title: Fibrazione di Hopf
text: # Fibrazione di Hopf
  
  In geometria, la fibrazione di Hopf è una particolare mappa dalla sfera tridimensionale a quella bidimensionale, tale che la controimmagine di ogni punto è una circonferenza.
  
  ## Definizione
  
  La fibrazione di Hopf è un particolare fibrato avente $S^2$ come spazio base, $S^3$ come spazio totale, e $S^1$ come fibra:
  
      $S^1$ → $S^3$ → $S^2$
  
  Fu scoperto da Heinz Hopf nel 1931. Il fibrato di Hopf è un fibrato principale, se considerato con la naturale struttura di gruppo della fibra.
  
  La fibrazione di Hopf è costruita nel modo seguente: per definizione $S^3$ è un oggetto dentro $R^4,$ che identifichiamo con $C^2.$ Lo spazio proiettivo complesso $CP^1$ è definito come il quoziente di $C^2$ \{0} tramite la relazione di equivalenza che identifica due vettori di $C^2$ quando stanno sulla stessa retta (complessa!) passante per l'origine. Come in tutti i quozienti, c'è una proiezione f: $C^2$ → $CP^1,$ che manda ogni vettore nella sua classe di equivalenza. Restringendo la proiezione a $S^3$ otteniamo una funzione suriettiva da $S^3$ in $CP^1,$ che è omeomorfo a $S^2.$ Questa funzione è la fibrazione di Hopf.
  
  La fibra su un punto di $S^2$ (ovvero la sua controimmagine) è omeomorfa alla circonferenza $S^1,$ perché è fatta di tutti i punti del tipo $(λz_0,$ $λz_1)$ dove $z_0$ e $z_1$ sono numeri complessi fissati e λ è un numero complesso variabile con norma 1.
  
  ## Proprietà
  
  Hopf ha dimostrato che la fibrazione f : $S^3$ → $S^2$ non è omotopa ad una mappa costante. In verità, la mappa di Hopf genera il terzo gruppo di omotopia di $S^2,$ ovvero il gruppo $π_3(S^2)$ isomorfo a Z.
  
  ## Generalizzazioni
  
  * In generale, la costruzione di Hopf fornisce dei fibrati p : $S^{2n+1}$ → $CP^n$ su spazi proiettivi complessi, le cui fibre sono sempre circonferenze.
  * La sfera $S^7$ vive dentro $R^8,$ che può essere identificato con $H^2,$ dove H è il corpo dei quaternioni. Quindi otteniamo come sopra una fibrazione da $S^7$ su $HP^1,$ che risulta essere omeomorfo a $S^4.$ Il risultato è un fibrato
  
      p: $S^7$ → $S^4$ con fibra $S^3.$
  