Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Géométrie analitique, article 9
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Géométrie analitique, article 9

Au Rédacteur des Annales,

La démonstration analitique d’une propriété très-remarquable des lignes et surfaces du second ordre que vous avez donnée à la page 293 du présent volume de vos intéressantes Annales, est en effet d’une extrême simplicité ; et je conviens que celle que j’ai développée à la page 138 de la deuxième édition de mon Recueil de propositions de géométrie, et qui n’est relative qu’aux lignes du second ordre, est, comme vous le dites, compliquée et incomplète ; mais la seconde démonstration, indiquée aux pages 141 et 143, me paraît être très-courte et très-générale. C’est ce que je me propose de faire voir par ce qui suit.

L’équation d’une surface du second ordre, rapportée à des obliques, étant

Ax²+By²+Cz²+2Dx=0,

celle du plan tangent, rapporté aux mêmes axes, et assujetti, passer par un point ayant pour coordonnées a, b, c, est

(Aa+D)x+Bby+Ccz+Da=0.

Cette équation (2) est aussi essentiellement celle du plan de la courbe de contact de la surface (1) et de la surface conique enveloppante, dont les coordonnées du sommet ou centre sont a, b, c, (page 415 du recueil cité) ; or, l’abscisse du point où ce plan coupe l’axe des x est

x=−Da/(Aa+D),

et ne dépend que de la coordonnée a ; sa valeur sera donc toujours la même, quand on ne fera varier que les deux autres coordonnées b, c ; ce qui suffit pour établir la proposition dont il s’agit.

Agréez, etc.

