title: Slerp
text: # Slerp
  
  Slerp (contrazione di spherical linear interpolation) è una formula per l'interpolazione di rotazioni tale che l'interpolante abbia velocità angolare costante. Introdotta nel 1985 da Ken Shoemake, slerp è comunemente usata in animazione digitale e computer grafica.
  
  ## Formulazione
  
  L'idea alla base di slerp si basa sul fatto che il gruppo di Lie delle rotazioni $SO(3)$ condivide la stessa metrica della sfera rappresentante il gruppo dei quaternioni unitari (comunemente usati per parametrizzare rotazioni nello spazio tridimensionale). L'interpolazione di rotazioni a velocità costante può essere perciò ottenuta interpolando sulla superficie della sfera (le cui geodetiche sono i cerchi massimi). Slerp tra due quaternioni unitari $\mathbf {q} _{0}$ e $\mathbf {q} _{1}$ (ovvero tali che $|\mathbf {q} _{0}|=|\mathbf {q} _{1}|=1$) con parametro di interpolazione $t\in [0,1]$ può essere definita come
  
      $\operatorname {slerp} (t|\mathbf {q} _{0},\mathbf {q} _{1})=\mathbf {q} _{0}\left(\mathbf {q} _{0}^{-1}\mathbf {q} _{1}\right)^{t}$.
  
  Glenn Devis introdusse una formulazione alternativa, solitamente più conveniente in applicazioni pratiche
  
      $\operatorname {slerp} (t|\mathbf {q} _{0},\mathbf {q} _{1})={\frac {\sin \left((1-t)\theta \right)}{\sin \theta }}\mathbf {q} _{0}+{\frac {\sin(t\theta )}{\sin \theta }}\mathbf {q} _{1}$
  
  dove $\theta =\cos ^{-1}\left(\mathbf {q} _{0}\mathbf {q} _{1}\right)$.
  
  