1.	Используем правило дифференцирования частного функций:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}$$

2.	Обозначим числитель функции $-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}$ как $f(x)$, а знаменатель как $g(x)$:

$$f(x) = -4\cos{(2x-4\ln5)}$$
$$g(x) = 2\sin^3{(2x-4\ln5)}$$
3.	Найдем производные числителя и знаменателя:

$$f'(x) = 8\sin{(2x-4\ln5)}$$
$$g'(x) = 6\cdot2\sin^2{(2x-4\ln5)}\cdot2\cos{(2x-4\ln5)} = 24\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos{(2x-4\ln5)}$$
4.	Подставим найденные значения в формулу для производной частного функций:

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = \frac{(8\sin{(2x-4\ln5)})\cdot(2\sin^3{(2x-4\ln5)})- (24\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos{(2x-4\ln5)})\cdot(-4\cos{(2x-4\ln5)})}{(2\sin^3{(2x-4\ln5)})^2}$$
5.	Упростим выражение в числителе:

$$(8\sin{(2x-4\ln5)})\cdot(2\sin^3{(2x-4\ln5)})- (24\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos{(2x-4\ln5)})\cdot(-4\cos{(2x-4\ln5)})$$
$$= 16\sin^4{(2x-4\ln5)} + 96\sin^2{(2x-4\ln5)}\cos^2{(2x-4\ln5)}$$
$$= 16\sin^2{(2x-4\ln5)}(\sin^2{(2x-4\ln5)} + 6\cos^2{(2x-4\ln5)})$$
$$= 16\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})$$
6.	Подставим упрощенное выражение в формулу для производной частного функций и дополнительно упростим:

\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = \frac{16\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{(2\sin^3{(2x-4\ln5)})^2}$$
$$= \frac{16\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{8\sin^6{(2x-4\ln5)}}$$
$$= \frac{2\sin^2{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^6{(2x-4\ln5)}}$$
$$= \frac{2(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$
7.	Таким образом, окончательно получаем:

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}} \cdot \frac{2(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$
$$= -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$

Таким образом, производная данной функции равна:

$-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$

В LaTeX это можно записать следующим образом:

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}}{2\sin^3{(2x-4\ln5)}}\right) = -\frac{4\cos{(2x-4\ln5)}(1 + 5\cos^2{(2x-4\ln5)})}{\sin^4{(2x-4\ln5)}}$$
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence