Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie élémentaire, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie élémentaire, article 2

### Démonstration du théorème de la page 279 du IX.ᵉ volume de ce recueil ;

Après avoir démontré, en l’endroit cité, que si par les sommets A, B, C d’un triangle quelconque, et par un même point P, pris arbitrairement dans son intérieur, on mène trois droites rencontrant les directions des côtés opposés en A′, B′, C′, on doit avoir

PA′/AA′+PB′/BB′+PC′/CC′=1;

on a démontré, d’une manière analogue, que si, par les sommets A, B, C, D d’un tétraèdre quelconque, et par un même point P, pris arbitrairement dans son intérieur, on mène quatre droites, terminées aux faces opposées en A′, B′, C′, D′, on aura

PA′/AA′+PB′/BB′+PC′/CC′+PD′/DD′=1.

M. Vallès a trouvé moyen de déduire très-simplement le second théorème du premier. Pour cela, il conçoit, par le point P, deux plans passant, l’un par l’arête AB et l’autre par son opposée CD. Désignant alors par M le point où le premier de ces deux plans coupe l’arête CD, et par N celui où le second coupe l’arête AB, les deux triangles AMB, CND donneront, par le premier théorème,

PA′/AA′+PB′/BB′+PN/MN=1,

PC′/CC′+PD′/DD′+PM/MN=1;

d’où, en ajoutant, faisant attention que PM+PN=MN et réduisant

PA′/AA′+PB′/BB′+PC′/CC′+PD′/DD′=1.

