برداشت کلی شما از مقاله‌ی داده‌شده چیست؟

مقاله: ریشه‌های هندسه جبری اکثرا به مطالعه معادلات چند جمله‌ای بر روی اعداد حقیقی بر می‌گردد. در قرن نوزدهم میلادی، مشخص شد (بخصوص در کار ژان ویکتور پونسله و برنارد ریمان) که هندسه جبری با استفاده از میدان اعداد مختلط، که ویژگی بسته جبری بودن را دارا می‌باشد، ساده‌تر می‌شود. دو مسئله که به مرور توجهات را در اوایل قرن بیستم به خود جلب کردند، مسائلی بودند که از نظریه اعداد برآمدند: چگونه هندسه جبری را می‌توان بر روی هر میدان جبری بسته، بخصوص با مشخصه مثبت توسعه داد؟ (به نظر می‌آید که ابزار توپولوژی و آنالیز مختلطی که برای مطالعه واریته‌های مختلط استفاده شدند در اینجا کارایی ندارند.) و سوال دوم این‌که در مورد هندسه جبری روی هر می‌دانی چه می‌توان گفت؟ قضیه صفر‌های هیلبرت راهکاری برای هندسه جبری بر روی میدان بسته جبری k ارائه می‌کند: ایده‌آل‌های ماکسیمال در حلقه چند جمله ای‌های … در تناظر یک به یک با مجموعه … از n-تایی‌های عناصر k قرار دارند و ایده‌آل‌های اول در تناظر با مجموعه‌های جبری تحویل ناپذیر … هستند که به آن‌ها واریته‌های آفینی می‌گویند. این ایده‌ها الهام‌بخش امی نوتر و ولفگانگ کرول در توسعه موضوع جبرجابجایی در اوایل دهه ۱۹۲۰ و ۱۹۳۰ میلادی بودند. کار آن‌ها هندسه جبری را به سمت و سوی خالص جبری تعمیم داد: به جای مطالعه ایده‌آل‌های اول در یک حلقه چند جمله‌ای، می‌توان ایده‌آل‌های اول را در هر حلقه‌ی جابجایی مطالعه کرد. به عنوان مثال، کرول بعد هر حلقه جابجایی را بر حسب ایده‌آل‌های اول تعریف کرد. او قادر بود اثبات کند حداقل زمانی که یک حلقه نوتری باشد، بسیاری از خواص مطلوبی که از مفهوم هندسی بعد انتظار می‌رود در مفهوم جبری بعد که او تعریف نموده بود نیز وجود خواهد داشت. جبر جابجایی نوتر و کرول را می‌توان به عنوان رویکردی جبری به واریته‌های جبری آفینی در نظر گرفت. با این حال، بسیاری از بحث‌های هندسه جبری بر روی واریته‌های تصویری بهتر عمل می‌کنند، چرا که اساسا این واریته‌ها فشرده هستند. از دهه ۱۹۲۰ تا ۱۹۴۰، ون در واردن، آندره ویل و اسکار زاریسکی جبر جابجایی را به عنوان بنیانی جدید برای هندسه جبری برای کار بر روی واریته‌های تصویری که غنای بیشتری داشتند به کار بردند. بخصوص، توپولوژی زاریسکی که یک توپولوژی مفید برای واریته‌هایی که روی هر میدان جبرا بسته تشکیل می‌شوند، تا حدی جایگزین توپولوژی …
برداشت:
در ریاضیات ، یک اسکیم ساختار ریاضیاتی است که مفهوم واریته جبری را به طرق مختلفی تعمیم داده ، چندگانگی‌ها را در نظر گرفته (معادله‌های x = ۰ و x۲ = ۰ یک واریته‌ی جبری را تعریف می‌کنند در حالی که اسکیم‌های آن‌ها متفاوت است) و امکان می‌دهند که واریته‌ها بر روی هر حلقه جابجایی تعریف شوند (به عنوان مثال ، خم‌های فرما روی اعداد صحیح تعریف می‌شوند) .اسکیم‌ها توسط الکساندر گروتندیک در ۱۹۶۰ در رسالهٔ خود به نام « عناصر هندسه جبری » معرفی شدند . یکی از اهداف این مفهوم توسعه‌ی فرمالیسم مورد نیاز برای حل عمیق‌تر مسائل هندسه جبری چون حدس‌های ویل (که آخرین آن‌ها توسط گیر دلیگن اثبات شد) بود .