title: Ammortamento a rate anticipate
text: # Ammortamento a rate anticipate
  
  L'ammortamento a rate anticipate prevede che il pagamento di ciascuna rata (supposto che le rate siano equintervallate ed n sia il numero di periodi previsti per l'ammortamento) venga pagato all'inizio del periodo corrispondente alla rata (mensile, trimestrale, annuale).
  
  Sia k= 0, 1, 2, ..., n-1 uno degli n periodi, si ha che la quota della rata $R_{k}$ al periodo k è pari alla somma di una quota d'interessi $I_{k}$ e di una quota di capitale $C_{k}$:
  
  $R_{k}=C_{k}+I_{k}$
  
  mentre
  
  $R_{n}=0$.
  
  Per l'attualizzazione delle rate deve essere soddisfatto il vincolo di equivalenza finanziaria:
  
  $S=\sum _{k=0}^{n-1}R_{k}(1+i)^{-k}$
  
  È prassi finanziaria valutare il debito residuo immediatamente prima delle rate in scadenza. Quindi sia k il periodo in considerazione e $D_{k}^{-}$ il debito residuo valutato subito prima dell'inizio di tale periodo si ha:
  
  $D_{k}^{-}=\sum _{j=k}^{n-1}C_{j}$ per k= 0, 1, 2, ..., n-1
  
  $D_{k}^{-}=0$ per k= n
  
  ovvero (scrivendo il debito in funzione dell'intero importo S):
  
  $D_{k}^{-}=S$ per k=0
  
  $D_{k}^{-}=S-\sum _{j=0}^{k-1}C_{j}$ per k= 1, 2, ..., n-1
  
  $D_{k}^{-}=0$ per k=n
  
  Si noti che $D_{k}^{-}=D_{k-1}$ vale a dire che il debito residuo calcolato immediatamente prima del pagamento della rata in scadenza nel periodo k coincide con il debito residuo calcolato immediatamente dopo il pagamento della rata che scade nel periodo k-1.
  
  Ne deriva che subito prima che il prestito venga erogato si ha $D_{0}^{-}=S$, di conseguenza all'inizio del prestito ($k=0$) la somma ricevuta dal debitore è già detratta della prima rata, quindi il debitore riceve una somma pari a $S-R_{0}$.
  
  La quota interessi che viene pagata in ciascun periodo k si riferisce agli interessi relativi al periodo [k,k+1] ed è proporzionale al debito residuo del periodo $D_{k}$ (che coincide con $D_{k+1}^{-}$ ).
  
  $I_{k}=D_{k}i(1+i)^{-1}=dD_{k}=dD_{k+1}^{-}$ con $d=i/(i+1)$ e $k=0,1,2,...,n-1$
  
  Considerando le tre seguenti equazioni (già definite sopra):
  
  $D_{k+1}^{-}=D_{k}^{-}-C_{k}$
  
  $I_{k}=dD_{k+1}^{-}$
  
  $R_{k}=C_{k}+I_{k}$
  
  si può mettere in relazione debito residuo e rate secondo quanto segue:
  
  $D_{k+1}^{-}=D_{k}^{-}-C_{k}=D_{k}^{-}-R_{k}+I_{k}=D_{k}^{-}-R_{k}+dD_{k+1}^{-}$
  
  da cui si ottiene
  
  $D_{k+1}^{-}(1-d)=D_{k}^{-}-R_{k}$
  
  considerando 1 - d = 1 - i / (1+i) = 1 / (1+i) = v, si ha la relazione voluta:
  
  $R_{k}=D_{k}^{-}-vD_{k+1}^{-}$.
  
  