title: Teoremi di punto fisso
text: # Teoremi di punto fisso
  
  In matematica, con teoremi di punto fisso ci si riferisce ai risultati che, in diversi contesti tra cui l'analisi matematica, la geometria o la topologia, mostrano l'esistenza di almeno un punto fisso per una qualche funzione definita in vari spazi.
  
  ## Tipologie di risultati
  
  In particolare, nell'ambito dell'analisi si possono distinguere alcune categorie:
  
  * Teoremi di contrazioni (in particolare il teorema delle contrazioni, o teorema del punto fisso di Banach)
  * Teoremi di compattezza (risultati di Brouwer, di Schauder, di Schaefer, di Kakutani, e altri)
  * Teoremi di mappe non espansive (studiate in particolare da Browder, Göhde e Kirk)
  * Teoremi di applicazioni condensanti (che utilizzano misure di non compattezza) (Darbo e Sadovskii)
  * Teoremi d'ordine, che si basano su proprietà di monotonia (Bourbaki, Kneser, Amann e ad esempio il teorema di Knaster-Tarski)
  * Teoremi con indice di punto fisso
  * Teoremi misti (ad esempio il teorema di Krasnoselskii)
  
  ## Analisi
  
  I seguenti teoremi vengono utilizzati in analisi matematica, in particolare nei campi delle equazione differenziale ordinarie e delle equazioni differenziali alle derivate parziali.
  
  * Il teorema del punto fisso di Banach (o delle contrazioni) asserisce che una contrazione su uno spazio metrico completo ha uno e un solo punto fisso.
  * Il teorema delle funzioni contrattive asserisce che una funzione contrattiva definita in un compatto ha uno e un solo punto fisso.
  * Il teorema delle funzioni non espansive asserisce che una funzione non espansiva definita in un compatto e convesso ha almeno un punto fisso.
  * Il teorema di Caristi (o di Caristi-Kirk) è un'altra generalizzazione del teorema di Banach.
  * Il teorema di Browder-Göhde-Kirk è un altro teorema sulle mappe non espansive.
  * Il teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che una funzione continua definita da un sottoinsieme compatto e convesso dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ in sé ha sempre un punto fisso.
  * Il teorema del punto fisso di Schauder stabilisce (in una delle sue versioni) che se $C$ è un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di uno spazio di Banach $B$ e $f\colon C\to C$ è una funzione continua con immagine compatta, allora $f$ ha almeno un punto fisso.
  * Il teorema di Kellogg aggiunge una condizione di unicità alle condizioni dei teoremi di Brouwer e Schauder.
  * Il teorema di Schaefer che riformula il teorema di Schauder in modo da non richiedere esplicitamente di dichiarare l'insieme $C$, chiuso e convesso, del punto precedente.
  * Il teorema di Rothe considera una funzione che manda la frontiera di un insieme aperto nell'aperto stesso.
  * Il teorema di Altman utilizza una stima della norma.
  * Il teorema di Tichonov si applica ad ogni spazio vettoriale topologico $V$ localmente convesso. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto $X$ di $V$, e per ogni funzione continua $f\colon X\to X$ esiste (almeno) un punto fisso per $f$.
  * Il teorema di Kakutani considera corrispondenze con valori di insieme.
  * Il teorema di Krasnoselskii considera una funzione $F$ che sia somma di una contrazione e di una funzione compatta. È una combinazione del teorema di punto fisso di Schauder e del teorema di contrazione.
  * Teorema di Darbo-Sadovskii
  * Teorema di Atiyah-Bott
  * Teorema di Lefschetz
  * Teorema di Earle-Hamilton
  * Teorema di punto fisso di Day: si considera un gruppo G localmente compatto e amenabile e una media invariante.
  
  ## Teoria degli ordini
  
  * Teorema di Knaster-Tarski
  * Teorema di Bourbaki-Witt
  
  ## Geometria algebrica
  
  * Teorema di Borel
  
  ## Topologia simplettica
  
  * Teorema di Poincaré-Birkhoff
  
  ## Teoria delle categorie
  
  * Teorema di Lawvere
  