Fakultätsprimzahl
# Fakultätsprimzahl

Eine Fakultätsprimzahl ist eine Primzahl, die um eins größer oder kleiner als eine Fakultät ist, also eine Primzahl der Form

    $n!\;\pm \;1\qquad \quad (n\in \mathbb {N} )$.

## Die ersten Fakultätsprimzahlen

Die ersten 10 Fakultätsprimzahlen sind

    2 (0! + 1 oder 1! + 1), 3 (2! + 1), 5 (3! − 1), 7 (3! + 1), 23 (4! − 1), 719 (6! − 1), 5039 (7! − 1), 39916801 (11! + 1), 479001599 (12! − 1), 87178291199 (14! − 1), … (siehe Folge A088054 in OEIS).

n! − 1 ist eine Primzahl für

    n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21480, 34790, 94550, 103040, 147855, 208003, … (Folge A002982 in OEIS, resultierend in 27 Fakultätsprimzahlen).

n! + 1 ist eine Primzahl für

    n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209, 288465 … (Folge A002981 in OEIS, resultierend in 22 Fakultätsprimzahlen).

Bis jetzt (Stand Januar 2022) sind keine anderen als die aufgeführten 49 Fakultätsprimzahlen bekannt.

## Quellen

* Eric W. Weisstein: Factorial Prime. In: MathWorld (englisch).

| formelbasiert | Carol $((2^n$ − $1)^2$ − 2) | Doppelte Mersenne $(2^{2p−1}$ − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat $(2^{2n}$ + 1) | Kubisch $(x^3$ − $y^3)/(x$ − y) | Kynea $((2^n$ + $1)^2$ − 2) | Leyland $(x^y$ + $y^x)$ | Mersenne $(2^p$ − 1) | Mills $(A^{3n})$ | Pierpont $(2^u⋅3^v$ + 1) | Primorial $(p_n#$ ± 1) | Proth $(k⋅2^n$ + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch $(x^4$ + $y^4)$ | Thabit $(3⋅2^n$ − 1) | Wagstaff $((2^p$ + 1)/3) | Williams $((b-1)⋅b^n$ − 1) | Woodall $(n⋅2^n$ − 1) |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Primzahlfolgen | Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin |
| eigenschaftsbasiert | Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson |
| basis­abhängig | Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl $((10^n$ − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular |
| basierend auf Tupel | Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …) |
| nach Größe | Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen) |
