Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Algèbre élémentaire, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Algèbre élémentaire, article 1

## ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

### Démonstration abrégée du Binome de Newton, pour le cas de l’exposant entier et positif ;

Soit pour abréger,

m/1.m−1/2.m−2/3 … (m−μ+2)/μ−1=f⁡(m, μ);

il s’agit de prouver que le terme général du développement de (x+a)ᵐ est f⁡(m, μ)a^{μ−1}x^{m−μ+1}, ou, ce qui revient au même, que

(x+a)ᵐ=Σ{f⁡(m, μ)a^{μ−1}x^{m−μ+1}};

en développant le second membre depuis μ=1 jusqu’à μ=∞.

Cette assertion se vérifiant facilement pour les quelques premières valeurs de m, tout se réduit à prouver que l’équation (1) aura lieu si l’on

(x+a)ᵐ⁻¹=Σ{f⁡(m−1, μ)a^{μ−1}x^{m−μ}};

or, on tire de là, en multipliant de part et d’autre par x+a,

(x+a)ᵐ=(x+a)Σ{f⁡(m−1, μ)a^{μ−1}x^{m−μ}};

d’où il suit, en comparant (3) à (1) que tout se réduit à prouver que

(x+a)Σ{f⁡(m−1, μ)a^{μ−1}x^{m−μ}}=Σ{f⁡(m, μ)a^{μ−1}x^{m−μ+1}}.

Or, en faisant, tour à tour, la multiplication par x et par a, et prenant les termes généraux correspondans des deux produits, on trouve

xΣ{f⁡(m−1, μ)a^{μ−1}x^{m−μ}}=Σ{f⁡(m−1, μ)a^{μ−1}x^{m−μ+1}}, aΣ{f⁡(m−1, μ)a^{μ−1}x^{m−μ}}=Σ{f⁡(m−1, μ−1)a^{μ−1}x^{m−μ+1}};

donc, en ajoutant

(x+a)Σ{f⁡(m−1, μ)a^{μ−1}x^{m−μ}}

=Σ{[f⁡(m−1, μ)+f⁡(m−1, μ−1)]a^{μ−1}x^{m−μ+1}}

or, il est très-facile de s’assurer que

f⁡(m−1, μ)+f⁡(m−1, μ−1)=f⁡(m, μ);

donc l’équation (4), et par suite l’équation (1) se trouve pleinement justifiée.

* ↑ On a déjà donné dans ce recueil (tom. II, p. 207) une démonstration de la formule du binome, indépendante, comme celle-ci, de la théorie des combinaisons.J. D. G.
