Spurpunkt
# Spurpunkt

Spurpunkt ist ein Begriff der analytischen und der darstellenden Geometrie, der sich auf Schnittpunkte von Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ mit den Koordinatenebenen bzw. -achsen bezieht.

## Spurpunkte einer Geraden

Als Spurpunkte einer Geraden im dreidimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ werden die Schnittpunkte der Gerade mit den Koordinatenebenen bezeichnet. Der Punkt, an dem die Gerade die x-y-Grundebene mit der Gleichung $z=0$ durchdringt, heißt $S_{xy}$, analog sind die Spurpunkte $S_{xz}$ und $S_{yz}$ definiert. Wenn beispielsweise eine Geradengleichung in Parameterform wie folgt gegeben ist

    ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}$ mit $\lambda \in \mathbb {R}$,

dann ergibt sich durch Nullsetzen der $z$-Komponente: $\lambda =-2$. Der Ortsvektor des Spurpunktes wird durch Einsetzen von $\lambda$ in die Parameterdarstellung bestimmt: ${\vec {s}}_{xy}={\begin{pmatrix}-5\\-4\\0\end{pmatrix}}$. Der Spurpunkt besitzt somit die Koordinaten $S_{xy}=P(-5\mid -4\mid 0)$.

Voraussetzung für die Existenz eines Spurpunkt mit einer Koordinatenebene ist, dass die Gerade nicht parallel zu dieser Ebene verlaufen darf.

## Spurpunkte einer Ebene

Die Spurpunkte einer Ebene im dreidimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Ihre Bezeichnung erfolgt nach der Koordinatenachse, die jeweils durchschnitten wird. Die Berechnung kann aus Achsenabschnittsform oder der Koordinatenform einer Ebenengleichung erfolgen.

Ist beispielsweise die Ebene wie folgt in Koordinatenform gegeben: $6x+4y-3z=12$, so ergibt sich durch Nullsetzen der $y$- und $z$-Komponente: $x=2$. Der Spurpunkt hat somit die Koordinaten $S_{x}=P(2\mid 0\mid 0)$. Entsprechend können die beiden weiteren Spurpunkte bestimmt werden.

Voraussetzung für die Existenz eines Spurpunktes mit einer der Koordinatenachsen ist, dass sie nicht parallel zu einer der Koordinatenebenen verlaufen darf.

