title: Semispazio di Poincaré
text: # Semispazio di Poincaré
  
  Il semispazio di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il disco di Poincaré.
  
  ## Definizione
  
  Il semispazio di Poincaré è il semispazio $n$-dimensionale
  
      $H^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ x_{n}>0\}$
  
  dotato del tensore metrico
  
      $ds^{2}={\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{x_{n}^{2}}}.$
  
  In altre parole, il tensore metrico nel punto $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ è
  
      $g_{ij}={\frac {1}{x_{n}^{2}}}\delta _{ij}$
  
  dove $\delta$ è la delta di Kronecker. Cioè
  
      $g={\frac {1}{x_{n}^{2}}}I$
  
  dove $I$ è la matrice identità $n$-dimensionale. Si tratta quindi dell'usuale tensore metrico euclideo, riscalato di un fattore positivo
  
      ${\frac {1}{x_{n}^{2}}}$
  
  che dipende dal punto, e che tende a infinito se il punto si avvicina all'iperpiano $x_{n}=0$.
  
  ## Proprietà
  
  Il tensore metrico è definito positivo in ogni punto: il semispazio di Poincaré è quindi una varietà riemanniana di dimensione $n$. Su una varietà riemanniana sono quindi definiti i concetti di distanza, geodetica e angolo. Attraverso una opportuna inversione circolare si può costruire facilmente un isomorfismo tra questo modello e il disco di Poincaré.
  
  