Archief, uitgegeven door het Wiskundig Genootschap onder de zinspreuk: \
g 17 IQ alle andere gevallen heeft men H—O, P 0. Om die verschillende gevallen van elkaar te onderscheiden merken wij op, dat men van de doorsnede van het oppervlak met. het vlak der 2’s de vergelijking verkrijgt, door 2=o te substitueren inde vergelijking van ’t oppervlak. Die doorsneden zijn in dezelfde volgorde de meetkundige plaatsen , die bij de kegelsneden zijn opgenoemd inde gevallen I—9. Men heeft dus voor de gevallen van 9 tot 17 m dezelfde orde de kenteekenen, die opgegeven zijn voor de kegelsneden. Als men twee samenvallende platte vlakken heeft, is de vergelijking van het oppervlak een vierkant ten aanzien der variabeien ; men moet dus in dat geval hebben: ab-n' = ac-m^ad-p^bc-P=bd-q*=cd-r'=Q. Bovengenoemde doorsnede bestaat uit twee evenwijdige rechte lijnen , als het oppervlak uit twee evenwijdige platte vlakken be,L De doorsnede zou bij een eyliuder ook uit twee evenwijd.ge rechte lijnen bestaan, als het vlak der 3’s evenwijdig was met ,1e beschrijvende lijnen van den cylinder; maar dit kan met waar zijn voor drie coördinatenvlakken te gelijk. Sl5 Daar wij betrekkingen gevonden hebben, die mde 17 Jallen’ moeten bestaan, en daar de betrekkingen zoodanig zijn, dat die welke men in twee verschillende gevallen gevonden beeft, niet te gelijk kunnen bestaan, zoo mag men omgekeerd uit het bestaan der betrekkingen besluiten tot de gedaante van het oppervlak. , Resumeerende, hebben wij met behulp van U, 1 en de reeksen an p A aVAnb q B. i-p i d – \ D -r■ ■ ■ (■> a» abd a nm la anJ nb l H («0 n M ml c U >O, p> 0, twee variaties van teeken inde reeks (d): hyperboloïde met éen blad ; 2de Afd. j. versluijs. Toepassingen van H < 0 ’ P < 0 * een of lwee variaties van teeken inde reeks (c) : hyperboloide met twee bladen ; H< 05 P <0 ’ nul of d,ie variaties van teeken inde reeks (e) : ellipsoïde; >0 > P~ 0: hyperbolische pnraboloïde; H < 0 , P=0 : elliptische paraboloïde; 11 ~O’ P < 0 : eeQ of twee variaties van teeken inde reeks (e): kegel; // _O , P O, nul of drie variaties van teeken inde reeks (c): ptcnt op eindigen afstand; H P< de reeks(d) levert nul of vier variaties van teeken op: imaginair oppervlak ■ Blijft nog overig de verschillende gevallen te'onderscheiden, waarin H=o, P=0. vr is een hyperbool: hyperbolische cyluider■ * is een parabool : parabolische cylinder, ’ *is een ellips : elliptische cylinder • vr is imaginair : een punt op oneindigen afstand; TT bestaat uit twee rechte lijnen, die elkaar snijden: * twee platte vlakken , die elkaar snijden; t bestaat uil twee evenwijdige rechte lijnen : twee evenwijdige platte vlakken , in ’t algemeen ■ 71 'S ee" PUDt °P eindiëen afsla°d •• een rechte op eindigen afstand’; rt is een punt op oneindigen afstand : ecn rechte op oneindigen afstand. Opmerking, Wat aan het eind van de vorige paragraaf gezegd is, toont de noodzakelijkheid aan in eenige gevallen gebruik te maken van meer dan een coördinatenvlak. GEWONE COÖRDINATEN. § 16. De cartesiaansche vergelijking van den tweeden graad wordt uit de trilmeaire afgeleid, .1, men « vervang, door *, Determinanten op Algebra en Meetkunde. (3 door y, y door de eenheid. De vergelijking van de reeliie op oneindigen afstand wordt dan C=0. De diseriininant II verandert niet en de determinant ah g A h b f B . ah reduceert zich tot C* g f c C kb ABC ln plaats van de kenteekenen van § 9, heelt men: 0, ab —h» <0 wijst aan: een hyperbool; 0, ab—hl =0: een parabool- H. < 0 , ab /i* > 0 : een ellips• a >O, ab 4* > 0 : een imaginaire kromme ; a ll—o, ab —hs< 0 : twee rechte lijnen , die elkaar snijden-, H=O, ab h» > 0 : een punt op eindigen afstand; H = 0, ab—4l=o, eender binomia negatief: twee evenwijdige rechte lijnen; H— 0, ab 4’=:o, eender binomia positief: een punt op oneindigen afstand; De drie binomia nul: twee samenvallende rechte lijnen. § 17. De cartesiaansche vergelijking voor de oppervlakken van den tweeden graad kan uit de quadriplanaire afgeleid worden door <x te vervangen door x, (3 door y, y door a, S door de eenheid. De vergelijking van het platte vlak op oneindigen afstand is voor gewone coördinaten D=. 0. De discrimiuant en de reeks (d) veranderen niet. De determinant P wordt a nm n b l Dl, ml c De reeks (c) wordt a nm 1, aD*, ja ”D\ nb l D>, [ml c 2de Afd. j. versluijs. I'o cpassing en van enz. en daar men slechts gebruik maakt van de teekeris der voorgaande grootheden , kan men de laatste reeks vervangen door Ia n tn _ n b 1 (-•) ml c Duiden wijden laatsten term van deze reeks aan door P{. De kenteekenen van § 15 worden voor de gevallen van 1 tot 9 alleen daardoor iets eenvoudiger, dat men in plaats van de reeks (c) heeft de eenvoudigere (e), en in plaats van P heeft men I\. Archief. Deel 111 JX'. £vrefter m fc. EERSTE AFDEE L 1 N G. OPLOSSINGEN VAN VRAAGSTUKKEN als Prijsvragen voorgesteld voor 1870. OPLOSSING VAN HET EERSTE VRAAGSTUK, voor welks beantwoording, volgens het hesluit genomen ter Algemeene Vergadering van het jaar 1871, eene Aanlage is toegewezen aan den Heer ja. J. MiftJKT/iH Ji(ï. VRAAGSTUK I. DOOR HET ZWAARTEPUNT VAN EENE GELIJKSLACHTIGE MASSIVE DRIEHOEKIGE PIRAMIDE VERLANGT MEN EENE LIJN TE TREKKEN, ZOODANIG DAT, BIJ EENE DRAAIENDE BEWEGING DER PYRAMIDE OM DIE LIJN ALS AS , DE MIDDELPUNTVLIEDENDE KRACHTEN, DOOR DE BEWEGING ONTWIKKELD, MET ELKANDER IN EVENWICHT ZIJN. § 1. Wij kiezen het zwaartepunt der pyramide als oorsprong ■van rechthoekige coördinaten-assen, de loodlijn daaruit op het grondvlak neêrgelaten, als as der Z, een vlak gaande door die loodlijn en den top, als vlak der YZ. De as der X is dan van zelve bepaald. (Zie pl. VI, fig. I.) Wij onderstellen nu dat de pyramide draait om eene as die met Abuhieï, 3e Deel. 11 l!ts Afd. D. j. korteweg. Oplossingen de coördinaten-assen hoeken maakt, waarvan de cosinussen aangewezen worden door «, (3 en y, en moeten dan de voorwaarden trachten te vinden , waaronder het evenwicht der middelpuntvliedende krachten verkregen wordt. § 2. Een willekeurig elementje der pyramide, ’twelk x, y, s tot coördinaten heeft, bevindt zich van de draaiings-as verwijderd op een afstand: r = [/ar2 -f- y 1 +z1 (u$ (3y + yz)* = l/{yx »»32)2 + («£ fix)'1 -+- ((3s yy)1. De middelpuntvliedende kracht van dit elementje bedraagt, als bekend is, Kr dX; alwaar Keen constante, dX het volume van het elementje aanwijst; daar echter de draaijings-as door het zwaartepunt gaat, weten wij reeds vooraf dat al deze krachten evenwijdig aan zich zelve naar een vast punt, bijv. O, verplaatst, elkander in evenwicht zullen houden en ons blijft alleen nog over de voorwaarde te vervullen dat ook de koppels die bij de verplaatsing ontstaan elkaar opheffen. §3. De grootte van den koppelarm der middelpuntvliedende kracht van het gekozen elementje, gerekend voor het zwaartepunt O , bedraagt : oix + fiy + yz, en de grootte van het koppel wordt dus voorgesteld door: Kr (aar fiy 4- yz); terwijl dit koppel gelegen is ineen vlak dat we zullen aanwijzen door: AK -j- BY -f- CZ ~ 0. Dit vlak moet gaan door de draaiings-as: – = s=? =». ct (3 y waaruit volgt, door substitutie van X = aR, Y = /3R, Zzziyß, Aac -{- B/3 -j- Cy “0; tevens moet dit vlak door het elementje gaan; waaruit weder volgt: Aa: + By -f- Cz = 0. Uit deze beide vergelijkingen lossen we op: A (3 z— yy B yx —as C cty —px ’ G ay px’ zoodat we mogen stellen: A ~ fit—yy, B —yx—«*, C = Pr. der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. §4. De as van het koppel staat loodrecht op het koppelvlak en maakt derhalve met de coördiuaten-assen hoeken, wier cosinussen gelijk zijn aan: ABC J/A2 +B2 + C2’ i/A2 +B2 + Ü>'KA.224-2B2 + C2’ Pz— yy yx —as as —Pt of: , , , r r r zoodat het koppel zich laat ontbinden inde drie navolgende: le één met de as der X als draaiings-as en met het moment: K (/3z yy) (*x + @y + yz) rfV 2e één met de as der y als draaiings-as en met het moment: K [yx az) (ctx + f3y + ya) dV 3e één met de as der z als draaiings-as en met het moment: K («y P*) (** + Py + ys) dv. Sommeeren we deze koppels, ontstaande uit alle elementjes van het lichaam, voor zoover ze dezelfde draaiings-as bezitten, dan vinden wede drie volgende voorwaarden van evenwicht: Ie f(sz —■ yy) {ot-x 4- (5y -1- yz) dV = O 2e f(yx—a.z) (»x •+■ (3y + yz) dV =z O 3e f{y.y (3*) (a* + (3y -+■ ys) dV == O of, indien we siellen: fxUV=z A /ysdV = D ƒy2dV = B /xs dV = E /z2 dV = C fxy d\ = F Ie y(3 (C —B) -f- «0E #yF -f- 02D y2D =O. 2e «y(A— OaÖ4-y2E—«2E =O. L . (I) 3e (3üt (B —A) 4- yxD yOE 4- «2F O*F =O. j § 5. Wij moeten nu inde eerste plaats de integralen A, B, C, D, E en F berekenen, en daartoe de pyramide nader bepalen. Haar hoogte zij gelijk h, de afstand KT van haar top T tot de as der Z, gelijk a; haar zwaartepunt O bevindt zich dan op een afstand004 \h boven haar grondvlak. De pyramide worde nu door vlakken evenwijdig aan het grondvlak in elemenljes verdeeld. Het grondvlak vaneen dier elementjes i* inde figuur door driehoek A'B'C' aangewezen. Het wordt door de as der Z gesneden in het punt Ot'f door de lijn OT in het lt« lsto Afd. d. j. korteweg. Oplossingen zwaartepunt G'; terwijl wij verder onderstellen dat het zich op een hoogte 00/= s boven het vlak der XY bevindt. Een blik op de figuur overtuigt ons dat: KT 4 a O.'^ÖK*00*'~ÏÏS’ en dat alle overige afmetingen van den driehoek A'B'C' zich verhouden tot de gelijkstandige van het grondvlak der pyramide , KOl' , e 3 s. t als: ■ ï 1 of . 1 KOj 4 h 6. Nemen wij vervolgens in aanmerking dat: dV dx.dy.ds = dz.ddl,ll, dan mogen wij voor de integraal A schrijven: fdz yV2 dl{ , of ook, als wij O/X/ en O/Yj ' als coördinaten-assen beschouwen: fdz fMfih. of ook met G/X/ en O'Y/ als assen: fdz fxf dlt ; want de integraal verandert niet door evenwijdige verplaatsing der X-as. Vergelijken wijde integraal: fxfdl M van het grondvlak, verkregen met GXj en GYj als coördinatenassen, met de integraal: f dl,; dan inerken we op dat voor alle gelijkstandige elementen: *'a== (!”£)* "■=(!-s)w cn dat alzoo: A =fd.f*M=ƒ “(I -0' 1 -i* §7. Voor de integraal B kan geschreven worden: ƒ*ƒ»/*/,, der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken, 4 a maar y\—2/'a + 0/G' = */'2 ■+■ ; derhalve mogen wij stellen: fy^dh = f(y'* +Yh‘) dli /8a /» 16a2 r „ y”'dI1 + Thz fy a-dTi + W /ia“' De ééne integraal werd alzoo ontbonden in drie integralen» waarvan de derde dadelijk geïntegreerd kon worden; de tweede moet nul zijn, daar de oorsprong in het zwaartepunt van den driehoek is geplaatst, en de eerste vergelijken wij weder met de integraal jj*V’ï dl N van het grondvlak, waaruit blijkt dat ze gelijk is aan: G-iT* Wij mogen dus besluiten dat: of wanneer wij /j, dat vans afhankelijk is, elimineeren; B =r(a-P-+ ïea’Z/t /*ïsT/3 a\ 3-12/3 a\2 /3 s\ —9“ J 1U v 4J l4 J V4 5 45 B. Voor de integraal C mogen wij schrijven : C= fe'dz f dlt= = /*5 a2fi—l)/ds ...v-is-Vs-siai -** <$ 9. Voor de integraal D; Iste Alxl. d. j. korttsweg. Oplossingen V— J''zdz J'y’idƒ, = J*zdz J*y'Jli + J*dl,, J*y'adli =0: of omdat „ 4a (*U /3 sS2 1 D=rJ ‘ (ï-i)Idl=6ö*‘- § 10. Evenzoo is: E = J'zdz J*zdz z=z 0. § 11. Ten slotte vinden wij: F— J'J'x\y\dh~ fiz'fx'4y'zdli + 7filt/%dls ƒ'Wr De tweede integraal wordt nul, terwijl wij: fx,4y\dll vergelijken met de integraal; J"Xoy*dl P van het grondvlak. Wij vinden dan weder: ffaVit— (§-jj) p v1 zoodat wij voor de integralen A, B, C, D, E, F, van de vergelijkingen (I) van § 4 gevonden hebben: A = \lUh J) ) o 60 j 11 ~ + ïbat/>l L— ° [ (!!)• c=sF f=;p'' ) § 12. Ten einde de integralen M, N en P nader te berekenen, voeren wij voorloopig inde overeenkomstige integralen M{, Nt en Pl, verkregen op rechthoekige assen, die met de eersten een hoek 3 maken. Wanneer wijde coördinaten van eonig punt ten opzichte van der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. deze nieuwe assen xa en j/3 noemen, dan is: *2 —*s Cos2 —ys Sin 2; y3 =xa Sin 2 + y3Cos2-, alzoo: M—J*x£dl Ml Cos*l + /V4 Sin* 5 2Pt Sin 5 Cos 5 j IV— j* ygdl —Mi Sin* 5 +224V4 Cos'25 + 2Pi Sin 5 Cos 5 l (Hl). P=f x.2y.Idl= Mi SinS CosS~Nl SinS CosS+P^Cos^-Sin-ï)] Op gelijksoortige wijze vinden wijde formules: Mi M Cos* 5 •+■ IV Sin* 5+ 2P Sin 5 Cos 5 _ . Nl = M Sin1 5+ N Cos* 5 2P Sin 5 Cos 5 I Pt— —l/ Sin 5 Coss +IV Sin 5 Co* 5+ V (Cos55— Sin*S | Wijk iezen daarop de nieuwe assen zoodanig, dat de ordinatenas met eender zijden van het grondvlak evenwijdig loopt, en bepalen het driehoekige grondvlak door: 1° de hoogte hi, 2° de halve basis d, 3° de afstand C van den top tot de andere as. J 13. Ter bepaling van de integraal: Mx = Jtfdl, verdeeleu wijden driehoek met behulp van lijnen evenwijdig aan de basis BC in strookjes (zie pl; VI, fig. 2). Laat DE een dezer strookjes zijn, gelegen op een afstand xs boven de Yras, dan is de lengte van dit strookje gelijk aan: bc*£-»=2j*(H)’ derhalve i»: *** (5—?)*• ~ —ihi =hl‘‘d-5 14, Ter bepaling van merken wij op dat: lste Afd. d. J. korteweg. Oplossingen ir , . Gl 3a;, K = U'Xïfi = 'X2V maar stellen voorloopig deze grootheid voor door p, en evenzoo FE door q. Voor IV, mogen wij dan schrijven: /{*IK y*dl—J dxi J ys%3 —l*i q + p 1 /*!*' , =3 J {(P +?)—(— 9 + P)3} ‘3^t 2 /•!*. =3/ ?(ïa + 3p»)*r,. -I*. Ontbinden wij deze uitdrukking inde som van twee integralen en schrijven wij voor p en q de gevonden waarden, dan blijkt “■ d,l: iv‘ = 3'p/“'(l-ïfT*- = -<l% + ~dc\ —1 dh1 +332).c2). § 15. Eindelijk belmoren we nog Ie bepalen: pi = J*x.,y./U /P* Pf +i , 1 /'Pt , s/ — x-i {(p+qf—ip—yf] d*s *- P> J +i> Jll /Pr 1 =2 J pqw* 3= j2 crfV— pl Wij vonden alzoo : M* = 7*h'd ’ Pi=zlcrfV.’) , £ (V) =24 d/(j((42d2 +332),c2), terwijl I=hid. I § 16. Alvorens de vergelijkingen (I) nn te hervatten, belmoren wij te onderzoeken of de grootheden A, B, C, D, E en F van elkander onafhankelijk zijn; m, a. w.: of met willekeurige waarden der als Prijsvragen voorgestelde Fraagstukkhen. aan deze grootheden gegeven steeds tetraëdra overeenstemmen. De grootheid F bleek inden loop van ons onderzoek gelijk nul te zijn; wij behooren de gestelde vraag dus te beantwoorden voor de vijfgrootheden, X, B, C, D en F, die afhankelijk zijn van de grootheden voorkomende inde betrekkingen (II), namelijk M, N, P, I, a, h. Van deze laatsten zijn a en h uit den aard der zaak van de overigen onafhankelijk en slechts tusschen M, N, P en 1 zonde eenige betrekking kunnen bestaan. Volgens de formules (III) en (IV) zijn die vier grootheden functiën van üf,, Nv Pt, I en 2. Daaronder is 2 weder van de overigen onafhankelijk; tusschen 3fj, Nl} Pl en I bestaat daarentegen eene betrekking, die af te leiden is uit de formules (V), echter slechts ééne, dewijl de drie grootheden c, d, hl onderling onafhankelijk zijn. Eliminatie van deze drie voert gemakkelijk tot de verlangde betrekking, 1 /ƒ3 J 2 P 2\ namelijk LJ, of liever 108 (i/j/Vj – Pf) P (VI) Met behulp der vergelijkingen (IV) ontstaat hieruit weder: ioB(d>izv iO2) = y4; (*) (vii) waaruit blijkt, dat tusschen M, N, Pen le'éne, maar ook wederom slechts ééne, betrekking beslaat. (+) (*) De gelijkheid van de uitdrnkkingen MiNl jPj2 en MN— jP2 blijkt ook zoo men gebruik maakt van decentrale ellips van het grondvlak. De vergelijking dezer ellips op de assen GXS , GTS is: -+- M,y~ 2Pixrj = 1 en de vergelijking dierzelfde ellips op de assen GXa, GYt: + My* —2Pxy 1. Slellen wij haar inbond aan zich zelve gelijk, dan is: 7T – 5T l/MlNl -iV ~ das HiNl —Pr MN~ P*- Uit de vergelijkingen (VI) en (VII) volgt verder de belangrijke stelling: deinhonden der centrale ellipsen van gelijke driehoeken zijn gelijk, d. w. z.: de producten der momenten van inertie om de beide hoofd-assen zijn voor die driehoeken gelijk aan het vierkant van het moment van inertie vaneen gelijkzijdigen driehoek van denzelfden inhoud. (-{*) Neemt men behalve de integralen N, B, C, D, F ook lste Afd. d. i, kohteweg. Oplostingen Wanneer nu A, B, C, D en F willekeurig gegeven worden, dan zal deze laatste vergelijking met de vergelijkingen (II) ons in staat stellen, h, M, N, P, I, a te berekenen. Door eliminatie der overige onbekenden vindt men namelijk ter bepaling van h: Zal de pyramide derhalve bestaanbaar worden, dan is noodig: (vni) maar dan kan men ook vervolgens uit de eerste der vergelijkingen (II) berekenen M, uit de derde I, uit de vijfde o, uit de tweede N, uit de zesde P. Voor M, N en I behoort men positieve waarden te vinden; daarom moeten nog vervuld zijnde voorwaarden : cyoj .... (ix) nog den inhoud (I) der geheele pyramide in aanmerking, dan kan tusschen die zes grootheden wederom eene betrekking vastgesteld worden. Aan de vergelijkingen (II) mogen wij dan toevoegen: I = \lh. O Uit deze en uit de derde van (II) volgt dan: 4 = l = 1 31 4 5(7 en met behulp daarvan uit de zesde: 4 5(7 5 i/SÏ uit de eerste : M= -A ' —- 45 G , , 3D [/TC en uit de vierde: a=■ ' yy, 6 ul cn ten slotte uit de vijlde: Ar_s(BC-D') #/31 kC r 5C’ Substitutie van deze waarden van M, IV, P en I inde betrekking (VII) levert nu de betrekking: 8000 (ABC— AD' CF») = 9I5. . . . (VII*) der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. maar dan verkrijgen ook M, N, P en I volkomen ondubbelzinnige waarden, die aan alle vercischten voldoen. Daaruit kan 5 niet berekend worden , maar moet nog willekeurig gekozen worden; want de waarden Ml, Nt, Pl en I behoeven slechts te voldoen, 1° aan de betrekkingen (IV), 2° aan de betrekking (VI), terwijl de laatste betrekking vervalt, want daar wij M, N, P en I voldoen lieten aan de betrekking (VII), voldoen Mi, Nit Pi en 1 geheel van zelve aan de betrekking (VI). Toch kieze men 3 zoodanig dat M1 en Ni positief worden ; maar daaraan wordt van zelf voldaan, want: 1U1 = (Cos 2 yiu Sin 2 \/Nf + 2 +F) Sin 2 Cos 2 en Ni (Cos 2yH Sin 2 yülf + 2 [yWl —P) Sin 2 Cos 2 1* en MN P2 = – , dus JftV > J>®. IUo Men mag das $ geheel willekeurig nemen, maar dan komt met iedere waarde van $ één bepaald grondvlak overeen, want nu volgt uit de eerste en laatste vergelijking van (V) ht=^ uit de laatste : d= 1 —-■ ■ , 18Mi uit de tweede: e = 12/Ji —, ÏHMJ’ waardoor van zelve aan de derde voldaan is. Wij komen alzoo tot het volgende resultaat: Wanneer willekeurig gegeven zijnde vijf integralen A, B, C, D, F, mits zoodanig dat: A> 0; C> 0; BC>D'-, ABC> AD' + F'C-, dan kan men altijd een oneindig aantal pyramiden vinden, die daarmede overeenkomen; deze pyramiden hebben evenwel allen dezelfde hoogte, hare toppen vallen ineen (dewijl a constant is); hare grondvlakken hebben gelijken inhoud. Tevens is gebleken dat de vijf integralen van elkander onafhankelijk zijn. § 17. Wij keeren nu terug tot de vergelijkingen (1), en schrijven daarvoor, dewijl E—o-, lste Afd. d J. korteweg. Oplossingen y(3 (C —5) uyF + (3*l)— yID —O, *y (A C) •+■ /3yF «|3Ü = O , aj3(B— J) + «yD + alF—fiiF=o, of ook: (S(Cy+DP) = y(BP + Fcc-i-Dy), y (Ax + F/3) ~ *■ {Cy H“ -Df3) cc(Bl3 + Fz+Dy) = p (Ax + F/3) (3 y cs 1 2?f3 + Fa + Dy ~ Oy + Us~ A«. Er voldoen dus drie ongelijke wortels, Sl, Ss, Ss, waarmede voor cc, (3, yde waarden , f3,, y,; |32, y2 ;«3 , (33, y3 overeenkomen. Blijft er van de grootheden D, E, F slechts een over, dan wordt de vergelijking deelbaar door A— S, C— S of B— S. Er kunnen zich dan gelijke wortels voordoen en wel voor E 0, indien : D= 0; S{ = C cn dus bovendien : (A C)(B —C)= F’ en indien E=o, F=0; (B —A)(C .4) = D*. der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken Na deeling blijft er namelijk eene vierkants-vergelijking over, die geen gelijke wortels hebben kan, maar twee bestaanbare wortels bezitten moet; hetgeen blijkt indien men voor S substitueert oo , A, B en C, oc. Zullen er dus toch gelijke wortels zijn, dan moet zij een zelfde wortel bezitten met de eerstemacbtsfactor waardoor gedeeld werd. Wordt in (Xl*) B A of B C , dan brengt dit geen verandering in onze beschouwing; maar is A B G, dan ontbinden wijde vergelijking liever in: A— s=oen{A &y F1 I)1 £s —O. De vierkants-vergelijking kan geen gelijke wortels hebben, tenzij p— 0, D— 0 en E=z 0; evenmin kan zij den wortel A nog eenmaal bezitten , zonder dat deze voorwaarden vervuld zijn. Is ten slotte Aj Bj C; maar D =. 0, F— 0 en E = 0, dan zijn er drie ongelijke wortels A, B, O-, is echter A B-, B C of A B G, dan vindt men gelijke wortels. Passen wij dit alles toe op het bijzonder geval van (XI), namelijk E 0, dan kunnen zich gelijke wortels alleen vertoonen in één der drie gevallen : le. D= 0, {A-G) (B-C) = F>, ) 2e. F=o, (B —J) {C-A)=D\ [(XII) 3e. D—o, F=o en twee der drie grootheden A, B, Cgelijk. I BESCHOUWING VAN HET GEVAL DER ONGELIJKE WORTELS. § 19. Is eender wortels Sl berekend, dan kunnen at, en y gevonden worden uit (X) en  D Pi— Pt <7-V terwijl nu uit (XIII), na deeling door (3t2, gevonden wordt: daaruit volgt: lste Afd. D. J. kokteweö. Oplossingen f5, = ± —=— 1 ===== ■■ Pi+-£!—+ £L_ *• =T ,/ »■ f <XIV> s‘>^l + <ë=^+(7=W D 7l + . Jyi J (C-SJf +(C_Siy SJ* De dubbele teekens wijzen ééne zelfde lijn, in tegengestelde richting genomen, aan en kunnen dus buiten rekening gelaten worden. § 20. Op dezelfde wijze bepaalt men a2, |32, y2 en «3, |33 en y3. Wil men daarna den hoek kennen dien twee der drie assen, die aan de vraag blijken te voldoen, tezamen maken, dan dient daartoe de formule: Cos $ = + |3,/32 4- YtYa F1 D1 t/ W T* #y d- F* 1 r 1 + (C— Stf + {d- SYf" + (6'— S^+{D— S2)s maar uit (XI) voljjt: F1 Z)2 5( F2 Z>2 dus: F* -D* si—slz={ St—Sz) +(^i—s^\c_Si) (c—s3y Zijn nu de wortels S allen ongelijk, dan volgt hieruit: F* Z)1 _ 1 + (A-SJiA-SJ + (C-SJiC-Sz) ~~ 5 maar het eerste lid van deze betrekking stelt juist den teller voor van de uitdrukking voor Cos S; dus is: Cos 3 = 0 3 90°; der als Prijsvragen, voorgestelde Vraagstukken d.i.: Zijnde wortels ongelijk, dan voldoen drie assen aan de vraag, die alle drie loodrecht op elkander staan. § 21. De eenige bijzonderheid, die zich in het geval der drie ongelijke wortels zou kunnen voordoen en die wij onderzoeken willc-n, is deze dat eender draaiings-assen met eender coördinatenassen samenvalt. Waar dit plaats heeft moet av (3l of yi gelijk aan de eenheid worden. Dit kan voor (B, slechts gebeuren indien Dz= 0 en i?=0; voor cti indien A=St, voor yt , indien C = S,. § 22. Uit A— St volgt blijkens (XI): F* {C— jl) = 0; daaraan kan voldaan worden door F —rO, waarover later, en door A— C; waarbij de formules (XIV) veranderen in: = + of liever =0 (want S, —A) F „r _ F + V{A _ sty +D*~t- /’* ° ■ i/D' +F1 __ 5 f » 71 “ sty + z>* + i?3 °’ Hieruit leiden wij nu af: I°. is A C zonder dat D of F (één van beiden) nul wordt, dan kan noch ul, noch (31, noch yl gelijk de eenheid worden; derhalve kan geen der coördinaten:assen als draaiings-as voldoen, tenzij tevens: D— 0 of F— 0. 2°. is A— C zonder dat Dof F (één van beiden) nnl is, dan ligt eender draaijings-assen in het vlak der XZ. (*) (*) Uit d= C volgt: (zie (II)): -Mk = l~Jh* 5 80 ~ 16üf of: A* = —• Wanneer gegeven is een willekeurige driehoek als grondvlak, en bovendien het vlak, dat loodrecht op het grondvlak staande den top bevat, dan bestaat er een oneindig aantal pyramides van gelijke hoogte, die de eigenschap vertoonen dat eender draaiingsassen ineen vlak ligt loodrecht op beide gegeveD vlakken. lste Afd. d. J. korte weg. Oplossingen § 23. Evenzoo volyt uit C zz=. Si blijkens (XI): D'{A~C)=. 0; waaraan slechts voldaan kan worden door: D = 0, 0f A— C. De laatste voorwaarde bleek ecbter onvoldoende, tenzij tevens: D 0o(F “ 0, en zoo blijkt uit deze § en uit de beide voorgaanden , dat tot het samenvallen vaneen der assen met eender cuürdinaten-assen altijd vereischt wordt ééne der volgende voorwaarden : D=o, («) F = 0, (6) D =. 0 en F 0, (c) en ons blijft niets over dan een nader onderzoek in te stellen naar deze drie bijzondere gevallen, altijd voor ongelijke wortels S. § 24. D= 0, F> 0 («) Zal ’t beschouwde lichaam eene pyramide blijven , dan kan de voorwaarde D 0 of a/PI —0; alleen vervuld worden door a— 0; maar dan overtuigt een blik op de figuur ons, dat de X- en Jassen nog onbepaald zijn, en dus zoodanig mogen aangenomen worden, dat zij met de hootdassen van bet driehoekig grondvlak evenwijdig loopen, of, wat hetzelfde is, dat P 0. (*) Is P— 0, dan is echter evenzeer F = 0, en daarmede js dit geval teruggebracht tot het geval (c). § 25. D<o, F=0 \{b) Uit F 0 volgt dadelijk P—o, d. w. z.: de hoofdassen van het grondvlak loopen evenwijdig met de X-as en Y-as, of wel het vlak, gaande door het zwaartepunt en de hoogte snijdt het grondvlak volgens een zijner hoofdassen. (*) De vergelijking der centrale ellips namelijk is: Nx1 + My2 2 Pxy —0; de hoofdassen zijn echter niets anders dan de assen dezer ellips; maar inde vergelijking op die assen moet de term met xy aangedaan ontbreken; derhalve is dan P = 0. der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. De vergelijking (XI) wordt deelbaar door A—- S en heeft dus een wortel S{ —A, en verder twee ongelijke wortels S.2 en Ss (daar het geval van gelijke wortels later besproken wordt). De vergelijkingen (X) gaan voor den wortel Sl = A over in: (B-A)Pi + DVI = 0 en (C J)7i + —O f waaraan, tenzij (B—A)(C—A) = Dl, (waarover later, dewijl dan blijkens (XII) gelijke wortels ontstaan) slechts voldaan kan worden door; @i=zO, yj =O, dus alz=zl. Eender draaiings-assen gaat derhalve over inde as der X, en staat loodrecht op het vlak gaande door het zwaartepunt en de hoogte* Voor de beide andere wortels, worden de vergelijkingen (X): (B—S)p + Dy=z O (C S)y + pD=zO (A S) « = 0. Dit de derde volgt «2 = 0 en a3=z 0. De eerste en tweede vergelijking zijn identiek; want S verkrijgt een zoodanige waarde, dat voldaan is aan de betrekking: (B— S){C— S)-D' =O, die uit (XI) ontstaan is, na deeling door A—S. Dit één dier beide vergelijkingen en uit (XIII) vindt men dns bepaalde waarden van |32, y2 en 03, y3 en als draaiings-assen voldoen behalve de X-as nog twee assen, die in het YZ-vlak gelegen zijn, maar niet met de Y- en Z-as kunnen samenvallen; want daartoe zou vereischt worden : «2 —O, =l, y 20 of *2 —0 > Pi —0 • Vi —I; das blijkens (X): B=.S% en D= 0, of A = S%; wat tot eender volgende gevallen voert. § 26. D= O, F=0 » (c) Nu ligt de top der pyramide recht boven het zwaartepunt van het grondvlak, en zijn tevens twee lijnen evenwijdig aan de hoofdassen van het grondvlak tot coördinaten-a9Ben gekozen. De wortels der vergelijking (XI) worden: Sl =A, Sz=zß, Ss C en de vergelijkingen (X) leveren zonder de minste moeite: AntHizr, 3° Deel. 12 lste Afd. d.i. koeteweg. Oplossingen 01 =0; yl=:0-, «j =l, 7a= 0; —0; (3a =l, 0s =°; «s —0; 78 =! > d. w. z. ieder der draaiings-assen valt met eender coördinatenassen samen. Als draaiings-assen voldoen dus: I°. de hoogte der pyramide, 2°. twee lijnen, gaande door het zwaartepunt en evenwijdig loopende met de hoofdassen van het grondvlak. BESCHOUWING VAN HET GEVAL DER GELIJKE WORTELS. § 27. Volgens § 18 behooren wij hier drie gevallen te on- derscheideu: I°. D= O ; (A —C)(B (7) f1 2 °.F=lO; (B A){C—A)z=zD\ 3° D= 0, J?=.o, en twee der drie grootheden A, B, Cgelijk. Evenals in (jj 24 kunnen wij het eerste geval tot het derde terugbrengen en zullen dus liever achtereenvolgens nader beschouwen : F=0; (B A){C A)— D* (a) D= 0; F=0; A—B (6) fl =0; F=Q; A=zC (c) D= Oj F=o; (d) D— 0; F=0; 4 = = C (e) en gaan over tot het geval: F~ 0; [W){B-A)(C —A) = D>. . . \ (o) § 28. De drie wortels van (XI) worden in dit geval: aS| —A, S% —A, Ss B *-j- C —*■ Aj want S3 en S.2 zijn wortels der vierkantsvcrgelijking: S* (B + OS + BC— Ti' =. O De vergelijkingen (X) gaan voor de eerste en tweede wortel over in: (B —A) J3j 4-DDlyl = 0 (C— A) yj -j- Z>/3j 0 0 = 0, maarde derde vergelijking is identiek en de tweede en eerste zijn van elkaar afhankelijk. Eigenlijk bestaan er dus tusscher, der als Prijsvragen voorgettelde Vraagstukken. «j, (3lt yi en evenzoo tusschen a2, /32 en y2 slechts de beide betrekkingen : (B A)(31-{- Dyi =z 0 en a.,2 + + yi2 =: 0. De juiste waarden blijven dus onbepaald en er voldoen verschillende draaiings-assen, wier vergelijking in ieder geval wordt ~ , x r z „ voorgesteld door: —= —• = —cs li ■ b Pi 7i waaruit volgt: X Y Z Xi ~R ’ VI~R of na substitutie inde eerste der beide vergelijkingen tusschen »v (34 en 7,: (B —A)Y+DZ =■ 0, Al deze assen zijn dus gelegen ineen plat vlak, dat loodrecht staat op het vlak der YZ. De derde wortel S3 —B + C— A geeft na substitutie inde vergelijkingen (X): CA C)p34- Dya —O , (A —B) ys -f- Dps —O, (2 A—B —C) «3 = 0. Het schijnt alsof wij hier wederom twee gevallen onderscheiden moeten: I°. 2A —B C^O, 2°. 2A —B C 0-, dit laatste geval kan echter nimmer voorkomen. Er zon toch uit volgen: A = f (B -f- C), of gesubstitueerd in (XV): i(B— d7)* = /?*. Wij mogen dus uit de derde vergelijking besluiten: «3=o. De eerste en tweede zijn weer afhankelijk; maar zoo wij invoeren de vergelijking: «S Ps 7s der draaiings-as, dan blijkt door substitutie van: _r z Ps—#’ y* —R> dat die as gelegen is in het vlak 12* Isto A.fd. D. j. ko&teweg. Oplossingen [A B)Z + DY = O; maar tevens, dewijl cta = O, in het vlak: X aaR =O. Zij ligt dus in het XY-vlak en staat loodrecht op het vlak waarin de overige draaiings-assen gelegen zijn; en wij bevinden derhalve dat de pyramide tot draaiings-assen verkrijgt: I°. één enkele gelegen in het vlak dat door het zwaartepunt en de hoogte gaat en tevens het grondvlak snijdt volgens een der hoofdassen. 2°. een onbepaald aantal loodrecht op die ééne as. Wij wenschen nog na te gaan, bij welke pyramides zich dit geval zal voordoen. § 29. Wij nemen daartoe een willekeurigen driehoek als grondvlak aan. Dewijl P ■=. 0 zijn moet, zal de top gelegen zijn in een vlak, dat loodrecht op het grondvlak staande, door één der hoofdassen gaat. Wij kunnen twee zulke vlakken aanbrengen j maar kiezen vooreerst dat, hetwelk gaat door de hoofdas met het grootste moment, waarvoor dus: M> N. Wij keeren dan terug tot de vergelijking (XV): iB-A){C-A) = D*-, waarin wijde waarden van A, B, Cen Duit de vergelijkingen (II) substitueeren. Wij binden : 9A*7(/V —M) U4M(N— M) 16aI#/= 0. .(XVI) Dit wijst eene betrekking aan lusschen a en h, daar de overige grootheden reeds bepaald zijn. De top kan zich dus bewegen langs eene kromme, wier vergelijking gemakkelijk bepaald kan worden, als wijden oorsprong naar het zwaartepunt van het grondvlak verplaatsen. De coördinaten van den top worden dan: y ia, z— h, en de gevraagde vergelijking: ƒ(*—N) zi + Mly* = 16M(M— IV) . . (XVII) welke eene ellips voorstelt, met de nieuwe Z- en Y-as als assen, en derhalve met het middelpunt gelegen in het zwaartepunt van het grondvlak. Nimmer kan jij ineen cirkel overgaan. der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. Verwisselt men M en N, y en ar, d. w. z. onderzoekt men het geval, waarbij de top recht boven de tweede hoofdas van het grondvlak ligt, dan vindt men dat de top zich evenzeer bewegen kan langs de hyperbel: I{M—N)z'—Nla'=\GN[M —N) . '. (XVIII) De reële as valt hier weer samen met de as der Z; zij is in grootte niet gelijk aan de overeenkomstige as der ellips. De gevonden vergelijkingen zijn zeer gemakkelijk om te onderzoeken of een gegeven pyramide in het hier behandelde geval verkeert. §3O. D=zo, F=0, A— B. . ... . (h) Hier ligt, zoo als wij weten, de top der pyramide recht boven het zwaartepunt; terwijl de X- en Y-assen met de hoofdassen van het grondvlak evenwijdig loopen. Uit de formule (X) volgt tevens zonder moeite, daar de wortels S, —A B', S% A =.B\ S3 = C bekend zijn : yl=z 0, a, en (3t onbepaald, y2 =O, «2 en |32 onbepaald, «s=O, /S3 = 0 en dus y 3=1 ; zoodat als draaiings-assen voldoen : I°. de hoogte der pyramide. 2°. alle lijnen gelegen ineen vlak dat door het zwaartepunt gaat en met het grondvlak evenwijdig loopt. § 31. Een pyramide verkeert in dit geval indien: m = n (zooals volgt uit (II), mits men in aanmerking neemt data 0) tevens is jP =O, en daarom volgt nu weder uit (IV): M, = M, ar, = y, Pi = 0; derhalve M, = IV,. Daaruit leiden wij weer af, met behulp van (V): c 0 en Aj2 = 3 d2. De schuine zijde AB van het grondvlak (zie fig.) verkrijgt der* halve tot lengte |/dJ H— * = 2d; evenzoo de schuine zijde AC en de basis, zoodat het grondvlak blijkt een gelijkzijdige driehoek te zijn. Iste Af cl. d. j. korte we o. Oplossingen §32. D= 0, F— O, A=zC. (c) Dan is, volgens (II): h=z o = 0. Deze waarden voldoen aan de betrekking (XVI) en wij hebben dns te doen met een bijzonder geval van geval (o) en wel dat, waarbij de top recht boven het zwaartepunt, dus in het uiteinde van de as der ellips of der hyperbel (XVII) gelegen is naar gelang M>N. Als draaiings-assen voldoen : I°. de Y-asj d.i. de lijn , die door het zwaartepunt gaat en evenwijdig loopt met de hoofdas van het grondvlak, waarvan M het draaiings-moment voorstelt. 2°. iedere lijn loodrecht daarop. § 33. Evenzoo is het geval: D— O, F= O, B= C (d) niets anders dan het bijzonder geval van (o)j waarbij de top valt in het uiteinde der reële as van de hyperbel of ellips (XVIII). Baarbij voldoen als draaiings-assen: I°. de lijn, die door het zwaartepunt gaat en evenwijdig loopt met de hoofdas van het grondvlak, wiens draaiings-moment door N werd voorgesteld. 2°. iedere lijn loodrecht daarop, § 34. D— 0, F— 0, A B—C (e) Nu is niet alleen het grondvlak een gelijkzijdige driehoek als in het geval (4); maar bovendien is (zie II): h=4 4 4 //i*l * //£,*«. leder der opstaande ribben van de pyramide wordt dus gelijk aan: (/h' + -4- = 2d; d. w. z. alle ribben van het viervlakkig lichaam zijn evenlang, en het lichaam dus regelmatig. ledere lijn die door bet zwaartepunt gaaf, kan daarbij als draai- der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. ings-as worden aangenomen; want de vergelijkingen (X) vallen geheel weg. § 35. Is eene of andere pyramide gegeven, dan kunnen wij in de eerste plaats de integralen (V), daarna de integralen (III), en eindelijk de integralen (II) berekenen. Dan bepaalt men de derdemachtsvergelijking (XI), berekent hare drie wortels, en bepaalt met behulp daarvan uit (X) de richtingen der drie draaiings-assen. De gestelde vraag is daarmede volledig opgelosf. § 36. Ten slotte wenschen wijde resultaten inden loop van ons onderzoek gevonden, te resumeeren ; maar maken daarbij gebruik van de centraal-ellipsoïde, die de gevonden draaiings-assen tot assen heeft en omgekeerd. (I) (§ 33). De cenlraal-ellipsoïde gaat over ineen bol, wanneer het viervlakkig lichaam regelmatig is; maar ook dan alleen. (II) (§ 28 en 29). Zij gaat ineen omwentelings-ellipsoïde over, zoodra de projectie vaneen der toppen op het overstaande grondvlak ineen der hoofdassen van dit grondvlak valt, en tevens de top gelegen is op eene bepaalde ellips of hyperbel, die het zwaartepunt der pyramide tot middelpunt heeft en wier ééne as met het grondvlak evenwijdig loopt, terwijl de andere loodrecht op dit grondvlak staat. De omwentelings-as valt daarbij in het vlak dat door het zwaartepunt der pyramide en de bedoelde hoofdas gaat. Haar projectiën op ieder der vier zijvlakken zijn dus hoofdassen dier zijvlakken' (J 32 en 33). Zij zal beurtelings met ieder der hoofdassen van het grondvlak evenwijdig loopen, indien de top zich in het hoogste of in het laagste punt der ellips of van ieder der takken van de hyperbel bevindt, en dus recht boven het zwaartepunt van het grondvlak gelegen is. (III) (§ 31). Bovendien ontstaat nog eene omwentelings-ellipsoïde zoo dikwijls eender grondvlakken gelijkzijdig wordt en de top recht boven het zwaartepunt van dit grondvlak gelegen is. De hoogtelijn is daar omwentelings-as. (IV) (§ 25). In alle andere gevallen is decentrale ellipsoïde geen omwentelings-ellipsoïde. Haar assen kunnen dan niet met de hoofdassen vaneen der grondvlakten en evenmin met een der hoogtelijnen evenwijdig loopen, tenzij de projectie vaneen de? lste Afd. d. j. kobtewes. Oplossingen ent. toppen op het overstaande grondvlak ineen der hoofdassen van dit grondvlak valt, dan loopt eender assen van de ellipsoïde evenwijdig met de andere hoofdas van dit grondvlak. (y) (§ 26). Valt de projectie vaneen der toppen juist in het zwaartepunt van het overstaande grondvlak, dan is de projecteerende lijn eender assen der centrale ellipsoïde, de beide anderen loopen evenwijdig met de hoofdassen van dit grondvlak. Inde hier aangehaalde bijzonderheden bestaat een merkwaardige overeenkomst tusschen de centraal-ellipsoïde en de grootste ingeschreven ellipsoïde van het viervlakkig lichaam. Toch zijn beide ellipsoïden niet gelijkvormig. Wij behouden ons omtrent dit punt een nader onderzoek voor. OPLOSSING VAK HET TIERDE VRAAGSTUK, voor welles beantwoording, volgens bet besluit genomen ter Algemeene Vergadering van bet jaar 1871, eene Aanlage is toegewezen aan den Heer 0. J. KOISTEWEG VRAAGSTUK IV. AAN EENE PLATTE RONDE SCHIJE OF ZEER DUNNE LENS WOEDT EENE SNELLE DRAAIIENDE EN TEVENS VOORTGAANDE BEWEGING GEGEVEN. DE DRAAIIENDE BEWEGING GESCHIEDT OM EENE AS DIE RECHTHOEKIG OP HET VLAK DEE SCHIJE EN DOOK HAAR MIDDEN GAAT; DE VOORTGAANDE BEWEGING HEEFT PLAATS IN HET VLAK DER SCHIJF. DIT VLAK MAAKT EEN HOEK MET EEN HORIZONTAAL VLAK, EN DE AANVANKELIJKE RICHTING DER VOORTGAANDE BEWEGING MAAKT EEN SCHEEVEN HOEK MET DE HORIZONTALE DOORSNEDE VAN HET HELLENDE VLAK. VRAGE : DE KROMME LIJN AAN TE WIJZEN, DIE HET MIDDEN DER SCHIJF, TEN GEVOLGE VAN DE WERKING DER ZWAARTEKRACHT EN VAN DEN TEGENSTAND DER LUCHT, BESCHRIJVEN ZAL, ALSMEDE OM IN EEN GEKOZEN VOORBEELD DOOR MECHANISCHE QUADRATUTJR, BENADERENDERWIJZE ALTHANS , HET PUNT TE VINDEN WAAR DE SCHIJF ZAL NEERVALLEN. BE TEGENSTAND DER LUCHT WOEDT ONDEESTELD EVENREDIG TE ZIJN AAN HET VIERKANT DER SNELHEID TAN Iste Afd. d. j. korteweg. Oplossingen BOTSING, OF LIEVER GELIJK AAN EENE FUNCTIE AS + JBS-+ CS3, WAARBIJ d, B, C STANDVASTIG ZIJN, EN S DE GENOEMDE SNELHEID VOORSTELT. l. Inde eerste plaats willen we onderzoeken wat zich van de beweging der schijf zeggen laat, onafhankelijk van de wet van tegenstand der lacht, om vervolgens voor dezen tegenstand eene bepaalde wet te kiezen en daardoor de beweging nader te bepalen. § 2. Neem dan aan, dat de schijf op zeker tijdstip eene voortgaande beweging heeft, benevens eene draaiiende beweging om hare as, dan werken op dit tijdstip op de schijf de volgende krachten: I°. de zwaartekracht, wier werking overeenkomt met die eener kracht gaande door het zwaartepunt van het schijfvormig lichaam, 2°. de tegenstand der lucht, welke bij een ongeveer plat lichaam, op alle punten van het oppervlak gelijkelijk en in dezelfde richting werkt. Hare werking komt dus overeen met die eener kracht gaande door ’t zwaartepunt van ’t oppervlak der schijf en loodrecht op dit oppervlak slaande. § 3. Bij eene zeer platte lens gaat deze kracht evenzeer door het zwaartepunt van het lichaam , waarom we die beide krachten mogen samenstellen tot ééne enkele kracht zonder koppels. Deze kracht is slechts in staat om de voortgaande en niet om de draaiiende beweging te veranderen; daarom zal het vlak der schijf zich evenwijdig aan zich zelve verplaatsen en de schijf eene steeds even snelle draaiing om hare as ondergaan. § 4. Ten einde de plaats van het middelpunt der schijf te bepalen, zullen we rechthoekige coördinaten-assen kiezen. De oorsprong plaatsen we daar waar dit punt zich bij den aanvang der beweging bevindt. De as der Z wordt evenwijdig met de richting der zwaartekracht gekozen, met de positieve zijde naar boven. Voor as der Y wordt genomen de doorgang van het vlak der schijf met het horizontale projectievlak, en de positieve zijde zoodanig geplaatst, dat deze met de aanvankelijke beweging een scherpen hoek, voor te stellen door (3, maakt. De as der X is nu bepaald ■ maar haar positieve zijde wordt nog zóó gekozen, dat het vlak der schijf een scherpen hoek «met het horizontale vlak maakt. De aanvankelijke snelheid wordt door Va voorgesteld. der als Prijsvragen voorgestelde Vraagstukken. § 5. Bij den aanvang der beweging is dus de projectie der snel- heid op de as OY =VQ Cos (3, op de as OX V0 Sin |3 Cos a, op de as OZ = V„ Sin 0 Sin a, en op de as OD der schijf =O. 