title: Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen.
creator: Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands) | Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Netherlands). Afdeeling Natuurkunde
text: Op mij rustte de taak, ze aan te wenden tot berekening van absolute storingen. Een deel van die arbeid, dit jaar ten einde gekomen, is u bekend geworden door de 2e Aflevering van mijn Recherches astronomiques, waarvan ik de eer had een exemplaar aan de Akademie aan te bieden bij haar voorgaande vergadering. Genoemde Memoire omvat nog maar alleen de storingen van de eerste orde door Jupiter. Dit zijn de hoofdstoringen. Die, welke door de aftrekking van Saturnus en Mars worden veroorzaakt, en de storingen afhangend van de quadraten en producten der störende massa’s, zijn van veel minder betekenis. Het liet zich alzo voorzien, dat de combinatie der verbeterde elementen van oudemans met mijn storingswaarden kon geven een ephemeride voor de aanstaande oppositie, nauwkeurig genoeg om de opsporing en waarneeming van de planeet zouder enig bezwaar te leiden. Ik heb die berekening volbracht en laat de uitkomsten, zoo kort mogelijk samengevat, volgen. * De term 'eenig bezwaar te leiden' is enig twijfelachtig. Volgens de formaliteiten van Hansen, voor de veranderingen die de elementen ondergaan, ten gevolge van de verplaatsingen van de Ecliptica en Aequator, vindt men: ΔT = -50''.24655 < + 0".0001124 Δβ = + 44.29444 t - 0".0000969 t^ Δi = + 0.28694 t — 0".0000120 t^ waarin t is uitgedrukt in Juliaanse jaren. Derhalve wordt het stel gereduceerd op het Middelbare Equinoxium van 1865,0: TT = 236' 34' 55''.68 β = 46 31 15 i = 35 51 5 en deze waarden, verbonden met de middelbare helling van de ecliptica f = 23° 27' 24".69, geven voor de constanten van Gauss: A = 136' 0' 7".87, sin a = 9.9995562 ; B = 47 15 43.34, sin 6 = 9.9539315 ; C = 40 41 56.97, log sin c = 9.6430040. Dat vermoeden is bevestigd geworden. Bij de opsporing van de planeet bleek de ephemeride minder dan 2^ fout in Rechte klimming te hebben en minder dan 5' in Afwijking. 15 April 1865. Voor de berekening der storingswaarden heeft men, volgens de tafels van Bouvard voor Jupiter (Paris, 1821) en volgens de tabellen XL, XLII en XLIII Recherches: 1864 Dec. 17.0 25.0 1865 Jan. 2.0 10.0 18.0, C I C' 228'58'31'.52 242’22’19" 230 47 49 .42 248 12 232 37 7 .32 243 42 4 234 26 25 .22; 244 21 57 236 15 43 .12 245 1 50 Niet I VI j — 432*.74 -512'.08 -514'.50 —398 .63 —512 .92 +13 .35 —364 .69 —513 .10 +12 .17 —330 .90 —512 .81 +11 .02 —297 .30 —511 .66 + 9 .82 De storingswaarden nb z werden terstond aan de C aangebracht; de v werden in rekening gebracht volgens het voorschrift, gegeven in de noot op pag. 86 der Recherches; de sin 1" eindelijk werden vermenigvuldigd met cos i cos a, cos b en cos c, en dan toegevoegd aan de belichtings-coördinaten a, y en z, die den aequator tot grondvlak hebben. De aldus verkregen x, y en z, verbonden met de geocentrische coördinaten van de zon X, Y en Z voor het middelbare aequinoxium van 1865.0, gaven een ephemeride, die, voor hetzelfde aequinoxium geldende, nog moest worden gereduceerd tot schijnbare plaatsen. Die reductie is: voor 1864 Dec. 17.0 A a = + 1*.98 25.0 + 2.16 — 11 .0 1865 Jan. 2.0 + 2 .30 — 10 .6 10.0 + 2 .39 — 10 .0 18.0 + 2 .43 — 9 .2 en daarmee werd als schijning gevonden: ephemeride voor de aanstaande verschuivingen: M. T. Berlijn. Sch. Rechte kl. (26) Sch. Afwijking. (26) Aberratie-tijd. Omdat s C 1 II m 6 1864 Dec. 17.0 77 6 8 + 26 53 15.5 15 20.0 18.0 6 12.06 55 59.5 17.6 19.0 5 16.91 + 26 58 41.8 15.3 20.0 4 20.71 + 27 1 22.2 13.2 21.0 3 23.53 4 0.6 11.2 22.0 2 25.43 6 36.7 9.3 23.0 1 26.48 9 10.3 7.5 24.0 7 0 26.72 11 41.1 5.9 25.0 6 59 26.22 14 9.1 4.5 26.0 58 25.08 16 33.9 3.2 27.0 57 23 35 18 55.3 2.0 28.0 56 21.11 21 13.0 1.0 29.0 55 18.44 23 27.0 15 0.1 80.0 54 15.43 25 37.1 14 59.3 1864 Dec. 31.0 53 12.14 27 43.1 58.7 1865 Jan. 1.0 52 8.65 29 44.9 58.3 2.0 51 5.03 31 42.4 58.0 3.0 50 1.37 33 35.6 57.8 4.0 48 57.76 35 24.2 57.8 5.0 47 54.27 37 8.0 57.9 6.0 46 50.97 38 47.0 58.2 7.0 45 47.93 40 21.3 58.6 8.0 44 45.24 41 50.7 14 59.2 9.0 43 42.98 43 15.3 15 0 0 10.0 42 41.20 44 34.9 1.0 11.0 41 39.98 45 49.7 2.1 12.0 40 39.37 46 59.7 3.3 13 0 39 39.47 48 4.7 4.6 14 0 88 40.33 . 49 4.9 ( 6.0 15.0 37 42.01 50 0.3 7.5 16.0 36 44.59 50 50 7 9.2 17.0 35 48.14 51 36.2 10.9 1865 Jan. 18.0 6 34 52 72 1 + 27 52 16.8 15 12.8 Utrecht, 26 October 1864. BIJDRAGEN TOT DE THEORIE DER BEPAALDE INTEGRALEN. DOOB D. BIERENS DE HAAN. VIII. OVER EENIGE LOGARITMICHE INTEGRALEN f dx IX TDSSCHEN DE GRENZEN 0 EN 1, OF 0 EN 00 : MET HARE AFGELEIDEN. 1. Men vindt door de ontwikkeling van reeks (zie Verh., dl. VIII, blz. 474) dx 00 0 0 00 /’l = 1j / X^ -- -- _ 0^ J o(2n) + 1 = in een 00 (— )” 1 •^"Ixdx = . (a) waarbij de integraal af 1xdx =— gevonden wordt, , a ydx^+^ 1 door de bekende / a?“ dx = / = j Ja -L 1 a -J~ I naar a te differentieren (118) Voor / ^ u%C f ’ Tg. , j wordt 1(1 i ( 1 + Tg.g) dy en verder (zie Verh. VIII, blz. 322), = / l) \4 ICos. (-—y^dy + l{[/ -Z). j ~ j Cos.y l Cos. y dy. Stel men in de laatste term, zo valt zij tegen de eerste in het laatste lid weg, en men behoudt dus. Eindelijk, wordt ook voor x = Tg.y, ?(1 + a? l-\-x^ dx l + x^ 1(1 + 2g.y)dy = — f lCos:^ydy=f ITg.ydy = 0 0 ^ — ^ l (Sin.y. Cos. y) dy. De eerste integral, in het laatste lid, volgt uit (a), als men daar x — Tang.y stelt. De tweede geeft voor ?/ =•- 2r, — / T 1 -j — I / ?(n. X dx /2 /I . > 1 1.^ f - / l - Sin. X dx ~ -1-. 1 U j 2 2/ 0 9T 0 1 n 1 — I l Sin. xdx ~ — — 12 -\ — / iSv 2 J 4^2; Sin. xdx. Nu wordt (119) 1=1/ (Sin. a r rfa;, voor x = - — y, 1 = i l Cos. x dx. Telt men dus bij ?1 /" 2 i . dx de beide vorigen op, ZOO is 2I-j — / 2= I / Sin. 2 x dx., of voor 2x = y, 4fl 7il2 = 2, I ISin.xdx = I ISin.xdx -i- l ISin.xdx. Stel men in de laatste x = 7t - y, zoo wordt zij, even als de voorgaande, gelijk aan I; dus is 4 I + ti / 2 = 2 I, dat is I = / 2. Ten slotte wordt dus 2 dx 1)”— 1 / 71 1 71 / / = s’i - - - ~ - /24- - /2 = J ' ‘ \-\-x^ 0 (2n+l)^ 4 2 2 j = 2 (-1)"- 1 + -/2 (c-) 0 (2n+1)^ 2 Het verdient opmerking, op welke wijze de laatste integraal van de beide eerste afhangt. Stel men toch 71 00 ( 1 A = - / 2, B = ^, dan is 8 o(2n+1)^' dx /■! dx ji.— --E.a,.j - *. CI I 1 l{l-\-x^'r~— = 4A-B (3) Maar nog een andere integraal van verwanten vorm ( 120 ) kan men door middel van deze A en B bepalen. Door de substitutie van x = Tan y verkrijgt men toch dx 1 + y i(l - Tan^y)dy = 0 4 l Cos. lydy - 71 I 4 l Cos. y dy. Hierin is de laatste integraal dezelfde als (c), zoo als in den loop van bare afleiding is gebleken. Verder vond men daar tevens de waarde van de andere integraal / lCos.%ydy, die voor 2y = x wordt — j l Cos. xdx, de een vorm van de aldaar. Derhalve is — = — +2(4A—B) = 2A—(4). En deze geeft weer in verbinding met de vorige integralen twee nieuwe integralen; het verschil tussen (2) en (4) en de som van (4) en (3) geven dx / (1−x)^2 = -1 en — =6A-2B. Men kan nu uit de voorgaande nog enkele andere integralen afleiden. (7) = A + B, (8) = A + B, (9) = A-β, (10) = A, (11) = 4A, (12) = 4A + B, ... (13) = 2 A, (14) = 2 A + B, ... (15) = 6A - B, ... (16) = 6 A, (17) = 6A + B, ... (18) = 6 A + 2B, ... Wanneer men nu in deze integralen x = - stelt, worden de grenzen oo en 1' terwijl de factor al een van teken verändert: de functie onder den logarithmus verändert daarbij soms, doch blijft dezelfde in volstrekte waarde, als zij den vorm a;± — heeft. Voor het onderste teeken — verändert dan ook het teken van de functie; zodat men, om denzelfden vorm te kunnen behouden, voor ZX den vorm — moet gebruiken. Alsdan geven de integralen (1) tot (19) en (22) ( 123 ) 1 /]. — a;^\2 dx 2 f 1 + l /I — x\^ dx f-i{- 2 \ ■» r“l /I — j 2 \ X yi + Ä^ 1 (hzfiY j 2 \ X* I 1 + or' 2A —  rx i = l/x } I+X^ 2 ßi 1 /■* 1 dx - = A, = 4A,. 4A + B, ri J 2 1 /l_ar2\2 dx X j \ -\- x"^ dx = 2 A, (82) (33) (34) (35) / ‘)’7^=2A + B,...(36) 1 Jl—x \2 dx 1 4-:e’ = 6A—B, . . (37) ( 124 ) J 2 [ I ßi 1 1^ /l— da^ 2 \ iv j 1 -\-x^ = 6 A, = 6 A + ß, r, dx / ^(1— ^ = 6A + 2B,. r ^ I A +A ^ dx J 2^(T^J 2 \1 — x] ] 4" 1 (1 -\- x‘^\^ dx = B, ru(i±^] j 2 \1 — x^ j l + == 2A; .. 3. Tervijl men nog heeft voor de integralen, die in vorm met (20) en (21) overeenkomen, door middel van de substitutie X = y, en de identiteit 1 + x = y, dy = dx, kan men de te integreren functionen vervangen door dx. Men krijgt aldus voor de integrale (2) en (3) resp. (38) (39) (40) (41) (42) terwijl men nog heeft voor de integralen, die in vorm met (20) en (21) overeenkomen, door middel van de substitutie X = y, en de identiteit 1 + x = y, dy = dx, kan men de te integreren functionen vervangen door dx. Men krijgt aldus voor de integralen (2) en (3) resp. (43) (44) Onder de gevonden integralen, tussen de grenzen 0 en 1, 1 en oo, zijn er telkens twee, die dezelfde vorm hebben: deze kan men dus bij elkaar teilen, ten einde wederom dezelfde integralen te verkrijgen, nu genomen tussen de grenzen 0 en oo. Men vindt aldus (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) Dat sommige integralen hier wederom dezelfde waarde verkrijgen, is toe te schrijven aan, en reeds a priori af te leiden uit de waarde van de integraal (45). Merkwaardig is het, dat hier de integralen, waarin niet de /(1 ± x) voorkomt, geheel onafhankelijk zijn van de waarde B; het- In de vroeger bij dezelfde integralen tussen de grenzen 0 en 1 of 1 en onbekend, niet het geval was. Om nu van de integralen in N°. 1, 2 de vormen 1, 3, 7, 8, 11, 12, 20 gedeeltelijk te integreren, naar de vruchtbare methode, die door mij werd ontwikkeld in een verhandeling van Deel II der Verhandelingen, heeft men in het algemeen voor eenige functie X van a, dx /i Da: X B^x. (1) een formule, die aanleiding geeft tot het bepalen van de laatste integraal, zoodra men de waarde van den geintegraalde term tussen de beide grenzen kan vinden. Voor de bovenste grens x = 1 geven de formulier (1) en (20) uitkomst, alle overigen - (1 + 1) = 2 A, Voor de onderste grens x = 0 stelt men het product voor onder den vorm X - 1 de laatste factor heeft nu de eenheid tot grens, zoodat men nog alleen die van den eerste factor te bepalen heeft. Daarvoor is nu, omdat ZX bestaat uit de bestanddeelen Ix, i(l-f-j:^), Gr. ^ , dus = - ^ __2 ~ — a; = 0, en verder a:/(l + a.) = 0 = a:/(l zoodat die term voor de onderste grens steeds verdwijnt. Men vindt dus uit de formulier 1 - 3, 8, 12, 20 1 B^x - = B; . (67) X B^x^ = A;(68) 1 -f-ar (128) / 9,xdx B^x--^—, 0 /' dus j = A + B = 2A-|‘ßj<^.x(y^-i)*, j B^x. (69) (1 - x)x = - A + B; (70) 4A + B = 2 A -Bgtg^x (Something here) Thus / ßgtg.x— T“ ~ I (1 + a^2)a; 2 3 A - B = 0 1 2 \T+a-^ ~ 1 + tc Thus 1 - 2i Thus j Bglg.a:-^- 0 2a; — a; )(!+*) daj = 3 A - B . . (72) Nog geven de som van (72) en (69), van (72) en (67), en die van het dubbele van (70) niet (72) vernietigd raet (71) 0 f f ßgig. X 1 -X- x(1 + x)(1 - x) dx = - B. ... (75) 6 Bij de toepassing van dezelfde methode op de overige integralen in N°. 1, 2 blijft het opgemerkte overeenkomt met de waarde van den geïntegreerden term bij de onderste grens x=0 gelden, daar ook Gr. x(1 - x) = 0, Gr. a’/(1 - x'^) = 0, Gr. (x - 1)^ = 0 is voor Gr. x = 0. Maar bij de bovenste grens x = 1 verkrijgen alle deze termen den factor (1 - 1) = - 00 : om dus hier te kunnen slagen, moet de andere factor nul worden, dus hier ÿJJgty.x. Zodan nu de algemene formule luidt dx /' l-\-x Men zal nu moeten nagaan, wat voor de functie X = 1 — =1 — — 1 — X*, de waarde van den geïntegreerde term wordt bij de grens a — 1 en daar- (TT 1 toe heeft men : ^ ( 1 — x) j - — Hgig- ^ j = oo . 0, dan - — ßgfff- X —1 — 1 {/(]— a;'}" l-{-x^ il~x)-^ ’ waarvan de tweede factor wordt ; deze geeft dan 2l{l -X)- 1 — X — 1 1 — X — 2 ^(1 —x) _ (Tzr^i = (-1) — , dan 00 ’ — — 2 — x_i/ IX — 2(1 — a;) = 0. Dat dezelfde (1 x) ■( 1) uitkomst wordt verkregen bij X = 1 — x^ , = 1 — x*, is duidelijk. Maar nu kan de nieuwe formule ook alleen op de integralen (4) — (6) worden toegepast, daar bij de anderen, voor de onderste grens, x — 0, IK. x wordt? VKIISL. ES MEDED AFD. SATUURK. WEEKS. DEEL I. 9 (130 ) Zonder dat iiu de tweede factor Bgfg.xi te gelijk nul wordt. Eene uitzondering maken slechts de integralen (19), (21), (22), omdat hier voor x = 0, de X = (l=ü wordt. Derhalve geven (4) — (6), (19), (21) en (22) achtervolgens f^ln X dx 1 / (i + (?o) + (77, /■' /tt \ dx 3 1 / + (78, ■^0 f^jn: \ dx 1 j 0 f^ln \ 1 + 2a; — I Bgtg. X dx == 3 A,. . . . (80) J [4. ] (1_..)(1+^^) > 0 f^(n \ xdx 1 / (81, ■^0 terwijl nog de halve som van (77) en (80) levert /’Wtt \l-|-a;rfa; 1 j (j - ^.r = A i “ ■ ■ • • (82) 0 7. Willen wij deze methode op de integralen van N' 4 toepassen, zoo hebben wij voor de formule I r dx ’ ^ |or 33^ X / • (111) 0 ' ' ^ ''o Wegens de bovenste grens x ~ oo worden slechts in de integralen (52), (54), (50), (58), (62), (68), (66), de ge- { 13] ) integreerde termen niet oneindig groot; terzelfde tijde verkrijgen zij alsdan de factor \ =0, en verdwijnen dientengevolge. Wat betreft de onderste grens x = 0, zo vond men reeds in N'. 5, 6, dat deze de integreerde term in deze integralen telkens deed verdwijnen. Dus, M'ordt hier ook hunne waarde nul, en heeft men, daar de herleiding der functie hier dezelfde is als in N. 5, 6, x = 2A + B, (83) r dx = B(x + y) = 2A - B, (84) J (1 - a)x/a; 0 r dx = B(x + y) = -B, (88) 0 J dx = B(x + y) = -A; (89) terwijl nog het verschil van (85) met (83) en met (84) oplevert r i - 'xdx I B(x + y) = 2A - B, . . . (90) 0, 1 + a; dx 0 Voor de overige integralen van N°. 4 moet men hier, in plaats van de formule (II) de volgende gebruiken 0 J dx = -IX. B cos. x / B cos. z . (IV) De geintegreerde term verkrijgt hier, voor de onderste grens x = 0, bij de integralen (46) — (50), (63) — (66) van factor A = 0, en verdwijnt dus. Voor de bovenste grens x = ∞ geldt hier weer een dergelijke redenering als in N. 6, waar te bewijzen, dat ook daarvoor de waarde van den geintegreerden term nul wordt. Dat overigens het tusschenliggende geval van ondoorloopendheid (discontinuïteit), voor x = 1, hier tot geen verandering in de uitkomst aanleiding geeft, blijkt uit hetgeen men in N'. 5, 6 omtrent den invloed van die grens afleidde. Men vindt aldus I B cos. x = 2A + B, J 1 + a; 0 r dz I B cos. x = 2A + B, J 1 - a 0 . Tdx I B cos. x = 4A, . .. 0 r ^ xdx I B cos. XY = - 2A... 0 x^dx / Bgcot X ; = — 3 A,. J 1 — x^ 0 Tn dx I Bgcot. X = B, . . .. / 1 — ‘o (92) (93) (94) (95) (96) 1 — (97) ( 133 ) ^ ^ ^ -- ^ 2 Bgcot. X — — I — — j — ~ dx — — 6 A -f- B, . (98) / 0 ^00 I Bgcot. X 0 r GO I Bgcot. X (1 +a:)(l -\-x^) 1 -f- 2, X — x"^ (1_^) (1+0,2) xdx 1 — = 6 A + B, . . (99) A; ; (100) terwijl uog de halve som van (92) en (98) en die van (93) en (99) geven -1 — X dx = — 2 A + B, . (101) r” A—x I Bq cot. X J ^ l+a?l+a;2 r ® l 4- X dx / Bgcot.x: , ■ 0 = 2 A + B. j 1 — X \ x^ (102) 9. Men kan echter der gevonden cyclometrische integralen nog 200 herleiden, dat zij tot uitkomsten van nieuwere vorm aanleiding geven. Men vindt toch (zie ook Verk. VIII. blz. 368) dx ^ _ 1^2. . . (103) /B'gtg.xdx — xBgtg.xi — / I J 1+«' 0 71 1 ^ ~4 ~ 2 / “0 Wanneer men deze aftrekt van (68) en optelt bij (77), komt er ^ dx TZ X I = + (104) ■'o dx TT 1 p_^ = -A + B + j--13,.(106) De som van (68) en (79) geeft /■( 7T X ligtg. X 4 dx 1 r = A + -B (106) Nog is het verschil van (69) en (78) en de som van (69) en (81), daar n 1 — n C 4 J (1— a;2)(l+Ä;2) 4 j 71 fl \-\-x-\-x- / ^ , i+»’ \ \1+*^ 1+^V (l+x){l-{-x^) Stt, dx = dx= li-\- =— A-j- , . (</) 16 ^82 2 ^32 ' ^ 71 /I 1 — X d ^ C ^ 0 0 1/ 1 1— a; dx = IS, 1-j-a? 1-j-ic dx (1+^) (1+^^) , TT , 7T^ 1 7T^ dx= Z2-|- =— A-j , . (e) > 16 32 2 ^32 ^ ‘ I 4 ^ jTl U“ if a: l-:r*”^ + 32’ , . dx 1 a;® a? ) = B-| L — x* 2 ^32 . (107) . (108) /' Vorder is, even als boven, X Bgtg. xdx =■ —x^ Bgfg- ^ 2 Hf- dx 1 + x'^ 1 71 l ( 1) Tri/ 7r\7rl ''2 4<~ij r Deze verminderd met (69) geeft ri dx 1 T, 1 7T ( 135 ) en opgeteld bij (76) en (81) nog, daar behalve (e) nog n 1 — oc 4 /'i 1 — a; , n I dx = —l2 = 2A J 1 — 4 </) <eldt /'( 0 /'( d.p 1 TT 1 .= A4--B4--— , . (111) l_a;2 ^2 ^4 2 ^ ^ , dx 7T 1 TT* Bgtg.x] = A — — — -j- — . . (112) 4 / l_a;4 ^4 2^32 ^ ^ Ten einde (104) met de overigen te kunnen verbinden, stelle men daarvoor 1/ TT — — X 4 1 n = 3 A+- 12 — -,. 2 4 \ dx \ 7T, f 71 1 1 (104) En nu leest men voor het verschil met (105) \ X dx 1 7T 1 j (--.ff,...)-- =-2A+-B+j--i2. . (118) De overeenkomstige vorm vindt men gemakkelijk, aldus \ x dx Tr / \ 1 0 0 \ x'^dx TT, / / 1 \ — / B gtq. x; = - 12 — / B gtg.xl 1 — \dx, J 8 j \ 1+^V of naar (103) TT . 1.. 1 rv . 4 2 4 TT . 1, A 1--^2+-/ \) z i g. xy = A \-l2-\— .(114) Door de som en het verschil van (113) en (114) verkrijgt men eindelijk (136) \ x dv 1 1 1 0 \ 71 -B gtg.x x^dx 3 . 1 . ^ 1. 1 — A-| — B-| 12 71* . (116) Het verdient opmerking, hoe hier telkens bij integralen van soortgelijke vorm nieuw standvastig te voorschijn treden. (81) hangt alleen af van A; in (78) komt de B daarbij; in (107) en (108) komt er bij de B of A ook in (112) nog en in (115), (116) eindelijk - ^2. 32' 42 4 Dergelijke herleidingen toe te passen op de integralen van N'. 7 en 8 gaat niet aan, omdat, zoals spoedig blijkt, I B gtg.xdx niet in eindige vorm te bepalen is. 0 10. Op deze integralen kan men nu weer de methode van gedeeltelijk integreren toepassen, hier niet in de vorm van de vergelijkingen (I) tot (IV), maar, omdat D a^ (x ± x^) = ± aa:, door middel van de volgende formulen I =F / L(\±x)\ f[x]dx,. (V) 1 ± a; / dx \ ±f(x) · (l ± x) 0 / x dx 1 1 / W7; f(x) = ±1/W'(1 ± x) = Fj / ^0 / x^ dx 1 1/' ^/ waartoe het nu vooral aankomt op de waarde van de geïntegreerde functie tusschen de grenzen 0 en 1. Voor de onderste grens a; = 0 wordt in de integralen van 9 overal f(w) nul of de andere factor wordt daarvoor 4 1 = 0; dus verdwijnt die term altijd bij die grens. Wat de bovenste grens betreft, moet men twee gevallen onderscheiden, naarmate het bovenste of het onderste teeken voorloopt. Bij het bovenste teeken wordt de logarithmische factor steeds 1, en de andere wordt nul, behalve in 71 (104) en 71 (110), waar deze — wordt; in beide laatste gevallen verkrijgt de geïntegreerde term de waarde — of 2 A, in alle overige verdwijnt hij. Bij het onderste teeken komen er dezelfde produkten, die mede in N°. 6 onderzocht zijn, en waarvoor wij daar de waarde nul vonden. Derhalve geven de uitkomsten (104), (105), (115), (114), (116) achtervolgens (117) I = A - B - j + i/2, (118) 1 = 4A - B - j + i, (119) 0 I: ^(1 + i)( = 2 A - 4 - Z2 + i, (120) j (1 X dx = 6 A - B - .71^212 + i (121) Deze formule levert dus eigenlijk slechts verbindingen van twee bepaalde integralen van geheel verschillende vorm en zijn voor alsnog uit te splitsen, omdat iedere integraal op zichzelf niet bekend is. Een uitzondering maakt (120), men heeft toch; en daarmee geeft (120) Men leidt ook nog van (120) de volgende af 1 TT 1 1 /’* 1 H A - B + = - / x\D^.{Bgtg.xY=-a:^[£gtg.a;y^ — 0 0 1 /■• l/7r\2 3r --j = --j 3 -I [Bgtg.x) '^ dx, dus j {Bgtg.xyx^dx = 2A+B f 1~-|- . (124) 0 Zulke, schijnaar althans, geheel onregelmatige uitzonderingen worden in de theorie der bepaalde integralen ook elders aangeroepen. Voorts heeft men nog D.l l±f: 1 — X A'xdx gn hiermee de formulen i—x^ ’ 'l— ri dx 1, 1 /'I 0 ° b n Xdx 1 1 /I /l_L;p2\ fl 0 n ( ) die men kan toepassen. Ten aanzien van de geïntegreerde term heeft men ook hier, voor de onderste grens a = 0, den factor 1 = 0, terwijl de andere factor - wordt, zodat alsdan de term voor a = 0 verdwijnt. Bij de bovenste grens a = 1 is reeds in Nr. 6 aangevonden, dat ook dan de waarde van den geïntegreerde term nul is, derhalve verdwijnt die hier geheel. Men leidt dan uit (106), (111), (115) af /'(l^*) + • (läS) = 0 weerom alle verbindingen van twee integralen van geheel verschillenden vorm, waarvan er geen op zichzelf beïnd is. De beide belangrijke vormen (123), (124) vergoden evenwel ruimschoots de mindere eenvoudigheid van de overige uitkomsten in Nr. 10, 11, 12. Van het hier behandelde stel integralen, dat grootendeels in de Nouvelles Tables d’intégrales d’Ariane is opgenomen, komen de formulieren 1 — 3, 45, 48, 67 — 69, 71, 85, 86, 91—96 reeds voor in de oude Tables, Deel IV, en de formulieren 7, 8, 21, 22, 46, 51 nog in de Exposé etc. (zie blz. 2, 322, 465, 474, 534, 604 enz.), Deel VIII der Verhandelingen. De voorname reden, waarom deze integralen thans hier in onderling verband zijn voorgesteld, lag daarin, dat hare belangrijkheid grootelijks is toegenomen, sedent de Irannese wiskundige E. Catalan de waarde der standvastige B = 0.91596 55941 7721 heeft bepaald in een verhandeling, die hij 10 October 11. aan de Academie des Sciences te Parijs heeft aangeboden (zie Comptes Rendus 10 Oct. 1864, page 618—620). Onder de bepaalde integralen, daar aangegeven, komt hier alleen de 6^®, de 11*^®, die eigenlijk niet tot dit stel behoort, (zie Verh VIII, 268) en de laatste niet voor: de overigen in form. 46, 8, 70, 69, 3, 75, 71, 106, 105, 83, 19, 5. EENIGE OPMERKINGEN BETREFFENDE NIEUWE OPLOSSING VAN HET VRAAGSTUK VAN DE LENGTE-BEPALING OP ZEE. DOCTOR P. M. BEVETEL DE LA BIVIERE. De Comple Rendu van Maart 1865, Nr. 10, bevat een mededeling van Ferry, die tot onderscheid heeft gegeven een nieuwe oplossing — als men het zo mag noemen — van het vraagstuk van de lengte-bepaling op zee. Dat gemelde stuk mijn aandacht trok, te meer daar het bleek afgekort te zijn van den Directeur der Weenersterrewacht, vergezeld ging van een aanbeveling van Ferry, en de Franse Academie daarvoor een buitengewone ruimte in haar verslagen had beschikbaar gesteld, zal wel niemand verwonderen. Mijn verwachting werd evenwel, toen ik van de inhoud kennis nam, zeer teleurgesteld. Ik heb daarbij niets gevonden, dat men niet reeds sedert lang weet; niets, waardoor in een gevoelde behoefte wordt voorzien, noch door de verbetering van de bestaande hulpmiddelen, noch door de aanvulling van een hinderlijke leemte. Ik heb echter gemeend, dat het onderwerp belangrijk genoeg was, in aanmerking neemende het gezag, dat de naam van den schrijver aan zijn werk verschaft, om het in deze Vergadering ter sprake te brengen; de gronden aan te geven, waarop ik gewaagd heb van de genoemde Heren in gevoelen te verschillen, en tegenover den ophef, waarin de nieuwe methode wordt voorgedragen en aanbevolen, mijne bescheidene meening te stellen; dat zij niet nieuw en van weinig of geen waarde voor de zeevaart is. De lengtebepaling op zee, vroeger uitsluitend beperkt tot het meten van afstanden tot de maan, is tegenwoordig, door den hogen trap van volkomenheid, die men in de vervaardiging van de tijdmeters bereikt heeft, veel vereenvoudigd geworden. Eene juiste bepaling van den tijd aan boord is al hetgeen er vereist wordt, om tot het beoogde doel te geraken. Het vinden nu van den tijd aan boord behoort, zoo als bekend is, tot de eenvoudigste waarnemingen die van den zeeman gevorderd worden. De berekening van den uurhoek, met behulp der gemeten hoogte van het hemellicht, is niet langwierig, niet lastig; deze levert evenmin enige bezwaar op. Wel is waar gaat het meten der hoogte, vooral als het op den schijnbaren horizon moet geschieden, van eigenaardige zwarigheden vergezeld, die de onvermijdelijke gevolgen zijn van de onzuiverheid der lucht, de onzekerheid der straalkromming enz., waardoor de uitkomst, die men verkrijgt, zelf onzeker wordt, en de te bereiken nauwkeurigheid barre grenzen zal hebben. Doch, zoolang men zicht niet vermag los te maken van de waarneming op de lucht, levert een nieuwe methode, althans in dat opzicht, geen voordeel op. De voornton, die onwillekeurig de waarneming aanklemt, tracht men, zooveel mogelijk, onschadelijk te maken door het aantal der waarnemingen te vermindern; door den tijd der waarneming zoodanig te kiezen, dat de schadelijke invloed der fouten tot een minimum wordt gereduceerd. Voor den uurhoek is dat het geval, als het hemellicht schijn in of uit de eerste verticaal bevindt. Enige tijdstippen dat, althans met betrekking tot de zon en tot de sterren vooral, die gedurende de schemering aan de genoemde voorwaarde voldoen, over het algemeen, als gunstig mag aangemerkt worden. Daarin toch komen de gevoelens vrij wel overeen, en Dr. Brinkley spreekt zelfs ergens uit, dat de waarnemingen, gedurende de morgen- en avondschijferring, wanneer de sterren goed zichtbaar zijn en de kool reeds of nog duidelijk afgescheiden is, nauwkeurig en gemakkelijk kunnen worden volbracht. Wij zullen daarlaten, of zij, door de zeelieden in het algemeen, op den ware prijs gesteld worden. 's Morgens en 'savonds, alsmede gedurende den nacht, bij een helderen hemel, zal men alzoo in de gelegenheid zijn, waarnemingen, tot het hier genoemde doel, te volbrengen. Gedurende den dag evenwel is men daarvan verstooken. Het is in dit gemis, dat Littrow, Hüper bepaaldelijk, wegens te voorzien. Afgescheiden van de vraag: in hoeverre daaraan een wzenlijke behoefte bestaat, hetgeen wij straks zullen overwegen, willen wij tbans nagaan, in hoeverre de schrijver daarvan, naar onze inziens, geslaagd is. In de eerste regelen van zijn opstel, spreekt Littrow het door hem beoogde doel uit, namelijk: de gelegenheid open te stellen tot gelijktijdige lengte- en breedte-bepaling. Het midden daartoe vindt hij, in het meten van twee zonshoogten, of het opmaken daarvan uit reeksen van hoogten van dat hemelligchaam, genomen kort voor of na den doorgang door den meridiaan. De uurhoek, behorende tot een der twee genoemde boogten, wordt daarna berekend met behulp van de bekende formule, afgeleid door de verbinding van de elementen der pooldriehoeken voor de beide boogten: Sin. ^ (P + P') = Sin. i (Ä' — h) Cos. i (h' h) Sin. 5 (P — P') Cos. cp Cos. 8 ' daarin zijn h en h' de gemeten en gecorrigeerde boogten; P en P' de daarmee overeenstemmende uurboeken; cp de breedte; en 8 de gemiddelde declinatie. Werkelijk komt alzoo bet naar de nieuwe methode, in de hoofdzaak, hierop neer, dat men den uurboek tracht te vinden op een tijdstip, dat daartoe als zeer ongunstig bekend is; in plaats van, zoo als gewoonlijk, bet daarvoor gunstige oogenblik te kiezen. Stapt men echter over die zwarigheden been, dan kan men bel zelfde doel geschikt, längs een korteren, althans längs een meer gemakkelijken en beteren weg benaderen. De kortste weg zou voorzeker zijn, dat men, op het oogenblik van den ware middag, de aanwijzing van den tijdmeter opteekende, en met deze en de tijdverhelfing de lengte berekend; dan heeft men lengte en breedte voor just betzelfde oogenblik. Deze handelwijze evenwel, zou ongetwijfeld tot een boogst onzekere plaatsbepaling leiden, uitbovende van de onbepastheid van het oogenblik, waarop de zon heeft bereikt de grootste boogte; iedereen, die aan boord bekend is, weet, dat er onder de verschillende waarnemers, die gewoonlijk aan het bepalen van de middagbreedte deelnemen, niet altijd volkomen overeenstemming is opzichte van dat tijdstip bestaat. Men zou daarenboven de opmerking kunnen maken, dat de meridiaansboogte niet altijd de grootste boogte is. Doch dit behoeft hier, naar mijn inzien, zelfs geen punt van overweging uit te maken. Vooreerst: omdat de verandering ( 145 ) in declinatie, hoogstens 1" in 1”^ tijds, reeds onbeduidend is; ten andere; uithoofde de onnaauwkeuriglieid, die men daardoor begaat, vooral op hooge breedte in aaumerking zou kunnen körnen, wanneer de methode, ook om andere redenen, zoo als later blijken zal, volstrekt geen vertrou- wen meer verdient; en eindelijk, oradat er, zoo als faye zelf zegt, niet meer verlangd wordt, dan de lengte op eenige mißen na te kennen. Maar, waarom niet de raiddaghoogte in de lengte bepa- ling opsenoraen, en haar met eene tweede hoogte verbon- den? Gemakkelijker is het zeker, en de waarde van de uitkomst wordt er niet door verminderd; integendeel ver- beterd. De uitdrukking, waarvan men zieh, in dat geval, tot de berekening zal kunnen bedienen, is: Sin, ^P=l/ öin. ^ (H. Cos. (ji Cos. d waarin H de middaghoogte voorstelt; P den uurhoek, over- eenstemmende met de tweede hoogte h: terwijl cf en d de- zelfde beteekenis hebben als in de voorgaande formule (1). De factor Sin. (P — Pi) der eerste uitdrukking komt, zoals men ziet, niet meer in de laatste voor, en is ook door geen anderen vervangen geworden. De altijd mogelijke onnauwkeurigheid, ten gevolge van een fout in het tijdverloop tussen de waarnemingen, aangenomen, dat zij verdient in overweging genomen te worden, valt hier geheel weg. De kennis van het juiste tijdstip, waarop de middag invalt, is hier geen volstrekte vereiste, aanzien men den tijd aan boord opmaakt tijdens de kleinere hoogte, en dus voor een ogenblik, waarvoor men de gelijktijdige aanwijzing des tijdmeters heeft opgetekend; waardoor men alzoo de gegevens bezit tot de lengte-bepaling kort voor den middag, even als in het voorafgaande, en zelfs nader bij den middag, dan in het genoemde geval. In dat opzicht levert de voorgestelde wijziging geen bezwaar op. De aanwijzing des tijdmeters, tijdens de waarneming der eerste hoogte, is niet minder nauwkeurig, dan in het voorgaande geval; dus ook daaruit bestaat geen bezwaar. Wij zullen dus ons oordeel verder moeten gronden op den invloed, dien de onwillekeurige fouten zullen hebben, en deze alzoo in de eerste plaats moeten nagaan. Als men formule (1) differentieert ten opzichte van |(P -f- P'), J {K — h), j [h' -|- h) en ij, dan zal men vinden, na een korte herleiding, voor de fout in de lengte, daar de fout in de halve som der uurhoeken daarop geheel overgaat: Tang. > (P + P') (3) . . ÖL = T (P + P') Cotg. . {Ii -h h) Tang. ^ {K — h] ^ -h) - ^ Tang. I (P -f- P') Cotg. qj ÖT- Eene dergelijke uitdrukking verkrijgt men ook, als men formule (2) op gelijke wijze behandelt; alleen wordt daarbij Tang j (F -j- P) vervangen door Tang j P, en /j' door H; zodat zij zal zijn: Tang j P ^ Tang.jP Tang jP De laatste term is van weinig betekenis, althans als men zich niet op zeer hoge breedte bevindt; buiten dan mag men het er voor houden, in aanmerking nemende den tijd, waarop de waarneming plaats heeft, dat ö <p zelf gericht zal zijn. De twee eerste termen zullen wij aan een gemeenschappelijk onderzoek onderwerpen; hetgeen hier gevoeglijk kan geschieden, uit hoofde van hun overeenkomst; terwijl zij bovendien in verschillende tekens zijn aangedaan, zodat de eerste, die van overwegenden invloed is, door de laatste vermindert wordt. Wij zullen ze vooraf nog een herleiding doen ondergaan, en schrijven ze onder de gedaante: {Cos h - Cos h'}^(h' - h) — [Cos h - Cos h]^(h! - h) Blijkbaar zal bij groote hoogten de onnauwkeurigheid geringer zijn, dan bij kleine; doch in de regeling daarvan is men geen meester, dan in zo verre, dat men in de gevallen dat de hoogten klein zijn, zich niet van de methode bedient. Daarentegen zal men de factor asw f (P - P') kunnen vergrooten, door het tijdverloop tussen de waarnemingen grooter te nemen. Doch, zal het wat te beduiden hebben, dan moet het verloop in een vrij sterke verhouding grooter genomen worden. Daartegenover staat evenwel een ander bezwaar, namelijk: dat men de plaatsverandering in de berekening behoort op te nemen; en dientengevolg een nieuwe oorzaak van onnauwkeurigheid, althans van onzekerheid, invoert; zodat de vraag overblijft, of de winst, aan de ene zijde, wel tegen het verlies, aan de andere, zal opwegen. Bovendien valt hierbij op te merken, dat het vergroten van asw2f(P - P') moet verkregen worden, door de uurhoek P', die het naast aan den middag valt, kleiner te nemen; niet door aan P een grotere waarde te geven. Want, daar | (P - P') = 90° is, zal Cos ^ (P - P') groter worden, als P' kleiner wordt; daarentegen kleiner, als men de eerste hoogte verder van den middag af neemt. Uit deze overweging blijkt alzoo, dat het voordeel zal opleveren, als men de middaghoogte zelf aan de lengtebepaling dienstbaar maakt. Behandelt men de formule, eveneens als (3), toen wij haar den vorm van (5) gegeven hebben, dan zal men de volgende uitdrukking verkrijgen: (Cos. A - Cos. H) + (H - f) - {Cos. h - Cos. H} + ( H ^ Sin. P Cos. tf) Cos. h De gevolgtrekkingen, waartoe deze laatste aanleiding geeft, zullen voorzeker niet ongunstiger zijn, dan die uit formule (5) zijn te balen; hetgeen, bij de onderlinge vergelijking, terstond in het oog valt; want, als st, de eerste boogte, in de beide gevallen even groot is en even ver van den zuidelijk valt, zal men hebben: (Cos. h Cos. H) = (Cos. h Cos. h'); (Cos. h - Cos. H) = (Cos. h - Cos. K); en Sin. P = 2 Sin. 1 (P - P') Cos. 1 (P -| P'). Voor het overige bestaat er geen verschil tussen beide. Het mag hier niet onopgemerkt blijven, dat de gunstige omstandigheden voor de tijdbepaling, als de breedte en de declinatie gelijknamig zijn, dichter in de nabijeid van den doorgang zullen vallen, naarmate declinatie en breedte minder van elkander verschilden. Pave heeft bij voorkeur die gevallen gekozen, om de bruikbaarheid der methode aan te tonen, zoals blijkt uit de volgende opgaven: Breedte 20° N. Declinatie 10°, 5 N. Breedte 12° N. Declinatie 9° N. Breedte 34° S. Declinatie 3° N. Op de laatste aangeboden is de bovenstaande opmerking wel is waar niet van toepassing; doch, het blijkt dan ook, dat terwijl de uitkomsten, door verscheidende combinaties der gemeente boogten verkregen, in het tweede geval tot in tiende-deelen van seconden overeenstemmen, zij in het derde geval uit elkander lopen. 