Verallgemeinerte Konvexität
# Verallgemeinerte Konvexität

Die verallgemeinerte Konvexität (englisch generalized convexity) ist eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Konvexitätsbegriff für Funktionen und Mengen, die sich insbesondere bei der Behandlung nicht-konvexer Optimierungsprobleme als nützlich erweist.

## Φ-Konvexität

Gegeben sei eine Menge $X\neq \emptyset$ und die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $\mathbb {R}$

    $F(X)=\{\varphi \mid \varphi \colon X\to \mathbb {R} \}$

Eine Menge $\Phi \subseteq F(X)$ heißt Referenzsystem für $X$ genau dann, wenn gilt:

* $\forall \varphi \in \Phi ,\lambda \geq 0:\lambda \varphi \in \Phi$
* $\forall \varphi \in \Phi ,c\in \mathbb {R} :\varphi +c\in \Phi$

### Φ-konvexe Funktion

Eine (erweiterte) reellwertige Funktion $f\colon X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}$ heißt $\Phi$-konvex genau dann, wenn eine Menge $\Phi _{0}\subset \Phi$ existiert, so dass

    $f(x)=\sup _{\varphi \in \Phi _{0}}\varphi (x)$

gilt.

### Φ-konvexe Menge

Eine Menge $A\subseteq X$ heißt $\Phi$-konvex genau dann, wenn es eine Menge $\Phi _{0}\subseteq \Phi$ gibt und zu jedem $\varphi \in \Phi _{0}$ ein $a_{\varphi }$ existiert, so dass

    $A=\bigcap _{\varphi \in \Phi _{0}}\{x\in X:\varphi (x)\leq a_{\phi }\}$

## Beispiele

* Nimmt man zum Beispiel als Referenzsystem die affinen Funktionen, also $\Phi =\{\varphi \,|\,\varphi (x)=\langle v,x\rangle +c,v\in \mathbb {R} ^{n},c\in \mathbb {R} \}$, dann stimmt die $\Phi$-Konvexität mit der gewöhnlichen Konvexität überein.
* Die Lipschitz-stetigen Funktionen sind zum Referenzsystem der peak-Funktionen $\Phi =\{\varphi \,|\,\varphi (x)=-k\cdot d(x,x_{0})+c,x_{0}\in X,c\in \mathbb {R} \}$ $\Phi$-konvex.
