Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie élémentaire, article 6
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie élémentaire, article 6

### Théorème de M. Gergonne.

Si, par les extrémités A, B de la base AB d’un triangle quelconque ACB (fig. 8), on mène vers son sommet des droites de longueur arbitraire AP et BQ, respectivement parallèles aux côtés CB et CA; que par les points P et Q on mène, parallèlement à BQ et AP, des droites concourant en D; les trois droites AQ, BP et DC concourront en un même point.

Démonstration. Nous démontrerons ce théorème à l’aide de la géométrie analitique, parce que c’est ainsi qu’après en avoir pressenti la vérité, nous nous le sommes démontré à nous-même, et parce qu’à tout prendre, cette forme de démonstration en vaut bien une autre.

Soient faits CA=a, CB=b, AP=q, BQ=p. Soit pris l’angle ACB pour angle des coordonnées positives, de manière que l’axe des x soit dirigé suivant CA, et l’axe des y suivant CB; les équations des divers points que nous venons de considérer seront

{x=0, y=0;

{x=a, y=0;

{x=0, y=b;

{x=a, y=−q;

{x=−p, y=b;

{x=−p, y=−q;

Les équations des trois droites AQ, BP, CD seront conséquemment

(a+p)y+b(x−a)=0,

(b+q)x+a(y−b)=0,

py−qx=0.

Or, en prenant la différence des deux premières, on tombe sur la troisième ; donc chacune de ces équations est comportée par les deux autres ; et par conséquent elles expriment trois droites concourant au même point.

Et comme, en variant à volonté les signes de p et q, il en irait encore de même, il en faut conclure que les droites AP et BQ peuvent être indistinctement menées de côté ou d’autre de la base du triangle, sans que le théorème cesse pour cela d’avoir lieu.

Pour passer de là au théorème de M. Hamett, il suffira de supposer, 1.ᵒ que le triangle est rectangle en C; 2.ᵒ que l’on a pris les longueurs arbitraires p=b et q=a.

