3-Mannigfaltigkeit
# 3-Mannigfaltigkeit

Als 3-Mannigfaltigkeit oder 3-dimensionale Mannigfaltigkeit werden in der Mathematik Räume bezeichnet, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum aussehen.

## Beispiele

### Euklidischer Raum

Der euklidische Raum $\mathbb {R} ^{3}$ ist das einfachste Beispiel einer 3-Mannigfaltigkeit. Er ist nicht-kompakt und einfach zusammenhängend. Jede 3-Mannigfaltigkeit ist lokal homöomorph zum $\mathbb {R} ^{3}$.

Die euklidische Metrik auf dem $\mathbb {R} ^{3}$ ist eine flache Metrik, das heißt ihre Schnittkrümmung ist konstant Null. Es gibt aber zahlreiche andere riemannsche Metriken auf dem $\mathbb {R} ^{3}$. Insbesondere ist der $\mathbb {R} ^{3}$ homöomorph zum hyperbolischen Raum, dessen Schnittkrümmung konstant −1 ist.

### 3-Sphäre

Die 3-dimensionale Sphäre ist kompakt und einfach zusammenhängend. Die von Perelman bewiesene Poincaré-Vermutung besagt, dass sie die einzige einfach zusammenhängende, geschlossene Mannigfaltigkeit ist. Sie also die einfachste geschlossene 3-Mannigfaltigkeit.

Die Einbettung als Einheitssphäre in den $\mathbb {R} ^{4}$ stattet sie mit einer riemannschen Metrik aus, deren Schnittkrümmung konstant +1 ist.

### SU(2)

Die Lie-Gruppe SU(2) ist diffeomorph zur 3-Sphäre.

$\operatorname {SU} (2)$ ist eine zweifache Überlagerung von $\operatorname {SO} (3)$ und insbesondere isomorph zur Spingruppe $\operatorname {Spin} (3)$, die mithin ebenfalls zur $S^{3}$ diffeomorph ist.

### Whitehead-Mannigfaltigkeit

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist eine einfach zusammenhängende, nicht-kompakte 3-Mannigfaltigkeit, die nicht zum $\mathbb {R} ^{3}$ homöomorph ist, denn sie ist nicht „einfach zusammenhängend im Unendlichen“. Whitehead entdeckte sie als Gegenbeispiel zu einem Analogon der Poincaré-Vermutung für nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten.

### 3-Torus

Den 3-dimensionalen Torus erhält man durch Identifizieren der gegenüberliegenden Seitenflächen eines Würfels, oder als Produktraum dreier Kreise.

Seine Fundamentalgruppe ist die freie abelsche Gruppe $\mathbb {Z} ^{3}$, seine universelle Überlagerung ist der $\mathbb {R} ^{3}$.

Der 3-Torus trägt flache Metriken, d. h. riemannsche Metriken der Schnittkrümmung konstant Null. Jede solche Metrik erhält man durch eine Realisierung des 3-Torus als $\mathbb {R} ^{3}/L$ für ein Gitter $L\subset \mathbb {R} ^{3}$. Der Modulraum solcher Gitter ist $\operatorname {SL} (3,\mathbb {Z} )\backslash \operatorname {SL} (3,\mathbb {R} )$, der Modulraum der flachen Metriken ist $\operatorname {SL} (3,\mathbb {Z} )\backslash \operatorname {SL} (3,\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (3)$.

### Projektiver Raum

Der projektive Raum $\mathbb {R} P^{3}$ ist der Quotientenraum der Einheitssphäre bzgl. der Identifizierung $x\sim -x$ für alle $x\in S^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}$. Er hat demzufolge die Fundamentalgruppe $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, universelle Überlagerung $S^{3}$, und er ist eine sphärische Mannigfaltigkeit, d. h. er trägt eine riemannsche Metrik der Schnittkrümmung konstant 1.

Die projektive lineare Gruppe $\operatorname {PGL} (3,\mathbb {R} )$ wirkt auf $\mathbb {R} P^{3}$.

### SO(3)

Die Lie-Gruppe $\operatorname {SO} (3)$ ist diffeomorph zum $\mathbb {R} P^{3}$.

### Poincaré-Homologiesphäre

Die Poincaré-Homologiesphäre ist eine sphärische 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe die Ordnung 120 hat. Ihre Homologiegruppen sind isomorph zu denen der $S^{3}$.

Man konstruiert sie als Quotienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): S^{3}/\Gamma , wobei $\Gamma \subset \operatorname {SU} (2)=S^{3}$ das Urbild der Gruppe $A_5$ $\subset \operatorname {SO} (3)$ der orientierungserhaltenden Symmetrien des regelmäßigen Dodekaeders unter der zweifachen Überlagerung $\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)$ ist.

### Weeks-Mannigfaltigkeit

Die Weeks-Mannigfaltigkeit ist die hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten hyperbolischen Volumens. Man erhält sie durch (5,1)- und (5,2)-Dehn-Chirurgie an den beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung.

### Gieseking-Mannigfaltigkeit

Die Gieseking-Mannigfaltigkeit ist die Mannigfaltigkeit kleinsten hyperbolischen Volumens unter den nicht-kompakten, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten. Sie entsteht aus einem regulären idealen Tetraeder durch eine geeignete Identifizierung zweier Paare von Seitenflächen. Insbesondere hat sie das Volumen eines regulären idealen Tetraeders, also die Gieseking-Konstante 1,0149…

### Achterknotenkomplement

Das Komplement des Achterknotens in der 3-Sphäre ist gemeinsam mit seiner durch (5,1)-Dehn-Chirurgie an einer der beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung konstruierten Schwestermannigfaltigkeit die Mannigfaltigkeit kleinsten hyperbolischen Volumens unter den orientierbaren, nicht-kompakten, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten. Es ist eine 2-fache Überlagerung der Gieseking-Mannigfaltigkeit, sein Volumen also das Doppelte der Gieseking-Konstante.

Es ist ein Faserbündel über dem Kreis, dessen Faser ein punktierter Torus und dessen Monodromie Arnolds Katzenabbildung ist.

### Komplement der Whitehead-Verschlingung

Das Komplement der Whitehead-Verschlingung ist eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit zwei Spitzen. Ein Fundamentalbereich im hyperbolischen Raum ist der regelmäßige ideale Oktaeder. Das hyperbolische Volumen des Komplements der Whitehead-Verschlingung ist deshalb 3.663862377…, das Volumen des regelmäßigen idealen Oktaeders. Die Komplemente der Whitehead-Verschlingung und ihrer „Schwester“, der (-2,3,8)-Brezelverschlingung, sind die beiden orientierbaren, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten kleinsten Volumens, deren Rand aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht.

## Klassen von 3-Mannigfaltigkeiten

### Sphärische 3-Mannigfaltigkeit

Eine sphärische 3-Mannigfaltigkeit $M$ ist eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant $+1$. Äquivalent ist sie von der Form $\Gamma \backslash S^{3}$, wobei $S^{3}$ die 3-Sphäre und $\Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {S} ^{3})$ eine diskrete Untergruppe ihrer Isometriegruppe ist. Man hat dann $\pi _{1}M=\Gamma$.

Wegen $\operatorname {Isom} (S^{3})=\operatorname {SO} (4)$ entsprechen die sphärischen 3-Mannigfaltigkeiten also eineindeutig den endlichen Untergruppen von $\operatorname {SO} (4)$.

### Linsenraum

Linsenräume sind sphärische Mannigfaltigkeiten $M$, bei denen die Fundamentalgruppe $\pi _{1}M$ eine zyklische Gruppe ist.

Anders als für Haken-Mannigfaltigkeiten ist für Linsenräume durch die Fundamentalgruppe der Homöomorphietyp und selbst die Homotopieäquivalenzklasse noch nicht festgelegt. Reidemeister bewies mittels der später nach ihm benannten Reidemeister-Torsion, dass die homotopieäquivalenten Linsenräume $L(7,1)$ und $L(7,2)$ nicht homöomorph sind.

### Seifert-Faserung

Eine Seifert-Faserung ist eine 3-Mannigfaltigkeit, die sich in Fasern homöomorph zu $S^{1}$ zerlegen lässt, so dass jede Faser entweder eine Umgebung homöomorph zu $S^{1}\times D^{2}$ (reguläre Faser) oder eine Umgebung homöomorph zum Abbildungstorus der Rotation der Kreisscheibe um den Winkel $360^{\circ }\cdot q/p$ (singuläre Faser vom Typ $(p,q)$) besitzt.

Seifert-Faserungen sind die einfachsten Stücke in der JSJ-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten.

### I-Bündel

I-Bündel sind 3-Mannigfaltigkeiten mit Rand, die ein Faserbündel mit Faser homöomorph zum Intervall $I=\left[0,1\right]$ über einer kompakten Fläche (evtl. mit Rand) sind. Sie kommen bei der JSJ-Zerlegung von Mannigfaltigkeiten mit nichtleerem Rand vor.

### Graph-Mannigfaltigkeit

Graph-Mannigfaltigkeiten wurden von Waldhausen ursprünglich definiert als 3-Mannigfaltigkeiten, die sich durch Aufschneiden entlang disjunkter, eingebetteter Tori in Kreisbündel zerlegen lassen. Eine äquivalente Bedingung ist, dass sie zusammenhängende Summe von 3-Mannigfaltigkeiten sind, die entweder Solv-Mannigfaltigkeiten sind oder in deren JSJ-Zerlegung nur Seifert-Faserungen vorkommen.

### Hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit

Eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit $M$ ist eine vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant $-1$. Äquivalent ist sie von der Form $\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{3}$, wobei $\mathbb {H} ^{3}$ der 3-dimensionale hyperbolische Raum und $\Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {H} ^{3})$ eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des hyperbolischen Raumes ist. Man hat dann $\pi _{1}M=\Gamma$.

Wegen $Isom^{+}(H^{3})=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )$ entsprechen die orientierbaren, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten eineindeutig den Konjugationsklassen diskreter Untergruppen von $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )$.

Der Hyperbolisierungssatz besagt, dass eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit genau dann hyperbolisch ist, wenn sie irreduzibel ist, unendliche Fundamentalgruppe und keine zu $\mathbb {Z} ^{2}$ isomorphe Untergruppe in ihrer Fundamentalgruppe hat.

### Haken-Mannigfaltigkeit

Eine Haken-Mannigfaltigkeit ist eine kompakte 3-Mannigfaltigkeit, die $P^{2}$-irreduzibel ist und eine eigentlich eingebettete, zweiseitige inkompressible Fläche enthält.

Haken-Mannigfaltigkeiten besitzen Hierarchien inkompressibler Flächen, durch die sie sich in eine Vereinigung disjunkter 3-dimensionaler Vollkugeln zerlegen lassen. Das ermöglicht es, Beweise für Haken-Mannigfaltigkeiten als Induktionsbeweise über die Länge einer Haken-Hierarchie zu führen.

### Gefaserte 3-Mannigfaltigkeit

Eine gefaserte 3-Mannigfaltigkeit ist eine 3-Mannigfaltigkeit der Form

    $M_{f}:=\Sigma \times \left[0,1\right]/\sim ,\quad (x,0)\sim (f(x),1)\ \forall x\in \Sigma$

für eine Fläche $\Sigma$ und einen Homöomorphismus $f\colon \Sigma \to \Sigma$.

Der Homöomoorphietyp von $M_{f}$ hängt nur von der Abbildungsklasse von $f$ ab. Eine 3-Mannigfaltigkeit kann auf unterschiedliche Weisen fasern.

Aus der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten folgt für Flächen $\Sigma$ vom Geschlecht $\geq 2$:

* $M_{f}$ ist genau dann eine Seifert-Faserung, wenn die Abbildungsklasse von $f$ periodisch ist,
* $M_{f}$ hat genau dann eine nichttriviale JSJ-Zerlegung, wenn die Abbildungsklasse von $f$ reduzibel ist.
* $M_{f}$ ist genau dann hyperbolisch, wenn die Abbildungsklasse von $f$ pseudo-Anosovsch ist.

Falls die Faser eine Fläche vom Geschlecht $1$, also ein Torus ist, erhält man im Fall, dass $f$ Anosovsch ist, eine Sol-Struktur auf $M_{f}$.

### Knotenkomplement

Ein Knotenkomplement ist der nach Entfernen eines Knotens aus der 3-Sphäre verbleibende Raum.

Zwei Knotenkomplemente sind genau dann homöomorph, wenn die Knoten äquivalent sind. Die entsprechende Aussage für Verschlingungen trifft nicht zu.

Aus der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten folgt:

* ein Knotenkomplement ist genau dann eine Seifert-Faserung, wenn der Knoten ein Torusknoten ist,
* ein Knotenkomplement hat genau dann eine nichttriviale JSJ-Zerlegung, wenn der Knoten ein Satellitenknoten ist,
* ein Knotenkomplement ist genau dann eine hyperbolische Mannigfaltigkeit, wenn keiner der anderen beiden Fälle zutrifft.

## Konstruktionsprinzipien

### Heegaard-Zerlegung

Eine Heegaard-Zerlegung einer geschlossenen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ besteht aus zwei Henkelkörpern $H_{1}$ und $H_{2}$ und einem Homöomorphismus $f:\partial H_{1}\rightarrow \partial H_{2}$, so dass $M$ aus $H_{1}$ und $H_{2}$ durch Verkleben mittels $f$ entsteht. Aus der Morse-Theorie folgt, dass jede geschlossene orientierbare 3-Mannigfaltigkeit eine Heegaard-Zerlegung besitzt.

### Dehn-Chirurgie

Die Dehn-Chirurgie ist ein Verfahren zur Konstruktion 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, indem aus der 3-dimensionalen Sphäre ein Knoten herausgebohrt und anders wieder eingeklebt wird.

Jede geschlossene, orientierbare, zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit kann durch Dehn-Chirurgie an einer Verschlingung $L\subset S^{3}$ in der 3-Sphäre konstruiert werden.

### Triangulierung

Eine Triangulierung einer 3-Mannigfaltigkeit $M$ ist gegeben durch einen 3-dimensionalen Simplizialkomplex $K$ und einen Homöomorphismus $h\colon \vert K\vert \rightarrow X$ der geometrischen Realisierung $\vert K\vert$ auf $M$.

Moise bewies 1952, dass alle 3-Mannigfaltigkeiten trianguliert werden können und dass für 3-Mannigfaltigkeiten die Hauptvermutung gilt: je zwei Triangulierungen derselben Mannigfaltigkeit besitzen eine gemeinsame Unterteilung. Insbesondere haben 3-Mannigfaltigkeiten eine eindeutige PL-Struktur.

Je zwei unterschiedliche Triangulierungen derselben Mannigfaltigkeit lassen sich durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen.

## Invarianten

### Fundamentalgruppe

Die Fundamentalgruppe ist eine wichtige Invariante geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten. Nicht-sphärische geometrische 3-Mannigfaltigkeiten und irreduzible 3-Mannigfaltigkeiten mit nichttrivialer JSJ-Zerlegung sind durch ihre Fundamentalgruppe bereits eindeutig festgelegt.

Der Rang der Fundamentalgruppe $\pi _{1}M$ wird mit $\operatorname {rk} (M)$ bezeichnet. Aus der Poincaré-Vermutung folgt, dass die 3-Sphäre die einzige geschlossene 3-Mannigfaltigkeit mit $\operatorname {rk} (M)=0$ ist. Aus dem Satz von Grushko folgt

    $\operatorname {rk} (M_{1}\sharp M_{2})=\operatorname {rk} (M_{1})+\operatorname {rk} (M_{2})$.

### Homologiegruppen

Die Homologiegruppen einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit $M$ sind bereits eindeutig durch ihre Fundamentalgruppe festgelegt. Es ist nämlich $H_{1}(M)$ die Abelisierung der Fundamentalgruppe, $H_{2}(M)$ wegen Poincaré-Dualität deren Dual (mithin der Quotient von $H_{1}(M)$ nach seiner Torsionsuntergruppe), sowie $H_{0}(M)=H_{3}(M)=\mathbb {Z}$.

### Thurston-Norm

Die Thurston-Norm ist eine Seminorm auf der zweiten Homologiegruppe $H_{2}(M)$ einer orientierten 3-Mannigfaltigkeit. Sie misst die Komplexität der die Homologieklasse repräsentierenden eingebetteten Flächen.

Eingebettete Flächen, die die Thurston-Norm in ihrer Homologieklasse minimieren, sind Blätter einer straffen Blätterung.

### Hyperbolisches Volumen

Hyperbolisches Volumen ist eine topologische Invariante, weil es nach dem Starrheitssatz von Mostow-Prasad auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle \geq 3}$ höchstens eine hyperbolische Metrik endlichen Volumens geben kann. Eine Verallgemeinerung auf beliebige (nicht notwendig hyperbolische) Mannigfaltigkeiten ist das simpliziale Volumen, das im Fall von 3-Mannigfaltigkeiten die Summe der Volumina der hyperbolischen Stücke in der JSJ-Zerlegung (multipliziert mit dem Inversen der Gieseking-Konstante) gibt.

Die Volumenvermutung stellt einen Zusammenhang zwischen hyperbolischem Volumen und Quanteninvarianten von Knoten her, die bisher aber nur in wenigen Fällen bewiesen wurde.

Die hyperbolischen Volumina von 3-Mannigfaltigkeiten bilden eine wohlgeordnete Teilmenge der reellen Zahlen, d. h. jede Familie hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten hat ein Element kleinsten Volumens. Es gibt jeweils nur endlich viele 3-Mannigfaltigkeiten mit demselben Volumen. Gabai-Meyerhoff-Milley entwickelten die Mom-Technologie, um vollständige Listen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten kleinen Volumens zu erstellen.

### Chern-Simons-Invariante

Sei $M$ eine geschlossene, orientierbare, hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit und $\rho :\pi _{1}M\rightarrow \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )$ ihre Monodromiedarstellung, dann gilt für das assoziierte flache Bündel $E_{\rho }$

    $CS(E_{\rho })=cs(M)+{\frac {i}{2\pi ^{2}}}vol(M)\in \mathbb {C} /\mathbb {Z}$,

wobei $cs(M)$ die Riemannsche Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs bezeichnet.

Die rechte Seite dieser Gleichung wird auch als komplexes Volumen bezeichnet.

Das Bild der Fundamentalklasse unter der Darstellung $\rho$ definiert eine Homologieklasse

    $(B\rho )_{*}\left[M\right]\in H_{3}(\operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )^{\delta };\mathbb {Z} )\simeq {\hat {B}}(\mathbb {C} )$

in der erweiterten Bloch-Gruppe und der Rogers-Dilogarithmus

    $R:{\hat {B}}(\mathbb {C} )\rightarrow \mathbb {C} /2\pi ^{2}\mathbb {Z}$

bildet $(B\rho )_{*}\left[M\right]$ auf $CS(E_{\rho })$ ab. Das liefert eine explizite Formel für die Chern-Simons-Invariante und einen alternativen Beweis des Satzes von Yoshida.

### Casson-Invariante

Die Casson-Invariante ist eine Invariante 3-dimensionaler Homologiesphären. Für eine Heegaard-Zerlegung $M=H_{1}\cup _{S_{g}}H_{2}$ ist sie ${\tfrac {(-1)^{g}}{2}}$ mal die Schnittzahl der $\operatorname {SU} (2)$-Charaktervarietäten ${\mathcal {R}}(H_{1})$ und ${\mathcal {R}}(H_{2})$ in ${\mathcal {R}}(S_{g})$

### Heegaard-Geschlecht

Das Heegaard-Geschlecht $g(M)$ einer kompakten, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit ist das minimale Geschlecht der Heegaard-Fläche in einer Heegaard-Zerlegung von $M$. Es gilt stets $g(M)\geq rk(M)$. Eine offene Vermutung besagt, dass für hyperbolische Mannigfaltigkeiten $g(M)=rk(M)$ sei. Die Vermutung ist im Allgemeinen falsch für Seifert-Faserungen.

### Heegaard-Floer-Homologie

Heegaard-Floer-Homologie ist eine Invariante einer geschlossenen $Spin^c-3-Mannigfaltigkeit$ $M$. Sie wird mittels Heegaard-Zerlegung von $M$ durch Lagrange-Floer-Homologie konstruiert. Man erhält mehrere Homologiegruppen, die durch exakte Sequenzen miteinander in Beziehung stehen.

Mittels Heegaard-Floer-Homologie kann man den Unknoten von allen nichttrivialen Knoten unterscheiden.

### Reidemeister-Torsion

Mit der Reidemeister-Torsion lassen sich die homotopieäquivalenten Linsenräume unterscheiden, für die andere Invarianten der algebraischen Topologie übereinstimmen.

### $L^2-Invarianten$

Weil die Fundamentalgruppen $\pi _{1}M$ von 3-Mannigfaltigkeiten residuell endlich sind, gibt es eine absteigende Folge $\Gamma _{n}\vartriangleleft \pi _{1}M$ mit $\left[\pi _{1}M\colon \Gamma _{n}\right]<\infty$ und $\cap _{n}\Gamma _{n}=0$. Dann lassen sich nach dem Approximationssatz von Lück die $L^2-Bettizahlen$ durch

    $b_{i}^{(2)}(M)=\lim _{n}{\frac {b_{i}(M)}{\left[\pi _{1}M\colon \Gamma _{n}\right]}}$

berechnen. Die $L^2-Torsion$ von 3-Mannigfaltigkeiten ist proportional zum simplizialen Volumen.

### Turaev-Viro-Invarianten

Turaev-Viro-Invarianten sind über Zustandssummen definierte Invarianten geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten.

### Knoteninvarianten

Weil nach dem Satz von Gordon-Luecke Knotenkomplemente genau dann homöomorph sind, wenn die Knoten äquivalent sind, sind Knoteninvarianten wie zum Beispiel Quanteninvarianten und das Alexander-Polynom auch topologische Invarianten von Knotenkomplementen.

## Strukturen auf 3-Mannigfaltigkeiten

### (G,X)-Struktur

Eine Mannigfaltigkeit hat eine $(G,X)$-Struktur für einen transitiven G-Raum $X$, wenn sie durch offene Mengen („Karten“) lokal homöomorph zu $X$ überdeckt werden kann, so dass die Koordinatenübergänge Einschränkungen von Elementen aus $G$ sind.

Eine Modellgeometrie ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $X$ mit einer differenzierteren Wirkung einer Lie-Gruppe $G$, die den folgenden Bedingungen genügt:

* $X$ ist zusammenhängend und einfach zusammenhängend
* $G$ wirkt transitiv mit kompakten Stabilisatoren (insbesondere gibt es auf $X$ eine $G$-invariante Riemannsche Metrik)
* $G$ ist maximal unter Gruppen, die durch Diffeomorphismen mit kompakten Stabilisatoren auf $X$ wirken
* es gibt mindestens eine kompakte $(G,X)$-Mannigfaltigkeit.

Aus der letzten Bedingung folgt insbesondere, dass $G$ unimodular sein muss. Es gibt zahlreiche Paare $(G,X)$, die alle Bedingungen mit Ausnahme der letzten erfüllen, zum Beispiel $G=X=\operatorname {Aff} (\mathbb {R} ^{2})$, die Lie-Gruppe der affinen Abbildungen der euklidischen Ebene.

Thurston hat bewiesen, dass es genau acht 3-dimensionale Modellgeometrien gibt:

* den euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$,
* die dreidimensionale Sphäre $S^{3}$ (Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel),
* den hyperbolischen Raum $\mathbb {H} ^{3}$,
* das Produkt von 2-Sphäre und Gerade, $S^{2}\times \mathbb {R}$,
* das Produkt von hyperbolischer Ebene und Gerade, $H^{2}\times \mathbb {R}$,
* ${\widetilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )$, der universellen Überlagerung der speziellen linearen Gruppe $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$
* die Heisenberg-Gruppe $\mathrm {Nil}$
* die 3-dimensionale auflösbare Lie-Gruppe $\mathrm {Sol}$.

### Blätterung

Jede 3-Mannigfaltigkeit trägt Blätterungen der Kodimension 1, im Allgemeinen haben diese Blätterungen aber Reeb-Komponenten.

Gabai hat bewiesen, dass jede 3-Mannigfaltigkeit mit $H_{2}(M,\partial M)\not =0$ eine straffe Blätterung trägt. Straffe Blätterungen haben keine Reeb-Komponenten.

### Laminierung

Eine Laminierung einer Mannigfaltigkeit $M$ ist eine Blätterung einer abgeschlossenen Teilmenge von $M$.

In der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten sind vor allem wesentliche Laminierungen von Bedeutung.

Spezialfälle wesentlicher Laminierungen sind inkompressible Flächen und straffe Blätterungen.

### Kontaktstruktur

In der 3-dimensionalen Kontaktgeometrie hat man eine Dichotomie zwischen straffen und überdrehten Kontaktstrukturen.

Eliashberg und Thurston haben bewiesen, dass jede Blätterung einer 3-Mannigfaltigkeit (mit Ausnahme der Produktblätterung von $S^{2}\times S^{1}$) durch Kontaktstrukturen approximiert werden kann und insbesondere straffe Blätterungen durch straffe Kontaktstrukturen approximiert werden können. Mithin folgt aus dem Satz von Gabai die Existenz straffer Kontaktstrukturen auf 3-Mannigfaltigkeiten mit $H_{2}(M,\partial M)\not =0$.

## Grundlegende Resultate

### Satz von Moise

Der Satz von Moise besagt, dass jede 3-Mannigfaltigkeit eine eindeutige PL-Struktur und eine eindeutige Differentialstruktur besitzt.

### Primzerlegung

Als Prim-Zerlegung einer geschlossenen zusammenhängenden $3$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ wird eine Zerlegung als zusammenhängende Summe von endlich vielen Prim-Mannigfaltigkeiten bezeichnet, also

    $M=M_{1}\sharp \ldots \sharp M_{k}$

mit Prim-Mannigfaltigkeiten $M_{1},\ldots ,M_{k}$ (den Primkomponenten).

Die Existenz der Prim-Zerlegung für 3-Mannigfaltigkeiten wurde 1924 von Kneser bewiesen, ihre Eindeutigkeit 1962 von Milnor.

### JSJ-Zerlegung

Ein Satz von Jaco-Shalen und Johannson besagt, dass jede irreduzible, geschlossene 3-dimensionale Mannigfaltigkeit eine bis auf Isotopie eindeutige (nicht notwendig zusammenhängende) Seifert-gefaserte Untermannigfaltigkeit mit atoroidalem Komplement besitzt. Diese wird auch als charakteristische Untermannigfaltigkeit bezeichnet.

Die JSJ-Zerlegung ist eine wichtige Voraussetzung für die Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten. Jede Seifert-gefaserte Mannigfaltigkeit lässt sich geometrisieren und jede atoroidale irreduzible 3-Mannigfaltigkeit trägt eine hyperbolische Metrik.

Für Mannigfaltigkeiten mit Rand hat man ebenfalls eine JSJ-Zerlegung, hier besteht die charakteristische Untermannigfaltigkeit nicht nur aus Seifert-Faserungen, sondern auch aus I-Bündeln.

### Dehns Lemma

Dehns Lemma besagt, dass ein eine immersierte Kreisscheibe in einer 3-Mannigfaltigkeit berandender eingebetteter Kreis auch eine eingebettete Kreisscheibe berandet.

### Sphärensatz

Der Sphärensatz besagt, dass es in einer 3-Mannigfaltigkeit mit nichttrivialer zweiter Homotopiegruppe stets eingebettete, nicht null-homotope 2-Sphären geben muss.

### Endlichkeitssätze von Kneser und Haken

Der von Wolfgang Haken bewiesene Endlichkeitssatz besagt, dass es zu einer kompakten, irreduziblen 3-Mannigfaltigkeit $M$ eine ganze Zahl $c(M)$ gibt, so dass für jede Menge von $k>c(M)$ disjunkten, eingebetteten, zweiseitigen, inkompressiblen Flächen $\left\{S_{1},\ldots ,S_{k}\right\}$ eine der Komponenten von $\textstyle M\setminus \bigcup _{i=1}^{k}S_{i}$ ein Produkt $S_{i}\times \left[0,1\right]$ sein muss.

Der entsprechende Satz für eingebettete 2-Sphären war bereits von Kneser bewiesen worden und war der Hauptschritt im Existenzbeweis der Primzerlegung.

### Torus-Satz

Es sei $M$ eine orientierbare irreduzible 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe eine Untergruppe isomorph zu $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ enthält. Dann ist $M$ entweder eine Seifert-Faserung oder es gibt einen eingebetteten inkompressiblen Torus $T^{2}\subset M$.

### Satz über den kompakten Kern

Jede 3-Mannigfaltigkeit $M$ mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe hat einen kompakten Kern, d. h. eine kompakte Untermannigfaltigkeit, deren Inklusion in $M$ eine Homotopieäquivalenz ist.

### Satz von Lickorish-Wallace

Jede geschlossene, orientierbare, zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit kann durch Dehn-Chirurgie an einem Link $L\subset S^{3}$ in der 3-Sphäre konstruiert werden. Man kann sogar erreichen, dass alle Komponenten von $L$ unverknotet und dass alle Koeffizienten $-{\tfrac {b_{i}}{d_{i}}}=\pm 1$ sind.

### Poincaré-Vermutung

Die von Perelman bewiesene Poincaré-Vermutung besagt, dass jede kompakte, einfach zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zur $S^{3}$ ist.

### Hyperbolisierung

Die von Grigori Perelman bewiesene Thurston-Vermutung besagt, dass jede atoroidale irreduzible 3-Mannigfaltigkeit eine hyperbolische Metrik trägt.

### Geometrisierung

Das Ziel der Geometrisierung ist, nach der Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit in Grundbausteine auf jedem dieser Bausteine eine charakteristische geometrische Struktur zu finden. Die von Thurston aufgestellte Vermutung, dass dies immer möglich ist, stellt eine Verallgemeinerung der Poincaré-Vermutung dar und wurde von Grigori Perelman mit seinen Arbeiten zum Ricci-Fluss bewiesen.

Präzise besagt die Geometrisierung, dass die Stücke der JSJ-Zerlegung einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit eine $(G,X)$-Struktur tragen.

### Seifert-Faserraum-Vermutung

Die von Casson-Jungreis und Gabai bewiesene Seifert-Faserraum-Vermutung besagt, dass eine 3-Mannigfaltigkeit genau dann eine Seifert-Faserung ist, wenn das Zentrum ihrer Fundamentalgruppe isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ ist.

### Waldhausens Starrheitssatz

Waldhausens Starrheitssatz besagt, dass jede Homotopieäquivalenz zwischen Haken-Mannigfaltigkeiten homotop zu einem Homöomorphismus ist. Insbesondere sind Haken-Mannigfaltigkeiten durch ihre Fundamentalgruppen eindeutig bestimmt.

### Waldhausen-Vermutung

Die von Tao Li bewiesene Waldhausen-Vermutung besagt, dass eine geschlossene, orientierbare, irreduzible, atoroidale 3-Mannigfaltigkeit bis auf Isotopie nur endlich viele Heegaard-Zerlegungen mit Heegaard-Flächen gegebenen Geschlechts $g$ besitzt.

### Smith-Vermutung

Die Smith-Vermutung besagte, dass Diffeomorphismen $f\colon S^{3}\to S^{3}$ endlicher Ordnung eine unverknotete Fixpunktmenge haben. Sie wurde in den 80er Jahren mit Hilfe der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten bewiesen.

### Satz über zyklische Chirurgie

Sei $M$ eine zusammenhängende, kompakte, orientierbare, irreduzible 3-Mannigfaltigkeit, die keine Seifert-Faserung ist und deren Rand ein Torus ist. Der Satz über zyklische Chirurgie besagt: wenn zwei unterschiedliche Dehn-Füllungen zu Mannigfaltigkeiten mit zyklischen Fundamentalgruppen führen, dann ist die Schnittzahl der Ränder der Meridiane der beiden eingefüllten Volltori höchstens 1.

### Hyperbolische Dehn-Chirurgie

Der von Thurston bewiesene Satz über hyperbolische Dehn-Chirurgie besagt, dass fast alle durch Dehn-Chirurgie an einem gegebenen hyperbolischen Knoten $K$ erzeugten Mannigfaltigkeiten ebenfalls hyperbolisch sind.

### Zahmheits-Satz

Die von Agol und Calegari-Gabai bewiesene Marden-Vermutung besagt, dass jede vollständige, 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe topologisch zahm, also homöomorph zum Inneren einer kompakten Mannigfaltigkeit ist.

### Lemma von Margulis

Das Lemma von Margulis beschreibt die dünnen Teile einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit.

Insbesondere erhält man, dass eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit genau dann endliches hyperbolisches Volumen hat, wenn sie das Innere einer kompakten Mannigfaltigkeit ist, deren Rand aus inkompressiblen Tori besteht oder leer ist.

### Mostow'scher Starrheitssatz

Hyperbolische Metriken endlichen Volumens sind auf einer 3-Mannigfaltigkeit, wenn sie existieren, eindeutig bis auf Isometrie. Äquivalent gibt es bis auf Konjugation nur eine diskrete Einbettung der Fundamentalgruppe in die Isometriegruppe des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes.

Insbesondere sind geometrisch definierte Invarianten wie Volumen, Chern-Simons-Invariante und Längenspektrum auch topologische Invarianten von hyperbolischen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens.

### Geometrisch endliche Kleinsche Gruppen

Sei $M=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{3}$ eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit unendlichen Volumens. Die Kleinsche Gruppe $\Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {H} ^{3})$ ist geometrisch endlich, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

* es gibt einen Fundamentalpolyeder mit endlich vielen Seitenflächen
* für alle $x\in \mathbb {H} ^{3}$ hat der Dirichlet-Bereich endlich viele Seitenflächen
* der konvexe Kern $C(M)$ von $M=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{3}$ hat endliches Volumen.

Geometrisch endliche hyperbolische Metriken auf einer gegebenen 3-Mannigfaltigkeit werden durch ihre konformen Ränder (d. h. die Quotienten der Diskontinuitätsbereiche in der Sphäre im Unendlichen) eindeutig bestimmt.

### Satz über Endelaminierungen

Ein Ende einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit $M$ heißt geometrisch endlich, wenn es eine Umgebung besitzt, die vom konvexen Kern $C(M)$ disjunkt ist. Andernfalls heißt das Ende geometrisch unendlich. Wenn ein Ende $e$ einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit $M$ geometrisch unendlich ist, dann gibt es zu jeder Umgebung $U$ von $e$ eine geschlossene Geodäte $\gamma \subset M$ mit $\gamma \cap U\not =\emptyset$. Für ein geometrisch unendliches Ende der Form $S\times (0,\infty )$ definiert man die Endenlaminierung als die Laminierung der Fläche $S$, welche man als Grenzwert einer (jeder) Folge von jede kompakte Teilmenge letztendlich verlassenden Geodäten $\gamma _{n}\subset M$ erhält.

Der von Jeffrey Brock, Richard Canary und Yair Minsky bewiesene Satz über Endenlaminierungen besagt, dass geometrisch unendliche Enden durch ihre Endenlaminierung eindeutig bestimmt sind.

### Satz von Thurston-Bonahon

Der Satz von Thurston-Bonahon besagt, dass eine geschlossene Fläche in einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit entweder quasigeodätisch oder eine virtuelle Faser ist.

### Satz über Flächengruppen

Die auf Waldhausen zurückgehende und von Kahn-Markovic bewiesene „surface subgroup conjecture“ besagt, dass die Fundamentalgruppe einer irreduziblen, nicht-sphärischen, geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit eine Untergruppe isomorph zu einer Flächengruppe enthält.

### Virtuelle Haken-Mannigfaltigkeiten

Die von Ian Agol bewiesene „virtual Haken conjecture“ (VHC) besagt, dass jede 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung hat, die eine Haken-Mannigfaltigkeit ist.

### Virtuelle Faserungen

Die von Ian Agol bewiesene „virtual fibered conjecture“ (VFC) besagt, dass jede geschlossene 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung hat, die ein Flächenbündel über dem Kreis ist.

