Sí, podemos despejar "x" y "y" de la ecuación 9x^2 + 24xy + 2y^2 + 75x − 40y − 194 = 0. Aquí te muestro los pasos para despejar "x" y "y":

Agrupa los términos que contienen "x" y los términos que contienen "y" para obtener:

(9x^2 + 24xy + 75x) + (2y^2 - 40y - 194) = 0

Completa el cuadrado para el término que contiene "x" y para el término que contiene "y". Primero, para el término que contiene "x":

9x^2 + 24xy + 75x = 9(x^2 + 8/3 xy + 25/3 x)

Para completar el cuadrado, se añade y se resta el término necesario para que la expresión dentro del paréntesis sea un cuadrado perfecto. El término necesario en este caso es (8/3y)^2 = 64/9 y se debe añadir y restar:

9(x^2 + 8/3 xy + 64/9 - 64/9 + 25/3 x)

Esta expresión se puede reescribir como:

9[(x + 4/3 y)^2 - 16/9 y^2 + 25/3 x]

Repite el paso anterior para el término que contiene "y":

2y^2 - 40y - 194 = 2(y^2 - 20y - 97)

Para completar el cuadrado, se añade y se resta el término necesario para que la expresión dentro del paréntesis sea un cuadrado perfecto. El término necesario en este caso es (-20/2)^2 = 100 y se debe añadir y restar:

2[(y - 10)^2 - 100 - 97]

Esta expresión se puede reescribir como:

2[(y - 10)^2 - 197]

Reemplaza las expresiones obtenidas en los pasos anteriores en la ecuación original:

9[(x + 4/3 y)^2 - 16/9 y^2 + 25/3 x] + 2[(y - 10)^2 - 197] = 0

Expande los términos y reorganiza para obtener la forma canónica:

9(x + 4/3 y)^2 - 16y^2 + 25x + 2(y - 10)^2 - 396 = 0

Despeja "x" y "y" para obtener las expresiones en términos de las demás variables:

x = (-9/25)(2(y - 10)^2 - 396) - (4/3)y^2 - (8/3)y

y = ±sqrt((9/16)(x + 4/3 y)^2 + (25/16)x + 99/16) + 5

Espero que esto te ayude a despejar "x" y "y" de la ecuación dada. Ten en cuenta que las expresiones obtenidas son un poco complicadas, por lo que si necesitas una aproximación numérica, puedes usar.
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