Archief, uitgegeven door het Wiskundig Genootschap onder de zinspreuk: \
x' = 3- i? = 3 0,64 = 2,36. Zo Voor de eerste grens is echter ƒ (2) Ij, zijnde kleiner dan ƒ (3) rz: 16. Door hierop de benadering toe Ie passen, vnidl men *' = 2 + Tö ~ 2‘l’ welke werkelijk minder dan de voorgaande uitkomst afwijkt van dc naauwkeurige waarde des wortels, zijnde 2,0946. 39. Zoo als hiervoren (n°. 37) reeds opgemerkt is, levert het gelijktijdig gebruik der beide formules twee benaderde waarden voor x op, welke beiden Ie groot of beiden te klein zijn. Men zal echter uit de figuur gemakkelijk nog andere formules kunnen afleiden, welke in verband met de Newtoniaansche steeds twee benaderde waarden in tegengestelden zin zullen opleveren, en waarvan men zich alzoo met voordeel zal kunnen bedienen ter bepaling van het aantal decimalen, waarin de benaderde waarde des wortels naauwkeurig is uitgedrukt. Te dien einde trekke men in fig. 27 de lijnen P'p, P(p, evenwijdig aan de raaklijnen inde puDten P4, P, dan is het klaar dat, aangezien het snijpunt a zich zoo wel tusschcn t en p, als tusschen en pl bevindt, de afstanden Op, Op, twee nieuwe benaderde waarden van x zullen aanwijzen, die echter beiden te groot zijn. Nu geven de driehoeken PMp, PjMjp,, , Mp = PM Col PpM = PM Col IV, M, f(h) en M,p, P,M, Col PLp,M1 PjM, Col Ptl – 77-'. Ji\a) Derhalve zal x begrepen zijn, zoowel tusschen de grenzen fia) Aa) 11 \ a en a -jrr-r ...... ft; /,(«) Uh) als tusschen de grenzen 4- m e“4 – m (2> A{b) Ji(«) Trekkende nog de koorde PP, welke de as in het punt r snijdt, dan zal abscis Or insgelijks als eene benaderde waarde des wortels kunnen gebruikt worden, w'elke des te naauwkeuriger zal zijn, naar mate de limieten a en b minder van elkander verschillen. lste Afd e. lobatto , Bijdrage tot de Theorie De waarde van Or is gemakkelijk uit de figuur af te leiden. Men heeft namelijk Mr= PM Cot PrM PM x fia) x PM+P,M, A; * ƒ(„)—/(ó)’ Derhalve n /(a)X(&— a)_l , f{b)X[b —a) bf(a)—af(b) + ./w-yi») ~i+7W--M A-) Ofschoon de loop der inde figuur voorgestelde kromme eeniglijk met die van fig. 25 overeenstemt, zal echter de daarop gegronde en zoo even verkregen lormnle, gelijk duidelijk is in te zien, ingelijks op de overige figuren van toepassing zijn. Alleenlijk valt hierbij nog op te merken dat de benaderde waarde door de voorgaande formule verkregen steeds te groot of te klein zal zijn, naar dat f(a) en f2{a) ,net gelijke ol ongelijke teekens zullen aengedaan zijn, wordende het eerste geval inde fig. 24 en 25, en liet andere inde figuren 23 en 26 aangewezen. 40. Bij aldien eene vergelijking waarop men de benadering* formule zou wenschen toe te passen niet in die omstandigheden verkeert dat de vergelijkingen in (x—a) en (x— b) aan de hiervoren gestelde voorwaarden voldoen, blijft er geen ander middel overig dan de grenzen achtervolgen* meer tot elkander te doen naderen tot zoo lang die voorwaarden vervuld worden, hetgeen altijd mogelijk zal wezen. Immers, welke ook de gedaante der kromme tusschen de abscisseu xzzza, x zzz b zijn moge, men ziet terstond in dat men steeds twee andere abscissen die minder van elkander verschillen zal kunnen aanwijzen, tusschen welke de kromme noch maximum of minimum noch ecnig buigpunt vertoone. Strikt genomen zou men zich bij deze laatste voorwaarde kunnen bepalen, want, al mogt ook tusschen de beide grens-abscissen eene ordinaat bestaan welke een maximum of minimum wordt, zal desniettemin de benadering veilig kunnen geschieden aan die grens alwaar de kromme de bolronde zijde naar de as keert, of voor welke fx en f2(x) met hetzelfde teeken aangedaan zijn. Men is evenwel in dat geval verstoken van het gelijktijdig gebruik der formules (1) en (2) welke, zoo als uit eene figuur ligtelijk op te maken is, alsdan hare geldigheid verliezen. en de Oplossing der hoog emagtsvergelij hing en. § IV. Onderzoek omtrent, de kenmerken van bestaanbaarheid en onbestaanbaarheid, der wortels tan eene vergelijking. 41. De Güa bobooi I onder de weinige wiskundigen van tateren tijd , die zich van de beschouwing der kromme lijnen bediend hebben tol opsporing van kenmerken voor de al of niet bestaanbaarheid der wortels in eenige hooge magtsvergelijking. Zie bier nagenoeg den gang der denkbeelden waardoor bij tot de door hem gevonden regel geleid werd. (*) Wanneer al de wortels eener vergel. 0 bestaanbaar zijn, moet zulks ingelijks met die der afgeleide vergel. ƒ,(#) = 0 bet geval zijn. De kronkelende vorm der kromme is hierbij van dien aard dat in al de punten waarin de raaklijn evenwijdig aan de as loopt, of welker abscissen-wortels zijn der vergel. ƒ,(*) —O, de ordinaat steeds een positief of een negatief maximum wordt, zoo dat f{x) en f%{x) als dan van tegengesteld teeken moeten zijn, hetgeen ook behalve dien hieruit op te maken is, dat de kromme inde bedoelde punten noodzakelijk de holle zijde naar de as keert. Het produkt f(x) X moet dus voor eiken wortel der vergel. fx{x) = 0 eene negatieve waarde verkrijgen. Mogt dat product voor een of meer dezer wortels integendeel positief worden, dan duidt zulks aan dat ineen of meerder bedoelde punten de ordinaat een positief of negatief minimum wordt, of wel dat de kromme aldaar de bolle zijde naar de as keert, hetgeen alzoo een kenmerk vaneen of meer paren onbestaanbare wortels oplevert. Stellende nu f(x) X = y, en combinerende deze met de vergelijking /,(» = 0, dan zal men na eliminatie van x eene vergelijking in y van denzelfden graad als deze laatste bekomen. Tot de bestaanbaarheid van al de wortels der gegevene vergelijking wordt alsdan gevorderd dat de vergelijking in y uitsluitend negatieve bestaanbare wortels bezitte, hetgeen alleen dan mogelijk is bij aldien al bare termen met het positieve teeken zijn aangedaan, en dus niets anders dan perinanentiën vertonnen. Elke variatie welke zich daarin mogt voordoen, wipt noodzakelijk op een paar onbestaanbbare wortels. Men zal (*) Zie de Mémoires de VAcadémie des Sciences, année 1741, pag. 435, lste Afd. e. lobatto. Bijdrage tot de Theorie echter uit het positief zijn van al de termen der vergelijking in y niet bij omkeering tot de bestaanbaarheid van al de wortels der gegevene vergelijking mogen besluiten, zonder vooraf de zekerheid te hebben dat er in die vesgel. Indien al de termen der achtervolgende vergelijkingen in y positief zijn, zal de gegevene tergel. f(x) 0 geene andere dan bestaanbare wortels kunnen hebben. Indien echter inde termen van eene dezer vergelijkingen eene variatie plaats vindt, levert zulks een kenmerk van onbestaanbare wortels inde gegevette vergelijking op. 42. Die regel zou inderdaad inde toepassing weinig te wenschen overig laten, ware hij niet aan het gewigtige bezwaar onderhevig dat reeds te rekenen van de vierde-magtsvergelijkingen de uitte voeren eliminatiën, gelijk ligtelijk te voorzien is, vrij omslagtig worden, en men zeer zameDgestelde uitdrukkingen verkrijgt voor de algemeene kenmerken en voorwaarden van bestaanbaarheid en de Oplossing der hooge-magtsvergelijkingen. van al de wortels eener vergelijking. Hierbij mag tevens niet onopgemerkt blijven dat die regel ingeval van onbestaanbaarheid van wortels niet het juiste getal dezer wortels doet kennen, dewijl hiertoe gevorderd zou worden dat men inde eerste vergelijking in y met juistheid het aantal van hare negatieve bestaanbare wortels kon bepalen. De toepassing van den regel van Descabtes op die vergelijking zou slechts het aantal onbestaanbare wortels doen kennen, welke de gegevene vergelijking minstens kan hebben. Wij zullen hierbij dan niet langer stilstaan en den lezer, welke eenige toepassingen verlangt te kennen naar de aangehaalde memorie van De Güa verwijzen. (*) Wij gaan thans over tot de verklaring der kenmerken welke men aan Foerier verschuldigd is, en door hem op eene eenvoudige wijze uit de beschouwing der subtangenten zijn afgeleid, 43. Laten namelijk in lig. 28 en 29, welke het geval van twee bestaanbare wortels tusschen de grenzen x xxx oen x b voorstellen, de raaklijnen Pi; Pji, , aan de punten P, P4 behoorende tot de abscissen a en b worden getrokken, dan is het klaar dat de afstand ab der snijpunten met de as der x altijd kleiner blijft dan de afstand llt, van de uiteinden der raaklijnen, en dus ook altijd Ml + < MM' zal zijn. Nu is de subtangens M< ~ en op dezelfde wijs fi\a) de subtangens Miti = Derhalve zal men tot voorwaarde fi(b) van bestaanbaarheid der beide tusschen a en b aangewezen wortels, mogen stellen m + m<b_a (1) mm zonder hierbij op de teekens dezer functiën achtte geven. Bevindt men derhalve dat voor die beide grenzen m+W)~ of> " (2) (*) Men raadplege ook hetgeen La Gkange hieromtrent mededeelt in zijn Traité de la rèsolution des êguaiions numériques, Note VIII, lste Afd. R. i.obatto. Bijdrage tot de Theorie dan strekt zulks tot onfeilbaar kenmerk van onbestaanbaarheid der beide wortels, welke omstandigheid daarenboven nader door de figuren 30 en 31 bevestigd wordt, vermits de som der subtangenten inde punten P2, P3 blijkbaar overtreft den afstand M2M8 = b a. Men zal nu tevens uit voorgaande beschouwingen gemakkelijk kunnen opmaken, waarom men, ingeval aan de opgemelde voorwaarde (1) 'voldaan is, hieruit nog niet met zekerheid tot de bestaanbaarheid der beide tusschen aen b gelegen wortels zal mogen besluiten. den regel van Bcdan, slechts Iwee variatien meer dan die in (x b) opleteren. ■n. Wij zullen ihans nog eenige andere hulpmiddelen aanwijzen, waarvan men zich in verre de meeste gevallen met voordeel zal kunnen bedienen, zoo dikwerf de toepassing van den regel van Foerier met dadelijk omtrent den aard der beide wortels kan doen beslissen, en uit dien hoofde liet beproeven van naauwere grenzen noodzakelijk maakt. (*) Beschouwen wij te dien einde eenig punt pi (Fig. 32), genomen nabij het punt p, alwaar de raaklijn evenwijdig aan de as der x loopt. Zij a + Sde ahscis Om, van dat punt />,, welke abseis alsdan tevens eene benaderde waarde van den wortel a' der vergel. /,(x) = 0 zal voorstellen. Die waarde zal ) of < a' zijn, naar dat het gemelde punt ter regter of ter linkerzijde van het punt p genomen wordt. Nu iooDt de figuur van zelf aan, dat indien in het eerste geval de punten P en pt zoo nabij elkander liggen, dat de subtangens Mt aan het punt I» gelijk of grootcr dan de afstand Mm, ~ 3 wordt, dat is, indien men heeft f(a) M“'> s (l! zulks een kenmerk van onbestaanbaarheid der twee wortels moet opleveren, hetgeen in het tweede geval insgelijks zal plaats vinden, bijaldien de subtangens M,«, aan het punt P, gelijk of grootcr dan de afstand M,m, wordt, dat is, als m~°r > *-" -5 of wel S + —of)fi a /o, AW ’ v zijnde in heide gevallen hier eeniglijk op de gefallen-waarde van elke der functien ƒ(«), ƒ(*), ƒ,(«), ƒ,(/,) achtte geven. De waarde van S laat zich gemakkelijk uit de coëfficiënten der vergelijkingen in (x a) en (* – b) 'bepalen. Immers, volgens (*) De hier medegedeelde nieuwe regels ter aanvulling van die van Fodsie» zijn reeds door ons in 1843 bekend gemaakt in het Journal de Mathèmatiqucs van Liooviur. Tom. IX. lste Afd. k. i.obatto. Bijdrage tot de Theorie het vroeger verklaarde (n°. 37) geven de beide Newtoniaansche benaderingsformules ƒ,(«) , _ m a m' m gelijktijdig te groote of te kleine waarden van den tusschen a en b gelegen wortel o' der vergelijking Mx) —O, naar dat /t(o) en fA(a) met ongelijke of met gelijke teekens zullen aangedaan zijn. Onderstellen wij dat het eerste geval plaats hebbe, dan heeft men voor sde beide waarden , b— a 1 die elk Ma) té») te gioot zijn. Alzoo zullen uit (1) als kenmerken van onbestaanbaarheid voortvloeijen , mits op de teekens geen aeht gevende, f(a) f \ fi(a) /ov (> /,(«) f-lb) of 7T\ +Tm = °f > b ~ a * ‘ ' V • (4) ƒ/«) fép) Voor het tweede geval vindt men op gelijke wijze uit (2), fM +M=of>b – a . . . (5) M») ft {b) 6_a-M + M.= o?yb-a, mm >m w Mb) M») Het blijkt alzoo dat er behalve het door Foerier aangewezen kenmerk nog vier anderen bestaan, welker toepassing niet moeijelijk is. Men kan echter dat aantal met nog vier anderen van gelijken aard vermeerderen. In n° 27 is namelijk aangetoond, dat indien de benaderde waarden /,(«) ._ m a m' Mb) te groot zijn, daarentegen de waarden en de Oplossing der hooge-magtsvergelijkmgen. __ m b m t'4P)' fJ,a) te klein worden, en zoo ook omgekeerd. Hieruit volgt dat men door eene eenvoudige verwisseling van U°) in f%{b) en wederkeerig, uit (1) en (2), op gelijke wijze als hiervoren, nog de vier volgende kenmorken van onbestaanbaarheid zal kunnen afleiden, M = of > M. r. 7. 7. (7) /.(«) ; m u /(«) .m _,b_a f8) 7-rx- + -ft-. ) b («) Jl\a) Ji\a) (9) 45. De benaderings-formule van n”. 39 kan mede strekken om een kenmerk van onbestaanbaarheid op te leveren. Deze formule geeft namelijk in liet onderhavige geval, zonder hierbij op de teekens te letten _ (6 a) fjja) m+m' welke eene te groote of te kleine waarde voor a' zal geven, naar dat /,(a) en /3(a) al dan niet gelfjke teekens hebben. In het eerste geval is men volgens (lj van de onbestaanbaarheid der wortels verzekerd , indien ƒ(«) _ f x (6 o) ƒ,(«) m ~0; m+ m' of wel U + ypv) yX =of>ö— «. 7. (11) \ U(«)/ /i(«) In het tweede geval, indien volgens (2) M _ r,, , {6-a)fl(a)_ m ~ } m+ m ~ } m+m' of we! (l m=of>b -a • • •(12) Iste Afd. it. lobatto. Bijdrage tot de Theorie welk kenmerk zich wederom van hel voorgaande eeniglijk door eene onderlinge verwisseling van a en b onderscheidt. Sltllende b a— 1 , zoo als bij de benadering van wortels meestal plaats vindt, dan gaan (11) en (12) over in ‘ + m = °r>iïï <“> tr zijn dus in alles nog vijf van elkander verschillende kenmerken gevonden, welke ter toetse zouden kunnen worden gebragt, zoo dikwerf dat van Foürieu tot geene stellige beslissing omtrent de al of niet bestaanbaarheid der wortels leidt, zonder tot naauwere grenzen zijne toevlugl te nemen. 46. Men zou inden eersten opslag kunnen denken dat het stelsel (3), (4), (9), (10), (12) alleen dan toepasselijk ware indien f\(x) en fjx) voor de eerste limiet <i met ongelijke teekens zijn aangedaan, en het andere stelsel (5), (6), (7), (8), (II) in het tegenovergestelde geval. Overweegt men echter dat men door eene verandering van * en x, de tweede limiet b inde eerste a kan doen overgaan, uithoofde de vergel. in (x—b) als dan twee variatiën meer dan de vergel. mi rken. Bedraagt dat verschil nogtans m eenheden, en heelt geen dezer kenmerken de onzekerheid kunnen opheffen, dan zal men a en b vervangen door twee kleine geheele getallen a en z H- 1 welke de grenzen voorstellen van den wortel der vergel. ƒ,O) = o. 47. Wij zullen thans door enkele voorheelden het voordeel aantoonen dat onze hiervoren gevonden kenmerken boven die vau Fourier inde toepassing opleveren. Zij inde eerste plaats de vergelijking: 34 -p- 8a;3 + 10a;2 18a; + 5,5 = 0 welke, aangezien de vergel. in (at 1) tot coëfficiënten heeft, 1 + 12 + 40 + 30 + 6,5 blijkt twee wortels lusschen 0 en 1 te hebben. De vergel. ƒ,(«) 0 slechts éénen wortel, en de vergel. fc{x) = 0 geen enkelen wortel lusschen 0 en 1 bezitten le, zoo is de gegevene vergelijking voor de toepassing van den regel van Foerier vatbaar (n°. 43). Daar echter 3_5 + 5! < i 18 30 ' blijft men nog in het onzeker omtrent de hoedanigheid der beide wortels. Beproeven wij thans een tusschen grens 0,5 , dan bekomen wij voor de coëfficiënten der vergel. in (a; 0.5) 1 + 10 + 20,5 1,5 + 0,0625 aautoonende dat de beide wortels lusschen de grenzen 0,5 en 1 te zoeken zijn. 0,062 6,5 , . _ Doch, aangezien 1- – <0.5 kan de bedoelde regel nog geene uitspraak doen , zonder eene nieuwe limiet te beproeven, waartoe men 0,7 kieze. De coëfficiënten der vergel. in (a; 0,7) zijn 1 + 11,8 + 29,74 + 9,13 + 0,78 waaruit blijkt, dat de beide wortels gelegen zijn tusschen 0,5 en 0,7. lBte Afd. k, lobatto. Bijdrage tot de Theorie „ . 0.062 . 0,78 , No «ter + -jjj < 0,2 zoo dat men genoodzaakt is eene derde tusselien grens 0,6 te beproeven. Voor de coëfficiënten der vergel. in (x 0,6) vindt men 1 + 10,4 + 26,56 + 3,504 + 0,1576 ten blijke dat de beide wortels tusscben 0,5 en 0,6 gelegen zijn, zonder dat hunne hoedanigheid nog beslist zij, vermits 0,062 0,158 , A , TX + Nemen wij dan thans tot vierde grens 0,55, als wanneer wij verkrijgen voor de coëfficiënten der vergel. in [x 0,55). 1 + 10,2 + 25,014 + 0,925 + 0,0475 zoo dat de wortels te zoeken zijn fusschen 0,5 en 05,5. Daar nu 0,0*75 0,925 ’O5 is men eindelijk verzekerd dat de beide tusschen 0 en 1 aangewezen wortels onbestaanbaar zijn. Men ziet dat de opgegevene vergelijking in ongunstige omstandigheden verkeert voor de toepassing van den regel van Fourier, vermits zij het beproeven van vier verschillende grenzen gevorderd heeft, alvorens men zich van de onbestaanbaarheid der beide wortels heeft kunnen verzekeren. Daar de vergel. fs(x) 0 blijkt geen wortel tusschen oen 1 te hebben, kunnen wij thans die grenzen aan een onzer voorgaande kenmerken toetsen. Te dien einde hebben wij ih(a) =lO of /»(«) = 20. f/2(h) =4O of fjfi) = 80. De beide eerste kenmerken (3) en (4) zijn ongenoegzaam, vermits 5,5 18 5,5 30 18 20 18 +BO *• Aan het derde (5) wordt echter voldaan, als zijnde + l 20 ~ 30 7 waaruit men terstond tot de onbestaanbaarheid der beide wortels kan besluiten. en de Oplossing der hooge-magtsvergeligkivgen. Nemen wij tot tweede voorbeeld de vergelijking s4 42a3 4- 28*2 81* 4-53 0. Da vergelijkingen in (*—l) en (* —2) hebben tot coëfficiënten 1 4- 6 4. 40 154- 3 1 + 10 4- 64 4~ 87 4~ 85 zoo dat er tusschen 1 en 2 twee wortels zijn aangewezen. Men zal bevinden dat hier twee tusschen-grenzen te beproeven zijn, alvorens met behulp van den regel van Foerier tot het besluit te komen dat de bedoelde wortels onbestaanbaar zijn. Nu is f(a) =3, ƒ,(«) = 15, fca) = 80, f{b) = 35, ft(b) = 87, flb) = 128. Het kenmerk (3) leidt thans onmiddellijk tot hetzelfde besluit dewijl \ 15 ' 80' Zij inde derde plaats de vergelijking *4 9*34- 37*2 36* 4-15 = 0. Men vindt voor de coëfficiënten der vergel. in (* 1), 1 54- 16 415 4- 8, ten blijke dat er tusschen 0 en 1 twee wortels zijn gelegen. K ■ 15 8 , ië+Ïs<1' zoo laat ons de regel van Foorier nog in het onzekere of die wortels al dan niet bestaanbaar zijn. Door toepassing echter van ons kenmerk (5), vindt men 36 8_ 74 + 15 waaruit terstond tot de onbestaanbaarheid der beide wortels mag besloten worden, hetgeen eveneens met behulp van (6) had kunnen geschieden, als zijnde 8 15 15 ' 32' Beschouwen wij inde laatste plaats de vergelijking *5 4- a4 4- *3 2*24- 2* 1 = 0, Archief. Deel. 19 lste Afd. it. iobatto. Bijdrage tot de Theorie gevende voor de coëfficiënten der vergelijking in (# 1), 1 + 6 + 15+17 + 10 + 2, waaruit blijkt dat er drie wortels tusscben 0 en 1 aanwezig zijn. Se vergei. ~ 0 insgelijks twee wortels tusscben die zelfde grenzen hebbende, zoo onderzoeke men vooraf of deze al dan niet bestaanbaar zijn. Te dien einde heeft men voor de coëfficiënten der vergelijkingen in x en (# 1) o + 4 +- 3 4 + 2, 5 + 24 + 4o + 34 + 10. De regel van Foürier kan hier nog geene uitspraak doen, vermits 2 10 , , 4 + 34 < K Het kenmerk (7) verzekert ons echter reeds dadelijk van de onbestaanbaarheid der beide wortels, als zijude ?si 47 90’ waaruit verder bet besluit afgeleid wordt, dat ook de gegevene vergelijking twee onbestaanbare wortels heeft tusschen de grenzen 0 en 1. 48. en de Oplossing der JtoogemaglsvergelijMngen. Is daarentegen /j(o') van hetzelfde teeken met /j(a), dan is a' te klein, en daar thans de subtangenten aan de punten welken' en b tot abscissen hebben in tegengestelde rigting loopen, zal men tot de onbestaanbaarheid mogen besluiten , zoodra men vindt fii) _ , Üb) ~° > a * Blijft men hierdoor nog in het onzekere omtrent den aard der beide wortels, dan zal men, alvorens naauwere grenzen te beproeven, de grenzen a en a', of de grenzen a' en b aan den regel van Pocrier kunnen toetsen. Ingeval de beide wortels bestaanbaar zijn, zal deze omstandigheid uit dezelfde handelwijze door eene teeken verandering van /O) °P *e tooken zijn. Het zou nogtans kunnen gebeuren, vooral tndien de beide wortels slechts weinig van elkander verschillen, dat men de benadering van den wortel a' verder zou moeten voortzetten, alvorens eene teekenverandering in f{x) te verkrijgen. Het vermoeden van bestaanbaarheid in zoodanig ongunstig geval zal bevestigd worden door de aanhoudende vermindering van de getallen-waarden der subtangenten, naar mate men den wortel a' benadert, zonder dat hierbij eene teekenverandering in f[x) plaats vinde. 49. In al het voorgaande is stilzwijgend ondersteld dat de vergel. f{x) = 0, geene twee gelijke bestaanbare wortels bebbe tusschen de grenzen a en b. In dat geval zou men bij het steeds beproeven van naauwere grenzen nimmer eene teekenverandering in f(x) verkrijgen , noch aan geen der hiervoren gevonden kenmerken van onbestaanbaarheid zien voldaan worden. Om deze vruehtelooze beproevingen te vermijden, zou men volgens Fodrier, door bet zoeken van den grootsten gemeenen deeler tusschen /(#) en fx(x) zich vooraf hebben te vergewissen of de gegevene vergelijking al dan niet gelijke wortels tusschen a en b kan hebben. Bij de toepassing onzer kenmerken waarin zoowel de tweede als de eerste afgeleide functien voor elke der beide grenswaarden voortomen, zal echter spoedig kunnen blijken van het aanwezen van twee gelijke wortels. Immers, zij keen dubbele wortel der gegevene vergelijking, dan kan men stellen m = (• *)9F(»), 19* lste Afd. b, bobaïto. Bijdrage tot de Theorie waaruit door achtereenvolgende differentiatiën wordt afgeleid, fi{x) = 2(x k) F (ar) -F (te kf F.O) fa{x) = 2F(a?) -F 4(x —k) Fl(at) +{x— kf Fa(at), /(*)U{x) _ 2(F(rr))24- 4Qr —k) I(x) (x—£)2E(#)F2(,r) 8 (AW)2 ” 4(FW)2+4(*-i)F(*)FlW+(*-WIW)8 ’ welke uitdrukking meer en meer tot de limiet convergeert, naarmate de te beproeven grenswaarde minder van k verschilt. Indien dan het quotiënt der gebrokens y-L '44-4 voor elke der beide ƒiM ƒa(*) grenswaarden, uitkomsten oplevert die niet tot convergeren , zal men hieruit mogen besluiten dat er geene twee gelijke wortels tusschen die grenzen kunnen liggen. 50. Tot dusverre beschouwden wij met Fourier eeniglijk het geval dat de kromme tusschen de grenzen x a , x =: b geen buigpunt vertoonde. Dikwerf echter zullen de teekens van de coëfficiënten der vergelijkingen in (at a) en {x b) elkander in dier voege opvolgen dat elke der vergelijkingen fy{x) 0, 0 blijkt één wortel, doch de vergelijking = 0, geen wortel tusschen die grenzen te hebben. In dusdanig geval zal het bedoelde gedeelte der kromme bij het onbestaanbaar zijn der beide wortels eenen der vier vormen aannemen , welke inde Fig. 33, 34, 35, 36 afzonderlijk zijn voorgesteld, en waarbij het buigpunt in p ligt. Men heeft alsdan voor de teekens der vier functiën ƒ(*) ZiW Mx) Mx) Fig.33.f* = “ + – + ° [s = b -F -F Fig. 34. ~ _ -F " (ƒ 5 -F + -F -F *■ *■{:=: i i; : «*■**■{:=: = t ~ z en de Oplossing der hooge-magtsvergelijkingen. zijnde hierbij de teekens van f3[x) in dier voege bepaald dat in elk dezer vier verschillende gevallen, de vier laatste termen der vergelijkingen in (x —a) en (x b), zoo als behoort, een verschil van slechts twee variatien, en de voorafgaande termen hetzelfde aantal variatien opleveren. Wij zullen thans aantoonen dat het mogelijk is ook in het tegenwoordige geval kenmerken op te sporen, waardoor men zich spoedig van het aanwezig zijn van onbestaanbare wortels zal kunnen verzekeren. Zij namelijk a' wederom eene benaderde waarde van den wortel der vergelijking fi{x) 0, doch grooter dan de naauwkeurige, dan zullen de fig. 33 en 35 tot kenmerk van onbestaanbaarheid opleveren , o 7 \ of > a a/i(«) en evenzoo fig. 34 en 36 0f > b a’, Mb) Voor zoo veel de heide eerste gevallen betreft, merken wij op dat de kromme tot vergelijking hebbende fi[x) —O, als dan eender vormen in Gg. 37 en 38 voorgesteld , tusschen de grenzen x ~ a en x b zal aannemen. De Newtoniiiansche formule welke hier slechts op eene dezer grenzen kan toegepast worden, uit hoofde er tusschen P en P' een punt aanwezig is, alwaar de ordinaat eene positieve of negatieve maximum-waarde verkrijgt, zal voor a’ te kleine waarden opleveren, zoo dat men zich hier zal behooren te bedienen van de formule , x , {b —a) A(«) (a) fM + m welke aan het oogmerk voldoet (n°, 39). Hierdoor wordt het eerste , , , ƒ(«) rs (* a)fM kenmerk als nu – =of > ■ ■ ■ Ha) ƒ,(«) + ƒ((*) ...ei (, +m\m nb_, \ JM)f /i(«) Inde beide overige gevallen zullen de fig. 39 en 40 den vorm der kromme van de vergelijking — 0 ainwijzen, en men zal nu van dezelfde benaderings formule hebben gebruik te lste Afd. k. lobatto. Bijdrage tot de Theorie maken om voor a‘ eene te kleine waarde te bekomen, waaruit voor kenmerk van onbestaanbaarheid voortvloeit, ƒ(*) _ ,w. , A(b) AW v ; A(«) + A(*) of wel fl 4- — 0f > b a \ m) m > Stellende wederom b— a 1, dan kunnen de beide zoo even gevonden kenmerken ook aldus voorgesteld worden 1 + m = of > m f'M } A«) ’ m y m 51. Zie hier thans enkele voorbeelden ter toepassing, I°. , S X 10 1 + IÖ > ¥ ’ en dus de beiden tusschen O en 1 gelegen wortels onbestaanbaar zijn. Bij aldien de grenzen a en b nog wat te ver van elkander verwijderd zijn om daarop de gevonden kenmerken met goed gevolg te kannen toepassen , zal men tot engere grenzen toevlugt nemen, en hiertoe gebruiken de benaderde waarde a' van den wortel der vergel. — 0, benevens eene der gegevene grenzen a en b, tot het bolle gedeelle der kromme behoorende, in dier voege dat er tusschen de grenzen a' en a of b geen bnigpunt meer aanwezig zij, waardoor het onderzoek tot bet vroeger behandelde geval terng gebragt wordt. Het zoude ook kunnen gebeuren dat er inde kromme tussehen de grenzen a en h twee punten aanwezig waren alwaar de raaklijn evenwijdig aan de as liep. In zoodanig geval zullen de teekens van de coëfficiënten der vergelijkingen in (x a) en (x b) reeds met weglating van den laatsten term een verschil van twee variatien oplevercn, en zulks uit hoofde de vergel. 0 twee wortels tussehen a en b heelt; op deze omstandigheid zullen de voorgaande kenmerken ophouden van toepassing te zijn. Men zal als dan het onderzoek aanvangen met de vergel. ƒ.((#) 0 blijkbaar in het vroeger behandelde geval verkeerende. Worden hare wortels hierbij onbestaanbaar bevonden: dan zal zulks met die der gegevene vergel. /(#) 0 insgelijks het geval moeten zijn. Zijn zij daarentegen bestaanbaar dan zal uit hunne scheiding eene nieuwe afgeleide vergelijking kunnen verkregen worden , welke in verband tot die in (x a) of (x b), blijken zal tot eender vorige gevallen te behooren, 52. Wij achten het niet onbelangrijk hier nog eene andere meetkunstige beschouwing mede te dcelen waarvan Foerier zich tevens bediend heeft bij het opsporen van kenmerken zoo van bestaanbaarheid als van onbestaanbaarheid van twee tussehen gegeven grenzen aangewezen wortels. Deze beschouwing steunt insgelijks op de onderstelling dat de gedaante van het daartoe betrekkelijke gedeelte der kromme zoodanig zij dat de vergel. — 0 slechts éénen wortel, en de vergel. fa(x)~0 geen’enkelen wortel hebbe tussehen o en b. lstc Afd. r. j.oeatto. Bijdrage tot de Theorie Zij nu PP, fig. 41 de boog wiens uiteinden bepaald worden door de abscissen x = a, « = b, en waarin geen buigpunt aanwezig is, Men stelle x = a + x a, dan is, volgen» eene bekende formule f{x) = /(o) +(*— «) /j(a) + —af fja + i{x a)) (A) * ( 1 zijnde. Nemen wij hierbij het geval aan dat en fs{x) voor elke der beide grenzen eene positieve waarde hebben, dan geeft zulks inde hier aangenomen onderstelling te kennen dat steeds toenemende is van x z= a lot x = b, zoo dat de kleinste en /2(i) de grootste waarde aanwijst, welke f„2(a i(x o)) kan verkrijgen binnen het gegeven grensvak. Hieruit volgt dat men voor alle waarden van x = a tot x = b zal hebben, /(*) > /■(«) + (* «) A(«) H- i O af/fa). Beschrijven wij thans eene parabool Vmn gaande door het punt P, en tot vergelijking hebbende V =/(«) +(x— o) ffa) + i(x afffa), dan is het klaar dat, uithoofde van y (f{x), die parabool geheel beneden den boog PP, zal gelegen zijn. Voor x = a wordt, zoo als behoort, y = /(a), doch tevens = ffa), en~= ffa), zoo dat de parabool daarenboven in bet punt Peene gemeenschap, pelijke raaklijn met de kromme heeft, waarbij de raking van de tweede orde zal zijn. Indien nu die parabool de as der x niet snijdt, kan zulks des te minder met de kromme PP, plaats vinden, en de wortels der vergel. ƒ (ar) 0 zullen alsdan tusschen de grenzen a en b onbestaanbaar zijn. Om te onderzoeken of er snijding der parabool met de as mogelijk zij, heeft men slechts de vierkants-verbelijking ƒ(“) + $ ƒ,(«) -1- fS2 /2(o) =O, waarin S het verschil x a vervangt, ten opzigte van $ op te lossen. Zijnde wortels dezer vergelijking onbestaanbaar, dan wordt de snijding onmogelijk. Bevindt men derhalve dat (/»)- < 2 f(a) fs(a) , en de Oplossing der hooge-magtsvergeligltingen. dan levert zalks een kenmerk van onbestaanbaarheid der beide wortels van de verg. f(x) 0 op. Het spreekt echter van zelf dat indien aan dat kenmerk niet voldaan wordt, men hieruit geenszins tot de bestaanbaarheid dezer wortels zal mogen besluiten, dewijl de parabool de as zou kunnen snijden, zonder dat zulks eveneens met de boog PP, het geval behoefde te zijn. Men kan uit de vergel. (A) tevens afleiden, dat /(*) < /(«) + (*-<») fi O) + i O xf ƒ#). Beschrijft men dan door bet punt Peene andere parabool Pm'n' tot vergelijking hebbende V = ƒ(«) + (* o) y» + 10 af ffb), dan heeft deze insgelijks in Peene gemeenschappelijke raaklijn met de kromme. Omdat nu hier y ) f{x), zal de parabool thans geheel boven den boog PP, gelegen zijn, waaruit volgt dat, indien zij de as raakt of snijdt, men verzekerd is dat er met de kromme PP, insgelijks eene snijding zal moeten plaats vinden, en de beide wortels dus bestaanbaar zullen zijn. De vergelijking fa + *ƒ,(«) + = O, zal bestaanbare wortels hebben, indien aan de voorwaarde ]> 2f{a)ffb) voldaan wordt, hetgeen mitsdien een kenmerk van bestaanbaarheid der beide wortels zal opleveren. Men kan de voorgaande beschouwing insgelijks van toepassing maken op het uiteinde P, overeenkomende met de tweede grenswaarde x = b. Te dien einde stellende x—b— (b x), heeft men, zo) =m ~{h~ *)/,(*) +i[b – xff2(b -i(b~ x)), waaruit even als hiervoren afgeleid wordt, /(*) </(«) – (b – x)ffb) + * (6 – xfffb), M > ƒ(*) -(b-x) ffb) + *(i- xfffa). De parabolen tot vergelijkingen hebbende y – (b – x)ffb) + -I {b – xfMb), y =ƒ(£) ~(b- x) ƒ,(/>) + i(b- xf ffa), lste Afd. k. lobatto. Bijdrage tot de Theorie zullen dus respective!ijk boven en beneden den boog PP, gelegen zijn. Indien dan de eerste parabool de as raait of snijdt, zal eveneens de boog PP,, door die as gesneden worden. Nu volgt uit de vergelijking ƒ0) – J ƒ,(*) + I Pfjb) = 0, dat die raklng of snijding zal plaats vinden, bijaldien men vindt ((AO))2 T 2 Ab) Mb), hetgeen derhalve een kenmerk van bestaanbaarheid der beide wortels oplevcrf. en dat van onbestaanbaarheid (u°)Y < 2/(«)ƒ#). Bij toepassing op de tweede grens h, vindt men gemakkeliik ƒ(*) </(*) – (b – x)Uh) + i(6 – xffld), ƒ(*) > ƒ(*) – (* ~ *).m + i(b— x?Mb), waaruit wederom tot kenmerk van bestaanbaarheid volgt ■ (myy 2mfM, en tot kenmerk van onbestaanbaarheid {my < 2f{b)Mb). De laatst verkregen uitkomsten bijeen trekkende, bevindt men dat ingeval van f&[x) negatief tusschen de grenzen aenb, de wortels bestaanbaar zullen zijn , indien (/l(«))2_> 2/(o)/2(a), _ • • • • (w 1 of (.myivwM'O, en onbestaanbaar; indien (JMY < 2/(a)/a(i), , – (4) of imy < 2ƒ(6)ƒ„(&). Bij het vergelijken dezer laatste met de kenmerken (1) en (2) valt het niet moeijelijk daaruit de navolgende af te leiden , welke de beide hier afzonderlijk behandelde gevallen te gelijk omvat. Men schrijve de getallenwaarden op der functiën Ma) 7 /i(«)> /(«). m,m, f(b), dan zullen de wortels bestaanbaar zijn , bijaldien het vierkant van cene der beide middelste termen /,(a) of fx(l) gelijk is aan of grooter dan het dubbele product van den regts geplaatsten term met den grootsfen der beide voorste of links geplaatste termen • doch onbestaanbaar, bijaldien dat vierkant kleiner is dan het dubbele product van den regts gelaatsten term met den kleinsten der beide voorste of links geplaatste termen. Het geval waarin de kromme PP, beneden de as der x mogt gelegen zijn, en du* elke der functiën ,ƒ(«), f(b), f„(a), /«(!>) lste Afd. e. lobatto. Bijdragen tot de Theorie, enz. mei een negatief teelten aangedaan is, vordert geen afzonderlijk onderzoek. Blijkbaar zal de voorgaande regel ook op dat geval toepasselijk zijn, mits men hierbij onder de grootste of kleinste waarde van ƒ„(«) of/2(&) alsdan de grootste of kleinste getallenwaarde versta, zonder hierbij op de negatieve teekens achtte geven. De hiervoren gevonden nieuwe kenmerken van onbestaanbaarheid der wortels kunnen thans in verband worden gebragt met die welke in n°. 44, uit andere gronden afgeleid zijn, en in sommige gevallen met voordeel tot aanvulling dezer laatste aangewend worden. Aldaar is namelijk onder anderen gevonden dat de wortels onbestaanbaar zijn, bijaldien men heeft (ZiO))2 < /(«) ƒ»(«)• Blijkt nu integendeel dat > M /2(«) zoo is men nog in het onzekere of de wortels al dan niet bestaanbaar zijn. Is echter f%{a) kleiner dan f%[b), en blijkt het hierbij dat (/i(«))2 < 2 ƒ(«) Ma) dan is men, zonder naauwere grenzen te beproeven, terstond verzekerd van de onbestaanbaarheid der beide tussschen a en b aangewezen wortels. Dezelfde aanmerking geldt van elk der gelijksoortige kenmerken (6), (7) en (10) van n°. 44. TWEEDE AFDEELING. RAPPORT VAN HET VERHANDELDE OP DE WETENSCHAPPELIJKE VERGADERINGEN YAN 1861—1862. Gelijk inde voorgaande jaren, werd ook op de 82e Jlgemeene Jaarlijksche Vergadering tot het houden van Wetenschappelijke Vergaderingen besloten. Bestderderen, door de Leden daartoe gemagtigd, hebben dezen last inde verloopene Wintermaanden uitgevoerd en slaagden er in, voor elke dezer zamenkomsten een Spreker te verkrijgen. Op de lste Wetenschappelijke Vergadering, Maandag den 21sten October 1861, opende de Hoogleeraar Dr. C. J. Mattues deze zamenkomsten, en leverde een analytisch betoog voor een zeer merkwaardig bijzonder geval der algemeene stelling van Ddnésme: dat, bijaldien een omwentelingsligchaam door evenwijdig invallend licht beschenen wordt, alsdan de kromlijnige grens der schaduw op een vlak waarop de omwentelingsas loodregt staat, tot ontwondene heeft de grens der schaduw vaneen conoïdisch oppervlak, zijnde de meetkundige plaats der onbepaald verlengde loodlijnen op gemelde as nedergelaten uit de onderscheiden punten der kromme, die op het omwentelingsligchaam het licht van de duisternis scheidt. In naauw verband met dit zijn onderwerp stond de door Geil- 2de Afd. Rapport van het Verhandelde lery het eerst medegedeelde eigenschap van den gewonen schroefdraad of helix, van op een vlak loodregt door deszelfs as, bij een’ bepaalden invallingshoek van het licht, eene cycloïdale schaduw te werpen, die bij wijziging van dien hoek ingekort of uilgerekt wordt. Dit werd ten slotte nog, onafhankelijk van het vroeger voorgedragene, op verschillende wijze aangetoond. Op de 2de Wetenschappelijke Vergadering van den 38deE November 1861, sprak de Heer Dr. F. J. Stamkart: Over de sijdelingsche afwijkingen uit de baan van gescholen cylindervormige kogels. Spreker verklaarde het ontstaan dier afwijkingen in eenen bepaalden zin, regts of links nit den tegenstand der lucht, eene bepaalde' met de snelle wenteling eens kogels om zijne as, in in verband rïgting. Op de '3de Wetenschappelijke Vergadering den 23ïten December 1861, trad als spreker op de Heer Dr. E. B. Asscher, en behandelde in zijne Voorlezing eenige punten betreffende ons Planetenstelsel, en wel bepaald ten lc_ 0e samenstelling of het wezen der Zon. Achtervoigens werden door hem de verschillende hypothesen besproken, en van deze als de meest waarschijnlijke, die van John Herschei. , volgens welke de Zon zoude bestaan uit eenen donkeren kern en eenige omhulsels, van welke het buiteoste, dat Photospheer genaamd wordt, ons licht en warmte toezendt. In verband hiermede werd de nieuwe theorie besproken door Le Verrier ontworpen, in gevolge zijne waarneming van de totale Zonsverduistering van den 28Bten Julij 1860. Volgens deze zienswijze zou de Zon bestaan uit een’ gloeijenden kern door een’ donkeren rozenkleurigen Dampkring omgeven. Hoewel zich volgens deze voorstellingswijze misschien de zonnevlekken en eenige omstandigheden betreffende de, uitsteeksels bij totale Zoneclipsen beter laten verklaren, kan men toch op het voetspoor van Faïe en anderen, bedenkingen tegen deze theorie opperen, zoo gewigtig, dat Le Verrier’s voorstelling voor als nog problematisch blijft. Ten 2e. werd door den Spreker een blik geworpen op de 71 Asteroïden, sedert het begin dezer eeuw door de voornaamste Slerrekuudigen, zoo in Europa als in Afrika en Amerika, achtervoigens ontdekt en aanhoudend waargenomen, van de meeste van welke op de Wetenschappelijke Vergaderingen, Hemellichten ook reeds de loo[>bauen berekend zijn; tevens werd liet merkwaardigste besproken dat omtrent de ligging harer banen, derzelver grootte, massa, afstanden, schijnbaar voorkomen en wijze van oorsprong tot hiertoe bekend is, of door sommige Sterrekundigrn ondersteld wordt. Ten 3e. werd door onzen Spreker nagegaan het geschilpunt betreffende de Planeten die tusschen Mercdrids en de Zon nog zouden zijn. Nadat Lescarbadlt’s ontdekkingen en de voornaamste harer antecedenten in het breede waren ontwikkeld, en in tegenstelling de omstandigheden waren ontvouwd, die tegen de juistheid van Lescarbault’s waarneming, of althans van de gevolgen daaruit afgeleid, kunnen worden in het midden gebragt, werden ten slotte de gronden aangevoerd, die, Lescarbaults ontdekking daargelaten, pleiten voor het bestaan van eene of meerdere onbekende binnenplaneten, waaronder vooral merkwaardig zijnde door Daniël Kirkwood gemaakte groepering der Planeten, twee aan twee, wat haren diameter, digtheid en massa betreft, terwijl Mercurius daarbij op zich zelf staat, en eindelijk de door Roche gegevene gewijzigde voorstelling der formule van E. Bode, welke indien zij den vorm verkrijgt van 5 + 3 X 2”-'1 (1,1) X 2«“8 4»~6, suecessivelijk beantwoordt aan de afstanden van Mercurius, Vends, de Aarde, enz., wanneer men n stelt r=: 1,2, 3, enz.; men kan ook n 0 stellen en dan verkrijgt men een’ afstand voor eene mogelijke onbekende Planeet. De 4e Wetenschappelijke Vergadering , die gehouden werd den 20sten Januarij 1862, gaf den Heer Dr. D. van Lakkeren Mattiies aanleiding tot de oplossing van eenige Vraagstukken uit de Photornetrie. Op de 5e Wetenschappelijke Vergadering, den 17den Februarij 1862, bepaalde zich de Heer W. A. Froger bij een gedeelte der Hydraulica, en vestigde dezen avond in het bijzonder de aandacht op de stroomende wateren; behandelde onderscheidene Formulen waarvan de AVaterbouwkundigen bij hnnne berekeningen gebruik moeten maken, en wees aan, hoe sommigen der gewone Formulen op gepaste wijze door verbeterde formulen konden worden vervangen. De laatste of 6de Wetenschappelijke Vergadering had plaats op den 24sten Maart 1862. De Heer Dr. F. J. Starkart behandelde op dezen avond de Stereographie en sprak: Over de Stereographische projectie in het algemeen, en in het bijzonder: hoe de verschillende voorstellen der bolvormige driehoeksmeting door eenvoudige constructiën kunnen worden opgelost. Door den Bibliothecaris werden op iedere Vergadering de Boekwerken ter tafel gebragt tot inzage voor de Leden, die sedert eene vroegere zamenkomst aan onze Boekerij vereerd of aangekocht waren geworden. De discussiën over het gesprokene gaven zeer dikwijls gelegenheid tot het voeren van leerzame gesprekken, waardoor het gezellig verkeer mede werd veraangenaamd. WITLAGE, 2e Secretaris. OVER MEETKUNDIGE CONSTRUCTIËN AAN DEN KEGEL TER BEPALING VAN DE LENGTE DES PARAMETERS EENER SNEDE VAN DIEN KEGEL, WANNEER DE STAND VAN HET SNIJDEND VLAK BEKEND IS. DOOK T/r. J jr. TtSOIIWCi VAN Jtf.ltftlfOH'. 1. AroLLomcs is de eerste, die de regte zijde (latus rectum), later parameter genoemd, der drie voornaamste kegelsneden bepaald heeft. Kan men uit zijne bepalingen van den parameter voor die drie sneden eene constructie aan den kegel zelven afleiden, en wel eene constructie, die, uithoofde van het onderling verband tusschen de kegelsneden bestaande, voor alle gelijkelijk geldig is? 2. Apollonies onderstelde een' cirkel als grondvlak vsd den kegel. Daarop toonde hij aan, dat de snijding eens kegels dooreen vlak gaande door de as des kegels een driehoek geeft, (Conicorum I, pr. 3), en dat, zoo een kegel eerst gesneden wordt dooreen vlak gaande door den as, daarna dooreen ander vlak, wiens gemeene doorsnede met het grondvlak loodregt staat op de basis van den asdriehoek of hare verlengde, de regte lijnen, in deze laatstgenoemde snede evenwijdig aan die gemeene doorsnede van het snijdend vlak met het grondvlak getrokken, van omtrek tot omtrek, door de gemeene doorsnede van het snijdend vlak en den as-driehoek in twee gelijke deelen gedeeld worden , en op deze gemeene doorsnede loodregt staan , wanneer da kegel regt, maar wanneer de kegel scheef is , alleen dan , wanneer het. vlak door den as gaande loodregt op het grondvlak staat (pr. 7). In het gevolg van die prop. 7 toont hij aan, dat de gemeene doorsnede van het tweede snijdend vlak en den as-driehoek een diameter is der snede, aldus ontstaan , en welke diameter (volgens bep. 18) de (groote) as is, wanneer de kegel regt, of wanneer, bij een scheven kegel, het vlak, door den as des kegels gaande , loodregt op het grondvlak slaat. Inde onderstelling nu vaneen loodregfen stand van het vlak , door den as gaande, op het grondvlak en van de gemeene doorsnede van het tweede snijdend vlak en het grondvlak op de basis Archiev. 2e Deel. 20 2de Afd. Over meetkundige constructiën van den as-driehoek, toont hij inde lle, 12e en 13e propositie de hoofdeigenschap van de parabola, hyperbola en ellips aan. 3. Nemende inden as der snede een punt P, en noemende de halve ordinaat voor dat punt PQ, welke volgens onderstelling in alle de beschouwde gevallen loodregt staat op den as der snede en evenwijdig aan de gemeene doorsnede van het snijdend vlak met het grondvlak , en nu stellende dat de as der snede evenwijdig loopt aan eender beenen van den as-driehoek, is (zie Fig. 1) (*) □ PQ = PD. Parameter , Parameter : CD =z □ AB : AC.BC, en de snede eene parabola, zegt Apollonies (prop. II). Zoeken wij nu eene constructie voor dien parameter aan den kegel. Bekeidimo. Zij A ABC de as-driehoek, DE de as der snede, trek door D eene lijn DG en door het punt Peene lijn NO, evenwijdig beide aan AB. Nu is inde gelijkvormige driehoeken ACB, DEB, CGD AC : AB = DE : EB = CG : GD, BC : AB = BD : EB = CD : GD, AC.BC : □ AB = CG.CD : GD.GD =CD: “Ien daar AC.BC : □ AB ~ CD : Parameter, zoo is „ GD Parameter “ GD.-—. CG Hieruit volgt, dat de parameter door eene lijn kan worden voorgesteld van denzelfden aard als GD. Indien men nu de lengte van DG overbrengt op den as DE , en uit het aldus bepaalde punt H de lijn Hl trekt evenwijdig aan AB , dan is A CGD cr> A DHI en CG : GD = DH : Hl = DG : Hl, daar DH = DG (*) Men heeft het niet noodig geacht den kegel zelven en de snede voor te stellen, maar gemeend zich te kunnen bepalen bij de voorstelling van den as-driehoek en van de as der snede. De halve ordinaat PQ is derhalve niet inde figuur aangeduid. aan den kegel ter bepaling van de lengte enz. GD en fll zz GD. •zz Parameter. CG Maar Hl is eene lijn inden driehoek: om nu den parameter aan den kegel zelven te bepalen , trekke men HK evenwijdig aan BC en KL evenwijdig aan AB : dan is de parameter in grootte voorgesteld door de lijn KL, welke is de diameter der circulaire snede van den kegel gaande door de puuten K en L, evenwijdig aan het grondvlak. Want □ PQ zr: PD. Parameter, en ook □ PQ zz PN.PO, volgens eene eigenschap des cirkels, derhalve PN.PO zr PD. Parameter, PD : PO PN : Parameter. Maar PD :POzz DH : Hl, omdat A PDO cd A HDI, dus DH : Hl = PN : Parameter, en zoo DH PN zz GD is Hl den parameter in grootte gelijk, of de parameter in grootte voorgesteld door KL z: Hl. Gevolg 1. Uit het bovenstaande volgt dat de parameter zz GD, d.i. gelijk aan den diameter der circulaire snede, evenwijdig aan het grondvlak van den kegel, gaande door het punt, hetwelk het toppunt van den as der parabola wordt, wanneer CG zz GD, d.i. AC AB. Zoo dit niet het geval is, KL GD. Gevolg 2. Daar (zie Fig. 1) A CKL CD ACGD, en dus CK : KL = CG : GD, ook GD : Parameter z: CG ; GD, stelt KL den parameter in grootte voor wanneer CK zz GD. Men heeft dus slechts CK zr GD te nemen , en uit K evenwijdig aan AB de lijn KL te trekken. Deze constructie is nog eenvoudiger dan de voorgestelde. 4. Wanneer nu de kegel gesneden wordt dooreen vlak, zoo dat de as der snede beide beenen van de as-driehoek ontmoet, en welk vlak noch evenwijdig aan het grondvlak noch subcontrarie gesteld is, heeft men (zie Fig. 2) PD □ PQ zz Param. PD Param. .PD DE 20* 2de Afd. Over meetkundige constructiën en □ Cl : BI. AI DE : Parameter en de snede is eene ellips, zegt Apollonies (prop. i3). Bereiding. Zij A ACB de ai-driehoek, DE de as der snede en verlengd tot de verlengde Basis van dien driehoek in H , trek Cl evenwijdig aan DEH, DG, EF, NO (welke laatstgenoemde lijn gaat door het punt P van den as) evenwijdig aan AB. bepaalde pnnt J eene lijn JK trekt, evenwijdig aan BC en KL evenwijdig aan AB, dan zal KL den parameter der kegelsnede in grootte voorstellen, welke lijn KL de diameter is der circulaire en aan het grondvlak evenwijdige snede van den kegel, welke door de punten K en L gaat. Want getrokken zijnde JM evenwijdig aan AB , zoo is A DJM co A DEF. DE : EF = DJ : JM = GD : KL EF KL Parameter “ GD.—-. DE Gevolg. De parameter der ellips ~ GD, d.i. gelijk aan den diameter der circulaire, en aan het grondvlak evenwijdige, snede van den kegel gaande door het toppunt van den as der ellips, wanneer EF = DE, d.i. DP = PO, d.i. Cl =BI is. Zoo dit niet het geval is, KL GD. 5. Wanneer de as der kegelsnede eender heenen van den asdriehoek snijdt beneden den top van den driehoek en het andere, verlengd zijnde, aan de andere zijde van den top, is (zie Fig. 3), PD □ PQ Param. PD -f- Param. —.PD DE en □ Cl : AI.BI DH : Parameter en de kegelsnede eene hyperbola, zegt Apolloniijs (pr. 12). Bereiding. Zij wederom A ABC de as-driehoek, DE de as der kegelsnede binnen den driehoek : verleng AC en DE totdat zij elkander ontmoeten in H, trek Cl evenwijdig aan HE en DG. NO evenwijdig aan AB (deze laatstgenoemde NO door het aangenomen punt P van den as). Dan is A CIB co A DPO co A DEB A AIC co A AEH co A GDH. Cl : AI = EH : EA = I)H : DG Cl : BI DP : PO _ DE : EB □CI : AI.BI = EH. DP : EA.PO = DH. DE : DG.EB. Maar ook A EAH CO A PNH 2de Afd. Over meetkundige constructiën EH EA =PH: NP DP : PO DP : PO EB.DP : EA.PO PH.DP ; NP.PO = PH.DP : □ PQ, das □CI : AI.BI = PH.DP :□PQ— DH : DG.— DE* en daar □CI : AI.BI = DH : Parameter. EB Parameter DG.—. DE’ en kan m grootte worden voorgesteld door eene lijn van denzelfden aard als GD. den diameter der circulaire en aan het grondvlak evenwijdige en door het toppunt der kegelsnede gaande snede, eene lijn evenwijdig aan het been van den as-driehoek, hetwelk het eerst of alleen door den as der kegelsnede ontmoet of gesneden wordt, tot het andere been van den as-driehoek; de diameter van de circulaire aan hel grondvlak evenwijdige snede, welke door het aldus bepaalde punt van het laatst bedoeld been van den as-driehoek gaat, zal den parameter der kegelsnede in grootte voorstellen. Wij herinneren hierbij dat deze constructie op de bovenvermelde wijze getrokken is uit de bepalingen voor den parameter van iedere der drie voornaamste kegelsneden door Apoilohics gegeven. 7. Het wekt eenige bevreemding, dat Apoleonius zich bepaald heeft tot het opgeven der verhouding, waarin de parameter staat tot andere lijnen in of aan den kegel, hierin gevolgd, met name door Mydorge en Gregoire de St. Vincent. Hetgeen medegedeeld is in gev. 1 van (3) en inde gevolgen van (4) en (5) vindt men ook vermeld bij Kinckhuïsen in zijn werk de grondt der meetkunst, zonder bewijs echter of opgave van aanleiding tot die stellingen. De particuliere wijze van constructie voorgesteld in gevolg 2 van (3) voor de parabola heb ik gevonden bij een wiskundige der zeventiende eeuw en wel in the Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 8. Indien de voorgestelde constructie goed is, zal zij ook moeten gelden voor de siibcontraria sectio van den kegel. Indien de hoek aan de gemeene doorsnede van den as eener kegelsnede en eender beenen van den as-driehoek gevormd door dien as en het bovenste afgesneden gedeelte van het been gelijk is aan den tegenoverstaanden hoek van den as-driehoek is de kegelsnede een cirkel en wordt zij in dit geval de subcontraria sectio genoemd. Haar parameter is noodzakelijk gelijk aan haar diameter. Zij dan A ACB de as-driehoek (Fig. 4), DE zoo getrokken dat [_ CDE = L ABC, dan is DE de diameter vaneen cirkel, van eeue subcontraria sectio van dien kegel. Construeren wij nu op de voorgestelde wijze den parameter, zoo trekke men DF evenwijdig aan AB, neme op DE, DG DF , 2de Afd. Over meetkundige constructiën trekke GH evenwijdig aan AC en uit H, IH evenwijdig aan AB, dan is Hl de parameter van de snede, en zal DE moeten zijn. Bewijs. L CDE j_ ABC onderst. 