Ongelijkheid van Bessel
In de wiskunde, in het bijzonder in de functionaalanalyse, is de ongelijkheid van Bessel een ongelijkheid die aangeeft dat van een vector in een hilbertruimte de som van de kwadraten van een aantal orthogonale componenten ten hoogste gelijk is aan het kwadraat van de lengte van die vector. Betreft het alle orthogonale componenten, dan gaat de ongelijkheid over in een gelijkheid, die bekendstaat als de gelijkheid van Parseval, het meerdimensionale analogon van de stelling van Pythagoras. De ongelijkheid is in 1828 opgesteld door Friedrich Wilhelm Bessel

Ongelijkheid
Laat  een orthogonale rij in de hilbertruimte  zijn. Dan geldt voor elke :
,

waarin  het inproduct in  voorstelt.

De ongelijkheid houdt ook in dat de reeks
, 
die bestaat uit de componenten van  langs de verschillende , convergent is.

Als de rij  volledig is, dus een basis van  vormt, gaat de ongelijkheid over in de gelijkheid van Parseval.

Bewijs
Het bewijs komt erop neer, dat voor iedere  de component
 

langs de eerste  van de vectoren  vanwege de orthonormaliteit loodrecht staat op de rest:

Dus is voor iedere :

Zie ook
 Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

References

Website 
 Bessel's Inequality: artikel over de ongelijkheid van Bessel bij MathWorld.

Functionaalanalyse
Ongelijkheid