title: Serie di Neumann
text: # Serie di Neumann
  
  In matematica una serie di Neumann è una serie della forma:
  
      $\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}$
  
  dove $T$ è un operatore. Questa è una generalizzazione della serie geometrica.
  
  La serie prende il nome del matematico Carl Gottfried Neumann, che la usò nel 1877 nel contesto della teoria del potenziale. La serie di Neumann è usata in analisi funzionale. Forma le basi per la serie di Liouville-Neumann, che serve a risolvere le equazioni integrali di Fredholm. È anche importante per lo studio dello spettro degli operatori limitati.
  
  ## Proprietà
  
  Sia $T$ un operatore limitato su uno spazio normato $X$. Se la serie di Neumann converge nella norma operatoriale, allora $Id-T$ è invertibile e la sua inversa è la somma della serie:
  
      $(\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}$
  
  Un caso in cui la convergenza è garantita è quando $X$ è uno spazio di Banach e $||T||<1$ nella norma operatoriale. Tuttavia, ci sono risultati che danno condizioni più deboli sotto le quali la serie converge.
  
  Un corollario è che l'insieme degli operatori invertibili tra due spazi di Banach $B$ e $B'$ è aperto nella topologia indotta dall'operatore norma. Quindi, sia $S:B\to B'$ un operatore invertibile e sia $T:B\to B'$ un altro operatore. Se $|S-T|<|S^{-1}|^{-1}$, allora anche $T$ è invertibile. Questo segue da scrivere $T$ come:
  
      $T=S(\mathrm {Id} -(\mathrm {Id} -S^{-1}T))$
  
  e applicando il risultato della sezione precedente al secondo fattore. La norma di $T^{-1}$ può essere limitata da:
  
      $|T^{-1}|\leq {\tfrac {1}{1-q}}|S^{-1}|\quad {\text{dove}}\quad q=|S-T|\,|S^{-1}|$
  