Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 08/Géométrie transcendante, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 08/Géométrie transcendante, article 2

### Solution du problème de géométrie proposé à la page 140 de ce volume ;

Problème. À quelle courbe appartient une suite indéfinie de points tellement situés sur un même plan ; 1.ᵒ que leurs ordonnées sont équidistantes ; 2.ᵒ que la droite menée de l’origine à chacun d’eux, et prolongée au-delà, retranche de l’ordonnée de celui qui le suit immédiatement, à sa partie supérieure, une longueur constante ?

Solution. Soit a la distance constante entre les ordonnées consécutives ; et soit b la longueur, aussi constante, retranchée à chacune, à sa partie supérieure, par le prolongement de la droite menée de l’origine au point qui précède immédiatement celui auquel cette ordonnée appartient.

Concevons que, à partir de l’un quelconque, ces points aient été consécutivement numérotés 1, 2, 3, …z−1, z; soient P_{ζ−1}, P_{ζ}, ceux d’entre eux qui occupent respectivement les rangs z−1 et z; soient x_{ζ−1}, y_{ζ−1}, les coordonnées du premier ; soient x_{ζ}, y_{ζ}, les coordonnées du second, l’équation de la droite menée de l’origine au point P_{ζ−1} sera

y=y_{ζ−1}/x_{ζ−1} x;

en conséquence, la partie de l’ordonnée de P_{ζ} interceptée entre cette droite et l’axe des x sera

y_{ζ−1}/x_{ζ−1} x_{ζ};

il faudra donc que cette longueur, augmentée de b, soit égale à l’ordonnée de P_{ζ}; c’est-à-dire qu’on aura

y_{ζ−1}/x_{ζ−1} x_{ζ}+b=y_{ζ};

c’est-à-dire,

y_{ζ}x_{ζ−1}−x_{ζ}y_{ζ−1}=bx_{ζ−1};

mais si l’on appelle A l’abscisse arbitraire du point P₀, on aura

x_{ζ−1}=A+(z−1)a, x_{ζ}=A+za;

substituant donc ces valeurs dans l’équation (1) ; elle deviendra

[A+(z−1)a]y_{ζ}−[A+za]y_{ζ−1}=b[A+(z−1)a];

équations aux différences du premier ordre et du premier degré.

L’intégrale de cette équation est, en désignant par B l’ordonnée qui répond à l’abscisse A

y=(A+za){ B/A+b[ 1/(A+za)+1/(A+(z−1)a)+1/(A+(z−2)a)+…+1/(A+a) ]}

mais on a, A+za=x; substituant donc, il viendra

y=x{ B/A+b( 1/x+1/x−a+1/x−2a+…+1/(A+a) )}.

Si l’on suppose A=a et B=b, cette équation deviendra

y=bx( 1/a+1/2a+1/3a+…+1/x ).

Un géomètre nous a adressé une solution pour le cas où la distance constante entre les ordonnées étant infiniment petite et égale à d⁡x, la longueur b serait aussi infiniment petite et égale à λd⁡x. On a dans ce cas

y(x−d⁡x)−x(y−d⁡y)=λd⁡x(x−dx);

ou en réduisant

xd⁡y−yd⁡x=λxd⁡x;

ou encore

xd⁡y−yd⁡x/x²=d⁡(y/x)=λ d⁡x/x=λd.Log.x;

d’où

y/x=λLog.Cx,

ou encore

y=λxLog.Cx.

Si l’on veut que la courbe passe par le point (A, B), on aura

B=λALog.CA;

ce qui donne

C=λᴬ√(eᴮ)/A ;

donc

y=λxLog.x/A λᴬ√(eᴮ),

ou bien

y=λx{Log.x/A+B/λa }.

