Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
Deze is r' = -— c"" ^ ; k waaruit bl^kt, dat de hodograaph eene logarithmiscbe spiraal is, gelykvormig met de baan, die evenwel in tegengestelden zin be- schreven wordt. Het omgekeerde van de gevonden uitkomst is ook waar, wat gemakkel^jlc kan bl^koD. Yatten w^ dit allds kort samen, dan is gebleken, dat de hodograaph eener centraalbeweging, die plaats gr^pt in eene loga- ritlimisclie spiraal, eene daarmede gelijkvonnige spiraal is en om- gekeerd. Eormnle (4) van § 5 geeft, dat de vennelling centripetaal en omgekeerd evenredig is met de derdemaelit van den a&tand. 24. Wij znllen nu de tweede methode, in § 7 genoemd, toepassen op een paar gevallen, en vooreerst op dat, waarb^ de beweging plaats grijpt vol gens de wet van Newton. De voetpuntenlijn eener ellips of eener hyperbool is de cirkel, op de groote as ah middellijn beschreven, indien de loodlijnen nit een der brandpunten worden getrokken. Alle lyuen dus, nit dat brandpim In den omtre van den cirkel getrokken, zijn omgekeerd evenredig met de snelheden in de overeenkomatige punten der baan; en omdat diezelfde lijnen ook omgekeerd evenredig zijn met de afstanden van hetzelfde brandpunt tot de tweede sngpnnten, 'volgt er uit, dat die laatste lijnen recbt-evenredig zijn met de snelheden in de overeenkomstige punten der baan. De hodograaph is bégevolg een cirkel, en haar oorsprong heeft de-zelfde excentriciteit als het brandpunt der baan. Is de baan eene parabool, dan is de voetpuntenlijn de raaklyn van den top der parabool. Is PQ(fig. l)deraakl^n en T het brandpunt, "FA een loodlijn op PQ, dus A de top der parabool, dan laten wij uit een willekeurig punt A' op het verlengde van AT eene loodlijn A^B' ne^r op 'A BTy eene der l^nen, die J'met punten van PQ vereenigen. Uit de gel^kvormigheid der driehoeken TAB en JP^'J5' volgt de evenredigheid ATxB^TzmBT :A'T, of ook BT'.AT = ;r;^:-=z-i. Fig, 1. B'T FA Hieruit biykt, dat wanneer w^ nit A' loodlijnen nederlaten op willekeurig door T getrokkene IQnen, de stukken, gelegen tusschen 90 F en de yoetpunten der loodlijnen, omgekeerd e?enredig zyn met de stukken dier lijnen, begrepen tusschen F en de lyn PQ ; en, omdat deze laatste stukken omgekeerd e?enredig zijn met de stukken in de overeenkomstige punten der baan, zijn de eerste stukken recht-evenredig met die snelheden. De meetkundige plants van de voetpunten B* der loodlijnen is de cirkel, op FA Als middellijn beschreven; derbalve is de hodograaph der bewegingenen cirkel, op welks omtrek de oorsprong ligt. 25. Het omgekeerde kan op de volgende wijze aangetoond worden. Zij MA (fig. 2) de hodograaph, haar oorsprong. De ontbon- dene OB der snelheid OA, lood- recht op den straal MA, is even- wydig aan de raaklijn in A, stelt bijgevolg de onlbondenc voor van de snelheid in de rich- ting van den voerstraal. De lood- lijn AC ^ nit A op OM neerge- laten, is de ontbondene der snel- heid in eene vaste richting, lood- recht namelijk op OM, Uit de gelykvormigbeid der rechtboekige driehoeken MOB en MAC volgt OB I AC = OM : MA, OB waaruit -— = f, als i de excentricite van den oorsprong is. Hieruit volgt, dat de snelheid OB van het punt in de richtting van den voerstraal evenredig is met die in eene vaste richting. Merkt men tevens op, dat beide snelheden tegelijkertijd van teeken Fig. 2. veranderen, en dat de voerstralen uit ^^n punt getrokken worden; dan komt men tot de gevolg- trekking, dat de beweging van hetpunt van dien aard is, dat de verlenging (resp. de verkorting) van den voerstraal evenredig is met de verwäderlDg van (resp. het naderen tot) eene vaste li|jn; en dat de verhonding tusschen die veranderingen gelijk is aan de excentriciteit van den oorspong der hodograapli. De baan derhalve van bet punt bezit de eigenscbap, dat de afstanden van elk barer punten tot bet yaste punt onderling dezelfde yerhouding hebben als de overreenkomstige afstanden van bet punt tot eene Taste lijn. En dit is jnist eene eigenscbap, die uitsluitend toekomt aan de kegelsneden. Naarmate de excentri- citeit van den oorsprong der bodograapb nul, ^ 1, =1 of ^ 1 is, zal de  de baan van bet punt eene ellips of eene byperbool wezen, welker middelpunt bet versnellingsmiddelpunt is, dan is de voetpuntenlijn, als « de balve groote as en c de excentricite der baan is. Stellen wij bierin voor r de lyn —, dan gaat zy over in r' (I — g» Sin'' (p)=: ^. En stelt eene kromme voor, die geljkvonnig is met de bodograapb. Gaan wij over tot recbtboekige coordinaten, dan wordt de ver- m* gelyking ar* -f-y* — 6'y* =— i. a' of — ^.±r4^ = l, Ct)' (tF die eener ellips of byperbool. Wij vinden de uitkomst van § 21 terng. Als wy den omgekeerden weg vulgen, krijgen wij bet omgekeerde van de stelling. 27. Wij zullen nu de eerste der in § 7 genoemde metboden volgen om de bodograapb op te sporen, en beginnen met de centralbeweging vol gens de wet van NEVfTON. De vergelijkkingen voor de beweging z^n (Px fix d^y i^y waarin r* = ar* + y* is. dy dx Hieruit volgt ar-_— y^=C; (I) at at 92 dy dx d^x (AX dt dt r* J~—yr-y fi dt dt derhalve is ^4.^ = —^^ (II) ' Evenzoo is •— • + ^ = -f- - - - (Ill) Stellen wij nu de coordinaten --- en -— van de hodograaph dt dt voor door ^ en 17, dan geven de laatste twee vergelijkingen de vergelijking van een cirkel, met den straal -. dx dy Worden uit (I), (II) en (III) —en — geelimineerd, komt cr dt wt if-'X%-^)-'' ft I of f^r^zxB-^yA-^-C', de vergelyking van de baan van H punt. Draaien wij if-'X%-^)-'' ft I of f^r^zxB-^yA-^-C', de vergelyking van de baan van H punt. Draaien wij if-'X%-^-^- ft I of f^r^zxB-^yA-^-C', de vergelyking van de baan van H punt. Draaien wij if-'X%-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^-^- de assen z6, dat de y-as door het middelpunt van de hodograaph gat, dan moet gesteld worden; en de vergelyking van de hodograaph wordt zoodat — de excentricité der hodograaph is. Verder wordt de vergelyking van de baan in polaire coordinaten A* of y = si Pe baan is dus eene kegelsnede, terwijl de hodograaph een cirkel is, waarvan de oorsproDg eene excentricite heeft, die gelijk is aan die der baan. 28. Onderstel, dat de baan eener centraalbeweging de eigen-scbap bezit, dat de boek tusscben de ricbting van den voerstraal en die der beweging bet complement is van bet M-voud der ano-malie 6 van den voerstraal, dus = 900 — »d, waar n ieder willekeurig getal yoorstelt. Dan is de differentiaal-vergelijk van de baan "^^ dl" of dl"=,tgni.di, waarvan de integraal is r^ :=i an Cob n^ ^ (1) als a de lengte van den voerstraal is voor fl z= 0. Vol gens fonntile (4) van § 6 is de versnelling van de beweging of, omdat voor 6 = 0, = 90° wordt, dus (7 = a X Vq, als Vq de snelheid voor fi = is, J'=-(.»+l)roV*»X^,...... (2) Verder is «; = —- — - = 2 — == ro (Coa »fl) "T~ a en de boek S-, dien de ricbting van » met de pool-as maakt, S- = 180° — (4) — 9), dus bier 3- = 1 80° — (OO^ — (» -h 1) 9], n waaruit volgt «9 = — ■;—r (3* — 90*^). Deze waarde van rA in de formule voor t gesubstitueerd, geeft I n 1«-M 94 of, wanneer wg de pool-as 90° latea draaien in de xicltting van. de beweging van 't punt, ■ * «_ ^ V n-hl = t, n-^lCoS -— 3-,..... ( 3) welke de vergelijking van de hodograaph is. Beiden , baan en hodograaph, bebooren tot dezelfde familie van krommen *). Is n de exponent van den voerstraal der baan, dan If n 18 — — _. die van den voerstraal der bodograapb; is dus — n-t-l o r > « + 1 de exponent van den voerstraal der baan, dan is die van den n » + 1 voerstraal der bodograapb of + « ; zoodat baan » 4- 1 en bodograapb wederkeerig zijn , dat wil zeggen, dat in de onder- stelling 4^ = 90® — «fl , de baan van bet punt de bodograapb is van de centraalbeweging , die plaats grijpt in eene baan , welke geyjkvonnig is met de bodograapb van de eerste baan. 29. Wij zullen eenige bijzondere gevallen bebandelen. n a. Stel » = — • r , of » = — 2 ; dan is de vergelyking n-t- 1 der baan a* = r* Cos 26 , die der bodogra«pb Vq* =v* Cos 23-. Baan en bodograapb zijn beiden gelijkzrjdige byperbolen; de wet van de versnelling is F zzi—r-r ^ dus centrifugaal. Deze uitkomst is een bijzonder geval van dat in § 21 gevonden. h, « =: 1 , dus — — — = — i ; dan is de vergelyking van de baan r = a Cos fl , die van de bodograapb 2t?o 1 -H Co* 9- * of in woorden : Is de baan een drkel, met het i^rsnellingscentrum in den omirek , *) Zie J. W. MuuRLiNO I de krommen r* = ii* Cosn^. 95 dan is de hodograaph eene parabool, met den ooraprong in het brand- punt; en omgekeerd. Versndling = ^- —. Is de baan eene parabool, met het versnellingscentrum in het brand-punt y dan is de hodograaph een cirkel, met den qorsprong in den ommgkeerd, Versnelling = — -^ — x — • Deze laatste uitkomst is reeds vroeger gevonden. C. = 2, —-zz: — I; dan is de vergelijking van de baan r* = o* Cos 2d, die der hodograaph Vq^ = o' Cos^ IS*; of in woorden Is de baan eene lemniscaat van Bernoulli ^ met het versnellings* centrum in het dubbelpunt, dan is de hodograaph eene kromme, be&taande uit twee paraboolvormige takken, tegenover elkaSr gelegen, die elk in H vlak een vak — ■ innemen; en omgekeerd. Versnelling Is de baan laatgenoemde kromme, dan is de hodograaph voa de hodograaph voa de vergelijking van de baan is r m a Cos* ^9, die der hodograaph voa de vergelijking van de baan is r m a Cos* ^9, die der hodograaph voa de vergelijking van de baan is r m a Cos* ^9, die der hodograaph voa de vergelijking van de baan is r m a Cos* ^9, die der hodograaph voa de vergelijking van de baan is r m a Cos* ^9, die der hodograaph voa de vergelijking van de baan is r m a Cos* ^9, die der hodograaph voa de vergelijking van de baan is r m a Cos* ^9, die der hodograaph voa de vergelijking van de baan is r m a Cos* ^9, die der hodograaph voa de vergelijking van de baan is r m a Cos* ^9, die der hodograaph voa de vergelijking van de baan is r m a Cos* ^9, die der hodograaph voa de vergelijking van De baan is eene condyle, met het centrum in het keerpont; de hodograaph eene kromme, ongeveer in den vorm van de Grieksche letter a; zij is s3?mmetrisch ten opzichte van de pool-as, en vormt eene lis, door welker dubbelpunt been de kromme zich an we6rskanten van de as oneindig ver uitstrekt; zoo, dat de raklijn nadert tot een stand, die loodrecht staat op de as, De oorsprong verdeelt het stuk van de as, gelegen in de lis, in twee deelen, die tot elkander staan als 1 : 8, terwijl het grootste stuk in het dubbelpunt eindigt. Is de baan eene cardiac met het versnellingscentrum in het ker-punt, dan is de hodograaph bovenverklaarde kromme ; en mitekeerd^ Versnelling r= — f^o'^^ ^ "I* Is de baan Savenverklaarde kromme, dan is de hodograaph eene cardio'idet met den oorsprmg in Jiet ketrpunt : en omgekeerd. Yer-snelling — |»o*^ ^ *7* 30. Wij zullen nu onderzoeken, of de beweging in de hodograaph v n-+-i = t>^j «-fr-i Cos -S- al dan niet eene centraalr beweging is, waarb\j bet' versnellingscentrum in den oorsprong ligt. Dit bangt af van bet al of niet standvastig zijn van bet produkt P, welks factoren zijn : de voerstraal v, de bodograpbiscbe snelbeid (dat is de versnelling —'r"T8 "* ^® baan) en Sin ^ (tp de boek tusscben voerstraal en bodograpbiscbe snelheid « dus gel^k aan den boek ^ van § 28). Wij bebben dus ^ = ^x-^ — -irrz X^^' of, omdat tg^^iz Cotn^. Dus Sin = Cos »9 = -i is, Verder is volgens § 28 r = r^ f - j; Dus wordt p^_(l±^V^. P is dus alleen standvastig voor « = -— 2, zoodat de centraal-beweging, die in eene gelijkzydige byperbool plaats beeft, tot bodo-graapb beeft eene andere gelijkzijdige byperbool, die als eene centraalbeweging bescbreven wordt. OVER HET BEREKENEff EENER PREMIE VOOR EENE LEVENS- VERZEKERING, DIE ft MALEN PER JAAR ZAL BftTAALD WORDEN. IN PLAATS VAN BENE BENDE JAARPRBMIE. Door J. /. STAMKdRT. Het bovenstaande voorstel, schoon eenvoudig van aard, komt meermalen te pas, als uit een bekende jaarpremie, eene maand- of weekpremie zal afgeleid worden; bet is daarom niet oDgepast bet bier kortelijk uit een te zetten. De onderstelling is de premie voor - jaar zoo te berekenen, dat de betaling opboudt, indien de verzekerde binnen bet jaar komt te overl^'den. W^* zullen eerst aannemen, dat de jaarpremie a slecbts gedurende 46n. jaar betaald moet worden, dat dus de scbuldenaar, in stede van a gulden by bet begin van bet jaar te betalen, in n gelyke termynen, telkens x gulden wil voldoen, de eerste betaling van X by bet begin des jaars, over - jaar weder x gulden, en zoo voortgaande tot bet n — l^* »*® gedeelte des jaars, of tot vroeger overlijden. Laten er een groot getal Jp personen zijn, die hetzelfde ver- langen, ieder van een gelijken ouderdom van jp jaren. Na verloop van ^^D jaar zullen er nog ^p^i personen in leven zijn. Zy nog ondersteld, dat de afst Google Euvergade gedruckt bet jaar regelmatig vervolgt, zoodat in elk - deel des jaars - ApXh personen overlyden; dan zullen er acbtervolgens nog in leven zijn: Ap Jp{l — b), Jp{l^2h), J^{l^U....J^[l — 7:ir[:h) personen. Zij nu de interest lOO.r procent, of r per eenbeid en per jaar, 7 98 dan is b^* het begin des jaars de tegenwoordige waarde der n betalingen, na de deeling door Jp^ a?+ (1 — 3)(l + r) *»a?- De algemeene term dezer reeks is, q een geheel getal kleiner dan n zijnde, (1 — qb) {1 4- r) » «r. Met verwaarlozing van r', hetgeen daarop neerkomt, dat gedu-rende ^^n jaaf geen zamengestelden, maar slechts enkelroudigen interest gerekend wordt, verandert deze uitdrukking in. Dus komt Yoor de som van alle termen dat is. Of «=j« 2-*— ^—2 6 OT^ =(« — r •• — 2-1" — 8-7T= 2« — 1 D e waarde van — r— K r, die tusschen |r en |r begrepen is, kan verwaarloosd worden; en dan komt er Wij vinden dus, met eene voor de toepassing voldoende nauw- keurigheid, dat als eene som a, betaalbaar bij het begin van een jaar, in n termijuen zal voldaan worden, of tot aan den dood des schuldenaars, zoo die binnen het jaar mogt  = 52 en ^^ ^^±^ = 99 Was biJToorbeeld r = 0,04, « = 52 en ^^ ^^±^ = 99 Was biJToorbeeld r = 0,04, « = 52 en ^^ ^^±^ = 99 Was biJToorbeeld r = 0,04, « = 52 en ^^ ^^ ±^ = 99 Was biJToorbeeld r = 0,04, « = 52 en ^^ ±^ = 99 Was biJToorbeeld r = 0,04, « = 52 en ^^ ±^ = 99 Was biJToorbeeld r = 0,04, « = 52 en ^^ ±^ = 99 Was biJToorbeeld r = 0,04, « = 52 en ^^ ±^ = 99 Was biJToorbeeld r = 0,04, « = 52 en ^^ ±^ = 99 Was biJToorbeeld r = 0,04, « = 52 en ^ ±^ ±^ = 99 0.01 Af X i 50.73 Wanneer ^^4.1 = zoude zyn en dus Jp het laatste getal van eene sterftetafel, dan was a a a ^ ~ b2 — 25.5 X 1.04 ~ 25.48 Indien de betalingen van a gulden gedurende meerdere, stel y jaren, moeten geschieden, aanvankelijk door A personen, dan heeft men, om x te vinden, in hot eerste jaar, in stede van a op den ersten dag, volgens bet voorgaande, dat is voor de A^ personen, in het eerste jaar, SnJ, —(rJ,-\.Jf — Jp^.iy^xz=. of gemakshalve schryvende n ~ — - — (1 4- r) = «, — -— = p, 2 2 {aAp+^Ap^\x. In het tweede jaar {«^^^i -i-P-^^^-jJa? eaz. In het laatste {uAp ^y — 1 -(- fiAp ^y) x, Deze waarden tot den tegenwoordigen tijd herleid, geven tot som {otAp'\-^Ap^^)x^ -I- {uAp^% + Mp + s) (1 •+• ry^x 4- Dat is, als men nog P(l -f-r) Ap.x optelt en aftrekt, + Ap^y^x (1 4- r)-y+i) a:- (^(1 4- r) 4 — P r I -h r)-y^i ^;,4-y } x. n r 1 Nu is «4-|3(I 4-r) = » en |3 = — - —. \oort8 is hetgeen hierboven tusschen de haakjes ( } staat: de praenumerando , tijdelijke lijfrente voor y jaren, vermenigvuldigd met Ap» Zoo wij dan deze rente door vZp voorstellen, dan komt 7» 100 {».^,.»X,--'^^.(l+r)(^p— (l+f)-i'^,+r)|*=4*'^«. of, deelende door Ap, en stellende (1 + r)-v . ''*'' = 0, komt er X n — — - — (1 + r) ^ '^' ^ . . (2) a of ook X =r ' ■; -T — Indien de jaarpremie a tot aan den dood des verzekerden moet betaald worden, zoo als by gewone levensverzokeringen, dan is ^ = , en men lieeft (3) X » — 1 1 + r 2 Lf Lp en I/p-hy zijn de praenumerando lijfrente van/ 1,— op de ouderdommen p en p^^y jarcn , ieder , zoo als wel bekend is , 1 grooter dan de gewone ^M^numerando lyfrente. Indien men, zooi als gewoonlijk, eene tafel lieeft van stortingen in eens 8, en de jaarpremien, die w\j a genoemd liebben, dan kan de tijdelyke lijfrente ^Lp vervangen worden door de koopsom S , naar aanleiding der formule Dus komt S=z -r-, waarmt -—-=:-. «= i «» W n -_(l + r)(l-(|)).- dat is Yoor gewone leTensverzekeringen , als (^ = is , a (5) Eindelijk, wanneer men de uitdrukking <<^^(1 4-r)**' voorstelt door A^, en evenzoo /^p-4.y(l +r)~''— ^ door A^^-y, dan wordt de deeler van a, om or te vinden, voorgesteld door 101 * — ^ /, . .» ^f — ^^H-J «----(la.r). 2 m w ^ M = « 9-(^-H>')- y/ Jy »• • • . (6) 2\inde de sommen SA^ en S Ap ^ y yoortgezet tot aan het einde der sterftetafel. Wanneer men in deze formule y =: 1 steU| komt , na eenige herleiding, weder de formule (1) zooals behoort. Stelt men het getal — ^ L±iL ^r: m , S Ap "■" SAfl ^ M dan komt , als r = 0,04 is , voor den deeler om uit eene jaar- premie de waarde te vinden van eene half jaarl^'ksche premie 2 — 0,52m , „ driemaandely ksche „ 4 — 1 ,66»i , M maandeiyksche „ 12 — 5,72m, „ wekelijksclie „ 52-— 21,52m. Daar het getal m met den ouderdom /?, waarop het contract van verzekering gesloten wordt, toeneemt, zoo worden de deelers steeds kleiner met dien ouderdom. Het is echter duidel^k, dat men in de toepassing volstaan kan met die deelers niet van jaar tot jaar te berekenen; maar in het algemeen dit b\]voorbeeld slechts van 10 tot 10, of van 5 tot 5 jaren te doen. "Wanneer de termijnsbetalingen, ter vervanging van de betalingen telkens by het begin van het jaar, dus berekend worden, dan behoeft na het vervallen der verzekerde som, by de uitbetaling er niets van worden afgehouden , ter zake , dat de jaarpremie in het laatste jaar nog niet geheel betaald zoude zijn. 6ESCHIEDENIS EN BIBLIO&RAPHIE DER WiSKUNOE. Zur Geschichte der Mathemaiik in Allerthum und Mittelalter von Dr. Hehmann Hankel. Leipzig, Teubner, 1874. Met groote ingenomenlieid kondigen werk voor de lezer van dit tijdscbrift aaD. Het ontzaggelijke material in anmerking genomen, is bet den scbrijver gelukt in korte trekken een beiden te gven van de ontwikkeling der wiskunde van af de vroegste tijden, en dat wel op een hoogst duidelyke en aange-name wijze, Het werk van Hakkel is een, dat men desverkiezend als lektuur ter verpoozing van erns tiger studien kan ter band nemen; en tocb is zijn werk een boogst wetenscbappel^ke, van grondige studie bljken gevende arbeid. De stgl is vloeiend en eenvoudig, zelfs, zooals nit de uiteenzettiag der Pytbagoraesche denkbelden blijkt, b^ de bebandeliug van ingewikkelde w^jsgee-rige tbeorien. De scbrijver, die door den dood verbinderd was zelf den laatsten band aan zijn werk te leggen, bestemde bet voor een grootor publiek; een tweede werk, meer in bijzonderbeden tredend, was Voor de vokragenstellen bestemd. Het werk, dat wij bier aankondigen, is dus niet voltooid; en wel ontbreekt juist een boofdstuk, dat w\j juist van dezen scbrijver zoo gaame badden ontvangen: dat, betwelk over die periode van de gescbiedenis der wiskunde loopt, dat bet zoogenaamde klassieke t\jdperk wordt genoemd: bet tijdperk van EucLiDES, dat nu slecbts een brokstuk is gebleven. Zooals uit de voorrede blijjkt van de band van des scbrijvers vader, was het boofdstuk over de gescbiedenis der wiskunde by de Arabieren reeds bij bet leven van den scbrigver in bet tijdscbrift van Boa-compagai verscbenen, in bet Italiaanscb vertaald. De scbr^ver bebandelt (bladz. 1 — 88) eerst de gescbiedenis der wiskunde in hetgeen b\j de voorwetenscbappel^ke periode noemt; en geeft daarin een overziebt van de middelen, waarvan men zich in de allereerste tijden van de menscbel^ke ontwikkeling bediende, om de voor de maatscbapplj noodige rekenbewerkingen uittevoeren. WQ 103 krggen eene duidelijke voorstelling van het ontstaaa der getallen, der telwoorden en der cyfers, en van de hoogte, waarop de mensch het zoowel in het rekenen als in de meetkunde had gebracht (bladz. 78—172). Met Thalks acht de schrijver eene nieuwe periode in de geschiedenis der wiskunde aangebroken ; niet zoozeer omdat Thaxes zelf zooveel deed (integendeel meent Hikkel, dat hetgeen Thales wist, en wat hem wordt toegeschrevenj voor een aanzienlig^ gedeelte aan de Egyptenaren is ontleend) ; maar omdat van af dien tijd onder de Grieken de wiskunde als wetenschap wordt beoefend; zij werd het tot op de zesde eeuw vddr Chbistus slechts voor zoover men haar behoefde voor den handel en b^ het bouwen. Met de beoefening der wiskunde vooral door Fythagobab en z^ne school wordt zg eene wetenschap. Achtereenvolgens worden ons nu de theorien van Pythagobas^ de paradoxen van Zbko, de ontdekking der onmeetbare grootheden, de leerstellingen van Plato en Aeistotbibs, uiteengezet. Uit de tweede periode der Grieksche wiskunde, met wier behandeling de schr^ver niet ge- reed was toen hij stierf, is behalve het fragment over EaKLiDSS, nog eene verhandelihg opgenomen over Diophant, den vader der rekenkunde en der algebra in mbdernen zin, zooala Haneiel hem noemt. Het dan volgend hoofdstuk, (bladz. 172 — 222) is aan de Indiers gewörden en zichtbar met geestdrift bewerkt. Hoewel het niet gezegen kan worden, dat Hankel de uitkomsten der Grieksche wisskundigeti te laag stelt, is een voorließde voorließen de Indiers op mathematisch gebied hetgeend, niet geheel bij hetgeenden. Duidelijk zet de schrijver uit een, dat tusschen de Grieksche en Indische onderzookers een specifiek verschil in aanleg bestaat, hetgeen zich bij de Grieken verraadt door hunnen zin voor de vormen der ruimte, bij de Indiers door hunnen zin tot abstracte getallenleer; de Grieken waren dan ook meer meetkundig, de Indiers meer algebraisch ontwikkeld. Minder goed gelukt komt ons de geschiedenis der wiskunde bij de Arabieren voor, die door den schryver in Pag. 222-— 294 wordt behandelte; misschien wel omdat hetgeenden de Arabieren verrichten, voor een deel steunde op de geschriften der Indische en Grieksche wiskundigen, en ons daarom minder door oorspronkelkheid en vernünft boeit, dan de ondekkingen der Indiers. 5i[j het lezen vooral van dit hoofdstuk wordt zelfs de oningewijde getroffen door de moeilijkheden, die Hankel te overwinnen bad, om uit den berg van geschriften en de Tele tegenstrijdige meeningen, den lezer ten minste eenigszins <erecht te lielpen. Eenige bladzyden worden aan de geschiedenen der wiskunde b|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j|j Aats te noemen, wien groote verdiensten ten gevolge van de verraderlyke bandelwägze van CABBAmrs zelfs nu nog eenigszins in de scbaduw zijn gesteld. De pogingen tot oplossing der vierde en boogere magtsvergelykingen door Gabdastus en Eebbabi, en de benaderingsmetbode van VifciB, ten onrecbte die van Newton genoemd, maar vooral de bebandeling der negatieve en imaginaire wortels, VILLIEST goniometriscb-algebraische ontdekkingen, bebooren mede tot de 16** eeuw, terwijl Habbiot be- bewierookt en bem ontdekkingen toescbr^ft, waaraan bQ geen deel bad; als dit ten aanzien van ViI:te door Monttjcla, door Gos&ali met Cabdanus is gescbied. Een kort fragment over de Wiskunde in Cbina besluit dit belangrijk werk, waarvan wg getracbt bebben den inboud aan onze lezers in boofdtrekken voor den geest te breng^n. Van de band van Mobitz Cantob verscbeen in Scblo- Milch's tijdscbrjft eene zeer warme aanbeveiing. Mogen ook deze regelen er iets toe bydragcn, Hakebl's werk ingang te doen yinden by ons matbematisch publik. Let dem, Jani '75. Dr. J. DE JONG. BECI8TEB, HAAB M •NMBWKBPEH CIBANCSCIIRT, IP BBNICE WISRVNBICE TIJBSCIBIFTEN. OI^EINBIQ GBOOT OF KLEIN. €R. ARCH. B. 55, S. 49^58. Tbeorie der unendlichen Groszen. Von S, Eoppim ONTWIKKSLHra VAN TUNOTIBN. CL. ■. ANN, B. 8, S. 281—240. Über trigonometrische Reihen.. Von O, Ascoli, J. DE L. T. 8, p. 101 — 128. Memoire sar le d^reloppement alg^briqae de la foaction perturbatrice. Par M. /. Bourget, BULL. M. T. 5, p. 20—48, 79-96. Sar la possibility de representor nne fonetion par ane s^rie trigonom^triqne. Par B, Biemann, N. A* DB M. T. 18, p. 69 — 83. D^Telopperoent d'une fonetion luiTant les puissances ascendantes, enti^res et positives d'one antra fonetion. — S^rie de Taylor. — S^rie de Lagrange. Par M. A. Pieart, id. p. 209^212. Note sar le d^veloppement en a^ric de arc tin. x an moyen de la formule de Maclaarin* Par S^rie de Lagrange. Par M. A. Pieart, id. p. 209^212. Note sar le d^veloppement en a^ric de arc tin. x an moyen de la formule de Maclaarin* Par S^rie de M. Chevilleet, id. p. 805 — 818. Lois des series de Wronski: sa phoronomie. Par M. A, Iranson, OPFELIKEN (THBORIE). N. A. D. M. T. 12, p. 319—820. Extrait d'une lettre de M. Ginty. I. V. GR. H. 76, S. 156—169. Über die Hrennflacheu der Strablensysteme and die Singalaritatflachen der Complexe. Von M. Faseh, 8CHL. ZEITSCHR. B. 18, S. 88 — 57. Über Strablensysteme, welche die Tangentenschaar einer Flauhen bilden. Von Oeuenheim, id. S. 846 — 862. Die Singnlaritaten der Liniencomplexe. Von Oeuenheimer, id. S. 618 — 618. Bemerkongen fiber geodatikcbe Linien. Von Oeuenheimer, id. S. 618 — 618. Bemerkongen fiber geodatikcbe Linien. Von J. Franm, 8CHL. ZEITSCHR. B. 19, S. 259—262. Eine Sigense Hinft der Hesse'schen Flicbe einer Flücke dritter Ordnang. Von E, Eckwurdt. 106 M. A. DE M. T. 13, p. 273—278. Sur an théorie dei enveloppes. Par y H. Laurent, id. p. 449—456. Demonstration novelle des propriétés de riodicatrice d'une surface. Par M. Poincé, CL. M. ANN. 6. 7, S 567—582. Über Normalen an algebraische Flachen. Von R, Sturm, J. V. CR. B. 78, S. 1—45. Ausdehnung der Theorie der Minimälschen Von is. Lipsehitz. id. S. 97 — 113. Erweiterung der Polarenheorie algebraischer Flachen. Von Th, Ueye. ANN. EC. NORM. T. 3, p. 87—146. Exposition analytique de la theorie des surfaces. Par M. Ch. Briate. OPPENELAKEN VAN DE? TWEDEN GRAIN. N. A. DE M. T. 12, p. 69 — 92. Tll^ordmes sur les coniqnes et surfaces de second ordre. Par M. L, Saltel, id. p. 92 — 96. Solution analytique par M. Cambey, id. p. 270-^278. Note sur la determination des asymptotes dans les intersections des surfaces du second degré. Par M. </. Caron, id. p. 333—335. Question 1093. id p. 857 — 359. Solution d'une question du concours d'agrès de 1864. Par M. Moret-Blanc, id. p. 436, 437. Extrait d'une lettre de M. É. Salttl. id. p. 440—446. Question 972. id. p. 454, 455. Question 1011. id. p. 464—469. Question 1034. SCHL. ZEITSCHE. B. 19, S. 82—90. Über einige Eigenschaften der Oberflachen zweiten Grades. Von van Ger. id. S. 550—564. Über deo Axencomplex der Flachen II. Ordnung. Von E, Schilke, BOLL. M. T. 5, p. 301—312. Sur réllipsoide de volumen minima parmi ceaux dans leçquels un certain nombre de sections coniques centrales cat des aires donnères. Par M. C, W, Borchardi, GR. ARCH. B. 55, S. 302—819. Theorie geuerale des surfaces de revolution da second degre. Par G, Dost or, N. A. DE M. T. 13, p. 12—16. Sections circolaires des surfaces da second ordre. Par M. Crosmier, id. p. 18—24. Questions da Concours general de 1873. Mathématiques speciales pro- poi^e an concoars d'agr^gation de 1873. Par M. Gambey, id. p. 39~48. Solution de la question de Mathematiques speciales pro- poi^e an concoars d'agr^gation de 1873. Par M. L, Painvin, id. p. 205, 206. Question 1105. 107 N. A. DE M. T. 13, p. 266—269. Foyers et directrices des sarfaces da second ordre* Par M. Crosnier* id. p. 818 — 830 N. A. DE M. T. 13, p. 266—269. Note sur la determination des foyers dans les lignes dans les lignes dans les second degré et dans les sarfaces de rérolation. Far M. Lemonnier, id. p. 441—424. Solution de la question de licence proposee an concours d'agrèsion de 1873. Par M. Croin, id. p. 431—486. Question 904. id. p. 444—446. Question 1122. CR. ARCH. B. 56, S. 834-886. Inhalt des Sechsflaclis zwischen orthogèn Flachen zweiten Grades and seiner Seiten. Von 22. Hoppe, J. V, CR. B. 78, S. 345—848. Über die Källeflachen, welche den Poltät erworben werden konnen. Von Th, Eye, N. A. DE M. T. 12, p. 65 — 71. Beeherches analytiques sur la surface de troisième ordre qui est la réciprocque de la surface de Steiner (suite du T. Xr, p. 418). Par M. Laguerre, id. p. 832, 883. Question 1088. id. p. 470—474. Question 1067. CL. M. ANN. B. 6, S. 551—581. Über die von einer Geraden erzeugte Minimale. Von F. Kiein. 8CHL. ZEITSCHR. B. 18, S. 428—425. Über die von einer Geraden erzeugte Minimale. Von S. Zewanen, GR. ARCH. B. 55, S. 35—48. Über die windschiefe Flache zu Myx. Von A. Eoehheim, N. A. DE M. T. 18, p. 250—256. Question 1117. id. p. 883 — 885. Sur le tore et la sphere bitangente. Par M. Monniot, id. p. 424, 425. Question 94. id. p. 440—448. Question 1053. CL. M. ANN. B. 7. S. 512 — 516. Bemerkung fiber die Abbildung einer gewissen Flache vierter Ordnung. Van W, Frahm, GR. ARCH. B. 56, S. 118—183. Zur Theorie der Flachen dritter Ordnung. Von F. Q. Affolier. ANN. EC. NORM. T. 8, p. 69 — 86. Théorie des phenomènes capillaires observées an contact de deux liqaides. Par M. J. Moutier. POTENTIAL. CL. M. AAN. B. 6, S. 880—841. Über die theoretische Behandlung der sogenannten constanten Magnete. Von C, Neumann. id'. S. 842 — 849. Über gewisse von Helmholtz fur die Maguetration und Vollainduction gegebene Förmeln. Von C, Neumann, id. S. 860. Notiz zu dem Aufsatz: Über die Elementargesetze der Krafte electromagnetischen Urspmngs. Bd. 5, 8. 602. Von C, Neumann. 108 ANN. EG. N. T. 2, p. 49—54. Note sar rattraction. Par M. F. Didon. id. p. 201 — 252. Étade des phénomènes étrostatiques dans let pès. Par M. JS. Branly. SCHL. ZEITSCHR. B. 18, S. 218—223. Über die dasistische and die unitarische Ansicht in der Elektricitätzehre. Von Th. Kotter, id. S. 252 — 279. Beitrag zar Mechanik einzusticher Korper. Von Th. Kotter, id. S. 608. Berichtigung (za S. 218). Von Th. Kotter. N, A. DE M. T. 13, p. 51—57, 65—69. Sur la distribution de raeetricitätsklaubens. Par M. Mouier, CL. M. ANN. B. 7, S. 396--409. Über die gegenseitige ponderomotorische Einwirkung zwischen elektrisch geladenen Kngeln. Von D. Bohyleto, GR. ARCH. B. 56, S. 887—393. Über die gegenseitige ponderomotorische Einwirkung zwischen elektrisch geladenen Kngeln. Von D. Bohyleto, GR. ARCH. B. 78, S. 130—135. Zar Theorie der Tangentenbusse. Von A, Oberbeck. id. S. 394 — 406. Über stationare Inductionstrome in bewegten, korperlichen Leitern. Von A, Oberbeck, J. V. CR. B. 78, S. 130—135. Zar Theorie der inneren Reibnung. Von O. E, Meyer. id. S. 273 — 324. Über die Theorie der Electrodynamik. Dritte Abhandlung. Die electrodynamik. Die Abhandlung. Die Electrodynamik. Von H. Helmholz. REEKSEK. J. V. GR. B. 76, S. 61 — 91. Eine neue Theorie der Convergenz und Divergenz von Reihen mit positivea Gliedern. Von P. du BoU-Ueymond, SCDL. ZElTSCHR. B. 18, S. 425, 426. Über die gleichzeitige Convergenz oder Diyergenz zweier Reihen. Von Schlomileh, id. S. 520—522. Über bedingt-convergieren Reihen. Von Sehlomilch, CR. ARCH. B. 55, S. 284 — 289. Note iiber hjpergeometrische Reihen. Von L, Geyenbauer. N. At DE M. T. 13, p. 60. Extrait d'une lettre de M. Catalan. STELKTJNDE. SGHL. KFILTSGHR. B. 19, S. 270, 271. Zar Algebra der Chinesen. Von Z. Matthiesten, GR. ARCH. B. 55, S. 72 — 76. Eine einfache Losang des Problems: Wa-^bt in der Form x-t-yi ToUstandig darznstellen. Voa 0, Simony. N. A. DE If. T. 13, p. 59, 60. Extrait d'une lettre de M. Catalan, id. p. 61—63. Question 1098. id. p. 155. Question 1066. CL. M. ANN. B. 7, S. 280—240. Sur quelques théorèmes fondamentanx de l'Algébre moderne. Par G. Doitor, GR. ARCH. B. 56, S. 298 — 801. Calcul elementaire du nombre des boulets contenns dans les piles des arsenanx d'Artillerie. Par G. Doitor, STEBETETAPÉLS ÉK LÉRYKSYER. J. DE L. T. 18, p. 145 — 163. Sar la statistique jadiciaire. Par M. JB* Lounlle, id. p. 164—178. Rapport ear le concoire pour l' Prix de Statistique » fondation Montyon. Par M. Bienaymi, id. p. 174—179. Rapport sar le concours ponr le Prix de Statistique » fondation Montyon. Par M. BUnmymS, BTJBSTITUTIEN. CL. M. ANN. B. 6, 8. 16— >22. Erweiterte Fassong eines von Clebsch aufgettellten Übertragungsprinoip and deren Anwendong. Von 5. ^mji- J. DE L. T. 18 » p. 25—46. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantites. Par M. JS, MaHieu. CL. M. ANN. B. 7, S. 691^604. Ue ber die Flachen, deren Oleichungen ans denen ebener Carven durch eine bestimmte Babstitation hiervorgehen. Yon T. S. Echhardt. i, Y. CR. B. 78^ S. 81—92. Zar Theorie der zasammengesetzten Ornppen. Yon E. H. T. 12> p. 48. Question 1108. id. p. 864—866. Note ear an point remarquable da plan d'on triangle. Par M. E. Lemoine. Id. p. 874—879. Relation entre les volamci correspondants de denx figures bomographeuses. Par M. E. Amiguet. id. p. 449, 460. Question 1009. id. p. 625. Extrait d'une lettre de M. Genoesehi, CL. M. ANN. B. 6, S. 618—550. Das Problem der raamlioben Projec- tivitat. Von E, Siurm. J. Y. GR. B. 77, S. 105—142. Untersuchung zusammenfallender reciproken Gebilde in der Ebene and im Ranee. Von 77. Sehrdier, id. S. 268—288. Über Polfinschenke and Polfinschekammer. Von 2%. Beye* SCHL. ZEITSCHR. B. 18, S. 1 — 32. Zar allgemeinen Theorie der Kegelsohnitte. Von C, Mittelächter id. S. 102—106. Über Kegelschenken, welche zwei Punkte gemeinsam baben. Von Vos. id. S. 227 — 251. Beiträge zar Theorie der isogonalen Verwandtschaften. Von Hohmüller. id. S. 288—806. Erzeugnisse krumm-prozibilischer Gebilde. Von München, id. S. 523 — 542. Die geometrischen Vervandtschaft kammerte Systeme. Von Silldorf, GR. ARCH. B. 53, S. 887—340. Einleitende Bemerkangen car folgenden Arbeit. Von F, Auguit id. S. 841—801. Zar Involation. Von R, Eggert, id. S. 441 — 446. Kleiöre mathematische Mittheilungen (Fortz. 70q Bd. LIV. N«. VH 110 GR. ARCH. B. 53, S. 887—340. Kleiöre mathematische Mittheilungen (Fortz. 70q Bd. LIV. N«. VH Von F. Hoxa. N. Y. DE M. T. 18, p. 847—849. Question 1141. id. p. 404—407, 468—480 (2) de la ordonne de géographie, saiTisd'ane Etude géographique des propriétés de l'atrophoide. Par M. E. S. MdUgxid. p. 630—532. Théormèmes. Par M. E. Saueery. SCHL. ZEITSCHR. B. 19, S. 205—218. Zur Theorie der kabischen und biographischen Involution. Von Mühnotok. CL. M. ANN. B. 7t S. 617 — 530. Der Feuerbach'sche Satz von den Bürgerkreisen des ebenen Dreiecka. Von H. Schroter. ARCH. B. 56, S. 99 — 102. Verschiedene Satze fiber Dreiecktränver. Von E. Bain. id. S. 109, 110. Zwai Dreiecksaatze. Von BarmuHm. id. S. 849—858. Harmonischa Pnnktaysteme anf rationalen Carven dritter und vierter Ordnung. Von A. Zahradnik. I. y. CR. B. 78, S. 175, 176. Zwei Erzengnisae krammägeometriacher Oebilde. Von Mühnotok. YEELHOEKEN. N. A. DE M. T. 12, p. 26—29. Question 1088. CL. M. ANN. B. 6, S. 582 — 591. Zor Standt-Schroter's action. Von F, G, 4f otter. id. S.  harmonische Hezeichnung und das harmonische Octaeder. Von E. Heger. GHL. ZEITSCOR. B. 18, S. 328—880. Zar Lebre von den Polyedern. (Nachtrag zu Bd. XIV, S. 837). Von J. C, Becker, id. S. 839—3415. Über die Reflexion des Lichtea von Winkelspiegeln von V. C. Becker, GR. ARCH. B. 56, 8« 217—218. Eine Anwendung des Euler'schen Satzes von den Polyedern. Von B. Boppe, N. A. DE M. T. 13, p. 200, 201. Note sur la question 1125. id. p. 289 — 292. Sür an problemé d'analyse Indeterminée relatif an tétras-direes Par Ch, Chahanel. id. p. 841-843. Question 1125. id. p. 523— 527. Note relative à la sphere circonscrite à l'étranger des ardés (Voir 8e. S^r., T» 12, p. 870). Par M. Q. Boiler, id. p. 563 — 568, Tetra^dre dont les six arfttes sont tangentes l'une une même sphere. Par M. Q. Boiler, SCQL. ZEITSCHR. B. 19, S. 45 9« 400. Nearer Beweis et Erweiternng eines Fundamentalsatzes über Polyederoberflachen. Von /. C. Becker, id. S. 460—462. Beziehungen in den Projectionen des regelmassigen Zwolfflacbs und Zwanzigflaebs. Von /. Sekubert, GR« ARCH. B. 56, S. 17 — 26. Einfacber Beweis eines Satzes vom Tetrae-derinbalt. Von S. Ounther. id. S. 245—247. Propriété da t^tra^dre. Par 0, Boiler. VEGELIJEIKGBN MET EENE ONBEEENDB. N. A. DE M. T. 12, p. 437—489. Question 526. 1. DE L. T. 18, p. 220—285. Sur la r^solation de l'equité de quarante de dégrees. Par M. (?. Barhoux, SCHL. ZEITSCHR. B. 18, S. 93—96. Notiz über die biquadratisbe Gleichbuch. Von A. B. B. B. 55, S. 294—801. Élégences über Gleichbuch, welche auf redproke Gleichbuch zurückgeführt werden konnen. Von i. W. Fischer. id. S. 429—440. Sur les relations qu'il doivent exister entre les coefficients d'un polyndme 'f(x) pour qu'il contienne un factearde la forme (j7*^-i«a"). Par (7. F. JP. Bjorling Jun. N. A. DE H. T. 18, p. 106—109. Question 1073. id. p. 238--.240. Question 87. id. p. 385 — 889. Separation des racines des equations à une inconnue. Par M. Moleyx. id. p. 401—404. Des cas oil Ton pent resoudre I'equation du second degré par approximations successives. Par M. A* de SainU Germain. id. p. 587» 538. Extrait d'une lettre de M. B. Meuwenfflowski, GR. ARCH. B. 56, S. 407 — 121. Über die allgemeine Auflosung der Gleichungen vierten Grades. Von Nellid. S. 422—436. Untersuchungen über algebraische Gleichungen. Von A. Siebel. VEBGELIJEINaEN HBT HEEE ONBEKENDEN. CL. M. ANN. B. 6, S. 23—28. Über die Auflosung linearer Gleichungen mit reellen Coefficienten. Von P. Gordan. US SCHL. ZBITSCHR. B. 18, S. 648«-55K Auflosang eines Systems vod Gleichungen, woranter zwei quadratisch und die librigen linear. Von S, Ouh» BULL. M. T. 4, p. 61 — 64. Sar ane 4qaatioQ tranaeendante. Par M. Hermie, CL. M. ANN. B. 7» S. 488«-448. Über den grdssten gemeinsamen Pactor. Yon Gordan. GR. ARCH. B. 56» S. 105, 106. Über die iLnflosnng des linearan Systems von Gleichungen: £ JtrSin — z. = jh (» =: 1, 2...«i). Von F, Vnferr=l » 4- 1 dinger. VE GELIKINAE (GOTBFAALDB). 6GHL. ZEITSCHa. B. 18 » 8. 426. Allgemeine Anfldsnng der Oleichang ax^^isii/^ in ganzen Zahlen. Von £• Maithieuen. id. B* 19, S. 63-^ 67* Über die FormeQy in denen die Losangen einer diophantischen Oleichang vom ersten Gc^de enthalten sind. Von K Weihraueh. id. S. 272. Über die nnbesfimmten Gleicbnngen ersten Grades. Von C. Reuitkle Jr, YERSOHIEKIKAeir EN TBIKIDURGEK; N. A. DEM. T. 12,p. 84 — 89. Theories sur les combinaisons. Par M. D. Andri. id. T. 18 9 p* 285—389. Combinaisons completés. Par M. (?• J7* Niewoemglowiki. id. p 549 — 559. PermntatioQS rectilignes de 2q lettres ^gales deoz 4 deux, quand denx lettres consecntives sont tonjours distiactes. Par M. VaekeUe* WAJUEtSOHUNLUKHEIDS-RECENING. M. A. DE M. T. 12, p. 176 — 179. Note sur un passage de la théorie analytique des probasillites. Par M. F. Laurent, id. p. 820—824. Extrait d'une lettre da M. H. Laurent, SCHL. ZEITSCHR. B. 18, S. 116 — 120. Verallgemeinem in der Metbode der kleinsten Quadrate. Von Jordan, WILLEEEUBIGE FUNOTIBN. CL. M. ANN. B. 6, S. 146 — 161. Über eine Darstellung willkürlicher Funktionen durch Beschäftigungen von Bessel'schen Funktionen von H. Weber. WISEUIIDE GHONDBEGBIPFEN. CR, ARCH. B. 55, S. 405—421. Über Gründbegriffe der Geometrie. Von J. Forpitzig, id. B. 56, S. 20—40. Über Gründbegriffe der Geometrie. Von J. Quinter, THEORIE DEB EDINGTIF N VAN VERANDERLIJKE CONPLEXE SETALLEN. POOB Dr. a. BENTHEM Qz. (Vervolg van Beel II, hlz, 39.) DERDE AFDEELING. De transcendente fonctten fan complexe c^tallen. HOOPDSTUK VI. Ae espontièremente en Mogarithwisshe fünfte. Be  wenschlelljk schänen ook de teekens a®, a ^, enz. in te voeren, om niet te kon derzegen, of de exponent der verkregen macht wel de degel^k een absolut getal, grooter dan 0, was. Big die invoenng kon men ecliter (wilde men geene groote verwarring in de rekenkunde brengen) aan deze teekens geene andere beteekenis geyen dan die, weike door bovenstaande reeksen wordt aangegeven; dat is, a" moe^t 1, o"~ moest —, a moest —, en enz. yoorstellen a aa en das in 't algemeen «**"=:— z\jn; omdat alsdan de machten met minus-exponenten volkomen dezelfde Yormingswet volgen als die met absolute exponenten, zullen de eigensohappen dezer laatste yoor de eerste algemeen geldig zijn. Uit deze eenvoudige bescbouwing bljkt ten voUe de beteekenis van het minus-teeken in den exponent eener macht; terwyl -— » een getal n aangeeft, genomen in de riehting tegengesteld aan de vooraf als (positieve of vooraf als (positieve of) Grond-richtigt  bewerkingen kunnen de exponenten worden opgeteld, afgetrokken, vermenigyulig gedeld, in eenkel bijzonder geval in zekere macht worden verheven (by v. («*) = «**); niaar nooit kan eenige overeenkomstig de w\ze van ontstaan van a" en a"" heeft men voor de berekening van a" achtereenvolgens te bepalen a" a,  den exponent eener maclit op tegengestelde hewerki9igen en niet op tegengestelde richtingen wigzen, kunnen zy niet door /O en /if ^ of algemeener door /2nx en /{2n -f- 1) «" worden vervangen. Het richtings-teeken / sc1i\jnt dus 9 even als Let wortelteeken, vreemd te z^n aan den exponent; wij moeten derhalve onderzoeken, hoe deze teekens in de exponenten kunnen worden ingevoerd, en welke beteekenis a posteriori daaraan meet worden geheoht. (Yergelijk: Louw£nbieb« t. a. p., p. 28, 86, 135, enz.) 112. Uit de vergelgkingen l/«.l/l3 = l/(tf-fP) en o«.w^ = fl«-*-^ volgt, dat het eigenaardig karakter eener functie voorgesteld door de vergelyking fW^fiP) =/(« + (3) zoowel eigen is aan l/» als aan a". Deze overeenkomst in karakter leidt tot het vermoeden, dat ook 1/ci evenals a* in eene reeks kan worden ontwikkeld, die volgens de opklimmende mach ten van » is gerangschikt *). Stelt men daartoe {a als een absolut getal bescbouwd) l/a = ^=H.?f+^'+^-^V X76) c[an is ook 1/— «_a P«=l-_-4.-__ _ +...., (77) en dus ook, wyl l/a +1^— xz=:2Co3 »/0 en i/x — 1/ — » = = 2 Sin tt/-^ is % C««/0=1 + (^V(^+........(78) Bin.fl =i±^^I^+ii^ + (79) *) Het is des te meer noodzakclgk, dat men Tooraf bewijze, dat dit ver- moeden gegrond is, wgl hier de eigenschappea der exponenten zonder eenige beperking op de richtings-eoefficienten worden overgebracht, 8* 116 Deelt men deze laatste vergeli|jking door « en gaai men alsdan over tot de grens « =, dan yerkrJIjgt men w 1 9r en dus p zs z-/- ; en na substitntie in de yergeiykingen (76) la 2 tot (79) = «-^^ 5 = 1 «^i {"^y. ('^' Cm« = 1+— PJJ-+— J5J-+ (81 En 5i'««/. = --H..-_ + i_j-+ (82) Vervangt men nu in 1/du « = « ^ *# 7 door a|, dan heeft men a'*=l/±«|to; (88) Tennenigyuldigt men verder de overeenkomstige leden der reeksen en a« — l ^.—^.L-J^^...,.,. 