title: Evers, Ernst: Over de Kracht die een vloeistofstroom in sommige gevallen loodrecht op zijne richting op een medegesleept lichaam uitoefent
creator: None
text: bsb00075569_00050 36 is. Daar nu blijkens § 16 f slechts de waarden 1 en 3 kan hebben zou 5=1 of — 1 moeten worden. De laatste waarde komt echter niet voor. Immers, wij hebben alleen nog met termen van den vorm (26) te maken en deze kunnen, wanneer c — 0 zal zijn, alleen ontstaan uit producten en tweede machten van vormen als (25). Daar bij deze laatste r in den noemer de exponenten — 1, 2, 4 heeft, kan nooit in een product of eene tweede macht de exponent — 1 komen. Wij hebben derhalve 5=1, f — 1, a = 3, e = 1. Wij moeten derhalve in m', v', w de termen nemen van de orde: R_ r ’ en in u2, u v, enz. termen van de orde: R § 20. Wij moeten nu nagaan, hoe in u2, u v, enz. termen van de orde: /3' R3 ontstaan, ’t Blijkt, dat deze alleen kunnen ontstaan uit termen van den vorm : 0 Rk" n o EX 7=1^ =0,3,5), en wel uit het product van een term met k" = 0 en een anderen met k" — 3. Een term met k" = 0 komt alleen in A0 en wel in u voor, nl. (3 z. De termen met k" = 3, en dus van de orde —, zijn in w: in v: in w: i3r d x2 iz i1) d z + co R3 „3 t3r ^ ?x d y d z ’ ?3r ?x dz2 ,R3 (e — 2 g) £) ?x R3 — u—^x. Termen van de orde /32-~5- kunnen echter niet ontstaan in v2, wJ, vw, maar komen alleen voor in u2, nl. 2 0g. Wr ’dx3tz 2 e (3, •C-. ~d z 2 co (3 —ï-z * 3 3 ^ 1 81 Wat er dan overblijft is de term met het omgekeerde teeken. Derhalve behoort ook het van p afhankelijke deel van (22) tot de termen die kunnen worden weggelaten en blijven van de beide integralen over het ronde oppervlak van den cylinder nu nog slechts de termen van de tweede orde over, en ook deze verdwijnen uit onze vergelijking, zooals we zien zullen. In het vorige hoofdstuk zijn wij tot het besluit gekomen, dat de termen van de tweede orde in (u, v, w, p) sneller afnemen dan — — of althans minstens zoo snel afnemen als — —, r r bij verwijdering op grooten afstand van den bol. Ook met w', v, w', p', die in het volgende hoofdstuk nog nader ter sprake zullen komen, is dit het geval. Hieruit volgt, dat zoowel «' x. + v' rn + w'z„, als uX', + v Y', + wZ'„ berekend met de termen der tweede orde in u, v, w, X„, Yn, Z„, minstens zoo snel afnemen als -. Daar nu het ronde oppervlak van den cylinder waarover geintegreerd moet worden, even- rL redig met r toeneemt, naderen de beide integralen, wanneer de straal van den cylinder onbe­ paald toeneemt, tot de limiet 0. § 14. Wij komen dus ten slotte tot dezen vorm voor de vergelijking: j d (u2) , ö (u v) ö (u w) j . , | ~mr + + ï * | ^v ö (u v) Ö X -(- w' I d x Bij de berekening der grootheden tusschen accolades behoeven wij in w, v, w zelf slechts de termen der eerste orde te behouden. Wanneer men nu bedenkt, dat dw dü _ ITt + Yy + ’ is het gemakkelijk in te zien, dat de vormen tusschen accolades met den factor p er bij, de reeds vroeger ingevoerde grootheden Q,, Q2, Qs zijn. Zoo kunnen we dan schrijven Z0 = — j I (u Q, -}- v' Q2 + w Q3) d r (24) STELLINGEN. E. J. EVERS. OVER, DE KRACHT DIE EEN IN SOMMIGE GEVALLEN LOODRECHT OP ZIJNE RICHTING OP EEN MEDEGESLEEPT LICHAAM DITOEFENT. 34 In m', v', w heeft men dus enkel termen van den vorm : R‘ ^7^7 («=ƒ+<?)• De te integreeren uitdrukking u' Qt -j- v' Q2 -j- w Q3 bevat dus termen met factoren van de gedaante: Ra + ‘ **+ƒ+!’ de differentiaties in <2, , Q2, Q3 brengen ui. nog een factor r in den noemer. § 17. Wij stellen ons nu voor, dat men gaat integreeren, en voor het gemak der redenee- ring nemen wij aan, dat dit geschiedt met gebruikmaking van concentrische bollen. De boven­ staande uitdrukking moet dan vermenigvuldigd worden met 4 ir r2 d r. Deze vermenigvuldiging geeft een product van den vorm: Ra+e r-t+f-1 d r. De integratie hiervan zal als onbepaalde integraal eene grootheid van den vorm: Ra + e rb+/~a opleveren, althans in het algemeene geval, dat niet de gelijkheid bestaat: *+ƒ= 2- In het bizondere geval, dat deze gelijkheid bestaat, wordt de onbepaalde integraal: Ra + e log r. Hierover later. § 18. Stellen we ons nu voor te integreeren van af den bol met den straal R tot aan een bol, waarvan de straal A van de orde .Dis. De uitkomst zal in het algemeene geval zijn van den vorm: Ra + e —-_Ka + *-i-/ + 2. aj + /-2 In deze uitdrukking zullen wij den eersten term het van de bovenste grens afhankelijke deel noemen, en den tweeden term het van de onderste grens afhankelijke. Bepalen we ons vooreerst bij de onderste grens. Daar e— f=<J en a — b = c-1— 2, c —)— 3, of c —J— 4 is, zoo zal het van de onderste grens afhankelijke deel van de orde: Rc + \+g t ftc+i+g Qf ftc + 6 + g zijn. Nu zijn c en g nooit negatief. De laagste macht van R die voorkomt is dus de vierde. Wanneer nu de bol zeer klein is, kunnen we alle hoogere machten weglaten. Wat de onderste grens betreft, behoeven we dus alleen de termen te behouden met c=0 en g = 0, en derhalve noch in de werkelijke noch in de denkbeeldige beweging op de terugge­ kaatste deelen te letten. Bovendien hebben we slechts die termen te nemen , waarin a — b — c -j- 2, HOOFDSTUK IV. § 7. Termen van de 2e orde. Men kan zich voorstellen, dat w, v, w en p in reeksen, opklimmende naar de machten der snelheid Q, ontwikkeld worden. De eerste termen dier reeksen zijn de boven onderzochte waarden, die wij thans n, r, w, p zullen noemen. Zij voldoen aan de vergelijkingen d X c* p hy Aan de platen wordt en aan den bol 0 = 0 = + it*A w, ' , + ^ A v, 0: ? P d z + /tt A 'èu 7> v dw d x ' 7) y ö z 0. (17) u = — s, v = 0, w — 0 U — UZ, V = 0 , W = - U X. De bedoeling is nl. dat u, v, w, p den geheelen bewegingstoestand voorstellen, den terugge- kaatsten er onder begrepen. Laat thans de termen van de tweede orde heeten n2, v1, w2, p2, zoodat de totale waarden met weglating van de nog hoogere termen zijn “+«2! f + «2. M’ + Wj, p+pr Dan substitueeren wij deze waarden in de bewegingsvergelijkingen, en laten daarbij alle termen van de derde en hoogere orde weg; zoo verkrijgen wij, in de onderstelling van een stationairen toestand, x enz. | 7) (v 4"Vi) i «Kw + Wj) ? x + + d z 0. HOOFDSTUK VIL § 15. De ontwikkeling der voor Z0 gevonden uitdrukking is zeer te bekorten door toepas­ sing van de door ons gemaakte onderstelling, dat R D eene zeer kleine grootheid is. Bij de berekening der grootheden Qlt Q2, Qs is te bedenken, dat de daarin voorkomende snelheid u, v, w bestaat uit de deelen A0, Alf A2, A3, A4 en de teruggekaatste beweging. Neemt men de voor x — s en u gevonden waarden in aanmerking, dan kan men opmerken, dat (3 in de uitdrukkingen voor n, v, w, p steeds met een factor van de dimensie L vermenigvul­ digd voorkomt — L eene lijn zijnde —. Evenzoo is in deze uitdrukkingen y steeds met een factor van de dimensies L2 vermenigvuldigd. Deze factor van y is in A0: R2 of *2. Bepalen wij ons tot het deel der ruimte rondom den bol, waarin wij met geen grootere af­ standen van het middelpunt dan van de orde D te doen krijgen, dan kunnen we den factor van y in A0 van de orde R2 of r2 noemen. In Ax en in A3 is die factor van y van de orde: Rk t*-9 ’ waarin k— 3, 5, 7. In de teruggekaatste beweging is die factor van de orde: Rk 2F>(*“8’ 5’ 7)l De factor, waarmede (3 vermenigvuldigd is, is in A() van de orde: AAN MIJNE MOEDER. 33 in A2 en A4 van de orde: Rk Zk=l (*=3, 5), en in de teruggekaatste bewegingen van de orde: Rk f)i~l ~ 3> b). Alle termen kunnen dus gerangschikt worden in een der volgende vier groepen: 1° termen van de orde: yRk waarin k eene der waarden 0, 2, 3, 5, 7 heeft. 2° termen van de orde: 3° termen van de orde: 4° termen van de orde: jS(*' = 3, 5, 7). 4f?t(*" = 0> 3, 5) /3 Rk' " nju o k \ J)P^Ï (* = 3> 5)‘ (25) Gaat men nu u2, u v, enz. berekenen, dan verkrijgt men termen, die in eene der volgende algemeene vormen te brengen zijn: ra (« = 6 + c + 4)- /3 7 R“ 71* R“ (a = b -j- c -f- 3). /32ra(a=6+c+2) (26) § 16. Ook de beweging (ud, w) kan gesplitst worden in eene directe en eene terugge­ kaatste beweging. Bij de directe beweging (zie de verhandeling van Prof. Lorentz) heeft men in ons geval: , 3 x z , 3 „ x z u=--R3c-S+jRC-rr, 4 3 4 ? B*eyi + *Reyi, A y*3 4 V3 en dus termen van de orde: R R3 — en —y. Bij de teruggekaatste beweging heeft men termen van de orde: R R3 D eD Dr 5 42 voor te berekenen hoe groot Q moet zijn, opdat Z=Z0 zij, wanneer b.v. Z> = 0.1 cM., R = 0.001 cM. en het specifiek gewicht s van het bolletje een weinig grooter is dan p. Nemen we b.v. p = 1 en *=1.1. Alles in C. G. 5.-eenheden uitdrukkende vinden wjj nu de gezochte waarde van Q door substitutie der gegevens in de vergelijking |,riü3(«-p)X981=^,rAp~Q1- Men vindt hieruit Q = 40 ongeveer. De vloeistof zou dus midden tusschen de platen met de snelheid van 40 cM. per secunde moeten stroomen. Daar de kracht Z0 volgens onze formules naar den wand toe is gericht, hebben wij in het bovenstaande geene verklaring gevonden voor het bij de roode bloedlichaampjes waargenomen verschijnsel. Tot mijn leedwezen kan ik geene poging doen, de theorie verder te ontwikkelen, en dus niet ingaan op de vraag van welken invloed ’tzou zijn, wanneer men ten eerste geene hizondere onderstelling maakte omtrent de verhouding R: D, en in de tweede plaats de terug­ gekaatste bewegingen geheel bepaalde en in de berekening opnam. Bovendien werd bjj de proeven natuurlijk van buisjes gebruik gemaakt en niet van platen. Bizondere omstandigheden noopten bij de samenstelling van dit proefschrift zeer tot spoed. Moge echter, in afwachting van eene bevredigende theorie, de uitgevoerde berekening, ook al wijkt misschien de uitkomst aanmerkelijk van de waarheid af, niet geheel zonder belang zijn. 13 vlakken loodrecht op de y-as. De beweging A brengt nu aan de deelen der platen, die zich tusschen deze vlakken bevinden, snelheden van zekere orde van grootte G. De terug­ gekaatste beweging moet aan de wanden snelheden van dezelfde orde van grootte hebben, en ook in de geheele ruimte tusschen de aangebrachte vlakkeu. Immers er is geen reden, waarom de door de platen teruggekaatste beweging in enkele punten bijzonder geconcentreerd zal worden. Wat nu G betreft, valt op te merken, dat aan den wand de afstand r van de orde D is, wanneer wij tenminste aannemen, dat de bol niet veel dichter bij de eene dan bij de andere plaat ligt. Men kan dus gemakkelijk voor al de deelen, waarin wij de beweging A splitsen, de orde van grootte aan den wand aangeven. Daarbij moeten wij in het oog houden, dat men, door r «-maal naar x, y of z te dilferentieeren, eene uitkomst verkrijgt van de orde r1 —n; even­ eens door - «-maal te differentieeren, eene uitkomst van de orde r~ 1 —". r Aldus vindt men b. v. dat aan het tweede deel van Al met R (x — s) eene teruggekaatste beweging beantwoordt met snelheden van de orde R(* — s) i. Aan het eerste deel van A,, d. i. aan de termen met b, beantwoordt eene teruggekaatste be­ weging van de orde R>(*-s)±-r Aan het deel van A2 met termen van R5 beantwoordt eene teruggekaatste beweging van de orde 0 R"\^ w Dan heeft de teruggekaatste beweging A2 nog termen van de orde (3 Di. De beweging A3, teruggekaatst, geeft termen van de orden R7 R5 R3 V Jp< V jjpi V -])' De beweging Ai eindelijk geeft bij de terugkaatsing termen van de orde R3 « -p-2. - ' .. <36645704820019 *Tr ^ V "" , ' V . > yf • ^ L- ? ,"■ ' ^ " 3 ’vif^ ? ' . -J 'Y ï *'"**■ v Ti J*?J, V. ,*-* *,«*<4 W1 ‘ /. •■ vv<' Vf. > - Mi'* *-■' yv 7 r, f-vvA v 4 > y*Txjf>. v. 4 ~> I.. - V *1-/ ;)T : -Jt^:if. V>?.« t <? >■ v -pA- .«• .• • »•£ <?Vts - jj S’H I ‘>, .. i/ »*>%■■ t *' < * ** ?r * v.- , >r \ x -’-w , ^_»>4r %?,a *rv j * • • ., > yt . ' *, ^'^ ^4 V- ^ '■■ f, fcjLfc* £' -.',• mV>‘ "*V-'"f''^Er - : / •v*i -->/A: . ;' r<v\réfc*-' V» V -> 'i' / u ;<(*? A 'a-*<v ;< *, yV^l'v * •>* Au-. 4jf ^' *• *> vr * ♦ ** I « j * '4 >3ki-'g ' • . * 1'. y t W v,. * ■..;. 1 **■ K XT ' £* * c< 1 * ^ - 4 * <r ^ r*' y ^ 4 >'» “ '• • J r W 1*1%. ' < 'o.7,\'i - % ^tNv'c \ ** hX.' -»• , * *r * *>v C ƒ ^ ^ ’ r vj ^ y*. M. ^ + *>. * ■* , Tj. ■* - ' -V - / • \‘t ' «. J yl 1 -4 n ^ 7 ; - •* ’ i r^f-: ;,/ [ ~ 4 ^ V\ <f}.*V y r ji n... ^ i '• • JS*~ ... r ■> t . - * ^r V% ^ 1 < '<*A * &K f . ( -f i/ \ ; ** ? •/ * “? ' &"~ 7* v'’ ‘ ■> v‘ v ^ *s ^ /;" r 4 - ^ ^v V / J" 4 . ^ ^ r • -i ., . . *> • » » V v*- v*x « “ u A V--. ^ ' T ./.V- f* 'f « ^ ^ v •/ - % ^ ~ . - , , ^ • V"^r ... '>%•'-* *' > i f 1 - *A» 'f ' >'- c. ▼ I v i * *-A3 w r* *?r •> , * <, ; *r> ^ ’ / € - ' ^ ^ >■* f j_ V . J* * . Jl 4 _ ># *-■ ^ 4 f • 7 . *Y V 7 w T* » „ ^ ^v V ;, ^ :-'• c *? ~ :-vv *•> . 4. ‘* - ^*h: ^ * < A ■é » f* ^ ' "Tv *!•■.;*. > * » ’» "+** j' 4 v gi <r v*-'/ , v "• ^ u.--»r „ -' ..7 ■ -v- *. rs.’ '<A ; v - v> .. •-. v., \v -* jr n-; A, -7" :••■* ^ ;y>,VA *.1 n l^r-- :;A.A .." * ^ U ?s V Jr - f * I j T V^Mv- 4- ' ïb: ■I- r <VrVi ' 26 Gemakkelijk ziet men in dat niet alleen bij w, maar bij alle grootheden die aan de platen verdwijnen, differentieeren naar z, wat de orde van grootte betreft, gelijk staat met deeling door D. Aldus verkrijgen wij 'b 11 1 — = /3-f-2vz4- termen van de orde —=-, o z r D ,1 — van de orde — o z r D Verder is nog Hieruit volgt d v ? u , , J — en — van de orde —=- o x d y r 3 w d w D — » — » » » —r. d x d y rJ Ql van de orde -2 ’ Qi » » Q3 » » » D o I r -3 ‘ Uit (20) volgt dus is A p2 van de orde D A/V - C-ê+ (*Qi , 3y ' d 2 )• Van welke orde van grootte nu p2 zelf is, is zonder werkelijke berekening moeilijk vast te stellen. In elk geval mogen wij aannemen dat deze grootheid op oneindigen afstand verdwijnt. Was nu het bedrag waarmee de druk in de richting loodrecht op de platen verandert, ver- • • ^ ü gelijkbaar is met de waarde van den druk zelf, dan zou het differentiaalquotient —^ van de orde zijn; dan zou dus p2 van de orde D3 rn zijn. Onderstelt men daarentegen dat de druk in de richting loodrecht op de platen niet sneller verandert dan in richtingen evenwijdig met de platen, dan zijn de drie differeutiaalquotienten in p D Ap2 alle van de orde zoodat p2 zelf moet afnemen als —. In het eerste geval kan men krachtens de vergelijkingen (20): At A u = + Q, i enz. d x HOOFDSTUK V. § 9. De storing, die de bol in de vloeistof beweging teweegbrengt, zal natuurlijk op groo- ten afstand afnemen. De bewegingen Ax, A2, A3, A4 bevatten in alle termen machten van — v en de langzaamst afnemende verminderen als - zelf. Dit zijn de termen met c en met c'. Ook de r teruggekaatste bewegingen zullen bij verwijdering in eene richting, evenwijdig of bijna even­ wijdig aan het ,zï/-vlak, minstens zoo snel afnemen als — De terugkaatsing toch heeft voorna­ melijk plaats aan die deelen der wanden, die op niet grootere afstanden dan eenige malen D van den bol gelegen zijn. Waarschijnlijk zullen de genoemde bewegingen nog wel sterker afnemen dan —. Immers de wanden zullen eene min of meer »uitdoovende” werking uitoefenen, T wat daaruit is op te maken, dat de storing, die de bol in de snelheden brengt, aan de wanden verdwijnt. § 10. Om te kunnen beoordeelen, hoe de termen der tweede orde op grooten afstand afne­ men , dienen wij eerst de grootheden Qt, Q2, Q3, eveneens op grooten afstand van het middel­ punt, te beschouwen. De grootste termen, die wij nu in de vergelijkingen (19) te substitueeren hebben, zijn in u: in v: o. — termen van de orde — , termen van de orde 1 r Wat de orde van grootte betreft, staat difïerentieeren naar x en y gelijk met deeling door r. Derhalve worden — en — van de orde -4 5 wegens de continuïteitsvergelijking moet dus ^ ïx ï y rl o z van dezelfde orde zijn, en daar w aan de platen verdwijnt, moet in de ruimte daartusschen w van de orde 4 r2 zijn. Op grooten afstand is dus de snelkeidscomponent, loodrecht op de platen, veel kleiner dan de snelheid, evenwijdig aan de platen, wat ook zeer begrijpelijk is. 10 Het blijkt nu dat men aan de voorwaarden aan het boloppervlak kan voldoen, wanneer men stelt *G) »G) -,+ 20' vr/ -p = 2m d x Aan de voorwaarden voor V, u', v, w wordt dan voldaan door G) ... y, A rp V —l -——— -I- m -—-—- 4- C -— i d xd zi dxdz1 o x u = — q c> x z1 o <* z1 2c_ r v' = 0, o' = (q — 2 m) ■G) Daardoor wordt ten slotte , s*(‘) , »•, s’(i) ,(* , n ? X? z ?2 G) „ d4 V = l 10— l G) a4i ~d x~d y~d z2 *G) P 7’ , iC + w — C - iïxïyiïz2 3 ’ m —— c' *’(-) W , ar dx?z3 dx?z3 \~ — 'i,'dx'dz r Uit de voorwaarden aan het oppervlak van den bol volgt nu: A.. Dit geval is weer rechtstreeks te vinden in Kirchhoff’s Vorlesungen über math. Physik. — In ons geval wordt dan (nl. bij wenteling om de y-as) R3 n R3 u = u —y z, u = 0, w — — u —f x, p = 0. De superpositie dezer vier deelen geeft den bewegingstoestand, die door de aanwezigheid van den bol wordt teweeggebracht, en door de platen zal teruggekaatst worden. Kortheidshalve zullen wij de totale beweging, die uit A,, A2, A,, A4 is samengesteld, A noemen. Ao. Den bewegingstoestand, die er zou zijn, wanneer de bol er niet was, en dien wij reeds vroeger ge­ noemd hebben, zullen wij door het teeken A0 aanduiden. Hij wordt, zooals wij reeds zagen, bepaald door 23 Trekt men hiervan de vergelijkingen (17) af, dan verkrijgt men de volgende bewegingsverge­ lijkingen voor de termen van de tweede orde: dx ^ fZ A w2 = p lp? it y + ^ A v2 = p lP2 7) z f4, A w2 Io d w div u d x d y 5 U-2 , 5 v,2 d x d y 7) z 0, (18) terwijl w2, v2, w2 aan de platen en aan het oppervlak van den bol moeten verdwijnen. Ter be­ korting zullen wij stellen: P P P du du + r — d x d y d v . d v u--\- v d x d y / dw , dw m —-f r-— \ i)® d y (19) zoodat de vergelijkingen worden: ~J7 + 3,, enz. d u2 , ^2 | d w2 _ Q d X ' d y d z (20) Nadat de grootheden der eerste orde bekend zijn geworden, kent men ook Q1, Q2, Qz; de vraag is nu w2, v2, w2, en p2 uit de vergelijkingen (20) en de grensvoorwaarden af te leiden. Men kan aautoonen, dat u2, v2, w2 geheel, en p2 op eene additieve constante na, door deze vergelijkingen en voorwaarden bepaald zijn. Stellen wij vast, dat p2 op oneindigen afstand 0 zal zijn, dan is ook p2 geheel bepaald. Wanneer bij zekere waarden van Q,, Q2, Q3 voldoen de waarden u2,v2,io2,p2 dan zullen bij de waarden n Qv n Q2, n Q3, waarin n eene constante is, voldoen nu2, nv2, nw2. Een constante factor in Q,, Q2, Q3 zal dus ook in u.2, v2, w2 voorkomen. Blijkens de vergelijkingen (19) zijn de termen van de tweede orde dus evenredig met de dichtheid p. § 8. De kracht, die de bol volgens de 2-as ondervindt, wordt uitgedrukt door de integraal J'(z/7+zi + zA)d,, te nemen over bet boloppervlak. ’tIs gemakkelijk in te zien, dat deze integraal verdwijnt, wanneer men slechts de eerste machten der snelheden in rekening brengt. Immers is 40 en radiaal gericht ten opzichte van het middelpunt van den bol. Denken we ons de ruimte door de vlakken X O Y en Y O Z in vier kwadranten verdeeld, dan is in de kwadranten, waarin x en z hetzelfde teeken hebben, de snelheid gericht naar O toe, terwijl in de kwadranten, waarin x en z verschillend teeken hebben, de snelheid van O af gericht is. Substitueert men de waarden (29) in (27), en vervolgens wat men hierdoor verkrijgt in (28), dan ontstaan onder het integraalteeken termen met (32, met (3 y en met y2. Gemakkelijk ziet men in dat die met /32 en y2 oneven en die met (3 y even functiën van z zijn. Daar zich nu de integratie aan weerszijden van den bol, al is het dan niet even ver, moet uitstrekken, is het te verwachten dat de termen die z in eene even macht bevatten het meest voor de uitkomst zullen opleveren. Nu het er alleen om te doen is, eenig denkbeeld van de grootte van Za te verkrijgen, zullen wij ons tot het deel met (3 y bepalen. Wij vinden dan - w' Qj = /3 y R* p ^x2 r~ 8 -|- x* z4 r~10^, - V Q2 = (3 y R* p (— -g- y2 z* r~ 8 -f- — x2 y2 z4 r~wj, 1 / \ - w' Q3=- (3 y R* p (-g- zi r~6 -|- -g- 8-— z6 r~8 -j- — x2 z6 r-10 ƒ Dus ^ (u' Qi + v' Q2 -j- id Q3) = — ^ /3 y i?4 p (z* r~6 — ^ x2 zi r~8^. Derhalve is Z0 = (3 y Ri p I (z^r-* -\x2z*r-^dr.(30) § 24. Ter vereenvoudiging van de integratie kunnen wij thans opmerken dat ƒ"x2 z4 r~8 d t = ƒy2 z* r~s d r , en dus ƒ"x2 z4 r~8 d t = ~ ƒ (r2 — z2) z* r—8 d t , is. Daardoor gaat (30) over in Z0 = ~ (3 y R*p ƒ(- 3 r-« + 7 *• r~») d r (31) In een vlak dat door de 2-as gaat kunnen wij de plaats van een punt bepalen door z en de lengte r van de loodlijn, uit het punt op de ^-as neergelaten. Het bij deze coördinaten behoorende vlakte-element d z d r beschrijft bij wenteling om de z-as een ringvormig volume- element 2 % d z.r' d r', dat men klaarblijkelijk in (31) voor dr mag nemen. Bij constant gehouden z kan men dan in plaats van r' als integratieveranderlijke r nemen, daar r'2 = r2 — z2 en dus 20 Het tweede deel van het koppel geeft derhalve Ten slotte vindt men door de som van (14) en (15) = 0 te stellen, 1 "=2/3- (15) (16) Het verdient opgemerkt te worden, ten eerste dat de gevonden waarden u, v, w, s en at onafhankelijk zijn van den aard der vloeistof. Immers deze grootheden zijn onafhankelijk van fz en p. In de tweede plaats, dat de waarden van s en u dezelfde blijven, ook wanneer de tweede machten der snelheden in rekening gebracht worden. Zooals we nl. in § 3 gezien hebben, moeten in de uitdrukkingen voor s en at alleen termen met onevene machten van Q voorkomen. Wanneer we dus geen hoogere machten van Q dan de tweede in rekening brengen , zullen s en a enkel van de eerste macht van Q afhangen. Bij de betrekking s = x -j- ~ y R2 valt op te merken, dat de snelheid, waarmee de bol mede- O gesleept wordt, verschilt van de snelheid, die het vloeistofdeeltje ter plaatse van het middelpunt van den bol zou hebben, wanneer deze er niet was. Daarentegen vindt men voor de rotatiecom- ponenten, die dit zelfde vloeistofdeeltje zou hebben: ö v \ dw -r)“0i y' de bol wentelt dus juist zooals het vloeistofdeeltje op de plaats van zijn middelpunt zou doen wanneer de bol er niet was en dus de vloeistof beweging door de vergelijkingen u= x z -\- y z*, r = 0, w = 0 bepaald werd. Uit de betrekkingen x-{-(3A-j-yA2 = 0, x — (3B + yB2=:0, en * + \ 0 u — B) + (A — Bf= Q vindt men n y = J=±9,. p (A + B)■ ’ r (A + Bf HOOFDSTUK II. § 2. Bepaling van den bewegingstoestand (u\ , v\, w\) bij welken de snelheden aan den bol de waarden u —(s — «) — (3 z — y z1 -)- « z, v' = 0, w' = — cc x hebben en op oneindigen afstand verdwijnen. De waarden u',, v\, w\ moeten voldoen aan de bewegingsvergelijkingen Men kan dezen bewegingstoestand opvatten als te ontstaan uit de superpositie van een aan­ tal andere, die alle voldoen aan de bewegingsvergelijkingen en op oneindigen afstand aan de voorwaarden u — v' = m/ = 0, doch waarvan de eerste aan den bol geeft u' = 8 — x (d. i. = constante), v' = w' = 0, de tweede u' = — (3 z, v = w' = 0, de derde u' = — y z2, v' = w' = 0, de vierde u' — -j- u z, v =0, w = — cc x. Ter afkorting zullen deze vier toestanden Ap A2, A3, A4 genoemd worden. Bij de behandeling er van zullen gemakshalve de snelheidscomponenten en de druk telkens door m, v,w en p wor­ den voorgesteld. Ai. De behandeling van soortgelijk geval als A, is te vinden in Kjrchhoff’s Vorlesungen über mathematische Physik. Voor ons geval krijgt men Evenzo o volgt uit de waarde van u: d2 x du' y du' z du' _ 3 1 W _l 2 —. rdx~'rdy~^rdz q r de2 r2' Verder is , . x , /x du' z d w'\ v = 0 en-P + M- ï-h - <—) = l* r \r d x r d x / »(i) , x \rj — 4 c- r d x — (q + 2 m) d3/-) x \r / r d x i z1 + % Ten slotte krijgen we dus voor de bijdrage van A3 /- 101- d* - r d x1 d z2 „ 1 d4 r — O m — r d x2 d z2 d3 -2c'-ï^ + 3? — (q + 2 m) r 1 "7r d z2 d3t r d x d z2 + (?-2«i) i!i) r + 23-4»'- »(!) ,x \r ] r d x r d x2 d z Men vindt voor de waarde van deze integraal, wanneer men haar gemakshalve door 4 n y. R2 deelt: c 1 Tf 2R2~2yR- De som der bijdragen van A0, Al en A3 gelijk 0 stellende, verkrijgt men | {x-s)R~' + \yR = 0, waaruit s = * + g 7 -R2. (12) De integraal (8), die het koppel voorstelt, zullen wij in twee deelen splitsen, nl. in het eerste deel, waarin de factor z met het positieve teeken voorkomt, en in het tweede, dat den factor x met het negatieve teeken bevat. Beschouwen we dan vooreerst de integraal J,^x,+lx,+i:x.)d, (13) Voorzoover deze van A2 afhangt, kunnen we weer de ontwikkeling bekorten door te schrij­ ven, met weglating van —p in Xx (verg. §4), ï)2 V , „ du' 4 x-\-(3A-\-yA2 = 0 x — (3 B y B2 = O en door b.v. x + \(3 (A-B) + lr(A-Bf=Q wanneer Q de snelheid in het midden voorstelt. Wij denken ons thans in de vloeistof tusschen de platen een bol geplaatst. Ook voor dezen bol wordt evenmin als voor de vloeistof de zwaartekracht in rekening gebracht. Deze bol zal worden medegevoerd met eene zekere snelheid s, die voorloopig als eene onbekende te beschou­ wen is. Wij onderstellen, dat ook aan zijn oppervlak de vloeistof vastkleeft. Is nu de bol niet even ver van beide platen verwijderd, dan stroomt de vloeistof aan de eene zijde er met grootere snelheid langs dan aan de andere zijde. Terwijl de bol medegesleept wordt, zal hij dus tevens om eene as evenwijdig aan O Y gaan wentelen. De hoeksnelheid ca is als een tweede onbekende aan te zien. ’t Komt er nu op aan, de verandering in den bewegingstoestand der vloeistof te leeren kennen, die door de aanwezigheid van den bol zal teweeggebracht worden. Wij nemen daarbij aan dat de bol zoo noodig door eene kracht evenwijdig aan de z-ss op standvastigen afstand van de platen A en B wordt gehouden. Yerder verwaarloozen wij bij dit vraagstuk de tweede en hoogere machten der snelheden. Noemen wij de snelheid der vloeistof bij afwezigheid van den bol w0, en den dan bestaanden druk p0, dan kunnen de snelheidscomponenten en de druk, als de bol er wel is, worden voorgesteld door u = u0-\-u', v — v\ w — w', p = p0 -j- p'. « Stel nu, dat wij aan de vloeistof, aan den bol en aan de wanden eene snelheid —s in de richting der «-as geven. Dan komt het middelpunt van den bol in zeker punt in rust, in welk punt wij den coordinaten-oorsprong kunnen plaatsen. De platen krijgen de snelheid — s en de vloeistofbeweging wordt u — u0 — s —|- u', v = v', w = w. De grootheden u\ v', w en p moeten vooreerst aan de vergelijkingen i>»' Mu’ , d2u' Vu'\ ) *y2 3*V’ CDZ‘ voldoen; zij stellen een bewegingstoestand op zich zelf voor, waarbij de druk p zou behooren. Verder moeten m', v, w' aan zekere voorwaarden voldoen aan de vlakken A en B en aan het oppervlak van den bol. Aan de oppervlakken A en B moet u = — s, v = w = 0 zijn, dus daar u0 = 0 aan die oppervlakken , moet u' = v' = w' = 0.(2) zijn. Aan het oppervlak van den bol moeten de snelheden der vloeistof gelijk zijn aan die van den bol zelf. Nu heeft deze laatste nog altijd de rotatie om de y-as, derhalve zijn de snelheids­ componenten van een punt aan het oppervlak cc z, 0, —w«, zoodat de volgende voorwaarden bestaan aan het boloppervlak, uQ — s-|-w' = -j-wz, v == 0, w = — ««, of wel i S Jh 39 n [”o ^ (Mi + Mif) , ^(vi4-v,r) . d (w, 4-w.r) , Qi — p |_2 uo ~ ~ + % —Yy~' ’+ u°-dl—" + (*» + *v) (0 + 2 y *)J= = #> £(# * + 7 *2) — U'r) + (0 + 2 y z) (w, + wir) J, d (v,+_v) Qa = P (0 « + y z2) Q3 = P (P z + V **) dx d (wx -|- w,r) d x Nu is in het grootste deel der ruimte de teruggekaatste beweging zwakker dan de invallende. Men mag dus wel verwachten, dat men het teeken der kracht Z0 en ook hare orde van grootte goed krijgt, wanneer men de zoo moeilijk te bepalen teruggekaatste beweging weglaat. De formules worden dan: Qi = P[o3 * + V >*) yy + (£ + 2 Y z) wiJ, Qi = P (P z + 7 yy » Qi = P (0 * + 7 z2) yy» , 3 xz u=-Rc—, 4 rö v- = Ucti, 4 r3 (27) Met deze hebben we dus ten slotte te berekenen Z0 —-f (u Qi + v Q2 + w' Q3) d c J (28) § 23. Daar in de uitdrukkingen voor ut, wu de termen met — ji?(a—s) en —c' tegen elkaar wegvallen, wordt d3 r '9 -dx'ïz d3 r — e 1 d 2 + ■ R3 z= — ^ (3 R3 x2 zr~5, «i =9 = — t- @ R3xy z r-&, dxïyïz ‘l * d3 r . . 0. ”'=-’sJs7- + (e_ 9) '(?) R3 5 „mos -u —T x = — - /3 R3 x z3 r~h. d x r3 2 (29) De snelheid bij dezen bewegingstoestand is dus in elk punt gelijk aan — - (3 R3 x z r-4, Li OVER DE KRACHT DIE EEN VLOEISTOFSTROOM IN SOMMIGE GEVALLEN LOODRECHT OP ZIJNE RICHTING OP EEN MEDEGESLEEPT LICHAAM UITOEFENT. 21 Onderstellen wij dat het middelpunt van den bol zich op een afstand h van het midden van den stroom bevindt, en wel aan de zijde der positieve z, dan is en dus B — A = 2h, 2 h D2 7 — Q_ D2 Evenzoo vindt men _4 ABQ (D2 — h2) Q X (A + B)2~ D2 Derhalve wordt _{D2 — 7ï2) Q 1 QR2 s D2 BB2 en h Q u~ D2' Zooals a priori gemakkelijk te zien was, heeft er in alle lagen wenteling plaats, behalve in het midden. De gevonden waarde van a duidt dit ook aan, daar deze verdwijnt, wanneer h = 0 wordt. Men vergelijke Sciiklarewsky (t. a. p., p. 630). HOOFDSTUK VI. § 11. Gaan wij thans na, hoe wij gebruik kunnen maken van de algemeene stelling, die zal dienen om de gezochte kracht te bepalen. Deze stelling, die in de genoemde verhandeling van Prof. Lorentz voorkomt, staat daar geschreven in den vorm: J(u' X, -j- v' Y,w' Z,) d tr — ƒ (w X'„ -j- v Yn + w Z„) d <t — p ƒ ^ u' d u dl -ƒ[(»' X — u X1) + enz.] d r -j- p 2) d(uv) d (u w) ^ + dy dz J ^)+e nz.Jrfr- d(uri) + Ö (u v') d (u w) + dy dz -j- enz.J d r. (I) Men heeft hier onder <r het grensvlak eener geheel met de vloeistof gevulde ruimte r te verstaan, onder n de aan <7 met betrekking tot de ruimte t naar buiten getrokken normaal. Onder u, v, w zullen wij verstaan de snelheidscomponenten bij den bewegingstoestand van ons systeem, nadat daaraan eene snelheid — s is medegedeeld. Daarentegen behooren w', v', w' bij eenen denkbeeldigen bewegingstoestand met oneindig kleine snelheden, evenals de werkelijke bewegingstoestand stationair, en niet onder den invloed van uitwendige krachten. Xn, Yn, Z, zijn de spanningscomponenten op het oppervlak ir bij de werkelpke beweging, X'„, Y'n, Z'n de over­ eenkomstige grootheden bij de denkbeeldige beweging. De uitwendige krachten per volume-eenheid zijn in het eene geval door X, F, Z, in het andere door X', Y’, Z' voorgesteld. Bij den werkelijken bewegingstoestand zullen wij geen termen van hoogere orde dan de tweede behouden. De gemaakte onderstellingen omtrent de onafhankelijkheid van den tijd en de afwezigheid der uitwendige krachten laten in het tweede lid van (I) slechts de laatste integraal over. Bij den denkbeeldigen bewegingstoestand nemen wij aan, dat aan het boloppervlak w' = 0, i/ = 0, w = c (c een oneindig kleine constante).(21) en dat aan de platen u' — v = w' — 0 is. Deze toestand is blijkbaar van overeenkomstigen aard als de vroeger besproken toestand A,. § 12. ’t Zal verder blijken, dat een aantal termen in onze vergelijking verdwijnen. Voor 46 V. Het bewijs van het beginsel van den kleinsten dwang in het leerboek van Schell is niet volledig. VI. De steeds meer ingewikkeld wordende verklaringen en formules op physisch en chemisch gebied aan den eenen kant en de doelmatigheid van het bestaande aan de andere zijde geven — afgezien nog van andere redenen — meer aanleiding tot de gedachte, dat de grondwerkelijk- heid aller dingen is een zelfbewust wezen met een ondoorgrondelijk verstand, dan eene onbewuste materie met hare blinde toevalligheden. VII. Het valt te betwijfen of Cauchy gelijk heeft, wanneer hij zegt: »S’il nous était donné d’apercevoir les molécules des corps .... elles préseuteraient 'a nos regards des espèces de constel- lations; et en passant de 1’infiniment grand a 1’infiniment petit, nous retrouverions dans les dernières particules de la matière, comme dans l’immensité des cieux, des centres d’action placés en présence les uns des autres”. VIII. Inertie is op te vatten als een op ervaring gegrond begrip en niet als eene denknood- wendigheid. IX. De behandeling van »het tweede hoofdbeginsel der thermodynamica” in Maxwell’s »Theory of Heat” (4' druk) laat — hoe verdienstelijk dit boek overigens moge zijn — aan duidelijkheid te wenschen over. 24 Z, = — p -f 2 jtt d 2 Nu hebben we gezien, dat u eene evene functie van x is, en dat v en w onevene functiën van x zijn; p is eene onevene functie van x. Alle termen, die in de bovenstaande integraal van de eerste machten der snelheden afhangen, zijn derhalve oneven ten opzichte van x, en de integratie dezer termen over het boloppervlak zal dus het resultaat 0 opleveren. Daarentegen is uit de vergelijkingen (20) — waarin het even of oneven karakter van Q,, Q2, Q3 ten opzichte van x uit de formules (19) blijkt — gemakkelijk af te leiden, dat m2 eene onevene functie van x wordt en dat v2 en w2 even functiën van x zullen zijn. Dit is dus tegen­ gesteld aan hetgeen u, v, w zijn. Wanneer men dus bij de berekening der kracht, die op den bol in de richting der 2-as werkt, ook de tweede machten der snelheden in rekening brengt, zal men zeer goed een van 0 verschillend resultaat kunnen verkrijgen. 37 in uv, nl.: . 33r g Z Dx 'dy^z1 in uw, nl.: _ d3 r ^ (r) R3 &gZ + 0 (e-2g)z-^~--x(S — xz. Daar deze termen in w2 en uv even functiën en in uw oneven functiën van z zijn, zoo  behoeft men 3 xz van u alleen den term - R c —, 4 ró van v' alleen den term - Rc ^, 4 r3 , 3 _ / z1 1 \ van w » » » - Rc 4-- 4 \r3 r/ te nemen. De uitdrukking u Q, -}- v Q2 -f- w' Q3 zal dus eene oneven functie van z worden. Zij li de afstand, waarop het middelpunt O van den bol buiten het midden der evenwijdige platen gelegen is, en denken we ons om 0 als centrum een bol beschreven, waarvan de straal gelijk aan D—h is. De integratie nu van de oneven functie van z: u' Q{ +*/£, + w' Q, over de ruimte van dezen bol zal niets opleveren, en ook bij de uitstrekking dezer integratie over de geheele ruimte tusschen de bovenste plaat en een vlak evenwijdig aan die plaat en rakende aan dien bol, zal dit het geval blijven. Klaarblijkelijk kan alzoo in de uitkomst niets voorkomen, dat van de onmiddellijke omgeving van den bol afhangt, en dus ook niet de uitdrukking log R. Het optreden van een term met R4 log R is derhalve niet mogelijk en wij kunnen ons bij een zeer kleinen bol werkelijk tot termen bepalen, die R alleen in den factor R4 bevatten. § 21. Wat verder de bovenste grens, d. w. z. de meer verwijderde deelen der ruimte be­ treft, zoo is ’t in te zien, dat hierin door het integreeren geen nieuwe macht van R gebracht kan worden. Nu zullen bij de berekening van Qt, Q3 de termen A0 op zich zelf niets opleveren. Immers neemt men alleen deze termen, dan wordt elke Q gelijk nul. Verder bevatten A,, A.2, As, A4 en de hieruit door terugkaatsing ontstaande beweging geen lagere machten van R dan de derde. De eenige wijze, waarop men in m2, uv, uw, enz. termen kan verkrijgen, die geen hoogere machten van R bevatten dan de vierde, is deze, dat men de producten neemt van de deelen die R3 bevatten met termen van A0. Zoo komt men in Q,, Q2, Q3 tot den factor R3. Om ons te bepalen tot R4 moeten wij dus in u', v', w' alleen de termen met R behouden. 17 Bijdrage van A0. Deze is J d >.r (— 2yz2-\-/3z-f-2y z2). Daar deze integraal over het boloppervlak genomen moet worden, is hare waarde gelijk nul. Bijdrage van Av ft fdtr( 18 b R~6 x2 — 30 b R~s xi — S0 b R~» x2y2 + Gb R~6 y2 — 30 b R~s x2z2 + Qb R~8 s2 + + 6 c R~6 x* -j- 6 e R~6 x2 y2 -f 6 e R~6 x2 z2), waarvoor men gemakkelijk vindt, als men ter vereenvoudiging den factor 4 ir g R2 weglaat, 2 cR~* = | R~' («-«). Bijdrage van Ay De ontwikkeling van den algemeenen vorm ƒ (r Xx + r Xy + r X>) d 7 der bijdrage van A3 zullen wij trachten wat te bekorten. Wij schrijven daartoe, evenals in § 2, v 3 V , d V , + M’ + W = + Ö X Dan vinden wij v d2 F d m' Xx = — p -j- 2 g —Y 2 g ~bx2 3 x ' Xy — 2 g ö2 F ö2 F X2 = 2 g ^—1- g /3u' dv\ 'dxdy'^Xdy ö x ) ’ d u' 3 wA 1 2 Ö x) d x ö z De integraal ft ‘-x, + lx, + ‘-x.)d. wordt dan Cr x i o /x x V V z d2F J [- r P+2f*[r ï^+rJJTy + d xd y r ~d x~ü z z /3 a' 3w' r \ c* z d x + f* d t. 2 + + —) + r 3 x r \ö y ï) x/ Nu is d F ö4 = / m cl4 r c* x2 d z2 , ö2 r C ?x2 en dus, krachtens eene eigenschap der homogene functiën, x ?2 V , v d2 F . z ö2 F e , 1 ?4 (r) „ _ 1 ö4 r rdx2'rdxiïy'ri)xiz r <) x2 ï) z2 r 7> x 7> z , 1 ö2 r ° r ~d x2 3 HOOFDSTUK VIII § 22. Na het besprokene kunnen we het volgende voorschrift opmaken voor de berekening van Z0. Stel: u0 = /3 z -(- y z3 (« — s van de orde y R2 zijnde, moet weggelaten worden) 3 /x* l\ d3r * {r) ,/x3 1 \ R3 ui = — 4 "(* — ») + 9 — e ~Y~Z-c \p + 3 „, . xy . yr V.= — y S (<* — s) —y + ö - y—— 4 ' r3 D xc)yd z xy ^ 73 / . X Z I cVt* o\ (i) W ,x. R3 en noem de snelheidscomponenten der beweging, uit («,, m>,) door terugkaatsing ontstaan uin r,r, w,r. Vervang verder bij de berekening van Qt, Q2, Q3: w2 door 2 «0 (m, -j- u|r)* » “oK + V)> M» » Mo (W1 + «V), r2, iw, en ic2 door 0. Neem voorts: , 3 xz u = 4 Rc7T + , 3 „ y z. v’ = -Rcy-^ + 4 r' "'-4Bc(? + ;)+ wat hieruit door terugkaatsing ontstaat. Wanneer men gebruik maakt van de betrekking: d («I + Ml') , 3 (», + D,r) (w, 4- W,r) + + ?x dy ?2 en in aanmerking neemt, dat u0 alleen van 2 afhangt, vindt men: 0, 27 besluiten, dat Aw2,Av2,Aw2 respectievelijk zijn van de orde: I) IP rï > ~^s en daar de differentiaalquotienten naar z die naar x en y verre overtreffen, zullen u2 en v2 zijn van de orde: D*_ V en zal w2 zijn van de orde: D* r3' In het tweede geval zijn Am2, A v2, A w2 alle drie van de orde: D dus zijn u2,v2,w2 alle drie van de orde: „2 * n* ■ In beide gevallen kan men dus besluiten, dat w2, v2, w2 sneller afnemen dan — en dat p2 minstens even snel afneemt als —, wat voor ons doel voldoende is. 