title: Formula Chen
text: # Formula Chen
  
  La formula di Chen è un metodo semplificato per la determinazione della degradazione delle prestazioni in fibra ottica a singolo modo a causa della GVD (dispersione velocità di gruppo). La degradazione delle prestazioni viene indicata tramite il parametro ECP (Eye Closure Penality) e la formula di Chen l'approssima a:
  
      $ECP=-10log_{10}\left(cos\left({\pi ^{2} \over 2}R^{2}{d^{2}\beta (\omega _{0}) \over d\omega ^{2}}L\right)\right)$
  
  dove
  
  $R$ - bit rate $\omega _{0}$ - pulsazione della portante ottica $L$ - lunghezza della fibra $\beta (\omega )$ - fase della risposta in frequenza della fibra ottica
  
  ## Dimostrazione
  
  La sequenza più distorta in fibra ottica a casa della GVD è la sequenza 10101010(...). Supponendo che il campo elettrico in ingresso alla fibra sia approssimabile ad
  
      $E_{i}(t)={(1+cos(\omega _{c}t)) \over 2}$
  
  con $\omega _{c}=\pi R$. Se questo segnale viene inviato in back2back ad una ricevitore con fotodiodo ed un filtro elettrico passabasso di banda circa R otteniamo una corrente prima del filtro:
  
      $I(t)=R_{s}|E_{i}(t)|^{2}=R_{s}{(1+2cos(\omega _{c}t)+cos(\omega _{c}t)^{2})) \over 4}$
  
  con $R_{s}$ la Responsivity del fotodiodo
  
  La corrente dopo il filtro:
  
      $I(t)=R_{s}\left({3 \over 8}+{1 \over 2}cos(\omega _{c}t)\right)$
  
  Se andiamo a valutare l'apertura dell'occhio $\theta _{B}$ per tale segnale otteniamo che
  
      $\theta _{B}=R_{s}\qquad$
  
  Se ora si rivaluta lo stesso segnale inviato lungo una fibra lunga L e con risposta in frequenza data dall'equazione lineari di Schroendiger arrestata al secondo ordine:
  
      $H_{LP}(\omega )=e^{-j\phi (\omega )}\qquad \phi (\omega )={\omega ^{2} \over 2}{d^{2}\beta (\omega _{0}) \over d\omega ^{2}}L$
  
  Il campo ricevuto sarà:
  
      $E_{o}(t)={1 \over 2}+{1 \over 4}e^{j(\omega _{c}t-\phi (\omega _{c}))}+{1 \over 4}e^{-j(\omega _{c}t+\phi (-\omega _{c}))}={1 \over 2}+{1 \over 4}e^{j(\omega _{c}t-\phi (\omega _{c}))}+{1 \over 4}e^{-j(\omega _{c}t+\phi (\omega _{c}))}$
  
  con corrente elettrica prima del filtro:
  
      $I(t)={R_{s} \over 4}\left(1+cos(\omega _{c}t)e^{j\phi (\omega _{c})})(1+cos(\omega _{c}t)e^{-j\phi (\omega _{c})}\right)$
  
  e dopo il filtro:
  
      $I(t)=R_{s}\left({3 \over 8}+{1 \over 2}cos(\phi (\omega _{c}))cos(\omega _{c}t)\right)$
  
  Con un occhio
  
      $\theta =R_{s}cos(\phi (\omega _{c}))\qquad$
  
  Dalla definizione di ECP:
  
      $ECP=10log_{10}\left({\theta _{b} \over \theta }\right)=-10log_{10}\left(cos(\phi (\omega _{c}))\right)=-10log_{10}\left(cos\left({\omega _{c}^{2} \over 2}{d^{2}\beta (\omega _{0}) \over d\omega ^{2}}L\right)\right)=-10log_{10}\left(cos\left({\pi ^{2} \over 2}R^{2}{d^{2}\beta (\omega _{0}) \over d\omega ^{2}}L\right)\right)$
  
  ## Validità
  
  La formula di Chen, approssimando la transizione dei bit ad una sinusoide, ha validità solo per $\phi (\omega _{c})<<\pi /2\qquad$, in quanto valori ulteriori reinfaserebbero la sinusoide facendo decadere il modello matematico. Per un calcolo migliore dell'ECP per qualsiasi valore di fase, e tenendo anche conto del chirp, si può approssimare la transizione di bit ad impulsi gaussiani.
  
  