Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Analise transcendante, article 1
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## ANALISE TRANSCENDANTE.

1. Dans mon Analise des réfractions astronomiques (chap. III. n.ᵒˢ 142 et 203) j’ai enseigné à trouver la valeur numérique de toute faculté quelconque, par des séries convergentes à volonté ; mais les méthodes que j’ai indiquées, pour parvenir à ce but, peuvent être considérablement simplifiées. Je donne le nom de Facultés aux produits dont les facteurs constituent une progression arithmétique, tels que

a(a+r)(a+r)…[a+(m−1)r];

et, pour désigner un pareil produit, j’ai proposé la notation

a^{m|r}.

Les facultés forment une classe de fonctions très-élémentaires, tant que leur exposant est un nombre entier, soit positif soit négatif ; mais, dans tous les autres cas, ces mêmes fonctions deviennent absolument transcendantes.

2. J’observe que toute faculté numérique quelconque est constamment réductible à la forme très-simple

1^{m|1}=1.2.3……

ou à cette autre forme plus simple

m!,

si l’on veut adopter la notation dont j’ai fait usage dans mes Élémens d’arithmétique universelle, n.ᵒ 289.

On a, en effet

a^{m|r}=a(a+r)(a+2r)…[a+(m−1)r]

=rᵐ.a/r (a/r+1)(a/r+2)…[ a/r+(m−1)]

=rᵐ.(1.2.3…( a/r−1) a/r …[ a/r+(m−1)])/1.2.3…( a/r−1)

=([ a/r+(m−1)]!)/( a/r−1)! rᵐ.

et

a^{m|−r}=a(a−r)(a−2r)(a−3r)…[a−(m−1)r]

=rᵐ.a/r (a/r−1)(a/r−2)…[ a/r−(m−1)]

=rᵐ.(1.2.3…( a/r−m)[ a/r−(m+1)]…( a/r−1)/a r)/1.2.3…( a/r−m)

=(a/r)!/( a/r−m)! rᵐ.

ce qui donne les deux expressions littérales qui suivent

a^{m|r}=(( a/r+m−1)!)/( a/r−1)! rᵐ, a^{m|−r}=(a/r)!/( a/r−m)! rᵐ;

lesquelles ont lieu quels que soient a et r.

3. Les facultés numériques étant ainsi réduites, dans tous les cas, à la forme bien plus simple y!, qui n’est fonction que d’une seule variable ; il suffira de connaître les valeurs numériques de ces derniers produits, pour les y compris entre les simples limites zéro et plus un, pour pouvoir en déduire immédiatement toutes les autres. En effet, désignant par m une fraction comprise entre 0 et +1, et par n un nombre entier quelconque, on voit que tous les nombres possibles, positifs ou négatifs, rentrent dans la forme m+n. Or, nous avons

(m+n)!=1^{m+n|1}=1^{m|1}.(m+1)^{n|1}=m!(m+1)^{n|1},

(m−n)!=1^{m−n|1}=1ᵐ|1/m^{n|−1}=m!/m^{n|−1} ;

d’où l’on voit que la détermination des facultés (m±n)! ne dépend que de celle de m! et des facultés (m+1)^{n|1} et m^{n|−1}, à exposans entiers. L’application aux cas particuliers donne, en supposant toujours m moindre que l’unité,

(1+m)!=(1+m)m!, (−1+m)!=+m!/m,

(2+m)!=(1+m)(2+m)m!, (−2+m)!=−m!/m(1−m),

(3+m)!=(1+m)(2+m)(3+m)m!, (−3+m)!=+m!/m(1−m)(2−m),

4. Frappé de ces idées, M. Bessel, professeur d’astronomie à Königsberg, a construit une table des logarithmes briggiens des fractions

1^{x−1|1}/√(2ϖ),

depuis x=1 jusqu’à x=2, à dix décimales, avec leurs premières, deuxièmes et troisièmes différences, qu’il a bien voulu me communiquer, par une lettre du 7 mars de la présente année 1812. Ajoutant aux logarithmes de la table de M. Bessel celui de √(2ϖ), qui est

0, 39908 99342,

on aura les logarithmes des produits y!, entre y=0 et y=1. Ces produits sont égaux à l’unité, pour y=0 et y=−1. Ils parviennent à leur minimum vers y=0, 46 ; on a alors à peu près y!=0, 885604. Pour calculer ces logarithmes, l’auteur a employé une méthode particulière, différente de la mienne, sur laquelle nous reviendrons plus loin.

Il est presque superflu d’avertir que tous les logarithmes de la table ont une dixaine de trop à leur caractéristique.

TABLE des Logarithmes des valeurs que prend la faculté

y.valeurs de Log. y!Différences I.Différences II.Différ. III.0, 000, 0000000000−24712693+704106−100300, 019, 9975287307−24008587+694076−97700, 029, 9931278720−23314511+684306−95170, 039, 9927964209−22630205+674789−92750, 049, 9905334004−21955416+665514−90420, 059, 9885378583−21289902+656472−88130, 069, 9862088686−20635430+647659−85970, 079, 9841455256−19985771+639062−83890, 089, 9821469485−19346709+630673−81830, 099, 9802122776−18716036+622490−79870, 109, 9785406740−18093546+614503−77990, 119, 9765313194−17479043+606704−76160, 129, 9747834151−16872339+599088−74380, 139, 9730961812−16273251+591650−72670, 149, 9714688561−15681601+584383−71020, 159, 9699006960−15097218+577281−69400, 169, 9683909742−14519937+570341−67890, 179, 9669389805−13949596+563552−66350, 189, 9655440209−13386044+556917−64890, 199, 9642054165−12829127+550428−63520, 209, 9629223038−12278699+544076−62120, 219, 9616946339−11734623+537864−60800, 229, 9605211716−11196759+531784−59540, 239, 9594014957−10664975+525830−58250, 249, 9583349982−10139145+520005−57090, 259, 9573210837−9619140+514296−55890, 269, 9563591697−9104744+508707−54760, 279, 9554486953−8596237+503231−53630, 289, 9545890716−8092906+497868−52600, 299, 9537797810−7595038+492608−51530, 309, 9530202772−7102430+487455−50520, 319, 9523100342−6614975+482403−49530, 329, 9516485367−6132572+477450−48590, 339, 9510352793−5655122+472591−47640, 349, 9504697673−5182532+467827−46740, 359, 9499515142−4714704+463153−45870, 369, 9494800438−4251551+458566−44990, 379, 9490548887−3792985+454067−44190, 389, 9486755902−3338918+449648−43340, 399, 9483416984−2889270+445314−42580, 409, 9480527714−2443956+441056−41790, 419, 9478088758−2002900+436877−41040, 429, 9476080858−1566023+432773−40330, 439, 9474514835−1133250+428740−39610, 449, 9473381588− 704510+424779−38890, 459, 9472677075− 279731+420890−38240, 469, 9472397344+ 141159+417066−37590, 479, 9472538503+ 558225+413307−36920, 489, 9473096728+ 971532+409615−36300, 499, 9474068260+1381147+405985−35700, 509, 9475449407+1787132+402415−3509

pour toutes les valeurs de y, depuis y=0 jusqu’à y = 1.

y.valeurs de Log. y!Différences I.Différences II.Différ. III.0, 509, 9475449407+ 1787132+402415−35090, 519, 9477236539+ 2189547+398906−34510, 529, 9479426086+ 2588453+395455−33960, 539, 9482014539+ 2983908+392059−33360, 549.9484998447+ 3375967+388723−32860, 559, 9488374414+ 3764690+385437−32320, 569, 9492139104+ 4150127+382205−31790, 579, 9496289231+ 4532332+379026−31300, 589, 9500821563+ 4911358+375896−30800, 599, 9505732921+ 5287254+372816−30310, 609, 9511020175+ 5660070+369785−29860, 619, 9516680245+ 6029855+366799−29370, 629, 9522710100+ 6396654+363862−28940, 639, 9529106754+ 6760516+360968−28490, 649.9535867270+ 7121484+358119−28060, 659, 9542988754+ 7479603+355313−27660, 669, 9550468357+ 7834916+352547−27210, 679, 9558303273+ 8187463+349826−26830, 689, 9566490736+ 8537289+347143−26430, 699, 9575028025+ 8884432+344500−26050, 709, 9583912457+ 9228932+341695−25660, 719, 9593141389+ 9570827+339329−25290, 729, 9602712216+ 9910156+336800−24950, 739, 9612622372+10246956+334305−24570, 749, 9622869328+10581261+331848−24210, 759, 9633450589+10913109+329427−23930, 769, 9644363698+11242536+327034−23540, 779, 9655606234+11569570+324680−23210, 789, 9667175804+11894250+322359−22940, 799, 9679070054+12216609+320065−22570, 809, 9691286663+12536674+317808−22310, 819, 9703823337+12854482+315577−21970, 829, 9716677819+13I70059+313380−21700, 839, 9729847878+13483439+311210−2l400, 849.9743331317+13794649+309070−21120, 859, 9757125966+14103719+306958−20830, 869, 9771229685+14410677+304875−20580, 879, 9785640362+14715552+302817−20280, 889, 9800355914+15018369+300789−20050, 899, 9815374283+15319158+298784−19770, 909, 9830693441+15617942+296807−19520, 919, 9846311383+18914749+294855−19280, 929, 9862226132+16209604+292927−19030, 939, 9878435736+16502531+291024−18790, 949, 9894938267+16793555+289145−18560, 939, 9911731822+17082700+287289−18320, 969.9928814522+17363989+285457−18110, 979, 9946184511+17655446+283646−17870, 989, 9963839957+17939092+281859−17650, 999, 9981779049+18220951+280094−17461, 000, 0000000000+18501045+278348−1723

5. Dans l’ouvrage déjà cité (chapitre III, 39) j’ai prouvé que, h étant une fraction positive plus petite que 1/2, on a

Tang.h=((+h)^{1/2|+1})/(−h)^{1/2|−1} ;

mais, suivant les réductions enseignées ci-dessus, on a

(+h)^{1/2|+1}=(h−1/2 )!/(h−1)!=2h/(1+2h) ⋅ (( 1/2+h)!)/h! ;

(−h)^{1/2|−1}=(−h)!/(−h−1/2 )!=1−2h/2−2h ⋅ (1−h)!/( 1/2−h)! ;

d’où résulte

Tang.hϖ=h(1−h)/(( 1/2+h)( 1/2−h)) ⋅ (( 1/2+h)!( 1/2−h)!)/h!(1−h)! ;

Ainsi, si l’on demandait la tangente de 66^{∘}.36′, on aurait h=0, 37, 1−h=0, 63, 1/2+h=0, 87, 1/2−h=0, 13; d’où

Tang⁡.66^{∘}.36′=0, 37×0, 63/0, 87×0, 13 ⋅ 0, 87!0, 13!/0, 37!0, 63!

Voici le calcul :

Log⁡.37=1, 5682017241, Log⁡.63=1, 7993405495, Comp. arith. Log⁡.87=8, 0604807474, Comp. arith. Log⁡.13=8, 8860566477, Log⁡.0, 87!=9, 9785640362, Log⁡.0, 13!=9, 9730961812, Comp. arith. Log⁡.0, 37!=0, 0509451119, Comp. arith. Log⁡.0, 62!=0, 0470893246,

Log.tang⁡.66^{∘}.36′=0, 3637743220.

6. Il a été prouvé, dans le même ouvrage que

Sin.mϖ/Sin.nϖ=((+m)^{n−m|+1})/(−m)^{n−m|−1}=(−n)^{m−n|−1}/((+n)^{m−n|+1}),

faisant n=1/2, et faisant ensuite successivement m=h et m=1/2−h, il viendra

Sin.hϖ=((+h)^{1/2−h|+1})/(−h)^{1/2−h|−1}=4h(1−h)(0, 5)!(0, 5)!/h!(1−h)! ;

Cos.hϖ=((1/2−h)^{h|+1})/((−1/2+h)^{h|−1})=(4h(1/2−h)(1/2+h)(0, 5)!(0, 5)!)/((1/2−h)!(1/2+h)!) ;

et, comme il est prouvé que

(1/2)!=(0, 5)!=(1/2)√ϖ

ces formules pourront être écrites comme il suit :

Sin.hϖ=h(1−h)/h!(1−h)! ϖ, Cos.hϖ=((1/2−h)(1/2+h))/((1/2−h)!(1/2+h)!) ϖ.

Ainsi, moyennant la table que nous venons de donner, on trouvera facilement, et jusqu’à dix décimales, le sinus, le cosinus et la tangente de tout angle proposé.

7. L’intégrale

∫tᵐ⁻¹e⁻ᵗⁿdt;

prise depuis t=0 jusqu’à t=∞ étant égale à

1^{m/n|1}/m=(m/n)!/m ;

le logarithme de cette intégrale, pour toutes les valeurs de m et de n, se trouvera facilement par le moyen de la table.

8. L’intégrale

∫yᵐ⁻¹(1−yʳ)ⁿdy,

prise depuis y=0 jusqu’à y=1, étant égale à

r^{n|r}/(m^{n+1|r})=n!/(m^{n+1|r}) rⁿ;

en employant les réductions qui ont été enseignées, on trouvera pour l’expression de cette intégrale

n!( m/r−1)!/(r.( m/r+n)!) ;

formule facile à calculer au moyen de notre table.

9. Venons présentement au calcul de cette table ; soient B₂, B₄, B₆, B₈, … les nombres de Bernoulli, à partir du second, en sorte qu’on ait B₂=+1/12, B₄=−1/120, …. Dans l’ouvrage cité, j’ai employé la notation Γy, pour désigner la série

B₂y+1/3 B₄y³+1/5 B₆y⁵+1/7 B₈y⁷+…

Cette série, lorsque y est une petite fraction, est tellement convergente que les trois et même les deux premiers termes suffisent pour en trouver la valeur numérique jusqu’à neuf décimales. Souvent même on pourra faire simplement Γy=B₂y=1/12 y. On trouve le Γ d’un nombre quelconque, par la formule qui suit :

Γr=Γ r/(1+mr)−m−Log.1^{m|r}+(m−1/2+1/r )Log.(1+mr),

dans laquelle m désigne un nombre quelconque, pris à volonté ; on peut le prendre égal à 4, 5 ou 6, tout au plus. J’ai prouvé de plus que

et qu’on a ensuite

Γ 1/(m+1) =Γ₁+m+Log.1^{m|1}−(m+1/2 )Log.(m+1), Γ 2/(2m+1) =Γ₂+m+Log.1^{m|2}−mLog.(2m+1).

Ainsi les Γ de toutes les fractions de l’une ou de l’autre des deux formes générales, 1/(m+1), 2/(2m+1), m désignant un nombre entier quelconque, se réduisent, dans tous les cas, à une simple addition de logarithmes hyperboliques.

10. Si l’on applique au cas de a=1, r=1, les formules de l’ouvrage cité, on aura

Log.nat.(+y)!=−y+(y+1/2 )Log.(1+y)−Γ₁+Γ.1/(1+y),

Log.nat.(−y)!=+y−(y−1/2 )Log.(1−y)−Γ₁+Γ.1/1−y ;

(Refr. ast. chap. III, 181). La variable y sera, dans tous les cas, une fraction moindre que l’unité. Si toutefois la série qui donne Γ.1/(1+y) et Γ.1/1−y ne paraît pas converger assez tôt, on prendra, à volonté, un nombre entier h, de 4 à 6, ce qui suffira pour trouver jusqu’à 8 décimales le logarithme qu’on demande. On aura alors, moyennant les formules des n.ᵒˢ 195 et 204 de l’ouvrage cité :

Log.nat.(+y)!=−h−y−Log.(1+y)^{h|1}+(h+1/2+y)Log.(1+h+y)−Γ₁+Γ.1/(1+h+y),

Log.nat.(−y)!=−h+y−Log.(1−y)^{h|1}+(h+1/2−y)Log.(1+h−y)−Γ₁+Γ.1/(1+h−y),

Moyennant ces dernières formules, le calcul des produits (+y)!, et par conséquent aussi celui de toutes les facultés numériques à exposans fractionnaires, ainsi que celui des autres fonctions qui pourront y être ramenées, me paraît réduit à sa plus grande simplicité.

* ↑ La théorie des Facultés numériques, que M. Kramp désigne aussi sous la dénomination de Factorielles, et qui reviennent encore à ce que Vandermonde a appelé Puissances du second ordre, n’ayant encore été développée jusqu’ici que dans un très-petit nombre d’ouvrages, nous croyons convenable de donner ici une idée succincte de ces sortes de fonctions, et des notations par lesquelles on les désigne. Dans l’expression a^{m|r}=a(a+r)(a+r)…[a+(m−1)r]; a est ce qu’on appelle la base de la faculté, r en est la différence, et m en est l’exposant ; il est clair qu’on a, en renversant l’ordre des facteurs, a^{m|r}=[a+(m−1)r]^{m|−r}. Dans le cas où r=0, la faculté se réduit évidemment à une simple puissance ; ainsi on a a^{m|0}=aᵐ. Au moyen d’un multiplicateur choisi d’une manière convenable, on peut changer, à volonté, soit la base soit la différence d’une faculté. Le principe de cette transformation réside dans les équations suivantes, qui se vérifient d’elles-mêmes par le simple développement, a^{m|r}=(a/a′)ⁿ⋅a^{′n|a′r/a}=(r/r′)ⁿ⋅(ar′/r)^{n|r′}. Si l’on écrit l’équation identique a′(a′+r)…[a′+(m−1)r][a′+mr]…[a′+(m+n−1)r] ={a′(a′+r)…[a′+(m−1)r]}×{(a′+mr)…[a′+mr+(n−1)r]}; suivant la notation des facultés, il viendra a^{′m+n|r}=a^{′m|r}=×(a′+mr)^{n|r}; ou en posant m+n=p, d’où n=p−m, et a′+mr=a, d’où a′=a−mr, et renversant, cette équation deviendra (a−mr)^{m|r}⋅a^{p−m|r}=(a−mr)^{p|r}; faisant alors p=m, et réduisant, il viendra a^{0|r}=1; ainsi toute faculté dont l’exposant est zéro vaut l’unité. Si, dans la même équation, on fait p=0, en observant que, d’après ce qui précède, (a−mr)^{0|r}=1, il viendra a^{−m|r}=1/((a+mr)^{m|r})=1/((a+r)^{m|r}) ; ce qui fournit l’interprétation des facultés dont l’exposant est négatif. On trouvera aussi que a^{−m|−r}=1/((a+mr)^{m|−r})=1/((a+r)^{m|r}). Nous terminerons par un rapprochement entre les notations de Vandermonde et celle de M. Kramp. Vandermonde fait a(a−1)(a−2)…(a−m+1)=[a]ᵐ, d’où il suit qu’en rapprochant les deux notations, on a, [a]ᵐ=(a−m+1)^{m|1}=a^{m|−1}. Si, après avoir changé a en a′, on pose a′−m+1=a, d’où a′=a+m−1, on obtiendra cet autre rapprochement [a+m−1]ᵐ=a^{m|1}=(a+m−1)^{m|−1}. Toutes les facultés pouvant être exprimées en fonction d’autres facultés dans lesquelles la base et la différence sont également l’unité, et ces dernières devant, en conséquence, se représenter fréquemment dans les calculs ; M. Kramp, dans son Arithmétique universelle, a proposé de les écrire simplement comme il suit ; 1.2.3.4…m=1^{m|1}=m!. J. D. G.
* ↑ Ces deux formules, qui reviennent entièrement au même, dans le cas d’un exposant entier, doivent être soigneusement distinguées, dans le cas d’un exposant non entier. Si l’on imagine une courbe ayant r pour abscisse et les facultés a^{m|r} pour ordonnées, cette courbe cessera d’être continue à r=0 ; et celle qui aurait pour ordonnées les facultés a^{m|−r} ne sera pas la continuation de la première : bien qu’en cet endroit elles aient une tangente commune, et le même rayon oscillateur. Les absurdités apparentes auxquelles j’ai été conduit, dans mon Analise des réfractions, viennent de ce que, par un excès de confiance dans la loi de continuité, j’ai passé trop légèrement de r positif à r négatif, en étendant à celui-ci ce qui n’avait été démontré que pour l’autre.
* ↑ Voyez la précédente note.
* ↑ Il paraît, par la marche des quatrièmes différences, qu’on ne peut guère compter sur le 10.ᵉ chiffre décimal des logarithmes de cette table. J. D. G.
* ↑ On sait que ces nombres se déduisent les uns des autres au moyen de la formule 1/(n+1)+(−1)ⁿBₙ₊₁=B₁−n/1 B₂+n/1.n−1/2 B₃−n/1.n−1/2 n−2/3 B₄ +n/1.n−1/2 n−2/3 n−3/4 B₅…; en y faisant successivement n égal à 1, 2, 3, 4, …; voici les dix qui suivent le premier, avec leurs valeurs approchées, en décimales B₂=+1/12 =+0, 088333333333, B₄=−1/120 =−0, 008333333333, B₆=+1/252 =+0, 003968253968, B₈=−1/240 =−0, 046666666667, B₁₀=+1/132 =+0, 007575757576, B₁₂=−691/32760 =−0, 021092796093, B₁₄=+1/12 =+0, 083333333333, B₁₆=−3617/8160 =−0, 443259803922, B₁₈=+43867/14364 =+3, 053954330270, B₂₀=−174611/6600 =−26, 456212121212. J. D. G.
* ↑ On peut encore parvenir au but par la méthode suivante. On sait que, x étant un nombre quelconque, on a Log.(x!)=1/2 Log⁡.2ϖ+xLog.x+1/2 Log.x−M{x−B₂/x−B₄/3x³−B₆/5x⁵−…}; M étant le module. (Voyez Lacroix, Traité élémentaire de calcul différentiel, etc., 2.ᵉ édit, pag. 595 ; ou Traité des différences et des séries, pag. 142). Soit fait, dans cette formule, x=N+y, N étant un nombre entier arbitraire, mais qu’il conviendra de prendre au moins égal à 10, et y étant la fraction comprise entre 0 et 1 pour laquelle on cherche la valeur de Log.y!. En substituant dans la formule ci-dessus, on obtiendra la valeur de Log.(N+y)!. Mais par les formules de M. Kramp, on a (N+y)!=y!(y+1)^{N|1}; d’où y!=((N+y)!)/((y+1)^{N|1}) ; et, en passant aux logarithmes, Log.y!=Log.(N+y)!−Log.(y+1)^{N|1}; donc Log.y!=1/2 Log⁡.2ϖ+(N+y+1/2 )Log.(N+y)−Log.(y+1)^{N|1} −M{(N+y)−B₂/((N+y))−B₄/(3(N+y)³)−B₆/(5(N+y)⁵)−…}; Au surplus, la méthode de M. Kramp paraît beaucoup plus expéditive ; et nous n’indiquons celle-ci que pour ceux de nos lecteurs à qui les principes sur lesquels repose la première ne seraient point familiers. J. D. G.
