title: Calotta
text: # Calotta
  
  In geometria, si dice calotta sferica ciascuna delle parti in cui la superficie di una sfera è suddivisa da un piano secante. Se il piano secante passa per un diametro della sfera le due parti si dicono emisferi. Il volume compreso tra la calotta e il piano secante è detto segmento sferico.
  
  Il cerchio delimitato dalla sfera e dal piano secante è detto base della calotta. Il raggio passante per il centro della base è un asse di simmetria per la calotta, e incontra la calotta stessa in un punto detto vertice; la parte di raggio compresa tra la base e il vertice è detta altezza della calotta.
  
  ## Formule
  
  L'area della superficie della calotta sferica si ottiene dal prodotto della lunghezza della circonferenza massima della sfera a cui appartiene per la sua altezza:
  
      $S=2\pi rh,$
  
  dove $r$ e $h$ sono il raggio della sfera e l'altezza della calotta sferica. Se $\Omega$ è l'angolo solido sotteso dalla calotta, la superficie si può esprimere anche come:
  
      $S=\Omega r^{2}.$
  
  Se si introduce l'apertura $\alpha$ del cono sotteso dalla calotta sferica (confrontare angolo solido) si ottengono le notevoli relazioni:
  
      $h=r\left(1-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right),$
      $\Omega =2\pi \left(1-\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right).$
  
  Il volume della calotta sferica è dato da:
  
      $V=\pi h^{2}\left(r-{\frac {h}{3}}\right).$
  
  oppure da:
  
      $V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),$
  
  La relazione tra l'altezza $h$, il raggio di base della calotta $a$ e il raggio della sfera $r$ è data da:
  
      $h=r\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}},$
      $r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}},$
  
  dove il segno positivo e negativo della formula corrispondono alle altezze delle due calotte generate da un singolo piano secante.
  
  