title: Loop (algebra)
text: # Loop (algebra)
  
  Un loop è una struttura algebrica non associativa usata in matematica.
  
  ## Definizione
  
  Un loop consiste di un insieme non vuoto $L$ dotato di un'operazione binaria
  
      ${\begin{aligned}\cdot \colon L\times L&\to L,\\(a,b)&\mapsto a\cdot b,\end{aligned}}$
  
  tale che:
  
  * esiste un elemento $1_{L}$, detto neutro, tale che $1_{L}\cdot a=a\cdot 1_{L}=a$ per ogni $a\in L$;
  * l'equazione $a\cdot x=b$ ha un'unica soluzione $x\in L$;
  * l'equazione $x\cdot a=b$ ha un'unica soluzione $x\in L$.
  
  Talvolta, per semplicità, si omette il simbolo di operazione scrivendo $ab$ invece di $a\cdot b.$
  
  ## Proprietà
  
  * ogni quasigruppo dotato di elemento neutro è un loop ed ogni loop è un left loop;
  * ogni elemento del loop ha un unico inverso sinistro e un unico inverso destro;
  * un loop associativo è un gruppo.
  
  La teoria dei loop è riconducibile a quella dei gruppi sebbene non possa essere completamente ricondotta ad essa in modo lineare ed esaustivo.
  
  ## Loop, envelope e folder
  
  Dato un loop $(L,\cdot )$ definiamo alcune funzioni caratteristiche:
  
  * Le traslazioni sinistre: $\lambda _{a}(x):=a\cdot x.$
  * Le traslazioni destre: $\rho _{a}(x):=x\cdot a.$
  * Le deviazioni centrali: $\tau _{a}(x):=\rho _{a}\lambda _{a}^{-1}(x).$
  * Le deviazioni sinistre: $\delta _{a,\,b}^{\lambda }(x):=\lambda _{a\cdot \,b}^{-1}\lambda _{a}\lambda _{b}(x).$
  * Le deviazioni destre: $\delta _{a,\,b}^{\rho }(x):=\rho _{a\cdot \,b}^{-1}\rho _{b}\rho _{a}(x).$
  
  Tali funzioni ci consentono di definire alcuni gruppi associati ad un loop. Tali gruppi sono:
  
  * il gruppo delle traslazioni, generato da tutte le traslazioni del loop;
  * il gruppo $G(L)$ delle traslazioni sinistre, generato da tutte le traslazioni sinistre del loop;
  * il gruppo delle traslazioni destre, generato da tutte le traslazioni destre del loop.
  
  Tali gruppi agiscono in modo naturale su $L$ come elementi del gruppo simmetrico su $L$. In particolare i relativi stabilizzatori dell'elemento neutro sono generati dalle rispettive deviazioni.
  
  La tripla $\xi ={\bigG(L),H(L),\Lambda {\big )}$ dove $H(L)$ è lo stabilizzatore in $G(L)$ dell'elemento neutro e $\Lambda$ l'insieme delle traslazioni sinistre, prende il nome di envelope fedele.
  
  Viceversa, una tripla $\xi =(G,H,L)$ dove $G$ è un gruppo, $H$ è un sottogruppo di $G$ ed $L$ è un trasversale sinistro del quoziente $G/H^{g}$ per ogni $g\in G$ prende il nome di folder.
  
  ## Famiglie di loop
  
  ### Loop di Moufang (da Ruth Moufang)
  
  Si tratta di un loop $(L,\cdot )$ che soddisfa l'identità $(ab)(ca)=(a(bc))a$ per ogni $a,b,c$ in $L$.
  
  **Proprietà**
  
  * I Moufang loops non banali, cioè che non siano gruppi, soddisfano una forma debole di associatività.
  * La seguente identità
  
         $(ab)(ca)=(a(bc))a$
  
  è equivalente a ciascuna delle seguenti:
  
         $a(b(ac))=((ab)a)c;$
         $a(b(cb))=((ab)c)b.$
  
  Le tre precedenti equazioni sono denominate identità di Moufang. Con ognuna è possibile definire un loop di Moufang.
  
  * Ponendo nelle precedenti identità uno degli elementi uguale all'elemento neutro, si ha
  
         $a(ab)=(aa)b;$
         $(ab)b=a(bb);$
         $a(ba)=(ab)a.$
  
  Pertanto, tutti i loop di Moufang sono alternativi.
  
  * Moufang ha dimostrato inoltre che il sottoloop generato da uno dei due elementi del loop di Moufang è associativo (e dunque è un gruppo), quindi i loop di Moufang soddisfano l'associatività della potenza.
  * Quando si lavora con i loop di Moufang, è uso comune non usare le parentesi in espressioni con solo due elementi distinti.
  
  ## Loop ottonionico
  
  Quale esempio di loop si può ricordare il quasigruppo formato dagli elementi unità degli ottonioni.
  
  