title: Matrice di Hankel
text: # Matrice di Hankel
  
  Nell'algebra lineare, una matrice di Hankel è una matrice quadrata con diagonali (a pendenza positiva) costanti, ad esempio;
  
      ${\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}$
  
  In termini matematici:
  
      $a_{i,j}=a_{i-1,j+1}$
  
  La matrice di Hankel è strettamente connessa alla matrice di Toeplitz: infatti si può ottenere invertendo l'ordine delle sue righe o invertendo l'ordine delle sue colonne.
  
  Un operatore di Hankel su uno spazio di Hilbert è un operatore rappresentato in una base ortonormale da una matrice di Hankel di dimensione infinita $(a_{i,j})_{i,j\geq 0}$, dove $a_{i,j}$ dipende solo da $i+j$. La matrice di Hankel prende il nome dal matematico tedesco Hermann Hankel (1839-1873).
  
  ## Trasformata di Hankel
  
  La trasformata di Hankel è il nome che spesso viene dato alla trasformazione di una sequenza, dove la sequenza trasformata corrisponde al determinante della matrice di Hankel, cioè la sequenza $\{h_{n}\}$ è la trasformata di Hankel della sequenza $\{b_{n}\}$ dove
  
      $h_{n}=\det(b_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}$
  
  Ora, $a_{i,j}=b_{i+j}$ è la matrice di Hankel della sequenza $\{b_{n}\}$. La trasformata di Hankel è invariante rispetto alla trasformata binomiale di una sequenza. Cioè, se si scrive
  
      $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}$
  
  come trasformata binomiale della sequenza $\{b_{n}\}$, allora risulta
  
      $\det(b_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}=\det(c_{i+j})_{0\leq i,j\leq n}$
  
  ## Matrici di Hankel per sistemi di identificazione
  
  Le matrici di Hankel vengono formate quando, nota una sequenza di dati in uscita, si richiede la realizzazione di un sottostante spazio-condizione o di un modello di Markov nascosto. La scomposizione a singolo valore della Matrice di Hankel fornisce un mezzo per il calcolo delle matrici $A$, $B$ e $C$, che definiscono la realizzazione dello stato.
  
  