title: Matrice di Cartan
text: # Matrice di Cartan
  
  In matematica, il termine matrice di Cartan ha due significati, entrambi ricondotti al matematico francese Élie Joseph Cartan (1869-1951). Tale termine viene assunto come esempio di legge dell'eponimia di Stigler: infatti le matrici di Cartan nel contesto delle algebre di Lie furono inizialmente studiate dal matematico tedesco Wilhelm Killing, mentre il cosiddetto modello di Killing è dovuto ad Élie Cartan.
  
  ## Algebre di Lie
  
  Una matrice di Cartan generalizzata è una matrice quadrata $A=(a_{ij})$ con entrate numeri interi tali che:
  
  * per entrate diagonali $a_{ii}=2;$
  * per entrate non diagonali $a_{ij}\leq 0;$
  * $a_{ij}=0$ se e solo se $a_{ji}=0;$
  * $A$ può essere scritta come $DS$, dove $D$ è una matrice diagonale e $S$ è una matrice simmetrica.
  
  La terza condizione non è indipendente, poiché è una conseguenza della prima e della quarta condizione.
  
  È sempre possibile scegliere una matrice $D$ con entrate diagonali positive. In tal caso, se $S$ nella summenzionata scomposizione è una matrice definita positiva, allora $A$ è detta matrice di Cartan.
  
  La matrice di Cartan di una algebra di Lie semplice è la matrice i cui elementi sono i prodotti scalari
  
      $a_{ij}={\frac {2(r_{i},r_{j})}{(r_{i},r_{i})}}$
  
  dove $r_{i}$ sono le radici semplici dell'algebra. Gli elementi sono interi per una delle proprietà delle radici. La prima condizione segue dalla definizione, la seconda dal fatto che per $i\neq j$, il vettore
  
      $v_{r_{i}}(r_{j})=r_{j}-{\frac {2(r_{i},r_{j})}{(r_{i},r_{i})}}\,r_{i}$
  
  è una radice che è una combinazione lineare delle radici semplici $r_{i}$ e $r_{j}$ con un coefficiente positivo per $r_{i}$ e quindi il coefficiente per $r_{i}$ deve essere non negativo.
  
  La terza è vera perché l'ortogonalità è una relazione simmetrica. E infine, siano $D_{ij}={\tfrac {\delta _{ij}}{(r_{i},r_{i})}}$ e $S_{ij}=2(r_{i},r_{j})$. Poiché le radici semplici si estendono in uno spazio euclideo, la matrice $S$ è definita positiva.
  
  ## Rappresentazione delle algebre a dimensione finita
  
  Nella teoria delle rappresentazioni modulari, e più in generale nella teoria delle rappresentazioni delle algebre di dimensioni finite $A$ che sono non semisemplici, una matrice di Cartan viene definita considerando un numero (limitato) di moduli non scomponibili e scrivendo serie di componenti per essi in termini di moduli proiettivi, ottenendo una matrice di interi che contano il numero di eventi di un modulo proiettivo.
  
  