Cosecante
# Cosecante

In trigonometria la cosecante è una funzione definita come il reciproco del seno e indicata solitamente con la notazione csc:

    $\csc x={\frac {1}{\sin x}}$

Poiché il seno di un angolo è nullo quando l'angolo è pari a $k\pi$ ($k$ intero), la cosecante è definita sul dominio dei reali privati dei multipli interi di $\pi$. In conseguenza di ciò, il grafico della funzione cosecante ha asintoti verticali per $x=k\pi$.

In un triangolo rettangolo, la cosecante di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto a esso opposto: se tale cateto è unitario, la cosecante dell'angolo corrisponde all'ipotenusa del triangolo.

## Caratteristiche

### Periodo

La cosecante è una funzione periodica con periodo $2\pi$, formalmente:

    $\csc x=\csc(x+2k\pi ),k\in \mathbb {Z}$.

### Valori notevoli

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che $\csc x={1 \over \operatorname {sen} x}$:

| $x$ in radianti | 0 | ${\frac {\pi }{12}}$ | ${\frac {\pi }{6}}$ | ${\frac {\pi }{4}}$ | ${\frac {\pi }{3}}$ | ${\frac {5}{12}}\pi$ | ${\frac {\pi }{2}}$ | $\pi$ | ${\frac {3\pi }{2}}$ | $2\pi$ |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| $x$ in gradi | 0° | 15° | 30° | 45° | 60° | 75° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| $\csc(x)$ | $\nexists$ | ${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$ | $2$ | ${\sqrt {2}}$ | ${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$ | ${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$ | $1$ | $\nexists$ | $-1$ | $\nexists$ |

### Derivata

La derivata prima della cosecante si ottiene ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente:

    ${\frac {d}{dx}}\csc x={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\sin x}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-\csc x\cdot \cot x$
