title: Funzione Xi di Riemann
text: # Funzione Xi di Riemann
  
  In matematica, la funzione Xi (Ξ) di Riemann è una funzione definita in modo tale da avere un'equazione funzionale particolarmente semplice. Essa è una variante della funzione zeta di Riemann.
  
  ## Definizione
  
  La funzione $\xi$ (xi minuscola) originale di Riemann è stata rinominata in funzione Ξ (Xi maiuscola) dal matematico tedesco Edmund Landau.
  
  La funzione $~\xi ~$ fu definita, infatti, da Landau come:
  
      $\xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)$
  
  per $s\in \mathbb {C}$, con $\zeta (s)$ che indica la funzione zeta di Riemann e $\Gamma (s)$ la funzione Gamma.
  
  L'equazione funzionale per la $~\Xi ~$ di Landau è $\xi (1-s)=\xi (s)~.$
  
  Invece, la funzione originale di Riemann fu rinominata da Landau in funzione Ξ {\textstyle ~\Xi ~} come Ξ(z)=ξ( 1/2+zi), {\textstyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right), } che obbedisce all'equazione funzionale Ξ(−z)=Ξ(z) .{\textstyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}
  
  Si noti che la funzione $~\Xi ~$ sopra riportata è invero la funzione originariamente indicata da Riemann con la lettera minuscola $~\xi ~$. Entrambe sono funzioni intere e puramente reali per argomenti reali.
  
  ## Valori
  
  La forma generale per numeri interi pari positivi è
  
      $\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)$
  
  dove B $_n$ indica l'n-esimo numero di Bernoulli. Per $n=1$ si ha ξ(2)=π/6.{\textstyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}.}
  
  ## Rappresentazioni in serie
  
  La funzione $\xi$ ha la seguente espansione in serie
  
      ${\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},$
  
  dove
  
      $\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],$ e la sommatoria è presa sugli zeri non banali ρ della funzione zeta, in numero di $|\Im (\rho )|.$
  
  Questa espansione gioca un ruolo di particolare importanza nel criterio di Li, secondo il quale l'ipotesi di Riemann equivale ad avere $\lambda _{n}>0,\forall n>0.$
  
  ## Prodotto di Hadamard
  
  Una semplice espansione con prodotto infinito è data da:
  
      $\xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!$ dove ρ spazia sulle radici di ξ.
  
  Per garantire la convergenza nell'espansione, il prodotto dovrebbe essere preso sulle "coppie corrispondenti" di zeri: quei fattori per una coppia di zeri della forma $\rho$ e $1-\rho$ dovrebbero, quindi, essere raggruppati insieme.
  
  