Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
Ook bij eene vergadering, die zich in afdeelingen Tenderstellung, is eene onderstelling mogelijk, waarb^ de oplossing van ons vraagstnk hare toepasselijkheid gehee] verliest, Het U die, waarb^ alle af-deelingen niet door loting tot stand gebracht, maar zooveel mogelijk mit leden van eenzelfde klenr sameagesteld worden; in welk geval dus de minderheid ongeveer in reden barer getalsterkte vertegenwoordigd zal zijn* Tusschen deze onderstelling en die van eene samenstelling door loting ligt nn de werkelijke toedracht b^ de kenze van volksvertegenwoordigers in het midden. Yoor zooyerre het zuiyer gewestel^ke belangen geldt^ brengen de belanghebenden van zelye hnnne stemmen in dezelfde bns b^'een, zoo- dat hier de nieawe onderstelling het dichtst bij de waarheid komt. Zoodra, derhalve, eene minderheid deuni op geteateli^ke belangen en invloeden, zal gij een goede ham heliben^ in verhouding Mrer getalsterkte vertegenwoordigd te zijn. § 8. Anders is het gelegen met minderheden uit meer alge-  grengeval verhoudenen tnssolien meerderheid en minderheid in de vertegenwoordiging zouden ontstaan, die niemand wensclit; dan yolgt daaruit, dat de tegenwoordige wyze van verkiezing meer en meer onbruikbaar zal worden, en dan kan men met zekerheid de toekomstige inyoering van een stelsel voorspellen, dat voor een betere vertegenwoordiging der minderbeden zorg draagt. Nu laten de reeds van elders bekende offers omtrent bet bestaan van zulke ongunstige verboudingen in bet grensgeval geen twijfel over. Zoo berekende Poisson de gemiddelde verbouding der part^en in eene vertegenwoordiging van 459 leden, gekozen in kiesdistric- ten ieder met 435, dus alien te zamen met 199,665 kiezers, waar- onder cene meerderbeid van 104,830, dus van 62,5 Vo ^^ ®®^® minderbeid van 94,835 , dus van 47,5 %. H^ vond voor die ge- middelde samenstelling 892 afgevaardigden der meerderbeid, tegen 67 leden der minderbeid; terwijl de samenstelling van 241 tegen 218 in overeenstemming met de getalsterkte der partijen zoude zijn. Zoo vonden wi|j in bet ^Journal dea actuaires franqa%ft\ dat by eene splitsing van 20,000 kiezers, (meerderbeid 10300, minderbeid 9700) in twee afdeelingen , de kans van de keuze van een verte- genwoordiger der minderbeid bij ruwe benadering slecbts 0,00003... bedroeg; en toen wij daarop naar eene verbouding tusscben meer- derbeid en minderbeid zocbten, waarbij deze waarscbijnlijkbeid juist 0,5 zoude z^n, vonden wij dat daartoe eene meerderbeid van slecbts 50,24%, nam. van 10048 leden tegenover eene min- derbeid van 49,76% of van 9952 leden zoude moeten staan. Zoo w^st er Poibson op, dat b^* een totaal van 200,000 kiezers eene minderbeid van 90,000 slecbts enkele vertegenwoordigers zoude verkrygen ; terwijl eene minderbeid van 85,000 slecbts een geringe kans zoude bebben, door een enkel lid vertegenwoordigd te zijjn. Zoo leert eindelijk i priori de wet der groote getallen, dat b\j een zeer groot aantal stemmers en een klein getal afdeelingen de verbouding van meerderbeid en minderbeid in de verscbillende afdeelingen ongeveer gelijk moet zijn , zoodat de meerderbeid in alien zegevieren zal, zoodra ze de minderbeid eenigzins belang- ri|jk overtreft. Bedenken wijj, dat de aangebaal voorbeelden slecbts op bet grensgeval betrekking bebben; maar dat de werkelijke toedracbt van zaken b^verkiezingen bet midden bondt tusscben dit grens- Eene minderheid, foelke algemeene behngm beoogt en hoar reeii van bettaan aan algemeene oorgaken onleent, zal niet in reden harer getakierkie vertegenwoordigd zijn^ Dat ze in het geheel veriegenwoordigd i, zal ze^ tenz^j ze byna geheel met de meerderheid gelyk mocU 9iaan^ bijna uiisluitend danhen aan geweelijk invloeden^ die de algemeene oorzaken in het een gewesen verzwdkhen^ in het andere verderben. Hare geiaUterhie in de volkwertegentooordig is veel meet van de wijze van verdeeling over het landf die een gevolg i$ van zulke geweetelljke invloeden^ dan van de talrijkheid harer aanhangere qf* ha$likel^ Hare geiaUterhie in de volkwertegentooordig is veel meet van de wijze van verdeeling over het landf die een gevolg i$ van zulke geweetelljke invloeden^ dan van de talrijkheid harer aanhangere qf*  dass die geyal en dat yan een' eyenredige yertegenwoordig. W^ mogen dus bet yolgende besluit trekken: De aamemtelling der vertifftentcoordt/mg ky zoolang de minderheid daarin nog in het geheel zitting veikr^gt, blj het thans gevolgde kies^ steUel meer veranderlijk dan de publieke opinie, zoodat men uii een groote verandering in de verhouding der partijen in zulk een verandering in de land bealuiten mag. M. Alvorens thans tot de mächte behandling van ensvängstuk over te gan, is het wenschelijk [ten einde eene gemäße nomenclatur te verkrijgen] omtrent den aard en de inrichtigen der stemmingen zeer bepaalden onderstellingen in te voeren, 'tgeen dan echter niet beletten zal de verkrigen uitkomsten met de noodige wijzigingen ook op andere onderstellingen uit te strekken, Wij nemen daarom aan, dat eene vergadering van ki leden met eene meerheid a en eene minderheid 6 (a + b=z ks) zal stemmen over een voorstel, waar de meerderheid voor, de minderheld teffen is en dat zij zich daartoe bij loting verdeelt in k secties, eder dus van a leden. Yoorts bepalen wij, dat de leden achter-eenvolgens tot het uitbrengen van hnnne stem zollen worden opge-roepen, volgens eene lijst, waarop eerst de leden van deeerstesteo-tie, dan die van de tweede, enz. genoteerd zijn. Ode die wyze verkrijgt iedere stem een volgnummer, de a eerste volgnummer vormen de eerste sectie, de s volgende de tweede, zijn de zollen spreekt, iedere stem voor of teffen op ieder der volgnommers evenveel kans heeft, zijn zullen al de verschillende rangschikkingen, die mogelijk zijn tusschen de a stemmen vddr en de b stemmen te^en^ gelijke waarschijnlijkheid bezitten. Wij kunnen dus deze rangschikkingen als gevallen van gelijke kans beschouwen; en het komt er dan nog slechts op aan te berekenen: l^ hun geheel aantal, 2^. het aantal gunstig aan deonderstelling Pn.ni immers volgens de bepaling zelve der mathematische waarsch^'nlijkheid is Fm,n gelijk aan het quotient dezer beide grootheden. II. Wat nu betreft het geheele aantal der verschillende rangschikkingen mogelijk tusschen de a stemmen voor ^ en de 6 stemmen tegen^ dit ia natuurlljk gelijk aan hefc aantal Terschikkingen tusschen ks elementen, waaronder a en 5 gelijken. Het bedraagt Derbalve J^ (2) Moeiljker is de bepaling van het aantal ganstige ganstige geschiklen. Ten einde daartoe te geraken, znllen w^ uitgaan van eene enkele gedrucktige raogschikking, om daaruit door yerschikking de overige gedruckte gevallen te verkrijgen. Wij kiezen overlgens die eerste rangscbikking zoodanig, dat in de m eerste secties de ooorstemmers en in de n laatste de ^^«;istemnLers in de meerderheid zijn. Laat dan t?|, V2».«» 9fl|.x>^»> ^iJ^'a* r'^.,.., t'n^x^ ^nt respectievelijk bet bal?e Terschil tusscben meerderheid en minderheid in de verschillende secties Toorstellen, zoodat Vp in het algemeen dit halve Fcrschil in eene vSdr- en v'q in eene iegen" stemmende sectie aanwijst, dan zal het aantal vtfic^rstenimers in de yerschillende secties bedragen en bet aantal ^^^enstemmers waarbg of, ab w^ invoeren bet halve verschilf. '2 * tt« + v,) + '2 " a« — 9'p) = \ki -H ^, '2*U«~r^)-h 2""{i«H-r'p) = 4^— F; welk beide betrekkingen na herleiding overgaan in 2r^— 2t;'p= r. (4) § 12. Beschouwen w^ nu van die eerste ganstige rangscbikking de eerste sectie. Great men nu voort met ook in de volgende secties de stemmen zoo dikw^ls mogelk te yerscMkken, dan ontstaan bij onyeranderde waarden van 9|, r^, 9f.v«> t^'i> v'g^...v\ reeds 8/ 8/ 8/ bI Terschillende gnnstige geyallen. Duidel^'k is bet ecbter, datboven-dien die grootbeden V|....o«, o'|. •..Om versobillende waarden knnnen aannemen. Zoodra in eenige rangsobikking yoldaan is aan de yoorwaarde (4), en zoodra bovendien zal deze rangsobikking bebooren tot de mogel^ke en tot de gnnstige geyallen. Men zal das de nitdrukking (5) moeten sommeeren yoor alle waarden 0|.... v^, v'l... r'n, die yoldoen aan (4) en (6). $ 18. Denkt men zicb deze sommatie oitgeyoerd, dan is.daar-mede geyonden bet totaal der gnnstige geyallen, die de eigenscbap bebben^ dat de m eersie secties voorstemmen. Om daamit bet gebeele aantal gnnst ige rangscbikkingen af te leiden, bemerken w^, dat men de m yddr- en de n tegenstemmende secties, door ze in bun geheel met elkander te verwisselen, op versohillende wyzeu rangschikken kanj zoodat eder gunstig geval, waarbij de m eerite secties Toorstemmen, door zulk eene verplaat- sing en bloc ran geheele secties tot k/ ml nl verschillende gunstige gevallen aanleiding geeft. De zoo even besprokeu som der uitdrukking (5) zal dus met dit getal nog vermenigvuldigd worden » en bet gebeele aantal gunstige gevallen zal men kunnen voorstellen door waaruit Tolgt, in?erband met (2), alhl k! «/ waarbij de sommatie moet worden uitgestrekt oyer idle waarden O|.«..v„, i?'i....»',, die voldoen aan de beide Yoor waarden V=^\{a^b) (3) 14. De uitdmkking (A), waaronder wijj thans de waarscbijnlijk- beid Pm,% bebben voorgesteld, berat vele produkten van binomiaalcoefficienten, die alien » uitgezonderd --; — -^ volgens onderstel- ling groote getallen bevatten. Wij znllen dus moeten omzien naar formulesy die voor zulke binomiaalcoefficienten eene benaderde waarde aangeven. In de eerste plaats kunnen w\j daartoe gebruik maken van de beende formule waarin B|, B,, B^ de Bernouilliaansche getallen -, — -, —, voorstellen. Men vindt dan voor een gegeven binomiaalcoefficienten 1 / y y^ I'^yy ^ i^y 8.4\y8 «8 ^%Yi\^r. «'""iSV(i6) en men zal das» indien a en geen al te kleiue getallen sijn, met groote benadering mogen stellen Ten einde deze formule nog rerder te herleiden, Toeren wy in « = «— P, coodat a = '|(}r 4- e), p =  en /|1 — -1 iu reeksen /• • « • ontwikkelen, = + i^(y + l) — l-5 + i -i(y+l) — etc. jroor welke reeks, indien wij de eerste en tweede, derde en vierde term, enz, bijeenvoegen, geschreven kan worden waaruit volgt 178 coodat men, lettende op de beteekenis ran <, ten sbtte vindt De in deze uitdrakking voorkomende reeks is voor waarden (g — 13^ die klein z\)n ten opzLclite van y^ zeer sterk oon?ergent. Voor binomiaalcoefficienten, waarin en /3 weinig van elkander Terschillen, dat is Toor zoogenaamde middeleoefficienten, zal das reeds de eerste term alleen een redelijk juiste benadering knnnen opleveren. Men zal dus mogen stellen, indien y niet te klelD, en zeer klein is, De betrekkelljke font bedraagt overigens -r?f -fi --Vm-*-^ -1^-f • • • j^^^^l.2,y« V. yJ S.^.y' \ y) S.^.y' \ y) S.^.y' of by benadering j^^^ + -3:iyr • • (") $ 15. Het zal nn de yraag zijn, in hoeverre deze benaderings- formnle (13) op de binomiaalcoefficienten, voorkomende in de uitdrukking (A), zal mogen worden toegepast ; waarbij w^ echter k! onmiddeliijk de coefficient, die wij onveranderd behonden willen, van het onderzoek nitsluiten kunnen. Yooraf merken wg op dat, zooals bekend is, voor groote waarden van y, de som der uiterste binomiaalcoefficienten, b^* welke at— gelegen is bniten de beide grenzen 4-4^^y en — 4|/'|y, zeer klein is vergeleken met de som der middelste coefficienten, waarbij «— -^ binnen deze grenzen gelegen is. Heeft men dns te doen met eene som, die beide soorten van coeffioienten alster- men berat, en wel zoo, dat hun aantal eenigzins in dezelfde Ter- bonding staat, als znlks b\j de som van a^ binomiaalcoefficienten van diezelfde macht het geval is, dan zal men de uiterste coeffi- eienten tegen de middelcoefficienten verwaarloozen mogen; of althans de meerdere of mindere naauwkeuriglieid, waarmede de eerste bepaald worden, zal minder ter zake afdoen. Dezelfde op- merking bl^ft geldig voor de produkten twee aan twee, drie aan drie, enz. van de binomiaalcoefficienten eener zelfde macht. Ook dan zal men in den regel in eene som, die produkten van nitslni* tend middelcoefficienten bevat, de overige produkten, die beide Sötzen bevälten, verwaltungen bevälten, en wel des te beteiligen gelangen is. Nu bedraaten voor zulke middelcoefficienten, waarin is, de betrekkemke font van de formule(13), blätten (14),0^(^g»M 1| ongever — ; terwijjl ze voor de meesten dezer coefficienten veel minder bedraagt, en voor de grootste van alien, d* i* voor ^=|3, volkomen nul is* Voor werkelgk groote waarden van 7, en overal, waar het meer om theoretisch inzicht dan om naauwkeurige bec^'fering tot meer dere decimalen te doen is, zal men dus voor zulke sommen de benaderingsformnle kunnen toepassen. Wat by V de formule (A) betreff, zal men twee getallen moeten enderscheiden, naar gelang F al of niet (in vergelyking met k) eeue kleine waarde bezit. In het eerste geval wordt aan de voorwaarde (4) o. a. voldaan door waarden van 9|, r^, ^3,.... ^m9 ^'f> v's)*** t?'^, die klein zijn ten opzichte van <; en hoewel nu bovendien grootere waarden voldoen, en deze met uiterste binomiaalcoefficienten overeenstemmen, zoo zal dit, bligkens hetgeen werd opgemerkt, aan de naauwkeurigheid geene groote schade doen. In het tweede geval, voor grootere waarden van F [altyd in vergel^king met ka] zal de formule zeer zeker incorrect zijn; maar voor zulke waarden is reeds it priori bekend, dat de waarsch^nl^jkheid P^.o bigna /&, en de overige waarsch^nlijkheden b^na nul zullen bedragen; zooals ten overvloede later nogmaals bliljken zaL Dit neemt niet weg, dat de kleine waarsch^jnl^kheden dan slechts met eene groote betrekkelyke foul zullen gevonden kunnen worden De benaderingrömmerungen (13) ein derhalb voor kleine toaarachijnlykkedm Pm.u \t ^oor een klein gekil siemmerSf h/ ook wanneer men groote naauwkeurigheid verlangi. Overigens willen wg niet beweren » deze stelling met het boren-staande anders dan zeer waarsch^jnl^jk te bebben gemaakt. Ben volkomen streng bewijs zal wel niet geleverd kunnen worden, dan door de correctie zelve in de berekening op te nemen ; waarvan wg Yoorloopig afzien. Door toepassing van de benaderingsformnle (18)?indt men e «,•••• (15) (i«+«>y{4»— «>y K2« a! h! 1 _ i/2ifk8 gra « ** ; •. (10) (\ki+r)!{\k,-v)i en door substitutie van deze uitdmkkingen in de formule (A), waarb^ de sommatie moet worden nitgestrekt oyer alle waarden van 9|....Vm, v\....v\^ die yoldoen aan de betrekkingen (4) en (6). 0?erigen8 verliest deze formnle hare geldigheid voor kleine ge* talien stemmers, en nadert eerst door een oneindig aantal stem- mers tot eene yolkomene naanwkeurigbeid* { 17. Hoewel de nitdrukking (B) straks nog yerder zal worden herleidi willen w\j ze bier toepassen op een paar eenyondige ge- Tallen , en wel in de eerste plaats op de berekening yaq Ps.o en Pi.i. Baarb^j zijjn twee geyallen te onderscheiden, naar gelang ^groo- ter of kleiner is dan \9. In bet eerste geyal telt de miuderbeid minder dan \i stemmen, en kan dns onmogel\jk in een der beide seeties de oyerwinning behalen , zoodat Pi.o = l, fli.i = 0, Po.i = 0, (17) zal moeten z^n. In bet tweede geyal V (^\9 levert ons de formule (B) Pi.i = -^ e T £ .-7 (•«'*•"«'} ; {; 176 wattb^ de sommaties respectieyel^k beperkt zyn door de Toor- waarden *r| + i>, = r<t*, terwiiil bovendien Het valt dan gemakkel^k in te zien, dat de eerste sommatie verloopt tusschen de grenzen 9| = en V| = F^ en de tweede daarentegen tusschen 9| = F en 9| := |»y zoodat of eindelijk, als wQ door eene nieuwe benaderingvan sommatie tot integratie OTcrgaan, en daarbij bedenken, dat nit den aard der zaak 9| by de sommatie slechts met eene eenlieid te gelijjk van waarde veranderen kan, "■-^ 7/".-!{-.-<-.-'-.)*,' (18) waarnit door de snbstitntie, 9|=:^r-|-d;, dadeliyk volgt r 4r« i(#-F) '-^ Volgens ondcrstolling is echter F'< Jt; derhalve «— r>i«, en dns fl ('-^) > 6 (i^-T). Zoodra echter 9 eenigzins aanziele wäarde bezit (b^y. ^ 86), zal i^il^s), volgens eene bekende eigenscbap van dese fnnoiiei uiteiat dicht tot de eeubeid genaderd zya* A fortiori moet dit het (« — V\ — =r-y en men zal du3 mogen lehrgven \ 18. In de tweede plaats yolgt nut de form ale (B) - 2F* « waarby de sommatie beperkt wordt door de Toorwaarden: Stelt men v^ + v^zzz x^ en sommeert men eerst alio termen waarroor x en due V| eene gelyke waarde bezit, om vervolgens deze gedeelteligke sommen op nieaw te sommeeren, dan is, althans voor V<,\9^ Ps.o = eu ^ e i Ztf#^*^^ *'' of als we tot integratie overgaan o o Ku is ecbter, bl^kens de herleiding, die de uitdrukking voor Ps.o in formnle (18) onderging, 8 dcrbaWe //'.-;('»'*('-"'% = 9 (-j4). — yi.  yereen- ▼oudigen. Men vindt namely k door differentiatie naar F, _^ (2 r— 8 j)a o ' 1% 178 maar achtereenvolgens is: J^ dV Vk« ) waarvoor weer, door integratio by gedeelten, gevonden wordt o Maar door de substitutie vindt men 2 y^ 2 \k*/' Vi waaruit blykt, dnt de uitilrukkingeii (24) en (28) gelijk zijn aan tiul i zoodat dV?r5 * ^ y, y/J' iiit welke rergelijking door integratie, onder opmerking dat voor F^zO uit den aard der zaak ook P8.o=:0 is, dadelijk volgt ^'■^=^U'' ""''i-^)^''- — TSs/ \y,J (26) O (ff'ordl vervolgd.) OYER BET GEBRUIK V4.^ DETERiiniHTE.^ BIJ OE MBTHODE DER ILEINSTE KWADR4TE1 Door P. FAN OEBS. § 1. Heeft men een aantal lineaire vergelijkingen, die wij brengen in den vonn a^^ -h b^x^ + c^a-'j -f-.... -J- pg^^ = Fj, (1) ::::::::.;(•■ waarin ar^, ar^,.,,, x^ z\jn de te bepalen grootheden, dus n in aantal; m het aantal vergelijkingen, waarbij m^ n; ¥^,.. Fw door waarneming bepaalde grootheden; dan vindt men vplgens de bekende methode van Gauss, de waarschijnlijkste waarden, die aan het geheele stelsel (1) voldoen, uit het normale stelsel (gha)x^ + {ghbyx^ -H ((;bc)x^ H-..,. {gbp) (2) )Xn=L[gbY)A {Spa)x^ + igpb)x^ + {gpc)x^-]r.... (gpp)x^ = (gpY); waarin ^|, ^j,.. • ffn zijn de gewichten der gelyknamige F, en (^flfl)  (2) worden opgelost, en Gauss heeft zelf de methode aan de handgedan, om dit door achtereenvolgende substitutien te verrichten. Het valt echter niet te ontkennen, dat deee w^jze van oplossing eene langwijlige berekening vereischt, en vooral het zoeken der auxiliaire coefficienten een omslachtige arbeid is, waarby men licht getaar loopt rekenfouten te begaan, die ten slotte de geheeie berekening nutteloos maken. Gebruikt men ter oplossing der vergelijkingen (2) de methode der determinanten, dan kunnen  heeft een dubbel voorden. Ten een, dat de onbekenden terstond in een eindigen vorm zijn uitgedrukt in de gegevens, hoe groot ook haar aantal en dat van de vergelijkingen zijn moge; zoodat zelfs het opstellen der nornude vergelijkingen (2) overbodig is geworden, en nit de gegeven vergelgkingen (1) terstond tot de waarden, in (4) en (5) uitgedrukt, kan besloten worden; een voordeel, dat door geene andere methode van opossing wordt gegeven. Ten tweeden dat deze methode in geen geval langer is, of meer berekeningen vordert dan eenige andere. Het invoeren en goed gebruiken van determinanten kan nooit anders dan bekorting brengen in berekeningen, die met grooten omslag ook langs andere wegen kunnen verricht worden. Men vermydt het invoeren van factoren, die later weer verwyderd moeten worden, en kan, wanneer met overleg van de eigenschappen der determinanten gebruik wordt gebruikt. Ein neu vermindert, tot groß vermindert van besorgen kommen. Daarby gehen gehen meer waarborg tegen het begaan van reken-fouten als die der determinanten omdat de uitkomsten onmidde-lyk in symmetrischen vorm worden opgeschreven en slechts regelmatige substitutien vereischen. Wanneer in het algemeinen gewicht van ar, dan wordt volgens de grondbeginselen der waarschijnlijkbeidsrekening het gewicht G van X gevonden door de uitdrukking = 2-> (6) G 1 g ^X waaria <m ix Passen wij dit toe op de vergelijkingen (4), die de x uitdrukken in de F, dan moeten wij beginnen met de differentiaal-quotienten te zoeken van de x met betrekking tot de F. Uit de vergelykingen (4) in verband met (5) volgt A dx^ zzz {fjad¥){(jah),..(gap) {gbd^)(ghb)...[gbp) (gcd¥) (gcb),..{gcp) (gpd¥)(gpb)..,(j/pp) A dxn = )Lgaa) {gab)...(gadF) lgba){gbb)...{gbd¥) (Sfca){gcb)...(gcdF) • •••••» (7) Noemt men nu, in den hoofddeterminant A, Mu den minor van den ^<ien term der «de kolom, dan volgt uitdrukkingen A dx^ = (^/7^)M,| + (^^c^)M,a H- (5;'/?</F)Mi« = -HC^jflSjM,, 'k-gj^<i<i, 'h'...gipMln)dF^ -+-). (8) Stellen wij verder afF, dan is, volgens (7) en (8), A^i = Pi (M 2fF. I (9) 2^F« A^n =/7« (ffiM^, -h^iMjj 4-....P|M,„), J •. (10) Yermenigvuldigende van deze vergelijkingen de cerste met a^, de tweede met fl^, enz., en optellende, volgt 182 ASa/| = (gaa) M,^ -i- {gab) M,, -|. {gap) Mi, == A,! evenzoo LZbt^ = (^3a) M,, +ighb) M,^ +....{gbp) Mu =, >. (11) £\Zpt^ = {gpa) Mj, + [gpb) M,, + 4-.... to?i?) Mu = 0. De eerste Tonn geeft A> omdat hy juist de ontwikkeling van den determinant volgens de termen van de eerste rij voorstelt; al de andere worden n de Ul, omdat zij de waarde van denzelfden determinant geven voor twee gelijke rijen. Op dezelfde wijze vindt men uit (7) A4f = ^4 («2^ni -I- ^fMrti 4-... ;?aMn»), (12) en deze geven ASfl^n = (^««) ^"1 + (yfl^) M,8 -h (gap)  + M„3S3^„ 4- 4- M,„Sp/« = Mn„. Noemt men eindel^jk G| het gewicht van a*|, Gj van x^, enz., dan volgt uit (6), in verband met (16), i,=^«" 1 = *^"' | = *^»!:=**••' of Gj=jj-, G,=-^,....G,= jj— ;... (16) waardoor de gewichten van al de berekende grootheden worden bepaald. Men ziet, hoe het gebrnik yan determinanten de bepaling en Tooral de yoorstelling der getoiMen Tan de onbekenden zeer ver- eenvoudjgt. Want in de Yergelijjkingen (16) is volgens (6) (gaa) (gai). •..{gap) {g^) {ghh)....{0bp) (gea){gc6) (gcp) A = {ffpa){Sfp6)*'^'{ffPP) en dus Mh = 1 {ga6).,..{gap) (gba) •.  {gba)....{gbp) • •• »"•• • {gpa) {gpb),... I Yergel^kt men deze uitkomsten met die, welke volgens de metbode van Gauss worden verkregen, dan springt bare voortrefselijkbeid in von en berekening terstond in bet oog. Tevens blijkt, dat de gewiobten der berekende grootbeden niet afbangen van de waargenomen grootbeden F, maar alleen van de standvastige coefficienten en de gewiobten der waamemingen. Hebben deze gel^k gewicbt, dan wordt de zaak iets eenvoudiger. Voor de normal vergelijkingen verkrygt men dan {aa) x^ 4- (ab) ^Tj -h....{ap) x^ =r (aF), {ha) X, H- [bb) x^^....(bp)x: — (^F). {pa) x^ -f. (pb) a?j -H....[pp) ar; = (pV), zoodat nu A =  M, = / 1 (a6),...{ap) (da) {6p) • • • {pa)(p6),... M..= ■^nfi (a6).,.,{ap) (6a) {bp) {pa)(pb)... 1 waaruit door substitatie in (4) en (16) onmiddeiyk zoowel de onbe-kenden als hare gewichten voortvloeien. § 3. Indien men eoo nauwkenrig mogelijk door waameming n grootheden x^, ^^•.••Xn hecftbepaald, maar zij moeten streng voldoen an m betrekkingen ran den vorm /i ("^i^a*-..^»)^=0, /a (*i^2' • ••*») = 0, (I) fm (x^x^... ar„) = ; waarbjjj m ^ «, dan zal bij substitutie blijken, dat de gemeten grootheden niet volkomen met deze vergelijkingen overeenstemmen en z5 daartoe nogmaals zekere correctien moeten ondergaan. Hct is nu de vraag, (I) fm (x^x^... ar„) = ; waarbjjj m ^ «, dan zal bij substitutie blijken, dat de gemeten grootheden niet volkomen met deze vergelijkingen overreenstemmen en z5 daartoe nogmaals zekere correctien moeten ondergaan. Hct is nu de vraag, Hoe die correctien kunnen bepält worden. Onderstellen wij, dat de wärgenomen grootheden zijn X,, X^. Xm en de gezochte correctien y, yg. y. zoodat a?! = X|4-y|, ar, = X2 H"ya, a^a ^Xg-hyg,....flr^=:X„+y«, nauwkeurig aan de vergelykingen (1) voldoen, dan zal menhebben /i (X|4-yi, X2-i-y2,,...X^4.y,) = 0. De waamemingen moeten zoo nauwkeurig zyn, dat de correctien zoo klein mogen ondersteld worden, dat de tweede en hoogere machten kunnen verwaarloosd worden. Door ontwikkeling volgens het thcorcma van Tatlob geven dan de vergelijkingen (2) Stellende hierin /, (X,Xj..X,)= — A„ /s (XjXj..X) = — A,,./, (X,X5..X,) =— A», dan knnnen al deze grootheden vooraf berekend worden, en het stel . Sel (3) gegen over in het volgende ^is^i + ^2 + «8y« — H- ««yii = A|, <?iyi + C3y« + C8y8....-f-c^»=. A3, ).... (4) zgnde een stelsel van m lineaire vergemkingen met n onbekenden ; terwijl deze laatste nog moeten voorwaardo 9\y\^ -t- 9^% + 9zyz^ -4-.... /7„y«» = Minimum,... (5) waarin g het gewicht der overreenkomstige gemeten X voorstelt. Om u de waarden van y te bepalen, zoo dat zij streng aan de vergelijkingen (4) en (5) voldoen, differentieeren wij beide stelsels, dan volgt OiVi^yi -4- g^^y^i -4- y^z^Vz +■....+ g^^n'^yn = ^» j ^1^1 -H Vya -t- Mys + — ■+- Myn = ^» \ /(jv Tusschen de ;z differentialen bestaan nu deze {m -h 1) betrekkingen; er blijven dus k — »* voorwaarden tusschen de coefficienten, dat is tusschen de waarden van y en de bekende grootheden y, fl, b, Cf,j?. Deze n — m betrekkingen, verbonden met de m vergelijkingen (4), vormen te samen n lineaire verge^kingen met n onbekenden, die hierdoor volkomen zijn bepaald. De bewerking wordt in den regel verricht door het invoeren van onbepaalde coefficienten. Daartoe vermenigvuldigt men in het stelsel (6) de tweede vergelijking met een factor k^, de derde met ^|, de laatste met km; dan kan men stellen In de stelsels (4) en (7) Leeft men un m-{^n lineaire vergely-kingen met « -f- ii onbekenden (y en ^), die hierdoor yolkomen zijn bepaald. De oplossing gescdnt het eenvoudigst door de waar-den voor y uit (7) in (4) overtebrengen ; dan wordt volgens de gebruikelijke notatie *.(7)+'.(7) + *.0+....*.(f)=A.,>-W ,f*. Dit stelsel van m lineaire vergelykingen geeft de waarden van k als volgt, A = i7){j)0'-(- 9^ '. (7) • ■■■(?) (7) (7) (7) < 9' ••••(7) (7) (7) < 9' ••••(7)  If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If If Hiermede zijn de waarden van y volledig bepaald, en is, door substitutie hiervan in a?! = X| -I- y^, Xg = X2 -h ^2 » • • • -^w = ^» + y« » bet vraagstuk opgelost. Geene andere metbode geeft als deze de waarden der correctien rechtstreeks uitgedrukt in de bekende großheden. Door ecbter gebruik te maken van boogere eigenscbappen der determinanten, kan men nog korter te werk gaan, en hot invoeren van onbepaalde factoren geheel vermijden. De eliminatie der differentialen uit (6) en de betrekkingen tusseln de coefficienten, die hieruit voortrloeien, kunnen onmiddelk voorgesteld worden in dezen vorm. On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On On egd by bet stelsel (4), bevat derbalve de volledige oplossing van bet gestelde vraagstuk. KLEINERE MEDEDEELINGEN. FBIJSVBAAG N^ 12. Opgehft door ff. A. LORNTZ, Op een horizontaal vlah ligt een mameve rechte cirkelvormige cy-* Under. Zoo nu ket zwaartepunt van dim cylinder zich ergem buiten de as van het licham, en ook op eenig oogenblik niet veriicaal onder die as hevindt, moet door de werking der zwaartekracM de cylinder eene rollend achommelende heweging aannemen. Bijaldien dan onderateld wordt, dat deze schommelingen oneindig klein zijn ^ en dat er geen rollende torijving betiaat, is de traag : den iijd te bepalen, waarin elke schonmeling volbracM wordt. De bijgaande figuur stelt ons een doorsnede voor van den cylinder met een ylak, door Let zwaartepnnt 8 loodrecht op de as gebracht. Dit vlak snijdt de as in M\ liet horizontale vlak, waar- op de cilinder steunt, volgens de lijn PQ; en de beschrijvende lijn, waarmede bet licbaam daarop ligt, in A. Wij stellen nu den straal des cilinders MJ z=. R, den afstand van bet zwaartepunt tot de as MS=z r, en den boek AMS =. (p. Dezen boek rekenen wij positief of negatief, al naarmate S aan de eene of aan de andere zijde van MA valt. Wij onderstellen verder dat de stof in den cilinder zoodanig verdeld is, dat op een lyn, evenwgdig aan de as getrokken, de dichtheid in alio panten dezelfde is. Dan is het vlak der figuur een vlak van symmetrie; en men kan hieruit afleiden, dat een der hoofdassen van S evenwijdig aan de as moet loopen. Noem nu den traagheidsstraal ten opzicLte van die as ^, en de massa des ciiinders M. Wij zuUen nu het vraagstuk voor de vol Gende twee gevallen oplossen. 1. Er bestaat niet alleen geen roUende, maar ook geen slepende wrijving. 2. Er bestaat wel slepende wrijving. Wanneer geenerlei wrijving de bewegig belemmert, zijn wij in staat, in elken stand van het licbaam de oogenblikkelijke as van wenteling aan te geven. Daartoe merken wij in de eerste plaats op, dat de eenige krachten, die op het lichaam werken, nl. de zwaartekracht en de weerstand van het horizontale vlak, verticaal gericht zyn. Daar nu is opgegeven, dat het lichaam aanvankelyk in rust was, volgt hieruit, dat het zwaartepunt geen andere dan een verticale beweging kan hebben. Der halve bestät de beweg van het licham op elk oogenblik uit een verticale verschuiving, verbonden met een wenteling om een as C, die door het zwaartepunt gaat. Nu is echter door de ommstandigheid, dat het licham het horizontale vlak moet blijven aanraken, elke wenteling om een as, evenwijdig aan PQ, uitgesloten. Daaruit volgt, dat de as C noodzakelijk FQ loodrecht kruisen moet; m. a. w, zij moet liggen in het verticale vlak F, door S evenwijdig aan de as gebracht. Brengen wy door het punt, waar-in de as C de centraalellipsoide sn^dt, een raakvlak W aan die ellipso'ide, dan moet dit het vlak z\jn Tan het koppel, dat ontstaat by de overbrenging der momentaan krachten (hoeveelheden van beweging) naar S; zooals het bekende verband tusschen de as van wenteling en het bedoelde koppel ons leert. Daar nu de werkende kachten bij hare overbrenging naar S steeds een koppel opleveren in een verticaal vlak gelegen, moet dit ook het geval zijn met het genoemde koppel der momentaan krachten, daar Toch aanvankelk het lichaam in rust was. Derhalve moet het vlak vlak verteilte zijn. W^ den dus, dat de as (7 die middelgn van de centraal-ellipsoi'de is I die ligt in het vlak V en de ei^enschap heeftp dat z^ geconjugeerd is met een verticaal vlak. Nu heeft de centraal-ellipsoide een lioofdas evenwi[jdig aan de horizontale as van den cilinder. Daarnit kan men afleiden, dat de as C, die aan de opgegeven voorwaarden voldoet, die lioofdas is; m. a. w. de as C loopt evenwijjdig aan de as des cilinders. In plaats van de wenteling om deze- as en de verticale verschui-vingy mag men ook een enkele wenteling stellen om een as, even-wgdig aan C en met deze in hetzelfde horizontale vlak gelegen. Uitslände een wenteling kan het licham echter alleen hebben om een lijn in het verticale vlak, dat door de as gaat; anderszou het niet het horizontale vlak blyven aanraken. Hieruit vinden wij dat, wanneer wy S% loodrecht op MA trekken, het lichaam moei wentelen om de l^n, door i evenwijdig aan de as getrokken. Nu w^ voor elken stand van het lichaam de as van wenteling kunnen aangeven, is de beweging in zooverre bepaald, dat wy voor elk punt de baan kunnen vinden. Om tot de kennis te komen van de snelheid, waarmeS de beweging geschiedt, maken wij gebruik van het beginsel, dat de vermeerdcring, die de fevende kracht van het lichaam gedurende lekeren tgd ondergaat, gelyk is aan den arbeid, door de werkende krachten gedurende dien tyd verricht. Daarbijj behoven wy hier alleen den arbeid der zwaartekracht, die gevonden wordt door het gewicht met de daling van het zwaarte- punt te vermenigvuldigen, in rekening te brengen. Immers daar de bewegingsrichtig van de punten, waarmee de cilinder he t hori- zontale vlak aanraaktf steeds horizontaal is, is de arbeid van den verticalen weerstand van dat vlak gelijk 0. Zij nu (a de hoeksnelheid en k* de traagheidsstraal ten opzichte der as «; dan is, zooals men weet, de levende kracht = JAf^'*; dus, daar is, de levende kracht \M{li^ -h r« Sm^ 0) «« = iM{k* + f« Sin^ (p) (^\. Dit moet gelyk zijn aan den arbeid der zwaartekracht sedert het oogenblik, waarop het licham in rust was. Was op dat oogenblik a de waarde van (p, dan vindt men gemakkelijk dat de daling van het zwaartepunt sedert dien tijd bedraagt r(Co8 0'^ Cos «), dus de arbeid der zwaartekracht Mgr (Cos — Cos a). Wy hebben dus, na deeling door -Ji/, Uit deze vergel^king is het karakter der beweging af te leiden. d(b Wij zien er n.l. uit, dat a' of --- de grootste waarde Terkert at voor 4) r=, dus voor den evenwichtsstand ; dat verder Toor twee standeni die aan weersz^'den eTeaveel daanran afw^ken, waarvoor dus gelijke waarden met tegengestelde teekens heeft, ctf de zelfde waarde heeft ; terwi^jl voor (P ^+ct of^r=:— -a, « = wordt. Voor waarden van 0y a vindt men geen werke- l^ke waarde voor a, Hiermede zi[jn de schommelingen van het lichaam aangegeven » waarb^ de boek tnsschen +» en — ■ « been en weer ga At. Uit (1) kan men nächsten Dus voor den duur eener scbommeling T^^f l^^^^ (8) Om te vinden, wat dit voor oneindig kleine scbommelingen wordt, stellen wy bierin vooreerst Q = 2^. Dit geeft W^j voeren nu de nieuwe veranderlijke % in« met i|^ verbouden door de betrekking Sin ^ = Sin \a,8in %, waaruit volgt Co% ^d^zs, Sin \et.Co8 ^ d%, ,. Bin ix,Cos 'V, Sin ia.Cos v ^ Co%^ ^ y I -^ Sin^ i(t.Sin* ^ terwyl voor 4^ = ^ = en voor ^ =: ^a&, ^ = Jt wordt. Wy verkrygene bierdoor 4_ M^ f/ k^ -h 4r* Sin* \ot.Sin* v^r^ Sin* \ot.Sin* x j Wordt nu a oneindig klein, dan vinden wg voor den duur eener oneindig kleine scbommeling T = -^k / dx^-y^ (4) 193 IL Onderstellen wij nu ten tweede, dat er wel slepende wryving bestaat, en dat deze juist het vermogen heeft een voortschuiving Tan de beschrijvende lijn, waarmee de cilinder het horizon tale vlak aanraakt, te verhinderen, Dan rolt de cilinder eenvoudig over dat vlak, en de as van wenteling is juist de genoemde beschryvende lijn. Den tijd noodig voor een scbommeling vinden wy ook hier door het beginsel der levende kracht. Daarbij is weer alleen de zwaartekracht in rekening te brengen want, ofschoon wij een nieuwe kracht in de wrijving aantreffen, de arbeid dezer kracht is gelijk; daar de punten, waar zij aangrijpt, op de as van wenteling liggen. Voor de levende kracht vindt men nu of ilf (k^ -f 722 + r2 — 2Rr Cos ^) ^^\ j waaruit even al of ilf (k^ -f 722 + r2 — 2Rr Cos ^) ^^\ j waaruit even al of ilf (k^ -f 722 + r2 — 2Rr Cos ^) ^^\ j waaruit even al of ilf (k^ -f 722 + r2 — 2Rr Cos ^) ^^\ j waaruit even al of ilf (k^ -f 722 + r2 — 2Rr Cos ^) ^^\ j waaruit even al of ilf (k^ -f 722 + r2 — 2Rr Cos ^) ^^\ j waaruit even al of ilf (k^ -f 722 + r2 — 2Rr Cos ^) ^^\ j waaruit even al of il Sobren volgt (H- 22° -f r2 —. 2/2r Cos (p — Costt). (6) Hieruit blijkt weer even als vroeger de aard der beweging. Wy hcbben verder ,k^^R^r^ — 2Rr Cos (p (6) 1 /•  daar gevolgde methode is de volgende. Daar een ell'psoi'de door een vlak slechts volgens ellipsen kan gesneden worden, beboeft men bet onderzoek slecbts te bepalen tot de oppervlakken, voorgesteld door de vergelijking. zijnde voor A = -|- i de eenvlakkige byperboloide, voor A = -|- een kegel. Daar verder alle evenwijdige vlakken bet oppervlak snijden volgens bomothetiscbe krommen, beboeft men slecbts te ouder-zoeken de vlakken, die door bet middelpunt gaan. Zg de stand van bet sidend vlak bepaald door zijn standboek 6 met bet ^^-vlak en door den boek ^^ dien zijn borizontaal spoor met de a?-as maakt, dan vinden wij de vergelyking der doorsnede in haar vlak door de volgende transformatie van coordinaten. X z=zx' Cos-^ — y* Sin ^, Cos S, y zzix* Sin ^ ^ y' Cos ^.Cos 6, z =Ly* Sin 6. Substitueeren wij deze formulen in de vergelyking (1), die wy gemaVsbalve scbrijven onder de gedaante Jx^ -^ By^ — Cz^ z=.h, dan vinden wy de vergelijking der dooisnede van den vorm ^V« -H h'y'^ ^2C*xy + 2D'x' -f- 2Ey -h P = 0. Opdat deze eene gelijkzijdige byperbool voorstelle, moet d' -^ B* gelyk zijn. Nu is A' =z J Co9* 4, -^ BSiH^4, en B'= A Sin^ ^.Cos* d -f B Cos* ^.Co,* ^ — CSin^b; derhalve yi (7/»5« 4/ -h 5 Sin* ^ A Sin* Jr. CosH -h B Co8*,^,Cos* i — CSin*^=zO; en B'= A Sin* ^.Cos* d -f B Cos* ^.Cos* ^ — CSin*^=zO; Waaruit, na eenige herleiding, ^ ^~ C — ACo6*rP — £ Sin* ^ ■ Door te substitueeren A z=z -, B z= j- en C =: -r, vindt men ten slotte ^^^ ^ "" a« (3« — c*} Sin* 4* -+- ^* (a« — c*) Cos* ^'''^^ zijnde de betrekking van afhankelijkheid tusscben S en j^, opdat de doorsnede eene gelijkzijdige hyperbodl zij. a*(b*-^^ b^(a*^t^)'^^) ^" c* {a* 4- ^2) dan verandert de formnle (2) in : ig*i = (4) ^ p Sin* ^ -^qCoa*^ ^ ^ § 2. Het doel dezer mededeeling is bet aangevea van eene, zoover my bekend is, nieuwe methode tot bet yinden dezer formule; waarbij gebruik gemaakt wordt van de volgende stellingen. 1. In dem middlings, opperlakken van den iweeden graad is de som der omgekeerde toaarden van drie onderling loodrecMe stralen constant. Zij de vergelykiog van bet opperlak X* V* z* a*^ b^^ c*~ ' waar wy de teekens van h^ en c* als onbepaald onderstellen, zoo- dat het oppervlak zoowel eene ellipsoide, als de beide byperboloi- den kan voorstellen. Yoor een straal p, die met de assen de hoeken or, |3 en 7 maakt, vinden w\j gemakkelijk 1 _ Cos^ ft Cos* /3/ Cos* y 1 Cos^ ei' Cos* /3/ Cos* y' eveneens —jr = — 1 rr 1 -—, p * a' 0' c* 1S» 196 1 Cos* ct' Cos* B' Coi^y' p'^ a> ^ 3« ^ c« Biiar nu Cos^ a -f- Cob^ «' + Co«* «' = 1, enz. ., Ill 111,^ J p« p'«^p»^ fl« 32 c*'• • • • v*^; 2. Het is nu gemakkelijk de gevraagde formule te vinden. Laten a' en d' de assen zijn der doorsnede van een vlak, door het m Idelpunt gaudet, met het opperlak -5, -f- — -{- ~ := 1, cr 0^ c* en zij R de lengtc der normaal uit het middelpunt op dit vlak, gemeten tot het punt waar deze uormaal het oppervlak snydt. Yolgens formule (5) is nu ^'« "^ ^'2 "»" 22* "~ «« ■*" 5» "^ c« ' maar - := 1 1^ : R^ a^ ^ 6^ ^ c* ' waarin «, ^ en y de hoeken zijn die R, de  gevven. Immers uit (9) volgt en uit (10) Sin^ y = Cc?** « H- Cm« fi. Poor substitutie en herleiding ^3 (fl2 ^ e*) fl3 (6* 4- c9) ^ C«(fl8^.^3) ^c3(a«4-^2) ^ of 1 =: Cm3 « + Co«3 /3 H- Co«^ y stellende a2(5«_c«) 5«(a3 — c^) of volgens (3), p Co^ tt-^q Cos^ fi = Co6^ y (11) § 4. De formule (11) is dezelfde als (4). Immers bet anijdende vlak kan worden voorgesteld door de vergelijking x Cos ct H- y Cosp-^ z Cos y = ; en nu is duidelijk dat y =: d en das ^o. Sin^y _.,. Co8X..,. ^. -. 