title: Logaritmo naturale
text: # Logaritmo naturale
  
  Il logaritmo naturale (o logaritmo neperiano) è il logaritmo in base e, dove $e$ è uguale a $2{,}71828\ldots$ Il logaritmo naturale è definito per tutte le $x$ reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.
  
  ## Definizione
  
  Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che $\ln(x)$ è il numero per cui $e^{\ln(x)}=x$. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le $x$ reali positive.
  
  In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue: il logaritmo naturale di $a$ è l'area sottesa dal grafico di $1/x$ da $1$ ad $a$. In altre parole, è il valore dell'integrale
  
      $\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx,\quad \quad {\text{ per ogni }}a>0.$
  
  Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:
  
      $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$
  
  Questo può essere dimostrato definendo $t=x/a$ e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:
  
      $\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).$
  
  Il numero $e$ può essere definito come l'unico numero reale $a$ tale che $\ln(a)=1.$
  
  ## Convenzioni
  
  * In matematica si è soliti utilizzare la scrittura "$\log(x)$" per intendere $\log _{e}(x);$ altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (ad esempio $\log _{10}(x)$ è il logaritmo in base $10$ di $x$).
  * In ingegneria, biologia e altre scienze generalmente si scrive "$\ln(x)$" o (raramente) "$\log _{e}(x)$" per intendere il logaritmo naturale di $x$, mentre si scrive "$\log(x)$" per intendere $\log _{10}(x).$
  * In alcuni testi della fine del XX secolo, il logaritmo in base 10 veniva scritto con l'iniziale maiuscola e sottintendendo la base: $\mathrm {Log}$.
  * Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
  * Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base $10$.
  * Nel campo dell'analisi asintotica della complessità degli algoritmi, per $\log(N)$ si sottintende il logaritmo in base 2 di $N.$
  
  ## La funzione inversa dell'esponenziale in base e
  
  La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:
  
      $e^{\ln(x)}=x,\quad$ per tutte le $x$ positive e
      $\ln(e^{x})=x,\quad$ per tutte le $x$ reali.
  
  In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.
  
  I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da $1$, non solo $e$, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.
  
  ## Derivata
  
  La derivata della funzione logaritmo naturale è data da
  
      ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.$
  
  ## Serie comuni
  
  La serie di Taylor centrata in $0$ del logaritmo naturale è:
  
      $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n},\quad {\text{ per }}-1<x\leq 1.$
  
  Utilizzando l'identità
  
      $\ln x=\operatorname {artanh} \,\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right),\quad {\text{ per }}x>0,$
  
  e sostituendo ${\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}$ nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene
  
      $\ln x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)^{2n+1},\quad {\text{ per }}x>0.$
  
  Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni $x$ con valore assoluto maggiore di $1$:
  
      $\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots .$
  
  Si noti inoltre che $x \over {x-1}$ è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero $y$ è sufficiente sostituire $y \over {y-1}$ al posto di $x$.
  
  Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:
  
      ${\frac {1}{\ln x}}={\frac {1}{x-1}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{-n}}{1+x^{2^{-n}}}},{\text{ per }}x>0.$
  
  ## Integrali e regole di integrazione
  
  L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:
  
      $\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$
  
  Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma $g(x)=f'(x)/f(x)$ che si traducono nella scrittura $\ln(|f(x)|)$: l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:
  
      $\ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.$
  
  Cioè
  
      $\int {dx \over x}=\ln |x|+C,$
  
  e
  
      $\int {{f^{'}(x) \over f(x)}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$
  
  ### Esempi
  
  Con quest'ultima regola, è possibile calcolare gli integrali della tangente e della cotangente sfruttando le loro definizioni:
  
      $\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx$
      $\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.$
  
  Da cui ponendo $f(x)=\cos(x)$ si ha che $f'(x)=-\sin(x)$ e quindi:
  
      $\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C$
      $\int \cot(x)\,dx=\ln {\left|\sin(x)\right|}+C$
  
  dove $C$ è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.
  
  ## Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base
  
  Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base $10$. È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di $10$):
  
      $\log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}},$
  
  che diventa:
  
      $\ln x={\frac {\operatorname {Log} x}{\operatorname {Log} e}}.$
  
  Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:
  
      $\operatorname {Log} e=0,43429\ldots$
  
  e
  
      ${\frac {1}{\operatorname {Log} e}}=2{,}30258\ldots .$
  