title: Modello di Ehrenfest
text: # Modello di Ehrenfest
  
  Il modello di Ehrenfest della diffusione fu proposto da Tatiana e Paul Ehrenfest per spiegare il secondo principio della termodinamica. È un esempio di catena di Markov.
  
  Il modello è costituito da $N$ particelle in due contenitori.
  
  Ad ogni istante $t=1,2,...$ una particella viene scelta a caso (ogni particella ha una probabilità $1/N$ di essere scelta) e spostata nell'altro contenitore.
  
  Sia $X(t)$ la variabile aleatoria che rappresenta il numero di particelle in uno dei due contenitori al tempo $t$.
  
  Il sistema evolve secondo la probabilità di transizione $p_{ij}=P(X(t)=i|X(t-1)=j)$ con
  
      $p_{ij}=\left\lbrace {\begin{array}{ll}1-{\frac {i}{N}}&{\text{ se }}i=j+1\\{\frac {i}{N}}&{\text{ se }}i=j-1\\0&{\text{ altrimenti}}\end{array}}\right.$
  
  La distribuzione di probabilità all'equilibrio è $\pi _{i}=2^{-N}{\binom {N}{i}}$.
  
  Corinna Ulcigrai e Krzysztof Frączek hanno dimostrato che il modello di Ehrenfest (windtree model) non è ergodico.
  
  