Legendresche Chi-Funktion
# Legendresche Chi-Funktion

Die legendresche Chi-Funktion (nach Adrien-Marie Legendre) ist eine spezielle Funktion in der Mathematik.

## Definition

Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:

    $\chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.$

Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus $\mathrm {Li} _{\nu }(z)$ ausdrücken:

    $\chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right]$
    $\chi _{\nu }(z)=\operatorname {Li} _{\nu }(z)-{\frac {1}{2^{\nu }}}\operatorname {Li} _{\nu }(z^{2})$

Funktion für v = 2:

    $\chi _{2}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}$

Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:

    $\chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {artanh} (xy)}{y}}\,\mathrm {d} y$
    $\chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (xy)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y$

Folgende Ableitung hat diese Funktion:

    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\chi _{2}(x)={\frac {\operatorname {artanh} (x)}{x}}$

## Spezielle Werte

### Beweis für den Chi-2-Funktionswert von Eins

Es gilt folgende Ableitung:

    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,{\frac {1}{x}}{\biggl\operatorname {artanh} (x)-\operatorname {artanh} {\biggl{\frac {x\,{\sqrt {1-y^{2}}}}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\biggr )}{\biggr ]}={\frac {y}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}$

Deswegen gilt auch folgendes Integral:

    ${\frac {1}{x}}\operatorname {artanh} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {y}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} y$

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht diese bereits im Definitionsabschnitt genannte Formel:

    $\chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (xy)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y$

Exemplarisch eingesetzt wird der Wert $x=1$ in die nun genannte Formel, so dass die folgende Formel entsteht:

    $\chi _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (y)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y={\biggl{\frac {1}{2}}\arcsin(y)^{2}{\biggr ]}_{y=0}^{y=1}={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

### Theorem für tangentielle Gegenstücke

Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:

    $\chi _{2}(x)+\chi _{2}{\bigl{\frac {1-x}{1+x}}{\bigr )}={\frac {\pi ^{2}}{8}}-2\operatorname {artanh} (x)\operatorname {artanh} {\bigl{\frac {1-x}{1+x}}{\bigr )}$

Beispielsweise gilt:

    $\chi _{2}{\bigl{\frac {1}{2}}{\bigr )}+\chi _{2}{\bigl{\frac {1}{3}}{\bigr )}={\frac {\pi ^{2}}{8}}-2\operatorname {artanh} {\bigl{\frac {1}{2}}{\bigr )}\operatorname {artanh} {\bigl{\frac {1}{3}}{\bigr )}$

Mit Hilfe genannten allgemeinen Formel für tangentielle Gegenstücke und mit Hilfe des Dilogarithmus können folgende Funktionswerte ermittelt werden:

    ${\begin{matrix}\chi _{2}(\mathrm {i} )&=&\mathrm {i} \cdot G\\\chi _{2}({\sqrt {2}}-1)&=&{\frac {1}{16}}\pi ^{2}-{\frac {1}{4}}{\bigl\ln({\sqrt {2}}+1){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(\Phi ^{-1})&=&{\frac {1}{12}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}{\bigl\ln(\Phi ){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(\Phi ^{-3})&=&{\frac {1}{24}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}{\bigl\ln(\Phi ){\bigr ]}^{2}\\\chi _{2}(-1)&=&-{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\\\chi _{2}(1)&=&{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\end{matrix}}$

mit der imaginären Einheit ${\rm {i}}$, der Goldenen Zahl $\Phi =({\sqrt {5}}+1)/2$ und der catalanschen Konstanten $G$.

## Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Zu den Spezialfällen gehören die Dirichletsche Lambda-Funktion $\lambda$

    $\lambda (n)=\chi _{n}(1)\,$

und die dirichletsche Beta-Funktion $\beta$:

    $\beta (n)={\frac {1}{\rm {i}}}\chi _{n}(\mathrm {i} ).$

Die transzendente lerchsche Zeta-Funktion verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:

    $\chi _{n}(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^{2},n,{\tfrac {1}{2}}).$
