Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Trigonométrie, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Trigonométrie, article 1

## TRIGONOMÉTRIE.

Soient m et n deux nombres entiers positifs quelconques, et soient p et P respectivement les périmètres des polygones réguliers de 2ᵐn côtés inscrit et circonscrit au cercle dont le rayon est l’unité, et dont conséquemment la circonférence est 2ϖ ; on aura évidemment.

p=2.ᵐ⁺¹nSin.ϖ/2.ᵐn, P=2.ᵐ⁺¹nTang.ϖ/2.ᵐn=2.ᵐ⁺¹n Sin.ϖ/2.ᵐn /Cos.ϖ/2.ᵐn ;

P−p=2.ᵐ⁺¹nTang.ϖ/2.ᵐn−Sin.ϖ/2.ᵐn .

Mais on sait que, x étant un arc quelconque ; on a

Sin.x=2Cos.x/2 Sin.x/2 =4Cos.x/2 Cos.x/4 Sin.x/4 =8Cos.x/2 Cos.x/4 Cos.x/8 Sin.x/8 =…………………=2ᵐCos.x/2 Cos.x/4 Cos.x/8 Cos.x/16 …Cos.x/2ᵐ Sin.x/2ᵐ ;

D’où

2ᵐSin.x/2ᵐ=Sin.x/Cos.x/2 Cos.x/4 Cos.x/8 …Cos.x/2ᵐ ;

En faisant dans cette formule x=ϖ/n, elle deviendra

2ᵐSin.ϖ/2ᵐn=Sin.ϖ/n /Cos.ϖ/2n Cos.ϖ/4n Cos.ϖ/8n …Cos.ϖ/2ᵐn ;

valeur qui, substituée dans celles de p et P, les change en celles-ci

p=2nSin.ϖ/n /Cos.ϖ/2n Cos.ϖ/4n Cos.ϖ/8n …Cos.ϖ/2ᵐ.n ,

P=2nSin.ϖ/n /Cos.ϖ/2n Cos.ϖ/4n Cos.ϖ/8n …Cos.² ϖ/2ᵐ.n ,

Et tels sont les périmètres des deux polygones dont il s’agit ; on voit que leurs expressions ne diffèrent que par le facteur Cos.ϖ/2ᵐ.n qui n’est qu’à la première puissance dans le dénominateur de la première, tandis qu’il se trouve au quarré dans le dénominateur de la seconde.

On a évidemment 2ϖ>p et 2ϖ<P ; on aura donc aussi

ϖ> nSin.π/n /Cos.ϖ/2n Cos.ϖ/4n Cos.ϖ/8n …Cos.π/2ᵐ.n ,

ϖ< nSin.π/n /Cos.π/2n Cos.π/4n Cos.π/8n …Cos.² π/2ᵐ.n ,

Voila donc deux limites de la valeur du nombre ϖ ; limites d’autant plus resserrées, toutes choses égales d’ailleurs, que m sera plus grand. En prenant l’une ou l’autre pour valeur approchée de ϖ, la limite de l’erreur sera

2ᵐ.n{Tang.π/2ᵐ.n−Sin.π/2ᵐ.n }.

Si donc on suppose m=∞, on aura exactement, quel que soit n

ϖ=nSin.π/n /Cos.π/2n Cos.π/4n Cos.π/8n Cos.π/16n …1,

le nombre des facteurs du dénominateur devant être infini, et conséquemment le dernier étant l’unité.

On sait que, x étant un arc quelconque, on a

Cos.1/2 x= 1/2 √(2+2Cos.x), Cos.1/4 x= 1/2 √(2+√(2+2Cos.x)), Cos.1/8 x= 1/2 √(2+√(2+√(2+2Cos.x))), ……………………

d’où il résulte, pour l’équation (5), cette autre forme

ϖ=nSin.ϖ/n /(1/2 √(2+2Cos.ϖ/n).1/2 √(2+√(2+2Cos.ϖ/n)).1/2 √(2+√(2+√(2+2Cos.ϖ/n)))…1) ;

Ainsi, toutes les fois que n sera l’un des nombres dans lesquels la circonférence peut être géométriquement divisée, c’est-à-dire, quelqu’un des nombres de la suite 2, 3, 5, 17, 257,…, l’expression de ϖ sera entièrement algébrique.

n=2,

Sin.ϖ/n=Sin.ϖ/2=1,

Cos.ϖ/n=Cos.ϖ/2=0,

ϖ=2/(1/2 √2.1/2 √(2+√2).1/2 √(2+√(2+√2)).1/2 √(2+√(2+√(2+√2)))…1)

Si, par exemple, on suppose n=3, d’où Sin.π/n=Sin.π/3=1/2 √3, et Cos.ϖ/n=Cos.ϖ/3=1/2, il viendra

ϖ= 1/2 √3/(1/2 √3.1/2 √(2+√3).1/2 √(2+√(2+√3)).1/2 √(2+√(2+√(2+√3)))…1)

et ainsi de suite.

Ces diverses expressions semblent propres à mettre en évidence l’incommensurabilité du nombre ϖ et de toutes les puissances de ce nombre.

