Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie analitique, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie analitique, article 1

## GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

L’équation générale des surfaces du second ordre est

Ax²+A′y²+A″z²+2Byz+2B′zx+2B″xy

+2Cx+2C′y+2C″z+D=0.

Si on ne considère que les surfaces qui ont un centre, on pourra, en transportant l’origine des coordonnées à ce centre, faire disparaître de cette équation les premières puissances des variables x, y, z, et on obtiendra l’équation plus simple

Ax²+A′y²+A″z²+2Byz+2B′zx+2B″xy=H.

Substituons à x, y, z, les valeurs qui servent à passer du système de coordonnées rectangulaires x, y, z, à un autre système de coordonnées aussi rectangulaires x′, y′, z′ ; et pour cela rappelons les formules connues

x=x′Cos.α+y′Cos.α′+z′Cos.α″, y=x′Cos.β+y′Cos.β′+z′Cos.β″, z=x′Cos.γ+y′Cos.γ′+z′Cos.γ″ ;

ensuite les équations de condition

Cos.²α+Cos.²β +Cos.²γ =1, Cos.²α′+Cos.²β′+Cos.²γ′=1, Cos.²α″+Cos.²β″+Cos.²γ″=1 ;Cos.α ⋅Cos.α′ +Cos.β ⋅Cos.β′+Cos.γ ⋅Cos.γ′ =0, Cos.α′⋅Cos.α″+Cos.β′⋅Cos.β″+Cos.γ′⋅Cos.γ″=0, Cos.α″⋅Cos.α +Cos.β″⋅Cos.β +Cos.γ″⋅Cos.γ =0 ;}(A)

lesquelles peuvent, comme l’on sait, être remplacées par les suivantes

Cos.²α+Cos.²α′+Cos.²α″=1, Cos.²β+Cos.²β′+Cos.²β″=1, Cos.²γ+Cos.²γ′+Cos.²γ″=1 ;Cos.α⋅Cos.β+Cos.α′⋅Cos.β′+Cos.α″⋅Cos.β″=0, Cos.β⋅Cos.γ+Cos.β′⋅Cos.γ′+Cos.β″⋅Cos.γ″=0, Cos.γ⋅Cos.α+Cos.γ′⋅Cos.α′+Cos.γ″⋅Cos.α″=0.}(B)

Nous aurons, en faisant disparaître de la nouvelle équation les rectangles x′y′, y′z′, z′x′, ce qui est toujours possible, l’équation

Px′²+P′y′²+P″z′²=H.

Nous allons maintenant chercher l’équation du troisième degré qui a pour racines P, P′, P″.

On trouve cette équation, de la manière la plus simple, en passant de l’équation

Px′²+P′y′²+P″z′²=H

à celle-ci

Ax²+A′y²+A″z²+2Byz+2B′zx+2B″xy=H.

Pour cela posons les valeurs de x′, y′, z′ en x, y, z, ces valeurs sont

x′=xCos.α+yCos.β+zCos.γ, y′=xCos.α′+yCos.β′+zCos.γ′, z′=xCos.α″+yCos.β″+zCos.γ″.

Substituant ces valeurs dans l’équation (I), et comparant celle qui en résulte à l’équation (II), on trouve

PCos.²α+P′Cos.²α′+P″Cos.²α″=A, PCos.²β+P′Cos.²β′+P″Cos.²β″=A′, PCos.²γ+P′Cos.²γ′+P″Cos.²γ″=A′ ;}(C)

PCos.β⋅Cos.γ+P′Cos.β′⋅Cos.γ′+P″Cos.β″⋅Cos.γ″=B, PCos.γ⋅Cos.α+P′Cos.γ′⋅Cos.α′+P″Cos.γ″⋅Cos.α″=B′, PCos.α⋅Cos.β+P′Cos.α′⋅Cos.β′+P″Cos.α″⋅Cos.β″=B″.}(D)

Il est visible que l’on parviendra à l’équation dont les racines sont P, P′, P″, en déterminant, au moyen des équations de condition, les valeurs de P+P′+P″, PP′+P′P″+P″P, PP′P″.

D’abord, si l’on ajoute les équations (C) on a, en vertu des équations (A),

P+P′+P″=A+A′+A″.

Pour simplifier les calculs suivans, je ferai usage des notations que voici

AA′+A′A″+A″A=∫AA′,

P²Cos.²β⋅Cos.²γ+P′²Cos.²β′⋅Cos.²γ′+P″²Cos.²β″⋅Cos.²γ″

=∫P²Cos.²β⋅Cos.²γ,

Cela posé, dans les équations (C), effectuons le produit AA′, nous obtiendrons

AA′=∫P²Cos.²α⋅Cos.²β

+∫PP′(Cos.²α⋅Cos.²β′+Cos.²α′⋅Cos.²β) ;

or, les équations (D) donnent

B″²=∫P²Cos.²α⋅Cos.²β+2∫PP′Cos.αCos.α′Cos.βCos.β′ ;

retranchant donc ce dernier résultat du précédent, on aura

AA′−B″²=∫PP′(Cos.αCos.β′−Cos.α′⋅Cos.β)² ;

on aura pareillement

A′A″−B²=∫PP′(Cos.βCos.γ′−Cos.β′⋅Cos.γ)² ;

A″A−B′²=∫PP′(Cos.γCos.α′−Cos.γ′⋅Cos.α)² ;

donc

∫AA′−∫B²=∫PP′{(Cos.α⋅Cos.β′−Cos.α′⋅Cos.β)², +(Cos.β⋅Cos.γ′−Cos.β′⋅Cos.γ)², +(Cos.γ⋅Cos.α′−Cos.γ′⋅Cos.α)².

Mais, si du produit des deux premières équations (A) on retranche le quarré de la quatrième, on aura

(Cos.α⋅Cos.β′−Cos.α′⋅Cos.β)²+(Cos.β⋅Cos.γ′−Cos.β′⋅Cos.γ)²

+(Cos.γ⋅Cos.α′−Cos.γ′⋅Cos.α)²=1;

on a donc simplement

∫AA′−∫B²=∫PP′, ou ∫PP′∫AA′−∫B².

Il nous reste encore à trouver PP′P″ ; pour y parvenir formons le produit AA′A″, dans les équations (C), nous aurons

AA′A″={∫P³Cos.²α⋅Cos.²β⋅Cos.²γ, +∫P²P′(Cos.α⋅Cos.²β⋅Cos.γ′+Cos².β⋅Cos.²γ⋅Cos.²α′+Cos.²γ⋅Cos.²α⋅Cos.β′)+KPP′P″ ;

K représentant la fonction de cosinus qui multiplie PP′P″.

Effectuons aussi le produit des équations (D), il viendra

BB′B″={∫P³Cos.²α⋅Cos.β⋅Cos.γ, +∫P²P′(Cos.²α⋅Cos.β⋅Cos.γ⋅Cos.β′⋅Cos.γ′+Cos.²β⋅Cos.γ⋅Cos.α⋅Cos.γ′⋅Cos.α′+……Cos.²γ⋅Cos.α⋅Cos.β⋅Cos.α′⋅Cos.β′)+K′PP′P″.

K′ étant le coefficient de PP′P″.

Les équations (C) et (D) donnent encore

AB²={∫P³Cos.²α⋅Cos.²β⋅Cos.²γ, +∫P²P′(Cos.²β⋅Cos.²γ⋅Cos.²α′+2Cos.²α⋅Cos.β⋅Cos.γ⋅Cos.β′⋅Cos.γ′)+K″PP′P″ ;

A′B′²={∫P³Cos.²α.Cos.²β.Cos.²γ, +∫P²P′(Cos.²γ.Cos.²α.Cos.²β′+2Cos.²β.Cos.γ.Cos.α.Cos.γ′.Cos.α′)+K‴PP′P″ ;

A″B″²={∫P³Cos.²α.Cos.²β.Cos.²γ, +∫P²P′(Cos.²α.Cos.²β.Cos.²γ′+2Cos.²γ.Cos.α.Cos.β.Cos.α′.Cos.β′)+K⁗PP′P″.

Avec un peu d’attention, on conclura facilement de ces trois dernières équations et des deux précédentes.

AA′A″+2BB′B″−AB²−A′B′²−A″B″²=F.PP′P″.

(E)

Pour obtenir la valeur de F, j’observe qu’étant simplement une fonction de cosinus, sa valeur est indépendante de celles que l’on peut attribuer aux coefficiens A, A′, A″, B, B′, B″ ; ainsi posons

A=1, A′=1, A″=1, B=0, B′=0, B″=0,

Les équations (C), (D), deviennent les équations (B), lorsque P=1, P′=1, P″=1 ; donc l’équation (E) sera vraie, dans la même hypothèse, et comme elle se réduit à F=1, on en conclut que

PP′P″=AA′A″+2BB′B″−AB²−A′B′²−A″B″² ;

partant l’équation du troisième degré qui a pour racines P, P′, P″, sera

t³−(A+A′+A″)t²+(A′A″+A″A+AA′−B²−B′²−B″²)t

+AB²+A′B′²+A″B″²−2BB′B″−AA′A″=0.

* ↑ Voyez l’Application de l’algèbre à la géométrie de MM. Monge et Hachette ; voyez aussi la Géométrie analitique de M. Biot.(Note des éditeurs.)
