مقاله‌ی زیر به همراه خلاصه آن در وب‌سایت ویکیپدیا آمده است. موضوع آن را مشخص کنید

مقاله: xt یک فرایند تصادفی با میانگین صفر و انتگرال پذیر برای مربع آن در فضای احتمال (ω, f, p) تعریف می‌شود و نمایه آن در بازه بسته [a, b] با تابع کوواریانس kx (s, t). به این ترتیب: یک عملگر خطی tkx را در kx اعمال می‌کنیم. tkx به این صورت تعریف می‌شود: قضیه. xt را یک فرایند تصادفی با میانگین صفر و انتگرال پذیر برای مربع آن در فضای احتمال (ω, f, p) و نمایه آن در بازه بسته [a, b] با تابع کوواریانس پیوسته kx (s, t) در نظر می‌گیریم. حال kx (s, t) یک هسته‌ی mercer است و ek را یک پایه متعامد بر روی l ۲ ([a, b]) می‌گیریم که از توابع ویژه tkx دارای مقدار ویژه λk تشکیل شده‌است. می‌توان xt را به صورت زیر بیان کرد که هم گرایی آن در l ۲ است و همچنین متغیرهای تصادفی zk دارای میانگین صفر، ناهمبسته نسبت به یکدیگر و دارای واریانس λk هستند تابع کوواریانس kx شرایط تعریف هسته‌ی mercer را دارد. طبق تئوری mercer، یک مجموعه {λk, ek (t)} وجود دارد که از مقدار ویژه‌ها و توابع ویژه tkx، یک مجموعه متعامد از l ۲ ([a,b]) تشکیل می‌دهند و kx را نیز می‌توان به صورت زیر نمایش داد: فرایند xt می‌تواند به صورت تابعی از ekها به صورت زیر بسط پیدا کند: که در آن ضرایب (متغیرهای تصادفی) zk به صورت زیر به دست می‌آیند: حال خواهیم داشت: حال نشان می‌دهیم که همگرایی در l ۲ است. فرض می‌کنیم از آنجایی که حد در امید ریاضی متغیرهای تصادفی مشترکا گاوسی، خود مشترکا گاوسی هستند و متغیرهای تصادفی گاوسی مستقل هستند اگر و فقط اگر متعامد باشند، می‌توان نتیجه گرفت: قضیه. متغیر تصادفی zi دارای توزیع مشترک گاوسی است و به‌طور تصادفی مستقل است اگر فرایند اولیه {xt} t گاوسی باشد. در این حالت (گاوسی بودن)، از آنجایی که ziها مستقل هستند، می‌توان گفت: almost surely. این نتیجه از استقلال zk حاصل می‌شود. در بخش معرفی، بیان کردیم که بسط خلاصه شده کارهونن-لواو بهترین تخمین برای یک فرایند است به طوری که خطای میانگین مربعات حداقل شود. به خاطر همین خصوصیت است که بیان می‌شود این تبدیل به‌طور بهینه انرژی را فشرده (ذخیره) می‌کنند. 
خلاصه: در مبحث فرایندهای تصادفی، قضیه کارهونن-لواو (karhunen-loève theorem، به افتخار «کاری کارهونن» فنلاندی و «میشل لواو» فرانسوی)، هم‌چنین شناخته‌شده به عنوان قضیه kosambi-karhunen-loève، یک فرایند تصادفی را به صورت ترکیب خطی تعداد نامحدودی از توابع متعامد (شبیه بسط فوریه برای توابع ریاضی) در یک بازه کران‌دار توصیف می‌کند (به اشتباه، کارانن-لوف خوانده نشود). این تبدیل همچنین با نام‌های تبدیل هتلینگ و تبدیل بردار ویژه نیز شناخته می‌شود و با تکنیک تحلیل مولفه اصلی (pca) مرتبط است که به صورت گسترده در بسیاری از زمینه‌های پردازش تصویر و آنالیز داده‌ها استفاده می‌شود. می‌توان گفت این تبدیل به‌گونه‌ای با فرایند سازگار می‌شود که به بهترین پایه‌ها برای آن فرایند می‌انجامد. 
موضوع:
تئوری کارانن لوف