1.	Основные понятия:

•	Открытое множество: подмножество A⊆R такое, что для каждой точки x в A существует некоторая её окрестность соответствующая ε>0.

•	Открытое покрытие множества: множество открытых множеств, удовлетворяющее условию A⊆∪𝒞.

2.	Лемма Гейне-Бореля:

•	Лемма гласит, что для любого открытого покрытия 𝒞 отрезка [0,1] существует конечное подпокрытие 𝒞'.

•	Доказательство леммы следует из рассмотрения множества B, содержащего все b такие, что существует конечное подпокрытие 𝒞'⊆𝒞 для [0,b].

•	Очевидно, что 1∈B, так как мы можем построить ε₀>0, удовлетворяющее условиям открытого множества, и показать, что [0,ε₀)⊆B.

•	Затем мы можем показать, что точная верхняя грань b₀ существует и выполняет условие: b₀ >= max{b₁, b₂, ..., bₙ}. Это может быть доказано путем представления b₀ как максимум из функций b₁, b₂, ..., bₙ и, следовательно, что b₀ является верхней гранью этих функций. Таким образом, мы можем утверждать, что b₀ является точной верхней гранью B.
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence