Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie des courbes et surfaces, article 5
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie des courbes et surfaces, article 5

## QUESTIONS RÉSOLUES.

### Solution du premier des deux problèmes de géométrie énoncés à la page 76 du présent volume.

PROBLÈME. À quelle courbe sont tangentes les cordes d’une section conique qui a un centre, hypoténuses d’une suite de triangles rectangles ayant constamment le sommet de l’angle droit au centre de la courbe ?

Supposons que la courbe soit une ellipse dont C soit le centre. Soit MN une des hypothénuses dont il s’agit. Du centre C à son milieu O soit menée une droite rencontrant la courbe en un point T par lequel soit menée une tangente à cette courbe. Du centre C soit abaissée sur cette tangente la perpendiculaire CG coupant en H sa parallèle MN. Soit enfin PQ le diamètre parallèle à MN, conjugué de celui qui passe par T; à cause de l’angle droit MCN, on aura CO=OM=ON.

Cela posé, à cause des parallèles, on aura

CT:CO::CG:CH=CO.CG/CT=MO.CG/CT .

Mais, par la propriété de l’ellipse, on a

MO¯²=CP¯²/CT¯² (CT¯²−CO¯²)=CP¯²/CT¯² (CT¯²−MO¯²);

d’où

MO=CP.CT/(√(CP¯²+CT¯²))

Mais, par une autre propriété de l’ellipse, si l’on représente par a et b ses deux demi-diamètres principaux, on aura

CP.CG=ab,

CP.CT=ab.CT/CG,

et

CP¯²+CT¯²=a²+b²

d’où

MO=CT/CG .ab/(√(a²+b²)).

En substituant donc cette valeur de MO dans celle de CH, elle deviendra simplement

CH=ab/(√(a²+b²)),

quantité constante, de sorte que la courbe cherchée est un cercle concentrique à l’ellipse dont il s’agit, et ayant pour rayon la perpendiculaire abaissée de son centre sur la corde qui joint deux sommets consécutifs quelconques.

Pour passer de là à l’hyperbole sans faire de nouveaux calculs, a étant le demi-axe transverse, il suffit de changer b en b√(−1) ce qui donne, pour le rayon du cercle,

ab√(−1)/√(a²−b²)=ab/√(b²−a²) ;

ce qui prouve qu’alors le cercle n’est possible qu’autant que l’axe transverse est le plus petit des deux.

* ↑ Quelqu’un nous a assuré que cette proposition se trouvait démontrée dans l’ouvrage de M. Poncelet ; mais nous n’avons pu découvrir en quel endroit.J. D. G.
