Formelsammlung Analysis
# Formelsammlung Analysis

## Folgen und Reihen

### Arithmetische und geometrische Folgen

**Arithmetische Folge**


    $a_{n+1}-a_{n}=d\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n$
    $a_{n}={\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+a_{n+1})$
    $\,a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

**Geometrische Folge**


    ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n,q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$
    $a_{n}={\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}$
    $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$

### Grenzwerte: Definition (Folgen)

* Die Folge $(a_{n})$ heißt Nullfolge, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine Nummer $n_{0}$ gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also $n>n_{0}$ gilt:

       $\,|a_{n}|<\epsilon$
* Eine Folge $(a_{n})$ hat den Grenzwert a, wenn die Folge $(a_{n}-a)$ den Grenzwert 0 hat.
* Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.
* Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl $K>0$ gibt, sodass $|f_{n}|<K$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt.

### Grenzwertsätze (Folgen)

Hat die Folge $(a_{n})$ den Grenzwert a, die Folge $(b_{n})$ den Grenzwert b, so gilt:

* $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b$
* $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b$
* $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}\qquad b\not =0$

## Funktionen (formale Eigenschaften)

### Grenzwerte von Funktionen

* [Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]

**Regel von de L’Hospital**

Sei $f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}.$

Voraussetzungen:

* Es gibt eine Stelle $a$, sodass $u(a)$ und $v(a)$ entweder Null sind oder bestimmt divergieren
* $u$ und $v$ sind in einer Umgebung von $a$ differenzierbar
* Der Grenzwert $\lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}$ existiert.

Dann gilt:

    $\lim _{x\to a}{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}$

**Einseitige Grenzwerte**

Die Funktion $f\colon X\to \mathbb {R} \;$ hat für $x\to p+$ den Limes $L\;$, wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\varepsilon >0\;$ ein $\delta >0\;$ gibt, sodass für alle $x\;$-Werte aus dem Definitionsbereich $X\;$ von $f\;$, die der Bedingung $0<x-p<\delta \;$ genügen, auch $|f(x)-L|<\varepsilon \;$ gilt.

    In diesem Falle nennt man den Grenzwert $\lim _{x\to p+}f(x):=L$ konvergent.

### Stetigkeit

Eine Funktion $f$ heißt an einer Stelle $x_{0}$ stetig, wenn der Grenzwert von $f$ für $x$ gegen $x_{0}$ existiert und mit dem Funktionswert $f(x_{0})$ übereinstimmt

    $f(x_{0})=\lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)=\lim _{h\to 0}f(x_{0}-h)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)$
* Epsilon-Delta-Kriterium:$f\colon D\to \mathbb {R}$ ist stetig in $x_{0}\in D$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in D$ mit $|x-x_{0}|<\delta$ gilt: $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$.
* Folgenkriterium: $f\colon D\to \mathbb {R}$ ist stetig in $x_{0}\in D$, wenn für jede Folge $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit Elementen $x_{k}\in D$, die gegen $x_{0}$ konvergiert, auch $f(x_{k})$ gegen $f(x_{0})$ konvergiert.

### Grundlegendes

**Zwischenwertsatz**


    Eine im Intervall $[a,b]$ ($a<b$) stetige Funktion $f$ nimmt jeden Funktionswert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ mindestens einmal an.

Spezialfall: Nullstellensatz

    Eine in $I$ stetige Funktion, bei der $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle.

**Extremwertsatz**


    Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.

**Mittelwertsatz**


    Es sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ ($a<b$) stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein $x_{0}\in (a,b)$, so dass
       $f'\left(x_{0}\right)={\frac {f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}}$
    gilt.

## Differentialrechnung

### Differenzierbarkeit: Definitionen

Eine Funktion $f$ ist genau dann differenzierbar an einer Stelle $x_{0}$ ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

    $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_{0}$.

### Geometrisches: Tangenten

**Tangentengleichung zu $f$ im Punkt $P(x_{0}|f(x_{0}))$**


    $y=f'(x_{0})\!\,(x-x_{0})+f(x_{0})$

**Normale (Senkrechte)**


    $y={\frac {-1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})+f(x_{0})$

### Ableitungsregeln

**Konstante Funktion**


    $\left(a\right)'=0$

**Faktorregel**


    $(a\cdot f)'=a\cdot f'$

**Summenregel**


    $\left(g\pm h\right)'=g'\pm h'$

**Produktregel**


    $(g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'$

**Quotientenregel**


    $\left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}$

**Potenzregel**


    $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$

**Kettenregel**


    $(g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)$

**Ableitung der Potenzfunktion $f(x)=g(x)^{h(x)}$**


    $f'(x)=\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)g(x)^{h(x)}$.

**Leibnizsche Regel**


    Die Ableitung $n$-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei $n$-fach differenzierbaren Funktionen $f$ und $g$ ergibt sich aus
    $(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$.
    Die hier auftretenden Ausdrücke der Form ${\tbinom {n}{k}}$ sind Binomialkoeffizienten.

**Formel von Faà di Bruno**


    Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der $n$-ten Ableitung der Komposition zweier $n$-fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

### Ableitungen wichtiger Funktionen

siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

### Geometrische Anwendungen: Eigenschaften von Kurven (Kurvendiskussion)

Betrachtet wird $f\colon x\mapsto f(x)$

| Untersuchungsaspekt | Kriterium |
| - | - |
| Nullstelle | $f(x_{N})=0\,$ |
| Extremwert | $f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})\neq 0$ |
| Minimum | $f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})>0$ |
| Maximum | $f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})<0$ |
| Wendepunkt | $f''(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f'''(x_{W})\neq 0$ |
| Sattelpunkt | $f'(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f'''(x_{W})\neq 0$ |
| Verhalten im Unendlichen | $\lim _{x\to \infty }f(x)\quad {\text{und}}\quad \lim _{x\to -\infty }f(x)$ |
| Symmetrie |
| Achsensymmetrie zur Koordinatenachse („gerade“) | $f(x)=f(-x)\,$ |
| Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung („ungerade“) | $-f(x)=f(-x)\,$ |
| Monotonie |
| monoton steigend bzw. streng monoton steigend | $f'(x)\geq 0\quad {\text{bzw.}}\quad f'(x)>0\,$ |
| monoton fallend bzw. streng monoton fallend | $f'(x)\leq 0\quad {\text{und}}\quad f'(x)<0$ |
| Krümmung |
| Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen) | $f''(x)\geq 0\,$ |
| Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen) | $f''(x)\leq 0\,$ |
| Periodizität | $f(x+p)=f(x)\,$ |

**Gebrochenrationale Funktionen**

Funktionsterm:

    $f(x)={\frac {a_{z}x^{z}+a_{z-1}x^{z-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{z}(x)}{Q_{n}(x)}}$
* Einteilung
   * Ist das Nennerpolynom $Q_{n}$ vom Grad 0 (also n = 0 und $b_0$ ≠ 0) und ist $P_{z}$ nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion.
   * Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
   * Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
   * Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.
* Definitionsbereich
   * $\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \lbrace x_{0}\mid Q_{n}(x_{0})=0\rbrace$
* Asymptotisches Verhalten: Für $x\to \infty$ strebt $f(x)$
   * [falls $z>n$] gegen $\operatorname {sgn}(a_{z})\cdot \operatorname {sgn}(b_{n})\cdot \infty$, wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet.
   * [falls $z=n$] gegen ${\tfrac {a_{z}}{b_{n}}}$
   * [falls $z<n$] gegen 0 (die x-Achse)
* Symmetrie
   * Sind $P_{z}$ und $Q_{n}$ beide gerade oder beide ungerade, so ist $f$ gerade (symmetrisch zur y-Achse).
   * Ist $P_{z}$ gerade und $Q_{n}$ ungerade, so ist $f$ ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); Gleiches gilt, wenn $P_{z}$ ungerade und $Q_{n}$ gerade ist.
* Polstellen: $x_{p}$ heißt Polstelle von $f$, wenn
   * $Q_{n}(x_{p})=0\quad {\text{und}}\quad P_{z}(x_{p})\neq 0.$
* Asymptoten: Mittels Polynomdivision von $p$ durch $q$ erhält man $p=g\cdot q+r$ mit Polynomen $g$ und $r$, wobei der Grad von $r$ kleiner als der von $q$ ist. Das asymptotische Verhalten von $f={\tfrac {p}{q}}=g+{\tfrac {r}{q}}$ ist damit durch die ganzrationale Funktion $g$ bestimmt:
   * $[z<n]\,$ x-Achse ist Asymptote: $g(x)=0$
   * $[z=n]\,$ waagerechte Asymptote: $g(x)={\frac {a_{z}}{b_{n}}}$
   * $[z=n+1]\,$ schräge Asymptote: $g(x)=mx+c\,;m\neq 0$
   * $[z>n+1]\,$ ganzrationale Näherungsfunktion

## Integralrechnung

### Flächenberechnung

Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist

* $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\geq 0\forall x\in [a,b]$
* $-\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\leq 0\forall x\in [a,b]$
* Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.

### Eigenschaften des bestimmten Integrals

    $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\mathrm {d} x$
    $\int _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0$
    $\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\mathrm {d} x,\qquad a<b<c$
    $\int _{a}^{b}k\cdot f(x)\mathrm {d} x=k\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$
    $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$

### Integralfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

**Integralfunktion**


    $F_{a}(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t$

**Hauptsatz der Infinitesimalrechnung**


    $F_{a}(x)'=f(x)\,$

**Stammfunktion**


    Jede Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt
       $F'(x)=f(x)\,$
    Dies bezeichnet der Ausdruck $\int f(x)\mathrm {d} x$

**Integration**


    Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt
       $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

### Spezielle Stammfunktionen

Die Stammfunktionen von $f(x)=x^{n}$ sind

    $F(x)={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c,\qquad n\not =-1$

Alles weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

### Integrationsmethoden

Produkt-, Teil- oder partielle Integration

* unbestimmt

    $\int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x$
    $\int f(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot G(x)-\int f'(x)\cdot G(x)\mathrm {d} x$
* bestimmt

    $\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x$

Integration durch Substitution

* unbestimmt

    $\int f(x)\mathrm {d} x=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)\mathrm {d} t$
* bestimmt

    $\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\mathrm {d} t=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\mathrm {d} x$
* Spezialfall: lineare Substitution

    $\int f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}F(mx+n)+C,\qquad m\neq 0$
    $\int _{a}^{b}f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}\lbrack F(mx+n)\rbrack _{a}^{b},\qquad m\neq 0$
* Spezialfall: logarithmische Integration

    $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\mathrm {d} x=\ln |f(x)|+C,\qquad f(x)\neq 0$

### Angewandtes

**Volumenbestimmung**

* Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]

    $\pi \cdot \int _{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm {d} x$
* Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]

    $\pi \cdot \int _{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^{2}\mathrm {d} y$
* Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird, entsteht

    $2\pi \cdot \int _{a}^{b}(x\cdot f(x))\mathrm {d} x$

**Volumenbestimmung**

**Guldinsche Regeln**


    $M$ Oberflächeninhalt
    $V$ Volumen
    $L$ Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)
    $A$ Flächeninhalt der erzeugenden Fläche
    $R$ Radius des Schwerpunktkreises

**Volumenbestimmung**

**Guldinsche Regeln**

**Erste Regel**


    $M=L\cdot 2\pi R$

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:

* bei Rotation um die x-Achse

    $M=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x.$
* bei Rotation um die y-Achse

    $M=2\pi \int _{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))}f^{-1}(y){\sqrt {1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^{2}}}\mathrm {d} y.$

**Volumenbestimmung**

**Guldinsche Regeln**

**Zweite Regel**


       $V=A\cdot 2\pi R.$

Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen $f(x)$, der x-Achse und den Grenzen $x=a$ und $x=b$ ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch $f(x)$ mit $R$ als Flächenschwerpunkt zu

    $V=A\cdot 2\pi {\tfrac {1}{A}}\int _{A}y\mathrm {d} A=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(x))^{2}\mathrm {d} x$

mit $y={\tfrac {f(x)}{2}}$ und $\mathrm {d} A=f(x)\mathrm {d} x.$

**Weiteres**

* Ist f auf [a,b] stetig, so heißt ${\bar {m}}$ der Mittelwert der Funktionswerte von f auf $[a,b]$

    ${\bar {m}}={\frac {1}{b-a}}\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$
* Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:

    $L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\mathrm {d} x$

### Näherungsweises Berechnen von Integralen: Numerische Integration

* Zerlegungssummen

    $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx hf(x_{1})+hf(x_{2})+\cdots +hf(x_{n})\qquad {\text{mit }}h={\frac {b-a}{n}}$
* Keplersche Fassregel

    $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {1}{6}}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)$
* Trapezregel
   * Sehnentrapez

       $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {f(b)+f(a)}{2}}\cdot (b-a)$
       $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+\cdots +2f(x_{n-1}+f(x_{n})\right)$
   * Tangententrapez

       $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2}}\cdot {\frac {b-a}{2}}$
* Simpsonregel

       $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)$
       $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6n}}\cdot \left(f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots f(x_{n})\right)$

## Quellen

* Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.
