Rasch-Modell
# Rasch-Modell

Das Rasch-Modell ist ein vom dänischen Statistiker Georg Rasch entwickeltes mathematisch-psychologisches Modell der probabilistischen Testtheorie (auch genannt Item-Response-Theorie).

## Überblick

Psychologische Tests (Fragebögen, Leistungstests) zur Messung psychischer Merkmale können auf verschiedenen Messmodellen basieren. Letztere unterscheiden sich darin, wie aus den Antworten auf die Items eines Tests auf die Ausprägung der Fähigkeiten bzw. Eigenschaften einer Person (z. B. Intelligenz oder Extraversion) geschlossen wird – und wie die Tests daraufhin konstruiert sein müssen. Zwei Modellarten bzw. -klassen sind vor allem zu unterscheiden, die Klassische Testtheorie (KTT) und die Probabilistische Testtheorie, die bestimmte Nachteile der klassischen Testtheorie überwinden will. Zu letzterer gehört auch das Rasch-Modell. Der Vorteil probabilistischer Modelle liegt darin, dass aus dem beobachteten Antwortverhalten auf zwei latente Variablen geschlossen wird, welche das Antwortverhalten determinieren: die Itemschwierigkeit und die Fähigkeit der Person. Ein Effekt ist, dass die Schätzung der Fähigkeit dann unabhängig von der Itemschwierigkeit erfolgen kann. Ein ähnliches Modell fand z. B. auch innerhalb der PISA-Studie Anwendung.

## Wissenschaftlicher Hintergrund

Das Rasch-Modell postuliert im Vergleich zum Guttman-Modell keinen deterministischen Zusammenhang zwischen dem Testverhalten einer Versuchsperson und deren Personenparameter. Vielmehr wird ein zugrundeliegendes Persönlichkeitsmerkmal („Latent Trait“) angenommen, von dessen Ausprägung das manifeste Lösungsverhalten in probabilistischer Weise abhängt.

Die Wahrscheinlichkeit der Antwort von Person v bei Aufgabe i ist bestimmt durch die Modellgleichung:

    $p(X_{vi}=1)=1-p(X_{vi}=0)={\frac {\exp(\theta _{v}-\sigma _{i})}{1+\exp(\theta _{v}-\sigma _{i})}}$

Die Likelihood-Funktion ist:

    $L(\theta _{v}-\sigma _{i}|x)=p(X_{vi}=x)={\frac {\exp(x(\theta _{v}-\sigma _{i}))}{1+\exp(\theta _{v}-\sigma _{i})}}$

wobei $X_{vi}$ eine Zufallsvariable ist, welche den Wert 1 annimmt, wenn die Person v die Aufgabe i löst, und die den Wert 0 annimmt, wenn die Person v die Aufgabe nicht löst. $θ_v$ ist die latente Fähigkeit der Person v, $σ_i$ ist die Schwierigkeit der Aufgabe i, $\exp$ bezeichnet die natürliche Exponentialfunktion. Formal liegt hier ein Logit-Modell vor, das die Anteile von 0 bzw. 1 in eine stetige Verteilung überführt.

## Parameterschätzung

Die Parameterschätzung erfolgt im Rasch-Modell über einen Maximum-Likelihood-Ansatz. Es gibt 3 Methoden zur Schätzung der Personen- und Aufgabenparameter:

* Es kann eine gemeinsame Schätzung der Personen- und Aufgabenparameter erfolgen, dabei leidet allerdings die Konsistenz der Statistik.
* Eine andere Methode ist die bedingte Maximum-Likelihood-Schätzung (auch Conditional Maximum-Likelihood-Methode). Hierbei werden zunächst die Aufgabenparameter unter der bedingten Likelihood der Daten gegeben, die suffiziente Summenstatistik für den Personenparameter geschätzt und nachfolgend die unbedingten Maximum-Likelihood-Schätzer der Personenparameter.
* Die dritte Methode ist die marginale Maximum-Likelihood-Schätzung bei der Annahmen über die Verteilung der Personenparameter in der Population getroffen werden.

Im Vergleich zur klassischen Testtheorie kann im Rasch-Modell für jeden geschätzten Personenparameter $θ_v$ ein individuelles Konfidenzintervall angegeben werden. Dieses wird eng, wenn für die jeweilige Personenfähigkeit $θ_v$ mehrere Items Informationen liefern (Maximale Information gdw. $θ_v$ = $σ_i).$ Es wird breit bei wenig Items, die für diesen Bereich Informationen liefern (i. d. R. ist dies bei extremen Ausprägungen der Fall).

## Nutzen

Im Rasch-Modell erfolgt eine Trennung des Einflusses der Personenfähigkeit $θ_v$ vom Einfluss der Testaufgabe $σ_i.$ Damit wird eine Messung gemäß der Messtheorie etabliert. Vergleiche von Personen (bzw. Aufgaben), die von den Aufgaben (bzw. Personen) unabhängig sind, werden möglich. Diese Eigenschaft wird von Rasch als „spezifische Objektivität“ bezeichnet. Weiterhin bildet das Rasch-Modell die Grundlage für adaptives Testen, da der Personenparameter nach jeder Aufgabe neu berechnet werden kann und dadurch entsprechend Items selektiert werden können, die maximale Information liefern. Ebenfalls etabliert wird eine Basis für Veränderungsmessungen. Die klassische Testtheorie setzt dagegen stabile Persönlichkeitsmerkmale voraus und ist aus psychometrischer Sicht dafür nicht konzipiert.

## Modelltest

Innerhalb des Rasch-Modells kann ein Modelltest durch die Schätzung der Aufgabenparameter $σ_i$ in Teilstichproben erfolgen. Dies ist möglich, da die Schätzungen unabhängig von den eingehenden Personenparametern sind (siehe spezifische Objektivität). Hierzu kann man eine Stichprobe z. B. am Median splitten. Trägt man die erhaltenen Schätzwerte gegeneinander ab, so sollten sie auf einer Geraden durch den Nullpunkt mit Steigung 1 liegen. Die Abweichung von dieser Geraden kann im Rahmen der Testkonstruktion als Kriterium zur Aufgabenselektion genutzt werden (siehe Abbildung). Die Vorhersagen können auch durch einen Likelihood-Quotienten-Test statistisch geprüft werden. Bei optimaler Modellpassung nimmt dieser Quotient einen Wert von 1 an.

