title: Rappresentazioni dei gruppi di Lie
text: # Rappresentazioni dei gruppi di Lie
  
  Si dice rappresentazione di un gruppo di Lie $G$ su uno spazio vettoriale $V$ un omomorfismo sotto il quale ogni elemento $g$ in $G$ è mappato in un elemento dello spazio degli operatori lineari invertibili agenti su $V$ e consistenti con le operazioni di gruppo.
  
  ## Definizione
  
  Una rappresentazione $T$ di un gruppo $G$ sullo spazio vettoriale $V$ è un omomorfismo
  
      ${\begin{matrix}T:&G&\longrightarrow &Hom(V,W)\\&g&\longmapsto &T(g)\end{matrix}}$
  
  Dove $T(g):V\longrightarrow W$ è invertibile e tale da rispettare le operazioni definenti il gruppo:
  
      ${\begin{aligned}&T(g_{1}g_{2})=T(g_{1})T(g_{2})\\&T(g^{-1})=[T(g)]^{-1}\end{aligned}}$
  
  dove $[T(g)]^{-1}$ rappresenta l'operatore inverso a $T(g)$.
  
  ## Rappresentazione di algebre di Lie
  
  Corrispondentemente alla rappresentazione di gruppo di Lie esiste quella della sua Algebra nello stesso spazio vettoriale V. La rappresentazione di un'algebra di Lie $AG$ su uno spazio vettoriale $V$ è una mappa che manda ogni elemento $A\in AG$ in un elemento $T(A)$ dello spazio delle applicazioni lineari dello spazio vettoriale V coerente con le operazioni dell'algebra:
  
      ${\begin{aligned}&T(A+B)=T(A)+T(B)\\&T(\alpha A)=\alpha T(A)\\&T([A,B])=[T(A),T(B)]\end{aligned}}$
  
  Perciò il prodotto di Lie viene mandato nel commutatore degli operatori.
  
  ## Connessione tra rappresentazioni di gruppo e di algebra
  
  Data T(G) rappresentazione del gruppo di Lie G nello spazio V è possibile costruire la rappresentazione della corrispondente algebra di Lie AG.
  
      $T(1+\varepsilon A)=1+\varepsilon T(A)$
  
  Dove $(1+\varepsilon A)$ è un elemento del gruppo G vicino all'unità, e di conseguenza A è un elemento dell'algebra di Lie. Nonostante ciò non ogni rappresentazione di algebra è costruita da rappresentazione di gruppi.
  
  Esiste sempre una rappresentazione dell'algebra di dimensione n in termini di matrici nxn: questa è la rappresentazione aggiunta.
  
  