Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Géométrie analitique, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Géométrie analitique, article 1

## GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Soient a, b, c les trois demi-diamètres principaux d’un ellipsoïde, pris pour axe des coordonnées. Soient ensuite (x, y, z), (x′, y′, z′), (x″, y″, z″) les extrémités de trois autres demi-diamètres quelconques ; on aura

x²/a²+y²/b² +z²/c² =1, x′²/a²+y′²/b² +z′²/c² =1, x″²/a²+y″²/b² +z″²/c² =1, }(1)

Si l’on veut, en outre, que les nouveaux demi-diamètreS soient conjugués les uns aux autres, il faudra exprimer de plus que le plan tangent à l’extrémité de chacun est, à la fois, parallèle à chacun des deux autres ; ce qui donnera encore

x′x″/a²+y′y″/b² +z′z″/c² =0, x″x/a²+y″y/b² +z″z/c² =0, xx′/a²+yy′/b² +zz′/c² =0.}(2)

En posant, pour abréger,

x/a=X, y/b=Y, z/c=Z, x′/a=X′, y′/b=Y′, z′/c=Z′, x″/a=X″, y″/b=Y″, z″/c=Z″, }

ces équations deviendront

X²+Y²+Z²=1, X′²+Y′²+Z′²=1, X″²+Y″²+Z″²=1;}

x′x″+y′y″+z′z″=0, x″x+y″y+z″z=0, xx′+yy′+zz′=0.}

Or, il est connu, par la théorie de la transformation des coordonnées dans l’espace, que, lorsqu’on a de telles relations entre des quantités, on a aussi entre elles les relations suivantes

X²+X′²+X″²=1, Y²+Y′²+Y″²=1, Z²+Z′²+Z″²=1, }

(YZ′−ZY′)²+(Y′Z″−Z′Y″)²+(Y″Z−Z″Y)²=1, (ZX′−XZ′)²+(Z′X″−X′Z″)²+(Z″X−X″Z)²=1, (XY′−YX′)²+(Y′X″−X′Y″)²+(X″Y−Y″X)²=1;}

XY′Z″−XZ′Y″+ZX′Y″−YX′Z″+YZ′X″−ZY′X″=1.

En remettant, dans ces relations, les valeurs des symboles qu’elles renferment, données par les équations (3), et chassant les dénominateurs, il viendra

{x²+x′²+x″²=a², y²+y′²+y″²=b², z²+z′²+z″²=c², }

(yz′−zy′)²+(y′z″−z′y″)²+(y″z−z″y)²=b²c², (zx′−xz′)²+(z′x″−x′z″)²+(z″x−x″z)²=c²a², (xy′−yx′)²+(y′x″−x′y″)²+(x″y−y″x)²=a²b²;}

xy′z″−xz′y″+zx′y″−yx′z″+yz′x″−zy′x″=abc.

Si maintenant on désigne par a′, b′, c′ les trois demi-diamètres conjugués dont il s’agit, et par α, β, γ les angles qu’ils forment deux à deux respectivement ; il est aisé de voir qu’on aura

x²+y²+z²=a′², x′²+y′²+z′²=b′², x″²+y″²+z″²=c′²;}

(yz′−zy′)²+(zx′−xz′)²+(xy′−yx′)²=a′²b′²Sin.²γ, (y′z″−z′y″)²+(z′x″−x′z″)²+(x′y″−y′x″)²=b′²c′²Sin.²α, (y″z−z″y)²+(z″x−x″z)²+(x″y−y″x)²=c′²a′²Sin.²β;}(13)

xy′z″−xz′y″+zx′y″−yx′z″+yz′x″−zy′x″

=abc√(1−Cos.²α−Cos.²β−Cos.²γ+2Cos.αCos.βCos.γ).

a′²+b′²+c′²=a²+b²+c²,

b′²c′²Sin.²α+c′²a′²Sin.²β+a′²b′²Sin.²γ=b²c²+c²a²+a²b²,

a′²b′²c′²(1−Cos.²α−Cos.²β−Cos.²γ+2Cos.αCos.βCos.γ)

=a²b²c².

Ces relations sont connues ; mais je ne sache pas qu’on y soit parvenu jusqu’ici d’une manière si simple et si directe.

Le même procédé, qui peut être facilement appliqué à toutes les surfaces du second ordre qui ont un centre, s’applique avec la plus grande facilité aux courbes planes du même ordre.

* ↑ Voyez entre autres le tome 1.ᵉʳ du Traité de calcul différentiel et de calcul intégral de M. Lacroix ; page 450 de la 1.ʳᵉ édition, et page 528 de la 2.ᵉ
* ↑ Voyez la page 113 du 3.ᵉ volume de ce recueil.
