Entropia di Tsallis
# Entropia di Tsallis

In fisica, l’entropia di Tsallis è una generalizzazione della formula di Boltzmann-Gibbs per il calcolo dell'entropia.

## Panoramica

Il fisico teorico Costantino Tsallis elaborò nel 1988 questo concetto come base per generalizzare la meccanica statistica standard, ed è identica dal punto di vista formale alla α-entropia strutturale di Havrda–Charvát, introdotta nel 1967 nell'ambito della Teoria dell'Informazione. L'importanza dell'entropia di Tsallis in fisica è stata largamente dibattuta dalla letteratura scientifica..

Tuttavia, a partire dal 2000, è stato identificato un sempre più ampio spettro di sistemi complessi naturali, artificiali e sociali che confermano i fatti sperimentali previsti e le conseguenze teoriche dedotte da questo tipo di entropia non-additiva, come la meccanica statistica non-estensiva, che riesce a generalizzare la teoria di Boltzmann-Gibbs.

## Definizione

Dato un insieme discreto di probabilità $\{p_{i}\}$ dove vale che $\sum _{i}p_{i}=1$, e dato un numero reale qualsiasi $q$, si definisce entropia di Tsallis:

    $S_{q}({p_{i}})={k \over q-1}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\right),$

dove $q$ è un numero reale chiamato indice entropico.

Con il limite per $q\to 1$, ritroviamo la più nota entropia di Boltzmann–Gibbs, vale a dire:

    $S_{BG}=S_{1}(p)=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i}.$

Invece, per le distribuzioni di probabilità continue, l'entropia di Tsallis è definita come:

    $S_{q}[p]={1 \over q-1}\left(1-\int (p(x))^{q}\,dx\right),$

dover $p(x)$ è la Funzione di densità di probabilità. L'entropia di Tsallis è stata usata per derivare le proprietà della distribuzione di probabilità di Tsallis, attraverso il Principio della Massima Entropia.

## Relazioni

L'entropia discreta di Tsallis soddisfa

    $S_{q}=-\lim _{x\rightarrow 1}D_{q}\sum _{i}p_{i}^{x}$

dove $D_q$ è la q-derivata rispetto a x. Può essere confronata con la formula dell'entropia standard:

    $S=-\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {d}{dx}}\sum _{i}p_{i}^{x}$

## Non-additività

Dati due sistemi A and B, per i quali la funzione di densità di probabilità congiunta soddisfa

    $p(A,B)=p(A)p(B),\,$,

allora, l'entropia di Tsallis per questo sistema soddisfa

    $S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B).\,$

dove è evidente che il parametro $|1-q|$ è una misura di quanto non è additiva. Nel caso limite di q = 1, diventa

    $S(A,B)=S(A)+S(B),\,$

che è quanto ci si attende per un sistema additivo.

Per questo motivo, tale proprietà è a volte chiamata pseudo-additività.

## Famiglie di esponenziali

Molte comuni distribuzioni di probabilità, ad esempio la distribuzione normale, conducono alle famiglie di esponenziali. L'entropia di Tsallis per una famiglia esponenziale può essere scritta come:

    $H_{q}^{T}(p_{F}(x;\theta ))={\frac {1}{1-q}}\left((e^{F(q\theta )-qF(\theta )})E_{p}[e^{(q-1)k(x)}]-1\right)$

dove F è un log-normalizzatore e k il termine che indica la misura del carrier.

Per la Distribuzione normale multivariata, k è uguale zero, e perciò l'entropia di Tsallis diventa una espressione matematica in forma chiusa (valutabile in un numero finito di operazioni).

## Ulteriori generalizzazioni

Esiste un certo numero di sistemi fisici di rilievo che afferiscono ai funzionali, che riescono a generalizzare ulteriormente l'entropia di Tsallis. I due più importanti sono: la Superstatistica introdotta da C. Beck ed E. G. D. Cohen nel 2003 e la Statistica Spettrale, introdotta da G. A. Tsekouras e Constantino Tsallis nel 2005. L'entropia di Tsallis e l'entropia di Boltzmann-Gibbs possono essere ottenute come casi particolari, da entrambe queste due entropie. È stato dimostrato, inoltre, che dalla Statistica Spettrale si può ricavare la formula della Superstatica, cosa che lascia ipotizzare che la prima possa contenere e spiegare ulteriori casi e fenomeni.

