title: Equazione di Picard-Fuchs
text: # Equazione di Picard-Fuchs
  
  In matematica, per equazione di Picard-Fuchs si intende una equazione differenziale ordinaria lineare le cui soluzioni descrivono i periodi delle curve ellittiche. Prende il suo nome dai matematici Émile Picard e Lazarus Immanuel Fuchs.
  
  In geometria algebrica questa equazione è un caso molto speciale del fenomeno generale della connessione di Gauss-Manin.
  
  ## Definizione
  
  Sia:
  
      $j={\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}$
  
  il j-invariante con $g_{2}$ e $g_{3}$ invarianti modulari della curva ellittica nella forma di Weierstrass:
  
      $y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}$
  
  Si osserva che il j-invariante è un isomorfismo dalla superficie di Riemann $H/\Gamma$ alla sfera di Riemann $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$, dove $H$ denota il semipiano superiore e $\Gamma$ il gruppo modulare. Con tali notazioni l'equazione di Picard-Fuchs ha la forma:
  
      ${\frac {d^{2}y}{dj^{2}}}+{\frac {1}{j}}{\frac {dy}{dj}}+{\frac {31j-4}{144j^{2}(1-j)^{2}}}y=0$
  
  Servendosi della Q-forma si ottiene:
  
      ${\frac {d^{2}f}{dj^{2}}}+{\frac {1-1968j+2654208j^{2}}{4j^{2}(1-1728j)^{2}}}f=0$
  
  ## Soluzioni
  
  L'equazione si può porre in forma di equazione differenziale ipergeometrica, e due sue soluzioni linearmente indipendenti sono chiamate periodi delle funzioni ellittiche. Il rapporto dei due periodi è $\tau$, la coordinata standard per il semipiano superiore.
  
  L'equazione di Picard-Fuchs si può porre nella forma di equazione differenziale di Riemann, e di conseguenza le sue soluzioni possono essere lette direttamente in termini di funzioni P di Riemann. Si ottiene:
  
      $y(j)=P\left\{{\begin{matrix}0&1&\infty &\;\\{1/6}&{1/4}&0&j\\{-1/6\;}&{3/4}&0&\;\end{matrix}}\right\}$
  
  ## Identità
  
  Questa soluzione soddisfa l'equazione differenziale:
  
      $(S\tau )(j)={\frac {3}{8(1-j)}}+{\frac {4}{9j^{2}}}+{\frac {23}{72j(1-j)}}$
  
  dove $(Sf)(x)$ denota la derivata schwarziana di $f$ rispetto a $x$.
  
  