title: Teorema di Menelao
text: # Teorema di Menelao
  
  Il teorema di Menelao è un noto teorema in geometria elementare, attribuito al matematico Menelao di Alessandria, che tratta dei triangoli nella geometria piana.
  
  ## Enunciato
  
  Dati un triangolo di vertici A, B, C e tre punti D, E ed F che giacciono rispettivamente sulle rette BC, AC e AB, D, E ed F sono allineati se e solo se:
  
      ${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1.$
  
  In questa equazione, $AF$, $FB$, ecc., rappresentano la misura dei segmenti considerati con segno. Per esempio, la frazione $AF/FB$ ha segno positivo solo quando la retta per $D$, $E$ ed $F$ interseca il lato $AB$.
  
  Si tiene anche conto dell'orientamento dei segmenti, cioè:
  
      $AB=-BA$
  
  ## Dimostrazione
  
  Si osserva che il membro a sinistra dell'equazione ha segno negativo se tutti e tre i rapporti sono negativi, caso in cui la retta $DEF$ non interseca il triangolo, oppure un rapporto è negativo e gli altri due positivi, caso in cui la retta $DEF$ interseca il triangolo in due punti (si veda l'assioma di Pasch).
  
  Si costruiscano le perpendicolari da $A$, $B$ e $C$ su $DEF$, le chiamo rispettivamente $a$,$b$ e $c$. Ora per similitudine di triangoli, segue che:
  
      $\left|{\frac {AF}{FB}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\right|\ ,\ \left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {b}{c}}\right|\ ,\ \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {c}{a}}\right|$
  
  Cioè:
  
      $\left|{\frac {AF}{FB}}\right|\cdot \left|{\frac {BD}{DC}}\right|\cdot \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1$
  
  Dove l'ultima uguaglianza si è ottenuta semplificando le frazioni all'interno del modulo.
  
  Per l'altro verso dell'implicazione:
  
  siano $D,\ E$ ed $F$ appartenenti rispettivamente alle rette $BC,\ AC$ e $AB$, in modo che l'equazione valga. Sia $F'$ il punto in cui le rette $DE$ e $AB$ si intersecano. Allora per quanto dimostrato in precedenza anche $D,\ E$ ed $F'$ verificano l'equazione. Confrontandole:
  
      ${\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}$
  
  Ma al più un punto può spezzare un segmento in due con un dato rapporto, quindi si conclude che:
  
      $F=F'.$
  