title: Zero-insieme
text: # Zero-insieme
  
  In matematica, uno zero-insieme di una funzione è l'insieme formato dai punti in cui la funzione assume valore nullo. Più precisamente, data una funzione $f:X\rightarrow G$, dove $G$ è un gruppo additivo, lo zero insieme di $f$ è la controimmagine dell'elemento neutro:
  
      $Z(f)=f^{-1}(0)\subseteq X$
  
  I punti dello zero insieme corrispondono alle radici dell'equazione $f(x)=0$; l'insieme complementare di uno zero insieme è detto cozero-insieme, e corrisponde ai punti in cui la funzione assume valore non nullo. Gli zero insiemi sono utilizzati in molti settori della geometria e della topologia; a seconda dell'ambito di applicazione, vengono considerati in relazione a diversi tipi di funzione.
  
  Solitamente l'insieme zero di una trasformazione lineare è detto nucleo.
  
  ## Topologia
  
  In topologia vengono considerati gli zero insiemi delle funzioni continue, che possiedono alcune importanti caratteristiche: in particolare, gli zero insiemi sono sempre insiemi chiusi, mentre in generale non vale il viceversa; tramite gli zero insiemi è possibile caratterizzare i seguenti assiomi di separazione:
  
  * uno spazio topologico $X$ è completamente regolare se e solo se ogni suo insieme chiuso è l'intersezione di una famiglia di zero insiemi ovvero se e solo se i cozero insiemi formano una base di $X$;
  * uno spazio topologico $X$ è completamente normale se e solo se ogni insieme chiuso è uno zero insieme, ovvero se e solo se ogni insieme aperto è un cozero insieme.
  
  ## Geometria differenziale
  
  In geometria differenziale si considerano gli zero insiemi di funzioni lisce $f:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} ^{n}$; se zero non è un punto critico della funzione, allora lo zero insieme di $f$ definisce una varietà di dimensione $n-p$.
  
  ## Geometria algebrica
  
  In geometria algebrica, lo zero insieme di una famiglia di polinomi è una varietà affine, mentre la proiettivizzazione degli zero insiemi di una famiglia di polinomi omogenei è una varietà proiettiva.
  
  