Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
GR. ARCH. B. 66, S. 22 — 34. Theorie der Longitudinalschwingen zntam- mengezettter Stabe. Von Obermann, id. S. 118—146. Über das Problem des Gleichgewichts elastischer Rota- tionskorper. Von A. Wangerin, id. S. 241 — 251. Über dem Ausfluss der Wassers an Gefatsen in zwei besonderen Fallen nach Eintritt des Beharrnngszustandes. Von E^MeUteh id. S. 447, 448. Durchbiegang einer, in einer beliebigen, ebenen Curve gekriimmte, Feder, welche durch zwei gleiche und entgegengesetzte Krafte deformiert wird, in der Richtung der Kriiftwirkung. Von S. Weitphal, N. A. D. M. T. 18, p. 97 — 99. Note sur l'attraction proportionnelle i la distance. Par M. Chepiliiet, id. p. 180—138. Sur la stability de Tequilibre. Par M. H. Laurent. id. p. 212—219. Problime de Hüghens. Par M. A. Picari. id. p. 486—438. Question 1021. id. p. 443, 444. Question 1086. id. p. 507 — 512. Solution de la question de mécanique rationnelle proposée an concours d'agrègation de 1878. Par &i« F. Hioux, CHL. ZEITSCH. B. 19, S. 97—114. Ein Theorem fiber die Wechselwirkungen in endlichen Entfernungen. Von iV. X^ow» id. S. 186 — 204. Über den Beschenkangständen des ebenen unveränderlichen, in der Ebene beweglichen Systems. Von W, SchelL id. S. 242 — 258. Relative Bewegung sich berührrender Rotationsflachen. Von H, Zimmermann, id. S. 299 — 828. Grundzuge einer neuen Moleculartheorie unter Voranssetzung Einer Materie und Eines Kraftprincipes. (Fortsetzung zu Jahrg. XVIII, 6 Heft, S. 468—510.) Von 0. Simony. id. S. 418 — 481. Ableitung der Bewegnngsgleiohnngen der Energie in con* tinnirlichen Korpern. Von N. Vmow, 220 sciiL. ZEITSCHR. B. 19| S. 620 — 535. Das relative Drehungsmoment eines rotirenden Schtfuogrados. Voa J, Finger, €R. ARCH. B. 56, S. 225 — 237. Ueber eiiiige Probleme aas der Theorie der Central bewegangen. Von L, Matthieuen, J. Y. CR. B. 78, S. 136 — 174. Das Gleicbgewicht and die Bewegang einer nnendlicb dannen, beliebig gekrummten elastischen Schale. Von H, Aron* id. S. 245 — 272. Redaction der Bewcgung einer flussigen bewogenen Ellip- soids anf das Variationsproblem eines einfachen Integrals, and Beslim- mang der Bewegang fur den Greuzfall eines onendlichen elliptischen Cy- linders. Von R, Liptehitz, id. S. 329—837. Beweis eines Satzes der Elasticitatslebre. Von R.Liptchiiz, ANN. EG. N. T. 3, p. 147 — 150. Note snr le calcal des accelerations des divers ordres dans le moavement d'an point snr nne conrbe gaache. Par . M. Bouquet. id. p. 151 — 164. Etade de Tacceieration dans le deplaccment d'un syst^me de forme variable. Par M. Durraude* MBETKTJNDB (vLAKKE). N. A. D. M. T. 12, p. 137—139. Question 1097. id. p. 184. Ext rait d'ane lettre de M. A, Transon, 4;r. arch. B. £5, S. 331 — 334. Satze iiber das Dreieck. Von E, Hain, 9. A. D. M. T. 13, p. 10 — 12. Note snr les bissectrices des angles d'an. triangle. Par M. D, Andte, id. p. 43 — 49. Solution des questions eiementaires propos^es an Concoars d'agr^gation de 1878. Par M. Gambey, id. p. 63. Question 1118. id. p. 296, 297. Question 1119. id. p. 480 — 483. Constitution des questions nécessaires proposées an conçant d'agriscation de 1873. Par M. O, Lamnoy, OR. ARCH. B. 56, S. 188—224. Die rationalen Dreiecke. Vollständig entwickelt and mit Aasscheidung aus Wiederholungen in 3 systematische Tafeln gebracht. Von J7. Rathid. S. 827, 328. Lehrsatz. Von F. August, id. S. 835, 336. Zar Teilung des Winkels. Von von Waecermeh. ad. S. 487 — 447. Ein Beitrag zur Lebensgefäße der Transversallinien. Von X. JTar/p. MEETKUNDE IN DE BOULE. J. V. CR. B. 77, S. 47 — 101. Die regelmassigen ebenen Panktsysteme von unbegrenzter Ausdehnung. Von Z. Sohneke, SCIIL ZEITSCHR. B. 18, S. 588 — 600. Die Faadamentaleigenschaften der Uniensysteme in geometriscber Darstellung. Von A, Beck, MEETKUNDE (NIBT-EUGLIJDISOHB). CL. M. ANN. B. 6, S. 112 — 145. Deber die sogenannte Nicht-Enklidische Geörtrie Zweiter Aafsatz. (Forts, von B IV, 4). Von F. Klein, id. B. 7« S. 531 — 537. Nachtrag za dem zweiten Aafsatze aber Nicbt-Ea- klidische Oeometrie. (B. VI. S. 112). Von F. Klein. (Wordi oervolgd,) [. I V^Bexrtbean, Jkmcti&D ran Camplexe geiaHen. PLtai If. Tu/./. ] TJ^BeniJiean. Jkuictiiii ran Camplexe geiaHen. j:(7.^ziTrArrj-c. NIEUW ARCHIEF VOOR W^ISKUNDE. jNt^X-'VS^ *, Deei II. AMSTERDAM. WEYTINGH & BKAVE, 1876. De inricMing en het doel van dit Tijdschrift zyn d^zelfde gebleven alt in de Voorrede van het Berste Deel werd aangekondigd, De Hedaotsub, Lbidek, Juli 1876. D. BIEEENS DE HAAN, Eenie Seere tarts van het Oenootsehap, onder da giHspreuJt : EKM ONYEBUOBIDE ABBKID KOMT ALLE8 TB BOTBN. J N H O U D. Theorie der functien van veranderlyke complexe getallen. Door Dr. A. Bbnt N H O U D. Theorie der functien van veranderlyke complexe getallen. Door Dr. A. Bbnt N H O U D. Theorie der functien van veranderlyke complexe getallen. Door Dr. A. Bbnt N H O U D. Theorie der functien van veranderlyke complexe getallen. Door Dr. A. Bbnt N H O U D. Theorie der functien van veranderlyke complexe getallen. Door Dr. A. Bbnt N H O U D. Theorie der functien van veranderlyke complexe getallen. Door Dr. A. Bbnt N H O U D. Theorie der functien van veranderlyke complexe Hem Gz. (Wordt vervolgd) Biz. 1, 118. Over de waarschynlykheid van de verschillende möglichkeiten eener verklezing, waarij stemmers van tweeerlei kleur zich bij loting in afdeelingen verdeelen. Door D. J. Koetewbg. „ 40. Theorie der quaten. Door J. Veksltits... „ 136. Letzter over de „Theorie des fonctions de variables imaginaires, par M. Maximillianan Marie", Door D. B. BECKS DE HAAN „ 150. Over benaderingsformnien voor de som van reeksen, welke uit een groot aantal termen bestaan. Door D. J. Koetewbg „ 161. Kleinere Medeelingen. Letzter over een transformatie van den tweeden graad. Door M. O, Pababiba „ 62. Beschouwing over symmetrische functien. Door W. Kapton „ 718. Prysvraag N^. 7. Opgelost door G. Sohouten.. „ 76. Als eenig puDt eene baan aflegt, en nit een wille- keurig aangenomen vast punt l^nen getrokken worden, die voor elk oogenblik de sneUieid van bet bewogen punt in richting en grootte voor- stellen, vonnen de eindpunten dezer l^jnen eene kromme, de zoogenaamde hodograaph. Men vraagt die kromme voor verschillende gevallen van bewegig op te sporen, en haar verband met de bewegig van bet punt te onderzoeken. I N H II D. Over het berekenen eener premie voor een levena- yerzekering Die malen per jaar zal betaald worden, in plaats van eene bekende jaarpremie. Door F. J. Stajocabt Biz. 97. Verdeeling van den hoek in drie geiuyke deelen. Door J. H. VAN Leeuwen „ 177. De cirkels, welke drie gegeyen cirkels onder gel^ke hoeken snyden. Door Dr. F. Van Wagbkin- GEK JZK „ 180. Conyergentie yan reeksen met complexe termen. Door Dr. A. Benthrom Gz „ 186. Geschichte der Wiskunde. Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter, von Dr. Hermann Hankel. Leipzig, Teubner, 1874. Door Dr. J. db Jong.... „ 102. Johannes Bernoll, en z\jn strjjd oyer het beginsel der levendige kraohten. Door Dr.? tan Geeb. „ 193. Begiflter, naar de onderwerpen gerangsohikt » op enkele Wiskundige Tijdsohriften.... „ 105, 207. Nederlandsche Wissenschaft, en Natuurkundige Bibliographie, 217. BETTERA. Bli. 98, reg. 14 $UMt:'V UntlT „ a I S Sim .100. 8y.o.. 5=_. _=.. „ --rV^^'S' 8 c in form. (4) en (6) yerrang - door - M a ^ 101 stsatf 5d'21,62M, ha: 62— 26,68«. THEORIE DEB fmmU m vebanderlijke complexe getalien. BOOB Db. a. BENTHEM Qz. (Vervol^ van Dl. I, hlz. 166.) HOOPDSTUK V. Oe veelzinnigheid der functtSn^ § 18. OmrmaaBf can de veeMnnigheid der fUneUMn. 53» W^ hebben in § 12 reeds opgemerkt, dat men b^ den overgang van uitdrukkingen van den vorm /> -f i^ — \,q tot rf(p en bij de herleiding van dezen laatsten vorm, in den regel geen acht geeft op de wijze, waarop die uitdrukking m ontstaan, roaar cnkel aangeeft, hoe zij op de meest eenvoudige wijze zou kun^ nen ontstaan zyn. Zoo schryft men kortweg : ( — of = © Voor zoover de grapMsche voorstelling betreft, heeft deze handel- Voor zoover de grapMsche voorstelling betreft, heeft deze handel- Voor zoover de grapMsche voorstelling betreft, heeft deze handel- Voor zoover de grapMsche voorstelling is herleid (bare zoogenaamde direkte of hoofd'waarde), betzelfde punt aangeeft als hare eigenlyke waarde. Komen echter die complexe vormen oder een wortelteeken voor, dan moet men ze, om de betekenis er van aan te geven, in hunne werkeli^ke richting nemen. Bij gebreke van die indirekte, 1 werkelyke richting is men genoodzaakt ook de overige indirekte richtigen te beschouwen. De ormtandigheid, dat de toerkelijhe rich- ting hij Bene complexe undrukkingi die onder een toortelieeken voor- komt f niet is aangegeven, is de oorzaak van de veelzinnigkeid der functien, 64. Yan yeelzinnigheid der fonctien kon geen sprake zijn, wanneer men b\j elke complexe grootheid niet alleen opgaf de richting, waarin z\j zich beyindt, maar tevens bepaald ook de w^ze, waarop z^' in dien stand is gekomen. Alsdan zou men b^yoor- beeld yoorbeld yoorbeld yoorbelden scbrijyen: (—«)♦ = («/»)♦ = a*/4;r; (— af z=z a^ /7^ -, ~ 1^(- 1)" =r - )J--'(l/»)» = 1/-; K- |/-k''=l=l/- of ook ( — a) = (a/3»)* = o/12» ; (— a) = a/2 U ; Bij die schryfvdjze zou de onderscbeiding in direkte en indirekte richtig yeryallen ; de yele waarden der functien onder het wor- telteeken iJ^± a zouden op e^n na yerdwijnen, daar ± a door zyne bepaalde richting de werkelyke waarde zou aangeyen, en bijgeyolg zou elke functie ook slechts eene beteekenis hebben. 66. Door de herleiding der ware richtig tot de direkte blyft de absolute waarde der in de functien voorkomende grootheden dezelfde (de absolute waarde yan r/3nyr -f- ^) is zoowel r als die van rf(fi)\ zoodat de richting, waarin die grootheden moeten worden genomen, niet yan inyloed kan zijn op de waarde der  yolgende drie gevalien onderscheiden: Eeue fanctie kan afhangen van eene veranderlijke absolute grootheid; in dit geval kan er van graphische voorstelling ge6n sprake zijn, en is de waarde der fanctie voor elke byzondere waarde der veranderlijke steeds eene yolkomen bepaalde absolute grootheid, wat ook de vorm der functie moge zijn. Zoo is l/z — 8 voor; = 17 (17 even als 8 absoluut genomen) gelijk aan 3, en niet gelijk aan H* 3 of gelijk aan — 3. Eene ratio neele stelkundige funetie kan afhangen van eene veranderlijke complexe grootheid. Eene irrationeele stelkundige funetie kan afhangen van eene veranderlijke complexe grootheid. Deze beide laatste gevallen zuUen wij hier nader beschouwen. § 19. Graphi8che vooraieiiing. Keminnige en reeizinnige Junetion, 67. Zij g = r/cp eene complexe veranderlijke, waarin r of ^ of beide doorloopend veranderen, zoodat z eene reeks van door- loopend op eikander volgende waarden verkrijgt van 0^ = a/lei tot ^2 = 6/fi, en zij to eene stelkundige functie van b, dus 10 =rf(g) ; dan zal io eene nieuwe complexe veranderlijke zijn, wier veranderingen van die van z zullen afhangen, zoodanig dat met elke willekeurige waarde van g een of meer bepaalde waarden van 10 overreenstemmen. Zijn P^ en F^ de voorstellingen van z^ en z^f en laat men z de lijn P^P^ doorloopen {Fig, 13), dan zullen de overeenkomstige waarden van w, in het vlak der to geteekend, een of meer andere lijnen Q| Q^ vormen, en wel zoo- danig, dat bij elk punt F van F^P^ een of meer bepaalde punten Q der lynen Q^Qg^ behooren. waaraan.p = 4-5 voldoet, de ware richting onmiddellijk door de direkte te verTangcn, verkrijgt men |/(ar — 4) — y{2x — 1) =z 4, waaraan geene en |/(ar — 4) — y{2x — 1) =z 4, waaraan geene en |/(ar — 4) kele waarde van x yoldoet en die das onmogelijk is. 1* 68. te daarby f{£) eene rationede steUmndige fanctie van z, dan Eal met elk der punten van P^P^ slechts ^^n enkel punt in het Tlak der to oyereenkomen, daar het alsdan onyerschillig is, of men Toor z de,direkte of de indirekte waarden van de punten van P1P3 neemt. Is namel^k in dit geval voor z = r/^, w = B/^, dan zal (volgens het behandelde in Hoofdstuk 11) voor z = r^{2k9F -f- 0)f •P = B/f(2k^9r -|- \p) moeten z^n, waarin k en Jtj^ slechts geheele getaUen kunnen yoorstellen. Daar nu Bfi^h^x -|- i)f) door hetzelfde punt in het vlak der ¥> wordt voorgesteld als fi/^i^, behoort bQ elk punt van het vlak der z slechts een enkel punt yan het ylak der v>. Met eene bepaalde lijjn in het vlak der z komt derhalye ook slechts ^^ne lijjn in het ylak der v oyereen, welke l^n echteri ingeyal f{z) yoor een of meer punten der eerstge- noemde l^n On door loopend wordt, uit two of meer deelen kan bestaan* 59. Is in v)z=if{z) de/(«) eene irrationeele itelkundtge functie yan z^ dat is, komt in die functie z onder een wortelteeken yoor, dan kunnen de yerschlUende indirekte waarden yan yoor- zaken, dat met ^en willekeurig punt yan het ylak der z meer dan divLi b|jy. n punten yan het ylak der w oyereenkomen, Doorloopt in dit geyal z de lijn P^T^ (Fig. 14), dan zullen de oyereenstem- mende waarden yan door n l^nen worden yoorgesteld, en elke dier mnen zal met eene bepaalde indirekte richting yan z oyereen- komen, zoodat bij elk punt yan P^P^ n yerschlUende punten behoore, die achtereenyolgens op Q1Q3, QsQ^t QsQei ^^' liggen. 60, Wordsworth bijoubrekend geyraagd (Fig. 15) naar de waarden, die V) in de functie tozzzy z achtereenyolgens yerkrägt, wanneer z in eene rechte l\jn oyergaat yan z^zzz+l naar r^ = 4- 4 ; dan kan zulks beteekenen, wat wordt to h^ den oyergang yan z yan \/{fi op 4s /O^, maar ook wat wordt w by den oyergang yan z van l/2w op 4i/l2w; daar yoor de overige indirekte richtingen de waarden yan 10 weder door dezelfde punten worden yoorgesteld (§ 11). In het eersie geyal gaat to in eene rechte l\|u oyer yan 1^0® op 2^0^ of yan -f- 1 op 4- 2, in het laatste geyal in eene rechte lijn yan l^sr op 2^jr of yan — 1 op — 2. In het eerste geyal beweegt zich dus 19 als H ware oyer het positieye, in het tweede geyal juist in tegengestelde richting over het negatieve deel der as ; zoodat met elk punt van den weg, door z doorloopen^ twee punten van het vlak der f# oyereenkomen. 5 die op denzelfden afstand aan weersz Den van dea oorsprong op deas éjn gelegen. § 20. Vom Kapunten 61. By de Yoorgaandd beschonwärtigen kau zich het geval voorden, dat voor een bepaald punt P eener lijn P^Pg in het vlak der z een of meer onder een wortelteeken voorkomende factoren van eenigen term der functie w^z-fCz) nul of oneindig worden, onverschlüing of z daarbij in de direkte of in eene indirekte richtung wordt genomen. In de grapbiscLe voorstelling kunnen twee of meer onderscheidene lynen, die de waarden van to in het vlak der to yoorstellen, welke met de bovengenoemde in het vlak der z gelegen lyn P^Pi^ overeenkomen, alsdan een punt gemeen hebben. Dit zal zelfs steeds het geval z\jn, wanneer slechts ^^n term der fonctie w oneindig wordt; en ook wanneer hij nul wordt, en de functie den vorm heeft van z aangeeft, voor welke een of meer onder een wortelteeken voorkomende w. Factoren (mits datant als gelk is aan of een veelvoud van den exponent der worteltrekking) van een of meer termen der functie w nul of oneindig worden, draagt den naam van vertak' hingapunt. 62. Is wzrzi/z. I........ •(44) En gaat z langs de as over van;? = -f- 1 naar f^ss — - 1| dan kunnen hierb^ twee verschillende gevallen plaats hebben: de overgang van z kan namelijk plaats hebben van Ifihr tot 1/(2^H-1)», en ook van 1/2^ tot 1/(2*— l)jr. Dit zal afhangen van de omstandigheid » of de Ujn P^P^P^ (Fig. 16) kan worden beschouwd ale te z\jn ontstaan uit eene kromme l^n P^P^P^ of uit eene kromme lyn P^P^P^ welke te zamen den oorsprong insluiten. In het eerste geval gaat z over van /| =r -h 1 = l/2*jr tot 2^3 = — 1 = 1/(2*4-1 )x; in het tweedo geval daarentegenvan/i=-Hl=:l/2*jr tot;?2 = — 1=1/(2*^1 )v. Beschouwen wij nu vooreerst het eersie geval, dan is hel vol- doende na te gaan, welke pimten in hei Tlak der w met de ackier- eenvolgende waarden van ; oTereensteminen, wanneer z langs de as overgaat van 1^0 tot 1^3x. Tot in het punt O, dat is tot in den oorsprong heeft z bij den eer- stcn overgang de waarde van r/l29F, waarbij r van 1 tot afoeemt. De waarde van w wordt hierbij i/r/0 of l/r/^^ zoodat de volstrekte waarde van w even- eens van 1 tot afneemt. Bij den eersten overgang worden die waarden op bet positieve, bij den tweeden op het negatieve deel der in het vlak der w gelegen X-as afgemeten. In den oorsprong z^n de waarden van z gelijk, dear een point niet gezegd kan worden in eene bepaalde richting te liggen ten opzichte van dat zelfde punt 0. Voor zzzzO wordt ook «? z= 0, en valt dus ook to voor beide groepen in den oorsprong. Bij de verdere beweging neemt z weder toe by den eersten overgang van t ot I/tt, en by den tweeden van tot 1/Syr; en heeft dus de waarde van r/Sw, waarbij r toeneemt van tot 1. De waarde van w wordt nu l^r/- of l^r/---, zoodat de 2 2 volstrekte waarde van w ook van tot 1 toeneemt. Bij den eersten overgang moet echter die waarde op de loodlijn OF^ bij den tweeden op het verlengde dier loodlijn, dat is op Ji worden genomen. Is derhalve (Fig. 16) OJ = OB =z J^O z=z = 5jO=l en OP, = PjOi=l, en is P^OPg^ ontstaan uit de kromme lyn P^P^', dan zal bij den overgang van z van P^ over de as naar Pj de waarde der functie w overgaan van A over naar B, of van A^ over naar B^, naargelang voor de beginwaarde van z oi z^-^z. 1^0 of z^ = 1^29r wordt genomen. Door dat men in het onzekere is, welke dier beide waarden men voor z moet kiezen, verkrygt men voor to twee verschil-lende op zich zelf staande lynen A OB en A^OB^, die ieder voor zich met ^^ne waarde-verandering van z ovcreenstemmen, en die 66ii punt, den oorsprong 0, gemeen hebben. Neemt men de tweede wyze van ontstaan der lyn P^P^, dan zal de overgang van z langs de as plaats hebben van 1^0 tot 1^ — jf, of ook van 1^2jr tot 1^2r tot I^2r. Eene beschouwing, geheel overreenkomende met de voorgaande, geeft nu deze uitkomst : by dien overgang van z van P| over de as naar Pj gaat de waarde der functie to over van A over naar B^ (Fig. 16), of van A^, over naar B, naargelang voor de beginwaarde van z, z^:=: \/0 of z^ r= 1^25r wordt genomen. Men verkrygt nu ook voor w twee verschillende op zich zelf staande lijnen JOB^ en A^OB ^ die ieder voor zich met ^ene waarde-verandering van z ovcreenstemmen. 63. Uit het punt loopen dus vier takken, die twee aan twee bij elkander behoore, indien de wyze van ontstaan der lijn PjPj bekend is. In den regal is dit laatste ecbter niet bet geval, en kan men dus niet bepalen, of OB dan wel OB^ als de voort- zetting van JO ook van A^O moet worden beschouwd, zoodat AO en A^O zich beide in het punt in twee takken splitsen. Deze omstandigheid is de oorzaak geweest, dat Bismakk het punt van het vlak der z^ dat by het snypunt van het vlak der 10 behoort, met den na^m van veriakhingipuwt bestempelde. Om in deze beschouwing onafhankelyk te zyn van de omstandigheid, of de wijze van ontstaan der door loopen Ign al of niet bekend is, noemen wij echter elk punt van 't vlak der z^ dat een waarde van z aangeeft, welke een factor onder een wortelteeken nul of oneindig maakt, een vertakkingspunt (zie NO. 61). In w =;? -f- ip^{z -|- p^) zijn derhalve ;?=:— /?| en ;? = — jp^ vertakkingspunten (over ^ =3 oo als vertakkingspunt spreken wij later afzonderlyk; zie § 24). Evenzoo in «? = o -4- 1^ * In de beide laatste voorbeelden wordt voor ir = — j^g de functie ID oneindig groot. De lijnen in het vlak der «?, die met eene in het vlak der z door het punt — p^ gaande lijn overeenkomen, worden dus voor z'=^'^p^ ondoorloopend, zoodat zy zich in twee of meer deelen splitsen, die echter alleen dan twee aan twee bij elkander behoore, wanneer het Outstanden dier lijn bekend is, zooals uit de beschouwing van het volgende eenvoudige voor-beeld blykt. 64. Zy w = \/7^=^ (45) En laat even als boven (N^. 62) ;? over de as van ^| = -|- 1 over- gaan naar -^^ = — 1 ; dan heeft men ook nu weder de beide ge- vallen te onderscheiden, dat z overgaat van l/2kyF tot l^(2^-f-l)T, en ook van \f2kv tot l^(2^-f-l)T, en ook van \f2kv tot l^(2^-f-l)T. Neemt men vooreerst het eerste geval, dan vindt men dat hiermede in het vlak der to twee lynen zullen overeenstemmen ; by den overgang van z van M^=l'+'l=z 1^0 tot het punt = doorloopt to de ^-as in positieve richting (Fig. 17) van het punt A =: 1/fO af tot in het oneindige ; voor z = wordt 10 = 00, en bij den yerderen over- gang van Tan ^=:0 tot z^z!:z l^sr doorloopt 19 de loodl^'n FB van het oneindige af tot in liet punt B = IZ-r. Beschouwt men den oyergang van z van «| = -I* 1 = 1^29r tot sr^s— -1 = l^dx, dan beschr^jft to het verlengde der x-as van ^1 = 1/lx uit in negatieve richting, wordt voor * =: on- e Indig, en doorloopt be den verderen overgang van tot z^ = 1 ^-77-. De loodl^'n T^B^ van het oneindige af tot in het punt ^| = 1 ^-77-. Met dien overgang van z van;?| = -|- 1 tot ^p^ = — ^ komen dns in het vlak der w twee lynen JX 00 TB en *^|X| 00 T^B^ overreen, die beide voor z =zO ondoorloopend z^n, maar niette- min uit twee bepaalde deelen bestaan. Evenzoo komen met het tweede geval, dat z overgaat van + 1 = 1/2>^r tot — 1 = 1/(2^ — 1>r in het vlak der w twee Ijnen jil 00 F^J?^ en J^XyOoTB overreen, die ook voor zzzzO ondoorloopend zijn^ maar toch nit twee bepaalde deelen bestaan. Is nu niets bekend aangaande de wijze van ontstaan der l|jn P^T^^ dan blijjft het geheel onbepaald of 00 TB of wel 00 F^B^ als de voortzetting van ^Xoo of ook van ^|X|Oq meet worden bescbouwd. § 21. De inttoed can den weff» dien de veranderistie m doorioopi » op de waarde van te. 65. In Hoofdstuk III hebben wij gezien, dat eene complexe veranderlyke op zeer verschillende w\jzen van eene bepaalde waarde doorloopend tot eene andere waarde 'kan overgaan, of om ons tot de graphische voorstelling te bepalen, dat eene complexe veranderlijke z langs oneindig vele wegen van een bepaald punt P^ doorloopend kan overgaan tot een ander punt P^, £r blijft ons derhalve nog overte onderzoeken, of niet de door z doorloopen weg van invloed kan zijn op de waarde van.tr, die met de waarde van zoor Pj overeenstemt, en zoo ja, in hoever zich die invloed doet gevoelen, 66. Ingeval w^zf^z) eene rationele stelkundige fanctie, m. a. w. eene eenzinnige (monodrome) fnnctie is van z, is dat onder-zoek gebeel overbodig; want is OP^:=ir en LXOP^'=^ ei^ dan kan voor het punt Pg, langs welken weg z ook in dit punt moge gekomen zijn, z alleen de waarden z^ = ^/(* "I" 2^5r) verfehrt, die volgens N®, 58 in eene eenzinnige fnnctie gesubstitueerd, voor to betzelfde punt van bet vlak der w aangeven. 67. Bij meerzinnige functien komen een bepaul punt van bet vlak der z, ingeval dit geen verlakkingspunt is, meer dan ^^n punt van bet vlak der to overeen; zoodat by deze a priori de mogelijkbeid niet is uitgesloten, dat verschillende wegen, in bet vlak der z naar een bepaald punt doorloopen, tot verschillende punten in bet vlak der w voeren. Het onderzoek dienan- gaande komt boofdzakelijk neer op bet onderzoek naar den invloed, dien bet doorloopen dier verscbiUende wegen uitoefent op de waar- de der tweetennige uitdrukking 5? 4- /?, zooals uit bet volgende zal blyken. 68. Zij «? = ]?^7TT,, (46) waarin wij aan jO| eene bepaalde standvastige waarde p^ = c/y toekennen. Gaat nu z langs verscbiUende wegen van P, = a/a over naar P^, dan zullen deze wegen geen invloed bebben op de waarde van w, wanneer zy in bet punt P^ voor z^p^ dezelfde waarde geven. Zyn PiP^Pj en PiP4P2 (Fig. 18«) twee zulke wegen, dan vindt men de waarden van z + Pi door in Fig. 18* OQz=ic en LQOX^izy en dus bet punt Q =|?^ te nemen, en vervolgens op (^//Cy^ een figuur QQ1Q3Q3Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q4Q 69. Laat men echter zu twee wegen P^P^P^ en P^P^P^ door-loopen (Fig. 19), die van dien aard zijn dat de overreenkomstige wegtsn van ^-hf|, Qfi^Q^ en Q^Qfi^^ den oorsprong insloiten 10 (Fig. 19*), dan zullen de waarden, die Z'+'P^ in Q^ verkrijgt, niet meer dezelfde z^n, maar in richting yerschillen. Doorloopt sammel^'k z -^p^ de iiyn Q1Q3Q3 en das z de lijn P^P^F^, dan is de amplitude van Ql^ L XOQ^ + LQi OQ^ = L XOQ^ = $ en dus z-^'p^ =r^$; doorloopt evenwel z-^p^ de lijn Q1Q5Q3 en dus z de lyn PiP^% dan is de amplitude van Q^ en dus z-^p^z r^(2sr + 0). In dit geval stemmen dus met z =z P^ overeen twee waarden van z '^'p^J namelijk r/0 en r/{'2^ 4- ^), derhalve 00k twee waarden voor w :=: "l^z-t Pi en w = r«/- en w := f«/ ^. Had z de lijnen PiP^P^ en P^P^ (Pig. 20«) en dus;?4-i?, de lijnen Q^Q^Q^ en J^i^^eOa (^^S- ^0*) doorloopt, dan zouden de amplitudines van Q^ evenzoo verschillen ; want doorloopt z den weg PiP^P^y dan is even als boven Q^i=. r/f0; doorloopt echter z den weg P,PgP^ en dus z-^p^ den weg Q^QQ^* dan is de amplitudino van Q^ zoodat met het punt P^ twee waarden van z-^p^ rf^ en r^{(^ — 2*), en dus 00k twee waarden voor v> en wel 10 = r*^— .A — 2* en IP = i^f overeenstemmen. Daar nu het verschil dezer n waarden van z-^'p^ en van w veroorzaakt wordt door dat de wegen Qi^sQ^ en Q|(26^ <^en oorsprong insluiten, komen w^ tot deze gevolgtrekking : Zyn de beide wegen, die z doorloopt om van P^ naar P^ naar P^ over te gaan, zoodanig dat de overeenkomstige wegen van z ^ p^ den oorsprong insluiten, dan zullen de waarden van to in to z= "(^z -hj^n . Die met het eindpunt P^ overeenkomen, verschillen. Er blüft dus over te onderzoeken, wanneer de wegen, die z-^p^ beschrijft, den oorsprong insluiten. Uit de constructie dier wegen volgt echter onmiddell^jk, dat zulks steeds en alleen dan het geval  vertakkingspunt der f unctie to = }!^z 4- p^, daar deze faoctie voor z=i '^ p^ geeft lo^zO^ Sluiten dus de beide wegen, die z doorloopt bij den overgang van P, tot ^ het vertakkingspunt ^ =: — /7| • der functie to = fHyz -f- /?| in, dan zullen met z:z= F^ yerschillende waarden van to overreenkomen, naargelang men voor den overgang van z den eenen of den anderen dier wegen kiest. 70. Doorloopt z de beide wegen Pi-Pj-Pj en P^PP^, (T'ig. 21«), waarvan de laatste gaat door het vertakkingspunt P= — /?|, dan zal z -i- p^ de wegen Q^Q^^^ en Q^OQ^ beschryven (Fig. 21*), welke laatste door den oorsprong zal gaan, daar met ;? = — p^ z '{'p^ =r overreenkomt. Het zal nu van de wyze van ontstaan van de lyn -PfPPj afbangen, of beide wegen al of niet voor ;? = Pj dezelfde waarde van w zullen geven. Is ^^^^^ ontstaan uit ^^^^P^y dan zyn die waarden van to voor ;5 = Pj dezelfde; is echter -Pj-PPj ontstaan uit -PiPg-Pj, dan zijn die waarden verschillend, en verkrijgt men dezelfde uitkomst, als wanneer de door z doorloopen wegen het punt zz^ — /?| insluiten. 71. Z^' in de tweede plaats dan kunnen de beide wegen, die z van P| naar P| doorloopt, of geen der beide vertakkingspunten ;? = — p^ en 2; = — p^ en 2; = — p^, of ^^n van beide, of beide bevatten of insluiten. In het eerste geval, wanneer de beide wegen geen der beide vertakkingspunten bevatten of insluiten, zu de waarden van 4- f| en z-^p^y die met 5? = i*^ overeenstemmen, bly kens het voor-gaande, dezelfde, onverschillig welke der beide wegen z van P^tot i'j heeft doorloop. De eind waarden van w, die met z-^zP^ overreenkomen, zyn dus ook in beide gevallen dezelfde. 72. Sluiten de beide wegen, die z doorloop, een enkel vertakkingspunt, byv. z z=. — /?j in, en wordt voor 2? = Pg langs den eenen weg z -^p^ = r^/(p^ en ^ -i- ^^ = r^/(p^, dan zal lang den anderen weg voor;? = Pj ook ^ 'hPt^=r^/^^ zyn, terwql alsdan;? + jt?| = ^i/i^i do 23r) wordt; en dat wel -+- of —, naargelang het vertakkingspunt i? = — ^| in positieven of negatieven zin wordt „omloopen". De waarden van «?, die met^sP, voor deze beide wegen overeenstemmen, z^n derhalve Er, en soziale, verschieden dus — in amplitudinem. 12 73. liggen beide yertakkingspnntBn in ket ylak, door de beide wegen ingesloten, en is langs den eenen wcg voor ;» = Pj, ;? -|- /?| = zszr^/^i en ^ -^r p%^=^ T^/^^i dan zal langs den anderen weg ' + Pi = '•|/(0i ± 2jr) en » -f- />j = fj/C^j ± 2») worden ; soodat de beide waarden van r, die met ;? = P, yoor dese beide wegen overeenkomen , z^n . = (.J/$i±^ en «. = (.... V.L±^±±; voor het geral de laatste weg de beide vertakkingspunten in den zelfden zin omloopt; of beide waarden van w zuUen zijn - A. -4- (Ja wz=.(r^r^Y/'^ , en wel voor bet geval, dat die weg met n betrekking tot de vertakkingspnnten in verschillenden zin loopt. 74. Het geval, dat een der wegen, die z doorloopt, of beide gaan door een of door beide vertakkingspnnten, is, blijkens N®. 70, in bet voorgaande opgesloten. 75. Het valt nu gemakkel^jk op dezelfde wQze den invloed na te gaan , dien de doorloopen weg beeft op de met z=zP^ overeenstemmende eindwaarde van to , indien deze is van den vorm to =z p^iz -^ p^) (g -jr p^) (z -h p^) (^-hi^J- Wij zullen ens daarmede niet verder bezigbouden, maar meer nitvoerig bet geval nagaan , dat P^ en P^ samenvallen , en dus z eene gesloten 1^'n doorloopt. { 22. In doorloopt eeme geMtoion l(l|». Kemiem^lge fnneMn, 76. Wanneer men in de voorgaande bescbonwingen z eerst den weg van P^ over P^ naar Pj (Fig. 18—21) laat afleggen en daama van Pj terug laat gaan over den anderen weg naar P|, dan beeft z eene gesloten l^n doorloopen. Men kan dus uit bet voorgaande onmiddellijk afleiden, in boever bet doorloopen van zulk een gesloten weg van invloed is op de waarde van w, die met bet punt P^ van net vlak der z overeenkomt. Wg zullen eebter dien invloed bier meer recbtstreeks op, dat, wanneer IS i9:=/(f) eene rationeele stelkundige functie van z en dus een- zinnig (monodrom) is, en % doorloopt van P| nitgaande, eene gealoten lijn, dan zal ook %d eene gesloten lijn moeten beschreren, daar alsdan w bij den terugkeer van z in ¥^ eene waarde van der z in ¥^ eene waarde van verschillen, en dus door hetz verkrijgen, die slechts een geheel aautal malen 29r van de b^n- waarde kan verschillen, en dus door hetz verkrijgen, en dus door hetz elfde punt in het vlak der V3 wordt aangewezen. (N®. 58). Yerder heben wijj boven gesien, dat het voor de waarde, die w voor z=zP^ in 10 =z iy^z^-Pi verkrygt, onverschlüing is langs welken weg z van P^ naar P^ overgaat, mits die wegen ten opzichte van het vertakkingspnnt P:=«— p^ op dezelfde w^'zc zqn gelegen, dat is, dit punt niet insluiten noch door dit punt gaan. Ligt dus (Fig. 22) het vertakkingspnnt P niet binnen of op den omtrek van de lijn PiP^P^P^P^P^ en gaat z over van P^ naar P^, dan zal het voor de waarde van w, die met z=.P^ overeenkomt, onverschlüing zyn welken weg z doorloopt, PiP^P^ of PiP^P^ of PiP^P^ of PiP^P^ Waar dus overigem het vertakkingspnnt P z=l -^ p^ ook mege liggen, steeds zal het voor de eindwaarde, die fc^ na de beweging voor z szP^ verkrijjgt, onverschlüing zijn, welken weg men z hebbe doen doorioopen ^i^4^2^8^i» "^i^s^a^e^i of PiP^PaPgPi : De eindwaarde van w is Dus onafhankelijk van den vorm van den weg, dien z doorloopt; zoodat men de gesloten l^n, die z doorloopt, kan vervangen door een cirkel, die door P^ gaat en evenzoo is gelegen met betrekking tot het vertakkingspnnt; zonder dat zulks invloed heeft op de eindwaarde van 10 en zonder dat zulks afbreuk kan doen aan de algemeenheid der beschouwing. Om derhalve niet op buig- punten, keerpunten, enz. te behoeven letten, nemen w\j bij de verdere beschouwing van to zs'^z+Pi ^^^^ ^® gesloten lijn een cirkel; de uitkomsten, welke die beschouwing oplevert, gelden echter voor elke gesloten lijn. 77. Zij dan lo^zp^TTJlf • • (^6) waarin wij aan p^ eene bepaalde standvastige waarde p^ = c/y toekennen, en doorloopt z eene gesloten l\jn, dan kan het vertak- kingspunt P = — f?| liggen buiten, op, of binnen die lijn. Ligt vooreerst het vertakkingspunt buiten het vlak door de lijn P^P^ ingesloten, dan zal de waarde van to, die met zz=zF^ overeenstemt, voor en na de beweging dezelfde zijn. Is namel^k Qz:z p^:=z e/y en construeert men de waarden van z-^-p^, die 14 met de aehtereenvolgende waarden van ;; overeenkomen, dan zullen deze ook eene gesloten lyn geyen, die den oorsprong niet kan insluiten en ook niet door dien oorsprong kan gaan, wyl Q met bctrekking tot (Fig. 28*) evenzoo is gelegen als met betrekking tot P (Fig. 23«). Komt nu Q^ overeen met P|, dan is de beginwaarde yan z-^-Pi OQ^/l^XOQ^\ neemt men voorts aan, dat de beweging plaats heeft in positieven zin, en zijn OQ^ en OQ^ raaklijnen aan de lyn, die z-^p^ doorloopt, dan neemt de amplitudo van z '\'Pi by de beweging van z voor- eerst af tot l^XOQ^, om daarua tot L^XOQ^ toe te nemen en dan weder tot /LXOQ^ te verminderen. De waarde van if-h/?i, die. Nadat z de gesloten lijn F^F^ heeft doorloopen, met z :=z P^^ overeenkomt, is dus even als de beginwaarde OQ^/l^XOQ^. Wijl voorts w = ]?^5rH-jp| is, zal dus ook de eindwaarde van tp, die met zzzi P^^ overeenstemt na bet doorloopeii van den weg, dezelfde z\jn, als die, welke met a = P| oTereenkomf bij het begin dcr beweging. Doorliep z den weg P\P\ in negatieven zin, dat is in den zin der gestippelde pijltjes, dan zou de bescbouwing volkomen dezelfde blijven, behalve dat alsdan de amplitudo van ^ + /7| vooreerst van Z. ^OQj zou toenemen tot /^ XOQj^^ daama afnemen tot Z- XOQ^, om dan weder tot L XOQ^ toe te nemen. Ook nu is de eindwaarde van z '\' p^, en dus ook die van to^ dezelfde als de beginwaarde. 78. Laat in de tweede plaats de gesloten, die van P| uit door z wordt door loopen, (Fig. 24) het vertakkingspunt P zzz-^Pi insluiten, dan zal de weg QiQ^Qi (Fig. 24) door z + p^ beschreven, den oorsprong moeten insluiten. Komt nu weder met ^=Pi overeen ^-Hjp^ = Q|, dan zal de amplitudo van z -^Pi vafi /. XOQi voortdurend toe- of afnemen; en na den weg QiQsQi *® hebben afgelegd, LXOQ^±:2x geworden zyn; en wel + of -—, naargelang de beweging van z in positieven of negatieven zin plaats heeft. De begin en de eindwaarde van gf-^p^, en dus ook die van tc, welke met zz=zP^ overeenstemmen, zullen derhalve in amplitudo verschillen; is Q^ als beginwaarde vwi «f+Pi ^^» ^*^ is zij als eindwaarde f^(^±23r), zoodat de beide waarden van to, die met z znP^ overeenstemmen, zyn ip =  P insluit, in denzelfden sin, en - <s> la de beginwaarde van to voor «r = P|, «? = r*^—, dan is na den eersien omloop voor 5 = P-, w=, t^/^, na den n tweeden omloop w = r^/, enz. tot na den »•■ omloop n w ^ r^/^ = ^/[ "" i 2jr I, zoodat na den m«» omloop de waarde van w in het ylak der w door hetzelfde punt wordt - 4> voorgesteld als de beginwaarde ir=rr»^—. Heeft derhalve « ii-maal de gesloten lijn P^PaPi in denzelfden zin doorloopen, dan heft to eene gesloten lijn beschreven, en gaat men voort z denzelfden weg in denzelfden (of in tegengestelden) zin tegengestelden. 79. Laat in de derde plaats het vertakkingspunt liggen op den door z doorloopen weg P^PP^ (Fig. 26»), dan zal de lijn QiOQj^Qiy die z+p^ beschrijft, (Fig. 26»), door den oorsprong moeten gaan. Het hangt nu af van de w\jze van ontstaan van P^PP^ of de eindwaarde van to, die bij z:=zp^ behoort, al of niet met de beginwaarde in amplitudo zal overeenkomen, zooals uit de beschouwing van Fig. 25 in verband met het voorgaande onmiddellijk bl^kt. 80. Wij kunnn dus hier en in *t vervolg slechts twee gevallen onderscheiden : of het vertakkingspunt ligt buiten de gesloten lijn, die z van P| uitgaide, doorloopt, en alsdan zijn de waarden van w, die met zziz P^ overeenstemmen, voor en na de beweging dezelfde* of het vertakkingspunt ligt binnen de lijn door z beschreven, en alsdan zuUen de begin- en de eindwaarde van w, die by z =z P^ behooren, alleen dan door hetzelfde punt van het vlak der w worden aangewezen, wanneer z «-maal of een veelvoud van »-maal denzelfden weg in denzelfden zin heeft doorloopen. Is daarbij w^ = p/^ de waarde van w, die bij het begin der beweging met z=zP^ overeenkomt, dan zal, nadat z de gesloten lijn achter- eenvolgens 1-, 2-, -maal, enz. in positieren zin heeft doorloopen, die waarde zijn geworden (zie boven) : zoodat al die «-waarden begrepen zijn in den vorm Die n verschillende waarden van to, welke met zz^P^ overeen- stemmen, komen derhalve in getall enwaarde overreen, en verschillen alleen in richtings-coefficient; zoodat al de punten, die in 't vlak der to die waarden voorstellen, op denzelfden afstand p liggen van den oorsprong en wel zoodanig, dat zijj jnist de hoekpunten vormen van een regelmatigen »-boek, om als middelpont be-schreven. Wat tier voor Pi is aangetoond, geldt klaarblgkelyk voor elk punt van de gesloten lijn, die z doorloopt, zoodat men dezen re gel heeft: /« f0 =r Xyz + jPi en doorloopt z achtereenvolgens n-maal in den zelfden zin eene gesloten lijn, die het vertakkingspunt *— ^| inaluit, dan zullen de overeenkomstige waarden van w in het vlak der to door n samef/umgende lijnen toorden voorgesteld^ die te zamen eine gesloten lijn *) vormen en zoodanig sijn geUgen, dat wanneer men om den oorsprong als middelpunt cirkel beschrijft, de snijpunten dier lijnen met zulk een cirkel n aan n hij eenzelfde punt van de door z door* loopen lijn behoore. Die n lijnen zijn derhalve congruent; zij verachten alleen in stand met hetrekking tot de as, iertoijl de oorsprong aU gemeenschappelijk gelijkstandig punt van al die n lijnen voorkomt. Voor het geval dat z de gesloten lijn in negatieven zin door-loopt, verschilt de bescbouwing alleen in zoo ver van de vorige, dat daarby de met z:=:Fi overeenk omende punten van het vlak der w in omgekeerde volgende worden verkregen, en dus ook w de bovenbedelde gesloten lijn in tegengestelden zin beschrijft. Voor » = 2 liggen de punten in H vlak der to derhalve steeds symmetrisch met betrekking tot den oorsprong. 