title: Proprietà dell'integrale di Riemann
text: # Proprietà dell'integrale di Riemann
  
  ## Linearità
  
  Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e siano $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. Allora:
  
      $\int _{a}^{b}{\Big\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$
  
  ### Dimostrazione
  
  Dalla definizione si ha che:
  
      $\int _{a}^{b}{\Big\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}{\Big\alpha f(t_{i})+\beta g(t_{i}){\Big )}(x_{i+1}-x_{i}),$
  
  da cui:
  
      $\int _{a}^{b}{\Big\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}{\Big\alpha \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\beta \sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}){\Big )}.$
  
  Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:
  
      $\int _{a}^{b}{\Big\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\alpha \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\beta \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),$
  
  da cui discende la proprietà di linearità.
  
  ## Additività
  
  Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,b]$ e sia $c\in [a,b]$. Allora:
  
      $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.$
  
  ### Dimostrazione
  
  Dalla definizione si ha che
  
      $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),$
  
  da cui se si ha $c\in [a,b]$ esiste, eventualmente affinando la partizione, un intero $h$ tale che $0\leq h\leq n$ e $x_{h}=c,$ da cui risulti:
  
      $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\left(\sum _{i=0}^{h-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\sum _{i=h}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right),$
  
  e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:
  
      $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{h-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=h}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),$
  
  da cui discende la proprietà di additività.
  
  ## Monotonia
  
  Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e tali che $f(x)\leq g(x)$ in $[a,b]$. Allora:
  
      $\int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$
  
  ### Dimostrazione
  
  Infatti se si ha che $f(x)\leq g(x)$ nel compatto $[a,b]$, effettuando una partizione di tale compatto (ovviamente la disuguaglianza permane), per ogni $i=0,\ldots ,n-1,$ si ottiene:
  
      $f(t_{i})\leq g(t_{i}),$
  
  da cui
  
      $f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$
  
  A questo punto, poiché la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto, vale:
  
      $\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$
  
  Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata
  
      $\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$
  
  Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.
  
  ## Valore assoluto
  
  Sia $f$ una funzione integrabile in un intervallo $[a,b]$, allora si ha:
  
      $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx.$
  
  ### Dimostrazione
  
  Essendo valida la relazione
  
      $-|f(t_{i})|\leq f(t_{i})\leq |f(t_{i})|,$
  
  per ogni $i=0,\ldots ,n-1,$ di una partizione di $[a,b]$, è possibile moltiplicare ogni membro per il fattore $(x_{i+1}-x_{i})$
  
      $-|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq |f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i}),$
  
  e sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:
  
      $-\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i}).$
  
  Applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:
  
      $-\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i});$
      $-\int _{a}^{b}|f(x)|dx\leq \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx.$
  
  Quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come
  
      $\left|\int _{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|dx,$
  
  la quale è proprio la proprietà del valore assoluto degli integrali.
  
  