Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Géométrie transcendante, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Géométrie transcendante, article 2

Le problème proposé à la page 352 du troisième volume des Annales revient évidemment à celui où il s’agirait de déterminer l’angle au sommet d’une pyramide ou d’un cône donne, à base quelconque. C’est aussi sous ce point de vue que je me propose de l’envisager, dans ce qui va suivre.

1. L’angle au sommet de tout corps pyramidal a pour mesure naturelle de sa capacité le polygone sphérique décrit de son sommet comme centre, avec un rayon arbitraire, dans toutes les faces qui le comprennent ; et le rapport de la surface de ce polygone à celle de la sphère entière, ou bien à la huitième partie de cette sphère, connue sous le nom de triangle sphérique tri-rectangle, et que, dans mes Élémens de géométrie, j’ai désigné par le nom d’orthoèdre.

2. Désignant par s la somme des angles externes d’un polygone sphérique quelconque, la surface de ce polygone sera égale à 360^{∘}−s; l’angle droit étant l’unité des angles linéaires, de même que l’orthoèdre est celui des angles solides. Ainsi l’angle droit sera à 360^{∘}−s, comme l’orthoèdre est à la surface du polygone sphérique.

3. La figure 4 désigne la surface antérieure d’une pyramide, ayant pour base le polygone rectiligne ABCD…. Si du point S comme centre, et avec un rayon arbitraire, on décrit, dans les faces de cette pyramide, le polygone sphérique abcd…; la surface de ce dernier polygone exprimera la capacité de l’angle solide pyramidal dont le sommet est S, tandis que ses angles exprimeront les inclinaisons mutuelles de ses faces entre elles ; c’est ainsi que, par exemple, l’angle sphérique b exprime l’angle plan compris entre les deux faces triangulaires ABS, CBS. On le trouvera, lorsque l’on connaîtra tous les angles linéaires aux sommets de la base ; c’est ainsi qu’en désignant par B l’angle ABC, par m l’angle ABS, et par n l’angle CBS, on aura le cosinus de l’angle plan ABSC, ou

Cos.b=Cos.B−Cos.mCos.n/Sin.mSin.n,

4. Mais, pour appliquer ces principes généraux aux conoïdes ; ayant pour base une courbe quelconque, rentrant en elle-même, il faut nécessairement réduire à des coordonnées rectangulaires la position des sommets de cette base, considérée comme polygone rectiligne d’un nombre de côtés fini. Soient donc (fig. 5) L, M, N, trois sommets consécutifs de cette base, que nous rapporterons à l’axe indéfini AZ, mené dans le plan de cette même base, par le pied A de la perpendiculaire SA. Nous désignerons par h cette même hauteur SA ; et, prenant le point A pour origine des coordonnées, nous exprimerons par x, y les coordonnées du premier sommet L ; par t, u, celles du second sommet M ; et par p, q, celles du troisième sommet N ; de manière que

AO=x, AP=t, AQ=p, OL=y, PM=u, QN=q.

Il en résultera

SL¯²=h²+x²+y², LM¯²=(t−x)²+(u−y)², SM¯²=h²+t²+u², MN¯²=(p−t)²+(q−u)², SN¯²=h²+p²+q², LN¯²=(p−x)²+(q−y)²;

d’où l’on tire

Cos.SML=(t²+u²−tx−uy)/SM×LN

Cos.SMN=(t²+u²−pt−qu)/SM×MN,

Cos.LMN=(t²+u²−tx−uy−pt−qu+px+qy)/LM×MN.

Il faudra aussi se procurer les expressions des sinus des deux premiers SML et SMN de ces angles. On aura, après les réductions nécessaires,

Sin.²SML=(h².LM¯²+(ty−ux)²)/SM¯²×LM¯²,

Sin.²SMN=(h².MN¯²+(qt−pu)²)/SM¯²×MN¯².

Le produit SM×LM.Sin.SML exprime le double de la surface du triangle LSM ; d’où il suit que cette surface aura pour expression

1/2 √(h².LM¯²+(ty−ux)²).

5. Le cosinus de l’angle plan LSMN, qui exprime l’inclinaison mutuelle des deux faces triangulaires LSM et MSN, ayant pour son sommet linéaire l’arête pyramidal SM, est exprimé comme il suit :

Cos.LSMN=Cos.LMN−Cos.LMSCos.NMS/Sin.LMS.Sin.NMS.

Après les substitutions, et les réductions, en assez grand nombre ; qui se présentent, cette expression devient

Cos.LSMN=(h²(t²+u²−tx−uy−pt−qu+px+qy)−(ty−ux)(qt−pu))/(√({h².LM¯²+(ty−ux)²}{h².MN¯²+(qt−pu)²}))

On trouve ensuite, pour le sinus du même angle,

Sin.LSMN=(h.SM(pu−qt+ty−ux−py+qx))/(√({h².LM¯²+(ty−ux)²}{h².MN¯²+(qt−pu)²}))

d’où il résulte enfin

Tang.LSMN=(h.SM(pu−qt+ty−ux−py+qx))/(h²(t²+u²−tx−uy−pt−qu+px+qy)−(ty−ux)(qt−pu)) ;

et telle est la tangente de l’angle plan, compris entre les deux faces triangulaires contiguës LSM, NSM.

6. Pour passer du polygone rectiligne au cas d’une courbe continue, prenons sur son périmètre les trois points L, M, N, à des distances infiniment petites l’une de l’autre ; et, en continuant de désigner par les lettres t, u, les deux coordonnées AP, PM, du point intermédiaire M, nous aurons t+d⁡t, u+d⁡u, respectivement pour les coordonnées AQ, QN, du point suivant N ; tandis que t−d⁡t+d²⁡t−d³⁡t+…, u−d⁡u+d²⁡u −d³⁡u+…

seront, respectivement, les expressions complètes des coordonnées AO, OL, du point précédent L. Comme, dans le problème que nous nous proposons, il suffira de nous arrêter aux secondes différentielles, nous aurons

AO=x=t−d⁡t+d²⁡t, AP=t, AQ=p=t+d⁡t,

OL=y=u−d⁡u+d²⁡u, PM=u, QN=q=u+d⁡u.

En faisant ces substitutions, dans l’expression ci-dessus, nous aurons pour la différentielle de la somme des angles extérieurs, différentielle que nous représenterons conséquemment par d⁡s, et de laquelle dépend la solution de notre problème, l’expression suivante

d⁡s=h.SM(d⁡td²⁡u−d⁡ud²⁡t)/(h²(d⁡t²+d⁡u²)+(td⁡u−ud⁡t)²)

7. Si nous désignons, en outre, par A la portion de la surface convexe de ce corps conique ; comprise entre les deux arêtes AL, AN, nous aurons

d⁡A=√(h²(d⁡t²+d⁡u²)+(td⁡u−ud⁡t)²),

d’où

d⁡s=(hd⁡td²⁡u√(h+t²+u²))/4d⁡A².

L’expression de d⁡s est donc beaucoup plus compliquée que celle de d⁡A ; et, comme cette dernière n’est intégrable que dans un nombre de cas très-borné, desquels celui du cône oblique, à base circulaire, est formellement exclu ; on voit que l’on doit encore moins se flatter d’une solution complète du problème qui concerne la capacité des angles au sommet.

8. À la place des coordonnées rectangulaires t et u, essayons de substituer le rayon vecteur AM=r et l’angle MAZ=ϕ qu’il fait avec l’axe des t, ce qui donne t=rCos.ϕ, u=rSin.ϕ. On trouvera ainsi

d⁡A=1/2 √(h²d⁡r²+(h²+r²)r²d⁡ϕ²);

et si l’on fait d⁡ϕ constant, d’où d²⁡ϕ=0, on aura

d⁡s=(2d⁡r²d⁡ϕ+r²d⁡ϕ³−rd²⁡rd⁡ϕ)/(h²d⁡r²+(h²+r²)r²d⁡ϕ²).h√(h²+r²).

9. Prenons pour premier exemple le cône droit ayant A pour centre de sa base, et r pour rayon de cette base. Ici on aura dr=0 ; la différentielle de la surface conoïdique deviendra donc

dA=1/2 rdϕ√(h²+r²),

ayant pour intégrale

A=1/2 rϕ√(h²+r²)+C;

ce qui donne, pour la surface entière du cône ϖr√(h²+r²). Faisant, pour abréger, le côté du cône ou √(h²+r²)=f,

on aura ds=hdϕ/f et s=hϕ/f. Ainsi, la somme des angles extérieurs, pour le cône entier, étant d’après cela 2ϖh/f, la capacité de l’angle au sommet deviendra 2ϖ(f−h)/f. On aura donc la proportion : l’angle droit, ou ϖ/2, est à 2ϖ(f−h)/f, comme l’orthoèdre est à la capacité de l’angle qu’on cherche, lequel, par conséquent, sera égal à l’orthoèdre multiplié par 4(f−h)/f. Effectivement, l’angle en question occupe, sur la surface d’une sphère du rayon f, une calotte sphérique de la hauteur f−h, dont la surface sera, par conséquent, 2ϖf(f−h); d’un autre côté, l’orthoèdre, égal au huitième de cette sphère, sera ϖf²/2 ; divisant donc la première expression par la seconde, on aura la fraction 4(f−h)/f, que le précédent calcul nous a fait obtenir.

10. On sait que la surface du cône oblique se refuse à tous les moyens connus d’intégration. On peut en conclure, à plus forte raison, que la capacité de son angle au sommet se trouvera hors du domaine de l’analise actuelle. Soit SA (fig. 6) la hauteur d’un tel cône, ayant pour base le cercle décrit du centre C, avec le rayon CB=CD=r ; soient, de plus, AS=h, AC=a, AP=t, PM=u, ce qui nous fournit l’équation (a−t)²+u²=r². On aura, d’après cela

dA=1/2 dt√((h²r²+(a²−r²−at)²)/r²−(a−t)²)

différentielle qui n’est intégrable dans aucun cas. On trouvera ensuite

ds=hr²dt/(h²r²+(a²−r²−at)²).√((h²+r²−a²+2at)/r²−(a−t)²).

D’après l’essai que j’en ai fait, cette différentielle m’a paru aussi peu intégrable que la précédente.

En faisant

y=√(h²+r²−a²+2at),

et posant de plus, pour abréger

a²+r²+h²=m², a²−r²+h²=n²,

cette différentielle deviendra

ds=8hr²y²dy/((4h²r²+n⁴−2n²y²+y⁴)√(4a²r²−m⁴+2m²y²−y⁴)) ;

formule qui n’est pas susceptible d’être intégrée.

11. L’une des courbes qui semblerait promettre des résultats plus favorables, c’est la développée de l’ellipse, comprise sous l’équation

(t/a)²ᐟ³+(u/b)²ᐟ³=1;

il en résulte, en posant a²−b²=c²,

dt²+du²=(b²a²ᐟ³+c²t²ᐟ³)/a²t²ᐟ³ dt².

La racine quarrée de cette formule est entièrement intégrable ; il en résulte que l’arc de la développée elliptique, pris depuis t=a est

(a⁴−{b²a²ᐟ³+c²t²ᐟ³}¹ᐟ²)/ac²

ce qui donne, pour la longueur du quart de cette développée,

(a²+ab+b²)/(a+b) ;

cette courbe est donc rectifiable comme le sont les développées de toutes les courbes algébriques. Mais cet avantage est perdu, tant pour la surface que pour la capacité angulaire du cône dont elle est la base. Les différentielles dont dépendent ces deux problèmes sont aussi peu intégrables que dans le cas du cône oblique à base circulaire.

* ↑ Il est presque superflu d’observer que l’auteur emploie ici les anciennes démonstrations d’angles linéaires, plans et solides, correspondant aux dénominations nouvelles d’angles plans, dièdres et polyèdres. J. D. G.
* ↑ Dans cette équation a et b ne sont point les demi-axes, mais des troisièmes proportionnelles à ces demi-axes et à l’excentricité. J. D. G.
