Superperfekte Zahl
# Superperfekte Zahl

Eine natürliche Zahl n wird als superperfekte Zahl bezeichnet, wenn die Summe der Teiler der Summe ihrer Teiler doppelt so groß ist wie die ursprüngliche Zahl n. Verwendet man $\sigma \,$ als Notation für die Teilersummenfunktion, so kann man die Definition wie folgt aufschreiben:

    n ist eine superperfekte Zahl genau dann, wenn $\sigma (\sigma (n))=2n.\,$

Die bekannteren vollkommenen Zahlen erfüllen dagegen die Gleichung $\sigma (n)=2n.\,$ Die Frage, ob eine Zahl superperfekt ist, stellt sich bei der Untersuchung der iterierten Teilersummenfunktion (siehe auch Inhaltskette; hier wird jedoch die Abbildung $n\mapsto \sigma (n)-n$ iteriert).

## Beispiele und Eigenschaften

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Summe dieser Zahlen ist 12. Die Teiler von 12 wiederum sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12, deren Summe 28 ist. Wegen 28 ≠ 2·6 ist 6 keine superperfekte Zahl. Weitere Rechenbeispiele sind:

| Zahl $n$ | $\sigma (n)$ | $\sigma (\sigma (n))$ | $2n$ | Superperfekt? |
| - | - | - | - | - |
| $2$ | $\sigma (2)=1+2=3$ | $\sigma (3)=1+3=4$ | $4$ | Ja |
| $3$ | $\sigma (3)=1+3=4$ | $\sigma (4)=1+2+4=7$ | $6$ | Nein |
| $6$ | $\sigma (6)=1+2+3+6=12$ | $\sigma (12)=1+2+3+4+6+12=28$ | $12$ | Nein |
| $8$ | $\sigma (8)=1+2+4+8=15$ | $\sigma (15)=1+3+5+15=24$ | $16$ | Nein |
| $10$ | $\sigma (10)=1+2+5+10=18$ | $\sigma (18)=1+2+3+6+9+18=39$ | $20$ | Nein |
| $16$ | $\sigma (16)=1+2+4+8+16=31$ | $\sigma (31)=1+31=32$ | $32$ | Ja |

Die ersten superperfekten Zahlen sind 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, … (Folge A019279 in OEIS).

Jede gerade superperfekte Zahl hat die Form $2^{p-1}$, wobei $2^{p}-1$ eine Mersenne-Primzahl ist (Beispiel: 16 ist superperfekt und 31 eine Mersenne-Primzahl). Umgekehrt liefert jede Mersenne-Primzahl eine gerade superperfekte Zahl. Ob es ungerade superperfekte Zahlen gibt, ist nicht bekannt.

## Verallgemeinerung

Superperfekte Zahlen sind – genau wie die vollkommenen Zahlen – Beispiele für Zahlen der Oberklasse von (m, k)-superperfekten Zahlen, welche wie folgt definiert sind:

    n ist eine (m, k)-superperfekte Zahl genau dann, wenn $\sigma ^{m}(n)=k\cdot n$ gilt.

Vollkommene Zahlen sind somit (1,2)-superperfekt und superperfekte Zahlen (2,2)-superperfekt. Die Mathematiker G. L. Cohen und H. J. J. te Riele halten es für möglich, dass jede Zahl (m, k)-superperfekt ist für geeignete m und k.

Es folgen ein paar Beispiele für verallgemeinerte $(m,k)$-superperfekte Zahlen:

Die Zahl 21 ist eine $(2,3)$-superperfekte Zahl, weil gilt:

    $\sigma (21)=1+3+7+21=32$
    $\sigma ^{m}(21)=\sigma ^{2}(21)=\sigma (\sigma (21))=\sigma (32)=1+2+4+8+16+32=63$
    Es ist aber auch $k\cdot 21=3\cdot 21=63$.

Die Zahl 14 ist eine $(3,12)$-superperfekte Zahl, weil gilt:

    $\sigma (14)=1+2+7+14=24$
    $\sigma ^{2}(14)=\sigma (\sigma (14))=\sigma (24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60$
    $\sigma ^{m}(14)=\sigma ^{3}(14)=\sigma (\sigma (\sigma (14)))=\sigma (60)=1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30+60=168$
    Es ist aber auch $k\cdot 14=12\cdot 14=168$.

Die Zahl 18 ist eine $(4,20)$-superperfekte Zahl, weil gilt:

    $\sigma (18)=1+2+3+6+9+18=39$
    $\sigma ^{2}(18)=\sigma (\sigma (18))=\sigma (39)=1+3+13+39=56$
    $\sigma ^{3}(18)=\sigma (\sigma (\sigma (18)))=\sigma (56)=1+2+4+7+8+14+28+56=120$
    $\sigma ^{m}(18)=\sigma ^{4}(18)=\sigma (\sigma (\sigma (\sigma (18))))=\sigma (120)=1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120=360$
    Es ist aber auch $k\cdot 18=20\cdot 18=360$.

Es folgen weitere Beispiele von (m, k)-superperfekten Zahlen:

| m | k | (m,k)-superperfekte Zahlen | OEIS-Folge |
| - | - | - | - |
| 2 | 2 | 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, 1152921504606846976, 309485009821345068724781056, 81129638414606681695789005144064, 85070591730234615865843651857942052864 | Folge A019279 in OEIS |
| 2 | 3 | 8, 21, 512 | Folge A019281 in OEIS |
| 2 | 4 | 15, 1023, 29127, 355744082763 | Folge A019282 in OEIS |
| 2 | 6 | 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024, 22548578304 | Folge A019283 in OEIS |
| 2 | 7 | 24, 1536, 47360, 343976 | Folge A019284 in OEIS |
| 2 | 8 | 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072, 7635468288, 16106127360 | Folge A019285 in OEIS |
| 2 | 9 | 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936, 5099962368 | Folge A019286 in OEIS |
| 2 | 10 | 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296, 14763499520, 38385098752 | Folge A019287 in OEIS |
| 2 | 11 | 4404480, 57669920, 238608384 | Folge A019288 in OEIS |
| 2 | 12 | 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120, 16785793024, 22648550400, 36051025920, 51001180160, 144204103680 | Folge A019289 in OEIS |
| 3 | k | 1, 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, 6882, 7616, 9114, 14592, 18288, 22848, 32704, 40880, 52416, 53760, 54864, 56448, 60960, 65472, 94860, 120960, 122640, 169164, 185535, 186368, 194432 | Folge A019292 in OEIS |
| 4 | k | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, 336, 455, 512, 896, 960, 992, 1023, 1280, 1536, 1848, 2040, 2688, 4092, 5920, 7808, 7936, 10416, 16352, 20384, 21824, 23424, 24564, 29127, 33792, 41440 | Folge A019293 in OEIS |
