title: Trasferimento alla Sternfeld
text: # Trasferimento alla Sternfeld
  
  In astronautica e in ingegneria aerospaziale, il trasferimento alla Sternfeld ideato nel 1934 è una manovra orbitale biellittica (sfrutta due ellissi di trasferimento) a 3 impulsi, impiegata per passare da un'orbita circolare iniziale di raggio $r_{i}$ ad un'orbita circolare finale di raggio $r_{f}$. Sebbene il tempo di trasferimento dall'orbita di raggio $r_{i}$ all'orbita di raggio $r_{f}$ sia maggiore rispetto ad un trasferimento alla Hohmann, 2 impulsi, risulta più conveniente in termini di Δv se il rapporto tra $r_{f}$ ed $r_{i}$ è maggiore di 11,94. orbita complanare => solamente 2 impulsi.
  
  ## Caratteristiche
  
  * La manovra biellittica bitangente è una manovra biellittica in quanto il trasferimento si effettua attraverso due semiellissi: la prima semiellisse di semiasse minore $a_{1}$ collega la circonferenza di raggio $r_{i}$ alla circonferenza di supporto di raggio $r_{supp}$, mentre la seconda semiellisse di semiasse maggiore $a_{2}$ collega la circonferenza di supporto all'orbita circolare finale $r_{f}$;
  * La manovra viene chiamata bitangente in quanto ogni ellisse di trasferimento è tangente a due circonferenze: la prima ellisse è tangente alla circolare iniziale e alla circolare di supporto, mentre la seconda ellisse è tangente a quest'ultima ed alla circolare finale:
  * Le coniche sono tutte confocali e complanari al pianeta attrattore, anche se uno dei vantaggi di questo tipo di trasferimento è la possibilità di fare un cambio di piano orbitale nell'apoapside della prima ellisse; in questo modo si riduce il Delta-v necessario al cambio di piano, che dipende dalla distanza dal corpo centrale.
  
  ## Calcolo del trasferimento
  
  Utilizzando l'equazione di Conservazione dell'energia orbitale specifica
  
      $v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$
  
  dove
  
  * $v$ è il modulo della velocità nel punto considerato;
  * $\mu \$ è la costante gravitazionale planetaria dell'attrattore;
  * $r$ è il modulo della distanza dall'attrattore;
  * $a$ è il semiasse maggiore della conica;
  
  è possibile determinare le varie velocità nei punti di manovra; il Delta-v sarà uguale alla somma delle differenze di velocità ($\Delta \upsilon$) che nei 3 istanti considerati dovranno essere impressi dalla sonda per il cambio di orbita.
  
  Il primo $\Delta v$ è fornito per passare dall'orbita di raggio $r_{i}$ all'orbita ellittica di semiasse $a_{1}$:
  
      $\Delta v_{A}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{i}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{i}}}}$
  
  Il secondo $\Delta v$ è fornito per passare dalla prima ellisse di trasferimento alla seconda ellisse di trasferimento, di semiasse $a_{2}$. Si noti che nel punto di applicazione di questo secondo Delta-v la distanza dall'attrattore è pari a $r_{supp}$, molto maggiore dei raggi finale e iniziale. Questo punto è l'apoapside della prima orbita di trasferimento.
  
      $\Delta v_{B}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{supp}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{supp}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}$
  
  Il terzo $\Delta v$ è fornito per circolarizzare l'orbita sulla circonferenza finale di raggio $r_{f}$. La variazione impulsiva di velocità è applicata nel periapside della seconda ellisse di trasferimento.
  
      $\Delta v_{C}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{f}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{f}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}$
  
  Si ricorda che i due semiassi delle ellissi valgono
  
      $a_{1}={\frac {r_{i}+r_{supp}}{2}}$
      $a_{2}={\frac {r_{f}+r_{supp}}{2}}$
  
  Il costo totale della manovra risulta $\|\Delta v_{tot}\|\ =\|\Delta v_{A}\|\ +\|\Delta v_{B}\|\ +\|\Delta v_{C}\|\$
  
  ## Tempo di volo
  
  Uno svantaggio è sicuramente il tempo di volo, che risulta molto maggiore di un trasferimento diretto tra $r_{i}$ ed $r_{f}$ utilizzando un trasferimento alla Hohmann. Infatti il tempo di trasferimento con una manovra biellittica bitangente vale
  
      $t_{tr}=\pi {\sqrt {a_{1}^{3}/\mu }}+\pi {\sqrt {a_{2}^{3}/\mu }}$
  
  mentre nel caso alla Hohmann risulterebbe
  
      $t_{H}=\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}$
  
  con
  
      $a={\frac {r_{i}+r_{f}}{2}}$
  
  ## Vantaggi rispetto al trasferimento alla Hohmann
  
  Un primo vantaggio è il minore delta-v necessario se il parametro
  
      $b={\frac {r_{f}}{r_{i}}}>11{,}94$.
  
  Il valore in questione è ottenuto normalizzando i vari $\Delta v$ rispetto alla velocità sulla prima circolare ed eguagliando i $\Delta v$ totali nei due casi di trasferimento.
  
  Un ulteriore vantaggio è la convenienza a effettuare i dispendiosi cambi di piano orbitale lontano dall'attrattore, ad esempio al secondo impulso della manovra.
  
  