Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Analise élémentaire, article 14
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Analise élémentaire, article 14

## ANALISE ÉLÉMENTAIRE.

Le théorème dont je vais m’occuper ici, et que Newton a donné le premier, sans démonstration, peut être énoncé en ces termes :

Il y a entre les sommes de puissances semblables de plusieurs quantités et leurs sommes de produits deux à deux, trois à trois, quatre à quatre, etc., des relations soumises à une loi régulière, et telles que les premières peuvent être exprimées en fonctions rationnelles et entières des dernières, et réciproquement.

Ce théorème étant proprement du domaine de la théorie des combinaisons, je vais en donner une démonstration fondée uniquement sur cette théorie, et qui me paraît plus courte et plus simple que celles que l’on déduit de la théorie des équations.

Soit a, b, c, … des quantités quelconques, au nombre de m. Soient généralement désignées par Sₙ la somme de leurs nᵐᵉˢ puissances, et par Pₙ la somme de leurs produits n à n ; on aura S₀=m, S₁=P₁, Pₘ₊ₖ=0. Soient, en outre, désignées par Aₙ la somme de ceux de leurs produits n à n où a n’entre pas, par Bₙ la somme de ceux de ces produits ou b n’entre pas, et ainsi de suite, ce qui donnera Aₘ=0, Bₘ=0, …

Ces notations admises, il est facile de se convaincre qu’on doit avoir généralement

Pₙ=Aₙ+aAₙ₋₁;

car, en prenant, au hasard, un produit de n des lettres données, s’il renferme a, il se trouvera dans aAₙ₋₁, et ne s’y trouvera qu’une fois ; et, s’il ne renferme pas a, il se trouvera dans Aₙ, et ne s’y trouvera également qu’une fois ; d’où l’on voit que Aₙ+aAₙ₋₁ contient, et ne contient qu’une fois seulement, tous les produits n à n, et est conséquemment égal à Pₙ.

Je dis, en second lieu, qu’on doit avoir aussi, généralement,

Aₙ+Bₙ+Cₙ+…=(m−n)Pₙ;

en effet, si chacune des quantités Aₙ, Bₙ, Cₙ, … était précisément la somme des produits des quantités a, b, c, … prises n à n, leur somme serait égale à m fois la somme de ces produits, c’est-à-dire, à mPₙ ; mais, parce que ces produits ont n facteurs, chacun d’eux doit manquer, à son tour, dans n des quantités Aₙ, Bₙ, Cₙ, …. La somme Aₙ+Bₙ+Cₙ+… doit donc renfermer m fois la somme des produits n à n, moins n fois cette somme, c’est-à-dire, qu’elle doit être égale à m−n fois la somme de ces produits ou, ce qui revient au même, à (m−n)Pₙ.

Cela posé, soient premièrement écrites les équations que voici, lesquelles sont déduites de l’équation (1), et en nombre moindre que m,

P₁=A₁+a, P₂=A₂+aA₁, P₃=A₃+aA₂, …………Pₙ=Aₙ+aAₙ₋₁;

on en conclura facilement, en réduisant,

aⁿ−P₁aⁿ⁻¹+P₂aⁿ⁻²−P₃aⁿ⁻³+…±Pₙ=±Aₙ;

on aurait pareillement

bⁿ−P₁bⁿ⁻¹+P₂bⁿ⁻²−P₃bⁿ⁻³+…±Pₙ=±Bₙ,

cⁿ−P₁cⁿ⁻¹+P₂cⁿ⁻²−P₃cⁿ⁻³+…±Pₙ=±Cₙ,

prenant donc la somme de ces équations, en ayant égard à l’équation (2), il viendra

Sₙ−P₁Sₙ₋₁+P₂Sₙ₋₂−P₃Sₙ₋₃+…±mPₙ=±(m−n)Pₙ,

ou, en transposant et réduisant,

Sₙ−P₁Sₙ₋₁+P₂Sₙ₋₂−P₃Sₙ₋₃+…±nPₙ=0.

Soit, en second lieu, n>m, et soient écrites les équations que voici :

P₁=A₁+a, P₂=A₂+aA₁, P₃=A₃+aA₂, …………Pₘ=0+aAₘ₋₁;

on en déduira facilement

aⁿ−P₁aⁿ⁻¹+P₂aⁿ⁻²−P₃aⁿ⁻³+…±Pₘaⁿ⁻ᵐ=0;

on aura pareillement

bⁿ−P₁bⁿ⁻¹+P₂bⁿ⁻²−P₃bⁿ⁻³+…±Pₘbⁿ⁻ᵐ=0,

cⁿ−P₁cⁿ⁻¹+P₂cⁿ⁻²−P₃cⁿ⁻³+…±Pₘcⁿ⁻ᵐ=0,

d’où, en ajoutant

Sₙ−P₁Sₙ₋₁+P₂Sₙ₋₂−P₃Sₙ₋₃+…±PₘSₙ₋ₘ=0.

On déduit des équations (3) et (4)

S₁−P₁=0,

S₂−P₁S₁+2P₂=0,

S₃−P₁S₂+P₂S₁−3P₃=0,

Sₘ₋₁−P₁Sₘ₋₂+P₂Sₘ₋₃−P₃Sₘ₋₄+…∓(m−1)Pₘ₋₁=0,

Sₘ−P₁Sₘ₋₁+P₂Sₘ₋₂−P₃Sₘ₋₃+…∓Pₘ₋₁S₁±mPₘ=0,

Sₘ₊₁−P₁Sₘ+P₂Sₘ₋₁−P₃Sₘ₋₂+…∓Pₘ₋₁S₂±PₘS₁=0,

Sₘ₊₂−P₁Sₘ₊₁+P₂Sₘ−P₃Sₘ₋₁+…∓Pₘ₋₁S₃±PₘS₂=0,

équations qui mettent en évidence la vérité du théorème.

