Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/Géométrie analitique, article 7
# Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 01/Géométrie analitique, article 7

Énoncé. Soient divisés les côtés d’un polygone rectiligne quelconque, chacun en m parties égales, m étant >2 ; soient prises, sur les deux côtés de l’un des angles du polygone, à partir du sommet de cet angle, n des divisions de ces côtés, n étant < 1/2 m ; soient joints les deux points déterminés de cette manière par une droite, et soit fait la même opération sur tous les angles de ce polygone. Les droites déterminées de cette manière formeront, avec les portions de côtés du polygone primitif qu’elles intercepteront, un polygone d’un nombre de côtés double inscrit au premier.

Soit opéré sur ce nouveau polygone comme sur le polygone primitif, m et n demeurant toujours les mêmes ; on obtiendra ainsi un troisième polygone qui sera, à l’égard du second, ce que celui-ci est à l’égard du premier, et sur lequel on pourra encore opérer de la même manière ; de sorte qu’en poursuivant sans cesse le même procédé, on engendrera une suite de polygones, faisant tous partie les uns des autres et du polygone proposé, si celui-ci est convexe, et tels que le nombre des côtés de chacun sera double du nombre de ceux du précédent.

Tous les polygones ainsi formés seront évidemment circonscrits à une même courbe fermée, laquelle sera leur limite commune.

En supposant donc que le polygone primitif est donné, ainsi que les nombres m et n, on propose de déterminer la nature de cette courbe ?

Solution. Il n’est pas difficile d’apercevoir qu’en général la courbe cherchée ne saurait être une courbe continue ; mais qu’elle doit être formée d’autant de branches de courbes, tangentes les unes aux autres, à la manière des anses de paniers, qu’il y a d’angles dans le polygone proposé. Si, en effet, on conçoit que, sans changer la grandeur et l’inclinaison respective de deux côtés consécutifs de ce polygone, on altère d’ailleurs sa figure d’une manière quelconque, il n’y aura absolument rien de changé dans la portion de courbe inscrite à l’angle formé par ces deux côtés. Si donc le cours de la courbe pouvait être continu, il en résulterait que plusieurs courbes continues pourraient avoir une partie finie commune, ce qu’on sait être impossible.

Il n’est pas plus difficile d’apercevoir que les points de contacts de la courbe cherchée, tant avec les côtés du polygone primitif qu’avec les côtés des autres polygones dont elle est la limite commune, sont les milieux même de ces côtés.

D’après ces diverses observations, on voit qu’il suffira, pour notre but, de considérer ce qui se passe dans l’un des angles du polygone proposé.

Soit donc P₁S₁Q₁, l’angle dont il s’agit (fig.7) ; soit M₁, le milieu de S₁P₁ ; soit fait S₁P₂=n/m S₁P₁S₁S₂=n/m S₁Q₁ et soit mené P₂S₂ dont M₂ soit le milieu ; soit porté S₁S₂ de Q₁ en Q₂ ; soit fait S₂P₃=n/m S₂P₂, S₂S₃=n/m S₂Q₂, et soit mené P₃S₃ dont M₃ ; soit porté S₁S₃ de Q₁ en Q₃ ; soit fait S₃P₄=n/m S₃P₃S₃S₄=n/m S₃Q₃ et soit mené P₄S₄ dont M₄ soit le milieu ; en poursuivant continuellement le même procédé P₁S₁, P₂S₂, P₃S₃, P₄S₄, … seront des côtés de polygones et leurs milieux M₁, M₂, M₃, M₄, …, seront conséquernment des points de la courbe cherchée.

Cela posé, soit pris le point S₁ pour origine des coordonnées rectangulaires auxquelles, pour plus de symétrie, nous supposerons d’ailleurs une direction quelconque ; soient a et b les coordonnées de P₁ et c et d celles de Q₁.

D’après la manière dont on vient de voir que se construisent les points S₁, S₂, S₃, …, on trouvera facilement pour leurs équations, savoir :

pour S₁{x=1/2 {1−(m−2n/m)⁰}c=0, y=1/2 {1−(m−2n/m)⁰}d=0;

pour S₂{x=1/2 {1−(m−2n/m)¹}c, y=1/2 {1−(m−2n/m)¹}d;

pour S₃{x=1/2 {1−(m−2n/m)²}c, y=1/2 {1−(m−2n/m)²}d;

et en général

pour Sₖ{x=1/2 {1−(m−2n/m)ᵏ⁻¹}c, y=1/2 {1−(m−2n/m)ᵏ⁻¹}d;

De même, d’après la manière dont a vu que se construisent les points P₁, P₂, P₃, …, on trouvera facilement pour leurs équations, savoir :

pour P₁{x=(n/m)⁰a+1/2(m−3n) {(m−3n)+2n(n/m)⁰−(m−n)(m−2n/m)⁰}c, y=(n/m)⁰b+1/2(m−3n) {(m−3n)+2n(n/m)⁰−(m−n)(m−2n/m)⁰}d;

pour P₂{x=(n/m)¹a+1/2(m−3n) {(m−3n)+2n(n/m)¹−(m−n)(m−2n/m)¹}c, y=(n/m)¹b+1/2(m−3n) {(m−3n)+2n(n/m)¹−(m−n)(m−2n/m)¹}d;

pour P₃{x=(n/m)²a+1/2(m−3n) {(m−3n)+2n(n/m)²−(m−n)(m−2n/m)²}c, y=(n/m)²b+1/2(m−3n) {(m−3n)+2n(n/m)²−(m−n)(m−2n/m)²}d;

et en général

pour Pₖ{x=(n/m)ᵏ⁻¹a+1/2(m−3n) {(m−3n)+2n(n/m)ᵏ⁻¹−(m−n)(m−2n/m)ᵏ⁻¹}c, y=(n/m)ᵏ⁻¹b+1/2(m−3n) {(m−3n)+2n(n/m)ᵏ⁻¹−(m−n)(m−2n/m)ᵏ⁻¹}d;

D’après cela, on trouvera facilement pour les équations des milieux M₁, M₂, M₃, …Mₖ, de S₁P₁, S₂P₂, S₃P₃, …SₖPₖ, savoir : pour M₁{x=1/2 c+1/2 {a+n/m−3n c}(n/m)⁰−1/2 m−2n/m−3n (m−2n/m)⁰c, y=1/2 d+1/2 {b+n/m−3n d}(n/m)⁰−1/2 m−2n/m−3n (m−2n/m)⁰d; pour M₂{x=1/2 c+1/2 {a+n/m−3n c}(n/m)¹−1/2 m−2n/m−3n (m−2n/m)¹c, y=1/2 d+1/2 {b+n/m−3n d}(n/m)¹−1/2 m−2n/m−3n (m−2n/m)¹d; pour M₃{x=1/2 c+1/2 {a+n/m−3n c}(n/m)²−1/2 m−2n/m−3n (m−2n/m)²c, y=1/2 d+1/2 {b+n/m−3n d}(n/m)²−1/2 m−2n/m−3n (m−2n/m)²d;

et en général

pour Mₖ{x=1/2 c+1/2 {a+n/m−3n c}(n/m)ᵏ⁻¹−1/2 m−2n/m−3n (m−2n/m)ᵏ⁻¹c, y=1/2 d+1/2 {b+n/m−3n d}(n/m)ᵏ⁻¹−1/2 m−2n/m−3n (m−2n/m)ᵏ⁻¹d;

Telles sont donc les équations générales d’un point de la courbe cherchée, et desquelles on déduirait tant de points qu’on voudrait de cette courbe, en donnant successivement diverses valeurs à k, si donc on élimine k entre ces deux équations, l’équation résultante en x et y étant indifférente à toutes valeurs de k, sera l’équation de la courbe cherchée.

Pour parvenir à cette équation, soient considérés, (n/m)ᵏ⁻¹ et (m−2n/m)ᵏ⁻¹, dans les équations ci-dessus, comme deux inconnues distinctes, on en tirera

(n/m)ᵏ⁻¹=2(cy−dx)/bc−ad, (m−2n/m)ᵏ⁻¹=((m−3n)[a(2y−d)−b(2x−c)]+2n(cy−dx))/(m−2n)(bc−ad) ;

en prenant les logarithmes des deux membres de ces deux équations, elles deviendront

(k−1)log.(n/m)=log.2(cy−dx)/bc−ad, (k−1)log.(m−2n/m)=log.((m−3n)[a(2y−d)−b(2x−c)]+2n(cy−dx))/(m−2n)(bc−ad) ;

ce qui donnera, en multipliant en croix,

(A) log.(m−2n/m)⋅log.2(cy−dx)/bc−ad=

log.(n/m)⋅log.((m−3n)[a(2y−d)−b(2x−c)]+2n(cy−dx))/(m−2n)(bc−ad)

telle est l’équation de la courbe demandée.

Cette courbe est en général transcendante, mais elle peut devenir algébrique, dans des cas particuliers ; c’est ce qui arrive, par exemple, si m=4n ; l’équation devient alors, en effet,

log.1/2 ⋅log.2(cy−dx)/bc−ad=2log.1/2 ⋅log.((a+c)(2y+b)−(b+d)(2x+a))/2(bc−ad)

en divisant par log.1/2, cette équation peut être écrite ainsi

log.2(cy−dx)/bc−ad=log.{((a+c)(2y+b)−(b+d)(2x+a))/2(bc−ad)}²

ou, en passant aux nombres,

2(cy−dx)/bc−ad={((a+c)(2y+b)−(b+d)(2x+a))/2(bc−ad)}²

équation qui devient, toutes réductions faites,

{(b+d)x−(a+c)y}²=(bc−ad){(b−d)x−(a−c)y−1/4 (bc−ad)} ;

et qui appartient, évidemment à une parabole. Si, dans ce cas particulier, on suppose, que l’angle P₁S₁Q₁ est droit, ou qu’on a pris cet angle pour celui des coordonnées, on aura a=0, d=0, et l’équation prendra cette forme très-simple

b²x(x−c)−2bcxy+c²y(y−b)+1/4 b²c²=0

Si l’on suppose de plus c=b, elle deviendra

x(x−b)−2xy+y(y−b)+1/4 b²=0

L’équation (A) se réduisant à 0=0, dans le cas où m=3n, il est nécessaire de traiter ce cas en particulier. Les équations des points S₁, S₂, S₃, ⋯Sₖ, sont alors, savoir :

pour S₁{x=1/2 {1−(1/3)⁰}c=0, y=1/2 {1−(1/3)⁰}d=0;

pour S₂{x=1/2 {1−(1/3)¹}c, y=1/2 {1−(1/3)¹}d;

pour S₃{x=1/2 {1−(1/3)²}c, y=1/2 {1−(1/3)²}d;

pour Sₖ{x=1/2 {1−(1/3)ᵏ⁻¹}c, y=1/2 {1−(1/3)ᵏ⁻¹}d.

On trouvera ensuite les équations des points P₁, P₂, P₃, ⋯Pₖ₋₁, ainsi qu’il suit, savoir :

pour P₁{x=1/2 {c+[2a−c](1/3)⁰}, y=1/2 {d+[2b−d](1/3)⁰};

pour P₂{x=1/2 {c+[2a−3c](1/3)¹}, y=1/2 {d+[2b−3d](1/3)¹};

pour P₃{x=1/2 {c+[2a−5c](1/3)²}, y=1/2 {d+[2b−5d](1/3)²};

pour Pₖ{x=1/2 {c+[2a−(2k−1)c](1/3)ᵏ⁻¹}, y=1/2 {d+[2b−(2k−1)d](1/3)ᵏ⁻¹}.

En conséquence, les équations des points M₁, M₂, M₃, ⋯Mₖ, seront telles qu’il suit :

pour M₁{x=1/2 {c+(a−c)(1/3)⁰}, y=1/2 {d+(b−d)(1/3)⁰};

pour M₂{x=1/2 {c+(a−2c)(1/3)¹}, y=1/2 {d+(b−2d)(1/3)¹};

pour M₃{x=1/2 {c+(a−3c)(1/3)²}, y=1/2 {d+(b−3d)(1/3)²};

pour Mₖ{x=1/2 {c+(a−kc)(1/3)ᵏ⁻¹}, y=1/2 {d+(b−kd)(1/3)ᵏ⁻¹};

Il n’est donc plus question que d’éliminer k entre ces deux dernières équations pour obtenir celle de la courbe.

Pour cela, traitons-y d’abord k et (1/3)ᵏ⁻¹ comme deux inconnues distinctes, il viendra ainsi ;

k=a(2y−d)−b(2x−c)/2(cy−dx), (1/3)ᵏ⁻¹=2(cy−dx)/bc−ad.

De la première de ces deux expressions on déduira

k−1=(a−c)(2y−b)−(b−d)(2x−a)/2(cy−dx)

la seconde donnera, en passant aux logarithmes,

(k−1)⋅log.1/3=log.2(cy−dx)/bc−ad

multipliant, enfin, ces deux dernières équations en croix, il viendra, en transposant,

(a−c)(2y−b)−(b−d)(2x−a)/2(cy−dx) ⋅log⁡.3+log.2(cy−dx)/bc−ad=0

telle est alors l’équation de la courbe.

Voici une application de cette théorie. Soit SP et SQ (fig. 8) deux branches d’une même route qu’on veut raccorder par une ligne courbe, tangente à l’une et à l’autre ; soit P′ et Q′ les points indiqués comme points de contact de la courbe avec les deux branches de route ; soit pris P′P=P′S et Q′Q=Q′S ; si, ayant choisi arbitrairement deux nombres entiers m>2 et n< 1/2 m, et considérant SP et SQ comme deux côtés d’un polygone, on opère comme il a été prescrit dans l’énoncé du problème qui vient d’être résolu, on obtiendra tant de points qu’on voudra de la courbe cherchée. La figure est construite pour le cas où l’on a m=3 et n=1.

M. Puissant a indiqué un autre procédé pour la résolution du même problème ; mais, outre que ce procédé n’est susceptible que d’une forme unique, la courbe de raccordement qu’il fournit fait nécessairement des jarets avec les deux branches de route ; ici, au contraire, elle leur est rigoureusement tangente ; et, en variant le rapport n/m, on a la faculté de faire plus ou moins approcher cette courbe du sommet de l’angle ; ce qui peut être utile, en permettant de varier la construction suivant les accidens et les obstacles que le terrain peut présenter. Au surplus, en faisant m=4n, on obtient, par une autre voie, la courbe de raccordement de M. Puissant, avec cette différence que les points déterminés sont des points d’une parabole tangente aux deux côtés de l’angle.

