Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Correspondance, lettre 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Correspondance, lettre 2

## CORRESPONDANCE.

Il n’était pas, ce me semble, nécessaire d’établir, à priori, les deux propositions mentionnées par M. Bret, pour démontrer le principe qui sert de fondement à la théorie des équations, puisqu’il s’agissait seulement de prouver, comme je l’ai fait complètement, qu’il existe au moins une quantité α (et non plusieurs quantités α, α′, α″, … qui, substituée à la place de x, dans le polynôme Axⁿ+Bxⁿ⁻¹+…+Q, le fait évanouir.

Mais, indépendamment du principe que j’ai démontré à la page 338 du second volume des Annales, rien n’empêche que, conformément au désir qu’en témoigne M. Bret, je ne démontre que, dans les équations

α=ϕ(A, B, …β), α′=ϕ′(A, B, …β′), α″=ϕ″(A, B, …β″), ………}(a)

les fonctions indiquées par ϕ, ϕ′ϕ″, … sont les mêmes ; ce qui, ce me semble, peut se faire, assez simplement, de la manière suivante.

En mettant successivement α et β, α′ et β″, α″ et β″, …, à la place de x et y, dans l’équation y=Axⁿ+Bxⁿ⁻¹+…,

il vient

β=Aαⁿ+Bαⁿ⁻¹+…, β′=Aα′ⁿ+Bα′ⁿ⁻¹+…, β″=Aα″ⁿ+Bα″ⁿ⁻¹+…, ………}(b)

Or, puisqu’il faut faire les mêmes opérations sur α, α′, α″, … pour obtenir les valeurs respectives de β, β′, β″, … et que les coefficiens A, B, … sont combinés d’une même manière dans toutes ces équations avec α, α′, α″, … il est clair que, si l’on met la première des équations (b) sous la forme

β=F(A, B, …α),

on pourra mettre les suivantes sous les formes respectives

β′=F(A, B, …α′),

β″=F(A, B, …α″),

et, à cause des équations (a), on pourra ensuite écrire

β=F[A, B, …ϕ(A, B, …β)], β′=F[A, B, …ϕ′(A, B, …β′)], β″=F[A, B, …ϕ″(A, B, …β″)], ………}(c)

mais, si l’on fait β=β′=β″=…, ce qui ne saurait altérer l’égalité entre les membres des équations (c), les premiers membres de ces équations devenant identiques, les seconds le deviendront aussi ; on aura donc

F[A, B, …ϕ(A, B, …β)]=F[A, B, …ϕ′(A, B, …β)]

=F[A, B, …ϕ″(A, B, …β)]=…;

or, puisque les fonctions indiquées par ϕ, ϕ′, … ne changent pas, par les substitutions respectives de β à la place de β′, β″, … et que, de plus, tous les membres de la suite d’égalités précédente sont des mêmes fonctions, indiquées par le caractère commun F, il s’ensuit évidemment que ces égalités ne peuvent avoir lieu qu’autant qu’on a simultanément

ϕ(A, B, …β)=ϕ′(A, B, …β)=ϕ″(A, B, …β)=…;

car, s’il en était autrement, il s’ensuivrait que les mêmes combinaisons de quantités différentes ϕ(A, B, …β)=ϕ′(A, B, …β) =ϕ″(A, B, …β) =… avec les mêmes quantités A, B, … seraient égales, ce qui est absurde : donc les fonctions ϕ, ϕ′, ϕ″, … sont les mêmes.

Quant au second principe que M. Bret trouve que mon raisonnement n’est pas établi, il est encore plus étranger à la démonstration en question que le précédent, et je dois d’autant moins m’arrêter à le démontrer, qu’il l’est déjà, de la manière la plus simple et la plus claire, dans tous les ouvrages élémentaires de mathématiques qui traitent des problèmes indéterminés et de l’interpolation.

Agréez, etc.

* ↑ En effet, l’équation β′=F[A, B, …ϕ′(A, B, …β′)]…(d) ou β′=F[A, B, …α′), prise pour exemple n’étant qu’une autre manière d’écrire l’équation β′=Aα′ⁿ+Bα′ⁿ⁻¹+…(e); il est clair que la substitution du symbole β, à la place du symbole β′, dans l’équation (d), équivaut à la substitution de α et β, à la place ds α′ et β′ dans l’équation (e) ; substitution permise d’après l’hypothèse.
