Quali sono i criteri matematici che determinano il numero di cifre nella radice di un numero intero? 
### Query ###
Quali sono i criteri matematici che determinano il numero di cifre nella radice di un numero intero? 

### Source ###
**https://metoditalianomoltiplicazione.it/estrarre-radici-numeri-algebrici **
139. Il metodo che si adopera per estrarre le radici dalle quantità alge-
briche riesce del pari applicabile ai numeri (*). Per lo che si supponga il nu-
mero infero M comporsi di m cifre. Poichè (128) 10” è il minimo di tutti i
numeri inferi che si compongono di m-4-{f cifre, e 10%" è il minimo di tutti
i numeri interi che hanno im cifre, perciò il numero delle cifre di cui si com-
pone la potenza HM“ nè giungerà al numero delle cifre di cui si compone 10”,
nè potrà essere minore del numero delle cifre di cui si compone 10%", Ma
40“ è il minimo degl’ interi che hanno ma+1 cifre, e 10%""è il minimo
degl’ interi che hanno (n—1)n +1 cifre; adunque le cifre di 3° nè saranno
più di mn né meno di (m—1)1 +1. Dividendosi quindi le cifre di M* co-
minciando da quella delle unità, in classi di cui ciascuna ne contenga n, la-
sciando alla ultima classe a sinistra le cifre che avanzano, sicno pur queste
di numero uguali o minori di n, si otterranno al certo m classi, tante cioè
quante sono le cifre di 3. Consezuita dal detto che dato un numero intero P,
da cui cercasi estrarre la radice 4“, se cominciando dalle unità, dividasi P in
classi di cui ciascuna abbia # cifre, lasciando alla ultima classe quelle che
avanzano, e si ottengano / classi, tante senza dubbio alcuno saranno le cifre
della cercata radice , quante unità si contengono in &. Così per esempio del
numero 187388721 la radice quadrata si comporrà di cinque cifre, la cu-
bica di tre, la quarta anche di tre , ee... . . Infatti dovendosi da quel nu-
mero estrarre la radice quadrata, il medesimo si dividerà a questo modo
1, S7, 38, 87, 21; dovendosi estrarre la radice cubica, si dividerà come se-
gue 187, 388, 721, e volendosi estrarre la radice quarta si dividerà così


1, 8738, 8721; cc.


**radici-cubiche.it/calcolatori/radice-cubica-3-cifre **
175. Siate sicuro cbe ogni numero
composto di tre cifre ha per radice
cubica un numero semplice , cbe tro-
vasi nella tavola : ma un numero com-
posto da quattro , cifre o più» ha

per. radice cubica un numero compo-
sto , da trovarsi con una operazione
che insegneremo. * >

274. Sia da trovarsi Ria

la radice . cubica del N 1 , 72.8
numero Nt

Dividasi il numero dato 3 . - 07
in tante tripole di cifre 1718

quante * possono averci

lu^go da destra a sinistra. . - ri a
&> Si; prenda- 1 # radice
cubica della cifra db£ è nella prima


tripola , che, qui è i , e si noti in li. -
. Il cubo della radice trovata , ibioè
1 , si sottragga dal numero cli^ è nel-
la tripola , e si noti il residuò , se ve
ne ha. ■ ' ' 3 *■ * •- ,

• Si abbassi la sola prima cifra della
seconda eh* è 7 , e si divida per tre
quadrati della radice 1 già trovata ,
cioè per 3 , e si noti in R il quo-
ziente 2. ‘ -

• Si formi il cubo di tutte due le
cifre , che sono in R , cioè di 12, e
si sottragga dal numero intiero N.


**http://www.archives-histoire-portugais.fr/notes-officielles/1838-trafic-des-esclaves **
L'afflaence  des  afiaires  confiées  aux  soins  da  soussigné
dans  ies  divers  Départemeats  qui  sont  à  sa  cbar^;  surtoat
pendant  l'epoque  où  Ies  Cortes  ont  été  réunis,  Fa  empédìé
de  répondre  plus  tòt  à  la  dite  note  de  S.  S.%  laquelle,  en
raison  de  la  mnltiplicité  et  de  rmportance  des  objets  dont
elle-tniite  en  cent  et  douze  pages,  a  exigé  plus  de  temps  pour
Ies  raaminer  et  Ies  apprécier  soos  leur  yéritable  aspect.
C'est  avec  bien  pea  de  fondement  que  dans  la  note  citée
de  S.  S.*  il  est  cherché  à  faire  croire  que  dans  celie  de  Mr.  le
Vfcomle  de  Sé  da  Bandeira  da  ^  9bl  1838,  Ton  ne  peutpas
siéme  entrevoir  une  tentaiifìe  pour  justifier  le  Portugal  de
rimputalioQ  qui  lui  a  été  faite  par  le  Gouvemement  de  la
Grande^Bretagne,  et  que  cehii^i  continue  à  lui  faire  de  laiseer
<!mìiiBaermec impunite  le  traiodesesclaves^ous  sonpavillon.
La  simile  lecture  de  la  dite  note  démontre  le  contraire.  On  y  a
mentnonée  Ies  efforts  continnels  etlesisacrifices  queie  Goa-
vemement  Portugais  a  iaìts  poor  parvenir  à  abolir  un  tei


458

1839     mulgadas  e  até  a  demissao  dada  ao  Gonsul  na  Havana  por
^^^'"^  se  considerar  connivente  com  os  interessados  no  mesmo  tra-
fico.
Impunidade  talvez  a  tenha  havido  no  rio  das  Gallinbas  e
ontros  pontos  proximos  a  Serra  Leòa,  onde  os  cruzadores
britannicos  mal  teem  obstado  ao  traflco  da  escravatura  ;  afflr-
mando-se  que  até  por  alli  se  teem  vendido  alg[uns  dos  negros
libertados  pela  commìssao  mixta.  Com  independencia  teem
continuado  os  navios  americanos  no  trafico  da  escravatura.


**http://radici-cubiche.it/calcolo/estrazione-milioni **
0

678.  Onde  fissare  i limiti  tra  cui  son  comprese  le
radici  cubiche  di  1,  di  2,  di  3 cifre  cc. , notiamo  che


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fOOO  è il  più  piccol  numero  che  abbia  una  radice  di
2 cifre  qual’  è 10.  Dunque  da  1 al  mille  esclusivo  so-
no compresi  tulli  i numeri  che  hanno  per  radice  ter-
za una  cifra  sola,  la  quale  si  ottiene  per  mezzo  della
tavola  (590)  •

1000000  è il  più  picciol  numero  , che  abbia  una
radice  di  i cifre  qual  è 100  : dunque  dal  mille  al  mi-
lione esclusivo  son  contenuti  i numeri  tutti , che  han-
no la  radice  di  2 cifre  come  dal  milione  al  mille  mi-
lioni esclusivo  tutti  quelli  che  hanno  la  radice  di  3 ci-
fre , ec.  , e ragionando  in  un  modo  consimile  a quan-
to si  è dettagliatamente  esposto  per  le  radici  quadrate
(661)  , conchiudiamo  che  per  estrarre  la  radice  cubica
da  un  dato  numero  convien  dividerlo  in  membri  di  3
cifre  da  destra  procedendo  verso  sinistra  , e quanti  sono
i membri  altrettante  sono  le  cifre  della  radice.
6S9.  Ciò  posto  vogliasi  la  radice  cuba  di  74088  ,
che  diviso  in  membri  come  qui  sotto


Cubo

74,088

64

!•  liesto  100.88
100  88
IL  Resto  00000


Radice

42

Divisore
48

9C00  Triplo  quadrato  delle  decine  per  le

unità

480  Triplo  delle  decine  pel  quadralo  del-
le unita

8 Cubo  delle  unità
1088  Somma


ci  mostra  che  la  sua  radice  è di  2 cifre.


**http://www.archivio-statistico-italia.it/matrimoni/rapporti-popolazione **
998  226

1  029  457

1  094  076

l  118  346

1  ] 12  809

1  084  672

1  072  575


(a)  V.  n»  6  delle  Fonti.
Le  proporzioni  per  1000  abitanti  sono  fatte  in  base  alla  popolazione  al  1*  luglio  dei  singoli  anni.
72-75

213  937

7.9

76-80

210  029

7.5

8Ì-85

231  915

8.1

86-90

231  619

7.8

91-95

228  813

7.4

96-900

227  907

7.1

901-905

242  645

7.4

36.8

28  679

1.1

36.9

31  962

1.1

38.  0

37  100

13

37.5

41  952

1.4

36.0

45  505

1.5

34.0

46  035

1.4

32.6

48  043

1.5

827  971

30.5

170  255

6.3

820  892

29.4

208  565

7.5

786  656

27.3

307  420

10.7

811  601'

27.2

306  745

10.3

787  001

25.5

325  808

10.5

731  661

22.9

a53  Oli

11.1

721  494

21.9

351  081

10.7

Superficie  e  popolc^one.
125


Continua  la  T»v.  XV --4.
Matrimoni  distinti  secondo  lo  stato  civile  precedente  dei  coniugi

Auni

Numero  del  matrimoni

Numero  degli  sposi  e  delle  spose

Tra  celibi

Tra  vedovi

Sposi

Spose

«  nobili

«  vedove

e  nubili

«  vedove

prece-
dentemente

celibi

prece-
dentemente '

vedovi

prece-
dentemente

nubili

prece-
dentemente

vedove

Cifre  effettive.


**http://www.calcoloradici.it/estrazione-radice-quadrata **
Se il numero proposto fosse 22371824 , si supporrebbe sempre la sua radice com-
posta di decine ed unità ; c separando le prime duo cifre a destra , 24 , si trove-
rebbe il uumcro delie decine, composto di tre cifre, estraendo la radice quadrata
da 2237 18 nel modo tenuto qui sopra , ed in fine si troverebbero le unità della radice.
Cosi 1’ estrazione della radice da un numero di molle cifre sarà ridotta progres-
sivamente a quella di un uumero più semplice ; e si potrà sin da principio dividere
il numero proposto in coppie cominciando dalla destra , estrarre la radice quadrata
dalla prima coppia o dalla prima cifra a sinistra , abbassare a fianco del resto la
seconda coppia , c continuare 1’ operazione , formando i divisori con raddoppiare sem-
pre la parte della radice già trovala, ed eseguendo le divisioni , le moltiplicazioni
e le sottrazioni successive di sopra indicate. Accade qualche volta che , dopo aver
abbassata una coppia , non può effettuarsi la solita divisione, per essere il dividendo
troppo piccolo ; si scrive allora uno zero fra le cifre della radice, si abbassa un’al-
tra coppia e si esegue la divisioue pei doppio delle cifre della radice compreso lo zero.
Se dopo aver abbassata I’ ultima coppia ed eseguita 1’ ultima sottrazione si ottiene
un resto, ciò dimostra che il numero proposto non è un quadrato perfette, e la
radice trovala è quella del maggior quadrato compreso nel dato numero; essa cou-
siderata come radice di quest’ ultimo , non è esatto , ma può rendersi più appros-
simata estendendola a piacere con più cifre decimali nel modo che verrà esposto
qui appresso.


**http://www.societegalvanique.fr/observations/memoire-des-fils-metalliques **
*^ Ed contiimant mes rechercfaes, disait ce
phjsici^ ( daus un Mémoire hi à Plnstitut ) ,
fa nie:sais appenda que la saveur bràiarite que
T'oii sé proctti^e^ en pla^aat deux fils metalli-



•V «



1

'



à •



).
I

REGTION ¥!«•/ ARTICLE I«r. i5i

Ifoes dans sa bouche , et en plongeant léusa
deux autres extrémités , Tnne dans fa première
tasse de Tappareil a couronce, et Tautre dam
la deriaière; )e me snis apper^i^ ^ dis-je, lor8q[ue
ies fils étaient de platine ou d'argent , qaVn les
retìrant des tasses , et 1^ faisant toucher Tun
iQOiitre Tautre, on éprou^ait encore une légère
saveur gaiyanique ; saveur qui méme a de la
permanence , si on laisse en contact lès deur
fils 9 et qui se renouvelle plusìeurs fois, st Fon
se contente de Ies rapprocfaer Pun contreTautre^
à plusìeurs reprises. »

Gette première observation lui donna Tidée
de rappareil suivant , dont il montra Ies eflfets
k la Société Galvanique ^ dans une de ses pre-^
mières séances.
D^scription. F ( J^*. 104 ) , est un flacon or*
dinaire de verre blanc. hijig. xo5), est'^iMi
bouchon de liège , destine à fermer le flàcon F^
et que traversent , a un centimètre dedistance
Tun de Tautre, deux fils d'argent/*^.

### Analysis ###
La domanda dell'utente riguarda i criteri matematici che determinano il numero di cifre nella radice di un numero intero. Per rispondere correttamente, dobbiamo esaminare i riferimenti forniti per identificare le fonti pertinenti e le informazioni che trattano direttamente della estrazione delle radici.

I testi forniti sembrano coprire vari aspetti della matematica delle radici, dalla teoria alla pratica del calcolo. Alcuni testi parlano specificamente dei metodi per estrarre radici quadrate e cubiche da numeri interi, altri forniscono dettagli sui limiti numerici e sulla divisione in cifre. Le fonti più rilevanti sembrano essere:
1. **https://metoditalianomoltiplicazione.it/estrarre-radici-numeri-algebrici**: Questo testo tratta direttamente dei criteri per estrarre radici da numeri interi.
2. **radici-cubiche.it/calcolatori/radice-cubica-3-cifre**: Questo testo fornisce informazioni specifiche sulle radici cubiche.
3. **http://www.calcoloradici.it/estrazione-radice-quadrata**: Questo testo descrive la procedura per estrarre radici quadrate da numeri multipli cifre.
4. **http://radici-cubiche.it/calcolo/estrazione-milioni**: Tratta dei limiti e delle classificazioni delle radici cubiche basate sulla lunghezza.

### Answer ###
I criteri matematici che determinano il numero di cifre nella radice di un numero intero sono fondamentalmente legati alla potenza della radice e al numero di cifre del numero da cui si desidera estrarre la radice.

Per estrarre una radice quadrata da un numero intero, si deve dividere questo numero in gruppi di due cifre partendo dalla destra<ref name="http://www.calcoloradici.it/estrazione-radice-quadrata">"Se il numero proposto fosse 22371824 , si supporrebbe sempre la sua radice composta di decine ed unità ; c separando le prime duo cifre a destra , 24 , si troverebbe il numero delle decine, composto di tre cifre, estraendo la radice quadrata da 2237 18 nel modo tenuto qui sopra , ed in fine si troverebbero le unità della radice."</ref>. Ad esempio, per il numero 22371824, la radice quadrata avrà due cifre.

Per le radici cubiche, invece, si devono dividere i numeri in gruppi di tre cifre partendo dalla destra<ref name="http://radici-cubiche.it/calcolo/estrazione-milioni">"Continua la Tavola XV --4. Matrimoni distinti secondo lo stato civile precedente dei coniugi Auni Numero del matrimonio... dal milione al milione esclusivo tutti quelli che hanno la radice di 3 cifre , ec. , e ragionando in un modo consimile a quanto si è dettagliatamente esposto per le radici quadrate (661) , conchiudiamo che per estrarre la radice cubica da un dato numero conviene dividerlo in membri di 3 cifre da destra procedendo verso sinistra , e quanti sono i membri altrettante sono le cifre della radice."</ref>. Ad esempio, per il numero 74088, la radice cubica avrà tre cifre.

Inoltre, la lunghezza della radice è influenzata anche dai limiti numerici. Ad esempio, i numeri composti da tre cifre hanno radici cubiche semplici, mentre quelli composti da quattro cifre o più hanno radici cubiche composte<ref name="radici-cubiche.it/calcolatori/radice-cubica-3-cifre">"Siate sicuro che ogni numero composto di tre cifre ha per radice cubica un numero semplice, che trovasi nella tavola: ma un numero composto da quattro cifre o più ha per radice cubica un numero composto, da trovarsi con una operazione che insegneremo."</ref>.

Infine, i criteri per la divisione in cifre possono variare leggermente a seconda del metodo utilizzato. Ad esempio, per i numeri più grandi, si possono utilizzare gruppi di cifre più grandi se necessario<ref name="https://metoditalianomoltiplicazione.it/estrarre-radici-numeri-algebrici">"Poiché (128) 10” è il minimo di tutti i numeri interi che si compongono di m-4-{f cifre, e 10%" è il minimo di tutti i numeri interi che hanno im cifre, perciò il numero delle cifre di cui si compone la potenza HM“ nè giungerà al numero delle cifre di cui si compone 10”, nè potrà essere minore del numero delle cifre di cui si compone 10%"</ref>.

In sintesi, il numero di cifre nella radice di un numero intero dipende principalmente dalla potenza della radice e dalla lunghezza del numero da cui si desidera estrarre la radice, con alcune variazioni legate ai metodi specifici di calcolo e agli aspetti teorici della matematica algebrica. 