Scottsches Axiomensystem
# Scottsches Axiomensystem

Das Scottsche Axiomensystem, benannt nach dem Mathematiker Dana Scott, ist ein Axiomensystem der Mengenlehre, das als alternativer Zugang zum Axiomensystem der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, kurz ZF, angesehen werden kann. Es verwendet das in ZF beweisbare Reflexionsprinzip als Axiom und kann auf diese Weise auf einige ZF-Axiome verzichten.

## Motivation

Durch die Von-Neumann-Hierarchie wird das gesamte Mengenuniversum in Stufen $V_{\alpha }$ eingeteilt, wobei $\alpha$ die Ordinalzahlen durchläuft. Wir beschreiben hier drei Konsequenzen, die dann umgekehrt zu Axiomen des Scottschen Axiomensystems werden.

* $\forall x\,\exists \alpha \,(x\in V_{\alpha })$

Das heißt, jede Menge $x$ liegt in einer Stufe. Das ist genau die zum Fundierungsaxiom äquivalente Aussage der Von-Neumann-Hierarchie, wonach jede Menge bereits in einer Stufe liegt bzw. bezüglich der $\in$-Relation bereits durch eine Stufe beschränkt ist; man spricht daher auch vom Beschränktheitslemma.

* $\forall \alpha \,\forall x\,(x\in V_{\alpha }\,\leftrightarrow \,\exists \beta \,(\beta <\alpha \land (x\in V_{\beta }\lor x\subset V_{\beta })))$

Wenn also $x$ in einer Stufe $V_{\alpha }$ liegt, so liegt es bereits in einer niedrigeren Stufe $V_{\beta }$ mit $\beta <\alpha$ oder ist als Teilmenge in einer solchen niedrigeren Stufe enthalten. Dieses sogenannte Kumulierungslemma folgt direkt aus der rekursiven Definition der Stufen $V_{\alpha }$ als Vereinigung aller Vorgänger oder als Potenzmenge des Vorgängers, je nachdem, ob $\alpha$ eine Limes-Ordinalzahl ist oder nicht.

Das Reflexionsprinzip besagt, dass jede in ZF formulierbare Aussage $\varphi =\varphi (x)$ bereits durch eine Stufe $V_{\alpha }$ gespiegelt wird, genauer:

* $\forall x\,\exists \alpha \,(x\in V_{\alpha }\land V_{\alpha }{\text{ spiegelt }}\varphi (x))$

Die Spiegelung durch die Stufe $V_{\alpha }$ bedeutet dabei die Spiegelung durch das durch „$x\in V_{\alpha }$“ definierte Prädikat; Einzelheiten zum Begriff der Spiegelung findet man im Artikel Relativierung (Mengenlehre).

Diese drei Eigenschaften – Beschränktheitslemma, Kumulierungslemma und Reflexionsprinzip – sollen nun zu Axiomen erhoben werden, ohne die in ZF definierten Stufen zu verwenden. Dazu benötigen wir ein neues Prädikat „$x$ ist Stufe“, das wir $\Sigma$ nennen. Die Schreibweise $\Sigma x$ ist demnach als „$x$ ist Stufe“ zu lesen, und man kann sich darunter etwas Ähnliches wie die Stufen der Von-Neumann-Hierarchie vorstellen. Die genauen Eigenschaften dieser Stufen werden allerdings durch die Axiome des Scottschen Axiomensystems festgelegt, das nun vorgestellt wird.

## Das Axiomensystem

Wir verwenden kleine lateinische Buchstaben als Variablen für Mengen und die Symbole $=,\in ,\Sigma ,\neg ,\land ,\lor ,\rightarrow ,\leftrightarrow ,\exists ,\forall$, wobei = für Gleichheit steht und $\in$ für die Elementbeziehung, $\Sigma$ ein einstelliges Prädikat ist und die restlichen Symbole die üblichen logischen Symbole sind. In den folgenden Axiomen bezeichne $\varphi =\varphi (x,x_{1},\ldots ,x_{n})$ eine mengentheoretische Formel mit der Variablen $x$ und möglicherweise weiteren Variablen (Parametern) $x_{1},\ldots ,x_{n}$.

* Existenz: $\exists x(x=x)$

Das Existenzaxiom fordert, dass es wenigstens eine Menge im Mengenuniversum gibt.

* Extensionalität: $\forall x,y\,(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\rightarrow x=y)$

Das Extensionalitätsaxiom beschreibt den quantitativen Aspekt des Mengenbegriffs: Enthalten zwei Mengen dieselben Elemente, so sind sie gleich.

* Aussonderung: $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}\forall x\exists y\forall z\,(z\in y\leftrightarrow z\in x\land \varphi (z,x_{1},\ldots ,x_{n}))$

Zu jeder Menge und zu jeder Eigenschaft kann man die Menge derjenigen Elemente aussondern, die diese Eigenschaft erfüllen, genauer: Bei vorgegebener Formel $\varphi$ und gegebenen Parametern gibt es zu jeder Menge $x$ die Menge $y$, die genau aus denjenigen Elementen $z$ aus $x$ besteht, die der Eigenschaft $\varphi (z,x_{1},\ldots ,x_{n})$ genügen. Dies ist kein einzelnes Axiom, sondern ein sogenanntes Schema von Axiomen, da man für jede Formel $\varphi$ ein Axiom erhält.

* Beschränktheit: $\forall x\exists v\,(\Sigma v\land x\in v)$.

Jede Menge liegt in einer Stufe.

* Kumulierung: $\forall v\,(\Sigma v\rightarrow \forall x\,(x\in v\leftrightarrow \exists w(\Sigma w\land w\in v\land (x\in w\lor x\subset w))))$

Dabei steht $x\subset w$ wie üblich für $\forall z(z\in x\rightarrow z\in w)$. In Worten besagt das Kumulierungsaxiom: Wenn $v$ eine Stufe ist, so gilt für jedes $x$ aus dieser Stufe, dass es eine in $v$ enthaltene Stufe $w$ gibt, in der $x$ als Element oder als Teilmenge liegt.

* Reflexionsprinzip: $\forall x\,\exists v\,(\Sigma v\land x\in v\land v{\text{ spiegelt }}\varphi (x,x_{1},\ldots x_{n}))$

Hier soll $\varphi$ alle Formeln ohne das Symbol $\Sigma$ durchlaufen, es handelt sich also wieder um ein Schema von Axiomen. Der Ausdruck $v{\text{ spiegelt }}\varphi (x,x_{1},\ldots x_{n})$ bedeutet dabei

    $\forall x_{1},\ldots x_{n}\,(x_{1}\in v\land \ldots \land x_{n}\in v\rightarrow (\varphi (x,x_{1},\ldots x_{n})\leftrightarrow [\varphi (x,x_{1},\ldots x_{n})]^{v}))$

wobei $[\varphi (x,x_{1},\ldots x_{n})]^{v}$ die durch Relativierung nach $v$ aus $\varphi (x,x_{1},\ldots x_{n})$ hervorgegangene Formel ist.

Die Gesamtheit dieser Axiome werde im Folgenden mit $\Sigma$ bezeichnet.

## Äquivalenz zu ZF

Die ersten drei Axiome aus $\Sigma$ sind auch ZF-Axiome, und die einleitenden Bemerkungen zeigen, dass die Festlegung $\Sigma x:\Leftrightarrow \exists \alpha \,(x=V_{\alpha })$ ein Prädikat definiert, das auch die übrigen drei $\Sigma$-Axiome erfüllt. Umgekehrt kann man aus $\Sigma$ alle ZF-Axiome herleiten, das heißt das Vereinigungsaxiom, Potenzmengenaxiom, Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom und das Schema der Ersetzungsaxiome.

In $\Sigma$ kann man daher wie in ZF Ordinalzahlen und die Von-Neumann-Hierarchie der $V_{\alpha }$ einführen. In $\Sigma$ gilt dann der Satz:

    $\forall x\,(\Sigma x\leftrightarrow \exists \alpha \,(x=V_{\alpha }))$.

Damit sind die Axiomensysteme ZF und $\Sigma$ gleichwertig. In beiden Axiomatisierungen lassen sich dieselben Sätze beweisen, wobei das in ZF fehlende $\Sigma x$ durch $\exists \alpha \,(x=V_{\alpha })$ zu ersetzen ist.

