Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Analise transcendante, article 4
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Analise transcendante, article 4

## ANALISE TRANSCENDANTE.

### Développement remarquable des racines et des logarithmes ;

Soit posé

z=xⁿ/(xⁿ+1),

x=ⁿ√(z/1−z),

ᵐ√x=ᵐⁿ√(z/1−z);

c’est-à-dire,

ᵐ√x=ᵐⁿ√z.(1−z)⁻¹ᐟᵐⁿ

En remarquant que z=1−(1−z), on aura

ᵐⁿ√z=1−1/mn (1−z)−1/mn.mn−1/2mn (1−z)²−1/mn.mn−1/2mn.2mn−1/3mn (1−z)³−…

On a d’ailleurs

(1−z)⁻¹ᐟᵐⁿ=1+1/mn z+1/mn.(mn+1)/2mn z²+1/mn.(mn+1)/2mn.(2mn+1)/3mn z³+…

En substituant donc dans (1), et remettant ensuite pour z sa valeur en x, il viendra, quelque soit n,

ᵐ√x={{1−1/mn (1/(xⁿ+1))−1/mn.mn−1/2mn (1/(xⁿ+1))²−1/mn.mn−1/2mn.2mn−1/3mn (1/(xⁿ+1))³−…}×{1+1/mn (xⁿ/(xⁿ+1))+1/mn.(mn+1)/2mn (xⁿ/(xⁿ+1))²+1/mn.(mn+1)/2mn.(2mn+1)/3mn (xⁿ/(xⁿ+1))³+…}}.

Si l’on prend pour n un nombre pair, les deux séries dont le produit compose le développement de ᵐ√x seront constamment convergentes, quelque valeur entière ou fractionnaire, positive ou négative qu’on donne à x.

On a aussi.

Log.x=1/n {Log.z−Log.(1−z)};

mais on sait que

Log.z=−(1−z)−1/2 (1−z)²−1/3 (1−z)³−1/4 (1−z)⁴−…,

−Log.(1−z)=z+1/2 z²+1/3 z³+1/4 z⁴+…;

substituant dans (2), et remettant ensuite pour z sa valeur en x, on aura, quel que soit n,

Log.x=1/n { xⁿ−1/(xⁿ+1)+1/2.x²ⁿ−1/((xⁿ+1)²)+1/3.x³ⁿ−1/((xⁿ+1)³)+1/4 x⁴ⁿ−1/((xⁿ+1)⁴)+…};

série qui, lorsqu’on prendra pour n un nombre pair, aura le même avantage que le développement ci-dessus.

Si, en particulier, on y fait n=2, on retombera sur le développement déjà obtenu (tom. XIV, pag. 279).

