Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Géométrie élémentaire, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Géométrie élémentaire, article 1

## QUESTIONS RÉSOLUES.

### Solution du premier des deux problèmes de géométrie, énoncés à la page 244 du précédent volume ;

PROBLÈME. À un cercle donné inscrire ou circonscrire un triangle, dont les trois côtés forment une proportion continue, par différence ou par quotient, dont la raison soit donnée ?

Cet énoncé renferme évidemment quatre problèmes que nous allons traiter successivement.

Soit R le rayon d’un cercle auquel on propose d’inscrire un triangle dont les trois côtés forment une proportion continue. Soient x, y, z les trois côtés du triangle, en désignant par T l’aire de ce triangle, on aura

16T²=(x+y+z)(y+z−x)(z+x−y)(x+y−z);

mais d’un autre côté on sait que

R=xyz/4T,

16T²R²=x²y²z²;

donc en substituant

R²(x+y+z)(y+z−x)(z+x−y)(x+y−z)=x²y²z².

Cela posé, 1.ᵒ si les trois côtés doivent former une proportion continue par différences, en désignant par d la raison donnée de cette progression, on aura

x=y−d, z=y+d;

ce qui donnera, en substituant et réduisant,

3R²(y²−4d²)=(y²−d²);

ou bien

y⁴−(2d²+3R²)y²+d²(d²+12R²)=0;

d’où l’on voit que, si le problème est possible, il admettra deux solutions. On tire de là

y=√((2d²+3R²±3R√(R²−4d²))/2);

de sorte que le problème ne sera possible qu’autant que la raison d n’excédera pas la moitié du rayon du cercle donné.

Le côté y étant déterminé par cette formule facile à construire, on en conclura x=y−d et z=y+d; et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.

2.ᵒ Si les trois côtés doivent former une proportion continue par quotiens, en désignant par q la raison donnée de cette progression, on aura

x=y/q, z=qy

ce qui donnera, en substituant dans l’équation (1) et réduisant

R²(1+q+q²)(1+q−q²)(1+q²−q)(q²+q−1)=q⁴y⁴,

d’où

y=R/q² √((1+q+q²)(1+q−q²)(1+q²−q)(q²+q−1));

d’où l’on voit que le problème est toujours possible, et n’admet qu’une solution unique.

De la valeur de y, on conclura celles de x=y/q et de z=qy; et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.

Soit r le rayon d’un cercle, auquel on propose de circonscrire un triangle dont les trois côtés forment une proportion continue. Soient x, y, z les trois côtés du triangle ; en désignant par T, comme ci-dessus, l’aire de ce triangle, on aura

16T²=(x+y+z)(y+z−x)(z+x−y)(x+y−z);

mais, d’un autre côté on sait que

2T=r(x+y+z)

4T²=r²(x+y+z)²

donc, en substituant

4r²(x+y+z)=(y+z−x)(z+x−y)(x+y−z).

Cela posé, 1.ᵒ si les trois côtés doivent former une proportion continue par différences, en désignant par d la raison donnée de cette progression, on aura

x=y−d, z=y+d;

ce qui donnera, en substituant et réduisant

12r²=(y+2d)(y−2d)=y²−4d²

et par suite

y=2√(d²+3r²);

quantité facile à construire, si l’on remarque que 3r² est le quarré de la corde du tiers de la circonférence. On voit que le problème, toujours possible, n’admet qu’une solution unique.

De la valeur de y on conclura celles de x=y−d et de z=y+d; et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.

2.ᵒ Si les trois côtés doivent former une proportion continue par quotiens ; en désignant par q la raison de cette progression, on aura

x=y/q, z=qy,

ce qui donnera, en substituant dans (2) et réduisant,

4q²r²(1+q+q²)=(1+q−q²)(1+q²−q)(q²+q−1)y²;

et conséquemment

y=2qr√(((1+q+q²))/((1+q−q²)(1+q²−q)(q²+q−1))).

On voit que le problème, toujours possible, n’admet qu’une solution unique.

De la valeur de y, on conclura celles de x=y/q et de z=qy; et la solution du problème s’achèvera sans difficulté.

