title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: De ellipsen van de eerste groep worden door het coordinatenvlak xy in twee halve groepen gescheiden. De ellipsen van het eenhele aantal hebben twee brandpunten gemeen, en die van de andere helft hebben twee andere brandpunten gemeen; beide paren brandpunten hebben, op het vlak xy, een zelfde paar punten tot projectie. Derhalve zijn er vier brandpunten voor de ellipsen der eerste groep. Desgelijks vier brandpunten voor de ellipsen der tweede groep. Maar dit tweede viertal is niet onderscheiden van het eerste. De sferische afstand toch van het middelpunt der ellipsen, die tot de ene helft van de eerste groep behoren, tot het middelpunt der ellipsen van de ene helft der tweede groep, is een kwadrant. En de gevonden uitdrukkingen voor cos e en cos e', zullen gevuld cos (e - e') = 0, zoodat ook de som der excentriciteiten aan een kwadrant gelijk is. Een der brandpunten, met of door e bepaald, zal derhalve moeten samenvallen met een der brandpunten, dat door e' gevonden wordt. Alle de ellipsen der twee groepen zijn dienoverige regelmatig en symmetrisch om de vier of ten opzichte van de vier brandpunten gelegen, en kruisen elkander, bij deze ligging, recht hoekig. Met de kromtelijnen van de ellipsoide is het evenzo. Zij liggen alle om en zij kruisen elkaar recht hoekig of vier merkwaardige punten, in den omtrek van de hoofdsnijding, op gelijke afstanden van de toppen der as : van die der as gelegen. Zij zijn de umbilici van de ellipsoide. Ten opzichte van deze, als waren zij brandpunten, zijn alle de kromtelijnen van de ellipsoide, op de helften, waarin zij wordt gedeeld door de hoofd snijding en covocaal kromlijn. Zoo dit uit de theorie van de kromtelijnen van de ellipsoide, afgescheiden van haar verwantschap met spherische ellipsen, niet bekend zou zijn, zou men het door het voorgaande kunnen leeren. Want de sferische brandpunten, op den bol gelegen, en wel op den om trek des grooten cirkels in het coördinaten vlak xy, vormen noodwendiglijk corresponderende punten op den omtrek van de ellipsoide (ac) hebben. De coördinaten van de sferische brandpunten zijn ± x = do a . sin. e en, voor elk van deze abscissen, ± y = db a . cos. e. Daarom zijn de coördinaten van de corresponderende punten a- en C2. Nu is het door de vergelijkingen (3) en (9) klaar, dat, als de Parameter h tot zijn grootste limiet b, en de parameter k tot zijn kleinste limiet bnaderen, diezelfde vergelijkingen (3) en (9) zullen zijn de vergelijkingen van de projecties op de vlakken xy en yz van die kromtelijnen van het eerste en van het tweede stelsel kromtelijnen, welker halve grootste elliptische as eene kleinste grootte hebben. De limieten van de projecties deze halve assen zijn, blijkens genoemde vergelijkingen, zijnde juist de pas gevondene uitdrukkingen voor x en z. Eli daar de projectie wel tot deze limieten meer en inder Daar (89) kunnen naderen, maar nimmer aan gelijk worden, dat is altijd boven deze grenswaarden van grootte zullen zijn, zullen ook de kromme lijnen nimmer door de gevonden corresponderende punten kunnen gaan. Zij gaan er buiten om, en zijn er meer en meer van verwijderd, naarmate het minder van c en k minder van a zal verschillen. Hieruit blijkt dat die corresponderende punten voor de kromme lijnen zijn, wat de spherische brandpunten zijn voor de spherische ellipsen. Dat overigens deze corresponderende punten zijn de umbilici der ellipsoïde, blijkt door de uitdrukkingen, voor hunne coördinaten x en z verkregen, want zij zijn de bekende uitdrukkingen voor de coördinaten der umbilici. In art. 4 bovenaan is de kromme lijn genoemd ellipsoïdische ellips. Naar aanleiding van het hierboven aangetoonde andere of nauwere verwantschap met spherische ellipsen, zou men ze nog meer bepaald kunnen noemen confocale ellips, discus ellipsen. En deze benaming zou ook zeer wel voegen, op grond van een ander punt van overeenkomst met spherische ellipsen, dat is op grond van een andere analogie. De eigenschap namelijk, in bet begijn van art, 6 genoemd, dat in elke sferische ellips, de som van twee, naar eenzelfde punt des omtreks getrokken, focale sferische voerstralen, is een standvastige som, in grootte gelijk aan die van de sferische grote as der ellips, komt ook toe aan elke kromlijn der ellipsoide. Maar de focale voerstralen zijn dan umbilicale voerstralen, en deze zijn geodetische of kortste lijnen op de ellipsoide. De som nu van twee geodetische lijnen, uit enig punt eener kromlijn tot de beide umbilici van deze kromlijn getrokken, is of geeft een uitgestrektheid, een lengte, onveranderlijk gelijk aan die des elliptischen boogs van de hoofddoorsnede ac der ellipsoide, begrepen tussen bare snijpunten met de kromlijn, derhalve gelijk aan de ellipsoidische grote as der kromlijn (zie, onder andere, het academisch proefschrift van Dr. P. van Veen, over de geodetische lijnen op de ellipsoide. Leiden, 1862). Gelijk derhalve sferische ellipsen werktuigelijk kunnen worden beschreven, als vlakke ellipsen, door middel van eener onrekbaar koord zonder einde, geslingerd om twee in de brandpunten gehechte zeer dunne stokjes, zouden ook eveneens de kromlijnen op de ellipsoide, door dergelijke mechanische constructie, kunnen worden afgetekend. Maar ofschoon hier de analogie volkomen is, bestaat zij geheel onafhankelijk van het corresponderend zijn van lijnen. De operationele werking van of het onderzoek aan gaande corresponderend zijn, heeft er hoegenaamd geen aan deel in. Wel is waar, men zou kunnen vermenenen, dat de umbilicale voerstralen op de ellipsoide konden zijn de corresponderende lijnen van de focale voerstralen op den bol, Indien namelijk beide gericht of getrokken gedacht worden naar corresponderende punten van een kromlijn en van de overeenkomstige sferische ellips. Maar dit is, op een paar uitzonderingen na, nimmer het geval. De umbilicale voerstralen zijn kortste of geodetische lijnen op de ellipsoide. De focale voerstralen zijn het eveneens op den bol. En hierin alleen is de grond der genoemde analogie. De focale voerstralen zijn bogen van grote cirkels van den bol; zij zijn vlakke kromme lijnen. Het vlak van zodanigen straal gaat door een punt van een sferische ellips, door een der brandpunten van deze ellips, en door het centrum van den bol. Het corresponderend vlak zal gaan door het centrum van de ellipsoide, door het corresponderend punt der kromtelijn en door het umbilicus, dat van genoemd of gedacht brandpunt het corresponderend punt is. Dit vlak zal de ellipsoide volgens een ellips snijden en de umbilicale voerstraal zou zijn een boog van deze ellips. Met andere woorden, gelijk de focale voerstraal op den bol is een vlakke kromme lijn, zal ook de corresponderende straal op de ellipsoide een boog van een vlakke kromme lijn vormen. Hij zou derhalve niet zijn, hetgeen hij behoort te zijn, dat is geen geodeetische lijn. Want alleenlijk de twee umbilicale voerstralen der toppen van de grote as van een kromtelijn zijn bogen van een ellips, bogen van een vlakke kromme lijn; alle de overige zijn bogen van niet vlakke kromme lijnen. Overigens zou het ook door berekening kunnen blijken, dat de corresponderende lijn van een focale voerstraal niet is een eigenlijke umbilicale voerstraal. Want, uit de vergelijking van een der projecties van een focale voerstraal, heeft men onmiddellijk de vergelijking der corresponderende projectie van den corresponderenden straal op de ellipsoide. Ware deze een eigenlijke umbilicale voerstraal, een geodeetische lijn op de ellipsoide, dan zou de laatstgenoemde vergelijking, in verband met de vergelijking van de ellipsoide, moeten voldoen aan de bekende algemene eerste differentiaalvergelijking der geodeetische lijnen op de ellipsoide; maar aan deze voldoet zij geenszins. Uit het confocaal zijn van spherische ellipsen kunnen nog andere eigenschappen van de focale voorstralen worden afgeleid, die ook, op verschillende wijze, voor de umbilicale voorstralen der kromtelijnen op de ellipsoide gelden. Op een enkel zodanige zal hier, tot besluit van deze beschouwingen, de aandacht gevestigd worden. De vier brandpunten der confocale spherische ellipsen, die de doorsnijdingen zijn van de bol met de beide groepen van asymptotische kegelvlakken, zijn op den omtrek van den grooten cirkel, volgens welken de bol wordt gesneden door het coördinatenvlak xz. Deassen X en z delen deze cirkelomtrek in vier quadranten; op elk quadrant is een dier brandpunten. Laten drie van deze punten aangeduid en onderscheiden worden door de letters F', F, F", en wel in deze volgorde: F' zij het brandpunt, gelegen op den kwart-cirkel boven de as x en ter linkerzijde van de as z, zodat de coördinaten van dit punt zouden zijn x en z'. Het brandpunt F, rechts op F' volgende, zit op het quadrant boven de as x en ter rechterzijde van de as z; de coördinaten zouden zijn x en z'. En, in dezelfde richting vervolgende, ligt in het gedeelte van den omtrek, beneden de as x en aan de rechterzijde van de as z, waarbij dan dit punt x en z' tot coördinaten zou hebben. De brandpunten F' en F' liggen diametaal tegenover elkaar; daarom is de boog F'FF' de helft van den omtrek des genoemden grooten cirkels, dat is = 2π a. Laten verder A (rechts op de as x) en B (boven op de as z) twee der vier snijpunten van den grooten cirkel met de assen x en z zijn, dan is A B een quadrant, 2π a. A is het middelpunt der confocaal ellipsen, die F en F' tot brandpunten hebben, en B is het centrum der ellipsen, voor welke de brandpunten zijn F en F'. Denk van elke der twee groepen een ellips Die, welke A tot middelpunt heeft, heeft een spherische groote as 2 a', en snijdt het quadrant A B in een punt C (tussen B en F); en de tweede, van welke B het centrum is, heeft een spherische groote as 2 a, en snijdt den boog A B in een punt D (tussen F en A). Derhalve is de boog B D = a, de boog A C = a' en F ligt op den boog C D. Deze twee ellipsen snijden elkaar in twee punten. Zij een dezer punten het punt P, en denk de voerstralen (spherische) r, r en r", uit de drie brandpunten F', F, F", naar dit punt getrokken, dan is (r - r') + (r - 2 a') = r. Dit voorstel is afgeleid van de bekende formule voor de voerstral van een ellip, namelijk 2 a / (1 - e^2), waarbij e^2 = 1 - (b^2 / a^2). Maar, voor de voerstraal CD = (AC + CB) - AB + CD = AC + (BC + CD) - AB = AC - (BD - AB) = a - (a - a) = a. Vermits de som der voerstralen r en t noodwendig gelijk is aan de helft van de omtrek van een grote cirkel, dewijl zij zijdan getrokken, uit de randlijnige tegenover elkander gelegen punten E' en E", naar eenzelfde punt P van het oppervlak van de bol, is r + r" =. Na en ' (r - r") = na, en dan eindelijk CD =. Het gegeleven hier voor de voerstraal r verkregen is, zal klaarblijkelijk voor de voerstralen, naar de andere drie brandpunten uit hetzelfde punt P getrokken, op overeenkomstige wijze bestaan. Elk punt P van de oppervlakte van de bol kan altijd aangetekend worden als te zijn een punt van doorsnijding van twee sferische ellipsen, de ene tot een der twee groepen van het eerste stelsel, de andere tot een der twee groepen van confocale ellipsen van het tweede stelsel van ellipsen behorende, en welke twee ellipsen dan slechts één brandpunt gemeen hebben. En ingevolge deze opmerking zal de belevenis van de verkregen uitkomst deze zijn: "De sferische afstand van een punt P van de oppervlakte van de bol tot eenig brandpunt van de vier groepen van concentrische sferische ellipsen, is gelijk aan de boog van de grote cirkel van de brandpunten (d.w.z. van de cirkel, waarop de vier brandpunten zijn gelegen), begrepen tusschen twee van de toppen van de sferische groteassen van de twee ondersteunde sferische ellipsen, gaande door het punt P, en wel tusschen die twee toppen, welke aan de ene en aan de andere zijde (dat is niet aan eenzelfde zijde) van het gedachte brandpunt liggen." Voor een punt van de oppervlakte eener ellipsoide is dezelfde gelijk voorinige Stelling waar. De sferische afstand tot een brandpunt zal nu zijn een umbilicale voorstraal, of de lengte eener geodetische lijn, naar een umbilicus getrokken, en de sferische ellipsen worden vervangen door de kromtelijnen, hebbende de uiteinden of toppen van bar een ellipsoidale grote as op de omtrek van de hoofddoorsnede (a c), waarop de vier umbilici zitten gelegen. Het bewijs van deze eigenschap van de umbilicale geodetische lijnen op de ellipsoide, kan genoegzaam eveneens worden gegeven als dat van de eigenschap van de focale voorstralen op de bol. Nogtans wordt het, in de theorie van die geodetische lijnen, veelal uit andere gronden afgeleid, en dan kan uit het bewazene bijna onmiddellijk worden besloten tot het onveranderlijk zijn van de som van de twee geodetische lijnen, uit de beide umbilici, die tot eenzelfde kromte lijn behooren, naar eenzelfde punt van die kromte lijn getrokken. Leiden, April 1864. OVER EENE BENADERINGSMANIER TER BEREKENING DER WAARDE VAN LIJFHENTEN EN VERBINDINGSRENTEN. DOOR F. J. ST A M K ABT. Ooit, geacht edel, de Heer e. lobatto, heeft voor geruime tijd reeds aan de Akademie een Verhandeling over bovengenoemd ouderwerp aangeboden, welke door de Akademie in der tijd voorbare Werken is aangenomen, en onlangs is uitgegeven onder de titel van: Memoire sur une Méthode d'approximation pour le calcul des Rentes. Daar ik mij in de laatste verloopen jaar ook meermalen met dit onderwerp heb bezig gehouden, zij het mij veroorloofd een formule aan te wijzen, die, naar ik meen, voor de berekening even kort is, en voor het geval der Verbindingsrente nader aan de waarheid komt, dan de door de Heer lobatto voorgedragen wijze. Het gronddenkbeen, waaruit de formule wordt afgeleid, is hetzelfde als dat waarvan ons geacht lid is uitgegaan, en dat ik van hem ontleend heb, bij gelegenheid toen ik indertijd de eer had tot de Commissie van beoordeling te behoren, in wier handelen genoemde Verhandeling of Memoire gesteld is geweest. Dit gronddenkbeen is dit, dat het voldoende kan geacht worden, om uit een sterftetafel slechts de getallen van 5 tot 5 jaren te ontleenen, om daarnaar de waarde een liferente of verbindingsrente te berekenen, waarbij tevens wordt aangenomen, dat gedurende elk verloop van vijf jaren, de getallen der sterftetafel in een rekenkundige reeks afnemen; met andere woorden, dat het voor de toepassingen, in verreweg de meeste gevallen, voldoende is, om voor de Levenskroon een veelhoek van korden te substitueren, gaande door de uiteinden der ordonancen, die van 5 tot 5 jaren opgericht zijn. In plaats van 5 jaren stellen wij in het algemeen n jaren, en laten we de gevallen een sterftetafel voorstellen, met overspringing telkens van n - 1 gevallen. Zij ook Bo Bn B2n B^n eene dergelijke reeks gefallen, genomen uit dezelfde of eene andere sterftetafel, waarbij Bo in het algemeen tot een ander ouderdorasjaar behoort dan Ao. Zij r de tax van den interest per eenheid, en R = 1 + r, en ein- delijk H de waarde eener postnumerando verbindings- rente, welke bij de toepassingen meestal als Huwelijks. rente voorkomt, dan heeft men, zoo als bekend is, l-rH=[ AoBo + AiBiR~1 + A2B2R“ A^.BjoR~/> j:( Ao.Bo).(1 ) waarbij Ap en Bp de gefallen der sterftetafel zijn voor de hoogste jaren tot waar men de rente wil berekenen. Indien, volgens de gemaakte onderstelling, de gefallen A en B gedurende n jaren in een rekenkundige reeks afvallen, en A2, A3, twee opvolgende gefallen zijn, met overschrijving van n - 1 jaren, dan zal men voor elk tussenliggend jaar a; hebben: n-x X An+x = An-m - A-n-i-n en ook n-x X Bm+x = Bm-m - Bn-1-n Deze gefallen vermenigvuldigende, verkrijgt men 2 A1 Bn n-x (A/n-1-x) • B/n-1-x = 1 (n - x).x + x^ (Am - 1) • (Bn - 1) = 1 (An - 1) • (Bm - 1), waarbij hetgeen ouder dan deze vorm kan gebracht worden n-x (Am - Bm) - (Am-1-n) • (Bm-1-n) Hetgeen ouder dan deze vorm kan gebracht worden, verkrijgt men voor de algemene uitdrukking van eenen term in de vergelijking, gelegen tussen twee termen m en m - 1: An-x • (Am+x) • Bm+x = R n-x (R - 1) • (Am - 1) • Bm = 1 Kortom, A - An en Bn, voorstellende de kortheidsbalen Am - A'n+1 en Bm + n door en ABn voorstellend. (9) Als men \( x \) achtervolgend \( 0, 1, 2, 3 \), ... \( n - 1 \) en \( y \) zet, dan wordt \( P = 1 + R + R^2 + ... + R^n \) en \( Q = 1 + R + R^2 + ... + R^n \) dus \( Z = 1 + R + R^2 + ... + R^n \) dan verkrijgt men, op lopend, voor de som der \( n \) termen van \( B \), \( R \) tot \( n \). \( B_{n-1} - R \) of \( A_m \) \( P \) \( A_{j-1} \) \( B_{n-1} - R \) \( A_{j-2} \) \( B_{n-1} - 1 \) \( R \) ... \( A_{n-j-1} \) \( B_{n-1} - j \) \( R \) = \( R \) \( P \) \( A_j \) \( Q \) \( A_{n-j} \) \( B_{n-1} - n \) \( Z \) \( A \) \( A_{n-j} \) Stellende nu weer in deze uitdrukking \( m = 0, n, 2 n, ... k 'n \); dan vindt men voor de som der termen van \( (i) \) genomen tot aan den term \( A(i+1)n \) \( B_{i+1}n \) \( R \) \( (^-Hi)^{n+1} \) en met bijvoeging van den term \( A(i+1)n \) \( B(i+1)n \) \( R \) \( (^-Hi)^{n+1} \) de volgende waarde \( \{ 1 \} |H \) \( X A q B q \) \( |P \) \( A q B q \) \( - Q A_n B_n \) \( Z A A_n \) \( A B_n \) \( R \) \( 4 \) \( \{ P \) \( A^2 B_n \) \( 4 \) \( Q A_2 B_2 \) \( - Z A A_2 \) \( A B_2 \) \( R \) \( 4 \) \( (P \) \( A_2 B_2 \) \( Q A_3 B_3 \) \( - Z A A_2 \) \( A B_2 \) \( R \) \( 4 \) \( A(i+1)n \) \( B(i+1)n \) \) \( - P A q \) \( B q \) \( 4 \) \( (Q + P R) A_2 B_2 R \) \( ... \) \( (Q + P R) A_n B_n R \) \( (^-1)^{n+1} \) \( 4 \) \( A (^+1) n \) \( R \) \) "" \( - Z (a A q a B q + a A_n a B_n R + a A_2 B_2 R \) \( ... \) \( + a A_2 B_2 R \) \( + a A_1 B_1 R \) \( + a A_2 B_2 R \) \( + a A_n B_n R \) \) De eerste en tweede regel van deze uitdrukking kan men aldus schrijven \( (Q + P) A + (Q R + P) A_n B_n R + (Q R^2 + P) A_2 B_2 R + ... \) + (QR« + P)A;t„.B^„R-^" — QR".A„Bo -j-(QR”-f- 1) A(^+i)„. B(jfc^-i)„,R— (^+D” = (QR” 4" Pj {^o®o 4“ AnB„R~”-f* A2n . B2»R~^" • 4“ A^,jB/fc/iR" — (QR" 4“ 1) {•'^0^0 + A(/fc4.i)„. B(i-(.])f„.R— {^+')nj 4- AoBg. Aau beide kanten A^Bg \Aeglatende, vindt men dus H. A g.B 0 = (QR4-P) ( A Q B g 4" A„B„R— "4“ A2nB2nR~-"...4- A/t„B^.„R-^" j — Z {AAgABg4-AA„.AB„R— ”4"AA2nAB2nR~^'*..+^A/;„.AB^„R— -(QR'*4-1) {AgBg4-A(A;+i)„.B(;fc^,)„R-(*+D«} (4) Z Stellende nog QR” 4~ P = M en — = ^, QR” 4- 1 N, ZOO krijgt men, na deeling door AgBg. H=M [AgBg4-A, B, R~"4"-^2nB2, R“^" • • 4" A/fnK^, R“*” — .‘<(^A.gABg 4"AA, AB, R“'”4-A2n, B2nR“'2” . ”^0^0 _(QR. + 1) j l _ l AgBg ) U k I \ H = 7— ^ ^ A,;r . B,;r — <« A A,;r . A R“*" ) Ao Bg g V / — n( 1 - R-(^+i)”] (5) \ Ag.Bg I Hierbij behoort, hetgeen ligt uit de formule, (3) wordt gevonden : ( 100 ) M =1 -f (71) (ß+ß-lj-l-) n (R2+E-2) . . -f” n n 71 n Deze formule (5) is de benaderende uitkomst voorberekening van de waarde van een verbindings- of huvvelijks-rente, welke ik bedoelde, waarbij de benadering voor deze rente even groot is als voor de lijfrente op een hoofd, bij een berekening van n tot n jaren. Formule (5) onderscheidt zich daarin, met betrekking tot de verbindingsrente van het door den Heer Lobatto voorgestelde, dat in de Memorije de term verwaarloosd is geworden, hetgeen duidelijk wordt indien men de uitdrukking (Ä) vergelijkt met het gezegde, pag. 25, §12 der Memoire en formant une table de mortalité baseerend op een aantal N van koppels d’individus existent op een bepaald leeftijd, en met tand door N, de aantallen van koppels overlevenden aan het einde van 1, 2 ... jaren, het is evident dat de hypothese van een uniform decrescent binnen deze getallen per jaar, zich minder zal verwaarlozen, dan wanneer het gaat om de afname succesieve van een aantal N van individuen jonger. In het verwaarloozen van het product der verscheidens AA en AB ligt voornamelijk de oorzaak, dat genoegzaam alle verschillen op de Tableaux der § 12, pag. 26 tot 62, het leek meer voor te hebben. Wanneer de n-jarige periode voor een van de getallen A of B eindigt bij een jaar waar A of B nul is, dan is de laatste term A(n) = B(n+1) = 0, en men behoef slechts het standvaste getal N af te trekken. In de algemene zaak zal die term klein zijn, maar men kan het alhier zodanig inrichten, dat B(n+1) = 0 wordt door de n-tallen rugwaarts te tellen, van genoegden term in de sterfte-tafel te beginnen. Eene formule voor het berekenen van de lijfrenten op een enkel hoofd, laat zich afleiden uit (5). Men behoef daarvoor slechts alle waarden van B - 1 te onderstellen en dus ook AB = 0 te nemen; hierdoor verkrijgt men L = M(A + A(B-1) + A2(B-2) + A3(B-3) + ... + A^n(R-1)) = M(A + (B-1) + (B-1)2 + (B-1)3 + ... + (B-1)n) = M(A + (B-1)(1 + (B-1) + (B-1)2 + (B-1)3 + ... + (B-1)n-1)) = M((A + B - 1)(1 + (B-1) + (B-1)2 + (B-1)3 + ... + (B-1)n-2)) Wanneer de sommatie tot aan het eind van de sterfte-tafel wordt voortgezet, stellend A(y+1) = A, L = M(A + A(R-1) + A2(R-2) + A3(R-3) + ... + A^n(R-1)). Neemt men R = 1,0-1 en n = 5, dan is M = 5,015401, N = 3,164877, a = 0,144728. Ter beproefing van de formule (5) heb ik haar op hetzelfde voorbeeld toegepast, dat door den Heer Lobel voor de verbindingsrente volgens kersboord bij gelijke jaarverdeling van de beide lijven en 4 pct. rente gekozen is. De berekening der 18 getallen kan gemakkelijk in haar geheel op een half vel gewoon schrijfpapier gedaan worden. Voor de producten A.BR heb ik Logarithmen met 5 decimalen gebezigd, voor de producten AA.aB.R zijn 4 decimalen in de Logarithmen geheel voldoende. De uitkomst is de volgende geweest: (102) OUDERDOM. WAARDE form. (5) JUISTE WAARDE. VERSCUIL. A. B. 5 5 14,6906 14,9503 —0,2397 10 10 14,9645 14,9683 —0,0038 15 15 14,2665 14,2969 —0,0304 20 20 13,3979 13,4431 —0,0452 25 25 12,6251 12,6194 +0,0057 30 30 12,2966 12,2908 +0,0058 35 35 11,8186 11,8283 —0,0096 40 40 11,0558 11,0692 —0,0139 45 45 9,934 9,9321 —0,0187 50 50 8,8133 8,8215 —0,0082 55 55 7,7996 7,8166 —0,0170 60 60 6,7248 6,7408 —0,0160 65 65 6,4955 6,5011 —0,0056 70 70 4,4365 4,4498 —0,0133 75 75 3,1412 3,1730 —0,0318 80 80 2,1391 2,2595 —0,1204 85 85 1,4688 1,3360 +0,1228 90 90 1,2836 0,8247 +0,4589 De som der verschillen, alle genomen, is 1,964. De som der verschillen, volgens de formule van de Heer LOBATO is daarentegen 3,3603. Dezelfde sommen, in uitzondering der ouderdocijnen van 5, 85 en 90 jaren, zijn respectief 0,3550 en 1,3285. De benadering van de formule (5) is dus ongeveer 3 4 malen sterker. BECHEKNING VAN DE WAARDE VAN EENE VERBINDINGS-RENTE, DIE GELIJKJARENJAREN, VOLGENS KEBSEBOOM en 4- Ouderdom, jaren. Log. der levenden — p Log. R . .. Log. Ap El p Log. A of A Log. ft.'R—p Log. A AB;> . jX R 2,98408 2,951822,93247 2,91222 2,88762 2,85187 5,968 1 6'5,90364 5,86494 5,82444 5,77524 5,70374 0,00000|9, 91483 9,82967 9,74150 9,65933 9,57417 10 15 5,968165,81847 5,69461 5,56894 5,43457 5,27791 1,8388} 3 6777 9,1606 1,5910} 1,5910‘11,6532 3,1821 3,1821 3,3064 9,0754 18,9902 8,9050 2,8383 Getallen van bovenstaande Log. 2,2575 12,1723 2,2114 929310 689 928621 1,7853} 1,7482 658370 495010 370630 272000 189632 181 149| 163 3,5707 3,4964 8,8199 j 8,7347 2,3906 2,2311 246 2051 658189 494861 370467 271754 189427 45 50 55 60 05 2,81624 2,78176 2,74819,2,705012,64933 2,582062,49831 2,389172,24304 2,00000 1,56321 70 75 80 85 5,63248 5,56352 5,49638,5,41002,5,29866 5,36414,5,99662 4,77834,5,9868, 6,00050,312642 9,48900 9,40383,9,31867 9,23350,9,14833 9,06317,8,97800 8,89283,8,80766,8,72249,8,63732 5,12148 4,96735 4,81505 4,64352 4,44699 4,22729 3,97462 3,67127 3,29374 2,72249 1,76374 1,6990 1,6532 1,7242}1,7853} 3,3980 3,3064 |3,4485 3,5707 1,6493 8,5644 |8,4792 8,3841 2,0473 1,8708 >1,9277 1,9548 1,8062 |1,8261 3,6124 |3,6522 ‘1,3089 1,8237 1,8388} 3,6777 8,1386 132276 92758 65321 44007| 27989 16877 9432 4 112, 74 85 90 83 75 66,5 1321641 92674, 65236 43917 27906 16802 9366,9 Jaren. Getallen. Sommen. LOGAR. 95 0.0252 0.0252 90 // 90 3.1477 3.1729 0.50106 85 // 85 50.348 53.5209 1.72843 80 // 80 504.7 558.2 2.74679 75 // 75 1914.5 2472.7 3.39313 70 // 70 4637.1 7109.8 3.85186 65 // 65 9366.9 16476.7 4.21684 60 // 60 16802 33279 4.52217 55 // 55 27906 61185 4.78664 50 // 50 43917 105102 5.02161 45 // 45 65236 170338 5.23130 40 // 40 92674 263012 5.41997 35 // 35 132164 395176 5.59079 30 // 30 189427 584603 5.76686 25 // 25 271754 856357 5.93205 6.08877 20 // 20 370467 1220814 15 // 15 494861 1721685 6.23594 10 // 10 658189 2379874 6.37655 5 5 928621 3308494 3308495 6.51963 90 85 80 75 70 1.388 3.6777 1.0543 1.8750 1.9213 1.8759 1.8163 1.7320 3.7501 7.9683 4691.1 54.0 4637.1 1.7184 52.2 1.7403 3.4807 1.3638 2.000000,00000 8.552158,46698 0.5521518,46698 1.5445 3.0881 1.7950 0.8861 90 95 1.00000 0.00010 0.9542 1.9085 7.5125 9.6213 1966.7 527.83 58.0423,5658 23. 11! 7.6941 0.081 1914.5 504.72 50.3483 147.7 0.5 60 0.00000 5.6257 7.6247 0.02931 0.00421 0.02521 55 4.78664 0.50106 1.72843 2.74679 3.39313 3.85186 4.21684 6.52217 0.552151 1.76374 2.72249 3.29374 3.67127 3.97462 4.22720 4.44699  0.72460 0.79969 0.88089 0.94252 0.9 1.03995 4.4485 4.6237 3.1649 1.2836 1.4588 5.3040 3.1649 2.1391 6.3051 7.6014 8.7604 9.8897 10.9635 3.1649 3.1649 3.1649 13.1049 3.1649 3.1412 4.4365 5.4955 6.7248 7.7996 50 45 40 5.02161 5.23130 5.41997 5.59679 4.64352 4.81505 4.96735 5.12148 0.37809 0.41625 0.45262 0.47520 0.70030 0.70030 0.70030 0.70030 1.0.839 1.11655 1.15292 1.7561 11.97821 13.07831 14.22071 14.9835 3.1649 8.8133 3.1649 3.1649 3.1649 9.9134 11.0558 13.186 50 25 20 5.76686 5.93265 6.08877 6.23594 6.37655 6.51963 5.27791 5.43457 5.56894 5.69461  heuvel in Limburg, op een paar honderd schreden van het buitengoed van den Beer Merwijis, tussen de dorpen Stavoren en Urmond, bevindt zich een trechtervormige kuil, waaruit leem voor een daarbij gelegen pannenbakkerij getrokken wordt. De trechterrand heeft een diameter van ongeveer 10, en een reguleerde diepte van 5 meters. Een zachte glooiing, een hollen weg vormend, leidt tot op den bodem des trechters. De leem, daaruit getrokken, is zwaar en voor water ondoordringbaar. In Januarius des vorigen jaars is men begonnen den trechter te verdiepen, doch stiet, toen men slechts 1 tot 1,5 meter dieper was gekomen, op bruinkool, die aanvankelijk ongeveer verdeeld (als snuif) was. De dikte dezer laag werd geschat op ongeveer drie meters. Met de diepte werden de stukken groter, sommige worden gezegd eenige ponden gewogen te hebben. Toen men op een diepte van ongeveer 7 meters gekomen was en nog altijd bruinkool vond, staakte men den arbeid en liet alles in den toestand, waarin men het gebracht had. De regen, die in het voorjaar en gedurende den zomer viel, en langs de trechterwand en den hollen weg in den geboorden put vloeide, werd onmiddellijk door den bodem geabsorbeerd. Tot het midden van september was alles in dezelfde toestand gebleven, toen de wanden van de put uitschoten en deze geheel gevuld werd. Veertien dagen ongeveer nadat de put gevuld was, nam men waar, dat op verschillende plaatsen van de bodem des trechters zieh dampen ontwikkelden van een onanemens reuk; de ontwikkeling van deze dampen nam spoedig in intensiteit toe. De pannenbakker boorde met een staak een gat van ongeveer een palm diameter tot een diepte van eenige palmen, en sindsdien hebben de dampen dit kanaal tot uitweg gekozen. In deze opwinding werden door de werkman drie aarden buizen op elkander geplaatst, uit welke nu de damp uitstroomde. Op een afstand van een halve meter van dit kanaal ontwikkelde zich uit de grond nog damp, doch slechts in geringe mate. De hoeveelheid bruinkool, uit deze put gehaald, zoude 25 karren bevatten. Nog werd mij medegedeeld, dat de uitstroomende damp nu eens dagen achtereen zeer heet was, dan weer gedurende een of twee dagen verdund werd door een luchtstroom, die koud was op het gevoel. Al wat tot een voorlopig onderzoek en tot het verzamelen van het gas noodig was, had ik meegenomen. Ik overtuigde mij al zeer spoedig, dat de damp een ruime hoeveelheid zwavelwaterstofgas bevatte en ook koolzuurgas daarin werd aangetroffen. Ik beschreef den aanwezenden het binnenste aanzien van den zwavelkies (pyriet), en vroeg of zij bij het putboren ook iets overeenkomstigs hadden waargenomen. Ik vernam toen, dat zij, nadat zij de bruinkool bereikten, op een laag van zo iets gestoten waren, en mij wellicht nog een stuk ervan zouden kunnen bezorgen. Ik vroeg de dampbron in volle werking. Ik liet een thermometer in de bron neder, en vond een temperatuur. Eén van 90°C, dan weer van 110°C. De uitstroomingsnelheid is niet op alle ogenblikken even sterk; met de snelheid klimt de temperatuur, welke echter, zolang ik waarnem, niet beneden 90°C daalde. Om de drukking van de uitstroomende damp te bepalen, liet ik de buis met leem sluiten en bracht een tweemaal regthoekig geboven buis binnen, waarvan het lengte beeld in halve centimeters verdeeld was. Dit lengte beeld werd in een met water gevulde cylinder gedompeld. De drukking bleek te verschil len van 4,5 tot 8 centimeters water. Ik liet dan de damp gedurende geruimen tijd door een flesch, gevuld met gedestilleerd water, strijken, ten einde het daarin condenseerbaar op te vangen, en verbond deze flesch met een stel van drie glazen buizen, van ongeveer 60 cub. centimeters inhoud elk, om in deze het uitstroomende gas, voor de analyse bestemd, te verzamelen. Deze buizen werden, nadat het gas er geruimen tijd had doorgestreken, onmiddellijk digt gesmolten. Hoewel het verband, dat tusschen de rest van waargenomen verschijnselen kan bestaan, mij weinig raadselachtig voorkwam, onthield ik mij evenwel van enige conclusie, zolang niet de analyse van het gas en van het water, waardoor het gas streek, afgelopen was. Ik stelde er belang in, ook den zoogenaamden kouden luchtstrook waar te nemen, en hoopte die op een volgenden dag te kunnen onderzoeken. Den 22e October begaf ik mij weer derwaarts en vond nu dat de koolde luchtstrook, van welken ik straks sprak, een stroom naar binnen was. De oorsprong van die stroom laat zich gereedelijk verklaren. De onderaardse ruimte, waarin de ontwikkeling van den waterdamp en van de gassen plaats vindt, wordt gedurende het krachtige uitstroomen van die waterdamp bijna of geheel luchtledig. Zodra de werking, van welke de later te noemen gassen de producten zijn, heeft opgehouden, daalt alleen de temperatuur in die ruimte, en vindt er die ten gevolge condensatie van waterdamp plaats, welke oorzaak wordt, dat een lege ruimte ontstaat, die voortdurend aangevuld wordt door de instroomende lucht. De instroomingsnelheid verschilt op verschillende tijden. Anvankelijk is zij gering, nemt dan allengs toe en bereikt soms die van een luchtstroom, onder een druk van centimeters water. Met die snelheid stroomde de lucht naar binnen, toen ik den 6e November mij weer ter plaatse bevond. De temperatuur van den uitstroomenden damp, welke bij mijn eerste bezoek (16 October) van 90°C.— 100°C. afwisselde, bereikte den dag voor mijn tweede reis 124°C, het maximum dat waargenomen is. De dampdrukking had die dag 8,5 centimeters water bereikt. Sedert dan is de temperatuur en dampdrukking afgenomen, en waren den 28e October tot 92°C. en 3 centimeters water gedaald. De duur van elk verschijnsel, uit- en instrooming, werd korter, de intervallen van rust werden allengs groter. Den 21e November was de temperatuur van den damp gedaald tot 82°C., doch bereikte 24. November weer 84°C. Den 26e November vond ik haar gedaald tot 72°C. en de dampdrukking tot 1,5 centimeter water. Sedert is de werking voortdurend afgenomen, en ofschoon zoo nu en dan nog wel, na dagen lange rust, damp te voorschijn komt, duurt die zwakke stroom slechts weinige uren. Bij mijn eerste bezoek had ik, na daarvan een beschrijving gegeven te hebben, naar het aanwezige pyriet gevraagd en vernomen, dat men, tot de bruinkoolaag was bereikt, op iets gestoten had. Later aan den Burgersinterne van Sittard een bezoek brengende, vond ik bij deze enige stukken van de bedoelde stuif, door hem ter plaats verzameld, en overtuigde mij, dat het pyriet was gemengd met straalkies. Later vond ik zelf in den hoop bruinkool stukken, die geheel door pyriet doordrongen waren. De daarinnen vervatte pyriet verkeert in toestand van verweering; op een vochtige plaats gelegd, overdekt zij zich in weinige dagen met kristallen, welke, behalve uit een weinig zwavelzure aluminium, uit zwavelsuur ijzeroxydul bestaan. De oxidatie van die straalkies houdende pyriet is de oorzaak van het geheele verschijnsel. Eeuwen lang bedekt door een voor water en lucht ondoordringbare leemlaag van het de bruinkool-bedding bedekkend diluvium, moest die fijne verdeelde pyriet onveranderd blijven. Door het boren van den put, verkregen lucht en water vrijen toegang. Er ontwikkelde zich een oxidatieproces, dat een bron werd van warmte; de steeds loomere temperatuur bespoedigde op haar beurt de oxidatie. Toen nu, ten gevolge van het bezwijken der wanden, de put gevuld werd, had dat scheikundig proces reeds een zekere intensiteit bereikt; het oxidatieproces ging voort, doch niet meer ten koste van de zuurstof der lucht, welke nu afgesloten was, maar ten koste van de zuurstof des waters, waarmee de bruinkool doortrokken was. Van het oogenblik af dat waterontleding plaats vond, ving gasontwikkeling aan. Waar pyriet (FeS2) door de zuurstof van het water gebracht wordt tot zwavelzuur ijzer-oxidaal, moet zwavelwaterstofgas ontwikkeld worden, hetwelk ik bij mijn eerste bezoek dan ook in zo ruime hoeveelheid aantrof. De door het scheikundige proces ontwikkelde temperatuur nam in die mate toe, dat het water tot waterdamp werd gebracht en zieh in ruimere hoeveelheid ontwikkelde, dan door de niet wijde opening kon ontwijken. De daardoor teweeggebrachte drukking werd oorzaak, dat de temperatuur van den damp boven 100° C. steeg, en te hoger moest stijgen, na al na een aantal oogenblikken het (108) oxydatieproces krachtiger dan op andere ontwikkeld was; na al na een laat een oogenblik een grotere hoeveelheid pyriet dan op het andere in de sfeer van werking begrepen was. Het water, waardoor ik bij mijn eerste bezoek den damp geregeld tijd had laten strijken, rook den volgenden dag, toen ik het onderzocht, nog sterk naar zwavelwaterstof; doch ook behalve dit, bevatte het niets. Het verzinfelde gas werd onderzocht naar de methode van Bunsen; ik vond daarin zwavelwaterstof-, stikstof-, een weinig zuurstof- en koolzuurgas. Een quantitatieve analyse achtte ik niet noodig van een gasmeetsel, waarvan de samenstelling zo veranderlijk inhoor is als van het ouderwetlijke. Bij mijn tweede bezoek (23 October) was de reuk van zwavelwaterstofgas inderlijk minder. Ook nu liet ik weer den damp gedurende geregeld tijd door gedestilleerd water strijken en ving weer in een stel van glazen buizen het gas op, die onmiddellijk weer ter plaatse verdwenen werden. Uit water had den volgenden dag den reuk van zwavelwaterstof volkomen verloren; hij had plaats gemaakt voor die van zwaveligzuur. De ontwikkeling van zwaveligzuur laat ziel gereedelijk verklaren. De temperatuur van den uitstroemende damp had dag vordert mijn tweede bezoek bereikt, Het is bekend, dat zwavelzuur ijzeroxyd, bij hogere temperatuur, wordt tot basisch zwavelzuur ijzeroxyd, onder ontleding van zwavelzuur en ontwikkeling van zwaveligzuur: 2 FeO2SO2 = Fe2O3SO4 Het zwavelwaterstof- en het zwaveligzuurgas, in water opgelost, doen pentathionzuur ontstaan. Dit water bevatte pentathionzuur en opaliseerde van afgescheide zwavel. Het hangt van de betrekkelijke verhouding van die twee stoffen af, of na de vorming van het pentathionzuur of zwaveligzuur zal overig zijn; ook kunnen beide elkaar juist in die verhouding aantreffen, waarin zij pentathionzuur vormen. In het onderhavige geval had het zwaveligzuur de overhand. Het gas opgezameld, na eerst door de met gedestilleerd water gevulde flesch te hebben gestroomd te hebben, bestond bijna geheel uit slikstof; bevatte slechts een weinig koolzuur, geen spoor van zwavelwaterstof- noch zwaveligzuur-gas. Bij mijn derde bezoek (6 November) stroomde in de morgen de lucht naar binnen, wat naar binnen stroomen bleef ongeveer tot een uur of twee uren op. Een half uur later begon het uitstroomen; het uitstroomende gas rook sterkt naar verbrandingsproducten; de reuk kwam volkomen overeen met die van den rook, welke zich uit smeulend vochtig hout ontwikkelt. Toen ik om 4 uur vertrok, was de aanvankelijk zwakke stroom wel sterker, doch geen spoor van zwavelwaterstof- of zwaveligzuurgas waar te nemen. Ik vermoedde toen, dat de bekende reuk van zwavelwaterstofgas in de laatste dagen bijna niet meer merkbaar was. Erscheen dus nu eene werkelijke verbranding plaats te vinden, telkens nadat de ruimte zich met lucht gevuld had, en die kon voortduren totdat de zuurstof verbruikt, dat de lucht door de zich gelijktijdig ontwikkelende damp weder uitgedreven was, om dan op nieuw aan te vangen, wanneer, na het ophouden van de reactie, de ruimte zich weder met lucht had gevuld. Toen ik vertrok was de stroom nog te zwak, om deze door water te doen strijken. Bij mijn laatste bezoek, op 26 November, had de damp een duidelijke zuurde reactie en zuurde reuk, terwijl tevens de reuk van brandendestoffen werd waargenomen. Van zwavelsulfide- of zwavelsuurgas was geen spoor merkbaar. Ik liet het gas, vandaar het in de buizen, waarin ik het verzamelen wilde, kwam door barytwater stromend, waarin een ruim prăcipitaat van koolzure baryt ontstond. De azijnzure baryt, die ik, nadat door een straal van koolzuurgas alle vrije baryt verwijderd was, vond, overtuigde in mij, dat de zuurde reactie van de damp aan brandig azijnzuur moest worden toegeschreven. Het verzamelde gas bestond uit stikstof, lucht, koolwaterstofgas, kooloxydgas, in niet sporen van koolzuurgas. Ik had dus hier met een droog destilleringsproces te doen. De eens aanwezige pyriet, die de aanleidende oorzaak was van het waarnemingen verschijnsel, is wellicht geheel, althans grootendeels in een zwavelzuurzout veranderd. De temperatuur, door dat oxidatieproces ontwikkeld, is hoog genoeg om, wanneer licht is toegetreden, een langzame verbranding van de bruinkool teweeg te brengen, welke aanhoudt totdat geen zuurstof langer aanwezig is. Dan werkt de ontwikkelde bitte op de als in een besloten ruimte aanwezige kool en vindt er een droog destillatieproces plaats, van hetwelk de gevonden stoffen de producten zijn. Nu bestaat er echter geen bron van water meer, wordt er integendeel een aanzienlijke hoeveelheid water verbruikt, de temperatuur der ruimte daalt, en terwijl die daalt, stroomt lucht naar binnen, en wordt weer het droog destillatieproces vervangen door een langzame verbranding. Deze elkander opvolgende processen kunnen zich met steeds afnemende intensiteit nog eenigen tijd herhalen, tot eindelijk, bij steeds afnemende temperatuur, alle reactie zal mogen ophouden. Uit het geheel van omstandigheden en verschijnselen blijkt genoegzaam, dat hier aan geen eigenlijke vulkaanrolle, d.i. aan vulcanische werking, zoals velen meenden, te denken is. De snelle oxidatie van de pyriet, in fijn verdeelden staat door de bruinkoolbedding verspreid, is de eerste oorzaak van de opvolgende reeks van verschijnselen. Het is toch bevend, dat aan de snelle oxidatie dierzelfde stof de zink-ontbranding van steenkolen en van bruinkoolbeddingen wordt toegeschreven; dat de hoopen van aluinoxide, tot de vorming van aluin besterad, melaanen van zelf in brand geraken. Tegen de verklaring die ik van het verschijnsel gegeven, zou de bedenking kunnen aanvoeren, of wel pyriet in hogere temperatuur water zou kunnen ontleden, en die ontleding aanleiding geven tot de vorming van zwaveldioxide. Deze bedenking is inderdaad geopperd en heeft geleid tot een onderzoek dienaangaande. Over pyriet, die vooraf door koken met zoutzuur van alle straalkies ontdaan was, is bij 1200 - 1000 C. een stroom van waterdamp geleid, en telkens bevatte de uitstroomgassen waterdamp zwaveldioxidegas, van hetwelk de hoeveelheid merkelijk groter werd, zodra met de waterdamp koolzuurgas vermengd werd. Maastricht 1864. EPHEMERIDE VAN PROSERPINA, VOOR DE DATERING VAN 2 JANUARIJ 1865. DOOR J. OUDEMANS. In de delen III en V van de Verklaringen en Mededeelingen komen voor de bepalingen van de loopbaan van Proserpina, met inachtneming van de storingen door Jupiter en Saturnus volbracht door Dr. J. OUDEMANS, toen nog werkzaam aan de sterrenwacht te Leiden. Kort daarop vertrok Dr. OUDEMANS uit vaderland, om zich te stellen aan het hoofd van de geographische dienst in Nederlandsch Indië. Bij zijn vertrek nam ik de berekening van Proserpina over, en Dr. OUDEMANS had de vrijgevigheid het geheel van zijn volbrachte berekeningen in mijne banden te stellen, voor het geval dat ik zou noodig hebben die te raadplegen. Bij de oppositie van Maart 1857, waarvoor, blijkt uit het aangehaalde verslag (Deel V, bl. 395), de ephemeride door OUDEMANS gerekend was, bedroeg het verschil tussen waarneming en berekening, bijna constant voor de geheele verschijning; in Rechte klimaangang — 37".5 in Afwijking 18 .4'. Het grootste, volgens voorbereidende berekeningen van OUDEMANS, bijna volkomen werd uit den weg geruimd, door het volgende stel correcties van de elementen YIP; dM = -}- 56".65 dN = 0 .01997 dM = — 48 .94 d(p = — 0 .18 dß = - 1 .07 di = — 0 .02 Correcties die voor de elementen VII blijven, dM alleen uitgezonderd, die dan — 48".94 + 458 (— 0".01997) = — 58".09 wordt. Met de aldus verbeterde elementen werd door mij een nauwkeurige ephemeride berekend voor de oppositie van Augustus 1858, en het bleek later dat deze den schijnbare loop van Proserpina met groote nauwkeurigheid had voorspeld. De voortdurende bemoeijingen van den Heer OUDEMANS hadden dus geleid tot de kennis van een zeer nauwkeurig stel elementen. 