title: Poliedro duale
text: # Poliedro duale
  
  In geometria, il poliedro duale di un poliedro $P$ è un altro poliedro $Q$, tale che ad ogni vertice di $P$ corrisponde una ed una sola faccia di $Q$. In altre parole, lo si ottiene scambiando i ruoli dei vertici e delle facce di $P$. Il duale di $Q$ è di nuovo $P$.
  
  Se $P$ e $Q$ hanno la stessa struttura combinatoria, $P$ è detto autoduale. Fra i 5 solidi platonici, il tetraedro è autoduale, mentre cubo e ottaedro sono uno duale dell'altro; anche icosaedro e dodecaedro sono uno duale dell'altro.
  
  Il duale di un solido archimedeo è un solido di Catalan.
  
  ## Definizioni
  
  Non esiste una definizione univoca di poliedro duale che funzioni per tutti i poliedri. Vi sono due nozioni, una combinatoria e l'altra metrica, che sono generalmente coincidenti nei poliedri più regolari.
  
  ### Dualità combinatoria
  
  Dal punto di vista combinatorio, due poliedri $P$ e $Q$ sono duali se esiste una corrispondenza biunivoca $T$ fra gli insiemi di vertici, spigoli e facce di $P$ e $Q$ che inverte le adiacenze. Più precisamente:
  
  * $T$ associa rispettivamente ad un vertice, spigolo o faccia di $P$ una faccia, spigolo o vertice di $Q$;
  * Una faccia $F$ di $P$ incide su uno spigolo $S$ se e solo se lo spigolo $T(S)$ incide sul vertice $T(F)$; viceversa, uno spigolo $S$ incide su un vertice $V$ di $P$ se e solo se la faccia $T(V)$ incide su $T(S)$.
  
  Questa dualità è detta dualità combinatoria. La dualità combinatoria non tiene conto delle grandezze metriche dei poliedri, e cioè dei loro volumi, delle lunghezze dei loro spigoli, o degli angoli formati da questi.
  
  Se $P$ è un poliedro convesso, un duale combinatorio è ottenuto scegliendo un vertice all'interno di ogni faccia e prendendo l'inviluppo convesso di questi punti. Dal punto di vista metrico il duale dipende dalla scelta dei punti, ma non dal punto di vista combinatorio.
  
  ### Dualità metrica
  
  Dal punto di vista metrico, due poliedri $P$ e $Q$ sono duali se sono ottenuti l'uno dall'altro tramite inversione lungo una sfera $S$. In questo caso si parla di dualità metrica.
  
  Molti solidi, come i solidi regolari o i solidi archimedei, hanno un "centro" $O$. In questo caso, il duale del solido è generalmente considerato il duale metrico secondo una qualsiasi sfera centrata in $O$. Sfere con raggi diversi danno luogo a poliedri simili: il poliedro duale è quindi ben definito metricamente solo a meno di similitudine.
  
  ## Poliedri duali
  
  ### Solidi platonici
  
  | solido | duale |
  | - | - |
  | tetraedro | tetraedro |
  | cubo | ottaedro |
  | icosaedro | dodecaedro |
  
  ### Solidi archimedei
  
  | solido | duale |
  | - | - |
  | tetraedro troncato | triacistetraedro |
  | cubo troncato | triacisottaedro |
  | ottaedro troncato | tetracisesaedro |
  | cubottaedro | dodecaedro rombico |
  | rombicubottaedro | icositetraedro trapezoidale |
  | cubottaedro troncato | esacisottaedro |
  | cubo simo | icositetraedro pentagonale |
  | dodecaedro troncato | triacisicosaedro |
  | icosaedro troncato | pentacisdodecaedro |
  | icosidodecaedro | triacontaedro rombico |
  | rombicosidodecaedro | esacontaedro trapezoidale |
  | icosidodecaedro troncato | esacisicosaedro |
  | dodecaedro simo | esacontaedro pentagonale |
  
  ### Alcuni poliedri non convessi
  
  | solido | duale |
  | - | - |
  | piccolo dodecaedro stellato | grande dodecaedro |
  | grande dodecaedro stellato | grande icosaedro |
  
  ## Dualità fra sfere geodetiche
  
  | sfera geodetica come triangolazione | sfera geodetica simile ad un'arnia |
  | - | - |
  
  ## Dualità dei solidi platonici
  
  | Il duale del cubo è l'ottaedro | Il duale dell'ottaedro è il cubo |
  | - | - |
  | Il duale del dodecaedro è l'icosaedro | Il duale dell'icosaedro è il dodecaedro |
  