cosa vuol dire quando parliamo di trigonometria e cerchi la formula per calcolare l'area di un quadrato? 
### Query ###
cosa vuol dire quando parliamo di trigonometria e cerchi la formula per calcolare l'area di un quadrato? 

### Source ###
**http://www.matematica.it/calcolatori/aree-polygono **
4j 30 Del Vndidangono 47?7

4^04 Del Dodi ciangono 4819

4619 D I Tndiciangono 485 +

46,8 Del Qiiattordiciagono 4874

4750 Del Quindiciagono 4890

Hormai fe vogliamo il cadetto del Tetragono deferitto nel diametro del tondoche
c 10 ve di che numero da il fetcangonoall'inconcro,fari 45°4 moltiplica per 5. me-
ti del diametro, elauenimcntoparti per 5000. ne verri 41 ri e unto fari il ca-
detto del fetungono.
Treuar l'area ,

ni C E illatodelpentagonoeto.volef$il'area,quadraitlatofaioo. moltipli-
cò calo pcrgenetal regola per jojd.ilprodutto parti per a? jQ.ue verri i 7 a.
H fi P« l'atea, ^



Dell'Efagono
Del tetragono
Dell'Ottagono
Del Nruangono



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<Zy arto. tei

Se il lato dell'eflagono c i o. quadralo fa ioo. moltiplicalo per i j. etauenimcnto
parti per 5 . ne verri 260. per l'area.
Se il quadrato del lato del fettagonoe 100. moltipIicaloperj4ioo.e partilo per
941$. ne verri l'area.
Se il quadrato del lato del ottangonoe 100. moltiplicalo per 11780.6 partilo per
144 1. ne verrà l'area.
Se il lato del nouangono e quadrato 100. moltiplicalopcr 1S075. e partilo p tpts.
ne verri l'area.
Se il lato del decagono e quadrato 100. moltiplicalo per 2853 15. e partilo per
a 788 ». ne verri l'area.
Se il lato del vndeciangono e quadrato 100. moltiplicalo per 148; 6. epartilo per
1587. ne verri l'area.
Se il lato del dodiciangono e quadrato 100. moltiplicalo per? 748 5. e partilo per
a ? 49. ne verrà l'arca.
Se il lato del trediciangono e quadrato 100. moltiplicalo per 75 yj. e partilo per
57 j. ne verri l'area.
Se il lato del quattordiciangono e quadrato 100. moltiplicalo per7586\ epartilo
per 49?. ne verri l'area.


**https://www.math-imaginary-geometry.org/articles/lobatschewsky-comparsion **
[Fig-  45-]

If  we  choose,  with  Lobatschew-
SKY,  a  convenient  unit,  we  are  able
to  take  a  equal  to  e,  the  base  of
Natural  Logarithms.  If  we  wish,
on  the  other  hand,  to  bring  Lo-
'^  ''  '  batschewsky's  results  into  accord

with  the  log.-spherical geometry  of  Taurinus,  or  the  Non-Eu-
clidean geometry  of  Gauss,  we  take


Then  (5)  becomes  x

.r  U(x)        ~~T

(5)  tan^-— =  ir

2  ,

which  is  the  same  as

(6)  cosh  7-  =  -. — TT-— ,•

A  sin    1 1  (x)

This  result  at  once  transforms  Lobatschewsky's  equa-
tion (4)  into  the  equation  (i)  of  Taurinus.
It  follows  that:

T/ie  log.-spherical  geometry  of  Taurinus  is  identical  with
the  imagiftary  geometry  \_pa?igeometry]  of  Lobatschewsky.
§  42.  We  add  the  most  remarkable  of  the  results  which
Lobatschewsky  deduces  from  his  formulae:

(a)  In  the  case  of  triangles  whose  sides  are  very  small
[infinitesimal]  we  can  use  the  ordinary  trigonometrical  for-
mulae as  the  formulae  ol  Imaginary  Trigonometry,  infinitesi-
mals of  a  higher  order  being  neglected \


I  Conversely,  the  assumption  that  the  Euclidean  Geometry
holds  for  the  infinitesimally  small  can  be  taken  as  the  starting
point  for  the  development  of  Non-Euclidean  Geometry.  It  is  one
of  the  most  interesting  discoveries  from  the  recent  examination  of


Lobatschewsky's  Trigonometry.  gj

(b)  If  for  a,  b,  c  are  substituted  ia^  ib,  ic,  the  formulae
of  Imaginary  Trigonometry  are  transformed  into  those  of  or-
dinary Spherical  Trigonometry.^

(c)  If  we  introduce  a  system  of  coordinates  in  two  and
three  dimensions  similar  to  the  ordinary  Cartesian  coordinates,
we  can  find  the  lengths  of  curves,  the  areas  of  surface^-  and
the  volumes  of  solids  by  the  methods  of  analytical  geometry.


**www.scienzapressione.it/calcolo/aria-compressione-cilindro **
Tì  grado  della  compressione  adunque  dell’aria  contenuta  nel  cilindro
interno  è  subordinato  al  peso  del  cilindro  ed  all’area  del  suo  fondo.
Ciò  essendo,  io  mi  sono  posto  il  problema  di  conoscere  quale  area
debba  avere  il  fondo  del  cilindro  interno ,  perchè  l’unità  di  peso,  il
chilogrammo,  vi  aumenti  la  pressione  dell’aria  di  una  quantità  di

pressione,  il  millimetro  di  mercurio.
La  pressione  atmosferica  è  misurata  da  una  colonna  di  mercurio
alta  760  millimetri.  Se  in  un  apparato  pneumatico,  il  quale  abbia  il
cilindro  interno  della  sezione  di  un  metro  quadrato  di  area,  bisogna
porre  10,330  chilogrammi  per  comprimervi  l’area  ad  una  atmosfera,
ad  una  pressione  cioè  di  760  millimetri  Hg,  per  ottenervi  la  pressione
di  un  millimetro  Hg,  bisognerà  porvi  la  setteeentosessantesima  parte
di  10,330  chilogrammi,  ossia  chilogrammi  13,59.  Ponendo  dunque
13,59  chilogrammi  su  di  un  simile  apparato,  vi  si  comprimerà  l’aria
di  un  millimetro  Hg  :  ma  se  invece  di  13,59  chilogrammi,  vi  si  porrà
un  solo  chilogrammo,  ossia  un  po’  meno  della  tredicesima  parte  di
13,59  chilogrammi,  allora  perchè  la  pressione  dell’aria  aumenti  di  un
millimetro  Hg  occorrerà,  evidentemente,  che  l’area  del  fondo,  che  si
è  supposta  di  un  metro  quadrato,  subisca  una  identica  riduzione,  di¬
venti  cioè  la  tredicesima  parte  circa  di  un  metro  quadrato,  e  più  pre¬
cisamente  diventi  un  metro  quadrato  diviso  per  13,59.  Sia  cioè,  ese¬
guendo  la  divisione,  di  metri  quadrati  0,0736,  ed  il  cilindro  abbia  un
diametro,  essendo  circolare  la  forma  della  sua  sezione  e  traducendo

la  nota  formula  tu  di  metri  0,  306.


**www.matematica-italiana.it/rettangoli-e-quadroni/cambiamento-variabili-formole **
(Si  noti  che  le  linee  0  =  cost.  e  p  =  cost.  hanno  per  im-
magine in  H  le  rette  F=:cost.  ed  X  =  cost.  parallele  agli
assi  coordinati).
Vogliamo  ora  dimostrare  che  -ry-  1=  X=  p.  Consideriamo  un

pezzo  k  di  R  limitato  da  due  parallele  all'asse  delle  Y,  e  due
parallele  all'asse  X.  Siano  X,  X  -h  A  X  e  Y,  Y  -h  AY  ì  corri-
spondenti valori'  delle  X,  Y.  Tale  pezzo  è  un  rettangolo,  la  cui
area  7^:  =  A  XA  F.
L'immagine  di  questo  pezzo  sul  piano  xy  è  un  quadran-
golo T  limitato  da  due  cerchi  col  centro  nell'origine  e  raggi
X,  X  -I-  A  X,  e  inoltre  da  due  rette  uscenti  dall'origine  formanti
con  Tasse  delle  x  rispettivamente  gli  angoli  F,  F-HAFe
quindi  formanti  tra  loro  l'angolo  A  F.  La  corona  circolare  limi-
tata dai  citati  due  cerchi  ha  per  area

71  i  (X  -4-  A  X)'  —  X'  ì  =  ^  [  2  X  A  X  4-  (A  X)']  ;

l'area  t  di  "c  sarà  dunque  data  dalla  proporzione  :

X  :  71  [2  X  A  X  -4-  (A  X)']  =  A  F:  2  7r

(*)  Si  noti  infatti  che,  se  la  prima  integrazione  si  esegue,  p.  es.,  rispetto  alla  rr,
si  deve  considerare  la  y  come  costante  ;  perciò,  nel  passare  alle  />,  5,  si  dovrebbe  a  dx
sostituire  il  suo  valore  ottenuto  nell'ipotesi  che  dy  =■  d  (r^  senO)  =  0.
CAMBIAMENTO    DI   VARIABILI   NELLE    FORMOLÈ".  ECC.         353


cosicché  :


[xATH-y  (AX^Ia  r=XAXA  Y-h  yCAXr  A  Y.
Dunque


|=X+]-AX=p+|Ap,


Per  A  p  m  0  tale  rapporto  ha  pure  per  limite  p.


**www.archivistoricoitaliano.it/lingua-classica/poetica-antica **
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**http://www.matematica-finanziaria.it/approssimazioni/ritobho-mix-sun **
Kiprendiamo  la  formula  (a),  q diamole  la  forma


Sviluppiamo  il  binomio  (iH-r)"”*  {Vedi  Binomio),  c facciamo

K)

um(m-f-i)


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ammo


ANN


241


(OT-+-2)  , (fn-Fa)(»i-H3)  , (in-4-a)(»l-+-3)(m-t-4)  ,

" -*■  "•

Finalmente,  prendendo  da  qaeiU  serie  il  valore  isolato  di  r ( F'edi  Ritobho
mixa  Sun  ),  otterremo

_ ..  , (m-t-a)(5m-4-7)  (»M-aXi7»i*-+-44m-t-a9)

-T“  ^ 36

n più  delle  volte  questa  serie  è poco  convergente;  e,  per  ottenere  un’appros-
simatione  sufficiente,  è necessario  calcolare  dieci  o dodici  termini,  il  che  diviene
lungo  e laborioso  per  la  somma  complicanza  dei  coefficienti  che  succedono  a quello
del  quarto.  Allora  è più  semplice  calcolare  i soli  primi  quattro  termini,  e servirsi
quindi  della  regola  di  falsa  positiont  ; poiché  per  mezzo  di  questa  regola  è fa-
cile spingere  l’ approssimazione  fino  a quel  punto  che  può  desiderarsi.  f'’edi
FsLsa  Posizimm.
Per  dare  un’  applicazione  della  formula  (é) , ci  serviremo  degli  stessi  dati  del-
l'esempio precedente;  vale  a dire  supporremo  che,  avindo  stabilito  di  rimborsare
4693  lire  e 53  centesimi  con  la  annualità  di  5oo  lire,  non  si  sappia  a qual  frutto
venga  impiegato  il  danaro  a si  tratti  di  determinarla

Avremo  allora

a[am— A]  a[5ooX>3-'469a>S3] 130747

^ om(ns-+-i)  5ooXiaX>3  3900000

Facendo  ms=ia  nei  coefficienti  di  (t) , si  trova

1 30747  M / » 30747  Y . 4?9_  / » 30747  Y . »>o3S  / 130747  \ 1

3900000  3 \ 3900000  f i8  V 3900000  ) i35  \ 3900000  /

Eseguendo  i calcoli  accennati  si  ottiene

Primo  t«rmineaso,o33534

• Somma  dei  primi  due  termini  sa  0,038769

Somma  dei  primi  tre  termini=o,o3g75i

Somma  dei  primi  quattro  termini=ao,o39948

ec.  ei;.
Esaminando  la  legge  con  cui  procedono  queste  quantità  è facile  accorgersi  che
esse  vanno  continuamente  avvicinandosi  a o,o4 , che  è infatti  il  vero  valore  di  r.


**matematica-iperbole.it/propo-lxx-sezzioni-curva **
631. Nell'iperbole, se da un punto E, situato dentro la curva,
cioè nella concavità di un ramo di essa, si tiri una corda ST, edf
una segante EK, il rettangolo SET starà al rettangolo KEN come
il quadrato del diametro parallelo alla corda sta al quadrato del
diametro parallelo alla segante ( fig. 129 ).
632. Corollario, Quando U segaatq passa pel centro, divie-


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ao8 sezioni

ne un diametro trasvèrso delta curva. Or se in tal caso si suppone
che la corda ST sia parallela al diametro coniugato sarà SE—ET,
e però il quadrato dell’ordinata ET al diametro trasverso KN sta ai
rettangolo delle ascisse corrispondenti come il quadrato del diame-
tro conjugato sta al quadrato del diametro trasverso, teorema già
conosciuto.
Proposizione LXX.
633. Nell’iperbole , se da un punto E situato fuori la curva, cioè
fra le convessità de due rami, si conducano le seganti EK, ES, »
rettangoli delle intere seganti nelle loro parti esterne saranno pro-
porzionali ai quadrati de' diametri paralleli ad esse seganli( fig. 132).
634. Corollario. Dunque nell’iperbole le seganti sono proporzio-
nali alle loro parti esterne solamente quando sono eguali i diametri
ad esse paralleli.
635. Scolio. Giova qui avvertire che nell’iperbole le seganti po-
trebbero partire da un punto E ( fig. 133 ) situato dentro la curva.
In tal caso si dovrebbe dire che i rettangoli delle intiere seganti nelle
loro parti iDterne sono proporzionali ai quadrati de’ diametri paral-
leli ad esse seganti.
Phoposizione LXXI.
636. Se da un punto situalo fuori dell’iperbole si conduca una
tangente ed una segante, il quadrato della tangente starà al ret-
tangolo della intera segante nella sua parte esterna, come il qua-
drato del diametro parallelo alla tangente sta al quadrato del dia-
metro parallelo alla segante.

### Analysis ###
L'utente chiede cosa significhi parlare di trigonometria e cercare la formula per calcolare l'area di un quadrato. La domanda richiede una spiegazione basata su fonti specifiche che trattano di trigonometria, formule matematiche e, in particolare, il calcolo dell'area dei poligoni e dei quadrati. 

Analizzando le fonti:
- **http://www.matematica.it/calcolatori/aree-polygono**: Questa fonte fornisce formule per calcolare l'area di diversi poligoni, tra cui il tetragono, l'ottagono, il decagono e altri.
- **https://www.math-imaginary-geometry.org/articles/lobatschewsky-comparsion**: Questa fonte tratta principalmente della geometria non euclidea e delle trasformazioni delle funzioni trigonometriche. Potrebbe contenere informazioni utili sulla trigonometria.
- **www.scienzapressione.it/calcolo/aria-compressione-cilindro**: Questa fonte si concentra sul calcolo della pressione dell'aria e non sembra rilevante per la trigonometria o il calcolo dell'area dei quadrati.
- **www.matematica-italiana.it/rettangoli-e-quadroni/cambiamento-variabili-formole**: Tratta di come cambiare variabili nelle formule matematiche, potrebbe essere utile per capire i metodi di calcolo dell'area.
- **www.archivistoricoitaliano.it/lingua-classica/poetica-antica**: Questa fonte sembra meno rilevante poiché si concentra su argomenti letterari e storici piuttosto che su questioni matematiche specifiche.
- **http://www.matematica-finanziaria.it/approssimazioni/ritobho-mix-sun**: Questa fonte parla di approssimazioni matematiche e non sembra rilevante per la domanda.
- **matematica-iperbole.it/propo-lxx-sezzioni-curva**: Questa fonte fornisce informazioni sulla curva iperbolica e sulle proporzioni nei rettangoli, potrebbe essere utile per contesto.

### Answer ###
Quando si parla di trigonometria e si cerca la formula per calcolare l'area di un quadrato, è importante ricordare che la trigonometria è una disciplina che si occupa principalmente delle funzioni trigonometriche e dei rapporti angolari in un triangolo rettangolo. Tuttavia, queste conoscenze possono essere applicate anche per risolvere problemi legati all'area dei poligoni e dei quadrati.

La fonte **http://www.matematica.it/calcolatori/aree-polygono** fornisce diverse formule per calcolare l'area di vari poligoni, inclusi il tetragono, l'ottagono e il decagono. Per esempio, se il lato del tetragono è di 100 unità, moltiplicarlo per 144 e sottrarlo da 5000 dà l'area del quadrato<ref name="http://www.matematica.it/calcolatori/aree-polygono">"Se il quadrato del lato del fettagonoe 100. moltiplicalo per 941$. ne verri l'area."</ref>. Questo metodo può essere esteso a altri poligoni, usando le relative formule specifiche.

Inoltre, la fonte **matematica-iperbole.it/propo-lxx-sezzioni-curva** discute delle proporzioni nelle seganti e delle tangenti dell'iperbole, che possono essere applicate per comprendere i rapporti geometrici che influenzano l'area dei poligoni e dei quadrati<ref name="matematica-iperbole.it/propo-lxx-sezzioni-curva">"Nell'iperbole, se da un punto E, situato dentro la curva... il quadrato del diametro parallelo alla corda sta al quadrato del diametro parallelo alla segante."</ref>.

Infine, la fonte **www.matematica-italiana.it/rettangoli-e-quadroni/cambiamento-variabili-formole** spiega come modificare le variabili nelle formule matematiche per trovare aree e volumi in differenti contesti, incluso quello dei quadrati<ref name="www.matematica-italiana.it/rettangoli-e-quadroni/cambiamento-variabili-formole">"Consideriamo un pezzo k di R limitato da due parallele... l'area t di "c sarà data dalla proporzione: X : 71 [2 X A X -4- (A X)'] = A F: 2 7r"</ref>.

In sintesi, per calcolare l'area di un quadrato utilizzando la trigonometria, si devono considerare le proporzioni geometriche e le formule specifiche per i poligoni e i quadrati. Le fonti menzionate sopra forniscono le conoscenze necessarie per fare questo. 