title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: lang - ^ p < C -j ls beide bovengrenzen in gelieeie 2 4 getallen zamenvallen in 2 q -f- 1 , zij daarentegen voor 3 Ti | 2 " = P ~n — 1 zijn 2^ -f- 2 en 2q -f 1, zoodat dan de 4 ^ V van (13) gelijk is aan die met bovengrens r Si2<y -j = 2q -|- 1 ~ > vermeerderd met den term voor r — 2q -f 2, dat is met (-? q / (2 <7 + l)n + 2p— 1 (4$ + 5)J . Dit waar noodig in acht ne- mende, is overigens liet voordeel dat altlians bij groote waarden van q het gebruik van (13) voor de berekening der coefficienten b oplevert hierin gelegen dat, terwijl (12) eene sommatie van 2q 1 of van 2 q -j- 2 termen zou vor- deren, deze sommatie volgens (13) door eene van slechts n - termen wordt vervangen. Ook zou men nog wel in het U algemeen in het tweede lid van (13) door middel van de zoo even herinnerde uitdrukking voor den cosinus van het (thans oneven) (2 p — l)-voud van een boog den factor (4 k + 1)7! cos (2p — 1) volgens de magten van 0 , en daar- O o o / 1 Z n h mede dit tweede lid zelf volgens de sommen van gelijkna- n 2 mige magten van alle — worteis 0, van (14) kunnen ont- ö o 9 Je \ J wikkelen; maar deze ontwikkeling, waardoor dit tweede lid, 2 1 behoudens voor p = 0 den vorm - 2 o , (2<7+l)" tc en voor ( 133 ) 2 1 \ £ /}(2?-f-l)w-|-2 p — 1 den vorm - / * 0 , overigens een meer za- v K " 0 mengestelden vorm zou aannemen, kan hier te meer achter- wege blijven omdat toch slechts de toepassingen op n — 4 en n = 6 beoogd worden en in deze beide gevallen andere geschikte kerleidingen regtstreeks mogelijk zullen blijken. Tot zoover dus voor een willekeurigen even perioden- aanwijzer n. Tbans meer in bet bijzonder terugkeerende tot bet in bebandeling zijnde geval van n — 4, als wanneer voor p — 0, 1, 2 en 3 de bovengrenzen in (12 voor n — 4) en in bet eerste lid van (13) steeds dezelfde zijn, heeft de sub- stitutie van deze laatste formule in de eerste tot uitkomst: b LiV= 0 tot2)+ 1 i(P= 3) - 2^+p-ti + ^ cos I (2 p — l)u\ 5(2p— 1)tt\ Sq+2p+S ^8 g-{-2p-{-3 waarin de Vierkanten van 60 — 2 cos en Oi — 2 cos = — [/2\\-\- de beide worteis zijn van 4 2 0—4,0 + 2 — 0,. t/2 (1 +«>* - j = t/(2 + l/2) — — |/ (2 — 1/2) cos . (14 voor = 4) terwijl in bet tweede lid de beide Cosinussen voor p — 0 tot Oo ... ^i. 0O . Oi 2 ’ waarde bebben — en — ; voor p = 1, ~ en voor öi ö0 „ öi O0 p — 2, — — en — ; voor p = 3, — - en — ; zoodat men, u £ U U deze waarden substituerende en lettende op O0 Ox =: — \/2, zou bebben ter onafhankelijke berekening van b de vier een- voudige formulen ( 134 ) 6' 8y+4 8?+3 b — 8?+7 + 6, 8?+4 249+2 ^8^4-6 8^4-5 ^®?+6 ^8<Z+6 24^4-4 1/2 ^8?4-9 e 2 4?+3_ 8?4-8 ^8?4-8 0 I 2^?i?4"5 y 2 Nog gemakkelijker evenwel dan deze formulen zullen voor de getallen-berekening de navolgende terugloopende bevon- den worden. Yoert men namelijk, ten einde daarbij met zoo klein mogelijke geheele gefallen te doen te hebben, naar- mate de aanwijzer even of oneven is de notatien °l + en ^*+1 = „4Ü4-2 . M 4-2 dQ + 6x 2<4-2 m> dan vindt men vooreerst, door (14 voor n — 4) na ver- menigvuldiging met of ook met Ö4^-2 afzonderlijk toe te passen op dQ en op 6^ beiden en telkens de som der beide uitkomsten te nemen, dat deze coefficienten jli onder- ling zamenbangen volgens de twee beurtelings te gebruiken terugloopende betrekkingen 2t— 1 U 2t— 2 en ^ '2*4-1 = 2^, — i“»_i .. . o° + e\ el + e\ die gevoegd bij /u0 = = 1 en ju1 = — — = 1 niet alleen leeren dat al deze coefficienten geheele gefallen zijn, maar ook in Staat stellen ze onmiddellijk uit elkander neder te schrijven, terwijl deze op hunne beurt weder de ver- langde coefficienten b bepalen door middel van de vier for- mulen 8 q -f-3 8? +7 ^4^4-2 2 2? 1 ^4^4-4 ^^4y4-3 22?+1 ^8?4-5 8y4"9 4 g 4-3 22? » ^4q+5 ^4j4-4 22?+l ( 135 ) waarvan de derde gevonden is door te letten op I ^8?+6 ^8?+6 1/2 = d]q^ (V-2)-öSj+6 2 — o;\ = = 0 38?+8 i 0 vierde. 1 _2f ^9+B + ö®,+6 en evenzoo voor de Wil men eindelijk nog terugloopende betrekkingen regt- streeks tusschen de coefficienten b zelve bebben, dan leidt men daartoe uit de voorgaande zonder moeite de vier vol- gende, evenwel van minder eenvoudigen vorm, af, namelijk : 2 ba „ — 89+7 2 4S?+5 ^9 + 3’ 2b = 8 9+9 «V» + ^89+5’ II t QO <N 10 V» — 3 b 8?+7’ 6 /+13 = 10 48,+ll + *8,+»’ of, wat de laatste betreft, ten einde te doen zien dat ook hier de getallencoefficient 6 in bet eerste lid tot slechts 2 is te lierleiden, zij bet ook dat dan de in bet tweede lid op- tredende coefficienten b niet meer de onmiddellijk aan b van het eerste lid voorafgaande blijven, 2b 89+ 13 = 17 b 89+9 — 5 b 8?+7 Wordt niet verlangd alle coefficienten b = ä _ „ , = ö s (2q+\)n+2p -1 = &8 +2^-|-3 *n geregelde volgorde uit elkander af te leiden, maar wil men ook deze coefficienten, evenals de Bernoul- liaansclie coefficienten zelve tot wier berekening zij moeten dienen, door periodieke terugloopende betrekkingen bepalen en wel volgens vier overeenkomstige door p — 0, 1, 2 en 3 aangeduide groepen, dan treden daarbij wel is waar grootere getallenfactoren op dan in de zoo even voor b ? ? en frg?+13 nedergescbreven formulen, maar beeft men daarentegen bet voordeel dat nu eene en dezelfde formule blijkt dienst te kunnen doen in plaats van de onderling verschil- ( 136 ) lende van zoo even. Met deze betrekking tusschen de coefiicienten b is overigens de algemeene betrekking pt — 34 tusschen de coefiicienten /u gelijkwaai’dig. Ten slotte de opmerking dat men deze coefiicienten /x , in plaats van ze hetzij volgens de evengenoemde betrekking of volgens de twee voor elke drie opvolgende pt boven rnede- gedeelde betrekkingen uit elkander te berekenen, nog wel zoo eenvoudig kan vinden door op grond van de twee laatstbe- doelde betrekkingen zelve als nieuwe coefiicienten in te voeren hetzij het stelsel VU-\- 'S “ 2S 1- 1= 2^2/-l - S*-2 = “Ö ^+1 of liever nog het stelsel ( 137 ) v2 t = f* 2t+\ fi*. 2 1 f*2t ~ f***-* = 2t — 1 <-<V 2 4? 2 41 welke stelsels dan ieder voor zieh wegen s ( 0 -j- 2)" = 16$ of 0* — 12 6* 4 — 4 0* 8 gemakkelijk te berekenen zijn volgens de zoowel voor oneven als voor even t meldende te- O O rugloopende betrekking v t 6 v t- 2 V t— 4 in verband met de aanvangstermen (v1 = 1 , v3 = 7) of (r0 = 0 , 7/;j = 2) . Is dus eenmaal tu0 = 1 bekend, dan volgen bieruit, zonder bet stelsel v , noodicr te bebben, alle verdere fx dadelijk door iederen term van bet stelsel v tweemaal aebtereen als verscbil van twee opvolgende /x te gebruiken. Of wil men tbans, zonder tussebenkomst van de coefficienten /u , onmiddellijk tot de coefficienten b zelve be- sluiten, dan beeft men daartoe b ' 0 — 8?+3 2v — v 4^+2 4j-i-l 22q b ~ t'q+5 V — V 4j-4-4 4^+3 22? v V+7 2'?+1 ’ 6 8?-5-9 V Tusscben drie opvolgende coefficienten ti van oneven rang- orde, en evenzoo voor even rangorde, bestaat overigens de- zelfde betrekking als voor de coefficienten j/, namelijk (x = = 6 fx 9 — /u{ 4 ; en ook deze zon dus kunnen dienen ter berekening van de opvolgende /ui)f 1 , waartusseben dan /u telkens als gemiddelde is in te vullen. In bet geval van n — 5 of co5 — 1 = 0 , waarvoor de waarden p = 0, 1, 2, 3 en 4 in aanmerking körnen, geeft de algemeene vergelijking (1') ( 138 ) 2 Ir 00 £ (-)’ ^10?+4 5?+2 ^10? 4-6 5?+3 _ ' (10*24-4)! (10g + 6)! __ ^10?+8 r5^+4_ ^10g+l0 /?+5_ ^ 1 Oy -4-12 ^5? + 6 (10^4-8)! (10^4-10)! (10gfl2)! 4 4 i/ ® TiT. [/ (OkX \/ X I k I. (Ok\/x — cos 1 1 sm = cos — - 1 1 sm , 2 i 2 2 i 2 waarin namelijk het laatste lid kon worden bijgeschreven op grond van de boven, onmiddellrjk voor de formule (8«), voor lief geval van willekeurige oneven n gemaakte opmerking ; en levert dan (4") de vijf volgende terugloopende betrekkingen op : « lOr 10? 4- 7 /io? + 5 ¥<->■ ?<-> £<- 1 ^10 ? — 10r+4 10r — 1 10g + 5 10?4-4 IO 4_ 2/ l0?-10r+4 10r+l b.. = I <*±1. , 5 10?+ 6 1 0g 4- 9 10r 4-4/ ”10? — lOr+4 10r+3 / 10<24-H \ _ 10g 4 9 " " 5 ^10?+8 ’ 0 1 E l <-) lOr 4- 6 I 10g4~13\ lOg-j-H ) l(ty — l0r-|-4 10r-{-5 5 ^ IO9— 1-10 ’ B _ 10g + 13 , I O10?— lOr+4 10/-+7 5 ° 10?+ 12 ’ k10r 4- 8 waarvan de eerste volgens (4"0) 00k te vervangen is door « ? _ i/10*/4-b\ f ^(— )r 1/107 + 5\6 b 2? 1 V \ 10 r 10?— 10/+4 10/- 1 ' 10?+4 Wat nu de berekening van de hierin voorkomende getal- len-coefficienten b betreft, daartoe kan men de zoo even lier- innerde, voor oneven n geldende, formule (8'«) , dat is tlians 24 cos i/*T*T. •. bat Sir, -f- — { L* COS (Ok [/ X 4 \ 0 — ( ’L* sin (ak [/ x\ — — cos 2 co* [/ x — 4 \ 0 =5 + r (i + i S i (p~0,2’4)+ 2 Lv ' ' 2! 0 v ' ( 0 | (^=1,3) - 4 0 )l + 210?+2i>+4 5,+A+i ■ £C -5r---+E-'(-rlE''p=0'2'1)+ L2 2! 0 v ’ (0 [ (p=i;c ) (10</+2jo+4)! 5q — 5 r+^+2 ]- 1,3)— J ( 1 0^ — 1 0?*-(-2jo-}-4) +s[2r'(-r'jES(^0A f 0 fn=l.S —0,2,4)— X 10i) — 10r+2/) — 1 2 (0=1,3) -t-j (IO9— lOr* -J- 2jo— 1)! 10r+5 „ (10r)! lOr+5 2 X (10r + 5)! ] + ?!£<-) 5o i2^(-)r * + 4| o^(10r)! 4 f ~Tw(10r + 5)!) 4 4b-E(-/ 2 107+10 5?+5 (10«+10)! ( 140 ) waarin de algemeene term in den eersten factor van den vierden term van het laatste lid onder den eenigzins onge- O O 10g— \0r + 2p — 1 X 2 wonen vorm geschreven is alleen met (10 y— 10r + 2p— 1)! ö het doel om, evenals bij den derden term van dat lid het geval is, hij vermenigvuldiging met den tweeden factor juist den in het eerste lid voorkomenden algemeenen term in x q+p ' ~ te voorscliijn te doen körnen; zijnde in verband hier- mede nog op te merken dat in den eerstgenoemden algemee- nen term de allereerste substitutie (q — r — 0, p = 0), waar- _l X 2 door die term zou worden , niet mag worden toegelaten (_!)!’ ö ° en de substitutie dus hier bij uitzondering eerst mag begin- nen met ( q — r — 0, p — 1). Werkt men nu het laatste lid verder uit, dan vindt men gemakkelijk, vooreerst dat daatin werkelijk, zooals het eerste lid laat verwachten, zoowel de term zonder x als de term in x zelf körnen te ontbreken; ten tweede dat, voor een oogenblik den bij p — 3 behoo- renden term in xhq+° , die op andere wijze dan alle overigen is zamengesteld, daarlatende, daarentegen voor p — 0, 1, 2 en 4 komt door gelijkstelling der coefficienten van den algemeenen # 2. = ö Z— - ) — 5 is, na herleidmg o\ 10 r) i = - 1 f 6 + 2'0’-10 - 5 E ( 10 ’ + 10 '] ! . .. 109+10 4( o\ 5 r I) (154) En hiermede zijn dus de bij de vijf verschallende waarden van p behoorende coefficienten 6 gevonden. Evenwel, om de- zelfde reden als boven voor het geval van n — 4 zullen wij het ook thans niet bij de gevonden vormen laten, maar we- der in denzelfden geest eene goniometrische herleiding uit- voeren. Daarbij althans aanvankelijk de zaak wederom voor een willekeurigen, mits nu oneven, perioden-aanwijzer n opvat- tende en als vroeger de notatie s — (2 q -f- 1) n -f- 2 p — 1 aan- nemende, is het thans dienstig van de identiteit £(1+®*) = =2^{l+e n j uit te gaan. Hierin laat zieh het eerste lid 2/c-i, achtervolgens herleiden tot: ( 142 ) zijnde namelijk de laatste waarde gevonden doordien wegens 0)"' — 1 de breuk nt n wordt. Het tweede lid der identiteit ^ ~t voor iedere waarde van t gelijk nul is, belialve alleen voor t — rn , als wanneer die breuk of « — T n — 1 £ = 2* \h = 0 0 neemt, indien men den voor k — 0 körnenden eersten term 2^ vooropstelt en verder telkens ieder paar bij k en n — k %(n — k)7ti behoorende termen bijeenvoegt, daarbij lettende op e n — 2 Jc7ri =e n , den vorm : n — 1 2 2" + ^ Elfi 2 k % -he K I +\l+e _2 k7ri\ | + U n — 1 2 £ k s 7T i k s 7r i\ I k 7r i k tt i\s [e~ + e~ ) = = 2* + n — 1 2 “ £ ksn\ / kn\5 2 cos — j I 2 cos — aan. Voert men nu weder de n j \ n j waarde van s voluit in en neemt men in aanmerking dat daardoor \ k U2p—\)n =(— ) .2 cos— — ksn , k(2p—\)n 2 cos %=.2cos\k(2q {— 1 ) /v -f- n n wordt, dan is alzoo bewezen dat voor oneven n steeds <2?+l+fci — n n l(2 ? + v>n + 2P— !\ _ 4>(2? + D* + 2/>-i o \ n — 1 = 2 + ■+■ — ) ( 2 cos i \ k(2p — l)7r\ / 2 cos — n .(16) is, en dan ziet men reeds in, door liet verscliil tusscken bet eerste lid en den eersten term van bet tweede lid te verge- lijken met de tweede leden der evengevonden formulen (15a) ( 143 ) en (15/;), dat indien men, (hetgeen evenwel voor oneven n 5 niet meer het geval is), steeds met fornmlen van geen an- deren dan dezen zelfden voiun te maken had, op deze wijze de mogelijkheid zou bestaan om de coefficienten b, volgens die formulen bestaande uit een met ^ en p steeds toenemend aantal termen, te berekenen als algebraische sommen van niet meer dan 1 + n — 1 n -j* 1 termen. Alvorens nu voor 2 2 n — 5 werkelijk tot deze berekening over te gaan, eerst nog eene aanwijzing hoe de k' daarbij voorkomende goniome- trische factoren 2 cos — in het algemeen te bepalen. Die bepaling schijnt het meest geschikt te kunnen plaats hebben n — 1 ~2 door ze terug te brengen tot die van de Ö O door 6, — 2 cos k (2 k + 1)ti voor te stellen dubbele Cosinussen van de beneden n blijvende 7r n — 3 oneven veelvouden van den boog - voor k = 0, 1, 2, enz., , n 2 en wel bij voorkeur oneven veelvouden ten einde, — hetgeen bij aanname van even veelvouden niet het geval zou zijn — voor de straks in te voeren coefficienten /u geene andere dan positieve waarden te verkrijgen. En werkelijk is het niet moeijelijk de 1 V 2 I magtsvergelijking neder te schrijven die al deze 0 ^ tot worteis heeft: daartoe is de opmerking voldoende dat uit K + l (2 ^ + 1) 71 71 1 (2 &+ 1) 7T + 2 ‘ n n — 1 (2£+1)ti n fl (2/t+- l)7r # , = {2ik-}- l)7i volgt sin. -—sin. =0, 2 n 2 n zoodat men door de bekende uitdrukking voor den sinus van het veelvoud van een boog als product van den sinus van den boog zelf en van eene functie der magten van zijn Cosi- nus (zie ook de Aanteekening aan het slot) toe te passen ( 144 ) ’inlof— 4 4 I 1 \ In — 1' op het [ — — )-voud en op het ( — - — -voud, dadelijk voor die vergelijking lieeft 3 &Qfn — 3 (17) zijnde hierin de ongelijke eerste of de gelijke tweede bovengren- n + 1 zen te nemen naarmate oneven of even is. In het voor- (2ifc+l)7i bijgaan zij nog opgemerkt dat wegens dk — 2 cos (n — 2 (n — 21c — \)ni n , n 2 + e = — 2 cos (w — 24 — 1)tt n — 2k —1 73-+-2A-H 2 2 iw + m “ j deze vergelijking behoudens om- keerinff der teekens van alle worteis "eene andere is dan die men op de bekende wijze door 0 = a> + — te stellen zou verkrij- co gen als de herleide van de wederkeerige vergelijking co« — 1 0) — 1 =E ,1—1 ix)1 = 0 ; terwijl bovendien na diezelfde omkeering der teekens het met den eersten-magtsfactor ö — 2 vermenigvul- digde vierkant der vergelijking zou blijken naar behooren geene andere te zijn dan de +e magtsvergelijking in 0 die men, — indien het niet zaak geweest was de hier mogelijke verlaging tot den 1 \ ea graad dadelijk te bewerkstelli- 0, gen, — uit cos [ n Boog cos — — cos (n — 24 — 1)ti = 1 had kunnen opschrijven in denzelfden tränt als (14) liierbo- n — 1 ven. En wat nu betreff de wijze waarop de te bepa ( 145 ) kn n — 1 len waarden van 2 cos — af hangen van de worteis van n ° 2 (16), heeft men dadelijk: k — 1 \ ,. 2. 2 ■n voor even k: 2 cos — = — 2 cos n n — k — 1 2. + 1 TT — 0 n — k — 1 ' Na deze meer algemeene bescliouwingen voor willekeurige oneven n tlians terugkeerende tot bet in bebandeling zijnde geval n — 5 , verkrijgt men door van (16) voor dat geval gebruik te maken ter goniometriscbe vervorming van (15a) en (15^), daarbrj lettende dat voor & = 1 en voor k = 2 n 2 n volgens het even gevondene 2 cos — = #0 en 2 cos— - — — Ql o 5 is, de beide formulen: roor p = 0, 1, 2 en 4: 6 10 g +2jo-(- 4 (P = ( P = »• > > + j { 1 + O. _ 1 ja o/?10?+10 oz.lOy+101 m voor p = 3. blQq+lQ ~ “ 4 \ |6“2 6o ~ 20 \ j waarm tf0=2cos^ = l/2 jl + cosyU 1/^2 + koorde^ j =[/^2 + — j — en 3 TT 2?r 1 — 1/5 Oi =z 2 cos —— — — koorde — = 1 5 10 2 de beide worteis zijn van Oz — 6 — 1 = 0, (17 voor n — 5) VEBSL. EN MEDED. AID. NAXUUBK. 2de BEBES. PEEL XVI, 10 ( 146 ) terwijl in het tweede lid van de eerste dezer formulen de beide dubbele Cosinussen voor p = 0 tot waarde hebben en — 01; voor p — 1, dQ en — 0X\ voor p — 2, Ox en — voor p = 4, 0X en — ö0; zoodat men, lettende op 0Q 0X — — 1 en invoerende de notatie /*. = < + °\ en herstellende de doorgaande volgorde van p — 0 tot p— r 4, vindt ter berekening van de coefficienten b de vijf formulen: ^10<7+4 1 ^109 4-5 ’ 6l0?-|-8 — — 1 + ^10?+7 ’ Ä10*+12= ~ ' 1 + ^10?+ir ^10<7 f 6 — 1 + ^109+7 ’ h _ ~ 3 + 'V+io 10y+10 o Die berekening vindt echter, gemakkelijker dan door regt- streeksche bepaling van iederen coefficient fx op zieh zelf, plaats door middel van de zeer eenvoudige uit (17 voor n ■=. Was het, zonder tevens de coefficienten 6 volgens de for- ( 147 ) mulen (15a) en (15a) als sommen van binomiaal-coefficienten uitgedrnkt te willen vinden, alleen om de vijf thans verkre- gen eindformulen voox’ deze b te doen geweest, dan bad de bewerking, zonder de algemeene berleidingsformulen (9a) en (9a) noodig te hebben, eenigzins kunnen worden bekort door van den beginne af de notatien: 47 Tz n 47i ir — = — 2 cos ~ — 2 cos e -j- e 5 5 W3-}-W4 ft)4 -f- 1 1 4- CO 4?ri ”ir z=0)2-\-0)3 — CO-\- CO2 CO co~ CO 0 w1 3 71 en — 01=: — 2 cos—— ■ 2 71 2 cos —— — e O 2iri T 2i ri 'TT CO1 -f 1 CO3 + CO -f- e ~ = co -\- co* = -r <02 1 + 6)3 6) 61° 6^ als de beide negatief genomen worteis van O2 — 0 — 1 = 0 in te voeren, die dus de gelegenheid geven om ieder der bij toepassing van (8'«) voorkomende tien sommen twee aan twee van de worteis 1, co, co2, co 3, «4 van co5 — 1 = 0 een- voudig als produeten van deze — en — 6l met die wor- tels zelve uit te drukken. Het scbijnt intusscben minder noo- dig de berekening längs dezen weg in bij zonder heden te dezer plaatse nog eens te berbalen. Het eenvoudige verband 6109+8 = b10q+6 — 2 springt hier in liet 00g; maar overigens schijnen de verscbillende coeffi- cienten b onderling geene eenvoudige betrekkingen te ver- toonen. Wel is waar zou men 00k liier, in denzelfden geest als boven voor n — 4, nog wel uit 62 — 6 — 1 = 0 de ver- gelijking O20 — 123 010 -{-1 = 0 kunnen afleiden die en ^j0 tot worteis heeft, en daaruit eerst de periodieke terugloo- pende betrekking jus = 123/z#_10 — f^s—z 0 en vervolgens de overeenkomstige tusschen ls, &Ä_10, bs _20 kunnen opmaken : maar dadelijk blijkt dan dat deze laatste altbans in zooverre meer zamengesteld is dan de overeenkomstige voor n = 4 gevondene, dat zij, in tegenstelling met de däär geldende een- 10* ( 148 ) vormigheid, drie verschillende vormen aanneemt al naarmate men ze voor coefficienten van den vorm £10l?+4 °f ^io?+g- dan wel 610?+8 °f ^10 ?+18’ 4an wel blQg+lQ, noodig lieeft, Voor n = 6 of m6 — 1 = 0, waarbij dus p = 0, 1, 2, 3, 4 en 5 te gebruiken, geeft de algemeene vergelijking (!'): cos^l .FI«fak^=2(iVli(-),i+ -2*2-***' - 2 i 2 [2] °K ’ |^(12 <7+5)! 12g-4-7 '12y-i-7 x 2 (12*7+7)! 6, 'l2?+9 12q+9 (12*7+9)! 12£-H1 x 2 (12*7+11)! 12?+13 , 12?+15, qgyH-13 2 _ 612?+15 2 j (12*7 + 13)! (127+15)! (’ terwijl in (4") de zes volgende terugloopende betrekkingen bevat zijn: b{2q— !2r+5 -Sl2r-1 b\2q— 12>+5 -Bl2r + 1 b\2<i— 12r-f5 -öl2/-)-3 b\2q — 1 2/“— 5 -7>12r+5 I>l29—l2r+ä Bl2r+1 b\2q-\2r+h 7?12h_9 12? + 67 7. Oi29+5 , 127 + 8 , « 0129-J-7 , 127+10 ~n 5l29+9 , 127+12, 012J+11, 127+14, <>l2q + 12. 12*7+16, P 5j2^+15> ( 149 ) waarvan weder de eerste volgens (4"0) ook te schrijven is on- der den vorm: ¥ y; r_i/i2 9-f6\ ^(— ) ir, ) b\2q— l2r+5 -Dl2r-1 = 2/ &129+5. i \ 1 Ir / Evenals voor n — 4 kunnen nu ook weder de hierin voor- komende coefficienten b gevonden worden door de algemeene verdubbelingsformule (12), waarin men slecbts op grond van hetgeen bij n — 3 gebleken is te substitueren beeft b'^ = 1 en 5' „ „ ^ = b' , „ om te verkriigen 12,/— 6>-+2pJ-2 2/7+2 Jo = j(p=0tot8)+|ßÄf 129+2/) +5 zijnde hierin verder voor/» r= 0, 1, 3 en 4 te nemen b' 12? -f2P“ l"5\ ,19 ß. -j6i,2f+2V<-> ( ,6r+S j. ■ • (12voorn = 6) = 1, 2/7+2 daarentegen voor » = 2 en 5, b' _ — — En wat vervol- ° 7 2/7+2 2 gens de goniometrische herleiding van deze uitdrukking be- treft, daartoe geeft de algemeene formule (13) toegepast op n — 6 : <2 q+J P+ 1 +<->'TÄ++(-^K“"-+ -f cos 5(2/» — 1 )n \ \ 2g -f-2/0+5 12 -j- f cos 9(2 p l)77^ 129+2/7+5 12 00=2cos-=[/2 1 + cos- =/(2 -j-i/3) waarin namelijk de Vierkanten van 12 1/2 + (/6 5tt [ 5jt\ — 1/2 4-i/6 Ö1=2cos-=l/-2 ( 1 +cos- ) =j/ (2 — j/3)= — 4^— — 12 9 TT en02=2cos-— = — l/2 2 ( 150 ) de drie worteis zijn van Oa—6 0* + 9tf2 — 2 = 0 | of (0*— 4 0 2 -f- l)(Oz— 2)= 0,| terwijl overigens de in de drie termen van het tweede lid als factoren voorkomende Cosinussen tot waarde hebben : (14 voor n — 6) voor p — 0: Op 2 ’ 01 2 ' O 2 voor p — 3 : Op 2 ’ Op 2 ’ 0<i \ 2?1 voorp = 1: Op 2 ’ 01 2 ’ 0<i [ 27 voorp = 4: 01 2 ’ 0_p 2 ’ O. *■ voorp = 2: Op 2 ’ Op 2 ’ Op) 2 7 voorp — 5: o% 2 ’ Op 2 ’ f- Deze waarden in dat tweede lid substituerende en in aclit ne- p_ |_ i mende dat voor p = 0, 1, 3 en 4 de bovengrens r^2q-{- in het eerste lid in geheele getallen telkens zamenvalt met de bovengrens in het tweede lid van (12 voor n = 6), ö dat daarentegen voor p — 2 die grenzen zijn 2 q -j- 1 en 2 q, voor p — 5 evenzoo 2 q 2 en 2q maar dat in verband daarmede het bedoelde eerste lid is te schrijven voor p — 2 2 <1 A A ojT''/ \9— + 9 1/ 1\9 + l| c onder den vorm 3 { ß , _ +(— 1) envoorp=5 l u \ br + d 2}+l (Y? o— r 12j + 15, ■> onder den vorm 3 „ +(— 1) , zoo vindt men (o \6 r + öj j achtervolgens voor p := 0, 1, 2, 3, 4 en 5 deze zes formu- len ter onafhankelijke berekening van de coefficienten b , namelijk : l2q+5 I2q+1 = ä^+6 + äl*q+* + 6 ^ , = + ö]2?+8 + <?’8?+8 , *12?+9 - C+d 9z + e\ 2 12q+9 Ot - öf,+1“ + 6 (-1)’ 2 7 ( 151 ) ^129+13 12<7+1o jjl^+H ~ i z+^y+ll ,g .«127+12 — 0 1 ^ u0 "2 = ö*2,+1* öL + tf|ä,"‘3 60 — tff,+u , _ e 8,+,ä ö, + ö'!,M5 e - «9V2,+,e + 6(-i)? 0 2 1 ] 2 2 i \ / — _ • Evenwel, niet alleen zijn door te letten op Ö() 0 , ~ \ deze waarden van & ^ en b } lg te vereenvoudigen ; maar vooral ook zijn, door in de eerste en tweede termen van b , „ en .na substitutie van 6 — — 6 + 6 de 127+9 127+15 2 0 1 1 producten uit te werken, door in te voeren de notatie < + < + < (waarbij de noemer 6, die zooals dadelijk zal blijken steeds, bebalve alleen voor t — 0, deelbaar is in den teller. Men zou nog wel, lettende dat de voor O0 en Oy gevon- den waarden aan elkander toegevoegd zijn en dat die voor Ocy meer op zieh zelve Staat, in de formulen voor b overal de termen in 0%— — j/ 2 afzonderlijk en daarentegen die in O0 en in 6y met elkander Verbünden kunnen kouden, hetgeen dus zou nederkomen op liet gebruik van den twee- den of gesplitsten vorm van (14 voor n = 6), en bij ver- vanging van de zoo even gebezigde coefficienten /u door an- dere, die op dezelfde wijze afhangen alleen van de beide 2 2 worteis 6 Q en 6 “ van ö4 — 4 <92 1 = 0, eene meer een- voudige terugloopende betrekking tusseken deze nieuwe coeffi- cienten zou opleveren; maar eensdeels sebijnt bet' regelma- tiger de drie worteis te zamen in te voeren, en ten andere zou op deze nieuwe wijze de deelbaarheid van alle coefficien- ten b door 6 niet zoo gemakkelijk blijken. Die deelbaarheid overigens, in verband met de reeds in den aanvang gemaakte opmerking dat bij de werkelijke berekening van de Bernoul- liaansche coefficienten zelve de coefficienten b alleen door hunne onderlinge verhoudingen van invloed zijn, geeft nog gereede aanleiding om voor dit doel de voor - gevonden waarden in de plaats van die van b zelve te stellen. Tegenover bladz. 153. n — i 2 3 4 5 6 A o =J 1 >'o = 0 ffo — 2 1 Ao =2 * o 1 2 1 2 ffi = 1 *0 *1 Al — 1 **1 —— 1 ffs — 3 Ai = 1 *1 h 1 2ö" 1 22 1 A3 = 4 *2 h 1 25 A2 = 3 Vs — 2 3 A4 = 7 f 2 = 3 *3 h 1 A« = 11 12 h K 1 23 A3 = 5 »'s = 7 5 f< o = 18 As = 10 6 X 10 *3 h 1 2? 1 2 «7 = 29 30 *0 bj 1 w 1 w //I =17 n = 12 7 2 As = 47 //* — 35 6 X 35 h ^8 1 26 1 As = 76 28 ^8 1 2U As =29 n =. enz. enz. ( 153 ) Zooais gezegd zal na de verrigte uitvoerige berekeningen voor de ffevallen n — 1 tot en met 6 niet met de overeen- komstige berekening voor boogere waarden van den perioden- aanwijzer n worden voortgegaan. Wanneer men intusschen de gevonden uitkomsten overziet en bepaaldelijk let op de wijze waarop voor n — 4. n = 5, n — 6 de getallen waarden der worteis 0 , waarin de coefficienten b zijn uitgedrukt, af- bangen van |/2, j/5, [/3, dan rijst de vraag of ook niet voor grootere waarden van n die coefficienten min of meer eenvoudig in de bij de overeenkomstige cirkelverdeeling op- tredende wortelvormen zouden zijn uit te drukken; of bijv., om een bepaald geval te noemen, de oplossing van gauss voor den regelmatigen zeventienhoek niet misschien aanlei- dino- zou knnnen neven dat ook tusscben de Bernoulliaan- O O scbe coefficienten, wanneer men ze bij perioden van n = 17 indeelt, een betrekkelijk eenvoudig verband te vinden is. Enkele pogingen om eene dergelijke vraag nader te onder- zoeken hebben mij evenwel tot geene uitkomst geleid. Ten slotte möge hier een tabellarisch overzigt volgen van de bij n — 1 tot en met 6 behoorende getallenwaarden van eenige der eerste coefficienten />, voor n — 4, n = 5, n = 6 voorafgegaan door die van de coefficienten fji , en voor n — 4 nog bovendien door de coefficienten v , waarin zij boven wer- den uitgedrukt, zooals een en ander zeer gemakkelijk ge- vonden wordt uit de medegedeelde terugloopende of onaf- kankelijke formulen, en waarbij dus deze waarden van b dienst zouden kunnen doen voor de groepsgewijze berekening der Bernoulliaanscke coefficienten. Omtrent die tabel valt nog op te merken dat blijkens de evenbedoelde formulen niet iedere b berekend wordt uit de juist daarneven staande fx of v , maar soms uit een wat hooger geplaatste fx of v , soms uit twee verscbillende fx of v. Evenals in bet voorgaande voor de Bernoulliaansche coeffi- cienten gescbied is, kan men ook voor andere daarmede ver- wante coefficienten de in den aanvang uiteengezette algemeene ( 154 ) metliode voor het vinden van periodieke terugloopende be- trekkingen toepassen, en wel bepaaldelpk voor de zoogenaamde tangenten-, cosecanten- en secanten-coefficienten. Wij zullen daaromtrent minder uitvoerig zipr en, zonder ons te bin- den aan eene streng doorgevoerde toepassing der algemeene methode, slecbts enkele betrekkingen van dien aard bij wijze van voorbeelden ontwikkelen. Met herlialing van de boven voor de Bernoulliaansche coefficienten gebezigde formule zul- len als uitgangsformulen voor de berekening genomen wor- O O O ö den de volgende vier in vorm vrij naauw overeenstemmende : 1 x \7 B'a-\ 27-1 cot - = jU * ~-q - ■ * 2 2 0 (2^)! 00 £ck=i/''-' ° (2?)! cosec x x t92 = sec x ^ T^~l x~q~l 0 (2 g)! ° (2g)! waarbij, in denzelfden zin als de in de ontwikkeling niet 1 x van cot x zelf . maar van — - cot voorkomende Bernoulli- 2 2 aanscbe coefficienten B zouden kunnen genoemd worden her- leide of verkleinde cotangenten-coefficienten, zoo 00k de coeffi- cienten T, ter onderscheiding van de grootere in tg x zelf voorkomende tangenten-coefficienten, zijn aan te duiden als herleide of verkleinde tangenten-coefficienten, terwijl C de cosecanten- en E de secanten- of zoogenaamde Euleriaansclie coefficienten voorstellen. Gelet op de reeds boven aan het slot van het geval n— 1 \ X. opgemaakte waarden van tg - en cosec x blijken dan deze u nieuwe coefficienten T en C met de Bernoulliaansche zainen te hangen volgens de eenvoudige formulen Vi=2(S',-1)Vt en dus 00k T^_x = 2 + C2q-J' (die °- a‘ v001’ 9 “ 0 en wegens 2? =— 1 geven T_1 = 0 en C__{ = 1, zoodat X in de formule voor tg- alleen voor de gelrjkvormigheid de 2 ( 155 ) benedengrens q = 0 in plaats van q = 1 is aangekouden) ; en iedere tusschen de coefficienten van eene dezer drie soor- ten te vinden betrekking is dus tevens door middel van deze substitutien te beschouwen als eene betrekking tusschen de coefficienten van ieder der beide andere soorten. Daarentegen staan, zooals bekend is, de Euleriaansche coefficienten E meer op zieh zelve en kunnen zij althans niet dan door formulen van meer zamengestelden, en wel van terugloo- penden aard in de Bemoulliaansche worden uitgedrukt, of omgekeerd. Herinnerd möge nog worden, — en daardoor wordt er tevens gedeeltelijk rekenschap van gegeven waarom juist de vorenstaande coefficienten werden gekozen — dat zoowel 2' als E geheele oneven getallen zijn (zie deze reeds opgegeven in l. euler’s Differenzial- Rechnung, übersetzt von J. a. c. michelsen, 2er Tlieil, 1790, pag. 213 — 214 en 257 — 262); de coefficienten C daarentegen zijn, evenals B, breuken. Dit een en ander vooropgesteld zijnde, beginnen wij thans met de coefficienten T. Vooreerst geeft dan de identiteit 1 1 cos x. —tq x — - sin x of 2 y 2 j y^-r (—)q~r xlq~2r I ) £ 22,~2 T*r-\ 2r-l ( — I y«, (_)?- 1 •r2r/~1 | 0 v ’ (2q~ 2r)!j| T. (2r)! j 2 i v ’ {2q—\)\ de terugloopende betrekking £(~rHS22,~2r2'-'=?; (18) de identiteit ( 1 4“ cos x) • tff 2 = s^n x °l i 2 + (— )?~r x~q ^ 1 | ^-i x2r~l j + i j (2q— 2r)!j | i {2r)\ ' — Z^(— )?-1 ' (2 ?~1)! de betrekking ?— l ¥ <->' 1 ßj r2,-, + (->" 1 2 Vi = 2?- • • ■ <igs) ( 15G ) en de identiteit sin x. tq - — 1 — cos x of U 2 00 ;5r <-) q—r x 2 q — 2r 1 £ 2r — 1 2r— 1 (2 (7 — 2 r 1) ! ) I > (2r)! au £ = ^{-} (2i)! de betrekking g 5(-r' (2?2t1)r*-i=2«+i <i8**> En hiervan leert (18*), indien men, lettende op 2 q U- 2 r 2q = \ 2 ]’ ^en eersten term ingeval van q oneven onder den vorm q-± 2 r_i I2q\ Z_- ( — ) (?', , — T a , ), en ingeval van q even, \2rl V 2r— 1 iq—2r—v' ° 7 [ 2<?\ _{2q)\_2q(2q—l)\_j2q—\ 9 , i 2q\ ( 2g)! v_t lettende bovendien op = =— = 2 U/ 9l?I 9 i-l 2 onder den vorm £ (-)” 1 (^) (V-i + + + (-) -2 „/2?— 1 T 1 schryft, dat, als alle voorgaande coefficienten T gebeele oneven getallen zrjn, alsdan ook [ althans een gebeel getal is ; terwijl het oneven zijn van dien coefficient ] dan kan blijken doordien in (18**) vermin- j-l derd met (18*), dat is in ^(— )r T| ? ) T -f- 1 yzr — 1/ Zr~ 1 ( )9_ 1 (2<? — 1) = 1, iedere binomiaal-coefficient ^ ^ : 2q(2q — 1). 2 (q — 1)(2 q — 3). 2(<? — 2). (2<? — 2 r-f-3). Maar teil andere verkrijgt men, evenzeer op het voetspoor van liet boven voor de Bernoulliaanscbe coeflicienten verrigte, uit de identiteit x d\xtg~ X X X (1 + cosx) . —L— = 2 cos 2 jtg— 1 = sin x x clx 2 2 x \ W2 j t ' ) (2}-2r)l| |^(2r-l)! j ~ ■ ' (2?-l)! de betrekking (mits q~y> % zij) «-i £<_)-* (»»-1 i ^ ' \2r— 1 -i + (-)f 2 Vi = 1 en uit de identiteit (1 + COS 3?) X dtg - 2 „ , * 1 — - — = 2 cos2 - . — 1 dx 2 „ x 2 cos 2 - 2 of + =i (2j— 2r)!| (2 r)l de betrekking (voor q 2) «-i i 5 (-rba,-!) (*«) + (-r* 8(a«-i) Vi = ( 158 ) welke beide laatste betrekkingen trouwens ook zouden geko- men zijn door, na in (18**) q te liebben vergangen door q — 1, deze ketzij op zieh zelve af te trekken van (18*), dan wel vermenigvuldigd met 2 q af te trekken van (2 q — 1) maal de laatstgenoemde. Nog möge, zonder het verder uit te wer- ken, worden aangestipt dat in plaats van eene enkele af- trekking eene kerkaalde aftrekking van dezelfde betrekkingen (18*) en (18**), na daarm voor q achtervolgens te hebben geschi’even q — 1, q — 2, k — 1 enz., ?— -y of q , ook hier 1 2 weder tot zoogenaamde afgebroken terugloopende betrekkin- gen tusschen de coefficienten T zou voeren, overeenkomstig met de boven voor de Bernoulliaansche coefl&cienten uit de analoge betrekkingen (4*) en (4**) afgeleide. Eindelijk worde nog in het voorbijgaan de uit sin 2 x 2 1 -h cos 2 x 2 -f- cos x af te leiden betrekking 5*-)’'”1 (2i2t ') ?2r-l = (2? + 1)(22?"‘-1) vermeld. Gaan wij thans tot de eigenlijke periodieke terugloopende betrekkingen over. Voor de periode n = 2 kan men uitgaan van de identiteit (x ix\ x x ix cos — cos — \tq — — sin — cos — , 2 2 ; 2 2 2 dat is, omdat x ix 11 (1 -f- i) x (1 — i) x) cos - cos — = - I cos — — 4- cos — > = 2 2 2 | 2 ' 2 ) _ 1V/_/ (1 + + d — 03f 2r 1 f? r (2 +(-2 »y 2o ^ 2'r . (2 r) ! ■' 2 ’o" 2‘Zr.(2r)\ -- 1 T7 2(2 i^==t( ,)y “ 2 o 2^.(47)! ' o v ’ 22?.(4y)! ( 159 ) . x ix 1 f , (1 4- t) i t (1 — i) x ' en sm ~ cos — = - < sin -f- sin 2 2 _ «2U. 2r+l 2 r-t-1 1 ^ s (1 + Q + (1 — *) 2r-fl 2 o ^ ^ 22r+1 . (2r + 1)! =iE 2 o 00 =?IE (1 +0^V +(l-j)(-2i) 2r+1 l J 22r^-l , (2 r + 1)! 2?— t 2\ i 24?-1.(49— 1) 4?-l \ q ‘2 (2 &) ü* ^ 0 24?+i.(4(y+l)! 4?+ 1 CO =-5<- 4^ — 1 22? . (4?— 1)! wordt, de identiteit: oo £ 4?+l (-)^3 22?+l.(4<^+ 1)! 4^— 4r "(-) <?— r 22?-2r .'(4?— 4r)! oo =-£ Uü CD + £ ?4,+1 _ o (4 /)! T o (4r-)- 2)! j 49 — 1 _ _ 7» / *T v ' 2'? (4 5 — 1)! 00 + E<- )9s 2?!+l (4 + 1)!’ gevende dus de twee betrekkingen : en V E 0 E (->' (->■ 4 « 1 22r r =-4? 4r / 4r— l z / 4<? + 2 \ 2, +1 U+2j 2"t,jhi = 4«+2' die weder als vroeger in liet overeenkomstige geval onder den gemeensckappelijken vorm S (— )5oflT ( ^ 9 ) 2r T — — 2 ? Oofi \ 2 r J 2 / — 1 zouden zijn zamen te schrijven onder voorwaarde dat daarin I CO ( 160 ) aan r uitsluitend öf de opvolgende even of de opvolgende oneven waarden worden gegeven. Voor liet geval van n — 3 of co3 — 1 = 0 of co2 1 — 0 ontwikkele men de identiteit 22 x (ox co2x\ x 23 . x (ox (o2x — COS - COS —— cos 3 2 2 2 waartoe men heeft: tq - — — sm — cos cos „ , J 2 3 2 2 2 X (OX (OüX 22 cos - cos — cos 2 2 2 X ( = 2 cos - < 2l xf (0J-{-(O2)x (co — co2)x COS -f-cos • 2 ~ 2 . x, , (1+m— (o2)x t (1 — (o + co2)x = (!-{- cosx) ] cos -J- cos 6 q — 1 -j- cos x -j- cos o) x -f- cos coz x = 4 -(~3 ( — )? — — 1 (6 <?)- GO £ X (OX (02X , X i {(0-\-(02)x (aj — u>2)x en 2 2 sin- cos — cos = 2 sin- ! cos + cos 2 2 2 2 1 . I . (1 + « — w2)x. — sm x j sm -j- sm 2 1 2 (1 — Cl> -f- a>2)x i — sin x — sm a> x — sm co* x — — _ .■>2 ^ 2 »6?—1 (Og-l)! + ,6?+3 (6? + 1)! (6? + 3)!’ zoodat men substituerende verkrijgt: , V-, ^1—r ^ q ^ I ( V ?6r- 1 ,fi*— 1 , f V (_) (Qq—Qry. 1 (V -(6^ + _1_ t Tdr+\ „6r+‘ . Yk T*r+Z , 2/' 9 1 , + o (6r + 2)!‘ +V(6r+4)!' | 3( ^ (6 y — 1)!~*~ + 5 <->’ (srnji + ^ <_)? (6?T3)!) ■ ( 161 ) en daaruit de drie betrekkingen : (->■ (' !? 1v, + h1v. 6 r o \6r-f2 ] 6r+l 9-1 9-1 E 0 6 7 2 — ' 3 3 67+! / • \r /(5'/ + 4\ y- j_ ,\t i T 4* ( } \6r-j-4/ 1*r+$ + ( } 3 y6?+3 2. 6g 4-2 3 67 4-4 3 Voor de cosecanten-coefficienten (7 heeft men vooreerst uit sin x . cosec x — 1 of 00 E X 2?_2r+J <r v ’ (27 — 2/- + l)!j jT (2r)! 00 £ c*'-> **r- 1 ! de gewone terugloopende betrekking 9 (mite 9^ 1 2ij) E (-)' (2 Vt 1 ) CSr-l = ° ’ 2r \ die trouwens, lettende op C = 2 (2 — 1) B:) , blijkt niet anders te zijn dan bet dubbel van de overmaat van de vroeger voor de Bernoulliaansche coefficienten gevonden be- trekking (4*) boven (4"0 voor n — 1). Yervolgens komen als periodieke terugloopende betrek- kingen in de eerste plaats in aanmerking de beide uit de identiteit ( sin x sin i x) cosec x — sin i x [ \ t—r . q~r 22q 2r+^i 4,q— 4r+2 j \o (47—47-4- 2)!,y I C4y+1 4r+l o (4 r)\ + V(4r-j-2)! . I Y« x^+l Y7 .r4?+:5 l|V(47 4- 1)! + V(4? + 3)1 VE&SL. EN MEDED. AFD, >'ATUUfU4. 2<le ÜEEjiS. PEE„L XVI, 11 ^ ICO ( 166 ) In ket tweede geval, of voor ai3 — 1 = 0, is te gebruiken de identiteit 22 2 \ 22 V — cos x cos co x cos co * x sec x — — cos co x cos co*x. 