Blackwell-Girshick-Gleichung
# Blackwell-Girshick-Gleichung

Die Blackwell-Girshick-Gleichung ist eine Gleichung in der Stochastik, mit der sich die Varianz von zufälligen Summen von Zufallsvariablen berechnen lässt.

Sie ist nach David Blackwell und Abe Girshick benannt.

## Aussage

Ist $N$ eine Zufallsvariable mit Werten in $\mathbb {N}$ und sind $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, die auch von $N$ unabhängig sind, und existiert für alle $X_{i}$ und $N$ das zweite Moment, dann besitzt die durch

    $Y:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}$

definierte Zufallsvariable die Varianz

    $\operatorname {Var} (Y)=\operatorname {Var} (N)(\operatorname {E} (X_{0}))^{2}+\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X_{0})$.

Die Blackwell-Girshick-Gleichung lässt sich mit Hilfe der bedingten Varianz und der Varianzzerlegung herleiten. Sind die $X_{i}$ auch Zufallsvariablen auf $\mathbb {N}$, so kann die Herleitung schon elementar mittels der Kettenregel und der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion erfolgen.

## Beispiel

Sei $N$ Poisson-verteilt zum Erwartungswert $\lambda$ und die $X_{i}$ Bernoulli-verteilt zum Parameter $p$. Dann ist

    $\operatorname {Var} (Y)=\lambda p^{2}+\lambda p(1-p)=\lambda p$.

## Verwendung und verwandte Konzepte

Die Blackwell-Girshick-Gleichung wird in der Schadensversicherungsmathematik verwendet, um die Varianz zusammengesetzter Verteilungen wie zum Beispiel der zusammengesetzten Poisson-Verteilung zu berechnen. Ähnliche Aussagen über den Erwartungswert von zusammengesetzten Verteilungen liefert die Formel von Wald.

