title: Frontiera (topologia)
text: # Frontiera (topologia)
  
  In topologia, la frontiera o contorno o bordo di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell'insieme meno il suo interno. Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S. Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono b(S) , bd(S), fr(S), e $\partial S$.
  
  Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.
  
  * Si definisce frontiera di S l'intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complementare.
  * Si definisce frontiera di S l'insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di S e almeno un punto non appartenente a S.
  
  ## Proprietà
  
  * La frontiera di un insieme è chiusa.
  * La frontiera di un insieme è uguale all'intersezione fra la chiusura dell'insieme e la chiusura del suo complemento.
  * Un insieme è chiuso se e solo se la frontiera dell'insieme è contenuta nell'insieme, e aperto se e solo se è disgiunto dalla sua frontiera.
  * La frontiera di un insieme è uguale alla frontiera del suo complemento.
  * La chiusura di un insieme è uguale all'unione dell'insieme con la sua frontiera.
  * La frontiera di un insieme è vuota se e solo se l'insieme è contemporaneamente chiuso e aperto (cioè se è un insieme chiuso-aperto).
  
  ## Esempi
  
  * Consideriamo la usuale topologia dell'asse reale; se $X=[0,5)$, allora secondo $\partial X=\{0,5\}$ .
  * $\partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)$
  * $\partial D^{n}\simeq S^{n-1}$
  * $\partial \varnothing =\varnothing$
  * Se Ω denota il disco caratterizzato dalla disuguaglianza $x^2+y^2$ ≤ 1, in $R^3$ si ha ∂Ω = Ω, mentre in $R^2,$ ∂Ω = {(x, y) | $x^2+y^2$ = 1}. Quindi, la frontiera di un insieme può dipendere dall'insieme in cui è immerso.
  