Topologische K-Theorie
# Topologische K-Theorie

In der Mathematik, speziell in der algebraischen Topologie, beschäftigt sich die Topologische K-Theorie mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen. Der Name K-Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert; das K steht für „Klasse“ in einem sehr allgemeinen Sinn.

## Definitionen

Es sei $X$ ein fester kompakter Hausdorffraum.

Dann ist $K(X)$ der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen der stabil äquivalenten komplexen Vektorbündeln über $X$ nach der Untergruppe, die von Elementen der Form

    $[E\oplus F]-[E]-[F]$

für beliebige komplexe Vektorbündel $E,F$ über $X$ erzeugt wird. Dabei bezeichnet $\oplus$ die Whitney-Summe der Vektorbündel. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt Grothendieck-Gruppe (nach Alexander Grothendieck). Man kann sich Elemente von $K(X)$ also als formale Summen und Differenzen von (Isomorphieklassen von) komplexen Vektorbündeln denken.

Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbündel, erhält man die reelle $K$-Theorie $KO(X)$. Zur besseren Abgrenzung nennt man die K-Theorie der komplexen Vektorbündel auch komplexe K-Theorie.

Zwei Vektorbündel $E$ und $F$ auf $X$ definieren genau dann dasselbe Element in $K(X)$, wenn sie stabil äquivalent sind, d. h. wenn es ein triviales Vektorbündel $G$ gibt, so dass

    $E\oplus G\cong F\oplus G$

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird $K(X)$ zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der $K$-Theorie. Die reduzierte K-Theorie ${\tilde {K}}(X)$ ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung ${\tilde {K}}^{n}(X)={\tilde {K}}(S^{n}X)$ ein; dabei bezeichnet $S$ die reduzierte Einhängung.

## Eigenschaften

* $K$ ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume.
* Es gibt einen topologischen Raum $BU$, so dass Elemente von $K(X)$ den Homotopieklassen von Abbildungen $X\to BU$ entsprechen.
* Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus $K(X)\to H^{*}(X,Q)$, den Chern-Charakter.

## Bott-Periodizität

Dieses nach Raoul Bott benannte Periodizitätsphänomen lässt sich auf die folgenden äquivalenten Arten formulieren:

* $K(X\times S^{2})=K(X)\otimes K(S^{2}),$ und $K(S^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2};$ dabei ist $H$ die Klasse des tautologischen Bündels über $S^{2}=\mathbb {C} P^{1}$.
* ${\tilde {K}}^{n+2}(X)={\tilde {K}}^{n}(X)$
* $\Omega ^{2}\mathrm {BU} \simeq \mathrm {BU} \times \mathbf {Z}$.

In der reellen K-Theorie gibt es eine ähnliche Periodizität mit Periode 8.

## Berechnung

Die (komplexe oder reelle) topologische K-Theorie ist eine verallgemeinerte Kohomologietheorie und kann oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden.

## K-Theorie für Banachalgebren

Die topologische K-Theorie lässt sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen, wobei die C*-Algebren eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume $X$ kann als K-Theorie der Banachalgebren $C(X)$ der stetigen Funktionen $X\rightarrow \mathbb {C}$ umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung $X\mapsto C(X)$ ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren.

