title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: »De omgestorte pijlers bestonden uit zes gegoten ijzeren » kolommen, gekoppeld door gesmeed ijzeren dwars- en kruis- »staven. De funderingmuur was een zesboekige betonpijler, »met metselwerk omkleed, lang van punt tot punt 27 voet »6 duim, breed 15 voet 6 duim. Deze pijlers waren opge- »trokken tot 5 voet boven lioog water bij springvloeden. »De vier bovenste lagen waren van gehouwen steen en er » blijkt geene beweging of verzakking te hebben plaats » gebad. »De boogte van de bovenste laag van het metselwerk tot »den onderkant der liggers wisselt af tusscben 83 voet en »81 voet 3 duim.” In eene tabel worden de volgende opgaven medegedeeld: ( 70 ) Nommers der pijlers. Hoogte van den pijler. Nommers der overspanningen. Wijdte der overspanning. Omschrijving van de oplegging OP DEN PIJLEK. 28 vt. dm. 67. 6 29 vt. 245 3 rollen op den lagen balk. 29 82. 6 30 245 8 » » » pijler. 30 83. 0 31 245 8 » » » » 31 83. 0 32 245 vastgebout op den pijler. 32 83. 0 33 245 8 rollen op den pijler. 33 83. 0 34 227 6 » en uitzettingstoestel. 34 83. 0 35 245 8 » op den pijler. 35 83. 0 36 245 vastgebout op den pijler. 36 83. 0 37 227 8 rollen op den pijler. 37 82. 8 38 245 6 » en uitzettingstoestel. 38 82. 4 39 245 8 » op den pijler. 39 82. 0 40 245 vastgebout op den pijler. 40 81. 8 41 245 8 rollen op den pijler. 41 66. 10 — — 3 » op den lagen balk. NB. De pijlers zijn gerekend uit het zuideinde. »De zes kolommen waren zoo geplaatst, dat zij twee drie- »hoekige groepen vormden, die aan hun boveneinde alleen » door- dwars en diagonaalstangen verbonden waren. De beide » uiterste kolommen hadden 18 duim middellijn en beiden in »de rigting naar de brug met den top 12 duim over. De »middellijn der vier andere kolommen was 15 duim; zij ston- »den paarsgewijze in vertikale vlakken evenwijdig aan de as » der brug en helden in dit vlak over hunne gebeele lioogte, »12 duim naar binnen over. »ledere kolom bestond uit zes pijpstukken met randen. op »de voeg met 8 schroef bouten van l]/s duim aan elkander ('71 t > Ter-' z im. leier irktäl tss reieki lx*r e?r zi-^~ri >r Befer '-igger rrr L Ti z i. - -z zr — zzez -- e > irir V' -~ — -T : I'f leZ.rZ 1 »for-:’ - i~ erZ Z~ ’ --- _ rl- > ' 7— ZZ7tZ z~ : m ^ ' - Tü ;- - -T äz lr >bmg er rernVaal izier iez iii-i-'z alL Üjrei 11 ieaa: ___ — i- — It ' - _ ~-r- liisiCTAll:. trf»gl rrZr r. I'Ti£r_TX6 2_i.iT ZirZ -. 1~ IrZ > insgiazi >Te£iiri wis 01 rzü-izez üt i*ei üi^ »rzr-r-z > ii gesrcien zjaerez rillez ztü: zz ~ ~ - ~ * iin. z~r _ — Irl Tri _i-151- ’S-.- 11F - 1 li 'ZZ 1 r£ > Bg de 31. :-: ot 39 ndsda ie r; _rz ea nres »de faaMwgws me» adiroefborini aa de cdwnnge 1%- > Zr”- le^rSIZZZ > T- t ”2 — r lüTi :z - ” 17 _ - -- ~>~ io ■. ■ -- • • ■ -• er - - - i’ - > ZrZrZr »■’. — — Tiü r_£r 71161 Z I I'lil 1t 63556 1t Zt_Z1 )f1 t_äI Irl Irl Ir iZ-TZrZ rrl TZrI>ir Ti~ 1- ~ r; ~ X- xll - rJ 06 ( 72 ) drukkingen op de pijlers, die mij niet voorkomt juist te zijn, o-aat de Heer law aldus voort: o » Maar ongelukkiglijk moet ket, tengevolge van de onvol- » doende wijze waarop de steun- en trekijzers, die de kolommen » vereenigden, waren aangebragt, er ver van af geweest zijn »dat de pijlers als stijve constructies konden worden aange- » merkt. De steunijzers waren gootijzers, met de ruggen naar »elkander geplaatst en de ooren der kolommen daartusscben, »waarmede zij, aan ieder einde, met twee bouten van l1/ 8 »duim verbonden waren; de boutgaten waren op l1/^ duim » middellijn gegoten en daar zij ruw en grooter dan de bout- »dikte waren en de einden der steunijzers geen vlak vonden » waartegen zij aanstieten, werden deze ijzers alleen op liunne »plaats geliouden door de zamenknijping der bouten. »Bij de uitvoering van bet werk werden de vlakke trek- » stangen met spieen opgesloten, maar daar de insnijdingen in » de staven, waar de spieen tegen steuuden, ruw waren ; » de wio-o-en zeit ruw gesmeed waren en de gaten in de » ooren niet cylindriscb, en schroef bouten in plaats van »pennen gebruikt waren, om de einden der diagonalen te »bevestigen, was bet werkelijke steunvlak zeer gering en »eene betrekkelijk geringe kracbt noodig om den kant van »bet gat in den draad van de scbroef te dringen. »Evenzoo moet opgemerkt worden, dat bet steunvlak van »de spie, tegen de staaf, gebeel onevenredig was aan de door- » snede van deze, want terwijl de doorsnede van de, aan eene »trekkende kracbt onderworpen staaf eene oppervlakte bad »van 1.625 vierkante duim, was de oppervlakte van de, aan » drukking onderworpen spie, die 1.86 vierkante duim bad »bebooren te zijn, slecbts 0.375 vierkante duim, dus de »sterkte slecbts een-vijfde van die der staaf. »Het gevolg daarvan kon wezen, dat door een zijdeling- ( 73 ) »sehen druk tegen de kolommen, beweging moest ontstaan »in de koppel- en trekstangen, waardoor de laatste slap wer- »den. En die beweging kad inderdaad plaats. Ik bevond, dat »in de nog bestaande trekstangen, ijzeren stopstukken van » 1/4 duim dik, tusschen de spie en* de groef waren aange- »bragt en ik vernam, dat dit van tijd tot tijd, sedert de »opening van de brug voor bet verkeer, bad plaats gebad. »Uit de mededeelingen, die ik ontving, bleek dat ongeveer »150 zulke stopstukken waren aangebragt tusschen October »1878 en bet tijdstip waarop de brug instortte, en dat de » noodzakelijkbeid daaraan reeds ontstond toen de brug vijf »maanden in gebruik was. Deze omstandigbeid toont aan, » dat onder de gezamenlyke inwerking van overtrekkende trei- »nen en van den wind eene belangrijke, stootende beweging »in de pijlers beeil moeten ontstaan en wijst, naar bet mij » voorkomt, op de eerste oorzaak van bet onbeil ; want door »het slap worden van de dwars- en diagonaal-stangen werd »de eenige voorwaarde weggenomen, waarop de magt van »diet bouwwerk, om weerstand te bieden tegen omstorting »door eene zijdelingscbe kracht, berustte. En bet is gemak- »kelijk te begrijpen, dat een Storni, zoo lievig als die van »28 December jl. in de verbindingen der dwars- en kruis- » stangen met de kolommen, bewegingen kon doen ontstaan, »waardoor deze niet meer in staat waren aan bet bijkomende »gewigt van den trein en de zijdelingscbe drukking van den »wind weerstand te bieden.” Junij 1880. OVER PERIODIEKE TERUGLOOPENDE BETREKKTNGEN TUSSCHEN DE COEFFICIENTEN IN DE ONTWIKKELING YAN FUNCTIEN ; MEER IN HET BIJZONDER TUSSCHEN DE BeRNOULLIAANSCHE EN OOK TUSSCHEN EENIGE DAARMEDE VERWANTE COEFFICIENTEN. DOOR F. J. VAN DEN BERG. ?£! 2tj 2n Indien, stellende i — [/ — 1 en co = e n =cos (- isiv — , n n de n worteis van de vergelijking wn — 1 = 0 worden voor- gesteld door waarin aan den exponent k aclitervolgens alle geheele waarden van 0 tot en met n — 1 zijn te geven, en onder welke worteis dus steeds w0 = 1 voorkomt, terwijl n wel steeds a>! — e^1 = cos n -|- i sin n = — 1 is, maar deze waarde slechts voor liet geval van n even, dat is voor een 71 geheelen exponent - , tot de worteis belioort, en terwijl alle overige worteis steeds complex zijn, dan heeft voor eene wil- lekeurige bestaanbare functie F(x), die bij vervanging van x ( 75 ) door a>kx en bij ontwikkeling volgens de magten van w4, daarbij lettende op (cok)n = ( con)k = 1, overgaat in F(a>k x) = X0 -f- (ok Xi -}- X2 -{■ enz. + co(n~~l)k X„_i, (waarin Xi naar omstandigbeden eindige of oneindig voort- loopende poljnomia van x kunnen zijn), de zoogenaamde »—i FT norm van deze functie, dat is het door de notatie 11 F(cokx) voor te stellen product F(x) F(u>x) F(co~ x) . . . F(u>n— 1 x), eene bestaanbare waarde die onder den vorm van den dubbel- ortbosymmetrischen determinant van den «den graad Xo Xi X*. . • XÄ_i X„_1 Xo Xi. • . X„_2 Xn — 2 x*_ -i X0. . • X*_3 Xi X2 x3. ..Xo te schrijven is. Dit .kan o. a. blijken doordien deze deter- minant, als men de kolommen achtervolgens vermenigvul- digt met, maar tevens de rijen achtervolgens deelt door 1, cok, coik, enz., (daarbij waar noodig weder lettende op 1 ~ coni), bijgevolg wel zijne waarde onveranderd behoudt, maar toch den gewijzigden vorm aanneemt ontstaande door iedere Xi te vervangen door u>lk X /, dat is door x te vergan- gen door u>k x , zoodat vooreerst de determinant, deze laatste vervanging toelatende, eene functie niet slechts van x, maar bepaaldelijk van xn , moet wezen, terwijl ten andere meer in het bijzonder, de som der elementen van iedere rij in den gewijzigden vorm gelijk F{iok x) zijnde, de determinant zelf door deze F(a>kx ), dus ook door bet product of de norm n — 1 IT F(wkx), deelbaar moet wezen, en dan wegens de gelijk- beid der aanvangstermen X" in de ontwikkeling van deter- ( 76 ) minant en van product, niet anders dan deze norm zelf kan zijn. (Zie o. a. ook Dr. r. baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten , 3e Aufl.. 1870, pag. 98 — 104; Dr. s. Günther, Lehrbiich der Determinanten- Theorie, 1875, pag. 93—95). In plaats evenwel van nu te trachten voor eene gegeven F(x) deze norm ketzij door den vorenstaanden determinanten- vorm ketzij op andere wijze volgens de magten van xn te ontwikkelen, is het voor het hier volgende onderzoek doel- matiger uit te gaan van de ontwikkeling van het product F' (x) der norm met de logaritlimisch afgeleide van F(x). F{x) welk product dus wel hestaanbaar, maar eene functie niet uitsluitend van x”, maar van x zelf, is. Stellende bijv. dat men in het geval verkeert dat dit product eene ontwikkeling volgens de geheele positieve opklimmende magten van x toe- laat, welke ontwikkeling men dan, wat de coefficienten betreft met het oog op de verdere berekening, altijd onder den vonn 7Z— 1 ^ ^ . li FUxFxi) — «1 + 2 a2 x -|- 3 azxi + enz. -f- F(x) o -f nanxn~l + enz. -}- (qn + p) aqn+p x9*+P~l -}- enz. ..(1) kan schryven, (zynde hierin q — 0, 1, 2, enz. tot oneindig, maar, voor eene bepaalde waarde van n, p slechts =1. 2, 3, enz. tot n te nemen), dan volgt hieruit gemakkelijk de ontwikkeling der norm zelve. Immers, het eerste lid van (1), »—i dat is het product F' (x) . H F(cokx), is niet anders dan de eerste term der naar x afgeleide functie van de norm, en uit dezen term zijn de overige « — 1 termen dier afgeleide achtervolgens af te schryven door, voor k = 1, 2, enz., n — 1, slechts x te vervangen door a>k x (waardoor de norm zelve onveranderd blijft) en de uitkomst telkens met wk te venne- nigvuldigen ; zoodat men, de som van al deze n termen ne- mende, verkrijgt : ( 77 ) indien namelijk na0 de waarde voorstelt die zij voor x = 0 aanneemt. ( 78 ) De ontwikkeling (1) en dus ook (2) bekend zijnde, doet F' ( x ) van — — - kennen ; of ook, F{x) deze laatste ontwikkeling schrijvende onder den vorm : F'(x) — -=—- = «! + S2x + s^x2 -j- enz. sp xP—' -f enz. -f- F{x) + Sn+pxn+P-1 -f- enz. -f Sgn^pXi^P— 1 -f enz., ... (3) geeft de gelijkstelling der coefficienten van x9n+P 1 in bet product der tweede leden van (2) en (3) en in bet negatief genomen tweede lid van (1) de navolgende betrekking tus- schen de coefficienten a (of liever de verlioudingen van deze) en s, namelijk : Uqnsp "I“ — 1 )nsn-\-p 4' d(q — 2)n s2n-\-p "1” enz. -j“ a2n s(q — 2)n+p 4" , i qn+p , ,. “r anS(q-~ \)n+p "T aQsqn-\-p — n Clgn+p , (4) die dus, wanneer men daarin voor eene bepaalde waarde van n en voor eene bepaalde aan 1 P n voldoende waarde van p achtervolgens q — 0, 1, 2, enz. tot oneindig neemt, een stelsel van periodieke terugloopende of recurrente betrek- kingen tusschen de coefficienten sp , «2n+/j) enz. van eene met overspringing telkens van n — 1 tusscbentermen gevormde groep van termen in (3) oplevert, en bpgevolg, op deze wijze toegepast op de verschillende voor p in aan- merking körnende waarden 1, 2, 3, enz., ??, alle dergelijke stelsels van betrekkingen voor al dergelijke groepen doet kennen. En bovendien geeft nu bet genoemde voor bepaalde n en p en voor q = 0, 1, 2, enz. tot en met eene willekeurige q opgemaakte stelsel van q 1 lineaire vergelijkingen (4) de gelegenbeid om de q -f- 1 coefficienten sp , sn+p , , enz., s„„+p als onbekenden op te lossen in functie van de coefficienten a, waardoor men in bet algemeen voor Sq>l+fJ eene breuk verkrijgt, bebbende tot noemer den determinant die ge- yormd wordt uit alle in de eerste leden der vergelijkingen haar quotient de ontwikkeling ( 79 ) voorkomende coefficienten a en die dus, uithoofde daarin alle elementen aan eene zijde der diagonaalrij ontbreken, zieh herleidt tot zijn aanvangsterru al^~ , terwijl de teller der breuk uit den noemer wordt afgeschreven door de laatste kolom te vervangen door de tweede leden der vergelijkingen, zoodat men, deze laatste kolom voorop brengende en tevens teller en noemer vermenigvuldigende met ( — + verkrijgt den na- volgenden (q -f- l)eu graads-determinant ter zelfstandige of on- afhankelijke of independente berekening van sqn+l, , namelijk: :*o)7+ Ti Sqn-\-p -\pap a0 0 0 •0 0 ( n 4 p)(ln+,, an «0 0 . 0 0 (2 n+))ain\v U2n Un «0 ' 0 0 X(q-2)n+p)a[q-2)n+,, U[q-2)n a(q-3)n a(q-i)n • «0 0 ({q-\)n+p)a[q-\)n+p Cl(q-\)n U[q-2)n a(q-3)n Un «0 (qn-\-p)aqn+p Uqn (P(q-\)n a(q-2}n ‘ a-2n un ...(5) Behalve de reeds boven gemaakte opmerking dat deze sq^p niet zoozeer van de coefficienten a zelve, maar alleen van kunne onderlinge verhoudingen afhangt, kan nog in sommige ge- vallen voor de werkelijke berekening de opmerking van dienst zijn dat men zoowel in (4) als in (5) alle coefficienten a in volgorde met de termen eener willekeurige meetkundige reeks mag vermenigvnldigen of mag deelen, dat is in bet algemeen ogn+/J vervangen bijv. door hn+P aqn-\ p-, mits dan slechts ge- lijktijdig iedere s/jn+jt evenzeer verlangende door hn+i> sqn^p. Dit blijkt namelijk, hetzij door neder te schrijven dat liet product van (2) met avmaal (3) gelijk is aan ( — #)-maal (1) en dan hierin de oorspronkelijke veranderlijke x te vervangen door A x , hetzij regtstreeks wat (4) betreft doordien deze be- trekking de omschreven vervanging van alle a en s werke- lijk toelaat, hetzij eindelijk voor zoover (5) aangaat door de opvolgende rijen van den determinant te vermenigvuldigen met h' , v , A2" tp ? enz. , hn+P en tevens de opvolgende ( 80 ) kolommen te deelen door 1, Xp , Ä”+P,e nz., X(q— 1)*+p , bet- geen nederkomt op de vermenigvuldiging van den determi- nant zelf met Ff'+P. Ten aanzien van de beteekenis zoowel van de coefficienten s als altbans van de in (2) en in bet eerste lid van (4) voorkomende en dus bij p = n behoorende coefficienten a kan nog bet volgende worden vermeld. Stel dat men bij ontbinding van F(x) in baar eindig of oneindig aantal li- neaire factoren lieeft: ^(a;)=^l(l — «i#)(l — «2a?)(l — <*3#)(enz.)=M . i 1 (1 — «.?),. .(6) dan wordt liiernit door logaritbmiscbe differentiatie en door invoering der notatie s„ = «/' , de formule : F >w \ ' cc % ^ — xP— ^enz.) r= (x) 1 OCX — si d- szx ”1” *3®^ d- ßnz. SpXP~^- -f enz...(3) teruggevonden, ten blijke dat de coefficienten s niet anders zijn dan de sommen der gelijknamige magten van de worteis a der vergelijking F — 0. Maar, indien men kracbtens de betee- kenis der n worteis co/i' uit de eenbeid let dat (voor wille- n — 1 keurige y ) steeds {y — co k) = yn — 1 en dus ook bier n— 1 n— 1 H(1 — a a fix) -- [ux)n . FT| — — co^= (ax)u | ^ — j — 1 — 1 — an xn is, leert tevens de vorenstaande waarde van F(x) dat dan de norm: «—1 Fi F(wk x) = An (1 — xn) (1 — u%nxn) (1 — a3» xn) (enz.) = = An . TT (1— a”«n) (7) ( 81 ) wordt, ten blijke dat, al mögen de overige coefficienten a eene minder eenvoudige beteekenis hebben, de in (2) voor- An körnende coefficienten a0 , an , a.2n , enz. gelijk zijn aan maal de eenbeid en maal de benrtelings negatief en positief geno- men sommen der producten 1 aan 1, 2 aan 2, enz. van de nde magten der evengenoemde worteis «. Of nu overigens de formulen (4) of (5) met voordeel dienst- baar kunnen worden gemaakt aan de werkelijke periodieke of groepsgewijze getallenberekening der coefficienten s van eene F\x) of andere aangenomen functie f (x) = F(x) , liangt daär- . . — ^~'f‘ ( x 1 fix van af of men, na bieruit F{x) — e ' ' opgelost te beb- ben, er in slaagt de functie (1) regtstreeks te ontwikkelen volgens coefficienten a , eenvoudig genoeg om die in (4) of (5) te kunnen gebruiken. Bepaalt men zieh tot bet meest eenvoudige geval n = 1 , als wanneer in de vergelijking con — 1 = 0 geen andere wor- tel <ak te pas komt dan de eenbeid zelve, en dus ook de norm gelijk is aan F(x) zelve, terwijl dan tevens voor p alleen de waarde p — 1 in aanmerking komt, dan gaat de formule (1) over in F’ (a?) = 2 a2 x -)- 3a3 a?2 + enz. 4" (? 4" 1) aqA- \ xi 4~ enz. j dan vallen (2), (6) en (7) zamen in F(x) = a0 -f- «i x ■ (- a2 x2 a3 x?> 4“ enz. 4“ aqXt -f- enz. = = A( 1 — cc1 x) (1 — a3a.')( 1 — a3 a*)(enz.) = alX3(l — ctx ) ; dan is (3) te schrijven onder den vorm : F\x) F(x) — T ja? -{- ä3«2 -j- enz. 4- s^i a?? + enz. ; en dan vereenvoudigen zieh de formulen (4) en (5) tot : Oq S1 4" aq—\ s2 4“ aq— 2 s3 4" enz. -(- Ct^Sq— l -j- = = — (9 (4i) TKRSL. EN MEDED. AED. NATUURK. 2de HEEKS. DEE XVI. 6 ( 82 ) en (— ao),+1 V 1= a i «0 0 0 ■ 0 0 2 a2 a0 0 . 0 0 3 «3 a2 al a0 0 0 (q l)a?_ i aq~ 2 — 3 Oq — 4, . a0 0 q üq üq — i üq — 2 aq — 3 [ «l «0 aq üq — | o-q-i a2 ai die zieh nu van de formulen van albert giraud en newton voor de terugloopende berekening, en van de daaruit afge- leide formule voor de onafhankelijke berekening der sommen van de gelijknamige magten der worteis van eene vergelij- king door middel van bare coefficienten, zooals deze formulen bijv. voorkomen in Dr. w. fieuler’s Elemente der neueren Geometrie und der Algebra der binären Formen , 1862, pag. 44 en 47, en in Günther, Determinanten- Theorie, pag. 137 — 138, werkelijk door niets anders ondersclieiden dan doordat de aldaar gebezigde notatie t liier vervangen is door ^ -j- 1. Als toepassing van de voorgaande algemeene methode stelle F' (x) men zieh voor, de voortbrengende functie / (#) = F(x) in (3) zoo te nemen dat de periodieke terugloopende betrek- kingen te voorscliijn körnen die tusschen de Bernoulliaansche coefficienten moeten bestaan. Daartoe zou men, met verschil- lende schryvers den p^011 Bernoulliaansclien coefficient aan- duidende door Bip- 1 (welke notatie voor ons doel regelma- tiger voorkomt dan de door anderen gebezigde op zieh zelve eenvoudiger notatie Bp ), invoerende (volgens c. kramp, EU- mens d' aritlimdtique universelle , 1808, pag. V — VI) de notatie p ! — 1. 2. 3. p, en thans om te hekorten van den beginne af zooveel mogelijk het Jl'-teeken gebruikende, zieh deze ( 83 ) coefficienten gekenmerkt kunnen denken als die van de ont- wikkeling der fnnctie 1 , *1 , B, B-2p — ] -i“^=“;+^+4f^^5+enz-+(^A"1+enz-= x i (2 p)! welke ontwikkeling altlians boven die van bijv. — cot x zelve reeds het voordeel zou opleveren dat bare coefficienten niet nog buitendien met de opvolgende even magten van bet getal 2 zijn aangedaan. Door evenwel voor bet tbans beoogde doel 1 x werkelijk van de aanname f{x) = cot — zelve uit te gaan, zou niet alleen de tegenwoordige ontwikkeling zieh van de al- gemeene (3) ondersebeiden doordien zij slecbts oneven magten van x zou bevatten, hetgeen op zieh zeit minder bezwaar zou maken, maar zou, wat van meer belang is, blijken dat, als men op de uit deze f(x) voortvloeijende F (x) —y(x)dx X ,x rcos - d~ I 2 2 I ■ x. SO = ej sm 5 — sm — en de volgens (1) daarbij behoorende ont- n — 1 n—1 F' (x) I k I r , 1 X I t | _ lük X wikkeling van ^ — L _L r (to* x) — — cos — I I sin ~ , — welke laatste, blijkens de ontwikkeling van ieder barer fac- toren, uit termen in xn~ *, xn+l, enz. zou bestaan en dus niet alleen steeds de termen xn— 1, xin~l, x^n~ enz., maar als n even is bovendien de termen x%n ~~ 1 , #4»— 1? a?6®— 1 , enz. zou bevatten, — - de boven omsebreven handelwijze toe- n — 1. »■. Om de aangevoerde reden namelijk afziende van de toe- passing op de evengenoemde functie, zal daarentegen uit de thans volgende bewerking blijken dat een dergelijk bezwaar van splitsing in de oneven en de even gevallen zieh niet, of althans slechts in veel geringer mate, voordoet wanneer men, ook ten einde van den beginne af naauwer aan te sluiten aan den gang der bewerking voor het algemeene ge- 1 [/% val, tot voortbrengende functie kiest — — cot of, met het 2 2 oog op het verkrijgen van eene eenvoudige integraalfunctie j/ x cot - F(x), liever nog f(x) — A[/x . Indien men, om ook aan den allereers'ten term in de cotangenten-ontwikkeling den- zelfden vorm te geven als aan alle volgenden en zoodoende de geheele bewerking en ook de uitkomsten in meer be- knopten vorm te verkrijgen, tegelijkertijd als 0den Bernoulli- aanschen coefficient invoert de notatie B_x — — 1, (zijnde deze notatie ook in overeenstemming o. a. met de bekende bijzonderlieid dat in de formule, waardoor de somder(2p)de magten van de natuurlijke getallen van 1 tot y wordt uit- ( 85 ) gedrukt in de afdalende magten van y, de laagste term is 0 + 1)! (-)P-l Bop-i y), en tevens op grond van p ! = ■ ^ — let op de waarde van het symbool 0! = 1, is dan de uitgangs- formule der berekening : cot [/ x F'( x) 2 J v ; F(x) 4 i/z Hieruit klixnt men op tot r VxVx I MS _ 1 \^Pz± 2 o{2p)\ xP -1 (3') ’l s ? 1 J . V X sm \/x y*T7 ru * i ..(6') — e j — - e * 311 t — 2 2 * i Y (¥)3r waarin de splitsing in factoren alleen is bijgevoegd om, in verband met bet boven in bet algemeen omtrent de be- teekenis der coefficienten s in (3) gezegde, in bet voor- bijgaan te doen opmerken dat het negatief genomen loga- ritbmiseb differentiaalquotient van (6') geeft, lettende op (3')- zelve, — ME = 4i/« 2 xj- 2^(2 p)\ E C2?^)2 x (2 q .!)•’ V;V - ■ =£L -iE(_L l J l (2 q 7i)%P l j i \2qn zoodat men bier (met uitsluiting wat dit betreft van B t voor 1 Biy- 1 p = 0) naar bebooren de bekende uitdrukking — ^ = co = (— ) terugvindt. i \2qnJ 1/ £ F(x) = sin gevonden zijnde, komt het verder volgens de algemeene metbode hoofdzakelijk aan op de ontwikkeling van ( 86 ) / F' (*) n— 1 PT cos j/ X n — 1 F (co& x) Je /*A 4 \/ x n, [/ 00^ x sm ■ volgens (1), of ook, zonder deze ontwikkeling zelve neder te schrijven, op de be- paling der coefficienten in haar product met den noemer 4p/ x. Let men nu op, vooreerst dat de eerste term van dit product de waar- de van het product zeit' voor x oneindig klein, dat is de waarde n(n — 1 ) n — 1 CO^X y/ co 2 Xn — t p/ ( — 1 '}n—\xn—\ n — 1 7i — 1 X 2 p/ x moet liebben ; ten tweede dat zoowel in den factor cos y/ (ok x als in ieder der factoren sin , en dus ook in het pro- duct zelf, de exponenten van x telkens met de eenheid op- klimmen ; ten derde dat, in denzelfden geest als boven in (1) met de coefficienten a voor het algemeene geval geschied is, ook thans weder de door de letters b aan te wijzen en voorloopig nog onbekende coefficienten in het product toch reeds dadelijk aangedaan met zoodanige getallenfactoren kun- nen worden nedergeschreven als bij hunne later, althans voor n — 1 tot en met n = (j, te berekenen getallenwaarden in verband met den vorm der eindformulen (4) en (5) voor het tegenwoordige geval meest doelmatig zal blijken, en evenzeer wat de teekens betreft zoö dat dan al deze coefficienten b po- sitief zullen blijken; dan kan men het meergenoemde product steeds schrijven onder den volgenden vorm : »-1 [/x TTT. [/^x cos —. 1 -L sm — - — 2 i 2 =*itZh (2?+l)»-l (2?+l)»-fl b(2q+l)n— 1 2 &(2g+l)»-H ^ 2 ((2q + l)u— 1)! ((2?+ !)« + !)! b(2q+ 1 >+3 ((2gr+l)»+8)! n — 1 (2 q -hl) n- f-3 2 x — enz. — (2^-}-3 )w — 8 b(o9+s)n— 3 2 X ((2j + 3)n — 8) J<r'jhAY'[ (,”rf”0> +j t(g,+D«+2,-i = IT 4r(') i'VI('0"''=U"‘”-‘)-f((2?+l).,+2P-l)! (2q+\)v+2p—\ 2 ;,a ( 87 ) waarin, terwijl bij het eerste JS'-teeken als vroeger q — 0, 1. 2, enz. Met geringe wijziging, noodig doordien men thans met de teil minste voor even waarden van n irrationale functie (1') in plaats van met de vroeger steeds rationale functie (1) te doen heeft, is nu weder de boven gevolgde handelwijze toe- passelijk om uit (1') te besluiten tot de ontwikkeling (2) der norm voor het tegenwoordige geval. Immers, door het eerste lid «—i van (!') te sehrijven onder den vorm cot lA T7T. lA. JL sm blijkt dat bij vervanging van x door u>k x wel de n — k eerste der onder dit nieuwe //-teeken voorkomende facto- ren juist overgaan in de n — k laatste, maar dat daarente- gen wegens j/w” = e^1 — — 1 de k laatste di er factoren overgaan in de k eerste ieder negatief genomen. Van daar dat thans, om uit het evengenoemde eerste lid, dat is uit den eersten term van 4 [/x maal de afgeleide der norm, achtervolgens de overige termen af te sehrijven, de vervan- ging van x door <x>k x telkens gepaard moet gaan met eene vermenigvuldiging niet alleen met \/ co/: , maar bovendien met (n + \)k (— 1)‘ = (i/w’')^, dus in het geheel met co 2. Dezelfde vervanging en vermenigvuldiging nu, toegepast op het tweede lid van (1'), komt voor den algemeenen term van dit lid bijgevolg neder op de enkele vermenigvuldiging met [n+\)k k((Zq-t-\)n+ty-\) w 2. ca 2 = r=z iokP ; zoodat men, de som van al deze achtervolgens bij k— 1,2, enz., n — 1, behoorende uitkomsten en van den oorspronkelijken term in (!') zelve nemende, dezen term vermenigvuldigd vindt met ( 38 ) n — 1 den factor u>kP , dat is, evenals vroeger in liet algemeen, steeds met nul , met uitzondering alleen van liet binnen de tegenwoordige grenzen 0 fC p n — 1 liggende geval van p = 0 , als wanneer evengenoemde factor de waarde n verkrijgt. Schrijft men nu neder dat liet product der tweede leden van (2') en van 4 [/ x maal (3') gelijk is aan bet negatief genomen tweede lid van (1'), dan kan men daarbij, als r ( 89 ) eene der waarden van 0 tot en met q voorstelt, in den al- gemeenen term van (2') den aanwijzer q vervangen door q — r en daarentegen in dien van (3') den aanwijzer p door rn -f- Pi ten einde de som der coefficienten van alle onderling gelijk- namige termen, die voor r = 0, 1, 2, enz., q , uit een pro- duct van den vorm nomen coefficient van 2 t , ä— 1 (2g— 2r+l)n \ X 2 i2) voortkomen, gelijk te kunnen stellen aan den negatief ge ' \n — 1 (2g+l)«-i-2g;— 1 J) x 1 doende en gelijktijdig met ( — )?. ((2 q -|- l)n -f 2 p — 1)! ({2q+l)n+2p)\ 4 i/x. -. xrn+P~ 1 y 2 in (1'). Dit of met ( — )? n vermenigvuldigende , naar- mate men van den eersten of van den tweeden vorm van (2') gebruik wensclit te maken, en tevens in liet algemeen s \ s! I s t de notatie voor de onderling t!(s — t)! — tJ gelijke (t -f- l)e en (s — t -{- l)e binomiaal-coefficienten van de 6de magt invoerende, verkrijgt men de beide volgende vor- men van de periodieke terugloopende betrekking tusschen de Bernoulliaansche coefficienten, uitgedrukt in de coefficienten b van de ontwikkeling (1'), namelijk: ä t /(2ö,+ l)»+2Jp— l'l b(2q— 2r+ \)n— 1 D (— y l/0.. o.. n. I — b“ bTTb — -t>2n,+2p- 1 = (4') \(2?— 2r-j-l)n— IJ 2q— 2r+l 2g-f-l)»+2g>— 1 • • ( (P = 0) -1 ( Qt> = l tot n— 1) + ) ^ en E (-)' (2q + l)n 4- 2p (2 q — 2 r -f- 1) n b(2q — 2r-\-\)n — 1 -B2rn-{-2p — 1 — { (/>= 0) -) (2q-\-l)n + 2p ) (p=l tot n— 1 ) -r \ n b(2q+\)n+2p-l , • (4") waarin de uitdrukking onder bet JS’-teeken, in wier binomiaal- coefficient men den beneden-aanwijzer desverkiezende ook door 2rn 2p kan vervangen, behoort bij den ( r -f- l)en of algemee- ( 90 ) nen term uit de q -j- 1 terrnen waaruit het eerste lid bestaat der (ij 4- 1 )e betrekking of vergelijking voor de (p -f- I)e der n verschillende groepen die uit de Bernoulliaanscbe coefficienten, telkens met overspringing van n — 1 van lien, gevormd kun- nen worden. Ofsclioon van deze vormen (4') en (4") de laatste in zooverre algebraisch eenvoudiger is dan de gelijkwaardige eerste, dat althans alle coefficienten b in zijn eerste lid in hun geheel in plaats van in onderdeelen voorkomen, is daar- entegen die laatste vorm voor de getallenberekening waar- schijnlijk niet altijd de eenvoudigste. Ook zou men de ge- vonden terugloopende betrekking, in plaats van onder dezen laatsten vorm, nog wel onder een geheel van binomiaal- coefficienten bevrijden en in zooveiTe meer eenvoudigen vorm können sclirijven, en zou hetzelfde voor de zoo straks vol- gende onafhankelijke formulen (5') en (5") können gelden, door namelijk in plaats van de coefficienten B en b de vol- ledige coefficienten zelve aan te houden die in (3') en in (21) en in verband daarmede ook in (!') voorkomen, bijv. Zooais is aangewezen moet in het tweede lid vai^ (41) en van (4") voor geene andere waarde dan voor p = 0, dat is dus alleen voor de eerste der daarbij genoemde n groepen, het teeken — worden genomen. Wenscht men voor dit geval ( 91 ) den oneigenlijken Bernoulliaanschen coefficient B_^ uit te sluiten, die met geen ander doel werd ingevoerd dan om de betrekkingen yoor alle groepen onder een gemeenscbappelijken vorm (4') of (4") te kunnen zamenvatten, dan komt door B, — — 1 te substitueren en door de teekens om te keeren : i ’ \(2q—2r+l)n—l] 2q—2r + l 2 n , b{2q+ 1)»— 1 (4 0) of 2?+l yr, y.r—1 (2? + l)n \ V(-) L0 o , m 0(2?-2r+l)*-l B.lrn_ 1 = 1 1(2? — 2r + 1)«/ = 2? 6(29+-i)ra_i , (4"0) waarin weder om voor den beneden-binomiaal-aanwijzer ook 2rn kan gescbreven worden. Deze op zicb zelve staande be- trekkingen zouden nu eigenaardig, in plaats van zooals aan- vankelijk bij beboud van B, , dat is voor p = 0 , aan bet boofd, tbans voor p = n aan bet slot van de betrekkingen voor de n verschillende groepen gescbreven moeten worden, in welk geval bet trouwens regelmatig zou zijn, ten einde ze zooveel mogelijk in vorm met de betrekkingen voor p — 1 tot en met n — 1 te doen overeenstemmen, in deze (4'0) en (4"0) nog q en r te vergangen door q -f- 1 en r + 1 en dus bijv. in plaats van (4"0) te scbrijven : ? 1 1 l)nj = 1 2 (q + 1) &(29+3)«-l 5 als wanneer wel moet worden opgelet dat, ofscboon deze laatste vorm overigens in allen deele werkelijk zou overeen- stemmen met betgeen eene onderstelde toepassing van (4") zelve voor p = n zou opleveren, dergelijke toepassing even- wel in geenen deele geoorloofd is daar zij in bet tweede lid den verkeerden factor 2q 4- 3 in plaats van den wezenlijk b(2q — 2;-f- l)n — 1 B-2rn-^-(2n — 1) — ( 92 ) vereischten factor 2 (q -f 1) zou opleveren. Neemt men in (4') acbtervolgens q = 0, 1, 2, enz. tot en met eene willekeurige waarde q, dan kan men uit de aldus körnende q -f 1 vergelijkingen met B->p- 1 , — -ß2Hf2/)-l » -f- -^4«-+ -2p— l » enz., (— )? B-iqn. j-fy— i als q -f- 1 onbekenden eene algemeene formule voor de onafhankelijke berekening van den willekeurigen Bernoulliaanschen coefficient B-iqn+ip—l opmaken. Men vindt zoodoende, gebeel op dezelfde wijze als vroeger bij den overgang van de algemeene betrekking (4) tot (5) omsclireven is, belioudens alleen dat thans met ( — 1)? in plaats van toen met ( — )'?+1 n vermenigvuldigd wordt, den volgenden (q -j-l)en graads-determinant voor dit doel : (zie (A.) op de uitslaande bladz.). zijnde hierin het tweede lid tusschengevoegd op grond van de ( n — 1)! boven reeds opgemerkte waarde bn—\ = • — , zoodat men, van dit tweede lid gebruik makende, in het derde lid aan de volstrekte waarden der coefficienten b van (1') gebonden is, terwijl daarentegen de gelykheid van het eerste en het derde lid alleen van de onderlinge verhoudingen dezer coefficienten afhangt. In deze laatste gelykheid van (5') en van de zoo straks volgende (5"), en in (4'), (4”), (4'0) en (4"0) kan bo- vendien nog, in denzelfden geest als vroeger in het algemeen voor (4) en (5) bleek, iedere b^q+\)n^.zp-\ vermenigvuldigd worden (voor willekeurige Ä) met mits dan tevens iedere Bzgji+Zp—} worde vermenigvuldigd, thans even- wel niet met 1 i, maar met Ä2?”-!-2/’; later, bijv. voor de bij n = 1 en bij n = 2 behoorende getallencoefficienten b , kan deze opmerking van dienst zijn. Eindelijk komt, op dezelfde wijze als (5') uit (4'), nog uit (4''), maar door daar- voor met ( — )?n te vermenigvuldigen, de gewijzigde vorm: (zie (ß) op de uitslaande bladz.). Tegenover bladz. 92. (A) j (/> = <>) -I ( (/; = ltot« — l)-f- j b,,+ip— 1 bin+2p— 1 l>5n+2p-\ b(iq— 3)»+2p-l b(iq-\)n+ip- 1 i(2?+l)» + 2^-l n/(2r + l)» + 2p-l\ ,(+i „ rrT((2,-+l)« + 2p-l)! 1 „-1 J • i»-i ■ + = ioi (2r» + 2p)! ' — = /«4~2p— l n-l I 1 !3n-\-2p— 1 \ fcün — 1 \ 3n — 1 J 3 jhn-\-2p — \ 5« — 1 ) 5 0 /3ra-)-2p — 1 \ i 1 «-1 M / 'ön-\-2p — l\&3„_i \ 3n — 1 j 3 /(2g— 3)n + 2j?— lU(g?-3)»-i (2g — 3)n — 1 ) 2g— 3 I (2g— l)n+ 2p— lU(8?-i),_i l (2g — l)n — 1 ] 2g — 1 /(27+l)”+2/> — l\fr(2?+l)n— 1 \ (2g + l)n— 1 ) 2g + l (2g — 3)»-f- 2p— 1 \6(gg_ B)»— l (2g— 5)»i— 1 ) 2g— 5 /'(2g— l)n + 2 p— 1 \ &(gg— 3)» — l \ (2g — 3)n — 1 ) 2g — 3 (2g+i)»+2/)— (2g— l)n— 1 j 2g— 1 0 0 5n+2p— n — 1 1 (2g— 3 )n + 2p— 1 \ b( gg_ 7)« — l (2g — 7)n — 1 / 2g — 7 (2g — l)»-f 2g> — l\6(gg_ 5)„_i (2g— 5)n— 1 ) 2g— 5 / (2g+l)n+2y— 1\ 6(gg_ 3)»— l \ (2g— 3)n— 1 j 2g— 3 0 0 0 (2g — Z)n-\-2p — 1 \&„_i n— 1 ) 1 /(2g-i)»+2j>-m3„-i \ 3n — 1 ) 3 /(2g +!)>»+ 2p — 1 \&5. Zooais gezegd, om van (4') of (4”), of ook van (5') of (5'') gebruik te kunnen maken voor de werkelijke bereke- ning der Bernoulliaansche coefficienten, komt alles aan op de kennis der getallenwaarden van de in (1') optredende coefficienten b. Om deze te bepalen zou men bijv. als volgt in de eerste plaats formulen kunnen opmaken waardoor het product der sinussen van eenig aantal willekeimge bogen of hoeken wordt uitgedrukt in de sinussen of in de Cosi- nussen van de algebraische soinmen dezer bogen ; en daarna formulen waardoor de overeenkomstige sommen van deze laatste sinussen of Cosinussen aclitervolgens worden herleid tot die voor een kleiner aantal bogen. Stellende namelijk X , Xn x-> , x„ -Ä  lxk 2~ ~T e — e — j elZ -f- (-) e~*zj — je'(Z— xd -f- ( — ) ? e — i | _j_ L i(X—xx—i \ + (-)* dz~ ■ *t—xs)f — enz. waarin, de ^’-teekens betrekking hebbende op alle com- binatien van de n bogen x, genomen 1 aan 1, 2 aan 2, * n — 1 n — -1 n n enz., — - — aan — — of wel — aan — , de laatste terrn is, 2 2 2 »— 1 voor n oneven: -j- ( — ) a j el(z— *t— enz. — xn__^ _j_ +( — -)ne~l (z~ Xj—Xf— enz , rn_ i ) | , daarentegen voor n even: ( 94 ) - 1\^ -f ( — )2'2 W | e^J—xi~x2-eliZ-—xn)-\-( — )"ö-i(X— *,-x2— enz.-.rB) | ? met voorvoeging in dit laatste geval van den getallencoef- ficient - , omdat anders, terwijl in liet uitgewerkte pro- 2 duct eene zelfde magt van e sleckts eenmaal voorkomt, deze volledige term wegens — (X — — x2 — enz. — xn) = T • = -f (X — xn — xn — enz. — xn ) telkens zulk eene magt in ä+1 a+2 wezenlijkheid tweemaal zou bevatten. Voor n oneven heeft men dus, deelende door 2 i, 7 i 2 == sin X — sin (X — x{) -f~ sin (X — x1 — x2) — enz. -)- n— 1 y- + (— ) 2 W sin (X— a?!— #2— enz. — xn_{) , . . (8a) 2 en voor n even, deelende door 2, n ( — )ä 2n~ 1 = cos X — - cos (X — tfj) -f- cos (X — x1 — x2 ) — enz. -f- ” 1 V — cos (X x-^ x2 enz. > • ■ • (84) + (->* 3 omtrent welke beide formulen (die o. a. 00k voorkomen bij j. w. L. glaisher in The London etc. philosophical magazine , 5th Ser., Vol. 6, n°. 38, Nov. 1878, pag. 335 — 337) in bet voorbijgaan het volgende möge worden aangestipt : vooreerst dat zij door een oneven aantal der bogen x gelijk n te on- derstellen, wederkeerig in elkander overgaan ; ten tweede dat zij door alle bogen x te vervangen door hunne Supplemen- ten, de beide overeenkomstige voor n oneven en voor n even geldende formulen voor de cosinussen-producten opleve- ( 95 ) ren. die trouwens ook regtstreeks iiit de ontwikkeling van » » is-t PI j7 2 cos — \ = 1|1 ( e ~ — e j zouden voortvloeijen. of ook bijv. kimnen bewezen worden zooals bij a. desboves, Questions de trigonomitrie rectiligne. 2 1 Ed.. 1877. pag. 93 — 97, n°. 83 ; ten derde dat de vier gezamenlijke formalen, door daarin alle bogen x onderling gelijk te nemen. als bijzondere gevallen bevatten de bekende Ibminlen voor de ontwikkeling der magten van sinus en van Cosinus volgens de sinussen en de Cosinussen der veelvouden van den boog. (zie deze o. a. bij g. J. verdau. Summarium der goniometrie enz., 3e druk. 1858. pag. 41. form. 105 tot 110.) Wil men nu ieder der voor de sinussen-producten gevon- den fbrmulen (8«) en (8«) regtstreeks voor de ontwikkeling van het eerste lid van (1) gebruiken. dan dient men tbans de tot nog toe aldaar overbodige onderseheiding tusschen de gevallen van n oneven en n even te gaan maken. Is n on- even. dan kan men in bet genoemde eerste lid telkens als <-l k — 2k -f- 1 substituieren ^ co ' - en telkens als k — 2 k' is, y wk = —v «—3 j/ CO* = tü ” t . waardoor dat lid over- m — 1 gaat in cos V x . I I sin Ä-f-I v* n. e^ y/x sin ; «—1 n — 1 -1 r , Vx ITT. = ( — ) cos—^~ . _L _L sin _ „ — en bet dus crelukt is overal 2 i 2 den faetor a>* voor bet wortelteeken te brennen: dit maakt dat. als men voor dit geval in de formule (8 ) neemt j-j = u -j- i j en verder voor k = 2. 3. enz.. n. telkens i je, die formule niet alleen beboudens deeling uoor 2*~ ■ 1 reeds eene ontwikkeling voor het eerste lid van m (1 j geeft. maar eene ontwikkeling die wegens X = 1 = \ X ( ^ i 00* ~~ 1 l/ X U 1 CO» l S 2 ~ ~2 + 1 ■ — a» I X TT = o den ( 96 ) eenvoudigen vorm n — 1 n — 1 / „ a _ . \/x j k I . co^i/x V 2 i 2 = 1 iMT ' COS -f- cos {x-y -f- xz) enz. 4" + (-) n — l 2 cos (x-y -f x2 4" enz- -f- . . (8 'tt) aanneemt. Is n daarentegen even, dan kan men om tot het eerste lid van (1') te geräken, in de formule (84) wel weder Xy = n -f- [/ x en verder voor k — 2, 3, enz., n, telkens xk — (±)*— 1 j/w*— 1 x nemen, naar verkiezing overal met liet bovenste of overal met het onderste teeken, maar dan wordt X = £ 4* = + £ (±)‘- [/ X 1 [/ 0)k— 1 x 1 2 n 1 — [/ u>n \/ x tc ~ 2 + 1 =p j/to ‘ ~2~ ~~ 2 + 1 q= t/« afhankelijk van # zelf, en ofschoon men nu het tweede lid van (8*) wel zou können schrijven onder den vorm cos X -{- sin X. 1 — ’XI cos cos (^2 -f x2 ) — enz. 4~ + (— W«>s Oi + ar2 41 enz. + xH)j 4. | - Lsinx1+Lsin{x1+xz)-i.+ ! 1 r + (— )2-ö L* sin (*1 4- ip2 4- enz. + xH) A j en dus de berekening zou kunnen verrigten door middel van soortgelijke Cosinussen van sommen als zoo even en van over- eenkomstige sinussen, zou tocli niet alleen de toevoeging van deze sinussen, maar vooral 00k de zamengesteldkeid van cos X en van sin X in dit geval, die berekening in het algemeen vrij bewerkelijk maken. Van daar dat het verkieslijk schijnt zieh, wat het regtstreekscli gebruik der formulen (8) betreff, ( 97 ) tot het geval van n oneven te bepalen, en de coefficienten b in de ontwikkeling van het eerste lid van (1') daarentegen voor n even op andere, later te bespreken wijze af te leiden uit coefficienten voor n oneven. 