title: Spirali sinusoidali
text: # Spirali sinusoidali
  
  In geometria, le spirali sinusoidali sono una famiglia di curve definite dalla seguente equazione in coordinate polari
  
      $r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,$
  
  dove a è una costante diversa da zero e n è un numero razionale anch'esso diverso da 0. Con una rotazione di un angolo retto sull'origine, l'equazione può essere scritta
  
      $r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).\,$
  
  Il termine "spirale" è un termine improprio, perché in realtà non sono spirali in senso stretto, e spesso hanno una forma simile a un fiore. Molte curve molto note sono spirali sinusoidali tra cui ricordiamo:
  
  * Iperbole rettangolare (n = − 2)
  * Retta (n = − 1)
  * Parabola (n = − 1/2)
  * Cubo di Tschirnhausen (n = − 1/3)
  * Curva sestica di Cayley (n = 1/3)
  * Cardioide (n = 1/2)
  * Cerchio (n = 1)
  * Lemniscate di Bernoulli (n = 2)
  
  Queste curve sono state studiate per la prima volta da Colin Maclaurin.
  
  ## Equazioni
  
  Differenziando
  
      $r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,$
  
  ed eliminando a si ottiene un'equazione differenziale per r e θ :
  
      ${\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0$.
  
  Allora
  
      $\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)$
  
  il che implica che l' angolo tangenziale polare è
  
      $\psi =n\theta \pm \pi /2$
  
  e così l'angolo tangenziale è
  
      $\varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2$.
  
  (Il segno qui è positivo se r e cos (nθ) hanno lo stesso segno e negativo nel caso opposto.)
  
  Il vettore tangente unitario,
  
      $\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)$,
  
  che ha lunghezza unitaria, e confrontando la grandezza dei vettori su ciascun lato dell'equazione precedente si ottiene
  
      ${\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta$.
  
  In particolare, la lunghezza di un singolo ciclo quando $n>0$ è:
  
      $a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta$
  
  La curvatura è data da
  
      ${\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta$.
  
  ## Proprietà
  
  La curva inversa di una spirale sinusoidale rispetto ad un cerchio con centro all'origine è ancora una spirale sinusoidale. Il valore di n della curva inversa è il negativo del valore di n della curva originale. Ad esempio, l'inverso della lemniscata di Bernoulli è un'iperbole rettangolare.
  
  L'isottica, il pedale e il pedale negativo di una spirale sinusoidale sono altri esempi di spirali sinusoidali.
  
  In percorso di una particella che si muove secondo una forza centripeta proporzionale a una potenza di r percorre una spirale sinusoidale.
  
  Quando n è un numero intero e gli n punti sono disposti regolarmente su una circonferenza di raggio a, allora, l'insieme di punti la cui media geometrica delle distanze dal punto stesso agli n punti e' costante, è una spirale sinusoidale . In questo caso la spirale sinusoidale è una lemniscata polinomiale.
  
  