title: Inclusione
text: # Inclusione
  
  In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con $\subseteq$, è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme $B$ è contenuto o incluso nell'insieme $A$ se, per ogni elemento $x$, se $x$ appartiene a $B$ allora $x$ appartiene ad $A$". In simboli, dati due insiemi $A$ e $B$, si ha:
  
      $B\subseteq A\iff \forall x:x\in B\Rightarrow x\in A.$
  
  L'insieme $B$ si dice sottoinsieme di $A$.
  
  Si parla, più propriamente, di inclusione stretta per indicare che ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$ ma che esistono elementi di $A$ che non sono elementi di $B$.
  
  Nel caso in cui tutti gli elementi di $A$ appartengono anche a $B$ si parla di sottoinsieme improprio (in altre parole ogni insieme è un sottoinsieme improprio di sé stesso). Si parla di sottoinsieme proprio se almeno un elemento di $A$ non è compreso nell'insieme $B$, cioè nel caso dell'inclusione stretta.
  
  Il simbolo usato per indicare un sottoinsieme è $\subseteq$, mentre il simbolo per indicare un sottoinsieme proprio è $\subset$. Tuttavia spesso viene usata una notazione alternativa che indica con $\subset$ un sottoinsieme e con $\subsetneq$ un sottoinsieme proprio (quest'ultima si usa anche quando si vuole mettere in evidenza che $B$ non coincide con $A$).
  
  Analogamente si definisce il concetto di sovrainsieme; il simbolo usato è $\supseteq$ (oppure $\supset$) per il sovrainsieme, e $\supset$ (oppure $\supsetneq$) per il sovrainsieme proprio.
  
  ## Proprietà
  
  * L'inclusione è una relazione d'ordine largo, cioè è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva; quindi valgono:
  
      $A\subseteq A$ (riflessività)
      $B\subseteq A\land A\subseteq B\Rightarrow B=A$ (antisimmetria)
      $C\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow C\subseteq A$ (transitività)
  
  In particolare, l'antisimmetria della relazione viene tipicamente sfruttata per definire l'uguaglianza di $A$ e $B$:
  
      "$A$ è uguale $B$ se e solo se $A$ è contenuto in $B$ e $B$ è contenuto in $A$",
  
  cioè:
  
      $A=B\iff A\subseteq B\land B\subseteq A.$
  * L'insieme vuoto $\varnothing$ è sottoinsieme di ogni altro insieme, cioè "per ogni insieme $A$ si ha che $\varnothing \subseteq A$".
  * Valgono
  
      $B\subset A\Leftrightarrow A\supset B;$
      $B\subseteq A\Leftrightarrow A\supseteq B.$
  * Se $B\subseteq A$, allora:
  
      $B\cup A=A;$
      $B\cap A=B.$
  
  ### Distinzione fra inclusione ed appartenenza
  
  Bisogna fare molta attenzione a non confondere il concetto di inclusione con quello di appartenenza.
  
  Esempi:
  
  * è esatta: $2\in \{1,2,3\}$ - cioè $2$ appartiene all'insieme $\{1,2,3\}$
  * è errata: $2\subset \{1,2,3\}$ - cioè non si può dire che $2$ è incluso nell'insieme $\{1,2,3\}$
  * è esatta: $\{2\}\subset \{1,2,3\}$ - cioè il singoletto di $2$ è incluso nell'insieme $\{1,2,3\}$
  
  ## Storia
  
  Il simbolo ⊂, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ∪, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.
  
  