title: Matrice laplaciana
text: # Matrice laplaciana
  
  Dato un grafo semplice G con n vertici, la sua matrice Laplaciana $L:=(\ell _{i,j})_{n\times n}$ è definita come:
  
  $L=D-A,$
  
  dove D è la matrice di grado e A è la matrice delle adiacenze del grafo.
  
  In caso di grafi orientati, sia il numero di archi in uscita o in entrata può essere usato.
  
  Dalla definizione segue che:
  
      $\ell _{i,j}:={\begin{cases}\deg(v_{i})&{\mbox{se}}\ i=j\\-1&{\mbox{se}}\ i\neq j\ \land \ v_{i},v_{j}{\mbox{ adiacenti}}\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}$
  
  dove $deg(v_i)$ è il grado del vertice i.
  
  ## Esempio
  
  Esempio di un grafo semplice e la sua matrice Laplaciana.
  
  | Grafo semplice | Matrice di grado | Matrice di adiacenza | Matrice Laplaciana |
  | - | - | - | - |
  | | $\left({\begin{array}{rrrrrr}2&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&3&0\\0&0&0&0&0&1\\\end{array}}\right)$ | $\left({\begin{array}{rrrrrr}0&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\\end{array}}\right)$ | $\left({\begin{array}{rrrrrr}2&-1&0&0&-1&0\\-1&3&-1&0&-1&0\\0&-1&2&-1&0&0\\0&0&-1&3&-1&-1\\-1&-1&0&-1&3&0\\0&0&0&-1&0&1\\\end{array}}\right)$ |
  