Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Géométrie des courbes, article 6
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Géométrie des courbes, article 6

ÉNONCÉ. CA et CB sont deux demi-diamètres conjugués d’une ellipse ou d’une hyperbole. On a mené la droite AB ; et, par un point quelconque M de la courbe, on a mené à cette droite une parallèle coupant respectivement CA et CB en A′ et B′. On propose de démontrer que, quelle que soit la situation du point M sur la courbe, la quantité MA′¯²±MB′¯² est constante.

Démonstration. Soit menée MP, ordonnée au diamètre CA,

et conséquemment parallèle à CB; et soient CP=x, PM=y, CA=a, CB=b, AB=c.

Les triangles semblables BCA, MPA′ donnent

b:a::y:PA′=ay/b, b:c::y:MA′=c.y/b,

donc

CA′=CP+PA′=x+ay/b=(bx+ay)/b.

D’un autre côté, les triangles semblables CAB, CA′B′ donnent

a:c:: (ay+bx)/b :A′B′=(c(ay+bx))/ab ;

d’où il suit que

MB′=A′B′−MA′=(c(ay+bx))/ab−cy/b=c.x/a,

donc

MA′¯²±MB′¯²=c²{ y²/b² ± x²/a² };

mais, dans l’ellipse et dans l’hyperbole, on a respectivement

y²/b² ± x²/a²=1;

donc, dans les deux courbes, on doit avoir respectivement

MA′¯²±MB′¯²=c²=AB¯².

* ↑ On sous-entend la figure qu’il est très-facile de suppléer.
* ↑ Si l’on désigne par N l’autre point d’intersection de A′B″ avec la courbe, on aura pareillement NB′¯²±NA′¯²=AB¯², d’où MA′¯²±MB′¯²=NB¯²±NA′¯², d’où, en développant, on conclura, MA′=NB′. Cette dernière proposition, et conséquemment la première qui peut en être aisément déduite, se démontre facilement pour l’ellipse, en recourant à sa projection circulaire, dans laquelle les projections des deux diamètres conjugués sont deux diamètres perpendiculaires l’un à l’autre. Ceci peut donc former un petit supplément au mémoire de M. Ferniot, inséré à la page 240 du 2.ᵉ volume de ce recueil. J. D. G.
