Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie analitique, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie analitique, article 2

### Solution du premier des deux problèmes de géométrie proposés à la page 232 de ce volume ;

PROBLÈME. Les directions de deux systèmes de diamètres conjugués d’une même ellipse étant données ; assigner les directions et le rapport de grandeur de ses deux diamètres principaux ?

Solution. Par le centre de l’ellipse, soit menée une droite arbitraire, et soit désigné par z l’angle inconnu qu’elle fait avec l’un des diamètres principaux. Représentons par 2x la longueur de ce diamètre, et par 2y la longueur de l’autre. Soient enfin α, β les angles connus que forment avec la droite indéfinie les deux diamètres du premier système, et α′, β′ les angles que forment avec elle les deux diamètres du second ; ces mêmes diamètres formeront, avec le diamètre principal dont nous avons représenté la longueur par 2x des angles qui seront respectivement

z+α, z+α′, z+β, z+β′;

et, par une propriété connue de l’ellipse, on devra avoir les deux équations

y²+x²Tang.(z+α )Tang.(z+β )=0, y²+x²Tang.(z+α′)Tang.(z+β′)=0;}

desquelles il s’agit présentement de tirer la valeur de z et le rapport de x à y.

En faisant, pour abréger, Tang.z=ν, et posant en outre

Tang.α=m, Tang.α′=m′, Tang.β=n, Tang.β′=n′,

il vient

Tang.(z+α)=(Tang.z+Tang.α)/1−Tang.αTang.z =(ν+m)/1−mν, Tang.(z+β)=(Tang.z+Tang.β)/1−Tang.βTang.z =(ν+n)/1−nν, Tang.(z+α′)=(Tang.z+Tang.α′)/1−Tang.α′Tang.z =(ν+m′)/1−m′ν, Tang.(z+β′)=(Tang.z+Tang.β′)/1−Tang.β′Tang.z =(ν+n′)/1−n′ν, ;

substituant ces valeurs dans les équations du problème, et les dénominateurs, elles deviendront

(1−m ν)(1−n ν)y²+(ν+m )(ν+n )x²=0, (1−m′ν)(1−n′ν)y²+(ν+m′)(ν+n′)x²=0.}

En éliminant l’une des deux inconnues x et y entre ces deux équations, l’autre disparaîtra aussi, et il viendra

(ν+m)(ν+n)(m′ν−1)(n′ν−1)−(ν+m′)(ν+n′)(mν−1)(nν−1)=0,

ou, en développant et ordonnant,

(mn−m′n′)ν⁴+(m′+n′)(1+mn)ν³+(m′+n′)(1+mn)ν−(mn−m′n′)=0−(m+n)(1+m′n′)−(m+n)(1+m′n′)

ou encore

(mn−m′n′)(ν⁴−1)+{(m′+n′)(1+mn)−(m+n)(1+m′n′)}ν(ν²+1)=0;

supprimant donc le facteur ν²+1, qui ne saurait être nul, on parviendra à cette équation du second degré

(mn−m′n′)ν²+{(m′+n′)(1+mn)−(m+n)(1+m′n′)}ν−(mn−m′n′)=0,

qu’on peut encore mettre sous cette forme

2ν/1−ν²=2(mn−m′n′)/((m′+n′)(1+mn)−(m+n)(1+m′n′)) ;

mais

2ν/1−ν²=2Tang.z/1−Tang.²z=Tang⁡.2z;

donc finalement

Tang⁡.2z=2(mn−m′n′)/((m′+n′)(1+mn)−(m+n)(1+m′n′)) ;

Or, on a

mn−m′n′=Tang.αTang.βTang.α′Tang.β′

=Sin.αSin.βCos.α′Cos.β′−Cos.αCos.βSin.α′Sin.β′/Cos.αCos.βCos.α′Cos.β′

m+n=Tang.α+Tang.β=(Sin.(α+β))/Cos.αCos.β, m′+n′=Tang.α′+Tang.β′=(Sin.(α′+β′))/Cos.α′Cos.β′, 1+mn=1+Tang.αTang.β=Cos.(α−β)/Cos.αCos.β, 1+m′n′=1+Tang.α′Tang.β′=Cos.(α′−β′)/Cos.α′Cos.β′ ;

il viendra donc, en substituant,

Tang⁡.2z=2(Sin.αSin.βCos.α′Cos.β′−Cos.αCos.βSin.α′Sin.β′)/(Cos.(α−β)Sin.(α′+β′)−Cos.(α′−β′)Sin.(α+β)) ;

formule que l’on pourra encore écrire ainsi

Tang⁡.2z=(Cos.(α′+β′)Cos.(α−β)−Cos.(α+β)Cos.(α′−β′))/(Sin.(α′+β′)Cos.(α−β)−Sin.(α+β)Cos.(α′−β′)).

L’angle z, que fait l’un des diamètres principaux avec notre droite indéfinie, étant connu par cette formule, le rapport de grandeur y/x des deux diamètres principaux sera donné par l’une ou l’autre des équations (1), d’où l’on tire

y/x=√(−Tang.(z+α)Tang.(z+β))=√(−Tang.(z+α′)Tang.(z+β′)).

Tout ce qui précède s’applique au surplus littéralement à l’hyperbole, pourvu que, dans les dernières formules, on change le signe − en + sous les radicaux.

