Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Analise élémentaire, article 2
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Analise élémentaire, article 2

## ANALISE.

Soit l’équation du quatrième degré, sans second terme,

x⁴+px²+qx+r=0.(A)

Soit fait x=y+t ; il viendra, en substituant et ordonnant par rapport à y,

y⁴+4ty³+6t²+2p|y²+4t³+2pt²+q|y+t⁴+pt²+qt+r|=0.(B)

Soit fait

4ty³+(4t³+2pt²+q)y=0 ;(C)

l’équation (B) deviendra

y⁴+(6t²+2p)y²+(t⁴+pt²+qt+r)=0.(D)

Mais l’équation (C), délivrée du facteur y, donne

y²=−t²−p/2 t−q/4t.(E)

En substituant cette valeur et son quarré dans l’équation (D), on obtient la réduite

t⁶+p/2 t⁴+( p²/16−r/4 )t²−q²/64=0.(F)

Soient t′, t″, t‴, −t′, −t″, −t‴, les six racines de cette équation, on aura, par la théorie connue,

p/2=−t′²−t″²−t‴² ; q²/64=t′²t″²t‴² ou q/4=±2t′t″t‴.

Le signe supérieur répondant à la valeur +t′ et l’inférieur à la valeur −t′.

Substituant dans la valeur (E) de y² en y mettant pour t l’une des trois valeurs t′, t″, t‴, la première par exemple, on trouvera, à cause du double signe de la valeur de q/4,

y=±(t″−t‴), y=±(t″+t‴) ;

mais on a, dans le premier cas, x=y+t′ et dans le second x=y−t′ ; il viendra donc

x=+t′+t″−t‴ ;x=+t′−t″+t‴ ;x=−t′+t″+t‴ ;x=−t′−t″−t‴.

