Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie transcendante, article 4
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie transcendante, article 4

## QUESTIONS RÉSOLUES.

### Solution des deux problèmes de géométrie énoncés à la page 132 du présent volume ;

PROBLÈME I. Entre tous les arcs de cercles de même longueur et de différens rayons, quel est celui qui comprend le plus grand segment circulaire entre lui et sa corde ?

Solution. Pour fixer les idées, supposons qu’il soit question d’un segment plus petit que le demi-cercle. Soient a la longueur constante de l’arc dont il s’agit, x la longueur variable de son rayon, et y l’aire du segment qui lui répond, nous trouverons successivement

… =a/x,

……=1/2 ax,

……=2xSin.a/2x,

……=x(1−Cos.a/2x ),

…=xCos.a/2x,

……=x²Sin.a/2x Cos.a/2x=1/2 x²Sin.a/x,

y=

=1/2 ax−1/2 x²Sin. a/x.

Nous remarquerons que cette dernière formule convient également au cas où le segment devrait excéder le demi-cercle, pourvu que, comme on le pratique ordinairement, Sin.a/x soit pris avec son signe.

On peut même concevoir tels segmens de cercles qui excèdent tant qu’on voudra le cercle auquel ils se trouvent correspondre. Un segment de cercle est, en effet, la surface comprise entre un arc quelconque et sa corde ; or, rien n’empêche qu’on ne prenne l’arc plus grand qu’une circonférence et même plus grand que tant de circonférences on voudra ; et alors le segment vaudra lui-même plus d’un cercle entier, et pourra même surpasser tel nombre de cercles on voudra. Cette remarque rendra plus faciles à interpréter les résultats que nous allons obtenir.

En différentiant deux fois consécutivement la valeur de y, on trouvera

d⁡y/d⁡x=1/2 a−xSin.a/x+1/2 aCos.a/x, d²⁡y/d⁡x²=1/2 a²−x²/x² Sin.a/x+a/x Cos.a/x.

Suivant donc les théories connues, on obtiendra la condition commune au maximum et au minimum en égalant à zéro la valeur de d⁡y/d⁡x, et les valeurs de x qui résulteront de cette condition répondront au maximum ou au minimum suivant qu’elles rendront d²⁡y/d⁡x² négatif ou positif.

L’égalité à zéro de la valeur de d⁡y/d⁡x donne

a(1+Cos.a/x )−2xSin.a/A=0, x

ou bien

2aCos.² a/2x−4xSin.a/2x Cos.a/2x=0,

ou encore

(aCos.a/2x−2xSin.a/2x )Cos.a/2x=0.

En égalant le premier facteur à zéro, il vient

Tang.a/2x=a/2x,

a/2x=0

x=∞.

Cette valeur répond évidemment au cas où l’arc a est une ligne droite. Il se confond alors avec sa corde, et le segment est nul et conséquemment minimum. On trouve, en effet, pour x infini,

=0,

=a,

…… =0,

comme cela doit être. On trouve ensuite d²⁡y/d⁡x²=+a/2x, qui est le caractère du minimum.

Si, au contraire, on égale le dernier facteur à zéro, il viendra

Cos.a/2x=0

a/2x=((2n+1)ϖ)/2,

n étant un nombre entier positif quelconque, ce qui donne

x=a/((2n+1)ϖ).

Il en résulte

Sin.a/2x=0, Cos.a/2x=−1,

et on trouve, en conséquence,

=(2n+1)ϖ,

=a²/(2(2n+1)ϖ),

=2a/((2n+1)ϖ),

=a/((2n+1)ϖ),

…… =a²/(2(2n+1)ϖ) ;

on trouve de plus

d²⁡y/d⁡x²=−(2n+1)ϖ,

ce qui montre que l’aire du segment est ici un maximum ; mais, à cause de l’indétermination de n, on voit qu’il y a ici une infinité de maxima, lesquels consistent tous en un certain nombre de cercles plus un demi-cercle. La valeur

y=a²/(2(2n+1)ϖ)

prouve en outre que le maximum maximorum aura lieu, lorsqu’on aura n=0, et alors le segment sera évidemment un simple demi-cercle.

PROBLÈME II. Entre toutes les calottes sphériques de même surface et de différens rayons, quelle est celle qui comprend le plus grand segment sphérique entre elle et le plan du cercle qui lui sert de base ?

Solution. Pour fixer les idées, supposons qu’il soit question d’une calotte moindre que l’hémisphère. Soient a² la surface constante de la calotte dont il s’agit, x la longueur variable du rayon de la sphère à laquelle elle appartient, et enfin y le volume du segment sphérique qui lui répond ; nous trouverons successivement

… a²/2ϖx,

… 1/3 a²x,

… 2ϖx²−a²/2ϖx,

… a√(4ϖx²−a²)/2ϖx,

a²(4ϖx²−a²)/4ϖx²,

… a²(4ϖx²−a²)(2ϖx²−a²)/24ϖ²x³,

y=

a⁴.6ϖx²−a²/24ϖ²x³.

En différentiant deux fois la valeur de y, on trouve

d⁡y/d⁡x=a⁴/8ϖ².a²−2ϖx²/x⁴, d²⁡y/d⁡x²=a⁴/2ϖ².ϖx²−a²/x⁵.

En égalant donc à zéro la valeur de d⁡y/d⁡x, on obtiendra pour la condition commune au maximum et au minimum

a²−2ϖx²=0,

x=a²/2ϖx ;

il faut donc que le rayon soit égal à la flèche du segment, ou en d’autres termes, que ce segment soit une hémisphère.

On tire de là

ϖx²−a²=−ϖx²,

et par suite

d²⁡y/d⁡x²=−a⁴/2ϖx³ ;

et comme x est positif, il s’ensuit que cette valeur est négative et qu’ainsi l’hémisphère est le segment maximum.

Si l’on supposait le secteur plus grand que l’hémisphère, on aurait

…=a²−2ϖx²/2ϖx,

…… =a²(4ϖx²−a²)(a²−2ϖx²)/24ϖ²x³,

y=

=a⁴.6ϖx²−a²/24ϖ²x³ ;

valeur pareille à la précédente, et qui conduirait aux conséquences.

