title: Matrice a diagonale dominante
text: # Matrice a diagonale dominante
  
  In algebra lineare una matrice a diagonale dominante in senso debole per righe, o più comunemente matrice a diagonale dominante per righe, è una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ i cui elementi diagonali sono maggiori o uguali in valore assoluto della somma di tutti i restanti elementi della stessa riga in valore assoluto:
  
      $|a_{ii}|\geq \sum _{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.$
  
  Qualora tale relazione valga in senso stretto, ossia
  
      $|a_{ii}|>\sum _{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|,$
  
  la matrice si definisce a diagonale dominante in senso stretto, o in senso forte, per righe.
  
  Quando le stesse definizioni vengono date per colonne, ossia
  
      $|a_{ii}|\geq \sum _{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ji}|\qquad {\text{e}}\qquad |a_{ii}|>\sum _{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ji}|,$
  
  si hanno rispettivamente una matrice a diagonale dominante (in senso debole) per colonne e una matrice a diagonale dominante in senso stretto (o in senso forte) per colonne.
  
  ## Proprietà
  
  Valgono i seguenti teoremi:
  
  * Una matrice a diagonale dominante in senso stretto è sempre non singolare (cioè ha determinante diverso da zero e quindi è invertibile). Non è vero per una matrice dominante: ${\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$ non è invertibile.
  * Se $A$ è una matrice a diagonale dominante la sua fattorizzazione $A=LU$ può essere ottenuta senza pivoting.
  * Se la matrice dei coefficienti $A$ di un sistema lineare $Ax=b$ è a diagonale dominante in senso stretto, i metodi di risoluzione iterativa di Jacobi e Gauss-Seidel convergono alla soluzione del sistema.
  * Ogni sottomatrice principale (sottomatrice quadrata ottenuta eliminando righe e colonne di uguale indice) di una matrice a diagonale dominante è a sua volta una matrice a diagonale dominante.
  * Se $A$ è una matrice simmetrica a diagonale dominante in senso stretto con elementi sulla diagonale tutti positivi, allora $A$ è anche definita positiva.
  