title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: Om dit te bewijzen zal net voldaesade ziin aan te too- nen. dat. als men na de aansluiting, aan een vrlHekenriir punt. met nitzondering natunriijk van de 3 aan; 1 urtingspim- ten. eene kleine verplaatsing geeit, de bedoelie som iaar- door steels crrooter wordt. Is nn 5 de veran iering, die c-n van de hoeken ondergaat tengevolge van de aanslnitinv van het net volgens de besehreven meth p A, -f _ verandering. 'die diezelfde hoek ondergaat tengevolge van eene kleine verplaatsing van een willekemig t 'int. dan gaat de som van de Vierkanten dier veränderbaren over in: — —— d--L — __ — : Zal dl d- nu werkeliik een minimum zgn. dan moeten ^ r ' en dd q d gelijk nul zgn. Kiezen wii nu in de eerste plaats een willekeurnr punt in het inwendige van het net en «jeven wij daaraan de ver- plaatsingen l_z en [_ . dan zullen daardoor alleen verände- ren de hoeken van de zes driehoeken om dat | _ ege», die in hg. 11 afzonderlgk zgn voorgestelu. t: alleeu noodig is voor de IS daarin voorkomende hoeken de Produkten p d en ; d op te maken. Kernen wij daarbij de jr-*s evenwtjdig aan de lijn .1 B van de» aansluitdngsdriehoek en stellen wg de projeeties van de aan .1 (.' en JB C evenwgdige zijden van de kleine drie- hoekjes. op die as resy t,k door a en b voor en de hoogte van een dergeLgk driehoekie door i. dan geert on- s lande Staat _ en de producten p d en q d. ( 326 ) ( 327 ) ( 328 ) Telt men nu de twee laatste kolommen samen, dan vindt men, dat werkelijk 2 pd e n 2 q d gelijk nul zijn en dus eene kleine verplaatsing van een der punten, in het binnen- ste van het net gelegen, de som van de Vierkanten van de veranderingen steeds doet toenemen. Er blijven nu nog over de driehoekspunten, gelegen op de lijnen AB, B C en C A van den aansluitingsdriehoek ; eene verplaatsing van een dier punten brengt slechts veran- deringen teweeg in de hoeken van de drie driehoeken, die daar omheen gelegen zijn. Deze drie driehoeken verkeeren juist onder dezelfde omstandigheden respectievelijk als de driehoeken I, II, III— III, IV, V en V, VI, I van fig. 11. Maakt men nu uit den vorigen staat de sommen 2p 8 en 2 q d voor deze drie groepen van drie driehoeken op, dan vindt men telkens de waarde nul, zoodat ook eene verplaat- sing van de punten op den omtrek van den aansluitings- driehoek de som van de Vierkanten van de veranderingen van de hoeken steeds doet toenemen. Uit het bovenstaande blijkt dus, dat onze methode voor het regelmatige net van fig. 10 de som van de Vierkanten van de veranderingen der hoeken werkelijk tot een minimum maakt ; voor een minder regelmatig net zal dit in het alge- meen niet plaats hebben, maar het is toch duidelijk dat voor een net, dat van fig. 10 niet al te veel afwijkt, die som toch nabij het minimum zal körnen en dat dus in dit op- zicht onze methode eene deugdelijke mag genoemd worden. § 15. Er blijft thans nog over de hulpmiddelen aan te geven, om längs eenvoudigen weg de veranderingen te bepa- len, die de verschillende elementen van het net ondergaan, tengevolge van de aansluiting. De betrekkelijke vergrooting is volgens form. (29): kr==-C?i(^2/-(-«i')+(72(y2'+^i')=(—C’i ^2+02^2 )+(~ C\xi + ^2J0. )• Stellen wij nu door den voerstraal van het punt A^ fig. 8 en door den hoek, dien zij met de y-as maakt, voor en door p2 en 6 2 dezelfde grootheden voor het punt A2, dan gaat bovenstaande uitdrukking over in: V :=. C (j2 cos (d2— 2 y) -f- C q1 cos (0\— 2 y ). ( 320 ) Dat wil zeggen : de vergrooting wordt gemeten door de som van de projectien van de voerstralen van de twee uiteinden op de lijn Mf van fig. 8, die met de ?/-as den hoek 2 y xnaakt. Brengt men dus längs die lijn (zie fig. 13) eene schaal- verdeeling aan, waarvan de eenlieid is: 1 ab m C 100000 ~ ms 100000 ’ dan kan men, door daarop uit de twee uiteinden der lijn loodlijnen neer te laten, die twee projectien onmiddellijk af- lezen in 100000,te deelen van de lengte. Haar som geeft de gevraagde vergrooting. De correctie voor de logaritlime is gelijk aan de relatieve vergrooting, vermenigvuldigd met den modulus M — 0,4342945. Brengt men dus längs diezelfde lijn eene tweede schaal aan met de eenlieid: 1 ab m M C 100000 _ m s 43429 * dan kan men daarop bij de voetpunten van dezelfde loodlijnen aflezen. De som van de twee aflezingen geeft de correctie in eenlieden van de 5de decimaal. De verdraaiing, die de lijn ondergaat, wordt volgens form. (30) gegeven door: D—C\{yz +x\)={Ciy% + Yoert men hierin de voerstralen ^ en q2 en de hoeken Ox en 02 in, dan vindt men : D — C q2 sin (02 — 2y) -f C q x sin {6X — 2 y) — @ Qi cos (02 — 2 y — 90®) -j- C cos ( Oi — 2 y — 90®). Dat wil zeggen : de verdraaiing wordt gemeten door de som van de projectien der voerstralen op de lijn Mg fig. 8, die met de ^-as den hoek 2 y -\- 90° maakt. ( 330 ) Brengt men daarop eene schaalverdeeling aan (zie fig. 13) met de eenheid : 1 ab m C 206264 m s 206264 en leest men bij de voetpunten der loodlijnen, uit de twee uiteinden der lijn daarop neergelaten, af, dan is de som der aflezingen de verdraaiing in secunden. De verandering van een boek A2 Ax A3 fig. (8) wordt volgens form. (33) gegeven door: <5 — C\{y% — yz)-\~^z(xs xz) — + @zxz) — ^zxz)i waaruit volgt, dat die correctie gevonden wordt uit het ver- schil der aflezingen op bovengenoemde scbaal bij de voet- punten der loodlijnen, uit de uiteinden van de overstaande zijde neergelaten. In § 5 form. (12) bebben wij gevonden voor de correctie van de log. sin. van een boek de formule : A log sin A1 = A log I — A log a.2 — A log a3. Daar nu de inboud I van den driehoek gevonden wordt uit : 2 1 = y% xz — yz x% + y% xi — y\ xz + y% xz — Vz x\ zoo is: A 2/ — Ar, {yz yz) + Ar2 {y\ yz) + A*3 {y% y\) Ay, (% XZ ) Ays (#1 #3 ) A y3 ( x2 *1 )• Door hierin voor Ar,, Ar2, A.r3, Ay,, Ayä en Ays de waarden te substituieren volgens form. (20), vinden wij na herleiding : A 2 1— CY fyi'sy3'— yizyz+yz'zyi — yzzyz+yzzyz — 3/3'V— — ■ ^i'V+VW— ■ xz2yi+xzzys'—' *s'V+*s'V+ + 2 x\ y\ xz'— 2 x\yi *8 + 2 xz yz x\— 2 x*y»xs + + ^xz'l/zxz — 2xz'yzxl } —yiZxz+yi2x2—y2W+y2%'—yz\'+y3Zxi + +2 x\ y\ yz — 2 x\ y\ yz~\- 2 xzy%y\ — 2 xz yz yz~\~ -V^xzy%yz — ^xzyzy\}- ( 331 ) Stellen wij de coördinaten van het gemeenscbappelijk snij- pnnt van de loodlynen, uit de drie lioekpunten van den drie- boek op de overstaande zijden neergelaten, door X en Y voor, dan is : X. 2 1 = -y^y^y^-y^y^y^y’-y^y^y^- —Xx yx'xZ +xx yxW—x2 y2xx + x2 y2xz —xz yz'x2 + + xz'yz'xx Y .21= -\-x{*Xz— .r1'2.r2' + a’2,2a;1' — ff3'2«1,+ -\~xiV\ yz — x\ y{ y* + x2 v*y\ — V2V3 +^3 — — W^i'- I- Verder is: (xi+x2+x3) 2i=x\*y3—x\2y2+x2*y\—x2*y3+x3*!/2 — — xZ2!/\—x\1/\x3 + xxVxx2~ X2V2X1 + + x2 V2 XZ~ XZ V3 x2 +x3 y 3 X1 {yi+y2+y3)2I=—yi2x3 + yx%x2—y^xx + y^x3 — — y s'2 x2 + yz'2 xi + xi y{ y3~x\y\y* + 4- ^y^yx—^y^yz^r xzyzy2 — xz'yz'yx- Met behulp van deze uitdrukkingen gaat bovenstaande formule voor A 2 7, als wij tevens door 2 I deelen, over in : ~ Y~ — — ^1 4" xX + x2 + xz) 4" <?2 ( ^ + yx 4~ y<2 + Hz) waaruit blijkt, dat de relatieve vergrooting van den inkoud van den driehoek gemeten wordt door de projectie op de lijn M f fig. 8 van den voerstraal van bet punt, dat gelegen is op de lyn, die bet zwaartepunt van den drieboek met bet snijpunt der loodlynen vereenigt en wel op een 1/4 van den afstand van beide punten, gerekend van bet zwaartepunt af *). ( 332 ) lijnen uit de drie hoekpunten en uit liet snijpunt van de drie hoogten daarop neergelaten. Doet men de aflezing op de schaal voor de correctien der logarithmen, dan vindt men de correctie voor de logaritlime van den inhoud. Daar nu LlogI=M~ A log — M = G1 (x3' -f- x\) + Gz (y3' -}- j/i’)} a2 A log a3 = M - = M[ — 01 (x^ -f- + G2 (i/\ + #2)} a3 is, zoo gaat bovenstaande formule voor A lg sin A , over in : A lg sin A1 = M j — CY (X — */) -f- C2 ( Y — (//)} = — M G% Y) M ( C} a>i -f C2 y-^) waaruit volgt, dat de correctie van den logarithme sinus van een lioek gemeten wordt door de projectie op de lijn M f fig. 8 van bet stuk van de loodlijn, uit het boekpunt op de overstaande zijde neergelaten, begrepen tusscben dat boek- punt en bet gemeenschappelijk snijpunt der drie loodlijnen. Men kan die correctie, in eenheden van de vijfde decimaal, dus onmiddellijk vinden, door bet verschil te nemen van de aflezingen, op de scbaal voor de correctien der logaritbmen, bij de voetpunten der loodlijnen neergelaten uit bet boek- punt, en uit het snijpunt der drie loodlijnen. § 16. Als voorbeeld hebben wij in fig. 13 betzelfde net als in fig. 1 en fig. 12 voorgesteld op de scbaal — = ^. Door het punt M , midden tusschen A en B gelegen, zijn de twee lijnen Mf en Mg getrokken onder de boeken : 2y = 2 X 68011’ = 136022' en 2y 4- 900 = 136022' -f 90° = 226022' ( 333 ) met de y-as en daarop de drie schalen aangebracht respec- tievelijk met de eenheden: ab ms 100000 0,007758 7,758 mM ab ms 43429 0,017864 = 17,864 m J/ ab ms 206264 = 0,003762 3,762 m M. Uit de drie hoekpunten van den driehoek R S V zijn daarop loodlijnen neergelaten en bij de voetpunten de volgende af- lezingen gedaan, respectievelijk op de schalen voor de ver- grooting, voor de correctien der logarithmen en voor de correctien der hoeken: R 4. 6,80 +- 2,93 — 16", 8 S + 4,45 + 1,93 — 9", 3 V +- 9,03 +- 3,93 — 11", 2. Eindelijk is uit het snijpunt van de drie hoogten van den driehoek eene loodlijn neergelaten op de schaal voor de cor- rectien der logarithmen en bij het voetpunt daarvan afgelezen : 3,06. Uit deze aflezingen volgen nu de onderstaande waarden voor de verschillende correctien, waarbij tevens gevoegd zijn de waarden, zooals die door directe berekening volgen : Vergrootingen in / S V 100000ste deelen | VR der lengten *) [RS Volgens fig. 13. Door berekening. 4,45 + 9,03= 13,48 +13,5 9,03 + 6,80= 15,83 +-15,8 6,80 + 4,45= 11,25 +11,2 *) De schaal voor de vergrooting kan men des verkiezende weg laten; meestal heeft men de relatieve vergrooting niet noodig, maar alleen de correctie van de logarithme. Men kan trouwens die vergrooting ook vinden ( 334 ) Corr. van de log der /SV 1,93 zijden in eenheden VR 3,93 van de 5de decimaal * [RS 2,93 Volgens fig. 13. Door berekening. + 3,93= 5,86 + 5,86 + 2,93= 6,86 + 6,86 + 1,93= 4,86 + 4,86 Verdraaiingen der zpden /SV — 9", 3 — 11", 2= — 20", 5 VR — 11", 2 — 16'', 8=:- 28", 0 [RS— 16", 8— 9",3= — 26", 1 —20", 6 —28", 2 —26", 2 Correctien der . hoeken R — 9", 3 +11", 2=-)- 1",9 + 2",0 £ —11", 2 + 16",8= + 5", 6 + 5", 6 V —16", 8 + 9",3=— 7", 5 — 7", 6 Corr. van de log sin i R in eenkeden van de j S 5de decimaal ' V 3,06 — 2,93=+ 0,13 + 0,14 3,06 — 1,93=+ 1,13 + 1,13 3,06 — 3,93=— 0,87 — 0,85 Voor de correctie van de logarithme van den inlioud des drielioeks volgt uit bovenstaande aflezingen ook nog : 3,06 + 2,93 + 1,93 + 3,93 = 11,85 eenheden van de 5de decimaal. § 16. Bij de vorige ontwikkelingen liebben wij den oor- sprong van bet coördinatenstelsel op bet midden van de lijn AB aangenomen. Neemt men den oorsprong in een wille- keurig punt, dan blijven C en / en dus ook C ^ en C2 on- veranderd. BY en B2 worden echter niet nul en en A2' gaan over in 4] en A%. De hier geldende waarden voor ^42, B1 en kunnen gemakkelijk uit de vroeger ontwikkelde waarden voor C , /, Al en A2 en de plaats van den oorsprong worden afgeleid. door de correctie van de logarithme te vermenigvuldigen met ^ • In de meeste logarithmentafels treft men eene tafel aan van de veelvouden van — , waarin men dus onmiddellijk die producten kan vinden. M ( 335 ) Voor C en y hebben wij gevonden: C = — a b . G B — A y = 90° -f- cp - — = 90 -f- <jP — 5 ip , als -wij g -f- B — A kortheidshalve door i p voorstellen, volgt hieruit : Ci = — C sin 2 y = -- — - sin (ip — 2 q>) a b C2 — C cos 2 y — — — cos ( ip — 2 qp) a b • • (38) Stelt men den voerstraal, gaande van den oorsprong naar het punt, midden tusscken A B gelegen, door R en den boek, dien hij met de y- as maakt, door 12 voor, dan is : + xb 7 ) . ^ Vq = — = R sm 11 yo ya -t- yb R cos 11. Vergelijkt men deze uitdrukkingen met de formules (23) dan vindt men : B R = — en 12 = 2y — ß U Cr waaruit volgt: B = 2 CR = — R a b 2y — 12 = 1800 4. 2cp— «/, — 12 en dus : — -f- B sin ß — -f- 2 C R sin (2 y — 12) = — 2 CR sin (12 -f- (/» — 2 qp) = — B cos 1 3 = — 2 CR cos (2 y — 12) = == 2 CR cos (12 cp — 2 cp) (39) ( 336 ) Substitueert men de waarden van B en ß in (24) en neemt men de waarden van en A2 uit (29) over, dan vindt men : Ai = — — sin (ö-\-B — A) -f- — BP sin (2 i2 — 2 y)z=.\ Aab ab — | C c2 sin >p — C R 2 sin (2 i2 — 2 tp xp) I 2 s / ’ * Ac — cos — A) + ~ R2cos(2£2— 2y) — I 4 ab ab 1 = j C c3 cos ip — C R2 cos (2 Q — 2 <p -j- xp) ] § 17. Is het driehoeksnet niet aangesloten aan een van de zijden van den aansluitingsdriekoek in het net van hoo- gere orde, maar moeten ook aan de coördinaten van de punten A en B de correctien A za = Xa — xa , t\ya — Ya — ya 5 l\xfj — X/j — xb en Ai/6 — Yb — yb worden aangebracht, dan blijven alle beschouwingen doorgaan; alleen het punt, waar- voor Bl en B2 = 0 worden, komt op eene andere plaats en Ai, A2, C en y verkrijgen andere waarden. Neemt men den oorsprong van het coördinatenstelsel in een willekeurig punt, dan zijn de waarden van Ai, A2, B^ B2, Ci en C2 gelijk aan de sommen van de drie waarden, die men verkrijgt, in de drie onderstellingen, dat alleen het punt A, alleen het punt B en alleen het punt C eene verplaatsing behoeft te ondergaan. Berekent men die waarden volgens (38), (39) en (40), dan geven hunne sommen de waarden van A^ A2, Bi, B2 , Gi en C2, en met behulp van (21) — (24) vindt men dan de waarden van C , y , #0, y0, Ai en A2. Zoowel voor de nauwkeurigheid, als voor het gemak van deze berekening, is het wenschelijk den oorsprong van het coördinatenstelsel niet al te ver buiten den driehoek te nemen. De eenvoudigste formules verkrijgt men, door den oor- sprong te nemen in het middelpunt van den omgeschreven cirkel. De straal r van dien cirkel vindt men uit *) : *) In deze paragraaf komen de letters B en C in tweeerlei beteekenis voor; daaruit kan echter geen verwarring ontstaan, aangezien zij op de eene plaats een hoek op de andere een coefficient voorstellen. ( 337 ) b r — 2 sin A 2 sin B 2 sin C (41) en de coördinaten van het middelpunt uit: Xa -f- xb „ ya 4" yb -1 . \ X — 4- r cos C cos <pc Y= — — r cos L sm cpc \ 2 2 X_ -n 4- xc , rcosA cos cp a Y— — r cos A sin cpa ( 2 2 )-.(42) of : X= ' c 4* rcosB cos (pc F= '/f — r cos B sin Wb waarin cpc , qPa en qpi de hoeken voorstellen, die de lijnen AB = c , B C=a en C A = b met de 7/-as maken. In de formules (39) en (40), die gelden voor de verplaat- sing van ket punt C, wordt dan : B — r cos C — | c cotg C en £2 — cpc 4' 2 7 0° waardoor zij overgaan in: By— 2 Cr cos Csin((pc 4-270° +- ip — 2<pc) = — 2CrcosCcos(cpc — t/>) B2~ 2 Cr cos Ccos(q>c 4~ 2 70° -{- '/' — 2qpc) = — 2 CrcosCsin{cpc — i/’) Ai= \ Cc2sin <p — 1 Cc2 ctg2Csin(2cpc-\-5£Q° — 2^4-'/’) — Cr2sin '/' A2=± Cc2cos p — J Cc 2 ctg2Ccos{ 2(jpc4"540° — 2qp, — |— <^) = Cr2cos ip Nemen wij nu aan dat alle drie de punten eene verplaat- sing moeten ondergaan en stellen wij : /\ rn Sa sin Ga Aytt Sa COS 6a ) A xb = Sb sin Gb A yb = Sb COS G6 > . (43) A xc — Sc sin Gc A yc Sß COS Gc J VERSL. EN MEDED. AFD. NATUURE, 2de REERS. DEEL XVI. 22 ( 338 ) en verder Oa — B -f- C = < !'a G b — C A — ipi Gc A JS =z ipc = ca Sh ±= Cb >, .. ca ab = Ca (44) dan vinden wij liet volgende stel formules: C sin 2 y — — Ca sin (2 cpa — i/'a) — Cb sin (2 qp b — cpb) — — Ccsin (2 q pc — i pc) Ccos2y — — Ca cos (2 cpa — ya) — Cb cos (2 cpb — t/'j) — — Cc cos (2 qp c — i pc) (45) Bsinß= —2r {CacosAcos(ipc — cpc)-\-CbCOsBcos(ii>b — cpb) 4") 4- Cccos Ccos (wc — qPc'l / ..(46) Bcosß= — 2r [CacosAsin(ipc — qpe)4" CbCOsBsin{xpb — cpb) -f- 1 -j- Cccos Csin(cpc — qpc)} ) Al = r2 j Ca sin xpa + Cb sin xpb -f Cc sin u»c} A2 = rz [Ca cos cpa -f Cb COS cpb -J- Cc COS I pc) (47) Heeft men uit deze formules (7,/, B,ß, A1 en Az bere- kend, dan volgen x0 , y0 , Aß en Aß uit: xo = X + YcSin ^ 7 ~ ^ ) B (48) Vo = Y + ^ ) A1' = AI — ^sin(2y — 2ß) j (49) Bz ( ^' = ^-—«.(2,-20 ^ ( 339 ) In de formules (48) zijn X en Y de coördinaten van het middelpunt van den omgeschreven cirkel (zie form. 42); .v0 en yQ zijn de coördinaten ten opzichte van een wille- keurig punt als oorsprong. De waarden Ai en Aq, for- mule (47) gelden voor hetzelfde middelpunt; A\ en A'% voor het punt x0 y0 , waarvoor Bl en B.2 nul worden, § 18. Vergelijken wij thans de beide methoden niet- elkander. Bij de methode van de parallelle verschuiving is de be- paling van de correctien voor de coördinaten zeer eenvou- dig. Bij de methode van de conforme overbrenging is de bepaling van die correctien iets, doch niet veel omslachtiger. Meestal heeft men echter niet alleen de correctien voor de coördinaten noodig, maar wil men ook de correctien kennen, die de zijden en hare logarithmen, die de hoeken en de loga- rithmen hunner sinussen en die de richtingen der zijden onder- gaan. Al deze correctien worden bij de nieuwe methode längs eenvoudiger weg gevonden dan bij de oude. Bij de nieuwe methode worden zij in de kaart zelve gevonden, bij de an- dere in eene hulpfiguur. Daarbij is het noodig in die hulp- figuur lijnen te trekken, evenwijdig aan de zijden van het net, en dit kan vooral bij körte zijden aanleiding geven tot fouten. Behalve dit is het aantal aflezingen, dat men in de figuur moet doen, bij de methode der parallelle verschuiving groo- ter dan bij de nieuwe methode. Bij de eerste moet men voor iedere zijde 3 aflezingen doen, dus bij het net fig. 1. 3 X 49 = 147; bij de nieuwe methode voor ieder hoekpunt 3 en voor iederen driehoek 1 ; dus voor hetzelfde net 3 X 23 fl- 27 = 96 ; hun aantal verhoudt zieh dus hier als 3 tot 2. Wil men de relatieve vergrootingen der zijden niet hebben, maar alleen de conrectien van hare logarithmen, dan heeft men bij de eerste methode 49, bij de tweede 23 aflezingen minder, dus in het geheel bij de eerste 2 X 49 =: 98, bij de tweede 2 X 23 -f- 27 = 73. Vergelijken wij de veranderingen, die het net door de aan- sluiting volgens de twee methoden ondergaat, dan blijkt het, dat bij de methode van de parallelle verschuiving de hoe- 22* ( 340 ) ken, waar het vooral op aankomt, omdat het deze elemen- ten zijn, die door directe waarneming gevonden worden, veel grootere correctien ondergaan dan bij de nieuwe metbode. Bij het regelmatige net van fig. 10 zijn die correctien juist n-maal zoo groot. De som van de Vierkanten van die cor- rectien is bi] de eerste methode n2 <S , bij de tweede slechts 5. Tevens is bij de laatste methode deze som zoo klein als slechts mogelijk is. Ten einde ook bij een minder regelmatig net de verande« ringen met elkander te kunnen vergelijken, hebben wij het net, dat hiervoor herhaalde malen als voorbeeld gediend heeft en dat in fig. 1, 12 en 13 is voorgesteld, ook volgens de methode der kleinste Vierkanten berekend. De drie hier achter gevoegde tabeilen bevatten de uit- komsten dier berekeningen. De eerste bevat de voorloopige coördinaten der hoekpunten en de correctien daarvan. De tweede de lengten der zijden en hare hoeken met de y- as, benevens de relatieve vergrootingen en de verdraaiingen der zijden. De derde bevat de hoeken met de correctien daarvan. De lengten der zijden, de hoeken met de y- as en de hoe- ken van de driehoeken zijn gegeven tot in meters resp. mi- nuten, hetgeen voor het overzicht voldoende is ; op de nauw- keurige waarden daarvan komt het hier natuurlijk niet aan. Het blijkt daaruit, dat de lengten der zijden varieeren tus- schen 694 en 2353 meter en de hoeken tusschen 17° 16' en 121° 15'. De grootste van de driehoeken heeft een in- houd van 206, de kleinste van 33 hectaren. Uit tabel in blijkt nu, dat bij de methode der parallelle verschuiving de correctien voor de hoeken opklimmen tot 45", 2 bij de methode der kleinste Vierkanten slechts tot 10", 5 en bij de nieuwe methode tot 12", 5. De som van de Vierkanten van de correctien der hoeken is volgens de methode der kleinste Vierkanten 1813. Vol- gens de methode der parallelle verschuiving 57881 of 32-maal zoo veel. Volgens de nieuwe methode is zij 2788 *) of slechts ruim anderhalf maal het kleinst mogelijk bedrag. ) Bij de aansluiting ondergaan de hoeken van den aansluitingsdriekoek ( 341 ) Ten einde den aard der vervormingen, die het net onder- gaat, te leeren kennen, dient men vooral te letten op de teekens van de vergrootingen en de verdraaiingen der zijden, en dan blijkt uit tabel II dat, bij de methode der kleinste Vier- kanten, de vergrootingen positief zijn voor het grootste gedeelte van het net. Alleen voor de lijnen in de buurt van het punt B zijn de vergrootingen negatief. Juist hetzelfde heeft plaats bij de nieuwe methode ; daarin zijn de vergrootingen nega- tief voor alle zijden, waarvan het midden gelegen is tusschen de lijn gM en het punt B fig. 13. De verdraaiingen der zijden zijn bij de methode der kleinste Vierkanten alleen po- sitief bij de zijden in de buurt van het punt A. Bij onze nieuwe methode heeft volkomen hetzelfde plaats; alle zijden waarvan het midden gelegen is tusschen de lijn M f en het punt A ondergaan eene positieve draaiing. De methode der parallelle verschuiving stemt, wat de vervormingen betreft, in het geheel niet overeen met de methode der kleinste vier- kanten ; de vergrootingen en verdraaiingen alleen afhankelijk zijnde van de richtingen der zijden, zoo verdeelen de positieve en negatieve teekens dier grootheden zieh over het geheele net. Ook wat de teekens van de correctien der hoeken betreft, stemt de nieuwe methode beter dan de methode der parallelle verschuiving met de methode der kleinste Vierkanten overeen. Neemt men al de hoeken om een punt, dan hebben wij vroeger reeds gezien, dat bij de parallelle verschuiving die hoeken in vier groepen verdeeld worden ; in twee daarvan zijn de teekens positief in de twee andere negatief. Bij de nieuwe methode hebben wij gezien, dat die hoeken slechts in twee groepen verdeeld worden. De uitkomsten in tabel III bevestio-en dit, en gaat men daarin na de correctien volgens de methode der kleinste Vierkanten, dan vindt men dat deze, wat het teeken betreft, ook slechts in twee groepen verdeeld worden. Een enkel voorbeeld möge dit nader toelichten. Kiezen de veranderingen : — 12",69, + 4l",84 en — 29",15. De som van de Vierkanten hiervan is 2762. De som van de Vierkanten van de correc- tien der hoeken volgens de nieuwe methode komt dus ook bij dit zeer onregelmatige net op weinig na hiermede overeen (zie: § 14). ( 342 ) wij het punt *S, waaromheen de meeste hoeken voorkomen, dan vinden wij voor de correctien dier hoeken : Nieuwe M. Kl. V. P. V. XV. — 1",3 - r,4 — 11", 6 XVI. — 4'',0 — 6", 7 27", 2 XVII. — 6'', 5 — 5'', 9 + 6", 7 xvm. — 8", 3 — 5",0 — 40", 6 XIX. + 4", 7 + 3", 5 + IM XX. 4- 5",0 + 6",1 + 31", 2 XIX. + 4'', 8 + 5", 4 4- 10", 2 XXII. + 5", 6 + 4",1 — 24", 3 Vergelijken wij eindelijk nog in tabel I de correctien der coördinaten en letten vooral op de verschillen tusschen de correctien zoo als die bij de methode der kleinste Vierkanten en bij de twee andere methoden gevonden worden. Daaruit blijkt, dat die verschillen bij de methode der parallelle ver- scliuiving opklimmen tot 48 centimeter of ongeveer de helft van het te vereffenen verschil ; bij de nieuwe methode bedraagt dat verschil hoogstens 10 centimeter of ongeveer een tiende van het te vereffenen verschil. Vatten wij al het voorgaande saineh, dan vinden wij, dat bij de nieuwe methode de berekening van de correctien der coördinaten iets samengestelder is dan bij de methode der parallelle verschuiving, dat daarentegen alle andere correctien längs eenvoudiger Weg gevonden worden ; dat de Veränderun- gen, die de hoeken ondergaan, veel geringer zijn en de ver- vorming, die het net ondergaat, in het algemeen in karakter overeenstemt met de vervorming, die het net moet onder- gaan, om de som van de Vierkanten van de correctien der hoeken zoo klein mogelijk te maken. Delft , Maart 1881. ( 343 ) T ^ B E L I. VOORLOOPIGE Conforme Verschillen Kleinste Verschillen Parallelle H fc P a COÖKDINAXEN. overbrenging. C. ().- -Kl. V. Vierkanten. P.V.- -Kl. V. verschuiving. o w X y Az A, Aa: Ay Aa:  0 ff // 0 0 B 3259,48 7157,44 0 0 lt // 0 0 u // 0 0 C 9357,26 4220,82 115 97 // ff 115 . 97 u // 115 97 D 1252,48 2328,80 12 5 5 7 7 — 2 —12 2 — 5 — 4 E 2880,42 2714,64 24 — 4 3 4 21 — 8 — 2 24 19 16 F 2296,67 3089,83 22 1 8 3 14 — 2 — 7 8 7 6 G 1567,25 3389,01 21 5 IO 4 11 1 —17 — 6 — 6 — 5 H 2105,64 4316,40 24 3 9 0 15 ‘3 —18 — 5 - 3 — 2 1 2879,81 4968,47 22 5 6 — 1 16 6 —10 — 1 6 5 K 2215,62 5605,45 21 0 8 — 5 13 5 —21 —12 — 8 — 7 L 3815,20 5755,86 16 12 5 2 11 14 6 0 17 14 N 4847,83 7004,48 4 27 3 4 — 7 23 33 — 1 26 22 0 4879,48 5738,69 18 26 6 — 1 12 27 22 2 34 29 P 5382,65 6377,02 9 37 8 0 1 37 38 — 4 39 33 Q 6330,09 5892,86 24 53 9 — 2 15 55 42 — 7 57 48 R 6351,03 4547,08 49 39 7 2 42 41 23 13 65 54 S 4706,64 4199,01 35 14 4 — 1 31 15 9 19 40 34 T 4243,26 2567,65 39 — 6 2 — 3 37 — 3 5 38 42 35 U 5560,80 2555,03 60 — 1 5 — 6 55 5 8 48 63 53 Y 6202,09 3180,07 66 15 7 - 7 59 22 11 37 70 59 W 7436,21 4339,68 70 55 IO - 1 60 56 , 23 14 83 70 U 7936,26 5120,04 62 80 8 - 1 54 81 33 — 8 87 73 z 8280,87 4271,49 i 89 72 8 0 81 72 16 10 97 82 ! • I ( 344 ) T A. B E Lt II. « g u W fi Eh „ 1 Vergrootingen in DEELEN. 100000ste Hoeken met de Verdraaiingen der zijden. ga W c.o. Kl V-. P.V. IJ as. c O. Kl Y. P. V. CK: M . SCHOLS. Aansluiting -van drielioeksmetingen. Veisl en Meded A.fll Nat- 2* R.-. Dl XVI. .r Cli.M SCHOLS. Aansluiting van flrielioekätnetingeii. Plan! 17. • i'.v. .v: 7/ledsJ Afd.Nai 21 R Dl: XVI. Ch.-M, SCHO LS. Aansluitintj run drieKoelismetinjjen. U, ( h.-M. S( HO LS. Aansluitnicj van driehoeTcsmetmcjeri. T A. B E L II. (Vervolg). i p 3 Lengten der ZUDEM. Vergrootingen in DEELEN. V i 1 Hoekeu m et de IJ as. Verdraaiingen der zijden. C.O. Kl. V. P.Y. C. 0. Kl. V. P Y. )R 1894 + 8J + 7,7 + 4,1 129° 0' — 32", 5 — 32",2 — 42", 7 SO 1549 + 6,4 + 6,5 — 3,6 6°24' — 24",9 — 27",3 — 7",1 X) 1064 + 1,9 + 0,6 + 16,0 90°55’ — 27",2 — 25", 8 — 28", 8 LS 1794 + 4,5 + 5,1 — 3,0 150°12' — 20",9 - 2ü",6 — 34",3 IS 198:1 + 4,3 + 5,0 + 10,1 112°50' — 14", 4 — 14", 7 — 41",0 1K 2254 + 3,8 + 5,9 — 4,8 179°59' - 1",9 — — 28", 1 ES 2353 + 8,5 + 9,3 + 11,7 50°54' - 6",1 - 9",7 — 0",4 ET 1371 + 10,7 + 11,4 + 15,1 96° 9' + l'',7 — 9",1 — 32",5 jrs 1696 + 11,2 + 9,3 — 1,1 5°51' — 10",8 — 13",1 — 1",5 :u 1318 + 15,8 + 13,7 + 16,1 90°33' — 8",1 — 13",9 — 28",5 >u 1853 + 13,5 + 10,5 — 3,6 1 52°33' — 15", 8 — 1 9",2 — 32",8 iy 896 4- 18,1 + 15,8 + 10,0 45°44' — 17", 9 — 20",5 + 1",5 IV 1810 + 13,5 + 10,7 + 5,8 124°16' — 20",6 — 24", 6 — 42",9 >R 16S1 + 11,2 + 9,4 + 16,9 78° 3' — 26",2 — 28",7 — 18",7 R 1375 + 15,8 + 12,5 — 3,6 6° 13' — 28",2 — 29", 3 — 7",2 W 1693 + 18,1 + 14,5 + 10,3 46°47' — 31 ",6 — 29", 8 -L 1",1 w 1105 + 15,8 + 13,9 + 13,9 100°49' — 37",2 34",8 35", 5 IJ 1686 + 15,2 + 15,3 + 16,3 70° 8' - 42",0 — 41 ",4 12",4 [J 1782 + 12,7 + 13,1 + 9,1 115°42' — 46",8 — 47",7 41", 8 IJ 927 + 17,6 + 19,3 + 5,0 32°39' — 45", 4 — 41", 3 + vz 847 + 19,8 + 22,6 + 15,4 94°37' — 43",6 — 43",1 - 31", 4 JZ 916 + 19,2 + 20,0 — 4,6 157°54' 1 - 48",4 — 47", 6 29",0 JC 1 1682 j + 21,2 + 25,5 | + 6,6 1^°20' - 52",4 55",8 — 42",9 . U) , 1078 I + 23,4 + 30,5 + 15,7 92°42' - 50", 6 1- 50".0 — 30", 1 ( 346 ) T A. B E L III. s 0 W o « H P Hoeken. CoRRECTIEN DER HOEKEN. W « 3 Q PH *4 w o w C. 0. Kl. V. P. V. i A 48° 54' — 7",7 + 3",5 + 10",4 D 104° 43' + 11 '',4 + 4",8 + 6",9 E 26° 23' — 3", 7 — 8",3 — 17",4 ii D 22° 45' — 0",9 + 3”,9 — 15",7 E 46° 4' — 6",8 — 7",0 — 25'', 3 E 111° 11' + 7",7 + 3",1 + 41 '',0 in D 37° 23' — 1",7 + 0",5 — 0",7 F 58° 23' — 5",1 — 2",0 — 39",0 G 84° 14' + 6", 8 +- 1",5 4- 39",7 1Y F 58° 51' — 5", 5 — 2", 5 4- 22",3 G 82° 10' + 3",8 + 0",8 — 43",8 H 38° 59' + 1",7 + 1",7 4- 21 ",5 V F 26° 6' — 5”,4 2",2 4- 17'',7 H 121° 15' + 9",1 + 4", 1 — 18", 6 I 32° 39' — 3",8 — 1",9 4- 0",9 VI E 57° 15' — 9", 1 — 7",4 4- 31 '',2 F 105° 29' + 8'',3 + 3",6 — 42",0 I 17° 16' + 0",9 + 3",8 4- 10",8 VII H 45° V — 0",2 + 0",9 4- 8",l I 83° 54' — 5'', 2 — 5",1 — 41", 7 j K 51° 5' + 5'',4 + 4'',2 4- 33",6 ( 347 ) T A B E L III. (Vervolg.) Drieiioeken. w H » P pH * w o W Hoeken. j CorrectiEn DER HOEKEN. C. 0. Kl. V. P. V. vm B 24° 5' + 0",2 + 5",1 + 8",1 I 56° 2' — 9'', 7 — 6",6 + 36'', 9 K 99° 53’ + 9",5 + 1",5 — 45'',0 IX B 31° 28' + 6'', 5 + 6",9 + 23'', 8 I 40° 5' + 3",0 — 2",3 + P',8 L 108° 27' — 9", 5 — 4”, 5 — 28'',6 X B 62° 52' + 8",5 + 8”, 2 + 3",4 L 61° 14' — 5",5 — 4", 4 + 31", 5 N 55° 54' — 3",0 — 3'',9 — 34",9 XI L 51° 19' + 4'', 5 — 0",5 - 31 ",6 N 41° 2' + 4",0 + 5",4 -f 15'',6 0 87° 39’ — 8",5 — 4'', 9 + 16”, 1 XII N 39° 1» + 4",3 + 7'',1 + 27 ", 1 0 39° 41' + 0",2 - 7",2 + lä",7 P 101° 18' — 4",5 + 0",1 — 42'',9 XIII 0 45° 41' — 1",9 — 0",1 — 26",4 P 101° 11' + 6",1 + 4",5 + Q. 33° 8' — 4'',3 — 4",4 — 18", 8 XIV 0 45° 4' + 4",9 + 5'', 8 — 19",3 Q 84° 49’ + 1",3 + 2",0 — 11",1 R 50° 7' — 6",1 — 7",8 4- 30", 4 ( 348 ) T A B E L III. (VervoLG.) Driehoeken. Hoekpdnten. Hoeken. CoRRECTIEN DER HOEKEN. C. 0. Kl. V. P. V. XV 0 57° 24' 4- 7'',6 4 4",9 4 35",6 R 50° 57' — 6", 3 — 3'', 5 — 24",0 S 71° 39' — 1",3 — l",i — 11 '',6 XVI L 59° 17' 4 6">3 4 5",2 — 5",5 0 84° 31' — 2",3 4 — 21 '',7 S 36° 12' — 4",0 — 6",7 4 27",2 XVII I 62° 55' + 2'', 3 4 1",7 — 41",0 L 79° 43' 4 4", 2 4 4", 2 4 34'',3 S 37° 22' — 6'',9 — 5",9 4 6",7 XVIII E 50° 55' 4"t2 — 5", 5 4 11 '',2 T 67° 9' + «",* 4 10'',5 4 29”,4 S 61° 56' — 8", 3 — 5",0 - 40'',6 XIX' E 45° 15' 4 7",8 4 0",5 — 32'', 1 S 35° 3' 4 4", 7 4 3",5 4 1",1 T 99° 42' — 12'', 5 — 4",0 4 31",0 XX S 43° 18' 4 5",0 4 6" 1 4 3t'', 2 T 74° 42' 4 2", 7 — 0",8 — 27",0 U Ö 0 01 50 — 7",8 — 5'', 2 -- 4", 3 XXI S 28° 17' + 4", 8 4 5",4 4 10",2 u 73° 11' — 2'',0 — 1",3 4 34",2 v 78° 32' 9 V 7 : ’ — 4",1 — 44", 4 ( 349 ) T A. B E L III. (VekvOLG.) 55 * Ul 6 = w & Ä * r- § M m o ►— t Hoeken. CorrectikN DER HOEKEN. C. 0. Kl V. P. V. XXII R 71° 50’ + 2",0 + 0",6 — 11 '',5 S 46° 13' + 5",6 + 4",1 — 24'', 3 V 61° 57' — 7",6 — 4"; t -f 35”, 8 XXlll R 85° 24' + 9",0 + 5",5 -I- 28", 3 V 40° 34' — 3",4 — 0",6 + 8",3 W 54° 2' — 5",6 — 4", 9 — 36", 6 XXIV R 30° 41' 1- 4", 8 + 6",6 — 23", 0 W 111° 50' — 8",2 — 6",5 -f 38",6 IJ 37° 29’ + 3",4 — 0",1 — 15",6 XXV Q 63° 25' + 8",2 + 7", 7 ■f 29", 5 R 71° 1’ — 3",3 — 1",4 — 0",1 IJ 45° 34' — 4”,9 — 6",3 — 29",4 XXVI w 61° 58' 1 1 1",8 — 1",8 — 34",6 IJ 54° 45' + 3'’,0 + 6”,3 + 32",1 Z 63° 17' — 4",8 — 4",5 + 2", 5 XXVII C 29° 38' — 1",8 — 5",8 — 12",8 IJ 35° 34' + 4",0 + 8'',2 + 13'',9 z 114° 48' — 2'', 2 — 2'', 4 - 1",1 Sommcn van de Vierkanten van de correctien der hoeken: Conforme overbrenging 2788 Kleinste Vierkanten 1813 Parallelle verscbuiving 57881 KOPIJ VAN EENE BEREKENING VAN DEN UITSLAG DER GEDANE WEGINGEN EN ONDERLINGE VERGELIJKIN GEN VAN DEN PLATINA STANDAARD VAN HET NED. POND, EN VAN TWEE KOPEKEN STANDAARDS, MET HET PROTOTYPE VAN HET KILOGRAM TE PARIJS, IN HET JAAR 1838 TE PARIJS GEDAAN DOOR EENE DAARTOE BENOEMDE COMMISSIE , BESTAANDE UIT WIJLEN DE HEEREN LlPKENS, UyLENBROEK EN LOBATTO. MEDEGEDEELD DOOR F. J. S T A M K A R T. Platina Standaard. 1838. 22 October. Barom. 765,5 mm., Therm. 16° C. Yol. protot. bij 0° = 48615 cub. mm. » plat. stand. — = 46938 » Verschil in vol. bij 0° — 1677 cnb. mm. » bij 16° = 1677.7 » Cub. uitzetting plati- na van 0° tot 16° C. = 0.00041. 1 Dus zal bet gewigt Volgens de tafel van v. d. Toorn is het/van bet vol. meerder gewigt van 1 cub. centim. lucbt bij Werplaatste lucbt bedra- 765,5 mm. en 16° C. = 1,231 mgr. igen 1,6777 X 1,231 =. / 2,065 mgr. ( 351 ) In de lucht zou alzoo plat. stand. =r Prot, + 2,065 mgr. moeten zijn ; doch volgens het gemiddelde uit 10 we- gingen is » » = » +2,11 » Derhalve zal in het lucht- ledige » » = » +- 0,045 » zijn. 23 October. Barorn. 762 mm., Therm. 16° C. Gewigt cub. centim. lucht Gew. vol. meerder verpl. lucht bij 762 mm. en 16° = 1,225. = 1,6777 X 1,225 = 2,055 mgr- In de lucht zou derhalve plat. stand. = Prot. +- 2,055 mgr. ; doch volgens het gemid- delde uit 20 wegingen is. » * = » + 2,23 » Dus zal in het luchtledige » » = » +- 0,175 » zijn. 24 October. Barom. 758,5 mm., Therm. 15° C. Gewigt cub. centim. Gewigt vol. meerder verpl. lucht bij 758,5 en 15° lucht = 16777 X 1,225 — . 1,225 mm. = 2,055 mgr. In de lucht zou derhalve plat. stand. = Prot. +- 2,055 mgr. ; doch volgens het gemid- delde uit 20 wegingen. . » » = » +- 2,21 » Dus in het luchtledige. . » » = » +-0,155 » 6 November. Barom. 756 mm., Therm. 13° C. Gewigt cub. centim. lucht Gewigt vol. meerder verpl. bij 756 mm. en 13° C. lucht = 1,6777 X 1,229 — 1,229 mm. = 2,062 mgr. ( 352 ) In de lucht zou dus plat. stand. = Prot, -j- 2,062 nigr. ; maar volgens het gernid- delde uit 20 wegingen is » » = » -f- 2,23 » Dus in het luchtledige » » = » 0,168 » Volgens het gemiddelde uit de 70 wegingen, komt er: Plat. Stand. = Prot. -f- 0,136 mgr. [NB. moet zijn 0,149]. Kopeken Kilogbam B. 8 November. Barom. 754 mm., Therm. 14° C. Vol. kilogr. B ) = 122379 cub. mm. f bij 0° .ßß1_ » prot. \ = 48615 » » Verschil in vol. bi] 0° = 73764 » » Verschil in vol. bij 14° = 73843 » » Uitzetting van 0 tot 14o C. Vol. kil. B = 122379 X 0,000789 = 96,53 » prot. = 48615 X 0,00036 = 17,49 Verschil in uitzetting = 79 cub. mm. Gew. cub. cent. lucht bij Gew. vol. meerder verpl. lucht 754 mm. en 14° = 1,222 = 73,843 X 1,222 = 90,24 mgr. mgr. In de lucht zou dus kil. B = Prot. — 90,24 mgr. ; doch volgens het gemiddel- de uit 20 wegingen . . » » = » — 90,03 » Dus in het luchtledige » » = » -}- 0,21 » Kopeken Kilogbam C. 9 November. Barom. 748 mm., Therm. 14° C. Vol. kilogr. C) = 121677 cub. mm » prot. ) ° = 48615 » » Verschil in vol. bij 0° = 73062 » » Verschil in vol. bij 14° = 73140 » » ( 353 ) Uitzetting van 0 tot 14» C. Vol. kil. C = 121677 X 0,000780 = 95,98 » prot, = 48615 X 0,00036 = 17,58 Verschil in nitzetting = 78 cub. mm. Gewigt 1 cub. centim. lucht Gew. vol. meerder verpl. lucht bij 748 mm. en 14° = 1,212 mgr. In de lucht zou dus kil. C Gern, uit 20 wegingen » » Dus in het luchtledige » » Ergo Kil. B = Kil. 73,14 X 1,212 = 88,65 mgr. : Prot. — 88,65 mgr. » — 89,87 » » — 1,22 » + l,43 mgr. Vergelijking van het Kopeken Kilogr. B met den Platina Standaard [te Leiden]. 1839. 20 Januarij. Barom. 761,5 mm., Therm. 5° C. Vol. kil. B bij 0° = 122379 cub. mm. » plat. stand. » = 46938 » » Verschil in vol. » = 75441 » » Verschil in vol. bij 5° = 75469 » » Uitzetting van 0 tot 5° C. Vol. kilogr B = 122379 X 0,000282 = 34,47 » plat. stand. = 46938 X 0,000128 = 6,03 Verschil in uitzetting r= 28 cub. mm. Gew. 1 cub. centim. lucht Gewigt vol. meerder verpl. lucht bij 761,5 mm. en 5° = 1,277 = 75,469 X 1,277 = 96,37 mgr. mgr. In de lucht zou dus kil. B = Plat. Stand. — 96,37 mgr. Gern, uit 1 1 wegingen » » = » » — 95,63 » Dus in het luchtledige » » = » » + 0,74 » VEKiL. EN HEDEO. ASD. NATUUKK. 2<le KLEES. DEt^ XVI. 23 ( 354 ) [VERV0LG VERGELIJKING KiLOGR. B MET DEN PLATINA STAND.]. 1839. 23 Januarij. Barom. 775,5 mm., Thenn. 5° C. Vol. kil. B. — Vol. plat. stand, bij 5° = 75469 cub. mm. Gew. cub. centim. lucht bij Gew. vol. meerder verpl. lucht 775,5 mm. en 5° = 1,299 = 75,469 X 1,299 = 98,03 mgr. mgr. In de lucht zou dus kil. B = Plat. Stand. — 98,03 mgr. 