Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Géométrie analitique, article 5
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Géométrie analitique, article 5

### Démonstration analitique de deux théorèmes sur les transversales.

Pour le premier théorème, prenons la droite donnée pour axe des z, l’origine étant d’ailleurs quelconque et les coordonnées étant rectangulaires.

a, a′, a″

A,

b, b′, b″

B,

c, c′, c″

C,

n, n′, n″

N.

Soient en outre α, α′, α″ les cosinus des angles que forme la direction du premier côté AB du polygone avec les trois axes ; ce côté, considéré comme droite indéfinie, pourra également être exprimé par les deux systèmes d’équations

(1){x=a +α p, y=a′+α′p, z=a″+α″p, (2){x=b +α q, y=b′+α′q, z=b″+α″q;

p et q représentant les distances respectives d’un point quelconque de cette droite aux deux points A et B.

Le plan conduit par l’axe des z et par le sommet N a pour équation

n′x=ny.

Ce plan coupe AB en un certain point, et on peut admettre que p et q sont les distances de ce point aux deux points A et B. En substituant donc tour à tour pour x et y dans l’équation (3) les valeurs données par les équations (1) et (2) on trouvera, pour les deux segmens déterminés sur AB, par le plan dont il s’agit

p=na′−n′a/n′α−nα′, q=nb′−n′b/n′α−nα′,

d’où il suit que le rapport entre les deux segmens que détermine sur AB le plan conduit par la droite donnée et par le sommet N est

na′−n′a/nb′−n′b.

Appliquant donc, tour à tour, les mêmes considérations aux côtés consécutifs AB, BC, CD, …LM du polygone coupés par ce même plan, on trouvera, pour les rapports de longueur des segmens déterminés sur ces divers côtés,

na′−n′a/nb′−n′b, nb′−n′b/nc′−n′c, nc′−n′c/nd′−n′d, … nl′−n′l/nm′−n′m.

Donc, si l’on dénote par Pₙ le produit continuel des segment déterminés sur ces côtés, à partir de leurs extrémités A, B, C…L, et par Qₙ le produit continuel des segmens déterminés sur ces mêmes côtés, à partir de leurs extrémités B, C, D, …M, le rapport du premier produit au second sera

Pₙ/Qₙ=na′−n′a/nm′−n′m.

Si présentement nous considérons tour à tour les plans qui passent par les sommets A, B, C, …N, en employant des notations analogues, nous trouverons

Pₐ/Qₐ=ab′−ba′/n′a−na′, P_{b}/Q_{b}=bc′−cb′/a′b−ab′, P_{c}/Q_{c}=cd′−dc′/b′c−c′b, … Pₙ/Qₙ=na′−n′a/m′n−mn′,

d’où nous conclurons

Pₐ/Qₐ.P_{b}/Q_{b}.P_{c}/Q_{c} … Pₙ/Qₙ=1;

c’est-à-dire,

Pₐ.P_{b}.P_{c}…Pₙ=Qₐ.Q_{b}.Q_{c}…Qₙ,

comme le veut le théorème.

Tout étant supposé dans le second théorème comme dans le premier, avec cette circonstance particulière que le point donné P est pris pour origine ; l’équation du plan mené par ce point P et par le côté MK du polygone sera

(m′n″−m″n′)x+(m″n−mn″)y+(mn′−m′n)z=0,

en mettant tour à tour dans cette équation, pour x, y, z les valeurs (1) et (2) ci-dessus, p, q deviendront respectivement les distances des extrémités A et B du côté AB au point où ce côté est coupé par le plan conduit par MN et par le point P. On trouvera ainsi pour ces deux segmens

p=−(a(m′n″−n′m″)+a′(m″n−mn″)+a″(mn′−m′n))/(α(m′n″−n′m″)+α′(m″n−mn″)+α″(mn′−m′n)), q=−(b(m′n″−n′m″)+b′(m″n−mn″)+b″(mn′−m′n))/(α(m′n″−n′m″)+α′(m″n−mn″)+α″(mn′−m′n)),

de sorte que le rapport p/q de ces deux segmens aura pour expression

(mn′a″−ma′n″+am′n″−nm′a″+na′m″−an′m″)/(mn′b″−mb′n″+bm′n″−nm′b″+nb′m″−bn′m″).

On trouvera de même pour le rapport entre les segmens retranchés par le même plan sur le côté BC et comptés tour à tour de ses extrémités B et C,

(mn′b″−mb′n″+bm′n″−nm′b″+nb′m″−bn′m″)/(mn′c″−mc′n″+cm′n″−nm′c″+nc′m″−cn′m″).

et ainsi des autres, jusqu’au côté KL, pour lequel le rapport de ces mêmes segmens sera

(mn′k″−mk′n″+km′n″−nm′k″+nk′m″−kn′m″)/(mn′l″−ml′n″+lm′n″−nm′l″+nl′m″−ln′m″).

En conséquence, si l’on dénote par Pₘₙ le produit continu des segmens déterminés par le plan MPN sur les côtés consécutifs AB, BC, CD, …KL, à partir de leurs extrémités A, B, C, …K, et par Qₘₙ le produit continu des segmens déterminés par ce même plan sur les mêmes côtés, à partir de leurs extrémités B, C, D, …L, on aura

Pₘₙ/Qₘₙ=(mn′a″−ma′n″+am′n″−nm′a″+na′m″−an′m″)/(mn′l″−ml′n″+lm′n″−nm′l″+nl′m″−ln′m″).

Par l’emploi de notations analogues, on trouvera

P_{ab}/Q_{ab}=(ab′c″−ac′b″+ca′b″−ba′c″+bc′a″−cb′a″)/(ab′n″−an′b″+na′b″−ba′n″+bn′a″−nb′a″), P_{bc}/Q_{bc}=(bc′d″−bd′c″+db′c″−cb′d″+cd′b″−dc′b″)/(bc′a″−ba′c″+ab′c″−cb′a″+ca′b″−ac′b″),

et ainsi de suite, et enfin

Pₙₐ/Qₙₐ=(na′b″−nb′a″+bn′a″−an′b″+ab′n″−ba′n″)/(na′m″−nm′a″+mn′a″−an′m″+am′n″−ma′n″).

d’où nous conclurons

P_{ab}/Q_{ab}.P_{bc}/Q_{bc}.P_{cd}/Q_{cd} … Pₘₙ/Qₘₙ.Pₙₐ/Qₙₐ=1.

c’est-à-dire,

P_{ab}.P_{bc}.P_{cd}…Pₘₙ.Pₙₐ=Q_{ab}.Q_{bc}.Q_{cd}…Qₘₙ.Qₙₐ,

comme le veut le théorème.

