Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Combinaisons, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Combinaisons, article 2

## QUESTIONS RÉSOLUES.

### Démonstration du théorème d’analise énoncé à la page 64 du présent volume ;

Soient p+q boules contenues dans une urne de laquelle il faille en extraire un nombre p ou un nombre q; cette extraction pourra se faire d’un nombre de manières exprimé par

(p+q)/1.(p+q−1)/2.(p+q−2)/3 … (p+1)/q=(p+q)/1.(p+q−1)/2.(p+q−2)/3 … (q+1)/p.

Supposons présentement que, sur ces p+q boules, il s’en trouve p blanches et q noires, et que p soit le nombre qu’il en faut extraire, elles pourront être toutes blanches, ou bien il y en aura p−1 blanches et 1 noire, ou p−2 blanches et 2 noires ou p−3 blanches et 3 noires, et ainsi de suite, jusqu’à 3 blanches et p−3 noires, ou 2 blanches et p−2 noires, ou 1 blanche et p−1 noires, ou enfin elles pourront toutes être noires, si du moins q n’est pas moindre que p.

Or les divers nombres de manières dont ces divers genres d’extractions peuvent être faits sont tels qu’on le voit dans le tableau suivant :

p

0

1

p−1

1

p/1.q/1

p−2

2

p/1.p−1/2.q/1.q−1/2

p−3

3

p/1.p−1/2.p−2/3.q/1.q−1/2.q−2/3

d’où l’on voit que le nombre des manières différentes d’extraire p boules de l’urne pourra aussi être exprimé par

1+p/1.q/1+p/1.p−1/2.q/1.q−1/2+p/1.p−1/2.p−2/3.q/1 q−1/2.q−2/3+…

Il sera donc permis d’égaler cette expression à l’une ou à l’autre des deux expressions ci-dessus, et de cette égalité résultera le théorème qu’il s’agissait de démontrer.

Si, en particulier, on suppose q=p, on obtiendra ce résultat remarquable

1+(p/1)²+( p/1.p−1/2 )²+( p/1.p−1/2.p−2/3 )²+…=

2p/1.2p−1/2.2p−2/3.2p−3/4 …

* ↑ À la page 120 du présent volume, M. Lenthéric a déduit très-simplement la démonstration de ce théorème d’un beau théorème de M. Ampère ; mais nous avons pensé que le lecteur ne serait pas fâché d’en avoir une démonstration directe ; et, parmi plusieurs qui nous sont parvenues, nous avons cru devoir distinguer celle-ci qui, en même temps qu’elle n’exige aucun calcul, ouvre une voie pour découvrir facilement beaucoup d’autres théorèmes du même genre. J. D. G.
