title: Glossario di teoria dei campi
text: # Glossario di teoria dei campi
  
  Questa pagina è dedicata ad un glossario di teoria dei campi che vuole anche aiutare, insieme alla pagina della Categoria:Teoria dei campi, a rintracciare gli articoli di tale settore della matematica.
  
  ## Definizione di campo
  
  Un campo è un anello commutativo unitario (o con unità) (F,+,*,0,1) nel quale ogni elemento diverso dallo zero è invertibile. Sopra un campo si possono effettuare le quattro operazioni razionali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Ciò fa dei campi gli ambienti più vantaggiosi per le attività computazionali e di conseguenza per numerose applicazioni.
  
  ## Definizioni di base
  
  ### Gruppo moltiplicativo di un campo chiamato F
  
      Gruppo abeliano costituito dagli elementi diversi da zero di F munito del prodotto; si denota tradizionalmente $F^×.$
  
  ### Caratteristica del campo F
  
      Il più piccolo intero positivo n tale che n·1 = 0; qui n·1 sta per la somma di n sommandi 1 + 1 + 1 + ... + 1. Se un tale intero non esiste si dice che la caratteristica del campo è zero. Ogni caratteristica diversa da zero è un numero primo. Ad es. i campi dei numeri razionali, dei numeri reali e dei numeri p-adici hanno caratteristica 0, mentre il campo finito $Z_p$ ha caratteristica p.
  
  ### Anello dei polinomi con coefficienti nel campo F
  
      Si denota tradizionalmente F[x].
  
  ### Sottocampo del campo F
  
      Sottoinsieme di F chiuso rispetto alle operazioni + e * del campo e che, con queste operazioni, costituisce esso stesso un campo.
  
  ### Sottocampo primo del campo F
  
      L'intersezione di tutti i sottocampi di F, è esso stesso un sottocampo ed è dunque il più piccolo sottocampo di F. Viene anche chiamato sottocampo fondamentale (o minimo).
  
  ### Estensione di campi
  
      Se F è sottocampo di E si dice che E è un campo estensione di F; si può anche dire che E è un sovracampo di F.
  
  ### Estensione algebrica del campo F
  
      Se un elemento α di un campo estensione E di F è la radice di un polinomio in F[x], allora α si dice elemento algebrico su F. Se ogni elemento di E è algebrico su F, si dice che E è una estensione algebrica di F.
  
  ### Campo di spezzamento
  
      Campo estensione generato dalla fattorizzazione completa di un polinomio.
  
  ### Estensione normale
  
      Campo estensione generato dalla fattorizzazione completa di un insieme di polinomi.
  
  ### Estensione separabile
  
      Campo estensione generato dalle radici di polinomi separabili.
  
  ### Elemento primitivo
  
      Elemento α di un campo estensione E sopra un campo F tale che E=F(α), il minimo campo estensione contenente α.
  
  ### Campo perfetto
  
      Campo tale che ogni sua estensione finita è separabile. Tutti i campi di caratteristica zero e tutti i campi finiti sono perfetti.
  
  ### Campo algebricamente chiuso
  
      Estensione algebrica massimale di un campo F è la sua chiusura algebrica. Un campo è algebricamente chiuso se coincide con la propria chiusura algebrica.
  
  ### Elemento trascendente di un campo F
  
      Elemento che non è algebrico su F.
  
  ### Grado di trascendenza
  
      Numero di elementi trascendenti indipendenti in un campo estensione. Viene usato per definire la dimensione di una varietà algebrica.
  
  ## Omomorfismi
  
  ### Omomorfismo tra due campi E e F
  
  Una funzione
  
      $f:E\to F$
  
  che sia un omomorfismo di anelli, cioè tale che per tutti gli x e y in E:
  
      f(x + y) = f(x) + f(y)
      f(xy) = f(x) f(y)
  
  e tale che
  
      f(1) = 1
  
  Queste proprietà implicano che f(0) = 0, $f(x^{−1})$ = $f(x)^{−1}$ per ogni x in E diverso da 0, e che f è iniettiva. La classe dei campi munita di questi omomorfismi forma una categoria.
  
  ### Campi isomorfi
  
      Due campi E e F sono detti isomorfi se tra di loro esiste un omomorfismo biiettivo
      $f:E\to F$
  
  Due campi isomorfi si possono identificare per tutte le applicazioni pratiche. Occorre osservare che questa identificazione la si può ottenere con diversi isomorfismi. Vedi ad esempio la coniugazione complessa.
  
  ## Campi specifici
  
  ### Campo finito
  
      Campo con insieme sostegno finito.
  
  ### Campo ordinato
  
      Campo munito di un ordine totale compatibile con le sue operazioni.
  
  ### Campo dei numeri razionali (Campo dei razionali)
  
      V. numero razionale
  
  ### Campo dei numeri reali
  
      V. numero reale
  
  ### Campo dei numeri complessi
  
      V. numero complesso
  
  ### Campo numerico
  
      Estensione algebrica del campo dei numeri razionali.
  
  ### Campo dei numeri algebrici
  
      Questo campo (v. numero algebrico) è l'estensione algebricamente chiusa del campo dei numeri razionali. Le loro proprietà sono indagate nella teoria dei numeri algebrici.
  
  ### Campo quadratico
  
      Estensione di grado 2 del campo dei razionali.
  
  ### Campo ciclotomico
  
      Estensione del campo dei numeri razionali generata da una radice dell'unità.
  
  ### Campo totalmente reale
  
      Campo numerico generato da una radice di un polinomio che ha tutte le sue radici reali.
  
  ## Teoria di Galois
  
  ### Estensione di Galois
  
      Campo estensione normale e separabile.
  
  ### Gruppo di Galois
  
      Il gruppo degli automorfismi di una estensione di Galois. Nel caso di una estensione finita è un gruppo finito di ordine uguale al grado dell'estensione. I gruppi di Galois delle estensioni infinite sono gruppi profiniti.
  
  ### Teoria di Kummer
  
      La teoria di Galois del prendere radici n-esime, date abbastanza radici dell'unità. Include la teoria generale delle estensioni quadratiche.
  
  ### Teoria di Artin - Scheier
  
      Copre un caso eccezionale per la teoria di Kummer in caratteristica p.
  
  ### Prodotto tensoriale di campi
  
      Settore fondazionale dell'algebra concernente l'operazione compositum (giunzione, join, di campi).
  
  ### Teoria di Galois alla Grothendieck
  
      Approccio molto astratto a partire dalla geometria algebrica, sviluppato per studiare l'analogo del gruppo fondamentale.
  