Symmetrieadaptierte Linearkombination
# Symmetrieadaptierte Linearkombination

Symmetrieadaptierte Linearkombination (SALK) aus Atomorbitalen (AOs) dient zur Konstruktion von Molekülorbitalen (MOs) nach der LCAO-Näherung (linear combination of atomic orbitals).

Um aus zwei AOs zwei MOs zu konstruieren, sind folgende Sätze nützlich:

* Ist das Überlappungsintegral der AOs gleich null, dann sind sie ungeeignet
* Je mehr sich die AOs energetisch unterscheiden, desto kleiner ist die Wechselwirkung
* Alle möglichen MOs müssen Basen für irreduzible Darstellungen der Punktgruppe des Moleküls bilden.

Die MOs eines Moleküls tauchen als irreduzible Darstellungen in der Charaktertafel des Moleküls auf.

## Beispiel

Kombination zweier 1s-Orbitale

Es gibt hier zwei Kombinationsmöglichkeiten: + - (ungerade) und + + (gerade)

Ein solches Molekül gehört zur Punktgruppe $D_{\infty h}$, dessen Charaktertafel so aussieht:

| $D_{\infty h}$ | $E$ | $2C_{\infty }$ | $\infty \sigma _{v}$ | $i$ | $2S_{\infty }$ | $\infty C_{2}$ |
| - | - | - | - | - | - | - |
| $\Gamma _{1s}$ | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 |

Die reduziblen Darstellungen sind hier 2,2,2,0,0,0. Durch Ausreduzieren erhält man die irreduziblen Darstellungen: $\Gamma _{1s}=\sigma _{g}^{+}+\sigma _{u}^{+}$. Die Bezeichnungen kommen daher, dass es sich hier um $\sigma$-Bindungen handelt, weil die Elektronendichte besonders stark zwischen den Atomkernen lokalisiert ist. g steht für gerade und u für ungerade, siehe oben.

In der ersten Spalte der Charaktertafel stehen immer nur Einsen. Um durch Addition auf die reduziblen Darstellungen oben zu kommen, 1+1=2 und 1+(-1)=0, müssen die irreduziblen Darstellungen $\Gamma _{+}$ und $\Gamma _{-}$ folgendermaßen aussehen:

| $D_{\infty h}$ | $E$ | $2C_{\infty }$ | $\infty \sigma _{v}$ | $i$ | $2S_{\infty }$ | $\infty C_{2}$ |
| - | - | - | - | - | - | - |
| $\Gamma _{+}$ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| $\Gamma _{-}$ | 1 | 1 | 1 | $-1$ | $-1$ | $-1$ |

Die irreduziblen Darstellungen kann man auch so erklären:

* +1: es ändert sich nichts
* -1: die Wellenfunktion wird in ihr inverses verwandelt

im Beispiel:

* Bei der geraden Funktion $\sigma _{g}^{+}$ ändert keine der Operationen etwas (+ + → + +)
* Bei der ungeraden Funktion $\sigma _{u}^{+}$ ändern Identität, Drehung um unendlichzählige Achse oder Spiegelung um eine der unendlich vielen Spiegelebenen nichts. Inversion, Drehspiegelung oder Drehung um eine der zweizähligen Achsen invertieren die Funktion (+ - → - +)

→ Als Basis für eine LCAO-Näherung mit 1s-Orbitalen sollte man $\Gamma _{+}$ und $\Gamma _{-}$ verwenden.

