title: Numero di Woodall
text: # Numero di Woodall
  
  In matematica si chiamano numeri di Woodall e si indicano con $W_{n}$ i numeri naturali di forma
  
      $n\cdot 2^{n}-1$
  
  ## La sequenza
  
  Furono studiati per la prima volta da Allan J. C. Cunningham e H. J. Woodall, due matematici inglesi, nel 1917, grazie alle osservazioni di James Cullen sui numeri di Cullen, similmente definiti. I primi numeri di Woodall sono:
  
      $W_{1}=1$
      $W_{2}=7$
      $W_{3}=23$
      $W_{4}=63$
      $W_{5}=159$
      $W_{6}=383$
      $W_{7}=895$
  
  (sequenza A003216 dell'OEIS).
  
  ## I primi di Woodall
  
  I numeri di Woodall che sono anche primi vengono chiamati numeri primi di Woodall. I primi valori di $n$ che rendono primi i numeri di Woodall sono $2,3,6,30,75,81,115,123,249,362,384$ (sequenza A002234 dell'OEIS). La sequenza dei numeri primi di Woodall è invece
  
      $W_{p1}=7$
      $W_{p2}=23$
      $W_{p3}=383$
      $W_{p4}=32212254719\approx 3.221\cdot 10^{10}$
      $W_{p5}=2833419889721787128217599\approx 2.833\cdot 10^{24}$
  
  (sequenza A050918 dell'OEIS).
  
  ## Proprietà
  
  I numeri di Woodall hanno diverse proprietà di divisibilità. Ad esempio, se $p$ è un numero primo, allora divide
  
      $W_{\frac {p+1}{2}}$
  
  se il simbolo di Jacobi $\left({\frac {p}{2}}\right)$ è $+1$
  
  e divide
  
      $W_{\frac {3p-1}{2}}$
  
  se il simbolo di Jacobi $\left({\frac {p}{2}}\right)$ è $-1$
  
  Esiste anche una congettura che sostiene vi siano infiniti numeri primi di Woodall. A gennaio 2019 il più grande conosciuto è generato da $n=17016602$ ed è un numero di 5122515 cifre scoperto da Diego Bertolotti nell'ambito del progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.
  
  ## Numero di Woodall generalizzato
  
  Un numero di forma
  
      $W_{n}=n\cdot b^{n}-1$
  
  è chiamato numero di Woodall generalizzato.
  
  