Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/Géométrie analitique, article 1
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/Géométrie analitique, article 1

Énoncé. Déterminer l’équation la plus générale des courbes planes qui jouissent de cette propriété, savoir : que toutes celles de leurs cordes dont la direction passe par un certain point de leur plan sont d’une longueur donnée et constante ?

Construction. Soit, le point donné, et 2r la longueur constante de toutes les cordes dont la direction passe par ce point. Soit tracé à volonté une courbe continue ou discontinue que nous désignerons par A ; soit mené par le point, une suite de droites D coupant A en une suite de points C ; enfin, de chacun de ces points C comme centre, et avec le rayon constant r, soit décrit une suite de cercles ; chacun de ces cercles coupera celle des droites D sur laquelle son centre C se trouvera situé, en deux points M et N ; alors tous les points M et tous les points N se trouveront sur deux branches d’une courbe unique qui satisfera, dans toute son étendue, aux conditions du problème ; et cette courbe sera continue ou discontinue, suivant la nature de la courbe arbitraire A.

Analise. Soit rapporté la courbe arbitraire A à deux axes rectangulaires passant par P, et supposons qu’alors son équation soit :

y=f(x)

l’équation générale des droites D sera :

y=αx

α étant une indéterminée.

On obtiendra ensuite les équations de tous les points C, en combinant entre elles les deux équations

y=f(x), y=αx

d’où on conclura d’abord : f(x)=αx. Si l’on suppose que cette équation, résolue par rapport à x, donne x=φ(α), les points C auront pour leurs équations : x=φ(α) ; y=αφ(α).

Les cercles qui auront ces points pour centres et r pour rayon auront donc pour équation générale :

[x−φ(α)]²+[y−αφ(α)]²=r²

en sorte que la combinaison de cette équation avec l’équation y=αx de D fera connaître les points M et N qui répondent à chaque valeur particulière de l’indéterminée α.

Éliminant donc cette indéterminée entre ces deux équations, l’équation résultante en x et y sera celle du lieu géométrique de tous les points M et N ; elle sera donc l’équation de la courbe cherchée. L’équation la plus générale des courbes qui satisfont aux conditions du problème proposé est donc :

{x−φ(y/x)}²+{y−y/x φ(y/x)}²=r²

φ

Remarque. Nous avons supposé qu’on s’était donné la fonction f, et nous avons vu que, dans ce cas, la fonction φ n’était autre chose que la fonction de α qu’on obtenait pour valeur de x, en résolvant l’équation :

f(x)=ax

Si, au contraire, c’était la fonction φ qui fût donnée, et qu’on voulût en déduire la fonction f, cette dernière fonction ne serait autre chose que la fonction de x qu’on obtiendrait, en éliminant α entre les deux équations :

x=φ(α) ; y=αφ(α)

et en résolvant ensuite l’équation résultante par rapport à y.

Nous ne nous arrêterons pas aux applications qu’on peut faire des résultats auxquels nous sommes parvenus, attendu que ces applications ne peuvent présenter de difficultés.

