Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Analise transcendante, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Analise transcendante, article 1

### Solution du problème d’analise proposé à la page 299 du V.ᵉ volume de ce recueil ;

Problème. Assigner l’intégrale finie et complète de l’équation différentielle

d⁡y+y²e^{∫Xd⁡x}.d⁡x=e^{−∫Xd⁡x}.X′d⁡x,

dans laquelle X est supposé une fonction quelconque de x, dont la différentielle est X′d⁡x, et où e est la base des logarithmes naturels ?

Solution. Soit posé

y=(X−t)e^{−∫Xd⁡x},

d’où

d⁡y=(X′d⁡x−d⁡t)e^{−∫Xd⁡x}−(X−t)e^{−∫Xd⁡x}.Xd⁡x;

en substituant dans la proposée, et divisant par e^{−∫Xd⁡x}, elle devient, toutes réductions faites,

t².d⁡x−tXd⁡x−d⁡t=0;

mais, en rétablissant ce facteur, elle peut être écrite ainsi

e^{−∫Xd⁡x}.d⁡x−tXe^{−∫Xd⁡x}.d⁡x−e^{−∫Xd⁡x}.d⁡t/t²=0;

ce qui revient à

e^{−∫Xd⁡x}.d⁡x+d.e^{−∫Xd⁡x}/t=0,

et donne conséquemment

∫e^{−∫Xd⁡x}.d⁡x+e^{−∫Xd⁡x}/t=A;

d’où

t=e^{−∫Xd⁡x}/A−∫e^{−∫Xd⁡x}.d⁡x ;

donc enfin

y=e^{−∫Xd⁡x}.{X−e^{−∫Xd⁡x}/A−∫e^{−∫Xd⁡x}.d⁡x };

A étant la fonction complémentaire de l’intégration.

