title: Gruppo modulare
text: # Gruppo modulare
  
  In matematica, il gruppo modulare $\Gamma$ è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici.
  
  ## Definizione
  
  Il gruppo modulare $\Gamma$ è il gruppo delle trasformazioni lineari fratte del semipiano complesso superiore che hanno la forma
  
      $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$
  
  dove $a$, $b$, $c$ e $d$ sono interi e $ad-bc=1$. L'operazione di gruppo è la composizione di funzioni. Gli elementi del gruppo sono detti trasformazioni modulari.
  
  Questo gruppo di trasformazioni è isomorfo al gruppo lineare speciale $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ quozientato con il suo centro $\{I,-I\}$, dove $I$ è la matrice identità. Ciò equivale a dire che il gruppo modulare è isomorfo al gruppo speciale lineare proiettivo $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$, che consiste nelle matrici
  
      ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$
  
  dove $a$, $b$, $c$ e $d$ sono interi, $ad-bc=1$ e le matrici $A$ e $-A$ sono considerate uguali.
  
  ## Presentazione
  
  Le trasformazioni
  
      $S\colon z\mapsto -{\frac {1}{z}},$
      $T\colon z\mapsto z+1,$
  
  generano il gruppo modulare, cioè ogni elemento di $\Gamma$ può essere scritto (in modo non unico) come la composizione di potenze di $S$ e $T$.
  
  Geometricamente $S$ rappresenta l'inversione rispetto alla circonferenza unitaria seguita dalla riflessione rispetto alla retta $\mathrm {Re} (z)=0$, mentre $T$ rappresenta la traslazione unitaria a destra.
  
  I generatori $S$ e $T$ soddisfano le relazioni $S^{2}=1$ e $(ST)^{3}=1$. Si dimostra che queste sono un insieme completo di relazioni, quindi il gruppo modulare ha presentazione
  
      $\Gamma \cong \langle S,T\mid S^{2}=I,(ST)^{3}=I\rangle .$
  