برداشت کلی شما از مقاله‌ی داده‌شده چیست؟

مقاله: ریشه بیشتر برچسب‌گذاری‌های گراف به روش‌های برچسب‌گذاریی باز می‌گردد که آلکسا رز در سال ۱۹۶۷ در مقاله خود ارائه کرد. رزا سه نوع برچسب‌گذاری را مشخص کرد و آن‌ها رابرچسب‌گذاری -, - و نامید. برچسب‌گذاری بتا، بعدها توسط گولومب به برچسب‌گذاری دلپذیر تغییر نام یافت و از آن موقع این نام شهرت یافت. یک گراف را در صورتی «گراف دلپذیر» می‌نامیم که رئوس آن با اعداد بین ۰ تا، اندازه گراف، برچسب‌گذاری شده و همچنین یال‌هایش به صورتی با اعداد بین ۱ تا برچسب‌گذاری شده باشند که برچسب هر یال درست برابر قدر مطلق تفاوت برچسب‌های دو راس اطراف آن یال باشد. به عبارت دیگر، اگر دو راس با برچسب‌های و را به هم وصل کرده باشد، برچسب می‌شود. بنابراین، یک گراف یک گراف دلپذیرست اگر و فقط اگر تابع یک به یکی وجود داشته باشد که بین و اعداد صحیح مثبت کوچکتر مساوی تناظر یک به یک برقرار کند. رزا، در مقاله‌اش، ثابت کرده‌است که تمام گراف‌های اویلری که تعداد رئوس آن‌ها به پیمانه ۴ همنهشت با ۱ یا ۲ باشد دلپذیر نیستند. این موضوع که آیا خانواده خاصی از گراف‌ها دلپذیر هستند یا نه حوزه‌ای از نظریه گراف هاست که بر روی آن مطالعات گسترده‌ای انجام می‌شود. می‌توان گفت بزرگترین حدس اثبات نشده در زمینه برچسب‌گذاری گراف‌ها حدس رینگل-کاتزیگ است. کاتزیگ این‌گونه حدس زده‌است که تمام درخت‌ها دلپذیر هستند. این حدس برای تمام مسیرها و درخت‌های پروانه‌ای، و بسیاری از خانواده‌های نامتناهی درخت‌ها ثابت شده‌است. خود کاتزیگ تلاشی را که صرف اثبات این حدس شده‌است «مرض» خوانده‌است. یک گراف هارمونیک گرافی با k یال است که دارای تابع یک به یکی از رئوس گراف به دسته همنهشتی ای به پیمانه k است که تناظر یک به یکی بین یال‌های گراف و اعداد صحیح مثبت کوچکتر مساوی برقرار می‌کند. برچسب هر یال برابر است با حاصلجمع برچسب‌های دو راس اطراف آن یال به پیمانه q. رنگ‌آمیزی گراف یک حالت خاص برچسب‌گذاری گراف می‌باشد، به‌طوری‌که رأس‌های متصل به هم و یال‌های متقاطع باید رنگهای مختلفی داشته باشند. 
برداشت:
با توجه به تعریف ریاضیاتی نظریهٔ گراف‌ها ، برچسب‌گذاری یک گراف نسبت دادن برچسب‌هایی به یال‌های گراف ، یا به راس‌های گراف یا به هر دوی آن‌ها است که به صورت معمول این برچسب‌ها را با اعداد صحیح نمایش می‌دهند . به بیان رسمی ، برای یک گراف g ، منظور از برچسب‌گذاری شدهٔ راسی ، یک تابع است که رأس‌های گراف g را به مجموعه‌ای از برچسب‌ها می‌نگارد . به گرافی که برای آن چنین تابعی تعریف شده باشد یک گراف برچسب‌گذاری شدهٔ راسی می‌گویند . به همین ترتیب ، یک برچسب‌گذاری یالی یک تابع از یال‌های گراف به مجموعه‌ای از برچسب هاست ، که در این حالت گراف را برچسب‌گذاری شدهٔ یالی نام‌گذاری کرده‌اند .