Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
Mudere vorm der eomplexe gelegemt. 38. Repaalt men de warden van z, die yolden aan de yer- geyjking a:«4-l = 0, :. (28) dan verkrägt men yolgens liet voorgaande, en, yranneer men alleen op de Ugging van het punt let, a: = l/- en x=.\/-^; (80) of, daar volgens fonnule (7) AT ST is, xs^l/-^ en ar=— 1^- • (31) Yolgens de gewone beschouwingen in de algebra moet aan bo« *) De eigenschappen van de worieU der?ergeljkingeii x* 4- 1 s en xn — 1 sO, meerendeeU door Euleb ea Laorahgb medegedeeld, yindt men o. •. in SiBBBT, AlgHre SupMemre, I.I, Chap. V; Schnusb, Die TkeorU und Amjlikung der hdheren algehr. und der iraneeend. GleieJUtngem, i 140, yenstaande yergel^jking x^ -^ 1 z=: worden voldaan door twee waarden van x a:=4-J/^^.l en ar=: — j/IIl.l,.. V. (32) die eyen als de vorige (31) sleclits in teeken yers warden van x a:=4-J/^^.l en ar=: — j/IIl.l,.. V. (32) die eyen als de vorige (31) sleclits in teeken yers warden van x a:=4-J/^^.l en ar=: — j/IIl.l,.. V. (32) die eyen als de vorige (31) sleclits in teeken yers warden van x a:=4-J/^^.l en ar=: — j/IIl.l,.. V. (32) die eyen als de vorige (31) sleclits in teeken yers warden van x a:=4-J/^^.l en ar=: — j/IIl.l,.. V. cliiUen» zoodat Men er toe geleid werd om aan + ^-^ 1. 1 de beteekenis toe te 9r ^mm^^» «f 3^ kennen yan 1/^ en aan — |/— 1.1 die yan —1^- of 1^-5- • Men heeft derhalye deze bepaling: 4- |/— •! en — |/— 1 zifn BlechU ieekena even ofo 4- «i — ; en even ale deze laakte aangeven^ dai een punt is gelegen op deae, wijzen + ^— 1 en — i/"— • 1 punien aan, die gelegen zijn in de Ujn, die in den oorsprong hodtecht op de ae ie getrokken^ en toel zoo, dai 4- |X— 1 met /- en — |/— 1 met f-— overeenkomt. ♦) Eyenmin als de teekens + en —, geyen de teekens -H|/— 1 en — |/'— 1 iets aan aangaande de wording yan het punt; r.,.. ^** > ^6jr ^ ^ lljr 4- J/— l.fl staat byy. yoor a/, of yoor a/ ^, of voor «/— -s* » 2 2 2 enz. en — ^— l.a yoor a/—, of a^ — -, of af--, enz. Heeft iS 2 2 Men dus niet alleen de ligging, maar ook het ontstaan yan het punt op het oog, dan kan men van de teekens 4- ^— - 1 en — ^— 1 geen gebruik maken. 34. Uit het behandelde in de yoorgaande § yolgt nu: of (+|/— l.a) ± (-+•»/-- 1.*) = + 1^— 1.  twee elkaar rechtheekig snydende lynen XX| en JT| aan tot punt van uitgang (Fig. 6) en ^^ne dier lijnen, b^v. XTi als as; dan zollen alle punten, die worden aangegeven door 4- « of —a op XX|, en die, welke door -I- \/' — l.a en — y/ — • 1.« worden aangeduid, op TY^ liggen. De overige punten van liet vlak kunnen slechts door een complexe getal van den vorm rf^ worden aangewezen. Dit getal kan echter als de som van twee complexe getallen worden voorgesteld. Laat P door r/^ worden aangeduid, en construeert men op OP als diagonaal een willekeurig parallelogram OP^PP^, wiens hoekpunten Pi en Pj door a /let en 6/lp aangewezen worden, dan is volgens § 7 a/cb-^6/p = r/0, (83) Daar alleen de diagonaal OP van genoemd parallelogram gegeven is, kunnen twee elementen, b^v. de ricbtingen der zijjden, worden vastgesteld ; en om slecbts een b\jzonder geval na te gaan, onder- stellen w^ dat deze ricbtingen met die der l\jnen XX| en Feuer van als van offen, is als van offen, da is: p/0^q/^=zr/4>,....... (34) of volgens de boven vastgestelde scbrijfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfjfj Stelt men echter voor Cos (p en Sin hunne getallenwaarden in de plaats, dan gaat de opgave van het aantal en den zin der draai-ingen verloren. Zoo geven 8/60®, 8/ — 300*^ en 8/420*^ alle + 8. J -♦• y — 1.8.J|/3 of 4 (4- 1 -i- K— 1-1^3), waarvoor men schr^ft 4t{l + i^^^^3), 37. Is omgekeerd een punt gegeven door de uitdrukking 4-jp4-|/'— hq, dan kan men ook de waarden van r en voor dat punt bepalen. Immers is (Fig. 6) hierin heeft r slechts eene enkele (absolute) waarde ; daarentegen heeft vooreerst twee waarden, waarvan de eene kleiner en de andere grooter is dan 180**. E&e dezer beide waarden vervalt echter, wanneer men naar behooren op de teekens van p em q let. q Maar dan nog is ook ± 2«.180® -|- = ^00^ 2]7-, zoodat (p toch steeds een oneindig aantal waarden verkrijjgt, die slechts in het aantal geheele draaiingen en en in den zin dier draaiingen ver- schillen. (Zie voorts § 4), De P toch steeds een oneindig aantal waarden verkrijjgt, die slechts in het aantal geheele draaiingen en en in den zin dier draaiingen ver- schillen. (Zie voorts § 4), De P toch steeds een oneindig aantal waarden verkrijjgt, die slechts in het aantal geheele draaiingen en en in den zin dier draaiingen ver- schillen. (Zie voorts § 4), De P Overgang van p -J- |/— l^q tot r/^. of, wat volgens het voorgaande op hetzelfde neerkomt, tot f (Cos + \/ — 1.5m 0) meet derhalve steeds tot dubbelzinnigheid aanleiding geven, doordat de uitdrukking p -^ y/ — \.q niets bepaalt aangaande de wording, den toestand van het punt, p-^-y — l.j' stelt zoowel het punt r/(2.180O4-^) als het punt tf^ voor. 38. Uit de voorgaande beschouwingen bljkt, dat de ligging van een punt in een vlak zoowel door p + j/— Lj^ als door tf^ kan worden aangewezen. In de Algebra komt tot hiertoe alleen de eerste tweetermige voor. De beteekenis der bewerkingen en herleidingen, welke die vorm kan ondergaan, wordt daarb|j door definities vastgesteld, welke uit de hiervoor gegevene in §§ 6 en v.v. kuimen worden afgeleid. Zoo volgt byv. uit § 6, dat ^ 4- ^/'— 1. jr alleen dan gelyk is aan nul, wanneer jpi=^=sO is; form. (2) : ;? + j/— l.^^ = +. |/— l.fi' 4-;? ; § 5, dat p + ^ — J.J' slechts gelijk aan /7| 4- ^/— l.j'i kan zijn, als p =i?| en g' = g^^ is ; form. (11) : {p + l/^^.fi') (i?| + V^.q^ — — (pPi — m) + y^—^'{psi + pa) I enz. 39. Wj zullen ons hier met verder met deze beschouwingen inlaten, en alleen nog in de volgende § aanwigzen, hoe door den herhaalden overgang van p -f- ^^ — hq tot r/f^, en omgekeerd, elke complexe vorm, hoe ingewikkeld ook, tot den grondvorm /?+J/— I'S' kan worden herleid. Vooraf moeten wij echter nog opmerken, dat in dezen vorm p en g beide positief of negatief knnnen voorko-men. Voor ^nr^tflen q ^=^±^ heeffc men deze vier gevallen : 4- a 4- J/ — Ld; 4-« — y" — 1-^, — a -^{Z — Lb en — fl — y — l.i Xomt de eerste vorm overeen met r/a, dan is de tweede gel^k an r/f(BOO^ — «), de derde aan r/(lBO^ — a) en de vierde aan r/(lS09+ tf). De beide eerste getallen dus, even als de beide laatste, punten voor, die symmetrisch liggen met betrekking tot de as. Twee zoodanige getallen worden toegevoegde complexe getallen genoemd. § 13. Herieidimg van een* eompieoeen tarm* 40. De som, 40. De som, 40. De som, 41. De som, 42. De som, 43. De som, 44. De som, 45. De som, 46. De som, 47. De som, 48. De som, 50. De som, 51. De som, 52. De som, 53. De som, 54. De som, 55. De som, 56. De som, 57. De som, 58. De som, 59. De som, 60. De som, 61. De som, 62. De som, 63. De som, 64. De som, 65. De som, 66. De som, 67. De som, 67. De som, 68. De som, 70. De Bet verschied, bet produkt en bet quotient van twee complexe getallen, elke macbt van en elke macbtswortel uit en complexe getal, levert tot uitkomst een complexe getal op; elke complexe vorm, boe ingewikkeld ook, mits slecbts tot biertoe bescbouwde complexe getallen bevattende, zal derbalve ook tot eenkel complexe getal kunnen worden berleid. Als Toorbeeld van zulk eene herleiding kiezen wy den vorm 6 — y— 7 — ^(1^2 -f- 15)^— i)8 Neemt men alleen de direkte ricliting in aanmerking, dan vindt men achtereenvolgens : 21^111 = 2/2^ = 2 (Co« 220 30' + i/^T.^in 22° 30') z= = 2 (0,9239 + ^/:rt.0,3827) = 1,8478 H- ^^'^=^1.0,7654; a.) —4 + 2i?/'IirT = _ 2,1522 4- i/inf.0,7654 = 0,7654 = 2,1622'* -f.0,7654a/j5oo^ra»^ — i-—— = 2,2842/100^26'; ~— 2,1522 — y—h z=z — i/irT.^6' = — k'^^^.2,2360; b) 6 — K— 5=6 — |/— 1.2,2360 = — 2,2360 = yW±YfiZ^/Boog Tang = 6,4031/389^34'; 6 dus uit a.) en b): C.) 1^"(-^ 4 -^  8 + 1^(— 4 + ^i^") [^-^yZZl) = 8 + 2,4455 {Cos U^H^ * -^ y^^l.Sin 166*^40') = = 8 + 2,4455 {Cos U^H^ * -^ y^^l.Sin 166*^40') = = 8 + 2,4455 {Cos U^H^ * -^ y^^l.Sin 166*^40') = = 8 + 2,6294 (— 0,9730 + K^^^.0,2306) = = 8 + 2,3796 + K^^^^.0,5639 = z= 5,6204 + |/'^^ni;0,5639 = = K5.6204 + 0,56392/100^ Tang '^, = 5,6486/5043'. Voor den teller der breuk, die onder liet wortelteeken staat, vindt men dus 8 + 1^(4 + 2i?/— 1) (6 — r/— 5) = 5,6486/5043'. Verder is : i^2 = 1,2599 ; IB^m = 15/1 = 15 {Cos 450 + i/'^^USin 45°) = 4 = 15 (0,7071 4- y— 1.0,7071) = 10,6065 -h y— 1.10,6065 ; e,) ^T^- 15i^^IT= 1,2599 4- 10,6065 4. 1/^^^1.10,6,065 = = 11,8664 4- |/^^rr.l0,6065 = 10,6065 = Kll.-8664 4- 10,6065 + 10,766/4 -y^- =15,9152/41047M3'; 11,8664 147 f.) ^(fiyJ-V 15|J^^^;nr-. |5iX(i6,9i52/4.1047'i3'»)8 — = 1Kl5,91528/25O4'20'' = 6,2612/25<'4'20** = = 5,2612 (Cos 25®4'20'' + y/^^^.Sin 25^4 '20') = = 5,2612 (0,9054 + k'^^.0,4238) = 4,7635 + ^/^.2,2297; — j/IlT = — y^^.yl = — 1/^:^.2,6467 ; dus g.) 6 — I/— 1 — iK(lK2 + 15iJ-"— 1)» = = 6 — i/^Ili.2, 645 7 — 4,7635 — p/^^.2,2291 = = 1,2365 — |/— 1.4,8754 = — 4,8754 = 1 ^/'l,236524.4,8754«/,&oo^rfl«^ -'=6,0297/284^4'. 1,2865 Voor den noemer der breuk, die onder het wortelteeken voor- komt, heeft men derlialve 6 — l^ — l^(iK2 4- l5)4>/ZrT)8 = 6,0297/284014'. Boven vond men voor den teller dier breuk 5,6486/5^43'; de breuk zelve is dus gelijk aan 5,6486/5^43' 5,6486^ ^_ ^ ^, 7= riT^/- 278^31' = 1,1231/- 278081'; 5,0297/284014' 5,0297 de zevende macbtswortel Meruit is —..s^i.. Q7Q0Q1' h.) 17^(1,1231/— 278031') = 17^1,1231/ ^-— - = r:l,0167/-39o47^'=l,0167(^os(-39O47f')+|/^^5'J«-39O47>'))=i = 1,0167 (0,7684 — i/^^^n.0,6400) = 0,7812 — ^^^^. 0,6507. By deze laatste uitkomst moet nu nog 4 -H I/'— 1.3 worden gevoegd; dit geeft voor de gezochte waarde van W: W = 4 + ^/iri.3 + 0,7812 — 1/^^^.0,^501 = = 4,7812 + j/^^IT.2,3493 = = K4,78122 4- 2fi^2d^/Booff ^^"^TJoTo^ 6,3272/26O10'. Men verkrijgt derhalve; 6— ^^— 7— ^(1^2 + 15 1?^— 1)« — 4,7812 + j/ITi.2,3493 = 5,3272/26Ol0', ingeval alleen de direkte richtig wordt in aanmerkiog genomen. 10' TWELVE A.FDEEIL.ING. De stelkandigke fanctiSn vanveranderlijke complexe getallen. HOOFDSTUK 111.  in byzondere gevallen zelfs in eene recbte lijn kan overgaan), maar dan beboeven de veranderingen van r eu geenszins door algebra- 149 ische vergelijldngeii kunnen worden aangegeven of niet over haren geheelen loop door dezelfde vergeiykingen worden uitgedrukt. Gut by, z doorloopend over van P^.^r^/a tot P^.^^r^/P, dan kan die Terandering o.a. plaats hebben (Mg. 7): 1^, zoodanig dat het punt P^ de rechte lijn P|Pa doorloopt; 2^. dat bet punt P^ den halven cirkel PiGP^ doorloopt; 3^. dat bet punt P^ eerst de recbte lijn P^D en dan den balven cirkel DFP^ aflegt; 4^. dat genoemd punt eerst de recbte lijn P^J, dan den balven cirkel DFP^ aflegt; 5®. dat bet punt P^ acbtereenvolgens de balfe cirkels P^ED en DJPPg doorloopt; enz. enz. Uit dit voorbeeld bl^kt, dat een punt op oneindig vele verschil- lende w^jzen naar een ander punt kan overgaan, en dat derbalve bet begin- en bet eindpunt, bier P^ en P^, niets aangeven aan- gaande de reeks der overgangswaarden, d. i. der tusscben gelegen punten. Is ecbter de wet bekend, volgens welke r en veranderen, dan kunnen de tusscben gelegen punten worden aangegeven. Voor een paar eenvoudige gevall en zullen wij dit bier laten volgen ter verduidelijking van bet volgende. A. <p z=: aiandvaatig, 42. Is vooreerst ^ standvastig, bijv. gelijk «, en dus sz:zr/a en zij Pi =r r^/et eii P^zur^/oit dan zal bet punt P^ de recbte lyn P|p2 (^ig- 8) bescbrijven. Is I de oneindig kleine verandering van den voerstraal, dan zullen de acbtereenvolgende waarden van zijjn Voor de betrekking, die er bestaat tusscben de verandering van zen en die van r, vindt men * = G,e„s2±i?^^Il^*=rl^« (87) at o dat is : die hetrekking U gelyk aan de- eenkeidy genomen in de richtig der lijn^ dm zoo dat zij een hoeh a maakt met de as, Aakm. De gewone bepaling van difFerentiaal-quotient dx A ^ bescbouwen w\j bier en in bet vervolg als ook toepasselijk te z^n voor complexe waarden van x. 160 b. r = Mtandvastiy, 48. Is in de tweede plaats r standvastig, bijv. gelijk a en dus z = a/^% en is P| = a/ct en P^ = «^P> clan beschrijft het punt Pi Den cirkelboog P|P| (Fig.  de verandering van z en die van (^ bestaat, vindt men dz ^ ft/i0 + «) — (i^0 -— = Grens -^-^ — « — ^--. en door volgens N^. 18 de aftrekking werkelyk uit te voeren, ♦ dz ^ ^aSinJ^/. € . x\ _=6,en8-^V('? + - + -}, derhalve ook: _:::;:a/f -f - J (38) *) dat is : die verhouding ii gelijh aan den standvaatigen voerstraal a, genomen in de richting loodrecht op die van de lijn, dat is: ioodanig dat hij met de as een hoeh uaakt gelijk aan 4^ + -7- c. r en veranderlijJe, 44. Zyn eindelijk r tn beide veranderlijk, dan kunnen deze ^) Men kaD ook aldus te werk gaan: ^^ — Grcnj ^^^^ + ~ ^/0 _ d0 t Cos ((^ + €) — Cos + i [Sin (0 + 1 ) — Sin 0] = Grens a,- f = a (— Sin + i Cos 0) = 1 1 = a \co, {<P + ^) + i Sin {^(p + f^J = fl/^0 + |). 151 op oneindig vele wijzen veranderen zoo dat toch z doorloopend verandert. Ofschoon in dit geval van de achtereenyolgende punten niets kan worden bepaald, zal toch steeds de verandering van z afhangen van de en 4> en wel zoodanig, dat men heeft, indien r en onderling onafhankelijk veranderen, dz = ^dr^-'^d(^=.drf(^'\C^'^^.. (39) In de meeste gevallen zijn echter de veranderingen van r en <f gebonden door eene voorwaarde, die vergunt, dat men de tusschenliggende punten kan bepalen. Zyn bijv. de veranderingen van ren ^ zoo, dat, tenvijl (^ overgaat in 2^ + 4^, r regelmatig toeneemt tot r + 1 en dus bij eene draaiing ^ene lengte-eenbeid grooter wordt, dan zal, wanneer Pj^ = r^^ei^ den eersten stand aangeeft en P^P^:=r.l is (Mg.lO), bet vlak OP^Q^R^P^O door den voerstraal worden bescbreven. Houdt nu de verandering onder dezelfde voorwaarde aan, dan zal bij den overgang van Pg = (r^ -f- l)/(2v + a) tot Pg = (r| H- 2)^(45r -f- oe) een nieuw vlak OP^Q^R^P^O bescbre- ven worden, dat bebalve door de kromme lijn P^Q^B^P^ door de voerstralen OP^ eh OP^ begrensd wordt. Elke volgende volkomene draaiing geeft aldus een nieuw vlak, dat als bet ware ophetvoor- gaande rust. Moet bet punt P^z:zr^/a zoodanig in P^nrrj^jBovergaan, dat bet de recbte lijn PJ^^ (Fig. 11) bescbrijft, dan zullen de over- eenkomstige waarden van r en moeten voldoen aan de vergelyking : r Sin (y — C^) rz: a Sin y, waarin OP = a en £. 2CPP^ =: y is genomen. HOOFDSTUK IV. He funetien van eene compMeace veranderlijhe. § 15. De voorwaarde dai it eene fune is van x, 45. ledere complexe uitdrukking kan worden gebracht in den vonn p/^f > en dus is zulks ook bet geval met elke functie van r/(p; daarbij moet alsdan p eene functie zijn van r, en \p eene over- eenkomstige fanctie yan ^. Want tal p/f^li eene fimctie zijn van r/l0, dan is Iiet een volstrekt vereischte dat in p^^ r en sleohts in de verbinding r/l(P voorkomen, wat byv. niet het geval is in uit- dmkkingen als r/^20, r*^— ^, enz. Zal dus eene uitdrukking van den vorm wznp/^ eene fanctie zyn van z = r/^, dan moeten p en ^ voldoen aan zekere voorwaarden, die men op de volgende w^ze kan opmaken. Daar w eene fanctie moet zyn van j, en r en (^ niet van elkander «. ito dto iz afhangen, is -r- = -r • t* » ^ ir dz tr tw dto <lz en omdat (N>. 42 en 43), i^ = l/*en^=r/g+<f) 1 2(a? dto ^, 13, 18 nu ook — z= T'r^ » afr ^;3 en waaruit volgt, :7r = «'T"/«» (^^) als de noodzakelijke voorwaarde w moet voldoen om eene fanctie van z te zijn. *) 46. Om aan te toonen dat de gevonden voorwaarde (40) ook voldoende is : — dat is, dat elke fanctie to, die aan die voor- waarde voldoet, ook altyd eene fanctie van z moet zijn — zullen wti eenvoudig bewjzen, dat b\j de eliminatie van t tusschen w en z ook <J) uit «? verdwynt. Daartoe nemen wy vooreerst de totale differentiaal van de oorspronkelijke functie w ; deze is en in verband met (39) en (40) Nemen wy nu ook de totale differentiaal van de oorspronkelijke functie w ; deze is en in verband met (39) en (40) Nemen wy nu ook de totale differentiaal van de oorspronkelijke functie. In navigating van Caught (Serem d'anah et de phyi. maik. T. IV, p. 846), wordt w eene monogene fanctie genoemd, indien zij voldoet aan de voorwaarde in (40) nitgedrnkt* 15S van r, dat is, na de substitutie van s/^— -0voor r, en oxiderse scheiden w^i de gedeeltelijke differentiaal-quotienten van de Torige, door ze tusschen haalges te plaatsen, dan hebben w|j Met de vorige uitkomst verbonden geeffc dit en dus ook, daar d4> en dz onderling onafhankel\jk z|jn, en I De eerste vergel^king leert dat w na eliminatie ran r onafhankeiyk is van 4* i en dat dus met de eliminatie ran r ook verdwijnt; of anders gezegd, dat w van r/f<p, dat is van s, afhangt. De tweede vergelyking geeft, daar nu ook f— J = — is, dtc iK ^ even als boyen. Men kan na bet yoorafgaande zeggen : ^Eme funetie w is eene fundie van een veranderlyk complexe getal z ;= ff^, toanneer hare veranderingen goodanig e\jn^ dat voldaan wordi aau de vergelijking h 10. dndere corn* dter wtarwaarde. fivvolgtrekktmgea. 47. Men kan aan de boTengeronden Toorvaarde (40) een' anderen vorm geven door op te merken, dat *" jr<^ {r<|)'"V2 • "y'er<p' 164 is; daardoor toch gaat e^ over in welke Yoorwaarde in de beide yolgende : en kan worden gesplitst. 'jl0 Kr ) (41) du> 48. Beschouwen w^ thans het differentiaal-quotient ~ voor het geyal dat 90 eene fanctie is van z, en dat derhalye aan de verge* l^kingen (40) en (41) wordt voldaan. Men heeft (§ 15) dio ^^ ^r /^ dw l(lto ^ /at \ derhalveook g=(g4.p^/0/(+-,^) (48) dip Beide vergelykingen (42) en (43) z^n onafhankelyk van — en dy dio dus ook van de, zoodat ^r- onafhankelijk is zoowel van de grootte als van de richting van de richtig van de verplaatsiug van het punt z = r/0» Hieruit bl^kt, dat Eiemaitk de valgonde bepaling kon stellen: „Eene veranderlijke complexe grootheid to loordt getegd eene functie ie zijn van eene andere veranderlijke complexe grootheid «, loanneer eene verandering van de laatste eene zoodanige verandering der eerste tetoeeg hrengt^ dat de toaarde van het differentiaalrquoiient dvD — onafhankelijk is tan de toaarde van dz zelve*} *) d% 49. Voorts valt het gemakkelijk aan te toonen dat, wanneer to *) BiEMANM, Orundlagen fur eine allgimeine Theorie d^r Functionen einer veranderliehen complexen Orotie, Inaujuraldiisertaiion^ OSttingen, 1851, S 2 155 155 155 BemANM, Orundlagen fur eine allgemeine Theorie d^r Functionen einer veranderliehen complexen Orotie, Inaujuraldiisertaiion^ OSttingen, 1851, S 2 155 BemANM, Orundlagen fur eine allgemeine Theorie d^r Functionen einer veranderliehen complexen Orotie, Inaujuraldiisertaiion^ OSttingen, 1851, S 2 155 BemANM, Orundlagen fur eine allgemeine Theorie d^r Functionen einer veranderliehen complexen Orotie, Inaujuraldiisertaiion^ OSttingen, 1851, S 2 155 BemANM, eene funotie is van «, -j- Eulks ook zal ztin. Volgens het yoor- dz gaande is namel^k dw iw ^, liw ^ /^. ^^ zoodat men heeft ir[de)'^^2~i<p\dz/ dw — voldoet derhalTe aan de voorwaarde (40) en is bygevolg eene fanctie van », 50. Is eindelijk w eene fanctie van z, en z weder eene funotie yan ^ = R/fX, dan is ook w eene fanctie van ^, want volgens ,, dw ^8 ^dw (1 9 JK en dus ook z= 22 -- r^f^r, d» Hoc ^«?^ 2 waaruitvolgt _=22^/-, wat met (40) volkomen overeenstemt en derbalve aangeeft, dat w ook eene fanctie is van ^, § 17. Green Mofing van de woegen vnn w em »• dw 51. De omstandigheid, dat -- onafhankel\) is van ds^ kan ona d9 eene merkwaardige betrekking leeren kennen tusschen de %areny die men verkrijgt, wanneer de weg der veranderlijke gTOotheid in liet vlak der s (Y») en de overeenkomstige weg van w in het vlak der w(Y„) worden geconstrueerd, Laat men namelyk g twee oneindig kleine verplaatsingen ds^ en d§^ in verschillende richtingen onder- gaan, en zijn z^ en z^ de verkregen eindpunten (Mg. 12«), en »^ en Of J de richtingen dier verplaatsingen van w, en P^ en fi^ hare riclitingen, en dus dw^ = ww^/P^i dan moet j- onafhankeligk z^n van de verplaatsing van g en dus is ^w, dw^ dz^ derhalveook i?!!:,^! ^ Of ook ^/(Pi - P,) = — /(«, - «2)- Deze vergeljking kan slechts identiek zijn "voor = — - en Pi "" Pa = **l "" *f 1^6 oneindig kleine driehoeken gz-^z^ en ww^w% hebben dus den hoek b\j <? en ^^ gelJijk» en de zijden om dien hoek evenredig; z\j zyn derhaWe gel^kvormig, Daar zulks het geval is voor clke drie oneindig dicht by elkander gelegen over- eenstemmende punten der vlakken Y» en V«,, zoo zyn de over- eenkomstige figuren, die door de waarden van s en w worden gevormd, in hunne kleinste deelen gelykvormig, en zuUen twee elkander sn^dende l^jnen in het vlak der w elkander onder denzelf- denhoek sn^'den, als de overeenkomstige 1^'nen in het vlak der z.*) 52. Men denke echter niet, dat deze gel^kvormigheid doorgaat voor eindige afstanden, want dit is geenszins het geval. Terw^l b\jv. z twee sn^'dende rechte li^jnen doorloopt, kan to sn^dende Kromme l'jenne dodrloopen, en omgekeerd. Het voorgaande bewärts geldt dan ook alleen voor oneindig kleine afstanden, en dan nog dw wel uitsluitend voor het geval, dat --- niet nul of oneindig groot wordt, omdat in deze beide gevallen niet tot de geljkheid der beide hoeken mag worden besloten. OuSS, Jiron, Ahhandl, von Schubert, H. 8,8,5. Wordt vervolft. OYER DE WASHINGTON VAN DE TERSCHIL- LENDE MOGELIJKE INSTRUMENTE EN VERKLEZING WAARBU STEHERS TAN TWEEERLEI KLEUR ZICH BU LONING IN AFDEELINGEN TERDEELEN. Door D. /. KOBTBWEQ. I. § 1. Indien een zeker aantal personen zicli, tot het bewerkstelligen van stemmingen of benoemingen, bij loting in eenig afdeeeling van onderling gelijke sterkte verdeelen, onder bepaling dat vervolgens iedere afdeeling ^^ne stem uitbrengen, of ^^ne benoe-ming vemcliten zal ; dan is de uitslag, die verkregen zal worden, voor een gedeelte afhankelijk van het toeval. Immers indien bijv. van mjftig personen, die zich in w^afdee- lingen verdeelen, dertig tot de meerderbeid, twintig tot de min- derbeid bebooren, dan zoude het toeval kunnen willen, dat in iedeie afdeeling idch zes personen van de meerderheid tegenover vier van de inunderheid bevonden; Maar het zoude ook mogelijk knnnen z^n dat in twee afdeelingen uitsluitend leden der meerderheid zit« ting namen, terwijl in de drie overige afdeelingen de meerderheid door de minderheid werd overstemd. In het eerste geval zouden alle benoemingen in den zin der meerderheid uitvallen, terwgl in het tweede de minderheid drie^ de meerderheid slechts twee be-, noemingen zoude doen. Zijn er in het algemeen h stemmers, die zich in k onderling even talrijke afdeelingen splitsen, terwyl a stemmen tot de meerderheid, h tot de minderheid bebooren; dan zal de waarschynlijkheid van eene zoodanige verdeeling, dat in m bureaux de meerderheid, in n de minderheid zegeviert, eene functie zijn van a, ^, m en », die wij in het vervolg zullen voorstellen door p 158 of, als daaruit geen misyerstand ontstaan kan, door Het is deze fiinctie, die wi) zullen trachten te bepalen. § 2. In zijne ^Recherches mr la probaBilUS des JugemenU** (ed. 1837, pag, 231, J 90) houdt zicli PoissoK met een soortge- lijk vraagstuk bezig. H^ bepaalt nam. de waarschijnlijklieid, dat in eene enkele afdeeling van a leden , gekozen nit eene yergadering yan ka peisonen, a behoorende tot de meerderheid en b tot de minder- beid, of de meerderbeid , of de minderbeid zegeyiert. Uit die waarscbijnlijkbeid wordt dan op eenyoudige wijze de gemiddelde uitslag yan de stemmingen of benoemingen der afdeelingcn afgeleid. Laat nam. p de waarscbijnlijkbeid yan eene benoeming in den zin der meerderbeid , en ^ die yan eene benoeming in den zin der minderbeid yoorstellen [jP 4* S' = 1] « dan zullen bij een zeer groot aantal r benoemingen, door dergelijke afdeelingcn verricbt, vol- gens de wet der groote getallen, ongeyeer pr in den zin der meer- derbeid en qr in den zin der minderbeid moeten uityallen. De gemiddelde uitslag der k benoemingen, welke telkens na iedere loting worden yerricbt, zal dus moeten zijn pk personen der meerderbeid en qk der minderbdd. Zoodra derbalye p oi q berekend z^n, [en dit gescbiedt yolgens een eenyoudige formide , die w^ later mede- deelen], is deze gemiddelde yerbouding bekend. § 3. Boyendien kunnen deze waarden p en q nog dienen om een yraagstuk op te lossen, dat met bet onze eene groote oyereen- komst bezit. Terwijl namelijk ons yraagstuk betrekking beeft op eene yergadering, die zicb door loting in een zeker aantal afdee- lingen splitst, welke daarop ieder eene stem uitbrengen of eene benoeming yerricbten; badden wij ook een ander geyal kunnen bescbouwen, waarby dezelfde yergadering bij loting uit haar mid- den een kele afdeeling yan a leden samenstelt, die daarop een votum uitbrengt, om zicb onmiddelijk weder te ontbinden; waar- mede men voortgaat, tot een zeker aantal yotums yerkregen is. In deze onderstelling is de waarscbijnlijkbeid P'«.» (waarin nu niet meer noodzakel^k m^^nink) op eene eenyoudige wijze afbanke- lijk yan p en q\ immers dewyl nu de samenstelling der tweede afdeeling gebeel on Abankelijk is yan die der eerste daar bet deelgenootscbap aan de eerste dat aan de tweede niet meer uit-sluit] zoo mag men de wetten der samengestelde waarscbijnlijk- 159 heid voor onderling onaf hankelijke gebeurtenissen toepassen ; en uit deze wetten volgt dan zonder moeite Zoo vindt men bijv. voor p = 0,4 ; q = 0,6 ; w 4- ^ = 5, P's.o = 0,07776, P'4.1 = 0,2592, ^3.3 = 0,3456, P'g.s = 0,2304, P'1.4 = 0,0768, P'o.b = 0,01024. Dat nu evenwel Pm.n zeer verschillende grootheden zijn, blijkt alleen reeds daaruit, dat in het gekozen voorbeeld Po.b — in onderscbeiding van P'o.b — volkomen nul zoude moeten zijn. Terwijl in de onderstelling beboorende bij Pm.m ieder lid tot ^^ne door bet lot aangewezen afdeeling beboorende bij P'«.nj een bepaald lid, naar bet toeval wil, in meer dan eene, of ook in geen enkele afdeeling kunnen verkrijgen; waarvan bet gevolg is, dat in de onderstelling P«.nde samenstelling der verschillende afdeelingen wel, in de onderstelling P».» daarentegen niet van elkander afbankelijk is. Denken wij ons, dat de stemming tusschen de afdeelingen ook in de onderstel- ling Pm,% in eene zekere voorafbepaalde volgorde gescbiedt, — betgeen naturik op den uitslag geen invloed bebben kan — dan zal iedere overwinning der minderbeid in eenige afdeeling bare kansen op eene overwinning in de volgende afdeelingen aanzielijk verzwakken, Zoodra — meer in bet algemeen — na afloop van een zeker aantal stemmingen kleiner dan k of de meerderbeid, of de minderbeid in eene abnormaal gunstige verbouding is, dan dan bestaat er, zoo de minderbeid in bet voordeel was, zeker heid, en zoo Het de meerderbeid is, /looffe waarscMjnlijkheid dat bet aantal barer leden in de overblijvende afdeelingen ook abnormale verzwakt zal zyn ; waardoor bet dus ^ p'iori waarscbijnlyk is, dat de nog te verricbten stemmingen de strekking znllen bebben de abnormale verbouding weg te nemen. Voor abnormale waarden van »t en », die dns ver uit de buurt van pk en qk gelegen zijn, zal derbalve Pm,fi kleiner zijn dan Fm,n\ maar dewijl 2 P«i,«:= 2 PfM.H^^l} «=0 n=0 zoo zal omgekeerd voor normale waarden van /« en ;^ do wAarde van P«.„ die van P'm.n moeten overtreffen. Dat overigens de bepaling van P'w.m vrij wat moeilijker is dan die van P'w.m laat zicb gemakkelijk genoeg inzien. In heide gevallen kunnen de m afdeelingen, waar de meerderbeid zegeviert, op verschiilende wiizen ttisschen de overigen verBpreid znn; in beide getaUen zal daarbij iedere volgorde even waarschijnlk zun, daar een bepaalde uitslag even gemakkelijk in de eene, als in de andere afdeeling kan verkregen worden. In - beide gevallm zal men dus kunnen volstaan met de waarscbijnligklieid te berekenen, eigen aan eene bepaalde volgorde, bijv. aan die, waarb^ de w eerste bureaux met de meerderbeid, de n laatste met de minderbeid stemmen. Terwyl dan ecbter deze waarscbijnlykbeid by P.w eenvoudig wordt aangewezen door: f^^t bestaat zij voox Pm.n ^t het produkt der volgende waarsebqnlijkheden: le. dat de eerste afdeeling met de meerderbeid gestemd bebb ende, de tweede met de meerderbeid stemt. de. dat de tweede eerste afdeelingen met de meerderbeid gestemd bebbende, de vierde met de meerderbeid stemt. me. dat de ff — - 1 eerste afdeelingen met de meerderbeid gestemd bebbende, de vierde met de meerderbeid stemt. me. dat  afdeelingen met en de drie volgende tegen de meerderbeid gestemd bebbende » de m-i-4e tegen de meerderbeid stemt. jgi^ne. dat de m eerste afdeelingen met en de n-*-! volgende tegen de meerderbeid gestemd bebbende, de laatste tegen de meerderbeid stemt. waarvan alleen de eerate bekend ia, en geiyk ia aan jp. De m --« 1 Tolgende zijn alien kleiner dan j9, daarentegen ia de m + l^ veel grooter dan g. § 4t. Nn bepaalt zich FoiasoN niet uitaluitend tot de bereke- ning van het gemiddelde aantal afdeelingen, waar de meerderbeid en waar de minderheid zegeviert. Nadat bij bijy. voor het geval ▼an een verdeeling in 459 afdeelingen van een aantal van 199^665 kiezers, waaronder eene meerderbeid van 104,830 en eene minder- heid van 94,835, gevonden beeft ^ = 0,85426..., j = 0,14574..., en daarnit beeft afgeleid dat de gemiddelde uitslag z^n zal meerderbeid = 0,85426... X 459 = 392 afd., minder beid = 0,14574... x 459 = 67 afd.; etelt bij zicb de vraag wat de waarscbi^'nlijkbeid is, dat dewerke-lijk verkregen uitslag niet meer dan voor een gegeven aantal afdeelingen van de gemiddelde verbouding afv7i[jkt. Hy kiest b^'v. als grensgevallen meerderbeid 392 ± 21, minderbeid 67 q: 21 ; en geeft dan voor de waarscb^'nlijkbeid W ^ dat de werkel\jke ait* elag tusseben deze grenzen begrepen is, B' = 0,99682. Daarby maakt bi|j dan echter gebruik van eene formule, die geldig is voor bet geval van h gebeurtenissen, die onderling ofh quanhelijk zijn, en waarbij van twee gegeven voorvallen, die stand-vastige waarscbj^jnligkbeden ^ en ^ bezitten (/? 4- ^ = 1), steeds idu van beiden plaats grijpen moot. Deze formule geeft voor dat gevval de waarscbijnlijkbeid aan, dat bet eene voorval niet meer dan pk + r en niet minder dan /?^ — r maal voorkomen zal, m. a. w. Foiisoir sommeert binnen de aangegeven grenzen de waarscb^nlykbeden P'm.iiy en niet, zooals vereisebt werd, de waarscb^nulqkheden Pm.n* Nu is bet waar, dat PoissoN slecbts het oog beeft op niet te kleine waarden ^, en dat voor zulke waarden, in bet geval dat m tn niet te ver van bet gemiddelde afw^ken ^ de uitdrukkingen Pm.m en P'm,n misscbien slecbts weinig van elkander in waarde zullen - verscbillen ; maar bet scb^nt ons tocb gewaagd, al zjj bet by benadering, i priori de gelgkbeid dezer beide waarseb^nlgk- heden aan te nemen. Indien de grensgevallen w =?jfc — r eenigzms ver uiteengelegen zign, dan zuUen overigens alleen abnormale uit- 11 162 komsten uUgeBloten worden; en dewgl?oor deze uitkomsten Pm.« de waarsch^nlijkheid Fm.n overtreft, zal omgekeerd de som der waarsohynlykheden P».ii, begrepen in R\ kleiner moeten zyn dan de som der overreenkomstige waarden van Pm.a* De waarsch^nlijk- heid R* ia dus te klein. Hare juiste waarde zal in liet door Pois- SON gekozen yoorbeeld nog dichter bij de eenbeid moeten gelegen sQn, zoodat de besluiten, die Poissok uit de grootte dezer waarsch^nl^jklieid trekt, h fortiori doorgaan. Tevens blijjkt, dat dereken- w^ze van Poissok voor de gezoclite waarsch^nl^jkheid een onderste grens aangeeft, die, als ze dicbt biQ de eenheid gelegen is, even dienstig kan zijn als de jaiste waarde zelve. { 5. Wy zien derhalve, dat Poissok dch, behalve voor bet geyal van een zecr groot a antal af deelingen, bepäld befest tot de berechnungen, den de gemidende van de gemidende van de in den zin der meerderbeiden en in die der minderbeiden stemmende bureaux; en niet beproefd bevördigte van deze gemidende van deze gemidende verbouding, en van de overige van baar afvqjkende verboudin- gen, te berekenen. Waar bj^ zulks wel befest getracbt, nam. by een groot aantal afdeelingen, bestaan tegen zqne oplossing gewicbtige bedenkingen. Deze leemte aan te vullen, en dus te bepalen, wat de maximum-waarde is van Pm.m ^^ op welke w^ze deze waarde voor afw\jkende verboudingen afiieemt, is bet doel van onderzoek. Naar gelang nu de gegevens a, d, m en i», waarvan P^.n eene functie is, al of niet groote getallen zijn, die bet gebruik van benaderingsformulen noodzakel^k maken, splitst zicb dit onderzoek van zelve in drie gedeelten, nam. in de volgende. A. a. en dus ook m gh n zjjn Jcleinere getallen. In dat geval kan de metbode gevolgd worden, door m\j ontwikkeld in bet ^Journal dea acluaires frangais" (T. Ill, 1874). B. a. en 3 zqn grootere^ daarentegen m en n hleinere getallen. Dit geval zal tbans bet ooiderwerp van onze onderzoekingen uit-maken. In deze eerste verbandeling ontwikkelen w^ P^.n in den vorm van een bekende integraal, en leiden daaruit eenige algemeene besluiten af. De eenvoudigste onderstelling m + it = 2 is reeds volledig bebandeld in bet ^Journal dea aciucdres frangaisJ' Q. a. 5| m en If zijn groolere getallen. De berekening van Pm.1i zal dan van minder belangzyn, daardewaarsdb\jnl\jkbeid zelve eener gegeven verbouding in ieder geval zeer klein wordt. Daar* entegen zal men In dit geval moeten tracbten te berekenen tu$«scben gegeren grenzen /P... dm. 163 n. 6. Alvorens tot de eigenlijke behandeling van ons vraagstuk over te gaan, willen wy er de praktisclie beteekenis van uit-eenzetten, waarbijj w^ gebruik makea van de uitkomsten in bet Journal dea aetuaires frangais*\ of door Poissou', verkregen, Gebeel van zelve spreekt de toepasselijkheid op bet geval van eene vergadering, die zicb bijj loting in afdeelingen splitst, om benoemingen en stemmingen te vergadering, die zieb door geene overwegenden laten weerhouden, om eene benoeming in bun eigen zin door tedrijveni waar de meerderbeid aan bunne z^de is. Men zoude dan opperlakkig meenen, dat eene verdeeling in afdeelingen zeer ten voordeele der minderbeid komen moest; want bet is duidelQk, dat, indien de leden eener commissie door de gebeele vergadering by meerderbeid van stemmen worden benoemd, die meerderbeid bet in bare macbt beeft niets dan leden barer part^ te doen kiezen; terw^l er daarentegen, indien de verkiezing plaats beeft in de afdeelingen Eenige waarschijjährigen bestät, dat in sommige van dein minderbeid meerderbeid zal geworden zign en sonunige barer leden zal doen verkiezen. Eeeds de uitkomsten van berekeningen op kleine getallen stemmörung verricht, toonen eben eben aan dat dit grootendeels een illusie is, en dat zelfs een vr^j aanzienl^'ke minderbeid slecbts een kleine kans beeft om eenigzins beboorlijjk vertegenwoordigd te z^n. BQ een zoo klein aantal leden der vergadering als 36 en bQ eenigzins beboorlijjk vertegenwoordigd te z^n. BQ een zoo klein aantal leden der vergadering als 36 en bQ eenigzins beboorlijjk voor de verschillende mogelyke uitkomsten, na de verdeeling in vier bureaux, 7 36 » 13 ^^'^ ~ 56 °^^*'^'^ ~ 56 °^* • ^'•* ~ 56 ^^' ' Hier wordt dus, wel is waar, van de minderbeid waarsobijniyk nog een enkel lid gekozen; maar z\j is reeds zeer merkbaar in bet nadeel; immers terwijl bare verhouding tot bet gebeele 15 2 antal stemmers - bedraagt. 't welk eens zoo dicht b|j - al. by V4 gelegen is, zoo is tocb de kans op benoeming van slecbts e^n barer leden b^'na driemaal grooter dan die op eene benoeming 164 van twee led 164 van twee led En terwäl bovenden de kans, dat geen enkel harer leden gekozen wordt, volstrekt niet onbeteekenend klein is. Hoe enel Terder bängt van de getalsterkte der minderheid deze laatste kans aangroeit, blijkt niet de volgende cijfers, minderheid meerderheid P4.0 17 19 0,08, 16 21..... 0,12, 14 22 0,25, 13 23 0,41, 12 24 0,57, 11 25 0,71, 10 26 0,80, 9 27 0,86. Indien derhalve de minderheid een vierde bedraagt van het geheele aantal stammers, dan is de waarschijnlijkheid dat ze niet yertegenwoordigd wordt in eene commissie van vier leden, reeds meerden zesmaal grooter dan de waarschjnlijkheid van eene enkele verkiezing van hare klenr, waarop z^ volgens hare getalsterkte  een Staat zijn nam. de parten volstrekt niet zoo verdeeld, als znlks door het toeval geschieden zonde, m. a. w. deoorzaken, die bepalen of een of andere part, zal medestemmen, e^q niet OTer het geheele r|jk metgel^ke kraclit werkzaam; integendeel, b^ de algemeene Toegen zicli plaatselijke of gewestel^ke oorzaken en verstoren de gel^kvormigheid, die anders te verwacliten ware, fiovendien oefent het gevoelender meerderheid op het meernderheid op het meernderheid op het meerderheid. 