Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie analitique, article 5
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie analitique, article 5

## GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

On donne, dans plusieurs ouvrages élémentaires, des méthodes propres à la recherche des diamètres principaux des courbes du second degré, rapportées à deux axes rectangulaires quelconques ; mais, les calculs relatifs à cette recherche n’y étant point terminés, j’ai pensé qu’il pouvait être utile de remplir cette lacune ; en donnant des formules propres à ramener directement l’équation

ay²+bxy+cx²+dy+ex+f=0

à la forme

±A²y²+B²x²=A²B²,

si b²−4ac n’est pas zéro ; et à la forme

y²=Px,

dans le cas contraire.

Pour parvenir à ce but, changeons d’abord, dans l’équation (1), x en x′+m, et y en y′+n, et ensuite x′ en x″Cos.α−y″Sin.α, et y′ en x″Sin.α+y″Cos.α; la transformée en x″ et y″ sera

aCos.²α−bSin.αCos.α+cSin.²α|y″²+2aSin.αCos.α−2cSin.αCos.α+bCos.²α−bSin.²α|x″y″+aSin.²α+bSin.αCos.α+cCos.²α|x″²+d′Cos.α−e′Sin.α|y″+d′Sin.α+e′Cos.α|x″+f′=0;

équation dans laquelle on a

d′=2an+bm+d, e′=2cm+bn+c, f′=an²+bmn+cn²+dn+em+f.

Posons présentement

b(Cos.²α−Sin.²α)+2(α−c)Sin.αCos.α=0, aCos.²α−bSin.αCos.α+cSin.²α=M, aSin.²α+bSin.αCos.α+cCos.²α=N;

nous trouverons (Voyez Biot ou Garnier)

Tang⁡.2α=−b/a−c, M= 1/2 {(a+c)+√(b²+(a−c)²)}, N= 1/2 {(a+c)−√(b²+(a−c)²)},

et la transformée sera

My″²+Nx″²+(d′Cos.α−e′Sin.α)y″+(d′Sin.α+e′Cos.α)x″+f′=0.

Soit, en premier lieu b²−4ac positif ou négatif, différent de zéro ; en posant

d′Cos.α−e′Sin.α=0, d′Sin.α+e′Cos.α=0,

il viendra (Voyez les Auteurs cités)

a=2ae−bd/b²−4ac, b=2cd−be/b²−4ac ;

et la transformée sera simplement

My″²+Nx″²+f′=0.

Si nous désignons respectivement par A et B, dans cette équation, les valeurs de x″ et y″ qui répondent à y″=0 et x″=0, nous aurons

M=−f′/B², N=−f′/A² ;

ce qui donnera, en substituant et chassant les dénominateurs,

A²y″²+B²x″²=A²B².

Si présentement nous portons les valeurs déterminées ci-dessus pour a et b dans celle de f′, elle deviendra, toutes réductions faites,

f′=(ae²+cd²−bde)/b²−4ac+f,

et de là nous conclurons

A=√(2[bde−ae²−cd²−(b²−4ac)f]/((b²−4ac)[(a+c)−√(b²+(a−c)²)])),

B=√(2[bde−ae²−cd²−(b²−4ac)f]/((b²−4ac)[(a+c)+√(b²+(a−c)²)])),

Ainsi le centre sera donné par les valeurs de a et b, les grandeurs des axes par celles de A et B, et leurs directions par celle de Tang⁡.2α

Soit, en deuxième lieu, b²−4ac=0, d’où M=a+c, N=0; nous supposerons alors, dans l’équation (2)

f′=an²+bmn+cm²+dn+em+f=0, d′Cos.α−c′Sin.α=0;

et la transformée sera

My″²+(d′Sin.α+e′Cos.α)x″=0.

Présentement comme nous avons trouvé ci-dessus

Tang⁡.2α=−b/a−c,

puisqu’on a d’ailleurs

Tang⁡.2α=−2Tang.α/1−Tang.²α,

il viendra, en égalant ces deux valeurs

bTang.²α−2(a−c)Tang.α−b=0,

d’où

Tang.α=((a−c)±√(b²+(a−c)²))/b=((a−c)±(a+c))/b,

c’est-à-dire,

Tang.α=2a/b, Tang.α=−2c/b,

d’un autre côté l’équation d′Cos.α−e′Sin.α=0 donne

Tang.α=d′/e′=(2an+bm+d)/(2cm+bn+e) ;

valeurs qui ne saurait s’accorder avec Tang.α=2a/b, parce q'elles conduiraient à la condition bd−2ac=0 qui, jointe à b²−4ac=0, exprime, comme l’on sait, que la courbe dégénère dans le système de deux droites. Il faudra donc prendre Tang.α=−2c/b ; en égalant cette valeur à la précédente, et résolvant l’équation résultante par rapport à m, il viendra

m=−(2b(a+c)n−(bd+2ce))/(b²+4c²).

En mettant cotte valeur dans l’équation f′=0, et se rappelant la relation b²−4ac=0, le coefficient de n² disparaîtra, et il viendra

n=(c²e²+abde+2ace²−acd²−4af(a+c)²)/(2(a+c)²(2cd−be)),

et par suite

m=(a²d²+bcde+2acd²−ace²−4af(a+c)²)/(2(a+c)²(2ae−bd)),

On a en outre

d′Sin.α+e′Cos.α=(d′Tang.α+e′)Cos.α

or, Tang.α=−2c/b, d’où Cos.α=b/(√(b²+4c²)) ; donc

d′Sin.α+e′Cos.α=−2cd−be/(√(b²+4c²)) ;

posant donc

P=2cd−be/((a+c)√(b²+4c²)) ;

la transformée sera

y″²=Px″.

Ainsi les coordonnées du sommet seront données par les valeurs de m et n, la direction de l’axe par celle de Tang.α, et le paramètre par celle de P.

Au surplus, comme, dans certains cas particuliers, ces formules pourraient devenir illusoires, il sera convenable d’y remplacer b par 2√(ac) ; on aura ainsi

Tang.α=−√(c/a), P=d√c−e√a/((a+c)√(a+c)),

m=(ad²√a+2cde√c+2cd²√a−ce²√a−4f(a+c)²√a)/(4(a+c)²(e√a−d√c)),

n=(ce²√c+2ade√a+2ae²√c−ad²√c−4f(a+c)²√c)/(4(a+c)²(d√c−e√a)),

sous cette forme leur application n’entraînera plus aucune difficulté.

