Euler-Rodrigues-Formel
# Euler-Rodrigues-Formel

In der Mathematik und Mechanik dient die Euler-Rodrigues Formel nach Leonhard Euler und Olinde Rodrigues der Beschreibung einer Drehung in drei Dimensionen. Mit vier Euler-Parametern $a,b,c,d$, für die $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ gilt, definiert

    $Q:={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}$

eine Drehmatrix. Diese Formel basiert auf der Rodrigues-Formel, benutzt aber eine andere Parametrisierung.

Benutzt wird die Formel in Flugsimulatoren und Computerspielen.

## Eigenschaften

### Symmetrie

Die Parameter ( $a,b,c,d$ ) und ( $-a,-b,-c,-d$ ) beschreiben dieselbe Rotation, was daran liegt, dass sie in der Q-Matrix immer paarweise miteinander multipliziert werden und so die Minus-Zeichen neutralisiert werden. Von dieser Symmetrie abgesehen, definieren vier Parameter die Drehmatrix in eindeutiger Weise.

### Vektorformulierung

Aus den Parametern $b,c,d$ kann ein Vektor ${\vec {\varphi }}=(b,c,d)^{\top }$ gebildet werden. Darin bezeichnet das hochgestellte $\top$ die transponierte Matrix, sodass ${\vec {\varphi }}$ ein Spaltenvektor ist. Dann gilt für alle ${\vec {x}}$:

    $Q{\vec {x}}={\vec {x}}+2a{\vec {\varphi }}\times {\vec {x}}+2{\vec {\varphi }}\times ({\vec {\varphi }}\times {\vec {x}}).$

So motiviert sich die Bezeichnung für $a$ als skalarer Parameter und $b,c,d$ als Vektorparameter. Mit der Kreuzproduktmatrix

    $[{\vec {\varphi }}]_{\times }={\begin{pmatrix}0&-d&c\\d&0&-b\\-c&b&0\end{pmatrix}}$

zeigt sich

    $Q=E_{3}+2a[{\vec {\varphi }}]_{\times }+2[{\vec {\varphi }}]_{\times }[{\vec {\varphi }}]_{\times }=(2a^{2}-1)E_{3}+2a[{\vec {\varphi }}]_{\times }+2{\vec {\varphi }}{\vec {\varphi }}^{\top }$

Darin ist $E_{3}$ die Einheitsmatrix. Diese entsteht bei ${\vec {\varphi }}={\vec {0}}$ mit den Euler-Parametern $(a,b,c,d)=(\pm 1,0,0,0)$. Bei 180°-Drehungen ist $a=0$ und $|{\vec {\varphi }}|=1$.

### Drehwinkel und Drehachse

Jede Drehung in drei Dimensionen ist eindeutig bestimmt durch einen Drehwinkel $\phi$ und eine Drehachse, die durch einen Einheitsvektor ${\vec {e}}=(e_{x},e_{y},e_{z})^{\top }$ mit $e_{x}^{2}+e_{y}^{2}+e_{z}^{2}=1$ definiert wird. Dann lauten die Euler-Parameter der Drehung:

    $a=\cos(\phi /2)$
    $b=\sin(\phi /2)e_{x}$
    $c=\sin(\phi /2)e_{y}$
    $d=\sin(\phi /2)e_{z}$

Wenn $\phi$ um eine volle 360°-Drehung zunimmt, entstehen die Euler-Parameter $(-a,-b,-c,-d)$, die – wie oben bereits bemerkt – dieselbe Drehung repräsentieren.

Der Vektorparameter lautet hier also ${\vec {\varphi }}=\sin(\varphi /2){\hat {e}}$. Mit diesen Parametern und den Doppelwinkelfunktionen entsteht die Rodrigues-Formel für die Drehmatrix:

    $Q=E_{3}+\sin(\varphi )[{\hat {e}}]_{\times }+(1-\cos \phi )[{\hat {e}}]_{\times }[{\hat {e}}]_{\times }$

### Parameter einer Drehmatrix

Ist die Drehmatrix $Q$ gegeben und sind die Euler-Parameter gesucht, dann werden sie wie folgt gewonnen. Hat $Q$ nur positive Diagonalelemente, dann ist

    $\operatorname {Sp} (Q)=3a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}=4a^{2}-1\quad \rightarrow \quad a=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\operatorname {Sp} (Q)+1}}$

Die restlichen Parameter entstehen aus

    $q_{i}={\frac {Q_{kj}-Q_{jk}}{4a}}$

mit

    i 123 $q_i$ bcd j 231 k 312

Sind teilweise negative Diagonalelemente vorhanden, dann sei $Q_{ii}$ das größte Diagonalelement und

    $q_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+2Q_{ii}-\operatorname {Sp} (Q)}}$

Mit diesem Wert und $j,k$ aus obiger Tabelle ermittelt sich

    $a=\pm {\frac {Q_{kj}-Q_{jk}}{4q_{i}}},\quad q_{j}={\frac {Q_{ji}+Q_{ij}}{4q_{i}}},\quad q_{k}={\frac {Q_{ki}+Q_{ik}}{4q_{i}}}$

Berechnung der Drehmatrix einmal mit $a$ und einmal mit $-a$ und Vergleich mit der gegebenen Drehmatrix liefert schließlich das Vorzeichen von $a$.

### Verknüpfung zweier Rotationen

Die Verknüpfung zweier Rotationen ergibt wieder eine Rotation. Aus Euler-Parametern $a_{1},b_{1},c_{1},d_{1}$ für die erste Drehung $Q_{1}$ und $a_{2},b_{2},c_{2},d_{2}$ für die zweite Drehung $Q_{2}$ ergibt sich die kombinierte Drehung $Q_{2}Q_{1}$ aus erster Drehung und anschließender zweiter Drehung aus den Euler-Parametern

    $a=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2}$
    $b=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2}$
    $c=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2}$
    $d=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}$.

Auch hier gilt wieder $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$, was durch Einsetzen bestätigt werden kann. Letztere Identität hat über

    $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1=(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}+d_{2}^{2})$

einen direkten Bezug zum Euler’schen Vier-Quadrate-Satz und den Quaternionen.

## Verbindung mit anderen Konstrukten

### Quaternionen

Die Euler-Parameter können als Komponenten einer Einheitsquaternion angesehen werden. Der Parameter $a$ ist ihr reeller Anteil und $b,c,d$ ihr imaginärer. Mit den Einheitsquaternionen $q_{1,2}=a_{1,2}+ib_{1,2}+jc_{1,2}+kd_{1,2}$, die aus den Euler-Parametern zweier Drehungen $Q_{1,2}$ bestehen, können die Euler-Parameter der kombinierten Drehung $Q_{2}Q_{1}$ elegant mit dem Produkt der Quaternionen berechnet werden:

    $a+ib+jc+kd=q_{1}q_{2}$

Hier sind $i,j$ und $k$ die komplex-imaginären Einheiten, die sich mit den Hamilton-Regeln $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$ nicht kommutativ verknüpfen. Beispielsweise ist $jk=-kj=i$.

### Pauli-Matrizen

Die unitären 2 × 2-Matrizen

    ${\begin{aligned}E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\sigma _{0},&\quad \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma _{2}\\\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma _{1},&\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}}=\mathrm {i} \sigma _{3}\end{aligned}}$

mit der imaginären Einheit $\mathrm {i} ^{2}=-1$ der komplexen Zahlen hängen mit den Pauli-Matrizen $\sigma _{0,1,2,3}$ zusammen, die im Standardmodell der Elementarteilchenphysik und in der Quantenmechanik verwendet werden.

Die Matrizen $\sigma _{x,y,z}$ transformieren sich ähnlich obiger Hamilton-Regeln der komplex-imaginären Einheiten der Quaternionen:

    $\sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=\sigma _{z}^{2}=\sigma _{x}\sigma _{y}\sigma _{z}=-E_{2}$

Entsprechend können diese unitären 2 × 2-Matrizen ebenfalls zur Beschreibung von Rotationen herangezogen werden. Details dazu findet sich bei Quaternion, SU(2) und Spin-Gruppe.

Die zu einer Rotation korrespondierende unitäre 2 × 2-Matrix lautet unter Verwendung der Euler Parameter:

    $U={\begin{pmatrix}\ \ \,a+\mathrm {i} d&b+\mathrm {i} c\\-b+\mathrm {i} c&a-\mathrm {i} d\end{pmatrix}}=a\,E_{2}+b\,\sigma _{x}+c\,\sigma _{y}+d\,\sigma _{z}=a\,\sigma _{0}+\mathrm {i} b\,\sigma _{2}+\mathrm {i} c\,\sigma _{1}+\mathrm {i} d\,\sigma _{3}$
