Q-Differenz
# Q-Differenz

Die q-Differenz ist das q-Analogon der Ableitung. Der Begriff taucht in der Kombinatorik, der Theorie der orthogonalen Polynome und dem Quanten-Kalkül auf.

## q-Differenz-Operator

Der q-Differenz-Operator ist das diskrete Analogon zur gewöhnlichen Ableitung und definiert als

    $(D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}}$.

Es gilt somit

    $\lim \limits _{q\to 1^{-}}(D_{q}f)(x)=f'(x)$

und

    $D_{q}x^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}x^{n-1}=[n]_{q}x^{n-1}$

wobei $[n]_{q}$ das q-Analogon von $n$ ist.

## q-Integral

Das q-Integral ist definiert als

    $\int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} _{q}x:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left[aq^{n}-aq^{n+1}\right]f(aq^{n})$
    $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} _{q}x:=\int _{0}^{b}f(x)\mathrm {d} _{q}x-\int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} _{q}x.$

## Einzelnachweis

* ↑ Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2.
