title: Gruppo residualmente finito
text: # Gruppo residualmente finito
  
  In algebra, un gruppo $G$ è residualmente finito se per ogni elemento non banale $g$ esiste un omomorfismo di gruppi
  
      $f:G\to H$
  
  a valori in un gruppo finito, tale che
  
      $f(g)\neq 1.$
  
  Questa condizione può essere espressa in vari modi equivalenti. I sottogruppi residualmente finiti contengono "molti" sottogruppi normali. Esempi di gruppi residualmente finiti sono i gruppi finiti, i gruppi liberi, i gruppi nilpotenti finitamente generati e i sottogruppi di $Gl_{n}(\mathbb {C} )$ finitamente generati.
  
  ## Definizioni alternative
  
  Le definizioni seguenti sono equivalenti a quella data.
  
  * $G$ è residualmente finito se per ogni elemento $g$ esiste un sottogruppo normale $H$ di indice finito non contenente $g$,
  * $G$ è residualmente finito se l'intersezione di tutti i sottogruppi di indice finito è il sottogruppo banale $\{e\}$.
  * $G$ è residualmente finito se l'intersezione di tutti i sottogruppi normali di indice finito è $\{e\}$.
  