Mittag-Leffler-Funktion
# Mittag-Leffler-Funktion

Die Mittag-Leffler-Funktion ist eine nach dem Mathematiker Magnus Gösta Mittag-Leffler benannte mathematische Funktion, die in den Lösungen von bestimmten fraktionalen Integralgleichungen auftaucht (z. B. bei der Untersuchung von Zufallsbewegungen oder Lévy-Flügen). Sie ist gegeben durch

    $\mathrm {E} _{\alpha }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}}$,

wobei $\Gamma (x)$ die Gammafunktion ist. Die Reihe konvergiert für alle $\alpha$ mit positivem Realteil. Im Spezialfall $\alpha =1$ ergibt sich die Exponentialfunktion.

Die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion beschreibt eine Interpolation zwischen exponentiellem und polynomialen Verhalten und ist gegeben durch

    $\mathrm {E} _{\alpha ,\beta }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}$.

Spezialfälle dieser Funktion sind

    $E_{1/2,1}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z)$
    $E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}})$
