Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Arithmétique, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Arithmétique, article 1

## ARITHMÉTIQUE.

### Démonstration élémentaire de la valeur infinie de la somme des inverses des nombres naturels ;

Soit posée

z=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…x=1+1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+…y=1+1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12+1/14+…

nous aurons évidemment

x+y=z, 2y=z,

et par suite

x+y=2y

x=y.

Mais, d’un autre côté, y n’étant autre chose que x, dans laquelle on a augmenté tous les dénominateurs d’une unité, si x, y, z avaient des valeurs finies, on devrait avoir

x>y.

Cette relation étant donc incompatible avec la précédente, il en faut conclure que x et y sont infinis, et que conséquemment leur somme z l’est aussi.

Il faudrait bien toutefois se garder de conclure de là que x=y et que conséquemment

0=1−1/2+1/3−1/4+1/5−1/6+1/7−1/8+…

on n’a en effet x=y qu’autant que ces deux infinies ne différent que d’une quantité finie qui s’évanouit devant eux ; et c’est précisément ce qui arrive ici ; car, comme l’on sait,

Log⁡.2=1−1/2+1/3−1/4+1/5−1/6+1/7−1/8+…

de sorte qu’on a réellement

x−y=Log⁡.2,

x>y,

comme nous l’avions trouvé.

