Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie des courbes, article 11
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Géométrie des courbes, article 11

### Addition à la solution insérée à la page 285 de ce volume ;

Le problème qu’il s’agissait de résoudre en cet endroit était le suivant : Quelle est l’équation la plus générale des courbes qui jouissent de cette propriété que si, par chacun de leurs points, on leur mène une normale, terminée à l’axe des abscisses, cette normale a même longueur que l’ordonnée qui a son pied au même point de cet axe ?

Nous avons prouvé, en l’endroit cité, que l’équation générale de ces courbes avait pour équation

y²=2ϕ(x);

pourvu que la fonction ϕ fût de nature à satisfaire à l’équation

2ϕ(x)+[ϕ′(x)]²=2ϕ[x+ϕ′(x)],

où ϕ′ désigne, comme à l’ordinaire, la fonction dérivée de ϕ.

En différentiant cette dernière, il vient

2ϕ′(x)+2ϕ′(x)ϕ″(x)=2[1+ϕ″(x)]ϕ′[x+ϕ′(x)],

ou, en transposant et décomposant,

[1+ϕ″(x)]{ϕ′(x)−ϕ′[x+ϕ′(x)]}=0;

équation qui se décompose en ces deux-ci :

ϕ″(x)=−1, (3)ϕ′(x)=ϕ′[x+ϕ′(x)], (4)

L’équation (3) donne, en intégrant,

ϕ(x)=A+Bx−1/2 x²;

ce qui donne, pour l’équation de la courbe cherchée,

y²=2A+2Bx−x²,

équation d’un cercle d’un rayon quelconque, ayant son centre en l’un quelconque des points de l’axe des x.

Quant à l’équation (4), elle donne évidemment ϕ′(x)=0, d’où

ϕ(x)=A,

ce qui donne, pour l’équation de la courbe cherchée,

y²=2A,

équation de deux parallèles à l’axe des x, également distantes de part et d’autre de cet axe.

Nous avions déjà prouvé, à posteriori, que ce cercle et ces parallèles, qui d’ailleurs résolvent évidemment le problème, satisfaisaient aux équations (1, 2) ; mais nous n’avions pas su alors en déduire directement les équations de ces deux lignes.

La question serait présentement de savoir si une équation de la forme

ψ(x)=ψ[x+ψ(x)]

peut admettre d’autres solutions que la solution ψ(x)=0; et, au cas qu’elle en admît d’autres, quelles pourraient être ces solutions ? mais c’est une question que nous livrons à la sagacité du lecteur.

