title: Operatore di Hodge
text: # Operatore di Hodge
  
  In algebra lineare, l'operatore di Hodge o stella di Hodge, introdotto da William Vallance Douglas Hodge, è un operatore sull'algebra esterna di uno spazio vettoriale euclideo orientato . Di solito è indicato da un asterisco o da una stella che precede l'elemento a cui è applicato. Se la dimensione dello spazio è n, l'operatore lega k-vettori con (n − k)-vettori: questa corrispondenza è detta dualità di Hodge. Il duale di Hodge di un vettore è il vettore ottenuto dall'applicazione dell'operatore di Hodge.
  
  In geometria differenziale, l'operatore di Hodge può essere esteso a fibrati vettoriali riemanniani orientati. Applicato allo spazio cotangente delle varietà riemannane orientate, l'operatore di Hodge permette di definire una norma $L^2$ sullo spazio delle forme differenziali. Il codifferenziale è quindi definito come la forma aggiunta della derivata esterna . Questo codifferenziale interviene in particolare nella definizione delle forme armoniche.
  
  ## Definizione
  
  ### Operatore di Hodge su k -vettori
  
  Sia E uno spazio vettoriale euclideo orientato di dimensione finita n . I sottospazi $\wedge ^{k}(E)$ e $\wedge ^{n-k}(E)$ k -vettori e (n − k) -vettori sono della stessa dimensione, ovvero il coefficiente binomiale (n/k){\textstyle n \choose k} . L'operatore di Hodge è un isomorfismo lineare indicato con $*$ tra questi due spazi. Per qualsiasi base ortonormale diretta $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}$ , si ha
  
      $*(e_{1}\wedge e_{2}\wedge \ldots \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \cdots \wedge e_{n}.$
  
  Si estende quindi per linearità a tutta l'algebra esterna. Si può dimostrare che questa definizione, nonostante coinvolga una base, è indipendente dalla base scelta.
  
  Una definizione più adatta consiste nel coinvolgere la forma di volume $\omega$ dello spazio vettoriale euclideo orientato $E$. Il duale di Hodge si ottiene eseguendo la contrazione
  
      $\;*\;X=\langle \omega ,X\rangle$
  
  ### Dualità
  
  Per un k -vettore $\eta \in \wedge ^{k}(E)$ dello spazio n-dimensionale $E$, applicando due volte l'operatore di Hodge si ottiene l'identità, a meno di un segno
  
      $**\eta =(-1)^{k(n-k)}\;\eta$
  
  ## Applicazioni
  
  ### Prodotto scalare sull'algebra esterna
  
  L'operatore di Hodge permette di definire un prodotto scalare sull'algebra esterna mediante la relazione
  
      $\zeta \wedge *\eta =\langle \zeta |\eta \rangle \;*1=\langle \zeta |\eta \rangle \;{\overline {\omega }}$
  
  Per questo prodotto scalare, i k -vettori ottenuti per prodotto esterno dalla base ortonormale di $E$ costituiscono una base ortonormale di $\wedge ^{k}(E)$.
  
  ## Estensione agli spazi quadratici
  
  È possibile definire un operatore di Hodge per uno spazio quadratico . La formula della dualità viene quindi modificata per tenere conto della segnatura della forma quadratica su $E$. Precisamente, moltiplichiamo il secondo membro per il discriminante di questa forma quadratica. Quindi se $n=4$ e se la segnatura è $(+,-,-,-)$ o $(-,+,+,+)$, l'esponente è $k(nk)+1$.
  
  