title: Numero di Cullen
text: # Numero di Cullen
  
  In matematica si chiamano numeri di Cullen e si indicano con $C_{n}$ i numeri naturali tali che
  
      $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1.$
  
  ## La sequenza
  
  Furono studiati per la prima volta da James Cullen nel 1905. Gli studi di Cullen sui numeri di questo tipo furono utilizzati nel 1917 da Allan J. C. Cunningham e H. J. Woodall per la (simile) definizione dei numeri di Woodall. I primi numeri di Cullen sono:
  
      $C_{1}=3$
      $C_{2}=9$
      $C_{3}=25$
      $C_{4}=65$
      $C_{5}=161$
      $C_{6}=385$
      $C_{7}=897$
  
  (sequenza A002064 dell'OEIS).
  
  ## I primi di Cullen
  
  I numeri di Cullen che sono anche primi vengono chiamati numeri primi di Cullen. I primi valori di $n$ che rendono primi i numeri di Cullen sono $1,141,4713,5795,6611,18496,32292,32469,59656,90825,262419$ (sequenza A005849 dell'OEIS). A differenza dei numeri primi di Woodall, i primi di Cullen sono molto difficili da calcolare. I primi due sono
  
      $C_{1}=3$
      $C_{141}=393050634124102232869567034555427371542904833\approx 3{,}93\cdot 10^{44}$
  
  A gennaio 2019, il numero $n$ più alto conosciuto che genera un numero primo di Cullen è $6679881$ e origina un primo composto da 2010852 cifre. Tale numero è stato scoperto da Magnus Bergman nell'ambito del progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.
  
  ## Proprietà
  
  Un numero di Cullen è divisibile per $p=2n-1$ se $p$ è un numero primo di forma $p=8k-3$. Inoltre, grazie al piccolo teorema di Fermat, sappiamo che $p$ sarà un numero dispari, e ne segue che $p$ divide anche $C_{m(k)}$ per ogni $m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k$ per ogni $k$ positivo.
  
  È stato inoltre dimostrato che $p$ divide il numero
  
      $C_{\frac {p+1}{2}},$
  
  quando simbolo di Jacobi $\left({\frac {p}{2}}\right)$ è $-1$
  
  e divide
  
      $C_{\frac {3p-1}{2}}$
  
  se il simbolo di Jacobi $\left({\frac {p}{2}}\right)$ è $+1$
  
  ## Numero di Cullen generalizzato
  
  Un numero di forma
  
      $C_{n}=n\cdot b^{n}+1,$
  
  è chiamato numero di Cullen generalizzato.
  
  