برداشت کلی شما از مقاله‌ی داده‌شده چیست؟

مقاله: لئونارد اولر این تابع را در سال ۱۷۶۳ معرفی کرد. در آن زمان او هنوز نماد خاصی برای این تابع تعیین نکرده بود. بعدها لئونارد اویلر با مطالعه بیشتر تابع فی، حرف یونانی π را برای آن برگزید. نماد استاندارد φ بعدها توسط گاوس استفاده شده‌است. چندین راه برای محاسبه این فرمول وجود دارد. این تابع بیان می‌کند که که در آن یک عدد اول است به‌طوری‌که بر بخش‌پذیر است. مقدار تابع فی برابر است با مقدار تبدیل فوریه گسسته ب. م. م در ۱: مقدار حقیقی این فرمول برابر است با: توجه کنید که برخلاف دو فرمول دیگر در این فرمول نیازی به دانستن عوامل اول n نیست. اما چون فرمول شامل محاسبه ب. م. م n و همه اعداد مثبت کمتر از n است در نهایت به تجزیه n نیاز خواهیم داشت. فرمول کلاسیک اویلر این فرمول به روش‌های مختلف قابل اثبات است. برای n> ۱ می‌توان تابع فی را به عنوان یک حد تابع زتای ریمان محاسبه کرد که در این فرمول تابع زتای ریمان است، تابع موبیوس است، عدد نپر است، و d مقسوم‌علیه است. ۹۹ مقدار اولیه این تابع در جدول و نمودار زیر قابل‌مشاهده است. خط y = n- ۱ یک کران بالا برای تابع است و زمانی رخ می‌دهد که n اول باشد. بیان می‌کند: اگر n و a نسبت به هم اول باشند آنگاه در حالت خاصی که n عدد اول باشد این قضیه به قضیه کوچک فرما معروف است. این قضیه از قضیه لاگرانژ نتیجه می‌شود. سیستم رمزنگاری rsa بر روی همین قضیه بنا شده است: بیان می‌کنید که معکوس تابع در واقع همان تابع است که e معکوس ضربی d به پیمانه است. اشنایدر دو رابطه پیدا کرد که نسبت طلایی و تابع فی و تابع موبیوس را به هم مرتبط می‌کرد. در فرمول‌های زیر نسبت طلایی است. این روابط به صورت زیر هستند: و از کم کردن این دو نتیجه می‌شود با اعمال تابع نمایی به هر دو طرف رابطه به یک رابطه برای عدد نپر می‌رسیم اثبات بر پایه دو فرمول زیر است: سری دیریکله برای تابع فی را می‌توان بر حسب جملات تابع زتای ریمان به صورت زیر نوشت همچنین تابع مولد سری لامبرت به صورت زیر است که در ان اندازه q کمتر از ۱ است. هر دو روابط بالا با استفاده ضرب سری‌های پایه و با استفاده از فرمول‌های محاسبه تابع فی قابل اثبات هستند. در سال ۱۹۵۰ سومایاجولو اثبات کرد و در سیستم rsa ابتدا دو عدد اول بزرگ p و q را انتخاب می‌کنیم. سپس مقادیر n=pq و k= را محاسبه می‌کنیم؛ و دوعدد e و d را پیدا می‌کنیم به‌طوری‌که ed به …
برداشت:
در نظریه اعداد تابع فی اویلر یا تابعی است که تعداد اعداد طبیعی کوچکتر از n که نسبت به n اول اند را می‌شمارد . اگر n یک عدد طبیعی مثبت باشد ، آنگاه برابر است با تعداد اعداد طبیعی k در بازه ۱ تا n به‌طوری‌که gcd (n, k) = ۱. تابع فی اویلر یک تابع ضربی است ، بدین معنی که اگر دو عدد m و n نسبت به هم اول باشند آنگاه.برای مثلا (۹) φ برابر ۶ است . زیرا اعداد ۱ ، ۲ ، ۴ ، ۵ ، ۷ و ۸ نسبت به ۹ اول هستند . تابع فی اویلر نقش کلیدی در تعریف سیستم رمزنگاری rsa دارد .