Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Analise transcendante, article 4
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Analise transcendante, article 4

## ANALISE TRANSCENDANTE.

### Recherche de diverses séries ;

I. En multipliant membre à membre les formules connues

Cos⁡.2z=Cos.²z−Sin.²z, 1=Cos.²z+Sin.²z,

on trouve

Cos⁡.2z=Cos.⁴z−Sin.⁴z=Cos.⁴z(1−Tang.⁴z);

de laquelle on déduira

Log.Cos⁡.2z=Log.Cos.⁴z+Log.(1−Tang.⁴z);

c’est-à-dire,

Log.Cos⁡.2z=

4Log.Cos.z−M(Tang.⁴z+1/2 Tang.⁸z+1/3 Tang.¹²z+…);

ou bien encore, en considérant 1−Tang.⁴z sous la forme 1−Tang.⁴z/1,

Log.Cos⁡.2z=4Log.Cos.z−2M{Tang.⁴z/2−Tang.⁴z

+1/3 (Tang.⁴z/2−Tang.⁴z)³+1/5 (Tang.⁴z/2−Tang.⁴z)⁵+…};

formules dans lesquelles M est le module des tables ; et qui sont très-convergentes, principalement la dernière, toutes les fois que l’angle z est moindre qu’un demi-droit.

II. Si, dans la formule (1), on change successivement z en 1/2 z, 1/4 z, 1/8 z, …, on trouvera

Cos.z=Cos.⁴ 1/2 z(1−Tang.⁴ 1/2 z), Cos.1/2 z=Cos.⁴ 1/4 z(1−Tang.⁴ 1/4 z), Cos.1/4 z=Cos.⁴ 1/8 z(1−Tang.⁴ 1/8 z), ……………………………,

En multipliant ces diverses équations membre a membre, on obtiendra, par la suppression des facteurs communs,

Cos.z=Cos.³ 1/2 zCos.³ 1/4 zCos.³ 1/8 z…

(1−Tang.⁴ 1/2 z)(1−Tang.⁴ 1/4 z)(1−Tang.⁴ 1/8 z)…

d’où

Cos.1/2 zCos.1/4 zCos.1/8 z…=

Cos.¹ᐟ³z/(1−Tang.⁴ 1/2 z)¹ᐟ³(1−Tang.⁴ 1/4 z)¹ᐟ³(1−Tang.⁴ 1/8 z)¹ᐟ³…

substituant cette valeur dans la formule connue

Sin.z=zCos.1/2 zCos.1/4 zCos.1/8 z…;

on aura

Sin.z=zCos.¹ᐟ³z/(1−Tang.⁴ 1/2 z)¹ᐟ³(1−Tang.⁴ 1/4 z)¹ᐟ³(1−Tang.⁴ 1/8 z)¹ᐟ³…

série tout aussi régulière et beaucoup plus convergente.

III. Prenons encore les formules connues

Cos.z=(e^{z√(−1)}+e^{z√(−1)})/2, Sin.z=e^{z√(−1)}−e^{z√(−1)}/2√(−1) ;

dans lesquelles on a, comme l’on sait

e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+…

L’on en déduira

z=1/2√(−1) Log.(Cos.z+√(−1)Sin.z)/Cos.z−√(−1)Sin.z,

auquel on peut substituer

z=1/2√(−1) Log.(Cos.²z+√(−1)Sin.zCos.z)/Cos.²z−√(−1)Sin.zCos.z,

ou encore

z=1/2√(−1) Log.(1−Sin.²z+√(−1)Sin.zCos.z)/1−Sin.²z−√(−1)Sin.zCos.z ;

ou enfin

z=1/2√(−1) Log.1−Sin.z(Sin.z−√(−1)Cos.z)/(1−Sin.z(Sin.z+√(−1)Cos.z)) ;

et par conséquent

z=1/2√(−1) {Log.[1−Sin.z(Sin.z−√(−1)Cos.z)]

−Log.[1−Sin.z(Sin.z+√(−1)Cos.z)]}.

Faisons présentement

Tang.z=x,

d’où

Sin.z=x/(√(1+x²)), Cos.z=1/(√(1+x²)) ;

mettant ces valeurs dans l’équation (3), elle deviendra

z=1/2√(−1) {Log.[1−x/(1+x²) (x−√(−1))]

−Log.[1−x/(1+x²) (x+√(−1))]}.

En développant le second membre de cette équation en deux séries et réunissant les termes correspondans, on tombe précisément sur la formule donnée par M. Kramp, à la page 29 de ce volume, et qui se trouve ainsi établie sans induction.

Désignons l’angle droit par q, et faisons, dans l’équation (3) z=q−u, nous trouverons

q−u=1/2√(−1) {Log.[1−Cos.u(Cos.u−√(−1)Sin.u)]

−Log.[1−Cos.u(Cos.u+√(−1)Sin.u)]};

développant le second membre, et observant que

((Cos.u+√(−1)Sin.u)ⁿ−(Cos.u−√(−1)Sin.u)ⁿ)/2√(−1)=Sin.nu,

nous aurons, en changeant u en z,

q−z=Cos.z/1 Sin.z+Cos.²z/2 Sin⁡.2z+Cos.³z/3 Sin⁡.3z+…

série très-régulière.

IV. En intégrant par parties, on trouve

∫ xᵐd⁡x/((1+x²)ⁿ)=(xᵐ⁺¹)/(m(1+x²)ⁿ)+2n/m ∫ (xᵐ⁺²d⁡x)/((1+x²)ⁿ⁺¹) ;

et comme, lorsque x désigne la tangente de l’angle z, on a

d⁡z=d⁡x/(1+x²),

on conclut de cette formule

z=1/x {(x²/(1+x²))+2/3 (x²/(1+x²))²+2.4/3.5 (x²/(1+x²))³+2.4.6/3.5.7 (x²/(1+x²))⁴+…},

dont les termes sont tous positifs.

On a encore

1/(1+x²)=1−x²/(1+x²) ;

d’où l’on tire

z=x−∫ x²d⁡x/(1+x²) ;

ce qui donne, en vertu de la formule (4),

z=x−x/3 {(x²/(1+x²))+2/5 (x²/(1+x²))²+2.4/5.7 (x²/(1+x²))³+2.4.6/5.7.9 (x²/(1+x²))⁴+…}.

La valeur de z, déduite de la formule précédente, était constamment trop petite ; celle qu’on déduira de celle-ci sera constamment trop grande ; de sorte que, par leur emploi simultané, on obtiendra une limite de l’erreur résultant de l’usage de chacune d’elles ; condition que l’on doit toujours s’imposer dans tout procédé approximatif. Ces formules sont précisément celles qu’on a proposé de démontrer à la page 188 de ce volume.

On tire de notre dernière série

z/x=1−1/3 {(x²/(1+x²))+2/5 (x²/(1+x²))²+2.4/5.7 (x²/(1+x²))³+…};

en supposant z=q, on aura x=∞, z/x=0 et x²/(1+x²)=1; substituant donc, il viendra, en transposant,

1=2/3 (1+2/5+2.4/5.7+2.4.6/5.7.9+2.4.6.8/5.7.9.11+…);

multipliant celle ci par 3, transposant et réduisant, nous aurons

2=2/5+2.4/5.7+2.4.6/5.7.9+2.4.6.8/5.7.9.11+2.4.6.8.10/5.7.9.11.13+…

multipliant cette dernière par 5/2, transposant et réduisant, on aura

4=4/7+4.6/7.9+4.6.8/7.9.11+4.6.8.10/7.9.11.13+…

Un procédé semblable pouvant êlre répété indéfiniment, on aura, en général,

2n=2n/(2n+3)+2n/(2n+3).(2n+2)/(2n+5)+2n/(2n+3).(2n+2)/(2n+5).(2n+4)/(2n+7)+…

résultat remarquable, qu’il serait peut-être difficile d’obtenir à priori et qui peut faciliter les réductions dans certains calculs.

V. Soit représenté, en général, par (i, n) une fonction telle que

i/1.i−1/2.i−2/3 … i−n/(1+n) ;

on aura

(i, k+1)=(i, k), (i−[k+1])/(k+2) ;

d’où on tire, par intégration,

∫(i, k+1)d⁡i=−(k+1)/(k+2) ∫(i, k)d⁡i+1/(k+2) ∫(i, k)id⁡i;

en posant donc, pour abréger,

∫(i, k)id⁡i/∫(i, k)d⁡x=u,

cette équation deviendra

∫(i, k+1)d⁡i=−∫(i, k)d⁡i× (k+1−u)/(k+2).

Si l’on prend les intégrales depuis i=0 jusqu’à i=1, la fonction u sera positive et moindre que l’unité ; d’où l’on voit qu’entre ces limites ∫(i, k+1)d⁡i est moindre que ∫(i, k)d⁡i et de signe contraire. Il est même facile de s’assurer que, si l’on représente par (−1)ᵏAₖ, l’intégrale ∫(i, k)d⁡i prise entre ces limites, tous les nombres A₀, A₁, A₂, …Aₖ seront positifs.

VI. Cela posé, si y représente une fonction déterminée de x, et qu’on désigne par yᵢ la valeur que prend y, lorsqu’on change x en x+i; l’on aura, comme l’on sait, en posant Δx=1

yᵢ=y+(i, 0)Δy+(i, 1)Δ²y+(i, 2)Δ³y+…;

multiplant par d⁡i, et intégrant entre les limites 0 et 1; on trouvera, en vertu de ce qui précède,

Δ∫yd⁡x=y+A₀Δy−A₁Δ²y+A₂Δ³y−A₃Δ⁴y+…;

en observant qu’entre ces limites ∫yᵢd⁡i=Δ∫yd⁡x. Intégrant la formule (6) par rapport à Δ, on aura

∫yd⁡x=Σy+A₀y−A₁Δy+A₂Δ²y−…+Const.;

d’où, en transposant et changeant de constante

Σy=∫yd⁡x−A₀y+A₁Δy−A₂Δ²y+…

Cette dernière formule nous paraît de beaucoup préférable à la formule ordinaire ; attendu que les nombres de Bernoulli qu’on y introduit, deviennent bientôt excessivement divergens ; tandis qu’au contraire nos A₀, A₁, A₂, …Aₖ convergent constamment, comme nous l’avons fait remarquer plus haut.

Pour donner une application de nos formules, soit

y=1/x,

∫yd⁡x=l.x

Δy=−1/(x(x+1)), Δ²y=+1.2/(x(x+1)(x+2)), …,

Δᵏy=[−1]ᵏ.1.2.3…k/(x(x+1)(x+2)…(x+k)) ;

alors la formule (6) donnera

Δl⁡x=1/x−1.A₀/(x(x+1))−1.2.A₁/(x(x+1)(x+2))−1.2.3.A₂/(x(x+1)(x+2)(x+3))−…

d’où on conclura

Δ²l⁡x=−1/(x(x+1))+1.2.A₀/(x(x+1)(x+2))+1.2.3.A₁/(x(x+1)(x+2)(x+3))−…

et, en général,

Δᵏl⁡x=(−1)ᵏ⁺¹.x!/x { k!/((x+k)!)−((k+1)!)/((x+k+1)!) A₀

+((k+2)!)/((x+k+2)!) A₁−((k+3)!)/((x+k+3)!) A₂+…}

Formule plus régulière, plus convergente et plus commode que toutes celles qui ont été proposées jusqu’ici, pour le calcul des différences logarithmiques.

On pourrait faire une infinité d’applications des séries (6, 7, 8) ; mais, comme elles ne sauraient offrir de difficulté, nous ne nous y arrêterons pas. Nous nous contenterons d’observer que la formule (6) est comprise, comme cas particulier, dans la suivante

Δᵏ∫yd⁡x=Δᵏ⁻¹y+A₀Δᵏy−A₁Δᵏ⁺¹y+A₂Δᵏ⁺²y+…

qui s’en déduit avec la plus grande facilité.

VIII. On peut employer aussi ; dans un grand nombre de cas, la formule suivante

d⁡y/d⁡x=Δy−1/2 Δ²y+1/3 Δ³y−1/4 Δ⁴y+…

d’où on conclut

Σ d⁡y/d⁡x=y−1/2 Δy+1/3 Δ²y−1/4 Δ³y+…+Const.

nous nous contenterons d’en faire les deux applications suivante.

Soit y=1/x, d’où d⁡y/d⁡x=−1/x² ; on aura

Σ 1/x²=Const.−1/x−1/2.1/(x(x+1))−1/3.1.2/(x(x+1)(x+2))−…

série tout à la fois régulière et convergente.

Soit encore y=∫(i, n)d⁡i, l’on aura d⁡y/d⁡i=(i, n), Σ d⁡y/d⁡i =(i, n+1) +C, et Δᵏy=Δᵏ∫(i, n)d⁡i=∫d⁡iΔᵏ(i, n); partant, en observant que

Δᵏ(i, n)=(i, n−k), Δⁿ⁺¹(i, n)=1, Δⁿ⁺¹⁺ᵅ(i, n)=0,

nous aurons

(i, n+1)=∫(i, n)d⁡i−1/2 ∫(i, n−1)d⁡i+1/3 ∫(i, n−2)d⁡i−…

…+(−1)ⁿ/(n+1) ∫(i, 0)d⁡i+((−1)ⁿ⁺¹)/(n+2) i.

Si, dans cette dernière formule, on prend les intégrales depuis i=0 jusqu’à i=1, en mettant pour ∫(i, n)d⁡i, ∫(i, n−1)d⁡i, … prises entre ces limites, les nombres qui les représentent et que nous avons appelés (−1)ⁿAₙ, (−1)ⁿ⁻¹Aₙ₋₁, …, on trouvera

0=Aₙ+1/2 Aₙ₋₁+1/3 Aₙ₋₂+…+1/(n+1) A₀−1/(n+2).

On tire de là

Aₙ=1/(n+2)−( Aₙ₋₁/2+Aₙ₋₂/3+Aₙ₋₃/4+Aₙ₋₄/5+… A₀/(n+1) );

ou encore, en observant que A₀=1/2,

Aₙ=n/(2(n+1)(n+2))−( Aₙ₋₁/2+Aₙ₋₂/3+Aₙ₋₃/4+Aₙ₋₄/5+… A₁/n ).

formule qui servira à déduire les uns des autres les nombres A₁, A₂, A₃, …, Aₙ que nous avons substitués, dans nos formules, aux nombres de Bernoulli. En observant que A₁=1/12, on trouvera

A₀=1/2 =0, 50000000, A₁=1/12 =0, 08333333, A₂=1/24 =0, 04166666,

A₃=19/720=0, 2638888, A₄=3/160=0, 01873000, A₅=863/60480=0, 01426918, ……………

Or, ces nombres étant tous positifs, ainsi que nous l’avons déjà observé, et étant en outre perpétuellement convergens, il s’ensuit que

Aₙ< n/(2(n+1)(n+2))−Aₙ( 1/2+1/3+1/4+…+1/n ),

d’où on tire

Aₙ< n/(2(n+1)(n+2)).1/(1/1+1/2+1/3+…+1/n) ;

ce qui montre, mieux que nous ne l’avions fait ci-dessus, la convergence toujours croissante de ces nombres.

* ↑ Il serait curieux de savoir si cette formule aurait également lieu pour une valeur fractionnaire ou négative de n. J. D. G.
