Weil-Algebra
# Weil-Algebra

In der Mathematik ist die Weil-Algebra (ursprünglich von Henri Cartan eingeführt und nach André Weil benannt) ein Hilfsmittel bei der Berechnung charakteristischer Klassen.

## Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra. Die Weil-Algebra ist die graduierte Algebra

    $W^{n}({\mathfrak {g}})=\bigoplus _{2p+q=n}S^{p}({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \Lambda ^{q}({\mathfrak {g}}^{*})$,

wobei ${\mathfrak {g}}^{*}$ der duale Vektorraum, $S^{*}({\mathfrak {g}}^{*})$ die Polynomalgebra und $\Lambda ^{*}({\mathfrak {g}}^{*})$ die Graßmann-Algebra ist.

### Explizite Definition des Differentials

Sei $e_{1},\ldots ,e_{m}$ eine Basis von ${\mathfrak {g}}$. Seien $c_{ij}^{k}$ die Strukturkonstanten, also $\left[e_{i},e_{j}\right]=c_{ij}^{k}e_{k}$. Die Weil-Algebra $W^{*}({\mathfrak {g}})$ hat Erzeuger $\theta _{1},\ldots ,\theta _{m}$ vom Grad 1 und $\mu _{1},\ldots ,\mu _{m}$ vom Grad 2. Dann ist das Differential definiert durch

    $d(\theta _{i})=\mu _{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{j,k}c_{jk}^{i}\theta _{j}\theta _{k}$
    $d(\mu _{i})=-\sum _{jk}c_{jk}^{i}\theta _{j}\mu _{k}$.

Die Kohomologie von $(W({\mathfrak {g}}),d)$ ist trivial (außer in Grad 0).

### Konstruktion charakteristischer Klassen

Ein Zusammenhang $\omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})$ auf einem $G$-Prinzipalbündel $\pi \colon P\to M$ induziert einen Homomorphismus

    $f_{\omega }\colon \Omega ^{1}({\mathfrak {g}})\to \Omega ^{1}(P,\mathbb {R} )$,

der sich zu einem Homomorphismus differentieller graduierter Algebren

    $f_{\omega }\colon W({\mathfrak {g}})\to \Omega ^{*}(P,\mathbb {R} )$

fortsetzen lässt. Die $G$-invarianten Elemente von $W^{2k}({\mathfrak {g}})$ werden auf (das Urbild von) $\Omega ^{2k}(M,\mathbb {R} )$ abgebildet und definieren charakteristische Klassen in $H_{dR}^{2k}(M;\mathbb {R} )$. (Diese Konstruktion wird als Chern-Weil-Homomorphismus bezeichnet.)

## Relative Weil-Algebra

Sei $G$ eine Lie-Gruppe und $K\subset G$ eine maximal kompakte Untergruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {k}}\subset {\mathfrak {g}}$. Die relative Weil-Algebra ist definiert als

    $W(G,K)=(S({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \Lambda ({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {k}}))^{K}$.

Sei $BG$ der klassifizierende Raum und $EG\to BG$ das universelle Bündel der Lie-Gruppe $G$. Man hat kanonische Isomorphismen der Kohomologiegruppen

    $H^{*}(W(G,K))=H^{*}(EG/K)=H^{*}(BG)=I(K)$

mit dem Ring $I(K)$ der invarianten Polynome.

Die relative Weil-Algebra wird bei der Berechnung sekundärer charakteristischer Klassen von lokal symmetrischen Räumen verwendet.

