Istantone
# Istantone

L'istantone è un concetto sviluppato nell'ambito della fisica teorica e della fisica matematica, inerente agli spazi di Minkowski. In questa trattazione ci concentreremo sugli istantoni in uno spazio quadridimensionale (spazio euclideo, lo spazio quadridimensionale considerato è isomorfo a uno spazio euclideo quindi piatto).

Se supponiamo che esistano soluzioni delle equazioni del moto dell'azione di Yang-Mills con azione finita, allora la curvatura della soluzione all'infinito (presa come limite) deve essere zero. Questo significa che l'invariante di Chern-Simons può essere definita in uno spazio tridimensionale.

Questo equivale, grazie al teorema di Stokes, a prendere l'integrale

    $\int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]$.

Questa è un invariante omotopico e ci dice a quale classe di omotopia appartiene l'istantone. L'azione di Yang-Mills è data da:

    ${\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]$

dove * è il duale di Hodge.

Poiché l'integrale di un integrando non negativo è sempre non negativo,

    $0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +2\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]$

per tutti i θ reali. Questo significa:

    ${\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|$

Se questo legame viene saturato, allora la soluzione è uno stato BPS. Per tali stati, si ha *F=F oppure *F=-F dipendentemente dal segno dell'invariante omotopico.

