Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Géométrie élémentaire, article 6
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Géométrie élémentaire, article 6

## QUESTIONS RÉSOLUES.

### Solution des deux problèmes de géométrie proposés à la page 356 du V.ᵉ volume des Annales ;

Problème I. Construire un triangle dans lequel on connaît seulement les distances des sommets au centre du cercle inscrit ?

Solution. Tout se réduit évidemment à trouver le rayon du cercle inscrit. Soit donc R ce rayon ; soient A, B, C les sommets du triangle et a, b, c leurs distances respectives aa centre du cercle ; on aura

R=aSin.1/2 A, R=bSin.1/2 B, R=cSin.1/2 C;

mais on sait que, A, B, C étant les trois angles d’un triangle, on a

2Sin.1/2 ASin.1/2 BSin.1/2 C+Sin.² 1/2 A+Sin.² 1/2 B+Sin.² 1/2 C−1=0;

substituant dans cette dernière équation les valeurs données par les équations (1), il viendra, toutes réductions faites,

2abbR³+(b²c²+c²a²+a²b²)R²−a²b²c²=0.

En mettant cette équation sous la forme

a²b²c²(1/R)³−(b²c²+c²a²+a²b²)(1/R)²−2abc=0.

et considérant 1/R comme l’inconnue, elle sera sans second terme.

PROBLÈME II. Construire un triangle dans lequel on connaît seulement les distances des côtés au centre du cercle circonscrit ?

Solution. Tout se réduit encore évidemment ici à trouver le rayon du cercle circonscrit. Soit donc R ce rayon ; soient A, B, C les sommets du triangle et a, b, c les perpendiculaires abaissées respectivement du centre du cercle sur les côtés qui leur sont respectivement opposés ; on aura

RCos.A=a, RCos.B=b, RCos.C=c;

on aura de plus

1−Cos.²A−Cos.²B−Cos.²C−2Cos.ACos.BCos.C=0;

substituant donc, dans cette dernière équation, les valeurs données par les équations (1), elle deviendra, toutes réductions faites,

R³−(a²+b²+c²)R−2abc=0;

équation du troisième degré sans second terme.

* ↑ Ces problèmes ont déjà été résolus à la page 129 de ce volume ; mais les solutions que l’on va lire nous ont paru différer assez des premières pour mériter d’être mentionnées. J. D. G.
