title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: Dit punt moet noodzakelijk verduidelijkt worden ; even- als de afwijking van de gewone nomenclatuur, welke tot verwarring voert. Het is den ondergeteekenden niet gelukt, bij de in aanmerking körnende Zoologen van den laatsten tijd iets overeenkomstigs te vinden. Stannius, die liier, om zijn bijzondere studie van bet zenuwstelsel der visschen, wel het eerst in aanmerking körnt, zegt, in zijne Vergl. Anato- mie d. Wirbeltliiere , 184(5, lstcr Buch, Abscb. 4, Die Fusche, S. 62, het volgende : »Sogleich nach der Ganglienbildung der hinteren Wurzel verflicht sich die vordere mit ihr, und alsbald treten die Zweige aus dieser verbundenen Nerven- masse hervor. In der Regel sind Rami dorsales sea poste- riores, und Rami ventrales sea anteriores vorhanden.” En in »das peripherische Nervensyst. d. Fische, Rostock, 1849, S. 77 — 79” zou, alleen bij oppervlakkige lezing, eenige grond voor van Wijhe's opvatting schijnen te liggen. Van den nervus glossopharyngeus wordt daar gezegd, dat er uit voortkomt een ramus anterior en een r. arcus branchialis primi. Deze worden sub 1° en sub 2° beschreven ; terwijl dan, sub 3°, nog van een bij de haaien voorkomenden, bij de roggen ontbrekenden ramus dorsalis eene beschrijving volgt. Uit den ganschen inlioud van dit gedeelte, eil de beschrijving der overige zenuwen, blijkt echter volkomen, dat hier ramus anter. en r. branchialis primus (welke ook niet posterior genoemd wordt) zijn de Rami ventrales s. an- YfcKSL. KN Id Kl) EU. Sri). NATUUKK. 2de HEEKS. DEEJ. XVJU. 6 ( 82 ) teriores der »Vergleich. Anatomie”, tegenover den, sab 3°. besclireven ramus dorsalis, waarbij men gerust kan voegen seu posterior. Tn de slot-afdeeling »Alg-emeine Resultate” beamt de o o o Sehrijver met de opmerking: »Viele Untersacber haben sich mit der Frage beschäftigt, ob das BELL’sche Gesetz auch für den Kopf gellte.” T*<* gemengde, motorisch-sensitieve, aard, van den nerv, trigeminus, glossopbaryngeus, vagus, e. a., welke tocb, mor- pbogenetiscb, gebeel met achterste worteis schijnen overeen te stemmen, moeten bij den eersten oogopslag elke poging van dien aard bedenkelijk maken. Van Wijhe vermeldt de poging van Balfour om, door een vcrnuftige veronderstelling, toch nog een genetische overeenstemming tusschen ruggemergs- en hersenzenuwen mogelijk te maken. Die poging, wier aard en strekking hier, zonder groote uitvoerigheid, niet kunnen verduidelijkt worden, mag als mislukt beschouwd worden. Als van Wijhe dat heeft aangetoond, tracbt bij, op eene andere wijze, de toepasselijkheid der (gewijzigde) wet van Bell op de hersenzenuwen vol te houden. Daartoe maakt bij gebruik van de reeds vroeger toegelichte, door hem ge- vonden, tegenstelling tusschen de ontwikkeling der wille- keurige spieren aan den rornp uit de somieten of » Urwirbel- platten”, en aan den hals en het hoofd (voor een groot deel) uit de zyplaten. Op grond daarvan : »muss das BELL’scbe Gesetz für den Kopf folgender Weise formulirt werden” blz. (60). Die dorsalen Wurzeln sind sensitiv und innerviren nur die aus den Seiten-platten, nicht aber aus den Sonnten stammenden Muskeln. Die ventralen Wurzeln sind rein motorisch, innerviren aber nur die Muskeln der Somiten, nicht diejenigen der Seitenplatten. Het bevreemdende van »dorsalen Wurzeln, welche sensitiv sind, und Muskeln (waaronder willekeurige ; wij noemen slechts den musc. §tylo-hyoideus en digastricus) innerviren”, ( 83 ) wordt getemperd door eene kleine toelicliting, welke de gan- sche opvatting van van Wijhe wel niet, naar de meening der verslaggevers, zonder meer, aannemelijk maakt, maar haar toch verduidelijkt. Die toelichting volgt terstond op de dubbel onderschrapte twee Stellingen, welke »le eouronnement de 1’edifice” van van Wijhe’s beschouwing over de genetische beteekenis der hersenzenuwen vormen: »lassen wir die vegetativen Muskeln ausser Acht — wie dies so viel ich es beurtheilen kann, von den das Bell 'sehe Gesetz prüfenden Physiologen ge- schehen zu sein scheint — so folgt für den Rumpf, wenn wir das Gesetz in der obigen Fassung zupassen: Die dorsalen Wurzeln sind nicht motorisch sondern rein sensitiv ; die ventralen sind nicht sensitiv sondern rein moto- risch = das Bell 'sehe Gesetz in seiner gewöhnlicher Fassung.” De zin dier, niet in nadere bijzonderheden omschreven, beschouwing is blijkbaar deze: zelfa bij de ruggemergszenu- wen, voor welke de wet van Bell gevonden werd, is het de vraag of niet in de achterste worteis vezelen voorkomen, welke zieh in de spierlagen van het darmkanaal en zijne aanhangsels vertakken. Zij zouden dan, in den strengsten zin van het woord, reeds niet meer zuiver sensitief zijn. Nu gaat van Wijhe, op grond zijner morphogenetische onder- zoekingen, een stap verder, en zegt : ook de kieuwboog- en kaakspieren (sclioon voor een groot deel willekeurige en dwarsgestreepte spieren) körnen uit betzelfde vormingsma- teriaal voort als de darmvezelplaat, derhalve is dat geen beletsel voor de beschouwing der daarheen gaande achterste (dorsale) zenuwwortels, in het licht der wet van Bell. Tegen deze beschouwing zouden velerlei bedenkingen te maken zijn. Wat de formuleering betreft, zou men liever lezen, in plaats van : die dorsalen (hersenzenuw) Wurzeln sind sen- sitiv und innerviren .... Muskeln”: die dorsalen Wurzeln enthalten den bei den Rückenmarksnerven rein sensitiven Theil der segmentalen Nerven, und innerviren überdiess, u. s. w. — of een dergelijke omschrijving. Doch hoofdzakelijk wenschen de ondergeteekenden te doen 6* ( 84 ) opmerken, dat het karakteriseeren der bersenzenuwen als dorsale en ventrale zenuwwortels (waarop liet bovenal aan- komt) door andere ontleedkundigen op gebeel andere wijze geschiedt dan door van Wi.the. In het stelsel van dezen is de nervus trocklearis ventrale wortel, in de tabel van Schwalbe (in diens voortreffelijk Lelirbucb der Neurologie) dorsale. De nervus facialis, bij van Wijhe dorsale wortel, is bij Schwalbe ventrale. De beteekenis der ganglia in bet verloop der liersenzenuwen wordt door van Wijhe met, of slechts ter loops, in aanmerking genomen ; bij Schwalbe zijn zij voor de interpretatie van groot belang. Wij zagen reeds lioe in dit opzicht, wat het ganglion ciliare betreff, verscbil van opvatting tusschen van Wijhe en Schwalbe bestaat. Verder maakt van Wijhe volstrekt geen melding van de bescbouwing der liersenzenuwen, waartoe Wiedersheim te Freiburg *) op grond van anatomisch en genetisch onder- zoek gekomen is. De nervus hypoglossus, en bij van Wijhe en bij Schwalbe ventrale wortel, wordt bij de voorstelling van Wiedersheim een stelsel van vier dorsale en even zoo vele ventrale worteis. Op grond vanv bet onderzoek der zenuwen, neemt Wiedersheim bij Petro myzon elf (van Wijhe bij de Selachiers negen ) Segmenten aan. Daarenboven geeft Wiedersheim eene tbeorie omtrent bet ontstaan der zoo samengestelde toestanden der liersenzenuwen bij de hoogere gewervelde dieren, welke alle belangstellin g verdient, maar liier niet kan medegedeeld worden, indien de ondergeteekenden geen uitvoerig zelfstandig overziclit over O o o o bet ganscbe vraagstuk zullen schrijven. Zij vermelden deze hoofdzaken slechts om te doen zien, wat men denken moet van de rangscliikking der hersenze- nuwen naar de zoogenoemde wet van Bell ; en vragen, of er bij eene opvatting als van van Wijhe nog van die wet sprake kan zijn. Daarmede beweren zij niet dat diens fundamen- *) Morphologische Studien. 1. Das Gehirn von Aramococtes und Petromyzon Planeri, mit besonderer Berücksichtigung der spinalartigen Hirnnerven. Jena, 1880. ( 85 ) teele beschouwingen onjuist zouden zijn. Zij meeneu slechts dat, bij den tegenwoordigen stand van zaken, zulke bescbou- wingen niet als vast staande waarbeid mögen gedrukt wor- o o O den, maar dat blijken van bekendbeid met en in aanmerking nemen van anderer meeningen niet gebeel bebooren te ont- breken. Eene omwerking der verhandeling van Dr. van Wijhe, O O 7 al geldt bet dan voornamelijk aanvulling en wijziging van den vorm der twee laatste körte afdeelingen, scbijnt hun dus wenschelijk alvorens die verbandeling in »de werken der Akademie” wordt opgenomen. Op grond van bet bovenstaande stellen de ondergeteekenden voor: Dr. van Wijhe gelegenbeid te geven, door kennisne- ming van dit verslag, tot wijziging en aanvulling zijner verbandeling ; en deze, als zulks naar bet oordeel der ver- slaggevers voldoende is gescliied, in de werken der Aka- demie te doen drukken. Utrecht , Leiden , Maart 1882. W. KOSTER. C. K. HOFFMANN. RAPPORT OVER EENE VERHANDELING VAN DEN HEER P. L. B A K K E R: „DE SCHT.JE, TEE VERVANGING VAN DE KRUK AAN DE AS, ONTLEEND AAN DEN ONTWONDEN CIRKEL, IN TOE- PASSING TE BRENGEN OP DE WERKTUIGEN.” (Uitgebragt in de gewone Vergadering van 25 Pebruarij 1882). De Heer Bakker, te Everdingen, lieeft aan de Akademie opgedragen een Opstel, dat tot titel lieeft: » Verliandeling van de scliijf, ter vervanging van de kruk aan de as, ont- leend aan den ontwonden cirkel, in toepassing te brengen op de werktuigen.” Die titel heeft, evenals het opstel. de eigenschap van niet zeer duidelijk te zijn. De omzetting eener regtlijnige in eene ronddraaijende be- weging lieeft bij de werktuigen veelal plaats door middel van eene kruk ; de krukstang maakt met den arm lioeken, die afwisselen van 0° tot 180° en er gaat dus van de aan- crewende kracht een groot deel te loor. Ter vervanging van de kruk wil de Schrijver gebruik maken van eene scliijf, begrensd door de ontwindende kromme lijn van een cirkel en wentelende om het middelpunt van den ontwonden cirkel. De krukstang wordt vervangen door eene rol, die om haar centrum draait en tegen de schijf drukt. De normaal op de gemeenschappelijke raaklijn is tangens aan den ontwon- den cirkel en de kracht werkt dus altijd op een kefbooms- ix rm, gelijk aan den straal van dien cirkel, zoodat inderdaad ( 87 ) de doode punten van de kruk worden vermeden en de krackt altijd in de meest günstige rigting wordt aangewend. De Sckrijver ondersckeidt enkele en dubbele schijven. En- kel noemt hij eene schijf, die aan eene zijde van eene xnid- dellijn van den ontwonden cirkel door eene evolvente, aan de andere zijde willekeurig begrensd is ; dubbel, wanneer de eene zijde door eene regtsche, de andere door eene linksclie ontwindende is gevormd. Om een denkbeeid te geven van de werking zijner schij- ven, levert de Sckrijver scketsen, voorstellende de toepassing eener enkele schijf op eene draaibank en van twee enkele schijven op eene velocipede, welke beide scketsen ongeluk- kig zeer misteekend zijn, dock waaruit wel te begrijpen is, wat hij bedoelt. Eene derde sckets is, volgens liet opsckrift, toepasselijk op stoomvermogen. Het is mij, zelfs met de besckrijving, niet mögen gelnkken de bedoeling van den Sckrijver te begrijpen. De verlengde zuigerstang van ket werktuig kan, voor een deel, om een sckarnier, eene slingerende beweging aannemen. Die stang draagt twee rollen, waartusscken zick eene dub- bele schijf bevindt. Bij de voor- en ackterwaartsche bewe- ging van den zuiger deelen de rollen vermoedelijk niet in de slingerende beweging ; maar zij drukken beurtelings tegen den rand der schijf, waardoor deze om haar middelpunt draait. De verlengde zuigerstang is met het einde van een blök Verbünden, dat in eene siede van een hefboom kan lieen en weer schuiven. Het draaipunt van dien hefboom en bet hart van de schijf zijn vaste punten. Door de heen en weer gaande beweging van de zuiger- stang draait het daarmede Verbünden einde van het blök om het draaipunt van den hefboom en schuift het blök in de siede heen en weder. Of nu het einddoel van den Schrijver is de heen en weer gaande beweging van het blök, de ronddraaijende beweging van zijn eene uiteinde, of eene slingerende beweging van den hetboom, is niet te raden. Zeker is het, dat men voor ( 88 ) geene dezer bewegingen de tussclienkomst der sckijf noo- dig heeft. Ook de schets is niet gelukkig uitgevallen. Een werktuig, daarnaar uitgevoerd, zou tot stilstand gedoemd zijn. Nogtans is ook hier eene ronddraaijende beweging, zon- der doode punten, te verkrijgen, door de lijn, die liaaks op de rigting van beweging van den zuiger, door bet middel- punt van den ontwonden cirkel gaat, als hartlijn van de omwentelingsas der machine aan te nemen, en de zuigerstang, door daaraan verbonden rollen, beurtelings, regts en links, op den omtrek eener enkele schyf te doen drukken. Het voordeel der normale drukking gaat echter voor een groot deel, zoo niet geheel, verloren, door de omstandig- heid, dat de straal van den ontwonden cirkel niet grooter zijn kan dan ongeveer drie tienden van de slaglengte der ma- chine, terwijl de arm van de gewone krnk de helft dier slaglengte tot lengte heeft. Het is mij niet bekend dat soortgelijke schrijven ooit bij werktnigen zijn toegepast, doch het komt mij voor, dat het praktisch bezwaar, verbonden aan de constrnctie eener zuivere ontwindende op eene groote schaal, te zwaar weegt tegen- over het voordeel der constante normale drukking, om daar- van bij stoomwerktuigen gebruik te maken en dat dit voor- deel geheel verloren gaat door de beperkte afmetingen van den hefboom. Waar de lengte van den krnkarm van geen ander deel van het werktuig afhankelijk is, of de grootte van de schyf door geene bijomstandigheden wordt beperkt, kan zij mis- schien toepassing vinden. Ter opneming in de werken van de Akademie is het op- stel niet geschikt. Den Haag , Februarij 1882. MICHAELIS. BRIEF VAN HET LID DER KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN E. H. VON BAUMHAUER AAN DE NATUURKUNDIGE AFDEELING DERZELFDE AKADEMIE. (Voorgelezen in de Vergadering van 28 April 1882). De ondergeteekende, lid der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, neemt de vrijheid aan de afdeeling Wis- en Natunrkundige Wetenschappen een briefwisseling met bijla- gen mede te deelen, door hem met Z.E. den Minister van Binnenlandsche Zaken gevoerd ten aanzien van de, naar zijn oordeel wenschelijke, deelneming van de Nederlandsche Regeering aan bet op het Interuationaal Geologisch Con- gres in 1881 te Bolagna besloten plan, tot het doen ver- vaardigen van een geologische kaart van geheel Europa, met geldelijken steun der verschillende Staten. De ondergeteekende hoopt dat de Afdeeling, lettende op alinea a van Artikel 2 en alinea b van Artikel 3 van het Reglement voor de Koninklijke Akademie van Wetenschap- pen, vastgesteld bij Koninklijk Besluit van 23 Februari 1855, n°. 1, termen zal vinden om zieh in het belang dezer hoogst nuttige wetenschappelijke onderneming tot Z.E. den Minister van Binnenlandsche Zaken te wenden, met ver- zoek op zijn afwijzende beschikking terng te körnen, of wel, gebrnik makende van Art. 22 van genoemd Reglement, aan de Regeering voor te stellen een tijdelijk verhoogd subsidie tot dit aangewezen doel te verleenen. De eer van Nederland op wetenschappelijk gebied gedoogt, naar het oordeel van den ondergeteekende, niet dat ons vader- land bij deze wetenschappelijke internationale onderneming, die zoo luttele geldelijke öfters vordert, achterwege blijve. E. H. VON BAUMHAUER. A D V I E S BETREFFENDE EENE NIE UWE GEOLOGISCHE KAART YAN EUROPA. In antwoord op een schrijven van den Secretaris d.d. 24 April 1882. ("V oorgcdragen in de Vergadering van 28 April 1882). Door den Secretaris der Koninklyke Akademie van Weten- schappen, afdeeling Wis- en Natuurkunde, namens liet Be- stuur daartoe verzecht, heb ik de eer de Akademie voor te lichten omtrent eene nieuwe geologische kaart van geheel Europa. Het plan dezer kaart is opgevat geworden op het tweede internationale geologische Congres, gehouden te Bologna in September 1881, en de uitvoering daarvan opgedragen aan eene internationale Commissie, waarvan de Heeren Beijrich en Hauchecorne te Berlijn tot Directeuren benoemd zijn. De laatst genoemde Heeren hebben de teekening der kaart aan den Heer H. Kiepert te Berlijn toevertrouwd. Door de zamenwerking dezer mannen is de deugdelijke uit- voering van het grootsche werk alleszins verzekerd, indien de Commissie door de Europeesche gou vernementen in vol- doende mate van wetenschappelijk materiaal en van geld- middelen wordt voorzien. Aan bouwstoffen worden gewenscht: de topographische en de geologische kaarten der verschillende landen. Voor Nederland zouden in aanmerking körnen: de topographische kaart, uitgegeven door het Ministerie van Oorlog en de geologische kaart, bewerkt door wijlen Dr. Staring, insge- lijks uitgegeven door het Ministerie van Oorlog. ( 91 ) De geldmiddelen, voor de vervaardiging der kaart van Europa vereischt, worden op 100.000 frs. geraamd. Blijkens eene hierbij overgelegde memorie der Directeuren Beijrich en Hauchecorne, zullen de Europeesclie Staten deze som door aankoop van 900 exemplaren der kaart, a 100 frs., bijeenbren- gen. De Commissie veronderstelt dat de acht groote Staten bereid zullen zijn tot den aankoop van honderd exemplaren elk, en dat de overblijvende honderd onder de zes kleinere Staten verdeeld zullen worden, zoodat dus Nederland zieh tot den aankoop van 17 exemplaren zoude moeten verbinden, waarvan de betaling, die over den tijd van vijf jaar ver- deeld wordt, jaarlijks 340 frs. zoude vereischen, gelijk staande met 164 gülden Ned. Ct. De wenschelijkheid eener nieuwe geologische kaart van geheel Europa behoeft voorzeker geen betoog, aangezien de bestaande te klein en bovendien verouderd zijn. De nieuwe kaart zal op eene schaal van 1: ll/% millioen uitgevoerd worden, in 49 bladen van nagenoeg 50 c.M. kantlengte. Met het oog hierop, komt mij de prijs zeer bil- lijk voor, en de wijze waarop de medewerking der gouver- nementen ingeroepen wordt, dunkt mij zeer doelmatig te zijn, aangezien tal van universiteiten en scholen binnen kort tot de aanschaffing der kaart zouden moeten overgaan, indien daarin niet bij voorbaat door de gouvernementen werd voorzien. Xederl.md mag zieh, mijns inziens, niet aan eene derge- lijke wetenschappelijke onderneming onttrekken , die met luttel gelds veel nut zal stichten; ik acht het dus mijn plicht, mij bij het voorstel van den Heer E. H. von Baum- iiauer, hiernevens overgelegd, aan te sluiten. Delft , 27 April 1882. Het Lid der Kon. Akad. van Wetenecliappen , Ür. Th. BEHRENS. RAPPORT OVER DE VERHANDELING „ EENIGE OPMERKINGEM OMTRENT GEWONE LINEA IRE DIFEERENTIAAL VERGEH JKINGEN,” door Dr. W. KAPTEIJN. (Uitgebraclit in de Vergadering van 28 April 1882). — r — i i De verliandeling van Dr. W. Kapteijn, waarover wij te rapporteeren hebben, bestaat uit twee, gebeel afgescbeiden, gedeelten. De eerste paragraaf behandelt lineaire differentiaalverge- lijkingen van de tweede orde, van berleiden vorm, en zoekt ze terug te brengen tot zulke met standvastige coefficienten, a) door de onafhankelyk veranderlyke, b) door de afhankelijk veranderlyke te vervangen door eene andere. Zulke substitu- tie levert eene nieuwe lineaire differentiaalvergelyking, waar- van nu de coefficienten, om aan de gestelde voorwaarde te beantwoorden, evenredig moeten zijn aan de genoemde stand- vastigen. Hierdoor verkrijgt men twee vergelijkingen, waar- uit men de nieuw ingevoerde veranderlyke en baar ditferen- tiaalquotient wederom kan elimineeren, om alzoo tot de gezöchte voorwaarde te geräken. De tweede paragraaf behandelt lineaire difi'erentiaalverge- lijkingen der mdu orde m dm- k u waarbij ondersteld wordt, dat altijd ak pk (« x) — pjc (a-) en ook am p (a x) = p (#) [waar = 1 is]. Eene integraal f(x) levert er dan /li — 1 andere f (uk .r). Scbrijver neemt vooreerst den herleiden vorm, duspO) = 0, ( 93 ) en bepaalt een determinant A, waarvan het niet-nul zijn aangeeft, dat er geenerlei afhankelykheid bestaat tussclien de fj. bijzoudere integralen f iyA x) voor k — 0, 1, 2, . . u — 1 ; hierbij is u m. Wanneer die determinant A echter wel nul is, geeft hij aan, lioe dit ontstaat door het nul worden van alle uit de laatste v kolommen te vormen onderdetermi- nanten van de orde ; zoodat er alsdan /.i — v -4- 1 lineaire betrekkingen bestaan tusschen die /l/ byzondere integralen. Het geval eener niet-herleide vergelyking wordt tot het vorige teruggebracht door het invoeren van het reken kundig midden der /u byzondere integralen, eene ten opzichte der worteis u symmetrieke functie. En nu leidt schryver, als gevolg, het theorema af: »Van eene lineaire difierentiaalvergelyking, voldoeude aan de bovenvermelde voorwaarden a!c p^a x)—p/c (x) en ump[ux) = P i.x)i [af* — 1], bekeud, dat eene byzondere integraal ont- wikkeld worden kan naar de opklimmende en afdalende mach- ten van x; dan heeft hare integraal den vorm ' y = ~ Ai* of y — 2 Ar[l &V- , al naarmate p (x) al of niet nul is.” Het gezegde wordt toegepast op de differentiaalvergely- kingen der LEGENDßn’sche coefiicienten, der toegevoegde func- tien, der BESSEL’sche functien van de lste soort, der BsssEL’sche functien van de 2(le soort, zoowel voor n oneven, alsook, na eenige discussie, voor n even ; eindelijk nog op eene difi'e- rentiaalvergelijking, vroeger door den schryver behandeld in Versl. en Meded., 2;lc lteeks, Deel XVII. Ten slotte wordt nog gesproken over lineaire differentiaal- vergelijkingen, wier coefficienten eene zelfde periode « bezit- ten, en waaiwan dan eene byzondere integraal f (x) ook de integralen f(x -}- k u ) met zieh brengt. Uwe verslaggevers meenen de Afdeeling te kunnen aan- raden, de behandelde » Opmerkingen” in de Verslagen en Mededeelingen op te nemen. April 1882. D. BIEKENS DE HAAN. E, J. VAN DEN BEEG. KADER RAPPORT AANGAAJiDE DE VERHANDELING YAN Dr. J. W VAN WIJHE. In de Vergadering der Afdeeling » Natuurkunde” van de Koninklijke Akademie van Wetenschappen, van Maart 1.1., werden de ondergeteekenden, rapporteurs over eene aan de Akademie aangeboden verliandeling van Dr. J. W. van Wijhe, gemachtigd, om, in overleg met ket bestuur der Afdeeling, genoemde verhandeling in de werken der Akademie te doen opnemen, als de Schrijver zijn arbeid op de door rapporteurs wenscbelijk geachte wijze zou bebben aangevuld en gewijzigd. Zij bebben de eer tbans aan bet bestuur der Afdeeling mede te deelen, dat door Dr. van Wijhe, naar bunne mee- ning, op voldoende wijze aan de gemaakte bedenkingen te gemoet is gekomen. Zij nemen derhalve de vrijheid voor te stellen, de gewij- zigde en opnieuw ingezonden verliandeling, naar den wensch des Schrijvers, in de werken der Akademie eene plaats te verleenen. Utrecht , Leiden , 14 April 1882. W. KOSTER. C. K. HOFFMANN. EENIGE OPMERKINGEN OMTRENT GEWONE LINEA IRE DI FFERENTI AAL VERGE- LIJKINGEN. De opmerkingen die hier zullen volgen hebben gedeelte- lijk betrekking op gewone lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde, gedeeltelijk op die van willekeurige orde. De eerste, die vereenigd zyn in de eerste paragraaf, liebben ten doel vergelijkingen te vinden die door verande- ring van onafbankelijk of door zekere verandering der af- liankelijk veranderlijke tot vergelijkingen met constante coeffi- cienten können worden lierleid ; de laatste, in de tweede paragraaf vermeld, strekken om een paar eigenscbappen van de integralen van zekere klassen van differentiaalvergelijkingen aan te toonen. § 1 . De difierentiaalvergelijking : waarin »y en r2 constante waarden voorstellen, beeft tot algemeene integraal: DOOR Dr. W. K A P T E IJ N. — o — Gi -t- h) t + d '2 y = 0 » d xl dx (1) y — Cx \ C2 e‘ (2) 6’i en C’o willekeurige constanten zijnde. ( 96 ) Stellen nu P en Q twee functien van x voor dan zal het somtijds mogelijk zijn door gescliikte verandering van de onafhankelijk of afhankelijk veranderlijke, de vergelijking: d2 y dy 7 i + Py + = Q , • • (3) d xl u x tot den vorm (1) te lierleiden ; wanneer dit liet geval is zal uit het volgende blijken. n. Bepaling van de voorwaarde waaraan alle vergelij- kingen van den vorm (3) moeten voldoen opdat het moge- lijk zij door eene substitutie : * = cp ( t ) waarin cp een tiuictieteeken voorstelt, deze te herleiden tot den vorm (1). Stelt men x = cp (t) dan gaat (3) over in : dt,\2d2 y dx) dp ^ d2 l d t\ dy 71 + PT\T, + Q* = °- a x A d xj d t De voorwaarden opdat deze vergelijking identiek zij met: d~ t/ d y — ~ — Di -f- rA i9 y — 0 dl 2 V 1 ' V dl. 1 2y zijn : / d t\ 2 dU dj \</ x ) dx 2 d x Q 1 rl + rz rj r3 Schrijft men deze beide vergelijkingen : r l r2 idjy l xj d2*, d t — Q en dxz + p y.. + + rä) ( ji I = ° • • (4) dx d l\ 2 I X dan geeft de eliminatie van l: ( 97 ) 2 P Q + dQ dx 2-Pl±^> = const. = «. . . (5) V rl r2 De coefficienten P en Q van alle differentiaalvergelijkingen van den vorm (3), waarbij eene dergelijke herleiding moge- lijk is, moeten derhalve aan de voorwaarde (5) voldoen. Indien wederkeerig in eene differentiaalvergelijking van den vorm (3) deze voorwaarde vervnld is, dan vindt men de noodige substitutieformnle uit eene der vergelijkingen (4). Hieruit volgt dat de gegeven differentiaalvergelijking op de volgende wijze kan geintegreerd worden. De waarde van c is bekend : met weet dus eene betrek- king tusschen de grootheden en j, te weten : 2 (^i + r2) l/ri r2 (6) Men neme kierbij nog eene betrekking tusschen deze twee grootheden aan die niet in strijd is met de laatste vergelij- king en losse uit deze beide rx en r2 op. Verder zoeke men de waarde van t uit eene der vergelijkingen (4), bijv. de eerste; dan is: Deze waarde van /, waarbij geene willekeurige constante moet gevoegd worden, en de gevonden waarde en r2 sub- stituerende in: r, n t n ri t y — c\e -r ^2 e vindt men de algemeene integraal van de gegeven differen- tiaalvergelijking. Een bijzonder geval doet zieh voor indien de constante c wordt gevonden gelijk — 4; alsdan toch is, zooals blijkt uit (6): i1 = r2. Het is duidelijk dat de algemeene inte- graal in dit geval wordt: TEBSL. EN MEDED. AFD. NATUURK. ^de BEEKS. DEEL XVIII. 7 ( 98 ) [i — (Ci + i) e waarin, zooals uit (7) volgt: zoodat men kan scliryven : of: waarin C3 evenzeer willekeurige constante is als C%. Eenige vergelykingen waarbij de voorwaarde (5) geldt zijn o. a. : ^ n*y dy (1 + « x2) — ~ 4- a x — ± y = 0 *) , V ^ ax2, ' dx J ’ (*5 + a) ^ t\ + (2 a-2 4- o) X y- ± tfly = 0 *) , d x* dx waarin a, h , A , B constante grootlieden voorstellen. Past men hierop bovenstaande methode toe, dan vindt men voor c in deze drie gevallen : 2 (A — b) VB 0, 0. Beschikt men nu over de willekeurige betrekking tusschen *) Boole, Differential Equations, Tkird Edition, p. 428 eu 429. ( 99 ) r1 en r2, die men mag aannemen, zoodanig dat het product ri r2 respectievelijk zij: B A2’ ± A2, A3, dan vindt men de waarden van rl en r2 uit de vergelykingen : A — A B 7-3 -f- r -(- — — 0, 7-3 ± 7-3 ± A2 zr: 0. b fr Voor t vindt men dan: / (a -f- b x) , I, dx v^T+ a x ,2 ’ / * a' Stelt men deze waarden van 7 , t-2 en t daarna in y = cier'' + c2 r* t dan vindt men de verlangde integralen. Ilet behoeft nauwelijks opgemerkt te worden dat ingeval r1 en 72 imaginair zijn men de integraal 00k kan schrijven met sin en cos. De vergelijkingen, die aan de bovengevonden voorwaarde voldoen, bebben allen, zooals uit het voorgaande blijkt, tot algemeene integraal een vorm als deze: — C\ e u /(*) + C.2e Had men gevraagd alle differentiaalvergelijkingen d2y d x 2 + Py + Qy = 0 dx te bepalen, wier algemeene integralen de gedaante bezitten: r /«/(*) , V — ^\e + W e waarin f(x) eene onbepaalde functie van x voorstelt, dan 7* ( 100 ) had men klaarblijkelijk dezelfde voorwaarde tusschen de coefficienten P en Q gevonden. b. Bepaling van de voorwaarde waaraan alle vergelijkin- gen van den vorm (3) moeten voldoen, opdat liet mogelijk zij, door invoering eener nieuwe afhankelijk veranderlijke, deze te lrerleiden tot den vorm: rP ( // z) d x1 — (ri + *2) + ri rzdz = 0 » • • • (8) waarin z eene onbepaalde functie van x voorstelt. Sclirijft men de laatste vergelijking (}h , i \ Xdv. 2 7 2*^ — (;'l + rz)Z{ j + rix * ! dx ) dx \tfi z dz ) {^-(>•1 +rs)-+wU=°, dan blijkt terstond dat alleen dan (3) met (8) identiek kan zij n indien : d z d*2 z dz 2-, + r2) z —z — (rj + r2) — f r2 z a x d x* fl x 1 P Q Elimineert men uit deze beide vergelijkingen, te weten : cl z dfi z d z Pz = 2 -—(r1 + r2)z en — — (ri + r2)— +7W. . (9) de functie z en hare differentiaalquotienten, dan vindt men dat tusschen P en Q de volgende betrekking moet bestaan: fl P 2 -j- P2 — 4 Q — (r1 — - /2)2 = constante — c. . . (10) CI X Indien in eene differentiaalvergelijking van den vorm (3) wederkeerig deze voorwaarde vervuld is, dan vindt men de functie z uit eene der vergelijkingen (9). Hieruit volgt dat de gegeven vergelijking op de volgende wijze kan geinte- greerd worden. ( 101 ) De waarde van c is bekend uit (10) ; met weet dus eene betrekking tusschen de grootbeden en r2, te weten : (r1-r^ = c. (11) Men neme hier bi] nog eene tweede betrekking tusschen deze grootbeden aan, die niet in strijd is met de eerste en bepale uit deze beide de waarden van r1 en r2. Verder bepale men z uit eene der vergelijkingen (9), bij- voorbeeld de eerste; dan komt: [P + r, + r, , 5 — d’ )g=e (12) Deze waarde van z , zonder willekeurige constante, met de gevonden waarden van en r2, stelle men eindelijk in de algemeene integraal van (8), te weten: 1 J = ~(C ier'x + men vindt dan als algemeene integraal van de gegeven differentiaalvergelij- king. Ingeval de constante c gelijk nul gevonden wordt, dan is ri = r2. Stelt men dit in (12), dan gaat biermede de al- gemeene integraal van (8), namelijk: V — ~ (Ci + <?2 x) eT' x z over in ~\\Pdx y — e (^i + C2 x). Eenige vergelijkingen, waarin de voorwaarde (10) vervuld is, zijn o. a. : fP y dy 71 + + (a + A**®)* = 0 *), dx* dx ") ScitLÖMiLCH, Höhere Analysis. Zweite Auflage p. 346. ( 102 ) y . d u x 72 +*2 t ~ a' xy — 0 *)’ dx2 dx x2 dx 3 + 2 dx + {a(a — 1) — b2 x2} y — 0 f). Past men hierop bovenstaan.de methode toe, dan vindt men voor c: 4 (b — a), 4 a2, 4 62. Beschikt men over de willekeurige betrekking tusscben ri en r2 in alle drie gevallen zoodanig dat: + *2 = 0 , dan vindt men voor rl — — r2: |/ 6 — a, a, b. Verder is dan z : bx~ 2 a e , X Waarmede de algemeene integralen worden: b x 2 ,j = e 2 = + ^ "‘j Wanneer men alle vergelijkingen van vorm (3) bepaalt wier algemeene integralen de gedaante: y = /'Wk/,X + C3/,i’j *) Frenet, Recueil d’Exercices. Dcuxieme Edition p. 233. f) Schlömilch, Höhere Analysis, p. 346. ( 103 ) bebben, waarin f (x) eene onbepaalde functie van x voorstelt, vindt men natuurlijk dezelfde conditie (10) als bierboven tusscben de coefficienten P en Q. § 2. Zij u een oorspronkelijke wortel van de vergelijking : «'*=1 (i) en : dmy dm-xy dm~2 y + p' w w + ••/>-(*)*=/■ M • • (2) eene lineaire dijferentiaalvergelijking waarin Pi (#), p% (#), .... pM (^), p {x) functien van x voorstellen die voldoen aan de vol- gende voorwaarden : «P l (« x) ==P i (*)} «2 p2 (« X)=p2 (X)l > (3) ampm(ax) = pm(x)\ a™ p (u x) = p (#) ■ dan zullen , Indien eene functie f (a;) van x aan de vergelijking (2) voldoet, ook /'(« x), f (ct2 x) . . . f («f*— 1 x) aan deze verge- lijking voldoen. Het bewijs dezer Stelling is zeer eenvoudig. Stelt men tocb x — « 2 dan gaat de vergelijking (2) over in • dmy d"‘-ly dm-2y + “ftMj^rr + “ of, indien de voorwaarden (3) voldaan zijn, in: d»i y d" 1-1 y dm~‘2 y di* + Pl (2) d ^ + p 2 (?) 5^5 + • • Pm (*) y = p (*) Hieruit blijkt dat, indien y — f (x) aan (2) voldoet, ook zal t x\ voldoen y = f(z) = f I - . Verändert men dus in eenige ( 104 ) mtegraal /(#), x in — dan verkrygt men weder een inte- graal; berhaalt men cleze bewerking dan ziet men dat ook ^(5)’ ^ (<^)’ ' ‘ ‘ inteSralen van (2) zullen zijn, en hiermede is het gestelde beweren, immers: waarin i een gebeel getal voorstelt. Wanneer derbalve de vergelijkingen (3) voldaan zijn en eene integraal f (x) van (2) gegeven is, zijn onmiddellijk nog ft — 1 integralen bekend. Deze laatste zijn echter niet al- tijd verschillend van de eerste ; alleen is bet duidelijk dat wanneer een van deze gelijk is aan de oorspronkelijke ook alle anderen daaraan gelijk zullen zijn. Met beliulp dezer Stelling kan men menigmaal uit eene gegeven integraal algemeenere afleiden. Daarbij is bet echter wenschelijk twee gevallen te onderscheiden, namelijk bet geval waarin het tweede lid der vergelijking (2) gelijk nul is en bet geval waarin dit tweede lid niet nul is. 1. p (#) = 0. Zij f(x) een integraal van de vergelijking (2) waarin de voorwaarden (3) vervuld zijn en waarin bet tweede lid nul is, dan zijn /'(«tfj, /'(«2 a-) ... /'(a"-1 ü-) ook integralen dezer vergelijking. Noernt men deze fi integralen kortweg y^ . . yp dan is de voorwaarde die voldaan moet worden, zullen deze nift Verbünden zijn door eene lineaire verge- lijking: V\ -f* ^2^2 + • • • Cp yp — o waarin C ^ Cz . . C ^ zekere constanten, die ook nul kunnen zijn, voorstellen, zooals bekend is deze, dat de volgende deter- minant niet verdwijnt: ( 105 ) d^yi d !/l dxV—C • • , > V\ d x A = 4 dV—xyp d i/i i dxt*—1' a. 1 of : A =/= 0 Is derhalve f (x) gegeven dan kan A bepaald worden; wordt dan gevonden A =/= 0 dan is dus: ^1 Vl + ^2 ^2 + • • Vv- eene algemeenere integraal van de differentiaalvergelijking, daar hierin nu C1 C2 . . Cp de beteekenis van willekeurige constanten hebben. Het is duidelijk dat dit geval slechts kan plaats hebben wanneer [ i m is. Ter opheldering möge dit voorbeeld dienen. Zij gegeven dat aan de differentiaalvergelijking. dm u 1 — — — y = 0 *) d Xm X*™ * ’ voldaan wordt door: _ 1 y\ = xm~ le X = f{x) dan vindt men terstond nog ui — 1 andere integralen aan- o o gezien de voorwaarde : Pm (« •*) = Pm (x) X 2"‘ Voldaan is indieu men « kiest als een oorspronkelijke wor- tel van de vergelijking u,n — 1. ’) Spitzer, Studien 1860. Vorwort p. 8. ( 106 ) Deze integralen met weglating van constante factoren zijn: rjn - 1 l— l a‘2 x jn — 1 • xm — * e Hiermede is de algemeene integraal: _1 _a? aPl 1 y = xm~ 1 | e -{- C% e x -\ - C§e -f- • • -f- Cp e 1 j , daar nog bewezen kan worden dat deze integralen niet door eenige lineaire betrekking verbonden zijn. Daar alle [x integralen een zelfde factor xm~ 1 bezitten, behoeft slecbts bewezen te worden dat de functies : 1 € X 1 a m — 1 e X lineair onafhankelijk zijn. Stelt men deze in plaats van 2/i Vs. 2/3 • • ü\>- — Um in A en noemt de corresponderende waarde dezer determinant A' dan is het gemakkelijk in te zien dat deze beide determinanten van elkaar afkanke- lijk moeten zijn. Dit is reeds opgemerkt geworden dtfor Hesse die bewezen beeft (Crelle 54, p. 249) dat: A = (xm-^)m A'- Tevens geeft Hesse daar ter plaatse een middel aan de hand ter berekening van A' dat op bet volgende neer komt, waarbij gebruik gemaakt zal worden van de notaties door Chuistofeel (Celle 55, p. 298) gebezigd. Noemt men de functies: l e X 1 a m — 1 e x tespectievelijk : fi fi i hi • • /*»— 1 ( 107 ) d, ( f i, k — 1 /u = nlL en voorts: d x \f k, k — 1 waarin i en k geheele getallen beteekenen en A-i =fi,fo,-i =f onderstelcl wordt, dan is: . i M ,.m—\ ,.m— 2 m— 3 2 , ^ ' ' '1,0' '2,1 ’ '3,2 ' m — 2, w — 3* Houdt men nu in ’t oog dat in het bovenstaand geval a = /“ a = /*’ • • /-—i = r“-1. dan vindt men: /i,o = (« — !) A-2 — A, ! = «(«*— l)/»3-«-l^, dx fs, 2 = «2 («3— 1) A3-“'-1 ^ , dx fm — 2, m — 3 = «OT— 3 («w~ 2 — 1) / fm — 1, m— 2 = «w~2 (ß®1-1 —1) f waaruit, na herleiding volgt : — dx’ ,"-1_«'«-2_l df dx ’ A' — « — 1)(/B — 2) ■ r (« — l)m— 1 (ec2 — l)«-2 .. — 1) — 1 ) ( 108 ) l Hierin substituerende f = e wordt m (yn-'O (m-2) I — m{m— 1) = cc (« — \)m~ 1(a2 — 1 2. 1 — l).r en ?«(?» — 1 )(m — 2) A = « (« — i)»— l («3 — 1)OT — 2 . . («m— 1 — 1) , waaruit men mag besluiten: A =/= 0. Wordt gevonden A — 0 dan zijn de /x integralen aflian- kelijk van elkaär en alsdan is bet van belang te kunnen bepalen hoevelen dezer onderling onafhankelijk zijn. Hiertoe zij opgemerkt dat wanneer tusscben fx functien v lineaire betrekkingen bestaan, men deze betrekkingen steeds zoo kan scbrijven, dat ieder hunner (x — v 4 1 fnnctien be- ! vat. Geldt eene zoodanige betrekking, dan zal ook een de- terminant van orde u — v 1, op dezelfde wijze als vroeger I gevormd uit deze u — y 4- 1 functien', nul zijn, Deze v be- trekkingen geldende, zullen dus v determinanten (u — v -f l)e orde nul zijn. Deze zijn juist de onafbankelijke determinan- ten die men kan vormen door uit de A gevormd met bebulp der /u functien de v — 1 eerste kolommen weg te laten en de overblijvende fx rijen, ieder van u — v -)- 1 elementen, fx — v -f 1 aan /u — v -f 1 te vereenigen. Daar nu omgekeerd een determinant, gevormd als boven, nul zynde, ook eene lineaire betrekking bestaat tusscben de functien in deze determinant voorkomende, zoo volgt uit het zooeven gezegde deze regel: Wanneer in A alle determinanten j/e orde die uit de laatste v kolommen, door vereeniging telkens van v rijen, gevormd kunnen worden, nul zijn, bestaan er /x — v -f- 1 lineaire betrekkingen tusscben de [x functien 3/1 3/2 • - !/p- ( 109 ) Zij bijvoorbeeld gegeven dat aan de vergelijking: d*y 2 dPy 1 dp y lhdy 16 _Q dx^ x d x3 x~ d x 2 x3 d x ar4 ^ voldoet x2 lg x, dan zullen, aangezien voor u* == 1 aan de voorwaarden (3) voldaan is, ook: x2 lg u x, x 2 lg cc~ x , x‘z lg u3 x integralen dezer vergelijking zijn. Bepaalt men nu de determinant A dan vindt men: 1, 2 lg x -f- 3, 2 lg x -|- 1, lg x 1, 2 lg « x + 3, 2 lg cc x + 1, lg a x t\ — 2xl 1, 2 «2 x + 3, 2 lg «3 « + 1, «2 * 1, 2/ja3? I 3, 2 /y «3 x -j- 1, lg a3 x Hierin zijn alle determinanten 3e orde die uit de 3 laatste kolommen gevormd kunnen worden nul, derhalve bestaan er tusschen de vier functien 2 lineaire betrekkingen. Deze zijn: xP lg x — 2 x2 lg a x -j- x2 lg oP x — 0 en: x2 lg a x — 2 x2 lg a2 x -f- xP lg a3 x = 0. Men kan dus twee dezer functien lineair in de overigen uitdrukken en vindt dus als algemeenere uit de gegeven integraal : C\ x2 lg x C'z x2 lg a x of stellende : C\ + C2 = C2, C2' lg u = ■*2 (^i + ^2 x)‘ Ilet is duidelijk dat men deze algemeenere integraal meer direct had kunnen vinden, als ook dat men hier aan (x ( 110 ) andere waarden dan 4 had kunnen toekennen; als toepas- sing evenwel van liet boven gezegde, is bij voorkeur deze weg gevolgd. 2. p{x) -1=0. Zij f (#) een integraal van de vergelijking (2) waarin de voorwaarden (3) vervuld zijn en waarin het tweede lid niet nul is, dan zijn f (« a-), f u2 x) ... f (aP— 1 r) ook integralen dezer vergelijking. Stelt men nu: /'(*) + /'(« x) + • . f (cd*—1 x) — fo 0*0 en: n*) - /o(*> = F(r) dan is f0 (j ), eene functie die onveranderd blijft indien x door c'.x vervangen wordt, een integraal van de vergelijking (2) en zijn F (x), F {a x), . . F(a.u~ 1 x) fx integralen van de verge- lijking waarin (2) overgaat indien bet tweede lid door nul vervangen wordt. Bepaalt men voor deze laatste weder de functie A dan kan men daaruit afleiden koevelen dezer af- hankelijk zijn. Zij dit aantal j/, dan is derlialve de volgende uitdrukking : fo 0*0 + ci F(~r) C2 F (««) + .. Cv F(av- 1 x) eene algemeenere integraal van de vergelijking (2). Verlaat men nu de onderstelling dat een particuliere inte- graal gegeven is, dan kan uit het bovenstaand theorema nog het volgend belangrijk gevolg worden afgeleid. Indien van eene vergelijking (2), waarin de eondities (3) ver- vuld zijn , behend is dat zij een integraal bezit die volgens de positieve en negatieve machten van x kan ontwikkeld worden , dan bezit (2), indien p — 0, een integraal van den vorm: y — JF Aip xn~lP waarin het tweede lid eene som van termen voorstelt , die ver- kregen worden door aan i verschillende geheele positieve waar- ( 111 ) den te geven en n een geheel getal betee/cent ; is daarentegen p —I— 0, dan bezit (2) een integraal van den vorm: y = ■£ r» XrV- waarin r een gelieel getal en A evenals in den vorigen vorm eene constante aanduidt. Zij vooreerst p = 0 ; indien dan f{x) = A0 xn + Al xn -1 -}- . . A„ + An+ 1 «-1 + • • • een integraal van (2) is, dan zijn ook /'(«#), /‘(«2J,),../’(arA— ■ l.r) integralen. Derhalve voldoet ook — n n)f(pfix) 4" . .a iu—l)(y— ”) f(ecl*— f1 aan deze vergelijking. Substitueert men in deze laatste uit- drukking de waarden van f(r), /'(«£•) enz. en geeft acht op de eigenschappen van de worteis der vergelijking «“ = 1, dan vindt men terstond 2 dip Zij verder p~j~ 0; indien dan weder: f 0*0 — xn -j- xn~ 1 + . • dn -j- -/n+l 1 + • .. een integraal van (2) is, voldoet ook aan deze vergelijking: “{/» + /’ (« *) + / («2 *) 4- • • /‘K-1 «) } • Substitueert men hierin de waarden van / (#), f ( u enz. dan blijkt terstond dat alleen de termen overblijven waarin de exponenten van x veelvouden zijn van /n , derhalve wordt deze uitdrukkincr : n 2. An-Tr xrv-. Men ziet het voorgaande bevestigd in vele bekende in- tegralen van differentiaalvergelijkingen. ( 112 ) In de vergelijkingen, o. a. : y _ 2-^ &J_ . n(n + 1) _ d x2 1 — x2 d x 1 — x2 ^ d2 y 2 (tu \)x dy ( n — m) (« 4- m -f- 1) d x2, 1 — x 2 d x 1 — x 2 waarin w en « geheele positieve getallen, waarvan ket eer- ste kleiner dan ket tweede, voorstellen, vindt men de voor- waarden : « V\ (« *) = Pi (*) “*P 2 (“ -0 = />s (*) indien a de oorspronkelijke wortel — 1 van de vergelijking a2 — 1 beteekent, voldaan. De bekende integralen dezer ver- gelijkingen, te weten: y = ** — » (w — 1) -h » (;/ — 1) (« — 2) (» — 3) -n - 4 y — xn 2(2* — 1) 2 . 4 . (2 ra — \)(2n — 3) (n — m) (n — m — 1) 2(2» — 1) x i n — m — 2 + (n — m)(n — m — 1 )(n — m — 2)(v — m — 3) _i_ v / v v — v xn — ni~ ^ T 2 . 4 . (2 « — 1) (2 m — 3) x2 x* \ 2 (2 n + 2) + 2.4(2« 2) (2 w~+4) ~ * j ’ die, afgezien van een coefficient, respectievelijk den naam van Legendre’s coefficienten, Toegevoegde functien en Bes- selsche functien lste soort, dragen bezitten, zooals men on- middellijk opmerkt, den vorm 2 xn~~,!x, waarin /u — 2. Evenzoo blijkt dat aan de vergelijking d2 v 3 d u + ~ dx2 x dx — 1 \ v y = xn 1 ( 113 ) waarin n een oneven getal voorstelt, voldaan wordt door y = 75 1 + nz — lz {nz — lz)(nz — 32) . 0 A “f- eene uitdrukking van den vorm: JZ /ln—2rxZr, lietgeen niet kan bevreemden, aangezien de voorwaarden « Pl (« x) = Pi (x) (“ «) — Pi (*) (#) = p (#) waarin a — — 1, voldaan zijn. Zooais bekend is beeten de waarden der laatste integraal voor verschillende oneven waarden van n Bessel’sche func- tien van de 2e soort, terwijl de Bessel’sche functien van de 2e soort voor n even worden bepaald uit 1 y = - ' + M2 nz(nz 22) +. X \ X“ X * eene functie die voldoet aan de differentiaalvergelijking : n 2 — 1 ' dz y 3 dy v ( y ) — 2 + " j + clx* x cl x y Hierin zijn de voorwaarden (3) niet geheel vervuld en het is daaraan toe te sckrijven, dat ook hier niet de vorm 2 A„~2r r gevonden wordt. Daar hier echterde voorwaarden « P\ (« *) = P\ (*) «2;j2(« x) = p2 («) ctzp (« #) = a p (x) = — p (x) gelden, mag men besluiten dat indien f(x) voldoet aan 1 x f( — x) zal voldoen aan de vergelijking 1 9 (P) = ~ ~ v ijIktiiL VEKSL, MSÜED. AJD. NATUURK. 2de REERS. DEEL XVIII ( 114 ; zoodat 9[ 2 ] •' waaruit blijkt dat de differentiaalvergelijking voldaan kan worden door eene onevene functie, immers /» ~ f(~x) 2 = V (*) zynde, is: ip(x)= — ip ( — x). 