Schubkorrekturfaktor
# Schubkorrekturfaktor

Der Schubkorrekturfaktor $\kappa$ dient in der Technischen Mechanik zur Berücksichtigung der Veränderung infolge Verwölbung durch Querkraftschub der Schubfläche $A_{S}$ im Vergleich zur eigentlich ebenen Balken-Querschnittsfläche $A$.

## Herleitung für dickwandige Querschnitte

Bei der Herleitung des Schubkorrekturfaktors $\kappa$ wird die Formänderungsenergie $\Pi _{Q}$ der Querkraft $Q$ (Schnittgröße) mit der Formänderungsenergie $\Pi _{\tau }$ der realen Schubspannung $\tau _{(z)}$ gleichgesetzt.

Die Formänderungsenergie $\Pi _{Q}$ der Querkraft $Q$ kann mit der mittleren Gleitung $\gamma _{m}$ bestimmt werden:

    $\Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot Q\cdot \gamma _{m}$

Für die mittlere Gleitung $\gamma _{m}$ setzen wir das Elastizitätsgesetz der Querkraft ein:

    $Q=\kappa \cdot G\cdot A\cdot \gamma \quad \Rightarrow \quad \gamma ={\frac {Q}{\kappa \cdot G\cdot A}}\quad \Rightarrow \quad \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}$

Die Formänderungsenergie $\Pi _{\tau }$ der realen Schubspannung $\tau _{(z)}$ ergibt sich, indem die reale Schubspannung $\tau _{(z)}$ über die Balken-Querschnittsfläche integriert wird:

    $\Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot \tau _{(z)}\cdot \gamma \cdot dA$

Für $\gamma$ wird das Hookesche Gesetz mit $\tau =G\cdot \gamma$ eingesetzt:

    $\Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\tau _{(z)}^{2}}{G}}\cdot dA$

Weiterhin wird für die reale Schubspannungsverteilung $\tau _{(z)}$ die Gleichung

    $\tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(z)}}{I_{y}\cdot b_{(z)}}}$

eingesetzt:

    $\Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA$

mit:

    $A$ Balken-Querschnittsfläche
    $S_{y(z)}$ Statisches Moment
    $G$ Schubmodul
    $I_{y}$ axiales Flächenträgheitsmoment
    $b_{(z)}$ Querschnittsbreite an der Stelle $z$

Werden beide Formänderungsenergien gleichgesetzt:

    $\Pi _{Q}=\Pi _{\tau }={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}={\frac {1}{2}}\cdot \int _{A}{\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA$

kann direkt nach dem Schubkorrekturfaktor $\kappa$ für dickwandige Querschnitte aufgelöst werden:

    ${\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA$

## Herleitung für dünnwandige Querschnitte

Auf gleiche Weise lässt sich auch der Schubkorrekturfaktor für dünnwandige Querschnitte herleiten. Hierbei muss lediglich die reale Schubspannung mit

    $\tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(\zeta )}}{I_{y}\cdot b_{(\zeta )}}}$

eingesetzt werden. Damit folgt für den Schubkorrekturfaktor:

    ${\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{\zeta }{\frac {S_{y(\zeta )}^{2}}{t_{(\zeta )}^{2}}}\cdot d\zeta$

Darin ist $\zeta$ die Laufkoordinate entlang der Profilmittellinie des dünnwandigen Querschnittes und $t_{(\zeta )}$ die Querschnittsbreite an der jeweiligen Laufkoordinate.

## Beispiele

| Querschnitt | Schubkorrekturfaktor |
| - | - |
| Rechteck | ${\frac {5}{6}}=0{,}83{\overline {3}}$ |
| Vollkreis | ${\frac {3}{4}}=0{,}75$ |
| dünnwandiger Kreisring | $0{,}5$ |
| I-Profil (DIN 1025-1) | $\approx 0{,}35\dots 0{,}45$ |
| I-Profil, mittelbreit (DIN 1025-2) | $\approx 0{,}1\dots 0{,}25$ |
| I-Profil, Breitflansch (DIN 1025-3) | $\approx 0{,}18\dots 0{,}45$ |
| T-Profil (DIN 59051) | $\approx 0{,}45\dots 0{,}5$ |

Für dünnwandige Profile kann auch die von Robert Land eingeführte Näherung verwendet werden:

    $\kappa \approx {\frac {A_{\text{Steg}}}{A}}$

## Anmerkung

In mancher Literatur wird für $\kappa$ der Kehrwert ${\frac {1}{\kappa }}$ verwendet. Damit würde z. B. die Formänderungsenergie der Querkraft

    $\Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\kappa \cdot Q^{2}}{G\cdot A}}$

lauten.

