title: Operatore di inversione temporale
text: # Operatore di inversione temporale
  
  L'operatore di inversione temporale è un operatore utilizzato in meccanica quantistica; modifica lo stato a cui viene applicato dando luogo a un nuovo stato "temporalmente invertito".
  
  ## Introduzione
  
  L'azione dell'operatore di inversione temporale su un sistema fisico è più propriamente descritta come inversione del moto, anziché come inversione del tempo. Si consideri il moto di una particella soggetta ad un certo potenziale; immaginando, in un certo istante di tempo $t$ di bloccare la particella e sostituire la sua quantità di moto $\mathbf {p}$ con $\mathbf {-p}$, la particella torna indietro ripercorrendo (nel verso opposto) la stessa traiettoria. In altre parole, se la curva $\mathbf {x} (t)$ è soluzione dell'equazione del moto (non dissipativa):
  
  $m{\ddot {\mathbf {x} }}=-\nabla V(\mathbf {x} )$
  
  allora anche $\mathbf {x} (-t)$ soddisfa l'equazione del moto. $\mathbf {x} (-t)$ rappresenta la soluzione temporalmente invertita.
  
  ## L'operatore di inversione temporale
  
  Dato uno stato $|\alpha \rangle$, lo stato temporalmente invertito si ottiene applicando ad $|\alpha \rangle$ l'operatore di inversione temporale, indicato con $\Theta$:
  
  $|\alpha \rangle \rightarrow \Theta |\alpha \rangle$
  
  ## Proprietà
  
  Una proprietà fondamentale dell'operatore di inversione temporale è l'antiunitarietà.
  
  Un operatore antiunitario applicato ad uno stato realizza una trasformazione
  
  $|{\tilde {\alpha }}\rangle =\theta |\alpha \rangle$
  
  $|{\tilde {\beta }}\rangle =\theta |\beta \rangle$
  
  che soddisfa le seguenti due proprietà
  
  $\langle {\tilde {\beta }}|{\tilde {\alpha }}\rangle =\langle \beta |\alpha \rangle ^{*}$
  
  $\theta \left[a|\alpha \rangle +b|\beta \rangle \right]=a^{*}\theta |\alpha \rangle +b^{*}\theta |\beta \rangle$
  
  (la seconda relazione definisce un operatore antilineare)
  
  Un generico operatore antiunitario può essere scritto come prodotto di due operatori
  
  $\theta =U\cdot K$
  
  dove $U$ è un operatore unitario e $K$ coniuga il numero a cui è moltiplicato.
  
  L'azione dell'operatore $K$ su uno stato non modifica i ket di base. Infatti uno stato $|\alpha \rangle$, scritto come combinazione lineare di autostati $|\phi '\rangle$
  
  $|\alpha \rangle =\sum _{\phi '}|\phi '\rangle \langle \phi '|\alpha \rangle$
  
  si trasforma, sotto l'azione di $K$ nel modo seguente:
  
  $K|\alpha \rangle =\sum _{\phi '}\langle \phi '|\alpha \rangle ^{*}K|\phi '\rangle =\sum _{\phi '}\langle \phi '|\alpha \rangle ^{*}|\phi '\rangle$.
  
  ## Sistemi simmetrici sotto inversione temporale
  
  Indicando con $|\psi \rangle$ uno stato al tempo $t=0$, lo stato $|\psi ,t\rangle$ corrispondente ad un istante immediatamente successivo $t=\delta t$ si ottiene applicando l'operatore di evoluzione temporale (in forma infinitesima):
  
  $|\psi ,t\rangle =\left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)|\psi \rangle$.
  
  Facendo evolvere allo stesso modo lo stato prima invertito temporalmente si ottiene:
  
  $\left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)\Theta |\psi \rangle$.
  
  Per sistemi simmetrici sotto inversione temporale questo stato deve coincidere con quello che si ottiene facendo prima "evolvere all'indietro" $|\psi \rangle$ e poi applicando l'operatore di inversione temporale:
  
  $\left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)\Theta |\psi \rangle =\Theta \left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\left(-\delta t\right)\right)|\psi \rangle$,
  
  da cui si ricava:
  
  $-iH\Theta |\psi \rangle =\Theta iH|\psi \rangle$.
  
  Siccome il ragionamento è valido per ogni ket $|\psi \rangle$, si può scrivere
  
  $-iH\Theta =\Theta iH$.
  
  L'antiunitarietà di $\Theta$ porta alla seguente relazione:
  
  $\Theta H=H\Theta$.
  
  In altre parole l'hamiltoniana di un sistema simmetrico sotto inversione temporale commuta con l'operatore $\Theta$:
  
  $[H,\Theta ]=0$
  
  