Principes mathématiques de la philosophie naturelle/I/3
# Principes mathématiques de la philosophie naturelle/I/3

Soient S le foyer de l’ellipſe, E la rencontre de SP avec le diametre DK, x celle de la même ligne SP avec l’ordonnée QV, Fig. 21. QxPR le parallélogramme fait ſur Px & Qx. On voit d’abord que EP eſt égale au demi grand axe AC ; car menant par l’autre foyer H la droite HI parallele à DK, il eſt clair que EI ſera égale à SE à cauſe de l’égalité qui eſt entre CH & CS, & par conſéquent PE ſera égale à la moitié de la ſomme de PI & de PS, ou, ce qui revient au même, à AC, moitié de la ſomme de PS & de PH, puiſqu’il ſuit de ce que HI eſt parallele à RP, & de ce que les angles HPZ & IPR ſont égaux, que HP=PI. Abaiſſant enſuite QT perpendiculaire à SP, & nommant L le parametre du grand axe, c’eſt-à-dire 2BC²/AC ; on verra que L×QR : L×Pv :: QR : Pv, c’eſt-à-dire :: PE ou AC : PC ; mais L×Pv : Gv×xV :: L : GV & Gv×vP : Qv² :: PC² : CD² ; de plus, Qv² : Qx² en raiſon d’égalité (Cor. 2. Lem. 7.) lorſque les points P & Q coïncident, & Qx² ou Qv² : QT² :: EP² : PF², c’eſt-à-dire :: CA² : PF² ou (Lem 12.) :: CD² : CB² ; donc, en compoſant toutes ces raiſons on aura L×QR : QT² :: AC×L×PC²×CD² ou :: 2CB²×PC²×CD² : PC×Gv×CD²×CB² ou :: 2PC : Gv. Or, puiſque 2PC & Gv ſont égales lorſque les points P & Q coïncident, les quantitésFig 21 L×QR & QT² qui leur ſont proportionnelles ſeront donc égales auſſi. Multipliant préſentement ces quantités égales par SP²/QR, on aura L×SP²=SP²×QT²/QR. Donc par les Corol. 1. & 5. de la Prop. 6. la force centripete ſera réciproquement comme L×SP², c’eſt-à-dire en raiſon renverſée de SP². C. Q. F. T.

Comme la force qui tend au centre de l’ellipſe, & par laquelle le corps P peut faire ſa révolution dans cette courbe, eſt par le Cor. 1. de la Prop. 10. proportionnelle à la diſtance CP du corps au centre C de l’ellipſe ; en menant CE parallele à la tangente PR de l’ellipſe, on verra, par le Cor. 3. de la Prop. 7. que la force par laquelle ce même corps P feroit ſa révolution autour d’un autre point quelconque S de l’ellipſe, feroit comme PE³/SP² Fig 21 en ſuppoſant que E ſoit la rencontre de CE & de la droite SP, tirée au point S. Donc, lorſque le point S ſera le foyer, & que par conſéquent PE ſera conſtante, la force centripete ſera comme 1/SP² C. Q. F. T.

Dans ce Problème, ainſi que dans le Probl. 5. on pourroit ſe contenter d’appliquer la concluſion trouvée pour le cas de l’ellipſe à celui de la Parabole & de l’hyperbole ; mais à cauſe de l’importance de ce Problème, & de l’étendue de ſon uſage dans les Propoſitions ſuivantes, j’ai cru qu’il ne ſeroit pas inutile de démontrer en particulier les cas de la parabole & de l’hyperbole.

Fig. 22.Que CA, CB ſoient les demi axes de l’hyperbole ; PG, KD d’autres diamètres conjugués ; PF une perpendiculaire au diametre KD ; & Qv une ordonnée au diamètre PG. Qu’on tire SP, qui coupe le diametre DK en E, & l’ordonnée Qv en x, & qu’on acheve le parallélogramme QRPx ; il eſt clair que EP ſera égale au demi axe tranſverſal AC ; car tirant par l’autre foyer H de l’hiperbole la ligne HI parallèle à EC, CH étant égale à CS, EI ſera égale à ES, & par conſéquent EP ſera la moitié de la différence des lignes PS & PI, c’eſt-à-dire, (à cauſe que IH, PR ſont paralleles, & que les angles IPR, HPZ ſont égaux) qu’elle ſera égale à la moitié de la différence des lignes PS & PH, c’eſt-à-dire que EP=AC.

Cela poſé, tirant QT perpendiculaire ſur SP, & nommant L le parametre principal de l’hiperbole ou 2BC²/AC, on aura L×QR:L×Pv::QR:Pv ou ::Px:Pv, c’eſt-à-dire, à cauſe des triangles ſemblables Pxv, PEC, ::PE:PC, ou

::AC:PC. On aura auſſi, L×Pv:Gv×Pv::L:Gv ; & par la nature des coniques Gv×vP:Qv²::PC²:CD². De plus Qx²QT², ou (ce qui revient au même. Cor. 2. Lem. 7. lorſque les points P & Q coïncident) Qv²:QT²::EP²:PF², c’eſt-à-dire, ::CA²:PF², ou Lemme 12. ::CD²:CB², & en compoſant toutes ces raiſons, on aura L×QR:QT²::AC×L×PC²×CD² ou 2BC²×PC²×CD²:PC×Gv×CD²×CB²,

c’eſt-à-dire ::2PC:Gv: mais lorſque les points P & Q coïncident, 2PC=Gv. Donc les quantités L×QR & QT² qui leur ſont proportionnelles ſeront auſſi égales, & en multipliant ces quantités égales par SP²/QR, on aura SP²×QT²/QR=L×SP². Donc, par les Cor. 1. & 5. de la Prop. 6. la force centripete ſera réciproquement comme L×SP², c’eſt-à-dire, en raiſon renverſée du quarré de la diſtance SP. C. Q. F. T.

Si on cherche la force en prenant le centre C de l’hiperbole Fig 22 pour centre des forces, on la trouvera proportionnelle à la diſtance CP. Donc, par le Cor. 3. de la Prop. 7. la force qui tend au foyer S ſera comme PE³/SP² ; c’eſt-à-dire, à cause que PE eſt donnée, réciproquement comme SP². C. Q. F. T.

On démontrera de la même maniére que ſî cette force centripete ſe change en une force centrifuge, le corps décrira l’hiperbole conjuguée.

Cela ſe démontre par les coniques.

Soient AP une parabole, S ſon foyer, A ſon ſommet principal, Fig 23 P le point de contact, PO une ordonnée au diametre principal, PM une tangente qui rencontre le diametre principal en M, & SN la ligne perpendiculaire tirée du foyer sur la tangente. Ayant tiré AN, il ſuivra de l’égalité des lignes MS & SP, MN & NP, MA & AO, que les droites AN & OP ſont parallèles, & par conséquent que le triangle SAN est rectangle en A, & semblable aux triangles égaux SNM, SNP, donc PS : SN :: SN : SA. C. Q. F. D.

Cor. 1. Donc PS² : SN² :: PS : SA.

Cor. 2. A cauſe que SA eſt donnée, SN ^{2?3?}[illisible] ſera proportionnelle à PS.

Cor. 3. Le concours d’une tangente quelconque PM & de la droite SN, tirée perpendiculairement du foyer ſur cette tangente, tombera ſur la droite AN qui touche la parabole à ſon ſommet principal.

La conſtruction demeurant la même que dans le Lemme précédent, Fig. 24. ſoient P le lieu de la parabole dans lequel on ſuppoſe d’abord le corps, & Q le lieu conſécutif, de ce lieu Q tirez QR parallele à SP, & QT perpendiculaire ſur cette ligne SP, que v ſoit la rencontre de PG avec la parallele Qv à la tangente, & x la rencontre de la même parallele Qv avec SP, parce que les triangles Pxv, PM ſont ſemblables, & que les côtés SM, SP de l’un de ces triangles ſont égaux, les côtés Px ou QR, & Pv de l’autre triangle ſeront auſſi égaux. Mais, par les coniques, le quarré de l’ordonnée Qv eſt égal au rectangle ſous le parametre & le ſegment du diametre Pv, c’eſt-à-dire, par le Lemme 13. au rectangle 4PS×Pv ou 4PS×QR ; & par le Cor. 2. du Lemme 7. les points P & Q coïncidant, la raiſon de Qv à Qx devient la raiſon d’égalité. Donc, dans ce cas, Qx²=4PS×QR. De plus, à cauſe des triangles ſemblables Qxt, SPN, Qx²:QT²::PS:SN² ; c’eſt-à-dire, Cor. i Lem. 14. ::PS:SA, ou ::4PS timesQR:4SA timesQR. Donc QT²=4SA×QR. Multipliant enſuite cette égalité par SP²/QR, on aura SP²×QT²/QR=SP²×4SA, ce qui apprend, Cor. i. & 5. de la Prop. 6. que la force centripete eſt réciproquement comme SP²×4SA, c’eſt-à-dire, à cauſe que 4SA eſt donnée que cette force eſt en raiſon renverſée du quarré de la diſtance SP. C.Q.F.T.

Cor. i. Des trois dernieres Propoſitions on tire, que ſi un corps quelconque attiré continuellement vers un centre par une force réciproquement proportionnelle au quarré des diſtances part d’un lieu P, ſuivant une droite quelconque PR, & avec une vîteſſe quelconque, ce corps ſe mouvera dans une ſection conique qui aura pour l’un de ſes foyers le centre des forces, & réciproquement ; car le foyer, le point de contact, & la poſition de la tangente étant donnés, on peut décrire la ſection conique qui aura à ce point une courbure donnée : & deux orbites qui ſe touchent, & qui ſont décrites avec la même vîteſſe & la même force centripete ne ſçauroient différer entr’elles.

Cor. 2. Si la vîteſſe avec laquelle le corps part du lieu ̯ P eſt celle qui peut lui faire décrire la petite ligne PR dans un eſpace de temps fort court, & que la force centripete puiſſe faire parcourir à ce même corps dans le même temps l’eſpace QR : le corps décrira une ſection conique, dont le parametre ſera ce que Fig 25 devient la quantité QT²/QR, lorſque les petites lignes PR & QR diminueront à l’infini.

Dans ces Corollaires je rapporte le cercle à l’ellipſe, & j’excepte le cas où le corps deſcend en ligne droite au centre.

Car, par le Cor. 2. de la Prop. 13. le parametre L eſt égal à ce que devient la quantité QT²/QR lorſque les points P & Q coïncident ; mais al petite ligne QR eſt dans un temps donné Fig 25 comme la force centripete qui la fait décrire, c’eſt-à-dire, par l’hipothèſe, en raiſon renverſée de SP², Donc QT²/QR eſt proportionnelle à QT²×SP², c’eſt-à-dire, que le parametre L eſt Fig 25 en raiſon doublée de l’aire QT×SP. C.Q.F.D.

Corol. Donc l’aire elliptique totale, & le rectangle formé pra les axes, qui lui eſt proportionnel, eſt en raiſon compoſée de la raiſon ſousdoublée du parametre, & de la raiſon du temps périodique ; car l’aire totale eſt proportionnelle à l’aire QT×SP décrite dans un temps donné, & multipliée par le temps périodique.

Puiſque le petit axe eſt moyen proportionnel entre le grand axe & le parametre, le rectangle formé par les axes eſt donc en raiſon compoſée de la raiſon ſousdoublée du paramétre & de la raiſon ſeſquiplée du grand axe ; mais ce rectangle, par le Cor. De la Pop. 14. eſt en raiſon compoſée de la raiſon ſousdoublée du parametre, & de la raiſon du temps périodique. Otant donc de part & d’autre la raiſon ſousdoublée du parametre, il reſtera la raiſon ſeſquiplée du grand axe, qui ſera la même que la raiſon du temps périodique. C.Q.F.D.

Corol. Les temps périodiques ſont donc les mêmes dans les ellipſes, & dans les cercles, dont les diametres ſont égaux aux grands axes des ellipſes.

Du foyer S à la tangente PR tirez la perpendiculaire SY, la vîteſſe du corps P ſera réciproquement en raiſon ſousdoublée de Fig 26 la quantité SY²/L ; car cette vîteſſe eſt comme le petit arc PQ décrit dans une particule de temps donnée, c’eſt-à-dire, par le Lemme 7. comme la tangente PR, ou ce qui revient au même, (à cauſe que PR:QR::SP:SY) comme SP×QT/SY, c’eſt-à-dire, comme SY réciproquement & SP×QT directement ; or SP×QT eſt comme l’aire décrite en un temps donné, c’eſt-à-dire par la Prop. 14. en raiſon ſousdoublée du parametre. C.Q.F.D.

Cor. i. Les parametres principaux ſont en raiſon compoſée de la raiſon doublée des perpendiculaires, & de la raiſon doublée des vîteſſe.

Cor. 2. Les vîteſſes des corps, dans les plus grandes & les moindres diſtances du foyer commun, ſont en raiſon compoſée de la raiſon inverſe des diſtances, & de la raiſon directe ſousdoublée des parametres principaux ; car alors les perpendiculaires ſont les diſtances elle-mêmes.

Cor. 3. Donc la vîteſſe, dans une ſection conique à la plus grande ou à la plus petite diſtance du foyer, eſt à la vîteſſe dans un cercle à la même diſtance du centre, en raiſon ſoudoublée du parametre au double de cette diſtance.

Cor. 4. Les vîteſſes des corps qui font leurs révolutions dans des ellipſes ſont les mêmes dans leurs moyennes diſtances du foyer commun, que celles des corps qui circulent dans des cercles aux mêmes diſtances ; c’eſt-à-dire, par le Cor. 6. de la Prop. 4. que ces vîteſſes ſont en raiſon inverſe ſousdoublée des diſtances. Car les perpendiculaires ſont moitié des petits axes, & les petits axes ſont comme les moyennes proportionnelles entre les moyennes diſtances & les parametres. Compoſant donc la raiſon inverſe des perpendiculaires avec la raiſon ſousdoublée directe des parametres, il en viendra la raiſon ſoudoublée inverſe des diſtances.

Cor. 4. Dans la même figure, ou même dans diverſes figures, pourvû que les parametres principaux ſoient égaux, la vîteſſe du corps eſt réciproquement comme la perpendiculaire tirée du foyer à la tangente.

Cor. 6. Dans la parabole, la vîteſſe eſt réciproquement en raiſon ſousdoublée de la diſtance du corps au foyer ; dans l’ellipſe elle varie plus que dans cette raiſon, & moins dans l’hyperbole. Pour démontrer ces trois vérités, il ſuffit de remarquer (Cor. 2. Lem. 14.) que la perpendiculaire abbaiſſée du foyer ſur la tangente de la parabole eſt en raiſon ſouſboublée de la diſtance ; que dans l’ellipſe cette perpendiculaire eſt dans une plus grande raiſon, & que dans l’hiperbole elle eſt dans une moindre raiſon.

Cor. 7. Dans la parabole, la vîteſſe, à une diſtance quelconque du foyer, eſt à la vîteſſe dans un cercle à la même diſtance du centre en raiſon ſousdoublée de deux à un. Dans l’ellipſe elle eſt dans une moindre raiſon, & dans une plus grande dans l’hiperbole ; car, par le Cor. 2. de cette Propoſition, la vîteſſe au ſomment de la parabole eſt dans cette proportion, &, par les Corol. 6. de cette Propoſition & de la Propoſition 4. cette proportion ſe conſerve à toutes les diſtances. D’où il ſuit qu’à chaque point de la parabole, la vîteſſe eſt égale à la vîteſſe du corps qui ſeroit ſa révolution dans un cercle à la moitié de la diſtance du centre ; que dans l’ellipſe elle eſt moindre, & plus grande dans l’hiberpole.

Cor. 8. La vîteſſe d’un corps qui circule dans une ſection conique quelconque eſt à la vîteſſe d’un corps qui fait ſa révolution dans un cercle à la diſtance de la moitié du parametre principal, comme cette diſtance eſt à la perpendiculaire abaiſſée du foyer de la ſection ſur la tangente. La démonſtration en eſt évidente par le Cor. 5.

Cor. 9. Donc, puiſque (Cor. 6. Prop. 4.) la vîteſſe d’un corps qui tourne dans ce cercle ſeroit à la vîteſſe d’un corps qui tourne dans un autre cercle quelconque en raiſon ſousdoublée inverſe des diſtances, la vîteſſe d’un corps qui tourne dans une ſection conique ſera à la vîteſſe de celui qui tourne dans un cercle à la même diſtance, comme la moyenne proportionnelle entre cette diſtance commune & la moitié du parametre principal de la ſection conique eſt à la perpendiculaire abaiſſée du foyer commun ſur la tangente de cette ſection conique.

Que la force centripete qui tend au point S ſoit celle qui Fig 27 & 28 fait circuler le corps p dans une orbite donnée pq, & que la vîteſſe de ce corps au point p ſoit connue. Que le corps P parte du lieu P, ſuivant la ligne PR avec une vîteſſe donnée, & qu’en vertu de cette vîteſſe & de la force centripete, il décrive la ſection conique PQ. Que la droite PR touche cette courbe en P, & que pr touche pareillement l’orbite pq en p ; ſi l’on imagine des perpendiculaires tirées du point S à ces tangentes ; il eſt clair, par le Cor. i. de la Prop. 16. que le principal parametre de la ſection conique cherchée ſera au principal parametre de l’orbite donnée, en raiſon compoſée de la raiſon doublée des perpendiculaires, & de la raiſon doublée des vîteſſes, ainſi il ſera donné. Soit L le parametre de la ſection conique cherchée, le foyer S de cette même ſection étant auſſi donné, en faiſant l’angle RPH égal au complément à deux droits de l’angle RPS, on aura la poſition de la ligne PH, qui paſſe par l’autre foyer ; car tirant SK perpendiculaire à PH, & ſuppoſant que BC ſoit le demi axe conjugué, on aura, SP²−2KP×PH+PH²= SH²= 4CH²= 4BH²−4BC²= SP+PH¯²−L×SP+PH¯= SP²+2SP×PH+PH²−L×SP+PH¯, & ajoûtant de part & d’autre 2KP×PH−SP²−PH²+L×SP+PH¯, il viendra L×SP+PH¯= 2SP×PH+2KP×PH ou SP+PH:PH::2SP+2KP:L, d’où PH eſt donnée tant de longueur que de poſition.

Si la vîteſſe du corps au point P eſt telle que le parametre L ſoit moindre que 2SP+2KP, la ligne PH tombera du même Fig 27 côté de la tangente PR que la ligne PS ; ainſi la courbe ſera une ellipſe, & comme ſes foyers S & H ſeront donnés, ſon grand axe SP+PH ſera auſſi donné.

Si la vîteſſe du corps eſt telle, que le parametre L ſoit égal à 2SP+2KP, la ligne PH ſera infinie, & par conſéquent la courbe ſera une parabole dont l’axe SH parallele à la ligne PK ſera donné.

Si le corps part du lieu P avec une vîteſſe encore plus grande, il faudra prendre la ligne PH de l’autre côté de la tangente ; ainſi la tangente paſſant entre les foyers, la courbe ſera une hiperbole dont l’axe principal ſera égal à la différence des lignes SP & PH, & ſera par conſéquent donné.

Dans tous les cas, ſi l’on ſuppoſe que le corps P ſe meuve dans la ſection conique ainſi trouvée, il eſt clair, par les Prop. 11, 12. & 13. que la force centripete ſera réciproquement comme le quarré de la diſtance du corps au centre S des forces ; ainſi la ligne PQ repréſentera exactement celle que le corps décrira par une telle force en partant du lieu donné P, avec une vîteſſe donnée, & ſuivant une ligne droite PR donnée de poſition. C.Q.F.F.

Cor. 1. De-là, le ſommet principal D, le parametre L, & le foyer S étant donnés, on aura dans tout ſection conique l’autre foyer H, en prenant DH à DS, comme le parametre à la différence entre le parametre & 4DS ; car la proportion SP+PH:PH::2SP+2PK:L devient dans le cas de ce Corollair, DS+DH:DH::4DS:L, & en diviſant on aura DS:DH::4DS−L:L.

Cor. 2. Ainſi, ſi la vîteſſe du corps dans le ſommet principal D eſt donnée, on trouvera facilement l’orbite, en déterminant d’abord ſon parametre par cette condition (Cor. 3. de la prop. 16) Fig 27 qu’il ſoit au double de la diſtance DS en raiſon doublée de cette vîteſſe donnée à la vîteſſe du corps qui tourne dans un cercle à la diſtance DS, & en prenant enſuite DH à DS, comme le parametre eſt à la différence entre le parametre & 4DS.

Cor. 3. De-là, ſi le corps ſe meut dans une ſection conique quelconque, & qu’il ſoit dérangé de ſon orbite par une impulſion quelconque ; on pourra connoître la nouvelle orbite dans laquelle il circulera enſuite, en compoſant le mouvement que ce corps a déjà avec le mouvement que cette impluſion ſeule lui auroit imprimé ; car par ce moyen on aura le mouvement du corps lorſqu’il part du lieu donné dans lequel il a reçu l’impulſion ſuivant une ligne droite donnée de poſition.

Cor. 4. Et ſi ce corps eſt continuellement troublé dans ſa révolution par quelque force qui lui ſoit imprimée extérieurement, on connoîtra à peu près la courbe qu’il décrira, en prenant les changemens que cette force produit dans pluſieurs points quelconques, & en eſtimant par l’ordre de la ſérie les changemens continuels dans les lieux intermédiaires.

Si le corps P par une force centripete qui tend à un point quelconque donné R, ſe meut dans le périmetre d’une ſection conique quelconque donnée, dont le centre ſoit C ; & qu’on cherche Fig 29 la loi de la force centripete : on n’aura qu’à mener CG parallele au rayon RP, & qui rencontre la tangente PG en G, & cette force ſera, par le Cor. 1. & la Scholie de la Prop. 10 & par le Cor. 3. de la Prop. 7. comme CG^{?}/RP² [illisible].

