Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Géométrie analitique, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 05/Géométrie analitique, article 2

## QUESTIONS RÉSOLUES.

Énoncé. Dans toute ligne du second ordre qui a un centre, si l’on mène deux tangentes parallèles à une même droite fixe quelconque, et une troisième tangente variable ; le produit des segmens des deux premières tangentes compris depuis leurs points de contact jusqu’à la troisième, sera une quantité constante.

Les points de contact des deux tangentes parallèles entre elles étant les extrémités d’un diamètre, nous prendrons ce diamètre, que nous appellerons 2a, pour axe des x, et son conjugué 2b pour axe des y.

Si alors x′, y′ sont les cordonnées du point de contact de la troisième tangente, nous aurons

b²x′²±a²y′²=a²b²,

et l’équation de cette troisième tangente sera

b²xx′±a²yy′=a²b².

On en déduira la longueur des segmens que cette tangente détermine sur les deux premières, en y faisant successivement x=a et x=−a, et en prenant les valeurs correspondantes de y, ce qui donnera

y=± b²(a−x′)/ay′, y=± (b²(a+x′))/ay′ ;

le produit de ces deux segmens sera donc

b² a²b²−b²x′²/a²y′² ;

quantité qui, en vertu de l’équation (1), se réduit à ±b², c’est-à-dire, le quarré de la moitié du conjugué du diamètre qui joint les points de contact des tangentes parallèles.

Soient (fig. 4, 5) C le centre de la courbe, AB un diamètre quelconque, DC son demi-conjugué, AM et BN des tangentes aux extrémités de ce premier diamètre, M, N les points où elles sont coupées par une troisième tangente variable quelconque MN. Il s’agit d’établir que AM×BN est une quantité constante.

Pour cela, soit menée PQ, tangente parallèle à AB (fig. 4) et asymptote (fig. 5), coupant en P et Q les prolongemens de MA, WB.

Par une propriété connue du quadrilatère circonscrit aux sections coniques, les directions des diagonales PN et QM du quadrilatère MNQP doivent concourir en quelque point S de la direction du diamètre AB qui joint les deux points de contact opposés ; d’après quoi les parallèles MP et NQ donneront

SB:SA::BQ:AM,

SA:SB::AP:BN;

donc

AM×BN=AP×BQ,

mais on a

AP=BQ=CD;

donc

AM×BN=CD¯².

* ↑ Dans la Théorie des fonctions analitiques, page 134 de la première édition et 187 de la deuxième, Lagrange a démontré que, non seulement cette propriété appartenait aux sections coniques ; mais que de plus elle n’appartenait qu’à elles seules. Mais sa démonstration sort du cercle des élémens.
* ↑ Voyez, entre autres, la page 167 du troisième volume de ce recueil.
