Wiener-Index
# Wiener-Index

Der Wiener-Index – benannt nach Harry Wiener – ist der älteste topologische Deskriptor, welcher die Struktur eines Moleküls in einer Zahl abbildet.

## Formulierung

$W={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}^{N}d_{ij}$

* W: Wiener-Index
* N: Anzahl der Nicht-Wasserstoffe-Atome in der Struktur
* $d_{ij}:$ Anzahl der Bindungen auf dem kürzesten Weg zwischen den Atomen i und j

Der Faktor $^1/_2$ besagt, dass jeder Weg nur einmal in den Index eingeht.

## Verwendung

Der Wiener-Index wird in den Methoden der Quantitative Struktur-Wirkungs-Beziehung (QSPR) verwendet, um Stoffeigenschaften wie zum Beispiel den Sättigungsdampfdruck mit der Molekülstruktur zu korrelieren. Da der Wiener-Index nicht zwischen verschiedenen Atomen unterscheidet, kann er nur innerhalb einer homologen Reihe sinnvoll verwendet werden.

## Beispielrechnung

Der Wiener-Index für 3-Ethylhexan ist W=72. Er ergibt als Summe der Abstände

    1-2(1), 1-3(2), 1-4(3), 1-5(4), 1-6(5), 1-7(3), 1-8(4),
    2-3(1), 2-4(2), 2-5(3), 2-6(4), 2-7(2), 2-8(3),
    3-4(1), 3-5(2), 3-6(3), 3-7(1), 3-8(2),
    4-5(1), 4-6(2), 4-7(2), 4-8(3),
    5-6(1), 5-7(3), 5-8(4),
    6-7(4), 6-8(5),
    7-8(1)
    → 1+2+3+4+5+3+4 +1+2+3+4+2+3 +1+2+3+1+2 +1+2+2+3 +1+3+4 +4+5 +1 = 72.

## Beispielwerte

| Stoff | Wiener-Index |
| - | - |
| n-Hexan | 35 |
| 2-Methylpentan | 32 |
| 3-Methylpentan | 31 |
| 2,3-Dimethylbutan | 29 |

An diesen vier Beispielen mit identischer Summenformel $(C_6H_{14})$ wird deutlich, dass der Wiener-Index ohne Verzweigung am höchsten ist und mit zunehmender Verzweigung in der Molekülstruktur kleiner wird; bei gleicher Anzahl von Verzweigungen wird er mit zunehmender Molekülsymmetrie kleiner.

## Berechnung der Maximalwerte für W

Der für das jeweils unverzweigte Molekül geltende maximale Wiener-Index lässt sich aus der Gesamtzahl der „Nicht-H“-Atome (n) leicht wie folgt errechnen:

    Es handelt sich immer um eine Summe von Quadratzahlen:
    Ist n gerade, so werden die Quadrate der ungeraden Zahlen zwischen 0 und n summiert.
    Ist n ungerade, so werden die Quadrate der geraden Zahlen zwischen 0 und n summiert.

Beispiele für

    n = 6: $1^2$ + $3^2$ + $5^2$ = 35
    n = 13: $2^2$ + $4^2$ + $6^2$ + $8^2$ + $10^2$ + $12^2$ = 364

Als vereinfachte Berechnungsformel kann man $n\cdot (n-1)\cdot (n+1)/6$ verwenden.

## Tabelle der Maximalwerte für W

bis n = 21:

| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| $(n-1)_{n=ungerade}$ | 1 | | 3 | | 5 | | 7 | | 9 | | 11 | | 13 | | 15 | | 17 | | 19 | |
| $(n-1)^2$ | 1 | | 9 | | 25 | | 49 | | 81 | | 121 | | 169 | | 225 | | 289 | | 361 | |
| Summe= W | 1 | | 10 | | 35 | | 84 | | 165 | | 286 | | 455 | | 680 | | 969 | | 1330 | |
| $(n-1)_{n=gerade}$ | | 2 | | 4 | | 6 | | 8 | | 10 | | 12 | | 14 | | 16 | | 18 | | 20 |
| $(n-1)^2$ | | 4 | | 16 | | 36 | | 64 | | 100 | | 144 | | 196 | | 256 | | 324 | | 400 |
| Summe= W | | 4 | | 20 | | 56 | | 120 | | 220 | | 364 | | 560 | | 816 | | 1140 | | 1540 |
