title: Varietà invariante
text: # Varietà invariante
  
  In matematica, in particolare nell'analisi dei sistemi dinamici, la varietà invariante è una varietà topologica invariante rispetto all'azione di un sistema dinamico; ad esempio sono invarianti la varietà centrale, la varietà stabile e instabile.
  
  Le varietà invarianti sono spesso definite a partire da "perturbazioni" di un sottospazio invariante al quale sono tangenti in prossimità di un punto di equilibrio.
  
  ## Definizione
  
  Dato un generico sistema dinamico, descritto dall'equazione differenziale ordinaria:
  
      ${\frac {dx}{dt}}=f(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}$
  
  sia $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ il relativo flusso, soluzione dell'equazione con la condizione iniziale $x(0)=x_{0}$. Un insieme $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ è detto insieme invariante per l'equazione differenziale se, per ogni $x_{0}\in S$, la soluzione $t\mapsto \phi _{t}(x_{0})$, definita sul suo massimo intervallo di esistenza, ha immagine in $S$. In alternativa, l'orbita passante per ogni $x_{0}\in S$ è in $S$. Se l'insieme $S$ è una varietà, viene chiamato varietà invariante.
  
  