Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Analise transcendante, article 3
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Analise transcendante, article 3

### Solution du problème d’analise transcendante proposé à la page 321 du XII.ᵉ volume des Annales ;

PROBLÈME. On demande la somme finie de la suite infinie

1+aCos.x/1+a²Cos⁡.2x/1.2+a³Cos⁡.3x/1.2.3+a⁴Cos⁡.4x/1.2.3.4+…?

Solution. La plupart des solutions qu’on a données de ce problème reviennent pour le fond à ce qu’il suit.

Si, dans le terme général,

aⁿCos.nx/1.2.3…n,

on met pour Cos.nx sa valeur connue

Cos⁡nx=((Cos.x+√(−1)Sin.x)ⁿ+(Cos.x−√(−1)Sin.x)ⁿ)/2,

en faisant, pour abréger,

a(Cos.x+√(−1)Sin.x)=p, a(Cos.x−√(−1)Sin.x)=q,

ce terme général deviendra

1/2.(pⁿ+qⁿ)/1.2.3…n ;

donc la suite proposée est la somme de deux autres dont les termes généraux sont respectivement

1/2.pⁿ/1.2.3…n, 1/2.qⁿ/1.2.3…n ;

or, ces suites sont connues et sont les développemens respectifs de

1/2 eᵖ, 1/2 e𐞥, ;

donc, en désignant par S la somme de la suite proposée, on aura

2S=eᵖ+e𐞥,

ou, en remettant pour p et q les fonctions dont ils sont les symboles,

2S=e^{aCos.x+√(−1)aSin.x}+e^{aCos.x−√(−1)aSin.x};

ou bien encore

2S=eᵃꟲᵒˢ‧ˣ(e^{+√(−1)aSin.x}+e^{−√(−1)aSin.x});

mais on sait que

e^{+√(−1)aSin.x}+e^{−√(−1)aSin.x}=2Cos.(aSin.x);

donc enfin

S=eᵃꟲᵒˢ‧ˣ.Cos.(aSin.x).

M. Querret déduit ce résultat d’un théorème très-général. Si l’on sait, dit-il, sommer la suite

A₀+A₁a+A₂a²+A₃a³+A₄a⁴+…

dans laquelle A₀, A₁a, A₂, … sont supposés des coefficiens numériques, et qu’on en représente la somme par f⁡(a); on aura

(f⁡[a(Cos.x+√(−1)Sin.x)]+f⁡[a(Cos.x−√(−1)Sin.x)])/2

pour la somme de la série

A₀+A₁aCos.x+A₂a²Cos⁡.2x+A₃a³Cos⁡.3x+…

et

(f⁡[a(Cos.x+√(−1)Sin.x)]−f⁡[a(Cos.x−√(−1)Sin.x)])/2√(−1)

pour la somme de la série

A₀+A₁aSin.x+A₂a²Sin⁡.2x+A₃a³Sin⁡.3x+…

En effet, suivant la signification donnée à la caractéristique, f, en changeant successivement a en

a(Cos.x+√(−1)Sin.x)

a(Cos.x−√(−1)Sin.x),

on a

f⁡[a(Cos.x+√(−1)Sin.x)]

pour la somme de la série

A₀+A₁a(Cos.x+√(−1)Sin.x)+A₂a²(Cos⁡.2x+√(−1)Sin⁡.2x)+…(4)

et

f⁡[a(Cos.x−√(−1)Sin.x)]

pour la somme de la série

A₀+A₁a(Cos.x−√(−1)Sin.x)+A₂a²(Cos⁡.2x−√(−1)Sin⁡.2x)+…(5)

or, la série (2) est la somme des séries (4, 5) divisée par 2; et la série (3) est la différence de ces mêmes séries, divisée par 2√(−1), donc la somme de la série (2) doit être la somme des séries (4, 5) divisée par 2; et la série (3) doit être la différence de ces mêmes séries, divisée par 2√(−1).

L’application à la série proposée est facile ; on a, comme l’on sait,

eᵃ=1+a/1+a²/1.2+a³/1.2.3+a⁴/1.2.3.4+…;

donc eᵃ=f⁡(a); donc la somme de la série

1+aCos.x/1+a²Cos⁡.2x/1.2+a³Cos⁡.3x/1.2.3+a⁴Cos⁡.4x/1.2.3.4+…

sera, d’après ce qui précède,

S=(e^{a(Cos.x+√(−1)Sin.x)}+e^{a(Cos.x−√(−1)Sin.x)})/2,

ou

S=(eᵃꟲᵒˢ‧ˣ(e^{+√(−1)aSin.x}+e^{−√(−1)aSin.x}))/2 ;

c’est-à-dire

S=eᵃꟲᵒˢ‧ˣ.Cos.(aSin.x),

comme ci-dessus ; résultat qu’on peut mettre aussi sous la forme

(e^{ae+x√(−1)}+e^{ae−x√(−1)})/2

M. C. G. observe qu’au surplus le résuItat

eᵃꟲᵒˢ‧ˣ.Cos.(aSin.x)=1+aCos.x/1+a²Cos⁡.2x/1.2+a³Cos⁡.3x/1.2.3+…

peut se vérifier immédiatement par le développement. On en effet, que

eᵃꟲᵒˢ‧ˣ=1+aCos.x/1+a²Cos⁡.2x/1.2+a³Cos⁡.3x/1.2.3+a⁴Cos⁡.4x/1.2.3.4+…;

Cos.(aSin.x)=

1−a²Sin.²x/1.2+a⁴Sin.⁴x/1.2.3.4−a⁶Sin.⁶x/1.2.3…6+a⁸Sin.⁸x/1.2.3…8+…;

multipliant ces équations membre à membre, ordonnant le second membre du produit par rapport à a, et faisant attention qu’en général

Cos.nx=Cos.ⁿx−n/1 n−1/2 Sin.²xCos.ⁿ⁻²x

+n/1.n−1/2.n−2/3.n−3/4.Sin.⁴xCos.ⁿ⁻⁴x−…

il viendra

eᵃꟲᵒˢ‧ˣ.Cos.(aSin.x)=

1+aCos.x/1+a²Cos⁡.2x/1.2+a³Cos⁡.3x/1.2.3+a⁴Cos⁡.4x/1.2.3.4+…(α)

M. Stein observe que, par le même procédé, on se convsincra facilement que

eᵃꟲᵒˢ‧ˣ.Sin.(aSin.x)=aSin.x/1+a²Sin⁡.2x/1.2+a³Sin⁡.3x/1.2.3+…;(β)

nous observerons, à notre tour, qu’en changeant x en 1/2 ϖ−x, on déduit de ces formules

e^{aSin.x}.Cos.(aCos.x)=

1+aSin.x/1−a²Cos⁡.2x/1.2−a³Sin⁡.3x/1.2.3+…(γ)

e^{aSin.x}.Sin.(aCos.x)=

aCos.x/1+a²Sin⁡.2x/1.2−a³Cos⁡.3x/1.2.3−a⁴Sin⁡.4x/1.2.3.4+…(δ)

M. Querret déduit bien facilement le premier de ces trois derniers développemens de sa formule générale. En continuant, en effet de faire f⁡(a)=eᵃ, la série (3) deviendra

aSin.x/1+a²Sin⁡.2x/1.2+a³Sin⁡.3x/1.2.3+a⁴Sin⁡.4x/1.2.3.4+…

dont la somme sera conséquemment

(e^{a(Cos.x+√(−1)Sin.x)}−e^{a(Cos.x−√(−1)Sin.x)})/2√(−1),

ou bien

(eᵃꟲᵒˢ‧ˣ.(e^{+√(−1)Sin.x}−e^{−√(−1)Sin.x}))/2√(−1),

ou enfin

eᵃꟲᵒˢ‧ˣ.Sin.(aSin.x).

M. C. G. observe que la formule

eᵃꟲᵒˢ‧ˣ.Cos.(aSin.x)=

1+aCos.x/1+a²Cos⁡.2x/1.2+a³Cos⁡.3x/1.2.3+a⁴Cos⁡.4x/1.2.3.4+…

a cela de très-remarquable qu’elle renferme, comme cas particuliers, les développemens, tant des exponentiels que des fonctions circulaires. Si, en effet, on y fait successivement x=0 et x=1/2 ϖ, on trouve

eᵃ=1+a/1+a²/1.2+a³/1.2.3+a⁴/1.2.3.4+…, Cos.a=1−a²/1.2+a⁴/1.2.3.4−a⁶/1.2.3…6+…;

la formule

eᵃꟲᵒˢ‧ˣ.Sin.(aSin.x)=

aSin.x/1+a²Sin⁡.2x/1.2+a³Sin⁡.3x/1.2.3+a⁴Sin⁡.4x/1.2.3.4+…

donnera pareillement, en faisant x=1/2 ϖ,

Sin.a=a/1−a³/1.2.3+a⁵/1.2.3.4.5−a⁷/1.2.3…7+…

M. Stein remarque, à son tour, que, connaissant la série proposée, on en peut déduire les sommes d’autres séries également remarquables. En y changeant, par exemple, x en 2x, il vient

e^{aCos⁡.2x}.Cos.(aSin⁡.2x)=

1+aCos⁡.2x/1+a²Cos⁡.4x/1.2+a³Cos⁡.6x/1.2.3+…;

or, le terme général aⁿCos⁡.2nx/1.2.3…n de cette nouvelle série peut également être mis sous les deux formes

aⁿ/1.2.3…n−2aⁿSin.²nx/1.2.3…n, 2aⁿCos.²nx/1.2.3…n−aⁿ/1.2.3…n,

il viendra donc, en faisant successivement les deux substitution,

e^{aCos⁡.2x}.Cos.(aSin⁡.2x)=(1+a/1+a²/1.2+a³/1.2.3+…)

−2( aSin.²x/1+a²Sin.²2x/1.2+a³Sin.²3x/1.2.3+…)

e^{aCos⁡.2x}.Cos.(aSin⁡.2x)=

2( aCos.²x/1+a²Cos.²2x/1.2+a³Cos.²3x/1.2.3+…)

+2−(1+a/1+a²/1.2+a³/1.2.3+…);

d’où on tirera, en transposant et remplaçant l’une des séries par sa valeur eᵃ,

aSin.²x/1+a²Sin.²2x/1.2+a³Sin.²3x/1.2.3+…=

eᵃ−e^{aCos⁡.2x}.Cos.(aSin⁡.2x)/2,

1+aCos.²x/1+a²Cos.²2x/1.2+a³Cos.²3x/1.2.3+…=

(eᵃ+e^{aCos⁡.3x}.Cos.(aSin⁡.2x))/2,

M. Stein remarque encore que, par des moyens semblables à ceux qui ont été appliqués à la série proposée, on parviendrait aussi à sommer la série

aSin.x/1+a²Sin⁡.2x/2+a³Sin⁡.3x/3+a⁴Sin⁡.4x/4+…,

dont le terme général est aⁿSin.nx/n. Le résultat serait compliqué d’imaginaires qu’on ne pourrait faire disparaître que par des moyens peu directs ; et on trouverait finalement pour la somme cherchée

Arc.(Tang.=aSin.x/1−aCos.x );

aussi la série proposée n’est-elle autre chose que la valeur que l’on tire pour y de l’équation

Tang.y=aSin.x/1−aCos.x,

très-usitée en géodésie.

M. Querret tire de sa méthode générale plusieurs autres sommations. Posant, par exemple, f⁡(x)=Log.(1+a) ou

f⁡(a)=a/1−a²/2+a³/3−a⁴/4+a⁵/5−…

il en conclut que la somme de la série

aCos.x/1−a²Cos⁡.2x/2+a³Cos⁡.3x/3−a⁴Cos⁡.4x/4+…

doit être

(Log.[1+a(Cos.x+√(−1)Sin.x)]+Log.[1+a(Cos.x−√(−1)Sin.x)])/2.

ou encore

(Log.(1+2aCos.x+a²))/2 ;

de sorte qu’on a

Log.(1+2aCos.x+a²)=

2( aCos.x/1−a²Cos⁡.2x/2+a³Cos⁡.3x/3−…).

En faisant successivement a=+1 et a=−1, il vient

Log.(1+Cos.x)=

−Log⁡.2+2( Cos.x/1−Cos⁡.2x/2+Cos⁡.3x/3−Cos⁡.4x/4+…),

Log.(1−Cos.x)=

−Log⁡.2−2( Cos.x/1+Cos⁡.2x/2+Cos⁡.3x/3+Cos⁡.4x/4+…),

développemens donnés par Euler (Voyez son Calcul intégral tom. I, à la fin du chap. VI) ; il en déduit ensuite

Log.Cos.1/2 x=−Log⁡.2+Cos.x−1/2 Cos⁡.2x+1/3 Cos⁡.3x−1/4 Cos⁡.4x+…Log.Sin.1/2 x=−Log⁡.2−Cos.x−1/2 Cos⁡.2x−1/3 Cos⁡.3x−1/4 Cos⁡.4x−…Log.Tang.1/2 x=−2(Cos.x+1/3 Cos⁡.3x+1/5 Cos⁡.5x+1/7 Cos⁡.7x+…)

