title: Flusso monetario scontato
text: # Flusso monetario scontato
  
  Il flusso monetario scontato o flusso di cassa attualizzato (in lingua inglese: discounted cash flow, abbreviato DCF) è un metodo di valutazione di un investimento, basato sull'attualizzazione, secondo un tasso corretto per il rischio, dei flussi futuri attesi dall'attività in questione.
  
  ## Definizione matematica
  
  Sia $CF_0$ l'uscita al tempo 0 per effettuare l'investimento
  
  Sia $CF_i$ il generico flusso di denaro atteso relativo al periodo i e sia r il tasso corretto per il rischio relativo all'attività da valutare. Sia n il numero di periodi in cui tale attività fornisce dei flussi monetari (in uscita o in entrata). Il valore di tale attività che chiameremo A è dato secondo il discounted cash flow dalla formula
  
  $V_{A}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {CF_{i}}{(1+r_{i})^{i}}}$
  
  Ossia il valore attuale di tutti i flussi di cassa futuri.
  
  ### Flussi di cassa continui
  
  Per quanto riguarda flussi di cassa continui, si utilizza l'integrazione:
  
      $DPV=\int _{0}^{T}f(t)\,e^{-\lambda t}dt=\int _{0}^{T}{\frac {f(t)}{(1+r)^{t}}}\,dt\,,$
  
  dove $f(t)$ rappresenta il tasso di flusso di cassa, e $\lambda =\ln(1+r)$.
  
  ## Semplificazione
  
  Se n tende ad infinito, e sia CF che r sono costanti, la serie può essere sviluppata come serie geometrica che parte da esponente pari a 1, e si avrà il valore:
  
  $V_{A}={\frac {CF}{r}}$
  
  Se invece CF aumenta ad un tasso g ad ogni anno ossia
  
  $CF_{1}=CF;CF_{2}=CF(1+g);CF_{3}=CF*(1+g)^{2}...$
  
  Lo sviluppo della serie geometrica offre come risultato:
  
  $V_{A}={\frac {CF_{1}}{r-g}}$
  
  ## Dimostrazione sviluppo calcolo semplificata
  
  La serie geometrica risulta così composta: $\sum _{i=0}^{n}{\frac {CF_{i}*(1+g)^{i}}{(1+r_{i})^{i}}}$
  
  Considerato che la soluzione di una serie geometrica semplice tipo $\sum _{i=0}^{n}{x^{i}}$ equivale a ${\frac {1}{1-x}}$ abbiamo che lo sviluppo diventa ${\frac {(1+r)}{(1+r)-(1+g)}}$ a cui bisogna togliere una unità perché il valore della serie non parte da zero.
  
  Il tutto semplificato porta alla soluzione ${\frac {(1+g)}{(r-g)}}$
  
  A questo punto considerato che $CF_{1}=CF_{0}(1+g)$ il risultato finale sarà appunto $V_{A}={\frac {CF_{1}}{r-g}}$
  
  ## DCF per le azioni
  
  Il DCF può essere un modo, sia pure molto astratto, per valutare il prezzo delle azioni di un'azienda. In questo caso il CF è il dividendo offerto dall'azienda, g è il tasso atteso di crescita dei dividendi e r è il tasso di rendimento per aziende con rischio paragonabile. Si ha quindi:
  
  $P_{0}={\frac {DIV}{r-g}}$
  
  Il metodo di valutazione in questo caso prende il nome di DDM (Dividend Discount Model).
  
  Esiste anche un altro modo di calcolare il valore presente delle azioni, sempre astraendolo da un valore futuro, ma valore futuro dei flussi di cassa (cash flow) non dei dividendi.
  
  