Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Géométrie élémentaire, article 5
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Géométrie élémentaire, article 5

### Solution du problème de géométrie énoncé à la page 368 du XV.ᵉ volume du présent recueil ;

PROBLÈME. On donne l’une des faces latérales d’un trône de prisme triangulaire, la longueur de l’arête latérale opposée, la section du tronc par un plan perpendiculaire à ses arêtes latérales, et par suite le volume du tronc ; et l’on demande quelle doit être la situation de l’arête latérale donnée de longueur, par rapport à la face latérale opposée, pour que la somme des aires des deux bases du tronc soit un minimum ?

Solution. Soient ABB′A′ la face latérale donnée et CC′ la projection orthogonale, sur le plan de cette face, de l’arête latérale opposée, dans la situation qui convient au minimum de la somme des aires des deux bases ; en menant CA, CB, C′A′, C′B′, les deux triangles ACB, A′C′B′ seront les projections des bases sur le même plan. Soient D, D′ les points où la direction CC′ rencontre les côtés AB, A′B′

de ces bases ; puisqu’on connaît la section perpendiculaire aux arêtes latérales du tronc, il s’ensuit que, bien que les points C, C′ soient inconnus, on connaît néanmoins la droite DD′ ainsi que sa distance à l’arête latérale dont elle est la projection ; et, comme les longueurs CC′ et DD′ sont connues, il s’ensuit qu’on connaît aussi la somme CD+C′D′=DD′−CC′.

Prolongeons les côtés non parallèles AB, A′B′, jusqu’à ce qu’ils se rencontrent en E. De ce point E, abaissons une perpendiculaire EG sur DD′; divisons en outre l’angle DED′ en deux parties égales, par une droite qui rencontre DD′ en F; imaginons enfin des points inconnus C, C′ des perpendiculaires CH, C′H′ sur AB, A′B′.

Cela posé, il a déjà été démontré (Annales, tom. XIII, pag. 137) que, pour que la somme des aires des bases du tronc fût un minimum, il fallait que l’arête dont la projection est CC′ fût tellement située, que les plans de ces bases fussent également inclinés sur le plan de la face latérale opposée ABB′A′; ce qui se réduit évidemment à faire en sorte que les perpendiculaires CH, C′H′ soient de même longueur. Il s’agit donc de savoir de quelle manière il faudra placer les points C, C′ ou seulement l’un d’eux sur DD′, pour que cette condition soit remplie.

Les triangles rectangles semblables DGE, DHC, d’une part, et les triangles rectangles semblables D′GE, D′H′C′, d’une autre, donnent

DE:CD::EG:CH=CD×EG/DE ,

D′E:C′D′::EG:C′H′=C′D′×EG/D′E ;

puis donc qu’on doit avoir CH=C′H′, on aura, en supprimant le facteur commun EG,

CD/DE=C′D′/DE ,

c’est-à-dire,

CD:CD′::DE:D′E.

Mais, parce que la droite EF divise l’angle DED′ en deux parties égales, on a

DE:D′E::DF:D′F;

donc, à cause du rapport commun,

DF:D′F::CD:C′D′

d’où

DF+D′F:CD+C′D′::DF:CD;

c’est-à-dire,

DD′:DD′−CC′::DF:CD;

ce qui fournit fa construction suivante :

Soient portés DD′ sur DE, de D en K, et CC′ sur KD de K en L; soit menée KF, et, par le point L, soit menée une parallèle à cette droite ; cette parallèle rencontrera DD′ au point inconnu C; de sorte qu’on aura alors tout ce qui est nécessaire pour construire le tronc de prisme.

