title: Spazio paracompatto
text: # Spazio paracompatto
  
  In topologia, una branca della matematica, uno spazio paracompatto è una leggera generalizzazione del concetto di spazio compatto, cioè di uno spazio i cui punti sono "vicini" tra loro.
  
  ## Definizione
  
  Uno spazio topologico $X$ è paracompatto se ogni ricoprimento aperto ${\mathcal {F}}$ di $X$ ammette un raffinamento localmente finito, cioè se esiste un ricoprimento aperto ${\mathcal {G}}$ di $X$ tale che:
  
  * ogni $G\in {\mathcal {G}}$ è contenuto in un elemento di ${\mathcal {F}}$;
  * ogni $x\in X$ ammette un intorno $U_{x}$ che interseca solo un numero finito di elementi di ${\mathcal {G}}$.
  
  In alcuni casi viene aggiunta anche la richiesta che $X$ sia uno spazio di Hausdorff.
  
  ## Esempi
  
  * Ogni spazio compatto è paracompatto: infatti un sottoricoprimento è anche un raffinamento, e ogni sottoricoprimento finito è anche localmente finito.
  * Gli aperti e i chiusi di $\mathbb {R} ^{n}$ sono paracompatti.
  * Ogni varietà topologica è paracompatta.
  * Più in generale, ogni spazio metrizzabile è paracompatto (teorema di Stone).
  * L'insieme dei numeri reali con la topologia del limite inferiore (la retta di Sorgenfrey) è paracompatto.
  * Ogni spazio di Lindelöf regolare è paracompatto.
  
  ## Proprietà
  
  * Ogni spazio paracompatto di Hausdorff è normale (teorema di Dieudonné).
  * Ogni sottospazio chiuso di un paracompatto è paracompatto.
  * Il prodotto topologico di uno spazio paracompatto e di uno spazio compatto è paracompatto, ma non lo è necessariamente il prodotto di due paracompatti: un famoso controesempio è dato dal prodotto della retta di Sorgenfrey con sé stessa (il piano di Sorgenfrey).
  * L'essere uno spazio paracompatto è una condizione necessaria per l'esistenza delle partizioni dell'unità.
  