Tangentenumlaufzahl
# Tangentenumlaufzahl

In der Mathematik misst die Tangentenumlaufzahl oder Tangentendrehzahl (engl.: turning number) die Anzahl der Umdrehungen einer geschlossenen Kurve.

## Definition

Eine geschlossene reguläre Kurve in der Ebene ist eine Abbildung

    $c\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}$

mit $f^{\prime }(x)\not =(0,0)$ für alle $x$.

Ihre Tangentenumlaufzahl ist die Umlaufzahl der Tangente als Abbildung

    ${\dot {c}}\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}$

in Bezug auf den Nullpunkt $(0,0)$, also die Anzahl der Umrundungen von ${\dot {c}}$ entgegen der Uhrzeigerrichtung um den Nullpunkt.

## Tangentenumlaufzahl und Totalkrümmung

Die Tangentenumlaufzahl kann als die durch $2\pi$ dividierte Totalkrümmung der Kurve

    ${\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{S^{1}}k(\theta )d\theta$,

wobei $k(\theta )$ die Krümmung der Kurve im Punkt $f(\theta )$ bezeichnet.

## Klassifikation regulärer Kurven bis auf reguläre Homotopie

Der Satz von Whitney-Graustein besagt, dass zwei reguläre Kurven in der Ebene genau dann regulär homotop sind, wenn sie dieselbe Tangentenumlaufzahl haben.

## Umlaufsatz

Der Umlaufsatz von Heinz Hopf besagt, dass die Tangentenumlaufzahl einer Kurve ohne Selbstdurchdringungen 1 oder −1 sein muss.

