Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Analise transcendante, article 5
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Analise transcendante, article 5

## ANALISE TRANSCENDANTE.

### Nouvelle méthode pour l’intégration de l’équation linéaire du premier ordre à deux variables ;

On se tromperait étrangement si l’on croyait avoir tout fait dans l’analise, lorsqu’on a trouvé une méthode propre à résoudre chacune des questions qui dépendent de ses procédés. Outre qu’en effet les divers chemins qui conduisent au même but peuvent fort bien n’être pas tous également aisés à parcourir ; il arrive souvent que, tandis que certaines méthodes sont exclusivement propres à l’objet particulier pour lequel elles ont été imaginées, d’autre, au contraire, semblent ouvrir devant elles une voie nouvelle, et être de nature à s’étendre à un grand nombre de recherches analogues.

Ces réflexions nous serviront d’excuse, si nous revenons ici un moment sur un sujet qui semble épuisé depuis long-temps, en indiquant, pour parvenir à l’intégration de l’équation linéaire du premier ordre entre deux variables ; un procédé tout-à-fait nouveau, et qui nous paraît susceptible d’être étendu au-delà de cette application particulière.

Soit l’équation

d⁡y/d⁡x=P₁y+Q₁,

dans laquelle P₁ et Q₁ sont supposés des fonctions quelconques de x sans y. En la différentiant, on trouve

d²⁡y/d⁡x²=P₁ d⁡y/d⁡x+d⁡P₁/d⁡x y+d⁡Q₁/d⁡x ;

ou, en mettant pour d⁡y/d⁡x sa valeur donnée par la proposée,

d²⁡y/d⁡x²=(P₁²+d⁡P₁/d⁡x )y+(P₁Q₁+d⁡Q₁/d⁡x );

de sorte qu’en posant

P₁²+d⁡P₁/d⁡x=P₂, P₁Q₁+d⁡Q₁/d⁡x=Q₂,

on aura

d⁡y²/d⁡x²=P₂y+Q₂,

où P₂ et Q₂ seront encore, comme dans (1), des fonctions de x sans y.

Il est clair, d’après cela, que, si l’on pose

P₂²+d⁡P₂/d⁡x=P₃, P₂Q₂+d⁡Q₂/d⁡x=Q₃,

on aura

d⁡y³/d⁡x³=P₃y+Q₃,

où P₃ et Q₃ seront toujours des fonctions de x sans y; de manière qu’en continuant ainsi, on aura, en général,

d⁡yⁿ/d⁡xⁿ=Pₙy+Qₙ,

où Pₙ et Qₙ seront encore des fonctions de x sans y, et n un nombre entier positif quelconque.

Si, dans cette dernière équation, on suppose n=0, elle deviendra

d⁰⁡y/d⁡x⁰

y=P₀y+Q₀,

d’où

y=Q₀/1−P₀ ;

d’où l’on voit que l’intégration de la proposée se réduit finalement à déterminer les deux fonctions P₀ et Q₀. Or, c’est là une chose très-facile, ainsi qu’on va le voir.

En différentiant l’équation (2), on a

(dⁿ⁺¹⁡y)/(d⁡xⁿ⁺¹)=Pₙ d⁡y/d⁡x+d⁡Pₙ/d⁡x y+d⁡Qₙ/d⁡x ;

ou, en mettant dans le second membre pour d⁡y/d⁡x sa valeur donnée par l’équation (1),

(dⁿ⁺¹⁡y)/(d⁡xⁿ⁺¹)=(P₁Pₙ+d⁡Pₙ/d⁡x )y+(Q₁Pₙ+d⁡Qₙ/d⁡x ).

Faisant, dan, cette dernière, n=0, elle deviendra

d⁡y/d⁡x=(P₁P₀+d⁡P₀/d⁡x )y+(Q₁P₀+d⁡Q₀/d⁡x ).

Celle-ci devant être identique avec l’équation (1), on aura

P₁P₀+d⁡P₀/d⁡x=P₁,

Q₁P₀+d⁡Q₀/d⁡x=Q₁.

La première de ces équations donne

d⁡P₀/1−P₀=P₁d⁡x,

d’où en intégrant

Log.1−P₀/C=−∫P₁d⁡x,

C étant la constante ; c’est-à-dire,

1−P₀=Ce^{−∫P1d⁡x}

On tire ensuite de l’autre

d⁡Q₀=Q₁(1−P₀)d⁡x=CQ₁d⁡x.e^{−∫P1d⁡x},

d’où, en intégrant,

Q₀=C∫e.^{−∫P1d⁡x}Q₁d⁡x,

substituant enfin les valeurs de Q₀ et de 1−P₀ dans la formule (3), on aura

y=∫e.^{−∫P1d⁡x}Q₁d⁡x/e^{−∫P1d⁡x}=e.^{∫P1d⁡x}∫e.^{−∫P1d⁡x}Q₁d⁡x,

c’est la formule connue dans laquelle, comme l’on voit, il ne faut point ajouter de constante à l’intégrale ∫P₁d⁡x, mais seulement à l’intégrale ∫e.^{−∫P1d⁡x}Q₁d⁡x.

