title: Bidirectional reflectance distribution function
text: # Bidirectional reflectance distribution function
  
  Con il termine bidirectional reflectance distribution function (BRDF; $f_{r}(\omega _{i},\omega _{o})$) si intende una misura della distribuzione della riflettanza. È una funzione a quattro dimensioni che definisce quanta luce è riflessa su una superficie opaca. La funzione considera la direzione della luce che arriva ($\omega _{i}$) e quella che va $\omega _{o}$, entrambe rispetto alla normale alla superficie $n$. Questa funzione ritorna il rapporto tra la radianza riflessa esistente lungo $\omega _{o}$ e l'irradianza incidente sulla superficie dalla direzione $\omega _{i}$. Notare che ogni direzione $\omega$ è parametrizzata da un angolo azimuth $\phi$ e da un angolo zenith $\theta$ (per questo ha quattro dimensioni). La BRDF ha come unità di misura $sr^{-1}$, dove con $sr$ si intende lo steradiante.
  
  ## Definizione
  
  La BRDF fu definita per prima da Edward Nicodemus attorno al 1965. La moderna definizione è:
  
  $f_{r}(\omega _{i},\omega _{o})={\frac {dL_{r}(\omega _{o})}{dE_{i}(\omega _{i})}}={\frac {dL_{r}(\omega _{o})}{L_{i}(\omega _{i})\cos \theta _{i}\,d\omega _{i}}}$
  
  dove $L$ è la radianza, $E$ è l'irradianza, e $\theta _{i}$ è l'angolo tra $\omega _{i}$ e la normale alla superficie $n$.
  
  ## Proprietà
  
  La BRDF ha le seguenti proprietà:
  
  * positiva: $f_{r}(\omega _{i},\omega _{o})\geq 0$
  * segue la legge di reciprocità di Helmholtz: $f_{r}(\omega _{i},\omega _{o})=f_{r}(\omega _{o},\omega _{i})$.
  * conserva l'energia: $\forall \omega _{i},\int _{\Omega }f_{r}(\omega _{i},\omega _{o})\,\cos {\theta _{o}}d\omega _{o}\leq 1$
  