Gradient
# Gradient

Als Gradient oder Gradienten (von lateinisch gradiens ‚schreitend‘) bezeichnet man den Verlauf der Änderung (Gefälle oder Anstieg) einer Größe auf einer bestimmten Strecke. Von besonderem Interesse ist, in welcher Richtung die Änderung am größten ist oder in welcher Richtung keine Änderung stattfindet (Höhenlinie, Niveaumenge). Diese beiden Richtungen sind senkrecht zueinander.

Mathematisch ist der Gradient einer skalaren Größe der durch Richtung und Betrag definierte Vektor („Richtungspfeil“ und seine Länge), der an der betrachteten Stelle angibt, in welche Richtung die gemessene Größe am stärksten steigt und wie stark der Anstieg ist. Mit diesem Gradient kann die Änderung der Größe in jeder Richtung ermittelt werden; siehe dazu Gradient (Mathematik).

Beispiel: In einem Raum verteilt brennen mehrere Kerzen auf verschieden hohen Kerzenständern. Für jeden Punkt des Raumes gibt es jeweils genau einen Temperaturgradienten. Dieser beschreibt, in welche Richtung die Temperatur am stärksten ansteigt, und wie stark der Anstieg ist.

## Beispiele

Nachfolgende Gradienten-Beispiele sind Anwendungsfälle des mathematischen Gradienten.

* Als chemischer Gradient oder Stoffgradient wird in der Chemie ein Konzentrationsgefälle bezeichnet.
* Ein Protonengradient ist der räumliche oder zeitliche Unterschied in der Konzentration von Protonen (beispielsweise als pH-Gefälle wirkend).
* Als elektrochemischer Gradient wird die Zu- oder Abnahme eines elektrochemischen Potentials bezeichnet.
* Ein Farbgradient beschreibt einen Farbverlauf oder Helligkeitsübergang in der Kunst und Bildverarbeitung.
* Eine Gradiente beschreibt im Straßen- und Eisenbahnbau den Höhenverlauf einer projektierten oder bestehenden Trasse im Bezug zum Streckenverlauf (Achse).
* Der hydraulische Gradient beschreibt das Grundwassergefälle in der Hydrologie (das Verhältnis zwischen dem Druckhöhenunterschied oder der Wasserstandsdifferenz und der Fließlänge).
* Der Deformationsgradient der Kontinuumsmechanik ist ein Beispiel für den Gradienten eines Vektorfeldes. Er gibt für einen Körper an, wie sich die Strecke zwischen zwei benachbarten Teilchen bei einer Verformung in Richtung und Betrag ändert.

Der Begriff wird auch außerhalb von Naturwissenschaft und Technik in anderen Disziplinen verwendet, um den Verlauf einer Änderung einer Einflussgröße zu beschreiben, beispielsweise

* als sozialer Gradient, für die lineare Beziehung zwischen sozialem Status und allgemeinen Lebensbedingungen (der Morbidität) oder Lebenschancen (der Mortalität),
* als ökologischer Gradient, die allmähliche Änderung eines Umweltfaktors in einem Ökosystem, der in einer Gradientenanalyse über Gradienten von Faktoren (beispielsweise Niederschlagsmenge, Temperaturverlauf) bestimmt wird, um die Verteilung von Tier- oder Pflanzenpopulationen in Abhängigkeit dieser Faktoren zu dokumentieren – eine Kline ist so eine kontinuierliche Veränderung eines biologischen Merkmals einer Art in Abhängigkeit zu einem Ökogradienten (etwa einem Breitengrad),
* beim Goal-Gradient-Effekt das Phänomen, bei dem von einer Person mehr Anstrengung ausgeübt wird, um ein Ziel zu erreichen, je näher sich diese Person diesem Ziel befindet. Dazu wurden auch der Annäherungsgradient und Vermeidungsgradient definiert (siehe dazu Vermeidungsverhalten).

### Temperaturgradient

Der Temperaturgradient ist eine gerichtete physikalische Größe, die im Sinne eines mathematischen Gradienten an jedem Punkt eines Temperaturfelds beschreibt, in welcher Richtung die Temperatur dort am stärksten steigt und wie stark. Die international verwendete Einheit (SI-Einheit) seines Betrags ist Kelvin pro Meter (K/m). Der Temperaturgradient treibt die Wärmeleitung und kann Strömungen verursachen (siehe Bénard-Experiment, Küppers-Lortz-Instabilität). Er spielt bei der Thermophorese und der Thermoosmose eine wichtige Rolle und ist eine der Ursachen für die Verwitterung. An Grenzflächen von Stoffen unterschiedlicher Temperatur ist der Temperaturgradient – bei Vernachlässigung der thermischen Grenzschicht – mathematisch nicht definiert; anschaulich geht er dort gegen unendlich.

In der Meteorologie und der Geologie ist vor allem die Vertikalkomponente ${\tfrac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} z}}$ des Temperaturgradienten von Interesse, also die Veränderung der Temperatur mit dem Abstand von der Erdoberfläche. Diese Vertikalkomponente des Temperaturgradienten heißt in der Erdatmosphäre atmosphärischer Temperaturgradient und in der Erdkruste geothermische Tiefenstufe.

Bei der Temperaturgradientengelelektrophorese, einem Verfahren zur Trennung geladener Biomoleküle wie beispielsweise zur DNA-Auftrennung, wird ein Temperaturgradient oder ein chemischer Gradient verwendet.

### Meteorologie

Ein Gradient gibt in der Meteorologie an, wie stark sich eine ortsabhängige Größe mit dem Ort ändert, also in horizontaler oder vertikaler Richtung:

* Der atmosphärische Temperaturgradient: Wenn bei einer Höhenzunahme von 100 Metern die Lufttemperatur um 0,65 Kelvin abnimmt, so beträgt der vertikale Temperaturgradient 0,0065 K/m.
* Der vertikale Luftdruckgradient: Eine typische Veränderung des Luftdruckes beträgt in der Nähe des Meeresspiegels nach oben hin entsprechend der barometrischen Höhenformel etwa 1 Hektopascal je 8 Meter Höhenzunahme, das heißt, der vertikale Luftdruckgradient beträgt etwa 0,125 hPa/m.
* Der horizontale Luftdruckgradient (üblicherweise in der Größenordnung (1 hPa)/(100 km)).
* Der Luftfeuchtigkeitsgradient.
* Die Gradientkraft, auch Druckgradientkraft, ist die geophysikalische Ursache für den Wind als Ausgleichsströmung der Luft zwischen einem Hoch- und einem Tiefdruckgebiet.

Für jeden Punkt existiert ein Gradient. Der Gradient einer skalaren Größe hat entsprechend der mathematischen Definition nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung, stellt also einen Vektor dar. Dieser Vektor zeigt stets in die Richtung des stärksten Anwachsens der betrachteten Größe. Beispielsweise steckt in der Angabe des Temperaturgradienten in einem Punkt als Information die Richtung der stärksten Temperaturdifferenz in der Nachbarschaft des Punktes und die Größe dieser Differenz. Die Komponente dieses Vektors bezüglich einer vorgegebenen Richtung, zum Beispiel der Vertikalen, ergibt eine Richtungsableitung. Eine horizontale Richtungsableitung der Geländehöhe heißt Steigung beziehungsweise Gefälle. Letzteres wird auch im übertragenen Sinn benutzt, zum Beispiel Druckgefälle als treibende Kraft des Windes (siehe Gradientwind).

Beim Druckgefälle wurde früher „Hektopascal pro 60 Seemeilen“ (was einem Breitengrad entspricht) als Einheit verwendet. Sinn und Nutzen derartiger Gradienten war, dass Tabellen zur Errechnung der Windgeschwindigkeit nur mit dem Faktor Gradient multipliziert werden mussten, um die errechnete Windgeschwindigkeit auszugeben (das heißt, nur Tabellen für „Gradient = 1“ waren erforderlich).

### Kontinuumsmechanik

Die Kontinuumsmechanik benutzt den Gradienten auch in Zusammenhang mit vektoriellen Größen. Ein anschauliches Beispiel hierfür ist der schon genannte Deformationsgradient. Aber auch der Geschwindigkeitsgradient spielt insbesondere in der Fluidmechanik eine zentrale Rolle, denn mit ihm wird die Konvektion einer transportierten Größe dargestellt. Aber auch die Viskosität, die Folge von Mitnahmeeffekten zwischen sich unterschiedlich schnell bewegenden Fluidelementen ist, wird mit dem Geschwindigkeitsgradienten modelliert.

## Anwendungen

Beispiele technischer Anwendungen sind:

* Ein Druckgradientenmikrofon nutzt die Druckdifferenzen zwischen räumlichen Punkten aus.
* Bei der Dichtegradientenzentrifugation sedimentieren Partikel in einem Dichtegradienten.
* Anders als in der gewöhnlichen Kernspinresonanzspektroskopie verwendet man in der Feldgradienten-NMR bewusst inhomogene Magnetfelder.
* Die Gradientenoptik behandelt die Ablenkung eines Lichtstrahls in einem Material mit variablem Brechungsindex.
