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In mathematics, a simple Lie group is a connected non-abelian Lie group that does not have nontrivial connected normal subgroups. The list of simple Lie groups can be used to read off the list of simple Lie algebras and Riemannian symmetric spaces. Simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all(finite-dimensional)connected Lie groups via the operation of group extension. The first classification of simple Lie groups was by Wilhelm Killing, and this work was later perfected by Élie Cartan. The final classification is often referred to as Killing-Cartan classification.
Unfortunately, there is no universally accepted definition of a simple Lie group. Authors differ on whether a simple Lie group has to be connected, or on whether it is allowed to have a non-trivial center, or on whether the commutative Lie group of the real numbers is a simple Lie group. The most common definition is that a Lie group is simple if it is connected, non-abelian, and every closed connected normal subgroup is either the identity or the whole group. In particular, simple groups are allowed to have a non-trivial center, but the commutative Lie group of the real numbers is not simple.
Simple Lie groups include many classical Lie groups, which provide a group-theoretic underpinning for spherical geometry, projective geometry, and related geometries in the sense of Felix Klein's Erlangen program. It emerged in the course of classification of simple Lie groups that there exist also several exceptional possibilities not corresponding to any familiar geometry. These exceptional groups account for many special examples and configurations in other branches of mathematics, as well as contemporary theoretical physics.
As a counterexample, the general linear group is neither simple nor semisimple because multiples of the identity form a nontrivial normal subgroup, thus evading the definition. Equivalently, the corresponding Lie algebra has a degenerate Killing form because multiples of the identity map to the zero element of the algebra. Thus, the corresponding Lie algebra is also neither simple nor semisimple. Another counter-example are the special orthogonal groups in even dimension. These have the matrix -I in the center, and this element is path-connected to the identity element, and so these groups evade the definition. Both of these are reductive groups.
数学では、単純リー群は、非自明な接続正規部分群を持たない接続された非アーベルリー群です。単純なリー群のリストを使用して、単純なリー代数およびリーマン対称空間のリストを読み取ることができます。単純なリー群は、群拡張の操作を介して、すべての(有限次元)接続されたリー群を構成する原子「ブロック」を与えます。単純なリー群の最初の分類はヴィルヘルム・キリングによって行われ、この研究は後にエリー・カルタンによって完成されました。最終的な分類は、多くの場合、キリング カルタン分類と呼ばれます。
残念ながら、単純なリー群の広く受け入れられている定義はありません。単純なリー群を接続する必要があるかどうか、自明でない中心を持つことが許されるかどうか、あるいは実数の可換リー群が単純なリー群であるかどうかについては、著者の意見が分かれています。最も一般的な定義は、リー群が接続され、非アーベルである場合、リー群は単純であり、すべての閉じた接続された正規部分群が同一性または群全体のいずれかであるというものです。特に、単純な群は非自明な中心を持つことができますが、実数の可換リー群は単純ではありません。
単純なリー群には多くの古典的なリー群が含まれており、球面幾何学、射影の群論的基礎を提供します。幾何学、およびフェリックス・クラインのエアランゲン・プログラムの意味での関連幾何学。単純なリー群の分類の過程で、よく知られた幾何学に対応しないいくつかの例外的な可能性も存在することが判明しました。これらの例外的な群は、現代の理論物理学だけでなく、数学の他の分野における多くの特殊な例や構成の説明になります。
反例として、恒等式の倍数が自明ではない正規部分群を形成するため、一般線形群は単純でも半単純でもありません。定義。同様に、対応するリー代数は、単位の倍数が代数のゼロ要素にマッピングされるため、縮退したキリング形式を持ちます。したがって、対応するリー代数も単純でも半単純でもありません。別の反例は、偶数次元の特殊な直交群です。これらは中心に行列 -I を持ち、この要素は単位要素にパス接続されているため、これらのグループは定義を回避します。これらは両方とも還元性基です。