Nachgiebigkeit (Werkstoffkunde)
# Nachgiebigkeit (Werkstoffkunde)

Die Nachgiebigkeit im Sinne der technischen Mechanik bzw. der Elastizitätstheorie beschreibt die Eigenschaft eines Körpers sich aufgrund des Einwirkens einer Kraft oder eines Moments elastisch zu verformen. Sie kann allgemein als Reziproke der Steifigkeit ermittelt werden.

## Definition

Die Definition der Nachgiebigkeit ergibt sich – entsprechend der Belastungsart – als Quotient aus dem jeweiligen Deformationsmaß (Längenänderung, Dehnung, Schubverzerrung, Durchbiegung, Krümmung, Verdrehwinkel) und dem jeweiligen Lastmaß (Normalkraft, Querkraft, Biegemoment, Torsionsmoment).

So berechnet sich die Nachgiebigkeit einer zunächst nicht verspannten, vertikal hängenden Schraubenzugfeder der Länge $l_{0}$ unter Einwirkung der Gewichtskraft $F_{\mathrm {G} }$ eines angehängten Gewichts über

    $\delta _{l}={\frac {l-l_{0}}{F_{\mathrm {G} }}}={\frac {\Delta l}{F_{\mathrm {G} }}}$

mit $l$…Länge bei Belastung und $\Delta l$…Längenänderung. Die „Längenänderungsnachgiebigkeit“ der Feder besitzt z. B. die physikalische Einheit $\mathrm {\tfrac {mm}{N}}$ (Millimeter je Newton) und stellt das Reziproke der Federsteifigkeit bzw. der Federkonstante dar.

Verfügt das Federelement über eine einheitliche, orthogonal belastete Querschnittsfläche $A$ (z. B. Ausführung als hängendes Gummiband) und wird es in seiner Länge nur geringfügig gedehnt, so dass eine Querschnittsänderung infolge Querkontraktion vernachlässigt werden kann, so folgt unter Anwendung des Hookschen Gesetzes für die „Längenänderungsnachgiebigkeit“

    $\delta _{l}={\frac {\Delta l}{F_{\mathrm {G} }}}={\frac {\varepsilon \cdot l_{0}}{F_{\mathrm {G} }}}={\frac {\sigma \cdot l_{0}}{E\cdot F_{\mathrm {G} }}}={\frac {F_{\mathrm {G} }\cdot l_{0}}{E\cdot A\cdot F_{\mathrm {G} }}}={\frac {l_{0}}{E\cdot A}}$

mit $\varepsilon$…Dehnung, $\sigma$…Spannung und $E$…Elastizitätsmodul.

Für die „Dehnnachgiebigkeit“ eines Körpers mit einheitlicher Querschnittsfläche $A$ unter uniaxialer Normalkraftbelastung $F_{\mathrm {N} }$ gilt:

    $\delta _{\varepsilon }={\frac {\varepsilon }{F_{\mathrm {N} }}}={\frac {1}{E\cdot A}}=(E\cdot A)^{-1}$.

Hier ist die „Dehnnachgiebigkeit“ somit der Kehrwert der Dehnsteifigkeit $E\cdot A$. Als physikalische Einheit ergibt sich $\mathrm {\tfrac {1}{N}}$.

## Nachgiebigkeit einer Schraube

Die Nachgiebigkeit von Schrauben ist ein wichtiges Element zur Berechnung der Montagevorspannkraft $F_{VM}$. Hohe Nachgiebigkeiten sind erforderlich, wenn Schrauben durch Betriebskräfte dynamisch belastet werden. Dadurch werden diese Schrauben weiter gedehnt (sie geben nach), anstatt zu brechen.

Die Schraubennachgiebigkeit setzt sich aus der Nachgiebigkeit der einzelnen Teilelemente zusammen:

    $\delta _{\mathrm {S} }=\delta _{\mathrm {K} }+\delta _{\mathrm {G} }+\delta _{\mathrm {M} }+\sum _{i=1}^{n}\delta _{\mathrm {i} }$
       mit
       $\delta _{\mathrm {K} }$ … Nachgiebigkeit des Schraubenkopfes
       $\delta _{\mathrm {G} }$ … Nachgiebigkeit des eingeschraubten Gewindeteils
       $\delta _{\mathrm {M} }$ … Nachgiebigkeit der Mutter

### Nachgiebigkeit des Schraubenkopfes $δ_K$

    $\delta _{\mathrm {K} }={\frac {l_{\mathrm {K} }}{E_{\mathrm {S} }\cdot A_{\mathrm {N} }}}$
       mit
       $l_{\mathrm {K} }$…Schraubenkopflänge; $l_{\mathrm {K} }=0{,}5\cdot d$ für Sechskantschrauben (Bsp.: M6 → d=6) bzw. $l_{\mathrm {K} }=0{,}4\cdot d$ für Innensechskantschrauben
       $E_{\mathrm {S} }$…Elastizitätsmodul des Schraubenwerkstoffes
       $A_{\mathrm {N} }$…Nennquerschnitt der Schraube

### Nachgiebigkeit des eingeschraubten Gewindeteils $δ_G$

    $\delta _{\mathrm {G} }={\frac {0{,}5\cdot d}{E_{\mathrm {S} }\cdot A_{\mathrm {3} }}}$
       mit
       $A_{\mathrm {3} }$ … Kernquerschnitt des Schraubengewindes

### Nachgiebigkeit der Mutter $δ_M$

    $\delta _{\mathrm {M} }={\frac {l_{\mathrm {M} }}{E_{\mathrm {S} }\cdot A_{\mathrm {N} }}}$
       mit $l_{\mathrm {M} }=0{,}4\cdot d$, $E_{\mathrm {M} }=E_{\mathrm {S} }$ für Durchsteckverbindung (Bsp.: M6 → d=6) bzw. $l_{\mathrm {M} }=0{,}33\cdot d$, $E_{\mathrm {M} }=E_{\mathrm {S} }$ für Einschraubverbindung

### Nachgiebigkeit der zylindrischen Teilelemente $δ_i$

Hierzu zählen Abschnitte wie: Nicht eingeschraubtes Gewinde, Taillen unterschiedlicher Dicke, Schaft normaler Dicke.

    $\delta _{\mathrm {i} }={\frac {l_{\mathrm {i} }}{E_{\mathrm {S} }\cdot A_{\mathrm {i} }}}$
    $\sum _{i=1}^{n}\delta _{\mathrm {i} }$

### Querschnittsflächen A

    $A_{\mathrm {N} }={\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}$ … Nennquerschnitt der Schraube
    $A_{\mathrm {3} }={\frac {\pi \cdot d_{3}^{2}}{4}}$ … Kernquerschnitt der Schraube
    $A_{\mathrm {i} }={\frac {\pi \cdot d_{i}^{2}}{4}}$ … Querschnittsfläche des zylindrischen Abschnitts i

## Nachgiebigkeit verschraubter Platten

Auch bei der Nachgiebigkeit der verschraubten Platten muss der Unterschied von Abschnitten mit verschiedenen Elastizitätsmodulen beachtet werden. Diese werden einzeln berechnet und dann addiert. In den meisten Fällen liegt jedoch ein einziger Werkstoff vor. Dann gilt die Formel:

    $\delta _{\mathrm {P} }={\frac {l_{\mathrm {K} }}{E_{\mathrm {P} }\cdot A_{\mathrm {Ersatz} }}}$
       mit $l_{\mathrm {K} }$ … Klemmlänge bzw. Dicke der verspannten Teile

### Ersatzquerschnitt

Es sei:

    $D_{\mathrm {A} }$ … Außendurchmesser der verspannten Hülsen / Platten
    $d_{\mathrm {w} }$ … Außendurchmesser der ebenen Schraubenkopf-Auflagefläche
    $d_{\mathrm {h} }$ … (Innen-)Durchmesser des Durchgangsloches

Fall 1: $D_{\mathrm {A} }<d_{\mathrm {w} }$

    $A_{\text{Ersatz}}={\frac {\pi }{4}}(D_{\mathrm {A} }^{2}-d_{\mathrm {h} }^{2})$,

Fall 2: $d_{\mathrm {w} }\leq D_{\mathrm {A} }\leq d_{\mathrm {w} }+l_{\mathrm {k} }$

    $A_{\text{Ersatz}}={\frac {\pi }{4}}(d_{\mathrm {w} }^{2}-d_{\mathrm {h} }^{2})+{\frac {\pi }{8}}d_{w}(D_{\mathrm {A} }-d_{\mathrm {w} })\left[(x+1)^{2}-1\right]$,
    mit $x={\sqrt[{3}]{\frac {l_{\mathrm {k} }\cdot d_{\mathrm {w} }}{D_{\mathrm {A} }^{2}}}}$ und $d_{w}<D_{A}<{\text{bzw.}}=1{,}5d_{w}\,,\,l_{k_{\text{max}}}=8d$.

Fall 3: $D_{\mathrm {A} }>d_{\mathrm {w} }+l_{\mathrm {k} }$

    $A_{\text{Ersatz}}={\frac {\pi }{4}}(d_{\mathrm {w} }^{2}-d_{\mathrm {h} }^{2})+{\frac {\pi }{8}}d_{w}\cdot l_{k}\left[(x+1)^{2}-1\right]$,
    mit $x={\sqrt[{3}]{\frac {l_{k}\cdot d_{w}}{(l_{k}+d_{w})^{2}}}}$.
