title: Fluido newtoniano
text: # Fluido newtoniano
  
  In meccanica dei fluidi un fluido newtoniano (dal nome del fisico Isaac Newton) è un fluido che ha come legge costitutiva la legge di Stokes di indipendenza della viscosità dalla posizione:
  
      $\tau =\mu \nabla u$
  
  Sono i fluidi viscosi con il modello matematico più semplice: sono più complessi soltanto del fluido inviscido (ideale).
  
  Presentano infatti un legame di proporzionalità diretta tra lo sforzo deviatorico e la velocità di flusso; la costante di proporzionalità si chiama "viscosità".
  
  ## Esperienza
  
  Newton studiò questo caso. Suppose di intrappolare un fluido tra due piani e di muovere uno di essi; pensò poi di misurare la forza che doveva esercitare per mantenere il piano in moto uniforme, e vide che era costante:
  
      ${\frac {F}{S}}=\mu {\Delta v \over \Delta h}$
  
  dove:
  
  * $F$: forza che viene applicata ai piani di misurazione
  * $S$: superficie dei due piani
  * $\mu$: viscosità dinamica del materiale che scorre
  * $\Delta v$: differenza di velocità tra i due piani
  * $\Delta h$: distanza tra i due piani
  
  Per un fluido newtoniano, la viscosità dipende dalla temperatura e dalla pressione (e dalla composizione chimica del fluido se esso non è una sostanza pura), e non dalla forza applicata.
  
  ## Descrizione matematica
  
  Una semplice equazione che descrive il comportamento di un fluido newtoniano è la seguente:
  
      $\tau =\mu {\frac {du}{dy}}$
  
  dove:
  
  * $\tau$ è lo "sforzo di deformazione" esercitato dal fluido e calcolato in Pascal [Pa];
  * $\mu$ è la viscosità dinamica del fluido, in [Pa·s];
  * ${\frac {du}{dy}}$ è il gradiente di velocità perpendicolare alla direzione della deformazione, in $[s^{-1}].$
  
  I fluidi newtoniani rappresentano la maggior parte dei fluidi che si incontrano nella vita di tutti i giorni (aria, acqua, olio...): essi continuano a scorrere nonostante venga applicata su di essi una qualsiasi forza. Non sono invece newtoniani vernici, sangue, dentifricio e in genere i fluidi polimerici.
  
  Se il fluido è incomprimibile e ha una viscosità costante, l'equazione che governa lo "sforzo di taglio", in un sistema di coordinate cartesiane, è:
  
      $\tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$
  
  mentre il tensore comovente di taglio $\mathbb {P}$ (scritto anche come $\mathbf {\sigma }$) è pari a:
  
      $\mathbb {P} _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$
  
  dove:
  
  * $\tau _{ij}$ è lo sforzo sull'i-esima superficie del fluido nella direzione j-esima;
  * $v_{i}$ è la velocità lungo l'i-esima direzione;
  * $x_{j}$ è la coordinata della j-esima direzione.
  
  Ogni fluido che non obbedisce a questa legge è detto "non newtoniano".
  
  Nelle applicazioni analitiche e numeriche della fluidodinamica, il fatto di lavorare con fluidi newtoniani (assolutamente comune, si pensi alle applicazioni aeronautiche che coinvolgono l'aria o quelle navali in cui è utilizzata l'acqua) permette di semplificare notevolmente le equazioni che descrivono il campo di moto di quel fluido (equazioni di Navier-Stokes) rendendole più velocemente risolvibili in termini numerici e, in alcuni casi, anche in termini analitici.
  
  