Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Analise transcendante, article 7
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/Analise transcendante, article 7

## ANALISE TRANSCENDANTE.

### De l’intégration approchée des équations différentielles ;

I. Dans un précédent mémoire nous nous sommes occupés de l’intégration approchée de l’équation

y+d⁡y/d⁡x=Q,

dont l’intégrale rigoureuse est

y=e⁻ˣ∫eˣQd⁡x.

Si l’on fait

∫eˣQd⁡x=A+X,

cette intégrale devient

y=Ae⁻ˣ+Xe⁻ˣ;

désignant par q₀, q₁, q₂, q₃, … ce que devient Q dans les suppositions particulières de x=0, 1, 2, 3, …, nous avons vu que l’intégrale de cette équation, où la quantité y pourrait être représentée par une expression de cette forme

y=Aq₀+Bq₁+Cq₂+Dq₃+…;

et qu’on avait alors, pour le diviseur

Deux;2y=q₀+q₂;Trois;6y=2q₀−3q₁+6q₂+q₃;Quatre;6y=q₀−2q₁+3q₂+2q₃+2q₄;Cinq;60y=7q₀−25q₁+50q₂−40q₃+55q₄+13q₅;Six;360y=19q₀−72q₁+135q₂−80q₃+45q₄+216q₅+97q₆;Sept;5040y=216q₀−1246q₁+3528q₂−5670q₃+6440q₄−3906q₅+4536q₆+1142q₇;Huit;40320y=600q₀−3072q₁+6832q₂−5376q₃−3360q₄+17920q₅−14448q₆+31488q₇+9736q₈;Neuf;15120y=260q₀−2115q₁+8218q₂−1927q₃+30744q₄−34030q₅+28560q₆−14778q₇+14148q₈+3391q₉;

et ainsi de suite. Ces résultats ne sont pas seulement approximatifs ; mais ils sont exacts, à la rigueur, toutes les fois que la fonction Q est une puissance de x à exposant entier et positif ce qui rend la quantité eˣQd⁡x intégrable par elle-même. Si cette condition n’est pas remplie, les résultats que nous venons de donner ne seront qu’approximatifs, mais de manière qu’en se servant seulement du diviseur six on aura du moins, dans les cas ordinaires, l’intégrale jusqu’à cinq décimales au moins ; et qu’avec le divisear neuf on pourra aller jusqu’à douze.

2. On rend celle équation un peu plus générale en affectant d⁡y/d⁡x du facteur constant n; elle devient alors

y+n d⁡y/d⁡x=Q.

Nous avons déjà remarqué qu’elle se réduit facilement à la première, par la simple supposition x=nx′, qui donne

y+d⁡y/d⁡x′=Q′;

Q′ étant une fonction de x′, plus ou moins différente de la première. Ce procédé fort simple est en effet plus que suffisant dans toutes les intégrations particulières des équations de la forme

y+n d⁡y/d⁡x=Q,

dans lesquelles Q est une fonction de x; mais on serait forcé de le reconnaître insuffisant dans les équations des ordres plus élevés, telles que

y+A d⁡y/d⁡x+B d²⁡y/d⁡x²=Q,

y+A d⁡y/d⁡x+B d²⁡y/d⁡x²+C d³⁡y/d⁡x³=Q,

et ainsi des autres. On sera donc obligé, dans tous les cas, d’avoir des solutions qui donnent immédiatement en A, B, C, … la véritable valeur de l’inconnue y.

3. La solution de ce cas est plus longue, sans être beaucoup plus difficile. En posant

y=A+Bx+Cx²+Dx³+Ex⁴+…,

on a

d⁡y/d⁡x=B+2Cx+3Dx²+4Ex³+…,

et

n d⁡y/d⁡x=nB+2nCx+3nDx²+4nEx³+…,

substituant donc dans l’équation

y+n d⁡y/d⁡x=Q,

elle deviendra

Q=(A+nB)+(B+2nC)x+(C+3nD)x²+(D+4nE)x³+…

En désignant encore ici par q₀, q₁, q₂, q₃, … ce que devient Q, lorsqu’on y fait successivement x=0, 1, 2, 3, … et faisant

Δq=q₁−q₀, 2Δ²q=q₂−2q₁+q₀, 6Δ³q=q₃−3q₂+3q₁−q₀, 24Δ⁴q=q₄−4q₃+6q₂−4q₁+q₀,

on aura les différences consécutives Δq, 2Δ²q, 6Δ³q, … de la manière qui suit :

q=A+nB, Δ q=B+(1+2n)C+(1+3n)D+(1+4n)E+(1+5n)F+(1+6n)G+…, Δ²q=C+(3+3n)D+(7+12n)E+(15+35n)F+(31+90n)G+…, Δ³q=D+(6+4n)E+(25+30n)F+(90+150n)G+…, Δ⁴q=E+(10+5n)F+(65+60n)G+…, Δ⁵q=F+(15+6n)G+…, Δ⁶q=G+…,

On regardera les quantités q, Δq, Δ²q, Δ³q, … comme données et les coefficiens A, B, C, D, … comme les inconnues du problème. Il sera donc facile de trouver celles-ci, en commençant par la dernière, pour laquelle j’ai pris le douzième coefficient, désigné par la lettre N. De celle-ci on remontera à M; de M on ira jusqu’à L, et ainsi de suite. On aura ainsi les valeurs des douze premiers coefficiens A, B, C, …N, ainsi qu’il suit :

A=q−nΔq+n(1+2n)Δ²q−n(2+6n+6n²)Δ³q+n(6+22n+36n²+24n³)Δ⁴q−n(24+100n+210n²+240n³+120n⁴)Δ⁵q+n(120+548n+1350n²+2040n³+1800n⁴+720n⁵)Δ⁶q

−n(720+3528n+9744n²+17640n³+21000n⁴+15120n⁵+5040n⁶)Δ⁷q+n(5040+26136n+78792n²+162456n³+2325200n⁴+231840n⁵+741120n⁶+40320n⁷)Δ⁸q−n(40320+219168n+708744n²+161481n³+2693880n⁴+3265920n⁵+2731840n⁶+1451520n⁷+362880n⁸)Δ⁹q+n(362880+2053152n+7036200n²+17368320n³+32319000n⁴+45554560n⁵+47628000n⁶+35078400n⁷+16329600n⁸+3628800n⁹)Δ¹⁰q−n(3628800+21257280n+76521456n²+201828000n³+410031600n⁴+649479600n⁵+795175920n⁶+731808000n⁷+479001600n⁸+199584000n⁹+39916800n¹⁰)Δ¹¹q+n(39916800+241087680n+905507856n²+2526193824n³+5519487600n⁴+9604465200n⁵+13293292320n⁶+14411295360n⁷+11855289600n⁸+6985440000n⁹+2634508800n¹⁰+479001600n¹¹)Δ¹²q

B=Δq−(1+2n)Δ²q+n(2+6n+6n²)Δ³q−(6+22n+36n²+24n³)Δ⁴q+(24+100n+210n²+240n³+120n⁴)Δ⁵q−(120+548n+1350n²+2040n³+1800n⁴+720n⁵)Δ⁶q+(720+3528n+9744n²+17640n³+21000n⁴+15120n⁵+5040n⁶)Δ⁷q−(5040+26136n+78792n²+162456n³+2325200n⁴+231840n⁵+741120n⁶+40320n⁷)Δ⁸q+(40320+219168n+708744n²+161481n³+2693880n⁴+3265920n⁵+2731840n⁶+1451520n⁷+362880n⁸)Δ⁹q−(362880+2053152n+7036200n²+17368320n³+32319000n⁴+45554560n⁵+47628000n⁶+35078400n⁷+16329600n⁸+3628800n⁹)Δ¹⁰q+(3628800+21257280n+76521456n²+201828000n³+410031600n⁴+649479600n⁵+795175920n⁶+731808000n⁷+479001600n⁸+199584000n⁹+39916800n¹⁰)Δ¹¹q−(39916800+241087680n+905507856n²+2526193824n³+5519487600n⁴+9604465200n⁵+13293292320n⁶+14411295360n⁷+11855289600n⁸+6985440000n⁹+2634508800n¹⁰+479001600n¹¹)Δ¹²q

C=Δ²q−(3+3n)Δ³q+(11+18n+12n²)Δ⁴q−(50+105n+120n²+60n³)Δ⁵q+(274+675n+1020n²+900n³+360n⁴)Δ⁶q−(1764+4872n+8820n²+10500n³+7560n⁴+2520n⁵)Δ⁷q+(13068+39396n+81228²+117600n³+115920n⁴)+70560n⁵+80160n⁶+n⁷)Δ⁸q−(109584+354372n+807408n²+1396940n³)1632960n⁴+1375920n⁵+725760n⁶+181440n⁷)Δ⁹q+(1026576+3518100n+8684160n²+16159500n³+22778280n⁴+23814000n⁵+17539200n⁶+8164800n⁷+1814400n⁸)Δ¹⁰q−(10628640+38260728n+100914000n²+2050158n³+324739800n⁴+397587960n⁵+365904000n⁶+239500800n⁷+99792000n⁸+19958400n⁹)Δ¹¹q+(120543840+452753928n+1263096912n²+2759748800n³+4802232600n⁴+6646646160n⁵+7205647680n⁶+5927644800n⁷+3492720000n⁸+1317254400n⁹+239500800n¹⁰)Δ¹²q.

D=Δ³q−(6+4n)Δ⁴q+(35+40n+20n²)Δ⁵q−(225+340n+300n²+120n³)Δ⁶q+(1624+2940n+3500n²+2520n³+840n⁴)Δ⁷q−(13132+27076n+39200n²+38640n²+23520n⁴+6720n⁵)Δ⁸q+(118124+269136n+448980n²+544320n³+458640n⁴+241920n⁵+60480n⁶)Δ⁹q−(1172700+2894720n+5386500n²+7592760n³+7938000n⁴+5846400n⁵+2721600n⁶+604800n⁷)Δ¹⁰q+(12753576+33638000n+683386040n²+108246600n³+132529320n⁴+121968000n⁵+79833600n⁶+33264000n⁷+6652800n⁸)Δ¹¹q−(150917976+421032304n+919914600n²+1600744200n³+2215548720n⁴+2401882560n⁵+1975881600n⁶+1164240000n⁷+439084800n⁸+79833600n⁹)Δ¹²q

E=Δ⁴q−(10+5n)Δ⁵q+(86+75n+30n²)Δ⁶q−(735+875n+630n²+210n³)Δ⁷q+(6769+9800n+9660n²+5880n³+1680n⁴)Δ⁸q−(67284+112245n+136080n²+114660n³+6048n⁴+13720n⁵)Δ⁹q

+(723680+1346625n+1898190n²+1984500n³+1461600n⁴+680400n⁵+151200n⁶)Δ¹⁰q−(8409500+17084650n+27061650n²+33132330n³+30492000n⁴+19958400n⁵+8316000n⁶+1663200n⁷)Δ¹¹q+(105258076+229978650n+400186050n²+553887180n³+600470640n⁴+493970400n⁵+291060000n⁶+109771200n⁷+19958400n⁸)Δ¹²q

F=Δ⁵q−(15+6n)Δ¹⁰q+(175+126n+42n²)Δ⁷q−(1960+1932n+1176n²+336n³)Δ⁸q+(22449+27216n+22932n²+12096n³+3024n⁴)Δ⁹q−(269325+379638n+396900n²+292320n³+136080n⁴+30240n⁵)Δ¹⁰q+(3416930+5412330n+6626466n²+6098400n³+3991680n⁴+1663200n⁵+332640n⁶)Δ¹¹q−(45995730+80037210n+110777436n²+120094128n³+98794080n⁴+58212000n⁵+21954240n⁶+3991680n⁷)Δ¹²q

G=Δ⁶q−−(21+7n)Δ⁷q+(322+169n+56n²)Δ⁸q−(4536+3822n+2016n²+504n³)Δ⁹q+(63273+16150n+48720n²+22680n³+5040n⁴)Δ¹⁰q−(902055+1104411n+1016400n²+665280n³+277200n⁴+55440n⁵)Δ¹¹q+(13339535+18462906n+20015688n²+16465680n³+9702000n⁴+3659040n⁵+665280n⁶)Δ¹²q

H=Δ⁷q−(28+8n)Δ⁸q+(546+288n+72n²)Δ⁹q+(9450+6960n+3240n²+720n³)Δ¹⁰q+(157773+145200n+95040n²+39600n³+7920n⁴)Δ¹¹q−(2637558+2859384n+2352241n²+1386000n³+322720n⁴+95040n⁵)Δ¹²q

I=Δ⁸q−(36+9n)Δ⁹q+(870+405n+90n²)Δ¹⁰q−(18150+11880n+4950n²+990n³)Δ¹¹q+(357423+294030n+173250n²+65340n³+11880n⁴)Δ¹²q

K=Δ⁹q−(45+10n)Δ¹⁰q+(1320+550n+110n²)Δ¹¹q+(32670+19250n+7260n²+1320n³)Δ¹²q

L=Δ¹⁰q−(55+11)Δ¹¹q+(1925+726n+132n²)Δ¹²q.

M=Δ¹¹q−(66+12n)Δ¹²q.

N=Δ¹²q.

4. Les valeurs des coefficiens de cette longue série de résultats se présentent très-facilement ; pour peu qu’un ait sous les yeux la table de ceux des facultés numériques, telle que je l’ai donnée dans mon Analise des réfractions, et dont je vais donner une copie, continuée jusqu’à douze. La voici :

I.1II.11III.132IV.16116V.110355024VI.11585225274120VII.12117573516241764720VIII.128322196067691313213068IX.13G54645362244967284118124X.145870943063273269325723680XI.1551320181501577739020353416930XII.166192532670357423263755813339535

VIII.5040IX.10958440300X.11727001026576362880XI.84095001273576106286403628800XII.4599573010525807615091797612054384039916800.

5. Supposons à présent qu’on demande la partie de la série qui fait connaître le quatrième coefficient, ou D. Cette série commence par la troisième différence de q, ou par Δ³q, qui est multipliée par l’unité seule.

Le second terme sera la différence plus élevée d’une unité, ou bien Δ⁴q. Pour trouver les nombres qui multiplient cette quatrième différence ; on prendra ceux de la quatrième faculté, ou de 4!, à commencer par le troisième terme de cette faculté ; on aura 6, 1; on les multipliera, le premier, par 1, le second, par 4; on aura les produits 6.1, 1.4; il en résultera 6+4n; c’est le coefficient de Δ⁴q.

Le troisième terme sera Δ⁵q, multiplié par une fonction trinôme de n. Pour trouver les coefficiens de cette fonction, prenez, dans la faculté suivante, ou dans 5!, les termes, à commencer depuis le troisième ; c’est-à-dire, 35, 10, 1; multipliez ces trois termes, le premier par 1, le second par 4, et le troisième par 4×5=20; vous aurez 35.1, 10.4, 1.20; c’est-à-dire, 35, 40, 20; il en résultera 35+40n+20n²; c’est le coefficient de Δ⁵q.

Le quatrième sera Δ⁶q, multiplié par une fonction quadrinome de n. Prenez, dans la faculté suivante, ou dans 6!, les termes à commencer depuis le quatrième, savoir ; 225, 85, 15, 1; multipliez ces quatre nombres, le premier, par 1, le second, par 4, le troisième, par 4.5=20, et le quatrième, par 4.5.6=120; vous

225.1, 85.4, 15.20, 1.120;

225, 340.

300, 120; il en résultera le quadrinome 225+340n+300n²+120n³ c’est le coefficient de Δ⁶q.

Le cinquième sera Δ⁷q, multiplié par une fonction pentanome de n. Prenez, dans la faculté suivante, ou dans 7!, les termes à commencer depuis le cinquième, savoir, 1624, 735, 175, 21, 1; multipliez ces cinq nombres, le premier, par 1, le second, par 4, le troisième, par 4.5=20, le quatrième, par 4.5.6=120, le cinquième, par 4.5.6.7=840, vous aurez les produits 1624, 2940, 3500, 2520, 840. Il en resulte le polynôme 1624+2940n +3500n²+2520n³+840n⁴ : c’est le coefficient de Δ⁷q.

Le sixième sera Δ⁸q, multiplié par une fonction hexanome de n. Prenez, dans la faculté suivante, ou dans 8!, les termes à commencer depuis le sixième, savoir ; 13132, 67699, 1960, 322, 28, 1; multipliez-les par ceux de la progression hyper-géométrique, 1, 4, 20, 120, 840, 6720; vous aurez pour produits les coefficiens du polynôme 13132+27076n+39200n² +38640n³+23520n⁴+6720n⁵; ce sera le coefficient de Δ⁸q.

On continuera de la même manière, tant qu’on voudra, c’est-à-dire, jusqu’à la douzième faculté ; c’est là où nous avons arrêté nos calculs.

6. Quant à la progression par laquelle il faudra multiplier les nombres pris dans la table générale des facultés, il faudra remarquer que

Pour A c’est la série hyper géométrique ordinaire, savoir ;

1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800.

Pour B c’est la même série.

Pour C c’est cette même série, à partir du second terme et divisée par 2; c’est-à-dire,

1, 3, 12, 60, 360, 2520, 20160, 181440, 1814400, 19958400.

Pour D c’est cette dernière, à partir du second terme, et divisée par 3; c’est-à-dire,

1, 4, 20, 120, 840, 6720, 60480, 604800, 6652800.

Pour E c’est la précédente, à partir de son second terme, et divisée par 4, c’est-à-dire.

1, 5, 30, 210, 1680, 15120, 151200, 1663200.

Pour F c’est 1, 6, 42, 336, 3024, 30240, 332640.

Pour G c’est …1, 7, 56, 504, 5040, 55440;Pour H c’est …1, 8, 72, 720, 7920;Pour I c’est …1, 9, 90, 990;Pour K c’est …1, 10, 110;Pour L c’est …1, 11;Pour M c’est …1;

7. Soit n=2. On aura

y+2 d⁡y/d⁡x=Q;

et la valeur intégrale et rigoureuse de y sera

y=1/2 e⁻ˣᐟ²∫eˣᐟ²Qd⁡x;

dans cette même supposition, on aura

A=q−2Δq+10Δ²q−76Δ³q+772Δ⁴q−9808Δ⁵q+149552Δ⁶q−2660544Δ⁷qB=Δq−5Δ²q+38Δ³q−386Δ⁴q+4904Δ⁵q−74776Δ⁶q+1330272Δ⁷qC=Δ²q−9Δ³q+95Δ⁴q−1220Δ⁵q+18664Δ⁶q−332388Δ⁷qD=Δ³q−14Δ⁴q+195Δ⁵q−3065Δ⁶q+55104Δ⁷qE=Δ⁴q−20Δ⁵q+355Δ⁶q−6685Δ⁷qF=Δ⁵q−27Δ⁶q+595Δ⁷qG=Δ⁶q−35Δ⁷qH=Δ⁷q

d’où on conclura

y=q+(x−2)Δq+(x²−5x+10)Δ²q+(x³−9x²+38x−76)Δ³q+(x⁴−14x³+95x²−386x+772)Δ⁴q+(x⁵−20x⁴+195x³−1220x²+4904x−9808)Δ⁵q+(x⁶−27x⁵+355x⁴−3065x³+18664x²−74776x+149652)Δ⁶q+(x⁷−35x⁶+595x⁵−6685x⁴+55104x³−332388x²+1330272x−2660544)Δ⁷q+…

On aura ainsi

Pour x=3…y=q+Δq+4Δ²q−16Δ³qPour x=4…y=q+2Δq+6Δ²q−4Δ³q+108Δ⁴qPour x=5…y=q+3Δq+10Δ²q+14Δ³q+92Δ⁴q−788Δ⁵qPour x=6…y=q+4Δq+16Δ²q+44Δ³q+148Δ⁴q−328Δ⁵q+7644Δ⁶qPour x=7…y=q+5Δq+24Δ²q+92Δ³q+324Δ⁴q−6588Δ⁵q−233324Δ⁶q−79672Δ⁷

et ainsi de suite.

Et enfin en mettant pour Δq, Δ²q, Δ³q, Δ⁴q, … leurs valeur en q, q₁, q₂, q₃, … d’après les formules connues, on aura

Pour x=3…3y=14q−33q₁+30q₂−8q₃Pour x=4…6y=43q−144q₁+192q₂−112q₃+27q₄Pour x=5…120y=1303q−5680q₁+10250q₂−9340q₃+4375q₄−788q₅Pour x=6…90y=1534q−8208q₁+18675q₂−22880q₃+15930q₄−5904q₅+943q₆

et ainsi de suite.

8. Exemple. Soit Q=x³, l’équation sera

y+2 d⁡y/d⁡x=x³,

elle aura pour intégrale complète

y=Ae⁻ˣᐟ²+x³−6x²+24x−48.

La méthode actuelle donne q₀=0, q₁=1, q₂=8, q₃=27, q₄=64, q₅=125, q₆=216, …

On aura donc, pour x=3,

3y=14q−33q₁+30q₂−8q₃=−33+240−216=−9;

donc y=−3.

Pour x=4, on aura

6y=−144+1536−3024+1728=+96;

donc y=16.

Pour x=5, on aura

120y=−5680+82000−252180+28000−9800=5640;

donc y=47.

Pour x=6, on aura

90y=−8208+149400−617760+1019520−738000

+203688=+8640;

donc y=96. Et ainsi de suite.

Or, toutes ces valeurs, tant de x que de y, sont visiblement comprises sous la loi générale

x³−6x²+24x−48;

ainsi l’intégrale complète sera

y=Ae⁻ˣᐟ²+x³−6x²+24x−48.

9. La méthode est sur-tout infiniment précieuse dans les cas innombrables où la différentielle

2y=e⁻ˣᐟ²∫eˣᐟ²Qd⁡x,

ou, plus généralement,

ny=e⁻ˣᐟⁿ∫eˣᐟⁿQd⁡x,

n’est pas intégrable à la rigueur ; parce qu’alors elle fait connaître la véritable valeur de l’inconnue ou de la variable y, avec une approximation beaucoup plus rapide que toute autre méthode connue ; ce que nous ferons voir dans le premier mémoire qui suivra celui-ci.

* ↑ Voyez la page 317 du présent volume.
