title: Formula di inversione di Möbius
text: # Formula di inversione di Möbius
  
  In matematica, e in particolare in teoria dei numeri, la formula di inversione di Möbius lega due funzioni aritmetiche, l'una delle quali è somma dei divisori dell'altra, attraverso la funzione di Möbius. Fu introdotta da August Ferdinand Möbius nel XIX secolo.
  
  Afferma che date due funzioni aritmetiche f e g, l'uguaglianza
  
      $f(n)=\sum _{d|n}g\left(d\right)$
  
  vale se e solo se si ha
  
      $g(n)=\sum _{d|n}\mu (d)f\left({\frac {n}{d}}\right)$
  
  dove la somma è estesa a tutti i divisori di n e $\mu$ è la funzione di Möbius.
  
  La formula di inversione di Möbius può essere generalizzata a funzioni di variabile complessa.
  
  ## Convoluzione e formula di inversione
  
  La formula può essere riscritta attraverso l'operazione di convoluzione di Dirichlet *: se g e f sono funzioni aritmetiche allora:
  
      $f=g*N_{0}$
  
  se e solo se:
  
      $g=f*\mu$
  
  dove $N_{0}(n)=1$ per ogni n.
  
  Questo punto di vista offre una semplice via per arrivare alla dimostrazione: basta infatti dimostrare che $\mu$ e $N_0$ sono l'una l'inversa dell'altra secondo l'operazione di convoluzione, cioè che
  
      $\left(\mu *N_{0}\right)\left(n\right)=\sum _{d|n}\mu \left(d\right)=\left\{{\begin{matrix}1\ {\mbox{se}}\ n\ {\mbox{=}}\ 1\\0\ {\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.$
  
  La prima uguaglianza è semplicemente la definizione di convoluzione; la seconda si ricava facilmente dal fatto che alla sommatoria contribuiscono solo i divisori di n privi di quadrati: se n ha m fattori primi distinti il contributo alla sommatoria da parte dei divisori di n privi di quadrati con j fattori primi distinti è ${m \choose j}\left(-1\right)^{j}$, e quindi:
  
      $\left(\mu *N_{0}\right)\left(n\right)=\sum _{d|n}\mu \left(d\right)=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\left(-1\right)^{j}=\left(1-1\right)^{m}=0~~~~\forall ~n>1$
  
  A questo punto è sufficiente osservare che se $f=g*N_{0}$, allora usando la convoluzione per la funzione di Mobius ad entrambi i membri si ha
  
      $f*\mu =g*N_{0}*\mu =g*(N_{0}*\mu )=g$
  
  che è la tesi. Nell'ultimo passaggio si sfrutta il fatto che la funzione che vale 1 per n=1 e 0 per n>1, convoluta con ogni funzione f, dà la stessa f.
  
  ## Seconda formula di inversione di Mobius
  
  Sia h una funzione aritmetica moltiplicativa; allora:
  
      $f\left(x\right)=\sum _{n\leq x}h\left(n\right)g\left({\frac {x}{n}}\right)$
  
  se e solo se:
  
      $g\left(x\right)=\sum _{n\leq x}h^{-1}\left(n\right)f\left({\frac {x}{n}}\right)$
  
  dove $h^{-1}\left(n\right)$ è l'inversa di $h\left(n\right)$.
  
  