Bernoullische Annahmen
# Bernoullische Annahmen

Die Bernoullischen Annahmen sind Vereinfachungen der physikalischen Balkentheorie, die sich als Teilgebiet der Technischen Mechanik mit dem Verhalten belasteter Balken beschäftigt. Sie werden auch als Bernoulli-Hypothese oder Bernoullische Hypothese oder Normalenhypothese von Bernoulli bezeichnet und sind benannt nach Jakob I Bernoulli, von dem sie aufgestellt und dann in die Theorie übertragen wurden.

## Inhalt der Annahmen

Vorausgesetzt wird, dass der Balken schlank ist. Seine Länge ist wesentlich größer als seine Querschnittsabmessungen.

Bernoulli geht von einem schubstarren Balken $G\cdot {\tilde {A}}=\infty$ aus. Dabei steht $G$ für das Schubmodul, ${\tilde {A}}$ für die Querschnittsfläche. Es tritt also ausschließlich Biegung auf und die Schubverformung hat keinen weiteren Einfluss.

1. Bernoulli’sche Hypothese: Senkrechtbleiben der Querschnitte

Balkenquerschnitte, die vor der Verbiegung senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Verbiegung senkrecht auf der deformierten Balkenachse. (Aus dem Winkelerhalt folgt, dass Schubstarrheit $G\cdot {\tilde {A}}=\infty$ gefordert wird.)

2. Bernoulli’sche Hypothese: Ebenbleiben der Querschnitte

Die Querschnitte bleiben auch nach der Verbiegung in sich eben und verwölben sich nicht. (Unter Berücksichtigung von Gleichgewicht folgt die Forderung nach Schubstarrheit $G\cdot {\tilde {A}}=\infty$.)

## Anwendung

In der schubstarren Balkentheorie 1. Ordnung gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:

* ${\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)$
* ${\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=V(x)+m(x)$
* ${\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]$
* ${\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)$

mit

* der Laufkoordinate x entlang der Balkenachse
* dem Elastizitätsmodul E
* dem Flächenträgheitsmoment I(x)
* V(x) der Querkraft
* q(x) der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit)
* M(x) dem Biegemoment
* m(x) dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit)
* φ(x) der Verdrehung
* $κ^e(x)$ der eingeprägten Krümmung
* w(x) der Durchbiegung.
