Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Analyse élémentaire, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Analyse élémentaire, article 1

## CORRESPONDANCE.

La nouvelle difficulté qu’élève M. Bret, contre la démonstration que j’ai donnée à la page 338 du 2.ᵉ volume des Annales, et qui n’est plus celle qu’il avait élevée à la page 33 du 3.ᵉ volume, et à laquelle j’ai complètement répondu, à la page 94 du même volume, s’applique généralement à tous les renversemens d’équations indéterminées entre deux variables, et a par conséquent déjà dû être expliquée. Mais, comme il m’est beaucoup plus aisé, dans ce moment, pour répondre à M. Bret, de donner moi-même une explication de la difficulté en question, que de feuilleter, peut être inutilement, un grand nombre d’auteurs, je ferai remarquer à ce géomètre que, si, en s’exprimant comme il le fait à la page 369 du 3.ᵉ volume, on représente par ab une des couples de x, y, non comprises dans celles αβ, α′β′, α″β″, de l’équation

x=ϕ(A, B, C, …y),

ce couple ne satisfait pas à l’équation

Axᵐ+Bxᵐ⁻¹+Cxᵐ⁻²+…=y,

dont celle (2) est le renversement ; il s’ensuivra que, pour y=b, dans l’équation (1), on devra avoir

A(a+δ)ᵐ+B(a+δ)ᵐ⁻¹+C(a+δ)ᵐ⁻²+…=b;

renversant cette dernière équation, il est clair, d’après les équations (1) et (2), qu’il viendra

a+δ=ϕ(A, B, C, …b);

mais, par hypothèse,

a=ϕ(A, B, C, …b);

donc δ=0, et, par conséquent, ab est aussi une couple de x, y, dans l’équation (1) ; donc toutes les couples qui satisfont à l’équation (2) satisfont aussi à l’équation (1). Cela démontré, je pense que M. Bret admettra cette conséquence, et peut-être alors cessera-t-il de croire qu’il soit très-difficile de ramener la démonstration du principe qui sert de fondement à la théorie des équations, à des notions purement élémentaires.

Agréez, etc.

* ↑ En effet, si cette légère difficulté n’avait déjà été expliquée, il s’ensuivrait, par exemple, qu’on serait encore dans le doute sur l’identité des courbes respectives des équations y=ϕx et x=ϕy, lorsque cette dernière équation est le remersement de la première.
