title: Successive Over Relaxation
text: # Successive Over Relaxation
  
  In analisi numerica, il metodo Successive Over Relaxation, comunemente detto SOR o metodo del sovrarilassamento, è un metodo iterativo per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, variante del metodo di Gauss-Seidel. Fu introdotta dal matematico statunitense David M. Young nel 1950.
  
  ## Definizione
  
  Indicando con $x_{gs}^{(k)}$ l'approssimazione della soluzione ottenuta dal metodo di Gauss-Seidel al k-esimo passo di iterazione, il metodo SOR viene definito come:
  
  Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle x^{(k+1)} = \omega x^{(k+1)}_{gs} + (1-\omega) x^{(k)}}
  
  dove $\omega$ è detto parametro di rilassamento.
  
  Più esplicitamente:
  
  $x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{k}+\omega r_{i}^{k}$
  
  dove r indica la correzione necessaria a $x^{k}$ per ottenere $x^{k+1}$ e viene calcolata come:
  
  $r_{i}^{k}=1/a_{ii}\left[b_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{k+1}-\sum _{j=i}^{n}a_{ij}x_{j}^{k}\right]$
  
  Quando $\omega =1$ il metodo SOR coincide con il metodo di Gauss-Seidel.
  
  ## Condizioni di convergenza
  
  Si dimostra che condizione necessaria affinché tale metodo converga è che $0<\omega <2$, e che tale condizione è sufficiente se la matrice $A$ cui è applicato il metodo è diagonalmente dominante in senso stretto.
  
  