El área bajo la curva de una función se puede calcular utilizando la definición de integrales. Esto implica dividir la región bajo la curva en áreas infinitesimales y sumar todas las áreas. Como ejemplo, consideremos la función cuadrática y = x2 + 2x + 3. El área bajo la curva se puede calcular como sigue:

Primero, encontramos los límites de integración, que es el intervalo en el que está definida la función. En este caso, los límites de integración son de -∞ a +∞.

Ahora, dividimos el intervalo en N partes iguales para obtener una aproximación de la integral. Para calcular el área bajo la curva, utilizamos la regla del trapecio. Esta regla establece que el área bajo la línea curva es aproximadamente igual a la suma de los áreas de los N trapecios construidos con los extremos y el punto medio del intervalo.

Por ejemplo, si dividimos el intervalo en 4 partes iguales, con límites -∞, -2, 0, 2 y +∞, entonces el área bajo la curva de y = x2 + 2x + 3 se puede calcular como:

Área bajo la curva = (1/2) (y₋₂ + y₀ + y₂) (2) + (1/2) (y₋₂ + y₂ + y₊₂) (2)

= (1/2) (4 + 6 + 10) (2) + (1/2) (4 + 10 + 16) (2)

= 36 + 36

= 72
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