Kerr-Metrik
# Kerr-Metrik

Die Kerr-Metrik ist eine stationäre und axialsymmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen. Sie beschreibt die Raumzeit und damit auch das Gravitationsfeld von ungeladenen und rotierenden Schwarzen Löchern. Sie ist nach Roy Kerr benannt, der sie 1963 veröffentlicht hat. Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen Schwarzen Löchern gefunden. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik, die auch im Außenbereich eines nichtrotierenden und sphärisch-symmetrischen Körpers beliebiger Ausdehnung gilt, beschreibt die Kerr-Metrik im Wesentlichen die Raumzeit eines Schwarzen Lochs, denn schnell rotierende Sterne haben oft ein nicht zu vernachlässigendes Multipolmoment und unterschiedliche Dichtegradienten, sodass sich deren Raumzeit-Geometrie erst in einem gewissen Abstand von der Oberfläche des Sterns an die Kerr-Metrik annähert.

## Linienelement

Im Artikel wird, wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) oftmals verwendet, die Vorzeichenkonvention ${(-,+,+,+)}$ für die Metrik benutzt.

### Boyer-Lindquist-Koordinaten

Mit den kovarianten

    $g_{tt}=\zeta -1,\ g_{rr}={\frac {\Sigma }{\Delta }},\ g_{\theta \theta }=\Sigma ,\ g_{\phi \phi }={\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }},\ g_{t\phi }=-a\zeta \sin ^{2}\theta$

und den durch Matrixinvertierung erhaltenen kontravarianten

    $g^{tt}=-{\frac {\chi }{\Delta \Sigma }},g^{rr}={\frac {\Delta }{\Sigma }},g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }},g^{\phi \phi }={\frac {\Delta -a^{2}\sin ^{2}\theta }{\Delta \Sigma \sin ^{2}\theta }},\ g^{t\phi }=-{\frac {a\zeta }{\Delta }}$

metrischen Koeffizienten lautet das Linienelement der Kerr-Raumzeit in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d. h. $G=c=1$:

    ${\mathrm {d} s}^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=g_{tt}\mathrm {d} t^{2}+g_{rr}\mathrm {d} r^{2}+g_{\theta \theta }\mathrm {d} \theta ^{2}+g_{\phi \phi }\mathrm {d} \phi ^{2}+2g_{t\phi }\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi ,$

oder ausgeschrieben

    $\mathrm {d} s^{2}=(\zeta -1)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}+\Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+{\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} \phi ^{2}-2a\zeta \sin ^{2}\theta \mathrm {d} t\mathrm {d} \phi$

Der D’Alembert-Operator lautet:

    $\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=g^{\mu \nu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=g^{tt}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}+g^{rr}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}+g^{\theta \theta }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)^{2}+g^{\phi \phi }\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{2}+2g^{t\phi }\,{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial t}}$

Es gilt:

    $r_{\mathrm {s} }=2M,\quad a=J/M,\quad \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,\quad \Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }\ r+a^{2},\quad \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta \Delta ,\quad \zeta =r_{\mathrm {s} }r/\Sigma$

$M$ ist die felderzeugende, gravitierende Masse inklusive der Rotationsenergie. Wird einem Schwarzen Loch, beispielsweise mithilfe eines Penrose-Prozesses, seine gesamte Rotationsenergie entzogen, reduziert sich seine gravitierende Masse $M$ auf die irreduzible Masse $M_{\mathrm {irr} }$. Für diese gilt:

    $M_{\mathrm {irr} }={\sqrt {\,{\frac {M^{2}+{\sqrt {M^{4}-a^{2}M^{2}}}}{2}}}}$

Nach $M$ aufgelöst gilt auch:

    $M=2{\sqrt {\frac {M_{\mathrm {irr} }^{4}}{4M_{\mathrm {irr} }^{2}-a^{2}}}}$

Der Rotationsenergie $E_{\mathrm {rot} }=M-M_{\mathrm {irr} }$ entspricht also in Übereinstimmung mit der Äquivalenz von Masse und Energie einer Masse. Für den Fall, dass der Körper mit $a=M$ rotiert, ergibt sich ein um den Faktor ${\sqrt {2}}$ höheres Massenäquivalent als für einen statischen Körper mit der gleichen irreduziblen Masse.

$r_{\mathrm {s} }$ ist der Schwarzschild-Radius. Der Parameter $a$ wird auch Kerrparameter genannt. Er ist proportional zum Drehimpuls $J$ des Schwarzen Loches. Ein positiver Drehimpuls beschreibt vom Nordpol aus betrachtet eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn. Ein negativer Drehimpuls beschreibt die entgegengesetzte Richtung.

Für den Fall einer verschwindenden Rotation mit $a=0$ reduziert sich das obige Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in Schwarzschild-Koordinaten. Setzt man zusätzlich den Masseparameter auf Null $M=0$ reduziert sich das obige Linienelement auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in Kugelkoordinaten.

### Kerr-Koordinaten

In der Originalarbeit von R. Kerr wird die Metrik in zwei Koordinatensystemen angegeben. Bei der ersten Form reduziert sich das Linienelement mit $a=0$ auf das Linienelement der Schwarzschild-Metrik in Eddington-Finkelstein-Koordinaten.

Die nichtverschwindenden kovarianten metrischen Komponenten lauten:

    $g_{uu}=\zeta -1,\,g_{ur}=1,\,g_{u{\hat {\varphi }}}=\zeta a\sin ^{2}\theta ,\,g_{r{\hat {\varphi }}}=a\sin ^{2}\theta ,\,g_{\theta \theta }=\Sigma ,\,g_{{\hat {\varphi }}{\hat {\varphi }}}=\Sigma \sin ^{2}\theta +a^{2}(1+\zeta )\sin ^{4}\theta$

Die kontravarianten Komponenten ergeben sich durch Matrixinvertierung:

    $g^{uu}={\frac {a^{2}\sin ^{2}\theta }{\Sigma }},\,g^{ur}={\frac {r^{2}+a^{2}}{\Sigma }},\,g^{u{\hat {\varphi }}}={\frac {-a}{\Sigma }},\,g^{rr}={\frac {r^{2}+a^{2}}{\Sigma }}-\zeta ,\,g^{r{\hat {\varphi }}}={\frac {-a}{\Sigma }},\,g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }},\,g^{{\hat {\varphi }}{\hat {\varphi }}}=-{\frac {1}{\Sigma \sin ^{2}\theta }}$

Die radiale Koordinate $r$ und der Polwinkel $\theta$ sind identisch mit ihren Boyer-Lindquist-Pendants. Die beiden anderen Koordinaten unterscheiden sich von den Boyer-Lindquist-Pendants.

Der lokale Beobachter mit konstantem $u$ und ${\hat {\varphi }}$ befindet sich nicht auf einer festen Radialkoordinate. Er fällt radial gemäß

    $\mathrm {d} r/\mathrm {d} t=-r_{\mathrm {s} }\ r\ \Delta /\chi$

auf die zentrale Masse zu, während er wie der lokale Boyer-Lindquist-Beobachter mit der Winkelgeschwindigkeit

    $\mathrm {d} \phi /\mathrm {d} t=r_{\mathrm {s} }\ r\ a/\chi$

um die Symmetrieachse rotiert.

So ein gedachter lokaler Beobachter wird in der Literatur auch „zero angular momentum observer“ oder kurz ZAMO genannt. Siehe dazu auch weiter unten den Abschnitt Bahn von Testkörpern.

### Kerr-Schild-Koordinaten

Die zweite Form des metrischen Tensors aus Kerrs Originalarbeit erhält man über die Koordinatentransformation:

    $x=(r\cos {\hat {\varphi }}+a\sin {\hat {\varphi }})\sin \theta ,\quad y=(r\sin {\hat {\varphi }}-a\cos {\hat {\varphi }})\sin \theta ,\quad z=r\cos \theta ,\quad {\hat {t}}=u\,-\,r$

Diese Koordinaten werden in der Literatur auch als Kerr-Schild-Koordinaten bezeichnet. In diesen Koordinaten wird die Koordinatensingularität am Ereignishorizont vermieden.

Das Linienelement lautet:

    $\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}-\mathrm {d} {\hat {t}}^{2}+{\frac {r_{\mathrm {s} }\ r^{3}}{r^{4}+a^{2}\ z^{2}}}\ \left(\mathrm {d} {\hat {t}}+{\frac {r\ (x\ \mathrm {d} x+y\ \mathrm {d} y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {a\ (y\ \mathrm {d} x-x\ \mathrm {d} y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z\ \mathrm {d} z}{r}}\right)^{2}$

Aufgrund der verwendeten Koordinatentransformationen gilt die folgende Gleichung:

    $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}+a^{2}\left(1-{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\right)$

## Besondere Flächen

Die Raumzeit, die durch die Kerr-Metrik beschrieben wird, besitzt aufgrund der Nullstellen im Nenner der Komponenten des metrischen Tensors einige Besonderheiten, die näher untersucht werden können. Genau wie bei einem ungeladenen und nicht-rotierenden Schwarzen Loch gibt es auch hier sogenannte lichtartige und stationäre Untermannigfaltigkeiten. Eine dieser Untermannigfaltigkeiten bildet einen physikalisch bedeutsamen Ereignishorizont, weil der Lichtkegel aller Punkte auf dieser Fläche komplett auf der Innenseite dieser Fläche liegt. Demnach können Lichtstrahlen den Ereignishorizont nur in Richtung hin zur Singularität bei $r=0$ verlassen. Neben dem Ereignishorizont gibt es noch eine zweite physikalisch bedeutsame Fläche, die im Folgenden näher beschrieben wird. Weiterführende Rechnungen zeigen, dass nur der äußere Ereignishorizont und die äußere Ergosphäre eine eigentliche physikalische Bedeutung hat.

Um eine anschauliche Vorstellung von der Form der besonderen Flächen zu bekommen, kann man entweder Koordinaten mit einer anschaulichen Bedeutung, wie den Kerr-Schild-Koordinaten verwenden oder man untersucht das Krümmungsverhalten dieser Flächen. In den Grafiken wird die Darstellung des metrischen Tensors in Kerr-Schild-Koordinaten verwendet. Eine Beschreibung des Krümmungsverhaltens der besonderen Flächen kann den angegebenen Referenzen entnommen werden.

### Ereignishorizont

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entarten die oben angegebenen Komponenten des metrischen Tensors auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente $g_{rr}$ gleich Null werden, wenn $\Delta =0$ gesetzt und nach $r$ aufgelöst wird. Die beiden Ereignishorizonte liegen damit auf

    $r_{\text{H}}^{\pm }\ =\ M\ \pm \ {\sqrt {M^{2}\ -\ a^{2}}}.$

Bei maximaler Rotation mit $a=M$ fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius $r_{G}=M$ zusammen. Bei minimaler Rotation mit $a=0$ fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius $r_{s}=2r_{G}$ zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate $r$ bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, weicht das geometrische Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte stark von dem Krümmungsverhalten einer Kugeloberfläche ab. Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich der direkten Beobachtung, solange für den Spinparameter $a\leq M$ gilt. Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich, dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.

### Ergosphäre

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente $g_{tt}$. Die Bedingung $g_{tt}=0$ führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

    $r_{\text{E}}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}.$

Diese zwei Flächen können wegen des Terms $\cos ^{2}\theta$ unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel $\theta$ von $0$ bzw. $\pi$. Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig aus, während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zu konvergiert und bei $a=M$ mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit $r=r_{\text{H}}^{\text{+}}$ und $r=r_{\text{E}}^{\text{+}}$ wird Ergosphäre genannt. Für ein massebehaftetes Teilchen ist $\mathrm {d} s^{2}$ entlang seiner Weltlinie negativ. Da innerhalb der Ergospäre die Komponente $g_{tt}$ der Metrik positiv ist, ist dies jedoch nur dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen Mindest-Winkelgeschwindigkeit $\Omega$ mit der inneren Masse $M$ mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die ruhen oder sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) $v_{\mathrm {zamo} }=\Omega \ {\bar {R}}\ \varsigma$ ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit $c$ ist.

### Schatten

Beim Schatten eines Schwarzen Lochs handelt es sich um den schwarzen Bereich, den ein Beobachter an der Stelle sieht, wo sich das Schwarze Loch befindet. Es handelt sich also um die scheinbare Ausdehnung des Schwarzen Lochs, die aufgrund der starken Krümmung der Raumzeit in der Nähe des Schwarzen Loches immer größer als der äußere Ereignishorizont ist.

Der Umriss des Schattens kann entweder mit numerischer Integration der lichtartigen Geodäten oder auch durch fouriertransformierte Limaçons berechnet werden.

Der Beobachter wird im Folgenden als in weiter Entfernung vom Schwarzen Loch und stationär angenommen. $\theta$ bezeichnet den Polarwinkel der Position des Beobachters. $\theta =0$ und $\theta =\pi$ entspricht also einer Position auf der Symmetrieachse der betrachteten Raumzeit. $\theta =\pi /2$ entspricht dagegen einer Position in der äquatorialen Ebene. Die Wellenlänge des Lichts wird im Vergleich zum Gravitationsradius als vernachlässigbar klein betrachtet. Die Konturlinien sind gegeben durch

    $0=(x^{2}+z^{2}-x\ A)^{2}-B^{2}\ (x^{2}+z^{2})$

mit den beiden Parametern

    $A=\alpha \sin \theta +{\bar {a}}\sin ^{3}\theta \cos ^{2}\theta /5$
    $B=\beta +0{,}23\cos ^{4}\theta \ (1-{\sqrt {1-{\bar {a}}^{4}}}),$

die noch vom Kerrparameter und der Position des Beobachters abhängen. Ferner gilt noch die folgende Reihenentwicklung

    ${\begin{aligned}\alpha =&-8892{,}68{\bar {a}}^{10}+30413{,}2{\bar {a}}^{9}-46107{,}4{\bar {a}}^{8}+\\&+37064{,}7{\bar {a}}^{7}-18685{,}4{\bar {a}}^{6}+4666{,}5{\bar {a}}^{5}-3894{,}54{\bar {a}}^{4}+\\&+49{,}5645{\bar {a}}^{3}-9672{,}25{\bar {a}}^{2}+2{,}27392{\bar {a}}+9669{,}01{\bar {a}}\ \tan({\bar {a}})\end{aligned}}$
    $\beta =5{,}19058-0{,}343743{\bar {a}}\ \tan({\bar {a}})+0{,}0284803{\bar {a}}-0{,}0470795{\bar {a}}^{\ 27{,}5224}\tan({\bar {a}})$

mit ${\bar {a}}=a/M$, wodurch die beobachteten Längenmaßstäbe hier in Einheiten von $GM/c^{2}$ betrachtet werden. Der beobachtete Radius des Schattens in Polarkoordinaten ist damit $r_{\mathrm {obs} }=A\cos \vartheta +B$. Aus der polaren Ansicht bei $\theta =0$ rotiert das Schwarze Loch aus der Sicht des Beobachters gegen den Uhrzeigersinn und aus dem Blickwinkel $\theta =\pi$ im Uhrzeigersinn. Der beobachtete Radius des Schattens eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs liegt damit bei bzw. knapp über ${\sqrt {27}}GM/c^{2}\approx 5GM/c^{2}$. Das trifft auch für rotierende Schwarze Löcher zu, wenn diese aus der polaren Perspektive betrachtet werden. Je weiter die Position des Beobachters in der äquatorialen Ebene liegt, umso stärker wird die asymmetrische Verzerrung. Auf der dem Beobachter entgegenrotierenden Seite wird der Schatten eingedellt und auf der von ihm wegrotierenden Seite ausgebeult.

### Umfangs- und Flächenformeln

Durch die nichteuklidische Geometrie ergibt sich als Umfang nicht $U=2\pi \ r$, sondern in axialer Richtung

    $U_{\phi }=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}\ \mathrm {d} \phi =2\pi {\bar {R}}$

mit dem axialen Radius der Gyration

    ${\bar {R}}={\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta ,$

der am äußeren Ereignishorizont auf der Äquatorebene für alle $a$ mit dem Schwarzschildradius $r_{\mathrm {s} }$ zusammenfällt.

In polodialer Richtung gilt

    $U_{\theta }=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {|g_{\theta \theta }|}}\ \mathrm {d} \theta =4{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\ \xi \left({\frac {a^{2}}{a^{2}+r^{2}}}\right)$,

wobei die Funktion $\xi$ das elliptische Integral 2. Art bezeichnet. Die Oberfläche des Ereignishorizonts ist nicht gleich $4\pi r_{\text{H}}^{2}$, sondern

    $A_{\mathrm {H} }=\int _{0}^{\pi }2\pi {\bar {R}}\ {\sqrt {\Sigma }}\,\mathrm {d} \theta =8\pi Mr_{\text{H}}.$

## Drehimpuls

Bei $a>M,\ r=r_{\text{H}}^{+}$ würde eine nackte Singularität auftreten, da bei derartig hohen Drehimpulswerten kein Ereignishorizont existieren kann. Kip Thorne folgerte schon 1974 aus Computersimulationen des Wachstums von Schwarzen Löchern aus Akkretionsscheiben, dass Schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen (seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Kerrparameter von $a\approx 0{,}998M$). Auch Simulationen der Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen zeigten, dass man dabei dem Grenzwert zwar sehr nahe kommt ($a=0{,}95M$), er aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden.

Allgemein wird meist davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann (als Teil der Cosmic-Censorship-Hypothese). Diese Begrenzung für Schwarze Löcher gilt jedoch nicht für Sterne und andere Objekte mit einer Ausdehnung, die signifikant größer als ihr äußerer Ereignishorizont ist. Diese müssen, bevor sie zu einem Schwarzen Loch kollabieren, einen Teil ihres überschüssigen Drehimpulses nach außen abwerfen, sodass der Kerrparameter des resultierenden Schwarzen Lochs letztendlich bei $a<M$ liegt.

Bei einem Kerrparameter von $a=M$ würde der Ereignishorizont zudem mit Lichtgeschwindigkeit rotieren. Dieser Grenzwert wird in der Natur zwar nicht erreicht, jedoch kommen manche Schwarze Löcher wie z. B. jenes im Kern der Spiralgalaxie NGC 1365 oder Markarian 335 sehr nah an dieses Limit heran.

Wie bei der Schwarzschild-Metrik in Schwarzschildkoordinaten sind die Polstellen der Kerr-Metrik, welche die Lage der Ereignishorizonte beschreiben, in Boyer-Lindquist-Koordinaten ebenfalls nur Koordinaten-Singularitäten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik ebenfalls bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.

## Bahn von Testkörpern

Für alle ab hier folgenden Gleichungen wird der metrische Tensor mit Boyer-Lindquist-Koordinaten und den natürlichen Einheiten $G=M=c=1$ verwendet.

Körper, deren Masse so klein ist, dass das zugehörige Gravitationsfeld keinen wesentlichen Anteil zur Raumzeitgeometrie liefert, werden Testkörper genannt. Die kräftefreien Bewegungen dieser Testkörper im Gravitationsfeld des Schwarzen Loches entsprechen in guter Näherung denen von frei fallenden Beobachtern (FFO). Die zugehörigen Bahnen können mit Hilfe des hamiltonschen Prinzips und den daraus folgenden kanonischen Gleichungen oder den Geodätengleichungen beschrieben werden. Aus den kanonischen Gleichungen folgt, dass jede kovariante Komponente eines generalisierten Impulses immer dann konstant ist, wenn alle Komponenten des metrischen Tensors von der zugehörigen Koordinate unabhängig sind.

Für Testkörper mit einer invarianten Masse $\mu$ ungleich Null gilt

    $p^{\alpha }=\mu {\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}$.

Dabei ist der Parameter $\tau$ gleich der Eigenzeit einer mit dem Testkörper mitgeführten Uhr. Die so berechneten vier Komponenten entsprechen dann genau den kontravarianten Komponenten des Viererimpulses des Testkörpers.

Für Testkörper mit verschwindender Masse wie Licht gilt hingegen

    $p^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}$

mit einem geeigneten affinen Bahnparameter $\lambda$, der so gewählt wird, dass die gewünschten Rand- oder Startbedingungen für die zu untersuchenden Lichtstrahlen gelten.

In beiden Fällen gilt ferner ohne Einschränkungen

    $p_{\alpha }=g_{\alpha \beta }p^{\beta }$.

Bei der Kerr-Metrik sind nun alle Komponenten des metrischen Tensors nicht von der Zeit und der Koordinate $\phi$ abhängig. Es gilt also:

    $E=-p_{t}$
    $L_{z}=p_{\phi }$

Dabei ist $E$ die konstante Gesamtenergie des Testkörpers entlang der geodätischen Bahn um das Schwarze Loch. Sie setzt sich bei Testköpern mit Masse aus der kinetischen, der potentiellen und der Ruheenergie zusammen, bleibt entlang der geodätischen Bahn immer erhalten und ist damit eine Integrationskonstante. Ebenso führt die Rotationssymmetrie der Kerr-Raumzeit zur Erhaltung des Drehimpulses $L_{z}$ des Testkörpers in Bezug auf die raumartige Symmetrieachse der Kerr-Metrik. Diese Symmetrieachse liegt parallel zum Drehimpuls des Schwarzen Loches.

Ferner gilt auch immer

    $-\mu ^{2}=p^{\alpha }g_{\alpha \beta }p^{\beta }$.

Brandon Carter zeigte weiter über die Verwendung des Hamilton-Jacobi-Formalismus, dass es für die Bahnen von Testkörpern auch noch eine vierte Bewegungskonstante $Q$ gibt. Diese Konstante wird in der Literatur als Carter-Konstante bezeichnet. Sie hängt mit der Energie und dem Drehimpuls des Testkörpers wie folgt zusammen:

    $Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)$

Die vier Bewegungsgleichungen zweiter Ordnung (Geodätengleichung) enthalten einschließlich der invarianten Masse $\mu$ des Testkörpers also insgesamt vier Integrationskonstanten und sind demnach einmal integrierbar. Die Bewegungsgleichungen können damit beispielsweise auf die folgende Form gebracht werden.

    ${\begin{aligned}\Sigma {\frac {dr}{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {R(r)}}\\\Sigma {\frac {d\theta }{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {\Theta (\theta )}}\\\Sigma {\frac {d\phi }{d\lambda }}&=-\left(aE-{\frac {L_{z}}{\sin ^{2}\theta }}\right)+{\frac {a}{\Delta }}P(r)\\\Sigma {\frac {dt}{d\lambda }}&=-a\left(aE\sin ^{2}\theta -L_{z}\right)+{\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }}P(r)\end{aligned}}$

mit:

    $\Theta (\theta )=Q-\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)$
    $P(r)=E\left(r^{2}+a^{2}\right)-aL_{z}$
    $R(r)=P(r)^{2}-\Delta \left(\mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Q\right)$

Aufgrund des Lense-Thirring-Effekts rotiert ein spezieller Beobachter mit konstantem $r$, konstantem $\theta$ und verschwindendem Drehimpuls $L_{z}$ mit einer festen Winkelgeschwindigkeit $\Omega$ um das Schwarze Loch. Diese Winkelgeschwindigkeit kann in Abhängigkeit von der Koordinate $r$ berechnet werden. Es gilt:

    $\Omega ={\frac {d\phi }{dt}}=-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{\mathrm {s} }\ a\ r}{\chi }}$

So ein Beobachter wird in der Literatur auch „zero-angular-momentum observer“ oder kurz „ZAMO“ genannt. Siehe dazu auch weiter unten den Abschnitt über mitbewegte Inertialsysteme.

### Numerische Berechnung der Bahnen

Der Einfachheit halber verwendet man für numerische Berechnungen der Bahnen von Testkörpern für massebehaftete Testteilchen anstelle der Masse $\mu$ einen auf eins normierten Parameter $\epsilon$ und für masselose Teilchen wie Photonen $\epsilon =0$.

Mit den Bezeichnungen von oben gilt:

    $p_{t}=-E$
    $p_{r}={\frac {\Sigma }{\Delta }}{\dot {r}}$
    $p_{\theta }=\Sigma {\dot {\Theta }}$
    $p_{\phi }=L_{z}$

Diese Komponenten werden auch im Hamilton-Formalismus verwendet. Der Punkt über den Variablen steht im Fall eines massebehafteten Testkörpers für das Differenzieren nach der Eigenzeit $\tau$ und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter, der anstatt der Eigenzeit die im System der ZAMOs lokal aufintegrierte Strecke des Photons bezeichnet. Dabei ist $p_{\theta }$ die polare $\theta$-, $p_{r}$ die radiale $r$- und das konstante $p_{\phi }=L_{z}$ die azimutale $\phi$-Komponente.

Da sich die Gleichungen des vorherigen Abschnittes nur bedingt für eine numerische Berechnung der Bahnen von Testkörpern eignen, verwendet man besser Gleichungen, die sich aus dem Hamilton-Formalismus ergeben. Mit den oben angegebenen Abkürzungen und Konstanten erhält man so ein System aus gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.

    ${\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}}$
    ${\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }}$
    ${\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }}$
    ${\dot {\phi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }}$
    ${\dot {p}}_{t}=0$
    ${\dot {p}}_{r}={\frac {(1-r)\left(\epsilon \ \left(a^{2}+r^{2}\right)+k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}-\Delta \ \epsilon \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }}$
    ${\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left(L_{z}^{2}/\sin ^{4}\theta -a^{2}\left(E^{2}-\epsilon \right)\right)}{\Sigma }}$
    ${\dot {p}}_{\phi }=0$

mit

    $k=a^{2}\left(E^{2}-\epsilon \right)+L_{z}^{2}+Q.$

Längen werden in $GM/c^{2}$, Zeiten in $GM/c^{3}$ und der Spinparameter in $a=Jc/(GM^{2})$ gemessen. Die vier Konstanten der Bewegung sind wie bereits erwähnt $E,L_{z},Q$ und $\epsilon$.

$Q$ ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter-Konstante:

    $Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I$

$I$ ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens.

Energie und Drehimpuls können auch aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:

    $E=\ -g_{tt}\ {\dot {t}}\ -\ g_{t\phi }\ {\dot {\phi }}=\left(1-{\frac {2r}{\Sigma }}\right){\dot {t}}+{\frac {2ar}{\Sigma }}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta$
    $L_{z}=g_{\phi \phi }\ {\dot {\phi }}\ +\ g_{t\phi }\ {\dot {t}}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}$

Im Fall eines massebehafteten Testpartikels erhält man die insgesamt zurückgelegte physikalische Wegstrecke mit dem Integral der Eigenzeit über die lokale 3er-Geschwindigkeit:

    $\mathrm {d} {\bar {s}}=\mathrm {d} \tau \ \mathrm {d} v\ \gamma \ ,\ \ {\bar {s}}=\int _{0}^{\tau }v(\tau ')\ \gamma \,\mathrm {d} \tau '$ mit dem Lorentzfaktor $\gamma =1/{\sqrt {(1-v^{2})}}={\dot {t}}/\varsigma$

Dabei sind $v^{r}$, $v^{\theta }$ und $v^{\phi }$ die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit

    $v={\sqrt {(v^{r})^{2}+(v^{\theta })^{2}+(v^{\phi })^{2}}}={\sqrt {(v^{x})^{2}+(v^{y})^{2}+(v^{z})^{2}}}$

entlang der jeweiligen Achsen, und es ergibt sich

    $v={\sqrt {\frac {\chi (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \Sigma }{\chi (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}$.

Die lokale Geschwindigkeit $v$ eines Testkörpers wird relativ zu dem korotierenden Beobachter (ZAMO) gemessen.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem stationären ZAMO mit festem $r$ und $\theta$ und einem stationären Beobachter (Koordinatenbuchhalter), der sehr weit vom Schwarzen Loch entfernt ist, berechnet sich gemäß den definierenden Eigenschaften des ZAMO ($L_{z}={\dot {r}}={\dot {\theta }}=0$) zu:

    ${\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {\frac {-g_{\phi \phi }}{g_{tt}g_{\phi \phi }-g_{t\phi }^{2}}}}$

## Mitbewegte Inertialsysteme

Das Bezugssystem (frame) eines lokal drehimpulsfreien Beobachters mit $L_{z}=0$, der in der Literatur auch „zero angular momentum observer“ oder kurz „ZAMO“ genannt wird, rotiert in der Kerr-Raumzeit mit einer gewissen Winkelgeschwindigkeit um die i. A. ebenfalls rotierende Masse im Zentrum der Raumzeit. Dieser Effekt wird auch Frame-dragging-Effekt genannt. Es gilt

    $\Omega ={\frac {{\rm {d}}\phi }{{\rm {d}}t}}=-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{\mathrm {s} }\ a\ r}{\chi }}$

Die Winkelgeschwindigkeit entspricht dabei der Ableitung der Winkelkoordinate $\phi$ nach der Koordinatenzeit $t$ eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters, der sich in ausreichend großer Entfernung von der Masse befindet.

Da der ZAMO relativ zum ihn lokal umgebenden Raum ruht, nimmt die Beschreibung der lokalen physikalischen Vorgänge in seinem Bezugssystem die einfachste Gestalt an. So ist z. B. nur in seinem Bezugssystem die Geschwindigkeit eines ihn passierenden Lichtstrahls gleich 1, während sie im System eines relativ zu den Fixsternen stationären Beobachters aufgrund der gravitativen Zeitdilatation verlangsamt und aufgrund des Frame-Draggings im Betrag und in der Richtung verschoben wäre. Der ZAMO kann deshalb als lokale Messboje, relativ zu der die Geschwindigkeit vor Ort $(v)$ bestimmt wird, verwendet werden.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem solchen mit $\Omega$ mitbewegten und auf fixem $r$ sitzenden Beobachter und einem weit entfernten Beobachter beträgt

    $\varsigma ={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {g^{tt}}}$.

Die radiale lokale Fluchtgeschwindigkeit $v_{\mathrm {esc} }$ ergibt sich damit über

    $\varsigma ={\frac {1}{\sqrt {1-v_{\mathrm {esc} }^{2}}}}\ \to \ v_{\mathrm {esc} }={\frac {\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}{\varsigma }}$.

Für einen Testkörper mit $E=1,\ L=0$ ergibt sich $v^{r}=v_{\mathrm {esc} }$, d. h., er entkommt der Masse mit der exakten Fluchtgeschwindigkeit.

## Kreisbahnen

Die pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit (relativ zum ZAMO) ergibt sich, indem

    ${\dot {p}}_{r}=v^{r}=v^{\theta }=0\ ,\ \ \theta =\pi /2\ ,\ \ v=v^{\phi }\ ,\ \ {\bar {a}}=a/M\ ,\ \ {\bar {r}}=r/M$

gesetzt und nach $v^{\phi }$ aufgelöst wird. Damit ergibt sich als Lösung

    $v_{\pm }^{\circ }={\frac {{\bar {a}}^{2}\mp 2{\bar {a}}{\sqrt {\bar {r}}}+{\bar {r}}^{2}}{{\sqrt {{\bar {a}}^{2}+({\bar {r}}-2)r}}\left({\bar {a}}\pm {\bar {r}}^{3/2}\right)}}$

für die prograde (+) und retrograde (−) Kreisbahngeschwindigkeit. Für Photonen mit $v=1,\ \mu =0$ ergibt sich daher

    $r_{\pm }^{\circ }=r_{\mathrm {s} }\ \left(\cos \left({\frac {2}{3}}\cos ^{-1}(\mp {\bar {a}})\right)+1\right)$

für den pro- und retrograden Photonenkreisradius in Boyer-Lindquist-Koordinaten. Für ein Photon mit verschwindendem axialen Drehimpuls, also einem lokalen Inkliniationswinkel von 90°, ergibt sich ein geschlossener Orbit auf

    $r_{\perp }^{\circ }=r_{\mathrm {s} }\ {\sqrt {1-{\frac {{\bar {a}}^{3}}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\cos ^{-1}\left({\frac {1-{\bar {a}}^{2}}{\left(1-{\frac {{\bar {a}}^{2}}{3}}\right)^{3/2}}}\right)\right)+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{2}}.$

Zwischen $r_{+}^{\circ }$ und $r_{-}^{\circ }$ sind Photonenorbits aller denkbaren Bahnneigungswinkel zwischen ±180° (retrograd) und 0° (prograd) möglich. Da alle Photonenorbits einen konstanten Boyer-Lindquist-Radius haben, kann der zum jeweiligen $a$ und $r$ passende Inklinationswinkel gefunden werden, indem die radiale Impulsableitung ${\dot {p}}_{r}$ wie oben auf 0, der initiale Breitengrad $\theta _{0}$ auf den Äquator gesetzt und nach $v^{\phi }$ aufgelöst wird.

Für Photonenorbits auf $r=3M$ ergibt sich außerdem für alle $a$ ein aus der Ferne beobachteter äquatorialer Inklinationswinkel von 90°. Der lokale Inklinationswinkel relativ zu einem mitrotierenden Beobachter vor Ort (ZAMO) ist höher (der axiale Drehimpuls ist dann negativ), wird aber aufgrund des Frame-Dragging-Effekts kompensiert. Im Schwarzschild-Limit mit $a=0$ fallen die Photonenobits aller Bahnneigungswinkel auf $r^{\circ }=3M$ und bilden die kugelschalenförmige Photonensphäre.

Im extremen Fall von $a=M$ würden sich auf $r=M$ sowohl äquatoriale Photonenkreisbahnen mit $v_{+}^{\circ }=1$ als auch gleichzeitig Partikelkreisorbits mit $v_{+}^{\circ }=1/2$ ergeben. Der Grund dafür ist, dass die vom Zentrum ausgehenden Kreise auf der radialen Koordinate denselben Wert einnehmen können, während sie in der euklidischen Einbettung auch einen unendlichen Abstand zueinander haben können, wenn sie wie im Fall von $a=M$ den gleichen lokalen Umfang $2\pi {\bar {R}}$ einnehmen.

## Sonstiges

2022 gelang Sergiu Klainerman, Jérémie Szeftel und Elena Giorgi der mathematische Beweis der Stabilität der Kerr-Lösung gegen kleine Störungen bei schwach rotierenden Schwarzen Löchern.

