Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Analise transcendante, article 7
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Analise transcendante, article 7

## ANALISE TRANSCENDANTE.

### Note sur les conditions d’intégrabilité ;

Soient x et y des fonctions quelconques d’une troisième variable t; et soient représentés, en général, pour abréger,

dᵏ⁡x/d⁡tᵏ

xₖ,

dᵏ⁡y/d⁡tᵏ

yₖ,

quel que puisse être d’ailleurs le nombre entier positif k. Soit V une fonction quelconque de

x, x₁, x₂, x₃, …xₘ,

y, y₁, y₂, y₃, …yₘ,

où on suppose que m soit tout au plus égal à n, et posons

X=(d⁡V/d⁡x)−d⁡(d⁡V/d⁡x₁)/d⁡t+d²⁡(d⁡V/d⁡x₂)/d⁡t²−d³⁡(d⁡V/d⁡x₃)/d⁡t³+…± dᵐ⁡(d⁡V/d⁡xₘ)/d⁡tᵐ Y=(d⁡V/d⁡y)−d⁡(d⁡V/d⁡y₁)/d⁡t+d²⁡(d⁡V/d⁡y₂)/d⁡t²−d³⁡(d⁡V/d⁡y₃)/d⁡t³+…± dⁿ⁡(d⁡V/d⁡yₙ)/d⁡tⁿ

Si Vd⁡t est une différentielle exacte, on aura, comme l’on sait, X=0, Y=0; et réciproquement, si ces deux équations ont lieu, Vd⁡t sera une différentielle exacte ; et telles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour l’intégrabilité de la fonction différentielle Vd⁡t, lorsque x et y sont deux variables indépendantes l’une de l’autre.

Mais si, au contraire, y était une fonction de x, c’est-à-dire, si l’on avait y=φ(x), il est clair qu’alors une seule condition serait nécessaire et suffisante pour rendre intégrable la fonction différentielle Vd⁡t. Mais quelle devrait être cette condition unique ? C’est ce que nous nous proposons ici de rechercher.

Désignons en général par φₖ(x) la dérivée de l’ordre k de la fonction φ(x), prise par rapport à x, quel que soit le nombre entier positif k; à cause de y=φ(x), on aura, en différentiant,

y =φ(x)y₁=φ₁(x).x₁y₂=φ₂(x).x₁²+φ₁(x).x₂y₃=φ₃(x).x₁³+3φ₂(x).x₁x₂+φ₁(x).x₃…………………………

Désignons par V′ ce que devient V lorsqu’on y substitue ces valeurs en x, x₁, x₂, …xₙ pour y, y₁, y₂, …yₙ; en posant

X′=(d⁡V′/d⁡x)−d⁡(d⁡V′/d⁡x₁)/d⁡t+d²⁡(d⁡V′/d⁡x₂)/d⁡t²−d³⁡(d⁡V′/d⁡x₃)/d⁡t³+…± dⁿ⁡(d⁡V′/d⁡xₙ)/d⁡tⁿ,

X′=0 sera évidemment l’équation de condition qu’il s’agit de déterminer.

Or, on a

d⁡V′/d⁡x=d⁡V/d⁡x+d⁡y/d⁡x d⁡V/d⁡y+d⁡y₁/d⁡x d⁡V/d⁡y₁+d⁡y₂/d⁡x d⁡V/d⁡y₂+…+d⁡yₙ/d⁡x d⁡V/d⁡yₙ, d⁡V′/d⁡x₁=d⁡V/d⁡x₁+d⁡y₁/d⁡x₁ d⁡V/d⁡y₁+d⁡y₂/d⁡x₁ d⁡V/d⁡y₂+…+d⁡yₙ/d⁡x₁ d⁡V/d⁡yₙ, d⁡V′/d⁡x₂=d⁡V/d⁡x₂+d⁡y₂/d⁡x₂ d⁡V/d⁡y₂+d⁡y₃/d⁡x₂ d⁡V/d⁡y₃+…+d⁡yₙ/d⁡x₂ d⁡V/d⁡yₙ, …………………………… d⁡V′/d⁡xₙ=d⁡V/d⁡xₙ+d⁡yₙ/d⁡xₙ d⁡V/d⁡yₙ ;

ce qui donnera, en substituant,

X′=d⁡V/d⁡x+d⁡y/d⁡x d⁡V/d⁡y+d⁡y₁/d⁡x d⁡V/d⁡y₁+d⁡y₂/d⁡x d⁡V/d⁡y₂+… d⁡yᵢ/d⁡x d⁡V/d⁡yᵢ+…

−d⁡(d⁡V/d⁡x₁)/d⁡t−d⁡( d⁡y₁/d⁡x₁ d⁡V/d⁡y₁ )/d⁡t−d⁡( d⁡y₂/d⁡x₁ d⁡V/d⁡y₂ )/d⁡t−…−d⁡( d⁡yᵢ/d⁡x₁ d⁡V/d⁡yᵢ )/d⁡t−…+d²⁡(d⁡V/d⁡x₂)/d⁡t²+d²⁡( d⁡y₂/d⁡x₂ d⁡V/d⁡y₂ )/d⁡t²+…+d²⁡( d⁡yᵢ/d⁡x₂ d⁡V/d⁡yᵢ )/d⁡t²+…−d³⁡(d⁡V/d⁡x₃)/d⁡t³−…−d³⁡( d⁡yᵢ/d⁡x₃ d⁡V/d⁡yᵢ )/d⁡t³−…+…………+………………+(dⁱ⁺¹⁡(d⁡V/(d⁡xᵢ₊₁)))/(d⁡tⁱ⁺¹)

Considérons, dans ce développement, la colonne dont le rang est i+2, laquelle est, comme on le voit,

d⁡yᵢ/d⁡x d⁡V/d⁡yᵢ−d⁡( d⁡yᵢ/d⁡x₁ d⁡V/d⁡yᵢ )/d⁡t+d²⁡( d⁡yᵢ/d⁡x₂ d⁡V/d⁡yᵢ )/d⁡t²−…± (dⁱ⁺¹⁡(d⁡V/(d⁡xᵢ₊₁)))/(d⁡tⁱ⁺¹) ;

en la développant et ordonnant suivant les différentielles successives de d⁡V/d⁡yᵢ ; on pourra lui donner la forme suivante :

d⁡yᵢ/d⁡x d⁡V/d⁡yᵢ−d⁡yᵢ/d⁡x₁ d⁡(d⁡V/d⁡yᵢ)/d⁡t+d⁡yᵢ/d⁡x₂ d²⁡(d⁡V/d⁡yᵢ)/d⁡t²−…± d⁡yᵢ/d⁡xᵢ dⁱ⁡(d⁡V/d⁡yᵢ)/d⁡tⁱ −d⁡(d⁡yᵢ/d⁡x₁)/d⁡t +2 d⁡(d⁡yᵢ/d⁡x₂)/d⁡t −3 d⁡(d⁡yᵢ/d⁡x₃)/d⁡t +…+d²⁡(d⁡yᵢ/d⁡x₂)/d⁡t² −3 d²⁡(d⁡yᵢ/d⁡x₃)/d⁡t² +……−d³⁡(d⁡yᵢ/d⁡x₃)/d⁡t³ +……± i/1.i−1/2 dⁱ⁻²⁡(d⁡yᵢ/d⁡xᵢ)/d⁡tⁱ⁻² +……±i dⁱ⁻¹⁡(d⁡yᵢ/d⁡xᵢ)/d⁡tⁱ⁻¹ ± dⁱ⁡(d⁡yᵢ/d⁡xᵢ)/d⁡tⁱ

Or, les coefficiens des termes,

d⁡V/d⁡xᵢ, d⁡(d⁡V/d⁡yᵢ)/d⁡t, d²⁡(d⁡V/d⁡yᵢ)/d⁡t², … dⁱ⁻¹⁡(d⁡V/d⁡yᵢ)/d⁡tⁱ⁻¹,

de ce développement, égalés séparément à zéro, ne sont autre chose que les équations de condition qui exprimeraient que yᵢd⁡tⁱ est une différentielle exacte de l’ordre i; ces coefficiens doivent donc être nuls d’eux-mêmes, puisque yᵢd⁡tⁱ est en effet une telle différentielle ; ce développement se réduit donc simplement à son dernier terme d⁡yᵢ/d⁡xᵢ dⁱ⁡(d⁡V/d⁡y₁)/d⁡tⁱ ; c’est donc aussi à ce dernier terme que se réduit la (i+2) ᵐᵉ colonne du développement de X′; d’où il suit ce développement lui-même se réduit à

X′=d⁡V/d⁡x−d⁡(d⁡V/d⁡x₁)/d⁡t+d²⁡(d⁡V/d⁡x₂)/d⁡t²−…± dⁿ⁡(d⁡V/d⁡xₙ)/d⁡tⁿ

+d⁡y/d⁡x d⁡V/d⁡y−d⁡y₁/d⁡x₁ d⁡(d⁡V/d⁡y₁)/d⁡t+d⁡y₂/d⁡x₂ d²⁡(d⁡V/d⁡y₂)/d⁡t²−…± d⁡yₙ/d⁡xₙ d⁡(d⁡V/d⁡yₙ)/d⁡tⁿ ;

mais il est visible que

d⁡y/d⁡x=d⁡y₁/d⁡x₁=d⁡y₂/d⁡x₂=…=d⁡yₙ/d⁡xₙ ;

donc, on aura

X′=X+Y d⁡y/d⁡x ;

puis donc que la condition d’intégrabilité est, dans le cas présent X′=0, cette condition sera

Xd⁡x+Xd⁡y=0

Xx₁+Yy₁=0.

Cette conclusion est exactement celle de Lagrange dans sa 21.ᵉ leçon sur le Calcul des fonctions.

* ↑ Voyez la page 197 du présent volume.
* ↑ Voyez la page 412 de l’édition in-8.ᵒ ou la page 12 du supplément in-4ᵒ.
