Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Trigonométrie, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Trigonométrie, article 2

## FONCTIONS CIRCULAIRES.

I. Le sinus d’un arc variant de signe avec cet arc, sans varier de grandeur absolue ; on est autorisé à supposer

Sin.x=Ax+Bx³+Cx⁵+Dx⁷+…;

et conséquemment

Sin.y=Ay+By³+Cy⁵+Dy⁷+…;

Sin.1/2 (x−y)=A[ 1/2 (x−y)]+[B 1/2 (x−y)³]+…

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation

Sin.x−Sin.y=2Cos.1/2 (x+y)Sin.1/2 (x−y),

les deux membres de l’équation résultante seront divisibles par 1/2 (x−y) et, en exécutant la division, il viendra

{A+B[ 1/2 (x−y)]²+C[ 1/2 (x−y)]⁴+…}Cos.1/2 (x+y)=

A+B(x²+xy+y²)+C(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴)+…

Si, dans cette dernière équation, on fait y=x, elle se réduira à

ACos.x=A+3Bx²+5Cx⁴+7Dx⁶+…;

on aura donc aussi

ACos.y=A+3By²+5Cy⁴+7Dy⁶+…;

substituant les valeurs de Cos.x et Cos.y, données par ces deux équations, ainsi que celle de Sin.1/2 (x−y), donnée par l’équation (3), dans l’équation

Cos.y−Cos.x=2Sin.1/2 (x+y)Sin.1/2 (x−y),

les deux membres de l’équation résultante seront divisibles par 1/2 (x−y), et, en exécutant la division, il viendra

A{A+B[ 1/2 (x−y)]²+C[ 1/2 (x−y)]⁴+…}Sin.1/2 (x+y)=

−3B(x+y)−5C(x³+x²y+xy²+y³)−…

Si, dans cette dernière équation, on fait y=x, elle deviendra

A²Sin.x=−2.3Bx−4.5Cx³−6.7Dx⁵−…;

mais l’équation (1) donne

A²Sin.x=A³x+A²Bx³+A²Cx⁵+…;

on aura donc

−2.3B=A³, −4.5C=A²B, −6.7D=A²C, …

et par conséquent

B=−A³/1.2.3, C=+A⁵/1.2.3.4.5, D=−A⁷/1.2.3.4.5.6.7, …;

donc enfin (1 et 4)

Sin.x=Ax/1−A³x³/1.2.3+A⁵x⁵/1.2.3.4.5−A⁷x⁷/1.2.3.4.5.6.7+…;

Cos.x=1−A²x²/1.2+A⁴x⁴/1.2.3.4−A⁶x⁶/1.2.3.4.5.6+….

Il est d’ailleurs facile de prouver que la constante A doit être égale à l’unité.

II. La tangente d’un arc variant aussi de signe avec cet arc, sans varier de grandeur absolue ; on est autorisé à supposer

x=ATang.x+BTang.³x+CTang.⁵x+…;

on aura donc aussi

y=ATang.y+BTang.³y+CTang.⁵y+…;

x−y=ATang.(x−y)+BTang.³(x−y)+…;

Si l’on égale la valeur de x−y donnée par les équations (6 et 7) à celle que donne l’équation (8), en mettant en évidence le facteur Tang.x−Tang.y, qui affecte l’un des membres de l’équation résultante ; il viendra

(Tang.x−Tang.y){A+B(Tang, ²x+Tang.xTang.y+Tang.²y)+…}

=Tang.(x−y){A+BTang, ²(x−y)+CTang.⁴(x−y)+…};

mais on a

Tang⁡x−Tang.y=(1+Tang.xTang.y)Tang.(x−y),

substituant donc, et supprimant le facteur commun Tang.(x−y), on aura

(1+Tang.xTang.y){A+B(Tang.²x+Tang.xTang.y+Tang.²y)+…}

=A+BTang, ²(x−y)+CTang.⁴(x−y)+…;

posant alors y=x, cette équation deviendra simplement

A=(1+Tang.²x){A+3BTang.²x+5CTang.⁴x+…};

ou, en développant,

A=A+3B+A|Tang.²x+5C+3B|Tang.⁴x+7D+5C|Tang.⁶x+…;

donc

3B+A=0, 5C+3B=0, 7D+5C=0, …;

d’où

B=−1/3 A, C=+1/5 A, D=−1/7 A, …;

donc enfin (6)

x=A(Tang.x−1/3 Tang.³x+1/5 Tang.⁵x−…);

on parviendra d’ailleurs facilement à s’assurer que la constante A doit être égale à l’unité.

* ↑ Voyez la Théorie des fonctions analitiques.
