Weil-Starrheit
# Weil-Starrheit

In der Mathematik gibt der Weilsche Starrheitssatz eine berechenbare Bedingung für die lokale Starrheit (d. h. Nicht-Deformierbarkeit) von Darstellungen. Er ist von Bedeutung in verschiedenen Gebieten der Mathematik, meist im Zusammenhang mit Darstellungen diskreter Gruppen.

## Tangentialraum der Darstellungsvarietät

Darstellungen einer Gruppe $\Gamma$ in eine Lie-Gruppe $G$ kann man als Punkte der Darstellungsvarietät auffassen. Deformationen einer Darstellung sind dann also Kurven in der Darstellungsvarietät und entsprechen somit Tangentialvektoren der Darstellungsvarietät.

Der Zariski-Tangentialraum der Darstellungsvarietät entspricht den 1-Kozykeln mit Werten in der adjungierten Darstellung:

    $T_{\rho }\operatorname {Hom} (\Gamma ,G)=Z^{1}(\Gamma ,Ad\circ \rho )$.

Dabei entspricht ein Tangentialvektor einer Kurve $\rho _{t}$ (mit $\rho _{0}=\rho$) in $\operatorname {Hom} (\Gamma ,G)$ und der zugehörige 1-Kozykel $z\in Z^{1}(\Gamma ,G)$ ist gegeben durch

    $z(\gamma )=\left.{\frac {d}{dt}}\right\vert _{t=0}\rho _{t}(\gamma )\rho _{0}^{-1}(\gamma )$.

Die durch Konjugation $\rho _{t}(\gamma )=g_{t}\rho (\gamma )g_{t}^{-1}$ (mit $g_{0}=e$) gegebenen Deformationen entsprechen genau den 1-Korändern.

Insbesondere ist $\rho \colon \Gamma \to G$ lokal starr, wenn

    $H^{1}(\Gamma ,Ad\circ \rho )=0$

ist. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, sie gilt aber für halbeinfache Darstellungen $\rho$.

## Weils Starrheitssatz

Sei $G$ eine zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor und $\Gamma \subset G$ ein irreduzibles kokompaktes Gitter. Wenn $G$ nicht lokal isomorph zu SL(2,R) ist, dann ist

    $H^{1}(\Gamma ,Ad)=0$.

Insbesondere ist die Inklusion $\iota \colon \Gamma \to G$ lokal starr.

