Regulärer G-Raum
# Regulärer G-Raum

In der Mathematik bezeichnet man gewisse G-Räume (Räume mit Gruppenwirkung) als reguläre G-Räume.

## Definition

Sei $G$ eine lokalkompakte Gruppe, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, und sei $S$ ein Standard-Borel-Raum. Die Gruppe wirke durch messbare Abbildungen und erhalte die Klasse eines Wahrscheinlichkeitsmaßes $\mu$. Man erhält dann eine isometrische Wirkung $R$ von $G$ auf $L^{1}(S,\mu )$ durch

    $(R(g)\cdot f)(s)=f(g^{-1}\cdot s){\frac {d(g^{-1}\mu )}{d\mu }}(s),$

wobei ${\frac {d(g^{-1}\mu )}{d\mu }}$ die Radon-Nikodym-Ableitung bezeichnet. Der $G$-Raum $S$ heißt regulär, wenn $R$ eine stetige Wirkung ist.

## Beispiele

Sei $G$ eine lokalkompakte Gruppe, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Dann sind die folgenden Beispiele reguläre G-Räume.

* $G$ mit dem Haar-Maß und der Wirkung durch Konjugation auf sich,
* $G/Q$ mit dem natürlichen fast-invarianten Maß für eine abgeschlossene Untergruppe $Q\subset G$,
* der Furstenberg-Rand für ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $G$.
