title: Teorema di Hilbert-Schmidt
text: # Teorema di Hilbert-Schmidt
  
  In matematica, il teorema di Hilbert–Schmidt, conosciuto anche come teorema di espansione di autofunzioni, è un teorema che caratterizza gli operatori compatti e autoaggiunti su uno spazio di Hilbert.
  
  Si tratta di un risultato molto utile nello studio delle condizioni al contorno dell'operatore ellittico, che avviene nell'ambito delle equazioni differenziali alle derivate parziali.
  
  ## Il teorema
  
  Sia $A$ un operatore compatto e autoaggiunto definito su uno spazio di Hilbert $H$. Allora esiste una base ortonormale completa $\{\phi _{n}\}$ di $H$ tale che:
  
      $A\phi _{n}=\lambda _{n}\phi _{n}\qquad \forall n=1,2,\dots$
  
  ed inoltre:
  
      $\lim _{n\to +\infty }\lambda _{n}=0$
  
  In particolare, le funzioni $\{\phi _{n}\}$ permettono di scrivere $A$ nel seguente modo:
  
      $Au=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle \phi _{n},u\rangle \phi _{n}\qquad \forall u\in H$
  