Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Trigonométrie, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 14/Trigonométrie, article 1

## QUESTIONS RÉSOLUES.

### Solution des problèmes d’analise transcendante, proposés à la page 247 du XIII.ᵉ volume du présent recueil ;

I. Pour sommer la série

S=aCos.x/1−a³Cos⁡.3x/3+a⁵Cos⁡.5x/5−a⁷Cos⁡.7x/7+…

posons Cos.x=1/2 (u+v), avec la relation uv=1; nous aurons, comme l’on sait,

Cos.nx=1/2 (uⁿ+vⁿ);

de sorte qu’en posant

U=au/1−a³u³/3+a⁵u⁵/5−a⁷u⁷/7+…, V=av/1−a³v³/3+a⁵v⁵/5−a⁷v⁷/7+…,

nous aurons

S=1/2 (U+V);

cela donne

U=Arc.(Tang.=au), V=Arc.(Tang.=av);

mais, en renversant le théorème connu,

Tang.(p+q)=(Tang.p+Tang.q)/1−Tang.pTang.q,

on a

Arc.(Tang.=p′)+Arc.(Tang.=q′)=Arc.(Tang.=(p′+q′)/1−p′q′ ),

et par suite,

Arc.(Tang.=au)+Arc.(Tang.=av)=Arc.(Tang.=(a(u+v))/1−a²uv );

remettant donc 2Cos.r pour u+v et 1 pour uv, il viendra finalement

S=1/2 Arc.(Tang.=2aCos.x/1−a² ).

II. Pour sommer la seconde série

S=Cos.x/1+1/2 Cos⁡.3x/3+1.3/2.4 Cos⁡.5x/5+1.3.5/2.4.6 Cos⁡.7x/7+…

nous poserons encore Cos.x=1/2 (u+v), avec la condition uv=1; alors, en posant

U=u+1/2.u³/3+1.3/2.4.u⁵/5+1.3.5/2.4.6.u⁷/7+…=Arc.(Sin.=u), V=v+1/2.v³/3+1.3/2.4.v⁵/5+1.3.5/2.4.6.v⁷/7+…=Arc.(Sin.=v),

nous aurons

S=1/2 (U+V)=1/2 {Arc.(Sin.=u)+Arc.(Sin.=v)};

donc

u=Sin.Uv=Sin.V}d′ou^{`}{√(1−u²)=Cos.U, √(1−v²)=Cos.V,

donc aussi

Sin⁡.2S=Sin.(U+V)=u√(1−v²)+v√(1−u²),

ou, en quarrant

Sin.²2S=u²(1−v²)+v²(1−u²)+2uv√((1−u²)(1−v²)),

en développant et observant que uv=1, et que conséquemment

u²+v²=(u+v)²−2uv=(u+v)²−2=4Cos.²x−2,

on trouvera

Sin.²2S=4Cos.²x−4+2√(4−4Cos.²x)=4Sin.x−4Sin.²x,

donc

Sin⁡.2S=2√(Sin.x−Sin.²x)

2S=Arc.(Sin.=2√(Sin.x−Sin.²x)),

c’est-à-dire,

S=1/2 Arc.(Sin.=2√(Sin.x−Sin.²x)).

III. Pour sommer la troisième série

S=Cos.xCos.y/1−Cos⁡.2xCos⁡.2y/2+Cos⁡.3xCos⁡.3y/3−…,

faisant d’abord, comme ci-dessus,

Cos.x=1/2 (u+v), uv=1;

en posant

U=uCos.y/1−u²Cos⁡.2y/2+u³Cos⁡.3y/3−u⁴Cos⁡.4y/4+…, V=vCos.y/1−v²Cos⁡.2y/2+v³Cos⁡.3y/3−v⁴Cos⁡.4y/4+…;

nous aurons

S=1/2 (U+V);

de sorte que tout se réduira à sommer les séries U et V.

Pour y parvenir, nous poserons

Cos.y=1/2 (p+q), pq=1;

alors, en faisant

P=up/1−u²p²/2+u³p³/3−u⁴p⁴/4+…=Log.(1+up), Q=uq/1−u²q²/2+u³q³/3−u⁴q⁴/4+…=Log.(1+uq), P′=vp/1−v²p²/2+v³p³/3−v⁴p⁴/4+…=Log.(1+vp), Q′=vq/1−v²q²/2+v³q³/3−v⁴q⁴/4+…=Log.(1+vq).

nous aurons

U=1/2 (P+Q)=1/2 {Log.(1+up)+Log.(1+uq)}, V=1/2 (P′+Q′)=1/2 {Log.(1+vp)+Log.(1+vq)};

c’est-à-dire,

U=1/2 Log.(1+up)(1+uq)=1/2 Log.[1+(p+q)u+u²], V=1/2 Log.(1+vp)(1+vq)=1/2 Log.[1+(p+q)v+v²],

ou encore

2U=Log.(1+2uCos.y+u²), 2V=Log.(1+2vCos.y+v²);

donc

4S=2U+2V=Log.(1+2uCos.y+u²)+Log.(1+2vCos.y+v²);

c’est-à-dire,

4S=Log.(1+2uCos.y+u²)(1+2vCos.y+v²);

en développant et se rappelant que uv=1, cela donnera

4S=Log.[2+u²+v²+4(u+v)Cos.y+4Cos.²y];

mais

u+v=2Cos.x, u²+v²=(u+v)²−2=4Cos.²x−2;

donc

4S=Log⁡.4(Cos.²x+2Cos.xCos.y+Cos²⁡y)=Log⁡.4(Cos.x+Cos.y)²

ou

4S=2Log.(2Cos.x+2Cos.y),

d’où finalement

S=1/2 Log⁡.2(Cos.x+Cos.y)=1/2 Log⁡.4Cos.1/2 (x+y)Cos.1/2 (x−y).

Nous ayons donc, en résumé,

aCos.x/1−a³Cos⁡.3x/3+a⁵Cos⁡.5x/5−…=1/2 Arc.(Tang.=2aCos.x/1−a² ),

Cos.x/1+1/2 Cos⁡.3x/3+1.3/2.4 Cos⁡.5x/5+…=1/2 Arc.(Cos.=2Sin.x−1),

Cos.xCos.y/1−Cos⁡.2xCos⁡.2y/2+Cos⁡.3xCos⁡.3y/3−…

=1/2 Log⁡.4Cos.1/2 (x+y)Cos.1/2 (x−y).

Il est aisé de parvenir, en suivant la même marche, à des sommes de séries beaucoup plus compliquées. Nous nous bornerons à en rapporter deux exemples, en nous dispensant de développer les calculs qui sont en tout semblables à ceux qu’on a vu ci-dessus.

On trouve, en premier lieu,

aCos.xCos.y/1−a³Cos⁡.3xCos⁡.3y/3+a⁵Cos⁡.5xCos⁡.5y/5−…

=1/4 Arc.{Tang.=4a(1−a²)Cos.xCos.y/((1+a²)−4a²(Cos.²xCos.²y)) }.

Dans le cas de y=0 ou Cos.y=1, cette somme devient celle de la première de nos trois séries, quoique sous une forme un peu différente.

On trouve, en second lieu,

aCos.x/1+1/2 a³Cos⁡.3x/3+1.3/2.4 a⁵Cos⁡.5x/5+…

=1/2 Arc.(Cos.=√((1+a²)²−4a²Cos.²x)−a²)

qui se change immédiatement dans la seconde série, lorsqu’on, fait a=1.

Si, dans ces diverses séries, on attribue à x, y, a des valeurs particulières, on en fera dériver une multitude d’autres plus ou moins remarquables. La troisième, par exemple, en supposant y=x, devient

Cos².x/1−Cos.²2x/2+Cos.²3x/3−…=1/2 Log⁡.4Cos.x.

On trouve, plus généralement,

aCos.²x/1−a²Cos.²2x/2+a³Cos.²3x/3−…

=1/4 Log.{(1−a²)²+4a(1+a)²Cos.²x}.

* ↑ M. Querret trouve (tom. XIII, pag. 357) S=1/2 Arc.(Cos.=2Sin.xCos.x−1), résultat inconciliable avec celui que nous venons d’obtenir. Afin donc de découvrir quel est celui des deux qui doit être admis, recourons à des cas particuliers. Si, dans la série, nous faisons, tour-à-tour, x=0 et x=ϖ/2 elle deviendra, dans le premier cas, 1/1+1/2 1/3+1.3/2.4 1/5+1.3.5/2.4.6 1/7+… développement connu de ϖ/2, tandis que, dans le second, elle deviendra zéro ; et c’est aussi ce que donne notre formule sommatoire ; tandis que celle de M. Querret donne constamment, dans les mêmes circonstances, S=ϖ/2. L’erreur de cet habile géomètre paraît provenir de ce qu’après avoir posé (page 356) Sin.P=Cos.x+√(−1)Sin.x, il en conclut ensuite Cos.P=√(−2√(−1)Sin.xCos.x), tandis qu’on doit avoir Cos.P=√(2Sin.x(Sin.x−√(−1)Cos.x)). On est facilement exposé à ces sortes de méprises par l’emploi explicite des imaginaires, à raison de la complication des calculs. La méthode que nous employons ici n’est pas sujette à cet inconvénient. Il y a, au surplus, une faute d’impression à la page 360, où le cosinus est devenu un sinus.
