title: Matrice involutoria
text: # Matrice involutoria
  
  In algebra lineare per matrice involutoria si intende una matrice che coincide con la propria inversa; si tratta quindi di un caso particolare di matrice invertibile. In particolare le matrici involutive o involuzioni soddisfano l'equazione:
  
  $\mathbf {A} ^{2}=I$
  
  che impone per gli autovalori i valori +1 e -1. Alcune matrici involutorie sui reali sono interpretabili come trasformazioni lineari involutorie di uno spazio $R^n$ in sé e più concretamente come riflessioni.
  
  Si vede facilmente che anche la matrice opposta di una involutoria è una matrice involutoria.
  
  Questi sono alcuni esempi di matrici involutorie che, come si può vedere abbastanza facilmente, rappresentano riflessioni in $R^2$
  
  ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\sin \theta &\cos \theta \\\cos \theta &-\sin \theta \end{bmatrix}}$
  
  e in $R^3$
  
  ${\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$
  
  ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\sin \theta &0&\cos \theta \\0&-1&0\\\cos \theta &0&-\sin \theta \end{bmatrix}}$
  
  Altri esempi di matrici involutorie:
  
  ${\begin{bmatrix}0&i\\-i&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&-1\\0&0&0&1&0\\0&0&-1&0&0\end{bmatrix}}$
  
  