Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Analise transcendante, article 3
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Analise transcendante, article 3

## ANALISE TRANSCENDANTE.

### Recherches sur les intégrales définies ;

Toute fonction se développant, en général, suivant les puissances de la variable indépendante, on peut toujours mettre une fonction quelconque F⁡(t) sous la forme S.yₓtˣ, le signe S s’étendant à tous les nombres entiers, depuis x=0 jusqu’à x=∞, et yₓ étant indépendant de t.

Cela posé, le problème général de la sommation des suites revient à transformer la quantité S.yₓtˣ, de la manière la plus propre à l’évaluation de la fonction F⁡(t); et les différentes méthodes qu’offre l’analise pour cet objet, soit par le calcul des différences finies, soit par les substitutions employées par Euler, se ramènent toutes aux fonctions génératrices.

Mais si, au lieu de transformer de diverses manières la série qui équivaut à la fonction F⁡(t), on se proposait d’en déduire de nouvelles, qui répondissent à certaines conditions, le problème serait essentiellement différent du premier ; et les différentes méthodes qui se présentent, dans cette partie de l’analise, se rattachent presque toutes à la théorie des intégrales définies, quoiqu’on voie difficilement la liaison qui existe entre elles. C’est pourquoi je me propose de présenter quelques recherches où elles sont comprises comme des conséquences d’un seul principe que je vais d’abord exposer dans toute sa généralité.

Soit ∇U une fonction quelconque linéaire de U, c’est-à dire telle que ∇(U+V)=∇U+∇V, et pouvant par conséquent renfermer un nombre quelconque de différentiation et d’intégrations par rapport à toutes les variables contenues dans U, on aura ∇F⁡(t)=S.yₓ∇.tˣ, en supposant que le signe ∇ se rapporte uniquement à la quantité t; faisant donc ∇.tˣ=zₓ, on aura ∇F⁡(t)=S.yₓzₓ. L’on voit ainsi que chaque forme différente de ∇ mène à une valeur différente de zₓ, et par conséquent de S.yₓzₓ; mais, dans l’impossibilité de les parcourir toutes, il faut se borner à celles qui se présentent naturellement les premières, et qui peuvent servir de base à des recherches plus compliquées.

La forme la plus simple que l’on puisse donner à ∇, après celle d’un simple produit, est la forme différentielle. En supposant, pour plus de généralité, t=U, et de plus U et U₁ des fonctions quelconques de u, on aura

d/d⁡u.U₁F⁡(U)=S.yₓ d/d⁡u.U₁Uˣ=S.yₓzₓ.

Donnant, par exemple, à U et Uₗ des formes de puissances ou d’exponentielles, on aura zₓ de la forme (n+mx)uⁿ⁺ᵐˣ⁻¹, ou (a+bx)e⁽ᶜ⁺ᵇˣ⁾ᵘ; et l’on en peut déduire une infinité d’autres séries, en continuant les mêmes opérations si loin qu’on voudra. Si ∇ avait la forme d’une différence ou intégrale aux différences finies, on ne trouverait facilement des résultats élégans que lorsque U et U₁ auraient la forme d’exponentiels ; mais ces opérations n’ayant d’ailleurs aucune difficulté, je vais m’occuper du cas où ∇ a la forme d’une intégrale ordinaire ; ce qui donne lieu à des conséquences très-variées et très-remarquables. Mais, pour ne pas être entraîné en des recherches trop compliquées, je me bornerai à la comparaison des séries à simple entrée, et c’est ce qu’on fait en admettant pour les quantités Uₗ et U des formes qui ne soient pas plus générales que celle du binôme, dont on sait que les fonctions exponentielles et circulaires ne sont que des cas particuliers.

Dans cette supposition, le principe qui sert de base aux recherches contenues dans ce mémoire se réduit au fond à celui que Euler a employé le premier pour représenter, par des intégrales définies, la série qui intègre une certaine espèce d’équations différentielles ; mais, si on l’expose dans toute sa généralité, on voit s’y rattacher les résultats les plus généraux qu’on ait obtenu sur la théorie des intégrales définies. Parmi les résultats que présente cette théorie, il faut bien, distinguer ceux qui comprennent une infinité de fonctions différentes, assujetties seulement à une propriété commune, de ceux qui, par leur nature, se bornent à une classe particulière de fonctions ; et, quoique ceux-ci soient presque tous trouvés par des considérations particulières et par des artifices très-divers, il faut néanmoins qu’ils se déduisent, comme des corollaires, de ceux-là.

En effet, la méthode générale, dont nous allons exposer les conséquences, consiste à former l’équation

∫U₁F⁡(U)d⁡u=Syₓ∫U₁Uˣd⁡u=Syₓzₓ,

où il s’agit de déterminer zₓ, pour les différentes formes de U₁ et de U, la variable u étant prise entre des limites convenables. D’abord, on peut laisser à F⁡(U) et à y, une forme quelconque, ce qui donne une grande généralité à celles qui en résultent. Ainsi, par exemple, si l’on substitue pour Uₗ et U des exponentielles imaginaires, on en déduira, par des considérations très-simples que nous exposerons plus bas, le théorème de M. Fourier. Mais, la plupart des recherches qu’on a faites sur les intégrales définies dépendent de valeurs particulières de yₓ, parmi lesquelles on s’est sur-tout attaché à discuter celles qui ramènera en même temps les deux séries S.yₓ et S.yₓzₓ à des fonctions qu’on a adoptées dans la langue analitique. C’est ainsi, par exemple ; que la supposition yₓ=(−aˣ)ˣ/1.2.3…x fait la première égale à Cos.a, et celle de U=u², U₁=e⁻ᵃˣ fait la seconde égale à √ϖ/2.e⁻ᵘᐟ⁴. Cependant, il faut encore, dans cette partie, remarquer des formes fondamentales, d’où dépendent un grand nombre de formes secondaires plus ou moins élégantes, telles sont, par exemple,

∫ Cos.mu/(n²+u²) d⁡u, ∫uᵃe⁻ᵘCos.mu.d⁡u,

qu’on a trouvées par la rédaction à des équations différentielles, par le passage du réel à l’imaginaire, etc. Nous aurons soin de les exposer, comme des corollaires de la formule générale

∫U₁F⁡(U)d⁡u=Syₓ∫U₁Uˣd⁡u;

et ne supposant pas Uₗ et U des fonctions plus générales que le binôme, nous rappellerons seulement la formule connue

∫uᵐ⁻¹d⁡u(1−auⁿ)ᵖ=uᵐ⁻ⁿ(1−auⁿ)+m−n/(a(m+np)) ∫uᵐ⁻ⁿ⁻¹(1−auⁿ)ᵖd⁡u;

d’où on tire, en supposant n, p et m−rn−1 positifs, et prenant l’intégrale depuis u=0 jusqu’à u=ⁿ√(1/a),

∫uᵐ⁻¹d⁡u(1−auⁿ)ᵖ=

(m−n)(m−2n)…(m−rn)/(aʳ(m+np)[m+n(p−1)]…[m+n(p−r+1)]) ∫uᵐ⁻ʳⁿ⁻¹(1−auⁿ)ᵖd⁡u

Faisant d’abord U=u et Uₗ=(1−auⁿ)ᵖ, on aura

∫uᵐ(1−auⁿ)ᵖd⁡u=zₓ;

mais il est facile de voir, par la formule précédente, que cette quantité doit, en général, dépendre d’un nombre n d’intégrales différentes. En effet, x étant un nombre entier, on peut toujours lui donner la forme d’un multiple de n plus un nombre entier moindre que n, en supposant ce dernier nombre également entier, ce qui donne les relations suivantes :

∫uʳⁿ(1−auⁿ)ᵖd⁡u=(1(1+n)…[1+(r−1)n])/(aʳ[1+(p+1)n]…[1+(p+r)n]) ∫(1−auⁿ)ᵖd⁡u, ∫uʳⁿ⁺¹(1−auⁿ)ᵖd⁡u=(2(2+n)…[2+(r−1)n])/(aʳ[2+(p+1)n]…[2+(p+r)n]) ∫u(1−auⁿ)ᵖd⁡u, ………………………………………, ∫uʳⁿ⁺ⁿ⁻¹(1−auⁿ)ᵖd⁡u=n.2n.3n…rn/(aʳ(p+2)n…(p+r+1)n) ∫uⁿ⁻¹(1−auⁿ)ᵖd⁡u;

d’où l’on déduit

∫d⁡u(1−auⁿ)ᵖF⁡(u)={y₀+1/(a[1+(p+1)n]) yₙ+(1(1+n))/(a²[1+(p+1)n][1+(p+2)n]) y₂ₙ+…}∫(1−auⁿ)ᵖd⁡u, +{y₁+2/(a[2+(p+1)n]) yₙ₊₁+(2(2+n))/(a²[2+(p+1)n][2+(p+2)n]) y₂ₙ₊₁+…}∫(1−auⁿ)ᵖud⁡u, ………………………………………………+{yₙ₋₁+1/(a(p+2)) y₂ₙ₋₁+1.2/(a²(p+2)(p+3)) y₃ₙ₋₁+…}∫(1−auⁿ)ᵖuⁿ⁻¹d⁡u;

et, dans le cas particulier où a=b/p et p =∞, on aura

∫d⁡u.e⁻ᵇᵘⁿ.F⁡(u)={y₀+1/bn yₙ+(1(1+n))/b².n² y₂ₙ+…}∫e⁻ᵇᵘⁿd⁡u+{y₁+2/bn yⁿ⁺¹+(2(2+n))/b².n² y₂ₙ₊₁+…}∫ue⁻ᵇᵘⁿd⁡u……………………………………+{yₙ₋₁+1/b y²ⁿ⁺¹+1.2/b² y₃ₙ₋₁+…}∫uⁿ⁻¹e⁻ᵇᵘⁿd⁡u.

Ces n suites infinies se réduisent à une seule, dans le cas où la fonction F⁡(t) ne contient que les puissances de tˣ; car, en faisant F⁡(t)=f⁡(tⁿ)=S.vₓtˣⁿ, on aura

∫(1−auⁿ)ᵖu𐞥f⁡(uⁿ)d⁡u=S.vₓ∫(1−auⁿ)ᵖu𐞥⁺ⁿˣd⁡u

=S.vₓ.(q(q+n)…[q+(x−1)n])/(aˣ[q+(p+1)n]…[q+(p+x)n]) ∫(1−auⁿ)ᵖu𐞥d⁡u.

Pouvant répéter ces opérations tant de fois qu’on voudra, on formera facilement l’équation

∫ⁿ(1−auᵋⁿ)ᴾⁿᐟᵋuₙᵐⁿ⁻¹…(1−au₂ᵋ)ᴾ²ᐟᵋu₂ᵐ²⁻¹(1−au₁ᵋ)ᴾ¹ᐟᵋu₁ᵐ¹⁻¹f⁡(uₙᵋ, uₙ₋₁ᵋ, …u₁ᵋ)d⁡uₓ…d⁡u₁/Tₙ…T₂.T₁

=S.(m₁m₂…mₙ.(mₙ+ε)…(mₙ+ε)…[m₁+(x−1)ε]…[mₙ+(x−1)ε])/(aⁿˣ(m₁+p₁+ε)…(mₙ+pₙ+ε)…(m₁+p₁+xε)…(mₙ+pₙ+xε))

Les qualités ε, m₁, m₂, …, p₁, p₂, … étant des constantes quelconques, assujetties à la seule condition de ne pas rendre les intégrales infinies entre les limites assignées ; et chacune des quantités T₁, T₂, … ayant la forme

Tᵣ=∫(1−auᵣᵋ)ᴾʳᐟᵋuᵣᵐʳ⁻¹d⁡uᵣ;

toutes ces intégrales étant prises d’ailleurs entre les limites 0 et ᵋ√(1/a).

On trouve facilement que cette formule donne, sous forme finie, l’intégrale de l’équation

(A₀+B₀xᵋ)/1.dⁿ⁡y/d⁡xⁿ+(A₁+B₁xᵋ)/x.dⁿ⁻¹⁡y/d⁡xⁿ⁻¹+…+(Aₙ+Bₙxᵋ)/xⁿ.y=αxᵝ.

En effet, l’on trouve, par un procédé que j’ai exposé ailleurs (Annales, tom. XI) pour la valeur complète de y, un nombre n+1 de séries, dont chacune présente un nombre de constantes égal à celui des quantités m₁, m₂, …p₁, p₂, …. Quant à la fonction f⁡(uᵋ, on trouve que, pour ce cas, elle prend la forme 1/1−δuᵋ, les quantités v₀, v₁, v₂, … devant être de simples puissances d’une constante δ.

Nous avons uniquement considéré le cas où l’intégrale

∫(1−auⁿ)ᵖF⁡(u)d⁡u

se ramène à une seule série, pour des valeurs quelconques de n, et nous allons maintenant discuter les simplifications que comportent des valeurs particulières de cette quantité. D’abord, il est facile de voir que, lorsque n=1, on n’aura jamais qu’une seule série pour l’intégrale proposée ; mais il est encore possible d’y ramener le cas où n=2. En effet, si l’on observe que l’intégrale

∫(1−au²)ᵖud⁡u,

prise depuis u=−√(1/a) jusqu’à u=+√(1/a) est =0, on verra que la valeur de

∫(1−au²)ᵖF⁡(u)d⁡u

se réduit à la seule série

{y₀+1/(a(3+2p)) y₂+1.3/(a²(3+2p)(5+2p)) y₄+…∫(1−au²)ᵖd⁡u, }{u=−√(1/a)u=+√(1/a)}

Si l’on suppose a=a/b et p=∞, on a la formule par laquelle M. Laplace a présenté, sous forme finie, l’intégrale de l’équation d⁡z/d⁡y=d²⁡z/d⁡x². Pour les autres valeurs de n, il paraît, en général, impossible de ramener à une seule les n séries différentes ; c’est pourquoi nous nous bornerons, pour le moment, aux cas ou n=1 ou 2.

Soit donc U=uᵅ(1−au)ᵝ et U₁=uᵞ(1−au)ᵟ, on aura, en supposant α et γ des nombres entiers,

∫uᵞ(1−au)ᵟF⁡[uᵅ(1−au)ᵝ]d⁡u=

S.yₓ (1.2.3…(γ+αx))/((1+δ+βx)…[1+δ+γ+(β+α)x]aᵞ⁺ᵅˣ⁺¹) ;{u=0u=1/a }

d’où

∫uᵞe⁻ᵟᵘF⁡(uᵅ, e⁻ᵝᵘ)d⁡u=S.yₓ (1.2.3…(γ+αx))/((δ+βx)ᵞ⁺ᵅˣ⁺¹).{u=0u=∞}

Si, par exemple, on a F⁡(t)=eᵗ, on aura

1/δ+1/((δ+β)²)+1/((δ+2β)³)+…=∫e⁻ᵟᵘ.eᵘᵉ⁻ᵝᵘd⁡u;

et si l’on fait F⁡(t)=Cos.t,

1/δ−1/((δ+β)³)+1/((δ+2β)⁵)−…=∫e⁻ᵟᵘ.Cos.ue⁻ᵝᵘd⁡u,

et ainsi de suite.

Si γ n’était pas entier, il faudrait ramener l’intégrale ∫uᵞ⁺ᵅˣ(1−au)ᵟ⁺ᵝˣ à celle-ci

((γ+αx)…(γ+1))/(aᵅˣ(γ+αx+δ+βx+1)…(γ+δ+βx+2)) ∫uᵞ(1−au)ᵟ⁺ᵝˣd⁡u;

mais x étant différent pour les différens termes de la suite, il faut absolument supposer β=0, à moins que l’on ne veuille introduire une transcendante irréductible dans chaque terme.

Faisant, par exemple,

yₓ=(−c²)ˣ/1.2.3…2x,

on aura

∫uᵞ(1−au)ᵟCos.cu.d⁡u=

{1−((γ+1)(γ+2)c²)/(1.2a²(γ+δ+2)(γ+δ+3))+((γ+1)(γ+2)(γ+3)(γ+4)c⁴)/(1…4a⁴(γ+δ+2)…(γ+δ+5))−…}∫uᵞ(1−au)ᵟd⁡u

d’où

∫uᵞe⁻ᵟᵘCos.cu.d⁡u=

{1−((γ+1)(γ+2))/1.2δ² c²+((γ+1)…(γ+4))/1.2.3.4δ⁴ c⁴−…}∫uᵞe⁻ᵟᵘd⁡u

=((1−c/δ √(−1))⁻⁽ᵞ⁺¹⁾+(1+c/δ √(−1))⁻⁽ᵞ⁺¹⁾)/2 ∫uᵞe⁻ᵟᵘd⁡u(u=0u=∞)

On fait aisément disparaître les imaginaires contenus dans cette dernière expression, en observant que

Cos.mx=(Cos.x)⁻ᵐ/2 {(1+√(−1) Sin.x/Cos.x )⁻ᵐ+(1−√(−1) Sin.x/Cos.x )⁻ᵐ}

et faisant Tang.x=c/δ, d’où

Cos.x=1/(√(1+c²/δ²)) ;

on aura ainsi

Cos.[mArc.(Tang.=c/δ )]=((1+c²/δ² )ᵐᐟ²)/2 ×

{(1+√(−1) c/δ )⁻ᵐ+(1−√(−1) c/δ )⁻ᵐ};

d’où l’intégrale connue

∫uᵞe⁻ᵟᵘ.Cos.cu.d⁡u=(Cos.[(γ+1)Arc.(Tang.=c/δ )])/((1+c²/δ² )⁽ᵞ⁺¹⁾ᐟ²) ∫uᵞe⁻ᵟᵘd⁡u.

Si, au lieu de Cos.cu, on avait Sin.cu, on procéderait d’une manière analogue.

Faisant présentement U=uᵅ(1−au²)ᵝ et U₁=uᵞ(1−au²)ᵟ, l’on aura

∫U₁F⁡(U)d⁡u=S.yₓ∫uᵞ⁺ᵅˣ(1−au²)ᵟ⁺ᵝˣ,

d’où

∫uᵞe⁻ᵟᵘF⁡(uᵅ, e⁻ᵝᵘ²)d⁡u=S.yₓ∫uᵞ⁺ᵅˣe⁻ᵘ²⁽ᵟ⁺ᵝˣ⁾d⁡u.(u=−∞u=+∞)

Supposant α=2 et γ=2c, on trouve, pour le seeond membre

S.yₓ.(1.3.5…[2(c+x)−1])/([2(δ+βx)]ᶜ⁺ˣ(δ+βx)¹ᐟ²) ∫e⁻ᵗ²d⁡t.(t=−∞t=+∞)

Soient, par exemple, β=0, F⁡(U)=Cos.u; en observant que

∫e⁻ᵗ²d⁡t=√ϖ,

on trouve facilement

∫e⁻ᵟᵘ².Cos.u.d⁡u=e⁻ᵟᐟ⁴√(ϖ/δ);

et, si les limites étaient 0 et ∞, cette dernière quantité se réduirait à la moitié de sa valeur.

Mais ces recherches se continuant sans difficulté, par le principe que nous avons posé, je passe aux fonctions circulaires ; et quoique ces dernières fonctions puissent être considérées comme cas particuliers de celles que nous venons de discuter, elles exigent néanmoins des modifications remarquables.

En effet, de la formule connue

∫uᵐ⁻¹(1+bu)ᵖd⁡u=(1+bu)ᵖ⁺¹{ uᵐ⁻¹/(b(m+p))−(m−1)uᵐ⁻¹/(b²(m+p)(m+p−1)) }

+(m−1)(m−2)/(b²(m+p)(m+p−1)) ∫uᵐ⁻³(1+bu)ᵖd⁡u,

en faisant

((1+bu√(−1))ᵖ+(1−bu√(−1))ᵖ)/2=ϕ(p, u),

((1+bu√(−1))ᵖ−(1−bu√(−1))ᵖ)/2=ψ(p, u),

on tire

∫uᵐ⁻¹ϕ(p, u)d⁡u=ψ(p+1, u) uᵐ⁻¹/(b(m+p))+((m−1)uᵐ⁻²ϕ(p+1, u))/(b²(m+p)(m+p−1))

−(m−1)(m−2)/(b²(m+p)(m+p−1)) ∫uᵐ⁻³ϕ(p, u)d⁡u,

et, en continuant ces opérations jusqu’à ce que l’exposant de u soit devenu =0, on aura deux séries dont l’une contiendra la fonction ϕ et l’autre la fonction ψ; et les limites qui les rendent =0 étant différentes, il sera impossible d’assigner deux limites entre lesquelles tous les termes hors du signe d’intégration disparaissent. En conséquence, si l’on ne veut, dans le problème qui nous occupe, que des séries à simple entrée, il faudra faire m=1; c’est-à-dire, ne prendre pour U₁ et U que des valeurs de la forme (1±bu√(−1))ᵖ; d’où l’on peut toujours former des quantités réelles, en réunissant deux séries où les signes soient différens.

Faisant

U₁=(1±bu√(−1))ᵟ, U=(1±bu√(−1))ᵝ,

on aura

1/2 ∫{(1+bu√(−1))ᵟF⁡[(1+bu√(−1))ᵝ]+(1−bu√(−1))ᵟF⁡[(1−bu√(−1))ᵝ]}d⁡u=

S.yₓ.((1+bu√(−1))ᵟ⁺ᵝˣ⁺¹−(1−bu√(−1))ᵟ⁺ᵝˣ⁺¹)/(2b(δ+βx+1)√(−1))

entre des limites quelconques ; et, à moins que celles-ci ne rendent des termes infinis, on peut étendre le signe S à tous les nombres entiers, soit positifs, soit négatifs. Il est facile d’ailleurs de ramener cette dernière expression à une forme réelle, comme nous l’avons déjà fait plus haut. Cependant, ces formes ne mènent à des résultats élégans que lorsque les puissances se changent en exponentiels, et, si l’on fait

U=e^{±u√(−1)}, U₁=e^{∓nu√(−1)},

on aura

1/2 ∫[e^{−nu√(−1)}F⁡(e^{+u√(−1)})+e^{+nu√(−1)}F⁡(e^{−u√(−1)})]d⁡u=

S.yₓ∫ (e^{(x−n)u√(−1)}+e^{(n−x)u√(−1)})/2 d⁡u=S.yₓ∫Cos.(x−n)u.d⁡u.

En assignant à u les limites 0 et ϖ, on réduit la dernière expression à ϖyₙ, si l’on suppose qu’aucune des valeurs de x, depuis −∞ jusqu’à +∞, ne rend yₓ infini.

On a ainsi, pour la même quantité yₓ deux transformations différentes, dont chacune a ses avantages ; nous allons présentement les discuter, en commençant par la première, où la valeur de yₙ est exprimée par la fonction génératrice F⁡(t). Supposons celle-ci =f⁡(t, v;) ; on aura, en développant suivant les puissances de t et v, la série à double entrée

a_{0, 0}+a_{1, 0}v+a_{2, 0}v²+…+ta_{0, 1}+ta_{1, 1}+ta_{2, 1}+…+t²a_{0, 2}+t²a_{1, 2}+t²a_{2, 2}+…+…+…+…+…

Maintenant, on peut faire v égal à une puissance quelconque entière de t; et, quelle qu’elle soit, on est toujours en état d’exprimer, par une intégrale définie, le coefficient d’une puissance quelconque de t qui provienne de cette substitution pour v. Faisant, par exemple, v=1/t, d’où le coefficient de tⁿ devient

a_{n, 0}+a_{n+1, 1}+a_{n+2, 2}+…=1/2ϖ ∫[e^{−nu√(−1)}f⁡(e^{+u√(−1)}, e^{−u√(−1)})

+e^{+nu√(−1)}f⁡(e^{−u√(−1)}, e^{+u√(−1)})]

depuis u=0 jusqu’à u=ϖ. Soit, par exemple, f⁡(t, v)=eᵗᵉᵛ; on trouve, par cette formule, en faisant n=0, la série

1+1/1²+1/1²+3/(1.2)²+4²/(1.2.3)²+5³/(1.2.3.4)²+6⁴/(1.2.3.4.5)²+…

=1/2ϖ ∫(e^{e+u√(−1)+e−u√(−1)}+e^{e−u√(−1)+e+u√(−1)})d⁡u.

L’introduction des imaginaires dans les intégrales comportant de grandes difficultés, relativement à l’évaluation ; il est intéressant de discuter le cas le plus étendu où il serait possible de les faire disparaître ; c’est-à-dire, où les exponentiels imaginaires pourraient se réduire en des cosinus ou sinus réels. On voit que cela ne peut avoir lieu que lorsque f⁡(t, v) a la forme f⁡(t+v) où v=1/t ; et dans ce cas, on trouve pour le coefficient de tⁿ

1/2ϖ ∫(e^{+nu√(−1)}+e^{−nu√(−1)})f⁡(e^{+u√(−1)}+e^{−u√(−1)})d⁡u

=1/ϖ ∫Cos.nu.f⁡(2Cos.u)d⁡u.

Soit, par exemple,

f⁡(t+v)=A₀+A₁(t+v)ᵐ+A₂(t+v)²ᵐ+…

on aura, en multipliant par (t+v)ⁿ, faisant v=1/t et prenant la partie indépendante de t dans la supposition de m et n pairs, attendu que, pour qu’elle ne soit pas nulle, il faut qu’une partie des nombres n, n+m, n+2m, n+3m, … soient pairs. On aura ainsi

(n(n−1)…( n/2+1))/1.2… n/2 A₀+((n+m)…( (n+m)/2+1))/(1… (n+m)/2) A₁+

((n−2m)…( (n+2m)/2+1))/(1… (n+2m)/2) A₂+…=1/2ϖ ∫Cos.nuf⁡(2Cos.u)d⁡u.

Si l’on avait fait m=1 et n=0, on aurait eu

A₀+2/1 A₂+4.3/1.2 A₄+6.5.4/1.2.3 A₆+…=1/ϖ ∫f⁡(2Cos.u)d⁡u.

Dans le cas particulier où la fonction f⁡(t, v), que nous avons considérée plus haut, a la forme ψ(t)×ϕ(u), en supposant

ψ(t)=S.Aₘtᵐ, ϕ(v)=S.Bₘvᵐ,

on aura

S.AₘBₘ

A₀B₀+A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃+…

1/2ϖ ∫[ϕ(e^{+u√(−1)})ψ(e^{−u√(−1)})+ϕ(e^{−u√(−1)})ψ(e^{+u√(−1)})]d⁡u, (a)

c’est le théorème de Parseval.

Le cas le plus étendu où les imaginaires disparaissent étant déterminé par la condition f⁡(v, t)=f⁡(v+t), on a ici la condition

f⁡(v+t)=ϕ(v)+ψ(t)=ϕ(t)+ψ(v),

de laquelle on déduit facilement que les fonctions f, ϕ, ψ doivent avoir la forme exponentielle. En effet, on a, dans ce cas, la formule connue

1/ϖ ∫e²ꟲᵒˢ‧ᵘd⁡u=1+(1/1)²+(1/1.2)²+(1/1.2.3)²+(1/1.2.3.4)²+…,

que l’on pourrait aussi déduire de la formule (a) en y faisant f⁡(2Cos.u)=e²ꟲᵒˢ‧ᵘ.

Considérons présentement la seconde valeur de yₙ, savoir

1/ϖ S.yₓ∫Cos.(n−x)ud⁡u, (u=0u=ϖ)

le signe S s’étendant à tous les nombres entiers, depuis 0 jusqu’à ∞. D’abord, on peut donner à cette quantité une forme beaucoup plus commode, en changeant les différences finies en des différentielles : c’est ce qu’on fait en supposant

x=x′/d⁡x′, n=n′/d⁡x′, u=u′d⁡x′, yₓ=f⁡(x′), y=f⁡(n′);

et effaçant ensuite les accens. Ou trouve ainsi

f⁡(n)=1/ϖ ∫d⁡x∫d⁡uf⁡(x)Cos.(n−x)u.(u=0, x=0u=∞, x=∞)

Observant de même que

0=S.yₓ∫Cos.(n+x)ud⁡u;(u=0u=ϖ)

le signe S s’étendant depuis 0 jusqu’à ∞, d’où

0=∫d⁡x∫d⁡uf⁡(x)Cos.(x+n)u, (u=0, x=0u=∞, x=∞)

on en tire les deux équations

ϖ/2 f⁡(n)=∫∫d⁡xd⁡uf⁡(x)Cos.nuCos.xu, ϖ/2 f⁡(n)=∫∫d⁡xd⁡uf⁡(x)Sin.nuSin.xu,

qui sont dues à M. Fourier. Parmi un grand nombre de conséquences importantes qu’offre ce beau théorème, je vais rappeler quelques-unes des formules les plus simples et les plus remarquables de la théorie des intégrales définies, que les géomètres ont obtenues par d’autres voies.

Faisant, par exemple, f⁡(x)=e⁻ᵃˣ, on trouve

ϖ/2 e⁻ᵃˣ=∫ ad⁡uCos.nu/(a²+u²)=∫ ud⁡uSin.nu/(a²+u²) ;(u=0u=∞)

et l’on sait que ces formes servent de base à un grand nombre d’autres, plus ou moins élégantes, telles que

∫ (PCos.nu+QuSin.nu)/M d⁡u,

P, Q, M étant des fonctions quelconques rationnelles qui ne contiennent que des puissances paires de u, et M n’ayant aucun diviseur qui devienne zéro, pour des valeurs réelles positives de n.

De même, la fonction F⁡(Cos.u) étant développable, suivant des cosinus multiples ; on fait dépendre de la même forme l’intégrale

∫ F⁡(Cos.nu)d⁡u/M ;

et, dans le cas où F⁡(Cos.u) a la forme Log.(1+aCos.u), on sait que cette intégrale se ramène à une forme finie.

Soit encore

f⁡(x)=∫e⁻ᵗ²⁻ˣ²ᐟᵗ²d⁡t;(t=0t=∞)

dans ce cas, on aura

ϖ/2 ∫e⁻ᵗ²⁻ˣ²ᐟᵗ²d⁡t=∭d⁡xd⁡ud⁡tCos.nuCos.xu.e⁻ᵗ²⁻ˣ²ᐟᵗ²

Intégrant par rapport à t, et faisant t²=v, on aura

√ϖ/4 ∬d⁡ud⁡vCos.nu.e⁻ᵛ⁽ᵘ²ᐟ⁴⁺¹⁾=√ϖ∫ d⁡uCos.nu/(4+u²) ;

d’où, comme l’on sait,

∫e⁻ᵗ²⁻ⁿ²ᐟᵗ²d⁡t=√ϖ/2 e⁻²ⁿ.

Mais, une des conséquences les plus générales du théorème de M. Fourier, est celle par laquelle on fait dépendre une série S.yₓF⁡(x) d’une autre de la forme S.yₓSin.Cos.nx. En effet, si l’on fait

P=y₀+y₁Cos.u+y₂Cos⁡.2u+…

on voit que

2/ϖ ∬F⁡(x)Cos.xuPd⁡xd⁡u=y₀F⁡(0)+y₁F⁡(1)+y₂F⁡(2)+…,

or, nous avons vu que, par le théorème de Parseval, on fait dépendre cette série des deux suivantes

y₀+y₁t+y₂t²+y₃t³+…, F⁡(0)+F⁡(1)t+F⁡(2)t²+…;

mais l’introduction des imaginaires rend, en général, la première de ces deux méthodes préférable à la seconde, dans tous les cas où la quantité P en est débarrassée ; comme, par exemple, lorsque les quantités y₀, y₁, y₂, … forment une suite de puissances.

Les recherches que je viens d’exposer me paraissent donner les développemens nécessaires au principe général que j’ai présenté au commencement de ce mémoire. On en déduit une infinité d’autres, en répétant et combinant les différentes opérations qu’on y trouve exposées, et sur-tout en différenciant et intégrant par rapport à de nouvelles variables.

