title: Q di Yule
text: # Q di Yule
  
  La variabile di test Q di Yule è un indice di associazione, ideato dallo statistico scozzese George Udny Yule, e usato in tabelle statistiche dette di contingenza $2\times 2$.
  
  Un indicatore ideato dallo stesso autore è la Y di Yule. Rispetto quest'ultima il valore assoluto è sempre maggiore ($|Q|>|Y|$) a meno che non vi sia indipendenza o completa associazione.
  
  ## Storia
  
  L'indice venne presentato da Yule nell'articolo On the association of attributes in statistics e fu al centro di una controversia con il matematico e statistico inglese Karl Pearson. La posizione di Pearson era che alla base di una tabella di contingenza vi fosse un fenomeno continuo e gaussiano, invece che un fenomeno discreto come sostenuto da Yule, che considerava poco scientifico fare ipotesi non desiderate e non verificabili.
  
  Pearson, inoltre, notava che "collassando" una tabella $N\times N$, riducendola a 2x2, si ottengono risultati differenti a seconda di come vengono aggregati i valori. Questa osservazione rimane tuttora valida.
  
  ## Metodologia
  
      $Q=(\alpha -1)/(\alpha +1)$
  
  ove
  
      $\alpha =(P_{11}/P_{21})/(P_{12}/P_{22})$ è il cosiddetto odds ratio
      $P_{ij}=P(A_{i}B_{j})$ ove sia $i$ che $j$ assumono i valori 1 e 2
  
  Tale indice $Q$ varia tra -1 e +1, ove 0 indica l'indipendenza.
  
  $Q$ può essere stimato da
  
      $q=(a-1)/(a+1)$
  
  dove in questo caso
  
      $a=(f_{11}/f_{21})/(f_{12}/f_{22})$ in analogia a $\alpha$ (con il vincolo che $f_{ij}$ sia sempre maggiore di zero
  
  mentre la varianza di $q$ viene stimata con
  
      $s^{2}(q)=1/4(1-q)^{2}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}1/f_{ij}$
  
  ## Esempio
  
      $a=(0,074/0,333)/(0,296/0,296)=0,222$
      $q=(0,222-1)/(0,222+1)=-0,636$
  
  ### Valori di q differenti
  
  Collassando una tabella $N\times N$ a una $2\times 2$, a causa del criterio di aggregazione dei valori, si possono ottenere valori di $q$ differenti. (cf. osservazione di Karl Pearson)
  
  Se per esempio i dati di partenza fossero stati
  
  assegnando il "Boh!" ai "No" si ottiene la tabella e il $q=-0,636$ di cui sopra, mentre assegnandolo ai "Si" si ottiene la tabella seguente:
  
  con l'indicatore $q$ che si attenua diventando $q=-0,448$
  
  