Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Analise transcendante, article 9
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Analise transcendante, article 9

## ANALISE TRANSCENDANTE.

### Essai sur la sommation d’une classe très-générale de séries ;

2Cos.tCos.u=Cos.(t+u)+Cos.(t−u);

d’où, en multipliant par 2Cos.v,

4Cos.tCos.uCos.v=2Cos.(t+u)Cos.v+2Cos.(t−u)Cos.v.

Mais si, dans la première équation, on change successivement t en t+u et en t−u, il viendra

2Cos.(t+u)Cos.v=Cos.(t+u+v)+Cos.(t+u−v), 2Cos.(t−u)Cos.v=Cos.(t−u+v)+Cos.(t−u−v);

ce qui donnera, en substituant dans la seconde équation,

4Cos.tCos.uCos.v=Cos.(t+u+v)+Cos.(t+u−v)+Cos.(t−u+v)+Cos.(t−u−v)

En multipliant de nouveau celle-ci par 2Cos.x, il viendra

8Cos.tCos.uCos.vCos.x=

2Cos.(t+u+v)Cos.x+2Cos.(t+u−v)Cos.x+2Cos.(t−u+v)Cos.x+2Cos.(t−u−v)Cos.x

mais, par la première équation,

2Cos.(t+u+v)Cos.x=Cos.(t+u+v+x)+Cos.(t+u+v−x), 2Cos.(t+u−v)Cos.x=Cos.(t+u−v+x)+Cos.(t+u−v−x), 2Cos.(t−u+v)Cos.x=Cos.(t−u+v+x)+Cos.(t−u+v−x), 2Cos.(t−u−v)Cos.x=Cos.(t−u−v+x)+Cos.(t−u−v−x);

substituant donc ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra

8Cos.tCos.uCos.vCos.x=

Cos.(t+u+v+x)+Cos.(t+u+v−x)+Cos.(t+u−v−x)+Cos.(t−u−v−x)+Cos.(t−u+v−x)+Cos.(t−u+v+x)+Cos.(t−u−v+x)+Cos.(t−u−v−x)

et on pourrait ainsi pousser le procédé si loin qu’on voudrait.

2. Si présentement on fait s égal à t+u dans la première, à t+u+v dans la seconde, à t+u+v+x dans la troisième, et qu’en outre on fasse x=s dans l’équation Cos.t=Cos.t, on aura

Pour un arc, Cos.t=Cos.s, Pour deux, 2Cos.tCos.u=Cos.s+1/2 Cos.(s−2t), +1/2 Cos.(s−2u)

Pour trois, 4Cos.tCos.uCos.v=Cos.s+Cos.(s−2t), +Cos.(s−2u)+Cos.(s−2v)

Pour quatre, 8Cos.tCos.uCos.vCos.x=Cos.s+Cos.(s−2t)+1/2 Cos.[s−2(t+u)]+Cos.(s−2u)+1/2 Cos.[s−2(t+v)]+Cos.(s−2v)+1/2 Cos.[s−2(u+v)]+Cos.(s−2x)+1/2 Cos.[s−2(t+x)]+1/2 Cos.[s−2(u+x)]+1/2 Cos.[s−2(v+x)]

et ainsi de suite.

3. Si, dans les résultats auxquels nous venons de parvenir, on change respectivement t, u, v, x en 1/2 ϖ−t, 1/2 ϖ−u, 1/2 ϖ−v, 1/2 ϖ−x; il viendra

Pour un arc, Sin.t=+Sin.s, Pour deux, 2Sin.tSin.u=−Cos.s+1/2 Cos.(s−2t), +1/2 Cos.(s−2u)Pour trois, 4Sin.tSin.uSin.v=−Sin.s+Sin.(s−2t), +Sin.(s−2u)+Sin.(s−2v)

Pour quatre, 8Sin.tSin.uSin.vSin.x= 1/2 Cos.s−Cos.(s−2t)+1/2 Cos.[s−2(t+u)], −Cos.(s−2u)+1/2 Cos.[s−2(t+v)]−Cos.(s−2v)+1/2 Cos.[s−2(u+v)]−Cos.(s−2x)+1/2 Cos.[s−2(t+x)]+1/2 Cos.[s−2(u+x)]+1/2 Cos.[s−2(v+x)]

et ainsi de suite.

4. Pour écrire ces formules sous une forme plus briève et pouvoir en généraliser l’expression, adoptons les notations que voici : t, u, v, x, … étant des quantités en nombre quelconque, et F la caractéristique d’une fonction quelconque ; nous poserons

ΣF⁡(t)=F⁡(t)+F⁡(u)+F⁡(v)+F⁡(x)+…ΣF⁡(t, u)=F⁡(t, u)+F⁡(t, v)+F⁡(u, v)+F⁡(t, x)+F⁡(u, x)+F⁡(v, x)+…ΣF⁡(t, u, v)=F⁡(t, u, v)+F⁡(t, u, x)+F⁡(t, v, x)+F⁡(u, v, x)+…

On voit d’après cela que, si les quantités t, u, v, x, … sont au nombre de n,

ΣF⁡(t)aura n/1 termes, ΣF⁡(t, u)aura n/1.n−1/2 termes, ΣF⁡(t, u, v)aura n/1.n−1/2.n−2/3 termes, ΣF⁡(t, u, v, x)aura n/1.n−1/2.n−2/3.n−3/4 termes,

On voit assez, d’après cela, ce que signifieront

ΣSin.(s−2t), ΣSin.[s−2(t+u)], ΣSin.[s−2(t+u+v)], …ΣCos.(s−2t), ΣCos.[s−2(t+u)], ΣCos.[s−2(t+u+v)], …

et toutes les autres expressions analogues.

5. Au moyen de ces notations, les résultats auxquels nous sommes parvenus ci-dessus (2, 3) pourront être écrits comme il suit :

Cos.t=Cos.s,

2Cos.tCos.u=Cos.s+1/2 ΣCos.[s−2t],

4Cos.tCos.uCos.v=Cos.s+ΣCos.[s−2t],

8Cos.tCos.uCos.vCos.x=

Cos.s+ΣCos.[s−2t]+1/2 ΣCos.[s−2(t+u)].

Sin.t=+Sin.s,

2Sin.tSin.u=−Cos.s+1/2 ΣCos.[s−2t],

4Sin.tSin.uSin.v=−Sin.s+ΣSin.[s−2t],

8Sin.tSin.uSin.vSin.x=

+Cos.s−ΣCos.[s−2t]+1/2 ΣCos.[s−2(t+u)].

6. La loi de ces divers résultats devenant ainsi manifeste, nous pourrons, en la généralisant, parvenir aux trois lemmes que voici :

t, u, v, x, … étant des arcs en nombre quelconque n, et leur somme s,

On a, quel que soit n,

2ⁿ⁻¹Cos.tCos.uCos.vCos.x…=Cos.s+ΣCos.[s−2t]

+ΣCos.[s−2(t+u)]+ΣCos.[s−2(t+u+v)]+…

la suite devant être poussée à autant de termes qu’on pourra le faire, sans que le nombre des arcs t, u, v, … dont le double de la somme se trouve retranché à s, excède la moitié du nombre n, et le dernier terme devant être réduit à sa moitié, lorsque n est un nombre pair.

Lorsque n est un nombre pair, on a

±2ⁿ⁻¹Sin.tSin.uSin.vSin.x…=Cos.s−ΣCos.[s−2t]

+ΣCos.[s−2(t+u)]−ΣCos.[s−2(t+u+v)]+…

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, suivant que n est de la forme 4i ou de la forme 4i+2, la série devant s’arrêter au terme dans lequel le nombre des arcs t, u, v, … dont le double de la somme est retranché à s, sera précisément égal à la moitié de n, et ce dernier terme devant être réduit à sa moitié seulement.

Lorsque n est un nombre impair ; on a

±2ⁿ⁻¹Sin.tSin.uSin.vSin.x…=Sin.s−ΣSin.[s−2t]

+ΣSin.[s−2(t+u)]−ΣSin.[s−2(t+u+v)]+…

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris suivant que n est de la forme 4i+1 ou 4i+3, et la série devant être poussée à autant de termes qu’on pourra le faire sans que le nombre des arcs t, u, v, …, dont le double de la somme se trouve retranché à s, excède la moitié du nombre n.

7. Si présentement nous supposons tous les arcs t, u, v, … égaux entre eux et au premier, ce qui donnera s=nt, nous déduirons, comme corollaires de ces trois lemmes, les formules connues que voici :

On a, quel que soit le nombre entier positif n,

2ⁿ⁻¹.Cos.ⁿt=Cos.nt+n/1 Cos.(n−2)t+n/1.n−1/2 Cos.(n−4)t

+n/1.n−1/2.n−2/3 Cos.(n−6)t+…

série qu’il faudra pousser aussi loin qu’on pourra le faire, sans admettre d’arcs négatifs, et où il ne faudra prendre seulement que la moitié du dernier terme, si n est un nombre pair.

Lorsque n est un nombre pair, on a

±2ⁿ⁻¹.Sin.ⁿt=Cos.nt−n/1 Cos.(n−2)t+n/1.n−1/2 Cos.(n−4)t

−n/1.n−1/2.n−2/3 Cos.(n−6)t+…

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, suivant que n sera de la forme 4i ou de la forme 4i+2, et la série devant être poussée aussi loin qu’on pourra le faire sans y admettre d’arcs négatifs, en réduisant son dernier terme à sa moitié seulement.

Lorsque n est un nombre impair, on a

±2ⁿ⁻¹.Sin.ⁿt=Sin.nt−n/1 Sin.(n−2)t+n/1.n−1/2 Sin.(n−4)t

−n/1.n−1/2.n−2/3 Sin.(n−6)t+…

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris suivant que n sera de la forme 4i+1 ou de la forme 4i+3, et la série devant être poussée aussi loin qu’on pourra le faire sans y admettre d’arcs négatifs.

8. Soit

f⁡[a]=A₁a+A₂a²+A₃a³+A₄a⁴+…

une série infinie que l’on sache sommer, et dans laquelle A₁, A₂, A₃, … sont des coefficiens numériques ; on aura les deux remarques suivantes :

La somme finie de la série infinie

A₁aCos.t+A₂a²Cos⁡.2t+A₃a³Cos⁡.3t+A₄a⁴Cos⁡.4t+…

est

(f⁡[a(Cos.t+√(−1)Sin.t)]+f⁡[a(Cos.t−√(−1)Sin.t)])/2

La somme de la série infinie

A₁aSin.t+A₂a²Sin⁡.2t+A₃a³Sin⁡.3t+A₄a⁴Sin⁡.4t+…

est

(f⁡[a(Cos.t+√(−1)Sin.t)]−f⁡[a(Cos.t−√(−1)Sin.t)])/2√(−1)

En effet, 1.ᵒ suivant la définition de f⁡[a], les sommes des deux séries

A₁a(Cos.t+√(−1)Sin.t)+A₂a²(Cos.t+√(−1)Sin.t)²

+A₃a³(Cos.t+√(−1)Sin.t)³+…

A₁a(Cos.t−√(−1)Sin.t)+A₂a²(Cos.t−√(−1)Sin.t)²

+A₃a³(Cos.t−√(−1)Sin.t)³+…

ou de leurs équivalentes

A₁a(Cos.t+√(−1)Sin.t)+A₂a²(Cos⁡.2t+√(−1)Sin⁡.2t)

+A₃a³(Cos⁡.3t+√(−1)Sin⁡.3t)+…

A₁a(Cos.t−√(−1)Sin.t)+A₂a²(Cos⁡.2t−√(−1)Sin⁡.2t)

+A₃a³(Cos⁡.3t−√(−1)Sin⁡.3t)+…

sont respectivement

f⁡[a(Cos.t+√(−1)Sin.t)], f⁡[a(Cos.t−√(−1)Sin.t)],

donc la demi-somme de ces deux séries et le quotient de leur demi-différence par √(−1), lesquelles ne sont autre chose que les deux séries proposées, doivent avoir respectivement pour sommes la demi-somme de leurs sommes respectives et le quotient de la demi-différence de ces mêmes sommes par √(−1), ainsi que nous l’avons annoncé.

9. Soient respectivement F⁡[t], F′⁡[t] les fonctions auxquelles se réduisent

f⁡[a(Cos.t+√(−1)Sin.t)]+f⁡[a(Cos.t−√(−1)Sin.t)],

(f⁡[a(Cos.t+√(−1)Sin.t)]−f⁡[a(Cos.t−√(−1)Sin.t)])/√(−1),

lorsqu’on les a débarrassées des imaginaires qu’elles contiennent, on aura les théorèmes suivans :

La somme de la série infinie

A₁aCos.tCos.uCos.v…+A₂a²Cos⁡.2tCos⁡.2uCos⁡.2v…

+A₃a³Cos⁡.3tCos⁡.3uCos⁡.3v…+…

dans laquelle on suppose les arcs t, u, v, … au nombre de n et leur somme s, a pour expression finie

1/2ⁿ {F⁡[s]+ΣF⁡[s−2t]+ΣF⁡[s−2(t+u)]+ΣF⁡[s−2(t+u+v)]+…}

en observant, par rapport à la limitation de cette série, ce qui a déjà été dit (Lemme I).

Si n est un nombre pair, la somme de la série infinie

A₁aSin.tSin.uSin.v…+A₂a²Sin⁡.2tSin⁡.2uSin⁡.2v…

+A₃a³Sin⁡.3tSin⁡.3uSin⁡.3v…+…

a pour expression finie

± 1/2ⁿ {F⁡[s]−ΣF⁡[s−2t]+ΣF⁡[s−2(t+u)]−ΣF⁡[s−2(t+u+v)]+…};

en observant, pour le signe et la limitation de cette série, ce qui a été prescrit (Lemme II).

Si n est un nombre impair, la somme de la série infinie

A₁aSin.tSin.uSin.v…+A₂a²Sin⁡.2tSin⁡.2uSin⁡.2v…

+A₃a³Sin⁡.3tSin⁡.3uSin⁡.3v…+…

a pour expression finie

± 1/2ⁿ {F′⁡[s]−ΣF′⁡[s−2t]+ΣF′⁡[s−2(t+u)]−ΣF′⁡[s−2(t+u+v)]+…};

en observant, pour le signe et la limitation de cette série, ce a été dit (Lemme III).

Il nous suffira de démontrer le premier de ces deux théorèmes pour faire voir de quelle manière doivent se démontrer les deux qui le suivent.

Par le Lemme I, on a successivement

2ⁿ⁻¹Cos.tCos.uCos.v…=Cos.s+ΣCos.[s−2t]+ΣCos.[s−2(t+u)]+…2ⁿ⁻¹Cos⁡.2tCos⁡.2uCos⁡.2v…=Cos⁡.2s+ΣCos⁡.2[s−2t]+ΣCos⁡.2[s−2(t+u)]+…2ⁿ⁻¹Cos⁡.3tCos⁡.3uCos⁡.3v…=Cos⁡.3s+ΣCos⁡.3[s−2t]+ΣCos⁡.3[s−2(t+u)]+…

En prenant la somme des produits respectifs ds ces équations par 2A₁a, 2A₂a², 2A₃a³, …, la somme des premiers membres sera la suite infinie proposée multipliée par 2ⁿ; quant à la somme des seconds membres elle sera composée de cette suite de séries infinies que voici :

2(A₁aCos.s+A₂a²Cos⁡.2s+A₃a³Cos⁡.3s+…)+2Σ{A₁aCos.[s−2t]+A₂a²Cos⁡.2[s−2t]+A₃a³Cos⁡.3[s−2t]+…}+2Σ{A₁aCos.[s−2(t+u)]+A₂a²Cos⁡.2[s−2(t+u)]+A₃a³Cos⁡.3[s−2(t+u)]+…}

Or, d’après la définition de la fonction F et la Remarque I, la somme de la première série est F⁡(s)/2 et les sommes des autres séries, sous le signe Σ, sont successivement

F⁡[s−2t]/2, (F⁡[s−2(t+u)])/2, …

en les ajoutant donc et divisant ensuite par 2ⁿ, on obtiendra la somme annoncée de la série proposée.

On démontrera les deux autres théorèmes, à l’aide des Lemmes II et III, comme nous avons démontré celui-là à l’aide du Lemme I.

10. En supposant, dans nos trois théorèmes, que les arcs t, u, v, … deviennent égaux entre eux et au premier, ce qui donne s=nt, on en conclut les trois corollaires que voici :

Quel que soit le nombre entier positif n, la somme de la série infinie

A₁aCos.ⁿt+A₂a²Cos.ⁿ2t+A₃a³Cos.ⁿ3t+…

a pour expression finie

1/2ⁿ {F⁡[nt]+n/1 F⁡[(n−2)t]+n/1.n−1/2 F⁡[(n−4)t]+…};

en observant les limitations prescrites (7, Corollaire I).

Si n est un nombre pair, la somme de la série infinie

A₁aSin.ⁿt+A₂a²Sin.ⁿ2t+A₃a³Sin.ⁿ3t+…

a pour expression finie

± 1/2ⁿ {F⁡[nt]−n/1 F⁡[(n−2)t]+n/1.n−1/2 F⁡[(n−4)t]−…}

en observant, pour le choix du signe et pour le nombre des termes, ce qui a été prescrit (7, Corollaire II).

Si n est un nombre impair, la somme de la série infinie

A₁aSin.ⁿt+A₂a²Sin.ⁿ2t+A₃a³Sin.ⁿ3t+A₄a⁴Sin.ⁿ4t+…

a pour expression finie

± 1/2ⁿ {F′⁡[nt]−n/1 F′⁡[(n−2)t]+n/1.n−1/2 F′⁡[(n−4)t]−…};

en observant, pour le choix du signe et le nombre des termes du développement, ce qui a été prescrit (7, Corollaire III).

11. Comme toutes les séries que nous avons considérées (8, 9, 10) sont dépourvues de leur premier terme, il faudra avoir soin, lorsque le contraire arrivera, d’ajouter ce premier terme à la somme donnée par ce qui précède

12. On sait que

eᵃ=1+a/1+a²/1.2+a³/1.2.3+a⁴/1.2.3.4+…;

d’où

eᵃ−1=a/1+a²/1.2+a³/1.2.3+a⁴/1.2.3.4+…;

de sorte qu’on a ici

f⁡[a]=eᵃ−1;

donc, 1.ᵒ la somme de la série

aCos.t/1+a²Cos⁡.2t/1.2+a³Cos⁡.3t/1.2.3+a⁴Cos⁡.4t/1.2.3.4+…

sera (Remarque I.)

({e^{a(Cos.t+√(−1)Sin.t)}−1}+{e^{a(Cos.t−√(−1)Sin.t)}−1})/2

ou bien

eᵃꟲᵒˢ‧ᵗ.(e^{+√(−1)aSin.t}+e^{−√(−1)aSin.t})/2=eᵃꟲᵒˢ‧ᵗ.Cos.(aSin.t)−1.

de sorte qu’en ajoutant 1 de part et d’autre, on a

eᵃꟲᵒˢ‧ᵗ.Cos.(aSin.t)=

1+aCos.t/1+a²Cos⁡.2t/1.2+a³Cos⁡.3t/1.2.3+a⁴Cos⁡.4t/1.2.3.4+…

2.ᵒ La somme de la série

aSin.t/1+a²Sin⁡.2t/1.2+a³Sin⁡.3t/1.2.3+a⁴Sin⁡.4t/1.2.3.4+…

sera (Remarque II)

({e^{a(Cos.t+√(−1)Sin.t)}−1}−{e^{a(Cos.t−√(−1)Sin.t)}−1})/2√(−1)

ou bien

eᵃꟲᵒˢ‧ᵗ.(e^{+√(−1)aSin.t}−e^{−√(−1)aSin.t})/2√(−1)=eᵃꟲᵒˢ‧ᵗ.Sin.(aSin.t)

de sorte qu’on aura

eᵃꟲᵒˢ‧ᵗ.Sin.(aSin.t)=aSin.t/1+a²Sin⁡.2t/1.2+a³Sin⁡.3t/1.2.3+a⁴Sin⁡.4t/1.2.3.4+…

13. D’après cela, on aura ici

F⁡[t]=2{eᵃꟲᵒˢ‧ᵗ.Cos.(aSin.t)−1}, F′⁡[t]=2eᵃꟲᵒˢ‧ᵗ.Sin.(aSin.t);

substituant donc ces valeurs dans les formules ci-dessus (9, 10), nous aurons, par le Théorème I, quel que soit n,

1+aCos.tCos.uCos.v…/1+a²Cos⁡.2tCos⁡.2uCos⁡.2v…/1.2+a³Cos⁡.3tCos⁡.3uCos⁡.3v…/1.2.3+…

=1/2ⁿ⁻¹ {eᵃꟲᵒˢ‧ˢ.Cos.[aSin.s]+Σeᵃꟲᵒˢ‧⁽ˢ⁻²ᵗ⁾.Cos.[aSin.(s−2t)]

+Σeᵃꟲᵒˢ‧⁽ˢ⁻²ᵗ⁻²ᵘ⁾.Cos.[aSin.(s−2t−2u)]+…};

par le Théorème II, pour n pair,

aSin.tSin.uSin.v…/1+a²Sin⁡.2tSin⁡.2uSin⁡.2v…/2+a³Sin⁡.3tSin⁡.3uSin⁡.3v…/3+…

=± 1/2ⁿ⁻¹ {eᵃꟲᵒˢ‧ˢ.Cos.[aSin.s]−Σeᵃꟲᵒˢ‧⁽ˢ⁻²ᵗ⁾.Cos.[aSin.(s−2t)]

+Σeᵃꟲᵒˢ‧⁽ˢ⁻²ᵗ⁻²ᵘ⁾.Cos.[aSin.(s−2t−2u)]−…};

par le Théorème III, pour n impair,

aSin.tSin.uSin.v…/1+a²Sin⁡.2tSin⁡.2uSin⁡.2v…/2+a³Sin⁡.3tSin⁡.3uSin⁡.3v…/3+…

=± 1/2ⁿ⁻¹ {eᵃꟲᵒˢ‧ˢ.Sin.[aSin.s]−Σeᵃꟲᵒˢ‧⁽ˢ⁻²ᵗ⁾.Sin.[aSin.(s−2t)]

+Σeᵃꟲᵒˢ‧⁽ˢ⁻²ᵗ⁻²ᵘ⁾.Sin.[aSin.(s−2t−2u)]−…};

par le Corollaire I, quel que soit n,

1+aCos.ⁿt/1+a²Cos.ⁿ2t/1.2+a³Cos.ⁿ3t/1.2.3+a⁴Cos.ⁿ4t/1.2.3.4+…

=1/2ⁿ⁻¹ {eᵃꟲᵒˢ‧ⁿᵗ.Cos.[aSin.nt]+n/1 eᵃꟲᵒˢ‧⁽ⁿ⁻²⁾ᵗ.Cos.[aSin.(n−2)t]

+n/1.n−1/2 eᵃꟲᵒˢ‧⁽ⁿ⁻⁴⁾ᵗ.Cos.[aSin.(n−4)t]+…};

par le Corollaire II, pour n pair,

aSin.ⁿt/1+a²Sin.ⁿ2t/1.2+a³Sin.ⁿ3t/1.2.3+a⁴Sin.ⁿ4t/1.2.3.4+…

+n/1.n−1/2 eᵃꟲᵒˢ‧⁽ⁿ⁻⁴⁾ᵗ.Cos.[aSin.(n−4)t]+…};

et par le Corollaire III, pour n impair,

aSin.ⁿt/1+a²Sin.ⁿ2t/1.2+a³Sin.ⁿ3t/1.2.3+a⁴Sin.ⁿ4t/1.2.3.4+…

=± 1/2ⁿ⁻¹ {eᵃꟲᵒˢ‧ⁿᵗ.Sin.[aSin.nt]−n/1 eᵃꟲᵒˢ‧⁽ⁿ⁻²⁾ᵗ.Sin.[aSin.(n−2)t]

+n/1.n−1/2 eᵃꟲᵒˢ‧⁽ⁿ⁻⁴⁾ᵗ.Sin.[aSin.(n−4)t]+…};

14. Si, par exemple, on suppose n=2, les première, deuxième, quatrième et cinquième formules deviendront, en ayant toujours égard aux limitations prescrites pour les seconds membres,

1+aCos.tCos.u/1+a²Cos⁡.2tCos⁡.2u/1.2+a³Cos⁡.3tCos⁡.3u/1.2.3+a⁴Cos⁡.4tCos⁡.4u/1.2.3.4+…

=+1/2 {eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵗ⁺ᵘ⁾.Cos.[aSin.(t+u)]+eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵗ⁻ᵘ⁾.Cos.[aSin.(t−u)]}.

aSin.tSin.u/1+a²Sin⁡.2tSin⁡.2u/1.2+a³Sin⁡.3tSin⁡.3u/1.2.3+a⁴Sin⁡.4tSin⁡.4u/1.2.3.4+…

=−1/2 {eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵗ⁺ᵘ⁾.Cos.[aSin.(t+u)]−eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵗ⁻ᵘ⁾.Cos.[aSin.(t−u)]}.

1+aCos.²t/1+a²Cos.²2t/1.2+a³Cos.²3t/1.2.3+…=+1/2 {e^{aCos⁡.2t}.Cos.(aSin⁡.2t)+eᵃ}.

aSin.²t/1+a²Sin.²2t/1.2+a³Sin.²3t/1.2.3+…=−1/2 {e^{aCos⁡.2t}.Cos.(aSin⁡.2t)−eᵃ}.

Ces deux dernières formules avaient déjà été données par M. Stein, à la page 112 du présent volume.

15. Si l’on suppose n=3, les première, troisième, quatrième et sixième formules deviendront

1+aCos.tCos.uCos.v/1+a²Cos⁡.2tCos⁡.2uCos⁡.2v/1.2+a³Cos⁡.3tCos⁡.3uCos⁡.3v/1.2.3+…

=+1/4 {eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵗ⁺ᵘ⁺ᵛ⁾.Cos.[aSin.(t+u+v)]+eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵗ⁺ᵘ⁻ᵛ⁾.Cos.[aSin.(t+u−v)]+eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵘ⁺ᵛ⁻ᵗ⁾.Cos.[aSin.(u+v−t)]+eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵛ⁺ᵗ⁻ᵘ⁾.Cos.[aSin.(v+t−u)]}.

aSin.tSin.uSin.v/1+a²Sin⁡.2tSin⁡.2uSin⁡.2v/1.2+a³Sin⁡.3tSin⁡.3uSin⁡.3v/1.2.3+…

=−1/4 {eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵗ⁺ᵘ⁺ᵛ⁾.Sin.[aSin.(t+u+v)]−eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵗ⁺ᵘ⁻ᵛ⁾.Sin.[aSin.(t+u−v)]−eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵘ⁺ᵛ⁻ᵗ⁾.Sin.[aSin.(u+v−t)]−eᵃꟲᵒˢ‧⁽ᵛ⁺ᵗ⁻ᵘ⁾.Sin.[aSin.(v+t−u)]}.

1+aCos.³t/1+a²Cos.³2t/1.2+a³Cos.³3t/1.2.3+…

=+1/4 {e^{aCos⁡.3t}.Cos.(aSin⁡.3t)+3eᵃꟲᵒˢ‧ᵗ.Cos.(aSin.t)}.

aSin.³t/1+a²Sin.³2t/1.2+a³Sin.³3t/1.2.3+…

=−1/4 {e^{aCos⁡.3t}.Sin.(aSin⁡.3t)−3eᵃꟲᵒˢ‧ᵗ.Sin.(aSin.t)}.

et ainsi de suite.

16. On sait qu’en faisant usage des logarithmes naturels on a

Log.(1+a)=a/1−a²/2+a³/3−a⁴/4+a⁵/5−…

de sorte qu’ici

f⁡[a]=Log.(1+a)

donc, 1.ᵒ la somme de la série

aCos.t/1−a²Cos⁡.2t/2+a³Cos⁡.3t/3−a⁴Cos⁡.4t/4+…

sera (Remarque I)

(Log.{1+a(Cos.t+√(−1)Sin.t)}+Log.{1+a(Cos.t−√(−1)Sin.t)})/2,

ou bien

(Log.{(1+aCos.t)+√(−1)aSin.t}{(1+aCos.t)−√(−1)aSin.t})/2

=(Log.{(1+aCos.t)²+a²Sin.²t})/2

ou enfin

(Log.(1+2aCos.t+a²))/2=Log.√(1+2aCos.t+a²);

2.ᵒ la somme de la série

aSin.t/1−a²Sin⁡.2t/2+a³Sin⁡.3t/3−a⁴Sin⁡.4t/4+…

sera (Remarque II)

(Log.{1+a(Cos.t+√(−1)Sin.t)}−Log.{1+a(Cos.t−√(−1)Sin.t)})/2√(−1),

ou bien

1/2√(−1) Log.((1+aCos.t)+√(−1)aSin.t)/((1+aCos.t)−√(−1)aSin.t).

En vertu de la formule connue

Log.p/q=2{ p−q/(p+q)+1/3 (p−q/(p+q))³+1/5 (p−q/(p+q))⁵+…},

cette somme devient

aSin.t/(1+aCos.t)−1/3 (aSin.t/(1+aCos.t))³+1/5 (aSin.t/(1+aCos.t))⁵−…

c’est-à-dire,

Arc.(Tang.=aSin.t/(1+aCos.t) ).

17. D’après cela, on aura ici

F⁡[t]=2Log.√(1+2aCos.t+a²), F′⁡[t]=2Arc.(Tang.=aSin.t/(1+aCos.t) );

substituant donc ces valeurs dans les formules ci-dessus (9, 10), nous aurons, par le Théorème I, quel que soit n,

aCos.tCos.uCos.v…/1−a²Cos⁡.2tCos⁡.2uCos⁡.2v…/2+a³Cos⁡.3tCos⁡.3uCos⁡.3v…/3−…

=+1/2ⁿ⁻¹ {Log.√(1+2aCos.s+a²)+ΣLog.√(1+2aCos.(s−2t)+a²)

+ΣLog.√(1+2aCos.(s−2t−2u)+a²)+…}

par le Théorème II, pour n pair,

aSin.tSin.uSin.v…/1−a²Sin⁡.2tSin⁡.2uSin⁡.2v…/2+a³Sin⁡.3tSin⁡.3uSin⁡.3v…/3−…

=± 1/2ⁿ⁻¹ {Log.√(1+2aCos.s+a²)−ΣLog.√(1+2aCos.(s−2t)+a²)

+ΣLog.√(1+2aCos.(s−2t−2u)+a²)−…}.

par le Théorème III, pour n impair,

aSin.tSin.uSin.v…/1−a²Sin⁡.2tSin⁡.2uSin⁡.2v…/2+a³Sin⁡.3tSin⁡.3uSin⁡.3v…/3−…

=± 1/2ⁿ⁻¹ {Arc.[Tang.=aSin.s/(1+aCos.s) ]−ΣArc.[Tang.=aSin.(s−2t)/(1+aCos.(s−2t)) ]

+ΣArc.[Tang.=aSin.(s−2t−2u)/(1+aCos.(s−2t−2u)) ]−…}.

par le Corollaire I, quel que soit n,

aCos.ⁿt/1−a²Cos.ⁿ2t/2+a³Cos.ⁿ3t/3+a⁴Cos.ⁿ4t/4+…

=+1/2ⁿ⁻¹ {Log.√(1+2aCos.nt+a²)+n/1 Log.√(1+2aCos.(n−2)t+a²)

+n/1.n−1/2 Log.√(1+2aCos.(n−4)t+a²)+…}.

par le Corollaire II, pour n pair,

aSin.ⁿt/1−a²Sin.ⁿ2t/2+a³Sin.ⁿ3t/3−a⁴Sin.ⁿ4t/4+…

=± 1/2ⁿ {Log.√(1+2aCos.nt+a²)−n/1 Log.√(1+2aCos.(n−2)t+a²)

+n/1.n−1/2 Log.√(1+2aCos.(n−4)t+a²)−…}.

par le Corollaire III, pour n impair,

aSin.ⁿt/1−a²Sin.ⁿ2t/2+a³Sin.ⁿ3t/3−a⁴Sin.ⁿ4t/4+…

=± 1/2ⁿ {Arc.[Tang.=aSin.nt/(1+aCos.nt) ]−n/1 Arc.[Tang.=aSin.(n−1)t/(1+aCos.(n−1)t) ]+…}

18. Si, par exemple, on suppose n=2, les première, deuxième, quatrième et cinquième formules deviendront, en ayant toujours égard aux limitations prescrites pour les seconds membres,

aCos.tCos.u/1−a²Cos⁡.2tCos⁡.2u/2+a³Cos⁡.3tCos⁡.3u/3−…

=+1/2 {Log.√(1+2aCos.(t+u)+a²)+Log.√(1+2aCos.(t−u)+a²)}.

aSin.tSin.u/1−a²Sin⁡.2tSin⁡.2u/2+a³Sin⁡.3tSin⁡.3u/3−…

=−1/2 {Log.√(1+2aCos.(t+u)+a²)−Log.√(1+2aCos.(t−u)+a²)}.

aCos.²t/1−a²Cos.²2t/2+a³Cos.²3t/3−a⁴Cos.²4t/4+…

=+1/2 {Log.√(1+2aCos⁡.2t+a²)+Log.(1+a)}.

aSin.²t/1−a²Sin.²2t/2+a³Sin.²3t/3−a⁴Sin.²4t/4+…

=−1/2 {Log.√(1+2aCos⁡.2t+a²)−Log.(1+a)}.

19. Si l’on suppose n=3, les première, troisième, quatrième et sixième formules donneront

aCos.tCos.uCos.v/1−a²Cos⁡.2tCos⁡.2uCos⁡.2v/2+a³Cos⁡.3tCos⁡.3uCos⁡.3v/3−…

=+1/4 {Log.√(1+2aCos.(t+u+v)+a²)+Log.√(1+2aCos.(t+u−v)+a²)+Log.√(1+2aCos.(u+v−t)+a²)+Log.√(1+2aCos.(v+t−u)+a²)}.

aSin.tSin.uSin.v/1−a²Sin⁡.2tSin⁡.2uSin⁡.2v/2+a³Sin⁡.3tSin⁡.3uSin⁡.3v/3−…

=−1/4 {Arc.[Tang.=(aSin.(t+u+v))/(1+aCos.(t+u+v)) ]−Arc.[Tang.=(aSin.(t+u−v))/(1+aCos.(t+u−v)) ]−Arc.[Tang.=(aSin.(u+v−t))/(1+aCos.(u+v−t)) ]−Arc.[Tang.=(aSin.(v+t−u))/(1+aCos.(v+t−u)) ]}.

aCos.³t/1−a²Cos.³2t/2+a³Cos.³3t/3−a⁴Cos.⁴4t/4+…

=+1/4 {Log.√(1+2aCos⁡.3t+a²)+3Log.√(1+2aCos.t+a²)}.

aSin.³t/1−a²Sin.³2t/2+a³Sin.³3t/3−a⁴Sin.⁴4t/4+…

=−1/4 {Arc.(Tang.=aSin⁡.3t/(1+aCos⁡.3t) )−3Arc.(Tang.=aSin.t/(1+aCos.t) )}.

20. Nous ne pousserons pas plus loin, pour le moment, ces applications qui n’ont, comme l’on voit, rien de bien difficile, et qui conduisent à des résultats très-remarquables. Il nous suffisait d’établir les principes généraux et de montrer la marche du calcul. Mais, dans un supplément au présent mémoire, nous nous occuperons de la construction des formules générales servant à sommer les séries infinies de la forme

A₁aCos.αtCos.βuCos.γv…+A₂a²Cos.α2tCos.β2uCos.γ2v…

+A₃a³Cos.α3tCos.β3uCos.γ3v…+…

A₁aSin.αtSin.βuSin.γv…+A₂a²Sin.α2tSin.β2uSin.γ2v…

+A₃a³Sin.α3tSin.β3uSin.γ3v…+…

lorsqu’on sait sommer la série infinie

A₁a+A₂a²+A₃a³+A₄a⁴+A₅a⁵+…

* ↑ Nous ne connaissions pas encore le Cours d’analise de M. Cauchy, où la première de ces deux séries se trouve sommée, lorsque nous en avons donné la somme, à la page 107 du présent volume.
* ↑ Presque en même temps que ce qu’on vient de lire nous est parvenu, nous avons reçu de M. Sturm de Genève, sur la sommation de diverses classes de séries, un travail qui, sans être aussi étendu que celui de M. Querret, offre néanmoins quelques résultats curieux, et que nous ferons prochainement connaître. J. D. G.
