. متن داده‌شده را خلاصه کن

متن: می‌گوییم یک زنجیره از ایده‌آل‌های اول به فرم دارای طول است. یعنی، طول آن برابر تعداد علامت‌های زیرمجموعه اکید در زنجیره مذکور است، نه تعداد ایده‌آل‌های اول آن؛ اختلاف تعداد این دو ۱ است. ما بعد کرول را به صورت سوپریمم طول تمام زنجیره‌های ایده‌آل‌های اول درون تعریف می‌کنیم. اگر ایده‌آل اولی چون در داده‌شده باشد، ارتفاع را به صورت نوشته و آن را سوپریمم طول تمام زنجیره ایده‌آل‌های اول شامل تعریف می‌کنیم، یعنی زنجیره‌هایی چون. به بیان دیگر، ارتفاع برابر بعد کرول موضعی سازی حلقه در است. یک ایده‌آل اول دارای ارتفاع صفر است اگر و تنها اگر ایده‌آل اول مینیمال باشد. بعد کرول یک حلقه برابر سوپریمم ارتفاع تمام ایده‌آل‌های ماکسیمال آن است، که برابر با همان سوپریمم ارتفاع تمام ایده‌آل‌های اول آن می‌باشد. در یک حلقه نوتری، هر ایده‌آل اول دارای ارتفاع متناهی است. با وجود این، ناگاتا مثالی از یک حلقه نوتری با بعد کرول بی‌نهایت ارائه داد. یک حلقه را کتناری (زنجیره‌ای یا مسلسل) می‌نامند اگر هر دو ایده‌آل که رابطه زیر مجموعه بودن با هم دیگر داشتند، چون را بتوان به زنجیره ماکسیمالی از ایده‌آل‌های اول بین و توسعه داد، آنگاه هر دو زنجیره ماکسیمالی بین و دارای طولی برابر خواهند بود. یک حلقه را کتناری جهانی گویند اگر هر جبر متناهیا تولید شده روی آن کتناری باشد. ناگاتا مثالی از یک حلقه نوتری ارائه داد که کتناری نبود. در یک حلقه نوتری، قضیه ارتفاع کرول می‌گوید که ارتفاع ایده‌آل اول مینیمال روی ایده‌آل تولید شده توسط عضو حداکثر خواهد بود. به طور کلی‌تر، ارتفاع یک ایده‌آل برابر اینفیموم ارتفاع تمام ایده‌آل‌های اول شامل است. به زبان هندسه جبری، این کمیت برابر هم-بعد زیر واریته‌ی متناظر با است. 
خلاصه:
در جبر جابجایی ، بعد کرول یک حلقه جابجایی به نام ولفگانگ کرول نام گذاری شده و برابر با سوپریمم طول تمام زنجیره ایده‌آل‌های اول آن حلقه است . نیاز نیست بعد کرول متناهی باشد ، حتی اگر حلقه مورد نظر نوتری باشد . بعد کرول را می‌توان به طور کلی‌تر برای مدول‌های روی حلقه‌ها (که شاید ناجابجایی هم باشند) بر اساس انحراف ترتیب جزئی زیرمدول‌ها تعریف کرد . بعد کرول برای ارائه تعریفی جبری از بعد یک واریته جبری معرفی شده است : بعد واریته آفین بر اساس یک ایده‌آل در یک حلقه چند جمله‌ای چون برابر بعد تعریف می‌شود . میدانی چون بعد کرول ۰ دارد ؛ به طور کلی‌تر دارای بعد کرول است .