title: Pentacisdodecaedro
text: # Pentacisdodecaedro
  
  In geometria solida il pentacisdodecaedro è uno dei tredici poliedri di Catalan, duale dell'icosaedro troncato. Può essere ottenuto incollando piramidi pentagonali su ognuna delle 12 facce del dodecaedro.
  
  È un poliedro non regolare, le cui 60 facce sono identici triangoli isosceli aventi un lato che misura ${\begin{matrix}{{9-{\sqrt {5}}} \over 6}\end{matrix}}$ volte gli altri due.
  
  ## Area e volume
  
  L'area A ed il volume V di un pentacisdodecaedro i cui spigoli più corti hanno lunghezza a sono le seguenti:
  
      $A={\begin{matrix}{5 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {{\begin{matrix}{1 \over 2}\end{matrix}}(421+63{\sqrt {5}})}}a^{2}$
      $V={\begin{matrix}{5 \over 36}\end{matrix}}(41+25{\sqrt {5}})a^{3}$
  
  ## Dualità
  
  Il poliedro duale del pentacisdodecaedro è l'icosaedro troncato, un poliedro archimedeo.
  
  ## Simmetrie
  
  Il gruppo delle simmetrie del pentacisdodecaedro ha 120 elementi; il gruppo delle simmetrie che preservano l'orientamento è il gruppo icosaedrale $I\cong A_{5}$. Sono gli stessi gruppi di simmetria del dodecaedro, dell'icosaedro e dell'icosaedro troncato.
  
  ## Altri solidi
  
  I 30 spigoli più lunghi del pentacisdodecaedro e i 20 vertici in cui essi concorrono, ovvero i vertici con valenza 6, sono spigoli e vertici di un dodecaedro. Gli altri 12 vertici del pentacisdodecaedro sono vertici di un icosaedro.
  
  