Ideal (Verbandstheorie)
# Ideal (Verbandstheorie)

In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Verbandes $(V,\vee ,\wedge )$ eine Teilmenge $I,$ die bezüglich beider Verbandsoperationen und bezüglich $\wedge$ sogar mit Elementen aus dem gesamten Verband abgeschlossen ist. Die Bezeichnung ist angelehnt an den Begriff des Ideals in der Ringtheorie.

## Definition für Verbände

Sei $V$ ein Verband. Ein Ideal $I$ von $V$ ist eine nicht leere Teilmenge von $V$ für die gilt:

* $I$ ist ein Unterverband von $V$ und
* für alle $a\in I$ und $b\in V$ ist $a\wedge b\in I.$

## Allgemeine Definition

Eine Halbordnung $(P,\leq )$ heißt bedingter Oberhalbverband (englisch conditional upper semi-lattice, kurz: Cusl), falls jedes beschränkte Paar ein Supremum besitzt, also falls für alle $a,b\in P$ gilt: Existiert $u\in P$ mit $a,b\leq u$, so existiert eine kleinste obere Schranke $a\vee b=\sup\{a,b\}\in P$.

Sei $(P,\leq )$ ein Cusl. Eine nicht-leere Teilmenge $I\subseteq P$ heiße ein Ideal von $P$, falls gelten:

* $I$ ist nach unten abgeschlossen, d. h., für $a\in P$, $b\in I$ und $a\leq b$ gilt $a\in I$.
* Sind Paarmengen $\{a,b\}\subseteq I$ in $P$ beschränkt, d. h., es gibt ein $u\in P$ mit $a,b\leq u$, so ist $a\vee b\in I$.

## σ-Ideale

Ein Cusl heißt σ-Cusl, falls für alle abzählbaren Teilmengen $A=\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq P$ von $P$ gilt: Ist $A$ nach oben beschränkt, so gibt es ein Supremum $supA=⋁_{n∈N}a_n∈P{\textstyle$ \sup A=\bigvee _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\in P}.

Ein Ideal $I\subseteq P$ eines σ-Cusl $P$ heißt σ-Ideal, falls alle in $P$ nach oben beschränkten, abzählbaren Teilmengen von $I$ ihr Supremum in $I$ haben. Das heißt, ist $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq I$ und gibt es ein $u\in P$, sodass $a_{n}\leq u$ für alle $n\in \mathbb {N}$, so ist $⋁_{n∈N}a_n∈I{\textstyle$ \bigvee _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\in I}.

## Eigenschaften

Offenbar ist jeder Verband ein Cusl; in einem Verband definiert man $a\leq b$ als $a\wedge b=a$.

Die allgemeine Definition schließt die für Verbände mit ein.

