Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/Géométrie, article 9
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/Géométrie, article 9

## QUESTIONS RÉSOLUES.

Problème. Soient a, b, c, (fig. 1.) les traces, sur un même plan P, de trois directrices α, β, γ, dirigées d’une manière quelconque dans l’espace, et sur lesquelles une quatrième droite θ se meut et décrit une surface gauche ; soient de plus d, e, les traces, sur le plan P, de la génératrice, dans deux de ses positions δ, ϵ ; soit enfin ap une droite menée, d’une manière quelconque, par le point a, sur le même plan P.

Il s’agit de déterminer, sur cette droite ap, le point s, autre que a, où elle coupera la trace de la surface gauche sur le plan P, et de construire, pour ce point s, la tangente à cette trace.

Solution. 1.ᵒ Soit considéré ap comme la trace d’un plan (α, ap)

mené par α, et soient désignées respectivement par B et C les intersections de ce plan avec β et y.

2.ᵒ Par B et γ soit imaginé un plan (B, γ), et soit désignée par A l’intersection de ce plan avec α.

3.ᵒ Les trois points A, B, C, sont dans les deux plans (α, ap), (B, γ), et par conséquent à leur intersection, qui est une position de la génératrice θ, et qui donnera évidemment le point cherché s, au point de concours de la trace ap avec la trace du plan (B, γ).

4.ᵒ Un point de la trace du plan (B, γ) est évidemment le point c ; de manière qu’il ne s’agit que d’en trouver un second. Soient D le point où la génératrice δ coupe la directrice α, et E le point où la génératrice ϵ coupe la directrice γ ; la droite BE étant dans le plan (B, γ), la trace de cette droite sera un second point de celle du plan (B, γ).

5.ᵒ La droite BE est dans un plan (β, ϵ) dont la trace est be ; elle est aussi dans le plan (B, D, E) des trois points B, D, E ; mais ae est la trace du plan (α, ϵ) ; cd est la trace du plan (γ, δ), et ces deux plans contiennent visiblement (4.ᵒ) les points D, E ; donc le point o de concours des traces ae, cd est la trace de la droite DE. De plus les points B, D sont, à la fois, dans le plan (α, ap), dont la trace est (1.ᵒ) ap, et dans le plan (β, δ) dont la trace est bd ; donc ils sont à l’intersection de ces plans ; et partant, le point p de concours des traces ap, bd est la trace de la droite BD, Ainsi, la droite op, qui joint les traces des deux droites BD, DE, est évidemment la trace du plan de ces deux droites, c’est-à-dire, du plan (B, D, E).

6.ᵒ Donc (5.ᵒ) la trace de la droite BE est au point q de concours des deux traces op et be ; par conséquent (4.ᵒ) le point q est un second point de la trace du plan (B, γ) laquelle est donc cq.

7.ᵒ Ainsi, on a, pour déterminer le point s, cette simple construction : parmi les points donnés, a étant le premier, e le second, b le troisième, d le quatrième et c le cinquième (cet ordre est établi arbitrairement) ; joignez le 1.ᵉʳ au 2.ᵉ, le 2.ᵉ au 3.ᵉ, le 3.ᵉ au 4.ᵉ et le 4.ᵉ au 5.ᵉ ; marquez le point p de concours de la droite ap,

menée arbitrairement par le premier point, avec la droite bd, qui passe par le troisième et le quatrième ; marquez aussi le point o de concours de la droite ae, qui passe par le premier et le deuxième, avec cd qui passe par le quatrième et le cinquième ; menez po qui concourra en q avec eb qui joint le deuxième et le troisième points ; joignez enfin le cinquième c au point q par une droite cq qui coupera pa au point cherché.

8.ᵒ ds est la trace d’un plan (δ, λ) qui passe par δ et par une génératrice λ qui s’appuie sur les trois droites δ, ϵ, θ, considérées comme directrices. On sait que cette seconde génération de la surface est permise, et que la trace d’un plan passant par λ et θ est tangente à la section au point s.

9.ᵒ Soit F le point où la droite λ coupe la droite ϵ. Les points D, F sont, à la fois, dans les plans (δ, λ) et (α, ϵ) ; et D est (4.ᵒ) sur α et δ ; donc la trace de la droite DF est au point t de concours des traces ds et ae.

10.ᵒ Les droites DF et BD, se coupant en D, sont dans un même plan dont la trace est pt : puisque le point p est celle de BD (5.ᵒ) et le point t celle de DF (9.ᵒ).

11.ᵒ La droite BF, qui est dans le plan (BD, DF), est aussi dans le plan (β, ϵ), dont la trace est be, donc la trace de BF est le point u de concours de pt avec be.

12.ᵒ Ainsi su est la trace d’un plan passant par s et par BF, c’est-à-dire, passant par les deux droites θ et λ, puisque la première passe par B (3.ᵒ) et par s, et que la deuxième passe aussi par s et par le point F (9.ᵒ) ; et par conséquent su est la tangente demandée ; ce qui fournit cette construction : joignez le point s avec un quelconque d des points assignés, le quatrième par exemple ; joignez, avec a le premier, et d le quatrième avec b le troisième, par des droites qui concourront en p ; menez par le premier et le deuxième la droite ae, concourant en t avec ds et joignez pt ; menez encore par les deuxième et troisième points la droite be, concourant en u avec pt ; alors en menant su, cette dernière droite sera la tangente demandée.

Remarque I. Les constructions trouvées sont connues ; la première (7.ᵒ) fait le fond de l’ouvrage de Brackenridge, De descriptione curvarum (1728). Mac-Laurin lui en a disputé l’invention, dans les Transactions philosophiques ; mais je ne crois pas que l’on soit parvenu encore à les démontrer d’une manière aussi simple ; et même je n’en connais que des démonstrations d’une fatigante complication. Ici, au contraire, on les contemple par la vision intuitive, s’il est permis de s’exprimer ainsi.

Remarque II. Les lignes ponctuées de la première construction sont supposées dans l’espace ; mais, si on les projète, d’une manière quelconque, sur le plan P ; elles fourniront une nouvelle construction du point s. En effet, il n’est pas difficile de voir que les points D, C, r, (ce dernier étant au concours de ap avec cd) sont en ligne droite ; ainsi, en prenant, à volonté, dans le plan P, les points B, D, sur l’arbitraire Bp, je détermine E au concours de Bq et Do ; puis C

au concours de Dr avec Ec, et BC donnera, sur ap, le point s demandé.

* ↑ On intervertit ici l’ordre des solutions, parce que celle-ci conduit à un principe qui sert à la démonstration de l’autre. (Note des éditeurs.)
* ↑ On sait que, cinq points, a, b, c, d, e, d’une courbe du second degré étant donnés sur un plan P, cette courbe est entièrement déterminée. D’un autre côté, cinq points étant donnés sur un plan P, on peut toujours supposer que trois quelconques d’entre eux, a, b, c sont les traces, sur ce plan, des trois directrices α, β, γ, et les deux autres d, e, les traces, sur le même plan, de deux situations δ, ϵ, de la génératrice d’un paraboloïde hyperbolique. Si en effet par les points d et e, on conçoit, dans l’espace, deux droites δ et ϵ, non comprises dans un même plan, mais dirigées d’ailleurs d’une manière quelconque, on pourra toujours assujétir trois droites α, β, γ, à passer respectivement par a, b, c, et à reposer de plus sur δ et ϵ. Considérant alors α, β, γ, comme les trois directrices d’un paraboloïde hyperbolique, ce paraboloïde se trouvera entièrement déterminé ; et sa trace sur le plan P, laquelle sera une courbe du second degré, passera par les cinq points donnés a, b, c, d, e. On voit par-là qu’à cause de la direction arbitraire de δ et ϵ cinq points de la trace d’un paraboloïde elliptique sur un plan ne suffisent pas pour déterminer ce paraboloïde ; mais qu’ils déterminent néanmoins sa trace sur ce plan. Ainsi, le problème qui vient d’être résolu revient à celui-ci : Cinq points d’une courbe du second degré étant donnés, et une droite étant menée arbitrairement sur leur plan, et par l’un d’eux ; déterminer, sur cette droite, avec la règle seulement, un sixième point de la courbe, et construire en outre sa tangente en ce point ? On voit en même tems que cette solution fournit implicitement une démonstration de ce beau et important théorème : Six points quelconques du périmètre d’une courbe du second degré étant numérotés arbitrairement 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; si I est le point de concours de la droite qui joint les points 1 et 2 avec celle qui joint les points 4 et 5 ; que II soit le point de concours de la droite qui joint les points 2 et 3 avec celle qui joint les points 5 et 6 ; et qu’enfin III soit le point de concours de la droite qui joint les points 3 et 4 avec celle qui joint les points 6 et 1 ; les trois points I, II, III, seront situés sur une même ligne droite. On peut consulter, sur les nombreuses conséquences de ce théorème, un mémoire de M. Brianchon, dans le XIII.ᵉ cahier du Journal de l’école polytechnique. (Note des éditeurs.)
