title: Equazione di stato (cosmologia)
text: # Equazione di stato (cosmologia)
  
  In cosmologia, l'equazione di stato di un fluido perfetto è caratterizzata da un numero adimensionale $w$, uguale al rapporto fra la sua pressione $p$ e la sua densità energetica $\rho$:
  
      $w\equiv {\frac {p}{\rho }}$ .
  
  Essa è strettamente legata all'equazione di stato della termodinamica e a quella dei gas perfetti.
  
  ## Equazione
  
  L'equazione di stato dei gas perfetti può essere scritta come
  
      $p=\rho _{m}RT=\rho _{m}C^{2}$
  
  dove $\rho _{m}$ è la densità di massa, $R$ è la costante dei gas, $T$ è la temperatura e $C$ è la velocità termica delle molecole ($C={\sqrt {RT}}$). Si sostituisce
  
      $w\equiv {\frac {p}{\rho }}={\frac {\rho _{m}C^{2}}{\rho _{m}c^{2}}}={\frac {C^{2}}{c^{2}}}\approx 0$
  
  dove $c$ è la velocità della luce, $\rho =\rho _{m}c^{2}$ e $C\ll c$ per un gas "freddo".
  
  ### Equazioni FLRW e l'equazione di stato
  
  L'equazione di stato può essere usata nelle equazioni di Friedmann per descrivere l'evoluzione di un universo isotropico riempito con un fluido perfetto. Se $a$ è il fattore di scala allora
  
      $\rho \propto a^{-3(1+w)}.$
  
  Se il fluido è la forma dominante di materia in un universo piatto allora
  
      $a\propto t^{\frac {2}{3(1+w)}},$
  
  dove $t$ è il tempo proprio.
  
  In generale, l'equazione di accelerazione di Friedmann è
  
      $3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +3p)$
  
  dove $\Lambda$ è la costante cosmologica e $G$ è la costante di Newton e ${\ddot {a}}$ è la derivata seconda rispetto al tempo proprio del fattore di scala.
  
  Se si definisce (ciò che potrebbe essere chiamato "efficace") la densità di energia e la pressione come
  
      $\rho ^{\prime }\equiv \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}$
      $p^{\prime }\equiv p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}$
  
  e
  
      $p^{\prime }=w^{\prime }\rho ^{\prime }$
  
  l'equazione dell'accelerazione può essere scritta come
  
      ${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\left(\rho ^{\prime }+3p^{\prime }\right)=-{\frac {4}{3}}\pi G(1+3w^{\prime })\rho ^{\prime }$
  
  ### Particelle non relativistiche
  
  L'equazione di stato per la materia ordinaria non relativistica (es. polvere fredda) è $w=0$, il che significa che la sua densità di energia diminuisce di $\rho \propto a^{-3}=V^{-1}$, dove $V$ è un volume. In un universo in espansione, l'energia totale della materia non relativistica rimane costante, con la sua densità che diminuisce all'aumentare del volume.
  
  ### Particelle ultra-relativistiche
  
  L'equazione di stato per la "radiazione" ultra-relativistica (compresi i neutrini e, nell'universo primordiale, altre particelle che in seguito sono diventate non relativistiche) è $w=1/3$ il che significa che la sua densità di energia diminuisce di $\rho \propto a^{-4}$ . In un universo in espansione, la densità di energia della radiazione diminuisce più rapidamente dell'espansione del volume, poiché la sua lunghezza d'onda subisce il redshift gravitazionale .
  
  ### Accelerazione dell'inflazione cosmica
  
  L'inflazione cosmica e l'espansione accelerata dell'universo possono essere caratterizzate dall'equazione dello stato dell'energia oscura . Nel caso più semplice, l'equazione di stato della costante cosmologica è $w=-1$ . In questo caso, l'espressione sopra per il fattore di scala non vale e bisogna scriverla così: $a\propto e^{Ht}$, dove la costante H è la costante di Hubble . Più in generale, l'espansione dell'universo sta accelerando per qualsiasi equazione di stato dove $w<-1/3$ . L'espansione accelerata dell'Universo fu effettivamente osservata. In accordo con le osservazioni, il valore dell'equazione dello stato della costante cosmologica è vicino a -1.
  
  L'ipotetica energia fantasma avrebbe un'equazione di stato $w<-1$ e causerebbe il cosiddetto Big Rip (o Grande Strappo). Tuttavia i dati attuali ci portano a pensare che $-1\leq \omega \leq -1/3$.
  
  ### Fluidi
  
  In un universo in espansione, i fluidi con $\omega$ più grandi scompaiono più rapidamente di quelli con $\omega$ più piccole. Questa è l'origine del problema della piattezza e dei problemi dei monopoli magnetici: la curvatura ha $w=-1/3$ e monopoli magnetici hanno $w=0$, quindi se fossero stati presenti al tempo del Big Bang, dovrebbero essere visibili tutt'oggi. Questi problemi sono risolti dall'inflazione cosmica che ha $w\approx -1$ . Misurare l'equazione dello stato dell'energia oscura è uno dei maggiori sforzi della cosmologia osservativa. Misurando accuratamente $w$, si spera che la costante cosmologica possa essere distinta dalla quintessenza, che ha $w\neq -1$ .
  
  ### Modellazione scalare
  
  Un campo scalare $\phi$ può essere visto come una sorta di fluido perfetto con equazione di stato
  
      ${w={\frac {{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-V(\phi )}{{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}+V(\phi )}},}$
  
  dove ${\dot {\phi }}$ è la derivata temporale di $\phi$ e $V(\phi )$ è l'energia potenziale. Un campo scalare libero ($V=0$) ha $w=1$ e uno con l'energia cinetica che svanisce equivale a una costante cosmologica: $w=-1$ . Qualsiasi equazione di stato nel mezzo (ma non oltre il $w=-1$, la barriera nota come Phantom Divide Line (PDL), è realizzabile, il che rende i campi scalari utili modelli per molti fenomeni della cosmologia.
  
  