. متن داده‌شده را خلاصه کن

متن: برای این‌که تابع f از مجموعه x و به مجموعه y دوسویی باشد باید چهار شرط زیر برقرار باشند: هر عضو مجموعه x باید با حداقل یک عضو مجموعه y جفت‌شده‌باشد، هیچ عضو x نباید با بیش از یک عضو y جفت‌شده‌باشد، هر عضو مجموعه y باید با حداقل یک عضو مجموعه x جفت‌شده‌باشد و هیچ عضو y نباید با بیش از یک عضو x جفت‌شده‌باشد. شرط‌های یک و دو تضمین می‌کنند که f تابعی با دامنه‌ی x است. شرط‌های یک و دو گاهی به صورت یک شرط هم نوشته می‌شوند: باید هر عضو مجموعه x دقیقا با یک عضو از مجموعه y جفت شود. توابعی که شرط سوم را دارا هستند توابع پوشا نام دارند. شرط چهارم هم تعریف توابع یک‌به‌یک است. با توجه به این عبارت می‌توان نتیجه گرفت که یک تابع دوسویی است اگر و فقط اگر هم یک‌به‌یک باشد هم پوشا. معلم در کلاس به دانش‌آموزان می‌گوید روی صندلی‌ها بنشینند و مشاهده می‌کند همه دانش‌آموزان نشسته‌اند و تمام صندلی‌ها پر هستند و نتیجه می‌گیرد تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است. با بررسی ۴ شرط تعریف می‌توان نتیجه گرفت که با جفت کردن هر دانش‌آموز با صندلیش می‌توان تناظر یک‌به‌یک میان دانش‌آموزان و صندلی‌ها ایجاد کرد: تمام دانش‌آموزان نشسته‌اند (هیچ‌کدام سرپا نیست)، هیچ دانش‌آموزی روی بیش از یک صندلی ننشسته است. تمام صندلی‌ها پر هستند و روی هیچ صندلی بیش از یک نفر ننشسته است. پس میان دانش‌آموزان وصندلی‌ها تناظر یک‌به‌یک برقرار است و در نتیجه تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است. مثال دیگر بازیکنان فوتبال (یا هر ورزش دیگر) و جایگاه آن‌ها در زمین بازی است. اگر ۱۱ بازیکن و ۱۱ جایگاه در ترکیب تیم در نظر بگیریم با جفت کردن هر بازیکن با جایگاهش تناظر به دست می‌آید. چون ۴ شرط فوق برآورده می‌شوند. برای هر مجموعه x تابع همانی، دوسویی است. تابع f: r → r, f (x) = ۲ x + ۱ دوسویی است چون برای هر y یک x = (y − ۱) / ۲ وجود دارد. به طور کلی تمام توابع خطی به شکل f (x) = ax + b روی اعداد حقیقی دوسویی هستند اگر a مخالف صفر باشد. چون برای هر y وجود دارد یک x = (y - b) / a. تابع (f: r → (-π / ۲ , π / ۲) , f (x) = arctan (x دوسویی هست چون هر x دقیقا با یک زاویه مثل y در بازه (π / ۲ , π / ۲ -) جفت می‌شود به طوری که (y = arctan (x به عبارت دیگر معادله (x = tan (y در بازه مذکور دقیقا یک جواب دارد. تابع نمایی g: r → r, g (x) = ex دو سویی نیست. یک …
خلاصه:
در ریاضیات یک تابع دوسویی (یا تناظر یک به یک) به تابعی میان اعضای دو مجموعه گفته می‌شود به شرط این که هر عضو از هر مجموعه با دقیقا یک عضو از مجموعه دیگر جفت شده باشد . در هیچ‌کدام از مجموعه‌ها هیچ عضو بدون جفتی وجود ندارد . هر تابع دوسویی از مجموعهٔ x به مجموعهٔ y دارای یک تابع وارون از y به x است . اگر این دو مجموعه متناهی باشند در این صورت وجود تناظر یک‌به‌یک میان اعضای آن‌ها نشان‌دهندهٔ این است که تعداد اعضای این دو مجموعه برابر است . در مورد مجموعه‌های نامتناهی این تناظرها باعث به وجود آمدن مفهوم اعداد کاردینال شدند که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌های متفاوت هستند . توابع دوسویی برای بسیاری از مباحث ریاضی ابزاری ضروری هستند .