Distribuzione chi quadrato
# Distribuzione chi quadrato

Nella teoria della probabilità la distribuzione chi quadrato (o chi-quadro, indicata con $\chi ^{2}$) è la distribuzione di probabilità della somma dei quadrati di variabili aleatorie normali indipendenti.

In statistica, il test chi quadrato è un particolare test di verifica d'ipotesi che fa uso di questa distribuzione.

## Definizione

La distribuzione $\chi _{k}^{2}$ è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria definita come

    $\chi _{k}^{2}=\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}=x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}$

dove $x_{1},\ldots ,x_{k}$ sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione normale standard ${\mathcal {N}}(0,1)$. Il parametro $k$ è detto "numero di gradi di libertà".

## Storia

Ernst Abbe (1840-1905), un ottico, fu colui che scoprì la $\chi ^{2}$ analizzando la sommatoria di variabili casuali normali standardizzate e indipendenti al quadrato, che produce una nuova variabile casuale, la $\chi ^{2}$ appunto.

## Proprietà

### Somma

Per definizione, la somma di due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni $\chi ^{2}(m)$ e $\chi ^{2}(n)$ è una variabile aleatoria con distribuzione $\chi ^{2}(m+n)$:

    $(x_{1}^{2}+\ldots +x_{m}^{2})+(x_{m+1}^{2}+\ldots +x_{m+n}^{2})=x_{1}^{2}+\ldots +x_{m+n}^{2}.$

Più in generale la somma di variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni $\chi ^{2}(k_{1}),\ldots ,\chi ^{2}(k_{n}),$ è una variabile aleatoria con distribuzione $\chi ^{2}(k_{1}+\ldots +k_{n}).$

### Caratteristiche

Una generalizzazione della distribuzione $\chi ^{2}$ è la distribuzione Gamma: $\Gamma ({\tfrac {k}{2}},{\tfrac {1}{2}})=\chi ^{2}(k).$

In particolare una variabile aleatoria $x$ con distribuzione $\chi ^{2}(k)$ ha

* funzione di densità di probabilità data da

    $f_{k}(x)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\quad$ per $x>0$

dove $\Gamma$ indica la funzione Gamma, che assume i valori

    $\Gamma (k/2)={\sqrt {\pi }}{\frac {(k-2)!!}{2^{(k-1)/2}}}\quad$ per $k$ dispari
    $\Gamma (k/2)=(k/2-1)!\quad$ per $k$ pari

(i simboli $!$ e $!!$ indicano rispettivamente il fattoriale e il doppio fattoriale);

* funzione di ripartizione data da

    $F_{k}(x)={\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\gamma (k/2,x/2),$

dove $\gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}dt$

* valore atteso: $\mathbb {E} [x]=k;$
* varianza: $\sigma ^{2}(x)=2k;$
* simmetria: $\gamma _{1}={\sqrt {8/k}};$
* curtosi: $\gamma _{2}={\frac {12}{k}};$
* moda: $\max\{0,k-2\}.$

### Limite centrale

Per il teorema centrale del limite la distribuzione $\chi ^{2}(k)$ converge ad una distribuzione normale ${\mathcal {N}}$ per $k$ che tende all'infinito. Più precisamente, se $x(k)=x_{1}^{2}+\dots+x_{k}^{2}$ segue la distribuzione $\chi ^{2}(k)$, allora la distribuzione di probabilità di

    ${\frac {x(k)-k}{\sqrt {2k}}},$

tende a quella della normale standard ${\mathcal {N}}(0,1).$

Per avere una convergenza più rapida talvolta vengono considerate ${\sqrt {2x(k)^{2}}}$ o ${\sqrt[{3}]{\frac {x(k)^{2}}{k}}}.$

## Generalizzazioni

La distribuzione $χ^2$ è un caso particolare della legge Γ e ricade nella terza famiglia di distribuzioni di Pearson.

La distribuzione $χ^2$ non centrale è data dalla somma dei quadrati di variabili aleatorie indipendenti $x_{1},\ldots ,x_{k}$ aventi distribuzioni normali ridotte, ma non necessariamente centrate, ${\mathcal {N}}(\mu _{1},1),\ldots ,{\mathcal {N}}(\mu _{k},1)$:

    $x^{2}=x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}.$

Un'altra generalizzazione prevede di considerare una forma quadratica $V^{t}AV$ sul vettore aleatorio $v=(x_{1},\ldots ,x_{k}).$

## Utilizzo in statistica

In statistica la distribuzione $χ^2$ viene utilizzata per condurre il test di verifica d'ipotesi $χ^2$ e per stimare una varianza, ed è legato alle distribuzioni di Student e di Fisher-Snedecor.

Il caso più comune è quello di variabili aleatorie indipendenti $x_{1},\ldots ,x_{n}$ di distribuzione normale ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma )$ e media $\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$, dove lo stimatore della varianza

    $S_{n-1}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}},$

segue la distribuzione

    ${\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\chi ^{2}(n-1).$

Per valori di $k$ superiori a 30 (o a 50) la distribuzione $\chi ^{2}$ viene approssimata con una distribuzione normale.

## Tabella dei valori critici

La seguente tabella illustra alcuni valori critici più comunemente utilizzati. In corrispondenza dei valori $k$ sulla riga e α sulla colonna si trova il valore critico $z_{\alpha }=F_{k}^{-1}(\alpha )$, ovvero il valore per il quale una variabile aleatoria $x^{2}$ di distribuzione $\chi ^{2}(k)$ verifica

    $P(x^{2}<z_{\alpha })=\alpha .$

| k \ α | 0,001 | 0,002 | 0,005 | 0,01 | 0,02 | 0,05 | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,75 | 0,8 | 0,9 | 0,95 | 0,98 | 0,99 | 0,995 | 0,998 | 0,999 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,001 | 0,004 | 0,016 | 0,064 | 0,455 | 1,323 | 1,642 | 2,706 | 3,841 | 5,412 | 6,635 | 7,879 | 9,550 | 10,828 |
| 2 | 0,002 | 0,004 | 0,010 | 0,020 | 0,040 | 0,103 | 0,211 | 0,446 | 1,386 | 2,773 | 3,219 | 4,605 | 5,991 | 7,824 | 9,210 | 10,597 | 12,429 | 13,816 |
| 3 | 0,024 | 0,039 | 0,072 | 0,115 | 0,185 | 0,352 | 0,584 | 1,005 | 2,366 | 4,108 | 4,642 | 6,251 | 7,815 | 9,837 | 11,345 | 12,838 | 14,796 | 16,266 |
| 4 | 0,091 | 0,129 | 0,207 | 0,297 | 0,429 | 0,711 | 1,064 | 1,649 | 3,357 | 5,385 | 5,989 | 7,779 | 9,488 | 11,668 | 13,277 | 14,860 | 16,924 | 18,467 |
| 5 | 0,210 | 0,280 | 0,412 | 0,554 | 0,752 | 1,145 | 1,610 | 2,343 | 4,351 | 6,626 | 7,289 | 9,236 | 11,070 | 13,388 | 15,086 | 16,750 | 18,907 | 20,515 |
| 6 | 0,381 | 0,486 | 0,676 | 0,872 | 1,134 | 1,635 | 2,204 | 3,070 | 5,348 | 7,841 | 8,558 | 10,645 | 12,592 | 15,033 | 16,812 | 18,548 | 20,791 | 22,458 |
| 7 | 0,598 | 0,741 | 0,989 | 1,239 | 1,564 | 2,167 | 2,833 | 3,822 | 6,346 | 9,037 | 9,803 | 12,017 | 14,067 | 16,622 | 18,475 | 20,278 | 22,601 | 24,322 |
| 8 | 0,857 | 1,038 | 1,344 | 1,646 | 2,032 | 2,733 | 3,490 | 4,594 | 7,344 | 10,219 | 11,030 | 13,362 | 15,507 | 18,168 | 20,090 | 21,955 | 24,352 | 26,124 |
| 9 | 1,152 | 1,370 | 1,735 | 2,088 | 2,532 | 3,325 | 4,168 | 5,380 | 8,343 | 11,389 | 12,242 | 14,684 | 16,919 | 19,679 | 21,666 | 23,589 | 26,056 | 27,877 |
| 10 | 1,479 | 1,734 | 2,156 | 2,558 | 3,059 | 3,940 | 4,865 | 6,179 | 9,342 | 12,549 | 13,442 | 15,987 | 18,307 | 21,161 | 23,209 | 25,188 | 27,722 | 29,588 |
| 11 | 1,834 | 2,126 | 2,603 | 3,053 | 3,609 | 4,575 | 5,578 | 6,989 | 10,341 | 13,701 | 14,631 | 17,275 | 19,675 | 22,618 | 24,725 | 26,757 | 29,354 | 31,264 |
| 12 | 2,214 | 2,543 | 3,074 | 3,571 | 4,178 | 5,226 | 6,304 | 7,807 | 11,340 | 14,845 | 15,812 | 18,549 | 21,026 | 24,054 | 26,217 | 28,300 | 30,957 | 32,909 |
| 13 | 2,617 | 2,982 | 3,565 | 4,107 | 4,765 | 5,892 | 7,042 | 8,634 | 12,340 | 15,984 | 16,985 | 19,812 | 22,362 | 25,472 | 27,688 | 29,819 | 32,535 | 34,528 |
| 14 | 3,041 | 3,440 | 4,075 | 4,660 | 5,368 | 6,571 | 7,790 | 9,467 | 13,339 | 17,117 | 18,151 | 21,064 | 23,685 | 26,873 | 29,141 | 31,319 | 34,091 | 36,123 |
| 15 | 3,483 | 3,916 | 4,601 | 5,229 | 5,985 | 7,261 | 8,547 | 10,307 | 14,339 | 18,245 | 19,311 | 22,307 | 24,996 | 28,259 | 30,578 | 32,801 | 35,628 | 37,697 |
| 16 | 3,942 | 4,408 | 5,142 | 5,812 | 6,614 | 7,962 | 9,312 | 11,152 | 15,338 | 19,369 | 20,465 | 23,542 | 26,296 | 29,633 | 32,000 | 34,267 | 37,146 | 39,252 |
| 17 | 4,416 | 4,915 | 5,697 | 6,408 | 7,255 | 8,672 | 10,085 | 12,002 | 16,338 | 20,489 | 21,615 | 24,769 | 27,587 | 30,995 | 33,409 | 35,718 | 38,648 | 40,790 |
| 18 | 4,905 | 5,436 | 6,265 | 7,015 | 7,906 | 9,390 | 10,865 | 12,857 | 17,338 | 21,605 | 22,760 | 25,989 | 28,869 | 32,346 | 34,805 | 37,156 | 40,136 | 42,312 |
| 19 | 5,407 | 5,969 | 6,844 | 7,633 | 8,567 | 10,117 | 11,651 | 13,716 | 18,338 | 22,718 | 23,900 | 27,204 | 30,144 | 33,687 | 36,191 | 38,582 | 41,610 | 43,820 |
| 20 | 5,921 | 6,514 | 7,434 | 8,260 | 9,237 | 10,851 | 12,443 | 14,578 | 19,337 | 23,828 | 25,038 | 28,412 | 31,410 | 35,020 | 37,566 | 39,997 | 43,072 | 45,315 |
| 21 | 6,447 | 7,070 | 8,034 | 8,897 | 9,915 | 11,591 | 13,240 | 15,445 | 20,337 | 24,935 | 26,171 | 29,615 | 32,671 | 36,343 | 38,932 | 41,401 | 44,522 | 46,797 |
| 22 | 6,983 | 7,636 | 8,643 | 9,542 | 10,600 | 12,338 | 14,041 | 16,314 | 21,337 | 26,039 | 27,301 | 30,813 | 33,924 | 37,659 | 40,289 | 42,796 | 45,962 | 48,268 |
| 23 | 7,529 | 8,212 | 9,260 | 10,196 | 11,293 | 13,091 | 14,848 | 17,187 | 22,337 | 27,141 | 28,429 | 32,007 | 35,172 | 38,968 | 41,638 | 44,181 | 47,391 | 49,728 |
| 24 | 8,085 | 8,796 | 9,886 | 10,856 | 11,992 | 13,848 | 15,659 | 18,062 | 23,337 | 28,241 | 29,553 | 33,196 | 36,415 | 40,270 | 42,980 | 45,559 | 48,812 | 51,179 |
| 25 | 8,649 | 9,389 | 10,520 | 11,524 | 12,697 | 14,611 | 16,473 | 18,940 | 24,337 | 29,339 | 30,675 | 34,382 | 37,652 | 41,566 | 44,314 | 46,928 | 50,223 | 52,620 |
| 26 | 9,222 | 9,989 | 11,160 | 12,198 | 13,409 | 15,379 | 17,292 | 19,820 | 25,336 | 30,435 | 31,795 | 35,563 | 38,885 | 42,856 | 45,642 | 48,290 | 51,627 | 54,052 |
| 27 | 9,803 | 10,597 | 11,808 | 12,879 | 14,125 | 16,151 | 18,114 | 20,703 | 26,336 | 31,528 | 32,912 | 36,741 | 40,113 | 44,140 | 46,963 | 49,645 | 53,023 | 55,476 |
| 28 | 10,391 | 11,212 | 12,461 | 13,565 | 14,847 | 16,928 | 18,939 | 21,588 | 27,336 | 32,620 | 34,027 | 37,916 | 41,337 | 45,419 | 48,278 | 50,993 | 54,411 | 56,892 |
| 29 | 10,986 | 11,833 | 13,121 | 14,256 | 15,574 | 17,708 | 19,768 | 22,475 | 28,336 | 33,711 | 35,139 | 39,087 | 42,557 | 46,693 | 49,588 | 52,336 | 55,792 | 58,301 |
| 30 | 11,588 | 12,461 | 13,787 | 14,953 | 16,306 | 18,493 | 20,599 | 23,364 | 29,336 | 34,800 | 36,250 | 40,256 | 43,773 | 47,962 | 50,892 | 53,672 | 57,167 | 59,703 |
| 35 | 14,688 | 15,686 | 17,192 | 18,509 | 20,027 | 22,465 | 24,797 | 27,836 | 34,336 | 40,223 | 41,778 | 46,059 | 49,802 | 54,244 | 57,342 | 60,275 | 63,955 | 66,619 |
| 40 | 17,916 | 19,032 | 20,707 | 22,164 | 23,838 | 26,509 | 29,051 | 32,345 | 39,335 | 45,616 | 47,269 | 51,805 | 55,758 | 60,436 | 63,691 | 66,766 | 70,618 | 73,402 |
| 45 | 21,251 | 22,477 | 24,311 | 25,901 | 27,720 | 30,612 | 33,350 | 36,884 | 44,335 | 50,985 | 52,729 | 57,505 | 61,656 | 66,555 | 69,957 | 73,166 | 77,179 | 80,077 |
| 50 | 24,674 | 26,006 | 27,991 | 29,707 | 31,664 | 34,764 | 37,689 | 41,449 | 49,335 | 56,334 | 58,164 | 63,167 | 67,505 | 72,613 | 76,154 | 79,490 | 83,657 | 86,661 |

## Derivazione

### Derivazione della funzione di densità per un grado di libertà

Sia Y = $X^2,$ dove X è una variabile casuale normalmente distribuita con media nulla e varianza unitaria (X ~ N(0,1)).

Allora, se $y<0,~P(Y<y)=0$, mentre, se $y\geq 0,~P(Y<y)=P(X^{2}<y)=P(|X|<{\sqrt {y}})=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})$.

    ${\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}({\sqrt {y}}){\frac {\partial ({\sqrt {y}})}{\partial y}}-f_{X}(-{\sqrt {y}}){\frac {\partial (-{\sqrt {y}})}{\partial y}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1}{2y^{1/2}}}e^{-{\frac {y}{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1}{2y^{1/2}}}e^{-{\frac {y}{2}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1}{y^{1/2}}}e^{-{\frac {y}{2}}}\\&={\frac {1}{2^{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}y^{{\frac {1}{2}}-1}e^{-{\frac {y}{2}}}\end{aligned}}$

dove $F$ e $f$ sono, rispettivamente, la funzione di probabilità cumulata e la funzione di densità.

Si ha quindi: $Y=X^{2}\sim \chi _{1}^{2}$.

### Derivazione della funzione di densità per due gradi di libertà

È possibile derivare la distribuzione con 2 gradi di libertà partendo da quella con un grado.

Siano $x$ e $y$ due variabili casuali indipendenti tali che $x\sim \chi _{1}^{2}$ e $y\sim \chi _{1}^{2}$.

Dall'assunto di indipendenza segue che la loro funzione di probabilità congiunta è:

    $f_{xy}(x,y)=f_{x}(x)f_{y}(y)={\frac {1}{2\Gamma ({\frac {1}{2}})^{2}}}(xy)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x+y}{2}}}={\frac {1}{2\pi }}(xy)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x+y}{2}}}.$

Siano $A=xy$ e $B=x+y$, abbiamo che:

    $x={\frac {B+{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}$
    $y={\frac {B-{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}$

o

    $x={\frac {B-{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}$
    $y={\frac {B+{\sqrt {B^{2}-4A}}}{2}}$

Data la simmetria, possiamo prendere la prima coppia di soluzioni e moltiplicare il risultato per 2.

Lo jacobiano è:

    ${\begin{vmatrix}-(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}&{\frac {1+B(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\\(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}&{\frac {1-B(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\\\end{vmatrix}}=(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}$

Possiamo quindi passare da $f(x,y)$ a $f(A,B)$:

    $f_{AB}(A,B)=2\times {\frac {1}{2\pi }}A^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {B}{2}}}(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}$

La distribuzione marginale di $B=x+y$ è quindi:

    $f_{B}(B)=2\times {\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2\pi }}\int _{0}^{\frac {B^{2}}{4}}A^{-{\frac {1}{2}}}(B^{2}-4A)^{-{\frac {1}{2}}}dA$

Ponendo $A={\frac {B^{2}}{4}}\sin ^{2}(t)$, l'equazione diventa:

    $f_{B}(B)=2\times {\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}dt$

da cui:

    $f_{B}(B)={\frac {e^{-{\frac {B}{2}}}}{2}}={\frac {1}{2\Gamma (1)}}B^{{\frac {2}{2}}-1}e^{-{\frac {B}{2}}}$

### Derivazione della funzione di densità per k gradi di libertà

Un campione di $k$ realizzazioni $x_{i}$ di una variabile normale standard è rappresentabile come un punto in uno spazio k-dimensionale. La distribuzione della somma dei quadrati sarà:

    $P(Q)dQ=\int _{\Gamma }\prod _{i=1}^{k}N(x_{i})\,dx_{i}=\int _{\Gamma }{\frac {e^{-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{k}^{2})/2}}{(2\pi )^{k/2}}}\,dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{k}$

dove $N(x)$ è la funzione di densità di una distribuzione normale standard e $\Gamma$ è una superficie $(k-1)$-dimensionale nello spazio $k$-dimensionale per cui vale:

    $Q=\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}.$

Tale superficie è una sfera $k-1$ dimensionale con raggio $R={\sqrt {Q}}$.

Poiché $Q$ è costante, può essere portato fuori dall'integrale:

    $P(Q)dQ={\frac {e^{-Q/2}}{(2\pi )^{k/2}}}\int _{\Gamma }dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{k}$

L'integrale non è altro che l'area $A$ della sfera moltiplicata per lo spessore infinitesimo della stessa, ovvero:

    $dR={\frac {dQ}{2Q^{1/2}}}.$
    $A={\frac {kR^{k-1}\pi ^{k/2}}{\Gamma (k/2+1)}}$

Sostituendo, notando che $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$, e semplificando otteniamo infine:

    $P(Q)dQ={\frac {e^{-Q/2}}{(2\pi )^{k/2}}}A\,dR={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}Q^{k/2-1}e^{-Q/2}\,dQ$

da cui:

    $P(Q)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}Q^{k/2-1}e^{-Q/2}.$
