برداشت کلی شما از مقاله‌ی داده‌شده چیست؟

مقاله: آغاز نظریه جبری اعداد به معادلات سیاله‌ای (یا دیوفانتاینی) بر می‌گردد، نام این معادلات به ریاضیدان اهل اسکندریه قرن سوم میلادی یعنی دیوفانتوس بر می‌گردد، که این معادلات را مطالعه کرده و روش‌هایی برای حل برخی از انواع معادلات سیاله‌ای (یا دیوفانتاینی) توسعه داد. یک مسئله سیاله‌ای عادی به این شکل است که باید دو عدد صحیح مثل و چنان پیدا کنیم که جمعشان و جمع مربعاتشان به ترتیب برابر و باشد: معادلات سیاله‌ای برای هزاران سال مطالعه شدند. به عنوان مثال، جواب معادله سیاله‌ای مربعی توسط سه تایی‌های فیثاغورسی داده‌شده که ابتدا بابلی‌ها (۱۸۰۰ قبل از میلاد) آن را حل کردند. جواب‌های معادلات سیاله‌ای چون ممکن است با استفاده از الگوریتم اقلیدس پیدا شوند (قرن پنجم قبل از میلاد). بزرگترین کار دیوفانتوس اثری بود به نام arithmetica که تنها بخشی از آن باقی‌مانده است. قضیه آخر فرما اولین حدسی بود که توسط پیر د فرما در ۱۶۳۷ زده شد. مشهور است که فرما آن را در حاشیه کتاب arithmetica یادداشت کرد و در آنجا ادعا می‌کند که اثباتی برای آن دارد که به خاطر بزرگ بودنش در حاشیه کتاب جا نمی‌شود. تا سال ۱۹۹۵ با وجود تلاش‌های فراوان بسیاری از ریاضیدانان در طی ۳۵۸ سال هیچ اثباتی برای این حدس منتشر نشد. این مسئله حل‌نشده موجب تحریک توسعه نظریه جبری اعداد در قرن نوزدهم میلادی شده و اثبات قضیه مدولاریتی را در قرن بیستم رقم زد. یکی از کار‌های بنیادین در نظریه جبری اعداد، کتابی با نام تحقیقاتی در حساب (با عنوان لاتین: disquisitiones arithmeticae) است که به زبان لاتین توسط کارل فردریش گاوس در ۱۷۹۸ نوشته شد، زمانی که او ۲۱ ساله بود و اولین چاپش مربوط به ۱۸۰۱ زمانی که او ۲۴ ساله بود صورت گرفت. در این کتاب، گاوس نتایج مختلف در نظریه اعداد را که توسط ریاضیدانانی چون فرما، اویلر، لاگرانژ و لژاندر بدست آمده بودند را گرد هم آورده و نتایج مهم جدیدی از خودش نیز بدان افزود. قبل از این‌که این کتاب منتشر شود، نظریه اعداد عمدتا شامل مجموعه‌ای از قضایا و حدس‌های منزوی بود. گاوس کارهای پیشینیان خود را به همراه کار اصیل خویش گرد هم آورد و در یک چارچوب نظام‌مند، شکاف‌ها را پر کرده، اثبات‌های بی‌معنا را معنا بخشید و موضوع مورد نظر را به طرق مختلف گسترش داد. کتاب disquisitiones نقطه شروعی برای کار‌های دیگر ریاضیدانانی چون ارنست کومر، پیتر …
برداشت:
نظریه جبری اعداد شاخه‌ای از نظریه اعداد است که از تکنیک‌های جبر مجرد برای مطالعه اعداد صحیح ، اعداد گویا و تعمیمشان استفاده می‌کند . سؤالات نظریه اعدادی بر اساس خواص اشیاء جبری چون میدان اعداد جبری و حلقه‌های اعداد صحیحشان ، میدان‌های متناهی و میدان توابع بیان می‌شود . چنین خواصی مثل خاصیت تجزیه یکتایی یک حلقه ، رفتار ایده‌آل‌ها و گروه‌های گالوای میدان‌ها می‌تواند مسائل مهم نظریه اعداد چون وجود جواب برای معادلات سیاله‌ای را حل کند .