Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Géométrie élémentaire, article 9
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Géométrie élémentaire, article 9

## GÉOMÉTRIE.

Au Rédacteur des Annales,

La lecture de vos Annales me laisse le regret de n’avoir pas connu plutôt cet intéressant recueil ; il m’aurait servi à améliorer quelques théories de la première section de mon algèbre ; mais enfin je l’exploite au profit, tant de la seconde que de l’Application de l’algèbre à la géométrie, et des réciproques, ouvrage dont je prépare de nouvelles éditions ; ainsi, Monsieur, vous voyez que je serai de beaucoup votre débiteur.

Je ne sais trop, Monsieur, si vous consentirez à revenir sur une question déjà traitée dans le tome 1.ᵉʳ de votre recueil (pages 149-158). Il s’agit de l’expression de la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit à un même triangle. Il me semble que le procédé que j’ai l’honneur de vous adresser se recommande, par sa simplicité.

Soient A, B, C les trois angles du triangle proposé ; soient respectivement r et R les rayons des cercles inscrit et circonscrit ; soit enfin D la distance entre les centres de ces cercles.

En considérant D comme l’un des côtés d’un triangle dont le sommet est en A, observant que les deux autres côtés de ce triangle sont R et r/Sin.1/2 A, et que l’angle compris est 1/2 (B−C) ou 1/2 (C−B) ; on trouvera, par l’équation fondamentale de la trigonométrie rectiligne,

2rRCos.1/2 (B−C)Sin.1/2 A=r²+(R²−D²)Sin.² 1/2 A.

En transportant le sommet de ce triangle de A en B, on aura semblablement

2rRCos.1/2 (A−C)Sin.1/2 B=r²+(R²−D²)Sin.² 1/2 B.

Retranchant cette dernière équation de la première, il viendra

2rR{Cos.1/2 (B−C)Sin.1/2 A−Cos.1/2 (A−C)Sin.1/2 B}

=(R²−D²)(Sin.² 1/2 A−Sin.² 1/2 B);

or,

Cos.1/2 (B−C)Sin.1/2 A−Cos.1/2 (A−C)Sin.1/2 B=Sin.1/2 (A−B)Cos.1/2 C=Sin.1/2 (A−B)Sin.1/2 (A+B)=Sin.² 1/2 A−Sin.² 1/2 B;

on a donc, simplement

2rR=R²−D²,

D=√(R²−2rR).

