title: Spazio vettoriale quoziente
text: # Spazio vettoriale quoziente
  
  In matematica, e più precisamente in algebra lineare, lo spazio vettoriale quoziente o spazio quoziente è uno spazio vettoriale ottenuto da una coppia di spazi vettoriali $U\subset V$ uno contenuto nell'altro. Lo spazio quoziente si ottiene "collassando" $U$ allo zero. Si indica con $V/U$, che si legge $V$ mod $U$.
  
  ## Definizione
  
  Dato uno spazio vettoriale $V$ ed un sottospazio vettoriale $U$, lo spazio quoziente $V/U$ è l'insieme quoziente di $V$ (cioè l'insieme delle classi di equivalenza su $V$) determinato dalla relazione d'equivalenza:
  
      $v\sim v'\Leftrightarrow v-v'\in U$
  
  Cioè, $v$ è equivalente a $v'$ se uno può essere ottenuto dall'altro aggiungendo un elemento del sottospazio $U$.
  
  La classe di equivalenza di $v$ è spesso denotata con:
  
      $[v]=v+U$
  
  dal momento che è data da:
  
      $[v]=\{v+u:u\in U\}$
  
  Lo spazio quoziente $V/U$ è quindi definito come $V/\sim$, l'insieme di tutte le classi di equivalenza su $V$ per $\sim$. La funzione che associa ad un vettore $x\in V$ la classe di equivalenza $[x]$ è detta mappa quoziente.
  
  Come nella costruzione di un gruppo quoziente, addizione e moltiplicazione per scalare "passano al quoziente": sono cioè definite in $V/U$ prendendo dei rappresentanti qualsiasi delle classi d'equivalenza. La dimensione dello spazio quoziente si dice codimensione di $U$ in $V$. Se $V$ è finito-dimensionale, questo è esattamente:
  
      ${\mbox{codim}}_{V}(U)=\dim(V)-\dim(U)$
  
  Lo spazio quoziente è uno spazio vettoriale astratto, non necessariamente isomorfo a un sottospazio di $V$.
  
  Ad esempio, sia $X=\mathbb {R} ^{2}$ l'usuale piano cartesiano e $Y$ una retta passante per l'origine. Allora, assumendo che ogni retta è parallela a se stessa, lo spazio quoziente $X/Y$ rispetto alla relazione di parallelismo tra rette può essere identificato come l'insieme di tutte le rette in $X$ parallele a $Y$. In generale, se $V$ è una somma diretta di sottospazi $U$ e $W$:
  
      $V=U\oplus W$
  
  allora il quoziente $V/U$ è naturalmente isomorfo a $W$. Un importante esempio di spazio funzionale quoziente è lo spazio $L^p.$
  
  ## Proprietà
  
  ### Somma diretta
  
  In presenza di una somma diretta:
  
      $V=U\oplus W$
  
  lo spazio quoziente $V/U$ è isomorfo in modo naturale a $W$. L'isomorfismo è dato da:
  
      $v=u+w\mapsto w$
  
  dove un elemento $v$ di $V$ è scritto in un unico modo come $u+w$, con $u,w$ appartenenti rispettivamente a $U,W$.
  
  ### Dimensioni
  
  Vale la successione esatta corta di spazi vettoriali:
  
      $0\to U\to V\to V/U\to 0$
  
  In particolare:
  
      $\dim V/U=\dim V-\dim U$
  
  ## Spazi di Banach
  
  Se $X$ è uno spazio di Banach e $M$ un sottospazio chiuso di $X$, allora il quoziente $X/M$ è ancora uno spazio di Banach. Per definire una norma su $X/M$ si pone:
  
      $\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}$
  
  Lo spazio vettoriale quoziente $X/M$ è dunque completo rispetto alla norma.
  
  ### Esempi
  
  Sia $C[0,1]$ lo spazio di Banach delle funzioni continue a valori reali e definite sull'intervallo $[0,1]$, equipaggiato con la norma del sup. Sia $M$ il sottospazio delle funzioni tali che $f(0)=0$. Allora la classe di equivalenza di qualche funzione $g$ è determinata dal suo valore in $0$, e lo spazio quoziente $C[0,1]/M$ è isomorfo a $\mathbb {R}$.
  
  Se $X$ è uno spazio di Hilbert allora lo spazio quoziente $X/M$ è isomorfo al complemento ortogonale di $M$.
  
  ### Generalizzazione a spazi localmente convessi
  
  Lo spazio quoziente di uno spazio localmente convesso per un sottospazio chiuso è ancora localmente convesso. Infatti, si supponga $X$ uno spazio localmente convesso in cui la topologia è generata da una famiglia di seminorme $\{p_{\alpha }:\alpha \in A\}$, con $A$ un insieme di indici. Sia $M$ un sottospazio chiuso e si definiscano le seminorme $q_{\alpha }$ su $X/M$ nel seguente modo:
  
      $q_{\alpha }([x])=\inf _{x\in [x]}p_{\alpha }(x)$
  
  Allora $X/M$ è localmente convesso e la topologia definita su di esso è la topologia quoziente. Se inoltre $X$ è metrizzabile allora lo è anche $X/M$. Se $X$ è uno spazio di Fréchet allora lo è anche $X/M$.
  
  