title: Punto angoloso
text: # Punto angoloso
  
  In analisi matematica, un punto angoloso è un punto $x_{0}$ del dominio di una funzione reale di una variabile reale $f(x)$ in cui esistono entrambe le derivate destra e sinistra, ma sono diverse:
  
      $f'_{+}(x_{0})\neq f'_{-}(x_{0})$
  
  Le derivate non devono essere entrambe infinite, altrimenti si ottiene una cuspide, ma possono essere entrambe finite oppure una finita e una infinita.
  
  Un esempio di punto angoloso è $x_{0}=0$ per la funzione $f(x)=|x|$. Essendo $f(x)=x$ per $x\geq 0$ e $f(x)=-x$ per $x<0$ si ha $f'(x)=+1$ se $x>0$ e $f'(x)=-1$ se $x<0$. Nell'origine bisogna utilizzare la definizione di derivata.
  
  $f'(0)=\lim _{h\to 0}{{f(0+h)-f(0)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{|h|} \over {h}}$
  
  In questo modo si vede che per $h$ che tende a $0^{+}$ il limite del rapporto incrementale è $1$, mentre per $h$ che tende a $0^{-}$ il limite del rapporto incrementale è $-1$.
  
  Poiché in $x=0$ i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono finiti ma diversi tra loro, la $f(x)$ non è derivabile in tale punto. Geometricamente questo significa che esistono due tangenti distinte in tal punto.
  
  