title: Blum Blum Shub
text: # Blum Blum Shub
  
  L'algoritmo Blum Blum Shub (BBS) è un generatore di numeri pseudo-casuali crittograficamente sicuro proposto nel 1986 da Lenore Blum, Manuel Blum e Michael Shub.
  
  L'algoritmo è il seguente:
  
  * Si generino due numeri primi casuali segreti p e q di molti bit, entrambi congruenti a 3 modulo 4 (cioè divisi per 4 danno resto 3) e si calcoli l'intero di Blum n =p·q
  * Si generi un numero casuale s (detto seme) appartenente all'intervallo [1, n-1] e coprimo rispetto a n. Si calcoli $x_0$ ← $s^2$ mod n
  * Per i che va da 1 a l (con l pari al numero di bit casuali che si vogliono generare) si eseguano i seguenti passi:
     * $x_i$ ← $x_{i-1}^2$ mod n
     * $z_i$ ← bit meno significativo di $x_i$
  * Il risultato dell'algoritmo è la sequenza di bit $z_1,$ $z_2,$ ..., $z_l,$
  
  Il fatto che p e q siano congruenti a 3 modulo 4 garantisce che il MCD(φ(p -1), φ(q -1)) sia piccolo (il che rende più lungo il ciclo per cui $x_i$ torna ad essere uguale a $x_0).$
  
  ## Sicurezza
  
  Questo algoritmo non è adatto alle simulazioni, ma solo alla crittografia a causa della sua lentezza. Ha però una dimostrazione della sua sicurezza legata alla difficoltà computazionale della fattorizzazione di grandi numeri interi. Quando i numeri p e q sono scelti appropriatamente, e $O(log_2(log_2$ n)) bit di ogni $x_i$ sono emessi in output, allora al crescere di n distinguere i bit di output dai bit generati da una fonte realmente casuale è difficile almeno quanto fattorizzare n.
  
  Nonostante le sue proprietà teoriche dimostrabili matematicamente BBS è difficilmente usato in contesti pratici. Infatti le sue garanzie di sicurezza sono valide solo quando il modulo n è molto grande. Ad esempio, supponendo di voler generare $2^{20}$ bit e voler proteggersi da un attaccante che eseguirà $2^{100}$ istruzioni è necessario che il modulo n sia di almeno 6800 bit, molto più grande di altri algoritmi crittografici che forniscono simili garanzie di sicurezza. In modo simile, se si utilizza un modulo n di 768 bit e si estraggono 9.58 bit per ogni iterazione e si generano $10^9$ bit, è possibile dimostrare che si ha una garanzia che un possibile attaccante abbia al più il 1% di probabilità di predire l'output di BBS solo se l'attaccante compie $2^{−264}$ istruzioni (notare l'esponente negativo). In altre parole, le garanzie teoriche di BBS non necessariamente si traducono in vantaggi nelle applicazioni pratiche.
  
  