Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Trigonométrie, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Trigonométrie, article 1

## TRIGONOMÉTRIE.

Soit ϕ(n) une fonction quelconque d’un nombre n que nous supposons essentiellement entier et positif ; convenons, pour abréger, de dénoter simplement par P{ϕ(g…h)} le produit de toutes les valeurs que reçoit la fonction ϕ(n), lorsqu’on y met successivement pour n les nombres consécutifs de la suite naturelle g, g+1, g+2, …, h;

en sorte qu’on ait

P{ϕ(g…h)}=ϕ(g), ϕ(g+1), ϕ(g+2), …, ϕ(h).

Cette notation admise ; le Théorème de Côte donne

a⁴ᵐ−2a²ᵐb²ᵐCos.z+b⁴ᵐ=P{a²±2ab.Cos.(2(o…m−1)ϖ+z)/2m+b²};

pourvu qu’on prenne successivement le signe + et le signe − dans le second membre.

En exposant b=a, cette formule devient

2a⁴ᵐ(1−Cos.z)=P{2a²[1±Cos.(2(o…m−1)ϖ+z)/2m ]};

sortant de dessous le signe P le facteur 2a² qui deviendra au dehors 2²ᵐa⁴ᵐ, remarquant que 1−Cos.z=2Sin.² 1/2 z, et divisant par 4a², il viendra

Sin.² 1/2 z=2²ᵐ⁻².P{1±Cos.(2(o…m−1)ϖ+z)/2m };

ou

Sin.² 1/2 z=2²ᵐ⁻².P{1+Cos.(2(o…m−1)ϖ+z)/2m }×P{1−Cos.(2(o…m−1)ϖ+z)/2m };

ou

Sin.² 1/2 z=2²ᵐ⁻².P{1−Cos.² (2(o…m−1)ϖ+z)/2m },

ou

Sin.² 1/2 z=2²ᵐ⁻².P{Sin.² (2(o…m−1)ϖ+z)/2m },

ou, en extrayant la racine quarrée

Sin.1/2 z=2ᵐ⁻¹.P{Sin.(2(o…m−1)ϖ+z)/2m },

Faisant enfin z=2x, il viendra

Sin.x=2ᵐ⁻¹.P{Sin.((o…m−1)ϖ+x)/m }.

En développant le second membre de cette équation, elle deviendra

Sin.x=2ᵐ⁻¹.Sin.x/m.Sin.(ϖ+x)/m.Sin.(2ϖ+x)/m …Sin.((m−2)ϖ+x)/m.Sin.((m−1)ϖ+x)/m.

mais comme, en général, Sin.((m−n)ϖ+x)/m=Sin.nϖ−x/m, on pourra encore mettre la même équation sous cette autre forme

Sin.x=2ᵐ⁻¹.Sin.x/m.Sin.(ϖ+x)/m.Sin.(2ϖ+x)/m …Sin.2ϖ−x/m.Sin.ϖ−x/m.

(II)

Ces formules assez remarquables en elles-mêmes, conduisent immédiatement à celles que Lacroix a démontrées, d’après Lhuilier, dans son Traité des différences et des séries. Il suffit, en effet, pour les en déduire, de faire dans l’équation (I), x=1/2 ϖ, et dans l’équation (II), x=1/4 ϖ,, en multipliant cette dernière par 2, On obtient ainsi

1=2ᵐ⁻¹.Sin.1/m ϖ/2.Sin.3/m ϖ/2 ….Sin.2m−3/m ϖ/2.Sin.2m−1/m ϖ/2.(B)

√2=2ᵐ.Sin.1/2m ϖ/2.Sin.3/2m ϖ/2 ….Sin.2m−3/2m ϖ/2.Sin.2m−1/2m ϖ/2.(A)

La formule (B) est un peu plus élégante que celle de Lhuilier, que Lacroix a désignée par la même lettre. La différence naît de ce qu’ici les valeurs de m commencent à l’unité, tandis que, dans la formule de Lhuilier, elles commencent à zéro.

En concentrant, pour plus de brièveté, les seconds membres des équations (B) et (A), et multipliant la première par 2, elles deviennent

2=2ᵐ.P{Sin.2(1…m)−1/2m ϖ}, (B′)

√2=2ᵐ.P{Sin.2(1…m)−1/2m ϖ/2 }, (A′)

et il est très-remarquable qu’on obtient la racine quarrée du produit

2ᵐ.P{Sin.2(1…m)−1/2m ϖ},

par la simple substitution de ϖ/2 à ϖ.

De cette relation on peut conclure, en quarrant l’équation (A’),

2ᵐ.P{Sin.² 2(1…m)−1/2m ϖ/2 }=P{Sin⁡.2 2(1…m)−1/2m ϖ/2 };

ou, en se rappelant que Sin⁡.2x=2Sin.xCos.x

2ᵐ.P{Sin.² 2(1…m)−1/2m ϖ/2 }=P{2Sin.2(1…m)−1/2m ϖ/2 Cos.2(1…m)−1/2m ϖ/2 };

ou, en remarquant que 2 est m fois facteur dans le second membre,

P{Sin.² 2(1…m)−1/2m ϖ/2 }=P{Sin.2(1…m)−1/2m ϖ/2 Cos.2(1…m)−1/2m ϖ/2 };

ou encore

P{Sin.2(1…m)−1/2m ϖ/2 }P{Sin.2(1…m)−1/2m ϖ/2 }=…

P{Sin.2(1…m)−1/2m ϖ/2 }P{Cos.2(1…m)−1/2m ϖ/2 };

ou enfin

P{Sin.2(1…m)−1/2m ϖ/2 }=P{Cos.2(1…m)−1/2m ϖ/2 };(C)

d’où résulte encore,

P{Tang.2(1…m)−1/2m ϖ/2 }=1.

Posant ϖ/4m=ω, d’où m=ϖ/4ω, et 2m−1=ϖ−2ω/2ω, il viendra, en substituant dans l’équation (C) et développant,

Sin.ωSin⁡.3ωSin⁡.5ω…Sin.(1/2 ϖ−ω)=…

Cos.ωCos⁡.3ωCos⁡.5ω…Cos.(1/2 ϖ−ω);(D)

équation qui, au surplus, se vérifie aisément d’elle-même, en observant que

Sin.ω=Cos.(1/2 ϖ−ω), Sin⁡.3ω=Cos.(1/2 ϖ−3ω),

Sin.(1/2 ϖ−3ω)=Cos⁡.3ω, Sin.(1/2 ϖ−ω)=Cos.ω.

Si l’on divise le premier membre de l’équation (D) par le second, et vice versa, il viendra

Tang.ωTang⁡.3ω…Tang.(1/2 ϖ−ω)

=Cot.ω.Cot⁡.3ω…Cot.(1/2 ϖ−ω)=1

L’équation (A) peut être écrite ainsi

1=2²ᵐ⁻¹ᐟ².Sin.ϖ/4m.Sin.3ϖ/4m Sin.5ϖ/4m …Sin.(2m−1)ϖ/4m ;

en y mettant pour m la valeur ϖ/4ω et ayant égard à l’équation (D), elle devient

1/2^{ϖ−2ω/4ω}=Sin.ωSin⁡.3ω…Sin.(1/2 ϖ−ω)

=Cos.ωCos⁡.3ω…Cos.(1/2 ϖ−ω).

L’équation (II) divisée par Sin.x/m devient

Sin.x/Sin.x/m =2ᵐ⁻¹.Sin.(ϖ+x)/m Sin.(2ϖ+x)/m Sin.(3ϖ+x)/m …Sin.((m−1)ϖ+x)/m ;

faisant, dans cette équation, x=0, en remarquant qu’alors on doit avoir

Sin.x/Sin.x/m =m,

il viendra, en divisant par 2ᵐ⁻¹,

m/2ᵐ⁻¹=Sin.ϖ/m Sin.2ϖ/m Sin.3ϖ/m …Sin.(m−1)ϖ/m ;

posant alors ϖ/m=ω, d’où m=ϖ/ω, il viendra

ϖ/2^{ϖ/ω−1}.ω=Sin.ωSin⁡.2ωSin⁡.3ω…Sin.(ϖ−ω).(E)

Or, par l’hypothèse, m étant un nombre entier, ϖ/ω doit en être un aussi ; c’est-à-dire, que ω est un sous-multiple de ϖ. Si, en outre, il est aussi un sous-multiple de 1/2 ϖ, ce qui aura toujours lieu, dans la nouvelle division du cercle, toutes les fois que ω, sous-multiple de ϖ, ne sera pas 8° ou 40° ; la série (E) aura un nombre ϖ/ω−1 impair de facteur ; et le ( ϖ/2ω−1)ᵐᵉ facteur, qui sera le moyen entre tous, sera Sin.1/2 ϖ=1 ; de plus, les ϖ/ω−1 facteurs situés à la droite de celui-là, seront respectivement égaux aux ϖ/ω−1 facteurs situés à sa gauche, puisque la somme des arcs également distants des extrêmes et constamment égaie à ϖ. Donc, en extrayant la racine quarrée des deux membres de l’équation (E), il viendra

√(ϖ/2^{ϖ/ω−1}.ω){=Sin.ωSin⁡.2ωSin⁡.3ω…Sin.( 1/2 ϖ−ω), =Cos.ωCos⁡.2ωCos⁡.3ω…Cos.( 1/2 ϖ−ω);

d’où on tire encore les équations

1{=Tang.ωTang⁡.2ωTang⁡.3ω…Tang.( 1/2 ϖ−ω), =Cot.ωCot⁡.2ωCot⁡.3ω…Cot.( 1/2 ϖ−ω);

Si nous posons ω=1^{∘} ; nous aurons

√(ϖ/2^{ϖ/ω−1}.ω)=√(200/2¹⁹⁹)=√(400/2²⁰⁰)=20/2¹⁰⁰=10/2⁹⁹ ;

en passant donc aux logarithmes de Briggs, nous trouverons

Log.Sin⁡.1^{∘}+Log.Sin⁡.2^{∘}+Log.Sin⁡.3^{∘}+…+Log.Sin⁡.99^{∘}

=1−99^{∘}Log⁡.2,

(F)

Log.Tang⁡.1^{∘}+Log.Tang⁡.2^{∘}+Log.Tang⁡.3^{∘}+…+Log.Tang⁡.99^{∘}

=0;

(G)

mais si au rayon l’on veut substituer le rayon 10000000000, comme on le fait dans les tables trigonométriques, afin d’éviter les logarithmes négatifs, il faudra ajouter 99 dixaines au second membre de l’équation (F) ; si de plus on veut pousser jusqu’à 100°, cette équation deviendra

Log.Sin⁡.1^{∘}+Log.Sin⁡.2^{∘}+Log.Sin⁡.3^{∘}+…+Log.Sin⁡.100^{∘}

=1001−99Log⁡.2,

c’est-à-dire,

Log.Sin⁡.1^{∘}+Log.Sin⁡.2^{∘}+Log.Sin⁡.3^{∘}+…+Log.Sin⁡.100^{∘}

=971, 1983.

Ainsi pour le rayon 10000000000 et la division centésimale, le produit des sinus naturels de tous les degrés du quart de cercle est un nombre qui a 972 chiffres à sa partie entière.

Si ω, sous-multiple de ϖ, ne l’est pas de 1/2 ϖ, ce qui aura lieu seulement, comme nous l’avons déjà observé, lorsque a sera égal à 40° ou à 8° ; alors le second membre de l’équation (E) aura un nombre pair de facteurs ; et sa première moitié, dont le dernier facteur sera Sin⁡ 1/2 (ϖ−ω)), sera égale à la dernière, dont le premier facteur sera Sin⁡ 1/2 (ϖ+ω)). Extrayant donc la racine quarrée des deux membres, il viendra

√(ϖ/2^{ϖ/ω−1}.ω)=Sin.ωSin⁡.2ωSin⁡.3ω…Sin.1/2 (ϖ−ω).

En faisant successivement ω=40^{∘} et ω=8^{∘} on aura

Sin⁡.40^{∘}Sin⁡.80^{∘}=1/4 √5;

Sin⁡.8^{∘}Sin⁡.16^{∘}Sin⁡.24^{∘}Sin⁡.32^{∘}…Sin⁡.96^{∘}=5/4096.

* ↑ Voyez le n.ᵒ 1094, page 431, équations (A) et (B).
* ↑ Voyez mon Traité de calcul différentiel et intégral, art. 60.
