Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Algèbre élémentaire, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Algèbre élémentaire, article 1

## ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

### Sur la sommation des termes du développement des puissances d’un binome, pour faire suite aux articles insérés à la page 359 du tome XII.ᵉ et à la page 163 du tome XIII.ᵉ des Annales ;

Représentons par Mᵢ le coefficient numérique du terme affecté des aⁱxᵐ⁻ⁱ, dans le développement de (x+a)ᵐ; et soit la suite

M₁a, M₂a², M₃a³, M₄a⁴, …Mᵣaʳ, …;(α)

r désignant le rang du terme Mᵣaʳ; et appelons cette suite (α).

Soit formée une seconde suite (β) dont le premier terme soit le premier terme de (α) augmenté de b; dont le second terme soit le second terme des (α) augmenté du premier terme de (β) multiplié par b; dont le troisième terme soit le troisième terme de (α) augmenté du second terme de (β) multiplié par b, et ainsi de suite, ; en disposant dans une même colonne toutes les parties d’un même terme de cette deuxième suite, et en disposant ces termes de gauche à droite, suivant leur rang, elle sera

M₁aM₂a²M₃a³M₄a⁴…Mᵣaʳ…+b+M₁ab+M₂a²b+M₃a³b…+Mᵣ₋₁aʳ⁻¹b…+b²+M₁ab²+M₂a²b²…+Mᵣ₋₂aʳ⁻²b²…+b³+M₁ab³…+Mᵣ₋₃aʳ⁻³b³…+b⁴…+Mᵣ₋₄aʳ⁻⁴b⁴……+…+…}(β)

Nous appellerons cette suite la somme première de (α), en désignant ses termes consécutifs par Σ(1, 1), Σ(1, 2), Σ(1, 3)… Σ2(1, r), …

Si on opère sur la série (\beta), pour trouver une troisième série (γ) comme on avait opéré sur (α) pour trouver (β), on aura

M₁aM₂a²M₃a³M₄a⁴…Mᵣaʳ…+2b+2M₁ab+2M₂a²b+2M₃a³b…+2Mᵣ₋₁aʳ⁻¹b…+3b²+3M₁ab²+3M₂a²b²…+3Mᵣ₋₂aʳ⁻²b²…+4b³+4M₁ab³…+4Mᵣ₋₃aʳ⁻³b³…+5b⁴…+5Mᵣ₋₄aʳ⁻⁴b⁴………+(r+1)bʳ…}(γ)

Nous appellerons indistinctement cette nouvelle suite la somme première de (β) ou la somme seconde de (α), et nous représenterons ses termes consécutifs par Σ(2, 1), Σ(2, 2), Σ(2, 3)… Σ(2, r)…

En opérant sur (γ), comme sur les précédentes, nous formerons une suite (γ) telle qu’on la voit ici

M₁aM₂a²M₃a³M₄a⁴…Mᵣaʳ…+3b+3M₁ab+3M₂a²b+3M₃a³b…+3Mᵣ₋₁aʳ⁻¹b…+6b²+6M₁ab²+6M₂a²b²…+6Mᵣ₋₂aʳ⁻²b²…+10b³+10M₁ab³…+10Mᵣ₋₃aʳ⁻³b³…+15b⁴…+15Mᵣ₋₄aʳ⁻⁴b⁴………+((r+1)(r+2))/2 bʳ…}(δ)

Cette suite sera pareillement la somme première de (γ) ou la somme seconde de (β) ou la somme troisième de (α), et nous représenterons ses termes consécutifs par Σ(3, 1), Σ(3, 2), Σ(3, 3)… Σ(3, r)…

On peut, par le même procédé, former tant d’autres suites (ε), (ζ), (η), … qu’on voudra, lesquelles seront dites les sommes quatrième, cinquième, sixième, … de la suite (α); et il résulte des lois de leur formation,

1.ᵒ Que, dans la somme première de (α), les coefficiens sont constans et égaux à l’unité ;

2.ᵒ Que ; dans la somme seconde, les coefficiens sont les nombres de la suite naturelle 1, 2, 3, …;

3.ᵒ Que, dans la somme troisième, les coefficiens sont les nombres triangulaires 1, 3, 6, 10, …;

4.ᵒ Que, dans la somme quatrième, les coefficiens sont la somme des nombres tétraèdres 1, 4, 10, 20, …;

Et ainsi de suite.

De sorte que généralement, dans la somme n.ᵐᵉ les coefficiens sont les nombres figurés du n.ᵐᵉ ordre.

Si donc nous désignons, en général, par φ(p, q) le q.ᵐᵉ nombre figuré du p.ᵐᵉ ordre, et par Σ(n, r) le r.ᵐᵉ terme de la somme n.ᵐᵉ de (α), nous aurons

Σ(n, r)=Mᵣaʳ+φ(n, 2)Mᵣ₋₁aʳ⁻¹b+φ(n, 3)Mᵣ₋₂aʳ⁻²b²+…φ(n, r+1)bʳ.

Le terme général de cette série est φ(n, i+1)Mᵣ₋ᵢaʳ⁻ⁱbⁱ.

Cela posé, on sait que

Mᵣ=(m−r+1)/r Mᵣ₋₁,

Mᵣ₋₁=r/(m−r+1) Mᵣ;

de là on tire, en changeant continuellement, en r en r−1

Mᵣ₋₁=r/(m−r+1) Mᵣ, Mᵣ₋₂=r/(m−r+1).r−1/(m−r+2) Mᵣ, Mᵣ₋₃=r/(m−r+1).r−1/(m−r+2).r−2/(m−r+3) Mᵣ, ………………………Mᵣ₋ᵢ=r/(m−r+1).r−1/(m−r+2).r−2/(m−r+3) … (r−i+1)/(m−r+i) Mᵣ.

Par la substitution de ces valeurs, la série (X) deviendra

Σ(n, r)=Mᵣ{aʳ+r/(m−r+1) φ(n, 2)aʳ⁻¹b+r/(m−r+1).r−1/(m−r+2) φ(n, 3)aʳ⁻²b²

+r/(m−r+1).r−1/(m−r+2).r−2/(m−r+3) φ(n, 4)aʳ⁻³b³+…

+r/(m−r+1).r−1/(m−r+2).r−2/(m−r+3) … (r−i+1)/(m−r+i) φ(n, i+1)aʳ⁻ⁱbⁱ+…

+(φ(n, r+1))/Mᵣ bʳ}.

Mais, à cause de la relation connue φ(p, q)=φ(q, p), on a

m−r+1=φ(2, m−r+1)=φ(m−r+1, 2), (m−r+1)(m−r+2)=1.2φ(3, m−r+1)=1.2φ(m−r+1, 3), (m−r+1)(m−r+2)(m−r+3)=1.2.3φ(4, m−r+1)=1.2.3φ(m−r+1, 4), …………………………………(m−r+1)(m−r+2)…(m−r+i)=1.2…iφ(i+1, m−r+1)=1.2…iφ(m−r+1, i+1);

on a de plus

Mᵣ=m/1.m−1/2.m−2/3 … (m−r+1)/r=φ(r+1, m−r+1)

=φ(m−r+1, r+1)

Au moyen de ces valeurs, la série (Y) deviendra

Σ(n, r)=Mᵣ{aʳ+r/1 φ(n, 2)/(φ(m−r+1, 2)) aʳ⁻¹b+r/1.r−1/2.φ(n, 3)/(φ(m−r+1, 3)) aʳ⁻²b²+

+r/1.r−1/2.r−2/3 φ(n, 4)/(φ(m−r+1, 4)) aʳ⁻³b³+…

+r/1.r−1/2 … (r−i+1)/i.(φ(n, i+1))/(φ(m−r+1, i+1)) aʳ⁻ⁱbⁱ+…

+(φ(n, r+1))/(φ(m−r+1, r+1)) bʳ}.

Telle est l’expression générale d’un terme d’un rang quelconque dans une somme quelconque.

Si présentement on suppose n=m−r+1, la série (Z) deviendra

Σ(m−r+1, r)=Mᵣ{aʳ+r/1 aʳ⁻¹b+r/1.r−1/2 aʳ⁻²b²+…

r/1.r−1/2 … (r−i+1)/i aʳ⁻ⁱbⁱ+…+bʳ}

c’est-à-dire,

Σ(m−r+1, r)=Mᵣ(a+b)ʳ;

de là on conclura

(a+b+c)ᵐ=Σ(1, m)+Σ(2, m−1)c+Σ(3, m−2)c²+…

+Σ(i+1, m−i)cⁱ+…+cᵐ;

ce qui démontre généralement les équations posées tome XIII, (pag. 164 et suiv.), sur lesquelles est fondée la méthode que nous avons développée en cet endroit pour l’extraction des racines.

