Teileranzahlfunktion
# Teileranzahlfunktion

Die Teileranzahlfunktion gibt an, wie viele positive Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Eins und die Zahl selbst mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion gehört zum mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie wird meist mit $d$ oder $\tau$ bezeichnet – da sie einen Spezialfall der Teilerfunktion darstellt, auch als $\sigma _{0}(n)$.

$d(n)$ … Anzahl der Teiler von $n$. $n_{\mathrm {min} }$ … kleinstes $n$ mit $d(n)$ Teilern. :

| $d(n)$ | $n_{\mathrm {min} }$ | Faktorisierung von $n_{\mathrm {min} }$ |
| - | - | - |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 4 | $2^2$ |
| 4 | 6 | 2 · 3 |
| 5 | 16 | $2^4$ |
| 6 | 12 | $2^2$ · 3 |
| 7 | 64 | $2^6$ |
| 8 | 24 | $2^3$ · 3 |
| 9 | 36 | $2^2$ · $3^2$ |
| 10 | 48 | $2^4$ · 3 |
| 11 | 1.024 | $2^{10}$ |
| 12 | 60 | $2^2$ · 3 · 5 |
| 13 | 4.096 | $2^{12}$ |
| 14 | 192 | $2^6$ · 3 |
| 15 | 144 | $2^4$ · $3^2$ |
| 16 | 120 | $2^3$ · 3 · 5 |
| 17 | 65.536 | $2^{16}$ |
| 18 | 180 | $2^2$ · $3^2$ · 5 |
| 19 | 262.144 | $2^{18}$ |
| 20 | 240 | $2^4$ · 3 · 5 |
| 21 | 576 | $2^6$ · $3^2$ |
| 22 | 3.072 | $2^{10}$ · 3 |
| 23 | 4.194.304 | $2^{22}$ |
| 24 | 360 | $2^3$ · $3^2$ · 5 |
| 25 | 1.296 | $2^4$ · $3^4$ |
| 26 | 12.288 | $2^{12}$ · 3 |
| 27 | 900 | $2^2$ · $3^2$ · $5^2$ |
| 28 | 960 | $2^6$ · 3 · 5 |
| 29 | 268.435.456 | $2^{28}$ |
| 30 | 720 | $2^4$ · $3^2$ · 5 |
| 31 | 1.073.741.824 | $2^{30}$ |
| 32 | 840 | $2^3$ · 3 · 5 · 7 |
| 33 | 9.216 | $2^{10}$ · $3^2$ |
| 34 | 196.608 | $2^{16}$ · 3 |
| 35 | 5.184 | $2^6$ · $3^4$ |
| 36 | 1.260 | $2^2$ · $3^2$ · 5 · 7 |

## Definition

Für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ wird die Teileranzahlfunktion definiert als

    $d(n):=|\{d\in \mathbb {N} :d\mid n\}|$,

wobei $|\cdot |$ die Mächtigkeit der Menge ist.

Die ersten Werte sind:

| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Teiler von $n$ | 1 | 1, 2 | 1, 3 | 1, 2, 4 | 1, 5 | 1, 2, 3, 6 | 1, 7 | 1, 2, 4, 8 | 1, 3, 9 | 1, 2, 5, 10 | 1, 11 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
| $d(n)$ | 1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 4 | 3 | 4 | 2 | 6 |

## Eigenschaften

* Hat die Zahl $n$ die Primfaktorzerlegung

       $n=p_{1}^{e_{1}}\cdot p_{2}^{e_{2}}\dotsm p_{r}^{e_{r}},$
    so gilt:
       $d(n)=(e_{1}+1)(e_{2}+1)\dotsm (e_{r}+1)$
* Für teilerfremde Zahlen $m$ und $n$ gilt:

       $d(mn)=d(m)\cdot d(n)$
    Die Teileranzahlfunktion ist also eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
* Eine Zahl $n$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $d(n)=2$ gilt.
* Eine Zahl $n$ ist genau dann eine Quadratzahl, wenn $d(n)$ ungerade ist.
* Die zur Teileranzahlfunktion gehörige Dirichlet-Reihe ist das Quadrat der riemannschen Zetafunktion:

       $\zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}$ (für $\operatorname {Re} \,s>1$).

## Asymptotik

Im Mittel ist $d(n)\approx \log n$, präziser gilt:

    $\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})$

Dabei sind „$O$“ ein Landau-Symbol und $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl $d\leq x$ ein Teiler von etwa ${\tfrac {x}{d}}$ Zahlen $n\leq x$ ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu

    $x\cdot \sum _{d=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{d}}\approx x\log x.$

(Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe.)

Der Wert $\beta ={\tfrac {1}{2}}$ für den Fehlerterm $O(x^{\beta })$ wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen; die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt.

Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, $x^{\tfrac {1}{3}}\log x$), J. van der Corput (1922, $\beta ={\tfrac {33}{100}}$) sowie M. N. Huxley ($\beta ={\tfrac {131}{416}}$) angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass $\beta \geq {\tfrac {1}{4}}$ gelten muss. Die möglichen Werte für $\beta$ sind immer noch Forschungsgegenstand.

## Verallgemeinerungen

Die Teilerfunktion $\sigma _{k}(n)$ ordnet jeder Zahl $n$ die Summe der $k$-ten Potenzen ihrer Teiler zu:

    $\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid n}d^{k}$

Die Teilersumme ist der Spezialfall der Teilerfunktion für $k=1$, und die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion für $k=0$:

    $\sigma (n)=\sigma _{1}(n)=\sum _{d\mid n}d^{1}=\sum _{d\mid n}d$
    $d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{d\mid n}d^{0}=\sum _{d\mid n}1$
