Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 09/Analise indéterminée, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 09/Analise indéterminée, article 1

## ANALISE INDÉTERMINÉE.

### Théorème sur les puissances des nombres ;

THÉORÈME. « Toute puissance aᵐ d’un nombre quelconque a est égale à la somme des termes d’une progression par différences ; dont le premier terme est 1, dont le nombre des termes est a, et dont la raison est égale à la somme des termes de la progression géométrique 2+2a+2a²+2a³+…2aᵐ⁻². »

Démonstration. Désignons par S la somme des termes de la progression arithmétique dont il s’agit, et par d la raison de cette progression ; puisque son premier terme est 1, et le nombre de ses termes a, son dernier terme sera 1+(a−1)d, d’où il suit qu’on aura

S=[1+(a−1)d] a/2 ;

mais, par hypothèse, on a

d=2a+2a²+…2aᵐ⁻²=2 aᵐ⁻¹−1/a−1,

donc

(a−1)d=2(aᵐ⁻¹−1);

ce qui donne, en substituant

S=aᵐ,

comme l’énonce le théorème.

Si m=2, on aura 2+2a+…2aᵐ⁻²=2, d’où

a²=1+3+5+7+…+(2a−1),

propriété connue.

Mais, si m=3, ce qui donne 2+2a+…2aᵐ⁻²=2(1+a); on aura

a³=1+(3+2a)+(5+4a)+(7+6a)+…+[(2a−1)+2(a−1)a];

propriété curieuse des nombres cubes, qu’il est d’ailleurs facile de vérifier immédiatement.

En faisant successivement a=1, 2, 3, 4, …, on a

1=1³=1, 8=2³=1+7, 27=3³=1+9+17, 64=4³=1+11+21+31, 125=5³=1+13+25+37+49, 216=6³=1+15+29+43+57+71, 343=7³=1+17+33+49+65+91+107, …………………………………………

Chacun de ces cubes forme donc une progression arithmétique dont le premier terme est l’unité, dont le nombre des termes est la racine du cube, et dont la raison est double de cette racine augmentée d’une unité.

