title: Equazione di Ramanujan-Nagell
text: # Equazione di Ramanujan-Nagell
  
  In teoria dei numeri, l'equazione di Ramanujan-Nagell è la seguente equazione diofantea esponenziale:
  
      $2^{n}-7=x^{2}$
  
  Si hanno soluzioni per questa equazione solo per
  
      n = 3, 4, 5, 7 e 15.
  
  che corrispondono a valori della x pari a 1, 3, 5, 11 e 181. Ciò fu congetturato da Srinivasa Ramanujan e dimostrato da Trygve Nagell.
  
  ## Generalizzazioni
  
  L'equazione
  
      $2^{n}=x^{2}+7y^{2}$
  
  ammette una soluzione unica per x e y interi positivi dispari ed n ≥ 3. Questa equazione fu presa in considerazione da Eulero, che non la pubblicò.
  
  Bugeaud, Mignotte e Siksek hanno risolto completamente l'equazione:
  
      $x^{2}+7=y^{n}$
  
  Herrmann, Luca e Walsh hanno risolto:
  
      $x^{2}+7y^{4}=2^{n_{1}}7^{n_{2}}11^{n_{3}}$
  
  Altri autori, tra cui Beukers, hanno studiato l'equazione:
  
      $x^{2}-D=2^{n}$
  
  con $D$ intero. Apéry dimostrò che, se $D<0$ e $D\neq -7$, vi sono al più due soluzioni. Browkin e Schinzel congetturarono che il numero di soluzioni è pari a due se solo se $D=-23$ oppure $D=1-2^{k}$ per qualche $k\geq 3$. Schinzel dimostrò che, se $D$ non è della forma $1-2^{k}$, l'equazione ha al massimo una sola soluzione con $n>80$. La congettura completa di Browkin e Schinzel fu dimostrata da Beukers.
  
  Beukers ha anche considerato l'ulteriore generalizzazione
  
      $x^{2}-D=p^{n}$
  
  con $D>0$ e $p$ primo dispari non divisore di $D$, dimostrando che vi sono al più 4 soluzioni in interi positivi $x$ ed $n$.
  
  