title: Teorema di Helly
text: # Teorema di Helly
  
  In matematica, con teorema di Helly ci si riferisce a più teoremi dovuti a Eduard Helly. Due di essi riguardano l'analisi funzionale e il passaggio al limite sotto il segno di integrale di Stieltjes. Questi due risultati affermano insieme che una successione di funzioni che sia, localmente, a variazione totale limitata e uniformemente limitata in un punto, ammette una sottosuccessione convergente.
  
  In altre parole, si ha un teorema di compattezza per lo spazio delle funzioni a variazione limitata $BV_{loc}$.
  
  ## Primo teorema di Helly
  
  Sia data una successione $\{f_{n}\}_{n\geq 1}$ di funzioni a variazione limitata su un intervallo $[a,b]$, convergenti puntualmente a una funzione $f$ e tali che le variazioni totali siano uniformemente limitate, ossia esiste $C\geq 0$ tale che:
  
      $\sup _{n\geq 1}V_{a}^{b}[f_{n}]\leq C$
  
  Allora la funzione limite $f$ è a sua volta a variazione limitata, e, per ogni funzione continua $g$ si verifica:
  
      $\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}g(x)\,df_{n}(x)=\int _{a}^{b}g(x)\,df(x)$
  
  ## Secondo teorema di Helly
  
  Da ogni insieme infinito $M$ di funzioni date su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, uniformemente limitato nello spazio delle funzioni continue a variazione limitata, si può ricavare una sottosuccessione convergente in ogni punto dell'intervallo $[a,b]$.
  
  ## Generalizzazioni
  
  Esistono diverse generalizzazione e varianti del teorema di Helly. Il seguente risultato, valido per funzioni a variazione limitata ambientate in spazi di Banach, si deve a Viorel Barbu e Teodor Precupanu.
  
  Sia $X$ uno spazio di Hilbert riflessivo e separabile, e sia $E$ un sottoinsieme convesso di $X$. Detta $\Delta :X\to [0,\infty )$ una funzione omogenea di grado uno definita positiva, si supponga che $z_{n}$ è una successione uniformemente limitata in $BV([0,T];X)$ con $z_{n}(t)\in E$ per ogni $n\in \mathbb {N}$ e $t\in [0,T]$. Allora esiste una sottosuccessione $z_{n_{k}}$ e una coppia di funzioni $\delta ,z\in BV([0,T];X)$ tali che:
  
      $\int _{[0,t)}\Delta (\mathrm {d} z_{n_{k}})\to \delta (t)\qquad z_{n_{k}}(t)\rightharpoonup z(t)\in E$
  
  per ogni $t\in [0,T]$, e:
  
      $\int _{[s,t)}\Delta (\mathrm {d} z)\leq \delta (t)-\delta (s)$
  
  per ogni $0\leq s<t\leq T$.
  
  