title: Notazione di Voigt
text: # Notazione di Voigt
  
  In algebra multilineare la notazione di Voigt, nota anche come notazione di Mandel-Voigt, notazione di Nye o notazione di Kelvin, è un modo di rappresentare i tensori simmetrici riducendone l'ordine. L'idea di base sta nel rappresentare il tensore unicamente con le sue componenti indipendenti.
  
  Ad esempio, la matrice simmetrica ${\underline {\underline {X}}}$può essere rappresentata da un vettore ${\underline {x}}$ nel seguente modo:
  
  ${\underline {\underline {X}}}={\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{bmatrix}}\implies {\underline {x}}=\{x_{11},\ x_{22},\ x_{12}\}$
  
  ## Regola mnemonica
  
  Una semplice regola mnemonica per la scrittura di un tensore simmetrico secondo la notazione di Voigt, può essere la seguente:
  
  Presa ad esempio una matrice 3×3, che è un tensore di ordine 2, si prenda la matrice triangolare superiore associata, le componenti del vettore corrispondente saranno nell'ordine:
  
  * I termini lungo la diagonale
  * I termini incontrati risalendo la terza colonna
  * I termini sulla prima riga, partendo dal fondo, sino a ricongiungersi con la diagonale
  
  $\implies {\underline {\sigma }}=\{\sigma _{xx},\ \sigma _{yy},\ \sigma _{zz},\ \sigma _{yz},\ \sigma _{xz},\ \sigma _{xy}\}$
  
  In alternativa si può prendere la matrice triangolare inferiore e chiudere il triangolo in senso opposto.
  
  ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&&\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\implies {\underline {\sigma }}=\{\sigma _{xx},\ \sigma _{yy},\ \sigma _{zz},\ \sigma _{zy},\ \sigma _{zx},\ \sigma _{yx}\}$
  
  ## Applicazioni
  
  Le applicazioni di questa notazione sono molteplici. Casi notevoli sono il metodo degli elementi finiti e la legge di Hooke generalizzata.
  
  Prendendo ad esempio quest'ultima si ha:
  
  $\sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl}$
  
  dove $\sigma$ è il tensore degli sforzi, $\varepsilon$ il tensore delle deformazioni, tensori di ordine 2 rappresentabili come matrici, e $C$ è una matrice 6×6 detta matrice di rigidezza costitutiva:
  
  ${\underline {\underline {\sigma }}}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{yx}&\tau _{zx}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}&\tau _{zy}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\qquad {\underline {\underline {\varepsilon }}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{yx}/2&\gamma _{zx}/2\\\gamma _{xy}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{zy}/2\\\gamma _{xz}/2&\gamma _{yz}/2&\varepsilon _{zz}\end{bmatrix}}$
  
  Riscrivendo la legge di Hooke riscritta con la notazione di Voigt si ha:
  
  $\sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}$
  
  dove $\sigma$ è il vettore delle tensioni, $\varepsilon$ il vettore delle deformazioni e $C$ la matrice di rigidezza costitutiva:
  
  ${\underline {\sigma }}={\begin{Bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\tau _{xy}\\\tau _{zx}\\\tau _{yz}\end{Bmatrix}}\qquad {\underline {\varepsilon }}={\begin{Bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\\gamma _{xy}\\\gamma _{zx}\\\gamma _{yz}\end{Bmatrix}}$
  
  