How many times can you spot the letter "н" in:
Q: Как запросить у пользователя выбор приложения по умолчанию и узнать какое он выбрал? Нужно, чтобы допустим при при клике на кнопку открывалось окно с выбором приложения по умолчанию. К примеру, как на скрине №3.

После того как приложение по умолчанию будет выбрано пользователем, нужно, как-то проверять какое приложение им было выбрано и если было выбрано не наше приложение - определять это.
P.S. В моём случае нужно, чтобы пользователь выбрал приложение по умолчанию для смс.
Как этого добиться?
Пожалуйста, приведите пример кода. 

A: Чтобы определить выбранное пользователем приложение по умолчанию, вам должен помочь метод PackageManager.resolveActivity()
Начиная с API 24 приложение может получить интент ACTION_DEFAULT_SMS_PACKAGE_CHANGED о том, что оно стало или перестало быть дефолтным приложением для получения SMS. 

user
There are forty-two "н"s.
assistant