Symmetrische Algebra
# Symmetrische Algebra

In der Mathematik dienen symmetrische Algebren zur Definition von Polynomen über beliebigen Vektorräumen. Sie spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie-Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen.

## Formale Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$. Weiter sei

    $T^{k}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}$

das $k$-fache Tensorprodukt von $V$ mit den Konventionen $T^{0}(V)=K$ und $T^{1}(V)=V$. Die direkte Summe

    $T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}(V)$

ist die Tensoralgebra von $V$.

Das zweiseitige, homogene Ideal $I(V)\subseteq T(V)$ sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit „vertauschter Reihenfolge“:

    $I(V):=\mathrm {span} \left\{v\otimes w-w\otimes v\;{\Big |}\;v,w\in V\right\}$.

Die symmetrische Algebra ist dann definiert als der Quotientenraum

    $S(V)=T(V)/I(V)$.

Die $k$-te symmetrische Potenz von $V$ ist definiert als das Bild von $T^{k}(V)$ in $S(V)$, sie wird mit $S^{k}(V)$ bezeichnet. Man hat eine Zerlegung

    $S(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }S^{k}(V)$.

Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als $ab$ geschrieben.

Analog kann man die symmetrische Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

## Beispiele

Für $V=K$ ist $S(V)$ isomorph zum Polynomring $K[X]$.

Allgemein kann man die Elemente von $S(V)$ als Polynome in den Elementen einer fest gewählten $K$-Basis von $V$ interpretieren.

Speziell für $V:={\mathfrak {gl}}(n,K)=\operatorname {Mat} (n,K)$, den Vektorraum der $n\times n$-Matrizen über $K$, kann man die Elemente von $S(V)$ als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:

    $S({\mathfrak {gl}}(n,K))\simeq K\left[x_{11},\ldots ,x_{nn}\right]$.

## Polynome über Vektorräumen

Homogene Polynome vom Grad $k$ über einem $\mathbb {K}$-Vektorraum $V$ sind – per Definition – die Elemente aus $S^{k}(V^{*})$, wobei $V^{*}$ den Dualraum bezeichnet. Diese Polynome sind lineare Abbildungen

    $P:\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}\rightarrow \mathbb {K}$

welche unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe $S_{k}$ invariant sind. (Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte $P(x,x,\ldots ,x)$ für alle $x\in V$ bereits eindeutig festgelegt wird.)

Das Produkt

    $S^{k}(V^{*})\otimes S^{l}(V^{*})\rightarrow S^{k+l}(V^{*})$

ist definiert durch

    $(PQ)(v_{1},\ldots ,v_{k+l})={\frac {1}{(k+l)!}}\sum _{\sigma \in S_{k+l}}P(v_{\sigma (1)},\ldots .v_{\sigma (k)})Q(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+l)})$.
