Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
118 <,+ r=n.2*7T — l/2Ait = + 1 (dlto.), e-^ ^^.(2*-*-l)ir — 1/(2^ 4. 1)» = _ 1 (^.«,.), «"*■ '^•^*"^"^"^ = l/(* + i) » = ± ^^=n[. 1 {d.w.), ens.; waarin c^.ft^. staat voor direkte waarde, *) Voorts volgt uit l/^.l/i3=l/(« + p) uit l/(»: i/p = i/(« — &) uit (l/ay' = l/ap = (I/;?)* uit (l/a^dP^/q^ — ^'^^/(St+ii) enz., terwijl uit a"*''^"~^'*=E 1/a.la voor a = «9 volgt (e^)-^^-^-«— l/«^ = ^-^^^^-«?,.... (96) waarin ^ een absoluut getal voorstelt. 115. Uit het voorgaande volgt, dat + f/^— 1 [of 00k /^- j in den exponent eener macht niets is dan een teeken, dat heen-wijst op de ricMinffi waarin de absolute waarde dier macht moet worden genomen; en niet, zooals de teekens + en — op bewet" ktngen^ die met den wortel dier mae ht moeten worden uitgevoerd. XJit dit verschieden in beteeken, volgt, dat de regels voor de ge-wone (z.g. reeele) exponenten niet onvoorwaardelijk op deze complexe mogen worden toegepast; zoo mag men uit (a^^ = (f^ niet besluiten tota-^^^*^)^ = a-^-^'^l-Wen tot (a-^^^)^ = a-^-^l-Wen tot (a-^^^-^)^ = a-^-^l-Wen hierbij geene e^arc analogic bestaat. Het eerste zoude De aitdrokking 9^"*' wordt dan eens genomen in den tin VAn ^-♦■^"^r 1^0, dan een8 in dien van tf-»-^— l«l —1^1. Neemt men in €^^ -^ en — in den lin van /^Zk-n en ^{2k-^\)Tt, dan wordt #'^=s -f-#' tn ^""l* =H —, en zgn das 9'^P en #^^ geene absolute getallen meer- eene ware, het laatste eene onware uitkomst geren (de N^. 185), daar -f- y — 1. als aanwijzer eener (aiet der) rioMing^ niet in het teeken — « of den aanwijxer eener hewerkng kan overgaan *), tenzij men aan d 119 eene ware, het laatste eener (aiet der) rioMing^ niet in het teeken — « of den aanwijxer eener hewerkung kan overgaan *), tenzij men aan d 119 eene ware, het laatste eener (aiet der) rioMing^ niet in het teeken — « of den aanwijxer eener hewerkung kan overgaan *), tenzij men aan d 119 eene ware, het laatste eener (aiet der) rioMing^ niet in het teeken — « of den aanwijxer eener hewerkung kan overgaan *), tenzij men aan d 119 It teeken — > ook in den exponent eene tweede beteekenis wilde toekennen (Nos. 2 en 109), hetgeen tot groote verwarring zou leiden. W\ zuUen in het vervolg, oyereenkomstig het eigenaardig karakter der ezponenten, deze verdeelen in exponeiUen der hewer* king en in exponenien dfir ricMing; waarbij w^ met de laatste benaming die zullen bedoelen, welke met het teeken ± K'— 1 of /^ I zijn Yoorzien. De absolute waarde der macht wordt door de eerste, de richting, waarin deze absolute waarde moet worden geno- men, door de tweede bepaald. De exponenten der bewerking en die der riehting z\jn dus ongelijkaooriige grootheden, die niets gemeen hebben dan de plaats, die zy innemen; zoodat zij dan ook (zooals wij boven reeds opmerkten) niet in elkander kunnen overgaan* Om dan ook de beteekenis van de hkomplexe uitdrukking oi'^— ••(±^--l,a) te bepalen, moet men nagaan, hoe het tweede teeken ±1/ — 1 in den exponent is gekomen; hiermede zullen w^ ons in het volgende Hoofdstuk bezig houden. De 9. Dezinnigheid der ewponenUeie fwmeiiem 116. Met het oog op de transcendente en integraal-fiinctien moeten wij tbans de bepalingen van de een- en veelzinnigbeid der function en van de vertakkingspunten eenigssuns uitbreiden. W\j zeggen daartoe : Eene funetie v):=:f{z) is eenzinnig ^ indien Hj voor elk bepaald punt van H vlak d^r z alechts tin bepaald punt van 't vlak der to oplevert, Eene funeiie lozszf^z) u veelzinniq (jn-zinnig), indien met een *) Op die wijze handelende zoade men bijv. aldas redeneeren : ait ^,\-'WTt»^r~\,iiit. ^^^^ ^^ «dl-^''~l-«*'^ = *. en dethalve ook, daar e'^ -^r=ri,4iTt _^.^^ t-***'^^ 1, wat klaarblgkelp ▼alach is. (Zie LiEBLiiN« Aufgahen aui der algebr. Analysis^ Prag, 1867, S. 100). 120 hepaald punt van hei vlak der z in H algemeen meer dan 4in (;t) punt  stelkundige vergelyking, die ten opzichte van to van den graad is, en zijn p en q beide eindige getallen, dan is to eene jHsinnige fanctie van z en z eene ^-zinnige functie van to, 117. Geeft men nu in to z=z e' aan z complexe waarden, en wel acbtereenvolgens die, welke door de opeenvolgende punten eener willekeurige lyn van bet vlak der z worden aangewezen; dan kan voor elk dier punten de waarde van to worden geschreven in den vorm » = d^"^ ^-—i.j «» gP^q^ Neemt men nu in aanmerking, dat voor een punt van 't vlak p j^ 1/ — 1 jT = r Q>« a -f- 1/ — 1.r. 5it» « =r r/ct is *), dan gaat *) Om in de volgende Afdeeliag bg de toepassing van de leer der inte-graal-rekening meer onafhankelgk te zijn van den aard der beschoawde fonctien. moeten w^ de veelzinnigheid der transcendente fonctien bespreken. Id yele opzicbten hebben wij in deze § de gewone w^'ze van besehonwing ge- volgd; men meet ebenber bierbij voor al letten op de beteekenit der voorko* mende grootbeden: zoo zgn bijv* voor een pant van 't vlak der 9 in x;=:p-f. ^— l,q p en q absolute getallen, die de lengten van reobte Ignen tangeven, terwijl ^ r-^den loodrechten stand aanwijst; lnip=«*=^^^^'' is ecbter p een absolnte getal, terwyl -+• V — 1.^ de riebting q aanwgst, waarin de absolnte macbt eP moet worden genomen; q stelt daarb^ de lengte voor van den boog in stralen nitgedrukt. De scbrijfwijze r^« voor p-h f — 1.^ in den exponent it bg de gewijzigde beteekenis van -t- F-^ 1 niet meer t« hierdoor deze waarde van w over in w = e** ^' ^/fr Sin a; waarin e en r rekenkundige getallen voorstellen, en r Sin » aanwijst in welke richling de waarde e*" ^' « moet worden genomen. Verstaat men onder tt^  punt z van H vak Vg gesubstitneerd wordt in » = «•'« (vergel^jk hiermedc N^. 135), dan kan, bl^kens het gezegde in § 13 en in Hoofd- stuk V, voor elke waarde van z^ de waarde van «? = c^**) worden teruggebraclit tot den vorm wz=z^^/'^^ dlit is tot w=z^^^^/r Sinet. Laat men nicht zu verzeichnen, verschwindend wegen van Pj, naar Pj doorloopen, en is langs den eenen weg voor Pj, f(z):=zr/ai en langs den anderen weg f{z)^=zr/a -f war), waarin m elke gelieele of gebrokene (ook nul-) waarde kan hebben ({ 21); dan is in tt? = e^^*^ voor den eersten weg voor Pj, w-nz^^^ ^/r Sin m en voor den tweeden weg «? = ^ ^ (* "^ ^''^) fr Sin (a 4- mw); betzelfde geldt voor het geval, dat Pj en P| samenvallen en das z eene gesloten li|jn doorloopt (§22), zoodat w = e-^^'' en to=:zf(z) gelijktijdig e^zinnige en veelzinmge foietien zijn van z. Zoo is B*^ '-^P eene veelzinnige, e " =zj^€^'^P eene eenzinnige funetie van z» Daar voorts a/W = G^)/W =«/(«)• ^ is (zie form. (96)), heft men dus deze stelling. Is de exponent van de macM van een ahaoluut getal a eene funetie van eene complete veranderl^ke z, dan is deze macht eenzinnig of Verdedigen. Keert men terug tot de reeks e* =-♦- l-H»-*-i-^ -^ VT^**"**** Die voor de invoering van -h y — 1 in den exponent heeft gediend, en alt Tolkomen algemeinen geldend wordt aangemerkt^ en geeft men daarin aan i de waarde r/a =sp 4- T-^^T.^ydan TerkHJigt men e ^ as-t-l-^-r/'a-hrr-j^Za-h -^ -^3a4...,, De sommatie van het twecde lid dezer vergelyking geeft een complexe getal, wetks modulus door het absolute getal ^s=/^^^ en welks amplitude door q-^r Sin a wordt aangewesen, zoodat e^r^ en ^"^ '^'--K*t beide moeten beschouwd worden alt tymbolen, die de genoemde reeks vervangen en waaraan dus de waarde e'^^q moet worden toegekend. veelzinnig^ naargelang die exponent zelve eenzinnige of veelzinnige functie u van z. Voor een meertermige exponentiele fanctie van z gelden de beschouwingen van § 23, en hangt dus de een- of veelzinnigheid del fimctie af van die der afzonderliijke termen. Komt eene meertermige exponentiele fanctie van z onder een wortelteeken voor dan is deze daarom niet veelzinnig. Zoo is «? = 'iye^^ -H q eene eenzinnige functie van z onder een wortelteeken voor* dan is deze daarom niet veelzinnig. Zoo is «? = 'iye^^ -H q eene een punt van 't vlak der z sleckts een enkel punt van 't vlak der w overeenstemt. Voor de gemengde functie w =r |?y(;?)e''^^\ waarin 2^(;5) eene eenzinnige stelkundige functie van z voorstelt, kan men schreven. £(f) a * \yf[z)t zoodat de factor -^e^^*^ geen invloed uitoefent op de veelzinnigheid der functie. § 27. He iogarithn^en van de eompieme geiaiien, 119. Door de logarithme van Een getal verstaat men den exponent van de macht, waartpe een standvastig, aholuut getal op te leveren. In verband met bet voorgaande volgt uit deze bepaling, dat de logarithme van eenig absoluut getal wordt voorgesteld door den exponent der bewerking, dat is door een absoluut getal, waarbij bet teeken — kan voorkomen om aan te wyzen, dat het oorspronkelijke getal de noemer is eener breuk, wier teller is; in de logarithme van een complexe getal komt behalve deze exponent der bewerking ook nog de exponent der richtting voor. Is byv. r = cP, dan is r/» = J^ /at zzze^"^ F--T.cc ^^ ^^g ^^ natuur- lijke logarithme door I voorstellende, Ir :=: p, en I (r/a) = ^ -+- > Door sommige wiskandigen wordt het grondtal van een logarithmen- steUel als een poiitief getal beschoawd; ait {+a)*=s {a^2kit}i^ =ia*^2iu'K volgt, dat alsdan alleen Jk =r0, en dus de direkte waarde van -f-^* dat *a 4 ifO kan wordea genomen. Bij die beschonwing kan echter van logarithmeo van absolute getallen geen sprake zijn (zie N^b. 28 en 26). 128 .^.i- ■. a 4- |/-^ 1. « = /r 4* |/ — 1.a ; evenzoo is r^a = a^ ** en dus in het a-tallig logarithmen-stelsel %« {r/x)z:z --.-j-|/_i,--.:=r Hiemit blijkti dat de logarithme van een eomplexe getal nieU andera is dan de logarithme van den modulus, ah adsoluut getal beackouwd, met hijvoeging ecMer van den exponent der ricJiting ^ dat is van een term, die direkt of indirekt de richt Ting aanwijjst, waarin die modulus, eomplexe genomen, voorkomt. Dese laatste term lieeft dus geen invloed op de getallenwaarde van de logarithme, evenmin als op de boegrootlieid van de getallenwaarde van een vorm, waarin bewerkingen met eomplexe getallen voorkommen. Om de waarde van zulk een vorm te vinden kan men dan ook van de logarithmen gebruik maken, even als of men alleen met absolute getallen te doen heeft, mits men de richting bepale, waarin men de verkregen absolute uitkomst moet nemen. De overreenkomst in vorm van a-|-|^— 1^ met/?+^^— l.j In l(m'^l^:^.n)=:p^l/^^.q (97) geeft aanleiding tot de schrijfwiijze I (i/m*^n*/Bg Tg -^ = l^p^T^/Bg Tg^ ; \ »»/ p uit de voorgaande beschouwing blijkt onmiddellijk, dat bij deze schr^'fwijze de beteekenis van het teeken -j- |/— 1 in de loga- rithme wordt uit het oog verloren. Terwijl in (97) m en n gelijk- soortige (absolute) getallen voorstellen, zijn p en q ongelijksoortig, daar q de lengte (in stralen) aangeeft van den boog, welke de richting bepaalt. Van p en q geldt klaarblijkelijk hetzelfde, wat in N^. 116 van de exponenten der bewerking en die der richting gezegd is, zoodat de tweede term van de logarithme van een eom- plexe getal nimmer in den eersten kan overgaan *) Om nu by de overreenkomst in vorm van m -i- j/ — i.n en p + |/— l.q in Men vindt bijv. ten onreehte en hieruit — S]^^ (4. /'^ITi.i) sss tr. Z« N«.185, formale (109). 124 (97) het verschil in beteekenis van -+- ^— 1 beter in *t oog to kunnen houden, zullen wg hier schryven (Louwewbibb t. a. p. schrijft p -h/q) l{m + l^—l* «) = p/f; en dus ook I {r/a) = {lr)/(t en logJjf») = z (log/)/- *). la 121. Nu volgt nit r/ct = g'''"*- ^^^.« en r,/'*^^ ^^ •4-F-=r,«t en r/a : r^/a^ = c^' "~ ''"» "^ ^^. (« - «,); derhalve ook I {rf^.r^ftt^) = (/r -f- ^r,) / (« 4- «,) en ^(^/«:^,/«i) = (^r-.Zr,)/(»-.«,). verder, voor eene absolnte waarde van /?, (r/a)? = ^l^ -*- ^^= ^l^ -*- ^^= •/»«, of l{r/ot) ='{plr)/pot, enz., waarnit blijkt, dat de richtting^-^mnwijzerB aan dezelfde bewerkingen moeten warden onderworpen als de logarithmen zelte (r/ot) = '{plr)/pot, enz., waarnit blijkt, dat de richtning^-^mnwijzerB aan dezelfde bewerkingen moeten warden onderworpen als de logarithmen zelte (r/ot) = '{plr)/pot, enz., waarnit blijkt, dat de richtning^-^mnwijzerB aan dezelfde bewerkingen moeten warden onderworpen als de logarithmen zelte (r/ot) = '{plr)/pot, enz., waarnit blijkt, dat de richtning^-^mnwijzerB aan dezelfde bewerkingen moeten warden onderw . 122. Neemt men nötige in indirekte richtigen in aanmer-king, dan volgt nit 4-a = fl/0, = a/2jr, =, =fl/2»ar, indien la, a absoluut genomen, gelyk is aan p, l(+a)=p/0, =/?/25r, =...., =-jp/2«sr. Deze verschillende uitdrukkingen voor /(+ a) bebben geleid tot de stelling, dat elk positief getal oneindig vele logarithmen heeft**); deze stelling geldt ecbter slecbts in een zeer beperkten zin, welke verschilt van dien, waarin 4- « zelve oneindig vele waarden heeft**; Evenzoo is li~a) = p/T, =/?/3t, =1.,.., = /?/(2^ H- l>r, li-^ l/=l. a) =p/I, p/^^ = =^/(2* + i>r, _ 3jr 7ir l{-iy-l.a)=zp/-, p/^, =..,., =V(2*+i>r, K-M) = 0/0. =0/25r, =...., =iO/2^ir, enz. en in 't algemeen *) Deae schrijfw^'ze komt voor de nataarlyke logarithmen gekeel overeea met die *) Deae schrijfw^'ze komt voor de nataarlyke logarithmen gekeel overeea met die Welke men in de lagere wiskunde volgt, wonneer men de logarithme van een negatief getal moet nemen. Men schryft alsdan: %io(--2)=0.30103( — ), De schryfwyze /(-h«) =s la ^ f^^l.2nic moeat Eulkr voeren tot de stelling, dat van al deze logarithmen slechts ^^ne bestaanbar is, die nam*-lyk vooT « = 0. (M4mo%re9 de VAead. de Berlin. Ao. 1749). 125 l{m + t/—l.n)=:z[il{m* + u*y]/(,BffTffl+&w)... (98) voor elke geheele waarde van k. Is de wording, het ontstaan van een oomplexe getal bekend, dan heeft zulk een getal, ook wat den vorm betreft, slechts eene natuurl^jke logarithme, die yan den modulus, waarb^j de amplitude van bet oomplexe getal voorkomt om aan te geven, welke ricbting daarbij als die van bet oorspronkeligk getal moot worden in aobt genomen. Hetzelfde geldt met inacbtneming van %• (^/*) = (%«0/r ^^^^ ®^^ willekeurig logarithmenstelsel ; vooral bier komt bet eigenaardig karakter en de voordeelen van bet naturlik stelsel sterk uit. $ 28. De fDeeizinmighHd der iogarithmiaehe funetien, 128. Breidt men de bescbouwing van {26 uit (waarb^ men, evenmin als toen, de geTqjzigde beteekenis van + 1/"^ 1 ^"^ den exponent in bet oog boudt), dan komt men tot de vraag: |,welke punten in bet vlak V, moeten door to worden voorgesteld, opdat aan de vergelyking e^ z=.J(z) of, wat op betzelfde neerkomt, aan u>:=ilf(js) worde voldaan, indien bierin door z een punt P van bet vlak V, wordt aangewezen?" Men verkrygt alsdan voor elke indirekte waarde van bet punt P een ander punt van 't vlak V,^, wyl voor f{z)z=irfoL de waarde van w door bet punt Ir+i/^ — l.tt wordt aangeduid. B^ deze bescbouwing mot dus Ifisf) steeds als eene oneindig veelzinnige functie van z worden aangemerkt *), en moeten de waarden van z^ voor welke /(0) nul of oneindig groot wordt, ab vertakkingspunten worden bescbouwd. Zoo z^'n nu in IP = log^ (^ H- i') > zzzz-^p en ^ = oo vertak Kingspunten; Ten oniechte worden alle logarithmen oneindig veelzionig genoemd, want vooreerst bebben alleen absolute getallen in den eigenlgken zin eene logarithme, en ten tweede zijn ook in algemeenen zin de logarithmen van de compile getallen absolute getallen, waarbij alleen de ricbting van bet oor* iprontelyke getallen. BQ de logarithmen kan daarom eigen- lijk ran geene een* of veelzinnige sprake zyn, evenmin als van grapbisebe voontelling. Men kan slecbts spreken van logarithmen van eenzinnige en van veelzinnige functie van k. 126 doorloopt t eene l^n, die door een dezer punten gaat^ dan zullen de oneindig vele in 't vlak V,^ hiermede overeenkomende l^nen alien het punt wzzioo gemeen hebben, dat voor al die lynen met dat punt j? = — /? of /j=soo van V, overeenkomt *). 124. De Yoorgaande bescbouwingen steunen op het in de toe- passing zoo vrucbtbare beginsel om in de wiskunde onderscbeid tc maken tusscben de direkte, de indirekte en de werkel\jke ricbting yan eene in een plat vlak gelegen l\jn ten opzicbte van eene in datzelfde vlak gelegen as (zie § 4). De eer van de invoering van dit beginsel komt geheel toe aan den Heer G, C. Louweiteieb , die in z^'n v^erk, in { 5 vermeld, Thiorie comij^te , enz.| bet eerst getracht beeft dit beginsel in toepassing te brengen^ In dat werk wordt ook bet eerst bet teeken f in den in N^. 6 aangegeyen zin gebezigd. Ook de bier gevolgde w^ze van bebandeling Tan de veelzinnigbeid der functie ^{z + p) (zie { 18, "N®. 77 en 78) werd bet eerst door genoemden Heer aangegeven. HOOFDSTUK VII. De cownpleace richtingen. J 29. BeieeheniB der eomplexe riehUmgen. 125. Substitueert men in de formulen, die voorkomen in N®. 113 Noot, ± |/ — I voor q^ dan verkrygt men *) De in de verdere wiskandige betcboawingen dikwgU voorkomende formulen Z(|/l— «• + y — 1.*) i= y^^lnBg Sinx^ l[x+ yx^ — 1) = y^^^.Bg Co8X^ enc.9 welke onmiddeliyk volgen ait de ideniieke vergelykingen yTZI^+ l/'tZT.ar = \/Bg Tg ^^ = l/SgSinx, voor x Q^ Co9(P + y^i.Sin(P=2l/^ , voor Cos(pz=:x^ gelden alleen voor zoorer men de verscbillende beteekenissen van 4- 7d in de beide leden in het oog hondt. 121 = ^o>(±i^—!•*) (^) = + K^^^.5^»(±K^^.«), (100) en of volgens de vastgestelde schrällwijze, e+^^.f±^^.«)=:l/(±^;ZrT.«).... (101) Op deze w\jze is het tweede teeken +|/'^n[ door whUhUieixi de exponenten en tegetjkeriyd in de goniometrische functien inge- Toerd. Het komt er nu op aan il posteriori te bepalen, wat men onder de complexe nichtingen db 1^—^ • « Hioet verstaan. Het is echter niet mogelflk aan Boog (+ 1/— 1. «) in het platte vlak eenige beteekenis toe te kennen; (Matzka, t. a. p. § 124) men moet daartoe gebruik maken van fignren in de ruimte. 126. Neemt men een bepaald, onbegrensd vlak Y aan als vlak van teekening, en bierin eene bepaalde l\)n OX als as, met bet punt als punt van uitgang (oorsprong); dan wordt ^ZOP (Fig. 2) als positief, en l^XOP^ als negatief bescbouwd, indien OP en OP^ aan weersz^*den van OX § 126. In the vlak Y 7\jn gelegen ($8). Is L^OP ziz — UXOP^ -= », dan zal LXOP^ door de wenteling van OP om OX in LXOP^ overgaan, wanneer het punt P by die wenteling een halven cirkel, dus een boog sr heeft doorloopen. Geeft men dit laatste aan door de schryfwyze f^is^ dan is 127. Beschryft by die wenteling het punt P in positieven zin een boog a, en wordt deze nieuwe stand van OP voorgesteld door OA^ dan is UX0Az=.aff9L\ a is nu hierb^ de standhoek van den tweevlakkigen hoek> dien het vlak, door OX en OA gebracht met het vlak, door OX en OA gebracht met het vlak, genomen in den zin der wenteling. Door- loopt OP een geheelen cirkel 1, 2,, •••^-maal* dan is zQ telkens weder in OP aangekomen, zoodat de richting van OP ten opzichte van die van OX zoowel door «^^2ir, «^^4ir,....«^^2/tT,.... In regard to formale (101) volgt hiernit + y—^'^ + l/(— K^^^.«) = 209* (-H i/^^l.«), hetgeen met formule (8) overseastemt. 180. Al de beschouwingen van de vorige Afdeelingen kunnen Deze beteeken van de vorige gewißenen van de, a, j? en op de complexe ricbten worden losgepast, mits daartoe de definitiv van Hoofdstuk II worden uitgebreid; die beschouwingen worden echter in zoover meer ingewikkeld als overal, waar vroeger van de vlakke driehoeksmeting werd gebruik gemaakt, thans de bolvormige driehoeksmeting moet worden losgepast. Zoo duidt by v. +i/'-^l\a an, dat de ricbting, die een boek a maakt met die van OXy moet worden genomen in bet vlak W, dat door OX gaat en lood-recbt op bet vlak Y staat; zoodat men beeft en — |/— 1. a = o^/Z^-jr {d,w.). Men kan dus ook nu voor de bovengevonden uitdrukking p//0 + q// ^ scbryven +p + \/ — 1. j. Wil men nu deze 2 tweetermige uitdrukking berleiden tot de eentermige o^/^wk^ dan moet b 3gr en — |/— 1. a = o^/Z^-jr {d,w.). Erin a een absoluut getal voorstellen, dat de grootte aan- geeft van de zyde van een' bolvormigen drieboek, waarvan p en q de andere zyden zijn, die een recbten boek insluiten, terwyl a de boek is^ die door de zyden a en jp wordt ingesdoten. Men vindt daardoor -M? + y—l. q=(Bff Co8p.Co3 qy}//Bp TgiJgq.CoBecp) ;{102) en omgekeerd a//wk=- + Bg Tg(Tga.Co89k)+ i7—i.Bg Sm{SincL.8inm).{lOZ). (Vergelyk biermede den overgang van +P'\-\/ — i.q tot a/oL in § 12). Stelt dus z eene bepaalde complexe ricbting (ricbting in de ruimte) a,//wk voor, dan kan, boe ingewikkeld de berekenin- gen ook mogen worden, f{z) steeds tot den vorm ^//f worden berleid. (Vergelyk § 13.) 131. Om nu aan e^ ^^-^-^-C-h ''^^•«) zz: l/(+ |X— l.a) eene meetkundige beteekenis te verbioden, moet men aldus redeneeren. Foor l/(+ y—l.oL) kan men schrijven 1/ (»//^)$ zoodat l^(-f> 1/^-^ i.a) een punt P in de ruimte vooretelt ^ dat gelegen ie in hei vlak 7F^ dat door OX gaat en loodrecht itaat op het vlak V\ zoodanig dat OP ziz I en l^XOF = a m. In er*- ^—!•(■♦• '^—l.a) hceft derhalve het eerste +1/'— 1 bc- trekking op den hoek, dien OP Tormt met de l^n OX; en hex tweede + p/" — I op den standhoek ran den tweevlakkigen hoek, dien het Ak yan den hoek XOF maakt met het ylak Y; zoodat men mei kan schrijyen e'*^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^'^' Is yoorts ef =r r, dan yindt men ^+j>=t.i^f=i,a)^^^^^^^y... (104) waaryan de beteekenis onmiddellijk uit het boyengexegde yolgt* De gewone complexe getallen r/fa =:i r^{a^JI2iw) zijn een bQ- sonder geyal yan de meer algemeene bi'complexe getallen Tf{af^m^ Wat yoorts de beteekenis yan a"*" *"** betreft, deze kan op de yolgende w\jze nit het yoorgaande woiden afgeleid. 2 Substitneert men in form* (92) o^ yoor e en yeryolgens ± f/'— >! yoor 1^^ dan yerkrygt men a'*"''^^t2:^'^-«)=l/(±|/in:.a2a),.. (106) waarnit die beteekenis onmiddell^'k yolgt. 132. De yergel^'kingen (99) en (300) kunnen zel& yoor eene bepaalde waarde yan a niek leeren aangaande de waarde yan Cm(±I^— l-«) en iSai (±|/— l.a), eyenmin de yergel^kingen (90) en (91) aangaande de waarde yan Cotqa. En Sirnqol, In elk dier yergel^kingen stelt ieder lid dezelfde zaak yoor, die op twee yerschillende w^'ien wordt nitgedrukt (rie bijy. N*. 125 Noot); het zQn derhalye identieke yergel^kingen. Uit deze knnnen nu andere idaUieke yeigel\ikingen worden afgeleid op de wyze, zooals zulks in de Analysis voor 2^ (a 4- V — 1.jS), BgSin{p + f/' — 1.jS), enz. gescliiedt. 133. Het valt nu gemakkelijk de beteekenis van Sin z^ Cos gp enz. te bepalen, waarin z staat voor de complexe richtting a/f^sk. Wordt namely, de richtige ode door og aangeewezen, en is OX de s&\ beschrigft men als middelpunt met de eenheid als straal een M *), en laat men uit het snijpunt P yan Oj^ met het oppervlak van den bol eene loodlijn FQ neer op de as OX, die deze as in Q snijdt; dan is (OQ staat hier voor de lengte van OQ) OQ = Cos z, Trekt men verder in het vlak van LXOX een straal OB loodrecht op OX en door P eene lijn evenwijdig aan OX, die dezen straal of z^n verlengde in "R sniydt, dan is OU = Sin z; trekt men door het snypunt S van OX met het oppervlak van den bol in het vlak van iJiOA eene raakl^'n aan den bol, die OA of haar verlengde in T snijdt, dan is OTzzl zzzSecz en ST=z Tff z; trekt men eindelijk door het snypunt D van OB met het oppervlak van den bol eene raaklijn aan den bol in het vlak van /. XOA, die OA of haar verlengde in M snijdt, dan is OM = Cosec z en UM = Clff z. Stelt nu O eene dezer goniometrische verhoudingen voor, dan ge  gr) z= Sinp. Cos q 4- Sin q. Cos p, enz. (en dus ook al de daaruit afgeleide formulen) blijven nu gelden voor zoover de hoeken j? en ^ in hetzelfde vlak liggen en dus voorkomen in den vorm a^^a en ^ff^ ; voor zoover zulks niet het geval is, kan de waarde van Sinq worden afgeleid. *) De naam Tan eirculaire fanctien kan hier door ^o^fanctiSa vervangen worden. Daar vorts Coss de eenige der bovengenoemde goniometrischler verhoudingen is, die tevens in hiet vaste vlak V, derhal^e op de as OX gemeten wordt, is zij de eenige dezer verhoudingen, voor welke de vermelding van //^ niets tot de zaak afdoet ; of, zooals men gewonlijk niet zeer juist zegt, „die eene re^ele waarde heeft." 135. Eindelijk moeten wij nog de beteekenis opaporen van {rfcCff^, Zy daartoe rr=: c*, dan isr^a^rc***"'^^^**; is yerder hf^ = f» + ^— l.», dan wordt Door toepassing van bet gezegde in N®. 180 moet nu de waarde der ricbting a»j -f. a» + ^/ — l.», dan wordt [JBff Cos (Cos {am + an), Cos oi-n)]/ /[Bg lg{Tg an.Cosec (ai» + an))], en dus [Bg Cos (Cos {am + an)], en dus [Bg Cos (cum + an)]/. (106) Voor i« Gazet de formule over in 1/ {[Bg Cos (Cos an. Cos oLn)]f/[Bg Tg{Tg atn.Cosec an)'];. (107) en voor r = 1, en dus a =, in G"^'^'«)+^^"* = l/(«»//|)(^.«^.),.. (108) waaruit weder voor » =r 1 en « = - volgt (+^x:ia.i)-*-^~i"i = i/(|//0(^.e.o... (109) Eindelyk volgt uit (107) voor a =: 1 en a = 2h7t = 1/ { [% Cos{Cos n.Cos 2knn)]/ /[BgTg {Tg2Jcn9t.Cosec «)]}; (110) en dus alleen voor bet geval, dat n een gebeel getal of ^=rO is, (+g)+^'=^.»=l/(«//0)=:^^^^l-». ^ ^m) Even als + K— 1. 1 als de complexe eenheii wordt aangemerkt, kan ook (+ [/— 1.1)"*" ^•^•1 als de hkompUxe eenkeid worden beschouwd. Elk punt P in de ruimte kan worden voorgesteld door de oitdrukking waarvoor men kan schrjyen waarin a, b en c de 133 beschouwd. Elk punt P in de ruimte kan worden voorgesteld door de oitdrukking waarvoor men kan schrjyen waarin a, b en c de 133 den rechtliche coordinaten van P voorstellen. Stelt men dit punt,  z, voor welke twee of meer punten op den bol B|p samenvaUen, als verlakHngs-richtingen moeten worden beschouwd; zoo zyn in wzn t/ i- z-^z — p^ en;? = — /?j vertakkings- richtingen. De beschouwingen van § 20 en volg. gelden ook thans, indien zij op de bollen B, en B^ worden overgebracht. De stelling voor- komende in N^. 80 moet alsdan dienovereenkomstig worden gewy- zigd. 137. Terwijl Binz^ Cos z ^ enz. slechts eene enkele waarde heben, worden aan Boog Sinz^ Boog CoaZt enz. oneiiidig vele waar- den toegeschreven. Bé de bepaling van wizszs sin z, enz. voor eene bepaalde waarde van z kan men twee zeer verschillende zaken op het oog hebben, en wel 1®. de richtet van den boog, wiens Sinus gelijk is aan z^ of 2^. de lengte van den boog, wiens Sinus gelijk is aan z, Laat in 't eerste geval p een boog (eigeDl\jk eene richting) in *t platte vlak voorstellen en is Boop Sin z =zp, dan is wel is waar ook Boop Sin j? 1= Jsr ip (Jjr — /?) zt 2^, maar al deze waarden stellen slechts twee onderscbeiden richtin- gen voor, waarvan de direkte waarden door p en w — p worden aangegeven, Hetzelfde is bet geval met de richtingen in de mimte; is Sin {o^ff^) := z, dan is ook Sin [(It if (i;r — «) ± Ih^) //(a ± 2^,t)] = z. maar ook nu stelt f JT (JT — a) ± 2^t) //(a ± 2^,t) slechts twee I verschillende richtingen voor, wier direkte waarde door oLf fwk en (ar — °^)//^ word en aangegeven. Neemt men nn In aanmerking wat in de vorige § aangaande de complexe richtin-gen gezegd is, dan kan men in dozen zin Boog Sim ^ Boog Cos s, enz. evenmin oneindig veelzinnig noemen uls + ^ i — «, •♦• |^ — 1 * en — y — l.a. Vraagt men echter in w = Boog Sin z, enz. naar de lengte van den boog, wiens Sinus gelijk z is, dan verkrygt men voor w twee stellen van oneindig vele waarden en moot derhalve Boog Sin ^, enz. als eene oneindig veelzinnige functie van z worden beschonwd. 138. Het weinige, dat bier van de complexe richtigen gezegd is, is voldoende om aan te wijzen, welke beteekenis er aan meet worden toegekend in de verschillende function, waarin zy voorkomen. In de volgende beschouwingen is dan ook de onderscheidung in stelkundige en transcendente function onnoodig, zoodat w\j slechts van eenzinnige en meerzinnige function zuUen spreken. [Wordi vervolgd] TH E R 1 E DEB QUATERNIONEN, DOOB J. VERSLUYS. (Venolg txat Leel I, bladg. 128.) m. TOBPASSINGEN AN DE THEORIE DE QUATERNIONEN OF DE MEETKUNDB. a. Boi€ormige drtehoeksmeting* § 101. Met beliulp yan de meetkimdige voorstelling der gewone complexe getallen kan men uit een enkele identiteit de geheele vakke driehoeksmeting afleiden. Op overeenkomstige w^ze kan men nit een enkele identiteit de formules der splierische trigonometrie afleiden. Daartoe veronderstellen w\j, dat J, B en C punten van een bol z^n, die tot middelpnnt heeft. Men heeft dan qc_oc OA^ OB' OA^ Volgens {50 heeft men OC^OA= Cos CA 4- Sin CA. OB', waarin OB' eenheidsvector is, terwyl B' de pool van AC is. Volgens § 50 is ook OCiOB=z Co8 BC -h Sin BC. OA^, OB I OA = Cos AB 4- Sin AB. OC^ ; waarin A^ en C^ respectieyelijk de polen z^n yan BC en AB. Zy nu B^ het tegenpunt van B', dan is J5| de pool van CA en men heeft OB' =: — OB^. Driehoek A^B^C^^ is dan de pooldrie- hoek van ABC, Stellen wy verder BC = ay CA^zb, AB=zCf dan is OC i OA = Coab-^ Sinb.OB^, OC :0B z=. Cos a •{- Sin a. OA^, OB: 0A= Cos c + SincOC^. Stelt men deze waarden voor OC : OA enz, in de vergeljking PC _ PC PB PA~OB' PA' dan yerkr^'gt men Coth-^ ainh.PB^ — {Cos a -i- Sina. PA^) (Cos c + Sin c. OC^), of Cosh'^Sinh.PB^ = Cosa.Cosc+Stna.Sine.PA^.PC^-^' H- Cos a. Sin c, PC^ + Sin a. Cos e,PA^. Hierin is PA^. OC4 = — PA^ : 00, (zie § 50), of OA^.PC^^-^i Cos C^A^ -h Sin 0, 4^, PB), of PA^.PCi = CosB — SinB.PB. Substitueert men deze waarde voor PA^.PC^ in de voorgaande yergelijking, dan verkrijgt men Cos h — Sin 6, Oi?| = Cos a. Cos c 4- Sin a. Sin e.Cos B — — Sin a.Sin c.Sin B. PB -f- Cos a.Sin c. PC^ -H Sin a. Cos c. PA^. Hierin zyn PB^, PB, PA^ en PC^ vectoren, die met reeele gc- tallen vermenigvuldigd worden en dus tot prodnkt geene reeele termen opleveren. Stelt men nn in de voorgaande vergelijking de reeele deelen der twee leden aan elkaar Hierin zyn PB^, PB, PA^ en PC^ vectoren, die met reeele gc- tallen vermenigdijk worden en dus tot prodnkt geene reeele termen opleveren. Stelt men nn in de voorgaande vergelijking de reeele deelen der twee leden aan elkaar Hierin zyn PB^, PB, PA^ en PC^ vectoren, die met reeele gc- tallen vermenigdijk worden en dus tot prodnkt geene reeele termen opleveren. Stelt men nn in de voorgaande vergelijking de reeele deelen der twee leden aan elkaar Hierin zyn PB^, PB, PA^ en PC^ vectoren, die met reeele gc- tall gelijk, dan komt er Cos h = Cos a.Cos c -j- Sin a.Sin c.Cos 5;..., (1) en hiermede is de hoofdformnle der spherische trigonometric bewezen. § 102. Stelt men de niet-reeele deelen van de leden derzelfde vergelijking aan elkaar gelijk, dan kriggt men eene vergelijking, waarin volgens § 8 drie andere vergelijkingen opgesloten zijn. Om deze drie a£&onderlijk te verkr^gen, kan men op verschillende w^- zen bandelen. Door gelijkstelling der niet-reSele deelen kriggt men ^Sinh.PB(=z^Sina.Sinc.SinB'r-r+Po*^' Sin a,Cos e. Deelt men de beide leden van deze vergelijking door PA^^ dan komt er PB. PB PC. — Sin 6'rr^z:Z'^Sina»Sinc,SinB'rr-r+Po*^' Sin a,Cos e. OJ^i : 0^1 = Cos A^B^ + Sin A^B^.PC = ^CosC + Sin C. OC, 00, : 0^1 = CosC^A^'-Sin C^A^.PBzzz-^CosB — Sin B,OB; en door substitutie in de voorgaande vergeiyking PB Sin h.Cos — Sin h.Sin C.PCsn— Sin a.Sin c.Sin B -r— — Cos a.Sin c.Cos B — * Cos a.Sin c.Sin B, PB + Sin a.Cos c. Merken wy op dat Oi^ en PA^ rechthoekig op elkander staan, zoodat hon quotient een vector is, en dus geen reeelen term op- levert. Men kr^gt nu door gel^ktelliDg der reeele deelen van de Yoorgaande vergelijking Sin b.CoB C = Sin a.Cos C — Cob a.Sin c.Cos B,... (2) Dit is een tweede formule der bolvonnige trigonometrie. $ 103* Stellen wij verder in de vergel^king der yoorgaande § de niet-reeele deelen van beide leden aan elkaar gel^k, dan kriggt men OS — Sin b.Sin C.OCzzz — Sin a.Sin c.Sin B — Cos a.Sin c.Sin B, OB, OA^ Nu is- OB : $ 103* Stellen wij verder in de vergel^king der yoorgaande § de niet-reeele deelen van beide leden aan elkaar gel^k, dan kriggt men OS — Sin b.Sin C.OCzzz — Sin a.Sin c.Sin B, OB, OA^ Nu is- OB : $ 103* Stellen wij verder in de vergel^king der yoorgaande § de niet-reeele deelen van beide leden aan elkaar gel^k, dan kriggt men OS — Sin b.Sin C.OCzzz — Sin a.Sin c.Sin B, OB, OA^ Nu is- OB : $ 103* Stellen wij verder in de vergel^king der yoorgaande § de niet-reeele deelen van beide leden aan 0/1 een vector en dus, volgens § 70, OB : 0/1 = — OB. 0/1. De voorgaande vergelijking wordt nu — Sin 6. Sin C. OC = Sin a. Sin c. Sin B. OB, OA^ — Co8a.Sin e. Sin B. OB. Deelt men de beide leden van deze vergelijking door OB, dan komt er OC — Sin b. Sin C -r^ = — Sin a. Sin c. Sin B.OA^ — Cos a. Sin c. Sin b. OB Hierin is we8r OC : OB = Cob a + Sin a. OA^, waardoor het voorgaande wordt — Sin h.CoB a.8in C — Sin b.Sin a.Sin C. OA^ = =r — Sin a.Sin c.Sin B.OA^ — Cob a.Sin c.Sin B.OA^ — Cob a.Sin c.Sin B. Door gelijkstelling zoowel van de reeele als van de niet-reeele deelen der beide leden vindt men ^Mi b.Sin C = Sin c.Sin B Sin b Sin c ^ SUrB~SinC ^^^ Dit is eene derde formule der spherische trigonometrie. Migen^ehappmn wan den eeheefDmn eirkeifumrm^igen keget. § 104. Veronderstellen w\j in het volgende, dat alle vectoren of rechte l^jnen uit hetzelfde punt getrokken zijn. Duiden w^ daarbiy door a, /3, y, enz. constante vectoren aan, en door p een veranderl^jken. De vergeiyking 5= 1 zegt ons, dat de projectie van p op «e samenvalt met a. Terw^l p dus een veranderl^ke vector is, is de meetkundige plaats van het uiteinde van p een plat vlak, dat in het uiteinde van a recht- hoekig op dien vector staat. Letten w\j dus op het niteinde van den veranderliijken vector p, dan hebben w^ : a is de vergel^king van het platte vlak^ dot in hd uUeinde van a recht- hoekig op dien vector etaat. B § 105. De vergelyking -S- = 1 duidt Aan, dat de projectie van den constanten vector p op den veranderlyken p steeds samenvalt met p. Daaruit volgt, dat het uiteinde van p tot meetkundige plaats heeft het oppervlak van den bol, die p tot middellyn heeft. "Wij hebben dus: is de vergel^'king van een hol^ die fi tot middell^n heeft, 106. Nemen w\j nu de punten, die aan beide voorgaande vergelijkingen te gelyk voldoen. Die punten liggen te ge]^jk op een bol en in een plat vlak, De vergel^jkingen 5- = 1 en 49- = 1 a p p Mien dus samen een cirkel voor, in het vlak 8^ z=:l gelegen. § 107. Door vermenigvuldiging der overeenkomstige leden van de twee voorgaande vergelijkingen ontstaat st.s- = i. Ob p Deze vergelijking stelt weder een oppervlak voor, waarop de cirkel is. Merken wij verder op, dat wanneer aan de vergelijking van het oppervlak voldaan wordt door voor p te nemen p|, er dan ook aan voldaan wordt, als men voor p neemt xp^. Men heft n.l. a xp^ et X p^ a Pi Hieruit volgt dat 8-.8^^ I « P de vergelijking van een kegel is. Daar «» en |3 in 't algemeen verschillende vectoren z^n, is die kegel een scheeve drkelvormige. } 108. W\j kunnen de voorgaande vergelijking van den kegel Terromen, door te schrjven, zie § 87 of § 91, s'- = N-.3- t P P OL p ^ a p OL p OS Q Stellen wij nu ^T-rzizct^ en aT-* = P|, of V^.T<»=oc^ en UxT{i = p^, dan wordt de voorgaande vergelijking <*i P Deze vergelijking steeds den kegel voor, die volgens cirkels gesneden wordt door platte vlakken evenwijdig aan 139 Deze vergelijking steeds den kegel voor, die volgens cirkels gesneden wordt door platte vlakken evenwijdig aan 5- = l of aan S^ — O. a oL De voorgaande vergelijking leert ons, dat die zelfde kegel volgens cirkels gesneden wordt door vlakken evenwydig aan het vlak S^ = \ of S^ = Q of *S^=0. «i »i P Door de herleiding der quaternionen-vergelyking van den kegel van den tweeden graad is dus gebleken, dat elke kegel ^ die door een sieltel van evenwijdige platte vlakken gesneden toordt volgens aV- kelSf ook door een ander stelael van evenwijdige vlakken gesneden vfordt volgens cirkels. Die twee standen worden in het voorgaande aangewezen door 5^=0 en ^?::=0, en deze beide vlakken , die door den top van den kegel gaan , noemt men gewoonl^'k de cyclische vlakken van den kegel. De lijnen » en ^ rechthoekig op deze vlakken, noemt men gewoonlijk de cyclische normalen van den kegel. § 109. Een bol, die raakt aan het cyclische vlak 5-=0, 140 heeft tot vergeliiking 5 — = 1 , P en snydt dus den kegel St.s^ = l of N^.S^.S^ = 1 a p ^ P P Tolgens een cirkel gelegen in het platte vlak N^sf^.st P of N^.8^ = k, 9 en dit vlak is evenw^dig aan het cyclisohe vlak /Sf^=l. Wy hebben dus : een hol^ die in den top van een ackeeven drkehormigen kegel raakt cum het eente cyclische vlak^ mijdt den kegel volgens een cirkel , toiene vlak evenwijdig ie aan het tweede cgclische vlak. Geheel op dezelfde wijze leidt men nit de getransformeerde ver- gelijking van den kegel af : een bol, die in een top van een scheeven cirkelvormigen kegel raakt aan het ttoeede cyclische vlak ^ snigdt den kegel volgem een cirkel, loiene vlak evenwijdig is aan het eerste cgcli" sche vlak, § 110. Wy kunnen de vergel^king van den kegel st sl ook schryven P _ a p ^ P of SUt.i>U^ — T^. a p p Letten wij nu op de meetkundige beteekenis van de factoren in het eerste lid (zie § 94) , dan wordt de voorgaande vergel^king Cos L- ' Cos L- = ^l « P P of in woorden : het produkt der cosinussen van de hoeken^ die gevormd toorden door een veranderlijke rilibe van een scheeven cirkelvormigen kegel met de cyclische normdUn van dien kegel ^ is standvastig. In plaats van de cosimtssen der hoeken, die zulk een ribbe met de cyclische normalen maakt, kan men nemen de sinuasen van de hoeken, welke de ribbe maakt met de cyclische vlakken, § 111. De kromme lyn, waarin een scheeve cirkelvormige kegel gesneden wordt door een concentrischen bol, noemt men en apheriache kegelsnede, De cirkels, waarin die bol gesneden wordt door de cyclische vlakken van den kegel, noemt men de cyclische bogen van de spherische kegel. Volgens de voorgaande hebben wig onmiddeimk : hij een epheruche kegelme is hei produkt der sinussen van de qfstanden van een veranderlifk punt der kromme tot hoar cyclische bogen standvostig. Wet BeMMIende tarmen 9an de wergei^Mng der eiUpeeXde. § 112. Een groot voordeel van de tbeorie der quatemionen boTen de gewone analytische meetkunde is gelegen in den r^kdom en de eenvoudigheid van voorstelling van de eerste, waar het er op aan komt, de vergeljkingen van oppervlakken of kromme lijjnen nit te drukken. In het voorgaande hebben w\j reeds gezien, hoe eenvoudig men met behulp der quaternionen een scheeven cirkelvormigen kegel kan voorstellen. In het volgende willen wj aanstoonen, hoe men op verschillende wjzen, telkens eenvoudig, de ellipsoide kan voorstellen. Zy daartoe even als voorger p een veranderlyke vector, e, e, cz, constante vectoren, alle uit een punt getrokken. x stelt een scalair voor. op f staande. heft alleen dan beteekenis, als kleiner dan 1 is, daar het vierkant van elken vector negatief is. Daar verder standvastig is, even als het vierkant van den vector, zoo is ook standvastig de longe der loodl^jn, mit het einde van p neergelaten op ^. De voorgaande vergelykbg stelt dus een omwenielingscylinder voor, die /3 tot as heeft. § 118. Als a en P verschillende rechte l'ennte zu, staat het platte vlak S-^szx niet rechte og de as van den omwente- Volgens § 104 stelt 5- =a? een plat vlak voor, rechthoekig lingacylinder [F*-! =a:* — 1. De doorsnede van beide is dus een ellips, voorgesteld door de twee vergeljkingen mits wq terens aannemen, dat a en niet recMhoelng op elkaar staan. § 114. In het voorgaande Teronderstelden w^, dat n een stand- yastig getal kleiner dan I is, De twee voorgaande yergelijjkingeii stelden daarb^* een bepaalde ellips voor. Elimineert men x nit die twee, yergelijjkingen, dan krjjgt men de meetkondige plaats dier veranderlyke ellips § 115. Yolgens de definitie yan den norm yan een quaternion is de norm yan een scalair geljk aan het yierkant yan dezen. Das opk (<5-J = •^-' Volgens dezelfde bepaling is yoor een yector JVp = ( -S-r + Fr) (5p — r») = (0 + t?) (0 — ») = — ( yor) (0 — ») = (0 + t?) (0 — ») = — ( yor) (0 — ») = (0 + t?) (0 — ») = — ( yor) (0 — ») = (0 + t?) (0 — ») = — ( yor) (0 — ») = (0 + t?) (0 — ») = — ( yor) (0 — ») = (0 + t?) (0 — ») = — ( yor) (0 — ») = (0 + t?) (0 — ») = — ( yor) (0 — ») = (0 + t?) (0 — ») = — ( yor) (0 — ») = (0 + t?) (0 — ») = — ( yor) (0 — » dus ook — [^^) =^^fl- Wij kunnen de yergelyking aan het einde der yorige (dus schryen a p § 116. Het eerste lid deryergelping/^iJ-^ _^r^V — i kan men schryven Wy hebben dus in plaats yan de eerste yergelyking of 2'(5^- + r|) = L § 117« Om te zien welk opperylak yoorgesteld wordt door de vergelijking (^tj* - (riV = 1, onderzoeken wij in hoeveel punten het gesneden wordt door do rechte lijn, die b. v. door de uiteinden van de lijnen f* en © gaat. Om de vergelijking van die l^n te kr\jgen z^ in fig. 14 OM = fA, ON = » en 22 een willekeurig punt van de rechte, waarvoor w\j stellen OR = p. 