Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Analise, article 4
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Analise, article 4

## QUESTIONS RÉSOLUES.

À MM. les Rédacteurs des Annales,

Je viens de recevoir le 3ᵉ numéro du 2.ᵐᵉ volume de vos Annales. Pour me distraire un moment de mes occupations ordinaires, je l’ai parcouru, et je me suis arrêté sur le théorème d’analise que l’on trouve énoncé à la page 96. La démonstration n’en sera pas difficile pour ceux à qui le calcul des différences est familier. Je me contenterai d’en indiquer la marche, sans entrer dans aucun détail.

On sait que y₁, y₂, y₃, …yₙ, désignant les états successifs d’une fonction y d’une variable x, on a généralement

Δⁿy=yₙ−n/1 yₙ₋₁+n/1 ⋅ n−1/2 yₙ₋₂−n/1 ⋅ n−1/2 ⋅ n−2/3 yₙ₋₃+… (A)

Soit

y=xᵐ,

et supposons que x prenne successivement des accroissernens désignés par Δx ; on aura

y₁={x+Δx}ᵐ, y₂={x+2Δx}ᵐ, …………, yₙ₋₂={x+(n−2)Δx}ᵐ, yₙ₋₁={x+(n−1)Δx}ᵐ, yₙ={x+nΔx}ᵐ.

Substituant donc dans l’équation (A), il viendra

Δⁿy={x+nΔx}ᵐ−n/1 {x+(n−1)Δx}ᵐ+n/1 ⋅ n−1/2 {x+(n−2)Δx}ᵐ−… ;

équation qui, en y supposant n=m, se change en celle-ci

Δᵐy={x+mΔx}ᵐ−m/1 {x+(m−1)Δx}ᵐ+m/1 ⋅ m−1/2 {x+(m−2)Δx}ᵐ−… ;

(B)

Mais, d’un autre côté, d’après la valeur y=xᵐ, et l’égalité des accroissemens de la variable indépendante x, il est connu qu’on doit avoir

Δᵐy=1⋅2⋅3⋅4…mΔxᵐ

(C)

(B)

1⋅2⋅3⋅…mΔxᵐ={x+mΔx}ᵐ−m/1 {x+(m−1)Δx}ᵐ

+m/1 ⋅ m−1/2 {x+(m−2)Δx}ᵐ−… ;

(D)

équation qui, en y faisant x=(z−m)Δx, et divisant ensuite ses deux membres par Δxᵐ devient

1.2.3…m=zᵐ−m/1 (z−1)ᵐ+m/1 m−1/2 (z−2)ᵐ−…;

faisant, dans cette dernière, z=m+1, on obtiendra celle qu’il s’agissait de démontrer.

Agréez, Messieurs, etc.

Le théorème algébrique proposé à démontrer à la page 96 du 2.ᵐᵉ volume des Annales, peut être énoncé comme il suit : Les différences de l’ordre m.ᵉᵐᵉ des puissances m.ᵉᵐᵉˢ des nombres naturels successifs sont une quantité constante ; savoir : le

produit continuel des nombres naturels depuis l’unitè jusqu’à l’exposant m.

Cette proposition appartient à la doctrine des différences finies, qui sert d’introduction aux calculs supérieurs. Je l’ai démontrée dans mon ouvrage intitulé : Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris. En travaillant de nouveau ce sujet, à l’occasion de la demande faite dans les Annales, j’ai établi la loi générale des différences de tous les ordres des puissances semblables des termes successifs d’une progression arithmétique. Le théorème proposé devient ainsi un cas très-particulier de cette doctrine générale.

Pour abréger et pour faciliter le développement de ce sujet, je vais d’abord établir quelques symboles.

Je désignerai par ∫⋅P₁, ∫⋅P₂, ∫⋅P₃, ∫⋅P₄, …∫⋅Pₙ₋₁, ∫⋅Pₙ, les sommes des produits de 1, 2, 3, 4, …n−1, n, dimensions, faits avec des lettres proposées et leurs puissances.

Les lettres proposées étant A₁, A₂, A₃, A₄, la somme des produits de n dimensions, faits avec ces lettres déterminées, sera exprimée comme il suit ∫⋅Pₙ⋅A₁, …A₄.

Que les lettres qui composent ces produits soient au nombre de deux seulement ; on conservera cette symbolisation, en supprimant les points mis entre ces lettres. Ainsi l’expression ∫⋅Pₙ⋅A₁A₄ est celle de la somme des produits de n dimensions, faits avec les deux lettres A₁ et A₄.

Soient A et A′ ; deux termes successifs d’une progression arithmétique, des termes de laquelle on prend les m.ᵉᵐᵉˢ puissances ; et les différences premières de ces m.ᵉᵐᵉˢ puissances : on aura

A₂ᵐ−A₁ᵐ=(A₂−A₁)(A₂ᵐ⁻¹+A₂ᵐ⁻²A₁+A₂ᵐ⁻³A₁²+…+A₂²Aᵐ⁻³+A₂A₁ᵐ⁻²+A₁ᵐ⁻¹)=(A₂−A₁)∫.Pₘ₋₁⋅A₂A₁.

Savoir : un terme des différences premières des puissances m.ᵉᵐᵉˢ des termes d’une progression arithmétique, est le produit de la différence constante des termes de cette progression par la somme des produits de m−1 dimensions, faits avec les termes dont on prend les différences premières des puissances.

Soient A₁, A₂, A₃, trois termes successifs d’une progression arithmétique, des termes de laquelle on prend les m.ᵉᵐᵉˢ puissances, et les différences secondes de ces puissances, on a, par ce qui précède,

A₂ᵐ−A₁ᵐ=(A₂−A₁)∫.Pₘ₋₁⋅A₂A₁,

A₃ᵐ−A₂ᵐ=(A₂−A₁)∫.Pₘ₋₁⋅A₃A₂;

d’où

A₃ᵐ−2A₂ᵐ+A₁ᵐ=(A₂−A₁){∫.Pₘ₋₁⋅A₃A₂−∫.Pₘ₋₁⋅A₂A₁}

=(A₂−A₁){(A₃ᵐ⁻¹+A₃ᵐ⁻²A₂+…+A₃A₂ᵐ⁻²+A₂ᵐ⁻¹)−(A₂ᵐ⁻¹+A₂ᵐ⁻²A₁+…+A₂A₁ᵐ⁻²+A₁ᵐ⁻¹)}

=1⋅2(A₂−A₁)²{∫.Pₘ₋₂⋅A₃A₁+A₂∫.Pₘ₋₃⋅A₃A₁

+A₂²∫.Pₘ₋₄⋅A₃A₁+…+A₂ᵐ⁻³∫.P₁⋅A₃A₁+A₂ᵐ⁻²};

ou enfin

A₃ᵐ−2A₂ᵐ+A₁ᵐ=1⋅2⋅(A₂−A₁)²∫.Pₘ₋₂⋅A₃…A₁.

Savoir : un terme de différences secondes des puissances m.ᵉᵐᵉˢ des termes d’une progression arithmétique est le double du produit du quarré de la différence constante des termes de la progression par la somme des produits de m−2 dimensions, faits avec les termes dont on prend les différences secondes des puissances.

Soient A₁, A₂, A₃, A₄, quatre termes successifs d’une progression arithmétique, des termes de laquelle on prend les m.ᵉᵐᵉˢ puissances et les différences troisièmes de ces puissances. On a, par ce qui précède,

A₃ᵐ−2A₂ᵐ+A₁ᵐ=1⋅2(A₂−A₁)²∫.Pₘ₋₂⋅A₃…A₁, A₄ᵐ−2A₃ᵐ+A₂ᵐ=1⋅2(A₂−A₁)²∫.Pₘ₋₂⋅A₄…A₂;

d’où

A₄ᵐ−3A₃ᵐ+3A₂ᵐ−A₁ᵐ=1⋅2(A₂−A₁)²{∫.Pₘ₋₂⋅A₄…A₂−∫.Pₘ₋₂⋅A₃…A₁}

=1⋅2(A₂−A₁)²{(A₄ᵐ⁻²−A₁ᵐ⁻²)+(A₄ᵐ⁻³−A₁ᵐ⁻³)∫.P₁⋅A₃A₂+(A₄ᵐ⁻⁴−A₁ᵐ⁻⁴)∫.P₂⋅A₃A₂+………+(A₄³−A₁³)∫.Pₘ₋₅⋅A₃A₂+(A₄²−A₁²)∫.Pₘ₋₄⋅A₃A₂+(A₄−A₁)∫.Pₘ₋₃⋅A₃A₂;

ou enfin

A₄ᵐ−3A₃ᵐ+3A₂ᵐ−A₁ᵐ=1⋅2⋅3⋅(A₂−A₁)³∫.Pₘ₋₃⋅A₄…A₁;

savoir : un terme des différences troisièmes des puissances m.ᵉᵐᵉˢ des termes d’une progression arithmétique est le produit continuel des trois premiers nombres naturels, du cube de la différence constante des termes de la progression et de la somme des produits de m−3 dimensions, faits avec les termes dont on prend les différences troisièmes des puissances.

En procédant continuellement de cette manière, on parvient à déterminer les différences quatrièmes d’après la connaissance des différences troisièmes, puis les différences cinquièmes, et ainsi de suite.

En général ; soient A₁, A₂, A₃, A₄, …Aₙ, Aₙ₊₁; termes successifs d’une progression arithmétique, des termes de laquelle on prend les m.ᵉᵐᵉˢ puissances, et les (n+1)ᵉᵐᵉˢ différences de ces puissances. Qu’on se soit assuré qu’on a l’équation

Aₙᵐ−n/1 Aₙ₋₁ᵐ+n/1 ⋅ n−1/2 Aₙ₋₂ᵐ−…± n/1 ⋅ n−1/2 A₃ᵐ∓ n/1 A₂ᵐ±A₁ᵐ

=1⋅2⋅3…(n−1)(A₂−A₁)ⁿ⁻¹∫.Pₘ₋ₙ₊₁⋅Aₙ…A₁,

j’affirme qu’on a aussi l’équation

Aₙ₊₁ᵐ−(n+1)/1 Aₙᵐ+(n+1)/1 ⋅ n/2 Aₙ₋₁ᵐ−…∓ (n+1)/1 ⋅ n/2 A₃ᵐ± (n+1)/1 A₂ᵐ∓A₁ᵐ

=1⋅2⋅3…n(A₂−A₁)ⁿ∫.Pₘ₋ₙ⋅Aₙ₊₁…A₁.

En effet, des deux équations supposées vraies pour les termes Aₙ₊₁…A₁ et Aₙ…A₁, on tire

Aₙ₊₁ᵐ−(n+1)/1 Aₙᵐ+(n+1)/1 ⋅ n/2 Aₙ₋₁ᵐ−…∓ (n+1)/1 ⋅ n/2 A₃ᵐ± (n+1)/1 A₂ᵐ∓A₁ᵐ

=1.2.3…(n−1)(A₂−A₁)ⁿ⁻¹{∫.Pₘ₋ₙ₊₁⋅Aₙ₊₁⋅A₁−∫.Pₘ₋ₙ₊₁⋅Aₙ}

=1.2.3…(n−1)(A₂−A₁)ⁿ∫.Pₘ₋₁⋅Aₙ₊₁…A₁.

On a donc le théorème général suivant :

Soit une progression arithmétique des termes de laquelle on prend les m.ᵉᵐᵉˢ puissances et les différences n.ᵉᵐᵉˢ de ces puissances. Un terme quelconque de ces différences est le produit continuel des nombres naturels, depuis l’unité jusqu’à n ; de la n.ᵉᵐᵉ puissance de la différence constante des termes de la progression, et de la somme des produits de m−n dimensions, faits avec les termes des puissances, desquels on prend les différences n.ᵉᵐᵉˢ.

En particulier, soit m=n; la somme des produits qui forme le troisième facteur est l’unité ; et partant, les différences de l’ordre m.ᵉᵐᵉ des puissances m.ᵉᵐᵉˢ des termes d’une progression arithmétique sont une quantité constante : savoir, le produit continuel des nombres naturels depuis l’unité jusqu’à m, et de la puissance m.ᵉᵐᵉ de la différence constante des termes de la progression.

* ↑ Cette proposition n’est qu’un cas particulier de la suivante : « Si dans une fonction rationnelle et entière, telle que Axᵐ+Bxᵐ⁻¹+Cxᵐ⁻²+…+Gx+H, (M) » on substitue pour x les termes consécutifs d’une progression par différences dont la raison soit δ ; les résultats des substitutions formeront une suite dont les m.ᵉᵐᵉˢ différences seront constantes et égales à 1⋅2⋅3⋅…mAδᵐ. » Cette dernière trouvant une utile application dans la recherche des limites des racines incommensurables des équations numériques, nous croyons convenable d’en présenter ici une démonstration générale purement élémentaire. Supposons qu’elle soit déjà démontrée pour toutes les fonctions des degrés inférieurs à m, et soit k l’un quelconque des termes de la progression des nombres à substituer dans la fonction (M) ; le suivant sera k+δ ; exécutant donc la substitution de ces deux termes, et prenant la différence des résultats ; il viendra mAδkᵐ⁻¹+m−1/2 δ{2B+mAδ}kᵐ⁻²+… ; (N) tel est donc le terme général des premières différences de la suite dont il s’agit, et on en conclura ces premières différences, en y substituant successivement pour k la suite k+δ, k+2δ, k+3δ, … ; mais cette suite étant une progression par différences, dont la raison est, δ et la fonction (N), dans laquelle il faut la substituer, étant une fonction entière et rationnelle du degré m−1, dont le premier terme a pour coefficient mAδ ; il résulte de l’hypothèse que les résultats des substitutions, c’est-à-dire, les premières difïéiences de la fonction (M) formeront une suite dont les (m-1)ᵉᵐᵉˢ différences, lesquelles seront par conséquent les mᵉᵐᵉˢ différences de la fonction (M) seront constantes et égales à 1⋅2⋅3⋅…(m−1)δ×δmA×δᵐ⁻¹=1⋅2⋅3⋅…mAδᵐ Il est donc prouvé, par là, que la proposition serait vraie pour une fonction du degré m, si elle était vraie pour une fonction du degré m−1. Or, il est très-facile de se convaincre qu’elle est vraie pour les fonctions des deux ou trois premiers degrés, d’où il faut conclure qu’elle est générale. On pourrait prouver, plus généralement, que si, dans une fonction entière et rationnelle du degré m, on substitue les termes d’une suite dont les n.ᵉᵐᵉˢ différences soient constantes, les résultats des substitutions formeront une suite dont les mn.ᵉᵐᵉˢ différences seront constantes.
* ↑ M. Servois, professeur de mathématiques aux écoles d’artillerie de Lafère, a aussi adressé aux rédacteurs des Annales une démonstration de cette formule ; mais elle ne diffère en rien de celle de M. Tédenat. (Note des éditeurs.)
* ↑ Ces sortes de fonctions ont déjà été considérées d’une manière spéciale par M. de Wronski ; (Voy. son Introduction à la philosophie des mathématiques, pag. 65) il les désigne par la caractéristique hébraïque (Aleph) ; ainsi, par exemple, la fonction a²+b²+c²+ab+ac+bc, que M. Lhuilier désigne par ∫⋅P₂⋅abc, est désignée par M. de Wronski ainsi qu’il suit : ℵ[a+b+c]²; de manière qu’en général ∫⋅P₂⋅abc…k=ℵ[a+b+c+…+k]ᵐ; (Note des éditeurs.)
