Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Arithmétique, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Arithmétique, article 1

Parce que A_{m, n} est une fonction symétrique des nombres m et n, nous emploirons, à l’avenir, pour représenter cette fonction, la notation plus simple

A_{m, n}=(m, n).

En conséquence, nous aurons

(m, n)=(n, m),

et, quels que soient p et q

(0, p)=(0, q)=(p, 0)=(q, 0)=1.

Cette notation admise, l’équation (3), dans laquelle on peut permuter entre eux les nombres m et n, donnera

m(m, n)=(m+n)(m−1, n), n(m, n)=(m+n, n)(m, n−1);

la somme de ces deux équations, divisée par m+n, sera

(m, n)=(m−1, n)+(m, n−1);

or, en se rappelant les équations (7), on voit que cette dernière exprime la construction du triangle arithmétique ; et qu’ainsi (m, n) est la formule générale des nombres figurés.

L’équation (6) exprime donc que le (n+1)ᵐᵉ nombre figuré du m.ᵐᵉ ordre est égal au (m+1)ᵐᵉ nombre figuré du n.ᵐᵉ ordre ; et l’équation (8) exprime que le (m+1)ᵐᵉ nombre figuré du n.ᵐᵉ ordre, ou le (n+1)ᵐᵉ nombre figuré du m.ᵐᵉ ordre, est la somme du m.ᵐᵉ nombre figuré du n.ᵐᵉ ordre et du n.ᵐᵉ nombre figuré du m.ᵐᵉ ordre.

De cette dernière on tire

(m, n)−(m−1, n)=(m, n−1);

substituant successivement pour m, dans celle-ci, les nombres 1, 2, 3…m, il viendra

(1, n)−1=(1, n−1), (2, n)−(1, n)=(2, n−1), (3, n)−(2, n)=(3, n−1), ……………………(m, n)−(m−1, n)=(m, n−1),

ajoutant ces dernières et réduisant, on aura

(m, n)=(n, m)=(0, n−1)+(1, n−1)+(2, n−1)+…+(m, n−1);

et l’on aurait pareillement

(m, n)=(n, m)=(0, m−1)+(1, m−1)+(2, m−1)+…+(n, m−1);

c’est-à-dire, que le (n+1)ᵐᵉ nombre figuré du mᵐᵉ ordre, ou le (m+1)ᵐᵉ nombre figuré du nᵐᵉ ordre, est égal à la somme des nᵐᵉ nombres figurés de tous les ordres jusqu’au mᵐᵉ ordre inclusivement ; ou encore à la somme des m+1 premiers nombres figurés du (n−1)ᵐᵉ ordre.

Je terminerai par donner, d’après M. Lhuilier, la sommation des inverses des nombres figurés. Il est aisé de se convaincre, par le développement et les réductions, que l’équation suivante est identique

1/(m, n−1)=(n−1)!/n−2 { m!/((m+n−2)!)−((m+1)!)/((m+n−1)!) }.

Si l’on y substitue successivement pour m les nombres 0, 1, 2, …m, il viendra

1/(0, n−1)=(n−1)!/n−2 { 1/(n−2)!−1!/(n−1)! }, 1/(1, n−1)=(n−1)!/n−2 { 1!/(n−1)!−2!/n! }, 1/(2, n−1)=(n−1)!/n−2 { 2!/n!−3!/((n+1)!) }, ……………………………,

1/(m, n−1)=(n−1)!/n−2 { m!/((m+n−2)!)−((m+1)!)/((m+n−1)!) };

d’où, en ajoutant et réduisant,

1/(0, n−1)+1/(1, n−1)+1/(2, n−1)+…+1/(m, n−1)

=(n−1)!/n−2 { 1/(n−2)!−((m+1)!)/((m+n−1)!) };

ou encore

1/(0, n−1)+1/(1, n−1)+1/(2, n−1)+…+1/(m, n−1)

=(n−1)/n−2 {1−1/((m+1, n−2)) };

Si, dans cette dernière formule, ou suppose m=∞, elle deviendra simplement,

1/(0, n−1)+1/(1, n−1)+1/(2, n−1)+1/(3, n−1)+…=(n−1)/n−2 ;

c’est-à-dire,

1+1/n+1/n.2/(n+1)+1/n.2/(n+1).3/(n+2)+1/n.2/(n+1).3/(n+2).4/(n+3)+…=(n−1)/n−2.

