Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Astronomie, article 3
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 04/Astronomie, article 3

## ASTRONOMIE.

38. Les élémens de l’orbite d’un corps céleste, assujetti aux lois de la gravitation, sont au nombre de six ; savoir : la longitude du nœud, l’inclinaison de l’orbite, la position de la ligne des apsides, le grand axe, l’excentricité, et l’instant du passage par l’une des deux apsides. Trois observations complètes, en nous faisant connaître les longitudes et les latitudes géocentriques de ce corps dans trois instans donnés, nous fournissent six équations lesquelles suffisent pour déterminer un nombre pareil d’inconnues. En continuant de désigner par Sin.λ l’excentricité connue de l’orbe terrestre, nous tâcherons de représenter chacune de ces six inconnues par une série ordonnée selon les puissances ascendantes de λ telle que

A+Bλ+Cλ²+Dλ³+…

Le premier terme A est ce que devient cette série, dans le cas de λ=0, qui est celui d’un mouvement de la terre supposé uniforme et circulaire ; et on voit que ce premier terme suffira, dans le cas où l’observateur se trouverait près de l’une des deux apsides de l’orbite terrestre. Comme cette excentricité est une fraction assez petite, égale à un soixantième, à peu près ; la série sera très-convergente, même dans les cas les moins favorables. En réservant, pour le mémoire qui suivra celui-ci, la recherche du second et du troisième termes de la série, nous nous bornerons, dans le mémoire actuel, à la recherche du seul premier terme que nous avons désigné par la lettre A.

39. PROBLÈME V. Les élémens de l’orbite étant supposés connus, on demande, pour un instant quelconque, l’expression littérale de la longitude et de la latitude géocentrique de l’astre ?

Solution. Soient (fig. 1)

S, le centre du soleil ;

EZAT

MBN′

SN′

SE

T

M

MN

ML

ST, SLSM, LN

TL

SN′

Q

SZ

TQ

TM

Les triangles MLT, MLS, MLN seront tous trois rectangles en L ;

ST et SM seront respectivement les rayons vecteurs de la terre et de l’astre ;

L’angle MNL mesurera l’inclinaison de l’orbite ;

Et les angles ESZ et MTL seront respectivement les longitude et latitude géocentriques de la planète ou de la comète.

40. Faisant ST=a, SM=r, le triangle MNS, rectangle en N, donnera

MN=r.Sin.MSN, SN=r.Cos.MSN.

Le triangle MLN, rectangle en L, donnera ensuite

ML=MN.Sin.MNL=r.Sin.MSN.Sin.MNL,

NL=MN.Cos.MNL=r.Sin.MSN.Cos.MNL;

et si, du point T, on abaisse sur la ligne des nœuds SN la perpendiculaire TO, et qu’on mène la parallèle LP à cette même ligne SN, on aura

SO=a.Cos.NST, TO=a.Sin.NST;

d’où on conclura

NO=LP=SN−SO=r.Cos.MSN−a.Cos.NST,

PT=TO−LN=a.Sin.NST−r.Sin.MSN.Cos.MNL;

on aura donc

Tang.TLP=Tang.TQS=Tang.NSZ=a.Sin.NST−r.Sin.MSN.Cos.MNL/r.Cos.MSN−a.NST ;

cet angle pourra donc être regardé comme donné, dès que l’on connaitra l’inclinaison MNL de l’orbite, les deux rayons vecteurs ST=a et SM=r, et les angles TSN, MSN qu’ils font avec la ligne des nœuds. On n’aura qu’à retrancher ensuite cet angle NSZ de la longitude ESN du nœud, pour avoir la longitude géocentrique ESZ.

41. Après la recherche de la longitude, celle de la latitude est très-facile. Des deux triangles LTP, rectangle en P, et MLT, rectangle en L, on tire les deux égalités qui suivent

NO=LP=LTCos.TLP=LT.Cos.NSZ,

LM=LT.Tang.MTL;

d’où

Tang.MTL=LM/NO Cos.NSZ=r.Sin.MSN.Sin.MNL.Cos.TLP/r.Cos.MSN−a.Cos.NST.

Et telle est la tangente de la latitude géocentrique.

42. Il reste donc à exprimer les angles NST, MSN, MLN, ainsi que les rayons vecteurs a et r, en d’autres quantités qui, d’après l’énoncé de notre problème, doivent être regardées comme données : et ce sont les élémens de l’orbite de l’astre. Soient donc

δ, l’angle ESM, longitude du nœud ;

β, l’angle MNL, inclinaison de l’orbite ;

ϵ, l’angle BSN que fait la ligne des nœuds avec celle des apsides ;

b, le demi-grand axe de la planète ou comète ;

Sin.μ, le rapport de l’excentricité au demi-grand axe ; ce qui donne

bCos.μ, pour le demi-petit axe ;

bSin.μ, pour la distance du foyer au centre ;

a, le demi-grand axe de la terre ;

p, le temps périodique de la terre ;

q, le temps périodique de l’astre ;

p est connu et, quant à q, nous savons qu’on a

p²/q²=a³/b³ ;

ainsi, les deux quantités désignées par b et q pourront toujours être remplacées l’une par l’autre.

43. À ces cinq élémens, savoir δ, β, ϵ, μ, b il faut en ajouter un sixième : c’est celui qui doit fixer le moment du passage de l’astre par son aphélie. Nous supposerons donc qu’à cet instant la terre était au point A de son orbite. Notre sixième élément sera donc l’angle ASN=η que faisait alors la ligne des nœuds SN avec le rayon vecteur SA de la terre.

44. En continuant de désigner par ϕ l’anomalie vraie de l’astre, nous emploirons la lettre ϰ pour exprimer l’anomalie excentrique qui lui appartient. La longitude de la terre, supposée au point T

de son orbite, ou l’angle EST, sera désignée par θ, ce qui rend l’angle NST=θ−δ, et l’angle AST=θ−δ−η. Le temps employé par la terre à parcourir l’arc AT sera donc p(θ−δ−η)/2ϖ ; et, comme l’astre emploîra le même temps pour parcourir l’arc BM de la sienne (B étant le lieu de son aphélie), et pour décrire ainsi l’anomalie vraie BSM=ϕ, à laquelle répond l’anomalie excentrique ϰ, et le rayon vecteur SM=r, on aura les équations qui suivent :

r=bCos.²μ/1−Sin.μCos.ϕ, Sin.ϰ=Cos.μSin.ϕ/1−Sin.μCos.ϕ, Cos.ϰ=Cos.ϕ−Sin.μ/1−Sin.μCos.ϕ,

p(θ−δ−η)=q(ϰ+Sin.μSin.ϰ).

45. Il paraît convenable de réduire toutes les formules aux anomalies excentriques et d’éliminer entièrement les anomalies vraies. Cette réduction est facile ; nous aurons

r=b(1+Sin.μCos.ϰ)

Sin.ϕ=Cos.μSin.ϰ/(1+Sin.μCos.ϰ), Cos.ϰ=(Cos.ϰ+Sin.μ)/(1+Sin.μCos.ϰ),

rSin.ϕ=bCos.μSin.ϰ, rCos.ϕ=b(Cos.ϰ+Sin.μ).

46. En conséquence, si l’on désigne finalement

par A la longitude géocentrique,

par B la latitude géocentrique de l’astre au moment où la terre est parvenue au point T de son orbite ; l’angle TLP=NSZ sera δ−A; l’angle NST, que fait le rayon vecteur ST avec la ligne des nœuds SN, sera θ−δ; l’angle MSN que fait avec cette même ligne SN le rayon vecteur SM de l’astre sera ϵ+ϕ; l’angle MTL sera B, et l’angle MNL, qui exprimera l’inclinaison de l’orbite sera β. Les formules des n.ᵒˢ 40 et 41, qui nous faisaient connaître les tangentes des deux angles δ−A et B, deviendront ainsi

Tang.(δ−A)=(aSin.(θ−δ)−rSin.(ϵ+ϕ)Cos.β)/(rCos.(ϵ+ϕ)−aCos.(θ−δ)),

Tang.B=(rSin.(ϵ+ϕ)Cos.(δ−A)Sin.β)/(rCos.(ϵ+ϕ)−aCos.(θ−δ)).

46. Multipliant ces deux équations par le dénominateur commun des fractions qui forment leurs seconds membres, elles deviendront en réduisant

aSin.(θ−A)=rCos.(ϵ+ϕ)Sin.(δ−A)+rSin.(ϵ+ϕ)Cos.(δ−A)Cos.β.

aTang.BCos.(θ−δ)=rCos.(ϵ+ϕ)Tang.B−rSin.(ϵ+ϕ)Cos.(δ−A)Sin.β.

47. Arrêtons-nous à ces deux produits rCos.(ϵ+ϕ) et rSin.(ϵ+ϕ) qui font fonction de facteurs dans ces deux formules, et qui ne sont autre chose que les deux coordonnées rectangulaires SN, MN du point M de l’ellipse rapportées au foyer S comme origine, et à la ligne des nœuds SN comme axe. En les désignant respectivement par bP et bQ, et en employant les développemens donnés au n.ᵒ 45, nous aurons

P=(1+Sin.μCos.ϰ)Cos.(ϵ+ϕ),

Q=(1+Sin.μCos.ϰ)Sin.(ϵ+ϕ);

ou bien

P=Cos.ϵSin.μ+Cos.ϵCos.ϰ−Sin.ϵSin.ϰCos.μ,

Q=Sin.ϵSin.μ+Sin.ϵCos.ϰ+Cos.ϵSin.ϰCos.μ.

En employant cette notation, on aura

aSin.(θ−A)=bPSin.(δ−A)+bQCos.(δ−A)Cos.β,

aCos.(θ−δ)Tang.B=bPTang.B−bQCos.(δ−A)Sin.β.

La ligne MT, distance de l’astre à la terre, égale à LM/Sin.B=(rSin.(ϵ+ϕ)Sin.β)/Sin.B, deviendra, par cette même notation, bQSin.β/Sin.B.

48. Si on multiplie la première de ces équations par Sin.β, l’autre par Cos.β, et qu’on les ajoute ensemble, on aura une nouvelle équation débarrassée de Q et ne renfermant que P seul. Multipliant de même la première par Tang.B, la seconde par Sin.(δ−A) et les ôtant l’une de l’autre, en remarquant que (θ−A)=(θ−δ)+(δ−A), ce qui rend Sin.(θ−A)−Cos.(θ−δ)Sin.(δ−A)=Sin.(θ−δ)Cos.(δ−A), on aura une nouvelle équation débarrassée de P, et ne renfermant plus que Q. Ces deux équations seront

bP/a=(Cos.βCos.(θ−δ)+Sin.βSin.(θ−A)Cot.B)/(Cos.β+Sin.βSin.(δ−A)Cot.B), bQ/a=Sin.(θ−δ)/(Cos.β+Sin.βSin.(δ−A)Cot.B).

Leur forme nous met dans le cas de procéder par degrés à la solution du problème, en le partageant dans les trois qui suivent :

49. PROBLÈME VI. La position du plan de l’orbite étant supposée connue, et connaissant de plus le grand axe de l’ellipse, et l’instant du passage par l’une des deux apsides ; on demande de déterminer, moyennant une seule observation, l’excentricité et la position de l’axe ?

50. Solution. Les quantités connues du problème seront ainsi : l’angle δ, longitude du nœud ; l’angle β inclinaison de l’orbite ; les angles A et B, ou la longitude et la latitude géocentriques, données par l’observation ; l’angle θ, longitude de la terre dans ce même instant ; l’angle η que faisait la ligne des nœuds avec le rayon vecteur de la terre, au moment du passage de l’astre par son aphélie ; enfin le demi-grand axe b de l’orbite, et par conséquent la fraction b/a. Les deux inconnues sont l’excentricité μ et l’angle ϵ que fait la ligne des nœuds avec celle des apsides.

51. Les deux équations données (48) nous mettent dans le cas de déterminer immédiatement les deux facteurs P et Q. De plus, l’angle η étant supposé connu, on aurait, pour déterminer l’anomalie excentrique ϰ, l’équation (44)

p(θ−δ−η)=q(ϰ+Sin.μSin.ϰ)

qui, outre cette anomalie, renferme encore l’excentricité, connue comme elle. Heureusement elle y est réductible ; car ayant (47)

P=(1+Sin.μCos.ϰ)Cos.(ϵ+ϕ),

Q=(1+Sin.μCos.ϰ)Sin.(ϵ+ϕ),

on en tire

1+Sin.μCos.ϰ=√(P²+Q²);

quantité entièrement connue. En la désignant donc par R, on obtient,

Sin.μ=R−1/Cos.ϰ,

ce qui change notre dernière équation en

p(θ−δ−η)=q[ϰ+(R−1)Tang.ϰ].

On en tirera l’anomalie ϰ par une simple application de la règle de fausse position ; et, après l’avoir trouvée, il ne restera plus que le seul angle ϵ à déterminer. Or, des deux équations (47)

P=Cos.ϵSin.μ+Cos.ϵCos.ϰ−Sin.ϵSin.ϰCos.μ,

Q=Sin.ϵSin.μ+Sin.ϵCos.ϰ+Cos.ϵSin.ϰCos.μ;

on tire

PCos.ϵ+QSin.ϵ=Sin.μ+Cos.ϰ,

QCos.ϵ−PSin.ϵ=Sin.ϰ+Cos.μ;

ce qui donne

RCos.ϵ=P(Sin.μ+Cos.ϰ)+QSin.ϰCos.μ,

RSin.ϵ=Q(Sin.μ+Cos.ϰ)−PSin.ϰCos.μ;

Le problème sera ainsi résolu. Il pourra servir à déterminer, dans les orbes planétaires, le lieu de l’aphélie et l’excentricité, les autres élémens étant supposés connus.

52. PROBLÈME VII. Connaissant la position du plan de l’orbite, on demande de déterminer, moyennant deux observations, les quatre élémens qui restent ; savoir : l’instant du passage par l’aphélie, ou l’angle η ; la position de la ligne des apsides, ou l’angle ϵ ; l’excentricité de l’orbite, ou l’angle μ ; enfin le

demi-grand axe b, duquel dépend le rapport des deux temps périodiques p et q au moyen de l’équation p²b³=q²a³ ?

53. Solution. En conservant, pour la première observation, les notations du problème précèdent, on marquera par un accent celles qui se rapportent à la seconde. On désignera donc

par A, A′ les deux longitudes géocentriques

par B, B′ les deux latitudes géocentriques ;

par ϰ, ϰ′ les deux anomalies excentriques

par r, r′ les deux rayons vecteurs.

On aura ainsi

r=b(1+Sin.μCos.ϰ), r′=b(1+Sin.μCos.ϰ′).

54. Les lettres P, P′, Q, Q′ désigneront encore les fonctions trigonométriques qui suivent

P=Cos.ϵSin.μ+Cos.ϵCos.ϰ−Sin.ϵSin.ϰCos.μ, P′=Cos.ϵSin.μ+Cos.ϵCos.ϰ′−Sin.ϵSin.ϰ′Cos.μ, Q=Sin.ϵSin.μ+Sin.ϵCos.ϰ+Cos.ϵSin.ϰCos.μ, Q′=Sin.ϵSin.μ+Sin.ϵCos.ϰ′+Cos.ϵSin.ϰ′Cos.μ,

55. On aura donc, en vertu de (48),

bP/a=(Cos.βCos.(θ−δ)+Sin.βSin.(θ−A)Cot.B)/(Cos.β+Sin.βSin.(δ−A)Cot.B), bP′/a=(Cos.βCos.(θ′−δ)+Sin.βSin.(θ′−A′)Cot.B′)/(Cos.β+Sin.βSin.(δ−A′)Cot.B′), bQ/a=Sin.(θ−δ)/(Cos.β+Sin.βSin.(δ−A)Cot.B), bQ′/a=Sin.(θ′−δ)/(Cos.β+Sin.βSin.(δ−A′)Cot.B′),

56. Ainsi, la position du plan de l’orbite étant supposée connue, on pourra regarder comme connues les quatre fractions bP/a, bP′/a, bQ/a, bQ′/a ; mais le rapport b/a est une des inconnues du problème ; ce qui porte à cinq le nombre de celles que renferment les quatre équations précédentes.

57. La sixième inconnue, c’est l’angle η, qui fixe l’instant du passage par l’aphélie. La théorie de l’ellipse fournit les deux équations (44)

p(θ−δ−η)=q(ϰ+Sin.μSin.ϰ), p(θ′−δ−η)=q(ϰ′+Sin.μSin.ϰ′);

desquelles on tire, par une simple soustraction,

p(θ′−θ)=q[(ϰ′−ϰ)+Sin.μ(Sin.ϰ′−Sin.ϰ)].

L’angle η étant ainsi déterminé, le nombre des équations, de même que celui des inconnues, se trouvera de nouveau réduit à cinq.

58. Les quatre équations de (54) pourront être réduites à trois, par l’élimination de l’angle ϵ. On a d’abord (51)

R=1+Sin.μCos.ϰ, R′=1+Sin.μCos.ϰ′;

d’où l’on tire

R−R′=Sin.μ(Cos.ϰ−Cos.ϰ′),

R+R′=2+Sin.μ(Cos.ϰ+Cos.ϰ′),

RR′=1+Sin.μ(Cos.ϰ+Cos.ϰ′)+Sin.²μCos.ϰCos.ϰ′.

59. Il conviendra de remarquer les deux expressions littérales de PQ′−P′Q et de PP′+QQ′, que l’on obtiendra encore, entièrement débarrassées de l’angle ϵ, à l’aide des formules données (47) ; savoir

P=(1+Sin.μCos.ϰ)Cos.(ϵ+ϕ), Q=(1+Sin.μCos.ϰ)Sin.(ϵ+ϕ), P′=(1+Sin.μCos.ϰ′)Cos.(ϵ+ϕ′), Q′=(1+Sin.μCos.ϰ′)Sin.(ϵ+ϕ′);

il en résulte

PQ′−P′Q=RR′Sin.(ϕ′−ϕ), PP′+QQ′=RR′Cos.(ϕ′−ϕ);

d’où l’on obtient la formule simple et remarquable

Tang.(ϕ′−ϕ)=PQ′−P′Q/(PP′+QQ′).

Ainsi donc, ayant trouvé, à l’aide des formules (55), les quantités P, P′, Q, Q′, multipliées par le facteur b/a qui, quoiqu’inconnu, est commun à toutes, et disparait dans la division, on en tirera immédiatement l’angle ϕ′−ϕ ; c’est l’angle décrit par le rayon vecteur de la comète, dans l’intervalle de temps qui sépare les deux observations.

60. Si l’on développe les sinus et cosinus de ϕ′−ϕ, en réduisant tout aux anomalies excentriques, moyennant les formules (45), on en déduira les deux qui suivent :

PQ′−P′Q=[Sin.(ϰ′−ϰ)+(Sin.ϰ′−Sin.ϰ)Sin.μ]Cos.μ,

RR′−PP′−QQ′=[1−Cos.(ϰ′−ϰ)]Cos.²μ.

61. Pour donner à nos formules encore plus de simplicité, faisons

ϰ′+ϰ=2χ, ϰ′−ϰ=2ψ;

d’où

ϰ′=χ+ψ, ϰ=χ−ψ;

il en résultera

Sin.ϰ′+Sin.ϰ=2Sin.χCos.ψ, Sin.ϰ′−Sin.ϰ=2Cos.χSin.ψ,

Cos.ϰ−Cos.ϰ′=2Sin.χSin.ψ, Cos.ϰ+Cos.ϰ′=2Cos.χCos.ψ;

et par conséquent

R−R′=2Sin.μSin.χ.Sin.ψ,

R+R′−2=2Sin.μCos.χCos.ψ,

PQ′−P′Q=2Cos.μSin.ψ(Cos.ψ+Sin.μCos.χ),

RR′−PP′−QQ′=2Cos.²μSin.²ψ;

la dernière des équations (57) prendra alors la forme

p(θ′−θ)=q(2ψ+2Sin.μCos.χSin.ψ),

et comme

R+R′−2=2Sin.μCos.χCos.ψ,

elle deviendra finalement

p(θ′−θ)=q[2ψ+(R+R′−2)Tang.ψ]

62. Mais n’oublions pas que la fraction b/a qui multiplie P, P′, Q, Q′, dans les formules (55), est elle-même une de nos inconnues.

Faisons, pour abréger, a/b=n ; faisons de plus

P=nM, Q=nN, R=nO,

P′=nM′, Q′=nN′, R′=nO′,

Les quantités M, N, O, M′, N′, O′ seront alors celles qu’on aura pu immédiatement déduire des formules (55), et que, par conséquent, on pourra regarder commt connues, tandis qu’il faudra considérer comme inconnue la fraction a/b=n, de même que p/q=√(n³).

Les équations du numéro précédent deviendront donc

n(O−O′)=2Sin.μSin.χSin.ψ,

n(O+O′)−2=2Sin.μCos.χCos.ψ,

n²(MN′−M′N)=2Cos.μSin.ψ(Cos.ψ+Sin.μCos.χ),

n²(O′O−MM′−NN′)=2Cos.²μSin.²ψ,

(θ′−θ)√(n³)=2ψ+[n(O+O′)−2]Tang.ψ.

63. Ce sont là les équations desquelles dépend la solution du problème. Il faut employer la règle de fausse position ; et, pour éviter les équations au-dessus du second degré, il faut commencer par supposer une valeur numérique à l’angle χ. À l’aide de cet angle, on déterminera l’excentricité μ. Pour cela, on divisera le quarré de l’équation (1) par l’équation (3), ce qui donnera

Tang.²μ=(O−O′)²/2(OO′−MM′−NN′)Sin.²χ.

64. De là, on passera à l’angle ψ. Posant, pour abréger.

OO′−MM′−NN′/MN′−M′N=h,

et divisant la troisième équation par la seconde, il viendra

Cos.μSin.ψ−hCos.ψ=hSin.μCos.χ;

équation où l’on traitera l’angle ψ comme l’inconnue, et que l’on résoudra par les méthodes connues. De plus, cet angle ψ étant la demi-différence des deux anomalies excentriques, pour peu que ces deux anomalies ne soient pas très-éloignées l’une de l’autre, il sera assez petit pour que son cosinus puisse être confondu avec l’unité, sans erreur sensible, sur-tout s’il faut vérifier le premier essai d’une règle de fausse position. On aura ainsi

Sin.ψ=(h(1+Sin.μCos.χ)/Cos.μ.

65. À l’aide des trois angles χ, μ, ψ, on aura, par l’équation (1)

n=2Sin.μSin.χSin.ψ/O−O′.

Substituant ensuite les valeurs numériques des quatre quantités dans l’équation (4), on s’assurera de la différence entre deux quantités qui, dans le cas d’une supposition exacte pour χ, devraient être rigoureusement égales. Une seconde supposition donnera un nouveau résultat qui, comparé au premier, servira à diriger les suppositions ultérieures, et à conduire, par quelques essais, et par l’application des méthodes usitées en pareille rencontre, à une valeur suffisamment approchée de χ ; et, par suite, à celles de μ, ψ, et n.

66. Les deux anomalies excentriques ϰ, ϰ′ se trouveront ensuite par les formules (60) ; savoir :

ϰ=χ−ψ, ϰ′=χ+ψ.

L’angle η se déduira de l’une des deux équations (57)

(θ−δ−η)√(n³)=ϰ+Sin.μSin.ϰ,

(θ′−δ−η)√(n³)=ϰ′+Sin.μSin.ϰ′.

Il restera donc à connaître le seul angle ϵ ; et on aura pour le déterminer, l’une des quatre équations (54).

67. Telle est donc la solution du problème, dans le cas où la position du plan de l’orbite peut être supposée connue. Il est très-possible de déterminer cette position à part, indépendamment des autres élémens de cette orbite ; les méthodes qui y conduisent sont assez connues ; et elles sont encore susceptibles d’être perfectionnées. Toutefois nous donnerons, dans un prochain mémoire, la solution générale et complète du problème.

* ↑ Voyez la pag. 161 de ce volume.
* ↑ Voyez la page 84 du 2.ᵉ volume de ce recueil. J. D. G.
