Thom-Raum
# Thom-Raum

Der Thom-Raum oder Thom-Komplex, benannt nach René Thom, ist in der algebraischen Topologie und Differentialtopologie ein einem Vektorbündel zugeordneter topologischer Raum.

## Konstruktion des Thom-Raums

Ein k-dimensionales reelles Vektorbündel $E$ über einem parakompakten Raum $B$ sei durch

    $p\colon E\to B$

gegeben. Dann ist für jeden Punkt $b$ der Basis $B$ die Faser $F_{b}$ des Vektorbündels ein k-dimensionaler reeller Vektorraum. Ein zugehöriges Sphärenbündel $\operatorname {Sph} (E)\to B$ kann durch separate Einpunktkompaktifizierung jeder Faser gebildet werden. Aus dem Bündel $\operatorname {Sph} (E)$ erhält man den Thom-Komplex $T(E)$ indem alle neu hinzugefügten Punkte mit dem Punkt $\infty$ identifiziert werden, dem Basispunkt von $T(E)$.

## Thom-Isomorphismus

Die Bedeutung des Thom-Raums ergibt sich aus dem Satz über den Thom-Isomorphismus aus der Theorie der Faserbündel (hier mittels $\mathbb {Z} _{2}$-Kohomologie formuliert, um Komplikationen aus Orientierbarkeitsfragen zu vermeiden).

Mit $p\colon E\to B$ wird wie im vorigen Abschnitt ein reelles Vektorbündel bezeichnet. Dann gibt es einen Isomorphismus, den Thom-Isomorphismus

    $\Phi \colon {H}^{i}(B;\mathbf {Z} _{2})\to {\tilde {H}}^{i+k}(T(E);\mathbf {Z} _{2})$,

für alle $i\geq 0$, wobei die rechte Seite die reduzierte Kohomologie ist.

Der Isomorphismus lässt sich geometrisch als Integration über die Fasern interpretieren. Im Spezialfall eines trivialen Bündels ist $T(E)=S^{k}B_{+}$ die $k$-fache Einhängung der Basis und der Thom-Isomorphismus folgt aus dem Einhängungs-Isomorphismus ${\tilde {H}}^{i}(B)=H^{i+1}(SB)$. Der Thom-Isomorphismus gilt auch für verallgemeinerte Kohomologietheorien.

Der Satz wurde von René Thom in seiner Dissertation 1952 bewiesen.

## Thom-Klasse

Thom gab auch eine explizite Konstruktion des Thom-Isomorphismus. Dieser bildet das neutrale Element von $H^{*}(B)$ auf eine Klasse $U$ in der $k$-ten Kohomologiegruppe des Thom-Raumes ab, die Thom-Klasse. Damit kann man für eine Kohomologieklasse $b$ in der Kohomologie des Basisraums den Isomorphismus über den Rückzug der Bündel-Projektion und das kohomologische Cup-Produkt berechnen:

    $\Phi (b)=p^{*}(b)\smile U.$

Thom zeigte in seiner Arbeit von 1954 weiter, dass die Thom-Klasse, die Stiefel-Whitney-Klassen und die Steenrod-Operationen miteinander verbunden sind. Weiter zeigte er, dass die Kobordismengruppen als Homotopiegruppen bestimmter Räume $MSO(n)$ berechnet werden können, die selbst als Thom-Räume konstruiert werden können. Sie bilden im Sinne der Homotopietheorie ein Spektrum $MSO$, genannt Thom-Spektrum. Das war ein wichtiger Schritt zur modernen stabilen Homotopietheorie.

Falls Steenrod-Operationen definiert werden können, kann man mit ihnen und dem Thom-Isomorphismus Stiefel-Whitney-Klassen konstruieren. Nach Definition sind die Steenrod-Operationen (mod 2) natürliche Transformationen

    $Sq^{i}\colon H^{m}(-;\mathbf {Z} _{2})\to H^{m+i}(-;\mathbf {Z} _{2})$,

definiert für alle natürlichen Zahlen $m$. Falls $i=m$ ist, stimmt $Sq^i$ mit dem Quadrat des Cup überein. Die $i$-ten Stiefel-Whitney-Klassen $w_{i}(p)$ des Vektorbündels $p\colon E\to B$ sind dann gegeben durch:

    $w_{i}(p)=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(\Phi (1)))=\Phi ^{-1}(Sq^{i}(U)).\,$
