title: Partizione dell'unità
text: # Partizione dell'unità
  
  In topologia, una partizione dell'unità relativa ad uno spazio topologico $X$ è una famiglia di funzioni continue $\lambda _{i}:X\to \mathbb {R}$ che soddisfino le seguenti proprietà:
  
  * $0\leq \lambda _{i}(x)\leq 1$ per ogni $i$
  * in ogni punto, solo un numero finito di funzioni ha valore non nullo
  * la somma di tutte queste funzioni è identicamente uno:
  
      $\sum _{i\in I}\lambda _{i}(x)=1$
  
  Questa somma è finita in ogni punto (e quindi la definizione è indipendente dal concetto di somma infinita) per la condizione precedente.
  
  L'esistenza di una partizione dell'unità è spesso data in relazione ad un particolare ricoprimento: si dice che la partizione è subordinata al ricoprimento $U_{i}$ di $X$ se il supporto di $\lambda _{i}$ è contenuto in $U_{i}$ per ogni indice $i$.
  
  Nel contesto della geometria differenziale si aggiunge la richiesta della liscezza delle funzioni $\lambda _{i}$: in questo caso per distinguere si parla di partizione differenziabile dell'unità.
  
  La paracompattezza dello spazio è una condizione necessaria all'esistenza di una partizione dell'unità. A seconda del contesto, può anche essere sufficiente.
  
  