title: Pseudoprimo di Eulero
text: # Pseudoprimo di Eulero
  
  Un numero n è detto pseudoprimo di Eulero in base a (con MCD(n,a)=1) se è un numero dispari composto e
  
      $a^{\frac {n-1}{2}}\equiv \pm 1\mod n$
  
  dove mod è l'operazione modulo.
  
  Questi numeri sono detti pseudoprimi perché tutti i numeri primi verificano questa proprietà, in base al piccolo teorema di Fermat. Infatti, secondo questo ogni numero a coprimo con n verifica
  
      $a^{p-1}\equiv 1\mod p$
  
  Se ora p>2, si ha
  
      $a^{2\cdot {\frac {p-1}{2}}}\equiv 1\mod p$, ovvero $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1\mod p$
  
  Una forma più forte della relazione precedente è
  
      $a^{\frac {n-1}{2}}\equiv \left({\frac {a}{n}}\right)$
  
  dove (a/n) è il simbolo di Legendre. Un numero che verifica questa uguaglianza è detto pseudoprimo di Eulero-Jacobi in base a. Ogni pseudoprimo di Eulero-Jacobi è anche uno pseudoprimo di Eulero, poiché il simbolo di Legendre può essere solamente 1 e -1, tuttavia esistono numeri del secondo tipo che non appartengono al primo insieme. Ad esempio 9 è uno pseudoprimo di Eulero in base 17, ma non uno pseudoprimo di Eulero-Jacobi; mentre in base 19 è uno pseudoprimo di Eulero e di Eulero-Jacobi. Infatti:
  
      $(17)^{9-1}\equiv (-1)^{8}=1\mod 9$
      $(17)^{9-1}\equiv (-1)^{8}=1\neq -1=\left({\frac {17}{9}}\right)\mod 9$
  
  Invece,
  
      $(19)^{9-1}\equiv (1)^{8}=1\mod 9$.
      $(19)^{9-1}\equiv (1)^{8}=1=1=\left({\frac {19}{9}}\right)\mod 9$
  
  La differenza dei due casi (pseudoprimi di Eulero o di Eulero-Jacobi) si trova nella scelta di +1 o -1, che rende più raffinata la valutazione di Eulero-Jacobi.
  
  Ogni pseudoprimo di Eulero è anche uno pseudoprimo di Fermat in base a, ma non vale il viceversa.
  
  Esistono inoltre numeri che sono pseudoprimi di Eulero in ogni base a coprima con loro stessi; tali numeri sono detti pseudoprimi assoluti di Eulero. Questi numeri sono un sottoinsieme degli pseudoprimi assoluti di Fermat, generalmente chiamati numeri di Carmichael. Il più piccolo pseudoprimo assoluto di Eulero è 1729.
  
  