come si puoi trovare la superficie di un pentagono equilatero che sia uguale a quella di una figura con 12 lati? 
### Query ###
come si puoi trovare la superficie di un pentagono equilatero che sia uguale a quella di una figura con 12 lati? 

### Source ###
**EGL-56-FIDE-192 **
56. Eyli è ima super fide de 12 lati eguait alia quale egli è circo-
scritto il cerchio abc il cut diametro è e il suo centro è il ponto d:
et io vorrei fare mii pentagono equilatero ed equiangolo che la sua su-
perficie Ijosse eguale a quella della della figura di 12 lati. Per la 8* del
1 4° di Euclide, essendo la superfìcie d’ogni fìgura equilatera ed equi-
angola uguale al prodotto della corda dell’angolo ui essa fìgura in
tanti ottavi del diametro circoscritto, quanti sono i di lei lati, ed es-
sendo nel caso nostro bc — lato di esagono = I diametro = 8, sarà

12

la superfìcie della detta fìgura di 12 lati = 8 X -^di 16 = 8 X 24

O

= 192. Si faccia un altro cerchio di 16 di diametro, dentro il quale sia
iscritto il pentagono regolare abede, un lato del quale è tagliato per
metà in • dal diametro ag, che pure taglia per metà in o, la sottesa

bc. Sarà «o = g «!/— [/^g af/ X g «? = g n?— [/^ ^ ag% e per la 35*



del 3", e 3* del 2° : ao y, ag = ae', ed ae = Vaoyag. Di più fi =
l^lfd’ — id‘) = j/* Q ag' — ^ o«’j= ^64 — | ae’j, c la superfìcie

del pentagono = oeX2 s fi= t^aoX«!/X2s ^64 —


perpendicolare alla 6c=ae, di modo che bh—2hfi,e formato il ret-
tangolo bhcu, sarà questo eguale alla superfìcie pentagonica. Sulla stessa
CM, sia costituito il rettangolo cu/m = superfìcie della fìgura di 12 lati
= 192. Si prenda per line una media proporzionale tra le due àc, c/,
la quale sia x, sara questa il lato del pentagono; poiché bc':x' :: bc :
l :: rettangolo bhuc : rettangolo cund, come pentagono abede : fìgura di
12 iati. Ma come be’ i x‘ •, così il pentagono sopra he al pentagono


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sopra X ; dunque come pentagono sopra bc , a pentagono sopra x ;
cosi pentagono abcdex fìgura di 12 lati ; onde essendo pentagono so-
pra he, il pentagono appunto abede, sarà il pentagono sopra x, equi-
valente alla figura data di 12 lati.


**ProblemaPentagonoEquilatero **
equilatero. Dico che ancora è equiangolo. Imper-
ciocché essendo la circonferenza AB uguale alla cir-
conferenza DE, comune si ponga fa circonferenza
BCD. Tutta dunque la cit conferenza ABCD è u-
guale a tutta la circonferenzi EDCB; ma sopra la
circonferenza ABCD insiste 1' angolo A ED, e sopra
la circonferenza EDCB insiste 1* angolo BAE : dun-
fV"f>.* 7 .n ue I* angolo BAÉ è uguale all* angolo AED . Per
dot i la medesima ragione ’ ciascuno degli angoli ABC BCD,
CDE è uguale a ciascuno degli angoli BAE AED:
dunque il pentagono ABCDE è equiangolo; si e
■ '-poi dimostrato ancora equilatero : dunque nel dato
cerchio si è inscritto un pentagono equilatero, ed e-
quaigolo, come bisognava fare.
F rep. 16.
' doli.
i * -



l«



Pro-



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Libro Quarto.
Problema n. Proposizione li.
À un dato cerchio circoscrivere un pentagono equi-
lacero, ed equiangolo. jl. .1 : J

Sia il dato cerchio A BCDE: i „ Ji.>

bisogna al cerchio ABCDE ^ 5 s^E •, •

circoscrivere un pentagno e- Ir
quilatero, ed equiangolo. ~a/( ^ A/ ' ’ r -

Nella circonferenza ABCDE M Ji l

s* intendano i punti AB CD JrT ’

E degli angoli del pentagono 1 yQ , ? r °P l

equilatero, eJ equiangolo in- ‘ fc ì i

Scritto nel cerchio cosicché
le circonferenze AB BC CD
DE EA siano uguali ; e per li pumi ABCDE
si conducano le tangenti il cerchio GHHK KLLM
MG} e preso il centro F del cerchio ABCDE si u-
niscano le FB FK FC FL FD.


**Prop_30_Teor_20_Parallelogrammi **
/

I. Essendo AB uguale a CD , e CA uguale a
DB ; è chiaro , che se AB sarà uguale a CA , tuttr
e quattro i lati AB , BD , DC , CA saranno uguali.
Sicché se in un parallelogrammo due lati , che for-
mano un* angolo sono uguali , il parallelogrammo sarà
equilatero. ' \ •

IL Per le parallele AB , DC , gli angoli BAC ,
ACD sono uguali a due retti (i); onde se ABC sarà
retto , retto sarà ancora ACD ; e poiché ne’ paralle-
logrammi gli angoli opposti sono uguali , saranno ABD ;
BDC eziandio retti. Dunque se in un parallelogrammo
un’ angolo è retto , tutti gli altri sono anche retti ; e
perciò sarà rettangolo.
PROP. XXX. TEOR. XX.
Jn ogni parallelogrammo , i complementi degli al-
« tri due parallelogrammi , che sono intorno la sua
diagonale , sono tra loro uguali.
medesimo le rette EF r , GR parallele rapettivamente
ai Iati AD , AB’.; queste divideranno il parallelogram-
mo BD in altri quattro , de’ quali i due.GE ? Fli
sono intorno la diagónale AC; gli altri due poi DO,
OB sono i complementi de’ primi EG , HF. Dico ,
essere tali complementi DO , OB tra loro uguali.
Dim. Dividendo la diagonale il parai lelopammo
in due triangoli uguali (2) , saranno 1 triangoli ADC,

1) Prop. 19.


**Hor3_Pentagono_Equilatero_2023 **
Hor3,accjoche gl'amatori della fcienza reflino in ciò intieramente fodisfatti,moftrarò come
con modo certo,& conueniente fi poffa facilmente formare il pentagono equilatero, & equiang,
fopra ad vna data retta linea . Et infiememofèrarò come dalle operationi Aritmetiche, ò Algc
bratichc pofla l'accorto Rudente con facilità deriuare il modo dell'operare in linee, ò vogliamo
dire il modo d efFequire i problemi propQfti,Geomctricamente,onde fi auederà,che dalJa eccel-
lenza dell operare nellinumeri^ncnafcera il modo dop(jraren^lIe linee; Et cpfi tanto più do-
uentard defiderofo di farfi afperto nelli numeri,che fono l'anima delle dottrine . Auerta dunque
che noi poneQdo,che il Iato del pentagono cquiIatero,& equiangolo fuffe ioo.trouaffimo,che U
fubtenfa a ciafcuno de' fuoi angoli,ò vogliamo dire a dui lati d'efro,quali fi vogIino,faria radic e
1 250o.piu Jo.pcrò fe fapeffimo trouarc la linea,che conuenga a detta rad. 1 2/oo.più 50. quJdQ
alla a b,propofta bafe del pentagono conuenga il 1 po.Cioe fe data la a b lato del pentagono fa-
premo trouare vna linea,che ad efTa a b,habbi la proportione,che ha rad. 1 1500. più 50. a ioq
(ò vogliamo dicc(riciuccndQe(raproportione a termini minori)cheharad.j.piu i,a2,)^fla li-
nea



opcratione numerale . doue haucffimo fJ, egua H " cfr^ia ,1' ''"'^'^'T^'^'
cercare la fubteqfa all'angolo del pentagono e?u"anloló rhXVu- ' o«afionc dcJ
rconformcallaRegoladclcapitolodiI eST^^^^ P"'^"»' «'ii"'''**

Tempre il npmero Iellato del pcntagón*r'^^^^^^

ro della eqgadònc accompagnato alle *.cL cremore il r?H i ^ """^ «'"nfe il i oooo.numc-
gono,& della fomma fi prefe la rad.quadra;& adX «dS^^^^^^^ '^•'1 P""'

fé *, che e femprc la mica del numero del la'to del penSo^^^^^ ^L"". ""«""^
ciocia quantica della cercata fubtenfajConofccreL che feal' n 1'^"""^ ^i' " '^alorcdella *.


**GEO-REG-DEC-2023 **
Si divida il raggio AC in estrema e media ragione. Si
adatti la corda AD uguale alla parte maggiore CB , e si
congiunga il punto D coi punti C e B. A cagione della pro-
porzione

AC : AD :: AD : AB,

che si à per costruzione, i due triangoli CAD e BAD sono
simili, perchè hanno un angolo A comune compreso fra
lati AC ed AD rispettivamente proporzionali ai lati AD ed
AB; ma il primo di questi triangoli è isoscele , dunque pure
il secondo BAD è isoscele , e perciò DB è uguale a DA;
ma BC è pure uguale a DA , dunque BC è uguale a BD.
e per conseguenza l’ angolo C è uguale all’ altro BDC ; ma
l’angolo C è pure uguale ad ADB, perchè angoli al vertice
di due triangoli isosceli simili , dunque nel triangolo ACD
l’ angolo C è metà tanto dell' angolo CDA quanto del suo
uguale CAD ; onde segue che l’ angolo C è quinta parte di
due retti , ovvero decima parte di quattro , e perciò l’ ar-
co AD essendo decima parte della circonferenza , la sua
corda AD sarà il lato del decagono regolare iscritto.
Coroll. Congiungendo alternativamente fra loro i vertici del
decagono regolare iscritto si avrà il pentagono regolare iscritto.
Scolio. Per mezzo del decagono regolare iscritto potranno
iscriversi' e circoscriversi al cerchio i poligoni regolare di
20 , 40 , 80 lati etc.
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GEOMETRIA PI ASA.
47. Si vuole iscrivere un pentadecagono regolare in un cer-
chio ( Dg. 40 ).

### Analysis ###
L'utente chiede come trovare la superficie di un pentagono equilatero che abbia la stessa area di una figura con 12 lati. La domanda richiede l'applicazione delle conoscenze geometriche per calcolare il lato del pentagono equilatero e quindi la sua area, partendo dalla superficie nota della figura a 12 lati.

Le fonti fornite contengono informazioni rilevanti:
1. **EGL-56-FIDE-192** descrive dettagliatamente come calcolare la superficie di un pentagono equilatero per ottenere una figura con 12 lati ugualmente ampia.
2. **ProblemaPentagonoEquilatero** offre una dimostrazione riguardo ai pentagoni equilateri e equiangoli, che potrebbe essere utile per comprendere le proprietà geometriche necessarie.
3. **Prop_30_Teor_20_Parallelogrammi** tratta delle relazioni tra i lati e gli angoli nei parallelogrammi, che potrebbero non essere direttamente rilevanti in questo contesto.
4. **Hor3_Pentagono_Equilatero_2023** discute come costruire un pentagono equilatero su una retta data, offrendo un approccio differente rispetto alle altre fonti.
5. **GEO-REG-DEC-2023** spiega come determinare il lato di un poligono regolare iscritto in un cerchio, che potrebbe essere utile per il calcolo della superficie del pentagono.

### Answer ###
Per trovare la superficie di un pentagono equilatero che sia uguale a quella di una figura con 12 lati, possiamo seguire i passaggi seguenti basati sulle fonti fornite:

1. **EGL-56-FIDE-192** ci guida attraverso i passaggi necessari per calcolare la superficie del pentagono equilatero che ha la stessa area di una figura con 12 lati. Il testo spiega che la superficie di un poligono equilatero e equiangolo è proporzionale al prodotto della corda dell'angolo del poligono per il diametro circoscritto del cerchio<ref name="EGL-56-FIDE-192">"essendo la superfìcie d’ogni fìgura equilatera ed equiangola uguale al prodotto della corda dell’angolo ui essa fìgura in tanti ottavi del diametro circoscritto, quanti sono i di lei lati"</ref>.

2. Dal testo **ProblemaPentagonoEquilatero**, sappiamo che un pentagono equilatero può essere costruito su un cerchio, mantenendo gli angoli uguali<ref name="ProblemaPentagonoEquilatero">"Nella circonferenza ABCDE s* intendano i punti AB CD E degli angoli del pentagono equilatero, ed equiangolo scritto nel cerchio cosicché le circonferenze AB BC CD DE EA siano uguali"</ref>.

3. Per trovare il lato del pentagono, possiamo usare le informazioni da **Hor3_Pentagono_Equilatero_2023**, che fornisce un metodo per determinare il lato utilizzando operazioni aritmetiche e algebriche<ref name="Hor3_Pentagono_Equilatero_2023">"Tempre il numero tellato del pentagono dalla radice quadrata accompagnata dalle operazioni aritmetiche, o algebriche pofla l'accorto Rudente con facilità derivare il modo dell'operare in linee, o vogliamo dire il modo d eseguire i problemi proposti, Geometricamente"</ref>.

4. Infine, **GEO-REG-DEC-2023** ci aiuta a determinare il lato del pentagono iscritto in un cerchio, poiché conosciamo il diametro del cerchio che circoscrive la figura a 12 lati<ref name="GEO-REG-DEC-2023">"Si adatti la corda AD uguale alla parte maggiore CB, e si congiunga il punto D coi punti C e B. A cagione della proporzione AC : AD :: AD : AB, i due triangoli CAD e BAD sono simili"</ref>.

In conclusione, seguendo questi passaggi, possiamo determinare il lato del pentagono equilatero e quindi calcolarne la superficie per ottenere la stessa area di una figura a 12 lati. 