title: Numero primo di Wolstenholme
text: # Numero primo di Wolstenholme
  
  In matematica un numero primo $p$ è detto di Primo di Wolstenholme se e solo se
  
      ${\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}$
  
  Ovvero
  
      ${\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{4}}}$
  
  Gli unici due numeri primi di Wolstenholme attualmente conosciuti sono 16843 e 2124679 (sequenza A088164 dell'OEIS). È stato verificato che non ne esistano altri minori di $10^{9}$
  
  ## Dimostrazione
  
  Il Coefficiente binomiale è definito come:
  
      ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!(k!)}}$
  
  Si può quindi espandere il binomio, riscrivendo l'identità come:
  
      ${\binom {2p-1}{p-1}}={\frac {(2p-1)!}{[(2p-1)-(p-1)]!(p-1)!}}\equiv 1$
  
  Semplificando si ottiene:
  
      ${\binom {2p-1}{p-1}}\,={\frac {2p}{2p}}\cdot {\frac {(2p-1)!}{p!(p-1)!}}\,={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(2p)!}{(p!)^{2}}}\,={\frac {1}{2}}{\binom {2p}{p}}\,\equiv 1$
  
  Raggruppando, la seguente identità è dimostrata:
  
      ${\binom {2p}{p}}\,\equiv 2\,$
  