Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
^) Men onderacheidt werkelijk gesloten en tchijwbuMr gesloten Ignen, en noemt aUdan de eerste , die gesloten lijuea y wier begin- en eindpant niet alleen samenvallen^ maar ook in ampUtudo oTereenkomen, terwijl bij de schijn- baar gesloten lijnen die punten wel samen?allen, maar in amplitudo verschillen* 17 81. Zeer eenvoudig worden de yoorgaande beschouwingen in het geval dat p^:=zO is ; alsdan is w = i?^7. (48) Onderstelt men nn dat t een cirkel OF^ (Eig. 26«) doorloopt» welks straal gelijk is aan a, dan is steeds Mzzza^Cp, waarin ^ alleen verandert. Daar nu a? = p^a/^ is , blijft ook de mo- dulus van to dezelfde , zoodat w ook een ciikelboog bescliriljft , maar met eene hoeksnelbeid , die slechts een n^ deel is van de boeksnelheid, waarmede $ den cirkel OP^ doorloopt. De punten, die in bet vlak der td met een bepaald punt Pi van den weg van i overeenkomen , worden verkregen door /. XOQ^ gelyk te nemen aan bet »• deel van /^ XOF^ , en dan van Q^ uit den cirkel in n gelijke deelen te verdeelen. Is a/x de beginwaarde van Pi en dus Z. XOQj, == - , dan komt Q^ overeen met Pi =: a /(a + 2?r), n Qq met P| = a/(x + 4jr) , enz. Voor ii=:6 en a = l is zulks in Fig, 26» voorgesteld. Doorloopt z den cirkel MPt (Fig. 27), welks middelpunfe niet met samenvalt, maar op de as is gelegen, dan zal in «^ = Hyg voor « = 6, w de lijn QiS^Q^S^.... Q^SQQ^ (Fig. 27*) bescbrijven, waarin de punten Q^, Q^f..QQ met P|, de punten S^^ S^j,,.»8q met Pg, de punten T^, T^,.».Tq met Pg, de punten ^|, C^^,..^e met P^ overeenstemmen, enz. 82. In de voorgaande bescbouwingen hebben wij enkel ^^ne bepaalde waarde van de vertakkingspunten in rekening gebracbt; thans zuUen wy nagaan in boever die bescbouwingen kunnen wor- den uitgebreid, wanneer al de indirekte waarden dier vertakkings- punten worden in aanmerking genomen. Z^ dan weder «^ = l^JHhK, (46) en laat z van P^ uit een gesloten lijn een onbepaald aantalmalen doorloopen, en, om ons tot een bepaald geval te bepalen, in den- zelfden en  redeneering in N^. 68 met de beginwaarde zzzP^ (Fig. 18) overeen « -H /?, = Q,, welks amplitudo verkregen wordt door bij de amplitudo van Q = ;?i den /_ QOQ^ te voegen, waardoor men verkrijgt : y + 2k^ H" L Q^Qi = ^^^ •+" XOQi. en 18 Is due voor p, = c/y, » +f^ == Qi = ^/^ > en b^gevolg, - II dan is voor /?, = c/(y + 2^*), # + i>j = Qi = ^/(<^ + 2*»), i (^ + 2t5r J., 2M dus » = f«/l-:^ = p/J* + — j. Neemt men derhalve de indirekte richtigen van i^i in aanmernden, dan komen met de beginwählen j = P|, n pnten van H vak der w overeen, en wel w = p/4>, wssp/ftH-— )> w=:p/^iH \r...w=ip/(^+ ^^'^ ; de volgende waarden = p/fit+ — j=r p/(iH-2jr),.,., zouden dezelfde pnnten van het vlak der w geven, en bliyven dus buiten beschouwing. De hier verkregen punten van 't vlak der w komen over-een met die van W. 80. Noemt men ze dus ook bier tOit w^^ f9g,« •••«'« dan worden zij aangewezen door 2(7 1, n^^st^i.!/^-*, n 1 J^, ^2 (» — 1) «",.. „.. ii^3 = »i.l/»— •••.«^«=r W|.l/»-i i—, zoodat zy aueei|)n begrepen in den vorm «e^= «?i.|J^-i-l. 83. Doorloopt nu z van P| uit eene gesloten l\)n» die bet vertakkingspunt — p^ niet bevat of omsluit^ dan heeft znlksgeen 83. Doorloopt nu z van P| uit eene gesloten l\)n» die bet vertakkingspunt — p^ niet bevat of omsluit^ dan heeft znlksgeen 83. Doorloopt nu z van P| uit eene gesloten l\)n» die bet vertakkingspunt — p^ niet bevat of omsluit^ dan heeft znlksgeen 83. Doorloopt nu z van P| uit eene gesloten l\)n» die bet vertakkingspunt — p^ niet bevat of omsluit^ dan heeft znlksgeen 83. Doorloopt nu z van P| uit eene gesloten l\)n» die bet vertakkingspunt — p^ niet bev Invited op de waarden van w^ die met ss^F^ overeenkommen*' Omsluit echter die gesloten 1^'n dat vertakkingspunt > dan moeten de waarden van f&» die met de beginwaarde zzzzP^ overeenstem- men, acntereenvolgens met 1/ —, 1/ —,..-.,l/— ^— n n n worden vermenigvuldigd (N^. 80) om de waarden van to te ver- kr^'gen, die na den 1"*, 2«°,..•.(»— \y^ omloop by « = P| bebooren. Yolgens boven beeft men bijj bet begin der bew^ing voor tt7 de punten Wf, tr^, ^d9*«**^ff> derhalve beeft men na den eersten omloop de punten 1 J^^ 1 J^^ 1 ^2jr ^ ^ n n ^ n dat is de punten w^^ to^y «7^,.« ••tru^i. Evenzoo vindt men na den tweeden omloop voor w de punten en na den (n — l)«ii omloop om na den n^ omloop de beginpunten «^n-4-l> «^ii-*-2f «^ii-*-S>»..•«?2ii terug te verkrijgen, die nu echter met de eerste 2ir in amplitude verschillen. Let men even als boyen alleen op de grapliische voor- stelling, dat is op de ligging der punten, dan heeft men dus dat bij gz^zF^ de volgende punten van Let vlak der w behooren: bQ het begin der beweging, «^|> V>^f ^8,....tt^«-.l, «?„; na den eersten omloop, na den tweeden omloop, na den «*° omloop weder, Nu zijn iff^j ic^, «^3i.V..fTn—i, tt^n <i® opeenvolgende worteU {§ 11) van de vergelyking «?» — tt>|«=:0, zoodat de verschillende waarden van w niet alleen de wortels z\jn dezer vergelijking, maar tevens met elken omloop van g over de bovengenoemde gesloten lijn eene cyclische verw Selling van de wortels dezer vergelijking overenkomt, Hadden wij de gesloten lijn in negatieven zin door-loopen, dan zouden de warden van w in omgekeerde orde zyn verwisseld. 84, Wat in het voorgaande van het punt z zn P^ is gezegd, geldt eveneens voor elk an der punt van de gesloten lyn, die f doorloopt, zoodat to steeds, hoewel van verschillende punten uit-gaande, dezelfde lijn in het vlak der w zal beschrijven, onver-schillig in welke indirekte richting men het vertakkingspunt — neemt. Doorloopt bij v. m van P^ uit «-maal eene gesloten lijn Lg, die het vertakkingspunt — -j^i omsluit, en beschreft daardoor 19 in H vlak der w van Q^ uitgaande de l\jn Lv,, zoodat met P| voor pi = e^y bij het begin der beweging Q^, en na den lea, 2eii, Sen..,,, omloop de punten Q^, Qj, Q4,. • t.. overreen- Geeft, Dezelfde lijn lijn beschrijven, maar nu van Q^ aitgaande; enz. 86. Ala treene?oorbeeld kiezen wij u>z:ziy{z^p,)[z^f^\. (47) waarin wy aan de vertakkingspunten —i^i en — /?j vooreerst declits e^ne bepaalde waarde — i'l =-^^i^y| e^i *~jP2 = ""^«^y« toekennen. Die punten kunnen nu liggen of beide buiten, of een van beide op of binnen de gesloten l^n, die 9 doorloopt. Liggen beide vertakkingspunten buiten de gesloten l^jn , die f van Pi uit doorloopt, dan kan zulks op de waarden van z+Pi en s+p^, die met «rr .P| overeenstemmen> geen invloed hebben; zoodat in dit geval de begin- en eindwaarden van z+p^ en 9 + p^ en dus 00k die van to, dezelfde z^jn, boe menigmaal e de genoemde gesloten liijn, onverschillig in welken zin, moge doorloopen. 86. Ligt 66n der vertakkingspunten, bijv. — /?| , binnen de gesloten l|]n , die g van P| uitgaande doorloopt , en zijjn de waarden van z+p^ en z+p^, die met ^rsrsPj by bet begin der beweging overeenstemmen, Z'^-pt = ^i^4^i en z -hp^ cs r^/^e^; dan zal, nadat z ^^nmaal de gesloten lijn heeft doorloopen, met zz=:P^ overeenkomen z^p^z=:r^/((P^±27^), en Z'\'P^=:zr^/(p^; want, daar bet vertakkingspunt — -j?) buiten de gesloten lijn ligt , heeft het ^n- of meermalen doorloopen dier lijn geen invloed op de waarde van z + p^. Nadat z ^-maal die lyn in denzelfden zin heeft door- loopen, is echter voor « = Pj de waarde van z + p^ geworden ft/(!ptdz^^)i ^3 dus to^ip/^ de beginwaarde van «?, die met z :=zPg overeenkomt , dan zal , nadat z de gesloten ]yn ^-maal in denzelfden zin heeft doorloopen y met hetselfde punt Pj van het vlak der z overeenkomen to z=zp/l^± — ^\ Laat nu z de genoemde gesloten lyn in positieven zin door- loopen » en noemt men tt?, de beginwaarde van w^ dan verkrygt men de overige waarden van w^ die bij het punt z zz: P^ behooren, door IP I aohtereenvolgens met 1^—, 1/ — ,... .>1 ^ n n 1$. te vermenigvuldigen. Al die waarden van zyn dus 00k nu begrepen in den vorm w= «?,]?^ -^ 1 ; zoodat het gezegde in NO. 80 ook hier geldt. 21 87. Eindelk kunnen beide vertakkingspunten n^zi^^p^ en f = — P2 ^gg^i^ binnen de gesloten lijn, die z van P| nit door- loopt. Is nn de beweging?an z met betrekking tot de beide ver- takkingsponten verschillend en dus b^V. positief ten opzichte van — i?a (zooals in Fig, 28) en jByn voor de beginwaarde jrrs P|, « -f-/?| = fx/^i jr +/7j =s ^9/0%* en dus wss (^i^a)*/^ ■ ; dan is, nadit ^ ^^nmaal de l^n heeft n doorloopen, « 4- j?^ = r,^(0| + 2jr), « -{- pj =: r^/{(p% — 25r), en dus weder w=z{r^r^)*/l^^. Eyenzoo is na een ^maligen om- n loop dier lijn z +^, = r i/(0i + 2^^), a +/?j = r^/((P^ — 2*jr En w = (r^r^Y/l; zoodat met elk punt der lyn in het n ylak der z slecbts 66n punt in 't vlak der to overreenkomt. Heeft eben de beweg van z met betrekking tot beide vertakkingspunten in denzelfden zin plaats, en zijn voor de begin waarde = P^ weder f +^1 =: ftf^u ^ +A ^%/0v ®^ 02 j^ 02 dus = {r^r<^*/; dan is, nadat z de gesloten lijn e^nmaal heeft doorloopen, voor hetzeIfdepunt=Pi,;5+/7i=rj/^(0i±25r). ^ 02 ± 4t if +/?2 = r,/(0j ± 2jr), en «? = {r^r^Y/ — ; even- zoo is alsdan na een' ^-maligen omloop der l^n in denzelfden zin s -h /?! = ri/(0i ± 2kx), a + ;?2 = f«/(^a± 2^jr) en dus • 01 "I* 0a "it ^^ iozs(r,r^/— =, Is dus weder w^ de bcginwaarde vai^ to voor 2 = P^, dan zullen de waarden, die men voor to vindt, wanneer z de gesloten 1^'n l, 2, 3,.*..(»— 1) maal in positieven zin doorloopt, zijn: lo^A/ — $^vl/ —, Wi.l^—,... tt^j.l^'^— — — ^ ; al deze waarden zijn dus begrepen in denvorm n Is nu n oneven, dan komen deze waarden overeen met die, welke to = «?,,i?^4- 1 zou opleveren, en verkrygt men dus in zoover dezelfde uitkomst als boven, dat ook nu de punten van het vlak der to ^ die met het punt Pj van het vlak der z over- eenstemmen, zullen liggen op den omtrek eens cirkels, die uit 22 eenstemmen, zullen liggen op den omtrek eens cirkels, die uit 23 en Den oorsprong als middelpunt met (rif) als straal wordt beschreiben. Ten en wel zoo, dat zij de hoekpunten vormen van den daarin beschreiben regelmatigen. Kontrollen vieler den opeenvolgende draaten niet de opeenvolgende hoekpunten behooreen, maar deze telkens 66n overspringen, De gesloten l^n, die in let vlak der vf met de gesloten Hjn in het vlak der z oTereenkomt, bestaat ook nn weder uit n congruente lijjnen, die alien den oorsprong als gemeenscbappel^k gel^jkstandig punt bebben. Is echter n even, dan worden de warden van aangegeven door zoodat nu in het vlak der to slechts verschillende punten b^ bet punt Pi van het vlak der e behooren. De n punten van 't vlak der w, die {n — 1) omloopen der gesloten lijn voor m^z Pi zou- den geven, vallen namelijk twee aan twee samen, en wel tc^ met iff., Wn met to^, era., en zijn derhalve de hoekpunten van een' regelmatigen --hoek, om als middelpunt beschreven. Met 2 deze w^jziging geldt ook nu het gezegde in N^. 80. Wordt »=:2 en dus. v>:=zy(g+pt)ii^p^), (49) dan komt in dit geval met elk punt van 't vlak der i slechts ^^n punt van het vlak der v> overeen. 89. Words spoken by Google to = i:!^(z^p,y^, ;.. (50) den heeft men niet meer met two verschillende vertakkingspunten te doen ; zoodat men nu slechts de twee ge vallen heeft te onder- scheiden, dat — i^i ligt buiten, of binnen de gesloten lyn, die s doorloopt. In het eerste geval heeft het doorloopen dier Ijjja geen invloed op de waarde van «-|-/?i, dus ook niet op de waarde van to, die met « = P, overeenstemt. Het tweede geval komt in alle opzichten met het boven beschouwde overeen, zoodat het daarbij van de waarde van n afhangt, of met zzzz P^ over- n eenkomen ^^ of * punten in het vlak der to, 2 90. Tot Toorbeeld kiezen mj de functie toz=i^g* • («) Doorloopt nu z den cirkel MP^, welks middelpunt 3f op de as is gelegen (Fig. 29*) en is OP^ = 1, dan zal to de Ijjn QAQi8...Qfi8^Qt beschrft>en (Pig. 29*), waarin Qu Q»,...C5 met P, ; 8^, S^,...S^ met 23 90. P. Tj, Tj, Tj, Tj met P3; 27^, U^, met P^ oyereenatemmen. Gaat z van Pj uit, dankomt met den eersten omloop van den cirkel in het vlak der to overeen de lljn QiSiQiy met den tweeden omloop de lijn Q^S^Q^^ enz. En met den vijfden omloop de lijn Q^S^Qti zoodat na den vyfden omloop 10 weder in Q, aankomt, en dus bijj de verdere omloopen van z opnieuw dezelfde gesloten lign beschrijft. Obmebking. De zoo even genoemde v^f verschillende l^nen QiSiQii Q%8^Q^^ enz. vormen nog de snypnnten Ci, C^..*iC^i in de werkelijkheid hebben die punten ecbter verschillende waar-den; stelt b\jv, Ci als punt van Qi^iQi de waarde a /a voor, dan stelt zij als punt van Qa^S^Qs de waarde a/f{a -h 2*) voor; die achijnbaar gemeenschappelijke punten zijn dus niet identiek dezelfde, en zelfs stemmen zg als punt van de eene lijn met een ander punt van Let vlak der z overeen, dan als punt van de andere lyn. Het valt voorts gemakkel^k in de beschouwde functie de indiKKrekte waarden der vertakkingspunten in te voeren. Dans zijn — 1?|, — i^a, — Ps***' — Pm vertakkingspunten. Laat nu z van P| uit een gesloten lijn doorloopen, die een zeker aan-tal vertakkingspunten omsluit, en wel zoo, dat de beweging van i met betrekking tot k^ dezer punten in positieven, en met betrekking tot de overige k^ dier punten in negatieven zin plaats heeft. Is alsdan 10 = p/i^ de waarde van 10, die met de beginwaarde f =: P| overeenkomty dan zuUen bij de voortdurende beweging van z, na 1, 2, 3, ••••(» — 1), n omloopen, met si^P^ de waarden van I.  in den noemer voorkomende — /?^, — /'ti* ••.—/?«> ^s in positieven en Hfj^ in negatieven zin worden omloopen, en is w^zsp/^ de waarde van V, die met de beginwaarde zz=z Ft overeenkomt; dan is na ^f. 2jr Ucm — ^2 — Ato -4- kA\ den eersten omloop w = p/\ ^ H ^-^ ^ = ^ J, of, J 2kn\ wanneer men Atj — ^g — Ar^-i-^^ss * stelt, tozizpfi^'-h — 1> zoodat de waarden van w die met ^ =: Pj overeenstemmen, begrepen zyn in den vorm w = «?j.(i?^- 1)*. 92. Van de waarden van en ts zal bet nu afhangen, boeveel onderscbeidene punten in bet vlak der to met bet punt F^ zuUen overeenkomen : zijjn ^ en » onderling ondeelbaar, dan z^n er n punten; is k gel^k O, gelijk n of een veelvoud van », dan is er slecbts ^^n punt *), enz. In 't algemeen beeft men dezen regel voor de b\j f = P| beboorende punten van 't vlak der v) : bepaal bet punt Qt^=^p/^% dat met de beginwaarde jr=P| overeen- siemt; besebrijf dan met p als straal uit als middelpunt een cirkel; verdeel dezen in n gelyke deelen, zoodat Qx bet eerste dier deelpunten wordt ; in positieven zin rondgaande zijn nu bet 1^(Q]. (^4.1)S (2Ar+I)«,....((n — l)^-hl)* deelpunt, de punten van 't vlak der to, die bij bet punt « = P, bebooren respectieveligk by bet begin der beweging, na den 1™, 2"*,....(ii — 1)*** omloop. Hebben k en n een gemeenen deeler, dan zullen niet alle punten op deze wijze worden aaugedaan. Overigens geld En bier ook de beschwären van N^. 80, mits men daarbjj bet gezegde in Voor i& = heeft men werkelijk slechts ^^n punt in 't vlak der io ; voor h^^n of =a» faeeft men volkcmen hetzelfde als bg de fanctien v rs^(«), iraarin geene wortelkeekena voorkomeD; daarbij vallen ook op dezelfde wijze de ponten (l^nen) lameo, dit door de waarden van v worden aangewesen. 25 N^. 88 in het oog houdt. Is byv. /? de grootate gemecne deelcr van k en n en is p rii-masl op n begrepen, dan h n. t to = fTid^^H- 1)* = w^ (|/-h ly. en geeft dit dezelfde pimten in 't ylak der w, hoewel in andere «c. volgorde, als w=: Wj-iZ-t- 1. In dit geval komen dus met een punt Pi van 't vlak der z^ Ui punten van 't vlak der w overeen. Doorloopt das z »-maal eene gesloten iijn» dan zal to eene gesloten Ign beschrijven, die uit «| congruente deelen bestaat, die als gemeenscbappelgk gelijkstandig punt bebben, zoo als bijv« voor » = 12 en ^ =: 9 door Fig. 30 wordt opgebelderd. 93. Het byzondere geval, dat eenige vertakkingspunten in elkaar vallen, is in dit algemeene geval begrepen; is echter dit aanstal onderling samenvallende vertakkingspunten gelijk aan n of een veelvoud van ii, dan zal blijkens bet voorgaande de omloop om dit fh of a»-voudig punt op de waarde van w alleen in zoover van invloed zijn, dat daardoor de richtings-coefficient telkens met 2« of een veelvoud van 2;r vermeerdert. Of dus dat punt buiten, op of binnen de gesloten lijn ligt, heeft geen invloed op het punt van 't vlak der «?, dat met z=zFi overeenkomt. Is dan ook dan kan men hiervoor scbrijven fo^iz-hptYiyf+Pi, (64) waaruit het gezegde nog duidelijker blijkt; want zijn nu z-k-pi'^rzr^^f^i en z +p^ = ''a^^a ^^ ir = «?t de waarden van z^^ p^, z-^^p^ en w^ die met de begin waarde z = Fi overeenkomen; en doorloopt z van dat punt uit eene gesloten lijn, die wel — -^i, maar niet — /ts bevat of omsluit; dan zal na den eersten oml Op dier lijn met zzzzF^ overeenstemmen ^4-/?i = fi^($i di 2t) en ^•t-i?2 = r2^^2, en dus ook w= tt?i,l^± 2fljr. Deze waarde van to wordt echter door hetzelfde punt van het vlak der to voor- gesteld als de waarde van to zelve; zoodat met betrekking tot de graphische voorsteUing het omloopen van het punt z-^n^^pi geen invloed het op het punt van 't vlak der w, dat met z = P^ overeenkomt. Yoor het aantal punten van het vlak der 10, die met ar = P, overeenstemmen, is het derhalve onverschillig of het punt «= : — ;?, buiten, op of binnen de gesloten lijn ligt, die z van Pj uit doorloopt. Om die reden noemt men « = — p^ geen vertakkingspunt, alhoewel voor s = ^^p^ de waarde van to nul woidt (N^ 61). 94. Hoe ook in de beide laatst voorgaande voorbeelden de indirekte waarden kunnen worden ingevoerd, bliykt uit het volgende. Laat in met de direkte waarden j?|=C|^y,, p, =Cj^y,,."«l^i»= ^w^ym voor de beginwaarde » = Pj overeenkomen « -f- ;?i = ^i^^i > s ^p% = fxf^x,• •. •« + jP« = 'f'mf^u en «> = p^+, dan zuUen met de indirekte waarden met de beginwaarde a = Pj overeenstemmen «4.jp, =r,/($, -f 2^iV), ^+p, =r,/(4), -*-2^,'T), en dus ook w r"*" ;;^ J' waarin ^|', k^',....h'alle geheele waarden kannen hebben van tot en met » — 1. Geven wij aan ^j', k^',...\1e^ al deze ver- scbiUende waarden, ons daarbij aan niets bindende, dan kunnen al de waarden van w, die met de beginwaarde a zz: Pj overeen- komen, terug gebracht worden tot 95. Doorloopt nu t van P| uit eene gesloten I^n, die een seker aantal vertakkingspunten 95. Doorloopt nu t van P| uit eene gesloten I^n, die een seker aantal vertakkingspunten 95. Omsluit, en houden wig ons daarbij aan de onderstelling van N^. 91, dan zullen na den eersten om- loop dier lijn met zz=iP^ overeenstemmen de pun ten w^hjl —, n tp^.l/f —, tt?*.!/—!.•..tPjifl^ —, of wat netselfde is, ^ n ^ n de punten tot^i, w^^2» ^i-hsA/ —, n n ft ...»Wfl/ —, of wel de punten tpg^+i, f^«»4.s, «>n-hZ>'»»»n> n enz., zoodat ook hierbij eene verwisseling plaats heeft van dewor- tels der vergelijking «?» — la^^ = 0. 96. Is F{z) eene geheele of gebrokene rationele stelkundige functie van z^ dan kan zy steeds worden ternggebracht tot den ^«,« (^ +Pi) (g -H j^a)(g -h /^s) - - "(^ -*" Pm) vorm -III II ■ III! J (^ + Pf) i^+P') (« -^Pi)' • • -(^ -h Pu) zoodat in de voorgaande voorbeelden alle eentermige stelkundige functien z^n begrepen van den yorm to=siyF(^l (65) of ook, omdat het voorkomen van eene rationele stelkundige functie voor het wortelteeken geen invloed heeft op het aantal, de Yolgorde en de ligging der punten in het vlak der to, die met zz:i P^ overeenkomen, — de functien begrepen in den vorm ioz=zF^{z)^T(z) De uitkomsten van het vorige onderzoek het vorige onderzoek hebben ons nu het volgende geleerd. 1^. Neemt men elk der vertakkingspunten in eene bepaalde richtig, (direkte of indirekte); laat men s van een zeker punt P| uitgaande, eene gesloten lijn doorloopen, die een zeker aant Al vertakkingspunten omsluit; heeft de beweg van s plaats in een zin, welke met betrekking tot diegene dier punten, welke in den teller (onder het wortelteeken) voorkomen, positief is ten opzichte van k^, en negatief ten opzichte van ke^ dier punten, en met betrekking tot die, welke van die punten in den noemer voorkomen, positief is ten opzichte van k^, en negatief ten opzichte van k^ dier punten; is A^i — ^2 ~ ^8 "+• ^4 = ^J ®^ ^^°^* eindelyk met de beginwaarde ;? = P^ het punt «^| van 't vlak der w overeen; — dan zullen de overige punten van 't vlak der w, die na den 1«», 2"», 3«»,.... "N -^ i)en omloop van s met genoemd punt 2 = P| overreenstem- men, worden aangegeven door Wi.l/»—, Wi,!/- —, fpi.l/—, fi n fi ....•p|.li^ ; zoodat z^ alle z^n begrepen in de for- n mule w = » j.(jJ^-h 1)*. Al deze punten liggen due op den omtrek eens drkels^ nit O als middelpunt bescireyen, en vallen in de hoekpunten van den daarin besdireven regelmatigen it-hoek (zie voorts 14^. 92). De Terschillende punten in hat ylak der to, die met al de punten der door z doorloopen gesloteh lijn overeenkomen, vormen eene ge- sloten lijn *), die uit een zeker aantal (» of een deeler van n, zie N®. 92) congruente deelen bestaat, welke zich om den oor- sprong als gemeenschappelijk gelijkstandig punt regehnatig groepeeren. Beschryft men voorts uit als middelpunt cirkels met wiUekeurige stralen, dan zuUen de overeenkomstige snijpunten dier deelen met zulk een cirkel bij eenzelfde punt van 't vlak der g behooren. 2. Brengt men ook al de overige indirekte waarden der ver-takkingspunten in rekening, dan zullen al de punten in 't vlak der to, die met de beginwaarde zzsP^ overeenstemmen, begrepen zijn in de formule terwiyl uit deze punten de overige punten, die in 't vlak der tomet 2 = Pj na meermaligen omloop der genoemde gesloten lijn overeenkomen, verkregen worden door eene verwisseling van de Xfi orde » hetgeen neerkomt op eene zoodanige verwisseling van de worteldig der vergelyking. 97. De beantwoording van de door Caught en meer voUedig door EiEMANN behandelde questie, hoe men zich van de meerzdnnigheid eener functie kan ontdoen, ten einde deze als eene eenzinnige te kunnen behandelen, ligt voor de eentermige function van den vorm. to = Ft(z)p^Iir) (56) in de voorgaande bescbouwingen opgesloten. B^ elke bepaalde *) Men spreeit hierbg van gesloten Ign ook dan, wanneer de congraente deelen, waarnit zij bestaat, wanneer het pont van nitgang *) Men spreeit hierbg van gesloten Ign ook dan, wanneer de congraente deelen, waarnit zij bestaat, wanneer het pont van nitgang *) Z^Pi een Terttkkingspnnt is, dat de fanetie ic oneindig maakt. 29 w^'ze van ontstaan van een punt P| van het vlak der z^ en met elke direkte of indirekte waarde van de vertakkingspanten, komt namel^jk met genoemd punt slechts een enkel bepaald punt van het vlak der v> overeen; en evenmin als b\j de bier gevolgde wijze van bebandeling verwisseling kan plaats bebben van de verscbillende punten van 't vlak der z behooren; — evenmin kan er questie zyn, welk deel van de gesloten l^n, die in 't vlak der v> met eene gesloten Iijn in 't vlak der t overeenkomt, bij een zekeren (bijv. ^) omloop dier laatste gesloten lijn beboort. Bij deze nieuwe wijze van be- bandeling kan dus de bovengenoemde functie in alle opzichten als eene eenzinnige worden bebandeld (zie N®, 63, 70, 79). § 23. WervQt0. De atgemeene JiincHe wss/lz)* 98. De algemeene stelkundige functie ^=A') (57) kan worden geschreven in den vorm waarin /i(«), A (« 99. Willekeurige stelkundige, eentermige functien van z voorstellen ; en in dien vorm kunnen gemakkelijk de bescboiiwingen van de voorgaande § voor bovengenoemde allemene functie worden uitgebreid. Eennen w^' dan vooreerst aan de in die functie voorkomende vertakkingspunten bepaalde direkte of indirekte waarden toe; laten wij z van P| uit eene gesloten lijn doorloopen, die een zeker aantal dier punten omsluit ; komt met de beginwaarde « = Pi in bet vlak der to overeen voor to =zf^(e) bet punt Pj,.... voor tozzifj^z bet punt Xj ; en evenzoo na den eersten omloop respectievelijk de punten a^ \ P% »• • ''^t > ei^M laat eindelijk bet aantal punten, dat aldus voor «?z=/j(a) werd verkregen, c,, dat voor «? =/j {<?), c^,,. Voor w=/jfc(2), Ck bedragen; dan zal, in de onderstelling dat is, met de beginwaarde s = P| voor de algemeene functie to =/[«) in bet vlak der to overeenkomen het punt to =«i + Pi+...,. +^1 ; en voorts na den eersten, tweeden,..(<?!—!)'■,# •.(o$—!)',... (Cii— ])^>»,.;,. omloop achtereenvolgens de punten : 9g = Aj + fti +..•...• + 'ta »3=flr3 +153 + ;.H-«3 w^ = «i^-c, +P«, + +«c, w^=flMjfc-«, + ^^•.«^+ 4-'t#i Is eindel^k 2=0^1-1-/7 = ^^2 + ^= : ••••• i= ^i -h t?, dan komt na den (/ — ly* omloop met z z=i F^ in het vlak der to overeen het punt IP, = «^ -f. p^ 4- 4- X|,. Om nu bet aantal yerschillende punten in H ylak der to te bepa- len, die met z:zi P^ overeenstemmen, moet men nagaan yoor welke waarde van I, toiz=.iOi wordt. Zulks is bet geyal, omdat alleen op de ligging der punten gelet beboeft te worden, als |7 = ^=7 = l is, en dus I 66xi meer is dan bet kleinste gemeene yeelyoud yan c^,.. •.c^. Is derbalye «)i=zf(g) eene willekeurige stelkundige functie yan z, en doorloopt z yoortdnrend eene zekere gesloten lijn, dan zal bet aantal pointen in bet ylak der to, die met 66n punt P| dier l$n oyereenkomen, gel^'k z\jn aan bet kleinste gemeene yeelyoud yan de getallen, die aanwijzen boeyeel pointen yan bet ylak der to respectieyel^k met dat punt Pi zouden oyereenkomen, indien in genoemde functie elk der termen acbtereenyolgens alleen yoorkwam. 99. Voert men nöt al de indirekte warden der vertakkingspunten in, dan zullen al de punten in 't ylak der to, die na de yerschillende omloopen yan z oyer de gesloten l\}n met z^^Pt oyereenstemmen, begrepen zijn in den yorm to = tf||/-h 1 4- Pi K+ H-.... 4- ^4 v^4- 1; •. (59) en b\) die acbtereenyolgende omloopen zullen de waarden yan den eersten term yerkregen worden door eene yerwisseling van de wor- tels der vergelyking w**' — • a^** =, 81 die van den tweeden tenn door eene yerwisseling van de wortels van »»»»•— pj«t£=0, enz. en die yan den laatstea term door eene verwisseling van de wortels van »»»— pj«t£=0, Is nu Fito)=zO (61) eene vergelyking, die tot wortels Iieeft de som van de wortels der bovengenoemde vergelijkingen^ wanneer deze wortels op alio moge- lijjke w\jzen door het plus-teeken EJ|jn verbonden (op de w^jze die boven in form. (59) is aangeduid; dan z^n al de wortels van Welke dier werden van wenen nu ook moge nemen, steeds zal z\) dezelfde verandering moeten ondergaan om de waarde van w te verkragen, die na nog 66n omioop van z over de gesloten ]^n met 2 = P| overeenstemt. Z\jn derbalve de wortels der boven« genoemde vergelijking F(to)=zO op eene bepaalde, regelmatige> met het zoo even gezegde overeenkomstige wijze gerangscbikt ; dan zal men, van een bepaalden wortel uitgaande, telk^is een zelfde aantal wortels overslaande^ de achtereenvolgende waarden van to verkrijgen, die b^* eene bepaalde waarde-toekenning der vertakkingspunten met gz=:Pi overeenstemmen. 100* Door eenkel voorbeeld zullen wie het bovengezegde  stel = v>^, w >l M 3''-^—' 8 derden „ u.l/2it 4-«?.l/3sr, „ =»4, 3 vijfden „ u.l/— + v.l/67r, „ =1^5, „ „ zesden „ u.l/—  liggen binnen de gesloten lyn, maar de beweging het ten opzichte van het laatste in negatieven zin plaats; of de punten — /?3 en — pa liggen binnen de gesloten lijn, en de beweging is ten opzichte van beide positief. De beginwäarde van ic is nu weer to^I=lu + v; na den eersten ompoorte werden van beide punt ioq; zoodat men voor de punten van *t vlak der 10, die met « = Pj overeenkomen, verkrijgt na den 2jr ersten ompoorte werden „ m.1^— +v,1^2^ z:=: to ^, o derden „ «.l^— -7-- + vA/^^ = «?ji, o  in to^, w, in 1^3, enz., gaat in het tweede geval to^ over in f^^, f^g in 105, enz. 3^. Liggen alle drie vertakkingspunten binnen de gesloten lijn , en heeft de beweging ten opzichte van — i?8 en — Pi in positie- ven en ten opzichte van — /?i in negatieven zin plaats, dan ver- 88 4- krijjgt men na den eeraten omloop voor w het punt «»=tt.l^-~^4- o -{•v.I^^, hetgeen met het punt w^ van boven samenyalt. Na den tweeden omloop verkriijgt men w =z m*!/^-^ + v.l/l2w, welk punt o samenyalt met ic^i enz. Men vindt aldus voor w achtereenvoIgenB de punten i0|, w^^ Wf^, Wj^, w^^ te^s, w^, «'6»***- 4®. Liggen alia dHe vertakkingspunten binnen de gesloten l|jn en is de beweging van z positief met betrekking tot — /?3 en — jpg en negatief met betrekking tot -^/^i » dan verkr^jgt men voor de punten van 't vlak der w^ die met z =:P| overeenkomen, acliter- eenvolgens iP| , Wj, w^^ to^^ tOf^, Wq, to^, tt?a,..t. 59, ligt "-/'a buiten de gesloten liijn» die z doorloopt, dan kunnen de punten w^, Wj^ en f^^ niet voorkomen, en kan er dus alleen een overgang plaats bebben van t9| op w^ , en van to^ op 100 9 of van fo^ op to^ en van w^ op w^. 6^. Ligt daarentegen —■/'a alleen binnen de gesloten l\jn, dan kunnen de punten to^^ to^, tp^ en w^ niet voorkomen en kan dus de overgang alleen van to^ op to^^ en van tOj^ op w^ plaats vinden; enz. enz. 101. Z^n de direkte waarden van ^,, p^ en  de drie vertakkingspunten omloopen, en is de bewegigen van z positief ten opzichte van — jpa, en negatief ten opzichte van — jpa, dan is de waarde van to voor z =z P^ n den 8 S4 eersten omloop «.l^— -f-r. 1^2t = «^5 tweeden „ u. Y/^tt -h ^ '^/^n == w'^, enz., zoodat men voor de punten in het vlak der w, die met z=iP^ overeenstemmen, vindt i^g, tt?5, t9^,. • •••«9|, f^^, • t • • • • Dezelfde punten verkrijgt men, wanneer — j?^ buiten de gesloten lijn ligt, en de bewegigen van s positief is ten opzichte van — /'a en negatief ten opzichte van — /'a; — of ook, wanneer — />| ligt btiiten die lijn en de bewegigen posifief is ten opzichte van — p^ en — 1?3. Is in al deze gevallen de bewegigen van s ten opzichte van — «j?i en — jDj juist in tegengestelden zin als boven, dan verkr^gt jnen voor w achtereenvolgens w^y w^, w'a** - 102. Al deze uitkomsten stemmen volkomen met het gezegde in N°. 98 en 99 overreen; men ziet ook hier weder, dat er bij de hier gevolgde wyze van behandeling geen twijfel kan bestaan aanga de punten in het vlak der to, die bj elkander behoore. De boven verkregen punten to, wenn zijn alien volkomen bepaald; doorloopt nu z de gesloten lijn zes of meermalen in den zelfden (positieven) zin, dan beschryft ook v) eene gesloten lijn, die uit zes (niet congruente, maar wel als de som van twee con- gruente lijnen voor te stellen) deelen bestaat, die respectivelyk f^i en io^y 102 en «739,«,.f9g en w^ tot uiteinden hebben. Heb- ben bijv. de vertakkingspunten de in het voorgaande N^« aange- nomen waarde, en wordt de ligging dier punten ondersteld met het eerste daar beschouwde geval overreen te komen; dan zal m^t de lyn, die door z wordt doorloopen, in het vlak der to overeen- etemmen, met den eersten omloop het deel der bovengenoemde door w beachreven lijn tusschen de punten to^ en to^ met den twe^den omloop het deel dier lijn tusschen to^ en to^ en to^y enz, Hieruit bljkty dat op deze wijze elke veelzinnige functie als eene een- zinnige functie kan worden behandel. 103* Hoewel de beschouwingen van Nos, 98 en 99 geheel algemeen gelden, moeten wj nog de aandacht vestigen op het bijzonder geval, dat een der functien /(«) niet voorkomt in den vorm "i^Hz^ waarin I\%) een rationeele stelkundige functie voor- stelt. Daartoe moeten tr^* het aantal punten opsporen, die in het vlak der to met 2 = P| overeenstemmen, indien z van P^ uit eene gesloten lijn een onbepaald aantal malen in dezelfde richting doorloopt, en «? is van den vorm 35 «, Hb w:=zyF,{z)^V/F^(i), (68) voor liet geval, dat F|z) en Fj^z) rationeele stelkundige functien zija Tan z, Uit liet Yoorgaande is gemakkelijk af te leiden, hoeveel punten in het vlak der » bij x =r P| zouden behooren, indien w = Pj (js) «>. Of course, it was. Last dit aantal voor 19=4 (x) bedragen (?i, en wel de punten 0^, en voor w s^\/F^{z)z\]n <?2, en wel de punten 0^, Pj,....jS^,, zoodat 0^ en ^|, le^ ^^ Pj|, ....^ifc en 0jb in wording overeenkomen en due na eenzelfden omloop met %z=z P^ overeenstemmen. Voor de hier beschouwde functie to (63) vindt men nu de punten ym^-^P^t K«j-hfti > .... y^di 4- ft,.. ;. Het aantal punten in *t vlak der to wordt verkregen door op te merken, dat voor ^ = (w?| +/? = 3cj -f- ^, yai +ft en {/a^ -f* fi^ dezelfde punten zullen voorstellen » indien voldan wordt aan de voorwaarden, dat vooreerst pzzzq^zl en dus 00k a(?| =: bc^ is, en ten tweede dat f»| een geheel aantal malen op ad^ en hc^ begrepen is. De kleinste waarde van l^ die aan deze voorwaarden voldoet, is ^^n meer dan het kleinste gemeene ve elvoud van n^, c^ en c^. Is u dit kleinste gemeene veelvoud, dan geeft i/On+it^Pwhi betzelfde punt aan als K'i + (3i, zoo- dat by het punt P, van 't vlak der z, u punten in het vlak der 10 behooren. Voor de waarden van to, w=:tf*+ft, die in to :=z F^(z) -{^ \(z) met s = P4 overeenkomen, gelden in alle opzichten de *f. beschouwingen van N°. 99; voor to z^ytti^Piy dat is voor de waarden van 10, die met s = P| in w = j/P^ (i) •4- |/Pj (») over- eenstemmen, gaan zij derhalve 00k door, indien men daarbQ slechts in H oog houdt, dat de vergelijking, die voor 10 de waarden yat + Pk oplevert, tot wortels heeft de w^^-machtswortels van de wortels der vergelijking, die de waarden at + fo zou opleveren. Bovendien moet men hierb^ in aanmerking nemen, dat niet aUeen de waarden van z, die Pg (2) nul of oneindig maken, vertakkings- punten zyn; maar dat zulks ook het geval is met die, voor welke 3* I'^ (x) + y'F^ (z) nid of oneindig wordt. Deze laatste vertakkinga- punten zijn af hankelgk van de eerste, maar mogen daarom b^ de beschouwing van de functie niet buiten rekening worden gelaten. 10^. In sommige gevallen kan men de bepaling van de punten in het vlak der to aanmerkelijk bekorten. Is bigv. to^^w + zzzzO. of «,=^|_(,+//,.-^) + /.^(-s-.;/s^^),(65) ^n stelt men in wss^rf"— « ±A»' — 5=1 (66) riSAMAi ±A'^-5^='. i,n U, = i:^(,_ -5y)(.+^) (6T) 2 2 waarin •4-»"^>= en — ^ vertakkingspttnten zyn, die men voor- 2 2 eerst kan nemen in den zin van -^=s ifO en ■ — ^ ^ar. Daar geene 1/^27'^ 1/27'^ enkele vraarde van z de fnnctie onder het teeken ^ gel^k nul maakt, heeft de fonctie w geene andere (eindige) vertakkingspttnten. Men bepaalt nu vooraf de waarde van t^ die met den gegeven omloop overreenkomt, en snbstitueert die waarde in (66), waama deze vorm als 10 = i?^(8 -^ p^) kan worden behandeld. 