Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Algèbre élémentaire, article 3
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Algèbre élémentaire, article 3

## ANALISE ÉLÉMENTAIRE.

I. Soit représenté le produit des m facteurs simples x+α, x+β, x+γ, …, par

xᵐ+A₁xᵐ⁻¹+A₂xᵐ⁻²+A₃xᵐ⁻³+…+Aₘ;

et celui des mêmes facteurs, excepté le premier x+α, par

B₁xᵐ⁻¹+B₂xᵐ⁻²+B₃xᵐ⁻³+…+Bₘ₋₁

Il est évident qu’en divisant le polynôme (1) par x+α, on produira le polynôme (2), et que, réciproquement, en multipliant le polynôme (2) par x+α, on aura le polynôme (1). De là résultent les équations

Bₙ₋₁=Aₙ₋₁−αAₙ₋₂+α²Aₙ₋₃−…,

An=Bₙ+αBₙ₋₁.

L’équation (4) démontre que tout ce qui multiplie α dans Aₙ est Bₙ₋₁ ; or, d’après la composition des coefficiens A₁, A₂, A₃, … en α, β, γ, …, si dans Aₙ on prend tous les termes multipliés par α, puis successivement ceux multipliés par β, γ, δ, …, et qu’on les ajoute ; on aura nAₙ ; donc

nAₙ=S(αBₙ₋₁),

le signe S indiquant la somme des produits αBₙ₋₁ que l’on obtient en permutant successivement α avec chacune des autres lettres.

Cela posé, dans l’équation (5) substituons à Bₙ₋₁ sa valeur (3), il viendra

nAₙ=S(αAₙ₋₁−α²Aₙ₋₂+…±αⁿ),

ou

nAₙ+Aₙ₋₁S(−α)+Aₙ₋₂S(−α)²+…+S(−α)ⁿ=0;

et, comme −α, −β, −γ, … sont les racines de l’équation (1), il s’ensuit que la formule (6) détermine les sommes des puissances semblables de ces racines, savoir : S(−α), S(−α)², S(−α)³, … jusqu’à S(−α)ᵐ. On peut même pousser plus loin le calcul de ces sommes, en multipliant l’équation (1) par xⁿ, et en appliquant ensuite la formule (6) à l’équation résultante.

II. L’équation

nAₙ−Aₙ₋₁Sα+Aₙ₋₂Sα²−…=0,

devient, en supposant α=β=γ=δ=…

nAₙ−mAₙ₋₁α+mAₙ₋₂α²−mAₙ₋₃α³+…=0.

Changeant n, en n−1, on aura

(n−1)Aₙ₋₁−mAₙ₋₂α+mAₙ₋₃α²−…=0.

Multipliant cette dernière équation par α et, et l’ajoutant à la précédente ; il viendra

nAₙ−(m−n+1)Aₙ₋₁α=0;

ce qui établit une relation entre deux coefficiens consécutifs du polynôme

xᵐ+A₁xᵐ⁻¹+A₂xᵐ⁻²+…Aₘ=(x+α)ᵐ;

d’où l’on déduit la formule du binôme.

On peut encore démontrer cette formule d’une manière plus directe ; il suffit pour cela d’observer que, dans l’équation

nAₙ=S(αBₙ₋₁),

le nombre des produits de n lettres du premier membre est égal au nombre des produits de n lettres du second membre ; désignant donc par Nₙᵐ le nombre des produits différens de n lettre qui sont comptés dans m lettres, nous aurons nNₙᵐ=mNₙ₋₁ᵐ⁻¹, et par conséquent la suite d’équations

nNₙᵐ=mNₙ₋₁ᵐ⁻¹(n−1)Nₙ₋₁ᵐ⁻¹=(m−1)Nₙ₋₂ᵐ⁻², (n−2)Nₙ₋₂ᵐ⁻²=(m−2)Nₙ₋₃ᵐ⁻³, ……………, 1.N₁ᵐ⁻ⁿ⁺¹=(m−n+1).

Effectuant le produit de ces équations, et omettant les facteurs communs, nous obtiendrons

Nₙᵐ=m/1.m−1/2.m−2/3.… (m−n+1)/n.

Si l’on fait maintenant α=β=γ=δ=7… on aura

Aₙ=Nₙᵐαⁿ;

donc

(x+α)ᵐ=xᵐ+m/1 αxᵐ⁻¹+m/1 m−1/2 α²xᵐ⁻²+…

* ↑ On trouve un article sur le même sujet à la page 238 du III.ᵉ volume de ce recueil. J. D. G.
