Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 09/Géométrie transcendante, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 09/Géométrie transcendante, article 1

## GÉOMÉTRIE TRANSCENDANTE.

### Mémoire sur les développantes successives d’une même courbe quelconque ;

Nous nous proposons ici de démontrer quelques théorèmes relatifs aux développantes successives des courbes quelconques, continues ou discontinues. Quelques-uns des objets qui vont nous occuper ont déjà été traité par L’Hôpital, Bernouilli, Euler, et récemment par M. Poinsot. Mais, comme il peut n’être pas sans intérêt de montrer comment on parvient au même but par des routes diverses, nous reprendrons de nouveau les questions traitées par ces illustres géomètres, pour en former un tout avec ce qui nous appartient en propre dans ce mémoire. Le lecteur y trouvera d’ailleurs l’avantage de n’avoir pas besoin de recourir à d’autres écrits pour entendre complètement celui-ci.

THÉORÈME 1. Si l’on forme la développante d’un arc de courbe quelconque, puis la développante de cette développante, puis la développante de cette dernière courbe, et ainsi de suite ; en faisant commencer ces développantes consécutives à une même extrémité de la courbe primitive ; on obtiendra ainsi une suite d’arcs de courbes partant d’un même point, alternativement normales et tangentes en ce point à la courbe primitive, et ayant conséquemment pour tangentes et normales communes en ce même point deux droites indéfinies perpendiculaires l’une à l’autre.

Or, 1.ᵒ en prenant avec des signes contraires les arcs qui vont dans des directions opposées, la somme infinie des arcs tangens à l’arc primitif est égale à la projection de l’arc donné sur sa tangente à l’extrémité opposée à celle de laquelle partent toutes les développantes.

2.ᵒ En prenant également avec des signes contraires les arcs qui vont dans des directions opposées, la somme infinie des développantes normales à la courbe primitive sera égale à la projection de l’arc donné sur sa normale à l’extrémité opposée à celle de laquelle partent toutes les développantes.

Soit AB₀ (fig. 1) un arc de courbe quelconque, dont AX et AY soient la tangente et la normale à l’extrémité A, et dont B₀B₁ et B₀I soient la tangente et la normale à l’autre extrémité B₀. Soient de plus B₀A′, B₀A″ les projections de l’arc sur ces deux dernières droites.

Soient AB₀, AB₁, AB₂, AB₃… une série d’arcs, tels que chacun soit la développante de celui qui le précède immédiatement. Il s’agit de démontrer, 1.ᵒ que

AB₀−AB₂+AB₄−AB₆+…=B₀A′;

2.ᵒ que

AB₁−AB₃+AB₅−AB₇+…=B₀A″.

On doit remarquer que le théorème ne suppose pas nécessairement que l’arc primitif AB₀ soit soumis à une loi analitique ; de manière qu’on peut même lui substituer une portion de polygone quelconque, rectiligne, curviligne ou mixtiligne.

M. Poinsot a déjà remarqué la vérité du théorème, dans le cas où l’arc primitif est un arc de cercle ; il s’agit de faire voir qu’il a lieu également, lorsque l’arc primitif est une ligne quelconque.

Démonstration. Soit pris sur l’arc primitif AB₀, à partir de son extrémité A, une partie variable AM₀=S₀; soit M₀M₁ la tangente correspondante, terminée en M₁ à la développante AB₁ de AB₀; soit fait AM₁=S₁; soit M₁M₂ la tangente à AB₁ en M₁, terminée en M₂ à sa développante AB₂; soit fait AM₂=S₂, et ainsi de suite. Soit enfin ϕ l’angle variable que fait la tangente M₀M₁ en M₀, avec la tangente AX en A. Soient de plus pris AX, AY pour les axes des coordonnées.

Cela posé, les choses étant d’ailleurs (fig. 2) comme nous les avons supposées (fig. 1) ; concevons que l’arc AM₀=S₀ augmente de la quantité M₀M₀=d⁡S₀; l’arc AM₁=S₁ augmentera de la quantité M₁M₁′=d⁡S₁; et l’on aura l’angle M₁M₀′M₁′=d⁡ϕ. De plus, l’arc M₁M₁′ pouvant être considéré comme une ligne droite, le triangle M₁M₀′M₁′, rectangle en M₁′, donnera

M₁M₁′=M₀′M₁Cos.M₀′M₁M₁′=M₀′M₁Sin.M₁M₀′M₁′;

c’est-à-dire,

d⁡S₁=(S₀+d⁡S₀)Sin.d⁡ϕ;

ou simplement

d⁡S₁=S₀d⁡ϕ;

d’où

S₁=∫S₀d⁡ϕ;

l’intégrale devant s’évanouir en même temps que ϕ.

D’après cela, il est clair qu’on devra avoir

S₁=∫S₀d⁡ϕ, S₂=∫²S₀d⁡ϕ², S₃=∫³S₀d⁡ϕ³, ……………Sₙ=∫ⁿS₀d⁡ϕⁿ.

Si l’on développe ces intégrales au moyen de l’intégration par parties ; en se rappelant qu’elles doivent s’évanouir en même temps que ϕ, on aura

S₁=ϕS₀−∫ϕd⁡S₀, S₂= ϕ²/2! S₀−ϕ/1! ∫ϕd⁡S₀+∫ ϕ²/2! d⁡S₀, S₃= ϕ³/3! S₀−ϕ²/2! ∫ϕd⁡S₀+ϕ/1 ∫ ϕ²/2! d⁡S₀−∫ ϕ³/3! d⁡S₀, ……………………Sₙ= ϕⁿ/n! S₀−ϕⁿ⁻¹/(n−1)! ∫ϕd⁡S₀+…± ϕ/1! ∫ ϕⁿ⁻¹/(n−1)! d⁡S₀∓∫ ϕⁿ/2! d⁡S₀.

La série infinie des arcs de rangs pairs, pris avec leurs signes, est

S₀−S₂+S₄−S₆+…

Si l’on y substitue pour S₀, S₂, S₄, … les valeurs ci-dessus, il viendra ; en réunissant ce qui multiplie chaque intégrale,

S₀−S₂+S₄−S₆+…=

(1−ϕ²/2!+ϕ⁴/4!−ϕ⁶/6!+…)(S₀−∫ ϕ²/2! d⁡S₀+∫ ϕ⁴/4! d⁡S₀−…)

+( ϕ/1−ϕ³/3!+ϕ⁵/5!−…)(∫ ϕ/1 d⁡S₀−∫ ϕ³/3! d⁡S₀+∫ ϕ⁵/5! d⁡S₀−…);

c’est-à-dire,

S₀−S₂+S₄−S₆+…=

(S₀−∫ ϕ²/2! d⁡S₀+∫ ϕ⁴/4! d⁡S₀−∫ ϕ⁶/6! d⁡S₀+…)Cos.ϕ

+(∫ ϕ/1 d⁡S₀−∫ ϕ³/3! d⁡S₀+∫ ϕ⁵/5! d⁡S₀−…)Sin.ϕ;

ou, en faisant tout passer sous le même signe d’intégration, ce qui est permis, puisque les limites sont les mêmes,

S₀−S₂+S₄−S₆+…=Cos.ϕ∫d⁡S₀Cos.ϕ+Sin.ϕ∫d⁡S₀Sin.ϕ.

Or, ∫d⁡S₀Cos.ϕ et ∫d⁡S₀Sin.ϕ. sont les projections de la courbe primitive sur les tangente et normale au point A; en représentant donc respectivement ces projections par x et y; on aura

S₀−S₂+S₄−S₆+…=xCos.ϕ+ySin.ϕ,

et on trouverait pareillement

S₁−S₃+S₅−S₇+…=xSin.ϕ−ySin.ϕ.

Or, ce sont précisément là les formules au moyen desquelles on passe d’un système rectangulaire à un autre système rectangulaire formant un angle ϕ avec le premier, d’où il suit que ces deux séries ne sont autre chose que les projections de l’arc AM₀ sur la tangente et sur la normale à son autre extrémité M₀, ainsi que l’énonce le théorème.

Les développemens de S₁, S₂, S₃, …, d’où nous avons conclu ce théorème, ne supposent aucunement que la relation entre les deux variables S₀ et ϕ, puisse être exprimée par une fonction analitique, unique et continue ; ils ne sont fondés, en effet, que sur le principe d’intégration par parties, lequel a toujours lieu quel que puisse être le genre de dépendance entre S₀ et ϕ. Il faut seulement observer que, dans les séries

S₀−S₂+S₄−S₆+…,

S₁−S₃+S₅−S₇+…,

les arcs S₀, S₁, S₂, …, doivent se mesurer en prenant négativement les portions de développantes qui répondraient à des décroissemens de l’angle ϕ, c’est-à-dire, à des mouvemens de la tangente inverses de son mouvement primitif.

Avant de passer à d’autres propositions qu’on peut conclure du précédent théorème, nous ferons remarquer que les arcs de développantes consécutifs, correspondant à un angle donné ϕ, doivent nécessairement décroitre sans cesse, de manière à devenir enfin moindres que toute longueur donnée ; du moins tant que l’arc primitif n’est pas infini ; car, puisque chacune des séries

S₀−S₂+S₄−S₆+…=S₀−∫²S₀d⁡ϕ²+∫⁴S₀d⁡ϕ⁴−…,

S₁−S₃+S₅−S₇+…=∫S₀d⁡x−∫³S₀d⁡ϕ³+∫⁵S₀d⁡ϕ⁵−…,

se décompose en d’autres dont la sommation ne dépend que de celles de Sin.ϕ, de Cos.ϕ et des intégrales ∫d⁡S₀.Cos.ϕ, ∫d⁡S₀.Sin.ϕ, lesquelles s’obtiennent toujours, quel que soit ϕ, lorsque S₀ n’est pas infini ; il s’ensuit que ces séries en S₀, S₁, S₂, …, sont toujours convergentes, et qu’ainsi les arcs dont on vient de parler finissent par s’approcher indéfiniment de zéro.

On parviendrait à la même conclusion, en formant la somme

S₀+S₁+S₂+S₃+S₄+…=e^{ϕ}∫e^{−ϕ}d⁡S₀;

cette intégrale devant, en effet, être finie, tant que S₀ le sera lui-même, on est certain que la série dont elle exprime la valeur est convergente, et qu’ainsi les longueurs des développemens successifs, faits dans le même sens, finissent par décroitre indéfiniment.

THÉORÈME II. Si l’on forme la développante d’un arc de courbe quelconque, puis la développante de cette développante, puis la développante de cette dernière courbe, et ainsi de suite, en alternant constamment la direction du mouvement de la tangente ; c’est-à-dire, en faisant commencer chaque développante au point où finit celle qui la précède immédiatement ; ces développantes se trouveront toutes comprises entre la tangente à l’une des extrémités de l’arc primitif et la normale à son autre extrémité. Cela posé,

1.ᵒ Si les deux droites indéfinies qui comprennent toutes ces courbes sont convergentes, auquel cas les développantes auront des longueurs sans cesse décroissantes ; ces développantes tendront aussi sans cesse à devenir des épicycloïdes intérieurs ;

2.ᵒ Si ces droites sont parallèles, les développantes tendront sans cesse à devenir des cycloïdes ;

3.ᵒ Enfin, si ces mêmes droites sont divergentes, les développantes tendront sans cesse à devenir des épicycloïdes extérieures.

Soient A₀A₁, A₁A₂, A₂A₃, … une suite indéfinie d’arcs de courbes (fig. 3), dont le premier est quelconque et dont chacun est la développante de celui qui le précède immédiatement ; de telle sorte que le premier développement se fasse de A₁ vers A₂, le second de A₂ vers A₃, le troisième de A₃ vers A₄, et ainsi de suite. Les points A₁, A₃, A₅, … se trouveront tous sur la normale à la courbe primitive au point A₁, laquelle est rencontrée en I par la normale à son autre extrémité A₀; et les points A₀, A₂, A₄, … seront tous situés sur la tangente menée à la courbe primitive, par cette dernière extrémité, laquelle se trouve coupée en G par la tangente à son autre extrémité A₁.

Soit fait l’angle A₀IA₁=ω; les deux droites A₁A₃A₅, …, A₀A₂A₄… seront convergentes, parallèles ou divergentes, suivant que l’angle ω sera aigu, droit ou obtus. Il s’agit donc de démontrer que les développantes consécutives tendront à devenir des épicycloïdes intérieurs dans le premier cas, des cycloïdes dans le second et des épicycloïdes extérieures dans le troisième.

Ici encore, comme dans le précédent théorème, l’arc primitif peut n’être point assujetti à la loi de continuité ; ce peut être même une portion de polygone quelconque, rectiligne, curviligne ou mixtiligne.

Soient A₁M₀=S₀, A₁M₁=S₁, A₃M₂=S₂, A₃M₃=S₃, …, une suite d’arcs variables consécutifs et correspondant, développans les uns des autres ; et soit ϕ l’angle que fait la tangente M₀M₁ au point M₀ avec la tangente A₁G au point A₁.

Soient enfin Σ₀, Σ₁, Σ₂, … les longueurs totales des développantes A₀A₁, A₁A₂, A₂A₃, ….

Nous aurons d’abord, comme dans le précédent théorème,

S₁=∫S₀d⁡ϕ,

l’intégrale s’éyanouissant avec ϕ. On aurait de même

S₂=∫M₁A₂¯.d⁡ϕ;

mais M₁A₂¯=A₁A₂−A₁M₁=Σ₁S₁; donc

S₂=∫(Σ₁−S₁)d⁡ϕ=Σ₁ϕ−∫S₁d⁡ϕ.

Ces valeurs de S₁, S₂ indiquent, en général, comment on peut passer d’une développante à la suivante ; et l’on voit qu’on peut poser cette suite d’équations

S₁=∫S₀d⁡ϕ, S₂=ϕΣ₁−∫S₁d⁡ϕ, S₃=∫S₂d⁡ϕ, S₄=ϕΣ₃−∫S₃d⁡ϕ, S₅=∫S₄d⁡ϕ, S₆=ϕΣ₅−∫S₅d⁡ϕ, …………………………

Si l’on fait les substitutions, on trouvera

S₁=∫S₀d⁡ϕ, S₂=ϕΣ₁−∫²S₀d⁡ϕ², S₃=ϕ²/2! Σ₁−∫³S₀d⁡ϕ³, S₄=ϕΣ₃−ϕ³/3! Σ₁+∫⁴S₀d⁡ϕ⁴, S₅=ϕ²/2! Σ₃−ϕ⁴/4! Σ₁+∫⁵S₀d⁡ϕ⁵, S₆=ϕΣ₅−ϕ³/3! Σ₃+ϕ⁵/5! Σ₁−∫⁶S₀d⁡ϕ⁶, …………………………………………………………

La loi de ses développemens se trouve suffisamment établie, par les

équations même qui ont servi à les obtenir : on passe d’un arc de numéro pair au suivant, en intégrant à partir de ϕ=0; et de ce dernier à l’arc de numéro pair qui vient après, en retranchant une intégrale semblable du terme correspondant de la suite

ϕΣ₁,

ϕΣ₃, ϕΣ₅, ….

Comme les développantes de numéros impairs Σ₁, Σ₃, Σ₅, … entrent seules avec les intégrales successives ∫S₀d⁡ϕ, ∫²S₀d⁡ϕ², ∫⁴S₀d⁡ϕ⁴, … dans les expressions de tous ces arcs, nous allons examiner seulement comment varient ces développantes. Comme ω n’est autre chose que la valeur de ϕ qui répond à l’arc A₁A₀=Σ₀; il s’ensuit qu’on doit avoir

Σ₁=∫S₀d⁡ϕ, Σ₃=ω²/2! Σ₁−∫³S₀d⁡ϕ³, Σ₅=ω²/2! Σ₃−ω⁴/4! Σ₁+∫⁵S₀d⁡ϕ⁵, ……………………………Σ₂ₙ₊₁=ω²/2! Σ₂ₙ₋₁−ω⁴/4! Σ₂ₙ₋₃+ω⁶/6! Σ₂ₙ₋₅−…± ω²ⁿ/(2n)! Σ∓∫²ⁿ⁺¹S₀d⁡ϕ²ⁿ⁺¹

Pour avoir le développement du terme général Σ₂ₙ₊₁, après qu’on en a éliminé tous ceux Σ₂ₙ₋₃, Σ₂ₙ₋₅, …Σ₁ qui le précèdent, soient multipliées ces équations, excepté la dernière, par des coefficiens a₂ₙ, a₂ₙ₋₂, a₂ₙ₋₄, … a₄, a₂, et formons-en la somme, en égalant à zéro les quantités qui multiplient Σ₂ₙ₋₁, Σ₂ₙ₋₃, Σ₂ₙ₋₅, …Σ₃, S₁; nous aurons ainsi

Σ₂ₙ₊₁=a₂ₙ∫S₀d⁡ϕ−a₂ₙ₋₂∫³S₀d⁡ϕ³+a₂ₙ₋₄∫⁵S₀d⁡ϕ⁵−…

±∫²ⁿ⁺¹S₀d⁡ϕ²ⁿ⁺¹

les coefficiens a₂, a₄, a₆, …a₂ₙ étant déterminés par les équations

a₂=ω²/2!, a₄=ω²/2! a₂−ω⁴/4!, a₆=ω²/2! a₄−ω⁴/4! a₂+ω⁶/6!, ……………………, a₂ₙ=ω²/2! a₂ₙ₋₂−ω⁴/4! a₂ₙ₋₄+ω⁶/6! a₂ₙ₋₆−…± ω²ⁿ⁻²/(2n−2)! a₂∓ ω²ⁿ/(2n)!.

Comme tous ces coefficiens contiendront des termes homogènes en ω,

nous ferons a₂ₙ=A₂ₙω²ⁿ; les nouveaux coefficiens A₂, A₄, A₆, …A₂ₙ, se trouveront ainsi donnés par les équations

A₂=1/2!, A₄=A²/2!−1/4!, A₆=A⁴/2!−A²/4!+1/6!, ……………………, A₂ₙ=A²ⁿ⁻²/2!−A²ⁿ⁻⁴/4!+A²ⁿ⁻⁶/6!−…± A²/(2n−2)! ∓ 1/(2n)!.

L’inspection de l’équation qui donne le coefficient A₂ₙ, en fonction des précédens suffit pour faire voir que les nombres A₂, A₄, A₆, …A₂ₙ sont les coefficiens du développement de 1/Cos.x ; car, en posant

1=(1−x²/2!+x⁴/4!−x⁶/6!+…)(1+A₂x²+A₄x⁴+A₆x⁶+…);

le terme général du produit, égalé à zéro, donnera pour A₂ₙ la valeur précédente.

Les coefficiens du développement des 1/Cos.x peuvent s’obtenir d’une manière qui en fait connaître la loi ; il suffit de multiplier Cos.x par le produit indéfini

{1−(x/q)²}{1−(x/3q)²}{1−(x/5q)²}…

q désignant le quart du cercle, ou 1/2 ϖ. Ce produit étant convergent pour x<q, on peut poser, dans cette limite de x,

1/{1−(x/q)²}{1−(x/3q)²}{1−(x/5q)²}…=

1+A₂x²+A₄x⁴+A₆x⁶+…+A₂ₙx²ⁿ+…

mais, à cause de la convergence du produit qui donne le cosinus, on peut appliquer, à la fraction précédente, la décomposition en fractions simples, et poser, en vertu de ce que Cos.x est une fonction paire,

1/Cos.x=B₁/{1−(x/q)²}+B₃/{1−(x/3q)²}+… Bₘ/({1−(x/mq)²}+…),

m représentant un nombre impair quelconque. On déterminera Bₘ par la valeur que prendra 1−(x/mq)²/Cos.x pour x=mq. En différentiant les deux termes on a

2x/(mq)² /Sin.x ;

faisant x=mq, on a, suivant que m−1 est divisible par deux seulement ou par quatre,

Bₘ=± 2/mq ;

ainsi

1/Cos.x=2/q { 1/1−(x/q)²−1/3 1/1−(x/3q)²+1/5 1/1−(x/5q)²−…± 1/m 1/1−(x/mq)² ∓…}

On obtiendra donc le terme général de 1/Cos.x, en développant toutes ces fractions en progression, et en réunissant les coefficiens de x²ⁿ dans les progressions. Il viendra ainsi

A₂ₙ=2/q { 1/q²ⁿ−1/3 1/(3q)²ⁿ+1/5 1/(5q)²ⁿ−1/7 1/(7q)²ⁿ−…}

ou bien, en mettant 1/q²ⁿ en facteur commun, et multipliant de part et d’autre par ω²ⁿ

A₂ₙω²ⁿ=a₂ₙ=2/q (ω/q)²ⁿ{1−1/(3²ⁿ⁺¹)+1/(5²ⁿ⁺¹)−1/(7²ⁿ⁺¹)+…};

et telle est l’expression générale des coefficiens

a₂, a₄, a₆, …a₂ₙ, qui,

Σ₂ₙ₊₁;

Σ₂ₙ₊₁=a₂ₙ∫S₀d⁡ϕ−a₂ₙ₋₂∫³S₀d⁡ϕ³+a₂ₙ₋₄∫⁵S₀d⁡ϕ⁵−…

±∫²ⁿ⁺¹S₀d⁡ϕ²ⁿ⁺¹

Pour appliquer cette formule à la démonstration du théorème énoncé, nous prendrons d’abord le cas le plus simple, c’est-à-dire, celui où l’angle ω=q; il est visible qu’alors a₂ₙ tendra vers la limite constante 2/q, puisqu’alors (ω/q)²ⁿ sera l’unité, et que la série numérique qui entre dans l’expression de a₂ₙ converge très-promptement vers l’unité. Et, comme les premiers coefficiens a₂, a₄, a₆, … n’affectent que les intégrales ∫²ⁿ⁻¹S₀d⁡ϕ²ⁿ⁻¹, ∫²ⁿ⁻³S₀d⁡ϕ²ⁿ⁻³, … qui, comme on l’a démontré, décroissent indéfiniment ; il en résulte que, pour n très-grand, on aura sensiblement

Σ₂ₙ₊₁=2/q {∫S₀d⁡ϕ−∫³S₀d⁡ϕ³+∫⁵S₀d⁡ϕ⁵−…}.

La série formée par ces intégrales a été trouvée (Théor. 1) égale à la projection de la courbe primitive sur la dernière normale A₀I. Dans le cas où ω=q, cette projection devient la distance entre deux parallèles qui comprennent les développantes. En la désignant par D, on a, à la limite,

Σ₂ₙ₊₁=2D/q ;

ainsi, les longueurs des développantes finissent par être constantes L’équation de ces courbes limites est, d’après cela, facile à obtenir, puisque la relation entre les arcs et les angles ϕ est donnée, pour les développantes de numéros pairs, par

S₂ₙ=ϕΣ₂ₙ₋₁−ϕ²/2! Σ₂ₙ₋₃+ϕ⁴/4! Σ₂ₙ₋₄−…± ϕ²ⁿ⁻¹/(2n−1)! Σ₁∓∫²ⁿS₀d⁡ϕ²ⁿ.

On a démontré que les intégrales ∫²ⁿS₀d⁡ϕ²ⁿ, dont toutes les origines étalent ϕ=0, décroissaient indéfiniment ; ce dernier terme disparaitra donc à la limite. De plus, les arcs Σ₂ₙ₋₅, Σ₂ₙ₋₃, … ne s’écartant sensiblement de 2D/q que lorsqu’ils portent sur la portion négligeable de la série : on peut écrire, pour n infini,

S₂ₙ=2D/q ( ϕ/1−ϕ³/3!+ϕ⁵/5!−ϕ⁷/7!+…)=2D/q Sin.ϕ.

Cette relation appartient à la cycloïde dont la longueur totale est 4r/q ou 4D/ϖ et dont le demi-grand axe est D. Il résulte d’ailleurs du mode de génération des développantes de numéros impairs qu’elles seront aussi des cycloïdes égales ; c’est d’ailleurs ce que l’on trouverait directement, par l’expression de S₂ₙ₊₁.

Reprenons présentement le cas général, où l’angle ω, formé par les normales extrêmes, est quelconque. On a vu qu’une développante de numéro impair quelconque était donnée par la formule

Σ₂ₙ₊₁=a₂ₙ∫S₀d⁡ϕ−a₂ₙ₋₂∫³S₀d⁡ϕ³+a₂ₙ₋₄∫⁵S₀d⁡ϕ⁵−…

±∫²ⁿ⁺¹S₀d⁡ϕ²ⁿ⁺¹

et qu’on avait généralement

a₂ₙ=2/q (ω/q)²ⁿ{1−1/(3²ⁿ⁺¹)+1/(5²ⁿ⁺¹)−1/(7²ⁿ⁺¹)+…}.

Pour n très-grand, la série se réduit à l’unité, et l’on a, à la limite

a₂ₙ=2/q (ω/q)²ⁿ,

on peut donc, en vertu de la convergence de la série

∫S₀d⁡ϕ−∫³S₀d⁡ϕ³+∫⁵S₀d⁡ϕ⁵−…,

poser, pour n infini

Σ₂ₙ₊₁=2/q (ω/q)²ⁿ{ q/ω ∫S₀d⁡ϕ−(q/ω)³∫³S₀d⁡ϕ³+(q/ω)⁵∫⁵S₀d⁡ϕ⁵−…}.

On conclut de là que le rapport Σ₂ₙ₋₁/(Σ₂ₙ₊₁) de deux développantes successives d’ordre impair est, à la limite, égal à q²/ω² ; mais comme on a, pour un arc variable, correspondant à l’angle ϕ,

S₂ₙ=ϕΣ₂ₙ₋₁−ϕ³/3! Σ₂ₙ₋₃+…± ϕ²ⁿ⁻¹/(2n−1)! Σ₁∓∫²ⁿS₀d⁡ϕ²ⁿ,

on pourra poser, à la limite,

S²ⁿ=ω/q Σ₂ₙ₊₁={ ϕ/1 q/ω−ϕ³/3! (q/ω)³+ϕ⁵/5! (q/ω)⁵−…}=Σ₂ₙ₊₁.ω/q Sin.ϕq/ω.

En faisant, dans cette équation, ϕ=ω, on aura l’arc total Σ₂ₙ=ω/q Σ₂ₙ₋₁; on peut donc écrire

S₂ₙ=Σ₂ₙ.Sin.(ϕq/ω).

Telle est donc l’équation de la courbe vers laquelle tendent les développantes d’ordre pair. On trouverait, soit en intégrant cette équation, soit en prenant directement la formule qui donne S₂ₙ₊₁,

S₂ₙ₊₁=Σ₂ₙ₊₁{1−Cos.(ϕq/ω)}

Σ₂ₙ₊₁−S₂ₙ₊₁=Σ₂ₙ₊₁.Sin.(ϖ−ϕ)q/ω

Cette équation, comparée avec la précédente, qui donne S₂ₙ, fait voir que la courbe limite est telle que sa développante est une courbe semblable, mais dans une position inverse. Le rapport de grandeur des arcs correspondans, dans l’un à ϕ et dans l’autre à ω−ϕ, est Σ₂ₙ/(Σ₂ₙ₊₁)=q/ω.

On peut faire voir assez simplement, par des considérations géométriques, que l’épicycloïde est la courbe qui jouit de cette propriété, et qui a pour équation S=ΣSin.(ϕq/ω).

Concevons, en effet, une épicycloïde AB (fig. 4) décrite par la demi-révolution d’un cercle dont le rayon est r sur R ; et proposons-nous de trouver le centre de courbure pour un point M de cette courbe. On sait que la normale au point M passe par le point de contact des deux cercles ; il ne reste donc, pour connaître le rayon de courbure, qu’à chercher le point d’intersection de deux normales consécutives.

Soient AOP=β et APM=α. Si le rayon OP tourne de d⁡β, la normale MN tournera de d⁡β+d⁡α ; or, il est facile de voir que

βR=2αr,

d⁡α=R/2r d⁡β

l’angle des deux normales consécutives sera donc

d⁡β+R/2r d⁡β

d⁡β.(R+2r)/2r.

Le point P s’est déplacé, dans le sens du cercle fixe AH, de Rd⁡β; pour avoir ce déplacement, mesuré perpendiculairement à la normale, on le multipliera par Sin.α, ou par MP¯/2r ; ce qui fera d⁡β.R/2r.MP¯. Or, à la limite, ce même déplacement est égal à PN¯, multiplié par l’angle des deux normales ; on a donc,

PN¯.d⁡β (R+2r)/2r=d⁡β.R/2r.MP¯.

d’où

MP¯/NP¯=(R+2r)/2r.

Il est facile de conclure du rapport constant des deux lignes MP¯, PN¯ que, si l’on décrit, au-dessous du cercle générateur, un autre cercle, dont le diamètre soit à celui du premier dans le rapport R/(R+2r) ; c’est-à-dire, dans le rapport des distances au centre O, le point N de la développée se trouvera toujours sur ce cercle ; et comme l’arc QN sera toujours égal à QC, le point N décrira une nouvelle épicycloïde semblable ; mais réduite, dans le rapport R/(R+2r). On peut aisément se convaincre, d’après cela, que cette propriété identifie l’épicycloïde avec la courbe limite de notre théorème ; car, en désignant par S l’arc AN, et par ϕ l’angle décrit par la normale ou la tangente, on aura

AN=S=MN=QS¯Sin.α;

mais QS=CB, et CB est précisément la courbe totale ANC; en l’appelant donc Σ, on a

S=ΣSin.α;

l’angle ϕ, dont la tangente MN a tourné, est précisément α+β ou α (R+2r)/R α; on a donc

ϕ=α.(R+2r)/R,

α=R/(R+2r) ϕ.

Si α est l’angle total formé par les tangentes extrêmes ; comme α qui lui correspond =ϖ/2=q, on aura

q=R/(R+2r) ω,

R/(R+2r)=q/ω ;

on a donc ; en substituant,

α=qϕ/ω ;

d’où l’on conclut, pour l’équation de l’épicycloïde,

S=ΣSin.qϕ/ω ;

équation qui est précisément celle de la courbe vers laquelle tendent les développantes successives. Et, comme les considérations précédentes s’appliquent aux épycîcloïdes intérieures, pourvu qu’on prenne d⁡α et d⁡β de signes contraires, on voit facilement que leurs équations seront de même

S=ΣSin.qϕ/ω ;

l’angle α étant alors plus petit que q. Le théorème se trouve donc ainsi complètement démontré.

* ↑ On peut déduire assez simplement de ceci la sommation de la série 1−1/(3²ⁿ⁺¹)+1/(5²ⁿ⁺¹)−1/(7²ⁿ⁺¹)+…; car on a A₂ₙ=2/(q²ⁿ⁺¹) {1−1/(3²ⁿ⁺¹)+1/(5²ⁿ⁺¹)−1/(7²ⁿ⁺¹)+…}; or, on peut obtenir A₂ₙ, soit par les équations successives A₂=1/2!, A₄=1/2! A₂−frac14!, A₆=1/2! A₄−frac14!A₂+frac16!, …………………………… Soit par d²ⁿ.Se^{´}c.x/d⁡x²ⁿ, en y faisant x=0; en sorte qu’on a 1−1/(3²ⁿ⁺¹)+1/(5²ⁿ⁺¹)−1/(7²ⁿ⁺¹)+1/(9²ⁿ⁺¹)−…=1/2 (ϖ/2)²ⁿ⁺¹.d²ⁿ.Se^{´}c.x/d⁡x²ⁿ
