Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Analise indéterminée, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Analise indéterminée, article 2

## QUESTIONS RÉSOLUES.

Énoncé. On demande quatre nombres pairs, en progression arithmétique, tels qu’en multipliant la somme des trois derniers par la somme des deux du milieu, on obtienne un produit égal au cube d’un moyen arithmétique entre les deux premiers de ces quatre nombres ?

La difficulté de ce problème paraît consister principalement en ce que, s’élevant naturellement au troisième degré, il faut le rabaisser au second. C’est, en effet, ce qu’ont fait M. Du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales au lycée impérial, M. S…, et M. Le Grand, élève de l’école normale ; MM. Cardinali, professeur à Trévise, et Lanjuinais, professeur à Rodez, l’ont traité par des méthodes indirectes : mais MM. Du Bourguet et Le Grand sont les seuls qui se soient proposés d’en assigner toutes les solutions ; ils ont trouvé, le premier, quelles étaient au nombre de trois, et le second, qu’elles étalent au nombre de quatre ; mais on peut dire qu’elles sont réellement au nombre de cinq, comme nous allons le faire voir, en suivant à peu près l’analise de M. Du Bourguet.

Solution. Soient 2x le premier terme, et 2y la raison de la progression ; ses quatre termes seront

÷2x.2x+2y.2x+4y.2x+6y;

et l’on devra avoir, par l’énoncé du problème,

(6x+12y)(4x+6y)=(2x+y)³.

Posant 2x+y=z, d’où 2x=z−y, cette équation deviendra

(2z+4y)(3z+9y)=z³,

ou, en posant 6y=t et développant

t²+5zt+(6−z)z²=0,

d’où

t=z.(−5±√(4z+1))/2.

Soit fait ±√(4z+1)=u, d’où

4z+1=u²

z=u²−1/4

t=(u²−1)(u−5)/8,

et

y=(u²−1)(u−5)/48, x=(u²−1)(17−u)/96.

Par l’inspection de ces valeurs, on voit évidemment que u ne peut être qu’un nombre impair ; posant donc u=2v+1, il viendra enfin

x=(v(v+1)(8−v))/12, y=(v(v+1)(v−2))/6.

La nécessité d’avoir x positif renferme les valeurs de v entre −1

et +8 ; mais, attendu que les valeurs +1, +4, +5, +7 de v rendent x fractionnaire, on ne peut admettre que les six systèmes que voici :

{v=−1, x=0, y=0;{v=0, x=0, y=0;{v=2, x=3, y=0;{v=3, x=5, y=2;{v=6, x=7, y=28;{v=8, x=0, y=72;

et, puisque les valeurs −1 et 0 de v donnent les mêmes valeurs pour x et y, le problème n’a réellement que les cinq solutions suivantes :

÷0.0.0.0, ÷6.6.6.6, ÷10.14.18.22, ÷14.70.126.182, ÷0.144.288.482.

