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Burnside's lemma is a result in group theory that is useful in counting mathematical objects while taking into account symmetry. It is also known as the Cauchy-Frobenius lemma, the orbit-counting theorem, or the lemma that is not Burnside's, and is named after William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy, and Ferdinand Georg Frobenius. The lemma counts"orbits," which is the same as counting distinct objects taking into account symmetry. It counts distinct objects up to an equivalence relation R or counting objects that are in canonical form. The formula for the number of orbits is the average number of points fixed by an element of G. The number of rotationally distinct colorings of the faces of a cube using three colors can be determined using this formula. The eight queens puzzle has 92 solutions, of which12fundamental solutions are distinct up to rotation and reflection of the board.
バーンサイドの補題は、対称性を考慮しながら数学的オブジェクトを数えるのに役立つ群理論の結果です。これは、コーシー-フロベニウスの補題、軌道計数定理、またはバーンサイドのものではない補題としても知られ、ウィリアム バーンサイド、ジョージ ポリヤ、オーギュスティン ルイス コーシー、フェルディナンド ゲオルク フロベニウスにちなんで命名されました。補題は「軌道」を数えますが、これは対称性を考慮して個別のオブジェクトを数えることと同じです。同値関係 R までの個別のオブジェクトをカウントするか、正規形式のオブジェクトをカウントします。軌道数の公式は、G の要素によって固定される点の平均数です。3 つの色を使用する立方体の面の回転方向に異なる色の数は、この公式を使用して決定できます。8 クイーン パズルには 92 個の解決策があり、そのうち12個の基本的な解決策はボードの回転と反射までに異なります。