Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Analise transcendante, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Analise transcendante, article 2

### Autre solution du même problème ;

Soit Z une fonction de x dont la différentielle soit Z′d⁡x, et la différentielle seconde Z″d⁡x² ; soit fait

y=e^{−∫Xd⁡x}.Z′/Z ;

nous en conclurons

y²=e^{−2∫Xd⁡x}.Z′²/Z², d⁡y=e^{−∫Xd⁡x}.d⁡x.ZZ″−Z′²−XZZ′/Z² ;

valeurs qui, étant substituées dans la proposée

d⁡y+y²e^{∫Xd⁡x}.d⁡x−X′d⁡xe^{−∫Xd⁡x}=0,

la réduiront à

Z″−XZ′−ZX′=0

d.(Z′−XZ)=0,

dont l’intégrale est

Z′−XZ=a

celle-ci, multipliée par e^{−∫Xd⁡x}, revient à

d⁡Ze^{−∫Xd⁡x}=d.a∫e^{−∫Xd⁡x}.d.x

dont l’intégrale est

Ze^{−∫Xd⁡x}=a∫e^{−∫Xd⁡x}.d.x+b.

On tire de là

Z=e^{∫Xd⁡x}{b+a∫e^{−∫Xd⁡x}.d.x},

Z′=Xe^{∫Xd⁡x}{b+a∫e^{−∫Xd⁡x}.d.x}+a;

d’où

Z′/Z=X+ae^{−∫Xd⁡x}/(b+a∫e^{−∫Xd⁡x}.d.x) ;

subtituant enfin cette valeur dans la valeur (1) de y, et posant b=−Aa, il viendra

y=e^{−∫Xd⁡x}{X−e^{−∫Xd⁡x}/A−∫e^{−∫Xd⁡x}.d.x }.

