title: Spazio pseudometrico
text: # Spazio pseudometrico
  
  In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio pseudometrico è una generalizzazione dello spazio metrico, in cui due punti distinti possono avere distanza zero.
  
  Esempi di spazi pseudometrici sono costruiti a partire da una seminorma su uno spazio vettoriale.
  
  ## Definizione
  
  Uno spazio pseudometrico $(X,d)$ è un insieme $X$ dotato di una funzione
  
      $d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
  
  chiamata pseudometrica, che soddisfa le proprietà seguenti per ogni $x,y,z$ in $X$:
  
  * $\,\!d(x,x)=0$.
  * $\,\!d(x,y)=d(y,x)$ (simmetria)
  * $\,\!d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (disuguaglianza triangolare)
  
  Differentemente da uno spazio metrico, qui non è richiesto che $d(x,y)$ sia diverso da zero per ogni coppia di punti distinti $x$ e $y$.
  
  ## Esempi
  
  Vi sono molti esempi di pseudometriche in analisi funzionale. Una seminorma $||$ su uno spazio vettoriale induce sempre una pseudometrica nel modo seguente
  
      $d(v,w)=|v-w|.$
  
  Ad esempio, lo spazio Lp delle funzioni misurabili su un aperto è dotato di una seminorma, e quindi di una pseudometrica.
  
  ## Quoziente
  
  Ogni spazio pseudometrico può essere quozientato canonicamente ad uno spazio metrico, nel modo seguente.
  
  Due punti dello spazio pseudometrico $X$ sono equivalenti se hanno distanza zero. Questa relazione è effettivamente una relazione di equivalenza, e lo spazio quoziente da essa definito è uno spazio metrico, poiché la distanza
  
      $d^{*}([x],[y])=d(x,y)$
  
  risulta ancora ben definita anche al quoziente.
  
  