Symplektische Gruppe
# Symplektische Gruppe

Die symplektische Gruppe (die Bezeichnung wurde von Hermann Weyl eingeführt und geht auf das altgriechische Wort σνμ-πλεκω für zusammenflechten zurück) ist ein Begriff aus der Mathematik, im Überlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie. Sie ist die Menge der linearen Abbildungen, die eine symplektische Form, das heißt eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform, invariant lassen, so wie die orthogonale Gruppe der längentreuen Abbildungen eine nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform invariant lässt. Elemente der symplektischen Gruppe werden als symplektische Abbildungen bezeichnet. Die symplektische Gruppe in $2n$ Dimensionen ist eine halbeinfache Gruppe zum Wurzelsystem $C_n.$ Sie spielt beim Studium symplektischer Vektorräume eine wichtige Rolle.

Auch die Lie-Gruppe $Sp(n)$ wird als (kompakte) symplektische Gruppe bezeichnet.

Die doppelte Überlagerung der symplektischen Gruppe wird als metaplektische Gruppe bezeichnet.

## Definition

Für jedes $n\in \mathbb {N}$ und jeden Körper $K$ mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe $Sp_{2n}(K)$ eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe $\mathrm {GL} (2n,K)$

    $Sp_{2n}(K)\colon =\left\{T\in GL_{2n}(K)\mid \,T^{\text{T}}\,I_{n}\,T=I_{n}\right\}$

mit

    $I_{n}={\begin{pmatrix}0&E_{n}\\-E_{n}&0\end{pmatrix}}$,

wobei $E_{n}$ die $n\times n$-Einheitsmatrix und $0$ die $n\times n$-Nullmatrix bezeichnet.

Für $K\in \left\{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \right\}$ ist $Sp(n,K)$ eine Lie-Gruppe und die Lie-Algebra von $\mathrm {Sp} (2n,K)$ ist

    ${\mathfrak {sp}}(2n,K)=\left\{A\in \mathrm {Mat} (2n,K):I_{n}A+A^{T}I_{n}=0\right\}$.

## Endliche Gruppen

Ist der Körper $K$ endlich mit $q$ Elementen, so schreibt man $\mathrm {Sp} (2n,q)$ an Stelle von $\mathrm {Sp} (2n,K)$. Man erhält eine endliche Gruppe mit

    $\mathrm {ord} (Sp(2n,q))=q^{n^{2}}\prod _{i=1}^{n}(q^{2i}-1)$

Elementen. Das Zentrum dieser Gruppe besteht aus $\pm \mathrm {id} _{K^{n}}$, es hat daher zwei Elemente für ungerades $q$ und ist trivial für gerades $q$.

## Projektive symplektische Gruppen

Die Faktorgruppen der symplektischen Gruppen nach ihrem Zentrum heißen projektive symplektische Gruppen und werden mit $PSp(2n,K)$ bezeichnet. Im Falle eines endlichen Körpers mit $q$ Elementen ist

    $\mathrm {ord} (PSp(2n,q))={\frac {q^{n^{2}}}{\mathrm {ggT} (2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}(q^{2i}-1)$

und die Gruppen sind einfach mit Ausnahme von $PSp(2,2),PSp(2,3)$ und $PSp(4,2)$. Man erhält damit eine unendliche Serie einfacher Gruppen. Es handelt sich dabei um Gruppen vom Lie-Typ $C_n$ und damit um eine der insgesamt 16 unendlichen Serien von Gruppen vom Lie-Typ. Daher wird $PSp(2n,q)$ auch mit $C_{n}(q)$ bezeichnet.

## Kompakte symplektische Gruppe

Die kompakte symplektische Gruppe $Sp(n)$ ist die Gruppe der (invertierbaren) quaternionisch-linearen Abbildungen, die das auf dem n-dimensionalen quaternionischen Vektorraum $\mathbb {H} ^{n}$ definierte Skalarprodukt

    $\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}$

erhalten.

Diese Gruppe ist keine symplektische Gruppe im Sinne des vorhergehenden Abschnittes. $Sp(n)$ ist aber die kompakte reelle Form von $Sp(2n,\mathbb {C} )$.

$Sp(n)$ ist eine $n(2n+1)$-dimensionale kompakte Lie-Gruppe und einfach zusammenhängend. Ihre Lie-Algebra ist

    ${\mathfrak {sp}}(n)=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {H} ):A+A^{\dagger }=0\right\}$,

wobei $A^{\dagger }$ die quaternionisch-konjugiert transponierte Matrix bezeichnet.

Es gilt $Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb {C} )$.

Obwohl auch endliche Mengen kompakt sind, sind mit kompakten symplektischen Gruppen meistens die hier angegebenen Lie-Gruppen gemeint.

