Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
Vele malen waarschijnlijk is reeds, zoo niet openlijk, dan tochonder de beoefenaren der Wiskunde in ons vaderland onderling, de wensch uitgesproken, dat in Nederland een tijdschrift roor de door hen beoefende wetenschap mocht bestaan. In Nederland, bet vaderland van Hugghens, Snellitis en zoo vele andere beroemde matbematici, is de Wiskunde steeds met voorliefde beoefend geworden, en tbans nog behoore voorzeker deze studien tot de meest geliefde. Van studie komt men tot eigen werkzaamheid, betzij tot nieuwe bescbouwingen in de boogere deelen der wetenscbap, betzij ook tot ontwikkeling van enkele punten van meer bijzonderen aard: tot vereenvoudiging of alge meer maken van stellingen, bewijzen of metboden. Voor niet alles van dezen aard is plaats in de werken van een geleerd genootscbap, als b.v. de Koninklijke Akademie van Wetenschappen; en verdere gelegenbeid ontbreekt ten eenenmale; dit beeft ten geleerd genootscbap, als b.v. de Koninklijke Akademie van Wetenschappen; en verdere gelegenbeid ontbreekt ten eenenmale; dit beeft ten geleerd genootscbap, als b.v. de Koninklijke Akademie van Wetenschappen; en verdere gelegenbeid ontbreekt ten eenenmale; dit beeft ten geleerd genootscbap, als b.v. de Koninklijke Akademie van Wetenschappen; en verdere gelegenbeid ontbreekt ten eenenmale; dit beeft ten geleerd genootscbap, als b.v. de Koninklijke Akademie van Wetenschappen; en verdere gelegenbeid ontbreekt ten eenenmale; dit beeft ten geleerd genootscbap, als b.v. de Koninklijke Akademie van Wetenschappen; en ver Volge dat men genoodzaakt is, zicb tot bet buitenland te wenden. In dezen stand van zaken beeft bet Wiskundig Genootscbap te Amsterdam, onder de zinspxeuk : „een onveemobidb jlbbeid eomt ALLES TB bovbn", besloten, bet initiatief te nemen en geboor gevende aan den wenscb van velen z\jner leden, de uitgave te ondememen van een Tijdscbrift: NIE VW ARCHMJEV voor Wiskunde^ waarvan ik de redactie op mij genomen beb. VI VOOEEBDB. Het zal verschijnen op de volgende grondslagen: 1. Geregeld twee malen's jaars, Maart ea September, verschynt een stuk van zes of zeven vel druks. 2. De inhoud is verdeeld als volgt : A, Verhandelingen over zuivere en toegepaste Wiskunde. J?. Kleinere Mededeelingen. C. Geschiedenis en Letterkunde, Boekbeoordeelingen, Lgst van uitgekomen boekwerken, Inhoudsopgave van Wis- kundige T^dschriften. 3. De verantwoordelijkheid der geplaatste stukken blijft voor rekening van den Schrijver. Alle Wiskundigen in Nederland worden derhalve uitgenordig, om onze pogingen te schragen, door hunne hoogewaardeerde medewerking. Slechts door krachtige zamenwerking van alien tocb zal het mogelijk zijn, in ons land een orgaan voor de Wiskunde met levensvatbaarheid staande te houden. En dan zal het blijken, naar ik hoop, dat het werkelijk aan eene bestaande behoefte zal voldoen. Uiden, JuU 1875. D. BIEKENS DE HAAN, Eerde Secretaris, J N H O U D. Aan eekeningen betreffende de theorie der essentieele vergelijkingen der vlakke kromme lijnen. Door Dr. H. Onnbh" Biz. 1. Theorie der quaternionen. Door J. Veeslttts, (Wordt vervolgd.) „ 41, 97. Theorie der functien van veranderlijke complexe getalten. Door Dr. A. Bbkthbm Gz. (Wordt vervolgd.) „ 124. Over de waarschijnlijkheid van de verschillende mogelijke uitkomsten eener verkiezing waarbij stemmers van tweeerlei kleur zich bij loting in afdeelingen verdeelen. Door D.J.KoBTBWBG.(Word Over de waarschijnlijkheid van de verschillende mogelijke uitkomsten eener verkiezing waarbij stemmers van tweeerlei kleur zich bij loting in afdeelingen verdeelen. Door D.J.KoBTBWBG.(Word Over de waarschijnlijkheid van de verschillende mogelijke uitkomsten eener verkiezing waarbij stemmers van tweeerlei kleur zich bij loting in afdeelingen verdeelen. Door D.J.KoBTBWBG.(Word Over de waarschijnlijkheid van de verschillende mogelijke uitkomsten eener verkiezing waarbij stemmers van tweeerlei kleur zich bij loting in afdeelingen Over het gebruik van determinanten bij de methode der kleinste kwadraten. Door P. VAK Gebb.. „ 179. Kleinere Medeelingen. Over de beweging van een halven rechten cirkelvormigen kegel, die met een zijner beschrijvende lynen op een horizontaal vlak ligt. Door Dr. H. J. Bött.. *... „ 59. Vni I N H IT D. Herleiding van de formule van Cardanus in het onherleidbare geval. Door Dr. A. Behthem Gzk. Biz. 67. Prysvraag N^. 12, Opgelost door H, A. Lobbntz. „ 189. Over den stand der vlakken, die een middelpunts-op- pervlak van dentweeden graad volgens gelijkzijdige hyperbolen snyden. Door J. W. Tesoh „ 194. De aberratie van *t licht. Door Dr. G. Schoijten. „ 199. Kromlijnige beweging van den biljardbal. Door Dr. F. VAN Waobninqbn Jz „ 200. Qeschiedenis en Bibliographie der Wiskunde. lets over de quadratuur van Simon van der Eycke en hare gevolgen. Door D. Biebens de Haan. „ 70, 206. Register t naar deonderwerpengerangBchiktgOp eenige Wiskimdige Tijdschriften „ 87, 212. LANTEKENINGEN BETRGFFEXDE DE THEORIE DER ESSENTIEELE TERGELIJKIKGB. DER TLAKKE KROFlE LIJWEN. Door D^ H. ONNEN. De theorie van de essentieele vergelijkiugen der kromme l^'nen kan gerekend worden te behooren tot die wiskundige onderwerpeiig waarvan men zegt, dat zy weinig of geen dadelijk nut beloven ; — altans wanneer men door nut verstaat : practisch nut of toepassing op andere bestaande theorien. Wie zich met zulk een onderwerp bezig houdt, verdedigt naturijk met warmte de stelling, dat men er den wiskundigen geen verwijt van mag maken, wanneer de onderzoekingen, waarmede zij zich bezig houden, geene aan* leiding geven tot meer of minder belangrijjke toepassingen. Ik beroep mi\j dan ook op deze stelling, nu ik de theorie der essentieele vergelykingen, die indertijd het onderwerp mijner dissertatie uit Männer, in dit Tijdschrift ter sprake breng. Intusschen kan ik niet nalaten op te mörder, dat deze theorie niet geheel en al zonder toepassing is, geljk uit het vervolg moge blijken. In dit opstel zal ik eerst spreken over den vorm der essentieele vergelykingen in het algemeen en in verband met den vorm der krommen, om daarna eenige vergelijkingen in het bijjzonder te behandelen. Männer vorm der essemiieeie vergeiiikimgem, De uitdrukking essentieele tergelijking is ontleend aan het erste deel van Kba.tjse*8 nagelaten geschriften, door H. Sohbodeb 1 aitgegeyen, en getiteld: Novae theoriae linearum curvarum origitui'riae ei vere acientificae specimina quinque prima, en aan een werkje van Adolp Fetebs: Neue Curvenlekre; Grundziige einer Umgebung der hoheren Geometrie durch ihre ursprungliche Analytische Methode. Beide werken verschiedenen in 1836, en bevatten, voor zoover ik weet al wat over dit onderwerp gescbreven is. Wei kan men in verhandelingen van andere Wiskundigen een en ander vinden, dat aan de theorie van Kbatjsb en Fetebs verwant is, of er mede in verband gebracht kan worden, maar eene verdere ontwikkeliog of uitbreiding der theorie zelve is mi] niet bekend. Door de essenieele vergelijing eener kromme lijn beeft men te verstaan de vergelijing die de eseentieele eigennchap dier lijn undrukt; dat is die eigenschap, welke de lyn als kromme karakteriseert, niet als meetkundige plaats Door de vergelijking «*-f-y** = fl* in recbtboekige coordinaten en door de vergelijking r = a in pool-coordinaten, wordt de cirkel gekarakterlseerd als de meetknndige plaats Tan alle punten, die denzelfden afstand a bebben van den oorsprong. De essenieele eigenschap van den cirkel bestaat ecbter bierin, dat de kromie, de vorm overal dozelfde is. Na den cirkel is, met betrekking tot bet recbtboekig coordinatenstelsel, de ellips almede de eenvondigste kromme l|}n. Met bet oog op polaire coordinaten zal men na den cirkel bet eerst denken aan spiralen van den vorm r z=:ain* waarin de voerstraal recbt of omgekeerd evenredig is met eenige maebt van den oertraal recht of omgekeerd evenredig is met eenige maebt van den cirkel bebben, waarin de kromtestraal p even Redig is met de longte a van den boog, van zeker point nit gerekend. Deze kromme is de logaritmiscbe spiraal : r:=2aK Noemt men p de lengte der loodl^jn, nit de pool op de raaklign neergelaten, dan is, gelyk bekend is, in deze spiraal als men |/^T-j-^^ = m stelt; verder vindt men voor den dr kromtestraal fzizr^^rz mr, dp waarnit dp = mdr ; terwiljl eindeliijk rd r m ««= — -— tfr l/ZfS — p^ Iga dp is. Wy zien dus dat -y =ilga, di dus konstant, en p evenredig met a is. Ook de involuut van den cirkel volgt eene zeer eenvoudige krommingswet. Noemt men namel'k den straal van den cirkel a en de lengte van den ontwonden cirkelboog, in stralen uitgedrnkty w^ dan is de absolute lengte van dozen boog, dat is dus de kromtestraal p der involut, aw. Daar echter to tevens de maat is voor den hoek, dien de kromtestraal, van het begin der ont-winding af, het begin der ont-winding af, het doorloopen, zoo blijkt het, dat bij deze kromme de kromtestraal evenredig is met dezen hoek. Behalve de beide genoemde krommen zijn vooral de cycloidiscbe lijnen merkwaardig van wegen de eenvoudigheid barer krommingswetten. Noemt men namelijk weder to den hoek, dien de kromtestraal beschreven heeft, te beginnen met het punt, waarin deze nul is, dan is de kromtestraal evenredig met Sin fiw ^ waarin f4=il, )1 of^lis, naar gelang de kromme cycloidide, hypo-cycloid of epicycloid is. Denken wij ons by v. een epicycloide; nemen w\ de 1^'n, die de middelpunten der beide cirkels verwenigt op het oogenblik Dat de beweging begint, als X-as aan; stellen wij de T-as in het middelpunt van den vasten cirkel loodrecht daarop, en noemen wiJj den hoek, dien de vereenigingsli]n der middelpunten gedurende de beweking beschrijft 9 ; dan hebben wi|j de bekende vergelijjkingen : y=:(a + b)Sin^ — h ^'« f^^ S^i waarin a en ^ de stralen zyn van den vasten en van den bewegenden |irkel. De normaal der epicycloide gaat steeds door het raakpunt der beide cirkels en maakt met de Y-as den hoek w. Beschouwt men nu den driehoek, gevormd door de Y-as. de vereenigings- lyn der middelpunten en de normaal, dan zijn w en 90° — fl twee hoeken van dezen driehoek, terwijl de derde hoek 90° — «? -4- 9 gelyk is aan het halve supplement van den omwentelingshoek des bewegenden cirkels. Heet deze omwentelingshoek <^, dan is dus 90° —'? + 9 = 90° — i<^, of 20^~6) = 4>. I* <P a Maar -5 = ^, of ^ — ^^ • zoodat 2«? --26=^9, 2b en dus fi = — --jr. «^ wordt. Substitueert men deze waarde van d in de vergelijkingen der kromme, dan komt er 2b \ ^ a-^-b \ '^ = (" + *) ^"niTai **)-* ^' l^-Tli ''J • /2b \ / a-hb ^ Daar de raaklyn met de X-as dezelfden hoek w maakt, als de normaal met de Y-as, zoo is, als ds Let boogelement der kromme bet <P a Maar de raaklyn met de X-as dezelfden hoek w maakt, als de normaal met de Y-as, zoo is, als ds Let boogelement der kromme bet eekent, dx zzzds Cos to en dy = ds Sin w, dx dy en dus ---zizp Cosw en t" = P ^^^ ^• dw aw Dertalve heeft men 2b(a'\-b)\ ^, I 2b \ ^. /„« + ^ \l fl Cosw — -^ ^ <— Sink -~w\jrSin\2 v)\\, en bieruit volgt door kwadrateering en optelling gemakkelijk ^ (a-r2J)2 y \a-\-2b l\ 43 {a H- 3).. / « A en p == — ^ — --- mn I —tt? j, of p z= C7 i^e» jBt?/?, ., ^ 43(fl-H3) g. waarin dan V = -— en a =  Gaan wy voor de parabel uit van de vergelkking y* = 2px waaruit ydy = pdx dx dy* en beginnen w^ de boeken id te tellen van den top af, dan is dx — :=ztgw, dus y zzzptg to; _ V"^(di)) _ f _ P d^ p^ in aanmerking genomen, dat -r^='^ is. Aar* y^ Deze voorbeelden zullen voldoende zijn, om de beteekenis van eene essentieele vergelijking duidelijk te maken. Z^' is de algebra' Uche uitdrukking van de krommingswet^ dat is de wet, volgens welke de kromte van punt tot punt verandert. Hierby wordt aangeno-men, dat de kromte k steeds omgekeerd evenredig is met den kromtestraal p ; zoodat men j als eenbeid van kromte aannemende de kromte van den cirkel, welks straal de eenbeid van lengte beeft, stellen kan: kzrz^. In de genoemde voorbeelden is p steeds uitgedrukt in functie van den boog b, van zekeren oorsprong af geteld, of wel in funcie van den hoek w, dien de kromtestraal met een aangenomen aanvangsricliting, of de raaklijn met de loodrecht daaropstaande ricliting maakt. De eerste wijze is zeker de meest eigenaardige, omdat men daarbij, om zoo te spreken, inderdaad de kromme van point tot punt doorloopt, terwijl men bij de tweede manier de normaal telkens een hoekelement verder laat draaien. De eerste vorm eener Essentiele vergelijking heeft bovendien nog iets boven de tweede voor. Ontwikkelt men namelijk de kromme lijn, te beginnen bij bet punt, waar * =i is, construeert men dus hare involuut, dan wordt iedere waarde van s een kromtestraal van deze involuut. Wij hebben dus slecbts in eene vergelijking van den vorm f(p,s) = 8 te vervangen door p| ^ waarmede wij in het algemeen den krom- testraal van de involuut eener kromme zullen aanduiden, om eene vergelijking te verkrijgen , die als de essentieele vergelijking der involuut kan beschouwd worden , maar weder in vorm afwykt van de vergelijkingen, waarin p in functie van s of van w is uitgedrukt, Beschouwen wij de zoo even genoemde involuut als de kromme, waarvan wij de essentieele vergelijking willen behandelen, en ver- vangen wij pj door p, dan moet p vervangen worden door den kromtestraal der evoluut^ dien wij door p-.i zullen aanduiden; en de vergelijking heeft den vorm /(p, p-i) = 0. dp dp ds dp Daar p «. i = -—- of ook = ~- -— =z= p -- is, kan men den krom- a to 09 aw as testraal van de evoluut beschouwen als de maat voor de verande- ring, die de kromtestraal in eenig punt ondergaat. Eene vergelijking van dezen vorm geeft dus voor iedere waarde van den kromte- straal de boegrootheid zijner verandering aan , en is dus de uit- drukking der wet, volgens welke elk drietal op elkaar volgende elementen der kromme lijn ten opzichte van elkander gelegen zijn. 1 dp 1 dk Vervangt men A door •-, dan wordt p«i =-— = — — -- of ook ° k dw k^dio 1 dk di^ 1l dk = — — — --- = — TiT> 6^ ^cn kan eene vergelijking vormen k^ da dw k^ di dk dk tusschen ^ en -- of tusschen ^ en -- , die derhalve gezegd kan dio d8 worden nog meer onmiddellijk de kron.mingstcet zelve weer te  den vorm der kromme geen invloed. Eene tweede integratie | uitge- d^ voerd na — voor p te hebben gescbreven, geeft eindelijjk de verdw geli^jking tusschen « en w^ die in het algemeen twee konstanten bevat, die zonder invloed op den vorm der kromme zgn. In de toepassing zal men van de verschillende vergelgkingen p = (p.p-i)=o. p = (f («?), p = 4^ («), ;^ (#, it) = 0, die alien geacht kunnen worden de kromme lijn te representeeren, die vergelijking gebruiken, welke bet gemakkelijkst is in de behaudeling, met bet oog op het doel, dat men zich ter bereiking voorstelt. Niet zelden zal men van twee of meer dezer vergelijkin- gebruik maken. Ik wensch thans in het kort na te gaan, onder welke omstan- digheden eene kromme 1^'n plaatsen van opleveren, waar drie op elkaar volgende boogelemen- ten op eene in het oog vallende w^ze ten opzichte van elkaar gelegen zgn ; met andere woorden, hoe uit de essentieele verge- lijking eener kromme l^'n bl^'kt, welke zoogenaamde merkwaardige punten de lijn bezit, en welke in het algemeen de vorm van haar beloop 18. Bij dit onderzoek zullen Yooral de yergeli^jkingen z=:0(w) en p = \K«) goede diensten bewijzen. Wij gaan daarby uit van de voorslelling, dat de kromme lyn beschreven wordt door een punt, dat zich over eene rechte lijn (de raaklijn) beweegt, terwijl deze om bet punt draait. De afstand, waarover zich bet punt over de raaklijn bewogen heeft, is dan de veranderlyke «, de hoek, dien de raaklijn gedraaid is, de veranderlijke w. Denkt men zich zelven in de plaats van bet bescbrijvende punt, en be- weegt men zich over de raaklijn 8 8 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 55 56 57  achteruit als s aan de negatief is; dan heeft men bij eene voorwaartsche beweging den kromtestraal f aan de rechterkand, als de raaklijn draait in de richting van de wijzers eener klok; en bij eene achterwaarlsche beweging als zij in tegen-gestelden zin draait. Daarentegen heeft men p aan de linkerhand, bij eene voorwaartsche beweging, als de raaklijn tegen de wijzers eener klot in draait; bij eene achterwaartsche beweging, als zij met de wijzers mede gaat. Noemen wij nu f positief, als men den kromtestraal rechta^ negatief als men hem links heeft, dan volgt uit dto van zelf, dat eene draaiing in de richting van de wijzers eener klokovereenkomt met eene positieve waarde van dw^ d. i. met eene toeneming van w\ en eene draaiing in tegengestelden zin, met eene negatieve waarde van dw^ of eene afneming van w. In de erste plaats merken wij nu op, dat er een wezenlyk ver-schil bestaat tusschen het geval dat de functien $ (to) en 4/ («) voor aUe waarden van w tn s bestaanbar blgven, en het geval dat z^* beiden of een van beiden voor zekere warden van t^ en onbestaan-baar worden. In het eerste geval zet de raakl^n van haren oorspronkelijken stand (de aanvangsrichting) af, hare draaiende beweging, zoowel in positieven ajs in negatieven zin, tot in het on-eindige voort, en kan men van den oorsprong af zoowel voor uit als achteruit tot in het oneindige langs de kromme blijven voortgaan. Wanneer darentegen to zekere grenswaarde, of 9 zekere waarde 0- niet kan overschrijden, zonder p imaginair te maken, dan houdt in het eerste geval de draaiing der raaklijn op, als wzzuct gewor- den is, terwijl in het tweede geval het punt zich niet verder dan over een afstand szizc voortbeweegt. Noemen wij nu p^ en t de met fff = « overeenkomende waarden van p en «, dan is dus: Als, voor * > *^ J f niet onbestaanbaar wordt, blijft het punt zijne beweging over de raaklijn vervolgen; daar echter 10 niet grooter dan a kan worden, zuUen de met a ) «^ overeenkomende waarden van 10 kleiner dan » zijn, dat is, de raaklijn draait, na de richting 10 = ac bereikt te hebben, terug. Het is duidelijk, dat hierdoor een buigpunt ontstaat. Duiden wij evenzoo de met # =r 0" overeenkomende waarden van p tn to aan door p^y en w^^, zoodat p(y = + (<r), p<y = (f (fr<y), ;^(<r, «C(t) — is, en onderstellen wij, dat voor te^ ic^, p niet onbestaanba Ar wordt, dan blijft de raaklijn hare draaiende beweging in denzelf- den zin voortzetten. Daar ecbter s niet grooter dan o* kan worden, moeten de uit ^ («, «?) =r voorvloeiende waarden van « voor to } iCff kleiner dan a- zijn; d. i. : het point keert langs de raaklijn terug: er ontstaat een keerpunt, Doet zich evenwel het geval voor, dat de grenswaarden k? = as en «.:= o* bij elkander behoore, zoodat is, dan vervolgt noch de raaklijn hare draaiende beweging, noch het punt zijne voortgaande beweging. De kromme eindigt in dat punt {point d* arrSt). Niet zelden zal het echter gebeuren, dat de vergelijkingen van zulk eene lijn, nog eene of meer andere krom- men bevat, die met dezelfde waarde van p eindigen. Dan kunnen deze krommen met hare eindpunten aan elkander gevoegd worden. Bij den overgang van de eene kromme op de andere, verandert dan de bewegingsrichtig van de raaklijn, zoowel als die van het punt, en er is een zoogenaamd keerpunt van de tweede soort of mavel gevormd. Deze opmerkingen geven aanleiding tot de volgende vergelijkingen : 1, Yergelijkingen, waarbij de functien pz(p{tD) en pz=.^{s) voor geene waarde van «p en * onbestaanbar worden; de krommen hebben geene buigpunten, keerpunten of snavels. 2, Vergelijkingen, waarbij eene der functien <P (w) en j/ (#) voor alle waarden der veranderlijken bestaanbaar is, terwijl in de andere functie de veranderlijke eene grenswaarde heeft. Wordt (p {to) voor eene of meer waarden van 10 onbestaanbaar, dan heeft de kromme even zoovele buigpunten, Wordt 4f(i) voor eene of meer waarden van 8 onbestaanbaar, dan heeft de kromme zoovele keerpunten. 3, Vergelijkingen, waarbij de functien cP(to) en iK«) beiden voor zekere waarden der veranderlijken onbestaanbaar worden. W^'zea de grenswaarden van t^ en < op verschillende punten der kromme, dan bezit deze buigpunten en keerpunten; w^'zen zy ec]i-ter eenzelfde punt der kromme aan, dan heeft deze aldaar een snarel of een eindpunt, dat echter beschonwd kan worden als een snavel, waarvan de beide takken langs elkander vallen. Wij onderscbeiden derbalve in de eerste plaats deze drie soorten van kromme lynen: A. krommen zonder buigpunten, keerpunten of snavels; B. krommen met a, buigpunten, b, keerpunten; C. krommen met a. buigpunten, b, snavels. Berust deze verdeeling op bet al of.niet voorkomen van bijzon-dere punten, — eene andere verdeeling in twee hoofdgroepen verkrijgen w\j, door op het gebeele beloop te letten, dat eene kromme bebben kan. Onderstellen wy, dat een der coordinaten to, s voorstelt, en dat de functie p = ^ (c) voor geene waarde van c onbestaanbar wordt, dan kan men den vorm bepalen, waartoe de functie nadert by het voortdurend toenemen van c, m. a. w. : men kan nagaan toe de functie wordt voor c j= ± co. En daarbij kunnen zicb twee gevallen voordoen, die wij kortweg kunnen onderscbeiden, door te zeggen: de functie kan periodisch zyn of niet; dat is, p doorloopt, bij bet toenemen van c, telkens dezelfde reeks van warden of niet. In het eerste geval zuUen de perioden der funcie overeenkomeu met de deelen der kromme, waarin de kromme dezelfde reeks van warden doorloopt; zulk eene kromme lyn noe-men wy eene periodiache kromme, Wanneer de perioden alien aan elkander gelyk zijn en bovendien elkaar bedekken, is de kromme geiloten. In het tweede geval nadert' de functie tot eene limiet, die, of oo, of eene eindige konstante waarde r, of eindelyk eene periodische functie van c kan zyn, Deze limiet stelt de ver- gelyking voor van een punt, van een cirkel met eindigen of onein dig grooten straal, of wel van een rechte lyn, of eindelijk van een rechte lyn, of eindelijk van een een dezer vormen. In elk geval nadert de kromme lyn asymptotlich tot een dezer vormen, en wy noemen daarom zulk eene (uymptotUche kromme. Deze ondeischeiding in periodische en asymptotische krommen kan alleen toegepast worden, wanneer de veranderlyke c tot kan aangroeien zonder dat p imaginair wordt; das op krommen zonder buigpunten, keerpunten en snavels, en op krommen met buigpunten alleen of met keerpunten elleen, als men voor de eersten de verg. pz=:iK«), voor de laatsten de verg. p = ^ (to) gebruikt. Wanneer toch eene kromme met buigpuaten periodisches is, kan deze periodiciteit uit de verg. f=:CP(to) oiet bätigen: deze zal slecbts ^^ne periode aangeven. Evenzoo geeft van eene periodische kromme met keerpunten de verg. p = if^ («) slechts ^^ne periode aan. Deze opmerkiog £:an dienen, om de verdeeliug in periodische en asymptotische krommen toe te passen, als de kromme lijn buig- punten en keerpunten tegelijk of snavels beeft. Wanneer namelijjk, tusschen de grenswaarden van w of s, p slechts een beperkt aantal reeksen van waarden doorloopt, die aaneeogevoegd eene kromme met twee eindpunten opleveren, dan kan men deze kromme be^ scbouwen als eene periode van eene periodische kromme lyn. Is echter bet aantal reeksen van waarden, die p doorloopen kan, oneindig groot, dan kan men trachten de limiet te bepalen, waartoe deze takken naderen, en dezen vorm, als de asymptoot der kromme lijn beschouwen. Het voorgaande, dat den grondslag uitmaakt van de theorie der ess Entiele vergely kenne, is in allerlei richtigend voor uitbreidig vat. Yoor al geeft de onderscheiding in asymptotische en periódischer krommen aanleidiug tot beschouwingen omtrent het verband tusschen den vorm der vergelijking en den vorm der kromme lijn, die wel de aandacht wurde mogen het gezegde op eenige kromme lignen, die mögen eenige kromme lignen, die mögen eenige reden de behandeling wurde schiynen. Mögen im volgens voor het, De vergelykke Stelt de f^* involut voor van een cirkel, welks straal gel^'k is aan Jnin — 1)...2.1. Want n achtereenvolgende differentiatien geven: IS ^ = p^ = ^« «?»-! 4. 5 (« — 1) 4o»-2 + C(»—.2) W'-s + -i-....-h2iVw4-P, ~~i = p„_3 = ^/j(« — l)w'»-8 -|--5(» — l)(«^2)tt;'»*8^- ^- (7(« — 2) (» — 3) «;»»-* H-....2N, £P2 = p^ = ^(» — 1)(« — 2)...2w +*5(»-.l)(»— 2)...2, ;^ =Po =^«(« — 1)(« — 2)..;,2.1. aw Hierin beduid pn - 1 den kromtestraal van de evoluut der kromme (1), p« — 2 dien van de evoluut van deze, dus van de tweede evoluut der kromme (I), enz. Derbalve is Pq de kromtestraal van baar «-de evoluut, en daar Pq konstant is, aoo is deze «-de evoluut een cirkel, waarvan dus de kromme (1) de »-de involuut is. Stelt men in de vergelijkingen van al deze involuten «? = 0, en duidt men de waarden van p^, Pn — 1, Stelt men in de vergelijkingen van al deze involuten «? = 0, en duidt men de waarden van p^, Pn — 1, Stelt men in de vergelijkingen van al deze involuten «? = 0, en duidt men de waarden van p^, Pn — 1, Stelt men in de vergelijkingen van al deze involuten «? = 0, en duidt men de waarden van p^, Pn — 1, Stelt men in de vergelijkingen van al deze involuten «? = 0, en duidt men de waarden van p^, Pn — 1, Stelt men in de vergelijkingen van al deze involuten «? = 0, en duidt men de waarden van p^, Pn — 1, Stelt men in de Pn — 2 > • • • Po ^^^^ w = 0, aan door p'„, p'n-i, p'n-i, p'n-i, dan is p'’n-3 = 2iV, p', = Jn(n — l)(n — 2)....2.1, Hieruit blijkt de geometrische beteekenis der konstanten van de verg. (1) : zij bepalen de waarden van de kromtestralen der evoluten Voor w; = 0. Nemen wij bijv. de vergelijking p^ = to* — 3w8 — 12w« + 45w — 42, waaruit door differentiatie volgt P3= 4m?8— 9tt?2 _ 24«7 + 45, P2= 12w«— 18«7 —24, p, z=24k7 —18, Po = 24; zoodat p'q = 24, p\ = — 18, p'j = — 24. p'g = 45 en p'z: — 42 is. Daar deze kromtestralen alien met bunne niteinden loodrecbt op elkander staan, kan men ze terstond construeeren; bierbij beboort echter op de teekens gelet te worden, Merkt men op, dat in bet algemeen p« i = -- en p» - 2 = — -; — ato aw is, zoo blijkt het vooreerst, dat ^m — 1 en p«_9 gelijke of ongelijke teekens zullen hebben, naar gelang dp^i en dpn^i al of niet betzelfde teeken bebben, daar w Toor beide krommen toenemende of voor beiden afnemende is. Stelt men zieb nn voor, dat men eene kromme 1^'n doorloopt in zulk eene ricbting, dat de boek to toenemende is, dan vindt men met bebnlp van bet op biz. 8 gezegde gemakkelijk den Volgenden regel: Wanneer men langs den kromteatraal Pn hetceegt van het punt der kromme naar het krommingamiddelpunt, dan zal pn-\ betzelfde teeken hebben aU p„, wanneer men recbts, het omgekeerde, wanneer men links moet draaien ^ om op den kromiestraal pn—i over te gaan, Hier mede overgreenkomstig is in figure 1, e£?= 42 lengte-eenbeden genomen, en in bet niteinde d eene loodign ^c =r 45 geplaatst, zoodat men links om moet draaien, om yan ed op dc over te gaan. In c gaat men, links om draaiende, over op eene loodlijn ch = 24; in 3, recbts om draaiende, op de loodlyn ba = 18, en eindelijk in a, links om draaiende, op de loodlyn am = 24 over. Deze laatste is nu de straal van een cirkel. Neemt men op den omtrek bier- Tan een boog ap=z ab , dan vindt men bet punt p , waar de ontwinding van den cirkel begint, en men kan deze eerste invo- luut construeeren. Het punt c is nu een punt van de tweede involuut. Construeert men deze in baar geheel , dam vindt men de beide punten q^ en q^, waar baar kromteslraal nul is, Het punt d beboort aan de derde involuut, welke evenzoo geconstru- eerd kan worden , en die drie keerpunten r^ , r^ en fg oplevert. Ten slotte is nu e een punt van de vierde involuut. Construeert men 00k deze lyn, dan blijkt bet, dat zij slecbts twee keerpunten a?! en x^ beeft. Bit is bet gevolg biervan , dat de langer is dan boog dr^. Was p'^ juist gelyk boog dr^ geweest, dan zou bet punt z, waar p^ een minimum bereikt, in r^ liggen, en deze minimum- waarde zou nul zyn. Was echter p'^ kleiner dan boog dr^, maar grooter dan dr^ — r^fj , dan zou de kromme werkelijk vier keer- punten bebben; bebalve de punten x^ en ar^ zou er nog een keer- punt komen tusscben d en f ^ , en een tusscben r^ en r^. Was de ;= dr^ — r^fg , dan zou de kromme door bet punt fg gaan en een keerpunt tusscben d en r^ benevens bet keerpunt x^ beb- ben; enz. In de keerpunten der kromme lijn x^X2 is p^ zr 0» De waar* 14 den, die to In die punten heeft, z^'n dus de reeele wortels der yierde-machts?ergelijkking = w* — 3w« — 12w« + 45«> — 42, Trekt men dus uit x^ en or, raaklgnen aan de tweede involunt van den cirkel, en door m tvree stralen, loodrecht op deze raakl^'nen; dan zyn de hoeken, die deze stralen met ma maken, gemeten door verhoudingen van de cirkelbogen, waarop zij staan, tot den straal ma i de beide zoo even bedoelde reeele wortels. In bet punt z bereikt p^ eene minimum-waarde «, die op de beide imaginaire wortels van de vergel^'king = w* — 3io« — 12tt?« + 45f0 — 42 w^st. Maakt men p^ » lengte-eenbeden korter, dan gaan deze wortels in twee gel^ke wortels over^ gelijk aan de waarde van w^ die ps = maakt. Door p^ nog meer te rerkorten, komeH twee keerpunten te voorsch^'n, tegel^k met twee reeele wortels. Dit enkele Toorbeeld zal voldoende zijn, om de gescbikthe Id te doen nicht van de involuten des cirkels, om de eigenschappen der bogere-machen-machen-machtsgelykingen te illustreeren. Tene voordeelen biedt deze gräsische voorstelling aan boven de gräsische voorstelling met rechtlynige coordinaten. Ten eerate beeft men met bekende kromme lijnen te doen, die zonder eenige berekening kunnen geconstrneerd worden, daar de konstanten der vergelijkke kunnen geconstrneerd worden, daar de konstanten der vergelijkke kunnen geconstrneerd worden is eene bogere-machen-machtsvergelijk en elke hoogere-machen-machtsvergelijk is eene volnut van den cirkel. Ten tweede beeft men, bebalve van de n^ machenvergelijkke, tevens een beld van elke der daaruit afgeleide functien in de n — 1 eerste involuten des cirkels, welke functien in de tbeorie der vergelijkke kunnen geconstrneerd worden. Ik stel m^' voor ook dit onderwerp in een later opstel nitvoe* riger te bebandelen. Yoor bet oogenblik bepaal ik my tot de volgende opmerkingen. Gelyk de eigenscbappen der boogere-machtsvergelykingen in de involuten des cirkels eene nienwe geometriscbe beteekenis ver- kr^'gen, zoo leert omgekeerd de tbeorie der vergel^kingen eigen* scbappen dezer kromme l^nen kennen. Verdryft men byv. nit eene vergelyking den tweeden term van bet tweeden id, door «? = «>' — -• -; n A 15 te stellen, dan komt er eu hiernit leidt men door n — 1 differentiation af p^ = ^'«(ii — 2) 3.2 w\ Daar voor «?' = ook P| = is, zoo ziet men, dat het ver- driJTen van den tweeden term deze beteekenis heeft» dat de hoofdrichting verlegd wordt naar het pnnt, waar de ontwinding des cirkels begint. Geeft men verder aan pn eene willekeurige waarde, dan is de som der wortels van de yergelyking = AWn + Cw'i«-« +...+ Fio' +Q'^p^ geiyk Nun, en das ook de som der daarmede overeenkomende waarden van P|, dewi^jl p, = ^if (« — 1) (« — 2)...3. 2 to* is. Wy hebben dus de volgende eigenschap : Wanneer men in de n^ involuC des cirkels n punien zoekt, toaarin de hromiestraal dezelfde waarde heeft^ dan tal de alffebraisc^e som der hramiedralen in de overeenkomsiige punien van de eerste involuut gelfjk nnl tijn. Om den den den den vergel^'king te verdrigven, moet men t^ = fo' 4- ^ stellen, zoodat 9 een der wortels is der vergel^'king ^»(»-.l)(|)t+5(»— 1)<J)+C=0. Differentieert men de daardoor vergelijking Pn = il V" + -5'w'«-i + 2>'w'«- s 4... 4. Fw + Q' » — 2 maal, dan komt er Pj = u^'ii(«~l)(>i — 2).;.3w'« + 5'(« — l)(yi — 2).7.3.2 »'; waarnit ten eerste blykt, dat voor w' ^=.0 ook p^^^^^ ^^^ ^^ dus bet verdr^Ven van den derden term neerkomt op het verdrän van de hoofdrichting naar een der pnnten^ waar de oni> winding der eerste involuut begint. Voor » =r 8 heeft men verder : P2 = 8^V« + 25'»'. Noemt men de drie waarden van 19% die dezelfde waarde van P3 opleveren, «| ^, y^ en de drie overeenkomstige waarden van p^ («)p2» (P)Pa» (y)Pif dan is («) Pt = 3^'«« + 25'«, (P)p, = 8^'0« + 22?'P, (y)P2 = 3^V* + 22?'y; 16 de som der prodacten, twee aan tiree genomen, is geljk 9 J' (««^« + ^V* -+- y*«')+ 6 A 16 de som der prodacten, twee aan tiree genomen, is geljk 9 J' (««^« + ^V* -+- y*«')+ 6 A 16 de som der prodacten, twee aan tiree genomen, is geljk 9 J' (««^« + ^V* -+- y*«')+ 6 A 16 de som der prodacten, twee aan tiree genomen, is geljk 9 J' (««^« + ^V* -+- y*«')+ 6 A 16 de som der prodacten, twee aan tiree genomen, is geljk 9 J' (««^« + ^V* -+- y*«')+ 6 A 16 de som der prodacten, tw (9)3 + PV + y'« + 4.5' («9 + y'« + y»). Maar « + ^ + y = — en afi + Py + yazr^O, waaruit volgt : «'j3* -f |3*y* -h y V = 2«j3y. — en al32 -|- ^y* + y«« + ««P + ^V 4. y2« = _ 3«j3y, zoodat de zooeven berekende som van producten wordt: l%A'B\a^Y — ISA' B'apy = 0. De geometrische beteekenis dezer uitkomst wordt door de Tolgende stelling uitgedrukt: Wanneer men uit drie punien van de derde involuuté toaarin de kromtestraal dezelfde waarde heefty raaklijnen trekt aan de iweede involuif en in deze raakpunten weder de krowiUaeralen, dan U de som van de producten dezer stralen, twee aan twee genomen, gelrjk nul, Opmerkelijk zijn nog de volgeude betrekkingen. De vergelyking der tweede involuut heeft, na verdrijvmg van den tweeden term, en in de onderstelling dat w^ de eenheid tot coefficient heeft, den vorm p j = «?* + a, waaruit Pi = 2a?. ^ Duiden wy de waarden van pj voor P| = aan door p', en de waarde van w voor Pj = door w^, dan vindt men achter-eenvolgens p'znz^. De vergelijking der derde involuut schryven wy aldus P3 = «?'-!- Saw + 25, waaruit p^ = 3w* + Ba, p^ = ew ; en wy noemen p'3 en p^ de waarden van pj voor p^ =:i en p^ = 0. OnmiddelKj k blijkt het dat p'3 = 26 is. Substitueert men de beide wortels der vergelyking = 3w^ -f- 3a in pg r= tt>^ -(- Saw + 25, dan vindt men twee waarden van p'3, die wij zullen onderscheiden door («) p^ en (P) p%, "Wij willen echter slechts de som en bet product dezer waarden bepalen, en dit kan op de volgende wyze gescbieden. Zyn « en j3 de wortels der vergelyking = 8w« + 8a, dan is 17 («) P% • (P) f % = «'0^ H- 3a«P («« H- p«) + 25 («» + ^«) 4- 9a«A^ 4- +. dab (« -f. /3) -f. 452. Maar + p = 0, «(3 = a, waaruit «* + (3* = 2a, a» + P» = 0; dus wordt («) p% H- (13) p% =: 4^, («)P%.(P)p%=4a3 + 4i2. Nu is volgehs de formule van Cabdanxjs derhalve Op dezelfde wijze kan men trachten de waarde van 10 voor p^ = uit te drukken in functie van p'^, p'^ en p''^, dat zijndo waarden van p^ voor p, = 0, pj = 0. Wy schrijven de vergelijking van de vierde iuvoluat aldus p^ = «>* -I- 6aw^ + S6w -f- c; en vinden door drienuial te differentieeren P3 = : 4k?3 -h 12a70 4- 85, p.2 = 12^2 + 12a, Pi = 24^, Terstond blijkt, dat ^\z^c is. Noemen wij de wortels der vergelyking = 12«?2 H- 12a «i en, dan is («) p'4 = «* + 6aa* + 85« -f- c, (^) p% = P* + 6aP« + 85p + c. In aanmerking nemende, dat « + P=:0, »& = a, en dus a« + 0« i= — 2a, a8 + |38 = 0, a4 + ^* = 2a« is, vindt men («)p^+(«p^=2c-loa^ («) P% • (P) P% = c3 — lOa^c + 26a^ + 64a^. Noenen wij ten slot 7, 2, c de wortels der vergelijking = 4«?« + 12aw 4- 85, dan is (y) p' ^ = y* + 6ay* + 85y + c, (J) p"^ = i* + 6a3« 4- 85J + (?, («) p''4 = s* + 6at« + 85e + c, 2 18 en y-(-5-H6=:0, y$ -f 5€ -h fy= 3fl, y$i = — 26; waamit nog de volgende betrekkingen worden afgeleid y« + 32 -f- g2 -. _ 6^ ^ yS^a ^ 3*g8 j^ g2y2 _ i8a«, y3 ^ 33 ^ j3 _ _ 65 ^ yS^S ^ 38g3 ^ gSy3 -- 12^2, y* + 5* 4- 6* z= 1 8a3 ; y*5* -f- 5*g* -f €*y* = 8la* 4- 48fl«« ; y25 4.52g 4.€V H-y52 4-5g2 +€y« = G5, y35 ^.JSg^gSy ^yp ^5g3 ^ gyS = _ 18fl2, y4j ^ 54g _^ |4y -f- y54 -|. ^g* -{- «y* = — ISo^, y*52 + 5 V -f- €*y^ + y'^* + ^*«* -^ fV* = — ISo^, y*52 + 5 V -f- €*y^ + y'^* + ^*«* -^ fV* = — 54a8 — 124. Met inachtnemem em voor de som der drie waarden van p^'^^ voor de som der prodncten twee aan twee en voor haar gedurig product, de volgende uitdrukkingen 2 (p^' J = S(c — 6a2), 2 ip'U • ^"0 = 3 (c2 — 12a^c 4- 27a* + 72ab^), Berekent men aan de andere zijde w^^, dat is de waarde van to voor p^ =, met andere woorden, lost men de vierde-machts* vergelijking := «?* -{- Saw"^ -I- Sbw -f- c op, dan beeft men als 5?,, ^3 en rg de wortels zijn der vergelijking ^ -h I2az^ 4- 4 (9a2— c) j — ^« = 0; terwijl bovendien iZ-^i-^g^s = — h moet zijn. Nu is .3 ;5 = — 4a + 2 r fl3 -« ^c 4. 4^2 4. /^(flS _ ^^ 4.4^«)2_ i(3fl2^^)3 4- 2 ra^—aC'\'U'^-^l/{a^ — aC'\'U*f^^J^a^-4rcf. 27 Ofscboon het mij niet gelukt is, w^^ op soortgelijke wijze in funct ofscboon het mij niet gelukt is, w^^ op soortgelijke wijze in funct ofscboon het mij niet gelukt is, w^^ op soortgelijke wijze in funct ofscboon het mij niet gelukt is, w^^ op soortgelijke wijze in funct ofscboon het mij niet gelukt is, w^^ op soortgelijke wijze in funct ofscboon het mij niet gelukt is, w^^ op soortgelijke wijze in funct ofscboon het mij niet gelukt is, w^^ op soortgelijke wijze in funct I van p%, p%, p% nicht te drücken, als w" in p g, p'g, en als v)^ in p\\ zoo meende ik tocb de daartoe strekkende berekenin-gen niet te moeten achterwegen laten en te mogen w^'zen op de ommstandigheid, dat de grootheid onder het vierkantswortelteeken, uitgewerkt zijnde, wordt _ -- (c3 — 18a V 4- 216a52c 4- 81a*c — 4325* — 21^aH% dat is just _ _ 2 (p'%. p'%. p'%. 19 te eemvoudigste IsrommingsweMiem. I. In den aanvang van dit opstel noemde ik de logarith-mische spiraal als ecne der eenvoudigste kromme l^nen na den cirkel, omdat- de kromtestraal bij gelijke toenamen van den boog 9 dezelfde vermeerdering of vermindering ondergaat. De krommingswet dezer krommen wordt uitgedrukt door de vergelijking van den eersten graad tusschen p en p= Js + JB. Voor «=: — •- is p = 0, Verlegt men den oorprong naar dit punt, dan wordt de vergelyking eenvoudig p = a* ;..(!) Door differentiatie vindt men, daar — :=: is, da p p.i = (7pj.. 7.... V.. (2) en door integratie van de differentiaal-vergelijking dw verkrygt men p = Ckfi^ ; waarin de constante C de aanvangsrichting bepaalt. Laat men haar wegi dan is e(^ = voor A = l^ en dus voor « =— ; en men heeft a eenvoudig p = e***. 7. V • • (8) Integreert men ten slotte da dw en neemt men in aanmerking, dat, voor «=:0, «=— is, dan a komt er « = -c«w;.. 7.. '... 7. (4) a Uit het voorgaande vloeien de volgende grootendeels bekende eigenschappen der logarithmische spiraal voort, 1. Stelt men in (3) «? = ± oo, dan wordt P = oo en p = 0. De kromme is dus asymptotisch ten opzichte van w; zig nadert aan de een cirkel met oneindig grooten straal en aan de andere zijde een punt. Voor «? = -h oo is ook « = -h oo; maar voor t^ = — oo is « =: : het asymptotisch punt is dus de oorsprong der bogen. Deze oorsproog wordt nooit bereikt, of- schoonrzijn afstand tot een willekeurig punt der kromme, gemeten langs den boog, eindig is, Voor « = — oo is p = — oo, Deze negatieve waarden van 9 wijzen op een tweeden tak der kromme aan de andere z\jde van het asymptotisch punt gelegen en geheei gelijk aan den eersten tak. Deze tweede tak ligt niet in de ver- gelijking p = e«», maar in p = — e^ opgesloten. Beide takken eindigen voor «? =: — 00 met p = 0. Deze waarden van w moet derhalve als een minimum beschouwd worden. Bij den overgang van den een en tak op den anderen ver- andert dus de draaiingsricliting der raaklijn, maar niet de bewe- gingsrichtung van het bescbrijvende punt. Werd dus de oorsprong berikt, dan zou daar een buigpunt ontstaan. Wi[j drukken dit uit, door te zeggen: de oorsprong is een buigpunt in het oneindige. 2. De kromme heeft slechts 66n parameter of konstante, die op den vorm invloed heeft, namely k a. Van welken aard is deze invloed? Hoe grooter a is, des te sneller draait zich de spiraal. 3. De evoluten der kromme zijn p -. 1 = ae^^, p _« = a^e^. Daar in het algemeinen pärffpärft is, zijn dezen alien onderling en met de oorspronkelijk kromme gelykvormig; maar de afmetingen van elke volgende evolut zijn a maal zoo groot als die van de vorige, Alleen als a = 1 is, zijn alle evoluten congruent. De kromte k is evenredig met de verandering, ten opzichte kk van 70, dat is met -. Want uit dw p = e««<' volgt kzizc^f dk en -_,:^_^g— «»j dw A ^ Idk dus ]cz=.. a dw Voor a = 1 is k =z. dw 5. De involuut der kromme heeft tot vergelijking 21 1 a als men de kromme begint te ontwinden in het asymptotisch punt; zij is weder eene logarithmische spiraal, gelijkvormig of congruent niet de kromme zelve, naar gelang a niet of al gelijk 1 is. Begint men de ontwinding in een ander punt, dat 6 lengte- eenheden van den oorsprong verwijderd is, dan wordt p, even zooveel korter en men verkrijgt eene kromme, die tot vergelijking beeft p a p, = voor ic ^^^ la ad; als dus 3 = — is, wordt het keerpunt a a gevormd in het punt, waardoor de hoofdrichting gaat. Voor to = — CO is Pi = — ^. De kromme heeft dus een asymptotic schen cirkel. 