title: Teorema di Cauchy (analisi matematica)
text: # Teorema di Cauchy (analisi matematica)
  
  Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.
  
  ## Enunciato
  
  Siano $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ due funzioni reali di variabile reale continue in $[a,b]$ e derivabili in $(a,b)$.
  
  Allora esiste almeno un punto $c\in (a,b)$ tale che
  
      $[g(b)-g(a)]f^{\prime }(c)=[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c).$
  
  Si noti che se $g'(c)\neq 0$ (e dunque in particolare $g(b)\neq g(a)$), l'equazione si può scrivere nella forma equivalente
  
      ${\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.$
  
  ## Dimostrazione del teorema
  
  Si consideri la funzione $h$ di variabile reale definita nell'intervallo $[a,b]$ come
  
      $h(t)=[f(b)-f(a)]g(t)-[g(b)-g(a)]f(t)\quad$
  
  Questa funzione è continua nell'intervallo $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, e
  
      $h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(a)-f(a)g(b)+f(a)g(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b).$
      $h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=f(b)g(b)-f(a)g(b)-f(b)g(b)+f(b)g(a)=-f(a)g(b)+f(b)g(a).$
  
  Da cui $h(a)=h(b)$.
  
  La funzione $h$ soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto $c\in (a,b)$ in cui $h'(c)=0$, cioè
  
      $[f(b)-f(a)]g'(c)-[g(b)-g(a)]f'(c)=0.$
  
  ## Applicazioni
  
  * Considerando in particolare la funzione $g(t)=t$, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
  * Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.
  