title: Rappresentazione simplettica
text: # Rappresentazione simplettica
  
  Nel settore della matematica della teoria delle rappresentazione dei gruppi, una rappresentazione simplettica è una rappresentazione di un gruppo o di un'algebra di Lie su uno spazio vettoriale simplettico (V, ω) che conserva la forma simplettica ω. Dove ω è una forma bilineare simplettica
  
      $\omega \colon V\times V\to \mathbb {F}$
  
  dove F è il campo scalare. Una rappresentazione di un gruppo G conserva ω se:
  
      $\omega (g\cdot v,g\cdot w)=\omega (v,w)$
  
  per tutti i g in G e i v, w in V, mentre una rappresentazione di un'algebra di Lie g preserva ω se:
  
      $\omega (\xi \cdot v,w)+\omega (v,\xi \cdot w)=0$
  
  per tutti gli ξ in g e i v, w in V. Così una rappresentazione di G (o di g) è un omomorfismo fra G (o algebra di Lie g) e un gruppo simplettico Sp (V, ω) (o la sua algebra di Lie Sp (V, ω))
  
  Fissata una base, $\omega$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari.
  
  ## Spazio vettoriale simplettico
  
  In algebra lineare, si chiama spazio vettoriale simplettico uno spazio vettoriale reale $V$ di dimensione pari dotato di una funzione $\omega :V\times V\to \mathbb {R}$ tale che, per ogni $v,v',w,w'$ in $V$ e per ogni $\lambda ,\mu$ in $\mathbb {R}$
  
      $\omega (\lambda v+\mu v',w)=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v',w)$
      $\omega (v,\lambda w+\mu w')=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v,w')$
      $\omega (v,w)=-\omega (w,v)$
      $\omega (v,w)=0$ per ogni $w$ implica $v=0$
  
  In altre parole, $\omega$ è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. $V$ munito della forma $\omega$ si dice anche munito di struttura simplettica.
  
  Fissata una base, $\omega$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare.
  
  