Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Analise transcendante, article 8
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Analise transcendante, article 8

## QUESTIONS RÉSOLUES.

### Solution des trois problèmes d’analise transcendante énoncés à la page 247 du présent volume ;

PROBLÈME. Assigner la somme finie de chacune des trois suites infinies que voici :

aCos.x/1−a³Cos⁡.3x/3+a⁵Cos⁡.5x/5−a⁷Cos⁡.7x/7+…

Cos.x+1/2 Cos⁡.3x/3+1.3/2.4.Cos⁡.5x/5+1.3.5/2.4.6.Cos⁡.7x/7+…

Cos.xCos.y/1−Cos⁡.2xCos⁡.2y/2+Cos⁡.3xCos⁡.3y/3−Cos⁡.4xCos⁡.4y/4+…

Solution. Nous allons déduire la sommation de chacune de ces trois suites du théorème que nous avons établi à la page 107 de ce volume, et que nous rappelons en ces termes :

Si l’on représente par f⁡(a) la somme de la suite infinie

A₀+A₁a+A₂a²+A₃a³+A₄a⁴+…,

dans laquelle A₀, A₁, A₂, …, sont supposés représenter des coefficiens numériques ; les sommes des deux séries

A₀+A₁aCos.x+A₂a²Cos⁡.2x+A₃a³Cos⁡.3x+A₄a⁴Cos⁡.4x+…

A₀+A₁aSin.x +A₂a²Sin⁡.2x +A₃a³Sin⁡.3x +A₄a⁴Sin⁡.4x +…

seront respectivement

(f⁡[a(Cos.x+√(−1)Sin.x)]+f⁡[a(Cos.x−√(−1)Sin.x)])/2,

et

(f⁡[a(Cos.x+√(−1)Sin.x)]−f⁡[a(Cos.x−√(−1)Sin.x)])/2√(−1).

Cela posé, on a

a/1−a³/3+a⁵/5−a⁷/7+a⁹/9−…=Arc.(Tang.=a),

donc 1.ᵒ la somme de la série

aCos.x/1−a³Cos⁡.3x/3+a⁵Cos⁡.5x/5−a⁷Cos⁡.7x/7+…

sera

(Arc.[Tang.=a(Cos.x+√(−1)Sin.x)]+Arc.[Tang.=a(Cos.x−√(−1)Sin.x)])/2

Soient M le premier de ces arcs et N le second, on aura pour la somme de la série (M+N)/2, et de plus

Tang.M=a(Cos.x+√(−1)Sin.x),

Tang.N=a(Cos.x−√(−1)Sin.x);

d’où

Tang.M+Tang.N=2aCos.x,

d’où encore

1−Tang.MTang.N=1−a²;

donc

Tang.(M+N)=(Tang.M+Tang.N)/1−Tang.MTang.N=2aCos.x/1−a² ;

donc

M+N=Arc.(Tang.=2aCos.x/1−a² );

donc enfin

(M+N)/2=1/2 Arc.(Tang.=2aCos.x/1−a² )

qui sera conséquemment la somme finie demandée de la première des trois séries infinies proposées.

Si l’on suppose a=1, on a

(M+N)/2=1/2 Arc.(Tang.=∞)=1/4 ϖ;

donc, comme on le savait déjà,

ϖ/4=Cos.x−Cos⁡.3x/3+Cos⁡.5x/5−Cos⁡.7x/7+…

quel que soit x.

En second lieu

a+1/2.a³/3+1.3/2.4.a⁵/5+1.3.5/2.4.6.a⁷/7+…=Arc.(Sin.=a);

ainsi qu’il est aisé de s’en assurer, en intégrant par les séries la fonction différentielle

d⁡a/√(1−a²)=d.Arc.(Sin.=a);

donc, la, somme de la série

Cos.x+1/2.Cos⁡.3x/3+1.3/2.4.Cos⁡.5x/5+1.3.5/2.4.6.Cos⁡.7x/7+…

sera

(Arc.(Sin.=Cos.x+√(−1)Sin.x)+Arc.(Sin.=Cos.x−√(−1)Sin.x))/2.

Soient P le premier de ces arcs et Q le second ; la somme cherchée sera donc

(P+Q)/2,

et l’on aura

Sin.P=Cos.x+√(−1)Sin.x,

Sin.Q=Cos.x−√(−1)Sin.x,

d’où

Cos.P=√(−2√(−1)Sin.xCos.x),

Cos.Q=√(+2√(−1)Sin.xCos.x),

donc

Cos.PCos.Q=2Sin.xCos.x;

on a d’ailleurs

Sin.PSin.Q=1;

donc

Cos.(P+Q)=Cos.PCos.Q−Sin.PSin.Q=2Sin.xCos.x−1;

donc aussi

P+Q=Arc.(Cos.=2Sin.xCos.x−1),

et par suite

(P+Q)/2=1/2 Arc.(Cos.=2Sin.xCos.x−1);

qui est conséquemment la somme finie demandée de la seconde des trois séries infinies proposées.

Si l’on suppose x=0, on a

(P+Q)/2=1/2 Arc.(Cos.=−1)=1/2 ϖ;

donc, comme on le savait déjà,

1/2 ϖ=1+1/2.1/3+1.3/2.4.1/5+1.3.5/2.4.6.1/7+1.3.5.7/2.4.6.8.1/9+…

Quant à la troisième série, on peut la mettre sous cette forme

1/2 { (Cos.(x+y))/1−(Cos⁡.2(x+y))/2+(Cos⁡.3(x+y))/3−(Cos⁡.4(x+y))/4+…+ Cos.(x−y)/1−Cos⁡.2(x−y)/2+Cos⁡.3(x−y)/3−Cos⁡.4(x−y)/4+…}.

Or on a, (pag. 114 du présent volume)

Cos.x/1−Cos⁡.2x/2+Cos⁡.3x/3−Cos⁡.4x/4+…=Log⁡.2+Log.Cos.1/2 x,

c’est-à-dire

Cos.x/1−Cos⁡.2x/2+Cos⁡.3x/3−Cos⁡.4x/4+…=Log⁡.2Cos.1/2 x;

en changeant donc, tour à tour x en x+y et x−y, il viendra

(Cos.(x+y))/1−(Cos⁡.2(x+y))/2+(Cos⁡.3(x+y))/3−(Cos⁡.4(x+y))/4+…

=Log⁡.2Cos.1/2 (x+y)

Cos.(x−y)/1−Cos⁡.2(x−y)/2+Cos⁡.3(x−y)/3−Cos⁡.4(x−y)/4+…

=Log⁡.2Cos.1/2 (x−y)

donc, en prenant la demi-somme,

Cos.xCos.y/1−Cos⁡.2xCos⁡.2y/2+Cos⁡.3xCos⁡.3y/3

−…=1/2 {Log⁡.2Cos.1/2 (x−y)+Log⁡.2Cos.1/2 (x+y)}

ou encore

Cos.xCos.y/1−Cos⁡.2xCos⁡.2y/2+Cos⁡.3xCos⁡.3y/3−…

=1/2 Log⁡.4Cos.1/2 (x−y)Cos.1/2 (x+y)

mais

2Cos.1/2 (x−y)Cos.1/2 (x+y)=Cos.x+Cos.y

d’où

4Cos.1/2 (x−y)Cos.1/2 (x+y)=2(Cos.x+Cos.y)

donc enfin, la somme finie de la troisième des suites infinies proposées est

1/2 Log.(2Cos.x+2Cos.y).

Si, au lieu de prendre la demi-somme des deux séries ci-dessus, on prend leur demi-différence, on aura

Sin.xSin.y/1−Sin⁡.2xSin⁡.2y/2+Sin⁡.3xSin⁡.3y/3−…

=1/2 {Log⁡.2Cos.1/2 (x−y)−Log⁡.2Cos.1/2 (x+y)};

ou encore

Sin.xSin.y/1−Sin⁡.2xSin⁡.2y/2+Sin⁡.3xSin⁡.3y/3−…

=1/2 Log.Cos.1/2 (x−y)/(Cos.1/2 (x+y)).

Or,

Cos.1/2 (x−y)/(Cos.1/2 (x+y))=(2Cos.1/2 (x−y)Cos.1/2 (x+y))/(2Cos.² 1/2 (x+y))=(Cos.x+Cos.y)/(1+Cos.(x+y)) ;

donc enfin

Sin.xSin.y/1−Sin⁡.2xSin⁡.2y/2+Sin⁡.3xSin⁡.3y/3−…

=1/2 Log.(Cos.x+Cos.y)/(1+Cos.(x+y)).

Si, dans ce résultat et dans le précédent, on fait y=x, ils deviendront

Cos.²x/1−Cos.²2x/2+Cos.²3x/3−Cos.²4x/4+…=1/2 Log⁡.4Cos.x,

Sin.²x/1−Sin.²2x/2+Sin.²3x/3−Sin.²4x/4+…=1/2 Log.2Cos.x/(1+Cos⁡.2x).

En résumé, si nous faisons abstraction des divers résultats particuliers auxquels nous sommes parvenus, et qui n’avalent pas été demandés, nous aurons

1/2 Arc.(Tang.=2aCos.x/1−a² )=aCos.x/1−a³Cos⁡.3x/3+a⁵Cos⁡.5x/5−…

1/2 Arc.(Sin.=2Sin.xCos.x−1)=Cos.x+1/2 Cos⁡.3x/3+1.3/2.4.Cos⁡.5x/5+…

1/2 Log⁡.2(Cos.x+Cos.y)=Cos.xCos.y/1−Cos⁡.2xCos⁡.2y/2+Cos⁡.3xCos⁡.3y/3−…

résultats qu’au surplus on peut présentement vérifier d’un grand nombre de manières diverses.

