title: Principio del min-max
text: # Principio del min-max
  
  Il principio del min-max è uno dei principali strumenti del calcolo delle variazioni per la ricerca di punti critici. sono molti i teoremi ad esso intimamente legati come ad esempio il teorema del passo montano.
  
  ## Teorema
  
  Sia $E$ uno spazio di Banach e sia $J:E\to \mathbb {R}$ un funzionale di classe $C^{1}$ che soddisfa la condizione di Palais-Smale (formulazione forte). Sia ${\mathcal {A}}$ una collezione non vuota di sottoinsiemi non vuoti di $E$, con le seguenti proprietà: per ogni $c\in \mathbb {R}$ e per $\epsilon >0$, sufficientemente piccolo, il flusso associato $\eta (t,u)$ dato dal lemma della deformazione è tale che per ogni $A\in {\mathcal {A}}$ si ha che $\eta (1,A)\in {\mathcal {A}}$.
  
  Posto $c^{*}=\inf _{A\in {\mathcal {A}}}\sup _{v\in A}J(v)$, se $c^{*}\in \mathbb {R}$ allora $c^{*}$ è un valore critico di $J$.
  
  ### Dimostrazione
  
  Supponiamo per assurdo che $c^{*}$ non è un valore critico. Si scelga $A\in {\mathcal {A}}$ tale che $\sup _{v\in A}J(v)<c^{*}+\epsilon$ per $\epsilon >0$ sufficientemente piccolo. Allora, $A\subset \{J^{-1}((-\infty ,c^{*}+\epsilon ])\}$, quindi $\eta (1,A)\subset \{J^{-1}((-\infty ,c^{*}-\epsilon ])\}$ e questo contraddice la definizione di $c^{*}$ in quanto $\eta (1,A)\in {\mathcal {A}}$.
  
  