title: Codice MDS
text: # Codice MDS
  
  Un codice MDS (Maximum Distance Separable) è un codice per cui la diseguaglianza di Singleton vale come uguaglianza, ovvero:
  
      $\ |C|={\frac {2^{n}}{\sum _{k=0}^{e}{n \choose k}}}$
  
  Dove:
  
      $\ C\subseteq H[n,2]$
  
  Il cui generico elemento è $\ x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ con $\ x_{i}\in \left\{0,1\right\}$
  
      $\ d(C)\geq 2e+1$
  
  Una volta definite la distanza tra due parole x e y di $\ H[n,2]$:
  
      $\ \rho (x,y):=|\left\{i:x_{i}\neq y_{i}\right\}|$
  
  e l'insieme sfera di centro c e raggio r comprendente le parole di $\ H[n,2]$ aventi distanza da $\ c$ minore o uguale a r:
  
      $\ S(c,r):=\left\{x\in H[n,2]:\rho (x,c)\leq r\right\}$
  
  La prima relazione implica che l'intero spazio $\ H[n,2]$ è partizionabile in sfere di raggio $\ e$ centrate su elementi del codice $\ C$, ovvero non esistono elementi di $\ H[n,2]$ che non cadano in una (e una sola) sfera di raggio $\ e$ centrata su un qualche elemento $\ c\in C$.
  
  