Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Astronomie, article 3
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Astronomie, article 3

## ASTRONOMIE.

143. Problème ix.. On demande de représenter les époques des conjonctions et des oppositions d’une planète quelconque avec son satellite, par une série ordonnée selon les puissances ascendantes de l’excentricité de la planète principale, en regardant le mouvement du satellite comme circulaire et uniforme ?

144. Solution. Soient AIA′; (fig. 1) la demi-orbite de la planète principale, AA′ son grand axe, A son aphélie, A′ son périhélie, F le foyer de l’ellipse, occupé par le soleil ; le satellite étant porté sur un épicycle dont le centre parcourt la circonférence de l’ellipse, conformément aux lois connues du mouvement planétaire. Supposons qu’au moment où la planète principale était à l’aphélie A de son orbite, le satellite ait été au point C de l’épicycle. Supposons de plus qu’au bout du temps, la planète ait parcouru l’arc AI de son orbite, et, ayant mené les lignes IE, IG, respectivement parallèles à AB, AC, supposons que, dans le même temps t, le satellite ait parcouru l’arc GH de la sienne.

145. Désignons par p le temps d’une révolution de la planète, et par q le temps d’une révolution du satellite. Soient de plus

a, le demi-grand axe de l’orbite de la planète ;

aCos.λ, son demi-petit axe ;

b, le rayon de l’orbite du satellite =AB=AC=AI;

ϕ, l’anomalie vraie AFI;

ϰ, l’anomalie excentrique correspondante ;

α, l’angle BAC, qui fixe le lieu du satellite, au moment du passage de la planète par son aphélie.

On aura conséquemment

aSin.λ, pour l’excentricité de l’orbite,

a(1+Cos.λ) pour son aphélie FA;

a(1−Cos.λ) pour son périhélie FA′.

146. En conséquence, on aura les équations suivantes :

Sin.ϰ=Cos.λSin.ϕ/1−Sin.λCos.ϕ, Cos.ϰ=Cos.ϕ−Sin.λ/1−Sin.λCos.ϕ,

2ϖt/p=ϰ+Sin.λSin.ϰ.

On tire des deux premières

d⁡ϰ=(d⁡λSin.ϕ+d⁡ϕCos.λ)/1−Sin.λCos.ϕ

et de la troisième

d⁡ϰ=−d⁡λSin.ϕ+1−Sin.λCos.ϕ/Cos.²λ.2ϖd⁡t/p.

Ces valeurs, égalées entre elles, donneront

d⁡ϕ=2ϖ(1−Sin.λCos.ϕ)²/pCos.³λ d⁡t−Sin.ϕ(2−Sin.λCos.ϕ)/Cos.λ d⁡λ.

D’un autre côté, on a, pour l’expression littérale de l’angle IFH

Tang.IFH,

Ang.IFH=−(bSin.(α+2ϖt/q−ϕ))/(a+bCos.(α+2ϖt/q−ϕ)).

Cet angle devant s’évanouir en cas de syzygie, on aura

α+2ϖt/q−ϕ=nϖ,

ou

ϕ=α−nϖ+2ϖt/q,

d⁡ϕ=2ϖt/q ;

donc

2ϖt/q=2ϖ(1−Sin.λCos.ϕ)²/pCos.³λ d⁡t−Sin.ϕ(2−Sin.λCos.ϕ)/Cos.λ d⁡λ;

en conséquence

−2ϖd⁡t/pqd⁡λ=Cos.²λSin.ϕ(2−Sin.λCos.ϕ)/pCos.³λ−q(1−Sin.λCos.ϕ)².

Tel est le rapport différentiel d⁡t:d⁡λ, dont il faudra déduire les coefficiens de la série que nous cherchons.

147. Pour donner à nos formules la simplicité que nos développemens exigent, soient

Sin.λ=x, Cos.ϕ=y,

Cos.λ=u, Sin.ϕ=v;

donc

d⁡x/d⁡λ=u, d⁡y/d⁡λ=−vd⁡ϕ/d⁡λ=−2ϖv/q.d⁡t/d⁡λ,

d⁡u/d⁡λ=−x, d⁡v/d⁡λ=+yd⁡ϕ/d⁡λ=+2ϖy/q.d⁡t/d⁡λ.

On aura ainsi

−2ϖd⁡t/qd⁡λ=pu²v(2−xy)/pu³−q(1−xy)²

et si, pour abréger, on désigne cette fraction par h, on aura

d⁡x/d⁡λ=+u, d⁡y/d⁡λ=+hv,

d⁡u/d⁡λ=−x, d⁡v/d⁡λ=−hy.

Il paraît convenable de faire encore, pour abréger, r=1−xy, il en résulte

d⁡r/d⁡λ=−(xd⁡y+yd⁡x)/d⁡λ=−uy−hvx;

on a alors

h=(pu²v(1+r))/pu³−qr² ;

ce qui donne

−d⁡r/d⁡λ=(pr(2x+y−xy)−quvr²)/pu³−qr².

148. Si, d’après le but du problème, on désigne par t le temps au bout duquel il arrive une syzygie, on aura

t=A+Bλ+Cλ²+…;

et les coefficiens A, B, C, … formeront les inconnues du problème. Le premier terme A est ce que devient t dans le cas de λ=0, lequel fournit

2ϖt/p=ϰ=ϕ=α−nϖ+2ϖt/q ;

d’où l’on tire

t=pq(nϰ−α)/2ϖ(p−q) ;

et telle est la valeur du premier terme de la série. On aura donc

A=pq(nϖ−α)/2ϖ(p−q).

149. Le coefficient B est ce que devient le rapport différentiel d⁡t/d⁡λ, dans le même cas de λ=0, qui est celui de x=0, u=1, ϕ=q(nϖ−α)/p−q=2ϖA/p ; d’où

y=Cos.2ϖA/p, v=Sin.2ϖA/p.

B=−2pq/2ϖ(p−q) Sin.2ϖA/p,

en sorte que le second terme de la série est

−pqλ/ϖ(p−q) Sin.2ϖA/p.

150. Il faudra passer de là aux rapports différentiels d²⁡t/d⁡λ², d³⁡t/d⁡λ³, d⁴⁡t/d⁡λ⁴, … On peut remarquer que tous les termes dont ces rapports sont composés sont compris sous la forme

uᵐ.rᵋ.v.s/(pu³−qr²)ⁿ ;

la lettre s désignant une fonction rationnelle et entière de x et y ; tellement que d⁡s=Md⁡x+Nd⁡y, tandis que d⁡r=−yd⁡x−xd⁡y. Le problème est donc réduit à trouver la différentielle de la fonction fractionnaire

z=uᵐ.rᵋ.v.s/(pu³−qr²)ⁿ.

151. On en tire

Log.z=mLog.u+εLog.r+Log.v+Log.s−nLog.(pu³−qr²);

donc

d⁡z/z=md⁡u/u+εd⁡r/r+d⁡v/v+(Md⁡x+Nd⁡y)/s−n(3pu²d⁡u−2qrd⁡r)/pu³−qr² ;

ou, en divisant par d⁡λ

d⁡z/zd⁡λ=−mx/u−εuy/r−hy/v+(Mu+Nhv)/s+3npu²x/(pu³−qr²)−(2nqr(uy+hvx))/(pu³−qr²),

multipliant enfin de part et d’autre par urvs(pu³−qr²)

urv(pu³−qr²) d⁡z/zd⁡λ=−mrvxs(pu³−qr²)−pu³vry(1+r)s−εvu³ys(pu³−qr²)−εpu³v³x(1+r)s

+Mru²v(pu³−qr²)+pNu³v³r(1+r)+3npru³vxs−2nqr²u²vys−2nhqr²uv²xs.

152. Donc, si l’on fait, pour abréger,

F=−mrxs−εu²ys+3nrxs−r(1+r)ys−ε(1+r)v²xs, +Mru²+Nr(1+r)v², G=F+H+2n(1+r)v²xs, H=−mrxs−εu²ys+2nu²ys+Mru²;

on aura finalement

d⁡z/d⁡λ=uᵐ⁻¹rᵋ⁻¹v/((pu³−qr²)ⁿ⁺²) (p²u⁶F−pqr²u³G+q²r⁴H)=(p²uᵐ⁺⁵rᵋ⁻¹vF−pquᵐ⁺²rᵋ⁻¹vG+q²uᵐ⁻¹rᵋ+3vH)/((pu³−qr²)ⁿ⁺²)

153. Les trois coefficiens F, G, H, sont des fonctions rationnelles et entières de x et y. On trouve, en les développant,

F=(3n−m−2ε)xs−(ε+2)ys+(m−3n+2ε)x²ys+(2ε+3)xy²s

−(ε+1)x²y³s+ru²M+r(1+r)v²N,

G=(2n−2m−2s)xs+(2n−2ε−2)ys+(2m−7n+3ε)x²ys

+(2ε−4n+3)xy²s+(2n−ε−1)x²y³s+2Mru²+Nr(1+r)v²,

H=−mxs+(2n−ε)ys+(m−2n+ε)x²ys+Mru².

On peut remarquer que la première de ces trois fonctions, savoir F, est divisible par r=1−xy ; on trouve

F/r=(3n−m−2ε)xs−(ε+2)ys+1(ε+1)xy²s+u²M+(1+r)v²N.

−2πd⁡t/qd⁡λ=pu²v(2−xy)/(pu³−qr²),

on demande d²⁡t/d⁡λ² ?

Faisant

z=u²v(2−xy)/pu³−qr²,

on aura

−2πd⁡t/qd⁡λ=pz;

donc

d²⁡t/d⁡λ²=−pq/2π.d⁡z/d⁡λ,

reste donc à trouver d⁡z/d⁡λ.

Comparant à la formule générale

uᵐvrᵋs/(pu³−qr²)ⁿ,

on trouve

m=2, s=2−xy, ε=0, M=−y, n=1, N=−x,

on en tire

F=r(−5y+x²y+6xy²−2x²y³), G=2r(2x−y), H=r(−2x+y+x²y),

donc

d⁡z/d⁡λ=1/(pu³−qr²)³ {p²u⁷v(−5y+x²y+6xy²−2x²y³)−2pqu⁴r²v(2x−y)+q²ur⁴v(−4x+3y+3x²y−xy²−x³y²)};

donc

2π/pq.d²⁡t/d⁡λ²=1/(pu³−qr²)³ {p²u⁷v(5y−x²y−6xy²+2x²y³)+2pqu⁴r²v(2x−y)+q²ur⁴v(+4x−3y−3x²y+xy²+x³y²)}

154. Le troisième coefficient C de la série est ce que devient la fraction d²⁡t/d⁡λ², dansle cas de λ=0, qui est celui de x=0, u=0, ϕ=2πA/p, y=Cos.2πA/p, v=Sin.2πA/p, et r=1. On aura donc

C=(pq(5p+3q))/4ϖ(p−q)² Sin.2ϖA/p Cos.2ϖA/p,

ou

C=(pq(5p+3q))/8ϖ(p−q)² Sin.4ϖA/p ;

le troisième terme sera donc

(pq(5p+3q))/8ϖ(p−q)² λ²Sin.4ϖA/p.

155. On vient de trouver la valeur littérale de 2ϖ/pq.d²⁡t/d⁡λ², composée de trois fractions telles que

(p²u⁷vS′+2pqu⁴vS″+q²ur⁴vS‴)/(pu³−qr²)³,

dans lesquelles

S′=5y−x²y−6xy²+2x²y³S″=2x−yS‴=4x−3y−3x²y+xy²+x³y².

Pour passer à d³⁡t/d⁡λ³ il faut appliquer la formule générale à chacune des trois fonctions S′, S″, S‴ en particulier. En conséquence, nous aurons les différentielles qui suivent.

Exemple II. On demande la différentielle de

z′=u⁷vS′/(pu³−qr²)³ ?

On a ici

m=7, S′=5y−x²y−6xy²+2x²y³, ε=0, M′=−2xy−6y²+4xy³, n=3, N′=5−x²−12xy+6x²y²,

d’où il résulte

F′/r=10−2x²−21xy−26y²+x³y+22x²y²+50xy³−8x³y³−34x²y⁴+8x³y⁵, G′/r=10−2x²+2xy−2y²−2x³y−8x²y²−12xy³+4x³y³+14x²y⁴−4x³y⁵, H′=−37xy+24y²−19x³y+49x²y²−26xy³−3x⁴y²−30x³y³+8x²y⁴+6x⁴y⁴.

En suite de quoi on aura finalement

d⁡z′/d⁡λ=u⁶v/(pu³−qr²)⁵ (p²u⁶ F′/r−pu³r² G′/r+q²r³H′).

156. Exemple III. On demande la différentielle de

z″=u⁴r²vs″/(pu³−qr²)³ ?

On a ici m=4, s″=4x−2y,

ε=2, M″=4, n=2, N″=−2;

donc

F″/r=−16xy+12y²+12x²y²−8xy³, G″=4+28x²−20xy+4y²−21x³y−8x²y²+4xy³+12x³y³−4x²y⁴, H″=−4−12x²+28xy−8y²−4x³y,

d’où il résulte

d⁡z″/d⁡λ=u³r²v/(pu³−qr²)⁵ (p²u⁶ F″/r−pqru³G″+q²r³H″).

157. Exemple IV. On demande la différentielle de

z‴=ur⁴vs‴/(pu³−qr²)³ ?

On a, pour ce cas, m=1, S‴=4x−3y−3x²y+xy²+x³y², ε=4, M‴=4−6xy+y²+3x²y², n=3, N‴=−3−3x²+2xy+2x³y;

ce qui donne

F‴/r=−2+10x²−23xy+25y²+13x³y+44x²y²−28xy³−5x⁴y²−28x³y³+7x²y⁴+7x⁴y⁴G‴=+2+30x²−56xy+20y²−28x³y+50x²y²−16xy³+5x⁴y²−19x³y³+5x²y⁴, +x⁵y³+5x⁴y⁴−x³y⁵−x⁵y⁵

H‴=+4−8x²+xy−5y²+9x³y+4x²y²+xy³−7x⁴y²−x³y³+2x⁵y³;

on aura finalement

d⁡z‴/d⁡λ=r⁴v/(pu³−qr²)⁵ (p²u⁶ F‴/r−pqr²u³G‴+q²r³H‴).

158. Mettant ensemble les exposions différentielles des trois numéros précédens, on trouve

2π/pq.d³⁡t/d⁡λ³=v/r(pu³−qr²)⁵ {p⁴u¹²F′+p³qu⁹r²(F″−G′)+p²q²u⁶r⁴(F‴−G″+H′)+pq³u³r⁶(−G‴+H″)+q⁴r⁸H‴.}

Or, on trouve, après les réductions

F′=+10−2x²−31xy−26y²+3x³y+43x²y²+76xy³−x⁴y²−30x³y³−84x²y⁴+8x⁴y⁴+42x³y⁵−8x⁴y⁶F″−G′=−10+2x²−8xy+14y²+38x²y²−10xy³−2x⁴y²−24x³y³−18x²y⁴+4x⁴y⁴+18x³y⁵−4x⁴y⁶,

F‴−G″+H′=−6−38x²−38xy+45y²+52x³y+124x²y²−83xy³−21x⁴y²−114x³y³+47x²y⁴+5x⁵y³+41x⁴y⁴−7x³y⁵−7x⁵y⁵, −G‴+H″=+2−50x²+76xy−28y²+32x³y−53x²y²+16xy³−5x⁴y²+19x³y³−5x²y⁴−x⁵y³−5x⁴y⁴+x³y⁵+x⁵y⁵, H‴=+4−8x²+xy−5y²+9x³y+4x²y²+xy³−7x⁴y²−x³y³+2x⁵y³.

159. Le quatrième coefficient D est encore ce que devient le rapport différentiel d³⁡t/6d⁡λ³, dans le cas de λ=0, qui est celui de x=0, u=1, r=1, ϕ=2ϖA/p ou ϕ=q(nϖ−α)/p−q, et ensuite y=Cos.ϕ et v=Sin.ϕ, en désignant ici par ϕ l’angle 2ϖA/p=q(nϖ−α)/p−q. Cette supposition donne

F′=+10−26Cos.²ϕ, F″−G′=−10+14Cos.²ϕ, F‴−G″+H′=− 6+45Cos.²ϕ, −G‴+H″=+ 2−28Cos.²ϕ, H‴=+ 45Cos.²ϕ;

on aura donc

2ϖ/pq D=Sin.ϕ/6(p−q)⁵ {(10p⁴−10p³q−6p²q²+2pq³+4q⁴)−(26p⁴−14p³q−45p²q²+28pq³+5q⁴)Cos.²ϕ.}

Les deux termes de cette fraction sont divisibles par le quarré (p−q)², ce qui donne

2ϖ/pq D=({(10p²+10pq+4q²)−(26p²+38pq+5q²)Cos.²ϕ}Sin.ϕ)/6(p−q)³ ;

en conséquence

D=(pq{(10p²+10pq+4q²)−(26p²+38pq+5q²)Cos.²ϕ}Sin.ϕ)/12ϖ(p−q)³.

160. En appliquant les mêmes formules à la recherche du coefficient suivant E, j’ai trouvé

E=pqSin.ϕCos.ϕ/48ϖ(p−q)⁴ {−(145p³+291p²q+101pq²+9q³)+(206p³+514p²q+173pq²+9q³)Cos.²ϕ}.

En conséquence, voici le tableau des cinq premiers coefficiens A, B, C, D, E, de la série A+Bγ+Cλ²+Dλ³+Eλ⁴+…, qui fait connaître les époques de toutes les conjonctions et oppositions du satellite avec la planète principale, qui peuvent avoir lieu dans un temps quelconque. On se rappellera que n désigne un nombre entier quelconque, pair dans les conjonctions, impair dans les oppositions du satellite vu de la planète. Nous continuerons d’employer la lettre ϕ, pour désigner l’angle 2ϖA/p=q(nϖ−α)/p−q. On aura

2(p−q)ϖA=+pq(nϖ−α), 2(p−q)ϖB=−2pqSin.ϕ, 4(p−q)²ϖC=+pq(5p+3q)Sin.ϕCos.ϕ, 12(p−q)³ϖD=+pq(10p²+10pq+4q²)Sin.ϕ−pq(26p²+38pq+5q²)Sin.ϕCos.²ϕ, 48(p−q)⁴ϖE=−pq(145p³+291p²q+101pq²+9q³)Sin.ϕCos.ϕ+pq(206p³+514p²q+173pq²+9q³)Sin.ϕCos.²ϕ,

et ainsi des autres.

161. La révolution sydérale de Jupiter, exprimée en jours, est 4332, 596308; telle est donc la valeur numérique de p. Quant à celles de ses satellites, on trouve

Pourlepremier…1, 7691378, Pourlesecond…3, 5511810, Pourletroisie^{`}me…7, 1545528, Pourlequatrie^{`}me…16, 6887697.

Le rapport p:q est donc, pour les quatre satellites, ainsi qu’il suit :

Pourlepremier…p:q=2449:1, Pourlesecond…p:q=1220:1, Pourletroisie^{`}me…p:q=606:1, Pourlequatrie^{`}me…p:q=260:1.

La fraction q/p est donc très-petite pour tous les quatre satellites, et sur-tout pour les deux premiers dont les mouvemens se rapprochent le plus du mouvement uniforme et circulaire, dont les inégalités sont les moins sensibles, et dont les syzygies, très-fréquentes, ont le plus d’intérêt pour nous. En se bornant à la première puissance, de cette fraction, on aura ϕ=q(nϖ−α)/p et ensuite

2ϖA=+q(nϖ−α), 2ϖB=−2qSin.ϕ, 4ϖC=+5qSin.ϕCos.ϕ, 12ϖD=+qSin.ϕ(10−26Cos.²ϕ), 48ϖE=−qSin.ϕCos.ϕ(145−206Cos.²ϕ);

et ainsi des autres.

162. La série que l’on vient de trouver comprend donc ce qu’on m appelé la première inégalité des éclipses. Pour en faire l’application, commençons par démontrer quelques formules générales qui concernent ces éclipses ; en nous occupant de la longitude seule, et en supposant ainsi l’orbite du satellite dans le plan même de celle de la planète principale. De plus, nous continuerons de regarder celle du satellite comme circulaire.

163. Soient donc S (fig.2) le centre et SA=SB le rayon du soleil, dont la circonférence est ainsi représentée dans la figure. Représentons l’orbite de la terre par le cercle décrit du centre S avec le rayon ST. Soient I le centre et ID=IO le rayon de Jupiter, D et D′ ; deux points opposés de sa surface. Du centre I avec le rayon IL décrivons une circonférence de cercle, que nous prendrons pour l’orbite de quelqu’un de ses satellites. Menant de part et d’autre les deux tangentes BD, BD′ aux circonférences du soleil et de Jupiter, on aura en C le sommet du cône ténébreux que cette planète Laisse derrière elle. Le satellite, en parcourant l’arc GG′ de son orbite, aura son immersion dans l’un de ces deux points et son émersion dans l’autre. Pour que l’une et l’autre puissent être apperçues de la terre, il faut que la tangente GO, menée du point G au bord opposé de la circonférence de Jupiter, traverse, après avoir été prolongée, l’orbite de la terre, dans les deux points H et K. Tant que ces intersections seront possibles, la durée entière de l’éclipse pourra être observée ; mais il faudra se borner à observer l’une de ses deux phases, lorsque la tangente GFD prolongée passera entièrement à côté de l’orbite de la terre. Reste donc à trouver l’expression littérale des deux angles ISH et ISK.

164. Les quantités données du problème sont au nombre de cinq, savoir :

a=SA=SB, rayon du soleil,

b=ID=ID′, rayon de Jupiter,

c=ST=SH=SK, distance moyenne des centres du soleil et de la terre,

h=IS, distance moyenne de Jupiter au soleil,

d=IL=IG=IG′, distance du centre de Jupiter à son satellite.

165. Pour dresser la table des valeurs numériques de ces quantités, j’ai employé les dimensions et distances rapportées sous les n.ᵒˢ 57, 106 et 110 du troisième volume de l’Astronomie physique de Biot. Comme le rayon du soleil est égal à 109, 98 fois celui de la terre, j’ai divisé tous les nombres par 109, 98 ; au moyen de quoi le rayon du soleil devient l’unité commune de tous les nombres de la table. J’ai désigné par d, d′, d″, d‴ les distances du centre de Jupiter à celui de ses premier, second, troisième et quatrième satellites, respectivement, et j’ai obtenu ce qui suit :

a=1, 00000, d=0, 61136, b=0, 10517, d′=0, 97270, c= 219, 19408, d″=1, 55154, h=1140, 41663, d‴=2, 72907.

166. La première chose qui se présente, c’est la longueur du cône ténébreux de Jupiter, ainsi que son angle au sommet. On aura, par les formules connues,

CI=bh/a−b, CS=ah/a−b, Sin.DCI=a−b/h ;

ce qui fait donc la distance moyenne de Jupiter au soleil γ=134, 039 et l’angle C, que l’on pourra fort bien obtenir, avec son sinus et sa tangente, sera =2′.42″.

F,

FI=y

FL=d−y

DF=√(y²−b²).

CL=bh/a−b−d

CL=(bh+bd−ad)/a−b ;

f.

CL=f,

GL=fTang.C,

C

DCI.

FD:DI=FL:GL

y²−b²:b²=(d−y)²:f²Tang.²C.

FI

=y (−b²d+bfTang.C√(d²−b²+f²Tang.²C))/f²Tang.²C−b²

et par conséquent

FL

d−y=(f²dTang.²C−bfTang.C√(d²−b²+f²Tang.²C))/f²Tang.²C−b²

On a eu Sin.C=a−b/h, ce qui donne

Cos.C=(√(h²−a²+2ab−b²))/h,

et par conséquent

Tang.C=a−b/√(h²−(a−b)²) ;

or, comme

h=1140, 41663, a−b=0, 89453,

on voit que le quarré de a−b disparaît complètement devant celui de h, ce qui donne Tang.C=a−b/h et fTang.C=b−(a−b)d/h. Par cette même raison, la racine de d²−b²+f²Tang.²C se réduira à d. On aura ainsi

FL=dfTang.C/(fTang.C+b), IF=bd/(fTang.C+b).

On trouvera ensuite

Sin.F=(fTang.C+b)/d=2b/d−a−b/h,

FS=(2bh²+2bdh−adh)/2bh−(a−b)d

QS=(2bh+2bd−ad)/d,

donc

Cos.QSH=(2bh+2bd−ad)/cd,

ou

Cos.QSH=b/C+h/C Sin.F.

On aura enfin

Ang.TSH=90^{∘}=(F+QSH), Ang.TSK=90^{∘}−(F−QSH);

et la position des points H et K de l’orbite terrestre sera rigoureusement déterminée.

168. En appliquant le calcul numérique à ces formules ; en employant de plus les notations F, F′, F″, F‴, pour désigner les points F et les angles SFQ qui répondent aux premier, deuxième, troisième et quatrième satellites, respectivement, on trouve

Log.Sin.F=9.5356327, Ang.F=20.^{∘}4′34″, Log.Sin.F′=9.3338680, Ang.F′=12.^{∘}27′26″, Log.Sin.F″=9.1296533, Ang.F″=7.^{∘}44′47″, Log.Sin.F‴=8.8824661, Ang.F‴=4.^{∘}22′30″.

On trouve ensuite les distances IF, ainsi qu’il suit :

Log.IF=9.4862672, Dist.IF=0, 306385, Log.IF′=9.6880319, Dist.IF′=0, 487564, Log.IF″=9.8922466, Dist.IF″=0, 780273, Log.IF‴=0.1394338, Dist.IF‴=1, 378585.

169. Passant de là au calcul des angles QSH, on trouve,

Pour le 1.ᵉʳ satellite …Cos.QSH=1, 786422, 2.ᵐᵉ …Cos.QSH=1, 122764, 3.ᵐᵉ …Cos.QSH=0, 7017543, 4.ᵐᵉ …Cos.QSH=0, 3973979.

Les valeurs numériques des deux premiers cosinus, plus grandes que l’unité, font voir que la durée des éclipses du premier satellite ne pourra jamais être observée, et qu’on ne pourra pas observer non plus celle des éclipses du second, dans les moyennes distances de la terre et de Jupiter au soleil ; mais cette observation sera possible dans les deux autres.

On trouve

Pourletroisie^{`}me, Ang.QSH=45^{∘}25′56″, Pourlequatrie^{`}meAng.QSH=66^{∘}35′4″;

d’où il résulte

Pourletroisie^{`}me, {Ang.TSH=36^{∘}49′27″, Ang.TSK=127^{∘}41′19″, Pourlequatrie^{`}me, {Ang.TSH=19^{∘}2′26″, Ang.TSK=152^{∘}12′34″.

* ↑ Voyez les pages 161 et 287 du IV.ᵉ volume de ce recueil, et les pages 1 et 221 de celui-ci.
