title: Lotto economico
text: # Lotto economico
  
  In economia e ingegneria gestionale, il lotto economico è un modello di gestione delle scorte che definisce la quantità ottima di acquisto in modo da minimizzare la somma dei costi di approvvigionamento, e dei costi di mantenimento a magazzino.
  
  Il modello di ordinazione a lotti crea delle scorte di ciclo, che vengono idealmente smaltite entro l'ordine successivo. Tuttavia si noti che ordinare a lotti non è l'unica possibilità di gestione delle scorte: infatti, la tecnica del Just in time, nata nell'industria giapponese, prevede che gli ordini vengano 'tirati' direttamente dalla domanda finale (e per questo si dice che il JIT è un sistema pull) e non spinti (push) da una decisione presa a priori, come avviene invece nella gestione a fabbisogno: ciò permette, quando tale tecnica è applicabile, di ridurre significativamente il livello di scorte (fermo restando che esistono varie logiche di misurazione e controllo di tali scorte).
  
  Il modello EOQ (dall'inglese Economic Order Quantity) è stato proposto da F.W. Harris nel 1913, ma è attribuito principalmente a R. H. Wilson, che per primo studiò il caso. Nella letteratura economica recente, tuttavia, è conosciuto come modello di Harris-Wilson per la gestione delle scorte.
  
  Esistono numerose varianti ed estensioni del modello EOQ, adatte a situazioni diverse. Ad esempio, è possibile tenere conto della velocità finita di riempimento del magazzino (modello EMQ), oppure del lead-time non nullo (modello del punto di riordino) per un problema multiperiodale (dove un "periodo" è sempre riferito al periodo di tempo intercorso tra un ordine e l'altro), oppure considerando il riordino di più di un prodotto (a cui si riferiscono i modelli di riordino multiprodotto).
  
  ## Il problema di base
  
  Si consideri un'impresa che ha bisogno di materie prime per una quantità annua pari a S e che se ne approvvigioni a un prezzo unitario di p. Si ipotizzi che il fabbisogno di quelle materie prime sia costante nel tempo, e che non vi siano problemi per ripristinare le scorte. In questa ipotesi, l'azienda provvede, a scadenze regolari, a richiedere una quantità q>0 di S, in modo da avere sempre una scorta sufficiente. In magazzino, quindi, rimarrà sempre una quantità di scorte compresa fra q e 0. Volendo rappresentare questa situazione sul piano cartesiano (con il tempo sull'asse delle ascisse e la quantità presente in magazzino sulle ordinate), si avrà un diagramma a denti di sega, che mostra la funzione s(t) = scorte in t.
  
  Ultima condizione è che, ad ogni ordine, viene addebitato all'impresa un costo di ordinazione indicato con g.
  
  Sulla base di queste informazioni, si vuole fare in modo di minimizzare i costi variabili, acquistando una quantità idonea di S.
  
  La gestione a lotto economico è applicabile sia agli ordini di acquisto che agli ordini di produzione. Nel caso degli ordini di produzione, viene ottimizzato il trade-off fra costo di attrezzaggio per ogni lotto e costo di mantenimento a scorta, il semilavorato è valorizzato con il costo variabile di produzione; nel caso degli ordini di acquisto, viene ottimizzato il trade-off fra costo di gestione dell'ordine e costo di mantenimento a scorta, e il particolare viene valorizzato con il prezzo di acquisto.
  
  Se la produzione è gestita con lotto economico, la giacenza media dell'item nell'anno è pari $q \over 2$.
  
  ## Soluzione
  
  Il costo totale annuo prevede tre componenti:
  
  * la prima è il prezzo della materia prima, che è uguale a $pS$;
  * la seconda è il costo di ordinazione, che è uguale a $gS/q$;
  * la terza è il costo di detenzione della merce (il costo che si sostiene per tenere la materia prima in magazzino), che si ritiene essere proporzionale alla quantità media delle scorte $q/2$ secondo una costante m.
  
  Dunque la funzione di costo totale è uguale a:
  
  $C(q)=pS+{\frac {gS}{q}}+{\frac {mq}{2}}$.
  
  Vogliamo calcolare la quantità ottimale $q^{*}$.
  
  Derivando possiamo studiare il comportamento di C:
  
  $C'(q)=-{\frac {gS}{q^{2}}}+{\frac {m}{2}}$.
  
  Si noti che quest'ultima funzione non prevede il costo annuo della materia prima (il prezzo p è scomparso): infatti p non dipende da q.
  
  Vogliamo trovare il minimo, per cui la derivata deve essere imposta uguale a 0:
  
  $-{\frac {gS}{q^{2}}}+{\frac {m}{2}}=0$
  
  da cui possiamo ricavare la formula per il calcolo di $q^{*}$ (non considerando, per ovvi motivi, il caso in cui la quantità ottimale sia 0):
  
  $q^{*}={\sqrt {\frac {2Sg}{m}}}$.
  
  A partire da quest'ultima espressione, è possibile ricavare il costo totale ottimo:
  
  $C(q)=pS+{\frac {gS}{\sqrt {\frac {2Sg}{m}}}}+{\frac {m{\sqrt {\frac {2Sg}{m}}}}{2}}=pS+{\sqrt {2Sgm}}$.
  
  Inoltre, ricavando la derivata seconda, si può osservare che in $q^{*}$ si ha un minimo globale nel dominio economico di C. Infatti si ha:
  
  $C''(q)={\frac {gS}{q^{3}}}$
  
  che è certamente maggiore di zero, se q è anch'esso maggiore di zero.
  
  Infine, si ottiene che il lotto economico $q^{*}$ non è proporzionale a S.
  
  ## Ipotesi ulteriori
  
  Il modello base di EOQ si può considerare anche con nuove ipotesi:
  
  * un solo magazzino
  * un solo prodotto
  * magazzino a capacità infinita
  * domanda costante e deterministica
  * tempo di arrivo del lotto (lead time) nullo
  * riempimento istantaneo del magazzino
  * obbligo di evadere tutti gli ordini
  * prodotti indipendenti tra loro
  * costo di acquisto dei prodotti indipendente dalla quantità ordinata
  * vita del prodotto infinita
  
  ### Formula
  
  In questo caso la formula per calcolare l'EOQ per un singolo prodotto è:
  
  $q^{*}={\sqrt {\frac {2gS}{pm}}}={\sqrt {\frac {2gS}{h}}}$
  
  La formula del costo associato per unità di tempo per il lotto economico è:
  
  $Ct(q^{*})={\sqrt {2gSh}}$
  
  Nel caso che le consegne siano distribuite nel tempo
  
  $q^{*}={\sqrt {\frac {2gS}{pm(1-{\frac {S}{Hr}})}}}$
  
  I termini presenti nella formula hanno il seguente significato:
  
  * $q^{*}$ = quantità ottima da ordinare o lotto economico di riordino
  * $g$ = costi fissi legati all'ordinazione
  * $S$ = domanda del prodotto o fabbisogno
  * $p$ = costo unitario del prodotto
  * $m$ = costo di mantenimento dell'unità monetaria per l'unità di tempo
  * $h$ = costo percentuale di mantenimento per unità di prodotto per unità di tempo ($h=vi$)
  * $H$ = tempo di apertura impianto
  * $r$ = ritmo produttivo
  
  ## Soglia minima di ordinazione
  
  Nella prassi, si osserva sovente che un fornitore offra un prezzo unitario $p_{0}<p$ per ordini che raggiungano una soglia minima $q_{0}$. Se $q^{*}\geq q_{0}$, la quantità ottimale sarà sempre uguale a $q^{*}$, con la differenza che si avrà un risparmio annuo di $(p-p_{0})S$. In generale sarà però necessario inserire come nuovo input il nuovo prezzo unitario e considerare il nuovo valore di lotto economico restituito.
  
  Se invece $q^{*}<q_{0}$ le cose si complicano. Per risolvere il problema, occorre fare un confronto. Se
  
  $(p-p_{0})S>{\frac {gS}{q_{0}}}+{\frac {mq_{0}}{2}}-{\sqrt {2Sgm}}$
  
  allora la nuova quantità ottimale è $q_{0}$. In altre parole, è sempre conveniente acquistare $q_{0}$ se:
  
  $p_{0}<{\frac {pS-{\frac {gS}{q_{0}}}-{\frac {mq_{0}}{2}}+{\sqrt {2Sgm}}}{S}}=p-\left({\frac {g}{q_{0}}}+{\frac {mq_{0}}{2S}}-{\sqrt {\frac {2gm}{S}}}\right)$
  
  