Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie, article 15
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie, article 15

## GÉOMÉTRIE.

Le problème proposé à la page 232 du 1.ᵉʳ volume des Annales, relativement à deux canaux rectilignes, a été discuté, d’une manière très-intéressante par M. Tedenat, à la page 302 du même volume. Cette discussion m’a engagé à présenter la question sous un autre point de vue, et à rechercher le lieu des points de chacun desquels abaissant des perpendiculaires sur deux droites données de position, et menant une droite à un point donné, la somme de ces perpendiculaires et de cette droite soit d’une grandeur constante.

Lemme. Soient deux droites données de position, et soient, deux droites correspondantes données de grandeur. D’un point quelconque, pris sur le plan de ces droites, soient abaissées sur elles des perpendiculaires. Soient pris les rectangles de ces perpendiculaires par les droites correspondantes données de grandeur, et soit prise la somme de ces rectangles.

On peut substituer à cette somme le rectangle de la perpendiculaire abaissée du même point sur une droite à déterminer de position par une droite à déterminer de grandeur de la manière suivante :

Soient SA et SA′ (fig. 2) deux droites données de grandeur et de position qui se coupent en S. Soit prolongée A′S au-delà de S d’une quantité Sa′=SA′ ; soit menée Aa′, et soit coupée cette droite en deux parties égales au point Z ; enfin soit menée SZ, cette dernière droite sera la droite à déterminer de position, et son double sera la droite à déterminer de grandeur ; c’est-à-dire, que, si d’un point quelconque M on abaisse sur SA, SA′, SZ, les perpendiculaires MP, MP′, MR, on a l’équation SA×MP+SA′×MP′=2SZ×MR.

En particulier, si les droites SA et SA′ sont égales entre elles, la droite SZ coupe en deux parties égales l’angle ASa′, et elle est perpendiculaire à la droite qui coupe en deux parties égales l’angle ASA′. L’expression de SZ est alors SA.Sin.1/2 S, et on a MP+MP′=2MR.Sin.1/2 S.

Cette proposition n’est qu’un cas particulier d’une propriété générale du centre des moyennes distances, que j’ai développée dans mes Élémens d’analise, etc., pag., 52-59.

Application. Soient deux droites qui se coupent données de position, et soit un point donné de position. On propose de trouver le lieu des points de chacun desquels abaissant des perpendiculaires sur les droites données de position, et menant une droite au point donné, la somme de ces perpendiculaires et de cette droite soit donnée de grandeur.

Soient SA et SA′ (fig. 3) deux droites données de position, se coupant en S. Soit C un point dpnné de position. Soit M un point duquel on abaisse sur SA et SA′, les perpendiculaires MP, MP′, et on mène la droite MC. Que la somme MP+MP′+MC soit donnée de grandeur ; on demande le lieu du point M ?

Par le point S soit menée la droite SZ qui divise en deux parties égales l’angle de suite de l’angle A′SA. Soit aussi MR perpendiculaire à SZ. Par le lemme précèdent MP+MP′=2MR.Sin.1/2 S ; donc la somme 2MR.Sin.1/2 S+MC est donnée de grandeur. Soit SD la droite qui divise en deux parties égales l’angle ASA′, et sur SD soient abaissées les perpendiculaires CB et MQ.

Première supposition. Que la somme donnée soit 2SB.Sin.1/2 S. On aura 2MR.Sin.1/2 S+MC=2SB.Sin.1/2 S d’où. MC=2(SB−MR).Sin.1/2 S=2(SB−QS).Sin.1/2 S=2BQ.Sin.1/2 S.

1.ᵒ Soit 2Sin.1/2 S=1 ; ou que l’angle S vaille le tiers de deux droits (fig. 3) ; on aura MC=BQ ; partant le lieu du point M est une droite donnée de position, menée par C parallèlement à celle qui divise l’angle A′SA en deux parties égales.

2.ᵒ Puisque MC.(fig.4) n’est pas plus petit que BQ ; 2Sin.1/2 S n’est pas plus petit que l’unité, et partant l’angle S ne peut pas être plus petit que le tiers de deux droits. Soit donc 2Sin.1/2 S>1 ; on a MC:BQ=2Sin.1/2 S:1. Le lieu des points M est donc une droite menée par C et rencontrant SB sous un angle dont le cosinus est 1/2Sin.1/2 S.

Seconde supposition. Que la somme donnée soit différente de 2SB.Sin.1/2 S ; ; soit cette somme égale à 2SD.Sin.1/2 S.

Puisque 2MR.Sin.1/2 S+MC=2SD.Sin.1/2 S,

on aura MC=2DQ.Sin.1/2 S,

ou MC:DQ=2Sin.1/2 S:1.

1.ᵒ Soient 2Sin.1/2 S=1 ; on aura MC=DQ. Ainsi le lieu des points M est alors une parabole dont C est le foyer, et dont la directrice est la perpendiculaire élevée du point D à la droite SB.

2.ᵒ Soit 2Sin.1/2 S<1 ; on aura aussi MC<DQ ; et le rapport de MC à DQ sera un rapport constant. Le lieu des points M sera donc alors une ellipse ayant le point C pour un de ses foyers et dont la directrice correspondant à ce foyer sera la perpendiculaire élevée du point D à la droite SB.

3.ᵒ Soit enfin 2Sin.1/2 S>1 ; on aura aussi MC>DQ, et en rapport constant. Le lieu des points M sera donc une hyperbole dont le point C sera l’un des foyers et dont la directrice correspondant à ce foyer sera la perpendiculaire élevée du point D à la droite SB.

Remarque I. On peut substituer aux droites dont on prend la somme de leurs rectangles par des droites données.

Remarque II. On peut aussi généraliser cette recherche, et l’étendre à un nombre quelconque de droites données de position, qui partent ou non d’un même point ; vu que le lemme sur lequel la proposition repose, s’étend à un nombre quelconque de droites données de position sur un plan.

Remarque III. Aux droites données de position sur un plan, on peut substituer des plans donnés de position, qui se coupent ou non en un même point ; vu que le lemme sur lequel la proposition est fondée, s’étend à des plans donnés de position. (Voyez l’ouvrage déjà cité, pag. 150-155). Le lieu cherché dans l’espace est un plan ou une surface de révolution du second ordre.

Remarque IV. Comme la comparaison des méthodes est un des points les plus importans dans les sciences de raisonnement, je crois devoir ajouter ici le procédé fondé sur la doctrine des coordonnées.

Que les équations des droites données soient,

xCos.α+ySin.α=d, xCos.α′+ySin.α′=d′ ;

que les coordonnées du point donné soient a et b ; que les coordonnées du point cherché soient x et y.

Les perpendiculaires abaissées du point cherché sur les droites données sont,

xCos.α+ySin.α−d, xCos.α′+ySin.α′−d′ ;

La distance du point donné au point cherché est

√((x−a)²+(y−b)²) ;

soit enfin s−(d+d′) la somme constante donnée, l’équation du lieu géométrique des points M sera

x(Cos.α+Cos.α′)+y(Sin.α+Sin.α′)+√((x−a)²+(y−b)²)=s.

Si l’on désigne par ϕ l’angle des deux droites données, cette équation deviendra

2xCos.1/2 ϕ.Cos.1/2 (a+a′)+2yCos.1/2 ϕ.Sin.1/2 (a+a′)+√((x−a)²+(y−b)²)=s ;

d’où on conclura, en transposant et quarrant

(x−a)²+(y−b)²={s²−4sxCos.1/2 ϕ.Cos.1/2 (α+α′)−4syCos.1/2 ϕ.Sin.1/2 (α+α′)+8xyCos.² 1/2 ϕ.Sin.1/2 (α+α′)Cos.1/2 (α+α′)+4x²Cos.² 1/2 ϕ.Cos.² 1/2 (α+α′)+4y²Cos.² 1/2 ϕ.Sin.² 1/2 (α+α′) ;

ou en développant et ordonnant

x²{4Cos.² 1/2 ϕ.Cos.² 1/2 (α+α′)−1}+8xyCos.² 1/2 ϕ.Sin.1/2 (α+α′).Cos.1/2 (α+α′)+y²{4Cos.² 1/2 ϕ.Sin.² 1/2 (α+α′)−1}−2x{a−2s.Cos.1/2 ϕ.Cos.1/2 (α+α′)}−2y{b−2s.Cos.1/2 ϕ.Sin.1/2 (α+α′)}}=S²−(a²+b²).

Remarque V. Que le point cherché doive être situé sur la circonférence d’un cercle donné dont le point donné est le centre ; la somme des perpendiculaires abaissées du point cherché sur les droites données de position sera susceptible de limites, soit en grandeur, soit en petitesse ; et on déterminera ces limites comme il suit.

Du point donné soit abaissée une perpendiculaire sur la droite qui divise en deux parties égales l’angle de suite de l’angle S ; les points dans lesquels cette perpendiculaire rencontrera la circonférence du cercle, seront les points auxquels répondront la plus grande et la plus petite valeurs des sommes de perpendiculaires abaissées sur les droites données de position.

* ↑ En effet, en prolongeant SZ d’une quantité ZS′=ZS, et menant S′A et S′A′, la figure SAS′a′ sera un parallélogramme, et conséquemment SS′ pourra être considérée comme représentant en grandeur et en direction la résultante de deux forces, représentées en grandeur et en direction par SA et Sa′. Alors, en considérant le point M comme le centre des momens, on devra avoir en effet l’équation ci-dessus. (Note des éditeurs.)
