Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie analitique, article 7
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie analitique, article 7

## GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

La génération des courbes, par l’intersection de lignes droites, assujetties à certaines conditions, a fixé plus d’une fois l’attention

des géomètres, à raison de l’intérêt que présente ce mode de construction, et des conséquences auxquelles il peut conduire. Je m’occupais d’un cas particulier de cette génération, pour les sections coniques, lorsque j’ai reçu le numéro des Annales pour février 1812, où M. Rochat traite un objet qui a quelque analogie avec le mien.

Je vais indiquer ici la génération dont il s’agit, parce qu’elle me paraît propre à rendre raison, en particulier, de l’analogie remarquable et des différences respectives que l’ellipse et l’hyperbole présentent, dans quelques points de leur théorie.

Soient deux droites IM, I′M (fig. 4) assujetties à tourner autour des points fixes I et I′, en faisant continuellement entre elles un angle variable IMI′ ; la nature de la courbe décrite par le point M, dépendra des conditions auxquelles on soumettra l’inclinaison respective des deux droites génératrices sur l’axe des x .

Pour plus de simplicité, j’établis l’origine des abscisses au point O, milieu de la distance II′, et je suppose les coordonnées rectangulaires. Soit OI=A. Les droites IM et I′M auront respectivement pour équations

y=a(x−A), y=a′(x+A);

a et a′ étant les tangentes trigonométriques de leurs inclinaisons respectives sur l’axe des x.

Si le produit aa′ de ces tangentes est donné et constant, l’équation de la courbe décrite par le point M sera

y²=aa′(x²−A²)

y²−aa′x²=−aa′A²;(E)

et elle présentera deux cas, suivant que les facteurs a et a′ seront de signes contraires ou de mêmes signes, c’est-à-dire, suivant que le produit aa′ sera négatif ou positif.

Or, si les lignes génératrices sont constamment inclinées en sens contraire, le point décrivant M se trouvera toujours compris entre les perpendiculaires Tt et T′t′. menées à la droite II′ par les points I et I′ ; en sorte que ces perpendiculaires seront, dans le sens des x, les limites de la courbe qui sera entièrement comprise entre elles.

Posant donc, dans ce cas,

aa′=−B²/A²,

B étant une nouvelle ligne, dont la valeur est donnée par la formule

B=A√(−aa′),

l’équation deviendra

A²y²+B²x²=A²B²;

c’est-à-dire, celle d’une ellipse dont les axes sont 2A et 2B.

Si, en particulier, on avait aa′=−1, il viendrait B=A ; et l’ellipse deviendrait un cercle, ce qui est d’ailleurs évident, puisque la condition aa′=−1 ou 1+aa′=0 étant celle de la perpendicularité des deux génératrices, l’angle M devrait constamment être droit.

Suivant qu’on aura

−aa′<1

−aa′>1

c’est-à-dire, suivant que l’angle M sera obtus ou aigu, on aura

B²/A² <1

B²/A² >1

c’est-à-dire,

B<A

B>A;

l’ellipse sera donc décrite sur son grand axe dans le premier cas et sur son petit axe dans le second.

La droite I′M s’inclinant de plus en plus, viendra enfin coïncider avec I′I ; alors, a′ devenant zéro, a devra devenir infini, c’est-à-dire, qu’alors IM se confondra avec Tt ; ainsi I est un point de la courbe, et on en dirait autant de I′.

Si présentement on suppose, au contraire, que le produit constant aa′ soit positif ou, ce qui revient au même, que les deux facteurs a et a′ soient constamment de mêmes signes ; les droites IM et I′M se trouvant constamment inclinées dans le même sens, leur point de concours M′ se trouvera toujours hors des parallèles Tt et T′t′ qui conséquemment seront encore dans ce cas les limites de la courbe, mais de manière que cette courbe, qui d’ailleurs passera toujours par les points I, V, n’aura aucun de ses points compris entre elles.

Posant alors

aa′=B²/A²,

en sorte qu’on ait

B=A√(aa′),

l’équation (E) deviendra

B²x²−A²y²=A²B²,

qui est celle d’une hyperbole dont le premier et le second axe sont 2A et 2B.

Si l’on avait aa′=1, il en résulterait B=A, et l’hyperbole serait équilatérale.

Si, sans statuer sur le signe de aa′, dans l’équation (E), on y fait

−aa′=B²/A²,

B=±A√(−aa′),

cette valeur de B sera réelle ou imaginaire, suivant que aa′ sera négatif ou positif ; ce qui explique pourquoi le demi-axe des y étant exprimé par B dans l’ellipse, il se change en B√(−1) dans l’hyperbole, et réciproquement.

La longueur de A étant déterminée, pour une ellipse ou une hyperbole, on voit que la longueur de B dépendra du produit aa′, et que, pour obtenir l’une ou l’autre courbe, il suffit de faire ce produit constant, en lui assignant d’ailleurs, pour chaque cas, une valeur arbitraire. De là la raison pourquoi on peut établir, sur un même premier axe, une infinité d’ellipses ou d’hyperboles qui ne diffèrent que par leur second axe.

Il est presque superflu d’observer que, si l’on établissait les lignes génératrices LN, L′N sur le second axe, et qu’on les assujettit à la condition aa′=−A²/B², le point N d’intersection circulerait sur la même ellipse, en dedans des perpendiculaires Zz, Z′z′ menées à LL′ par ses extrémités ; mais qu’aussitôt qu’on supposerait aa′=A²/B², le point N′ sortirait de ces limites, pour décrire l’hyperbole conjuguée de la première.

Menons maintenant, dans l’ellipse, les diamètres Gg et Hh, respectivement parallèles aux génératrices MI′ et MI, et les coupant en R et S ; à cause des parallèles, puisque O est le milieu de II′, les points R et S seront les milieux respectifs de MI et MI′ ; les deux diamètres Gg et Hh, seront donc conjugués l’un de l’autre.

Les mêmes considérations s’appliquent à l’hyperbole ; et de là cette propriété commune aux deux courbes que deux cordes supplémentaires, soit de l’ellipse soit de l’hyperbole, indiquent, par leurs directions, un système de diamètres conjugués.

La tangente de l’angle M est, en général,

a′−a/(1+aa′),

si l’on y met pour aa′ la valeur −B²/A² qui répond à l’ellipse, on aura

Tang.M=A²(a′−a)/A²−B², (P)

le minimum et le maximum de cette valeur correspondent respectivement au maximum et au minimum de l’angle des deux droites génératrices, lorsque cet angle est obtus, c’est-à-dire, lorsque l’ellipse est construite sur son grand axe. Or, si a et a′ étaient numériquement égaux, à cause des signes contraires de ces deux nombres, cette valeur deviendrait,

Tang.M=2aA²/A²−B²,

ou, à cause de a=B/A,

Tang.M=2AB/A²−B² ;(P′)

quantité plus petite que la valeur (P), tant que a et a′ ne seront pas égaux.

Ainsi, dans l’ellipse, le maximum de l'angle formé par les diamètres conjugués est l’angle formé par les diamètres conjugués égaux.

Si l’on avait B>A, la valeur (P′) ne ferait simplement que changer de signe ; ainsi l’angle formé par les cordes supplémentaires établies aux extrémités du petit axe de l’ellipse est supplément de l’angle des cordes supplémentaires établies aux extrémités de son grand axe.

Soient menées les ordonnées GP, HQ des points G, H. Faisons d’abord

OP=x, GP=y;

l’équation du diamètre OG sera

y=a′x,

y²=a′²x².

Mettant cette valeur dans l’équation (E), il viendra

x²=aA²/a−a′,

y²=a′³aA²/a−a′,

donc

OG¯²=x²+y²=(aA²+a′²aA²)/a−a′.

Par un semblable calcul on trouvera

OH¯²=−a′A²−a²a′A²/a−a′,

et de là

OG¯²+OH¯²=(1−aa′)A²;

désignant donc par A′, B′ les demi-diamètres conjugués OG, OH, et se rappelant que −aa′A²=B², il viendra

A′²+B′²=A²+B²;

c’est-à-dire, que la somme des quarrés des demi-diamètres conjugués de l’ellipse est une quantité constante.

Comme le calcul est absolument le même pour l’hyperbole, sauf le signe du produit aa′, on trouvera, en tenant compte de cette différence, que la différence des quarrés des demi-diamètres conjugués de l’hyperbole est une quantité constante.

Le calcul précédent donne

A′=A√(((1+a′²)a)/a−a′), B′=A√(−((1+a²)a′)/a−a′);

or, en désignant par ϕ l’angle des deux génératrices, lequel est aussi celui des demi-diamètres A′, B′, on a

Sin.ϕ=a−a′/(√((1+a²)(1+a′²))) ;

de là

A′B′Sin.ϕ=A²√(−aa′)=AB.

Le calcul étant exactement le même pour l’hyperbole, il en faut conclure que, dans l’ellipse et dans l’hyperbole, les parallélogrammes construits sur les grandeurs et directions des diamètres conjugués sont tous équivalents.

En prenant le produit aa′ négativement pour l’ellipse et positivement pour l’hyperbole, on trouvera que l’expression de l’excentricité est

A√(1−aa′);

A√(1+aa′).

Et si l’on détermine, d’après ces expressions, celles des rayons vecteurs pour les deux courbes, on trouvera toutes leurs propriétés qui y sont relatives, et l’on verra également que la différence des propriétés de l’une et de l’autre tient à la différence de signes du produit aa′, c’est-à-dire, à la différence de direction de l’une des droites génératrices. Il en est de même pour ce qui regarde les tangentes aux deux courbes.

Si l’on emploie l’équation (E) telle qu’elle est, sans changer le signe de aa′, auquel cas elle exprimera une hyperbole, on pourra la mettre sous cette forme

y=±x√(aa′(1−A²/x² )),

qui annonce le caractère asymptotique de cette courbe ; puisque son équation tend, de plus en plus, à se changer en celle-ci

y=±x√(aa′),

qui serait enfin

y=±ax,

si les droites génératrices devenaient parallèles. Pour s’assurer de ces résultats, il faut observer que l’abscisse du point de concours ayant pour expression

x=(a+a′)/a−a′ A,

devient x=2aA/0,, si l’on a a′=a, d’où aa′=a² ; ce qui fait évanouir la fraction aa′A²/x².

Si l’origine des abscisses était au point I′, les équations respectives des droites génératrices I′M et IM seraient

y=a′x, y=a(x−2A);

supposant aa′ négatif, et faisant

aa′=−B²/A²,

−2aa′A=2B²/A,

l’équation de l’ellipse serait

y²=2B²/A x+aa′x².

La quantité 2B²/A étant l’expression du paramètre de l’ellipse, en la désignant par P, il viendra

y=Px+aa′x².

La construction sera la même, quel que soit l'éloignement du point I ; or, si l’on suppose que IM devienne parallèle à l’axe des x, on aura a=0, et l’équation deviendra simplement

y²=Px,

équation de la parabole. Or, comme on a

B=A√(−aa′),

A=B/√(−aa′),

la supposition de a=0 donnera A=∞ ; ce qui exprime, en effet, comme l’on sait, le passage de l’ellipse à la parabole.

Quant à cette dernière courbe, nous pourrions nous en tenir à cette considération, qui fait dériver son équation d’une origine commune à celle des autres courbes. On pourrait aussi employer directement une construction analogue aux précédentes, en cherchant la courbe décrite par l’intersection de deux droites mobiles dont l’une est constamment parallèle à l’axe des x, pendant que l’autre passe constamment par un point de cet axe. Mais nous nous réservons de revenir sur ce qui concerne la parabole en particulier, par un autre méthode de laquelle nous déduirons, d’une manière plus lumineuse, les principales propriétés de cette courbe.

* ↑ Voyez la page 225 de ce volume. (Note des éditeurs.)
* ↑ Car, en général, de pq=m², résulte nécessairement 2m<p+q. On a, en en effet, 0<(p−q)², ou 4pq<(p−q)²+4pq, ou 4pq<(p+q)², ou 4m²<(p+q)², ce qui donne 2m<p+q. Si l’on égale à zéro la différentielle de l’expression (P) il viendra da′=da ; mais, d’un autre côté, à cause de aa′ constant, on a ada′+a′da=0 ; ce qui donne, en ayant égard à la différence des signes de a et a′, a′=a comme ci-dessus.
