Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
Hierin kunnen Kq^ Kq^ en Kq^ drie geheel willekeurige collineaire quaternionen z^'n; Schryven w^j dus dan heißt men voor drie willekeurige collineaire quaternionen ufes + id = Ms + Mk- Geheel op dezelfde wijze bewijst men U (fl'a — U) = Mz — Mv Daar nu bet distributive ran de yermenigvuldig van collineaire quaternionen aangetoond is, zoowel ten aanzien van den vermenigvuldigtal, zoo hebben wijs (^ + fl'i) tea + iz)  reohte quotienten aangetoond is, zoowel ten aanzien van den vermenigvuldigtal, zoo hebben wij (r + ©i) (rj -f- t>g) = Wg -1- f?t?3 + ^i^^ + ^i^z' Evenzoo voor een grooter aantal quaternionen, § 81. Ab van drie quaternionen ^en een acalair is (sie § 53 aan het einde), kan men deze beschouwen als het quotient van twee lynen, die gelegen zijn in de sn^'I^n der vlakken van de beide andere quaternionen. Men kan drie quaternionen, waarvan ^en een scalair is, dus beschouwen als coUineair. Evenzoo wanneer twee of drie quaternionen scalairs zijn. § 82. Laat nvi q^ qif q^ en q^ vier willekeurige quaternionen zijn. AJen heeft dan to -h qi) iq^ + S's) = { ^(? + 9i) + ^(? + ^i)) (^2 + ^s)- Volgens § 71) is (? H- ii)i9% + Qz) = % -H it) X (?2 -h?3) -H Hi +?i) X (?a -f- q^), {^?« + ^s) + ^(^3 -H ^3)). Volgens dezelfde § is verder (^ + 2i) (ft + U) = % + U) %2 + ft) + ft) + fi'i) ^(ft + ft). Yoor de vier gedeeltel^ke produkten van het laatste lid vindt men achtereenvolgens %4-ft) %2H-ft)= (^^-h ^!7i) (-SZs 4-^8)= ^fi'5ft4- ^^^ft 4- %^a 4- ^i% %4-fi'i)^(ft+ft)= (^5^4- ^i)  CD. BC^AB z=z BD.ABzz: AD, dus ook CD.BC.AB = {CD.BC)AB, waarnit blykt, dat in dit geval de vermenigvnldiging der quaternionen associatief is. Tot dit geval behoort ook het meer bi|jzondere geval, dat de middelste factor een scalair is. Dit komt hierop ne^r^ dat in Fig. 7 de punten B en C samenvallen. § 84. Om nu de vermenigvnldiging van drie wiUekeurige quater- nionen terug te brengen tot het voorgaande, merken w^ op, dat men in het algemeen zal hebben voor de drie factoren AB^ BC en DE. Het onderscheid hiervan (zie Fig. 9) met het voorafgaande b^'zondere geval is, dat hier D niet samenvalt met O. Er bestaat dus onderscheid in de hoeken der middelste factoren. De eene hoek is gel^k BD en de andere gelijk BC. Merken w^' verder op, dat men elken quaternion kan beschouwen 119 als de Som van een scalair en een anderen quaternion, wiens hoek een willekeurige grootte t bezit. Men heeft n.L als OQiOP de gegeven quaternion en t de 119 119 gegeven hoek is zie Fig. 10. OQ_ OB + BQ _OR RQ OP"" OF ~ OP'^ OP'^ waarin ORi OP'^ den hoek (bevat, terw^l RQi OP een scalair ia» Na kunnen w^ in DE.BC.AB BO beschouwen als de som van een quaternion, wiens hoek BD is, en een scalair; of BO=zk.BD + l. Yolgens de voorgaande § hebben wi|j DE.kBD.JB = Lh{DE,BD.jiB), of DE.{kBI).AB) = {DRkBD) AB. Ook is DE. LAB = {DE. I )AB DE [(kBD 4- /) AB] = {DE[kBD + /)) AB of DE.{BC. AB) = {DE.BO) AB. Wy hebben dus voor drie willekeurige quatemionen OPMEBKma. Het roorgaande bewys is door m^ het eerst mede- gedeeld in de Archives Neerlandauea dei Sciences exactes et naiurellei. Het is eenvoudiger dan de vroeger gevonden bewijzen van Hamilton en Mobius. Het bemst op de distributive eigenschap, even als het bewijj in § 17. Het is eenvoudiger dan laatstge-noemd bewijjde daar b^* het bovenstaande een quaternion slechts in twee deelen gespiitst wordt en b^j § 17 in vier deelen. Hamilton en Mobius hebben bewijjzen geleverd, die onafhankeli^k zijn van de distribniieve eigenschap; deze zijn echter alle min of meer omslachtig, terw^l het bovenstaande bew^'s, door een splitsing in slechts twee deelen, zijn meetkundig karakter voldoende behouden heeft. In de Archives heb ik even als hier de notatie van Hamilton gevolgd, met het eenige onderscheid, dat ik in de Archives voor een versor heb geschreven AB, waar Hamilton schrjjft BA. § 85. Daar de vermenigvnldig van quatemionen associatief is voor drie factoren, is zy het ook voor een willekeurig aantah Nemen wy b.v. vier quatemionen, dan is Produkt van trecke versoren. § 86. Nemen wij in de eerste plaats de tweedemacht van een rechten versor OB i OA. Wij heben daarvoor (zie Fig. 11) OB OB _0C "OA'^d ~ OBOA ~ OA • en daar L ^OB = ^ BOC = 90^ is, zoo heeft OC de tegenge- stelde richting van 0A\ en daar OA en 0(7 even lang zijn, is OB OB _ 'oA'ak-'^^' De tweedemacht van een recenen versor is due aUyd -— 1. Deze meetknndige eigenschap koml overeen met de algebraische eigenschap in } 26. § 87. Meer aanschouweliljk wordt het bovenstaande nog gemaakt, als wi[j met andere woorden zeggen: Ale een recMe lijn in een hepaald vlak om een van hare uiieinden twee maal achtereen een recMen hoek omdraait, dan is zij na die draaiingen in tegengeetelde ricMing geJcomen. Hiermede is te gelijk aanschouwelijk gemaakt de eigenschap, dat in de theorie der quaternion en — - 1 een onbepaald aantal vierkantswortels heeft, Daar t, j en k eenheidsvectoren z^n, zoo zijn zij gelijk aan rechte versoren. Z3 = -1, f — —l, ^=-1. duiden due aan » dat wentelingen telkens van twee rechte hoeken om t, J en k reapectievelijk een Ujn reehthoekig op die aseen in tegenge* stelde richting brengen, § 88. Beschouwen wij nn de vergeligking ij = k. Merken wij op, dat men heeft i :=ik :j\ dan kan men in plaats der voorgaande vergelijking schrijven -.^ = k. 3 Deze vergelijking drnkt eenvoudig uit dai^ wanneer men de lijn j om i als as in den sin van links naar rechts een rechten hoek laai draaiien , dat alsdan j in den stand k komt. § 89. Op dezelfde wijze bezitten jk = i en ki z:zj volkomen aanschouwel^ke beteekenissen. 121 MBeeHmg dam qmaiermiomem. § 90. Als «, /3 en 7 vectoren zijn, hebben wij reeds in § 71 vastgesteld -:-=—. Om dus het quotient van twee quaternionen te vinden^ moe- ten wij han beiden tot deeler geven een gemeenschappelgken vector in de snijl^'n Tan de vlakken der twee quaternionen. Het quotient is dan een quaternion , die tot teller heeft den teller van het deeltal en tot noemer  geiykheid kan alleen bestaan, als v, v^ v^ ta v^ alle complanair zign en als bovendien de driehoek, die r en v^ tot sijden heeft » rechtstreeks gelijkvormig is met dien, welke v^ en v^ tot zi||den heeft. Uit een eenfoudige meetkandige beschouwing blijkt echter, dat ut het jätste volgt, dat ook rechtstreeks gelQkvormig is de driehoek, die gevormd wordt door v en t?^. met dieui welke géTormd wordt door v en v^. Hiernit volgt weder, dat men heeft Uit - = - volgt dus - = ^. 9aee91kuHdi§ge beieeMtenis vam de meesi voorMtomemde uitdruMMmgem • § 93. Nemen wij (zie Fig. 12) een versor ti=|3:ff. Nu is volgens § 59 8u=:0D:0J=z Cos £^ u. TFu= lengte 00 1 lengte OA, of TFu = lengte BD : lengte OJ, of TFu = Sin L «• Hiermede is dns de meetkundige beteekenis verklaard van Sii en IFu, § 94. Neemt men in plaats van een versor u een willekenrigen quaternion q, dan is qizz Iq. Uq; en verder als hierboven 8q =:z Tq, Cos l^ q, en TFq = Tq. 5iii Z.  bet voorgaande q vervangt door Uq^ SlJq = Co8L q. TFUq^SinLq- § 95. Als : a een quaternion is (zie Fig. 14), dan heeft men Yerder is identiek a OA OA OC ^ ^ ^. OC B 00 = 77-;. OA =OA.-r-'^ = ctST' of OA OA de prcjectie van ^ op oi h gel^k aan aS-. ci § 96. Evenzoo hebben w^ in Fig. 14 OD ^ ^ Ook is --.04 = OA of F^.a = OD. De préférence van p op een vlak reeJUhoekig op a is gel^k aan F^,ot, 9t 128 § 97. Is het alleen om de lengte te doen, dan hebben wij uit de twee voorgaande formulen onmiddellijk Lengte der proj. van (3 op = r(«.5-J = T».S^, \ x/ a Lengte der proj. van (3 op een vlak rechthoekig op oi § 98. Laat « en |3 twee vectoren of rechte lijnen zijn, dan heft men Tei^ zn Tot.T^, TFapz=iTx.Tp.8inL^, a TFxfi ^= Inhoud parallelogram, waarvan a en |3 twee opeenvolgende zijden g^n» TFUap z=z Sin L- X § 99. Yeronderstellen wi(j, dat x, ^ en 7 drie rechte Ignen zgn, die door ^en punt gaan « en die das beschouwd kunnen worden als drie ribben van een viervlak, die in een hoekpunt samenkomen. Yolgens het voorgaande is Tap het dubbele van den driehoek, die X en P tot zijden heeft. Verder is UF^y een lijn, die tot lengte heeft 1, en die rechtheekig staat op het vlak der l\jnen P en 7. Daaruit volgt, dat 8x UFPy^ de projectie is van de ribbe x op een Ign, rechthoekig op het vlak 0» y). De voorgaande waarde is du8 00k de loodlijn in het viervlak op het z^'vlak (fi^ 7) neergela- ten. Wij vinden nu voor zes maal den inhoud van dat viervlak TFpy.8xUFpy z=z 8{x.TFPy.UFpy] =r 8(x.FPy.UFpy) en daar 8(x.8Py) = 0, zoo is de voorgaande uitdrukking weer gelijk aan 8{x (8Py 4- FPy))=8.xfiy Deze uitdrukking etelt dui zesmaal den inhoud voor van hei vier- vlak f dat X f fi en y tot ribhen heeft. § 100. Uit de leetkundige beteekeuis van 8,aPy volgt onmid-dellyk, dat men voor drie complanaire quaternionen heeft 5a|S7 = 0, en omgekeerd. Men heeft dus ook 8xPx=zO, 8x*fi=z:0, enz. {JFordt vervolgd,) THEORIE DBB FDNGTIM VAN VERANDERLIJKE COMPLEXE GETALLEN. SOOB Da. A. BENTHEM Gz. EE3RSTE AFDEELING. De stelkandig f onetiSD ran standvastig^e complexe g^etallen. HOOFDSTUK I. Oe getvone cotnpteofe voriwen. §1. Begrtp van Betai; poBtUeve en negatiere ioeBiandm !• leder die eene verzameling van voorwerpen van dezelfde soort voor zich ziet, vormt zich aanvankel^k slechts een onbepaald begrip van een hoeveelheid. Van de grootte dezer hoeveelheid kan bij zicb eerst dan een juist denkbeeld vormen, wanneer b^ baar vergelijkt met een andere boeveelheid Tan dezelfde soort, die daardoor als moat der eerste boeveelbeid wordt aangenomen, en da § 100. Uit de leetkundige beteekeuis van 8,aPy volgt onmid-dellyk, dat men voor drie complanaire quaternionen heeft 5a|S7 = 0, en omgekeerd. Men heeft dus ook 8xPx=zO, 8x*fi=z:0, enz. {JFordt vervolgd,) THEORIE DBB FDNGTIM VAN VERANDERLIJKE COMPLEXE GETALLEN. SOOB Da. A. BENTHEM Gz. EE3RSTE AFDEELING. De stelkandig f onetiSD ran standvastig^e complexe g^etallen. HOOFDSTUK I. Oe getvone arom als eenheid wordt bescbouwd. Dit vergelijken stennt op de eigenscbappen der boeveelbeden : I^. dat elke boeveelbeid grooter en kleiner gemaakt, en in ge- lijke of ongelijke deelen verdeeld kan worden; en 2®« dat elk gedeelte eener boeveelbeid wederom eene boeveel- beid is en dus ook weder vatbaar is voor vermeerdering, vermindering en verdeeling. De uitkomst van de vergelijking van eene hoeveelheid met die aangenomen eenheid of maat wordt door het getal aangeduid. Het getal is dus de voorstelling van de grootte der hoeveelheid. Geeft zulk een getal alleen de uitkomst dier vergelijking te ken- nen, zonder daarbg den naam der gebraikte eenheid te vermelden, dan draagt het den naam van abstract getal. Heeft men bi|jv. eene hoeveelheid guldens en wordt ^^n gulden als maat of eenheid aangenomen, en bevindt men, dat die hoeveelheid 25 znlke een- heden bevat^ dan is 2S een abstract getal. Wordt echter bij een getal de naam der aangenomen eenheid vermeld, dan geeft men het den naam van concreet getal. Zoo kan men in het voorbeeld zeggen: de hoeveelheid bettaat uit 25 gnldens, — 25 guldens is alsdan een concreet getal. Alleen in dit laatste geval mag men zeggen, dat de getallen de namen z^'n der hoeveelheden. 2. In deze oorspronkel^ke, absolute beteekenis genomen, vor-men de getallen (abstracte en concrete) de bouwstoffen der ge-wone rekenkunde. Bij de verdere beschouwingen wordt echter aan deze absolute beteekenis nog de zin^ de beteekenis ^ de toestand toegevoegd^ waarin de hoeveelheid, die door het getal wordt voorgesteld, voorkomt. Zegt men bijv. ^Verteert iemand, die 100 gulden bezitting heeft, 120 gulden, dan zal h^, na het zooveel mogel^k afdoen dier schuld, nog 20 gulden schuld overhouden. 3. De woorden bezitting en achuld verbinden aan het begrip van het getal juist tegenovergestelde toestanden. Hetzelfde is het geval met de woorden: mnat en verlies, ontvangst en uitgaafp inkoop en verkoop, bevestiging en onikenning, vooruitgang en ackteruitgang, en zoo vele andere meer. Om zulke twee lijnrecht tegenovergestelde toestanden aan te duiden maakt men in de wiskunde gebruikvan de algemeene benamingen: positief en negatief. Eene der beide toestanden, onrerschillig welke, wordt als de /70^'^t^^ aangemerkt, en de andere de negatieve genoemd. Dat men zich ter voorstelling dezer beide toestanden van de teekens plus (+) en minus ( — ) heeft bediend, was een gevolg van de nauwe betrekking, die tusschen deze beide betrekkingen en het samentellen en aftrekken werd opgemerkt. Daardoor kregen deze teekens echler twee verschillende functien te vervuUen : het aanw^zen van bewerkingen Meeikundige woorbietung wenn den poiieren em negaitevem loeaiand 3. Om tot eene algemeene Toorstelling van den positieTen en negatieven toestand te geraken, neemt men eene aan weersz^den onbepaald verlengd gedachte rechte ijn Z|X, en op deze een punt al punt van uitgang (Fig. 1). Daar de beweging van uit over oju juist in tegengestelde richtting plaats heeft als die over OX^, liggen de punten op oX met beftrekkiog tot juist in tegen-gestelden zin als die op OX; zoodat wanneer men de ligging van de laatste met betrekking tot als positief bescbouwt, die der erste als negatief moet worden in rekening gebracht. Stelt men derbalve de eenbeid, waarmede zekere hoeveelheid vergeleken (gemeten) is, voor door bet punt A^ en zet men bet ligntje OA an weerszijden van bet punt op de gegeven lijn uit, dan zal bet punt D terugwijzen op eene boeveelheid van vier dier eenbeden in denzelfden zin genomen als de eenbeid zelve, en bet punt i| op eene boeveelheid, die eveneens uit vier dier eenbeden Bestätigt, maar in den tegenovergestelden, den negatieven zin gehen. Stelt bev. bet punt 2) / 4 bezitting voor, dan wgst 2) / 4 scbttld aan. Is in H algemeen P^O = OP, dan zuUen even-zoo P en P| op boeveelbeden wyzen, die uit evenveel eenbeden bestaan, welke echter in tegengestelde toestanden voorkomen. 4. Elk punt op de lijn X^X stelt derbalve eene boeveelheid voor; voor de grootte dier boeveelheid is bet voldoende den afstand van dat punt tot bet punt van uitgang te kennen. Wil men echter tevens den toestand kennen, waarin die boeveel- heid voorkomt, dan is bet noodzakelijk aan te geven, aan welke zijde van bet punt in questie zich bevlndt. Hiertoe dienen de teekens + en —. £^* de aangenomen overreenkomst stelt namelijk 4^^) bet punt D en 4(— >) bet punt 2>| voor, mer beteekenissen boven zyn opgegeven. 127 § 3. Repairing wmn eem puni in een virnk* 5. De hoeveelheden, die in de Getallenleer voorkomen, worden alleen in twee toestanden genomen, den positieven en den negatieven* Yoor de voorstelling van zuik eene hoeveelheid is derhalte eene rechte lign in alle opzichten voldoende. Omgekeerd stelt elk point der lijn eene hoeveelheid Toor, die in een bepaalden toestand, den positieren of den negatieven, verkeert* Hondt men zich das bepaald aan de voorstelling der hoereelheden in een dier beide toestanden voorkomende, dan is het eene onge* rigmdheid te onderstellen, dat een point bniten die l^n eene hoe* veelheid zon kunnen aandniden Doet men echter afstand van deze twee toestanden en dus ook van deze beperkte voorstelling der boeveelbeden, dan ligt er niets ongeri|jmds in de bewering, dat een punt buiten die l^n X^I, in of bunten het vlak van teekening gelegen, eene hoevelbeid kan aanw^'zen. 6. Repaalt men zicb tot dit vlak van teekening dan is elk zijn afstand tot het punt van uitgang en door de richtting van de lijn OP^ die het met O vereenigt, Deze richting wordt aangegeven door den hoek, dien die verbindingslijn OP met de positieve richting OX maakt, en wel door den hoek dien OX zon moeten afleggen, wanneer zijn door draaiing om het punt in den stand OP wilde komen (Tig. 2). Die draaiing kan op twee wijjzen geschieden: even als die van de w^zers van een nnrwerk en tegengesteld met deze. De laatste noemt men de positieve « de eerste de negatieve; zoo is L ^OP = + 60^* en L XOP^ = — GO^ Is dus de lengte van OP gelijk aan die van OP^ gelijk r, en stelt men de richting van de verbindingslijn van een punt met het punt voor door achter de lengte dier verbindingslijn een pijltje / te plaatsen en daarachter den hoek, dien zy met OX maakt, dan is het punt P bepaald door de uitdrukking r/60^ en het punt P| door r/f — 60® of r/BCO^, Het punt P, op de l In ou zou bélé schreffige worden aangeduid door r/0^ en het punfc P, op de lijjn OX^ door r/180^ Denkt men zich echter de hoeken door bogen uitgedrukt en deze door de stralen gemeten, dan is P^ r/ip, P ff^^ ^a^/^* Pfi ^f~^y A ^/ — o ®^ ^^* "^i ®°^' ^®^ hieruit, dat wat vroeger als uitsluitend mogelijke, als positieve en negatieve toestanden werden aangewezen, nu als bgzondere gevallen voorkomen, die door /Q en ^180^ of /ft worden aangeduid. §4. HtehiiHgs-eoifJjfieieni i direhie en indirekie rtehiing* 7. De voorgaande bepaling ran een punt in een plat vlak komt geheel overeen met die, welke in de hoogere meetkunde gevolgd wordt bij de toepassing van pool-coordinaten : bet punt (Fig. 2) is de pool , OX de as , r de voerstraal of modulus en de boek XOP de amplUudo van bet punt P. Terw^l daarbi(j r alleenaan* geeft , op welken afstand bet aangewezen punt van den oorsprong is gelegen , geeft de boek XOF niet alleen de ricbting ran dien voerstraal aan , maar tevens boe deze in dien stand is ge- komen. Voor OPi^z^z Pfizzza^ w^'zen by v. a/o^ af2M^ a/i^^ af — 2*, enz., alle bet punt P^ aan, maar daarbij geven zy wel degelyk te kennen na boeveel draaiingen der lyn OX bet punt in dien stand is gekomen en in welken zin die draaiingen hebben plaats gebad. Evenzoo geven a/ — ir, a/Bw^ a/— Bar, enz, alle bet punt P,; fl/r* ^/"o"? ^/ T-,enz.betpuntPaan,enz. o o o 8. Voor de ligging van bet punt is bet wel is waar onvcr- scbillig boe bet in dien stand is gekomen , dit is ecbter volstrekt niet meer bet geval, wanneer de aanwyzer der ricbting, de richting^^oefJUsient ^ aan bewerkingen (berleidingen) moet worden onderworpcn. Zoo volgt uit de gelykheid 1/180® = 1/— ISO® 180O 180® geenszins 1/——= 1/— # Men moet derbalve wel degelyk in aanmerking nemen , boe bet punt in dien stand is gekomen : men moet , om bet zoo uit te drukken , letten op bet ontstaan , de wording van bet pant , en deze wordt door den ricbtings*coefficient aangegeven. 9. In verreweg de meeste gevallen is deze laatste niet bekend, maar moet by uit bepaalde gegevens worden afgeleid, en alsdan kan men dikwyls alleen de ligging van bet punt bepalen zonder meer. Is van een punt P^ gelegen tusschen OZ en OP^ (Fig. 2), 3 by Toorbeeld gegeven OP^ = 5 en Tatiff /. XOP^ = — -, dan la L^OP^ gelyk aan — 36052'11',7 of aan 4- 823<>7'48',3, of ook aan ». 360® -|- 323o7 '48',3 voor elke geAeeU waarde van m. Zy dus /_ X(?P| = ^, dan bestaan er oneindig vele waarden van (P f zoodanig dat 5^0 het punt Pj voorstolt. Men is derhalve nn in het onzekere, na hoevele draaiingen het punt P| in dien stand is gekomen, en in welken zin die draaiingen hebben plaats gehad. Van al de gevonden waarden voor vermeldt men nn slechts eene enkele, en wel meestal die, welke den hoekaangeeft, welken OX zon moeten doprloopen om in den stand van OPg te komen, indien de draaiing in positieven zin plaats had. Deze Hoek is steeds kleiner den 360^ of 2t en zal in het bovenständige geval zyn 823^7 '48',3y zoodat men het punt P| aangeeft door de uitdrukking 5/S2B^7'4iS%S, Het aldus aan men van eene beaalde draaiing, dat is het willekeurig vast stellen van eene paalde wording van het punt P|, moet dikwyls tot verkeerde uit- komsten voeren, zoodra de richtings-coefficient aan herleidingen wordt onderworpen. Pit bezwaar kan niet worden opgeheven door de invoering van de algemeene uitdrukking 5^(«.360<^+323o7'48%3), waarin n elke positieve of negatieve geheele getallenwaarde kan hebben, daar de onbepaaldheid van n tot nog grootere moeilyk- heden zou voeren en niets verder zou brengen. 10. Bij de onzekerheid waarin men in zuike gevallen verkeert aangenden de grootte en den zin der drängende, heeft men de volgende onderscheiding aangenomen: de hoek = 323.7'48',3» die slechts de ligging van het punt P^ ten opzichte van het punt van uitgang O aangeeft, wordt de direkte richting, de hoofd' richting van 0P| genoemd, terwijl ».360®-|-(^ als hare indirekte^ mogelijke, algemeene richting wordt aangemerkt. Direkte richtingen worden dus steeds aangegeven door positieve hoeken, die kleiner zyn aan 2t of 360^, worden, even als negatieve hoeken, steeds als indirekte richtingen beschouwd. De toerkelijke richting van OP^ met berekking tot het ontstaan van het punt P^ kan zoowel door eene indirekte als door de direkte richting worden aangewezen ; zoo kan -J-a zoowel ii^2ar, of aj^ — 43r, enz. als a/O^ en —a zoo- wel a/ — ir, of a/Z^, enz. als u/t voorstellen. 11. By de herleiding van r/f(7t.d60® 4-0) tot rf^ gaat de 9 130 indirekte richting over in de direkte ; de ware beteekenis van den richtings-coefficient gaat echter daarbij verloren i 6^ — 240® en 5/^480° zijn niet volkomen hetzelfde als 6^120®. Daarom moet het herleiden van den richtings-coefficient steeds worden nagelaten in alle gevallen, waarin niet uitsluitend naar de ligging van een punt gevraagd wordt. § 6. Complexe en retele gelegen van iwee eotnpiexe geialien* 12. De uitdrukkingen van den vorm r/(P worden complexe uitdrukkingen, complexe geialien genoemd. Elk complexe getal bestaat derhalve nit twee geheel vefscbillende elementen, waarvan bet eerste eene getallenwaarde, het tweede eene richting (een toestand) voorstelt. Twee complexe getallen r^0 en a^a kunnen slechts dan aan elkander gelijk z^'n, wanneer de beide samen- stellende elementen aan elkander gelijk z^'n, dat is: wanneer r = a en =i ot is, daar alleen in dit geval r/0 en a/fji hetzelfde punt kunnen voorstellen. Een complexe getal is nul^ wanneer z^'n modulus nul is; bet stelt alsdan het punt van uitgang, den oorsprong, voor. 13. Complexe getallen, wier richtings-coefficienten /O^ of /^180^ zyn, en die dus door -ha en — a kunnen worden voorgesteld, noemt men reeele getallen. Eeeele getallen z\jn dus een b^jzonder soort van complexe getallen; toch komen de namen reeele en complexe getallen naast elk. ander voor, waarbij dan aan de reeele de boven opgegeven beteekenis wordt toegekend, terwi[jl alsdan de overige complexe getallen als eigenl^ke complexe getallen worden aangemerkt. AAiTMEBEiNe. Beschouwiugen, die in vele opzichten overreenkomen met die, welke in dit Hoofdstuk en het volgende worden gevonden, vindt men in: W. MatbkAi Versuch einer richtigen Lehre con der Realitdt der vorgeblich imaginaren Grdssen der Algebra. Prag, 1850. H. SOHFFLEB, Ber SUuationS'kalkuL Verauch einer arUhm^iuchen Dantellung der GeomeCrie. Braunschweig, 1861. D. BniBBKS DE Haav, Iel9 over de betrehking tusachen meetkunde en geiaUetileert voorkomende in kei nBerigt omtrent hei Gymnorum te Devenier** ^ 1852. G. C, LoiTWiNBiEB, SMorie complite dee nombree comjplexee. Zalt- Bommel, 1872. Yoor als werk ran Matsea en dat van Bibbekb de Haak bevatten tal yan geschiedkundige aankekenden over de ontwikkding van de Theorie der complexe geiallen. HOOFDSTUK 11. De herleiding der eoHpIeoffe vorwmen. N^^i^>^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^»^ Kingen moeten echter zoodanig zijn, dat zijn ook voor børstede gevallen, børstede getallen, gelden. In de yolgende J§ zullen w^ deze definities vaststelle jene met de genoemde bewerkingen in yerband stående eigen-scbappen mededeelen, en eindelk aanstoonen, hoe elke stelkunstige verbindung yan complexe getallen tot een enkel complexe getal yan den yorm r^ kan worden herleid. De Same HieiUmg. 16. fForden de complexe getallm afa en 3/(5 door de punien P en P^ aangewezen (Fig. 3), dan versiaat men door de som dier pattelen a /a en h/^ het complexe getal cfy, dot aangewezen wordi door een punt P^, hetwelk evenzoo gelegen is ten opziehie van het punt P^ ligt ten opzichte van het punt P^ ligt ten opzichte van het punt O. Trekt men dus PP^ // OP^, dan stelt P^ e/y voor; c is der halve de diagonaal yan het parallelogram, dat a en 3 tot s^den het; en b^'gevolg is a — ^<c<a-h*,.... ;. i. (1) dat is : de som van twee complexe getallen is weder een complexe getal ^ welks modulus grooter is dan het versehil en kleiner dan de som der moduli der gegeven getallen. Daar P^P^ ook // OP is, heeft het geen invloed op de som van twee complexe getallen, in welke volgorde men die getallen samenvoegt; derhalve is a/a + 6/^ = 6/^ + a/n (2) 16. Om de som van meer dan twee complexe getallen te vinden, neemt men de som van twee dier getallen, voegt b^ die som een derde getallen gebruikt zijjn. Het heeft geen invloed op de som dier getallen, in welke volgorde z^ worden genomen; daarb^ zal steeds, wanneer de amplitudines verschillen, de modulus der som kleiner z^n dan de som der moduli der samengevoegde getallen; beide eigenschappen z^n gemakkelij Jk uit het voorgaande af te leiden. 17. Beschouwen w^ thans een paar bjzondere gevallen. Is vooreerst |3 = « en wordt dus gevraagd naar de som der getallen a/« en b/a; dan ligt het punt P^ op het verlengde van OP, en wordt y z=z u en c = fl-H3; derhalve is a/x-\-b/»=i(a + 6)/et. ; (3) Is echter /3 = ir -f- a(, dan is 0P| het verlengde van PO; is nu 3 < a, dan valt P^ op OP tusschen en P; en heeft men dus a/:x + 6/(9r'{-a) = (a — 6)/x; (4) is 3> a, dan valt P^ op 0P| of het verlengde van PO, en is •'«/« + 3/ (* + «) = (« — «)/(t + «) (5) 183 Stelt men nu in de beide laatste formulen a^zb, dan gaan i\i over in a/» + a/(w + a) =,••«.••. (6) of a/(ip + «) = — a/cc,....,.., (7) Is eindel^k a z=zd en |3=:2v-— «, dan valt P, op de as, en is OP^ z:z2aCoia; derhalve a/M+a/(2w'-^»)sz2aC09»/0; (8) £00 is b^y. 4I/120O ^ a/24X3P — 2a Cos 120«/0 = — a/0 = a/lSQo.. (9) Stelt men voorts in de formulen (3) tot (7) gel^jk of sr, dan yerkrjgt men volgens de gewone schr^fv^ze de bekende formulen (+«) + (+*)= + (« + *). (—a)-h(—^) = — (« + *). (4- a) -4- ( — 6)=z + (a — 6) voor a> 6, (-!-«) + ( — 3) = — (3 — a) voor 3> a, (+ a) + (— a) = ; enz. § 8. De AJMreUMng. 18. Boor het versehil van twee compUxe geiallen versiaai men een derde eomplexe gelal, dot hij het eene der beide getaUen opgeteld, het andere oplevert, Z^n even als boven de punten P, Pi en P^ (Fig. 8) de voorsteUingen van a/», 6/P en c/y, dan is a/x 4- b/fi = e/fy en derhalve P de voorstelling van bet ver- sebil a/a der getallen c/y en 3/f(3, die door Pa en P| worden voorgesteld. Uit de figuur bl^kt, dat men om P te vinden een punt meet bepalen, ten opziebte van betwelk P^ evenzoo is gelegen als het punt P| ten opziebte van den oorsprong 0, Dit kan gescbieden door Pfi door tot in P3 te verlengen , zoodat P^O = OP^ wordt , en vervolgens bet punt te zoeken , dat ten opziebte van P3 evenzoo ligt als P3 ten opziebte van den oorsprong O, Dit laatste is betzelfde ab de som te bepalen van de getallen , die door Pg en P, worden voorgesteld, en daar dit voor Pj b/(v + P) is, beeft men: e/y-^bf^ — cfy^-b/iyr-^P) (10) 184 De aftrekking van twee complexe getalien kan derhalve steeds tot eene optelling worden teroggebraclit. Ala b^zondere gevallen der Torige fonnule heeft men bjJT. (-He) — (+«) = (+c) + (— J) = + (c— «). (+ c) — (— J) = (+ c) +(+«)= + (p+ b) , (—c) — (-!-«) = (— c) + (— *) = — (« + *), (—«) — (—*)=•(— c) + (+*) = + (5 — c), enz. §9- 19. Door het produkt van iwee eomplexe getalien a/a en 5/fi versiaat men het complexe getal ab/f{a'^P)^ dot verkregen wordt door het produkt der moduli te nemen in de richiing, die aangegeven wordt door de som der amplitudinet. Yolgens deze bepaling is a/oL,b/(iz=.ah/{a-^^),....... (11) Neemt men hierin « en /3 gel\jk aan en y, dan verkr^gt men de formulen : afO.b/Ozzzah/O of -fa.+ 3=+<i5, a/fT,h/f9fz=iajb/2w „ —a. — d = H-a3, afv^hf^zziabfif „ — a. -I- 3= — ah ^ afO.h/yr := ah/fvt „ 4- a.— 3 = — <i5, enz. 20. Moet van drie of meer complexe getalien het produkt yan het eerste en tweede yermenigvnldigd worden met het derde getal; het komende produkt met het vierde getal, enz., totdat al de getalien gedurikt z^n, dan noemt men het laatst yerkregen produkt het gedurikt dier complexe getalien. Uit deze bepaling Tolgt, door herhaalde toepassing y An formule (11), a/a.b/fi.c/y...»z=iabo..../(a-^-P-^Tft ^..^.);.. (12) daar het tweede lid dezer gel^kheid niet yerandert, wanneer men de factoren a/fa, hf^, enz. in eene andere yolgorde neemt, heeft men deze eigenschap : Het heeft geen inyloed op het produkt of gedurig produkt yan complexe getalien, in welke yolgorde men deze getalien neemt. Het tweede lid abc. •.. f(pt -|- j3 + y -J-..,.. ) kan niet nul z^n, tenz^ ahc,... en dus een der fiactoren yan dit rekenkundig produkt nul is ; in yerband met § 5 yolgt hieruit de eigenschap : Een produkt of gedurig produkt yan complexe getalien kan niet nul z^n, ingeyal niet een der complexe factoren nul is. 135 21. Wil men het punt bepalen, dat door het produkt ab/{ot 4- /3) wordt aangewezen, ingeval de factoren a/» en h/^ door de pun- ten P| (Fig. 4) worden voorgeateld, dan kan men aldus te werk gaan: Neem op de as OX OP^ gel^k aan de positieve een- heid; vereenig P^ met P en maak hoek PjOPg = lioek P^OP, en hoek OP^P^ = hoek PP^O \ het punt P^ oly dan het gezochte punt zijn. Immers is hoek XOP^ = a -f- ^ en z\jn de driehoeken PfiP^ en P^OP gelykvormig en dus OP^ : OP^ = OP^ : OP^ : OP^ of liaznb: OP^, derhalve OP^, = a6. Voor het punt P, heeft men dus ah/{a + ^). 22. Eindelijk volgt uit  : een complexe getal wordt een geheel (absoluut) aantal malen genomen door den modulus zooveel malen te nemen en de amplitudo onveranderd te laten. § 10. 23. Door het quotient tan twee getallen verataat men een derde getaZy dat met het eene d Ist twee getallen (den deeler) vermenigvuldigd meet worden, om het andere (het deeltal) op te lever en. Ingevolge dezer bepaling volgt uit formule (11): of, wanneer men ah zzic en--|-p = y stelt, ^=f/(y_«);........ (13) dat is: het quotient van twee complexe getallen is gelijk aan het quotient der moduli^ genomen in de rickting, die wordt aangewezen door het verechil der amplitudines. Stelt in Fig, 4 P, c/^ en P a/et voor, dan verkrygt men het punt P^, dat het quotient -^(y — a) voorstelt, door evenals boven a OP^ gelyk aan de positive eenheid te nemen, P met Pj te vereenigen, en driehoek P^OP^ gelijkvormig te maken met driehoek POP^t mits men zorg drage dat OP^ met OP overreenstemt. Men heft namelijk OP : OP^ =z OP^xOP^oic = li OP^ ; derhalve 0P| =-, en hoek XOP^ = y — «. Uit de fonnule (13) volgt nog: a/0 ^ ■ --• ~  ah iafet) • - = — Z«. ^ c c^ Daar voorts een produkt of gedurig produkt van twee of meer getallen, waaronder minstens een complexe getal is, kan zicb bet geval noort voordoen, dat een absoluut getal door een complexe getal moet worden gedeeld. § 11- Be Maheinügerführer en de WorielirekBung. 25. Sen gedurig produkt van a factorm, ieder gelk aan een telfde complexe getal, wordt een nach dem complexe getal genoemd. Om voor n een gebeel getal de nach dem macht van a/» te vinden, stelt men in de fonnule (12) a/a^b/^.c/y..,mZ=.a6c..../{» + (B-hy-l-....) a=:^=:c =.,.. en «"=l3 = y=:...,, waardoor men verkr^gt {a/a)n = an/n»; (14) deze formule is bekend onder den naam van het Theorema van de Mbivre, en geldt, zooals w^ straks zullen zien, ook yoor negatieve en gebrokene waarden van ». *) Yoor gelieele (rekenkundige) waarden van n heeft men als bij- Kondere ^evallen (a/0)» = fl»/0 of (-H fl)* = -f- a", (a/y)S» =za^/2nv „ (—«)«» = + a*», («/»)«• -^ 1 = a«»-*-l/(2ii -f- l)5r „ (— tf)«»-»-i = — a>«-*-i, enz. 26. Geft men yoorts aan (a/0)» -^ 1 = a«»-*-l/(2ii -f- l)5r „ (— tf)«»-»-i = — a>«-*-i, enz. 26. Geft men yoorts aan Negatived en gebrokene exponenten de beteekenis, die er in de gewone stelkunde aan wordt toegekend, dan komt men tot de volgende bescbouwing: Is vooreerst n negatief, by v. n =— j?, dan is {a/ay = (a/a)-^ = -±1- = i/(0 — pa) = :=^ a^P/f — pct=a/na,, • (15) zoodat bovengenoemd tbeorema ook voor negatieve waarden van n geldt. Is ten tweede n een gebroken getal, dan kan dit de eenbeid tot teller bebben of ook een wiUekeurig getal. Is q een geheel getal en = -, dan is volgens het voorgaande ? (a/ayg = an/qa, Stelt men hierin aliz=za^ en qazzzot^, dan gaat zii over in p'/~J =«i/^i. waaruit volgt 1 1 a,7/f* = (a^>,) ^ (16) zoodat ook nu het theorema van toepassing is. Is If ^ - , dan verheft men beide leden dezer laatste formule (16) tot de /)« macht , waardoor men verkrygt P P V/-^, = (a^/oi,)? ; (17) yoor elke geheele of gebroken waarde van n geldt derhalve de regel : de n* nuxcM van een complete gdal wordt gevonden door de n* nuxeht van den modulus te nemen in de richting , die door n maal de ampU" iudo wordt aangewezen* •) MUeellanea analyhea, A». 1780, T. I. 188 27. Door den n^ ntaehis-'woriel uU een complete geial verdaat men een ander complete getcU, dai tot de n^ macki verheven , het eerste complexe geial opleveri, Yolgens formule (16) heeft men derhalye ^a/» = p^/* •. . (18) ^ n 28. XJit de vergelyking van de formulen af.a9 z=:aP-^9 en a/A.bf^ = a5/(rtH-P), aP :a9 =.af-i n afd'.hf^ =z-/(a-p). i^y p n {afcCf :=^£fi/qa, en l^aP = «' » ^a/cL blijkt , dat bij de vermenigvuldiging ^ de deeling^ de machis-verheffing en de toorieltrekHng de richiings-coe/ficieuten de regeU volgen , die in de getoone algebra voor de exponenten eijn opgegeven. Met de moduli handelt men als met de gewone rekenkundige (absolute) getallen. 29. Tusschen de toepassing der worteltrekking op de complexe getallen en die der overige drie bewerldngen bestaat ecbter een zeer groot yerscbil. Let men alleen op de'ligging der punten , dan gelden de formulen fld/(«4-P) = a*/[(2i»T4.«)H-(2ii,T + (3)], , .(19) ?/(« — P) =|/[(2«T4-«)-(2«45r + l3)],. . . (20) en aq/qoi z=aiifqH2n'jr'^a), (21) voor q een geheel getal, waaruit volgt, dat alsdan bij de toepassing van de vermenigvuldiging, de tleeUng en de machts-verbefl&ng (met gebeele exponenten) de indirekte ricbtingen dezelfde uitkomst geven als de direkte , en dat men derbalve b^ de toepassing dezer be- werkingen de indirekte ricbtingen buiten beschouwing mag laten. BQ de worteltrekking kunnen daarentegen deze indirekte ricbtingen tot gebeel verschillende uitkomsten leiden ; zoo is, b^jv. 4/60O = 4/420<> ; trekt men nu uit beide leden dezer gemkbeid den tweedemacbts- wortel, dan verkrijgt men 2/^30*^ en 2^210*^, welke uittomsten ecbter niet meer gel^jk zijn en door verschillende punten worden voorgesteld. Om dit verder duidelijk te doen uitkomen, zullenw\) de waarden van x bepalen, die voldoen aan de vergelijkingen a?" ± 1 =: 0. Al die waarden van x bebben denzelfden modulus 1S9 1 ; sg yerBchillen alleen in richtings-coefficieiit en de volgende beschouwingen moeten teyens dienen om de onderscheidene richtings- coefficienten te bepalen. a. ar« — 1 = 0. 30. Komt in ir**-^l=Oof« zzz'C^l, 1 voor in absoluten (rekenkundigen) zin, dan geldt Mervoor sleclits ^^ne (ook absolute) waarde van x en wel x = 1. Komt echter 1 voor als complexe  kan voorstellen. Is nu bekend dat 4- 1 staat byy. voor l/45r, dan beeft r = ]?*^1 ook slecbts 4 ^^nc (maar nu complexe) waarde x = ]?=^(l/4a') = l/-5r. n Is echter niet gegeven welke juiste waarde -{- 1 voorstelt, dan voldoen Toor x een oneindig aantal waarden, en wel x = 1/0,1/—, 1/—, 1/—, 1/—, n n n Let men evenwel bierbij alleen op de ligging van bet punt, dat door X wordt'voorgesteld, dan wordt «, ^ n en boudt men derbalve alleen de waarden : x=l/0. l/l. l/A l/illL... (22) over. Is nu » even, dan is (2«-2*)» _ 2*» zoodat men alsdan kan sebr^ven: + 1. i/?i.i/^ i/^-^^ n n'n If — of — 1, 1/ — —,1/,...1/ —. Zoo vindt men voor x in «*— 1 = ofir:z=|?^-f-l, _ r ^1, 1/450, 1^900, 1/1360, '""1—1, 1/ — 460, 1/— 90*^ en 1/-.1350. Is n oneten, dan kan men evenzoo voor (22) scbr\iven 140 -HI, i/j. i/il l/t=J>., H n n n n ... (24) Voor » = 9 vindt men byy. liit »•• — 1=0 ofr=:|^-i-l, [+1, l/40«, 1/80^, 1/120*, 1/160^, l/_40o, 1/—.800. 1/— 120* en 1/ — 160o. A. jr" + 1 = 0, 31. I8inar»-f-l = 0of ar=]?^^^^l niet gegeven, welke juiste waarde — 1 voorstelt, dan kan — 1 gelyk E\jn aan l/a*, l/33r, 1/5 JT,. •. • 1/(2^ + 1) <r> • • • • 6n dus 2al men ook een oneindig aantal waarden voor x yinden, en wel w'^ w'^* ^J'', ^ (2^+l)y ar=:l/-, 1/ —, 1/ —,....1/ M II II II II Let men echter ook nu alleen op de ligging van bet punt, dat door X wordt voorgesteld, dan is: i2ii-M-4-2^)T _ ^ m'^l)x n n * zoodat men ook nu slechts de volgende n waarden van x overhoudt: A = l/-, 1/—, 1/ —.....l/i ^.. (25) M 11 II M Toor H evMi kan men hiervoor 8cliri|jyen: .3t 1/i, 1/7. i/^,....i/i!i=l^, n n u u u i/_!r. i/«!^. i;r>!!: i/-(iLzl2i. (26) Zoo is in are H- 1 = of « = iJ^ — I ar = [ l/30^« 1/90O, 1/150O, [ 1 /— 300 ^ x/— 900 en 1/— 160^. Is echter 11 oneveH, dan wordt ^^ne der waarden van x 1/^ = 1/t = -1. zoodat men in dit geval beeft 1/'-. lA. 1/-. i> -i.i/-!r.i/-?f.i/_!:. II II '^ II (u—2)w («— 2)t (27) Zooi8ina?»-f-l=0of ar = iK— I. 141 l/86«, 1/108O, — 1, 1/— 860 en 1/— lOSo.J 82. OPMiBKDresir : *) P. In de gewone algebra neemt men 4- 1 steeds in twee richtingen in a? = |/^-f- 1 en wel in de direkte en in d^ne indirekte (2iit] ; men neemt + 1 slechts in ^ne richting, de direkte, in a? = ^/-j- 1; in a; =: j/' — 1 neemt men — 1 alleen in de indirekte richting (2n -J- 1)9? ; terwyl men x = |/— 1 voors- hands als eene onmogel^kheid op z\jde stelt. De oorzaak van deze willekeurigheid ligt in de meerdere eenyoudigheid der^aldns verkregen uitkomsten, en in de omstandigheid, dat men slechts reken- kundige en positieye en negatieve complexe getallen beschouwt. y. De vergelyking ar* ± a = wordt tot a?** ± 1 = terug- gebracht door de substitutie van xzzzy^T. § 12. 