title: 1 − 3 + 9 − 27 + · · ·
text: # 1 − 3 + 9 − 27 + · · ·
  
  In matematica, 1 − 3 + 9 − 27 + ... è una serie infinita i cui termini sono i successivi fattori di tre a segno alternato. Come una serie geometrica, essa è caratterizzata da un primo termine, 1, e da una proporzione comune, −3.
  
      $\sum _{i=0}^{\infty }(-3)^{i}$
  
  È possibile con un piccolo accorgimento, scrivere la serie come differenza di altre due serie, separando le potenze pari e dispari:
  
      $1-3+9-27+\cdots =(1+9+\cdots )-(3+27+\cdots )$ che corrisponde a $\sum _{i=0}^{\infty }(-3)^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i}-\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i+1}$.
  
  ## Sommatoria numero 1
  
  Analizziamo ora la prima sommatoria: $\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i}$.
  
  1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere $3^{2i}=(3^{2})^{i}=9^{i}$ facendo diventare la somma $\sum _{i=0}^{\infty }9^{i}$;
  
  2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:$\sum _{i=0}^{m}9^{i}={\frac {1}{8}}\cdot (9^{m+1}-1)$
  
  ## Sommatoria numero 2
  
  Analizziamo ora la seconda sommatoria: $\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i+1}$.
  
  1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere $3^{2i+1}=3\cdot (3^{2})^{i}=3\cdot 9^{i}$ facendo diventare la somma $\sum _{i=0}^{\infty }3\cdot 9^{i}$, il $3$ si può portare fuori e ottenere $3\cdot \sum _{i=0}^{\infty }9^{i}$.
  
  2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:$3\cdot \sum _{i=0}^{m}9^{i}={\frac {3}{8}}\cdot (9^{m+1}-1)$.
  
  ## Somma parziale
  
  Ritornando alla somma iniziale possiamo discutere la sua somma parziale.
  
  ### Valore Dispari
  
  Caso nº1: il numero è dispari.
  
      $\sum _{i=0}^{1}(-3)^{i}=1-3=\sum _{i=0}^{0}3^{2i}-\sum _{i=0}^{0}3^{2i+1}$
      $\sum _{i=0}^{3}(-3)^{i}=1-3+9-27=\sum _{i=0}^{1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{1}3^{2i+1}$
      $\cdots$
      $\sum _{i=0}^{m}(-3)^{i}=\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i+1}$
  
  La somma diventa quindi:$\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i+1}={\frac {1}{8}}\cdot (3^{m+1}-1)-{\frac {3}{8}}\cdot (3^{m+1}-1)=-{\frac {1}{4}}\cdot (3^{m+1}-1)$
  
  Più precisamente abbiamo che:$9^{{\frac {m-1}{2}}+1}=3^{m+1}$
  
  ### Valore Pari
  
  Caso nº2: il numero è pari.
  
      $\sum _{i=0}^{2}(-3)^{i}=1-3+9=\sum _{i=0}^{1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{0}3^{2i+1}$
      $\sum _{i=0}^{4}(-3)^{i}=1-3+9-27+81=\sum _{i=0}^{3}3^{2i}-\sum _{i=0}^{2}3^{2i+1}$
      $\cdots$
      $\sum _{i=0}^{m}(-3)^{i}=\sum _{i=0}^{m-1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}3^{2i+1}$
  
  La somma diventa quindi:$\sum _{i=0}^{m-1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}3^{2i+1}={\frac {1}{8}}\cdot (9^{m}-1)-{\frac {3}{8}}\cdot (9^{m-1}-1)={\frac {1}{8}}\cdot (9^{m}-3\cdot 9^{m-1}+2)$ .
  
  ## In generale
  
  Abbiamo così ottenuto le formule per calcolare la somma in tutti i casi:
  
  m dispari = $-{\frac {1}{4}}\cdot (3^{m+1}-1)$
  
  m pari = ${\frac {1}{8}}\cdot (9^{m}-3\cdot 9^{m-1}+2)$
  
  