Inklusionsabbildung
# Inklusionsabbildung

Eine Inklusionsabbildung (kurz auch Inklusion), natürliche Einbettung oder kanonische Einbettung ist eine mathematische Funktion, die eine Teil- in ihre Grundmenge einbettet.

## Definition

Für Mengen $A$ und $B$ mit $A\subseteq B$ ist die Inklusionsabbildung $i\colon A\rightarrow B$ durch die Abbildungsvorschrift

    $i(x)=x$

gegeben. Manchmal wird das spezielle Pfeilsymbol $\hookrightarrow$ zur Kennzeichnung benutzt und man schreibt dann $i\colon A\hookrightarrow B$.

Man spricht von einer echten Inklusion, falls $A$ eine echte Teilmenge von $B$ ist, das heißt, wenn es Elemente in $B\setminus A$ gibt.

Im Fall mathematischer Strukturen ist die so definierte Abbildung einer Unterstruktur strukturtreu, d. h. ein Monomorphismus.

## Eigenschaften

* Jede Inklusionsabbildung ist injektiv. Eine echte Inklusion ist nicht surjektiv.
* Ist $A=B$, so ist die Inklusion die Identitätsabbildung.
* Eine beliebige Funktion $f\colon A\to B$ lässt sich bezüglich der Verkettung von Funktionen zerlegen als $f=h\circ g$, wobei $g$ surjektiv und $h$ injektiv ist: Sei $C=\operatorname {im} f\subseteq B$ die Bildmenge von $f$ und $g\colon A\to C$ die Funktion, die auf $A$ mit $f$ übereinstimmt, also $g(x)=f(x)$. Für $h\colon C\to B$ nimmt man die Inklusionsabbildung.
* Ist $f\colon A\to B$ eine beliebige Funktion und $X$ eine Teilmenge der Definitionsmenge $A$, dann versteht man unter der Einschränkung $f|_{X}$ von $f$ auf $X$ diejenige Funktion $g\colon X\to B$, die auf $X$ mit $f$ übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusion $i\colon X\to A$ lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als

       $f|_{X}=f\circ i$.
* Umgekehrt lässt sich jede Inklusionsabbildung $i\colon A\hookrightarrow B$ als Einschränkung einer geeigneten identischen Abbildung auffassen: $i=\left(\operatorname {id} _{B}\right)|_{A}$
