این مطلب در وبسایت ویکیپدیا قرار داده‌شده. شما به عنوان یک ناشر، کدام‌یک از متن‌های زیر را به عنوان خلاصه انتخاب می‌کنید؟

مقاله: یک رنگ‌بندی b-fold یا b-لایه یک گراف g، یک نسبت دهی از اندازه b به رأس‌های گراف است به طوری که رئوس مجاور مجموعه متمایزی داشته باشند. یک رنگ‌بندی a: b تا رنگ‌بندی از میان رنگ‌های مجاز می‌باشد. یک عدد رنگی b-لایه xb (g)، حداقل تعداد a می‌باشد به طوری که یک رنگ‌بندی a: b موجود باشد. عدد رنگی بخشی (xf (g به صورت زیر تعریف می‌شود: توجه کنید که این حد به علت اینکه (xb (g زیر-افزاینده (subadditive) است موجود می‌باشد، به این معنا که (xa+b (g) ≤ xa (g) + xb (g. یک عدد رنگی بخشی می‌تواند به صورت یک عبارت احتمالی مطرح شود. (xf (g کوچکترین k است به صورتی که یک توزیع احتمال بر روی مجموعه مستقل independent sets) g) وجود داشته باشد، به طوری که برای هر رأس v، مجموعه مستقل s از توزیع احتمال گفته شده‌استخراج شود، با این شرط که: برخی از ویژگی‌های (xf (g: و در اینجا (n (g، مرتبه g و (α (g عدد استقلال (independence number) و ω (g) عدد دسته (number clique) و x (g) عدد رنگی می‌باشد. یک عدد رنگی بخشی xf (g) از یک گراف g می‌تواند به عنوان یک راه‌حل برای یک برنامه نویسی خطی در نظر گرفته شود. اگر (g) ι مجموعه همه مجموعه‌های مستقل g باشد، (g,x) ι مجموعه همه آن مجموعه‌های مستقل که شامل رأس x است باشد و برای هر مجموعه مستقل i یک متغیر غیر منفی و حقیقی xi تعریف کنیم آنگاه xf (g)) حداقل مقدار با توجه به برقرار بودن عبارت زیر است. برای هر رأس x دوگانگی (dual) این برنامه خطی، عدد دسته بخشی (fractional clique number یا راحت سازی (relaxation) مستدلات مفهوم صحیح عدد دسته) را محاسبه می‌کند. این یک نسبت دادن وزن به رئوس است به طوری که مجموع وزن نسبت داده‌شده به هر مجموعه مستقل حداکثر ۱ باشد. قضیه دوگانگی قوی (strong duality) در برنامه‌نویسی خطی، تضمین می‌کند که بهینه‌ترین راه حل‌های هر دو برنامه خطی مقدار یکسان دارند؛ حال آن‌که ممکن است هر برنامه خطی دارای اندازه تعداد رئوس g نمایی باشند و محاسبه عدد رنگی بخشی گراف دارای سختی np باشد. این موضوع و مسئله رنگ‌بندی بخشی یال‌های یک گراف که می‌تواند از مرتبه نمایی باشد، متمایز هستند. این موضوع یک نتیجه‌گیری مستقیم از قضیه تطبیق پلیتپ ادموند (edmonds's matching polytope) می‌باشد. یکی از کاربردهای رنگ‌بندی بخشی گراف شامل زمانبندی فعالیت‌ها می‌باشد. در این مورد، گراف g یک …

متن اول: رنگبندی بخشی گراف
متن دوم: رنگبندی بخشی (fractional coloring) رنگ‌بندی بخشی موضوعی جدید در شاخه تئوری گراف (graph theory) است که به نام تئوری گراف بخشی (fractional graph theory) شناخته می‌شود. این موضوع تعمیمی از رنگ‌بندی گراف معمولی می‌باشد. در رنگ‌بندی گراف سنتی، هر رأس از گراف به رنگ‌های متعددی در آورده می‌شود و رأس‌های مجاور (به این معنا که به وسیله یالی به هم متصل شده‌اند) باید به رنگ‌های متمایزی در آورده شوند. در یک رنگ‌بندی بخشی، یک مجموعه خاص از رنگ‌ها به هر رأس گراف نسبت داده می‌شود. در این مسئله هم رأس‌های مجاور نباید دارای رنگ‌های مشابه باشند. رنگ‌بندی بخشی را می‌توان به عنوان راحت‌سازی برنامه‌نویسی خطی یا (linear programming relaxation) در نظر گرفت.
جواب:
متن دوم