Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 08/Astronomie, article 3
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 08/Astronomie, article 3

## ASTRONOMIE.

### Analise de l’éclipse de soleil du 7 de septembre 1820 avec application aux deux villes de Montpellier et de Strasbourg.

On trouve, dans la Connaissance des temps, pour l’année 1820, au 7 septembre,

Parallaxe horizontale de la lune, sous l’équateur, 53′.54″;

Parallaxe horizontale du soleil … 8″, 52719;

Demi-diamètre horizontal de la lune 14′.41″=881″;

Demi-diamètre horizontal du soleil 15′.54″, 8=954″, 8;

Logarithme du rayon vecteur de la terre … 0, 003012.

A=24187, Log.A=4, 3835886;

B=63, 7748, Log.B=1, 8046495.

Somme des deux demi-diamètres 30′.35″, 8=1835″, 8.

2. On trouve, de plus, dans le même recueil, pour midi du mois de septembre,

λ=164^{∘}.42′41″,

λ=165 .41′ 6″;

λ′−λ= 0^{∘}.58′25″;

λ′−λ=3505″.

3. Quant à l’angle horaire, on trouve, toujours pour midi du nois de septembre,

165^{∘}.55′30″,

λ=166^{∘}.49′33″,

54. 3 .

Donc, l’angle horaire, pendant le 7 septembre, sera

165^{∘}.55′30″+(360^{∘}.54′3″)t;

Le temps étant compté du 7 de septembre à midi, et le jour solaire étant pris pour unité.

4. On aura donc, en allant d’heure en heure,

Longit. du soleil.Angle horaire.Pour 0 heure 164^{∘}.42′.41″+ 0″165^{∘}.55′.30″+ 0^{∘}.0′. 0″, 1 heure 164 .42 .41 +146 165 .55 .30 +15 .2 .15 , 2 heures 164 .42 .41 +292 165 .55 .30 +30 .4 .30 , 3 heures 164 .42 .41 +438 165 .55 .30 +45 .6 .45 , 4 heures 164 .42 .41 +584 165 .55 .30 +60 .9 . 0 .

5. Longitude de la lune.

Le6, a^{`}midi152^{∘}. 0′.32=547232″a^{`}minuit157 .54.39 =586479 Le7, a^{`}midi163 .48.17 =589697 a^{`}minuit169 .41.40 =610900 |21247″21218 21203 |−29″−15 |+14″.

Ilenre^{´}sultea=547232″, Δa=21247 , 2Δ²a=−29 , 6Δ³a=+14 ;

donc

6 Long. lunaire =3283392″+127597″t−129″t²14″t³.

6. Latitude de la lune.

Le6, a^{`}midi1^{∘}.53′.11″=6791″a^{`}minuit1 .22 .14 =4924 Le7, a^{`}midi0 .50 . 6 =3006 a^{`}minuit0 .17 .36 =1056 |−1867″−1918 −1950 |−57″−32 |+19″.

Ilenre^{´}sultea=6791″, Δa=−1867 , 2Δ²a=−51 , 6Δ³a=+19 ;

donc

=40746″−11011″t−210″t²+19″t³.

7. Dans les formules précédentes (5, 6), le temps est compté du six de septembre à midi, et le demi-jour est pris pour unité ; si donc l’on veut compter le temps du sept à midi, il faudra changer t en 2+t ; ce qui donnera

=3538182+127249t+45t²+14t³,

=18036− 11623t−96t²+19t³.

8. En remplaçant successivement le temps t par 0/12, 1/12, 2/12, 3/12, 4/12, on aura (4) le tableau suivant :

Long. Sol.Long. Lun.Lat. Lun.a^{`}midi …592961″589697″3006″une heure 593107 591464 2845 deux heures 593253 693237 2683 trois heures 593399 595000 2522 quatre heures 593545 596766 2358

9. La longitude du soleil, moins celle de la lune, donne la mouvement relatif de cette dernière. Nous l’avons exposé dans le tableau qui suit, de même que la latitude ou les lignes désignées par q′ et r′, ainsi que leurs logarithmes ; nous y avons joint encore les longitudes du soleil, avec les logarithmes de leurs sinus et cosinus.

t=q′=r′=Log.q′=Log.r′=0ʰ, −3264, +3006, 3.5137502, 3.47798901, −1643, +2844, 3.2156376, 3.45392062.− 22, +2682, 1.3424227, 3.42845883, +1599, +2520, 3.2038485, 3.40140054, +3220, +2358, 3, 5078559, 3.3725438

t=L=Cos.L=Sin.L=0ʰ, 164^{∘}.42′.41″, −9.9843517, 9.42108031, 164 .45. 7, −9.9844321, 9.41995322.164 .47.33, −9.9845193, 9.41882393, 164 .49.59, −9.9846040, 9.41769254, 164 .52.25, −9.98469l6, 9.4165559

Les signes des logarithmes doivent s’interpréter comme il a été dit à la page 174 du présent volume.

10. À ces données, il faut ajouter le logarithme de k, dans les deux équations

q=Bq′/B−x−Ky/B−x, r=Br′/B−x−Kz/B−x ;

or, on a Log.k=5.3132784. Quant au logarithme du sinus et du cosinus de l’angle, ou de l’obliquité de l’écliptique, on trouve

Sin.ε=+9.6000987Cos.ε=+9.9625113.

11. À ces préceptes nous ajouterons encore les suivans, quoiqu’ils ne se rapportent pas immédiatement à l’éclipse géocentrique.

Il est aisé de voir

1.ᵒ Que, tant qu’on aura

c>a+b,

l’éclipse n’aura point lieu ;

2.ᵒ Que, lorsqu’on aura

c=a+b,

l’éclipse commencera ou finira ;

3.ᵒ Que, tant qu’on aura

c{<a+b, >a−b,

l’éclipse, déjà commencée, sera partielle et aura pour sa grandeur

a+b−c;

4.ᵒ Que lorsqu’on aura

c=a−b,

l’éclipse commencera à être annulaire, ou finira de l’être ; pourvu toutefois qu’on ait b>a ;

5.ᵒ Que, tant qu’on aura

c<a−b,

l’éclipse continuera à être annulaire ; qu’alors la plus grande et la moindre largeur de l’anneau seront respectivement

a−b+c, a−b−c;

6.ᵒ Qu’enfin si l’on a c=0 l’éclipse sera centrale ; auquel cas la largeur uniforme de l’anneau sera a−b.

12. On peut demander aussi en quel point du disque solaire se fera la première ou la dernière impression du disque lunaire. Supposons, pour fixer les idées, qu’il soit question de la première impression ; soient respectivement A, B (fig. 14) les centres du soleil et de la lune en contact ; AZ le vertical du soleil ; AH un cercle perpendiculaire à celui-là ; conduit par son centre ; et AE l’écliptique. Tout se réduira à déterminer l’angle ZAB, ou son complément BAH=BAE+EAH. Or, en abaissant BM, perpendiculaire sur AE, on a Tang.BAM=BM/AM=r/q, fraction parfaitement connue. Quant à l’angle EAH, il est égal à la distance du zénith au pôle de l’écliptique. Soient donc Z le zénith (fig. 15), P le pôle de l’équateur et Q celui de l’écliptique. Dans le triangle sphérique PQZ, le côté PZ sera le complément de la hauteur du pôle ou 90^{∘}−λ ; PQ sera l’obliquité de l’écliptique ou ε ; et l’angle P sera notre angle horaire, moins l’ascension droite au moment de midi, ou μ−A ; on aura donc

Cos.QZ=Sin.λCos.ε+Cos.λSin.εCos.(μ−A).

Ajoutant donc cet angle à celui dont la tangente est r/q, et ôtant la somme de 90^{∘}, on aura l’angle ZAB (fig. 14) ; il déterminera le point de la circonférence solaire où se fait le contact des deux limbes, à la première et à la dernière impressions du disque lunaire.

13. Voilà donc à quoi se réduit le travail entier d’une éclipse de soleil, à chaque instant de la traversée curviligne que fait le limbe de la lune sur le disque solaire, depuis la première impression jusqu’à la dernière. La hauteur du pôle λ est connue par les tables. Il en faut dire autant de l’angle horaire, égal à la différence des méridiens, plus le temps réduit en degrés. Prenant le rayon de la terre pour unité, on aura

X=Cos.λCos.μ, Y=Cos.λSin.μ, Z=Sin.λ;

et de là

x=+XCos.L+YCos.εSin.L+ZSin.εSin.α, y=−XSin.L +YCos.εCos.L+ZSin.εCos.α, z= −YSin.ε+ZCos.ε.

Ensuite de quoi on aura

q=Bq′/B−x−Ky/B−x,

r=Br′/B−x−Kz/B−x.

La distance apparente entre les centres des deux astres sera √(q²+r²), et la grandeur de la partie éclipsée sera égale à la somme de leurs demi-diamètres, moins la distance de leurs centres. Il sera facile, par des interpolations, de trouver les époques du commencement et de la fin de l’éclipse, celle de la plus grande phase, et, en général, tout ce qui peut concerner la position du disque lunaire sur le disque du soleil, à chaque intant déterminé d’avance.

La hauteur du pôle où l’angle λ est de 43^{∘}.36′.16″. La différence des méridiens de Paris et de Montpellier est de 1^{∘}.32′.34″ vers l’est, faisant en temps 0ʰ.6ᵐ.10ˢ. On aura donc

Cos.λ=9.8598116,

Sin.λ=9.8386427.

Quant à l’angle horaire μ, on trouve pour

t=0ʰ, μ=167^{∘}.28′. 0″, Cos.μ=−9.9895254, Sin.μ=+9.33647491, 182 .30 .15 , −9.9995855, −9.64040232, 197 .37 .30 , −9.9793198, −9.47914223, 212 .34 .45 , −9.9256463, −9.73115694, 227 .37 . 0 , −9.8287163, −9.8684396

On a ensuite pour

t=0ʰ, Log.X=−9.8493370, Log.Y=+9.0962859, Log.Z=+9.83864271, −9.8593371, −8.5002139, +9.83864272, −9.8391314, −9.3389538, +9.83864273, −9.7854579, −9.5909685, +9.83864274, −9.6885279, −9.7282512, +9.8386427

de là on conclut, pour

t=0ʰ, x=+0.7922641, y=−0, 2175620, z=+0.5700644, 1 , +0.7625515, −0, 0466947, +0.6452344, 2 , +0.6857936, +0, 1083164, +0.7195425, 3 , +0.5672010, +0, 2397924, +0.7878987, 4 , +0.4148438, +0, 3359179, +0.8455954.

et enfin, pour

t=0ʰ, q=−2594, 66, r=+1198, 87, 1 , −1510, 43, + 774, 87, 2 , − 375, 70, + 364, 86, 3 , + 832, 90, −21, 75, 4 , +2150, 40, − 372, 09,

donc, en général,

q=−2594, 66r=+1198, 87 +1063, 86t − 440, 72t+18, 91t²+16, 88t² + 0, 98t³− 3, 80t³ + 0, 48t⁴+ 0, 64t⁴;

ou, en comptant le temps par quarts-d’heures,

q=−2594, 660000r=+1198, 870000+ 265, 963750t − 110, 180833t + 1, 181823t²+ 1, 054739t² + 0, 015312t³− 0, 059923t³ + 0, 001898t⁴+ 0, 002516t⁴.

De là la table des coordonnées q, r, et de la distance des centres de quart-d’heure en quart-d’heure,

t=0ʰ.0ᵐ, q=−2594, 66, r=√(q²+r²)=+1198, 87, 2859, 0.15 , −2327, 50, +1089, 69, 2570, 0.30 , −2057, 85, + 982, 29, 2280, 0.45 , −1785, 57, + 876, 42, 1989, 1. 0 , −1570, 43, + 771, 87, 1750, 1.15 , −1232, 20, + 668, 49, 1401, 1.30 , − 950, 37, + 566, 80, 1107, 1.45 , − 665, 20, + 464, 98, 811, 2. 0 , − 375, 70, + 364, 87, 524, 2.15 , − 81, 66, + 265, 96, 278, 2.30 , + 217, 42, + 168, 43, 274, 2.45 , + 523, 03, + 72, 47, 527, 3. 0 , + 832, 73, − 21, 62, 838, 3.15 , +1150, 18, − 113, 52, 1158, 3.30 , +1474, 96, + 202, 81, 1488, 3.45 , +1807, 78, − 289, 03, 1831, 4. 0 , +2149, 38, − 371, 68, 2181,

Le moment de la conjonction arrivera donc à 2ʰ.15ᵐ+7247/9409 d’un quart-d’heure, faisant 2ʰ.15ᵐ.6ˢ. Le passage du centre de la lune par l’écliptique aura lieu à 2ʰ.45ᵐ+7247/9409 d’un quart-d’heure, faisant 2ʰ.57ᵐ.22ˢ. Le commencement de l’éclipse sera fixé à 0ʰ.54ᵐ.34ˢ; et sa fin à 3ʰ.45ᵐ.13ˢ.

Quant à l’époque de la plus grande phase, on trouve

524=A, 278=A+ B+ C+ D, 275=A+2B+4C+ 8D, 327=A+3B+9C+27D;}donc{A=+524, B=−362, C=+113, 5, D=+2, 5,

Or

3Dt=−C+√(C²−BD);

donc t=1, 519, faisant 2ʰ.22ᵐ.47ˢ. La distance des centres sera alors de 245 secondes. La grandeur de l’éclipse sera de dix doigts.

La hauteur du pôle est de 48^{∘}.34′.56″. On aura donc

Cos.λ=9.8205590;

Sin.λ=9.8750064.

La distance du méridien de Strasbourg à celui de Paris est de 5^{∘}.24′.36″, faisant en temps 0ʰ.21ᵐ.38ˢ. Les angles horaires sont compris dans la table qui suit :

t=0ʰ, μ=171^{∘}.20′.5″, Cos.μ=−9.9950242, Sin.μ=+9, 1780030, 1 , 186 .22.20 −9.9973085, −9, 0452726, 2 , 201 .14.35 −9.9689470, −9, 5623342, 3 , 216 .26.50 −9.9054745, −9, 7738464, 4 , 231 .29. 5 −9.7942906, −9, 8934523.

On a ensuite, pour les logarithmes des coordonnées X, Y, Z,

t=0ʰ, X=−9.8155732, Y=+8.9985620, Z=+9.8750064, 1 , −9, 8178675, −8.8658316, +9.8750064, 2 , −9.7895010, −9.3828932, +9.8750064, 3 , −9.7860335, −9.5944054, +9.8750064, 4 , −9.6148496, −9.7140113, +9.8750064;

d’où on conclut, pour les coordonnées x, y, z,

t=0ʰ, x=+0.7336941, y=−0.2037876, z=+0.6481999, 1 , +0.6951279, −0.0502065, +07171248, 2 , +0.6144402, +0.0871652, +0.7840474, 3 , +0.4974199, +0.1989708, +0.8443843, 4 , +0.3517072, +0.2775992, +0.8940032.

Donc

t=0ʰ, q=−2636, 97, r=+925, 73, 1, −1497, 36, +536, 59, 2, − 306, 11, +154, 36, 3, + 964, 70, −205, 36, 4, +2337, 44, −528, 73.

On aura conséquemment

q=−2636, 970 r=+925, 730 +1124, 484t−386, 955t+ 9, 316t² +5, 152t² + 6, 041t³ +3, 040t³ − 0, 231t⁴;−0, 073t⁴;

et de quart-d’heure en quart-d’heure,

q=−2636, 970000 r=+925, 730000+281, 121041t− 96, 738750t +0, 582266t² −0, 321979t² +0, 094388t³ +0, 047500t³ −0, 000902t⁴;−0, 000286t⁴.

Donc

t=0ʰ.0ᵐ, q=−2636, 97, r=+925, 73, √(q²+r²)=2795, 0.15 , −2355, 17, +828, 72, 2496, 0.30 , −2071, 66, +731, 34, 2197, 0.45 , −1785, 89, +633, 88, 1895, 1. 0 , −1497, 36, +536, 59, 1590, 1.15 , −1205, 57, +439, 74, 1284, 1.30 , − 910, 07, +343, 59, 973, 1.45 , − 610, 39, +248, 38, 658, 2. 0 , − 306, 13, +154, 35, 342, 2.15 , + 3, 12, + 61, 74, 62, 2.30 , + 317, 75, − 29, 24, 319, 2.45 , + 638, 12, −118, 36, 648, 3. 0 , + 964, 55, −205, 41, 987, 3.15 , +1297, 36, −290, 18, 1329, 3.30 , +1636, 85, −372, 49, 1680, 3.45 , +1983, 28, −452, 13, 2034, 4. 0 , +2336, 90, −528, 92, 2396.

La conjonction aura donc lieu à 2ʰ.14ᵐ.51ˢ, temps vrai de Paris ; le passage du centre de la lune par l’écliptique à 2ʰ.25ᵐ.17ˢ; le commencement de l’éclipse à 0ʰ.47ᵐ.5ˢ; et sa fin à 3ʰ.36ᵐ.37ˢ.

Quant au milieu, soient

342=A, 62=A+ B+ C+ D, 319=A+2B+4C+ 8D, 648=A+3B+9C+27D;}d′ou^{`}{A=+342, 0, B=−202, 5, C=+501, 0, D=+ 77, 5,

Donc

√(C²−3BD)=296, t=0, 817, t²=0, 7774, t³=0, 6864;

donc aussi

A+Bt+Ct²+Dt³=59″

L’éclipse sera donc Annulaire. En voici le calcul.

On a

a=954, 8, b= 88.0, a−b= 73.8.

Comme cette différence, entre les deux demi-diamètres, est plus grande que la moindre distance des centres, l’éclipse sera annulaire.

Quant à la largeur des deux parties extrêmes de l’anneau, on a

a−b+c=132″, 8,

a−b−c= 14″, 8

* ↑ Voyez, pour l’interprétation des symboles, la page 40 du précédent volume.
* ↑ Dans un prochain numéro, nous appliquerons, au calcul de cette même éclipse, la méthode dont nous avons fait mention à la page 189 de ce volume. J. D. G.
