title: Integrale di Fermi-Dirac completo
text: # Integrale di Fermi-Dirac completo
  
  In matematica, l'integrale di Fermi–Dirac completo, intitolato a Enrico Fermi e Paul Dirac, per un indice j è definito da
  
      $F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\,dt,\qquad (j>-1)$
  
  Questo è uguale a
  
      $-\operatorname {Li} _{j+1}(-e^{x}),$
  
  dove $\operatorname {Li} _{s}(z)$ è il polilogaritmo.
  
  La sua derivata è
  
      ${\frac {dF_{j}(x)}{dx}}=F_{j-1}(x),$
  
  e questa relazione è usata per definire l'integrale di Fermi-Dirac per indici non positivi j. Notazione diversa per $F_{j}$ appare in letteratura, ad esempio alcuni autori omettono il fattore $1/\Gamma (j+1)$. La definizione usata qui corrisponde a quella nel DLMF del NIST.
  
  ## Valori speciali
  
  La forma chiusa della funzione esiste per j = 0:
  
      $F_{0}(x)=\ln(1+\exp(x)).$
  