Invariantes Polynom
# Invariantes Polynom

In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom $P$ auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe $G$ auf dem Vektorraum $V$ invariant ist, also

    $P(gx)=P(x)$

für alle $g\in G,x\in V$ erfüllt.

## Invariante Polynome in der Linearen Algebra

Sei $\mathbb {K}$ ein Körper und $V=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )$ der Vektorraum aller $n\times n$-Matrizen über $\mathbb {K}$. Die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )$ wirkt auf $V$ durch Konjugation:

    $gx:=gxg^{-1}$ für $g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )$.

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen $P:\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K}$ mit $P(gxg^{-1})=P(x)$ für alle $g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )$.

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable $t$) die Entwicklung

    $\det(tA+I)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(A)t^{k}$

betrachten und erhält invariante Polynome $c_{0},\ldots ,c_{n}$. ($c_{1}$ ist die Spur und $c_{n}$ die Determinante. Falls $\mathbb {K}$ algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein $c_{k}$ das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von $A$.)

## Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe und ${\mathfrak {g}}$ ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf ${\mathfrak {g}}$ ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von ${\mathfrak {g}}$, siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe $G$ wirkt auf sich selbst durch Konjugation: $c_{g}(h):=ghg^{-1}$ für alle $h\in G$. Das Differential von $c_{g}$ ist eine lineare Abbildung

    $\operatorname {Ad} (g):=D(c_{g})_{e}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$,

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe $G$ auf dem Vektorraum ${\mathfrak {g}}$.

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf ${\mathfrak {g}}$, welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

    $P(\operatorname {Ad} (g)X_{1},\ldots ,\operatorname {Ad} (g)X_{k})=P(X_{1},\ldots ,X_{k})$ für alle $g\in G,X_{1},\ldots ,X_{k}\in {\mathfrak {g}}$

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit $I^{*}({\mathfrak {g}})$ bezeichnet.

### Beispiel G=GL(n,ℝ)

In diesem Fall ist ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )$ und $Ad(g)(A)=gAg^{-1}$ für $g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} ),A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )$. Für $k\in \mathbb {N}$ sei $P_{\frac {k}{2}}$ das homogene Polynom vom Grad $k$, dessen Wert auf $(A,\ldots ,A)$ man als Koeffizienten vom Grad $n-k$ im Polynom

    $\det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\sum _{k}P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}$

erhält, für alle $A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )$. (Die Werte für die $(A,\ldots ,A)$ legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom $P_{\frac {k}{2}}$ heißt das ${\frac {k}{2}}$-te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $P_{\frac {k}{2}}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} ))$ erzeugt.

### Beispiel G=O(n)

Für $A\in {\mathfrak {o}}(n)$ gilt $A=-A^{T}$, woraus zunächst $\det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\det \left(\lambda \mathbb {I} +{\frac {1}{2\pi }}A\right)$ und damit dann $P_{\frac {k}{2}}=0$ für alle ungeraden $k$ folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {o}}(n))$ erzeugt.

### Beispiel G=SO(n)

Falls $n=2m$ gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für $A=(a_{ij})$ mit $a_{ij}=-a_{ji}$ definiert ist durch

    $Pf(A,\ldots ,A)={\frac {1}{2^{2m}\pi ^{m}m!}}\sum _{\sigma \in S_{2m}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\ldots a_{\sigma (2m-1)\sigma (2m)}$.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen $P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {so}}(n))$ und – falls $n$ gerade ist – der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante $Pf\in I^{\frac {n}{2}}({\mathfrak {so}}(n))$ erzeugt.

### Beispiel G=GL(n,ℂ)

Für $k\in \mathbb {N}$ sei $C_{\frac {k}{2}}$ das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad $k$, dessen Wert auf $(A,\ldots ,A)$ man als Koeffizienten vom Grad $n-k$ im Polynom

    $\det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)=\sum _{k}C_{k}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}$

erhält, für alle $A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )$. Das Polynom $C_{k}$ heißt das $k$-te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung $i^{k}C_{k}(A,\ldots ,A)=P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)$ zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den $C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ))$ erzeugt.

### Beispiel G=U(n)

Für $A\in {\mathfrak {u}}(n)$ ist $A=-A^{H}$ und damit $\det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)={\overline {\det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)}},$ deshalb sind die Chern-Polynome auf ${\mathfrak {u}}(n)$ reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den $C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {u}}(n))$ erzeugt.

