Quandle
# Quandle

Ein Quandle ist in der Mathematik eine algebraische Struktur, die vor allem in der Knotentheorie Anwendung findet.

## Definition

Ein Quandle ist eine Menge $Q$ mit einer Operation $\triangleright$, so dass für alle $x,y,z\in Q$ gilt:

    (i) $x\triangleright x=x$
    (ii) die durch $f_{y}(x)=x\triangleright y$ definierte Abbildung $f_{y}\colon Q\to Q$ ist eine Bijektion
    (iii) $(x\triangleright y)\triangleright z=(x\triangleright z)\triangleright (y\triangleright z)$.

Bedingung (iii) heißt Selbstdistributivität.

Weil $f_{y}$ eine Bijektion ist, gibt es eine inverse Abbildung $f_{y}^{-1}\colon Q\to Q$. Die Operation $\triangleright ^{-1}$ wird für $x,y\in Q$ durch

    $x\triangleright ^{-1}y:=f_{y}^{-1}(x)$

definiert.

## Reidemeister-Bewegungen

Die Quandle-Operationen lassen sich mittels der Reidemeister-Bewegungen von Knotendiagrammen interpretieren:

* Reidemeister I
* Reidemeister II
* Reidemeister III

## Beispiele

* Jede abelsche Gruppe $A$ ist ein Quandle mit der Operation

          $x\triangleright y=2y-x$.
* Für eine Gruppe $G$ und $n\in \mathbb {N}$ definiert man den Quandle $Conj_{n}(G)$ als die Menge $G$ mit der Operation

          $x\triangleright y=y^{-n}xy^{n}$.
* Für eine Gruppe $G$ definiert man den Quandle $Core(G)$ als die Menge $G$ mit der Operation

          $x\triangleright y=yx^{-1}y$.
* Jeder $\mathbb {Z} \left[t^{\pm 1}\right]$-Modul ist ein Quandle mit der Operation

          $x\triangleright y=tx+(1-t)y$.
    Diese Quandle werden als Alexander-Quandle bezeichnet.
* Der Fundamentalquandle eines Knotens (oder allgemeiner einer Verschlingung) $K\subset S^{3}$ ist definiert wie folgt. Sei $X_{K}=S^{3}\setminus int(N(K))$ das Komplement einer regulären Umgebung und $x_{0}\in \partial X_{K}$. Definiere

          $Q(K)=\pi _{1}(C(K),\partial C(K),x_{0})$
    mit der (wohldefinierten) Verknüpfung
          $\left[\gamma _{1}\right]\triangleright \left[\gamma _{2}\right]=\left[\gamma _{2}\circ m_{\gamma _{2}(1)}\circ \gamma _{2}^{-1}\circ \gamma _{1}\right]$,
    wobei $m_{\gamma _{2}(1)}$ den Meridian durch $\gamma _{2}(1)$ bezeichnet.
