title: Teorema di Krasnoselskii
text: # Teorema di Krasnoselskii
  
  In matematica, il teorema di Krasnoselskii è un teorema di punto fisso che prende il nome dal matematico Mark Krasnoselskii. Riguarda l'esistenza di un punto fisso per la funzione data dalla somma di una funzione continua e compatta con una contrazione. Il risultato è stato generalizzato da Edmunds e Reinermann per il caso di una funzione non espansiva e una fortemente continua.
  
  ## Enunciato di Krasnoselskii
  
  Sia $X$ uno spazio di Banach, e $C$ un sottoinsieme di $X$ chiuso, convesso e non vuoto.
  
  Siano $A,B:C\to X$ funzioni tali che:
  
  * $B(x)+A(y)\in M\,\forall x,y\in M$
  * $A$ è continua e compatta
  * $B$ è una contrazione con costante di Lipschitz $\alpha <1$
  
  allora esiste $x\in C$ che sia un punto fisso per $A+B$, ovvero che soddisfa $A(x)+B(x)=x$.
  
  ## Estensione di Edmunds e Reinermann
  
  Sia $X$ uno spazio di Banach, e $C\subset X$ un sottoinsieme di $X$ chiuso, convesso, limitato e non vuoto. Se $F_{1}:C\to X$ è una funzione non espansiva e $F_{2}:C\to X$ una funzione fortemente continua, allora la somma $F_{1}+F_{2}:C\to X$ ha un punto fisso.
  
  