Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Analyse élémentaire, article 3
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Analyse élémentaire, article 3

## ANALISE.

Je réunis ici, dans un même article, diverses théories qui, à raison de la liaison étroite qui existe entre elles, ne peuvent que se simplifier beaucoup par leur rapprochement.

Soit m le degré d’une équation complète entre n inconnues ; le nombre des termes de cette équation sera une fonction de m et de n qu’il s’agit de déterminer, et que nous représenterons par A_{m, n}.

Pour plus de simplicité, concevons que les coefficiens de tous les termes de cette équation soient positifs et égaux à l’unité : ce qui ne changera rien à la nature du problème. L’équation proposée devant renfermer tous les termes de l’équation complète du (m−1)ᵐᵉ degré, entre n inconnues, plus la totalité des termes du mᵐᵉ ordre, entre les mêmes inconnues ; en désignant par ν le nombre de ces derniers, on devra avoir l’équation

A_{m, n}=A_{m−1, n}+ν.

Il s’agit présentement de déterminer ν.

Pour cela, concevons que l’on multiplie chacun des termes d’ordres inférieurs à m par une somme de puissances semblables des n inconnues, dont les exposans soient tels que ces multiplications donnent toutes des produits de l’ordre m : ce qui exigera que l’on multiplie le terme tout connu 1 par xᵐ+yᵐ+zᵐ+…, l’ensemble des termes du premier ordre par xᵐ⁻¹+yᵐ⁻¹+zᵐ⁻¹+…, et ainsi de suite ; il est clair que le nombre total des termes de ces produits, abstraction faite de toute réduction, sera nA_{m−1, n}.

Or, je dis que ces mêmes termes ne seront autre chose que les termes du m.ᵐᵉ ordre de la proposée, écrits chacun m fois. En effet, en représentant généralement l’un de ces derniers par xᵅyᵝzᵞ…, avec la condition α+β+γ+…, on voit qu’il aura été formé autant de fois qu’il y a de manières de diminuer successivement chacun de ses exposans de toutes les unités qu’il renferme ; c’est-à-dire, de m manières différentes.

On a donc, d’après cela

nA_{m−1, n}=mν, d’oùν=n/m A_{m−1, n};

et par conséquent (1)

A_{m, n}=A_{m−1, n}+n/m A_{m−1, n}=(m+n)/m A_{m−1, n};

ou enfin

mA_{m, n}=(m+n)A_{m−1, n}.

En changeant successivement, dans cette équation, m en m−1,

m−2, m−3, … 2,1, et remarquant que A_{1, n}=n+1, il viendra

mA_{m, n}=(m+n)A_{m−1, n}, (m−1)A_{m−1, n}=(m+n−2)A_{m−2, n}, (m−2)A_{m−2, n}=(m+n−1)A_{m−3, n}, …………………2A_{2, n}=(n+2)A_{1, n}, A_{1, n}=(n+1);

ce qui donnera, en multipliant, supprimant les facteurs communs aux deux membres de l’équation produit, et tirant la valeur de A_{m, n},

A_{m, n}=(n+1)/1.(n+2)/2.(n+3)/3 … (n+m)/m ;

formule qui résout le problème.

Cette solution, la plus simple que je connaisse, m’a été communiquée par M. G. Fornier, élève très-distingué du lycée de Nismes.

Si l’on multiplie, haut et bas, la valeur de A_{m, n} par 1.2.3…n, elle devient

A_{m, n}=(1.2.3…(m+n))/1.2.3…m×1.2.3…n ;

ou, en adoptant les notations de M. Kramp

A_{m, n}=((m+n)!)/m!n!.

On voit alors que A_{m, n} est une fonction symétrique de m et n, et qu’ainsi on doit avoir

A_{m, n}=A_{n, m};

ce qui revient à dire qu’il y a autant de termes dans une équation complète du n.ᵐᵉ degré entre m inconnues qu’il y en a dans une équation complète du m.ᵐᵉ degré entre n inconnues.

Parce que A_{m, n} est une fonction symétrique des nombres m et n, nous emploirons, à l’avenir, pour représenter cette fonction, la notation plus simple

A_{m, n}=(m, n).

En conséquence, nous aurons

(m, n)=(n, m),

et, quels que soient p et q

(0, p)=(0, q)=(p, 0)=(q, 0)=1.

Cette notation admise, l’équation (3), dans laquelle on peut permuter entre eux les nombres m et n, donnera

m(m, n)=(m+n)(m−1, n), n(m, n)=(m+n, n)(m, n−1);

la somme de ces deux équations, divisée par m+n, sera

(m, n)=(m−1, n)+(m, n−1);

or, en se rappelant les équations (7), on voit que cette dernière exprime la construction du triangle arithmétique ; et qu’ainsi (m, n) est la formule générale des nombres figurés.

L’équation (6) exprime donc que le (n+1)ᵐᵉ nombre figuré du m.ᵐᵉ ordre est égal au (m+1)ᵐᵉ nombre figuré du n.ᵐᵉ ordre ; et l’équation (8) exprime que le (m+1)ᵐᵉ nombre figuré du n.ᵐᵉ ordre, ou le (n+1)ᵐᵉ nombre figuré du m.ᵐᵉ ordre, est la somme du m.ᵐᵉ nombre figuré du n.ᵐᵉ ordre et du n.ᵐᵉ nombre figuré du m.ᵐᵉ ordre.

De cette dernière on tire

(m, n)−(m−1, n)=(m, n−1);

substituant successivement pour m, dans celle-ci, les nombres 1, 2, 3…m, il viendra

(1, n)−1=(1, n−1), (2, n)−(1, n)=(2, n−1), (3, n)−(2, n)=(3, n−1), ……………………(m, n)−(m−1, n)=(m, n−1),

ajoutant ces dernières et réduisant, on aura

(m, n)=(n, m)=(0, n−1)+(1, n−1)+(2, n−1)+…+(m, n−1);

et l’on aurait pareillement

(m, n)=(n, m)=(0, m−1)+(1, m−1)+(2, m−1)+…+(n, m−1);

c’est-à-dire, que le (n+1)ᵐᵉ nombre figuré du mᵐᵉ ordre, ou le (m+1)ᵐᵉ nombre figuré du nᵐᵉ ordre, est égal à la somme des nᵐᵉ nombres figurés de tous les ordres jusqu’au mᵐᵉ ordre inclusivement ; ou encore à la somme des m+1 premiers nombres figurés du (n−1)ᵐᵉ ordre.

Je terminerai par donner, d’après M. Lhuilier, la sommation des inverses des nombres figurés. Il est aisé de se convaincre, par le développement et les réductions, que l’équation suivante est identique

1/(m, n−1)=(n−1)!/n−2 { m!/((m+n−2)!)−((m+1)!)/((m+n−1)!) }.

Si l’on y substitue successivement pour m les nombres 0, 1, 2, …m, il viendra

1/(0, n−1)=(n−1)!/n−2 { 1/(n−2)!−1!/(n−1)! }, 1/(1, n−1)=(n−1)!/n−2 { 1!/(n−1)!−2!/n! }, 1/(2, n−1)=(n−1)!/n−2 { 2!/n!−3!/((n+1)!) }, ……………………………,

1/(m, n−1)=(n−1)!/n−2 { m!/((m+n−2)!)−((m+1)!)/((m+n−1)!) };

d’où, en ajoutant et réduisant,

1/(0, n−1)+1/(1, n−1)+1/(2, n−1)+…+1/(m, n−1)

=(n−1)!/n−2 { 1/(n−2)!−((m+1)!)/((m+n−1)!) };

ou encore

1/(0, n−1)+1/(1, n−1)+1/(2, n−1)+…+1/(m, n−1)

=(n−1)/n−2 {1−1/((m+1, n−2)) };

Si, dans cette dernière formule, ou suppose m=∞, elle deviendra simplement,

1/(0, n−1)+1/(1, n−1)+1/(2, n−1)+1/(3, n−1)+…=(n−1)/n−2 ;

c’est-à-dire,

1+1/n+1/n.2/(n+1)+1/n.2/(n+1).3/(n+2)+1/n.2/(n+1).3/(n+2).4/(n+3)+…=(n−1)/n−2.

* ↑ Voyez la note de la page 200 du second volume de ce recueil.
* ↑ Voyez la note de la page 1.ʳᵉ du 3.ᵉ volume de ce recueil.
* ↑ Voyez ses Élémens raisonnés d’algèbre.
