title: Raccoglimento a fattor comune
text: # Raccoglimento a fattor comune
  
  Il raccoglimento a fattor comune è un'operazione matematica che consente di mettere in evidenza una parte letterale e/o una parte numerica che moltiplica tutto ciò che la segue, e si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Si divide in raccoglimento totale e raccoglimento parziale.
  
  Il raccoglimento totale è la più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori, che consiste nell'individuare, se esiste, il monomio massimo comun divisore; per esempio: $AB+AC=A(B+C).$
  
  Il raccoglimento parziale si ha quando non tutti i termini di un polinomio hanno dei fattori comuni, ma solo alcuni di essi; si procede quindi prima con un raccoglimento parziale raggruppando le parti in comune. La procedura è finalizzata nell'evidenziare, dopo questo primo passaggio, una parte che in un secondo tempo può essere raccolta totalmente. Per esempio, si consideri il seguente polinomio: $ax+bx+ay+by.$
  
  I primi due termini hanno in comune un termine $x$, il terzo e il quarto un termine $y$; procedendo col raccoglimento, si ottiene:
  
      $x(a+b)+y(a+b)=(x+y)(a+b).$
  
  Nell'ultimo passaggio, dato che sia la $x$ che la $y$ sono moltiplicate per il fattore $a+b$, si può raccogliere quest'ultimo e si ottiene il prodotto $(x+y)(a+b)$.
  
  ## Utilità
  
  L'operazione di raccoglimento a fattor comune è particolarmente utile perché consente di semplificare anche di molto dei polinomi che, se non ridotti a una forma più accessibile, risulterebbero molto difficili da trattare.
  
  * Si consideri come esempio il binomio:
  
      $2x^{3}+10x^{2}.$
  
  Qualora si volesse trovarne gli zeri (o discuterne il segno), è possibile raccogliere a fattor comune il massimo comun divisore tra i monomi che compongono il binomio; a esempio:
  
      $2x^{3}+10x^{2}=0\,\,\to \,\,2x^{2}(x+5)=0.$
  
  Per la legge di annullamento del prodotto, l'equazione è soddisfatta per $x=0\,\,\lor \,\,x=-5$.
  
  * Analogamente è possibile fare uso del raccoglimento a fattor comune per semplificare le frazioni:
  
  riprendendo in parte l'esempio precedente e considerando la frazione:
  
      ${\frac {2x^{3}+10x^{2}}{x^{3}+5x^{2}+x+5}},$
  
  si può procedere col raccoglimento totale a numeratore (visto prima) e con un raccoglimento prima parziale e poi totale a denominatore:
  
      ${\frac {2x^{2}(x+5)}{x^{2}(x+5)+x+5}}={\frac {2x^{2}(x+5)}{(x+5)(x^{2}+1)}}.$
  
  È ora possibile semplificare sia a numeratore che a denominatore il fattore $(x+5)$, a patto però di calcolare prima il campo di esistenza, ponendo $x+5\neq 0\,\,\implies \,\,x\neq -5$:
  
      ${\frac {2x^{2}(x+5)}{(x+5)(x^{2}+1)}}={\frac {2x^{2}}{x^{2}+1}}.$
  