Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
GR. ABGH. B* 55 1 S. 1—4. Johann Angnst OmDert. Von M» Cmrizi* id* S. 147 — 162. Mathematische Betrachtung über eine Stelle bei Plinina* Von a. Quinh$r, N. A, D. M. T. 18, p. 174—185, J. V. Poncelet* Par. Ch. d9 Comhirouut. SCHL. ZEITSCHR. B. 19» S. 76— S2, 432 — 458. Reliquiae Gopemicanae. Von M. Curtu* id. S. 96t  — 826. Fiinf nngedruckte Briefe von Gemma Frisins. Nach den Originalen in der Universitats-bibliothek za Upsala, heransgegeben von Jf. Curige. BULL. H. T, 6, p. 57—60. Extrait d'nne lettre de M. Ma». Oitrtu, id. p. 258 — 272. Fran90is Xavier de Zach. Par B, Wolf. ABTALLER-LBBB. N. A. t. M. T. 12, p. 183, 184, Extrait d'nne lettre de M. G, Zoioid. p. 212—228. Scolies pour un theordme d'arithm^tiqae. Par M. S. Bialis, id. p. 880—831. Question 1055. id. p. 450. 451. Question 1001. id. p. 521, 522, Theorème d'Arithmologie. Par M. Z>. Andres, J. y. GR. B. 77, S. 258—262. Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Von Cantor, id. 8. 288 — 838. Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie von V. Mertens. SCHL. ZEITSCHR. B. 18, S. 208—217. Mathematische Bestimmung der in den diensten Diensten Diensten vorkommenden Zahlen verbal tussenden. 96 der swüchen den einzelnen ToQen bestehenden Coatonanz, Voa V, 6B. ARCH. B. 65. S. 890—298. Über die Teller einer Zustände von S. Bain, N. A. D. M. T. 13, p. 111, 112. Question tl28. id. p. 185—189. Sar ane formale d'Arithmologie. Par M. D. A. A. A. id. p. 881—883, Probidmes ear quelques fractions numériques. Par M. B. Bougal, id. p. 305—397. Question 1134. id. p. 518 — 523, Propositions relatives à la tête des nombres. Par M. S. (kalifornie). id. p. 628 — 580. Gt Auf der größten gesagt, dass die divisibility d'an norabre par nn divisivie quelconque A. Par Bl, J, Luin, id p. 668—569. Lois nouvelles des pussesses desnombres. Par M. O, d* Coumei. id p. 669 — 571. Propriété novelles des fractions d'imédiles périodiques. Par M. O, d* Coumei, SCHL ZEITSCHB. B. 19, S. 92—94. Über die Anfang der Gleichnung !t — 2)at=sjj-4, wo D eine positive nngerade Zahl und kein Quadratist. von r. Sekmidi, CL» H. ANN. B. 7» S. 452-^55. Über das simultanäre System iweier binaren enbischen Formen, Von S» Oundsljinger, 6R. ARCH. B* 66, 8. 85 — 98. Beitrag anr Theorie periodischer Decimal* brnche. Von K, Broda» !• y. CB. B. 78, S. 46 — 62 « £in Beitrag anr analytischen Zahlentheorie. Von Mtrtim, QOHIOMETBISOHB EUSOTXBK. N. A. D« M. T. 12, p. 148, 144. Question 1110. id. p. 408—417. Expression de Simms et Coi ma en fonction de Simms on Cot a seulement. Par M. Mourgue id. p. 425—481. Sur les développements de Sin no, Co4 na snivant let pussançes de 2 Cos a et 2 Sin a. Par M. F. A. Le Betgm* J. DE L. T. 18, p. 129 — 188. Sur la sommation de quelques series et sur quelques intégrales d'finies nonvelles. Par /• Oraimdorgo. GB, ABGH* B. 65, S. 64—71. Sammation einiger endlicben Reihen und deren Anwendung zur Darstellung der «ten Potenzen von Cos a nnd Sim a als Aggregate gleichartiger Functionen ganzer Multipla des Bogens von 0, Simony, id. B. 66 • S. 828 — 882. Über eine gewisse Classe in der Trigonometrie und Astronomie banfig in Anwendung kommender unendlichen Reihen. Von Ligowsii GBOOTSTE OF KLEINS WABDB. SCH. ZELTSCa. B. 9, S. 176 — 180. Slementare Beweise zweier belannten Probleme ans der Optik. Von £. Maiissssn* FordS verpoignd. DEB QUATERNIONEN. DOOB J. VERSLUTS. (Pervolg van bladif. 58.) n. MEETING VAN DE THBBOEEB DER QDATERNIONEN. OeiiitMeid em samenteing vam recMte iijmem. § 38. In hot volgende beschouwen wij een reclite lijn AB ah een grootheid, die een bepaalde lengte en een bepaalde ricliting (onderscheiden ran de tegengestelde richting) bezit. Door de som van twee lijnen in de ruimte AB en BO Terstaat men de li|jn AC* Door de som van AB en CD verstaat men de 1^'n AE, als BE gelijk is aan CD. Twee reclite li|jnen in de ruimte AB en CD noemt men gelijk^ als zij eeen long fsfjn en dezelfde richting begUten. Evenzoo voor drie en meer lijnen. Volgens de bepaling van de som heeft men AB + BAzrr AAsnO. Men schrijft hierom ook ab = — BA of in woorden : men noemt een rechte l^jn de tegengestelde van een andere, ah zij evenlang is en tegengestelde richting heeft. Men kan nu de samentelling van lijnen ook uitdrukken door de vergelijking 4fi -h -ff(7 4- C^ = 0, zoodat de som der z^'den van een driehoek nul is, als men de richting der z^den laat overeenkomen met de richting, waariu men den omtrek kan doorloopen. Evenzoo heeft men voor een »-hoek ilB 4- 50^ 4- Cl'D.... + 13/ + il^>t = 0. 7 98 § 89. Als ABOD eea parallelogram isi heeft men daarin volgens het voorgaande JB + BO=zAC en JD + DO = AO: du9 ook AB + BC siz AD + DO, of AB -i^ BC = BO + AB. De sammtelling van iw$e recMe lijnen (in de bovenstaande betee- kenis) is das commutatief. Op dezelfde w^'ze bi^jkt nit een meetknndige beschouwingi dat de aamentelling van drie rechte lijnen commutaiief »• Men moet daartoe het parallelogram vervangen door een parallelepiped Um* Uit het commutatie zijn der samentelling van twee en drie rechte l\jnen blijkt, dat de iamentelling van een mitlekeurig aanial rechte lijnen commutatief is, door een redeneering geheel overeen- komstig aan die, waarmede men in de rekenkunde uit het commutatief z^'n van een gedurig produkt van drie factoren de commutativiteit van vier en meer factoren afleldt. (Zie m^ne Theorie der Rekenkunde, Deel I, bladz. 88). i 40* Yerder heeft men roor drie rechte I\]nen (AB + BC) + CD = AC + CD zzzAD en AB + {BC + CD)=zAB'^BD=zAD. Dus {AB + BC) + CD = AB + (BC'hCD), of in woorden: de samentelling van drie reoMe lijnen is assodatirf. Geheel op dezelfde wgze bljkt dat de samenteUing Dan een toil* lekeurig aantal reehte lijnen assoeiatitf is. Meenmmdige voorsieWmg vmu veeioress, vats Bseu samessieiUssg eu Jten ufitceMMUsg. § 41. In het volgende duiden wy door t.^ en k rechte lijnen an, ieder gelijk aan de lengteeenheid en getrokken in drie richttingen, die twee aan twee rechthoekig op elkaar staan. Wy kiezen die richtingen zoodanig, dat voor iemand, die in de richting OA of t naar OB oij (volgens en rechten hoek) plaats heeft in den zin der beweging van de wyszers van een uurwerk; dit is van links naar rechts. Zie Fig. 1. Te gelyk is dan voor iemand, die in de richting OA of t geplaatst is, de draaiing van j naar k een beweging van links naar rechts. Evenzoo voor iemand in j geplaatst, de draaiing van k naar t* Men merke hierbg op, dat telkens de drie letters i f y en k in cyclische volgorde voorkomen. Verder verstaan wij door Ai of ia een Ign, die tot lengte heeft de absolute waarde van a on die in dezelfde richtig loopt als t, wanneer a positief is en in tegengestelde ricHting, wanneer a negaiief is. § 42. Yolgens het voorgaande stelt nn ai + hj + ck een commntatieTe som ran drie rechte mnen Toor, en die iom it een rechie lyn^ waarmn de projectien op i^ j en k retpeciievel^k geUjk zijn aam a, 6 en c. Omgekeerd kan elke rechte l'un, die een bepaalde lengte en een bepaalde l'un, voorgesteld worden door den vorm, at + fy' + ck, Uit de meetkunde bl^kt, dat de cosinussen ran de hoeken, welke die 1^'n met de ricbtingen e, J en k maakt, respectievel^k erredig zijn met a, 3 en c; en dat de lengte van die 1^'n is Tv :=z i/(a^ + 5* + c^. Noemt men de bedelde hoeken a, fi en y, dan beeft men v:=lk)(iCoiX'i'jC09p + kCosy). { 43. Ab nu JB voorgesteld wordt door ai +fy' +ck, tn BC door a^i-hh^-^cjii dan stelt (a -f-^i)! + (^ + ^i)y + (c+C|)it een rechte lijn voor, die tot projection op de richtingen t, j en k heeft a-^a^^ i + ^i c + C|. Maar uit een meetkundige beschouwing blijkt, dat AC tot projectien op e, / en k heeft a + aj, ^ -h ^i on c + C|. Stelt men dm twee rechte lljnen voor door twee veccoren, dan stelt de torn van deze veetoren de meetkund. ige »om der twee rechte lijnen voor. Even Eoo voor drie en meer ljnen. Daar verder de meetkundige samentelling der rechte lijnen, even als de samentelling der veetoren, commutatieren en associatieren is, zoo wordt de samentelling der veetoren, eoowel wat de uitkomst ah hare eigenschappen hetreten, meetkundige aansohouwelijk voorgesteld door de lovenbedelde meetkundige samentelling van rechte lijnen. Ofschoon het woord samentelling in de gewone beteekenis verschillend is van die in de uitdrukking samentelling van rechte lijnen, Ofschoon het woord samentelling van rechte lijnen. Toori dan irordt de aom der ectoren voorgesteld door de lyui waaraan wij den naam ga?en van som der andere lijnen.  de coefficienten in den aftrekker bet tegen deze verandering van teekens zal de lijjn, die den aftrekker voorstelt, on veranderd voorstelt, on veranderd voorstelt, on veranderd voorstelt, on voorstelt, on optelt, welke tegengestelde ricbting en gelgke lengte beeft, als de recbte lyn, welke den aftrekker voorstelt. Daar nu met bet verscbil van twee vectoren ook overeenkomt bet verscbil van overeenkomstige lynen, terwel elke aftrekking van vectoren en van lijnen kan veranderd worden in een optelling, too geldt, wat in de vorige geld i^ ook voor de c^trekkiag van vectoren. Meeiitmndige voorsteUing van Met prodmM em Met qmotieni van twee vectoren, § 4)5. Merken wjj vocreerst op, dat men beeft 101 zoodat voor de drie vectoren t » j en k de eigentchap g«ldt, dat het produkt ran twee der drie gel^k it aan den derden^ waarbijj de draaiing van den vermenigvuldiger naar het vermenigvuldigtal plaats heeft van links naar rechts voor iemand , die in de ricliting h geplaatst ia. Hierbij is van veotoren gesproken , voor de lijjnen die de vectoren voorstellen, W^ zullen hetzelfde later ook dik« wijls doen. Uit den zin kan men altijd opmaken , of er gesproken wordt van meetknndige dan wel van algebnasche grootheden. § 46. Nemen w^ nn twee willekeurlge eenheidsveetoren iCo9» +jCosfi +kCk)SYf i Cot «S| +J Co$Pi+k Cos /i , die rechthoekig op elkaar staan, zoodat men heeft Co$a Co8»^ + Co8pCo$P^+ Co$yCo8y^ = 0. Men vindt dan voor het produkt van die vectoren (Co# j3 Coiy^ — Cos p^ Cosy) i + (Cosy Cosai — Cosy^ Cos ce)J 4- + (Cos a C<?« P| — Cos «| Cos j3) k. Deze vector stelt een ly n voor, die rechtheekig staat op de l^nen, welke de twee gegeven vectoren voorstellen. Uit een meetknndige beschouwing blijjkt, dat voor iemand, die geplaatst is in de richtig van het produkt, de draaiing van den vermenigvuldiger naar het vermenigvuldigtal plaats heeft van links naar rechts. Daar wij verder hebben (Cos P Cos y^'^ Cos P^ Cosy^ + (Cosy^ Cosy^ — Cosy^ Cosy^ Cosy^ — Cos a Cos p^-^ Cos a^ Co^5)*= 1, zoo is de tensor van het produkt 1. De lengte van de rechte l^in, die het produkt voorstelt, is dus ook! Volgens het voorgaande hebben wQ algemeen: als twee vectoren foorgaateld iDorden door twee recMe lijnen^ die rechte ook! Hoekif op de heide eerste, z6o dat voor iemand^ die in de richtig van de derde li^n geplaatst is, de draaiing van den vermenigvuldigtal van links naar rechts plaaie hetft. W$ Noemt men bijj de vorgange vermenigvuldig in plaats van eenheidsveetoren, willekeurige vectoren, dan blyft alles onveranderd, behalve dat men in plaats van eenheids vector verkrägt, waarvan de lengte gel^'k is aan het produkt der tensoren of lengten van de twee factoren. 48. Vectoren, die door evenwählige lijnen voorgesteld worden, Verachillen alleeu in reeelen factor; men heeft dus Yoor twee zulke vectoren ai + dj-^ck en d{ai + 6J'\^ck)i voor het produkt ran die beide heeft men of: het produht van twee (algebrai'sche) vectoren die door eventoijdige lijnen voorgesteM worden is een reeel getal, Bij bekorting drukt men dit ook ait door te zeggen: het produkt tan twee evenwijdige lijnen is een reeel getal, Als de evenwijdige lijnen dezelfde richting hebben, is bet pro- dakt negatief; als de evenwijdige lijnen tegengestelde richting hebben, is het produkt positief. Als bijzondere gevallen van het voorgaande heeft men § 49. Nemen wi|j nu het produkt van twee willekearige een- heidsvectoren V s= iCos+J Cos^'^-kCoayevLV^ = i Cos x^+J Cos y^) + k Cos y^, Men vindt jp = — (Cos X Cos tf| 4- Cos p Cos )3| -f- Cos yj - + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) i + + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) i + + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) i + + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) i + + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) i + + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) i + + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) i + + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) i + + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) i + + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) i + + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) i + + (Cos fi Cos yj — Cos j3| Cos y) (Cos y Cos a — Cos y Cos a) J 4- (Cos a Cos p^ — Cos a^ Cos fi) k. Zij 9 de hoek, die gevord wordt door de twee rechte lijnen, welke de eenheidsvectoren voorstellent en merken w^* op, dat men heeft Cos A Cos x^ -i- Cos (3 Cos ^| + Cos y Cos y, n: Cos 9. (Cos pCos yi — Cos /3| Cos yf -f- (Cos y Cos a^ — Cos y^ Cos a^ + + (Cos a Cos pi — Cos a^ Cos p)^ =: $in^ a. Wy kannen dan voor p schrijven i? = — Cosd-hSinQxv^, waarin v^ een het voorstelti die rechtsverteckig op de twee gegeven vectoren staat, zoo dat voor iemand in v^ geplaatst de draaiing van den vermenigvuldiger naar het vermenigvaldigtal plaats heeft van links naar rechts. 0pm. Wij zeggen bier ook vermenigvuldiger in plaats van de lijn, welke door den vermenigvuldiger voorgesteld wordt. Evenzoo zullen w^ in het volgende dikwijls spreken van deeler in plaats van de lijn^ die voorgesteld wordt door den deeler, { 50. Yolgens § 36 heeft men ait de formnle der vorige (on- middell^k q=zviv^=z*^vv^z=: Cos 6 — - Sin X r^, waarin v^ een vector aanwi|jst| zoo dat voor iemand in de richting van dien veetor geplaatst, de draaiing van v naar v^ van links naar rechts plaats heefl, Duiden wij nu door t;^ eeu vector aan, die tegengestelde richting heeft van r^ en gelyke lengte als v^, dan is V3 =: — v^ en voor 103 naar rechts plaats heefl, Duiden wij nu door t;^ eeu vector aan, die tegengestelde richting heeft van r^ en gelyke lengte als v^, dan is V3 =: — v^ en voor 103 Iemand in 03 geplaatsthe beste de draußig van 0| fuiar v plaaie van linlce naar rechit, De voorgaande formule wordt dan q^siv^zSzCoei+Sini'Xv^, Vervangt men de twee eenheidsvectoren door willekeurige vec- toren, dan heeft men JT = r : t7| = •; — (Cb« d -i- Sin 9 X vA 51. W^ hebben in {24 gezien, dat men voor een wille- kenrigen qnaternion q altijd heeft Uq z=zC08^ + Sin UFq. Vergelijk men dezen vorm met het quotient (zie vorige §} t^i =: Co#fi + Sin 9 X »8, dan blijkti dai men^ Uq han heechouwen ah het quotient van twee eenheidsvectoren 9 toelhe voorgesteld warden door lijnen^ die een hoek 6 met elkaar makeup en die reehthoeUg ataan op de lijn voorgeeteld door UFq. Voor iemand » die in de richtting UFq staat, heeft daarb^ de draaiing van den deeler naar het deeltal plaats van links naar rechts. Vervangt men Uq door q^ dan moet men de eenheidsvectoren. vervangen door twee vectoren r eu 0|, zoo dat men heeft Tqzs^ToiTv^. Voor i/ = : 0| heeft men namel^k volgens de laatste formule van § 31 Uq = Uv : Uv^, § 62. Vroeger is gebleken, dat het quotient van twee vectoren in het algemeen een bepaalden quaternion oplevert. Volgens het voorgaande kan men elken quaternion q -s^ a + bi -{-^ ej '\ dk beschouwen als het quotient  Co9^ = a\Tq\ deze moeten beide rechteekig staan op de rechte, wier richtings- cosinussen evenredig z\jn met h^ c tn d\ hare lengten moeten geven tot quotient Tq\ en zij moeten zoo gelegen z^'n^ dat de draaiing van de lyn, die door den deeler voorgesteld wordt, naar de ]^n, die door het deeltal voorgesteld wordt, plaats heeft van links naar rechts voor iemand, die staat iu de richting der lijn, welke Toorgesteld wordt door Fq. OPENER. Daar twee l^nen, die dezelfde ricHting bezitten MI even lang z^'n, voorgesteld worden door een zelfden rector, kan men altijd veronderstellen, dat de l^'nen, die de yectoren voorstellen, waarvan het quotient de quaternion is, door ^en punt gaan. In plaats van het voorgaande zegt men veel korter: Mke quaternion a 'j^ 6i -{^ qf ^^ dk zzz qf is het quotient van twee lijnen^ die met elhaar vormen een hoeJc 6, toaarvoor Cob ^ z^: aiTq\ die beide rechteUg ataan op Fq; toier lengten tot quotient hehben Tq; en die z6o gelegen sijn ^ dat voor iemand in de rickiing Fq geplaatat de draaiing van den deeler naar het deeltal plaats heeft van links naar reehts, Wij kunnen nu elken quaternion beschouwen als het quotient van twee lignen, die een punt gemeen hebben. W^ moeten dan twee zulke quotienten van rechte l^nen als gel^k beschouwen, wanneer deeler en deeltal der twee quotienten driehoe- ken vormen, die rechtstreeks gel^kvormig z\jn en In evenwijdige plätte vlakken liggen. Two vectoren, die door evenwijdige lijnen voorgesteld worden, verschillen alleen in reeelen factor. Het quotient van twee even* wijdige lijnen is dua een re*el getal : een acalair, Dat reeele getal is positief, als de lijnen dezelfde, en negatief, als zi] tegengestelde richting hebben. De absolute waarde van dat getal is gelijk aan de verhouding der teusoren van de twee vectoren; dat is gelijk aan de verhouding der lengten van de twee lynen. Omgekeerd kan men nu ook elk reeel getal beschouwen als het quotient van twee evenwijdige lynen, waarvan de eene in lengte en richting geheel willekeurig mag genomen worden. Om aan het quotient van twee rechte l^nen een meer aanschouwelijke beteekenis te hechten, z^ q het quotient van de vectoren v en v^; dus fl^sr— V Vm Nu is (algebraisch) g'.fjj = —. r| =: —. -? = r of in woorden: Vg r| 1 de deeler vermenigvuldigd met het quotient levert het deeltal op* Dit geldt voor de algebraische beteekenis der vectoren en der quaternionen in het algemeen. Willen wij nu spreken van vermenigvuldigen en deelen van rechten l^nen en quaternionen (als quaternionen van rechten lijnen beschouwd), dan moet aan die bewerkingen zulk een beteekenis gehecht worden, dat de uitkomsten der meetkundige bewerkingen overreenkomen met (of voorstellen) de uitkomiten der algebrai'sche bewerkingen met de quatemionen,  quotient van twee rechte lijnen en de vermeniguldig van den deeler met het quotient zulk een beteekenis het quotient van twee li^jnen bet deeltal oplevert. Eiertoe moeten wij den deeler zoodanig draaien^ dat hij in den stand van het deeltal komt en hem t$ gelijk zoaveel longer of korter maken, als het quotient dir lengten van deeler hedraagt. Als deeler en deeltal van een (meetkundigen) quaternion even lang zijn, duidt deze alleen een draaiing van deeler naar deeltal aan. Daar men beeft Tqz^TviTv^^ zoo is in dit geval Tq := 1« Het quotient van twee evenlange lijnen stelt dus een algebraiscbe quaternion voor, welks Tensor 1 is en zulk een algebraischen quaternion bebben wij in { 22 een versor genoemd. Wij blijven dus in overeenstemming met de algebraische theorie der quatemionen, als wij het quotient van twee evenlange lijnen een versor noemen. Som vats quatermioHem als qmoHeutem van Jtfimem. { 55, Twee quatemionen liggen in bet algemeen in tweevlak- ken, die elkaar snyden. Met bebulp van betgeen in { 53 gezegd is, kan men voor elken quaternion ABxAC een willekeurige lign ac t in bet vlak JBG gelegen i als deeler aannemen. Men verkri(jgt dan bet deeltal a3, door in betzelfde vlak een drieboek abe te construeeren « die recbtstreeks gelijkvormig is met JBC* Hieruit blijkt, dat men voor elk van twee quatemionen als deeler kan a Annen een recbte lijn van bepaalde lengte en ricbsten gelegen in de snijlgn van de vlakken der twee quatemionen. De quatemionen komen dan in de vormen Bescbouwt men deze quatemionen als algebraiscbe quotienten, dan is bun som (zie { 81) Bit algebraiscbe quotient wordt meetkundig voorgesteld door bet quotient van de meetkundige som der l^nen v^ en v^ gedeeld door de lijjn v. Men verkrijgl dut de 90m van twee quatienien van Hjnen^ door die quotienten tot em gemeemchappelijken deeler te herleiden^ en daama de meethmdige som der deelen door den gemeenschappelijken deeler; dit meetkuudige quotient is de voorstelling van de som der gegeven quaternionen. Evensoo vindt men het verschil van twee quaternionen. 56.  -7^1 of in woorden: mm krijgt AB AB het tegengestelde van em quotimt van lynm^ ah men aan het deeltal een tegengestelde richting geeft. { 67. De twee quaternionen q:zza -i^bi+^qf^dk en 2^ =r a — bi — 9— dk worden voorgesteld door twee quotienten Tan Ignen, t6o dat de vlakken der quotienten evenwijdig z^n, of, wat op hetselfde neerkomty samenvallen. Daar UFq en UFKq teekens hebben, zoo hebben ook de lynen, die den stand aanw^zen, waaruit men de draaiingen der quaternionen van links naar rechts ziet gebeuren, tegengestelde richtingen. Daar men verder heeft Tq=z TKq, zoo is de verhouding der lengten ran deeler van den eenen quaternion geljk aan de overreenkomstige verhouding by den auderen quaternion, De hoek, dien deeler en deeler van den eersten quaternion met elkaar maken, heeft tot cosinus iSjji^ : Tq, De Hoeky dien deeler en deeltal van den tweeden quaternion vormen, heeft tot cosinus 8Kq : TKq. Daar men verder heeft 8q = SKq = a en T^ = TKq^ zoo ziju ook de hoeken, dien deeler en deeltal vormen, in de twee quaternionen geli[jk. Neemt men dus voor de twee quaternionen als gemeenschappeliykeu deeler aan AB= V, zie Fig. 2, dan z^n de deeltallen 9| en v^ twee l^nen AC en Ad die met AB in ^n plat vlak liggen» terw\jl men heeft lengte AC=i lengte AC* ^ 'LBAC=LBAC. $ 59. Voor de som van de twee toegevoegde quaternionen heft men, zie Fig. 8j J. _^C AC _AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_AC_ k quotient van twee rechte lijnen heechouwen ala de som van een reeel getal en het quotient van twee onderling reehthoekige lijnen. Het quotient van twee onderling reehthoekige lijnen noelnt men gewoonl^'k een recht quotient en , als de lijnen bovendien even lang £^'n» een rechten versor, Merken wij op, dat in de vorige { AD het dubbele is van de projectie van AC op AB^ dan sien wiQ, dat het reeele getal, waar- van zoo even gesproken werd , gelijk is het scalair-deel van den algebraischen quaternion, Merken w^ op , dat in de vorige { AE het dubbele is van de projeetie van AC op de l^n, die in het vlak van den quaternion ligt en retlithoekig op den deeler staat, dan zien wijj, dat het reehte quotient, waarvan hierboven gesproken werd, gelijk is aan den vector van den algebraischen quaternion. § 60. Volgens § 50 heeft men viv^zzz Cos 9 -{-v^Sin^, waarin 4 den hoek voorstelt, welke gevormd wordt door de rechte lijnen, die v en 0| voorstellen. Staan nu die lijnen rechthoekig op elkaar, dan heeft men v ; V| = v^. 108 Het quotient van twee rechte lijnen , die rechthoekig op elkaar staan , stelt du3 een zelfden algebrai'schen vector voor als de rechte lijn , die rechthoekig op beide staat en waarvan de richting zoo- danig is » dat voor iemand in die richting geplaatst , de draaiing van Ti naar v plaats heeft van links naar rechts. De tensor van o, of de lengte der lijn, die rechteckig op de twee anderen staat, is gelijk aan het quotient der tensoren van 0|, of de lengten der lynen, die v en v^ voorstellen, Het quotient van twee onderling rechthoekige lijnen wordt dus door een zelfden vector voorgesteld als een rechte lyn^ die loodrecht op het vlak der eerste twee staat. Zal dus de meetkundige beteekenis van een quaternion in overeenstemming bl^ven met de algebra'sche, zoo moeten wi|j zeggen, dat een recht quotient gelyk is aan een lijn, rechthoekig op deeler en deeltal, en waarvan richtig en lengte bepaald zijn als hierboven. Daar nu volgens de vorige § elke quaternion (quotient van twee lijnen) kan beschouwd worden als de som van een reeel getal en een rechte lijn, Dit komt ook daarmede overeen, dat elke algebraische quaternion q:=ia^U'^cj'\dk kan beschouwd worden als de som van een reeel getal en een rechte lijn, Dit komt ook daarmede overeen, dat elke algebraische quaternion q:=ia^U'^cj'\dk kan beschouwd worden als de som van een reeel getal en een rechte lijn, Dit komt ook daarmede overeen, dat elke algebraische quaternion q:=ia^U'^cj'\dk kan beschouwd worden als de som van een reeel getal en een rechte lijn, Dit komt ook daarmede overeen, dat elke algebraische quaternion q:=ia^U'^cj'\dk kan beschouwd worden als de som van een reeel getal en een rechte lijn, Dit komt ook daarmede overeen, dat elke algebraische quaternion q:=ia^U'^cj'\dk kan beschouwd worden als de som vector, die voorgesteld wordt door een rechte lijn, wier lengte TFq is. $ 61. Nemen wy de som van twee quaternionen, die men altigd z<$o kan herleiden, dat zi|j dezelfde lijn v tot deeler hebben, ? +?! = -:+-• V V Zij nu a de projectie van v^ op v en a^ die van v^ op «. Zg verder b de projectie van v^ op een vlak rechthoekig op v en b^ de projectie van^v^ op dat vlak* Men heeft dan of daar de meetktndige samentelling van lijnen commutatief en associatief is, (a-f-fl|)-t-(5-f.5^) a-4-fl| ^ b^b^ q-hqi = = ^-1 '. Hierin is a seen rechte l'un, die, even als a en a|, dezelfde richtig heeft als v of de  das ternggebracht tot het samentellen van hunne icatars (rechte gelten) en het samentellen van hnu vectoren (rechte gelten). Daar de samentelling van reeele getallen zoowel als de samen-telling van rechte lijnen commutatief en associatief is, goo is ook de meetkundige samentelling der quotienten van rechte lijnen een commutaiieve en associatieve bewerking, Vergelyk § 6. Men heeft volgens het voorgaande voor twee quotienten van lynen E^q + q^i = 5(g H- q^) — F{q + q^), K(q + q^)=zSq+Sq,^Vq—Vq, ^(? +?l) = (^^ — ^1?) + (^^1 — ^^l), ^(? + ^i) = ^? 4- Kq^. Evenzoo is K{q — q^ ^=i Kq^, ^H + ix -^ft) = ^? 4- Kq^, Z. Vergelyk § 9. § 64. Volgens § 67 krygt men den toegevoegde van een recht quotienti door aan het deeltal v^ een tegengestelde richting te geven. Als dus a een recht quotient is, heeft men jr« = ~ «. Vergelyk § 26. § 65. De quotienten v^w en ^-^ V| : o of « en Kx zijn ieder gelijk aan een rechte lijn. Die rechte lijnen zijn even lang, maar hebben tegengestelde richting. Noemen wij nu de eene lijn de toegevoegde van de andere^ als de rechte quotienten, die zij voor- stellen, elkaar^s toegevoegde z\ja; dan bebben w^, als v zalk een lyn 18, Zt>=— »• Vergelyk § 26. OpmertbiMff^ In de tweede afdeeliag van deze verhandeling (§ 88-*§ 100) is bet ons streven een systeem van grootheden en bewerkingen vast te stellen* dat in alles overeenkomt met de algebraiscbe tbeorie der quatemionen. DaarbiJ} is als beginsel aangenomen met elke algebraiscbe bewerking een zoodanige meetknndige te doen overeenkomen 9 dat de uitkomst der meetknndige bewerking over- eenkomt met de nitk © omst der algebraische. Zoodra de bewerkingen op die w^ze met elkaar overreenkommen, znllen ook met de algebraiscbe eigenscbappen meetknndige overreenstemmen. Als b. v. gebleken is, dat met elken vector overeenkomt ^en bepaalde recbte lijn, en dat met de som van vectoren overeenkomt ^en bepaalde recbte lijn, welke de meetknndige som der lijnen voorstelt, (w^n men hierb^ aan dat de vectoren, die opgeteld wprden, overeenkommet ^en met de lynen die samengeteld worden); dim volgt onmid-delliyk nit bet commntatief, associatief en distribntief z\jn der algebraische samentelling, dat ook de meetknndige samentelling die zelfde eigenscbappen bezit. Tocb bebben wie in deze en andere gevallen nog meetknndige bewijzen gegeven. Op dezelfde wyze zullen wy ook in bet voi- gende dikw^'ls meetknndige bew^'zen geven, of de eene eigen schap der geometriscbe bewerkingen nit dezer vroeger voorkomende meetknndige eigenscbappen afleiden, met bebnlp van beknopte rede- neeringen. W^* znllen daarb^* altijd verwijjzen naar de algebrttiscbe eigenscbap, waarmede de pas bewezen meetknndige overeenkomt. Op die w^'ze worden de algebraiscbe eigenscbappen en bewer- kingen meer aanscbonweliyk gemaakt, en bet gebeele systeem krygfc, ook niterlyk, meer stevigbeid; een voordeel, dat niet te verwaarloozen is bij een tbeorie ^ die zooveel oplevert, dat afw^jkt van de overige deelen der wiskunde, als de tbeorie der qnater- .nionen. Een ander voordeel van de tweeerlei bewi[jzen is daarln gelegen, dat men om de eigenscbap en bet bew^'s te ontvoawen, die kan kiezen, welke bet gemakkel^kst in te zien en Te overzien zyn. Ook bij meer ingewikkelde eigenschappen en toepassingen der Quatemionen zal men nu eeas algebrai'sche dan weder meekunndige bew^zen geven. WetnmeMigmMUgimg vam ^[mmiermiomem, § C6. Men kan een qnotient van l\jnen altjjd vervangen door een ander z6of dat het een willekeurige l\jn in zyn vlak tot deeler of tot deeltal heeft. W^ knnnen nn twee quotienten ran Ignen verrangen door twee andere, zoo dat het eene tot deeler en het andere tot deeltal heeft een rechte 1^'n in de snyiijn der vlak- ken van de twee quatemionen gelegen. W\j krijgen dan voor die qnotienten q en q^ Om in overeenstemming te bl\jven met de algebrai'sche theorie der qnaternionen 9 hebben wg dus de volgende definitie : door het produkt van twee qnotienten van lynen, waarb\j de deeler van den vermenigvuldiger dezelfde 1^'n is als het deeltal van het vermenigvnldigtaly verstaat men het qnotient van het deeltal van het vermenigvnldigtaly verstatt men het quontenten van het vermenigvnldigtally van het vermenigvnldigt. $ 67. Om znlk een vermenigvnldiging nader aanschonwelijjk te maken, nemen w^* vooreerst alleen quottenten van eenkeidsvedth ren. Verder veronderstellen werden,  wij nu OC OB ^OC OB OA of BC.AB=iAC. fei produkt van twee zijden van een bohormigen driehoek U dua gelijk aan de derde djde t als het uiteinde Tan het Termenigvuldigtal samenvalt met het aanvangspunt van den vermenigvuldiger ; in het Toorgaande B. Om aan de gelijkheid der leden van de voorgaande vergel^king een aanschouwelyke beteekenis te hechten, beschouwen wy ieder lid als vermenigvnldiger van een prodakt, waarvan het vermenigvuldigtal in beide gevallen OA is. Men heeft dan BO.AB.OA=AC.OA, 00 OB ^^ 00 ^^ '^ ob'Wa^'^^'oa'^'^'^' Het eerste lid kan men beschonwen als de nitdrukking daarvan, dat OA eerst door draaiing in den stand OB en vervolgens door draaiing van OB in den stand OC meet gebracht worden. Het tweede lid dnidt evenzoo aan dat OA door draaiing in den stand 00 meet gebracht worden. De vergelijjking BO, AB = AC kan dns beschouwd worden als de nitdrukking daarvan^ dat In den stand, ou kan brengen op de twee hierboven bedelde manieren. § 69. Neemt men de factoren van het produkt SCAB in een andere volgorde, dan wordt het produkt (zie Fig. 6) AB.BC=iBD.EB=zED. Yerwisselt men dus de factoren van BC.AB^ zoo kr^'gt men in plaats van AC den quaternion ED. De bogen AC en J^D zgn ongel^'k, daar zij in het algemeen niet tot denzelfden grooten cirkel behoore. Z^ zouden op denzelfden grooten cirkel behoore. Z^ zouden op denzelfden grooten cirkel liggen, als AB, BD, BC en EB ieder 90® bevat*ten. Maar ook in dit geval zouden de produkten niet gelyk zijuy daar de bogen, die de uitkomst voorstellen, dan nog van tegen* gestelden zin zijn. Wij kunnen dus zeggen: de vermenigwürdig der versoren U in het algemeinen niet eommuniatiqf. Als AB en BC bogen van 90^ z^Ui heeft men twee rechte versoren. In dit geval zgn de produkten bogen van denzelfden cirkel, maar van tegengestelden zin; Daar men van een quotient van twee eenheidsvectoren bet toegevoegde krijgt, door deeler en deeltal te verwisselen, kan men zeggen: ah men in em produkt van twee rechte versoren de factoren verwisselt, krijgt men het toegevoegde van het eersie produkt. Wat in het voorgaande gezegd is van versoren, geldt ook voor willekeurige quaternion. Men kan n.l. elken quaternion beschouwen als het prodnkt van een Terser en een scalair-getal. Men merke daarb^' op, dat de tensor van het prodnkt van twee quaternionen gelijjk is aan het produkt der tensor van de twee quaternionen; en dat de tensor van een quaternion gelijjk is aan den tensor van den toegevoegden quaternion. Wij hebben dus: De vermenigvuldiging der quaternionen is in het algetne En niet com- muUief. Yergeligk § 14. Ale men in een produkt van twee rechte quotienten de factoren verwisselt, krijgi men het ioegevoegde van dat produkt, § 70. Wy hebben vroeger gezien, dat elk recht quotient ge* mk is aan een rechte l^n. Door het produkt van twee rechte Ijjnen mogen wi|j dus niets anders verstaan dan het produkt van de rechte quotienten, die aan de twee lijnen gelijk zijn. Wat aan het einde der vorige § gezegd is, kan men dus ook uitdrukken, door te zeggen : Ala men in een produkt van twee rechte Ujnen de factoren verwinelt, krygt men het toegevoegde van dat produkt, Volgens § 36 hebben wy voor twee (algebraische) eenheidsverschap W| = — (v: Vj), welke reeds in § 50 toegepast is. W^ willen nu langs meetkun- digen weg zien of de voorgaande beteekenis, die w\] aan het produkt van twee rechten 1^'nen moeten hechten, in overeenstem ming is met de beteekenis, die w^' er volgens de zoo even aan* gehaalde formule aan moeten verbinden. In Fig. 6 is I als het middelpunt van een bolis, OB,Oc:=z AB.ACf als AB en AC tot polen hebben h en c. Zij verder C^ het tegenpunt van C^ dan is C^Azs: AC en dus Ob. Oczz: AB. C^A = C^B^ Oh.Oc = OB : 00^ =^{0B: 00); of 0b.0c — — (0bi0c). Deze eigenschap komt overeen met de algebraische eigenschap in § 86. § 71. De be teekenis van het quotient van twee lijnen is reeds vastgesteld. Willen wg nu de beteekenis van het quotient van twee rechte quotienten vaststellen, dan merken wij op, dat elk recht 9 114 quotient gelijk is aan een reckto l\jn. Wy mogen dus aan hot quotient van twee rechte quotienten geen andere beteekenis hechten dan aan het quotient van de twee rechte l^nen, die respec- tivelyk aan de twee rechte quotienten gelijk zQn. Z^' gegeven (zie Fig. 6) OA=zUy; en OBiOAzzozOb, 00:0A= Oc. OB 00 Wy meinten nu aan TTT'Tw dezelfde beteekenis hechten als aan O'c Daar verder Oh: Ocz=z OB: 00, zoo hebben wg OB 00 ^OB OA'OJ^ 00* Ua'V(g~Uy Op dezelfde w^ze heeft men nn voor willekeurige rechte quo- ... P y P tienten - :- zs -. a » y DU is in overeenstemming met de algebra der quatemimen. Zie § 35. Men hlijft ook in overeenstemming met de algebra der quaiemionen, ale men dezelfde dejinitie van de deeling der rechte quotienten uit' breidt op de deeling van geheel willekeurige quatemionen. Dit doen wij due. § 72. In de algebra der qnatemionen hebben wij 1 : - den y reciproken van — genoemd. Doen wi[j hetzelfde in de meetkun- de der qnatemionen. Nn is a y «_y r r » W\j hebben dus even als in de algebra: Men krijgt den reciproken van een quaternion ^ als men gijn deeler en deeltal verwisselt^ Vergelyk § 84. ' § 78. Daar men verder heeft t fL — t M'y y* zoo is volgens het voorgaande ook y ct ct y ay* of £:«-=:?.- « y « y Wij hebben dus: Men vermignigt een quaternion met een amderm^ alt men dezen deelt door den reciproken van den eersten. Zie $ 32. Of ook: Men deelt een quaternion door een anderen, ale men den reciproken van dezen ^ vermenigvuldigt met den eereten. § 74. By een versor OB: OA is OdiOB de reciproke. Te gelyk (zie Fig. 7) is, ab LBOJzizLAOO, 00: OA de toegevoegde. Uit de gel^'kheid der hoeken BOA en A 00 en de  zijn, noemt men de quaternionen diplanair. Als de vlakken evenwädig zijn, noemt men ze complanair. Daarbij beschonwen wij het iamenvallen van vlakken als een bijzonder geval van het eventoijdig zijn. Voor het produkt van twee complanair factoren krygt men een quaternion, die weir in hetzelfde vlak ligt en wiens hoek gel^k is aan de som der hoeken van de twee factoren. Hieruit bl^kt, dai het produkt van twee complanair qualernionen commutatief is. By de algebrai'sche voorstelling der quaternionen is geblekeltf dat een produkt van twee quaternionen alleen dan commutatief is, als in de twee quaternionen de coefficienten der vectoren even-redig zyn. Zulke quaternionen worden echter, volgens § 529 voorgesteld door complanair quotienten. De bovengenoemde eigenschap der quaternionen korot dus overeen met de eigenschap van § 15. § 78. Gaan wi[j thans na, of de vermenigvuldiging vaii quo- tienten van l^jnen diatrihutief is. Daartoe beschouwen w^' in de eerste plaata drie quaternionen , wier vlakken door een zelfde rechte Ign gaan, en die wi[j coUi- neair zullen noemen. Nemen w^' bet produkt {q + q) q^. Als a een 1^'n van bepaalde lengte en bepaalde richting is, gelegen in de 6nijli[jn der drie vlakken , dan kan men drie 1^'nen h^ e en d vinden , z(5o dat men heeft b c a a a Het bovenstaande produkt wordt dan fb ^ c\a 3.-I- c a 6 -^c a 'd d of ,.+-,-_^^.^, ih e\a h a c a \a a) d^^ a* d a' d* toaardoar de distributieve eigemchap der collineaire quaternionen ten aanrien van den vermenigmildiger bewezen is. Op dezelfde wi[jze heeft men voor collineaire quaternionen (S — 9i) S'2 = fi^fe — hh' § 79. Om dezelfde eigenschap ten aanzien van het vermenigvul- digtal te bewyzen, nemen wij de toegevoegden van de beide leden van (S + qi) q^ = qq^ + q^q^. Dus K {{q + Y,) s^j ) = Z (jT^j + q^q^). Volgens § 68 en { 76 heeft men hiervoor Kq^ K{q + q^) =r Eqq^ + Kq^q^ , Kq^ {Kq + Kq{) = Eq^ Kq ^ Kq^ Kq^. 