Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Géométrie des courbes, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Géométrie des courbes, article 1

### Démonstration de deux théorèmes de géométrie, énoncés à la page 248 du XIII.ᵉ volume des Annales ;

THÉORÈMES. Soit une lemniscate, lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées du centre d’une hyperbole équilatère dont les diamètres principaux sont égaux à 2a sur les tangentes à la courbe. Sur l’axe transverse de cette hyperbole comme grand axe soit décrite une ellipse dont le petit axe soit égal à la distance entre ses foyers.

Désignons par D l’excès fini de l’asymptote infinie de l’hyperbole, comptée du centre, sur le quart infini de cette courbe, c’est-à-dire, sur la moitié de l’une de ses branches, comptée de son sommet. Soient en outre q le quart du périmètre de la lemniscate et Q le quart du périmètre de l’ellipse ; on aura

D+q=Q√2,

Dq=ϖ/4 a².

Démonstration. En représentant par a et b les deux demi-diamètres principaux d’une hyperbole, son équation est

(x/a)²−(y/b)²=1;

l’équation de sa tangente en un point (x′, y′) pris sur la courbe, est

xx′/a²−yy′/b²=1;

équation dans laquelle x′ et y′ sont liées par la condition

(x′/a)²−(y′/b)²=1.

L’équation de la perpendiculaire menée du centre sur cette tangente est

a²xy′+b²yx′=0.

Son pied étant donné par le système des équations (2, 4), lesquelles x′ et y′ sont liées par la relation (3) ; il s’ensuit qu’en éliminant x′, y′ entre ces trois équations, l’équation résultante en x et y sera celle du lieu des pieds de toutes les perpendiculaires menées du centre de la courbe sur ces tangentes.

Or, on tire des équations (2 et 4)

x′/a=+ax/(x²+y²), y′/b=−by/(x²+y²),

valeurs qui, substituées dans l’équation (3), donnent pour celle du lieu cherché

a²x²−b²y²=(x²+y²)²;

c’est l’équation générale de la lemniscate.

Pour passer à son équation polaire, nous poserons

x=lCos.u, y=lSin.u,

et cette équation polaire sera ainsi

l²=a²Cos.²u−b²Sin.²u.

Quant à l’hyperbole, en appelant h son rayon vecteur répondant à l’angle u, son équation deviendra

h²(b²Cos.²u−a²Sin.²u)=a²b².

Mais, dans le cas particulier qui nous occupe, et où il s’agit d’une hyperbole équilatère, on a b=a; en sorte que l’équation polaire de l’hyperbole devient simplement

a²=h²Cos⁡.2u,

et celle de la lemniscate

l²=a²Cos⁡.2u.

d’où résulte, entre les longueurs des rayons vecteurs correspondant des deux courbes l’équation de relation

lh=a².

On peut déduire de ces équations une construction simultanée des deux courbes.

Sur le demi-axe transverse CA (fig. 6) soit décrite une circonférence, à laquelle soit menée la tangente AD. Soient menées arbitrairement, par le centre, les deux droites CE, CE′ faisant des angles égaux avec CA, et coupant le cercle en F et F′. Soit pris l’arc FG=FA, et soit portée la corde CG de C en K. Soit élevée à CA la perpendiculaire KM rencontrant la circonférence en M et soit menée CM, coupant AD en N. Si alors du point C comme centre commun, et avec CM et CN pour rayon, on décrit deux cercles concentriques, le plus grand coupera nos arbitraires en quatre points H, H′, H″, H‴, qui appartiendront à l’hyperbole, et le plus petit coupera ces mêmes droites en quatre autres points L, L′, L″, L‴, qui appartiendront à la lemniscate.

En effet, 1.ᵒ en abaissant la perpendiculaire GP sur le diamètre, on aura

CH¯²=CN¯²=CA¯²+AN¯²=CA¯²+(CA.KM/CK)²

=CA¯².(CK¯²+KM¯²)/CK²=CA¯².CM¯²/CK¯² ,

ou bien

CH¯²=CA¯².CM¯²/CG¯²=CA¯².CK¯/CP¯=CA¯².CG/CP ;

c’est-à-dire,

z²=a²Sec⁡.2u,

a²=z²Cos⁡.2u.

On aura, 2.ᵒ

CL¯²=CM¯²=CA¯².CK¯²/CM¯²=CA¯².CG¯²/CM¯²=CA¯².CP/CK=CA¯².CP/CG ;

c’est-à-dire,

l²=a²Cos⁡.2u.

Si l’hyperbole était déjà tracée, la construction de la lemniscate deviendrait beaucoup plus facile ; H étant le point où cette hyperbole serait coupée par l’arbitraire CE, l’arc HN, décrit du point c comme centre, déterminerait le point N de AD; la droite CN déterminerait le point M de la circonférence ; et enfin l’arc ML, décrit encore du point C comme centre, déterminerait le point L de la lemniscate.

On tire des équations (5, 6)

d⁡u=+a²d⁡h/h√(h⁴−a⁴), d⁡u=−ld⁡l/√(a⁴−l⁴),

en observant que, pour la dernière courbe, le rayon vecteur décroît lorsque u augmente. Mais on sait que s étant l’arc d’une courbe dont le rayon vecteur r fait un angle u avec l’axe, on a

s=∫√(d⁡r²+r²d⁡u²);

donc, en représentant respectivement par H, L les arcs de nos deux courbes, nous aurons

H=∫ h²d⁡h/h√(h⁴−a⁴), L=∫−a²d⁡l/√(a⁴−l⁴),

les arcs étant comptés à partir du sommet de l’hyperbole. Mais, à cause de la relation trouvée ci-dessus, lh=a², on peut exprimer H en l, et il vient ainsi

H=∫−a⁴d⁡l/l²√(a⁴−l⁴)=√(a⁴−l⁴)/l+∫ l²d⁡l/√(a⁴−l⁴).

Remarquons présentement que l’excès de l’asymptote de l’hyperbole sur le quart de cette courbe n’est autre chose que ce que devient l’excès h−H ou a²/l−H du rayon vecteur sur l’arc correspondant, compté depuis le sommet, lorsque ce rayon vecteur devient infini, ou, ce qui revient au même, lorsque l=0, d’où il suit qu’on doit avoir

D=a²/l−√(a⁴−l⁴)/l−∫ l²d⁡l/√(a⁴−l⁴).[l=al=0]

Or, en remarquant que a²/l−√(a⁴−l⁴)/l=a²/l {1−√(1−l⁴/a⁴)}, on voit que la quantité qui précède le signe ∫ s’évanouit aux deux limites, de sorte qu’on a simplement

D=∫−l²d⁡l/√(a⁴−l⁴).[l=al=0],

On aura de même, pour le quart de la lemniscate,

q=∫−a²d⁡l/√(a⁴−l⁴) ;[l=al=0]

en intervertissant donc l’ordre des limites, on trouvera

D+q=∫{ l²/√(a⁴−l⁴)+a²/√(a⁴−l⁴) }d⁡l=∫d⁡l√((a²+l²)/a²−l²).[l=0l=a]

Concevons présentement que, sur l’axe transverse de notre hyperbole, comme petit axe, on décrive une ellipse dont le grand axe soit a√2, en représentant par l l’abscisse de la courbe répondant à l’ordonnée y, son équation sera

2l²+y²=2a²,

d’où on tirera

d⁡y=−√2.ld⁡l/√(a²−l²),

en conséquence, l’arc d’ellipse qui a pour expression ∫√(d⁡l²+d⁡y²), sera

∫d⁡l√((a²+l²)/a²−l²);

et, pour avoir le quart du périmètre de la courbe, il faudra prendre cette intégrale entre les limites 0 et a; représentant donc cette longueur par Q′, on aura

Q′=∫d⁡l√((a²+l²)/a²−l²);[l=0l=a]

et par suite

D+q=Q′.

Mais, si l’on conçoit une ellipse qui ait l’axe transverse de l’hyperbole pour grand axe, et dont le petit axe soit égal à la distance entre ses foyers, son équation sera

l²+2y²=a²,

elle sera donc semblable à la précédente, et le rapport de leurs lignes homologues sera celui de √2 à 1; en représentant donc par Q le quart du périmètre de cette nouvelle courbe, on aura

Q′=Q√2,

et, par suite,

D+q=Q√2,

ce qui démontre déjà la première partie du théorème.

Présentement, dans la théorie des intégrales définies de la forme ∫xᵐ⁻¹d⁡x(1−xⁿ)ᵖ⁻ⁿᐟⁿ donnée par Euler, on rencontre l’équation suivante

∫ xᵐ⁻¹d⁡x/√(1−xⁿ).∫ xⁿ⁻ᵐ⁻¹d⁡x/√(1−xⁿ)=2ϖCot.mϖ/n /n(n−2m), [x=0x=1]

en faisant donc m=1, n=4, x l/a, on obtiendra

∫ a²d⁡l/√(a⁴−l⁴).∫ l²d⁡l/√(a⁴−l⁴)=ϖa²/4, [l=0l=a]

donc

qD=ϖa²/4,

deuxième partie du théorème.

* ↑ Voyez le Traité des différences et des séries de M. Lacroix, dernière édition, page 426. On parviendrait également au but à l’aide des formules de la page 430 du même ouvrage, en y faisant n=4. Le même résultat se présente aussi à la page 413 de ce traité ; mais il nous a paru que la démonstration n’était point exacte. On sait que ∫ x²ʳd⁡x/√(1−x²).∫ (x²ʳ⁺¹d⁡x)/√(1−x²)=1/(2r+1).ϖ/2, [x=0x=1] du moins en supposant r entier et positif. Si donc l’on pose x=zⁿ, n étant supposé positif, auquel cas les limites de z seront les mêmes que celles de x, on aura n²∫ (z²ʳⁿ⁺ⁿ⁻¹d⁡z)/√(1−z²ⁿ).∫ (z²ʳⁿ⁺²ⁿ⁻¹d⁡z)/√(1−z²ⁿ)=1/(2r+1).ϖ/2, [z=0z=1] d’où, en posant 2rn+n−1=p, il viendra ∫ zᵖd⁡z/√(1−z²ⁿ).∫ (zᵖ⁺ⁿd⁡z)/√(1−z²ⁿ)=1/(n(p+1)).ϖ/2 ;[z=0z=1] mais il faut observer que p n’est point ici un nombre tout-à-fait arbitraire, à cause de l’équation 2rn+n−1=p, dans laquelle r et n sont nécessairement des nombres positifs, et où r est un nombre entier. Si, par exemple, pour obtenir le produit ∫ d⁡z/√(1−z⁴).∫ z²d⁡z/√(1−z⁴), on voulait faire p=0 et n=2, il s’ensuivrait 4r+1=0, ou r=−1/4, ce qu’on ne peut admettre ; il faut donc chercher ce produit par une autre voie.
* ↑ M. H. W. T. à qui on doit ces deux singuliers théorèmes en a donné une démonstration qui ne diffère guère de celle qu’on vient de lire qu’en ce que, dans ses calculs, il substitue l’angle u au rayon vecteur. J. D. G.
