Martingalmaß
# Martingalmaß

Das Martingalmaß (auch risikoneutrales Maß) ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Die Bedeutung von Martingalmaßen liegt darin, dass bei einem vorgegebenen Marktmodell mit Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ genau dann äquivalente Martingalmaße existieren, falls es keine Arbitragemöglichkeit im Marktmodell gibt. Dies ist genau die Aussage des ersten Fundamentalsatzes der Arbitragepreistheorie.

## Martingalmaß in diskreten Modellen

### Finanzmarktmodell

Gegeben sei ein Finanzmarktmodell bestehend aus $d$ Anlagegütern (z. B. Aktien oder Derivate) $(S^{1},\dotsc ,S^{d})$, einem Numéraire $S^{0}$ und Zeitpunkten $t\in {0,\dotsc ,T}$ mit $T\in \mathbb {N}$. Die Wertentwicklung eines Anlagegutes $S^{i}$ wird mittels eines stochastischen Prozesses modelliert. Das heißt, zu jeder Zeit $t=0,\dotsc ,T$ entspricht $S_{t}^{i}$ dem Preis des $i$-ten Anlageguts und $S_{t}^{i}$ ist eine nichtnegative Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$.

Der Informationsgewinn im betrachteten Finanzmarkt kann durch eine Filtrierung modelliert werden. Eine Filtrierung ist eine aufsteigende Folge von $\sigma$-Algebren mit ${\mathcal {F}}_{0}\subset {\mathcal {F}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}$. Dabei beschreibt die Menge ${\mathcal {F}}_{t}$ die bis zur Zeit $t$ beobachtbaren Ereignisse. Weiter soll gelten, dass die Preise $S_{t}^{i}$ für alle $t=0,\dotsc ,T$ ${\mathcal {F}}_{t}$-messbar sind. Damit soll dem Umstand Rechnung getragen werden, dass die Preise $S_{t}^{i}$ zum Zeitpunkt $t$ bekannt sind.

Schließlich versteht man unter dem diskontierten Preisprozess $X^{i}:=S^{i}/S^{0}$ die zinsbereinigte Wertentwicklung von Anlagegütern.

### Definition

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in {0,\dotsc ,T}},P)$ ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum. Ein stochastischer Prozess $(X_{t})_{t\in {0,\dotsc ,T}}$ heißt $P$-Martingal, falls folgende drei Eigenschaften gelten:

* $X$ ist adaptiert an $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in {0,\dotsc ,T}}$, d. h. $X_{t}$ ist ${\mathcal {F}}_{t}$-messbar für alle $t\in {0,\dotsc ,T}$.
* $X$ ist ein integrierbarer Prozess, d. h. $X_{t}\in {\mathcal {L}}^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},P)$ für alle $t\in {0,\dotsc ,T}$.
* $\operatorname {E} _{P}(X_{t+1}|{\mathcal {F}}_{t})=X_{t}\,P$-fast sicher für alle $t\in {0,\dotsc ,T-1}$

Nun heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P^{*}$ auf $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ Martingalmaß, falls die diskontierten Preisprozesse $X^{i}$ für alle $i=1,\dotsc ,d$ $P^{*}$-Martingale sind.

**Äquivalentes Martingalmaß**

Falls zusätzlich $P^{*}$ äquivalent zu $P$ ist, d. h. $P^{*}(A)=0\Leftrightarrow P(A)=0$ für alle $A\in {\mathcal {F}}$, so heißt $P^{*}$ äquivalentes Martingalmaß.

**Äquivalentes lokales Martingalmaß**

Sind die diskontierten Preisprozess lokale Martingale und $P^{*}$ zu $P$ äquivalent, so heißt $P^{*}$ äquivalentes lokales Martingalmaß.

### Beispiel

Folgendes Glücksspiel wird vereinbart: Beim Wurf einer fairen Münze erhält der Spieler bei Zahl $1$ Euro und bei Kopf $2$ Euro. Die Teilnahme am Spiel wird auf $1{,}70$ Euro festgelegt. Das Marktmodell besteht in diesem Fall aus $d=1$ Anlagegütern und aus zwei Zeitpunkten, einem Zeitpunkt $t=0$ vor dem Wurf und einem Zeitpunkt $t=T=1$ nach dem Wurf. Die anderen Parameter im Marktmodell lauten den Angaben entsprechend $\Omega =\{1,2\}$, ${\mathcal {F}}_{0}=\{\emptyset ,\Omega \}$, ${\mathcal {F}}_{1}={\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ und $P$ ist die Gleichverteilung auf $\Omega$. Der diskontierte Wertprozess $X^{1}$ des Glücksspieles entspricht in dem Fall dem Preisprozess $S^{1}$ und lautet $X_{0}^{1}=1{,}70$ und $X_{1}^{1}=1\cdot \chi _{\{1\}}+2\cdot \chi _{\{2\}}$. Offensichtlich handelt es sich bei $P$ um kein Martingalmaß, da gilt

    $\operatorname {E} _{P}(X_{1}^{1}|{\mathcal {F}}_{0})=\operatorname {E} _{P}(X_{1}^{1})=1{,}50\neq 1{,}70=X_{0}^{1}$.

Das Wahrscheinlichkeitsmaß $P^{*}=0{,}3\cdot \delta _{1}+0{,}7\cdot \delta _{2}$ auf $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ ist dagegen ein äquivalentes Martingalmaß. Der diskontierte Preisprozess $X^{1}$ ist offensichtlich adaptiert und integrierbar (dies ist unabhängig vom gewählten Wahrscheinlichkeitsmaß) und es gilt:

    $\operatorname {E} _{P^{*}}(X_{1}^{1}|{\mathcal {F}}_{0})=\operatorname {E} _{P^{*}}(X_{1}^{1})=1{,}70=X_{0}^{1}$.
