title: Insieme induttivo (teoria degli ordini)
text: # Insieme induttivo (teoria degli ordini)
  
  In teoria degli ordini, un insieme ordinato $X$ si dice induttivo se:
  
  Ogni catena di $X$ ha un maggiorante.
  
  ## Insiemi induttivi e Lemma di Zorn
  
  Il concetto di insieme induttivo è alla base del Lemma di Zorn. La definizione classica del lemma è infatti:
  
  Dato un insieme $X$ parzialmente ordinato, se ogni sua catena ha un maggiorante, allora $X$ contiene un elemento massimale
  
  Ma tale definizione può essere riformulata come:
  
  $X$ induttivo non vuoto $\Rightarrow$ ha un elemento massimale.
  
  Osserviamo che non è vera l'implicazione inversa, a meno che l'ipotesi non venga rafforzata:
  
  $X$ ha massimo $\Rightarrow$ è induttivo.
  
  