title: Quadrature amplitude modulation
text: # Quadrature amplitude modulation
  
  La modulazione numerica di ampiezza in quadratura o, in inglese, quadrature amplitude modulation, sigla QAM, è un sistema di modulazione sia analogica che digitale. Le portanti sono usualmente delle sinusoidi. Il termine quadratura indica che differiscono in fase di 90°. Sia nel caso analogico o in quello digitale, il segnale in ingresso viene suddiviso e cambia (modula) l'ampiezza delle portanti. Tale operazione si chiama modulazione di ampiezza (chiamata AM nel caso analogico, ASK nel caso digitale). Nel caso di segnali digitali, si sommano i segnali modulati e si ottiene una forma d'onda che risulta una combinazione della modulazione di fase (PSK Phase Shift Keying) e della modulazione d'ampiezza (ASK Amplitude Shift Keying). Questo sistema è utilizzato in molti sistemi di telecomunicazioni.
  
  ## Descrizione
  
  La QAM è così denominata in quanto il segnale può essere visto come la somma di due segnali modulati in fase e in quadratura. Ciascun tipo di modulazione QAM è caratterizzato da un diagramma sul piano complesso (costellazione), su cui sono rappresentati tutti i possibili stati della portante (le legittime posizioni del vettore).
  
  La QAM introduce dei miglioramenti nella modulazione in banda fonica, rispetto alla PSK, con una maggiore immunità al rumore, questo a parità di punti nella costellazione e di potenza di picco. In particolare, occorre prendere nota delle raccomandazioni presenti sulle ITU-T V.29, V.32, V.34 (standard di comunicazione per modem sancite dall'Unione internazionale delle telecomunicazioni), nelle quali si enunciano le linee guida della modulazione QAM, usata anche per la modulazione dei canali ADSL.
  
  ### Segnale modulato QAM
  
  Se la sorgente emette simboli appartenenti a
  
  un alfabeto ad $L$ determinazioni (con l'ipotesi che $L=2^{m},m\in \mathbb {N}$), ogni elemento di tale alfabeto può essere associato ad un punto del piano complesso avente le coordinate $I(m)$ e $Q(m)$, con
  
      $m=1,2,\dots ,{\frac {M}{2}}$.
  
  La sequenza emessa dalla sorgente viene allora mappata nella sequenza complessa $I(m)+jQ(m)$ che viene trasmessa alla destinazione attraverso il segnale in banda traslata
  
      $\ s(t)=I(m)\cos(2\pi f_{0}t)h_{t}(t)+Q(m)\sin(2\pi f_{0}t)h_{t}(t)$
  
  ## Dimensionamento
  
  Questo tipo di modulazione considera segnali con diverse energie; mentre per altre modulazioni è utile considerare segnali equienergetici, nella M-QAM avendo modulazione d’ampiezza, oltre che di fase, necessariamente le energie saranno differenti. Importante è lo scattering della costellazione considerata, poiché i segnali si possono distribuire in diverse maniere in dipendenza dall'energia posseduta, ogni costellazione avrà una energia media differente; in pratica, a parità di probabilità di errore, una certa costellazione sarà preferibile ad un'altra in base all'energia impiegata. Lo spazio dei segnali di questa modulazione è N=2, ci sono quindi due portanti in quadratura di fase, sulle quali è stato impresso un segnale PAM (pulse-amplitude modulation). Se in ingresso si hanno k bits, questi verranno mappati in due ampiezze, o meglio, in due segnali PAM (quindi oltre ad una certa ampiezza c'è anche un impulso moltiplicato ad essa), i quali segnali verranno impressi uno sulla portante $+cos(2f_{c}t)$ e l'altro sulla portante $+sin(2f_{c}t)$ a conferma della bidimensionalità dello spazio dei segnali. Se si considera un numero k pari di bit utilizzati per la modulazione, è opportuno considerare una disposizione rettangolare della costellazione di scattering della M-QAM, questo perché ci permette di considerare la modulazione come una PAM impressa su portanti in quadratura, e di conseguenza calcolare la probabilità d'errore di una modulazione PAM. Ciò che diversifica il calcolo delle due probabilità è che per la QAM si considerano M= 2^k/2 forme d'onda quando si calcola la probabilità d'errore sfruttando la formula della PAM.
  
  