title: Polinomio osculatore
text: # Polinomio osculatore
  
  In matematica applicata, si definisce polinomio osculatore un polinomio interpolatore che nei nodi $x_{i}$ (i = 1, ..., n) soddisfa alcune condizioni più restrittive in aggiunta alla semplice interpolazione di punti:
  
  $P^{(k)}(x_{i})=f^{(k)}(x_{i}),k\in {\{0,...,l\}}$
  
  Si hanno i seguenti casi particolari:
  
  * per $l=0$ si ha l'interpolazione di Lagrange;
  * per $l=1$ si ha l'interpolazione di Hermite.
  
  ## Polinomio osculatore di Hermite
  
  Dati $n+1$ nodi $x_{i}$ il polinomio osculatore di Hermite è un polinomio di grado al più $2n+1$ tale che:
  
  * $p(x_{i})=f(x_{i})$
  * $p'(x_{i})=f'(x_{i})$
  
  per i che va da 0 a n.
  
  Può essere rappresentato nella forma:
  
  $p(x)=\sum _{j=0}^{n}U_{j}(x)f(x_{j})+\sum _{j=0}^{n}V_{j}(x)f'(x_{j})$
  
  dove a loro volta i polinomi $U_{j}(x)$e $V_{j}(x)$ sono funzioni dei polinomi di Lagrange:
  
  * $U_{j}(x)=[1-2L'_{j}(x_{j})(x-x_{j})]L_{j}^{2}(x)$
  * $V_{j}(x)=(x-x_{j})L_{j}^{2}(x)$
  
  Si può quindi facilmente verificare che:
  
  * I polinomi U e V hanno grado 2n + 1
  * valgono le relazioni proprie dei polinomi di Lagrange.
  