title: Soluzione di Lemaitre
text: # Soluzione di Lemaitre
  
  La soluzione di Lemaître dell'equazione di campo di Einstein studia il comportamento dell'universo in equilibrio dinamico utilizzando la costante cosmologica, anche se con un altro significato rispetto a quello attribuitole da Albert Einstein. Il valore di $\Lambda$ è maggiore di quello usato da Einstein, in modo da avere un istante iniziale con $R=0$; per questo Lemaître si può considerare il padre del Big Bang.
  
  La forma della soluzione di Lemaître è: $k={\frac {8}{3}}\pi \rho _{0}G{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{3}}\Lambda R^{2}-(HR)^{2}$
  
  dove:
  
  $k$: parametro di curvatura
  
  $\Lambda$: costante cosmologica
  
  $H$: costante di Hubble
  
  $\rho _{0}$
  
  la soluzione può anche essere scritta, ricordando la legge di Hubble $v=HR$, come:
  
  $k={\frac {8}{3}}\pi \rho _{0}G{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{3}}\Lambda R^{2}-{\dot {R}}^{2}$
  
  In questi modelli si ha che la costante cosmologica ha un valore caratteristico:$\Lambda _{*}=-{\frac {4k^{3}}{(8\pi G\rho _{0})^{2}}}$. Si può allora usare questo valore come discriminante per le differenti tipologie di universo, infatti se:
  
  per $\Lambda =\Lambda _{*}$si ha un universo piatto
  
  per $\Lambda >\Lambda _{*}$ si hanno invece i tre casi in cui a seconda di quanto vale $k$ ho un universo aperto chiuso o aperto critico. In particolare per:
  
  $k<0$: universo chiuso, in cui l'attrazione gravitazionale provoca un rallentamento dell'espansione ed un successivo collasso dell'universo, che quindi comincerà a contrarsi.
  
  $k=0$: universo aperto critico, in cui l'attrazione gravitazionale non è sufficiente a far collassare l'universo su sé stesso come per quello chiuso ma non è nemmeno sufficiente a garantire un'espansione perpetua, si avrà allora un universo che arriverà ad un tempo infinito con velocità zero.
  
  $k>0$: universo aperto, l'energia cinetica è superiore di quella potenziale e quindi l'universo continuerà ad espandersi indefinitamente.
  
  