Vielfach-Zetafunktion
# Vielfach-Zetafunktion

In der Mathematik sind Vielfach-Zetafunktionen (engl.: multiple zeta functions) eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion, definiert durch

    $\zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ {\frac {1}{n_{1}^{s_{1}}\cdots n_{k}^{s_{k}}}}=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ \prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},$

Obige Reihe konvergiert wenn $Re(s_{1})+\ldots +Re(s_{i})>i$ für alle $i$, sie kann (analog zur Riemannschen Zeta-Funktion) durch analytische Fortsetzung als meromorphe Funktion auf $\mathbb {C} ^{n}$ definiert werden.

Die Werte für positive, ganzzahlige $s_{1},\ldots ,s_{k}$ mit $s_{1}>1$ werden als Multiple Zeta-Werte (engl.: multiple zeta values, MZVs) bezeichnet. Man nennt $n=s_{1}+\ldots +s_{k}$ das „Gewicht“ und $k$ die „Länge“ des Arguments.

Die Vielfach-Zetafunktionen wurden erstmals in der Korrespondenz zwischen Leonhard Euler und Christian Goldbach definiert. Euler bewies die Reduktionsformel für $1<s\in \mathbb {Z}$:

    $\zeta (s,1)={\frac {1}{2}}s\zeta (s+1)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{s-1}\zeta (k)\zeta (s+1-k)$.

Zum Beispiel ist $\zeta (2,1)=\zeta (3)$.

Allgemein kann man, wenn $m+n$ ungerade ist, die Zweifach-Zetafunktion $\zeta (m,n)$ als rationale Linearkombination von $\zeta (m+n)$ und $\zeta (k)\zeta (m+n-k)$ mit $k\in \mathbb {N}$ darstellen.

Eine Vermutung von Alexander Goncharov besagte, dass die Perioden von über $\mathbb {Z}$ unverzweigten gemischten Tate-Motiven sich als $\mathbb {Q} \left[{\frac {1}{2\pi i}}\right]$-Linearkombinationen von Werten der Vielfachzetafunktion darstellen lassen. Für den Spezialfall des durch den Modulraum ${\mathcal {M}}_{0,n}$ von Kurven des Geschlechts 0 mit $n$ markierten Punkten und die relative Kohomologie $H^{l}({\overline {\mathcal {M}}}_{0,n}-A,B-B\cap A)$ definierten Tate-Motivs wurde dies zunächst von Francis Brown 2007 in seiner Dissertation bewiesen. Die allgemeine Form von Goncharovs Vermutung bewies Brown dann in einer 2012 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit.

