title: Somma di Ramanujan
text: # Somma di Ramanujan
  
  Nella teoria dei numeri, la somma di Ramanujan, in genere indicata con la notazione $c_{q}(n)$, è una funzione di due variabili intere q ed n nella formula
  
      $c_{q}(n)=\sum _{a}\cos \left({\frac {2\pi na}{q}}\right)=\sum _{a=1 \atop (a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},$
  
  dove (a, q) = 1 significa che a assume solamente valori coprimi con q. Quindi, (a, q) indica il massimo comune divisore di a e q, pari a 1, e $a<q,\;a\in \mathbb {Z} _{0}$. Gli addendi nella somma sono potenza di una delle radici dell'unità complesse.
  
  Srinivasa Ramanujan trattò per la prima volta questa formula all'interno di appunti scritti nel 1918. Oltre alle estensioni prese in esame in questo articolo, la somma di Ramanujan è utilizzata anche nella dimostrazione del teorema di Vinogradov, secondo il quale ogni numero dispari sufficientemente grande è la somma di tre numeri primi.
  
  ## Notazione
  
  Dati due interi a e b, $a\mid b$ si legge «a divide b» e significa che esiste un intero c tale che b = ac. Analogamente, $a\nmid b$ si legge «a non divide b». Il simbolo di sommatoria
  
      $\sum _{d\,\mid \,m}f(d)$,
  
  significa che d passa attraverso tutti i possibili divisori di m, es.
  
      $\sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).$
      $(a,\,b)\;$ è il massimo comune divisore,
      $\phi (n)\;$ è la funzione φ di Eulero,
      $\mu (n)\;$ è la funzione di Möbius,
      $\zeta (s)\;$ è la funzione zeta di Riemann.
  
  ## Applicazioni
  
  La premessa di base delle somme di Ramunujan è la loro moltiplicatività
  
      $c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),$
  
  se $(k,\;k')=1$ (e c_k(n) è ora la somma di Ramunujan).
  
  Tramite la Funzione di Möbius $\mu$:, abbiamo:
  
      $c_{k}(n)=\sum _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d}}\right)d.$
  
  Molte delle funzioni moltiplicative dall'argomento naturale possono essere disposti in righe su c _ {k} (n). È vero anche il contrario.
  
  La proprietà di base (moltiplicativa) delle somme di Ramanujan vi permetterà di calcolare somme della forma:
  
      $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s}}}f(n),\quad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}f(k),$,
  
  dove $f(n)$ è una funzione moltiplicativa, q un numero intero , s in generale un numero complesso.
  
  Nel caso più semplice, otteniamo:
  
      $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}(n)}{\zeta (s)}},$
  
  dove $\zeta (s)$ è la funzione zeta di Riemann.
  
  ## Formule per $c_q(n)$
  
  ### Trigonometria
  
  Queste formule discendono dalla formula di Eulero $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$, e da alcune elementari identità di trigonometria.
  
      ${\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}$
  
  Dalla formula risulta che $c_q(n)$ è sempre reale.
  
  ### Kluyver
  
  Sìa $\zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.$; allora $ζ_q$ è una radice dell'equazione $x^q$ − 1 = 0. Ciascuna delle sue potenze $ζ_q,$ $ζ_q^2,$ ... $ζ_q^q$ = $ζ_q^0$ = 1, è anch'essa una radice dell'equazione. I numeri $ζ_q^n$ dove 1 ≤ n ≤ q, sono dette la q-esima Radice dell'unità. $ζ_q$ è nota come la q-esima radice dell'unità primitiva perché q è il più piccolo valore d n che rende $ζ_q^n$ = 1. L'altra radice dell'unità q-esima primitiva sono i numeri $ζ_qa,$ dove (a, q) = 1. Pertanto, esistono φ(q) radici dell'unità q-esime primitive.
  
  Possiamo dire che la somma di Ramanujan $c_q(n)$ è la somma delle n-esime potenze della radice dell'unità q-esima primitiva.
  
  È un fatto che le potenze di $ζ_q$ sono esattamente le radici primitive per tutti i divisori di q.
  
  Esempio. Sia q = 12. Allora
  
      $ζ_{12},$ $ζ_{12}^5,$ $ζ_{12}^7,$ e $ζ_{12}^{11}$ sono le dodicesime radici dell'unità primitive,
      $ζ_{12}^2$ e $ζ_{12}^{10}$ sono le seste radici dell'unità primitive,
      $ζ_{12}^4$ and $ζ_{12}^8$ sono le quarte radici dell'unità primitive,
      $ζ_{12}^6$ = −1 sono le seconde radici dell'unità primitive,
      $ζ_{12}^{12}$ = 1 è la prima radice dell'unità primitiva.
  
  Quindi, se
  
      $\eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}$
  
  è la somma delle n-esime potenze di tutte le radici, primitive e non primitive,
  
      $\eta _{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,q}c_{d}(n),$
  
  e, per la Formula di inversione di Möbius,
  
      $c_{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).$
  
  Dalla identità $x^q$ − 1 = (x − $1)(x^{q−1}$ + $x^{q−2}$ + ... + x + 1) , segue che
  
      $\eta _{q}(n)={\begin{cases}0&\;{\mbox{ if }}q\nmid n\\q&\;{\mbox{ if }}q\mid n\\\end{cases}}$
  
  e ciò conduce alla formula
  
      $c_{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,(q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d,$,
  
  pubblicata da Kluyver nel 1906.
  
  Ciò mostra che $c_q(n)$ è sempre un intero. Si confronti con la formula
  
      $\phi (q)=\sum _{d\,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.$
  
  ### Von Sterneck
  
  Dalla definizione è facile dimostrare che $c_q(n)$ è una funzione moltiplicativa quando la si considera una funzione di q per un valore di n fissato:: es.
  
      ${\mbox{If }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ then }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).$
  
  Dalla definizione (o dalla formula di Kluyver) è immediato dimostrare che, se p è un numero primo
  
      $c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},$
  
  e che, se $p^k$ è una prima potenza dove k > 1,
  
      $c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.$
  
  Questo risultato e la proprietà moltiplicativa possono essere usati per provare che
  
      $c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.$
  
  nota come la funzione aritmetica di von Sterneck. L'equivalenza fra questa e la somma di Ramanujan fu provata da Hölder.
  
  ### Altre proprietà di $c_q(n)$
  
  Per tutti i q interi positivi,
  
      $c_{1}(q)=1,\;\;c_{q}(1)=\mu (q),\;{\mbox{ and }}\;c_{q}(q)=\phi (q).$
      ${\mbox{If }}m\equiv n{\pmod {q}}{\mbox{ then }}c_{q}(m)=c_{q}(n).$
  
  Per un valore fissato di q, il valore assoluto della sequenza
  
      $c_q(1),$ $c_q(2),$ ... è limitato da φ(q), e
  
  per un valore fissato di n, il valore assoluto della sequenza
  
      $c_1(n),$ $c_2(n),$ ... è limitato da n
  
  Se q > 1
  
      $\sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.$
  
  Sìa $m_1,$ $m_2$ > 0, m = $lcm(m_1,$ $m_2).$ Allora, la somma di Ramanujan soddisfa la proprietà di ortogonalità:
  
      ${\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$
  
  Sìa n, k > 0. Allora,
  
      $\sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},$,
  
  nota come l'identità di Brauer-Rademacher.
  
  Se n > 0 e a è intero, abbiamo anche che
  
      $\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a),$
  
  scoperta da Cohen.
  
  ## Relazioni con altre funzioni
  
  Se f(n) è una funzione aritmetica, si dice 'estensione di Ramanujan per f(n)
  
      $f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)$,
  
  oppure anche la forma
  
      $f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)$,
  
  dove $a_k$ ∈ C.
  
  In particolare, per s reale >= 1, si ottiene la Serie di Dirichlet
  
      $\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}(n)}{\zeta (s)}},$,
  
  dove σ è la Funzione sigma e ζ è la funzione zeta di Riemann. Per s = 1 e s = 2, essa diventa
  
      $\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q}}=0$,
  
  e
  
      $\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{2}}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}{\frac {\sigma _{1}(n)}{n}}$,
  
  rispettivamente.
  
  Altre identità ottenute da Ramanujan sono:
  
      $\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q}}\log(q)=-\sigma _{0}(n)$
  
  e
  
      $\sum _{q=1}^{\infty }(-1)^{q-1}{\frac {c_{2q-1}(n)}{2q-1}}=r_{2}(n),$,
  
  dove $r_2(n)$ è il numero di rappresentazioni di n nella forma $x^2$ + $y^2$ (x, y interi).
  
  ## Estensioni di Ramanujan
  
  Sìa f(n) una funzione aritmetica (ad esempio una funzione a valori complessi dei numeri interi o dei numeri naturali), allora una serie infinita convergente nella forma
  
      $f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)$
  
  oppure
  
      $f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)$
  
  dove ${{a_k$ ∈ C}}, è chiamata estensione di Ramanujan di f(n).
  
  Ramanujan trovò estensioni per alcune delle più note funzioni nella teoria dei numeri. Tutti questi risultati teorici vengono provati con una strumentazione matematica elementare (ad esempio utilizzando manipolazioni formali delle serie oppure i risultati riguardo alla convergenza)
  
  L'estensione della funzione zero dipende da un risultato della teoria analitica dei numeri primi, e precisamente dal fatto che la serie
  
      $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}$
  
  converge a 0, mentre per r(n) e r′(n) dipende da teoremi in uno scritto precedente ..
  
  Tutte le formule riportate in questo paragrafo sono relative al paper di Ramanujan del 1918.
  
  ### Funzione generatrice
  
  Le funzioni generatrici delle somme di Ramanujan sono serie di Dirichlet:
  
      $\zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}$
  
  è la funzione generatrice della successione $c_q(1),$ $c_q(2),$ ...dove q è una costante data, e
  
      ${\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}$
  
  è la funzione generatrice della successione $c_1(n),$ $c_2(n),$ ... dove n è una costante data.
  
  Abbiamo inoltre la doppia serie di Dirichlet
  
      ${\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.$
  
  ### $σ_k(n)$
  
  $σ_k(n)$ è la funzione sigma (es. la somma della k-esime potenze dei divisori di n, inclusi 1 ed n). $σ_0(n),$ il numero dei divisori di n, è in genere scritto d(n) e $σ_1(n),$ la somma dei divosri di n, è in genere scritto come σ(n).
  
  Se s > 0,
  
      $\sigma _{s}(n)=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\dots \right)$
  
  e
  
      $\sigma _{-s}(n)=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\dots \right).$
  
  Ponendo s = 1, si ha
  
      $\sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\dots \right).$
  
  Se l'Ipotesi di Riemann è vera, e $-{\tfrac {1}{2}}<s<{\tfrac {1}{2}},$
  
      $\sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\dots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\dots \right).$
  
  ### d(n)
  
  d(n) = $σ_0(n)$ è il numero di divisori di n, inclusi 1 ed n.
  
      ${\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\dots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}$
  
  dove γ = 0.5772... è la costante di Eulero-Mascheroni.
  
  ### φ(n)
  
  φ(n) è il numero di interi positivi minori di n e coprimi con n. Ramanujan definì una generalizzazione di essa, se:
  
      $n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots$
  
  è la scomposizione di n in fattori di primi, ed s un numero complesso, si ottiene
  
      $\phi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,$
  
  in modo tale che $φ_1(n)$ = φ(n) è la funzione di Eulero.
  
  Egli dimostrò che
  
      ${\frac {\mu (n)n^{s}}{\phi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}$
  
  ed usò tale risultato per provare che
  
      ${\frac {\phi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\phi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\phi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\phi _{s+1}(3)}}+\dots .$
  
  ponendo s = 1,
  
      $\phi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\dots \right).$
  
  Si noti che la costante è l'inverso di quella che compare nella formula per σ(n).
  
  ### Zero
  
  Per ogni n > 0,
  
      $0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\dots .$
  
  che è equivalente al teorema dei numeri primi.
  
  ### $r_{2s}(n)$ (somma di quadrati perfetti)
  
  $r_{2s}(n)$ è il numero di modi possibili per rappresentare n come la somma di due numeri quadrati perfetti, conteggiando come differenti due diversi ordini degli addendi o segni (es., $r_2(13)$ = 8, as 13 = $(±2)^2$ + $(±3)^2$ = $(±3)^2$ + $(±2)^2.)$
  
  Ramanujan definì una funzione $δ_{2s}(n)$ e pubblicò un paper in cui provò che $r_{2s}(n)$ = $δ_{2s}(n)$ per s = 1, 2, 3, e 4. Per s > 4 provò che $δ_{2s}(n)$ è una buona approssimazione per $r_{2s}(n).$
  
  s = 1 ha una formula particolare:
  
      $\delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\dots \right).$
  
  Nelle formule seguenti i segni si ripetono con una periodicità di 4.
  
  Se s ≡ 0 (mod 4),
  
      $\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$
  
  Se s ≡ 2 (mod 4),
  
      $\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$
  
  Se s ≡ 1 (mod 4) e s > 1,
  
      $\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$
  
  Se s ≡ 3 (mod 4),
  
      $\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$
  
  e pertanto,
  
      ${\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}$
  
  ## Tabella
  
  Ramanujan Sum $c_s(n)$ :
  
  | | | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n |
  | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
  | | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
  | s | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
  | s | 2 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 |
  | s | 3 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 |
  | s | 4 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 |
  | s | 5 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 |
  | s | 6 | 1 | −1 | −2 | −1 | 1 | 2 | 1 | −1 | −2 | −1 | 1 | 2 | 1 | −1 | −2 | −1 | 1 | 2 | 1 | −1 | −2 | −1 | 1 | 2 | 1 | −1 | −2 | −1 | 1 | 2 |
  | s | 7 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 6 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 6 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 6 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 6 | −1 | −1 |
  | s | 8 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 |
  | s | 9 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | −3 |
  | s | 10 | 1 | −1 | 1 | −1 | −4 | −1 | 1 | −1 | 1 | 4 | 1 | −1 | 1 | −1 | −4 | −1 | 1 | −1 | 1 | 4 | 1 | −1 | 1 | −1 | −4 | −1 | 1 | −1 | 1 | 4 |
  | s | 11 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 10 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 10 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 |
  | s | 12 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −4 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | 4 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −4 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | 4 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −4 |
  | s | 13 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 12 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 12 | −1 | −1 | −1 | −1 |
  | s | 14 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −6 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 6 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −6 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 6 | 1 | −1 |
  | s | 15 | 1 | 1 | −2 | 1 | −4 | −2 | 1 | 1 | −2 | −4 | 1 | −2 | 1 | 1 | 8 | 1 | 1 | −2 | 1 | −4 | −2 | 1 | 1 | −2 | −4 | 1 | −2 | 1 | 1 | 8 |
  | s | 16 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | −8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | −8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
  | s | 17 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 16 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 |
  | s | 18 | 0 | 0 | 3 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | −6 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | 3 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | 3 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | −6 | 0 | 0 | −3 |
  | s | 19 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 18 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 |
  | s | 20 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −8 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | 8 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −8 |
  | s | 21 | 1 | 1 | −2 | 1 | 1 | −2 | −6 | 1 | −2 | 1 | 1 | −2 | 1 | −6 | −2 | 1 | 1 | −2 | 1 | 1 | 12 | 1 | 1 | −2 | 1 | 1 | −2 | −6 | 1 | −2 |
  | s | 22 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −10 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 10 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 |
  | s | 23 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 22 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 |
  | s | 24 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 | 0 | −8 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | 8 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 |
  | s | 25 | 0 | 0 | 0 | 0 | −5 | 0 | 0 | 0 | 0 | −5 | 0 | 0 | 0 | 0 | −5 | 0 | 0 | 0 | 0 | −5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 20 | 0 | 0 | 0 | 0 | −5 |
  | s | 26 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −12 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | 12 | 1 | −1 | 1 | −1 |
  | s | 27 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | −9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | −9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 18 | 0 | 0 | 0 |
  | s | 28 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −12 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | 12 | 0 | 2 |
  | s | 29 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 28 | −1 |
  | s | 30 | −1 | 1 | 2 | 1 | 4 | −2 | −1 | 1 | 2 | −4 | −1 | −2 | −1 | 1 | −8 | 1 | −1 | −2 | −1 | −4 | 2 | 1 | −1 | −2 | 4 | 1 | 2 | 1 | −1 | 8 |
  