title: Algoritmo rho di Pollard
text: # Algoritmo rho di Pollard
  
  L'algoritmo rho di Pollard è un algoritmo di fattorizzazione di numeri interi, basato sull'aritmetica modulare. Ideato da John Pollard nel 1975, è adatto in particolare alla ricerca di fattori piccoli; è stato usato nel 1981 per fattorizzare l'ottavo numero di Fermat. È un algoritmo probabilistico, nel senso che non garantisce di produrre un risultato.
  
  ## Algoritmo
  
  L'algoritmo si basa sulla generazione di una sequenza pseudo-casuale di numeri modulo n (che è il numero che si cerca di fattorizzare): una sequenza ampiamente usata è
  
      ${\begin{cases}x_{0}=2\\x_{i+1}=x_{i}^{2}+1\mod n\end{cases}}$
  
  dove $x_k$ è il k-esimo numero della sequenza. Se la successione è "sufficientemente casuale", allora si dovrebbe osservare un ciclo dopo circa ${\sqrt {n\pi /2}}$ iterazioni; se però p è un fattore di n, allora la sequenza si ripeterà anche modulo p, ma dopo circa ${\sqrt {p\pi /2}}$ passi.
  
  Poiché tuttavia p non è conosciuto, bisogna ricorrere ad un altro metodo per verificare le eventuali ripetizioni, e cioè calcolare il massimo comun divisore tra n e la differenza $x_i-x_j,$ per ogni coppia (i,j). Nella pratica, tuttavia, calcolare il massimo comun divisore per ogni coppia di indici renderebbe il test molto lento, quasi quanto il metodo delle divisioni per tentativi: si può dimostrare però che è sufficiente considerare le differenze $x_{2i}-x_i,$ velocizzando notevolmente l'esecuzione dell'algoritmo.
  
  È possibile tuttavia che il massimo comun divisore sia n: in tal caso l'algoritmo ha fallito, ed è necessario riprovare con un'altra sequenza, oppure con un diverso punto di partenza. Se n è primo, il metodo fallisce per ogni successione e ogni punto di partenza.
  
  La complessità computazionale dell'algoritmo è, nella notazione O-grande, $O(p^{1/2}\ln ^{2}(n))$ dove p è il fattore di n; volendolo esprimere in funzione di quest'ultimo, è $O(n^{1/4}\ln ^{2}(n))$ (perché se n non è primo allora ha almeno un fattore primo $p\leq n^{\frac {1}{2}}$).
  
  ### Pseudocodice
  
  * x=2, y=2, d=1;
  * While (d=1)
     * x=f(x);
     * y=f(f(y));
     * d=MCD(|x-y|,n);
  * Se d=n l'algoritmo fallisce; altrimenti d divide n
  