DISCRIMINANTANALYSE EN INSOLVENTIEVOORSPELLINGEN
Voorwoord Discriminantanalyse is een statistische techniek die objecten in groepen klas- 
sificeert aan de hand van bepaalde informatie. Verschillende schrijvers heb­
ben de techniek gebruikt om ondernemingen te klassificeren in solvente en 
insolvente ondernemingen. Discriminantanalyse begint een bekende klank te 
krijgen in de bedrijfseconomie. Men mag verwachten dat deze tendens zich 
zal voortzetten omdat de belangstelling voor het probleem van de beoorde­
ling van de kredietwaardigheid van ondernemingen toeneemt als gevolg van 
de economische teruggang. gg
g
In verband hiermee ontwikkelt zich een behoefte aan een min of meer 
volledige uiteenzetting van de techniek en zijn achtergrond (het model dat 
aan de techniek ten grondslag ligt). Het doel van dit artikel is om in deze 
behoefte te voorzien. De bestaande overzichten zijn in het algemeen ofwel te 
onvolledig ofwel te moeilijk toegankelijk voor mensen die geen statistici van 
huis uit zijn. De auteurs van dit artikel presenteren hierbij het resultaat van een poging 
om a) volledig genoeg te zijn om inzicht te geven in de reikwijdte en de 
beperkingen van de techniek en b) een uiteenzetting te geven in elementaire 
begrippen. Zij koesteren niet de illusie dat het artikel eenvoudig is. Wel 
hebben zij vermeden gebruik te maken van statistische theorie die geen 
gemeengoed is en niet strikt noodzakelijk is voor mensen die discriminant­
analyse met begrip willen toepassen. Wel is gebruik gemaakt van matrixalgebra, vooral omdat daardoor gemak­
kelijk aangetoond kan worden dat de denktrant van het kleinste-kwadraten- 
regressiemodel voor een groot deel kan worden gevolgd. In het tweede deel van het artikel is het gebruik van de discriminant­
analyse volledig geïllustreerd met behulp van een probleem uit de financie- 
ringstheorie, te weten de voorspelbaarheid van ernstige betalingsmoeilijkhe­
den (insolventie). 1 
Inleiding 1 
Inleiding
Laat S een verzameling objecten zijn, opgedeeld in J uitputtende en elkaar
USj = S en
uitsluitende deelgroepen S:, j = 1,2, . . . , J; dus Sj USj Ü
Sj n Sj- =
voor j A j'. We geven t-de object van groep Sj aan met Sjt; 
cfus s jt e Sj. Verder geven we het aantal elementen in groep Sj aan met Nj en 
het aantal elementen in S noemen we N, dus m a b blz. 232 Samengevat: Tabel 1
Groep
Objecten
Aantal
Si
sll si 2 • • • SlNj 
N1
S 2
S21 s22 • • • S2N 2 
N 2
h
Sjlsj2 
• • • SJNj
s
N Stel dat de N objecten uit S niet van elkaar te onderscheiden zijn en dat we 
ze volgens de één of andere regel klassificeren in de J groepen. Telkens 
trekken we dus een element uit S en klassificeren het in één van de J klassen 
Sj. Er zullen dan goede en foute klassificaties plaatsvinden en de ene klassifi- 
catieregel zal meer en de andere minder foute klassificaties (misklassificaties) 
opleveren. Stel dat de N objecten uit S niet van elkaar te onderscheiden zijn en dat we 
ze volgens de één of andere regel klassificeren in de J groepen. Telkens 
trekken we dus een element uit S en klassificeren het in één van de J klassen 
Sj. Er zullen dan goede en foute klassificaties plaatsvinden en de ene klassifi- 
catieregel zal meer en de andere minder foute klassificaties (misklassificaties) 
opleveren. p
Voorbeeld: Beschouw een urn met 20 rode en 40 witte ballen. R is de 
groep rode en W is de groep witte ballen. De ballen zijn uiterlijk niet van 
elkaar te onderscheiden, bijvoorbeeld doordat ze alle omwikkeld zijn met 
papier. We kunnen ons voorstellen dat we de ballen over de groepen R en W 
klassificeren in de verhouding 10 : 50 door willekeurig een bal uit de urn te 
trekken, vervolgens met een dobbelsteen te werpen en de bal als Rood te 
klassificeren wanneer een 6 boven komt en als Wit wanneer dit niet gebeurt. De kans dat een getrokken bal rood is bedraagt 20/60 en de kans dat hij 
wit is bedraagt 40/60. De kans dat een getrokken bal als Rood wordt geklas- 
sificeerd is 10/60 en de kans dat hij als Wit wordt geklassificeerd is 50/60. 1 
Inleiding De 
kans dat een getrokken bal rood is en als Rood wordt geklassificeerd is dan 20/60 X 10/60= 1/18;
de kans dat hij rood is en als Wit wordt geklassificeerd is 
20/60 X 50/60 = 5/18;
de kans dat hij wit is en als Wit wordt geklassificeerd is 
40/60 X 50/60 = 10/18;
de kans dat hij wit is en als Rood wordt geklassificeerd is 
40/60 X 10/60= 2/18. Deze kansen zijn samengevoegd in de volgende tabel Deze kansen zijn samengevoegd in de volgende tabel. Deze kansen zijn samengevoegd in de volgende tabel. m ab blz. 233 Tabel 2
Urn
R
W
R
1/18
2/18
1/6
Beslissing
W
5/18
10/18
5/6
1/3
2/3
1
In de twee hoofddiagonale cellen staan de kansen op correcte klassificaties; 
hun som is 11/18. Als we de ballen met gelijke kansen over R en W klassifice- 
ren krijgen we de volgende tabel. Tabel 2 Urn
R
W
R
1/18
2/18
1/6
Beslissing
W
5/18
10/18
5/6
1/3
2/3
1 In de twee hoofddiagonale cellen staan de kansen op correcte klassificaties; 
hun som is 11/18. Als we de ballen met gelijke kansen over R en W klassifice- 
ren krijgen we de volgende tabel. In de twee hoofddiagonale cellen staan de kansen op correcte klassificaties; 
hun som is 11/18. Als we de ballen met gelijke kansen over R en W klassifice- 
ren krijgen we de volgende tabel. Tabel 3 Tabel 3 Urn
R
W
R
1/6
2/6
1/2
Beslissing
W
1/6
2/6
1/2
1/3
2/3
1 De som van de kansen op correcte klassificaties is nu 1/2. In dit opzicht is de 
vorige klassificatieregel dus superieur. De som van beide kansen is maximaal 
als alle ballen in de grootste groep worden geklassificeerd. Dan geldt de 
volgende tabel. Tabel 4 Tabel 4 Tabel 4 Urn
R
W
R
0
0
0
Beslissing
W
1/3
2/3
1
1/3
2/3
1 met een kans op correcte klassificatie van 2/ 3. met een kans op correcte klassificatie van 2/ 3. m ab blz. 234 Als de enige informatie waarover men beschikt de omvang van de subgroe­
pen R en W is en als men een zo groot mogelijk aantal correcte klassificaties 
zou nastreven dan zou men het beste alle ballen in de grootste groep kunnen 
klassificeren. Als men daarentegen de kleuren van de getrokken ballen zou kennen 
m.a.w. 1 
Inleiding als men over volledige informatie zou beschikken, dan zou men altijd 
juist klassificeren; de kans op juiste klassificatie zou 1 zijn. In ons ballenvoor­
beeld is het verschil tussen deze laatste kans (1) en de kans (2/3) - bij 
klassificatie in de grootste groep - terug te voeren tot een verschil in beschik­
bare informatie, in dit geval tussen volkomen informatie en geen informatie 
(afgezien van de omvang van de groepen). In praktische gevallen bevindt men zich zelden in een dergelijke extreme 
situatie; men heeft noch volledige, noch totaal ontbrekende informatie. In 
ons ballenvoorbeeld betekent dit dat we van een getrokken bal een aantal 
kenmerken kennen, zoals het gewicht, de diameter, de mate van rondheid, 
etc. Wij geven in hetgeen volgt zulke kenmerken aan met Xi, x2 , . . x . Als 
bijvoorbeeld de rode ballen gemiddeld iets zwaarder zijn dan de witte, is het 
in beginsel mogelijk een kans op correcte klassificatie groter dan 2/3 te 
krijgen door van deze informatie gebruik te maken. We kunnen tussen de 
ballen discrimineren op grond van waarnemingen betreffende de kenmerken 
Xj, x2, . . xp. Het is niet zonder meer duidelijk wat de juiste wijze is om 
dit soort informatie te verwerken. Discriminantanalyse is een techniek die 
een klassificatieregel geeft, gebaseerd op een optimaal gebruik van de infor­
matie betreffende de x;. In de eerstvolgende paragrafen wordt deze techniek 
behandeld voor het geval van twee groepen, dus voor J = 2. Een generalisatie 
naar meer dan twee groepen volgt in Paragraaf 5. Discriminantanalyse is gebaseerd op een bepaald model dat geacht wordt 
de waarnemingen gegenereerd te hebben. Een van de mogelijke modellen 
voor twee groepen is als volgt. Basismodel voor twee groepen Beschouw twee groepen objecten Sj en S2 en stel dat de p kenmerken Xj, 
x2, . . ., xp in beide groepen simultaan normaal verdeeld zijn met een p-ele- 
ment vector /j als gemiddelde en met de p x p-covariantiematrix 2 . De kansdichtheidsfunctie van x = (xx, x2, . . In het geval dat \  = 1, is men vrij in zijn keuze. De keuzeregel zou dus ook kunnen luiden in 
termen van > en < i.p.v. > en <. De kans op een waarde 1 voor \  is echter 0. 2 
Het geval met bekende parameters 2 
Het geval met bekende parameters
We geven om te beginnen een klassificatieprocedure die berust op het aan- 
nemelijkheidsprincipe. We geven om te beginnen een klassificatieprocedure die berust op het aan- 
nemelijkheidsprincipe. 1 
Inleiding ., x )' is dan
(1.1) 
1 (x;n) = c exp { -i(x -ju ) ' 2 -1 (x-ju) } c = constant De groepen verschillen slechts in het gemiddelde: voor groep De groepen verschillen slechts in het gemiddelde: voor groep Sj geldt 
= ni en voor groep S2 geldt n = n2- Sj geldt 
= ni en voor groep S2 geldt n = n2- In Paragraaf 2 bezien we het geval van bekende parameters n en 2. In 
Paragraaf 3 behandelen we het geval waarin deze parameters moeten worden 
geschat uit een steekproef. m ab blz. 235 2 
Het geval met bekende parameters Een redelijke klassificatieprocedure Een redelijke klassificatieprocedure De aannemelijkheidsfunctie van de kansvariabele x is de simultane dicht- 
heidsfunctie van x. Hij is gedefinieerd in (1.1) en hij wordt opgevat als een 
functie van de vector /x van gemiddelden. Voor elke waarde van /x geeft hij de aannemelijkheid dat de kansvariabele 
de specifieke steekproefwaarde x aanneemt. Stel dat de waarde van /x bekend 
is en bijv. gelijk aan /x0, dan is de meest aannemelijke uitkomst die waarde x 
waarvoor l(x;/x0) maximaal is. Laat de p-element vector x de attributen weergeven van een getrokken 
object met onbekende herkomst (groep Sj of groep S2). Voor beide mogelijke waarden /Uj en /x2 kunnen we de aannemelijkheid 
van de getrokken steekproef x = (xj, x2, . . ., xp)' uitrekenen; ze zijn resp. l(x; 
) en l(x;/x2). Als l(x; j/ j ) > l(x; /x2) is de aannemelijkheid van x groter voor /Xj dan 
voor n2- Een redelijke klassificatiebeslissing is dan om het object waarop x be­
trekking heeft als tot groep 
behorend te bestempelen. Omgekeerd zouden 
we het element in groep S2 kunnen klassificeren ingeval l(x;/Xj) < l(x;/x2)’). Deze klassificatieregel kan als volgt worden weergegeven: een exemplaar 
met attribuutwaarden x klassificeren we in groep Sj (met /x = /ax) als de 
aannemelijkheidsverhouding (2.1)
1 (x ;a h )
1 (x;*x2) groter is dan 1 en in groep S2 (met /x = /x2) als X < 1. Schematisch: groter is dan 1 en in groep S2 (met /x = /x2) als X < 1. Schematisch: (2.2) 
X {>1 : object -* Sj 
<1 : object -*■ S2 Vereenvoudiging van X
We kunnen de aannemelijkheidsverhouding X als volgt vereenvoudigen. Substitutie van (1.1) in X geeft: X = exp { — 1 [(x -jU jj'S-1 (x /xj) -  (x-/u2)'S- 1 (x -  n2)]}
= exp { -  i[(x ' 2 _1 x -  x' 2 _1 /x x— |xj 
1 x + n[ 2 “ 1 
-
(x' 2 - 1 x -  x '2 “ 1 ti2 
x + ju' 2 “ 1 /x2)] } In het geval dat \  = 1, is men vrij in zijn keuze. De keuzeregel zou dus ook kunnen luiden in 
termen van > en < i.p.v. > en <. De kans op een waarde 1 voor \  is echter 0. m ab blz. 236 Door o.a. Een redelijke klassificatieprocedure herrangschikking van termen en door gebruik te maken van x' 2 " 1 Mi= M' 2 “ 1 x 
(i = 1,2) x' 2 " 1 Mi= M' 2 “ 1 x (i = 1,2) wordt dit: X = exp { — -1 [ —2x'2_1 m  + 2x' 2 _1 jz2 + /a j 2 _1 Atj -  m2 2 _1 A(2]}
= exp { x'2 -1 (^! -M 2) 
(M! + Ui2)' 2_1 G“i 
2)} In de laatste uitdrukking is de eerste term in de exponent lineair in x en is de 
tweede term in de exponent een constante (onafhankelijk van x). Daarom 
schrijven we X als (2.3) 
X = exp {x' b—b0 } met b = 2 _1 (pj — ju2) en 
b0 = \  (/*i + M2)'b Klassificatie aan de hand van de log-aannemelijkheidsverhouding
Als we in (2.3) aan weerszijden van het gelijkteken de natuurlijke logarithme
nemen krijgen we Klassificatie aan de hand van de log-aannemelijkheidsverhouding lassificatie aan de hand van de log aannemelijkheidsve houding
Als we in (2.3) aan weerszijden van het gelijkteken de natuurlijke logarithme
nemen krijgen we (2.4) 
log X = x' b — b0 Omdat x normaal verdeeld is en omdat log X lineair is in x, is log X eveneens 
normaal verdeeld. Zijn verwachting is (2.5) 
E(log X) = E(x'b—b0) = n' b—b0
omdat E(x) = /u, zie (1.1). Zijn variantie is (2.5) 
E(log X) = E(x'b—b0) = n' b—b0 (2.6) 
var (log X)= var (x' b—b0) = var (x'b) 
= var (b'x)
= E (b' x-b' u)2 
= E [b' (x -  m) (x -  ju)'b] 
= b'E [(x -  n) (x -  ju)']b
= b' 2 b waar 2 = E [ (x— /a) (x—n)'] de covariantiematrix van x voorstelt, zie (1.1). De klassificatieprocedure (2.2) wordt in termen van log X, waar 2 = E [ (x— /a) (x—n)'] de covariantiematrix van x voorstelt, zie (1.1). De klassificatieprocedure (2.2) wordt in termen van log X, (2.7) 
log X { > 0 : object -* Sj 
< 0 : object -*■ S2 of, door substitutie van (2.4), m a b blz. 231 „ 
> bn : obiect -*• S,
(2-8) 
x'b { 
0 
J 
1
< Dq : object -*• S9 „ 
> bn : obiect -*• S,
(2-8) 
x'b { 
0 
J 
1
< Dq : object -*• S9 (2-8) waar b en b0 gedefinieerd zijn in (2.3). 2) Kennis van dit onderdeel is niet noodzakelijk voor het kunnen volgen van wat in de rest van dit 
artikel is geschreven. Een redelijke klassificatieprocedure De diclitheidsfuncties van log X voor resp. n = n2 en /j = jUj zijn in 
Figuur 1 geschetst. Figuur 1 Dichtheden van log X (^i > /u2) Dichtheden van log X (^i > /u2)   Dat het punt midden tussen de gemiddelden n '2 
de klassificatiegrens 0 uit regel (2.7) is, volgt uit
o precies 2 
b0 + 
b — b0) -  i(^ j + ^2) ' b - b 0
waar b0 = \  (Mi + H2)' b
volgens (2.3). b0 = \  (Mi + H2)' b volgens (2.3). De gearceerde gebieden geven de kansen op foute klassificaties weer, het 
gebied links van 0 voor onterecht in groep S2 en het gebied rechts van 0 voor 
onterecht in groep Sj klassificeren. Deze kansen zijn resp. (2.9)
P [log X < 0/jLt = At, ] = P
lqgX-E (log_X) <
var
= N
(log X) 
—M(b + b0 1
V b' 2 b 
-I
-Ai(b + b0'
A '  Sb 
- m a b blz. 238 m a b blz. 238 P [log \  > 0/n = n2] = 1 -  P [log X < o/ju = H2]
= 1 -  N '-n'2b + b0' 
-Vb' 2b 
- P [log \  > 0/n = n2] = 1 -  P [log X < o/ju = H2]
= 1 -  N '-n'2b + b0' 
-Vb' 2b 
- waar N [x] de standaard normale verdelingsfunctie voorstelt (de kans op een 
waarde kleiner dan - of gelijk aan - x). Als we voor b en b0 de uitdrukkingen gedefinieerd in (2.3) substitueren, 
worden de kansen op foute klassificaties: (2.10) 
P [log X < Oln = n x] = N[ - V  + 1 (n1 -  
(yu, — fi2)] =
= N [ - 1 6 ] P[log X> 0/n = n2]= 1 - N [ V 1 UH 
-  ju2)]
= n  i - V + i  (p i - n 2y 2-1 (p i - P 2)]
= N[  - 1  6 ] 
waar 5 2 = (jUj -  ju2)' 2_1 (Pi “  M2)- We zien dat beide kansen gelijk zijn en dat ze kleiner zijn naarmate 
en /a2 
verder uiteen liggen. Weging van de beide soorten fouten2) Weging van de beide soorten fouten2) Zojuist constateerden we dat de kansen op de twee soorten klassificatiefou- 
ten even groot zijn bij de besproken klassificatieprocedure. We krijgen ver­
schillende kansen als we de klassificatiegrens in Figuur 1 naar rechts of naar 
links verschuiven. Verschuiving naar rechts betekent dat de kans op on­
terechte klassificatie in groep S2 die op onterechte klassificatie in groep Sj 
gaat overtreffen; verschuiving naar links heeft het omgekeerde tot gevolg. De keuze voor de aanvankelijk beschreven klassificatieprocedure impli­
ceert in zekere zin gelijke weging van de twee soorten fouten. Het is duidelijk 
dat men dit laatste lang niet altijd juist acht; in de meeste gevallen vindt men 
de ene soort fout ernstiger dan de andere. Laten we aannemen dat de kosten van onterecht een object in Sj klassifi- 
ceren Cj 2 bedragen en dat de kosten van onterecht een object in S2 klassifi- 
ceren C2 j zijn en dat correcte klassificatie geen kosten meebrengt. We zullen 
nu de klassificatie gaan bezien als een beslissingstheoretisch probleem om 
licht te werpen op de rol van Cx 2 en C21 in de klassificatieprocedure. m ab blz. 239 Als we een willekeurig object uit S = Sj U S2 trekken is de kans [P(mx)] 
dat het tot Sj behoort (waar geldt m = Mi) gelijk aan de proportie objecten 
van groep Sj ten opzichte van het totaal aantal exemplaren: (2.11) 
P(Ml) = ^ De kans dat een willekeurig getrokken object tot groep S2 behoort is 
analoog: De kans dat een willekeurig getrokken object tot groep S2 behoort is 
analoog: (2.12) P( m2) = ^ De kansen P(m i) en P(m2) worden apriori kansen genoemd; zij geven onze a 
priori opinies weer. Als we nu waarnemingen x aan het getrokken exemplaar 
gaan verrichten, wijzigen in het algemeen onze opinies; de a priori kansen 
gaan over in zgn. a posteriori kansen: P(yttx /x) en P(m2/x). De a posteriori 
kansen zijn via de informatie x gerelateerd aan de a priori kansen. Al deze 
kansen moeten een coherent geheel vormen en voldoen aan de basiswetten 
van de kansrekening. Coherentie is gewaarborgd als we de a priori en a 
posteriori kansen relateren volgens het Theorema van Bayes, dat luidt: (2.13) 
P (Mi/x) = 1 (x; Mi) P (m,)/P(x ) 
(i = 1,2) waarvan l(x; Mj) de aannemelijkheidsfunctie is en P(x) de dichtheidsfunctie
van x. waarvan l(x; Mj) de aannemelijkheidsfunctie is en P(x) de dichtheidsfunctie
van x. Weging van de beide soorten fouten2) We willen de steekproefruimte van x partitioneren in twee uitputtende en 
elkaar uitsluitende gebieden Rj en R2, zodat we een object met waarneming 
x = x0 klassificeren in St als XqcRj en in S2 als x0eR2. Als we de voorwaardelijke kans op het onterecht in Sj klassificeren aan­
geven met P( 1/2) en die op het onterecht in S2 klassificeren met P(2/l), dan 
zijn de verwachte kosten van de klassificatieregel: r = P(Ml) P(2/1)C21 + P(m2) P(1/ 2)C12
waar P(2/1) = ƒ 1(x ;m!) dx en P(l/2) = ƒ 1(x ;m2) dx 
R2 
Rj P(2/1) = ƒ 1(x ;m!) dx en P(l/2) = ƒ 1(x ;m2) dx 
R2
Rj P(2/1) = ƒ 1(x ;m!) dx en P(l/2) = ƒ 1(x ;m2) dx R2 Als we C21 = Cj 2 = 1  stellen is r gelijk aan de kans op misklassificatie 
P(M,)P(2/Ï) + P(m2)P(1/2). Het minimeren kan worden opgevat als het klassificeren van elke mogelij­
ke waarneming x in Rj of in R2 zodanig dat de kans op misklassificatie 
P(Mt )P(2/1) + P(m2)P( 1 / 2) minimaal is. De laatstgenoemde kans kan worden geschreven als m ah blz. 240 P(Mi) 
ƒ 
l(x;M i)dx + P(ju2) 
ƒ 
l(x;M 2)d x
R2 
Ri P(Mi) 
ƒ 
l(x;M i)dx + P(ju2) 
ƒ 
l(x;M 2)d x Ri R2 
Ri R2 waaruit blijkt dat de bijdrage van klassificatie in 
van een bepaalde waar­
neming xQ gelijk is aan P(/u2) 1 (xQ; M2); a^s xo *n R2 wordt geklassificeerd is 
de bijdrage P(/u j ) 1 (x0 ;ju1). Het criterium waarmee Rj en R2 worden 
samengesteld is dus het quotiënt waaruit blijkt dat de bijdrage van klassificatie in 
van een bepaalde waar­
neming xQ gelijk is aan P(/u2) 1 (xQ; M2); a^s xo *n R2 wordt geklassificeerd is 
de bijdrage P(/u j ) 1 (x0 ;ju1). Het criterium waarmee Rj en R2 worden 
samengesteld is dus het quotiënt P(m2)1(x ;m2)
p (Mi )1(x ;m i) P(m2)1(x ;m2)
p (Mi )1(x ;m i) P(m2)1(x ;m2)
p (Mi )1(x ;m i) dat krachtens Bayes’ theorema gelijk is aan dat krachtens Bayes’ theorema gelijk is aan P(M2/x)P(x) = P(m2/ x ) 
p(Mi /x)P(x) 
P(Mx/x) Als een bepaald object waarneming xQ geeft, klassificeren we het object in 
Sj als P(nl /x0) > P(^2/x0) en in S2 als P(/ij/x) < P(/a2/x), m.a .w. we 
klassificeren het object in de meest waarschijnlijke groep gegeven xQ. Weging van de beide soorten fouten2) Rj en 
R2 zijn dus als volgt gedefinieerd: Rj : P(Mi/x) > P(/r2/x)
R 2 : P(Mi/x) <  P(m2/x ) en de klassificatieregel luidt: en de klassificatieregel luidt: P(/Uj/x) ( > 1 : object-»- Sx 
P(/r2/x) I < 1 : object -> S2 Als C12 en C21 willekeurig zijn wordt de procedure: (2.14)
P(Mj /x )C21 
> 1 : object^ Sx 
P(/i2/x)Ci2 
< 1 . object -> S2 Substitutie van (2.13) geeft: Substitutie van (2.13) geeft: Substitutie van (2.13) geeft: (2.15)
i (x ;m1) P(m1 )C21 
> 1 : obJect ^ s i 
!(x ;m2) P(p 2)C12 < 1 ; object-> S2 (2.15) en we zien direct dat klassificatieregel (2.15) equivalent is met de regel (2.2) 
als de a priori kansen (en dus de groepen) even groot zijn: (P(m i) = P(ju2)), 
en als tevens de fouten even zwaar worden gewogen: C21 = Cj 2. en we zien direct dat klassificatieregel (2.15) equivalent is met de regel (2.2) 
als de a priori kansen (en dus de groepen) even groot zijn: (P(m i) = P(ju2)), 
en als tevens de fouten even zwaar worden gewogen: C21 = Cj 2. m a b blz. 241 m a b blz. 241 Regel (2.15) kan ook worden geschreven als: Regel (2.15) kan ook worden geschreven als: Regel (2.15) kan ook worden geschreven als: Regel (2.15) kan ook worden geschreven als: (2.16)
i (x ;m i)
1(x ;m2)
>
<
P(^2) ^12
P(pl)C21
p(m2) c 12
P(Pl) <-'21
: object -» S 
: object -*• S
1
2 (2.16)
i (x ;m i)
1(x ;m2)
>
<
P(^2) ^12
P(pl)C21
p(m2) c 12
P(Pl) <-'21
: object -» S 
: object -*• S
1
2 Uit deze uitdrukking concluderen we dat de klassificatiegrens in Figuur 1 
meer naar rechts schuift naarmate P(/a2)/P(/r1) (de relatieve omvang van 
groep S2) groter is en naarmate de relatieve kosten C12/C21, van onterecht 
in groep Sj klassificeren, hoger zijn. Dit is in overeenstemming met de 
intuïtie omdat het naar rechts schuiven van de grens betekent dat minder in 
groep Sj wordt geklassificeerd en meer in groep S2. Merk op dat men, om 
regel (2.16) te kunnen gebruiken a priori-uitspraken moet doen omtrent de 
verhouding tussen de grootten van de groepen en omtrent de weging der 
beide mogelijke soorten fouten. 3 
De discriminantfunctie ingeval /j  en 2 geschat moeten worden In de praktijk kennen we in ’t algemeen de gemiddelden jij en ju2 en de 
covariantiematrix 2 niet, maar beschikken we hoogstens over een steekproef 
van waarnemingen betreffende de variabelen xx, x2, . . ., x vooreen aantal, 
zeg N, objecten. Stel dat er van deze N objecten 
tot groep Sj behoren en 
N2 tot groep S2 (Nj + N2 = N) en laten we de waarneming van kenmerk i 
betreffende het t-de object van groep S: aangeven met x;jt (i = 1,2, . . , p; j = 
1,2; t = 1, 2, . . ., Nj) en laten we vervolgens alle waarnemingen in de volgen­
de (Nxp)-matrix weergeven: X111
x2 n  • •
1---
Q,
X
’x'll "
x 11 2 x212 • •• xp 12
X12
- 
-
X11N
... 5 ! • xplNj
1 X
1 z ' ... Regel (2.15) kan ook worden geschreven als: Xi
x 1 21
x221 • •• xp21
X21
x 1 2 2 x222 • •• Xp22
X22
x 2
X12N2 X22N2• •• Xp2N2
X2N2  Het ligt nu voor de hand om uit X schatters U\, M2 en 2 te berekenen en de 
klassificatieregel (2.8) te gebruiken met vervanging van b en b0 door de 
schatters Het ligt nu voor de hand om uit X schatters U\, M2 en 2 te berekenen en de 
klassificatieregel (2.8) te gebruiken met vervanging van b en b0 door de 
schatters 60 =1 (Ml + M2)b
6 = 2  1 (Mi -
m2)  In deze paragraaf laten we zien dat deze procedure, die klassificeert volgens 
de geschatte lineaire discriminantfunctie y = x'6, optimaal is, in die zin dat 6 
de waarde van b is die de verdeling van y voor groep Sx en de verdeling van y 
voor groep S2 zover mogelijk uit elkaar legt of, anders gezegd, die de overlap­
ping van beide verdelingen zo klein mogelijk maakt. Het is van belang op te merken dat deze klassificatieprocedure niet meer 
uitgaat van de veronderstelling van normaal verdeelde Xj. Er wordt eenvou­
digweg geklassificeerd op grond van een lineaire functie die van alle mogelij­
ke lineaire functies de kleinste overlapping van verdelingen geeft. We illustreren het probleem met onderstaande figuur voor het geval dat
p= 2. Figuur 2     De twee ellipsen zijn contourlijnen van de bivariate verdelingen, resp. voor 
groep Sj en voor groep S2 ; yt en y2 zijn twee verschillende lineaire discrimi- 
nantfuncties y = x'b. De ellipsen kunnen worden beschouwd als grondvlak­
ken van twee „bergen” waarschijnlijkheidsmassa. Projectie van die „bergen” 
op het vlak dat door y gaat en loodrecht op het XjX2 - vlak staat geeft de 
verdeling over y voor elk van beide groepen Sj en S2. We zien direct dat de 
verdelingen over y2 elkaar minder overlappen dan die over y 1, d.w.z. dat y, 
beter discrimineert dan y j. Omdat ß en 2 onbekend zijn kennen we de 
verdelingen over y niet, maar voor een gegeven b = (bjb,)' hebben we een 
waarde yjt = bjX^,. 4- b2x2jt voor elk object, dus voor j = 1,2 en t = 
1,2, . . ., Nj. De Nj waarden ylt vormen de empirische y-verdeling voor Sj 
en de N2 waarden y 7t vormen de empirische y-verdeling voor S2. 3) We spreken over variaties en niet over varianties omdat we de sommen niet gedeeld hebben door 
de aantallen waarnemingen. Regel (2.15) kan ook worden geschreven als: Een redelijk doel lijkt nu om b zó te kiezen dat de empirische y-verdelin- 
gen elkaar minimaal overlappen. Merk op dat de mate van overlapping gerin­
ger is naarmate de gemiddelden van de empirische y-verdelingen verder uit­
eenliggen en naarmate de variantie binnen die verdelingen kleiner is. We 
zouden nu b zó kunnen kiezen dat het quotiënt met als teller het gekwadra­
teerde verschil tussen de beide gemiddelden en met als noemer de variantie 
binnen de verdelingen, maximaal is. We zullen nu een uitdrukking voor een doelstellingsfunctie formuleren. In 
de empirische y-verdelingen (yu. Yi2> • • » yiNj) voor groep Sj
(Y21> y22> • • » Y2N2 ) v o o r  g r o e p  s 2 
(N =  N i +  n 2 ) (yu. Yi2> • • » yiNj) voor groep Sj
(Y21> y22> • • » Y2N2 ) v o o r  g r o e p  s 2 
(N =  N i +  n 2 ) geven we het rekenkundig gemiddelde voor Sj aan met yj , dat voor S2 
met y2 en het totale gemiddelde met y . geven we het rekenkundig gemiddelde voor Sj aan met yj , dat voor S2 
met y2 en het totale gemiddelde met y . Er geldt dan 2
(3.3) 
2
v 
'  
J = 1 t
2
= z
j = l
I ; (Xjt -  y. -)2 = j i ,  ,1 , l(yJt — yj.) + (yj. Nj 
2 
Nj
, 1 , o
s ^
V
, M , (yj. - ? . . ) 2
y. ,)l2 omdat het kruiselingse product nul is: 2 2 (yjt -  yj.) (yj -  y ..) = 2 (Yj.- y ..) 2 (yjt -  Yj.)
J 
t 
j 
t 
J 
J
= 2 ( y j y -  •) (Nj Y j NjYj •) = o Het linkerlid van (3.3) is de totale variatie binnen de yjt, de eerste term in 
het rechterlid is de „binnengroeps-variatie” en de tweede term in het rechter­
lid is de „tussengroeps-variatie”3). In de volgende pargaraaf wordt bewezen 
dat de „tussengroepsvariatie” op een constante na gelijk is aan het gekwadra­
teerde verschil tussen de twee groepsgemiddelden: Het linkerlid van (3.3) is de totale variatie binnen de yjt, de eerste term in 
het rechterlid is de „binnengroeps-variatie” en de tweede term in het rechter­
lid is de „tussengroeps-variatie”3). Regel (2.15) kan ook worden geschreven als: In de volgende pargaraaf wordt bewezen 
dat de „tussengroepsvariatie” op een constante na gelijk is aan het gekwadra­
teerde verschil tussen de twee groepsgemiddelden: m ab blz. 244 (3.4) 
2 2 (yj -  y. ƒ  = ^
 (yj. -  y2.)2
j 
t 
J 
N (3.4) Ons probleem wordt dus: vindt een waarde voor b zodat (3.5)
. j . - s s t y j - y ..)2
2 2  (yjt-  yj.)2 (3.5) maximaal is. Matrixnotatie
We introduceren de volgende vectoren We introduceren de volgende vectoren y n
"l"
’ o"
" l"
yi2
1
0
1
yiNj
, h j  =
1
, h 2 =
0
, 1 =
•
y 2i
0
1
•
Ï 2 2
0
1
•
_ y2N 2_
0
1
1 waar de eerste Nj elementen telkens betrekking hebben op groep Sj en de 
laatste N2 op groep S2. We kunnen de drie gemiddelden dan 
achtereenvolgens weergeven als waar de eerste Nj elementen telkens betrekking hebben op groep Sj en de 
laatste N2 op groep S2. We kunnen de drie gemiddelden dan 
achtereenvolgens weergeven als (3-7) 
y 1. = ^ h ly , y2. = 
h'2y, y . . = I  t 'y Verder definiëren we de matrices (3.8) 
E = I — 4 t t '1F = I — — h, h,' — — h,hl Deze matrices worden ingevoerd om waarnemingen in afwijking van bepaalde 
gemiddelden te nemen. Vóórvermenigvuldiging van de vector y met E geeft 
de elementen van y in afwijking van hun totale gemiddelde y 
. Vóórver­
menigvuldiging van y met F geeft de elementen van y in afwijking van hun 
eigen groepsgemiddelden, de eerste Nj elementen in afwijking van yj en de 
laatste N2 in afwijking van y2 . Het is gemakkelijk na te gaan dat de matrices E en F symmetrisch en 
idempotent zijn, d.w.z. dat geldt m a b blz. 245 E' = E, EE = E2 = E, F' = F en FF = F2 = F (3.9) Tenslotte definiëren we een vector h die, vermenigvuldigd met y, het verschil 
y ] — y 2 , tussen beide groepsgemiddelden oplevert. Dit is Tenslotte definiëren we een vector h die, vermenigvuldigd met y, het verschil 
y ] — y 2 , tussen beide groepsgemiddelden oplevert. Regel (2.15) kan ook worden geschreven als: Dit is (3.10) 
h = ± h, - I  h7
' 
Nj 1 
n2 2 (3.10) 
h = ± h, - I  h7
' 
Nj 1 
n2 2 want (3.H ) 
h'y= 1 hjy -  F h'2y = y u -  y2 Tussen E, F en h bestaat het volgende verband (3.12) 
E - F = I - i l t ' - I  + ^ h 1h'1 + l h 2h'
k f r i K  + 
) + k, hih'i + k2 h2^2 -  i K  h' -  ih 2h;
" t P  [ {k hl _ N2h2 ) ( ^ hl -  N2h2)']
N ?)
= _  1
=  ^ 2  
NN,
N,N,
^ - h h '  = nhh' (n = NjN 2' waar gebruik gemaakt is vant -  h, + h2. We kunnen nu (3.3) in matrixnotatie schrijven als waar gebruik gemaakt is vant -  h, + h2. We kunnen nu (3.3) in matrixnotatie schrijven als (3.13) 
y'Ey = y'Fy + y' (E — F)y 
= y'Fy + y'hh'y . n en (3.5) als (3.14)
y hh y
V' = ’ 
. n
y py Merk op dat de tussengroepsvariatie geschreven kan worden als y'hh'y. n = (y lt - y 2.)2n. Hiermee is dus (3.4) bewezen. Hiermee is dus (3.4) bewezen. De elementen van de vector y zijn gedefinieerd als yjt = b,x ljt + b2x2jt + • • • + bpxpjt hetgeen in matrixalgebra neerkomt op m a b blz. 246 (3.15) 
y = Xb (3.15) 
y = Xb (3.15) 
y = Xb waar y de N-element kolomvector uit (3.6) is, waar X de matrix is uit (3.1) 
en waar b de p-element vector (bj b2. . . bp)' is. Substitutie van (3.15) in (3.14) leidt tot , 
b'X'hh'Xb 
' 
b'X'FXb 
_ b'dd'b
— , i — n 
b Cb waar C = X'FX en waar d = X'h. waar C = X'FX en waar d = X'h. Flet verband tussen de „binnengroepscovariantiematrix” 
L q  en Je 
gebruikelijke matrix van varianties en covarianties <N 2  2  ( Xijt -  * i. .) ( x k jt -  x k ..) } =  S  X ' E X  
j 
t kan worden weergegeven als volgt: (3.17) 
X'EX = X' [F + nhh'] X 
= X'FX + n X'hh'X 
= C + ndd' waar gebruik gemaakt is van (3.12). waar gebruik gemaakt is van (3.12). waar gebruik gemaakt is van (3.12). In de volgende paragraaf maximeren we \p' = i///n hetgeen op hetzelfde 
neerkomt als het maximeren van \p omdat n een constante is. Maximering van i//' g
We zoeken dus een vector b zodat de uitdrukking (3.18)
* ' = b'dd'b
b'Cb maximaal is voor b = b. We stellen voor het gemak de noemer b'Cb gelijk aan 
1. Dit kan zonder verlies van algemeenheid, want als hij ongelijk is aan 1, 
laten we zeggen gelijk aan k2, dan kunnen we hem altijd gelijk aan 1 maken 
door de vector b te delen door k, hetgeen de waarde van het qiotiënt niet 
verandert, omdat zowel de teller als de noemer dan door k2 worden gedeeld. De vector 6 is dus niet uniek; als b een maximerende vector is, is yb met y 
een willekeurige scalair, dit ook. De verhoudingen tussen de elementen van b 
zijn wel vast. We maximeren dus b'dd'b onder de restrictie b'Cb = 1. Na invoering van 
een Langrange-multiplicator 7r wordt de te maximeren functie m a b blz. 241 (3.19) 
* = b'dd'b -  Tr (b'Cb-l) (3.19) 
* = b'dd'b -  Tr (b'Cb-l) (3.19) De eerste-orde voorwaarden zijn De eerste-orde voorwaarden zijn waar Xj voorstelt het gemiddelde van de Nj waarnemingsvectoren Xjt 
(t = 1,2, . . ,,Nj) van groep j, zie voor notatie (3.1). De eerste-orde voorwaarden zijn ^
 = 2 dd'b — 2 7T Cb = 0, 
ab ^
 = 2 dd'b — 2 7T Cb = 0, 
ab
of (3.20) 
dd'b -  n Cb = 0. (3.20) 
dd'b -  n Cb = 0. Vóórvermenigvuldiging met b' geeft b'dd'b -  tt b'Cb = 0 waaruit, vanwege 
b'Cb = 1, volgt 7T = b dd'b = (d'b)2. Vullen we dit laatste in (3.20) in, dan 
krijgen we d(d'b) -  (d'b)2 Cb = 0, d(d'b) -  (d'b)2 Cb = 0, welke uitdrukking we ook kunnen schrijven als (3.21) 
b = 
C- 1 d = a C_ 1 d
d b waar a = 1 /d'b. waar a = 1 /d'b. waar a = 1 /d'b. Als we (3.21) invullen in (3.18) krijgen we (3.22)
,, 
d 'c -M d 'c -M  
* = 
d 'c-M
d (3.22) ongeacht de waarde van de multiplicatieve scalair a. We concluderen dat elke vector (3.23) 
b = yC  1 d (7 een willekeurige scalair) (3.23) 
b = yC  1 d (7 een willekeurige scalair) (3.23) een oplossing is van de eerste-orde voorwaarden (3.20), die ons quotiënt de 
waarde d'C_ 1 d geeft. Het kan worden bewezen dat deze waarde inderdaad 
een maximum is. een oplossing is van de eerste-orde voorwaarden (3.20), die ons quotiënt de 
waarde d'C_ 1 d geeft. Het kan worden bewezen dat deze waarde inderdaad 
een maximum is. Voor het discrimineren met behulp van de discriminantfunctie y = x'f> 
hebben we nog een schatter Ê>0 van b0 nodig, waarmee x'6 moet worden 
vergeleken, zie regel (2.8). In regel (2.8) was b0 het gemiddelde van de 
gemiddelden der beide y-verdelingen. De beide kansen op misklassificatie zijn 
dan even groot, zie Figuur 1. We kiezen voor &0 het gemiddelde van de beide empirische y-verdelingen: (3.24) 
b0 = i ( i i h jy +  I 2 h' y)
h ; x
'b +
R 2 h 2 x b )
= 1 (Xi + x 2) ' b waar Xj voorstelt het gemiddelde van de Nj waarnemingsvectoren Xjt 
(t = 1,2, . . ,,Nj) van groep j, zie voor notatie (3.1). m ab
blz 248 waar Xj voorstelt het gemiddelde van de Nj waarnemingsvectoren Xjt 
(t = 1,2, . . ,,Nj) van groep j, zie voor notatie (3.1). ab blz. De eerste-orde voorwaarden zijn 248 4 
Kleinste-kwadraten regressie van een dummy-variabele op X 4 
Kleinste-kwadraten regressie van een dummy-variabele op X
In deze paragraaf wordt aangetoond dat maximering van het quotiënt (3.18) 
ook kan worden uitgevoerd met behulp van kleinste-kwadraten regressie. In deze paragraaf wordt aangetoond dat maximering van het quotiënt (3.18) 
ook kan worden uitgevoerd met behulp van kleinste-kwadraten regressie. Laat z een dummy-variabele zijn die de waarde 1 aanneemt als een object 
tot groep Sj behoort en de waarde nul als een object tot groep S2 behoort. De vector z = (zj, z2, . . ., zN)' bestaat dus uit Nj enen en N2 nullenen is, 
eventueel na rangschikking van de Zj gelijk aan fq uit (3.6). De normaalvergelijkingen van de regressie van z op de variabelen Xj,. . . , xp 
zijn (4.1) 
X'EX/3 = X'Ez (= X'Ehj) waar X gedefinieerd is in (3.1). waar X gedefinieerd is in (3.1). Volgens (3.12) kan het rechterlid worden herschreven als g
(
)
Volgens (3.12) kan het rechterlid worden herschreven als (4.2) 
X'Ehx = X' [F + nhh'] ht = X 'Fhl + nX'hh'hj
= 0 + nX’h 
h;h1- A 2 h2'h1)
= nX'h - nd = nX'h - nd = nX'h - nd waar o.a. gebruik gemaakt is van h'1h2= 0 en van (3.10). We kunnen (4 1) dus schrijven als waar o.a. gebruik gemaakt is van h'1h2= 0 en van (3.10). We kunnen (4.1) dus schrijven als (4.3) 
X'EX0 = nd (4.3) 
X'EX0 = nd De kleinste-kwadraten schatter is (4.4) 
0 = (X'EX) - 1 nd Substitutie van (3.17) in (4.3) geeft Substitutie van (3.17) in (4.3) geeft (4.5) 
(C + ndd') 0 = nd (4.5) 
(C + ndd') 0 = nd of C0 = (1—d'0)nd, zodat de kleinste-kwadratenschatter van 0 geschreven kan worden als (4.6) 
0 = (l-d'0)n CrM (4.6) 
0 = (l-d'0)n CrM
= yC~ 1d = yC~ 1d waar y = (1 —d'0)n. We zien dat (4.6) op de scalaire factor y na gelijk is aan
(3.21) en we weten dat de waarde van de scalaire factor irrelevant is omdat 
hij geen invloed heeft op de waarde van het te maximeren quotiënt (3.18). m ab blz. 249 m ab blz. 249 m ab blz. 249 Significan tie toe tsen Significan tie toe tsen g
f
Zojuist is aangetoond dat de coëfficiënten van de discriminantfunctie kun­
nen worden bepaald via de kleinste-kwadratenprocedure, toegepast op een 
speciaal geval van het algemene lineaire model. Voor het laatste model be­
staan procedures om verschillende veronderstellingen te toetsen betreffende 
de coëfficiëntenvector 0. We zullen laten zien dat een aantal van deze procedures ook geldig zijn 
voor het bijzondere lineaire model dat de coëfficiënten van de discriminant­
functie oplevert. Dit is niet automatisch het geval, omdat in het discriminant- 
analysemodel de basisveronderstellingen van het algemene lineaire model, 
waarvan de toetsen op j3 afhangen, niet alle opgaan. Bijvoorbeeld: de onaf­
hankelijke variabelen Xj, x2, . . ., x 
kunnen in het lineaire model als niet­
-stochastisch worden beschouwd en in het discriminantanalysemodel kan dit 
niet. De te behandelen significantietoetsen zijn wel gebaseerd op de veronder­
stelling van normaal verdeelde kenmerken X;. In het algemene lineaire model wordt voor het toetsen van veronderstellin­
gen betreffende (3 gebruik gemaakt van toetsgrootheden die functies zijn van 
de gekwadrateerde correlatiecoëfficiënt R2, welke de proportie verklaarde 
variatie in de z-waarnemingen meet. De totale variatie in de z-en kan name­
lijk worden opgesplitst in een deel dat kan worden toegekend aan de variatie 
in de onafhankelijke variabelen Xj, x2, . . ., x , de zgn. „verklaarde variatie”, 
en een „onverklaarde” rest: (4.7) 
z'Ez = p ' X'EXfl + rest (4.7) R2 is gedefinieerd als
(4.8) 
p 2 _ P'X'EX/3 = ff'X'Ez
z'Ez 
z'Ez waar gebruik gemaakt is van X'EX/3 = X'Ez, zie (4.1). De grootheid waar gebruik gemaakt is van X'EX/3 = X'Ez, zie (4.1). m a b blz. 250 (4.3) 
X'EX0 = nd De grootheid (4.9) 
F =
R2/p
(1—R2)/(N—p—1)
N—p—1 
fl'X'Ez
P 
z'Ez-0'X'Ez meet de verklaarde variatie per eenheid onverklaarde variatie en heeft een 
F-verdeling met p en N—p—1 vrijheidsgraden. Hij wordt gebruikt om de 
hypothese H0 
= 0 te toetsen. Als de berekende F voldoende groot is, 
wordt H0 verworpen. het discriminantanalyse-model kan (4.7) vereenvoudigd worden, omdat m a b blz. 250 m a b blz. 250 (4.10) 
z'Ez = z' [I — 4- 11' ] z = z'z — jL z' 1 1 ' z 
= Ni - S - N1 = N1 ( ! - £ ) (4.10) 
z'Ez = z' [I — 4- 11' ] z = z'z — jL z' 1 1 ' z (4.10) = Ni - S - N1 = N1 ( ! - £ )  en omdat volgens (4.1) en (4.2) geldt 
X'EX0 = X'Ez = nd. X'EX0 = X'Ez = nd. De gelijkheid (4.7) wordt dan
(4.11) 
1 = d'0 + rest/n De gelijkheid (4.7) wordt dan
(4.11) 
1 = d'0 + rest/n De gelijkheid (4.7) wordt dan (4.11) 
1 = d'0 + rest/n De uitdrukking in (4.9) wordt dus De uitdrukking in (4.9) wordt dus (4.12) 
F . n -P - 1 - i i ,
P 
1—d /3 Door substitutie van 0 = y C_1 d en 7 = (1—d'0)n (zie 4.6) wordt dit Door substitutie van 0 = y C_1 d en 7 = (1—d'0)n (zie 4.6) wordt dit (4.13) 
F = ------ ---------------- = N~P—* n d'c~1 d
V 
' 
(1—R2)/(N—p—1) 
P waar C voorstelt de „binnengroepscovariantiematrix” vermenigvuldigd met 
N—2. We laten nu zien dat de uitdrukking (4.12) een F-verdeling heeft met p 
en N—p—1 vrijheidsgraden. waar C voorstelt de „binnengroepscovariantiematrix” vermenigvuldigd met 
N—2. We laten nu zien dat de uitdrukking (4.12) een F-verdeling heeft met p 
en N—p—1 vrijheidsgraden. Beschouw twee onafhankelijke, normale populaties Beschouw twee onafhankelijke, normale populaties Beschouw twee onafhankelijke, normale populaties (4.14) 
Xj» N (jl ij, o2) en x2 w N (/z2, o2) en stel dat we uit elk een aselecte steekproef hebben: en stel dat we uit elk een aselecte steekproef hebben: 
xn , • • • ) xlNj en X21 > • • • > x 2N2 xn , • • • ) xlNj en X21 > • • • > x 2N2 xn , • • • ) xlNj en X21 > • • • > x 2N2 De gebruikelijke grootheid om de hypothese H(): /u1 = p2 te toetsen is de 
volgende, die een t-verdeling met N—2 vrijheidsgraden heeft: (4.15)
• V n waar x; (i = 1,2) voorstek het gemiddelde van de i-de steekproef: waar x; (i = 1,2) voorstek het gemiddelde van de i-de steekproef: N i
: 2 V Ni 
j = l N i
: 2 V Ni 
j = l m a b blz. 251 waar S2 de „gepoolde” variantie is, waar S2 de „gepoolde” variantie is, waar S2 de „gepoolde” variantie is, 1
N -  2
(Nl -  1)
+  (n 2
j i j  (xij ~ x i )2 /(n i -  !) J +
1) | S2 (X2j ~  x 2 ) 2 / ( N2 ~  1) en waar n - Nj N2/n , n = Nj + n 2. en waar n - Nj N2/n , n = Nj + n 2. Men kan ook het kwadraat van (4.15), (4.16)
n(x^  
~  \2 gebruiken. Deze grootheid heeft een F(1,N—2)-verdeling (een F-verdeling 
met 1 en N—2 vrijheidsgraden), zie bijvoorbeeld Mood & Graybill4 \ gebruiken. Deze grootheid heeft een F(1,N—2)-verdeling (een F-verdeling 
met 1 en N—2 vrijheidsgraden), zie bijvoorbeeld Mood & Graybill4 \ Stel nu dat we twee multivariate verdelingen hebben: Np 
;,2) en 
N (ju2,S), waar p het aantal dimensies voorstelt. Uit elk van beide hebben 
we een aselecte steekproef, resp. de Njxp matrix Xj en de N2xp matrix X2. De „gepoolde” covariantiematrix is _ i _  c  = — __
N -  2 
N -  2 X'FX waar waar X =
zoals in (3.1) De multivariate analogon van (4.16) wordt De multivariate analogon van (4.16) wordt (4.17) 
T2 = n(Xj -  X2)'C-1 (Xj -  X2) . Beschouw twee onafhankelijke, normale populaties (N -2) =
= n h'XC- 1 X'h (N-2)
= d'C- 1 d n(N—2) waar h gedefinieerd is in (3.10) en d = X'h (zie 3.16). waar h gedefinieerd is in (3.10) en d = X'h (zie 3.16). T is Hotelling’s „T-statistic” met N—2 vrijheidsgraden en het is bekend dat T is Hotelling’s „T-statistic” met N—2 vrijheidsgraden en het is bekend dat T is Hotelling’s „T-statistic” met N—2 vrijheidsgraden en het is bekend d T2 
N -p -1  
N- 2  ' 
P T2 
N -p -1  
N- 2  ' 
P een F-verdeling heeft met p en N—p—1 vrijheidsgraden (zie Andersons):
A. M. Mood and F. A. Graybill, Introduction to the Theory o f Statistics, (1963) McGraw-Hill, p. 233. 5) T. W. Anderson, An Introduction to Multivariate Analysis (1966), John Wiley, p. 105-106. m a b biz 252 een F-verdeling heeft met p en N—p—1 vrijheidsgraden (zie Andersons):
A. M. Mood and F. A. Graybill, Introduction to the Theory o f Statistics, (1963) McGraw-Hill, p. 233. m a b biz. 252 (4.18)
J 1  * = £ l±  = * = £ z ln d 'C r 'd
N—2 
p 
p
F(p, N - p - 1) (4.18) en hiermee is aangetoond dat (4.13) en dus (4.12) een F-verdeling hebben. Toets op een verschil tussen beide groepen St en S2 Als er geen verschil tussen beide groepen is, is t = n2 en is de discriminant- 
functie zinloos. In dat geval heeft de verhouding verklaarde variatie/onver- 
klaarde variatie (4.13) de neiging klein te zijn, omdat er niets te verklaren 
valt. Wil de discriminantfunctie zinvol zijn dan moeten 
en /a2 verschillen 
waardoor we voor (4.13) grotere waarden mogen verwachten. We kunnen de 
zinvolheid van de discriminantfunctie toetsen door de hypothese H0 : 
=
H2 te toetsen m.b.v. de grootheid (4.13) 
F = ——-y • N~ ^ r l-
V 
' 
1 —R 2 
p Bij een a-procent toets wordt H0 verworpen als F > F j_ a (p,N—p—1) waar 
Fj _ a(p,N—p—1) het (1— a)de percentiel van de F(p,N—p—l)-verdeling voor­
stek. Bij een a-procent toets wordt H0 verworpen als F > F j_ a (p,N—p—1) waar 
Fj _ a(p,N—p—1) het (1— a)de percentiel van de F(p,N—p—l)-verdeling voor­
stek. Toets op een significante bijdrage van additionele onafhankelijke variabelen 
We kunnen de F-verdeling ook gebruiken om te toetsen of een discriminant­
functie gebaseerd op xl t . . ., x , x +1, . Beschouw twee onafhankelijke, normale populaties . ., x +q beter is dan één gebaseerd 
op Xj, . . ., x . In dit geval gebruiken we (4 i9i 
F’ = r p + q ~ r p N -p -q -1  
1 -  R p2 + ,  
H Rp + q is de gekwadrateerde correlatiecoëfficiënt (de proportie verklaarde 
variatie) in de regressie op x ,, x2>. ., xp+ 
en R2 is de analoge grootheid in 
de regressie op Xj, x2 . . ., x . De grootheid in (4.19) meet de relatieve 
toename van de proportie verklaarde variatie. De toename is significant met 
een niveau van a.% als (4.20) 
F' > Fl a (q, N -p -q -1 ) Toets op gelijkheid van de discriminantfunctie aan een tevoren gespecificeer­
de relatie. Toets op gelijkheid van de discriminantfunctie aan een tevoren gespecificeer­
de relatie. We berekenen de proportie verklaarde variatie R2 voor de geschatte discri­
minantfunctie en de proportie verklaarde variatie R2 voor de tevoren gespeci­
ficeerde relatie en verwerpen de gelijkheid met een niveau van a procent als m ab blz. 253 (4.21)
" = _E_
F" = Rp -  R? N - p - i
i -  R:
> F i_ a (p ,N -p -l) Als c' = (cj, . . . , c ) de coëfficiënten van de gespecificeerde relatie zijn, dan
is
R2 = 
__
c 
1 -  d'c R2 = 
__
c 
1 -  d'c Merk op dat (4.21) identiek is aan (4.13) als c = 0. Geschatte kansen op misklassificatie Geschatte kansen op misklassificatie
Die vinden we door in (2.10) voor iul , 
en 2 de zuivere schatters X j, X, 
en ^ ^  C in te vullen. De geschatte kansen zijn beide gelijk aan N(— 4 
waar D2 = (Xx -  X2) ' C“ 1 (Xj -  X2) (N -2) = d'C_1d (N -  2) =
r 2 
N—2 
1 —R2 ' 
n
zie (4.13). D2 = (Xx -  X2) ' C“ 1 (Xj -  X2) (N -2) = d'C_1d (N -  2) = zie (4.13). De grootheid D2 is ,,Mahalanobis’ generalized distance”. Men mag verwach­
ten dat de schattingen goed zijn ingeval van een groot aantal vrijheidsgraden 
want D2 is een consistente schatter van 52 = 
— /z2 j’S 1 (/a, — n2)- Een bezwaar van deze methode voor het schatten van kansen op misklassi- 
ficaties is dat hij uitgaat van de normaliteitsveronderstelling. 6) P. A. Lachenbruch and M. Ray Mickey, Estimation of Error Rates in Discriminant Analysis, 
Technometrics, Vol. 10, No. 1 (1968) pp. 1-11. 7) P. A. Lachenbruch, An almost unbiased method of obtaining confidence intervals for the 
probability of misclassifïcation in discriminant analysis, Biometrics, December (1967) pp. 639-645. Beschouw twee onafhankelijke, normale populaties Afgezien hier­
van is er nog een ander bezwaar. Het is bekend dat in het algemeen D2 een 
overschatting van 62 oplevert, waaruit volgt dat N ( - 25) door N(—iD ) 
wordt onderschat. Vooral om dit laatstgenoemde bezwaar op te heffen is een 
nogal groot aantal alternatieve schattingsmethoden ontwikkeld. Lachenbruch en Mickey6) hebben de kwaliteit van een aantal methoden 
om de kansen op misklassificatie te schatten, waaronder de zojuist genoem­
de, onderzocht d.m.v. simulatie uit multivariate normale verdelingen. Voor 
kleine steekproeven bevelen zij de zgn. U-methode aan, die als volgt te werk 
gaat. Men schat een discriminantfunctie uit N—1 waarnemingen en klassifi- 
ceert de resterende waarneming met die functie en deze procedure wordt 
uitgevoerd voor alle N combinaties van N—1 waarnemingen. De kansen op 
misklassificatie worden geschat door het aantal fout geklasseerde gevallen 
voor elke groep te delen door het aantal elementen van de groep. We noemen 
deze schatters resp. P* en P2. Zoals hij hier is beschreven zou de U-methode 
N maal een matrixinvertering eisen, voor elke discriminantfunctie eenmaal. Lachenbruch7) heeft een rekenwijze aan de hand gedaan waarbij met één 
invertering kan worden volstaan. m a b blz. 254 Noem de i-de rij van X in (3.1) x' en laat Xj = hj X/N, voorstellen de 
gemiddelde rij van de Nj met groep Sk corresponderende rijen en laat X'2 
analoog zijn gedefinieerd. Definiëren we verder de i-de rij minus de gemiddel­
de rij van zijn groep U
x '- X ' (i= 1,2........ N; k= 1,2) dan kan de discriminantfunctie, die gebruikt wordt voor de klassificatie van 
X; (i = 1,. . ,,N), als volgt worden berekend dan kan de discriminantfunctie, die gebruikt wordt voor de klassificatie van 
X; (i = 1,. . ,,N), als volgt worden berekend (N—3)
£(*1 + X 2) +
U;
2(N k - 1 )
X l - X 2 + ( - l) k
U.1
Nk-  1 waar , N
^ U
j U
j ' C - 1
Nk- i - N ku ;c-iU j waar C gelijk is aan (N — 2)maal de „gepoolde” covariantiematrix en waar k 
de index van de groep is waartoe x; behoort. waar C gelijk is aan (N — 2)maal de „gepoolde” covariantiematrix en waar k 
de index van de groep is waartoe x; behoort. Lachenbruch heeft ook een methode gesuggereerd voor het benaderen van 
betrouwbaarheidsintervallen voor de beide kansen op misklassificatie. Beschouw twee onafhankelijke, normale populaties Laat Pj voorstellen de kans op het ten onrechte in groep S2 klassificeren 
van een element uit Sj en laat P* de zojuist beschreven schatter van Pj zijn. Een 100 (1—a)-procent betrouwbaarheidsinterval voor Pj kan dan worden 
benaderd door de volgende vergelijking op te lossen. (4.22) 
Nj (PJ — Pj)2 / Pj (1 — Pj) = z^/2 waar zaj2 voorstelt het 100 a /2-de percentiel van de standaard normale ver­
deling en waar Nj het aantal elementen van groep Sj in de steekproef is. waar zaj2 voorstelt het 100 a /2-de percentiel van de standaard normale ver­
deling en waar Nj het aantal elementen van groep Sj in de steekproef is. Deze methode berust op de volgende redenering. Als Z: een dummy-varia- 
bele is die de waarde 1 krijgt als een element uit Sj en S2 wordt geklassifi- 
ceerd en anders de waarde 0 aanneemt, kunnen we de schatter P( schrijven 
als (4.23) 
P i - i - . I j Z j De kansvariabele 
neemt met een kans Pj de waarde 1 aan en met een kans 
1 — Pj de waarde 0. Zijn verwachting en zijn variantie zijn dus respectievelijk 
E(Zj) = Pj en var(Zj) = Pj (1 — Pj). Dus De kansvariabele 
neemt met een kans Pj de waarde 1 aan en met een kans 
1 — Pj de waarde 0. Zijn verwachting en zijn variantie zijn dus respectievelijk 
E(Zj) = Pj en var(Zj) = Pj (1 — Pj). Dus E(PJ) = N,
2 1 H (Z j) 
J=i
= P, m a b blz. 255  waar p de correlatiecoëfficiënt tussen Z; en Zj is. Lachenbruch laat zien dat 
verwacht mag worden dat p kleine waarden aanneemt, verwaarlozing ervan 
geeft slechts geringe fouten. De gestandaardizeerde grootheid waar p de correlatiecoëfficiënt tussen Z; en Zj is. Lachenbruch laat zien dat 
verwacht mag worden dat p kleine waarden aanneemt, verwaarlozing ervan 
geeft slechts geringe fouten. De gestandaardizeerde grootheid Pj -  Pi
V p , (1-P 1)/N1 Pj -  Pi
V p , (1-P 1)/N1 heeft dan bij benadering een standaard normale verdeling; op dit feit is 
(4.22) gebaseerd. g
Voor P2 kan men op analoge wijze een betrouwbaarheidsinterval benade­
ren. Merk op dat de zojuist beschreven methode geen normaliteit van de x; 
veronderstelt, hij is nonparametrisch van karakter. 5 
Het geval van meer dan twee groepen In deze paragraaf volgen we voor de afleiding van een klassificatieprocedure 
voor meer dan twee groepen een minder intuïtieve weg dan we in Paragraaf 1 
voor twee groepen deden. Daardoor zal blijken dat de procedure (2.2) en dus 
procedure (2.8) een procedure is die het verwachte verlies minimeert. We beschouwen een verzameling objecten S die gepartitioneerd is in de 
deelverzamelingen S1( S2, . . Sj (zie Paragraaf 1). We willen de waarne- 
mingsruimte van x opdelen in J onderling uitsluitende en uitputtende deel­
ruimten R j, R2, . . ., Rj, zodat een object in Sj wordt geklassificeerd als de 
met dat object corresponderende waarde van x in Rj valt. We noemen de kosten van het klassificeren van een element uit S; in Sj 
c(j/i). De kans op deze misklassificatie is (5.1) 
P(j/i) = ƒ 
Ij (x) 
dx waar l;(x) de aannemelijkheidsfunctie van x in groep S; voorstelt. Stel dat Pj, 
P2, . . ., Pj de a priori kansen zijn dat een getrokken element resp. tot groep 
S j, groep S2, . . ., groep Sj behoort. Dan is het verwachte verlies (5.2) l Pj i P (j/i) c (j/i) 
i = i  
j = i Het probleem is de verschillende Rj zo te kiezen dat deze uitdrukking mini­
maal wordt. Het probleem is de verschillende Rj zo te kiezen dat deze uitdrukking mini­
maal wordt. De bijdrage van een steekproefpunt x aan het verwachte verlies is m a b blz. 256 m a b blz. 256 (5.3) 
hj(x) = 
2 Pjli (x) c (j/i) bij klassificatie in groep Sj. Om het verwachte verlies te minimeren, klassifi- 
ceren we het element in die groep waarvan hj(x) minimaal is; als min hj(x) = 
hk(x), dan klassificeren we in Sk en het element x kennen we aan de deel­
ruimte Rk toe. Deze procedure herhalen we voor alle waarden van x en zo 
vormen we de deelruimten R j, R2, . . ., Rj. bij klassificatie in groep Sj. Om het verwachte verlies te minimeren, klassifi- 
ceren we het element in die groep waarvan hj(x) minimaal is; als min hj(x) = 
hk(x), dan klassificeren we in Sk en het element x kennen we aan de deel­
ruimte Rk toe. Deze procedure herhalen we voor alle waarden van x en zo 
vormen we de deelruimten R j, R2, . . ., Rj. 8) 
Deze paragraaf is een bewerking van een onderdeel van het artikel „Voorspelbaarheid van inso
ventie” van R. A. I. van Frederikslust. M.A.B. no. 4, 1976. 5 
Het geval van meer dan twee groepen Dus, we kennen een punt x aan Rk toe als (5.4) 
hk(x) < hj (x) 
voor j = 1,2, . . ., J (j *  k) of als (5.5) 
2 Pjlj (x) c (k/i) < 
2 Pd, (x) c (j/i)
i =  i 
i =  i
i# j
voor j = 1, 2, . . ., J 
(j* k ) Stel c(i/j) = 1 en trek in (5.5) aan weerskanten af 2 
Pjlj (x). Dan wordt (5.5) 
i = 1 
iAj, k
(5.6) 
Pjlj (x) < P klk (x) 2 
Pjlj (x). Dan wordt (5.5) 
i = 1 
iAj, k
(5.6) 
Pjlj (x) < P klk (x) 2 
Pjlj (x). Dan wordt (5.5) 
i = 1 (5.6) 
Pjlj (x) < P klk (x) Beide termen in deze ongelijkheid zijn, op een constante na, a posteriori 
kansen; elk is het product van een a priori kans P en een aannemelijkheid 
l(x). Als (5.6) geldt voor j = 1,2, . . ., J (j ¥= k) kennen we dus x aan Rk toe, 
waar k de index is die de a posteriori kans Pjl,(x) maximeert. We klassificeren 
het corresponderende object in Sk, dus in de meest waarschijnlijke groep. We generalizeren nu het basismodel voor twee groepen dat in Paragraaf 1 
behandeld is, d.w.z. dat de vector x p-dimensionaal normaal verdeeld is: (5.7) 
1 (x;Mj) = c exp { -  y(x-Mj)' 2 -1 (x - juj) } (j = 1, . . . , J). Rk is dan gedefinieerd door die x-en waarvoor Pjl(x;Pj) < Pk(x;Pk) 1 (x; //.) 
P: 
. (5.8) 
Rk : X = -------- - > ^  voor j = 1 , . . . , J (j * k)
1 ( x ; Mj) 
P k m ab blz. 257 m ab blz. 257 Door vereenvoudiging van X volgens (2.3) en door het nemen van de loga­
rithme wordt (5.8) Door vereenvoudiging van X volgens (2.3) en door het nemen van de loga­
rithme wordt (5.8) (5.9) 
Rk : x'b—b0>log jj- voor j = 1 , . . . , J (j #  k)
* k waar (5.10) b = 2 ] (Mk -Mj) enb0 =2 (/ik +Mj)'b We zien direct dat voor J = 2 en gelijke a priori kansen de klassificatieregel
(5.9) gelijk is aan regel (2.8). 5 
Het geval van meer dan twee groepen We zien direct dat voor J = 2 en gelijke a priori kansen de klassificatieregel
(5.9) gelijk is aan regel (2.8). Als de parameters /ij en 2 niet bekend zijn en als van elk van de J 
populaties Sj een steekproef ter grootte van Nj beschikbaar is, vullen we in
(5.10) in de schatters (5.11) 
jl. = l  
2j (x
N j t =  i
ljt x 2jt
Cpjt)f N: t = l
N j 
2 J xjt
2  =
J 
S  
2  
F
j = l t = i (Xjt -Mj) (xjt -P j)7 (
1 =  1 N i
J) waar xSjt de waarneming van kenmerk i betreffende het t-de object van groep 
Sj voorstelt. Zie (3.1) voor notatie. waar xSjt de waarneming van kenmerk i betreffende het t-de object van groep 
Sj voorstelt. Zie (3.1) voor notatie. 9) Zie voor een (nadere) toelichting van deze grootheden R. A. I. van Frederikslust, Voorspelbaar­
heid van insolventie, paragraaf 3.3.
10) Investeringen in duurzame activa en dividenduitgaven enz. worden als uitstelbare uitgaven 
beschouwd en worden derhalve niet in het insolventiemodel opgenomen.
Voorts wordt verondersteld dat in een crisissituatie aandelen niet geplaatst kunnen worden, zodat 
ook deze grootheid niet in LIt wordt opgenomen.
11) Zie ook A. I. Diepenhorst en H. Willems, De optimale financiële structuur. Kernproblemen der 
Bedrijfseconomie, C. F. Scheffer e.a. Agon Elsevier, Amsterdam/Brussel 1966, p. 195 en F. W. C. 
Blom, Leencapaciteit van ondernemingen p. 214. Bedrijfskunde 1974/4. 6 
Illustratie voor twee groepen g
p
We zullen nu het gebruik van de discriminantanalyse illustreren met een 
probleem uit de financieringstheorie. Het probleem betreft de voorspelbaar­
heid van ernstige financiële moeilijkheden (insolventie) van ondernemin­
gen8). Het begrip insolventie Onder insolventie verstaan we de situatie waarin een onderneming niet op 
tijd kan voldoen aan haar financiële verplichtingen. Sommige insolvente 
ondernemingen krijgen surséance van betaling en worden gereorganiseerd; 
voor andere komt de hulp niet of te laat zodat ze failliet gaan. De mogelijk­
heid om insolventie te voorspellen is belangrijk zowel voor de onderneming 
als voor haar financiers. Een tijdige signalering van dit probleem stelt hen in 
staat om preventieve maatregelen te nemen bijvoorbeeld door het beleid te 
veranderen, de financiële structuur te reorganiseren of zelfs te besluiten tot 
liquidatie om verdere verliezen te voorkomen. m ab blz. 258 Een model We zullen nu een model ontwikkelen waarmee insolventie van ondernemin­
gen voorspeld kan worden. Daarna zal het model worden getoetst aan een 
steekproef van 20 solvente en 20 insolvente beursondernemingen betrekking 
hebbend op de periode 1954-1974. Bij het ontwikkelen van het model zal 
gebruik worden gemaakt van de volgende symbolen: Symbolen9 10 1) Symbolen9 10 1) Symbolen9 10 1) y
)
NOt = interne middelen (inclusief het beginsaldo van de liquide middelen) 
aan het eind van de periode t NOt = interne middelen (inclusief het beginsaldo van de liquide middelen) 
aan het eind van de periode t KVt = omvang van de korte schulden aan het eind van periode t (inclusief 
de aflossing van lange leningen) KVt = omvang van de korte schulden aan het eind van periode t (inclusief 
de aflossing van lange leningen) ELt = omvang van de in periode t aangetrokken lange leningen LIt = 
saldo van de liquide middelen aan het eind van periode t Met behulp van deze symbolen kan voor het kassaldo LIt al meteen de 
volgende vergelijking worden opgesteld. (6.1) 
LIt = NOt + KVt -  KVt_ j + ELt Het kassaldo LIt is gelijk aan de zelf verdiende middelen NOt plus de mutatie 
van de korte schulden KVt — KVt_ j plus de in periode t aangetrokken lange 
leningen ELt.‘ °) Een onderneming is insolvent als haar liquide middelen LIt 
< 0 of als: Het kassaldo LIt is gelijk aan de zelf verdiende middelen NOt plus de mutatie 
van de korte schulden KVt — KVt_ j plus de in periode t aangetrokken lange 
leningen ELt.‘ °) Een onderneming is insolvent als haar liquide middelen LIt 
< 0 of als: (6.2) 
NOt + KVt -  KVt_ j + ELt < 0 We kunnen deze ongelijkheid ook schrijven als NO. + KVt + ELf
(6.3.) 
— i---------ï--------£
KV. ,
< 1 <=> NOt
K\T
KV. + EL
t-i
KV,
£ < i
t-i (6.3.) De term NOj/K V ^ j is de „eigen dekking” van de korte-termijn schulden, 
KVt-1 en de term (KVt + ELt)/KVt_ j is de „vreemde dekking” ervan. De grootte van de „vreemde dekking” hangt af van de beslissing van de 
bedrijfsleiding en van de financiers. De bedrijfsleiding zal een beslissing 
nemen op basis van een afweging van de potentiële opbrengsten (rentabiliteit 
van het eigen vermogen) en de liquiditeitsrisico’s van schuldfinanciering1 1). mui ) blz. Een model 259 De rentabiliteit van het eigen vermogen in periode t is gelijk aan WNt/EVt 
waar WNt = netto winst na belasting in periode t en EVt het eigen vermogen 
aan het eind van periode t. Bij het beoordelen van de kredietwaardigheid van 
een onderneming zal de financier ook de nadruk leggen op de criteria die de 
bedrijfsleiding hanteert1 2). De grootte van de „vreemde dekking” (KVt + ELt)/KVt_ j zal daarom in 
hoofdzaak bepaald worden door de liquiditeitsratio NOt/KVt_ x en de renta- 
biliteitsratio WNt/EVt. We kunnen aannemen dat (KVt + ELt)/KVt_ x een 
stijgende functie, zeg f(.), is van de criteria Xj = NOt/KVt
, en x2 = 
WNt/EVt; dan geldt (6.4) 
(KVt + ELt)/KVt_ 1 = f (xlt x2) Door substitutie in (6.3) kunnen we zeggen dat er sprake is van insolventie 
wanneer Door substitutie in (6.3) kunnen we zeggen dat er sprake is van insolventie 
wanneer (6.5) 
Xj + f(xl5 x2) < 1 De liquiditeitsratio x t en de rentabiliteitsratio x2 zullen dus in dit model de 
insolventie van een onderneming kunnen bepalen.12 13 14) Er zijn geen a priori 
overwegingen om te verwachten dat xx en x2 sterk gecorreleerd zijn. Immers 
de rentabiliteit x2 is een variabele die de ontwikkeling van de liquiditeit op 
de lange termijn mede bepaalt. We zullen hieronder trachten met het model 
insolventie van ondernemingen één jaar tevoren te voorspellen. Voor we tot 
het bespreken van de voorspelfunctie en de voorspelresultaten overgaan zul­
len we eerst de steekproefdata bespreken. 13) We gaan hier niet in op de vorm van f(x j,x 2). Een nader onderzoek volgt hierna.
14) Het is niet strikt nodig de beide groepen bedrijven even groot te kiezen. Men zou bijvoorbeeld 
de solvente groep groter kunnen kiezen dan de insolvente groep, indien men over relatief weinig 
insolvente bedrijven beschikt. Voor ons probleem is een steekproef van 40 bedrijven groot genoeg.
15) Deze steekproefsamenstelling heeft tot doel de invloed van de interveniërende variabelen 
(„grootte” en „bedrijfstak”) uit te schakelen, omdat deze variabelen storend kunnen werken op de 
relatie tussen de ratio’s en de kans op insolventie. 12) Zie O. Vogelenzang, Informatiebehoefte bij de verschaffers van leenvermogen. Maandblad voor 
Accountancy en Bedrijfshuishoudkunde no. 7, pp. 281-289, 1974. 13) We gaan hier niet in op de vorm van f(x j,x 2). Een nader onderzoek volgt hierna.
14) H t i
i t
t ikt
di
d
b id
b d ij
t t
ki
M 16) 
Een regressie op basis van een onafhankelijke dummy variabele is hier gerechtvaardigd omda
deze regressie slechts gebruikt wordt om de bedrijven in groepen te klassificeren. Voor andere doel­
einden is zo’n regressie minder geschikt omdat daarbij niet voldaan wordt aan de klassieke kleinste- 
kwadraten veronderstelling van homoscedasticiteit. (Zie ook A. S. Goldberger, Econometrie Theory. 
New York. John Wiley and Sons 1964, pp. 248-247).
1 7) Merk op dat de regressie-coëfficiënten groter zijn dan twee maal de standaardfout die daarbij 
tussen haken is opgenomen; hoewel hier niet dezelfde betekenis mag worden toegekend aan de stan­
daardfouten als in het lineaire model. Zie ook voetnoot 16. Data Het onderzoek betreft 20 beursondernemingen die in de periode 1954-1974 
insolvent zijn geworden. De range van de totale activa van 19 van de 20 
ondernemingen was 1.02—30.5 mln gulden (gemiddeld 15.2 mln gulden) één 
jaar vóór insolventie. Naast deze kleine en middelgrote was er nog een grote 
onderneming die in de beschouwde periode insolvent werd. De totale activa 
van deze onderneming beliepen één jaar voor insolventie 153,2 mln gulden. Voor elke insolvente onderneming1 4) werd een solvente partner gekozen uit 
dezelfde bedrijfstak die in de desbetreffende periode qua grootte (totale 
activa) zoveel mogelijk overeenkwam met zijn insolvente partner („paired 
sample design”).15) De range van de totale activa van 19 van de 20 solvente 
bedrijven was in het eerste jaar 1.7—33.5 mln gulden (gemiddeld 16.3 mln gulden). Er was geen grote solvente onderneming te vinden van ongeveer 
gelijke grootte in het eerste jaar als de grote insolvente onderneming. De 
totale activa van de onderneming die we gekozen hebben waren in het eerste 
jaar 245.3 mln gulden. Het verschil in omvang tussen beide grote onder­
nemingen over een periode van zes jaar was evenwel kleiner. De gemiddelde 
waarde van de totale activa van de grote insolvente onderneming was 186.3 
mln en van de grote solvente onderneming 185.0 mln gulden. Tabel 6.1 
Significantietoetsen Tabel 6.1 
Significantietoetsen
R1 2 
F-waarde
yJt 
.517 
19.87a
y't 
.316 
11.24a
y" 
.311 
9.78a
a)
«min < - 0°5 
F.995 (2,37) = 6.15
F-995(l>37)= 8,94 Daaruit blijkt dat de gekwadrateerde correlatie-coëfficiënt R2 van de ge­
schatte functie yjt gelijk is aan .517 en de berekende F-waarde 19.87. Daaruit blijkt dat de gekwadrateerde correlatie-coëfficiënt R2 van de ge­
schatte functie yjt gelijk is aan .517 en de berekende F-waarde 19.87. Deze is groter dan F.995 (2,37) = 6.15 zodat de hypothese H0 kan wor­
den verworpen. De (rechter) overschrijdingskans amin (de kans waarmee de gevonden uit­
komst van F nog juist tot verwerping van HQ zou leiden) is dus kleiner dan 
.005. We mogen derhalve verwachten dat met behulp van yjt met succes zal 
kunnen worden gediscrimineerd tussen de bedrijven van de twee groepen. Toets op een significante bijdrage van additionele onafhankelijke variabelen 
We hebben ook de F-verdeling gebruikt om te toetsen of de regressie y^t 
gebaseerd op xx e'n x2 beter is dan yjt en yj', waar yjt de regressie is 
gebaseerd op xx en y” op x2. In Tabel 6.1 zijn de gekwadrateerde correlatie- 
coëfficiënten R2 van deze functies opgenomen. Op basis van vergelijking 
(4.19) hebben we de F-waarde in geval van yjt en y” berekend die ook in de 
tabel zijn opgenomen. Daaruit blijkt dat de berekende F-waarde i.g.v. y f 
(11.24) groter is dan F.99 5(l,37) = 8.94; amin < .005. Hetzelfde geldt t.a.v. de F-waarde i.g.v. y'fr We kunnen derhalve stellen dat zowel de liquiditeits- 
ratio Xj als de rentabiliteitsratio x2 een significante bijdrage leveren tot het 
discriminerend vermogen van de geschatte functie yjt. 1 8) De toetsen die hieronder zullen worden uitgevoerd berusten op de veronderstelling van normaal 
verdeelde variabelen xj. In dat geval is log \  (zie paragraaf 2) lineair. 19) 
De procedure die nu volgt gaat weer niet uit van de veronderstelling van normaal verdeelde x
Zie ook paragraaf 4. 1 8) De toetsen die hieronder zullen worden uitgevoerd berusten op de veronderstelling van normaal 
verdeelde variabelen xj. In dat geval is log \  (zie paragraaf 2) lineair.
19) 
De procedure die nu volgt gaat weer niet uit van de veronderstelling van normaal verdeelde x
Zie ook paragraaf 4. Resultaten Voor elk van de 40 beursondernemingen hebben we de liquiditeitsratio Xj en 
de rentabiliteitsratio x2 berekend die hiervoor zijn afgeleid, één jaar voor 
„insolventie”. Op basis daarvan is een functie geschat waarmee de bedrijven 
kunnen worden geklassificeerd naar een van de beide groepen. Bij het schat­
ten van die functie is gebruik gemaakt van een regressie-computerprogramma 
omdat dat in het algemeen beter ontwikkeld is dan discriminantprogram- 
ma’s. In Paragraaf 4 is aangetoond dat in geval van 2 groepen de regressie- 
coëfficiënten proportioneel zijn met de coëfficiënten van de discriminant- 
functie indien aan de afhankelijke variabele y de waarde 1 (solvent) en 0 
(insolvent) wordt toegekend.16) We zullen nu de geschatte functie bespre­
ken. Deze heeft de volgende gedaante. (6.6) 
yjt = .5293 + .4488 xljt + 2863 x2jt 
j = 1,2
(.1129) 
(.0729) 
t = 1,2, . . . 2 0 waarbij xt jt = de liquiditeitsratio van bedrijf t van groep j 
x2jt = de rentabiliteitsratio van bedrijf t van groep j 
yjt = de regressie-score van bedrijf t van groep j. De tekens van de regressie-coëfficiënten zijn in overeenstemming met de 
theorie17). De gemiddelde waarde van de liquiditeitsratio van de solvente 
groep Xj j is groter dan die (x12) van de insolvente groep. Hetzelfde geldt 
voor de gemiddelden van de rentabiliteitsratio van de beide groepen: x21 > 
x22. Omdat bij het schatten van de functie aan y-t de waarde 1 is toegekend 
voor solvente bedrijven en 0 voor insolvente bedrijven zal bij positieve regres­
sie-coëfficiënten de gemiddelde score y j, van solvente bedrijven groter zijn 
dan die van insolvente bedrijven y2. Het spreekt vanzelf dat discriminatie m.b.v. (6.6) slechts zinvol is als de 
vector nl , van de gemiddelde waarden van de onafhankelijke variabelen van 
de solvente groep verschilt van de corresponderende vector n2 voor de insol­
vente groep. * 1 m a b blz. 261 Significantietoets18) g
f
)
De zinvolheid van de geschatte functie hebben we dan ook getoetst door de 
hypothese H0 \ nx = fi2 te toetsen met de grootheid F gedefinieerd in verge­
lijking (4.13). Het resultaat van deze toets is in de eerste rij van onderstaande 
tabel opgenomen. Tabel 6.1 
Significantietoetsen Geschatte kansen op misklassificatie1 9 ) We hebben de voorspelresultaten van de geschatte functie y- geëvalueerd 
met behulp van de „methode-Lachenbruch” (zie paragraaf 4). Er zijn 40 m a b blz. 262 m a b blz. 262 regressies geschat op basis van de waarnemingen (ratio’s) voor elke combina­
tie van 39 uit de groep van 40 bedrijven. Voor elke regressie hebben we het 
weggelaten bedrijf geklassificeerd op basis van een kritieke regressie-score y* 
die gelijk is aan de gemiddelde score van y-t van de bedrijven; de klassificatie- 
procedure is als volgt2 0). regressies geschat op basis van de waarnemingen (ratio’s) voor elke combina­
tie van 39 uit de groep van 40 bedrijven. Voor elke regressie hebben we het 
weggelaten bedrijf geklassificeerd op basis van een kritieke regressie-score y* 
die gelijk is aan de gemiddelde score van y-t van de bedrijven; de klassificatie- 
procedure is als volgt2 0). I
> y* bedrijf ->■ solvente groep Sj
< y* bedrijf-> insolvente groep S2 I
> y* bedrijf ->■ solvente groep Sj
< y* bedrijf-> insolvente groep S2 Voorts hebben we op basis van vergelijking (4.22) een 100 (1—a-procent 
betrouwbaarheidsinterval voor elk van de kansen Pj en P2 op misklassificatie 
berekend. Voorts hebben we op basis van vergelijking (4.22) een 100 (1—a-procent 
betrouwbaarheidsinterval voor elk van de kansen Pj en P2 op misklassificatie 
berekend. De geschatte kansen op misklassificatie van yjt zijn als volgt: 1. voor de solvente groep Sj
a. geschatte kans op misklassificatie Pj = .05 
b. een 95 procent betrouwbaarheidsinterval 
.009 < Pi < .236 1. voor de solvente groep Sj
a. geschatte kans op misklassificatie Pj = .05 
b. een 95 procent betrouwbaarheidsinterval 
.009 < Pi < .236 2. voor de insolvente groep S2 2. voor de insolvente groep S2
a. geschatte kans op misklassificatie Pj = .10
b. een 95 procent betrouwbaarheidsinterval 
.028 < P2 < .301 a. geschatte kans op misklassificatie Pj = .10 De functie voorspelt iets beter voor de solvente groep. In totaal zijn 92.5 
procent van alle bedrijven correct geklassificeerd. De functie voorspelt iets beter voor de solvente groep. In totaal zijn 92.5 
procent van alle bedrijven correct geklassificeerd. De gemiddelde waarde van de kritieke score y* die daarbij gehanteerd 
werd is gelijk aan .50. Men zou de vraag kunnen stellen of de proportie correcte klassificatie die 
verkregen is met het discriminantanalysemodel significant verschilt van die 
van een aselecte klassificatie. In ons geval zijn de groepen even groot. 20) Vergelijk deze klassifïcatie-procedure met die van vergelijking (2.8). De waarde van y* is, 
afgezien van een te verwaarlozen verschil tussen de grootte van de groepen, gelijk aant>0 gedefinieerd 
in (3.24).
21) Zie R. E. Frank, W. F. Massy en D. G. Morrison, Bias in multiple discriminant analysis. Journal 
of Marketing Research, vol. 11, aug. 1965 p. 253 e.v. (
)
21) Zie R. E. Frank, W. F. Massy en D. G. Morrison, Bias in multiple discriminant analysis.
of Marketing Research, vol. 11, aug. 1965 p. 253 e.v. Literatuur
Anderson, T. W., An Introduction to Multivariate Analysis (1966), John Wiley.
Blom, F. W. C., Leencapaciteit van ondernemingen pp. 213-220, Bedrijfskunde 1974/4.
Diepenhorst, A. I. en Willems H., De optimale financiële structuur. Kernproblemen der Bedrijfsecono­
mie. C. F. Scheffer e.a. Agon Elsevier, Amsterdam, Brussel 1966 pp. 184-197.
Frank, R. E. Massy, W. F. and Morrison, D. G., Bias in Multiple Discriminant Analysis. Journal o f 
Marketing Research, Vol. 11 Aug., 1965 pp. 250-258.
Frederikslust, R. A. I. van, Voorspelbaarheid van insolventie. Maandblad voor Accountancy en Be- 
drijfshuishoudkunde No. 4, 1976.
Goldberger, A. S., Econometrie Theory (1964) pp. 248-257. John Wiley and Sons. New York. 
of misclassification in discriminant analysis, Biometrics, December (1967) pp. 639-645.
Lachenbruch, P. A. and Mickey M. R., Estimation of Error Rates in Discriminant Analysis, Techno­
metrics Vol. 10 No. 1 (1968) pp. 1-11.
Mood, A. M. and Graybill, F. A., Introduction to the Theory o f Statistics (1963) McGraw-Hill.
Vogelenzang, O., Informatiebehoefte bij de verschaffers van kenvermogen. Maandblad voor Accoun­
tancy en Bedrijfshuishoudkunde no. 7 1974, pp. 281-289. (
) pp
Mood, A. M. and Graybill, F. A., Introduction to the Theory o f Statistics (1963) McGraw-Hill. ogelenzang, O., Informatiebehoefte bij de verschaffers van kenvermogen. Maandblad voor Ac
tancy en Bedrijfshuishoudkunde no. 7 1974, pp. 281-289. jf
berger, A. S., Econometrie Theory (1964) pp. 248-257. John Wiley and Sons. New York. y
,
,
(
) pp
achenbruch, P. A. and Mickey M. R., Estimation of Error Rates in Discriminant Analysis, T
metrics Vol. 10 No. 1 (1968) pp. 1-11. y
(
)
y
m, F. W. C., Leencapaciteit van ondernemingen pp. 213-220, Bedrijfskunde 1974/4. kslust, R. A. I. van, Voorspelbaarheid van insolventie. Maandblad voor Accountancy en Be- 
shuishoudkunde No. 4, 1976. f misclassification in discriminant analysis, Biometrics, December (1967) pp. 639-645.
b
h
P
A
d Mi k
M R
E
i
i
f E
R
i
Di
i
i
A
l
i of misclassification in discriminant analysis, Biometrics, December (1967) pp. 639-645.
achenbruch, P. A. and Mickey M. R., Estimation of Error Rates in Discriminant Analysis, T g
,
,
pp
k, R. E. Massy, W. F. and Morrison, D. G., Bias in Multiple Discriminant Analysis. Journal 
Marketing Research, Vol. 11 Aug., 1965 pp. 250-258. Geschatte kansen op misklassificatie1 9 ) Bij een 
aselecte klassificatie wordt gemiddeld de helft van de bedrijven correct ge­
klassificeerd. We hebben de volgende grootheid gebruikt om te toetsen of de 
resultaten van de discriminantanalyse beter zijn dan die van een aselecte 
klassificatie2 1): (6.11) 
z = 5 — -
CTP waarbij m ab blz. 263 Q is de proportie van de steekproef die correct is geklassificeerd door de 
discriminantfunctie P 
is de proportie correcte klassificaties ingeval men over beide groepen 
klassificeert met kansen P en 1—P. Als de groepen even groot zijn is P = .5 ap is Vp (1 -  P)
VN ap is Vp (1 -  P)
VN De grootheid z heeft een standaard normale verdeling. Hiermee kan de hypo­
these Ho : E(Q) = P worden getoetst. Naarmate Q groter is dan P zal z ceteris 
paribus groter zijn. Bij een a-procent toets wordt de hypothese H0 verwor­
pen als z >  z1_ a waar z, _ a het 100 (1— a)de percentiel van de standaard 
normale verdeling voorstelt. Bij empirische onderzoekingen is het beter a niet a priori te kiezen maar 
het kleinste percentage amin te vermelden waarvoor de gevonden uitkomst 
van z nog juist tot verwerping van de hypothese H0 zou leiden (de zgn. overschrijdingskans) omdat die meer informatie verschaft. j
g
In ons geval is Q = .925, P = .5, en N = 40 zodat z = 5.38, hetgeen een 
overschrijdingskans amin van nul impliceert. Recapitulatie
Hiervoor is een functie geconstrueerd op basis van de liquiditeitsratio 
en 
de rentabiliteitsratio x2 van beursondernemingen één jaar voor insolventie. De gemiddelde waarden van de corresponderende ratio’s van de groepen 
verschillen voldoende van elkaar zodat met de functie effectief kan worden 
gediscrimineerd tussen de bedrijven van de beide groepen. Elk van de ratio’s 
draagt wezenlijk bij tot het discriminerend vermogen van de functie. De 
relatieve bijdrage van de liquiditeitsratio is evenwel iets groter dan die van de 
rentabiliteitsratio. De kans op een onterechte klassificatie in de insolvente 
groep is 5 procent en in de solvente groep 10 procent. In totaal werden 92.5 
procent van alle bedrijven correct geklassificeerd. De voorspelresultaten van 
ons model zijn significant beter dan die van een puur kansmodel. m a b blz. 264