Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Trigonométrie, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Trigonométrie, article 1

## TRIGONOMÉTRIE.

### Sur l’aire du triangle sphérique ;

Tout le monde connaît le beau théorème de Cavalleri, sur l’aire du triangle sphérique, et on le trouve démontré très-simplement dans la plupart des traités élémentaires ; mais les jeunes-gens qui étudient le calcul différentiel ne seront peut-être pas fâchés d’en trouver ici la démonstration suivante, fondue sur les principes de ce calcul.

Soient a, b, c (fig. 2) les trois côtés d’un triangle sphérique A, B, C les trois angles respectivement opposés, et S son aire.

Si le côté c et l’angle B restant fixes, l’angle A vient à croitre de la quantité arbitraire i, de manière que le côté b devienne b′, que AC devienne AC′, et l’aire du triangle S′; on aura, par la Série de Taylor,

S′=S+d⁡S/d⁡A i/1+d²⁡S/d⁡A² i²/1.2+…,

b′=b+d⁡b/d⁡A i/1+d²⁡b/d⁡A² i²/1.2+…=b+Mi.

Du sommet A comme pôle, soient décrits, entre les côtés de l’angle i, les arcs de parallèles Cm, C′m′, et des points C et m′ soient abaissées sur le rayon OA de la sphère les perpendiculaires CD, m′D′; on pourra toujours prendre i assez petit, sans être nul, pour avoir

S′>S+C′Am′

S′<S+CAm;

mais, en prenant le rayon de la sphère pour unité, et remarquant que AD, AD′ sont respectivement les flèches des calotes dont les portions de fuseaux CAm et C′Am′ font partie, nous aurons

CAm=i(1−Cos.b),

C′Am′=i(1−Cos.b′)=i{1−Cos.bCos.Mi+Sin.bSin.Mi};

mais, on a d’ailleurs

Cos.Mi=1−M²i²/1.2+…Sin.Mi=Mi/1−M³i³/1.2.3 ;

d’où, l’on voit qu’en substituant, C′Am′ prendra cette forme

C′Am′=i(1−Cos.b+Ni).

Ainsi, en résumé, l’on aura

S′<S+(1−Cos.b) i/1,

S′=S+d⁡S/d⁡A i/1+d²⁡S/d⁡A² i²/1.2+…,

S′>S+(1−Cos.b) i/1+2N i²/1.2+…

d’où on conclura, par le Théorème d’Arbogast,

d⁡S/d⁡A=1−Cos.b.(1)

Présentement on a, par les formules connues

Cos.c=(Cos.C+Cos.ACos.B)/Sin.ASin.B,

ce qui donne, à cause de B et c constans et de C fonction de A

d⁡C/d⁡A Sin.CSin.A+(Cos.B+Cos.ACos.C)=0.

Mais, on a aussi

Cos.B+Cos.ACos.C=Sin.ASin.CCos.b;

donc, en substituant et divisant par Sin.C,

d⁡C/d⁡A+Cos.b=0;(2)

éliminant donc Cos.b entre cette équation et l’équation (1), il viendra

d⁡S=d⁡A+d⁡C,

d’où, en intégrant,

S=A+C+Const.

Pour déterminer la constante, on remarquera que, si l’on a A=ϖ, on aura C=B et S=2B ; d’où

Const.=B−ϖ,

et conséquemment

S=A+B+C−ϖ,

On aurait pu parvenir plus brièvement au but en employant le langage des infiniment petits. On aurait d’abord substitué d⁡A à i ; on aurait remarqué que d⁡S, c’est-à-dire, le triangle sphérique CAC′ étant infiniment petit, le triangle curviligne CC′m était infiniment petit du second ordre ; qu’ainsi l’on pouvait poser simplement

d⁡S=CAm=d⁡A(1−Cos.b);

mais, dans le petit triangle sphérique CAC′ où l’angle C est le supplément du même angle de BAC, on a

Cos.b=Cos.C′−Cos.d⁡ACos.C/Sin.d⁡ASin.C.

Or, on a Sin.d⁡A=d⁡A, Cos.d⁡A=1, et C′=C+d⁡C d’où Cos.C′ =Cos.CCos.d⁡C−Sin.CSin.d⁡C=Cos.C−d⁡CSin.C; donc enfin

Cos.b=−d⁡C/d⁡A,

ou, en substituant,

d⁡S=d⁡A+d⁡C,

comme ci-dessus.

