Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Analise indéterminée, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Analise indéterminée, article 1

## ANALISE INDÉTERMINÉE.

Nous nous proposons ici de résoudre en nombres entiers positifs, lorsque cela est possible, l’équation du premier degré à deux indéterminées

a₁x+ax₁=b.

En supposant que a, a₁, b sont des nombres entiers, que a et a₁ sont premiers entre eux, et qu’on a a>a₁, nous aurons à considérer successivement les trois équations

a₁x+ax₁=b,

a₁x−ax₁=b,

ax₁−a₁x=b;

ce sont, en effet, les seules variétés de la proposée, compatibles avec les conditions du problème.

Opérons sur a et a₁, comme si nous cherchions leur plus grand commun diviseur ; nommons a₂, a₃, …aₙ₋₁, aₙ les restes successifs dont le dernier sera nécessairement égal à l’unité, et q₁, q₂, q₃, …qₙ₋₁, qₙ les quotiens, nous aurons cette suite d’équation,

a =a₁ q₁+a₂, a₁=a₂ q₂+a₃, a₂=a₃ q₃+a₄, ……………, aₙ₋₂=aₙ₋₁qₙ₋₁+aₙ, aₙ₋₁=qₙ.}(A)

Mettant pour a sa valeur dans la proposée, divisant par a₁ et transposant, on aura

x=b−a₂x₁/a₁−q₁x₁;

mais x, x₁ devant être des nombres entiers, et q₁ étant lui-même un nombre entier, en désignant par x₂ un nombre entier indéterminé, on devra avoir

x₂=b−a₂x₁/a₁, d’où a₂x₁+a₁x₂=b;

ainsi l’on a

x=x₂−q₁x₁,

a₂x₁+a₁x₂=b.

Opérant sur cette dernière équation, comme sur la proposée, en continuant les mêmes raisonnemens et les hypothèses analogues, nous formerons ces deux séries d’équations

a₁x₁+ax₁=b, a₂x₁+a₁x₂=b, a₃x₂+a₂x₃=b, …………, aₙ₋₂xₙ₋₃+aₙ₋₃xₙ₋₂=b, aₙ₋₁xₙ₋₂+aₙ₋₂xₙ₋₁=b, xₙ₋₁+aₙ₋₁xₙ=b;}(B)x=x₂−q₁x₁, x₁=x₃−q₂x₂, x₂=x₄−q₃x₃, …………, xₙ₋₃=xₙ₋₁−qₙ₋₂xₙ₋₂, xₙ₋₂=xₙ−qₙ₋₁xₙ₋₁, xₙ₋₁=b−aₙ₋₁xₙ, }(C)

Si maintenant en substitue fa valeur de xₙ₋₁ dans celle de xₙ₋₂, celle-ci dans celle de xₙ₋₃ et ainsi de suite on parviendra, à la fin, à des valeurs entières des x₁ et x ; mais, en exécutant ces substitutions, on s’aperçoit bientôt qu’elles deviennent plus faciles et plus symétriques, en posant d’abord les équations suivantes :

αₙ₋₁=1, αₙ₋₂=αₙ₋₁qₙ₋₁, αₙ₋₃=αₙ₋₂qₙ₋₂+αₙ₋₁, …………, α₂=α₃q₃+α₄, α₁=α₂q₂+α₃, α=α₁q₁+α₂, }(D)

Procédant alors aux substitutions, on aura pour 1.ʳᵉ équation

xₙ₋₁=αₙ₋₁b−aₙ₋₁xₙ,

xₙ₋₂=−αₙ₋₁qₙ₋₁b+(aₙ₋₁qₙ₋₁+1);

observant alors que, par les équations (D), αₙ₋₁qₙ₋₁=αₙ₋₂, et que par les équations (A), aₙ₋₁qₙ₋₁+1=aₙ₋₂, il viendra

xₙ₋₂=−αₙ₋₂b+aₙ₋₂xₙ.

En continuant ce procédé, on formera le système d’équations

xₙ₋₁=+αₙ₋₁b−aₙ₋₁xₙ, xₙ₋₂=−αₙ₋₂b−aₙ₋₂xₙ, xₙ₋₃=+αₙ₋₃b−aₙ₋₃xₙ, …………x₂=±α₂b∓a₂xₙ, x₁=∓α₁b±a₁xₙ, x=±α∓axₙ;}(E)

équations dans lesquelles il faudra prendre les signes supérieurs ou les signes inférieurs, suivant que n sera impair ou pair. Cette remarque s’étendant également à tout ce qui a suivre, nous nous dispenserons de la répéter.

Pour calculer rapidement les valeurs des inconnues x₁ et x, on cherchera d’abord les quotiens q₁, q₂, q₃, …qₙ=aₙ₋₁ on écrira ensuite αₙ₋₁ ou 1 sous le quotient qₙ₋₁ ; on multipliera qₙ₋₁ par 1 et l’on aura αₙ₋₂ qu’on écrira sous qₙ₋₂ ; on multipliera qₙ₋₂ par αₙ₋₂, au produit on ajoutera αₙ₋₁ ou 1, et l’on aura αₙ₋₃ qu’on écrira sous qₙ₋₃ ; on multipliera qₙ₋₃ par αₙ₋₃, au produit on ajoutera αₙ₋₂, et l’on aura αₙ₋₄,: on continuera ainsi jusqu’à ce qu’on soit parvenu à α₁ et α.

Nous ne répéterons pas ici les remarques connues, sur les diverses valeurs qu’on peut obtenir pour x et x₁ ; nous observerons seulement que, bien que le nombre entier xₙ puisse être pris à volonté ; il est néanmoins compris entre certaines limites, déterminées par la condition que x et x₁ soient des nombres entiers positifs ; il faudra donc qu’on ait généralement.

xₙ{< αb/a, > α₁b/a₁, }sinest impair,

xₙ{> αb/a, < α₁b/a₁, }sinest pair.

Il y aura autant de solutions différentes qu’il se trouvera de nombres entiers compris entre αb/a et α₁b/a₁ ; s’il ne s’en trouve aucun entre ces deux limites, la proposée n’aura aucune solution en nombres entiers positifs.

On peut, à la simple inspection de la proposée, assigner, au moins à une unité près, le nombre des solutions qu’elle peut admettre.

En effet, depuis αb/a jusqu’à α₁b/a₁, il doit y avoir au moins autant de nombres entiers ou, au plus, autant de nombres entiers plus un que la différence ±( αb/a−α₁b/a₁, ) contient d’unités entières ; mais on a

±( αb/a−α₁b/a₁, )=± b/aa₁ (a₁α−aα₁)=∓ b/aa₁ (a₂α₁−a₁α₂)=± b/aa₁ (a₃α₂−a₂α₃)=…………=b/aa₁ αₙ₋₁=b/aa₁ ;

donc la proposée admet autant de solutions, au moins, en nombres positifs, qu’il y a d’unités entières dans b/aa₁, et elle ne peut en admettre qu’une de plus.

La méthode à suivre dans ce second cas est exactement la même que pour le premier. En conséquence, les systèmes (A) et (D) ne subissent aucun changement, et il suffit d’indiquer les modulations qu’éprouvent les systèmes (B), (C), (E) qui deviennent alors

a₁x−ax₁=+b, a₂x₁−a₁x₂=−b, a₃x₂−a₂x₃=+b, …………, aₙ₋₂xₙ₋₃−aₙ₋₃xₙ₋₂=±b, aₙ₋₁xₙ₋₂−aₙ₋₂xₙ₋₁=∓b, xₙ₋₁−aₙ₋₁xₙ=±b;}(B′)x=x₂+q₁x₁, x₁=x₃+q₂x₂, x₂=x₄+q₃x₃, …………, xₙ₋₃=xₙ₋₁+qₙ₋₂xₙ₋₂, xₙ₋₂=xₙ+qₙ₋₁xₙ₋₁, xₙ₋₁=±b+aₙ₋₁xₙ, }(C′)

xₙ₋₁=±αₙ₋₁b−aₙ₋₁xₙ, xₙ₋₂=±αₙ₋₂b−aₙ₋₂xₙ, xₙ₋₃=±αₙ₋₃b−aₙ₋₃xₙ, …………x₂=±α₂b∓a₂xₙ, x₁=±α₁b±a₁xₙ, x=±α∓axₙ;}(E′)

On voit qu’ici xₙ ne sera susceptible que d’une seule limite. Si n est impair, on pourra prendre pour xₙ un nombre entier positif quelconque ; et même un nombre négatif, pourvu qu’il ne soit pas plus grand que la plus petite des deux quantités αb/a, α₁b/a₁.

Si n est pair, on ne pourra prendre pour xₙ qu’un nombre positif, et ce nombre ne devra pas être moindre que la plus grande des deux quantités αb/a, α₁b/a₁.

En mettant cette équation sous la forme a₁x−ax₁=−b, on voit qu’elle ne diffère de celle qui vient d’être discutée que par le signe de b ; il suffira donc, pour la résoudre, de changer le signe de b, dans toutes les formules du §. 2. : on aura donc

x₁=∓α₁b+a₁xₙ, x=±α+axₙ;}(E″)

Il faudra donc appliquer à n pair ce qui a été dit de n impair, et vice versâ.

1.ᵒ Soit l’équation 13x+19x₁=1000, qui se rapporte au §. 1. On a d’abord b/aa₁=1000/13⋅19 >4; il y aura donc quatre solutions au moins et cinq au plus.

Suite des diviseurs a, a₁, a₂, a₃…19Suite des quotiens q₁, q₂, q₃…1361126

Suite des quantités α, α₁, α₂…3, 2, 1

Puisque n=3 est un nombre impair, on aura, en remplaçant xₙ par e.

x₁=−2⋅1000+13e, x=+3⋅1000s−19e;

d’où on conclura

e{> 2000/13=153+11/13, < 3000/19=157+17/19 ;

e= 154, 155, 156, 157;

et l’on aura……… {x₁=2, 15, 28, 41, x=74, 55, 36, 17.

2.ᵒ Soit encore l’équation 39x−56x₁=11, qui se rapporte au §. 2.

On aura ici

Suite des diviseurs a, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, …56Suite des quotiens q₁, q₂, q₃, q₄, q₅…351752112322

Suite des coefficiens α, α₁, α₂α₃, α₄…23, 16, 7, 2, 1.

Et, puisque n=5 est impair, il viendra, en remplaçant toujours xₙ par e,

x₁=+16.11+39e=+176+39e,

x=−23.11+56e=−253+56e;

……… e= 5, 6, 7, 8, …

on trouvera……{x₁=371, 410, 449, 488, …x=27, 83, 139.195, …

Ces deux exemples sont tirés de l’algèbre d’Euler.

* ↑ Pour obtenir ces résultats, il faut d’abord substituer pour a et α, ensuite pour a₁ et α₁, a₂ et α₂ etc., leurs valeurs urées des équations (A) et (D). Il est de plus essentiel de se rappeler qu’il faut prendre les signes supérieurs ou inférieurs, suivant que n est impair ou pair.
