Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Astronomie, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Astronomie, article 2

## ASTRONOMIE.

Soient F le foyer et P, Q, R trois points donnés sur le périmètre d’une ellipse, et soit EF une droite fixe, dirigée d’une manière quelconque, dans le plan de ces quatre points. Il s’agit de déterminer les élémens de la courbe.

Les données du problème sont au nombre de six ; savoir : les trois angles EFP, EFQ, EFR, et les trois rayons vecteurs FP, FQ, FR. Soient donc

P=Ang.EFP, p=ray. vec.FP, Q=Ang.EFQ, q=ray. vec.FQ, R=Ang.EFR, r=ray. vec.FR.

Les inconnues du problème sont au nombre de trois ; savoir ; l’angle EFA que fait la direction FA du grand axe de l’ellipse avec la droite fixe EF, le demi-grand axe de l’orbite et son excentricité. Soient donc

ϕ=Ang.EFA,

a=

Sin.λ=

En supposant que le point A est l’aphélie, on aura

AF=a(1+Sin.λ)

Ang.AFP=P−ϕ, Ang.AFP=Q−ϕ, Ang.AFR=R−ϕ.

Et, par les propriétés connues de l’ellipse, on trouvera

p=aCos.²λ/1−Sin.λCos.(P−ϕ), q=aCos.²λ/1−Sin.λCos.(Q−ϕ), r=aCos.²λ/1−Sin.λCos.(R−ϕ).

Divisant successivement la première de ces deux équations par les deux autres, il vient

p/q=1−Sin.λCos.(Q−ϕ)/1−Sin.λCos.(P−ϕ), p/r=1−Sin.λCos.(R−ϕ)/1−Sin.λCos.(P−ϕ).

Il en résulte les deux équations qui suivent

p−q={pCos.(P−ϕ)−qCos.(Q−ϕ)}Sin.λ, p−r={pCos.(P−ϕ)−rCos.(R−ϕ)}Sin.λ.

En égalant entre elles les valeurs de Sin.λ tirées de ces deux équations, il vient

Sin.λ=p−q/pCos.(P−ϕ)−qCos.(Q−ϕ)

=p−r/pCos.(P−ϕ)−rCos.(R−ϕ),

et par conséquent

(p−q){pCos.(P−ϕ)−rCos.(R−ϕ)}

=(p−r){pCos.(P−ϕ)−qCos.(Q−ϕ)}

en développant Cos.(P−ϕ), Cos.(Q−ϕ), Cos.(R−ϕ), et divisant ensuite par Cos.ϕ, on tire de cette équation

Tang.ϕ=−(p(r−q)Cos.P+q(p−r)Cos.Q+r(q−p)Cos.R)/(p(r−q)Sin.P+q(p−r)Sin.Q+r(q−p)Sin.R).

On déduit de là, après les réductions

Tang.(P−ϕ)=(p(r−q)+q(p−r)Cos.(Q−P)+r(q−p).Cos.(R−P))/(q(p−r)Sin.(Q−P)+r(q−p)Sin.(R−P)), Tang.(Q−ϕ)=(p(r−q)Cos.(P−Q)+q(p−r)+r(q−p)Cos.(R−Q))/(p(r−q)Sin.(P−Q)+r(q−p)Sin.(R−Q)), Tang.(R−ϕ)=(p(r−q)Cos.(P−R)+q(p−r)Cos.(Q−R)+r(q−p))/(p(r−q)Sin.(P−R)+q(p−r)Sin.(Q−R)).

La nature du problème exige que des tangentes on passe aux cosinus. On y parvient moyennant une certaine fonction, qu’en attendant nous représenterons par F², et dont la valeur, que nous nous réservons de simplifier plus loin, peut être exprimée ainsi qu’il suit :

F²={(r−q)²p²+2rq(p−r)(q−p)Cos.(R−Q)+(p−q)²r²+2pr(q−p)(r−q)Cos.(P−R)+(q−p)²r²+2qp(r−q)(p−r)Cos.(Q−P).

On trouve alors

Sin.λ=F/(pqSin.(Q−P)+qrSin.(R−Q)+rpSin.(P−R)) ;

et ensuite

FCos.(P−ϕ)=q(p−r)Sin.(Q−P)+r(q−p)Sin.(R−P), FCos.(Q−ϕ)=r(q−p)Sin.(R−Q)+p(r−q)Sin.(P−Q), FCos.(R−ϕ)=p(r−q)Sin.(P−R)+q(p−r)Sin.(Q−R);

d’où encore

Sin.λCos.(P−ϕ)=(q(p−r)Sin.(Q−P)+r(q−p)Sin.(R−P))/(pqSin.(Q−P)+qrSin.(R−Q)+rpSin.(P−R)), Sin.λCos.(Q−ϕ)=(r(q−p)Sin.(R−Q)+p(r−q)Sin.(P−Q))/(pqSin.(Q−P)+qrSin.(R−Q)+rpSin.(P−R)), Sin.λCos.(R−ϕ)=(p(r−q)Sin.(P−R)+q(p−r)Sin.(Q−R))/(pqSin.(Q−P)+qrSin.(R−Q)+rpSin.(P−R)).

De là résulte l’égalité suivante

1−Sin.λCos.(P−ϕ)/qr=1−Sin.λCos.(Q−ϕ)/rp=1−Sin.λCos.(R−ϕ)/pq ;

attendu que ces trois expressions se réduisent également à

(Sin.(Q−P)+Sin.(R−Q)+Sin.(P−R))/(pqSin.(Q−P)+qrSin.(R−Q)+rpSin.(P−R)).

Il ne reste plus à déterminer que le demi-grand axe de l’orbite. On a

a=pqr/Cos.²λ.(Sin.(Q−P)+Sin.(R−Q)+Sin.(P−R))/(pqSin.(Q−P)+qrSin.(R−Q)+rpSin.(P−R))

En remarquant que

Cos.(R−Q)=1−2Sin.² 1/2 (R−Q), Cos.(P−R)=1−2Sin.² 1/2 (P−R), Cos.(Q−P)=1−2Sin.² 1/2 (Q−P);

l’expression de F² donnée ci-dessus peut être réduite à cette forme plus simple

F²=4qr(p−q)(p−r)Sin.² 1/2 (R−Q)+4rp(q−r)(q−p)Sin.² 1/2 (P−R)+4pq(r−p)(r−q)Sin.² 1/2 (Q−P)

on pourra aussi écrire

Tang.ϕ=(p(r−q)Sin.² 1/2 P+q(p−r)Sin.² 1/2 Q+r(q−p)Sin.² 1/2 R)/(p(r−q)Sin.1/2 PCos.1/2 P+q(p−r)Sin.1/2 QCos.1/2 Q+r(q−p)Sin.1/2 RCos.1/2 R).

* ↑ Il convient de remarquer que le numérateur Sin.(Q−P)+Sin.(R−Q) +Sin.(P−R) peut être réduit à la forme suivante, plus commode pour le calcul par logarithmes, −4Sin.1/2 (Q−P)Sin.1/2 (R−Q)Sin.1/2 (P−R). On peut remarquer aussi que le dénominateur pqSin.(Q−P)+qrSin.(R−Q) +rpSin.(P−R) n’est autre chose que le double de l’aire du triangle qui a ses sommets aux trois points donnés. J. D. G.
* ↑ Si, dans l’application à un cas particulier, on trouve Sin.λ=1 ou, ce qui revient au même F=pqSin.(Q−P)+qrSin.(R−Q)+rpSin.(P−R), on en conclura que la courbe est une parabole. Il serait aisé de faire voir que cette équation de relation revient à celle qui a été donnée à la page 157 de ce volume. On pourrait en faire usage, pour simplifier, dans ce cas, la valeur de Tang.ϕ. J. D. G.
