برداشت کلی شما از مقاله‌ی داده‌شده چیست؟

مقاله: فرض کنید نام خانوادگی از پدر به تمام فرزندان مذکر منتقل می‌شود. فرض کنید تعداد فرزندان مذکر یک مرد متغیر تصادفی بر مجموعه باشد. همچنین فرض کنید تعداد فرزندان همه مردها مستقل از هم باشد و از همین توزیع پیروی کند. با این فرضیات ساده‌ترین نتیجه‌ای که می‌توان گرفت این است که اگر میانگین تعداد فرزندان در یک خانواده کمتر یا مساوی ۱ باشد آنگاه به احتمال قریب به یقین آن نام خانوادگی منقرض می‌شود و اگر میانگین تعداد فرزندان یک خانواده بیشتر از ۱ باشد آنگاه احتمال آنکه نام خانوادگی این خانواده تا n (دلخواه) نسل بعد باقی بماند بیشتر از صفر است. این فرایند کاربردهای جدید زیادی دارد مثلا احتمال زنده‌ماند یک ژن جهش‌یافتهی جدید، احتمال وقوع واکنش زنجیره‌ای هسته‌ای، احتمال انقراض گونه‌های کم‌جمعیت و هم‌چنین توضیح این‌که چرا فقط تعداد انگشت‌شماری از افراد مذکر در تاریخ یک‌رشته از فرزندان مذکر دارند که تا به امروز رسیده باشد. (این کاربرد آخر احتمالا نزدیک‌ترین کاربرد به آن چیزی است که مد نظر خود گالتون و واتسون بود) در مسایل احتمال انقراض نتیجه گرفته‌اند که اگر یک زنجیر از فرزندان مذکر زنده مانده است احتمالا این زنجیر در نسل‌های اول خود نسبت به بقیه نرخ رشد بیشتری داشته‌است. یک فرایند گالتون-واتسون یک فرایند تصادفی است که تکامل آن با رابطه بازگشتی زیر است: که یک مجموعه از متغیرهای تصادفی یکنواخت است که مقدار آن‌ها به صورت مستقل و تصادفی از توزیع یکنواخت اعداد صحیح نامنفی انتخاب می‌شود. اگر بخواهیم با ادبیات مسأله انقراض نام خانوادگی صحبت کنیم، می‌توانیم بگوییم تعداد نوادگان مذکر در نسل‌ام است. هم‌چنین تعداد فرزندان امین نفر از این نواده است. رابطه بازگشتی به این معناست که تعداد فرزندان مذکر در نسلام از جمع کردن فرزندان مذکر نوادگان نسل‌ام به دست می‌آید. احتمال انقراض یک نام خانوادگی از رابطه زیر به دست می‌آید: در حالت نابدیهی اگر باشد آنگاه احتمال انقراض نام خانوادگی برابر ۱ است و اگر احتمال انقراض کمتر از ۱ است. فرایند را می‌توان با استفاده از تابع مولد احتمال نیز توصیف کرد. در صورتی که تعداد فرزندان از توزیع پواسون با پارامتر پیروی کند می‌توانیم یک رابطه بازگشتی برای احتمال انقراض یک نام خانوادگی که نسلش را در مرحله اول با یک نفر شروع کرده به دست بیاوریم: که شکل آن در قسمت بالا آمده است. همانند قبل …
برداشت:
فرایند گالتون-واتسون یک فرایند تصادفی شاخه‌ای است که پس از تحقیقات فرانسیس گالتون دربارهٔ انقراض نام‌های خانوادگی مطرح شد . در این فرایند فرض می‌کنیم که نام خانوادگی از پدر به فرزند می‌رسد و فرزندان به صورت تصادفی دختر یا پسر هستند . یک نام خانوادگی زمانی منقرض می‌شود که تمام افراد با آن نام خانوادگی بمیرند بدون آنکه فرزند پسر داشته باشند . این توصیف ضمنا توصیف دقیقی است از مسألهٔ انتقال کروموزوم y در ژنتیک ، در نتیجه در فهم مسألهٔ human y-chromosome dna haplogroup و دیگر فرایندها مفید می‌افتد . در عمل نام‌های خانوادگی به دلایل مختلفی منقرض می‌شود و مرگ آخرین بازمانده‌ها فقط یکی از عوامل انقراض نام‌های خانوادگی است ، در نتیجه کاربرد فرایند گالتون-واتسون برای فهمیدن توزیع حقیقی نام‌های خانوادگی محدود است .