Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Géométrie analitique, article 4
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Géométrie analitique, article 4

Soient a, b, c les trois côtés du triangle donné, et A, B, C les angles respectivement opposés, dont les sommets sont supposés A, B, C.

Soit pris l’angle trièdre tri-rectangle donné pour celui des coordonnées positives ; supposons, pour plus de généralité, que la point donné soit quelconque dans cet angle trièdre, et que ses trois coordonnées soient α, β, γ.

Supposons encore qu’on exige que, dans le triangle cherché, les sommets homologues à A, B, C, soient respectivement sur les axes des X, Y, Z, que nous prendrons pour symboles des coordonnées courantes.

Tout se réduit évidemment à déterminer les segmens qui devront être interceptés sur les axes des X, Y, Z, à partir de l’origine par le plan cherché. Représentons respectivement ces segmens par x, y, z.

L’équation du plan cherché sera conséquemment

X/x+Y/y+Z/z=1;

et, puisque ce plan doit contenir le point donné, on aura

α/x+β/y+γ/z=1,

ou bien

αyz+βzx+γxy=xyz.

Mais, puisque le triangle cherché doit être semblable au triangle donné, on devra avoir aussi

y²+z²=λ²a², z²+x²=λ²b², x²+y²=λ²c²;}

λ étant un nombre inconnu, indiquant le rapport des côtés homologues de ces deux triangles. Nous avons donc ainsi quatre équations entre les quatre inconnues x, y, z, λ.

En retranchant tour-à-tour chacune des équations (2) de la somme des deux autres ; il viendra

2x²=λ²(b²+c²−a²)=2λ²bcCos.A, 2y²=λ²(c²+a²−b²)=2λ²caCos.B, 2z²=λ²(a²+b²−c²)=2λ²abCos.C;

d’où, en divisant par 2 et extrayant la racine quarrée des deux membres

x=λ√(bcCos.A), y=λ√(caCos.B), z=λ√(abCos.C), }

on aura donc

αyz+βzx+γxy=λ{αa√(bcCos.BCos.C)+βb√(caCos.CCos.A)+γc√(abCos.ACos.B)},

et

xyz=λ³abc√(Cos.ACos.BCos.C);

substituant donc dans l’équation (1) et divisant par λ², il viendra

αa√(bcCos.BCos.C)++βb√(caCos.CCos.A)++γc√(abCos.ACos.B)

=λabc√(Cos.ACos.BCos.C);

d’où

λ=α/√(bcCos.A)+β/√(caCos.B)+γ/√(abCos.C) ;

Tel est donc le rapport des côtés du triangle cherché à ceux du triangle donné.

En substituant enfin cette valeur de λ dans les cquations (3), on aura

x=α+β√(bCos.A/aCos.C)+γ√(cCos.A/aCos.C), y=β+γ√(cCos.B/bCos.C)+α√(aCos.B/bCos.A), z=γ+α√(aCos.C/cCos.A)+β√(bCos.C/cCos.B).

Telles sont donc les valeurs des inconnues du problème.

Mais si des sommets A, B, C du triangle donné, on abaisse respectivement des perpendiculaires AA′, BB′, CC′ sur les directions des côtés opposés BC, CA, AB, on aura

BA′=cCos.B, AB′=cCos.A, CB′=aCos.C, BC′=aCos.B, AC′=bCos.A, CA′=bCos.C,

donc, en substituant, on aura

x=α+β√(AC′/BC′)+γ√(AB′/CB′), y=β+γ√(BA′/CA′)+α√(BC′/AC′), z=γ+α√(CB′/AB′)+β√(CA′/BA′).

Si, présentement, sur les trois côtés du triangle donné, pris successivement comme diamètres, on décrit trois demi-cercles, et qu’on prolonge respectivement les perpendiculaires AA′, BB′, CC′, jusqu’à la rencontre de leurs circonférences en A″, B″, C″; en menant BA″, CA″, CB″, AB″, AC″, BC″, par la propriété des cordes inscrites aux demi-cercles, on aura

AC′/BC′=(AC″/BC″)², BA′/CA′=(BA″/CA″)², CB′/AB′=(CB″/AB″)²;}d′ou^{`}{ BC′/AC′=(BC″/AC″)², CA′/BA′=(CA″/BA″)², AB′/CB′=(AB″/CB″)²;

substituant donc, il viendra finalement

x=α+β AC″/BC″+γ AB″/CB″, y=β+γ BA″/CA″+α BC″/AC″,

z=γ+α CB″/AB″+β CA″/BA″,

valeurs extrêmement faciles à construire.

