title: Spazi delle righe e delle colonne
text: # Spazi delle righe e delle colonne
  
  In matematica, e in particolare in algebra lineare, lo spazio delle righe di una matrice $A_{m\times n}$ con valori reali (o più in generale in un campo $K$) è il sottospazio di $\mathbb {R} ^{n}$ (o più in generale di $K^{n}$ ) generato dai vettori riga della matrice. Analogamente, lo spazio delle colonne è il sottospazio di $K^{m}$ generato dalle colonne.
  
  Pur essendo contenuti in spazi vettoriali differenti, lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne hanno la stessa dimensione, pari al rango di $A$. Tale dimensione è al più il minimo fra gli interi $m$ e $n$.
  
  ## Esempio
  
  Ad esempio, consideriamo una matrice
  
      $A:={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\\\end{bmatrix}}$
  
  e denotiamo le sue righe con $r_{1}=(2,4,1,3,2),r_{2}=(-1,-2,1,0,5),r_{3}=(1,6,2,2,2),r_{4}=(3,6,2,5,1)$.
  
  Lo spazio delle righe di $A$ è il sottospazio di $\mathbb {R} ^{5}$ generato da
  
      $\{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}\}$
  
  Viceversa, denotando le colonne con $c_{1}=(2,-1,1,3),c_{2}=(4,-2,6,6),c_{3}=(1,1,2,2),c_{4}=(3,0,2,5),c_{5}=(2,5,2,1)$. Lo spazio delle colonne di $A$ è il sottospazio di $\mathbb {R} ^{4}$ generato da
  
      $\{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},c_{5}\}$
  
  ## Proprietà
  
  Lo spazio delle colonne è anche l'immagine dell'applicazione lineare $L_{A}:K^{n}\to K^{m}$ definita come
  
      $x\mapsto Ax.$
  