Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Analise élémentaire, article 9
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Analise élémentaire, article 9

## ANALISE.

Dans l’examen que j’ai fait, à la page 51 de ce volume, de la méthode proposée par M. Wronski, pour la résolution générale des équations, j’ai insinué que cette méthode, ou plutôt la méthode plus simple que je lui ai substituée, cessait d’être applicable, dès le quatrième degré.

Cela est vrai, en effet, si l’on ne veut, pour faire disparaîtra les diverses fonctions de ρ, qu’employer seulement les équations

ρ⁴−1=0, 1+ρ+ρ²+ρ³=0,

comme on serait contraint de le faire, si 4 était un nombre premier ; mais, comme l’équation ρ⁴−1=0 équivaut à (ρ²−1)(ρ²+1)=0, et comme, d’après ce que j’ai prescrit sur le choix de ρ, on ne saurait avoir ρ²−1=0, on doit avoir ρ²+1=0 ; or, en ayant égard à cette relation, concurremment avec les premières, on parvient à faire évanouir toutes les fonctions de ρ, comme dans le troisième degré. Mais puisque, dès le quatrième degré, le procédé ne réussit que par cette circonstance particulière que ρ⁴−1 est décomposable en deux facteurs rationnels ou, ce qui revient au même, que 4 est égal à 2.2, c’est un motif de plus pour douter du succès de l’application de cette méthode, dans les degrés supérieurs. Je vais indiquer brièvement la marche du calcul pour le quatrième degré, en réduisant tous les exposans de ρ à l’unité ; en vertu de l’équation ρ²=−1.

Soit la proposée

x⁴+px²+qx+r=0.

En posant

x₁=1/4 {+ρ⁴√(ξ₁)−⁴√(ξ₂)−ρ⁴√(ξ₃)}, x₂=1/4 {−⁴√(ξ₁)+⁴√(ξ₂)−⁴√(ξ₃)}, x₃=1/4 {−ρ⁴√(ξ₁)−⁴√(ξ₂)+ρ⁴√(ξ₃)}, x₄=1/4 {+⁴√(ξ₁)+⁴√(ξ₂)+⁴√(ξ₃)},

on aura

ξ₁=(−ρx₁−x₂+ρx₃+x₄)⁴, ξ₂=(−x₁+x₂−x₃+x₄)⁴, ξ₃=(+ρx₁−x₂−ρx₃+x₄)⁴;

d’où on conclura, par la théorie des fonctions symétriques

ξ₁+ξ₂+ξ₃=32(p²+4r), ξ₁ξ₂+ξ₁ξ₃+ξ₂ξ₃=256{(p²−4r)²+4pq²}, ξ₁ξ₂ξ₃=4096q⁴;

ξ₁, ξ₂, ξ₃ seront donc les trois racines de la réduite

ξ³−32(p²+4r)ξ²+256{(p²−4r)²+4pq²}ξ−4096q⁴=0.

Ces trois racines ne sont au surplus que les quarrés de celles de la réduite ordinaire

z³+8pz²+16(p²−4r)z−64q²=0,

comme il est facile de s’en convaincre, et comme cela doit être en effet.

