title: Test di Jarque-Bera
text: # Test di Jarque-Bera
  
  Il test di Jarque-Bera è un test statistico per la verifica dell'ipotesi di normalità ed è impiegato molto spesso in campo econometrico. Esso si basa sulla misura dell'asimmetria e della curtosi di una distribuzione.
  
  Si considera in particolare la distribuzione asintotica di una combinazione dei noti coefficienti $\beta _{3}$ e $\beta _{4}$ (o $\gamma _{3}$ e $\gamma _{4}$) che è di tipo chi-quadro
  
  La variabile testata è
  
      ${\mathit {JB}}={\frac {n}{6}}\left(S^{2}+{\frac {(K-3)^{2}}{4}}\right),$
  
  dove n è il numero delle osservazioni, o gradi di libertà,S è l'asimmetria del campione, K è la curtosi del campione definiti come
  
      $S={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\mu _{3}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}$
      $K={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\mu _{4}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}}$
  
  dove $μ_3$ e $μ_4$ sono il terzo e quarto momento centrale, ${\bar {x}}$ è la media campionaria e $σ^2$ è la varianza.
  
  La statistica JB è distribuita asintoticamente come una variabile casuale chi quadro con due gradi di libertà e può essere usata per testare l'ipotesi nulla che il campione è stato estratto da una popolazione di dati distribuiti come una variabile casuale normale.
  
  L'ipotesi nulla è un'ipotesi congiunta che sia asimmetria che curtosi in eccesso siano nulle. Tale ipotesi viene rigettata per valori di JB troppo grandi.
  
  Questo test è utilizzato frequentemente per determinare se i residui di una regressione lineare sono normali. Certi autori propongono di correggere JB con il numero di variabili usate nella regressione, mentre altri non lo menzionano affatto.
  
  