Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Géométrie élémentaire, article 12
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Géométrie élémentaire, article 12

### Addition à l’article inséré à la page 286 du présent volume ;

En démontrant, à la page 286 du présent volume, le théorème de géométrie élémentaire énoncé à la page 28, j’ai négligé de faire remarquer qu’on pouvait facilement passer de là à la démonstration d’un théorème connu, sur lequel M. Durrande est revenu de nouveau à la page 54 de ce volume, et qu’il a heureusement étendu au triangle sphérique et au tétraèdre. Voici de quoi il s’agit :

On a vu, à l’endroit cité, qu’en représentant par α, β, γ les trois angles dun triangle, par r le rayon du cercle circonscrit, par D la distance d’un point quelconque P au centre de ce cercle, et enfin par k² l’aire du triangle qui a ses sommets aux pieds des perpendiculaires abaissées de ce point P sur les directions des côtés du triangle proposé, on avait (pag. 289)

D²=r²−2k²/Sin.αSin.βSin.γ.

Supposons que l’on prenne pour ce point P le centre du cercle inscrit à notre triangle ; alors les trois perpendiculaires a, b, c seront égales entre elles et au rayon de ce cercle ; en représentant donc ce rayon par r′, les équations (1) et (2), pag. 287, deviendront

r′(Sin.α+Sin.β+Sin.γ)=Sin.αSin.βSin.γ, r′²(Sin.α+Sin.β+Sin.γ)=2k²;

d’où, en divisant membre à membre,

2k²/Sin.αSin.βSin.γ=2rr′;

en substituant donc cette valeur dans celle de D², elle deviendra

D²=r²−2rr′=r(r−2r′),

c’est-à-dire, la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit à un même triangle est moyenne proportionnelle entre le rayon du circonscrit et l’excès de ce rayon sur le diamètre de l’inscrit. C’est le théorème auquel nous nous étions proposé de parvenir.

* ↑ Ce théorème appartient à M. Sturm.
* ↑ Voyez Annales, tom. I, pag. 64 et 143, tom. III, pag. 346. J. D. G.
