title: Ampiezza di scattering
text: # Ampiezza di scattering
  
  In fisica quantistica, l'ampiezza di scattering (o ampiezza di diffusione) è l'ampiezza di probabilità dell'onda sferica prodotta dall'interazione di un'onda piana con una particella puntiforme.
  
  Il processo di scattering è descritto dalla funzione d'onda
  
      $\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k\cdot r} }+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,$
  
  dove $\mathbf {r} \equiv (x,y,z)$ è il vettore posizione con $r\equiv \lVert \mathbf {r} \rVert$; $e^{i\mathbf {k\cdot r} }$ è l'onda piana incidente con vettore d'onda $\mathbf {k}$ ($k\equiv \lVert \mathbf {k} \rVert$); $e^{ikr}/r$ è l'onda sferica diffusa; θ è l'angolo di scattering; $f(\theta )$ è l'ampiezza di scattering. La dimensione dell'ampiezza di scattering è la lunghezza.
  
  L'ampiezza di scattering è un'ampiezza di probabilità; la sezione d'urto differenziale in funzione dell'angolo di scattering è data dal suo modulo al quadrato,
  
      ${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}\;.$
  
  ## Sviluppo in onde parziali
  
  Nello sviluppo in onde parziali l'ampiezza di scattering è rappresentata da una sommatoria sulle onde parziali,
  
      $f=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )$,
  
  dove $f_{\ell }$ è l'ampiezza di scattering parziale e $P_{\ell }$ sono i polinomi di Legendre.
  
  L'ampiezza parziale può essere espressa tramite l'elemento di onda parziale della matrice S $S_{\ell }$ ($=e^{2i\delta _{\ell }}$) e lo sfasamento di scattering $\delta _{\ell }$ come
  
      $f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.$
  
  Allora la sezione d'urto differenziale è data da
  
      ${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}={\frac {1}{k^{2}}}\left|\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )\right|^{2}$,
  
  e la sezione d'urto totale diventa
  
      $\sigma =2\pi \int _{0}^{\pi }{\frac {d\sigma }{d\Omega }}\sin \theta \,d\theta ={\frac {4\pi }{k}}\operatorname {Im} f(0)$,
  
  dove $\operatorname {Im} f(0)$ è la parte immaginaria di $f(0)$. Questa uguaglianza prende il nome di teorema ottico.
  
  ## Raggi X
  
  La lunghezza di scattering per i raggi X è la lunghezza di scattering di Thomson (o il raggio classico dell'elettrone).
  
  ## Neutroni
  
  Il processo di scattering di neutroni nucleari dipende dalla lunghezza di scattering neutronica spesso rappresentata da $b$.
  
  ## Formalismo quantistico
  
  Un approccio quantistico è dato dal formalismo della matrice S.
  
  