Démonstration du principe général de l’invariabilité des fonctions
# Démonstration du principe général de l’invariabilité des fonctions

## ANALISE.

1. Soit y une certaine fonction φ, de forme en général inconnue, d’une variable x, considérée comme variable indépendante ; φ(x) étant supposée pouvoir varier, soit par les états de la variable x, soit par la forme même de la fonction désignée par φ.

Si, pour un certain état particulier xₐ de la variable principale, l’état correspondant yₐ de la variable dépendante est exprimé par F₁(xₐ), où F₁ désigne une fonction déterminée de l’état xₐ ; Pour tout autre état xₕ de la variable principale, l’état correspondant yₕ de la variable dépendante sera exprimé par F₁(xₕ) ; c’est-à-dire, qu’on pourra être sûr, avant même de connaître la forme de F₁, que la relation entre y et x est invariable.

On regarde communément cette proposition, prise dans le sens général de son énoncé, comme un axiome, et néanmoins on croit ne pas pouvoir se dispenser de démontrer diverses propositions particulières qui y sont renfermées. Il paraît cependant qu’il n’est aucun cas où une démonstration soit moins indispensable que dans le cas de l’incommensurabilité, que dans la généralisation des formules, soit de la trigonométrie, soit de la transformation des coordonnées, soit des puissances des polynômes, etc.

La seule condition de rigueur, entre les variables x et y, est qu’elles soient, l’une et l’autre, assujéties à la loi de continuité ; en sorte que l’on puisse concevoir deux états de x si voisins qu’on voudra, et assez voisins pour qu’il leur corresponde deux états de y dont la différence tombe au-dessous d’une limite donnée, quelque petite qu’on la suppose.

Notre proposition sera démontrée (comme on le verra bientôt) si, xₐ₊₁, yₐ₊₁ étant deux états correspondans, aussi voisins qu’on voudra de xₐ, yₐ, respectivement, on reconnaît que la relation

yₐ₊₁=F₂(xₐ₊₁)

est une absurdité ; F₂ désignant une fonction déterminée, connue ou inconnue, autre que celle qui est désignée par F₁.

Pour établir cette proposition, formons le tableau des séries d’états variables de x, y, F₁(x), F₂(x), …

xx₁x₂…xₐxₐ₊₁…xₕ(I)yy₁y₂…yₐyₐ₊₁…yₕ(II)F₁(x)F₁(x₁)F₁(x₂)…F₁(xₐ)F₁(xₐ₊₁)…F₁(xₕ)(III)F₂(x)F₂(x₁)F₂(x₂)…F₂(xₐ)F₂(xₐ₊₁)…F₂(xₕ)(IV)………………………

Cela posé, soient

xₐ₊₁−xₐ=i, (2)yₐ₊₁−yₐ=i′, (3)F₁(xₐ₊₁)−F₁(xₐ)=i″, (4)F₂(xₐ₊₁)−F₂(xₐ)=i‴, (4)

i, i′, i″, i‴, … désignant des quantités qui, sans être nulles, tombent au-dessous d’une limite donnée, si petite qu’on voudra la supposer.

Si (1) est possible, on a, à cause de (3), et de yₐ=F₁(xₐ)

F₂(xₐ₊₁)−F₁(xₐ)=i′ ;(6)

donc (5), (6) donneront

F₁(xₐ)−F₂(xₐ)=i‴−i′=i⁗ ;(7)

Or, ce résultat est impossible ; car F₁(xₐ) est une quantité déterminée, résultant de certaines opérations sur la quantité xₐ et sur les constantes implicites b, c, … ; F₂(xₐ) est aussi une quantité déterminée, qui résulte d’un autre système d’opérations sur les quantités xₐ, b, c, …, qui sont exactement les mêmes que dans F₁(xₐ) ; donc F₁(xₐ)−F₂(xₐ) est aussi une quantité déterminée et ne peut conséquemment tomber au-dessous d’une limite si petite qu’on voudra ; la relation (7) est donc impossible et conséquemment la relation (1) l’est aussi, si l’on suppose F₂ différent de F₁, donc enfin F₂ est identique avec F₁.

Il suit de là que yₐ étant compris dans la série F₁(x) l’état yₐ₊₁, qui avait été supposé =F₂(xₐ₊₁) est aussi compris dans la même série puisque F₂ étant la même chose que F₁ ; aussi F₂(xₐ₊₁) est la même choses que F₁(xₐ₊₁) : or, cette proposition étant générale, il s’ensuit que pareillement yₐ₊₂ est compris dans la même série F₁(x) et que généralement, si y_{a+g} est compris, il en sera de même de y_{a+g+1} ; donc yₐ₊₃, yₐ₊₄, yₐ₊₅, …yₕ, sont compris dans la même série ; donc enfin yₕ=F₁(xₕ), comme nous l’avions annoncé.

II. La même proposition est vraie à l’égard d’une fonction inconnue y de deux variables principales x′, x″ ; c’est-à-dire, que si, pour les états simultanés x_{a′}′, x_{a″}″, des deux dernières, répondant à l’état y_{a′a″}, de la première, on a y_{a′a″}=F₁(x_{a′}′, x_{a″}″)… (1), où F₁, désigne une fonction déterminée, connue ou inconnue ; pour tout autre système x_{h′}′, x_{h″}″, d’états simultanés des deux variables principales, répondant à l’état y_{h′h″} de la variable subordonnée, on doit avoir également y_{h′h″}=F₁(x_{h′}′, x_{h″}″)… (2).

On peut, pour démontrer cette proposition, ou répéter exactement le raisonnement qui a servi à démontrer la première, ou employer un nouveau raisonnement, non moins simple, et fondé sur cette première : nous préférerons ce dernier mode de démonstration.

Pour parvenir de y_{a′a″}, à y_{h′h″}, considérons l’état intermédiaire y_{h′a″}. Cet état se trouve dans la série des états de φ(x′, x_{a″}″), pour lesquels x_{a″}″ est constante ; ainsi φ(x′, x_{a″}″) est une fonction d’une seule va- riable x′, et un de ses états particuliers est, par hypothèse y_{a′a″}=F₁(x_{a′}′, x_{a″}″) ; donc toute la série φ(x′, x_{a″}″) est de la forme F₁(x_{a′}′, x_{a″}″) ; donc, en particulier, pour x_{h′}′, x_{a″}″ on a : y_{h′a″}=F₁(x_{h′}′, x_{a″}″)......(3).

Maintenant, la valeur y_{h′h″} est comprise dans la série des états de φ(x_{h′}′, x″) pour lesquels x_{h′}′, est constant, x″ seule variable, et dont un état particulier est, (3), y_{h′h″}=F₁(x_{h′}′, x_{h″}″) ; donc (1) toute la série φ(x_{h′}′, x″) est de la même forme que F₁(x_{h′}′, x_{a″}″) ; donc, en particulier y_{h′h″}=F₁(x_{h′}′, x_{h″}″), comme nous l’avions annoncé.

III. La proposition étant supposé vérifiée jusqu’à y=φ[x′, x″, ⋯, x⁽ᵏ⁾], elle sera vraie aussi pour y=φ[x′, x″, ⋯, x⁽ᵏ⁾, x⁽ᵏ⁺¹⁾]. En effet, supposons y_{a′a″⋯a(k)a(k+1)}=F₁[x_{a′}′, x_{a″}″, ⋯, xₐ₍ₖ₎⁽ᵏ⁾, xₐ₍ₖ₊₁₎⁽ᵏ⁺¹⁾] … (1), nous allons voir que y_{h′h″⋯h(k)h(k+1)}=F₁[x_{h′}′, x_{h″}″, ⋯, xₕ₍ₖ₎⁽ᵏ⁾, xₕ₍ₖ₊₁₎⁽ᵏ⁺¹⁾]......(2).

Pour nous en convaincre, considérons d’abord l’état intermédiaire y_{h′h″⋯h(k)a(k+1)}, compris dans la série φ[x′, x″, ⋯, x⁽ᵏ⁾, xₐ₍ₖ₊₁₎⁽ᵏ⁺¹⁾] fonction de k variables (la dernière quantité xₐ₍ₖ₊₁₎⁽ᵏ⁺¹⁾ étant constante), et dont un état particulier est celui supposé (1). D’après l’hypothèse établie pour une fonction de k variables, on doit avoir φ[x′, x″, ⋯, x⁽ᵏ⁾, xₐ₍ₖ₊₁₎⁽ᵏ⁺¹⁾]= F₁[x′, x″, ⋯, x⁽ᵏ⁾, xₐ₍ₖ₊₁₎⁽ᵏ⁺¹⁾]…(3), et par conséquent y_{h′h″⋯h(k)a(k+1)}= F₁[x_{h′}′, x_{h″}″, ⋯, xₕ₍ₖ₎⁽ᵏ⁾, xₐ₍ₖ₊₁₎⁽ᵏ⁺¹⁾]…(4).

Maintenant la valeur énoncée y_{h′h″⋯h(k)h(k+1)} est un état particulier de φ[x_{h′}′, x_{h″}″, ⋯, xₕ₍ₖ₎⁽ᵏ⁾, x⁽ᵏ⁺¹⁾], fonction de la seule variable x⁽ᵏ⁺¹⁾ et dont un autre état particulier est F₁[x_{h′}′, x_{h″}″, ⋯, xₕ₍ₖ₎⁽ᵏ⁾, xₐ₍ₖ₊₁₎⁽ᵏ⁺¹⁾] ; donc (I) on doit avoir y_{h′h″⋯h(k)h(k+1)}=F₁[x_{h′}′, x_{h″}″, ⋯, xₕ₍ₖ₎⁽ᵏ⁾, xₕ₍ₖ₊₁₎⁽ᵏ⁺¹⁾] comme nous l’avons annoncé.

IV. Conclusion. La proposition étant effectivement prouvée (I), (II) pour k=1, k=2 il s’ensuit (III) qu’elle est vraie pour k=3, k=4, ⋯ pour un nombre quelconque, pour un nombre m de variables.

V. Il est maintenant facile de voir que cette proposition embrasse dans sa généralité, toutes celles qui concernent les incommensurables, les formules trigonométriques, le développement de (1+z)ᵐ, m étant quelconque, etc., etc. Il y a plus, elle s’applique à des fonctions composées de plusieurs séries séparées, comme sont les ordonnées des deux parties d’une hyperbole ; la loi de continuité étant conservée, dans les deux séries distinctes, par les expressions imaginaires qui, entre autres propriétés, ont l’importante destination de lier des résultats qui, sans leurs intermédiaires, sembleraient isolés les uns des autres.

* ↑ xₐ doit se lire : x numéro a.
* ↑ F₁(xₐ) se prononce : fonction numéro 1 de x numéro a.
* ↑ Ce théorème, à raison de sa grande généralité, pouvant n’être pas également bien saisi par toutes les classes de lecteurs, il ne sera peut-être pas hors de propos de fixer, par l’application suivante, le sens précis qu’on doit y attacher. Soit y une fonction φ=(1+z)ˣ d’une variable x ; si pour un certain état particulier xₐ=m de la variable principale (m étant supposé entier et positif) l’état correspondant yₐ de la variable dépendante est exprimé par F₁(xₐ)=F₁(m)=1+m/1 z+m/1 ⋅ m−1/2 z²+… ; pour tout autre état, xₕ=−n ou xₕ=p/q, de la variable principale, l’état correspondant yₕ de la variable dépendante sera exprimé par F₁(xₕ)=F₁(−n)=1+(−n)/1 z+(−n)/1 ⋅ (−n)−1/2 z²+… ou F₁(xₕ)=F₁(p/q)=1+(p/q)/1 z+(p/q)/1 ⋅ (p/q)−1/2 z²+…
* ↑ Ceci n’a pas besoin d’explication, lorsque la série des états de x étant composée de termes réels, celle des états correspondans de y ne comprend également que des termes réels ; mais on peut considérer une suite d’états imaginaires de x ou, en ne considérant que des états réels de cette variable, il peut se faire que la série des états correspondans de y ne renferme que des termes imaginaires ou soit composée de diverses parties alternativement réelles et imaginaires, et alors on peut demander à quels caractères on reconnaîtra qu’une telle suite de termes est assujétie à la loi de continuité ? Comme cela est sans difficulté pour les termes qui composent les parties réelles de la série, il s’agit seulement d’expliquer dans quel sens on peut dire que, soit deux termes imaginaires, soit un terme réel et un terme imaginaire, se succédant consécutivement, sont plus ou moins voisins. Pour cela nous remarquerons que la différence de deux pareils termes peut toujours, en général, être supposée imaginaire et de la forme p+q√(−1) ; or il n’y a pas de doute qu’une telle expression ne puisse tendre vers zéro, puisqu’il suffit pour cela que p et q tendent eux-mêmes vers cette limite commune. Nous dirons donc que les deux termes que nous considérons ici sont d’autant plus voisins que p et q seront plus petits, et la loi de continuité consistera, dans ce cas, en ce qu’on puisse concevoir ces deux termes assez voisins pour que p et q, sans être nuls, puissent tomber, l’un et l’autre, au-dessous d’une limite donnée, quelque petite d’ailleurs qu’on suppose cette limite.
* ↑ y_{a′a″} s’énonce : y numéro, a prime, a seconde.
* ↑ y_{a′a″⋯a(k)a(k+1)} s’énonce : y numéro, a prime, a seconde,… a accent k, a accent (k+1).
