title: Formula di Viète
text: # Formula di Viète
  
  In matematica, la formula di Viète, così denominata in onore del matematico francese François Viète (1540-1603), è la seguente rappresentazione mediante prodotto infinito della costante matematica π:
  
      ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$
  
  L'espressione sulla destra deve essere intesa come espressione limite (per $n\rightarrow \infty$)
  
      $\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}$
  
  dove $a_n$ è il radicale quadratico dato dalla formula ricorsiva $a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}$ con condizione iniziale $a_{1}={\sqrt {2}}$.
  
  ## Dimostrazione
  
  Consideriamo la formula di duplicazione per la funzione seno
  
      $\,\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ .
  
  Applichiamola due volte per esprimere il seno dell'angolo quadruplo
  
      $\,\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)=4\sin(x)\cos(x)\cos(2x)$ .
  
  Applicandola reiteratamente si ottiene l'identità
  
      ${{\sin(2^{n}x)} \over {2^{n}\sin(x)}}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos(2^{i}x)$
  
  valido per tutti gli interi positivi n (la dimostrazione dettagliata si ottiene con lo schema di dimostrazione per induzione). Ponendo y := x $2^n$ e dividendo entrambi i membri per cos(y/2) si ottiene
  
      ${{\sin(y)} \over {\cos({y \over 2})}}\cdot {1 \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).$
  
  Usando di nuovo la formula di duplicazione sin y=2sin(y/2)cos(y/2) otteniamo
  
      ${{2\sin({y \over 2})} \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).$
  
  Nel caso particolare y = π si ottiene l'identità
  
      ${2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=2}^{n}\cos \left({\pi \over {2^{i}}}\right)\ .$
  
  Rimane da collegare i fattori del secondo membro di questa identità con i termini $a_n$ introdotti inizialmente. Utilizzando la formula della bisezione dell'angolo per il coseno,
  
      $2\cos(x/2)={\sqrt {2+2\cos x}},$
  
  se ne deriva che $b_{i}:=2\cos \left({\pi \over {2^{i+1}}}\right)$ soddisfa la formula ricorsiva $\,b_{i+1}={\sqrt {2+b_{i}}}$ con condizione iniziale $b_{1}=2\cos \left({\pi \over 4}\right)={\sqrt {2}}=a_{1}$. Quindi $a_n=b_n$ per tutti gli interi positivi n.
  
  La Formula di Viète segue considerando il limite n → ∞. Notiamo infatti che
  
      $\lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over \pi }\cdot {{\pi \over 2^{n}} \over {\sin({\pi \over {2^{n}}})}}={2 \over \pi }$
  
  come conseguenza del limite notevole $\lim _{x\rightarrow 0}\,{x \over {\sin x}}=1$.
  
  