Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Analise transcendante, article 5
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Analise transcendante, article 5

## ANALISE TRANSCENDANTE.

### Recherches d’analise, relatives au développement des fonctions ;

Soit l’équation

x=f⁡(a, b, c),

et soient U, V des fonctions entièrement arbitraires de x sans a, b; on aura

d⁡U/d⁡a=d⁡U/d⁡x d⁡x/d⁡a, d⁡U/d⁡b=d⁡U/d⁡x d⁡x/d⁡b ;}(1) d⁡V/d⁡a=d⁡V/d⁡x d⁡x/d⁡a, d⁡V/d⁡b=d⁡V/d⁡x d⁡x/d⁡b ;}(2)

les équations des deux couples donnent, par division,

d⁡x/d⁡a / d⁡x/d⁡b = d⁡U/d⁡x / d⁡U/d⁡b , d⁡x/d⁡a / d⁡x/d⁡b = d⁡V/d⁡a / d⁡V/d⁡b ,

et en égalant ces deux valeurs

d⁡U/d⁡a d⁡V/d⁡b=d⁡U/d⁡b d⁡V/d⁡a.(3)

L’on a encore

d.V d⁡U/d⁡a /d⁡b=V d²⁡U/d⁡bd⁡a+d⁡V/d⁡b d⁡U/d⁡a,

d.V d⁡U/d⁡b /d⁡a=V d²⁡U/d⁡ad⁡b+d⁡V/d⁡a d⁡U/d⁡b ;

mais, en vertu de l’équation (3),

V d²⁡U/d⁡ad⁡b=V d²⁡U/d⁡bd⁡a,

d⁡V/d⁡b d⁡U/d⁡a=d⁡V/d⁡a d⁡U/d⁡b ;

donc finalement

d.V d⁡U/d⁡a /d⁡b=d.V d⁡U/d⁡b /d⁡a ;

et l’on aurait semblablement

d.U d⁡V/d⁡a /d⁡b=d.U d⁡V/d⁡b /d⁡a.

Si l’on avait

x=f⁡(a, b, x, x′), x₁=f₁⁡(a₁, b₁, x, x₁);

et que U, V fussent des fonctions quelconques de x, x₁, sans a, b, a₁, b₁, on trouverait, comme dans ce qui précède,

d⁡U/d⁡a d⁡V/d⁡b=d⁡U/d⁡b d⁡V/d⁡a d⁡U/d⁡a′ d⁡V/d⁡b′=d⁡U/d⁡b′ d⁡V/d⁡a′ }

d’où on déduirait

d.V d⁡U/d⁡a /d⁡b=d.V d⁡U/d⁡b /d⁡a d.V d⁡U/d⁡a′ /d⁡b′=d.V d⁡U/d⁡b′ /d⁡a′ }

et aussi

d.U d⁡V/d⁡a /d⁡b=d.U d⁡V/d⁡b /d⁡a, d.U d⁡V/d⁡a′ /d⁡b′=d.U d⁡V/d⁡b′ /d⁡a′.

Les équations (4, 6) peuvent être utilement employées au développement de certaines fonctions. Soit, par exemple, U à développer suivant les puissances de b, lorsque x est donnée par l’équation

x=f⁡(a+bz);

z désignant une fonction quelconque de x sans a ni b. Nous déduirons d’abord de l’équation (7)

d⁡x/d⁡a=(1+b d⁡z/d⁡x d⁡x/d⁡a )f′⁡(a+bz);

f′ désignant ici la fonction prime de f, cela donnera

d⁡x/d⁡a=(f′⁡(a+bz))/(1−b d⁡z/d⁡x f′⁡(a+bz)) ;

on trouverait de la même manière

d⁡x/d⁡b=(zf′⁡(a+bz))/(1−b d⁡z/d⁡x f′⁡(a+bz)).

La comparaison de ces deux valeurs donne

d⁡x/d⁡b=z d⁡x/d⁡a ;

comparant ensuite ce résultat avec les équations (1), il viendra

d⁡U/d⁡b=z d⁡U/d⁡a ;

ce qui fera devenir l’équation (4)

d.V d⁡U/d⁡a /d⁡b=d.zV d⁡U/d⁡a /d⁡a ;

changeant ensuite V en z″, on aura, pour ce cas particulier,

d.zⁿ d⁡U/d⁡a /d⁡b=(d.zⁿ⁺¹ d⁡U/d⁡a)/d⁡a.

L’équation (8) donnera donc, en vertu de cette dernière,

d²⁡U/d⁡b²=d.z d⁡U/d⁡a /d⁡b=d.z² d⁡U/d⁡a /d⁡a

d’où, on conclura, de la même manière,

d³⁡U/d⁡b³=d².z² d⁡U/d⁡a /d⁡ad⁡b=d².z³ d⁡U/d⁡a /d⁡a² ;

et de celle-là

d⁴⁡U/d⁡b⁴=d³.z³ d⁡U/d⁡a /d⁡a²d⁡b=d³.z⁴ d⁡U/d⁡a /d⁡a³ ;

et ainsi de suite ; de manière qu’on aura, en général

dᵐ⁡U/d⁡bᵐ=dᵐ⁻¹.zᵐ d⁡U/d⁡a /d⁡aᵐ⁻¹.

Une fois parvenu à la formule (11), le développement de U, suivant les puissances de b ne présente plus de difficulté.

Soit encore

x=f⁡(a+bz);x₁=f₁⁡(a₁+b₁z₁);

z, z₁ étant des fonctions quelconques de x, x₁ sans a, b, a₁, b₁. On trouvera, par la différentiation,

d⁡x/d⁡a=(1+b d⁡z/d⁡x d⁡x/d⁡a+b d⁡z/d⁡x₁ d⁡x₁/d⁡a )f′⁡(a+bz), d⁡x₁/d⁡a=(b₁ d⁡z₁/d⁡x d⁡x/d⁡a+b₁ d⁡z₁/d⁡x₁ d⁡x₁/d⁡a )f₁′⁡(a₁+b₁z₁).

En posant, pour abréger,

k=(b₁ d⁡z₁/d⁡x f₁′⁡(a₁+b₁z₁))/(1−b₁ d⁡z₁/d⁡x₁ f₁′⁡(a₁+b₁z₁)),

la dernière de ces équations donne

d⁡x₁/d⁡a=k d⁡x/d⁡a ;

d’où on conclut, au moyen de la première,

d⁡x/d⁡a=(f′⁡(a+bz))/(1−b( d⁡z/d⁡x+k d⁡z/d⁡x₁ )f′⁡(a+bz)).

On trouvera semblablement

d⁡x₁/d⁡b=k d⁡x/d⁡b,

d⁡x/d⁡b=(zf′⁡(a+bz))/(1−b( d⁡z/d⁡x+k d⁡z/d⁡x₁ )f′⁡(a+bz)).

Ces équations, comparées aux précédentes, donnent

d⁡x/d⁡b=z d⁡x/d⁡a, d⁡x₁/d⁡b=z d⁡x₁/d⁡a.}

En suivant la marche qui a conduit à celles-ci, nous trouverons semblablement

d⁡x/d⁡b₁=z₁ d⁡x/d⁡a₁, d⁡x₁/d⁡b₁=z₁ d⁡x₁/d⁡a₁.}

En observant donc que

d⁡U/d⁡a=d⁡U/d⁡x d⁡x/d⁡a+d⁡U/d⁡x₁ d⁡x₁/d⁡a, d⁡U/d⁡b=d⁡U/d⁡x d⁡x/d⁡b+d⁡U/d⁡x₁ d⁡x₁/d⁡b, d⁡U/d⁡a₁=d⁡U/d⁡x d⁡x/d⁡a₁+d⁡U/d⁡x₁ d⁡x₁/d⁡a₁, d⁡U/d⁡b₁=d⁡U/d⁡x d⁡x/d⁡b₁+d⁡U/d⁡x₁ d⁡x₁/d⁡b₁,

nous aurons

d⁡U/d⁡b=z d⁡U/d⁡a, d⁡U/d⁡b₁=z₁ d⁡U/d⁡a₁.}

Enfin, en suivant la marche qui nous a conduit des équations (4, 8) à la formule (11), nous parviendrons aux suivantes,

dᵐ⁡U/d⁡bᵐ=dᵐ⁻¹.zᵐ d⁡U/d⁡a /d⁡aᵐ⁻¹, dᵐ¹⁡U/d⁡b₁ᵐ¹=dᵐ¹⁻¹.z₁ᵐ¹ d⁡U/d⁡a₁ /d⁡a₁ᵐ¹⁻¹.}

Pour compléter cette recherche, il faut parvenir à l’expression de

(dᵐ⁺ᵐ¹⁡U)/d⁡bᵐd⁡b₁ᵐ¹.

Pour cela, soit

zᵐ d⁡U/d⁡a=d.pU/d⁡b+d.qU/d⁡a ;

p, q étant des fonctions de x, x₁, satisfaisant, pour U, aux équations (15), du moins en ce qui concerne p. Avec cette restriction, l’on trouvera, en développant

zᵐ d⁡U/d⁡a=U(z d⁡p/d⁡a+d⁡q/d⁡a )+d⁡U/d⁡a (zp+q);

et, comme il suffit de satisfaire à cette equation, nous poserons

z d⁡p/d⁡a+d⁡q/d⁡a=0,

zp+q=zᵐ;

différentiant la seconde par rapport à a, elle se réduira, en vertu de la première, à

p d⁡z/d⁡a=mzᵐ⁻¹ d⁡z/d⁡a,

p=mzᵐ⁻¹;

mettant cette valeur de p dans la seconde des équations précédentes ; on trouvera pour q

q=−(m−1)zᵐ;

et l’équation (16) deviendra

zᵐ d⁡U/d⁡a=m d.zᵐ⁻¹U/d⁡b−(m−1) d.zᵐU/d⁡a ;

d’où on conclura

d₁ᵐ.zᵐ d⁡U/d⁡a /d⁡b₁m₁=md. d₁ᵐ.zᵐ⁻¹U/d⁡b₁ᵐ¹ /d⁡b−(m−1)d. d₁ᵐ.zᵐU/d⁡b₁ᵐ¹ /d⁡a ;

mais, en vertu des équations (15), on a

d₁ᵐ.zᵐ⁻¹U/d⁡b₁ᵐ¹=dᵐ¹⁻¹.z₁ᵐ¹ d.zᵐ⁻¹U/d⁡a₁ /d⁡a₁ᵐ¹⁻¹,

et encore

d₁ᵐ.zᵐU/d⁡b₁ᵐ¹=dᵐ¹⁻¹.z₁ᵐ¹ d.zᵐU/d⁡a₁ /d⁡a₁ᵐ¹⁻¹ ;

ainsi l’on aura

d₁ᵐ.zᵐ d⁡U/d⁡a /d⁡b₁ᵐ¹=dᵐ¹⁻¹⁡(m d.z₁ᵐ¹ d.zᵐ⁻¹U/d⁡a₁ /d⁡b−(m−1) d.z₁ᵐ¹ d.zᵐU/d⁡a₁ /d⁡a )/d⁡a₁ᵐ¹⁻¹ ;

en observant que la quantité dans les parenthèses peut être mise sous cette forme

zᵐz₁ᵐ¹ d²⁡U/d⁡ad⁡a₁+z₁ᵐ¹ d.zᵐ/d⁡a₁ d⁡U/d⁡a+zᵐ d.z₁ᵐ¹/d⁡a d⁡U/d⁡a₁,

il viendra finalement

d₁ᵐ.zᵐ d⁡U/d⁡a /d⁡b₁ᵐ¹=(dᵐ¹⁻¹⁡(zᵐz₁ᵐ¹ d²⁡U/d⁡ad⁡a₁+z₁ᵐ¹ d.zᵐ/d⁡a₁ d⁡U/d⁡a+zᵐ d.z₁ᵐ¹/d⁡a d⁡U/d⁡a₁ ))/d⁡a₁ᵐ¹ ;

mais on a

(dᵐ⁺ᵐ¹⁡U)/d⁡bᵐd⁡b₁ᵐ¹=(dᵐ⁺ᵐ¹⁻¹.zᵐ d⁡U/d⁡a)/d⁡aᵐ⁻¹d⁡b₁ᵐ¹ ;

partant

(dᵐ⁺ᵐ¹⁡U)/d⁡bᵐd⁡b₁ᵐ¹=(dᵐ⁺ᵐ¹⁻².(zᵐz₁ᵐ¹ d²⁡U/d⁡ad⁡a₁+z₁ᵐ¹ d.zᵐ/d⁡a₁ d⁡U/d⁡a+zᵐ d.z₁ᵐ¹/d⁡a d⁡U/d⁡a₁ ))/d⁡aᵐ⁻¹d⁡a₁ᵐ¹⁻¹.

Une fois parvenus à la formule (17), le développement de U, suivant les puissances et produits des puissances de b, b₁ ne saurait plus offrir aucune difficulté.

Il est aisé de voir, d’après ce qui précède, ce qu’on aurait à faire, si, ayant les trois équations

x =f⁡ (a +b z ), x₁=f₁⁡(a₁+b₁z₁), x₂=f₂⁡(a₂+b₂z₂);

où z, z₁, z₂ sont supposés des fonctions quelconques de x, x₁, x₂ sans a, b, a₁, b₁, a₂, b₂, il s’agissait de développer U, suivant les puissances et produits de puissances de b, b₁, b₂; U étant lui-même une fonction de x, x₁, x₂ sans a, b, a₁, b₁, a₂, b₂; et il en serait de même pour un plus grand nombre d’équations entre un pareil nombre de fonctions.

Nous terminerons par observer que M. Laplace était depuis longtemps parvenu à la formule (17) et à ses analogues ; mais seulement dans la supposition où b, b₁ devaient, après les différentiations, être faits égaux à zéro ; ce n’est même qu’en admettant cette hypothèse, que M. Lacroix est parvenu aux équations (14) ; voyez son Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, deuxième édition, tom. I, pag. 281.

