. متن داده‌شده را خلاصه کن

متن: بازتابی تقارنی پادتقارنی ترایایی رابطه توازی خطوط در صفحه (||): مثالی از رابطه هم‌ارزی نشان می‌دهیم که رابطه توازی خطوط در صفحه، یک رابطه هم‌ارزی است: نخست - هر خط با خودش موازی است؛ پس این رابطه بازتابی است. دوم - اگر خطی با خط دیگری موازی باشد، آن خط نیز با این خط موازی است؛ پس این رابطه تقارنی است. سوم - اگر خط d با خط 'd، و خط 'd با خط «d موازی باشند، آن‌گاه بنابر قضایای هندسه اقلیدسی، خط d با خط» d موازی خواهد بود؛ پس این رابطه ترایایی نیز هست. به این ترتیب مشخص شد که رابطه توازی، یک رابطه هم‌ارزی است. رابطه بزرگ‌تر مساوی بودن (): مثالی از رابطه ترتیب نشان می‌دهیم که رابطه یک رابطه ترتیب است: نخست - هر عدد از خودش بزرگ‌تر یا با خودش مساوی است؛ پس این رابطه بازتابی است. دوم - اگر و آن‌گاه نتیجه می‌شود که؛ پس این رابطه پادتقارنی است. سوم - اگر و آن‌گاه نتیجه می‌شود که؛ پس این رابطه ترایایی است. به این ترتیب مشخص شد که رابطه یک رابطه ترتیب است. وقتی یک رابطه هم‌ارزی را روی مجموعه‌ای تعریف می‌کنیم، این رابطه مجموعه را به دسته (کلاس) های هم‌ارزی افراز می‌کند. به عنوان نمونه، همان مثال توازی خطوط را در نظر بگیرید. این رابطه، رابطه‌ای هم‌ارزی است و خطوط موجود در صفحه را به دسته‌های هم‌ارزی افراز می‌کند؛ به طوری که همه خطوط موجود در هر دسته، با هم موازی‌اند. یک مثال مفید دیگر برای درک بهتر دسته‌های هم‌ارزی، رابطه هم‌باقی‌ماندگی اعداد طبیعی به پیمانه‌ای مشخص است. نشان دادن این‌که این رابطه هم‌ارزی‌ست، بسیار ساده‌است و لذا از اثبات آن می‌گذریم. به این ترتیب همان‌طور که گفته شد، این رابطه مجموعه اعداد طبیعی را به دسته‌های هم‌ارزی افراز خواهد کرد. اعداد موجود در هریک از این دسته‌ها، به پیمانه m باقی‌مانده یکسانی خواهند داشت. معمولا دسته‌های هم‌ارزی را به کمک یکی از اعضای آن مشخص می‌کنند؛ برای مثال [۲] نمایانگر دسته هم‌ارزی‌ای است که عنصر ۲ در آن قرار دارد یا به عبارت دیگر تمام اعضای مجموعه اصلی که با عنصر ۲ رابطه دارند در [۲] قرار می‌گیرند. رابطه هم‌استانی بودن: رابطه‌ای هم‌ارزی است و مجموعه مردم یک کشور را به دسته‌های هم‌ارزی افراز می‌کند که هر دسته یک استان را مشخص خواهد کرد. رابطه هم‌رنگ بودن: رابطه‌ای هم‌ارزی است و مجموعه نقاط یک صفحه را …
خلاصه:
رابطه هم‌ارزی (به انگلیسی : equivalence relation) در ریاضیات یک رابطه دوتایی است که بازتابی ، متقارن ، و ترایا است . رابطه‌ها در ریاضیات به صورت زیرمجموعه‌هایی از ضرب دکارتی دو یا چند مجموعهٔ مشابه یا متمایز تعریف می‌شوند . این رابطه‌ها می‌توانند خواص و ویژگی‌های گوناگونی داشته باشند ؛ اما ۴ ویژگی از سایر ویژگی‌ها مهم‌تر است . رابطه‌هایی که این خواص را دارند ، به این شکل نامیده می‌شوند : رابطه‌ای که بازتابی ، تقارنی و ترایایی باشد ، رابطهٔ هم‌ارزی و رابطه‌ای که بازتابی ، پادتقارنی و ترایایی باشد ، رابطهٔ ترتیب خوانده می‌شود .