Лан, работать так работать )

Вычисление производной данной функции понадобится применение цепного правила дифференцирования, используя следующие шаги:

1. Используем свойство производной функции вида $\frac{d}{dx}(\frac{1}{f(x)})=-\frac{f'(x)}{(f(x))^2}$.

2. Вычисляем производную функции $f(x) = \sin^2{(2x-4\ln5)}$ c помощью замены переменной вида $u = 2x-4\ln5$, т.е. получаем $f(x) = \sin^2{u}$, и применяем формулу производной функции $sin^2$: $f'(x) = 2\sin{(2u)}\cdot\frac{du}{dx}$.

3. Вычисляем производную частного $\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}}$ с применением цепного правила: 

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}})=-\frac{1}{2}(\sin^2{(2x-4\ln5)})^{-2}\cdot2\sin{(2u)}\cdot\frac{du}{dx}$

4. Заменяем обратно $u$ на выражение $u = 2x-4\ln5$:

$=-\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}}\cdot\sin{(2(2x-4\ln5))}\cdot 2$

5. Приводим выражение в более удобную форму:

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{2\sin^2{(2x-4\ln5)}}) = -\frac{4\sin{(4x-8\ln5)}}{(2\sin^2{(2x-4\ln5)})^2} = -\frac{4\sin{(4x-8\ln5)}}{4\sin^4{(2x-4\ln5)}} = -\frac{\sin{(4x-8\ln5)}}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$.

В итоге, производная данной функции равна $-\frac{\sin{(4x-8\ln5)}}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$.