title: Assioma dell'unione
text: # Assioma dell'unione
  
  Nella teoria degli insiemi, l'assioma dell'unione è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.
  
  Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive:
  
      $\forall A,\exists B,\forall c:c\in B\iff (\exists D:c\in D\land D\in A)$
  
  oppure a parole:
  
      Dato un generico insieme A, esiste un insieme B tale che, dato un generico elemento c, c è un elemento di B se e solo se esiste un insieme D tale che c è un elemento di D e D è un elemento di A.
  
  Quindi quello che l'assioma sta realmente dicendo è che, dato un insieme A, possiamo trovare un insieme B i cui elementi sono esattamente gli elementi degli elementi di A. Per l'assioma di estensionalità questo insieme B è unico ed è chiamato unione di A, e indicato con ∪A. Assieme all'assioma della coppia implica che, per ogni coppia di insiemi, esiste un insieme che contiene esattamente gli elementi di entrambi. L'essenza dell'assioma è:
  
      L'unione di un insieme è un insieme.
  
  L'assioma dell'unione è generalmente considerato non controverso, e appare in questa forma o in una forma equivalente in quasi tutte le assiomatizzazioni alternative della teoria degli insiemi.
  
  Si noti che non esiste nessun corrispondente assioma di intersezione. Nel caso in cui A sia l'insieme vuoto, non esiste intersezione di A nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. D'altra parte, se A ha qualche elemento B, allora possiamo formare l'intersezione ∩A come: {C : C in B e, per ogni D in A, C è in D} usando lo schema di assiomi di specificazione.
  
  