Sto lavorando ad un problema di calcolo delle radici e ho trovato una nota che spiega come ridurre un'equazione trascendente ad una algebraica. Il metodo prevede n+1 tentativi, ma con solo 2 tentativi si ottiene un'equazione del 1° grado che utilizza la regola della doppia falsa posizione. Se tengo conto anche delle differenze tra le posizioni successive, due soli tentativi conducono ad un'equazione del 3° grado che fornisce un'approssimazione molto accurata della radice. Qualcuno ha esperienza con questo metodo o può confermare l'efficacia? 
### Query ###
Sto lavorando ad un problema di calcolo delle radici e ho trovato una nota che spiega come ridurre un'equazione trascendente ad una algebraica. Il metodo prevede n+1 tentativi, ma con solo 2 tentativi si ottiene un'equazione del 1° grado che utilizza la regola della doppia falsa posizione. Se tengo conto anche delle differenze tra le posizioni successive, due soli tentativi conducono ad un'equazione del 3° grado che fornisce un'approssimazione molto accurata della radice. Qualcuno ha esperienza con questo metodo o può confermare l'efficacia? 

### Source ###
**https://matematica-italiana.it/tecnica-equazioni-trascendenti **
Con quella nota mostrai in qual modo spedito
si possa approssimatamente ridurre un’equazione tra-
scendente ad una algebraica dell’ n m0 grado, e ciò me-
diante n •+* 1 tentativi. Con due soli tentativi si ha
un’ equazione del l.° grado, che dà la nota regola del-
la doppia falsa posizione. Ora se nel calcolare le suc-
cessive posizioni si tenga conto anche delle differenze,
due solfe posizioni conducono ad un’ equazione del
3.° grado, la quale darà con molta approssimazione la
radice desiderata.


**www.matematica-italiana.it/esercizi/metodi-newton-horner **
Capklli.  —  Istituzioni  di  analiai  algebrica,  3.»   odiz .  53


—  418  —

EsercisL

1.  Applicare  il  metodo  di  Newton  al  calcolo  della  radice  situata  fra  i
limiti  assegnati  nelle  equazioni  se^aenti  :

ar*— 4a;  —  12  =  0     ;     radice  tra  2  e  8

a;8~4a;«  -  7a:  -{-  24  =  0     ;     radice  tra  2  e  3

a;8-24x  +  44  =  0     ;     radice  tra  8,2  e  8,8

a'— 15a?  — 5  =  0    ;     radice  tra  4  e  4,1

05*- Sx*  +  12x«  -}-  8x  -  4  =  0     ;    radice  tra  0  ed  1.
§  6.0  —  Metodo  di  Horner  per  l'approssimazione  delle  radici.
Uso  simaltaneo  dei  metodi  di  Horner  e  di  Newton.


**http://www.calcolodifferenziale.it/approssimazioni-radici-realii **
Si cerchi una delle iz&à. òàX equazione x'-^ 4« --^
>4 = «*



Foftò



NELL APPROSSIMAZIONE ALIX RADICI REALI CC 4f

Pofto «•— l|ij— I4=s:>fiha



4y = (3**— 4)^»



dp



' dy 3^

ómtx dp 6*



(3**— .4)» ' d, (3** — 4)'






dr-



(3jr»-.4> » Jjf ^ (3** — 4^

2 1 A)jr» 4- I4 40y>f jf ^ ir tiépr " 4* '44^



3*y* <«5** + 4V



X. -r 3*'— 4 (3^-^4)» (3»*— 4)*

(90jr» + &)«);►♦ • -^.
^ (?»» — 4)7

Una radice dell' equazione ila tra 2 , e 3 ^ ed è mol-
to più vicina al 3 che al 2^ come facilmente può ve-
derfi col porre ««329 ed m s= 3, Dunque , pofto » = 3 ,

faràj^ = i. ed/=3 3— — — — ? — ~— = 3 — o* 04424

= 2>P557^, radice che può renderti ancora più proflima
ipingendo la ferie più avanti foitanto di uno o di due ter-
mini; ovvero ) fé fi vogliono ufare i logaritmi ^ come fi è
fatto nel applicazione del i.^ metodo , far^ fufficiente pren-
dere per radice proflima 2, 9^6 y e foilituire quefta ad «
nella ftefla ferie, di cui baderanno più pochi termini ad
avere una radice poco o nulla differente dalla vera*






* -



50 Uso DEL Calcolo DIFFERENZIALE eè. '


Per efempio ,


pofto N = 2 ,


9<5, fi avxk


quanto lègue


L»:


= o > 4707044




•


1.»*:


= 0,^414088


W* =


= 8,737P,^5


Im'z


s i,4i2ii3X




= i5>82p335


i.:k=


= 7» 7*71344


^ =


= 0*005335


1.(3'^ — 4).=


SI, 34^6230.

### Analysis ###
L'utente sta lavorando su un problema di calcolo delle radici e ha trovato un metodo per ridurre un'equazione trascendente ad una algebraica. Il metodo prevede n+1 tentativi, ma con solo 2 tentativi si può ottenere un'equazione del primo grado utilizzando la regola della doppia falsa posizione. L'utente desidera conferma sull'efficacia di questo approccio, specialmente quando si tengono in considerazione le differenze tra le posizioni successive, che portano a un'equazione del terzo grado che fornisce un'approssimazione accurata della radice.

I riferimenti forniti includono:
- Una nota che descrive il metodo per ridurre un'equazione trascendente ad una algebraica.
- Un manuale di matematica che spiega l'uso dei metodi di Newton e Horner.
- Un testo sul calcolo differenziale che discute l'approssimazione delle radici reali.

### Answer ###
Per rispondere alla tua domanda, il metodo descritto per ridurre un'equazione trascendente ad una algebraica funziona effettivamente con solo due tentativi. Inizialmente, si ottiene un'equazione del primo grado applicando la regola della doppia falsa posizione<ref name="https://matematica-italiana.it/tecnica-equazioni-trascendenti">"Con due soli tentativi si ha un’ equazione del l.° grado, che dà la nota regola della doppia falsa posizione."</ref>.

Successivamente, tenendo conto delle differenze tra le posizioni successive, è possibile arrivare ad un'equazione del terzo grado che fornisce un'approssimazione molto accurata della radice desiderata<ref name="https://matematica-italiana.it/tecnica-equazioni-trascendenti">"Ora se nel calcolare le successive posizioni si tenga conto anche delle differenze, due solfe posizioni conducono ad un’ equazione del 3.° grado, la quale darà con molta approssimazione la radice desiderata."</ref>. Questo approccio è supportato da metodi come quello di Newton e Horner, che sono efficaci per il calcolo delle radici nelle equazioni algebriche<ref name="www.matematica-italiana.it/esercizi/metodi-newton-horner">"Applicare il metodo di Newton al calcolo della radice situata fra i limiti assegnati nelle equazioni se^aenti."</ref>.

Inoltre, l'utilizzo dei logaritmi può migliorare ulteriormente l'approssimazione, come mostrato in altri esempi di calcolo differenziale<ref name="http://www.calcolodifferenziale.it/approssimazioni-radici-realii">"come fi è fatto nel applicazione del i.^ metodo , far^ fufficiente pren- dere per radice proflima 2, 9^6 y e foilituire quefta ad « nella ftefla ferie, di cui baderanno più pochi termini ad avere una radice poco o nulla differente dalla vera."</ref>.

Questo metodo è quindi valido e confermato dalla combinazione di tecniche analitiche e numeriche per ottenere una soluzione accurata in pochi passaggi. 