این مطلب در وبسایت ویکیپدیا قرار داده‌شده. شما به عنوان یک ناشر، کدام‌یک از متن‌های زیر را به عنوان خلاصه انتخاب می‌کنید؟

مقاله: فرمول کلی یک برآورد خطی با معادله به صورت است. حال می‌خواهیم این رابطه و خصوصیات آن را به‌طور هندسی مورد بررسی قرار داده و ببینیم چه نتایجی برای ما در بردارند. این بررسی نه‌تنها از دیدگاه تئوری دارای ارزش می‌باشد بلکه بسیاری از روابطی که از حل معادله‌های پیچیده جبری بدست می‌آیند را بااستفاده از اثبات‌های هندسی ساده کرده و فهم ارتباط این روابط را برای ما آسان می‌کند. فرض کنید مجموعه متغیرهای توضیح‌دهنده ما به صورت باشند می‌دانیم از هم مستقل هستند و بنابراین می‌توانند پایه‌هایی برای زیر فضای از به وجود آورند در حقیقت اگر دلخواهی را در نظر بگیریم یک عضو دلخواه از زیر فضای ما خواهد بود و داریم: در حقیقت می‌توانیم هر عضو را به صورت بنویسیم و حتی را حت‌تر به صورت مختصاتبیان کنیم و به همین دلیل برآورد‌گر ols (روش کمترین مربعات معمولی) در فضای قرار دارد یعنی می‌دانیم که از معادله اساسی زیر محاسبه می‌شود: با دقت در معادله بالا متوجه می‌شویم که این معادله دارای تفسیر بسیار ساده‌ای می‌باشد. را در نظر بگیرید می‌دانیم که همان ماتریس متغیرهای توضیح دهنده‌است و هر ستون آن مربوط به یک متغیر توضیح‌دهنده می‌باشد که می‌توان معادله بالا را به صورت زیر نوشت که همان ضرب داخلی متغیر توضیح دهنده‌ام در بردارهای خطا می‌باشد نکته‌ای که در اینجا وجود دارد این است که با توجه به معادله اساسی برای محاسبه برآوردگر در روش ols متغیرهای بردار متغیرهای توضیح‌دهنده نسبت به متغیرهای خطای تخمین زده‌شده عمود می‌با شند یعنی وها نسبت به هم عمودند و به این شرط اصطلاحا شرط عمود بودن (orthogonality conditions) می‌گویند. همان‌طور که در بالا گفتیم همان متغیرهای خطای ما می‌باشند که با توجه به برآورد‌گر ما و روش برآورد به متغیرهای خطای تخمین زده‌شده (residuals) تبدیل می‌شوند در حقیقت اگر خطا را با نمایش دهیم می‌توان آن را به صورت تابعی از نمایش داد یعنی به صوت اختصاری. آنچه ما در اینجا بدان علاقه‌مندیم بررسی عناصر خطا در زمانی می‌باشند که متغیر با روش ols تخمین زده شده‌است. ومی توانیم آن را به اختصار به صورت بنویسیم. ملاحظه کردید که این نسبت به همه متغیرهای توضیح‌دهنده عمود است و چون به تک‌تک پایه‌های فضای برداری ما عمود می‌باشد پس بر کل فضا عمود است و می‌توان آن را به صورت نوشت؛ و از آن نتیجه گرفت که هر عضو در این فضا عمود بر است یعنی: پس می‌توان …

متن اول: در محاسبات عددی، اگر یک مجموعه از نقاط را بخواهید با یک خط درون‌یابی کنید و شیب خط () و عرض از مبدأ () را بدست آورید، کافی است که خطای تعریف‌شده () در زیر را کمینه (مینیمم) کنید: که میانگین‌ها و تعداد نقاط می‌باشد. و بدست آمده، بهینه خط عبوری از این نقاط را می‌دهد. از این روش می‌توانید برای درون‌یابی چندجمله‌ای‌های مرتبه بالاتر نیز استفاده کنید، کافی است که تعریف خطا () را مطابق با چندجمله‌ای که می‌خواهید عوض کرده بقیه محاسبات را همان‌طور ادامه داده و ضرایب را بدست آورید. 
متن دوم: کمینه مربعات خطی
جواب:
متن اول