Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Statique, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Statique, article 1

### Démonstration du théorème de Statique énoncé à la page 272 du présent volume ;

THÉORÈME. Si des forces, au nombre de n, agissant sur un même point O de l’espace, sont représentées, en intensité et en direction, par des droites OP₁, OP₂, OP₃, …OPₙ, issues de ce point, le centre M des moyennes distances des points P₁, P₂, P₃, …Pₙ, sera un des points de la résultante de ces forces ; et, si cette résultante est représentée en intensité et en direction par OR, on aura OR=n×OM.

Démonstration. Trois des démonstrations que nous avons reçues se ressemblent pour le fond. Dans toutes on a rapporté le système à trois axes rectangulaires passant par le point O; seulement M. Sarrus a fait passer l’axe des z par le point M; et, comme il en résulte quelques simplifications, nous adopterons un pareil choix d’axes de coordonnées.

Soient alors (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), …(xₙ, yₙ, zₙ), les points que nous avons désignés par P₁, P₂, …Pₙ, ; on aura d’après la situation de l’axe des z

x₁+x₂+x₃+…xₙ=0, y₁+y₂+y₃+…yₙ=0, z₁+z₂+z₃+…zₙ=n.OM.

Soient ensuite X, Y, Z les coordonnées du point R: si l’on décompose la résultante OR suivant les trois axes, X, Y, Z en seront les composantes, et l’on devra avoir

X=x₁+x₂+x₃+…xₙ, Y=y₁+y₂+y₃+…yₙ, Z=z₁+z₂+z₃+…zₙ;

on aura donc aussi

X=0, Y=0, Z=n.OM

la résultante OR est donc dans l’axe des z, et passe ainsi par le point M; et l’on a de plus OR=z=n.OM.

M. Lenthéric observe, comme l’avait déjà fait M. Gerono à qui l’on doit le théorème que, quelle que soit la position du point O, dans l’espace, la résultante OR passera toujours par le même point M.

Il remarque encore que, si l’on a un tétraèdre OABC, et qu’on joigne par une droite OM le point O avec le centre M des moyennes distances des trois points A, B, C, la longueur OM sera dirigée suivant la diagonale OR du parallélipipède construit sur OA, OB, OC, et sera le tiers de la sienne.

M. Querret a suivi un autre tour de démonstration. Il remarque d’abord que, dans le cas de deux forces, la vérité du théorème est manifeste, puisqu’il n’est alors que le principe du parallélogramme, énoncé sous une autre forme. Il démontre ensuite que, si ce théorème est vrai pour n forces, il sera vrai encore en introduisant une nouvelle force dans le système, ce qui est également sans difficulté, et il en conclut que ce théorème est vrai quel que soit le nombre des forces.

* ↑ Voyez aussi la page 314 du précédent volmue. J. D. G.
