Vorhersageintervall
# Vorhersageintervall

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In der Inferenzstatistik ist ein Prognoseintervall (auch Vorhersageintervall oder Prädiktionsintervall) ein Bereich um die Vorhersage eines Modells, in dem eine zukünftige Realisierung einer Messung mit hoher Wahrscheinlichkeit (z. B. 95 %) anzutreffen ist.

Prognoseintervalle ähneln Konfidenzintervallen, sind jedoch aufgrund ihrer Eigenschaften nicht mit ihnen zu verwechseln. Beispielsweise beschreibt das Konfidenzintervall für einen Schätzer des bedingten Erwartungswertes ${\hat {E}}[Y|X=x]={\hat {Y}}$, wie unsicher dieser Erwartungswert-Schätzer ist. Das Prognoseintervall beschreibt dagegen die Streuung des Prognosefehlers, weswegen ${\hat {Var}}[(Y-{\hat {Y}})|X=x]$ von zentraler Bedeutung ist.

Vorhersageintervalle können gegebenenfalls mit dem Standardfehler der Regression berechnet werden.

## Einfaches Beispiel

Gegeben sei ein sechsseitiger Würfel mit Augenzahlen 1 bis 6. Das Konfidenzintervall für den geschätzten Erwartungswert der Augenzahl wird um 3,5 liegen und mit mehr Stichproben enger werden. Das Prognoseintervall für den nächsten Wurf wird jedoch näherungsweise von 1 bis 6 reichen, auch bei beliebig vielen bisher gesehenen Stichproben.

## Lineares Modell

### Modell

In der multiplen linearen Regression ergibt sich das Prognosemodell durch

    $\mathbf {y} _{0}=\mathbf {X} _{0}{\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{0}$,

wobei

* $\mathbf {y} _{0}$ den Vektor zukünftiger abhängiger Variablen darstellt und
* $\mathbf {X} _{0}$ die Matrix der erklärenden Variablen zum Zeitpunkt $T_{0}$.

Die Prognose wird dargestellt als ${\hat {\mathbf {y} }}_{0}=\mathbf {X} _{0}\mathbf {b}$.

### Prognoseintervall

Wichtig für die Berechnung eines Prognoseintervalls ist die Varianz des Prognosefehlers, welche die Variation des Prognosefehlers und somit die Zuverlässigkeit der Prognose wiedergibt.

Sie ist in der linearen Einfachregression gegeben durch:

    $\sigma _{0}^{2}=\operatorname {Var} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x_{0}-{\bar {x}})^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\right)$.

Mithilfe der Varianz des Prognosefehlers erhält man dann als $(1-\alpha )$-Prognoseintervall für den prognostizierten Wert von $y_{0}$

    ${\hat {y}}_{0}\pm t_{(1-\alpha /2,n-2)}\cdot {\sqrt {{\hat {\operatorname {Var} }}({\hat {y}}_{0}-y_{0})}}={\hat {y}}_{0}\pm t_{(1-\alpha /2,n-2)}\cdot {\sqrt {{\hat {\sigma }}^{2}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x_{0}-{\bar {x}})^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\right)}}$.

## Bootstrap

Bootstrapping kann zum Erzeugen mehrerer Regressionsmodelle benutzt werden, deren Streuung und Residuuen dann zur Konstruktion von Bootstrap-Prognoseintervallen verwendet werden kann.

## Bayessches Prognoseintervall

Die Posterior predictive distribution kann zur Konstruktion von Bayesschen Prognoseintervallen verwendet werden.

