Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
105. Uit het voorgaande bljkt voldoende, hoe men te werk gaat met de ftmctie tc=y{F,iz)+i!{i\(z)^....yFj^{z)]};... (68) zoodat elke stelkundige functie van den yorm *-/{') (67) op de hier gevolgde wijze kan worden behandel. $ 24« mss 00 aiB weriakkingBpuHi, 106, Uit de bepaling, die w\j in § 20 van vertakkingspunt hebben gegeven, volgt, dat wanneer z:=zp^ een vertakkingspunt is van de functie «>=/(«), en men hierin door - vervangt, (hier en in *t vervolg dezer § staat 1 voor -f- 1) (zie N®. 24); alsdan ook « = — een vertakkingspunt zal zijn van de daardoor verkregen functie w=/f-j, en omgekeerd, dat z — ^ een vertakkingspunt zal zijn van w=zj{z), indien ^=zpi als vertakkingspunt van w=ff^) voorkomt. Dienovereenkomstig noemt men z = oo een vertakkingspunt van de functie io =z /(«), indien w = een vertakkingspunt is 37 en van de functie io =z /(«), indien w = een vertakkingspunt van de functie io  zp^u is tt = een vertakkingspunt, derhalve is ook in to=i!^^ (69) 2 = oo een vertakkingspunt. Hetzelfde is het geval met de functie w = };y(f+^ (70) voor alle waarden van k, behalve voor /j?=±» of ±an, want in de omgekeerde functie --^PW (") is ti = een vertakkingspunt in de genoemde gevallen. Evenzoo is « =00 geen vertakkingspunt in M> = m f>'-^ > (72) daarentegen wel in behalve alleen in liet geval, dat de aantallen factoren in noemer en in teller gelijk zyn, of », of een veelvoud van n verschillen. In *t algemeen is steeds 2 =00 een vertakkingspunt in elke eentermige functie van gebroken graad. In eene meertermige functie is z = 00 een vertakkingspunt, indien zulks het geval zijn voor een of meer der functien, die men zou verkrijgen, wanneer acMer^ eenvolgens elke term slecMs alleen voorkwam. Zoo is s = 00 een vertakkingspunt in de functie u>=i/z^p^, (78) doordien zulks het geval is in de functie en evenzoo iu de functie «, = ^. (-, + f^.. _^) 4. //i(~. -f^s. -1 )...(65) doordat zulks het geval is voor Ceide term en. Men kan nu de voorgaiinde beschouwingen van §§ 20 en yolgende toepassen voor het geval, dat s=co als vertakkingspunt moet worden in aanraerking genomen, wanneer men daarbij slechts let op de omstandigheid, dat een doorloopen van z van het punt f =.00 in «?=y(s), neerkomt op het doorloopen van u van het /1\ punt M =z in iff =/ ( ~ ^, en dat evenzoo het geval» dat de ge- sloten l\jn, weike door z wordt doorloopen, het punt z =00 niet bevat of omsluit, neerkomt op bet geval« dat de gesloten Ign^ die u doorloopt, het punt v = niet bevat of omsluit. Zoo geeft de in N^. 62 voorkomende beantwoording der vraag: welke punten in het v /1\ punt M = niet bevat of omsluit. Zoo geeft de in N^. 62 voorkomende beantwoording der vraag: welke punten in het v /1\ punt M = niet bevat of omsluit. Zoo geeft de in N^. 62 voorkomende beantwoording der vraag: welke punten in het v /1\ punt M = niet bevat of omsluit. Zoo geeft de in N^. 62 voorkomende beantwoording der vraag: welke punten in het v /1\ punt M = niet bevat of omsluit. Zoo geeft de in N^. 62 voorkomende beantwoording der vraag: welke punten in het v lalc der 90 stemmen overmet de pointen in het vlak der II, welke u doorloopt, wanneer zj fich van 2<| = 4< 1 over de as door den oorsprong naar Wj = —* I beweegt, indien is, tevens het antwoord op de vraag 1 welke punten in 't vlak der w behooren bg de punten, die z in het vlak der s achter- eenvolgens doorloopt, wanneer zQ zich over de as van -|- 1 door 00 naar — 1 beweegt, indien «'=/^; (74.) is. Evenzoo is in M^* 64 de vraag opgelost: welke punten in het vhk der w stemmen voor Iff = 1/5" overeen met de punten in het vlak der z , welke % doorloopt , indien zy zich over de as van -f- 1 door co naar — 1 beweegt. 114. Wat eindelijjk het geval betreft , dat eene gesloten l^n het punt z = 00 omsluit , moeten wy hier nog opmerken , dat elke gesloten lyn in het vlak der z beschouwd wordt H punt z = 00 te omsluiten , indien de gesloten lijn , die men verkriggt door het omgekeerde te nemen van alle achter- eenvolgende waarden van s , den oorsprong omsluit. Nu is 39 4-11 — -—- = - Jf — , waaruit volgt , dat wanneer eene der beide gesloten l^*nen den* oorsprong insluit » zulks ook met de andere het geval zal zijn, zoodat men mag zeggen dat het punt z =00 door eene gesloten l\jn wordt ingesloteUi indien zulks met het punt z = het geyal is. Men moet daarb\j echter in aanmerking nemen , dat de beweging van s oyer de gesloten 1^'a met be- trekking tot het eene punt in tegengesteldeu zin plaats heeft als met betrekking tot het andere. Is byv. w—^'t (76) En door loopt % van P| uit in positieven zin den cirkel 0P|, die den oorsprong tot middelpunt heeft; en is yoor de beginwaarde s=:Pi,«^iZ=:^/^4^; dan is na den eerstenomloope^^zirp/ff ^4-— V wanneer alleen t = als yertakkingspunt wordt beschouwd. Wordt echter alleen 2 =:oo als yertakkingspunt in aanmerking genomen, dan is na den eersten omloop W2=p^(ip— — 1; en dus wan- neer beide als yertakkingspunten worden beschouwd, is na den eersten omloop W2=p^(ip— — 1; en dus wan- neer beide als yertakkingspunten worden beschouwd, is na den eersten omloop »j = pf^\ zoodat zulks neerkomt op 't geyal, waarb^ de gesloten lijn, die z doorloopt, twee yertakkingspunten omsluit, waarbij de beweging met betrekking tot het eene punt in positieyen, en met betrekking tot bet andere in negatieyen zin plaats heeft. {Wordt vervolgd). OVER DE WAARSCHUKLIJKHEID VAN DE TERSGHIL- LENDE HOGELIJKEl'ITKONSTENEENERTERKIEZIKG WAARBIJ STENHERS VAK TWEEERLEl KLEUR ZICH BIJ LOTING OVER DE WAARSCHUKLIJKHEID VAN DE TERSGHIL- WAARBIJ STENHERS VAK TWEEERLEl KLEUR ZICH BIJ LOTING OVER DE WAARSCHUKLIJKHEID VAN DE TERSGHIL- WAARBIJ STENHERS VAK TWEEERLEl KLEUR ZICH BIJ LOTING OVER DE WAARSCHUKLIJKHEID VAN DE TERSGHIL- WAARBIJ STENHERS VAK TWEEERLEl KLEUR ZICH BIJ LOTING OVER DE WAARSCHUKLIJKHEID VAN IN AFDEELINGEN VERDEELEN. Door D. J. KORTBWEO. (Vervolg van Dl. I, Biz. 178.) V. § 19. Wien keeren thans weder tepug lot de formule (B) en merken op dat de te overwinnen moehyklieid bestaat in de berekening van : 2 I" * 1 ^(r)=2« 'U' ^'\,.... (26) wasbij gesommeerd wordt onder de voorwaarden (4) en (6); immers voert men dit functiecken in de uitdrnkking (B) in, dan vindt men 2r» (C) In plaats van nu echter ^{V) zelve te bepalen, beschouwen w^ vooraf eene andere functie, die met ^(V) in naauw verband staat. Sommeert men namelijk 2 l»» * ) 2« fi 1 J (27) niet mcer onder de voorwaarde (4); maar onder de meer algemeene voorwaarde 0^2r,-2t^V<^i....... (28) — 1 1 - terw^l overigens behouden blijft de voorwaarde (6), en de bqeon- derbeid, dat de grootheden v^, Vj. •.rm, t>'|,...«'» slecbts met 1 41 voile eenheden te gelijk aangroeien mogen, dan Terkrjgt men eene andere uitkom&t, die wij voorstellen zullen door en die met O(F) op eenvoudige wijze samenhangt. Bedenkt men namelijk dat onder de aangegeyen voorwaarden ook 1 1 slechts met voile eenheden aangroeien of afhemen kan, dan is ten duidelijkste *(n-*(5-l) = 0(n,...... (29) waarvoor men natuurlijk schrijven kan "^^'F_(r— 1) of — bij benadering •— indien het aantal termen, waaruit de sommaties bestaan, groot genoeg is om bij veranderde waarde van F  betreff, merken wij op, dat by gegeven waarden van v^,.,Vm, t?'|«.,»«— i, de groothesid v'l^ in bet algemeen nog een geheelen reeks waarden zal kunnen verkragen, die voldoen aan de voorwaarden (28) en (4), welke waarden begrepen zullen zijn tusscben een bovenste grens «^», die beiden af hankelyk zyn van de waar-den van V| > • • • Vm > t^'i • • • t7'«.!• Men zal dus mogen scbryven : «« Geeft men vervolgens in gedaebten aan v^...Vmi t?',...r'n.i 42 vaste waarden ; maar denkt men zich v\ « i?eranderlyk, dan zal ook deze groothesid ten gevolge der Yoorwaarden (28) en (4) weder begrepen moeten blijjven tussohen twee grenzen a'h— i en 0'i»—i> die nu op hunne beurt afhankel^k z\jn van 9|. ••««!» v\*,. v'n — S) zoodat Zoo Tortgaande vindt men ten slotte : * (n = 2 f fi~; *• 1 2 « -; •> j 2.... 2 [ «";'"-^ 2 «;'"-^ 2 «;'--^ 2 «; L. J I bi) of — voor groote getallen stemmen — : ~i "' rfr.y -; •• rfp,y.... a] ai 8} «n— 1 *« waarbij iedere integratigrens in bet algemeen afbankelijk is van alle grootbeden t7|..«;t?B,, t>/....«/ die in de formule meer naar linkscb als veranderlijken voorkomen. Juist in de bepaling dezer integra tie -grenzen is eene moeilijkbeid gelegen, die wy voor alles moeten trachten te ontwyken. § 21. Daartoe worden wy in staat gesteld door de bekende methode van Lrjeuke-Dibichlet, die benist op eene eigen schap van sommige bepaalde integralen, wier waarde gelijk is aan de eenbeid, zoolang eene zekere constante e blnnen zekere grenzen gelegen is; maar nul wordt, indien die constante buiten die grenzen ligt. Tot deze integralen behoort _1 A^'''^ji2i^C)u?=ri SinCu fit) = J / e^'"' '. ~—. fl?«;. • (33) — 00 zoolang namelyk de constante t grooter is dan nul en kleiner dan (7, is f{t) gelijk aan de eenbeid Is daarentegen t negatief, of ook positief, maar grooter dan (7, dan is /(/) volkomen nul. Substitueeren wg nu 1 1 en C:=L V dan zal: du _ 1 f^^U £v - 2 h'p - i\ uv:r\ SinVu > ^^^^ — oo eene fanctie yoorstellen, die nul wordtzoodradegroothedenV|.«.VM, ^/•.••r„' niet meer voldoen aan de voorwaarde (28); maar die aan de eenheid Gelijk blijft, zoolang deze voorwaarde is verndd. Vermenigvuldigen wy das in de formule (32) de nitdrukking e s, voorkomende binnen het eerste integraalteeken met /•I 2t?- — 2V > dan zal zulks op dewaarde der veelroudige inte- graal geen invloed knnnen hebben, daar de integratie-grenzen immers zoodanig gekozen zijn, dat alle waarden v^.,..Vmi v^'.,„v'm, voor welke geintegrcerd wordt, aan de voorwaarde (28) voldoen. Men zal dus mogen schreven 4/(r)=/ e s dv^t e t ^ dv^J ••. Maar bé deze veelvoudige integraal zal men thans zonder gevaar de integratie-grenzen ruimer kunnen nemen dan de voorwaarde (32) zulks veroorlooft; immers de nieuwe waarden v^, v^ r^, I?/....vnt die daardoor in de integratie zouden worden ingevoerd, maken de nitdrukking binnen bet eerste integraalteeken identiek nul, en veranderen dus de waarde der veelvoudige integraal vol- strekt niet. Bg de vaststelling der imtegratie-grenzen zal men zich derbalve ontslagen kunnen rekenen van de voorwaarde (28), en sleohts behoeven te letten op de voorwaarde (4r). Men mag dus alle integraties uitstrekken tusscken de grenzen en \s, en men vindt i*^ 2 ^ ^9 2 ^ pis o — oo § 22. Daar voorts in (36) de uitdrukking, die geintegreerd met worden, binBen de integratie-grenzen geene oneindige waarde verkrijgen kan, zoo zal de Tolgorde der integraties naar willekeur gewijjzigd mogen worden. Men zal das kunnen schütteren .f-CO — oo (87) Sin Fu • duAv^dv^... •dv\\ u of, indien men de verschillende factoren, waarin de te integreeren uitdrukking ontbonden kan worden, zoo ver mogelk naar linkscb overbrengt, 1 r-^^ « VuV^Sm Fu ^ /*' «?li! 4-2rt»f:ri. Merkt men au echter op, dat de verschillende integrratie, behalve de laatsie naar, yolkomen van elkander onaf hankelijk zijjn, zoodat men de uitkomst der eerste integratie als een constante factor beschouwen kan; en stelt men tevens derhalve. O O \ =.... = / e r-*-^'""'''~^rfr.=:X(«), \ (39) derhalve 46 dan Tindt men ♦(^>=;/"" {x(«)}"{x(-«)}--^«''=T£^^^^ ^^jj — oo ** waaruit oogenblikkel^'k volgt of ook, omdat *f^>=i A'^^ {^wr(x(-«)r -^'^•^^^i., (42) of eindelgk, door substitutie in (C), 1 kl •Ttn.M Sir — ^^ 5r w/ n! — oo § 23, Wy moeten thans tracliten te bepalen 2** X{±u)z:z/^e'^T'^''''^'^dx; (43) Daartoe merken wy in de eerste plaats op, dat deze integraal slecbts X{±u)z:z/^e'^T'^'^dx; (43) Daartoe merken wy in de eerste plaats op, dat deze integraal slecbts X(«) Zeep weinig zal Yerschillen met de integraal Het verschil bedraagt namely k en kan gebtacht worden onder den vorm Co82ux dx±y ^ly e^ i Sin2uxd«i 46 zoowel het reele als het iraaginaire gedeclte van deze uitdrukking is eehter kleiner dan /oo __^ e t dx, du3 kleiner dan a('-'(^i))> welke uitdrukking — volgens eene bekende eigenschap der fl- functie —, reeds voor niet al te kleine waarden van «, bijv. voor « > 18 slechts eene onbeduidende waai*de meer bezit. Men zal dus zonder noemenswärts fout mogen schreiben e s - dm..\... (44) o § 24. Deze laatste uitdrukking kan geschreven worden onder de gedaante X(± «) = e2/ e \ t 2 J dic o of, als wij invoeren als nieuwe veranderlijke tzzzxf/^qzufA.l/^h onder den vorxn X(± u)z=:l/-,f Tj e-^^dt... (45) 2 Wat nu deze laatste integraal betreft, zoude men geneigd zijn te onderstellen J e dtzzj e"' di; (4.6) eyenwel is het bg nader inzien duidelijk, dat deze gelijkstelling niet £onder onderzoek mag worden aangenomen ; immers er is ^ priori geene reden om aan te nemen, dat noodzakel^k, voor iedere waarde van d, 47 ^ di=:lim{az:zoo) I e a/; (47) integendeel de deugdelijkheid van deze Yergelijking moet getoetst worden aan een eenvoudig kenmerk, ontleend aan de theorie?aii Cauoht betreffende integralen met imaginaire grenzen. Uit deze theorie blgkt ^ Dat de stellizig (47) al of niet juat zal zijn, naar mate lim (a = oo ) & al of Diet tot nul nadert. Nu ia echter: en daar het niet twijfelachtig kan zijn, of deze laatbte uitdrukking nadeit voor toenemende waarden van a tot de limiet nul^ zoo is inderdaad de gelijkstelling (47) en dus ook de gelijkstelling (46) gerechtvaardigd ; zoodat lys -.^L z*®® e. di\ waaruit dan onmiddelyk volgt r. 8 X(±»)=/^-..— 8 »»* oo /" Vi'r=l_ e -^'di 'dt jj of, als w\j invoeren jJ'rr 1^— i X(±«) Ten eindo nu dew laatste uitdrukking beknopter te kunnen voontellen, voeren v^j in de functie (•(*) = -?= /*'e*'V«.; (49) die in eenvoudig verband staat met de bekende fanctie 0(«) ^^^ I e * dx. T^> = 4. /%*-=-=«=/ Men: —00 [C08 [m — n)(p— 2m}+ i/^^.Sin {(m— ») — 2RI] ]dt, welke uitdiukking zicb splitsen laat in een bestaanbar gedeelte. Het onbestaanbar gedeelte of l/=rXyif'^-^^{ifeiJ 6-*' p*«»{«-»)0-.2fl^)« 00 is echter — zooals te verwachten was — gelijk aan nul; immers door de substitutie — i voor i^ waarby p niel, maar wel van teeken yerandert, bl^jkt dadelgk dat e^^^%^Sin {{m — ») — 2m] dt = • -.00 = J e'^^^%^Sin { ( w — n) — 222/} di; en derbalve 4 60 f 6"^^%^. Sin [(m — «)<(> — 2m] di = 0. Dasientegen is /4-00 i^^^p^. Co8 {(m — If) — 2m} dt = — oo oo = 2 J e""*^\ p*. Cos ({« ~ «) ^ -- 222^] di, zoodat het bestaanbar gedeelte gebracht kan worden ondei den vorm o of — indien wy de notatien (64) uit de formule verdryven — 7c mini'^ \ (G) .^/(l + (d'(0)*). C(?«{(i« — n).Bgtg[^' {t)] — 2i2^)^^ \ uit welke formule alle onbestaanbare vormen vdrdwenen zijn. } 26. In de tweede plaats kunnen wy in de formule (F) den factor e^f binnen het integraalteeken brengen, en de yerschillende machen van e te samen vermenigyuldigen. De nieuwe exponent van e is dan juist een vierkant, zoodat men verkrygt P -l/i JL- y 9F tni ft/ /"^®® —. —iff * p'-tV — oo Substitueert men bier ti/k+p=.i/=ri=g...... (55) dan 18 7;,,^=-^-_-X /-^oo-♦•^.^-l » \ Substitueert men bier ti/k+p=.i/=g...... (55) dan 18 7;,,^=-^-_-X /-^oo-♦•^.^-l » \ Substitueret men bier ti/k+p=.i/=g...... (55) dan 18 7;,,^=-^-_-X /-^oo-♦•^.^-l » \ Substitueret men bier ti/k+p=.i/=g...... (55) dan 18 7;,,^=-^-_-X /-^oo-♦•^.^-l » \ Substitueret men bier ti/k+p=.i/=g...... (55) dan 18 7;,,^=-^-_-X /-^oo Door toepassing van de theorie van Caught yindt men echter oogenblikkel, dat de integraalen tot — oo en +00 mogen worden overgebracht. Maakt men tevens gebruik van de betrekking (60) dan yereenvoudigt zicli de geheele uitdrukking tot welke nitdukking — als spoedig bli^jken zal — voor de discussie eigenaardige voordeelen bezit. VI. § 27. Na alle berleidingen, die w\i aan de formule (A) hebben doen ondergaan, kan bet zeker niet overbodig geacht worden, wanneer wij de verkregen uitkomst aan eenige proeven onderwerpen, die ons tevens een beter denkbeeld van den aard der verschilenden geyen zullen. Eene eerste proef levert ons de opmerking, dat natuurljk aan de betrekking 2 P».. = P*.o + P*-i.i+.-4-P«..,+...4-Po.*=l. (56) USD identiek — dat wil zeggen voor alle waarden van F — moet worden voldaan. Letten wie echter op de omstandigbeid dat in Pm, n -— bläkens de formule (H) — de (» -h 1)" term van de binomiaal-ontwikkeling voorkomt van dan zien wQ dadelijk in, dat inderdaad --00 § 28. In de tweede plaats is bet duidelijk dat voor iZ = 00, en eigenlyk reeds — altbans by benadering — vobr zeer groote waarden van B— d, w. z. voor eene overbeerschende meerderheid — alle 4* 62 waarschijnlijkheden?«,.« nul moeten worden, behalve de allereerste Pjt.o, die overreenkomt met bet geval dat de meerderheid in alle secties zegeviert. Deze moet dan gelyk worden aan de eenheid. ^u is volgens definitie derbalve Blykens (47) mag nu echter de bovenste limiet veranderd worden in oo, zoodat Ten gevolge daarvan is nu echter en zullen dus yoor i2 = oo alle uitdrukkiugen Pm.» nul moeten worden, die den factor bevatten. Dit is echter het geval met  — -4.|7:ri J = 1, zoo is noodzakeljk Ook hier voldoet dus de formule (H) aan den eiscb, die h priori kon worden gesteld. § 29. Een derde proef geldt de waar-schijnlijkbeid heeft namelijk betrekking op liet geval, dat slecbts 66ue enkele sectie gevormd wordt ; m. a. w. dat de slemmers zich niet in secties verdeelen ; en dewyl in dit geval de meerderheid noodzakelijk zegevieren moet, zoo is identiek P =1, 1.0 en evenzoo identiek 53 1.0 zoodat deze waarscliyiilijkheid voor ^ = plotseliDg van waarde veranderen moet. Het is nader de formule (H), die het gemakkelijkst aan deze Yoorspellingen  F{0)z=0; en dus F(R) = —^ l—-.Sin2Rx.dR,.... (62) waarvoor ook, indien men invoert gescbreven wbrden kan F(R)=^ / tf~4F^f!^.^y.... (63) Dez6 uitdrukking, welke in den regel afhankelijjk is van iS, wordt integendeel van deze grootheid onafhankelijk, indien a?=:oo; immers dan vindt men (zie (61) /=i=/ £iiy.«/y =,/; (64) ^^S y en dan verkr^gt men dus inderdaad 4-£ 1 Voor negatieve waarden van 22 is daarentegen 2 r"^"^ ^yL Siny i^^ y of, als men ^ = oo worden laat, i = — k'* ; zoodat men vindt 1.0 ^ 2i/vF • ^ Ook hier bestaat dus volkomen overeenstemming tusschen rede* neering en becijfering. § 30. Alvorens tot verdere proeven over te gaan, leiden wy — ditmaal uit de formule (F) — eene hoogst gewicbtige diferentiaal-vergelijkiog af. Uit deze formule volgt namel. § 25. kimini -hOO e'[i+ia'(0-^^— i]li— ^fi'(Oi/— 1^"-^ -^/.ctt of 55 ait k m/n! sr (65) Past men nu op do laatste integraal paitieele integratie toe, dan zal daarby de constante wegvallen. Immers maar de uitdrukking ^'{t).e = --ja, hoewel ze aanvankelijk voor ^ = oo den onbepaalden vorm ^- aan-neemt, mag — indien men teller en noemer naar t differentieert, — voor t z=ioo gelykgesteld worden aan 2 i^ waarvan de limiet ten duidel^kste nul wordt; zooals dus ook met de geheele uitdrnkking (66) het geval zal zijn. Voert men nu de partiele integrale uit, dan verkrijgt men d?^.. 2R _ k — l! myk ^Ir Ic mini '^ 7F «~^". (i+4«'(0. y=lT{i-\m- f^- l)'e~^^^^dt + — oo k-l! -■- «' ^ ^■^°° wXi'-^kf.-'•-■^•(»+*.no.^=ri-'x m — \lnl ^ It t/yr ^ — oo jn — 2i2^r^, k — 1/ m/k T- 1 n— 1 -2JZ/fLJ: ,-h oo — OO maar indien men opmerkt, dat de beide eerste termen geheel iden- tiek zijn, en dat de integration in de beide laatste termen overeenko- men met die, welke blykens (F) voorkomen in Pa._i.H; dan is 44 of — OO SinFu ^, § 22. Daar voorts in (36) de uitdrukking, die geintegreerd met worden, bin Ben de integratie-greDzen geene onemdige waarde ver- kr^gen kan, zoo zal de Tol — OO SinFu ^, § 22. Daar voorts in (36) de uitdrukking, die geintegreerd met worden, bin Ben de integratie-greDzen geene onemdige waarde ver- kr^gen kan, zoo zal de Tol — OO SinFu ^, § 22. Daar voorts in (36) de uitdrukking, die geintegreerd met worden, bin Ben de integratie-greDzen geene onemdige waarde ver- kr^gen kan, zoo zal de Tol — OO SinFu ^, § 22. Daar voorts in (36) de uitdrukking, die geintegreerd met worden, bin Ben de integratie-greDzen geene onemdige waarde ver- kr^gen kan, zoo zal de Tol — OO SinFu ^, § 22. Daar vo Gorde der integratie naar willekeur gewidzigd mogen worden. Men zal das kunnen schon .fCO (87) Sin Pu u of, indien men de verschillende factoren, waarin de te integreeren uitdrukking ontbonden kan worden, zoo ver mogelk naar linksch overbrengt, = - / e dul e i ^ dv^ '-OO ** Merkt men aii echter op, dat de verschillende integratie, behalve de laatsie naar «, yolkomen van elkander onaf hankelijk zijn, zoodat men de uitkomst der eerste integratie bij de tweede integratie als een constante factor beschouwen kan; en atelt men tevens o o \ =.... = / e r-*-^'~"'''""^rfr«=:X(«), \ (39) derhalve 46 6 L dan vindt men * <^) = j/*" {^M)"(^(- «)} • ~ ''-''^^^rf«. Men zal dus zonder noemenswärts font mogen sebryven o § 24. Deze laatste uitdrukking kan geschreven worden onder de gedaante o of, als wij invoeren als nieuwe veranderlijke 9 onder den Torm 2 Wat nu deze laatste integraal betreft, zoude men geneigd zijn te onderstellen J e di-szj e di; (46) eyenwel is het bQ nader inzien duidelijk, dat deze gelykstelling niet £onder onderzoek mag worden aangenomen ; immers er is ^ priori geene reden om aan te nemen, dat noodzakel^k, voor iedere waarde van b. lim (a = -)/' e""'*^^ e""'*^^ e""^ integendeel de deugdelijkheid van deze vergelijking moet getoetst worden aan een eeuvoudig kenmerk, ontleend aan de theorie van Cauohy betreffende integralen met imaginaire grenzen. XJit deze theorie blykt dat de stelling (47) al of niet juist zal z\j lim (a = -)/' . Nu is echter: en daar bet niet twelachtig kan zijn, of deze laatste uitdrukking nadert voor toenemende waarden van a tot de limiet nul, zoo is inderdaad de gelijkstelling (47) en dus ook de gelykstelling (46) gerecbtvaardigd ; zoodat i/8 ^'JL p^ e. di; 3 waarait dan onmiddeljk volgt 1 _!!- i»o -«f/t.r=l O 00 -'V/ of, als wij invoeren ^/-l (43) Ten einde nu deze laatste uitdrukking beknopter te kunnen voorstellen, voeren wy in de functie '■«=;^/'*'"^"-- (19) die in eenvoudig verband staat met de bekende functie «(«) 2_ /•* — X' dx. 48 Men heeft namelgk Overigens is d'(— *) = — 9'(*),....... (61) zoodat men vindt uit (48) x{± «) = i Af x{± «) = i Af x(. "f [i ± (/•=a «(« f^]"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!"!" Substitueren wij deze uitdrukking in de formule (D), dan is -oo ) (B) waannede das eiudelijk de gevraagde waarschi^nl^kheid verkregen is onder de gedaante eener bepaalde integraal. 26. Door eenvottdige herleidingen kunnen wy uit de formule (B) voor de waaracbynlykheid Pa,.» nog eenige andere uitdrukkin- gen verkrygen, die ieder — zooals later blijken zal — hunne eigenaardige Toordeelen bezitten. lu de eerste plaats verkrygt men eene kleine vereenyoudiging door de substitutie dan b namelitj^ ,=.n- ^ ml Yu f "*«"*' tt+*9'{OV=^3"[i-i«'(OV^]"r*^'«'''~^rf<; — OO of, indien wy invoeren de notatie ^ = ^/^-, (58) Maken wij nu ecliter bovendien gebruik van de notatie p = ^/l + (6'(0)«, /^4) = 9'(^);.. Ten gevolge waarvan dan is — OO Past men hier het theorema van be Moitrb toe, waarbij men in aanmerking neemt dat: dan vindt men : R2 /•-♦•OO '-==='i-^.«)*'V — OO [Cm {{»i ~ «) <^— 272^) + l^^^. 5i» {(m — ») (^ — 2i2/} ]ef/, welke uitdiukking zicli splitsen laat in een bestaanbar gedeelte. Het on bestanbär gedeelte of oo is echter — zooals te verwachten was — gelijk aan nul', immers door de substitutie — t voor t, waarbij p niei, maar toel van teeken verandert, blijkt dadelijk dat oo s s sin {(» — ») ^ — 272^} ef/ =: .— oo = J 6'"^^%^ Sin [{m — n)(p^ 2Rt] dl ; o en derhalve 60 — oo oo = 2 J c"^^\ p*. Co« [{m — «) — 2i2^] eft, zoodat het bestaanbaar gedeelte gebracht kan worden onder den vorm o of — indien wy de notatien (64) uit de formule verdryven — IT wi/«/ «/ WG) .^(l + (fi'(^))S)t. Cm{(i« — «). J*^ /^[9' (^)] — 2i2/}£f^ uit welke formule alle onbestanbare yormen vdrdwenen zijn. § 26. in de tweede plaats kunnen wy in de formule (F) den factor e^ binnen het integraalteeken brengen, en de Terschi § 26. in de tweede plaats kunnen het integraalteeken brengen, en de Terschi § 26. Uende machten van een samen vermenigyuldigen. De nieuwe exponent van een vierkant, zoodat men verkrygt. If mint — oo Substitueert men hier R t\/k+-p=.i/—l:=:z,...... (66) dan is P-mSs— = x /-^oo-♦-^.''•-l / » \ 61 Door toepassing van de theorie van Caught vindt men echter oogenblikkelyk, dat de integraalen tot — oo en +00 mogen worden overgebracht. Maakt men tevens gebruik van de betrekking (50), dan vereenvoudigt zicb de geheele uitdrukking tot welke uitdrukking -^ als spoedig bl^jken zal — voor de discussie eigenaardige voordeelen bezit. VI. § 27. Na alle herleidingen, die wy aan de formule (A) hebben doen ondergaan, kan het zeker niet overbodig geacht worden, wan neer wy de verkregen uitkomst aan eenige proeven onderwerpen, die ons tevens een beter denkbeeld van den aard der verschilenden integraalvormen geven zullen. Eene eerste proef levert ons de opmerking, dat naturlyk aan de betrekking 2 Pi,.., = P».o + P».o +...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4-P«i.«+...4 e meerheid — alle 4* 62 waarschijnlijklieden?».» nul moeten worden, behalve de allereerste Pjfc.o, die overreenkomt met bet geval dat de meerderheid in alle secties zegeviert. Deze moet dan gel^jk worden aan de eenheid. T^u is volgens definitie o derbalve lim (R Blykens (47) mag nu echter de bovenste limiet veranderd wor- den in oo^ zoodat Ten gevolge daarvan is nu echter en zuUen dus yoor jR = oo alle uitdrukkiugen Pm.h nul moeten worden, die den factor bevatten. Dit is echter het geval met alien, uitgezonderd P^.o;©!* wat deze grootheid betreft, dewyl limiR =oo) i + i e ^1 — pa.i;^iri J = i, zoo is noodzakelijk P, ^ = -^ / e <fe = I, •^ —oo Ook hier voldoet dus de formule (H) aan den eisch, die i priori kon worden gesteld. § 29. Een derde proef geldt de waarde van Pi.o. Deze waar- schynlijkheid heeft namelijk betrekking op het geval, dat slechts eene enkele sectie gevormd wordt ; m. a. w. dat de slemmers zich niet in secties verdeelen ; en dewyl in dit geval de meerderheid noodzakelijk zegevieren moet , zoo is identiek P =1, 1.0 ' en evenzoo identiek 58 1.0 zoodat deze waarscliijiilijkheid voor JZ = plotseling van waardo veranderen moet. Het is nu weder de formule (H), die het gemakkelijkst aan deze voorspellingen getoetst wordeu kan. Volgens deze formule is namelijk H.J8 1 /•'»-°° _^a — oo — oo —GO De eersie dezer beide integralea is bekend , en alles komt dus aan op de berekening van de tweede. Stellen wij deze voor door /, dan is voorloopig /=y ^{R — zi/'^l)e "" dz . . . . (59) -co Wordt nu de uitdrukking I naar R gediffcrentieerd, dan verkrijgt men eene , wel is waar zeer ecnvoudige uitdrukking voor het dif- ferentiaalquotient , maar waarvan de waarde geheel onbepaald is. Stelt men echter FiR) h(R'-'Z.\/—l).e^^''dz, . . . (60) — • X dan is I =lim(x =:ioo).F(K) ; (61) maar dan is tevens d.F(R)_ 2 /•■^'-.(22_^r-=n[)a _^a. 2 A ,., .,. = "^ I e ^ ' .e dz m dR \/ifK — X ~5* P 2Rzr-i . 2 e ^. . „^ = — = g / ^ fl^<«= — =. ,Sin2Rx; — * ^ 2 /»^^— i2* derhalve J' (22) — JP(0) = -^ / ! -&« 2Rx.dB. Ten düngelykste is echter 6.(— ^^ITi). ^-^' dz^=,J V{z).f^^,dz, waaruit dadelyk volgt ^{0)^=0; en dus ^(fi) = — * /.Sin2Rx.dR,.... (62) waarvoor ook, indien tnen invoert 2Rx = y, geschreven wbrden kan F(R) = -= / e" 4x\f!^.^y.... (63) ^^S y Deze uitdrukking, welke in den regel afhankelijk is van R^ wordt integendeel van deze grootheid onafhankelijk, indien a:=r oo; immers dan vindt men (zie (61) oo Sin y, —,-.^ ^-.dy:=z l/x, (64) en dan verkr^'gt men dus inderdaad 4-22 1 1.0'^ 2K5r Voor negatieve waarden van R is daarentegen of, als men a; == oo worden laat, i = — |/» ; zoodat men vindt -Ji 1 1.0 ^ 2k»' Ook hier bestaat dus volkomen overeenstemming tusschen rede- neering en beciFering. § 30. Alvorens tot verdere proeven over te gaan, leiden wy — ditmaal nit de formnle (P) — eene hoogst gcwicbtige different iaal- vergel^king af. Uit deze formule volgt namely k d»Pm,n dR fc4-00 2R „ k! ^ tL, - =— •P«,.n —l^',e*.i/-l. k mini ^ e [i+|«'(O.K—i]"[i— i«'(OV— 13".« ^'^.2t.tU y^°°[i+i9'W.K^f[i_i«'(0.t^-=Ti".e-*^''-Ve — oo Past men nu op de laatste integraal partieele integratie toe, dan zal daarb^j de constante wegvallen. Immers maar de uitdrukking d'(^).e = "^, hoewel ze aanvankelijk voor ^ = oo den onbepaalden yorm §§- aan- neemty mag — indien men teller en noemer naar t differentieert, — voor / =oo gelykgesteld worden aan 2 i^ 21, e waarvan de limiet ten duidel\jkste nul wordt; zooals dus ook met de gelieele uitdrn e Kking (66) let geval zal zijn. Voert men nu de partiele integrale uit, dan rerkrijgt men. A? "**" w.'«.' + 00 «""*". (i+*« W. >>^"(* -49'(0. t^- ife'^^^^^dt + — OO r 5^ 1 ^-Hoo ;&— 1/ /y/fc £.1 /•-^•^^,..>.a, « I — OO maar indien men opmerkt, dat de beide eerste termen geheel iden- tiek zijn, en dat de integration in de beide laatste termen overeenko- mcn met die, welke blijkens (F) voorkomen in Pm.n—i en P«,_i.5; dan is 56 * ^.n—f/ -kiM-\)(^ ^p« N; (67) uit welke formule oogenblikkelyk volgt (K) § 3). Zoowel de vergelyking (67) ah de uitdrukking (K) zuUen eenige wijziging moeten ondergaan in het geval « = 0, mzzik; dan toch verdwijnt de factor (J — l^'{t).y/ — 1) uit de formule (F). Het is echter oyerbodig de berekeiingen voor § 3). Dit geval hier te ontwikkelen, daar ze zich geheel Jaten uitvoeren volgens lietzelfde schema. Slechts de uitkomsten vermelden wij hier, namelijk , s d.F ^, 7 B,^ en dus ook (L) immers P is identiek nul, Jt.O § 32. Thans kunnen de formulen (K) en (L) aangewend worden tot een nieuwe proef, die bestaan zal in de berekening van P3.0, ft.i, ft.o; voor welke mitrukkingen reeds vroeger waarden gevon- den zyn (zie de form. (19) en (26)). Qnmiddelijk volgt uit (L) of, lettende op de beteekenis van 22, die door de formule (63) wordt aangewezen, Verder volgt uit (K) Uit den aard der zaak heeft men echter ^1.1=1= ^o.=0; Pl^l; zoodat i'f, = l — jf-^y SR 57 Beide uilkomsten stemmen overreen met (19). Eindelijk vindt men uit (L): *twelk evenzeer volkomen overreenstemt met (25). § 33. Ten laatste zullen wij de juistheid dei differentiaal-vergelijkking (67) bewijzen, door haar onmiddelyk uit de grondstellingen der waarschjnlijkheidsrekening af te leiden volgens eene methode, die ons door den heer SciiOLS op vriendschappelijk wyzc werd aangewezen. Denn vernuftige bewijsvoering deelen wij hier in boofdzaak ouveranderd mede. Men stelle zich dan voor, dat de kleur van alle stemmers op ^en na bekend zij, en wel zoo, dat er a bebooren tot de meerderbeid, d— 1 tot de minderbeid en 64il twij Macbtig is. Wijzen wij na met F bet halve verschil aan tusscben a en d — 1, dan zal, indien zicb de twijfelachtige stemmer bij de meerderbeid voegt door maar indien by zicb by de minderbeid voegt door maar indien by zicb by de minderbeid voegt door a! — 1/ verschikkingen Nu zijn er tusscben de a wor-, de b tegen- en de eene iwijfel-acbtige stemmer -— —. t (68) a! — 1/ verschikkingen Nu zijn er tusscben de a wor-, de b tegen- en de eene iwijfel-acbtige stemmer -— —. t (68) a! — 1/ verschikkingen Mogelijk, die als gevallen van gelijke kannen worden bescbouwd. Daaronder is bet grootste gedeelte of gunstig of ongunstig aan de onderstelling Pm,n> onverschillip of zicb de twijfelacbtige stem als vodr- of als tegensiemmer doe kennen. Bij een zeker aantal verschikkingen ecbter is de invloed van die een stem voldoende, om bet geval van een gunstig in een ongunstig geval te doen overgaan of omgekeerd; en bet zijn deze gevallen, die bet verscbil in waarde tusscben P en P veroorzaken; wij zullen daarom tracbten bun aantal te bepalen. Wij merken daartoe vooreerst op, dat de twijfelacbtige stem — nam. als « oneven is — slecbls dan den doorslag zal kunnen geven, wanneer zicb in de sectie waarin ze voorkomt, juist i(5 — 1) vddr- en dus ook i(«*-«l) ^^^^^stemmers bevinden. Het aantal gevallen van geljke kans, waarin zich deze b^zonderheid voordoet, laat zich gemakkemk berekenen. Het bedraagt immers, uitgaande van een enkel gevalj waarin de voorwaarde vervuld is, kan men de stemmers in de sectie, waar zich de tw^- en daar buiten (k — 1) b! a _ ^« 4- ^/ 3 — i« — 4/ maal verscbikken, zonder de voorwaarde te verstoren; terwyl boven- dien de twijfelachtige stem in ieder der k secties voorkomen kan. Wei Yerre echter dat al de gevallen (69) van gunstig in ongun- stig of omgekeerd zullen overgaan, naarmate de twijfelachtige stem v66r of iegen stemt, zal deze alleen dan een zoodanigen invloed kunnen uitoefenen. Wanneer van;de {k — 1) overige secties of »t—l of m tot de vd<5r-, en dus n of » — 1 tot de tegenstemmende behoore; dan tocb alld^n zal de stem door de tw\j felachtige sectie uitgebrachty het aantal der voorstemmende sectie al of niet op m kunnen brengen, of op m kunnen doen blijven. Beschouwen wij nu eerst de gevallen, waarby onder de 4 — 1 overige secties de meerderheid in m — 1, de minderheid in n afdeelingen zegeviert. Hun aantal wordt naturlik gevonden, indien men het geheele aantal (69) vermenigvuldigt met de waarschijn-lykheid, dat {k —!)« stemmers, waaronder a — J« -I- i v66r' en b — \8 — \ iegen, zich zoodanig verdeelen in (^—1) secties, dat er i» — i van deze vdor- en n tegenstemmen, Bedenkt men echter, dat het halve verschil tusschen meerderheid en minderheid dan weder \(a — d-f- 1)-=: V bedraagt, dan wordt deze waarschijn-y lijkheid voorgesteld door P, en het gezochte aantal gevallen door "««— l.n " en het gezochte aantal gevallen door "««— l.n " al deze gevallen zullen nu gunstig worden, als de twyfelachtige stem v66r, en ongunstig als zij tegen stemt. Zij behoore dus wel tot de waarschijn-kheid P, en niet tot de waarschijn-l. Kheid Daarentegen wordt het aantal gevallen, waarin van de overige bureaXt m v66r en »— -1 iegen stemmen, voorgesteld door J, '^ (^ - 1) '•' p^ /7M en deze vallen gunstig nit, als de twijfelachtige stem tepen, en ongunstig als zij vddr stemt. Deze behoore dus wel tot P en niet tot P ; en daar deze beide waarschijnlijkheden alle overige gunstige gevallen gemeenschappelijk bezitten, zoo drukt het verschil tusschen (70) en (71) de ovennaat tan het aantal dei gun- s^ge gevallen van P op dat der gunsiige gevallen van P uit. Overweegt men nu, dat in beide waarschijnlijkheden het aantal gunstige gevallen gedeeld moet worden door de uitdrukking (68), dan is ten duidelijkste »/ (k-^l)»J a!b—V welke betrekking geldig is voor kleine en groote getallen stemmers, echter onder de restrictie dat s oneven is. § 34. Ter verdere vereeavoudiging schrijven wy deze formule (72) vooreerst onder de gedaante ».» m,n i — V {k — 1) si a! 6 — 1/ zoodat ze als factoren uitsluitend binomiaalcoefficienten bevat; waarop wy dan de benaderingsformule (13) toepassen, die ons oplevert — thans alleen voor groote getallen stemmers — ^f, 2(^-1) - ^-,- >:i,, ^r _ r *» 60 of, althans voor niet te kleine waarden s, welke uitdrukking — met behulp van (53) — inderdaad overgaat in d.r^ §> T ^ ^/2 T (* — I) 'tgeen overeenkomt met (67). 3SrA.SOE[RIFT. Terwijl het bezahlt tot zekere hoogte als een afgesloten geheel te beschouwen is, dewijl in de formulen (F)— (H) een aan alle vereiscbten voldoet, en zonder twijfel des te beter geldig wordt, naar mate het aan te zijn; — blijft aan den anderen kant nog veel te doen over, zooals wij in eene tweede verhandeling bekenden. Vooral zuUen wij daarin moeten trachten te geraken tot numerieke berekeningen. Eene algemeene methode ter berekening der integraal (G) zal moeten worden afgeleid. Van de meer eenvoudige gevallen van drie, vier, vjf bureaux zullen wij convergeerende reeksen ter berekening der verschillende waarden van Tnk.n nioeten trachten vast te stellen. Eindelijk zal eene bijzondere oplettendheid moeten worden besteed aan de waarschijnlijkbeden T^m.ii^ d. w. z. aan de waarschijnlijkheden der verschillende mogelijke verdeelingen in voor- en /tf^^ stemmende sectie in der kommende geworden, dat de beide partijen in getalsterkte gelykständige geworden. Ten slotte zal voor een of meer gevallen een uitvoerige discussie der getallenuitkomsten, opgehelderd door graphische voorstellingen, moeten worden gegeven. Veel hiervan is reeds  aantal ttemmera blyven de kansen op de verschillende mogelijke terdeelingen in voor- en tegen- aiemmende seciien onverandet'd, zoolang het venchil tusschen meerderheid en minderheid evenredig verandert met den vierkantiwortel nit het geheel geial stemmenden, Groeit met andere woorden het getal stemmers aan, dan behoeft bet yerschil tusscben meerderheid en minderheid slechts in reden van den vierkantswortel vermeerderd te worden, om onveranderde waarschijniykbeden te bebouden. Dit yerschil wordt daarb^ dus een steeds kleinere fractie van bet aantal stemmenden. Door ecbter in den aanvang een beboorl)\k groot verschil tusscben meerderheid en minderheid aan te nemen, is bet duidel\jk dat men de kansen op een bomogeenen uitslag der stemming zoo dicht men wil tot de eenbeid kan laten naderen. Yergroot men nu bet gebeele aantal stemmers > en blijft dezelfde kans voor zulk een uitslag bewaard ; dan zal het verschil tusscben meerderheid en minderheid in verbouding tot bet aantal stemmers een st Eles kleiner fräule worden, die men zoo dicht men will tot nul kan doen naderen. Bene meerderheid, die in percenten uitgedruht de minderheid zoo toeinig men toil overlreft, zal bij genoegzaam aantal stemmers voldoende zijn om aan den homogeenen uitslag van de stemming der aafdeelingen eene toaarschijnlijkheid te geven, die zoo dicht tot de een^ heid nadert als men toil. In geval meerderheid en minderheid volkomen gel^'k staan» dan is £ = 0» en boewel bet nu ^— zooals w\j nader zullen aantoonen — niet geoorloofd is, zonder nader onderzoek, in de formulen (P) ^^ (H) eenvoudig jB = te substitueren als men I^m.n be- rekenen wil; zoo is toch in ieder geval £^m,n^=^i^»P^m,n9 en als zoodanig onafbankelijk van bet aantal stemmers. Lidien beide parti en aantal gelijk staan^ en indien een voldoend aantal stemmers aanwetig is, dan zijn de kansen op de verschillende mogelijke verdeelingen in voor- en tegenstemmende afdeelingen constante getallen, zoolang slechts het aantal afdeelingen onveranderd blijft, Deze wet gaat voor kleine getallen stemmers niet door; men moet haar derhalve zoo opvatten, dat de bedelde waarschijnlijk- heden wel eenigzins veranderlyk zyn met bet gebeele aantal stem- mers, maar spoedig naderen tot cene vaste grens, die theoretisch ersj^voor een oneindig aantal stemmers bereikt wordt, Breda, 11 April 75. KLEINERE MEDEDEBLINGEN. IET8 OVER EENE THANSPORTIE VAN DEN TWEEDEN GRAND. Door Jf. C. PABAIBA. I. Laat gegeyen zijn n constante grootheden X^, X^..„Xn, algemeen aangeduid door X^, en eene homogeene vergel^'king van den tweeden grand tussclien n veranderl^'ken x^, x^, ^8*«*«^«> eynde dus /(a:|)^ 2flrjyar|a>==0,. (1 Waarin t en alle waarden van 1 tot n aannemen, en aij^sofi wordt verondersteld. Laat verder twee «-tallen grootheden />|, /?,, /'a • • • *Pn ®^ 9i > g%i?8 • • • * S^« algemeen door p^ en qi aangeduid worden > en met Xi zoodanig verbonden zijn, dat voor alle waarden yan t steeds Yiagen w^ dan, of onder alle stelsels, welke voor verschillende waarden van (i door — —- worden voorgesteld, ook eenige Toorkomen, die bijj substitutie voor xi aan de yergeiyking (1)toI- doen; zoo beboeven w\j ter beantwoording slecbts de substitutie uit te voeren, en de waarden van (4 uit de resulteerende vergel^king op te voeren, en de waarden van (4 uit de resulteerende vergel^king op te voeren. Deze laatste neemt daarbij dan den vorm aan f(Pi + m)=/{Pi) + (*^9ifpi+(*^f{9i) = 0;.. • (3y welke aantoont, dat in het algemeen twee der stelsels aan de vergel^king (1) voldoen. 