Communiquée aux rédacteurs des Annales, sur la lettre de M. Kramp
# Communiquée aux rédacteurs des Annales, sur la lettre de M. Kramp

## NOTE

Toute équation du second degré à deux indéterminées peut toujours, par des transformations, se réduire à la forme suivante :

y²−Ax²=B.

La résolution de cette équation, en nombres entiers, lorsqu’elle est possible, peut se ramener à l’intégration d’une équation aux différences finies de cette forme :

y″−2my′+y=0 ;

son intégration donne

y=(Y+X√A)/2 {m+n√A}^{ζ−1}+Y−X√A/2 {m−n√A}^{ζ−1},

x=(Y+X√A)/2√A {m+n√A}^{ζ−1}−Y−X√A/2√A {m−n√A}^{ζ−1}.

Dans ces formules Y, X, sont les plus petites valeurs entières de y, x ; qui satisfassent à l’équation y²−Ax²=B.

m, n, sont deux nombres entiers satisfaisant à l’équation m²−An²=1.

Je me propose, dans une autre circonstance, de démontrer toutes ces propositions, ainsi que beaucoup d’autres sur les fractions-continues.

L’équation que M. Kramp se propose de résoudre (pag. 283) est celle-ci

y²−11x²=49.

Les plus petites valeurs entières de m, n, qui satisfassent à l’équation m²−11n²=1 sont m=10, n=3 ; celles de Y, X, sont Y=7, X=0.

En substituant ces valeurs dans les formules générales données ci-dessus, et y faisant ensuite z=1, 2, 3, 4, …, on trouve

y=7, 70, 1393, 27790, …x=0, 21, 420, 8379, …

comme on le voit dans le mémoire de M. Kramp (pag. 285).

Si l’on met l’équation y²−11x²=49 sous cette forme

y²/49−11 x²/49=1,

en posant

y/7=y′, x/7=x′,

on aura à résoudre l’équation

y′²−11x′²=1.

Si l’on en cherchait les solutions en nombres entiers, on trouverait, comme ci-dessus, y′=10, x′=3.

Mais, si l’on cherche les valeurs fractionnaires qui peuvent y satisfaire, on en trouvera plusieurs parmi celles-ci qui auront l’avantage de donner, pour y et x, des nombres entiers essentiellement différens de ceux qui ont déjà été déterminés. De ce nombre sont les valeurs

y′=15/7, x′=4/7 ;}

{y=15, x=4 ;

y′=18/7, x′=5/7 ;}

{y=18, x=5 ;

Prenant successivement ces deux systèmes de valeurs pour Y et X, on formera les deux nouvelles séries de valeurs correspondantes que voici

y=15, 282, 5625, …x=4, 85, 1696, …y=18, 345, 6882, …x=5, 104, 2075, …

comme l’indique M. Kramp dans sa lettre insérée à la page 319.

On voit donc que l’existence des deux dernières séries de valeurs dont parle M. Kramp, et qui comme les premières, résolvent l’équation, tient 1.ᵒ à ce que le terme 49 est un quarré, ce qui permet de mettre l’équation proposée sous la forme

y′²−11x′²=1 ;

2.ᵒ à ce que, parmi les systèmes de valeurs fractionnaires de y′, x′, qui satisfont à cette dernière, il s’en trouve deux qui, à cause de leur dénominateur, donnent pour y et x des nombres entiers. On voit en effet que

(15/7)²−11(4/7)²=1, (18/7)²−11(5/7)²=1, }

{15²−11⋅4²=49, 18²−11⋅5²=49.

Si, au contraire, on posait

y′=6/5, x′=1/5,

on satisferait bien à l’équation

y′²−11x′²=1 ;

mais il en résulterait pour y et x les valeurs fractionnaires

y=42/5, x=7/5,

Les formules (1), (2), sont donc très-générales ; elles contiennent toutes les séries de valeurs qui peuvent satisfaire à l’équation y²−Ax²=B, tant en nombres entiers qu’en nombres fractionnaires.

