Dunkl-Operator
# Dunkl-Operator

Der Dunkl-Operator ist ein Differential-Differenz-Operator aus der Lie-Theorie, der einer endlichen Reflexionsgruppe eines Wurzelsystems zugeordnet ist. Er wurde 1989 von dem amerikanischen Mathematiker Charles F. Dunkl eingeführt.

In der Stochastik untersucht man die Dunkl-Prozesse, die càdlàg Markow-Prozesse sind, deren infinitesimaler Generator eine Summe von Dunkl-Operatoren ist.

## Dunkl-Operator

Wir betrachten $\mathbb {R} ^{d}$ mit euklidischem Skalarprodukt $\langle ,\rangle$ und Skalarproduktnorm $\|\cdot \|$.

Sei

* $R$ ein Wurzelsystem in $\mathbb {R} ^{d}$,
* $R_{+}$ ein positives Teilsystem von $R$,
* $G$ die Spiegelungsgruppe von $R$, d. h. die Gruppe, die durch die Spiegelungen $\{\sigma _{\alpha }\mid \alpha \in R\}$, definiert durch

       $\sigma _{\alpha }(x)=x-2{\frac {\langle \alpha ,x\rangle }{\|\alpha \|^{2}}}\alpha$,
    erzeugt wird,
* $k\colon R\to \mathbb {C}$ eine Multiplizitätsfunktion, d. h. eine Funktion auf dem Wurzelsystem, die invariant unter $G$ ist, d. h. $k(\sigma _{\alpha }(x))=k(x)$. Die Menge aller Multiplizitätsfunktionen bezeichnen wir mit $K$,
* $D_{\xi }$ die Richtungsableitung bezüglich eines Vektores $\xi \in \mathbb {R} ^{d}$.

### Dunkl-Operator

Sei nun $\xi \in \mathbb {R} ^{d}$ und $k\in K$ und $u\in C^{1}(\mathbb {R} ^{d})$. Der zugehörige Dunkl-Operator $T_{\xi }:=T_{\xi ,k}$ ist definiert durch

    $T_{\xi }u(x)=D_{\xi }u(x)+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha )\langle \alpha ,\xi \rangle {\frac {u(x)-u(\sigma _{\alpha }x)}{\left\langle \alpha ,x\right\rangle }}.$

Da noch weitere Dunkl-Operatoren existieren, nennt man diesen auch rationaler Dunkl-Operator.

### Eigenschaften

Für ein fixes $k\in K$ kommutiert der Dunkl-Operator, d. h für $u,v\in \mathbb {R} ^{d}$ und $u,v\neq 0$ gilt

    $T_{u}T_{v}=T_{v}T_{u}.$

## Dunkl-Prozess

Für eine nichtnegative Multiplizitätsfunktion $k\in K$ und Standardvektoren $e_{1},\dots ,e_{d}$ definieren wir nun die Dunkl-Operatoren $T_{i}:=T_{e_{i}}$ definiert für $u\in C^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ durch

    $T_{i}u(x)={\frac {\partial u(x)}{\partial x_{i}}}+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha )\alpha _{i}{\frac {u(x)-u(\sigma _{\alpha }x)}{\left\langle \alpha ,x\right\rangle }}.$

Der Dunkl-Laplace-Operator ist definiert als

    $\Delta _{k}:=\sum \limits _{i=1}^{d}T_{i}^{2}.$

Der Dunkl-Prozess ist der Markow-Prozess $X=(X)_{t\geq 0}$ mit dem infinitesimalen Generator

    $L:={\frac {1}{2}}\Delta _{k}.$

### Beispiel

Für $u\in C_{c}^{2}(\mathbb {R} ^{d})$, eine Multiplizitätsfunktion $k$ und einen Dunkl-Prozess $X$ lautet der infinitesimale Generator explizit

    $Lu(x)={\frac {1}{2}}\Delta u(x)+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha )\left[{\frac {\langle \nabla u(x),\alpha \rangle }{\langle \alpha ,x\rangle }}+{\frac {u(\sigma _{\alpha }x)-u(x)}{\langle \alpha ,x\rangle ^{2}}}\right],$

wobei $\Delta$ den gewöhnlichen Laplace-Operator auf $\mathbb {R} ^{d}$ bezeichnet.

