Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 11/Combinaisons, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 11/Combinaisons, article 2

### Solution du premier des deux problèmes de combinaisons proposés à la page 204 de ce volume ;

PROBLÈME. De combien de manières peut-on choisir n lettres parmi m lettres, desquelles il s’en trouve un nombre α égales à a, un nombre β égales à b, un nombre γ égales à c, et ainsi de suite ? ou, en d’autres termes, combien le monôme aᵅbᵝcᵞ, …, dans lequel α+β+γ+…=m, admet-il de diviseurs de n dimensions ?

Solution. On sait que tous les termes et les seuls termes du produit

(1+a+a²+…+aᵅ)(1+b+b²+…+bᵝ)(1+c+c²+…+cᵞ)…

sont les diviseurs du monôme aᵅbᵝcᵞ, …, lesquels ne s’y trouvent chacun qu’une seule fois ; d’où il résulte que les diviseurs de n dimensions de ce monôme sont les termes de n dimensions du produit dont il s’agit.

Or, si l’on pose a=b=c=…=x, auquel cas ce même produit deviendra

(1+x+x²+…+xᵅ)(1+x+x²+…+xᵝ)(1+x+x²+…+xᵞ)…

ou encore

(1−xᵅ⁺¹)/1−x.(1−xᵝ⁺¹)/1−x.(1−xᵞ⁺¹)/1−x …;

le nombre de ses termes de n dimensions ni le nombre des dimensions de ces termes ne changera pas ; et il arrivera seulement que chacun d’eux se réduira à xⁿ, d’où il résulte qu’ils se réduiront tous à ce terme affecté d’un coefficient égal au nombre cherché.

Le nombre cherché est donc le coefficient numérique de xⁿ dans le développement du produit

(1+x+x²+…+xᵅ)(1+x+x²+…+xᵝ)(1+x+x²+…+xᵞ)…

Qu’on demande, par exemple, le nombre des diviseurs de trois dimensions du produit a³b²c; on développera le produit

(1+x+x²+x³)(1+x+x²)(1+x),

ce qui donnera

1+3x+5x²+6x³+5x⁴+3x⁵+x⁶;

et le coefficient 6 de x³, dans le développement, sera le nombre des diviseurs de trois dimensions de a³b²c: ces diviseurs sont, en effet,

a³, a²b, ab², abc, a²c, b²c.

Comme il y a autant de manières de choisir m−n facteurs parmi m que d’en laisser n, on voit que le produit aᵅbᵝcᵞ… aura toujours autant de diviseurs de m−n dimensions qu’il en aura de n dimensions. Dans le développement du produit de nos polynômes en x, il arrivera donc que les termes également distans des extrêmes auront constamment des coefficiens égaux ; cela résulte d’ailleurs de la nature même de l’opération.

Si le nombre n n’était supérieur à aucun des exposans α, β, γ, …; il est aisé de voir qu’on pourrait supposer ces exposans plus grands qu’ils ne le sont en effet sans rien changer au résultat final ; il ferait donc permis aussi de les supposer infinis ; auquel cas, en désignant par m le nombre des lettres a, b, c, … le produit à développer deviendrait

(1+x+x²+x³+…)ᵐ,

ou

(1/1−x)ᵐ

(1−x)⁻ᵐ;

or, le développement de cette puissance est

1+m/1 x+m/1.(m+1)/2 x²+…+m/1.(m+1)/2.(m+2)/3 … (m+n−1)/n xⁿ+…;

donc, le nombre des diviseurs de n dimensions du monôme aᵅbᵝcᵞ… dans lequel il y a m lettres et où α, β, γ, … sont des exposans quelconques >n est

m/1.(m+1)/2.(m+2)/3 … (m+n−1)/n.

Or, si l’on demandait le nombre des termes du polynôme complet et homogène de n dimensions qu’on peut fermer avec m sortes de lettres en nombre indéfini de chaque sorte, le problème reviendrait évidemment à celui-ci ; donc le nombre de ces termes est

m/1.(m+1)/2.(m+2)/3 … (m+n−1)/n=((m−n+1)!)/(m−1)!n!.

Soit présentement une équation complète du n. ᵐᵉ degré entre m inconnues x, y, z, dont on demande le nombre des termes ; en introduisant dans chacun de ses termes une puissance d’une (m+1) ᵐᵉ inconnue, du degré nécessaire pour les rendre tous homogènes et de n dimensions, son premier membre deviendra un polynôme homogène de n dimensions, formé avec m+1 sortes de lettres ; le nombre des termes de la proposée est donc ce que devient la formule ci-dessus, en y changeant m en m+1 ou m−1 en m; c’est-à-dire que le nombre des termes d’une équation complète de n. ᵐᵉ degré entre m inconnues, comme aussi le nombre de ceux d’une équation complète du m. ᵐᵉ degré entre n inconnues est

((m+n)!)/m!n!.

Cette démonstration d’un théorème d’ailleurs assez important nous paraît beaucoup plus courte et plus claire que celle de M. G. Fornier, rapportée par M. Gergonne, à la page 115, du IV.ᵉ volume de ce recueil.

