Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
Als wy BA, en trekken evenwydig aan o en fc, dan hebben wy OB z=i O A -^ AB z=i A -{- OB. Zal nu B een punt van de rechte MN ztjn, dan blijkt uit een elementaire beschouwing, dat men hebben moet 0^ _«0^4j\^jiOB 01 p ^ ■ ■. Dit is dus de vergelijking van MN. Om nu het boven bedoelde aantal snijpunten te bepalen, stellen wij de voorgaande waarde van p in de vergelijking Men krygt daarddor Deze vergelyking is ten aanzien van x : y van den tweeden graad, en dit zegt ons, dat het oppervlak in iwee punten gesoeden wordt door een willekeurige rechte lijn. Het oppervlak is dus algebraisch en van den tweeden graad. Paar de vergelyking van het oppervlak niet verandert, als men p vervangt door — p, zoo heeft het een middelpunt, dat samen-valt met het punt, waaruit alle lynen getrokken worden. Om verder te zien, welk oppervlak van den tweeden graad de meetkundige plaats is van de ellips ^? = a?, V^ = x^ — U P P ft merken w\ Op, dat het platte vlak 8 - :=zx, daar x kleiner dan 1 P is, nooit op oneindigen a&tand ligt. Het verst ligt dat vlak van den oorsprong, als a? =: ± 1 is. De straal van den omwentelings- cylinder gaat dan over in 0, en de ellips in een enkel punt. Daar de straal geregeld afneemt van ar = tot ar = + l en van «s=0 tot « = — 1, om telkens by de laatste der twee waarden van x over te gaan in 0, zoo zal het oppervlak een eUipwide zijn. § 118. Yoeren wig in plaats van de constante lienen ea twee nieuwe standvastigen in, bepaald door HiervooT kan men volgens § 29 ook solirven Volgens 92 rolgt tiit deze twee vergelkkingen Telt men de overeenkomstige leden van (1) en (3) samen, dan komt er -+^=2....;..... (6) a p Trekt men de leden van (4) af van de overeenkomstige leden van (2), dan komt er i ^^ ^ (^^ Door omkeering van (1) en (2) krjjgt men a P + « a ^ — a Door samentelling en door aftrekking van deze twee komt er OL CL - + 5 = 1 en E-5 = l. Men noemt y de harmonisch middelevenredige tosschen a en /3 (zie (5)), de harmonisch middelevenredige tnsschen a en — ^ (zie (6)). 119. Yoor de vergeiykingen (5) en (6) kan men ookscbr^ven a I 1_2 1_1_2 a I y ^ a P~^'Hiemit volgt, dat Men voor een willekenrige rechte lijn p lieeft i + U^ (7) « p y 145 «-p=7 <»> Uit deze twee vergelijkingen volgt verder samen t + jr^=riS-+F?r. 7 ^ a ^ la plaats van de vergemking Tf8^+ F^jz=:l kunnen wy dus schrjjven T [- + -^j J =!• $ 120. Het platte ylak, dat door den oorsprong gaat en recht- p hoekig op y staat| heeft tot vergelijking ^» =0» Het vlak, dat 7 in den oorsprong rechtlioekig op i staat, heeft tot vergelijking i5f|=:0, Het stclsel van deze twee vlakken wordt dus.voorgesteld door 5^.^1 = 0. Volgens vergelyking (7) is echter S- = J5^ + i'S', Volgens vergelyking (8) is ^ ^ = i-S ^ — ^iSf?, Volgens vergelyking (8) is ^ ^ = i-S ^ — ^iSf?, Substitueert meu deze waarde voor (S-J in de vergellig der eUipsoide ^5 tV _- ^ r J )' == 1, dan krygt men (s£ J — f ptj = JV i = 1. of Ti=l. Wy hebben dus in woorden : de ellipmde wordt volgem drheU 10 getneden door platte vlakken^ die in hoar middelpunt rechtkoekig op y en i staan. Die cirkels hebben beiden tot straal J0. De lynen y en ^, reclitboekig op de rlakken van die cirkels, noemt men eyclUche normalen der elUpsoide, en de vlakken cycUsche vlakkem, § 121. De vergelijking f ^g) = — 1 stelt volgens § 112 een omwentelings-cylinder voor, die tot as heeft. Voor de doorsnede van dien cylinder met de ellipsoide vindt men, als men hierin voor i^^l substitueert — 1, (5ty=:0 of Hiernit blijkt, dat voor alle punten, die aan de ellipsoide en den cylinder gemeen zijn, de projectie van den voerstraat op a gel^k is aan 0. De doorsnede van ellipsoide en cylinder is das gelegen in een plat vlak, dat in den oorsprong rechthoekig op a staat. Daarnit volgt verder, dat de cylinder de elHpsoide (s^^ — (^s)* ~ ^ omhult volgens een ellips gelegen in bet platte vlak st = o, a dns recbtboekig op a en door den oorsprong gaande. 122. Merken wij op, dat men besch t = K^.Kt.t /of t=^E^.Nt, y p y r y p y P P Substitueert men deze vormen van - en JI - in y ^ zoo krjjgt men 147 vw Z^' nu t een positieve scalair, die wij voorloopig onbepaald laten. Men Ian dan altijd twee lijnen A en f« bepalen, waaryoor ^ A y pt men heeft _---=:-. en,-^rr= tt* (55)* ^* (^)* ^* Substitueert men deze vormen in de vooigaande vergel^jking, zoo krijgt men t(k^.9+ — T ' d. ConstrMcfle dmr etiipaoUde* {123. Laat A het middelpunt van de ellipsoide zijjn en B een gegeven point van Let oppervlak, Z^' C het middelpunt van een bol» die door j4 gaat (zie fig* 15) en stellen w^ CJ5=:A, CA — [A. Zij yerder E een willekeurig punt van 't oppervlak en AE=p de voerstraal van dat punt, die het oppervlak van den bol sn^jdt in D. Daar AC en de voerstraal van dat punt, die het oppervlak van den bol sn^jdt in D. Daar AC en de voerstraal van dat punt, die het oppervlak van den bol sn^jdt in D. Daar AC en de voerstraal van dat punt, die het oppervlak van den bol sn^jdt in D. Daar AC en de voerstraal van dat punt, die het oppervlak van den bol sn^jdt in D. Daar AC en de voerstraal van dat punt, die het oppervlak van den bol sn^jdt in D. Daar AC en de voerstraal van dat punt, die het oppervlak van den bol sn^jdt in D. Da CD even lang zijn en gelljke boeken maken met AEi en daar bovendien die drie 1^'nen in ^^n plat vlak liggen; zoo CD ^AC heft men AEi CD --. ^AC._, AE AE ' of CjD = jrni!.p = — zff.p. p p § 124. Schr^ven w^ nu de vergelijking der ellipsoide in den vorm (zie {122 aan het einde) 10* 148 Hierin kunnen wij nu substltneeren K-.p—J>0 en a =05, waardoor die vergelijking wordt of ^'^^ = ^' of T.DB.Ip = t^. Wij heben tot duBverre t gebeel onbepaald gelaten. Ve^oade^ stellen wiQ echter, dat t de lengte is van een raakmn uit B aan den bol getrokken, dan is vol gens een stelling der gewone vlakke meetkunde t* z^TlBDxT. BD\ als 2>' bet punt fs^ waarin BD den bol voor de tweede maal ontmoet. Stellen wy nn deze waarde voor ^* in de voorgaande vergely- king, dan komt er T.DB X T.AE=. T.BB X T.BD*, of T.AB'j=zT.BD\ Deze vergelijking der ellipsoide in woorden gebracht, gecft onmiddellijk de volgende eenvoudige constructie, Beschrijf een holt die door ket middelpunt der ellipsoide gaat. Treh uit een gegeven punt der ellipsoide een willeheurige recMe lijn ^ die den bol sn^t in B en D'. Trelc AD en neem op AB of haar verlengde een pwU^ z66dat lengte AE =: lengte BB', dan i9 de meetkundige plaats van JS een ellipsoide. § 125. Laat men (zie fig. 15) AE vallen in de richting van een lijn » die in ^ aan den bol raakt, dan valt voor al die ra A ken bekendigt, hier mit der erste, die voor al dierkämpfen bet punt E gelegen is op een afstand van A gelk aan Tensor BO. Hieruit blätter, dat de ellipsoide volgena een cirJcel gesneden toordt door het platte vlak, dat in A raakt aan den hoi. Dat vlak is dus een cyclisch vlak en AC een cyclisch normal der ellipsoide. § 126. Brengen wij door A een vlak rectthoekig op BC. Voor alle punten van den bol in dat vlak gelegen ^ beweegt zicb bet punt B langs een cirkel, zoodat T.BB constant bl^ft. Te gelijk beweegt rich dus ook B' langs een cirkel, en daar T,AEz:zT.BB% zoo beweegt zich ook JS langs een cirkel. Wig hebben dua bewegen, dat de ellijpsoide volgena een cirkel gemeden wordt door elk vlak rechthoekig op BC. Deze l\jn w\jst dus de richting aau van de tweede cycliache not" maal en een vlak door A rechthoekig op die normaal is het tweede cycliche vlak, Opmbbkingen. 1. Men kan op deze wigze voortgaan en een aantal eigenschappen der ellipsoi'de onmiddeimk nit de voorgaande constructie afleiden. 2. De gegeyen constructie is door Hamilton het eerst mede-gedeeld in de „Proceedings of the Royal Irish Acad, for the year 1846". Z\j behoort tot de allereerste ontdekkingen, die Hamilton met behulp der quatemionen gedaan heeft. By de voorgaande meetkundige toepassingen van de quem © Temperamente heben wie in de erste plaats een toepassing gekozen, die binnen de grenzen der lagere wiskunde valt, nämlich die op de bolyormige drichhörigen. Om de eenvottdigheid der bewijsvoering met quatemionen in het oog te doen vallen, is het hoofdstuk over den scheeven cirkelvor-migen kegel zeer geschikt. De rijkdom van voorstellingsvormen is aangetoond bij de ellipsoide, waarvoor verschlüsende vergeljkingen, alle even eenvoudig, zijn afgeleid. In de constmctie der ellipsoide vindt men een Aer ontdekkingen, met behulp der quatemionen gedaan. Yerder kan men met groote voordeelen de theorie der quater- nionen toepassen tot het behandelen der eigenschappen van kromme lynen in de ruimte en ran oppervlakken. Men vindt daar weder groote eenvoudigheid en rijkdom van voorstelling. Het is vooral ook h^ de behandeling der kromming van l\)nen en oppervlakken, dat Hahiltok een aantal nieuwe eigenschappen heeft gevonden. lETS OYER DB THEOBIB DBS FONGTIONS DB VARIABLBS INAGINAIRB8, Far M. MAXIMILIBN MABIE". Door 2). BISRSNS BE HA AN, I. Methods. 1. Wanneer men in eene vergel^king met twee veranderlyken , /(«, y) = 0, die veranderlyken yervangt door de beide nitdruk- kingen a:=:«-f.(3i, y = a'-f.|3'2, (i = \/ — 1) ; dan leyert de eerste vergelijking twee anderen, omdat zij kan gebracht worden in den Torm Is er in het eerste geval ^^ne onafhankel^k veranderlyke : hier kan men er twee aannemen. Geeft die eerste vergel^king eene bepaalde kromme: de beide laatsten geyen dan een stelsel kronune l^nen, die bij de eerste behoort; en konde men daaraan eene bestaanbare beteekenis geyen, dan ontstonden daaruit eene menigte meetknndige plaatsen , analoog met de eerste meetkundige plaats ; daaraan gekoppeld ^ zoo als wij ze willen noemen. Om dit plan te yerwezenlijken, lieeft men yooreerst twee yragen op te lossen. A. Hoe zal men die imaginaire oplossingen classificeeren, zo dat yoor ons doel geschikt worden? b. Hoe zal men de bestaanbare panten construeeren » die met elke imaginaire oplossing oyereenstemmen? 2. Vooreerst nemen wij aan, dat die gekoppelde meetkundige plaatsen niet mogen yeranderen, bij een oyergang tot een ander coordinatenstelsel, dat is: de bestaanbare coordinaten yan ieder imaginair punt moeten yolgens eene zoodanige wet uit de beide deelen van zyne imaginaire coordinaten worden afgeleid, dat bet punt zich altyd op dezelfde plaats bevindt; hetz dat het bepaald worde door de eerste coordinaten naar de oorspronkelijke vergelij- king, lietzj door de vorige nieuwe coordinaten naar de gewone formulen voor coordinatenovergang. Wanneer aan deze voorwaarde eenmaal voldaan is, en de imaginair kromme geheel is geconstnieerd, is het noodig, dat men deze even goed kan behandelen in de vergelgking, die baar ima- ginair voorstelt, als in de nieuwe vergelyking, die baar bestaanbar voorstelt; dat men daartoe de gew Google One regels moge bezigen; en dat men dus van de eene kromme tot de andere oyergaande, in de nicht komme tot de andere oyergaande, in de nicht komme tot de bestanbare in de plaats te stellen bebbe. 8. Op die wijze wordt eene meetkundige vergelyking niet, zoo als in de ondere meetkunde, een enkele tak eener kromme; even-min, zoo als in de nieuwere, een stelsel takken, waarvan de punten zekere eigenscbappen gemeen hebben; maar eene boofdkromme, begeleid door een oneindig aantal gekoppelde krommen, die overgekommstige eigenscbappen bezitten; en die men voor de boofdkromme in de plaats kan stellen, wanneer deze niet meer in staat is aan eenige voorwaarde te voldoen. Al betige bei van kromme lijnen in bet platte vlak is gezegd, geldt naturwissens, en dat nog veel algemeener, voor oppervlakken in de ruimte. Hier za] ecbter alleen sprake z^'n van vlakke kromme lijnen. De eenvoudigste onderstelling omtrent de imaginaire coor- dinaten zal wel die z^'n, waarb^j de abscissen x bestaanbaar blijven. Passen wij daarop toe de besproken verandering der coordinaten- stelsels, dan ontstaat de vraag, welke de wet is bij zulken coor- dinaten-© vergang, die onsteeds bestaanbare x levert. Z^ de coordinaten van een imaginair punt dan geeft een verandering der coordinaten-assen X* iizmx -{-ny = (mx -+■ n»') -f- {mfi + «|3') i, y' = m'x + n'y = (»!'« + n'lt') + (m'P + n'fi') i. m 13' De nieuwe abscis x* wordt nu bestaanbaar, zoodra — — =s—, n fi stel = C is. En nu worden voor zulk een nieuw stelsel coordinaten, alle nieuwe abscissen bestaanbaar; bet geeft dus eene klasse imaginaire opl ossingen, die bijeenbebooren, en door de karahterUtieke C worden bepaald. Die oplossingen vormen wederom te zamen de gekoppelden van de oorspronkelke kromme. 152 6. Zoeken wig de betrekking tusschen twee coordinatenstelsels met de karakteristieken C en O dan moeten de coordinaten a? =: tf 4- ^i, ^ = a' 4- ^Ci door de substitutien x^^nHY-^y'SinTY _ x' Sin X'X -hy' Sin rx ^~SinFX'^~ Si^Tx veranderd worden in ar' = «| + p^t, y' == a^' + PC(i; en dit geeffc Sin rx + C^ Sin rX Sin TT^ fi Sin TT^ fi Sin TT ^^ — ^i SinFX'P — Pi gf^YX ' ^ SinrX-^C.SinF'X waarmt volgt C = sin rF+ C, Sin TF ^ of CC^ Sin F'F+ C &in XT— C^ Sin FX— Sin X'X= 0. Uit deze formulen volgt, Wanneer de y-aa dczelfde richtig behoudt, is SinF'Fz^iO; en dus a?', die alleen van de x afbangt, te gelyk met x altijd bestanbar. Wanneer de ar-as dezelfde ricbting beboudt, is ^t»X'X=0, en wordt de laatste betrekking CC^ Sin F'F+ CSin XT— C^ Sin rx= 0. Wanneer hier C^ de karakteristieke is voor bestaanbare abscis a, Sin F*X wordt C74=oo, en dus ^= c^"j7f» dat is: de karakteristieke voor iedere gekoppelde is de richtings- coefficient voor de y-as noodig, om bestaanbare abscissen x te leveren. 6. Om nu het punt te leeren construeeren, dat overeenkomt met eene imaginaire oplossing, bedenke men, dat iedere vergeLy- king ontbonden kan worden in tweedemachts-vergelijjkingen; en dat, aan den anderen kant, zoo als wij zagen, iedere gekoppelde tot bestaanbare abscissen kan teruggebracht worden. W^ moeten dus de methode zoeken, om bij een tweedemachts-vergelijjking met de wortels y =s A (ar de toegevoegde met bestaanbare abscissen te construeeren; en daar-na een regel zoeken, om diezelfde gekoppelde terug te vinden door middel van imaginaire coordinaten, wanneer de vergelijking door verplaatsing der coordinaten-assen veranderd is. Vooreerst, omdat fi(x) soms negatief kan worden, stellen w^ naast de oorspronkel^ke vergelijking nog de nieuwe y = A (ar) ± k'— f^ (^), zoodat voor alle a?, «-— oo <a?<+oo, eene Iqn erenw^dig aan de y-asy de oude of de nieawe kromme in twee punten moet snijjden. Stel nu de gekoppelde met bestaanbare abscis bij eenige kromme (^), y) = voor door dan zal men haar yerkr^gen door de substitutie x = a. y = «'±P'; (I) soodat iedere l^n, evenwijdig aan de y-as, of de kromme of deze gekoppelde in p pnnten zal snijden; p de graad der vergelijjking zijnde. Deze regel (I) voldoet aan de gestelde voorwaarden. Eene verplaatsing, der coordinaten-assen verandert haar niet. Want even als wij in N^. 4 overgingen van x=:a + pii y z=i »'••{• p'i tot x' = {ma + na') 4- (wjS 4- np')i, y = (»i'« + «'«') + (»3'i3 + w'^^', zal men voor de eerste de % door 1 kunnen vervangen, om een punt a?! = « + j3, y = «' + P' te verkrijgen; dezelfde verandering geeft b\j de tweede bet punt x^'= («r« + ««0 + (wp -h «|3 % y' = {m'a + n'a') + (j»'j3 + n*^') zzxmx^+my^^ = m'x^ + n'y^ ; en deze twee punten moeten noodzakelijk samenrallen. De regel (I) bescbouwt dus het teeken %, als samenhangende met de natur der grootheid /3, zonder op hare grootte inyloed uit te oefenen. 7. Men kan denzelfden regel (I) 00k nog dus a priori afleiden. Gevraagd om eene imaginaire oplossing ar = « + (3f, y = A' + p'i van eene vergeljking f(x,y)z:zO, door een bestaanbar punt Yoor te stellen, zoo, dat het aan de gestelde voorwaarden voldoet. Noem de absois van dat punt dan moet de verwisseling der x- en y-assen geen plaatsverandering te weeg brengen ; dus moet y4=e(«', P', «, |3, zqn. Verplaats de y-as evenwijdig op afstand a, dan worden de nieuwe coordinaten a:'=: (« -|- o) 4- j3t, y' = «' 4- P'i- Men heeft dus tegelgk ar/ = «(a4-a, |3, a', p'), y^*z=z6(ti\ j3', a + a, 0), =:a+d(«, P, «', n> =n«'> P'. «, 0). Dus moet y^ onafhankel^k zijjn van ct; derhalve x^ van a', Yerder moet x^ gelgk z\jn aan a plus eene functie van fi en derhalye x^ gelgk aan c^' plus dezelfde funetie van j3' en 0, datis ay4 = « + 9|O,i30, y* = «' H- «| (/3'. p). Laat nu eene nieuwe y'-as een hoek maken met de x-as^ gelijk aan het supplement van de vorigen hoek y tussclien de assen, dan is a:* = a? + 2y Cos y, y* z:zy; derhalve ar* == (06 + 2«' Co* y) + O -f. 2^' Ooi y) t, y* = a' 4- l^'t. Men heeft dan wederom te gelijk ar* = «4-2a'Co«y 4-diO4-20' Co«y, 0'), Uit y/ volgt, dat alt^d <() (/3', jS 4- 2|3' Co« y) = <() (/3', (3) moet z|jn, dus kan y, niet van ^ afhangen; derhalve jTi niet van |3^ Men heeft dus ar,=z=« + 62(13), y4 = «' + «2((3'). Maar a7| en y^ moeten homogeen z^ Nu zoude de gekoppelde van de kromme y=: A(a?) ± \/fi (ar) worden y = ^ («) ± ^k'— f< (a?) ; en de gekoppelde van deze wederom y = A(a) ± €« 1/4- f« (ar). Opdat dus het gekoppeld zijn van twee krommen eene wederkee- rige eigenschap zij (en dit zal later worden bewegen), moet nog e = 1 worden; en dit kan toch zeer gescbikt ondersteld worden, omdat anders de % niet alleen op de natur, maarjook, geheel onnoodig, op de grootte invloed zoude hebben* Men komt dus ook bier tot denzelfden regel (I) a? = « 4-, y = «' 4- P' terug. Ten einde nu de gekoppelde van eene kromme te onder-zoeken, kan men twee wegen inslaan. Men kan hare abscissen bestaanbar maken door aan de y-as de gewenschte richting te gevven ; en dan de bestaanbare abscis laten veranderen. Of men kan de coordinaten der imaginaire doorsneden bepalen yan de Gorspronkelke kromme met bestaanbare lijjnen, die de karakteris-tieke der gekoppelde tot richtings-coefficient hebben. Want de vergelyking y = Or 4- > 155 heft alleen hare oplossingeD in het stelsel 0, Wanneer toch daaraan moeten voldoen, wordt B' dus — == C, zooals beweerd werd. (3 Telt men de vorige vergelijkingen bij elkander, zoo wordt zoodat bet punt, dat overeenkoint met eene imaginaire oplossing der vergelijking y = C* + 5,' tot die lijn zelve beboort. Deze lijnen heeten bestaanhare koorden van de gekoppelde kromme. 9. Bij bet onderzoek van deze gekoppelden, moeten wg tbans afstand doen ran twee stilzwijgend aangenomen eigenscbappen der bebandelde vergelijking ; dat zij namelk Bestanbare coefficienten beratte, en dat zg een bestanbare kromme voorstelle. Yoortaan stelt eene vergelgking f{x, y) = met bestanbare of imaginaire coeffieienten door bare oplossingen a; = re + 02, y zzi x* •\- pCi, vervangen door de substitutien x^^za-^ fi, yi.= a'4-|3(7 een stelsel imaginaire krommen voor, bepaald door de standyastige C. Wil men dat stelsel bepalen, zoo moet men eerst in de f(x, y) substitueeren ^ = a -f- ^t, y = a' -f- pCi ; bet bestanbare en imaginaire deel geven dan af- zonderlyk /^(a, p, a') = 0, /^(a, (3, a*) = 0. Hieruit door middel van a* = a -4- p, y^ = a' -|- (3C, de a, p en a' elimineerende, verkrijgt men de gezogene vergelijking. Wanneer de / van den graad p is en bestaanbare coefficienten heeft, wordt ook f^ van den graad p en /j van den graad jt?— 1, omdat zy een factor (3 verkrijgt. De verkregen vergelyking van de gekoppelde is dus van den graad jt?— 1). Heeft de / ook imaginaire coefficienten, dan zijn /| en /^ beide van den graad p, en is dus de eindvergelqking van den graad jt?*. 10. Laat ons nu bewijzen, dat de gekoppelde eener kromme l^n die kromme zelve tot gekoppelde beeft, met dezelfde karak- teristieke (waarop reeds gewezen werd in N®. 7). Klaarblijkelijk bebben wij dit slecbts te bewijzen, voor het geval van bestaanbare abscissen b\j beide krommen. Necm twee ordinaten y,, yg der kromme /(«, y) = 0, die voor dezelfde bestaanbare abscis gelyk zijn, en verder imaginair worden. 8tel ze voor door y^ = A(ar)+/E (ar), y^ = A(ar)— -^(ar). Dans is 2 A (x) gelijk aan de som der beide abscissen, dus bestaanbar : 2/c« (as) baar verschil, dus imaginair. De gekoppelde, met bestaanbare abscissen, zoolang i(i{x) bestaanbar wordt, tot takken hebben 5^3 = A (a?) — e> {x), y^ = A (a?) + «> (ar) ; en hare vergelgking in gewone coordinaten beeft dus tot wortel S' = A (a:) ± tf« (ar). Die vergelyking zoude men verkrygen door te stellen /(ar, «'H-p/0=O, y = «' + p', en C intevoeren. Noem haar dan zullen ^3 en y^ aan haar moeten yoldoen , zoolang ifi (ar) be- staanbaar is : wordt ^u (a?) = , dan wordt y^zzzy^, en verder worden zij imaginair. Hare gekoppelde, met bestaanbare abscissen, bevat dus de waarden yfl = A(ar) — ^(a:), ye = A(^) + A< Wj hare vergelijking heeft dus tot wortels y = A(a?)±^(af); en deze valt dus samen met de vergelijking /(a?, y) = 0. ^ 11. Gaan w\j thans over tot eenige toepassingen. Voor de gekoppelde eener ellips met gegeven richting voor de bestaanbare koorden, neme men de daaraan evenwijdige middellijn en hare toegevoegde middellyn tot coordinaten-assen. Wanneer nu x verandert buiten den afstand — o tot + o, wordt y = ± - »V^ — ^ ' Volgens den regel (I) wordt nuyi=:±-j/i*--a*, a a de ordinaat der hyperbool ar^* — b^a^ =z — a*3*. Derhalve zfln de gekoppelden der ellips alle hyperbolen met hetzelfde stel toe- gevoegde middellynen ; zij vuUen het vlak buiten de ellips. 12. Voor de gekoppelde eener hyperbool handele men evenzoo; maar hierbij zijn twee gevallen te onderscheiden , dat de middel- mn evenw^dig aan de bestaanbare koorde de hyperbool snyde , of niet. In het eerste geval is de vergeliyking der hyperbool ay — ^M = ~ aHK V Wanneer hier a? verandert buiten den afstand — a tot + a, wordt 6. y = ± -« j/a^ — a?*, dus y^ = ± - |/fl* — ar*, de ordinaat der a a 157 ellips ay 4- h^x^ = a*^*. Deze ellips, met hetzelfde stel toegevoegde middelgnen, raakt de beide takken der hyperbool aan; en evenzeer nog die der toegevoegde hyperbool, waarb^ de beide middelen in elkanders plaats treden. Die ellipsen vullen dus bet vlak tusschen de vier takken der beide byperbolen. Naarmate C nadert tot den richtings-hoek der asymptoten, wordt de excentriciteit der ellipsen grooter: wordt C daaraan gel^k, dan yalt de ellips met de asymptoot samen; want voor geeft de Yergeljking op de assen a^^a'^ — 5| V = — a^%\ hPi<^i» * — *i») = ^• < *i Daar ^^0, wordt «' = — «; en de eerste geeft a|*^|'=sO, terw^'l |3 onbepaald bly ft; dus moeten a == oo =; «( ^, en dan j3 =i oo, omdat « + ^ eindig moot zijn* De vergel^'king der gekoppelde wordt nu a? = « + (3f, y = — (« + |3i) == -^ ar ; dat is de verge- king der asymptoot* Er kan geen bestaanbare koorde der gekoppelde aan de andere z^de Van de ricbting der asymptoot vallen. Dit is gemakkemk te bew^'zen. Stel in eene vergelgking ay — 3V = — a««, a: = « + |3i, y=a' + p«, zoo wordt a«(«'2 — p«C«) — *V — P*) = — «^^*' aH*Q—lHz=z^^ of na eliminatie van a, dat is C^ = - 4-, „,..fla > waaruit blykt, dat C nooit kleiner dan - kan worden. 18, "Voor bet tweede geval is de vergelgking der byperbool ^y — a^^zzzaH'^, dus y altgd bestaanbarj dus is er geene ge- koppelde kromme. Dit volgt ook daaruit, dat in W. 12 de toegevoegde koorde in ricbting nimmer de asymptoot kan yoorb^gaan. 15^ 14. Wanneer de riohting der bestanbare koorde voor de gekoppelde eener parabool gegeven is, trekke men de raklijn daaraan eyenw^dig, en neme deze met de overeenkomstige middel-lijn als coordinaten aan ; de vergemking wordt dan y^ = 2px, Voor alle x tusachen — oo en 0, wordt y = H- 1 1/ — 2px', en daar y|=±j/ — 2px, de ordinaat eener parabool y|' = — 2|m;. Derbalve zgn de gekoppelden eener parabool alle gel^jke para-bolen met gemeenschappelijjke raaklijn en b^beboorende middell^n, maar waarvan de opening naar den anderen kant is gerichbt. 15. Zij de vergel^jking van eene vertikaal staande sinuasoide a?= Cosysz. Voor y = 2>t5r + /3t, omdat e^^ = H- 1, wordt a? = 4 (c^ + c""^) bestaanbar, dus de toegevoegde eene kettinglyn, x :=z ^{i^ + e^^), Voor y=(2*+l>r+(3t,omdat /2*+l)tr»__i^ wordt a:=—J(c^+c"-^) bestaanbar, dus de toegevoegde a : = ^(c'' "" ^ -+- 6^ "~ *), evenzeer eene kettingljn. De gekoppelde bestaat dus uit twee stellen kettingljn, het eene aan de z\jde der + x, het tweede aan den kant der »<— a?; in ieder stel staan de toppen op a&tand 2w : big twee op volgende uit de beide'stelsels is sr bet yerschil van de ordinaten der toppen. De karakteristieke is (7 = oo. 16. Wordt de yergelyking van N®, 11, die eener verdw^nende ellips — z\j zal in bet vervolg somtijjds noodig zijjn -» b. dan wordt y = ± -^'j en zij atelt de hyperbolen voor, teruggebracbt tot bare asymptoten. Ieder der yergelykingen yzzz + ^xi en y=:— -ari, stelt dus een bundel lignen voor, die door den oor- a sprong, bet middelpunt der verdw^nende ellips, gaan. 17. Voor de imaginaire vergelijking y=:{m + n{)x -^(p +qi) best men evenzeer y = (»t — ni)x-^{p'^qi)i en, wanneer men deze verbindt, de vergel^king eener verdwijiiende ellips. Hare gekoppelden E^n dus (zie I)^. 16) de bundel liJDen ; die gaat door het punt qm ft n het middelpunt dier yerdwignende ellips : die gekoppelden z^n dus rechte l^jnen, in overeenkomst met hetgeen in N^. 9 bleek, dat voor een kromme me.t imaginaire coefficienten van graad p (hier ^l), de gekoppelden van den graad p* (bier evenzeer = 1) z^'n. 18. Het is somt^'ds noodig van de vergel^'king eener rechte li|jn in imaginaire eoordinaten overtegaan tot die in bestaanbare oodrdinaten. Yolgens den regd (I) moet men eerst in de gegeven vergel^king y=r(»-|-ift)a:+(p-f-^») substitueeren zzzza^^-'fii^zza'+pCit waardoor men verkrijgt «' + fiCi = (i H- ni) {a + fit) -f- (p + qi), dat is a&onderl^k «'=:»!« — np + p, fiCz=zmP + xct + q; vervolgens heeft men a?i = «B 4- en yi = «' 4- ^C. De eliminatie van a' en « geeft dus b\j de som der beide eersten y^.z=: mx^ H- « (a? — 2j3) -*- (;? H- ^), terw^l de eerste alleen geeft y, — |3C = a(a?4 — -p) — «P + i?, waaruit (ai + » — (7) j3 = tnx^ + i^ ^ y- En nu door eliminatie van j3 y^ — mx^^[p + q)z=zn! ^^^^C ' of yi = (^+^ + ^J;l^ )^i+(i^ + g+ ^Jf_J Derbalve kan de richtings-coefficient, by verandering van C, alio mogelijke waarden verkrygen; men heeft dus alzoo een bundel l\jnen. Voor de gekoppelde met bestaanbare abscissen wordt (7=zoo, en duB yi = (w + »)«i -f-CP + j), in overeenstemming met regel (1). Men noemt nu dien bundel lijnen, een elliptkchen bundel. Zijne eenvoudigste vergel^king is y = nxi. Die bundel wordt een drculaire, wanneer de verdwijnende ellips een cirkel wordi; de vergelijking is dan 160 y — ±xi + (p + ijii). Hii wordt eindel^k een parabolUche bundel genoemd^ wanneer de richtings-coefficient bestaanbaar wordt, en dus een dei assen van de verdwjjjnende ellips oneindig klein in yerbouding van de andere. De yergelijjking is dan jfzz:«a? + {;? + gt); en deze stelt slechts eene enkele veelyoudige l^n yoor. Wantvoor » =r geeft de vorige vergelyking geheel onaf hankeligk yan C. Verder wordt bier (voor a?=0) pC7=»il34-2, dus P = -; —. Derbalye bl\jft bet imaginaire gedeelte der coordinaten, langs iedere lyn, standyastig; bet wordt oneindig yoor die l^a, wier karakteristieke is de ricbtings-coefficient yan den bundeL {Wordt vervolffd,) OYER BENADERINGSFORMULEN VOOR DE SOH TAN REEKSEN, WELKE UIT EEV GROOT AANTiL TER»EX BESTAAN. DOOB D, J. KORTEWB&. ] . Het is bekend dat de som eener reeks : i /("o+i'/O =/(«« + «»^)+/(*o + ('« + l)'') + -f-/(^o + (^ + 2)^)-h....4-/(ar^j-H«^), •..(!) indien /(a?)e/ar integreerbaar is, berekend kan worden volgens twee benaderingsformulen , respectievelijk af komstig van Euleb en van Maclaubin. Stellen B^, B^, B^^ enz. de opeenvolgende Beraouilliaansclie getallen voor, en maakt men bovendien gebruik van de verkorte schrijfwijze Xj^'=, x^-^ ph, (2) dan wordt de formule van Euleb geschreven en de tweede van Maclaubin X'fix,)-^~J f{x)dx — 2* — 2 B. Indien deze reeksen convergent of, zooals somtijds voorkomt, half convergent zijn, dan wordt het mogelijk door het berekenen van een groote of kleiner getal termen de waarde der reeks 'i /(*o+/') met groote naauwkeuriglieid te bepalen. Het is daartoe noodig do integraal en de achtereenvolgende diferentiaalquotienten van haar algemeenen term te ontwikkelen en te berekenen. Hoe voldoende deze methode in de meeste gevallen moge zyn, somtijds zal het voordeelig zyn eene andere methode te volgen, die wij thans gaan ontwikkelen; waarbij de som der reeks met groote benadering uitsluitend wordt uitgedrukt in eenige weinige yer- schillende waarden van de integraalfunctie van haar algemeenen term, geintegreerd tusschen eenige verschillende grenzen. Bovendien doet zich in de waarschijuljkheidsrekening somtijds het geval voor, dat het wenschelijk is eene sommatie door eene inte- gratie te vervangen, zonder dat het echter mogelijk is, in de verdere berekeningen, die met de uitkomst der sommatie nog moeten worden verricht, al de onderling verschillende f unctien, waaruit de termen der reeks bestaan, in rekening te blijven hott- den. Men is dan verplicht by den eersten term af te breken, en als benadering te gebruiken volgens de eerste reeks van Euleb 2/(ar^)=-y f{e)dx, (I) of I volgens de tweede van Maclaubik. p=« 1 P^n-^\ 2/(arp) = -y f(x)dx De keoze tusschen deze beide waarden is niet moeilijk ; immer indien men de correctien vergelijkt, die in beiden volgens de reeks- ontwikkelingen (3) en (4) zouden moeten worden aangebracht, dan valt het in het oog, dat de eerste correctie van de tweede reeks in den regel zelfa nog half zoo klein is als de tweede correctie van de eerste reeks. Men wint dus bij he 3 To passen van de tweede formule eene correctie uit, en alle volgende correcties zijn bovendien iets kleiner. De tweede formule moet dus meestal verkozen worden. Het is evenwel zeer goed mogelijk ook met behulp der eerste reeksontwikkeling (3) eene formule ter benadering van de som der reeks te verkrijgea, die in naauwkeurigheid meer gelijk staat met de formule (II). Vervangt men namelijk m door «— 1 en door «— 1, dan gaat de reeksontwikkeling (8) orer in. '~2 nx,)=\j /(a^y^r— 4r/(«,)_/(«:..i)]4. Bedenkt men nu echter dat dan laat zich uit (4) eene nieuwe waarde van 2 fix,) berekenen, namelijk 2 / W = t/ /(*) ^ + i (/ W -/(*« ^ i)] + + j^^[/(^J--/(^«-i)] — (6) Telt men nu deze nieawe waarde op b^ die yolgens formule (3) en deelt men de som door twee, dan ontstaat eene nieuwe l»s=fi formule voor 2 /(O. p=«" Neemt men daarvan den eersten term b\j uitsluiting in aanmer- king, dan vindt men bij benadering 'Tnx;) = 1 [/ " "^ f{x) dx+J f{x) dx+J f{x) dx. (HI) De eerste correctie bedraagt + 1 i-f{.'n^ l) -^-/W +/(*J -/(«— l)]. Zij wordt zeer klein, indien de termen der reeks geleidelk en niet te snel van waarde yeranderen, between in het algemeen voor de jnistheid van iedere benaderingsformule een onontbeerlyke voorwaarde is. Toch zal in bet algemeen de fortnule (II), boewel eenvoudiger, een juister uitkomst opleveren. Ons Doel is nu benaderingsformulen in den tranferen van formule (IIT) op te stilleen; alzoo de som uit te drukken in integralen van haar algemeenen term genomen tüsschen verschillende limieten. Door het invoeren van meer integralen zullen wij dan steeds grotter naauwkeurigheid bereiken. jpEN, a o a dm 6 P e 71 c (FMg. ].) 2. Laten in (fig. 1) Aa^ Bb^ Cc drie opeenvolgende termen Aa = y^.i =/(a:^ ^- (^ _ 1) ^), Cczn^j^^i =if(xQ + Cp -f-l)^) , van de te sommeeren reeks voorstellen, terwyl Oa = a?jj-}-(/? — l)^ = arp-.i; 06 =z Xq -{- pA z=z Xp ; Oc = XQ+(p+l)hz=zXp^i; dan zal de vergelijking y:=if{x) eene kromme voorstellen, gaande door al de uiteinden derordina- tcn , derlialve ook door de punten A^ B en C, Is nu Fp=zy een willekeurige ordinaat van deze kromme, gelegen in de buurt van Bb , en is verder dp z=z $ ^ dan is a? = arp -f- f ; derhalve y ^=^f{x^ + «) ; of, indien wij ontwikkelen volgens de reeks van Tatlob, Bp = y^yp^K^i^a^%'^+ii^i^^tij^i*^ +-K;. (6) waarin «,=/'(a?J, (7) i2z=. x*2. o« • • ,n H^P-^-h)' / 165 Doorloopt nu deze veranderlijke ordinaat Pj? eeneruimte ilfiV«»», waar?aa de basis mn eene breedte h =.2$ bezit; dan wordt daar- door eene inboud verkregen , waarvan de waarde , indien ad =z db =z 6e =z ec =: ^k z=: $ ; ^ = e« =: y is , wordt voorgesteld door ixp -+- (8 + y) f{x)dx = jrp-.(8-y) /i8-+- y J (Vp + «l« + «2«^ + «3e' + «4«* + ^R)di. -(8-y) Voeren wy voor dien inboud eene bepaalde schryfwijze, en wel J., in , dan is derhalve , na nitvoering der integratie , /84-y Mi (8) -"(8-y) Nu komt met iederen inhoud MNnm een andere inhoud overeen, welke verkregen wordt door de lijn dm:=;,y naar links in plaats' van naar rechts uit te zetten , en evenzoo te handelen met en. Zijne waarde zoude berekend worden uit f{x)dxz=i /S — y (jfp -h *i€ -h «2€* + a^f 4- «4«* 4- ..... . . + -R)fl?«. -(8+y) De inboud zelf wordt voorgesteld door A^ ^ zoodat ^-.y = yp[(5-y) + (^ + r)]4-2«,[(5-7)«-(^ + y)«]4- /8--y Ml. . (9) -(8 + y) Uit beide deze formulen volgt dan A + ^_y = 2?/, [(J + y) + (5 — y 1] + ?«j [(J -I- yj* + (S - y)»] -(. g /»S-t-y /•S— y + ,«♦ [(5 + y)' + (S — y)'] 4- . . . -hy iJrf« + / Udt; (10) -(S-y) -{S + y) / 166 waamit als b^zonder geval dadelijk gevonden wordt /ilrff; (11) terwyl dadelijk nit do figuur blijkt , dat Jq den inhoud voorstelt van de ruimte DEed, Eyenzoo vindt men voor y = 5 / ^8 + /f_ 5 = 4y,J + \V + *,V* + T'«*' +•••• + / k28 72efg; (12) — 28 terwijl het weder dnidelijk is, dat door J^ en irf^jrespectievelyk de inhonden BCcb en ABba worden aangewezen. 3. Beeds met behulp der formulen (11) en (12) laat zicli nn eene benadering voor de som der gegeven reeks, uitgedrukt in geli|jksoortige integralen, verkri|jgen. Wy sluiten daartoe de reeksen (11) en (12) reeds by den tweeden term en schriven dns I-H8 — 8 ^o = 2y,3 + |«,33+y^ j^J^//r(^^^g)^,. (13) it4-28 4 waaruit, als wy gebrnik maken ran onbepaalde coefficienten, dade-l^k Tolgt Kiezen wy nu onze onbepaalde coefficienten zoodanig, dat de tweede term van het tweede lid wegvalt, dan is ^1 4- 8^2 =, waaraan voldaan wordt doov' ^| =: 8, ^s =: — 1 ; derhalye is nu 8^0 — (^8 + ^_5) = 12y,5+8y — -_^/ir(arp4.s)£/f — -/ 167 2J ^* waa^uit we oplossen 1 /"^^S 4 Volkomcn gelijke uitdrukkingen gelden nu natuiirlijk voor alle andere ordin.iten der kromrae, dat wil zeggen, voor alle andere termen der reeks, en de som der reeks kan dus gevonden worden door al deze uitdrukkingen te sommeeren. Men heeft dan namelijk p = H p-=.n 1 r ** f^ * -/ 167 2J ^* waa^uit we oplossen 1 /"^^S 4 Volkomcn gelijke uitdrukkingen gelden nu natuiirlijk voor alle andere ordin.iten der kromrae, dat wil zeggen, voor alle andere termen der reeks, en de som der reeks kan dus gevonden worden door al deze uitdrukkingen te sommeeren. Men heeft dan namelijk p = H p-=.n 1 r ** f^ * M p=:m p = m ^^^ «• » ^ •» m ^•* 5 A, /»4-28 35 m Wat nu betreff de waarden o —28 2^0, 2;^8» 2^_5. mm m reeds een vluclitigc blik op de figuur is in staat ens te OYertui* gen, dat de waarden Jq, ^^ en -<^«8 inhouden voorstellen van stukken der kromme y =/(ar), die, respectivijk gesommeerd voor de verschillende ordinaten, juist aan elkander sluilen, en wier som derhalve door ^^n door- loopende integraal kan worden voorgesteld. n Wil men zulks in het algemeen bewezen zien voor 2-^7» dan merken wy op, dat volgens meetkundige beteekenis, /'p-*-{^-*-y) f{x)dx.  van de reeks van Talib ; — tenqjl wij daarop later terugkomen, — merken wij tbans op, dat, indien de ordinaten y, als wel van zelve ondersteld moet worden, geregeld en langzaam. van waarde veranderen, dat alsdan ook de reeks van Taylor, zelfs met verwaarloozing van baar rest, een zeer goede benadering moet opleveren ; zoodat wij voorloopig beginnen kunnen met deze rest te verwaarloozen, en aan (I), (II) en (III) toe te voegen de nieuwe benaderingsformule, die dan onmiddelijk nit (17) volgt, 2/(^0 + /^^) = = r|5 8/ f{x)dx^J f{x)dx^J nx)dxU^.) welke wij onder invoering van h liever brengen onder den vorm" I,f{^o'^P^') = lJ f{x)dx^\f. p = m 'm — f - hy f{x)dx-J /(^)dx-J f(x)dxl.{Vf, 169 welke beide formuleQ dan weer onder invoering eener Hgt be- grijpelgke schrijfwigze kunnen worden voorgesteld door l^-l+U^^-l- 169 welke beide formuleQ dan weer onder invoering eener Hgt be- grijpelgke schrijfwigze kunnen worden voorgesteld door l^-l+U^^-l- 169 welke beide formuleQ dan weer onder invoering eener Hgt be- grijpelgke schrijfwigze kunnen worden voorgesteld door l^-l+U^^-l- 169 welke beide formuleQ dan weer onder invoering eener Hgt be- grijpelgke schrijfwigze kunnen worden voorgesteld door l^-l+U^^-l- 169 welke beide formuleQ dan weer onder invo "Waarin in het alsremeen" O' {i^e)k 3l_^ =y f{x)dx..... (21) 4s, Werpen wij nu ten slotte een terugblik op de w\jze, waarop deze nieuwe benaderingsformulo verkregen is, dan zien wy, dat daarbij van de reeks van Tatlob alle termen met hooger macb-ten ran i dan de tweede verwaarloosd zijn. leder stuk ran den inboud der vlakte, begrensd door f/=f(x),. (22) is derbalve, voor zoover bet gelegen was tusscben drie opvolgende ordinaten Ja, lib, Cc, bescbouwd a is begrensd door een parabool. Onze benaderingsformide (IV) zal der halve eene waarde opleveren van ongeveer gelijke naauwkeurigheid aU die, welke aan de formule van Simp- son eigen zoudezijn^ indien er omgekeerd sprake van was dezelfde integratie door eene sommatie te tervangen van gelijk aantal termen als de gegevene, Overigens is bet in den regel gemakkel\jk deze naanwkeurig- beid te sebatten ; immers de aan te brengen correctie zal door bet weglaten yan 8 < 1 niet veel van waarde verande- ren , dewyl men aannemen moet, dat /'^ {x) binnen de grenzen Xp en xp^\ zeer langzaam en zeer weinig van waarde verandert* Daarna laat zicb dan ecbier de integratie uit voeren, en de correctie verkrijgt den vorm 170 of eindelijk , indien wij dezc termen bijecnvoegen , ^ = 2^ in- voeren, en ^f^^(xp) vervangen door zijne benadering volgens formule (II) » waarbij de integratie kan worden uitgevoerd , «-= + 4X2^5 r('-*)-^"N-0)- • (25) In zeer vele gevallen zal men nog verder kunnen gaan en gren- zen aanwijzen, waartusscben de rorrectie besloten ligt. Oin dit met een enkel voorbeld op te belderen, nemen wij, meer algemeen, aan dat./^'' (a:) een regelmatig afnemetide fanctie van X is; en stellen ons voor in dat geval grenzen te bepalen, die de uitdrukking ^=ll,, 1.2.6... 2p' ^'^"-'-^''-^''-^''-^" -(^^i insluiten. Wij merken daartoc op, dat voor J z= in de aangegeven ondcrsteiling de gebcele uitdrukking te groot, en voor fl ^=r I te klein moet worden. Beide gevallen zijn ecbter integreerbaar, en voeren wy deze integratie uit, dan is I.2.3....2yH-l S^'^VP>^> I.2.8....2/-H y^^(VlK2^) Nu overtuigt men zicb ecbter liciit, door behulp eener grafiscbe voorstelling (fig. 2), dat bij afnemende waarden van f^^' (xp), y 'f^p'M<^^>^^if^p\^p (28) Immers indien in die figuur dan wordt de inboud der recbthoeken voorgesteld door 171 / en die der kromme door / f^P (xp)dx. Op (Fig 2) Immers indien in die figuur dan wordt de inboud der recbthoeken voorgesteld door 171 / en die der kromme door / f^P (xp)dx. Op (Fig 2) Immerse in den figuur den wordt de inboud der recbthoeken voorgesteld door 171 / en die der kromme door / f^P (xp)dx. Op (Fig 2) Immerse in den figuur den wordt de inboud der recbthoeken voorgesteld door 171 / en die der kromme door / f^P (xp)dx. Op (Fig 2) Immerse in Volkomen soortgelijkke wijze overtuigt men zich dat Z^^'K) '/x < 23 S A' («, +!)....(29) Past men nu ten slotte beid« ongelijkheden (28) en (29) toe op (27), en voert men de integratien, die zich voordoen, uit, dan vindt men i.aCv+. (^-<-">-^'''"— ')>»> Dat deze grenzen in den regel zeer naauwzijn, behoeft welgeeni betoog. Evenmin zal het noodig zijn de toepassing op (23) aan te wijzen; men is nu immers in staat twee grenzen te vindenvoor en evenzoo voor •^J —^-^^fir ^^^ ^) ^g. en daar beide als factoren voorkomen in termen met tegenge- Bteld teeken^ name men beurtelings de bovenste grens van de eenoi en de benedenste grens van de andere. Is /^' («p) niet geregeld afnemende, maar opklimmendey dan laat zich dezelfde redenering met kleine wyzigingen herhalen. Is f^^'{Xp) beurtelings afnemende en toenemende, dan kan men de kromme in stukken verdeelen. In den regel zal dit echter niet noodig zijn » en de formule (25) ^ indien het er op aankomt de waarde der correctie te schatten, volkomen voldoende zijn. 6. Willen wij eene formule van nog grooter naauwkeurigheid dan de formule (IV) verkrijgen, dan kunnen wij eene nieuwe uit- drukking Jy 4- A^y berekenen, Het eenvoudigste is het daarvoor te kiezen Door toepassing der formule (10) vindt men zonder moeite, terwijl men de reeks van Tatlob thans tot den term die e* bevat 7 61 uitstrekt, A^^ + J^ j8 = 4:yvl + j^a^^ 4- ^ol^^^ + Bvenco is echter en — o Op deze drie betrekkingen (31), (32) ec (33) passen wij nu weder de methode der onbepaalde coefficienten toe, Termenigyul- digen |J -liS Bvencoo is echter en — o Op deze drie betrekkingen (31), (32) passen wij nu weder de methode der onbepaalde coefficienten toe, Termenigyul- digen |J -liS Bvenco is echter en — o Op deze drie betrekkingen (31), (32) passen wij nu weder de methode der onbepaalde coefficienten toe, Termenigyul- digen |J -liS Bvenco is echter en — o Op deze drie betrekkingen (31), (32) passen wij nu weder de methode der onbepaalde coefficienten toe, Termenigyul- de erste met t^, de tweede met k^ de derde met k^ ; tel-len op, en kiezen dan k^, k^ k^ soodaiiig, dat de tweede en derde term ran hct tweede lid wegvalt. Daarloe wordt vereiscbt Ik^ + 16)^4 -f- 2)^3 = ; Ol/fr, 4- 256^^2 + 8>J-5 = 0; waaraan Toldaan wordt door *! = — 64, *,= 4-11, *j| = 4-136. Op die wyze yerkrijgt men dan de vergelyking — 64(^^,+ ^_ij)+ll(^j4.^_5)+136^o=60y,^-«-^ (31) P = — 64/ f^^lx^^^dt — ^— ^y 1.2.3.4.5.6-^ ^^P-^^^"" — 28 waamit wij afleiden yr='^j [- ^*('*H-J8+ ^~J«)+ n(^3-h ^_j^+136^o]- ^ P. En hieruit Tolgt dan onmiddelijk, indien wij sommeeren voor alle waarden der ordinaten, die als termen in de reeks Toorkomen, de benaderingsformnle met den correctiereni. Deze nieuwe benaderlngsformule onderstelt dat de stukken begrepen tusschea drie opeenvolgende ordinaten der kromme: verkennen overreenkomen met parabolen van den vierden graad. Hare naanwkeurigheid staat dus gelgk met de methode van Cotes yoor bet omgekeerde yraagstuk, mits uitgestrekt tot y^f ordinaten, en bij yerdeeling van de bepaalde integraal in een groot aantal stukken. Zal in den regel een zoodanige booge mate van naanwkeurigbeid bezitten, dat bet afleiden van nog juister formulen, waarin dan zouden optreden. Ous in formule (25) eene benaderde waarde yoor Eir werd afgeleid. Men zal yinden ^" = -6X1X3X5X7 ^•^'(*-»>--^''(''— »»'•<«»«) terwyl bet, yolgens (30) mogelg, boewel zeer omslachtig, worden zal die correctie tusscben twee enge grenzen op te sluiten. 