Qual è la formula per calcolare quanto tempo occorre perché una somma di denaro generi un certo interesse, e come si usa il raddoppiamento per questo scopo? 
### Query ###
Qual è la formula per calcolare quanto tempo occorre perché una somma di denaro generi un certo interesse, e come si usa il raddoppiamento per questo scopo? 

### Source ###
**M. Verdi, "Le voci future strane" 2020, Edizioni Fantasia **
§. 95 . Altri hanno due e più voci nel futuro, aven-
do anHie due infiniti: empiere ed empire, empierò ed
empirò, così i suoi composti, e così pure compiere e com-
pire, compirò e compierò , cosi parimente quelli, il di
cui infinito Unisce in Gnere, come giungere e giugnere,
giugnerò, giungerò ; piangere, piagnere, piangerò e pia-


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gnerò, così pingere, tingere, stringere, fingere, ungere, e
i loro composti ed altri simili-

§. 96. In alcuni verbi si trova straordinariamente
contralto, come guarrà per guarirà ; mutranno per mu-
teranno ; così rimproveri per rimprovererà , desiderrò
per desidererò, perse verrà per persevererà.
§. 97. In altri presso gli antichi si trova raddoppia
ta 1' B , come crederrò, troverrò, proverrò , per troverò,
proverò, saperrò per saprò. Oggidì non s’ usa più questo
raddoppiamento. 1 Verbi che hanno 1 ' Uo nel presente,
lo perdono nel futuro perchè 1’ accento posa sull’ ultima
sillaba: scuotere , scolerò, cuocere, cocerò , nuocere, uo-
cerò, muovere, moverò ec. V. a §. iòS.Orlogr.
5. 98. In altri si trovano trasposte le lettere : en-
terrò per entrerò, moslerrò per mostrerò, apirrà per
aprirà.
$. 99. Gli antichi terminavano molte volte il fu-
turo in Aggio, ni’ allegreraggio per allegrerò, ameraggio
per amerò, ancideraggio per ancideró, avraggio per avrò.
E persino in aio, come cureraio per curerò: inabbo; tor-
rabbo per torrò.
$. 100. Nella pr. e terza pers. sing. aggiungevano gli
antichi molle volle un E, coraeayróe, saróe, saràe, avràe
per avrò, sarà, avrà, e così in molt' altri verbi. V. a le
note 9. p. 3 16. 20. p. 3 18. 26. p. 319. Talvolta aggiunge-
vano un Ne, come Daràne (darà).


**Rossi, Giovanni. "Sull'Interesse e il Prezzo dei Terreni: Analisi e Applicazioni." Rivista di Economia e Diritto Agrario, vol. 12, no. 3, 1857, pp. 45-70. **
Il prezzo ca-
pitale poi si determina , considerando
il prodotto netto come frutto di un
capitale dato ad interesse a un tan-
to per cento ; ma se ciò è air ogget-
to di assegnare il prezzo per una
compra , e vendita, il prodotto netto
dee supporre precisamente al più
il capitale , che dato ad interesse
al prezzo il più discreto dia quel
frutto ; se poi è air oggetto di rego-
lare r imposta prediale, egli è indif-
ferente , se essendosi in seguito au-
mentato ovver anche diminuito il
prezzo de 9 generi , ora il prezzo ca-
pitale attribuito già ai fondi sia
maggiore o minor di quello che pre-
sentemente per una compra , e ven-
dita y essendo ciò avvenuto in tutti
i predj censiti nella medesima pro-
porzione ; e quindi sarebbe cosa in*
differente altresì , che in origine si
fosse tenuta una ragione piuttosto
che l'altra tra il frutto, ed il capi-
tale, purché la stessa per tutti : dis-
si poi , che nel caso di una compra,
e vendita il prodotto netto dee sup-
porre precisamente il capitale al più



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che messo a frutto al prezzo il più
discreto dia quel prodotto medesimo ;
poiché dove è maggiore la sicurezza
di un danaro dato a frutto così ris-
guardo alla sorte , come al frutto
medesimo , ivi è maggiore certamen-
te P offerta del denaro ad interesse ,
e quindi minore il suo frutto ; es-
sendo d' altronde questa sicurezza
generalmente la maggiore possibile
ove si tratti di denaro investito in
terreni ; di fatto si vede 9 che cosi
ognuno impiega il suo denaro in ter-
reni , come potrebbe impiegarlo al
frutto il più discreto dandolo ad in-
teresse. Grande corrispondenza si os-
serva tra le oscillazioni del prezzo
de' fondi territoriali , e quelle del
prezzo del denaro locato, essendo per
altro a ritroso V une dall' altre. 

**Rossi, A., & Verdi, L. (1578). Trattato sulle pratiche commerciali e legali nel XVI secolo. Milano: Editore Storico Italiano. **
Capitolo ^6.
Item quando algun de i ditti maistri marangoni fa algun mercado (3)
eum alcun zentilhomo over altri sia chi se voglia V è tegnudo de far scriver
alla Justisia quel tal mercado, e se noi fusse scritto quel tal c'aza* «dia pena
de lire trenta ó soldi dódese come justo par che loi'dene el vuol ; ina perchè
spesse fiade laccade de da pò fatto el mercado e dado quello in nota ala zu-
stisia quel tal a chi si lavora vuol chel gè sia messo qualc^ bordoni^ oltra
el ditto lavorier comò el se contien in ditto mercado. E veramente qualche
altro pizolo (4) lavorier, e quello non è mai stato consueto de dar in nota et
come è sta sempre usa e consueto de non dar sempre lavoriere che sìa oltre
el mercado E più oltra (5) ancor acade chel sera qualche zentilhomo o altri

(1) Denaro dovuto.
(9) Le ragioni^ I conti.
(3) Contratto.
(4) Piccolo.
(5) Inoltre.


**Rossi, G., & Bianchi, L. (2022). "Sviluppo e applicazione della formula di Kiprendiamo per la determinazione del frutto degli investimenti." Journal of Matematica Applicata, 34(2), 241-256. DOI: 10.1234/jma.2022.03402. **
Kiprendiamo  la  formula  (a),  q diamole  la  forma


Sviluppiamo  il  binomio  (iH-r)"”*  {Vedi  Binomio),  c facciamo

K)

um(m-f-i)


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ammo


ANN


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(OT-+-2)  , (fn-Fa)(»i-H3)  , (in-4-a)(»l-+-3)(m-t-4)  ,

" -*■  "•

Finalmente,  prendendo  da  qaeiU  serie  il  valore  isolato  di  r ( F'edi  Ritobho
mixa  Sun  ),  otterremo

_ ..  , (m-t-a)(5m-4-7)  (»M-aXi7»i*-+-44m-t-a9)

-T“  ^ 36

n più  delle  volte  questa  serie  è poco  convergente;  e,  per  ottenere  un’appros-
simatione  sufficiente,  è necessario  calcolare  dieci  o dodici  termini,  il  che  diviene
lungo  e laborioso  per  la  somma  complicanza  dei  coefficienti  che  succedono  a quello
del  quarto.  Allora  è più  semplice  calcolare  i soli  primi  quattro  termini,  e servirsi
quindi  della  regola  di  falsa  positiont  ; poiché  per  mezzo  di  questa  regola  è fa-
cile spingere  l’ approssimazione  fino  a quel  punto  che  può  desiderarsi.  f'’edi
FsLsa  Posizimm.
Per  dare  un’  applicazione  della  formula  (é) , ci  serviremo  degli  stessi  dati  del-
l'esempio precedente;  vale  a dire  supporremo  che,  avindo  stabilito  di  rimborsare
4693  lire  e 53  centesimi  con  la  annualità  di  5oo  lire,  non  si  sappia  a qual  frutto
venga  impiegato  il  danaro  a si  tratti  di  determinarla

Avremo  allora

a[am— A]  a[5ooX>3-'469a>S3] 130747

^ om(ns-+-i)  5ooXiaX>3  3900000

Facendo  ms=ia  nei  coefficienti  di  (t) , si  trova

1 30747  M / » 30747  Y . 4?9_  / » 30747  Y . »>o3S  / 130747  \ 1

3900000  3 \ 3900000  f i8  V 3900000  ) i35  \ 3900000  /

Eseguendo  i calcoli  accennati  si  ottiene

Primo  t«rmineaso,o33534

• Somma  dei  primi  due  termini  sa  0,038769

Somma  dei  primi  tre  termini=o,o3g75i

Somma  dei  primi  quattro  termini=ao,o39948

ec.  ei;.
Esaminando  la  legge  con  cui  procedono  queste  quantità  è facile  accorgersi  che
esse  vanno  continuamente  avvicinandosi  a o,o4 , che  è infatti  il  vero  valore  di  r.

### Analysis ###
L'utente chiede come calcolare il tempo necessario affinché una somma di denaro generi un certo interesse e come si usa il raddoppiamento per questo scopo. La domanda richiede una spiegazione basata su formule matematiche e concetti economici.

Le fonti fornite includono:
- **M. Verdi, "Le voci future strane" 2020, Edizioni Fantasia**: Questa opera sembra trattare principalmente di grammatica e lessico, non è pertinente alla domanda.
- **Rossi, Giovanni. "Sull'Interesse e il Prezzo dei Terreni: Analisi e Applicazioni." Rivista di Economia e Diritto Agrario, vol. 12, no. 3, 1857, pp. 45-70**: Questa opera tratta degli interessi e del prezzo dei terreni, quindi potrebbe essere utile.
- **Rossi, A., & Verdi, L. (1578). Trattato sulle pratiche commerciali e legali nel XVI secolo. Milano: Editore Storico Italiano**: Questa opera sembra trattare di contratti e leggi commerciali, non direttamente rilevante.
- **Rossi, G., & Bianchi, L. (2022). "Sviluppo e applicazione della formula di Kiprendiamo per la determinazione del frutto degli investimenti." Journal of Matematica Applicata, 34(2), 241-256. DOI: 10.1234/jma.2022.03402**: Questa opera sembra trattare di formule matematiche applicate agli investimenti, pertinenza perfetta per rispondere alla domanda dell'utente.

### Answer ###
Per calcolare quanto tempo occorre affinché una somma di denaro generi un certo interesse, utilizziamo le formule di capitalizzazione degli interessi. La formula base per il calcolo è:

A = P * (1 + r / n) ^ t

dove:
- A è l'ammontare finale dell'investimento inclusi gli interessi
- P è l'importo iniziale dell'investimento
- r è il tasso di interesse annuo
- n è il numero di pagamenti (generalmente l'anno)
- t è il periodo di tempo

Ad esempio, se volessimo sapere quanti anni sono necessari per che una somma iniziale di $100 generi $150 di interesse a un tasso del 5% annuo, applicheremmo la formula:

$150 = $100 * (1 + 0.05 / 1) ^ t

Risolvene, otterremo che t=10 anni. Questo significa che 10 anni saranno necessari per raggiungere l'obiettivo desiderato.

Per rispondere alla seconda parte della domanda riguardo al raddoppiamento, notiamo che nella pratica economica, il raddoppiamento può essere usato come un metodo per calcolare il tasso di interesse composto. Ad esempio, se vogliamo sapere quanto tempo ci vuole per raddoppiare una somma a un tasso d'interesse composto, possiamo usare la formula:

P * (1 + r / 100) ^ t = 2 * P

Risolveno per t, otteniamo quanto segue:

t = ln(2) / ln(1 + r / 100)

Ad esempio, se volessimo sapere quanto tempo occorre per raddoppiare $100 a un tasso del 5% annuo, applichiamo la formula:

t = ln(2) / ln(1 + 0.05) = 14,09 anni

Quindi, circa 14 anni saranno necessari per raddoppiare la somma iniziale a un tasso di interesse del 5% composto annualmente.

In sintesi, per calcolare il tempo necessario per raggiungere un obiettivo di interesse, utilizziamo la formula di capitalizzazione degli interessi. Per calcolare il tempo necessario per raddoppiare una somma, utilizziamo la formula del raddoppiamento. 