title: Teoria dell'area in geometria iperbolica
text: # Teoria dell'area in geometria iperbolica
  
  La teoria dell'area in geometria iperbolica è una teoria nell'ambito della geometria iperbolica.
  
  ## Definizione
  
  È possibile creare un parallelo tra l'area di un poligono definita nel piano euclideo e l'area di una poligonale definita nel piano iperbolico.
  
  Nella geometria Euclidea è definita una funzione area che soddisfa proprietà tali da ritenerla una corretta misura di una superficie.
  
  Inoltre nel piano euclideo le poligonali godono della proprietà di equiscomponibilità.
  
  In particolare valgono i seguenti teoremi:
  
  * Se due regioni triangolari hanno la stessa area allora sono equiscomponibili;
  * Se due regioni poligonali hanno la stessa area, allora sono equiscomponibili.
  
  Osserviamo che nel piano Euclideo non tutte le regioni piane sono equiscomponibile.
  
  Analogamente anche nello spazio euclideo non tutti i solidi godono della proprietà di equiscomponibilità: infatti prismi di ugual volume sono equiscomponibili, mentre prismi e piramidi di ugual volume non sono equiscomponibili.
  
  In geometria iperbolica è possibile definire una funzione che soddisfi le condizioni della funzione area. Essa è la funzione difetto angolare.
  
  Tale funzione soddisfa gli assiomi 1 - 4 definiti per la funzione area (osserviamo che in geometria iperbolica non esistono rettangoli, pertanto l'assioma 4 non può risultare falso) e la proprietà di equiscomponibilità.
  
  In particolare vale il seguente teorema:
  
  Teorema 1: Se $A$ è una funzione definita dall'insieme ${\mathcal {P}}$ di tutte le regioni poligonali nell'insieme dei numeri reali (quindi $A\colon {\mathcal {P}}\to \mathbb {R}$) che gode delle i proprietà A1 ed A3 della funzione area, e della proprietà di equiscomponibilità, allora esiste un numero $h$ tale che per ogni regione poligonale $P$ vale
  
      $A(P)=h\cdot d(P),$
  
  dove $d(P)$ è il difetto angolare della regione $P$.
  
  Il teorema assicura che il difetto angolare è l'unica possibile funzione area che, a meno di una costante arbitraria, salvaguarda le proprietà peculiari della misura delle superfici nel piano iperbolico.
  
  Valgono i seguenti teoremi relativi all'equiscomponibilità, analoghi al caso euclideo:
  
  Teorema 2: Se due regioni triangolari hanno lo stesso difetto angolare (e quindi la stessa area) allora sono equiscomponibili;
  
  Teorema 3: Se due regioni poligonali hanno lo stesso difetto angolare (e quindi la stessa area), allora sono equiscomponibili.
  
  Il teorema precedente dimostra che in geometria iperbolica l'area di un triangolo e l'area di un poligono si mantengono al di sotto di un valore costante, in particolare:
  
      $A({\text{triangolo}})<h\pi ;$
      $A({\text{poligono}})<nh\pi ,$ (dove $n$ è il numero di lati del poligono).
  
  Osserviamo che nel piano iperbolico la funzione area è definita a meno di una costante arbitraria $h$, pertanto è possibile sfruttare l'arbitrarietà di $h$ per scegliere la funzione difetto angolare in modo che si abbia l'identità numerica tra l'area definita nel piano iperbolico e nel piano euclideo.
  
  