Extensive Abbildung
# Extensive Abbildung

Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

## Definition

Sei $(A,\leq )$ eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

    $f\colon \,A\to A$

heißt extensiv, falls gilt:

    $a\leq f(a)$ für alle $a\in A$.

Sie heißt intensiv, falls gilt:

    $f(a)\leq a$ für alle $a\in A$.

## Beispiele

* Auf $(A,\leq )$ ist die Identität $\operatorname {id} _{A}\colon \,a\mapsto a$ extensiv und intensiv, da $a\leq a$ immer gilt.
* Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

## Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung $f\colon A\rightarrow A$ bereits dann einen Fixpunkt, falls $A$ streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

