Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie analitique, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie analitique, article 2

### Autre solution du même problème et de son analogue pour les surfaces du second ordre ;

Soit une ligne quelconque du second ordre ayant un centre, rapportée à ses diamètres principaux ; et soit alors son équation

ax²+by²=c.

Par son centre O, soient menées arbitrairement deux droites perpendiculaires entre elles, la rencontrant en A et B; et cherchons l’expression de la perpendiculaire p abaissée du centre O sur la corde AB.

Pour cela, soient pris respectivement OA et OB pour axes des t et des u; pour passer au nouveau système de coordonnées ; il faudra faire

x=αt+βu, y=α′t+β′u;}(2)

ce qui donnera, en substituant,

a(αt+βu)²+b(α′t+β′u)²=c.

Si, dans cette équation, on fait tour à tour chaque coordonnée égale à zéro, et qu’on tire ensuite la valeur de l’autre, on obtiendra ainsi OA et OB, qu’on trouvera être

OA=√c/(√(aα²+bα′²)), OB=√c/(√(aβ²+bβ′²)).

Cela posé, l’aire du triangle rectangle ACB ayant également pour expression 1/2 OA.OB et 1/2 p.AB, on doit avoir

p=OA.OB/AB,

ou bien

p= OA.OB/(√(OA¯²+OB¯²))=1/(√(1/OA¯²+1/OB¯²)) ;

introduisant, dans cette expression, pour OA et OB leurs valeurs (4), elle deviendra

p=√c/(√(a(α²+β²)+b(α′²+β′²))) ;

mais on sait que

α²+β²=1, α′²+β′²=1;}(5)

donc cette expression se réduit simplement à

p=√c/(√(a+b)),

quantité constante ; de sorte qu’on a ce théorème :

THÉORÈME I. Les cordes d’une ligne du second ordre hypothénuses d’une suite de triangles rectangles, ayant pour sommet commun de l’angle droit le centre de la courbe, sont toutes tangentes à un même cercle.

On peut toujours supposer c positif, et conséquemment le numérateur réel ; le cercle ne sera donc réel qu’autant que a+b sera une quantité positive, circonstance qui aura toujours lieu dans l’ellipse.

Soit, en second lieu, une surface quelconque du second ordre ayant un centre, rapportée à ses diamètres principaux ; et soit alors son équation

ax²+by²+cz²=d.

Par son centre O, soient menées arbitrairement trois droites perpendiculaires entre elles, la rencontrant en A, B, C; et cherchons l’expression de la perpendiculaire p abaissée de son centre O sur le plan du triangle ABC.

Pour cela, soient pris respectivement OA, OB, OC pour axes des t, u, v; pour passer au nouveau système de coordonnées, il faudra faire

x=αt +βu +γv, y=α′t+β′u+γ′v, z=α″t+β″u+γ″v;}(2)

ce qui donnera, en substituant,

a(αt+βu+γv)²+b(α′t+β′u+γ′v)²+c(α″t+β″u+γ″v)²=d.

Si, dans cette équation, on fait tour-à-tour deux des coordonnées égales à zéro, et qu’on en tire ensuite la valeur de la troisième, on obtiendra ainsi les valeurs de OA, OB, OC, qu’on trouvera être

OA=√d/(√(aα²+bα′²+cα″²)), OB=√d/(√(aβ²+bβ′²+cβ″²)), OC=√d/(√(aγ²+bγ′²+cγ″²)).}(4)

Cela posé, considérons le tétraèdre rectangle dont le sommet est en O et dont ABC est la face hypothénusale. Les aires des faces rectangulaires de ce tétraèdre sont

1/2 OB.OC, 1/2 OC.OA, 1/2 OA.OB

on sait d’ailleurs que la somme de leurs quarrés doit être égale au quarré de l’aire de la face hypothénusale ; d’où il suit qu’on doit avoir

ABC=1/2 √(OB¯².OC¯²+OC¯².OA¯²+OA¯².OB¯²).

Présentement, le volume du tétraèdre peut être indistinctement exprimé par 1/3 p.ABC ou par 1/6 OA.OB.OC; d’où il suit qu’on doit avoir

p=OA.OB.OC/2ABC .

c’est-à-dire en substituant

OA.OB.OC/(√(OB¯².OC¯²+OC¯².OA¯²+OA¯².OB¯²)),

ou encore

p=1/(√(1/OA¯²+1/OB¯²+1/OC¯²))

ce qui donnera, en introduisant pour OA, OB, OC, valeurs (4),

p=√d/(√(a(α²+β²+γ²)+b(α′²+β′²+γ′²)+c(α″²+β″²+γ″²)))

Mais on a, dans le cas présent

α² +β² +γ² =1, α′² +β′²+γ′²=1, α″²+β″²+γ″²=1;}(5)

donc cette expression se réduit simplement à

p=√d/(√(a+b+c)),

quantité constante ; de sorte qu’on a ce théorème :

THÉORÈME II. Les triangles inscrits à une surface du second ordre, faces hypothénusales d’une suite de tétraèdres rectangles, ayant pour sommet commun de l’angle droit trièdre le centre de cette surface, sont tous tangens à une même sphère.

On peut toujours supposer d positif, et conséquemment le numérateur réel ; la sphère ne sera donc réelle qu’autant que a+b+c sera une quantité positive ; ce qui, en particulier, aura toujours lieu pour l’ellipsoïde.

