title: Densità di Schnirelmann
text: # Densità di Schnirelmann
  
  In matematica, la densità di Schnirelmann di una successione di numeri interi è una misura della sua "densità". Tramite questa nozione è possibile affermare ad esempio che "vi sono più numeri dispari che quadrati", benché entrambi gli insiemi siano di cardinalità infinita. Il primo matematico a teorizzare tale densità fu Lev Genrikhovich Schnirelmann da cui appunto deriva il nome.
  
  ## Definizione
  
  Sia $A$ un insieme di interi e sia $A(x)$ la funzione enumeratrice di $A$, definita come:
  
      $A(x)=\sum _{a\leq x;a\in A}^1$
  
  La densità di Schnirelmann di $A$ è quindi definita come
  
      $\sigma (A)=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}}$
  
  ## Proprietà
  
  La densità di Schnirelmann è un numero reale compreso tra zero e uno, che gode della seguente proprietà
  
      ${\text{Se }}k\notin A{\text{ allora }}\sigma A\leq 1-1/k.$
  
  In particolare, se $1\notin A$, allora $\sigma (A)=0$.
  
  ## Somme di insiemi e loro densità di Schnirelmann
  
  Se $C$ è l'insieme somma di due insiemi $A$ e $B$, definito come
  
      $C=\lbrace a+b:a\in A\cup \{0\},b\in B\cup \{0\}\rbrace$
  
  allora il teorema di Schnirelmann afferma che
  
      $\sigma (C)\geq \sigma (A)+\sigma (B)-\sigma (A)\sigma (B).$
  
  Questo teorema è stato migliorato da Henry B. Mann che ha dimostrato che, se $C\neq \mathbb {N}$, si ha
  
      $\sigma (C)\geq \sigma (A)+\sigma (B).$
  