title: Equazione di Slutsky
text: # Equazione di Slutsky
  
  L'equazione di Slutsky (o identità di Slutsky) in economia, dal nome dell'economista Eugen Slutsky (1880-1948), mette in relazione i cambiamenti nella domanda walrasiana con i cambiamenti nella domanda hicksiana.
  
  In particolare, dimostra che i cambiamenti nella domanda dovuti a variazioni di prezzo sono il risultato di due effetti:
  
  * l'effetto sostituzione, che risulta dal cambiamento del prezzo relativo dei beni;
  * l'effetto reddito, che deriva dal fatto che la variazione di prezzo modifica anche il reddito reale del consumatore e, con questo, anche le quantità domandate dei singoli beni.
  
  In termini formali si ha:
  
      ${\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(p,w),$
  
  dove $\ h(\mathbf {p} ,u)$ è la domanda hicksiana e $\ x(\mathbf {p} ,w)$ è la domanda walrasiana, ai prezzi p, patrimonio $\ w$, e utilità $\ u$. Il primo termine rappresenta l'effetto di sostituzione e il secondo termine l'effetto reddito.
  
  La stessa equazione può essere riscritta in forma matriciale:
  
      $D_{p}x(\mathbf {p} ,w)=D_{p}h(\mathbf {p} ,u)-D_{w}x(\mathbf {p} ,w)\ x(\mathbf {p} ,w)^{\top }$,
  
  dove:
  
  * $\ D_{p}x(\mathbf {p} ,w)$ è la matrice delle derivate parziali del vettore delle domande walrasiane rispetto al vettore dei prezzi;
  * $\ D_{p}h(\mathbf {p} ,u)$ è la matrice delle derivate parziali del vettore delle domande hicksiane rispetto al vettore dei prezzi, ed è chiamata appunto matrice di Slutsky;
  * $\ D_{w}x(\mathbf {p} ,w)$ è il vettore delle derivate parziali del vettore delle domande walrasiane rispetto al patrimonio;
  * $\ x(\mathbf {p} ,w)^{\top }$ è il vettore riga delle domande walrasiane.
  