title: Teorema di Schur-Horn
text: # Teorema di Schur-Horn
  
  In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Schur-Horn caratterizza la diagonale di una matrice hermitiana con autovalori dati.
  
  ## Premessa
  
  Si definisce un preordine su $\mathbb {R} ^{n}$. Siano $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ e $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$, dico che $\mathbf {x} \succeq \mathbf {y}$ se, supponendo che:
  
      $x_{i_{1}}\leq \dots \leq x_{i_{n}}$ e $y_{j_{1}}\leq \dots \leq y_{j_{n}}$
  
  Si ha:
  
      $x_{i_{1}}\geq y_{j_{1}}$
      $x_{i_{1}}+x_{i_{2}}\geq y_{j_{1}}+y_{j_{2}}$
      $\dots$
      $\sum _{k=1}^{n}x_{i_{k}}\geq \sum _{k=1}^{n}y_{j_{k}}$.
  
  ## Enunciato
  
  Siano $\mathbf {d} =(d_{1},\dots ,d_{n})^{T}$ e $\mathbf {v} =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$ tali che $\mathbf {d} \succeq \mathbf {v}$. Allora valgono i seguenti due fatti equivalenti:
  
  * Esiste una matrice reale simmetrica $A$ con diagonale $\mathbf {d}$ e autovalori $\mathbf {v}$;
  * Esiste una matrice reale ortogonale $Q$ tale che, detta $\Lambda$ la matrice diagonale di autovalori $\mathbf {v}$, $Q\Lambda Q^{T}$ ha come diagonale $\mathbf {d}$.
  