title: Sommazione per parti
text: # Sommazione per parti
  
  In matematica, la sommazione per parti, anche chiamata trasformazione (o lemma) di Abel, è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di convergenza.
  
  ## Enunciato del lemma
  
  Siano $\{a_{n}\}$ e $\{b_{n}\}$ due successioni, e sia
  
      $A_{n}=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}}$
  
  la somma parziale $n$-esima di $\{a_{n}\}$, e si ponga $A_{-1}=0$. Vale allora l'eguaglianza:
  
      $\sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}$.
  
  Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore differenza in avanti $\Delta {b_{n}}:=b_{n+1}-b_{n}$:
  
      $\sum _{i=m}^{n}{b_{i}\Delta {A_{i-1}}}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}-\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}\Delta {b_{i}}}$,
  
  che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di integrazione per parti:
  
      $\int _{a}^{b}{f(x)d(g(x))}=g(b)f(b)-g(a)f(a)-\int _{a}^{b}{g(x)d(f(x))}$.
  
  ## Dimostrazione
  
  La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque campo. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno spazio vettoriale sul campo ${\mathcal {K}}$, e l'altra in ${\mathcal {K}}$.
  
  Per la definizione di $\{A_{n}\}$, si ha:
  
      $\sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{(A_{i}-A_{i-1})b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{A_{i}b_{i}}-\sum _{i=m-1}^{n-1}{A_{i}b_{i+1}}=$
      $=\left(A_{n}b_{n}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}b_{i}}\right)-\left(\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}b_{i+1}}+A_{m-1}b_{m}\right)=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}$,
  
  cioè la tesi, Q.E.D.
  
  ## Teoremi derivati
  
  ### Criterio di Dirichlet per le serie
  
  Il lemma di Abel viene usato per provare il criterio di Dirichlet per la convergenza di serie.
  
  ### Criterio di Leibniz per le serie
  
  Il criterio di Leibniz può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.
  
  