Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Géométrie élémentaire, article 5
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Géométrie élémentaire, article 5

### Solution partielle du problème de géométrie énoncé à la page 288 du XIIᵉ volume du présent recueil ;

PROBLÈME. Déterminer, en fonction des quatre côtés d’un quadrilatère rectiligne inscrit au cercle, 1.ᵒ l’angle de deux côtés opposés ; 2.ᵒ l’angle des deux diagonales ?

Solution. Soient, comme dans le mémoire de la page 269 du XIIᵉ volume, a, b, c, d les quatre côtés consécutifs du quadrilatère, et x, y les deux diagonales ; la première se terminant aux sommets (a, b), (c, d), et la seconde aux sommets (b, c), (a, d); on aura, comme alors,

x²=((ac+bd)(ab+cd))/(ad+bc), y²=((ac+bd)(ad+bc))/(ad+bc) ;

en outre, en posant

b+c+d−a=A, c+d+a−b=B, d+a+b−c=C, a+b+c−d=D,

nous aurons

Sin.(a, d)=√(ABCD)/(2(ad+bc)), Sin.(a, b)=√(ABCD)/(2(ab+cd)) ;

Cos.(a, d)=(a²+d²−b²−c²)/(2(ad+bc)), Cos.(a, b)=(a²+b²−c²−d²)/(2(ab+cd)).

Mais les prolongemens des côtés opposés b et d forment avec le côté a un triangle dans lequel l’angle opposé à ce côté a est précisément l’angle cherché (b, d) de deux côtés opposés ; en supposant donc, pour fixer les idées, a>c, nous aurons

(b, d)=ϖ−[(a, d)+(a, b)]

d’où

Sin.(b, d)=Sin.[(a, d)+(a, b)]=Sin.(a, d)Cos.(a, b)+Sin.(a, b)Cos.(a, d)

ce qui donnera, en substituant,

Sin.(b, d)=([(a²+b²−c²−d²)+(a²+d²−b²−c²)]√(ABCD))/(4(ad+bc)(ab+cd)),

ou, en réduisant

Sin.(b, d)=(a²−c²)√(ABCD)/(2(ad+bc)(ab+cd)) ;

tel est le sinus de l’angle des deux côtés opposés b et d, on trouverait de même

Sin.(a, c)=(b²−d²)√(ABCD)/(2(ad+bc)(ab+cd)).

Si l’on cherche les cosinus des mêmes angles, on trouvera

Cos.(b, d)=Sin.(a, b)Sin.(a, d)−Cos.(a, b)Cos.(a, d)

ou, en substituant,

Cos.(b, d)=(ABCD−(a²+d²−b²−c²)(a²+b²−c²−d²))/(4(ab+cd)(ad+bc))

ou, en développant et réduisant

Cos.(b, d)=((ab+cd)²+(ad+bc)²−(a²−c²)²)/(2(ab+cd)(ad+bc)) ;

et on trouvera de même

Cos.(a, c)=((ab+cd)²+(ad+bc)²−(b²−d²)²)/(2(ab+cd)(ad+bc)).

De là on déduit

2Sin.² 1/2 (b, d)=1−Cos.(b, d)=((a²−c²)²−[(ab+cd)−(ad+bc)]²)/(2(ab+cd)(ad+bc)),

ou, en décomposant, divisant par 2 et extrayant la racine quarrée

Sin.1/2 (b, d)=a−c/2 √(BD/((ab+cd)(ad+bc)));

et on aurait de même

Sin.1/2 (a, c)=b−d/2 √(AC/((ab+cd)(ad+bc)));

et, comme on a

Cos.1/2 (b, d)=Sin.(b, d)/2Sin.1/2 (b, d), Cos.1/2 (a, c)=Sin.(a, c)/2Sin.1/2 (a, c)

il viendra, en substituant,

Cos.1/2 (b, d)=(a+c)/2 √(AC/((ab+cd)(ad+bc))), Cos.1/2 (a, c)=(b+d)/2 √(BD/((ab+cd)(ad+bc)));

et de là encore

Tang.1/2 (b, d)=a−c/(a+c) √(BD/AC);Tang.1/2 (a, c)=b−d/(b+d) √(AC/BD);

formules très-commodes pour le calcul par logarithmes.

Passons à la recherche de l’angle des diagonales ; pour cela remarquons que ces diagonales divisent le quadrilatère en quatre triangles dont la somme des aires sera, en appelant x′ et x″ les deux segmens de x, et y′ et y″ les deux segmens de y,

1/2 (x′y′+x′y″+x″y′+x″y″)Sin.(x, y)=

1/2 (x′+x″)(y′+y″)Sin.(x, y)=1/2 xySin.(x, y);

mais il a été prouvé, dans le mémoire cité que l’aire de ce quadrilatère a aussi pour expression

1/4 √(ABCD);

donc

Sin.(x, y)=√(ABCD)/2xy ;

mais on a

xy=ac+bd;

donc finalement

Sin.(x, y)=√(ABCD)/(2(ac+bd)).

De là on conclura facilement

Cos.(x, y)=(a²+c²−b²−d²)/(2(ac+bd)) ;

et ensuite

2Sin.² 1/2 (x, y)=1−Cos.(x, y)=AC/(2(ac+bd)), 2Cos.² 1/2 (x, y)=1+Cos.(x, y)=BD/(2(ac+bd)) ;

d’où

Sin.1/2 (x, y)=1/2 √(AC/(ac+bd)), Cos.1/2 (x, y)=1/2 √(BD/(ac+bd));

et, par suite

Tang.1/2 (x, y)=√(AC/BD);

formule très-commode pour le calcul par logarithmes.

* ↑ Nous rappellerons ici qu’il a été proposé de trouver des formules analogues pour le quadrilatère sphérique inscrit à un petit cercle de la sphère. De telles formules ont bien été reçues ; mais elles n’ont pas l’élégance suffisante pour en justifier la publication. J. D. G.
