title: Modello ibrido del transistor
text: # Modello ibrido del transistor
  
  Per un transistor a giunzione bipolare si può usare il modello a parametri ibridi qualora sia necessario l'uso a basse frequenze.
  
  ## Modello ibrido
  
  In generale il modello ibrido è rappresentato da una scatola con due porte: cioè un doppio bipolo. Si hanno quindi quattro variabili, due correnti $i_{1},i_{2}$ e due tensioni $v_{1},v_{2}$, che si possono mettere in relazione lineare tramite un sistema per esempio:
  
      ${\begin{cases}v_{1}=h_{11}i_{1}+h_{12}v_{2}\\i_{2}=h_{21}i_{1}+h_{22}v_{2}\end{cases}}$
  
  cioè come variabili indipendenti vengono scelti $i_{1},v_{2}$, ma possono scegliersi altre variabili. I parametri h sono appunto detti parametri ibridi perché hanno dimensioni diverse. Vediamone il significato:
  
      $h_{11}=\left.{\frac {v_{1}}{i_{1}}}\right|_{v_{2}=0}$
  
  prende il nome di resistenza d'ingresso quando l'uscita è in corto circuito e quindi si misura in Ohm;
  
      $h_{12}=\left.{\frac {v_{1}}{v_{2}}}\right|_{i_{1}=0}$
  
  è il rapporto tra le tensioni d'ingresso e d'uscita ad ingresso aperto ed è detto amplificazione inversa a vuoto ed è adimensionale;
  
      $h_{21}=\left.{\frac {i_{2}}{i_{1}}}\right|_{v_{2}=0}$
  
  è il rapporto tra le correnti di uscita e di ingresso quando l'uscita è in corto circuito ed è detto amplificazione di corrente ed è anch'esso adimensionale;
  
      $h_{22}=\left.{\frac {i_{2}}{v_{2}}}\right|_{i_{1}=0}$
  
  è la conduttanza di uscita con ingresso a vuoto. La notazione più utilizzata è quella IEEE: (11 = i, ingresso), (22 = o, uscita), (12=r, trasferimento inverso), (21=f, trasferimento diretto) come evidenziato nel circuito equivalente generale indipendentemente dalla configurazione.
  
  Le grandezze in maiuscolo $V_{1},V_{2},I_{1},I_{2}$ sono più generali perché sono rappresentabili anche i segnali variabili come quelli sinusoidali, in tal caso possono rappresentare i fasori; $V_{s}$ è il generatore di tensione con la sua resistenza $R_{s}$ e $Z_{L}$ è un'impedenza di carico. In questa configurazione il transistor è un amplificatore.
  
  ### Transistor come amplificatore
  
  * Amplificazione di corrente
  
      $A_{I}={\frac {I_{L}}{I_{1}}}=-{\frac {I_{2}}{I_{1}}}$
  
  Ma dall'analisi del circuito:
  
      $I_{2}=h_{f}I_{1}+h_{o}V_{2}$
  
  e
  
      $V_{2}=I_{L}Z_{L}=-I_{2}Z_{L}$
  
  dunque:
  
      $A_{I}=-{\frac {h_{f}I_{1}+h_{o}V_{2}}{I_{1}}}=-h_{f}-h_{o}{\frac {I_{L}Z_{L}}{I_{1}}}=-h_{f}-h_{o}A_{I}Z_{L}$
  
  da cui:
  
      $(1+h_{o}Z_{L})A_{I}=-h_{f}$
  
  quindi in definitiva:
  
      $A_{I}=-{\frac {h_{f}}{1+h_{o}Z_{L}}}$
  
  è l'amplificazione di corrente. Tenendo conto della resistenza del generatore $R_{s}$:
  
      $A_{I_{s}}=A_{I}{\frac {I_{1}}{I_{s}}}=A_{I}{\frac {R_{s}}{Z_{i}+R_{s}}}$
  * Impedenza di ingresso
  
      $Z_{i}={\frac {V_{1}}{I_{1}}}={\frac {h_{i}I_{1}+h_{r}V_{2}}{I_{1}}}=h_{i}+h_{r}{\frac {V_{2}}{I_{1}}}$
  
  ma secondo quanto detto circa l'amplificazione di corrente:
  
      $V_{2}=-I_{2}Z_{L}=A_{I}I_{1}Z_{L}$
  
  quindi in definitiva:
  
      $Z_{i}=h_{i}+h_{r}{\frac {A_{I}I_{1}Z_{L}}{I_{1}}}=h_{i}+h_{r}A_{I}Z_{L}$
  
  da cui, esplicitando l'espressione di $A_{I}$ e dividendo numeratore e denominatore per $Z_{L}$, si ha anche:
  
      $Z_{i}=h_{i}-{\frac {h_{f}h_{r}}{Y_{L}+h_{o}}}$
  
  dove $Y_{L}=1/Z_{L}$ è l'ammettenza di carico, dalla quale dipende l'impedenza di uscita.
  
  * Amplificazione di tensione
  
      $A_{V}={\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {A_{I}I_{1}Z_{L}}{V_{1}}}={\frac {A_{I}Z_{L}}{Z_{i}}}$
  
  cioè l'amplificazione di tensione dipende dall'impedenza di ingresso e da quella di uscita. Tenendo conto della resistenza del generatore abbiamo:
  
  * Ammettenza di uscita
  
  Per la definizione dell'impedenza di uscita bisogna porre a zero la $V_{s}$ e $Z_{L}=\infty$:
  
      $Y_{o}={\frac {I_{2}}{V_{2}}}={\frac {h_{f}I_{1}+h_{o}V_{2}}{V_{2}}}=h_{f}{\frac {I_{1}}{V_{2}}}+h_{o}$
  
  ma vale anche:
  
      $V_{s}=R_{s}I_{1}+h_{i}I_{1}+h_{r}V_{2}=0$
  
  quindi in definitiva:
  
      $Y_{o}=h_{o}-{\frac {h_{f}h_{r}}{h_{i}+R_{s}}}$
  
  cioè $Z_{o}=1/Y_{o}$ è una funzione della resistenza del generatore.
  
  ## Modello ibrido del transistor a emettitore comune
  
  Possiamo applicare il modello ibrido al transistor a giunzione tripolare in configurazione a emettitore comune. Come si vede nella figura le tensioni e le correnti $v_{CE},v_{BE},i_{B},i_{C}$ con pedice maiuscolo indicano i valori istantanei delle grandezze; i valori $V_{BB},V_{CC}$ sono i valori massimi o i valori medi delle grandezze, $v_{c},i_{b},h_{oe},...$ sono invece sono i valori istantanei delle grandezze e sono usati nel modello ibrido con l'aggiunta del pedice e nei parametri ibridi per identificare la configurazione ad emettitore comune. Il circuito equivalente del modello ibrido del transistor ad emettitore comune è rappresentato nella figura successiva. In base a quanto detto in maniera generale sul modello ibrido possiamo esprimere le variabili dipendenti e indipendenti in maniera arbitraria, ma scegliamo (secondo convenzione) di usare:
  
      ${\begin{cases}v_{B}=f_{1}(i_{B},v_{C})=h_{ie}i_{b}+h_{re}v_{c}\\i_{C}=f_{2}(i_{B},v_{C})=h_{fe}i_{b}+h_{oe}v_{c}\end{cases}}$
  
  Nella figura non è mostrato il generatore e le resistenze di ingresso e di uscita, ma per questo ci si rifà semplicemente al modello generale, in pratica basta aggiungere all'ingresso un generatore di tensione $v_{s}$ con la sua resistenza (o in generale un'impedenza) $R_{s}$ e all'uscita una resistenza (o un'impedenza) di carico $R_{L}$.
  
  Vediamo a cosa equivalgono i parametri ibridi:
  
  * Amplificazione di corrente
  
      $A_{I}=-{\frac {h_{fe}}{1+h_{oe}R_{L}}}$
  
  è l'amplificazione di corrente. Tenendo conto della resistenza del generatore $R_{s}$:
  
      $A_{I_{s}}=A_{I}{\frac {R_{s}}{Z_{i}+R_{s}}}$
  * Resistenza di ingresso
  
      $R_{i}=h_{ie}+h_{re}A_{I}R_{L}$
  * Amplificazione di tensione
  
      $A_{V}=A_{I}{\frac {R_{L}}{R_{i}}}=-{\frac {h_{fe}R_{L}}{h_{ie}}}$
  * Conduttanza di uscita
  
  Per la definizione della resistenza di uscita (tramite la conduttanza) poniamo $V_{s}=0$ e $R_{L}=\infty$:
  
      $G_{o}=h_{oe}-{\frac {h_{fe}h_{re}}{h_{ie}+R_{s}}}$
  
  cioè $R_{o}=1/G_{o}$ è una funzione della resistenza del generatore.
  
  ### Modello ibrido semplificato per il transistor a emettitore comune
  
  In generale possiamo semplificare il modello ibrido tenendo conto solo di due parametri ibridi: $h_{ie},h_{fe}$. La condizione sotto la quale si può usare il modello ibrido semplificato è che per i circuiti a bassa frequenza la resistenza di carico sia abbastanza piccola da soddisfare la:
  
  Se vale questa condizione allora: l'amplificazione di corrente diventa
  
      $A_{I}=-{\frac {h_{fe}}{1+h_{oe}R_{L}}}\simeq -h_{fe}$
  
  La resistenza d'ingresso diventa:
  
      $R_{i}=h_{ie}+h_{re}A_{I}R_{L}\simeq h_{ie}$
  
  L'amplificazione di tensione resta inalterata nella forma:
  
      $A_{V}=-{\frac {h_{fe}R_{L}}{h_{ie}}}$
  
  mentre l'impedenza di uscita si può porre infinita perché $h_{oe}$ è abbastanza grande ($\sim 10^{4}-10^{5}\Omega$).
  
  ## Modello ibrido del transistor a collettore comune
  
  Poiché il transistor a collettore comune ha pochi utilizzi, scriviamo solo i parametri per il modello ibrido tenendo conto solo di due quantità: $h_{ic},h_{fc}$. La condizione sotto la quale si può usare il modello ibrido semplificato è sempre la stessa:
  
      $h_{oe}R_{L}<0.1$
  
  Se vale questa condizione allora: l'amplificazione di corrente diventa
  
      $A_{I}=-{\frac {I_{e}}{I_{b}}}=1+h_{fe}$
  
  La resistenza d'ingresso diventa:
  
      $R_{i}={\frac {V_{b}}{I_{b}}}=h_{ie}+(1+h_{fe})R_{L}$
  
  L'amplificazione di tensione:
  
      $A_{V}={\frac {V_{e}}{V_{b}}}=1+{\frac {h_{ie}}{R_{i}}}\simeq 1$
  
  mentre la resistenza di uscita:
  
      $R_{o}={\frac {h_{ie}+R_{s}}{1+h_{fe}}}$
  
  è molto bassa.
  
  ## Modello ibrido del transistor a base comune
  
  Infine vediamo i parametri del transistor bjt in configurazione a base comune:
  
      $A_{I}={\frac {I_{c}}{I_{e}}}={\frac {h_{fe}\cdot I_{b}}{I_{c}+I_{b}}}={\frac {h_{fe}\cdot I_{b}}{h_{fe}\cdot I_{b}+I_{b}}}={\frac {h_{fe}}{h_{fe}+1}}\simeq 1$
      $R_{i}={\frac {V_{e}}{I_{e}}}={\frac {h_{ie}}{h_{fe}+1}}$
      $A_{V}=h_{fe}{\frac {R_{c}}{h_{ie}}}$
      $R_{o}={\frac {V_{c}}{I_{c}}}={\frac {I_{c}\cdot R_{c}}{I_{c}}}=R_{c}$
  