Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie, article 1

## GÉOMÉTRIE.

Problème. Par un point donné de position, dans un angle connu, faire passer une droite de manière que sa partie interceptée entre les côtés de l’angle soit la moindre possible ?

Soit ACA, (fig. 1) un angle donné, et soit, un point donné entre les côtés de cet angle ; il s’agit de mener, par ce point P, une droite dont la partie interceptée dans l’angle ACA, soit la moindre possible.

Solution. Soient XX′ et ZZ′ deux droites égales inscrites dans l’angle ACA′, et passant par P. De ce point comme centre, avec les rayons PZ et PX′ soient décrits deux arcs de cercle Zz et X′x′, compris dans les angles XPZ et X′PZ′.

Puisque XX′=ZZ′,

on doit avoir Xz=Z′x′.

Or, Lim.Xz:Zz=1:Tang.X,

Lim.Zz:X′x′=PX:PX′,

Lim.X′x′:Z′x′=Tang.X′:1 ;

Lim.Xz:Z′x′=PX⋅Tang.X′:PX′⋅Tang.X.

Donc, lorsque XX′ est la plus petite, on doit avoir

PX.Tang.X′=PX′.Tang.X,

PX:PX′=Tang.X:Tang.X′.

Par P soient menées à CA et CA′ des parallèles rencontrant ces droites en B et B′ ; et, par le même point soient menées aux mêmes droites des perpendiculaires les rencontrant en D et D′ ; on aura

PX:PX′::BX:PB′::BX:CB ;

BX:CB::Tang.X:Tang.X′.

Premier cas. Que l’angle C soit droit, on aura

Tang.X′=Cot.XetBX=BPCot.X ;

BPCot.X:CB=Tang.X:Cot.X,

et par conséquent

CB/BP=Cot.²X/Tang.X=Cot.³X=BX³/BP³ ;

donc

BX³=CB⋅BP² ;

on aura de même

B′X′³=CB′⋅B′P²=BP⋅CB².

Le problème sera donc résolu puisque BX et B′X′ seront donnés en fonctions de quantités connues, et on voit qu’il n’aura alors qu’une solution.

Deuxième cas. Que l’angle C ne soit pas droit. On parvient à une équation du troisième degré, soit qu’on prenne pour inconnue la distance du point X à quelque point donné sur CB, soit qu’on prenne pour inconnues les tangentes des angles X ou X′.

Je vais, par exemple, chercher la position du point X, par sa distance à quelque point donné sur CB, et construire l’équation correspondante.

On a, comme il vient d’être prouvé ci-dessus,

BX:CB=Cot.X′:Cot.X ;

or, Cot.X=DX/PD, Cot.X′=D′X′/PD′ ;

donc

BX:CB=D′X′/PD′ : DX/PD=D′X′/CB : DX/PrBD,

et conséquemment

BX:PB=D′X′:DX=B′X′−B′D′:DX, =B′X′×BX−B′D′×BX:DX×BX, =B′D′×BE−B′D′×BX:BX×DX =B′D′×EX:BX×DX ; donc

BX:PB=B′D′×EX:BX×DX,

ou BX²:PB×B′D′=EX:DX=EX×DX:DX²,

ou enfin BX²:CB×BD=EX×DX:DX².

Sur ED, comme diamètre, soit décrit un cercle, et du point X soit élevée à DE une perpendiculaire rencontrant en V la circonférence de ce cercle ; on aura EX×DX=XV² ; substituant donc dans la proportion ci-dessus, elle deviendra

BX²: CB×BD=XV²:DX²,

ou BX: √(CB×BD)=XV:DX,

d’où BX×DX=XV√(CB×BD).

De là découle la construction suivante pour déterminer le point X.

Soit PB parallèle à CA′ rencontrant CA en B ; soit PD perpendiculaire à CA ; soit aussi PD′ perpendiculaire à CA′ et rencontrant CA en E. Sur DE comme diamètre, soit décrit un cercle ; soit ensuite décrite la parabole qui est le lien géométrique de l’équation BXD×X=XV√(CB×BD) ; par le point V où cette parabole rencontre la circonférence du cercle soit abaissée une perpendiculaire VX sur CA ; alors le pied X de cette perpendiculaire sera le point cherché ; de manière qu’en menant par X et P une droite terminée en X′ a CA′, cette droite sera la plus petite de toutes celles qui, passant par P P se termineront à CA et CA′.

Remarque I.ʳᵉ L’équation PXTang.X′=PX′Tang.X devient indépendante de la nature des lignes entre lesquelles il faut inscrire la plus petite des droites qui passent par le point donné ; en substituant aux angles X, X′ les angles que fait XX′ avec les tangentes menées par les points X, X′ aux courbes sur lesquelles ces points se trouvent situés.

Remarque II.ᵐᵉ Lorsque le point P est sur la droite qui coupe l’angle ACA′ en deux parties égales, la plus petite des droites à inscrire est (comme il est connu) perpendiculaire à la droite CP.

Remarque III.ᵐᵉ On pourrait obtenir le minimum proposé, en résolvant ce problème déterminé : Inscrire à un angle donné une droite d’une longueur donnée passant par un point donné ? et en cherchant les limites résultant de la construction. Or, ce problème déterminé est susceptible d’une construction élégante par le cercle et par l’hyperbole rapportés à ses asymptotes.

Remarque IV.ᵐᵉ On ramène à peu près de la même manière à un problème déterminé les problèmes suivans : Par un point donné, sur une surface, sphérique, et dans un angle sphérique formé sur cette surface ; mener un arc de grand cercle dont la partie inscrite dans l’angle sphérique soit la plus petite, ou tel que l’aire ou le contour du triangle retranché soit un minimum ?

* ↑ Ce problème a été traité par M. Puissant, (Recueil de diverses propositions, etc., deuxième édition, pag. 423) ; mais son analise est toute différente de celle de M. Lhuilier. (Note des éditeurs.)
* ↑ On parvient à une équation fort simple en procédant comme il suit : Soit ACB, (fig. 2.) l’angle donné, soit P le point donné et soit enfin XY la droite cherchée. Soit mené CP=K ; soient faits Ang.PCA=α, Ang.PCB=β, Ang.CPX=θ ; on aura Ang.CPY=ϖ−θ ; donc Ang.CXP=ϖ−(θ+α), Ang.CYP=(θ−β), }d'où{Sin.CXP=Sin.(θ+α), Sin.CYP=Sin.(θ−β), donc PY=K⋅ Sin.β/Sin.(θ−β), PX=K⋅ Sin.α/(Sin.(θ+α)). et par conséquent XY=PY+PX=K{ Sin.β/Sin.(θ−β)+Sin.α/(Sin.(θ+α)) } =KSin.(α+β)⋅ Sin.θ/(Sin.(θ+α)Sin.(θ−β)). Il faudra donc, pour avoir la valeur de θ qui convient au minimum, égaler à zéro la différentielle de Sin.θ/(Sin.(θ+α)Sin.(θ−β)) ; ce qui donnera Sin.(θ+α)Sin.(θ−β)Cos.θ −{Sin.(θ+α)Cos.(θ−β)+Sin.(θ−β)Cos.(θ+α)}Sin.θ=0. En divisant cette équation par Sin.(θ+α)Sin.(θ−β)Sin.θ elle devient Cot.θ=Cot.(θ+α)Cot.(θ−β) ; équation équivalente à celle-ci Cot.θ=Cot.αCot.θ−1/(Cot.α+Cot.θ)+(Cot.βCot.θ+1)/Cot.β−Cot.θ, laquelle devient, en chassant les dénominateurs et réduisant, Cot.³θ+(2+Cot.αCot.β)Cot.θ+(Cot.α−Cot.β)=0 ; équation du troisième degré, sans second terme. (Note des éditeurs.)
* ↑ À cause des triangles semblables PDB et PD′B′..
* ↑ Par les triangles semblables, on a les deux proportions B′X′:B′P=BP:BX, B′P:B′D′=BE:BP ;}d’où B′X′:B′D′=BE:BX ou B′X′×BX=B′D′×BE.
* ↑ À cause de BD:B′D′=PB:PB′ ou CB, qui donne PB×B′D′=PB×BD. (Note des éditeurs.)
