Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 09/Analise indéterminée, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 09/Analise indéterminée, article 2

### Démonstration du théorème d’analise indéterminée énoncé à la page 228 de ce volume ;

THÉORÈME. Toute puissance paire d’un nombre impair, diminué d’une unité, est toujours divisible par une puissance de deux supérieure de deux unités à celle qui divise son exposant.

Démonstration. Tout se réduit évidemment à démontrer que, quels que soient d’ailleurs les trois nombres entiers positifs a, k, n, l’expression

((1+2a)²ⁿ‧ᵏ−1)/(2ⁿ⁺²)

est toujours un nombre entier.

D’abord, comme on a

(1+2a)²ⁿ‧ᵏ={(1+2a)ᵏ}²ⁿ,

et comme d’ailleurs (1+2a)ᵏ, est nécessairement un nombre impair, que l’on peut représenter par 1+2A; tout se réduit à démontrer que l’expression

((1+2A)²ⁿ−1)/(2ⁿ⁺²)

est un nombre entier.

(1+2A)²ⁿ={(1+2A)²}²ⁿ⁻¹;

mais

(1+2A)²=1+4A+4A²=1+4A(1+A);

et comme, quel que soit A, A(1+A) est nécessairement un nombre pair, que l’on peut représenter par 2B, on aura

(1+2A)²=1+8B,

et, par suite

(1+2A)²ⁿ=(1+8B)²ⁿ⁻¹;

tout se réduit donc à démontrer que la formule

((1+8B)²ⁿ⁻¹−1)/(2ⁿ⁺²)

est un nombre entier.

Cela est d’abord évident, pour le cas où n=1 ; puisqu’alors elle se réduit à B. On trouve de plus

(1+8B)²=1+16B+64B²=1+16B(1+4B),

que l’on peut représenter par 1+16B′

(1+8B)⁴=(1+16B′)²=1+32B′+256B′²=1+32B′(1+8B′),

que l’on peut représenter par 1+32B″, et ainsi de suite, ce qui est déjà conforme à l’énoncé du théorème. Or, si, en général, suivant cet énoncé, on a

(1+8B)²ᵏ⁻¹=1+2ᵏ⁺²G,

on aura

(1+8B)²ᵏ=(1+2ᵏ⁺²G)²,

ou

(1+8B)²ᵏ=1+2ᵏ⁺³G+2²ᵏ⁺⁴G²

ou encore

(1+8B)²ᵏ=1+2ᵏ⁺³G(1+2ᵏ⁺¹G)

quantité de la forme 1+2ᵏ⁺³G′. Il demeure donc établi que, si la puissance 2ᵏ⁻¹ de 1+8B, diminuée d’une unité, est divisible par 2ᵏ⁺², sa puissance 2ᵏ, diminuée également d’une unité, le sera par 2ᵏ⁺³, puis donc que ces puissances 2⁰, 2¹, 2², diminuées d’une unité, le sont respectivement par 2³, 2⁴, 2⁵, il s’ensuit que sa puissance du degré 2ⁿ⁻¹, diminuée d’une unité, le sera par 2ⁿ⁺²; l’expression

((1+8B)²ⁿ⁻¹−1)/(2ⁿ⁺²)

est donc un nombre entier ; l’expression

((1+2A)²ⁿ−1)/(2ⁿ⁺²)

en sera donc un aussi, et, conséquemment, il en sera de même de

((1+2a)²ⁿ‧ᵏ−1)/(2ⁿ⁺²)

le théorème est donc démontré en toute rigueur.

Soient les deux formules

((1+2a)²ᵖ‧ᵍ−1)/(2ᵖ⁺²), ((1+2b)²𐞥‧ʰ−1)/(2𐞥⁺²),

elles seront l’une et l’autre des nombres entiers, par ce qui précède. Si p n’est pas moindre que q, à plus forte raison la formule

((1+2a)²ᵖ‧ᵍ−1)/(2𐞥⁺²)

sera aussi un nombre entier, d’où il suit que sa différence avec la seconde des deux ci-dessus sera également un nombre entier. Ainsi, la formule

((1+2a)²ᵖ‧ᵍ−(1+2b)²𐞥‧ʰ)/(2𐞥⁺²),

dans laquelle on suppose p>q−1 est nécessairement un nombre entier ; et l’on prouverait évidemment la même chose de la formule

((1+2a)²ᵖ‧ᵍ−(1+2b)²𐞥‧ʰ)/(2ᵖ⁺²),

dans laquelle on aurait q>p−1.

Si l’on suppose p=q=1, on aura la formule

([(1+2a)ᵍ]²−[(1+2b)ʰ]²)/8,

ou, plus simplement, la formule

((1+2A)²−(1+2B)²)/8,

qui devra être un nombre entier ; c’est-à-dire, que la différence de deux quarrés impairs est toujours divisible par huit.

Donc, la somme de deux nombres impairs multipliés par leur différence donne un produit divisible par huit ; d’où il suit encore que la somme ou la différence de deux nombres impairs doit nécessairement être divisible par quatre.

* ↑ Cette vérité s’aperçoit immédiatement en observant que tout nombre impair est compris dans la double formule 4n±1; ou, ce qui revient au même, que tout nombre impair, augmenté ou diminué d’une unité, devient divisible par quatre. J. D. G.
