Deuxième lettre de M. Kramp aux rédacteurs, sur le même sujet
# Deuxième lettre de M. Kramp aux rédacteurs, sur le même sujet

N. B. Pendant que ceci s’imprimait, les rédacteurs ont reçu de M. Kramp la lettre suivante :

Mes recherches sur la solution complette, en nombres entiers, de l’équation ay²+b=x², m’ont conduit à quelques remarques que je m’empresse d’autant plus de vous communiquer qu’elles doivent servir à rectifier ce que j’ai eu l’honneur de vous écrire dans ma dernière lettre.

On sait que, si l’on connaît un cas qui remplisse la condition de cette équation, tel que aq²+h=p² ; et que, de plus, on connaisse deux nombres entiers m, n, tels que an²+1=m² ; on peut de cette seule solution en déduire une infinité d’autres. Les x, aussi bien que les y, formeront deux séries récurrentes soumises à l’échelle de relation plus 2m et moins 1 ; et, en désignant par p′, p″, p‴, … les termes de la première des deux séries, et par q′, q″, q‴, … les termes correspondants de l’autre, on aura

p′=mp+anq, p″=2mp′−p, p‴=2mp″−p′, …

q′=np+mq, q″=2mq′−q, q‴=2mq″−q′, …

Par les lettres p, q, nous désignons toujours les termes initiaux des deux séries, qui en même temps sont moindres que tous les suivants ; et il y aura autant de ces séries que l’on pourra trouver de valeurs de p et q, différentes, et indépendantes entre elles.

Je remarque maintenant que les termes initiaux p et q existent toujours par couples, tellement qu’il leur répondra toujours deux autres termes initiaux P et Q, liés avec les premiers par les deux équations qui suivent.

−p²+2mpP−P²=an²b,

−q²+2mqQ+Q²=n²b,

et autant que ces deux équations admettent de solutions en nombres entiers et positifs, autant aussi il y aura de séries, indépendantes entre elles, dont les termes peuvent résoudre en nombres entiers l’équation ay²+b=x². Ces équations, elles-mêmes, à cause de m²−1=an², admettent une solution parfaitement rationnelle ; il en résultera

P=mp−anq, Q=np−mq.

Faisant q=0, on aura Q=n√b ; ainsi b doit être un nombre quarré. Si on fait b=r², ce qui donne l’équation aq²+r²=p², on voit d’abord que p=r et q=0 est toujours une des valeurs de y ; on aura ensuite P=mr, Q=nr, et ces valeurs, qui se déduisent immédiatement de la solution de l’équation an²+1=m², sont les seules que le procédé employé dans mon dernier mémoire peut faire découvrir, tant qu’on se bornera à prendre des nombres entiers pour les valeurs de la quantité que dans ce mémoire j’ai désignée par q. La suite de l’ouvrage apprendra à trouver la liste complette des autres ; et je me bornerai pour le moment à en donner quelques exemples.

Pour 11y²+5²=x², on a q=8, Q=8, p=6, P=27, 11y²+7²=x², q=4, Q=5, p=15, P=18, 11y²+19²=x², q=7, Q=20, p=30, P=69, 11y²+37²=x², q=15, Q=36, p=62, P=125, 11y²+43²=x², q=4, Q=95, p=45, P=125, 11y²+53²=x², q=16, Q=65, p=75, P=222.

Le coefficient 11 donne d’ailleurs

m=10, n=3.

Le nombre des termes initiaux, indépendans entre eux et des séries qui en dérivent, est encore beaucoup plus grand, lorsque b n’est pas un nombre quarré. Dans l’équation 5y²+6061=x², je trouve les termes initiaux qui suivent ;

p…q…P…Q.I…79…6…591…262.II…81…10…529…234.III…129…46…241…102.IV…159…62…191…78.V…831…370…79…6.VI…929…414…81…10.

on a d’ailleurs ici m=9.n=4.

Agréez ; Messieurs, etc.

