Hypograph
# Hypograph

In der Mathematik bezeichnet der Hypograph einer reellwertigen Funktion $f$ die Menge aller Punkte, die auf oder unter ihrem Graphen liegen.

## Definition

Sei $X\subset \mathbb {R} ^{n}$. Der Hypograph der Funktion $f\colon X\to \mathbb {R}$ ist definiert durch

    $\operatorname {hypo} \,f:=\left\{(x,\mu )\in X\times \mathbb {R} \,:\,\mu \leq f(x)\right\}\subseteq X\times \mathbb {R} \,.$

Ist der Bildraum der Funktion der $\mathbb {R} ^{n}$ versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung $\preccurlyeq _{K}$, so ist der Hypograph definiert als

    $\operatorname {hypo} \,f:=\left\{(x,\mu )\in X\times \mathbb {R} ^{n}\,:\,\mu \preccurlyeq _{K}f(x)\right\}\subseteq X\times \mathbb {R} ^{n}$.

## Eigenschaften

Sei $X\subset \mathbb {R} ^{n}$. Für Funktionen $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ gilt:

* $f$ ist genau dann konkav, wenn der Hypograph von $f$ eine konvexe Menge bildet.
* $f$ ist genau dann oberhalbstetig, wenn der Hypograph von $f$ eine abgeschlossene Menge bildet.
* Ist $f$ eine affin-lineare Funktion, dann definiert ihr Hypograph einen Halbraum in $X$.
