title: Teorema di Hopf-Rinow
text: # Teorema di Hopf-Rinow
  
  In geometria differenziale, il teorema di Hopf-Rinow è un teorema relativo all’equivalenza fra alcune condizioni di completezza in una varietà riemanniana. Il nome si riferisce al matematico Heinz Hopf ed al suo studente Willi Rinow.
  
  ## Il teorema
  
  L'enunciato del teorema di Hopf-Rinow è il seguente.
  
  Sia $M$ una varietà riemanniana connessa per archi. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
  
  * $M$ è uno spazio metrico completo.
  * I sottoinsiemi chiusi e limitati in $M$ sono compatti.
  * Ogni geodetica in $M$ può essere prolungata indefinitamente. In altre parole, per ogni punto $p$ di $M$ la relativa mappa esponenziale è definita sull'intero spazio tangente $T_{p}(M)$ in $p$.
  
  ## Esempi
  
  ### Spazio euclideo
  
  Lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ con l'usuale metrica euclidea è completo. Questo perché la retta reale è uno spazio completo e il prodotto di spazi completi è completo.
  
  ### Varietà compatte
  
  Una varietà riemanniana compatta è sempre completa. Non è vero il viceversa: ad esempio lo spazio euclideo non è compatto.
  
  ### Rimozione di un punto
  
  Rimuovendo un punto $p$ da una varietà riemanniana $M$ qualsiasi si ottiene una varietà riemanniana $N$ non completa. Nessuna delle tre ipotesi elencate è infatti verificata:
  
  * Una successione di punti in $N$ convergente a $p$ è di Cauchy in $N$ ma non converge.
  * Sia $D$ una palla chiusa di raggio $r$ centrata in $p$. L'insieme $D\setminus \{p\}$ è chiuso e limitato in $N$, ma non compatto.
  * Se $g$ è una geodetica in $M$ attraversante $p$, viene tagliata in due geodetiche in $N$, ciascuna delle quali non può essere estesa indefinitivamente nella direzione di $p$.
  
  ## Dipendenza dalla metrica
  
  La completezza di una varietà riemanniana dipende fortemente dalla metrica presente, e cioè dal suo tensore metrico. La stessa varietà differenziale può infatti essere completa o non completa, a seconda della metrica di cui è dotata.
  
  Ad esempio, la palla unitaria
  
      $B=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}$
  
  non è completa se dotata dell'usuale metrica, indotta da quella di $\mathbb {R} ^{n}$, ma risulta completa se dotata della metrica di Poincaré.
  
  