Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
Daar e^ =z p is, heeft men 1 Pi = -P — ^; ^. (6) a waaruit ten eerste blijkt, dat de involuten van de logarithmsche spiraal alien opgesloten zijn in de vergelijking van den eersten graad tusschen P| en p, of — wat op hetzelfde neerkomt — tusschen p en p^i. Stelt men verder in deze vergelijking p=: -- = -—pi, dan wordt zij aw cls^ waaruit door integratie volgt: Pi — ^ ^ (Pi H- ^) = «*i + ^• Begint men de bogen te tellen in het punt, waar p| iz: is, dan wordt — big h =z. C\ en de vergelijking verandert in Pi — ^^i/fy + lj = «5i; V..... (7) p, = — b is een minimum, en geeft ^j = — co, Noch deze vergelijking, noch de vergelijking in to, geeft dus hier eene tweede kromme met deuzelfden asymptotischen cirkel. Deze tweede kromme wordt echter geleverd door de vergelijking Pi = -p — ^1 a voor negatieve waarden van p, dus ook door 1 a Zoekt men ook voor deze kromme de verge lyking in, dan vindt men p| — big ( — p| — b)z=. as^ -H (7. Men kan nu echter de bogen niet beginnen te tellen in bet keerpunt, daar in dozen tak pi niet wordt. Tbans is p^ = — b maximum. Bij den overgang van den eenen tak op den anderen blijft negatief, terwijl w en s^ langs dezelfde waarden terug keeren. De vereeniging geschiedt dan door een snavel in bet on- eindige, welke vorm dan ook in bet algemeen de ontwondene is van een buigpunt. Ofscboon. de vergelijkingen (5) (6) en (7) twee konstanten be- vatten, heeft de involuut der logarithmische spiraal toch slecbts een parameter. Sebrijven wij namelijk de beide laatste dezer vergelijkingen aldus -f = - - - 1 b ab dan blijkt bet, dat, door aan de konstante b verscbillende waar- den te geven, men slecbts alle p^s, p's en ^/s in dezelfde reden vergroot of verkleint. Hieruit volgt de stelling: Alle krommen ^ verkregen door eene logarithmische spiraal in ver- schillende punten te ontwinden, zijn gelijkvorviig. Van deze punten is natuurlijk bet asymptotiscb punt uitgesloten, omdat voor dit geval 3=0 is. Een ander bewijs dezer stelling vindt men, door in de verge- lijking p| = - e"*^ - b a waardoor zij verandert in ^i =- e^' - b, a Geeft men dus aan b verscbillende waarden, dan worden alle pj's in dezelfde reden grooter of kleiner. Om derbalve al do nienwe vormen te verkrijgen, die door Out-winding eener logaritmischen spiraal kunnen ontstaan, moet men de kromme ps^"' construeeren voor alle mogelijke waarden van a, en elk dezer krommen in en willekeurig punt, doch niet in het asymptotisch punt, gaan ontwinden. Deze zijn alle vormen, die in de vergelijking van den eersten graad opgesloten zijn, 11. De kromme, welker kromtestraal evenredig is met den hoek, dien de raaklijn met zekere aanvangsricliting maakt, is de involuut des cirkels p = Aw -f- B, of eenvoudig ^ z=z ato, als men de aanvangsrichting door het keerpunt laat gaan. De vergelijking in « is P^ = 2a5, als voor p = ook « = is, en de vergelijking tusschen P en p— 1 wordt hier teruggebraclit tot p^l = a. De konstante a heeft geen invioled op den vorm, zoodat alle krommen gelijkvormig zijn. In de involuut van den cirkel is de kromtestraal omgekeerd evenredig met zijne verandering ten opzichte van de lengte des boogs ; want p^p =r ads dp of p = a : --. as III. Als tegenhangers van de logaritbmische spiraal en de involuut des cirkels, beschouwen wij de krommen, waarin de kromtestraal omgekeerd, en dus de kromte recht evenredig is met de lengte van den boog of met de groottc van den draaiingshoek. Bespreken wy in de eerste plaats de vergelijking a waarin de konstante az= 1 gesteld kan worden, daar zij blykbaar geen invioled uitoefent op den vorm der lijn. Uit P=7 (7) dp 1 vokt voorcerst -- = 3 » ds sr Pp-i 1 2 — =. en 7^-^ ds p s^ of, daar — =, en •« = p^ is P—i + p^ zz: *, •. • (8) dep Integreert men -; — f- p^ z=:, dio 1 S4 zoo komt p integreert men -; — f- p^ z=:, dio 1 S4 zoo komt p integreert men -; — f- p^ z=:, dio 1 S4 zoo komt p integreert men -; — f- p^ z=:, dio 1 S4 zoo komt p integreert men -; — f- p^ z=:, dio integreert men -; — f- p^ z=:, dio integreert men -; — f- p^ z=:, dio integreert men -; — f- p^ z=:, dio Het weglaten der konstante heeft ten geyolge, dat voor f0 = O p = oo is ; en daar deze waarde van p ook geleverd wordt door «r=0| zoo gaat.de aanvangsriohting door den oorsprong. dv> Door inteffratie van (?« = •'-== verkrygt men « = V^w, (10) waarin nu ook geene konstante voorkomt. Uit verg. (10) blykt, dat deze kromme, die in fig. 8 (de dun getrokken lyn) is afgebeeld, cen van de vonnen is, die gcleverd worden door de vergelijking van den tweeden graad in « en tf^, waarvan de ontleding hierna volgt, Ik bepaal mij daarom hier slechts tot een paar opmerkingen. 1. De oorsprong is een bnigpunt, want aj = is een minimum, # = niet. De beide takken zyn in de vergelijking (9) vervat, als men daarin het dubbele teeken voor het wortelteeken plaatst. Voor to =r oo is 5 == ± c^ cJi p = 0, Elke tak eindigt derhalve in een asymptotisch punt. Hier is echter dit punt niet, zooals bij de logarithmische spiraal, op eindigen boogafstand van eenig punt der kromme verwijderd. 2. De kromme is omgekeerd evenredig met hare verandering ten opzichte van den draaiingshoek w. Immers nit volgt h =r \/%io ; dv 1 _1 dv) *" \/2io k 8. De involunt der kromme is p| = ± l/^tT, als men de ontwinding in het buigpunt begint. Deze kromme is de gestippelde lijn in fig. 8; zij is daardoor merkwaardig, dat haar kromtestraal omgekeerd evenredig is met dien van hare, evolunt. Begint men de ontwinding in een punt, dat h lengte-ecn-heden van het buigpunt verwijderd is, dan is waarin de konst Ante h den vorm wijzigt, zoodat niet alle involuten gelijkvormig zijn. Deze kromme heeft een keerpunt en een snavel. V. Uit de vergelyking p r=...•.•..... (11) yan de kromme li^jn, waarvan de kromtestraal omgekeerd evenredig is met den draaiingshoek, volgt door integratie 8 = lgw, (12) als « = zal zijn voor «7 zr 1 ; en door differentiatie 1 of p«i+p«=0 (13) Elimineert men w tnsschen (11) en (12), dan komt er p =e-«. (14) Voor tt? = en • = — oo is p = oo, waaruit blijkt, dat de anvangsrichting asymptotisch door de kromme genaderd wordt. Bij liet toenemen van w, nemen p en — « af, tot, voor «? = 1 en «=0,'p = l is. Nn nemen w en « te zamen toe tot +oo, als wanneer p=0 is: hier heeft dus de kromme een asymptotischi punt. Negatieve waarden van w geven volgens (11) een tweeden tak, die ook in verg. (13) is vervat, en met den eersten tak door een keerpunt in liet oneindige verbonden is, daar, bij den over- gang, dw niet en p wel van teeken verandert. De verg. (14) geeft slecbts een tak; de tweede tak wordt geleverd door de verg. en slnit met p = — oo voor * =r — oo aan den eersten tak. Men kan echter ook met p = voor « = oo van den eenen tak op den anderen overgaan; w verandert dan door oo heen van teeken, en de overgang geschiedt in Let asymptotischi punt, ook weder in den vorm van een keerpunt. De involuut heeft tot vergelijking p^ = Ig do, Naarmate men aan C verschillende waarden geeft, begint men de ontwinding in andere puntcn. In het algemeen is Pi = voor «? = ~, dus voor p = C Verder is s^ = yig Cw.dwzzz wig Cw — to, als men de bogen begint te tellen in de punten, waar w? = en e 1..1 w = •— is. Yoor «?"=-, dat is in het keerpunt, is «| =. Hieruit blijkt, dat de boog, gelegen tusschen het keerpunt en het punt, waar wzzzO is, eene eindige lengte het, en dat dus de sympathyot der oorspronkelijke kromme lijn niet in het punt, dat op den af stand van het keerpnnt verwijderd is. Voor w = oo is oo : de involuut heeft een cirkel met oneindig grooten straal tot asymptoot. De ontwinding kan derhalve hier niet in het asymptotisch punt begonnen worden. In fig. 2 is de kromme lijn afgebeeld met hare involuut, waarby c= 1 genomen is. Opmerking verdient nog dat de kromme en de kromtestraal even-redig zijn met hunne verandering ten opzichte van de lengte des boogs ; want uit p = - = — e"* volgt y=ze-' = — f, as dk en — = — 6* = — A-. dB V. De vier besproken spiralen zijn de vertegenwoordigsters der eenvoudigste krommingswetten, te weten : 1. De kromtestraal neemt toe van af tot oo in dezelfde rede^i ah de lengte van den bo Og. Hiermede gegen gepaard de evenredigheid van de kromte en van den kromtestraal met hunne verandring ten, opzichte van den draaiingshock. De spiraal begint met een asymptotisch punt, dat op een eindigen, langs de kromme gemeten, afstand van een willekeurig punt der lijn verwijderd en dus op de beschrijvende raaklijn aan te wijzen is, en eindigt aasymptotisch in een cirkel met een oneindig grooten straal. (Loganrithmische spiraal). 2. he kromtestraal neemt toe van af tot oo in dezelfde reden all de draaklijn en is tevens omgekeerd evenredig met zijne verandering ten opzichte van dien hoog. De spiraal heeft een begin (keerpunt) maar eindigt asymptotisch in een cirkel met oneindig grooten straal. (Involuut van den cirkel). 3. de kromtestraal neemt af van oo tot in dezelfde reden ah de lengte van den hoog van tot oo toeneemt. De kromte is omgekeerd evenredig met hare verandering ten opzichte van den draaklijn. De spiraal heeft een begin (buigpunt), maar eindigt asymptotisch in een punt, dat op de beschrijvende raaklijn in het oneindige ligt. De voluut, verkregen door de ontwinding in het buigpunt te beginnen, is een spiraal, waarvan de kromtestraal omgekeerd even-redig is met den kromtestraal der oorspronkelijke kromme, of met zijn verandering ten opzichte van den draaiingshoek. (Fig. 8.) De kromtesraal neemt af van oo tot in dezelfde reden, waarin de grootte van den draaiingshoek van tot oo toeneemt. De kromtesraal en de kromtesraal zijn evcnredig met hunne verandering ten opzichte van de lengte des boogs. De spiraal komt uit het oneindige van eene asymptotische rechte af en eenasyptotisch punt, dat op de beschrijvende raaklyn in het oneindige ligt. (Pig. 2.) Behalve de evenredigheid van den kromtesraal met de lengte van den boog of de grootte van den draaiingshoek, — hetzij dan recht of omgekeerd — hebben wij bij de behan deling dezer krommen ook ontmoet eene konstante verhouding (recht of omgekeerd) tusschen den kromteslraal of de kromte en het eerste differentiaalqnotient daarvan, hetzy ten opzichte van den boog hetzj ten opzichte van den draaiingshoek, — op d^ne nitzonde-ring na, namelijk, dat de kromme lijn zoeken, die.deze eigenschap heeft. Uit i = a- , ^ - 1 dk p-i. volgt. daar - = p en~=-^is, of p-hp«l = 0; (15) daar de konstante a blijkbaar geen invloed heeft op den vorm, en dus = 1-kan gesteld worden. Door integratie van p' + -j- = dw vindt men p' + -f =, da ^'=i' -^i^) terwyl uit (16) en (17) volgt 8A» = 9ie« (18) Voegen wij geene konstanten toe, dan gaat de aanvangsrichtung door den oorsprong, ahvaar dan p = 00 is. Van dit punt af neemt nu p af tot 0, welke waarde bereikt wordt voor « =: 00 en w = 00, dat is nooit : de spiraal eindigt Id een asymptotisch punt, dat op de beschryvende raaklijn in het oneindige ligt. Terwijl « = een minimum is, verandert 10 door been van teeken. Van den oorsprong gaan dus twee takken uit, die door een keerpunt verbonden zijn. (Fig. 3.) VII, Wanneer wij de involuut der de spiraal mede rekenen, dan hebben w^* zes spiralen, die inderdaad een yoUedig stel typen Yormen. Eene spiraal moet ten minste aan eene zijde of een punt of een cirkel met oneindig grooten straal tot asympoot hebben. Nemen wij vooreerst aan, dat de Spiraal aan de ^^ne zijde in een asymptotisch punt begint, dan kan z\j eindigen 1. in een asymptotischen cirkel : logarithmische spiraal ; 2. in een buigpunt : Fig. 2; 3. in een buigpunt : Fig. 3. Begint de kromme in een asymptotischen cirkel met oneindig grooten straal, dan kan zij eindigen — behalve in een asymptotisch punt — 6. in een buigpunt : Fig. 3, gestippelde lyn ; 6. in een keerpunt : involuut van den cirkel. Märzte vergehnt van den tweedem grauen Mmsschen s em wärde Wanneer in de vergelijking As '2Bsw -^ Cw^ -^^ 2D$ '{' 2Ew + F —.,, (1) A niet nul is, kan men door A deelen, waardoor zij den vorm a«H-25'««?H-e'«?«?H-2J^'?(?-{.JP' =,. • (2) verkrijgt. Is bierin niet B'^ — C'=0, dan kan men den oor- sprong en de aanvangsrichting zoo verandereii, dat de vergelijking tot den vorm a^ -\'2bsw^cw^'\'f:=.0 («) wordt terug gebracht. Is ^=0, maar niet le?ens ^ = 0, dan kan men door 2B deelen, en weder den oorsprong en de aanvangsrichting zoo ver- anderen, dat de vergelijking den vorm ,w^-cttJ*-|-/=0 {h) 29 aanneemt. Noch bet een, noch het ander kan geschieden, als met -^ = ook j5 = is, in welk geval er overblijft Is hierin bovendien 0=0, dan is de vergelijking tot den eersten graad gedaald en zij stelt een cirkel 29 aanneemt. Noch bet een, noch het ander kan geschieden, als met -^ = ook j5 = is, in welk geval er overblijft Is hierin bovendien 0=0, dan is de vergelijking tot den eersten graad gedaald en zij stelt een cirkel 29 aanneemt. Noch bet een, noch het ander kan geschieden, als met -^ = ook j5 = is, in welk geval er overblijft Is hierin bovendien 0=0, dan is de vergelijking tot den eersten graad gedaald en zij stelt een cirkel 29 aanneemt. Noch bet een, noch het and Yoor. In het tegen- oyergestelde geval kan men door C deelen en den derden term ▼erdrijven door de hoofdrichting te verdraaien. Men hecft dan tt?+.2fi/#-|-/= (c) Stelt men in vergelyking (2) C" = 5^^, en lost men 8 op, dan komt er s = — {B'iD + D') ± ^ 2{B*D' — r)w ^D'^ — F; en nu kan men, door de hoofdrichtmg =- terug to 2(jo D — JS J draaien, deze vergelijking tot den meer eenvoudigen vorm terugbrengen. De vier vergelijkingen (a), (c), (d) bevatten dns de vergelijking van den tweeden graadtusscben 8 en lo kan opleveren. Leiden wij uit elke vergelijking, door 8 op te lossen en daarna te di£ferentieeren, de functien pz:z(P{w) en p^z:z. 0* {w) af, dan komt er uit (a): p = — ^4- t ; """fl^—.. ; • • (aA (ji _ c) f uit (i): f = — C4.--3, (i) uit((/): p = ^±i^' • t^*) ^-1= -MT^s • • (^f) { '; 80 Het is duidelijk, dat wij alle vormen van de vergelijking des tweedea graads verkrijgen, wanneer wij de krommen (oj), (^j), (Cj), (d^) in verschillende punten ontwinden; weshalre wy cerst deze lynen nader zullen beschouwen. A. In {a^) kan vooreerst /=0 zijn, waardoor p«.i=0 en p = — b ± \/b^ — c : men verkrijgt twee cirkels. Is/ niet nul, dan kan 1. / positief 1. / positief 2. / positief 3. / positief 4. / positief 5. / positief 6. / positief 7. / positief 8. / positief 9. / positief 10. / positief 11. / positief 12. / positief 13. / positief 14. / positief 15. / positief 16. / positief 17. / positief 18. / positief 19. / positief 20. / positief 21. / positief 22. / positief 23. / positief 24. / positief 25. / positief 26. / positief 27. / positief 28. / positief 29. / positief dus ^* > c, 2. / negatief en ^* > c, 3. / negatief en 5* < c zijn. 1, / is positief, waarby i*)c moet zijn. Stelt men = /t<*# en ti?i/f:zz —, dan wordt de vergeliiking m en ti?i/f:zz —, dan wordt de vergeliiking m p dan komt er dw ^ J/(i«22e;2 _ 1)8'' 1 en hieruit volgt ff>^«#2«/i2 1 — *... ' * ^ ~ »/mV_i - i • zoodat P_i = q:Kf«'»-i — i)*. Uit deze vergelijking en verg, (I) blykt, dat w = - en «.i = - minimum- waar den zijn Toor mo en «-.i, die echter niet samenvallen, Voor «?z=- is « — i =oo en /j—i =roo, en voor *_ i=- is wJ =oo en p^i = 0# De kromme is dus cen spiraal, die uit het oneindige van eene rechte Ign komt, en eindigt in een asymptotisch punt, dat in de beschrijvende raakl^'n op ein* digen afstand van bet raakpunt verwijderd is. De vergelijkingen geven echter vier zoodanige takken, namelijk 31 * eerste tak. tweede iak. to van H tot • -f- oo 1 van 1 + - tot -|-oo I «-l » — ®® » » 4-00 « fürcée ^fl^. vierde iak. 1 1 w van tot A* — oo van A« tot —00 «-l » — oo „  00 „ 0. Beginnen wij nu met de eerste twee takken met de asympto- tische recbte aan elkander te slniten, dan yervult deze asympto- tische recbte aan elkander te slniten, dan yervult deze asympto- tische recbte aan elkander te konnen verandert. In het asympto- tische punt van den tweeden tak kunnen wij nu op den derden tak overgaan, als door een Jceerpunt, om- dat s^\ = — — een maximum is, en w door 00 heen van teeken verandert, even als /a— 1 door been. De vierde tak kan nu naar vcrkiezing met de asymptotische rechte aan den derden of met hct asympto tisch punt aan den eersten tak gehecht worden. En nu zou men wedcr aan de uiterste asymptotische punten of rechten nieuwe takken kunnen toevoegen, en zoodoende de asymp- totische kromme het karakter eener periodische kromme geven, waarvan iedere periode asymptotisch is, De konstante fc bepaalt den hoek, dien de beide asymptoten 2 maken; in het algemeen is deze hoek -. In fig. 4 stelt de dikke lijn de kromme voor, als jk = 1, dus de hoek der asymptoten 114®,6 is. De involuten 'dezer kromme zyn nu alien opgeslotcn in de w vergelykmg j = 5 ± ^^,^, _ ^ : waarin de konstante h de plaats bepaalt, waar de ontwinding begint. Als type kan men de kromme beschouwen, waarvoor 3 = is : deze is in fig. 4 geconstrueerd. De vergelijking in 9 dezer lyn wordt verkregen door S3 dB to die *^ i^^Sjpa — 1 te integreeren, waardoor men vindt 1 ft' en met behulp van deze yergel^'king w te elimineeren; men ver- krygt dan /> = ± « ^. De oorsprong ligt nu op de asymptoot der evoluut, daar 1 5=0 IS , voor to =, - en p :=oo. Van den oorsprong af strekt zich de kromme aan beide si|jden uit, omdat a van af tot— oo en totookan aangroeien. De oorsprong Eelf is eenbuigpunt, daarw? = - eene grenswaarde ii. Voor « =: ±oo is ook w z= oo en p = ± ~t Aan beide z^den heeft dus de kromme een cirkel tot asymptoot, waaryan- de.straal is. Uit de iigaur bli|jkt de ligging der beide krommen p = -(- en p = — ^ ten opzichte van de vier takken der evoluut. Is 6 niet nul maar positief, dan worden alle kromtestralen 6 eenheden langer. Beschouwen wij de twee takken, die voor positiver warden van to ontstaan, dan is, voor de minimum-waarde p=b + l/fi^w^ _ 1 wordt nu p steeds kleiner, tot voor «?=zoo, p = d-t-- is; dezo f* is dus de straal van den asymptotischen cirkel, waarin de eene tak eindigt. In den anderen tak P — 6 — blijft ^ negatief, zoolang w>— ==^=== is; dan wordt p^O en 38 daarna positief tot, voor 10=00, pz=z6 is; en dit is de waarde, die de straal van den, nu uitwendig, asymptotischen cirkel in den tweeden tak heeft, Het punt, waar w = — -, K^V •— 1 is, is het keerpnnt, waar de ontwinding begint, Wanneer echter wzzz" wordt, voordat w =z ^-y-. is, m. a. w. als 3<- fi |/ is, m. a. w. als 3<-fi |/ This word is, wordt het keerpunt niet bereikt; pblgft negatief; de asymp totische cirkel is inwendig, en zyn straal — f b\ Is i=r-, dan is de asymptotische cirkel in dezen tak tot een punt gereda-ceerd. Als d negatief is, gaan dezelfde redeneeringen door metverwisseling der beide takken. 5^ — c 2. /is negatief en b^ ) c. Stelt men sz /t«* en -/ /»*^^— /=—, dan verkrygt men mp-\ = ± waarin weder m zzsl kan gesteld worden, te integreeren, verkrijgen wig w *-i = ± en hieruit yyth)^ -H 1 = l/(Ahd^ + 1 * 1 1/1— f*V«i* zoodat p-i = ± J^(l — f* V— 1)* is. Deze verg^yking geeft »— 1 = it - als grenswaarden voor »— 1. Voor beide waarden is w^=zoo en p«i=:0, terwyl «> zelf geene grenswaarden heeft. wz=,0 gaat samen met «_i = 0. Door den oorsprong gaat dus tevens de aanvangsrichting; en daar is p.i = l, welke waatde een maximum is. Gaan w\j dus van den oorsprong uit, en geven wy positieve waarden aan s^ \ en w, zoodat beiden toenemende zyn, en dus p.i positief is ^ dan neemt 9 34 de kromtestraal af van 1 tot 0, terwijl e^ =oo en «^i=r- wordt 34 de kromtestraal af van 1 tot 0, terwijl e^ =oo en «^i=r- wordt 34 de kromtestraal af van 1 tot 0, terwijl e^ =oo en «^i=r- wordt 34 de kromtestraal af van 1 tot 0, terwijl e^ =oo en «^i=r- wordt 35 de kromtestraal af van 1 tot 0, terwijl e^ =oo en «^i=r- wordt 36 de kromtestraal af van 1 tot 0, terwijl e^ =oo en «^i=r- wordt 37 de kromtestraal af van 1 tot 0, terwijl e^ =oo en «^i=r- wordt 38 de k de kromme loopt bier das in een asymptotisch punt uit, dat op eindigen afstand van den oorsprong verwäderd is. Geven wy aan 8^1 en w negatieve waarden, dan zy afnemende; p^ i is weder positief; deze tak is gelyk aan den anderen tak en gaat daarin over in een punt, waar de kromte een minimum bereikt, hoedanig punt wy een top noemen. Wy kunnen ook «-.i positief en w negatief nemen of omge- keerd, waar door weder twee takken ontstaan, waarin nu evenwel p.i negatief is. Deze beide takken kunnen in bet asymptotiscb punt, als door een keerpunt, aan elkander gevoegd worden, omdat w door oo been van teeken veranderen, maar 8 niet grooter dan i worden kan. Fig. 5 stelt deze kromme voor. De invoed van de konstante fL is best hierdoor merkbaar, dat z\j de lengte der gebeele kromme Ign tusscben twee asymptotiscbe punten bepaalt, die gelijk 2. — 13. De involuten zi|jn opgesloten in w Wy nemen als type de kromme, die in de figuur geconstruer erde is en die ontstaat, door de ontwinding in den oorsprong te beginnen, dat is door b=zO te stellen; in dit punt wordt een keerpunt gevormd, en bet is duideligk^ dat p aan weersz^'den toeneemt tot -, dat is de straal van de uitwendige asymptotiscbe cirkels, waartoe de beide takken naderen. Is 6 niet gel^k nul en positief, dan is, voor ^ =, p reeds r= 6, dus is p = voor «> = — —. ■. De straal van den asymptotischen cirkel wordt voor den tak, waar to positief is, 5 -f- -, in den anderen tak — ( - •— 5 )• Is echter ^ > -, dan f« ^fi / ^ ft wordt bet keerpunt niet bereikt; p blijjft positief en de tak^ waar w negatief is, beeft een inw Endigen asymptotischen cirkel met 35 1 1 6 tot straal. Is eindelyk d = -, dan is het keerpunt juist in het asymptotisch punt der evoluut geschoven, tot welk punt ook de asymptotisch punt der evoluut geschoven, is. Eene negatieve waarde van 6 levert gel^ke uitkt)mst«n met ver- iTisseling der beide takken. 3. /is negatief en 5*<c. Stel -r- zzzffl en f4^i/^ — ^/=-; — / ^ dan heeft; men, den factor m van f—i gelyk 1 stellende, p^ 1 = T ^.t A i fa (m) Integreert men -^=p-.i, dan komt er aw «-.i = T 1/^1— fC«fC»«' waaruit Tolgt i/l — /u'w* =: — :5=== Kf« V- 1 -h 1 en dus p«i = q: ^/(/t« V« i 4- 1)». In (m) heeft to de grenswaarden, terwiyi s^ i geene r* grenswaarden heeft. Voor w^±- is «-.i=oo en p— i = ±oo; en Toor to = is tevens «^ i =, zoodat de aanvangsrichtiDg door den oorsprong gaat » alwaar p. i = 1 is; en deze waarde Tan p.i is een minimum. De oorsprong is dus ook een top, maar met een maximum waarde van de kromte. Gaan w^ van den oor- sprong nit, dan doorloopt, voor s^i en to beiden positief ofbei* den negatief, p^i alle waarden van 1 tot -f-oo, terw^l««i totoo en w tot- aangroeit. Aan weersz^den van den oorsprong strekt zich dus de kromme nit naar eene asymptotische rechte; en deze twee asymptoten maken den hoek -. Geeft men aan ^..i en to verschieden teekens, dan verkriggt men nog twee takken met negatieven p^i. De aansluiting geschiedt met eene asymptoot, die daarby de rol vervult van een buigpunt, daar «^i door oo heen van teeken verandert, en dus blijft toenemen, terw ijjl w, van het maximum - af, weder kleiner wordt. (Fig. 6.) 8* De inroluten zijn opgesloten in p = 6Zf Als & = is, begint de ont winding in den oorsprong; daar is dus een keerpunt; p groeit aan tot p = oo is, voor «^ = -, en verandert dan van teeken: op de asymptoot bevindt zich een buigpunt. Is h niet nul, dan bl^'ft bet buigpunt op de asymptoot, terwijl h bet keerpunt zich verplaatst naar bet punt, waar to =. ^ = is I en dus voor iedere waarde van b bestaat. B. In vergelkanking (3^) zyn geene byzondere gevallen te onderschen, daar ^ = een punt zou geven, en bet teeken van f slecbts bet teeken van p. i, niet den vorm der kromme verandert. Zelfs kan men / 1= 1 stellen, daar de waarde van f alleen op de afmeting der kromme invloed uitoefent, en dus alle krommen van deze soort gel^'kvormig zi^'n. Door integratie van p-.i =— * -r • •••'«•••• (IV) komt er «— 1= -^ vr en, door eliminatie van w^ P-i = T 2*-. \i/Tl{. Voor 8^\=.0 is p_i=0 en wrroo, voor «? = daaren- tegen p..i =oo en «_i =oo. De oorsprong is dus een asymp- totiscb punt en de aanvangsrichting eene asymptotiscbe recbte (fig. 7). «.i = is een minimum: in den oorsprong is dus een keerpunt 9 omdat to door oo been van teeken kan veranderen. Van de beide takken p-l=: — 2«_ij/*— 1 en p.. i = -4- 2«- ij/*- 1 komt dus de eerste ove Recu met positive warden, de tweede met negatieve warden van to, Gaat men vaU de asymptoot in de beide draaiingsricbtingen voort, dan moet «^\ = oo als een maximum bescbouwd worden en dus de asymptoot als een keerpunt. Hierb^* doet zicb een bezwaar voor in de uitvoering : slecbts de richtig der asymptoot kan aangegeven worden; de lign zelve ligt — even als by de parabel — in bet oneindige. Dit blykt uit de vergelijking der iuvolut 87 ^ ^ -n9» 1 die, gei'ntegreerd z^nde, geeft to ' yoor 10 = is nameligk «=roo. Deze inyoluut is die, welke ontstaat, wanneer de ontwinding in den oorsprong begint, dnt is, als men in de algemeene vergelijking der involuten 1 IP* c:^0 stelt. In den oorsprong ontstaat alsdan een top^ waarin p=:0 een minimum is. Is c niet gelyk nul en positief, dan begint de ontwinding in het punt, waar to= — = is; daar ont- staat dan een keerpunt: p verandert van teeken en bereikt zijne grootste negatieve waarde. — e voor 10=00. De beide takken der kromme eindigen nu in een uitwendigen asymptotischen cirkel, waar zij een maximum-top vormen. Is evenwel c negatief « dan bereikt p zyne grenswaarde c, voor dat bet ke 87 ^ ^ -n9» 1 die, gei'ntegreerd z^nde, geeft to ' yoor 10 = is nameligk «=roo. Deze inyoluut is die, welke ontstaat, wanneer de ontwinding in den oorsprong begint, dnt is, als men in de algemeene vergelijking der involuten 1 IP* c:^0 stelt. In den oorsprong ontstaat alsdan een top^ waarin p=:0 een minimum is. Is c niet gelyk nul en positief, dan begint de ontwinding in het punt, waar to= — = is; daar ont- staat dan een keerpunt: p Erpunt gevormd is: de kromtestraal bliyft z^'n teeken bebouden. En een inwendige asymptotiscbe cirkel vormt een minimum-top. C. De kromme p^i= — - (V) is een cirkel. Wig vinden dus bier de inroluut des cirkels temg. D. In de vergel^king (^) kunnen wijj weder d z=,l stellen. 1 integrerende, yindt mdn met bebulp waarvan 10 kan geelimineerd worden, waardoor er komt p- 1 = 2««-. 1. De oorsprong is een asymptotiscb punt, daar, voor 8^\zn0, p.i = en t0 == 00 is, en de aanvangsricbting eene asymptotiscbe recbte, daar, voor 10 = 0, p— i=roo en «-.i=oo is. Negative warden kan 10 niet bebben, dus wordt de asymptoot een buigpunt, als men «. 1 door 00 been van teeken laat veranderen. Even zoo zou de oorsprong een buigpunt worden, als men »- 1 door nul been van teeken liet veranderen. Deze kromme De vergelyking P-i = TT73f| • • C^) 38 1^'n (fig. 8) beeft derhalve veel overreenkomst met fig. 4. Er is echter in de eerste plaats dit yerschil, dat in ^g, 8 slechts ^^ne asymptotische richtting is, namel^k to =, terw^l er in fig. 4 twee zijn^ die elkaar onder*een hoek - snijjden; in de tweede plaats is in fig. 4 Let asymptotisch pant als overgang ran den eenen tak op den anderen een keerpunt, in fig. 8 een bnigpunt. De vergelyking der involuten is Is 5 = 0, dan is voor «? =, p zzz±oo, Dit punt ligt op de asymptoot der evoluut en is een buigpnnt; want p verandert van teeken, terwijl w zijn minimum bereikt beeft. Dat dit buigpunt, en daarmede de asymptoot der evoluut, niet in bet on- de eindige ligt, blijkt uit de vergelijking in 8^ die aldus is bet buigpunt ligt namel^k in den oorsprong. Yoor to = oo en « -= ± oo wordt p =: de kromme beeft dus dezelfde asympto- tiscbe punten als bare evoluut. Is bei nicht, das verschieden de beide takken der kromme l^n an weerszijden van bet buigpunt. In een der beide takken zal het punt, waar io = -7-- is, een keerpunt worden, en wel in den 4d* iak met positieven p als 6 negatief, in den tak met negatieven p als 6 positief is. Die tak eindigt dan in een uitwendigen asymptotischen cirkel, de andere tak in een inwendigen asymptotischen cirkel; van beide cirkels is 6 de straal. Wij gaan, tot besluit en tot recapitulatie, nog eens uit van de algemeene vergelijkning J8^ -H 2Bsto + Cto^ + 21)8 4- 2mo + Fz=^ 0, en leiden bieruit nog eenmaal dezelfde uitkomsten af, maar op eene eenigszins andere w\jze, waardoor meer bet verband bl^kt tusscben de konstanten dezer vergelijkning en de konstanten, die den vorm der kromme lijnen bepalen. Lossen wj 8 op, dan komt er Bw^D |/(5« ^ JC) w*4- 2 {BD — AlL) lo-^JD^AF « = — • 7— ±'; 89 differentieeren wi[j tweemaal, dan komt er B, (B^ — AC) 10 -^ (BB — AE) P = :; ± J A\/( B^—AC)w^^2 (BD ^ AE)w -^ D* — AF* _ iD'^ — AF{B^^AC) — {BD—AEf '" ^ "~ ^{(J?« - ^{7)tt^« ^- 2 {BD - AE) w 4- i>3 -. ^F} }• Stellen wij nu kortheidshalve Ifi'^AFz=ip, B^ — AC = g, BD — AEzzr, dan wordt de rergel^jking, die de evoluten van al de bedoelde krommen bevat, eenvoudig A (qio^ -h 2rw -|- j))i' Stellen wij eindelijk «?.= » — -, dan hebben wij .{.•^^) pq — r*\i' De aanvangsricliting t? z=i is nu z66 genomen, dat de kromme zich aan weerszyden daarvan symmetrisch uitbreidt; en wy hebben te ondcrscheiden of < of > is. In het eerste geval, wasarin, en dus pq — r* < is, moet de raakly n, van de i/t^ — pq aan vangsrich ting uit, eerst een hoek recnts en links gedraaid zijn, voordat er bestaanbare waarden van p te voorschyn komen, — voordat dus het beschrijvende punt zyne beweging begint. Dan komt dit punt uit bet oneindige en nadert, terwiji de raaklyn zonder opbouden blijft doordraaien, een bepaald punt dezer lijn, zonder bet echter ooit te bereiken, zoodat de kromte- straal steeds kleiner wordt en asymptotiscb tot nul nadert (fig, 4.). Is. y 0, dan kan het beschry vende punt terstond zyne beweging over de raaklijn, zoowel vooruit als achteruit, aanvangen; terwy 1 in dit beginpunt de kromtestraal p — i =?- ^ is, A pq — f * en deze waarde is een maximum of een minimum, naargelang qy en dus pq^ r^ of j' <, dus pq — r* ^ is. In het eerste geval nadert het beschrijvende punt asymptotiscb tot een bepaald punt der raaklyn, terwyl deze onophoudelijk doordraait (fig. 6); n 40 in het tweede geval scHuift het bescbr^vende pant langs de raakli[jn in bet oneindige weg, terw^l deze eene bepaalde ricbting asymptotisob nadert ; deze ricbting maakt met de aanvangsricbting den boek (fig. 6). De overgang tnsscben fig. 6 en fig. 6 wordt gevormd door fig. 8, waarby ^ := is. De aanvangsricbting V ^zO wordt nu eerst na een oneindig aantal omdraaiingen be- reikt, en de minimum -waarde van p » i in bet beginpnnt wordt nul Dit point is best asymptotiscb point, waar in fig. 8 de kromme lyn ontspringt. Na een oneindig grooten boek gedraaid te bebben, nadert de raaklijn meer en meer de ricbting der asymptoot. Neemt men deze als aanvangsricbtiDg aan, dan wordt de verge- Iflking,..= :p_^. Deze vorm is, als z^nde een overgangsvorm, eenig in z^ne soort, Tosscben fig.* 4 en fig. 5 kan men een overgang maken door ^^ — r*=0 te stellen, waardoor p_i = wordt. Een uiterste vorm wordt verkregen door A te doen afnemen en tot nul naderen. De waarde van p.i in bet beginnent wordt dan oo; maar dit punt ligt zelf in bet oneindige, zoodat men zelfs geene recbte 1^'n kan trekken, die er been leidt. B^ een oneindig aantal omdraaiingen nadert bet bescbr^'vende punt asymp- totiscb tot een bepaald punt der raakl^n. (Fig. 7.) De vergelijking wordt bier Is bovendien ^ =, dan wordt de kromme een cirkel, waar- van de vergel^king is C Soimond, 7 Jani 1874. H. Onkbk. T H E R I E DIB QUATERNIONEN. DOOB J. VEEFLUYS. iKLBIDINe. 1. Vele vergeefsobe pogingea heeft Hajcilton aangewend, om Toor de bebandeling der meetkunde in de ruimte een hulpmiddel te vinden, dat even gescbikt zou zyn als de gewone complexe getallen toot de vlakke meetkuade. Eindeligk kwam b^ in 1843 tot de ontdekking ran de tbeorie der quaternionen. Dat deze beantwoordt aan de verwacbting, door baren ontdek Ker gekoes- terd, beeft Hamilton bewegen door verschillende verbandelingen in tüdscher in zyne ^Lectures on Quaternions, 1853*' en einde- l^k in zne ^Elements of Quaternions, 1866". Het blijkt daarb^, dat de tbeorie der quaternionen een gescbikt middel aan de band doet, om de eigenscbappen der meetkunde in de ruimte te beban- delen met bebulp van zeer beknopte formulen. Daarenboven kan men gemakkelijik de meetkundige beteekenis nagaan ran de ver- ▼ormingen, welke de formulen in die tbeorie ondergaan; zoodat z^ in dit opziebt een belangr^'k voordeel bezit op de gewone analytiscbe meetkunde. Belangriljk is de tbeorie der quaternionen ook met bet ook op de gewone imaginaire getallen. Wat zicb bi|j de laatsten nog duister voordeed, is door de eerste duidel^'k in bet licbt gesteld. In même tête der algebra zijn bi|j de bebandeling der imaginaire geiallen als het ware de grenzen tusschen da gewone imaginaire getallen en de quaternionen aangewezen. Eeeds in 1863 is op het merkwaardige van de tête der quaternionen gewezen in de hoogst belangrijke rede, waarmede Prof. BiBBENS DE Haan zijn Hoo'gleeraarsambt aanvaardde. De beste bron, waarait men de theorie der quaternionen kan leeren kennen, is de genoemde "Elements of Quaternions", Dit boek bevat 762 meestal zeer fijn gedrukte pagina's, groot 8^. De groote belangrijkheid van de theorie der quaternionen brengt echter met zich, dat zij verdient meer algemeen bekend te zijn, dan in den regel het geval is, wanneer men een handboek moet ter hand nemen van den omvang van bovengenoemd werk. Om de theorie ook in ons land bekend te maken, heb ik in het volgende de theorie der quaternionen behandel met enkele toepas singen. In Frankryk is hetzelfde gedaan door Allegbet in ^^Essai mr le calcul des Quaternions de M. W. Hamilton. Paris 1862". In dat werkje Heft echter de dünidige veel geleden door de konoptheid. Die fout hoop ik in het volgende vermeden te hebben. De Leipzig is in 1867 vorzüglich von Forlesungen über die Complexen Zahlen und i/ire Funciionen von Dr. H. Hanes, ler Theil, Theorie der complexen Zahlensystemen", Daarin worden van biz. 141 tot 196 de beginselen van de theorie der quaternionen behandel. Het tweede deel, waarin de quaternionen verder zouden behandeligend worden, is tot nu toe niet verschenen, terwyl de schrijver overleden is. Ten aanzien van mijne behandeling der quaternionen zij vooraf nog het volgende opgemerkt. De zuive^ algebraische theorie gaat vooraf aan de meetkundige voorstelling. Dit is in overeenstemming met den vorm, waarin H. in zijnne ^Elements of Quaternism^' in acht neemt. Ik heb de eerstgenoemde volgorde verkocht, even als Allbäbe en HAiJifKBL, omdat het overzicht van de theorie daardoor gemakkelijk wordt, Deze verhandeling vervalt nu in de volgende drie deelen: I. Algehrahche theorie der quaternionen, n. Meetkundige voorstelling van de quaternionen, in. Totpassingen van de theorie der quaternionen. Ofschoon men in Nederland vry algemecn gewon is den vermenigvuldiger rechts van het vermenigvuldigtal te plaatsen, heb ik, in overeenstemming met Hahtltok, den vermenigvuldiger links geplaatst. KortHeidshalve zuUen w^* gebruik maken van de volgende termen, die door de Engelsche wiskundigen vry algemeen gebruikt worden. Dat men heeft a + (3 + c) i= (a 4- ^) 4- c drukt Men nit door te zeggen, dat de optelling der reeele getallen oBioeiatief is. Dar men voor reeele getallen heeft (jah)c:=ia{hc)^ zoo is ook de vermenigvnldiging der reeele getallen asaociatief, Dat men heeft a + 6 =z6 + a en ax^ = ^X<z, drukt men nit door te zeggen, dat de optelling en vermenigvnldiging van reeelo getallen commtdalief z\jn. Dat men heeft (a-i- 6)c ^zac + 6c en c(a + b)z:^ca + cb, dmkfc men nit door te zeggen, dat de vermenigvnldiging van reeelo getallen dintridutief is, Zooals men weet, vormen de gewone complexe getallen een stelsel van imaginairen, dat al de genoemde eigenschappen met de reeele getallen gemeen heeft. B^ de onderzöcken van Hamiltok was een belangrijke stap tot z^'ne grootsche ontdekkingen gedaan, toen hy zag, dat hy aan zyn nader te bepalen stelsel van getallen niet al de genoemde eigenschappen kon toekennen. Een tweede belangrijke stap, die echter eerst na een groot aantal vergeefsche nasporingen gedaan werd| ^as het laten vallen van de commntatieve eigenschap der vermenigvnldiging. I. ALOEBBAISGHE THEOBIE DEB QUATEBNIONEN. MepmUmffem, f 1* Wiy dniden door t\ J en k verschillende niet-reeele een- heden aan, waarvan w^ veronderstellen, dat z^' aan de volgende voorwaarden vbldoen*. i«=i«=;t«=r — 1 en ij = k. Verder znllen w^ in het volgende achtereenvolgens vaststellen 44 aan welke wetten de bewerkingen met die eenheden onderworpen zyn. Aan het produkt van een der genoemde eenheden met een reeel getal a kennen wij de eigenschap toe, dat het niet van waarde veranderty als men de factoren verwisselt, dus AXi = a,i :i:zai z= ia, aXh:=: a,hz:zak'= Tea. Door \Xi verstaan w^ hetzelfde als door %\ evenzoo Yoor/en k. Door — t verstaan w\j hetzelfde als door — 1 X » ; evenzoo voor y en ^. Ox/ en Ox^ beschonweu wy als nul. § 2. Als a, d, c en £? reeele getallen z^n, noemt men den vorm a ^ hi -^^ cj -^^ dh een quaternion. Wy zullen dezen dikwiyls aanwiyzen door de letter q, Yolgens de voorgaande definitie bestaat een quaternion in het algemeen uit 4 deelen, waarvan ^^n reeel is, terw^'l de drie andere deelen niet-reeel of imaginair ziyn. Als = c = ^ =, gaat qziza-i^bi-^t^ + dk over in het reeele getal a. Als a = 5 = c = en £?=1, gaat q over in k, Evenzoo kan q overgaan in t en j\ In deze theorie zyn dus reeele getallen en de eenheden i,j\ k bigzondere gevallen van quaternionen, W^* stellen vast, dat een quaternion niet van waarde verandert, als men de vier termen, waaruit ziy bestaat, in een andere volg- orde neemt. Daar w^ aannemen, dat t, J en k getallen z^'n, die onderling en van de reeele getallen in aard verschillen, zoo kunnen de deelen van een quaternion elkaar niet geheel of gedeeltelijk opheffen; en volgens die aanname is een quaternion a -!~ bi + cj + dk alleen dan nul, als a := 6 = c = £? = 0. § 3. Men zegt dat twee quaternionen a -\-bi +qj + dk en fl5| 4* b^i + cJ + d^k geligk zijjn, als men heeft a-zzza^y b=zb^^ c :=zc^, dzzzd^, Het reeele deel van een quaternion noemt men z^'n Scalair^deel, en Wij duiden dat aan door S oi Sq, aldus Sq z=za» De som der drie overige deelen van een quaternion noemt men zyn Fectof'deel J en wy duiden dit aan door F of Fq, aldus Fq = bi + cj-^dk; derhalve is qz=z8q+ Fq. OptetMmg en AfUreMimg. § 4t, Door de som van de twee quaternionen a -(- ^t -{- c; 4- dk en a| + 6^i + cj+ d^k yerstaan w^ den quaternion (a + aj) + (^ + «|) » + (c + rj)y -f (rf + d^) k. Evenzoo voor drie of meer quaternionen. Yolgens die definitie zal de som van eenige quaternionen niet van waarde veranderen, als men die quaternionen in een andere volgorde samentelt ; of als men ze in groepen vereenigt en ver yolgens die groepen samenvoegt. Daar nu de samentelling van quaternionen neerkomt op het samentellen van reeele getallen, is 00k de fiamentelling van quater nionen, commutatief, associatief en distributief. § 5. Door q — q^ verstaan wij een derden quaternion, die bij den tweeden opgeteld, den eersten oplevert, Volgens deze bepaling bebben wij onmiddell. (a -f- ^* + cj + d^k) = (a -flf) + (^ — h^) « + (c — c^j +{d — d^k) k. 0pm. Uit het voorgaande blijkt^ dat de optelling en aftrekldng der quaternionen niets oplevert, betwelk verschillend is van de bewerkingen met regele getallen. § 6. Als qziza + 6i + c;-^ dk een quaternion is noemt men a — 6i.i^cj~-» dk den toegevoegden of geconjugeev. Quaternion van q, en men scbrijft Kq z=z K{a -h ^' 4- cj +dk)z=za — ^' -* cj'^dk. Terwy 1 wy dus hebben q:=z Sq+ Fq^ is Kq=:Sq— Fq. Door optelling q + Kq=: 28q, q—Kq=z2Fq. § 7, Telt men samen q •=! Sq + Fq en q^ = 8g^ + Fq^, dan krygt men q + q^=(8q'+' Sqf) + (^^ + ^qi)- Men beeft dus, daar de som van twee scalair-deelen weder een vector-deelen weder een vector is, S(q + qO= 8q+ %, F(q + q^)=zFq+Fq^. Evenzoo is S{q — q^)zzz Sq — Sq^, V{q-qd-rq^Fq,. 