title: Matrice identità
text: # Matrice identità
  
  In matematica, la matrice identità, anche detta matrice identica o matrice unità, è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono 0. Viene indicata con $I$ oppure con $I_{n}$, dove $n$ è il numero di righe della matrice.
  
      $I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\quad \cdots \quad I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$
  
  ## Proprietà
  
  * La proprietà fondamentale di $I_{n}$ è che:
  
      $AI_{n}=A\qquad I_{n}B=B$
      per ogni matrice $A$ e $B$ per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.
  * In particolare, la matrice identità è invertibile, essendo l'inversa di se stessa.
  * La i-esima colonna di una matrice identità è l'i-esimo vettore $e_{i}$ della base canonica dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$.
  * La matrice identità è diagonale, ed ha il solo autovalore 1.
  
  ## Notazioni
  
  Usando la notazione applicata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:
  
      $I_{n}=\mathrm {diag} (1,1,\dots ,1)$
  
  Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:
  
      $(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}$
  
  ## Anello delle matrici
  
  Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici $n\times n$ a valori in un campo fissato $K$.
  
  Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare $\mathrm {GL} (n,K)$ formato da tutte le matrici invertibili $n\times n$ a valori in $K$.
  
  ## Trasformazioni lineari
  
  Sia $K$ un campo. Ogni matrice quadrata $A$ induce una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale $K^{n}$ in sé, definita nel modo seguente:
  
      $x\mapsto Ax$
  
  La matrice identità è così chiamata perché induce la funzione identità. Più in generale, la matrice identità è la matrice associata alla funzione identità da uno spazio vettoriale in sé, rispetto ad una qualsiasi base.
  
  