Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 08/Géométrie transcendante, article 3
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 08/Géométrie transcendante, article 3

## GNOMONIQUE.

### Méthode universelle, commune à toutes les latitudes, pour tracer toutes sortes de cadrans solaires ;

On trouve, dans l’ancienne Encyclopédie (Suppl.ᵗ au mot Cadran) ; la démonstration d’un procédé très-ingénieux et très-simple, propre à toutes les latitudes, pour tracer des cadrans solaires horizontaux, à l’aide de deux échelles convenablement divisées, et construites à l’avance, une fois pour toutes. La simplicité de ce moyen de construction, qui, n’exigeant qu’un peu d’usage delà règle, se trouve ainsi à la portée des ouvriers même les moins intelligens, en fait une méthode extrêmement remarquable. Mais, dans l’ouvrage cité, la démonstration m’en ayant semblé très-laborieuse, et de nature à conduire à des résultats imparfaits, j’ai cru faire une chose utile, en essayant de reprendre toute cette doctrine, pour la présenter sous un jour tout-à-fait nouveau. Je ferai voir ensuite avec quelle facilité la méthode s’applique au tracé des cadrans verticaux ou inclinés, déclinans ou non déclinans.

Soit C le centre d’un cadran horizontal (fig. 1), c’est-à-dire, le point où ce cadran est rencontré par le style, que l’on sait d’ailleurs devoir être, dans tout cadran quelconque, dirigé vers le pôle. Soient CA la méridienne ou la projection du style, et CB une perpendiculaire à cette méridienne, et par conséquent la ligne de six heures. On sait que dans le cadran horizontal, les lignes horaires qui répondent à des heures également distantes de part et d’autre de midi, font aussi de part et d’autre des angles égaux avec la méridienne. On sait, en outre, que les lignes horaires qui répondent aux heures qui précèdent six heures du matin ou qui suivent six heures du soir, ne sont que les prolongemens respectifs de celles qui appartiennent aux heures correspondantes d’avant six heures du soir, ou d’après six heures du matin. Ainsi tout se réduit à savoir tracer les lignes horaires qui répondent aux heures comprises entre midi et six heures du soir.

Soit CX une de ces lignes horaires, répondant à une heure donnée quelconque, comprise entre ces limites. Soit menée une droite arbitraire AB, joignant un point quelconque de la méridienne à un point quelconque de la ligne de six heures. La ligne horaire CX sera connue, si nous connaissons en quel point X elle coupe la droite AB, que nous supposons fixe ; et ce point X sera connu, à son tour, si nous parvenons à déterminer sa distance AX au point A. Cherchons donc l’expression de cette distance.

Faisons CB=a, CA=b, AB=c, d’où résultera la relation

a²+b²=c²;

nous aurons

Sin.CBA=b/c, Cos.CBA=a/c.

Soit fait Ang.ACX=x, d’où

Sin.XCB=Cos.x, Cos.XBC=Sin.x;

nous aurons

Sin.CXA=Sin.(XCB+XBC)=Sin.XCBCos.XBC+Sin.XBCCos.XCB

c’est-à-dire,

Sin.CXA=(aCos.x+bSin.x)/c.

Mais, à cause de la proportionnalité des sinus des angles aux côtés qui leur sont opposés, on a

AX=AC.Sin.ACX/Sin.CXA=b.Sin.x/Sin.CXA ;

ce qui donnera, en substituant,

AX=bcSin.x/(aCos.x+bSin.x)=bcTang.x/(a+bTang.x).

Cela posé, concevons une sphère qui ait son centre au centre C du cadran. La méridienne CA, la ligne horaire CX et la direction du style, détermineront sur cette sphère les sommets d’un triangle sphérique rectangle dans lequel l’un des côtés de l’angle droit sera la hauteur du pôle ou la latitude du lieu, l’autre l’arc qui mesure l’angle inconnu x, et l’angle oblique opposé à ce dernier, l’angle horaire qui répond à l’heure indiquée par AX, à raison de 15^{∘} par heure.

Désignant donc cet angle horaire par h, et la latitude du lieu par l, nous aurons, par les théories connues,

Tang.x=Sin.lTang.h.

Cette valeur étant substituée dans celle de AX ci-dessus, elle deviendra enfin

AX=bcSin.lTang.h/(a+bSin.lTang.h).

Si ensuite on désigne par M le milieu de AB, on aura

MX=AM−AX=1/2 c−AX,

c’est-à-dire, en substituant et réduisant

MX=1/2 c.a−bSin.lTang.h/(a+bSin.lTang.h).

Or, la transversale AB étant arbitraire, et les grandeurs a, b, c ne se trouvant conséquemment liées entre elles que par la seule relation (1), il nous est permis de les lier encore par deux autres relations ; ou, ce qui revient au même, nous pouvons supposer c constant et donné, et établir une nouvelle relation entre a et b; et c’est à ce dernier parti que nous nous arrêterons.

Or, l’inspection de la formule (2) montre que, parmi toutes les relations que nous pourrions choisir, celle que nous devons préférer est

a=bSin.l;

car alors cette formule (2) devient simplement

MX=1/2 c.1−Tang.h/(1+Tang.h),

c’est-à-dire

MX=1/2 cTang.(45^{∘}−h).

D’un autre côté, en combinant entre elles les relations (1, 3) pour en éliminer b, il vient

a=cSin.l/(√(1+Sin.²l)) ;

de sorte que, si l’on fait

Sin.l=Tang.ϕ,

ϕ étant un angle auxiliaire, on aura

a=c.Tang.ϕ/(√(1+Tang.²ϕ))=cSin.ϕ,

c’est-à-dire

CB=cSin.Arc⁡(Tang.=Sin.l).

Présentement, on peut remarquer, et c’est principalement en ceci que consiste le mérite de la méthode ; on peut remarquer, dis-je, que AB ou c étant pris d’une longueur arbitraire, mais déterminée et constante, ainsi que nous venons de le supposer plus haut ; MX se trouve tout-à-fait indépendante de la latitude, et CB de l’angle horaire. Ainsi, pour toutes les latitudes, on pourra employer une même règle ou échelle AB sur laquelle seront marqués, une fois pour toutes, les points X qui répondent aux diverses lignes horaires qu’on se propose de tracer sur le cadran ; et, au moyen d’une autre règle où seront aussi marqués, une fois pour toutes, les points B qui répondent aux diverses latitudes, et qu’on appliquera le long de CB, il ne s’agira, pour une latitude donnée, que de fixer l’extrémité B de la première règle au point de celle-ci qui répondra à cette latitude. Tout se réduit donc à diviser les deux règles et nous allons bientôt voir que rien n’est plus facile.

I. Construction de l’échelle des heures. Avant d’enseigner à construire cette échelle, nous ferons remarquer, 1.ᵒ que, si l’on pose h=45^{∘}, ainsi qu’il arrive à trois heures, la formule (4) donne MX=0; 2.ᵒ que si l’on pose successivement h=45^{∘}−k, h=45^{∘}+k, il viendra MX=1/2 cTang.k, MX= −1/2 cTang.k, valeurs qui ne diffèrent que par le signe. Ainsi, lorsque la règle AB est disposée de la manière qui convient à la latitude, 1.ᵒ la ligne de trois heures doit passer par son milieu M; 2.ᵒ les lignes horaires également distantes de part et d’autre de trois heures coupent cette règle en des points symétriquement disposés de part et d’autre du point M.

On voit donc que tout se réduit à diviser la moitié de cette règle, en répétant les divisions dans un ordre rétrograde pour son autre moitié. Or, la formule (4) montre que l’opération se réduit à ce qui suit ; soit MA (fig. 2) la moitié de cette règle ; soit élevée au point M la perpendiculaire MO=MA, et soit menée OA. Alors, pour avoir le point de MA qui répond à une heure donnée, on mènera par O une droite faisant avec OA un angle égal à l’angle horaire correspondant ; et l’intersection X de cette droite avec MA sera le point cherché ; car on aura

MX=OMTang.MOX=OMTang.(MOA−AOX)=1/2 cTang.(45^{∘}−h).

En décrivant donc, entre les côtés de l’angle AOM, et d’un rayon quelconque, le demi-quadrans DE divisant ce demi-quadrans en trois, six ou douze parties égales, suivant qu’on voudra marquer les heures, les demi-heures ou les quarts-d’heures, et menant des droites du point O aux points de division ; ces droites détermineront les divisions de MA, qu’il faudra ensuite porter sur son prolongement vers B.

II. Construction de l’échelle des latitudes. Au point C de CB (fig. 3) soit menée à cette droite une perpendiculaire CF=AB=c; et soit menée à CB, par le point F, la parallèle indéfinie FP. Du point C comme centre et avec le rayon CF, soit décrit le quadrans FLG. Alors, pour obtenir le point de division B de CB qui répond à une latitude donnée, on prendra sur FG, de F en L un arc égal à cette latitude ; on abaissera la perpendiculaire LP sur FP; on mènera CP coupant FL en Q; enfin, en abaissant QB perpendiculaire sur CB, son pied B sera le point demandé.

En effet, en menant LR et QS, perpendiculaire sur CF, on aura

CB=SQ=CQSin.FQ=CFSin.Arc.(Tang.=FP)

=CFSin.Arc.(Tang.=LR)=CFSin.Arc.(Tang.=Sin.FL)

c’est-à-dire

CB=cSin.Arc.(Tang.=Sin.l),

comme l’exige la formule (6).

III. Réduction en tables. Quelques simples que puissent paraître les constructions que nous venons d’indiquer, elles présentent, comme tous les procédés graphiques, l’inconvénient de n’offrir qu’une précision subordonnée à l’adresse de celui qui opère, et, dans tous les cas, très-limitée. Nous croyons donc faire une chose utile en réduisant en tables les divisions de nos deux échelles, c’est-à-dire, les deux formules (4 et 6) ; ce qui est très-aisé, au moyen des tables de sinus et de logarithmes. Nous supposons, dans ces tables, la longueur AB ou C=1000000; c’est-à-dire que nous supposons l’échelle des heures divisée en un million de parties égales, ce qui est plus que suffisant pour le cas même où le cadran aurait l’excessive étendue d’un mètre quarré ; mais on sera toujours libre de n’admettre que 100000, 10000…

division dans cette échelle, en rejetant un, deux, … chiffres sur la droite dans tous les nombres des deux tables.

La correspondance des divisions de AB, de part et d’autre du point qui répond à trois heures, nous a permis de donner à la première table, calculée de trois en trois minutes de temps, une disposition analogue à celles des tables trigonométriques. Quant à la seconde, nous l’avons calculée de degré en degré, pour les deux premiers tiers du quadrans ; et de deux en deux degrés seulement pour le troisième tiers ; ce qui paraît plus que suffisant.

m.0.ʰm.I.ʰm.II.ʰ050000060028867660013397560348707857328001357312698457647448254627147854612003954946219551926306351911313851124502024812254763481210627848154384884515246573451599456451842704042182384884218926694221415846392123050339218591639244048923624222614362479192362739416833272148173327724963330383663303020710730306582630333733682733199480273359180273636327124361919322436525522439353365213918446021394594321423436401842177059184239351184533408915451697271545327721548324704124816246012482620412513154779511552549511964595430640065414810765413093657297469357141015357654536028867606013397506000V.ʰm.IV.ʰm.III.ʰm.

lalala1^{∘}1744826^{∘}40149151^{∘}6136312 3488027 41338252 6189383 5226328 42496853 6240464 6958729 43624354 6289595 8682730 44721355 6336886 10395931 45787856 6382307 12098432 46823857 6425948 13784733 47830058 6467829 15455734 48810959 65080410 17108835 49752960 65465311 18742936 50674062 66187212 20356137 51564064 66846713 21946838 52426766 67447114 23513739 53262668 67990415 25056340 54071870 68479416 26572941 54854472 68915217 28062542 55611874 69300718 29524043 56343876 69636919 30957544 57051478 69925420 32361545 57735180 70167321 33736046 58395482 70363822 35080247 59032484 70516423 36393848 59647486 70624624 37676349 60240388 70689125 38928050 60811990 707107

La figure 6 représente les deux échelles, divisées suivant ces tables, en supposant à AB la longueur d’un décimètre,

Si l’on considère présentement que tout cadran solaire vertical ou incliné, déclinant ou non déclinant, pourvu toutefois que sa surface soit plane, est un cadran horizontal pour le point de la surface de la terre dont le plan tangent serait parallèle à celui de ce cadran, on verra aussitôt que la méthode que nous venons de donner pour tracer un cadran horizontal est également applicable à la construction de tout cadran quelconque. Il faut seulement substituer à la latitude du lieu celle du point du globe pour lequel le plan tangent est parallèle à celui du cadran, et avoir égard à la différence dans la manière de compter les heures qui naît de la différence entre la longitude de ce point et celui du lieu pour lequel le cadran est destiné.

Soient donc λ la longitude et l la latitude du lieu ; soient Λ

et L les mêmes élémens pour le point du globe dont le cadran horizontal est parallèle à celui qu’il s’agit de tracer. Soient enfin i l’inclinaison du plan du cadran, c’est-à-dire, l’angle qu’il fait avec le plan horizontal, mesuré au-dessus de ce dernier plan et du côté du nord, et d la déclinaison du même plan, c’est-à-dire, l’angle que fait l’horizontale tracée sur ce plan, avec l’horizontale qui joint les points d’est et d’ouest, mesuré à l’est, et au nord de cette dernière droite ; d’après ces notations, on trouvera aisément

Sin.L=Cos.iSin.l+Sin.iCos.lCos.d,

Tang.(Λ−λ)=Tang.iSin.d/(Cos.l+Tang.iSin.lCos.d).

Cela posé. Lorsqu’on voudra tracer un cadran plan quelconque, on choisira sur sa surface un point pour centre, par lequel on mènera une horizontale et une perpendiculaire à cette horizontale. Le complément de l’angle de cette perpendiculaire avec la verticale sera l’inclinaison du cadran que l’on prendra pour i et qu’on fera positive ou négative suivant que le cadran regardera le midi ou le nord.

Par le centre du même cadran, on concevra une seconde horizontale perpendiculaire à la méridienne horizontale du lieu ; on prendra pour d l’angle de cette horizontale avec la première, en donnant à d le signe plus ou le signe moins, suivant que le plan du cadran regardera l’orient ou l’occident.

À l’aide de i et d et de la latitude l du lieu on calculera Sin.L Tang.(Λ−λ), par les formules (7, 8) ; d’où on conclura L et Λ−λ. On n’aura nul égard au signe de L; mais on aura attention à celui de Λ−λ.

On posera le style qui, comme nous l’avons déjà dit, doit toujours passer par le centre du cadran, et être constamment dirigé vers le pôle. On en déterminera la projection sur le cadran : ce serait la ligne de midi pour le lieu pour lequel le cadran serait horizontal. On mènera, par le centre, une perpendiculaire à cette projection : ce serait la ligne de six heures pour le même lieu.

On disposera ensuite l’échelle des heures sur ces deux lignes, comme nous l’avons dît ci-dessus pour les cadrans horizontaux ; mais en employant la latitude L, au lieu de la latitude l.

Enfin, on tracera les lignes horaires, mais en observant que, pour tracer par exemple la ligne horaire qui répond à l’heure quelconque H, il faudra employer le point de division de l’échelle des heures qui répond à l’heure

H+Λ−λ/15^{∘}.

Dans le cas particulier, et le plus ordinaire, où le cadran est vertical, les formules (7 et 8) deviennent simplement

Sin.L=−Cos.lCos.d, Tang.(Λ−λ)=Tang.d/Sin.l.

Je ne sais si je m’abuse, mais il me paraît que les quelques pages qui précèdent peuvent suppléer, avec avantage, les nombreux et volumineux traités qu’on a écrit sur la gnomonique.

* ↑ On peut même construire sur ces principes un système de règles en bois, ou mieux en cuivre, qui faciliterait beaucoup l’opération. Deux de ces règles CA, CB, tout-à-fait fixes et d’une longueur arbitraire seraient perpendiculaires l’une à l’autre ; la troisième AB d’une longueur invariable, et ayant toujours ses extrémités sur les deux premières ne devrait changer de situation, dans l’angle ACB, que pour un changement de latitude ; enfin, la quatrième CX d’une longueur indéfinie, et ne pouvant que tourner autour du point C, pourrait se fixer à tous les points de AB, et dirigerait le crayon dans le tracé des lignes horaires.
* ↑ À ces constructions on peut, au surplus, substituer les suivantes, qui se présentent moins naturellement, à la vérité ; mais qui ont peut-être l’avantage de donner les points de division des deux échelles d’une manière moins confuse. I. Échelle des heures. Sur MA, comme rayon (fig. 4), soit décrit le quadrans AHO et menée la corde AKO; soit pris l’arc AH double de l’angle horaire ; soit menée BH coupant AO en K; ; le pied X de la perpendiculaire abaissés de ce point K sur MA sera le point cherché. II. Échelle des latitudes. Sur la ligne de six heures, soit prise une partie CT=AB (fig. 5) ; sur sa moitié IC soit décrit le quadrans CLN; soit pris l’arc CL égal à la latitude ; soit menée LU, parallèle à CT, et coupant IN en U, soit menée TU, prolongée jusqu’à la circonférence en V; décrivant alors un arc du point C comme centre, et avec le rayon CV, cet arc déterminera sur CT le point B cherché. Le lecteur s’assurera facilement que ces constructions reviennent à celles du texte.
