title: Integrale di Riemann-Stieltjes
text: # Integrale di Riemann-Stieltjes
  
  In analisi matematica, l'integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann. L'integrale prende il nome dai matematici Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes.
  
  Una generalizzazione di questo operatore è data dall'integrale di Lebesgue-Stieltjes.
  
  ## Definizione
  
  Date due funzioni di variabile reale $f,\,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, sia $x_{0}=a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{i}<\ldots <x_{n}=b$ una partizione dell'intervallo $[a,b]\subset \mathbb {R}$. Da ognuno dei sottointervalli definiti dalla partizione si consideri un punto $c_{i}\in \left[x_{i},x_{i+1}\right]$. Il calibro $\delta (P)$ della partizione $P$ è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione:
  
      $\delta (P)=\max _{x_{i}\in P}|x_{i+1}-x_{i}|$
  
  L'integrale di Riemann-Stieltjes di $f$ rispetto a $g$, denotato da:
  
      $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} g(x)$
  
  è definito come il seguente limite:
  
      $\lim _{\delta (P)\rightarrow 0}\sum _{x_{i}\in P}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i}))$
  
  se esso esiste indipendentemente dalla scelta dei punti $c_{i}$. La funzione $f$ è definita integranda, mentre $g$ è la funzione integratrice.
  
  Esistono diversi teoremi riguardanti l'esistenza del limite sopra definito; la condizione di esistenza più semplice stabilisce che la funzione integranda sia continua, e la funzione integratrice sia a variazione limitata; quest'ultima condizione equivale a chiedere che $g$ sia la differenza di due funzioni monotone. Un'altra condizione di esistenza è che le due funzioni non condividano alcuno punto di discontinuità.
  
  ## Legami con gli altri tipi di integrali
  
  Perché l'integrale sopra definito esista, sono richieste condizioni più deboli rispetto a quelle dell'integrale di Riemann. Se la funzione $g$ è di classe $C^{1}$, ovvero derivabile e con derivata continua, l'integrale sopra definito coincide con l'integrale di Riemann:
  
      $\int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x$
  
  In generale, tuttavia, la funzione integratrice può presentare discontinuità di salto o altre irregolarità che rendono impossibile utilizzare l'espressione che contiene la sua derivata (come ad esempio nel caso della funzione di Cantor). È così possibile estendere la nozione di integrabilità anche a molti casi non trattabili tramite l'integrale di Riemann. Inoltre, per l'integrale di Riemann-Stieltjes valgono tutte le usuali proprietà dell'integrale di Riemann.
  
  È possibile estendere ancora la classe delle funzioni integrabili, considerando l'integrale di Lebesgue; tuttavia se si ammettono integrali impropri, quest'ultimo non può essere considerato in senso stretto come una generalizzazione dell'integrale di Riemann-Stieltjes. L'integrale di Lebesgue-Stieltjes costituisce la generalizzazione degli integrali di Riemann-Stieltjes e Lebesgue.
  
  ## Applicazioni
  
  L'integrale di Riemann-Stiltjes trova applicazione in molti campi della matematica e della fisica, laddove si incontrano funzioni non integrabili secondo Riemann.
  
  ### Fisica
  
  In fisica è possibile esprimere numerose quantità per mezzo di integrali; ad esempio, la massa di un oggetto può essere espressa come somma infinita delle infinitesime masse che la compongono, o del prodotto tra densità e volume:
  
      $M=\int \mathrm {d} \mu =\int \rho \mathrm {d} V$
  
  La prima espressione ha tuttavia significato solo se la massa ha una distribuzione continua nello spazio; la seconda, se calcolata come integrale di Riemann-Stieltjes, consente di dare significato all'integrale anche nel caso di distribuzioni di massa discontinue (ad esempio puntiformi).
  
  ### Distribuzioni di probabilità
  
  Si consideri una funzione di ripartizione $g$ di una variabile aleatoria $X$; la derivata di $g$ è la sua densità di probabilità. Data una funzione $f$ per cui il valore atteso $E(|f(X)|)$ è finito, vale la formula:
  
      $E(f(X))=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)g^{\prime }(x)\mathrm {d} x$
  
  Se per la variabile aleatoria $X$ non è possibile definire una funzione di densità di probabilità (ad esempio se $X$ ha una distribuzione discreta), non è possibile applicare la formula precedente; utilizzando l'integrale di Riemann-Stieltjes, si può invece esprime il valore atteso di $f(X)$ come:
  
      $E(f(X))=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} g$
  
  per qualunque distribuzione cumulativa di probabilità.
  
  ### Analisi funzionale
  
  Lo spazio duale dello spazio di Banach delle funzioni continue $C[a,b]$ sull'intervallo $[a,b]\subset \mathbb {R}$ si può rappresentare come lo spazio formato dagli integrali di Riemann-Stieltjes rispetto a funzioni a variazione limitata.
  
  