Vielfaches
# Vielfaches

Ein Vielfaches ist ein Begriff aus der Arithmetik, der sich primär auf die Multiplikation ganzer Zahlen ($\dotsc ,-1,0,1,2,\dotsc$) bezieht. Allerdings kann er auch auf beliebige abelsche Gruppen verallgemeinert werden. In der Bruchrechnung und der Zahlentheorie spielt das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder mehreren ganzen Zahlen eine Rolle.

## Vielfaches einer ganzen Zahl

Eine ganze Zahl $a\in \mathbb {Z}$ heißt Vielfaches einer Zahl $b\in \mathbb {Z}$, wenn es eine ganze Zahl $k\in \mathbb {Z}$ gibt, so dass $a=k\cdot b$ ist. In diesem Fall ist $b$ ein Teiler von $a$. Von einem echten Vielfachen wird gesprochen, wenn $|k|>1$ ist.

Analog wird das Vielfache auch für rationale oder reelle Zahlen $a$ und $b$ definiert.

## Beispiele

* 6, 9 und −15 sind echte Vielfache von 3.
* 6 ist auch ein echtes Vielfaches von 2.
* 0 ist ein Vielfaches von jeder Zahl.

## Vielfache in abelschen Gruppen

Sei $(A,+)$ eine abelsche Gruppe, so gibt es zu jedem $a\in A$ einen durch $\mu _{a}(1)=a$ eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus $\mu _{a}\colon \mathbb {Z} \to A$. Für diesen gilt

    ${\begin{aligned}\mu _{a}(0)&=0,\\\mu _{a}(2)&=\mu _{a}(1)+\mu _{a}(1)=a+a,\\\mu _{a}(-n)&=-\mu _{a}(n)\ {\mbox{für alle}}\ n\in \mathbb {N} \,.\end{aligned}}$

Nun wird

    $n\cdot a:=\mu _{a}(n)$

für $n\in \mathbb {Z}$ und $a\in A$ gesetzt. Dann nennt man $n\cdot a$ ein Vielfaches oder genauer das $n$-Fache von $a$ in der abelschen Gruppe $A$.

