Matrice definita positiva
# Matrice definita positiva

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice definita positiva è una matrice quadrata $A$ tale che, detto $\mathbf {x} ^{*}$ il trasposto complesso coniugato di $\mathbf {x}$, si verifica che la parte reale di $\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x}$ è positiva per ogni vettore complesso $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$.

## Definizione

Nonostante la definizione si utilizzi solitamente nel caso di matrici hermitiane e simmetriche reali, in generale una matrice $A$ quadrata (di dimensioni $n\times n$) si dice definita positiva quando:

    $\mathrm {Re} (\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} )>0,\qquad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}-\{\mathbf {0} \},$

ossia quando il prodotto $\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x}$, che è sempre un numero complesso, ha parte reale strettamente positiva per ogni vettore non nullo $\mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}$ (indicando con $\mathbf {x} ^{*}$ il vettore complesso coniugato trasposto del vettore $\mathbf {x}$).

In modo equivalente, una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se la propria parte Hermitiana:

    $A_{H}={\frac {(A+A^{*})}{2}}$

è definita positiva, ossia $\mathrm {Re} (\mathbf {x} ^{*}A_{H}\mathbf {x} )>0,$ per $\mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}-\{\mathbf {0} \}$.

Un'altra definizione è la seguente: una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se tutti gli autovalori della propria parte Hermitiana $A_{H}$ sono strettamente positivi.

## Matrici hermitiane

Una matrice simmetrica reale è anche hermitiana, ed una matrice hermitiana $M$ di dimensione $n\times n$ è una matrice definita positiva se ha una delle seguenti proprietà equivalenti (e quindi le possiede tutte):

* Per tutti i vettori non nulli $\mathbf {z}$ in $\mathbb {C} ^{n}$ si ha $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0$, dove $\mathbf {z}$ è visto come un vettore colonna con $n$ componenti complesse e $\mathbf {z} ^{*}$ come la complessa coniugata della sua trasposta. Se $M$ è hermitiana, $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ è sempre reale, ed ha quindi senso chiedere che sia positivo.
* Per tutti i vettori non nulli $\mathbf {x}$ in $\mathbb {R} ^{n}$ si ha $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0$, dove $\mathbf {x} ^{T}$ denota la trasposta del vettore colonna $\mathbf {x}$.
* Per tutti i vettori non nulli $\mathbf {u}$ in $\mathbb {Z} ^{n}$ (tutte le componenti sono intere), si ha $\mathbf {u} ^{T}M\mathbf {u} >0$.
* Tutti gli autovalori di $M$ sono numeri reali positivi.
* La forma hermitiana $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {y}$ definisce un prodotto hermitiano definito positivo su $\mathbb {C} ^{n}$.
* Criterio di Sylvester: tutte le sottomatrici quadrate superiori sinistre hanno determinante positivo (i minori principali secondo l'ordine da $1$ a $n$). Altrimenti detto, tutti i determinanti delle matrici Nord-Ovest sono positivi non nulli.

## Proprietà

Le matrici definite positive hanno un comportamento simile ai numeri reali positivi.

* Ogni matrice simmetrica definita positiva ha tutti gli autovalori strettamente positivi.
* Ogni matrice simmetrica semidefinita positiva ha tutti gli autovalori non negativi.
* Ogni matrice simmetrica definita negativa ha tutti gli autovalori strettamente negativi.
* Ogni matrice simmetrica semidefinita negativa ha tutti gli autovalori non positivi.
* Ogni matrice definita positiva è invertibile e la sua inversa è anch'essa definita positiva.
* Se $M$ è definita positiva e $r>0$ è un numero reale, allora $rM$ è definita positiva.
* Se $M$ e $N$ sono definite positive, allora $M+N$ è anch'essa definita positiva; se inoltre $MN=NM$, cioè le matrici commutano, allora $MN$ è anch'essa definita positiva.
* Ogni matrice definita positiva $M$ ha una radice quadrata, cioè una matrice $N$ tale che $NN=M$. Una matrice definita positiva può avere un gran numero di radici quadrate, ma una e una sola radice quadrata definita positiva.
* Se la matrice che stiamo considerando è simmetrica reale essa è definita positiva se la sua segnatura è $(n,0)$ dove $n$ è il rango della matrice.
* Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi minori principali di guida sono tutti positivi.

## Matrici definite negative, semidefinite e indefinite

La matrice hermitiana $M$ si dice definita negativa se:

    $\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} <0,$

per tutti gli elementi non nulli $\mathbf {x}$ in $\mathbb {R} ^{n}$ (o, equivalentemente, tutti elementi non nulli $\mathbf {x}$ in $\mathbb {C} ^{n}$).

La matrice $M$ è chiamata semidefinita positiva se:

    $\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \geq 0.$

Per tutti gli $\mathbf {x}$ in $\mathbb {R} ^{n}$ (o $\mathbb {C} ^{n}$) si dice invece semidefinita negativa se:

    $\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \leq 0,$

per tutti gli $\mathbf {x}$ in $\mathbb {R} ^{n}$ (o $\mathbb {C} ^{n}$). Come sopra, $\mathbf {x} ^{*}$ indica la complessa coniugata della sua trasposta. Nel caso in cui $\mathbf {x}$ sia un vettore in $\mathbb {R} ^{n}$, questa operazione coincide con la trasposizione e si può scrivere $\mathbf {x} ^{T}$ al posto di $\mathbf {x} ^{*}$.

Una matrice hermitiana che non è né positiva né semidefinita negativa è chiamata indefinita. In maniera equivalente una matrice è chiamata indefinita se ha due autovalori di segno opposto.

## Prodotti scalari e forme hermitiane

Le matrici definite positive sono utili per definire una geometria su uno spazio vettoriale, che possa usare i concetti di angolo e lunghezza. Sia $K$ un campo $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$, $V$ uno spazio vettoriale su $K$, e $B\colon V\times V\to K$ una forma hermitiana se $K=\mathbb {C}$ o un prodotto scalare se $K=\mathbb {R}$. La forma $B$ è chiamata definita positiva se $B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0$ per ogni $\mathbf {x}$ in $V$ diverso dal vettore zero: questa proprietà garantisce che i vettori hanno "lunghezza positiva" e danno a $V$ una struttura simile a quella dello spazio euclideo.

## Forme quadratiche

La forma quadratica associata ad una matrice reale $M$ è la funzione $Q\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ tale che $Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x}$ per tutti gli $\mathbf {x}$. La matrice $M$ è definita positiva se e solo se è simmetrica e la sua forma quadratica è una funzione strettamente convessa.

Più in generale, ogni polinomio di secondo grado $P\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ può essere scritto come $\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} +\mathbf {x} ^{T}\mathbf {b} +c$, dove $M$ è una matrice simmetrica $n\times n$, $\mathbf {b}$ è un vettore reale e $c$ una costante. La funzione $P$ è strettamente convessa se $M$ è definita positiva.

## Diagonalizzazione simultanea

Una matrice simmetrica e una matrice simmetrica definita positiva possono essere simultaneamente diagonalizzate, anche se non necessariamente per mezzo di una trasformazione per similitudine, ed il risultato non si estende al caso di tre o più matrici. Nello specifico, se $M$ è simmetrica e $N$ è simmetrica e definita positiva, la generica equazione agli autovalori è:

    $(M-\lambda N)\mathbf {x} =\mathbf {0} .$

Tramite la decomposizione di Cholesky è possibile scrivere l'inversa di $N$ come $Q^{T}Q$, con $Q$ che in particolare è invertibile in quanto lo è $N$. Moltiplicando per $Q$ e ponendo $\mathbf {x} =Q^{T}\mathbf {y}$ si ottiene:

    $Q(M-\lambda N)Q^{T}\mathbf {y} =\mathbf {0}$

che, siccome $QNQ^{T}=I$, può essere riscritta come:

    $(QMQ^{T})\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} .$

Essendo $QMQ^{T}$ simmetrica, dal teorema spettrale esiste una matrice $Y$ tale che $(QMQ^{T})Y=Y\Lambda$ e $Y^{T}Y=I$, dove $\Lambda$ è una matrice diagonale i cui elementi sono gli autovalori generalizzati e le colonne di $Y$ sono una base ortonormale di autovettori di $QMQ^{T}$. Per la sostituzione fatta in precedenza si ha quindi che, ponendo $X=Q^{T}Y$, le colonne di $X$ soddisfano l'equazione $(M-\lambda N)\mathbf {x} =\mathbf {0}$ (cioè sono gli autovalori generalizzati) e $Y=QNX$. Si trova allora che $X^{T}NX=I$ e $QMX=(QMQ^{T})(QNX)=(QNX)\Lambda$. Dall'ultima relazione si deduce che:

    $MX=NX\Lambda ,\qquad X^{T}NX=I.$

Moltiplicando per $X^{T}$si ottiene:

    $X^{T}MX=\Lambda ,\qquad X^{T}NX=I,$

anche se non si tratta più di una diagonalizzazione ortogonale rispetto al prodotto scalare canonico (infatti $X$ non è in generale una matrice ortogonale).

