Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie analitique, article 6
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Géométrie analitique, article 6

On peut atteindre au but que vient de remplir M. Rochat par une autre méthode, moins élémentaire il est vrai, mais qui a l’avantage de n’exiger aucune transformation de coordonnées, et qui peut fournir une agréable et utile application de la doctrine des Maximis et Minimis à ceux qui étudient le calcul différentiel ; je vais l’exposer brièvement.

Soit reprise l’équation

ay²+bxy+cx²+dy+ex+f=0;(M)

et, outre le point de la courbe dont les coordonnées sont x et y, considérons-en un autre dont les coordonnées soient x′ et y′ ; nous aurons pour ce nouveau point.

ay′²+bx′y′+cx′²+dy′+ex′+f=0;(M′)

posons

(x−x′)²+(y−y′)²=

(N)

nos deux points seront alors les extrémités de la plus grande corde de la courbe.

L’équation (N) revient à

(x−x′)(δx−δx′)+(y−y′)(δy−δy′)=0;(n)

d’un autre côté, on tire des équations (M) et (M′)

(2ay+bx+d)δy+(2cx+by+e)δx=0, (m)

(2ay′+bx′+d)δy′+(2cx′+by′+e)δx′=0, (m′)

ajoutant les produits de ces deux dernières par les multiplicateurs indéterminés λ et −λ′ à l’équation (n) il viendra

[(x−x′)+λ(2cx+by+e)]λx−[(x−x′)+λ′(2cx′+by′+e)]λx′+[(y−y′)+λ(2ay+bx+d)]λy−[(y−y′)+λ′(2ay′+bx′+d)]λy′}=0;

donc

(x−x′)+λ(2cx+by+e)=0, (x−x′)+λ′(2cx′+by′+e)=0,

(y−y′)+λ(2ay+bx+d)=0, (y−y′)+λ′(2ay′+bx′+d)=0;

éliminant λ et λ′ entre ces équations, elles deviendront

(2ay+bx+d)(x−x′)=(2cx+by+e)(y−y′), (P)

(2ay′+bx′+d)(x−x′)=(2cx′+by′+e)(y−y′).(P′)

On satisfait à ces équations, quel que soit le premier des points pris sur la courbe, en supposant que le second se confond avec lui, ce qui donne sur-le-champ la direction de la tangente en ce point, ainsi que cela doit être.

Rejetant cette hypothèse et retranchant l’équation (P′) de l’équation (P) il vient

{2a(y−y′)+b(x−x′)}(x−x′)={2c(x−x′)+b(y−y′)}(y−y′);

mais, en désignant par α l’angle que fait la corde que nous considérons ici avec l’axe des x, on a

Tang.α=y−y′/x−x′, d’où y−y′=(x−x′)Tang.α,

substituant donc, il viendra, en réduisant, transposant et divisant par x−x′

Tang.²α−2.a−c/b Tang.α−1=0.(K)

Ainsi, dans les lignes du deuxième ordre, les cordes dont la variation est nulle, n’affectent que deux directions, et les tangentes des angles qu’elles forment avec l’axe des x se trouvent déterminées par l’équation précédente. On voit de plus que ces directions sont perpendiculaires l’une à l’autre, puisque le produit des deux tangentes est égal à −1.

En ajoutant, au contraire, l’une à l’autre les équations (P), (P′), substituant pour y−y′, dans l’équation résultante, sa valeur (x−x′)Tang.α et divisant par x−x′, il vient

(2a−bTang.α)(y+y′)−(2cTang.α−b)(x+x′)+2(d−eTang.α)=0.(G)

D’un autre côté, en retranchant l’équation (M′) de l’équation (M), le double de l’équation résultante peut être mis sous cette forme

[2a(y+y′)+b(x+x′)+2d](y−y′)+[2c(x+x′)+b(y+y′)+2e](x−x′)}=0;

ou, en chassant encore y−y′ et divisant par x−x′,

(2aTang.α+b)(y+y′)+(2c+bTang.α)(x+x′)+2(dTang.α+e)=0.(H)

Les équations (G) et (H) donnent

1/2 (x+x′)=2ae−bd/b²−4ac, 1/2 (y+y′)=2cd−ae/b²−4ac ;

ainsi, les cordes des lignes du second ordre dont la variation est nulle, ont leurs milieux au même point qu’on appelle leur centre ; et, puisque ces cordes doivent d’ailleurs se couper perpendiculairement, elles sont au nombre de deux seulement. On les appelle les axes de la courbe.

Ces axes ont donc pour équation commune

y−2cd−ae/b²−4ac={x−2ae−bd/b²−4ac }Tang.α,

équation double, à cause des deux valeurs de Tang.α ; cette équation combinée avec celle de la courbe fera connaître les longueurs de ces mêmes axes.

