Semidirekte Summe
# Semidirekte Summe

Die semidirekte Summe ist eine mathematische Konstruktion aus der Theorie der Lie-Algebren.

## Konstruktion

Es seien ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ Lie-Algebren, $\pi :{\mathfrak {a}}\rightarrow {\rm {End}}({\mathfrak {b}})$ sei eine Darstellung, das heißt:

* $\pi$ ist linear, und für alle $a_{1},a_{2}\in {\mathfrak {a}}$ gilt $\pi ([a_{1},a_{2}])\,=\,\pi (a_{1})\pi (a_{2})-\pi (a_{2})\pi (a_{1})$.
* $\pi (a)$ ist für jedes $a\in {\mathfrak {a}}$ eine Derivation auf ${\mathfrak {b}}$.

Dann gibt es auf der direkten Summe ${\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {b}}$ der Vektorräume genau eine Klammer $[\cdot ,\cdot ]$, so dass Folgendes gilt:

* ${\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {b}}$ ist mit $[\cdot ,\cdot ]$ eine Lie-Algebra.
* Die Einschränkung der Klammer auf ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ stimmt mit den dort gegebenen Klammern überein.
* Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $b\in {\mathfrak {b}}$ gilt $[a,b]\,=\,\pi (a)b$.

Dabei werden ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ als Unterräume der direkten Summe aufgefasst.

Die Klammer auf ${\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {b}}$ lautet

    $[(a_{1},b_{1})\,,\,(a_{2},b_{2})]:=([a_{1},a_{2}]\,,\,[b_{1},b_{2}]+\pi (a_{1})b_{2}-\pi (a_{2})b_{1}),\quad a_{1},a_{2}\in {\mathfrak {a}},\,b_{1},b_{2}\in {\mathfrak {b}}$.

Man rechnet nach, dass durch diese Definition eine Lie-Algebra gegeben ist. Diese wird mit ${\mathfrak {a}}\ltimes _{\pi }{\mathfrak {b}}$ bezeichnet und heißt die semidirekte Summe oder auch das semidirekte Produkt aus ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$. Wenn es bezüglich der Darstellung $\pi$ keine Missverständnisse geben kann, so lässt man sie weg und schreibt einfach ${\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}}$.

## Bemerkungen

* In obiger Konstruktion ist ${\mathfrak {a}}$ eine Lie-Unteralgebra der semidirekten Summe und ${\mathfrak {b}}$ sogar ein Ideal, das heißt $[{\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}$.
* Ist $\pi =0$, so liegt die direkte Summe der Lie-Algebren vor.
* Seien ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra über dem Körper $K$ und $d$ eine Derivation auf ${\mathfrak {g}}$. Dann ist $Kd\subset {\rm {End}}({\mathfrak {g}})$ eine Darstellung, und man kann $Kd\ltimes {\mathfrak {g}}$ bilden. Dies nennt man auch die Adjunktion der Derivation $d$.

## Erweiterungen

Ist $\iota :{\mathfrak {b}}\rightarrow {\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}},b\mapsto (0,b)$ und $q:{\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}}\rightarrow {\mathfrak {a}},(a,b)\mapsto a$, so erhält man eine kurze exakte Sequenz aus Lie-Algebren und Lie-Algebren-Homomorphismen

    $0\rightarrow {\mathfrak {b}}\,{\xrightarrow {\iota }}\,{\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}}\,{\xrightarrow {q}}{\mathfrak {a}}\rightarrow 0$.

Allgemein nennt man kurze exakte Sequenzen

    $0\rightarrow {\mathfrak {b}}\rightarrow {\mathfrak {c}}{\xrightarrow {q}}{\mathfrak {a}}\rightarrow 0$

bzw. die darin vorkommende Lie-Algebra ${\mathfrak {c}}$ eine Erweiterung von ${\mathfrak {a}}$ nach ${\mathfrak {b}}$ (manchmal findet man auch die umgekehrte Sprechweise) und eine solche Erweiterung heißt zerfallend, wenn es einen Lie-Algebren-Homomorphismus $\psi :{\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {c}}$ gibt mit $q\circ \psi =\mathrm {id} _{\mathfrak {a}}$. Demnach ist ${\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}}$ eine solche zerfallende Erweiterung, denn der Homomorphismus ${\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}},a\mapsto (a,0)$ leistet das Verlangte.

Schließlich heißen zwei Erweiterungen ${\mathfrak {c}}_{1}$ und ${\mathfrak {c}}_{2}$ äquivalent, wenn es einen Isomorphismus $\varphi :{\mathfrak {c}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {c}}_{2}$ gibt, der das Diagramm

    ${\begin{array}{ccccccc}0\rightarrow &{\mathfrak {b}}&\rightarrow &{\mathfrak {c}}_{1}&\rightarrow &{\mathfrak {a}}&\rightarrow 0\\&\parallel &&\downarrow \gamma &&\parallel \\0\rightarrow &{\mathfrak {b}}&\rightarrow &{\mathfrak {c}}_{2}&\rightarrow &{\mathfrak {a}}&\rightarrow 0\\\end{array}}$

kommutativ macht. Mit Hilfe der semidirekten Summe kann man zerfallende Erweiterungen wie folgt charakterisieren:

Eine Erweiterung

    $0\rightarrow {\mathfrak {b}}\rightarrow {\mathfrak {c}}\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow 0$

von Lie-Algebren ist genau dann zerfallend, wenn sie äquivalent zur semidirekten Summe

    $0\rightarrow {\mathfrak {b}}\,{\xrightarrow {\iota }}\,{\mathfrak {a}}\ltimes {\mathfrak {b}}\,{\xrightarrow {q}}{\mathfrak {a}}\rightarrow 0$

ist.

