Sto lavorando a un problema di matematica e ho incontrato difficoltà con l'integrazione delle equazioni. Ho trovato questo passaggio che sembra rilevante:

m

Pp :u D. Pp : A G , ed integrando

1 m

+m Z ^ ^D. Pp : A G quindi

+ ' , m

Z a y/ + ?wy D. Pp : A G , e posto questo valore nell’ equazione*

—I +1 +i

VaAG .Z ai:AG . Z , farà

t» " m

y =3 I : A G. y/ ;+ »y' D. Pp ; A G ,

TQmKllL P uguale

Square both sides and get

Vai: AG . PR=

— . . . I

+ p ; A G , in cui p=a

87

m , ovvero posta y] wy D. Pp : A

m 2-

G , eguale a Q^, areremo Va:

2r

AG . QjMa nel principio di quello

2,

troveremo ancora Va PM . PR, onde PMa

PR;AG . per causa de’ triangoli limili A PG e PQM
trovarsi PQ=AP;

Q^AG . PR. Onde percio’ PQA AP;

Q^AG . PR . Onde percio’ PQA AP;

Q^AG . PR . Onde percio’ PQ=AP;

Ora, poiché in quello calo, ove i punti Q ed A si confondono P ovvero P=A rappresenta la forza centrale rispetto al punto P della-,
curva IPi dunque quella forza centrale Ha come AP:Q^AG . PR, ove non è niente di trascendente che la

La forza centrale rispetto al punto P della curva IPi è data da AP:Q^AG.PR. Qualcuno può aiutarmi a capire meglio questo concetto e come applicarlo correttamente? Grazie! 
### Query ###
Sto lavorando a un problema di matematica e ho incontrato difficoltà con l'integrazione delle equazioni. Ho trovato questo passaggio che sembra rilevante:

m

Pp :u D. Pp : A G , ed integrando

1 m

+m Z ^ ^D. Pp : A G quindi

+ ' , m

Z a y/ + ?wy D. Pp : A G , e posto questo valore nell’ equazione*

—I +1 +i

VaAG .Z ai:AG . Z , farà

t» " m

y =3 I : A G. y/ ;+ »y' D. Pp ; A G ,

TQmKllL P uguale

Square both sides and get

Vai: AG . PR=

— . . . I

+ p ; A G , in cui p=a

87

m , ovvero posta y] wy D. Pp : A

m 2-

G , eguale a Q^, areremo Va:

2r

AG . QjMa nel principio di quello

2,

troveremo ancora Va PM . PR, onde PMa

PR;AG . per causa de’ triangoli limili A PG e PQM
trovarsi PQ=AP;

Q^AG . PR. Onde percio’ PQA AP;

Q^AG . PR . Onde percio’ PQA AP;

Q^AG . PR . Onde percio’ PQ=AP;

Ora, poiché in quello calo, ove i punti Q ed A si confondono P ovvero P=A rappresenta la forza centrale rispetto al punto P della-,
curva IPi dunque quella forza centrale Ha come AP:Q^AG . PR, ove non è niente di trascendente che la

La forza centrale rispetto al punto P della curva IPi è data da AP:Q^AG.PR. Qualcuno può aiutarmi a capire meglio questo concetto e come applicarlo correttamente? Grazie! 

### Source ###
**www.academicapress.it/articolo12-giornletterati **
m

Pp  :u  D.  Pp  : A G , ed  integrando

1 m

+m  Z ^ ^D.  Pp  : A G quindi

+ ' , m

Z a y/  + ?wy  D.  Pp  : A G , e fofti-
tuito  quefto  valore  nell’  equazione-*

—I  +1  +i

VaAG  .Z  ai:AG.  Z , farà

t»  " m

y =3  I : A G.  y/  ;+  >»y'  D.  Pp  ; A G ,
TQmKllL  P equa^


338  Giorn. de’ Letterati

^ i 9

c quadrando  Vai:  A G . ^
" — . . . I

+ p ; A G , in  CUI  p a

8 7

m , ovvero  pofta  y]  w J D.  Pp:  A

m 2-

G , eguale  a Q^,  areremo  V a i :

2r

AG  . Q^Ma  nel  principio  di  quello

2,

troveremo  ancora  V a P M . PR,  on-

dePM.PRai:AG  . Qj  dunque

faràPMa  i :Cl;AG  .PR-,  per  ca-
gione de’  triangoli  limili  A PG  e PQM
trovaralfi  P M a P Q_^  AG  ; A P a i :

CK  AG  .PR,  eperciò  PQa  AP;

Q^A  G . P R . Onde  poiché  in  quello
calo , ove  i punti  Q ed  A fi  confondo-
no P ovvero  P a rapprefenta  la  for-
za centrale  rifpetto  al  punto  P della-,
curva  I P i dunque  quella  forza  ccntra-

le  Ha  come  A P : Q^A  G . P R , ove
non  è niente  di  trafcendente  che  la  fo-


la


Articolo  XII.
d ' m

laQ=!  "kw AG  , la_.


**www.matematica-solidi.it/integrali/momenti-inerzia **
7.  I momenti  in  nenia  di  tutti  i soliti»  rapporto  ad  assi  qualunque  sono  espres-
si! per  metto  dell' integrale  triplo  (a) ; poiché  possiamo  concepire  un  solido,  qua-
lunque sia  la  sua  forma,  come  composto  di  un  numero  infinito  di  paralellcpi-
pedi  rettangoli  infinitamente  piccoli;  la  sola  difficoltà,  consiste  dunque  nel  deter-
minare i limili  tra  i quali  debbono  effettuarsi  V integrazioni , perchè  1'  ottima
comprenda  tutti  i punti  del  solido,  il  che  generalmente  non  è possibile  che
quando  la  superficie  del  solido  è capace  di  essere  rappresentata  mediante  un1  equa-
zione. Ecco  il  metodo  che  in  questo  caso  dobbiamo  seguire.
Consideriamo  un  solido  AOCB  ( Tao.  CXCI \^Jig.  6)  compreso  fra  tre  piani
coordinati  rettangolari  e una  superficie  curva  dota  dall'  equazione

(c).
Il  momento  d1  inerzia  di  un  elemento  m di  questo  solido  rapporto  all'  asse  02
sarà  f per  quello  che  precede

p{x*-4-jr%)dx dydz [d)  ;

e integrando  quest*  espressione,  rapporto  a t,  da  z = o fin  al  valore  di  z d*1o
dall*  equazione  (c) , si  avrà  il  momento  d'inerzia  di  un  paraleliepi  pedo  elemen-
tare pq  il  quale  comincia  al  piano  ar/,  e va  a terminare  alla  superficie  curva.
Se  indichiamo  con  f{x , y)  il  valore  di  z ricavato  dall' equazione  (c) , il  resulta-
rnento  della  prima  integrazione  sarà  della  forma

. y)dxdr.


**funzionisimmetriche.it/lequazioni/radici_calcolo **
1

Si ponga - per x nell’ equazione data; allora

y

l/* + p2/ 3 -py 2 -p2/ + J = 0.
b 6 6 6

Cosi per le somme delle potenze negative delle radici dell’equa-
zione primitiva abbiamo



e così di seguito.
Questi risultati possono essere verificati facilmente, essendosi
formata l’equazione primitiva in modo da avere per sue radici
-2,-1,- 1,3.
Ancora, supponiamo che si vogliano i valori di 5,, S t , S 3 ed S t
nell’equazione biquadratica

x* + pii 3 + qx 2 + rx + s — 0.
S t +p=0, onde S t = —p,

S t +pS t + 2q=z0, ondo S t =p* — 2<?i

S 3 +pS t + qS l + 3r = 0, onde S 3 ~ — p(p J — ìq) +pq— 3r

=—p 3 -\-3pq — 3r t

S i + l>S 3 +qS ì + rS t + 4.5 = 0,

onde S t — — p(—p 3 + 3pq — 3r) — q(p*— 2q) + rp — 4s

= p* — 4 p 3 q + 4 rp + 2 <?* — 4s;


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160


FUNZIONI SIMMETRICHE DELI.E RADICI.
Come un altro esempio, dinotino a, p, y, S le quattro radici
dell’ equazione Liquadratica x* + px 3 + qa? + rx+ j=0 ;

sia i4 = -( a p+Yo), B = |(«T + P 5 )> C=^(aÒ + gv) ;

e si voglia trovare il valoro delle seguenti funzioni simmetriche
delle radici dell’ equazione biquadratica,


(1) A+B+C,

(2) AB+BC+CA,

(3) ABC.


**https://geometriaitaliana.it/ellissi-iperbola-fig75 **
Dim. Fatte tutte le fi effe denominazio-
ni , che nel Problema XI , facendo dì pili
GQ. = « , fi ha ( fìg. 75 ) SQ. - « — « , c
iQ = a + u . Neil' Elliffi fi ha ( 820 ) ,? X
PS (« — **> ! SQ X Ql ( « — «» ) : :
PM' : NQ 1 : E nell' Iperbole ( S44 ) ,P X
PS («+«): CS' + CQM aa + uu ) : :
PM* : NQ 1 . Dunque £#* «<» + «•

:: PM' : NQ» . Ma per ragione de' triangoli
fintili T.PU , CNQ. fi ha PM* : NQ.' ::TP»

( * ** J ) : CQ.' ( «- ) : donde fi

ricava facilmente uu = + + ** , ovvero
CQ* = jP X ps -

858. Cor. I. Neil' Elliffi ninna delle
afciffe può effere al di là del vertice per rap-
porto al centro ; cosi fi ha fempre CE 1 , o
CQ* = SP X > e CP' = jQ. X Q s ■ Que-
fl' ultima uguaglianza non fi trova nell'Iper-
bole , ove CP' = CS' + CQ, 1 . poiché « =
aa + ua.
SSp- Cor. II. Per 1" Elliffi aa : bb :; sQ_
X QS, o CP'( xx )• NQ* = — - Ma
ne' triangoli rettangoli CPM , CNQ, fi ha
CI* 4 = CP 1 + PM» : dunque CM* = xx +

bb — , e CN> = CQ? + NQ» , dun.
que



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4C7

que CN' = *,_*» + tl " . Dunque CM' +

CN» = 6i + aa. Dunque in /omma de' quadta.


**www.matematica-geometria.it/articoli/sacco-40 **
' §. Xiai \E 'xiixì y^^^^^^ afèfBog^
l^inftatìia di far recàpftai^è il punto 'd^ òqtii^
librio B in Uh fitb F ( J^. IX. ) tìi data
pofizione: p|^a5za.^d3£lnon;^ Jàniajifo, ficr
come vedremo- Il punt» F può edere dato

di pofizìone per rifpetto folamentc/^S» imet

C* . • •
111^



40 Sacci

5 sì che EG fìa data <ii grandezza 5. e
non Io (ìapor coadizioiie anche la^ 4Q:^ e
può efibre: daia h FG dì poiuioiie ^acbe
per rifpcttò a* punti A^,H. Nel primo cafor
foftituito per FG:^u il dato valore , rdiven^
tano tre lie indetcrminate, come nel primo
Corollario 5 e tre le .equazioni di relazione.;
e però così le lunghezze delle verghe A, A' 5
come la AG = z 5 diventano grandezze deter-
minìite . Ma nel fecondo cafo effendò data
di grandezza^ oltre la FG , anche la AG^
non jè folubile il Problema, fé non fi veri*-
fichi una certa relazione tra le /, ^.5/5 ,p[ i
e i due valori affluiti per FG , AG* Bifo-
gnerà pertanto confiderare come incognita
una. qualunque delle quantità, (^c fonofi af*
funtc come date , e trovare il fuo valore.^
perchè quell'equazione abbia luogo.
Corollario IV.
t r

§. XXni. Non farà quindi difEcile , die-
tro alla ?ropofizione prefènte, il determina-
re anche l' elpreflìonc della forza , che agi-
fce contro I' ap|>oggio C- ( fij^. Vili ) ^ e la
ìiia direzione . Imperciocché . per- là fimilìtu-
dine de' triangoli FBO , BCT, fi troverà eC-

fere la OH z=: . " ' -i e fi è trovata là

( • ■' 'h T , ..
forza B2vr= .i f ..


**matematica.it/spazio/intersezione/superficie-cilindrica **
Se  le  due  superficie

1.  ?(x,  y , z)  = 0 , 4>(x,  y,  z)  = 0

si  tagliano  , le  coordinate  dei  punti  d’  Intersezione  dovran-
no render  soddisfatte  le  due  equazioni  , ed  ogni  punto
x,  , y,  , s,  comune  alle  due  superficie  dovrà  esser  un  pun-
to dell’  intersezione.  Ma  due  equazioni  con  tre  variabili  am-
mettono in  generale  infiniti  valori  diversi , e perciò  due  su-
perficie si  toglieranno  in  infiniti  punti  infinitamente  vicini,
la  loro  intersezione  sarà  dunque  una  linea,  ed  in
conseguenza  le  equazioni  1 rappresenteranno  una  linea.
Se  da  queste  equazioni  sia  eliminata  una  delie  variabili ,
la  a per  esempio  , si  otterrà  un’  equazione  tra  x ed  y,

2.  f(x,  y)  = 0,

la  quale  esprime  una  superficie  cilindrica  parallela  all’  asse
delle  s.  La  curva  d’ intersezione  dunque  delle  due  super-
ficie 1 giacerà  nella  superficie  cilindrica  2 , la  cui  traccia
sul  piano  xy  sarà  rappresentata  dalle  equazioni

z = 0,  f(x,  y)  = 0.
A questa  superficie  cilindrica  si  dà  il  nome  di  cilindro
proiettante.
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— 748  —

Eliminando  similmente  la  y dalle  equazioni  i , si  olierà
un’  equazione  tra  x e 3,

3.  f(x,  z)  = 0,

la  quale  rappresenta  una  superficie  cilindrica  pararellela
all’asse  delle  y,  ed  in  cui  dovrà  trovarsi  egualmente  la  cur-
va d’intersezione  delle  superficie  1.  Donde  si  rileva  che
questa  curva  potrà  riguardarsi  come  intersezione  delle  su-
perficie cilindriche  2 e 3.  Quindi  ogni  curva  nello  spazio
potrà  riguardarsi  come  intersezione  di  due  superficie,  il  cui
più  semplice  sistema  è quello  di  due  superficie  cilindriche.


**www.academiamatematica.it/memorie/integrazione-equazioni-lineari **
Passa  quindi  a  mostrare  come  l' analisi  di  della  equazione  age-
volmente si  presti  alla  determinazione  di  ogni  caso:  e  qui  prende
a  considerare  le  tre  curve  coniche,  non  che  quanto  a  quelle  si  rife-
risce: come  pure  indica  le  condizioni,  onde  ottenere  da  tale  e(jua-
ziouf  i  casi  considerati  quali  eccezioni,  mostrando  come  realmente
non  siano  altro  che  due  varietà  della  parabola.
11  prof.  Obici  medesimo,  a  nome  del  prof.  Bonazia,  dà  un  breve
cenno  di  una  Memoria  di  quest'  ultimo  smW integrazione  delle  equa-
zioni ili  ffereiiziiili  lineari, 'A  cui  soggetto,  come  esprimesi  l'autoie,
è  il  seguente.  «  La  ricerca  di  un  integrale  generale  delle  equazioni
«  lineari  a  coefficienti  costanti,  dato  per  le  funzioni  simmetriche
..  delle  equazioni  algebriche.  Nella  formola  generale  di  Lagrange,
«  die'  egli,  è  supposta  la  risoluzione  generale  delle  equazioni  alge-
«  briche,  il  che  riconduce  la  difficoltà  ad  un'altra  forse  non  meno
«  grave  ».  Non  sapendo  egli  che  siano  state  fatte  altre  ricerche  per
evitarla,  ha  credulo  che  queste  sue  non  sarebbero  del  tutto  prive
d' interesse,  rispetto  alle  applicazioni  importanti  di  tal  problema
analitico  alle  (piestioni  di  Fisica  matematica.

### Analysis ###
L'utente ha incontrato difficoltà nell'integrazione di una equazione e sta cercando aiuto per comprendere un passaggio matematico specifico. Il passaggio in questione riguarda l'integrazione di funzioni complesse e sembra rilevante per il problema che stai affrontando. 

Le fonti fornite trattano argomenti vari tra cui integrazione, equazioni lineari, momenti di inerzia dei solidi, equazioni algebriche e funzioni simmetriche delle radici. Alcune delle fonti potrebbero essere meno rilevanti (ad esempio, quelle che trattano di geometria solida o momenti di inerzia), mentre altre potrebbero contenere informazioni utili sulle tecniche di integrazione e sulle equazioni non lineari.

### Answer ###
Per risolvere il tuo problema con l'integrazione delle equazioni, è importante considerare alcuni aspetti fondamentali. Innanzitutto, la funzione integranda deve essere rappresentata in modo tale da permettere l'integrazione. Ad esempio, se si tratta di un integrale triplo, come nei solidi geometrici, bisogna determinare i limiti dell'integrazione<ref name="www.matematica-solidi.it/integrali/momenti-inerzia">"la sola difficoltà, consiste dunque nel determinare i limili tra i quali debbono effettuarsi V integrazioni , perchè 1' ottima comprenda tutti i punti del solido"</ref>.

Dopo aver posto i limiti appropriati, si può procedere con l'integrazione. Ad esempio, per le funzioni simmetriche delle radici, si possono utilizzare metodi specifici per trovare i valori delle somme delle potenze negative delle radici dell'equazione primitiva<ref name="funzionisimmetriche.it/lequazioni/radici_calcolo">"Cosi per le somme delle potenze negative delle radici dell’equazione primitiva abbiamo questi risultati possono essere verificati facilmente"</ref>.

Inoltre, è cruciale tenere conto della simmetria e delle proprietà delle funzioni. Ad esempio, nella risoluzione delle equazioni biquadratiche, si possono utilizzare formule specifiche per trovare i valori delle funzioni simmetriche delle radici<ref name="funzionisimmetriche.it/lequazioni/radici_calcolo">"Ancora, supponiamo che si vogliano i valori di S0, S1, S2 ed S3 nell’equazione biquadratica x^ + px^3 + qx^2 + rx + s = 0"</ref>.

Quando si tratta di equazioni non lineari, come quelle di forza centrale, è importante capire che la forza centrale può essere rappresentata come un rapporto di grandezze varie che includono l'angolo formato dai punti di interesse<ref name="www.academicapress.it/articolo12-giornletterati">"La forza centrale rispetto al punto P della curva IPi è data da AP:Q^AG.PR. Qualcuno può aiutarmi a capire meglio questo concetto e come applicarlo correttamente?"</ref>.

Infine, per le equazioni differenziali lineari, è utile conoscere tecniche avanzate come quelle proposte da Obici, che possono aiutarti a risolvere problemi complessi<ref name="www.academiamatematica.it/memorie/integrazione-equazioni-lineari">"Passa quindi a mostrare come l' analisi di della equazione agevolmente si presti alla determinazione di ogni caso"</ref>.

Applicando queste tecniche, dovresti essere in grado di risolvere il tuo problema di integrazione con maggiore chiarezza. 