Querkraft
# Querkraft

Die Querkraft ist in der Theorie des Balkens die Bezeichnung einer Kraft, die einerseits

* auf den Balken als senkrecht zu seiner Längsachse gerichtete Belastung wirkt,
* und die andererseits in einer Querschnittsfläche des Balkens liegt und dort dessen Beanspruchung auf Scherung darstellt.

## Definition

Die Spannungsresultanten berechnen sich in der schubstarren, linearisierten Bernoulli-Theorie zu ${\begin{pmatrix}N_{x}(x)\\V_{y}(x)\\V_{z}(x)\end{pmatrix}}=\int {{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} A}$ mit

* $N_{x}(x)$ der Normalkraft
* $V_{y}(x)$ der Querkraftkomponente in y-Richtung
* $V_{z}(x)$ der Querkraftkomponente in z-Richtung
* ${\boldsymbol {\sigma }}(x,y,z)={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}$ dem Spannungstensor
* $\mathbf {n} =\mathbf {e} _{x}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ der normalen auf den Querschnitt (in der schubstarren, linearisierten Bernoulli-Theorie in x-Richtung)
* $A$ der Querschnittsfläche in der verformten Lage

Die Querkraft berechnet sich somit zu $\mathbf {V} (x)=\int {\begin{pmatrix}0\\\sigma _{xy}(x,y,z)\\\sigma _{xz}(x,y,z)\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} A$

## Differenzialbeziehungen

In der Balkentheorie gibt es unter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für die Queranteile:

* ${\frac {\mathrm {d} R(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)$
* ${\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=R(x)-N^{II}(x)\cdot \left[{\frac {\mathrm {d} w_{v}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\right]+m(x)$
* ${\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]$
* ${\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)+{\frac {V(x)}{G{\tilde {A}}(x)}}$

mit

* der Laufkoordinate $x$ entlang der Balkenachse
* dem Elastizitätsmodul $E$
* dem Schubmodul $G$ (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht in den Differentialgleichungen auf)
* dem Flächenträgheitsmoment I(x)
* $R(x)$ der Transversalkraft (in der Theorie I. Ordnung gilt $R(x)=V(x)$)
* $V(x)$ der Querkraft
* $N^{II}(x)$ die Normalkraft nach Theorie Theorie II. Ordnung (in der Theorie I. Ordnung tritt dieser Term in der Differenzialgleichung nicht auf)
* $q(x)$ der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit)
* $M(x)$ dem Biegemoment
* $m(x)$ dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit)
* $\varphi (x)$ der Verdrehung
* $\kappa ^{e}(x)$ der eingeprägten Krümmung
* $w(x)$ der Durchbiegung zufolge Belastung
* $w_{v}(x)$ der Durchbiegung zufolge Vorverformung
* ${\tilde {A}}(x)=\kappa \cdot A$ der Schubfläche (Term tritt in der schubstarren Theorie nicht auf).

Durch diese Differentialgleichungen ist somit ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung $w$ und dem Biegemoment $M_{y}(x)$ im Balken gegeben. Dies führt zu drei Gleichungen, für die ein Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den Schnittlasten im Balken (Biegemoment und Querkraft) sowie der äußeren Flächenlast $q_{z}(x)$ gegeben ist (Die Koordinate $x$ wird hierbei entlang der Balkenachse gezählt, die Biegung erfolgt um die Koordinaten-Achse $y$, die Koordinate $z$ verläuft in Richtung der Querkraft.):

