Formula di Wilson-Sommerfeld
# Formula di Wilson-Sommerfeld

La formula di Wilson-Sommerfeld ha rappresentato un tentativo di miglioramento del modello dell'atomo di Bohr, portando alla definizione di un modello detto Bohr-Sommerfeld.

## Descrizione

In questo modello si ipotizzava che gli elettroni viaggiassero intorno al nucleo in orbite ellittiche a differenza del modello di Bohr originale che ipotizzava orbite circolari. Per completare l'ipotesi, il modello Bohr-Sommerfeld contemplava un'aggiunta al vincolo sulla quantizzazione del momento angolare con un'addizionale vincolo di quantizzazione del raggio determinato attraverso la "formula di vincolo della quantizzazione Wilson-Sommerfeld": l'azione ridotta sull'orbita vale

    ${\mathcal {A}}=\oint {\mathbf {p} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {q} }=nh$

dove $p$ è il momento, $dq$ rappresenta il differenziale della generica funzione coordinata $q(t)$, $n\in \mathbb {N}$ ed $h$ è la costante di Planck.

Il modello attuale dell'atomo, noto come modello atomico ad orbitali, non avrebbe potuto essere formulato senza i modelli precedenti derivati dalle ipotesi di Bohr.

## Esempi

Dalla formula di Wilson-Sommerfeld si può riottenere banalmente la quantizzazione del momento angolare:

    $\oint {L\,d\phi }=nh$

La funzione periodica del tempo è in questo caso $\phi (t)$:

    $nh=\int _{0}^{2\pi }{L\,d\phi }=L\int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi L$

ovvero

    $L=n\hbar$

con $\hbar =h/(2\pi )$.

In modo simile, dalla regola precedente si può riottenere anche la legge di quantizzazione dell'energia di Planck $E=nh\nu$. Infatti, per un oscillatore armonico unidimensionale l'energia totale può essere scritta in termini di momento e posizione come

    $E=K+V={\frac {p_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {kx^{2}}{2}}$

oppure

    ${\frac {p_{x}^{2}}{2mE}}+{\frac {x^{2}}{2\displaystyle {\frac {E}{k}}}}=1$

dove $k$è la costante elastica della molla. In questo modo, l'integrale della formula di quantizzazione di Wilson-Sommerfeld può essere valutato molto più semplicemente; l'equazione precedente rappresenta infatti un'ellisse di semiassi $b={\sqrt {2mE}}$ ed $a={\sqrt {2E/k}}$ nello spazio delle fasi $x-p_x.$ Dunque:

    $nh=\oint p_{x}\,dx=\pi ab={\frac {2\pi E}{\displaystyle {\sqrt {\frac {k}{m}}}}}$

Ma ${\sqrt {k/m}}=\omega =2\pi \nu$ è banalmente la frequenza dell'oscillazione, da cui segue che

    $nh={\frac {E}{\nu }}\quad \longrightarrow \quad E=nh\nu$

ovvero la legge di quantizzazione dell'energia proposta da Planck.

