Teilchenzahlanteil
# Teilchenzahlanteil

Der Teilchenzahlanteil (Formelzeichen: X) ist gemäß DIN 1310 eine physikalisch-chemische Größe zur quantitativen Beschreibung der Zusammensetzung von Stoffgemischen/Mischphasen, eine sogenannte Gehaltsgröße. Er gibt den relativen Anteil der Teilchenzahl einer betrachteten Mischungskomponente an der Gesamtteilchenzahl des Gemisches an.

## Definition und Eigenschaften

In folgender Tabelle wird bei den Größengleichungen unterschieden zwischen

* dem einfachen Fall eines binären Gemisches (Z = 2, Zweistoffgemisch aus den Komponenten i und j, beispielsweise die Lösung eines einzelnen Stoffes i in einem Lösungsmittel j) und
* der allgemeingültigen Formulierung für ein Stoffgemisch aus insgesamt Z Komponenten (Index z als allgemeiner Laufindex für die Summenbildungen, schließt i und ggf. j mit ein).

| | binäres Gemisch (Z = 2) | allgemeines Gemisch (Z Komponenten) |
| - | - | - |
| Definition | $X_{i}={\frac {N_{i}}{N_{i}+N_{j}}}$ | $X_{i}={\frac {N_{i}}{N}}\ \ {\text{mit}}\ \ N=\sum _{z=1}^{Z}N_{z}$ |
| Wertebereich | $0\leq X_{i}\leq 1$ | $0\leq X_{i}\leq 1$ |
| Summenkriterium | $X_{i}+X_{j}=1\ \Rightarrow \ X_{j}=1-X_{i}$ | $\sum _{z=1}^{Z}X_{z}=1\ \Rightarrow \ X_{Z}=1-\sum _{z=1}^{Z-1}X_{z}$ |

Der Teilchenzahlanteil $X_i$ ist definiert als Wert des Quotienten aus der Teilchenzahl $N_i$ der betrachteten Mischungskomponente i und der Gesamtteilchenzahl N des Gemisches. Letztere ist die Summe der Teilchenzahlen aller Komponenten (i mit eingeschlossen) des Gemisches. „Teilchen“ können stoffliche Elementarobjekte wie Atome, Moleküle, Ionen oder auch Formeleinheiten sein und müssen für alle Mischungskomponenten spezifiziert sein.

Als Quotient zweier Größen der Dimension Zahl ist der Teilchenzahlanteil selbst auch eine Größe der Dimension Zahl und kann wie in obiger Tabelle durch eine reine Dezimalzahl angegeben werden oder mit Hilfsmaßeinheiten wie Prozent (% = 1/100), Promille (‰ = 1/1.000) oder parts per million (1 ppm = 1/1.000.000).

Der Teilchenzahlanteil $X_i$ einer betrachteten Mischungskomponente i kann Zahlenwerte zwischen 0 = 0 % (Komponente i ist nicht im Gemisch enthalten) und 1 = 100 % (Komponente i liegt als Reinstoff vor) annehmen.

Die Teilchenzahlanteile aller Bestandteile eines Gemisches addieren sich zu 1 = 100 %. Daraus folgt, dass die Kenntnis bzw. Ermittlung der Teilchenzahlanteile von Z − 1 Komponenten ausreicht (bei einem Zweistoffgemisch also der Teilchenzahlanteil einer Komponente), da sich der Teilchenzahlanteil der verbleibenden Komponente einfach durch Differenzbildung zu 1 = 100 % berechnen lässt.

Die Werte der Teilchenzahlanteile für ein Stoffgemisch gegebener Zusammensetzung sind – im Gegensatz zu den volumenbezogenen Gehaltsgrößen (Konzentrationen, Volumenanteil, Volumenverhältnis) – unabhängig von Temperatur und Druck, da sich die Teilchenzahlen der Mischungskomponenten im Gegensatz zu den Volumina mit der Temperatur bzw. dem Druck nicht ändern, sofern keine stofflichen Umsetzungen eintreten.

## Zusammenhänge mit anderen Gehaltsgrößen

Wegen der Proportionalität zwischen Teilchenzahl N und Stoffmenge n (Bezug auf die gleiche Teilchenart vorausgesetzt; der Umrechnungsfaktor ist die Avogadro-Konstante $N_A$ ≈ $6.022e^{23}$ $mol^{−1})$ ist der Wert des Teilchenzahlanteils $X_i$ gleich dem Wert des Stoffmengenanteils $x_i:$

    $X_{i}={\frac {N_{i}}{N}}={\frac {n_{i}\cdot N_{\mathrm {A} }}{n\cdot N_{\mathrm {A} }}}={\frac {n_{i}}{n}}=x_{i}$

In der folgenden Tabelle sind die Beziehungen des Teilchenzahlanteils $X_i$ mit den anderen in der DIN 1310 definierten Gehaltsgrößen in Form von Größengleichungen zusammengestellt. Dabei steht M für die molare Masse, ρ für die Dichte des jeweiligen Reinstoffs (bei gleichem Druck und gleicher Temperatur wie im Stoffgemisch). Der Index z dient wiederum als allgemeiner Laufindex für die Summenbildungen und schließt i mit ein.

Zusammenhänge des Teilchenzahlanteils $X_i$ mit anderen Gehaltsgrößen :

| | Massen-… | Stoffmengen-… | Teilchenzahl-… | Volumen-… |
| - | - | - | - | - |
| …-anteil | Massenanteil w | Stoffmengenanteil x | Teilchenzahlanteil X | Volumenanteil φ |
| …-anteil | $X_{i}={\frac {w_{i}/M_{i}}{\sum _{z=1}^{Z}{(w_{z}/M_{z})}}}$ | $X_{i}=x_{i}$ | $X_{i}$ | $X_{i}={\frac {\varphi _{i}\cdot \rho _{i}/M_{i}}{\sum _{z=1}^{Z}{(\varphi _{z}\cdot \rho _{z}/M_{z})}}}$ |
| …-konzentration | Massenkonzentration β | Stoffmengenkonzentration c | Teilchenzahlkonzentration C | Volumenkonzentration σ |
| …-konzentration | $X_{i}={\frac {\beta _{i}/M_{i}}{\sum _{z=1}^{Z}{(\beta _{z}/M_{z})}}}$ | $X_{i}={\frac {c_{i}}{\sum _{z=1}^{Z}c_{z}}}$ | $X_{i}={\frac {C_{i}}{\sum _{z=1}^{Z}C_{z}}}$ | $X_{i}={\frac {\sigma _{i}\cdot \rho _{i}/M_{i}}{\sum _{z=1}^{Z}{(\sigma _{z}\cdot \rho _{z}/M_{z})}}}$ |
| …-verhältnis | Massenverhältnis ζ | Stoffmengenverhältnis r | Teilchenzahlverhältnis R | Volumenverhältnis ψ |
| …-verhältnis | $X_{i}={\frac {1/M_{i}}{\sum _{z=1}^{Z}{(\zeta _{zi}/M_{z})}}}$ | $X_{i}={\frac {1}{\sum _{z=1}^{Z}r_{zi}}}$ | $X_{i}={\frac {1}{\sum _{z=1}^{Z}R_{zi}}}$ | $X_{i}={\frac {\rho _{i}/M_{i}}{\sum _{z=1}^{Z}{(\psi _{zi}\cdot \rho _{z}/M_{z})}}}$ |
| Quotient Stoffmenge/Masse | Molalität b | Molalität b |
| $X_{i}=b_{i}\cdot M_{j}\cdot X_{j}$ (i = gelöster Stoff, j = Lösungsmittel) ||
| spezifische Partialstoffmenge q ||
| $X_{i}={\frac {q_{i}}{\sum _{z=1}^{Z}q_{z}}}$ ||

Da das molare Volumen $V_m$ eines Reinstoffes gleich dem Quotienten aus dessen molarer Masse M und Dichte ρ ist (bei gegebener Temperatur und gegebenem Druck), können die in vorstehender Tabelle in einigen Gleichungen in reziproker Form auftretenden Terme entsprechend ersetzt werden:

    ${\frac {M_{i}}{\rho _{i}}}=V_{\mathrm {m} ,i}\ \Leftrightarrow \ {\frac {\rho _{i}}{M_{i}}}={\frac {1}{V_{\mathrm {m} ,i}}}$

Bei Mischungen idealer Gase stimmen nicht nur die Werte von Teilchenzahlanteil $X_i$ und Stoffmengenanteil $x_i$ überein, sondern es besteht wegen der einheitlichen molaren Volumina und des idealen Mischungscharakters zusätzlich noch Gleichheit mit dem Volumenanteil $φ_i$ und der Volumenkonzentration $σ_i:$

    $X_{i}=x_{i}=\varphi _{i}=\sigma _{i}\ \ {\text{für Mischungen idealer Gase}}$

## Beispiele

### Stickstoff und Sauerstoff in Luft

Luft als das Gasgemisch der Erdatmosphäre enthält die beiden Hauptkomponenten Stickstoff (Teilchen: $N_2-Moleküle)$ und Sauerstoff (Teilchen: $O_2-Moleküle).$ Bei näherungsweiser Betrachtung als ein Gemisch idealer Gase sind die üblicherweise tabellierten mittleren Volumenanteile der Einzelgase in trockener Luft auf Meereshöhe $(N_2:$ ca. 78,1 %; $O_2:$ ca. 20,9 %) den Stoffmengenanteilen gleichzusetzen, welche wiederum gleich den Teilchenzahlanteilen sind (s. o.):

    $X_{\mathrm {N_{2}} }=x_{\mathrm {N_{2}} }\approx 0{,}781=78{,}1\ \%\qquad X_{\mathrm {O_{2}} }=x_{\mathrm {O_{2}} }\approx 0{,}209=20{,}9\ \%$

### Lösung von Glucose in Wasser

Betrachtet wird eine Lösung von Glucose (Glc) in Wasser $(H_2O)$ mit den Massenanteilen $w_{Glc}$ = 0,01 = 1 % und entsprechend $w_{H2O}$ = 1 − $w_{Glc}$ = 0,99 = 99 %. Unter Berücksichtigung der molaren Massen ergibt sich für die Teilchenzahlanteile an Glucosemolekülen bzw. Wassermolekülen:

    $X_{\mathrm {Glc} }={\frac {w_{\mathrm {Glc} }/M_{\mathrm {Glc} }}{w_{\mathrm {Glc} }/M_{\mathrm {Glc} }+w_{\mathrm {H_{2}O} }/M_{\mathrm {H_{2}O} }}}=\mathrm {\frac {0{,}01/(180{,}16\ g\cdot mol^{-1})}{0{,}01/(180{,}16\ g\cdot mol^{-1})+0{,}99/(18{,}02\ g\cdot mol^{-1})}} \approx 0{,}001=0{,}1\ \%$
    $X_{\mathrm {H_{2}O} }=1-X_{\mathrm {Glc} }\approx 0{,}999=99{,}9\ \%$
