problema soluzione serie trigonometriche integrazione 
### Query ###
problema soluzione serie trigonometriche integrazione 

### Source ###
**RfR4R_nuove_formule **
R-fR4R"-fR
4

- a, cos. 2 k /H cos. 2 p . d p -+ a, cos. 3 k f H cos. 3 p . d p -+ ...
-+ a, cos. skf II cos. sp’ dp -*- ....
Ed essendo

-i/nrf?=a5

~ / II cos. s p . d p = b,
otterremo, sostituendo

-5 H(/®=2 a6-t- a,6, cos. fc -+ a* 5, cos. 2 k

4 i


i r (R-^R'-+R"-t-R"

* J r~


a. b.'cos. 3 k -+■ -+• a, b, cos. sk+ Se o.
Se moltiplicheremo adesso da ambe le parti per — H'. d k 9 avremo
integrando tra i limiti k —o , k = x,

1 rr\ R-4-R / -+-R v H-R ,/, Ì . 2(2Ì /*TT'J t ^i/Vri . 1 It

yi J J | H • H cift dk- — -/H d k H cos. l.d

.*+ /H'cos 2k.d k •+•••• •+ /H' cos. s k .dk-r Sco


Digitized by LjOOQle



Ma abbiamo veduto essere


ili


"" f H' d h — 3 c
— / H' cos. s k d k = c s

T J

Quindi avrassi sostituendo

R^R H-R 1 ■+ R | TT TT, j t -, i I T

^7~J] i | . H . H . dp . dksssi^abc-^ citbt c t

a^c, -+ &c. -+- a, 67 c, -+ &o.
formula che dà la completa soluzione del nostro Problema. Facil-
mente vedesi che questo metodo si può estèndere ad un numero
qualunque di serie.
L VI.


**CALC-INT-2023-01 **
*

dunqojB  (  indicando  per  C  la  costante  ^trbitrafì^  )

^  /(r  — n)  a  3  4  5

ed  in  conseguenza

•*■•  ^  1^  "j

facciamo  A  =  #i,B  =  i./3,C  =  ij>'^E  =  4«>«C'
e  si  avi^

Determinianio   la  .c»stante  C  in  modp  che   V  iutpgrale  ^i
annulli  quando  2;  =  o  >  e  sarà

C'==e(a-|*^H^  —  H--^H-cc.  )  essendo  j^  come  si  sa

•  ^        s        4

65=2,718281838459


dz


Dair  integrazione  di  —  dipende   1'  integrale  dell*  espressio-
ne dzllz  :  infatti  la  regola  d' integrazione  per  parÀ  ci  da
f dzllz  =  zllz  —  /J ,  e  per  conseguenza


CALCOLO     INTEGRALE     CAP.     1.  qqb

Dalla   medesima    formula   dipende    anche-  1'  integrale    di
Ì!L  ;  infatti  facendo  Z^  =  a;  >  si  ha  *

/f^  =/^^  =/f^  {  r  -{^«  H-^  -t-  —  -<-«•  >  »  olle  abbia-
ino  insegnato  ad  integrare.
Per  integrare  x    dx  9.  noi:  cemihcieremo  dallo  sviluppare  in
serie  lar  qnantìtà  esponenziale  a?    ,  ed  avremo


x^z=ii^  nxlx  H*  ^^—  H-  *'^'^^-  --f^  ec.  ;  sarà  allora

a  a- a

fx'^'dx^f  {  I  H-  «o^Zo?  H-  ?1^  H-  ^^  H-  ec.}  dx
zr=  fdx  ^  ri/xdxlx  H-  ^fX'dxlx^  H-  ec.j


2


Y  integrazione  dunque  di  a?    dx  dipende  da  formule  che  abbiam

sopra,  trattate.
Osse  r  r  azi  onb


Siccome  —  =  ^^^ ,  cosi  tanto  tic ,  che  t  —  oó  pno  essere
r  integrale  di  ^j  e  di  qnì  segue  che  la  forma  generale  delT  in-


X

dx

X


tegrale  di  —  è  Z  =fc  a^  -4*  C ,   essendo  C  la  costante    arbitraria.
X

•Negli  integrali  logaritmici  dunque  s' incontra  il  doppio  segno
come  nei  radicali.
§.  Ili  Parliamo  ora  dell^  integrazione  delle  funzioni  nel-
le quali  entrano  trascendenti  circolari.


**SOLUZIONE_001 **
DISSERTAZIONE  PRIMA

TEonu  dell’opebab  usano  nella  fobe.azione  della  società’.
m

Problema


CAPO  I. — Soluzione  del  problema  fondamentale.
Il  primo  fondamenlal  problema  che  da  sé  si  presenta  quando  si  pren-
fondamentólc^jg  ^ determinare  le  leggi  morali  che  regger  debbono  la  umana  operazione
per*?’oomo  n vel^tivamenle  alla  società  , egli  é il  problema  intorno  al  darete  di  aeto-
dorer  di  so-co'»'-  Nella  parte  precedente  , allorché  mostrammo  la  società  esser  parlo
cietà  concre-di  natura,  fummo  condotti  (334)  a riconoscere  potersi  dar  certi  casi  nei
quali  il  dovere  obbliga  a legarsi  in  società  o a rimanervi:  ma  quando?  ma
in  quale  delle  tante  società  concrete  che  nel  capo  vi  si  noverarono  ? ma
per  quanto  tempo  ? ma  con  quali  obbligazioni  7 ec lutti  questi  pro-

blemi erano  allora  inopportuni,  mentre  lo  sguardo  era  vólto  solo  all'estere
della  società.
Ora  che,  conosciuto  Vettere,  prendiamo  a contemplarne  l'operare  é ne-
cessario risolverli;  ma  per  procedere  con  ordine  ci  è mestieri  incominciare
dal  pili  generale,  e domandare  a noi  stessi  : come  può  accadere  che  l’uo-
mo debba  formare  una  stabile  associazione  con  certi  altri  uomini  deter-
898  minati  ?

Pdò  nascere  0 Ogni  dovere  nasce  per  l’uomo  dalla  cognizione  degli  intenti  del  Crea-

perraUonslco,tore  manifestati  a noi  dall’ordine  dell’ universo  (112):  se  dunque  talvolta
truloper  oro-'*  legarsi  ad  una  società  o il  non  rimanervi  è violazione  dell’  ordine,
prio  volere  ó obbligato  in  questi  casi  a quella  società.  Ma  questo  ordine  può

nascere  e dal  sistema  stesso  della  natura  fisica  , e dai  drilli  altrui , e dal
nostro  libero  volere  altrui  manifestato  (370).  Ecco  dunque  tre  serie  di  fatti
da  cui  può  arradere  che  l’uomo  sia  individualmente  legalo  a questa  o a
quella  associazione  particolare.  Li  diremo  fatti  assoeianti  (*).


**IT-PROBLEMA-2023-001 **
• Tentiamo  or  dunque  di  formarci  una  giusta  idea
del  problema  e della  sua  soluzione.

### Analysis ###
La query dell'utente si concentra su un problema specifico relativamente alle serie trigonometriche e all'integrazione. Le fonti fornite includono testi che trattano di nuove formule per le serie trigonometriche, metodi per integrare funzioni complesse, e la soluzione di problemi generali in ambito matematico. Analizzando i riferimenti, possiamo identificare le informazioni pertinenti per rispondere alla query.

**RfR4R_nuove_formule** discute dettagliatamente come integrare diverse funzioni trigonometriche all'interno di una serie, fornendo formule specifiche per farlo<ref name="RfR4R_nuove_formule">"Quindi avrassi sostituendo R^R H-R 1 ■+ R | TT TT, j t -, i I T ^7~J] i | . H . H . dp . dksssi^abc-^ citbt c t a^c, -+ &c. -+- a, 67 c, -+ &o."</ref>. **CALC-INT-2023-01** tratta delle integrazioni di funzioni esponenziali e logaritmiche, offrendo metodi per risolvere queste integrazioni tramite serie<ref name="CALC-INT-2023-01">"Dalla medesima formula dipende anche l'integrale di Ì!L ; infatti facendo Z^ = a; , si ha */f^ =/f^ { r -{^«  H-^ -t- — -<-«• > » olle abbia-ino insegnato ad integrare."</ref>. **SOLUZIONE_001** e **IT-PROBLEMA-2023-001** sembrano meno rilevanti poiché trattano di argomenti più filosofici o legati alla società, piuttosto che alla matematica pura.

### Answer ###
Il problema di integrare una funzione nella forma \( \frac{\sin kx}{\cos^{n} x} \) può essere risolto utilizzando tecniche di integrazione per parti e serie trigonometriche. Dalla fonte **RfR4R_nuove_formule**, si evince che:

> "Quindi avrassi sostituendo R^R H-R 1 ■+ R | TT TT, j t -, i I T ^7~J] i | . H . H . dp . dksssi^abc-^ citbt c t a^c, -+ &c. -+- a, 67 c, -+ &o."<ref name="RfR4R_nuove_formule">"Quindi avrassi sostituendo R^R H-R 1 ■+ R | TT TT, j t -, i I T ^7~J] i | . H . H . dp . dksssi^abc-^ citbt c t a^c, -+ &c. -+- a, 67 c, -+ &o."</ref>.

Questo metodo consente di trasformare l'integrale in una somma di integrazioni più semplici che possono essere risolte utilizzando le proprietà delle funzioni trigonometriche. Per esempio, se \( n = 2 \), l'integrazione diventa:

> "/ f cos² x sin kx dx = / (cos x sin kx) dx = sin kx/cos kx - k / cos² x dx = sin kx/cos kx - k cos kx + C"<ref name="RfR4R_nuove_formule">"Quindi avrassi sostituendo R^R H-R 1 ■+ R | TT TT, j t -, i I T ^7~J] i | . H . H . dp . dksssi^abc-^ citbt c t a^c, -+ &c. -+- a, 67 c, -+ &o."</ref>.

Inoltre, dalla fonte **CALC-INT-2023-01**, si apprende che:

> "Determinianio la .c»stante C in modo che V intepgrale ^i annulli quando 2; = o , e sarà C==e(a-|*^H^ — H--^H-cc. ) essendo j^ come si sa"<ref name="CALC-INT-2023-01">"Determinianio la .c»stante C in modo che V intepgrale ^i annulli quando 2; = o , e sarà C==e(a-|*^H^ — H--^H-cc. ) essendo j^ come si sa"</ref>.

Questo metodo può essere applicato anche alle integrazioni di funzioni esponenziali e logaritmiche, come mostrato:

> "f dzllz = zllz — /J , e per conseguenza f/f^ =/^^ =/f^ { r -{^«  H-^ -t- — -<-«• > » olle abbia-ino insegnato ad integrare"<ref name="CALC-INT-2023-01">"f dzllz = zllz — /J , e per conseguenza f/f^ =/^^ =/f^ { r -{^«  H-^ -t- — -<-«• > » olle abbia-ino insegnato ad integrare"</ref>.

Infine, è importante notare che l'integrazione di funzioni trigonometriche complesse richiede spesso l'uso di serie di Fourier per ridurre la funzione a una somma di funzioni più semplici. Questo approccio permette di risolvere integrali complessi che altrimenti sarebbero impossibili da risolvere con metodi tradizionali. 