Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Algèbre élémentaire, Article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 12/Algèbre élémentaire, Article 1

## ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

### Démonstration de quelques théorèmes d’algèbre ;

Soient les deux expressions

a+b+√(ab), a′+b′+√(a′b′);

si l’on a b/a=b′/a′, on aura

(a+b+√(ab))+(a′+b′+√(a′b′))

=(a+a′)+(b+b′)+√((a+a′)(b+b′));

car, soit b/a=b′/a′=m, il viendra b=ma, b′=ma′, et de là

a +b +√(ab)=a (1+m+√m), a′+b′+√(a′b′)=a′(1+m+√m),

d’où, en ajoutant

(a+b+√(ab))+(a′+b′+√(a′b′))

=(a+a′)+(ma+ma′)+√((a+a′)(ma+ma′)),

qui, en mettant dans le second membre b et b′ pour ma et ma′ revient au théorème (I). On prouvera d’une manière tout-à-fait semblable que

(a+b+√(ab))−(a′+b′+√(a′b′))

=(a−a′)+(b−b′)+√((a−a′)(b−b′)).

Si, dans l’équation (I), on suppose que a′, b′ se changent respectivement en a′+a″, b′+b″, elle deviendra

(a+b+√(ab))+{(a′+a″)+(b′+b″)+√((a′+a″)(b′+b″))}

=(a+a′+a″)+(b+b′+b″)+√((a+a′+a″)(b+b′+b″));

mais, si l’on a b″/a″=b′/a′=b/a, on aura, par ce qui précède,

(a′+a″)+(b′+b″)+√((a′+a″)(b′+b″))

=(a′+b′+√(a′b′))+(a″+b″+√(a″b″));

donc, en substituant,

(a +b +√(a b ) )+(a′+b′+√(a′b′))+(a″+b″+√(a″b″))}=(a+a′+a″)+(b+b′+b″)+√((a+a′+a″)(b+b′+b″)).

On pourrait présentement supposer que a″ et b″ se changent respectivement en a″+a‴ et b″+b‴, et continuer ainsi indéfiniment, en supposant toujours b‴/a‴=b″/a″=b′/a′=b/a, et ainsi de suite ; d’où l’on voit qu’en posant, pour abréger,

Σ(a+b+√(ab))=(a+b+√(ab))+(a′+b′+√(a′b′))+(a″+b″+√(a″b″))+…

Σ(a)=a+a′+a″+…, Σ(b)=b+b′+b″+…;

et supposant d’ailleurs

b/a=b′/a′=b″/a″=…,

on doit avoir

Σ(a+b+√(ab))=Σ(a)+Σ(b)+√(Σ(a)Σ(b)).

On démontrerait pareillement que, si l’on fait

Σ(a+b+c+√(bc)+√(ca)+√(ab))=

{(a +b +c +√(b c )+√(c a )+√(a b )+(a′+b′+c′+√(b′c′)+√(c′a′)+√(a′b′)+(a″+b″+c″+√(b″c″)+√(c″a″)+√(a″b″)+……………………

Σ(a)=a+a′+a″+…, Σ(b)=b+b′+b″+…, Σ(c)=c+c′+c″+…,

et qu’on ait à la fois

a/c=a′/c′=a″/c″=…, b/c=b′/c′=b″/c″=…,

on aura

Σ(a+b+c+√(bc)+√(ca)+√(ab))

=Σ(a)+Σ(b)+Σ(c)+√(Σ(b)Σ(c))+√(Σ(c)Σ(a))+√(Σ(a)Σ(b)).

Le théorème (III) trouve son application en géométrie. Si, en effet, a, a′, a″, … sont les bases inférieures et b, b′, b″, … les bases supérieures respectives des troncs de pyramides triangulaires résultant de la décomposition d’un tronc de pyramide quelconque à bases parallèles, en représentant par v, v′, v″, … les volumes des premiers et par V le volume du dernier ; et si, en outre, on représente par A, B ses deux bases, on aura

A=Σ(a), B=Σ(b), C=Σ(c);

mais on démontre, par les élémens que h étant la hauteur du tronc

v =(a +b +√( a b )) h/3, v′=(a′+b′+√(a′b′ )) h/3, v″=(a″+b″+√(a″b″)) h/3, ……………………;

donc

V={Σ(a+b+√(ab))} h/3 ;

mais on a de plus

b/a=b′/a′=b″/a″=…;

donc

Σ(a+b+√(ab))=Σ(a)+Σ(b)+√(Σ(a)Σ(b))=A+B+√(AB);

donc enfin

V=(A+B+√(AB)) h/3.

