title: Metrica indotta
text: # Metrica indotta
  
  In matematica e in fisica teorica, la metrica indotta è il tensore metrico definito su di una sottovarietà che è calcolato a partire dal tensore metrico definito su una varietà più ampia in cui la sottovarietà è immersa.
  
  La metrica indotta può essere calcolata usando la seguente formula:
  
      $g_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }g_{\mu \nu }(X^{\alpha })\$
  
  Dove $a,b\$ sono gli indicati delle coordinate $\xi ^{a}\$ della sottovarietà, mentre le funzioni $X^{\mu }(\xi ^{a})\$ delle coordinate $\xi ^{a}\$ identificano la superficie dello spazio tangente in una varietà con più dimensioni descritta dalle coordinate $\mu ,\nu \$.
  
  Si osservi che si è usata la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti nelle sommatorie.
  
  ## Definizione di tensore metrico
  
  In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, un tensore metrico è un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di distanza, angolo, lunghezza di una curva, geodetica, curvatura.
  
  ### Definizioni
  
  **Prodotto scalare non degenere in ogni punto**
  
  Un tensore metrico è un campo tensoriale $g$ definito su una varietà differenziabile, di tipo $(2,0)$, simmetrico e non degenere in ogni punto.
  
  Il tensore definisce quindi in ogni punto un prodotto scalare non degenere fra i vettori dello spazio tangente nel punto.
  
  **Coordinate**
  
  Un tensore è indicato in coordinate come $g_{ij}$. Per ogni punto $x$ della varietà, fissato una carta locale, il tensore in $x$ è rappresentato quindi da una matrice simmetrica $g_{ij}(x)$ con determinante diverso da zero. Come tutti i campi tensoriali, la matrice cambia in modo differenziabile al variare di $x$ all'interno della carta.
  
  **Segnatura**
  
  Poiché il determinante non si annulla mai, la segnatura della matrice $g_{ij}(x)$ è la stessa per ogni $x$ se la varietà è connessa.
  
  Se la segnatura è di tipo $(n,0)$, cioè se il prodotto scalare è ovunque definito positivo, il tensore induce una metrica sulla varietà, che è quindi chiamata varietà riemanniana. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta pseudo-riemanniana.
  
  Le varietà riemanniane sono le più studiate in geometria differenziale. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno spazio euclideo, benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo spaziotempo nella relatività generale è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura $(1,3)$. Una tale varietà è localmente simile allo spaziotempo di Minkowski.
  
  ### Varietà immersa
  
  Sia $X$ una varietà differenziabile in $\mathbb {R} ^{n}$. Il tensore metrico euclideo induce un tensore metrico su $X$: si tratta dello stesso prodotto scalare, ristretto in ogni punto di $X$ al sottospazio dei vettori tangenti a $X$. Poiché il tensore euclideo è definito positivo, lo è anche il tensore indotto, e quindi ogni varietà immersa in $\mathbb {R} ^{n}$ ha una struttura di varietà riemanniana.
  
  Ad esempio, il tensore indotto sulla sfera, scritto in coordinate sferiche $(\theta ,\phi )$, è dato da
  
      $g=\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{array}}\right]$
  
  e può essere riassunto nella forma
  
      $ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.$
  
  ## Spaziotempo di Minkowski
  
  Lo spaziotempo di Minkowski è lo spazio $\mathbb {R} ^{4}$ dotato del tensore
  
      $g={\begin{bmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\$
  
  che può essere riassunto nella forma
  
      $ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.$
  
  La costante $c$ è la velocità della luce.
  
  ## Indici di un tensore
  
  ### Tensore metrico coniugato
  
  Al tensore metrico $g_{ij}$ è associato un analogo tensore di tipo $(0,2)$, denotato con la stessa lettera ma con gli indici in alto $g^{ij}$. Il tensore è definito in coordinate come la matrice inversa di $g_{ij}$ (questa definizione non dipende dalla scelta delle coordinate; in alcuni contesti si effettua anche la trasposta). Questo tensore è detto a volte tensore metrico coniugato. La relazione fra i due tensori può essere scritta nel modo seguente:
  
      $g_{\nu \mu }g^{\mu \gamma }=\delta _{\nu }^{\gamma }$
  
  scritta con la notazione di Einstein, dove il tensore $\delta$ è la delta di Kronecker definita da
  
      $\delta _{\nu }^{\gamma }={\begin{cases}1&\mathrm {se} \ \nu =\gamma \\0&\mathrm {altrimenti} \end{cases}}$
  
  ### Alzamento e abbassamento di indici
  
  Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli spazi tangente e cotangente di una varietà.
  
  Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto contraendo opportunamente con i tensori $g_{ij}$ e $g^{ij}$. Ad esempio, un vettore $A^{\mu }$ viene trasformato in un covettore
  
      $A_{\nu }=g_{\nu \mu }A^{\mu }.$
  
  Alternativamente,
  
      $A^{\mu }=g^{\mu \gamma }A_{\gamma }.$
  