Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
Besnmeeren wärden des de yoomaamsten der gevonden formulen, waarmeid de som eener reeks meer offenen, kan worden benaderd, dan yoeren wärmer als zoodanig aan. 'S /(*«+/'*) = TihK\ -K'-3il,l = en waarbiij behooren de correctien ^'^ = + iXOXs (^"'^'- *^ -•^"<'— i) '• ^'^^ terwQl daarb^ gebruik gemaakt is van de notatien -♦.1 « /^•4-(l-5)* a^, =/ /(*)^^ (21) a'p = ar^+;?^ (2) Ebbstb ToEFABsnra, 7» Onze eerste toepassing zal minder ten doel hebben de Toor* deelen der metbode te doen zien, dan wel eenvoudig hare naauw- keurigbeid te toetsen. Wij bepalen daartoe volgens onze drie laatste benaderingsformulen de waarde der zeer bekende reeks loT 11 ^ 12 ^ 18 ^* • • '^ 1000 • welke waarde tot in zeven decimalen gelijk is aan 4,6565026 = 2,0222934 X 4 f 4 = 2,30268509 De eerste benaderingsformule (II) levert ^dxz=, l^ =: 2,0224936 X -^, ».5 't geen dus slecbts tot drie decimalen naauwkeurig is. De tweede (IV) geeft daarentegen Zl^ + 1 1 2/i^"}? - ^1521 _zl^] = 2.0222927X i; zoodat nog slechts de twee laatste decimalen onnaauwkeurig zyn. De correctie berekend voUens Rjy zoude dan 06k bedragen ^1^ = A.1 oQAr f - 6 (1000,5)-*-h 6 (9,5)-*] = 0,00000067x 5. Eindelijk geeft de formule (V) 175 ,1000,«, 1 r-,1000,8,1001,1000 1, + 1 [6^1»iV l'^ + zi|2-4Zl^«_4Zl^«_4Zl^] =2,0222934 X ^. alzoo in volkomen overeenstemming met de door anderen berekende waarde der reeks. De te verwacliten correctie bedraagt dan ook sleclits ^^=- 64.I.2.3I5.6.7 t- 120 (1000.5)-. + 120 (9.6^.J = = 0,000000038 X T. ; M en heeft dns nog sleclits invloed op de 175 ,1000,«, 1 r-,1000,8,1001,1000 1, + 1 [6^1»iV l'^ + zi|2-4Zl^«_4Zl^«_4Zl^] =2,0222934 X ^. alzoo in volkomen overeenstemming met de door anderen berekende waarde der reeks. De te verwacliten correctie bedraagt dan ook sleclits ^^=- 64.I.2.3I5.6.7 t- 120 (9.6^.J = = 0,000000038 X T. ; M en heeft dns nog sleclits invloed op de 175 ,1000,«, 1 r-,1000,8,1001,1000 1, + 1 [6^1 Achtste decimaal. Er is daarme eene naauwkeuriglieid tot tien millioensten bereikt. TWEEDB TOEPASSHJa. 8. De tweede toepassing, die wij gevren, zal kuAnen dienen om de voordeelen van onze formule te doen uitkomen, wat snelle berekening aangaat, Wij zullen namelijk eene functie kiezen, wier differential quantitie, waarvan men bij toepassing yan de reeks van MACLAUBnr gebniik maken moet, steeds mecr ingewikkeld worden; terwijl integraal een eenvoudige functie is, die in tafels kan worden nageslagen. Last namely k gevraagd worden de uitdrukking wier sommatie zicb uitstrekt over alle geheele positive warden van! en r^, die voldoen aan de betrekking te vervangen door een continue functie van S, wier waarde zoo juist mogelijk benaderend die van de functie uitdrukt. Dewijl dan steeds v^=l S — rg, zoo laat zich de bedelde sommatie ook voorstellen door of ook U=:'E e- 2* ("i - 1^' - i*^*, of eindelijk 176 Fassen wg nu de eerste benaderingsmethode, uitgedrukt door formule (II) > toe, dan Tlnden w^j ,^2iu- rf = f/ 176 Fassen wg nu de eerste benaderingsmethode, uitgedrukt door formule (II) > toe, dan Tlnden w^j ,^2iu- rf = f/ 176 1 e- i^^" J.(i(^H-l) I/2T), —1(54-1) 2Ar waarin, volgens een sckryfwyze in de waarschynlijklieidsrekening 2 /•* _ a in gebruik, S (or) =5 -7= / e ^ {fe. Fassen wy daarentegen de tweede formule (IV) toe, dan vinden wj en eindelyk, als wy de derde toepassen, l/'''=,i/^~.^~*[l369.(4(S+l)K2^)H-ll9.(jS^iF) + + llfi.(4 (S+ 2)^^2^)— 64d (4 (S+ 4) |/2J)~ 64^4(S+|)[/2i)]. Onderstellen wij, om een toepassing in getallen te verkrijgen, S—\(^s ;t = o,oo5; — welke onderstelling, wegens de vrg snelle verandering van de waarde der opeenvolgende termen der reeks, zeker niet voordee- lig is aan de mogemkbeid eener snelle benaderlog — dan is + 2c- ^t?'^ + <?-^'25 _ 7J81334. De eerste benaderingsformule geeft V = 7,776048, de tweede 17" z= 7,781320, de derde indelijk CT'/' = 7,781334 ; zoodat de derde methode bier weder zeven juiste cijfers geeft, zoo niet meer. KLEINERE MEDEELINGEN. VEMEBLING VAN IBN lOEK IN BRIE gelijke deelen yerstaat men, in het algemeen de rechte l^nen CK en CL te beschryven zoodanig, dat l^ JCK=z £^ KCL=z l^LCB = iL^CB is. Besdiryven wij uit het hoekpunt C als middelpunt met een willekeurigen straal een cirkel, die de beenen Cji en CB ran den boek jiCB in de punten ^ en ^ en de lyn CK in de punten K en 2 snydt ; wanneer nu de lijn DE in C loodrecht op CA, en 10 loodrecht op HA staat, dan is bg lEG ^z 2 bg IH :=, 2bgJK=, bg KB en dus BG// KI, waaruit yolgt, dat D lOFC een parallelogram is ; derbalve FG = CL Is bet punt G bepaald, dan is ook bet punt, en dus ook de lijn OiTbepaald. Dit punt G^ is weer bepaald, zoodra wij een der afstanden DG of FG ken- nen, die w^ respectievelijk x en y zuUen noemen. W^j zullen nu deze afstanden bepalen. Daartoe noemen wig de bekende lengten BD = a, BE\=z b en CJ =: CB =: FG zn r. Uit de gelykvormigbeid der drieboeken FJ)G en FBE volgt FG: FDG: DF of y: a=zri DF, waaruit DFz=:^ (1) y Uit de gelykvormigbeid der drieboeken FJ)G en FBE volgt FG: FE=:DG:BE of r:{2r^J)F)=:x: b, waaruit j)j'—rj^fLlll\.7 (2) Uit (1) en (2) nu volgt ^^ ar (2x — b)r y « en bieruit 2xg — ax — bx =zO, of (x — i^) (y ~ ia) = iab.. (3) Verder bebben wy uit den recbtboekigen drieboek EGD ar* 4- y* z= 4r* (4) 12 178 / / I -A-^. N/ -A>r  iV, ^ en ^ van de beenen CA en CJS van den boek ACB met den cirkel C; de vergelijkingen van den cirkel C, de lijnen CA en CB, zyn nj. (r — Jd)2 4-0 — iaf = J (a« 4- 6^) voor den cirkel  3) ; van bet punt A ar = ^ (i — a), y = J (a -|- 3) ; van bet punt A ar = 0, y. = 0. Aan de vergelyking (3), dijB van de byperbool, nu wordt vol- daan door de coordinaten der snijpunten H, A^ N en B; deze punten zijn derbalve op de byperbool gelegen, waarmede de ge- noemde eigenscbap der punten H, A, N en B bewezen is. Nog valt op te merken, dat het punt N juist bet raakpunt van de beide cirkels C en B is. Immers, de lyn NB gaat door de middelpunten der beide cirkels en de straal van den cirkel B is, daar r® = J (a* -f- d*) is, de middelijn van den cirkel C. Door nu op te merken, dat JDO =: x zoowel als EGzuy positief möten zijn, en bovendien DG zzzx (^ DR = r {/2, verkrygen wy voor BO en BG de ar-y coordinaten van bet snypunt van de byperbool in den cirkel B ; deze z\jn derbalve BM en MO, Nemen w|j dus I)G=. BM of EG = MO^ dan is bet punt Gy dus ook het punt Gy dus ook het punt /, en alzoo ook de lyn ZCjK" bepaald. Door nu den boek JTC-B door de l\jn CL middendoor te deelen, hebben wy ook den hoek ACB door de lynen CK en CL in drie gelyke deelen verdeeld. Noot van den Eedaeieur, Uoewel er ia OuaNBBT's ArcMv, T. 58, Hft. I, S. 98, eece dergelgke opossing van ons vraagstak voorkomt, meeDde ik deze toch te moeten opne-men, daar zg mg in Mei 1875 is geworden, en dns mede oorspronkelgk is. B. B. D. H. 12* 180 DE CIRKELS' WELKER DIBERG GEEVEN CIRCLE ONDBR GELIJKE HOBKEN SNIJDEN. Doom Dr. JP. VAN WAQENINGEN Jzn. 3, De vergelijkingen der drie gegeven cirkels stellen wy, dc coordinaat-assen rechtig nemende, P8 = (a:-.fl3)«4-(y-d3)« — V = 0. J De coordinaten der drie uitwendige gelijkvormigheids-middelpuii- ten zyn van /, u > van //• « * en van ///, « > «  teeken van een van de stralen der gegeven cirkels om te kee- ren. Vergelgk daaromtrent de N°. 54 en 55 van myn Leerhoek der Analm Meetkumt. 2. Zy P=r(ar — fl)« + (y— 5)« — fi« = 0. ;... (3) de vergelyking van een willekeurigen cirkel, dan heeft men over- eenkomstig de notatien van N^. 53 PJa, 5) = i2« — 2RR^ Cos (RR^),] P^[a, b)-=:R^ — 2RR^ Co8{RR^.... (4) P3 (a, b) = R^ — 2RR^ Cos {RrJ);] waaruit door eliminatie van R^ en 222, 181 (5) = 0.(6) P^(a, 6), B^Co8{BR^), 1 Pj(a, 6), B^Co8{RB^)^ 1 =0. Schryft men Toor de elementen in de eerste verlikaal-rij hunne warden, en trekt men daarna de elementen van de derde vertikal-ry, met o* -h b^ vermenigvuldigd, van die der eerste af, dan wordt deze vergelijking «!* 4- ^4* — 2aia — 26^b — B^^, 22^ Cos {BB^), 1 a^ H- V — 2aaa — 2b J> — B^^, JZj Cos [BB^, 1 ^'a* + V — 2flfa« — 2V — 3^ B^Coa^BB^), 1 Deze is in a en d van den eersten graad, en derhalve de vergelijking van eene reclite lijn, als men a en 3 als veranderlyken beschouwt. Substitueert men voor a en ^ in de vergelyking onder den vonn (5) de coordinaten van het machtpnnt der drie gegeven cirkels, d. i. stelt men P, (a, b)z=: P^ (a, b) =z Psfa, 3), dan wordt aan de vergelijking voldaan; de verkregene vergelyking is derhalve die van de rechte Hjn, welke het middelpunt van den willekenrigen cirkel (3) met het machtpnnt van de drie gegeven cirkels vereenig Stelt men de hoeken (BB^), (BB^) en (BB^) en derling gel^k, dan vervalt de cosinns als factor uit (6), en deze wordt a^'^b^ — 2a^a — 2b^b — B^^, ^i, 1 1*2 f = 0. Deze is, met a en bals veranderlijken, de vergeljking der meetkunstige plaats van de middelpunten der cirkels, die drie gegen cirkels onder gelijke hoeken sind. Deze meetkunstige plaats is dus een rechte lyn, gaande door het machtpnnt der gegeven cirkels; en door vergelyking van de coefficienten der veranderlyken in de vergelijkingen (7) en (2) zal men vinden, dat de gevondene meetkunstige plaats loodrecht op de gel^kvormigheids-as staat. Wer men in plaats van een hoek van twee stralen, het supplement nemen, dan heeft men in een van de vergelijkingen (4) slechts een cosinus van teeken te veranderen, hetgeen op hetzeelfde neerkomt als een der stralen van de gegeven cirkels van teeken te veranderen. — Het resultaat is, dat in (7) dezelfde straal van teeken verandert. Men verkrijgt dan ah meetkunstige plaats eene rechte lijn door het machtpunt, loodreclit op eene andere gelijkyormig 3. Schryven wij kortlieidslialve voor (/2fi|), {RR^ en {RR^) resp. <P^, 0^ en 0^, dan kan men do vergelijkingen (4) ontwikkeld aldus schryven 0^9 -I- 3^2 — V + 2R^ Cos 4>a — 2(7,0 — 26^b -f- a« H-5«— iE«=0,! (8) flf,« 4- V — R^^ -h 22?8fi Cb« 4)3 — 2(Jsa — 253^ + a* + J«_22*=0. J In plaats van ^|, ^^ en 0^ als gegevens te beschouwen, kun- nen w^' ons de grootheden B Co8 0^, B Cos 0^ en M Cos 0^ als zoodanig voorstellen; de vergelykingen (8) zijn dan van den eer sten graad in a, b en a* -|- 3* — R^, welke grootheden dus kunnen worden opgelost* De vergelyking van den gevraagden cirkel schryvende a:« + y* — 2a?a—  a^-fJ*— i2* elimineeren, waardoor men verkrygt iT* 4- y^ a^2 -4- b^'i — B^* 4- 222422 Cos (p^, flj« 4. i,« — 22,« + 222j22 Cos 0^, «3^ 4- V — ^3« + 222322 Cos 4)3, voor de vergelijking van den gevraagden cirkel, als BCos^^i BCos0^ en BCos0^ gegeven zijn. Stelt men = (f, = ^3 = ^3, dan word deze vergelijking .222 (7^4) = 0.(10) Deze is nu de vergelijking van een cirkel, die gelijke hoeken met de drie gegevene maakt. Door aan 22 Cos alle mogelijke waarden toe te kennen, verkrygt men een stelsel cirkels, die twee dan twee dezelfde machtlijn hebben, n.l. de lijn, waarvan de vergelijking is 0, ar, y, 1 X, y> 1 «1» ^. 1 «2> b^. 1 ^S > h> i z=0 «»+y*. «. y. 1 0, a?, y, 1 ai* + V — -Ri'. «j, Jj, 1 + 22|, fl,, d|, 1 «8« + «i«— v. ffj) *2. 1 ■Sji ^a > *2 » 1 "s' + V — -B*'. <»S. *8» ^ ^ ■Ka> ^d » ^3 ' 1 ^a> «2» ^«> 1 ^8> ^8» h> 1 ^a> «2» ^«>  ge- lykvormigheids-middelpunten gelegen zijn. De cirkel = 0,... (12) 183 8° 4- V — -^3^. ^8> 1 welken wy nit (10) verkry gen door = 90° te stellen, is dus de cirkel, die de drie gegevene rechtlioekig snijdt. Hat middelpunt van dezen cirkel is het machtpunt, en de straal is de raaklijn nit dat punt aan een van de cirkels getrokken, zooals uit de vergelykingen (4) blijkt, wanneer men daarin de drie hoeken recht erstelt, Hieruit vlocit nu eene constructie voort voor de cirkels, die drie gegevene cirkels raken. Eaken kan men beschouvfen als snijden und hoeken van C of 180*. De cirkel, die de drie gegevene rechthoekig snijdt, en dien wij orthogonalen cirkel zoUen noe-men, is een cirkel van het stelsel (10). Beschouwen wij nu en gegeven cirkel, een gevraagden en den orthogonalen cirkel is de gelijkvonnigheids-as, welke men kan construeeren; de machtlyn van den gegeven cirkel en den orthogonalen kan men trekken, ab men den orthogonalen cirkel geconstrueerd heeft; daardoor wordt het machtpunt van de drie beschouwde cirkels bekend. De machtij van twee elkaar rakende cirkels de gemeenschappe-lijke raaklijn aan het raakpunt zijnde, heeft men nu slechts uit het gevondene machtpunt eene raaklijn aan den gegeven cirkel te trekken; het raakpunt vereenigt men met het middelpunt van den gegeven cirkel; en het snijpunt van deze lijn met de loodlijn uit het machtpunt der gegeven cirkels op de gelijkvormigheids-as neergelaten, is het middelpunt van den gevraagden cirkel. Daar men twee raaklijnen trekken kan, vindt men twee cirkels, en door dezelfde constructie met de vier gelijkvormigheids-assen te verrichten, vindt men in 't geheel acht cirkels. Het spreekt van zelf, dat het van den onderllngen stand der drie gegeven cirkels zal af-hangen, of er sommige van deze cirkels al dan niet werkelijk te construeeren zijn. Beschouwen wy een gegeven cirkel, den orthogonalen, en een willekeurigen in de vergelijking (10) begrepen cirkel, dan zien wij terstond in, dat de machtlijn van den eersten en den laatsten door het snypunt moet gaan van de gelijk. vormigheids-as en de machtlyn van den gegeven en den orthogonalen cirkel; dat is het punt, waamit wij straks eene raaklijn trokken aan den gegeven cirkel. Wy trekken dus door dat punt eene willekeurige lyn, die den gegeven cirkel snijdt, en uit bet middelpunt van den gegeven laten wg eene loocU^n daarop neer, tot deze de loodli^jn uit het inachtpant der gegeven cirkels op de gel^kvormigheids-as snijdt. Dit snijpunt is dan het middelpunt van een cirkel, die de drie gegeven onder gelijke hoeken snijdt, terw\jl de straal van dien cirkel nu mede in de figuur voorkomt, zoodat deze getrokken wot- den kan. 5. Uit de eigenschap, dat de machtlgnen van drie cirkels twee aan twee door een zelfde punt gaan, volgi nu nog deze eigenschap der verkregene figuur. De machtlynen van een cirkel, die de drie gegevene onder gelijke hoeken sn^'dt, en ieder van de drie gegevene , vormen een driehoek, welks hoekpunten liggen op de machtl^nen der gegeven cirkels twee aan twee, en welks z\jden gaan door drie vaste punten op de gelijkvormigheids-as , welke voor alle cirkels in (LO) begrepen dezelfde z^'n. 6. De coordinaten van bet middelpunt van den ortbogonalen cirkel (bet macbtpunt der drie gegevene) , die men vindt door de vergelykingen (8) naar a, b en a' -f- 5* — 22* op te lessen, na daarin de drie cosinussen = gesteld te bebben , zijn A = «i'H-V — V. «i. 1 «i » ^1 . 1 a^* + 6i* — Ri*, «,. I :2 «a » ^2 » 1 <»»* + V-R»'. *». 1 «8, ^s> 1 ai. V-t-*i'— «i'. 1 a^ , 3| , 1 «,. «,«f V--««». 1 :2 (Zj, 5j, I «,. V+V-'^s*. I «8> ^8» 1 J5 = Stellen wij in (8) de drie cosinussen = -h I , dan vindt men voor de coordinaten van bet middelpunt van een der rakende cirkels , als w^ den straal R ' noemen , «,*4-V— ^i* + 2i?|^', ^, , 1 a^'\'h^ — R^^2R^K\ ^2, I «8' + V— fi8*-H2fi3fl', ^3, 1 Of , «i* + ^* — «i* -f- 2«4fi' , 1 «8> «8* + V— «8*-+-2/?3«', 1 Stellen wy in (8) de drie cosinussen = — 1 , dan vindt men voor de coordinaten van den anderen rakenden cirkel, als w^ den «1. «.. -.2 «j, ««. «8» «8. «1. *.. :2 ««. h. «a. h. Astrait R^ noemen, ^a' + V — ^8*-2«3«', ^3, 1 «i» ^4«-hV- «,* — 2ff4fl', 1 3* = flj, flj* -h ^4* — E^ ~ 2/?afl',1 : Z a «8'V + V — /Ja*— 2«8«', 1 « en door middel van de eenvoudigste eigenschappen van  cirkels, zyn de twee rakpanten gelijkvormig het, en wel het een inwendig en het andere een uitwendig; z\j moeten dns met het inwendige gelykvormigheids-middelpunt der rakende cirkels (^, B) in een rechte lijn gelegen zyn. Deze lyn is de pooll^n van het pnnt op de gelijkvormigheids-as, waaruit de raakpunten getrokken z\jn, en gaat dus door de pool van de gelijkvormigheids as. Zoo wij dus deze pool construeeren en met het machtpunt {A, B) vereenigen, vindt men zoo doende de raakpunten. Dit is de constructie van Gergonnb, AnnaleB de Malh^natiquea, Vol. VII, p. 289, door Salmon in zijne Conic Sections vermeld. Men vindi bedeide pool van de gelijkvormigheids-as ten opzichte van den gegeven cirkel, door het snqpunt der poollen van deze as, waartoe zich dan dadelijk twee gelykvormigheids-middelpunten leenen, welke laatste opmerking te vinden is in eene verhandeling van C. T. Anq-bb, getiteld : Betracktungen Uher rersckiedene Oegemtdnde der neueren Geometrie, Danzig, 1841. CONVERCENTIE VAN REEKESEN MET COMPLEXE TERMEN. Door Dr. ^. BENTEEM Qz, Even als wij in Deel I (Hoofdstuk 11, Bladz. 131) door nieuwe bepalingen hebben moeten vaststellen, wat men onder de Som, het verschil enz. der complexe getallen hebbe te verstaan ; moeten wij, om over de convergentie en divergentie van reeksen met complexe termen te kunnen spreken, vooraf aangeven, welke beteekenis aan die woorden moet worden gehecht. Zoolang zulk eene reeks voorkomt in den vorm Oi -h \/— l.^i) -h (i^a -H V— l.S'a) + [Vz 4- V— l-fi's) -♦-••• » Oi -h \/— l.^i) -h (i^a -H V— l.S'a) + [Vz 4- V— l-fi's) -♦-•• » Oi -h \/— l.^i) -h (i^a -H V— l.S'a) + [Vz 4- V— l-fi's) -♦-•• » Oi -h \/— l.^i) -h (i^a -H V— l.S'a) + [Vz 4- V— l-fi's) -♦-•• » Oi -h \/— l.^i) -h (i^a -H V— l.S'a) + [Vz 4- V— l-fi's) -♦-•• » Oi -h \/— l.^i) -h (i^a -H V— l.S'a Noemt men die reeks convergent, indien de beide reeksen V + /'a + i'* "I- en S'l -H S'a 4- S's -+- S'* +.... gelijktijdig convergeeren; divergent daarentegen, wanneer Eulks niet het geval is, of ook wanneer ^^n van beide of beide reeksen divergeeren. ^ Komt echter de reeks voor in den vorm dan kan de gewone bepaling van convergentie en divergentie van reeksen met reSele termen ook op die met complexe termen wor- den toegepast. Zulk eene reeks noemt men dan derbalve convergent of divergent, naargelang de grenswaarde, waartoe de som van een zeker aantal termen nadert, eene bepaalde eindige groot* heid is of niet. Wij "zullen ons bier aan deze laatste bepaling houden, en trachten eenige kenmerken van convergentie van noemde reeksen af te leiden. In de Analysis wordt geleerd, dat, wanneer in de reeks flechts positive termen voorkomen, en elke term dezer reeks is gelyk of grooter dan de volstrekte getallenwaarde *) van den over eenkomstigen term der reeks door voUirekte geiallenwtiarde C^alear absolae) yao een complex of reeel geial verataat men rgne waarde, zonder dat daarbg gelet wordt op d<D richtings-coefficient, of m. a. w. de w&arde van den modnlus, wanneer meo van desen alleen zgne grootte op het oog heeft. 187 ^1 4- ^a H- *s + ^4 "*" ^6 "*" • • • • » zoodati met het oog op die getallenwaarde) voor elke waarde van k ^* — ^» ^^> ^^^ 2al deze laatste reeks convergeeren, indien de eerste convergeert. Deze stalling geldt ook, wanneer b^, 3j, ig,.... willekeurige complexe getallen voorstellen. De eigenschap, dat de modulus van de som van n complexe getallen niet grooter kan zijn dan de som der moduli dier getallen (t.a.p. N^. 16), geldt namelijk voor elke waarde van n, en dus ook voor w = oo ; is dus a^/x^ + a^/a^ ■+ a^/x^ -f- a^/x^ 4-.... = c/y, dan is c < a^  = 2«|, 3 = 3«|,,... en dus de genoemde reeks overgaat in a^/x -+- a^/2x 4- «3/3« -|- a^f^x -f-.... ;,.. (4) vooraf vermelden wij echter de volgende toepassiogen van bet voorgaande. 1®. Zijn de reeksen Oi/«i 4- h/h "H h/h 4- ^4/^4 4-.... en l^f^^ 4- ^a/lSj 4- ^g/Ps 4- h^f^^^ -h.... van dien aard, dat de reeks, die gevord wordt uit de som der produkten der overeenkomstige moduli, in volstrekten zin genomen. Een ander eenvondig bewgs van dit keomerk is het volgende. Convergeret de reeks fl^ 4" «2 4- flg 4- ''f* 4* flg 4- • • • • j dan is zalks ook het geval met de reeksen Cos «C| 4- ^ ^0% At) 4-  »^ 4- i Sin x^) 4- flj {Cos Oj 4- * Sin x^) 4- a^{Co8 x^ 4- i Sin a^) 4-« •... waarvoor men kan schr^ven:  + H\Hh 4- Pa) H Zijn das C|, c^, Cg, •. willekenrige eindige complexe getallen, dan convergeert ook de reeks 2®. Voor £1* < 1 convergeert de reeks 1 4- fl -f a* -H a' 4- fl* -h...., dit zal dus ook het geval zijn met de reeks i 4- afot, 4- a^f2x 4- a^fZx 4- a^gt 4-.... of, wat hetzelfde is, met de reeks 1 4- CL/ot 4- (fl/«)* 4- {a/oLf 4- («/«)* 4-.... Door beschouwingen, die overreenkommen met die, welke bij de sommatie van oneindig afdalende meetkundige reeksen van rekenkundige getallen worden gevolgd, vindt men voor de limiet van de som der complexe reeks 1/0 — a/» 4-1 — a/x ' en in verband met formule (8) t.a.p. ^_ 4-1 — g/(2y — «) 4-1 — 2aCo8ti 4- a** 8^. Convergeert de reeele reeks dan is zulks ook het geval met de complexe reeks  IX. onder dezelfde voorwaarde convergeeren, en dan ook de ontwikke-ling voorstellen van den vorm (1— a^a). 4. Boven zagen wij, dat de reeks a^f* "H «9/2« -h a^/Ba -f- a^f^m -H (4) onvooTwaardel^k convergeert, indien zulks het geval is met de reeks der moduli ff| -H fls + ^4 + ^5 + (2) Thans zullen w^' onderzoeken, of de conyei^entie dezer laatste reeks eene noodzakelijke voorwaarde is voor die der complexe reeks (4). Wij onderscheiden daarbij de volgende vier gevallen. a. alle moduli zi^jn gel\jk; b. de moduli worden voortdurend groo- ter; e. de moduli worden voortdurend kleiner, maar zoo dat Grens ajt eene eindige grootheid is ^ die van nul verscliilt; en d. de moduli worden voortdurend kleiner en Grens ajc is gelijk aan nul. a. De moduli zijn gel^k en dus a^ =z: e^^ = ^s =•••• = aib ^=^ ••>• ; in dit geval kan de complexe reeks (4) geschreven worden in den vorm Oj (l/« 4- l/2« -f- 1/Za -H l/4« -+- ) • . (5) Nu is l/a+ l/2ae + l/3^4-> . . .+ 1/^^ = "*" ^ ~/^^! t ^^ ^ >*) voor eene oneindig toenemende waarde van ^ nadert deze waarde geene bepaalde grens, zoodat ook de waarde der reeks (5) geene bepaalde grens nadert, en derhaWe de reeks (4) divergeert. b. De moduli nemen voortdurend toe en vormen dus eene op* klimmende reeks; in dit geval zal de reeks (4) nog des te meer divergeeren. *) Of aldns. XJit ^ ^ ^ « . , ^ y Sin (k -{^ \) a ---^ Sin ia 2Sinia en 8iHa+ Sin 2a + 5i» 8a +. . . .+ Sin X:a = ^ ^J\ ^ ^ 2 iJtn ^a Tolgt 1/a + l/2a H- l/8a ^.. ; . .-f- l/k<z = = ^ l—Sin Ja 4- I Cm ia + /Sm(^-f. i)a - i Co*(^ + i)a] = 2 oiin ^a _ 1 r, ^*+« . 1 ^ SiT -t- (2^ + 1) a 1 ~ 2^rp L -^"T" "^ ^-^ 2 J ' Toor eene oneindig toenemende waarde van ^, enz., zie boTen. De moduli warden vooriduread kleiner, maar zoo dai Grens Ck eene eindige groothesid is; is nu Grens ajt z=z K, dan kan men de complexe reeks splitsen in de som van de beide reeksen {«! — ^)/2« -H (fl, — A)/3« +..... ^ A/« + A/2a -H A/3a -!-...; waarvan de laatste volgens het bovengezegde divergeert, terw^l de eerste, zoo als uit het yolgende (zie d.) blgkt, convergeert bekalve Yoor a::^0 en =: 2n9F ; zoodat ook in dit geval de reeks (4) steeds zal divergeeren, w^l zolks ook yoor a z= en = 2n9r het geval is. Laat eindelk de moduli voortdurend afnemen en Grens Aisle = zijn ; nu is (0- «,) + («, — fla) + (aj — «t)+(«8 — «4)-H •••• eene convergente reeks, wier som tot de grenswaarde nadert; derhalye oonyergeert nu ook de reeks (0 — «|)/« H- («! — a^)/2a + (oj — a^/Zct. + (a, — <^aj/^ + •••• waarvoor men kan schrijjyen 0/a4.(— l4-l/a)fl^/a+(— 1-f 1 /a)aj/2a+(-^l+ l/a)fl,/3a+.M en bggeyolg ook (—14. \/oi) {a^foL 4. flj/2a + flg/Sa -f- a4/4a +..•.)• Daar nu de grenswaarde yan dit produkt eene bepaalde eindige grootheid moet zyn, zal zulks ook het geyal moeten zijn met de grenswaarde yan den factor «i^a + flj^2a 4- a^/Za 4- a^^da 4-. •,, yoor zooyer namel\jk de standyastige factor — 1 + 1^« ^^ ^^ yerschilt, dat is yoor alle waarden yan a, behalye yoor as= «i^a + En a = 2nw, De reeJce ai/ct 4- a^/2» 4- a^/3x 4- a^/3x 4- a^/tt + (4) j?aZ £?tf« «^e&(2s convergeeren^ toanneer a van m 2nx verecMU en de moduli voortdurend zoodanig afnemen^ dai Grens /tj^ = m, en dat zelfs dan nog, wanneer de reeks der moduli op zich zelye diyergeert *)• Hoewel b^'yoorbeeld de reeks 14-i4-|H-i-*-*-.... diyergent is, is de daaruit afgeleide reeks 1/ji 4- \/2a + J/3« 4- i/4a 4- |/6« 4- •... conyergent yoor alle waarden yan «, behalve yoor « = en a =: 2)if • Voor « =r x- gaat zy oyer in de conyergente reeks *) Zie SCREiBMEB, Veher unendliche Reihen^ 1860. S. 9. Voor a=ff vol* gen uit dit algemeene kenmerk onmiddellijk de meer b|jzondere voor de reiele reeksen met afwisselende teekens. 191  (4) kan men die yan de reeks met afwisselende teekens a^foL — flr5^2« -h flj^Sa — a4^4« 4- (6) gemakkelijk afleiden. Yervangt men namelijk in de reeks (4) « door 5r 4- «, dan zal de daardoor verkregen reeks «i/(^ 4- «) + a^/{29r + 2«) + a^/(H9r 4- 3*) -+• a^/^^w-^ 4«) + .... of — a^/tt'f'a^/2ct — fl8^8«T-flr4^4di— .... convergeeren , indien t + a van en 2fijr, of wat hetselfde is, indien « van (2» — l)3r verschilt. Worden derJialve de moduli der reekaen Oi/ti 4- a^/2a 4- o^/^» 4- a^f^oL 4- (4) 6» ff|/« — a^/2a 4- a^/ScA — a^/iet 4- (6) voortdurend kleiner en U Grens a^^ = , e^it itm^^ ^^'e^ reekaen convergeeren^ behalve de eersle voor aczzzO en a^=z2nit, en de lacUste voor » = (2« — 1) 5r. 6. Wat eindel^k de toepassing van de hoofdbewerkingen der rekenkunde met complexe reeksen betreft, is het gemakkel^k na te gaan, dat biervan hetzelfde geldt als van de bewerkingen met reeele reeksen. Het bew^'s voor de eigenschap dat „de som van twee convergente reeksen voor de gemeenscbappelyke waarde voor welke beide convergeeren, weder eene convergente reeks vormt, en dat de limiet van de som dezer laatste reeks geli^jk is aan de som der limieten van de sommen der eerstgenoemde reeksen", geldt zoowel voor complexe als voor reeele reeksen; terwyl de overeenkomstige eigenschap voor bet produkt van twee reeksen: „bevatten de convergeerende reeele reeksen Oq 4- «i^ 4- <v' + ^8^ -H* • • • en ^0 "*" ^i^ + ^a^' + *3«* 4-. . .. slechts positieve termen, dan is bun produkt identiek met en de limiet van de som dezer reeks gelijk aan bet produkt van de limieten van de sommen der gegeven reeksen", onmiddellyk uit de convergentie der complexe reeksen <»o + f^i^/» 4- «2 {^/«)' + «a (^/«)* 4- • . .. en Co^o -r ( Vi 4- «i^o) ^/« + ( V« 4- ^ih 4- «a*o) (^/«)' 4- • . •. kan worden afgeleid. 192 7. Ten slotte merken w^ hier nog op, dat ook de eigenschappen van de dubbelreeksen met geringe wigziging bl^'ven gelden in bet geyal, dat zy complexe termen bevatten. Indian byv. de positieve dubbelreeks an -H a^^z + «i««' +. . .. -H «it + «ii^4- «i8^* +. . .. + «ai -f- «54^+ ««««* -H. • .. + convergeert voor eene positieve waarde van g, g :=iZQf dan zal zy blyven convergeeren y wanneer men z door de complexe waarde zfa vervangt, yoor elke waarde van Zy die gel\jk of kleiner is daD i?0. GESCHIEDENIS EN BIBLIOGRAPHIE DEB WISKVNDE. JOHANNES BERNOUILLI, EN ZIJN STRIJD OVER HET BEGINSEL DER LEVENDIGE KRACHTEN. Door Db. P. VAN OEBB. Het is myn doel niet in dit korte opstel den belangrijken en langdurigen stryd over het beginsel der levendige krachten uitvoe- rig en in zyn geheel te beschrijven. In verschillende werken (MOUNTULA, Lagrange) vindt men hem meer of minder volledig opgeteekend; noch niet lang geleden verscheen het bekroond prijs- schrift: Kritische Geachichte der allgemeinen Prindpien der Mechanik, von Dr. E. DiiHBiNG, (Berlin y Verlag von Theobald Griehen) dat in vela opzichten voor de studie van de geschiedenis der exacte wetenschappen aanbeveling verdient, en waar men in het genoemde beginsel betreft. Hier wilde ik slechts de aandacht vestigen op eene episode mit dien sträd, die minder algemeen bekend kan geacht worden, omdat zy eerst aan het licht is gekommen door de uitgave van een in de Fransche taal geschreven epistel van Johavnes Bbnou Ill aan de Maibait; een brief, die tot voor twee jaren in het stof der Academische Bibliothek te Bazel lag begraven, en toen door de zorg van den bibliothekter is opgedolven en uitgegeven. Dit had plaats by gelegenheid van een feest aan die universiteit; het werkje schijnt niet op de gewone wyze in den handel te zijn gebracht, maar toen bij de luisterrijke viering van het jubileum der Leidsche Hoogeschool de buitenlandsche Universiten met adressen en feestgeschenken hnnne deel-neming kwamen betuigen, brachten de afgezanten van Bazel ook seltene exemplaren van liet werkje mede, en ontving ik een daarvan door bemiddeling van den geachten Conservator der Academischen Bibliothek alhier. In verband met andere saken, waarvan ik in een vroeger werkje *) een en ander vermpldde, kwam my die brief zoo belangrijk voor, dat ik niet kon nalaten de geschiedenis, waarop hy betrekking had, nogmaals na te gaan, en bet reaultaat myner onderzoekingen in dit opstel near te leggen, in de verwacbting, dat de ze kleine bydrage tot de geschiedenis van een der belangrykste beginselen der theoretischen mecbanica aan de lezers van dit tydscbrift niet  zijn gelukkigen mededinger optrad. Leest men de gewone levensberichten van deze beide geleerden, dan ontvangt men den indruk niet alleen van het gelukkige en gezegende van bun leven, maar ook van den volkomen harmonic, waarin yader en zoon leefden, van den trots, waarmedc de oudste de vorderin-gen van den jongste gadesloeg, van den kinderlyken eerbied, waarmedc deze tot gencn opzag. Hoe verandert echter die indruk, wenn men door latere en naawkeuriger berichten tot de kennis. Omstreeks het midden dezer eenw verscheen te St. Petersburg de Correspondance mathémaiique et physique de quelques cdlehrea geomürei du 18. sQcUy waarin eene geheele reeks brieven van beide geleer-den aan hnn gemeenschappeljken vriend Euleb voorkomt. Hierin Icest men niet zonder verrassing, hoe de vader zich beklaagt over de waanwflsheid van zyn zoon en Euler roemt, waar deze den jogen mededinger eens duchtig op z^ne plaats zet; hoe omgekeerd de zoon in later jaren niet zonder grond zyn vader beschuldigt van plagiaat tegenover zijn eigen zoon gepleegd, en een langen, in zyn eigenaardige uit Fransch, Duitsch en Lat^'n gemengde taal geschreven, brief vol klachten over de ongepaste handelweise zijn tijd. Het heeft onzen JOHNNES Bebkouilli ook gedurende zijn leven allerminst aan eerbew^jzen ontbroken. Hy was in brlefwisseling en verkeerde met de grootste geleerden van zijn tijd. Leibnitz vooral was zijn bijzondere vriend, met Wien hg voorldurend eene levendige correspondentie underhield, die later is nigegegeven, en vele, zowel politieke als wetenschappelyke merkwaardigheden bevat. Hij was gedurende eenige jaren aan het einde der zeventiende eeuw Hoogleeraar te Groningen, waar hy mathesis en physica doceerde. Zoowel de Hoogeschool van Utrecht als die van Leiden hebben alle pogingen in het werk gesteld om hem te lokken, doch h\j weerstond al die eervolle aanbiedingen; en toen hem later de gele- genheid werd geopend om in zijn eigene vaderstad als hoogleeraar op te tredeuy gaf h^* zelfs z\)ne betrekking te Groningen pr^js, en verliet ons land, om naar Bazel terug te keeren, waar hij geSerd en geacht zijn verder langdurig en werkzaam leven doorbracht. De strijd over het beginsel der levendige krachten was reeds in vollen gang, toen Bebnouilli, in Bazel teruggeerd, zich als kampvechter in het perk vertoonde. Het is hier, zoo als ik hierboven reeds te kennen gaf, volstrekt mijn doel niet in zuver weten-schappelyke beschouwingen te treden, en zal mij dns bepalen tot de vermelding van zooveel, als tot recht inzicht dezer byzondere geschiedenis onmisbaar is. Leibnitz beweerde, in aansluiting by een vroeger door onzen grooten landgenoot Christiaajt Hutgens ontwikkeld denkbeeld, dat de maat der krachten moest gezocht word en in het product van de massa en het vierkennend der snelheid. Hierin werd hy heftig bestreden door de Cartesianen, die volhielden, dat de ware maat der krachten in het product van de massa en het vierkennend. 