title: Formula genere-grado
text: # Formula genere-grado
  
  In matematica, e in particolare nella geometria algebrica classica, la formula genere-grado lega il grado $d$ di una curva piana $C\subset \mathbb {P} ^{2}$ che ammette solo singolarità ordinarie con il suo genere geometrico $g$ mediante la formula:
  
      $g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-\sum _{P\in C}{\frac {r_{P}(r_{P}-1)}{2}},$
  
  dove $r_{P}$ è la molteplicità del punto $P$ della curva.
  
  Se la curva è non singolare, le molteplicità sono tutte uguali a $1$ e si ha la formula
  
      $g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2),$
  
  in tal caso il genere geometrico e il genere aritmetico della curva coincidono.
  
  ## Dimostrazione
  
  La dimostrazione segue immediatamente dalla formula di aggiunzione. Per una dimostrazione classica vedere il libro di Arbarello, Cornalba, Griffiths e Harris.
  
  ## Generalizzazione
  
  Per un'ipersuperficie non singolare $H$ di grado $d$ in $\mathbb {P} ^{n}$ di genere aritmetico $g$ la formula diventa:
  
      $g={\binom {d-1}{n}},$
  
  dove ${\tbinom {d-1}{n}}$ è il coefficiente binomiale.
  
  