Jacobson-Radikal
# Jacobson-Radikal

In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings $R$ ein Ideal von $R$, das Elemente von $R$ enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat.

## Jacobson-Radikal von R-Moduln

Im Folgenden sei $R$ ein Ring mit Eins und $M$ ein R-Linksmodul.

### Definition

Der Durchschnitt aller maximalen $R$-Untermoduln von $M$ wird als (Jacobson-)Radikal $\mathrm {Rad} _{R}(M)$ (oder kurz $\mathrm {Rad} (M)$) bezeichnet.

Ist $M$ endlich erzeugt, so gilt: $\mathrm {Rad} (M)=\{x\in M|x\ \mathrm {ist\ {\ddot {u}}berfl{\ddot {u}}ssig\ in} \ M\}$. Dabei heißt ein Element $x$ von $M$ überflüssig, wenn für jeden Untermodul $N\subset M$ gilt: Aus $M=N+Rx$ folgt bereits $M=N$.

### Eigenschaften

* Ist $M$ endlich erzeugt und $N\subset M$ ein Untermodul von $M$ mit $M=N+\mathrm {Rad} (M)$, dann ist bereits $M=N$. Diese Eigenschaft wird auch als Lemma von Nakayama bezeichnet.
* Ist $M$ endlich erzeugt und $M\not =0$, dann ist $\mathrm {Rad} (M)\not =M$. (Dies ist der Spezialfall $N=0$ der vorigen Aussage.)
* $\mathrm {Rad} (M)=0$ gilt genau dann, wenn $M$ isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher $R$-Moduln ist.
* $M$ ist genau dann endlich erzeugt und halbeinfach, wenn $M$ artinsch und $\mathrm {Rad} (M)=0$ ist.

## Jacobson-Radikal von Ringen

Im Folgenden sei $R$ ein Ring mit Eins.

### Definition

Das Jacobson-Radikal des Ringes $R$ wird als das Jacobson-Radikal des $R$-Linksmoduls $R$ definiert. Es wird als $J(R)$ notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:

* als Durchschnitt aller maximalen Linksideale / Rechtsideale
* als Durchschnitt aller Annullatoren einfacher Links-$R$-Moduln / Rechts-$R$-Moduln
* $\{x\in R\mid \forall y\in R\colon 1-xy\in R^{\times }\}$
* $\{x\in R\mid \forall y,z\in R\colon 1-zxy\in R^{\times }\}$
* $\{x\in R\mid \forall z\in R\colon 1-zx\ \mathrm {ist\ linksinvertierbar} \}$

### Eigenschaften

* Der Ring $R$ ist genau dann halbeinfach, wenn er linksartinsch und $J(R)=0$ ist.
* Für jeden linksartinschen Ring $R$ ist der Ring $R/J(R)$ halbeinfach.
* Ist $R$ linksartinsch, dann gilt für jeden $R$-Linksmodul $M$: $J(R)M=\mathrm {Rad} (M)$.
* $J(R)$ ist das kleinste Ideal $I$ von $R$ mit der Eigenschaft, dass $R/I$ halbeinfach ist.
* Ist $N$ ein Nillinksideal von $R$, dann gilt: $N\subseteq J(R)$.
* Ist $R$ linksartinsch, dann ist $J(R)$ ein nilpotentes Ideal.
* Ist $R$ linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem Primradikal.
* Mit dem Zornschen Lemma folgt für jeden Ring $R\neq \{0\}$ die Existenz maximaler Ideale, für $R\neq \{0\}$ gilt also $J(R)\neq R$.

### Beispiele

* Das Jacobson-Radikal eines Schiefkörpers ist $\{0\}$; ebenso das Jacobson-Radikal von $\mathbb {Z}$.
* Das Jacobson-Radikal von $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$ ist $6\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$.
* Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen $n\times n$-Dreiecksmatrizen über einem Körper $K$ enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden.
* Das Jacobson-Radikal jedes lokalen Rings ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten.
* Das Jacobson-Radikal einer kommutativen Banachalgebra ist genau der Kern der Gelfand-Transformation.
