title: Schema simpliciale
text: # Schema simpliciale
  
  In matematica, uno schema simpliciale è un oggetto definito usando la teoria degli insiemi, usato soprattutto per modellizzare in modo astratto e combinatorio uno spazio topologico. Lo spazio topologico che modellizza è un complesso simpliciale.
  
  ## Definizione
  
  Uno schema simpliciale è una coppia $(I,K)$ dove $I$ è un insieme i cui elementi sono detti vertici, e $K$ è una famiglia di sottoinsiemi di $I$ che soddisfa le proprietà seguenti:
  
  * $K$ contiene tutti gli insiemi formati da un solo elemento,
  * Se un insieme appartiene a $K$ allora tutti i suoi sottoinsiemi appartengono a $K$.
  
  Le due condizioni possono essere espresse anche nel modo seguente.
  
  * $\{i\}\in K\ \forall i\in I,$
  * $s\in K,t\subset s\Rightarrow t\in K.$
  
  Gli elementi di $K$ sono detti simplessi. La dimensione di un simplesso è la sua cardinalità meno uno.
  
  ## Complesso simpliciale associato
  
  A partire da uno schema simplicale è possibile costruire un complesso simpliciale, che è a sua volta uno spazio topologico. Il complesso simpliciale è costruito rappresentando ogni simplesso di dimensione $k$ come un simplesso geometrico della stessa dimensione, definito come l'insieme
  
      $\Delta _{k}=\{(x_{0},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}\ |\ x_{0}+\ldots +x_{k}=1,x_{i}\geqslant 0\,\forall i\}.$
  
  E identificando i vari simplessi secondo le prescrizioni date dalle relazioni insiemistiche degli elementi di $K$.
  
  