Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Astronomie, article 5
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Astronomie, article 5

### Solution du problème de combinaisons proposé à la page 328 du V.ᵉ volume de ce recueil ;

Problème. Avec m choses, toutes différentes les unes des autres, de combien de manières peut-on faire n parts, avec la faculté de faire des parts nulles ?

Solution 1. Désignons, en général, par (m, n) l’ensemble de toutes les manières de faire, avec m choses, n parts dont aucune ne soit nulle ; et par Z_{(m, n)} le nombre de ces manières.

Soient c le nombre des choses, p celui des parts, k l’une de ces choses à volonté, R l’ensemble des c−1 autres choses. On pourra, dans l’ensemble (c, p), distinguer deux espèces de répartitions ; savoir : des répartitions (I) dans lesquelles la chose k formera à elle seule une part, et des répartitions (II) où la chose k se trouvera réunie, dans une même part, avec une ou plusieurs des choses R.

2. Considérons d’abord les répartitions r, r′, r″, … appartenant à l’espèce (I). Si de chacune de ses répartitions on retranche la part formée par k, il restera des répartitions ρ, ρ′ρ″, … de c−1 choses distribuées en p−1 parts, ou, suivant notre notation, des répartitions appartenante l’ensemble (c−1, p−1). Réciproquement si, à des répartitions ρ, ρ′ρ″, … contenues dans ce dernier ensemble, on ajoute une part formée d’une nouvelle chose k, on obtiendra r, r′, r″, … de l’espèce (I). Il est de plus évident que si r, r′, r″, … ne sont pas identiques, ρ, ρ′ρ″, … ne le seront pas non plus, et réciproquement ; d’où il suit que le nombre des répartitions (I) est égal à celui des répartitions (c−1, p−1), lequel est exprimé, suivant notre notation, par Z_{(c−1, p−1)}.

3. Retranchons la chose k de chacune des répartitions de l’espèce (II) ; nous aurons diminué d’une unité le nombre des choses, sans changer celui des parts ; ainsi, les répartitions résultant de ce retranchement appartiendront à l’ensemble (c−1, p). Réciproquement, ayant une répartition appartenant à ce dernier ensemble, si l’on ajoute la chose k à l’un quelconque des parts de cette répartition, on obtiendra une répartition de l’espèce (II) ; et, comme il y a p parts, et par conséquent p manières de faire cette adjonction, chaque répartition de L’ensemble (c−1, p) produira p répartitions de l’espèce (II), lesquelles, seront évidemment différentes entre elles. De plus, il est facile de voir que deux répartitions différentes de l’ensemble (c−1, p) le seront encore lorsqu’on y aura ajouté k d’une manière quelconque. Donc le nombre des répartitions (II) est p fois celui des répartitions (c−1, p); c’est-à-dire, qu’il est =pZ_{(c−1, p)}.

Ainsi, (c, p) étant composé de (I) et de (II), on aura

Z_{(c, p)}=p.Z_{(c−1, p)}+Z_{(c−1, p−1)}.

4. Au moyen de cette équation, nous pourrons former une table à double entrée des valeurs de Z_{(c, p)} pourvu que nous en connaissions les valeurs initiales. Or, si p=1, on a Z_{(c, p)}=1; car, quel que soit le nombre des choses, il n’y a qu’une manière d’en faire une seule part. Cette formule donne donc la première ligne horizontale de la table. Ensuite, si p=c, on a encore Z_{(c, p)}=1; car il n’y a de même qu’une manière de faire n part avec n choses. Cette formule fournit la diagonale qui part de la case qui répond à c=1, p=1. Quant au cas où on aurait p>c, il est clair qu’il n’y répond aucune répartition possible, de sorte que toutes les cases situées de l’un des côtés de notre diagonale doivent demeurer vides.

=c.

| Nombre de parts = p. | A1234567891011111111111213715316312725551131625903019663025933041106535017017770341055115140105069514252561212662646228277128462588081367509145101 |
| - | - |

5. Or, à l’inspection de cette table, on trouve, par une induction assez facile,

Z_{(c, p)}=1/1.2.3…p {pᶜ−p/1 (p−1)ᶜ+p/1.p−1/2 (p−2)ᶜ−…};

et on s’assure ensuite, par le calcul, que cette expression de Z_{(c, p)} satisfait réellement à l’équation (A) ; mais il faut de plus que les valeurs initiales soient vérifiées. Or, si p=1, la formule se réduit, en effet, à l’unité, il en est de même, dans le cas de c=p, en vertu du théorème connu :

1.2.3…p=pᵖ−p/1 (p−1)ᵖ+p/1.p−1/2 (p−2)ᵖ−…;

ainsi, cette formule est démontrée.

6. Nous avons supposé jusqu'ici qu’aucune part ne devait être nulle. Admettons maintenant qu’un nombre quelconque de parts puissent l’être ; et nommons Y_{(c, p)} le nombre des répartitions possibles dans cette nouvelle hypothèse. L’ensemble de toutes ces répartitions pourra être distribué en p espèces, suivant que le nombre des parts non nulles, qui ne saurait être zéro, sera 1.2.3…p. Soit q un quelconque de ces nombres. Le nombre des répartitions dans lesquelles q parts ne sont pas nulles est, par ce qui précède, Z_{(c, q)}; donnant donc successivement à q toutes les valeurs, depuis 1 jusqu’à p inclusivement, on aura

Y_{(c, p)}=Z_{(c, 1)}+Z_{(c, 2)}+Z_{(c, 3)}…+Z_{(c, p)};

on aurait de même

Y_{(c, p−1)}=Z_{(c, 1)}+Z_{(c, 2)}+Z_{(c, 3)}…+Z_{(c, p−1)};

d’où, en retranchant et transposant

Y_{(c, p)}=Y_{(c, p−1)}+Z_{(c, p)}

Ainsi, au moyen de la table précédente, et des valeurs initiales de Y, savoir Y_{(c, 1)}, pour toutes les valeurs de c, on construira facilement la table relative à la seconde hypothèse, par de simples additions.

=c.

| Nombre de parts = p. | A123456789101111111111121248163264128256512312514411223651094328198424125155118771527951105143947512515522028553845180028647261251552203876411120648109299712515522038774139211101151798125155220387741402114611592991251552203877414021147115974101251552203877414021147115975 |
| - | - |

7. La loi des valeurs de Y, dans cette dernière table, ne se présente pas si facilement que dans la première. Cependant, avec de l’attention, on parvient à trouver que ces valeurs peuvent être exprimées par la formule

Y_{(c, p)}=1/1.2.…p {pᶜ+0.p/1 (p−1)ᶜ+1.p/1.p−1/1.2 (p−2)ᶜ

+2.p/1.p−1/2 p−2/3 (p−3)ᶜ+…};

dans laquelle les coefficiens 0, 1, 2, 9, 44, 265, … sont liés entre eux par les équations.

0=1.1−1, 1=2.0+1, 2=3.1−1, 9=4.2+1, 44=5.p−1, …………;

ou, en général,

aₙ=n.aₙ₋₁+(−1)ⁿ;

le quantième n du premier terme de la formule étant 0.

On s’assure ensuite, par un calcul effectif, qu’elle satisfait à l’équation (C). De plus, en faisant p=1, elle se réduit à l’unité, ce qui vérifie les valeurs initiales ; d’où il suit que cette formule résout le problème proposé. L’expression générale des coefficiens 0, 1, 2, 9, 44, … est au surplus

aₙ=(−1)ⁿ{1−n+n(n−1)−n(n−1)(n−2)+…};

car, outre que cette expression satisfait à l’équation (E), elle donne la valeur initiale a₀=1.

8. En éliminant Z entre les deux équations (A), (C), on parvient facilement à la suivante

Y_{(c, p})=pY_{(c−1, p})+Y_{(c, p−1})−(p−1)Y_{(c−1, p−1})−Y_{(c−2, p−1});

qui a conséquemment pour intégrale la formule (D), tout comme (A) a pour intégrale la formule (B) ; mais ces intégrales, pour être complètes doivent admettre un complément arbitraire.

* ↑ Ces coefficiens peuvent encore être considérés comme liés entre eux par l’équation aux différences aₙ=n(aₙ₋₁+a₋₁). J. D. G.
