Generalisierter Impuls
# Generalisierter Impuls

Der generalisierte Impuls, auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter, oder konjugierter Impuls, tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem konjugierten Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.

Als Funktion des Ortes $q$ und der Geschwindigkeit ${\dot {q}}$ ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion $L$ nach der Geschwindigkeit:

    $p_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,,\ j=1....n$

Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator ${\hat {p}}$ ersetzt:

    $p_{j}\rightarrow {\hat {p}}_{j}=-\hbar i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$

## Beispiele

### Klassische Bewegung

* Bei Bewegung eines Teilchens der Masse $m$ in einem Potential $V(\mathbf {x} ,t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

          $L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-V(\mathbf {x} ,t)$
    ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
       $\mathbf {p} =m{\dot {\mathbf {x} }}$
* Bei Bewegung eines Teilchens der Masse $m$ in einem Potential $V(r,\varphi ,z,t)$ in Zylinderkoordinaten

          $L={\frac {1}{2}}\,m{\bigl{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2}{\bigr )}-V(r,\varphi ,z,t)$
    ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse:
       $p_{\dot {\varphi }}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=m\,r^{2}{\dot {\varphi }}$
* Bei Bewegung einer Punktladung $q$ mit Masse $m$ im elektromagnetischen Feld ($\phi$ ist das elektrische Potential)

          $L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )$
    hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential $\mathbf {A}$ des Feldes:
       $\mathbf {p} =m\,{\dot {\mathbf {x} }}+q\,\mathbf {A} (t,\mathbf {x} )$

### Relativistische Bewegung

* Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Masse $m_{0}$ in einem Potential $V(\mathbf {x} ,t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

          $L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-V(\mathbf {x} ,t)$
    ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
       $\mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}$
* Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung $q$ mit der Masse $m_{0}$ im elektromagnetischen Feld

          $L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )$
    hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:
       $\mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\,\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)$
