title: Matrice quadrata
text: # Matrice quadrata
  
  In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata è una matrice dotata di un numero uguale di righe e colonne, detto ordine della matrice. Viene altrimenti detta "matrice $n\times n$".
  
  Si tratta del tipo più comune e più importante di matrice, l'unico su cui sono definiti concetti come determinante, traccia, autovalore. Le matrici quadrate sono utili a modellizzare le trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale in se stesso (più precisamente, i suoi endomorfismi), le forme bilineari ed i prodotti scalari.
  
  ## Algebra di matrici
  
  ### Anello
  
  L'insieme di tutte le matrici quadrate dello stesso ordine $n$ a valori in un campo $K$ fissato (ad esempio, i numeri reali o complessi) costituisce, rispetto alle operazioni di somma e di prodotto fra matrici, un anello. Eccetto il caso $n=1$, tale anello non è commutativo. Viene indicato generalmente con $M(n,K)$.
  
  L'elemento neutro per la somma è la matrice nulla, avente zeri ovunque. L'elemento neutro per la moltiplicazione è la matrice identità $I_{n}$, contenente elementi pari a 1 nella diagonale principale e elementi nulli altrove. Per esempio, se $n=3$:
  
      $I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
  
  ### Spazio vettoriale
  
  Considerato anche con l'operazione di moltiplicazione per scalare, l'insieme $M(n,K)$ è anche uno spazio vettoriale su $K$, di dimensione $n^{2}$.
  
  Le due strutture di anello e spazio vettoriale formano insieme una struttura di algebra su campo.
  
  ### Elementi invertibili
  
  Gli elementi invertibili nell'anello si dicono matrici invertibili. Una matrice quadrata $A$ è invertibile se e solo se esiste una matrice quadrata $B$ tale che:
  
      $AB=I_{n}=BA$
  
  In tal caso, $B$ è la matrice inversa di $A$, ed è indicata con $A^{-1}$.
  
  L'insieme di tutte le matrici invertibili di tipo $n\times n$, dotato dell'operazione di moltiplicazione, è un gruppo, chiamato gruppo generale lineare: si tratta di un particolare gruppo di Lie.
  
  Inoltre se $A$ e $B$ sono invertibili, si ha che anche la matrice $AB$ è invertibile, e inoltre che $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
  
  ## Autovettori e autovalori
  
  Se $\lambda$ è un numero in $K$ e $v$ è un vettore non nullo in $K^{n}$ tali che:
  
      $Av=\lambda v$
  
  si dice che $v$ è un autovettore di $A$ e $\lambda$ è l'autovalore ad esso associato..
  
  Lo studio degli autovalori e autovettori è di fondamentale importanza in algebra lineare, e porta al concetto di diagonalizzabilità. Gli autovalori di una matrice sono le radici del suo polinomio caratteristico, definito come:
  
      $p(\lambda )=\det(A-\lambda I)$
  
  ## Determinante e traccia
  
  Il determinante di una matrice quadrata è una quantità importante che può essere definita in numerosi modi diversi, tutti equivalenti fra di loro. I determinanti caratterizzano l'invertibilità di una matrice quadrata: una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo.
  
  La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della sua diagonale principale.
  
  Il polinomio caratteristico, oltre ad essere uno strumento utile per il calcolo degli autovalori, è anche un oggetto che ha fra i suoi coefficienti il determinante, la traccia ed altri valori numerici simili.
  
  Quando una matrice è diagonalizzabile, determinante e traccia sono rispettivamente il prodotto e la somma degli autovalori della matrice.
  
  La funzione esponenziale di matrice è definita per matrici quadrate attraverso una serie di potenze.
  
  