title: Trinomio notevole
text: # Trinomio notevole
  
  Nel calcolo letterale, precisamente nelle scomposizione dei polinomi, il trinomio notevole è un polinomio che può essere espresso nella forma:
  
      $ax^{2}+bx+c\qquad ({\mbox{con }}a,b,c\neq 0)$
  
  e per il quale esiste un metodo noto per scomporlo come prodotto di due binomi di primo grado.
  
  ## Metodo di scomposizione
  
  Si possono distinguere i due casi in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale o diverso da $1$.
  
  ### Caso a = 1
  
  Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale a $1$, il trinomio si presenta nella forma:
  
      $x^{2}+bx+c\,$
  
  in questo caso può essere scomposto nel prodotto di due binomi di primo grado nella forma:
  
      $(x+u)(x+v)$,
  
  dove $u$ e $v$ sono due termini con le seguenti due proprietà:
  
  * $u+v=b$
  * $u\cdot v=c$.
  
  Eseguendo i conti infatti si ottiene:
  
      ${\begin{aligned}(x+u)(x+v)&=x^{2}+vx+ux+uv\\&=x^{2}+x(v+u)+uv\\&=x^{2}+bx+c\\\end{aligned}}$
  
  Un metodo pratico per trovare $u$ e $v$ può essere quello di trovare le due radici del polinomio. Infatti se
  
      $x^{2}+bx+c=0$,
  
  allora:
  
      $(x-u)(x-v)=0\Rightarrow {\begin{cases}x_{1}=u\\x_{2}=v\end{cases}}$
  
  Per trovare le radici del trinomio notevole basta quindi utilizzare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado:
  
      $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
  
  ### Caso a ≠ 1
  
  Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia diverso da $1$ il polinomio si scompone nel modo seguente:
  
      $ax^{2}+bx+c=a(x-u)(x-v)$,
  
  dove $u$ e $v$ possiedono le seguenti proprietà:
  
  * $u+v=-{\frac {b}{a}}$
  * $u\cdot v={\frac {c}{a}}$.
  
  Anche in questo caso la scomposizione può essere dimostrata nel modo seguente:
  
      ${\begin{aligned}a(x-u)(x-v)&=ax^{2}-avx-aux+auv\\&=ax^{2}-ax(v+u)+auv\\&=ax^{2}+bx+c\\\end{aligned}}$
  
  Come nel caso precedente, $u$ e $v$ possono essere trovati cercando le radici del polinomio utilizzando la formula per le equazioni di secondo grado.
  
  ## Trinomi di grado superiore a 2
  
  Più in generale se consideriamo il trinomio:
  
      $ax^{h}+bx^{k}+c\qquad {\mbox{con }}h=2k$
  
  questo può essere scomposto utilizzando la sostituzione di variabili $x^{k}=t$ così da ottenere il trinomio:
  
      $at^{2}+bt+c$,
  
  che può essere scomposto utilizzando i metodi descritti sopra e successivamente riapplicando al contrario la sostituzione.
  
  