Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie transcendante, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie transcendante, article 2

PROBLÈME. Une des propriétés de la sphère est que les plans tangens aux extrémités de ses cordes font des angles égaux avec elles ; mais on conçoit que cette propriété pourrait fort bien n’être pas exclusive à la sphère. On propose donc d’examiner si elle ne conviendrait pas à d’autres surfaces courbes, et de donner, dans le cas de l’affirmative, l’équation générale de ces surfaces ?

Solution. Tout étant supposé ici comme dans le précédent problème, il faudra exprimer que la corde fait des angles égaux tant avec le plan tangent qu’avec le plan des xy; égalant donc entre eux les sinus de ces angles, nous aurons

z′/(√(x′²+y′²+z′²))=z′−x′ d⁡z′/d⁡x′−y′ d⁡z′/d⁡y′ /(√((x′²+y′²+z′²){1+(d⁡z′/d⁡x′)²+(d⁡z′/d⁡y′)²})) ;

ou en simplifiant, chassant les dénominateurs, quarrant et supprimant les accens désormais superflus

z²{1+(d⁡z/d⁡x)²+(d⁡z/d⁡y)²}=(z−x d⁡z/d⁡x−y d⁡z/d⁡y )².

Telle est donc l’équation différentielle partielle commune à toutes les surfaces demandées ; équation qu’il s’agirait d’intégrer pour avoir la solution complète du problème.

