Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
Stellen wieder de wortels van vergelijkning (3) voor door en fc^ zoo willen w^ ons de grootheden pi en qi nog verbonden deiiken door de voorwaarde dat fC| + fc^ = z\i ; welk verband wordt uitgedrukt door de yergelijkking die wegens den graad eu de homogeeniteit van (1) ook den vorm ^Pif9i = (6) aanneemt. Daardoor hebben wij dus » -f- 1 vergelijkkingen ^±;^ = X| en ^Pif9i = ^qifPi = yerkregen, waaruit nu A geelimineerd, en daama pi in fanctie van q^, o{ qi in fdnotie van pi kan oitgediaki worden. ... Pi "I" ^9i <v By de eliminatie van A gaan de n vergelijkkingen -— — — =2i 1 + A over in de » •«>• 1 vergely kingen gr^ — » Z^ ^_ g^ — X a _ ^8 — Xg _ g«---^ -Pi — ^1 Pi — -^ Ps — ^S *'Pn—^H welke nu in verband met ^Pifqi s ^^ifpi = geven qi^Xi _ 'S^9if'Pi — 'ZXuf'Pi _ ^^ifPi Pi'-Xi^ "Zp If - X^fPi ~ 2/l>i> — SXj/>/ Waaruit dus volgt ^XJipd-^Pif^X^fp, 9i = 2APi) - ^Xifp, £ 9i _ 1 /g. ^XiAPi)-PfiX^Pi~ 2APi)-^Xifp," • • • ^ ^ en evenzoo Pi 1 , -.... (7) zjjnde beide uitdrukkingeu onaf hankeligk van i. Wanneer nu tusscben de grootbeden pi een zoodanig verband bestaat^ dat z\j steeds voldoen aan eene bomogeene vergelijking van den m^^ graad ^ (a-i) =,••..•..... (8) zoo volgt daaruit met bet oog op (7), dat de grootbeden qi alsdan door de vergel^king * (a^<) = <f {2ii/l[^) — arjS2|/^J = (9) verbonden z\jn ; terw^l ook onmiddellijk duideligk is dat, wanneer Pi aan de betrekking ^ (ri) z=z geboorzaamt, qi ingevolge (6) aan de vergelyking {x{) = voldoen zal. Omtrent den vorm der vergelykken (9) valt bet volgende op te merken. Vooreerst is zij bomogeen en van *den 2»^ graad; bet- gegen dadel^k Yolgt uit de wijze, waarop zy verkregen is^namelyk door eene homogeene substitutie van den tweeden, in eenehomo- geene vergelijking van den m^^ graad. Ten tweede zal z^, in verband gebracht met eene vergelijking van den eersten graad S^i^izrO, • (10) in het algemeen daarmede tweemaal zooveel gemeenschappel^ke stelsels wortels bezitten als de vergel^king (8). Zoodra ecbter die vergelijking van den eersten graad den vorm Zalxi^X0 = O........ (11) heft, wanneer das bet stelsel ori = X^ daaraan voldoet ^ zollen er onder die 2m gemeenscbappel^jke stelsels wortels i» zijn, die de waarden X. bebben. Immers, wanneer wy ar|=Xi4- Ajr stellen, *) waardoor de vergelykingen (11) en  - VS V'^.^S (13) zoo blijkt duidelijk dat deze vergelijking na totale invoering van A|r in plaats van ar-, m wortels r = zal bebben, waaruit het boven gezegde volgt. II. Wy zullen tbans overgaan tot de toepassing van de analytiscbe bescbouwing, welke ons tot nu toe beeft bezig gebonden. f) *) Natanrlyk moeten de grootheden Ai verbonden zgn door de betrekking SfliAissO, welke onmiddelijk nit (11) volgt. By den tanvang daaraan moge echter eene opmerking gemaakt worden aangaande de daarbg gebruikte benamingen. De termen welke bg onze Dait-ache nabnren in gebrnik zyn in de „6eometrie der Lage" (aan welke weten-scliap zeWe ik gaarne den naam 7an „Leer der Higg" zon ge^en, daar het woord Oeometrie^ Meetkunde, mg totaal ongepast schgnt, waar sprake is jnist van een behandeling zonder meten), zgn voor zoover mg bekend is, nog niet ten onzent in een sjstematisch geheel overgebracht. Als eene aanvankelyke poging daar toe heb ik de volgende benamingen aangewend. 1^, Bundel, voor het geheel van vlakken en stralen door ^en pnnt gaande, zoodat de bnndel op gelijken trap staat met het vlak. Het woord bnndel verkrggt hierdoor een uitgebreider beteekenis dan het over het algemeen bg ons heeftf waar het meestal gelgklnidend met het daitsche uBiischer wordt gebruikt, terwgl het hier overreenkomt met het geen o. a. bg Rege den naam ^Bundel" draagt 2^. Puntençant (Panktreihe), Vlakkenrecht, Stralenrecht voor het geheel van punten op eene rechte, das in twee vlakken; van vlakken door ^^ne rechte, dns door twee pointen; van stralen door 66n pnnten in ^^n vlak. 65 Nemen w^ namel^k » z= 4, zoo kunnen de grootheden Xi, Xi, Pi ta qi ia dabbele beteekenis worden opgevat, namelijk ten eerste als homogeene codrdinaten van punten X, x^ p en q, ten andere als homogeene eoordinaten van platte vlakken X^ x, p en q in de rnimte. In dat geval stelt de vergelijking (1) voor de eeiste opyatting een pnntenstelsel, voor de tweede een ylakkenstelsel van de tweede orde voor. De Toorwaarde (2) beteekent dan, dat de,, > p. q en X ( vlakken) ^ ' steeds tot een,,, \ reeks r bebooren. Vlakken) De yergelijkkingen (4) en (6) dräkken het verband uit, dftt tns- sehen de eoordinaten van de gemeenschappelyke van de reeks r met het *^^^^ f stelsel. De vergelykingen (10) en (11) elndelyk stellen elk eene 1 IfV I ^^^^ voor, die in den vorm (11) het *^^, f X bevat. Nemen wy » z= 3, zoo kannen de grootheden Xi^ x^, pi en q^ in viervondige beteekenis worden opgevat ; namelijk als homogene eoordinaten 1®. van pointen X, x ^ p en q in een vlak; 2^. van stralen X, x, p en q in een vlak; 8®. van stralen X, x, p en q in een bandel; 4®. van vlakken X, x, p en q in een bandel; 4®. van vlakken X, x, p en q in een bandel. Alsdan stelt de vergelijking (1) naar omstandigheden een punten-, l^nen-, stralen- of ylakkenschaar van de tweede orde voor. 8^, Puniensehaar en lijnenschaar voor een geheel van pointen of reehte Ign En in vlakkensehaar en stralensehaar voor eeo geheel van vlakken of reehte Ignen in ^n bnndel. 4^. Funten-lehle vlakkemteUel en stralensieUel voor elk geheel van pnn* ten^ vlakken en stralen in de rnimte. De reeksen zgn dan steeds systemen van de eerste orde. De pnten- en Ignensoharen heeten ran de ne orde, wannecr sg met de pnten- of stralenreoksen ran haar vlakken- en stralenscharen, wanneer zg met de vlakken- en stralenreoksen van haar bnndx.-! n elementen gemeen hebben. Onder de stelsels eindelijk kunnen punten- of vlakkenstelsels gezcgd worden van de nt orde te zijn, wanneer zg met pnnten- of vlakken reeksen in de rnimte u elementen gemeen hebben. 9 66 Be Yoorwaarde (2) beteekent, dat de elementen p,q en X steeds pant en ") tot een stralen > reeks behooren, welke weder r moge heeten. ylakken ) De vergelijkingen (4) en (5) drukken dan het verband uit, dat tiisschen de coordinaten van p en q moet bestaan , opdat deze punten "^ een hannonisch verwant stralen > paar vonnen ten opzichte der vlakken ) punten *\ punten j |.. I gemeenschappelyke stralen > van de reeks r met de ^ . >schaar. vlakken J , ,, I •^ vlakken J De vergel^'kingen (10) en (11) eindel\]k stellen dan elk een punten ") stralen > reeks voor , die in den vorm (11) het element X in vlakken ) zich bevat. In deze zes beteekenissen opgevat, leveren ons dus de verkregen uitkomsten, evenals ook elke andere, die er uit zoude kunnen afgeleid worden, verschillende zostallen stellingen op, die nu dade- lyk kunnen worden neergescbreven. 01 • Wanneer in de ruimte a,. Wanneer in de ruimte een puntenstelsel van de tweede orde gegeven is , benevens een punt X; zoo beboort bij elk punt p van de ruimte een ander punt q van de puntenreeks pX, dat met jp harmonisch verwant is ten opzichte der gemeenschap- pelijke punten van de reeks met het stelsel. aj. Wanneer in een plat vlak een puntenschaar van de tweede orde gegeven is, benevens een punt X; zoo behoort by elk punt p van het vlak een ander punt q van de puntenreeks pX, dat met p harmonisch verwant een vlakkenstelsel van de tweede orde gegeven is, benevens een vlak X; zoo behoort by elk vlak p van de ruimte een ander vlak q van de vlakkenreeks pX, dat met p harmonisch verwant is ten opzichte der gemeenschap- pelyke vlakken van de reeks met het stelsel. a^, Wanneer in een plat vlak een lynenschaar van do tweede orde gegeven is, benevens een straal X; zoo behoort by elken straal p van het vlak een andere straal q van de stralenreeks pX, die met p harmonisch verwant 67 is ten opzichfe der gemeenschap- pel\jke punten van de reeks met de schaar. Wanneer in een bundei a 6* een siralenschaar van de tweede orde gegeven is, benevens een straal X\ zoo beboort b\j elken straal p van den bundei een andere straal van de stralenreeks is ten opzicbte der gemeenschap- pel^ke stralen van de reeks met de scbaar. a^. Wanneer in een bundei een vlakkenscbaar van de tweede orde gegeven is , benevens een vlak X; zoo beboort bg elk vlak p van den bundei een ander vlak van de vlakkenreeks pX ^ die met p harmonisch ver- pX^ dat met p harmonisch ver- want is ten opzicbte der gemeen- want is ten opzicbte der gemeen- scbappelyke stralen van de reeks scbappelgke vlakken van de reeks met de scbaar. met de scbaar* Deze stellingen zijn alle begrepen in de vergelgking (6). De daarmede overreenkomstige vergelgking (7) leert ons dan vervolgens (daar de coordinaten in den zin, waarin zj bier worden opgevat 9 geene absolute getallen zgn, maar alle in dezelfde verkleind mogen worden) dat indien de coordinaten van p voorgesteld worden door;?,, die van quellen zijn ft = ^^ifiPi —P^XifPi De afleiding van (9) uit (8) leert dan verder, dat Indien bet punt p in de b^, Indien bet vlak p in de raimte een puntenstelsel (a7|)=0 ruimte een vlakkenstelsel 0{x^-z=,O Tan de m^ orde doorloopt, bet punt q een puntenstelsel van de vlak q een vlakkenstelsel van de 2«t^« orde doorloopt, welks vergelijking is ^ {x^ = 0. ^3. Iqdien bet punt p in een platvlak eenpuntenscbaar^(ari)=:0 van de m^« orde doorloopt, bet punt q in betzelfde vlak eon puntenscbaar van de 2»i*« orde doorloopt, wier vergelgking is * (^i) = 0. ^3. Indien de straal p in een bunde een stralenscbaar van de 2w^« 2»»*® orde doorloopt, welks vergelijking is ^ (ar|) = 0. bj^, Indien de straal p in een plat vlak eenlijnenscbaar^(afj)r=:0 van de w^« orde doorloopt, de straal q in betzelfde vlak een Ignenscbaar van de 2i»^« Ignenscbaar van de 2i»^« orde doorloopt, wier vergelyking is dg« Indien bet vlak p in een bunde een vlakkenscbaar^(ar|)i=0 van de m^^ orde doorloopt, bet vlak q in denzelfden bundei een vlakkenscbaar van de 2nJ^ 5* 68 orde doorloopt, wier vergelyking orde doorloopt, wier vergelyking is iKari) — 0, is ^{Xi)=:0. Zijnde in al deze gevalien Tevens is onmiddeimk duidelyk, dat de meetkunstige systemen (p (aTj) == en 4^ (arj) = wederkeerig £yn. Het resultaat eindelijk, dat door de vergemking (13) geleverd wordt, leert dat het systeem van 2m^ orde in elk der zes geyallen het element 2C als m-voudig element bevat. Het blgkt dus, dat deze methode van transformatie gelegenheid geeft, om nit eigenschappen van systemen van de eerste orde, dus van rechte lijnen , punten of platte vlakken , eigenschappen af te leiden van systemen van de tweede orde. Evenzoo kan verder van dezen overgegaan worden op systemen der vierde orde, enz. Wanneer b^'voorbeeld het systeem van de eerste orde» dus 0{*i)=Sajiri = O is, zoo is 4r(jr|)^Sa| {2JLj/(irj)— arjfciTi/'^jjsO, eene vergel^king, wdke na rangschikking den vorm aanneemt waaruit daddijk blykt, dat het element X aan die vergeligking voldoet. Uit al het voorgaande is klaar^ dat de hier gebezigde transfor- matie in elke der zes mogelijke opvattingen neerkomt op de ver- wantschap van eenig element met het daarmede geligksoortige, dat met hem harmonisch verwant is ten opzichte van een gel^ksoortig systeem van de tweede orde. m. Wy laten thans deze algemeene beschouwing varen, en gaan over tot eene eenigszins meer naauwkeurige onderzoeking van een der daarin begrepen gevallan. Wij kiezen daartoe het platte vlak, en nemen in plaats van homogeene coordinaten gewone recht- hoekige assen, en in plaats van de algemeene fanctie Sai^-r{j^r=:0, de vergelyking --1-^ = 1......... (14) van de kegelsnede met een middelpnnt. Bovendien veronderstellen wij , dat het punt X met den oorsprong, dus ook met het middel- pnnt der kegelsnede samenvalt, alsmede dat de'co5rdinaten van p zijn x^ en y^, en die van q, x^ en y^. Men zal dan licht vinden, dat in plaats van de vergel-kingen (2), (4) of (5), (6) en (7), thans de volgenden treden: x^tf^z=zx^^,. (16) 69 ^^ar^arj + a^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^y^ 3° = en 2a%y + V^3 = 0; > De middellijn dier kegelsnede » welke door den oorsprong gaat, heft tot vergelijking y z=i -^-^x \ hare richtingsconstante is « = -l-5, terwyl die der oorspronkelyke lyn is a' = — ^, zoodat ««' = r ; waaruit blijkt, dat die middellyn de gekop- a* pelde is van die, welke met de gegevene lijn evenwijdig loopt. Laten wij de rechte l\jn ^{x ^ y) om een vast punt met de coordinaten /?, q draaien, zoodat a^p -H ^ijf +• (?| = is; zoo is ook zoodat dan de middelpunten van al de wederkeerige kegelsneden op eene rechte lijn liggen, wier richtingsconstante is r-, en die derhalve evenwijdig loopt met de pooll^n van het vaste px qy punt, die tot vergelijking heeft — -h ~ — 1 =z 0. De functie körner, y) wordt in dat geval zoodat de kegelsneden behalve den oorsprong nog een tweede punt gemeen hebben. Zij kunnen eben niet mcer dan tweede gemeen bebben, daar anders de recbte lijnen elkander insgelijks alien nog tweemaal moesten snijden. Inderdaad leveren dan 00k de vergelijkingen h^px^ — r aHH 4- fl*/^' = en i'j'aja — aHhf -f- a^qy^ =1 by oplossing slecbts twee eindige waarden voor x en y. Is (p (a?, y) = a^^x^ -+- "^f^iv^ -h Za^^ -|- flfj^y* -h 2fl[jjy + a^g = 0; zoo is of na nitwerking cfib^  b^ die van een cirkel, welke door den oorsprong gaat; terwyl (23) bij de veronderstelling ^33 = eene rechte lyn voorstelt; zoodat wy de bekende eigenschap verkrygen, dat de wederkeerige van een recbte lyn, by circulaire inversie een cirkel is, die door het middelpunt van den directie cirkel gaat. De methode van circulaire inversie blijkt dus een zeer b^zonder geval te zyn van de door ons behandlde transformatie-methode van den tweed eu graad. De" eigenschappen, welke zich by die metbode voordoen, zijn te bekend, dan dat zy hier eene bebandeling zouden behoeven. AUen willen wij ten slotte nog een toepassing der circulaire inversie maken. Wanneer in een vlak twee cirkeb B^ en JZj gegeven zijn, kan men oneindig veel cirkel construeeren, die beide aanraken. Kiest men een dezer p^ uit; construeerfc daarna een cirkel p^* welke E^^ R^ en Pi aanraakt; vervolgens een vijfde cirkel P3, welke J2|, B^ en p2 op dezelfde r-yze raak t, als pj zulks ten opzichte van B^, en gegenständig de zelfde wyze biermede voort; zoo kan bet gebeuren dat onder de cirkels p er eindelijk weder een optreedt, die p, aanraakt, of dat dit niet het geval is. Treedtde erste omstandigheid in, zoo kan men de reeks p als eindig, in bet tegenovergestelde geval als oneindig. voortloopend bescbouwen. In nn de vergelijkingen der beide cirkels B^ en B^ respective zoo is de oorsprong een bunner grenspunten; eene veronderstelling, die bet naturlyk steeds geoorloofd is te maken. Transformeren wij ze dan door circulaire inversie ten opzicbte van den cirkel a?-|-y=: 1, zoo zyn bunne wederkeerigen (x^—f. — 5) -|-y = —, *,, = J2.^... (26) V^ ^ B^^ — aV ^ {B^^ — a^f * ^ ^ zoodat deze blyken concentriscb te zyn. Daar nn elkander rakende cirkels door circulaire inversie weder in elkander rakende cirkels overgaan, zal ook bet stelsel der cirkels p een dergelyk stelsel p' leveren, die alien de cirkels J2|'en B^* raken, en waarvan elke volgende ook den vorigen aanraakt. Deze reeks p' zal nu ook tegelijk met de reeks p eindig zyn of niet ; en daar dit bij het stelsel p', wegens de concentriciteit van B^* en 22j', onaf hankelijk is van de plaats, waar de eerste en 72 dier cirkels geconstrueerd wordt, moet zulks ook met de cirkels p het geval zijn. Het bl^kt dus, dat op het al of niet eindig z^n der reeks p de keuze van p| niet van invloed is. Om eindelyk de de betrekking op te sporen, welke, ingeval de reeks eindig is, bestaan moet tusschen bet aantal n der cirkels van de reeks, het aantal van hare omgangen > en de großheden Ri^ E^ en m, gaan w\j aldus te werk. By bet stelsel p' is bljkbaar, indien 20 de hoek is, gevormd door de lijnen, die bet middelpunt van 2S/ verbinden met de middelpunt van twee opvolgende cirkels der reeks p', Sin = r- — : ; terwijl uit de vergelijkingen (26) en (27) volgt J2| 2 22|2 Jt^ * waaruit rolgt «,' «s(l + m) ' of daar = — is, n oin —'HZ., „ ff^ 4. /?2(1 + m) betgeen de gezocbte betrekking is; waaruit dus byvoorbeeld bg gegeven, n, 7?^ en /fg de parameter m zou kunnen berekend worden. BESCH0UWIK6 OVER SYMMETRISCHE VWmm. DOOK r, KAPTETN. Noemt men eene symmetrische fanctie eene fonctie, waarin de yeranderlijken x, y, ;?... geheel op dezelfde wijze voorkomen, dan is eene Bymmetrische fonctie rz=Comt.+ A'\B -^C '\- -h 3f ;.... (1) waarin A eene homogeene functie van den l«* graad, B eene homo wajarait A eene homogeene functie van den l«* graad, B eene homo wajarait A eene homogeene functie van den l«* graad, B eene homo wajarait A eene homogeene functie van den l«* graad, B eene homo wajarait A eene homogeene functie van den l«* graad, B eene homo wajarait A eene homogeene functie van den l«* graad, B eene homo wajarait A eene homogeene functie van den l«* graad, B eene homo wajarait A eene homogeene functie van den l«* graad, B eene homo gegen functie van den 2^ graad, en voorstelt. Vervangen wy nu in(l)^, J5, C.,,,M door hare waarden uitgedrukt in differentiaal-quotienten van F, en bepalen wy de constante; dan wordt (I) de betrekking, die er tussclien eene funcie en bare difFerentiaal-quotienten moot bestaan, wil zy volgens bovengenoemde bepaling symmetrische zijn. Tot bekorting van de volgende berekening zij V alleen eene fanctie van ar en y. Uit de leer der homogeene function (Sturm, Courz d^Analyiey p. 156, Dl. 1) weet men: dA dA ^ / dA dAY^) ^^ + ^^ = '-^' {''T.'^'df) =^-«^»*) dB dB ^ ^ / dB dB\(«> ^ , ^ d3f dM „ / dU dM\9^ , ,^ „ Telt men deze kolommen op, dan is in verband met (I) dV dV dx dy / dV ^r\<2) ( ar — H-y-— ) = 2.1^ 4- 3.2(7 H- . . . .4- w (w— 1) if. \ dx dy f Op deze wyze voortgaande, vindt men verder (dV rfr\("»>. X— +y~J =»i(«i — 1)... ,2.1. if =(j»)/ if. »a; dy / *) De exponenten tnsschen haikjee hebben hier dezelfde beteekenis aU by Stubk. 74 Ten einde uit de laatste m vergelijkingen J , i? , . . . . Jf op te lossen, scbryyen w\) kortheidshalTe dr dV dan is {my /„— 8)/ ^ I -"^^ 12 ^ 1.2.8 ' '^*""*^ — rj.'"— ^ T^ (w-2X«-3) (i»-l)(».— 2X«— 3) ^ (Si:iy-'^+-T-^+ -^72 — ^+ TO ^-^ m (m — I) (« — 2)  1)/"* r2 'o»y ' — (w _ sy ~ \m — 2)l'^ Tl2 \m — 1)/ ~ «i(»t — l)(»z— 2) ^<"») "■ 1.2.3 •(»»)/' ~(«-.4)/ ]"'•(« — 3y"* [72 *(«— 2).'~ ^ ^ »t— l)(»t— 2)(«— 3) ^<"'-^> m (w— 1) (»— 2) (»— 3) ^) 1.2.3 •(«— 1)/"^ 1.2.3.4 "W' * ^ w^ 3 ir(8) 4.3 ;rw 6.4.3 ^w -B = —7-. — r. (2)/ 1 (3)/ 1,2 (4). 1.2 3 (6)/ m(m—) JF^^) • • • • . » •. ^- 1.2 •(»>' 75 _ fFiX) 2 JTl^ 3.2 W'") 4.3.2 JFW "^ ~ Tiy ~ 1 'W "^ i^ * W" ~~ 1^273 •■(4)7 "*"*■• * 1 (»i)/ Sttbstitueert men deze waarden in (1), dan vindt men ^0) ^<«) ^(8) ^(4) ^(~) waarin het laatste teeken positief genomen moet worden voor m oneven, en negatief voor m even. De waarde van de constante vindt men door in (2) a? en y gel^k nnl te stellen ; noemen wij de waarde, die F dan verkrjjgt, Fq^ en vervangen wy de teekens JF en ml door hare waarden, dan is du3 de gezoclite voorwaarde ( dF dF\ 1 ( d'^F ^ d^F ^ d^F ^ AIs byzonder geval ran 't voorgaande z^ V eene fanctie van x alleen  (4) zijn natunrl^k F'=r Const, -j-ari ^(!)+^'*©+^^(!)+^'©' waarin ^, J', ^ • • ^ willekeurige functien, en /(a?) = ^ -h 5ar 4- Car* + i)ar« +... 2to«i, waarin A, B, C, D^.,,R willekeurige constanten z^'n. Had men uit deze twee laatste vergelijkingen de willekeurige functien en de willekeurige constanten geelimineerd, dan had men waarsch^nl^k dezelfde resultaten mftten vinden. *) Zie Frbnbt, Seeueil d'Exereiees tur 1$ Cole, ItrJiMiiMmaL, p. 18. PRUSVEAG N^ 7. Opgeloat door G. 8 CE OVTBN. Als eerig punt eene haan ajlegt, en uit een willel'eurig aangenomen vast punt lijnen getrokken warden, die voor elk oogenblik de snelheid van let bewogen punt in richting en grooUe voorsiellen, vormen de eindpunten dezer lijnen eene kromme, de zoogenaamde hodograapli. Men vraagt die kromme voor verachillende gevallen van het punt te ober, en jårverhand met de bewegjen van het punt te ondørze. Uit de bepaling van de hodografschap volgt onmiddelijk hare hoofdeigenschap, dat de snelheid, waarmede zy beschreven wordt, änder oogenblik in grootte en richtig de versnelb'ng van het punt gefet. De versnelling toch van het punt is de oneindig kleine snelheid, die het gedurende een tijd-element onvangt, berekend voor de eenheid van tyd. Die oneindig kleine snelheid nu wordt gegeven door hel boog-element van de hodograaph, in dat tijd-element beschreven; de snelheid dus, waarmede dit boog-element beschreven wordt, is de versnelling van *t punt. Analytisch wordt deze eigenschap op de volgeade wijze bewegjen. Zijn X  in de baan. Beteekent verder <r den boog van de hodograaph, dan is dff H 77 of, in woorden, de snelheid in de hodograaph is gelijk aan de TersneLling in de baan. 2. Uit deze hoofdeigenschap volgen dadeli[jk eenige eigen- schappen der beweging. Heeft bet punt eenparige kroml^nige beweging, dan isde bodograapb eenige eenige, schappen der beweg, de bodographisebe oorsprong en welks straal de grootte der snel- beid is. Omdat de bodographiseb bare voerstralen loodrecbt op de snelheid, dus loodrecbt op de baan gericbt is. Is, omgekeerd, de versnelling loodrecbt op de baan gericbt, dan zal de bodograapb bare voerstralen loodrecbt moeten signen; bygeyolg zal zij op een boloppervlak moeten liggen, welks middel- punt baar oorsprong is. De snelbeid der beweging is dus stand vastig. De boofdeigenscbap der bodograapb leert dus, dat de versnelling van eenparige kromlijnige beweging loodrecbt op de baan is gericbt » en dat, omgekeerd, de beweging eenparig moet zijn, als de versnelling loodrecbt op de baan is ; wat trouwens ook onmiddell^k uit bet beginsel van levende kracbt volgt« 3. Verder lecrt die boofdeigenscbap, dat de bodograapb van elke beweging, waarbij de versnelling een stand vastige ricbting beeft y eene recbte l^n is van dezelfde ricbting ; en, omdat de ontbondene der snelbeid, /loodrecbt op die ricbting, eene standi vastige waarde beeft, zal de hodograpbiscbe oorsprong buiten die lijjn liggen op een afstand gelyk aan die waarde. Zoo is b. V. de bodograapb van de paraboliscbe beweging eene Recbte lijn, die eenparig bescbreven wordt. En wordt bet punt door een vlak aangetrokken met een kracbt, evenredig aan zijn afstand tot dit vlak zoodat de baan eene Sinuso'ide is; dan zal de bodograapb eene recbte lijn zijo, die scbommend bescbreven wordt, waarby gedurig eene scbommeling begonnen wordt, als bet punt bet vlak doorsnijdt, enz. 4. Is de beweging van bet punt eenparig cirkel, dan i voorverst de bodograf, een cirkel, welks middelpunt de oor-sprong, en welks straal de grootte der snelbeid is. Omdat de boek, dien de snelheid draait, voortdurend gelijk is aan den hoek, dien de voerstraal omwentelt, zijn de boeksnelheden van beide cirkelvormige bewegingen dezelfde. Is dus w die boeksnelheid, en r de straal van de baan van H punt, dan is de snelbeid V in de baan en de hodograaph, d. i. de Tersnelling in de baan; a=zvxa (2) Als door middel van (1) ait (2) v of oi geelimineerd worden, komt er Toor a a=z a>*r • • • • (3) Tevens is het duidelijk, dat de versnelling naar het middelpunt der baan gericht, das centripetaal ia. Is, omgekeerd, de hodograaph eener beweging een cirkel, die eenparig beschreven wordt, met baren oorsprong in bet mid-delpant van dien cirkel, dan moet de bewegige eenparige cirkelvormige wezen. Dat zij eenparig is, is daidelk; dat zij tevens cirkelvormig moot wezen, bläkt ait de omstandigbeid, dat de raaklijn aan de baan in gel^ke tijden gel^ke boeken bescbrijft,zoodat de deafgelegde weg in de baan evenredig is met den boek, dien de raaklynen van diens aiteinden met elkander vormen. De kromming der baan is bijgevolg standvastig; deze is das een cirkel. 6. In boeverre de bodograapb bepaald kan worden van central-bewegingeu, d. i. van zulke bewegingen, waarvan de versnelling voortdnrend door een vast pant gerichbt is, zallen wij n gaan onderzoeken. Dartoe zallen w^ de voomaamste eigenschappen der centraal-beweging ontwikkelen, waarvan wy in 't vervolg gebruik zallen maken. Is bet vaste pant de oorsprong der coordinaten, en zijn x, y, s, de coordinaten van  looden, uit het oentnun op de rakl^n yan 't punt nedrgelaten, dan is d dy dx waaroit /- =,--y-=C; d C bijgeyolg -=»= p (2) als V de snelheid yan 't pant yoorstelt. Verder is. = (r|)* + \^^' = _/ d^'O /drdiy ~Vdi) '^\dUU ' d^ wordt hierin de waarde van -^ uit (1) gesubstitaeerd, dan wordt de uitdrukking V of, door r = - te stellen, u ..=C.(«. + @*).(3, Eindemk is de versnelling F ^ d^f /ertV of; als r door - vervangen wordt, u 80 ,*l Nu is dt* uKdtl d^ d- ^ d" u ud^ ^ ^ m ^»** — "™",. - — _ Cu zzz — "~ dt d9 dt dd * d^ verder dt* ~ ^ di*'dt — ^ " d»« ' en, omdat— f — 1 = Ck* is, vinden wn u \al/ 6. Uit de formulen (1) en (2)blykt: by elke centraalbeweging is 1^, de baan vlak; 2^, de hoeksnelheid omgekeerd eyenredig met de tweede macht van den voerstraal; 3^. de lineaire snelheid omgekeerd evenredig met de loodlijn, uit  den Toerstraat beschreven, evenredig met dien tijdpterwijl C den dubbelen inhoud voorstelt van den sector, die in de tijd-eenlieid beschreven wordt. Verder geven de formulen (3) en (4), dat 5^. de hodograaph eener centraalbeweging volkomen bepaald is door de baan en het versnellingsmiddelpunt ; 6^. eene centraalbeweging volkomen bepaald is door hare hodograaph. Alleen de laatste gevolgtrekking eischt een bewys. Nemen wy aan, dat er two centraalbewegingen by dezelfde hodograaph konden behoore, dan moeten vooreerst de baneu gelijkvormig wezen, omdat de overreenkomstige voerstralen gelijke hoeken maken met de raaklijnen van de baan; is de vergelijking van de baan der eene centraalbeweging dan meet die der tweede wezen Ten tweede moetea de snelheden in de overeenkomstige punten dezelfde zijn^ zoodat volgens formule (2) van § 5, moet zijn, als C en C| de dubbele inhouden voorstellen van de aectoren, b\j beide bewegingen door de voerstralen in de eenheid van tgd bescbreven. Verder geeft formule (4) van § 5, voor.de versnellingen F en F| C.^ ^ F *~ c*p T Zoodat de wet van versnelling dezelfde is b\j beide centraalbewegingen, en het bewijs alzoo geleverd is. 7. Verschillende wegen kunnen nu gevolgd worden om de hodograapb eener centraalbeweging te bepalen. 1^. Door rechtstreeksche afleiding uit de formulen voor de bew 2. Door de hodograppen volgens de derde gevolgtrekking der vorige paragraaf te beschouwen als de kromme, wier voorstralen omgekeerd evenredig zyn met die der voetpuntenlynnder baan. 3. Volgens punt 2 van de vorige paragraaf is by de wet van Newton de hoeksnelheid evenredig met de versnelling. Door deze opmerking kan de hodograapb voor die beweging gemakkelk bepaald worden, zooals uithet volgende. 8. Omdat namelijk de versnelling der beweging de hodographische Bnelheid is, moet ook deze evenredig wezen met de hoeksnelheid van den voerstraal van 't punt. Daaruit volgt, dat de lengte van een boog der hodographische evenredig moet zijn met den hoek,dien de voerstraal gedraaid is in den tijd, dat de boog beschreven is; maar die hoek is tevens de hoek, dien de raaklynen van de uit-einden van den boog der hodographischen vormen. Hier nit volgt, dat de kromming der hodographischen oorsprong te bepalen, meeken wy op, dat de straal van de hodographischen volmaakt dezelfde bewegning moet het punt, omdat bj altijd loodrecht staat op de versnelling, en deze gericht is volgens den voerstraal, die altijd door 't vaste punt gaat. 10. Is de baan een cirkel, dan is de snelheid standvastig en geljk. prong van de hodograaph in haar middelpunt. 11. Is de baan eene ellips dan is de snelheid van het punt veranderlijk en bij ^^ne omwenteling SGO^ gedraaid, zonder ooit de waarde nul bereikt te hebben. Hieruit volgt, dat de oorsprong van de hodograapb uitmiddelpuntig, en binnen deze gelegen is. Ter bepaling van de excentrlciteit diene de opmerking, dat de middel-lijn der hodograaph geiijk is aan de som van de grootste en de kleinste waarde der snelheid. De eerste is — r- -, de tweede fl(I — f) Q -— ~, als a de halve groote as en f de excentrlcite van de a (1 4- f)'^ 20 baan is. De middelijn is dus r- ; of, omdat fl5(l — 6)r= a(I — f') C ^=: de halve parameter is, is de straal der hodograaph —. De afstand van den oorsprong tot het middelpunt is derhalve C C Ci — — — HZ —, bijgevolge de excentricite van den oor-p (I-h€)a p sprong f, dezelfde als die der baan. 12. Is de baan eene parabool, daa heeft het P punt in den top de grootste snelheid —, en eene snelheid nul in eene richtig loodrecht op deze. De oorsprong van de hodograaph light in dit geval op den omtrek. 13. Is de baan eene hyperbool, met de excentricité f, dus p hare vergelijking r = — -, dan is de grootste snelheid in X "I" f (y08 9 c den top geiijk — (I + €). De snelheid wordt kleiner, naarmate P Q het punt zich verwijdert; zij bereikt haar minimum --, als / de lengte van de loodlijn is, die uit het vaste punt op de asymptote wordt neergelaten; en omdat =r aj/g — 1 is, is de minimum- snelheid — — t""^'. ay/i^ — 1 Daar verder de eindsnelheid dezelfde richting heeft als de ver- snelling, meet zij eene raaklijn zijn aan de hodograaph; zoodat de oorsprong buiten don omtrek vau deze meet liggen. Is X de afstand van den oorsprong tot den omtrek, dan is ( C \',^ \ai/t^ — 1/ 1? waaruii ar = -r---- f-- ~- = - (i — 1). Be straal van de hodograaph bedraagt b^'gevolg /C C "\ c j/ (e + l)_ (t«l); = \P P ^ P f C\ c en de excentriciteit van den oorsprong far-H — 14. Yattenwäde deze uitkomsten kort te samen, dan komt er, dat de hodograpli der cenlraalbeweging, die volgens de wet van Njbwton plaats grjpt, een cirkei is, met den straal —, lerwijl de excentri. P cite van den oorsprong gelijk is aan die der baan. 15. Dat Let omgekeerde van deze stelling vraar is, blijkt uit de stelling, in § G bewezen. Op de volgende wijze kan hot echter gemakkeligke rechtstreeks bewezen worden. Is de hodograaph een cirkei, dan zal de straal van dien cirkei dezelfde beweging het punt; de hoeksnelheid van den voerstraal is bijgevolg evenredig met de hodographische snelheid, dus ook met de versnelling van 't pant. En, daar die hoeksnelheid omgekeerd evenredig is met de tweede macht van den voerstraal, zoo is dit ook 't geval met de ver- snelling van de beweging, die dus volgens de wet van Nbwton plaats grjpt. Dat verder de excentricite van den oorsprong de excentriciteit van de baan aangeeft, blijkt nls volgt. Is zij nul, dan is de snelheid van 't punt standvastig, en sny Jt de baan de voerstralen loodrecht. Deze is dus ook een cirkei. Is zij kleiner dan de eenheid, dan moet de baan eene ellips wezen, omdat de snelheid eene voile omwenteling maakt, zonder oort nul te worden. Is de straal van de hodograaph, en weer de getalwaarde der excentriciteit, dan is de grootste snelheid p(l -l-<)i de klein- ste p(l -f); en daar deze b^j de beweging volgens de wet van C C Nbwton respectivelijk geljk z^jn aan - (1 + c) ^^^ ~ (^ •*" 0» ^^ ^® excentriciteit der baan is, zoo geeft dit de volgende vergelijkingen; p(l+t)=£(l+e) p p(l-f)=^(l~e), p waaruit f = ^, C P = -. p waardoor 't gestelde bewegen is. Daar rerder nit formule (4) van {6 voor de beweging volgens de wet van Newton volgt C = j/ffp, als fjt de versnelling op de eenheid van afstand voorstelt, zoo is of ;,= ii. Zoodat en de excentricité der baan. De vergelijking der baan is das 1 ^tCo8 6'' waarin p en e den straal van de hodographieren en de excentricité van den oorsprong voorstellen. Is de excentricité i van den hodographischen oorsprong gelyk If dan kan de snelheid eene voile omwenteling maken, maar wordt eens nul. De baan van 't point is dns eene parabool, die voorgesteld wordt door de vergelyking C fA _ P Is eindelijk de excentricité van den hodographieren oorsprong groster dan een, dan kan de snelheid geene voile omwenteling maken en ook nooit uul worden. De baan is dus eene hyperbool. Het maximum der snelheid is p (e 4- 1) volgens de hodographieren. en — (e 4- 1) volgens de baan ; het minimum p^/f — I volgens P p|/f » 1 = ~|/g» — 1 ; P p|/f » 1 = ~|/g» — 1 ; P be vergelijking van de baan is derhalve H P p|/f » 1 = ~|/g» — 1 ; P Be vergelijking van de baan is derhalve H P p|/f » 1 = ~|/g» — 1 ; P Be vergelijking van de baan is derhalve H P p|/f » 1 = ~|/g» — 1 ; P Be vergelijking van de baan is derhalve H P p|/f » 1 = ~|/g» — 1 ; P Be vergelijking van de baan is derhalve H P p|/f » 1 = ~|/g» — 1 ; P Be vergelijking van de baan is derhalve H P p|/f » 1 = ~|/g» — 1 ; P Be vergelijking van de baan is derhalve H P p|/f » 1 = ~|/g» — 1 ; 1 -I- g (7o« 6 16. Vatten wij deze uitkomsten kort tesamen, dan vinden wij, dat de centraalbeweging, die tot hodograaph heeft een cirkel, plaats grijpt volgens de wet van Newton, en de vergelyking der baan gegeven wordt door /u _? waar p den straal van de hodograaph » s de excentricite van haren oorsprong en /u de versnelling op de eenheid van afaland voorstellen. 17. De kennis van de hodograaph stelt ons nu in staat, om über oogenblik van de beweging de plaats van het punt in zijne baan a an te wgzen. De versnelling is, en ook gelyk aan de hodographische snel- d^ gyu gj^ d% heid p-—, of, omdat tzzi f^- is, gelijk aan f^-.-r-; daarver- at P p at der r =, :^-- — z is, moet p at p^ zyn, waar A van den top der baan wordt gerekeod. De tijd t » die er sedert den doorgang van den top is verstreken, wordt gegeven door E/p^ /*' d) 18. Is 6^1, dns de bran eene ellips, dan geeft bovenstaande integral Sin d — — — of, als wij — -i/l — g* z=:Sin u Btellen, iz=zf/^{u — tSinu), de welbekende formule yoor de beweging der planeten, waarin u de excentrische anomalie voorstelt. Dat u die anomalie is, blykt uit de YOorwaarde<Terge]\jking tusschen $ en t«, die door eene eenyoudige herleiding overgaat in a a Sinuz=:r8in^ X T, 19. Is f ^ 1 » dus de baan eene byperbool, dan geeft eene integratie  geeft r Sm ^} z=,b tgu^ dan wordt bovenstaande vergelijking t = /^^ {« Iff u^ltg (450+i m)}= Het punt zou op oneindig grooten afstand gekomen zijn na T seconden, als Toor u de waarde )«* genomen wordt en T dan eindig is. Maar T blijkt oneindig groot te zijn, zoodat het punt nimmer op oneindig grooten afstand zal komen, dus ook nimmer Q ^ de kleinste snelheid -|/«* — 1 zal bereiken. 20. Is eindelijk e= 1 » dus de baan eene parabool, dan is t = \^^^(l^^tg'\^. Ook hier zal het punt nimmer op oneindig grooten afstand komen. 21. Alvorens de beide eerste methoden Tan § 7 toe te passen, willen wy de hodograaph bepalen enkel door formule (2) van } 5 te gebruiken. 87 Uit C =r t? X ^ vdlgt, als I vervangen wordt door r Sin a, waarin ot dus den hoek Toorstelt tusschen den voerstraal r en de raaklijn aan de baan, C z=:vr Sina, Bedenken wy nu, dat vr Sin et den inhoud voorstelt van een parallelogram, op den voerstraal en de snelheid als zijden beschreven; dan kunnen wij aan bet beginsel der sectoren deze beteekenis geven, dat bet den standvastigen inboud nitdrukt van bet paral- lelogram, op den voerstraal en de snelbeid bescbreven. Deze eigensckap der centraalbeweging is overeenkomstig met die van eene ellips en eene byperbool, dat de inbond van bet parallelogram op twee toegevoegde middellijn van bet parallelogram op twee toegevoegde middellijn van bet parallelogram. De bodograap b dier beweggevolg eene ellips of eene byperbool, gelkvormig met de baan, terwijl baar oorsprong in 't middelpunt ligt. Formule (4) van } 6 geeft, dat de versnelling in dit geval recbt-evenredig is met den afstand, en wel centripetaal of centri-fugaal, naar gelang de baan eene ellips of eene byperbool is. De uitdrukking daarvoor ^^ r x I -r ], als a en 5 de balve assen der baan zyn. Is dus fA de versnelling op de eenbeid van afstand, dan is C:zzahi/iL. Daar verder de grootste en de kleinste waarde van de snelbeid C — — en — zijn, moeten de balve assen van de bodograapb oj/^fc en b a h\/fi wezen. 22. Het omgekeerde van bet voorgaande, namelyk dat de centraalbeweging, die tot bodograapb beeft eene ellips of eene byperbool, met deur oorsprong in bet middelpunt, gescbieden moet in eene baan, gelijkvormig met de bodograapb, met bet versnelingscentrum in bet middelpunt, is volgens § 6 ook waar, wat recbtstreeks op de volgende wijze wordt aangetoond. Is V de snelbeid en r de voerstraal van bet punt, en « de boek tusscben » en r, dan geldt voor de beweging van het punt de vergelijking C? = rr Sin a. Is verder p de halve middellijn van de bodograapb , die tot 88 V toegevoegd is, dan maakt p met v ook een hoek «, omdat f de richting van de versnelling, dns ook die van den yoerstraal heeft. Yolgens eene reeds genoemde eigenscliap van eene ellips of eene hyperbool is » X p Sin « = C , die y Tergeleken met de voorgaande , geeft - = htandvcutige , zoodat de toegevoegde halve niiddell\jn in richting en betrekke- l\jke grootte den voerstraal van de baan voorstelt; en omdat de voerstralen der baan naar een punt sameTiloopen , zal de baan gelijkvormig met de hodograaph wezen, en hei versnellingscentrum in het middelpunt bebben, Zijn a* en b' de halve assen van de hodograaph, dan zyn die h' a' der baan — = en — «• 23. Dezelfde formule C = c X ^ gaat over in C = r X r , ingeval de baan de eigenschap bezit, dat zij den voerstraal overal onder een zelfden hoek sn^dt. In dat geval wordt de hodograaph de kromme, wier voerstralen omgekeerd evenredig zijn met die der baan. Daar de formule voor den hoek a tusschen voerstraal r en de raaklijn in 't algemeen is tg % \=: --.. , dr zal voor alle banen , die bovengenoenide eigenschap bezitten, de volgende vergelyking gelden r -;- =z Comtant = fa »f.; dr " waaruit volgt rzi^ke **, als k eene standvastige is. Dit is de vergelgking van eene logarithmiscbe spiraal. Wordt hierin r vervangen door -j , waar m eene willekeurige lijn voor- stelt, dan wordt de vergel\jking van de hodograaph verkregen. 