title: Teorema di Peter-Weyl
text: # Teorema di Peter-Weyl
  
  Il teorema di Peter-Weyl è un risultato della teoria delle rappresentazioni che fornisce informazioni utili al calcolo delle rappresentazioni irriducibili di gruppi finiti (informazioni sul numero delle rappresentazioni irriducibili non equivalenti e sulla loro dimensione). Esso può anche essere usato per decomporre le rappresentazioni riducibili.
  
  In particolare afferma che le rappresentazioni irriducibili non equivalenti ${\mathcal {R}}_{1}\dots {\mathcal {R}}_{s}$ di un gruppo di ordine $N$ sono in numero finito $s$ uguale al numero delle classi di coniugio in cui il gruppo è suddiviso, e sono tali che l'insieme dei vettori $v\in \mathbb {C} ^{N}\qquad$ di componenti $\qquad {\sqrt {\frac {d_{k}}{N}}}[{\mathcal {R}}_{k}(g)]_{ij}\qquad$ al variare di $\qquad g=1\dots N$ che si ottengono al variare di $k$ da $1$ a $s$ e al variare di $i$ e $j$ da $1$ a $d_{k}$ (dimensione di ${\mathcal {R}}_{k}$), formano una base ortonormale in $\mathbb {C} ^{N}$.
  
  L'uso di questo teorema per i gruppi finiti viene ulteriormente semplificato introducendo la nozione di carattere, e ne esiste inoltre una generalizzazione per rappresentazioni di gruppi infiniti come ad esempio i gruppi di Lie.
  
  