title: Regola della funzione reciproca
text: # Regola della funzione reciproca
  
  In analisi matematica, la regola della funzione reciproca è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del reciproco di una funzione derivabile.
  
  ## Definizione
  
  La derivata del reciproco di una funzione è un rapporto avente come numeratore l'opposto della derivata della funzione e come denominatore il quadrato della funzione.
  
      $D\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]={\frac {-f'(x)}{f(x)^{2}}},$
  
  dove $D[f(x)]$ e$f'(x)$ sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.
  
  È necessario che, nel punto in cui si calcola la derivata, la funzione non sia nulla.
  
  ## Dimostrazione tramite il rapporto incrementale
  
  Scrivendo il rapporto incrementale della funzione ${1 \over g(x)}$ otteniamo:
  
      $D\left[{1 \over g(x)}\right]=\lim _{h\to 0}{{1 \over g(x+h)}-{1 \over g(x)} \over h}=\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over g(x+h)g(x)}\cdot {1 \over h}=\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over h}\cdot {1 \over g(x+h)g(x)}.$
  
  Ora, l'argomento del primo limite è l'opposto del rapporto incrementale di $g,$
  
      $\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over h}=\lim _{h\to 0}\left(-{g(x+h)-g(x) \over h}\right)=-g'(x);$
  
  mentre il secondo fattore, per la continuità della $g,$ "commuta" con l'operazione di limite, dunque si ha:
  
      $D\left[{1 \over g(x)}\right]=-g'(x)\cdot {1 \over g(x)g(x)}={-g'(x) \over g(x)^{2}}.$
  
  Alternativamente, utilizzando la regola della catena, ponendo $f(x)=x^{-1}$ possiamo determinare la derivata come:
  
      $D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)=-g(x)^{-2}\cdot g'(x)={-g'(x) \over g(x)^{2}}.$
  
  ## Dimostrazione tramite la regola della catena
  
  Posto $g(x)={\frac {1}{x}}$, ricordiamo che $\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}=(g\circ f)(x)$, e quindi
  
      $\displaystyle D\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]=D\left[(g\circ f)(x)\right].$
  
  Se applichiamo al secondo membro della precedente equazione la regola della catena (poiché $D\left[{\frac {1}{x}}\right]=-{\frac {1}{x^{2}}}$), otteniamo che
  
      $D\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]=-{\frac {1}{f(x)^{2}}}\cdot D[f(x)].$
  
  ## Dimostrazione tramite la regola del quoziente
  
  Applicando la regola del quoziente, consideriamo $f(x)=1$ e dunque
  
      $D\left[{1 \over g(x)}\right]={D[1]\cdot g(x)-1\cdot g'(x) \over g(x)^{2}}={0\cdot g(x)-g'(x) \over g(x)^{2}}={-g'(x) \over g(x)^{2}}.$
  