title: Lituo (matematica)
text: # Lituo (matematica)
  
  Il lituo è un tipo di spirale archimedea in cui (in coordinate polari) l'anomalia $\theta$ è inversamente proporzionale al quadrato del raggio vettore $r$.
  
      $r^{2}\theta =k,$
  
  con $k$ costante reale non nulla. Esso è asintotico alla retta di equazione $\theta =0$ (l'asse delle $x$ in coordinate cartesiane) e si avvicina asintoticamente all'origine degli assi.
  
  Il lituo è composto da due rami, uno corrispondente ai valori positivi di $r$ e l'altro corrispondente ai valori negativi.
  
  ## Storia
  
  Il professore di Cambridge Roger Cotès (1682-1716) fu il primo a studiare la curva. Il suo lavoro è stato pubblicato solo dopo la sua morte. Fu però il matematico scozzese Colin Maclaurin a dare alla curva il suo nome nel suo libro "Harmonia Mensurarum" (1722) usando la rassomiglianza della curva con un pastorale (in latino lituus).
  
  ## Proprietà
  
  Poiché l'area del settore circolare è:
  
      $A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta ,$
  
  è facile vedere come una definizione alternativa del lituo è: il luogo dei punti individuato da un punto $P$ che si muove in modo tale che l'area di un settore circolare di raggio $OP,$ con $O$ origine degli assi cartesiani, rimane costante all'aumentare dell'angolo. In altre parole, supponiamo che $M_{1}$ sia un punto sulla curva, e $M_{2}$ un punto posto sull'asintoto a distanza $OM_{1}$ dall'origine $O.$ Allora l'area del settore circolare $OM_{1}M_{2}$ rimane costante mentre $M_{1}$ si sposta verso il centro sulla curva. Un'immagine chiarificatrice è qui a destra.
  
  La curva ha punti di flesso in $(\theta ,r)=\left({\frac {1}{2}},k{\sqrt {2}}\right)$ e $(\theta ,r)=\left({\frac {1}{2}},-k{\sqrt {2}}\right)$ dove $k$ è la costante della curva
  
  La curvatura $K$ e l'angolo tangente $\phi$ sono date da:
  
      $K(\theta )=(8\theta ^{2}-2)\left({\frac {\theta }{1+4\theta ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}},$
      $\phi (\theta )=\theta -\arctan(2\theta ).$
  
  ## Coordinate cartesiane
  
  Il ramo della curva corrispondente ai valori positivi di $r$ può anche essere rappresentato in coordinate cartesiane nel seguente modo:
  
      ${\begin{cases}x=r\cos \theta ={\sqrt {\frac {k}{\theta }}}\cos \theta \\y=r\sin \theta ={\sqrt {\frac {k}{\theta }}}\sin \theta \\\end{cases}}$
  