Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Trigonométrie, article 4
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Trigonométrie, article 4

## GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

### Note sur la détermination de l’aire d’un triangle rectiligne en fonction de ses trois côtés ;

Soient A, B, C les trois sommets d’un triangle rectiligne, et a, b, c les côtés respectivement opposés. Posons

1/2 (a+b+c)=s:

d’où

1/2 (b+c−a)=s−a,

1/2 (c+a−b)=s−b 1/2 (a+b−c)=s−c.

Soit inscrit au triangle proposé un cercle dont O soit le centre ; et soient A′, B′, C′ respectivement les points de contact de ce cercle avec les côtés a, b, c; il est connu, et il est d’ailleurs facile de démontrer qu’on aura

AB′=s−a, BC′=s−b, CA′=s−c.

En conséquence, en désignant par r le rayon du cercle, on aura

Tang.AOB′=s−a/r, Tang.BOC′=s−b/r, Tang.COA′=s−c/r ;

mais, parce que ces angles sont les moitiés respectives des angles B′OC′, C′OA′, A′OB′, dont la somme est quatre angles droits, leur somme doit valoir deux angles droits, et conséquemment on doit avoir, par un théorème connu et d’ailleurs facile à démontrer,

Tang.AOB′+Tang.BOC′+Tang.COA′

=Tang.AOB′.Tang.BOC′.Tang.COA′;

c’est-à-dire, en substituant,

s−a/r+s−b/r+s−c/r=s−a/r.s−b/r.s−c/r,

d’où

r=√((s−a)(s−b)(s−c)/s);

mais, en désignant par T l’aire du triangle, on a

T=rs;

donc, en substituant,

T=√(s(s−a)(s−b)(s−c)).

Agréez, etc.

