Fuhrmann-Dreieck
# Fuhrmann-Dreieck

Das Fuhrmann-Dreieck, benannt nach Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), ist ein spezielles Dreieck, das über ein gegebenes Ausgangsdreieck definiert ist.

Zu einem gegebenen Ausgangsdreieck $\triangle ABC$ sind $M_{a},M_{b},M_{c}$ die Mittelpunkte der Kreisbögen des Umkreises über den Dreiecksseiten $a,b,c$. Diese Mittelpunkte werden an den zugehörigen Dreiecksseiten gespiegelt und die Spiegelpunkte $M_{a}^{\prime },M_{b}^{\prime },M_{c}^{\prime }$ sind die Eckpunkte des Fuhrmann-Dreiecks. Ist das gegebene Dreieck gleichseitig, so fallen diese drei Punkte zusammen.

Der Umkreis des Fuhrmann-Dreiecks wird auch als Fuhrmann-Kreis bezeichnet. Des Weiteren ist das Fuhrmann-Dreieck ähnlich zu dem von den Mittelpunkten der Kreisbögen gebildeten Dreieck, also $\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triangle M_{a}M_{b}M_{c}$ und für seine Fläche gilt:

    $|\triangle M_{c}^{\prime }M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }|={\frac {(a+b+c)|OI|^{2}}{4R}}={\frac {(a+b+c)(R-2r)}{4}}$

Hierbei bezeichnet $O$ den Mittelpunkt des Umkreises des Ausgangsdreiecks $\triangle ABC$ und $R$ seinen Radius, sowie $I$ den Mittelpunkt des Inkreises und $r$ dessen Radius. Aufgrund des Satzes von Euler gilt zudem für den Abstand der beiden Mittelpunkte $|OI|^{2}=R(R-2r)$. Für die Seitenlängen des Fuhrmann-Dreiecks existieren die folgenden Gleichungen:

    $a^{\prime }={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a+b+c)}{bc}}}|OI|$
    $b^{\prime }={\sqrt {\frac {(a-b+c)(a+b+c)}{ac}}}|OI|$
    $c^{\prime }={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+b+c)}{ab}}}|OI|$
