title: Matrice trasposta coniugata
text: # Matrice trasposta coniugata
  
  In algebra lineare, la matrice trasposta coniugata o matrice aggiunta di una matrice a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato.
  
  ## Definizione
  
  Data una matrice $A$, indicando con $A^{T}$ la sua trasposta e con l'asterisco $*$ l'operazione di coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata $A^{\dagger }$ è data da:
  
      $A^{\dagger }=(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}$
  
  In termini degli elementi vale la relazione:
  
      $(A^{\dagger })_{jk}=A_{kj}^{*}$
  
  cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:
  
      $A_{kj}^{*}=A_{jk}^{\dagger }$
  
  Ad esempio:
  
      $A={\begin{pmatrix}3+9i&2+i\\7-6i&1-3i\end{pmatrix}}\qquad A^{\dagger }={\begin{pmatrix}3-9i&7+6i\\2-i&1+3i\end{pmatrix}}$
  
  ## Proprietà
  
  Valgono le seguenti proprietà:
  
      $\left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A\qquad \left(A+B\right)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }\qquad \left(cA\right)^{\dagger }=c^{*}\cdot A^{\dagger }\qquad \left(A\cdot B\right)^{\dagger }=B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }$
  
  e in generale:
  
      $\left(A\cdot B\cdot C\cdot D...\right)^{\dagger }=...D^{\dagger }\cdot C^{\dagger }\cdot B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }$
  
  Dalle precedenti proprietà si può ricavare
  
      $\left(A^{\dagger }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\dagger }=A^{-\dagger }$;
  
  infatti
  
      $A^{\dagger }\left(A^{\dagger }\right)^{-1}=I_{n}=I_{n}^{\dagger }=\left(A^{-1}A\right)^{\dagger }=A^{\dagger }\left(A^{-1}\right)^{\dagger }.$
  
  L'uguaglianza segue perciò dall'unicità della matrice inversa.
  
  Denotando con $\langle \cdot \,,\cdot \rangle$ il prodotto hermitiano standard fra vettori di $\mathbb {C} ^{n}$:
  
      $\langle Au,v\rangle =\langle u,A^{\dagger }v\rangle \qquad \langle u,Av\rangle ^{*}=\langle v,A^{\dagger }u\rangle$
  
  ### Matrici hermitiane
  
  Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano
  
      $\phi (u,v)=(u,Av)$
  
  Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:
  
      $(u,Au)=(u,Au)^{*}$
  
  è reale.
  
  Ogni matrice quadrata complessa $A$ può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:
  
      $A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\dagger }\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{\dagger }\right)$
  