Archief, uitgegeven door het Wiskundig Genootschap onder de zinspreuk: \
Bij onbestaanbare wortels daarentegen heeft men twee gevallen te onderscheiden. Ten eerste kan de boog PP1 (Fig. 10“, 10}), ten gevolge eene evenwijdige verplaatsing der as zoodanigen stand ten opzigte van die as verkregen hebben, dat de snijpunten die vroeger bestonden, thans ontbreken, zoo als inde aangebaalde Figuren plaats vindt, alwaar de vergel. F(#) 0 twee onbestaanbare wortels beeft tusschen de abscissen der uiteinden P, P,,, als wanneer er in dat gedeelte der kromme noodzakelijk een punt aanwezig is lste Afd. b. t.obatïo. Bijdrage tot de Theorie voor hetwelk de ordinaat een positief of negatiof minimum wordt. Ten tweede kan het gebeuren dat de boog zoodanig minimum niet vertoont tusschen de gestelde grenzen, maar dat zulks wel het geval zij met eene der afgeleide krommen tot vergelijking hebbende y=z zoodat aldaar werkelijk twee snijpunten met de as ontbreken. Even als in het eerste geval zal nu de vergel. Fp(rr) z= 0 twee onbestaanbare wortels hebben, welke tusschen die grenzen aangewezen zijn, en op dien grond worden dan ook de wortels der afgeleide vergelijkingen Fp—i(r») =O, =o. . . F1(*) =O, F(#) 0 gezegd tussschen die grenzen onbestaanbaar te zijn. Immers, indien elke dezer vergelijkingen uitsluitend bestaanbare wortels had, zou de afgeleide vergel. F (<r) = 0 geen enkel paar onbestaanbare wortels kunnen hebben (n°. 10). Hierbij valt op te merken dat p zich tot n—2 kan uitstrekken, vermits als dan eene vergelijking van den tweeden graad wordt, voor welke de kromme men, ingeval de wortels onbestaanbaar zijn, geen anderen vorm dan dien inde Figuren 10*, 10i aangewezen, zal kunnen aannemen. Het thans beschouwde geval vindt plaats bij de krommen voorgesteld inde Figuren 11 welke een buigpunt tusschen twee grenswaarden van x vertoonen, zoo dat F,,(ir), steeds met hetzelfde teeken aangedaan blijft. Construeert men de hiertoe betrekkelijke kromme y F,(a:), dan ziet men terstond in dat deze slechts een’ der vormen van Fig. 10“-*zal kunnen aannemen. De onbestaanbaarheid der wortels van de vergel. F(:r) 0 ontstaat du» hier eeniglijk uit die der vergel. Fjftf) =O. Zij had bij een anderen vorm der kromme eveneens het gevolg kunnen zijn van de onbestaanbaarheid der wortels ven de afgeleide verg. F2(;r) =O, als wanneer de boog PPj bij het verdwijnen van buigpunten gezegd zou worden inden hiervoren bedoelden abnorinalen toestand te verkeeren. 511. Theorema's van Fouriér, Budan en Descartes 15. Alvorens tot de behandeling dezer theorema’s over Ie gaan, zal het noodig zijn, hier het navolgende in herinnering te breDgen: en de Oplossing der kooge-magtsvergelijhingen. Zij F(s) —xn -4- Aj xn 1 -f- A2an s. A„_i x+An O, dan is A» F(0), A„_i F,(0), A„_2 ——- F2(0) .. Ai = 1.2..!«-1Fm-i(0)- De funcliën rij F(tf), F.,(ar), F2(ar),. F„(ar) zal derhalve, voor x— O, met dezelfde teekens aangedaan zijn, en dus hetzelfde aantal variatiën en permanentien vertoonen als het voorste lid der vergel. F(ar) = 0. Stelt men wijders x = y + p, en verandert hierdoor de vergel. in yn -|-a{yHHl~l + 3.. + «n—l y4~an 0, dan is an F(/j) , an—i = £\{p), «»-2 = j~2 •• • De teekens der coëfficiënten van de vergel. in y, of in (x—p) zullen alzoo van achteren afgerekend, overeenkomen met die der funtiën-rij F(s), F,(«), F2(s) .. F„(jf) wanneer men hierin x p stelt. Die rij zal dus hetzelde aantal variatiën en permanentien opleveren als het voorste lid der vergel. in (x p). 16. le Stelling. Indien eene vergelijking F(x)=oeeniglijk bestaanbare icortels heeft, en deze allen positief zijn, zal het voorste lid dezer vergelijking uitsluitend variatiën vertoonen: Laat, om zulks te betoogen, de vergelding door de kromme van Fig. 12 voorgesteld worden, en neen even getal zijn. Daar, volgens de onderstelling, de wortels allen positief zijn, zal er ter linker zijde van den oorsprong O geene snijding met de as kunnen plaats vinden, en de kromme inde rigtrng van het punt A tot aan het eerste snijpunt M hare bolle zijde naar de as blijven keeren (n°. 3). Voorts zal de raaklijn in dat punt A blijkbaar een stompen hoek met de as vormen. Derhalve heeft men aldaar: F(0) +, HO) HO) + lste Afd. tt. lobatto. Bijdrage tot de Theorie De drie laatste terrneu der vergelijking F(;r) O vormen alzoo twee variatiën, 4 4-. Daar nu de afgeleide vergelijking F2(ar) O eveneens van eene evenc magt is, en hare n—2 bestaanbare wortels insgelijks positief zijn (n°. 10), heeft men op gelijken grond f2(0) -K f3(0) -, F4(0) + De vijf laatste termen der gegevene vergelijking vormen mitsdien vier variatiën, 4 1 4-- Op gelijke wijze voorigaande komt men onmiddelijk tot het beslnit dat F(ar) uitsluitend variatiën zal bevatten. In het geval van n oneven zal zich de oneindigen tak waartoe het punt A behoort, beneden de as uitstrekken. 17. II Stellino. Indien eene vergelijking F(a') 0 eeniglijk bestaanbare wortels beeft, die allen negatief zijn , zal het voorste lid dezer vergelijking uitsluitend permanentiën vertoonen. Deze stelling laat zich op gelijke wijze als de voorgaande betoogen. Te dien einde worde de as der y verplaatst naar O' voorbij het laatste snijpunt der kromme, waardoor al de wortels van positief tot negatief overgaan. JVu is, n even zijnde, in het punt A.' F(0) +, F4(o).+, F2(0) +, De drie laatste termen der vergelijking zijn dus allen positief. Zulks zal wederom even waar zijn voor de drie laatste termen en de Oplossing der hooge-maglsvergelijkingen. der afgeleide vergelijkingen F2(at) —O, F4(tf) 0 enz., zoodat men hier uitsluitend permanentien zal zien te voorschijn komen. Het geval van n oneven zal inde voorgaande beschouwing geene verandering te weeg brengen , dewijl de snijding van den óneindigen tak met de as O'Y insgelijks in het positieve gedeelte dezer as zal geschieden, waaruit dus dezelfde gevolgtrekkingen alsvoren voortvloeijen. Het behoeft naauwelijks opgemerkt te worden dat deze stelling ook onmiddelijk uit de voorgaande af te leiden is door slechts x voor x te schrijven. 18. lII® Stelling. Indien eene vergelijking F(») = 0 eeniglijk bestaanbare wortels heeft, en er tusschen de grenzen x— a, x b slechts éénen bestaanbaren wortel aanwezig is, zal de functiën-rij F(s), Fj(*), F2(ar).T.. F„(*) voor x ■=. a ééne variatie meer vertoonen dan voor x b. Betoog. Zij PP', (Fig. 13ai) de boog der kromme welker uiteinden bepaald zijn door de abcissen x = a, x = b , en snijdende de as in bet punt a, zoodat Oa « den eenigen wortel aanduidt tusseben die beide grenzen gelegen. Wij zullen bier twee gevallen behooren te onderscheiden, te weten: I°. Alleen de vergelijking F(:r) = 0 beeft een wortel tusseben seni, zonder dat zulks gelijktijdig met eene der afgeleide vergelijkingen Ft(») =0 , F2(tr) = 0 enz. plaats vinde. 2°. Behalve F(ar), kan ook eene der afgeleidene F,(», F2(tf) enz. nul worden voor eenige waarde van x tusschen a en b gelegen. Elke dezer omstandigheden zal thans afzonderlijk wotden beschouwd. pte Geval. 19. Onderstellen wij dat de ordinant MP evenwijdig aan zich zelve bewogen worde en den grens afstand MM' ba doorloope, dan zal gedurende de beweging van M tot a , geen der termen van de rij F(»), Fj(*), F20).... F„(tf), lste Aid. e. lobatto , Bijdrage tot de Theorie ingevolge de aangenomen onderstelling, voor eenige waarde van a ( x eene verandering van teeken ondergaan. In het geval van Fig. 13», zal F(z?) voor x zz x 3, (3 een oneindig klein verschil beteekenende) positief, daarentegen voor x zz a. -f- 3 negatief worden, terwijl Fj(ar) voor beide abseissen negatief blijft. In het geval van Fig 13b , zal juist het tegenovergestelde plaats vinden, zoodat in beide gevallen F(« —S) en Fl(<»+ S) steeds met tegengestelde teekens zullen aangedaan zijn, indien F(«) = 0 is. Men heeft derhalve voor de drie abcissen a, —s, at x -j- S, de navolgende teekens van F(at) en Ft(x). %). *i(*) F(»), F,(ar) -+- of + 0 0 + + + aantoonende het verlies van cene variatie na den doorgang van F(z?) door nul, terwijl geene der overige functiën bij de aangroeijing van x a tot x = b eenige verandering van teeken ondergaat. Hieruit volgt terstond dat de opgenoemde volledige functiën-rij voor x a juits eene variatie meer zal opleveren dan voor x =: b. 11116 Geval. 20. Laat thans de vergel F,(jr) = 0 insgelijks een wortel tusschen a en b hebben, hetgeen dus ineen meetkunsligen zin beteekent dat er, het zij in het bovenste het zij in het benedenste deel der kromme, ergens een punt m aanwezig is (Fig. 14“.*) alwaar de ordinaat een positief of negatief maximum wordt. Zij oti de waarde van x welke = 0 maakt, zoo dat die functie van teekens verandert bij den den overgang van x S tot ® = *1 + 3- Onderzoeken wij thans welke teekens F(z?) en F„(s) hierbij bekomen. Fig. 14* toont aan dat aidaar F(*l +S) positief en + S) negatief is. Voor Fig. 14* daarentegen is F(at + S) negatief, Fs(a{ +2) positief. Hieruit volgt voor (Je teekens der drie op elkander volgende functiën: en de Oplossing der hooge~magtsvergelijkingen. F(0. F2(at). ja; ctj 2 ■+■ + Fig. 14“ |x— al + 0 (x 42 + |x cti 2 + Fig. 14s v x— ai 0 4- Ix= «j 2 + + ten blijke alzoo dat er ten gevolge van het nul worden der functie geene variatie verloren wordt bij den overgang van x~ al 2 tot x = a, + 2. Onderstellen wij als nu dat behalve F(;r), tevens eenige willekeurige afgeleide functie Fji(;r) voor eene tusschenliggende waarde x a.' nul worde, dan zal bet uit de beschouwing der kromme, y Fj,_i(at), die alsdan den vorm in eene der figuren 14°** voorgesteld, aanneemt, blijken dat ook hier en ly|i(a;), zoo voor x tx! 2 als voor x x' ■+■ 2, met tegengestelde teekens zullen aangedaan zijn, en er dus inde drie opvolgende termen Fp_i(:r), Ff(x), bij den overgang van x =. «' $ tot x ~ *' + # geen verlies van variatiën zal ontstaan. Men is derhalve geregtigd hieruit te besluiten dat hoe groot het aantal afgeleide functiëu ook zij, die voor eene tusschenliggende waarde van x nul worden , uit die omstandigheid wel verandering van teekens bij den overgang van x— a tot x= b, doch geen verlies van variatiën inde volledige funcliën-rij zal geboren worden , en die rij eeniglijk ten gevolge van het door nul gaan van F(ar), eene variatie meer voor x zzz a als voor (1 = b zal vertoonen. 21. IV' Stelmng. Indien eene vergelijking F(\) 0 eeniglijk bestaanbare wortels heeft, en er tusschen de grenzen x zzz a, x— b, een aantal van p wortels aanwezig is, zal de volledige functiën-ry voor x=a juist p vanatïèn meer tellen als voor x = b. Deze stelling laat zich als een onmiddelijk gevolg der voorgaande beschouwen. Immers men neme nog p 1 tusscben grenzen aan naar orde van grootte voorgesteld door )°2>®3 > • • • ap—1 > waarbij «, )o en a?_i <( b. Die grenzen worden daaarenboven AaoHlsr. 2e Deel. 17 lste Afd. a. lobatto. Bijdrage tot de Theorie zoodanig gekozen dat de vergel. F(®) = 0 een wortel hebbe tusschen aen ai; een tweeden tusschen o, en «2 enz., en harenpe, wortel tusschen ap—\ en b. Als dan volgt uit de voorgaande stelling dat de funtiën-rij voor x a e'e'ne variatie meer zal hebben als voor x = al, en evenzoo e'e'ne variatie meer voor® —a, als voor x <z2 enz., waaruit men van zelf tot het besluit komt dat de bedoelde rij juist p variatiën meer zal tellen voor x a als voor a = b. De thans betoogde stelling laat zich ook aldus uitspreken. Indien eene vergelijking eeniglijk bestaanbare wortels heeft, en er tusschen a en b, p wortels gelegen zijn, zal de vergelijking in (x a) juist p variatiën meer vertoonen dan de vergelijking in (x b). 22. In het betoog der voorgaande stelling is geen acht gegeven op het aanwezig zijn van gelijke wortels tusschen de gegevene grenzen. Hel zal echter niet moeijelijk vallen aan te toonen dat de stelling even zeer op dat bijzondere geval van toepassing blijft. Onderstellen wij te dien einde dat er tusschen de grenzen a en b slechts twee wortels aanwezig, en deze aan elkander gelijk zijn. De boog PI1! wordt alsdan door eene der öguren 15®»5 voorgesteld, waarin de as tevens raaklijn is aan het punt a, voor hetwelk x ci eender gelijke wortels is, zoodat hierbij F(tz) en F4(a) gelijktijdig verdwijnen. De teekens van de drie eerste functiën zijn thans F (x) Fj(®) F2(*) !x —ci S + + X Cl 00 + X—Cl+ S + + + !'x —u S + x ei 00 x—al aantoonende in elk der twee gevallen een verlies van twee variatiën. Daar echter de rij der overige functiën, te beginnen met blijkens het betoogde inde IIP5 stelling geen verlies van variatiën bij den overgang van ® —: a tot ® = b oplevert, zal ook de volledige rij, ingeval de beide tusschen a en b gelegen wortels aan elkander gelijk zijn, wederom twee variatiën verliezen. en de Oplossing der hoog e-magtsverg elij Icing en. De zaak is ook aldas te betoogen. De vergelijking F1(») = 0 heeft slechts één wortel tusschen a en b. Derhalve zal de rij, beginnende met F4(ar) eene variatie meer opleveren voor ar =. a als voor x b. Maar , aangezien F(ar) en F4(ar) eene variatie vormen voor x—x ■— 2, en eene permanentie voor x= « 2, komt men, door F (ar) aan de rij toe te voegen, wederom tot het zelfde besluit als hiervoren, 23. Onderstellen wij thans het geval van drie gelijke wortels tusschen aen b, zoodat F (x), Fl(zf) en F2(ar) gelijktijdig nul worden voor x x. De vorm der kromme zal als nu met die van Fig. 16a-6 overeenkomen, vertoonende een buigpunt in het punt o, alwaar de as tevens raaklijn wordt. Men heeft diensvolgens, F (at) F,(at) F2(ar) tar = <z 2 + Fig.lla.6a. lx a 00 0 'x—x+ 2 ix u 2 Fig. 165. x 00 0 'x ~ x 2 -p- -p- -p- Daar nu de vergelijking Fj(ar) = 0 twee gelijke wortels heeft tusschen aen b, zal de rij beginnende met Fj(ar) twee variatiën meer vertoonen voor x z= a als voor x b, doch aangezien door toevoeging van F(ar) aan de rij, voor x=a eene variatie meer, en voor x b eene permanentie meer ontstaat, zal de volledige rij noodzakelijk drie variatiën verliezen bij den overgang van ar = a tot x b. 24. In het geval van vier gelijke wortels , zal de vergelijking Fl(ar) oer drie bezitten. Het teeken van F,(ar) zal voor ar x 2 tegengesteld zijn aan dat voor x x + 2. De termen F(cs 2), F4(rz —5) zullen op nieuw eene variatie, de termen F(« + S), Fj(cs 2) daarentegen eene permanentie vormen, waaruit wederom door eene gelijksoortige redenering als de voorgaande, het besluit getrokken wordt dat de volledige functiën-rij vier varïatiën meer zal opleveren voor ar ~ o als voor ar b. En evenzoo zal het blijken dat in het algemeen bij het aanwezig zijn van m gelijke wortels, het verlies aan variatiën ook juist m zal bedragen. 17* lste Afd. E. EOBAÏTO. Bijdrage tot de Theorie De hiervoren (n°. Om zulks te betoogen zullen wij wederom, even als in n°. 18, twee verschillende gevallen beschouwen, waarin de funtiën-rij bij den overgang van x a tot x ~ b kan verkeeren. Ook hier zal het waar zijn dat de rij noodzakelijk eene variatie verliest, zoo dikwerf de bewegende ordinaat dooreen snijpunt der kromme gaat. Het geval daarentegen dat eene der afgeleide functiën voor eene tusschenüggende waarde van x, dat, is voor zekeren stand der bewegende ordinaat, nul wordt, zal bij het aanwezig zijn van oubestaanbaie wortels, tot eene andere uitkomst leiden. Men stelle bijv. dat F4(#) voor x ai nul worde. Zulks zal bij onbestaanbare wortels hierdoor te weeg gebragt worden, dat de kromme voor het gedeelte 10a*5) de bolle zijde naarde as keert, en aldaar een punt m aanwezig is, alwaar de raaklijn evenwijdig aan de as gerigt is. Men heeft thans bij den overgang door het punt m F(*) Ft(*) F2(*) !x —— $ + x ~ 4-0-1- x «i + S + + 4* en de Oplossing der hooge-magtsvergelijkingen. 1 X A -f- —— Fig. 105. \x = O .X i . ££| —|— 5 waaruit een verlies van twee variatiën ontstaat, uithoofde F(a?) en F2(x) thans met gelijke teeksns zijn aangedaan. Die zelfde omstandigheid zal zich voordoen, zoo dikwerf eenige willekeurige afgeleide functie Fi>(:r) voor x = cii verdwijnt, en de kromme y zzz tot een’ der vormen van Fig. 10a,s behoort. Alsdan zullen ook en Fi,fj(a;) voor x ~ a -4- 2 met hetzelfde teeken aangedaan zijn, waardoor de rij Fp-i(»), FpW- Fp + iW, een verlies van twee variatiën zal opleveren, ffieruit volgt alzoo dat voor elk paar onbestaanbare wortels inde vergelijking F(#) = 0, het aantal verloren variatiën met twee zal toenemen, en men alzoo tot het navolgende zal mogen besluiten. 1“. Voor toenemende waarden van x tusschen de grenzen aen b zal de volledige functiën-rij stellig eene variatie verliezen, zoo dikwerf x eene waarde bereikt, voor welke F(#) nul wordt, en welke dus een bestaanbaren wortel der vergelijking doet kennen. 2°. Die rij zal daarenboven steeds een even aantal variatiën of geene enkele verliezen, naar mate er inde vergelijking al dan niet onbestaanbare wortels tusschen de grenzen a en b voorhanden zijn. 3°. Het aantal variatiën zal voor x = b nimmer grooter dan voor x = o kunnen worden. Door het voorgaande is thans het betoog geleverd der navolgende stelling van Fourier. (*) Indien men inde funtiën-rij FM, FrM> F2M F„M, voor x achtereenvolgens substitueert x a, x =. b, (a ( b zijnde), zal die rij minstens zoovele variatiën verliezen , als er bestaanbare wortels tusschen de grenzen a en b gelegen zijn, zoodat het aantal wortels wel minder doch nimmer meer dan het aantal verloren variatiën kan bedragen. (*) Analyse des êquations déterminées, pag. 98 etc. lste Afd. r. i-OBATTO. Bijdrage tot de Theorie Inde taal van Budan uitgedrukt luidt die «telling aldus: Indien eene vergelijking in [x a) p variatiën meer telt dan die in (x b), (a <j b zijnde), zal de oorspronkelijke vergelijking hoogstens p bestaanbare wortels tusschen de grenzen a en b bezitten. 26. Stelt men a=0 en b=z 00, dan zal het aantal tusschen a en b gelegen wortels, met dat der positieve wortels van de gegevene vergelijking overeenstemmen. Nu zal de rij F O), FrO), F2O) F„(*)> voor % 0 hetzelfde aantal variatiën opleveren als het voorste lid der vergelijking F(#) =; 0 (n°. 15), terwijl de rij voor x = oo uitsluitend uit permanentiën zal bestaan. Het aantal positieve wortels in eenige vergelijking is derhalve hoogstens gelijk aan het aantal variatiën van het voorste lid. Stellende thans a—oen b =— 00, waardoor het aantal tusschen a en b gelegen wortels met dat der negatieve overeenstemt, dan zal de rij voor a = oo uitsluitend uit variatiën bestaan, mits de vergelijking onder»teld worde eene volledige te zijn. Het aantal negatieve wortels zal dus hoogstens gelijk zijn, aan het verschil tusschen n variatiën, en het aantal variatiën van de gegevene vergelijking, alzoo gelijk aan het aantal van hare permanentiën. Deze eigenschappen brj elkander trekkende, komt men tot den bekenden regel van Descartes, te welen: In elke volledige hooge-magtsvergelijking zal het aantal positieve wortels hoogstens gelijk zijn aan dat der variatiën, en het aantal negatieve wortels hoogstens gelijk aan dat der permanentiën. Heelt echter de vergelijking uitsluitend bestaanbare wortels, zal de bijvoeging hoogstens komen te vervallen. 27. Men zal uit het betoog in n°. 25 gegeven, kunnen opmaken dat elk verlies van twee variatiën, dat niet hel gevolg is van het verdwijnen van F(#), alleen dan plaats vindt bijaldien de beide aangrenzende funtiën der voor eenige tusschengelegen waarde van x verdwijnende functie Fp(:r) met hetzelfde teeken zijn aangedaan, welke omstandigheid onmiddelijk tot het besluit leidt dat, ingeval de ontbrekende term in eene onvolledige vergelijking gelegen is tusschen twee en de Oplossing der hooge-magtsvergelijKngen. andere die met hetzelfde teeken zijn aangedaan, znlks een onfeilbaar kenmerk van onbestaanbaarheid van minstens één paar wortels oplevert. De figuren 10“-5 die op deze omstandigheid betrekking hebben, doen tevens zien dat hoe gering het grensverschil I) a genomen worde, het verlies van twee variati'ëu steeds zal ondervonden worden. Laat men die grenzen meer en meer naderen tot x a, voor welke de ordinaat een positief of negatief minimum wordt, zal de rij voor es S steeds twee variatiën meer opleveren als voor es -f- Zulks beteekent inden zin van het theorema van Bcdan , dat de vergelijking in (v (cc 2)) twee variatiën meer zal vertoonen dan die in (x— Zijn daarentegen de beide tusscben de grenzen a en b gelegen wortels bestaanbaar, dan zal er eenmaal, doorliet achtereenvolgens vernaauwen der grenzen, eene variatie verloren gaan. Zulks zal plaats vinden, indien a toenemende, eene waards a1 bereikt grooter dan de kleinste der twee wortels, of wel, indien b afnemende, kleiner wordt dan de grootste der beide wortels. Door deze gelijktijdige toenadering der beide grenzen zal men achtereenvolgens twee variatiën kunnen doen verdwijnen. Men ziet hieruit dat er te dezen aanzien een niet onbelangrijk onderscheid bestaat tusschen de grenzen van twee bestaanbare of van twee onbestaanbare wortels. 28. Wij hebben thans nog te onderzoeken het geval waarin twee of meer onmiddellijk op elkander volgende afgeleide functiën voor dezelfde tnsschenliggende waarde van x =. oi gelijktijdig verdwijnen, waardoor alzoo de vergelijking in (# a.) tot eene onvolledige overgaat. Het zal blijken dat deze omstandigheid steeds een kenmerk van onbestaanbare wortels inde gegevene vergelijking zal opleveren , welke ook de teckens der beide aangenzende functiën mogen zijn. Immers , beginnen wij met de onderstelling dat de beide eerste afgeleide functiën Fl(zf), F2(*) gelijktijdig voor x —a. nul worden. Hiertoe wordt gevorderd niet alleen dat de raaklijn in het pnnt der kromme beboorende tot de abscis x oi evenwijdig aan de as gerigt zij, maar dat dit punt tevens ineen buigpunt overga, zoo als inde fig. 17s,i wordt voor oogen gesteld. Als dan heeft men inde nabijheid van liet pnnt P lste Afd. r. i.obAtto. Bijdrage tot de Theorie F(z) F,(x) Fq(^) [x = a S + -+- Fig. 17“. Sa: x +OO 'a? = ci -f- 5 + —■ $ + -+- Fig. 17s. ja: ei +OO ■ x =: cl + S + + -+* Daar nu volgens de aangenomen onderstelling de vergelijking Fj(a:) = 0 twee gelijke wortels heeft, zal de functiën-rij beginnende met Ft(a?) twee variatiën meer tellen voor x—x $ als voor x x + S, hetgeen na toevoeging van den term F(jf) eveneens het geval zal zijn. Er worden alzoo twee variatiën verloren en dus twee wortels aangewezen zonder snijdingen met de as. Derhalve zijn die beide wortels onbestaanbaar onafhankelijk van de teekens der functiën F(«) en F3(«). Blijkbaar zou men tot dezelfde nitkomst geraken, bij aldien F(a) negatief aangenomen werd. Heeft men in het algemeen = 0 en “ 0, dan laat zich de voorgaande redenering van toepassing maken op de afgeleide vergelijking Fp_i(ar) “0. Deze zal als dan een paar onbestaanbare wortels hebben, hetgeen dus insgelijks van de vergelijking F(ar) 0 zal gelden. 29. Beschouwen wij thans het geval dat de drie op elkander volgende functiën F2(»), Fa(a?) gelijktijdig voor x— x verdwijnen, en hierbij F(ar) en F4(x) ondersteld worden met hetzelfde teeken aangedaan te zijn. Het geval dat die beide aangrenzende functiën positief zijD, wordt voorgesteld in Fig. 10°, alwaar de raaklijn in het punt x x evenwijdig aan de as gerigt is. daan ontstaat het geval in Fig. 105 voorgesteld, waarin de ordinaat van het punt p thans een negatief minimum wordt. Inde nabijheid van dat punt heeft men alzoo , F(*) FiM H*) ; : *■ {:=:=; =- – wijzende op een verlies van twee variatiën. Nu heeft de vergel. F2(af) = 0 twee gelijke wortels lusschen aen b. Derhalve zal de rij F2(s), F3(®),. FJs) voor de eerste grens twee variatiën meer opleveren dan voor de tweede. Dus zal de volledige functiën-rij voor x zzr a vier variatiën meer bevatten dan voor x b, zonder eeuige snijding met de as der x, hetgeen eene aanwijzing is van vier onbestaanbare wortels inde gegevene vergelijking. Hebben echter de beide aangrenzende funetiën ongelijke teekens bijv. F(a) positief en F4(rs) negatief, ot omgekeerd, dan wordt de ordinaat van het punt pin het eerste geval een positief, en in het laatste geval een negatief maximum (Fig. Men heeft thans F(«) Fj(ar) U*) f x cc 2 + -h Fig. 18«. ■! s 0 \x = cc + 2 ■+■ x ~ cc 2 -1- X=X+ s + + waaruit geen verschil van variatiën ontstaat. Uithoofde echter de vergelijking 0 wederom twee gelijke wortels heelt, zal de volledige functiën-rij thans niet meer dan een verlies van twee variatiën kunnen vertoonen. Het aantal onbestaanbare wortels wordt alzoo in dat gedeelte der kromme hierdoor tot twee verminderd. Heeft men in het algemeen Ff{cc) —O, Fp+i(a) —O, Fjpfg (a) —O, dan geldt de voorgaande beschouwing eveneens ten opzigte van de wortels der vergel. — 0, waaruit men besluiten mag dat indien in eenige vergelijking ergens drie achtervolgende termen ontbreken, die vergelijking alsdan minstens vier, of minstens twee lste Afd. 7t,. lobatto. Bijdrage tot de Theorie onbestaanbare wortels zal hebben, naar dat de beide aangrenzende termen met gelijke of ongelijke teekens zullen zijn aangedaan. 30. Ingeval daarenboven F/t(a) verdwijnt, als wanneer er vier achtervolgende termen inde vergel. in x & ontbreken, dan heeft men in P wederom even als in n°. 28 een buigpunt, waarin echter thans eene raking van de vierde orde plaats vindt. Even als aldaar zullen de drie funtiën F(:r), F^tf), F2(®) voorde beide grenzen wederom een verlies van slechts eene variatie opleveren. Daar nu in het tegenwoordige geval de vergel. wortels hebben, naar dat de beide aangrenzende termen met gelijke of ongelijke teekens zijn aangedaan (*). Het kan gebeuren dat in eenige vergelijking op meer dan eene plaats termen ontbreken. In zoodanig geval zal men de aanwijzing inde voorgaande stelling vervat, op elk der ontbrekende vakken afzonderlijk van toepassing mogen maken, en de som nemen der onbestaanbare wortels, welke in elk vak afzonderlijk zijn aangewezen. Men beschouwe bijv. de vergelijking xil,— Aa;° B 0. Hier ontbreken vier termen tusschen de beide eerste, en vijf tusschen de beide laatste die met gelijke teekens zijn aaugedaan. Het. eerste vak wijst op vier en het tweede op zes onbestaanbare wortels. Er zullen dus tien voorhanden zijn, het grootste aantal waarvoor de vergelijking vatbaar is, zoo dat deze slecht éénen bestaanbaren positieven wortel zal kunnen hebben. 32. Het is thans gebleken dat indien er twee of meer achtereen volgende functiën van de volledige rij gelijktijdig verdwijnen voor eenige waarde x gelegen tnsschen de grenzen a en b, deze omstandigheid een stellig kenmerk van onbestaanbaarheid van wortels oplevert. Die rij zal alsdan bij den overgang van x at— S tot * oi —[— $ een verlies vaneen zeker aantal variatiën lijden, die niet het gevolg zijn van het door nul gaan van F(#). Men veronderstelle bijv. dat ineen gedeelte der rij tusschen de functiën Ti ff) en .j. £ .j. i(#), een aantal van k termen of tusschenliggende functiën gelijktijdig voor voor x=« verdwijnt, zoo dat men vindt Fp(«)) 0,0,0,. . . . Fp +£ 11 («), dan komt het er op aan om de teekens te bepalen waarmede die ontbrekende termen zullen aangedaan zqn, vóór en na den overgang door x ~cc 5 ten einde hieruit het verschil van variatiën (*) De bijvoeging minstens inde voorgaande stelling wordt hierdoor gewettigd dat de volledige functiën-rij bij de aangroeijing van x ZZ a tot x— b, behalve door het verdwijnen van achtereenvolgende functiën, tevens een verlies van variatiën zou kunnen ondervinden, hetwelk evenmin het gevolg ware van het door nul gaan van F(<r) tusschen de grenzen a en 5. lste Afd. e. lobatto. Bijdrage tot de Theorie inde beide daarmede overeenstemmende rijen te kunnen opmaken. Foerier heeft ten dezen aanzien den navolgende regel vastgesteld (*). Inde benedenste rij geldende voor x x —j— $ vervange men elke nul door hetzelfde teeken als dat van Fp(et), waardoor eeue rij van permanentiën voor de ontbrekende termen ontstaat. Inde bovenste rij daarentegen schrijve men voor de nullen, te rekenen van de eerste, beurtelings het tegengestelde en het zelfde teeken als dat van F),(<*), waardoor eene rij van variatiën ontstaat. Voegt men hierbij nog de beide aangrenzende en niet verdwijnende functiën, welke elk voor x x S en voor x ■ ~ cc -f* $ haar teeken behouden, dan zal het aantal variatiën dat de bovenste rij meer bevat dan de benedenste, aanwijzen hoevele onbestaanbare wortels er tusschen de genoemde grenzen te tellen zijn, onverminderd de overige bestaanbare of onbestaanbare wortels, welke tusschen andere grenzen mogten ziju aangewezen. Let men tevens op de twee verschillende gevallen, welke zich hierbij kunnen voordoen, dat namelijk de beide aangrenzende functiën met gelijke of ongelijke teekens aangedaan zijn , en daarenboven het aantal ontbrekende termen even of oneven is, dan leidt men hieruit denzelfden algemeenen regel af dien wij reeds vroeger (n°. 31) medegedeeld hebben. Zie hier eene toepassing op de aldaar voorkomende vergelijking, xu \x0 —g= 0. Voor het eerste vak heeft men (*) Deze regel volgens Foerier genaamd Régie du doulle signe, wordt door hem op eene eenvoudige wijze afgeleid uit de ontwikkeling van Fib—l(«-j-S) naar het theorema van Taïlor, waaruit terstond volgt, inde onderstelling der achtereenvolgende verdwijning van Fra_i(«), F» z(a) enz. J'm _ i(« + S) + $ Fbl (a) F«-2(<*± è) = + F»(«) F »_s(«+S) = + i_Fm(a) enz. enz. Hierbij valt echter op te merken, dat dezelfde regel ook even gemakkelijk kan worden afgeleid uit den bekenden algorithmus van Hobneb, en de Oplossing der hooge-magtsvergelijkingen. —OO 00 + De rij voor « Sis 1 [ [-] Alzoo een verlies van en voor tz-{-$ I+4 variatiën. Voor het tweede vak heeft men —OOO 00 De rij voor «—S is —-| 1 + Alzoo een verlies en voor «+ 5 J van 6 variatiën. tezamen opleverende een verlies van 10 variatiën, even als reeds ter aangehaaldo plaatse gevonden was. 33. Indien de grenzen a en b tusschen welke twee onbestaanbare wortels zijn aangewezen, beiden positief ol beiden negatief zijn, zou men die wortels uit dat oogpunt als positief of negaiief mogen beschouwen. Verstaat men nu onder de algetneene benaming van wortels eerier vergelijking , zoo wel de bestaanbare als de onbestaanbare, dan zal men den regel van Descartes ook in dien zin knnnen opvatten dat het aantal variatiën in eenige vergelijking voorhanden , juist dat der positieve wortels, en het aantal permanentiën juist dat der negatieve wortels aanduidl. (*) 34. Met zal niet overbodig zijn hier nog eenige beschouwingen te laten volgen betrekkelijk het geval van onbestaanbaarheid van wortels. Reeds is het ons gebleken dat, indien er in eene vergelijking twee onbestaanbare wortels aangewezen zijn tusschen de grenzen a en b, als dan het zij de kromme y = F(a?) zelve, het zij eene (*) Verkeerd zou het echter zijn om alsdan met De Gelder (Zie zijne Beginselen der Stelkunst, 3e druk pag. 378) onder positieve of negatieve onbestaanbare wortels, de zoodanige te verstaan welker bestaanbare deelen positief of negatief zijn. De vergelijking xt a?3 + 4*2 84a? + 80—0 kan onder anderen strekken om het onjuiste dezer opvatting te doen nitkomen. Daar namelijk het voorste lid uitsluitend nit variatiën bestaat, moeten ook de twee onbestaanbare wortels dezer vergelijking als positief in rekening komen. Werkelijk zijn zij dan ook aangewezen tnssclien de grenzen 0 en 1 (n“. 12). Uit de ontleding inde beide factoren van den tweeden graad x2 5x + 4 , x2 + 4a? + 20; blijkt intusschen dat de tvyee onbestaanbare wortels tot waarden hebben —2 + 4^—l, 2 i/ 1( waarvan het bestaanbare gedeelte dus negatief is in plaats van positief, zoo als volgens de bewering van genoemden schrijver had moeten zijn. lste Afd. a. lobatto. Bijdrage tot de Theorie van hare afgeleidenen y =. F?(:z) (p hoogstens =: n 2 zijnde) een’ der in Fig. 10“-5 voorgestelde vormen tussehen de gegevene grenzen zal aannemen, zoo dat de drie opvolgende functiën F(#), FjCa?), F2(»), of in het algemeen volgende teekens verkrijgen: Voor x a -+- of x—b++ + Daar nn tnssehen die grenzen een minimum wordt, zal er steeds eene zekere waarde x 1» ) « en f b aan te wijzen zijn voor welke + gelijk nul wordt, en waarbij de teekens der beide aangrenzende functiën geene verandering ondergaan. Men verkrijgt dan de navolgende rijën van teekens voor dezelfde functiën. Fj,(®). fj) + 3W. x (t —— —{— of x a -f- 0 H- 0 X UT b -f- -f- -fwaaruit men zal mógen besluiten dat, bijaldien eenige vergeltjking F(#) t= 0 onbestaanbare wortels heeft, aangewezen tussehen de grenzen a en b, er steeds voor x eene zoodanige waarde as ) a en ( h te vinden is, voor welke eender termen van de volledige functiën-rij nul wordt, waarbij tevens de beide aangrenzende functiën met hetzelfde teeken zullen aangedaan zijn ; en ook omgekeerd dat, indien deze laatste omstandigheid plaats vindt, zulks een stellig kenmerk van onbestaanbare wortels zal opleveren. Immers, waren de beide aangewezen wortels bestaanbaar, er zouden wederom inde volledige rij drie opvolgende termen Fjof2(a/) bestaan, welke een verschil van twee variatiën opleveren, zoo als uit de hiertoe betrekkelijke figuren 19s>5 is op te maken, gevende voor de teekens dezer drie functiën x ~ a -f- -i- of -+- x ~ b -+• + + of Doch aangezien er tussehen a en b eene waarde x “ & bestaat voor welke nul wordt, en tevens Fp(zz?) eene teekenverandering ondergaan heeft, bekomt men in dit geval voor x a, 0-f- of H-0 en de Oplossing der hoog e-w.ag isverg elijking en. ten blijke alzoo dat de beide aangrenzende functiën niet met hetzelfde teeken kunnen aangedaan zijn, indien Fj, + i(rr) voor x = a verdwijnt. 35. Wanneer men inde volledige functiën-rij F(»), Ft(*), F9(*). . . F*(at) x achtervolgens laat aangroeijen van —oo tot 00, zullen de teekens van de termen dezer rij, gaan veranderen zoo dikwerf x eene waarde overschreden heeft voor welke eene dezer afgeleide functiën verdwijnt. Hierbij zal de rij minstens eene variatie verliezen , telkenmale dat de eerste term F(a) door nul gegaan is. De onzekerheid waarin men nu verkeert of' het aantal tusschen a en b gelegen bestaanbare wortels al dan niet juist aangewezen wordt door het verschil in variatiën van de heide rijen F (a), Fj(a), F2(0).... FM(«), F(£), Ft(6), F3(Z>) F,,(6), heeft haren oorsprong hierin, dat indien er bijv. m bestaanbare wortels tusschen de grenzen a en b gelegen zijn, de eerste rij desniettemin m -J- 2i variatiën meer kan tellen dan de tweede; welke omstandigheid hieruit voortvloeit, dat er tusschen a en b eene of meer bijzondere waarden van x, geene wortels der gegevene vergelijking zijnde, kunnen bestaan, welke eenige tusschenliggende functie Fp(:r) doen verdwijnen, en daarbij tevens aan de beide aangrenzende fonctien hetzelfde teeken geven, zoodat, a eene dezer waarden voorstellende, er bij den overgang van x = as £ tot x z= « + S, inde functien-rij noodzakelijk twee variatiën verloren worden. De hier bedoelde onzekerheid zou geheel op te heffen zijn, indien men de rij, met behoud van den term F (zr), uit zoodanige functien kon zamenstellen, onder anderen de eigenschap bezittende dat ingeval eene derzelven voor x cc. nul wordt, de beide aangrenzende alsdan nimmer met hetzefde teeken kunnen aangedaan zijn, en de rij overigens alleen dan eene variatie verliest, zoo dikwerf de term F(at) van teeken gaat veranderen. Het is juist door de ontdekking eener zoodanige rij van functiën dat Storm de verdienste verworven heeft, de analysis met het naar bem genoemde theorema te hebben verrijkt, waardoor het juiste aantal be- lste Afd. r. lobatto. Bijdrage tot de Theorie staanbare wortels tusschen twee gegevene grenzen gelegen, met volkomen zekerheid kan worden bepaald. Eene verdere ontwikkeling van dat belangrijke theorema behoort niet te dezer plaatse tehuis. Later zullen wij welligt gelegenheid hebben op dat onderwerp terug te komen. <jj 111. Benaderings-methode van Newton. 36. Het gebruik dezer methode onderstelt dat men reeds kenne eene benaderde waarde a van den wortel eener vergel. f ($) 0, ten einde daarop de formule ,_ „ ƒ(«) °— a /t(“) welke eene nieuwe benaderde waarde a' doet kennen, te kunnen toepassen, en op deze laatste wordt alsdan die formule wederom van toepassing gemaakt, zoodat de benadering in dier voege tot op eenen willrkeurigen graad van naauwkeurigheid kan worden voortgezet. Het is echter genoegzaam bekend dat die benaderings methode in sommige gevallen tot divergerende in plaats van tot convergerende uitkomsten kan leiden, en alsdan hare bruikbaarheid verliest. De beroemde la Grange , die zich met het onderzoek daarvan bijzonderlijk bezig gehouden heeft, oordeelde het bezwaarlijk zoo niet onmogalijk om a priori eenig kenmerk nopens de bruikbaarheid der Newtoniaansche benaderings methode aan te wijzen. (1) De meetkunstige beschouwing der zaak is nogtans zeer geschikt zoowel om de oorzaak der onbruikbaarheid in sommige gevallen aan Ie wijzen, als om de omstandigheden te doen kennen waarin de bedoelde methode veilig kan worden aangewend, zoo als een en ander ten duidelijkste uit de navolgende toelichting nader zal kunnen blijken. Merken wij inde eerste plaats op dat, indien de eerste waarde f(a) a te klein is, de correetie-lerm ■— noodzakelijk positief zal moe/i(«) ten zijn, en dus f(a) en ƒ j(a) tegengestelde teekens behooren te hebben. Daar nu voor toenemende positieve waarden van f(x) de (*) Traite de la résolution des èquations numêriqucs, Ed% de 1808, püg. IS9J en de Oplossing der Jiooge-magUvergeUjkingen. breuk ■ – insgelijks positief is, en de hoegrootheid voorstelt van den subtangens, behoorende tot het punt voor hetwelk % a, doch uitgezet inde rigting der negatieve abscissen , zoo ziet men reeds dat, bij gelijkheid van teeken dezer beide functien, de benaderde waarde zal gaan afnemen in stede van toe te nemen. Dat geval vertoont zich in Fig. 20, alwaar de abscis OM eene benaderde waarde van de wortel Oa voorstelt. Tussehen de punten P en a verheft zich de kromme tot in m, alwaar de ordinaat een maximum wordt. De subtangens MT strekt zich van M naar O uit, zoodat de waarde a of OM overgaat inde negatieve OT, waardoor eene grootere afwijking van den wortel ontstaat. Is echter, zoo als voor de benadering vereischt wordt, f(a) van tegengesteld teeken met jfj(a), dan nog kan het gebeuren dat /4(a) zulk eene geringe waarde verkrijge, dat de correctie-term f(a) eene grootere afwijking van den wortel oplevere dan de aanvankelijke waarde a. Dat geval kan zich voordoen, bij aldien de ordinaat PjMj , behoorende tot de abscis OjM, = a, zich inde nabijheid bevindt vaneen punt m , alwaar de raaklijn evenwijdig aan de as OX loopt. De subtangens MjT, kan alsdan zoo groot worden, dat de abscis OT, a' veel meer afwijkt van Oa dan de abscis OM4 a. Men kan wel is waar met deze nieuwe grenswaarde a‘ de benadering voortzetten met behulp der formule f (s*) «' -, waarin ƒ(«') een tegengesteld teeken van ƒ(«) JAa) bekomt. Doch inden benedensten tak der kromme, indien deze insgelijks de bolronde zijde naar de as keert, kan zich dezelfde ongunstige omstandigheid voordoen als inde bovenste. De ordinaat TN (Fig. 21) zou zich namelijk insgelijks inde nabijheid vaneen punt kunnen bevinden, alwaar de raaklijn evenwijdig aan de as gerigt ware, zoodat de subtangens TQ of grooter dan TM zou worden , of wel zich inde positieve rigting der abscissen zoo ver uitstrekken , dat hierdoor in beide gevallen divergerende in plaats van convergerende uitkomsten zouden worden verkregen. Het kan daarenboven gebeuren dat de kromme tussehen de abscissen OM, Oa zulk een kronkelenden vorm aanneme (Fig. 22) Archief, 2e Deet. 18 lste Afd. k. i.obatto. Bijdrage tot de Theorie dat de achtervolgende subtangenten of correct ie-termen nu ccus positief dan wederom negatief worden, en de grenzen tusschen welke de wortel gelegen is, meer en meer van elkander verwijderd worden. Indien men, bij het benaderen van eenigen wortel x eener vergelijking, twee grenswaarden a en b kent, zoo data ( x ( b, kan men zich hierbij bedienen van eene der beide formules m ~ m a ƒ»’ fi{b)‘ Tut eene veilige benadering wordt alsdan inde eerste plaats gevorderd dat de correctie-term of de subtangens behoorende tot die grensabscis welke den grondslag der benadering nitmaakt, steeds met hetzelfde teeken aangedaan zij , en bij elke volgende benadering eene geringere waarde verkrijge, waardoor men al minder en mindtr van de naauwkeurige waarde des wortels zal afwijken. Ten einde aan deze tweeledige vereischten volledig te voldoen, zijn door Foürier de navolgende voorwaarden vastgesteld. I°. dat de vergelijking ƒ (*) = 0 slechts éénen wortel hebbe tussehen de grenzen « en ij 2°. dat geen wortel van de vergelijkingen ƒ —o, ƒ2(*) 0 tussehen die grenzen bgge, of met andere woorden, dat elke der functiën f^[x),f<i(x) hetzelfde teeken behoude van x— a tot x— b, 3°. dat men de benadering»-formule bij voorkeur toepasse op die grenswaarde, voor welke ƒ 1(zf) en fc2(x) hetzelfde teeken verkrijgen. Aan de beide eerste voorwaarden zal blijkbaar voldaan zijn, bijaldien de vergelijkingen in (x a) en (x —b) een verschil van slechts eene variatie opleveren , en daarenboven de termen, welke in elke dezer vergelijkingen, na weglating zoo van den laatsten als van de beide laatste termen overig blijven, hetzelfde aantal variatiën vertoonen. 37. In cenen meetkunstigen zin beteekencn die voorwaarden niet* anders dan dat de kromme, zoo als in elke der figuren 23, 24, 25, 26 wordt aangeduid, slechts eenmaal de as der x snijde tusschen de grens-abscissen OM, OM', en wijders in dat gedeelte geen [nmt hebbe, waarin de raaklijn evenwijdig aan die as loopt, noch aldaar eenig buigpunt vcrfoone. en de Oplossing der hooge-m.agtsvergelijkingen. f(l)\ In elke dezer figuren worden de correct ie-ferinen ■—- /,(«) fi(b) door de subtangenten M<, M4i voorgesteld, en dus de beide benaderde waarden van x, namelijk a , b door de ƒ i(“) t&b) afstanden Ot, Ot{. Daar wijders f(a) en fi(o') bier altijd met ongelijke teekens , doch f(b) en ƒ,(£) niet gelijke teekeus aangedaan zijn, zoo blijkt daaruit dat de eerst benaderde waarde altijd grooter dan OM a, en de tweede altijd kleiner dan OM1 = b zal worden, De aangehaalde figuren wijzen op de vier navoigeude gevallen ƒ(*) A(*) /a(*o Fig. 2i.\g ~ ° ~ + + Ix b -+- -+- Fig. 24. f* = “ _ + _ l* b -+- -+■ b 1* = b – – + Fig. 20./* = ° + – ~ 1* = 4 Men zal wijders opmerken dat inde Fig. 23 cn 26 , waarin de kromme bij de eerste of klimmende grenswaarde van x, de bolle zijde naar de as keert, de beide benaderde waarden te groot, terwijl inde Fig. 24 en 25, waarin het tegengestelde plaats vindt, die waarden beiden te klein zijn. Hierbij op de afwisseling van teekens der drie functien f(x), gemakkelijk inzien dat de eerste of laatste dezer beide omstandigheden zal plaats vinden, naar dat de drie laatste termen der vergelijking in (x o) eene of twee variatien vertoonen, dat is naar dat f(x) en JJKx), voor x— a tegengestelde of gelijke teekens zullen verkrijgen. Ofschoon nu in beide gevallen de afstanden O/, o<j meer en meer tot den wortel Oa naderen, hoe minder elke der grenzen a en b van den wortel verschilt, is het echter niet onverschillig van welke der formules a b – /i(«) t\<b) 18* lste Afd. k. lobatto. Bijdrage toi de Theorie men zich bij de benadering behoort te bedienen, zoo als zulks uit de bloole inzage der fig. 23 terstond op te maken is. Immers kan het punt P waartoe de limiet a betrekking heeft op zoodauigen afstand van het punt a gelegen zijn in het naar de as rokeerde holle gedeelte der kromme, dat het uiteinde der raakf(a) lijn Pt voorbij het punt M, valle, en dos de correctieterm —- grooter worde dan bet grensverschil b a, terwijl daarentegen in het bolle gedeelte aP, elke raaklijn P, de as steeds (usschen i\l en M, zal snijden. 