Satz von Sperner
# Satz von Sperner

Der Satz von Sperner ist ein mathematischer Satz, welcher der diskreten Mathematik zugerechnet wird. Emanuel Sperner hat ihn, ausgehend von einer Anregung seines Doktorvaters Otto Schreier, im Jahre 1927 gefunden und 1928 in der Mathematischen Zeitschrift veröffentlicht. Der Satz behandelt den engen Zusammenhang zwischen den Antiketten der Potenzmenge einer endlichen Menge und den sogenannten Binomialkoeffizienten. Er wurde zum Ausgangspunkt eines Zweiges der diskreten Mathematik, der sogenannten Spernertheorie (englisch Sperner theory). Zum Satz von Sperner gibt es verschiedene Beweise und eine große Anzahl von verwandten Resultaten.

## Der Satz in drei Versionen

Für die Darstellung des Satzes gibt es mehrere gleichwertige Möglichkeiten.

Gegeben sei eine endliche Grundmenge $X$ mit $n$ Elementen, wobei eine natürliche Zahl $n$ zugrunde gelegt ist. Dann gilt

### Erste Version

    Die Mächtigkeit einer jeden Antikette der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ ist stets kleiner oder gleich dem größten Binomialkoeffizienten der Ordnung $n$.

Der Begriff der Antikette bezieht sich hierbei auf die zwischen den Teilmengen der Grundmenge $X$ bestehende Inklusionsrelation.

### Zweite Version

    Man kann in einer $n$ - elementigen Menge $X$ niemals mehr als ${\tbinom {n}{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }}$ Teilmengen finden, welche der Forderung genügen, dass keine zwei dieser Teilmengen einander echt umfassen.

### Dritte Version

    $\max\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\ \mathrm {\text{Antikette}} \}={\binom {n}{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }}$
    In Worten: Für die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ einer $n\,$ - elementigen Menge $X$ ist die Spernerzahl oder Breite $w={\binom {n}{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }}$.

In diese formale Darstellung geht ein, dass die $\lfloor {\tfrac {n}{2}}\rfloor$-elementigen Teilmengen von $X$ stets eine Antikette von ${\mathcal {P}}(X)$ bilden.

## Der Extremalfall

Emanuel Sperner ist in seinem 1928er Artikel auch der Frage nachgegangen, welche Teilmengensysteme von $X$ den Maximalwert ${\tbinom {n}{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }}$ annehmen, und hat folgende umfassende Antwort gegeben:

    Ist $n$ eine gerade Zahl, so gibt es stets genau eine Möglichkeit, nämlich das Mengensystem der $n/2$-elementigen Teilmengen von $X$.
    Ist $n$ eine ungerade Zahl, so gibt es stets genau zwei Möglichkeiten, nämlich einerseits das Mengensystem der $(n-1)/2$-elementigen Teilmengen von $X$ und andererseits das Mengensystem der $(n+1)/2$-elementigen Teilmengen von $X$.

## Verwandte Resultate

* Satz von Dilworth
* Lubell-Yamamoto-Meshalkin-Ungleichung
* Satz von Erdős-Ko-Rado
