مقاله‌ی زیر به همراه خلاصه آن در وب‌سایت ویکیپدیا آمده است. موضوع آن را مشخص کنید

مقاله: در اینجا به این می‌پردازیم که این لم در واقع چه چیزی را بیان می‌کند. همان‌طور که در بالا اشاره شد این لم در سیمپلکس‌های n بعدی تعریف می‌شود. برای درک بهتر این لم آن را برای بعدهای پایین بیان می‌کنیم تا شهودی نسبت به آن پیدا کنیم. در حالت یک‌بعدی این قضیه بیان می‌کند که یک تابع که روی یک فضای گسسته یک‌بعدی (مثل نقاطی روی یک خط) که تنها مقادیر صفر و یک را به خود اختصاص می‌دهد و با مقدار صفر شروع می‌کند و به مقدار یک تمام می‌شود به تعداد فردی مقدار خود را بین صفر و یک عوض می‌کند. در واقع فرض کنید پاره‌خطی عمودی داریم و نقطه بالایی این پاره‌خط را با رنگ سبز و نقطه پایینی آن را با رنگ آبی رنگ کنیم حتما تکه‌پاره خطی وجود دارد که رنگ دو سر آن‌ها سبز و آبی (متفاوت) است و تعداد تکه‌پاره‌خط‌های به وجود آمده که دو سر آن‌ها رنگ سبز و آبی (متفاوت) هستند، فرد است. این حالت از قضیه اسپرنر در واقع حالتی از آن است که بیشتر از بقیه حالت‌های آن مطرح می‌شود که شرح آن به صورت زیر است: یک مثلث بندی از مثلث را در نظر بگیرید. حال فرض کنید که رأس‌های به وجود آمده در این مثلث را با شروط زیر رنگ می‌کنیم. راس را با رنگ سبز، راس را با رنگ قرمز و راس را با رنگ آبی رنگ می‌کنیم. رأس‌های روی یال از مثلث را با دو رنگ سبز و قرمز و رأس‌های روی یال را با دو رنگ قرمز و آبی و رأس‌های روی یال را با دو رنگ سبز و آبی رنگ می‌کنیم (در واقع رأس‌های روی یال‌های تنها با رنگ‌های دوسر یالشان در مثلث بزرگ رنگ می‌شوند). لم اسپرنر بیان می‌کند که در این حالت یکی از مثلث‌ها ایجاد شده در درون مثلث هر سه رنگ آبی و قرمز و سبز را در رأس‌های خود دارد (به عبارت دیگر هر راس آن رنگش با رأس‌های دیگر متفاوت است). لم اسپرنر هم‌چنین بیان می‌کند که تعداد فردی از این مثلث‌های سه رنگ (مثلث‌هایی که رنگ‌های سه راسشان متفاوت از هم است) وجود دارند. در این‌جا لم اسپرنر را برای حالت بعدی بررسی می‌کنیم. فرض کنید یک سیمپلکس است که و ما یک مثلث‌بندی به نام از این فضا داریم. را مجموعه رأس‌های بگیرید. تابع را تابع رنگ‌آمیزی در نظر بگیرید که به هر راس از مثلث بندی یکی از رنگ‌های بین تا را اختصاص می‌دهد. اما این رنگ‌آمیزی نمی‌تواند به هر صورتی باشد و باید در شرایط زیر صدق کند: رأس‌های سیمپلکس بزرگ باید با رنگ‌های متفاوت رنگ‌شده باشند (هر راس یک رنگ متفاوت از بقیه …
خلاصه: لم اسپرنر در واقع معادل ترکیبیاتی قضیه نقطه ثابت برور می‌باشد و توسط امانویل اسپرنر اثبات شده‌است. 
موضوع:
لم اسپرنر