Nieuw Archief Voor Wiskunde
Wiskundig Genootschap (Netherlands ), Stichting Mathematisch centrum , Wiskundig genootschap
46 § 8. Voor drie quaternionen heeft men volgens het voorgaande Evenzoo voor vier en meer quaternionen, § 9. Men heeft Js:(? + ^i) = ^(? -h ^i) — ^{q + ^i), of K{q -h qx)=8q + 8q^ — Vq—Vq^, K{q^qd=(8q—Fq) + i8q,— Fq;), K[^q'hqi)=^Kq^, Erenzoo is K^q^^ q^ znKq-^ Kq^, ^{^i H-?i + q^) = ^q + ^q^, enz.. Vermemigvmtdigimg. § 10. Beschouwen wij in de eerste plaats de eenbeden i^ J, k, Vroeger hebben wij reeds vastgesteld i^—j^ — k^ — ^l ij = k. Ook hebben wij aangenomen, dat het prodnkt van zulk een eenheid met een reeel getal commutatief is» Als a en ^ reeele getallen zyn, strekken wij die eigenschap uit tot het verwisselen van zalk een reeel getal met een der eenheden i, y en ^ in een gedurig prodnkt. Ald us W^ kennen verder aan het gedurig produkt van drie zulke een- heden de associative eigenschap toe. B.v. (if) kzni {jk) = ijh Wy strekken deze eigenschap ook uit tot het produkt, dat men verkrijgti als ^^n of twee van de eenheden vervangen worden door een reeel getal. * $ 11. Met behulp van die vastgestelde (of aangenomen) eigen- schappen kunnen wy verder door redeneering de overige eigen- schappen van de vermenigvuldiging der eenheden f, y, k afleiden. De voornaamste van die eigenschappen zyn de volgende. Uit ijszk volgt i (if) =:zik en dus ook (n')y= ik ^lXj = ik of t^ = — /. 47 Uit ikzzz'^J volgt (ik)ki=z — Jk, en dus ook »(*^) = — y^, of — « = — y^, of Uit jk = i Tolgt yi =y (y A) rr^"*^, en du8 ook yt = — it. Uit ji = — k volgt ^ t = — (y «) i=z^-'j (i f), en das ook ki=j\ Uit kisij volgt ^y,^ ^ (^t) = (* ^) t, en dus ook kj = — t. De gevonden formulen samenvattende met de gegevene ij = k, bebben wy ij = ^, jk:=z%^ hi =y, y» = — it, ^y= — », »ifc = — y. Wy bebben dus: als men b^ de eenbeden t, y en ^ de cycliscbe volgorde ijkij»... in acbt neemt, is bet prodnkt van elke 2 opeenvolgende eenbeden gel^k aan de derde eenheid; en als men de twee factoren verwisselt, is bun prodnkt gelij'k aan de andere eenbeid met bet teeken — ». Daar wijj volgens bet voorgaande bebben iy=— yt, jkzzz — kj ^ ki=, — ik, zoo bebben wij de eigenscbap : dat bet prodnkt van twee der eenbeden t, J en k van teeken verandert, als men de factoren verwisselt. § 12. Nemen w^ nn produkten van de drie eenbeden, waarin de volgorde der eenbeden cycliscb is: ijkj jki In elk van deze gednrige produkten mag men volgens bet voorgegende factoren vervangen, den der den der den vierkant van een beden, d. i. gelk aan 1. ijk =: y ^ » nr ^ V = — 1 : Nemen ^y nu produkten van de drie eenbeden ifjenk, waarin deze niet cyclische voorkomen : ikjf jvh^ hju In elk van deze gednrige produkten mag men volgens bet voorgaande bet produkt van 2 opeenvolgende factoren vervangen door den derden factor maal — 1. Elk der gednrige produkten is dus gelijk aan — 1 maal bet vierkant van een der eenbeden » dat is gelijk aan (— 1)* = 4-1. i hj zrzjikzn kji =r + 1. 48 § 13* Men knn de associatiere eigenschap der vermenigyuldigook uitdrukken, door te zeggen, dat men in een gedurig produkt van drie eenheden i, j oi k den tweeden en derden factor mag yervangen door Hun produkt, Paar wij yerder in een gedurig produkt van vier zulke factoren den eersten en tweeden factor kunnen yeryangen door bun produkt, en daar dit produkt of een reeel getal of een der drie eenheden i, j of k is, zoo mogen w^' ook in een gedurig produkt van vier factoren den derden en vierden &ctor yervangen door hun produkt. De associatieve Eigenschap geldt dus ook voor vier factoren. Zoo voortgaande bl^kt, dat de associatieve eigenschap der ver- menigyuldiging geldt voor een willekeurig aantal der factoren i, y en k, B^ produkten van den vorm ai X bk strekken wy de associatie?e eigenschap ook in dien zin uit, dat men aanneemt ai )c6; =iaxiX6Xj, en dus ai X6j'=^ abX i Xj :=iab x ij = c^k. § \4l Nu gaan w^ over tot de vermenigyuldiging van twee willekeurige quaternion en : {^a + hi + qj + dk){a^ + ^^t-i- c^; + d^k) = qq^ = q^. Wij kennen aan zulk een vermenigyuldiging de distribuisse eigenschap toe. Wij vinden dan voor het produkt q^zzzaa^ +a6^i +ad^k + -f- 66 1^ + a^6i + 6d^i k + 6c^iJ -|- + cc^"* -i- cdjk + a^cj -h 6^q;i + + ddijc^ -I- c^dhj -^ 6^dki + a^dk ; en daar t* znj* = ^ = — 1, Jkzuz — kj =:if W = — ik =:J, iJ == — Ji zz k, zoo heeft men qq^ =: ^2 = (''"'i "^ ^^i "" ^^i "^id"h(a6^ + a^6 + cd^ — c^d) i + + (ac^ + a^c + b^d — 6d^)j + (adi + a^d + ^i — 6^c) k, Bepalen w\j nu het produkt q^q, waarin dezelfde factoren als in het voorgaande geval, maar in andere volgorde voorkomen. Men vindt op dezelfde w^'ze als hierboven q^q ^z (aa^ — 66^ — «?| — dd^) + (a^|  4- 6^c) k, Uit de vergelijking der beide voorgaande produkten bl^kt Hieruit blijkt, dat het produkt van twee quaternionen in het algemeen van waarde verandert, als men de factoren verwi8elt> of m. tk, w,: de vermenig^uldiging der quaiernionen is i» hetalgemeen niet eommuiaiief. 5 15, Zal het produkt van twee quaternionen commutaiief z\jn, zoo is noodig en yoldoende dat men bebbe Voor de^e drie vergelykingen kan men schryven c d d b b e bed of Vq — bi ^qi^ dh = j {b,i 4- *^C/ -h ^-^dkj. Of ^^ =,^(v-^5cy+^V.) = Ar,, Wi[j heben dns in woorden : opdat het produkt van itoee quatemio' nen niet verandere met de volgorde der factoren, is?tet noodig en voldoende^ dat de vector^deelen van die quaternionen niet of sleehti door een reHelen factor verschillen. § 16. Voor het produkt van een quaternion qzzza + bi + qf + dk en zijn toegevoegden Kqz=za — hi — qf — dk vindt men a« 4- 5« -f. c« 4- (^. De som van deze quadraten noemt men de norm van q, en wy duiden die som aan door Nq. Wij bebben dus q,Xq ^=iXq.qz=iNq.qz=iNq. Daar KKq = q zoo is NKq = Nq, Den positieven wortel nit de norm van q noemt men den temor tan q en duidt dezen aan door Tq, zoodat w\j ook hebben q,Kq=Nqz=z(Iq)\ 17. Terw^l w^ aangenomen hebben, dat het produkt van drie quaternionen associatief is, voor het byzondere geval, dat die quaternionen drie eenheden (t, j of k) zijn, zoo zuUen wij na onderzo eken, of her produkt van drie wiilekeurige quaternionen eveneens associatief is. Beschouwen wy de produkten (^i)^^ ®^ 9(^«9a)* ^ocrt Dien de vermenigvuldigingen nit met toepassing van de distributive eigenschapi dan komen in de twee uitkomsten de termen twee an twee overeen in dien zin, dat die twee termen uitkomst de selfde drie reeele en drie niet-reeele factoren bestaan. Letten wy verder alleen op de drie niet-reeele factoren, dan valt daarbij het volgende op te merken: in de eerste uitkomst raoet men den factor rechts vermenigvnldigen met het produkt der twee andere factoren » ter- wijl men in de tweede uitkomst den factor rechts eerst moet vermenigvnldigen met den middelsien factor en het komende produkt met den factor links. Omdat de associatieve eigenschap geldt voor het produkt van drie der eenheden (e, j, X:), zijn dus die twee overeenkomstige termen gelijk, Daar op dezelfde wijze elke twee overeenkomstige termen gclijk zyn, zijn de uitkomst gelyk. De cuaociatieve eigemchap geldt derhalve voor het produkt van drie toillekeurige quaternion en » Geheel op dezelfde wijze blijkt, dat de associatieve eigemchap ooh geldt voor het produkt van een willekeurig aantal quatemionen. § 18. In het voorgaande hebben wijde de vermenigvuldiging der quaternionen leeren kennen als een bewerking, die associatief en distributief is, maar waarvoor de commutatieve eigenschap in het algernen niet doorgaat. In het volgende zullen wij eenige eigenschappen der vermenigvuldiging nagaan, die later toegepast worden. § 19. Als men den toegevoegden neemt van het produkt van twee quaternionen = a -|- ^' 4- <t/ H- ^-^ en § 19. Als men onveranderd laten het teekeu van de termen 4- flfli I + hb^i^, H- cci^j^ en 4- dd^k^, en men moet het tegengestelde teeken geven aan alle overige termen. Gan wij nu na, welke veranderingen men in het produkt quemet maken, om het produkt te krijgen van de toegevoegden van 9i, in tegengestelde volgorde. Vooreerst blijft de term -^ aa^ onveranderd. Van de termen 4-3^1?, -hcci^*, '•^ddijc^ veranderen de twee factoren van tee-ken, zoodat die termen ook onveranderd blijven. De termen » die onveranderd blijven, als men nit qq^ afleidt Kqq^^ blijven dus ook onveranderd, als men uit qq^ afleidt Kq^.Kq. De overige termen van qq^ en Kq^^Kq kan men in twee groepen verdeelen; elke term van de eene groepen verdeelen; elke term van de eene groepen ontstaat nit de vermenigvuldig van een reeelen term met een imaginaire eenheden vorkomen. De termen van de eerste groepen hebben in Kq^.Kq. Hot tegeugestelde teekon, dat z^ qqi hebben, daar de term met de  Met een term der tweede groep in qq^, b.v. met den term (-H ^) (-i- ^1^) • komt overreen ( — d^k) (-i- ^1^) (+ (f), Daar hxl jk z=, ^^ kj ^ zoo hebbm de termen van de tweede groep in g^i het tegengestelde teeken als in Kq^.Kq. Volgens het voorgaande hebben wy. In 9^1 en J^qq^ hebben de termen tvree aan twee yerschillend teeken, behalve aa^^ bb^fl, c(^\j^* dd^J^» In qq^ en Kq^.Kq heeft heizelfde plaats« Wij hebben dus Kqq^ = ^^^* 20. Uit de Toorgaande formule volgt Kqq^ = Kq^Kqq^ = Kq^Kq. Evensoo -^^^i^i^a = ^q^^q^^q^q 9 enz. {21. Uit Kqq^ = Kq^.Kq volgt qqi^qqi = qqi ^q\ Sq, of volgens da asso- oiatieve eigenschap qq^ Kqq^ := q (q^ Kq^) Kq ^ of h^qqi =■ q Nq^ Kq. Daar Nq^ reeel is Kqq^ z=: q Kq Nq^ , Nqq^ = ^i ^9i $ of ook %i = Tq Tq^. De voorgaande formule of (a« 4. 52 4. c« -H rf2) (fl5|«-|-34«-hc^«-f^/|*) = (aa^ — bb^ — cc^ ~ dd^)^-^ 4- {adj^ -H Oj^d + bc^ — b^cf zegt on»i Het prodnkt van twee sommen , ieder van vier quadra- ten , is weder een som van vier quadraten. Met behulp van de theorie der quaternionen bewijst men das even eenvoudig de genoemde stelling. als men met behulp van de gewone imaginairen de overeenkomstige stelling voor sommen van twee quadraten bewi[jst. § 22. Een quaternion , gedeeld door zijn Tensor , noemt men den Fersor Tan den quaternion. Wiy duiden den versor van 9 aan door Uq aldus of q = Tq.Uq. Declt men de twee leden van Tg^j = 2^.^94 beiden op 991, dan 4* <^/ tf-«< 52 Tqq^ Tq Tq^ of Uqq^=zUq,Uq^. Evenzoo Yoor drie en meer factoren. § 23. Zy Vq = bi^ql'\'dk, dan is KVq = — hi — qj ^dk \ en du8 NVq rr ^+c*-i-«P, of ( Vqf = — (^« 4- (?« -h (f«) , TVq =: |/'(5« -h c« H- ef«). Volgeni de vorige § is?7Fg = j/^*4-c*4-^ a -^ hi '{■' cf -\-' dk § 24. Wij hebben, als Uq = ^.u. u,a > 0°^^ |/a« 4- d« 4. c* -+- ^ |/(a* 4- 5* -h c*-|-(i*) ' Stellen wlj — 7-r — r^ -r- voor door Coii ^ dan is l^(a' -h ^* -h c* -h ef^) 1^(514. c»4,^) _ en wy bebben dus Uq z=zCo8 9 + Sin i. Urq, of qzrzTqiCoa^-^- Sin 9. C7F<y). § 25. De voorgaande scbrijfvrgze van q komt gebeel overeen met de schryfwyze Af (Co« d -|- &*« 9 y — 1) voor een gewoon complex getal. Men heeft in bet eene ge^^al UFq^ waar men in het andere geval i^ — 1 beeft; in beide gevallen is ecbter weer (|/_l)t__i en (UFq)^z=:—l. UFq bezit dns de eigenschap Tan y — 1, die men toepast bg het herleiden van bet produkt van twee complexe (|/_l)t__i en (UFq)^z=:—l. UFq bezit dns de eigenschap Tan y — 1, die men toepast bg het herleiden van bet produkt van twee complexe getallen. Yer- menigvuldigt men dus met elkaar twee qnaternionen q en q^^ waarvoor UFq = UFq^ » dan heeft men, even als voor gewone complexe getallen, TqiCns 9 4- Sin 9 UFq) X Tq^ (Coad^-^- Sin 9^ UFq) = = TqTq^ [Cm(9 -j- ^^)-^ Sin(l^ + ^^) UFq]. Evenzoo voor drie en mcer factoren. "Voor een willekeurlg geheel gctal m is op dezelfde wyze 9» = {Tq)'''iCo8 m6 -h Sin mi UFq). § 26. By de toepussing van de tbeorie der qnaternionen op de meetkiindef treden op den voorgrond guatemionen, waarvan het Scalair^deel nul tt, en die men tectoren noemt. Wy znllon zulk cen rector kortheidshalfe aanduiden door v aldus: Men heeft dus Tolgens de ondcrstelling 5i> = en Fr = r. Volgens § 23 heeft men JTp = — xi — yj — zk, of irp = — r, iVb = (— p«) = a;«4.y« + ;f«, Als Tv=zl, is das ook Uhzzzv^ en men noemt p dan een eenheultveclor, § 27. Volgens § 19 en de voorgaando § heeft men Kvr^ = JTrj. Kv = ( — tj). ( — p) = r|W. Eveneoo Kw^v^ = JTpj. i&i. Kv = (— Pj) (— P|) ( — p) =: — v^v^v, § 28. Volgens § 6 en § 27 is nn 25pp^ z=r PP| -|- jrpP| = PP| -h P|P, 2 FpP| = PP| -|- jrpP| = p| -|P| -|P|P| Uit deze beide vergelykingen volgt weder ^p, =: Sv^v, Fppi = — FpiP, Verdcr is 28w^v^ = vp^v^ — PjPjP, 2 A^pP|P| = pPjPj 4- TjPjP|P|, cnr.. § 29. Door het quotient van twee quaternionen qiq^ verstaat men een derden quaternion  (/|^) = a -f- *« -J- c; 4- <^^« Voert men de vermenigvuldiging in het eerste lid uit, dan kr\jgt men door gelijkstelling van a^ h^ tu d aan de overeen- komstige coefficienten van het eerste lid vier vergelijkingen, waaruit men w^ »^ y tn z kan bepalen. Om het oplossen van die vier vergelijkkingen te verm^'den, fermenigvuldigon wy Kq^ met de beide leden van de voorgaande vergelijkking. Men krijgt dan 54 q:qi = ^ = q.Kq^:Kq9 Uit dc voorlaatste vcrgelyking volgt wNq^ =:aa^ + bb^ 4- cc^ + dd^, xNqi = a^b — ab^ + c^d — cd^, gNq^ = ^4^? — ad^ -|- 3|C — 5Cj, waarin Nq^ = a^ ■+• 5^^ + c^ + ^|*. Daar wij veronderstellen, dat a^^ 5^, c^, «?j reeele getallen zijn, £00 is t^q\ alleen nul, ah men heeft a 1 = 5^ = c^ = ^^ =, of ^1 = 0. Zoodra dus q^ van nul verschilt, vindt men voor het quotient q: q\ i£n bepaalden quaternion^ \ 30, Stellen wij g := 1 in de formule der vorige § -i =:■■,-, dan krijgt men 9\ ^qi Noemt men het quotient der deeling van de eenheid door een quaternion den omgekeerden of den reciproken van dien quaternion, zoo heeft men 9\ ^qi Noemt men het quotient der deeling van de eenheid door een quaternion den omgekeerden of den reciproken van dien quaternion, zoo heeft men Volgens de voorgande formule: Den omgekeerden van een quaternion verier ijgt men, door zijn norm te deelen op den toegetoegden quaternion, Duiden wy den reciproken van q'an door Bq^ of qC'^i zoo heft men volgens het voorgaande ^ = qy- = qqr^=qBq,, Hi H^ of in woorden; men dealt een quaternion door een anderen, als men den reciproken van dezen vernoevigvuldigt met den eersten, De deeling van twee quaternionen is dus teruggebracht tot een vermenigvuldigt van twee quaternionen. § 81. Yolgens het voorgaande heeft men — • — I. In worden heben wij nu: de som van tteee quotienten, die een gimeenichappeUjken deeler hehhen is gelijk aan de aom der deeltallen gedeeld door den gemeenschappeUjkm deeler, Evenzoo voor drie en meer quotienten, en ook voor het ver- Bchil van twee quotienten. Men kan het voorgaande beschouwen ah de uitdrukking van het distributive beginsel der deeling, ten aanzien van het deeltal. Volgens § 30 heeft men verder q~ Nq, - Kq, " {Tq.f ' 9i Tqi of in woorden; de tensor van een quotient is gelijk aan den tensor van het deeltal gedeeld door den tensor van den deeler. Hieruit yolgt onmiddelijk : dat het quotient van twee versor w. et Uct Uit g=— volgt Uq:zz —, daar men heeft et Tot, cc iTee, Uct § 32. Men heeft ^ ^^' qx ^9l (^9i)- of RRqx - ^^^^^,. iV ^^^^^, - ^y^^),. ^.j,^^y > q^ (%)2_ of R i^qO = 91 ; of in woorden: de reciproke van den reciproken Vivan een quaternion is deze laatste zelf. Yervangt men nu in de formule - = qRq,, q^ door Rq^ en dus Rq^ door q^, dan krijgt men q Rq^ of in woorden: in plaats van een quaternion te vei-menigvuldigen met een anderen, mag men dezen (vermenigvuldiger) deelen door den reciproken van den eersten, § 33. Volgens het voorgaande heeft men even als voor reeele 56 1 q getallen ^, — == i, terwnl in bet algemeen —. q verschilt van ~. Men beeft ook volgens de associatieve eigenscbap 9 9i 1 i I 9 —,- — 9. —, ^^,— =r o. — =r —, 9i 99 9i 9i 92 99 of ^.ii = i. 9i 92 92 94 9 oven als voor reecle getallen ; terwijl in bet algemeen ^ . — ver- 92 9i scbilt van —. 9i Evenzoois l.^-«.2?=.l 9i 92 93 93 {31. Volgens de voorgaaude § beeft men i.?i = l en ?i.^=l. 9i 9 9 9i Merken w^ verder op, dat men beelt 221 = 1:1. 9i 9i Yolgens § 29 is bij deze deeling R-^ een quaternion, waarvoor 9i men beeft (r^].^=:1, \ W 9t en dit is volgens bet voorgaande waar, als men JB— vervangt door 9i 9f 9 ^« Daar verder i2-^ volgens § 29 slecbts den bepaalde waarde 9 9i beeft, zoo is iZ 1=1*, 9i 9 of in woorden : mm verhnjgt den reciproken van het quotient ran twee quaternionen, ah men deeler en deeltal terwiaselt, § 35. Yolgens §  der quaternionen m het quotient van twee breuken, die een zelfden noemer kebben^ gelijk aan den teller van het deeltal gedeeld door dm teller van den d^ler. 67 § 86. AU V en v^ eenheiditedoren zijjii, heeft men — = ©. Kv^ = V . (— 1?|) = — W|, of in woorden: ^1 quotient van twee eenheidsvectoren U het tegen* gestelde van het produkt van den deeler vermenigvuldigd met het deeUal, Verder heeft men voor eenheidwedoren V K — =ir( — W|)=: — Kvv. == — v.v, rj * * ' 28l'Z=z^{vv,^v,v)\ 2F — = — Wi 4- ^\^» § 37. Door deze drie formulen worden K, S en V van een quotient van eenheidsvectoren uilgedrukt in prodakten van die- zelfde vectoren. Men kan ook omgekeerd K^ B tn V van een produkt van eenheidsvectoren uitdrukken in quotieuten van een- heidsvectoren. Dartoe vergange men in de drie voorgaande formuleu — door — rp,, W| door — en t^v door Men krygt dan voor eenheidsvectoren Kw^ =: — > V IBvv^ = — \v^ V| P| V Volgi ens de voorgaande § heeft men \ 2Fwi = — '{vv^ -hi £venzoo 25-^= — (»tP + t^t't), en dus heeft men v V Vm voor twee eenheidsvectoren 8 — =. <S —. r| V Deze laatste vergelijking gaat niet door voor willekeurige vecto- 58 ren. Men heeft dan '^a^^ m'^Jm' Uit deze twee vergelijkingen volgt, daar '^'jTa^^ '^'fj~> {TFordt vervolffd.) KLEINERE MEDEDEELINGEN.  U, J, RINK. Het geval der bewegig van een omwentelingslichen op een plat vlak, heeft meermalen het onderwerp van beschouwingen usgekommen. In Jullien's Problemes de MScanique, II, P^g. 170 — 198 en in Schall's Theorie der Bewegung und Krafte, Seite 851 — 801, worden verschillende voorbeelden van dergelijke bewegig voorbeelden van dergelijke bewegig voorbeelden. Ook vindt men de literatur van dit onderwerp daar vry volledig opgegeven. Het geval echter, dat bier behandelt zal worden, wijkt in tweerlei opzicht van dat gewon af; vooreerst zijn bij den halven kegel niet, gelyk bij een omwentelingslicbaam, twee der hoofd-traagheidsmomenten gelijk; en daarenboven rust het lichaam volgens cene lijn en niet, zooals bij een bol of een tol, met un punt op het horizontale vlak. Het gevolg hiervan is, dat het aangrijpingspunt der reactie van het vlak en daardoor het Hiomeuf der ophet lichaam werkende uitwendige krachten niet ingevoerd kan worden. Wei zegt Sohell in zijn aangehaald werk, Pag. 849, dat in dit geval „die Widerstande in alien Punkten parallel sind „und sie eine Einzelresultante haben mit bestimmtem, aber von „Gerade zu Gerade wechselnden Angriffspunkte", doch dit beteekent niet veel, wanneer men door onbekendheid met de betrekkelijke grootte dier evenwijdige weerstanden de ligging van dat bepaalde aangrijpingspunt niet aangeven kan. De beweging van het lichaam zal gesplitst worden in die mn bet zwaartepunt en die Om deze te bepalen, nemen wäre wäre assenstelse aan; keine vast, bet undere zich bewegende met het licham. Het Vlak van het eerste valt samen met het horizon tale Tlak, werde het licham zich bewegte: de oorsprong kan willekeurig gekozen worden, lerwijl de richtig der assen in dit vlak nader aangegeven zal worden; de positive Z-as heeft eene richting, tegengesteld an die der zwaartekracht. Het andere assenstelsel heeft zijn '^ oorsprong in het zwaartepunt van het licham en de i'-, 1 '-, Z'- assen vallen samen met de hoofdtraagheidsassen van het licham. De bewegigen van het zwaartepunt wordt alzoo bepaald door de codrdinaten van den oorsprong van het bewegelijke ten opzichte van het vaste assenstelsel : wij zullen ze ^, 9 en ^ noemen. De bewegig om  dat den kegel middendoor gedeculd het, terwijl de derde, de l^'-as, loodrecht op het vlak van de beide dersten staat. Noemen wij de traagheidsmomenten om deze X'-, r*-, Z'-assen respectievelijk J^ B tn C, zy r straal van het grondvlak des kegels en h de hoogte, dan is ^="(fo'*-r.)' De krachten, die op het lichaam werken, zyn de zwaartekracht en de reactie van het vlak, die beiden evenwijdig aan de Z-as z\JD, Derhalve is voor de beweging van het zwaartepunt -^ = en -T-, = 0, diis I = «/ + ^u; y.= i, <| = «/ + V dt'- - • -U. ^( 61 a en 3 beteekenen de aanvangasnelheden van liet zwaartepnnt in de ricbtingen van X- en JT-as. Nemen wij aan, dat bet licbaam vankelijk in rust is, dan worden deze = 0, en zoodat bet zwaartepnnt zicb alleen bewegen kan op de verticale lijn, die door den aanvangsstand van bet zwaartepnnt gaat. Was - de aanvangssnelbeid van bet zwaartepnnt niet ==, dan zonde de borizontale beweging van bet zwaartepnnt recbtlijnig en een-parig zyn. Beschouwen wij nu voor de verticale beweging ran bet zwaarte-pnnt de doorsnede van den kcgel met een vlak loodrecbt op de ^'-as en gaande door, bet zwaartepnnt van bet licbaam. In de figuur (2) is nu EO de snijlijn der XT- en X'JT'-vlakken en dus LKEQz=:LOKM=z<p en L^^^=Z-XiO = 9-, en L QENz=z^ (EN evenwijdig aan OX), l=z8Ci=zKB^ XDrz:- r Sin ^ ^ SK Cos SKD z=z 4 3 r = - r <Si» 9- SinB'.CosCb. Noemen wijj /?, 9 en « de snelbeden van rotatie om de assen X' y JT en Z^, en T de levende kraebt van bet bewegende licbaam, dan is 2T=i J^ -h J5j* -+- a« 4- «» ('^\. - Om deze waarde van Tin onze veranderl^ken d-, ^, 4^ uitte- drukken, maken wij gebruik van de bekende vergelgkingen p = Sin B-.Sin^ -— 4- Cos -—, at at qzr Sin^,Cos0 -J- — Sin ■--, at at d^ d0 s == CosB- 1- -^. Dat de JBgnur blijkt nu, dat tg^zn^ en dus -—=0; verder T dt dat de boeken, die wij en \|^ genoemd bebben, 180^ kleiner z\jn, dan.de in bovenstaande formulen gedacbte. Alzoo wordt d^ d^ p :=: — Sin^.SinB"-' ^ z= — Cos 0, Sin B- —, at dt s =i CosB — -h -^, dt^ dt ' 62 dl n ^ dt d£ dl \ T* /\di/ Is de annvankelijke waarde van ^zt^^q, dan is, daar dezwaar* tekracht alleen arbeid verricht, de, ter verkryging deter hoeveol- heid levende kracht > verrichte arbeid A = mg^ Sin 2- {Cos — Cos ^q), loodat wg als eerste verzelijking hebben A=zT, Img^ Sin ^{Cot — Cos (Pq) =, ^*y -f- £ene tweede vergelijking tusschen ^ tn \ kunnen wi|j Tiuden door gebruik te maken van La GBAiiaE's algemeene bewegninga- vergelijkingen. Daar wy ^ door de voorwaarde, dat de halve kegel op het horizontale 176 Vlak moet blijven liggen, uitgedrakt heben in functie van en, mogen de coordinaten, d-, i{f, {» V als onaf hankelijke beschoawd wordenj en mogen wy die bewegingsvergelyking op ^ toepassen. Volgens deze is -j^ | /^f,^^ j :=:::.--- -f. --., \^/ %T %A Nu zgn, blijkens het voorgaande, tt ®^ rr l>eiden gclijk 0, en is de vergelyking terstond te iutegreren, zoodat IT di z=,2{ABiffl(p.Sufl^J^BCos^(P.Siffl^-\-CCos^(P)'^'^ dt m ^ d(h -h2C Ob#»~-= Const, dt Daar by den aanvang het lichaam in rust onderstelJ wordt, d^ d0 is — tegelyk met -— = en wordt onze tweede vergelijking dt dt 6d — C Co8 a-^ = {A Sitfl $.8iu^ B'hBCo8^<fy.8iH^^'^CCo8^^—. at dt In het algemeea laat zich aantoonen (J a.cobi- For lesunpen iiher Dynamik ^ Pag. 66), dat wanneer men een der onafhankelyke coordinaten zoo kan kiezen», dat deze niet voorkomt in de uit* drukkingen voor T tn A^ gelijk hier met it- het geval was, de integraal van La Gbavqe's bewegings-vergelijking onmiddellijk gevonden wordt, en in vele gevallen overeenkomt met die, welke het „thforeme des aires" levert. Het kan eenvoudig blijken , dat dit ook hier het geval is : het bedoelde theorema mag hier toegepast worden , omdat het moment der krachten, die op het lichaam werken, ten opzichte der ^-aa = 13. Het XF-vlak is dus projectie-vlak en wy hebben Ap Cos ( OZ^ ^X,) + Bq Cos ( OZ, SF^) + Cs Coa[ OZ, 8Z^) = Comt. doch Co8.{ OZ,SX{) = — Si»^,Sin0', Cm.( OZ.SF^) = — 8in^,Co8(p ; Cos(OZ^ 8Z^ :=z Cos^: voor/?, q eu i hunne waarden schrijvende, is ^A8m^^.8iH^(p + B8in*^.Co8^0) -^0008^(003^^+^] = dt \ dt dt) Comt, =z , welke vergelyking geheel met de zooeven gevondene overeenkomt. Uit onze beide vergelijkingen vinden wij, door eliminering van —-, di mg r " C08 — Cos ^^ It) ~ 8in 3- 8in 3- 9P C(ASm^(p -hB Cos^(p) r* ASifr(p,Sin^^^BCos'^.Sin^^-i'CCo8^^'*^^r^ ^^^ Uit deze vergelijking volgt, daar de uitdrukking, waarmede in het tweede lid Cos (P — Cos 0q vermenigvuldigd wordt, altijd posi- tief moet zijn, dat de niters te waarden van ^ i + 4^o en — $0 d0 zijn. Daar de wortel-grootheid, die de waarde van ~ aangeeft, di met het dubbele teeken is aangedaan, is het duidelk, dat het -t- teeken genomen moet worden als verandert van — 0q tot H-<^o; het — teeken bij de omgekeerde schommeling. De duur van de schommeling wordt uitgedrukt door de integraal ^ l/yr Sin 3- zmgr C  Volgens de uitdrukking -^ ^z,-- Sin ^.8in -j^ volbrengt ook aC w at het zwaartepunt slingeringen, waarvan de amplitade 2r w d d0 -^ = wordt. voor A = en voot -^ is; verder blykt dat -J = wordt, voor ^ = en voor -^ = 0; dc dt dus telkens bij eene veran daring van ^, van tot rt:4>o> volbrengt het zwaartepunt eene slingering, waarvan de slingertyd Vj^bedraagt, Een derde reeks van scbommelingen wordt door de hoek ^ volbracht: immer noch de vergelijking ^_ C CosB- d^ dt~~ A Sin* Sin* ^ -^^ B Cos* (p.Sin* 3-+ C Cos* B''Tt dif volgt y dat -yr ^^^ teeken verandert en wordt, wanneer dit ook dt d(b met --- geschiedt, en derbalve de schommeiingen van i|^ isochroon dt d^ d$ syn met die van 0: :r- en --7 bebben verder altyd  -f- C C7o«« 3- en 4; =r 4»0 + De amplitade dezer scbommeling van is dus CosBl/{Atff^B-^C){Btgi^i^C) ^ ^\ A.tg^B + C'^^J De beweging van het licbaam is dus, zoowel voor ^ als voor en «|i tusscben bepaalde grenzen beperkt. Trachten wy ons eenigzins een denkbeeld te maken van die beweging. Het zwaarte- punt bewegt zich in verticale ricbting op en neder over een 2r afstand — Sin B-. De hoek = MEN ligt in het vlak XOT zoodat wg ona de Terandering van i|r yeroorzaakt kunnen denken door eene draaiing van het lichaam om de Ign, die eyenwijdig aan OZ door 8 gaat : eene positieye draaiing voert OX naar OT. De draaiingen om deze beide assen laten ricli gemakkelgk tot een enkele temg* Toeren. Immers volgens bekende regelen moet die as gelegen sgn in een vlak evenwgdig aan de OZ- en ^^'-richtingen, en daarby den atompen hoek tnssohen die beide richtingen in twee deelen verdeeleni waanran de verhonding der ainnssen ia de hoektnelheid om deze as is De beweging van het lichaam is dus tertiggebracht tot eene bew^ng van het swaartepunt en eene draaiing om eene as, die door het zwaartepnnt gaat en voortdarend van plaats Terandert. De meetkandige plaats van de standen van deze as in het  gevallen ordreuse wärmy de beweg, wel van denzelfden aard blig, doch de unklingen eenvoudigor worden. Stellen wg in de eeraie plaats B-^zdO^, waarbg ooze halve kegel in een halven ciHnder overgaat. Passen wg dit toe op onze nitdrakking voor ifr, dan kr^gen w\j ^ ^=:^q, zoodat de aan-raking8*beschrgvende lijn zich evenwgdig aan zich zelve verplaatst. d0 Uit de waarde van y verdwgnt verder J en B, zoodat het di voldoende is, gelgk ook op zich zelf blgkt, eene doorsnede van den cilinder te beschouwen. Wy vinden dan di r C r« SU^ m ar* 5 66 de mplitude van de Blingering, die het swaartepunt maakt, is 2r. — Sin^ Vs^o* Onderstellen wij hierb^ nog, dat ^ een kleine hoek is, zoodat hoogere macbten dan de tweede van verwaar-loosd mogen worden, dan vindt men door integratie toot den tiyd van eene scbommeling. (Zie JuLLinr, Froblimei de M^samgue^ 11, Pag. 168.) Dit bizonder geval is door Itet Wisknndig Genotsebap ab PrysTraag N». 12 voor bet jaar 1878 gesteid. Bebouden wig nu in de tweede plaats den kegel en Toeren wi|j desen de voorwaarde in, dat klein is, zoodat de derde en boogere macbten Yan 4> verwaarosd mogen worden. W\j yinden dan — f o waaruit na integratie i. r {B — J){{BSin^^^^CCo^^^'-^C*Co^^]. M^ J I "*"L 4BO{BSin^^+CCof») "*" 16 J** j Houdt men in *t cog dat (^«-^=r-^ is, dan bljkt dat ook deze uitdmkking, door &z=zW^ te stdlen, overgaat in do waarde van T, Toor den balven cilinder gevonden. HERLBIDINQ VAN DE FORMDLB VAN CORDANUS IN H£T ONHER ONHER LBIDBARB GEVAL. Door Dr. A. BBNTHEM Qtm. Zijl de derdemachtsvergelijk door alsdan xz=zjf^g te stellen > yerkr^gt men twee vergelijk gen ter bepaling van de waarden van y en g^ welke vergeiykingen aangeyen » dat y* en de woriels z^n van de vierkantsyergelijk Die worteb >|)ii 2^ 4^27 2^^ ■ 4 27' 4 27 of wanneer men = Boog Tg stelt, en in aanmer- Daar voorts de verwissellijk van y en ;? geen invloed heeft op de waarde van x, kan men en «= r^^{Co9^^i/ — l^Sin^) nemen. Zgn nu de waarden van y en ;?, die hieraan voldoen, t/i» y% ®ii ^t* ^ft on ;?9; en z|jn «, a* en 1 de derdemachts-wortels der eenheid, en dus « = 1 {Cot 120° -h |/^^~ &*» 120°| en «« = I (Cos [— 120°] 4- ^/^^HT. 5i« [— 120°]). dan is „ = #^-|(c<«|+^^— 5«.|j y. ~ ^^(^<~| + »^- A-*» tV = = ^— ^(oott + y'^.Sim ^^ {Cot 120°> y. ~ ^^(^<~| + »^- A-*» tV = = ^— ^(oott + y'^.Sim ^^ {Cot 120°) y. ~ ^(^<~| + »^- A-*» tV = = ^— ^(oott + y'^.Sim ^^ {Cot 120°) y. ~ ^(^<~| + »^- A-*» tV = = ^— ^(oott + y'^.Sim ^^ {Cot 120°) y. ~ ^(^<~| + »^- A-*» tV = = ^— ^(oott + y'^.Sim ^^ {Cot 120°) y. ~ ^(^<~| + »^- A-*» tV = = ^— ^(oott + y'^.Sim ^^ {Cot 120°) en y, = ^-| ^<7« | + y^=T. 8i» |) «• = — A'_|^(7m|+^/-^TSmi |V<7(»[-120<>]+|/'^.5i»[-l20«])= VoorU '.=^3l(-!-ll-'=^-*-I-|]). + p^-^l. Sin 120«) = = ^- 1 [<?o. (- 1 + I20o) + i^-=r\. Si» (- 1 + 120»)]. ^'^f^'" ["IJ <" >^"^ "«» [- II ) (<7<» [ - 120«) + + j/^^. 5m [— 120»]) = Nu moet echter het prodakt der b^eenbehooreDde waardenvan y en gelQk zyn aan -*§§ soodat men alleen de Tolgende stellen waarden beeft 69 derlialve na sabstitutie *. = ^- f [co. ^1 +'120«) + p^=rT. Sin \^ + 1200)] + + ^- f [c<» (- ^- 1200) ^ j^zrr. 5« (- 1 - i2o«»)] = en *. -= ^- f [^«(|- 120«)+>/'=T. W|- 120«)J + ■*" ^~ 8 [^'"f— 1+ 120»)+ >/':ri:5»^_ 1 4 69 . i20o| -. = 2A'-|.C«(|-120<>)j waarin ^ de borei) opgegerene waarde heeft. GESCHIEDENIS EN BIBLIOGRAPHIE DER WISKIJIVDE. lETS OVER DB QUADRATUUR VAN SIMON VAN DER EYCKK EN HARE GEVOLOEN. DoeB D. BIERENS DE UAAN, 1. Het kan misschien vreemd scbijnen, dat in dit nieuwe t^dscbrift, aan de Wisknnde gewijd, een stuk wordt opgenomeDy dat betrekking beeft op bet reeds zoo lang Terledene — en dan nog wel oyer een onderwerp, dat gescbrapt pleegt te z^'n Tan de l^jst, de lange l\jst van zaken, waarover een wetenscbappel^jk onderzoek gewenscbt kan worden. Wat de laatste tegenwerping betreft, z^j al dadel^'k bier opgemerkt, dat bet minder tav sbb Etokb's qnadratnnr zeWe betreft, dan wel de belangrijke onderzoek gewenscbt kan worden. En wat de eerste opmerking aangaat, er zyn in bet algemeen zoo.vele dwaal- begrippen in omloop ten opzicbte van yroegere tijdperken in de © wetenschaft; deze zijn wel yoomamelijk ontstaan door bet nascbr^yen yan eenmaal genite meening. zonder beboorl^jk eigen onder- zoek omtrent bare waarde, betz^ dat de bronnen niet ten dienste Btonden, betzij dat bet veel gemakkel\]ker is een ander na te scbr^'yen, dan zelf te onderzoeken. En is bet in bet algemeen waar, dat de gescbiedenis der wisknndige wetenscbappen nog yele leemten, yele scbeve yoorstellingen bevat, vooral geldt znlkszeker yan die oyer onze gewesten, waaromtrent nog eigenl^k zooweinig bekend is, en waarb^ dat weinige Dog dikwerf uit yerkeerde opyattingen, zoo niet yalscb yoorgestelde feiten, bestaat. B^' een anglössige ingesteld onderzook omtrent bet yermelde onderwerp is de waarbeid van de laatste opmerking maar al te zeer^ gebleken, en is^n er teyens eenige feiten voor den dag gekommen did Tan belang gerekend mogen worden voor de geschiiedenis der wisknndige wefenschappen in de Nederlanden. Hiermede reken ik de opname van dit stukje genoegzaam yerdedigd; mocht dit diokje anderen aansporen om op dit Teld yerder te arbeiden, er is, meen ik, oyeryloedige oogst te yinden. Ten einde dit opstel niet te yeel omyang te geyen, worden de tittels der aangehaalde boekwerken slecbts yerkort gegeyen; de ik, die belang mocht stellen in deze bibliograplielsie bijzonder-heden, kan de titels yinden in de „Aanteekeningen" achter mijjne „Bonwstoffen yoor de gescbiedenis der wis- en natnnrknndige wetenscbappen in de Nederlanden', opgenomen in de Verslagen en Hedelingen der Eon. Akademie van Wetenscbappen, afdee* lingen Natunrknnde. 2. Het is yoor ons eene gelnkkige omstandigbeid, dat op deonderzoekingen omtrent de cirkel-quadratunr in yroegere t^'den door bet wetenscbappelijk pnbliek niet zoo laag werd nedergezien als tbanS| en yoorzeker nu op goede gronden, bet geyal is. Niet alleen tocb, dat deze afdwalingen op bet yeld der wetenscbappen te wijten waren aan mannen, die oyerigens gnnstig bekendwaren, maar boyendien wekten zij anderen ten strijde op: en daaronder kiet selden de yoorgangers op bet gebied van  werd. Znlke werken, al bracbten zij zelye de wetenscbap niet yooruit, werden dan op die wijze brandpunten, waarnit nieuw licbt straalde op de wetenscbap zelve. Yoorsd geldt dit van znlkonderzoek van vroegeren tijd: want in latere jaren werd zulk licbt al zwakker en zwakker, omd At de gunstige omstandig beden en voor deelige voorwaarden, daartoe noodzakelijk, ontbraken. In bet einde der zestiende euw schrecken Schreiben yah disb Etokb zulk een werk ^j^Quadraiure du cercle, Delf, 1584, 90 bladz. in 4P*'>. Deze werd ook naar bet gebraik dier tijden, Simon du CHissKBy SniON it QuBBOU genoemd; maar was niet dezelfde — zooals 0. a, MoirruoLA in zijnne *„Eistoir€ dea recherckes 9ur la quttdraiure dm cercle, Paris 1754i, 8^, (2e Ed. Paris 1881, 8<^,) beweerde — > als zijn naamgenoot Sihoh Bbajbakt a Quebof. f) tiet teeken * daidt aan dat dit boelge ia mijn bezit 'lA, geboren te Brussel, Orobestmeester onder LoviB Seob2a te Weenen, waar hi^ schreef het gunstig bekende.„Opwculum Mu- nces de Oregoriana ei Mgurativa et Contrapuneto Simplici^ in 4^." (2« Ed. Landshut 1518, S^*.) Onze TAN DEB Eyokb kreeg in 1595 octrooi toot zijJDe „van de Oost- en West-yindinghe"» eene der oplossingen toenmaals van bet vraagstuk der leng 73 Te op zee; en yerkreeg in 1603 zulk een octrooi Toor een nieuwe molen. Hiy sohignt een vnrig Calvinist te z^*n geweest en missbien daarom is b^', of lie?er nog, zijn zQne ouders naar ons land geTlucbt. Overigens konde ik niets omtrent bem vinden, dan dat b\j te Doles geboren is, zooals ook nit eene later te vermelden woordspeling zal bljken. 3. Yak dsb Etoke begint z^'n boekje aldus. GOMBINQYE quelques vos oni a firmi, le cercle a peuvent mettre en parfaite quarrure, entre lea- qui est que ce qu'est égal a vue. Il est Aristote, lequel do que ce qu'est égal a vue. Il est que ce que d'autres le nyctent oni osi célème qu'est impossible. Qui l'interrogue pourquoi? ont respondu par ce que la circumference du cercle. Il n'est pas que mesme genre de quantity, Mais de ce à Jan du Mont il royal est bien faict apparoistre le contraire, disant que toutes lignes ont tous mesme commence de leur generation. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est certes cela presuppose, il que la circulaire est la droit. Il est Selon la quantity. J'ou on se H peut de ceux esmerueiller, qui disent le courbe de le droici ne pas estre il de mesme genre; car il ray dire, estre courbe ou droict sont choses, les* quelles ne pouvoir uant changer le genre, causent seulement telles passions. Il non obstant seulement Mickiel Stiffel en son Aristotel meticque Latine, il demonstrer, que la circumference du cercle iCa aucune raison d'un temps, cest a dire ne diégible nous [nocb meetbaar, nocb onmeetbaar], disant Deze redeneering moge ons als eene wisknndige vreemd in de ooren klinken, men vmdt dien betoog^rant in den aanvang van dit boekje telkens op dezelfde wyze temg. Il est daarom, dat ik deze woorden nitscbreef, en te?ens om te doen zien p boe weinig de fransche taal onzen Schryver eigen wad, die tetiet het hoUandseh woordel^'k wedergaf: een bew^'s Toor de waarsdiynlgkheid, dat hy zelf althans geen Franschman was. In de "Premier Partie", besträdt béré deze meening van MOHI Stutt, in de "See (même Parlement) bekendigé de meening van MOHI du mauvais ou poligieux ou poligieux de nonante eix costez (blads. 42), om daaruit ten slotte tot zène verhonding te komen. (bladz. 77) Mais que avec l'avoir finalement décidément trois nombres 8, 2, 1, // en la maniere qu'auone faisse aussi aussi aussi aussi aucun de la faire (caçe // gu'il néy a rien qui precede Vindicinal vuil) on irouvera ee que deuille // est trouvé d'equivalent que le diametre fakt 484. il faudra que la circulaire vienne d faire 1521. Bien pourra on pour eetre a  vierkanten zijn, maakt Tijr dbb Eyokb gebruik als b^ (bladz. 83) zegt. Et par ainei colligerone none Jinalement de ces chh // ses^ (moyen^ na»t la 15. propoeition au einquiesme liure // EucUde; que pour commodement sur sa façon de 1521. i 484 trouer le costi du quarré fj egual au eerele propose, U fauldra partir le diametre d'icel- // lug en 44. parties entre elles eguales (par la neufuiesme // proposition du sixiesmeJ) JBl prendre la piece du diametre d* icel- // lug en 89. pour le coste du quarré egual au // cercle donne** Het slot is zoo gebeel in den geest van dien t^d omtrent bet zoeken?an gebeimzinnige eigenscbappen van grootbeden, dat bet bier nog een plaatsje verdient. Men leest tocb (bladz. 89). 1691 M. L. encore a ceste dicte raison - eela en sog, i sogauoir // que si on adiouste toutes see superieurs nombres ensemble eomme premiers, // on trouvera qu'il feroni ces quarrez jj, dont les racines quarries // - sont les eostez diametraux du premier nomhre diametral 12. // Et adioustani iceux diets quarrez ^. ensemble, on les trouvera // faire 25. 