title: Legge di Stokes
text: # Legge di Stokes
  
  La forza di Stokes è un'espressione per la forza di attrito viscoso a cui è soggetta una sfera in moto laminare rispetto ad un fluido, con un numero di Reynolds minore di 0,6 (in generale nel regime di flusso di Stokes). Fu dedotta da George Stokes nel 1851. Costituisce un'applicazione al caso pratico della sfera della più generale legge di Newton-Stokes, la legge costitutiva dei fluidi a viscosità lineare.
  
  La forza di Stokes su una sfera può essere espressa come:
  
      $F_{d}=-6\pi \mu rv$
  
  dove $F_{d}$ è la forza di attrito viscoso, $\mu$ è la viscosità, $r$ è il raggio della sfera e $v$ è la velocità relativa tra fluido e sfera. Se il numero di Reynolds è superiore all'unità la legge diviene quadratica.
  
  Ma dato che una sfera immersa in un fluido è sottoposta alla forza di gravità, alla forza di attrito viscoso del fluido e alla spinta di Archimede, ottenne che la sfera raggiungeva una condizione di equilibrio per cui essa si muove a velocità costante (detta velocità terminale di caduta).
  
  Infatti in condizioni di equilibrio la risultante delle seguenti forze è nulla:
  
      $F_{d}+F_{A}+F_{g}=0$
  
  dove:
  
  * $F_{d}$: la forza di resistenza del mezzo (Legge di Stokes);
  * $F_{A}$: la spinta idrostatica (principio di Archimede);
  * $F_{g}$: la forza di gravità.
  
  ## Caratteristiche
  
  La legge di Stokes è basata sul fatto che quanto più il liquido è viscoso, tanto più è bassa la velocità di una sfera lasciata cadere liberamente in tale liquido. Ma una sfera che cade all'interno di un liquido solo per gravità, ad un certo istante del suo percorso acquista una velocità costante, e ciò si verifica quando la resistenza opposta dalla viscosità del liquido è esattamente bilanciata dalla spinta gravitazionale. Anche le dimensioni delle particelle sono importanti: più sono piccole, minore è la velocità di sedimentazione (o affioramento); però, una loro dimensione eccessivamente ridotta comporta un sensibile aumento della superficie specifica complessiva della massa dispersa e quindi un aumento di instabilità.
  
  La velocità relativa di equilibrio ($u$) è data dalla seguente relazione:
  
      $u={\frac {2}{9}}{\frac {\left(\rho _{s}-\rho _{f}\right)}{\mu }}g\,r^{2}$
  * $\rho _{s}$: densità della sfera;
  * $\rho _{f}$: densità del fluido;
  * $\mu$: viscosità del fluido;
  * $g$: accelerazione gravitazionale;
  * $r$: raggio della sfera.
  
  ## Dimostrazione
  
  Le condizioni di partenza considerate da Stokes furono la presenza di una sfera immersa in un fluido e sottoposta a una forza di gravità $F_{g}$:
  
      $F_{g}=mg$
  
  dove:
  
  * $m$: massa;
  * $g$: accelerazione gravitazionale.
  
  La sfera è tuttavia sottoposta anche all'attrito del fluido viscoso, $F_{d}$, che è dato da:
  
      $F_{d}=-6\pi \mu ru$
  
  dove:
  
  * $\pi$: pi greco;
  * $\mu$: viscosità;
  * $r$: raggio della sfera;
  * $u$: velocità del fluido rispetto alla sfera;
  * il segno è negativo perché l'attrito del fluido ha direzione opposta alla velocità della sfera.
  
  Infine la sfera è sottoposta anche all'azione della spinta di Archimede, $F_{A}$, dato che è immersa in un fluido:
  
      $F_{A}=-\rho _{f}gV$
  
  dove:
  
  * $\rho _{f}$: densità del fluido;
  * $g$: accelerazione gravitazionale;
  * $V$: volume del corpo immerso;
  * il segno è negativo perché la spinta di Archimede ha direzione opposta alla forza di gravità.
  
  In condizioni di equilibrio l'accelerazione è nulla e quindi:
  
      $6\pi \mu ru=mg-\rho _{f}gV$
      $6\pi \mu ru=\rho _{s}Vg-\rho _{f}gV$
      $6\pi \mu ru=Vg(\rho _{s}-\rho _{f})$
  
  con :$\rho _{s}$ densità della sfera
  
  poiché il volume $V$ della sfera è
  
      $V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$
  
  sostituendo si ha:
  
      $6\pi \mu ru={\frac {4\pi r^{3}}{3}}(\rho _{s}-\rho _{f})g$
      $3\mu u={\frac {2r^{2}}{3}}(\rho _{s}-\rho _{f})g$
      $u={\frac {2r^{2}}{9\mu }}(\rho _{s}-\rho _{f})g$
  
  La somma vettoriale (che tiene conto dei versi delle forze) di queste tre forze è sempre nulla e permette di ottenere la formula della legge di Stokes, dalla quale si ricava la velocità della sfera in condizioni di equilibrio raggiunto.
  
  ## Limiti della legge di Stokes e sua correzione
  
  La legge di Stokes determina la forza di attrito viscoso agente su una particella che si muove in un fluido nell'ipotesi che il fluido possa considerarsi un mezzo continuo. Quando le dimensioni della particella diventano confrontabili con il cammino libero medio delle molecole del fluido si può estendere la validità della legge di Stokes dividendo la legge per un fattore di correzione che è stato introdotto nel 1910 da E. Cunningham.
  
  Quindi l'espressione della legge di Stokes con tale fattore di correzione diventa:
  
      $F_{d}=-{\frac {6\pi \mu ru}{C}}$
  
  dove $C$ è il fattore di correzione.
  
  Il fattore di correzione ha la seguente espressione analitica:
  
      $C=1+{\frac {\lambda }{r}}\cdot (A_{1}+A_{2}\cdot e^{\frac {-A_{3}\cdot 2r}{\lambda }})$
  
  dove
  
      $\lambda$ è il cammino libero medio delle molecole del fluido
      $r$ è il raggio della sfera
      $A_{n}$ sono coefficienti determinati sperimentalmente.
      Per l'aria il valore dei coefficienti sono:
         $A_{1}=1,257$
         $A_{2}=0,400$
         $A_{3}=1,10$
  
  R. Millikan nel famoso esperimento della goccia d'olio per misurare la carica dell'elettrone utilizzò tale formula nell'anno 1910.
  
  Il fattore di correzione di Cunningham nell'aria a temperatura ambiente diventa importante quando le particelle sono più piccole di 15 micron. Il fattore di correzione ha lo scopo di estendere la legge di Stokes, ma la sua validità è limitata in quanto se C diventa molto maggiore di uno la legge di Stokes perde completamente di significato fisico. Nell'aria quando le dimensioni diventano sub-micrometriche non si applica più il fattore di correzione e va descritto la dinamica mediante la fisica del moto browniano. Nella studio della dinamica degli aerosol viene spesso usato tale termine correttivo.
  
  