Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 07/Gnomonique, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 07/Gnomonique, article 1

## GNOMONIQUE.

### Construction nouvelle d’un cadran solaire quelconque ;

Je viens de lire la Gnomonique graphique de M. Mollet, professeur à Lyon ; et sa lecture m’a autorisé à croire que c’est à l’auteur que l’on doit la construction du cadran cylindrique que l’on trouve à la page 372 du 3.ᵉ volume des Annales. Ce problème n’est pas nouveau, non plus que celui du cadran sphérique, comme je l’avais d’abord pensé ; on les trouve traités, l’un et l’autre, dans les Récréation mathématiques d’Ozanam, où l’on rencontre une colonne cylindrique surmontée d’une sphère, qui est relative à ces deux problèmes.

En examinant les problèmes de gnomonique plane de M. Mollet, j’ai remarqué que sa méthode de construction des lignes horaires n’est commodément applicable, dans la pratique, que pour trouver, dans le cadran horizontal, par exemple, les lignes de 8 heures du matin à 4 heures du soir, celles de 7 heures du matin et de 5 heures du soir font des angles trop aigus avec l’équinoxiale pour pouvoir être déterminées d’une manière exacte ; celles de 4 heures et 8 heures font même déjà avec l’équinoxiale des angles au-dessous de 45^{∘}, ce qui exige beaucoup d’espace.

Pour remédier à cet inconvénient, je propose la construction suivante, que j’appliquerai, pour plus de généralité, à un cadran incliné et déclinant.

Soient C (fig. 11) le centre du cadran, CB l’axe, CM la soustylaire, BM la perpendiculaire à l’extrémité de l’axe, C₁₂ la méridienne.

La latitude du lieu, la longueur de l’axe, l’inclinaison et la déclinaison du plan étant données, les trois côtés du triangle rectangle CBM et l’angle MC₁₂ sont aussi données. Cela posé :

Je construis un rectangle AGHF, ayant pour hauteur la soustylaire CM et pour base GH, double de la perpendiculaire BM ; cette base, partagée en deux parties égales par la soustylaire, coupe la méridienne au point 12.

Je prolonge CA d’une quantité AP=AG, longueur de la soustylaire ; je tire PG, qui fait ainsi avec AP un angle de 45^{∘}. Sur PA prolongée je porte PG de P en G′ ; sur PA et PG je porte GM de P en Q et Q′. Du point P comme centre, avec le rayon PA, je décris l’arc de 45^{∘} AA′ ; je tire la ligne A′G′ ; et, par les points Q et Q′, je mène les droites QR, Q′R′, respectivement parallèles aux lignes AG, A′G′.

Je porte M₁₂ de Q′ en 12 sur Q′R′ ; et, par les points P et 12, je mène le rayon P6. À compter du point où ce rayon rencontre l’arc AA′, je prends sur cet arc, de part et d’autre de ce point, des divisions de 15^{∘} (On les prendrait de 7^{∘}.30′ ou de 3^{∘}.45′, si l’on voulait marquer sur le cadran les demi-heures ou les quarts-d’heures). Par les points de division, je mène les rayons P5, P6, P7 ; le rayon P5 rencontre respectivement les lignes QR, Q′R′, AG, A′G′ aux points 2, 11, 8, 5 ; le rayon P6 rencontre les mêmes lignes aux points 3, 12, 9, 6 ; et le rayon P7 les rencontre aux points 1, 4, 10, 7.

Je porte QR, avec ses divisions 2, 3, 4, de M en H ; je porte Q′R′, avec ses divisions 1, 12, 11, de M en G ; je porte enfin A′G′, avec ses divisions 7, 6, 5, de F en H, et je laisse en place la ligne AG, avec ses divisions 8, 9, 10; menant enfin des droites du point C aux points de division 8, 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 des trois côtés AG, GH, HF du rectangle, le cadran se trouve construit.

Si la méridienne, avant de rencontrer l’équinoxiale GH, rencontrait d’abord la parallèle AG à la soustylaire, ainsi qu’il arrive dans la figure à la ligne C₁₀ ; ce serait à son point de rencontre avec cette droite AG qu’il faudrait marquer 12, en faisant rétrograder en conséquence tout le reste du numérotage.

L’on voit, par cette construction, dont je ne donne point la démonstration, parce qu’elle est facile à trouver, que toutes le lignes horaires sont déterminées par des intersections de droites qui ne forment jamais entre elles des angles inférieurs à 45^{∘}.

Agréez, etc.

