Welordeningsstelling
In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de welordeningsstelling of het welordeningsprincipe de uitspraak dat elke verzameling welgeordend kan zijn. Deze stelling staat ook bekend als de stelling van Zermelo en is gelijkwaardig aan het keuzeaxioma. 
Ernst Zermelo voerde het keuzeaxioma als een "niet bezwaarlijk logisch principe" in om de welordeningsstelling te bewijzen. Dit is belangrijk omdat welgeordendheid de krachtige techniek van transfiniete inductie toepasbaar maakt voor een verzameling. De welordeningsstelling heeft gevolgen die paradoxaal kunnen lijken; een voorbeeld daarvan is de Banach-Tarski-paradox.

Geschiedenis
Georg Cantor beschouwde de welordeningsstelling als een "fundamenteel principe in het denken." De meeste wiskundigen vinden het echter moeilijk om zich een visuele voorstelling te vormen van de welordening van bijvoorbeeld de verzameling  van reële getallen. In 1904 beweerde Gyula Kőnig dat hij had bewezen dat een dergelijke welordening niet kan bestaan. Een paar weken later vond Felix Hausdorff echter een fout in Königs bewijs. Wel bleek echter dat de welordeningsstelling gelijkwaardig is aan het keuzeaxioma, in die zin dat in de eerste orde logica een van beide samen met de Zermelo-Fraenkel axioma's voldoende is om de andere te bewijzen. Hetzelfde geldt ook voor het lemma van Zorn. In de tweede orde logica is de welordeningsstelling strikt genomen sterker dan het keuzeaxioma: uit de welordeningsstelling kan men hier het keuzeaxioma deduceren.

Bewijs uit het Lemma van Zorn
De welordeningsstelling volgt uit het lemma van Zorn. Noem  de verzameling van alle welordeningen van deelverzamelingen van : een element van  is een geordend paar  waarbij  en  een welordening is van .  kan hiermee partieel geordend worden. Dat houdt in dat  als  een beginsegment is van  en de ordening van de elementen van  dezelfde is als die van . Als  een keten is in , kan de vereniging van de verzamelingen van  zo worden geordend dat die overgaat in een voortzetting op elke vereniging uit ; die ordening is een welordening en daarom een bovengrens van  in . Uit het Lemma van Zorn volgt dan dat  een maximaal element heeft, bijvoorbeeld . De verzameling  moet gelijk zijn aan , want als  een element heeft  dan heeft  een welordening beperkt tot  in , en waarvoor  groter is dan alle elementen van . Deze welgeordende set is een uitbreiding van , wat in tegenspraak is met de maximaliteit ervan, dus . Daarom is  een welordening van .

Voetnoten

Verzamelingenleer
Wiskundige stelling