Korrelationsmatrix
# Korrelationsmatrix

In der Stochastik ist die Korrelationsmatrix eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix, die die Korrelation zwischen den Komponenten eines Zufallsvektors erfasst. Die Korrelationsmatrix kann aus der Varianz-Kovarianzmatrix erhalten werden und umgekehrt.

## Definition

Die Korrelationsmatrix als Matrix aller paarweisen Korrelationskoeffizienten der Elemente eines Zufallsvektors $\mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})^{\top }$ enthält Informationen über die Korrelationen zwischen seinen Komponenten. Analog zur Varianz-Kovarianzmatrix $\mathbf {\Sigma }$ ist die Korrelationsmatrix definiert als

    $\mathbf {P} \equiv \operatorname {Corr} (\mathbf {X} )={\begin{pmatrix}\rho _{11}&\rho _{12}&\cdots &\rho _{1n}\\\\\rho _{21}&\rho _{22}&\cdots &\rho _{2n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{n1}&\rho _{n2}&\cdots &\rho _{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\rho _{12}&\cdots &\rho _{1n}\\\\\rho _{21}&1&\cdots &\rho _{2n}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{n1}&\rho _{n2}&\cdots &1\end{pmatrix}}$,

wobei $\rho _{ij}=\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})/{\sqrt {\operatorname {Var} (X_{i})\operatorname {Var} (X_{j})}}=\sigma _{ij}/\sigma _{i}\sigma _{j}$ der Korrelationskoeffizient zwischen $X_{i}$ und $X_{j}$ ist.

Beispielsweise beinhaltet die zweite Zeile von $\mathbf {P}$ die Korrelation von $X_{2}$ mit jeder anderen $X$-Variablen. Die Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit wird als $\mathbf {P} _{\rho }$ bzw. $\mathbf {P}$ und die Stichproben-Korrelationsmatrix als $\mathbf {R}$ bezeichnet. Wenn man die Diagonalmatrix $\mathbf {D} =\left(\operatorname {diag} ({\boldsymbol {\Sigma }})\right)^{1/2}=\operatorname {diag} (\sigma _{1},\sigma _{2},\dotsc ,\sigma _{n})$ definiert, dann erhält man $\mathbf {P}$ durch ${\boldsymbol {\Sigma }}$ und umgekehrt:

    $\mathbf {P} =\mathbf {D} ^{-1}\,{\boldsymbol {\Sigma }}\,\mathbf {D} ^{-1}$

oder äquivalent

    ${\boldsymbol {\Sigma }}=\mathbf {D} \,\mathbf {P} \,\mathbf {D}$.

## Eigenschaften

* Sind alle Komponenten des Zufallsvektors $\mathbf {X}$ linear unabhängig, so ist $\mathbf {R}$ positiv definit.
* Auf der Hauptdiagonalen wird die Korrelation der Größen mit sich selbst berechnet. Da der Zusammenhang der Größen strikt linear ist, ist die Korrelation auf der Hauptdiagonalen immer eins.
* Bei Stichprobenziehung aus einer mehrdimensionalen Normalverteilung ist die Stichproben-Korrelationsmatrix $\mathbf {R}$ Maximum-Likelihood-Schätzer der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit $\mathbf {P}$.

## Stichproben-Korrelationsmatrix

Eine Schätzung der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit ${\widehat {\mathbf {P} }}$ erhält man, indem man die Korrelationskoeffizienten in der Grundgesamtheit $\rho _{ij}$ durch die empirischen Korrelationskoeffizienten (ihre empirischen Gegenstücke) $r_{ij}$ ersetzt. Dies führt zur Stichproben-Korrelationsmatrix $\mathbf {R}$

    ${\begin{aligned}\mathbf {R} ={\widehat {\mathbf {P} }}={\widehat {\operatorname {Corr} (\mathbf {X} )}}&={\begin{pmatrix}1&r_{12}&\cdots &r_{1k}\\\\r_{21}&1&\cdots &r_{2k}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\r_{k1}&r_{k2}&\cdots &1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$.
