Selbergsche Zetafunktion
# Selbergsche Zetafunktion

Die Selbergsche Zetafunktion ist eine Funktion aus dem mathematischen Gebiet der harmonischen Analysis. Sie wird verwendet, um den Zusammenhang zwischen den Eigenwerten des Laplace-Operators und dem Längenspektrum einer hyperbolischen Fläche zu untersuchen.

## Definition

Es sei $S=\Gamma \backslash H^{2}$ eine hyperbolische Fläche oder Orbifaltigkeit. Für eine einfache geschlossene Geodäte $\gamma \subset S$ bezeichne $l(\gamma )$ ihre Länge. Die Selbergsche Zetafunktion ${\mathcal {Z}}_{\Gamma }\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}$ wird durch meromorphe Fortsetzung der für $\operatorname {Re} (s)\gg 0$ durch

    ${\mathcal {Z}}_{\Gamma }(s)=\prod _{\gamma }\prod _{k=0}^{\infty }(1-e^{-l(\gamma )(s+k)})$

gegebenen Funktion definiert.

## Nullstellen

Die Nullstellen der Selbergschen Zetafunktion sind diejenigen Zahlen $s_{j}$, die die Gleichung

    $s_{j}(1-s_{j})=\lambda _{j}$

für einen der Eigenwerte

    $0=\lambda _{0}<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots$

des Laplace-Operators auf $S$ erfüllen.

## Mayerscher Transfer-Operator

Für $\Gamma =SL(2,\mathbb {Z} )$ hat man die Identität

    ${\mathcal {Z}}_{\Gamma }(s)=\det(1-{\mathcal {L}}_{s}^{2})$.

Dabei bezeichnet ${\mathcal {L}}_{s}\colon V\to V$ den Mayerschen Transferoperator auf dem Raum $V$ der Funktionen, die auf der offenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt $1$ und Radius ${\tfrac {3}{2}}$ holomorph und auf ihrem Rand stetig sind. Er ist definiert durch

    ${\mathcal {L}}_{s}\phi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2s}}}\,\phi \left({\frac {1}{z+n}}\right)$.
