title: Gruppo semplice
text: # Gruppo semplice
  
  In matematica, un gruppo semplice è un gruppo non banale i cui unici sottogruppi normali sono il sottogruppo banale e il gruppo stesso.
  
  In altre parole, i gruppi semplici sono gruppi che contengono il minimo numero di sottogruppi normali. I gruppi semplici sono importanti in teoria dei gruppi, specialmente nella teoria dei gruppi finiti, perché formano i "blocchi primari" per la costruzione di ogni gruppo finito.
  
  ## Esempi
  
  * Un gruppo ciclico $G=\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ è semplice se e solo se $m$ è primo: infatti tutti i sottogruppi di $G$ sono normali, e corrispondono ai divisori di $m$.
  * Il gruppo dei numeri interi $\mathbb {Z}$ non è semplice, perché ad esempio i numeri pari formano un sottogruppo normale. Più in generale, un gruppo abeliano è semplice se e solo se è ciclico di ordine primo.
  * Il più piccolo esempio di gruppo semplice non abeliano è il gruppo alternante $A_{5}$ di ordine $60$. Più in generale, ogni gruppo alternante $A_{n}$ è semplice per $n>4$.
  * Il secondo esempio è il gruppo lineare speciale proiettivo ${\rm {{PSL}(2,7)}}$, di ordine $168$.
  
  ## Classificazione
  
  La classificazione dei gruppi semplici finiti fu conclusa nel 1982, grazie al contributo di numerosi matematici, tra cui John G. Thompson.
  
  