title: Operatore momento angolare
text: # Operatore momento angolare
  
  L'operatore momento angolare (detto anche momento angolare orbitale) è l'analogo quantistico del momento angolare della meccanica classica, ovvero il momento della quantità di moto. Esso è il generatore delle rotazioni nello spazio.
  
  ## Definizione
  
  Il momento angolare è il momento della quantità di moto. Esso è pertanto definito come:
  
      $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$
  
  dove $\times$ è il prodotto vettoriale. Classicamente ha componenti cartesiane:
  
      ${\begin{cases}L_{x}=yp_{z}-zp_{y}\\L_{y}=zp_{x}-xp_{z}\\L_{z}=xp_{y}-yp_{x}\end{cases}}$
  
  In meccanica quantistica il momento angolare è rappresentato dall'operatore dato da:
  
      $L_{x}=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)$
      $L_{y}=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)$
      $L_{z}=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)$
  
  ovvero la riscrittura delle componenti cartesiane classiche mediante l'operatore impulso:
  
      $\mathbf {p} =-i\hbar \nabla$
  
  scritto nella base delle coordinate.
  
  ## Le rotazioni
  
  In meccanica classica una rotazione di un angolo $\alpha$, intorno ad un asse (per esempio $z$) è descritta da una matrice ortogonale:
  
      $R_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
  
  analogamente per gli altri assi. In generale una rotazione nello spazio è descritta dalla composizione di tre singole rotazioni sugli assi:
  
      $R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma &\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma &-\sin \beta \cos \gamma \\-\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\\cos \alpha \sin \beta &\sin \alpha \sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}$
  
  La matrice $R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )$ è una matrice reale e ortogonale speciale, cioè
  
      $R=R^{*}\quad ;\quad R^{T}=R^{-1}\quad ;\quad \det R=1$.
  
  ### Le rotazioni infinitesime
  
  Consideriamo rotazioni infinitesime di un angolo $\varepsilon$ su ognuno dei tre assi:
  
      $R_{z}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon &0\\\varepsilon &1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
      $R_{x}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\0&\varepsilon &1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}$
      $R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0&-\varepsilon \\0&1&0\\\varepsilon &0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}$
  
  per angoli infinitesimi cioè abbiamo sviluppato in serie di potenze. Ora componiamo le rotazioni $x,\,y$:
  
      $R_{x}(\varepsilon )\cdot R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0&-\varepsilon \\-\varepsilon ^{2}&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\\varepsilon &\varepsilon &1-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}}$
  
  e
  
      $R_{y}(\varepsilon )\cdot R_{x}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon ^{2}&-\varepsilon \\0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\\varepsilon &\varepsilon &1-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}}$
  
  Vediamo il commutatore di queste due quantità:
  
      $R_{y}(\varepsilon )\cdot R_{x}(\varepsilon )-R_{x}(\varepsilon )\cdot R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}0&-\varepsilon ^{2}&0\\\varepsilon ^{2}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=R_{z}(\varepsilon ^{2})-{\hat {I}}$
  
  Ebbene le componenti dei momenti angolari su assi diversi non commutano.
  
  ## Il momento angolare come generatore delle rotazioni nello spazio
  
  Se ${\hat {R}}_{z}(\alpha )$ è l'operatore di rotazione intorno all'asse $z$ e lo applichiamo ad una funzione d'onda $\psi (x,y,z)$ otteniamo:
  
      ${\hat {R}}_{z}(\alpha )\psi (x,y,z)=\psi (x\cos \alpha +y\sin \alpha ,-x\sin \alpha +y\cos \alpha ,z)$
  
  Considerando invece una rotazione infinitesima, per esempio lungo l'asse $z$:
  
      ${\hat {R}}_{z}(\varepsilon )\psi (x,y,z)\simeq \psi (x+\varepsilon y,-\varepsilon x+y,z)\simeq \psi (x,y,z)+\varepsilon \left(y{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-x{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right)$
  
  in definitiva:
  
      ${\hat {R}}_{z}(\varepsilon )\psi (x,y,z)\simeq \left({\hat {I}}-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {L}}_{z}\right)\psi (x,y,z)$
  
  Allora l'operatore di rotazione infinitesima è proprio il fattore tra parentesi che come si vede contiene la componente lungo l'asse ${\hat {z}}$ del momento angolare, per cui l'operatore ${\hat {L}}_{z}$ è il generatore della rotazione intorno all'asse ${\hat {z}}$. Poiché una rotazione finita può essere ottenuta come somma di $N$ rotazioni infinitesime: $d\alpha ={\frac {\alpha }{N}}$, allora:
  
      $\psi (\mathbf {r} +d\mathbf {r} )=\left({\hat {I}}+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\alpha }{N}}{\hat {\mathbf {L} }}\right)^{N}\psi (\mathbf {r} )$
  
  dove abbiamo usato la notazione tridimensionale. Facciamo il limite $N\to \infty$ di questa espressione:
  
      $\psi (\mathbf {r} ')=\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\psi (\mathbf {r} )$
  
  A conferma di ciò, il teorema di Noether per la Lagrangiana afferma che per ogni simmetria della Lagrangiana, in questo caso l'invarianza per rotazione rispetto ad un asse, per esempio l'asse $j$, vi è una quantità conservata pari a
  
      $Q^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\delta q^{j}$.
  
  Tale quantità conservata genera la trasformazione responsabile della simmetria. Nel caso di una rotazione, la trasformazione è
  
      $\mathbf {x} \longrightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x} +\delta \mathbf {x}$
  
  e si ha che
  
      $\delta \mathbf {x^{j}} ={-\varepsilon x^{k} \choose \varepsilon x^{i}}=\delta q$
  
  perciò:
  
      $Q^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{i}}}\delta x^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{i}}}{-\varepsilon x^{k} \choose \varepsilon x^{i}}=-p^{i}\varepsilon x^{k}+p^{k}\varepsilon x^{i}=\varepsilon (x^{i}p^{k}-x^{k}p^{i})=\varepsilon L^{j}\$
  
  ## Le proprietà del momento angolare
  
  In base alle proprietà delle rotazioni nello spazio, l'operatore di rotazione
  
      $\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}$
  
  deve avere la proprietà di riprodurre la stessa rotazione per rotazioni identitarie, cioè $\alpha \to 0$:
  
      $\lim _{\alpha \to 0}\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}={\hat {I}}$
  
  inoltre le rotazioni successive si devono poter comporre:
  
      $\exp {\left(\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\exp {\left(\alpha _{2}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}=\exp {\left[(\alpha _{1}+\alpha _{2}){\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right]}$
  
  Inoltre applicando una rotazione diretta e una inversa dello stesso angolo si deve ritornare allo stato iniziale:
  
      $\exp {\left(\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\exp {\left(-\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}={\hat {I}}$
  
  ### Proprietà di commutazione
  
  Il commutatore tra due componenti del momento angolare è il seguente:
  
      ${\begin{aligned}\left[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}\right]&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{x}]+[{\hat {y}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}+[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]+[{\hat {y}},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]{\hat {p}}_{z}+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]+[{\hat {z}},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}\\&={\hat {y}}{\hat {z}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {p}}_{x}]+{\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}+{\hat {z}}[{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]{\hat {p}}_{z}+[{\hat {y}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}{\hat {p}}_{z}+{\hat {z}}{\hat {x}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}]+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}+{\hat {x}}[{\hat {z}},{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}+[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}{\hat {p}}_{y}\\&={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}+{\hat {x}}[{\hat {z}},{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}\\&=i\hbar ({\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x})=i\hbar L_{z}\\\end{aligned}}$
  
  dove i commutatori fra le componenti di ${\hat {r}}$ e ${\hat {p}}$ risultano tutti nulli, eccetto nel caso $[{\hat {j}},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar$ con $j=x,y,z$.
  
  Per analogia si trovano gli altri, ricapitolando:
  
      $[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}$
      $[{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}$
      $[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}$
  
  Si può costruire l'operatore ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$, cioè l'operatore:
  
      ${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}&=({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})^{2}=[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{x}]^{2}+[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{y}]^{2}+[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{z}]^{2}\\&={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\end{aligned}}$
  
  Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare, infatti:
  
      ${\begin{aligned}\left[{\hat {L}}_{z},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}\right]&=[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}]\\&=[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}^{2}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}^{2}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{z}^{2}]\\&={\hat {L}}_{x}[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]{\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}]{\hat {L}}_{y}\\&=i\hbar {\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{y}+i\hbar {\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{y}\\&=0\end{aligned}}$
  
  e analogamente:
  
      $[{\hat {L}}_{x},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}]=0$
      $[{\hat {L}}_{y},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}]=0$
  
  cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$.
  
  Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso.
  
      $[{\hat {L}}_{x},{\hat {x}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]-[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]+[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{y}=0$
      $[{\hat {L}}_{x},{\hat {y}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {y}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {y}}]-[{\hat {z}},{\hat {y}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]+[{\hat {z}},{\hat {y}}]{\hat {p}}_{y}=-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]=i\hbar {\hat {z}}$
      $[{\hat {L}}_{x},{\hat {z}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]-[{\hat {z}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]+[{\hat {z}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{y}={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]=-i\hbar {\hat {y}}$
  
  Allo stesso modo ${\hat {L}}_{y}$ e ${\hat {L}}_{z}$, in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:
  
      $[{\hat {L}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {x}}_{k}$
  
  dove ${\hat {x}}_{j}=({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})$ e $\varepsilon _{ijk}$ è il simbolo di Levi-Civita, che è uguale a $+1$ per permutazioni pari degli indici, $-1$ per permutazioni dispari e $0$ se due indici sono uguali.
  
  Per quanto riguarda le commutazioni con i momenti vale esattamente la stessa cosa:
  
      $[{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}$
  
  ## Spettro del momento angolare
  
  Le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente, per semplicità ${\hat {L}}_{z}$. Le equazioni agli autovalori sono:
  
      ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l\rangle =a|l\rangle$
      ${\hat {L}}_{z}|m\rangle =b|m\rangle$
  
  dal momento che ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ commuta con ${\hat {L}}_{z}$, essi hanno una base comune di autostati, e pertanto gli autostati $|l\rangle$ e $|m\rangle$ coincidono, e vengono indicati con $|l,m\rangle$.
  
  Bisogna trovare quali sono gli autovalori $l$, $m$, a volte indicati con $l$, $l_{z}$, oppure con ) simultanei di questi operatori:
  
      $\left\{{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =a|l,m\rangle \\{\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =b|l,m\rangle \end{matrix}}\right.$
  
  Per fare questo vanno introdotti due operatori, detti operatori di scala o operatori scaletta:
  
      ${\hat {L}}_{\pm }={\hat {L}}_{x}\pm i{\hat {L}}_{y}$
  
  che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:
  
      $[{\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}]=2\hbar {\hat {L}}_{z}$
      $[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {L}}_{\pm }$
      $[{\hat {\mathbf {L} }}^{2},{\hat {L}}_{\pm }]=0$
  
  L'operatore ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ può essere espresso in termini di ${\hat {L}}_{z}$ e operatori di scala:
  
      ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}={\hat {L}}_{+}{\hat {L}}_{-}+{\hat {L}}_{z}^{2}-\hbar {\hat {L}}_{z}={\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z}$
  
  Per vedere quale sia il significato di ${\hat {L}}_{\pm }$, vediamo come ${\hat {L}}_{z}$ agisce sullo stato ${\hat {L}}_{\pm }|l,l_{z}\rangle$:
  
      ${\hat {L}}_{z}\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)=\left([{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]+{\hat {L}}_{\pm }{\hat {L}}_{z}\right)|l,m\rangle =(b\pm \hbar )\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)$
  
  cioè applicando ${\hat {L}}_{+}$, l'autovalore di ${\hat {L}}_{z}$ aumenta di $\hbar$, viceversa applicando ${\hat {L}}_{-}$, l'autovalore di ${\hat {L}}_{z}$ viene diminuito di $\hbar$, da cui il nome di operatori di scala. Invece:
  
      ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)={\hat {L}}_{\pm }{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =a{\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle$
  
  cioè l'applicazione degli operatori ${\hat {L}}_{\pm }$ cambiano gli autovalori di ${\hat {L}}_{z}$, ma non di ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$.
  
  Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ed ${\hat {L}}_{z}$ è:
  
      $\langle l,m|({\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2})|l,m\rangle =\langle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2}\rangle \geq 0$
  
  ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:
  
      $-a\leq b\leq a$
  
  cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare non possono superare quelli di ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$: fisicamente ciò significa che $b$ assume il suo valore massimo quando ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ coincide con la direzione dell'asse $z$, così la sua proiezione ${\hat {L}}_{z}$ coincide con ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$, in tal caso $a=b$. Quindi l'autovalore di ${\hat {L}}_{z}$ è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$.
  
  Siano $b_{min}$ il valore minimo e $b_{max}$ il valore massimo che può assumere ${\hat {L}}_{z}$. Applicando successivamente gli operatori di scala ${\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}$, si capisce che deve essere:
  
      ${\hat {L}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0$
      ${\hat {L}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0$
  
  Ora applichiamo
  
      ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =({\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z})|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle$
  
  cioè:
  
      $a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)$
  
  Quindi l'autovalore di ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ è $\hbar ^{2}a(a+1)$, dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:
  
      $-a\leq b\leq a$
  
  e anche qui $b$ deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di $b$ sono distanti $\hbar$ uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di $\hbar$), dove se $k$ è un intero, fissato $a$, vi sono $(2k+1)$ valori di $b$, cioè $b=\{-a,-a+1,\dots ,a\}$ per cui se $a$ è intero lo è anche $b$ e se $a$ è semintero, lo è anche $b$. Si può dimostrare che gli autovalori $a$ sono interi e quindi anche $b$ sono interi: con questa scelta otteniamo infine le equazioni agli autovalori di ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ e ${\hat {L}}_{z}$:
  
      ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle$
      ${\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =m\hbar |l,m\rangle$
  
  dove $l=0,1,\dots$ è il numero quantico orbitale ed $m=\{-l,-l+1,\dots ,l\}$ è il numero quantico magnetico.
  
  ## Autofunzioni del momento angolare
  
  Il momento angolare si introduce quando si affrontano problemi a simmetria sferica mediante l'uso delle coordinate sferiche. Non potendo diagonalizzare le tre componenti, si diagonalizzano simultaneamente (dato che commutano) il suo modulo quadro e la sua componente lungo $z$. La sua rappresentazione spaziale è:
  
      $L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}$
  
  Mentre quella lungo $z$ è:
  
      $L_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}$
  
  Le autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale $L^{2}$ e della sua componente lungo $z$ sono dette armoniche sferiche, le cui equazioni agli autovalori sono:
  
      $L^{2}|l,m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)|l,m\rangle$
      $L_{z}|l,m\rangle =\hbar m|l,m\rangle$
  
  le armoniche sferiche sono pertanto
  
      $\langle \theta ,\phi |l,m\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )$
  