Q-Analogon
# Q-Analogon

Ein $q$-Analogon (Pl. $q$-Analoga) ist ein mathematischer Begriff, welcher insbesondere in der Kombinatorik auftritt. Ein $q$-Analogon verallgemeinert dabei eine mathematische Aussage mit Hilfe eines zusätzlichen Parameters $q$, so dass man im Fall $q\to 1$ wieder die ursprüngliche Aussage erhält. Der Begriff spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der speziellen Funktionen insbesondere in der Theorie der $q$-Polynome.

## Elementare Beispiele

Eine natürliche Zahl $n$ besitzt das $q$-Analogon

       $[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1},$

da $\lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n$.

### Kombinatorik

**q-Fakultät**

Die $q$-Fakultät ist für $n>0$

    $[n]_{q}!:=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [1]_{q}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {1-q^{k}}{1-q}},$

und $[0]_{q}!:=1$.

Durch ausmultiplizieren erhält man

    $[n]_{q}!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).$

**q-Pochhammer-Symbol**

Das $q$-Pochhammer-Symbol, auch $q$-Shiftfakultät genannt, ist

    $(a;q)_{n}:=\prod \limits _{k=1}^{n}(1-aq^{k-1})$

oder allgemeiner

    $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$

**q-Binomialkoeffizient**

Der $q$-Binomialkoeffizient ist

    ${\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}}=\prod \limits _{j=1}^{k}{\frac {(1-q^{n-j+1})}{(1-q^{j})}}.$

**Eigenschaften**

Es gilt

    $[n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}$

und

    ${\binom {n}{k}}_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}.$

## q-Spezielle Funktionen

### q-hypergeometrische Funktion

Das $q$-Analogon der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ist die $q$-hypergeometrische Funktion

    $\;_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{r}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{s}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}\left(-q^{(n-1)/2}\right)^{n(s+1-r)}.$

**q-orthogonale Polynome**

Die stetigen $q$-Hermitischen Polynome $\{H_{n}(x\mid q)\}$ sind durch folgende Rekursion gegeben

    $2xH_{n}(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^{n})H_{n-1}(x\mid q)$

mit Anfangswerten

    $H_{0}(x\mid q)=1,H_{1}(x\mid q)=2x.$

## Analysis

Das $q$-Analogon der Exponentialfunktion ist

    $e_{q}^{x}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.$

### q-Kalkül

Das $q$-Analogon der Ableitung einer Funktion $f$ ist die Q-Differenz

    $(D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}},$

dadurch entsteht das sogenannte $q$-Kalkül.

**q-Taylorreihe**

Das $q$-Analogon von $(x-a)^{n}$ ist

    $(x-a)_{q}^{n}:=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),$

zusammen mit der $q$-Differenz und der $q$-Fakultät lässt sich nun ein $q$-Analogon zur Taylorreihe für $f$ herleiten

    $f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {D_{q}^{n}f(a)(x-a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!}}.$
