title: Ottaedro iperbolico
text: # Ottaedro iperbolico
  
  L'ottaedro iperbolico è un poliedro iperbolico. È un caso particolare di ellissoide astroidale.
  
  ## Equazioni Parametriche
  
  Le sue equazioni parametriche sono:
  
      $x=\left(\cos \phi \cos \theta \right)^{3}$
      $y=\left(\sin \phi \cos \theta \right)^{3}$
      $z=\left(\sin \theta \right)^{3}$
  
  con $-\pi /2\leq \phi <\pi /2{\mbox{,}}\quad -\pi \leq \theta <\pi$
  
  ## Equazione cartesiana
  
  L'equazione cartesiana è:
  
      $x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}=1{\frac}$
  
  ## Area
  
  L'elemento infinitesimale di area è:
  
      $dA=|\sin(\phi )||\sin(\theta )|\cos(\phi )\cos(\theta )^{4}{\sqrt {9-2\cos(4\phi )\cos(\theta )^{2}-7\cos(2\theta )}}d\phi d\theta$
  
  da cui:
  
      $A={\frac {17}{12}}\pi$
  
  ## Curvatura
  
  La sua curvatura gaussiana è:
  
      $K={\frac {{\text{sec}}(\theta )^{4}}{9\left({\text{cos}}(\phi )^{2}{\text{cos}}(\theta )^{2}{\text{sin}}(\phi )^{2}+{\text{sin}}(\theta )^{2}\right)^{2}}}$
  
  La curvatura media, invece è
  
      $H=({\frac {\left(-8\cos(4\phi )(3\cos(2\theta )-1)\cos ^{3}(\theta )+38\cos(\theta )-25\cos(3\theta )+3\cos(5\theta )\right)\sec ^{2}(\theta )\sin(\phi )\tan(\phi )\tan ^{2}(\theta )}{12\left(\left(-2\cos(4\phi )\cos ^{2}(\theta )-7\cos(2\theta )+9\right)\sin ^{2}(\phi )\sin ^{2}(\theta )\right)^{3/2}}}$.
  