title: Bootstrap (statistica)
text: # Bootstrap (statistica)
  
  Il bootstrap è una tecnica statistica di ricampionamento con reimmissione per approssimare la distribuzione campionaria di una statistica. Permette perciò di approssimare media e varianza di uno stimatore, costruire intervalli di confidenza e calcolare p-value di test quando, in particolare, non si conosce la distribuzione della statistica di interesse.
  
  Nel caso di campionamento casuale semplice, il funzionamento è il seguente: consideriamo un campione effettivamente osservato di numerosità pari ad n, diciamo $x=(x_{1},...,x_{n})$. Da $x$ si ricampionano m altri campioni di numerosità costante pari ad n, diciamo $x_{1}^{*},...,x_{m}^{*}$; in ciascuna estrazione bootstrap, i dati provenienti dal primo elemento del campione, cioè $x_{1}$, possono essere estratti più di una volta e ciascun dato ha probabilità pari a 1/n di essere estratto.
  
  Sia $T$ lo stimatore di $\theta$ che ci interessa studiare, diciamo $T(x)={\hat {\theta }}$. Si calcola tale quantità per ogni campione bootstrap, $T(x_{1}^{*}),...,T(x_{m}^{*})$. In questo modo si hanno a disposizione m stime di $\theta$, dalle quali è possibile calcolare la media bootstrap, la varianza bootstrap, i percentili bootstrap etc. che sono approssimazioni dei corrispondenti valori ignoti e portano informazioni sulla distribuzione di $T(x)$.
  
  Partendo quindi da queste quantità stimate è possibile calcolare intervalli di confidenza, saggiare ipotesi, etc.
  
  