title: L’Encyclopédie/1re édition/FROTTEMENT
text: # L’Encyclopédie/1re édition/FROTTEMENT
  
  FROTTEMENT, s. m. (Méch.) c’est la résistance qu’apporte au mouvement de deux corps l’un sur l’autre, l’inégalité de leurs surfaces.
  
  Il n’est aucun corps qui lorsqu’il glisse sur un autre, n’éprouve une pareille résistance ; parce qu’il n’en est aucun dont la surface ne soit inégale. Il est aisé de s’en convaincre, en examinant au microscope ceux mêmes que nous regardons comme les mieux polis ; on y apperçoit bien-tôt bien de petites éminences & cavités qui avoient échappé à la vûe simple.
  
  Lors donc que l’on applique l’une contre l’autre deux surfaces de cette nature, les petites éminences de l’une doivent nécessairement entrer dans les petites cavités de l’autre ; & pour en mouvoir une, il faut dégager ces éminences des cavités dans lesquelles elles sont enfoncées : pour cet effet il est nécessaire ou de les briser, ou de les plier comme des ressorts ; ou si leur extrème dureté empêche l’un & l’autre de ces effets, il faut un peu soûlever le corps entier. Toutes ces choses exigent une certaine force, & il en doit résulter un obstacle au mouvement : c’est ce que l’on nomme frottement.
  
  On peut en distinguer deux especes. S’il s’agit de faire parcourir à un corps la surface d’un autre corps, cela peut s’exécuter de deux manieres différentes, qu’il est important de ne pas confondre : 1°. en appliquant successivement les mêmes parties de l’un à différentes parties de l’autre, comme quand on fait glisser un livre sur une table ; & on peut nommer ce frottement, celui de la premiere espece : 2°. en faisant toucher successivement différentes parties d’une surface à différentes parties d’une autre surface, comme lorsqu’on fait rouler une boule sur un billard ; & je le nomme frottement de la seconde espece. Le premier est celui dont j’ai parlé d’abord. Dans le second cas, les parties engagées se quittent à-peu-près comme les dents de deux roues de montre se desengrenent. Voyez figure 38. de la Méchanique, où CD est le corps roulant, AB la surface du corps sur lequel il roule, & H, F, les inégalités des deux surfaces au point d’attouchement. S’il arrive qu’elles ayent quelquefois peine à se quitter, c’est qu’il y a disproportion entre les parties saillantes & les vuides qui les reçoivent ; mais jamais cette seconde espece de frottement ne ralentit autant le mouvement que la premiere : c’est de celle-ci que je vais m’occuper plus particulierement.
  
  La quantité du frottement dépend d’une infinité de circonstances, qui me paroissent pourtant toutes pouvoir être rapportées à quelqu’un de ces cinq chefs : 1°. la nature des surfaces qui frottent ; 2°. leur grandeur ; 3°. la pression qui les applique l’une à l’autre, 4°. leur vîtesse ; 5°. la longueur du levier auquel on peut regarder comme appliquée la résistance dont il s’agit.
  
  I. La nature des surfaces est certainement la principale considération, à laquelle il faut avoir égard pour juger de la quantité du frottement ; il est évident que plus les inégalités de ces surfaces seront ou nombreuses, ou éminentes, ou roides, ou difficiles à briser ou à plier, plus aussi le frottement qui en résultera sera considérable. Il suit de-là, 1°. que l’on doit trouver moins de résistance à faire glisser un corps poli sur une surface polie, qu’un corps rude & grossier sur une surface inégale & raboteuse. 2°. Que l’huile ou la graisse dont on enduit ordinairement les surfaces que l’on veut faire glisser avec plus de facilité, doivent effectivement diminuer le frottement ; puisque se logeant dans les petites cavités de ces surfaces, elles empêchent les petites éminences d’y entrer aussi profondément ; & que la forme sphérique des petites molécules de l’huile les rend propres, comme autant de rouleaux, à changer en partie le frottement, qui seroit sans cela uniquement de la premiere espece, en un autre de la seconde.
  
  Ces raisonnemens, quelques plausibles qu’ils paroissent, ne décideroient pas néanmoins ces deux points, si l’expérience ne les appuyoit. La structure des petites parties des corps, & la nature de leurs surfaces nous est si peu connue, qu’il est impossible de suivre ici d’autre guide que l’expérience ; encore n’avons-nous pas l’avantage d’être conduits par elle dans cette matiere-ci aussi sûrement que dans la plûpart des autres. Nous ne trouvons dans les différens auteurs qui nous ont fait part de leurs tentatives, que des résultats opposés, & souvent des contradictions. Par exemple, M. Amontons nous dit qu’il a éprouvé que des plans de cuivre, de fer, de plomb & de bois, bien enduits de vieux-oing, placés sur d’autres plans de pareille matiere, & chargés également, ont à-peu-près le même frottement. M. Musschenbroek au contraire nous donne une table de différentes expériences qu’il a faites, pour connoître le frottement d’un arc d’acier dans des bassinets de gayac, de cuivre rouge, de cuivre jaune, d’acier, d’étain, &c. par lesquelles il paroît que le frottement de l’essieu a été très-différent dans les différens bassinets, quoique huilés. Il paroît par la machine que M. Musschenbroek a employé pour ces expériences, & par l’exactitude qu’il y a apportée, qu’on peut mieux compter sur ses résultats, que sur ceux de M. Amontons ; d’autant plus que le frottement dépendant de la nature des surfaces, il seroit bien singulier que l’huile interposée rendît tout égal.
  
  L’eau fait un effet bien différent de l’huile ; un grand nombre de corps glissent moins aisément quand ils sont mouillés, qu’étant secs ; & il y a à cet égard de grandes différences entre les différens corps, le frottement de quelques-uns étant presque double, & celui de quelques autres au contraire diminue. Je ne crois pas que dans un ouvrage tel que celui-ci qui n’est point un traité complet du frottement, je doive entrer dans le détail des expériences faites sur les différentes sortes de matieres ; je remarquerai seulement que comme on a des tables de la densité spécifique des différens corps, il seroit aussi fort à souhaiter qu’on en eût sur leur frottement : mais en même tems que nous le desirons, nous ne pouvons nous empêcher de sentir qu’un tel ouvrage est presque impossible ; du-moins il demanderoit une patience infatigable, & plus d’un observateur. Il faudroit avoir grand soin que hors la différence de la matiere, il n’y en eût aucune dans les corps dont on voudroit comparer le frottement ; il faudroit employer la même huile, & varier ensuite beaucoup les circonstances, en les conservant néanmoins les mêmes pour chaque sorte de matiere. Une grande difficulté qui s’y trouveroit, seroit qu’on observeroit bientôt que dans de certaines circonstances, les mêmes pour le bois & le fer par exemple, le bois éprouve plus de résistance que le fer ; & que dans d’autres, aussi les mêmes pour ces deux corps, le fer en éprouve plus que le bois ; ce qui obligeroit d’entrer dans de prodigieux détails, pour pouvoir tirer de ces tables quelque secours.
  
  II. La grandeur des surfaces frottées avoit paru jusqu’à M. Amontons, devoir entrer pour quelque chose dans l’évaluation du frottement ; il sembloit naturel que deux corps se touchant en plus de points, il y eût aussi plus d’éminences engagées réciproquement dans les cavités des surfaces de l’un & de l’autre, & ainsi plus de difficulté à les faire glisser l’un sur l’autre. M. Amontons en examinant la chose de plus près, a remarqué que ce n’étoit pas seulement au nombre des éminences engagées dans les petites cavités des corps, qu’il falloit avoir attention, mais qu’il falloit aussi considérer le plus ou moins de profondeur où elles pénétroient. Or comme les éminences d’un corps qui en touche un autre par une large surface, doivent entrer moins profondément dans les cavités de ce dernier, que lorsque cette surface est étroite, puisqu’alors le poids du corps est employé à faire entrer un plus grand nombre d’éminences, il en conclut qu’il se faisoit ici une compensation, & que la grandeur de la surface n’entroit pour rien dans l’évaluation du frottement. Ce raisonnement auroit converti peu de physiciens, s’il n’eût été accompagné de l’expérience : on auroit accordé à M. Amontons qu’il prouvoit très-bien que, toutes choses d’ailleurs égales, le frottement n’augmentoit pas autant que la surface, mais on lui auroit contesté l’exactitude de cette compensation qu’il supposoit, & que ce raisonnement ne démontroit nullement.
  
  Il eut donc recours à l’expérience, pour se confirmer dans sa conjecture, ou pour l’abandonner ; & il rapporte (mém. de l’acad. 1703 & 4.) qu’il a toûjours marqué que la quantité du frottement étoit absolument indépendante de la grandeur des surfaces : M. Camus (des forces mouvantes), & M. Desaguliers (cours de Physiq. expérim.) confirment la même chose. Malgré toutes ces autorités, la question n’est point encore décidée. M. Musschenbroek (essais de Phys.) nous fait part de quelques expériences qu’il a faites sur le point dont il s’agit, & qui sont entierement opposées aux précédentes. Ayant mis en mouvement sur des planches de sapin deux petites planches aussi de sapin, longues chacune de treize pouces, & larges l’une d’un pouce, & l’autre de deux pouces onze lignes, & chargées toutes les deux d’un même poids, y compris le poids de la planche ; la plus large a toûjours eu plus de frottement. M. l’abbé Nollet (Leçons de Physiq. expérim.) nous apprend aussi qu’il a toûjours trouvé le frottement augmenté avec la surface.
  
  A ces expériences faites avec le plus grand soin, si l’on ajoûte que tous les artistes qui ont besoin pour la perfection de leur ouvrage, de diminuer le frottement, sont dans l’usage constant de diminuer le contact, & s’en trouvent bien : il sera bien difficile de ne pas pancher à croire que la grandeur des surfaces ne soit de quelque influence pour le frottement. Remarquons néanmoins, que si l’on diminuoit les surfaces jusqu’à les rendre tranchantes, le frottement, bien loin d’être diminué, seroit dans plusieurs cas beaucoup augmenté. M. Musschenbroek est même dans l’idée que pour une pression donnée, il y a une certaine grandeur de surface à laquelle répond un minimum de frottement ; de sorte que soit qu’on l’augmente ou qu’on la diminue, la résistance est augmentée. Mais cela auroit besoin d’être déterminé encore plus exactement par l’expérience.
  
  III. Tous les Physiciens conviennent que la pression qui applique l’une à l’autre les surfaces qu’on veut faire glisser, est une des principales considérations qui doit entrer dans l’évaluation du frottement. Non-seulement les expériences qu’ils nous rapportent, mais aussi les observations les plus communes & les plus journalieres, nous font voir que le frottement augmente avec cette force ; & l’on conçoit aisément qu’une plus grande pression fait entrer à une plus grande profondeur les éminences d’une surface dans les petites cavités de l’autre, & augmente ainsi la difficulté qu’il y a à les en dégager. Mais il se présente ici une question sur laquelle il faut avoüer qu’il reste encore de l’incertitude ; c’est de savoir si le frottement augmente proportionnellement à la force qui applique les surfaces l’une à l’autre ; de façon qu’il y ait toûjours un rapport constant entre cette force & la difficulté qui en résulte pour mouvoir le corps ; ou bien, si ce frottement augmente plus ou moins que proportionnellement à cette pression.
  
  Les expériences de M. Amontons l’ont porté à regarder le rapport du frottement à la pression comme constant : il a crû que le frottement étoit à-peu près le même pour les corps huilés ou graissés, & à peu de chose près le tiers du poids. M. Desaguliers le répete ; & la plûpart des Physiciens partent de cette hypothèse, quand ils veulent faire le calcul de frottement de quelque machine. Cependant, après ce qui a été dit plus haut des expériences de M. Musschenbroek, pour montrer que le frottement des différens métaux huilés ou graissés, est très-différent, on ne sauroit regarder comme assez généralement vrai & exact, que le frottement soit le tiers du poids. Mais il y a plus. Si l’on examine avec soin les tables que MM. de Camus & Musschenbroek nous ont données de leurs expériences sur cette matiere, ou ne trouve pas qu’un même corps différemment chargé ait un frottement proportionnel à cette charge. Malheureusement ces expériences, d’accord en ce point, different en ce que celles du premier font le frottement d’une surface peu chargée, proportionnellement plus grand que celui de celles qui le sont plus : au lieu que suivant celles de M. Musschenbroek, il est souvent proportionnellement plus petit. Par exemple, lorsque l’essieu du tribometre de M. Musschenbroek (voyez Tribometre) se trouvoit dans le bassinet de cuivre rouge, il falloit quatre dragmes pour le mettre en mouvement, la charge étant de trois cents quatre-vingt-huit dragmes ; & il en falloit huit, s’il étoit chargé de six cents quarante-huit ; au lieu qu’il n’en auroit fallu que six & deux tiers, à-peu-près, si le frottement eût augmenté proportionnellement à la pression.
  
  Une telle contradiction entre les expériences de ces deux Physiciens, est d’autant plus singuliere, qu’on n’en sauroit soupçonner aucun de n’y avoir pas apporté toute l’exactitude & l’attention possibles. Je ne vois qu’une façon de les concilier : l’essieu du tribometre de M. Musschenbroek, & les bassinets qui le reçoivent, sont parfaitement polis, & s’appliquent ainsi l’un à l’autre très-intimement, de façon à laisser peu de vuide : cette application est d’autant plus intime, que l’essieu est plus chargé. Par-là l’essieu & le bassinet se trouvent dans le cas de deux plaques de verre bien polies, que la pression de l’air extérieur & l’attraction de contact collent si bien l’une à l’autre, que non seulement il est presque impossible de les séparer directement, mais qu’outre cela elles glissent avec plus de peine que si elles eussent été moins exactement polies.
  
  Il est vrai que l’essieu & le bassinet étant de forme cylindrique & arrondis, ne doivent se toucher que par une bien petite surface ; & que par conséquent, la pression de l’air extérieur & l’attraction qui les appliquent l’un à l’autre, semblent devoir produire ici peu d’effet : mais il est aisé de s’appercevoir qu’un contact d’une ligne quarrée suffiroit seule pour occasionner le phénomene que nous cherchons ici à expliquer.
  
  Quoique la pression qui applique les surfaces de deux corps, soit une des principales causes de la difficulté qu’on éprouve à les faire glisser l’une sur l’autre, il ne faut pourtant pas croire que cette difficulté cessât toûjours entierement, si cette pression devenoit nulle. L’exemple de deux scies suspendues verticalement, de façon que les dents de l’une se logent dans les intervalles que laissent celles de l’autre, peut servir à nous convaincre du contraire. Il est sûr que si l’on vouloit mouvoir une d’elles verticalement, cet engagement réciproque de leurs dents y apporteroit quelque obstacle, & formeroit une résistance de la nature de celle que nous avons nommée frottement : il est vrai que cette résistance ou seroit absolument invincible, ou cesseroit bien-tôt, les dents s’étant dégagées, & n’y ayant aucune force qui les oblige à s’embarrasser de nouveau les unes dans les autres.
  
  IV. La vîtesse des surfaces qui frottent paroît devoir influer sur la quantité du frottement : il semble qu’un corps qui se meut plus vîte rencontre dans le même tems un plus grand nombre de petites éminences de la surface de celui sur lequel il se meut, les choque aussi plus rudement, ou les plie plus vîte ; & par toutes ces considérations, doit éprouver beaucoup plus de résistance à son mouvement.
  
  Aussi M. Musschenbroek nous dit s’être assûré par des expériences dont il ne donne pas le détail, que le frottement étoit proportionnel à la vîtesse, excepté lorsque cette vîtesse est très-considérable : car dans ce cas il a trouvé le frottement beaucoup plus augmenté.
  
  Cependant M Euler considérant que dans le mouvement d’un corps qui glisse sur un autre, les petites éminences de sa surface se dégagent des petites cavités de l’autre, & y retombent alternativement, a crû qu’il ne devoit éprouver de résistance que comme par intervalle ; au lieu qu’un corps en repos qu’on veut mouvoir, en éprouvoit une continuelle ; & qu’ainsi la vîtesse d’un corps, bien loin d’augmenter le frottement, devoit le diminuer. A cette considération il en ajoûte une autre tirée de l’expérience : il lui a paru que lorsqu’on donnoit à un plan incliné une inclinaison très-peu différente de celle où le frottement étoit précisément égal à l’action de la pesanteur, pour mouvoir le corps, ce corps parcouroit le plan incliné beaucoup plus vîte qu’on n’auroit dû s’y attendre, vû le leger changement qui s’étoit fait dans l’inclinaison : d’où il a conclu que le mouvement une fois commencé, le frottement étoit diminué : il a même donné une méthode pour décider par le tems qu’un corps employe à parcourir un tel plan, si sa conjecture est juste & conforme à la réalité. Voyez, sur tout cela, les mém. de Berlin, ann. 1748.
  
  De telles contradictions entre des Physiciens de cet ordre, nous montrent combien nous sommes encore éloignés de connoître la nature & les vraies lois du frottement ; c’est à l’expérience seule à nous les apprendre : sur le point dont il s’agit actuellement, nous n’en avons aucune qui mérite une confiance entiere. M. Musschenbroek ne nous ayant point communiqué son procédé, nous ne pouvons pas juger s’il ne s’est point glissé quelque erreur dans les résultats qu’il nous donne ; & nous croyons qu’il est plus sage d’attendre de nouvelles expériences, pour décider si & comment la vîtesse doit entrer dans l’évaluation de cette résistance.
  
  V. Le frottement retarde & détruit le mouvement d’un corps, comme le feroit une puissance qu’il tireroit dans une direction opposée à celle de ce mouvement : d’où il suit tout naturellement, que pour juger de la résistance qu’il apporte à l’action de la puissance, qui produit ou tend à produire ce mouvement, il ne suffit pas de connoître sa quantité absolue, mais qu’il faut aussi avoir égard au bras de levier auquel il est appliqué, relativement à la longueur de celui par lequel agit la puissance. Ainsi, par exemple, quand on employe pour élever un corps une poulie mobile autour de son axe, le frottement qu’il y a à vaincre est celui de l’axe de la poulie dans les petites cavités qui le reçoivent, la résistance qui en résulte se trouve donc appliquée à un bras de levier d’autant plus court que celui par lequel agit la puissance, que le diametre de cet axe est plus petit que celui de la poulie même : aussi le frottement est-il incomparablement moindre que si cette poulie étoit immobile autour de son axe.
  
  On peut expliquer par-là l’avantage des grandes poulies & des grandes roues sur les petites, & celui des voitures montées sur des roues par-dessus les simples traineaux. Cette observation sert encore à faire comprendre pourquoi dans une descente rapide on se trouve très-bien d’enrayer les roues : c’est que par là la résistance qui provient du frottement se trouve appliquée à la circonférence de la roue, au lieu qu’elle l’étoit à celle de l’essieu : la roue enrayée augmente donc le frottement, & empêche la voiture de descendre avec trop de rapidité.
  
  Nous pourrons encore expliquer, au moyen des mêmes principes, pourquoi les balances courtes sont moins exactes que celles dont le fléau est long, & pourquoi les romaines le sont ordinairement moins que les balances communes : car il est facile de voir que si la marchandise dont on veut connoître le poids se trouve excéder tant-soit-peu ce qu’elle devroit être pour tenir en équilibre les poids auxquels on la compare, elle fera trébucher la balance d’autant plus aisément qu’elle se trouvera plus éloignée de l’axe autour duquel se fait son mouvement ; puisque le bras de levier par lequel elle surmontera le frottement qu’il y a autour de cet axe, sera d’autant plus long.
  
  Il y a dans tous les Arts je ne sais combien de petites attentions de pratique, pour diminuer le frottement ; par exemple, celle de faire porter les essieux sur des rouleaux (fig. 39. méchaniq.) : je ne crois pas nécessaire de m’y arrêter.
  
  S’il est hors de doute que la diminution du bras de levier auquel sont appliquées les parties qui frottent, est un moyen très-efficace de diminuer le frottement, il ne l’est pas également que ces diminutions soient exactement proportionnelles l’une à l’autre. L’expérience semble avoir montré aux Artistes, que lorsque le pivot autour duquel on fait tourner une roue, est extrèmement petit, le frottement n’est pas diminue à proportion de la petitesse, & qu’on se tromperoit beaucoup, si du frottement d’un pivot d’un quart de ligne de diametre, on vouloit conclure celui d’un pié, en l’estimant 576 fois plus considérable : la raison en est sans doute, que les petites éminences des surfaces des corps ont alors une proportion sensible avec le diametre du pivot, & font ainsi plus d’obstacle à-son mouvement ; à-peu-près comme une petite roue a de la peine à sortir d’une orniere qu’une grande roue franchit aisément.
  
  Voilà un précis des connoissances que nous avons de la nature & des lois du frottement ; connoissances bien imparfaites, comme on peut aisément s’en appercevoir, & qui le seront vraissemblablement encore long-tems. En effet, y ayant de si grandes variétés dans le tissu des différens corps, & celui d’un même corps n’étant pas lui-même homogene, & de plus, sujet à des variations par le froid & le chaud, le sec & l’humide, & par mille autres circonstances ; il paroît bien difficile de parvenir à des lois générales sur cette matiere.
  
  Ajoûtez à cela que la plûpart des Physiciens qui s’en sont occupés, ont employé pour leurs expériences des méthodes sujettes à équivoque, & propres à faire naître de l’incertitude dans leur résultat. Le tribometre de M. Musschenbroek a, par exemple, cet inconvénient, qu’une partie de la force destinée à faire tourner le disque, s’employe à plier la corde ; ce qui n’est pas à négliger. Le même inconvénient a lieu, lorsque la puissance qui doit mouvoir un corps sur un plan est appliquée à une corde qui passe sur une poulie ; & il y a de plus dans ce dernier cas, un frottement auquel on n’a aucun égard, qui est celui qui se fait autour de l’axe de la poulie. Il me semble que de tous les moyens qui ont été employés pour connoître par l’expérience les différentes lois du frottement, il n’y en a point de plus simple & en même tems de moins sujet à équivoque, que de se servir d’un plan incliné, auquel on donne une inclinaison telle que le frottement du plan & la pesanteur du corps soient précisément en équilibre. L’inclinaison du plan fait connoître la force qui eût été nécessaire pour retenir le corps sur un plan parfaitement poli ; & de cette façon, le frottement qui tient lieu de cette force sera connu sans équivoque. Cette méthode a été suivie par quelques physiciens : mais il semble qu’on auroit pû en tirer un meilleur parti.
  
  Je ne m’arrêterai pas actuellement à calculer le frottement des différentes machines ; il faudroit embrasser, pour cet effet, quelque hypothèse particuliere ; & le choix ne laisseroit pas que d’en être embarrassant. D’ailleurs on peut voir dans les essais de Phys. de Musschenbroek, un exemple de ce calcul. Je finirai cet article par quelques observations.
  
  1°. On est quelquefois surpris de ce qu’il n’est pas nécessaire que la force qui a introduit un coin dans une fente y soit continuellement appliquée, pour qu’il y reste engagé, malgré l’effort des parois de la fente pour se rapprocher. La vis nous offre quelque chose de semblable. Si l’on comprime par son moyen quelque corps élastique, on ne voit pas que le ressort des parties comprimées fasse rétrograder la vis dans son écrou, lorsque la puissance cesse de lui être appliquée.
  
  Le frottement est l’unique cause de ces deux phénomenes ; car dans l’un & l’autre cas, l’effort que sont les parties séparées ou comprimées pour revenir à leur premiere situation, peut se décomposer en deux autres, dont l’un s’employe tout entier à appliquer les faces du coin contre les côtes de la fente, ou le filet de la vis contre les parois intérieures de l’écrou ; & l’autre tend à faire glisser le coin hors de la fente, & la vis sur son écrou, comme sur des plans inclinés : & tant que ce dernier effort n’est pas au premier dans un plus grand rapport, que le frottement à la pression qui le cause, son action est nulle ; la vis ne peut rétrograder, & le coin doit rester dans la fente. De-là vient que quand le pas de la vis est grand, c’est à-dire quand son filet fait avec son axe un angle assez aigu, la vis remonte dans l’écrou par le ressort des parties comprimées, comme on peut le voir dans les imprimeries & dans les monnoies. De même aussi il arrive quelquefois, que lorsqu’on introduit dans une fente un coin qui n’est pas assez aigu, il en ressort avec promptitude, & est chassé en-arriere avec vîtesse ; par la même raison qu’un noyau de cerise s’échappe des doigts de celui qui le presse, & s’élance à une grande distance.
  
  2°. On lit dans tous les livres de Statique, que la direction la plus avantageuse, pour mouvoir un corps sur un plan horisontal ou incliné, est celle qui est parallele au plan ; & l’on a raison, tant que l’on suppose ce plan parfaitement poli, & que l’on fait abstraction de tout frottement. Mais si l’on veut y avoir égard, ce n’est plus la même chose. En ce cas voici comme je détermine cette direction. Soit un corps P qu’il faut mouvoir sur un plan horisontal AB (fig. 39. Méchan. n°. 2.), au moyen d’une force donnée A, & soit CP la direction dans laquelle on fait agir cette puissance ; soit prise CP=1, & soient menées PD parallele au plan & CD perpendiculaire à PD, soit CD=x ; donc PD=√(1−xx) il est évident que l’effort de la puissance A pour mouvoir le corps peut s’exprimer par A√(1−xx) & supposant le frottement à la pression dans le rapport donné de m à n, la résistance qui en résulte sera m/n P−m/n Ax, puisque l’effort DC que fait la puissance A s’employe à diminuer la pression qu’exerce le corps sur le plan ; donc le corps P est mis en mouvement par une force A√(1−xx)−m/n P+m/n Ax ; & si la direction PC est la plus avantageuse, cette quantité doit être un maximum ; donc m/n dx−xdx/√(1−xx)=0 & x−m/(√(m²+n²)) Ainsi le sinus de l’angle que doit faire la direction de la puissance avec le plan pour agir avec le plus d’avantage, doit être non pas zéro, mais x−m/(√(m²+n²)). Si l’on suppose avec M. Amontons m/n=1/3, on a x=1/√(10), & l’angle CPD d’environ 18ᵈ 1/2.
  
  3°. Si l’on avoit une théorie exacte des lois du frottement, on n’auroit pas besoin d’en faire abstraction dans plusieurs beaux problèmes de Méchanique, comme ceux de la brachystochrone, de la courbe isochrone paracentrique, des tautochrones, & beaucoup d’autres. J’ai fait un essai du probleme des tautochrones, soit dans le vuide, soit dans un milieu qui résiste comme le quarré des vîtesses, & dans un milieu qui résiste infiniment peu, suivant une fonction quelconque des vîtesses, en y considérant aussi le frottement ; & j’ai eu le plaisir de retrouver encore pour tautochrone une portion de cycloïde, qui devient la demi-cycloïde, lorsque le frottement est nul. Comme l’académie devant qui j’ai eu l’honneur de lire la solution de ces problemes, l’a jugée digne d’être imprimée dans le volume de ses correspondans, j’y renvoie ceux qui se feront plaisir de voir le détail du calcul. Cet article est de M. Necker le fils, citoyen de Genève, & correspondant de l’académie royale des Sciences de Paris.
  
  Frottement, (Hydr.) Outre les causes de frottement communes à toutes les machines, comme celles qui proviennent de l’engrenage des roues, &c. il se fait dans les pompes un frottement contre les parois d’un tuyau où l’eau passe, dans les passages des soupapes, des robinets, dans les coudes & jarrets des conduites, dans la souche d’un jet, & dans la platine d’un ajutage. Le canon d’une jauge n’en est pas même excepté, ainsi que l’épaisseur de la cloison qui est dans la cuvette.
  
  Quant aux engrenages des roues dans les lanternes, on en rend le mouvement plus doux en les graissant avec du savon noir, ce qui les fait encore durer davantage. Pour les crapaudines, les boulons, les torillons, les bielles, & autres pieces, on les frotte d’huile.
  
  On ne peut éviter le frottement qui se fait contre les parois d’un tuyau, sur-tout dans les coudes & jarrets des conduites tournantes, qu’en interrompant le diametre ordinaire de la conduite pour y mettre deux ou trois toises de suite de plus gros tuyaux, & reprendre ensuite le diametre de la conduite. Les ouvertures des soupapes & robinets sujettes aux étranglemens, se peuvent encore éviter en y employant des soupapes & des robinets d’un plus grand diametre. La souche d’un jet sera tenue aussi plus grosse, & la platine de l’ajutage la plus mince qu’il se pourra.
  
  On peut éviter plus de la moitié du frottement dans les jauges, en n’y mettant point de canons, & laissant couler l’eau par les ouvertures faites dans la platine qui sera des plus minces.
  
  Il n’y a point de frottement pareil à celui qui se fait dans les fourches trop menues d’une machine hydraulique à trois corps de pompe ; le remede à cet étranglement, est de donner à chaque fourche un diametre égal à chaque corps de pompe, ainsi qu’au tuyau montant. Voyez Pompe. (K)
  
  Frottement, (Horlogerie.) L’Horlogerie est de tous les arts celui qui présente sur le frottement les plus grands & les plus singuliers phénomenes ; car dans tous les arts, excepté l’Horlogerie, les frottemens n’agissent que comme résistance, ou comme obstacles au mouvement des corps appliqués les uns contre les autres ; & par l’altération qu’ils causent aux pieces dont les machines sont composées. Avec de la force & une réparation nécessaire aux pieces altérées, l’on satisfait à tous les frottemens dans ces machines.
  
  Il n’en est pas de même en Horlogerie ; les résistances & les altérations des pieces y sont presque pour rien. C’est de la variété connue des frottemens qui agissent en retardant plus ou moins la vîtesse des corps, que provient une si grande irrégularité dans l’Horlogerie, & principalement dans les montres.
  
  Comme il sera nécessaire d’entrer dans quelque détail sur la cause de ces variétés, il est bon de poser quelques principes généraux pour nous servir de guide sur ce qui fait l’objet de nos recherches.
  
  L’Horlogerie peut être considérée comme étant la science des mouvemens : car c’est par elle que le tems, la vîtesse, & l’espace sont exactement mesurés, & à qui toutes les autres sont subordonnées. Donc ce que je dirai sur les frottemens appartenans à l’Horlogerie, pourra être de quelqu’utilité à tous les arts, n’y en ayant point dont les objets ne soient susceptibles de mouvemens, par conséquent de frottemens.
  
  Les frottemens sont cette résistance ou obstacle qu’on éprouve lorsque l’on applique des corps les uns contre les autres pour les faire mouvoir, ou simplement leur donner une tendance au mouvement ; car où il n’y a point de mouvement ni de tendance, il ne sauroit y avoir de résistance, par conséquent point de frottement. Je fais ici abstraction de l’inertie des corps.
  
  Les lois du mouvement étant connues, il paroîtroit qu’on en pourroit déduire celle des frottemens, comme l’on en déduit celle de la vîtesse, de l’espace, & du tems : car dans l’un & l’autre cas il y a de commun l’espace parcouru. Mais malgré la connexion qu’il y a entre ces choses, l’on n’a pû encore déterminer de principe sur lequel l’on puisse établir une théorie des frottemens applicable à l’Horlogerie en petit.
  
  Dans les pendules, sur-tout celles à grande vibration, le régulateur ou la puissance est si grande qu’elle réduit presque à rien les variations causées par les frottemens : de sorte que si l’on prévient l’altération des pieces par la dureté & le poli qu’on peut leur donner, & si l’on n’employe que la force nécessaire pour entretenir le mouvement, il y aura peu d’altération à craindre, par conséquent peu à réparer ; c’est donc tout ce qu’il y a de plus essentiel à observer dans les pendules.
  
  Dans l’Horlogerie en petit, ou dans les montres, les altérations y sont presque pour rien. Il n’est pas rare de voir des montres qui pendant 40 ou 50 ans ont toûjours marché, & auxquelles on n’a fait autre chose que de les nettoyer de-tems-en-tems, sans qu’il y eût des altérations absolument nécessaires de réparer. Avec si peu de changement, il est étonnant que l’on voye aller fort mal tant de montres, qui sont cependant assez bien composées & exécutées. Elles varient donc par la foiblesse du régulateur, qui ne surmonte pas l’irrégularité causée par les frottemens. C’est donc ce qu’il y a de plus essentiel à examiner.
  
  Pour se former une idée des différentes causes qui entrent dans les frottemens, nous exprimerons en peu de mots toutes les choses que nous croyons concourir à les augmenter, & qui nous les présentent sous tant de faces différentes par les variations qu’elles occasionnent.
  
  P le poids ou la force qui presse.
  
  E l’espace parcouru dans un certain tems.
  
  Q la quantité de pénétration réciproque des parties provenant de deux causes ; l’une, du défaut de poli qui n’est jamais parfait ; l’autre, en supposant même le poli parfait, de ce que ces parties ne laissent pas que de se pénétrer par les pores de leur tissu ou texture.
  
  I l’inclinaison qui résiste le plus dans les parties qui se pénetrent ; c’est celle de 45 degrés que je retrouve même par-tout dans les arts méchaniques. Le ciseau qui taille la lime, doit avoir cette inclinaison pour que dans l’usage que l’on en fait, la taille ne s’égrise ni ne glisse sans user la matiere que l’on travaille. Les dents de scie sont aussi dans le même cas, & doivent avoir la même inclinaison.
  
  Le fer du rabot doit être incliné de même pour couper plus avantageusement.
  
  Le ciseau qui taille la pierre doit aussi avoir la même inclinaison.
  
  Le soc de la charrue de même.
  
  Le burin du graveur, soit en planche ou autrement, est dans le même cas.
  
  Enfin il n’est point d’art méchanique qui ne fournisse quelqu’exemple de l’avantage de cette inclinaison, qui est celle qui résiste le plus.
  
  D les différentes directions que peut prendre le corps frottant ; elles lui seront plus ou moins avantageuses selon qu’il rencontrera les inclinaisons dont nous venons de parler ; car le rabot ne couperoit point s’il étoit poussé dans le sens contraire, quelque force que l’on pût employer. Il en seroit de même de la lime, de la scie, &c.
  
  T les différentes températures, c’est-à-dire le chaud & le froid, le sec & l’humide, qui changent en quelque sorte les parties intégrantes des frottemens.
  
  R la roideur de ces parties qui se pénetrent étant plus ou moins flexibles, dures ou molles, présentent plus ou moins de résistance.
  
  Les métaux & végétaux different sensiblement entr’eux de frottement.
  
  Les gommes résineuses & vitrées résistent le plus au mouvement vif, & presque point au mouvement lent.
  
  Les métaux les plus purs sont ceux qui résistent le plus ; ensorte que dans différentes pratiques d’instrumens d’Horlogerie, comme le cylindre d’un tour à balancier, on est obligé de le faire d’un mélange de cuivre & d’étain ; ce qui permet de le tenir juste, & l’empêche de former une adhérance ou cohésion, ainsi qu’il arrive entre les métaux semblables.
  
  N le nombre de fois que le corps frottant passera sur ses mêmes parties ; car en les échauffant, il y occasionne une adhérance ou cohésion qui en augmente encore la résistance.
  
  D’où il suit que les forces ou poids qui pressent le corps en mouvement, étant constantes, les frottemens ou résistances pourront augmenter de plus en plus si toutes les parties frottantes qui se succedent les unes aux autres sont plus contraires que favorables ; ensorte que la vîtesse du corps sera tellement retardée, qu’elle pourra faire équilibre & suspendre totalement le mouvement.
  
  Et réciproquement si toutes les parties frottantes qui se succedent les unes aux autres sont plus favorables que contraires, on arrivera au terme où la résistance deviendra comme nulle, & la vîtesse du corps peu ou point retardée. Ce dernier cas ne sauroit être complet, au lieu que le premier est très-fréquent.
  
  C’est donc entre ces deux termes que nous avons à traiter des frottemens relatifs à l’Horlogerie, & sur quoi roule la plus grande cause de la variation des montres.
  
  Le poids qui presse & l’espace parcouru dans un certain tems, sont la quantité constante qui fait la base de tous les frottemens, sans lesquels les autres quantités Q, I, D, T, R, N, qui n’en sont que les accidens, n’auroient pas lieu.
  
  C’est en considérant les deux premieres causes que nous parviendrons à prévenir l’irrégularité de ces dernieres. C’est pourquoi nous devons porter toute notre attention, non-seulement à réduire la somme des frottemens, mais principalement à les distribuer de maniere qu’à mesure que la vîtesse des corps augmente, la pression en soit diminuée.
  
  C’est en observant cette distribution que l’on s’éloignera des deux extrèmes de la plus grande & moindre résistance qui sont les termes où j’ai trouvé les plus grandes variations par les expériences que j’ai faites sur ces frottemens.
  
  Après ces notions préliminaires, nous allons considérer les frottemens sous sept points de vûe.
  
  1°. Par le régulateur.
  
  2°. Par l’échappement.
  
  3°. Par les vibrations.
  
  4°. Par les engrenages.
  
  5°. Par les pivots.
  
  6°. Par les ressorts moteurs & réglants.
  
  7°. Enfin par quelques usages que l’on a pour faire tenir différentes pieces les unes aux autres, & que l’on appelle tenir à frottement.
  
  §. 1. Du régulateur. Dans l’énumération des différentes parties qui entrent dans l’Horlogerie, nous allons commencer par celles que nous envisageons comme les plus intéressantes, celles du balancier dans les montres, & de la verge avec la lentille dans les pendules. Dans l’une & dans l’autre ils sont nommés régulateur.
  
  L’objet du régulateur peut être considéré sous trois points de vûe. 1°. Comme modérateur de la vîtesse des roues, il suspend la force motrice ; & dans ce sens c’est un retardateur.
  
  2°. Comme retardateur & ayant un principe de mouvement, il absorbe en quelque sorte toutes les inégalités qui lui peuvent être transmises, non seulement par la force motrice, mais encore par les variations des engrenages des roues & du frottement de leurs pivots ; & dans ce sens c’est un véritable régulateur.
  
  3°. Comme régulateur, il doit faire ces mouvemens en tems égaux ; ses oscillations doivent être isochrones. C’est donc l’unique piece qui mesure le tems. Alors toutes les autres ne sont que les accessoires, & ne sont relatives qu’à la durée du mouvement, & non à sa régulation.
  
  Puisque c’est du régulateur que dépend la mesure du tems, il faut donner à cette piece tout ce qui peut concourir à lui faire faire ses oscillations en tems égaux, les dégageant de tout ce qui peut les altérer ou les troubler. Ainsi pour les montres le régulateur sera le balancier représenté par la figure suivante.
  
  Soit le balancier BBB & le poids de l’anneau K.
  
  Pour ne pas faire abstraction du poids des rayons ZZZ, du poids du ressort spiral, de la virole qui le tient, du poids du cylindre ou axe du balancier, palette, ou autres ; le poids de toutes ces parties ne pouvant être réduit à zéro, doit être diminué autant qu’il est possible : je le suppose réduit ou égal à un dixieme du poids K que nous ferons égal à S.
  
  Que le rayon du balancier soit CO.
  
  Comme le ressort spiral fait plusieurs tours, nous prendrons pour rayon moyen CR.
  
  Le rayon ou levier sur lequel la dent de la roue appuie, après lui avoir communiqué le mouvement, soit CM.
  
  Le rayon des pivots soit CP.
  
  La résistance du frottement des pivots qui dépend du rayon des pivots & des poids K, S, soit F.
  
  Si l’on y fait entrer la résistance du milieu, qui sera d’autant plus petite, que la figure du balancier présentera moins de surface, & que le milieu résistera moins, soit cette résistance égale à I.
  
  La force d’inertie ou force de persévérance soit appellée Q.
  
  Il est certain par l’expérience que la force du balancier, pour conserver son mouvement, sera d’autant plus grande, 1°. que le rayon CO & le poids K seront plus grands ; 2°. que les rayons CR, CM, CP, seront plus courts ; 3°. que le poids S & les résistances F & I seront plus petites. Ainsi nous pouvons supposer Q=CO×K/(S+CR+CM+CP+F+I).
  
  Comme la vîtesse que l’on donnera au balancier doit multiplier les deux termes de cette équation, cela n’y changera rien, ou très peu, parce qu’il y a quelques quantités comme I, F, qui peuvent augmenter comme le quarré de leur grandeur. D’où il suit que la puissance du régulateur dépend de cette force de persévérance, qui sera d’autant plus grande, que l’on augmentera CO aux dépens du poids K, qui en diminuant diminue le frottement de ses pivots.
  
  Il est absolument nécessaire d’avoir une idée de cette équation, avant que de pouvoir se flater de donner à l’échappement toute sa perfection.
  
  En donnant à la verge dans les pendules le moins de poids & le plus de roideur, pour qu’elle ne ploye pas dans ses mouvemens oscillatoires ; à la lentille le plus de poids, sous le moindre volume & sous la figure qui présentera le moins de surface dans ses mouvemens au milieu résistant, l’on aura le meilleur régulateur.
  
  §. II. De l’échappement pour les montres. Je ne ferai pas ici l’énumération de tous les différens échappemens. Je me contenterai d’examiner les frottemens des deux les plus en usage, à repos & à recul, connus sous les noms de cylindre & roue de rencontre.
  
  Par un mémoire que j’ai présenté à l’académie royale des Sciences, où je fais la comparaison des échappemens à cylindre & à roue de rencontre, j’observe dans le premier, non-seulement les frottemens des repos, mais encore ceux des plans, des dents de la roue sur les levres du cylindre. C’est donc sur ces deux parties que se fait l’altération & la ruine du cylindre. Pour prévenir cette destruction, il y a plusieurs choses à observer. Il faut que les parties du cylindre qui travaillent, soient les plus dures & les plus polies qu’il se pourra, & ainsi des dents de la roue. Quoique cet échappement soit construit dans toutes ces regles, la roue ayant fait vibrer un certain nombre de fois le balancier, le frottement que la roue éprouve sur le cylindre, soit dans l’arc de levée, soit dans l’arc de repos, abrégera insensiblement l’arc de vibration, & arrivera au terme où la résistance fera équilibre & arrêtera tout-à-fait, sans que le poli des parties frottantes nous paroisse même à la loupe avoir changé d’état. On rétablit le mouvement à cet échappement en y introduisant de l’huile qui y est absolument nécessaire. Sa constance dépend donc de la conservation & fluidité de l’huile : car si elle vient à se perdre & à s’épaissir, la poussiere & les parties qui peuvent s’être détachées de l’un & l’autre corps, forment un emeri qui use & scie le cylindre. Je sais que cette altération n’arrive pas également à tous les cylindres ; mais c’est une suite de la nature des frottemens par les différentes causes énoncées ci-devant.
  
  Les frottemens accidentels de cet échappement, sont 1°. l’entaille du cylindre trop juste, le fond de la roue trop approché de l’extrémité des tranches du cylindre, & le jeu que le balancier peut avoir en hauteur ainsi que la roue, l’épaississement de l’huile qui rapproche toutes ces parties au point qu’elles ne manquent pas de causer un leger frottement, & d’altérer beaucoup l’arc de vibration.
  
  2°. Un autre frottement aussi pernicieux que le précédent, peut venir de ce que la roue n’a pas ses dents assez creusées, pour que le cylindre qui doit tourner dedans, le puisse faire avec de l’espace de reste ; car l’huile que porte la circonférence convexe du cylindre, & la poussiere que cette huile retient, forment une épaisseur qui ne manque point d’altérer la vibration.
  
  Enfin il faut éviter la trop grande justesse des chûtes ; car elle augmente par l’épaississement de l’huile & gene la vibration : tous défauts qui concourent à troubler l’isochronisme, ce que j’ai vû arriver assez souvent à des montres bien faites.
  
  Dans le nouvel échappement à virgule que j’ai perfectionné, & qui a été reconnu pour tel par l’académie des Sciences, la perfection consiste 1°. dans la réduction du frottement des repos, qui dans tous les échappemens à repos se fait par un mouvement direct & rétrograde. J’insiste sur ce frottement à double sens, parce qu’il n’y a point de cas où les corps se détruisent si fort que lorsque les particules qui constituent le frottement, se couchent & se redressent alternativement ; ce qui en cause la destruction & produit une très-grande variété dans le mouvement. 2°. Dans la réduction du frottement des chevilles, qui agissent sur les plans ou virgules qui forment un angle dont le sommet rapproché du centre étant plus aigu, en facilite l’arc de levée. Il faut néanmoins de l’huile à cet échappement : mais un grand avantage que je lui trouve sur celui à cylindre, c’est d’avoir de petites chevilles de cuivre qui frottent sur des plans d’acier ; au lieu que dans le précédent ce sont des plans de cuivre qui frottent sur des tranches d’acier.
  
  Pour sentir l’importance de cet avantage, il faut considérer que si deux corps frottés l’un contre l’autre sont de même dureté, ils s’useront également ; & que s’ils sont inégalement durs, le plus dur usera celui qui l’est le moins. L’on se sert de la lime pour tous les corps moins durs qu’elle. Mais s’il arrive que le corps à user soit plus dur qu’aucune lime, que fait-on ? On interpose entre les corps frottans un troisieme corps en poudre, délayé avec l’huile ou l’eau ; & ce troisieme corps est ou de la poudre de diamant, ou de l’émeri, ou de la potée d’étain, ou du rouge. Qu’arrive-t-il alors ? si les corps sont également durs, ils sont également usés. S’ils sont inégalement durs, c’est le mou qui use le dur. Par quelle raison ? c’est que c’est ce mou qui recevant dans son tissu les particules de la poussiere interne & acre, s’en arme & forme une espece de lime dont les grains ou de diamant, ou d’émeri, agissent nécessairement sur l’autre corps, & défendent d’usure celui qui en est armé. Voilà le fondement de l’art du diamantaire, & d’une infinité d’autres manœuvres où les corps durs sont usés par des mous, à l’aide d’une poussiere intermédiaire plus dure que l’un & l’autre, mais dont le mou s’arme mieux, & plûtôt que le dur. On voit qu’il faut cependant au mou une certaine consistence entre ses parties, afin qu’elles servent de point d’usure aux molécules de la poussiere qui s’interposeront.
  
  Expliquons maintenant ici ce principe ; si deux corps se frottent, qu’on y introduise de l’huile, & qu’il vienne à se détacher quelque partie dure, ces parties dures & la poussiere que l’huile y rassemble, s’inséreront dans les pores de la piece molle, & useront la partie sur laquelle elles auront agi. Or les chevilles ne peuvent recevoir beaucoup de ces particules qui pénetrent le cuivre, attendu qu’elles sont rondes & fort déliées, & qu’elles parcourent une grande surface d’acier qui s’use peu.
  
  Au contraire dans l’échappement à cylindre, la roue au lieu de chevilles, a des plans de cuivre auxquels les particules dures s’attachent, & forment une espece de meule qui agissant sur les tranches du cylindre, l’alterent & le détruisent. C’est par une semblable raison que la meule du diamantaire use le diamant ; de sorte que l’huile que l’on est obligé de mettre aux échappemens à repos pour leur faciliter le mouvement, est elle-même la cause de leur destruction qui arrive plus ou moins vîte, selon que le propriétaire a soin de sa montre.
  
  Il y a deux cas où ces sortes d’échappemens paroissent se soûtenir assez régulierement.
  
  1°. Lorsque la force motrice est suffisante pour faire décrire de grands arcs : mais dans ce cas la destruction a lieu.
  
  2°. Lorsque la force motrice étant moindre, l’huile venant à se dessécher, insensiblement forme sur les surfaces du cylindre une espece de mastic qui en pénetre les pores : alors la dent glisse sur le cylindre avec assez de facilité, & l’altération n’a pas lieu. Mais on ne peut pas répondre que ce desséchement se sera à-propos, puisqu’on le voit rarement arriver même aux meilleures montres.
  
  De l’échappement à recul, ou à roue de rencontre. Cet échappement est celui de tous qui a le moins de frottement, son arc de levée différant très-peu de la simple pulsion, à cause que la roue de rencontre a ses dents sur un plan ; ce qui facilite cet arc.
  
  L’arc de supplément ou de recul a lieu sur les pivots de la roue de rencontre, & leur cause un frottement qui se communique à tous les mobiles, & qui diminue à proportion de leur vîtesse ; mais ceux qui ont le plus de vîtesse sont ceux qui ont le moins de pression, par conséquent il y a peu d’altération à craindre ; ce que l’expérience justifie à toutes les montres bien faites.
  
  Ce qui prouve la facilité du mouvement de cet échappement, c’est qu’il ne faut point d’huile pour l’entretenir ; qu’au contraire si elle vient à se communiquer par la mal-adresse de l’ouvrier, bien-tôt les palettes s’usent, & la montre varie.
  
  Le mouvement du recul, qui dans cet échappement se trouve répandu sur tous les mobiles, est rassemblé sur le cylindre, dans celui à repos ; car c’est sur lui seul que se passent tous ces mouvemens directs & rétrogrades.
  
  Ces frottemens accidentels ont lieu, 1°. lorsque le corps de la verge est un peu trop gros, que les pointes de la roue de rencontre en approchent au point d’y toucher.
  
  2°. Lorsque le bord de la palette forme un angle trop aigu, & qu’elle appuie contre le devant des dents de la roue de rencontre au moment du recul, les entaille, & les creuse. Il faut donc avoir soin de laisser une épaisseur à cette palette, qui en figure le développement ; ce qui empêchera les dents de se creuser.
  
  Enfin lorsque les dents de la roue ne sont pas suffisamment creusées par-derriere ; qu’il arrive que la dent ayant passé le bord de la palette, cette palette se trouve retenue en frottant sur le creux de la dent ; & lorsque ce frottement est trop considérable, il forme ce que l’on appelle accrochement par-derriere.
  
  Par ces trois causes j’ai vû varier des montres, assez bien faites d’ailleurs. Il est bon de remarquer que tous les frottemens de cet échappement vont toûjours en diminuant : ce qui est le contraire du précédent, où ils vont toûjours en augmentant par l’épaississement de l’huile.
  
  Par la théorie & la description des échappemens en pendule, il est aisé de voir que les variations du frottement y sont presque pour rien, même dans ceux à repos qui en réunissent le plus. La puissance du régulateur est si grande, qu’elle les surmonte toutes.
  
  Néanmoins l’échappement à recul à double levier, est de tous celui qui exige le moins de force, & qui par conséquent a le moins de frottement, proportion gardée, sur l’étendue de l’arc que le pendule décrit. Il ne faut point d’huile dans cet échappement, au lieu qu’il en faut dans les précédens.
  
  §. III. Des vibrations. La quantité des vibrations augmente prodigieusement les frottemens ; elles occasionnent un certain nombre de roues, qui par leur révolution les augmentent encore. Il est donc à-propos de réduire les vibrations, & de distribuer les révolutions des roues le plus également qu’il sera possible, pour approcher de l’uniformité des frottemens, auxquels on doit tendre dans la communication du mouvement des différens mobiles qui composent l’horloge. Ces frottemens augmenteront d’autant plus que l’on voudra faire aller plus long-tems la piece sans être remontée ; par la raison que cela ne se peut faire qu’en multipliant les mobiles ; & comme chaque mobile a ses variations particulieres, produites par le frottement de ses pivots & de ses engrenages, il suit que l’on multiplie par les mobiles les causes des variations : c’est pourquoi il est aisé de sentir l’abus qui peut résulter de faire aller long-tems les montres sans les remonter.
  
  Il est vrai qu’on fait des pendules pour aller fort long-tems, plusieurs mois, même plusieurs années, sans que la quantité des frottemens que le tems occasionne, altere sensiblement l’isochronisme, tant est puissant le régulateur.
  
  La loi de la pesanteur a prévenu les Horlogers en pendule, pour fixer la quantité des vibrations, puisqu’elle les fait exécuter dans le rapport inverse des racines quarrées des longueurs du pendule ; d’où il arrive que l’on peut beaucoup varier la force qui les anime, sans que cela altere sensiblement la quantité des vibrations.
  
  Il n’en est pas de même pour les montres ; le rayon & le poids du balancier ou régulateur étant donné, la quantité des vibrations ne l’est pas pour cela : elles dépendent non-seulement de la force qui les anime, mais encore du ressort spiral qui les regle. Il seroit donc bien nécessaire d’en fixer la quantité la plus convenable à l’usage des montres.
  
  Cet objet présente tant de difficultés par les circonstances qui l’accompagnent, comme les secousses, le chaud & le froid, & les différentes positions où les montres sont exposées, qu’il n’est pas étonnant que nous n’ayons rien eu jusqu’à-présent de positif sur cette matiere, à-moins que l’on ne veuille bien recevoir l’essai que j’en ai fait, dans un mémoire présenté à l’académie des Sciences, avec une montre construite en conséquence, dont voici le méchanisme abregé.
  
  La théorie & la pratique nous apprennent que les pendules sont d’autant plus justes, que le point de suspension est plus éloigné du centre d’oscillation : d’où il suit que les pendules qui font le moins de vibrations dans un tems proposé, sont celles qui vont le mieux. L’on sait que les tems des vibrations dans les pendules sont en raison inverse des racines quarrées des longueurs ; il n’y a donc autre chose à faire que d’employer la force nécessaire pour les entretenir, & il n’y aura ni augmentation ni diminution dans le tems proposé, si la longueur du pendule ne varie point, quoique l’on variât la force motrice qui entretient les vibrations.
  
  Comme les vibrations dans les montres ne sont point fixées par la nature, comme elles le sont dans les pendules, il n’est point étonnant que les Horlogers ayent beaucoup varié sur cette quantité. Ceux qui leur en font faire un grand nombre, trouvent dans la pratique tant de difficultés, par l’augmentation des roues, par la diminution des pivots que la vîtesse exige, & par la prodigieuse quantité de frottemens qui s’ensuivent, & qui exigent à leur tour une force motrice considérable, que quelle que soit la réduction du poids du balancier, cette force pour peu qu’elle perde, est bien-tôt en défaut : c’est pourquoi la plûpart des Horlogers n’ont guere passé 18000 vibrations par heure.
  
  Je ne fais pas mention de quelques montres qui ont été jusqu’à vingt mille, & qu’on a trouvées impossibles à régler.
  
  Parmi ceux qui veulent un grand nombre de vibrations,
  
  1°. Les uns nous disent que les montres qui font un grand nombre de vibrations, ont un air de vigueur qui réjouit la vûe, & ils croyent qu’en marchant plus vîte, elles sont moins sujettes à s’arrêter.
  
  2°. D’autres plus raisonnables, veulent que cette vîtesse que l’on donne au balancier, rende les montres moins sujettes à se déranger par les différentes secousses auxquelles elles sont exposées.
  
  3°. Enfin il en est d’autres qui prétendent que les montres qui font beaucoup de vibrations, ont leur ressort spiral plus roide pour obtenir cette fréquence, & que cette force ou roideur dans le ressort spiral est moins sujette à l’influence du chaud ou du froid.
  
  Je ne pense pas qu’il soit nécessaire de répondre sérieusement aux premiers. Je me contenterai de leur faire remarquer, d’après l’auteur des mondes, qu’il n’y a rien de plus beau qu’un grand dessein qu’on exécute à peu de frais. Or mesurer beaucoup de tems en parcourant peu d’espace, c’est mettre de la simplicité dans le dessein, & l’épargne dans l’exécution.
  
  Je répondrai aux seconds, que par des expériences que j’ai faites avec assez de soin, je n’ai point remarqué que la différence des variations trouvée dans une montre qui fait 18000 vibrations par heure, & dans une autre que j’ai réduite à 14400, pût être attribuée à la différence des nombres d’oscillation. De plus, que quoique les oscillations soient inégales en nombre, les altérations que peuvent produire les différentes secousses, doivent produire des résultats égaux ; parce qu’elles ne peuvent être qu’en raison réciproque du nombre des vibrations.
  
  A l’égard des derniers qui veulent que le ressort spiral étant plus roide, soit moins sujet aux impressions du chaud & du froid, il n’y a guere que l’expérience qui leur puisse répondre exactement. Ceci tient à une théorie extrèmement profonde ; car pourquoi voit-on entre des montres de même vibration, les unes retarder par le froid, tandis que d’autres avancent, & réciproquement ?
  
  Je répondrai que j’ai éprouvé par plusieurs expériences, que l’échappement étoit l’unique ou la plus grande cause de cette espece de paradoxe.
  
  Il y a deux choses dans l’échappement ; l’arc de levée, & l’arc de supplément. Le premier est toûjours de même étendue, & suit par sa vîtesse le rapport égal des forces qui l’animent ; au lieu que ce dernier suit une progression décroissante de ces mêmes forces. L’expérience m’a toûjours confirmé que les échappemens qui avoient un grand arc de levée, avançoient par la chaleur & retardoient par le froid, & vice versâ. D’où je conclus que quelque effet que puisse produire le chaud ou le froid sur le ressort spiral, il pourra être compensé par l’échappement, suivant les différens arcs de levée qu’on lui donnera à cet égard : donc toutes ces raisons ne sont pas suffisantes pour empêcher de diminuer les vibrations, & par conséquent les frottemens.
  
  Comme en fait de méchanique l’expérience doit l’emporter sur les meilleures théories, & qu’ayant l’exemple de ce que donnent les grandes quantités de vibrations, il est convenable d’opposer un grand exemple de la moindre quantité que l’on peut employer : c’est ce qui m’a engagé à faire la montre dont voici la description.
  
  Description abregée de la montre que j’ai présentée à l’académie royale des Sciences, le 20 Juin 1755.
  
  | La montre a de diametre | 18 | lignes. |
  | - | - | - |
  | Elle a de hauteur | 8 | |
  | Le balancier a de diametre | 11 | 2/3, & |
  | pese 18 grains, fait une vibration par seconde. | | |
  | Le barillet a de diametre | 7 | |
  | Il a de hauteur | 2 | |
  
  Le ressort a 12 tours 1/2 de lame dans le barillet, & a six tours d’action ; il y en a 3 1/2 de travail, un tour de bande, reste un tour 1/2.
  
  Le cylindre recevant l’action de la roue fait deux vibrations par chaque dent. Divisant la roue qui en a 30 par son diviseur 1/2, le quotient ou l’exposant est 60. Divisant de même chaque roue par son pignon, l’on aura
  
  Résultat. Si l’on divise ce nombre de 702000 par 3600 vibrations qui se font dans une heure, l’on aura 195 heures = 8 jours + 3 heures.
  
  On voit par cette description, 1ᵒ. que le ressort est plus foible que ceux qu’on employe aux montres ordinaires de 24 heures & de même volume.
  
  2ᵒ. Qu’elle va huit fois plus de tems sans être remontée ; que malgré la réduction prodigieuse de la force motrice, j’ai pu donner encore au balancier près de trois fois plus de masse qu’aux montres ordinaires : ce qui fait voir qu’en diminuant les vibrations, on diminue dans un très-grand rapport celui des frottemens. Toutes les expériences que j’ai faites avec cette montre, ont tellement confirmé les raisons que j’ai opposées à celles que l’on donne communément pour le grand nombre de vibrations, que je me crois autorisé de conclure que c’est une importante découverte, puisqu’elle rend vaines les tentatives de quelques habiles horlogers qui avoient imaginé de mettre deux balanciers à leurs montres qui s’engrenoient l’un dans l’autre, pour prévenir, suivant eux, le mal que les secousses pouvoient produire : c’étoit faire une mauvaise chose pour guérir un mal qui n’existoit pas. L’importance du sujet m’engage à donner ici le rapport fait par l’Acad. R. des Sc.
  
  « Extrait des registres de l’académie royale des Sciences, du 12 Février 1757. Nous avons examiné par ordre de l’académie une montre présentée par M. Romilly horloger, citoyen de Genève.
  
  » Ce que cette montre offre de singulier, consiste principalement dans le balancier ; au lieu que celui des autres montres fait quatre à cinq battemens par seconde, M. Romilly a rendu le sien assez pesant, & le ressort spiral assez foible pour qu’il n’en fasse qu’un dans le même tems. D’où il suit 1ᵒ. que les irrégularités qui se pourroient trouver dans le jeu de cette importante piece, seront quatre à cinq fois moins multipliées que dans les montres ordinaires : 2ᵒ. que le nombre des vibrations étant diminué, le même roüage qui auroit été 24 heures dans la construction ordinaire, peut avec un très leger changement dans les nombres aller huit jours : 3ᵒ. que l’aiguille avançant comme à une pendule de seconde en seconde, cette montre sera plus commode qu’une autre pour les observations.
  
  » On pourroit peut-être soupçonner qu’un balancier si pesant seroit sujet à recevoir beaucoup de mouvement des impressions étrangeres, & que par conséquent cette montre iroit mal au porter ; mais il paroît par les expériences que M. Camus, l’un de nous, en a faites, que dans le gousset d’un homme qui couroit la poste à franc-étrier, elle n’a pas plus varié qu’une bonne montre à balancier ordinaire.
  
  » Mais ce que nous ne pouvons dissimuler, c’est que cette même montre qui a souffert les chocs les plus violens sans se dérégler, n’a jamais pu soûtenir la différence de situation verticale & horisontale, sans tomber dans des erreurs considérables. Il faudra donc choisir de la régler pour être à plat & portée ou pour être pendue & portée, & ne la pas faire passer du plat au pendu, si on veut qu’elle conserve sa régularité.
  
  » Nonobstant cet inconvénient, l’idée de M. Romilly nous a paru neuve & heureuse. Il a au-moins rempli l’objet qu’il s’étoit proposé, en faisant voir que ce n’est pas le grand nombre des vibrations du balancier d’une montre qui la rend capable d’une plus grande régularité, ce qu’on ne croyoit pas avant lui ; & on ne peut que l’encourager à perfectionner cette piece, & à faire ses efforts pour lui ôter l’inconvénient dont nous venons de parler. Il est plus en état que personne d’y remédier, & de donner à la construction qu’il propose tous les avantages dont elle est susceptible. Signé, Camus & de Fouchy. Je certifie l’extrait ci-dessus & de l’autre part conforme à l’original & au jugement de l’académie. A Paris, ce 16 Février 1757. Signé, Grandjean de Fouchy, secrét. perp. de l’Acad. R. des Sc. »
  
  Des révolutions. Le nombre de vibrations étant donné, il s’agit de trouver le moindre nombre de roues pour y satisfaire.
  
  Une montre ordinaire fait cinq vibrations par seconde. Se fixant à remonter sa montre toutes les 24 heures, il est nécessaire de la faire aller 30 heures. C’est donc sur ces 30 heures que nous allons faire notre calcul.
  
  Ainsi 30 heures × 60′× 60″ × 5 vibrations = 540000.
  
  Comme la roue de l’échappement fait deux vibrations par chaque dent, il faut prendre la moitié de 540000 = 270000 ; de sorte que s’il étoit possible d’exécuter une roue de ce nombre, l’on n’auroit qu’une révolution en 30 heures, ce qui feroit bien peu de frottement.
  
  L’on sait que le ressort ou poids moteur qui fait marcher la piece, fait ordinairement sept tours & demi à la premiere roue ; par conséquent il faut diviser encore ce nombre de 270000 par 7 1/2 = 36000. Ce nombre est encore trop grand. Il en faut tirer la roue d’échappement que l’on fera la plus grande qu’il se pourra.
  
  1°. Cette roue étant fort grande, on y pourra faire un grand nombre de dents, ce qui diminue les révolutions.
  
  2°. Cette roue étant bien nombrée, ses dents tendent à être paralleles entr’elles ; & par ce moyen l’action des dents sur le rayon du cylindre ou palette de l’axe du balancier rapproche de la simple pulsion ; ce qui donne beaucoup de facilité pour faire décrire l’arc de levée.
  
  3°. Le frottement des pivots est moindre sur une grande roue que sur une petite, comme nous le ferons voir en son lieu.
  
  4°. Le recul dans l’échappement est en raison composée de la directe des arcs que le balancier décrit & de l’inverse du nombre des dents de la roue ; de même l’arc de repos est d’autant plus grand, que la roue est moins nombrée. D’où il suit par le concours de ces quatre causes une diminution de frottement sur l’échappement, soit à repos ou à recul, objet le plus intéressant de toute l’Horlogerie.
  
  L’on met ordinairement 15 dents à la roue d’échappement (il faut néanmoins augmenter ce nombre toutes les fois que la place de la montre ou la nature de l’échappement le peut permettre) ; il faut donc diviser 36000 par 15, ce qui donnera 2400 révolutions de la roue de rencontre en 30 heures.
  
  Il est aisé de voir que pour satisfaire à ce nombre de révolutions, il est nécessaire non-seulement d’employer plusieurs roues, mais encore des pignons sur lesquels elles agissent pour se communiquer les unes aux autres. Il est encore aisé de concevoir que plus on augmentera le nombre des roues & des pignons, plus on augmentera les révolutions. De plus dans ce nombre de roues que l’on employe, il est nécessaire de distribuer le nombre des dents qu’on leur donne dans le rapport le plus avantageux, c’est-à-dire dans celui qui multiplie le moins les révolutions.
  
  Les pignons sont les diviseurs des roues qui les conduisent ; les quotiens en sont les exposans ou rapports, lesquels étant multipliés les uns par les autres, font la fonction de facteur pour trouver le produit total égal au solide des roues divisé par le solide des pignons. Or 2400 révolutions doivent être considérées comme un solide dont on cherche le plus petit nombre de facteurs qui ont pu le produire.
  
  Comme nous avons besoin d’une méthode ou d’une regle qui enseigne à trouver le plus petit nombre de roues pour satisfaire aux révolutions données, nous l’allons faire par le théorème suivant.
  
  La somme de deux produisans étant donnée, on trouve que le produit de l’un par l’autre sera d’autant plus grand, que les produisans rapprocheront plus d’être égaux : de plus, que la différence des produits sera égale au quarré de l’inégalité que l’on donnera aux produisans, en donnant à l’un ce que l’on aura ôté à l’autre.
  
  Soit A+A=2A, & A×A=A².
  
  Si l’on retranche de A une quantité X, pour le joindre à l’autre, l’on aura A+X+A−X=2A, & A+X×A−X=A²−X². D’où il suit que le produit de A par A diminue comme le quarré de X, quantité qui a formé l’inégalité.
  
  Ensuite le quarré de l’inégalité est égal au quarré de la moitié de la différence, ou la différence est toûjours double de l’inégalité ; car de a+x retranchez a−x, l’on aura a+x−a+x=2x : mais 2x/2=x.
  
  Il est aisé de voir que ce qui est démontré sur le produit de deux facteurs, ne l’est pas moins pour un produit de tant de facteurs qu’on voudra.
  
  Les pignons étant les diviseurs des roues, & n’ayant pas encore déterminé quel nombre l’on veut employer aux pignons, nous prendrons l’unité pour pignon, & l’on aura les 2400/1. Il faut tirer la ²√(2400) = à-peu-près 48/1, lesquelles il faudra multiplier par le nombre des aîles qu’on donnera aux pignons ; supposé que l’on veuille donner 6 aîles, alors 48/1 ×6=288/6 ; & ce seroit pour deux roues. Comme ce nombre est trop grand, il faut tirer la ³√(2400) = à-peu-près 13/1 ×6=78/6. Ce nombre est encore trop grand dans l’usage ordinaire ; il faut donc tirer la ⁴√(2400) = à-peu-près 7/1 ×6=42/6.
  
  L’on voit par cette épreuve que l’on ne peut pas employer moins de 4 roues, les trois premieres étant trop nombrées, l’on a donc 4 facteurs 7/1 × 7/1 × 7/1 × 7/1=2401/1. Comme il est nécessaire de changer quelques-uns de ces rapports, à cause que les pignons qui approchent de la force motrice doivent avoir des axes de résistance, parce qu’ils reçoivent immédiatement l’impression du moteur, l’usage fait ces premiers pignons de 8, 10 ou 12. Si l’on prend 12 pour premier pignon, la roue qui le conduit pourra avoir 48 dents ; le rapport sera de 4/1. Comme cela diminueroit le produit total, on augmentera les autres rapports le plus également qu’il se pourra, par la raison exprimée dans le théorème.
  
  En les faisant de 4/1 × 9/1 × 8/1 × 8/1=2304/1, il n’est point nécessaire de rendre ces 2304 égaux à 2400, la différence étant trop peu de chose sur le total, puisque cela ne fait pas une heure sur 30. Si l’on veut qu’elle aille plus que moins, en substituant le rapport de 5/1 à celui de 4/1, le produit sera 2880 révolutions ; ce qui donnera dequoi fournir 33 heures.
  
  L’on voit par cette méthode que le nombre des facteurs étant trouvé, il ne faut en augmenter la somme, ni leur donner de l’inégalité entre eux sans des raisons suffisantes, puisque cela ne peut être qu’en multipliant les révolutions.
  
  L’on sera convaincu de l’avantage qui résulte de l’application de ce principe, dans les exemples suivans. La plûpart des horlogers s’imaginent que pour la cramaillere d’une répétition, en faisant la premiere poulie petite, & augmentant d’autant le rayon sur lequel le poussoir agit, il ne résulte que la même résistance ; ce qui est contraire au principe établi, d’autant que les rayons n’agissent que par voie de multiplication.
  
  Si par exemple la poulie a 4 de rayon, & la cramaillere 12, le produit de 12 × 4 = 48 ; au lieu que prenant deux produisans 8 x 8 dont la somme soit egale à 12 × 4, on aura pour produit 64 : ce qui fait un quart de moins de résistance. Si au contraire on donnoit à la poulie 1 de rayon, & 15 à la cramaillere, toute l’action du poussoir se réduiroit à 15 ; ce qui obligeroit d’employer un ressort plus de quatre fois moins fort, ce qui affoibliroit le ressort du marteau, & par conséquent le coup.
  
  De même, le rayon du barillet agissant sur les rayons de la fusée, il ne faut pas trop s’éloigner de l’égalité de leurs rayons : car la fusée devenant petite, la résistance des rayons augmente comme le quarré de la quantité retranchée, par la raison que ces actions se multiplient. L’on me passera cette digression en faveur de l’application que je fais de ce principe.
  
  §. IV. Des engrenages. Supposant la théorie des engrenages ; comme je ne m’arrêterai point à la décrire, je dirai seulement qu’elle suppose des dentures égales, ainsi que les pignons sur lesquels elles agissent, & l’exactitude des courbes qu’elle prescrit pour communiquer uniformément le mouvement. Mais la meilleure exécution est encore bien loin de cette théorie.
  
  Comme cet ouvrage est autant destiné pour perfectionner la pratique des Arts, que pour approfondir leur théorie, il est naturel que je choisisse l’un plûtôt que l’autre.
  
  La pratique des engrenages consiste à donner exactement la courbe que la théorie enseigne. Or comme cette courbe est fort difficile à former, & que les dentures ne sont jamais parfaitement égales, non plus que les pignons, il convient de choisir le cas où les inégalités font moins d’impression, où sans y diminuer les frottemens, on les puisse rendre moins irréguliers.
  
  Le frottement des dents sur les aîles des pignons consiste dans l’étendue de la courbe qui roule sur l’aîle du pignon : cette courbe est d’autant plus étendue, que la roue est moins nombrée, relativement à son pignon : plus elle est étendue, plus elle est difficile à former ; & les accotemens ou chûtes qui résultent de leur imperfection, sont d’autant plus fréquens, que la roue étant peu nombrée, tourne plus vîte, comme nous l’avons dit aux révolutions. Donc pour accourcir ces courbes, il n’y a point de meilleur moyen que de nombrer beaucoup les roues : par-là les dents approchent d’être paralleles entre elles ; ensorte que la dent qui pousse l’aîle le fait d’autant plus facilement, que le point d’attouchement de la dent se fait comme par une simple pulsion, & concourt en quelque sorte au chemin qu’elle fait décrire à l’aîle. Si l’on pouvoit placer les dents des roues sur une circonférence concave, il est aisé de pressentir l’avantage qui en résulteroit. Les dents allant en élargissant vers le fond, les aîles du pignon, qui font le contraire, conviendroient d’autant mieux dans ces dentures, qu’elles pourroient se dégager avec une grande facilité : mais ne pouvant pratiquer ces sortes de dents, il convient de s’en rapprocher le plus qu’il est possible. Or on ne le peut faire que de deux manieres ; 1°. en nombrant beaucoup les roues ; 2°. en faisant des roues de champ où les dents sont sur un plan, & par conséquent paralleles ; mais il n’est pas possible d’en employer plusieurs de cette espece, à cause que cela change la position des axes du pignon qu’elles conduisent ; ensorte qu’il faut choisir le premier parti, comme le plus avantageux pour rendre le plus uniforme le frottement de l’engrenage.
  
  L’on pourroit m’objecter, qu’en diminuant les révolutions, l’on multiplie les dents ; & que les frottemens que l’on abrege du côté des révolutions, se retrouvent dans l’augmentation des dentures : mais le réponds que les dentures ne sont augmentées que proportionnellement à la diminution des révolutions, ensorte que c’est toûjours le même nombre de dents qui travaillent : & comme nous avons réduit l’étendue de la courbe, il suit pour le concours de ces deux causes, diminution de frottement.
  
  §. V. Des pivots. Cette partie est dans l’Horlogerie, la plus intéressante & la plus difficile à traiter. C’est par leur moyen qu’on employe beaucoup de mouvement dans un petit espace ; mais c’est aussi par eux que l’on multiplie les frottemens. Il y a tant de causes qui concourent à ces frottemens, que pour être en état d’en démêler les principales, & estimer leurs leur, j’ai été obligé de construire une machine avec laquelle j’ai fait un grand nombre d’expériences : on trouvera à la fin des Planches d’Horlogerie, cette machine ; & voici le résultat de mes principales expériences.
  
  Après avoir consulté les auteurs qui ont traité cette matiere, MM. Amontons, Bilfinger, de Camus, Musschenbroek, Nollet, Desaguliers, Euler ; avoir répété une partie de leurs expériences, en avoir fait de nouvelles ; enfin après avoir comparé les unes & les autres ; j’ai trouvé tant de différence entr’eux, que je crois qu’il y auroit de la témérité de prononcer sur un principe général. Néanmoins, je crois pouvoir avancer, que sans connoître le frottement absolu d’un pivot donné de diametre avec sa roue, si l’on vient à varier le diametre des pivots sans rien changer à la roue, en les rendant doubles, triples, quadruples, les frottemens seront, sans erreur sensible, doubles, triples, quadruples. Je dis sans rien charger à la roue ; car si l’on varie la grandeur de la roue, gardant toûjours la même pression par le même poids, l’on pourra augmenter le diametre des pivots, sans que la résistance paroisse avoir augmenté : d’où il suit que les roues étant données avec leurs pivots, l’on peut diminuer les frottemens, ou en diminuant les pivots, ou en aggrandissant les roues. Il est évident que si l’on diminue les diametres des pivots, leur vitesse est diminuée : mais les vîtesses sont comme les rayons ; les frottemens sont donc diminués dans ce rapport. Mais ne pouvant estimer le frottement primordial que par hypothèse, il suit que l’expérience pourra donner quelque petite différence de la regle que nous établissons : mais on s’en écartera d’autant moins, que les pivots seront parfaitement bien faits ; & à cet égard, je crois devoir donner la façon de les bien faire.
  
  On doit les faire aussi menus que l’on pourra, pourvû qu’ils soient assez forts pour résister à la force qu’ils éprouvent, pour qu’ils ne puissent ni casser ni ployer.
  
  Quand les pivots viennent extrèmement petits, il est difficile de les bien tourner, c’est-à-dire de les faire bien ronds, à cause qu’il se trouve de petites veines dans l’acier, qui sont trop dures pour être limées. Or ces petites veines sont aux gros pivots comme aux petits ; mais elles ne gardent assûrément pas la proportion des diametres ; d’où il suit que les petits pivots sont toûjours moins ronds que les gros. Etant moins ronds, ils sont dans le cas d’user davantage les trous ; de sorte qu’ayant diminué le frottement par le diametre des pivots, il en résulte un autre qui détruit plus le trou que s’il eût été plus gros ; ce qui nous montre qu’il y a des limites dans la diminution des pivots pour réduire les frottemens.
  
  Pour exécuter de petits pivots, comme il les faut aux petites montres plates, & sur-tout aux montres en bague, il faut faire choix d’un bon acier sans veine, & d’un grain bien fin.
  
  Pour tremper, on sait qu’il faut faire rougir son acier au feu, & le jetter ensuite subitement dans l’eau froide. On sait encore que suivant les différens aciers, il faut qu’il soit plus ou moins rouge ; ce que nous ne détaillerons pas ici.
  
  Je dirai seulement, que par une suite de pratique, j’ai trouvé que pour avoir de l’acier le plus dur possible & le moins sujet à grener, il falloit lui donner le degré de chaleur, en le faisant rougir le plus promptement qu’il sera possible.
  
  Soit la ligne , divisée en sept parties, & que ces nombres représentent des degrés de chaleur qui se reconnoissent par la rougeur ; que pour la trempe d’une qualité d’acier, il fallût le rougir au degré 4 : si on passe ce degré de chaleur, quoiqu’on y laissât redescendre le corps, la trempe est absolument manquée, & l’acier ne vaut rien.
  
  L’acier ainsi trempé, pour le travailler il faut qu’il soit revenu d’un jaune tirant sur le violet, à un feu très-doux, & avoir soin de le mouvoir pour qu’il s’échauffe également.
  
  Ce n’est qu’avec un acier ainsi préparé, qu’on peut parvenir à faire des pivots très-fins & très-ronds, en observant de les tourner au burin le plus petit qu’il sera possible, pour laisser très-peu à faire aux limes qui les doivent finir & polir.
  
  Comme j’ai fait beaucoup de petites montres, où il faut des pivots extrèmement fins, je sais par expérience jusqu’à quel point on les peut diminuer ; & pour leur assurer une mesure connue, j’ai fait un calibre qui me donne leur diametre ; & j’ai trouvé que ces pivots avoient la vingt-quatrieme partie d’une ligne : j’en ai même fait à une aiguille de boussole, que j’ai voulu suspendre par deux pivots, pour ôter son frémissement ; à quoi j’ai réussi, en lui donnant la même liberté qu’elle a dans les suspensions ordinaires, par la réduction des pivots, que j’ai portés à n’avoir pour diametre que la trentieme partie d’une ligne : je crois même que c’est le dernier terme, ou la limite à laquelle l’on puisse les réduire
  
  Après la diminution des pivots, il est nécessaire que leurs pressions soient paralleles aux parois de leurs trous. Pour cela, il faudroit que la toue & le pignon fussent entre les deux pivots au milieu de l’axe, & non comme on le pratique ordinairement, où le pignon est proche d’un pivot, & la roue de l’autre, & concourent par leurs action, contraires, à incliner l’axe : & cette inclinaison est d’autant plus grande que la montre est plus haute, & augmente par-là leur frottement : d’où j’infere que les montres plates, tant décriées par quelques-uns, ont une propriété que les autres n’ont pas, parce que les roues ne pouvant avoir de l’éloignement avec leurs pignons, le frottement des pivots approche plus d’être parallele à leurs trous.
  
  Que l’on dise qu’elles sont plus difficiles à faire, plus sujettes à être nettoyées & à être gâtées par la plûpart des Horlogers ; j’en conviens. Mais les autres montres, pour être plus faciles à faire, y sont-elles moins exposées ? Tous les jours l’on voit un bon horloger qui a porté tous ses soins à son ouvrage, & l’a décoré de son nom ; ensuite ce même ouvrage passe dans les mains d’un particulier, qui ne sachant pas qu’il importe beaucoup à l’auteur de cette montre que lui seul la nettoye ou la répare, la donne indistinctement à un horloger, qui n’étant pas aussi habile que celui qui l’a faite, ne peut que la dégrader. C’est comme celui qui ayant à faire réparer dans le tableau d’un grand-maître quelques petits accidens, prendroit au hasard le premier peintre.
  
  Dans les pendules, le poids de la lentille & l’étendue de l’arc qu’elle décrit, fait la base des frottemens que la suspension éprouve : c’est la raison de préférence des petits arcs.
  
  Si la suspension ne se trouve pas être parfaitement dans le centre de l’axe de la fourchette, il se fait alors un frottement de la fourchette avec le pendule, qui est d’autant plus grand, que le centre du mouvement de l’un est plus éloigné du centre du mouvement de l’autre.
  
  Les différentes suspensions qui sont en usage présentent aussi plus ou moins de résistance par leurs frottemens : il s’en pratique de quatre sortes ; à pivot, à ressort, à soie, & à couteau.
  
  Celles à pivot ne sont plus d’usage, depuis que l’on a pris celui des lentilles pesantes ; ce qui demanderoit de gros pivots, & augmenteroit les frottemens.
  
  Celles à ressort causent des frottemens d’autant plus grands que le ressort est plus fort : on doit donc le diminuer & le rendre aussi foible & aussi flexible que pourra le permettre le poids de la lentille.
  
  Celles à soie sont bien flexibles, & ne résistent pas : mais elles ont l’inconvénient de s’alonger ou racourcir par le sec & l’humide ; ce qui est un grand défaut.
  
  Enfin celles à couteau ont moins de frottement que les autres ; mais elles exigent tant de soins par le sommet de l’angle, le coussinet sur lequel il porte, le poli, la dureté de ces parties, que je crois que l’on peut leur préférer celles à ressort avec assez d’avantage dans la pratique ordinaire.
  
  §. VI. Des frottemens des ressorts moteurs & reglans.
  
  Le ressort moteur est susceptible de frottement, par plusieurs causes ; par le fond, par le couvert du barillet, par les lames les unes contre les autres ; ce qui concourt à diminuer & à suspendre même toute sa force élastique. L’épaisseur de la lame éprouve encore un frottement d’autant plus grand qu’elle est plus épaisse, parce qu’il s’y trouve un plus grand nombre de parties à rentrer les unes dans les autres du côté du concave ; de même, en se dilatant du côté du convexe, il y a plus de parties pour se desunir ; ce qui, dans l’un & l’autre côté, augmente le frottement des parties.
  
  A cet égard, il seroit bien utile de trouver la solution de ce problème. La matiere & la solidité étant données, quelle est la figure qu’il lui faudra assigner pour avoir sa plus grande intensité élastique ? Sans prétendre de la donner, je dirai que par les expériences & les réflexions que j’ai faites sur ce sujet, j’ai trouvé qu’une lame de ressort étoit d’autant plus élastique, & conservoit d’autant plus cette force, qu’elle étoit plus mince, plus large, & plus longue ; ensorte que cette lame étant ployée en spirale autour de l’arbre dans son barillet, son rayon fût égal à la largeur ou hauteur du ressort.
  
  Si l’on fait la lame des ressorts en diminuant d’épaisseur imperceptiblement du dehors au-dedans, c’est encore un moyen pour que les lames ne se frottent pas.
  
  Je considere deux forces dans les ressorts ; une relative à la matiere, & l’autre relative à la forme.
  
  La matiere étant constante, la force du ressort n’est plus variable que par la longueur, la largeur, l’épaisseur, & la figure.
  
  Si l’on rend encore constantes l’épaisseur & la largeur, la force du ressort ne sera plus variable que par la longueur & la figure. Donc si l’on sait encore la figure constante, la force ne variera plus que par la longueur ; mais il est évident que les ressorts les plus courts, tout étant égal d’ailleurs, soûtiendront les plus grands poids, & parcourront d’autant moins d’espace.
  
  L’on sait que les tensions des ressorts, suivant les expériences de s’Gravesande, suivent assez bien la proportion des poids, pourvû qu’on s’éloigne sensiblement des premiers & derniers termes de tension. Cette raison se trouve très-analogue avec les grands & petits frottemens, qui sont les termes qui donnent le plus de variation.
  
  Je dis donc, que les ressorts agissant sur des rayons plus ou moins grands, ont plus ou moins de force ; de sorte que les premiers degrés de tension sont les tours intérieurs qui se compriment sur l’axe, lesquels ont moins de longueur que les suivans. Les tours de lames agissant sur les premiers rayons de l’axe du barillet, ils parcourront d’autant moins d’espace ; & comme ils ont peu de force, ils doivent agir sur les grands rayons de la fusée. A mesure qu’on augmente les tensions du ressort, les tours de lame s’enveloppent autour de l’arbre & le grossissent ; conséquemment la force augmente, & nous fait diminuer les rayons de la fusée sur lesquels ils agissent ; car ils sont ici précisément en raison réciproque. Or si ces tensions suivent assez bien la proportion des poids, c’est une preuve que les lames ne se frottent pas : cette expérience devroit être faite sur tous les ressorts que l’on employe, puisque cela nous serviroit à nous assûrer de leur bonté.
  
  Du ressort reglant ou spiral. Il n’a d’autre frottement que celui de la fourchette du rateau. Dans les oscillations, ce ressort a un mouvement qui le fait frotter des deux côtés de la fourchette ; de sorte que s’il n’est pas bien poli, sur-tout dans cette partie, c’est alors qu’il occasionne des variations très-considérables aux montres.
  
  Je m’arrêterai peu à détailler les frottemens qu’il peut avoir accidentellement, lorsqu’il n’est pas bien fait & bien placé ; comme de frotter au balancier, à la platine, au piton, à la virole, au fond & côté de la fourchette. Enfin lorsque cette fourchette, par le mouvement qu’on lui donne, tend à gêner le spiral, soit en le grandissant ou le diminuant, comme les lames sont fort éloignées les unes des autres, elles ne sont pas dans le cas de se frotter. Faire & placer le spiral dans une montre, c’est une opération qui demande une très-grande habileté, sur-tout aux petites montres plates : aussi y a-t-il peu de gens en état de le bien faire.
  
  §. VII. Des différens usages & emplois qu’on fait des frottemens en Horlogerie. L’on nomme faire un frottement, ou ajuster à frottement, toutes les fois qu’on ajuste des pieces les unes dans les autres, avec un certain degré de pression, qui est tel que deux pieces ainsi ajustées ne font plus qu’un seul & même corps, & qui laisse néanmoins le pouvoir de mouvoir l’un sans l’autre. Ainsi sont les aiguilles d’une montre, l’aiguille du ressort spiral, le porte-pivot du vîte & lentement des répétitions, la virole & piton du spiral, les charnieres & têtes de compas, &c.
  
  Ces frottemens sont d’autant meilleurs qu’il y a plus de parties frottantes ; ce que l’on obtient par l’aggrandissement des surfaces. Si la pression est trop forte, les parties intégrantes du frottement, qui s’engrainent les unes dans les autres, s’accrochent si bien entr’elles, qu’il devient indifférent aux pieces de se desunir ou de se déchirer ; c’est ce que l’on voit souvent arriver par les filets de matiere de l’un ou l’autre corps, qui s’y trouvent intimement appliqués. On prévient ce déchirement de parties, en mettant de la cire dans les trous, & sur-tout en rendant les parties qui pressent susceptibles d’élasticité ; ce qu’on doit toûjours faire toutes les fois qu’on le peut : c’est le plus sûr moyen de rendre les frottemens doux, durables, & sensiblement uniformes.
  
  J’ai fait une suite d’expériences sur les frottemens élastiques, c’est-à-dire ceux dont la pression est élastique : mes résultats ont été, qu’il y avoit beaucoup plus d’égalité & d’uniformité que dans la pression fixe ; ce qui m’a fait projetter de faire une montre où tous les pivots seroient pressés par des ressorts qui seroient dans la proportion des pressions que les mobiles ont les uns à l’égard des autres successivement.
  
  A tous ces frottemens, ajoûtez les accidentels qui arrivent aux mauvaises montres par la mal-adresse de l’ouvrier ; comme des roues mal droites en cage, qui frottent d’un côté sur la platine, & de l’autre sur la roue qu’elle conduit ; comme pas assez de jour entre les mobiles, ce qui les fait frotter les uns contre les autres par le jeu qu’ils acquierent ; comme des vis trop longues dont le bout frotte sur le barillet, crochet de fusée, &c.
  
  Les portées des pivots augmentent encore les frottemens, lorsqu’on les laisse trop grandes.
  
  Les roues de la quadrature, lorsqu’il leur manque de la liberté, en ont d’autant plus de frottement.
  
  Il arrive encore que quoique tous les mobiles ayent été mis libres les uns après les autres séparement, la machine étant montée, rien n’est libre, soit parce que l’ouvrier n’a pas fait attention que ces goupilles bridoient les platines, soit par de fortes pieces, que l’on est obligé de faire tenir avec des vis sur les platines, qui étant mal ajustées, brident encore & augmentent le frottement, en gênant toutes les pieces.
  
  Si jusqu’à-présent les auteurs n’ont pû trouver la valeur exacte des frottemens dans un cas simple, peut-on s’attendre de le faire dans le cas de plusieurs mobiles qui agissent les uns sur les autres avec des degrés de pression qui diminuent comme la vîtesse augmente ? Si l’on se représente plusieurs plans les uns dans les autres, comme M. Amontons le rapporte dans les mém. de l’académie, où il faut, suivant cet auteur, autant de force répétée pour mouvoir tous ces plans à-la-fois, qu’il en faut pour chacun en particulier : de même si l’on se représente une suite de roues agissant les unes sur les autres, comment trouver la force précise qu’il faut appliquer sur le premier mobile pour les mettre tous en mouvement, & leur donner une vîtesse déterminée, comme il est nécessaire de le faire dans une montre ? Cette force ne sera pas comme le nombre des mobiles, par rapport à la machine de M. Amontons ; mais elle doit être suffisante pour vaincre la résistance qui sera composée d’une suite de pressions qui vont en diminuant à mesure que les mobiles augmentent de vîtesse ; du frottement des pivots, en raison de leur diametre ; des engrenages, & de l’échappement, &c.
  
  Après cela, peut-on être surpris des phénomenes & variations que les frottemens produisent dans l’Horlogerie ? Cet Article est de M. Romilly, horloger à Paris en 1757.
  
  