Hafner-Sarnak-McCurley-Konstante
# Hafner-Sarnak-McCurley-Konstante

Die Hafner–Sarnak–McCurley Konstante ist eine mathematische Konstante, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Determinanten von zwei Matrizen zueinander teilerfremd sind.

## Definition

Seien $N,M\in \mathbb {Z} ^{n\times n}$ zwei quadratische, ganzzahlige $n\times n$-Matrizen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Determinanten zueinander teilerfremd sind, durch die Funktion

    $D(n)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-(1-\prod _{j=1}^{n}1-p_{k}^{-j})^{2})$

beschrieben. Dabei bezeichnet $p_{n}$ die n-Primzahl.

Insbesondere ist für zwei $1\times 1$-Matrizen die Wahrscheinlichkeit für Teilerfremdheit:

    $D(1)={6 \over \pi ^{2}}=0{,}607927$. (OEIS A059956)

## Weitere Werte

Die genauen Funktionswerte für $n\geq 2$ wurden analytisch nicht ermittelt. Näherungsweise ergeben sich die Werte:

| n | D(n) |
| - | - |
| 2 | 0.453103 |
| 3 | 0.397276 |
| 4 | 0.373913 |
| 5 | 0.363321 |

## Grenzwert

Für die Funktion $D(n)$ wurde durch Vardi (1991) der Grenzwert

    $\omega =\lim _{n\to \infty }D(n)=0{,}35323637185$ (A085849)

mit einer Approximationsgeschwindigkeit von $\sim 0{,}57^{n}$ bewiesen.

