title: Fattoriale crescente di base q
text: # Fattoriale crescente di base q
  
  In matematica, nel campo della combinatoria, si dice fattoriale crescente di base q nella x relativo a $\infty$ la serie
  
  $(x;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{k}x),$
  
  per le variabili complesse x e q; se si pongono problemi di convergenza chiediamo che sia |q|<1.
  
  Si dice invece fattoriale crescente di base q nella x relativo al numero complesso n
  
  $(x;q)_{n}:={\frac {(x;q)_{\infty }}{(q^{n}x;q)_{\infty }}}$
  
  Se n è un intero naturale
  
  $(x;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-q^{k}x)=(1-x)(1-xq)(1-xq^{2})\cdots (1-xq^{n-1})$
  
  Risulta quindi individuata una famiglia di successioni di polinomi nella x parametrizzata da q che inizia con i seguenti componenti:
  
      $(x;q)_{0}=1$
      $(x;q)_{1}=1-x$
      $(x;q)_{2}=(1-x)(1-qx)=1-(1+q)x+qx^{2}\qquad$
      $\,(x;q)_{3}=(1-x)(1-qx)(1-q^{2}x)=1-(1+q+q^{2})x+(q+q^{2}+q^{3})x^{2}-q^{3}x^{3}\,$
  
  Questi polinomi (formali) sono chiamati anche q-fattoriali crescenti, q-simboli di Pochhammer e simboli di Pochhammer di base q. Essi sono ampiamente utilizzati nelle formule esprimenti proprietà delle serie ipergeometriche di base q.
  
  ## Notazione con argomenti multipli
  
  Dato che le identità che coinvolgono i q-simboli di Pochhammer spesso contengono il prodotto di più simboli, convenzionalmente si scrive un prodotto come un unico simbolo con argomenti multipli:
  
      $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m};q)_{n}=(x_{1};q)_{n}(x_{2};q)_{n}\ldots (x_{m};q)_{n}.$
  