title: Gruppo ordinato
text: # Gruppo ordinato
  
  In algebra, un gruppo ordinato è un gruppo $G$ dotato di una relazione d'ordine parziale che preserva l'operazione di gruppo: se $\leq$ è una relazione d'ordine ordine su $G$, allora per ogni $a,b,c$ in $G$ deve valere che
  
      $a\leq b$ implica $ac\leq bc$ e $ca\leq cb.$
  
  Si dice anche che $\leq$ è invariante per traslazioni (la motivazione del nome è più evidente per gruppi additivi).
  
  Grazie alle proprietà di un gruppo possiamo enunciare la caratterizzazione:
  
      $a\leq b$ se e solo se $e\leq a^{-1}b,$
  
  dove $e$ è l'elemento neutro del gruppo. L'insieme degli elementi maggiori o uguali di $e$ si denota con $G^{+}$ e si dice il cono positivo di $G$. L'insieme $G^{+}$ definisce completamente l'ordine: infatti un gruppo è un gruppo ordinato se e solo se esiste un suo sottoinsieme $H$ (che sarà proprio $G^{+}$) tale che:
  
  * $e\in H$;
  * se $a,b\in H$, allora $ab\in H$;
  * se $a\in H$, allora $b^{-1}ab\in H$ per ogni $b$;
  * se $a,a^{-1}\in H$, allora $a=e$.
  
  Un omomorfismo tra gruppi ordinati (o O-omomorfismo) è definito come un omomorfismo di gruppi che sia anche una funzione monotona.
  
  ## Esempi
  
  * Uno spazio vettoriale ordinato e un campo ordinato sono banalmente gruppi ordinati rispetto all'addizione.
  * Il prodotto diretto di $n$ copie del gruppo additivo dei numeri interi $\mathbb {Z} ^{n}$ con l'ordinamento "termine a termine", cioè $a\leq b$ se $a_{i}\leq b_{i}$ per ogni $i=1,\ldots ,n$, è un gruppo ordinato.
  * L'insieme delle funzioni da un qualsiasi insieme a un gruppo ordinato è un gruppo ordinato, con le operazioni definite puntualmente.
  