title: Controllo lineare quadratico gaussiano
text: # Controllo lineare quadratico gaussiano
  
  Il controllo lineare quadratico gaussiano (Linear Quadratic Gaussian, LQG) è un compensatore dinamico ottimo capace di recuperare la stessa funzione di trasferimento di un sistema di controllo osservabile per un sistema non osservabile. Tale sistema di controllo ottimo è basato su un controllore ottimo e un filtro ottimo, il primo sintetizzato tramite regolatore lineare quadratico (LQR) il secondo tramite loop transfer recovery (LTR).
  
  ## Il problema
  
  Con riferimento al controllo LQR si può avere una robustezza intrinseca forte, che garantisce una specifica di prestazione sulla sensibilità del controllo che scende di 20db/dec in alta frequenza. Ciò vale se il sistema è osservabile, cioè se lo stato del sistema è tutto fornito in uscita: in tal caso la matrice di trasferimento del sistema vista tagliando tra il regolatore e il processo risulta:
  
  dove j rappresenta l'unità immaginaria, ω è la pulsazione del sistema, I è la matrice identica, il -1 denota l'inversione di matrice, A e B sono le matrici che descrivono il sistema dinamico lineare stazionario e Kopt è la matrice ricavata dall'algoritmo del controllo LQR.
  
  Se invece lo stato è solo rilevabile allora occorre inserire un osservatore dello stato:
  
  dove $\mathbf {\tilde {x}}$ è lo stato stimato, y il vettore delle uscite e C la matrice che lega y allo stato. Quindi si modifica la funzione di trasferimento divenendo:
  
  sfruttando LTR si riesce ad ottenere la stessa prestazione del caso osservabile, recuperando così la robustezza intrinseca garantita per il sistema osservabile controllato in LQR.
  
  