Topologische Entropie
# Topologische Entropie

Die topologische Entropie ist eine Invariante, die die Komplexität dynamischer Systeme misst. Sie verallgemeinert den (maßtheoretischen) Begriff der Kolmogorow-Sinai-Entropie auf nicht notwendig maßerhaltende dynamische Systeme.

Die Entropie misst die Chaotizität eines dynamischen Systems. Man bezeichnet dynamische Systeme als chaotisch, wenn ihre Entropie positiv ist.

## Definitionen

Sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $f\colon X\to X$ eine stetige Abbildung.

### Definition nach Adler-Konheim-McAndrew

Die topologische Entropie $h(f)$ des durch Iteration von $f$ definierten dynamischen Systems wird wie folgt definiert.

Für eine endliche offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$

    $X=\cup _{i=1}^{n}U_{i}$

von $X$ durch offene Mengen $U_{i}$ bezeichnen wir mit

    $H({\mathcal {U}})$

den Logarithmus der minimalen Anzahl von Mengen aus ${\mathcal {U}}$, die bereits ganz $X$ überdecken. Für zwei offene Überdeckungen ${\mathcal {U}}$ und ${\mathcal {V}}$ bezeichnen wir mit ${\mathcal {U}}\vee {\mathcal {V}}$ die Überdeckung durch offene Mengen der Form

    $U_{i}\cap V_{j}$ mit $U_{i}\in {\mathcal {U}},V_{j}\in {\mathcal {V}}$.

Mit diesen Bezeichnungen wird die topologische Entropie von $f$ definiert als

    $h(f)=\sup _{\mathcal {U}}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H({\mathcal {U}}\vee f^{-1}{\mathcal {U}}\vee \ldots \vee f^{-n+1}{\mathcal {U}})$,

wobei das Supremum über alle offenen Überdeckungen ${\mathcal {U}}$ genommen wird.

### Metrische Definition nach Bowen und Dinaburg

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $f\colon X\to X$ wieder eine stetige Abbildung.

Für alle $n\in \mathbb {N}$ definieren wir eine neue Metrik durch

    $d_{n}(x,y)=max\left\{d(f^{k}(x),f^{k}(y)):0\leq k\leq n-1\right\}$.

Für $\epsilon >0$ sei

    $N(d_{n},\epsilon )$

die maximale Kardinalität einer Menge $M\subset X$ mit $d_{n}(m,m^{\prime })\geq \epsilon$ für alle $m\not =m^{\prime }\in M$.

Dann definieren wir die topologische Entropie von $f$ durch

    $h(f)=\lim _{\epsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N(d_{n},\epsilon )$.

Wenn $X$ ein kompakter metrischer Raum ist, dann stimmt diese Definition mit der von Adler-Konheim-McAndrew überein.

## Beispiele

* Für eine Isometrie $f$ oder allgemeiner eine Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante $\leq 1$ ist $h(f)=0$.
* Für eine logistische Abbildung $f(x)=\mu x(1-x)$ mit $\mu >2+{\sqrt {5}}$ ist $h(f)=\ln(2)$.
* Die topologische Entropie der Winkelverdopplungsabbildung ist $\ln(2)$.
* Die topologische Entropie der Shiftabbildung auf $k$ Symbolen ist $\ln(k)$.

## Eigenschaften

* $h(f^{k})=kh(f)$.
* Für einen Homöomorphismus ist $h(f^{-1})=h(f)$.
* $h(gfg^{-1})=h(f)$ für jeden Homöomorphismus $g$ und beliebige $f$.
* Die topologische Entropie hängt nur von der Topologie, nicht von der zugrundeliegenden Metrik ab.
