Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Géométrie élémentaire, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Géométrie élémentaire, article 1

## GÉOMÉTRIE.

Soient un grand et un petit cercle, se coupant sous un angle connu quelconque, dans l’intérieur d’une sphère ; soit conduit par le centre C de cette sphère (fig. 1) un plan perpendiculaire à la commune section de ces deux cercles, et conséquemment perpendiculaire à leurs plans. Soit AEBF le grand cercle qui forme la trace de ce plan sur la surface de la sphère. Soient de plus AB le diamètre du grand cercle donné, EF celui du petit cercle, et D leur commune section qui sera, en même temps, le point où le plan du grand cercle AEBF coupera la commune section des plans de ces deux cercles. Désignons enfin par D′ le point où cette commune section rencontre la partie antérieure de la surface sphérique, et dont le point D sera conséquemment la projection orthogonale sur le plan AEBF. Les deux cercles dont les diamètres sont AB et EF diviseront la sphère en quatre onglets, divisés eux-mêmes en deux parties égales par le cercle AEBF ; et les surfaces convexes des demi-onglets compris dans l’hémisphère antérieur seront AD′E, ED′B, BD′F, FD′A, formant ensemble la surface de cet hémisphère. Nous nous attacherons d’abord uniquement à déterminer la surface AD′E.

Les données du problème seront : r rayon de la sphère ; la distance CD=a ; et l’angle ADE=λ, que les plans des deux cercles forment entre eux. En abaissant du centre C le rayon CG, perpendiculaire sur EF, et coupant cette corde en son milieu H, on aura CH=aSin.λ; GH=r−aSin.λ ; et, en menant le rayon CE, on aura Sin.CED=aSin.λ/r. Nous désignerons ce dernier angle par k.

La surface AD′E est (fig.2) égale à la différence des deux surfaces ED′G et AD′G, dont la dernière AD′G est un triangle sphérique, rectangle en A. Les angles D′ et G de ce triangle se déterminent facilement par les deux formules Sin.D′=Cos.λ/Cos.k et Cos.G=Tang.k/Tang.λ. La surface de ce triangle sera

1/2 ϖr²{ (D′+G)/90^{∘}−1}.

L’autre surface ED′G, terminée par les deux arcs de grands cercles D′G, E′G, et par l’arc de petit cercle D′E, fait partie de la calotte sphérique, produite par la révolution de l’arc GE autour de l’axe CG, et dont la surface est 2ϖr(r−aSin.λ). Cette surface devant être à celle de la calotte dans le rapport de l’angle G à quatre angles droits, on aura, pour la première,

1/2 ϖr².G(1−Sin.k)/90^{∘}.

On aura donc pour la surface AD′E

1/2 ϖr².G(1−Sin.k)/90^{∘}−1/2 ϖr²{ (D′+G)/90^{∘}−1}=1/2 ϖr²{1−(D′+GSin.k)/90^{∘} }.

En raisonnant de même sur les trois autres portions de l’hémisphère, on pourra former le tableau suivant :

Surface AD′E=1/2 ϖr²{1−(D′+GSin.k)/90^{∘} }.

Surface ED′B=1/2 ϖr²{1+(D′+GSin.k)/90^{∘} }.Surface BD′F=1/2 ϖr²{1−D′−(180^{∘}−G)Sin.k/90^{∘} }.Surface FD′A=1/2 ϖr²{1+D′−(180^{∘}−G)Sin.k/90^{∘} }.

On en déduit que la différence BD′E−AD′F ou BD′F−AD′E des surfaces connexes des deux demi-onglets diamétralement opposés est ϖr²Sin.k=ϖarSin.λ; d’où il suit que la différence des surfaces convexes des deux onglets diamétralement opposés est 2ϖarSin.λ=Cir r×CH, c’est-à-dire, équivalente à la zone dont la hauteur serait CH.

À l’aide des formules qui viennent d’être construites, on déterminera facilement la portion de la surface sphérique interceptée entre trois ou un plus grand nombre d’arcs de petits cercles.

