Archief, uitgegeven door het Wiskundig Genootschap onder de zinspreuk: \
Wij nemen aan, dat van den gegeven driehoek ABC (Fig. 1), met de zijden a, b en c, het hoekpunt B de oorsprong der coördinaten, BC de as der x, AB de as der y en eene inden oorsprong loodregt op het vlak des driehoeks staande lijnde as der z is. Wanneer dan P, de projectie op het vlak xy is van eenig willekeurig punt P des gevraagden oppervlaks, dan zal, indien P,E evenwijdig met AB getrokken is, BE r: ï en PE y zijn. laten wij voorts uit Pj de loodlijnen DPt = m, D,P, “ n en DjP, zr p op de zijden des driehoeks neer, zoo moet blijkbaar m = y.Sinß en p x.Sinß zijn. Ter bepaling van de derde loodlijn trekken wij nog P£F evenwijdig met AC, want dan volgt uit de gelijkvormigheid der driehoeken EPjF en ABC l'te Afd. w. van HAAïtST. Oplossing van het C : V O : EF of EF = en dus CF = a a; 3 o o ac cx ay ... , —, terwijl dan SinC Sinß n=CF X SinC [ac —cx ay)-- (ac —cx ay)—-~ wordt. Noemen wij nu de loodlijn DP, die uit P op de zijde BC valt en waarvan m de projectie is, Z; die op AC, Z, en die op AB valt, Zs , dan is, PP, z zijnde, Z* s* -f- »»*, I\ z1 H- w* en l\ s* 4- terwijl, indien wij aannemen, dat de op BC vallende loodlijn steeds middenevenredig tusschen de beide andere zijn moet, Z1 Z,Zj moet wezen. Uit deze laatste vergelijkingen volgt dan (a2 -{- m2)2 = (z2 4* n-) (z2 -J- p-) ot tn2 (2a24 m2) = {n- 4- p-) s2 4- pV. Door hierin de boven gevondene waarden van m, n en p te schrijven, zullen wij, na door Sin!B gedeeld en met b1 vermenigvuldigd te hebben, voor de vergelijking van het gevraagde oppervlak vinden: h2y,(2s* ■+■ yiSiniB) = [b'x1 +• [ac cx ay)1}*1 -f- xl(ac cx ay)lSinxB, of wel s2 {[ac —cx ay)- + b\x2 2y2)} ={V + x[ac— cx ay)} {by! x[ac —cx ay)} Sin18. Lossen wij z uit deze vergelijking op, dan vinden wij b*y* xi!ac cx ay)x z= ± Sin By-m + • • (a) Daaruit blijkt al terstond, dat het vlak xy het oppervlak in twee gelijke en gelijkvonnige deelen verdeelt. als Prijsvraag voorgestelde Vraagstuk. Stellen wijden teller gelijk nul , dan is axy cx 2 -f- acx = 0, + axy + cx2 acx = 0. l)e eerste vergelijking stelt eene hyperbel voor, terwijl de tweede die eener hyperbel , parabel of ellips zijn zal, naar gelang a~ ' }, —of<( 0 is. Wij nemen aan , dat a2 4bc < 0 en de tweede kromme lijn dus eene ellips is. Voor x 0 wordt in beide vergelijkingen y = 0, en voor y 0: * = 0 en * = «• Beide krommen, zie Fig. 2, gaan door de punten B en C-Stellen wij m beide x = y, dan vinden wij inde eerste x y ac en Jn ,]e (weeJe r ii a—s + c J a+b + c’ voor x=—- y wordt bij de eerste x—— y aG cn a -\-b c bij de ,„eea« *= _ y „„ i,Jp„bel e„t dus door de middenpunten van de cirkels, welke de zijden AB en AC van buiten aanraken, terwijl de middenpunten van den ingeschreven en derden aangeschreven cirkel inden omtrek der ellips liggen. Als wij beide vergelijkingen difFerenliëeren, verkrij"»*s s = ajLê~* dlip,. ay 4- 2cx— ac , dx 2by -j- ax ’en “ voor Beide, inde onderstelling van x y = 0, % =. CO, en van x = o en y = 0 dx y ’ dx wordt, zoo blijkt daaruit: dat de kromme lijnen elkander ■n de ponten B en C aanraken, en de zijden AB en AC in die punten raaklijnen aan beiden zijn. Stellen wij nu den noemer gelijk nul, dan is de vergelijking van bovengenoemde meetkunstige plaats (ac —cx ay)* -f- A2#l =2£ V, of na rangschikking (2*2 _ 02)_ 2acxy – (*2 f c2) s2 + 2a3-cy + 2ac*x a2c2=O, welke bij onderzoek blijkt mede eene hyperbel voor te stellen. Nu is het bekend, dat, indien bij de algemeene vergelijking Abchibf, 3e Deel, 4 & l,tB Afd. w. van haaest. Oplossing van het A-\- C van de lijnen van den tweeden graad de betrekking ———= Cos 0 plaats heeft, waarbij 0 den hoek der coördinalen-assen voorstelt; de vergelijking die eener gelijkzijdige hyperbel is , en dit is hier juist het geval, want, daar hier A 2A2 a2, C= (62 + c2) ai A* c* en B~ 2ac is, wordt —== Cos B. Wij heb- Zac ben derhalve met eene gelijkzijdige hyperbel te doen. CLG Zij snijdt dus de y-as inde punten O, 'ffi + bys e“ de *'a* in het geheel niet. Nemen wij ook hier x— y, dan wordt ac ac J a + 6 4- c ‘ a b -j- c ac terwijl wij voor x—— y, x—— y b c 'SII~a ca (IC x _. « vinden. Daaruit blijkt derhalve, 3a+ b c dat deze lijn boor alle vier middenpunten der in- en aangeschrevene cirkels gaat, en dat zij dus twee met de ellips en twee met de hyperbel gemeen moet hebben. Om te onderzoeken of dit snij- of raakpunten zijn , differentiëcren wij ook deze vergelijking, dy acy -+- (6* + c 1) x ac* waardoor -f- = rr —~r won]t >en dan dx (26*— a*J y acx a-e vindt men gemakkelijk, dat, door in dit quotiënt en in dat van ac dy b+ c de hyperbel x= y – b~+ ■te stellen,--^— ac dy b -f- c is, en dat, door x--y —a+ b_ te nemen 2Ï + i voor beide wordt; en dat voorts, i de onderstelling van x « , voor de ellips en de gelijkzijdige hyaa+ b c c 6 ac P„b.' £= – 2TT7 », tl 1 È- wordt. dx 26 a als Prijsvraag voorgestelcle Vraagstuk. Inde genoemde middenpunten raken de kromme lijnen derhalve elkander aan. Om nu de betrekkelijle ligging van deze drie kromme lijnen m het xy-vlak goed voor oogen te hebben, willen wij tot hare constructie overgaan en beginnen met de ellips en de hyperbel. Lossen wij daartoe y uit hare vergelijkingen op, dan vinden wij y=+2j * ± 2jy ((°* i-±,iabcx'^, waarin de tweede dubbele teekens bij beide kromme lijnen, en van de overige de bovenste bij de ellips, de onderste bij de byperbel behooren. De lijnen, waarvan y = qz x de ver-2 b gelijkingen zijn, zijn derhalve middellijnen. Daarin wordt voor x—•b> y – -t~ 2a* Bovendien heeft men ter bepaling van het middenpunt nog de vergelijking 2cx +ay—ac 0 voor beide krommen, waarin x en y de coördinaten van het midden* punt voorstellen; en dewijl daarin voor x = 0, y ~ cen voor y = 0, x = ia wordt, zoo blijkt daaruit, dat beide middenpunten inde lijn liggen, welke uit het hoekpunt A getrokken, BC middendoordeelt. Trekt men dus de deellijn Aa, maakt men vervolgens Bb = b, Ba, = Bas = Ba = fa, voorts a,b, en a,b2 evenwijdig met de #-as en door b de lijn bb, evenwijdig met de y-as, dan is het snijpunt M het middenpunt der ellips en M, dat van de hyperbel. En dewijl Been punt van beide kromme lijnen is, zoo zal, als men MD ™ BM en M,D, = BM, neemt, Deen nieuw punt en BD eene middellijn der eerste, D, een punt en B,D, eene middellijn der laatste zijn. Gaan wij voort met de constructie der ellips. Schrijven wij hare waarde van y onder dezen vorm: y ~ ~~ è * II “*>}• Wanneer wij na opmerken, dat eene lijn door M evenwijdig met de as der y getrokken, de toegevoegde middellijn in rigting aanwijst, dan is uit bovenstaande vergelijking gemakkelijk hare grootte te bepalen. Het is immers klaar, dat de wortelgrootheid 2 akc voor x een maximum wordt, en de laatste term 4oc lste Afd. w. van haakst. Oplossing van het ac , .. voor deze waarde van x, —777 r- tot waarde verkrijgt, p/(44c o2) welke de lengte van de halve toegevoegde middellijn voorstelt. G Dewijl nu de ordinaat cM van M de lengte van heeft, zoo heeft men, die ordinaat « noemende, ter constructie dier halve middellijn j/ca.. De ellips kan nn beschouwd worden als genoegzaam bekend te zijn, en men kan zooveel punten vinden als men wil. Daar echter zulks gemakkelijker door middel van de hoofdassen geschiedt, willen wij deze nog bepalen op de volgende eenvoudige wijze. Dewijl AB eene raaklijn en B het raakpunt is, rigten wij in dit punt eene loodlijn op en nemen daarop Bd = Bd, ME de gevondene halve toegevoegde middellijn. Beschrijven wij vervolgens een cirkel, welks middenpunt (v) inde raaklijn AB ligt en welke door de punten M en d gaat, dan snijdt hij die raaklijn in d2, en dan is Md2 de rigting der eene, en bijgevolg Md,, welke er loodregt op staat, die der andere as. Trekt men eindelijk Md, en maakt men daarop Mo = Mo, ~ Mo2, dan is d,o de lengte van de groote en d,o, die der kleine as, en men heeft dus slechts MF MF, en MG = MG, te nemen. Er zijn inmiddels genoeg punten der ellips gevonden om ze te kunnen trekken. Wij vervolgen de constructie der hyperbel , waarvan reeds eene middellijn in rigting en grootte bekend is. Daar de punten eener hyperbel ontwijfelbaar op de gemakkelijkste wijze gevonden worden, wanneer de asymptoten bekend zijn, zoo willen wij deze op de gewone wijze bepalen. Uit de vergelijking der kromme lijn y x + ;^l/{(«2 "+■ iabcx] volgt die der asymptoten: a , 1/■ 2abc \ , , ~ . »=a * * al1 – „M7W4'” + ’’ a ± t/(«J 444 c) ac dat is y_ • 24 ”* + PvT“4fc)' als Prijsvraag voorgestelde Vraagstuk. Maar dewijl het middenpunt reeds bekend is, zal men de lijnen kunnen trekken, zoodra men de punten bepaald heeft, waarin zij ac de as der y snijden, en voor x=ois y + aj _j_ 4jcj' ' c Bedenken wij daarbij, dat de ordinaat van M, —-— is, en stellen wij hare lengte gelijk aan a,, dan wordt y=z y/c Na dus uit M, eene lijn M,f evenwijdig met de a?-as en de loodlijn flj getrokken te hebben , wordt. Bfj = ycxv en men behoeft slechts Bfj ter wederzijde van B op de y-sts uitte zetten, om de bedoelde punten te vinden (deze punten zijn hier toevallig identisch met a, en a2). De lijnen XX, en TY,, door deze punten en het middenpunt M, getrokken, zijn dan de asymptoten. Trekt men nu dooreen der reeds bekende punten, bijvoorbeeld het punt D, , eene willekeurige regte lijn , welke de beide asymptoten inde punten g en g, snijdt, en maakt men gjDa gD, , dan is D2 een nieuw punt der hyperbel. Bovendien kan men natuurlijk elk bekend punt als bet uiteinde eener middellijn beschouwen, terwijl het andere uiteinde dan een nieuw punt aanwijst. Zoo doende hebben wij reeds de vijf punten m,> D,, C, D, en D3 van den eenen en de vijf punten ms, D6, DA, B en D4 van den anderen tak gevonden, en kan de lijn zelve getrokken worden. Natuurlijk geeft de lijn welke den hoek der asymptoten halveert, de rigting der groote as aan. De constructie eindelijk van de gelijkzijdige hyperbel kan op de volgende wijze gevonden en gemakkelijk uitgevoerd worden. Uit hare vergelijking volgt, dat de coördinaten van haar middenpunt aan de beide vergelijkingen (2h2 a?)y acx are = 0 en (b* + c*) x acy ac1 0 moeten voldoen. Nu is bij 2 b’ b2 de eerste voor y—o,x «, cQ ïoor y c>x —— > * a -ga fb* \ deze lijn gaat dus door het punt C en door het punt j —, cj. \2® ' Om de constructie van de tweede lijn te vermijden, lossen wij * en y uit de beide vergelijkingen op, waardoor wij voor de 2ac* aic coördinaten van het middenpunt 2en 2i2 o®+ 2c2 lste Afd. w. VAN haarst. Oplossing van het vinden. Maar daaruit volgt, dat het middenpunt ook inde lijn a y= m moet liggen, welke door den oorsprong Ben het punt (c, fa) gaat. Neemt men derhalve op AB een stuk Bh = b en op BC een stuk Bhj =c, dan is, wanneer men uit h eene b1 lijn hh2 evenwijdig aan ajb trekt, Bh2 =-. Na dus uit de fa punten A, a2, h2 en hj lijnen evenwijdig met de assen getrokken bs te hebben, vindt men de punten h3 (dat is —, c) en h4 (dat is •jO c, fa), en zal het snijpunt M., van de beide lijnen Cb3 en Bh4 het gezochte middenpunt zijn. Schrijven wij voorts de vergelijking der hyperbel onder deze gedaante: ac(x—<o b , y=2ïh^± 2h a2+ 2c2)*2—4ac2ar-J-2asc* J, . ac [x —■ a) Nu is y ■ ' de vergelijking vau de reeds gevon- 2&c ® dene middellijn h.CM, en, daar blijkbaar voor x ~ 2£* aJ+2e3 de tweede term een minimum wordt, zoo moet dit de vergelijking van de aan h,CM2 toegevoegde middellijn zijn. Maar wij vonden boven, dat dit juist de abscis van het middenpunt is, zoodat, als wijde lijn HH, evenwijdig met de y-as door het middenpunt Mj trekken, llli, en CMa toegevoegde middellijnen zijn. De lijnen II4 en LL,, welke hare hoeken middendoordeelen, zijn dan de asymptoten. Boven hebben wij aangetoond, dat bovendien de middenpunten der in- en aangeschrevene cirkels punten der hyperbel zijn en, voor zoovéél punten als men wil, kan men dezelfde constructie volgen als voor de andere hyperbel. De kennis van de juiste onderlinge ligging der drie nu geconstrueerde kegelsneden voert ons tot een belangrijk besluit aangaande het gevraagde oppervlak. Het is ons gebleken, dat die lijnen elkander aanraken en overigens geheel buiten elkander liggen. Geen punt in het xy-\lak kan derhalve binnen twee dier lijnen liggen. Verbeelden wij ons dan, dat er drie cylinders zijn als Prijsvraag voorgestelde Vraagstuk. beschreven; waarvan de drie kromme lijnen de rigtlijnen cn eene met de z-as evenwijdig blijvende lijnde beschrijvende lijn is , zoo zullen wij aantoonen, dat geen der punten van het oppervlak binnen deze cylinders kan liggen. Schrijven wij daartoe kortheidshalve voor de vergelijking der ellips f(x,y) = 0, voor die der hyperbel F(x,y) = 0 en voor die der gelijkzijdige hyperbel (p(x,y) 0 > dan is de vergelijking van het oppirvlak. / (*> y)- F (*♦ y) Z ZZZ ”1“ SlTl mj{/“ T“7 x • 4>(*. y) Nu is liet bekend dat, wanneer F (x, y) O eene der kegelsneden voorstelt, voor eenig punt dat daarbinnen ligt F{x, y) S, en voor eenig punt dat daarbuiten is gelegen F (x, y) + 5 zijn zal. Indien wij dan onderstellen, dat eenig punt x,y,z van het oppervlak binnen den elliptischen cylinder zich bevindt, zoo moet zijne projectie op het jry-vlak inde ellips vallen , en er moet tusschen de ar en de y van dat punt zulk eene betrekking bestaan, dat ƒ (ar, y) z=z S h, maar dat punt ligt danbuiten de beide andere kromme lijnen, bijgevolg moet F (ar, y) —+Sl en <p (ar, y) = + Ss zijn; daardoor wordt dan echter & = ± Sin B{/ —en bijgevolg onbestaanbaar. Hetzelfde geldt voor een punt dat ineen van de beide andere cylinders wordt genomen, derhalve meet het geheele oppervlak bilt' ' de cylinders liggen, met uitzondering natuurlijk an die punten, welke in derzelver oppervlak liggen, dat ;:ijn de punten op oneindigen afstand van het ary-vlak op den cyiinder met de gelijkzijdige hyperbel tot grondvlak en de punten inde ellips en de andere hyperbel zelven. De eerste cylinder is derhalve de asymptoot-eylinder van het oppervlak. Na het bovengezegde kunnen wij ons al eenigszins den vorm van het oppervlak voorstellen. Immers wij weten nu, dat het oppervlak, van dein het ary-vlak liggende ellips en hyperbel als eene keel aanvangende, zich ter wederzijde hoe langer hoe meer van het iry-vlak verwijdert, om eindelijk in eene op oneindigen afstand gelegene gelijkzijdig hyperbolische kromme lijn over te gaan. Daar echter in dien tijd elk punt ook den horizontalen afstand tot de gelijkzijdige hyperbel doorloopt , zoo beeft het op- lste Afd. w. VAN HAARST. Oplossing van het pervlak op verschillende punten ook verschillende krommingen, die zelfs in meergemelde middenpunten in regte lijnen overgaan’. Zoo bestaat elke doorsnede met een vlak evenwijdig aan het ya-vlak uit twee afzonderlijke kromme lijnen, die elk uit twee gelijke en gelijkvormige oneindige takken bestaan. Alleen in het yz-vlak zelf worden de beide afzonderlijke deelen tot een geheel vereen hul. Door nu Aa J_ AC en zz b, ab J_ Ca en zz h en Ce zz Ce, zz Cb te nemen en CE evenwijdig met Ae , alsmede CEi met Ae, te trekken, wordt BE = . en BE, = . o+K 2b*f/ia-) 1 a—y(^fAs) Is derhalve EF, = EF2 zz BE en E,E2 zz EjE3 = BC,, dan zijn F,, F2, E2 en E3 de bedoelde punten der kromme. Overigens is de constructie van andere punten zeer gemakkelijk, want stellen .. a (c y) wij zz m en de bekende lijn ij/2 zz n, waardoor hy z + —-- wordt, dan is al terstond, als wij BG voor y nemen en Ag evenwijdig met CG trekken, Cg = m. Beschrijven wij voorts, om C als middenpunt, met m als straal, een cirkelboog , welke dein a op Ca opgerigte loodlijn in g0 snijdt, dan is ag2 zz y'(m2 n1), en wij behoeven slechts Bg3zzag2 te nemen en hi evenwijdig met gBG te trekken, om Bi =z te vinden. Is dus Gl,zz GI2z= Bi, zoo zijn I, en I2 punten der kromme. Voor eene even groote negative-waarde van y zou A,g, , evenwijdig met BC getrokken en het verlengde van CG in g, ontmoetende , de waarde van m zijn. Om de kromme te kunnen trekken, hebben wij meer punten met negative waarden voor y noodig. Voor de constructie daarvan stellen wij Bm , Bn, Bo en Bp gelijk aan y, dan wijzen de uit de punten m, n, o en p door C getrokkene lijnen op A,g, de waarden van m aan , welke A,m,, A,n„ A,o, en A,p, zijn. Beschrijft men met deze lijnen als stralen om C als middenpunt cirkelbogen , welke de loodlijn ag2 inde punten ro2, n2, o2 en p2 snijden, en maakt men vervolgens Bms zz am2 , Bn3 zz an2, Bo3 ao2 en Bpg zz ap2, dan zullen de uit h respectivelijk met m3m , n3n, 030,o3o, pBp evenwijdig getrokkene lijnen, Bm4, Bn4, Bo4 en Bp4 voor de lengten van de ordinaten der punten aanwijzen. Door dus BM zz Bm , BN zz Bn , BO ~ 80, BP zz Bp en vervolgens MM, zz MM2 zz Bm4, NN, zz NN2 zz Bd4, OOr zz002 zz Bo4 en PP, zz PP2 zz Bp4 te nemen, worden M,, M2, N,, N2, 0,, 02, P, en P2 punten der kromme. lBte Afd. w. van haarst. Oplossing van het Om nog een voorheeld te geven , waarbij de beide deelen der kromme van elkander afgescheiden liggen, snijden wij het oppervlak dooreen vlak op den afstand a evenwijdig met het ys-vlak, gaande derhalve door het punt C, dat is door het vlak x 4- o. De vergelijking der doorsnede wordt dan b*y- – aft z— ±y Sin B (m _„y Opmerkelijk is het, dat hier de beide deelen der kromme gelijke breedte hebben , want de beide punten, waarin zij den gelijkzijdig-hyperbolischen cylinder ontmoet, hebben hunne projectiën op het ;ry-vlak op gelijken afstand ter weêrszijden van de as der x , immers hunne y is _|_ _ en de punten waarin zij de ellips en de a2)’ v J v hyperbel ontmoet, hebben tot ordinaten +—. De breedte van ab elk deel bedraagt derhalve——— -. De constructie 0 ï/(26J a’) b zou zeer eenvoudig zijn, want stelt men de reeds bekende groot- ab aa heden —— = V en == q dan -wordt de vergelij j/(2£a— o*) b 0 ■* pySin B y 1 —o* king z = + y— =-. De waarde van y moet a p1 y’ echter tusschen zulke enge grenzen genomen worden, dat zij niet dan met zeer g-oote afmetingen uitvoerbaar zijn zon. Zóóveel is toch zeker, dat de kromme veel overeenkomst in vorm heeft met de doorsnede van het ys-vlak , alleen met dit onderscheid dat hier de beide deelen van elkander afgescheiden en daar aan elkander sluitende zijn. Snijden wij bet oppervlak dooreen vlak dat loodregt op het jry-vlak staat en AC tot doorgang heeft. De vergelijking van dat vlak ac cx ay 0 zijnde, zoo wordt de vergelijking van de projectie der doorsnede op het ys-vlak in dit geval: y2 Sin B cy2 Sin B ~ y(x* 2yJ) ~ y (c y)1 2cIy%] ’ waarvan de overeenkomst met die van het ys-vlak zelf terstond in het oog valt. als Prijsvraag voorgestelde Vraagstuk. Uit al het bovenstaande is het niet moeijelijk zich een denkbeeld van den vorm van het oppervlak te maken. Men kan het beschouwen ais uit zes afzonderlijke deeïen te bestaan, die volgens de loodlijnen in meergemelde middenpunten aan elkander sluiten. Voor het bijzondere geval dat de driehoek gelijkzijdig is, gaat (zie Fig. 4) de vergelijking over in 4s1{(o —x y)1 +ar2 2y*}:=3{y4 •x y)Jj , . , „ y4 —x*(a x K(o x yY + ar1 2y2 Voor s 0 hebben wij nu y* xy X 1 + ax =z 0 , welke cene hyperbel, en y* + xy + xi ax 0, welke eenen cirkel voorstelt. Opdat z oneindig groot worde, moet yJ 2a:y 2x* 2ay 2ax —al 0 zijn, dat nog de vergelijking eener gelijkzijdige hyperbel is. In dit geval is de constructie dezer drie lijnen nog veel eenvoudiger geworden. Door inde vergelijkingen van het algemeene geval c z=z b ~ a te stellen, ziet men terstond, dat de middenpunten allen inde lijn 2* + y a = 0 liggen, en dus inde lijn welke den hoek A halveert, terwijl dat der eerste hyperbel bovendien inde lijn y dat des cirkels inde lijn y = |ar en dat der gelijkzijdige hyperbel inde lijn y— x -j- a=0 moet gelegen zijn. Nu is de tweede vergelijking blijkbaar die van dein B op AB opgerigte loodlijn, welke de deellijn in M snijdt. Dit is dos het middenpunt van den cirkel, die dan met den straal BM beschreven kan worden. Nu zijn fa, fa de coördinaten van M, en dewijl deze waarden mede aan de derde vergelijking voldoen , zoo is M mede het middenpunt van de gelijkzijdige hyperbel. Trekken wij voorts eene lijn EEj door het punt M evenwijdig aan AB, welke AC in D snijdt, dan is y=\x de vergelijking van BD en derhalve Mj het middenpunt van de andere hyperbel. Na is de lijn CC4, uit C door M getrokken, de foegevoegde van de middellijn EEj, en derhalve zijnde lijnen FF4 en GGt de asymptoten van de gelijkzijdige hyperbel, zoodat deze nu geconstrueerd kan worden. Om die van de andere hyperbel te bepalen, beschrijven wij een halven cirkel op AB, trekken 3H,N evenwijdig late jyy, w. van haakst, Oplossing van het aan BC en rigten in Nop AB eene loodlijn ON op. Wanneer wij dan BH BHj ~ BO nemen , zijn H en Hj de punten waarin de asymptoten de y-as snijden, en dus PPt en QQ4 die lijnen zelven. Blijkbaar is de werkelijke as der gelijkzijdige byperbel gelijk aan de middellijn des cirkels, dat is faj/3, terwijl die der andere byperbel |op/5 wordt. Bovendien staan deze assen loodregt op elkander, van welke de laatste evenwijdig met de »-as loopt. Ook loopt in dit geval de constructie van de doorsnede van het oppervlak met het ys-vlak veel gemakkelijker af. Hare vergelijking V* is dan s= + iV$ .—r?— rr r; .. . . Stellen wij y>' 2y')> (<» y)1 2y2 z= p2, dan volgt hieruit p2 +(y + o)2 2d2, hetwelk de vergelijking van eenen cirkel is, welks middenpunt 0, a tot coördinaten heeft en de p-as, welke wij langs de zas leggen, inde punten -j- a, a snijdt. Nemen wij dus (zie Fig. 5) BA BM = a en beschrijven wij uit M als middenpunt met AM als straal eenen cirkel, dan zal voor elk punt van den cirkelomtrek de ordinaat p gelijk aanj/{(a y)*—2y2} V* zijn. Maar nu is a = + fj/3.—. Nemen wij dan Bd, P Be enz. voor y en beschrijven wij daarmede, om B als middenpunt, een cirkelboog, welke de s-as in het punt d4, e4 enz. snijdt, dan is Dd, Ee enz. gelijk aan p, gelijk aan Bdj Bej enz. Trekken wij voorts d4d2,ee 42c2 enz. even- y2 wijdig aan ddA , eei enz., dan is Bd2, Be2 enz. gelijk aan —. Na dan eindelijk BC zoodanig getrokken te hebben, dat hoek CBYj = 60° is, behoeven wij slechts op deze lijn Bd3, Beg enz. gelijk aan Bd2, Be2 enz. te maken en uit de punten d3, ea enz. lijnen evenwijdig met de y-as te trekken, om de punten Dj, Et enz. en dus ook de punten D2, E2 enz. der kromme te vinden. Inde punten Y en Yj zijnde ordinaten oneindig groot en asymptoten. Yoor de coördinaten van de punten waarin de kromme den cirkel snijdt, vindt men: als Prijsvraag voorgestelde VraagstuJc. | _ 2 (2 K3) ± 1/2 (16 9 i/3)} «, — 2 (2 1/3) ± y2 (16 9t/3)} a. Voor de vergelijking der doorsnede van het verticale vlak AC (zie Fig. 4), (a x y = 0), met het oppervlak, vinden wij dezelfde als die wij voor de doorsnede met het ys-vlak hebben verkregen. Wij maken daaruit op, dat van de zes deelen, waaruit het oppervlak bestaat, er drie paren zijn, welke bij tegenoverstand aan elkander gelijk zijn. TWEEDE AFDEELING. GRAPHISCHE OPLOSSING VAN DERDE- -EN VIERDEMAGTSVERGELIJKINGEN BOOR J. ll'. ISA SC Bi. § 1, De ordinaat der kromme yz: »’+ Ax1 Bx -{- C kan beschouwd worden als het verschil van twee andere: yy = x* + Ax* en 2/a C > die gelijk zijn wanneer y 0 is, d.i. voor elk punt dat de eerste kromme met de as OX of de twee laatste onderling gemeen hebben. Daarmede was de methode voor de derde-magtsvergelijkingeu geheel aangewezen en hare uitbreiding voor die van den vierden en soms hoogeren graad niet moeijelijk. Bij het onderwijs beveelt zij zich aan door hare aanschouwe- 2ie Afd. j. w. easch, Grapfrische oplossing lijkheid, doch ook voor hen, die meermalen met derde- en vierde- magtsvergelijkingen te doen hebben, zal zij, waar een paar mallen bij de hand zijn, om de standvastige krommen met wenschelijke naaiwkeurigheid te teekenen , de oplossing aangenamer maken en dadelijk een uitgangspunt opleveren voor naauwkeuriger benadering volgens Hornes. $ 2. Zie hier de constructie van de wortels eener derde* magtsvergelijking. De wortels der vergelijking z3 mz n = 0 ; V....". (1) kunnen genomen worden voor de abscissen der punten, die de kromme y z3.... . . (2) en de regte lijn y mz + n (3) gemeen he' ben. Stellen wij z x-f- p, dan gaat verg. (1) over in: x3 + 3px3 -f- (3p1 —m)x+p3— n = 0, : . (4) die altijd identisch kan gemaakt worden met eene willekeurige derde-magtsvergelijking ïs + +&+C = o, . .... (5) door te nemen: A A% A3 P j, m = ~ B en n = ~ ~ C. Heeft men dus eenmaal de kromme (2) naauwkeurig geteekend, dan doet de constructie der rcgte (3) voor alle waarden van p, m en n of van de coëfficiënten A, B en C terstond de wortels dec vergelijking (5) kennen. Elk snijpunt wijst op een bestaanbaren wortel, terwijl de aanwezigheid van twee gelijke wortels zich ineen raakpunt doet vermoeden. Voor de practijk verdient het aanbeveling, niet de lijnen (2) en (3), maar in beide de ordinaten op kleiner schaal te teekenen dan de abscissen, b. v. te nemen : 50y = ss en 50y = mz + n, hetgeen op de grootte der te vinden wortels geen invloed heeft en te groote uitgebreidheid der figuur voorkomt. Voor de lengte-eenheid is 1 centimeter zeer geschikt, waardoor van derde- en vierde mcigtsv ergelijking en. in vele gevallen de wortels terstond tot in twee decimalen kun- nen geschat worden. Zijnde wortels blijkbaar te groot voor de ruimte der teekening, dan kan men eerst de gegeven vergelijking herleiden tot eene, wier wortels alle eenige malen kleiner zijn. § 3. Op overeenkomstige wijze worden de wortels eener vierde- magtsvergelijking geconstrueerd. Ofschoon de keus van de stand- vastige kromme vrij onbeperkt is, willen wij daarvoor nemen die waarvan de vergelijking is y (s*— 1)> (j) Met de regte lijn y mz + n (2) heeft zij de punten gemeen , wier abscissen de wortels zijn der vergelijking: s4— 2zi mz +1 n 0 (3) De laatste maken wij identis:h met eene gegeven vierde-magtsvergelijking x4 + Ax5 + Bx2 +Cx D=z 0. ... (4) door te stellen x = ps + q (5) en verder q=.——, p = 3A* —• UB -S+UB-HC m~ 8p3 enM~ 4jo4 Men ziet ligt in, dat als men de beide regte lijnen (2) en (5) teekent, in beide z voor abscis nemende , de eerste den aard en de tweede de grootte der wortels doet kennen. Het kan gebeuren, dat pin bovenstaande formule imaginair wordt; daaruit te besluiten dat alle wortels onbestaanbaar zijn, ware echter voorbarig. p en m toch zijn tegelijk imaginair of niet, en dikwijls zal eene onbestaanbare uitdrukking in (5) voor s gesubstitueerd, x bestaanbaar maken. Daarom gebruiken wij in dat geval niet de kromme (1), maar die met de vergelijking y = (*l + i)J (6) Dit verandert aan de uitdrukkingen voor m, n, p en q niets, dan dat pen m, door invoeging van den factor j/ 1, bestaanbaar worden, zoodat de twee karakteristieke regte lijnen in bet vlak der figuur kunnen geteekend worden. a<le Afd. j. w. easch. GrapMsche oplossing enz. Alzoo heeft men in het negatief zijn der uitdrukking332 8B aanstonds een kenmerk voor de onbestaanbaarheid van minstens twee wortels, daar de kromme y (a1 4- ])» met geen regte lijn meer dan twee punten gemeen kan hebben. Welk teeken men overigens aan p geeft is onverschillig, wanneer slechts aan m hetzelfde teeken wordt toegekend. § 4. Heeft men gelegenheid de snijpunten zigtbaar te maken van de kromme y—a5 553a34- 4S met de parabel y kz24- Is 4- m, dan is het met moeijeiijk daarvan gebruik te maken tot het vinden der wortels eener willekeurige vijfde-magtsvergelijking. De abscissen toch dier snijpunten worden bepaald door de vergelijking 2* _553 4** +(4 _ x_m _ 0> en deze kan steeds, door g= * Lte stellen, en verder P q= p ~ \V2A1 58, k 4^s+ls^fi—2o<? , 3^4—ISA'iB+SQAC—1252> 25/>3 ’ 125^ eum = ~ 4^5+ 25A3B 125A'C+ 626'Z? – 3125£ 3125^>5 ’ identisch gemaakt worden met eene willekeurige vijfde-magtsver. gelijking xs 4- Ar* + Bx* + Cx% + Dx + E = Q. – 5B negatief, dan zijn ten minsten twee wortels imaginair, en men gebruikt de vaste kromme: y zS 4-5 a3 4- 42, waarbij p = -2 wordt, terwijl al de Overige coëfficiënten denzelfden vorm behouden. In het algemeen zal men elke M-de-magtsvergelijking door teekening kunnen oplossen, wanneer men nanuwkeurig genoeg construeert twee algebraïsche krommen, de eene van den ra-den, de andere van den «-3» graad, waarbij in beide y slechts in één term en in dezelfde magt voorkomt. Archief. Deellll. Plaat UI. Al'cliiof' Deel 111. ljkw3i 1-la.at IV. Archief. Deel 111. Fig.s. EERSTE AFDEEL ÏNG. OPLOSSINGEN VAN VRAAGSTUKKEN, als Prijsvragen voorgesteld voor 1868. OPLOSSING VAN HET VIERDE VRAAGSTUK, voor welks beantwoording ter algemeene Vergadering van het jaar 1869 eene Aanlage is toegewezen aan den Heer J, Vit lts Ij VIJS, VRAAGSTUK 4. den weg aan te wijzen tot het yinden tan algebraïsche KROMME LIJNEN, DIE DE EIGENSCHAP HEBBEN, VAN ZICH ZELVEN IN EEN GEGETEN PIJNT TE RAKEN, MET TOEPASSING OP EEN PAAR .VOORBEELDEN, i. Zij de vergelijking vaneen algebraïsche kromme in recht- hoekige coördinaten A Bx + Ctj -f- Dx2 + Exy -f- Fy! -+- Gx3 + Hxi y +enz. =O, "I in pool-coör dinaten A + p [B Cosi + C SM) + r (D Cos22 E Coé SnA + F Sin2fl) -t- f>3 (G Gos8 0 + enz.) enz. —O. Nemen wij het gegeven punt tot oorsprong; van coördinaten, dan moeten door den oorsprong O twee takken der kromme lij- Akchief. 3e Deel. 5 IBtElBtE Afd. j. veesluijs. Oplossing van nen gaan, die wij opsporen. Dus moet p twee wortels nul heb- ben voor elke waarde van 9; dus A=0, B— O, C=o. De vergelijking vaneen kromme lijn, die aan de gestelde eigenschap voldoet, kan dus geschreven worden inden vorm Dx* + Exy 4- Fy1 + Gx3 + Ilx*y + enz. =O, of D Cos'ê 4- E CosQ SM + F SinH + f> (G CosH+HCosHSinti 4 I Sin*6) 4- enz. —O. Deze vergelijking geeft voor elke waarde van 6 de afstanden van O tot de punten, waarin de kromme gesneden wordt door den voerstraal. Een dier afstanden wordt 0, dus de voerstraal wordt raaklijn, als hij zulk een hoek S met de x-ns maakt, dat D Cos2 9+ E Cos9 SM -f- F Sin16 —O, of Dx2 -|- Exy + Fy2=O. Kan het eerste lid dezer vergelijking niet ontbonden worden in twee reëele factoren van den eersten graad , dan kan aan die vergelijking niet voldaan worden. Door O gaat dan geen tak der kromme, zoodat O een geïsoleerd punt is. Kan het eerste lid ontbonden worden in twee verschillende reëele factoren van den eersten graad, dan geeft elk dier factoren, aan nul gelijkgesteld, een raaklijn, waarvan O raakpunt is. In O komen dan twee takken der kromme, die verschillende raaklijnen hebben in O. Deze twee raaklijnen vallen zatnen, als de twee reëele factoren van het eerste lid der vorige vergelijking gelijk zijn. Dan gaan door O twee takken der kromme, die een gemeenschappelijke raaklijn hebben en die elkaar dus aanraken. Hierbij kunnen twee gevallen plaats hebben : a. De twee takken eindigen in O, zoodat zij een keerpunt vormen. b. De takken gaan door O heen. 2. Om die beide gevallen te onderscheiden, heschouwe men twee punten, op de twee takken gelegen, die dezelfde abscis hebben. Die punten hebben verschillende ordinaten. Laat men x tot nul naderen, dan zullen de twee ordinaten ook nul worden en dus samenvallen. Laat men de x verder veranderen, zoodat zij aan den anderen kant van O komt, dan zijnde twee waarden een als Prijsvraag voorgesteld Vraagstuk. van y öf beide imaginair óf beide reëel. In het eerste geval heeft men een keerpunt, in het laatste gaande twee takken door O heen. Uit de eigenschap der algebraïsche vergelijkingen, dat de' imaginaire wortels paarsgewijze voorkomen, volgt, dat niet de eene tak kan ophouden in O en de andere voortloopen. dtt Wat hier gezegd is van y, kan ook gezegd worden van dx Als de y-as raaklijn is, kan men de oneindig groote waarde dy dx van vermijden door te beschouvven, voor twee punten die dx dy 1 gelijke ordinaten hebben. , dh/ Beschouwt men te gelijk —l-, dan leeren ons de twee waarden dx* van dit differentiaal-quotient voor de twee takken, of deze aan denzelfden of aan verschillenden kant der raaklijn liggen. Een tweede algemeen geldige methode om de bovengenoemde gevallen te onderscheiden en om tevens te zien, of de takken al dan niet aan denzelfden kant der raaklijn liggen, is aan de hand gedaan door Storm. Deze methode is uitgewerkt door Briot in note , die voorkomt in Cournot, Calcul injinitésimal, 1841. Behalve die algemeene methodes, kan men in bijzondere gevallen doorgaans door bijzondere eigenschappen der kromme, wier vergelijking men heeft opgeschreven, nagaan of men een keerpunt heeft dan niet. Om reeds bij het opschrijven, zonder nadere beschouwingen, te kunnen zien of O een keerpunt is dan niet, zijnde twee volgende eigenschappen p en q van groot belang. 3. Ais de twee takken door O heen gaan, heeft men een aanraking, die ontstaan is door het samenvallen van twee snijpunten van twee takken der kromme. Een lijn, die door beide snijpunten (dubbelpunten) gaat, heeft met de kromme twee punten gemeen in elk der snijpunten: tezamen dus vier. Vallende twee dubbelpunten zamen in O, dan gaat de rechte, die de twee dubbelpunten verbindt, over inde raaklijn, welke in O de twee takken raakt. Deze raaklijn heeft alzoo 2 paren opvolgende, dus in ’t geheel 4 punten, met de kromme gemeen. De waarde van 6, die dus den coëfficiënt van ps nul maakt inde pool vergelijking der kromme, moet tevens den coëfficiënt van p8 nul maken, zal het mogelijk zijn, dat de takken door O heen gaan; of: pte Afd. j. veesi.ui.is. Oplossing van (p) rils de takken der kromme door O heen gaan, is het een vereischte, dat eender twee gelijke factoren van den vorm van den tweeden graad tevens als factor voorkomt inden vorm van den derden graad. Men mag deze eigenschap niet otnkeeren, daar ook ineen keerpunt de raaklijn meer dan drie punten met de kromme kan gemeen hebben. Wordt aan de vorige eigenschap niet voldaan, dan leert ons de poolvergelijking, dat de raaklijn in O slechts drie punten met de kromme gemeen beeft, zoodat: (q) O is een keerpunt, als de wortel wit den vorm van den tweeden graad geen factor is van den vorm van den derden graad. 4. Als resultaat van al bet voorgaande hebben wij nu: Schrijf ee'n algebraïsche vergelijking op, waarin geen termen voorkomen van lageren graad dan den tweeden, en waarin de termen van den tweeden graad een vierkant uitmaken, welks wortel tevens als factor voorkomt inden vorm van den derden graad, dan zullen in O twee takken der kromme elkaar aanraken. Onderzoek verder of de twee takken door O heengaan. Voorbeeld. 4ar2-(- 2xy2 —x4— 2y 4=3 0. De vorm van den tweeden graad bezit twee gelijke factoren van den eersten graad x. Inden vorm van den derden graad komt x als factor voor. x = 0 of de y-es is nu de gemeenschappelijke raaklijn van twee takken die in O komen. Daar slechts eveue machten van y voorkomen, ligt de kromme symmetrisch ten aanzien der ar-as, zoodat de twee takken door O heen gaan. Algemeen ; (ax +• hy)1 + (ax + btj) + (ex* 4- dxy + ey*) + fx3 + ei\z.=io heeft in O twee takken, die tot gemeenschappelijke raaklijn hehben ax + by = 0. 5. Komen inde vergelijking geen lermen van den tweeden graad voor, evenmin als van lageren graad , dan gaan een of drie takken der kromme door O. Zullen twee takken elkaar aanraken, dan moeten inden vorm van den derden graad twee gelijke fac- een als Prijsvraag voorgesteld Vraagstuk. toren voorkomen. Een dier factoren, aan nul gelijk gesteld, levert de raaklijn op van twee rakende takken. De derde factor levert de raaklijn op aan den derden tak. Elke lijn door O heeft met de kromme drie punten gemeen, twee voor de rakende takken en een voor den anderen. De gemeenschappelijke raaklijn heeft vier punten met de kromme gemeen, drie voor de rakende takken en een voor den anderen. Opdat de takken door O heen gaari, is weder noodig, dat de gemeenschappelijke raaklijn vier punten gemeen hebbe met de rakende takken , behalve nog e'én punt met den derden tak. Dit zijn in ’t geheel vijf punten en uit de poolvergelijking blijkt weder, dat eender gelijke factoren van den vorm van den derden graad tevens als factor moet voorkomen in dat gedeelte der vergelijking, dat van den vierden graad is. Voorbeeld. (x —yf(x+ y) + (*3 ys) (2* + 3y) —xs = 0 x y komt tweemaal als factor voor inden vorm van den derden graad en is tevens een factor van den vorm van den vierden graad. * V 0 is dus de vergelijking der gemeenschappelijke raaklijn van twee takken. De andere tak heeft tot raaklijn x+y 0 en ligt dus ter weerszijden van O in het tweede en vierde kwadrant. De twee rakende takken gaan van O af in het eerste of derde kwadrant of in beide. De coördinaten van de twee rakende takken zijn dus voor punten op oneindig kleinen afstand van O beide positief of beide negatief. Stellen wij een oneindig kleine abscis vaneen punt der kromme op eender twee rakende takken voor door 5, dan heeft men (5 _yy(3+ y) + (58 – r,3) (25 + 3y)--555=O. Voor y = 5 wordt het eerste lid ■—ss, negatief als 5 positief is.. Voor y=0 wordt het eerste lid S3 +22454 55. Deze vorm krijgt, als 5 oneindig klein is, hetzelfde teeken als 53, en is dus positief als 5 positief is. Voor y= 25 krijgt het eerste lid het teeken van22353 en is dus positief te gelijk met 5. De vorige vergelijking beeft dus twee positieve wortels, één tussclien oen+ 5 en één tusschen sen 25, zoodat de twee lste Afd. j, veesluijs. Oplossing van takken der kromme twee punten in het eerste kwadrant hebben, die op oneindig kleinen afstand van O liggen. Stelt men in dezelfde vergelijking voor x de negatieve oneindig kleine waarde 5, dan wordt zij (* + y)1 (y -i)+(- s3 – ys) (-2J + Sy) +s5 —o. Het eerste lid dezer vergelijking wordt voor y = —-2 -p- 2!>, dus positief, voor y=0 krijgt het eerste lid hetzelfde teeken als 2S, dus negatief, voor y=— 22 krijgt het eerste lid het teeken van 32s, dus negatief. De vorige vergelijking heeft dus een wortel tusschen 0 en 2 en een tusschen —2en 22, zoodat twee punten van de rakende takken in het derde kwadrant liggen. De twee rakende takken der kromme gaan dus door O heen. 6. Wat hierboven gezegd is voor eene vergelijking, wier laagste termen van den derden graad zijn , geldt op overeenkomstige wijze voor vergelijkingen, waarin de laagste termen van den vierden graad zijn, van den vijfden, enz. Mogten in eene vergelijking geen termen voorkomen van den graad , die één hooger is dan de laagste, dan kan men die ontbrekende termen aanvullen zooals men wil, mits men tot coëfficiënt geve 0. Men kan dus ook als factor daarin laten voorkomen eender gelijke factoren van den vorm van naast lageren graad, zoodat de twee rakende takken door O kunnen heen gaan. Voorbeeld. xy2 aasxs bys=O. Door O gaan twee takken , die tot gemeenschappelijke raaklijn hebben y 0, en een derde tak, die raakt aan de y-as. Omdat alle termen der vergelijking van oneven graad zijn , is O een middelpunt der kromme en kan dus geen keerpunt zijn. Als a en i beide positief zijn, heeft de kromme in het algemeen den vorm, die in fig. ] pi. V is voorgcsteld. a:}Va -f- yiy'b O is een asymptoot der kromme. 1 Een discussie omtrent deze kromme, voor Let geval dat a——, 5 een als Prijsvraag voorgesteld Praagstuh. 2 /) —-; vindt men in: Lecons de Géométrie Analyhque ; par 5 Briot et Bouqüet. Voorbeeld. y 1 = a;44- ar° heeft twee takken , die tot gemeenschappelijke raaklijn hebben de x-as. Daar slechts evene machten van j voorkomen, ligt de kromme symmetrisch ten aanzien der y-as , en de twee rakende takken gaan door O heen. Daarentegen zal de kromme yi _ f.5 X 1 een keerpunt hebben in O, omdat aan deze vergelijking niet kan voldaan worden door negatieve waarden van x. 7. Als de termen van den laagsten graad der vergelijking een vorm nilmaken, die drie gelijke factoren hevat, dan heeft men bij O drie takken , die een gemeenschappelijke raaklijn hebben. Een dier takken gaat door O heen; de twee andere takken gaan ook door O heen of zij vormen een keerpunt. Voor vier of meer gelijke factoren gelden dergelijke opmerkingen. Wat gezegd is van één paar rakende takken, kan ook gezegd worden van twee of meer paren. V OORBEELD. 4 = (x2 -+-yy 23.)3. Bij O heeft men twee takken , die raken aan de x-as en twee takken , die raken aan de y-as. Daar slechts evene machten der coördinaten voorkomen, gaande takken door O heen. De kromme komt voor in Briot et Bodqcet, Geometrie Analytique. pagina 28 (zie fig. 2, pl. V). Zij is de meetkundige plaats van de voetplanten der loodlijnen , die men uit O kan neerlaten op een lijn van standvastige lengte, die hare uiteinden inde twee coördinatenassen heeft. Voorbeeld. o**y (x +yf(x-yf O2 +- y*f. Deze kromme heeft fier paren takken, die door O heen gaan en respectievelijk raken aan de coördinaten-assen en de lijnen ic +y=o,x y = 0. (Zie p'- V, fig. 2). OPLOSSING VAN HET LEGENDE VRAAGSTUK, voor welks beantwoording ter algemeene Vergadering van het jaar 1869 eene Aanlage is toegewezen aan den Heer W. VAST MiAAKST. VÏLAAGSTUK 0. DE HOOGTE EENEIÏ VIERHOEKIGE RYRAHIDE TE BERE- KENEN, INDIEN DE HOEGROOTHEID VAN ELKE HARER ACHT RIBBEN GEGEVEN IS. Zij ABCDF (zie pl. V, fig. 4) een willekeurige vierhoekige piramide, met den top F en het grondvlak ABCD. Drukken wij dan de ribben van het grondvlak, dat is AB, BC, CD en AD door a, b, c en d, en opstaande ribben, dat is DF , AF, BF en CF door m, n,p en q uit, zoo moet de loodlijn uit den top op het grondvlak neergelaten FS~a? in deze gegevens uitgedrukt worden. Na uit het voetpunt S de lijnen AS,'BS, CS en DS getrokken te hebben, stellen wij AS =o, BS =w, CS = y en DS =*, benevens hoek ASB—*, hoek BSC = (3, hoek CSD =r en hoek AS® Nu stellen wij ons voor de cosinussen en de sinussen dier hoeken in x en de gegevens uitte drukken, hetwelk gemakkelijk kan geschieden, doordien t? = j/(n2—x-), w [/Qo2 x'2), V = J/(?2 —x2) en s J/(m2 x2) en , zooals bekend is, r _v2+w2~ a2 „2_i_22_c2 C°S* 2rdn . Cosfi ~ ——A , Cosy y 2 wy ' 2 yz r„n „ +s2 d2 en os 2.vs naoet zijn. Door dan bovengenoemde waarden voor v, w, y en s te schrijven, wordt lste Afd. w. van iiaaksï. Oplossing van enz. 