title: Sottostringa
text: # Sottostringa
  
  Una sottostringa, sottosequenza, prefisso o suffisso di una stringa è un sottoinsieme di simboli in una stringa, in cui l'ordine degli elementi è preservato. In questo contesto, i termini stringa e sequenza assumono lo stesso significato.
  
  ## Sottosuccessioni
  
  Una sottosequenza di una stringa $T=t_{1}t_{2}\dots t_{n}$ è una stringa ${\hat {T}}=t_{i_{1}}\dots t_{i_{m}}$ tale che $i_{1}<\dots <i_{m}$, dove $m\leq n$. La sottosuccessione è una generalizzazione del concetto di sottostringa, suffisso e prefisso. Trovare la stringa più lunga uguale a una sottosequenza di due o più stringhe è noto come il problema della massima sottosequenza comune.
  
  Esempio: la stringa anna è una sottosequenza della stringa banana:
  
  Contando la sottosequenza vuota, il numero di sottosequenze di una stringa lunga $n$ dove i simboli compaiono solo una volta è semplicemente il numero di sottoinsiemi degli indici dei simboli, ovvero $2^{n}$.
  
  ## Sottostringa
  
  Una sottostringa (o fattore) di una stringa $T=t_{1}\dots t_{n}$ è una stringa ${\hat {T}}=t_{1+i}\dots t_{m+i}$, dove $0\leq i$ e $m+i\leq n$. Una sottostringa di una stringa è un prefisso di un suffisso della stringa o, in modo equivalente, un suffisso di un prefisso della stringa. Se ${\hat {T}}$ è una sottostringa di $T$, essa è anche una sottosequenza, che è un concetto più generale. Dato un pattern $P$, è possibile trovarne le occorrenze in una strina $T$ mediante un algoritmo di pattern matching su stringhe. Trovare la stringa più lunga uguale a una sottostringa di due o più stringhe è noto come il problema della massima sottostringa comune.
  
  Esempio: La stringa ana è una sottostringa (e sottosequenza) di banana in due posizioni differenti:
  
  Nella letteratura matematica, le sottostringhe sono anche chiamate subwords (in America) o fattori (in Europa).
  
  Non contando la sottostringa vuota, il numero di sottostringhe di una stringa lunga $n$ dove i simboli compaiono solo una volta è uguale al numero di modi in cui si possono scegliere due "punti" distinti, ognuno posto tra due simboli adiacenti, per marcare rispettivamente l'inizio e la fine della sottostringa. Includendo il punto che precede il primo carattere della stringa e quello che segue l'ultimo, ci sono un totale di $n+1$ punti. Per cui esistono ${\tbinom {n+1}{2}}={\tfrac {n(n+1)}{2}}$ sottostringhe non vuote.
  
  ## Prefisso
  
  Un prefisso di una stringa $T=t_{1}\dots t_{n}$ è una stringa ${\widehat {T}}=t_{1}\dots t_{m}$, dove $m\leq n$. Un prefisso proprio di una stringa ha lunghezza inferiore rispetto alla stessa ($0\leq m<n$); alcune definizioni in aggiunta richiedono che un prefisso proprio sia non vuoto ($0<m<n$). Un prefisso può essere visto come un caso speciale di una sottostringa.
  
  Esempio: La stringa ban è un prefisso (e sottostringa e sottosequenza) della stringa banana:
  
  Il simbolo di sottoinsieme quadrato è a volte utilizzato per indicare un prefisso, così ${\widehat {T}}\sqsubseteq T$ denota che ${\widehat {T}}$ è un prefisso di $T$, definendo una relazione binaria su stringhe, chiamata la relazione prefisso.
  
  Nella teoria dei linguaggi formali il termine prefisso di una stringa viene inteso comunemente anche come l'insieme di tutti i prefissi di una stringa rispetto a quel linguaggio.
  
  ## Suffisso
  
  Un suffisso di una stringa $T=t_{1}\dots t_{n}$ è una stringa ${\hat {T}}=t_{n-m+1}\dots t_{n}$, dove $m\leq n$. Un suffisso proprio di una stringa è di lunghezza inferiore alla stessa ($0<m\leq n$); di nuovo, un'interpretazione più restrittiva impone che il suffisso proprio sia non vuoto ($0<m<n$). Un suffisso può essere visto come un caso speciale di una sottostringa.
  
  Esempio: La stringa nana è un suffisso (e una sottostringa e sottosequenza) della stringa banana:
  
  Un albero dei suffissi di una stringa è una struttura dati trie-like che rappresenta tutti i suoi suffissi. Gli alberi dei suffissi hanno un gran numero di applicazioni negli algoritmi su stringhe. L'array dei suffissi è una versione semplificata di questa struttura dati che elenca le posizioni di partenza dei suffissi in ordine alfabetico; condivide molte delle stesse applicazioni.
  
  ## Bordo
  
  Una sottostringa si dice bordo quando è contemporaneamente suffisso e prefisso della stessa stringa, ad esempio "bab" è un bordo di "babab".
  
  ## Superstringa
  
  Dato un insieme di $k$ stringhe $P=\{s_{1},s_{2},s_{3},\dots s_{k}\}$, una superstringa dell'insieme $P$ è una singola stringa che contiene tutti gli elementi di $P$ come sottostringhe. Per esempio, una concatenazione degli elementi di $P$ in un ordine qualsiasi produce una superstringa banale di $P$. Per un esempio più interessante, sia $P=\{{\text{abcc}},{\text{efab}},{\text{bccla}}\}$. Si ha che ${\text{bcclabccefab}}$ è una superstringa di $P$, ma ${\text{efabccla}}$ è una superstringa più corta.
  
  ## Riferimenti bibliografici
  
  * ↑ (EN) Gusfield, Dan (1999). Algorithms on Strings, Trees and Sequences: Computer Science and Computational Biology. USA: Cambridge University Press.
  * 1 2 (EN) Kelley, Dean (1995). Automata and Formal Languages: An Introduction. London: Prentice-Hall International. ISBN 0-13-497777-7.
  