title: Disequazione cubica
text: # Disequazione cubica
  
  Una disequazione cubica è una disequazione che, una volta ridotta in forma canonica, ha grado pari a 3, cioè si può ricondurre a una forma del tipo:
  
      $ax^{3}+bx^{2}+cx+d>0\;\;\;$, oppure $\;<,\;\leq ,\;\geq 0$
  
  con $a\neq 0\;$ e $a,b,c$ e $d$ numeri reali o complessi.
  
  ## Metodi risolutivi
  
  Non esiste un modo univoco per risolvere una disequazione di terzo grado; il metodo dipende dall'espressione che ha la disequazione data.
  
  ### Regola di Ruffini
  
  Un metodo, anche se non sempre applicabile, è la regola di Ruffini. Ad esempio la disequazione:
  
      $x^{3}-2x^{2}-5x+6>0$
  
  può essere scomposta con la regola di Ruffini nel prodotto:
  
  $(x-1)(x+2)(x-3)>0$
  
  Studiando il segno dei singoli binomi e mettendoli a confronto tra loro, si vanno a trovare gli intervalli in cui il polinomio di terzo grado risulta positivo: in questo caso le soluzioni sono date da $-2<x<1\;\lor \;x>3$.
  
  ### Metodo grafico
  
  Quando la scomposizione con Ruffini non può essere utilizzata si può ricorrere al metodo grafico, che consiste nel riscrivere la disequazione generica:
  
      $ax^{3}+bx^{2}+cx+d>0\;$,
  
  nella forma:
  
      $ax^{3}>-bx^{2}-cx-d\;$.
  
  Il primo e il secondo membro della disequazione possono essere visti come grafici di due funzioni:
  
      $f(x)=ax^{3}\;\;\;$ e $\;\;\;g(x)=-bx^{2}-cx-d$
  
  dove la prima funzione è una cubica e la seconda è una parabola.
  
  Dato che il grado della disequazione è $3$, in campo reale possono esserci al massimo tre punti in cui la cubica e la parabola si incontrano. Una volta tracciati i grafici su un piano cartesiano, si vanno a cercare (se ci sono) i punti di intersezione e si sceglie infine l'intervallo in cui il grafico della cubica sta sopra al grafico della parabola, cioè l'intervallo o gli intervalli in cui la funzione cubica è maggiore della parabola.
  
  Nel metodo grafico non è possibile trovare il valore o i valori esatti che delimitano gli intervalli di soluzione poiché, se così fosse, il polinomio di terzo grado sarebbe scomponibile con Ruffini. I valori approssimati vanno cercati con metodi di approssimazione per la soluzione di equazioni, come per esemppio il metodo di bisezione o il metodo delle secanti.
  
  ### Disequazioni binomie
  
  Le disequazioni binomie sono nella forma:
  
      $ax^{n}+d>0\;\;$ oppure $\;\;<,\leq ,\geq$.
  
  Quando si hanno $b=c=0$, la disequazione si riduce nella forma:
  
      $ax^{3}+d>0$
  
  che è un caso particolare di disequazione binomia con $n=3$. Questo tipo di disequazione si risolve banalmente portando il termine noto $d$ a destra del segno di disuguaglianza ed estraendo successivamente la radice cubica, dopo aver diviso tutto per $a$:
  
      $ax^{3}>-d\;\;\;\to \;\;\;x^{3}>-{\frac {d}{a}}\;\;\;\to \,\;\;x>{\sqrt[{3}]{-{\frac {d}{a}}}}$
  