenzial-Rechnung , übersetzt von J. a. c. mi- c helsen, 2erTheil, 1790, pag. 125 — 158, 211 — 216, 256 — 262. H. a. rothe, in C. P. hindenburg’s Sammlung combinato- risch-analytischer Abhandlungen , zweijte Sammlung 1800. pag. 306—340. c. kramp, EUmens d' arithmitique universelle , 1808, pag. 361—362. s. f. LACROix, Calcul diffcrentiel et calcul intdgral, 2e Ed., T. 1, 1810, pag. 254 — 257; T. 3, 1819, pag. 81 — 85, 107 — 116, 126 noot, 137,145—146,148—151,443—445, 450, 732. ( 168 ) J. f w. herschel, in Philosophical Transactions of the Royal Society of London for the year 1816, Part I, pag. 25—45. eytelwein, in Abhandlungen mathem. Klasse der Berliner Akademie , 1816 — 1817, pag. 28 — 41. J. a. grunert, Mathematische Abhandlungen , 1822, pag. 57—60, 93. j. a. eytelwein, höhere Analysis , 1824, I, pag. 488. H. F. scherk, Mathematische Abhandlungen , 1825. a. L. crelle — c. w. borchardt, Journal für die Mathematik : h. f. schere, in 4er Bd., 1829, pag. 299 — 304; g. libri, in 7er Bd., 1831, pag. 57—67 ; m. ohm, in 20e,‘ Bd., 1840, pag. 11 — 12; von staudt, in 21er Bd., 1840, pag. 372 — 374; stern, in 26er Bd., 1843, pag. 88 — 91 ; o. eisenlohr, in 28er Bd., 1844, pag. 193—212; o. schlömilch, in 32er Bd., 1846, pag. 360 — 364; e. e. eummer, in 41er Bd., 1851, pag. 368—372; g. Bauer, in 57er Bd., 1860, pag. 256—272; g. bauer, in 58er Bd., 1861, pag. 292 — 300; stern, in 79er Bd., 1875, pag. 67 — 98; hermite, in 81er Bd., 1876, pag. 93 — 95; stern, in id. , pag. 290 — 294; stern, in 84er Bd., 1878, pag. 267 — 269; j. c. adams, ( Table of the values of the first sixty-two numbers of Bernoulli), in 85er Bd., 1878, pag. 269 — 272; stern, in 88er Bd., 1880, pag. 85 — 95; a. radicee, in 89er Bd., 1880, pag. 257 — 261. drobisch, Observationes analyticae , 1831, pag. 16. th. clausen, in h. c. schumacher’s Astronomische Nach- richten., 17er Bd., 1840, pag. 351 — 352. J. a. grunert, Archiv der Mathematik und Physik: o. schlö- milch, in 3LJf Th., 1843, pag. 9 — 18; o. schlömilch, in 16er Th., 1851, pag. 411—418. von staudt, de numeris Bernoullianis , 1845. Idem, idem, commentatio altera , 1845. Comptes rendus de l' Acaddmie des Sciences , Paris : binet, in T. 32, 1851, pag. 918 — 921 ; f. thoman, ( logarithmes des 40 premiers nombres de Bernoulli ), in T. 50, 1860, pag. 905 — 906; Sylvester, in T. 52, 1861, pag. 161 — 163,212 — 214, 307 — 308 ; e. catalan, in T. 54, 1862, pag. 1030 — 1033, 1059 — 1062; le besgue, in T. 58, 1864, pag. 853 — 856; ( 169 ) e. catalan, in id., pag. 902 — 903 ; chasles, in id., pag. 903 — 904; le besgue. in id., pag. 937 — 938; e. catalan, in id., pag. 1105 — 1108 : e. catalan, in T. 81. 1875, pag. 441 — 443; c. le paige, in id., pag. 966 — 967; e. lucas, in T. 83, 1876, pag. 539—541. b. tortolini — f. Brioschi, Annali di Matematica: a. ge- nocchi, 1852; e. lucas, in Ser. 2, T. 8, 1877, pag. 56 — 79. G. f. meijer, Ueber Bem.oullische Zahlen. Inauguraldisser- tation, 1859. j. beutrand, Traitd de calcul difi'drentiel et de calcul inte- gral. Calcul differentiel , 1864, pag. 305 307, 325 — 326 346 -347, 347 — 354, 389 — 390, 421. Calcul intdgral, 1870, pag. 143--145. E. catalan, Mdlanges mathdmatiques , 1868, pag. 110 — 132, 313—334. E. catalan, in Mdmoires de V Academie royale des Sciences etc. de Belgique , T. 37, 1869, pag. 1 — 19. J. vc. l. glaisher, in Proceedings of the London mathema- tical society , Yol. 4, 1871— 1873, pag. 212 — 214. J. c. adams, in Proceedings of the Cambridge philosophical society , Vol. 2, 1872, pag. 269 — 270. The Messenger of matliematics : J. w. l. glaisher, in 2d Ser., Yol. 2, (1873?), pag. 190 — 191; a. cayley, in Ser., Yol. 5, pag. 157 — 160; e. lucas. in 2d Ser., Vol. 7, pag. 139 — 141. J. w. l. glaisher, (1 ables of the first 250 Bernoulli's Numbers ( to nine figures ) and their logarithms ( to ten figu- res)), in Transactions of the Cambridge philosophical society , Yol. 12, Part. 1, 1873, pag. 384—391. c. LE paige, in Annales de la societe scientifique de Bruxel- les, T. 1. B, 1875- 1876, pag. 43—50. Nouvelle Correspondance mathematique : e. lucas en £. cata- lan, in T. 2, 1876, pag. 328 — 338; e. lucas, in T. 3, 1877, pag. 69 — 73; catalan, in T. 4, 1878, pag. 119; e. lucas en h. BUOCARD, in T. 5, 1879, pag. 282 — 285; e. lucas en uadicke, in T. 6, 1880, pag. 69 — 72. JS ouvelles Annales de mathdmatiques : u'ouontzoff, in 2e Se- rie, T. 15, 1876, pag. 12 — 19 ; e. lucas, in id., pag. 497 — 499; e. lucas, in 2e Serie, T. 16, 1877. pag. 18 — 26, 157 — 160, ( 170 ) Bulletins de V Acaddmie royale des Sciences etc. de Belgique : c. le paige, in 45e Annee, 21‘ Serie, T. 41, 1876, pag. 1017 ; e. catalan, in id., pag. 1018 — 1019. Dr. l. schendel, Die Bernoulli sehen Functionen und das Taylor sclie Theorem , etc., 1876. L. seidel, in Sitzungsberichte der rnathern.-physik. Classe der k. b. Akademie der Wissenschaften zu München , Band 7, Jalirg. 1877, pag. 157—187. J. c. adams, in Report 47/Ä meeting British Association in 1877, pag. 8 — 14 (Transactions of the sections). e. luc as, in Bulletin de la soci&te mathdmatique de France , T. 6, 1877 — 1878, pag. 57—68. gohierre de longchamps, in Annales scientißques de Vecole normale supirieure , 2 R Serie, T. 8, Annee 1 879, pag. 55 — 80. w. küttner, in schlömilch’s Zeitschrift für Mathematik etc., 24er Jahrg., 1879, pag. 250 — 252. a. radicke, Die Recur sions formein für die Berechnung- der Bernoullischen und Eulerschen Zahlen, 1880. AANTEEKENING. Op verscliillende wijzen wordt de boven in bet geval van n — 4 , vergelijking (14), toegepaste formule voor den Cosi- nus van het veelvoud van een boog in functie der magten van den cosinus van den boog zeit bewezen, waaromtrent men o. a. kan nazien: s. F. lacroix, Calcul diffdrentiel et calcul integral, 2e Ed., T. 1, 1810, pag. 76-85, 87—93, 263—275; T. 3,1819, pag. 216—220, 605—611, 616—623. g. f. w. baekr, in Verslagen en meded. der Kon. Akademie van ivetenscliappen , afd. Natuurk., Deel 10, 1860, pag. 86 — 92. Nouvelles Annales de matMmatiques : a. vachette. in T. 20, 1861, pag. 155 — 174; kessler en l. verharxe, in id., pag. 264 -266; mourgue, in 2 e Serie, T. 12, 1873, pag. 408 — 417 ; v. a. le besgue, in id., pag. 425 — 431 ; desboves, in 2e Serie, T. 14, 1875, pag. 385- 391. j. bertrakd, Traitd de calcul differentiel et de calcul intd- cjral. Calcul differentiel , 1864, pag. 296 — 303. ( 171 ) J. a. serret, Algebre supMeure , 3e Ed., T. 1, 1866, pag. 235—239. yvon villarceau, in Comptes rendus de V Acaddmie des Scien- ces, Paris , T. 82, 1876, pag. 1469 — 1471. a. desboves, Questions de trigonomötrie rectiligne, 2e Ed., 1877, pag. 91 — 93. e. c ata lan en ronkar, in Nouvelle Correspondance mathd- matique, T. 6, 1880, pag. 100 — 105. Het is mij niet bekend of ergens een bewijs voorkonit in den geest van het liier volgende, waardoor de bedoelde for- mule gevonden wordt door de geraakkelijker te betoogen formule voor de magt van den cosinus uitgedrukt in de Co- sinussen der veelvouden als bet wäre om te keeren. Voor deze laatste formule, waarvan boven ter gelegenbeid van (8^) en (8^) reeds werd opgemerkt lioe zij ook in dezen is vervat, heeft men namelijk onmiddellyk naarmate n on- even of even is: 2 2 /•o \n < I ~i'f\ n\ /(*— ■ »•)*> — rif riv —(n—r)i? (2coscfi) ={e A-e ) ■— \{e .e -f-c .e ) = 0 \r) 2 2 = 2 l | cos ( n — 2 r) cp , o \r / behoudens dat, om overeenkomstige reden als voor (8 ) werd n vermeld, in het geval van n even bij den laatsten, door r — - LJ 1 bepaalden, term de getallencoefficient — moet worden voor- gevoegd. En wil men nu door middel hiervan bewi]zen dat weder- keerig de iets meer zamengestelde formule 2 2 2 cos n cp = (2 cos cp)n -f- n yr (-) /*>-*-! (2 cos cp) n—2l geldt, dan komt het er slechts op aan te doen zien dat als ( 172 ) men de voorgaande, behalve voor n zelf, ook gebruikt voor alle in aanmerking körnende waarden van n — 21 en de uit- komsten substitueert in de laatste formule, waardoor men deelende door 2 verkrijgt : i—l n ~T-oSl cos n.(f=. cos(n — 2r)cp (- 21— 1 n—Sl 2 °f 2 n — l — 1 l— 1 ” 21 cos(n—2l—2r o | r ) alsdan dit laatste niet anders dan eene identiteit is. Met dat doel make men den coefficient van een willekeurigen term cos ( n — 2 r) cp in het ontwikkelde tweede lid op, waartoe in het tweede gedeelte van dat lid de notatie r voor den ver- anderlijken aanwijzer slechts te vervangen is door r — l, mits gelijktijdig lettende dat, daar de oorspronkelijke grens- aanwijzing r ^ 0 alsdan overgaat in r — l ^ 0 , ook de grens of — van de eerste sommatie in dat tweede o-e- 2 ° deelte beboort ingekort te worden tot l ^ r . Zoodoende ver- krijgt men dus voor den volledigen coefficient van cos ( n — 2r) cp de waarde : n l (n — 1)! \! — I (n — ^)- (” — 2/)! r\(r - l)!(n — r)! 1 (?• — 1)! I (l — !)!(?? — 2/)! ( r — l)\{n — r — /)! dat is (vergelijk de vroegere afleiding, in bet geval van n — 1, van afgebroken terugloopende betrekkingen uit (4^) ( 173 ) Alle termen in het ontwikkelde tweede lid der te bewijzen identiteit komen das werkelijk te verdwijneu — en deze uit- n spraak lijdt ook geene uitzondering voor den door r — - 2 bepaalden laatsten term in liet geval van n even, daar diens coefficient zoowel in' liet eerste als in bet tweede gedeelte van het tweede lid der identiteit moet gehalveerd worden - behoudens alleen, zooals behoort, dat de door r = 0 bepaalde eerste term, dat is cos n cp , waartoe bet tweede gedeelte van bet tweede lid wegens l 1 niet kan bijdragen, tot coeffi- cient verkrij ■ijgt (”). dat is de eenkeid. Het vorenstaande is meer eene verificatie dan eene regt- streeksche afleiding van de formule voor 2 cos n cp uit die voor (2 cos cp)" . Evenwel zou het weinig moeite kosten om, de ontwik- keling van 2 cos n cp volgens de afdalende magten van 2 cos cp met onbepaalde coefficienten nedersckrijvende, de bewerking zoodanige wijziging te doen ondergaan dat de waarden dier coefficienten achtervolgens uit elkander te voorschijn komen. Op overeenkomstige wijze, of ook door de voor 2 cos. n cp gevonden formule te differentieren volgens cp ,.kan de formule ’i-iof“-2 2 2 • V , J ' n sw. ncp = smcp ^ \ ( — ) \ 1 \ /Cl (2 cos cp) -1 worden op- l- ö" \ L i gemaakt waarvan vroeger ter zake van vergelijking (17) sprake was. En was men omgekeerd met deze laatste for- mule begonnen, dan zou daaruit, niet alleen door dilferentia- « sin(n + 1)9 sin(n — 1)9 sin sin y fn — 1\ tie, maar ook, hetzij door 2 cos ncp — fn — -l\ ,n — l — 1\ n ln — l — 1\ waaAlJ te letten °+ 1 I + \ 1-1 ) = 7 \ 1- 1 j ’ hetzij door 2 cos ncp = sin (u -)- 2) cp sin (n — 2) cp sin (p . 2 cos cp sin cp . 2 cos cp waarbij te letten op ■;+l) n- — l — 1 1—2 n-l—l l- 1 de formule voor 2 cos n cp weder kunnen worden teruggevonden. Delft , Junij 1880. N A 8 C H R I F T, Wij zullen te dezer plaatse nog een paar voorbeelden van terugloopende betrekkingen tusschen de Bernoulliaansche coefficienten aanbalen, die wel weder als boven in liet geval van n — 1 al die coefficienten in volgorde bevatten, niaar zieh toch van al de vroeger medegedeelde betrekkingen onder- scheiden doordien zij met teekens zijn aangedaan die niet zooals toen telkens, doch tlians slechts om den anderen term, afwisselen. Indien men nainelijk in de voor willekeurige « en (I geldende identiteit: r • , 1 1 -f- sin(u — -ß)xj ,~cotax=z — cos(u -{-• ß)x -{- cos(ec — bij ontwikkeling de coefficienten der gelijknainige magten van x gelrjk stelt en daarna in de alsdan körnende algemeene be- trekking neemt « = 1 en ß = i, komt men neder op : r — 1 2 voor y |(roneven)(— ) il 2q-\-l\ r yoneven:^ , d 2r f k(r even) ( — roneven V ( en voor q even : 1 ! ( r even) ( — ) >•-1 2 ?\\ * )■ deze zijn de beide bedoelde betrekkingen. ( 175 ) Dezelfde bewerking toegepast op de identiteit : [cos(a-\-ß)x — cos(a — ß)x}.-cotax^±. (sm(a-(-^)^ — sin(cc — ß)x} 2 2 geeft daarentegen zooals te voorzien is de vroegere betrek- kingen (4" voor n — 2) terug. Bebalve de twee voornoemde identiteiten kan men evenzoo behandelen de beide daaruit door verwisseling van u en ß voortvloeijende. Neemt men dan in alle vier, voor willekeurige cp , u — cos cp en ß = i sin cp , dan worden nog vier terugloopende betrekkingen met gonio- metrische coefficienten gevonden, welke betrekkingen, uithoofde de vier oorspronkelijke homogeen zijn in a en ß en daarin dus « en ß steeds door u2 — ß2 = 1 verbonden gedacht kun- nen worden, denzelfden graad van algemeenbeid bezitten als deze oorspronkelyke ; als voorbeeld möge hier alleen de eerste van deze vier betrekkingen, namelijk: 5 (— / 1 ^ qJ~r 1 j (2 cos cp)'1 cos (2 <2 -2r-\-l)cp. = = 2 q ros cp cos 2qcp sin cp sin 2q cp , worden vermeld. Soortgelijke betrekkingen als de boven in de eerste plaats genoemde, maar iets meer zamengesteld, zijn ook voor « = 1 en ß = i te vinden uit de identiteit: f , 1 « x [sm (cc -j- ß) x -[- sin (u — ß) x { . — cot — = 1 r = — {2 COS ß X -f- cos (« -J- ß) X -j- COS ( U — ß) X | En eindelijk kan men in de betrekking in u en ß , afge- leid uit de eerst aangeliaalde identiteit, deze ß achtervolgens vervangen door bijv. ß y en ß — y en dan de som en liet verschil der uitkomsten nemen, terwijl dezelfde bewerking ook op de tweede aangehaalde identiteit is toe te passen : zoodoende körnen vier terugloopende betrekkingen waarin de ( 176 ) coefficienten op regelmatige wijze van drie willekeurige groot- hedeu ß en / af hangen en die byv. door, uit w3 — 1 = 0, te nemen a — l , ß — ca en y = ca2 soortgelijke beteekenis verkrygen als de zoo straks besprokene voor twee groothe- den u — 1 en ß = i. Al het liier opgemerkte is ook op de coefficienten 1\ C en E van toepassing te maken. Delft , December 1880. MEDEDEELING BETREFFENDE DE STERREBEELDEN, WIER HOOGTE BOVEN DEN HORIZON, OP EEN BEPAALD OOGENBLIK VAN DEN NACHT, DOOR DE JaVANEN TEN BEHOEVE VAN DEN LANDBOTJW GERAADPLEEGD WORDT, DOOR J, Ä. C. 0 TI DEM ANS. Op uitnoodiging der Ned. Indische Regeering arbeidende aan eene I ereldbeschrijving voor de inlandsche scholen , waar- van reeds twee stukjes uitgegeven en nog twee andere vol- tooid, maar nog niet gedrukt zijn, tracbt ik daarin bij elk onderwerp zooveel mogelijk af te dalen tot, of uit te gaan van de kennis, die de bewoner van Nederlandsch-Indie, hetzij inlander, betzij Europeaan, van de verscbijnselen, die beschre- ven of verklaard worden, kan geacht worden te bezitten. Zoo bad ik onlangs de verscbijnselen te bespreken, die be- kend zijn onder den naam van beliascbe opkonist en belia- schen ondergang der sterren. Bij Egyptenaren, Grieken en Romeinen werden die verschijnselen steeds gebruikt om den landbouw naar te regelen, zooals in tallooze oude schrijvers bescbreven is. Voor zoover mij bekend is doen onze boeren bet niet, maar raadplegen den almanak; en in een klimaat, waar de beliascbe opkomst of ondergang der sterren wegens betrokkenbeid der lucbt dikwijls zeer moeilijk waar te nemen is, is dat ook veel eenvoudiger. Het is ook alleen aan te nemen dat volken, bij wie de kalender niet zoo dagelijks in FERSE. EN MEDED. AFI). NATUURK, RESKS. flEEI, XV J. ( 178 ) toepassing komt, als clit bij de tegenwoordige bescliaafde na- tien het geval is, nog voor het zaaien of planten een kos- misch verschijnsel zullen raadplegen. Ik vermoedde wel dat sommige volken van den 0. Indi- schen Archipel in dit opzicht op dezelfde hoogte zouden staan als de Grieken en Romeinen. Hoewel het nederlandsch bestuur alleen de gregoriaansche tijdrekening gebruikt, is het toch bekend dat bij de oostersche volken, voor zoover zij Mahomedanen zijn, algemeen de arabische tijdrekening, de Hidjrah, gevolgd wordt, en daar in deze de jaren 354 of 355 dagen lang zijn, is zij voor de regeling van den landbouw ten eenenmale ongeschikt : het Arabische nieuwe jaar bijv. loopt in 33 van onze jaren omtrent het geheele tropische of gregoi’iaansche jaar door. Nu dient zieh de landbouwer wel in de eerste plaats te houden aan de opvolging der jaargetijden of moessons, maar de overgangen, bij ons van het eene jaargetijde in het an- dere, daar ginds van de eene moesson in de andere, is zoo moeilijk aan te geven, en wordt door de veranderlijkheid van het weder in zulke mate vervroegd of vertraagd, dat het zeer goed te begrijpen is, dat volken, die nog op eenen lagen trap van beschaving staan, en die niet in het bezit zijn van eene tijdrekening, die de lengte van het tropische jaar ten grondslag heeft, uitzien naar een middel om een bepaald tijdstip van het zonne-, d. i. van het tropische jaar aan te geven. De Javanen maken- daartoe gebruik van de schaduwen, die hetzij een vertikaal staande stijl A B , hetzij het menschelijk lichaam op den middag werpt. Java strekt zieh uit ongeveer van 5°50' tot 8°30' zuiderbreedte, neemt men dus eene ge- middelde breedte van 7° en voor de helling der ekliptika 231/2 aan, dan is de zenithsafstand ZI der zon bij den zo- merzonnestilstand, den 21sten Juni, SO1/^0 ten noorden, en bij den winterzonnestilstand, den 22sten December Z D = lö1/^0 ten zuiden. Wij hebben dus Middagscliaduw den 21 Juni = AF— AB tg AB » » 22 Dec. = AC= AB tg 161/2°=0,2962 AB ( 179 ) Men ziet kieruit dat A F voor midden-Java nagenoeg = 2 A C is. De Javanen kebben van deze eigenschap der middagschaduwen gebruik gemaakt om kun zonnejaar in twaalf onge- lijke maanden, mongso’s genaamd, te verdeelen. De lijn ^4 C namelijk in 2 en de lijn A F in 4 gelijke deelen verdeelende, zijn deze deelen van beide lijnen gelijk, en dus de gekeele lijn C F in 6 gelijke dee- len verdeeld. Nu beweegt zicb de schaduw van bet punt B in een jaar van F naar C en terug van C tot F , en zij doorloopt dus in een jaar 2 maal die 6, dus 12 deelen. Daarop berust de verdee- ling des jaars in 12 mongso’s, die, zooals liebt te begrijpen is, van ongelijke lengte zijn. Hoe weinig zeker de Javanen in deze bunne tropische tijdrekening waren, kan daaruit blij- ken, dat de mongso’s, elk op zieh zelf, niet overal even lang werden aangenomen en in de javaansche boeken ook niet altijd dezelfde lengte voor de mongso’s werden aange- geven. Ja, als men de dagen die voor de mongso’s gewoon- lijk opgegeven werden, optelde, dan was de som niet 365 dagen, maar de meeste opgaven kwamen slechts tot 360 of 362 dagen. Op voorstel van wijlen den heer a. b. cohen stuaut, beeft de Soesoeboenan van Soerakarta, Pakoe Boewono VII, in 1855 het mongso-jaar geregeld, zoodat het ten minste ge- middeld met het juliaansebe gelijk loopt. De eerste dag van bet mongso-jaar komt nu overeen met den 21sten of 22sten Juni, en de 12 mongso’s bebben nu acbtereenvolgens de onderstaande lengten : 41, 23, 24, 25, 27, 43, 43, 26, (of in een schrikkeljaar 27) 25, 24, 23, 41 dagen, te zamen 365 of 366 dagen. De nieuwe indeeling beet in het javaansch Pranato- mongso ; de le dag van bet jaar 1 der Pranato-mongso is geweest de 22ste Juni 1855, en in deze tijdrekening zijn, 12* ( 180 ) evenals in de juliaansche tijdrekening, de jaren 4, 8, 12, 16 enz., schrikkeljaar. Deze schrikkeljaren vallen dus niet met de onze samen, en van daar dat de begindagen der mongo’s niet op een vasten dag van ons jaar vallen, maar een of twee dagen kunnen verscbillen. Hoewel ik nu bekend was met deze indeeling, waardoor aan de beboefte van den landbouw tot op eene zekere hoogte voldaan wordt, oordeelde ik bet tocb niet onwaarscliijnlijk, dat, onafhankelijk van de middagschaduwen, en dus onaf- hankelijk van de mongso-rekening, ook wel voor den land- bouw op de heliasche opkomst en ondergang van sterren of sterrebeelden zoude gelet worden. Te vergeefs tracbtte ik daaromtrent hier te lande inlich- tingen in te winnen ; het eenige, wat ik vond, was eene zinsnede, in bet Dajaksche woordenboek, door den zendeling hakdeland vervaardigd. Prof, veth had de goedheid, mij daarop opmerkzaam te maken. Die zinsnede, voorkomende op het artikel bintang , ster, luidt aldus : » Salampatar, oder bintang patendo, der Orion. Der Orion (die drei grossen Sterne im Gürtel) bestimmt die Zeit des Reispflanzes, wenn er nämlich Abends mit dem Dunkel werden im Zenith steht. ” Neemt men de rechte opklimming van e Orionis, de mid- delste ster in den gordel van Orion, aan op 5U 30m , en voor het donker worden des avonds half zeven, wäre tijd, dan komt er voor den dag, die door den beschreven stand aangewezen wordt, 3 of 4 Maart. Op Java is op dezen tijd van het jaar de padi bijna rijp, de regentijd loopt dan op zijn eind. Ik heb dus nu rechtstreeks op Java zelf mijne inlichting gezöcht en geloofde dit niet beter te kunnen doen dan te schrijven aan den regent van Koedoes, raden Mas Adipati Ario Tjondro Negoro, die eene europeesche opvoeding ge- noten heeft, en daardoor ook het best in staat is, de be- doeling der gedane vragen te vatten, en een voldoend ant- woord te geven ; iemand die ook menigmaal, ook mij, zijne welwillendheid voor het geven van inlichtingen getoond heeft. Ik ontving bij een schrijven, gedateerd 20 Februari jl., van hem het gewenschte antwoord, waaruit mijn vermoeden, dat de Javaansche landbouwer ook sterren raadpleegt. bewaar- ( 181 ) heicl werd. In liet kort komt liet gebruik liierop neder, dat de Javaan van twee sterrebeelden, namelijk: 1°. de gordel en het zwaard van Orion, en 2°. de Pleiaden, de hoogte boven den horizon scbat, hetzij by het vallen van den avond, dus ongeveer een half nur na zonsondergang, hetzij des morgens by het onzichtbaar worden der meeste sterren, dus ongeveer een half uur voor zonsopkomst, en dat eene zekere maat van die hoogten, door den regent Tjondro Negro aangege- ven in graden, maar die, zoo als een nader van hem ont- vangen schrijven mij bevestigde, door den landbouwer zel- ven op de gis geschat worden, de verschillende mongso’s aangeeft. Ik vond het niet onbelangrijk eens na te gaan hoe nauw- keurig deze opgaven met de waarheid overeenstemden, en heb ze daarom aan de berekening getoetst. Daartoe nam ik aan voor de zuidelijke breedte der waarnemingsplaats 7° : voor e Orionis R.O. — 5U 30m en S = — 1° 17', voor rj Tauri 3 40 23 44, Daar verder in de opgaven van den regent niet duidelijk aangegeven was, of de astronomische hoogten der genoemde sterrebeelden voor het begin of voor het midden voor elke mongso golden, zoo heb ik aangenomen voor het midden, daar dan, door vergelyking van mijne resultaten met de op- gaaf, van zelf wel blijken zoude, of die opvatting goed was. Inderdaad gaf deze vergelyking zoowel verschillen in den eenen als in den anderen zin, zoodat het schijnt dat het tydperk, waarvoor de opgaven gelden, ook niet veel juis- ter is aan te geven, dan ongeveer het midden van elke mongso. Ten einde nu ook anderen in de gelegenheid te stellen de opgaven van den regent te raadplegen, zal ik een gedeelte van den ontvangen brief en de geheele opgaaf zelve, de laatste woordelijk, mededeelen, (hoewel er ook aanwijzingen in voorkomen betreffende den groei van dieren en planten, die voor ons doel van geen belang zijn), om daarna het resultaat mijner bei’ekening te behandelen. ( 182 ) Koedoes 20 Februari 1880. Geachte Professor! Het spijt mij zeer, dat ik u zoo lang heb moeten laten wachten, eer dat ik aan uw verzoek kon voldoen, dewijl ik de zaak eerst nauwkeurig moest onderzoeken, door Tragen en wedervragen aan enkele personen in de desa’s in rnijn regentscliap en omstreken, die met de sterrebeelden bekend zijn, welke de inlanders als teekens gebruiken voor den land- bouw ; daar het zeer natuurlijk is, dat niet iedereen weet uit te leggen, hoe zij die teekens gebruiken in verband met de zonnetijds-rekening, . . . . , die enkele personen worden door de bevolking doekoens genoemd, hetgeen beteekent arts, vroed- meester enz., ook een geleerde, die tot vraagbaak van een ieder dient ; zij wijzen den stand der sterrebeelden en andere teekens aan in verband met de mongso’s; mijn onderzoek is niet alleen gelukt met de teekens der sterrebeelden, maar ook met andere teekens, die de landbouwer gewoon is te gebrui- ken om zijn akker te bebouwen, , naMen dee stEeeebeelden en andeee teekens, waaeop de JAVAANSCHE LANDBOUWEES LETTEN BIJ HET PLANTEN VAN PADI EN TWEEDE GEWASSEN. De Javaansche landboüwer let bij het planten van padi en tweede gewassen op twee voorname sterrebeelden, narne- lijk de lintang woeloeh, het sterrebeeld der 7 Pleijaden, en de lintang loekoe, het sterrebeeld der drie Köningen * * * §)), ver- eenigd met de onder besclireven 3 kleine en 2 groote ster- ren in zuid-oostelijke richting van de lintang woeloeh f). Bij de lintang loekoe zijn drie kleine sterren naast elkaar, die eene rigting van noord naar zuid hebben §) en nog twee *) o, £ en ^ Orionis. f) Ik gis dat dit de Hyaden moeten zijn, hoewel die in het vervolg niet meer genoemd worden. §) c, 6 en i Orionis, ( 183 ) groote sterren die zuid-oost en zuid-west van de genoemde kleine sterren staan *). Bij eene goede beschouwing dier groep sterren ontwaart men hare gelijkenis met een ploeg, de 3 Köningen stelt de ploeg voor, de drie kleine sterren de boom van den ploeg, en in de twee groote ziet de Javaan de karbouwen. Naar den stand dezer sterrebeelden wordt het zonnejaar verdeeld in 12 mängsäs of tijdvakken, gedurende elk welker verscliillende waamemingen worden gedaan. De voornaamste biervan zullen wij bespreken. Mang sä kasu. Dit is het eerste tijdperk van het zonnejaar. duurt 41 dagen. en wel ongeveer van 21 Junij tot en met 31 Julij. De lintang loekoe en lintang woeloeh zijn ’s morgens om 1 26 ure zichtbaar in het oosten op eene hoogte van 25° en 45° van den horizon. De zon keert zuidelijk op en om 12 ure is de schaduw van een mensch 4 voet lang zuidwaarts. De »Iwaks bettik”, een kleine soort zoetwatervisch. krijgt een puntje op het hoofd. Dit is de tijd om tweede gewassen te planten. Mungsä karu. Het 2e tijdperk duurt 23 dagen. ongeveer van 1 tot en met 23 Augustus. De lintang woeloeh staat aan het zenith en de lintancr o o loekoe op ongeveer 70° aan den oostelijken hemel. De Iwaks bettik hebben twee putjes. De zon gaat zuidelijk op. de schaduw is om 12 ure 2 voet zuidwaarts. Mängsä ketigfi. Dit is het derde tijdperk, duurt ongeveer van 24 Augustus tot en met 17 September, dus 24 dagen. De lintang woeloeh staat voor zonsopgang ongeveer op *) x en ß Orionis (Rigel). ( 184 ). 70° aan den westelijken hemel en de lintang loekoe aan het zenith. De bladeren der vruchtboomen beginnen af te vallen. De Iwaks bettik hebben 3 putjes. De zon staat noordwaarts, om 12 ure is de schaduw een voet zuidwaarts. De tweede gewassen beginnen vruchten te dragen. Mängsä lcapat. Dit tijdperk is het vierde, duurt 25 dagen, ongeveer van 17 September tot en met 11 October. De lintang woeloek staat voör zonsopgang op ongeveer 50° en de lintang loekoe op 70° aan den westelijken hemel. De glattiks, rijstvogels, körnen bij zwermen op de oro-oro om hun voedsel te zoeken. De vruchtboomen krijgen nieuwe loten en jonge bladeren. De randoevruchten worden rijp, de kapok zichtbaar en begint langzamerhand af te vallen. De zon komt precies in het oosten op, en is dus ’srnid- dags de schaduw loodregt. In dit tijdperk worden de meeste tweede gewassen geoogst. Mnngsä JcSlima. Dit is het vijfde tijdperk van het zonnejaar, en duurt 27 dagen, ongeveer van 12 October tot en met 7 November. De landbouwer observeert op den avond van zondag kli- won (bij de Javanen is dit reeds maandag legi, daar de dag begint met zonsondergang ; derhalve wordt die avond malern senen legi genoemd) ongeveer 1/2 7 aan het noordoosten van den hemel een der lintang woeloeh, den volgenden malern senen een tweede; zoo ziet hij er elken volgenden malern senen een ster bij körnen, totdat eindelijk de zesde weder op malern senen legi zichtbaar is, dit tijdperk wordt selappan genoemd, dat is 35 dagen, het is de kring van eene week van 7 dagen en de pasar week van 5 dagen, op dien tweeden malern senen legi ziet hij 6 der sterren bij elkaär, niet dui- delijk, maar even als of zij achter een nevel staan, en laag aan den horizon. ( 185 ) In dien tijd valt de »boen oepas”, vergiftige dauw, die zeer nadeelig werkt op den aanplant van tweede gewassen, ja zelfs volgens bet beweren der landbouwers vernielt die dauw bet tweede gewas, omdat de 6e ster slecbts flaauw zicht- baar is. De lempoejang, eene soort van boschplant, met gele wor- tels, die de Javanen voor medicijn gebruiken en bij de rijst eten, indien ze nog jong zijn, begint nieuwe worteis (boeng) uit te schieten. De maoeq terik, eene soort van zeemeeuwen, komen op de velden, tegallans en oro-oro aan den voet van het ge- bergte, om larons of vliegende mieren te zoeken, die tegen dien tijd uifkomen. Door die vogels komen de paddestoelen of djamoer terik. die ontspruiten uit bet vuil der vogels en door de inlanders bij de rijst worden gegeten. De tjekitboets of tjilpvogels, die in andere tijden van het jaar, nooit ’s morgens om 5 ure zingen, laten zieh in die dagen op genoemd uur hooren ; op gewone tijden zingen zij »tjekithoet tjekithoet”, doch in die dagen hoort men ’s mor- gens »tjekithoet theng theng”. De Iwaks bettik hebben vijf putjes op het hoofd. De zon begint zuidwaarts te gaan, en om 12 ure ’smid- dags is de schaduw van een mensch een voet lang noordwaarts. In dien tijd worden de meeste tweede gewassen geoogst en begint men djagoeng te planten, terwijl de landbouwer zijne gereedschappen langzamerhand in orde maakt. Mängsä kanem. Dit is het 6e tijdperk van het Zonnejaar, het duurt 43 dagen, van 8 November tot en met 20 December; het be- gint goed te regenen, de landbouwers maken een aanvang met de bewerking hunner sawahs en strooijen zaadpadi uit. De zesde ster der lintang woeloeh werd op malern senen legi flaauw zichtbaar en den volgenden maandag zag men dien duidelijk, allen waren duidelijk te observeren. De Javaan- sche landbouwer stelt zieh te vreden met zes sterren pan het beeid »de Pleyaden”, aangezien de zevende niet met het bloote oog zichtbaar is. Te gelijk met de ondergaande zon ziet men ’savonds de lintang loekoe boven den oostelijken liorizon. Die zelfde lintang loekoe wordt in dien tijd ook wel ge- noemd lintang djäkätäwä, omdat door zijne verscbijning de boen oepas verdwijnt. De manoeqs blekek, snippen, die te voren niet te zien waren, komen te voorscbijn, om op de waterplassen hun voedsel te zoeken. De kowangans, een soort langwerpige torren, die voor bet invallen dev regens niet te zien waren, komen van boven wellicbt van liet gebergte, en leggen bunne eijeren in bet gras, dat lialf onder water staat. De kemlandingans, een soort van boomspinnekoppen, die voor dien tijd bunne webben borizontaal maakten, beginnen die tbans in verticale richting te spinnen. De vrucbten beginnen rijp te worden. De Iwaks bettik krijgen zes putjes. De zon gaat meer zuidwaarts, en om 12 ure ’smiddags beeft de scbaduw eene lengte van 2 voet. Mtingsä Icepitoe. Het zevende tijdperk van bet zonnejaar, duurt 43 dagen, ongeveer van 21 December tot en met 2 Februarij. In dien tijd eindigt bet uitstrooijen van zaadpadi, en begint men de oudst gezaaide padi over te planten. De lintang woeloeb staat op ongeveer 45°, en de lintang loekoe op 25° aan den oostelijken bemel. De ouvi, een boscliklimop, waarvan de knol kan gegeten worden, begint op te schieten, en de knol is rijp om gegeten te worden. De eijeren der kowangans beginnen te breken, en dejon- gen, die de Javanen djoedens noemen, komen te voorscbijn. De Iwak bettik hebben zeven putjes. De viss^hen bebben nog geen mächtige smaak, bunne koppen zijn nog week. De jonge vischjes, bontangs genaamd, sterven in grooten ( 187 ) De zon keert noordelijk terug, en om 12 uur is de scha- duw drie voet noordwaarts. Mangsä JcSwäloe. Dit is het achtste tijdperk, loopt ongeveer van 3 tot en met 28 Februarij en duurt dus 26 dagen. In dien tijd wordt de jonge padi druk overgeplant, — de planttijd loopt ten einde, zoo ook het uitzaaien van padi, die niet overgeplant wordt en sawoer tinggal heet. Een en ander omdat op het einde van dezen mangsä de lintang woeloeh en lintang loekoe ’s avonds 1/2 7 ure staan aan het zenith en ongeveer op 70°. De Iwak bettik hebben acht putjes. De djoedens beginnen te vliegen ; zij heeten dan lam- bangans. De glagah begint te bloeijen. De zon komt in het oosten op. Mangsä kesängä. Dit tijdperk. hetwelk ongeveer van 1 tot en met 25 Maart, en dus 25 dagen duurt, is het negende. De padiaanplant draagt aren, en wanneer daaronder veel ledige zijn, is het een teeken, dat ze te laat geplant heb- ben, — of de lintang loekoe was reeds aan het zenith, en dus de ploeg omgekeerd. De lintang woeloeh staat op 70° aan den westelijken hemel en de lintang loekoe ’s avonds 1/3 7 ure voorbij het zenith. De Iwaks bettik hebben negen putjes. De bloesem der glagah begint af te vallen. De zon gaat over den evenaar. Mangsä sepoeloeh. Dit is het tiende tijdperk van het zonnejaar, duurt 24 da- gen, ongeveer van 25 Maart tot en met 17 April. De padi komt tot rijpheid en de oogst neemt een aan- ( 188 ) De lintang woeloeh en lintang loekoe staan op ongeveer 45° en 65° van den westelyken hemel, De Iwaks bettik hebben geen putjes meer. De zon gaat noordelijker op en om 12 ure is de schaduw van 1 — 2 voet zuidwaarts. Mängsä dSsthä. Dit is bet elfde tijdperk, duurt 23 dagen, en wel ongeveer van 18 April tot en met 10 Mei. De padioogst wordt algemeen. Het is het begin der körte dagen en koude nackten. De lintang woeloeh is niet meer zichtbaar, en begint even als in de mängsä kelimä weder tegen 1/2 6 ure ’s ochtends in het oosten op te körnen. De lintang loekoe is ’s avonds om 1/2 7 ure nog op 16° boven den westelyken horizon zichtbaar. De randoeboomen beginnen te bloeijen. De zon gaat steeds noordelijker op, en om 12 ure is de schaduw 3 voet zuidwaarts. Mängsä Sädä. 