title: Invariante dinamico
text: # Invariante dinamico
  
  In meccanica razionale l'invariante dinamico è una grandezza scalare caratteristica dell'atto di moto di un corpo rigido, e vale:
  
  $I_{D(t)}=\mathbf {R} _{(t)}\cdot \mathbf {M} _{(t)}$
  
  La sua invarianza deriva dalla relazione tra momento meccanico M e forza F risultanti su un corpo rigido, e dalle proprietà del prodotto misto:
  
      $\mathbf {R} \cdot \mathbf {M} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {M'} +\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \times \mathbf {r} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {M'}$,
  
  Da questa dimostrazione si evince infatti come $I_D$ sia unico per tutti i punti del corpo rigido, mentre non si mantiene generalmente costante durante il moto.
  
  Quando l'invariante scalare è nullo il sistema dinamico è equivalente ad una forza pura, nel caso in cui il momento risultante sia nullo o i due vettori siano perpendicolari, o ad una pura coppia, nel caso in cui la forza risultante sia nulla.
  
  ## Definizione
  
  Dati
  
      $\mathbf {M} _{P}=\sum _{i=1}^{N}\left(A_{i}-P\right)\times \mathbf {u} _{i}$
  
  dove $A_{i}$ sono i punti di applicazione dei vettori $\mathbf {u} _{i}$, e
  
      $\mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {u} _{i}$
  
  l'invariante scalare è definito come
  
      $I=\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =M_{P}R\cos \theta$
  
  con $M_{P}$ modulo di $\mathbf {M} _{P}$, $R$ modulo di $\mathbf {R}$ e θ valore dell'angolo compreso tra $\mathbf {M} _{P}$ e $\mathbf {R}$.
  
  ## Equivalenza tra momenti di poli diversi
  
  Il termine invariante è dovuto al fatto che esso non dipende dal polo scelto, cioè
  
      $I=\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R}$
  
  con P e Q poli distinti.
  
  ### Dimostrazione
  
  Per la teoria di equivalenza il momento di un polo Q, dato $\mathbf {M} _{P}$, vale
  
      $\mathbf {M} _{Q}=\mathbf {M} _{P}+\left(P-Q\right)\times \mathbf {R}$
  
  moltiplicando scalarmente per $\mathbf {R}$ entrambi i membri si ottiene
  
      $\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} +\left(P-Q\right)\times \mathbf {R} \cdot \mathbf {R}$
  
  sfruttando la proprietà ciclica del prodotto misto la relazione diventa
  
      $\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} +\left(P-Q\right)\cdot \mathbf {R} \times \mathbf {R}$
  
  ma
  
      $\mathbf {R} \times \mathbf {R} =\mathbf {0}$
  
  perché $\mathbf {R}$ è parallelo a se stesso, e quindi
  
      $\mathbf {M} _{Q}\cdot \mathbf {R} =\mathbf {M} _{P}\cdot \mathbf {R} =I$
  
  ## Uso dell'invariante scalare
  
  ### Ricerca dell'asse centrale
  
  Dal valore che l'invariante scalare assume è possibile ricavare l'asse centrale (luogo dei poli di momento minimo) del sistema di vettori o, in mancanza di esso, almeno un polo di momento minimo o nullo. Supponendo un sistema di vettori a risultante $\mathbf {R}$ non nullo, tale che R > 0, si possono ottenere i seguenti casi:
  
  * $I=0$
     * $\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ : allora P appartiene all'asse centrale, che è la retta passante per P parallela a $\mathbf {R}$
     * $\mathbf {M} _{P}\perp \mathbf {R}$ : allora esiste un polo Q di momento nullo. Infatti:
  
         $\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{Q}=\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}+\mathbf {R} \times \left[\left(P-Q\right)\times \mathbf {R} \right]=\mathbf {0}$
         $\Rightarrow \mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}+\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\left(P-Q\right)-\left[\mathbf {R} \cdot \left(P-Q\right)\right]\mathbf {R} =\mathbf {0}$
         ma $\left[\mathbf {R} \cdot \left(P-Q\right)\right]\mathbf {R} =\mathbf {0}$, e quindi
         $\Leftrightarrow \left(Q-P\right)={\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}}{R^{2}}}$
  * $I\neq 0$
     * $I=M_{P}R\cos \theta$ : allora il momento $\mathbf {M} _{P}$ è minimo quando la risultante è parallela al momento stesso. Infatti:
  
         $\Rightarrow M_{P}={\frac {I}{R\cos \theta }}={\frac {1}{R}}{\frac {\left|I\right|}{\left|\cos \theta \right|}}$
         $M_{P}$ è minimo $\Leftrightarrow \cos \theta =1\Leftrightarrow \theta _{1}=0,\theta _{2}=\pi \Leftrightarrow \mathbf {M} _{P}//\mathbf {R}$
  
  ### Massima riducibilità di un sistema di vettori applicati
  
  L'invariante scalare è indice della possibilità di ridurre il numero dei componenti di un dato sistema di vettori in una quantità minima di un sistema ad esso equivalente. Si presentano i seguenti casi:
  
  * $I=0$
     * $\mathbf {R} =\mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ : il sistema è equilibrato, ossia equivalente ad un vettore nullo applicato in un punto qualunque
     * $\mathbf {R} =\mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0}$ : il sistema è equivalente ad una coppia di momento $\mathbf {M} _{P}$
     * $\mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}=\mathbf {0}$ : il sistema è equivalente al vettore $\mathbf {R}$ applicato nel polo P appartenente all'asse centrale
     * $\mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0} \Rightarrow \mathbf {R} \perp \mathbf {M} _{P}$ : allora esiste un polo $Q:\left(Q-P\right)={\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {M} _{P}}{R^{2}}},\mathbf {M} _{Q}=\mathbf {0}$ . Il sistema è equivalente al vettore $\mathbf {R}$ applicato in Q appartenente all'asse centrale
  * $I\neq 0$
  
         $\mathbf {R} \neq \mathbf {0} ,\mathbf {M} _{P}\neq \mathbf {0} \ \forall \ P$ : il sistema è equivalente al vettore $\mathbf {R}$ applicato nel polo P con una coppia di momento $\mathbf {M} _{P}$
  