Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Géométrie élémentaire, article 3
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Géométrie élémentaire, article 3

## GÉOMÉTRIE.

Il a été fait mention, dans le IV.ᵉ volume de ce recueil (pages 70 et 133) d’une communication faite par M. Legendre à feu M. Français, au sujet de la nouvelle théorie des imaginaires de M. Argand, Ce qu’on va lire est la substance d’une réponse à cette communication, datée de La Fère, 7 novembre 1806. M. Français mande à M. Legendre qu’il était, dès l’an X, en possession des théorèmes que sa lettre renferme, qu’il en supprime les démonstrations, pour éviter les longueurs ; mais qu’il pense qu’elles doivent se rattacher facilement à la nouvelle théorie. Il termine ainsi :

« Je suis intimement persuadé que la Géométrie de position va enfin voir le jour. Depuis Leibnitz, plus d’un siècle elle fut annoncée, aux savans. C’en est fait, je crois, elle va naître ou elle est née : gloire à son-auteur ».

Nous aurions pu tenter de donner les démonstrations de ces théorèmes ; nous avons pensé qu’il était plus convenable de laisser au lecteur le plaisir de les découvrir.

Dans tout ce qui va suivre, nous représenterons constamment par S₁, S₂, S₃, … les sommets d’un polygone régulier ; C sera son centre ; r, r′ seront respectivement les rayons des cercles circonscrit et inscrit ; P sera un point placé à une distance a du centre, et dont nous indiquerons la situation dans chaque cas ; m et n seront des nombres abstraits, entiers et positifs ; et ϖ sera la demi-circonférence du cercle dont le rayon =1. Nous ferons connaître las autres notations à mesure qu’elles nous seront nécessaires.

THÉORÈME I. Dans tout polygone régulier de m côtés, où le point P est quelconque ; n étant <m ; on a

PS¯₁²ⁿ+PS¯₂²ⁿ+PS¯₃²ⁿ+…+PS¯ₘ²ⁿ=m/ϖ ∫(a²−2arCos.β+r²)ⁿ.d⁡β;

l’intégrale étant prise, dans le second membre, depuis β=0 jusqu’à β=ϖ.

Corollaire I. P et P′ étant deux quelconques des points de la circonférence d’un cercle concentrique à notre polygone, et n étant toujours <m ; on a

PS¯₁²ⁿ+PS¯₂²ⁿ+…+PS¯ₘ²ⁿ=P′S¯₁²ⁿ+P′S¯₂²ⁿ+…+P′S¯ₘ²ⁿ.

Corollaire II. Deux polygones réguliers S₁S₂S₃…SₘS₁′S₂′S₃′…Sₘ′ étant inscrits au même cercle ; si l’on a n<m et n′<m; on aura, P étant quelconque

(PS¯₁²ⁿ+PS¯₂²ⁿ+PS¯₃²ⁿ+…+PS¯ₘ²ⁿ)/(P′S¯₁²ⁿ+P′S¯₂²ⁿ++P′S¯₃²ⁿ…+P′S¯ₘ²ⁿ)=n/n′.

Corollaire III. P étant toujours quelconque ; soit mené au cercle circonscrit le rayon CD, perpendiculaire à CP, et soient joints PD; on aura

PS¯₁²ⁿ+PS¯₂²ⁿ+PS¯₃²ⁿ+…+PS¯ₘ²ⁿ=m.PD¯².

Corollaire IV. P étant un quelconque des points de la circonférence du cercle circonscrit au polygone, et n étant toujours <m; on a

PS¯₁²ⁿ+PS¯₂²ⁿ+PS¯₃²ⁿ+…+PS¯ₘ²ⁿ=1.3.5.7…(2n−1)/2.4.6.8…2n.m(2r)²ⁿ.

Corollaire V. P étant encore quelconque sur la circonférence de cercle circonscrit, et 2m étant le nombre des côtés du polygone ; en supposant toujours n<m ; on aura

PS¯₁²ⁿ+PS¯₃²ⁿ+PS¯₅²ⁿ+…+PS¯₂ₘ₋₁²ⁿ

=PS¯₂²ⁿ+PS¯₄²ⁿ+PS¯₆²ⁿ+…+PS¯₂ₘ²ⁿ.

THÉORÈME II. P étant toujours quelconque, sur la circonférence du cercle circonscrit, et le nombre des côtés du polygone étant 2m+1, quel que soit le rapport de m à n ; on aura

PS¯₁⁽²ⁿ⁺¹⁾+PS¯₃⁽²ⁿ⁺¹⁾+PS¯₅⁽²ⁿ⁺¹⁾+…+PS¯₂ₘ₋₁⁽²ⁿ⁺¹⁾=PS¯₂⁽²ⁿ⁺¹⁾+PS¯₄⁽²ⁿ⁺¹⁾+PS¯₆⁽²ⁿ⁺¹⁾+…+PS¯₂ₘ⁽²ⁿ⁺¹⁾.

THÉORÈME III. Deux polygones réguliers S₁S₂S₃…S₂ₘ₊₁ et S₁′S₂′S₃′…S₂ₘ₊₁′ de 2m+1 et 2m−1 côtés étant inscrits au même cercle ; et P, P′ étant deux quelconques des points de la circonférence de ce cercle ; PQ étant la corde qui divise l’angle SₘPSₘ₊₁ en deux parties égales, si l’on a 2n<2m−1, on aura

{PS¯₁²ⁿ+PS¯₂²ⁿ+…+PS¯₂ₘ²ⁿ}−{P′S′¯₁²ⁿ+P′S′¯₂²ⁿ+…+P′S₂ₙ₋₁′}

=PQ¯²ⁿ.

THÉORÈME IV. Deux polygones réguliers S₁S₂S₃…S₂ₘ et S₁′S₂′S₃′…S₂ₘ₋₂′ de 2m et 2m−2 côtés étant inscrits au même cercle ; et deux points P, P′ étant pris quelconques sur la circonférence de ce cercle ; en supposant n<2m−1, on aura

{PS¯₁²ⁿ+PS¯₂²ⁿ+…+PS¯₂ₘ²ⁿ}−{P′S′¯₁²ⁿ+P′S′¯₂²ⁿ+…+P′S′¯₂ₘ₋₂²ⁿ}

=PS¯ₘ²ⁿ+PS¯₂ₘ²ⁿ.

THÉORÈME V. Le point P étant quelconque, et m étant le nombre des côtés du polygone ; soit AB le diamètre du cercle circonscrit passant par P ; soit pris, sur la circonférence de ce cercle, à partir du point A, un arc AE=m.AS₁, ; si de plus on prend, sur ce diamètre AB, ou sur son prolongement ; un point F tel que l’on ait CF=aᵐ/rᵐ⁻¹, et si enfin on joint EF, on aura

PS₁.PS₂.PS₃…PSₘ=EF.rᵐ⁻¹.

Corollaire I. Le point P étant pris arbitrairement sur la direction de CS₁, et le nombre des côtés du polygone étant toujours =m; on aura

PS₁.PS₂.PS₃…PSₘ=±(rⁿ−aⁿ);

suivant que le point P sera intérieur ou extérieur au polygone.

Corollaire II. Le point P étant quelconque, sur la circonférence du cercle circonscrit, et m étant le nombre des côtés du polygones ; si l’on prend, à partir de P, l’arc PS₁G=m.PS₁, et qu’on mène la corde PG; on aura

PS₁.PS₂.PS₃…PSₘ=PG.rᵐ⁻¹.

THÉORÈME VI. Tout étant ici comme dans le Théor. V, si ce n’est que le nombre des côtés du polygone est supposé =2m; si l’on prend, sur la direction du diamètre AB, un point F′, aussi éloigné du centre que l’est le point F, mais du côté opposé ; en joignant F′E, an aura

PS₁.PS₃.PS₅…PS₂ₘ₋₁=EF.rᵐ⁻¹, PS₂.PS₄.PS₆…PS₂ₘ=EF′.rᵐ⁻¹;

les points F, F′ étant tels que CF=CF′=aᵐ/rᵐ⁻¹ ; et le point E étant tel que l’arc AS₁E=m.AS₁.

Corollaire I. Deux points P, P′ étant quelconques, sur la circonférence d’un cercle concentrique à un polygone régulier de 2m côtés ; on a

{PS₁.PS₃…PS₂ₘ₋₁}²+{PS₂.PS₄…PS₂ₘ}²

={P′S₁.P′S₃…P′S₂ₘ₋₁}²+{P′S₂.P′S₄…P′S₂ₘ}².

Corollaire II. Le point P étant quelconque, sur la direction de CS₁; suivant que ce point sera extérieur ou intérieur au polygone, supposé de 2m côtés, on aura

PS₁.PS₃.PS₅…PS₂ₘ₋₁=±{CP¯ᵐ−CS¯₁ᵐ}.

On aura aussi, quel que soit P sur CS₁,

PS₂.PS₄.PS₆…PS₂ₘ=CP¯ᵐ+CS¯₁ᵐ.

Corollaire III. P et P′ étant quelconques sur la direction de CS, et 2m étant toujours le nombre des côtés du polygone ; on aura

PS₂.PS₄…PS₂ₘ±PS₁.PS₃…PS₂ₘ₋₁

=P′S₂.P′S₄…P′S₂ₘ±P′S₁.P′S₃…P′S₂ₘ₋₁,

les signes supérieurs devant être pris dans les deux membres, si P et P′ sont intérieurs au polygone ; les signes inférieurs, s’ils lui sont tous deux extérieurs ; enfin le signe inférieur du premier membre devant être pris avec le signe supérieur du second, si P est extérieur et P′ intérieur.

Corollaire IV. Deux polygones réguliers de 2m côtés étant concentriques, et ayant leurs côtés respectivement parallèles ; et P étant quelconque sur la direction CS₁′S₁; on aura

PS₂.PS₄…PS₂ₘ±PS₁.PS₃…PS₂ₘ₋₁

=PS₂′.PS₄′…PS′₂ₘ±PS₁′.PS₃′…PS′₂ₘ₋₁;

Les signes supérieurs devant être pris, dans les deux membres, si le point P est extérieur aux deux polygones ; les inférieurs, s’il est intérieur à tous deux ; enfin, le signe supérieur du premier membre devant être pris avec l’inférieur du second si le point P est situé entre les deux polygones.

Dans tout ce qui va suivre H₁, H₂, H₃, … seront les pieds des perpendiculaires abaissées du point P sur les directions des côtés S₁S₂, S₂S₃, S₃S₄… respectivement ; T₁, T₂, T₃, … seront les points de contact des mêmes côtés avec le cercle inscrit.

THÉORÈME VII. Le point P étant quelconque, et le nombre des côtés du polygone étant m>n ; on a

PH¯₁ⁿ+PH¯₂ⁿ+PH¯₃ⁿ+…+PH¯ₘⁿ=m/ϖ ∫(r′−aCos.β)ⁿ.d⁡β;

l’intégrale étant prise entre β=0 et β=ϖ.

Corollaire I. P et P′ étant deux points quelconques d’une circonférence concentrique à un polygone régulier, dont le nombre des côtés est m>n; on a

PH¯₁ⁿ+PH¯₂ⁿ+PH¯₃ⁿ+…+PH¯ₘⁿ=P′H¯₁ⁿ+P′H¯₂ⁿ+P′H¯₃ⁿ+…+P′H¯ₘⁿ.

Corollaire II. Le point P étant toujours quelconque, et m, m′ étant les nombres de côtés de deux polygones réguliers circonscrits au même cercle ; on aura

(PH¯₁ⁿ+PH¯₂ⁿ+PH¯₃ⁿ+…+PH¯ₘⁿ)/(PH′¯₁ⁿ+PH′¯₂ⁿ+PH′¯₃ⁿ+…+PH′¯_{m′}ⁿ)=m/m′.

Corollaire III. Quel que soit le point P et le nombre m des côtés d’un polygone régulier ; on a

PH¯₁+PH¯₂+PH¯₃+…+PH¯ₘ=mr′.

Corollaire IV. P étant quelconque sur la circonférence du cercle inscrit et le nombre des côtés du polygone étant toujours m>n; on a

PH¯₁ⁿ+PH¯₂ⁿ+PH¯₃ⁿ+…+PH¯ₘⁿ=1.3.5.7…(2n−1)/1.2.3.4…2n.mr′ⁿ.

Corollaire V. P étant toujours sur la circonférence du cercle inscrit, et le nombre des côtés du polygone étant encore m>n; on aura

(PT¯₁²n+PT¯₂²n+PT¯₃²n+…+PT¯ₘ²n)/(PH¯₁ⁿ+PH¯₂ⁿ+PH¯₃ⁿ+…+PH¯ₘⁿ)=(2r′)ⁿ.

Corollaire VI. Tout étant comme dans le précédent corollaire, on aura encore

PH¯₁ⁿ+PH¯₂ⁿ+PH¯₃ⁿ+…+PH¯ₘⁿ=mrⁿ/ϖ ∫(Cos.ϖ/m−Cos.β)ᵐ.d⁡β;

r étant le rayon du cercle circonscrit, et l’intégrale devant être prise entre β=0 et β=ϖ.

THÉORÈME. VIII. P étant quelconque, et m étant le nombre des côtés du polygone ; en posant l’angle PCT₁=α, on aura

PH₁.PH₂.PH₃…PHₘ=

( 1/2 a)ᵐ{((√(1+a/r′)−√(1−a/r′))/(√(1+a/r′)+√(1−a/r′)))ᵐ+((√(1+a/r′)+√(1−a/r′))/(√(1+a/r′)−√(1−a/r′)))ᵐ−2Cos⁡.2mα}

Corollaire I. Si, par un point P extérieur à un polygone régulier de m côtés on mène au cercle inscrit une tangente PT, le touchant en T; en posant l’angle CPT=2β, et conservant à α sa précédente valeur ; on aura

PH₁.PH₂.PH₃…PHₘ=4( 1/2 a)ᵐSin.m(α−β)Sin.m(α+β).

Corollaire II. Si le point P est au contraire intérieur au polygone ; en élevant à CP en P une perpendiculaire PK, terminée en K à la circonférence du cercle inscrit, menant le rayon CK et posant l’angle PCK=2β; on aura

PH₁.PH₂.PH₃…PHₘ

=( 1/2 a)ᵐ{Tang.ᵐ(1/4 ϖ−β)+Cot.ᵐ(1/4 ϖ−β)−2Cos⁡.2mα}

Corollaire III. P étant sur la circonférence du cercle inscrit ; on a

PH₁.PH₂.PH₃…PHₘ=4( 1/2 r′)ᵐSin.²mα.

Corollaire IV. Si, au contraire, P est sur la circonférence du cercle circonscrit ; on aura

PH₁.PH₂.PH₃…PHₘ=−4( 1/2 r)ᵐCos.²mα.

Corollaire V. Deux polygones réguliers de m côtés étant l’un S₁S₂S₃…Sₘ circonscrit et l’autre S₁′S₂′S₃′…Sₘ′ inscrit à un même cercle ; d’un rayon r, de telle manière que leurs côtés soient respectivement parallèles ; et P étant un point quelconque de la circonférence ; on a, abstraction faite des signes des perpendiculaires,

PH₁.PH₂.PH₃…PHₘ+PH₁′.PH₂′.PH₃′…PHₘ′=4( 1/2 r)ᵐ.

Corollaire VI. Si, au contraire, les sommets de l’inscrit répondent aux milieux des côtés du circonscrit ; on aura, en faisant toujours abstraction des signes des perpendiculaires,

PH₁.PH₂.PH₃…PHₘ=PH₁′.PH₂′.PH₃′…PHₘ′.

Corollaire VII. Le point P étant sur la circonférence du cercle circonscrit à un polygone régulier de m côtés ; on aura

(PS₁.PS₂.PS₃…PSₘ)²/PH₁.PH₂.PH₃…PHₘ=−(2r)ᵐ.

THÉORÈME IX. Les côtés d’un polygone régulier de m côtés étant prolongés jusqu’à la rencontre d’une transversale quelconque en L₁, L₂, L₃, …Lₘ et la perpendiculaire CP abaissée du centre du polygone sur cette droite étant supposée =a; en désignant toujours par 2α l’angle T′CP formé par CP avec le rayon CT′=r′ du cercle inscrit qui se termine au milieu T′ du premier côté S₁S₂; on aura, si m est impair,

PL₁.PL₂.PL₃…PLₘ=

(1/2)ᵐ/Sin⁡.2mα {(√(r′+a)+√(r′−a))²ᵐ+(√(r′+a)−√(r′−a))²ᵐ−2(2a)ᵐCos⁡.2mα};

et, si m est pair,

PL₁.PL₂.PL₃…PLₘ=

(1/2)ᵐ/(2Sin.mα)² {(√(r′+a)+√(r′−a))²ᵐ+(√(r′+a)−√(r′−a))²ᵐ−2(2a)ᵐCos⁡.2mα};

abstraction faîte des signes.

Corollaire I. Si la transversale est tangente au cercle inscrit ; et si, ayant pris l’arc PT′E=m.PT′, on mène par E une tangente EL, rencontrant la transversale en L; en faisant toujours abstraction des signes, on aura, si m est pair,

PL₁.PL₂.PL₃…PLₘ=r′ᵐ;

et si m est impair,

PL₁.PL₂.PL₃…PLₘ=PL.r′ᵐ⁻¹.

Corollaire II. Si la transversale est tangente au cercle circonscrit en P; en prenant, à partir de P, l’arc PS₁E=mPS₁, menant au cercle, par E, la tangente EL, rencontrant la transversale en L on aura, toujours abstraction faite des signes, si m est impair ;

PL₁.PL₂.PL₃…PLₘ=PL.rᵐ⁻¹;

et si m est pair,

PL₁.PL₂.PL₃…PLₘ=EL¯².rᵐ⁻².

Corollaire III. Enfin, la transversale étant supposée passer par le centre du polygone ; si par l’un M des points où cette droite coupe le cercle inscrit, on mène à ce cercle une tangente perpendiculaire à la transversale ; et si, après avoir mené le rayon CA, parallèle à cette tangente, et pris l’arc AT′E=m.AT′=m( 1/2 ϖ−MT′), on mène le rayon CFN par le milieu F de l’arc AT′E, et prolongé jusqu’à la rencontre de la tangente en N; on aura ; en faisant encore abstraction des signes, si m est impair,

PL₁.PL₂.PL₃…PLₘ=CN.(2r′)ⁿ⁻¹;

et, si m est pair,

PL₁.PL₂.PL₃…PLₘ=CN¯².(2r′)ⁿ⁻¹.

* ↑ Il serait curieux de rechercher si les polygones étoiles de M. Poinsot, ou même ceux qui ont été considérés par M. Argand, à la page 189 de ce volume, ne jouissant pas de quelques propriétés analogues ; en supposant toutefois, pour ces derniers, ou que leurs sommets sont uniformément distribués sur une circonférence de cercle, ou que leurs côtés sont tangens à un même cercle, et ont leurs points de contact avec lui uniformément distribués sur la circonférence. J. D. G.
