. متن داده‌شده را خلاصه کن

متن: تعریف می‌کنیم (برای مثال صفحه مختلط گسترش‌یافته). کره ریمان بر اساس یک تبدیل از به در فرم است. که ما کره ریمان را به مثابه یک کره در فضای سه‌بعدی تصور می‌کنیم. مثلا در. در ارتباط با تبدیل بالا هر نقطه دو مؤلفه و است که کره را به خودش تبدیل می‌کند. برای برقراری تناظر یک‌به‌یک میان نقاط روی صفحه مختلط گسترش‌یافته و کره ریمان، ما نخست صفحه را مماس با قطب شمال کره قرار می‌دهیم. و سپس کنج نکاری را از قطب جنوب کره اعمال می‌کنیم. به این طریق که از قطب جنوب خطی که صفحه مختلط و کره را قطع می‌کند را رسم می‌کنیم. که تناظر یک‌به‌یک منحصربه‌فرد مطلوب را ایجاد می‌کند. برای کامل کردن این تناظر یک‌به‌یک ما پیرو قاعده بالا قطب جنوب را. قرار می‌دهیم، با توجه به این‌که قطب شمال است. تناظر بین صفحه و کره ریمان از راه دیگری نیز ممکن است. به سادگی «وارون» می‌کنیم و صفحه را مماس به قطب جنوب و به جهت مقابل صفحه قرار می‌دهیم، به گونه‌ای که وصل می‌شود به و سپس کنج نگاری را از قطب جنوب انجام می‌دهیم و قطب شمال را تعریف می‌کنیم. حالا هر نقطه روی کره و همپایه خود را در تبدیل بالا دارد. شکل سمت راست نمایش دو بعدی کنج نگاری را از سمت راست نشان می‌دهد. با وجود این‌که شباهت به‌هم‌خورده‌ای از نگاشت به است، مخصوص به کره ریمان نیست. روش دیگر کنج نگاری صفحه‌ها را روی خط استوا قرار می‌دهد. اما تقابل آن‌ها را حفظ می‌کند. لذا صفحه‌ها از نطر هندسی متمایز نیستند. این روش کره ریمان در توسعه ریاضیات کمتر مورد توجه است. اما به نظر می‌رسد که در فیزیک محبوب است. برای مثال راجر پنروز در پیشبرد نظریه حافظه پیچشی از آن استفاده کرده‌است. تبدیلات موبیوس که از به هستند یک خودریختی از کره ریمان هستند که،، و. این‌ها کره ریمان را به خودش می‌نگارند و زاویه‌ها و جهت‌ها را حفظ می‌کنند. این می‌تواند مستقیما دیده شود، زیرا آن‌ها می‌توانند به صورت ترکیبی از نقشه‌ها در فرم بیان شوند. (که r و اعداد حقیقی هستند و یک عدد مختلط است) این‌ها مرتب هستند. اتساع‌ها، چرخش‌ها و تبدیل‌های ابتدایی و وارون‌سازی مختلط (یک ترکیب از وارون سازی در دایره واحد و یک انعکاس روی خط حقیقی) هر کدام با صفحه مختلط وفق دارند. استفاده از به ما اجازه می‌دهد که درستی آن را در بی‌نهایت چک کنیم. ساختمان منیفلد مختلط روی صفحه ریمان به وسیله یک اطلس با دو …
خلاصه:
در ریاضیات ، کره ریمان که به افتخار برنهارت ریمان نامگذاری شده‌است ؛ تنها راه برای نمایش صفحه گسترش‌یافته مختلط است (صفحه مختلط به اضافهٔ یک نقطه در بینهایت) به‌طوری‌که دقیقا نقطه در بی‌نهایت به مانند یک عدد مختلط دیده می‌شود . کاربرد اصلی آن در رابطه با توابع مختلط گسترش‌یافته است (که می‌توانند در بینهایت تعریف شوند یا به ازای اعداد مختلطی مقدار بی‌نهایت بگیرند) .به همین طریق می‌توانند در نقطهٔ بی‌نهایت به مانند هر عدد مختلط دیگر پیوستگی و مشتق پذیری را ملحوظ دارند . این هندسه به عنوان هندسهٔ کرهٔ دو بعدی شناخته می‌شود که از صفحهٔ گسترش‌یافتهٔ مختلط با استفاده از کنج‌نگاری شکل گرفته‌است . به فرمی که خطها ، در صفحهٔ مختلط به دایره‌هایی از میان بینهایت تبدیل می‌شوند .