title: Teorema di Norton
text: # Teorema di Norton
  
  Nell'ambito dei circuiti elettrici, il teorema di Norton è un teorema che afferma che un qualunque circuito lineare, comunque complesso, visto da due nodi A-B è equivalente ad un generatore reale di corrente costituito da un generatore ideale di corrente in parallelo con un resistore: l'equivalenza vale limitatamente alla tensione e alla corrente in corrispondenza dei nodi A-B. Pubblicato nel 1926 da Edward Lawry Norton, ingegnere dei Bell Labs, è il duale del teorema di Thévenin.
  
  ## Enunciato
  
  Un circuito lineare tra i nodi A-B è equivalente a un generatore reale di corrente la cui corrente impressa $J_{eq}$ è pari alla corrente di cortocircuito ai nodi A-B ossia alla corrente che vi circola quando gli stessi vengano cortocircuitati e la cui conduttanza equivalente $G_{eq}$ è pari alla conduttanza che la rete presenta sempre in corrispondenza dei nodi A-B quando vengano annullati tutti i suoi generatori tramite la sostituzione dei generatori di tensione con cortocircuiti e dei generatori di corrente con circuiti aperti.
  
  La conduttanza è data dal reciproco della resistenza: $G={1 \over R}$.
  
  La conduttanza equivalente $G_{e}$ può anche essere ottenuta dalla relazione
  
  * $G_{e}={J_{eq} \over E_{0}}$
  
  nella quale $E_{0}$ rappresenta la tensione che si manifesta a vuoto in corrispondenza dei nodi A-B quando gli stessi vengano aperti.
  
  ## Semplice dimostrazione del teorema di Norton
  
  Il teorema di Norton può essere facilmente dimostrato facendo leva sul teorema di Thévenin di cui è il duale.
  
  Il teorema di Thévenin afferma che la tensione $V$ e la corrente $I$ presenti ai nodi A-B del circuito sono legate dalla relazione
  
  * $V=E_{0}-R_{eq}I$
  
  dove $E_{0}$ è la tensione che si manifesta a vuoto nei nodi A-B ossia quando il circuito venga aperto in corrispondenza degli stessi e dove $R_{eq}$ è pari alla resistenza equivalente che si vede dai nodi A-B guardando dentro il circuito dopo aver annullato i generatori in esso presenti.
  
  Se moltiplichiamo ambo i membri della relazione per $G_{eq}$ otteniamo:
  
  * $VG_{eq}=E_{0}G_{eq}-R_{eq}G_{eq}I$
  
  Questa formula può essere interpretata come la somma di tre correnti:
  
  * $J_{G}=VG_{eq}$: corrente che circola nella conduttanza $G_{eq}$ quando nei nodi A-B è presente la tensione $V$ dovuta alla presenza del suo normale carico;
  * $J_{eq}=E_{0}G_{eq}$: corrente che circola nella conduttanza $G_{eq}$ quando nei nodi A-B il circuito sia stato aperto;
  * $R_{eq}G_{eq}I=I$: corrente di carico che circola in corrispondenza dei nodi A-B ($R_{eq}G_{eq}=1$ essendo l'una il reciproco dell'altra).
  
  Abbiamo quindi:
  
  * $J_{G}=J_{eq}-I$
  
  dove $J_{eq}$ è proprio quella del generatore di corrente dell'enunciato del teorema di Norton, $I$ è la corrente di carico e $J_{G}$ è la corrente $VG_{eq}$ che circola nella conduttanza equivalente $G_{eq}$ a causa della tensione $V$. Tale formula si traduce nel circuito di destra della figura sopra riportata (c.v.d.).
  
  ## Teorema di Norton simbolico
  
  Afferma che una rete simbolica tra i nodi A-B è equivalente a un generatore reale simbolico di corrente la cui corrente impressa simbolica ${\bar {J_{eq}}}$ è pari al fasore della corrente di cortocircuito ${\bar {I_{cc}}}$ e la cui ammettenza equivalente ${\dot {Y_{eq}}}$ è pari all'ammettenza che la rete presenta sempre in corrispondenza dei nodi A-B, ovvero al rapporto tra la corrente di cortocircuito${\bar {I_{cc}}}$ e la tensione a vuoto ${\bar {E_{0}}}$ ai nodi A-B:
  
  * ${\bar {J_{eq}}}={\bar {I_{cc}}}$
  * ${\dot {Y}}_{eq}={\dot {Y}}_{i}={{\bar {I_{cc}}} \over {\bar {E_{0}}}}$
  
  L'ammettenza equivalente è quella risultante ai nodi A-B quando la rete è resa passiva, avendo annullato i suoi generatori ideali simbolici di tensione e di corrente (sono posti uguali a zero tutti i fasori delle tensioni impresse e delle correnti impresse).
  
  ## Calcolo del circuito equivalente
  
  * Il circuito originale.
  * Calcolo della corrente equivalente di uscita.
  * Calcolo della resistenza.
  * Il circuito equivalente.
  
  Si consideri il circuito in figura di cui si vuole determinare il circuito equivalente di Norton calcolandone la corrente di cortocircuito $I_{cc}$ e la resistenza equivalente $R_{eq}$.
  
  Per il calcolo della $I_{cc}$ si procede nel seguente modo:
  
  * si cortocircuitano i terminali di uscita;
  * si calcola la corrente che attraversa il cortocircuito la quale sarà pari alla corrente equivalente $I_{cc}$.
  
  Per il calcolo della $R_{eq}$ si procede nel seguente modo:
  
  * si annullano i generatori di tensione sostituendoli con dei cortocircuiti e quelli di corrente sostituendoli con un circuito aperto;
  * si calcola la resistenza tra i terminali di uscita la quale sarà pari alla resistenza $R_{eq}$.
  
  Il circuito equivalente sarà dunque composto da un generatore ideale di corrente $I_{cc}$ in parallelo a una resistenza $R_{eq}$, ai cui capi si trovano i terminali di uscita.
  
  Nell'esempio riportato nelle figure a fianco, la corrente $I_{cc}$ si calcola come segue:
  
      $I_{\mathrm {tot} }={15\mathrm {V} \over 2\,\mathrm {k} \Omega +(1\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega ))}=5,625\mathrm {mA}$
      $I_{cc}={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}\cdot I_{\mathrm {tot} }=3,75\mathrm {mA}$
  
  La resistenza equivalente $R_{eq}$ sarà:
  
      $R_{eq}=1\,\mathrm {k} \Omega +(2\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega ))=2\,\mathrm {k} \Omega$
  
  Il circuito equivalente di Norton sarà costituito da un generatore di corrente di 3,75 mA in parallelo a una resistenza di 2 kΩ.
  
  