title: Somma di Minkowski
text: # Somma di Minkowski
  
  In geometria la somma di Minkowski di due insiemi di punti $A$ e $B$ in uno spazio vettoriale è l'insieme dei punti ottenuti addizionando gli elementi di $A$ con quelli di $B$. Se lo spazio vettoriale è il piano o lo spazio euclideo, la somma è un'operazione binaria tra due forme geometriche.
  
  Questa operazione (chiamata anche dilatazione di A da parte di B) prende il nome dal matematico tedesco Hermann Minkowski, che per primo la definì, e trova applicazione nell'elaborazione e nell'analisi morfologica delle immagini (riduzione del rumore ed estrazione di forme).
  
  ## Definizione
  
  Dato uno spazio vettoriale $V$ e due suoi sottoinsiemi $A$ e $B$, la somma di Minkowski è l'insieme così definito:
  
      $A+B:=\{\mathbf {a} +\mathbf {b} \ |\mathbf {a} \in A\,,\mathbf {b} \in B\}.$
  
  ## Esempi
  
  ### Insiemi finiti di punti
  
  Dati due 2-simplessi (cioè due triangoli) individuati dai vertici come
  
      {(1, 0), (0, 1), (0, -1)}
  
  e
  
      {(0, 0), (1, 1), (1, -1)} ,
  
  la somma di Minkowski deve contenere tutti i punti ottenibili sommando coppie di vertici, cioè i punti
  
      {(1, 0), (2, 1), (2, -1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, -1), (1, 0), (1, -2)},
  
  e tutti i punti ottenibili come combinazioni convesse dei precedenti, cioè tutti i punti dell'esagono convesso che ha come vertici i punti
  
      (0,1), (1,2), (2,1), (2,-1), (1,-2), (0,-1) .
  
  | A | B | Insieme somma A + B |
  | - | - | - |
  
  ### Insiemi continui di punti
  
  Siano dati due quadrati di lato 1, così definiti:
  
      $Q_{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 0\leq x\leq 1,\,0\leq y\leq 1\right\}$
      $Q_{2}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 1\leq x\leq 2,\,1\leq y\leq 2\right\}$.
  
  Si verifica facilmente che la somma $Q_{3}=Q_{1}+Q_{2}$ è definita da:
  
      $Q_{3}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 1\leq x\leq 3,\,1\leq y\leq 3\right\}$.
  
  Se invece dei quadrati pieni, si prende solo il bordo di $Q_{1}$ o $Q_{2}$ (o di entrambi), la somma di Minkowski dà sempre il quadrato pieno $Q_{3}$ (infatti ogni punto interno si può ottenere come somma di un punto su un lato orizzontale con un punto un lato verticale).
  
  ## Proprietà
  
  Per la somma di Minkowski si possono dimostrare numerose proprietà; di seguito ne vengono riportate alcune, raggruppate per tipologia; il primo gruppo è relativo alle caratteristiche algebriche dell'operazione:
  
  * la somma è associativa;
  * la somma è commutativa;
  * l'elemento neutro è l'insieme $\{\mathbf {0} \}$ costituito dalla sola origine;
  * in generale non esiste l'inverso di un elemento.
  
  Tra le proprietà geometriche possiamo invece annoverare le seguenti:
  
  * se entrambi gli addendi sono sottospazi vettoriali dello spazio ambiente lo è anche la loro somma;
  * se uno dei due addendi è traslato, lo è anche la somma;
  * se l'origine viene spostata, la somma viene traslata nella direzione opposta con la stessa intensità;
  * il perimetro della somma di due figure è uguale alla somma dei loro perimetri.
  
  Infine, in alcuni casi particolari è possibile prevedere la forma della somma sulla base della forma degli addendi:
  
  * se i due addendi sono convessi, lo è anche la loro somma;
  * la somma di una figura e della sua simmetrica rispetto all'origine ha simmetria centrale;
  * se $X=B(\mathbf {x} ,r)$ è la palla di centro $\mathbf {x}$ e raggio $r$, $Y=B(\mathbf {y} ,s)$ è la palla di centro $\mathbf {y}$ e raggio $s$, la somma vale $X+Y=B(\mathbf {x} +\mathbf {y} ,r+s)$.
  
  ## Altre operazioni
  
  Partendo dalla somma di Minkowski è possibile definire numerose operazioni derivate.
  
  ### Sottrazione
  
  Anche se la somma di Minkowski non possiede un elemento inverso, è tuttavia possibile definire un'operazione con caratteristiche simili.
  
  Dato $y\in Y$, definiamo
  
      $X+y=X+\left\{y\right\}$
  
  che è la traslazione di X in direzione y.
  
  La somma si può allora scrivere
  
      $X+Y=\bigcup _{y\in Y}\left(X+y\right)$.
  
  La sottrazione di Minkowski, o erosione, è allora definita come
  
      $X-Y=\bigcap _{y\in Y}\left(X-y\right)$
  
  che può essere anche scritto come
  
      $X-Y=\{z:(Y+z)\subseteq X\}$.
  
  Questa operazione è invariantiva nel senso che
  
      $(X+z)-(Y+z)=X-Y$.
  
  ### Chiusura e apertura
  
  Dilatazione ed erosione non sono inverse una dell'altra; è pertanto possibile definire le due seguenti operazioni non banali:
  
  * chiusura: $C(X,Y)=(X+Y)-Y$;
  * apertura: $O(X,Y)=(X-Y)+Y$.
  
  Se $Y$ è un cerchio, l'operazione di apertura corrisponde alla figura generata dal cerchio rotolando all'interno di $X$, quella di apertura al rotolare del cerchio all'esterno di $X$. In entrambi i casi si ottiene uno smussamento degli angoli di $X$.
  
  ## Applicazioni
  
  L'addizione di Minkowski gioca un ruolo centrale nella morfologia matematica. Questo interviene nel paradigma di pennello e aste della computer grafica 2D (introdotto da Donald E. Knuth per il sistema di definizione di caratteri tipografici METAFONT), e si conforma all'operazione di movimento solido della computer grafica 3D.
  
  L'addizione di Minkowski viene inoltre utilizzata in uno stadio della dimostrazione del teorema di Minkowski, nella forma particolare
  
      $\mathbf {C} +_{Mnk}\mathbf {C} =2\mathbf {C}$
  
  per un insieme convesso simmetrico C che contiene 0, dove il membro sinistro denota la somma di Minkowski e il membro destro il suo ampliamento per un'omotetia di un fattore 2.
  
  Questa operazione è qualche volta chiamata la convoluzione di due insiemi. Si tratta di una dizione piuttosto inappropriata: la effettiva convoluzione delle funzioni indicatrici degli insiemi infatti è una funzione con lo stesso supporto della somma di Minkowski.
  
  