برداشت کلی شما از مقاله‌ی داده‌شده چیست؟

مقاله: آزمایش دارای n تعداد آزمون یکسان و عینا مشابه باشد. نتیجه هر آزمون فقط به یکی از این دو صورت باشد: موفق یا ناموفق. احتمال موفقیت آزمونی را اگر با p نشان دهیم، از آزمون به آزمون یکسان بوده و متغیر نباشد. احتمال ناموفقیت را با q نشان داده که برابر است با آزمون‌ها مستقل باشند. درحالت کلی اگر x یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای p,n باشد، آن را به‌صورت (x ~ b (n, p نمایش می‌دهیم. احتمال بدست‌آوردن k موفقیت با تابع جرم احتمال زیر مشخص می‌شود: حال می‌خواهیم بررسی کنیم که این فرمول چگونه بدست‌آمده‌است: توجه کنید که تعداد راه‌های ممکن در انجام n آزمایش برنولی که می‌تواند به k موفقیت منتهی شود برابر است با تعداد دنباله‌های مختلف به طول n از حروف b , a با k حرف a (موفقیت) و n-k حرف b (شکست). اما تعداد این دنباله‌ها برابر است با، زیرا تعداد جایگشت‌های متمایز n حرف از دو نوع مختلف، که k تا همانند از نوع اول و n-k تا همانند از نوع دوم وجود دارد برابر است با. باتوجه به استقلال امتحان‌ها چون احتمال هریک از این دنباله پیشامدها برابر است داریم: دلیل اینکه به این توزیع دوجمله‌ای می‌گویند این است که قضیه بسط دوجمله‌ای تضمین می‌کند که یک تابع جرم احتمال است: تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی دوجمله‌ای به‌شکل زیر است: اگر یک تیرانداز با احتمال ۰ / ۷ تیری را به هدف بزند و x تعداد تیرهای به هدف خورده در ۵ شلیک باشد؛ ابتدا توزیع احتمال x را معلوم کنید و هر یک از احتمال‌های زیر را به دست آورید. الف- دقیقا ۳ تیر به هدف بزند. ب- حداکثر ۲ تیر به هدف بزند. ج- هیچ تیری به هدف نزند. متغیر تصادفی x، دارای توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای n= ۵ , p= ۰ ٫ ۷ است که تابع احتمال آن را به صورت زیر می‌نویسیم: برای به دست آوردن احتمالات در این مثال داریم: فرض کنید یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای و باشد. به‌طور شهودی انتظار داریم که میانگین برابر باشد. مثلا اگر سکه سالمی را صد بار پرتاب کنیم، انتظار داریم به‌طور متوسط ۵۰ بار شیر مشاهده کنیم که برابر است با:. فرمول: را می‌توان مستقیما از تعریف امید ریاضی بدست‌آورد. 
برداشت:
توزیع دوجمله‌ای نوعی توزیع پرکاربرد در آمار ، اقتصاد ، و علوم تجربی است . در نظریهٔ احتمال و آمار توزیع دوجمله‌ای توزیعی گسسته‌است از تعداد موفقیت‌ها در دنباله‌ای شامل n آزمایش مستقل برنولی همه با احتمال موفقیت p (توزیع برنولی) .در واقع متغیر تصادفی x (تعداد موفقیت‌ها) را متغیر دوجمله‌ای با پارامترهای n و p می‌گویند .