Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Géométrie élémentaire, article 8
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Géométrie élémentaire, article 8

### §. 1.

Soient ABCD le tétraèdre donné ;

AireBCD=A, AireCDA=B, AireDAB=C, AireABC=D;

T le volume du tétraèdre ; r le rayon de la sphère inscrite ;

AD=a, BD=b, CD=c, BC=d, CA=e, AB=f;

o le centre de la sphère inscrite, a′, b′, c′ ses coordonnées respectivement parallèles à a, b, c, le sommet D étant l’origine ;

g, h, k les perpendiculaires abaissées des sommets A, B, C sur les plans des faces opposées A, B, C,

Enfin, α, β, γ les angles que forment deux à deux les arêtes a, b, c.

En concevant le tétraèdre comme composé de quatre autres ayant leur sommet commun au point o, et ayant pour bases les quatre faces A, B, C, D du premier ; leur hauteur commune sera le rayon cherché r, et l’on aura conséquemment

T=(A+B+C+D).r/3 ;

d’où on tire

r=3T/(A+B+C+D).

Do est la diagonale d’un parallélipipède, dont les arêtes concourant en D sont égales à a′, b′, c′; et dans lequel les distances entre les faces opposées sont toutes égales à r. En conséquence, les triangles rectangles semblables donnent

a′=ar/g, b′=br/h, c′=cr/k.

Voilà donc les coordonnées du centre déterminées. On sait d’ailleurs que

Cos.α=(b²+c²+d²)/2bc, Cos.β=(c²+a²+e²)/2ca, Cos.γ=(a²+b²+f²)/2ab ;

T=1/6 abc√(1−Cos.²α−Cos.²β−Cos.²γ+2Cos.αCos.βCos.γ);

A=1/2 bcSin.α, B=1/2 caSin.β, C=1/2 abSin.γ;

D=1/4 √(2e²f²+2f²d²+2d²e²−d⁴−e⁴−f⁴);

g=3T/A, h=3T/B, k=3T/C ;

au moyen de quoi r, a′, b′, c′ peuvent, sans difficulté, être exprimés en fonction des six arêtes.

Les équations de Do sont

x/a′=y/b′=z/c′,

ou

gx/a=hy/b=kz/c,

ou

x/Aa=y/Bb=z/Cc,

ou enfin

x/Sin.α=y/Sin.β=z/Sin.γ.

### §. II.

Tout étant d’ailleurs comme ci-dessus, soient de plus O le centre et R le rayon de la sphère circonscrite en désignant par a″, b″, c″ les coordonnées du centre de cette sphère, respectivement parallèles aux arêtes a, b, c, son équation sera

(x−a″)²+2(y−b″)(z−c″)Cos.α+(y−b″)²+2(z−c″)(x−a″)Cos.β+(z−c″)²+2(x−a″)(y−b″)Cos.γ}=R².

Pour exprimer que cette sphère passe par les quatre sommets A, B, C, D, il faudra écrire que son équation est également satisfaite par chacun des quatre systèmes de valeurs

x=0, y=0, z=0, x=a, y=0, z=0, x=0, y=b, z=0, x=0, y=0, z=c.

Cela donne

a″²+b″²+c″²+2b″c″Cos.α+2c″a″Cos.β+2a″b″Cos.γ=R²,

(a−a″)²+b″²+c″²+2b″c″Cos.α−2c″(a−a″)Cos.β−2b″(a−a″)Cos.γ=R², a″²+(b−b″)²+c″²−2c″(b−b″)Cos.α+2c″a″Cos.β−2a″(b−b″)Cos.γ=R², a″²+b″²+(c−c″)²−2b″(c−c″)Cos.α−2a″(c−c″)Cos.β+2a″b″Cos.γ=R².}(6)

Retranchant l’équation (5) de chacune des équations (6), celles-ci deviendront, en divisant la première par a, la seconde par b et la troisième par c,

2a″+2c″Cos.β+2b″Cos.γ=a, 2b″+2a″Cos.γ+2c″Cos.α=b, 2c″+2b″Cos.α+2a″Cos.β=c.

En se rappelant que

1−Cos.²α−Cos.²β−Cos.²γ+2Cos.αCos.βCos.γ=36T²/a²b²c²,

on en tire

a″=a²b²c²/72T² {aSin.²α−b(Cos.γ−Cos.αCos.β)−c(Cos.β−Cos.γCos.α)}, b″=a²b²c²/72T² {bSin.²β−c(Cos.α−Cos.βCos.γ)−a(Cos.γ−Cos.αCos.β)}, c″=a²b²c²/72T² {cSin.²γ−a(Cos.β−Cos.γCos.α)−b(Cos.α−Cos.βCos.γ)},

substituant ces valeurs dans l’équation (5), et ayant toujours égard à l’équation (7), il viendra

R²=a²b²c²/144T² {a²Sin.²α−2bc(Cos.α−Cos.βCos.γ)+b²Sin.²β−2ca(Cos.β−Cos.γCos.α)+c²Sin.²γ−2ab(Cos.γ−Cos.αCos.β)}.

### §. III.

En représentant par D cette distance, et conservant d’ailleurs les mêmes dénominations que ci-dessus, on aura

D²={(a′−a″)²+2(b′−b″)(c′−c″)Cos.α+(b′−b″)²+2(c′−c″)(a′−a″)Cos.β+(c′−c″)²+2(a′−a″)(b′−b″)Cos.γ};

formule dans laquelle il n’est plus question que de substituer pour les coordonnées des deux centres les valeurs trouvées ci-dessus, et qui se simplifierait peut-être, en y introduisant les rayons R et r.

* ↑ Il serait sur-tout intéressant de savoir si D peut être exprimé uniquement en fonction de R et r. J. D. G.
